Asig: Estadística II / Curso 1999-2000
Algunos ejemplos sorprendentes de conjuntos infinitos numerables
Z es numerable
Q es numerable
Z={....-n,....,-2,-1,0,1,2,.....,n,....}
Aparentemente Z tendría el "doble" de elementos que N. ¿ será Z un infinito de mayor tamaño que N ? Veamos que Z es un conjunto del mismo tamaño que N.
Q={ m / n , con m y ,n elementos de Z }
Q aparenta ser, en este caso con mucha más razón que con Z, un conjunto infinito de mayor tamaño que N (Basta considerar que entre dos números naturales consecutivos no existe ningún natural intermedio, y que una propiedad especial de Q, que nos da idea de una increíble mayor densidad de elementos, es la que dice que entre dos números racionales cualesquiera siempre podemos encontrar infinitos racionales intermedios.)
Basta para ello considerar la siguiente enumeración completa de los elementos de Z ¿ será Q un infinito de mayor tamaño que N ? Veamos que Q es un conjunto del mismo tamaño que N.
N={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,................} Esta correspondencia es "uno a uno"
Podríamos enumerar los infinitos elementos de Q+ en una disposición de rectángulo infinito
..... Z={ 0, 1,-1, 2,-2, 3,-3,........., n,-n,.......}
f: N n
Luego
Z f (n) /
f ( n) =
(*) n 2 (n + 1) 2 −
si n es par si n es impar
Q0 = { 0/1 }
Cada uno de los Qi, es un conjunto infinito numerable y la unión de esta colección numerable de c.i.n. es todo Q+, luego Q+ es infinito numerable Q1 = { 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ........... (Prop. 2) Q2 = { 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ........... Igual se haría para Q--{0}
Z ≈ N ⇔Card( Z ) = Card( N )
Q3 = { 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ........... Por lo tanto Q como unión de Q+ y Q--{0} es un c.i.n.
(Z es un conjunto infinito numerable) ........
Q ≈ N ⇔ Card ( Q ) = Card ( N )
(Q es un conjunto infinito numerable) (*) Al final del tema vemos un esquema más completo de la representación gráfica de Q En conclusión los conjuntos infinitos N, Z, y Q tienen el mismo Cardinal, el mismo tamaño como conjuntos infinitos.
Conjuntos Infinitos no numerables El siguiente conjunto infinito que sería razonable considerar para ver si su tamaño difiere del de N, seria el conjunto de los números reales R, a estas alturas podríamos creer que dado que todo nº real puede ser aproximado tanto como queramos por una sucesión de racionales, que R tendría el mismo Cardinal que Q y por lo tanto que N, es decir que R fuese también un c.i.n., y que solo existe un único tamaño más exactamente, cardinal para todos los conjuntos infinitos, que todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño y se terminaría la discusión de los Cardinales Transfinitos, solo habría uno. Veremos que existen conjuntos infinitos no numerables, no equivalentes a N, y que su Cardinal es mayor que el cardinal de N,... al menos habría dos tamaños de conjuntos infinitos Def. 9
Un conjunto A se dice que es un conjunto infinito no numerable si es infinito y no es equivalente a N
Para que una definición tenga interés debe referirse a algún ente u objeto existente en el marco de la teoría en la que se presenta, ¿ existen realmente conjuntos infinitos de este tipo ?.....
E.U.E Lugo / Laboratorio de Métodos Cuantitativos / L. G. G.
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