កំែណវ���� សិស��ពូែកគណិតវ�ទ��វ័យេក�ង ឧបទ�ីប�ល់កង់ េដាយ ឹ ល ម សុវណ�វ�ិច ្
វ���សឆំា � ២០០០ 1.
2. 3.
ិ ម តង𝑥𝑥 និង 𝑦𝑦 ជចំនន ួ ពិតវជ � ា ែដល
𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 + (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3 + 30𝑥𝑥𝑥𝑥 = 2000 ចូរបង�ថា𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 10 ។ ចូរកំណត់ ្រគប ចំនន ួ គត់ 𝑛𝑛 ≥ 1 ែដល 𝑛𝑛2 + 3𝑛𝑛 ជចំនន ួ កេរ
ិ 𝐸𝐸𝐸𝐸 ្រតូបាដកេល ្រជុ 𝐵𝐵𝐵𝐵 របស់ ្រតីេក𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 េហ យវប៉ះនឹង កន�ះរង�ង់ មួ យមាអង� ត់ផ�ត
្រជុ 𝐴𝐴𝐴𝐴 និង 𝐴𝐴𝐴𝐴 ្រតង ចំនច ុ 𝑄𝑄 និង 𝑃𝑃 េរៀងគា�។ ចូបង�ថា ចណុច្របសព 𝐾𝐾 រវបនា�ត 𝐸𝐸𝐸𝐸
4.
ិ េនេល កម� ស់ គូ សេចញពី 𝐴𝐴 របស់ ្រតីេក 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ។ និង 𝐹𝐹𝐹𝐹 ឋត
ក្របកួេតន�ស ី មួ យ មា្របុ 2𝑛𝑛 នាក និង�សី 𝑛𝑛 នាកចូលរួមេលង។ កីឡករមា�ក់្របកួជ
មួ យ្រគប កីឡករេផ្សេទៀត។ ្របុឈ� ះ 5/7 ដងេធៀបនឹង�សី។ េដដ ឹងថាគា�គូ ្របកួណ េស�គាេទ។ ចូរកំណត់ 𝑛𝑛 ។
វ���សឆា� ២០០០
-14-
http://www.dahlina.com/
ដ�េណា្រស 1. សមមភាសមមូលនឹង េដដង ឹ ថ
[𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 − 103 + 30𝑥𝑥𝑥𝑥] + [(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3 − 103 ] = 0
𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 − 103 + 30𝑥𝑥𝑥𝑥 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3 − 103 − 3𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + 30𝑥𝑥𝑥𝑥 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 10)[(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 + 10(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + 100] − 3𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 10) = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 10)[(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 + 10(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + 100 − 3𝑥𝑥𝑥𝑥]
(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3 − 103 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 10)[(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 + 10(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + 100]
[𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 − 103 + 30𝑥𝑥𝑥𝑥] + [(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3 − 103 ] = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 10)[2(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 + 20(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + 200 − 3𝑥𝑥𝑥𝑥] = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 10)[2𝑥𝑥 2 + 2𝑦𝑦 2 + 20(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 200]
េយ ងមាន2𝑥𝑥 2 + 2𝑦𝑦 2 + 20(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 200 > 0 េ្រព𝑥𝑥, 𝑦𝑦 វ ិជ�មាន។ ដូេច�ះ ផលគុណ
(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 10)[2𝑥𝑥 2 + 2𝑦𝑦 2 + 20(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 200] េស� សូន្ទល ែត 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 10 ។
2. តង𝑛𝑛2 + 3𝑛𝑛 = 𝑎𝑎2 ⟹ 3𝑛𝑛 = (𝑎𝑎 − 𝑛𝑛)(𝑎𝑎 + 𝑛𝑛) ។ តង
េយ ងដង ឹ ថា
𝑎𝑎 − 𝑛𝑛 = 3𝑥𝑥 ; 𝑎𝑎 + 𝑛𝑛 = 3𝑦𝑦 ; 𝑥𝑥 < 𝑦𝑦 ⟹ �
𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2𝑛𝑛 = 3𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥
3𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥 ≥ 3𝑦𝑦 − 3𝑦𝑦−1 = 2.3𝑦𝑦−1 � 𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 𝑦𝑦 − 1 + 𝑦𝑦 = 2𝑦𝑦 − 1 𝑦𝑦−1 ≤ 2𝑛𝑛 ≤ 2(2𝑦𝑦 − 1) ⟹ 2.3 ⟹ 3𝑦𝑦−1 ≤ 2𝑦𝑦 − 1 ូ *ី ចំ េពះ𝑝𝑝 > 1 េយ ងមាន តង𝑝𝑝 = 𝑦𝑦 − 1 ដូេច�ះ 3𝑝𝑝 ≤ 2𝑝𝑝 + 1 ។ ែតតវ ិសមភាែប៊នល
3𝑝𝑝 > 2𝑝𝑝 + 1 ។ ដូេច�ះ ចំ េពះ𝑝𝑝 = 1 េយ ងទបាន𝑦𝑦 = 2 ។ ចំ េពះ𝑥𝑥 = 1 េយ ងទបាន 𝑛𝑛 = 3 េផ��ងផា�ត់។ ចំេព𝑥𝑥 = 0 េយ ងទបាន𝑛𝑛 = 2 មិនេផ��ងផា�ត់។
ចំ េពះ𝑝𝑝 = 0 េយ ងទបាន𝑦𝑦 = 1 និង 𝑥𝑥 = 0 េយ ងទបាន𝑛𝑛 = 1 េផ��ងផា�ត់ ចេម�យ 𝑛𝑛 = 1; 𝑛𝑛 = 3 ។
វ���សឆា� ២០០០
-15-
http://www.dahlina.com/
3. តង𝑂𝑂 ជផ�តិ របស់ កន�ះរងង� ់ និង តង𝐻𝐻 ជចំ េណាែកងរបស់ ចំ ណុច 𝐾𝐾 េទេល្រជុ 𝐵𝐵𝐵𝐵 ។
េយ ងព ិនិត្ករណី 𝑂𝑂 ឋិ តេលអង�ត់ 𝐻𝐻𝐻𝐻 ។ មុំ ∠𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 ស�តអង�ត់ផត �ិ របស់ កន�ះរង�ង់ ដូេច�ះជមំ ុែកង ដូច ∠𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 ែដរ។ ដូេច�ះចតុេកណ𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 ច រឹក��ងរងង � ់ េហ យ
∠𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 = ∠𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 1 ចំ េពកន�ះរង�ង់ផ�ត ិ 𝑂𝑂 េយ ងមាន∠𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 = 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 ដូេច�ះ 2 1 ∠𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 = ∠𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 2 េយ ងមាន𝑂𝑂𝑂𝑂 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴 និង 𝑂𝑂𝑂𝑂 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ដូេច�ះ្រតីេក𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 និង 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ជ្រតីេកែកង េហ យមាន 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 ដូេច�ះ
1 ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = ∠𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 = ∠𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 2 ∠𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 90° − ∠𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾; ∠𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 90° − ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ⟹ ∠𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = ∠𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 ⟹ ចតេុ កណ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ជចតេុ កច រឹក��ងរង�ង់។ ដូេច�ះមុំ ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ក៏ជមំ ុែកងែដរ ⟹ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⊥ 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⟹ 𝐾𝐾 ∈ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ។
𝐵𝐵
𝐴𝐴 𝑃𝑃
𝑄𝑄
𝐾𝐾
𝐸𝐸
𝐻𝐻 𝑂𝑂
𝐹𝐹
រូ បទី 1 : សំនរួ ទី 3
𝐶𝐶
ករណី 𝑂𝑂 ∈ [𝐸𝐸𝐸𝐸] េយ ង្រសប��ក់ដច ូ គា�
ករណី 𝐻𝐻 ≡ 𝑂𝑂 េនា្រតីេក𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ជ្រតីេកសមបាត។ ដូេច�សំ េណព ិត។
4. កីឡាកសរុបមាចំ ននួ 3𝑛𝑛 នាក់។ ចំនួ្របកួសរុបមា
3𝑛𝑛 3𝑛𝑛(3𝑛𝑛 − 1) � �= 2 2 េយ ងដង ឹ ថា ក�� 12 ្របកួ្របុឈ�ះ 5 ដង �សី ឈ�ះ 7 ដង។ ដូេច�ះចំ នន ួ ្របកួែដល្របុឈ�ះ មានចំនួន
វ���សឆា� ២០០០
-16-
http://www.dahlina.com/
5 3𝑛𝑛(3𝑛𝑛 − 1) 5𝑛𝑛(3𝑛𝑛 − 1) = 8 2 12 ចំ នន ួ ្របកួ្របុនឹង្របុមាចំ នន ួ 2𝑛𝑛(2𝑛𝑛 − 1) 2𝑛𝑛 � �= = 𝑛𝑛(2𝑛𝑛 − 1) 2 2 ក��ងក្របកួមួយរវ្របុនឹង្របុស្រតូវែមា្របុមា�កឈ�ះ េ្រពគា�អ�កេស� ។ ដូេច�ះក�ង � ក
្របកួតរវ្របុនឹង្របុស ទ 𝑛𝑛(2𝑛𝑛 − 1) ្របកួេនះ មា្របុឈ�ះទំអស់ ។ ដូេច�ះ 5𝑛𝑛(3𝑛𝑛 − 1) ≥ 𝑛𝑛(2𝑛𝑛 − 1) 8 ⟹ 15𝑛𝑛 − 5 ≥ 16𝑛𝑛 − 8 ⟹ 𝑛𝑛 ≤ 3 បនា�ប មកេទៀត េយ ងដង ឹ ថា5𝑛𝑛(3𝑛𝑛 − 1)⁄8 ្រតូែតជចំ នន ួ គត់។ ដូេច�ះ មាែត 𝑛𝑛 = 3 ។ ដូេច�ះមា
្របុចំ នន ួ 6 នាក់ និ�សី 3 នាក េហ យជសរុបមានកីឡាក9 នាក់។
សមា�ល
ិ មភាែប៊នល * វស ូ ី ចំេពា្រគប ់𝑥𝑥 ≥ −1 និង ចំនន ួ គត់ 𝑛𝑛 ≥ 0 េគមាន(1 + 𝑥𝑥)𝑛𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑛𝑛𝑛 ។
វ���សឆា� ២០០០
-17-
http://www.dahlina.com/