កំណត់ សត ្វ៊ី 𝑎𝑛
𝑛≥0
មួ យដោយ 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 1 និង 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2
ចំដ ោះ 𝑛 ≥ 2 ។ ចំដ ោះគ្រប់ 𝑚 > 0 និង 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 ចូរបង្ហាញថា 2𝑎𝑚 ចចកោច់ 𝑎𝑚 +𝑗 + −1 𝑗 𝑎𝑚 −𝑗 ។ សនមតថា 𝑛 និង 𝑘 ជាចំនន ួ រត់ ធមម ជាតិចែល 2𝑘 ចចកោច់ 𝑛 ។ ចូរបង្ហាញថា 2𝑘 ចចកោច់ 𝑎𝑛 ។ (អូ ឡាំពិចគណ្ិរវិទ្យាឥណ្ឌ ា
)
ចដមលើយ យ ើ ងស្រា បញ្ជាក់ តាមកំយ ើ ន។ 𝐴𝑗 = 𝑎𝑚 +𝑗 + −1 𝑗 𝑎𝑚 −𝑗 ចំ យ ោះ 𝑗 = 0 យ ើ ងទាញបាន 𝐴0 = 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚 = 2𝑎𝑚 ដូយចនោះចចកដាច់ នឹង 2𝑎𝑚 ។ ចំ យ ោះ 𝑗 = 1 យ ើ ងទាញបាន 𝐴1 = 𝑎𝑚 +1 − 𝑎𝑚 −1 ។ យ ើ ងមាន 𝑎𝑚 +1 = 2𝑎𝑚 + 𝑎𝑚 −1 ⟹ 𝐴1 = 𝑎𝑚 +1 − 𝑎𝑚 −1 = 2𝑎𝑚 ។ ដូយចនោះ 𝐴1 ចចកដាច់ នឹង 2𝑎𝑚 ។ សនមតថាព ិតរហូ តដល់ 𝑗 = 𝑘 ។ យ ើ ងទាញបាន 𝐴𝑘 = 𝑎𝑚 +𝑘 + −1 𝑘 𝑎𝑚−𝑘 , 𝐴𝑘−1 = 𝑎𝑚 +𝑘−1 + −1
𝑘−1
𝑎𝑚 −𝑘+1 ចចកដាច់ នឹង 2𝑎𝑚 ។ យ ើ ងស្រតូវបង្ហាញថា 𝐴𝑘+1 = 𝑎𝑚 +𝑘+1 + −1
𝑘+1
𝑎𝑚 −𝑘−1
ចចកដាច់ នឹង 2𝑎𝑚 ។ យ ើ ងមាន 2𝐴𝑘 = 2𝑎𝑚 +𝑘 + 2 −1 𝑘 𝑎𝑚−𝑘 = 𝑎𝑚 +𝑘+1 − 𝑎𝑚 +𝑘−1 + −1 𝑘 𝑎𝑚−𝑘+1 − 𝑎𝑚 −𝑘−1 = 𝑎𝑚 +𝑘+1 + −1 𝑘+1 𝑎𝑚 −𝑘−1 − 𝑎𝑚 +𝑘−1 — 1 𝑘𝑎𝑚 −𝑘+1 = 𝑎𝑚 +𝑘+1 + −1 𝑘+1 𝑎𝑚 −𝑘−1 − 𝑎𝑚 +𝑘−1 + −1 𝑘−1 𝑎𝑚 −𝑘+1 = 𝐴𝑘+1 − 𝐴𝑘−1
យ ើ ងទាញបាន យដា តាមសំ នួរទីមួ
𝐴𝑘 , 𝐴𝑘−1 ចចកដាច់ នឹង 2𝑎𝑚 យ ោះ 𝐴𝑘+1 ក៏ចចកដាច់ នឹង 2𝑎𝑚 ចដរ។ យដា
ក 𝑗 = 𝑚 យ ើ ងទាញបាន 𝑎2𝑚 + −1
𝑚
𝑎0 = 𝑎2𝑚 (យស្រ ោះ 𝑎0 = 0)
ចចកដាច់ នឹង 2𝑎𝑚 ។ ដូយចនោះ 𝑎2𝑚 = 2𝛼𝑚 𝑎𝑚 ចំ យ ោះស្ររប់ 𝑚 ចដល 𝛼𝑚 ជាចំ នន ួ រត់ (*)។ យដា
2𝑘 ចចកដាច់ 𝑛 យ ោះ 𝑛 = 𝑝2𝑘 ចដល 𝑝 ជាចំ នន ួ រត់ ។ តាម (*) យ ើ ងទាញបាន
ដោយលឹម សុ វណ្ណវិចិត្រ
23 janvier 2010
⟹ 𝐴𝑘+1 = 2𝐴𝑘 + 𝐴𝑘−1
𝑎𝑛 = 𝑎𝑝2𝑘 = 21 𝛼𝑚 1 𝑎𝑝2𝑘 −1 = 22 𝛼𝑚 1 𝛼𝑚 2 𝑎𝑝2𝑘 −2 = ⋯ = 2𝑘 𝛼𝑚 1 𝛼𝑚 2 … 𝛼𝑚 𝑘 𝑎𝑝2𝑘−𝑘 = 2𝑘 𝛼𝑚 1 𝛼𝑚 2 … 𝛼𝑚 𝑘 𝑎𝑝 ចដល 𝑚1 = 𝑝2𝑘−1 , 𝑚2 = 𝑝2𝑘−2 , …. ជាចំ នន ួ រត់ ។ យដា នន 2𝑘 ឬចចកដាច់ នឹង 2𝑘 ។
23 janvier 2010
𝑎𝑛 ជាពហុ រុ
𝛼𝑚 1 . 𝛼𝑚 2 … . 𝛼𝑚 𝑘 𝑎𝑝 ជាចំ នន ួ រត់ យ ោះ
ដោយលឹម សុ វណ្ណវិចិត្រ