Tal, lærervejledning/we

Michael Wahl Andersen, Lene Hansen & Julie Hardbo Larsen

LÆRERVEJLEDNING

Tal Lærervejledning

Matematik Lærervejledning

En titel i serien Tal

© Alinea 2023

Forfattere: Michael Wahl Andersen, Lene Hansen & Julie Hardbo Larsen

Redaktør: Daniel Clive Ebeling

Design: NOTATION v. Niklas Antonson

Illustrationer: Sidsel Sørensen – Sidsel Sørensen Illustration & Animation

Sats: Lumina Datamatics, Inc.

Trykt hos: Eurographic / Scandinavian Print Group

1. udgave, 1. oplag 2023

ISBN: 9788723559173

Kopiering fra denne bog må kun nde sted på institutioner, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node

Webressourcer: Tal.alinea.dk

Alinea støtter børn og unge

Alinea er en del af Egmont, der som Danmarks største mediekoncern har bragt historier til live i mere end 100 år. Egmont er en dansk fond, som hvert år uddeler 100 millioner kroner til børn og unge, der har det svært.

alinea.dk

Der er efterhånden almen konsensus i forskningsmiljøet om, at 15-20 % af en grundskoleårgang er i matematikvanskeligheder (se fx Bull, 2022: s 9, matematikvejlederforeningens hjemmeside, faghæftet for matematik, 2020: https://emu dk/grundskole/ matematik/faghaefte-faelles-maal-laeseplan-og-vejledning).

Ifølge den svenske matematikdidaktiker Arne Engström giver det mening at kategorisere årsagerne til vanskeligheder inden for fire overordnede faktorer (Bull et. Al, 2022, Engström, 2000). Engström kategoriserer faktorerne på følgende måde:

•Kognitive faktorer

•Psykologiske faktorer

•Sociologiske faktorer

•Didaktiske faktorer

Kognitive faktorer

Kognitive faktorer knytter sig til elevernes arbejdende hukommelse og eksekutive funktioner

Arbejdende hukommelse

Den arbejdende hukommelse er den del af hjernen, der lærer, og hvis man er udfordret på den arbejdende hukommelse, er man generelt udfordret på læring. Dette viser sig som besvær med at fastholde opmærksomhed og koncentration i længere tid. Arbejdende hukommelse kan betragtes som at være mentalt online. Muligheden for læring opstår, når vi er mentalt online. Den arbejdende hukommelse er aktiv, når eleverne taler, læser, skriver, regner, forklarer, fordyber sig, stiller spørgsmål etc. Kort fortalt er den arbejdende hukommelse aktiv, når eleverne er sprogligt aktive.

Eksekutive funktioner

De eksekutive funktioner er overordnede funktioner, der får de kognitive systemer i hjernen til at spille sammen. De eksekutive funktioner overvåger og vurderer løbende situationen, hvilket giver eleverne mulighed for at arbejde undersøgende, fleksibelt og problemløsende. De eksekutive funktioner gør eleverne i stand til at tilpasse deres problemløsningsstrategier til et givent problem, hvilket især kommer til udtryk, når problemet skifter karakter.

Det kan fx handle om, at en elev arbejder med minusstykker, som fx 65 – 3 = ____. Eleven tæller baglæns fra det største tal for at finde resultatet. Men så ændrer opgaverne karakter. Nu er det pludselig opgaver af typen 65 – 63 = ____. Hvad nu? Det er her, de eksekutive funktioner spiller en central rolle, for nu skal der skiftes strategi. Nu giver det ikke længere mening at tælle baglæns fra det største tal, for nu er det mere hensigtsmæssigt at skifte strategi og tælle forlæns fra det mindste tal.

Elever, der ikke magter at skifte strategi, når situationen ændrer sig, kan være udfordrede på de eksekutive funktioner Dette kan komme til udtryk som vrede eller opgivenhed, når det at fx tælle baglæns fra det største tal bliver uoverskueligt og besværligt Træning af skift i strategier betyder træning af både elevernes talsans og eksekutive funktioner.

Psykologiske faktorer

Psykologiske faktorer, der kan være årsagen til, at en elev er i matematikvanskeligheder, handler om elevens opfattelse af sig selv i relation til matematikken Det giver sig ofte til kende ved, om elevens holdning til faget er positiv eller negativ En følge af en oparbejdet negativ holdning til matematik kan desuden komme til udtryk ved i matematikangst.

Matematikangst (Østergaard, 2018 Bull et al., 2022) kan forstås som en følelse af spænding og ængstelse, der på uforklarligvis opstår, når man præsenteres for matematikholdige situationer. Oluf Magne (1998) beskriver tre stadier i udviklingen af matematikangst:

1. Uro opstår. Eleven får problemer med at løse nogle opgaver i matematik. I begyndelsen forsøger eleven at løse opgaverne, men regner forkert og bliver skuffet.

2. Konflikt truer. Eleven begynder at tro på, at han ikke magter opgaverne i matematik, men håber stadig på, at det vil lykkes. Hermed opstår konflikten mellem håb om fremgang og truslen om at mislykkes.

3. Forventningerne bliver skræmmende. Forventningerne om at lykkes bliver stadig mindre og mindre. Arbejdet med matematik forventes på forhånd at være nyttesløst. Hvad værre er, begynder eleven måske at definere sin identitet på baggrund af de vigende matematikresultater, der i sidste ende kan blive til en selvopfyldende profeti, som handler om, at det er mig og ikke matematikken, der er problemet.

Sociologiske faktorer

Sociologiske faktorer er en bred betegnelse, der dels dækker over elevernes ophav, herunder hjemmemiljøet, deres kulturelle baggrund, forældres holdninger til skole og matematik mv. og dels dækker de forhold, der udspiller sig i matematiktimen, herunder lærer-elev-relationen, elevens opfattelse af sin rolle i klassen mv. Disse faktorer ligner ofte dem, der udspiller sig i elevens nærmiljø.

Didaktiske faktorer

Didaktiske faktorer handler om, hvordan undervisningen tilrettelægges og gennemføres, så den enkelte elev kan udvikle sig bedst muligt. Det er skolens opgave at sørge for, at rammerne for undervisningen vil udvikle den enkelte elev mest hensigtsmæssigt.

I TAL har vi søgt at medtænke Engströms fire kategorier ved at have fokus på følgende elementer:

• Sprog og kommunikation

• Talsans

• Regneoperationer

• Strategilæring og strategifleksibilitet

• Regnestrategier

• At indlejre materialet i et tegneserieunivers

Det uddyber vi i lærervejledningen nedenfor.

Materialets indhold og opbygning

Hæfterne

Hæfterne er bygget op på følgende måde:

Førfaglighed Træning Observation Regnestrategier Konsolidering

Ovenstående gennemgår vi i hæfternes individuelle side-til-side-vejledning, men generelt må det siges, at essensen af TAL er regnestrategier. Og for at kunne klæde eleverne på til at træne regnestrategier er der relevante færdigheder, som de skal have forståelse for, inden de giver sig i kast med regnestrategierne. Vi har derfor bygget hæfterne op efter ovenstående progression.

Det første eleverne møder er et myldrebillede, som danner udgangspunkt for en samtale om det givende hæftets emne, for at aktivere elevernes forforståelse. Dernæst bevæger elverne sig over i træning af relevante ord, begreber og færdigheder, som et nødvendigt grundlag for regnestrategi-træningen og -forståelse. Efter træningsdelen skal eleven lave to aktiviteter, som fordrer, at de bruger deres viden og kunnen om tal. I denne del observerer læreren på elevens kunnen. Det er en mulighed for at læreren kan få indsigt i hvilke udfordringer eleverne sidder med i forhold til hæftets emne. I regnestrategi-delen sker den egentlig træning af regnestrategier. Eleverne skal brug det, de har lært i hæftet op til nu.

Slutteligt skal eleverne fremstille et produkt på deres egen måde, indenfor opgavens ramme, for at konsolidere deres viden og kunnen.

De strategier, som vi har valgt at sætte fokus på gennem hæfterne, er illustreret på hæftes inderflapper. Fold dem ud og brug dem aktivt gennem hele hæftet, når det er hensigtsmæssigt.

Tegneserier

Tegneserieuniverset i TAL tjener et dobbelt formål. For det første er universet et forsøg på at gøre matematikhæftet æstetisk indbydende og give eleven lyst til at gå på opdagelse i hæftet. Formatet er altså et andet end det gængse matematikhæfte. Tanken bag dette tiltag er, at elever, der oplever nederlag i mødet med matematik, ligesom i andre sammenhænge vil være i risiko for at lukke helt af i mødet med det, som de forbinder med negative følelser. Tegneserierne og det legende univers tilbyder en åbning til matematikkens univers. Desuden er tegneseriefigurerne med til at flytte fokus fra den elev, der arbejder med matematikken, og hen på de figurer i hæftet, som forsøger at løse matematiske problemstillinger. På den måde bliver det figurerne, der regner i tegneserierne, og eleverne skal blot kommentere, hvordan figurerne regner. Udgangspunktet er, at denne vinkel vil give de elever, som givetvis har negative følelser forbundet med matematik, mod på at tage figurerne i hånden og gå med ind i matematikkens verden igen.

Hjemmesidens indhold og opbygning

Hæfterne supleres af en hjemmeside med digitale opgaver, trænings- og konsolideringsaktiviteter i form af opgaver og GeoGebra-filer. Hjemmesiden fungerer også som aktivitetsbank med aktivitetsbeskrivelser. Vi henviser til begge dele i hæfterne fra side til side. Det er hensigtsmæssigt for læreren at blive fortrolig med indholdet, før et undervisningsforløb sættes i gang, da mange elever i matematikvanskeligheder vil have gavn af at starte med aktiviteterne, før de arbejder med hæftets indhold. Det vil altid være en lærers vurdering, hvad der er mest hensigtsmæssigt i forhold til elevgruppen. Derudover er der videoer, som med illustrationer og i tale forklarer strategierne, der fremgår af billederne på inderflapperne i hvert hæfte.

Der er også et interview med forfatterne bag TAL, hvor de fortæller om de pædagogiske og didaktiske principper bag materialet.

Didaktiske implikationer

De didaktiske implikationer knytter sig til undervisningens form og indhold. De didaktiske principper, som TAL har fokus på, er illustreret i nedenstående model.

I TAL er sprog og kommunikation det helt centrale i arbejdet med elever i matematikvanskeligheder. Derfor er materialet heller ikke tænkt som et hæfte, som eleverne kan arbejde med hver for sig. TAL er centreret omkring samtale og samarbejde. TAL er desuden et lærestyret materiale. Det er læreren, der skal pakke indholdet ud til eleverne. Da mange elever i matematikvanskeligheder også kan have andre indlæringsvanskeligheder så som ordblindhed, er det også hensigtsmæssigt at læreren vurderer, hvornår denne fx skal læse op for eleverne eller yde særlig støtte på andre måder. Det er en vurderingssag, som læreren bedst ved, hvad er tjenestiligt fra elev til elev.

Derudover har materialet fokus på følgende:

• At udvikle elevernes talsans, der refererer til deres evne til at arbejde fleksibelt med tal, og hvordan tal relaterer sig til hinanden.

• At understøtte elevernes forståelse og færdigheder ud fra antagelsen om, at kompetente problemløsere har en god begrebsforståelse og solide færdigheder.

• At udvikle elevernes regnestrategier, da forskningen peger på, at elever i matematikvanskeligheder ofte bruger enkle backup-strategier, og at de ikke er fleksible i deres strategivalg.

• At understøtte forståelsen af regneoperationerne ved at koble modsatte regningsarter for at øge elevernes bevidsthed om regningsarternes funktion og de regler, der gælder for deres anvendelse.

Den sproglige dimension i matematik

Den sproglige dimensions nødvendighed i matematikundervisningen kan begrundes på flere måder:

• Læringsprocessen er en social proces, der er indlejret i sproget og dialogen.

• Sproget og dialogen synliggør elevernes tænkning og forståelse.

• Sproget og dialogen er vigtige kompetencer for at kunne udtrykke matematiske tanker og ideer.

• Sproget og dialogen er en forudsætning for at kunne afkode og forstå fagsprogets form og struktur, når eleverne læser og arbejder med tekster i matematik.

Dette afsnit er på baggrund af ovenstående argumentation delt op i to dele:

• Sprog, dialog og læring

• Matematikkens sprog

Sprog, dialog og læring

Det er en grundlæggende antagelse, at læring i matematik er en kollektiv proces, der forløber bedst, når eleverne deltager aktivt igennem samarbejde og dialog med andre. Derfor er sproget og dialogen helt centrale elementer i TAL.

Sproget og dialogen understøtter elevernes evne til at identificere og forstå tallenes symbolske karakter. Fx vil en lærer pege på tallet 8, bruge tallets navn, ”otte”, og vise otte objekter eller billeder. Eleverne lærer med andre ord at identificere tallet 8 som det symbol, der repræsenterer en mængde på otte objekter. Sproget støtter eleverne i at bevæge sig fra konkrete matematiske færdigheder, der er baseret på fysiske objekter, til en mere symbolsk matematisk indsigt, der baserer sig på tal.

Eleverne tilegner sig matematiske erfaringer og begreber ved aktivt at gøre matematikken til deres egen. Dette kaldes også i et sociokulturelt perspektiv for appropiationsprocessen (herefter tilegnelse eller tilegnelsesproces). Ifølge Carlsen et al. (2014, s. 48) er tilegnelse en læringsproces, hvor man skaber mening ved at gøre begreber til sine egne I processen med at tilegne sig begreber gennem erfaringer indgår sprog og kommunikation som centrale elementer. Man kan ikke lære noget nyt uden samtidig at lære noget om, hvordan man sætter ord på dette (Carlsen et al., ibid.).

Det er en grundlæggende antagelse, at tilegnelse er en proces, der aktiveres gennem social samhandling og samspil mellem mennesker. Læring finder først sted på et kollektivt niveau gennem interaktion mellem mennesker. Dernæst bliver erfaringer og

viden fra sådanne møder gjort til dele af den enkeltes tænkning og handling. Eriksen (2000) argumenterer for synet på læring som en konstruktiv proces. Man kan forstå tilegnelse som både en individuel og en social proces, forstået på den måde, at resultatet af tilegnelsen er individuel, men selve læreprocessen er socialt forankret. Udgangspunktet for denne tænkning er Vygotskys begreb zonen for den nærmeste udvikling (ZNU). Vygotsky (1971) skriver blandt andet, at børn i samarbejde er stærkere og klogere, og at de hæver sig over deres sædvanlige intellektuelle niveau, hvor de ellers er i stand til at løse opgaver selvstændigt. Tilegnelse handler med andre ord om, hvordan man gennem fælles social aktivitet kan gøre tanker, ideer, forklaringsmodeller, begreber og sproglige udtryksformer til sine egne, og at den enkelte på den måde kan gøre aktivt brug af disse.

Sprog og tænkning

Det er vigtigt at være opmærksom på, at tænkning ikke er noget magisk, der opstår af sig selv. Derimod er der tale om, at tænkning er en læreproces, der kan understøttes ved, at der i undervisningen er fokus på situationer, hvor eleverne er sprogligt aktive og får mulighed for at udtrykke deres tanker i og om matematik.

Sproglig tænkning

Sproget begynder som ydre sprog og adskilles efterfølgende i det kommunikative og det personlige sprog. Det personlige sprog udvikler sig til et indre sprog, der også kaldes sproglig tænkning Det er den sproglige tænkning, der kommer i spil, når eleverne forsøger at udtrykke deres tanker Man kan sige, at tanken forløber i sproget Når eleverne er sprogligt aktive, kan de udtrykke, forme og udvikle deres tanker Med andre ord:

Vygotsky argumenterer for, at sprog og tænkning hverken er identiske eller absolut adskilte. De indgår i et tæt gensidigt påvirkningsforhold. Der findes sprog uden tænkning såvel som tænkning uden sprog, men i udviklet form mødes de i sproglig tænkning.

Når jeg siger, hvad jeg tænker, finder jeg ud af, hvad jeg mener Ifølge Marit Høines (2011) kan mange af de udviklingsmønstre, man finder i elevernes mundtlige sprog, også findes i deres illustrationer. Eleverne udvikler sig gennem deres egne tegninger og illustrationer, forstået som sproglig aktivitet. Illustrationerne afslører et budskab, og det er vigtigt, at læreren opfatter/tolker dette budskab. Illustrationerne bliver på denne måde et middel til tænkning og en form til kommunikation af et meningsindhold.

Sammenhæng mellem sprog og tænkning

Antonio Damasio (2001) udtrykker denne sammenhæng på følgende måde: De fleste af de ord, vi anvender i vores indre tale, før vi taler eller skriver en sætning, eksisterer som auditive eller visuelle billeder i vores bevidsthed. Hvis de ikke blev til om end aldrig så flygtige billeder, ville de ikke være noget, vi kunne vide.

Matematikkens sprog

Eleverne bruger allerede fagord og fagbegreber i børnehaveklassen med varierende og stigende grad af kompleksitet. Udviklingen af fagord og fagbegreber er vigtig, fordi det giver mulighed for at kommunikere og udtrykke sig om et fagligt indhold.

Relationen mellem fagord, begreber, talsymboler og regneoperationer er nøglen til at forstå en tekstopgave. Ofte er en af elevernes største udfordringer at forstå, hvilken regneoperation der er i spil (dvs. addition, subtraktion, multiplikation og division), når det ikke er eksplicit angivet. Det er derfor vigtigt at undersøge, om eleverne har de nødvendige sproglige forudsætninger for at kunne identificere og afkode en handlingssekvens i tekstopgaver.

Ud over fagord og fagbegreber er der også særlige sproglige træk, der kendetegner matematikken. Det mest fremtrædende er udsagnsord i bydeform, som for eksempel regn, tegn og vis. Eleverne skal vide, at udsagnsordet kalder på en handling, og skal kunne koble det til den givne regneoperation.

Man skal desuden være opmærksom på, at det ikke altid er muligt direkte at overføre hverdagens brug af ord og begreber til den matematikfaglige brug af ordet. Fx betyder ”Vis, hvordan du regner” i matematik ikke det samme som ”Vis mig lige dit nye ur,” og en flytning har én betydning i hverdagen, men noget helt andet i matematik.

Som noget nyt bliver eleverne i fjerde klasse konsekvent præsenteret for matematikopgaver, der er indlejret i sproglige kontekster. Derfor er det vigtigt at overveje, hvilken rolle ord og begreber spiller i forståelsen af tekstopgaver.

Eksempel på en tekstopgave:

Der er 16 balloner. Tre af ballonerne er gule, og lige så mange er blå. Halvdelen af resten er røde, og de resterende er grønne.

• Hvor mange balloner er blå?

• Hvor mange balloner er grønne?

Hvis eleverne ikke forstår, hvordan tekstens forskellige sproglige elementer er knyttet til hinanden, og hvis de ikke på baggrund af tekstens informationer er i stand til at identificere, hvilke regneoperationer der er i spil, vil de heller ikke være i stand til at løse opgaverne.

Herunder er nogle spørgsmål til refleksion:

I hvilken grad

• tydeliggør og forklarer jeg regelmæssigt fagord og symboler i min undervisning?

• tydeliggør og forklarer jeg regelmæssigt førfaglige ord i min undervisning?

• tydeliggør og forklarer jeg, hvordan fagtekster er bygget op?

• tydeliggør og forklarer jeg, hvordan jeg selv tænker (modellæring)?

• er jeg opmærksom på, hvordan eleverne bruger fagord og fagbegreber?

• lægger jeg op til, at eleverne bruger fagord og fagbegreber i undervisningen?

• er der i mit læringsmiljø mulighed for at understøtte elevernes forståelse af ord og symboler?

• bruger jeg billeder og konkreter til at understøtte forståelsen af ord, begreber og symboler?

At stille spørgsmål og tale sammen

Den måde, man som lærer stiller spørgsmål på, har indflydelse på kvaliteten af de sproglige og faglige overvejelser, som eleverne skal gøre sig i forbindelse med undervisningen i matematik.

I matematik taler man ofte om lukkede og åbne spørgsmål. Lukkede spørgsmål kan føre til en mekanisk spørgsmål-svar-procedure, mens åbne spørgsmål lægger op til, at eleverne kan byde ind med deres aktuelle viden om et givent emne uden at blive bedømt ud fra rigtig-eller-forkert-tænkning.

Lukkede spørgsmål Mange af de spørgsmål, der stilles i matematik, har kun ét rigtigt svar.

Eksempel på et spørgsmål:

Hvad bliver 8 x 6?

Svar 1: 48.

Svar 2: Det ved jeg ikke – det kan jeg ikke huske.

Spørgsmålet har en indbygget forventning om et bestemt svar, og enten kender man svaret, eller også gør man ikke.

Åbne spørgsmål Åbne spørgsmål giver mulighed for en række mulige svar og giver eleverne mulighed for at ræsonnere. Overvej fx at stille spørgsmål, som refererer til elevens ideer og tanker frem for viden.

”Forestil dig, at du har glemt, hvad 8 x 6 er. Men du ved, at 5 x 6 er 30. Hvordan kan man finde ud af, hvad 8 x 6 er?”

Eksempler på svar:

5 x 6 = 30, og 3 x 6 = 18, så er 8 x 6 det samme som 30 + 18 = 48.

5 x 6 = 30. 30, 36, 42, 48.

Åbne spørgsmål kræver i mange tilfælde, at eleverne skal forklare sig samt overveje flere mulige løsninger og svar. Dette giver læreren mulighed for at få indsigt i elevernes tænkning og forståelse, samt hvilket sprog de bruger til at beskrive deres matematiske ideer. Dette vil samtidig vise, hvor indsigtsfuld deres viden og færdigheder er.

Om progressionen i spørgsmål

Som lærer kan man overveje, hvilke typer spørgsmål der kan udfordre elevernes tænkning om en problemstilling, og man kan forestille sig progressionen i måden at stille spørgsmål på. Herunder giver vi forslag til en tredelt spørgeteknik, hvor der er indtænkt en progression, der bevæger sig fra det konkrete mod det abstrakte.

Stil spørgsmål til

1.Elevernes handlinger

Indledende kan man spørge eleverne om, hvordan de gør Med denne type hvordanspørgsmål lægger man op til, at eleverne sætter ord på deres handlinger Elever, der arbejder på dette trin, tager udgangspunkt i deres egen intuitive forståelse. Det er derfor vigtigt at prøve at forstå, hvordan eleven tænker, frem for at prøve at trække eleven ind i bestemte måder at tænke og handle på

2.Elevernes tænkning

På dette trin kan man gennem sine spørgsmål forsøge at opfordre eleverne til at lede efter systemer. Man kan spørge ind til elevernes forståelse. Eleverne systematiserer med udgangspunkt i den konkrete situation.

3.Elevernes refleksioner

På det sidste trin lægger man op til, at eleverne tænker i begrundelser. Det handler om at spørge om, hvorfor eleverne har valgt den ene eller den anden strategi. Man kan også opfordre eleverne til at lede efter systemer og sammenhænge og på den baggrund vælge strategi.

Herunder kommer vi med forslag til forskellige spørgsmål, man kan bruge til at indlede en samtale. Det er vigtigt, at man tilpasser spørgsmål og spørgsmålstyper til elevernes alder og faglige niveau.

Spørgsmål om elevernes handlinger

• Prøv at fortælle, hvad du gør.

• Hvordan er du kommet til det resultat? Hvordan kan man vide det?

• Hvilke ligheder er der mellem jeres forklaringer? Hvilke forskelle er der på jeres forklaringer?

• Kan man vise det ved hjælp af konkrete materialer?

• Kan du tegne/illustrere det?

Spørgsmål om elevernes tænkning

• Hvad tror du er problemet?

• Prøv at forklare, hvorfor du tror det.

• Hvordan vil du vise det?

• Kan du finde et mønster?

• Hvad kan du komme i tanke om fra tidligere, som vi kan bruge?

• Hvad nu, hvis …?

Spørgsmål om elevernes refleksioner

• Mangler du noget for at kunne løse problemet?

• Hvad ved du? Hvilke antagelser vil du gøre?

• Kan du komme i tanke om noget fra tidligere, som vi kan bruge?

• Kan du finde nogle sammenhænge?

• Er det muligt at formulere problemet på en anden måde?

Talsans

Begrebet talsans er relativt nyt i matematikundervisningen. Det kan være svært at definere entydigt, men i store træk refererer begrebet til en velorganiseret begrebsramme, der både gør eleverne i stand til at forstå tal og relationerne mellem tal samt til at arbejde med matematiske problemer, der ikke er knyttet til brugen af traditionelle standardalgoritmer (Boaler, 2015).

Talsans er noget, man udvikler over tid gennem muligheder for at udforske og lege med tal. At visualisere tal i forskellige sammenhænge, opdage sammenhænge/ mønstre mellem tal og forudsige sammenhænge/mønstre bidrager alt sammen til udviklingen af elevernes talsans.

Elever med en udfordret talsans har umiddelbart en tendens til at fokusere på mekanisk indlærte procedurer og standardalgoritmer. De stoler derfor på metoder, som de føler sig trygge ved, selvom de er besværlige. De bruger ifølge Ostad (2013) ineffektive og umodne strategier til beregninger og opdager ikke sammenhænge mellem tal og forbindelser mellem regneoperationer, der kan lette regnearbejdet Ofte foretrækker elever med en udfordret talsans at bruge blyant og papir frem for at regne i hovedet De kan være tilbageholdende med at give overslag og estimere, før de har regnet, og de vil derfor i store træk acceptere det svar, de får – uden at overveje, om det er rimeligt eller ej.

Elevernes talsans afspejles i deres konkrete brug af tal og regnestrategier til at kommunikere, bearbejde og fortolke matematikholdig information. Talsans kan beskrives som elevernes evne til effektivt at forstå, estimere og manipulere med tal. Det handler blandt andet om, i hvilken grad eleverne:

• har en grundlæggende forståelse eller fornemmelse for tal og regning

• forstår talsystemets opbygning og funktion

• har færdigheder i arbejdet med tal og antal

• foretager overslag og/eller estimerer

• foretager sammenligninger mellem tal og antal

• opløser tal

• opdeler tal

• bruger forskellige regnestrategier fleksibelt

• ser og bruger sammenhænge mellem regningsarterne

• kender til forskellige repræsentationer af tal og regnestrategier.

En veludviklet talsans støtter eleverne i at opdele og opløse tal for at lette regnearbejdet og giver dem mulighed for at være fleksible i deres tilgang til arbejdet med tal og antal. Elever med en veludviklet talsans kan vurdere, hvor rimeligt et svar er, og de kan rutinemæssigt estimere et svar, før de regner De leder efter sammenhænge og finder mønstre i tal, hvilket støtter dem i at vælge en hensigtsmæssig strategi De er fleksible i deres valg af regnestrategier, og de kan tilpasse strategierne til nye situationer. Elever med en veludviklet talsans udforsker tal og talsammenhænge og vælger de mest hensigtsmæssige strategier. Endvidere har elever med en veludviklet talsans også evnen til at bruge tidligere indlærte færdigheder i nye sammenhænge

Forståelse og færdigheder

Gode matematiske problemløsere har en sikker forståelse og effektive færdigheder. Det giver ikke mening at tale om at have en god forståelse, men ikke at have færdighederne, ligesom det heller ikke giver mening at tale om at have gode færdigheder, men ingen forståelse for det, man arbejder med.

Forståelse

Forståelsen af begreber gør det muligt for eleverne at se mønstre og bruge strategier hensigtsmæssigt og fleksibelt.

Forståelse refererer til en integreret og funktionel forståelse af matematiske begreber, der er knyttet til elevernes talsans og regnestrategier. Forståelse af et matematisk begreb kan fx handle om forståelse af positionssystemets opbygning og de enkelte positioners indbyrdes relationer eller sammenhængen mellem regningsarterne.

Elever med begrebsforståelse har erfaring med andet end isoleret fakta og metoder. Begrebsforståelse handler om, at eleverne bliver fortrolige med, hvorfor et matematisk begreb er vigtigt, og i hvilke sammenhænge det er nyttigt. De skal kunne organisere deres viden og færdigheder i sammenhængende helheder, som gør dem i stand til at lære nyt ved at forbinde nye begreber med det, de allerede ved. Begrebsforståelse understøtter også fastholdelse, fordi fakta og færdigheder, der indlæres gennem forståelse, hænger sammen. Fordi fakta og færdigheder, der indlæres gennem forståelse, hænger sammen, så de nemmere kan huske og bruge, hvad de har lært, og så deres viden nemmere kan rekonstrueres, når den ”gemmer sig i langtidshukommelsen”.

Færdigheder

Gode færdigheder i matematik bygger blandt andet på effektivitet, præcision og fleksibilitet. Disse tre elementer kan beskrives på følgende måde:

Effektivitet indebærer, at eleverne ikke fortaber sig i alt for mange trin eller mister overblikket over logikken i strategien. En effektiv strategi er en strategi, som man kan håndtere, hvor man holder styr på delproblemer og bruger mellemregninger for at løse problemet.

Præcision afhænger af flere aspekter, fx omhyggelig registrering af problemet, overslag, kendskab til talfakta samt relationer mellem tal og strategier.

Fleksibilitet kræver kendskab til mere end én strategi til at løse et givent problem, som fx at kunne skifte strategi, hvis problemet ændrer karakter.

Et eksempel:

199 + 199 = ?

a) Man kan lære at bruge én resultatorienteret standardalgoritme/metode, der ikke nødvendigvis understøtter forståelsen af addition.

+ 11

199 199 398

b) Eleverne kan også bruge en generelt funderet strategi, der både bygger på forståelsen af positionssystemet og relationerne mellem regningsarterne. Dette kan ske ved at understøtte udviklingen af elevernes talsans, fx gennem skriftlig hovedregning (se afsnittet om skriftlig hovedregning, side 18.)

199 + 199

199 + 1 + 199 + 1

200 + 200

400 – 2

398

”Jeg ser på regnestykket 199 + 199. Jeg kan gøre regnestykket nemmere ved at lægge 1 til begge tal, og så bliver opgaven 200 + 200. Jeg ved, at 2 + 2 er 4. Så må 200 + 200 være 400. Så skal jeg lige huske at trække 2 fra. Jeg har lagt 2 til og trukket 2 fra. Jeg har altså ikke ændret på tallene, når jeg trækker det samme fra, som jeg lige har lagt til. Derfor siger jeg 400 – 2 er 398. Resultatet er 398.”

Regnestrategier

Et af temaerne i dette materiale handler om, hvordan eleverne løser problemer inden for de fire regningsarter Der er med andre ord fokus på deres strategianvendelse Ostad (2014) peger på, at forskningen i stadig højere grad er opmærksom på, hvilke strategier elever i matematikvanskeligheder bruger, når de løser problemer inden for de fire regningsarter. Det, der ifølge Ostad kendetegner elever i matematikvanskeligheder, er, at de kun har få strategier til rådighed, og at disse strategier er uhensigtsmæssige og besværlige Der er ofte tale om såkaldte backup-strategier, der kan være gode og fine i de tidligste skoleår, men som bliver problematiske i fx 4 klasse

Vi bruger henholdsvis begrebet strategi om de processer, eleven gennemgår under opgaveløsningen, og begrebet skriftlig hovedregning, der repræsenterer det visuelle udtryk for, hvordan eleven gennemgår eller har gennemgået disse processer.

To forståelser af strategibegrebet

I dette materiale er der fokus på de opgavespecifikke strategier, der knytter sig til regningsarterne Ifølge Ostad (2014) kan man opdele de opgavespecifikke strategier i to kategorier: hhv retrieval- og backup-strategier

Retrieval-strategier er de tankestrategier – eller kognitive strategier – som eleverne bruger, når de trækker på viden fra deres hukommelse. Ostad understreger, at disse strategier ikke er enkle og entydige, men at de ofte i sig selv er et produkt af flere samtidige, komplekse mentale processer.

Backup-strategier refererer til alle andre strategier, som eleverne bruger, når de løser opgaver. Disse strategier er med andre ord eksternaliserede handlinger, man umiddelbart kan iagttage.

Det er vigtigt at være opmærksom på, at fx tællestrategier kan være et udtryk for både retrieval- og backup-strategier. Det afhænger af, om processen er internaliseret eller eksternaliseret.

Ifølge Ostad (2014) har betydningen af strategibegrebet i matematik ændret sig inden for de sidste 50 år. Fra et begreb, der dækker over en bestemt procedure til træning, hen imod et strategibegreb med større fokus på, hvad der sker, når eleverne løser matematikopgaver. Strategi er med andre ord et begreb, der i dag knytter sig til selve processen i modsætning til resultatet.

Goldman (1989) skelner mellem to hovedkategorier af strategier: hhv. generelle strategier og opgavespecifikke strategier. De generelle strategier dækker over generelle matematikdidaktiske overvejelser, der er læring af matematik. De opgavespecifikke strategier dækker over de processer, som eleverne bruger, når de arbejder med opgaver inden for de fire regningsarter.

Generelt ser det ud til, at elevernes tilegnelse og udvikling af strategier er aldersbetinget. Det gælder både for retrieval- og backup-strategier. I store træk ser det ud til,

at eleverne i løbet af indskolingen forlader backup-strategierne til fordel for de mere retrieval-baserede strategier. Desuden sker der en forandring mod en større strategifleksibilitet, efterhånden som udvalget af strategier inden for regningsarterne bliver større og strategierne bliver mere effektive, og fejlene færre.

Elever i matematikvanskeligheder er derimod ifølge Ostad (2014) karakteriseret ved:

• et ensidigt valg af backup-strategier

• at de vælger de mest primitive backup-strategier

• en lille variationsbredde i hensyn til valg af strategier

• en manglende strategiudvikling over tid.

Det er med andre ord vigtigt at have fokus på at udvikle elevernes opgavespecifikke strategier, fordi:

• udfordringer i matematik kan være knyttet til ineffektiv strategibrug

• strategier kan læres

• strategilæring i sig selv har en positiv indvirkning på elevernes generelle matematiske kompetence.

(Ostad, 2014)

Hensigten med strategilæring hviler altså på den præmis, at der er tale om en læreproces, der kan kvalificere elevernes strategivalg og føre til mere effektive og hensigtsmæssige strategier. Samtidig får eleverne større strategifleksibilitet, så eleverne kan generalisere strategier inden for og mellem regningsarterne.

De strategier, som vi bruger i TAL, er vist og beskrevet på “flapperne” i elevhæfterne, ligesom de kort er beskrevet i side-til-side-vejledningen.

Regnestrategier i TAL

I TAL arbejder eleverne overordnet med tre forskellige regnestrategier:

Tællestrategier er strategier, hvor eleverne tæller sig frem til et resultat. Disse strategier kan være forskellige i deres udtryk, men grundlæggende handler det om at tælle

Opdelingsstrategier er strategier, hvor eleverne opdeler tal efter deres position i titalssystemet, fx: 346

Omgrupperingsstrategier er strategier, hvor eleverne splitter de enkelte tal op i mindre tal, fx:

256 + 44; 256 + 4 + 40; 260 + 40; 300

Her er det vigtigt at være opmærksom på, at man sjældent bruger en strategi helt “rent”

Man vil ofte skulle kombinere strategierne. Dette gælder især ved subtraktion, multiplikation og division.

Vi bruger skriftlig hovedregning for at hjælpe eleverne til at få adgang til deres tænkning om sammenhænge mellem tal, som de måske ellers ikke havde forestillet sig. Dette åbner samtidig for andre og måske mere effektive strategier til problemløsning.

Nogle elever er også udfordret på deres arbejdshukommelse. Skriftlig hovedregning er et værktøj for denne elevgruppe, som aflaster, og deler matematikken om i mindre delelementer.

Skriftelig hovedregning er også en god arbejdsvane at træne og blive fortrolig med, da denne praksis er til nytte for eleven på et generelt studieteknisk niveau. Det er et arbejdsværktøj til mellemregninger og ikke personlige noter, som også kan hjælpe eleven til at stilladsere forklaringer af egne udregninger til andre. Der er ikke nogen rigtig eller forkert måde at gøre det på, det er et personligt arbejdsværktøj, til elevens eget brug. Det væsentlige er, at eleven udvikler sin egen brugbare metode.

Den skriftlige hovedregning repræsenterer og synliggør elevernes tænkning/ strategier, for eleverne kan overveje, kommentere og sammenligne, hvordan de forstår strategierne, og hvad strategiernes funktion er. Der skal overvejende være fokus på, hvordan eleverne bruger relationer mellem tal til at løse problemer.

Når elevernes tænkning/strategier synliggøres, kan den/de gøres til genstand for refleksion, der kan føre til, at eleverne generaliserer og sammenligner de forskellige strategiers muligheder og begrænsninger.

Selvom vi af pragmatiske hensyn ikke skelner skarpt mellem begreberne strategi og skriftlig hovedregning (fx står der i hæfternes flapper Strategier og ikke Skriftlig hovedregning som repræsentationer for mentale strategier), er det dog vigtigt at være opmærksom på, at distinktionen kan tydeliggøre, hvornår eleven viser en strategi ved forskellige repræsentationer, og hvornår eleven illustrerer forskellige mentale strategier ved hjælp af den samme repræsentation Fx kan en strategi være at bruge ens viden om 10’er-venner når man skal lægge 7 + 4 sammen. Repræsentationen af elevens tænkning (strategi) kan vises på en tallinje, hvor eleven først hopper fra 7 til 10 og derefter til 11 En anden repræsentation af strategien kunne være med centicubes eller udklipspapir Således er repræsentationer det tætteste, vi kommer på elevens tænkning

Herunder viser vi tre forskellige eksempler på skriftlig hovedregning som repræsentationer for den samme mentale strategi, der er relateret til regnestykket 49 + 27 (bryde op og overføre).

Herunder er to forskellige mentale strategier for 49 + 27 repræsenteret ved samme skriftlige hovedregning (den åbne tallinje).

126

495076

207

496976

Den skriftlige hovedregning er et vigtigt element, når man skal synliggøre elevernes tænkning, og det giver samtidig læreren mulighed for at vurdere elevernes strategivalg og niveau samt at tilpasse undervisningen til deres forudsætninger og muligheder

Men det er også vigtigt, at eleverne verbalt sætter ord på deres tænkning. Når eleverne sætter ord på deres strategi, bliver strategien genstand for bevidsthed, hvilket giver eleverne mulighed for at forstå deres egen tænkning. Det giver også alle elever mulighed for at lytte til og tale sammen om velkendte og nye strategier, og på den måde vil de både udvide deres matematiske ordforråd og deres udvalg af strategier.

Ordet regneoperation dækker over en regnehandling. Denne handling kan man understøtte konkret, visuelt, auditivt og symbolsk. Da der er tale om en handling, der forløber over tid, er konkrete materialer særligt velegnede til at understøtte og illustrere disse handlinger. På TALs hjemmeside er der små film, hvor regnehandlinger bliver udført og forklaret.

I TAL er der fokus på regneoperationer inden for de fire regningsarter og brøker. Brøker er taget med, fordi alt tyder på, at arbejdet med brøker virker særligt vanskeligt for eleverne, og forskningen viser, at forståelse af brøker har stor betydning for, hvordan eleverne klarer sig i matematik (siegler et al. 2012).

Addition og subtraktion

I materialet arbejder eleverne med addition og subtraktion som ét tema for at øge deres bevidsthed om, hvornår der er tale om additionssituationer, og hvornår der er tale om subtraktionssituationer.

I vejledningen har vi for overskuelighedens skyld valgt at dele temaet op i addition med etcifrede tal og subtraktion med etcifrede tal.

Addition med etcifrede tal

Addition handler om at sammenføje mængder. Den første introduktion til addition hænger sammen med udviklingen af talforståelsen. Det vil derfor i denne forbindelse være nærliggende at undersøge elevens forståelse af tal. Når eleverne lærer tallet 9, opdager de, at ni objekter kan deles på mange forskellige måder, som fx i grupper på 1 og 8, 2 og 7, 4 og 5 eller 3 og 6. Eleverne møder på denne måde 9-familien. Sproglige aktiviteter, hvor eleverne giver udtryk for deres forståelse, samt konkrete aktiviteter kan underbygge/støtte denne forståelse.

Et andet element i undervisningen handler om at knytte de aktiviteter, der tager udgangspunkt i elevernes hverdagsforståelse, til arbejdet. Tilegnelsen af addition baserer sig først og fremmest på at tælle. Ved hjælp af konkrete materialer adderer eleverne ved at tælle frem. Dette bygger på en seriel opfattelse af tal – at tallene forekommer i en fortløbende rækkefølge. Hvis denne opfattelse er enerådende i undervisningen, kan der være risiko for – især hos udfordrede elever – at de får svært ved at frigøre sig fra hjælpemidlerne. Hjælpemidlerne bliver så at sige forståelsen.

Det er vigtigt at være opmærksom på, at tælletal (kardinaltal) netop repræsenterer mængder. Når eleverne er opmærksomme på, at tal repræsenterer mængder, bliver det muligt at erkende, at mængden 9 kan brydes op på forskellige måder, og at de kan repræsenteres i symbolsproget, som fx 7 + 2, 6 + 3, 4 + 5, 9 + 0 eller andre kombinationer af mængden ni. Lad eleverne benytte forskellige rumligt visuelle materialer som støtte for addition. Vær opmærksom på, at eleverne ikke må knytte et bestemt materiale til en bestemt regneoperation. Rumligt visuelle materialer kan fx være

fingre, mønstre, terninger eller centicubes Lad eleverne manipulere med materialerne, så de konkret erfarer, at mængden 9 kan repræsenteres på forskellige måder. En vigtig pointe ved den konkrete manipulation er, at det danner grundlag for erfaringsdannelsen og dermed understøtter hukommelsen.

8+17+26+35+4

Vær opmærksom på, at når en elev prøver at bruge en additionsstrategi, der mislykkes, kan det skyldes, at eleven mangler en underliggende forståelse. Det kan fx dreje sig om en mangelfuld talforståelse eller en mangelfuld forståelse af titalssystemets opbygning. Eleven forsøger eventuelt at reparere på dette. Reparationen baserer sig ofte i høj grad på talsymbolerne og i mindre grad på den mening, de har. Eleven arbejder med andre ord mekanisk og uden forståelse. I TAL søger vi at tage højde for denne problemstilling ved konsekvent at arbejde med forskellige repræsentationsformer (konkrete, visuelle og verbalt sproglige) samt relationen imellem dem.

Der knytter sig forskellige tankemønstre eller situationer til addition.

Situation Problem

Forene mængderAlex har 8 kr. i sin pung. Metin har 3 kr. i sin pung.

Hvor mange penge har de tilsammen?

8 + 3 = ____

Lægge tilNoor har 8 kr. i sin pung. Hun får 3 kr. af sin bror.

Hvor mange penge har Noor?

8 + 3 = ___

Repræsentation

Forskel

Additiv og subtraktiv strategi

Aya har 8 kr., og Sara har

3 kr.

765438

Subtraktion med etcifrede tal Subtraktion og addition repræsenterer modsatte tankeprocesser. Både subtraktion og addition har med sammenligning af antal at gøre. I materialet TAL lægger vi vægt på sproglige aktiviteter, hvor eleverne giver udtryk for deres forståelser, samt på manipulationer med konkrete materialer, der kan understøtte elevernes erfaringsdannelse.

Læring af subtraktion er som ved addition baseret på at tælle. Evnen til at tælle baglæns er grundlaget for elevernes tilegnelse af subtraktion. Ved hjælp af konkrete materialer subtraherer eleverne ved at tage én væk ad gangen. Dette bygger – som ved addition – på en seriel opfattelse af tal, hvilket som udgangspunkt er naturligt for forståelsen af subtraktion. Men vær opmærksom på, at hvis den serielle opfattelse forbliver enerådende i undervisningen, kan der være fare for – især hos udfordrede elever – at de får svært ved at frigøre sig fra tællematerialerne. Materialet bliver så at sige synonymt med forståelsen.

I forbindelse med subtraktion kan man ofte bruge såvel additive som subtraktive problemløsningsstrategier. Nogle elever giver udtryk for, at subtraktion er svært, hvorfor det ofte kan være en fordel at arbejde additivt frem for subtraktivt.

Man skal være opmærksom på, hvilke opgavespecifikke strategier eleverne bruger og om de evt. er i stand til at bruge alternative strategier, hvis dette er hensigtsmæssigt. Når en elev fx prøver at benytte en standardalgoritme, der mislykkes, kan det være, fordi eleven mangler en underliggende forståelse.

Det kan fx dreje sig om en mangelfuld talforståelse eller en mangelfuld forståelse af titalssystemets opbygning. Eleven forsøger eventuelt at reparere på den manglende forståelse Reparationen baserer sig ofte hovedsagelig på talsymbolerne og i mindre grad på den mening, de har Eleven arbejder med andre ord mekanisk og uden forståelse

Der knytter sig forskellige tankemønstre eller situationer til subtraktion.

Situation Problem Repræsentation

Adskille mængderAya har 11 kr. i sin pung. Hun skal kun bruge 8 kr. Resten giver hun til Lukas.

Hvor mange penge har Lukas i sin pung?

11 - 8 = ___

Tage vækAya har 11 kr. i sin pung. Hun betaler 3 kr. for et æble.

Hvor mange penge har Liu tilbage?

11 - 3 = ___

Forskel

Subtraktiv og additiv strategi

Aya har 8 kr., og Lukas har 3 kr.

Hvor mange flere penge har Aya?

8 - 3 = ___

Fylde op

Additiv strategi

Aya har 11 kr. i sin pung. Hun lægger 8 kr. i sin sparegris.

Hvor mange penge har Aya nu i sin pung?

8 + ___ = 11

891011

Addition og subtraktion med flercifrede tal Ved addition og subtraktion med flercifrede tal bliver eleverne introduceret til opdeling som regnestrategi Det er som tidligere beskrevet en strategi, der udspringer af forståelsen af positionssystemet Formålet med denne strategi er at lette regnearbejdet, når tal går fra at være etcifrede til flercifrede. Det er hensigtsmæssigt at introducere opdeling som strategi ved hjælp af konkrete materialer, som fx base 10-klodser. Det understøtter elevernes begrebsdannelse, samtidig med at hundreder, tiere og enere visualiseres

Ud over opdeling bruges tælling og regruppering som strategier i TAL 2. De tre strategier er illustreret på flapperne i TAL 2.

Nytteværdien af i hverdagen at kunne addere og subtrahere store tal eller lange talrækker er nok så som så. Disse udregninger foregår næsten altid ved hjælp af lommeregner eller computer. Der kan dog være god mening i at arbejde med addition og

subtraktion med flercifrede tal, da det kan give en dybere indsigt i tallene og deres egenskaber og på den måde være med til at udvikle elevernes talsans.

Man skal være opmærksom på, at træning af bestemte metoder eller standardalgoritmer hverken fremmer begrebsforståelsen eller udviklingen af elevernes talsans.

Hvis arbejdet med fx . subtraktion fokuserer på udførelse af standardalgoritmer, som fx:

1. sæt enere under enere, tiere under tiere, hundreder under hundreder osv

2. træk enerne fra hinanden

3. husk at låne!

4. træk tierne fra hinanden

5. husk at låne!

6. træk hundrederne fra hinanden

7. to streger under facit

kan der være en risiko for, at eleverne ikke opfatter et trecifret tal som sammensat af hundreder, tiere og enere, men snarere som cifferrække med tre tal. En opgave som 234 - 158 kan da risikere at ende som talmanipulation af enkeltcifre, hvor det gælder om at følge nogle faste regler. Det kan i sidste ende fastholde eleverne i en bestemt måde at tænke på, hvilket ikke giver dem mulighed for at udvikle strategier, som de kan bruge fleksibelt i forskellige sammenhænge.

Multiplikation og division

Multiplikation og division er omvendte regningsarter. I multiplikation handler det om at samle lige store grupper til en samlet helhed, hvorimod det i division handler om at adskille en helhed i lige store grupper.

Multiplikation

Udgangspunktet for forståelsen af multiplikation ligger i arbejdet med dobler og gentagen addition med samme tal. Multiplikation er en anden/ny strategi, man kan bruge i opgaver med gentagen addition.

Det er vigtigt, at både sproglige, konkret visuelle og symbolske repræsentationer sættes i spil, men vær opmærksom på, at det er ikke handler om repræsentationerne i sig selv. Det er relationen mellem strategierne, der skal være fokus på.

gange er der fem

Eleverne skal have mulighed for at repræsentere multiplikation ved hjælp af konkrete visuelle materialer, fordi brugen af konkrete visuelle modeller og tænkestrategier vil støtte eleverne i at udvikle viden om multiplikation på en meningsfuld måde.

Mikado er et eksempel på et spil, der gør det muligt at arbejde med sammenhængen mellem gentagen addition og multiplikation.

Man kan bruge forskellige strategier i forbindelse med optælling af point.

Her vises 45 point talt op ved hjælp af tre forskellige strategier:

1. 2 + 2 + 5 + 2 + 10 + 5 + 5 + 2 + 2 + 10 er 45.

(Tæller fra venstre mod højre).

2. 2 + 2 + 2 + 2 + 2 er 10, og 5 + 5 + 5 er 15, og 10 + 10 er 20 → 10 + 15 + 20 er 45.

(Grupperer og anvender gentagen addition).

3. 5 x 2 er 10, og 3 x 5 er 15, og 2 x 10 er 20 → 10 + 15 + 20 er 45.

(Grupperer og anvender multiplikation).

Vær opmærksom på, hvilken strategi eleverne naturligt vælger.

Støt eleven i at blive opmærksom på multiplikation som en hensigtsmæssig strategi til optælling.

Når man bruger konkreter og konkrete handlinger til støtte for de matematiske symboler, bliver det også tydeligt, hvordan fx omgruppering kan lette udregningen af relativt komplekse multiplikationsstykker.

Elever kan fx bruge base 10-klodser eller centicubes til fx at repræsentere 4 x 24. Det er vigtigt, at det sproglige understøtter illustrationer og symboler. Fx: ”Fire gange fireogtyve betyder, at der er fire grupper med fireogtyve elementer i hver gruppe.”

Ved konkret at omgruppere klodserne i tiere og enere (og veksle 10 enere til en tier) kan kan eleverne beregne resultatet. 4 x 24 = 8 x 10 + 10 + 6 = 9 x 10 + 6 = 96.

Arealmodellen er også en god metode til at repræsentere multiplikation. Her følger et eksempel på regnestykket 12 x 8, hvor der også bruges omgruppering.

12 x 8= 10 x 8 + 2 x 8 = 80 + 16 = 96.

Arbejdet med at koble det konkret visuelle til de matematiske symboler understøtter, som tidligere beskrevet i kapitlet om sprog, elevernes forståelse af såvel omgruppering af tal som regningsarternes hierarki. Det er vigtigt, at eleverne får mulighed for at omgruppere konkret.

Fx kan 4 x 16 omgrupperes i 4 x 10 + 4 x 6 = 40 + 24 = 64.

Eleverne kan også modellere multiplikationssituationer på tallinjer.

Fx kan en tallinje bruges til at beregne 4 x 3.

Dette kan desuden give anledning til samtaler om forskellen mellem 4 x 3 og 3 x 4.

013456789101112 2

Overslag

De overslagsstrategier, som eleverne bruger til addition og subtraktion, gælder muligvis ikke altid for multiplikation. En robust talsans knyttet til multiplikation er derfor nødvendig for at foretage hensigtsmæssige overslag. Ved multiplikation kan afrunding af den ene faktor have langt større indflydelse på overslaget end afrunding af den anden faktor. Fx 48 x 8 = 384. Hvis eleverne afrunder 48 til 50, vil overslaget være 400 (en forskel på to 8’ere), hvilket er meget tæt på det faktiske resultat. Hvis eleverne afrunder 8 til 10, vil overslaget være 480 (en forskel på to 48’ere), hvilket er betydeligt længere fra det faktiske resultat. Ved at modstille de to overslag kan eleverne udvikle deres talsans og forståelse af multiplikation.

Følgende tabel skitserer forskellige overslagsstrategier til multiplikation.

Eleverne har ofte en intuitiv forståelse af, hvad det vil sige at dele, længe før de introduceres til division som et matematisk begreb. At dele lige ved at anvende konkreter er derfor et godt udgangspunkt for at introducere division som begreb. Fx 8 jordbær, der skal deles lige mellem to elever.

Alex og Noor skal dele 8 jordbær. De skal have lige mange. Man kan sige otte delt mellem to eller otte divideret med to.

8 : 2 = 4

Der gælder de samme didaktiske overvejelser ved division som ved de andre regningsarter. Eleverne skal have mulighed for at repræsentere division ved hjælp af konkrete visuelle materialer, fordi brugen af konkrete visuelle modeller og tænkestrategier støtter eleverne i at udvikle viden om division på en meningsfuld måde.

Det er også vigtigt, at eleverne konkret dividerer, samtidig med at de sætter ord på handlingen.

Måling og deling

Division kan beskrive to forskellige situationer. Den ene situation kaldes for delingsdivison Her får man oplyst, hvor mange bunker der skal deles i Den anden situation kaldes for målingsdivision Her får man at vide, hvor mange der skal være i hver bunke

Målet er ikke, at eleverne grundlæggende skal forstå, hvad der kendetegner de to situationer, men blot at få erfaring med begge situationer, der enten vil være repræsenteret som målings- eller delingsdivision.

Herunder følger to eksempler på henholdsvis delings- og målingsdivision.

Delingsdivision

Ved delingsdivision er helheden og antallet af grupper kendt, men antallet af elementer i hver gruppe er ukendt.

Eksempel:

Noor og hendes fem kammerater skal dele 42 slikkepinde. Hvor mange slikkepinde får de hver?

Målingsdivision

Ved målingsdivision er helheden og antallet af elementer i hver gruppe kendt, men antallet af grupper er ukendt.

Eksempel:

Lisa har 42 slikkepinde, hun skal pakke. Der skal være 6 slikkepinde i hver pose. Hvor mange poser med slikkepinde pakker hun i alt? Hvor mange børn kan få en pose, når der er seks slikkepinde i hver pose?

Overslag

Når man bruger overslagsstrategier til division, er det vigtigt at være opmærksom på, hvilken strategi det er hensigtsmæssigt at bruge. Her er det vigtigt at overveje konteksten, før man vælger overslagsstrategi. Eleverne skal også bestemme, hvor nøjagtigt deres overslag skal være. Fx:

Lukas pakker ananas i kasser. Der er 188 ananas. Han ved, at der kan være 20 ananas i en kasse. Hvor mange kasser har han brug for?

I denne situation kan det være hensigtsmæssigt at bruge overslag for at være sikker på at have kasser nok. Det kan man gøre ved at runde 188 op til 200 og så dividere med 20. Så ved Anna, at det er tilstrækkeligt at bestille 10 kasser.

Følgende tabel skitserer forskellige overslagsstrategier ved division.

Også ved division er det vigtigt at bruge konkrete og visuelle repræsentationer til at understøtte begrebsudviklingen. Det kan være virkelige situationer, hvor eleverne skal dele frugt, blyanter, centicubes m.m.

Vær opmærksom på at støtte eleven i at italesætte selve divisionshandlingen.

Metin har bagt boller, som han kommer i poser og sælger i sin bod. Han har bagt 20 boller. Han kommer to boller i hver pose. Hvor mange poser har han i sin bod?

Jeg kommer to boller i hver pose. Jeg kan få ti poser med boller i.

10987654321

02468101214161820

Hop på en tallinje

Metin har bagt boller, som han kommer i poser og sælger i sin bod. Han har bagt 20 boller. Han skal pakke bollerne i 10 poser. Hvor mange boller kan han have i hver pose?

Jeg begynder med at komme en bolle i hver pose. Så er der 10 boller tilbage. Så er der nok boller til, at jeg kan lægge en mere i hver pose. Jeg kan have to boller i alle poser.