Escher by Lluís Botella

‐

Informació sobre Escher Javi Gombao Matemàtiques

Matemàtiques

Javi Gombao®

Escher va ser un gran aficionat a les matemàtiques que, a través de la seva intuïció i la seva extraordinària intel ∙ ligència artística, es va endinsar en paratges difícils o impossibles de visualitzar per a la majoria dels matemàtics. I el que és més important, va aconseguir que la resta del món també pogués veure'ls.

MauritsCornelisEscher va nàixer a Leeuwarden (Holanda) el 17 de juny de 1898. El seu pare va voler que tingués una formació científica però Maurits mai va destacar com a estudiant, ni tan sols treia bones notes en art. Va iniciar la carrera d'Arquitectura a Haarlem, però va abandonar els estudis al cap de poc temps. Va ser allà on va conèixer a Mesquita, mestre en arts gràfiques, que va ser el primer a reconèixer el talent d'Escher. Amant dels viatges, va recórrer el sud de França, Espanya i Itàlia, observant i fent esbossos de paisatges i obres arquitectòniques que haurien d'inspirar moltes de les seves obres (El primer viatge que Escher va realitzar a Espanya ho va fer en qualitat de cangur dels fills d'uns amics seus). Durant el viatge per Espanya, en el qual Escher va visitar per primera vegada l'Alhambra, es va aturar davant de les velles muralla de Cartagena per prendre alguns apunts. Un policia va considerar aquella actitud era altament sospitosa, especialment per tractar‐se d'un estranger. Escher va ser portat a comissaria i tots els seus dibuixos van ser requisats. Gràcies a la intervenció de la seva dona va ser posat en llibertat al cap d'una hora i van poder embarcar de nou, però Escher no va recuperar mai els seus dibuixos. Havia de ser un sospitós nat, ja que set anys abans havia estat detingut a Castrovalva, Itàlia, acusat de conspirar contra el rei. La denúncia procedia d'una dona que li havia estat observant ia la qual li va semblar un individu altament sospitós. Va ser una persona modesta i molt poc sociable. Es cas amb JettaUmiko el 1924, dona d'origen suís amb qui va tenir tres fills. Escher va morir el 27 de març de 1972 a Holanda a l'edat de 74 anys. Els seus gravats, que ja havien començat a cotitzar‐se a finals dels anys cinquanta, van aconseguir el reconeixement internacional, gràcies a haver aconseguit un fet insòlit en el món de l'art: havia estat capaç de representar l'univers de les Matemàtiques. Una anècdota relacionada amb la cotització dels seus gravats és que Escher, desitjós de viatjar, especialment en vaixell, ja que sentia una gran fascinació pel mar, va escriure una carta a la companyia Adria de Fiume, especialitzada en creuers pel mediterrani, sol ∙ licitant que li facilitaran els passatges, per a ell i la seva dona, a canvi de 48 estampes i 4 còpies de 12

Javi Gombao® planxes de fusta de gravats, els esbossos faria al llarg del viatge. La companyia va acceptar i el matrimoni va estar viatjant en un vaixell de càrrega des d'abril fins juny de 1936.

Partició del pla Va ser segons les seves pròpies paraules el tema que més li va apassionar: "És la font més rica d'inspiració que mai hagi trobat". La idea d'omplir el pla amb un mateix motiu es considera original seva, no influïda per la seva aprenentatge. Va afirmar: "Molt abans que, arran de visitar l'Alhambra, descobrís com de afí em és el problema de la partició de la superfície, jo havia descobert per mi mateix el meu interès per ell". Ja el 1922 abans de visitar Granada imprimeix una planxa en què estan representades vuit caps, quatre al dret i quatre a l'inrevés. Després de visitar l'Alhambra per primera vegada, Escher va intentar uns nous dissenys, dels quals es conserven esbossos de 1926, encara molt rudimentaris. Després d'una segona visita, aquesta vegada amb la seva dona, el 1936, va copiar durant diversos dies motius allà representats i va descobrir un sistema per representar particions periòdiques del pla, aconseguint descobrir els 17 grups de simetria plànols que figuren en l'Alhambra, tot i seus rudimentaris coneixements matemàtics. Però no es va aturar aquí, sinó que a més va introduir el color, cosa que ningú havia fet fins a aquesta data.

Javi Gombao® Escher treballà bàsicament amb les figures geomètriques que omplen el pla (quadrat i triangle equilàter) i amb les figures obtingudes a partir d'ells que també omplen el pla: quadrats, triangles equilàters, paral∙lelograms i hexàgons. A més treballa amb les xarxes formades per aquestes figures i les seves derivades.

Però només utilitza aquestes figures geomètriques com a punt inicial dels seus dissenys, va modificant cadascuna d'elles al seu gust creant una figura patró que en repetir‐encaixa amb les altres omplint el pla sense deixar espais lliures. Això podem veure‐ho clarament en l'animació anterior, que ens mostra com a partir d'un hexàgon s'obté després d'uns passos, la silueta d'un rèptil, que serveix per a la partició del pla que observem a continuació, que no és sinó un esbós del cicle que apareix al final d'aquesta pàgina: "Rèptils".

Javi Gombao® Segons el tipus de repetició i forma en què encaixen aquests patrons estem davant frisos, si la repetició és en una sola direcció (una mena de tires on es repeteixen els mateixos motius) o mosaics si la repetició és en dues direccions (per exemple les rajoles del sòl).

Aquests últims són els menys utilitzats per Escher, i tan sols els fa servir com a esbossos, com a part d'un altre dibuix o com a instrument per a dos temes importants per a ell: la metamorfosi i el cicle. La metamorfosi consisteix en unes figures que a poc a poc es van transformant en altres. Formes indeterminades i abstractes es van convertint a poc a poc en altres formes ja recognoscibles, i aquestes al seu torn poden passar a altres estadis de la metamorfosi a través de successives transformacions. Ara bé, Escher insisteix en un tipus de metamorfosi especials, els cicles.

Javi Gombao® El cicle és bàsicament una metamorfosi però que comença i acaba igual, tancant‐se en si mateixa tota una etapa. Aquest tipus de dissenys eren dels preferits per l'autor, que agradava de fer que els elements visuals es tornessin sobre si mateixos.

L’infinit El 1959, en un article, el propi Escher expressava el que li motivava a representar la idea de l'infinit: "Ens resulta impossible imaginar que, més enllà de les estrelles més llunyanes que veiem en el firmament, l'espai s'acaba, que té un límit més enllà del qual no hi ha res. El terme buit encara ens diu alguna cosa, ja que un espai determinat pot estar buit, si més no en la nostra imaginació, però no estem en condicions d'imaginar alguna cosa que estigués buit en el sentit que el espai deixa d'existir. Per això, des que l'home existeix sobre la terra, des que està dret, assegut o ficat al llit, des que corre, navega, va a cavall i vola, ens aferrem a la idea d'un més enllà, d'un purgatori, d'un cel i d'un infern, d'una transmigració i d'un nirvana, tots llocs d'infinita extensió en l'espai o estats d'infinita durada en el temps ". Amb la partició regular de la superfície no s'ha obtingut encara la idea de l'infinit, sinó només un fragment d'ell. Si la superfície fos infinitament gran ‐ impossible en la nostra realitat quotidiana ‐ necessitaríem infinites parts per cobrir‐la en la seva totalitat.

Javi Gombao® Però hi ha altres formes de representar artísticament l'infinit sense necessitat de corbar la superfície. Escher fa diversos intents en aquesta direcció, al principi molt influït pels seus anteriors treballs sobre particions regulars del pla. La idea és senzilla, es tracta d'anar dibuixant figures que encaixin entre si omplint el pla i que a poc a poc van augmentant o disminuint de grandària (segons sigui el cas) fins a donar la impressió que hi ha un nombre infinit d'elles. Però no es tracta només d'una impressió, ja que disposem un mètode, usat per Escher, per encaixar un nombre infinit de figures en un espai finit. N'hi ha prou amb prendre objectes les àrees segueixin la regla: 1 / 2, 1 / 4, 1 / 8, 1 / 16, ... i així successivament. Si suméssim totes les seves àrees tindríem l'expressió: 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16 +.....= 1, que és una sèrie

convergent de suma la unitat. Amb aquest mètode podríem dibuixar un nombre infinit de figures en una superfície finita. Podem veure en la següent figura un esbós d'aquest mètode, usat en el seu disseny "Límit quadrat".

Javi Gombao® Bàsicament Escher treballa amb diversos tipus de dissenys: dissenys quadrats, dissenys d'espirals, dissenys inspirats per Coxeter, cintes de Möebius, figures impossibles i dissenys en tres dimensions.

Bibliografia http://www.sangakoo.com/blog/escher/ http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99‐0224‐02/ed99‐0224‐02.html http://es.wikipedia.org/wiki/Maurits_Cornelis_Escher