Matemática_Álgebra_Cap_01

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Autor: Leonardo Werneck

Leonardo Figueira Werneck

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Leonardo Figueira Werneck SUMÁRIO

CAPÍTULO 01 – TEORIA DOS CONJUNTOS ............................................................. 3 1.

Introdução .............................................................................................................. 3

2.

Representação de um conjunto .............................................................................. 3

3.

Relação de Pertinência........................................................................................... 4

4.

Relação de Inclusão ............................................................................................... 4

5.

Tipos de Conjuntos ................................................................................................ 5

6.

Observações ........................................................................................................... 5

7.

Operação com Conjuntos....................................................................................... 5

8.

Conjunto Universo................................................................................................. 7

9.

Conjunto das Partes de um Conjunto – P(A)......................................................... 8

10.

Número de Elementos da União de Conjuntos .................................................. 8

Exercícios Resolvidos ................................................................................................. 10 Exercícios de Fixação ................................................................................................. 17 Exercícios Propostos ................................................................................................... 21

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CAP�TULO 01 – TEORIA DOS CONJUNTOS 1. Introdução Conjunto não possui definição, pois Ê um conceito primitivo.

Intuitivamente, entende-se por conjunto grupamentos bem determinados de coisas, pessoas, objetos, etc.

As coisas, pessoas ou objetos que determinam um conjunto sĂŁo determinados indistintamente de “elementosâ€?.

Nota-se conjuntos por letra latina maiĂşscula e elementos por letra latina minĂşscula.

2. Representação de um conjunto ENUMERAĂ‡ĂƒO ou EXTENSĂƒO: enumeram-se todos os elementos do conjunto entre chaves e separados por vĂ­rgula ou ponto e vĂ­rgula. đ??¸đ?‘Ľ: đ??´ = {2, 4, 6, 8, 10} COMPREENSĂƒO: todos os elementos do conjunto sĂŁo enunciados atravĂŠs de uma propriedade comum. đ??¸đ?‘Ľ: đ??´ = {đ?‘Ľ ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; | 2 ≤ đ?‘Ľ ≤ 10} → lĂŞ-se: x ĂŠ par tal que 2 ĂŠ menor ou igual a x que ĂŠ menor ou igual a 10 DIAGRAMA DE EULER-VENN: os elementos sĂŁo inseridos em uma linha poligonal fechada. đ??¸đ?‘Ľ:

SumĂĄrio

3

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Leonardo Figueira Werneck 3. Relação de Pertinência

Utilizado para verificar se um elemento pertence ou nĂŁo pertence a um conjunto.

Esta relação Ê para relacionar apenas elemento com conjunto, nesta ordem. 

đ?‘Ľ ∈ đ??ľ (lĂŞ-se: “x pertence ao conjunto Bâ€?)



đ?‘Ľ ∉ đ??ľ (lĂŞ-se: “x nĂŁo pertence ao conjunto Bâ€?)

đ??¸đ?‘Ľ: đ??ľ = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, {đ?‘‘}} đ?‘Žâˆˆđ??ľ

{đ?‘‘} ∈ đ??ľ

đ?‘‘∉đ??ľ

{đ?‘?, {đ?‘‘}} ∈ đ??ľ

4. Relação de Inclusão Dizemos que um conjunto A Ê um subconjunto de B, ou que A estå contido em B, se, e somente se, todo elemento de A Ê tambÊm elemento de B. Esta relação Ê para relacionar conjunto com conjunto.

Por exemplo: đ??´ = {2, 4, 6, 8, 10} đ??ľ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Note que todo elemento pertencente ao conjunto A pertence tambĂŠm ao conjunto B. Por isso, A ĂŠ um subconjunto de B, ou A estĂĄ contido em B. Se A estĂĄ contido em B, tambĂŠm dizemos que B contĂŠm A e simbolicamente escrevemos: đ??´ ďƒŒ đ??ľ → đ??´ đ?‘’đ?‘ đ?‘ĄĂĄ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘‘đ?‘œ đ?‘’đ?‘š đ??ľ đ??ľ ďƒ‰ đ??´ → đ??ľ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘ĄĂŠđ?‘š đ??´

SumĂĄrio

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A negação de estĂĄ contido ĂŠ representada por: ďƒ‹ → đ?‘›ĂŁđ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘ĄĂĄ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘‘đ?‘œ

5. Tipos de Conjuntos Finito e Infinito: finito ĂŠ quando possui nĂşmero limitado de elementos. Em caso contrĂĄrio, ĂŠ dito infinito.

Conjunto Vazio - ∅ đ?’?đ?’– { }: ĂŠ aquele que nĂŁo possui elementos.

Conjunto UnitĂĄrio: ĂŠ aquele que possui um Ăşnico elemento.

Conjunto Universo: ĂŠ o maior conjunto de um estudo.

6. Observaçþes Em todo conjunto A qualquer temos: I.

∅ ďƒŒ đ??´

II.

đ??´ ďƒŒ đ??´

III.

đ?‘†đ?‘’ đ??´ ďƒŒ đ??ľ đ?‘’ đ??ľ ďƒŒ đ??´, đ?‘’đ?‘›đ?‘ĄĂŁđ?‘œ đ??´ = đ??ľ

IV.

đ?‘†đ?‘’ đ??´ ďƒŒ đ??ľ đ?‘’đ?‘›đ?‘ĄĂŁđ?‘œ đ??ľ ďƒ‰ đ??´

7. Operação com Conjuntos a)

Intersecção

Chama-se intersecção de dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B. A intersecção de A e B ĂŠ representada por đ??´ ∊ đ??ľ.

Por exemplo: đ??´ = {1; đ?&#x;?; 3; đ?&#x;’; 5; đ?&#x;”} đ??ľ = {0: đ?&#x;?; đ?&#x;’; đ?&#x;”; 8; 10}

SumĂĄrio

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đ??´ ∊ đ??ľ = {2; 4; 6} đ??´ ∊ đ??ľ = {đ?‘Ľ | đ?‘Ľ ∈ đ??´ đ?‘’ đ?‘Ľ ∈ đ??ľ} Se os conjuntos A e B nĂŁo possuem qualquer elemento comum, entĂŁo eles sĂŁo chamados conjuntos disjuntos. Nesse caso, đ??´ ∊ đ??ľ = ∅. b)

UniĂŁo ou ReuniĂŁo

Chama-se uniĂŁo ou reuniĂŁo de dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B. A uniĂŁo de A e B ĂŠ representada por đ??´ âˆŞ đ??ľ.

Por exemplo: đ??´ = {1; 2; 3; 4; 5; 6} đ??ľ = {0: 2; 4; 6; 8; 10} đ??´ âˆŞ đ??ľ = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10} đ??´ âˆŞ đ??ľ = {đ?‘Ľ | đ?‘Ľ ∈ đ??´ đ?‘œđ?‘˘ đ?‘Ľ ∈ đ??ľ} c)

Diferença e Complementar

Chama-se diferença đ??´ − đ??ľ de dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e nĂŁo pertencem a B. Por exemplo: đ??´ = {1; 2; 3; 4; 5; 6} đ??ľ = {0: 2; 4; 6; 8; 10} đ??´ − đ??ľ = {1; 3; 5} đ??´ − đ??ľ = {đ?‘Ľ | đ?‘Ľ ∈ đ??´ đ?‘’ đ?‘Ľ ∉ đ??ľ}

Se B ĂŠ subconjunto de A, entĂŁo o conjunto diferença đ??´ − đ??ľ ĂŠ chamado complementar de B em relação a A e ĂŠ simbolizado por ∠đ??´ đ??ľ.

Por exemplo:

SumĂĄrio

6

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Leonardo Figueira Werneck đ??´ = {1; 2; 3; 4; 5; 6} đ??ľ = {2; 4; 6} đ??´ − đ??ľ = ∠đ??´ đ??ľ = {1; 3; 5} đ??ľ ďƒŒ đ??´ ↔ ∠đ??´ đ??ľ = đ??´ − đ??ľ

8. Conjunto Universo Com bastante frequência, trabalhamos com subconjuntos de um só conjunto, que chamamos conjunto universo. O conjunto universo serå denotado por U e, nos diagramas, serå representado por um retângulo.

Como exemplo, suponha que se queira fazer uma pesquisa em sua escola para saber quantos estudantes contraĂ­ram sarampo e quantos contraĂ­ram catapora. Nesse caso, o conjunto universo ĂŠ constituĂ­do por todos os estudantes de sua escola. Os que contraĂ­ram sarampo e os que contraĂ­ram catapora sĂŁo subconjuntos do conjunto universo. đ?‘ˆ = {đ?‘Ľ | đ?‘Ľ ĂŠ đ?‘Žđ?‘™đ?‘˘đ?‘›đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ đ?‘˘đ?‘Ž đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘™đ?‘Ž} đ?‘† = {đ?‘Ľ | đ?‘Ľ ∈ đ?‘ˆ đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘–đ?‘˘ đ?‘ đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘šđ?‘?đ?‘œ} đ??ś = {đ?‘Ľ | đ?‘Ľ ∈ đ?‘ˆ đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘–đ?‘˘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž}

Se A ĂŠ um subconjunto qualquer de U, o complementar de A em relação a U ĂŠ representado por đ??´Ě…, isto ĂŠ. đ??´Ě… = đ?‘ˆ − đ??´

SumĂĄrio

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É importante você notar que, se A representa o conjunto dos elementos que ̅ Ê o conjunto dos que não possuem essa possuem uma certa propriedade, então A propriedade.

9. Conjunto das Partes de um Conjunto – P(A) É o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto dado.

Por exemplo: đ??´ = {1; 2} → đ?‘ƒ(đ??´) = {∅; {1}; {2}; {1,2}} đ??ľ = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?} → đ?‘ƒ(đ??ľ) = {∅, {đ?‘Ž}, {đ?‘?}, {đ?‘?}, {đ?‘Ž, đ?‘?}, {đ?‘Ž, đ?‘?}, {đ?‘?, đ?‘?}, {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?}}

Nota-se que, com esse exemplo, se A tem n elementos, entĂŁo o nĂşmero de elementos de đ?‘ˇ(đ?‘¨) ĂŠ dado por đ?‘›[đ?‘ˇ(đ?‘¨)] = đ?&#x;?đ?’? .

10. Número de Elementos da União de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de elementos.

Note que ao subtrairmos os elementos comuns đ?‘›(đ??´ ∊ đ??ľ) evitamos que eles sejam contados duas vezes.

Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada serå verdadeira.

Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma eficiência.

Observe o diagrama e comprove.

SumĂĄrio

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Sumรกrio

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Exercícios Resolvidos 01. Assinale com V as sentenças verdadeiras e com F as falsas.

I.

{3} ∈ {1,2,3}

II.

∅ ďƒŒ {3,4,5}

III.

3 ďƒ? {3,4}

IV.

6 ∈ {2, {5,6}, 4}

V.

{3,4}ďƒ‰ {1,2,3,4}

Resolução I.

{3} ∈ {1,2,3} F

Note que a relação acima Ê entre conjuntos, não cabendo então utilizar a relação de pertinência.

O correto seria: {3}ďƒŒ{1,2,3}, pois {3} ĂŠ um subconjunto do conjunto {1,2,3}.

II.

∅ ďƒŒ {3,4,5} V

Como vimos na observação o conjunto vazio ĂŠ subconjunto de qualquer conjunto. Portanto, se o ∅ ĂŠ um subconjunto de {3,4,5} a relação a ser utilizada ĂŠ a relação de inclusĂŁo.

III.

3 ďƒ? {3,4} F

A relação utilizada Ê entre elemento e conjunto, cabendo então utilizar a relação de pertinência.

PorĂŠm o elemento 3 pertence ao conjunto {3,4}. Logo a sentença seria verdadeira da seguinte maneira: 3 ∈ {3,4}.

IV.

6 ∈ {2, {5,6}, 4} F

Note que o conjunto acima ĂŠ composto por 3 elementos: 2, {5,6} e 4. Como o 6 nĂŁo ĂŠ um elemento desse conjunto, entĂŁo 6 ∉ {2, {5,6}, 4}.

V.

{3,4}ďƒ‰ {1,2,3,4} F

A relação existente ĂŠ entre dois conjuntos, mas o conjunto {3,4} nĂŁo contĂŠm o conjunto {1,2,3,4}. A relação correta a ser utilizada seria: {3,4}ďƒŒ {1,2,3,4}

02. Se A ={ 4, 5, 6, 7}, B = {5, 6} e E = {5, 6, 8}, calcule: a) ∠đ??´ đ??ľ b) đ??ľ – đ??¸ c) ∠đ??¸ đ??ľ

SumĂĄrio

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Leonardo Figueira Werneck Resolução

Note que o sĂ­mbolo complementar sĂł serĂĄ utilizado quando um conjunto for subconjunto do outro. Caso isso nĂŁo ocorra, serĂĄ utilizado o sinal de subtração. a) ∠đ??´ đ??ľ ∠đ??´ đ??ľ = đ??´âˆ’đ??ľ = {4, 5, 6, 7} − {5, 6} = {4, 5, 6, 7} = {đ?&#x;’, đ?&#x;•} b) đ??ľ – đ??¸ đ??ľâ€“ đ??¸ = {đ?&#x;“, đ?&#x;”} − {đ?&#x;“, đ?&#x;”, đ?&#x;–} = {5, 6} = ∅ c) ∠đ??¸ đ??ľ ∠đ??¸ đ??ľ = đ??¸âˆ’đ??ľ = {5, 6, 8} − {5, 6} = {5, 6, 8} = {đ?&#x;–}

03. Numa classe de 100 alunos, 50 gostam de MatemĂĄtica e 40 gostam de Biologia.

Sabendo que 10 alunos gostam de Matemåtica e tambÊm de biologia, responda: a) Quantos alunos gostam somente de Matemåtica? 40 b) Quantos alunos não gostam de nenhuma das disciplinas citadas? 20 Resolução Vamos resolver este problema utilizando o diagrama de Venn. Portanto, temos a seguinte representação:

SumĂĄrio

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A parte cinza representa os alunos que gostam de matemĂĄtica e biologia, ĂŠ a intersecção entre esses dois conjuntos. Vou representar essa parte por “Xâ€?.

Sempre comece preenchendo este tipo de problema de dentro para fora.

Note que sĂŁo 50 os que gostam de matemĂĄtica: (50 − đ?‘‹) + đ?‘‹ = 50 como dito no enunciado.

Como foi dado que đ?‘‹ = 10, temos que:

Note que dentro dos conjuntos a soma ĂŠ 80. Como foram entrevistados 100 alunos. EntĂŁo temos que 100 − 80 = 20 nĂŁo gostam nem de MatemĂĄtica e nem de Biologia. Em amarelo, estĂĄ a quantidade de alunos que gostam apenas de MatemĂĄtica e em marrom, a quantidade de alunos que gostam somente de Biologia.

04. As partes do conjunto {m, n} sĂŁo:

Resolução Sabemos que as partes de um conjunto ĂŠ formado por todos os subconjuntos de um conjunto dado. Vale ressaltar tambĂŠm que o ∅ ĂŠ subconjunto de todos os conjuntos. Portanto, as partes do conjunto {m, n} sĂŁo: {∅, {đ?’Ž}, {đ?’?}, {đ?’Ž, đ?’?}} Vale ressaltar tambĂŠm que o nĂşmero de subconjuntos de um dado conjunto ĂŠ 2đ?‘› , onde n ĂŠ o nĂşmero de elementos. Neste caso: 2đ?‘› = 2² = 4 como pode ser observado.

SumĂĄrio

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05. (Mack) Num grupo constituído de K pessoas, das quais 14 jogam xadrez, 40 são homens. Se 20% dos homens jogam xadrez e 80% das mulheres não jogam xadrez, então o valor de K é: Resolução Utilizaremos nessa questão um método chamado diagrama de árvore. Preste bem atenção como funciona.

A questão só fala de homens e mulheres que jogam e que não jogam xadrez. Portanto o diagrama ficaria da seguinte forma:

Agora vou acrescentar ao nosso diagrama os dois primeiros dados. 

14 pessoas jogam xadrez.



40 são homens.

Sumário

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Leonardo Figueira Werneck 

20% dos homens jogam xadrez

Efetuando o cĂĄlculo indicado đ?‘‹=

20 Ă— 40 = 8 100

O novo diagrama com os dados restantes fica:

SumĂĄrio

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Leonardo Figueira Werneck Portanto, 20 Ă— (đ??ž − 40) 100 600 đ??ž − 40 = 20 6=

đ??ž − 40 = 30 đ?‘˛ = đ?&#x;•đ?&#x;Ž

06. (UFF) Considere os conjuntos representados abaixo:

Represente, enumerando seus elementos, os conjuntos: a) P, Q e R b) (P ďƒˆ R) – P c) (P ďƒ‡ Q) – R d) (Q ďƒ‡ R) ďƒˆP e) (P ďƒˆ Q) ďƒ‡ R Resolução a) P, Q e R Observando o diagrama de Venn, concluĂ­mos que: đ?‘ˇ = {đ?&#x;‘, đ?&#x;’, đ?&#x;“, đ?&#x;•} đ?‘¸ = {đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘, đ?&#x;•} đ?‘š = {đ?&#x;?, đ?&#x;“, đ?&#x;”, đ?&#x;•} b) (P ďƒˆ R) – P (đ??? ďƒˆ đ??‘)– đ??? = {đ?&#x;?, đ?&#x;‘, đ?&#x;’, đ?&#x;“, đ?&#x;”, đ?&#x;•} − {đ?&#x;‘, đ?&#x;’, đ?&#x;“, đ?&#x;•} = {đ?&#x;?, đ?&#x;‘, đ?&#x;’, đ?&#x;“, đ?&#x;”, đ?&#x;•} = {đ?&#x;?, đ?&#x;”} c) (P ďƒ‡ Q) – R

SumĂĄrio

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Leonardo Figueira Werneck (𝐏  𝐐)– 𝐑 = {𝟑, 𝟕} − {𝟐, 𝟓, 𝟔, 𝟕} = {𝟑, 𝟕} = {𝟑} d) (Q  R) P (𝐐  𝐑) 𝐏 = {𝟐, 𝟕} ∪ {𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟕} = {𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟕} e) (P  Q)  R (𝐏  𝐐) 𝐑 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟕} ∩ {𝟐, 𝟓, 𝟔, 𝟕} = {𝟐, 𝟓, 𝟕}

Sumário

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Leonardo Figueira Werneck Exercícios de Fixação

01. (CEFET) Se đ??´ âˆŞ đ??ľ = {0, 1, 2, 3, 4} e đ??´ ∊ đ??ľ = {2, 3} e đ??´ − đ??ľ = {0, 1}, entĂŁo: a) đ??´ = {1, 2, 3} e đ??ľ = {0, 2, 3, 4} b) đ??´ = {2, 3} e đ??ľ = {0, 1, 2, 3, 4} c) đ??´ = {2, 3, 4} e đ??ľ = {0, 1, 2, 3} d) đ??´ = {0, 1, 2, 3} e đ??ľ = {2, 3, 4} e) đ??´ = {0, 1, 2, 3, 4} e đ??ľ = {2, 3}

02. A parte sombreada da figura abaixo, onde U ĂŠ o universo e A, B e C sĂŁo conjuntos, ĂŠ representada por: a) đ??´ âˆŞ đ??ľ âˆŞ đ??ś b) đ??´ ∊ đ??ľ ∊ đ??ś c) (đ??´ ∊ đ??ľ) âˆŞ (đ??´ ∊ đ??ś) d) (đ??´ âˆŞ đ??ľ) ∊ (đ??´ ∊ đ??ś) e) đ??´ − đ??ľ − đ??ś

03. Considere o conjunto A = {x / x ĂŠ letra da palavra TRIO}. a) Determine o nĂşmero de subconjuntos de A. b) Determine o nĂşmero de subconjuntos nĂŁo vazios de A. c) Determine o conjunto das partes de A. 04. Dado o conjunto đ??´ = {{2; 6}, {3; 4; 9}, {8}}, dĂŞ o valor de V ou F:

SumĂĄrio

a) {2;6} ∈ A

(

)

b) {2;6} ďƒŒ A

(

)

c) {8} ∈ A

(

)

d) {8} ďƒŒ A

(

)

e) 2 ∈ A

(

)

f) 8 ∈ A

(

)

g) ∅ ďƒŒ đ??´

(

)

h) ∅ ∈ đ??´

(

)

i) {{2;6}} ďƒŒ A

(

) 17

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05. Sendo A = {1; 2; 3; 4; 5} e B = { 4; 5; 6; 7} determine: a) b) c) d) B – A

06. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações: Helena, Senhora e A Moreninha. Para isso, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 10000 pessoas consultadas: 

600 leram “A moreninha”



400 leram “Helena”



300 leram “Senhora”



200 leram “A moreninha e Helena”



150 leram “A moreninha e Senhora”



100 leram “Senhora e Helena”



20 leram as três obras

Com base nessa pesquisa, responda: a) Qual o número de pessoas que não leu nenhuma das três obras? b) Qual o número de pessoas que leu apenas uma das três obras? c) Qual o número de pessoas que leu uma ou mais obras?

07. Considere os conjuntos representados abaixo. Represente, enumerando seus elementos, os conjuntos:

Sumário

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a) b) c) d) e) f) g)

08. Complete com os sĂ­mbolos: ďƒŽ, ďƒ?, ďƒŒ, ďƒ‹, ďƒ‰ ou nĂŁo contem as sentenças a seguir, de forma a tornĂĄ-las todas verdadeiras: a) 5 _____ { 2, 3, 4, 5, 6, 7} b) {7, 9} _____ {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} c) {5, 7} _____ {5} d) 7 _____ {5, 6, 8, 9}

09. (UFES) Se A = {-2, 3, m, 8, 15} e B = {3, 5, n, 10, 13} sĂŁo subconjuntos de Z (nĂşmeros inteiros), e A ďƒ‡ B={3, 8, 10}, entĂŁo a) n - m ďƒŽ A b) m.n ďƒŽ B c) n + m ďƒŽB d) {m + n, m.n} ďƒŒ A e) m - n ďƒŽ A ďƒˆB

10. Marque as sentenças verdadeiras: a) 0 ∈ {0,1,2,3,4} b) {đ?‘Ž} ∈ {đ?‘Ž, đ?‘?} c) ∅ ∈ {0} d) đ?‘Ž ∈ {đ?‘Ž, {đ?‘Ž}} e) {đ?‘Ž} ďƒŒ {đ?‘Ž, {đ?‘Ž}} f) {đ?‘Ž, đ?‘?} ∈ {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘}

SumĂĄrio

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11. Para os conjuntos: A ={a, b, c, d, e, f, g, h, i}, B = {a, b, c, d, e, f, g, h} e C = { a, c, e, i}. Calcule: a) ∠đ??´ đ??ľ = đ??´ − đ??ľ b) ∠đ??´ đ??ś = đ??´ − đ??ś c) ∠đ??´ đ??ľ ďƒˆ ∠đ??´ đ??ś d) ∠đ??´ (đ??ľ ∊ đ??ś)

SumĂĄrio

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ExercĂ­cios Propostos 01. (FAETEC) Assinale a alternativa falsa. Se đ??´ = {1; {1}} e đ??ľ = {1; {1}; {1; {1}}}, entĂŁo: a) đ??´ďƒŒ đ??ľ b) đ??´ ∈ đ??ľ c) đ??´ − đ??ľ = ∅ d) đ??´ − {1} = {{1}} e) đ??´ ďƒ? (đ??ľ − đ??´)

02. Na figura ao lado, a parte sombreada representa as operaçþes: a) [(đ??´ âˆŞ đ??ľ âˆŞ đ??ś) − đ??ś] ∊ (đ??´ ∊ đ??ś) b) (đ??´ âˆŞ đ??ľ) − đ??ś c) đ??´ âˆŞ (đ??ľ − đ??ś) d) (đ??ľ − đ??ś) âˆŞ (đ??´ − đ??ś) âˆŞ (đ??´ ∊ đ??ś) e) đ??´ − đ??ľ − đ??ś

03. (UECE) Quantos elementos tem o conjunto dos bisavĂłs dos meus bisavĂłs (bisavĂłs sĂŁo os pais de seus avĂłs)? a) 16 b) 32 c) 64 d) 81

04. Se A ={ 4, 5, 6, 7}, B = {5, 6} e E = {5, 6, 8}, calcule: a) ∠đ??´ đ??ľ b) đ??ľ – đ??¸ c) ∠đ??¸ đ??ľ 05. Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f, g} e C = { b, d, e, g}.

Determine: a) b)

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c) d) e)

06. Numa classe de 100 alunos, 50 gostam de Matemática e 40 gostam de Biologia.

Sabendo que 10 alunos gostam de Matemática e também de biologia, responda: a) Quantos alunos gostam somente de Matemática? b) Quantos alunos não gostam de nenhuma das disciplinas citadas?

07. (UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados: - 40% dos entrevistados leem o jornal A. - 55% dos entrevistados leem o jornal B. - 35% dos entrevistados leem o jornal C. - 12% dos entrevistados leem os jornais A e B. - 15% dos entrevistados leem os jornais A e C. - 19% dos entrevistados leem os jornais B e C. - 7% dos entrevistados leem os três jornais.

- 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais.

Considerando-se esses dados, é CORRETO afirmar que o número total de entrevistados foi: a) 1 200. b) 1 250. c) 1 500. d) 1 350.

08. Determine todos os subconjuntos do conjunto X = {0, 5, 10}.

09. Se um conjunto Z tem apenas 32 subconjuntos, quantos elementos tem esse conjunto Z?

10. As partes do conjunto {m, n} são: a) {m} e {n} b) {m} , {n} e{{m, n}}

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c) m e n d) , {m} , {n} e {m, n} e) {m} , {n} e {m, n} 11. Sendo A = {0, 1}, e b = {2,3}, o número de elementos do conjunto P(A) P(B) é: a) 0 b) 3 c) 1 d) 4 e) 2.

12. (Unirio) Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(A)=28, n(B)=21, n(C)=20, n(AB)=8, n(BC)=9, n(AC)=4 e n(ABC)=3. Assim sendo, o valor de n((AB)C) é: a) 3 b) 21 c) 10 d) 24 e) 20

13. * Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(AB)=8, n(AC)=9, n(BC)=10, n(ABC)=11 e n(ABC)=2. Então, n(A)+n(B)+n(C) é igual a: a) 11. b) 18. c) 14. d) 25. e) 15.

14. Em uma empresa, 60% dos funcionários leem a revista A, 80% leem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que leem as duas revistas é: a) 20 %

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b) 75 % c) 40 % d) 140 % e) 60 %

15. Foi realizada uma pesquisa para avaliar o consumo de três produtos designados por A, B, C. Todas as pessoas consultadas responderam à pesquisa e os resultados estão indicados no quadro a seguir:

Observação: O consumidor de dois produtos está incluído também como consumidor de cada um destes dois produtos. Com base nestes dados, calcule o número total de pessoas consultadas.

16. (UFF) Considere os conjuntos representados abaixo:

Represente, enumerando seus elementos, os conjuntos: a) P, Q e R b) (P  R) – P c) (P  Q) – R d) (Q  R) P e) (P  Q)  R

17. (Mack) Num grupo constituído de K pessoas, das quais 14 jogam xadrez, 40 são homens. Se 20% dos homens jogam xadrez e 80% das mulheres não jogam xadrez, então o valor de K é:

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a) 62 b) 84 c) 70 d) 90 e) 78 18. (Mack) A e B sĂŁo dois conjuntos tais que A – B tem 30 elementos, A ďƒ‡ B tem 10 elementos e A ďƒˆ B tem 48 elementos. EntĂŁo o nĂşmero de elementos de B-A ĂŠ: a) 8 b) 18 c) 10 d) 22 e) 12

19. (ITA) Denotemos por đ?‘›(đ?‘‹) o nĂşmero de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que đ?‘›(A âˆŞ đ??ľ) =8, đ?‘›(đ??´ âˆŞ đ??ś) = 9, đ?‘›(đ??ľ âˆŞ đ??ś) = 10, đ?‘›(đ??´ âˆŞ đ??ľ âˆŞ đ??ś) = 11 e đ?‘›(đ??´ ďƒ‡ đ??ľ ďƒ‡ đ??ś) = 2. EntĂŁo, đ?‘›(đ??´) + đ?‘›(đ??ľ) + đ?‘›(đ??ś) ĂŠ igual a: a) 11. b) 18. c) 14. d) 25. e) 15.

20. (UFF) Os conjuntos nĂŁo-vazios M, N e P estĂŁo, isoladamente, representados abaixo.

Considere a seguinte figura que estes conjuntos formam.

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A região hachurada pode ser representada por: a) M  (N  P)

d) N - (M  P)

b) M - (N  P)

e) N  (P  M)

c) M  (N - P)

21. (UFRJ) Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis.

Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natação?

22. Considere o diagrama onde A, B, C e U são conjuntos. Qual das alternativas melhor representa o diagrama? a) (A ∩ B) U (A ∩ C) - (B ∩ C) b) (A ∩ B) U (A ∩ C) - (B U C) c) (A U B) U (A ∩ C) U (B ∩ C) d) (A U B) - (A U C) ∩ (B ∩ C) e) (A - B) ∩ (A - C) ∩ (B - C)

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23. (UNIRIO) Tendo sido feito o levantamento estatístico dos resultados do CENSO POPULACIONAL 96 em uma cidade, descobriu-se, sobre a população, que: I - 44% têm idade superior a 30 anos; II - 68% são homens; III - 37% são homens com mais de 30 anos; IV - 25% são homens solteiros; V - 4% são homens solteiros com mais de 30 anos; VI - 45% são indivíduos solteiros; VII - 6% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos.

Com base nos dados anteriores, pode-se afirmar que a porcentagem da população desta cidade que representa as mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos é de: a) 6% b) 9% c) 7% d) 10% e) 8%

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