Resolução Matemática Volume 4 by Kssiolobo Lobo

1. (UEPG-PR) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 248. Entre eles serão colocados mais 6 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Nessas condições, assinale o que for correio. (01) A distância entre cada telefone será de 35 km. (02) Haverá um telefone no km 108. (04) Se um motorista está no km 165, a menor distância que ele terá que percorrer para encontrar um telefone será de 13 km. (08) No km 73 não haverá telefone. RESOLUÇÃO: Nesse caso, devemos inserir 6 termos geométricos entre

e Sendo

A razão é igual a

temos:

portanto a

é: logo:

Verdadeiro, pois a razão é Verdadeiro, conforme se vê na Verdadeiro, pois Falso, conforme se vê na soma das verdadeiras.

2. (PUC-RS) Devido à epidemia de gripe do último inverno, foram suspensos alguns concertos em lugares fechados. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma apresentação, precisou-se compor uma plateia com oito filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi: a) 384

b) 192 c) 168 d) 92 RESOLUÇÃO:

O total de cadeiras é igual a soma dos termos da

logo:

Alternativa B

3. (Unicamp-SP) Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir, em que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo.

Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Nesse caso, o número de fósforos necessários para que seja possível exibir todas as primeiras 50 figuras ao mesmo tempo é igual a: a) 200 b) 1 000 c) 2 000 d) 10 000 RESOLUÇÃO: A sucessão forma uma Quando

onde o primeiro termo é

e a razão é

temos:

A soma do número de palitos das

primeiras figuras será:

Alternativa D

4. (UFF-RJ) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à Matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resgatam essa história. Nesse papiro encontramos o seguinte problema: Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores.

Fragmento do papiro de Rhind. Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de: a) b)

pães pães

c) d)

pães

e) 35 pães RESOLUÇÃO: Para facilitar a resolução, vamos escrever a Ao somarmos os termos dessa

temos:

da seguinte forma:

Agora, vamos descobrir o valor de

Como

temos:

Para a maior parte, temos Portanto: Alternativa A

5. (Unicamp-SP) No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura a seguir, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura, pode-se concluir que a 10a camada de ladrilhos cinza contém:

a) 76 ladrilhos. b) 156 ladrilhos. c) 112 ladrilhos, d) 148 ladrilhos. RESOLUÇÃO: Nessa questão, temos uma

onde

A razão

é igual a

Quando

temos:

Alternativa D

6. (UEGO) Sabendo que o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em progressão aritmética, calcule a medida do lado do quadrado. RESOLUÇÃO: √

√

√ √

√

7. (UFPE) Nos quilómetros 31 e 229 de uma rodovia estão instalados telefones de emergência. Ao longo da mesma rodovia e entre esses quilómetros, pretende-se instalar 10 outros telefones de emergência. Se os pontos adjacentes de instalação dos telefones estão situados a uma mesma distância, qual é essa distância, em quilómetros? RESOLUÇÃO: Nesse caso, devemos inserir totalizando

termos

Portanto temos:

A distância é portanto,

termos aritméticos entre

8. (Cesgranrio-RJ) Leia o texto a seguir:

Enquanto no mundo o número de turistas cresce, no Brasil ele diminui. Essa é uma das conclusões do relatório da Organização Mundial de Turismo, divulgado recentemente. Veja, 5 nov. 2003. Se as variações anuais no número de turistas estrangeiros apresentadas no gráfico formassem uma progressão aritmética, o número de turistas estrangeiros que visitariam o Brasil em 2003, em milhões, seria igual a: a) 1,2 b) 2,4 c) 2,6 d) 2,9 e) 3,2 RESOLUÇÃO: Essa seria uma

O valor

foi obtido ao efetuarmos

Alternativa C

9. (FGV-SP) A soma de todos os números inteiros entre 50 e 350 que possuem o algarismo das unidades igual a l é: a) 4 566 b) 4 877 c) 5 208 d) 5 539 e) 5 880 RESOLUÇÃO: Nesse caso, A

Sendo:

temos:

Para calcular a soma, podemos usar: logo:

Alternativa E

10. (PUC-MG) De segunda a sexta-feira, uma pessoa caminha na pista de 670 metros que contorna certa praça. A cada dia, ela percorre sempre uma volta a mais do que no dia anterior. Se, após andar cinco dias, ela tiver percorrido um total de 23,45 km, pode-se afirmar que, no terceiro dia, essa pessoa deu x voltas em torno da praça. O valor de x é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 RESOLUÇÃO: Considerando

temos:

temos

1º dia:

Sendo

temos:

voltas.

2º dia:

voltas

3º dia

voltas.

Alternativa B

11. (PUC Camp-SP) Leia o texto a seguir: Com a intensificação dos estudos, a Caatinga tem se revelado um ecossistema rico em espécies e processos especializados de polinização. Nas margens do Rio São Francisco, por exemplo, ocorrem alguns pares de espécies de lagarto, onde uma é encontrada apenas na margem direita e outra apenas na esquerda. De acordo com uma das hipóteses para explicar essa distribuição, o rio corria para um lago do interior do Nordeste, e não para o mar. Já o estudo sobre a morfologia dos cactos revelou fatos interessantes. A cabeça arredondada dos cactos, por exemplo, é coberta por espinhos. Começando pelo centro e conectando os pontos de cada espinho até seu vizinho, chega-se a uma espiral com 2,5 ou 8 galhos - a sequência de Fibonacci. Sabe-se que, atualmente, há um total de 80 espécies vivendo na Caatinga. Se, a cada 30 anos, contados a partir de hoje, o total de espécies aumentar de 63 unidades, quantos anos serão necessários até que seja atingida a cifra de 458 espécies? a) 90 b) 120 c) 150 d) 180 e) 210 RESOLUÇÃO: De acordo com o enunciado, temos:

logo:

Alternativa D

12. (UECE) A sequência de triângulos equiláteros, ilustrada na figura a seguir, apresenta certo número de pontos assinalados em cada triângulo. Seguindo a lógica utilizada na construção da sequência, o número de pontos que estarão assinalados no oitavo triângulo é: a) 65 b) 54 c) 45 d) 56 RESOLUÇÃO: Seguindo a lógica utilizada, temos uma progressão onde a razão é crescente:

Podemos chegar ao mesmo resultado utilizando

Para

teríamos:

Alternativa C

13. (UFAL) As idades de três pessoas são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 5. Se daqui a 3 anos a idade da mais velha será o dobro da idade da mais jovem, nessa época, a soma das três idades será:

a) 36 anos. b) 38 anos. c) 42 anos. d) 45 anos. e) 48 anos. RESOLUÇÃO: Hoje: Daqui a três anos:

Mais jovem

mais velha

De acordo com o enunciado, temos:

A idade da mais jovem, é, portanto: A “do meio” terá A mais velha terá A soma das três idades será: Alternativa C

14. (UFC-CE) O conjunto formado pelos números naturais cuja divisão por 5 deixa resto 2 forma uma progressão aritmética de razão igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 RESOLUÇÃO: O primeiro número dessa sequência é sucessivamente.

o segundo

o terceiro

e assim

A sequência

cuja razão é

Alternativa D

15. (UEL-PR) Em um supermercado, as latas de certos produtos são expostas em pilhas, encostadas em uma parede, com l lata na primeira fileira (a superior), 2 latas na segunda fileira, 3 latas na terceira e assim por diante. Observe na figura a seguir uma dessas pilhas, com 5 fileiras.

Um funcionário deve fazer uma pilha de 1,60 m de altura, com latas de 4 cm de altura cada uma. Se as latas desse produto são embaladas em caixas com 75 latas em cada caixa, ele necessita retirar do estoque: a) 9 caixas, e não haverá sobra de latas. b) 10 caixas, mas sobrarão 12 latas. c) 10 caixas, mas sobrarão 30 latas. d) 11 caixas, mas sobrarão 3 latas. e) 11 caixas, mas sobrarão 5 latas. RESOLUÇÃO:

fileiras Sendo assim, temos:

A quantidade total de latas será dada por:

Cada caixa contém Tomando Ao tomarmos

teremos

(insuficiente)

teremos

Alternativa E

16. (UERJ) Leia com atenção a história em quadrinhos.

Considere que o leão da história acima tenha repetido o convite por várias semanas. Na primeira, convidou a Lana para sair 19 vezes; na segunda semana, convidou 23 vezes; na terceira, 27 vezes e assim sucessivamente, sempre aumentando em 4 unidades o número de convites feitos na semana anterior. Imediatamente após ter sido feito o último dos 492 convites, o número de semanas já decorridas desde o primeiro convite era igual a: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 RESOLUÇÃO: Sendo:

temos:

√

O valor negativo é descartado, devido a tratar-se de uma quantidade. Alternativa B

17. (UFC-CE) Uma sequência de números reais é dita uma progressão aritmética de segunda ordem quando a sequência formada pelas diferenças entre termos sucessivos for uma progressão aritmética. Assinale a alternativa na qual se encontra parte de uma progressão aritmética de segunda ordem. a) (0, 5,12, 21, 23) b) (6, 8,15, 27, 44) c) (3, 0, 4, 5, 8) d) (7, 3, 2, O, 1) e) (2, 4, 8, 20, 30) RESOLUÇÃO:

cuja razão é Alternativa B

18. (UFG-GO) Uma indústria consome mensalmente 150 m 3 de certo reagente. Uma unidade dessa indústria passou a produzir esse reagente e, no primeiro mês de produção, produziu 10% do seu consumo mensal. Se a unidade aumenta a produção do reagente em 3 m 3 por mês, quantos meses serão necessários, a partir do início da produção, para que a unidade produza, em um único mês, 70% do volume mensal desse reagente consumido pela indústria? a) 21 b) 24 c) 28 d) 31 e) 36

RESOLUÇÃO:

De acordo com o enunciado

Logo, serão necessários

logo:

meses.

(Alternativa D)

19. (UFPE) Um professor resolveu presentear seus cinco melhores alunos com livros de valores equivalentes a quantias diferentes. Os valores dos livros recebidos pelos alunos devem estar em progressão aritmética, e a soma dos três valores maiores deve ser cinco vezes o total recebido pelos outros dois. Se cada um deve receber um livro de valor equivalente a uma quantidade inteira de reais, qual a menor quantia (positiva) que o professor vai desembolsar na compra dos livros? a) R$ 90,00 b) R$ 100,00 c) R$ 110,00 d) R$ 120,00 e) R$ 130,00 RESOLUÇÃO: Podemos escrever a

da seguinte forma:

Soma dos três maiores: Soma dos dois menores De acordo com o enunciado:

Para obtermos um r inteiro, o menor valor de seria

e portanto

Assim a

ficaria:

Assim, a menor quantia é:

Alternativa A

20. (UFPR) Considere um conjunto de circunferências cujas medidas dos raios, em milímetros, formam a progressão aritmética 20, 21, 22, 23, ... , 150. A respeito dessas circunferências, é correto afirmar: (01) O total de circunferências é 130. (02) O comprimento da maior dessas circunferências é 15 vezes o comprimento da menor. (04) As medidas dos diâmetros dessas circunferências, em milímetros, da menor para a maior, formam uma progressão aritmética de razão 2. (08) A soma dos comprimentos de todas as circunferências, em centímetros, é 2 227n. RESOLUÇÃO: Falso.

Sendo

Falso.

Sendo

temos:

Logo

Verdadeiro. Sendo

temos a

Onde Verdadeiro. Sendo

temos

21. (UFRN) A direção de uma escola decidiu enfeitar o pátio com bandeiras coloridas. As bandeiras foram colocadas em linha reta, na seguinte ordem: 1 bandeira vermelha, 1 azul, 2 vermelhas, 2 azuis, 3 vermelhas, 3 azuis e assim por diante. Depois de colocadas exatamente 99 bandeiras, o número das de cor azul era: a) 55 b) 60 c) 50 d) 45

RESOLUÇÃO: De acordo com o enunciado, temos: V= vermelha

A= azul

B= bandeiras

22. (UFR-RJ)

Para compensar tal desmatamento, foi criada uma norma na qual se estabelecia que seriam plantadas árvores segundo a expressão P = 2D - 1, sendo P o número de árvore plantadas e D o número de derrubadas a cada dia pela empresa. Quando o total de árvores derrubadas chegar a 1 275, o total de árvores plantadas, de acordo com a norma estabelecida, será equivalente a: a) 2 400 b) 2 500 c) 2 600 d) 2 700 e) 2 800 RESOLUÇÃO: Considere a equação A cada dia é derrubada uma árvore a mais, logo: onde A

de plantio, será:

De acordo com o enunciado, na primeira logo:

√

Considerando apenas o valor positivo, temos: Agora vamos encontrar a soma dos

primeiros termos na segunda

Alternativa B

23. (Vunesp-SP) Duas pequena fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3 000 e 1 100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará a produção de A a partir de a) março. b) maio. c) julho. d) setembro. e) novembro. RESOLUÇÃO: Fábrica A: Fábrica B: Na superação de

(enunciado) temos:

logo o menor valor inteiro de é

mês de setembro)

Alternativa D

24. (UFSM-RS) Tiago ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma sequência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura:

Supondo que o garoto conseguiu formar 10 "T" completos, pode-se seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele tinha: a) mais de 300 bolitas. b) pelo menos 230 bolitas. c) menos de 220 bolitas. d) exatamente 300 bolitas. e) exatamente 41 bolitas. RESOLUÇÃO: Temos, nesse caso, uma e

Temos

onde sendo assim,

completos, logo:

Alternativa B

1. (UFF-RJ) Com o objetivo de criticar os processos infinitos, utilizados em demonstrações matemáticas de sua época, o filósofo Zenão de Eleia (V século a. C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático. Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira: Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem, Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la. Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por Aquiles nessa fábula é igual a:

É correto afirmar que: a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO: Temos De acordo com o enunciado,

Logo, Alternativa E

logo,

2. (Unemat-MT) Lança-se uma bola, verticalmente de cima para baixo, da altura de 4 metros. Após cada choque com o solo, ela recupera apenas 1/2 da altura anterior. A soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela bola até o momento de repouso é: a) 12 m b) 6 m c) 8 m d) 4 m e) 16 m RESOLUÇÃO: Os deslocamentos sucessivos formam uma

na qual

A soma converge para logo, Alternativa C

3. (FGV-SP) Um capital de R$ 1 000,00 é aplicado a juro simples, à taxa de 10% ao ano; os montantes, daqui a , formam a sequência . Outro capital de R$ 2 000,00 é aplicado a juro composto, à taxa de 10% ao ano, gerando a sequência de montantes daqui a . As sequências e formam, respectivamente: a) uma progressão aritmética de razão 1,1 e uma progressão geométrica de razão 10%. b) uma progressão aritmética de razão 100 e uma progressão geométrica de razão 0,1. c) uma progressão aritmética de razão 10% e uma progressão geométrica de razão 1,10. d) uma progressão aritmética de razão 1,10 e uma progressão geométrica de razão 1,10. e) uma progressão aritmética de razão 100 e uma progressão geométrica de razão 1,10.

RESOLUÇÃO: Sequência Sequência Na sequência

temos uma

cuja razão é

Na sequência

temos uma

cuja razão é

Alternativa E

4. (Vunesp-SP) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar mensalmente é: (Dado: 1,0136l = 36) a) 290,00 b) 286,00 c) 282,00 d) 278,00 e) 274,00 RESOLUÇÃO: Considerando: montante

parcela

taxa e

Substituindo os valores do enunciado, temos:

Alternativa B

tempo, temos:

5. (UFAL - adaptada) As afirmações seguintes referem-se a progressões geométricas e/ou aritméticas. Assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas. ( ) Uma progressão geométrica é decrescente se sua razão é negativa. ( ) O 20º termo da sequência é 87. ( ) Uma sequencia pode ser, simultaneamente, progressão geométrica e progressão aritmética. ( ) Se a sequência √ é uma progressão geométrica, então √ . ( ) A soma dos termos da progressão aritmética é 6 400. RESOLUÇÃO: Falsa. Para uma

decrescente, temos:

Verdadeiro. Sendo

e e

temos Verdadeiro. Observe o caso da sequência

onde

e Falso. Sendo √ √ √

uma

temos:

√

Verdadeiro, pois

Soma verdadeiras:

6. (UFAL) Em uma cultura de bactérias, o número de microrganismos duplica a cada 20 minutos. Iniciando-se com uma população de 100 bactérias, o tempo t necessário para se alcançar uma população de 5 000 bactérias é tal que: a) b) c)

d) e) RESOLUÇÃO: Para essa questão o método menos trabalhoso é fazermos uma tabela. Observe: Número de Bactérias 100 200 400 800 1600 3200 6400

Como

fica entre

Tempo 0 min 20 min 40 min 1 hora 1h 20 min 1 h 40 min 2 horas

temos

Alternativa B

7. (UEPG-PR) Assinale o que for correto. (01) As raízes da função são os dois primeiros termos de uma PA decrescente. Então, o terceiro termo dessa PA vale 15. (02) A sucessão , com , é uma PG crescente. (04) A razão da PG é . (08) Numa PA de número ímpar de termos, o primeiro termo é 3 e o último termo é 27. Assim, o termo médio dessa PA vale 15. (16) A razão da PA é . RESOLUÇÃO: Falso. Sendo as raízes

decrescente seria

onde o terceiro termo é Falso. Como Verdadeiro. A razão Verdadeiro. Nesse caso, Verdadeiro.

temos uma é

de razão s

8. (UFRN) Se numa progressão geométrica a soma do terceiro com o quinto termo vaie 90, e a soma do quarto com o sexto vale 270, então a razão é igual a: a) 1 b) 5 c) 2 d) 7 e) 3 RESOLUÇÃO: Primeiro, vamos construir uma

com

termos:

De acordo com o enunciado temos: {

{ Dividindo por

temos:

Alternativa E

9. (Fuvest-SP) Sejam a e b números reais tais que: I. II.

formam, nessa ordem, uma PA. formam, nessa ordem, uma PG.

Então o valor de a é: a) 2/3 b) 4/3

c) 5/3 d) 7/3 e) 8/3 RESOLUÇÃO:

Substituindo em

temos:

Alternativa E

10. (UFSM-RS) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana; e assim por diante, até que, na 10ª semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. Pode-se afirmar que o número total de árvores dessa plantação é: a) menor que 824. b) igual a 1 030. c) maior que 1 502. d) igual a 1 024. e) igual a 1 320. RESOLUÇÃO: Temos, nesse caso Sendo

temos:

Como árvores não foram infectadas, o total de arvores é

Alternativa B

11. (UFSC) Determine a soma dos números associados à (s) proposição(ões) verdadeira(s): (01) A razão da PA em que e é . (02) A soma dos termos da PA (5, 8, ...,41) é 299. (04) O primeiro termo da PG em que (08) A soma dos termos da PG

é 12.

é 10.

RESOLUÇÃO:

(01)

Verdadeira. Sendo

temos: Verdadeira. Primeiro vamos descobrir o valor de

temos:

Verdadeira.

Sendo

temos:

, temos

Substituindo em

temos: (

)

Verdadeira. Sendo a

(

)

convergente, temos

logo

12. (Fuvest-SP) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da

progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 RESOLUÇÃO: De acordo com o enunciado temos: logo, logo Substituindo em

temos:

(não convém) Sendo Logo ,o terceiro termo é Alternativa D

13. (Fuvest-SP) Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se respectivamente 4, 4 e 9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é: a) 9 b) 11 c) 12 d) 13

e) 15 RESOLUÇÃO: Podemos ,nesse caso, ter a Como a soma é

temos:

Reescrevendo a

Somando

aos termos (enunciado); Pela propriedade de

temos:

(não convém)

Sendo logo,

é um elemento da

Alternativa C

14. (PUC-MG) O valor de x na igualdade , na qual o primeiro membro é a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, é igual a: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11

RESOLUÇÃO: Sendo

temos: Alternativa A

15. (PUC-PR) Uma formiga minúscula, cujo tamanho é desprezível, faz um percurso linear. Inicialmente, caminha para a direita uma distância de 1 m. Então, ela vira para a esquerda, caminhando metade da distância do seu ponto corrente. Se a formiga continuar caminhando para a direita e para a esquerda, sempre andando a metade da distância previamente caminhada, a formiga percorrerá, a partir da origem, a distância de: a) 1 m b) 2 m c) 4 m d) 8 m e) 10 m RESOLUÇÃO: Sendo

e (soma da

temos: convergente), logo:

Alternativa B

16. (UEGO) Considere Q, um quadrado de lado 1. Considere também o quadrado com vértices nos pontos médios do quadrado , o quadrado com vértices nos pontos médios de e assim sucessivamente. Seja a soma das áreas dos n primeiros quadrados assim obtidos. De acordo com esses dados, é correto afirmar que se pode escolher n de modo que: a) b) c) d) e)

RESOLUÇÃO: Área de Área de

(

Área de

(

Logo, temos uma

√

)

) onde

Sendo, nesse caso,

temos:

Como a formula faz uma aproximação seria correto marcarmos Alternativa A OBS: A alternativa D, também poderia ser marcada.

17. (UFJF-MG) Uma pessoa compra um carro, devendo pagá-lo, em prestações mensais, durante 5 anos. As prestações pagas em um mesmo ano são iguais, sendo de R$ 400,00 o valor da primeira prestação, paga em janeiro. A cada ano, a prestação sofre um aumento de 10%, em relação à do ano anterior. Sendo assim, o valor da prestação mensal, no último ano, será aproximadamente de: a) R$ 440,00 b) R$ 480,00 c) R$ 500,00 d) R$ 580,00 e) R$ 670,00 RESOLUÇÃO: Nesse caso, temos uma Sendo

Alternativa D

temos

onde

(aumento de

18. (UFPel-RS) Determinada planta aquática se reproduz intensamente. O número de indivíduos, em condições estáveis, é multiplicado por 3 a cada dia. Se, nas condições normais, iniciando com uma dessas plantas, são necessários 60 dias para preencher a superfície de um lago, iniciando com 3 das referidas plantas, a mesma superfície será preenchida no tempo de: a) 31 dias. b) 20 dias. c) 57 dias. d) 59 dias. e) 30 dias. RESOLUÇÃO: Observe a

abaixo, iniciando com uma planta:

Iniciando com três plantas, teríamos:

Alternativa D

19. (UFR-RJ) A sequência ( ) é uma progressão geométrica. É correto afirmar que o produto de x por z vale: a) 36 b) 72 c) 108 d) 144 e) 180 RESOLUÇÃO: Compare as Dividindo o

e pelo

termo em ambas:

Sendo assim, a

será

onde:

Logo, Alternativa C

20. (UFSCar-SP) A condição para que três números, a, b e c, estejam simultaneamente em progressão aritmética e em progressão geométrica é que: a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO: sequência e De obtemos e

Como e

são iguais, temos:

Sendo assim, Como

temos

Logo Alternativa D

21. (Vunesp-SP) No início de janeiro de 2004, Fábio montou uma página na internet sobre questões de vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à

página. Supondo que o número de visitas à página, durante o ano, dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi: a) 36 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12 RESOLUÇÃO: Consideremos o número de visitas do primeiro bimestre. Dobrando o número de visitas a cada bimestre, tem

Alternativa E

22. (Mackenzie-SP) Se o oitavo termo de uma PG é primeiro termo dessa progressão é: a) b) c) 2 d) √ e) RESOLUÇÃO: Sendo

temos: e

logo

( ) ( ) Alternativa E

( ) ( )

( )

e a razão é , então o

23. (Fuvest-SP) Calculando-se x de modo que a sucessão

com

, seja uma PG, o primeiro termo será: a) b) c) 0 d) e) RESOLUÇÃO: Para termos uma

(não convém) Como

é válida a igualdade.

temos:

Alternativa A

24. (UFRGS-RS) O primeiro termo de uma progressão geométrica, em que e , é: a) b) 1 c) d) 0 e) RESOLUÇÃO: Sendo

temos:

Substituindo

temos: ( )

Alternativa C

25. (UFSC) Se os números a razão dessa PG é:

formam, nessa ordem, uma PG, então

a) b) 1 c) d) 4 e) RESOLUÇÃO: Para termos uma

é válida a igualdade:

será: (

) Sendo assim, (

Alternativa A

)

(

)

26. (PUC-SP) Numa PG de termos positivos, o primeiro termo é igual à razão, e o segundo termo é 3. O oitavo termo da progressão é: a) 81 b) √ c) d) 333 e) √ RESOLUÇÃO:

√

Temos:

√

Sendo

(√ )

(√ ) Alternativa A

27. (UFPA) Numa PG de número ímpar de termos, cujo termo central é a, o produto do primeiro pelo último termo é: a) b) c) d) e)

RESOLUÇÃO: Pela propriedade das √

onde

temos:

Sendo assim, podemos elevar ao quadrado os dois membros da equação: (√

)

Alternativa D

28. (Cesgranrio-RJ) As medidas dos ângulos internos de um triângulo estão em PG de razão 2. Então, a soma desses ângulos é: a) 72° b) 270° c) 90° d) 360° e) 180° RESOLUÇÃO: (

)

Em qualquer triangulo, temos a soma dos ângulos internos igual a Alternativa E

29. (UFAL) Se o número 111 for dividido em três partes, que constituem uma PG de razão , a menor dessas partes será: a) 12 b) 21 c) 16 d) 27 e) 18 RESOLUÇÃO: (

Sendo assim, a

)

será:

(

)

logo, a menor parte é

Alternativa D

30. (UFES) A razão de uma PG de três termos, em que a soma dos termos é 14 e o produto 64, vale: a) b) c) d) e)

RESOLUÇÃO: (

) (soma) (produto √

Substituindo

Alternativa E

na soma, temos:

31. (FCC-BA) A sequência igual a:

é uma PG. O seu quarto termo é

a) b) c) d) e)

RESOLUÇÃO: De acordo com a propriedade, temos:

Sendo assim, a (

será: ) onde

O quarto termo é Alternativa B

32. (FGV-SP) A média aritmética dos 6 meios geométricos que podem ser inseridos entre 4 e 512, nessa ordem, é: a) 48 b) 64 c) 84 d) 96 e) 128 RESOLUÇÃO:

Observe a onde, logo:

será, portanto,

A media aritmética procurada é:

Alternativa C

33. (Cefet-PR) Interpolando-se 100 meios geométricos entre uma progressão geométrica cujo terceiro termo é: a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO: e Sendo

Sendo assim,

Alternativa B

, obtemos

34. (PUC-PR) A soma dos termos da PG (

) é:

a) 2 b) 3 c) 0 d) 1,75 e) n.d.a. RESOLUÇÃO: Sendo

temos:

Alternativa A

35. (Mackenzie-SP) A soma dos termos da progressão

é:

a) b) 4 c) 2 d) 3 e)

RESOLUÇÃO: (

) onde: e

Sendo:

Alternativa A

36. (UFBA) O valor de

na equação

(

)

é:

a) b) c) d) e)

RESOLUÇÃO: Entre parênteses, temos a soma de uma Sendo:

convergente onde

a equação pode ser reescrita:

Alternativa B

37. (UFPA) A soma da série infinita a) b) 2 c) d) e)

RESOLUÇÃO: Sendo

Alternativa E

temos:

é:

38. (UFRN) Consideremos a equação

, na qual o primeiro

membro é soma dos termos de uma PG infinita. Então o valor de

é:

a) 32 b) 14 c) 24 d) 12 e) 16 RESOLUÇÃO: Sendo:

temos

Logo (

)

Alternativa A

39. (PUC-MG) O número de bactérias em um meio se duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10 horas, o número de bactérias será: a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO: Nesse caso temos:

Alternativa B

40. (FGV-SP) Nesta equação, o primeiro membro é a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita:

A soma das raízes da equação é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 RESOLUÇÃO: Temos, nesse caso,

Como

ogo,

(enunciado), temos:

A soma das raízes é Alternativa A

41. (Fuvest-SP) Sabe-se sobre a progressão geométrica e √ . Além disso, a progressão geométrica 9. Nessas condições, o produto vale: a) b)

√ √

... que tem razão Iguaí a

√

d) √ e)

√

RESOLUÇÃO: Seja

a razão de √

Se Sendo

uma

√ De

então:

√

onde

pois √

temos: √

temos:

√

Sendo assim, temos:

( √ )

√

Alternativa A

42. (UFF-RJ) Os retângulos representados na figura, são congruentes e estão divididos em regiões de mesma área.

Ao se calcular o quociente entre a área da região pintada e a área total de cada um dos retângulos, verifica-se que os valores obtidos formam

uma progressão geométrica (PG) decrescente de três termos. A razão dessa PG é: a) 1/8 b) 1/4 c) 1/2 d) 2 e) 4 RESOLUÇÃO: Considerando cada triângulo

Logo, temos a

(

unidade de área, temos :

) cuja razão é

Alternativa C

43. (UFRGS-RS) Uma função exponencial . Considere as proposições a seguir: I. II.

é tal que

é decrescente.

III. A sequência

( )

Quais são verdadeiras? a) Apenas III. b) Apenas I e II. c) Apenas I e III. d) Apenas II e III. e) I , II e III . RESOLUÇÃO:

Sendo

temos,

( ) é uma progressão geométrica.

Sendo

para

temos .

Substituindo em

temos: e

Substituindo os valores, temos:

Sendo

( )

, a função é DECRESCENTE.

(

)

( )

( ) ( )

Como

( )

Temos uma Todas as afirmativas são verdadeiras.

Alternativa E

44. (UEM-PR) A soma dos 2º, 4º e 7º termos de uma PG é 111. A soma dos 3º, 5º e 8º termos é 222. Então, pode-se afirmar que: (01) a razão é (02) (04) (08) o 11º termo é 1 536. (16) a soma dos 7 primeiros termos é igual a (32) RESOLUÇÃO: De acordo com o enunciado temos: {

{

Dividindo a primeira equação pela segunda, temos:

Agora vamos descobrir o valor de

Portanto: Falsa, pois Verdadeira. Sendo

tem,os

Falsa.

Verdadeira.

Falsa.

logo,

Verdadeira.

(O que pela propriedade é verdadeiro).

45. (UFSC) Assinale as alternativas corretas: (01) O 20º termo da progressão aritmética

com

é 186.

(02) A soma dos n primeiros números naturais ímpares é . (04) O termo encontra-se na 12a posição na progressão geométrica . (08) Sabendo que a sucessão (x, y, 10) é uma PA crescente e a sucessão (x, y, 18) é uma PG crescente, então . (16) O valor de x na igualdade , na qual o primeiro membro é a soma dos termos de uma PG infinita, é 10. RESOLUÇÃO: Verdadeira. Sendo a sequencia Uma

, temos:

Resolvendo a equação:

não convém, pois √

Sendo

será Temos: e

Logo,

Falsa, Um número ímpar pode ser definido como , onde

Verdadeira. Sendo ( ) ( )

( )

temos: ( )

Sendo:

Verdadeiro. Sendo

uma

, temos: I

Sendo

uma

, temos: II

Substituindo I em II, temos:

(não convém)

Sendo

, temos:

Falso. Temos

logo,

onde

Sendo assim, A equação pode ser reescrita como:

1. (UFRJ) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto O é o centro do círculo de raio 2 m e os ângulos BOC e OBC são iguais. O comprimento do segmento AB é: a) b) c) √ d) √ e) √ RESOLUÇÃO: De acordo com a figura, Sendo

temos

Pela propriedade temos:

Como

temos

logo, Os três ângulos são iguais, logo Sendo o triângulo ABC retângulo em

√ Alternativa E

(propriedade), temos:

2. (UFES) Na figura, os segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o arco ABC mede 110 graus e o ângulo CAD mede 45 graus. A medida, em graus, do ângulo APD é: a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 RESOLUÇÃO: temos DC

Sendo

DC Na circunferência temos:

ABC



De acordo com o enunciado ABC

logo:

AD AD

Usando a propriedade, temos ̂ ̂

̂ ̂

Alternativa B

3. (Cefet-MG) Na figura, os segmentos PB e PD são secantes à circunferência, as cordas AD e BC são perpendiculares e AP = AD. A medida x do ângulo BPD é: a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°

RESOLUÇÃO:

(propriedade)

Sendo isósceles o triângulo Chamemos de

temos:

a intersecção entre

Os triângulos

são semelhantes, logo

Considerando a propriedade do ângulo externo, temos: Para simplificar:

Como o triângulo

é retângulo em

logo: temos:

Logo, Logo Alternativa A

4. (Cefet-MG) Na figura, os triângulos ABC e BCD estão inscritos na circunferência. A soma das medidas m + n, em graus, é: a) 70 b) 90 c) 110 d) 130 e) 150 RESOLUÇÃO: De acordo com a figura BC Com ̂

temos ̂

No triângulo

temos: ̂

Alternativa A

(FGV-SP) Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E, respectivamente. A medida do menor arco BE na circunferência construída é: a) 72° b) 108° c) 120° d) 135° e) 144° RESOLUÇÃO: Temos um pentágono regular, logo.

̂ Alternativa E

6. (Fuvest-SP) Deseja-se construir um anel rodoviário circular em torno da cidade de São Paulo, distando aproximadamente 20 km da Praça da Sé. a) Quantos quilômetros deverá ter essa rodovia? RESOLUÇÃO: Considerando Temos

(enunciado), Sendo assim

Usando a aproximação

temos:

b) Qual a densidade demográfica da região interior do anel (em habitantes por ), supondo que lá residam 12 milhões de pessoas? Adote o valor . RESOLUÇÃO:

7. (PUC-SP) O ângulo x, na figura a seguir, mede: a) 60° b) 80° c) 90° d) 100° e) 120° RESOLUÇÃO: De acordo com a propriedade, temos:

Alternativa B

8. (Fuvest-SP) Um triângulo tem 12 cm de perímetro e 6 mede o raio da circunferência inscrita nesse triângulo? a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm RESOLUÇÃO: O raio de uma circunferência inscrita num triângulo é dado por

de área. Quanto

onde Sendo

é a área e

o perímetro

temos:

Alternativa A

9. (PUC-MG) Na figura, o triângulo é retângulo em , e a medida de sua área é ; o comprimento do cateto é igual ao comprimento da circunferência que tem como diâmetro. A medida do raio dessa circunferência, em metros, é:

a) √ b) √ c) √ d) √ e) √ RESOLUÇÃO: Sendo

temos: e

portanto: √

Alternativa B

10. (UFU-MG) Um polígono circunscreve um círculo, conforme figura a seguir. Sabendo-se que , , e cm, então é igual a: A

a) 2 cm b) 1 cm c) 0 cm d) 3 cm e) 4 cm

RESOLUÇÃO: Observe a figura abaixo

De acordo com a figura, temos

Sendo

temos

Alternativa C

11. (UFG-GO) A figura a seguir mostra uma circunferência de raio r = 3 cm, inscrita num triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede 18 cm.

a) Calcule o comprimento da circunferência que circunscreve o triângulo ABC. RESOLUÇÃO: O diâmetro da circunferência circunscrita é igual a

logo, seu comprimento é

b) Calcule o perímetro aproximado do triângulo ABC RESOLUÇÃO: A área do triângulo pode ser calculada por Sendo

onde

é o perímetro e

é o raio.

temos: pois

Sendo ⏟ Considerando a diferença de dois quadrados e substituindo bc por

temos:

Sabendo que

Sendo

e que

logo:

temos:

12. (Escola Técnica Federal-RJ) O perímetro de um hexágono regular inscrito em um círculo de de área é igual a:

a) 150 cm b) 75 cm c) 25 cm d) 15 cm e) 30 cm RESOLUÇÃO: Primeiro vamos descobrir o raio do circulo:

Sendo o raio igual ao lado do hexágono, temos o seu perímetro igual a

Alternativa E

13. (Cefet-MG) O apótema do quadrado inscrito numa circunferência é igual a 2 cm. O lado do hexágono regular inscrito nessa mesma circunferência, em cm, é: a) √ b) √ c) √ d) √ e) 3 RESOLUÇÃO: Sendo

temos

O lado do hexágono será igual ao raio da circunferência. Sendo

√

temos

√

Portanto, ao lado do hexágono é √

Alternativa A

14. (Unifesp-SP) Tem-se um triângulo equilátero em que cada lado mede 6 cm. O raio do círculo circunscrito a esse triângulo, em centímetros, mede:

a) √ b) √ c) 4 d) √ e) √ RESOLUÇÃO: Sendo

√

temos:

√

Alternativa B

15. (FEI-SP) A sequência a seguir representa o número de diagonais polígono regular de lados. O valor de é:

de um

a) 44 b) 60 c) 65 d) 77 e) 91 RESOLUÇÃO: Sendo

para

temos:

Alternativa C

16. (UFSC - adaptada) Assinale com V as proposições corretas e F as falsas. ( ) Se a altura de um triângulo retângulo relativa ao ângulo reto dividir a hipotenusa em segmentos de 3 cm e 12 cm, então a área desse triângulo é de 45 cm 2. ( ) Uma maneira de provar que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é consiste em traçar todas as

diagonais desse polígono que tenham origem num vértice fixado, o que dividirá o polígono em triângulos. ( ) Num pentágono regular, as diagonais traçadas de um mesmo vértice formam entre si um ângulo de 40°. ( ) Se o perímetro do quadrado inscrito numa circunferência é de 8 cm, então a área do quadrado circunscrito a essa circunferência é de 8 cm 2. RESOLUÇÃO: Verdadeiro. Sendo

temos:

Sendo Verdadeira. Observe o quadrado abaixo, cuja diagonal foi traçada a partir do A diagonal divide o quadrado em

triângulos

Falso. Sendo

temos, no pentágono

Cada ângulo terá

Observe o Pentágono abaixo:

B x x

108°

C x D

No triângulo No ângulo ̂

temos: temos

logo,

√

Verdadeiro. O raio da circunferência será O lado do quadrado circunscrito é Sua área será:

logo

√

17. (PUC-RJ) Os ângulos internos de um quadrilátero medem graus. O menor ângulo mede: a) 90° b) 65° c) 45° d) 105° e) 80°

RESOLUÇÃO: A soma desses ângulos é

logo:

Os ângulos são:

O menor ângulo é

Alternativa B

18. (Covest-PE) Todos os triângulos da figura são equiláteros, e o hexágono central é regular. Se , qual a área do polígono estrelado?

a) √ b) √ c) √ d) √ e)

√

RESOLUÇÃO: De acordo com a figura, temos:

√

√ √

√

√ √

√

Alternativa B

19. (UEL-PR) A área do triângulo equilátero representado na figura a seguir é √ A área do círculo de centro O e tangente ao lado AB do triângulo é, em centímetros quadrados: a) 27 b) 32 c) 36 d) 42 e) 48 RESOLUÇÃO: Primeiro vamos descobrir o lado do triangulo: √

Sendo √

√ √

temos:

A altura do triângulo é igual ao raio da circunferência, logo: √

√

A área da circunferência é, portanto, √ Alternativa A

20. (PUCCamp-SP) Um quadrado tem dois vértices numa circunferência e um lado tangente a ela, como mostra a figura. Se a área do quadrado é 36 cm2, o raio da circunferência é, em centímetros: a) 2,5 b) 2,75 c) 3,25 d) 3,5 e) 3,75 RESOLUÇÃO: √

O lado do quadrado mede

D r

r O

6 cm

O triângulo

é isósceles. Os lados

base em duas partes iguais a o triângulo

são iguais a A altura

é igual a

O r 6-r

. K

O segmento

divide a

Sendo assim, temos

Por Pitágoras temos:

Alternativa E

21. (UFES) Na figura a seguir, os arcos AFB e CED respectivamente. O ângulo ̂ Pmede em graus:

medem 150° e 64°,

a) 128 b) 121 c) 113 d) 107 e) 100 RESOLUÇÃO: ̇

AFB

CED

Alternativa D

22. (Fuvest-SP) Os pontos A, B e C pertencem a uma circunferência de centro O. Sabe-se que ̅̅̅̅ é perpendicular a ̅̅̅̅ e forma com ̅̅̅̅ um ângulo de 70°. Então, a tangente à circunferência no ponto C forma com a reta AO um ângulo de: a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° RESOLUÇÃO: Observe a figura:

α A C

. 70° 20°

70° 70°

. t

No triângulo

20°

temos

Alternativa D

23. (UFTM-MG) Se a folha retangular ABCD for dividida conforme indicado na figura 1, obter-se-ão 6 quadrados (Q) congruentes. Entretanto, se a mesma for dividida conforme indicado na figura 2, obter-se-ão 6 retângulos (R) congruentes.

Sabendo-se que o semiperímetro de cada retângulo R mede 65 cm, então a área da folha ABCD é igual a: a) 0,54 m 2 b) 0,64 m 2 c) 0,72 m 2 d) 0,81 m 2 e) 1,08 m 2

RESOLUÇÃO: Na figura

vamos chamar o lado do quadrado de

Na figura

vamos chamar a base de

Assim temos a área da figura

igual a

e a altura de

Assim Comparando as figuras, vemos que O semiperimetro de Sendo

e portanto,

portanto

temos: Substituindo: (

)

Consequentemente, Como

temos

ou seja

Alternativa A

24. (UFRGS-RS) As figuras a seguir apresentam uma decomposição de um triângulo equilátero em peças que, convenientemente justapostas, formam um quadrado.

O lado do triângulo mede 2 cm, então o lado do quadrado mede, em centímetros: a)

√

c) √ d) √ e) √

RESOLUÇÃO: Nesse caso, temos áreas iguais. Sendo

√

o lado do triângulo, sua área será: √

Chamando de

√

Como

√

o lado do quadrado, temos sua área igual a

√

√√

temos:

portanto:

√

Alternativa C

25. (UFU-MG) Uma indústria de embalagens fabrica, em sua linha de produção, discos de papelão circulares conforme indicado na figura a seguir. Os discos são produzidos a partir de uma folha quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada, é de .

Com base nas informações apresentadas, é correto afirmar que o valor de L é: a) primo. b) divisível por 3. c) ímpar. d) divisível por 5. RESOLUÇÃO: Sendo

o lado do quadrado, o diâmetro de cada disco será

O raio será Os nove discos têm área igual a Sendo

a área do quadrado, o espaço não aproveitado é (

Igualando temos: (

( )

)

que

é Alternativa D

26. (UFPR) O retângulo ABCD foi dividido em nove quadrados, como ilustra a figura a seguir. Se a área do quadrado cinza-escuro é 81 unidades e a do quadrado cinza-claro 64 unidades, a área do retângulo ABCD será de:

a) 860 unidades. b) 990 unidades. c) 1 024 unidades. d) 1 056 unidades. e) 1 281 unidades RESOLUÇÃO: Fazendo

encontramos o lado do quadrado menor.

Efetuando as devidas somas e subtrações, encontramos o lado dos demais quadrados.

√ √

Podemos calcular a área de

através de duas expressões: ou

Alternativa D

27. (UEL-PR) Sabendo-se que o terreno de um sítio é composto de um setor circular, de uma região retangular e de outra triangular, com as medidas indicadas na figura a seguir, qual a área aproximada do terreno?

a) 38,28 b) 45,33 c) 56,37 d) 58,78 e) 60,35 RESOLUÇÃO: Vamos calcular separadamente a área de cada setor: Setor circular

(área da circunferência):

Região retangular Região triangular

O triângulo é isósceles, e sua base é

Sua área Usando a aproximação

temos a

Alternativa D

28. (UEL-PR) As quadras de tênis para jogos de simples e de duplas são retangulares e de mesmo comprimento, mas a largura da quadra de duplas é 34% maior do que a largura da quadra de simples.

Considerando que a área da quadra de duplas é 66,64 m 2 maior, a área da quadra de simples é: a) 89,00 b) 106,64 c) 168,00 d) 196,00 e) 226,58 RESOLUÇÃO:

De acordo com o enunciado

Sendo assim:

Alternativa D

29. (UEL-PR) Determine a área da região hachurada, que é a região delimitada por um hexágono regular obtida pela intersecção das regiões delimitadas por dois triângulos equiláteros inscritos na circunferência cuja área é de .

Assinale a alternativa correta. a)

√

b) √ c) √ d)

√

e) √

RESOLUÇÃO: √ Considerando

o lado do triângulo inscrito, temos:

√

Observe, na figura, que a base do triângulo foi dividida em três partes iguais, logo o lado do hexágono hachurado é: Sua área é, portanto, dada por

√

logo

√

Alternativa A

30. (UEL-PR) Observe a figura a seguir.

Com base nessa figura, é correto afirmar: a) A área de ataque da quadra é 50% da área de defesa. b) As áreas de defesa somam 1/4 da área total da quadra. c) A área da quadra é 176 m2. d) A razão entre a área de ataque e a área de defesa é de 2 para 3. e) A diagonal da quadra mede 27 m. RESOLUÇÃO: De acordo com a figura: Área de ataque A área de defesa tem largura igual a Seu comprimento é: Sendo assim temos: Como

temos que “a área de ataque da quadra é

da área de defesa”.

Alternativa A

31. (UFSC) Em um trecho do livro O guarda-roupa alemão, lê-se:

Ethel: o rosto ali no espelho. A forma octogonal da transparência furando escombros. O tom escuro do jacarandá: o passaporte. Começava a delinear-se a figura da bisavó. Ela gostava de olhar-se dentro do octógono de cristal. Uma moldura transparente. Tinha um aspecto místico. Os olhos. Os lábios. O cabelo. Aquele dourado na face. Os dois semicírculos negros, como sinais além do mar misterioso e inquieto. LAUS, Lausimar. O guarda-roupa alemão. 6. ed. rev. Florianópolis; Ed. Da UFSC, 2010. p. 5-6.

a) Defina um octógono regular. RESOLUÇÃO: É um polígono que contém

(oito) lados cujas medidas são congruentes.

b) Determine, apresentando os cálculos, a medida do ângulo central do octógono regular. RESOLUÇÃO: Considerando

temos, para o octógono

logo

c) Determine, apresentando os cálculos, a soma das medidas dos ângulos internos do octógono regular. RESOLUÇÃO: Sendo

para

temos

d) A figura a seguir mostra a bisavó Ethel olhando no espelho plano a imagem da Comadre Herna, em pé atrás dela. Determine, apresentando os cálculos, a que distância horizontal (em metros) dos olhos da bisavó Ethel fica a imagem da Comadre Herna.

RESOLUÇÃO: Considerando as distancias apresentadas na figura, e a propriedade do espelho plano, temos:

32. (UFTM-MG) O maior relógio de torre de toda a Europa é o da Igreja St. Peter, na cidade de Zurique, Suíça, que foi construído durante uma reforma do local, em 1970. Adaptado de: O Estado de S. Paulo. O mostrador desse relógio tem formato circular, e o seu ponteiro dos minutos mede 4,35 m. Considerando , a distância que a extremidade desse ponteiro percorre durante 20 minutos é, aproximadamente: a) 10 m b) 9 m c) 8 m d) 7 m e) 6 m RESOLUÇÃO: Em

minutos o ponteiro percorrerá

tempo para uma volta completa). O comprimento de ou Alternativa B

da circunferência é

(

) pois

(

minutos é o

33. (UFPB) Para estimular a prática de atletismo entre os jovens, a prefeitura de uma cidade lançou um projeto de construção de ambientes destinados à prática de esportes. O projeto contempla a construção de uma pista de atletismo com 10 m de largura em torno de um campo de futebol retangular medindo 100 m x 50 m. A construção será feita da seguinte maneira: duas partes da pista serão paralelas às laterais do campo; as outras duas partes estarão, cada uma, entre duas semicircunferências, conforme a figura a seguir.

A partir desses dados, é correto afirmar que a pista de atletismo terá uma área de: (π = 3,14) a) 2 184 m2 b) 3 884 m2 c) 3 948 m2 d) 4 284 m2 e) 4 846 m2 RESOLUÇÃO: Área das partes paralelas às laterais:

Podemos, nesse caso,”juntar” as duas semicircunferências e formar uma única. A área da borda é:

Alternativa B

34. (UEL-PR) Uma pista de corrida de 400 m é constituída por trechos retos e semicirculares, conforme a figura a seguir:

Suponha que dois atletas, nas curvas, sempre se mantenham na parte mais interna de suas raias, de modo a percorrerem a menor distância nas curvas, e que a distância medida a partir da parte interna da raia 1 até a parte interna da raia 8 seja de 8 m. Para que ambos percorram 400 m, quantos metros o atleta da raia mais externa deve partir à frente do atleta da raia mais interna? (Dado: π = 3,14) a) 10,00 m b) 25,12 m c) 32,46 m d) 50,24 m e) 100,48 m RESOLUÇÃO: Comprimento interno Comprimento externo

Diferença

Alternativa D

35. (Cefet-CE) A medida do ângulo central de um polígono regular é 24°. De acordo com essa informação, determine as seguintes medidas: a) do ângulo interno. RESOLUÇÃO: Sendo Temos:

logo,

b) do ângulo externo. RESOLUÇÃO: Temos

logo

36. (Unifap-AP) Mário construiu um muro que mede 10 m de comprimento por 2,85 m de altura. Com o desejo de revestir de azulejo a parte interna desse muro, Mário comprou 8% a mais para que não faltassem azulejos. Quantos metros quadrados de azulejo ele comprou? a) 29,92 b) 30,05 c) 30,78 d) 31,15 e) 31,26 RESOLUÇÃO: Área do muro

Para

a mais, temos:

Alternativa C

37. (UFC-CE) Uma folha de cartolina quadrada é colocada sobre uma mesa. A cartolina é branca no seu lado visível e preta no seu verso. Ao dobrarmos a cartolina, sem emborcá-la, ao longo de um segmento que une um vértice ao ponto médio de um lado não incidente sobre esse vértice, resulta num polígono R, que tem uma parte branca e uma parte preta visíveis. Assinale a alternativa na qual consta a melhor aproximação da porcentagem da área branca visível do polígono R em relação à área de R. a) 67% b) 65% c) 50% d) 35% e) 33% RESOLUÇÃO: Observe o quadrado: a

A área do triângulo preto é Sendo assim, o polígono visível tem área A parte branca tem área igual ao polígono visível menos preto, ou seja

Portanto, Alternativa A

38. (UFRN) A área de um terreno retangular é de 281,25 m2. Se o lado maior do terreno excede em 25% o lado menor, então o perímetro do terreno é igual, em metros, a: a) 67,5 b) 71,5 c) 75,5 d) 79,5 e) 83,5 RESOLUÇÃO: Lado menor: Lado maior: logo

Alternativa A

39. (Fuvest-SP) Na figura a seguir, a reta s passa pelo ponto P e pelo centro da circunferência de raio R, interceptando-a no ponto Q, entre P e o centro. Além disso, a reta r passa por P, que é tangente à circunferência e forma um ângulo α com a reta s. Se PQ = 2R, então cos α vale:

√

RESOLUÇÃO: Observe a figura abaixo:

. R α Q

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo temos:

√

√ √

Alternativa D

√

P R