1. (FGV-SP) Assinale o gráfico que corresponde à função
.
RESOLUÇÃO: Façamos como exemplo
( )
e teremos
( ) 2 1
Alternativa A
2. (FGV-SP) Dado o sistema { a) 18 b) 21 c) 27
0 -1 -2
1 2 4
pode-se dizer que
é igual a:
d) 3 e) 9 RESOLUÇÃO: {
{
{
Alternativa C
3. (PUC-RJ) A indústria de computação cada vez mais utiliza a denominação como substituto para o número mil (por exemplo, como o ano dois mil). Há um erro de aproximação nesse uso, já que o valor técnico com que se trabalha, , não é 1000. Assim, rigorosamente falando, uma notícia como "o índice Dow-Jones pode atingir significaria que o índice pode atingir: a) 3 000 b) 2 960 c) 3 012 d) 2 948 e) 3 072 RESOLUÇÃO: De acordo com o texto, teríamos:
Alternativa E
4. (PUC-RJ) O maior número a seguir é:
a) 331 b) 810 c) 168 d) 816 e) 2434 RESOLUÇÃO: Nas alternativas, temos: (a)
(b)
(d)
(c) (e)
Desta forma, concluímos que o maior número é
.
Alternativa A
5. (PUC-SP) A tabela a seguir permite exprimires valores de certas grandezas em relação a um valor determinado da mesma grandeza tomado como referência. Os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades derivadas das unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI) podem ser obtidos, direta ou indiretamente, dos valores apresentados e têm seus nomes formados pelo emprego dos prefixos indicados.
Quadro geral de unidades de medida. 2.ed. Brasília: Inmetro, 2000. Assim, por exemplo, se a unidade de referência fosse o metro (m), teríamos:
Considerando o bel
como unidade de referência, a expressão é equivalente a:
a) 0,0026 cb b) 0,026 b c) 0,26 kb d) 2,6 db e) 26 pb RESOLUÇÃO:
Alternativa B
6. (ITA-SP) A soma das raízes reais positivas sendo , vale: a) 2 b) 5 c) √ d) 1 e) √ RESOLUÇÃO:
Fazendo
, temos a equação
Reescrita da seguinte forma:
da equação
,
√
Sendo
, temos: ou ou ou
De acordo com o enunciado,
, logo
ou √
ou
As raízes são Sendo √
√ √ e .
a única raiz positiva, a soma das raízes positivas é √ .
Alternativa C
7. (Cesgranrio-RJ) Se
é a solução do Sistema {
é: a) 11 b) 3 c) 6 d) 4 e) 5 RESOLUÇÃO: Resolvendo o sistema por adição, temos: {
, então
Sendo assim, temos Alternativa D
8. (UEL-PR) A solução da equação
é um número:
–
a) primo. b) múltiplo de 3. c) divisível por 4. d) múltiplo de 5. e) divisível por 7. RESOLUÇÃO:
Fazendo
Sendo
, temos:
, temos:
A solução é, portanto, um número “divisível” por Alternativa C
9. (FGV-SP) A raiz da equação ( a)
√ )(
√ )
é:
b) c) d) e)
RESOLUÇÃO: √
√ √
Alternativa C
10. (UFJF-MG) Dada a equação solução é um número: a) natural. b) maior que 1. c) de módulo maior do que 1. d) par. e) de módulo menor do que 1. RESOLUÇÃO:
, podemos afirmar que sua
A solução encontrada tem “módulo menor do que ”. Alternativa E
11. (UFSCar-SP) O par ordenado a) (
, solução do sistema
{
)
b) (
)
c) (
)
d) (
)
e) (
)
RESOLUÇÃO:
{
{
{
{
(
)
{
Alternativa D
12. (UFSM-RS) Sabendo que ( ) a) 3 b) 2
, o valor de
é:
√
, é:
c) 3 d) 8 e) 16 RESOLUÇÃO: ( )
Alternativa D
13. (UFRGS-RS) O conjunto solução da inequação a) D = { x ℝ | x2 < 0} b) D = { x ℝ | x < 3} c) D = { x ℝ | x2 > 0} d) D = {x ℝ | x < 0} e) D = {x ℝ x>0} RESOLUÇÃO:
fazendo
Logo
Alternativa C
14. (Fuvest-SP) √ a) 28 b) 26
ℝ
é:
c) 32 d) 29 e) (25)3 RESOLUÇÃO:
√
√
√
√
√
√
√
Alternativa D
15. (UFES) Se
e
são números reais e
a) 2(m n) b) mn c) – d) e) RESOLUÇÃO:
Alternativa d
16. (Mackenzie-SP) O valor da expressão a) 1 b) 2
e
, então
é igual a:
c) d) e) 4 RESOLUÇÃO:
Alternativa D
17. (UFPR) Para verificar a igualdade a) 0 b) 1 c) 1 d) 1; 1 e) √ ; √ RESOLUÇÃO: √ (
)
√
Alternativa E
√
,
deve valer:
18. (Aman-RJ) A soma dos valores de
que resolvem a equação
é:
a) 6 b) 4 c) 0 d) 3 e) 1 RESOLUÇÃO:
5
1 A soma, portanto, será
Alternativa A
19. (ITA-SP) A soma de todos os valores de é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 6 RESOLUÇÃO:
que satisfazem a identidade
√ Fazendo
,temos:
A soma, portanto, será
Alternativa B
20. (PUC-RS) Se
, então
a) 16 b) 15 c) 14 d) 11 e) 6 RESOLUÇÃO:
Fazendo
temos:
–
vale:
O valor negativo
não convém, portanto, temos
logo: Sendo assim, Alternativa D
ℝ tal que:
21. (UFV-MG) O conjunto solução da inequação a) x<0 b) x>0 c) x<1 e x>2 d) x<1 ou x>2 e) 1<x<2 RESOLUÇÃO: pois
Os zeros da função são
e
e a concavidade da parábola é para cima, logo:
++
--1
Daí, temos que a função é positiva
++ 2 quando
22. (FBA-SP) Determine o domínio da função: a) b) c) d) e)
ℝ| ℝ| ℝ| ℝ| ℝ|
ou
√
RESOLUÇÃO:
Alternativa A
23. (FGV-SP) Dada a expressão ( ) a) o maior valor da expressão é 1. b) o menor valor da expressão é 1. c) menor valor da expressão é
.
d) o maior valor da expressão é . e) o menor valor da expressão é
.
RESOLUÇÃO:
( ) O valor máximo da função Sendo ( )
é
temos “o menor valor da expressão é
Alternativa C
24. (UFRGS-RS) A distância que a luz percorre em um ano, chamada ano-luz, é de aproximadamente quilômetros. A notação científica desse número é: a) b) c) d) e)
RESOLUÇÃO:
Alternativa C
25. (UFF-RJ) O gráfico da função exponencial definida por , foi construído utilizando-se o programa de geometria dinâmica gratuito GeoGebra (http://www.geogebra.org), conforme mostra a figura a seguir:
Sabe-se que os pontos . Determine:
e
, indicados na figura, pertencem ao gráfico de
a) os valores das constantes
e
RESOLUÇÃO:
Substituindo os pontos
e (
( )
logo,
b)
e
.
) em
RESOLUÇÃO: ( ) ( ) ( )
26. (PUC-MG) O valor de certo equipamento, comprado por R$ 60 000,00, é reduzido à metade a cada 15 meses. Assim, a equação , em que é o tempo de uso em meses e é o valor em reais, representa a variação do valor desse equipamento. Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor do equipamento após 45 meses de uso será igual a: a) R$ 3 750,00 b) R$ 7 500,00 c) R$ 10 000,00 d) R$ 20 000,00 RESOLUÇÃO:
Alternativa B
27. (Cefet-MG) Uma emissora de TV vende seu horário comercial da seguinte maneira: o cliente escolhe quantas pessoas no mínimo devem ver seu produto, e a emissora calcula por quantos dias a propaganda deve ser veiculada. Para isso, ela usa a relação entre o número de pessoas que conheceram o produto após dias consecutivos de propaganda expressa por . O valor de , para que 7 782 pessoas conheçam esse produto, deve ser igual a: a) 1 b) 2
c) 3 d) 4 RESOLUÇÃO:
Alternativa B
28. (Unicamp-SP) Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva a seguir representa a função exponencial , que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), minutos após o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que:
a) b) c) d) RESOLUÇÃO: De acordo com o gráfico, quando o que não se verifica nas alternativas c e d. Resta-nos “testar” as alternativas a e b para o valor a)
(
)
b)
(
)
Como, de acordo com o gráfico,
temos
(
)
Alternativa A
29. (Unifesp-SP) A figura 1 representa um cabo de aço preso nas extremidades de duas hastes de mesma altura em relação a uma plataforma horizontal. A representação dessa situação num sistema de eixos ortogonais supõe a plataforma de fixação das hastes sobre o eixo das abscissas; as bases das hastes como dois pontos, e e considera o ponto origem do sistema, como o ponto médio entre essas duas bases (figura 2). O comportamento do cabo é descrito matematicamente pela função
( )
, com
domínio
a) Nessas condições, qual a menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio? RESOLUÇÃO: A menor distancia ocorrerá quando ( )
Portanto,
b) Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual deve ser a distância entre elas, se o comportamento do cabo seguir precisamente a função dada? RESOLUÇÃO: Façamos
(altura das hastes): ( )
Substituindo
por
temos:
Sendo assim
Considerando que
é o ponto médio de
30. (UFMG) Qual o valor da expressão
teremos
√
RESOLUÇÃO: √
( )
√
( )
31. (UECE) Calcule o valor da expressão: RESOLUÇÃO:
[(√ )
(√ )
]
[(√ )
(√ )
[(
(
[
) ]
]
) ] [
]
1. (Ulbra-SP) Se
o valor de
é:
a) 1 b) 4 c) d) 16 e)
RESOLUÇÃO:
Logo
√
Alternativa A
2. (PUC-SP) Se {
então
é igual a:
a) b) c) d) e)
RESOLUÇÃO: {
{
{ Substituindo
em
temos:
(não convém)
( ) Sendo assim, temos
Alternativa B
3. (Uneb-BA) O número real , tal que
, é:
( )
a) b) c) d) e)
–
RESOLUÇÃO: ( ) Elevando ao quadrado os dois lados da equação, temos:
(
)
( )
Alternativa A
4. (UFPA) A expressão mais simples para a) a b) c) d) e) RESOLUÇÃO:
é:
Alternativa B
5. (Mackenzie-SP) Se
, então o valor de
é:
a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO:
Alternativa B
6. (UPF-RS) O valor numérico real da expressão a) b) 4 c) 5 d) 8 e) impossível RESOLUÇÃO: √
Alternativa B
√
7. (Udesc-SC) Na base decimal log 1 000, log 10 e log 0,01 valem, respectivamente: a) 2, 1 b) 1, 0 c) 3, 1 d) 4, e) 3, 0
e e e e e
RESOLUÇÃO:
Alternativa C
8. (Fepar-PR) Se
é igual a:
–
a) 0,5 b) 2,5 c) 2,0 d) 1,5 e) 1,0 RESOLUÇÃO: Resolvendo o sistema: {
Sendo
{
e
temos:
O enunciado correto seria
Fazendo
temos
Alternativa B
9. (UEPG-PR) A solução da equação no intervalo: a)[10, 12] b) [5, 7] c) [2, 4] d) [0, 1] e) [8, 9] RESOLUÇÃO: √
√
√
Aproximando √ para √
temos: que está no intervalo
Alternativa A
10. (FGV-RJ) O valor de a) b) c) 2 d) 3 e) 4 RESOLUÇÃO:
é igual a:
√
está contida
Alternativa B
11. (UEPG-PR) A expressão
√
vale:
a) b) c) d) e)
RESOLUÇÃO: √
Alternativa C
: 12. (UFSM-RS) Seja
a solução da equação
a) b) c) 1 d) 4 e) 2 RESOLUÇÃO:
√ Sendo
√
temos
(√ )
. O valor de
é:
Alternativa E
13. (UFMG) Seja logα 8 = -3/4 ,α>0. O valor da base α é: a) 1/16 b) 1/8 c) 12 d) 16 e) 18 RESOLUÇÃO:
√ √
√ Alternativa A
14. (UECE) Se
√
, então
a) 6 b) 8 c) 12 d) 16 e) 18 RESOLUÇÃO: √ √
√
√ √
√ √
é igual a:
√
√
√
√
√
√ √ Alternativa C
15. (PUC-PR) O logaritmo de √ na base
é igual a:
a) 7 b) 5 c) d) e) n.d.a. RESOLUÇÃO:
√ (
(
)
√
)
Alternativa D
16. (PUC-SP) Se a) 100 b) 2 c) 25 d) 12,5 e) 15 RESOLUÇÃO:
{
, então
é igual a:
– (
(( )
) (
(
) )
)
Alternativa B
17. (UFRN) Se a equação então é igual a:
tem duas raízes reais e iguais,
a) 10 b) 102 c) 104 d) 106 e) 108 RESOLUÇÃO: Para termos “duas raízes iguais” , o valor de
é zero,
logo:
Alternativa A
18. (Furg-RS) Qual é o valor de
na expressão ?
a) b) c) d) e)
, sendo
RESOLUÇÃO: Aplicando logarítmos aos dois lados de equação, temos:
Alternativa A
19. (Fuvest-SP) Se
, então o quociente
–
vale:
a) 10 b) 25 c) 32 d) 64 e) 128 RESOLUÇÃO:
( )
logo ,
Alternativa C
20. (UEPG-PR) Sendo
e
a) 1,77 b) 1,41 c) 1,041 d) 2,141 e) 0,141 RESOLUÇÃO: I ou II
, então
vale:
Alternativa A
21. (PUC-SP) Sendo
e
, então
√
é igual a:
a) 0,1 2 b) 0,22 c) 0,32 d) 0,42 e) 0,52 RESOLUÇÃO: (
√
)
(
√
)
Substituindo os valores do enunciado, temos:
Alternativa B
22. (UFPR) Sendo a) 1,146 b) 1,447 c) 1,690 d) 2,107 e) 1,107 RESOLUÇÃO:
el
, qual será o valor de
?
Alternativa B
23. (Acafe-SC) Dado o sistema {
, temos que
a: a) b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 RESOLUÇÃO: {
{
{
( )
{
substituindo a primeira equação na segunda, temos:
sendo assim, Alternativa E
24. (Furg-RS) Sendo log x = a e log y = b então log √ , é igual a: a) b) c) √ d) e)
√
RESOLUÇÃO:
é igual
√
√
Alternativa D
25. (PUCCamp-SP) Se log 5 = 3n, log 3 = m e
√
a) m + n b) c) d) e) 3n + m
RESOLUÇÃO: √
√ √
Alternativa D
26 (UFRGS-RS) O valor de a)
é:
, então vale:
b) 0 c) 1 d) e)
RESOLUÇÃO: (
)
Alternativa C
27. (UFBA) Sendo
e
√
a) 2,997 b) 3,898 c) 3,633 d) 4,398 e) 5,097 RESOLUÇÃO: (enunciado) √
√ (
Alternativa B
)
, então o valor de
é:
28. (FMU-SP) O valor de
é:
a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO:
Alternativa B
29. (Cefet-PR) Sabendo-se que
, o valor de
é:
a) 0,3010 b) 0,6020 c) 0,1505 d) 0,4515 e) 0,7525 RESOLUÇÃO:
Alternativa A
30. (UEL-PR) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de a) 1,6 b) 0,8 c) 0,625 d) 0,5 e) 0,275
é:
RESOLUÇÃO: (propriedade da mudança de base), logo:
Alternativa A
31. (FCC-SP) Se
, o valor de
é:
a) 2,40 b) 2,70 c) 2,80 d) 3,40 e) 3,80 RESOLUÇÃO:
Alternativa A
32. (PUC-SP) Se
, então
a) 0,6990 b) 0,6880 c) 0,6500 d) 0,6770 e) 0,6440 RESOLUÇÃO:
(
)
é igual a:
Alternativa A
33. (Fuvest-SP) Se
, então
é:
a) b) c) 1 d) 2 e) 0 RESOLUÇÃO:
Alternativa E
34. (Fuvest-SP) Sendo a) 0,62 b) 0,31 c) 0,48 d) 0,15 e) 0,14 RESOLUÇÃO:
√
, o valor de
√
é:
Alternativa A
35. (Fatec-SP) Se
, então
é igual a:
a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO:
(
)
Alternativa D
36. (Unimep-SP) Sabe-se que é: a) b) 0,90 c) 0,45 d) 1,2 e) 0,6 RESOLUÇÃO:
. Desse modo, pode-se dizer que
(mudança para base
(
)
)
Alternativa A
37. (UEL-PR) Dados os números reais verdade que: a) b) c)
e , sabemos que
√
d) e) RESOLUÇÃO: ( )
Alternativa A
38. (UEL-PR) Dado a) 15,050 b) 13,725 c) 11,050 d) 9,675 e) 7,525 RESOLUÇÃO:
, o valor de
é:
; então é
Alternativa E
39. (Vunesp-SP) Se
, então:
a) x = y b) 2x = y c) 3x = 2y d) x = 2y e) 2x = 3y
RESOLUÇÃO:
Sendo, assim,
Alternativa C
40. (Acafe-SC) Sendo
e √ é:
a) b) c) – d) e) – RESOLUÇÃO: √ Mudando as bases
e para a base
, o valor de
(
)
Aplicando as propriedades e substituindo os valores do enunciado, temos: (
)
(
)
Alternativa D
41. (PUC-BA) A expressão
( )
( )–
( ) é equivalente a:
a) b) c) d) e)
( )
RESOLUÇÃO: ( )
(
(
( )
)
(
(
)
(
)
)
)
(
)
Alternativa E
42. (Fuvest-SP) A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H+. Considere as seguintes afirmações:
I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas. II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8. III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3. Está correto o que se afirma somente em: a) I. b) II. c) III. d) I e II e) l e III RESOLUÇÃO: Afirmativa I: Correta Afirmativa II: Correta (pois, se
temos
send
vezes maior que
portanto, a afirmativa está Correta.
Afirmativa III: Falsa, pois não corresponde a relação entre
.
Alternativa D
43. (UFF-RJ) A escala de Palermo foi desenvolvida para ajudar especialistas a classificar e estudar riscos de impactos de asteroides, cometas e grandes meteoritos com a Terra. O valor da escala de Palermo em função do risco relativo é definido por . Por sua vez, é definido por:
Sendo:
a probabilidade de o impacto ocorrer,
o tempo (medido em
anos) que resta para que o impacto ocorra e a frequência anual de impactos com energia E (medida em megatoneladas de TNT) maior do que ou igual à energia do impacto em questão. De acordo com as definições, é correto afirmar que:
a) b) c) d) e)
RESOLUÇÃO: (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Alternativa C
44. (UFPR) Um importante estudo a respeito de como se processa o esquecimento foi desenvolvido pelo alemão Hermann Ebbinghaus no fim do século XIX. Utilizando métodos experimentais, Ebbinghaus determinou que, dentro de certas condições, o percentual do conhecimento adquirido que uma pessoa retém após semanas pode ser aproximado pela fórmula , sendo que e variam de uma pessoa para outra. Se essa fórmula é válida para certo estudante, com e , o tempo necessário para que o percentual se reduza a 28% será: a) entre uma e duas semanas.
b) entre duas e três semanas. c) entre três e quatro semanas. d) entre quatro e cinco semanas. e) entre cinco e seis semanas. RESOLUÇÃO:
(entre três e quarto semanas) Alternativa C
45. (UFG-GO) Segundo reportagem da revista Aquecimento Global (ano 2, n. 8, 2009, p. 20-23), o acordo ambiental conhecido como "20-20-20", assinado por representantes dos países membros da União Europeia, sugere que, até 2020, todos os países da comunidade reduzam em 20% a emissão de dióxido de carbono (CO2), em relação ao que cada país emitiu em 1990. Suponha que em certo país o total estimado de CO2 emitido em 2009 foi 28% maior que em 1990. Com isso, após o acordo, esse país estabeleceu a meta de reduzir sua emissão de CO2, ano após ano, de modo que a razão entre o total emitido em um ano e o total emitido no ano anterior seja constante, começando com a razão , atingindo em 2020 a redução preconizada pelo acordo. Assim, essa razão de redução será de: (Use: ) a) b) c) d) e)
RESOLUÇÃO:
Chamaremos de
a razão de redução e consideraremos
Aplicando
Logo:
temos: (
)
Alternativa B
46. (UERJ) Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos de observação. Admita um filtro que deixe passar
da
intensidade da luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade a menos de 10% da original, foi necessário utilizar filtros. Considerando , o menor valor de é igual a: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 RESOLUÇÃO: ( )
(aplicando
temos:)
( )
(
)
Sendo assim ,o número de filtros deverá ser Alternativa C
47. (UFPR) Suponha que o tempo t (em minutos) necessário para ferver água em um forno de micro-ondas seja dado pela função sendo e constantes e o número de copos de água que se deseja aquecer.
Número de Tempo de copos aquecimento 1 1 minuto e 30 segundos 2 2 minutos a) Com base nos dados da tabela, determine os valores de Sugestão: use e RESOLUÇÃO:
Quando
Quando
e
e
temos:
temos:
Aplicando logaritmo nos dois lados da equação:
e .
( )
Logo,
e
b) Qual o tempo necessário para ferver 4 copos de água nesse forno de micro-ondas? RESOLUÇÃO: Sendo
temos:
portanto, o tempo necessário é de
48. (UEGO) Um capital é emprestado à taxa de 8% ao ano, no regime de juros compostos. Determine o tempo necessário de aplicação, de modo que o débito seja, pelo menos, 80% superior ao capital emprestado inicialmente. Para os cálculos, se necessário, utilize as aproximações:
RESOLUÇÃO: Tomemos De acordo com o enunciado, temos:
De acordo com a definição de logaritmos, temos: Mudando para a base
Portanto, serão necessários:
para que se atinja o valor desejado
49. (FGV-SP) Um fabricante recebeu um estudo feito por uma empresa de consultoria segundo o qual, se x unidades de certa mercadoria forem produzidas e comercializadas, o lucro a ser obtido pelo fabricante pode ser estimado, dentro de certa faixa de valores, pela função reais, em que é o número de Euler. O estudo indica também, mediante o gráfico da função lucro, que, se todas as unidades forem vendidas, o lucro máximo esperado é de aproximadamente R$ 5 460,00. √
Determine quantas unidades devem ser vendidas para o fabricante obter o maior lucro possível. Se precisar, utilize as aproximações: . RESOLUÇÃO: √
Quando
temos:
√
√
De acordo com a definição de logaritmo: ( (
) √
√
)
√ √
√ √ (elevando os dois lados ao quadrado, temos):
√
Sendo assim, o lucro máximo é obtido com a venda de
50. (UFJF-MG) Uma pessoa aplicou uma quantia inicial em um determinado fundo de investimento. Suponha que a função , que fornece o valor, em reais, que essa pessoa tem investido em relação ao tempo seja dada por: . O tempo em meses, é contado a partir do instante do investimento inicial. a) Qual foi a quantia inicial aplicada? RESOLUÇÃO: A quantia inicial é Portanto, o valor inicial é
b) Quanto essa pessoa teria no fundo de investimento após 5 meses da aplicação inicial? RESOLUÇÃO: Quando
temos:
c) Utilizando os valores aproximados e , quantos meses, a partir do instante do investimento inicial, seriam necessários para que essa pessoa tivesse, no fundo de investimento, uma quantia igual a R$ 2 700,00? RESOLUÇÃO: Sendo
temos:
Pela definição de logaritmos: Mudando para base
(
)
Serão necessários
51. (UFSCar-SP) Um forno elétrico estava em pleno funcionamento quando ocorreu uma falha de energia elétrica, que durou algumas horas. A partir do instante em que ocorreu a falha, a temperatura no interior do forno pôde ser expressa pela função: , com em horas, , e a temperatura em graus Celsius. a) Determine as temperaturas do forno no instante em que ocorreu a falha de energia elétrica e uma hora depois. RESOLUÇÃO: Momento de desligamento:
1(uma) hora depois,
logo:
logo:
b) Quando a energia elétrica voltou, a temperatura no interior do forno era de 40 graus. Determine por quanto tempo houve falta de energia elétrica. (Use a aproximação )
RESOLUÇÃO:
Nesse caso,
logo:
Fazendo
temos:
logo Sendo assim
1. (Mackenzie-SP) Na figura, sendo
, o valor de
é:
a) 3/2 b) 3 c) 3/2 d) 2 e) 1 RESOLUÇÃO: De acordo com a figura, temos:
Alternativa D
2. (Mackenzie-SP) O perímetro de um retângulo é 42 cm, e os seus lados são proporcionais a 3 e 4. A diagonal desse retângulo mede: a) 5 cm b) 10 cm c) 15 cm d) 20 cm e) n.d.a. RESOLUÇÃO: Sendo
a base e
substituindo
em
a altura, temos:
temos:
sendo assim, temos o retângulo: 9
12
d
12
9 De acordo com a figura: √ Alternativa C
3. (UFES) Seja ABCD um trapézio retângulo. O ângulo formado pelas bissetrizes do seu ângulo reto e do ângulo consecutivo da base maior mede 92°. Os ângulos agudos e obtusos desse trapézio medem, respectivamente: a) 88° e 92° b) 86° e 94° c) 84° e 96° d) 82° e 98° e) 79° e 101° RESOLUÇÃO:
0 92° 45° A
E/2 E
No
temos:
O ângulo obtuso pode ser calculado pela expressão
Alternativa B
4. (UFRGS-RS) Num trapézio cujos lados paralelos medem 4 e 6, as diagonais interceptam-se de tal modo que os menores segmentos determina dos em cada uma delas medem 2 e 3. A medida da menor diagonal é: a) 3 b) 4 c) d) 5 e)
RESOLUÇÃO:
D
4
C
2
3 x
A
Sendo
6
B
ponto de interseção, os triângulos
e
são semelhantes, logo:
Sendo assim, Alternativa D
5. (UnB-DF) Considere as afirmações: I. Se num triângulo a altura relativa a um lado coincide com a bissetriz do ângulo oposto a ele, o triângulo é necessariamente isósceles. II. Num triângulo isósceles qualquer, as três medianas são necessariamente iguais. III. Se um triângulo tem duas alturas iguais, então ele é necessariamente equilátero. Pode-se afirmar que: a) I e II são corretas, III é falsa. b) todas são falsas. c) I é correta, II e III são falsas. d) n.d.a. RESOLUÇÃO: Afirmativa I: Correta, pois no triangulo isósceles, a altura relativa ao ângulo do vértice coincide com a bissetriz e com a mediana daquele mesmo ângulo. Afirmativa II: Falsa, pois no caso do triangulo isósceles teremos duas medianas iguais. Afirmativa III: Falsa (o triangulo poderá ser isósceles). Alternativa C
6. (UFG-GO) Se dois lados de um triângulo medem, respectivamente, 3dm e 4dm, podemos afirmar que a medida do terceiro lado é: a) igual a 5dm. b) igual a 1dm. c) igual a √ dm. d) menor que 7dm. e) maior que 7dm. RESOLUÇÃO:
Para que três segmentos formem um triangulo, a medida de cada um deve ser sempre menos que a soma dos outros dois. Logo: Alternativa D
7. (UFMG) Na figura,
e Â=25°. O ângulo
a) 50° b) 60° c) 70° d) 75° e) 80°
RESOLUÇÃO:
Sendo
isósceles, o ângulo
Seu complementar é
Observe a figura:
D 50° C
50°
130° 25° A
Sendo assim,
80° 25° B
X
mede:
Alternativa D
8. (PUC) Na figura, as retas são paralelas. Quanto mede o segmento ̅̅̅̅ ?
a) 136 b) 306 c) 204 d) 163 e) 122 RESOLUÇÃO: B
D 136 50
A
X
Como os triângulos
C
e
segmento
Alternativa C
75
E
são semelhantes, temos:
.
9. (UFG-GO) O perímetro de um triângulo isósceles de 3cm de altura é 18cm. Os lados desse triângulo, em cm, são: a) 7, 7, 4 b) 5, 5, 8 c) 6, 6, 6 d) 4, 4, 10 e) 3, 3, 12 RESOLUÇÃO:
–
I
3
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: ( )
(
)
Sendo assim, Os lados do triangulo são
e
Alternativa B
10. (PUC-SP) Na figura, sabendo-se que e valem, respectivamente:
a) 25m e 25m b) 32m e 18m
c) 38m e 12m d) 40m e 10m e) n.d.a. RESOLUÇÃO:
Aplicando Pitágoras em
temos: logo:
Alternativa B
11. (PUC-SP) Na figura, os segmentos são medidos em metros. O segmento de é:
a) 11m b) 105m c) impossível de ser calculado, pois 43 não tem raiz. d) 7m e) n.d.a. RESOLUÇÃO: Chamando
de
e aplicando Pitágoras, temos:
Aplicando Pitágoras ao triangulo
temos:
(não convém) Portanto, temos Alternativa D
12. (UFRJ) A figura a seguir mostra a trajetória de uma bola de bilhar. Sabe-se que, quando ela bate na lateral da mesa (retangular), forma um ângulo de chegada que sempre é igual ao ângulo de saída. A bola foi lançada da caçapa , formando um ângulo de 45° com o lado .
Sabendo-se que o lado bola:
mede 2 unidades e
mede 3 unidades, a
a) cairá na caçapa A b) cairá na caçapa B. c) cairá na caçapa C. d) cairá na caçapa D. e) não cairá em nenhuma caçapa. RESOLUÇÃO: Considere a afirmação “um ângulo de chegada que sempre é igual ao ângulo de saída”, considere as medidas dadas
e , e observe a trajetória da bola, na figura abaixo:
2
B
1
C
45°
1
2 1 45° A
45° 2
1
D
Por semelhança de triângulos, percebemos que a bola cairá na caçapa . Alternativa b
13. (UFSCar-SP) A hipotenusa do triângulo retângulo a reta real, conforme indica a figura:
Se x > 0 e a medida da altura então é o número real:
relativa ao lado
está localizada sobre
do triângulo
a) √ b) 4 c) √ d) 5 e) √ RESOLUÇÃO: De acordo com as relações métricas no triangulo retângulo, temos: logo, √
é √
Como
temos
Alternativa B
14. (UFG-GO) A figura a seguir representa uma pipa simétrica em relação ao segmento , em que mede 80 cm. Então a área da pipa, em , é de:
a) b) c) d) e)
√ √ √ √ √
RESOLUÇÃO: retângulo em ̂ Sua área será dada por
Considere o triangulo
√
Temos √
Logo, a área de √
√ √
é
(área metade)
Como temos triângulos, a área total será: √ Alternativa B
√
√
15. (FGV-SP) Bem no topo de uma árvore de 10,2 metros de altura, um gavião casaca-de-couro, no ponto da figura, observa atentamente um pequeno roedor que subiu na mesma árvore e parou preocupado no ponto , bem abaixo do gavião, na mesma reta vertical em relação ao chão. Junto à árvore, um garoto fixa verticalmente no chão uma vareta de 14,4 centímetros de comprimento e, usando uma régua, descobre que a sombra da vareta mede 36 centímetros de comprimento. Exatamente nesse instante ele vê, no chão, a sombra do gavião percorrer 16 metros em linha reta e ficar sobre a sombra do roedor, que não se havia movido de susto. Calcule e responda: Quantos metros o gavião teve de voar para capturar o roedor, se ele voa verticalmente de para ?
RESOLUÇÃO: Observe os triângulos abaixo:
14,4 cm
(semelhança de triângulos) 36 cm
A x B
16 m
Sendo assim, o gavião voou
verticalmente.
16. (Fuvest-SP) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição e uma bola vermelha na posição , conforme o esquema a seguir.
Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de reflexão são iguais, a que distância do vértice deve-se jogar a bola branca? RESOLUÇÃO: E
V´
0,8 m
0,40 m C
x
0,40 m m V
A
1,2 m B
0,9 m m
Temos
logo
17. (Fuvest-SP) Um transportador havia entregado uma encomenda na cidade A localizada a 85 km a noroeste da cidade , e voltaria com seu veículo vazio pela rota em linha reta. No entanto, recebeu uma solicitação de entrega na cidade , situada no cruzamento das rodovias que ligam a (sentido sul) e a (sentido leste), trechos de mesma extensão. Com base em sua experiência, o transportador percebeu que esse desvio de rota, antes de voltar à cidade , só valeria a pena se ele cobrasse o combustível gasto a mais e também R$ 200,00 por hora adicional de viagem, Indique a localização das cidades e no desenho a seguir e responda:
a) Calcule a distância em cada um dos trechos perpendiculares do caminho. (Considere a aproximação √ )
RESOLUÇÃO
A
NORTE
.
x
C
85
.
45° B
x
ESTE
SUL
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
√ √
sendo assim, a distancia dos trechos é
b) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto relativamente ao retorno em linha reta. RESOLUÇÃO: A diferença será
c) Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2,00 o litro, a velocidade média do veículo de 70 km/h e seu rendimento médio de 7 km por litro, estabeleça o preço mínimo para o transportador aceitar o trabalho. RESOLUÇÃO: O novo percurso terá custo é
a mais. Com
o conjunto é
O tempo gasto, com a velocidade de Sendo
é
a hora adicional, o custo será
Somando, temos:
18. (PUC-RJ) Ao meio-dia, a formiga está 3 km a oeste da formiga . A formiga está se movendo para o oeste a 3 km/h e a formiga está se movendo para o norte com a mesma velocidade. Qual a distância entre as duas formigas às 14 horas? a) √ b) 17 km c) √ d) √ e) 117 km RESOLUÇÃO:
B´
d
A´
6 km
6 km
A
3 km
B
9 km
Do meio dia às
terão passado
e as formigas terão percorrido
Por Pitágoras, temos
√
19. (Cefet-MG) Na figura seguinte, as raízes da equação da parábola expressa por – , com ℝ , são
Os valores de a, x1 e x2 são, respectivamente: a) b) c) d)
RESOLUÇÃO: Usando as relações métricas no triangulo retângulo, temos:
. 12 5
h
13
como, de acordo com a figura,
temos:
Agora, usando as relações métricas, vamos descobrir
e
(o sinal negativo deve-se à figura) Agora vamos descobrir o valor de a. De acordo com a relação de Girard, temos: logo, (
substituindo: )
(
)
logo,
Alternativa A
20. (UFPR) Uma corda de 3,9 m de comprimento conecta um ponto na base de um bloco de madeira a uma polia localizada no alto de uma elevação, conforme o esquema a seguir. Observe que o ponto mais alto dessa polia está 1,5 m acima do plano em que esse bloco desliza. Caso a corda seja puxada 1,4 m, na direção indicada a seguir, a distância que o bloco deslizará será de:
RESOLUÇÃO: Quando a corda é puxada 1,4m, a hipotenusa passa a ter
logo:
2,5 1,5
y
x
Por Pitágoras, podemos calcular o valor de y:
Na posição original, tínhamos a hipotenusa igual a
logo
Sendo assim, o bloco deslizará
21. (Unemat-MT) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é cateto menor. O cateto maior tem tamanho igual a
do cateto menor.
Sendo 60 cm o perímetro desse triângulo, sua área será de: a) 135 cm 2 b) 120 cm 2 c) 150 cm 2 d) 100 cm 2 e) 187,5 cm 2 RESOLUÇÃO:
x
.
O perímetro é igual a
logo:
o tamanho do
A base é Sendo assim, a área do triangulo será:
Alternativa C
22. (Unemat-MT) No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são, respectivamente, pontos médios dos lados cm.
A área do triângulo ABC mede: a) b)
√ √
c) d) e)
√ √ √
RESOLUÇÃO: A
M
N
A
C
Pela figura temos: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
e
. O segmento
mede 6
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Como ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
temos:
logo: ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
A área do triangulo eqüilátero é: √
temos: √
√
√
Alternativa E
23. (ESPM-RJ) Uma folha de papel retangular foi dobrada como mostra a figura a seguir. De acordo com as medidas fornecidas, a região sombreada, que é a parte visível do verso da folha, tem área igual a:
a) 24 cm 2 b) 25 cm2 c) 28 cm2 d) 35 cm2 e) 36 cm2 RESOLUÇÃO: Observe o triangulo abaixo, cujas medidas foram retiradas da figura:
8-x x
. 4
Por Pitágoras, descobrimos x:
Nesse segundo triangulo (também retirado da figura), temos:
y
8 cm
. 6 cm
A base do triangulo sombreado é Sua altura é
ou
sendo portanto
A área procurada é portanto,
Alternativa B
24. (UECE) No retângulo PQRS as medidas dos lados PQ e PS são, respectivamente, 15 m e 10 m. Pelo ponto médio, F, do lado PS traça-se o segmento FR dividindo o retângulo em duas partes. Se E é o ponto do lado PQ tal que a medida do segmento EQ é 5m, traça-se por E uma perpendicular a FR determinando o ponto G em FR. Nessas condições, a medida da área, em metros quadrados, do quadrilátero PFGE é: a) 50,25 b) 53,25 c) 56,25
d) 59,25 RESOLUÇÃO: 15 P
Q 10
E
5
5 10
F
. G S
Logo, o quadrilátero
R
tem a área igual a metade de
(que é um trapézio)logo:
Alternativa C
25. (UFPR) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura a seguir. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura.
A altura do suporte em B é, então, de: a) 4,2 metros. b) 4,5 metros. c) 5 metros. d) 5,2 metros. e) 5,5 metros. RESOLUÇÃO:
Observe o prolongamento da figura:
6m x 4m
.
12m
y
Pela semelhança dos triângulos acima, temos:
Calculando
temos:
Calculando x, temos
Alternativa D
.
8m
. C