Matematika samost robota by Andrey Nazarov

Міністерство освіти і науки України ДВНЗ Рівненський коледж економіки та бізнесу ―Затверджую‖ заступник директора з навчально-виховної роботи ―29‖ серпня 2014 р. Гусевик С.О. ________________

Рівне 2014 р

Математика: Методичні матеріали для забезпечення самостійної роботи студентів. – Рівне. ДВНЗ РКЕБ. 2014 р. Укладачі: Єфімчук С.О. Антоневич Ю.А. Антоневич О.Й.

Посібник для студентів перших курсів розроблений відповідно до програми з математики для 10 – 11 класів і містить основний теоретичний і практичний матеріал згідно вимог . У розробці виділено теми які виносяться на самостійне опрацювання розкривається зміст матеріалу, наводяться вправи, що готують учнів до сприйняття нового матеріалу, первинного закріплення матеріалу, повторення.

Розглянуто на засівданні циклової комісії природознавчих та фізико математичних дисциплін Протокол № 1 від ―28‖ серпня 2014 р. Голова циклової комісії Білецький В.В.___________

Розділ І. Функції, їх властивості і графіки 1. Відсоткові розрахунки. Три задачі про відсотки. 2. Числові функції. 3. Способи задання функцій.

Розділ IІ. Степенева, показникова та логарифмічна функції 1. Степенева функція. Основні види.

√

Розділ ІІІ. Рівняння, нерівності, системи 1. Основні види рівнянь з однією змінною.

Розділ V. Похідна та її застосування 1. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання. 2. Застосування похідної до дослідження функції на монотонність.

Розділ VІ. Інтеграл та його застосування 1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Розділ VIIІ. Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії 1. Аксіоми планіметрії. 2. Система опорних фактів курсу планіметрії. 3. Геометричні і аналітичні методи розв‘язування планіметричних завдань.

Розділ X. Многогранники. Об’єми та площі поверхонь многогранників 1. Многогранники та їх елементи. 2. Правильні многогранники.

Розділ XI.Тіла обертання. Об’єми та площі поверхонь тіл обертання 1. Тіла обертання та їх елементи.

САМОСТІЙНА РОБОТА СТУДЕНТІВ № розділу Розділ І. Функції, їх властивості і графіки

Тема та завдання

Література

Самостійне опрацювання теоретичних питань:

Форма контролю Опитування. Конспект.

1. Відсоткові розрахунки. Три задачі про відсотки. 2. Числові функції. 3. Способи задання функцій.

Розділ IІ. Степенева, показникова та логарифмічна

Самостійне опрацювання теоретичних питань: 1. Степенева функція. Основні види.

функції

√

Розділ ІІІ.

Самостійне опрацювання теоретичних питань:

Рівняння, нерівності, системи Розділ V. Похідна та її застосування

Опитування. Конспект.

1. Основні види рівнянь з однією змінною.

Самостійне опрацювання теоретичних питань:

Опитування. Конспект.

1. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання. 2. Застосування похідної до дослідження

функції

на

монотонність. Розділ VІ. Інтеграл та його застосування

Самостійне опрацювання теоретичних питань:

Опитування. Конспект.

1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Розділ VIIІ. Систематизація

Самостійне опрацювання теоретичних питань:

Опитування. Конспект.

та узагальнення

1. Аксіоми планіметрії.

фактів і методів

2. Система опорних фактів

планіметрії

курсу планіметрії. 3. Геометричні і аналітичні методи

розв‘язування

планіметричних завдань. Розділ X. Многогранники. Об‘єми та площі поверхонь многогранників Розділ XI. Тіла обертання. Об‘єми та площі поверхонь тіл обертання

Самостійне опрацювання теоретичних питань:

Опитування. Конспект.

1. Многогранники та їх елементи. 2. Правильні многогранники.

Самостійне опрацювання теоретичних питань: 1. Тіла

обертання

елементи.

та

Опитування. Конспект. їх

Розділ І. Функції, їх властивості і графіки 1. Відсоткові розрахунки. Три задачі на відсотки. Відсотком (процентом) називається сота частина цілого (яке приймається за одиницю). 1 % від числа а дорівнює

1 а 100

Основні задачі на відсотки 1. Знаходження відсотка від числа. Р% від числа а дорівнює Приклад. 7% від числа 300 дорівнює

р а. 100

7 · 300 = 21. 100

2. Знаходження числа за заданою величиною його відсотка. Якщо р% якого-небудь числа становить b, то все число дорівнює b :

р b 100  . 100 p

Приклад. Число, 30% якого дорівнює 24,— це число х = 24:

30 24 100 = = 80. 100 30

3. Знаходження відсоткового відношення двох чисел.

a b

Число а від числа bстановить ·100%. Приклад. Число 26 від числа 65 становить

26 2 ·100%= ·100% = 40%. 65 5 Завдання для самостійного розв’язування 1. Скільки відсотків години становлять 42 хвилини? А) 24%;

б) 42%;

в) 70%;

г) 170%.

2. Вміст цукру в яблуках становить 9,6%. Скільки 6корочено познач міститься у 25 кг таких яблук? А) 24 кг;

б) 2,4 кг;

в) 38,4 кг;

г) 3,84 кг.

3. Ціну на товар знизили на 10%, і він став коштувати 432 грн.Якою була початкова ціна товару?

А) 4320 грн; б) 480 грн;

в) 442 грн;

г) 475,2 грн.

1. Скільки відсотків години становлять 48 хвилин? А) 80%;

б) 48%;

в) 8%;

г) 84%.

2. У сплаві міді з оловом 40 % становить мідь. Скільки 7корочено позна містить шматок такого сплаву масою 8 кг? А) 50 кг;

б) 5 кг;

в) 3,2 кг;

г) 32 кг.

3. Ціну на товар підвищили на 10%, і він став коштувати 495грн. Якою була початкова ціна товару? А) 4950 грн; б) 544,5 грн; в) 45 грн;

г) 450 грн.

1) В автопарку було 200 машин, 115 з яких — вантажівки. Скільки відсотків усіх машин автопарку є вантажними? 2) Вартість деякого товару спочатку підвищили на 20%, а потім знизили на 20 %. На скільки відсотків і як змінилась початкова ціна товару? 3) В автопарку було 300 машин, 105 з яких легкові. Скільки відсотків усіх машин автопарку є легковими? 4) Вартість деякого товару спочатку підвищили на 25 %, а потім знизили на 26%. На скільки відсотків і як змінилась початкова ціна товару? 2. Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції. Монотонність функції. Залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню χ відповідає єдине значення у,називається функцією. Числовою функцією з областю визначенняD називається залежність, при якій кожному числухіз множини D ставиться у відповідність по деякому правилу єдине число у із множини Е. Зміннах називається незалежною змінною або аргументом функції, а змінна у — залежною змінною або функцією. Функцію позначають латинськими буквамиf, g, h… (або f(x), g(x), h(x)„.) або рівностями у =f(x), у =g(x), у =h(x)… Якщо задане конкретне значення незалежної 7короче = х0, то у0 =f(x0) називається значенням функції f в точці х0. Область визначення функції позначаєтьсяD(f) (від анг.define — визначити). Множина, яка складається із всіх чисел f(x) таких, щох належить області визначення функції f, називається областю значень функції і позначається E(f) (від анг. Exist — існувати). Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, формули.

Найчастіше функцію задають формулою, яка дає можливість одержати значення залежної змінної у, підставивши конкретне значення аргументу х. Наприклад. Якщо кожному значенню х із множини дійсних чисел поставити у відповідність квадрат цього числа, то-функцію можна записати у вигляді формули: у = х2 абоf(x)=x2. Областю визначення функції у =f(x), яка задана формулою,називається множина тих значень, які може приймати х, тобто формула має зміст (усі дії, вказані формулою, можна виконати). При знаходженні області визначення слід пам‘ятати: Якщо функція є многочленом у = аn хn + αn-1xn-1 +… +α1x +a0, тоD(y) = (-  ; +  ) =R. 2) Якщо функція має вигляд у = многочлени, то слід вважатиg(x)

f ( x) , де f(x) і g(x) — g ( x)

 0 (знаменник дробу не дорівнює

0). 3) Якщо функція має вигляд у =

f (x) , то слід вважати f(x) >

0 (арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід‘ємних чисел). Графіком функції у = f(x) називається множина всіх точок площини з координатами (x;f(x)) , де перша координата «пробігає» всю область визначення функції у = f(x), а друга координата — це відповідні значення функції в точці х. Виконання вправ 1 Функцію задано формулою у =x2 на області визначенняD = {-3;-2; -1; 0; 1; 2; 3}. Задайте її за допомогою: а)таблиці;

б)графіка.

Відповідь:б) рис. 1 3. Знайдіть область визначення функції: а) у = х2 + х3; б) у 

х6 х3  1 х2 ; в) у  ; д) у  2 ; є) у  х  6 . х( х  2) х3 х  5х  4

Відповідь: a) D(y) = R; б) D(y) = (-  ; 3)  (3; +  ); в)D(y)=(-  ;-2)  (-2;0)  (0;+  ); г)D(y) = (-  ; -3)  (-3; 3)  (3; +  ); д) D(y) = (-  ;l)  (l;4)  (4;+  ); є) D(y)=[-6;+  ). 4. Для функцій, графіки яких зображено на рис. 2, вкажітьD(y) і Е(у).

Рис.2 Відповідь: а) D(у) = [-1;1]; Е(у) = [0;1]; б)D(y) = [-1;1];E(y) = [-2;2]; в)D(y) = (-1;1); E(у) = R;

г)D(y) = R; Е(у) = (-1;1).

Функція у = f(x) називається зростаючою (рис. 4), якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, тобто для будь-яких значень х1 і х2з області визначення функції таких, що х1< х2, виконується нерівність f(x1) <f(x2) і навпаки: із того, що f(x1) <f(x2) виконується нерівність х1< х2. Функція у = f(x) називається спадною (рис. 5), якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, тобто для будь-яких значень х1і х2з області визначення функції таких, що х1< х2, виконується нерівність f(x1) >f(x2) і навпаки: якщо у = f(x) — спадна, то із того, що f(x1) >f(x2), виконується нерівність х1< х2.

Приклад 1. Користуючись графіками функцій, зображених на рисунку 6, укажіть проміжки зростання і спадання функцій.

Відповідь: а) на кожному з проміжків [-1;0], [1;2] функція зростає, на кожному з проміжків [-2;1], [0;1] функція спадає; б) на кожному з проміжків [-3;-2], [1;2] функція спадає; на проміжку [-2;1] функція

зростає; в) на проміжку (-  ;-1] функція спадає, на проміжку [-1; 1] функція постійна, на проміжку [1;+  ) функція зростає. Функція у =f(x) називається парною, якщо для будь-якого значеннях із D(y) значення – х також належитьD(y)і виконується рівністьf(-x) = f(x). Графік парної функції симетричний відносно осі ОУ (рис. 7). Приклад 1. Чи парна функція f(x) = χ4 + χ2 ? Оскільки D(f) = R і f(-x) = (-х)4 + (-x)2 = х4 + х2 = f(x) , функція парна. Приклад 2. Чи парна функціяf(x) = х2 + х ? Оскільки D(f) = R, але f(-x) = (-х)2 + (-х) =х2 –х

 f(x), то функція не є парною.

Функція у =f(x) називається непарною, якщо для будь-якого значення х ізD(y)значення –х  D(y) і виконується рівність f(-x) = -f(х). Графік непарної функції симетричний відносно початку координат (рис. 8). Приклад 3. Чи непарна функція f(х) = x3-x5?ОскількиD(f) = R і f(-х) = (-х)3-(-х)= -х3 + х5 = = -(х3 – х5) = -f(х), функція непарна. Приклад 2. Чи непарна функція f(х) = х3 – х2? ОскількиD(f) = R іf(-x) = (-х)3 – (-х)2 = -х3 – х2 = -(х3 + х2)  f(x) = -х3 + х2, функція не є непарною. Виконання вправ 3. Які із функцій, графіки яких показано на рисунку 9, є парними, а які непарними?

Рис. 9 Відповідь:непарні — а), в);

парні — б) д).

2. Які із поданих функцій а) у = х3 + 2х7; б) у = х  1 ; в) у = х ; г) у = 3x2 + х6; д) у = х +1; є) у = х +1 є парними, а які — непарними? Виконання вправ

1. Побудуйте графіки функцій а) у =х – 2;

б) у = 3 – х;

в) у = х2 – 2х; г) у = х2 – 4х + 3; д) у = 4х – х2 Відповідь:

3.Функції та способи їх задання” Функціональна лінія пронизує весь курс алгебри основної школи і розвивається у тісному зв‗язку з тотожними перетвореннями, рівняннями і нерівностями. Поняття функції виникло в математиці порівняно недавно. Для того щоб прийти до розуміння доцільності його введення й одержати перші досить чіткі означення, потрібні були зусилля відомих математиків декількох поколінь. Революційні зміни в математиці, що відбулися в ХVІІ сторіччі, викликані роботами багатьох вчених, що представляють різні країни і народи. Але в першу чергу варто назвати імена:

П. Ферма (1601—1665),

Р. Декарта (1596—1650),

Необхідні передумови до виникнення поняття функції були створені в 30-х роках ХVII в., коли виникла аналітична геометрія, що характеризується, на відміну від класичних методів геометрів Древньої Греції, активним залученням алгебри до рішення геометричних задач. Практично одночасно (і незалежно один від одного) французькі математики П. Ферма і Р. Декарт помітили, що введення системи координат на площини і завдання фігур їхніми рівняннями дозволяють звести багато задач геометрії до дослідження рівнянь геометричних фігур. На честь Декарта, що дав розгорнутий виклад нового методу в книгах «Геометрія» і «Міркування про метод», прямокутна система координат пізніше була названа декартовою. Істотно помітити, що одночасно формувалася й алгебра, створювалося «буквене числення», те саме, за допомогою якого зараз перетворюються алгебраїчні вирази, розв‖язуються рівняння, текстові задачі і т. п. Великий англійський учений, математик і фізик І. Ньютон, досліджуючи залежності координат точки, що рухається, від часу, фактично вже займався дослідженням функцій. Хоча не він увів це поняття, Ньютон ясно усвідомлював його значення. Так, у 1676 р. він відзначав: «Я не міг би, звичайно, одержати цих загальних результатів, перш ніж не відвернувся від розгляду фігур і не звів усе просто до дослідження ординат» (тобто фактично функцій від часу). Сам термін «функція» уперше зустрічається в рукописі великого німецького математика і філософа Г. Лейбніца — спочатку в рукописі (1673 р.), а потім і в друкованому вигляді (1692 р.). Латинське слово function переводиться як «здійснення», «виконання» (дієслово fungor переводиться також словом «виражати»). Лейбніц увів це поняття для назви різних параметрів, зв‘язаних з положенням точки на площині. У ході переписування Лейбніц і його учень — швейцарський математик И. Бернуллі (1667— 1748) поступово приходять до розуміння функції як аналітичного виразу й у 1718 р. дають таке означення: «Функцією змінної величини називається кількість, складена яким завгодно способом з цієї перемінної і постійних». Л. Эйлер у своїй книзі «Введення в аналіз» (1748 р.) формулював

означення

функції

так:

«Функція

перемінної

кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь способом з цієї перемінної кількості і чисел чи постійних кількостей». Эйлер же ввів і прийняті зараз позначення для функцій. Сучасне означення числової функції, у якому це поняття вже звільнялося від способу завдання, було дано незалежно один від одного російським математиком Н. И. Лобачевским (1834 р.)

і німецьким математиком Л. Діріхле (1837 р.). Складний і, дуже тривалий шлях розвитку поняття функції досить типовий. Для того щоб усвідомити необхідність уведення нового абстрактного поняття, потрібно виділити його в процесі рішення багатьох конкретних задач, дати означення, яке по можливості точно відбиває його зміст. До поняття функції математики прийшли, відправляючись від конкретних і важких задач математики і її додатків. Це відбувалося в процесі створення нового могутнього апарата досліджень — інтегрального і диференціального числення. Відкриття інтегрального і диференціального числення, центральним поняттям яких Эйлер проголосив функцію («Весь аналіз нескінченного обертається навколо перемінних кількостей і їхніх функцій»), розширило можливості математики. Способи задання функцій Розшукують різні способи задання функції та її властивості Функція – одне з найважливіших понять математики вона дає можливість досліджувати і моделювати не тільки стани, а й процеси. Дослідження процесів і явищ за допомогою функцій – один з основних методів сучасної науки. Площа квадрата залежить від довжини його сторони. Кожному значенню довжини сторони квадрата відповідає єдине значення його площі. Кожному значенню змінної х відповідає єдине значення виразу 2х – 1. Прикладів залежностей і відповідностей мажна навести багато. Для науки і практики важливо вміти досліджувати такі відповідності. Їх називають функціональними відповідностями або функціями. У розглянутих прикладах ідеться про зв'язок між двома змінними. Одну з них, значення якої вибирають довільно, називають незалежною змінною, або аргументом. Другу змінну яка залежить від аргументу, називають залежною змінною, або функцією. Якщо кожному значенню змінної х деякої множини D відповідає єдине значення змінної у, то змінну у називають функцією від х. За таких умов змінну х називають аргументом функції у, множину D – областю визначення функції, а відповідність між х і у - функцією Розрізняють чотири способи завдання функції: аналітичний, графічний і табличний і словесний. 1. Табличний спосіб задання функції дуже зручний, коли область визначення функції складається зі нескінченного числа точок. Функцію задано таблично, коли в одному

рядку (або стовпчику) записані всі значення аргументу, а в другому відповідні значення функції. х у Приклади таких таблиць: таблиця квадратів чисел, таблиця кубів чисел, таблиця основних тригонометричних функцій Наприклад, функцію у = 2х – 1 для перших пяти натуральних значень х можна задати у вигляді такої таблиці. х

Область визначення даної функції: 1,2,3,4,5

Область значень даної функції: 1,3,5,7,9 Табличний спосіб задання функції незручний тільки тим, що таблиця займає багато місця. До того ж, як правило. Містить значення функції не для всіх значень аргументу, а тільки для деяких.

2. Графічний спосіб задання функції полягає в тому, що подається графік цієї функції. Для використання графіків функції використовують прямокутну систему координат хОу. Це сукупність двох взаємно перпендикулярних числових осей зі спільним початком.. Одну з осей – горизонтальну – називають віссю абсцис, або віссю іксів, або віссю Ох. Другу, вертикальну вісь, називають ординатою або віссю ігриків,. Або віссю Оу. Числа, що позначають положення точки на координатній площині хОу, називають координатами точки. Графіком функції у = f(х) називають множину точок площини хОу, абсцисами яких є значення аргументу х, а ордината – відповідні значеня у = f(х). Аналітичний спосіб задання функції полягає в тому, що у виражають через х за допомогою формули або аналітичного виразу. Задання функції формулою зручне тим. Що дає можливість знаходити значення функції для довільного значення аргументу. Таке задання функції досить економне: здебільшого формула займає один рядок.

Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення, то вважають. Що ця область – множина всіх значень змінної, при яких формула має зміст. Наприклад, область визначення функції у = 2х – 1 – множина всіх чисел а функції

- множина всіх чисел, крім 2, оскільки тоді знаменник перетвориться в

нуль, а на нуль ділити не можна. 3. Словесне задання функції полягає в тому, що відповідність між х тау виражається словами. До словесного способу задання функції належить і такий, коли функція задається за допомогою кількох формул, кожна з яких діє при певних значеннях аргументу, що доводиться визначати словами. Наприклад,

Графік – це лінія, що говорить і яка може про багато що розповісти. М. Б. Балк Розглядають питання побудови графіків фукцкції та застосування їх до розвязування вправ Графіком функції називається фігура. Яка складається з усіх точок координатної площини. Абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ордината – відповідним значенням функції. Графічний спосіб задання функції Маючи графік функції, можна знаходити її хзначення за відомим значенням аргументу і навпаки: знаходити значення аргументу за відомим значенням функції. Розглянемо, наприклад, функцію, графік якої зображено на рисунку. (Про таку функцію кажуть, що вона задана графічно). Знайдемо за допомогою графіка значення функціх, якщо х=4. ДЛя цього через точку осі х з абсцисою 4 проведемо пряму, паралельну осі у. Точка її перетину із графіком функції має координати (4;8). Отже, якщо х=4, то значення функції дорівнює 8. Знайдемо за допомою цього ж графіка значення аргументу, для яких значення функції дорівнює 6. Для цього через точку осі у з ординатою 6 проведемо пряму, паралельну осі х. Одержимо дві точки її перетину із графіком функції: (2;6) і (8;6). Отже, функція набуває значення 6, якщо х=2 або х=8. Деяка лінія на координатній площині задає функцію, якщо, користуючись нею, для кожного значення змінної х можна знайти тільки одне значення змінної у.

Дивлячись на графік, зображений на рисунку, можна відмітити деякі властивості функції, заданої цим графіком. 1). Область визначення функції утворюють усі значення х, що задовольяють нерівності 5<=x<=10. 2). найбільше значення функції дорівнює 9 (цього значення функція набуває, якщо х=6). 3). Найменше значення функції дорівнює -2 (цього значення функція набуває, якщо х=-5). 4). Область значень функції утворюють усі значення у, що задовольняють нерівності 2<=y<=9. 5). Значення функції дорівнює нулю, якщо х=-3.Ті значення аргументу, для яких значення функції дорівнює нулю, називають нулями функції. Отже, значення х=-3 є нулем даної функції. 6). Функція набуває додатних значень, якщо -3<x<=10; від'ємних значень - якщо -5<=x<3. Щоб побудувати графік функції, треба скласти таблицю декількох значень її аргументу і знайти відповідні їм значення функції. Точки з одержаними координатами наносять на координатну площину і з‘єднують їх лінією. За допомогою графіка функції можна знаходити значення функції в інших точках координатної площини. Для цього треба знайти на осі х потрібне значення аргументу, відповідну йому точку графіка, і з‘ясувати, яку ординату має ця точка графіка. Якщо графік перетинає вісь абсцис, то можна зробити висновок, що функція набуває значення нуль при х, що дорівнює абсцисам точок перетину з віссю. За графіком можна з‘ясувати, при яких значеннях х функція набуває додатних значень (для яких значень х графік функції лежить вище осі абсцис), і при яких від‘ємних значень (для яких значень х графік функції лежить під віссю абсцис). За графіком можна з‘сувати чи функція зростаюча, чи спадна. Функція називається зростаючою, якщо більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції. Функція називається спадною, якщо більшому значенню аргумента відповідає менше значення функції. Лінійна функція. Лінійною функцією називають функцію, що задається формулою y = bx + c, де x – аргумент; с, b - константи. Її графік – пряма лінія. Наприклад, задано функцію y = 2x + 1. Розглянемо частинні випадки побудови графіків цієї функції: 1. Побудувати графік функції y = bx – графік прямої пропорційності, який є частинним видом рівняння y = kx + b,

якщо b = 0. Згідно з прикладом слід побудувати графік

функції y = 2x. Графіком є пряма лінія, що утворює з віссю абсцис кут.

2. Побудувати графік функції y = c (це частинний вид рівняння y = kx + b, який b = 0), тобто побудувати графік функції y = 1. Графіком є пряма лінія, паралельна вісі абсцис; 3. Побудувати графік функції y = kx + b, тобто згідно з прикладом – графік функції y = 2x + 1. Графіком є пряма лінія, що утворює з віссю абсцис кут. Графік оберненої пропорційності. Обернено пропорційні величини x та y пов‘язані співвідношенням xy = b або, причому. Наприклад, побудувати графік функції. Графіком є рівностороння гіпербола. Графік лінійного рівняння з двома змінними. Рівняння виду ах + bу = с, де а, b і с - деякі числа, називається лінійним рівнянням з двома змінними х і у. Графіком кожного лінійного рівняння з двома змінними є пряма. Якщо а, b і с не дорівнюють нулю, то пряма проходить під кутом до координатних осей і перетинає їх у двох точках. y

1 -2

x 1

-5

Якщо права частина лінійного рівняння з двома змінними дорівнює нулю, то пряма проходить через початок координат під кутом до координатних осей.

-2

Якщо коефіцієнт при змінній х = 0, а інші не дорівнюють нулю, то пряма паралельна осі х. y y=4

1 0

y=0 x

y= -5 -5

Якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при у, не дорівнюють нулю, то пряма паралельна осі у. y

1 -3

x= 0 x= -3

x= 6

Якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при у, дорівнюють нулю, то пряма співпадає з віссю абсцис. Якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при х, дорівнюють нулю, то пряма співпадає з віссю ординат. Якщо всі коефіцієнти дорівнюють нулю, то графіком будуть усі точки координатної прямої. Якщо всі коефіцієнти, окрім вільного члена, дорівнюють нулю, то не одержимо жодної точки. Розглянемо рівняння 3x-2y=6. Надавши змінній x значень 0, 1, 2, 3,..., знайдемо відповідні значення змінної у. Матимемо розв'язки даного рівняння: (0; -3), (1; -1,5), (2; 0), (3; 1,5)…

Якщо на координатній площині позначити точки, що відповідають цим парам, виявиться, що всі вони розміщені на одній прямій. Цю пряму називають графіком (графік - graph) даного рівняння. Графік кожного рівняння першого степеня з двома змінними - пряма. Якщо потребується знайти спільні розв'язки двох чи кількох рівнянь, то говорять, що ці рівняння утворюють систему. Розв'язком системи рівнянь називають спільний розв'язок усіх її рівнянь.

Розділ IІ. Степенева, показникова та логарифмічна функції 1. Степенева функція. Основні види.

√

Степеневою функцією називається функція виду у = хp, де р — постійне дійсне число, а х(основа) — змінна. Згадаємо властивості степеневих функцій, їхні графіки. Результати наших досліджень будемо записувати в таблицю 18. Функція у = хp p

1 .

Графік

D(y)

E(y)

Парність(неп Зростання арність)

спадає,якщо

p=2k, k N

(спадання)

[0; +  )

парна

х  (-  ;0], зростає, якщо х  [0; +  )

2 p=2k+1 .

k N

непарна

зростає

зростає,якщо

3 p=-(2k),k  N

x≠0

(0;+  )

парна

х  (-  ;0); спадає, якщо х  (0; +  )

спадає

4 . p=-(2k-1)k  N

x≠0

y≠0

непарна

на проміжках (  ; 0),(0; +  )

5 p> 0, p – не ціле, 0<р<1

6 Р>0, . p – не ціле,р>1

[0;+  ) [0;+  )

7 р<0,р – неціле

[0;+  ) [0;+  )

(0;+  ) (0;+  )

ні парна, ні непарна

зростає

спадає

Якщо р = 2k, k  Z, то функція у =х2k. Якщо k = 1, то ця функція має вигляд у = х2. Згадаємо її основні властивості. Функція у = х2: визначена для будь-якого дійсного х; додатна при х ≠ 0 і дорівнює 0 при х = 0; приймає всі невід‘ємні значення; парна (графік симетричний відносно осі OY); спадає, якщо х є (-  ; 0] і зростає, якщо х є [0; +  ). Такі саме властивості має. Функція у = х2k Якщо р = 1, то функція має вигляд у = х (графік — пряма, що проходить через початок координат і ділить перший і третій координатний кути пополам). Якщо р =3, то ця функція має вигляд у = х3. Функція у = х3: визначена для будь-якого дійсного х;додатна при х > 0, від‘ємна при х < 0 і дорівнює 0 при х = 0; зростаюча; приймає всі дійсні значення; непарна (графік симетричний відносно початку координат), Такі самі властивості має степенева функція у = х2k+1, k  N). Розглянемо функцію у =

1 . Ця функція визначена при х ≠ 0 і приймає всі додатні х2

значення. Функція парна (графік симетричний відносно осі OY). При х < 0 функція зростає, а при х> 0 — спадає. Такі саме властивості має степенева функція у = х-2k =

1 ,k х2

 N. Якщо р =–1, то функція має вигляд у = х-1 =

1 . Ця функція визначена при х ≠ 0. При х

х > 0 функція у = у=

1 приймає додатні значення, а при х < 0 — від‘ємні. При х > 0 функція х

1 спадає, і при х < 0 — спадає. х

Такі саме властивості має степенева функція у = х– (2k– 1) = Згадаємо властивості функції у =

1 х

2 k 1

x . Отже, функція у =

, k  N.

x : визначена при х > 0;

додатна при х > О і дорівнює нулю при х = 0;зростає на всій області визначення; приймає всі невід‘ємні значення. Якщо р — додатне раціональне число, то степенева функція у = xp визначена при х  0 і має такі саме властивості, які функція у =

Розділ ІІІ. Рівняння, нерівності, системи 1. Лінійні рівняння з однією змінною 1. Розв'язуючи рівняння, під час рівносильних перетворень ми дістаємо рівняння, що можна записати в одному вигляді, якщо записати числа буквами, а саме: ах = b. 2. Рівняння виду ах = b, де а і b — числа, а х — невідоме, називається лінійним рівнянням з одним невідомим. Наприклад: 3х = 2; 3х = 6; 0х = 6; -6х = 0; 0х = 0; 2х = 5. 3. Схема розв'язання лінійного рівняння виду ах = b. 4. а) 5(2х – 1) = 4х – 23;

б) 3х – 4 = 3(х – 2);

в) 3х – 2(х – 1) = х + 2.

Шляхом рівносильних перетворень зводимо рівняння до виду ах = b, а далі за схемою: 10х – 5 = 4х – 23;

3х – 4 = 3(х – 2);

3х – 2х + 2 = х + 2;

10х – 4х = -23 + 5;

3х – 4 = 3х – 6;

х + 2 = х + 2;

6х = - 18

3х – 3х = -6 + 4;

х – х = 2 – 2;

х = -18 : 6

0х = -2.

0х = 0.

Відповідь. - 3

Відповідь. Коренів немає

Відповідь. х — будь-яке

число Зауважимо: 1) Під час розв'язування рівняння ах = b при а ? 0 поширеною є така помилка учнів: спроба знаходження х як частки у вигляді цілого числа або десяткового дробу (часто чуємо, що 3х = 2 не розв'язується, бо наголошуємо, що при а ? 0 корінь

2 < 3). Тому, застосовуючи алгоритм,

х = існує завжди, незалежно від співвідношення і та

а, і може бути як натуральним, так і цілим числом або дробом — звичайним чи десятковим. Але, щоб не виконувати зайвих дій, (окрім випадків, коли ділення найкраще

виконується усно) корінь х треба записувати спочатку саме як дріб, а потім вже використовувати набуті в 6 класі вміння перетворювати дроби. 2) У прикладах 4 (б, в) дуже важливо, щоб учні зрозуміли, звідки береться Ох у лівій частині лінійного рівняння. Тому актуалізація знань (див. вище) є дуже важливим елементом уроку. Квадратні рівняння Квадратні рівняння є різновидом рівнянь другого степеня з однією змінною. Числа a,b,c — його коефіцієнти, при чому a також називається першим коефіцієнтом, b — другим, c — вільним членом. Будь-яке квадратне рівняння має один чи два корені (Зазвичай, коли кажуть, що коренів немає, то мається на увазі, що немає дійсних коренів: в такому разі обидва корені є комплексними). Вони позначаються як x1 та x2 або, якщо йдеться про обидва корені одночасно, то x1,2. В деякій літературі зустрічається ще й таке позначення: x + і x − . Неповні квадратні рівняння Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю: якщо a = 0, то ax2 + bx + c = 0 перетворюється у лінійне рівняння bx + c = 0. Якщо хоч один коефіцієнт b або c дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається неповним. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів: 

;



;



Розв'язування неповних квадратних рівнянь 

Рівняння виду ax2 = 0 рівносильне рівнянню x2 = 0 і тому завжди має тільки один корінь x = 0.



Рівняння виду ax2 + bx = 0 розв'язується винесенням за дужки x: x(ax + b) = 0. Таке рівняння має два корені: x1 = 0,x2 = − b / a



Квадратне рівняння виду ax2 + c = 0 рівносильне рівнянню x2 = − c / a. Якщо − c / a > 0, воно має два розв'язки, якщо − c / a < 0 — жодного. Отже, якщо знаки коефіцієнтів різні, то c / a додатне і рівняння має два корені. Якщо знаки коефіцієнтів однакові, число − c / a від'ємне і ax2 + bx = 0 не має коренів.

Повне квадратне рівняння Повним називається таке квадратне рівняння, у якому жодний з коефіцієнтів

не

дорівнює нулю.

Дискримінант Повні квадратні рівняння розв'язуються за допомогою дискримінанта (лат. diskriminans — розрізняючий), який позначається латинською літерою Помноживши обидві частини рівняння

на

, дістанемо:

і далі за формулою скороченого множення отримаємо

. Права частина цього виразу і є дискримінантом:

Розв'язування повних квадратних рівнянь

Якщо

, то квадратне рівняння рівносильне рівнянню

, звідки

або

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед Коротко ці корені записують так:

, де

Якщо

, то

, звідки

— єдиний корінь.

У випадку, якщо дискримінант менший за нуль, то дане рівняння не має дійсних коренів. Але при цьому є можливість знайти два комплексних корені за формулою (1) або, скориставшись наступною формулою, щоб не добувати корінь з від'ємного числа:

Зведені квадратні рівняння Зведеними називаються такі квадратні рівняння, у яких перший коефіцієнт дорівнює одиниці — a = 1. Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити у зведене, іншими словами, звести його. Для цього треба обидві частини рівняння поділити на : поділивши ax2 + bx + c = 0 на a отримаємо

Теорема Вієта Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнтові рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену. Для прикладу візьмемо зведене рівняння

і позначимо

через

а через

Тоді воно матиме такий вигляд:

отже за теоремою Вієта:

Інші методи розв'язування Для знаходження коренів існують формули, які можуть стати в нагоді у деяких часткових випадках. Так, наприклад, формулу

зручно використовувати при парному p. Її перевага полягає і в непотрібності окремого знаходження дискримінанта, що значно спрощує необхідні обчислення. Також поширеною є формула

але суттєвим її недоліком є неможливість отримати два корені при c = 0. Тобто у випадку відсутності вільного члена з допомогою неї не вдасться добути другий корінь (перший дорівнюватиме нулю). Цю проблему можна вирішити використовуючи змішаний вигляд вищезазначеної формули:

де sgnb — sgn-функція. Цей спосіб розв'язування рівнянь дещо простіший за звичайний метод і позбавлений недоліку формули (2). Аналітична геометрія

Графік функції y = x2 − x − 2 перетинає вісь абсцис у точках з координатами, що дорівнюють кореням рівняння x2 − x − 2 = 0 Корені рівняння

є також нулями функції

В точках перетину її графіка з віссю абсцис значення x-координати дорівнюватиме кореням рівняння. У випадку, коли дискримінант цього рівняння більший нуля, графік перетинається з віссю у двох точках; коли D = 0, графік дотикається до неї в одній точці; якщо ж дискримінант менший за нуль, графік не перетинає вісь Ox взагалі.

Ліва частина квадратного рівняння, яка також називається квадратним тричленом, може бути розкладена на множники за такою формулою: , де

— корені цього рівняння.

Рівняння, що зводяться до квадратних До квадратних можна звести біквадратне, а також будь-яке рівняння виду ax2n + bxn + c = 0, зробивши заміну t = xn. Для прикладу розв'яжемо наступне рівняння:

Зробимо заміну t = x3:

Це звичайне квадратне рівняння, корені якого знайдемо за формулою (2):

Маючи значення t легко знайти корені початкового рівняння:

Історія Необхідність розв'язування рівнянь другої степені, в тому числі й квадратних, у стародавні часи була викликана потребою вирішувати проблеми пов'язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія. Квадратні рівняння вміли вирішувати вавилоняни близько 2000 років до н.е. Серед клинописних текстів були знайдені приклади розв'язання неповних, а також часткових випадків повних квадратних рівнянь. Відомо, що їхні методи розв'язання майже збігаються із сучасними, проте невідомо, яким чином вавилоняни дійшли до цих методів: майже на всіх знайдених до цього часу клинописних текстах збереглися лиш вказівки до знаходження коренів рівнянь, але не вказано, як вони були виведені. Однак, не дивлячись на розвинутість математики у ті часи, в цих текстах немає ані найменшої згадки про від'ємні числа і про загальні методи розв'язання рівнянь.

В стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. н.е. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язання повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися. Правило знаходження коренів рівняння, зведеного до вигляду ax2 + bx = c уперше дав індійський вчений Брахмагупта. Загальне

правило

розв'язання

квадратних

рівнянь

було

сформоване

німецьким

математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Виводом формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язання квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Франсуа Вієт

Ім'я при народженні Народився

Франсуа Вієт 1540 Фантене-ле-Конт

Помер

14 лютого 1604 Париж

Національність

француз

Відомий

теорема Вієта

Діяльність

математик

Франсуа Вієт (фр. François Viète, seigneur de la Bigotière) (*1540 — †14 лютого 1603, Париж) – французький математик, який започаткував алгебру як науку про перетворення виразів, про розв‘язування рівнянь у загальному вигляді. Вієт став позначати буквами не тільки невідомі, але й дані величини. Тим самим йому вдалося ввести в науку можливість виконання алгебраїчних перетворень над символами, тобто ввести поняття математичної формули. Цим він вніс важливий вклад в створення буквенної алгебри, чим закінчив розвиток математики епохи Відродження і підготував ґрунт для появи результатів Ферма, Декарта, Н‘ютона.

Франсуа Вієт народився в 1540 році на півдні Франції у невеликому містечку Фантене-ле-Конт провінції Пуату-Шарант, що знаходиться у 60 км від Ла-Рошелі, що була на той час оплотом французьких протестантів-гугенотів. (Гугеноти - наслідувачі кальвінізму, однієї з основних течій Реформації Церкви.) Більшу частину життя він прожив поряд із основними керівниками цього руху, хоча сам залишався католиком. Мабуть, релігіозні незгоди вченого не турбували. Батько вченого був прокурором. За традицією, син вибрав професію батька і став юристом, закінчивши університет у Пуату. У 1560 році двадцятирічний адвокат почав свою кар‘єру у рідному місті. Як адвокат Вієт користувався у населення авторитетом та повагою. Але через три роки перейшов на службу у відому гугенотську сім‘ю де Партене. Він став секретарем власника будинку і вчителем його дочки, дванадцятирічної Катерини. Саме навчання пробудило в молодого юриста інтерес до математики. Коли учениця виросла та вийшла заміж, Вієт не розлучився з її родиною і переїхав з нею до Парижу, де йому було легше дізнатися про досягнення провідних математиків Європи. З деякими вченими Вієт познайомився особисто. Він спілкувався з відомим профессором Сорбонни Рамусом, з найбільшим математиком Італії Рафаелем Бомпеллі вів дружнє листування. У 1571 році Вієт перейшов на державну службу, ставши радником парламента у Бретані. Знайомство з Генріхом Наварським, майбутнім королем Франції Генріхом IV, допомогло Вієту зайняти видну придворну посаду – таємного радника – спочатку при королі Генріху ІІІ, а потім і при Генріху IV. Він прославився тим під час франко–іспанської війни. Іспанські інквізитори вигадали дуже важкий шифр, який складався приблизно з 600 знаків і весь час змінювався і доповнювався. Завдяки цьому шифру войовнича та сильна на той час Іспанія могла вільно листуватися з супротивниками французкого короля навіть у самій Франції, і це листування залишалося нерозгаданим. Після марних спроб знайти ключ до шифру король звернувся до Вієта. Розповідають, що Вієт, протягом двох тижнів поряду дні і ночі провів за роботою, все ж таки знайшовши ключ до шифра. Після цього несподівано для іспанців Франція стала вигравати один бій за іншим. Пізніше іспанцям стало відомо, що шифр для французів уже не таємниця і що винуватець його розшифровки – Вієт. Будучи впевненими, в неможливості розгадати спосіб тайнопису людьми, вони звинуватили Францію перед папою римським та інквізицією в проказах диявола, а Вієт був звинувачений у союзі з дияволом та присуджений до спалення на полум‘ї. На щастя для науки він не був виданий інквізиції.

Знаходячись на державній службі, Вієт залишався вченим. До цього часу належать свідоцтва сучасників Вієта про його величезну працездатність. Будучи чимось захопленим, вчений міг працювати по три доби без сну. У 1584 році через настоювання Гізів Вієта звільнили з посади та послали до Парижу. Саме на цей період прийшлася вершина його діяльності. Отримавши несподіваний спокій та відпочинок, вчений поставив собі ціль скласти всеосяжну математику, яка дозволить розв‘язувати будь-які задачі. У нього склалося переконання у тому, «що має існувати загальна, невідома ще наука, яка охоплює і розумні роздуми найновіших алгебраїстів, і глибокі геометричні розвідки древніх». Головною пристрастю Вієта була математика. Він глибоко вивчив твори классиків Архімеда і Діофанта, найближчих попередників Кардано, Бомпеллі, Стевіна та інших. Вієта вони не лише захоплювали, в них він бачив велику ваду, яка полягала у важкості розуміння через словесну символику. Майже всі дії і знаки записувалися словами, не було навіть натяку на ті зручні, майже автоматичні правила, якими ми зараз користуємось. Неможна було записувати і, отже, вивчати в загальному вигляді алгебраїчні рівняння або якісь алгебраїчні вирази. Кожний вид рівняння з числовими коефіцієнтами розв‘язувався за особливим правилом. Так, наприклад у Кардано розглядалося 66 видів алгебраїчних рівнянь. Тому необхідно було довести, що існують такі загальні дії над усіма числами, які від самих чисел не залежать. Вієт та його наслідувачі встановили, що не має значення, чи буде розглядаєме число кількістю предметів або довжиною відрізка. Головне, що над цими числами можна виконувати алгебраїчні дії і в результаті знову отримати числа такого самого роду. Отже, їх можна позначати якимись абстрактними знаками. Вієт це й зробив. Він не лише ввів своє буквенне обчислення, але й зробив принципово нове відкриття, поставивши перед собою ціль, вивчати не лише числа, а й дії над ними. Правда, в самого Вієта алгебраїчні символи були ще мало схожі на наші. Зі знаків дій він використовував ―+‖ і ―-‖, знак радикалу і горизонтальну риску для ділення. Добуток позначав словом ―in‖. Вієт першим став використовувати дужки, які, правда, в нього мали вигляд не дужок, а риски над мноогочленом. Але багато знаків, які були введені до нього, він не використовував. Так, квадрат, куб і т. д. Позначав словами або першими буквами слів. Основу свого підходу Вієт називав видовою логістикою. Наслідуючи приклад стародавних, він чітко розмежував числа, величини та відношення, зібравши їх у деяку систему ―видів‖. У цю систему входили, наприклад, змінні, їх корені, квадрати, куби і т.д. Для цих видів Вієт дав спеціальну символіку, позначивши їх прописними буквами латинського алфавіту. Для невідомих величин застосовувалися голосні букви, для змінних – приголосні. Вієт показав, що, оперуючи з символами, можна отримати результат, який пристосований до будь–яких величин, тобто розв‘язати задачу в загальному вигляді. Це

поклало початок корінній зміні у розвитку алгебри: стало можливим буквенне обчислення.

Не

випадково,

що

за

це

Вієта

називають

«батьком»

алгебри,

основоположником буквенної символики. Особливо пишався Вієт усім відомою тепер теоремою про вираження коренів квадратного рівняння через його коефіцієнти, яку він отримав самостійно, хоча тепер стало відомо, залежність між коефіцієнтами і коренями рівняння (навіть більш загального вигляду, ніж квадратне) була відома ще Кардано, а в такому вигляді, в якому ми використовуємо її для квадратного рівняння, - давнім вавилонянинам. Теорема була оголошена у 1591 році. Тепер вона носить ім‘я Вієта, а сам автор формулював її так: ―Якщо B+D, помножене на А, мінус А в квадраті дорівнює BD, то А дорівнює В і дорівнює D‖. Теорема Вієта стала зараз найвідомішим твердженням шкільної алгебри. Теорема Вієта варта уваги, тим паче що її можна узагальнити для многочленів будь–якого степіня. Великих успіхів досяг вчений і в геометрії. Стосовно до неї він зміг розробити цікаві методи. У трактаті «Доповнення до геометрії» він намагався створити за прикладом давніх

якусь

геометричну

алребру,

використовуючи

геометричні

методи

для

розв‘язування рівнянь треього та четвертого степеня. Будь– яке рівняння третього або четвертого степеня, стверджував Вієт, можна розв‘язати геометричним методом трисекції кута або побудовою двох середніх пропорційних. Математиків протягом столітть цікавило питання розв‘язування трикутників, так як він диктувався

потребами

астрономії,

архітектури,

геодезії.

Вієта

методи,

які

використовувалися раніше придбали більш завершеного вигляду. Так він першим явно сформулював у словесній формі теорему косинусів, хоча положення, еквівалентні їй, епізодично використовувалисьз першого століття нашої ери. Відомий ранішесвоїю важкістю випадок розв‘язування трикутника по двум даним сторонам і одному з протилежних їм кутів отримав у Вієта вичерпний розгляд. Було ясно сказано, що рішення не завжди можливе. Якщо ж рішення є, то може бути одне або два. Глибоке знання алгебри давло Вієту великі переваги. При цьому інтерес до алгебри спочатку був викликаний додатками до тригонометрії та астрономії. Не лише кожне нове використання алгебри давало імпульс новиим дослідам по тригонометрії, але й отримані тригонометричні результати стали джерелом важливих успіхів алгебри. Вієту належить висновок виразув для синусів (або хорд) и косинусів кратних дуг. У 1589 році, після вбивства Генріха Гіза за наказом короля, Вієт повернувся до Парижу. Але у тому ж році Генріх III був вбитий монахом – прихильником Гізів. Формально французька корона перейшла до Генріха Наваррського – голови гугенотів. Але лише після

того, як у 1593 році цей керівник прийняв католицьку віру, в Парижі його визнали королем Генріхом IV. Так був покладений кінець релігіозній війні, яка довгий час впливала на життя кожного франццуза, навіть зовсім не цікавившегося ні політикою, ні релігією. Подробиці життя Вієта у той час невідомі. Відомо лише, що він перейшов на службу до Генріха IV, знаходився при дворі, був відповідальним урядовцем і користувався великою повагою як математик. За легендою, посол Нідерландів сказав на прийомі у короля Франції Генріха IV, що їхній математик Адріан ван–Роумен задав математикам миру задачу. Але у Франції, мабуть, немає математиків, так як серед тих, кому особисто адресувався виклик, немає жодного француза. Генріх IV відповів, що у Франції є математик, і запросив Вієта. Він у приймальні короля, у присутності короля, міністрів та гостей, знайшов один корінь запропонованого рівняння 45-го степіня. Король був дуже задоволений. На наступний день Вієт знайшов ще 22 корені рівняння. Цим він і обмежився. Так як останні 22 корені – від‘ємні, а Вієт не визнавав ні від‘ємних, ні мнимих коренів. В останні роки життя Вієт пішов з державної служби, але продовжував цікавитися наукою. Відомо, наприклад, що він вступив у полеміку з приводу введення нового григоріанського календаря. І навіть хотів створити свій календар. У мемуарах деяких придрорних Франції є вказівки, що Вієт був одружений, що в нього була дочка, єдина спадкоємниця імення, за яким Вієт звався синьйор де ла Біготьє. У придворних новинах маркіз Летуаль писав: ―...14 лютого 1603 р. Господин Вієт, рекетмейстр, людина великого розуму і розмірковування і один з найбільш вчених математиків століття помер... в Парижі, маючи, за загальною думкою, 20 екю. Йому було більше шістидесяти років‖.

Розділ V. Похідна та її застосування

Похідні елементарних функцій.

Ми довели, що похідна лінійної функції у = kx + b дорівнює k, тобто (kx + b)’ = k. Якщо покластиk = 0, b = С, де С — довільна постійна, то одержимо, щоC’ = 0, тобто похідна постійної функції дорівнює 0. Якщо у формулі(kx +b)' = kпокластиk = 1,b = 0, то одержимоx’ = 1. Нам уже відомо, що (х2)’ = 2х. А як знайти похідні функції у = x5, у = х20 тощо? Розглянемо функцію у == хn, деn  N.Звідси

(xn)’ =nxn – 1, де n N.

Розглянемо функцію y = х- n, деn  N.Отже,

( x  n )'  n  x0 n1 , деn N.

Таким чином, для всіх цілих n виконується рівність: (xn)’ = nxn – 1. 1. Знайдіть похідні функції: а) у = х6;

б) у = х8;

Відповідь: а) 6х5;

г) 6х5.

б) 8х7;

в) 7х6;

; г) y =

х2 х8

в) y = x2·x5;

2. Знайдіть похідні функцій: а) у = х-10; б) y = x2·x-5; в) y = Відповідь: а) –10х-11; б) -3х-4;

г) y =

х8 х2

1 х6

в)

-6х-7;

г) -6х-

(sinх)‘ =cosх.(cosх)' = -sinx. Таблиця похідних елементарних функцій

Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій. Теорема: Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхня сума диференційована в цій точці і (f(x)+g(x))’ = f’(x)+g’(x). Або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних. Наслідки а) Похідна різниці дорівнює різниці похідних. Нехай у(х) =f(x) –g(x), тодіf(x) = y(x) +g(x) і f’(x) = у’(х) + g’(x), звідси у’(х) = f’(x) – g’(x). б) Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій, тобто (f1(x) + f2(x)+… + fn(x))’= f’1(x) + f’2(x) +… + f’n(x) . Приклад. Знайдіть похідні функцій а)f(x) = х3 – х2 + х – 4;б)f(x) =cosx +sin х + 5;в)f(x) = х6 + tgx – ctgх. Розв‘язання а)f’(x) = (х3 – х2 +х – 4)’ =(х3)’ – (х2)’ + (х)’ – 4’ =3х2 –2х +1 +0 = 3х2 –2х +1;

6) f’(x) = (cosх +sinх + 5) = (cosх)’ +(sinх)’ + 5‘ = –sinх +cosх +0 = cosх –sinх.в) f’(x) = (х6 + tgх – ctgх)‘ = (х6)‘ + (tgх)’ – (ctgх)’ = 6х5 +

1  1    = – cos 2 x  sin 2 x 

sin 2 x  cos 2 x 1 4 1 5 5 = 6х + + = 6х + = 6х + = 6х5 + 2 2 2 2 2 2 cos x  sin x 4 cos x  sin x cos x sin x 5

4 sin 2 2 x

Відповідь: а)f’(x) = 3х2 –2х +1;

6) f’(x) = cosx– sinx; В) f’(x)= 6х5 +

4 sin 2 2 x

1. Знайдіть похідні функцій: а) у = x3 +х –х4; Б) у =sinх –cosx; в) у =–х3 +tgх;

г) у = ctgх –

2. Знайдіть значення похідної функціїf(x) в точці хо: а) f(x) =sinx + х2, хо = 0; б) f(x) =cosx – 1, хо = Відповідь: а) 1; б) –

 ; в) f(x) = х2 + х – 7,хо= –1. 4

2 ; в) –1. 2

3. При яких значеннях х значення похідної функціїf(x) дорівнює 0: a) f(x) = х3– х; Відповідь: а)x=±

б)f(x) = х2 + х;

1 3

; б) х=–

в)f(x) = х –cos х?

1  ; в) х = – + 2πn, n  Ζ. 2 2

Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також — диференційована функція в цій точці і (f(x) · g(x))’ = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x), або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції. Наслідки а) Постійний множник можна винести за знак похідної: (cf(x))’ = cf’(x). Дійсно,(cf(x))’ = c’·f(x) + с·f’(x) = 0 ·f(x) + сf’(x) = сf’(x). б) Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад: (f(x) · g(x) · h(x))’ = f’(x) · g(x) · h(x) + f(x) · g’(x) · h(x) + f(x) · g(x) · h’(x). Приклад. Знайдіть похідні функцій: а) у =х ·sinx; б) у =5x5 +6х2 + 2х–7tgx; Розв’язання а) у’ = (x sin x)’ = x’ sinx +x (sin x)’ = 1 · sin x +x cos x = sinx +x cosx;

Б)у‘ =(5x5 + 6х2 + 2х – 7 tgx)‘ = (5x5)' + (6х2)' + (2х)' –(7tgx)' =5·(x5)’ +6·(x2)’ +2·x’ 7·(tgx)’ =5·5х4+6·2·x+2·1–7·

7 1 =25x4+12x+2– ; 2 cos 2 x cos x

Виконання вправ. 1. Знайдіть похідну функцій:

6 х2 2 а) у = 3х – 5х + 6; б) у = -2х + 3cosx; в)y=5x + 2 +3ctgx; г)y=3x·x +9 4 . х х 2

Відповідь: а) 6х – 5; б) -6х2 – 3sinx; в) 10х -

12 18 3 2 ; г) 9х – х 3 sin 2 x х3

2. Знайдіть похідні функцій: а) у = x sinx;б) у =x2cosx;

Відповідь: а) у’ =

sin x 2 x

sin x 2 x sin х. в) у = 6 ;г) у = x x

+ x cosx;б) у’ = 2хcosx –x2sinx;

x sin x 2  6 sin x cos x  в) у’ = ;г)у’=2x sinx+ +х x cosx. x x7 x6 2 x 2

3. Знайдіть похідні функцій: а) (x – 2)2·x3;б) (x2 – х)(х3 + x). Відповідь: а) 2(х – 2)х3 + 3(х – 2)2х2;б) (2х – 1)(х3 + x) + (x2 – х)(3х2 + 1). Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точціx і g(x)  0, то функція у = f ( x) диференційована в цій точці і g ( x)

Приклад. Знайдіть похідні функцій Розв’язання

Виконання вправ 4. Знайдіть похідні функцій:

Відповідь:

 f ( x)  f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x)    . g 2 ( x)  g ( x) 

2. Застосування похідної до дослідження функції на монотонність За допомогою похідної можна встановлювати проміжки зростання і спадання функції. Відомо, що функція y = f(x) називається зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких х1 і х2, що належать проміжку, із умови х2 >х1 випливає, що f(x2) >f(x1). Дотична в кожній точці графіка зростаючої функції, як видно з рис. 32, утворює з додатним напрямом осі ОХ або гострий кут, або кут, що дорівнює нулю (в останньому випадку дотична паралельна осі ОХ). Виходячи із геометричного змісту похідної: tgα = f’(xo), це означає, що похідна в кожній точці проміжку невід‘ємна, тому для зростаючої функції f(x) виконується умова: f ' ( x)  0 . Функція y = f(x) називається спадною на проміжку, якщо для будь-яких х1 і х2, що належать цьому проміжку, із умови х2 >х1 випливає, що

f(x2) <f(x1). Дотична в кожній точці графіка спадної функції (рис. 33)

утворює з віссю ОХ або тупий кут, або кут, що дорівнює нулю, тому для функціїf(x), яка спадає на деякому проміжку, виконується умоваf'(x)< О. На рис. 34 видно також, що одна і та ж функція може на одному проміжку області її визначення зростати, а на іншому — спадати. Характер по37корочен функції на кожному із цих проміжків визначається знаком її похідної. Отже, наочне уявлення дозволяє сформулювати властивості зроста37кор та спадних функцій. Якщо функція у =f(x) диференційована і зростає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку не від‘ємна. Якщо функція у =f(x) диференційована і спадає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку не додатна. Проте для розв‘язування задач особливо важливими є обернені твердження, які виражають ознаки зростання і спадання

функції на проміжку. Нехай значення похідної функції у =f(x) додатні на деякому проміжку, тобтоf'(x)> 0. Оскільки f’(x) = tg α, то із умови tg α> 0 випливає, що дотичні, проведені до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу, утворюють гострі кути з додатним напрямом осі ОХ. У цьому випадку графік функції «піднімається» на заданому проміжку, тобто функція зростає (рис. 35). Якщо f’(x)< 0 на деякому проміжку, то кутовий коефіцієнт дотичної tg α = f(x) до графіка функції у = f(x) від‘ємний. Це означає, що дотична до графіка функції утворює з віссю ОХ тупий кут і графік функції на цьому проміжку «опускається», тобто функція f(x) спадає (рис. 36). Якщоf'(x)> 0 на проміжку, то функція f(x) зростає на цьому проміжку. Якщоf(x)< 0 на проміжку, то функція f(x) спадає на цьому проміжку. Ці

два

твердження

називаються

ознаками

зростання

(спадання) функції на проміжку. Строге доведення цих тверджень

виходить за рамки

шкільного курсу математики. Проміжки зростання і спадання функції часто називають проміжками монотонності цієї функції. Приклад 1. Доведіть, що функціяf(x) = х +

1 зростає на проміжку (1; +  ). х

Розв‘язання

1 1 x2 1  1 Знайдемо похідну: f ' ( x)   x    ( x)'   1  2  . x x x2   x I

x2 1  0 то тобтоf'(x) > 0 при х > 1, і тому функція зростає на Якщо х > 1, x2 проміжку (1; +  ). Знаходження проміжків зростання та спадання функції можна виконувати за таким планом: 1. Знайти область визначення заданої функції у =f(x). 2. Знайти похіднуf'(x). 3. Розв‘язати нерівності: а)f'(x)> 0, указати проміжки зростання функції у =f(x); б)f'(x)< 0, указати проміжки спадання функції у =f(x)· Приклад. Знайдіть проміжки монотонності функції у = х3 – 3х2. Розв‘язання 1. Область визначення функції:D(y) = R. 2. Знаходимо похідну у’ = 3х2 – 6х.

3. Розв‘язуємо нерівності: а) у’ > 0; б) у’ < 0. Розв‘язуємо ці нерівності методом інтервалів, для цього знаходимо нулі похідної: 3х2 – 6х = 0, 3х(х – 2) = 0, х = 0 або х = 2. Наносимо на координатну пряму (рис. 37) нулі похідної і визначаємо знаки похідної на кожному проміжку: y'(-1) = 3 · (-1)2 – 6 · (-1) =3+6=9>0; y'(1) = 3 · І2 – 6 – 1 = -3 < 0; у’(3) = 3 · 32 – 6 · 3 = 27 – 18 = 9 > 0. А) у’ > 0 в кожному із проміжків (-  ; 0); (2; +  ), отже, функція на цих проміжках зростає. Б) у’ < 0 на проміжку (0; 2), отже, функція на цьому проміжку спадає. Відповідь: функція зростає на кожному із проміжків (-  ;0);(2;+  ); спадає на проміжку (0; 2). Екстремальні точки. Локальний екстремум функції. При дослідженні поведінки функції в деякій точці зручно користуватися поняттям околу. Околом точки а називається будьякий інтервал, що містить цю точку. Наприклад, інтервали (2; 5), (2,5; 3,5), (2,9; 3,1) – околи точки 3. Розглянемо графік функції, зображений на рис. 38. Як видно із рисунка, існує такий окіл точкиx = а, що найбільше значення функція у = f(x) в цьому околі набуває в точці х = а. Точкух = а називають точкою максимуму цієї функції. Аналогічно точкух = b називають точкою мінімуму функції y = f(x), оскільки значення функції в цій точці найменше порівняно зі значеннями функції в деякому околі точки b. Означення. Точка а із області визначення функції f(x) називається точкою максимуму цієї функції, якщо існує такий окіл точки а, що для 39кор  а із цього околу виконується нерівність f(x) <f(a). (Рис. 39). Означення. Точка b із області визначення функції f(x) називається точкою мінімуму цієї функції, якщо існує такий окіл точки b, що для 39кор  b із цього околу виконується нерівність f(x) <f(b). (Рис. 40). Точки максимуму і точки мінімуму називають точками екстремуму функції, а значення функції в цих точках називають екстремумами функції (максимум і мінімум функції). Точки максимуму позначаютьхmax , а точки мінімуму — хmin. Значення функції в цих точках, тобто максимуми і мінімуми функції, позначаються відповідно: уmax і уmin.

Розглянемо функцію у =f(x), яка визначена в деякому околі точки xo і має похідну в цій точці. Якщо xo — точка екстремуму диференційованої функції у =f(x), то f’(хo) = 0. Це твердження називають теоремою Ферма на честь П‘єра Ферма (1601—1665) — французького математика. Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: в точці екстремуму дотична паралельна осі абсцис, і тому її кутовий коефіцієнт f’(хo) дорівнює нулю (рис. 42). Наприклад, функція f(x) = х2 – 2 має в точці хo = 0 мінімум (рис. 43), її похідна f’(0) = 0. Функція f(x) = 1 – х2 (рис. 44) має максимум у точці хo = 0,f(x)= – 2х іf’(0) = 0. Слід зазначити, що якщо f’(хo) = 0, то хo не обов‘язково є точкою екстремуму. Наприклад, якщоf(x) =х3, тоf`(x) = 3x2 і f`(хo) = 0. Проте точках = 0 не є точкою екстремуму,

оскільки

функція

f(x) = x3 зростає на всій числовій осі (рис. 45). Отже, точки екстремуму диференційованої функції треба шукати тільки серед коренів рів40кор f’(x) = 0, але не завжди корінь рівняння f’(x) = 0 є точкою екстремуму. Внутрішні точки області визначення функції у =f(x), у яких похідна дорівнює нулю, називають стаціонарними. Отже, для того щоб точка хo була точкою екстремуму, необхідно, щоб вона була стаціонарною. 1. Знайдіть стаціонарні точки функції: а) у = 5 + 12х – х3; б) у = 9 + 8x2 – x4;в) у = e2x – 2ex·, Відповідь: а) х = ±2; б) х = 0, х = ±2;

г) у =sinх –cos х.

в) х = 0;г) х = -

 +2πn,n  Ζ. 4

Сформулюємо достатні умови того, що стаціонарна точка є точкою екстремуму, тобто умови, при виконанні яких стаціонарна точка є точкою максимуму або мінімуму функції. Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки додатна, а праворуч — від‘ємна, тобто при переході через цю точку похідна змінює знак з «+» на «–», то ця стаціонарна точка є точкою максимуму (рис. 46).

Дійсно, в цьому випадку ліворуч стаціонарної точки функція зростає, а праворуч — спадає, отже, дана точка є точка максимуму. Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки від‘ємна, а праворуч — додатна, тобто при переході через стаціонарну точку похідна змінює знак з «–» на «+», то ця стаціонарна точка є точка мінімуму (рис. 47). Якщо при переході через стаціонарну точку похідна не змінює знак, тобто ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна додатна або від‘ємна, то ця точка не є точкою екстремуму. Приклад 1.Знайдіть точки екстремуму функціїf(x) =х3– 3х. Розв‘язання Область визначення даної функції —R. Знайдемоf`(x): f`(x) = (x3 – 3x)' =3х2- 3. Похідна існує для всіхx є R. Знайдемо стаціонарні точки:f(x) = 0, 3х2 – 3 = 0, х2 — 1 = 0, x = ±1. Наносимо область визначення та стаціонарні точки на коор41корочен пряму (рис.48)і визначимо знак похідної на кожному проміжку: f`(-2) = 3 · (-2)2 – 3 = 9 > 0; f`(0) = 3 · (0)2 – 3 = -3 < 0; f`(2) = 3 · (2)2 – 3 = 9 > 0. Точкаχ = -1 є точкою максимуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «+» на «-»: хmax = -1. Точка х = 1 — є точкою мінімуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «-» на «+»: хmin =1. Відповідь: хmax= -1, хmin= 1. Приклад 2. Знайдіть екстремуми функції f(x) = х4 – 4х3. Розв‘язання Область визначення функції — R. Знайдемо похідну: f`(x)= (x4– 4х3) = 4x3 – 12х2 = 4x2(х – 3). Знайдемо стаціонарні точки:f`(x) = 0, 4x2(x – 3) =0, x = 0 або х= 3. Наносимо стаціонарні точки на координатну пряму (рис. 49) та визначаємо знак похідної на кожному інтервалі. X = 3 — точка мінімуму, бо при переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+»:хmin= 3. Точкаx= 0 не є точкою екстремуму, бо похідна не змінює знак при переході через цю

точку. Отже, уmin = f(3) = 34 – 4 · 33 = – 27.

Розділ VІ. Інтеграл та його застосування 1. Застосування інтеграла до обчислення площ плоских фігур. Обчислення площі – це найпростіше застосування інтеграла, оскільки за означенням інтеграл тісно пов‘язаний з площею фігур. Якщо треба обчислити площу фігури, обмежену декількома лініями, то знаходять криволінійні трапеції, перерізом або об‘єднанням яких є дана фігура; обчислюють площі кожної з них і знаходять різницю або суму площ цих криволінійних трапецій. На практиці часто доводиться обчислювати площі фігур, які не є криволінійними трапеціями. Якщо треба обчислити площу фігури, обмежену декількома лініями, то знаходять криволінійні трапеції, переріз або об‘єднання яких є дана фігура, обчислюють площі кожної із них і знаходять різницю або суму площ цих криволінійних трапецій. Розглянемо приклади знаходження площ плоских фігур. Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями у =sinx, у=0,π<x<2π. Розв‘язання Побудуємо фігуру, площу якої треба обчислити (рис. 107). На заданому проміжку функція у =sinx  0. Тому обчислення площі цієї фігури замінимо обчисленням площі криволінійної трапеції, симетричної даній фігурі відносно осі абсцис, тобто обмеженої графіком функції у = - sinx і віссю абсцис. 2

2

S   ( sin x)dx  cos x   cos 2  cos  = 1 + 1 = 2.Відповідь: 2. 

Приклад 2. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: у = x2 і у =-x + 2. Розв’язання Зобразимо схематично графіки даних функцій (рис. 108). Бачимо, що шукана площа є різницею площ двох криволінійних трапецій: S = SABCD–SABOCD. З рисунка видно, що межі інтегрування для обох трапецій одні і ті самі, це абсциси спільних точок графіків даних

функцій.

Для

знаходження

меж

інтегрування

розв‘яжемо рівняння:x2 = -x + 2;x2 +x – 2 = 0; x1 = -2, x2 = 1. Знайдемо шукану площу:

 x2  x3 S   ( x  2)dx   x dx     2 x    2  2 3 2 2 1

2

 1   4  1 8     2     4     2   2  3 3

= 1,5 + 6 – 3 =

4,5. Відповідь: 4,5. Приклад 3. Знайдіть площу фігури, обмеженої параболами у = х2 і у = 2х – х2 та віссю ОХ. Розв‘язання Побудуємо графіки функцій у = х2 і у = 2х – х2 і знайдемо абсциси точок перетину цих графіків із рівняння: х2 = 2х – х2. Корені цього рівняння х1 = 0, х2 = 1. Дана фігура зображена на рис. 109. Із рисунка видно, що ця фігура складається з двох криволінійних трапецій: ОАВ і ВАС. Отже, шукана площа дорівнює сумі площ цих трапецій: 1

x3 S   x 2 dx   (2 x  x 2 )dx  3 0 1 Відповідь: 1.

 x3    x 2    1 3 1 

VIIІ. Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії 1. Аксіоми планіметрії Слово «геометрія» - грецького походження, що в перекладі українською мовою означає землемірство (назва походить від вимірювань на місцевості). Геометрія, яку вивчають у школі, називається евклідовою за ім'ям давньогрецького вченого Евкліда. Шкільна геометрія складається з двох частин: планіметрії і стереометрїі. З планіметрією ви ознайомилися в основній школі, а стереометрію вивчатимете в старших класах. Планіметрія - це розділ геометрії, у якому вивчаються геометричні фігури на площині (рис. 1.1).

Рис. 1.1 Геометричні фігури - це абстрактні фігури, які нагадують предмети, що нас оточують. Щоб відрізняти одну геометричну фігуру (чи поняття) від іншої, їх описують у вигляді твердження, яке називають означенням. Означення - це твердження, яке описує істотні властивості предмета (поняття), що дає змогу відрізнити його від інших. Як з'ясувалося, означити всі геометричні фігури неможливо. Наприклад, точка, пряма, площина. Їх називають неозначуваними, або початковими (з яких усе починається), або основними, як називали їх у планіметрії. Логічну побудову планіметрії можна описати за такими етапами. 1.

Вибір

геометричних

понять,

які

називають

основними

поняттями

(абстрактних фігур). 2.

Формулювання основних властивостей для цих геометричних понять за

допомогою тверджень, які вважаються істинними без доведень. 3.

Побудова інших понять, які означуються через основні поняття та їхні

властивості, та тверджень, істинність яких встановлюється шляхом доведень, опираючись на відомі. Таку побудову науки називають аксіоматичною. Її назва походить від слова «аксіома». Це слово грецького походження, що в перекладі українською мовою означає повага, авторитет, незаперечна істина. Аксіома - це твердження, яке приймається істинним без доведення. Основні властивості найпростіших геометричних фігур, які вважають істинними без доведення і які є вихідними під час доведення інших властивостей,

називають аксіомами геометрії. Для шкільного курсу планіметрії визначено: I.

Основні геометричні фігури (поняття) - точка, пряма.

(Точка - найпростіша геометрична фігура. Усі інші геометричні фігури складаються з точок, у тому числі й пряма.) II.

Аксіоми планіметрії - це основні властивості найпростіших геометричних фігур.

III.

Систему означень планіметричних фігур і теорем, що виражають їхні властивості. До означуваних понять у геометрії відносять поняття відрізка, променя, трикутника

тощо, оскільки для них існують пояснення «що це таке?». Означуваних понять багато. Наведемо приклад. Нехай на прямій а задано дві різні точки А і В. Фігуру, що складається з усіх точок прямої а, які лежать між точками А і В, включаючи точки А і В, називають відрізком (рис. 1.2). Точки А і В називаються кінцями відрізка, а всі інші точки - внутрішніми точками відрізка. Таким чином відрізок - означуване поняття.

Рис. 1.2

АКСІОМИ ПЛАНІМЕТРІЇ №

Назва аксіоми

Аксіоми належності I1

Зміст аксіоми I1 Яка б не була пряма,

Дві різні прямі або не

існують точки, що належать перетинаються, або цій прямій, і точки, що не

перетинаються тільки в

належать їй.

одній точці

I2 Через будь-які дві точки можна провести пряму і до I2

Наслідки з аксіом

того ж тільки одну

ІІ

Аксіоми розміщення ІІ1 ІІ1 З трьох точок на прямій

Якщо кінці будь- якого

одна і тільки одна лежить між відрізка належать одній двома іншими.

пів площині, то відрізок не перетинає пряму. Якщо кінці відрізка належать

ІІ2

ІІІ

ІІ2 Пряма розбиває площину

різним півплощинам, то

на дві півплощини

відрізок перетинає пряму

Аксіоми

ІІІ1 Кожний відрізок має

Якщо три точки А, В і С

вимірювання

певну довжину, більшу від

лежать на одній прямій, то

нуля. Довжина відрізка дорів- точка С лежатиме між

ІІІ1.

нює сумі довжин частин, на

точками А і В у випадку,

які він розбивається будь-

коли

якою його точкою.

АВ = АС + СВ. Якщо від даної пів- прямої відкласти

ІІІ2.

ІІІ2 Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами

в одну й ту саму півплощину два кути, то сторона меншого кута, відмінна від даної півпрямої, проходитиме між сторонами більшого кута

Аксіоми відкладання IV1 На будь-якій пів- прямій

Якщо пряма, яка не

від її початкової точки можна проходить через жодну з

IV1

відкласти відрізок заданої

вершин трикутника, пере-

довжини і до того ж тільки

тинає одну з його сторін, то

один.

вона перетинає тільки одну з двох інших сторін

IV2 Від будь-якої пів- прямої

IV2

в задану пів- площину можна відкласти кут із заданою градусною мірою, меншою 180°, і до того ж тільки один.

IV3 Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому, у заданому розміщенні відносно даної півпрямої

IV3

Аксіома

V1. Через точку, що не

Якщо пряма перетинає одну

паралельності V1

лежить на даній прямій,

з двох паралельних прямих,

можна провести не більше як то вона перетинає й другу одну пряму, паралельну даній

2. Геометричні і аналітичні методи розв’язування планіметричних задач. Геометричні задачі за змістом можна умовно поділити на такі основні види: задачі на доведення, обчислення, побудову. Методи розв'язування задач можна поділити на геометричні й аналітичні.

Аналітичні

методи

передбачають

застосування

тотожних

перетворень

співвідношень, отриманих на підставі відомих геометричних фактів. Такі перетворення, формули часто застосовуються без урахування взаємного розміщення фігур і їхніх елементів. Розв'язати задачі, використовуючи аналітичний метод, досить часто можна без побудови рисунка. Геометричні методи ґрунтуються на застосуванні властивостей, ознак фігур і співвідношень між ними. У цьому випадку обґрунтування задачі пов'язане із взаємним розміщенням самих фігур або їхніх елементів і тому супроводжується рисунком. Далі повідомляю, що іноді при розв'язування задач доводиться застосовувати кілька методів або ту саму задачу можна розглядати беручи до уваги різні методи. А потім наводжу приклади розв'язування задач із застосуванням різних методів. Суть синтетичного методу полягає в тому, що, виходячи з умови задачі чи теореми і використовуючи відомі твердження, будується ланцюг логічних міркувань, останнє з яких збігається з вимогою задачі. Наведемо приклад.

Суть аналітичного методу полягає в тому, що, виходячи з вимоги (висновку) твердження (теореми чи задачі) і спираючись на відомі твердження, будуємо ланцюг логічних міркувань, який показує, що вимога є наслідком умови. Наведемо приклад.

Суть методу від супротивного полягає в тому, що, маючи твердження, будуємо нове, заперечивши висновок попереднього. Утворюється протилежне твердження. Виходячи з висновку протилежного твердження, будуємо «ланцюг» істинних тверджень, поки не отримаємо твердження, яке суперечить або умові, або відомій аксіомі чи теоремі, або припущенню. Отже, отримуємо висновок, що протилежне твердження хибне, а тому початкове – істинне (тут діє логічний закон: з двох протилежних тверджень одне істинне, друге хибне, третього не дано). Розглянемо приклад.

Математичну задачу вважають розв‘язаною, якщо: 1) записано відповідь у вигляді числа, виразу, вказано алгоритм побудови рисунка, коли це задача на обчислення, побудову чи дослідження; 2) підтверджено сформульоване в задачі твердження, коли це задача на доведення. Метод від супротивного називають непрямим методом розв‘язування математичних задач. Розглянемо деякі інші методи розв‘язування геометричних задач, які поділяють на види за використанням математичного апарату. Алгебраїчний метод розв’язування задач Розв‘язуючи задачу алгебраїчним методом, слід приділити увагу таким етапам: 1. Моделювання тексту задачі за допомогою рисунка (у більшості випадків). 2. Введення позначень шуканих величин або тих, які приводять до шуканих (найчастіше літерами латинського алфавіту). 3. Складання рівняння або системи рівнянь, використовуючи введені позначення та відомі геометричні співвідношення між шуканими і даними величинами. 4. Розв‘язування складеного рівняння або системи рівнянь.

Повернення до введених позначень і визначення шуканих геометричних величин. За потреби, виконання дослідження знайдених розв‘язків. 5. Записування відповіді. Вам доводилося неодноразово розв‘язувати геометричні задачі алгебраїчними методами. Задачі, у яких задано залежність між двома вимірами, зводяться до розв‘язування рівняння. Наприклад, одна зі сторін паралелограма на 3 см довша за іншу, а периметр – 30 см. Потрібно знайти довжини сторін паралелограма. Тоді, увівши змінну х як довжину сторони цього паралелограма, маємо довжину другої сторони (х – 3). Враховуючи означення периметра паралелограма та відоме його значення, отримуємо рівняння: (x + x – 3) * 2 = 30. Наведемо ще приклади розв‘язування задач алгебраїчним методом.

Метод площ Якщо умова задачі містить дані, з яких легко знайти площу одним зі способів, однак, використовуючи інший спосіб для відшукання площі цієї самої фігури, маємо один з лінійних вимірів невідомий, то, прирівнюючи площі, отримують рівняння з одним невідомим.

Метод векторів Щоб застосовувати метод векторів до розв‘язування задачі, потрібно виконати такі дії: 1. Перевести задачу на мову векторів, тобто розглянути деякі дані в задачі відрізки як вектори та скласти векторну рівність. 2. Здійснити перетворення для векторної рівності, користуючися відповідними властивостями дій над векторами та відомими векторними рівностями. 3. Повернутися від векторної мови до геометричної. 4. Записати відповідь.

Метод векторів найчастіше використовується під час розв‘язування задач, у яких вимагається довести: паралельність прямих (відрізків), поділ відрізка в певному відношенні; що три точки лежать на одній прямій; що даний чотирикутник – паралелограм (ромб, прямокутник, квадрат, трапеція). Проілюструємо суть цього методу на прикладі розв‘язування задачі.

Метод координат Розв‘язуючи задачу координатним методом, слід виконати такі дії: 1. Записати геометричну задачу мовою координат. 2. Перетворити вираз чи обчислити його значення.

3. Перевести знайдений результат на мову геометрії. 4. Записати відповідь. Методом координат найчастіше розв‘язують задачі: – на відшукання геометричних місць точок; – на доведення залежностей між лінійними елементами геометричних фігур. Розв‘язуючи задачу методом координат, потрібно раціонально вибрати систему координат: дану фігуру слід розмістити відносно осей координат так, щоб якнайбільше координат потрібних точок дорівнювало нулю, а також одному і тому самому числу. Наприклад, координати вершин прямокутника ABCD можна вибрати так, як на рисунку: Проілюструємо суть методу на прикладі.

Метод геометричних перетворень: метод повороту, метод симетрії, метод паралельного перенесення, метод гомотетії. Розв‘язуючи задачі методом геометричних перетворень, розглядають поряд з даними фігурами нові фігури, які отримали з даних за допомогою певного перетворення. З‘ясовують властивості нових фігур, переносять ці властивості на дані фігури, а далі – знаходять спосіб розв‘язування задачі.

Кажуть, що задачі, які розв‘язані методом векторів, методом координат, методом геометричних переміщень, методом площ та іншими методами, у яких використовується більше властивостей геометричних фігур, розв‘язані геометричними методами.

Розділ X. Многогранники. Об’єми та площі поверхонь многогранників 1. Многогранники та їх елементи, опуклі многогранники

Многогранником є тіло, поверхня якого складається зі скінченої кількості плоских многокутників. Гранню многогранника є поверхня кожного плоского многокутника. Ребрами многогранника є сторони граней, вершинами многогранника є вершини граней. Двогранний кут при ребрі многогранника визначається його гранями, в яких лежить дане ребро. Опуклим називається многогранник, що лежить по один бік від площини кожного з плоских многокутників на його поверхні. Кожна грань опуклого многогранника – це опуклий многокутник. Площина, що проходить через внутрішню точку опуклого многогранника, перетинає його і в перерізі утворює опуклий многокутник. Це цікаво. Одна з частин геометрії утворила окрему науку, яка називається топологією. Вона вивчає топологічні властивості фігур, тобто такі, що зберігаються при неперервних деформаціях фігур «без розривів і склеювань». Теорема Ейлера, великого математика, фізика і астронома, формулює топологічну властивість многогранників: для будь-якого опуклого многогранника сума кількості його вершин і кількості граней без урахування кількості його ребер дорівнює числу 2. Многогранником називають тіло (частина простору), обмежене скінченою кількістю плоских многокутників (рис. 18). Многокутники, які обмежують многогранник, називають його гранями, їх сторони — ребрами, а вершини — вершинами многогранника. На рис. 18 гранями е многокутники: ABCD, AMLD, DLKC, BCKN, ABNM, MNKL; ребрами — сторони AD, DC, ВС, АВ, КС, LD, AM, NB, ML, LK, NK, MN; вершинами —точки А, В, C, D, Μ, Ν, Κ, L. Многогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від площини кожного з плоских многокутників на його поверхні.

Прикладами опуклих многогранників можуть бути куб, прямокутний паралелепіпед, тетраедр тощо. На рис. 19 зображено неопуклий многогранник.

Многогранники в оточуючому середовищі зустрічаються дуже часто. Цеглина, коробка, шафа, стілець, дошка, кристал — все

це

моделі

многогранників.

Знання

властивостей

многогранників необхідне багатьом фахівцям. Столяр має справу з многогранниками, вистругуючи бруски, видовбуючи в них прямокутні отвори або заглибини. Муляр кладе стіни, споруджуючи

будівлі, у формі многогранників. І тесляри, що зводять горища над

будівлями, і екскаваторники, що риють котловани, і мінералоги, кристалографи, гранильники — всі мають справу з многогранниками. Призма Многогранник, дві грані якого — рівні n-кутники з відповідно паралельними сторонами, а всі інші n граней — паралелограми, називається n-кутною призмою (рис. 26). Її рівні n-кутники називаються основами призми, а паралелограми — бічними гранями, сторони основи — ребрами основи, інші ребра — бічними ребрами. Завдання Укажіть на моделях призми основи, бічні грані, ребра основи, бічні ребра. З означення призми випливає, що основи призми рівні, а також лежать в паралельних площинах. Бічні ребра паралельні й рівні. Поверхня призми складається з основ і бічної поверхні. Площею поверхні призми називається сума площ усіх її граней. Оскільки основи рівні, то:

Sпр = Sбіч.пов + 2Socн,

де Sпр — площа поверхні призми; Sбіч.пов — площа бічної поверхні призми; Sосн – площа основи. Висотою призми називається відстань між площинами її основ. Відрізок, який сполучає дві вершини призми, що не належать одній і рані, називається діагоналлю призми.

1. Правильні многогранники У курсі планіметрії ви познайомилися з правильними многокутниками. Многокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони і всі кути рівні. Існує безліч правильних многокутників. Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многокутниками з однією й тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться одне і те ж число ребер. Існує п'ять типів правильних опуклих многогранників: правильний тетраедр, правильний гексаедр (куб), правильний октаедр, правильний додекаедр, правильний ікосаедр. Назва многогранників складається із двох частин: перша — число граней (тетра — 4, гекса — 6, окта — 8, додека — 12, ікоса — 20), а друга (едр) — грань. Правильні многогранники Назва

Вид грані

Правильний тетраедр

Число граней

вершин

ребер

Правильний гексаедр (куб) Правильний октаедр Правильний додекаедр Правильний ікосаедр

Розділ XI.Тіла обертання. Об’єми та площі поверхонь тіл обертання 1. Тіла та поверхні обертання Уявимо, що плоский многокутник АВСВ обертається навколо прямої АВ (рис. 99, а). При цьому кожна його точка, що не належить прямій АВ, описує коло з центром на цій прямій. Весь многокутник АВСВ, обертаючись навколо прямої АВ, описує деяке тіло обертання (рис. 99, б). Поверхня цього тіла називається поверхнею обертання. Пряму АВ називають віссю обертання цього тіла.

Рис. 99 Будь-яка площина, що проходить через вісь тіла обертання, перетинає це тіло. Утворений переріз називають осьовим перерізом тіла обертання. У житті ми дуже часто зустрічаємося з тілами обертання. Це — звичайна пляшка, пробірка, колба, хокейна шайба, патрон, котушка тощо. Більшість деталей, виготовлених на токарному верстаті, має форму тіл обертання. Циліндр Наведемо інший варіант пояснення. Прямим круговим циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони. На рис. 100 зображено циліндр, утворений обертанням плоского прямокутника ОАВО1 навколо прямої 001 — осі циліндра.

Сторони ОА і 01В описують рівні круги, які лежать у паралельних площинах і називаються основами циліндра. Радіуси кругів називаються радіусами циліндра. Сторона АВ описує поверхню, яка називається бічною поверхнею циліндра. Відрізки бічної поверхні, які паралельні і дорівнюють АВ, називаються твірними циліндра. Висотою циліндра називається відрізок, перпендикулярний до основ циліндра, кінці якого належать основам. Висота циліндра дорівнює його твірній. Прямим круговим конусом називається тіло, утворене обертанням плоского прямокутного трикутника навколо одного із його катетів Круговим конусом називається тіло, яке складається з круга — основи конуса, точки, яка не лежить у площині цього круга, — вершини конуса і всіх відрізків, що сполучають вершину конуса з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи, називаються твірними конуса. Конус називається прямим (далі просто «конус»), якщо пряма, що сполучає вершини конуса з центром основи, перпендикулярна до площини основи. Прямий круговий конус можна розглядати як тіло, утворене в результаті обертання -прямокутного трикутника навколо його катета як осі.

Висота конуса — перпендикуляр, опущений із його вершини на площину основи. Віссю прямого кругового конуса називається пряма, яка містить його висоту. Зверніть увагу на рисунок нижче. Так звані «контурні твірні» SA i SB є дотичними до еліпса, який зображує основу конуса, точки A і B не є кінцями великої осі еліпса. Переріз конуса площиною, яка проходить через його вершину, — рівнобедрений трикутник, у якого бічні сторони є твірними конуса, а основою є хорда основи.

Якщо прямокутний трикутник SАО обертається навколо катета SO, то його гіпотенуза описує бічну поверхню, а катет ОА — круг — основу конуса. Радіус цього круга називається радіусом конуса; точка S, відрізок SА, відрізок SO, пряма SO називаються відповідно вершиною, твірною, висотою і віссю конуса. Куля та сфера Кулею називається тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра. Сферою називається фігура, утворена обертанням кола навколо його діаметра. Сферою називається поверхня, яка складається із всіх точок простору, що знаходяться на даній відстані (яка називається радіусом) від даної точки (яка називається центром). Відрізок, який з'єднує центр сфери з точкою сфери, називається радіусом сфери. Відрізок, який з'єднує дві точки сфери і проходить через центр сфери, називається діаметром сфери. На рис. 135 точка О — центр сфери, ОА, OB — радіуси сфери, АВ — діаметр сфери. Кулею називається тіло, яке складається із всіх точок простору, які знаходяться на відстані не більшій даної (яка називається радіусом кулі) від даної точки (яка називається центром кулі). Площина, яка проходить через центр кулі (сфери), називається діаметральною площиною. Переріз кулі (сфери) діаметральною площиною називається великим кругом (великим колом).