Geometriya by Andrey Nazarov

Міністерство освіти і науки України ДВНЗ Рівненський коледж економіки та бізнесу

Рівне 2014 р. 1

Укладач: Єфімчук С.О. – викладач фізики та математики ДВНЗ Рівненський коледж економіки та бізнесу

Посібник для студентів перших курсів розроблений відповідно до програми з математики для 10 – 11 класів і містить основний теоретичний і практичний матеріал згідно вимог . У розробці кожного уроку виділено його структурні елементи, розкривається зміст вивчення матеріалу, наводяться вправи, що готують учнів до сприйняття нового матеріалу, первинного закріплення матеріалу, повторення. До кожного уроку подано систему завдань. Запропоновані задачі допоможуть при вивченні тієї чи іншої теми з алгебри і початків аналізу, сприяють виробленню навичок розв’язування основних типів задач. Даний посібник покликаний допомогти студентам у підготовці до лекційних та практичних занять

Єфімчук С.О.

«Лекції з геометрії» посібник для студентів Р. РКЕБ 2014 р. 114 ст.

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії природознавчих та фізико-математичних дисциплін Протокол № 1 від 28 серпня 2014 р. Голова ц/к Білецький В.В. ____________________________________

ЗМІСТ УРОК 82. Вектори в просторі (рівність векторів, колінеарність векторів, компланарність векторів). Дії над векторами. Розклад вектора на складові. УРОК 83. Прямокутна система координат у просторі. Дії над векторами заданими своїми координатами. УРОК 84. Відстань між двома точками простору. Довжина вектора. УРОК 85. Кут між векторами. Скалярний добуток векторів. УРОК 86. Вектори і координати. Контрольна робота №7. УРОК 87 – 90. Самостійне опрацювання. УРОК 91. Основі поняття, аксіоми стереометрії та їх наслідки. УРОК 92. Взаємне розміщення двох прямих у просторі УРОК 93. Паралельність прямої і площини. Паралельність площин. УРОК 94. Паралельність прямої і площини. УРОК 95. Паралельність площин. УРОК 96. Паралельне проектування та його властивості. Зображення фігур у стереометрії. УРОК 97. Перпендикулярність прямої і площини. УРОК 98. Перпендикулярність площин. Ортогональне проектування і його властивості. УРОК 99. Перпендикулярність прямих і площин у просторі. УРОК 100. Вимірювання відстаней у просторі. УРОК 101. Кут між прямою і площиною. Кут між площинами. УРОК 102. Вимірювання відстаней і кутів у просторі. УРОК 103. Паралельність та перпендикулярність прямих і площин у просторі. Контрольна робота №8. УРОК 104. Многогранники та їх елементи. УРОК 105. Правильні многогранники. УРОК 106. Зображення основних видів многогранників, їх елементів та перерізів. УРОК 107. Знаходження основних елементів призми та піраміди. УРОК 108. Площа поверхні призми. УРОК 109. Площа поверхні піраміди УРОК 110. Об'єм призми. УРОК 111. Об'єм піраміди. УРОК 112. Многогранники. Об’єми та площі поверхонь многогранників. Контрольна робота №9. УРОК 113. Тіла обертання та їх елементи. УРОК 114. Зображення тіл обертання, їх елементів та перерізів. УРОК 115. Площа поверхні циліндра. УРОК 116. Об'єм циліндра. УРОК 117. Площа поверхні конуса. УРОК 118. Об'єм конуса. УРОК 119. Площа поверхні сфери. УРОК 120. Об'єм кулі та її частин. УРОК 121. Тіла обертання. Об’єми та площі поверхонь тіл обертання. Контрольна робота №10.

УРОК 82. Вектори в просторі (рівність векторів, колінеарність векторів, компланарність векторів). Дії над векторами. Розклад вектора на складові. Мета уроку: формування знань учнів про вектори в просторі, дії над векторами, заданими координатами, Формування вмінь застосовувати вивчений матеріал до розв'язування задач. Обладнання: схема «Вектори в просторі». Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання Нехай SO  α,  SAO = 45°,  OAB = 45° (рис. 292). Проведемо SO  ОА. Нехай SO = а; тоді ОА = а, OB = a. ΓOSA = ΓOSB = ΓОАВ (за двома катетами). Із рівності трикутників випливає, що SA = SB = AB, тобто ΓSAB — рівносторонній; отже,  SAB = 60°. Відповідь. 60°. II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу Учням пропонується прочитати в підручнику параграф і познайомитися з векторами в просторі та діями над векторами в просторі. Далі пропонується фронтально обговорювати запитання та виконувати додаткові завдання. 1. Що таке вектор? Що таке абсолютна величина вектора? Які вектори називаються однаково напрямленими? протилежно напрямленими? Завдання. а) Укажіть однаково напрямлені, протилежно напрямлені вектори серед векторів, які вказані на зображенні прямокутного паралелепіпеда (рис. 293). б) Знайдіть | а |, | b |,| c | (рис. 294), якщо на рисунку зображено куб з ребром 5 см. 2. Які вектори називаються рівними? протилежними? Завдання. а) ABCD — паралелограм (рис. 295). Які векторні рівності можна записати? б) Чи можлива рівність векторів АВ і ВА ? в) Укажіть рівні і протилежні вектори, якщо на рис.296 зображено прямокутний паралелепіпед. 3. Дайте означення координат вектора з початком у точці А (а1; а2; а3) і кінцем у точці В (b1; b2; b3). Яка умова рівності векторів, заданих координатами? Завдання. а) Дано точки А (2; 3; 4), B(1; 1; 1). Які координати векторів AB , BA ? б) Які координати вектора AO , якщо А (5; 1; -3), точка О – початок координат? в) Коли вектор а (1; 2; 3) відклали від початку координат, то дістали вектор ОА. Які координати точки А? г) Знайти | AB |, якщо А (1; 2; 3), В (3; 2; 1). 4

д) Дано точки А(3; -2; 5), В(-4; 6; 1), С(-2; - 6; -11), D(х; у; z). Знайдіть х, у, z, якщо

AB  СD . е) Абсолютна величина вектора а (5; 3; z) дорівнює 9. Знайдіть z. 4. Що називається сумою (різницею) векторів а (аx; аy; аz) і b (bx; by; bz)? Яка умова належності точок А, В, С прямій? Завдання. а) Дано вектори а (4; -5; 6), b (-1; 2; 5). Знайдіть: а + b , а – b , | а + b |, | а – b |. б) Чи лежать на одній прямій точки А, В, С, якщо А(3; -7; 8), В(-5; 4; 1), С (27; -40; 29)? в) Знайдіть координати точки С такої, що СА + СВ = 0, якщо А(-5; 7; 12), В(4; -8; 3). г) Знайдіть координати векторів а і а , якщо c = а + b , d = а – b , c (4; -1; 5), d (6; 3; 1). д) Чи може бути нульовим вектором сума трьох векторів, модулі яких дорівнюють 7; 1; 8? е) Спростіть: AB + MN + BC + CA + PQ + NM ; AB + CD + BA + MN + DC + NM . 5. Що називається добутком вектора а (аx; аy; аz) на число λ? Які вектори називаються колінеарними? Яка умова колінеарності ненульових векторів? Завдання. а) Дано а (1; -2; 3), b (-2; 1; -3). Знайдіть координати векторів 2 а ; - 3 b ; 2 а + 3 b ; 2

а - 3b . б) Знайдіть |2 а |, якщо а (1; 2; 2). в) Чи колінеарні вектори а (2; 3; 8) і b (-4; 6; - 16) ? г) При якому значенні т і п вектори а (15; т; 1) і b (18; 12; п) колінеарні? д) Чи колінеарні вектори АВ і CD, якщо А(3; -2; 5), B(-1; 4; 7), C(1; 3; 6), 18)? е) При яких значеннях т і п вектори АВ і CD колінеарні, якщо A(1; 0; 2), C(2; 2; 0), D(5; 4; m)?

D(-3; 9; B(3; n; 5),

6. Три вектори називають компланарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки розміщені в паралельних площинах. Вектори OA , OB і OC компланарні тільки за умови, що точки О, А, В, С лежать в одній площині. Завдання. а) Чи компланарні вектори а (3; 2; 0), b (6; 3; 0), c (8; 1; 0)? б) ABCD — тетраедр, К, Р, Т — середини його ребер АВ, АС і AD. Чи компланарні вектори AD , BC і KP ; CD , KT і CB ? Проекцією вектора

на вісь називається величина відрізка

де

- проекція початку вектора, - проекція кінця вектора на цю вісь. Основні теореми про проекції векторів формулюються так: 1. Проекція вектора на яку-небудь вісь рівна добутку модуля вектора на косинус кута нахилу вектора до осі. (Кут між векторами в просторі визначають як у стереометрії, при радіанному вимірюванні він задовільняє нерівностям: ( 5

2. Проекція суми векторів на будь-яку вісь рівна сумі проекцій складових векторів на цю ж вісь, 3. При множенні вектора на яке-небудь число його проекція домножається на це число. Введемо в просторі декартову прямокутну систему координат. Нехай - любий вектор. Координатами вектора у вибраній системі координат називаються числа х, у, z, що являються проекціями вектора на координатні осі. При цьому пишуть (x, y, z). Які б не були дві точки A(x1,y1,z1) i B(x2,y2,z2), координати вектора y, z) визначаються співвідношеннями x = x2-x1, y = y2-y1, z = z2-z1. Розглянемо трійку векторів

(x,

, прикладених до початку 0, рівних по модулю

одиниці ( ) і таких, що їх напрямки співпадають з напрямками осей Ox, Оу,Oz, відповідно. Ці вектори будемо називати основними векторами, або ортами, а сукупність цих векторів - координатним базисом, або просто базисом. Для розглянутого вище вектора отримуємо (рис.5.)

( на основі операцій додавання векторів) .(1)

Рис.5 Вектори

називаються компонентами (або складовими) вектора

Представлення вектора вектора

за базисом

в виді суми компонент (1) називається розкладом .

III. Домашнє завдання IV. Підведення підсумку уроку Підведення підсумку уроку доречно провести з використанням даної схеми. Вектори в просторі Координати вектора (рис. а) AB (хВ – хА; уВ – уА; zВ – zА) Довжина вектора

а (аx; аy; аz): a  a x2  a y2  a z2

Рівність векторів  a x  bx ; а (аx; аy; аz) = b (bx; by; bz)  a y  by ; a b z  z

Сума векторів (рис. б)

а (аx; аy; аz) + b (bx; by; bz) = c (аx + bx; аy + by; аz + bz). OA + OB + OC = ОМ Різниця векторів (рис. в)

а (аx; аy; аz) – b (bx; by; bz) = c (аx – bx; аy – by; аz – bz). AС – АB = ВС Добуток вектора на число λ· а (аx; аy; аz) = c (λаx; λаy; λаz) Колінеарні вектори

а і b колінеарні, якщо b b = λ· а  bx  y  bz ax

УРОК 83. Прямокутна система координат у просторі. Дії над векторами заданими своїми координатами. Мета: ознайомити учнів з декартовою прямокутною системою координат у просторі, сформувати вміння визначати положення точки в просторі за її координатами та визначати координати точки в просторі; розвивати уяву, мислення, зацікавленість; виховувати послідовність, акуратність, самостійність. Методи і прийоми навчання: колективна, індивідуальна форми роботи, робота в групах. Обладнання: креслярське приладдя, таблиця, плакат. Тип уроку: комбінований урок. Хід уроку І. Організаційна частина. ІІ. Актуалізація опорних знань. 1. ―Мозкова атака‖ 1. Що називається прямокутною системою координат? 2. Як у прямокутній системі координат називають горизонтальну пряму 0х; вертикальну пряму 0у; точку О(0; 0)? 3. Що таке абсциса точки? ордината точки? 4. Назвіть абсцису та ординату точки А; В; С (точки з координатами наперед записані на дошці) А(2; 1), В(-1; 2), С(-2; -1), D(0; 3) 5. Запишіть координати точок, зображених на плакаті Плакат

6. Побудуйте точки: А(3; 0), В(3; 4), С(-3; -2), D(-4; 0), E(3; -2), F(-3; 2). ІІІ. Історична довідка. « У чому полягає відкриття Декарта» Твір у якому Декарт виклав нові погляди на геометрію, вийшов у світ у 1637р.Він складався з трьох частин і був невеликий за обсягом-близько 70 сторінок.‖Я не мав на увазі написати товсту книжку, навпаки, я намагався скрізь сказати багато в небагатьох словах. І я сподіваюся , що нащадки будуть вдячні мені не тільки за те, що я пояснив , а за те що я пропустив навмисне, щоб вони мали задоволення від самостійного відкриття‖,писав вчений. Основна думка Декарта полягає в тому , щоб примусити алгебру працювати на геометрію і навпаки. Алгебра має справу з числами та рівняннями. Геометрія – з точками, лініями,поверхнями. Як він поєднав ці дві науки?(Ввів систему координат і встановив відповідність між точкою і впорядкованою парою чисел – її координатами,потім між кривою та її рівнянням.) Що це дало математиці? З’явилася можливість за рівнянням і двома змінними будувати графік та описувати величини графічно. Широко ведеться застосування нової геометрії – це і температурна крива , кардіограма(в медицині),прокладання на карті маршруту корабля(в навігації),траєкторія руху літаків ( в авіації).Навпаки , є можливість записувати рівняння ліній та легко відповідати на запитаннями вони перетнуться(якщо це навіть траєкторії космічних тіл),оскільки досить розв’язати відповідну систему рівнянь .Так можна передбачити сонячні та місячні затемнення,‖парад планет‖,можливість зіткнення комети із Землею. ІV. Сприйняття і усвідомлення нового матеріалу.

Аналогічну систему координат можна ввести і для простору. Вивчення нового матеріалу – вправа «Дзеркало» 8

Учні поділяються на 2 групи. Самостійно опрацьовують матеріал з підручника і готують запитання. V. Виконання вправ. ―Поміркуй‖ (виконання усних вправ) Сторона квадрата ОАВС дорівнює 5 (рис. 2 а). Знайдіть координати його вершин. Сторона куба (рис.2 б) дорівнює 10. Знайдіть координати його вершин.

Рис. 2 а

Рис.2 б

3. Побудуйте точки А(1;2;3), В(3;-1;3), С(1;2;0), Р(0;1;2), К(0;0;-1). Задача 4. (колективна форма роботи) Дано точки А(1; 2; 3), В(0; 1; 2), С(0; 0; 3), D(1; 2; 0). Які з цих точок лежать: 1) у площині ху, 2) на осі z; 3) у площині уz? Розв’язання. Точки площини ху мають координату z, яка дорівнює нулю. Тому тільки точка D лежить у площині ху. Точки площини уzмають координату х, яка дорівнює нулю. Відповідно, точки В і С лежать у площині уz. Точки на осі z мають дві координати (х і у), які дорівнюють нулю. Тому тільки точка С лежить на осі z. 5. (самостійно) 1.Запишіть координати точки А, якщо відомо, що вона розміщена: а) на від’ємній півосі z на відстані 5 від початку координат; б) в площині ху на відстані 3 і 4 від осі х і у відповідно; в) на відстані 3,4, 5 від координатних площин ху, zх, zу відповідно; г) на відстані 3, 4,5 від координатних осей х, у, z відповідно. Так само, як і на площині означають дії над векторами і у просторі. Сумою вектори

називають вектор

Різницею векторів

є вектор

Приклад 1. Знайти координати вектора Розв’язання.

Добутком вектора

якщо

(х,у,z) на число λ називають вектор 9

Розглянуті означення і правила дій над векторами, що задані координатами, дозволяють знаходити координати будь-якого вектора, поданого у вигляді алгебраїчної суми даних векторів, координати яких відомі. Приклад 2. Дано вектори

Знайти

координати вектора Розв’язання. Запис розв’язання задачі зручно вести наступним чином:

VI. Підсумок уроку. 1. ―Хвилинка хвальби‖ Кожен учень повинен продовжити речення ―Сьогодні я хочу похвалити себе за те, що …‖ VІI. Домашнє завдання. Вивчити означення понять, розглянутих на уроці. Виконати вправи. Знайдіть координати основ перпендикулярів, проведених із точки А(5;9;13), до координатних осей і координатних площин.(ІІ рівень) Знайдіть відстані від точки М(7;-9;5) до координатних площин.(ІІІ рівень) Побудуйте в прямокутній системі координат куб АВСDА1В1С1D1так, щоб грань АВСD належала площині ху, а початок координат збігався з точкою перетину діагоналей цієї грані. Знайдіть координати вершин цього куба, якщо довжина ребра дорівнює 5 см. Скільки розв’язків має задача?

УРОК 84. Відстань між двома точками простору. Довжина вектора. Мета уроку: виведення формул для знаходження відстані між двома точками, заданих координатами, та застосування формули до розв'язування задач. Обладнання: схема «Відстань між двома точками», модель куба. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. Усне коментування розв'язування домашніх завдань. 2. Математичний диктант. Ребро куба дорівнює 10: варіант 1 — рис. 252, варіант 2 — рис. 253. Запишіть координати точок: А, В, С, D, О, О1, А1, В1, С1, D1.

Відповідь. Варіант 1. А(5; 5; 0), В(-5; 5; 0), С(-5;-5; 0), D(5; -5; 0), O(0; 0; 0), 01(0; 0; 10), А1(5; 5; 10), B1 (-5; 5; 10), С1(-5; -5; 10), D1(5; -5; 10). Варіант 2. А(5; -5; -10), В(-5; -5; -10), C(-5; 5; -10), D(5; 5; -10), O(0; 0; 0), O1(0; 0; 10),A1(5; -5; 0), B1(-5; -5; 0), C1(-5; 5; 0), D1(5; 5; 0). II. Актуалізація опорних знань Розв'язування задач 1. Знайдіть відстань між двома точками, які лежать на координатній прямій: a) A(1) і В(5); б) А(-5) і В(-7); в) А(-3) і В(5); г) А(а) і В(b). 2. Знайдіть відстань між двома точками, які лежать на координатній площині: а) А (1:2) і В (4; 6); б) A(1; 7) i В (-5;-1); в) А(хA; yA)і В(хB; уB). III. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу Твердження. Квадрат, відстані між двома точками дорівнює сумі квадратів різниць їх відповідних координат. Доведення 11

Нехай дано дві точки А(xA, уA, zA) і В(хB, yB, zB) (рис. 254). Доведемо, що АВ2 = (хB – xA)2 + (yB – уA)2 + (zB – zA)2.

Розглянемо випадок, коли АВ не паралельна осі z. Через точки А і В проведемо прямі, паралельні осі z. Вони перетнуть площину ху в точках A1 і В1 відповідно. Ці точки мають ті самі координати х, у, що й точки А і В, а координата z їх однакова і дорівнює нулю. Проведемо через точку А площину, паралельну координатній площині ху. Побудована площина перетне пряму ВВ1 у деякій точці С, причому ВС = | zB – zA|. За теоремою Піфагора із ΓАВС маємо: АВ2 = AC2 + ВС2. Оскільки АС2 = A1В12 = (хB – xA)2 + (yB – уA)2 , ВС = | zB – zA |, то АВ2 = (хB – xA)2 + (yB – уA)2 + (zB – zA)2. Таким чином, відстань між точками А(xA, уA, zA) і В(хB, yB, zB) обчислюється за формулою

Розв'язування задач 1. Знайдіть відстань АВ, якщо А(-1; 3; -1), В(-1; 0; - 5). (Відповідь. АВ = 5) 2. Знайдіть відстань від точки А(-1; 2; - 2) до початку координат. (Відповідь. ОА = 3.) 3. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо А (7; 1; -5), В (4;-3;-4), C (1;3;-2). (Відповідь. 14 +

)

4. Чи лежать точки А, В, С на одній прямій, якщо А(3;2;2), В(1;1;1), С(-1;0;0)? (Відповідь. Так.) 5. На якій відстані від координатних площин і координатних осей розташована точка А (2; 3; 4) ? (Відповідь. ААx = 5; ААy = 2

; ААz =

; ААxy = 4 ; ААxz = 3; ААyz = 2.)

6. Яка з точок — А (2; 1; 6) чи В (-2; 1; 6) — лежить ближче до початку координат? (Відповідь. Точка А) 12

7. Дано точки К(0; 2; 1), Р(2; 0; 3) і T(-1; у; 0). Знайдіть таке значення у, щоб виконувалась умова: КТ = РТ . (Відповідь. -3) 8. Задача № 5 із підручника (с. 55). 9. Задача № 8 із підручника (с. 55). III. Домашнє завдання IV. Підведення підсумку уроку При підведенні підсумку уроку можна скористатися наведеною схемою. Запитання до класу 1) Як знайти відстань між двома точками на координатній прямій? 2) Як знайти відстань між двома точками координатної площини? 3) Як знайти відстань між двома точками простору?

УРОК 85 Кут між векторами. Скалярний добуток векторів. Мета уроку: формування понять кута між векторами, скалярного добутку векторів. Формування вмінь учнів застосовувати вивчений матеріал до розв'язування задач. Обладнання: схема "Вектори в просторі» Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. Фронтальна бесіда з класом за контрольними запитаннями з використанням схеми «Вектори в просторі» 2. Відповіді на запитання, які виникли в учнів при розв'язуванні задач 3. Математичний диктант. Дано вектори: Варіант 1 — а (3; 0; 4); b (7; 0; 2); Варіант 2 — а (2; -2; 0); b (3; 0; -3). Запишіть: 1) координати вектора c , якщо c = а + b , (2 бали) 2) координати вектора d , якщо d = 2 а - b ; (2 бали) 3) довжину вектора а + b ; (2 бали) 4) координати вектора m , якщо відомо, що довжина вектора m втричі більша довжини вектора а ; (2 бали) 5) при якому значенні k вектор n (k; 0; 6) колінеарний вектору b ; (2 бали) 6) чи компланарні вектори а , b та j (0; 0; 1)? (2 бали) Відповідь. Варіант 1.

1) c (10; 0; 6). 2) d (-1; 0; 6). 3) 2 34 . 4) m (-9; 0; -12), m (9; 0; 12). 5) k = 21. 6) Так.

Варіант 2. 1) c (5; -2; -3). 2) d (1; -4; 3). 3)

38 .

4) m (6; -6; 0), m (-6; 6; 0). 5) k = - 6. 6) Hi. II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу Скалярний добуток векторів Скалярним добутком векторів а (аx; аy; аz) ∙ b (bx; by; bz)

називається число

(скаляр) а · b = аx · bx + аy · by + аz · bz. Розв'язування задач 1. Знайдіть а · b , якщо а (-2; 3; 1), b (-4; -5; 2). 2. Дано вектори а (2; -1; 4), b (5; 3; n). При якому значенні п скалярний добуток векторів дорівнює -3? Із означення скалярного добутку двох векторів а і b випливають його властивості. 1) а · b = b ∙ а . 2) ( а + b ) · c = а ∙ c + b ∙ c . 3) Скалярний добуток векторів а і b дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними: а ∙ b = а · b cos φ (рис. 297). Д о в е д е н н я Від точки О відкладемо вектор OВ = b (рис. 298) і ОА = а . Виберемо декартову систему координат так, щоб точка О була початком координат, пряма ОА збіглася з віссю 14

у, вісь z була б перпендикулярна до прямої ОА і знаходилася в площині ОАВ, вісь х перпендикулярна до площини уz. Визначимо координати векторів а і b: А(0; | а | ; 0); B(0; | b | cos φ; | b | sin φ); а (0; | а |; 0); b (0; | b | cos φ; | b | sin φ). Знайдемо скалярний добуток:

а · b = 0 · 0 + | а | · | b | cos φ + 0 · | b | sin φ = | а | · | b | cos φ. Наслідки із властивості 3: 1) сos 

a b ab

2) Два відмінні від нуля вектори а і b перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю. Дійсно, якщо а · b = 0, то а · b · cos φ = 0 , cos φ = 0, φ =

 , і навпаки, якщо φ = 0 2

, то а · b = а · b · cos φ = а · b · 0 = 0. Розв'язування задач 1. Знайдіть а · b , якщо а = 5, b = 4, а кут між векторами дорівнює 120°. 2. Ребро куба дорівнює 4 (рис. 299). Знайдіть АВ · CD .

3. Чи перпендикулярні вектори а (2; 3; 6) і b (3; 2; -1)? 4. При якому значенні т вектори а (6; 0; 12) і b (-8; 13; m) перпендикулярні? 5. Чи є серед векторів а (2; 3; 1), b (5; 9; 2), c (-3, 1; 3) ортогональні вектори? 6. Який кут утворюють вектори а (-5; 0; 0) і b (0; 3; 0)? 7. Знайдіть кут між векторами а (1; 1; 0) і b (1; 0; 1). 8. Знайдіть cos ABC, якщо А(1; -3; 4), В(2; -2; 6), С(3; 1; 3). Фронтальне опитування. 1) Чому дорівнює скалярний добуток векторів, які задано коорди¬натами? 2) Як можна обчислити скалярний добуток векторів, якщо відомі їх довжини і кут між ними? 3) Як можна визначити косинус кута між двома ненульовими век¬торами? 4) Сформулюйте ознаку перпендикулярності двох ненульових векторів. 5) У просторі дано вектори (1; 1; 0), (0; 1; 1). Укажіть, які з вказаних тверджень правильні, а які — неправильні: а) довжини векторів і рівні; 15

б) скалярний добуток векторів і дорівнює 2; в) кут між векторами і дорівнює 120°; г) ( + )( – ) = 0; д) вектори + і – перпендикулярні. 3. Перевірити правильність виконання задач № 55 (4), 56 учнями на дошці та відповісти на запитання, які виникли в учнів класу в ході виконання домашніх завдань. Розв'язування задач 1. Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма ABCD, якщо А (2; - 6; 0), В (-4; 8; 2), D (0;-12;0). Розв'язання Оскільки (- 6; 14; 2), (-2; -6; 0), то = + , AC (-8; 8; 2) (рис. 300). Тоді = = = 2 . Відповідь. 2 . 2. Знайдіть кут між стороною АС і медіаною ВМ трикутника АВС, якщо А(-3; -5; 1), В(-4; -1; -2) і С(3; 3; 1). Розв'язання Кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює куту φ між векторами та (рис. 301), або, якщо кут між цими векторами тупий,— куту 180° – φ. Знайдемо координати точки М: М = М (0; -1; 1). Тоді (-4; 0; -3), (-3; -4; 0); cos φ = = = . φ = arccos — гострий кут. Отже, кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює arccos . Відповідь. arccos . 3. Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах (3; 0; -4) і (0; 5; 0). Розв'язання Нехай паралелограм ABCD побудований на векторах AB і AD (рис. 302). Площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними: S = • • sin φ. = = 5; = = 5; cos φ = = = 0 . Оскільки cos φ = 0 , то φ = 90° . Тоді sin φ = 1 і S = 5 • 5 • 1 = 25. Відповідь. 25. III. Домашнє завдання IV. Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) Що називається скалярним добутком векторів а (аx; аy; аz) і b (bx; by; bz)? 2) Сформулюйте властивості скалярного добутку векторів. 3) Яка умова ортогональності двох ненульових векторів? 4) У просторі дано вектори а (1; 1; -1), b (0; -1; 1). Укажіть, які з вказаних тверджень правильні, а які — неправильні: а) а  b = 1; б) вектори а і b перпендикулярні; в) вектори а + b і b не перпендикулярні; 16

г) а ∙( а + b ) = 1; д) вектори а і а + b утворюють кут, косинус якого дорівнює

1 . 3

УРОК 86. Вектори і координати. Контрольна робота №7. Мета уроку: перевірка навчальних досягнень учнів з теми «Кути та вектори у просторі». Хід уроку Тематичне оцінювання № 7 можна провести шляхом виконання тематичної контрольної роботи. І. Тематична контрольна робота № 7 Варіант А Варіант 1 1. Сторона квадрата ОАВС дорівнює 5. Запишіть координати вектора АС . (3 бали) 2. Із точки, віддаленої від площини на відстані 10 см, проведено дві похилі, які утворюють з площиною кути в 45° і 30°. Кут між їх проекціями дорівнює 90° . Знайти відстань між кінцями похилих. (3 бали) 3. Дано вектори а (4; -2; -4) і b (6; -3; 2). Обчисліть ( а – b )2 та кут між векторами а і b . (3 бали) 4. Ортогональною проекцією трапеції, площа якої дорівнює 80см2, є рівнобічна трапеція з основами 7 і 13 см і бічною стороною 5 см. Обчисліть кут між площиною трапеції і площиною її проекції. (3 бали). Варіант 2 1. Сторона квадрата ОАВС дорівнює 5 . Запишіть координати вектора АС . (3 бали) 2. Із точки, віддаленої від площини на відстані 10 см, проведено дві похилі, які утворюють з площиною кути в 30°, а між собою кут в 60°. Знайдіть відстань між кінцями похилих. (3 бали) 3. Дано вектори а (4; -2; -4) і b (6; -3; 2). Обчисліть ( а + b )2 та кут між векторами а і b . (3 бали) 4. Ортогональною проекцією трапеції є рівнобічна трапеція з основами 7 і 25 см і діагоналями, які перпендикулярні до бічних сторін. Кут між площинами цих трапецій дорівнює 60°. Обчисліть площу даної трапеції. (3 бали). Варіант З 1. Сторона квадрата ОАВС дорівнює 5. Запишіть координати вектора АС . (3 бали) 2. Із точки, що знаходиться на відстані 6 3 від площини, проведено до цієї площини дві похилі під кутом 30° до неї. Їх проекції утворюють 120°. Знайдіть відстань між кінцями похилих. (3 бали) 3. Дано: а = 13, b = 19, а  b = 24 . Обчисліть а  b . (3 бали) 4. Ортогональною проекцією даного трикутника, площа якого дорівнює 36 3 см2, є прямокутний трикутник, катет якого дорівнює 12 см, а медіана, проведена до гіпотенузи, — 7,5 см. Обчисліть кут між площинами цих трикутників. Чи може даний трикутник бути правильним? (3 бали). Варіант 4 1. Сторона квадрата ОАВС дорівнює 5. Запишіть координати вектора АС . (3 бали) 2. Із точки, віддаленої від площини на 8 см, проведено дві похилі під кутом 45° до площини. Знайдіть відстань між основами похилих, якщо кут між проекціями похилих дорівнює 120° . (3 бали) 17

3. Дано: а = 11, b = 23, а  b = 30. Обчисліть а  b . (3 бали) 4. Ортогональною проекцією даного трикутника є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює 15 см, а катет — 9 см. Кут між площинами цих трикутників дорівнює 30°. Знайдіть площу даного трикутника. Чи може даний трикутник бути правильним? (3 бали).

11 . 4. 60°. 21 11 Варіант 2. 1. АС (5;0;-5). 2. 20см. 3. ( а + b )2 = 129, arccos . 4. 384см2. 21 Варіант 3. 1. АС (0;-5;5). 2. 18 3 см. 3. 22. 4. 30°, не може. Варіант 4. 1. АС (5; 5; 0). 2. 8 3 см. 3. 20. 4. 36 3 см2, не може.

Відповідь. Варіант 1. 1. АС (5; -5; 0) . 2. 20 см. 3. ( а – b )2 = 41, arccos

Варіант Б Варіант 1 1. Дано точки А (1; 0; - 2), В (-2; 1; 3) і вектор СD (1; 0; - 2) . Знайдіть: а) координати вектора АВ ; (2 бали) б) абсолютну величину вектора АВ ; (2 бали) в) координати суми векторів АВ і СD ; (2 бали). 2. Знайдіть довжину вектора 2 а +3 b , якщо а (3; 1; 0), b (0; 1; -1). (3 бали) 3. Знайдіть косинус кута С трикутника АВС, якщо А(0; 1; - 1), В (1; - 1; 2), С (3; 1; 0). (3 бали) Варіант 2 1. Дано точки А(3; 2; 1), B(1; 2; 3) і вектор СD (1; 1; 1). Знайдіть: а) координати вектора АВ ; (2 бали) б) абсолютну величину вектора СD ; (2 бали) в) координати різниці векторів АВ і СD ; (2 бали). 2. Вектори а і b перпендикулярні, причому а = 12, b =16. Знайдіть а  b . (3 бали) 3. Знайдіть косинус кута А трикутника АВС, якщо А(0; 1; -1), В (1; -1; 2), С (3; 1; 0). (3 бали) Варіант 3 1. Дано вектор АВ (1; 2; 3) та точки C (1; 0; 1) і D (1; 1; 2). Знайдіть: а) координати вектора СD ; (2 бали) б) абсолютну величину вектора АВ ; (2 бали) в) координати вектора 3· СD . (2 бали). 2. Знайдіть довжину вектора 2 а + 3 b , якщо а (1; 1;-1), b (2; 0; 0). (3 бали) 3. Знайдіть величину кута В трикутника АВС, якщо А (2; 2; -4), В(2; - 1; - 1), С(3; - 1; 2). (3 бали) Варіант 4 18

1. Дано вектор АВ (1; - 1; 0) та точки C(1; 0; 2) і D(1; 1; 2). Знайдіть: а) координати вектора DС ; (2 бали) б) абсолютну величину вектора АВ ; (2 бали) в) координати вектора 2· АВ . (2 бали). 2. Вектори а і b перпендикулярні, причому а = 6, b = 8. Знайдіть а  b . (3 бали) 3. Знайдіть величину кута А трикутника АВС, якщо А(2;-2;-3), В (4;- 2;- 1), С (2; 2; 1). (3 бали) Тематичне оцінювання № 7 можна провести за допомогою тесту, текст якого подано нижче. При оцінюванні виконання тестів враховуються тільки ті шість із виконаних завдань, яким відповідає найбільша кількість балів. Тест

Координати і вектори в просторі Мета даного тесту — перевірити, чи вміє учень: - зображати точку, задану координатами, та виконувати обернену задачу; - обчислювати відстань між двома точками, заданими координатами; знаходити координати середини відрізка; - виконувати дії над векторами, заданими координатами; - розв'язувати прості задачі на знаходження кута між прямою і площиною; між двома мимобіжними прямими; між площинами. Варіант 1 І рівень 1. Сторона квадрата ОАВС, який лежить у площині zу, дорівнює 1 (рис. 307). Знайдіть координати точки В. (1 бал) а) В(1; 1; 0); б) В(0; 1; 1); в) В(1; 0; 1); г) В(1; 1; 1).

2. Дано точки A(2;3;1), B(1;0;2). Знайдіть координати вектора АВ . (1 бал) а) АВ (3; 3; 3); б) АВ (1; 3; -1); в) АВ (-1; -3; 1); г) АВ (-3; -3; -3). 3. Дано зображення куба (рис. 308). Знайдіть кут між прямими а і b. (1 бал) а) 45° ; б) 0°; в) 90° ; в) визначити неможливо. II рівень 1. Чому дорівнює відстань між точками А і В, якщо A(1;1;1), В(-1;-1;1)? (1 бал) а) 2 ; б) 2 2 ; в) 2 3 ; г) 8. 2. Яка з вказаних точок С є серединою відрізка АВ, якщо А(1; 2; 3), В(3; 1; 1)? (1 бал) a) C(1; 1; 1); б) С(2; 2; 2); в) С(-1; 0; 2); г) С(4; 4; 4). 3. При яких значеннях п вектори а (1; -1; n) і b (n; 1; n) колінеарні? (1 бал) а) Ні при яких; б) при n = -1; в) при п = 1; в) при п = ±1. 19

IІІ рівень 1. Знайдіть координати вершини D паралелограма ABCD, якщо А (0; 2; 0), В (1;0;0); С (2; 0; 2). (2 бали) a) D(1;2;3); б) D(2;2;1); в) D(1;2;2); г) D(2;1;2). 2. З однієї точки до площини проведені рівні похилі. Кут між ними 60° , а між їх проекціями — 90° . Знайдіть кути між похилими і площиною. (2 бали) а) 30°; б) 60°; в) 45°; г) 90°. 3. Дві площини перетинаються під кутом 60°. Точка М знаходиться від цих площин на відстані 4 см. Знайдіть відстань від точки М до лінії перетину площин. (2 бали) а) 2 3 см; б) 4 3 см; в) 4 см; г) 8 см. IV рівень 1. Дано точки А(2; 1; 7), В(-1; 1; 3), С(-8; 1; 2). Знайдіть внутрішній кут В трикутника АВС. (3 бали) а) 45° ; б) 60° ; в) 135°; г) 90° . 2. Дано точки А(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(0; 1; 1), D(1; 1; 0). Знайдіть площу чотирикутника ABCD. (3 бали) а) 1; б) 2 ; в) 2; г) 3 . 3. Знайдіть тангенс кута між діагоналлю куба і площиною однієї з його граней. 1 1 (3 бали) а) 3 ; б) ; в) 2 ; г) . 3 2

Варіант 2 І рівень 1. Сторона квадрата ОАBС, який. лежить у площині ху, дорівнює 1 (рис. 309). Знайдіть координати точки В. (1 бал) а) В(0; 1; 1); б) B(1; 0; 1); в) B(1; 1; 0); г) B(1; 1; 1). 2. Якому із вказаних векторів дорівнює вектор а (1; 2; 3) ? (1 бал) а) b (2; 3; 1); б) c (3; 1; 2); в) x (1; 2; 3); г) n (1; 3; 2). 3. Дано зображення куба (рис. 310). Знайдіть кут між прямими а і b. (1 бал) а) 45° ; б) 0°; в) 90°; г) визначити неможливо. II рівень 1. Знайдіть довжину вектора АВ , якщо А (-1; 1; -1), B(1; -1; -1). (1 бал) а) 2 ; б) 2 3 ; в) 2 2 ; г) 8. 2. Точка C(1; 1; 1) є серединою відрізка АВ, причому B(1; 3; -1). Знайдіть координати точки А; (1 бал) а) А(0;0;0); б) А(1;0;3); в) А(1;-1;0); г) А(1;-1;3). 3. При якому значенні n вектори а (2; 1; n) і b (n; 1; n) перпендикулярні? (1 бал) а) n = 1; б) n = -1; в) n = ± 1; г) ні при яких n. III рівень 1. Знайдіть координати вершини А паралелограма ABCD, якщо B(1;0;1), C(1;1;0); D(1;1;1). 20

 1  (2 бали) а) А(2; 1; 2); б) А 1; ;1 ; в)А(1; 0; 2); г)А(2; 0; 1).  2  2. З однієї точки до площини проведені дві рівні похилі, які утворюють з перпендикуляром кути по 45°, а між собою — 60°. Знайдіть кут між проекціями похилих на цю площину. (2 бали) а) 30°; б) 60°; в) 45°; г) 90°. 3. Дві площини перетинаються під кутом 60°. Точка М знаходиться на однаковій відстані від цих площин і на відстані 2 см до лінії перетину площин. Знайдіть відстань від точки М до цих площин. (2 бали) а) 2 см; б) 1 см; в) 0,5 см; г) визначити неможливо. IV рівень 1. Дано точки А(-1;-2;-1), В(-1;-1;0), С(-1; -1; -1). Знайдіть величину кута ВАС. (3 бали) а) 135°; б) 60°; в) 90°; г) 45°. 2. Дано точки А(0; 2; 0), B(1; 0; 0), C(2; 0; 2), D (1; 2; 2). Знайдіть площу чотирикутника ABCD. (3 бали) а) 2; б) 2 2 ; в) 2 6 ; г) 2 3 . 3. Дано тетраедр, усі ребра якого рівні. Знайдіть тангенс кута між бічним ребром і площиною основи тетраедра. (3 бали) a) 3 ; б) 2 ; в) 1; г) визначити неможливо.

II. Домашнє завдання Якщо в класі виконувалася тематична контрольна робота № 7, то вдома можна запропонувати виконати тест, і навпаки. III. Підведення підсумку уроку У ході фронтальної бесіди з'ясувати, які завдання викликали труднощі, та відповісти на запитання учнів. Рівень І

III

Номер завдання 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

Варіант 1 Варіант 2 б в в б б а в в г в б г

в в в в г б в г б г в б

Відповіді до тестових завдань

УРОК 91. Основі поняття, аксіоми стереометрії та їх наслідки. Мета уроку: узагальнення відомостей про просторові фігури. Вивчення аксіом стереометрії. Обладнання: стереометричний набір, моделі многогранників, схема "Аксіоми стереометрії". Хід уроку І. Узагальнення та систематизація знань учнів Просторові геометричні фігури В 7—9 класах ви познайомилися з планіметрією. Планіметрія – це розділ геометрії, в якому вивчають властивості плоских геометричних фігур: трикутників, паралелограмів, кіл тощо. Але крім плоских фігур існують і просторові фігури: прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда, циліндр, конус, куля. Багато оточуючих нас предметів мають форму прямокутного паралелепіпеда: класна кімната, цегла, сірникова коробка тощо. Популярна в усьому світі іграшка — кубик Рубика – має форму куба. Добре відомі піраміди Стародавнього Єгипту дають нам уявлення про широкий клас геометричних тіл, які називаються пірамідами.

У курсі креслення і математики 5 – 6 класів ви вчились будувати зображення цих просторових фігур. На рис. 1 зображено прямокутний паралелепіпед. Прямокутний паралелепіпед – це просторова геометрична фігура, обмежена шістьма прямокутниками, які називаються гранями. Сторони прямокутників називаються ребрами прямокутного паралелепіпеда. Завдання. Назвіть вершини, ребра, грані прямокутного паралелепіпеда, зображеного на рис. 1. Куб — це прямокутний паралелепіпед, у якого всі шість граней квадрати (рис. 2).

Завдання. Назвіть передню, задню, ліву, праву, верхню, нижню грані куба, зображеного на рис, 2. Верхню і нижню грані прямокутного паралелепіпеда називають основами, а ребра цих граней — ребрами основи, інші ребра називають бічними ребрами, а інші грані — бічними гранями. Завдання. Назвіть бічні ребра прямокутного паралелепіпеда (див. рис. 1) та куба (див. рис. 2). n-кутною пірамідою називається геометричне тіло, обмежене n-кутником (який називається основою піраміди) і n трикутниками (бічними гранями) із спільною вершиною (яка називається вершиною піраміди). На рис. З зображено трикутну піраміду, 22

яку ще називають тетраедром,

на рис. 4 — чотирикутну піраміду. Завдання. Назвіть основи, бічні грані, бічні ребра, ребра основи, вершини пірамід, зображених на рис. 3 і 4. Паралелепіпеди і піраміди — це представники великого класу геометричних фігур, які називаються многогранниками. Крім многогранників у геометрії розглядають і інші просторові фігури: циліндри, конуси, кулі тощо. Розділ геометрії, в якому вивчаються властивості просторових фігур, називається стереометрією. ІІ. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу Основні поняття стереометрії Основними фігурами в просторі є точка, пряма і площина. Уявлення про точки і прямі ви маєте з курсу планіметрії. Нагадаємо, що точки позначаються великими латинськими буквами, наприклад, точки А, В, С...; прямі позначаються малими латинськими буквами, наприклад, прямі а, b, с..., або двома великими буквами, наприклад, АВ, ВС, CD... Матеріальними моделями частини площини є, наприклад, поверхня стола, поверхня віконного скла, поверхня мармурової плити тощо. У геометрії площину мислять необмеженою, ідеально рівною і гладенькою. Зображають площини у вигляді паралелограма (рис. 5)

або у вигляді довільної області (рис. 6),

Позначають площини грецькими буквами, наприклад, α, β , γ... На рис. 5 зображено площину α , на рис. 6 — площину β. Грані многогранників — це частини площин. Як і будь-яка геометрична фігура, площина складається з точок. Якщо точка А лежить у площині α, говорять, що площина α проходить через точку А, і записують: А  α. Якщо точка А не лежить у площині α, говорять, що площина α не проходить через точку А, і записують: А  α. Якщо кожна точка прямої а лежить у площині α , говорять, що пряма а лежить у площині α , або площина α проходить через пряму а, і записують: а  α. Запис а  α означає, що пряма а не лежить у площині α. Аксіоми стереометрії Як і в планіметрії, властивості основних фігур у стереометрії виражаються аксіомами. Нагадаємо, що в планіметрії властивість прямих і точок виражалася аксіомою: Яка б не була пряма, існують точки, які належать їй, і точки, які їй не належать. Наприклад, на рис. 3 точки А і В належать прямій АВ, а точки S і С їй не належать. Взявши яку-небудь площину (наприклад, площину підлоги класної кімнати), ми 23

можемо вказати точки, які належать цій площині, і точки, які їй не належать. Тому однією із властивостей площини є аксіома С1: Яка б не була площина, існують точки, які належать цій площині, і точки, які не належать їй. Завдання. Користуючись зображенням куба на рис. 2, вкажіть точки, які: а) не належать передній грані; б) належать верхній грані; б)належать грані ABCD; г) не належать грані А1В1ВА. Розглянемо другу аксіому стереометрії С2: Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку. Наочною ілюстрацією цієї аксіоми є перетин двох стін, стіни і підлоги класної кімнати. Завдання. Користуючись рис. 1, вкажіть: а) спільні точки верхньої і передньої граней; б) пряму перетину площин задньої і нижньої граней; в) спільні точки площин граней АВВ1А1, і Α1Β1С1D1; г) пряму перетину площин граней Α1Β1С1D1 і ВВ1С1С. Ніяких інструментів, якими можна було б проводити у просторі площини, немає. Тому вираз «можна провести площину» вживається у розумінні «існує площина». Третя аксіома стереометрії С3 стверджує: Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну. Завдання. 1. Користуючись рис. 1, вкажіть, яку площину визначають прямі: а) АВ і АD; б) BС і СС1; в) DC і СС1; г) А1В1 і В1А. 2. Користуючись зображенням куба на рис. 2, доведіть, що можна провести площину через прямі: а) АС і СС1; б) AD і DC1. 4. Столяр за допомогою двох ниток перевіряє, чи лежать кінці чотирьох ніжок стільця в одній площині. Як він це робить? Слід зазначити, що в просторі існує безліч площин, і для кожної площини справедливі всі аксіоми і теореми планіметрії. Більш того ознаки рівності і подібності трикутників справедливі і для трикутників, які лежать у різних площинах. III. Закріплення та осмислення знань учнів Розв'язування вправ 1. Доведіть, що вершини паралелограма АВСD лежать в одній площині. 2. Дано дві прямі а і b, через які не можна провести площину. Доведіть, що ці прямі не перетинаються. 3. Доведіть, що дві прямі у просторі не можуть перетинатися більш ніж в одній точці. 4. Чи можуть дві площини мати тільки одну спільну точку? 5. Чи можуть три площини мати тільки одну спільну точку? 6. Через точку проведено три прямі, які не лежать в одній площині. Скільки різних площин можна провести через ці прямі, беручи їх попарно? При підведенні підсумку уроку можна скористатися даною схемою.

Аксіоми стереометрії

Теорема про належність площині прямої, дві точки якої належать площині Теорема. Якщо дві точки прямої лежать у площині , то вся пряма лежить у площині. Дано: В  α, С  α (рис. 12)

. Довести: ВС  α. Доведення Візьмемо точку А, яка не лежить на прямій ВС (згідно з аксіомою І). Через пряму ВС і точку А проведемо площину α`. Якщо площини α і α` збігаються, то площина α містить пряму ВС (рис. 13).

Якщо площини α і α` різні, то вони перетинаються по прямій а, яка містить точки В і С (рис. 14).

За аксіомою І прямі а і ВС збігаються, отже, пряма ВС лежить в площині α. Виконання вправ Доведіть, якщо вершини трикутника АВС належать деякій площині α, то трикутник АВС лежить в цій площині. Доведіть, що чотирикутник АВСD лежить в одній площині, якщо його діагоналі АС і BD перетинаються. Доведіть, що чотирикутник ABCD – плоский, якщо продовження двох протилежних сторін АВ і CD перетинаються. Як перевірити якість виготовлення лінійки за допомогою добре відшліфованої плити? Взаємна розміщення прямої і площини Із доведеної теореми випливає, що площина і пряма, яка не лежить у площині, або перетинаються, або не перетинаються. Отже, можливі такі випадки взаємного розміщення прямої і площини (схема ―Взаємне розміщення прямої і площини‖): а) площина α не має з прямою а спільних точок; б) площина α має з прямою а одну спільну точку; 25

в) пряма а лежить у площині α. Взаємне розміщення прямої і площини

Завдання. На предметах оточуючого простору покажіть різні випадки взаємного розміщення прямої і площини. Поняття перерізу многогранника У стереометрії розглядають перерізи многогранників. Перерізом многогранника називається многокутник, який утворюється при перетині многогранника з площиною. Вершини цього многогранника є точками перетину січної площини з ребрами многокутника, а сторони – частинами прямих перетину січної площини з його гранями. Для побудови простих перерізів необхідно вміти розв’язувати дві опорні задачі: будувати лінію перетину двох площин; будувати точку перетину прямої і площини. Для побудови лінії перетину двох площин — січної площини і грані многогранника — знаходять дві точки шуканої прямої і через них проводять пряму. Існування площини, яка проходить через три дані точки. Нам відомо два способи задання площини: площину можна провести через дві прямі, які перетинаються, а також через пряму і точку, яка не належить цій прямій. Існує третій спосіб. Теорема. Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну. Слід звернути увагу учнів на те, що площина однозначно задається трьома точками, які не лежать на одній прямій, і тому в літературі площину, яка проходить через точки А, В, С і С  АВ , позначають символом (АВС). Виконання вправ Чи можуть дві різні площини мати три спільні точки, ЯКІ НЕ ЛЕжать на одній прямій? Відповідь обґрунтуйте. Три точки в просторі розміщені так, що через них можна провести не менше 100 площин. Що можна сказати про розміщення цих точок? Рівно о 12 годині з навчального полігону було запущено три ракети. О котрій годині центри мас цих ракет будуть знаходитися в одній площині? Щоб надати більшої стійкості вимірювальним приладам, їх часто встановлюють на триногах. На якому теоретичному факті базуються такі дії? Задано три точки А, В, С. Скільки площин можна провести через них, якщо:. а) АВ = 3 см, ВС = 4 см, АС = 5 см; б) AВ = 3 см, ВС = 4 ом, АС = 7 см? Дано зображення куба (рис. 19).

Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через точки А, В, С. Дано зображення трикутної піраміди (рис. 20).

Побудуйте переріз піраміди площиною, яка проходить через точки А, В, С. Через середини трьох ребер куба, які виходять із однієї вершини проведено переріз. Обчисліть периметр і площу перерізу, якщо ребро куба дорівнює 6 2 см. У трикутній піраміді, кожне ребро якої дорівнює 4 см, побудовано переріз площиною, яка проходить через середини трьох ребер, що виходять із однієї вершини. Обчисліть периметр і площу утвореного перерізу. Підведення підсумку уроку Запитання до класу Скільки площин можна провести через три дані точки? У просторі дано три точки А, В, С, які лежать на одній прямій. Визначте, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні: а) через точки А, В, С можна провести тільки одну площину; б) через точки Α, В, С можна провести безліч площин; в) через точки А і В можна провести площину, яка не містить точку С; г) через А можна провести площину, яка має з прямою ВС тільки одну спільну точку.

УРОК 92. Взаємне розміщення двох прямих у просторі Мета уроку: вивчення взаємного розташування двох прямих у просторі: прямі, що перетинаються; паралельні прямі; мимобіжні прямі. Формування понять: паралельні прямі, мимобіжні прямі. Обладнання: стереометричний набір, каркасна модель куба, схема ―Взаємне розміщення двох прямих у просторі‖. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання Перевірку правильності виконання домашньої задачі провести шляхом фронтальної бесіди за записами, зробленими на дошці до початку уроку. Р о з в ' я з а н н я з а д а ч і ABCDA1B1C1D1 — прямокутний паралелепіпед, у якому: AD = 6 см, DD1 = 6 CM, DC = 8 CM (рис. 31). СС1 = 2MC ; DC = 2CK; BC = 2NC . ΓΜΝΚ — шуканий переріз. 2 2 2 2 Із ΓMKC МК  КС  МС  4  3  5 (cм).

2 2 2 2 Із ΓNCM NM  MС  NС  3  3  3 2 (см). 2 2 2 2 Із ΓNKC NК  NС  KС  3  4  5 (см). 27

PMNK = MN +NK+ MK = 10 + 3 2 (см). Відповідь. 10 + 3 2 см. Запитання до класу 1) Поясніть, що таке прямокутний паралелепіпед. 2) Як побудовано шуканий переріз? 3) Чому трикутник МСК — прямокутний? 4) Яка довжина ребра CC1 ? Чому? 5) Яка довжина ребра ВС? Чому? 6) Визначте вид трикутника MNK. II. Аналіз самостійної роботи, проведеної на попередньому уроці III. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу Взаємне розміщення двох прямих у просторі Із курсу планіметрії відомо, що дві прямі, які лежать у площині, можуть перетинатися або не мати спільних точок. Якщо дві прямі лежать в одній площині і не мають спільних точок, то вони називаються паралельними. У просторі дві різні прямі або перетинаються, або не перетинаються. Проте другий випадок допускає дві можливості: прямі лежать в одній площині або прямі не лежать в одній площині. Прямі, які не перетинаються і лежать в одній площині, називають паралельними, а дві прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називають мимобіжними. Випадки взаємного розташування двох прямих у просторі демонструються за допомогою стереометричного набору або на каркасній моделі куба. Отже, дві прямі а і b у просторі можуть: перетинатися, бути паралельними, бути мимобіжними (демонструється схема, наведена нижче).

Теорема про існування і єдиність прямої, яка проходить через дану точку і паралельна даній прямій З аксіоми паралельності Евкліда випливає, що в площині через дану точку можна провести не більше однієї прямої, яка паралельна даній прямій. А скільки таких прямих можна провести у просторі? Нехай дано пряму a і точку А, що не лежить на ній. Через них можна провести єдину площину (теорема 1.1). У цій площині можна провести єдину пряму b, яка паралельна прямій α (рис. 33).

Отже, у просторі через дану точку А можна провести єдину пряму, паралельну даній прямій а. Таким чином, справедлива теорема: 28

Через будь-яку точку простору, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну. Ознака паралельності прямих Як довести паралельність двох прямих на площині? Можна скористатися означенням або ознаками паралельності, тобто теоремами, які дають достатні умови паралельності. Ви вивчали три ознаки паралельності прямих на площині: за рівністю між собою внутрішніх різносторонніх кутів між двома прямими і січною, за рівністю суми внутрішніх односторонніх кутів 180°, а також теорему, що дві прямі, які паралельні третій, паралельні між собою. Перші дві ознаки паралельності не мають аналогів для прямих у просторі. Остання ознака справедлива і в стереометрії. Сформулюємо її. Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою. Доведення теореми можна провести так, як це зроблено в підручнику, причому теорему вчитель спочатку доводить сам, а потім повторює доведення з учнями, звертаючи увагу на такі питання: чому площини β і γ різні? Чому точка В не лежить на прямій с? Чому площина γ; перетинає площину β, а не пристає до β ? Можна довести теорему 2.2 іншим способом. Наведемо його. Д о в е д е н н я Нехай b║a, с║а. Доведемо, що b║с . Прямі b і с не можуть перетинатися. Інакше через точку їх перетину проходили б дві різні прямі, паралельні прямій а, що суперечило б теоремі 2.1. Припустимо, що прямі b і с — мимобіжні (рис. 36). Через паралельні прямі b і а, с і a проведемо площини γ і β, а через пряму b і точку С прямої с — площину α. Нехай площини α і β перетинаються по прямій c1. Прямі а, с, c1 лежать в одній площині β , причому с║а. Тому пряма с1, яка перетинає с, перетинає пряму a в деякій точці А. Прямі c1 і а лежать відповідно у площинах α і γ , тому їх спільна точка А належить цим площинам, а отже, і їх спільній прямій b. З припущення випливає, що паралельні прямі a і b мають спільну точку А, що суперечить умові. Отже, прямі b і с не можуть ні перетинатися, ні бути мимобіжними. Таким чином, b║с . Виконання вправ 1. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що; а) АА1 || СС1; б) АВ || C1D1; в) AC || А1С1. 2. Чи правильне твердження: якщо прямі b і с не паралельні одній і тій самій прямій а, то b і с не паралельні між собою? 3. ABCDA1B1C1D1 — паралелепіпед. Доведіть, що площина АСС1 проходить через точку А,. 4. Прямі а і b паралельні, а прямі b і с не паралельні. Доведіть, що прямі а і с не паралельні. Ознака мимобіжності прямих Часто при розв'язуванні задач необхідно з'ясовувати: чи мимобіжні дані прямі? Користуючись означенням мимобіжності прямих, важко відповісти на це питання. Тому сформулюємо й доведемо ознаку мимобіжних прямих. Теорема. Якщо одна з двох прямих лежить у площині, а друга перетинає цю площину в точці, яка не лежить на першій прямій, то ці прямі мимобіжні Виконання вправ Різні випадки розташування двох прямих у просторі продемонструйте на предметах оточення. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 32). 29

а) Чи перетинаються прямі АА1 і ВВ1? А1В1 і D1C1? Як називаються ці прямі? б) Чи перетинаються прямі AD і ВВ1? АВ і DD1? Як називаються ці прямі? в) Чи можна провести площину через прямі AD і DB1? A1D1 і C1D1? AD і ВВ1? АА1 і DВ1 ? АА1 і DD1 ? Як розташовані осі залізничних вагонів між собою; відносно рейок? Як треба розуміти, що прямі а і b у просторі не паралельні? Що можна сказати про прямі а і b, якщо відомо, що вони не мимобіжні? IV. Закріплення та осмислення знань учнів Розв'язування вправ Прямі АВ і CD паралельні. Чи можуть бути мимобіжними прямі АС і BD? А перетинатися? Прямі АВ і CD мимобіжні. Чи можуть бути прямі АС і BD паралельними? А перетинатися? Κ, Ρ,Τ, Μ — середини ребер АВ, AC, CD, DB тетраедра DABC. Знайдіть периметр чотирикутника КРТМ, якщо AD = 6 см, ВС = 8 см. Запитання до класу 1) Як можуть розташовуватися дві прямі на площині? 2) Як можуть розташовуватися дві прямі у просторі? 4. Побудуйте переріз куба ABCDA1B1C1D1 площиною, яка проходить через діагональ ВD верхньої основи і точку Μ — середину ребра АА1. Обчисліть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює 10 см. V. Домашнє завдання VI. Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) Як можуть розташовуватися дві прямі на площині? 2) Як можуть розташовуватися дві прямі у просторі?

УРОК 93. Паралельність прямої і площини. Паралельність площин. Мета уроку: формування знань учнів про взаємне розміщення прямої і площини в просторі. Вивчення ознаки паралельності прямої і площини. Обладнання: стереометричний набір, моделі куба і тетраедра, схема «Аксіоми стереометрії». Хід уроку І. Аналіз виконання тематичного оцінювання. II. Перевірка домашнього завдання Зібрати зошити наприкінці уроку для перевірки їх ведення і виконання домашнього завдання. III. Узагальнення та систематизація знань учнів Взаємне розміщення прямої і площини в просторі Запитання до класу. 1) Згадайте і сформулюйте теорему про належність площині прямої, дві точки якої належать площині. 2) Як можуть розміщуватися пряма і площина в просторі? При обговоренні цього питання доречно скористатися схемою «Взаємне розміщення 30

прямої і площини» IV. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу Поняття прямої, паралельної площині, та ознака паралельності прямої і площини Взаємне розміщення прямої і площини в просторі Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. Паралельність прямої а і площини α позначається так: а || . Наочне уявлення про пряму, яка паралельна площині, дають лінії перетину стіни і стелі — ці лінії паралельні площині підлоги. Відрізок називається паралельним площині, якщо він є частиною прямої, паралельної площині. Сформулюємо та доведемо ознаку паралельності прямої і площини. Теорема. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині. Дано: а || b; b  α (рис. 51). Довести: а || . Доведення Припустимо, що пряма а не належить площині  . Тоді а і  мають спільну точку А. Якщо А  b , то а і b мають спільну точку А, що суперечить умові. Якщо А  b , то а і b мимобіжні, що суперечить умові. Отже, а ||  . Виконання вправ 1. Дано зображення куба АВСD1А1B1С1D1. Доведіть, що: а) пряма АВ паралельна площині DСС1; б) пряма АВ паралельна площині DСВ1. 2. У трикутній піраміді SАВС точки М і N — середини ребер SА і SВ відповідно. Доведіть, що МN || (АВС). 3. Дано площину  і поза нею точку А. Провести через точку А пряму, паралельну даній площині  . Розв'язання А н а л і з . За умовою А   (рис. 52). Щоб пряма а, яка проходить через точку А, була паралельна площині , достатньо, щоб вона була паралельна прямій b, яка належить площині  . Звідси випливає план розв'язання: 1) в площині  проводимо довільну пряму b; 2) через пряму b і точку А проводимо площину ; через точку А проводимо пряму а: а || b. Д о в е д е н н я . Згідно з ознакою паралельності прямої і площини маємо: а ||  . Д о с л і д ж е н н я . Пряма b проведена в площині  довільно, таких прямих нескінченна множина, отже, задача має нескінченну множину розв'язків. 4. Дано пряму а і точку А, яка не лежить на ній. Провести площину, яка проходить через точку А і паралельна прямій а. 5. Дано паралельні прямі а і b. Провести через пряму а площину, яка паралельна прямій b.

V. Домашнє завдання VI. Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) Як можуть розташовуватися пряма і площина у просторі? 2) Сформулюйте ознаку паралельності прямої і площини.

УРОК 94. Паралельність прямої і площини. Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати ознаку паралельності прямої і площини до розв'язування задач. Обладнання: стереометричний набір. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. Два учні на відкидних дошках відтворюють розв'язання задач № 14, 16. У цей час клас виконує математичний диктант. 2. Математичний диктант. Дано зображення куба: варіант 1 — рис. 53, варіант 2 — рис. 54.

Користуючись зображенням, запишіть: 1. пряму, яка паралельна площині ВСМ і проходить через точку D; (2 бали) 2. грані куба, які паралельні прямій СD; (2 бали) 3. площину, яка містить пряму ВN і паралельна прямій СD; (2 бали) 4. площину, яка паралельна прямій СD і проходить через точку К; (2 бали) 5. площини, які паралельні прямій ВМ; (2 бали) 6. прямі, паралельні площині АВМ. (2 бали) Відповідь. Варіант 1.1) АD; 2) АВNМ і МNLК; 3) АВN; 4) КМN і АВК; 5) DСК, LСА, КDM; 6) КL, LС, СD, КD, КС, DL. Варіант 2.1) DN; 2) АВКL, АВNМ; 3) АВN; 4) АВК і КLМ; 5) СDК, КCN, КСА; 6) KL, LС, СD, KD, KС, DL. 3. Провести колективне обговорення результатів роботи на відкидних дошках, написання математичного диктанту. II. Узагальнення та систематизація знань учнів 32

Властивості прямої і площини, які паралельні між собою Доцільно розглянути такі задачі на доведення. 1. Доведіть, що якщо площина проходить через пряму, яка паралельна другій площині, і перетинає цю площину, то пряма перетину паралельна даній прямій. Розв'язання Нехай а ||  (рис. 55) і площина  проходить через а, b — пряма перетину площин  і  . Доведемо, що а || b. Прямі аі b лежать в одній площині  і не перетинаються, бо в супротивному випадку пряма а перетинала б площину , що неможливо, оскільки згідно з умовою а ||  . Отже, а || b. 2. Доведіть, що якщо через кожну із двох паралельних прямих проведено площину, причому ці площини перетинаються, то їх лінія перетину паралельна кожній із даних прямих. Розв'язання Нехай а || b, пряма а лежить в площині  , пряма b лежить в площині , площини  і  перетинаються по прямій с(рис. 56). Доведемо, що а || с , b || с . Оскільки а || b і пряма b лежить в площині , то а ||  і, отже, згідно з розв'язуванням задачі 1, а || с. Аналогічно, оскільки а || b, а лежить в площині , b ||  і, отже, b || с. Таким чином, а || с іb || с . 3. Доведіть, що якщо дві площини, що перетинаються, паралельні одній і тій самій прямій, то пряма перетину цих площин паралельна даній прямій. Розв'язання Нехай  і  перетинаються по прямій с, а ||  , а ||  (рис. 57). Доведемо, що а || с. Візьмемо на прямій с довільну точку А і через неї проведемо пряму b, паралельну прямій а. Оскільки пряма а || , а || , то пряма b лежить як в площині , так і в площині . Отже, пряма b — пряма, по якій перетинаються площини  і , тому пряма b збігається з прямою с, отже, с || а . III. Закріплення та осмислення знань учнів Розв'язування задач 1. Задача № 13 (1, 4) із підручника (с. 19). 2. Площина  і пряма а паралельні одній і тій же прямій b. Доведіть: якщо пряма а не лежить в площині , то а ||  . 3. Доведіть, що всі прямі, які перетинають одну із мимобіжних прямих і паралельні другій, лежать в одній площині. 4. Трапеція АВСD (АВ || СD) лежить у площині  (рис. 58), АВ = 12 см. Поза площиною  взяли точку S і на відрізку SА відмітили точку К таку, що АК:КS=3:1. Побудуйте точку Х — точку перетину 33

площини DКС і відрізка SВ і знайдіть довжину відрізка КХ. 5. Задача № 17 із підручника (с. 19). IV. Домашнє завдання V. Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) Сформулюйте ознаку паралельності прямої і площини. 2) Сформулюйте твердження, обернене до ознаки паралельності прямої і площини. Чи правильне воно? 3) Закінчіть твердження. а) Якщо площина проходить через пряму, що паралельна другій площині, і перетинає цю площину, то пряма перетину ... . б) Якщо через кожну із двох паралельних прямих провести площини, які перетинаються, то їх лінія перетину ... . в) Якщо дві площини, які перетинаються, паралельні одній і тій самій прямій, то пряма перетину цих площин .

УРОК 95. Паралельність площин. Мета уроку: формування знань учнів про взаємне розміщення двох площин у просторі. Вивчення ознаки паралельності двох площин. Самостійна робота. Варіант 1 1) Трикутник АВF і трапеція АВСD (AB || CD) лежать у різних площинах. Доведіть, що пряма СD паралельна площині АВF. (4 бали) 2) Пряма а паралельна площині . Доведіть, що в площині  існує пряма, яка мимобіжна прямій а. (8 балів) Варіант 2 1) Трикутник АВК і паралелограм АВСD лежать у різних площинах. Доведіть, що пряма СD паралельна площині АВК. (4 бали) 2) Пряма а паралельна площині  . Доведіть, що в площині  існує пряма, яка паралельна прямій а. (8 балів) Варіант 3 1) Дано куб АВСDА1B1С1D1. Доведіть, що пряма АС паралельна площині А1С1D. (4 бали) 2) Дано мимобіжні прямі а і b. Доведіть, що існує площина, яка містить пряму а і паралельна прямій b. (8 балів) Варіант 4 1) У трикутній піраміді SАВС точки М. і N —.середини ребер SА і SВ, відповідно. Доведіть, що пряма МN паралельна площині АВС. (4 бали) 2) Дано паралельні прямі а і b. Доведіть, що існує площина, яка містить пряму а і паралельна прямій b. (8 балів) Взаємне розміщення двох площин у просторі, означення паралельних площин

Ми знаємо, якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій (аксіома С2). Звідси випливає, що дві площини або перетинаються по прямій, або не перетинаються, тобто не мають спільних точок (демонструємо схему, наведену нижче). Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. Уявлення про паралельні площини дають підлога і стеля кімнати, дві протилежні стіни, поверхня стола і площина підлоги. Якщо площини  і  паралельні, пишуть:  || . Виконання вправ 1. Наведіть приклади паралельних площин із оточення. 2. На моделях куба, прямокутного паралелепіпеда покажіть паралельні та площини, що перетинаються. 3. Користуючись зображенням прямокутного паралелепіпеда АВСDА1B1С1D1, укажіть: а) грані, які перетинають грань АВСD; б) площини, які паралельні площині АВС. 4. Площини  і  паралельні. Доведіть, що кожна пряма площини  паралельна площині . Ознака паралельності площин Теорема. Якщо дві прямі що перетинаються однієї площини паралельні відповідно двом прямим другої площини, то площини паралельні Д а н о : a1  ; а2  ; a1 і a2 перетинаються в точці А; b1   ; b2  ; a1 || b1; а2 || b2 (рис. 59). Д о в е с т и :  || . Доведення Припустимо, що  і  перетинаються по с. Оскільки a1 || b1, то а1 || , отже, а1 || с. Оскільки а2 || b2 то а2 || , отже, а2 || с. Через точку А проходять дві прямі а1 і а2, які паралельні с, що суперечить аксіомі паралельності. Отже,  || . Виконання вправ 1. Дано куб АВСDА1В1С1D1. Доведіть паралельність

площин: а) АВС і А1В1С1; б) АВ1D1 і ВDС1. 2. Точка В лежить поза площиною . Проведіть через точку В площину, паралельну площині . 4. Доведіть, що площини  і  паралельні, якщо дві прямі а і b, які лежать у площині  і перетинаються, паралельні площині . 35

5. Відомо, що дві прямі, які лежать у площині  , паралельні двом прямим площини . Чи випливає з цього, що  || ? Запитання до класу 1)Як можуть розташовуватися дві площини у просторі? 2) Сформулюйте ознаку паралельності площин. Теорема про існування площини, що паралельна даній площині При обговоренні звернути увагу учнів на розгляд двох випадків: 1) дана точка належить даній площині; 2) дана точка лежить поза даною площиною. Теорема. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну. Доведення розіб'ємо на дві частини. 1. Доведемо, що через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній площині. Наводимо зразок запису доведення першої частини на дошці. Д а н о : , А   (рис. 62). Д о в е с т и : існує ,  ||  , А  . Доведення Проводимо в площині а дві прямі а і b, які перетинаються. Через точку А проведемо прямі а1 і b1 такі, що а1 || а, b1 || b (теорема 2.1). Через прямі а1 і b1 проведемо площину , яка паралельна  (теорема 2.4). Звертаємо увагу учнів на те, що безпосередньо з доведення існування площини  не випливає, що  — єдина, бо прямі а і b вибрані довільно, тому може статися, що другій парі таких прямих буде відповідати друга площина 1, паралельна а. 2. Доведемо, що через точку поза даною площиною проходить тільки одна площина, паралельна даній площині. Наводимо зразок запису доведення другої частини на дошці. Д а н о : , А  , ,  || , А   (рис. 63). Д о в е с т и :  — єдина. Доведення Припустимо, через точку А проходить 1 така, що 1 ||  . Візьмемо точку С таку, що С  1, С   . Візьмемо точку В, В  . Через точки А, B, С проведемо γ, яка перетинає  по прямій b,  — по а, 1 — по с. Тоді а || b, с || b. Отже, через точку А проходять дві різні прямі а і с, які паралельні прямій b, що суперечить теоремі 2.1. Властивості ліній перетину двох паралельних площин третьою площиною Запитання до класу Знайдіть у класній кімнаті модель двох паралельних площин, які перетинаються третьою площиною. Покажіть лінії перетину цих площин третьою площиною. Що можна сказати про взаємне розташування цих прямих? Далі формулюється теорема. Теорема. 36

Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні. Цю теорему можна сформулювати по-іншому: Паралельні площини перетинаються січною площиною по паралельних прямих. Доведемо теорему. Наводимо запис, який можна зробити на дошці і в зошитах учнів. Д а н о :  || ; γ перетинає  по прямій а; γ перетинає  по прямій b. Д о в е с т и : а || b (рис. 66). Доведення Припустимо, що а b. Оскільки а і b лежать в γ , то вони перетинаються в деякій точці А; А   , бо a  ; А  , бо b  . Отже,  і  перетинаються, що суперечить умові:  ||  . Отже, а || b. Розв'язування задач 1. Паралельні площини  і  перетинають сторону АВ кута ВАС відповідно в точках А1 і А2, а сторону АС цього кута — відповідно в точках В1 і В2. Знайдіть: а) АА2 і АB2, якщо А1А2 = 2А1А, А1А2 = 12 см, АВ1 = 5 см; б) А2В2 і 3 АА2, якщо А1В1 = 18 см, АА1 = 24 см, АА2 = А1А2. 2 (Відповідь, а) АА2 = 18 см; АВ2 = 15 см; б) А2В2 = 54 см, АА2 = 72 см.) Розв'язування задач Паралельні відрізки А1А2, В1B2, С1С2 розміщені між паралельними площинами  і  (рис. 68). а) Визначте вид чотирикутників А1В1B2A2, В1С1C2В2, А1C1С2A2. б) Доведіть, що А1В1С1 = А2B2С2. . Підведення підсумку уроку Запитання до класу Сформулюйте теорему про лінії перетину двох паралельних площин третьою площиною. Дві паралельні площини  і  перетинаються площиною γ по прямих а і b (рис. 69). Укажіть, які з тверджень правильні, а які — неправильні: а) прямі а і b можуть бути мимобіжними; б) прямі а і b обов'язково паралельні; в) пряма а паралельна площині ; г) будь-яка пряма, яка лежить у площині γ , обов'язково перетинає обидві площини  і . Сформулюйте теорему про властивість паралельних відрізків, які лежать між паралельними площинами. Площини  і  паралельні (рис. 70). Паралельні прямі а і b перетинають площину  в точках А1, В1, а площину  — в точках А2, В2. Укажіть, які з тверджень правильні, а які — неправильні: а) А1А2 = В1B2; перетинаються.

в) прямі А1В2 і А2В1 мимобіжні;

б) прямі А1B1 і А2В2 паралельні; г) прямі А1В2 і А2B1

УРОК 96. Паралельне проектування та його властивості. Зображення фігур у стереометрії. Мета уроку: формування знань про паралельне проектування. Вивчення властивостей паралельного проектування. Дати уявлення про зображення просторових фігур на площині. Обладнання: стереометричний набір. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. Відповісти на запитання, які виникли в учнів при розв'язуванні домашньої задачі. II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу Паралельне проектування та його властивості Для зображення просторових фігур у стереометрії користуються паралельним проектуванням. Пригадаємо, що це таке. Нехай дано довільну площину α, точку А (рис. 83) і пряму h, яке перетинає площину α. Проведемо через точку А пряму, яка паралельна h, вона перетинає площину α у деякій точці А1. Знайдену таким способом точку А; називають паралельною проекцією точки А на площину α у напрямі h. Пряму h називають проектуючою прямою, площину α — площиною проекцій. Щоб побудувати проекцію будь-якої фігури, треба спроектувати на площину проекції кожну точку даної фігури (рис. 84). Наведемо деякі властивості паралельного проектування. Теорема. Якщо відрізки, які проектуються, не паралельні проектуючій прямій, то при паралельному проектуванні: відрізки зображаються відрізками; паралельні відрізки зображаються паралельними відрізками або відрізками однієї прямої; 3) відношення довжин паралельних відрізків і відрізків однієї прямої зберігається. Доведення Усі прямі, що проектують точки відрізка АВ, лежать в одній площині β, яка перетинає площину α по прямій А1В1 (рис. 85). Отже, проекцією відрізка є відрізок, причому довільна точка С відрізка АВ зображається точкою С1 відрізка А1В1. Нехай відрізки АВ і CD, які проектуються, паралельні. Усі прямі, що їх перетинають і паралельні h, заповнюють або частини однієї площини (рис. 86), або паралельних площин (рис. 87).

Ці частини площин перетинають площину а відповідно або по відрізках однієї прямої, або по паралельних відрізках А1В1 і С1D1. 38

Якщо відрізки АВ і СВ, які проектують, розміщені на одній прямій (див. рис. 85), то за теоремою про пропорційні відрізки маємо: А1С1 : С1B1 = АС : СВ. Якщо відрізки АВ і CD паралельні, а їх проекції А1B1 і С1D1 лежать на одній прямій (див, рис. 86), то АВВ2A2 — паралелограм. У цьому випадку A1B1 : C1D1 = A2B2 : CD = AB : CD. Нарешті, якщо проекції А1В1 і С1D1 даних відрізків АВ і CD не лежать на одній прямій (див. рис. 87), то побудуємо паралелограм CDKB. Його проекція — паралелограм СDKВ. Отже, маємо: А1В1 : C1D1 = А1В1 : В1К1 = АВ : ВК = АВ : CD. Виконання вправ При якому положенні відрізка відносно площини проекції його проекція: а) дорівнює самому відрізку; б) є точка? Відрізок проектується паралельно на площину. Як проектується середина відрізка на цю площину? Чи може проекція відрізка бути більше відрізка, який проектують? Чи можуть непаралельні прямі проектуватися в паралельні прямі? Наведіть приклади. Як розташовані точки А і В відносно площини CDD1C1 (рис. 88)? Площина фігури не паралельна напряму проектування. В яку фігуру проектується: а) трикутник; б) паралелограм? Зображення просторових фігур на площині Розглянуті властивості паралельного проектування дають змогу наочно зображати просторові фігури на площині. Зображенням фігури називається будь-яка фігура, подібна до паралельної проекції даної фігури на деяку площину. III. Домашнє завдання IV. Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) Як виконується паралельне проектування? 2) Що називається паралельною проекцією точки; фігури? 3) Що є паралельною проекцією прямої; двох паралельних прямих? 4) Чи зберігається при паралельному проектуванні довжина відрізків; величина кутів? 5) В якому випадку відношення довжин проекцій відрізків дорівнює відношенню довжин відрізків, які проектують? 6) Відрізок А1B1 — паралельна проекція відрізка АВ на площину α (рис. 89). Точка С лежить на відрізку АВ. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні: а) проекція точки С на площину α не належить відрізку А1B1; б) відрізки АВ і А1В1 не лежать в одній площині; в) якщо AC : BC = 2 : 3, то А1C1 : С1В1 = 2 : 3; г) якщо АС = СВ, то А1С1 = 2С1В1; д) якщо АС = 3 см, АВ =12 см, то А1С1 : А1В1 =1: 4.

УРОК 97. Перпендикулярність прямої і площини. Мета уроку: формування поняття про перпендикулярні прямі. Вивчення теореми про прямі, що перетинаються і паралельні двом перпендикулярним прямим. 39

Обладнання: стереометричний набір. Хід уроку I. Перевірка домашнього завдання В кінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки їх ведення та виконання домашнього завдання. II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу Означення перпендикулярних прямих у просторі Поряд із відношенням паралельності в геометрії важливе значення має відношення перпендикулярності. У планіметрії ми говорили про перпендикулярність прямих. Перпендикулярними прямими на площині називаються прямі, які перетинаються під прямим кутом. У стереометрії розглядають три випадки перпендикулярності: перпендикулярність прямих, перпендикулярність прямої і площини, перпендикулярність площин. На наступних уроках ми займемося послідовним вивченням цих трьох відношень. Почнемо з випадку перпендикулярності прямих у просторі. Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом. Теорема Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні. IIІ. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу Означення перпендикулярності прямої і площини Уявлення про пряму перпендикулярну до площини дають вертикально поставлені стовпи — вони перпендикулярні до поверхні землі, перпендикулярні до будь-якої прямої, яка проходить через основу стовпа і лежить у площині землі. Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину та перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину. На рис. 137 пряма с перпендикулярна до площини α. Пишуть: с  α. З означення випливає, що с  a , с  b. Розв'язування задач Укажіть в оточуючому просторі моделі прямих і площин, які перпендикулярні. Чи правильно, що коли пряма не перпендикулярна до площини, то вона не перпендикулярна ні до жодної прямої, яка лежить в цій площині? Що означає твердження: пряма не перпендикулярна до площини? Пряма SA перпендикулярна до площини прямокутника ABCD. Укажіть перпендикулярні прямі (рис. 138). (Відповідь. SA  AB; SA  AC ; SA  AD.) Ознака перпендикулярності прямої і площини Як перевірити, чи перпендикулярна дана пряма до даної площини? Це питання має практичне значення, наприклад, при установці щогл, колон тощо, які потрібно поставити прямо, тобто перпендикулярно до площини землі. Насправді немає необхідності перевіряти перпендикулярність прямої до всіх прямих, що лежать у даній площині й проходять через точку перетину даної прямої і площини, а досить перевірити перпендикулярність лише до двох прямих, які лежать у площині і проходять через точку перетину прямої і площини. Це випливає з теореми, що виражає ознаку перпендикулярності прямої і площини. 40

Теорема. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою. Теорема 1. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої. Доведення Нехай а1 || а2 і a1  α. Доведемо, що α  а2 (рис. 153). Точки А1 і А2 — точки перетину а1 і а2 з площиною α. У площині α через точку А2 проведемо довільну пряму х2, а через точку А1 — пряму х1 таку, що х1 || х2. Оскільки a1 || а2, x1 || х2 і а1  х1, то за теоремою 3.1 а2  х2. Оскільки х2 вибрана довільно в площині α, то а2  α. Теорема 2. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, то дані прямі паралельні. Доведення Нехай a  α , b  α . Доведемо, що а || b (рис. 154). Припустимо, що а b. Тоді через точку С прямої b проведемо b1 , паралельну а. Оскільки а  α , то і b1  α за доведеною теоремою, а за умовою b  α. Якщо точки А і В — точки перетину прямих b1 і b з площиною α, то з припущення випливає, що в трикутнику <A = <В = 90° , що не може бути. Отже, а || b. Теорема 3. Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралельних площин, то вона перпендикулярна і до другої. Доведення Нехай α || β , а  α. Доведемо, що α  β. (рис. 157). Нехай точки А і В — точки перетину прямої а з площинами α і β. В площині β проведемо через точку В довільну пряму b. Через пряму b і точку А проведемо площину γ, яка перетинає α по прямій с, причому с || b. Оскільки а  α , то а  с (за означенням прямої, перпендикулярної до площини). Оскільки а а  b. Враховуючи, що b —  с, b || с і а, b, с лежать в γ, то довільна пряма площини β, маємо а  β. Теорема 4. Якщо дві площини, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то вони паралельні. Доведення Нехай α  а, β  а, доведемо, що α || β (рис. 158). Нехай точки А і В — точки перетину прямої а з площинами α і β. Припустимо, що α β. Візьмемо точку С на прямій перетину площин α і β. С  а, бо в противному випадку через точку С проходили б дві різні площини α і β, перпендикулярні до прямої а, що неможливо. Проведемо площину γ через точку С і пряму а, ця площина перетинає α і β по прямих АС і ВС відповідно. Оскільки а 41

 α, то а  АС, аналогічно а  ВС. Отже, в площині γ через точку С проходять дві різні прямі АС і ВС, які перпендикулярні до прямої а, що неможливо. Отже, α || β. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою Дано: Дано: а || b, a  α, a  α. b  α. Довести: Довести: b  a. а || b. Дано: Дано: α || β, α  a. а  α. β  a. Довести: β  Довести: а. α || β.

Запитання до класу Як розташовані прямі, які перпендикулярні до площини? Як розташовані в просторі площини, які перпендикулярні до прямої? Як розташовані пряма і площина, якщо паралельна пряма до даної прямої перпендикулярна до площини? Як розташовані пряма і площина, якщо площина, паралельна до даної площини, перпендикулярна до даної прямої? Перпендикуляр і похила. Взаємозв'язок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій. Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, називають відрізок прямої, перпендикулярної до площини, що міститься між даною точкою і площиною. На рис. 162 пряма AC перпендикулярна до площини α і перетинає її в точці С, отже, відрізок AC — перпендикуляр, опущений з точки А на площину α. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, тобто точка С, називається основою перпендикуляра. Якщо AC — перпендикуляр до площини α, а точка В — відмінна від С точка цієї площини, то відрізок АВ називають похилою, проведеною з точки А на площину α. Точка В — основа похилої. Відрізок, що з'єднує основи перпендикуляра і похилої, проведених з однієї і тієї самої точки, називається проекцією похилої. На рис. 162 відрізок ВС — проекція похилої АВ на площину α. Прикладами матеріальних моделей перпендикулярів є: стовпи, телевізійні вежі тощо. Слід зазначити, що перпендикуляр, опущений з точки, коротший за будь-яку похилу, проведену через дану точку. Відстанню від точки до площини називається довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину. Розв'язування задач Знайти відстань від точки А до граней куба, якщо ребро куба дорівнює 10 см (рис. 163).

Рис. 163 Із точки S проведено до площини а перпендикуляр SO та похилі SA і SB. Довжини похилих відповідно дорівнюють 13 і 20 см. Довжина проекції похилої AS дорівнює 5 см (рис. 164). Знайти відстань від точки S до площини та довжину проекції похилої SB. Вивчення взаємозв'язку між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекції доречно провести шляхом розв'язування задач. Задача. Із деякої точки проведено до площини дві похилі і перпендикуляр. Доведіть, що якщо: 1) похилі рівні, то рівні і їх проекції; 2) проекції похилих рівні, то рівні і похилі. 3) похилі нерівні, то більша похила має більшу проекцію. Доведення Нехай АВ  α (рис. 165); AC і AD — похилі; AC > BD . Із ΓAСВ AC =

АВ 2  ВС 2 .

Із ΓАDB AD = АВ  ВD . Згідно з умовою AC > AD , тоді 2

АВ 2  ВС 2 >

АВ 2  ВD 2 ;

АВ2 + ВС2 > АВ2 + BD2, або ВС2 > BD2; отже, ВС > BD . 4) Доведіть: якщо похилі нерівні, то більшій проекції відповідає більша похила. Запитання до класу Що таке перпендикуляр, опущений з даної точки до площини? Що таке похила, проведена з даної точки до площини? Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику. Теорема 1. Якщо через центр кола, описаного навколо многокутника, проведено пряму, перпендикулярну до площини многокутника, то кожна точка цієї прямої рівновіддалена від вершин многокутника. Теорема 2. Якщо деяка точка рівновіддалена від вершин многокутника, то основа перпендикуляра, опущеного з даної точки на площину многокутника, збігається з центром кола, описаного навколо многокутника. формули для знаходження радіуса кола, описаного навколо деяких многокутників,

Запитання до класу Яку властивість мають точки, які лежать на перпендикулярі, проведеному до площини многокутника через центр кола, описаного навколо многокутника? Де знаходяться точки, рівновіддалені від вершин деякого многокутника? Відстані від точки S до всіх вершин прямокутника ABCD однакові, точка О — точка перетину діагоналей АС і BD прямокутника ABCD. Укажіть, які з поданих тверджень правильні, а які — неправильні: а) пряма SO перпендикулярна до прямої АС; б) пряма SO не перпендикулярна до прямої BD; в) пряма SO перпендикулярна до площини АВС; г) якщо АВ = 6 см, ВС == 8 см і AS = 13 см, то SO = 12 см. Відстань від точки до прямої. Розв'язування задач на застосування теореми про три перпендикуляри. Нехай задані в просторі пряма а і точка А, що не лежить на даній прямій (рис. 200). Відстанню від точки А до прямої а називається довжина перпендикуляра, опущеного з точки А на пряму а. Розв'язування задач З точки М опустити перпендикуляр на пряму АВ (рис. 201)

. Рис. 201. а) МС  (АВС), АС = ВС ; б) МС  (АВС), <BAC = 90° . в) МО  (АВС), АО = ОС, <ABC = 90°; г) ABCD — квадрат, MC  (ABC). Через точку О перетину діагоналей квадрата ABCD проведено до його площини перпендикуляр МО довжиною 15 см. Знайдіть відстань від точки М до сторін квадрата, 44

якщо його сторона дорівнює 16 см. (Відповідь. 17 см.) Відрізок AS, що дорівнює 12 см, перпендикулярний до площини трикутника АВС, в якому АВ = АС = 20 см, ВС = 24 см. Знайдіть відстань від точки S до прямої ВС. (Відповідь. 20 см.) До площини прямокутника ABCD, площа якого дорівнює 180 см2, проведено перпендикуляр SD, SD = 12 см, ВС = 20 см. Знайдіть відстань від точки S до сторін прямокутника. (Відповідь. 12 см; 12 см; 15 см; 4 34 см.) Катет AC прямокутного трикутника дорівнює а, кут В дорівнює φ. Через вершину прямого кута проведено до площини цього трикутника перпендикуляр МС довжиною а. Знайдіть відстань від кінців перпендикуляра до гіпотенузи. (Відповідь. a cos φ; a 1  cos 2  .) У трикутнику АВС сторони АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см. Із вершини А проведено до його площини перпендикуляр AD довжиною 5 см. Знайдіть відстань від точки D до сторони ВС. (Відповідь. 13 см.) До площини ромба ABCD, у якого <A = 45°, АВ = 8 см, проведено перпендикуляр МС довжиною 7 см. Знайдіть відстань від точки М до сторін ромба. (Відповідь. 7 см; 7 см; 9 см; 9 см.) IV. Підведення підсумку уроку Запитання до класу Що називається відстанню від точки до прямої? Знайдіть відстань від точки А до прямої а, якщо ребро куба дорівнює 2 см ( рис. 202).

Рис. 202 Із центра О кола, вписаного в ромб ABCD, проведено перпендикуляр SO до площини ромба. Коло дотикається до сторони АВ ромба у точці К, кут DAB — тупий (див. с 142 рис. 203). Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні: а) OK  AB ; б) проекцією відрізка SK на площину ромба є відрізок OS; в) SK  OK ; Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника. Теорема. Якщо точка рівновіддалена від сторін многокутника і основа. перпендикуляра, опущеного з даної точки до площини многокутника, лежить всередині многокутника, то основа перпендикуляра є центром кола, вписаного в многокутник.

V. Домашнє завдання VI. Підведення підсумку уроку

УРОК 98. Перпендикулярність площин. Ортогональне проектування і його властивості. Мета уроку: формування поняття перпендикулярності площин. Вивчення ознаки перпендикулярності площин. Обладнання: стереометричний набір, моделі куба і прямокутного паралелепіпеда. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання Самостійна робота. Варіант 1 Периметр правильного трикутника дорівнює 36 3 см, а відстані від деякої точки до кожної із сторін трикутника — 10 см. Знайти відстань від цієї точки до площини трикутника. Варіант 2 Площа правильного трикутника дорівнює 108 3 см2. Точка віддалена від площини трикутника на 8 см і рівновіддалена від його сторін. Знайти відстані від цієї точки до сторін трикутника. Варіант З Сторони трикутника дорівнюють 13, 14 і 15 см. Точка простору віддалена від кожної 46

сторони цього трикутника на 5 см. Знайти відстань від цієї точки до площини трикутника. Варіант 4 Сторони трикутника дорівнюють 36, 25 і 29 см. Відстань від деякої точки до площини трикутника дорівнює 15 см. Відстані від цієї точки до сторін трикутника рівні. Знайдіть ці відстані. Відповідь. Варіант 1. 8 см. Варіант 2. 10 см. Варіант 3.3см. Варіант 4.17 см. II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу Поняття перпендикулярних площин Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, проведена перпендикулярно до лінії перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих. На рис. 216 α  β, бо площини α і β перетинаються по прямій с, площина γ, перпендикулярна до с, перетинає α і β по прямих а і b, які перпендикулярні. Означення перпендикулярності площин не залежить від вибору площини γ. Дійсно, візьмемо іншу площину γ1, перпендикулярну до прямої с (рис. 217). Оскільки с  γ та прямі a і b лежать у площині γ і перетинаються в точці А, то с  а, с  b (за означенням перпендикулярності прямої і площини).

Аналогічно с  а1, с  b1. Крім того, а і а1b, b і b1 лежать відповідно в площинах α і β. Отже, а || а1 і b || b1. Оскільки а  b , а || a1 і b || b1, то а1  b1 (теорема 3.1). Розв'язування задач 1. Наведіть приклади моделей перпендикулярних площин із оточення. 2. Покажіть на моделі прямокутного паралелепіпеда перпендикулярні грані (площини). 3. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1. Укажіть площини, які перпендикулярні до площини: а) АВС; б) ADC1; в) АСС1. 4. На двох перпендикулярних площинах вибрали по прямій. Чи може статися, що ці прямі: а) паралельні; б) перетинаються; в) мимобіжні? Відповідь проілюструйте прикладами з оточення. Ознака перпендикулярності площин Запитання до класу 1) Які площини називаються перпендикулярними? 2) Сформулюйте ознаку перпендикулярності площин. 3) Дано куб ABCDA1B1C1D1. Враховуючи, що ребра куба, які виходять з однієї вершини, попарно перпендикулярні, укажіть серед наведених тверджень правильні: а) площини АD1С і AD1D перпендикулярні; б) площини AD1C і CDD1 перпендикулярні; в) площини AD1C і ADC перпендикулярні; г) площини ADD1 і ADC перпендикулярні. 4) Дано дві перпендикулярні площини α і β та пряму с, яка перпендикулярна до площини α. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні: а) пряма с обов'язково належить площині β; б) пряма с може бути паралельною площині β; в) якщо пряма с, належить площині β, то вона паралельна лінії перетину площин α і 47

β; г) будь-яка площина, яка містить пряму с, перпендикулярна до площини α. II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу Відстань між мимобіжними прямими. Запитання до класу 1) Як можуть розташовуватися дві прямі у просторі? 2) Які прямі називаються мимобіжними? 3) Як через одну з мимобіжних прямих провести площину, паралельну другій прямій? 4) Чи можна через дві мимобіжні прямі провести паралельні між собою площини? Якщо так, то як це зробити? (Виконується побудова на дошці і в зошитах учнів (рис. 225)). Якщо точка В — точка перетину прямих а1 і b і АВ  α , то яке взаємне розташування прямої АВ і прямих а і b? Формування поняття спільного перпендикуляра Спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок з кінцями на цих прямих, перпендикулярний до кожної з них. Виконання вправ Вкажіть дві мимобіжні прямі з оточення, а також спільний перпендикуляр до цих прямих. Вкажіть спільні перпендикуляри до прямих АВ і CD на зображенні куба (рис . 226, а, б, в).

Доведення єдиності спільного перпендикуляра до мимобіжних прямих а і b можна запропонувати учням розібрати за підручником самостійно, а після цього відповісти на запитання: 1. Чому CD  b' ? 2. Чому CD  α? 3. Чому CD || АВ ? 4. Чому в площині, яка проходить через прямі АВ і CD, повинні лежати прямі а і b? 5. Чи можуть прямі а і Ь лежати в одній площині? Виконання вправ 1. Побудуйте спільні перпендикуляри до прямих АВ і CD на зображенні куба (рис. 227).

Рис. 227 2. Побудуйте спільний перпендикуляр до прямих: 1) АВ і SC; 2) AS і ВС; 3) AC і SB на зображенні тетраедра SABC, всі ребра якого рівні. Формування поняття відстані між мимобіжними прямими та вмінь знаходити її Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного 48

перпендикуляра. Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, які проходять через ці прямі. Розв'язування задач 1. Ребро куба дорівнює 10 см. Яка відстань між прямими а і b (рис. 228)? 2. Кожне ребро тетраедра SABC дорівнює 10 см. Знайдіть відстань між прямими AS і ВС.

Рис. 228 Якщо проектуючі прямі перпендикулярні до площини проекцій, таке проектування називають ортогональним, або прямокутним. Ортогональне проектування — вид паралельного проектування, тому воно має властивості паралельного проектування. У геометрії ортогональне проектування основне. Далі, говорячи про проектування і проекції, ми матимемо на увазі тільки ортогональне проектування, ортогональні проекції. Ортогональне проектування широко застосовується в технічному кресленні. III. Домашнє завдання IV. Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) Що розуміють під ортогональною проекцією фігури на площину? 2) Перелічіть властивості ортогонального проектування. 3) Дано зображення куба (рис. 234). Знайдіть ортогональні проекції відрізка BL на площину: а)АВС; б) DLC; в) MNK; г)ADL; к)АВМ; е) ВСК.

УРОК 99. Перпендикулярність прямих і площин у просторі. Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати означення та ознаку перпендикулярності прямої і площини до розв'язування задач. Обладнання: стереометричний набір, модель куба. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. Перевірка правильності розв'язання задачі № 7 за записами (з пропусками), зробленими на дошці до початку уроку. Розв'язання задачі № 7 Нехай ABCD — прямокутник; КА ...(АВС); KB = 7 м, КС = 9 м, KD = 6 м (рис. 144). Із ΓКВА АВ =

...  ... = 7 2  АК 2 = 49  АК 2 .

Із ΓКAD AD = DK 2  ... 2 = ...  АК 2 . Із ΓАСD AC2 = AD2 + DC2 = AD2 +... = 36 – АК2 + + 49 – АК2 = ... – 2АК2. Із ΓАСK КС2 = АК2 + АС2; … = АK2 + 85 – АК2; АК2 = 85 – ...; АК2 = 4 ; АК = 2 (м). Відповідь. 2 м. 49

2. Математичний диктант. Відрізок МА перпендикулярний до площини АВС: Варіант 1 — прямокутника ABCD (рис. 145); Варіант 2 — ромба CBDF (рис. 146), в якому АВ = 3 см, AD = 4 см, МА = 1 см. Користуючись зображенням, знайдіть: 1) відстань між точками М і В; (2 бали) 2) довжину відрізка MD; (2 бали) 3) відстань між точками А і С; (2 бали) 4) довжину відрізка BD; (2 бали) 5) відстань між точками М і С; (2 бали) 6) площу трикутника МАС. (2 бали)

26 см; 6) 2,5 см2. Варіант 2. 1) 10 см; 2) 17 см; 3) 4 см; 4) 5 см; 5) 17 см; 6) 2 см2. II. Закріплення та осмислення знань учнів Розв'язування задач 1. Три промені ОА, 0В і ОС попарно перпендикулярні. Як розташований кожний із променів відносно площини, яка визначається двома іншими променями? 2. Через точку О перетину діагоналей квадрата зі стороною а проведено пряму ОК, перпендикулярну до площини квадрата. Знайдіть відстань від точки К до вершин квадрата, якщо OK = b. Відповідь.

Варіант 1. 1) 10 см; 2) 17 см; 3) 5см; 4) 5 см; 5)

а2  b 2 .) 2 У трикутнику АВС <C = 90°, AC = 6 см, ВС = 8 см, CM — медіана. Через вершину С проведено пряму СК, яка перпендикулярна до площини трикутника АВС, причому СК =12 см. Знайдіть KM. (Відповідь. 13 см.) Пряма CD перпендикулярна до площини правильного трикутника АВС. Через центр О цього трикутника проведена пряма ОК, паралельна до прямої CD. Відомо, що АВ = 16 3 см, ОК = 12см, CD = 16см. Знайдіть відстань від точок D і К до вершин А і В трикутника. (Відповідь. КА = КВ = 20 см; DA = DB = 32 см.) Ребро куба дорівнює а. Знайдіть відстань від точки перетину діагоналей однієї із граней до вершин протилежної їй грані. 1 (Відповідь. a 6 .) 2 Діагональ BD1 прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 дорівнює d, діагональ AD1 грані дорівнює b. Знайдіть АВ. (Відповідь.

(Відповідь. d 2  b 2 .) III. Домашнє завдання IV. Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) Дайте означення прямої, перпендикулярної до площини. 2) Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої і площини. 3) Відстань від точки S до кожної із вершин прямокутника ABCD однакова (рис. 147), 50

точка О — точка перетину діагоналей АС і BD прямокутника ABCD. Укажіть, які з поданих нижче тверджень правильні, а які — неправильні: а) пряма SO перпендикулярна до прямої BD; б) пряма SO не перпендикулярна до прямої АС; в) пряма SO не перпендикулярна до площини АВС; г) пряма АС обов'язково перпендикулярна до площини BDS; д) якщо АВ = 6 CM; BC = 8 см і AS = 13 см, то SO = 12 CM. 4) Відстань від точки S до всіх вершин прямокутного трикутника АВС (<C = 90°) однакова, точка О — середина гіпотенузи АВ. Укажіть, які з поданих нижче тверджень правильні, а які — неправильні: а) пряма CO не може бути перпендикулярна до площини SAB; б) пряма CO обов'язково перпендикулярна до прямої SO; в) пряма SO обов'язково перпендикулярна до площини АВС; г) якщо АС = 6 см, BC = 8 см і CS = 13 см, то SO = 12 см.

УРОК 100. Вимірювання відстаней у просторі. Мета уроку: формування вмінь учнів у знаходженні відстані між двома мимобіжними прямими. Обладнання: стереометричний набір, моделі куба і прямокутного паралелепіпеда. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. Фронтальна бесіда за контрольними запитаннями та перевірка правильності розв'язання домашньої задачі. 2. Математичний диктант. Дано зображення куба: варіант 1 (рис. 229); варіант 2 (рис. 230). Ребро куба дорівнює а. Знайдіть відстань між прямими: 1) АВ і LK; 2) АХ і CN; 3) AN і KM; 4) DL і AB; 5) AL і ВК; 6) KN і АВ. (Кожне завдання — 2 бали), Відповідь. Варіант 1. 1) а; 2) а; 3) а; а 2 а 2 4) ; 5) ; 6) а. 2 2 а 2 а 2 Варіант 2. 1) а; 2) а; 3) ; 4) а; 5) ; 6) а. 2 2 II. Закріплення та осмислення знань учнів Розв'язування задач, які допомагають знаходити відстань між двома мимобіжними прямими Задача 1. Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані від однієї з цих прямих до паралельної цій прямій площини, яку проведено через другу пряму. Довести. Р о з в ' я з а н н я Відстань між мимобіжними прямими a і b (рис. 231) дорівнює відстані між паралельними площинами α і β, що проходять через ці прямі (а  α, b  β). Візьмемо довільну точку А на прямій а. Оскільки А  α, то відстань від точки А до площини β дорівнює відстані між площинами α і β, а, отже, вона є відстанню між прямими а і b. Відстань від точки А до площини β є 51

відстанню від прямої а до площини β. Задача 2. Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані між їх проекціями на площину, перпендикулярну до однієї з цих прямих. Довести. Р о з в ' я з а н н я Нехай α  а . Спроектуємо (ортогонально — перпендикулярно) обидві прямі а і b на площину α (рис. 232). Проекцією прямої а є точка А, а проекцію прямої b є пряма b1. Проведемо площину β через прямі b і b1. β || α, оскільки будь-яка проектуюча пряма площини β паралельна а. α  β, тому перпендикуляр, проведений з точки А до прямої b1, буде перпендикуляром і до площини β. Цей перпендикуляр є відстанню від прямої а до паралельної їй площини β, а, отже, і відстанню між мимобіжними прямими а і b. Розв'язування задач 1. Через вершину А трикутника ABC проведено пряму а, перпендикулярну до площини трикутника. Знайдіть відстань між прямими а і ВС, якщо АВ =13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см. (Відповідь. 12 см.) 2. До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр KD. Сторона квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть відстань між прямими: 1) АВ і KD; 2) KD і АС. (Відповідь. 1) 5 2 см.) 2 3. Прямокутники ABCD і АВМК лежать у різних площинах. Сума їх периметрів дорівнює 46 CM, AK = 6 CM, BC = 5 см. Знайдіть відстань між прямими AK і BC. (Відповідь. 6 см.) 4. Через точку перетину діагоналей квадрата ABCD проведено перпендикуляр МО до

5 см; 2)

його площини; МО = а 2 , АВ = 2а . Знайдіть відстань між прямими: 1) АВ і МО; 2) ВD і МС. (Відповідь. 1) а; 2) а.) 5. Ребро куба дорівнює 10 см. Знайдіть відстань між прямими а і b (рис. 233).

Рис. 233 10 10 10 3 (Відповідь, а) 5 2 см; б) 5 2 см; в) 5 2 см; г) см; д) ; е) см.) 3 6 6 III. Домашнє завдання Через вершину С прямого кута трикутника АВС проведено пряму а, перпендикулярну до його площини. АС = 15 см, BC = 20 см. Знайдіть відстань між прямими а і АВ.(Відповідь. 12 см.) IV. Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) Як можна знайти відстань між двома даними мимобіжними прямими? 2) Через вершину А прямокутного трикутника АВС з прямим кутом С проведено перпендикуляр SA до площини трикутника, СК — висота трикутника. Відомо, що АС = 3 см, АВ = 5 см. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні: а) спільним перпендикуляром прямих SA і ВС є відрізок АВ; б) відстань між прямими SA і ВС дорівнює 3 см; в) відстань між прямими SA і СК дорівнює відстані між точкою А і прямою СК; 52

г) відстань між прямими SA і СК дорівнює 1,8 см.

УРОК 101. Кут між прямою і площиною. Кут між площинами. Мета уроку: формування поняття кута між прямою і площиною, а також умінь учнів знаходити кути між прямою і площиною. Обладнання: стереометричний набір, модель куба. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. Фронтальне опитування. 1) Дайте означення кута між мимобіжними прямими. 2) Чи залежить кут між мимобіжними прямими від вибору прямих, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим? 3) Сформулюйте узагальнене означення перпендикулярності прямої і площини. 4) Сформулюйте узагальнену ознаку перпендикулярності прямої і площини. 5) Сформулюйте узагальнену теорему про три перпендикуляри. 2. Перевірка розв'язування задачі № 32. Р о з в ' я з а н н я Спроектуємо ортогональне прямі а, b, с на площину, яка паралельна їм, одержимо прямі а1, b1, с1 відповідно, які попарно перетинаються і паралельні прямим а, b, с. Можливі два випадки (рис. 279). У випадку «а» маємо: кут між прямими b1 і с1 дорівнює 180° – 60° – 80° = 40°. У випадку «б» маємо: кут між прямими b1 і с1 дорівнює 180° – (180° – 80°) – 60° = 20°. А через те що b || b1, с || c1, кут між прямими b і с може дорівнювати або 40° , або 20°. Відповідь. 20° або 40° . 3. Розв'язування задач. 1) Грані SAB і SAC тетраедра SABC (рис. 280) — прямокутні трикутники з прямим кутом з вершиною в точці А. Доведіть, що ребра ВС і AS взаємно перпендикулярні. 2) Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що площина, яка проходить через точки А, В1, D1, перпендикулярна до діагоналі А1С . II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу Кут між прямою і площиною У курсі геометрії 10 класу ми розглянули випадки розміщення прямої і площини: 1) пряма лежить у площині; 2) пряма паралельна площині; 3) пряма перпендикулярна до площини. Залишається дослідити випадок, коли пряма перетинає площину, але не перпендикулярна до неї. Такі прямі можуть бути нахилені до площини під різними кутами. Що ж розуміють під кутом між прямою і площиною? Якщо пряма паралельна площині або належить їй, то вважають, що кут між прямою і площиною дорівнює 0°. Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між ними дорівнює 90°. У решті випадків кутом між прямою і площиною називають кут між прямою і її проекцією (ортогональною) на площину. На рис. 281 ВС  α, А — точка перетину прямої а з площиною α , тоді кут між прямою а і площиною α дорівнює куту ВАС = φ. Якщо φ — кут між прямою і площиною, то 0°  φ  90° . 53

Розв'язування задач 1. Дано зображення куба. Знайдіть кут між площиною АВС і прямою а (рис. 282).

(Відповідь, а) 90° ; б) 0°; в) 45° ; г) 45° ; д) arctg

1 ). 2

Поняття кута між площинами Нехай дано дві площини α і β, які перетинаються по прямій с (рис. 289). Проведемо площину, яка перпендикулярна до прямої с, вона перетне площини α і β по прямих а і b. Кут між прямими а і b називається кутом між площинами α і β. Кут між двома площинами, які перетинаються,— це кут між прямими перетину цих площин із площиною, перпендикулярною до лінії перетину даних площин. Якщо площини паралельні, то кут між ними дорівнює 0°. Якщо площини перпендикулярні, то кут між ними дорівнює 90°. Отже, якщо φ — кут між площинами, то 0°  φ  90°. Далі учні самостійно знайомляться з доведенням того, що означений так кут між площинами не залежить від вибору січної площини, за підручником (§ 4, п. 33). Розв'язування задач 1. Дано зображення куба. Знайдіть кут між площинами АВС і ABD (рис. 290).

Відповідь, а) 90°; б) 45°; в) arctg

2 2 ; г) 2arctg ; д) 0°; е) 90°. 2 2

III. Домашнє завдання IV. Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) Дайте означення кута між прямою і площиною. 2) У кубі ABCDA1B1C1D1 проведено переріз січною площиною, яка проходить через точки А1, D, С (рис. 283). Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні: а) площина A1DB1 перпендикулярна до прямої АА1; б) кут між прямою AD і площиною A1DC, дорівнює 45° ; в) кут між прямою АВ і січною площиною дорівнює 0°; г) кут між прямою BC1 і площиною A1DC дорівнює 90° .

УРОК 102. Вимірювання відстаней і кутів у просторі. Мета уроку: формування вмінь учнів знаходити кути у просторі. Обладнання: стереометричний набір, модель куба. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. Два учні відтворюють розв'язування задач на дошці. 2. Фронтальне опитування. 1) Сформулюйте теорему про площу ортогональної проекції многокутника. 2) Знайдіть площу ортогональної проекції квадрата з діагоналлю 4 см, якщо кут між площиною квадрата і його проекцією дорівнює: а) 60°; б) 45°. 3) Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює 2 см. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні: а) кут між прямою C1D і площиною АВС дорівнює 30°; б) кут між прямою B1D і площиною АВС дорівнює 45°; в) площина АСВ1 утворює з площиною АВС кут, тангенс якого дорівнює 2 ; г) площа перерізу куба площиною, яка проходить через ребро АВ і утворює з 8 3 площиною АВС кут 30° , дорівнює см2. 3 3. Перевірка правильності розв'язання задач № 48 (2), 49 (1), що відтворили учні на дошці. 4. Самостійна робота. Варіант 1 1) Кут між площинами α і β дорівнює 60° . Точка А, яка лежить у площині α, віддалена від площини β на 12 см. Знайдіть відстань від точки А до лінії перетину площин. (4 бали) 2) Через центр О квадрата ABCD проведено до його площини перпендикуляр SO. Кут між прямою SC і площиною квадрата дорівнює 60°. АВ = 18 см. Знайдіть кут між площинами ASC і DSC. (8 балів) Варіант 2 1) Кут між площинами α і β дорівнює 60°. Точка А, яка лежить у площині α, віддалена від площини β на 12 см. Знайдіть відстань від проекції точки А на площину β до лінії перетину площин. (4 бали) 2) Через вершину D тупого кута ромба ABCD проведено до його площини перпендикуляр DM довжиною 9,6 см. Діагоналі ромба дорівнюють 12 і 16 см. Знайдіть кут між площинами АВС і МВС. (8 балів) Варіант З 1) Кут між площинами α і β дорівнює 30°. Точка А, яка лежить у площині α, віддалена від лінії перетину площин на 12 см. Знайдіть відстань від точки А до площини β. (4 бали) 2) Через центр О квадрата ABCD проведено до його площини перпендикуляр SO. Кут між прямою SC і площиною квадрата дорівнює 60°, АВ = 18 см. Знайдіть кут між площинами АВС і BSC. (8 балів) Варіант 4 1) Кут між площинами α і β дорівнює 30°. Точка А, яка лежить у площині α, віддалена від лінії перетину площин на 12 см. Знайдіть відстань від проекції точки А на площину β до лінії перетину площин. (4 бали) 2) Через вершину D тупого кута ромба ABCD проведено до його площини перпендикуляр DM. Діагоналі ромба дорівнюють 12 і 16 см. Знайдіть кут між площинами AMD і CDM. (8 балів) 2 Відповідь. Варіант 1. 1) 8 3 см. 2) arctg . Варіант 2. 1) 4 3 см. 2) 45°. 3 55

Варіант 3. 1) 6 см. 2) arctg

6 . Варіант 4.1) 6 3 см. 2) π – arccos

7 . 25

II. Закріплення та осмислення знань учнів Формування вмінь учнів знаходити куги між прямою і площиною, між площинами Розв'язування задач 1. Кут між прямою а і площиною α дорівнює 45° . Через точку їх перетину в площині α проведено пряму b. Кут між прямими а і b дорівнює 60°. Доведіть, що кут між прямою b і проекцією прямої а на площину α дорівнює 45°. 2. Через сторону AC рівностороннього трикутника АВС проведено площину α. Кут між висотою BD трикутника і цією площиною дорівнює φ. Знайдіть кут між прямою АВ та  3  sin   .) площиною α. (Відповідь, arcsin   2  3. Через центр О правильного трикутника АВС проведено до його площини перпендикуляр МО. АВ = а 3 . Кут між прямою МА і площиною трикутника дорівнює 45°. Знайдіть кут між площинами: 1) АМО і ВМО; 2) ВМС і АВС. (Відповідь. 1) 60°; 2) arctg 2.) 4. Площини рівносторонніх трикутників АВС і ABD перпендикулярні. Знайдіть кут: 1) між прямою DC і площиною АВС; 2) між площинами ADC і BDC. 1 (Відповідь. 1) 45°; 2) arccos .) 5 III. Домашнє завдання Повторити розділ «Вектори» із планіметрії IV. Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) Дайте означення кута між мимобіжними прямими. 2) Дайте означення кута між прямою і площиною. 3) Дайте означення кута між площинами.

УРОК 103. Паралельність та перпендикулярність прямих і площин у просторі. Контрольна робота №8. Мета уроку: перевірка навчальних досягнень учнів з теми «Перпендикулярність прямих і площин у просторі». Хід уроку Тематичне оцінювання можна провести у вигляді тематичної контрольної роботи. Варіант А Варіант 1 1. Побудуйте зображення куба ABCDA1B1C1D1 і запишіть грані куба, які перпендикулярні до площини А1АС . (3 бали) 2. До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр SB. Знайдіть величину кута SAD. (3 бали). 3. Точка М знаходиться на однаковій відстані від всіх сторін правильного трикутника зі стороною 12 см і віддалена від площини трикутника на 2 см. Знайдіть відстань від точки М до сторін трикутника. (3 бали). 56

4. Ребро куба дорівнює а. Знайдіть відстань між діагоналлю куба і діагоналлю грані куба, яка мимобіжна з діагоналлю куба. (3 бали.) Варіант 2 1. Побудуйте

зображення

куба

ABCDA1B1C1D1

запишіть

грані

куба,

які

перпендикулярні до площини B1BD . (3 бали) 2.

Дано прямокутний трикутник АВС з гіпотенузою АВ. До площини трикутника АВС проведено перпендикуляр ВМ. Знайдіть величину кута МСА. (3 бали).

Точка М знаходиться на відстані 2 см від кожної із сторін правильного трикутника і на відстані 1 см від площини трикутника. Знайдіть сторону трикутника. (3 бали).

Кожне ребро трикутної піраміди дорівнює а. Знайдіть відстань між двома ребрами, які е мимобіжними (3 бали).

Варіант З 1. Побудуйте

зображення

куба

ABCDA1В1C1D1

запишіть

грані

куба,

які

перпендикулярні до площини АВС. (3 бали) 2. Діагоналі АС і BD ромба ABCD перетинаються в точці О. До площини ромба проведено перпендикуляр AS. Знайдіть величину кута SOD. (3 бали) 3. Точка М рівновіддалена від сторін квадрата з діагоналлю 8 2 см. Знайдіть цю відстань, якщо відстань від точки М до площини квадрата дорівнює 3 см. (3 бали) 4. Знайдіть відстань між діагоналлю куба, ребро якого дорівнює а, і будь-яким ребром, мимобіжними з цією діагоналлю. (3 бали) Варіант 4 1. Побудуйте

зображення

куба

ABCDA1B1C1D1

запишіть

грані

куба,

які

перпендикулярні до площини АВС1 . (3 бали). 2. Дано рівнобедрений трикутник АВС, АВ = AC , AD — медіана трикутника АВС. До площини трикутника проведено перпендикуляр AS, Знайдіть величину кута SDB. (3 бали) 3. Точка М знаходиться на відстані 13 см від сторін квадрата і на відстані 12 см від площини квадрата. Знайдіть сторону квадрата. (3 бали) 4. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 АВ = а, АА1 = с. Знайдіть відстань між прямими АВ1 і ВС. (3 бали) Відповідь.

Варіант 1.1.ABCD і А1B1С1D1. 2. <SAD=90°. 3. 4 см. 4.

Варіант 2. 1. ABCD і А1B1С1D1. 2. <MCA = 90° . 3. 6см. 4.

а 2

Варіант 3.1. ABB1A1, BCC1B1, DCC1D1 і ADD1A1. 2. <SOD = 90° . 3. 5 см. 4. Варіант 4. 1. ADD1A1 і ВСС1В1. 2. <SDB = 90° . 3. 10 см. 4.

ас а2  с2

а 2

Варіант Б Варіант 1 1. Із центра О кола, вписаного в правильний трикутник, проведено перпендикуляр SO до 57

площини трикутника. Коло дотикається до сторони АВ у точці D, а до сторони ВС — в точці К.

а) Чому дорівнює кут між прямими OD і АВ? (2 бали) б) Чому дорівнює кут між прямими DS і АВ? (2 бали) в) Знайдіть відстань від точки S до сторони ВС, якщо OS = 1 CM, OK = 3 CM. (2 бали). Точка S віддалена від сторін ромба зі стороною 4 см і гострим кутом 60° на 5 см. Знайдіть відстань від точки S до площини ромба. (3 бали)

Доведіть, що якщо площини α, β і γ попарно перпендикулярні, то лінії їх перетину також попарно перпендикулярні. (3 бали)

Варіант 2 1. Із центра О кола, вписаного в квадрат ABCD, проведено перпендикуляр SO до площини квадрата. Коло дотикається до сторони ВС у точці К. а) Яка величина кута ОКВ? (2 бали) б) Чому дорівнює кут між прямими SK і ВС? (2 бали) в) Знайдіть радіус вписаного кола, якщо відстань від точки S до сторони ВС дорівнює 13 см, а відстань від точки S до площини квадрата — 5 см. (2 бали). 2. Точка S віддалена від площини трикутника АВС на 3 см і рівновіддалена від його сторін, які дорівнюють 13, 14 і 15 см. Знайдіть відстань від точки S до сторін трикутника. (3 бали) 3. Доведіть, що якщо прямі перетину площин α, β і γ попарно перпендикулярні, то і площини попарно перпендикулярні. (3 бали) Варіант З 1. Із центра О кола, вписаного в ромб ABCD, проведено перпендикуляр SO до площини ромба. Коло дотикається до сторони АВ ромба в точці К, кут DАВ — тупий. а) Чому дорівнює кут між прямими ОК і АВ? (2 бали) б) Яка величина кута SKA? (2 бали) в) Знайдіть відстань від точки S до площини ромба, якщо відстань від точки S сторони АВ дорівнює 5 см, ОК = 3 см. (2 бали). 2. Точка S рівновіддалена від сторін прямокутного трикутника, катет і гіпотенуза якого відповідно дорівнюють 4 і 5 см, і віддалена від його площини на 11 см. Знайдіть відстань від точки S до сторін трикутника. (3 бали) 3. Відомо, що площини α і β перпендикулярні. Через точку А площини α проведено пряму, яка перпендикулярна до площини β. Доведіть, що ця пряма лежить у площині α. (3 бали) Варіант 4 1. Із центра О кола, вписаного в прямокутний трикутник АВС (<C = 90°), проведено перпендикуляр SO до площини трикутника. Коло дотикається до гіпотенузи в точці D. а) Яка величина кута ОДА? (2 бали) б) Яка величина кута SDB? (2 бали) в) Знайдіть відстань від точки S до гіпотенузи трикутника АВС, якщо SO = 3 CM, OD = 4 CM. (2 бали). 2. Точка S рівновіддалена від сторін прямокутного трикутника, які дорівнюють 8, 8 і 12 58

см, і віддалена від його площини на

19 см. Знайдіть відстань від точки S до сторін

трикутника. (3 бали) 3. Перпендикулярні площини α і β перетинаються по прямій а. У площині α проведена пряма, перпендикулярна до прямої а. Доведіть, що ця пряма перпендикулярна і до площиниβ. (3 бали) Тематичне оцінювання № 4 можна провести за допомогою тесту, текст якого подано нижче. При оцінюванні виконання тестів враховуються тільки ті шість із виконаних завдань, яким відповідає найбільша кількість балів. Тест Перпендикуляр і похила. Перпендикулярність площин Мета даного тесту — перевірити, чи вміє учень: — зображати та знаходити на малюнку перпендикуляр і похилу; перпендикулярні площини; — розв'язувати задачі, використовувати теорему про три перпендикуляри та ознаку перпендикулярності площин; — визначати відстань від точки до площини; від точки до прямої тощо. Варіант 1 І рівень 1. До площини а проведено перпендикуляр АВ і похилу АС (рис. 235). Знайти довжину проекції похилої, якщо АС = 10 см, АВ = 8 см. (1 бал) а) 8 см; б) 10 см; в) 6 см; г) 2 см. 2. Знайдіть відстань від вершини А, куба ABCDA1B1C1D1 до площини ВСС1, якщо ребро куба дорівнює 5 см (рис. 236). (1 бал) а) 5 см; б) 10 см; в) 5 2 см; г) визначити неможливо. 3. Через точку перетину діагоналей квадрата ABCD проведено перпендикуляр SO до площини квадрата і OF  CD (рис. 237). Яка з вказаних прямих перпендикулярна до прямої СD? (1 бал) a) SC; б) SD; в) BD; г) SF.

II рівень 1. З точки М до площини α проведені перпендикуляр МО і похилі МА і MB (рис. 238). МО = 5 см, МА = 61 см, MB = 13 см. (1 бал) Знайдіть відношення проекцій похилих. а) 1:1; б)1:2; в) 1:3; г) 61 :13. 2. З вершини А прямокутного рівнобедреного трикутника АВС (<C = 90°) проведено перпендикуляр SA до площини трикутника АВС (рис. 239). AC = 2 см, SA = 2 см. Знайдіть площу трикутника SBC. (1 бал) а) 1 см2; б) 2 см2; в) 2 см2; г) 2 2 см2. 3. Точка А знаходиться на відстані 6 і 8 см від двох перпендикулярних площин (рис. 240). 59

Знайдіть відстань від цієї точки до лінії перетину площин. (1 бал) а) 6 см; б) 8 см; в) 10 см; г) 14 см. ІІІ рівень 1. Точка S віддалена від вершин квадрата зі стороною 6 см на 2 см. Чому дорівнює відстань від точки S до площини квадрата? (2 бали) а) 1 см; б) 2 см; в) 3 см; г) 6 см. 2. Точка S віддалена від усіх сторін правильного трикутника на 12 см, а від площини трикутника — на 3 см. Чому дорівнює сторона трикутника? (2 бали) а) 3 см; б) 3 см; в) 6 см; г) 6 см. 3. Точка М рівновіддалена від сторін ромба ABCD. Які з наведених тверджень правильні? (2 бали) а) Площина АМС перпендикулярна до площини BMD; б) площина AМC перпендикулярна до площини АВС; в) площина АВМ перпендикулярна до площини ADC; г) площина BMD перпендикулярна до площини АВС: IV рівень 1. Кожне ребро тетраедра дорівнює а. Знайдіть відстань від його вершини до протилежної грані. (3 бали) 6 a) 3 a; б) 2 а; в) а; г) а. 3 2. Знайдіть відстань між мимобіжними діагоналями двох сусідніх граней куба, ребро якого дорівнює а. (3 бали) а а а) 3 а; б) 2 а; в) ; г) . 3 2 3. Які з вказаних фігур можна одержати як ортогональну проекцію тетраедра, кожне ребро якого дорівнює а? (3 бали) а) Квадрат; б) трапецію; в) трикутник; г) правильний шестикутник. Варіант 2 І рівень 1. До площини а проведено перпендикуляр АВ і похилу АС (рис. 241). Знайдіть довжину похилої, якщо АВ = 3 см, ВС = 1 см. (1 бал) а) 3 см; б) 1 см; в) 2 см; г) 3 см. 2. Знайдіть відстань від вершини А, куба ABCDA1В1C1D1 до прямої АС, якщо ребро куба дорівнює 2 см (рис. 242). (1 бал)

а) 1 см; б) 2 см; в) 3 см; г) визначити неможливо. 3. До площини правильного трикутника АВС проведено перпендикуляр SA, АК  ВС (рис. 243). Яка з вказаних прямих перпендикулярна до прямої ВС? (1 бал) a) SC; б) SB; в) АВ; г) SK. II рівень 1. З точки М до площини а проведені перпендикуляр МО і похилі МА і MB (рис. 244), МО 60

= 1 см, ОА = 3 см, ВО = 2 2 см. Знайдіть відношення довжин похилих. (1 бал) а) 3 : 8; б) 2 : 3; в) 2 : 3 ; г) 1 : 1. 2. З вершини А квадрата ABCD проведено перпендикуляр SA до площини АВС (рис. 245), AS = 3 CM, SB = 2 см. Знайдіть площу трикутника SBC. (1 бал) а) 1 см2; б) 3 см2; в) 2 см2; г) 2 3 см2. 3. Точка А знаходиться на однаковій відстані від двох перпендикулярних площин і на відстані 2 2 см до лінії перетину площин (рис. 246). Знайдіть відстань від точки А до даних площин. (1 бал) а) 1 см; б) 2 см; в) 2 см; г) визначити неможливо. III рівень 1. Точка S віддалена від вершин правильного трикутника зі стороною 3 см на відстань 5 см. Чому дорівнює відстань від точки S до площини трикутника? (2 бали) а) 1 см; б) 2 см; в) 2 см; г) 3 см. 2. Точка S віддалена від усіх сторін правильного чотирикутника на 5 см, а від площини чотирикутника — на 2 см. Чому дорівнює периметр чотирикутника? (2 бали) а) 1 см; б) 2 см; в) 4 см; г) 8 см. 3. Точка М рівновіддалена від вершин прямокутного рівнобедреного трикутника АВС (АВ = АС), К — середина ВС. Які з наведених тверджень правильні? (2 бали) а) Площина АМК перпендикулярна до площини АВС; б) площина ВМС перпендикулярна до площини АВМ; в) площина ВМС перпендикулярна до площини АВС; г) площина АВМ перпендикулярна до площини АСМ. IV рівень 1. Три ребра тетраедра SA, SB, SC взаємно перпендикулярні і дорівнюють а. Знайдіть відстань від вершини S до площини АВС. (3 бали) а а а 6 а) а; б) ; в) ; г) . 3 2 3 2. Знайдіть відстань між діагоналлю куба і мимобіжною з нею діагоналлю грані куба, якщо ребро куба дорівнює а. (3 бали) а а а а а) ; б) ; в) ; г) . 2 3 6 5 3. Які з вказаних фігур можна одержати як ортогональну проекцію куба? (3 бали) а) Квадрат; б) прямокутник, відмінний від квадрата; в) п'ятикутник; г) шестикутник.

Відповіді до тестових завдань Рівень Номер завдання І

1 2 3

Варіант 1 в а г 61

Варіант 2 в б г

III

1 2 3 1 2 3 1 2 3

б б в а г а, б, г в в а, б, в

б а в в г а, в в в а, б, г

II. Домашнє завдання Якщо в класі виконувалася тематична контрольна робота № 4, то вдома можна запропонувати виконати тест, і навпаки. III. Підведення підсумку уроку У ході фронтальної бесіди з'ясувати, які завдання викликали труднощі, та відповісти на запитання учнів.

УРОК 104. Многогранники та їх елементи. Мета уроку: формування понять многогранник; ребра, многогранників; опуклий многогранник. Обладнання: стереометричний набір, моделі многогранників.

грані,

вершини

І. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу Поняття двогранного кута та його елементів, лінійного кута двогранного кута Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами із спільною прямою, що їх обмежує. Півплощини називаються гранями, а пряма, що їх обмежує – ребром двогранного кута. На рис. 1 зображено двогранний кут з ребром АВ та гранями α і β. Лінійним кутом двогранного кута називається кут, утворений в результаті перетину двогранного кута з площиною, яка перпендикулярна до ребра двогранного кута. Мірою двогранного кута називається міра відповідного йому лінійного кута. Для даного двогранного кута можна побудувати безліч лінійних кутів, проте всі лінійні кути двогранного кута суміщаються в результаті паралельного перенесення, а отже, вони рівні. Тому міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута. Якщо φ – лінійний кут двогранного кута, то 0?  φ  180?. Розв’язування задач Кут між двома площинами 45?. Знайдіть градусні міри двогранних кутів, утворених перетином цих площин. (Відповідь. 45? і 135?.) Двогранний кут має 120?. Чому дорівнює кут між площинами граней цього кута? (Відповідь. 60?.) Запитання до класу 1) Що таке двогранний кут (грань кута, ребро кута)? 2) Дайте означення лінійного кута двогранного кута. 3) Чому міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута? 62

4) Які прийоми побудови лінійного кута двогранного кута вам відомі? 5) Чому дорівнює в кубі АВСDA1В1С1D1 двогранний кут, утворений: а) основою ABCD і перерізом A1B1СD∙, б) гранню CC1D1D і перерізом ΑΑ1C1C ? (Відповідь, а) 45°; б) 45°.) II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу Многогранники та їх елементи, опуклі многогранники Фігури, які вивчає стереометрія, називаються тілами. Наочно тіло уявляють як частину простору, зайняту фізичним тілом і обмежену поверхнею. Демонструємо моделі многогранників. Многогранником називають тіло (частина простору), обмежене скінченою кількістю плоских многокутників (рис. 18). Многокутники, які обмежують многогранник, називають його гранями, їх сторони — ребрами, а вершини — вершинами многогранника. На рис. 18 гранями е многокутники: ABCD, AMLD, DLKC, BCKN, ABNM, MNKL; ребрами — сторони AD, DC, ВС, АВ, КС, LD, AM, NB, ML, LK, NK, MN; вершинами — точки А, В, C, D, Μ, Ν, Κ, L. Многогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від площини кожного з плоских многокутників на його поверхні. Прикладами опуклих многогранників можуть бути куб, прямокутний паралелепіпед, тетраедр тощо. На рис. 19 зображено неопуклий многогранник.

Демонструємо опуклі і неопуклі многогранники. Многогранники в оточуючому середовищі зустрічаються дуже часто. Цеглина, коробка, шафа, стілець, дошка, кристал — все це моделі многогранників. Знання властивостей многогранників необхідне багатьом фахівцям. Столяр має справу з многогранниками, вистругуючи бруски, видовбуючи в них прямокутні отвори або заглибини. Муляр кладе стіни, споруджуючи будівлі, у формі многогранників. І тесляри, що зводять горища над будівлями, і екскаваторники, що риють котловани, і мінералоги, кристалографи, гранильники — всі мають справу з многогранниками. Розв'язування задач 1. Наведіть приклади предметів побуту, що є геометричними тілами. 2. Які із фігур, зображених на рис. 20, є геометричними тілами? 3. Які із зображених на рис. 21 тіл є многогранниками? 4. Наведіть приклади предметів побуту, які мають форму многогранника. 5. Наведіть приклади речовин, вивчених у курсі хімії, кристали яких мають форму многогранника.

Рис. 20 6. Скільки вершин, ребер, граней має: а) тетраедр; б) куб? 7. Яке найменше число ребер може мати многогранник? 63

(Відповідь. 6.) 8. Побудуйте многогранник, який має 4 грані. Скільки ребер і скільки вершин він має? (Відповідь. Ребер — 6, вершин — 4.)

Рис. 21 9. Скільки ребер може сходитися у вершині многогранника? (Відповідь. Довільне число, але не менше трьох.) 10. Побудуйте многогранник, у якого число вершин і число граней однакові. 13. Побудуйте многогранник, який має: а) 8 ребер; б) 9 ребер; в) 11 ребер. (Відповідь. Рис. 25.)

14. Побудуйте многогранник, який має 5 граней і 5 вершин. Скільки ребер він має? (Відповідь, 8 ребер.) 15. Побудуйте многогранник, який має 5 граней і 6 вершин. Скільки ребер він має? (Відповідь. 9 ребер.) 16. Доведіть, що число плоских кутів многогранника вдвічі більше від числа ребер. Призма Многогранник, дві грані якого — рівні n-кутники з відповідно паралельними сторонами, а всі інші n граней — паралелограми, називається n-кутною призмою (рис. 26). Її рівні n-кутники називаються основами призми, а паралелограми — бічними гранями, сторони основи — ребрами основи, інші ребра — бічними ребрами. Завдання Укажіть на моделях призми основи, бічні грані, ребра основи, бічні ребра. З означення призми випливає, що основи призми рівні, а також лежать в паралельних площинах. Бічні ребра паралельні й рівні. Поверхня призми складається з основ і бічної поверхні. Площею поверхні призми називається сума площ усіх її граней. Оскільки основи рівні, то: Sпр = Sбіч.пов + 2Socн, де Sпр — площа поверхні призми; Sбіч.пов — площа бічної поверхні призми; Sосн – площа основи. Висотою призми називається відстань між площинами її основ. Відрізок, який сполучає дві вершини призми, що не належать одній і рані, називається діагоналлю призми. Розв'язування задач Скільки граней має n-кутна призма? Чи може призма мати 101 грань? (Відповідь. n+2;так.) 64

Скільки ребер має n-кутна призма? Чи може призма мати 101 ребро? (Відповідь. 3n; ні.) Скільки вершин має n-кутна призма? Чи може призма мати 101 вершину? (Відповідь. 2n; ні.) Призма має 20 граней. Який многокутник лежить в ЇЇ основі? (Відповідь. 18-кутник.) Назвіть предмети побуту, які мають форму призми. а) Скільки діагоналей можна провести в чотирикутній; п'ятикутній; n-кутній призмі? б) Чи існує призма, яка не має діагоналей? (Відповідь, а) 4; 10; (n - 3)n; б) існує: трикутна призма.) Знайдіть суму всіх плоских кутів n-кутної призми. (Відповідь. 720° (n – 1).) Знайдіть суму всіх двогранних кутів n-кутної призми. (Відповідь. 360° (n – 1).) Три грані призми — квадрати зі стороною 2 см, а дві інші — трикутники. Накресліть цю призму та її розгортку. Знайдіть площу поверхні призми. (Відповідь. Рис. 27, 12 + 2 3 см2.) Висота призми дорівнює Н, а бічне ребро нахилене до площини основи призми під кутом α . Знайдіть довжину бічного ребра призми. H (Відповідь. .) sin  АВСА1B1С1 — призма, A1K  (ABC), AK  ВС (рис. 28). Доведіть, що ΒΒ1C1C — прямокутник. Ρ о з в ' яз а н н я Оскільки A1K  (ABC) і AK  ВС, то за теоремою про три перпендикуляри А1А  ВС. Оскільки СС1 || АА1 і А1А  ВС, то СС1  ВС. Оскільки ΒΒ1C1C — паралелограм і <C1CB = 90°, то ΒΒ1C1C — прямокутник. Основа призми— рівносторонній трикутник, одна з вершин верхньої основи проектується в центр нижньої основи. Доведіть, що одна з граней призми — прямокутник. Основа призми — правильний трикутник АВС. Бічне ребро АА1 утворює рівні кути зі сторонами основи АС і АВ. Доведіть, що: а) ВС  АА1; б) СС1B1В — прямокутник. III. Домашнє завдання IV. Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) Дайте означення опуклого многогранника. 2) Скільки граней має 15-кутна призма? 3) Скільки діагоналей можна провести в семикутній призмі?

УРОК 105. Правильні многогранники. Мета уроку: формування поняття правильні многогранники; знайомство з видами правильних многогранників: правильний тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Обладнання: моделі правильних многогранників, схема «Правильні многогранники». 65

І. Перевірка домашнього завдання 1. Математичний диктант. Дано правильну зрізану піраміду, бічне см, а в основах лежать: варіант І — трикутники (рис. 96); варіант II — квадрати (рис. 97) зі сторонами 1 см і 9 см.

ребро якої дорівнює 5

Знайдіть: а) апофему зрізаної піраміди; (2 бали) б) площу бічної грані; (2 бали) в) площу бічної поверхні зрізаної піраміди; (2 бали) г) площу меншої основи; (2 бали) д) площу більшої основи; (2 бали) е) площу поверхні зрізаної піраміди. (2 бали) Відповідь.

 41 3  2  45   см .   2   2 2 2 2 2 Варіант 2. а) 3 см; б) 15 см ; в) 60 см ; г) 1 см ; д) 81 см ; е) 142 см . Варіант 1.а) 3 см; б) 15 см2; в) 45 см2; г)

81 3 3 см2; д) см2; е) 4 4

ІІ. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу Правильні многогранники У курсі планіметрії ви познайомилися з правильними многокутниками. Многокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони і всі кути рівні. Існує безліч правильних многокутників. Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многокутниками з однією й тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться одне і те ж число ребер. Існує п'ять типів правильних опуклих многогранників: правильний тетраедр, правильний гексаедр (куб), правильний октаедр, правильний додекаедр, правильний ікосаедр. Назва многогранників складається із двох частин: перша — число граней (тетра — 4, гекса — 6, окта — 8, додека — 12, ікоса — 20), а друга (едр) — грань.

Правильні многогранники Назва Правильни й тетраедр Правильни й гексаедр (куб) Правильни й октаедр

Вид грані

Число гране й

верш ин

ребер

Правильни й додекаедр Правильни й ікосаедр

Розв'язування Задач Знайдіть суму плоских кутів при всіх вершинах: 1) ікосаедра; 2) додекаедра. (Відповідь. 1) 3600°; б) 6480°.) Доведіть, що в кожній вершині правильного октаедра сходяться дві пари перпендикулярних ребер. Доведіть, що протилежні грані правильного октаедра паралельні. Ребро правильного октаедра дорівнює а. Знайдіть відстань між двома протилежними вершинами. (Відповідь. а 2 .) Ребро правильного октаедра дорівнює а. Знайдіть відстань між центрами двох а 2 суміжних граней. (Відповідь. .) 3 Ребро правильного октаедра дорівнює а. Знайдіть відстань між протилежними а 6 гранями. (Відповідь. .) 3 Під яким кутом із центра правильного октаедра видно його ребро? (Відповідь. 90°.) III. Домашнє завдання IV. Підведення підсумку уроку Запитання до класу Які многогранники називаються правильними? Скільки існує типів многогранників? Знайдіть площу поверхні правильного: а)тетраедра; б) гексаедра; в) октаедра; г) ікосаедра, якщо його ребро дорівнює а. (Відповідь, а) а2 3 ; б) 6а2; в) 2а2 3 ; г) 5а2 3 .)

УРОК 106. Зображення основних видів многогранників, їх елементів та перерізів. Мета уроку: формування понять пряма, похила і правильна призми; формування понять: паралелепіпед, прямий і похилий паралелепіпед; вивчення властивостей граней, діагоналей паралелепіпеда. формування понять піраміда, основа, вершина, бічні ребра, висота піраміди Обладнання: моделі призми, схема «Види призм». І. Перевірка домашнього завдання 1. Фронтальне опитування. 1)Що таке переріз призми січною площиною? 2) Якою фігурою є переріз призми площиною, паралельною бічним ребрам? Чому? 3) Що таке діагональний переріз призми? 4) Якою фігурою є діагональний переріз призми? Чому? 5) Якою фігурою є переріз призми площиною, яка паралельна основам? Чому? 3. Математичний диктант. Побудуйте схематичне зображення чотирикутної призми, в якій бічні ребра перпендикулярні до основи й дорівнюють 10 см, а в основі лежить: 67

варіант 1 — прямокутник зі сторонами 6 см і 8 см; варіант 2 — ромб з діагоналями 6 см і 8 см. (2 бали) 1) Знайдіть площі діагональних перерізів побудованої призми. (2 бали) 2) Побудуйте переріз, який проходить через сторону нижньої основи і протилежну сторону верхньої основи. (2 бали) 3) Якою фігурою є побудований переріз? (2 бали) 4) Чому дорівнюють сусідні сторони перерізів? (2 бали) 5) Знайдіть площу одержаного перерізу. (2 бали) 4. Заслухати учня, який відтворював розв'язання задачі № 10 та відповісти на запитання, які виникли в учнів. II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу Види призм У стереометрії

розглядають

прямі

похилі

призми

(див.

схему).

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми називаються похилими. Демонструються моделі прямих і похилих призм. Пряма призма називається правильною, якщо в її основі лежить правильний многокутник. Розв'язування задач 1. Якою фігурою є бічні грані прямої призми? 2. Доведіть, що якщо одне бічне ребро призми перпендикулярне до основи призми, то призма є прямою. 3. Доведіть, що в прямій призмі бічне ребро перпендикулярне до діагоналей основи. 4. Якою фігурою є діагональний переріз прямої призми? 5. Доведіть, що якщо в призмі дві сусідні бічні грані перпендикулярні до площини основи, то призма пряма. 6. Доведіть, що у правильній призмі бічні грані рівні між собою. 7. Основою трикутної призми є рівносторонній трикутник. Одна із бічних граней є прямокутником, який перпендикулярний до основи. Чи буде ця призма прямою? (Відповідь. Так.)

Види паралелепіпедів Паралелепіпедом називається призма, основа якої — паралелограм. Усі шість граней паралелепіпеда — паралелограми (рис. 54). Протилежні грані паралелепіпеда рівні й лежать у паралельних площинах, протилежні ребра рівні й паралельні (чому?). Далі вивчаємо питання про властивість діагоналей паралелепіпеда. Запитання до класу 1) Чому А1А4 || А'2А'3 ? 2) Чому А1А'3 || А4А'3 ? 3) Чому А1А'3 і А4А'2 перетинаються в точці О і діляться нею пополам? 4) Чому чотирикутник А1А2А'3А'4 — паралелограм? 5) Чому діагоналі А1А'3 і А3А'1 перетинаються в точці О і діляться нею пополам? 6) Чим є середина будь-якої діагоналі паралелепіпеда для цього паралелепіпеда? Паралелепіпеди можуть бути прямими і похилими (схема «Види паралелепіпедів»), Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи, називається прямим паралелепіпедом. У ньому всі бічні грані— прямокутники, а основи — паралелограми. Якщо бічні ребра паралелепіпеда не перпендикулярні до площини основи, то паралелепіпед називається похилим. 1. Доведіть, що в будь-якому паралелепіпеді сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів всіх його ребер. Розв'язання Нехай ABCDA1B1C1D1 — даний паралелепіпед (рис. 56). За властивістю діагоналей паралелограма маємо: для паралелограма AA1C1C AC1  A1C  2 AA1  2 AC ; 2

для паралелограма BB1D1D BD1  B1 D  2BB1  2BD . Додавши ці рівності почленно, одержимо: 2

AC12  A1C 2  BD12  B1 D 2  . 69

 4 AA12  4 AB 2  4 AD 2 . Отже, у будь-якому паралелепіпеді сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів всіх його ребер. 6. Основою прямого паралелепіпеда є ромб, а площі діагональних перерізів дорівнюють ті п. Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда. (Відповідь. 2 m 2  n 2 .) 7. Основа похилого паралелепіпеда — квадрат зі стороною а. Одна з вершин другої основи проектується в центр цього квадрата. Висота паралелепіпеда дорівнює Н. Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда. Р о з в ' я з а н н я Нехай у паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 (рис. 57) ABCD — квадрат, A1O  (АВС), точка О — центр квадрата, A1O = Н, АВ = а.

Проведемо OK  AD, ОМ  АВ; тоді А1К  AD, Α1Μ  АВ (за теоремою про три перпендикуляри), тобто A1K і А1М — висоти бічних граней ADD1А1 та ABB1A1 a відповідно. ΔA1OK =ΔΑ1ΟΜ (A1О — спільний катет і ОК = ОМ = ); звідси: A1K = А1М. 2 Оскільки AD = АВ і А1K = А1М , то S ABB1 A1  S ADD1 A1 , тому S біч  S ADD1 A1 . Із ΓA1ОM А1 М  А1О 2  ОМ 2  H 2  Тоді S біч  4а 

a2 1  4H 2  a 2 . 4 2

1 4 H 2  a 2  2а 4 H 2  a 2 2

Відповідь. 2а 4 H  a . Запитання до класу 1) Дайте означення паралелепіпеда. 2) Назвіть основні властивості паралелепіпеда. 3) Який паралелепіпед називається прямим; похилим? 4) Укажіть, які з наведених нижче тверджень правильні, а які — неправильні: а) у прямому паралелепіпеді бічне ребро перпендикулярне до сторін основи; б) бічне ребро паралелепіпеда перпендикулярне до діагоналей основи; в) у прямому паралелепіпеді всі діагоналі рівні; г) у прямому паралелепіпеді діагональні перерізи перпендикулярні до площини основи; 2

Самостійна робота В основі прямого паралелепіпеда лежить ромб, менша діагональ якого дорівнює d. Більша діагональ паралелепіпеда дорівнює 2d і утворює кут α : варіант 1 — з бічним ребром; варіант 2 — з основою паралелепіпеда. Знайдіть: а) довжину бічного ребра; (2 бали) б) більшу діагональ основи; (2 бали) в) площу основи паралелепіпеда; (2 бали) г) довжину сторони основи; (2 бали) д) площу бічної поверхні паралелепіпеда; (2 бали) е) кут нахилу меншої діагоналі паралелепіпеда до площини основи. (2 бали) Відповідь. d Варіант 1. a) 2dcosα; б) 2dsinα; в) d2sinα; г) 1  4 sin 2  ; д) 4d 2 cos  1  4 sin 2  ; 2 е) arctg (2 cos α). d Варіант 2. а) 2dsinα;6) 2dcosα; в) d2cosα; г) 1  4 sin 2  ; д) 4d 2 cos  1  4 sin 2  ; 2 e) arctg (2 sin α). Прямокутний паралелепіпед Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним, паралелепіпедом (схема «Види паралелепіпедів»). Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники. Усі діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні. Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називають його розмірами (вимірами). У прямокутного паралелепіпеда три лінійні виміри. Прямокутний паралелепіпед, у якого лінійні виміри рівні, називається кубом. Теорема Д а н о : АВСDА1B1С1D1 — прямокутний паралелепіпед; А1С = d, АВ = а, AD = b, АА1 = с (рис. 58. с. 50). Д о в е с т и : d2 = a2 + b2 + c2. Доведення Із ΓАОС AC2 = AD2 + DC2 = a2 + b2. Із ΓАА1С А1С2 = АС2 + AA 12 = a2 + b2 + с2; d2 = a2 + b2 + с2 · 71

Розв'язування задач Знайдіть третій вимір прямокутного паралелепіпеда, якщо два його виміри дорівнюють 6 і 7 см, а діагональ паралелепіпеда дорівнює 11 см. (Відповідь. 6 см.) У прямокутному паралелепіпеді сторони основи дорівнюють а і b. Діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут α . Знайдіть бічне ребро. (Відповідь.

а 2  b 2 tgα.) У прямокутному паралелепіпеді діагональ d утворює з площиною основи кут α , а з бічною гранню — кут β. Знайдіть виміри паралелепіпеда. (Відповідь. d sin β; d cos 2   sin 2  ; d sin α.) Знайдіть виміри прямокутного паралелепіпеда, якщо площі трьох його граней

дорівнюють S1, S2, S3. (Відповідь.

S1 S 2 ; S3

S1 S 3 ; S2

S2 S3 .) S1

Знайдіть діагоналі прямокутного паралелепіпеда, якщо діагоналі його граней мають довжину d1, d2, d3 . (Відповідь.

d 12  d 23  d 32 .) 2

Піраміда n-кутною пірамідою називається многогранник, одна грань якого — довільний nкутний, всі інші n граней — трикутники, що мають спільну вершину. Демонструються моделі пірамід. Спільну вершину трикутних граней називають вершиною піраміди, протилежну їй грань — основою, а всі інші грані — бічними гранями піраміди. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називають бічними ребрами. Перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину її основи, називають висотою піраміди. Висотою також називають і довжину цього перпендикуляра. На рис. 64 зображено чотирикутну піраміду SABCD; точка S — її вершина, ABCD — основа; SA, SB, SC, SD — бічні ребра; АВ, ВС, CD, AD — ребра основи, SO — висота. Трикутну піраміду називають також тетраедром. Суму площ усіх бічних граней піраміди називають площею бічної поверхні піраміди. Щоб знайти площу всієї поверхні піраміди, треба до площі Sбіч її бічної поверхні додати Sосн, площу основи: Sпір = Sбіч + Sосн . Розв'язування задач Скільки граней, ребер має n-кутна піраміда? (Відповідь, n+1 граней, 2п ребер.) Кожне ребро тетраедра дорівнює а. Знайдіть площу його поверхні. (Відповідь, а2 3 .) У чотирикутній піраміді кожне ребро дорівнює а. Знайдіть площу її поверхні. (Відповідь, а2 + а2 3 .) 5. Доведіть, що коли всі бічні ребра піраміди рівні або нахилені до площини основи під одним кутом, то основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо основи піраміди (і навпаки). 72

6. Доведіть, що коли всі бічні грані піраміди нахилені до основи під одним кутом, то основою висоти такої піраміди є центр кола, вписаного в основу піраміди (і навпаки). 7. Чи можуть бічні ребра піраміди бути рівними, якщо в її основі лежить: а) прямокутник; б) ромб (відмінний від квадрата); в) правильний шестикутник; г) трапеція? 8. Чи можуть бічні грані піраміди бути однаково нахилені до основи піраміди, якщо в основі піраміди лежить: а) прямокутник (відмінний від квадрата); б)ромб; в) трапеція? Поняття зрізаної піраміди Зрізаною пірамідою називається частина піраміди, що обмежена основою і січною площиною, яка паралельна основі. Демонструються моделі зрізаних пірамід. Паралельні грані зрізаної піраміди називають її основами, а всі інші — бічними гранями. Основи зрізаної піраміди — подібні многокутники, їх відповідні сторони попарно паралельні, тому бічні грані зрізаної піраміди — трапеції. Висотою зрізаної піраміди називають перпендикуляр, проведений із якої-небудь точки однієї основи на площину другої основи. Висотою зрізаної піраміди називають також відстань між площинами її основ. Переріз площиною, яка проходить через два бічні ребра зрізаної піраміди, які не лежать в одній грані, називається діагональним. Щоб побудувати зрізану піраміду, спочатку будують повну піраміду, проводять переріз, паралельний основі, а потім зайву верхню частину стирають (рис. 90).

Рис. 90 Розв'язування задач 1. Користуючись рис. 90, б, назвіть основи, бічні грані, бічні ребра, ребра основи зрізаної піраміди АВСDА1B1С1D1. 2. Побудуйте трикутну зрізану піраміду. 3. Периметр більшої із основ зрізаної піраміди дорівнює Р, площа її дорівнює S. Знайдіть периметр і площу меншої основи зрізаної піраміди, якщо відомо, що дана зрізана піраміда одержана в результаті перетину площиною, паралельною основі повної піраміди, яка ділить висоту повної піраміди у відношенні 2: 3 (рахуючи від вершини). (Відповідь. 2Р 4S ; .) 5 25 4. Площі основ зрізаної піраміди дорівнюють 9 см2 і 25 см2. Знайдіть площу перерізу, проведеного через середину висоти піраміди паралельно основам. (Відповідь. 16 см2.) 5. Через середину висоти зрізаної піраміди паралельно основам проведено переріз. Знайдіть площу перерізу, якщо площі основ дорівнюють Q1 і Q2. (Відповідь.



Q1  Q2



.) 4 III. Домашнє завдання IV. Підведення підсумку уроку Запитання до класу Сформулюйте властивість площини, яка перетинає піраміду і паралельна основі 73

піраміди. Що називається зрізаною пірамідою? Заповніть пропуски: а) основи зрізаної піраміди — ...; б) перпендикуляр, проведений із будь-якої точки однієї основи зрізаної піраміди на площину другої основи, називається...; в) відстань між основами зрізаної піраміди називають...; г) в зрізаній піраміді бічні грані — ...; д) переріз площиною, що проходить через два бічні ребра зрізаної піраміди, які не лежать в одній грані, називається... Дано зрізану піраміду АВСА1В1С1 (рис. 91). Укажіть, які із наведених тверджень правильні, а які — неправильні: а) площини АВС і А1B1С1 паралельні; б) всі грані зрізаної піраміди — трикутники; в) всі грані зрізаної піраміди — трапеції; г) висота бічної грані може дорівнювати висоті зрізаної піраміди; д) трикутники АВС і А1В1С1 рівні; е) трикутники АВС і А1B1С1 подібні; є) довжина ребра АА1 може дорівнювати висоті зрізаної

піраміди; ж) довжини ребер АА1, ВВ1, СС1 не можуть бути рівними; з) довжина ребра АС може дорівнювати довжині ребра А1С1. Відповідь, а) Так; б) ні; в) ні; г) так; д) ні; е) так; є) так; ж) ні; з) ні.

УРОК 107. Знаходження основних елементів призми та піраміди. Мета: працювати над засвоєнням учнями означення та властивостей призми та її елементів, прямої та правильної призми; піраміди доповнити знання учнів правилами зображення призми; формувати навички розв’язування задач на знаходження невідомих елементів призми. Розвивати логічне мислення, виховувати самостійність, акуратність при побудовах. Тип уроку: комбінований. Обладнання та наочність: підручники, конспект «Правила зображення призми», моделі прямої, похилої та правильної призм. Хід уроку І. Організаційний етап Одержання інформації від чергових про відсутніх на уроці. Перевірка готовності учнів до уроку. Налаштування на роботу. ІІ. Перевірка домашнього завдання Фронтальна перевірка домашнього завдання з коментуванням розв’язань домашніх завдань Учні з достатнім і високим рівнями знань коротко коментують відповіді домашніх задач. Вчитель перевіряє домашнє завдання в учнів, які потребують додаткової педагогічної уваги. Теоретичний матеріал перевіряється за допомогою тестових завдань. 74

Тестові завдання Яка з наведених геометричних фігур не може бути бічною гранню призми? а) паралелограм; б) квадрат; в) трикутник; г) ромб. 2. Яка з наведених фігур може бути основою правильної призми? а) квадрат; б) рівнобедрений трикутник; в) ромб; г) рівнобічна трапеція. 3. За якої з наведених умов чотирикутна призма є правильною? а) в основі призми лежить квадрат; б) усі бічні ребра призми перпендикулярні до її основи; в) усі бічні грані призми – рівні прямокутники; г) за будь-якої умови. ІІІ. Формулювання мети і завдань уроку Вчитель звертає увагу, що мета уроку безпосередньо випливає з його теми. Мотивацією до вивчення правила зображення призми може бути проблемна ситуація: виконати зображення: а) похилої призми, в основі якої лежить прямокутний трикутник; б) правильної чотирикутної призми; в) прямої призми, в основі якої лежить прямокутник. ІV. Відтворення опорних знань Учням пропонується самостійно за опорним конспектом№3 повторити зміст матеріалу, вивченого на попередньому уроці. V. Доповнення знань Правила зображення призми Зобразити одну з основ призми. 1. Зобразити бічні ребра призми у вигляді паралельних рівних відрізків (у випадку прямої призми – вертикальних рівних відрізків). 2. Послідовно сполучити вільні кінці цих відрізків. Зауваження 1. Невидимі ребра призми зображають пунктирними лініями. Висоту похилої призми зображають у вигляді вертикального відрізка. Правила зображення многокутників 1. Зображенням трикутника (рівностороннього, рівнобедреного, прямокутного) є довільний трикутник. 2. Зображенням паралелограма (прямокутника, ромба, квадрата) є довільний паралелограм. 75

3. Зображенням трапеції (рівнобічної, прямокутної) є трапеція у якій відношення довжин основ дорівнює відношенню довжин основ поданої трапеції. 4. Зображенням довільного чотирикутника (не паралелограма, не трапеції) є довільний чотирикутник. Зображенням правильного шестикутника є шестикутник, у якого три пари протилежних сторін попарно рівні. VІ. Формування вмінь і навичок 1. Виконання графічних вправ 1. Побудувати пряму чотирикутну призму, основою якої є прямокутник. Провести діагональ призми. 2. Побудувати похилу трикутну призму. Провести її висоту. 3. Побудувати пряму чотирикутну призму, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з основами 2см і 5см. Побудувати діагональний переріз цієї призми. 4. Побудувати трикутну призму, у якій одна з вершин верхньої основи проектується в центр кола, описаного навколо нижньої основи. 1. Виконання письмових вправ 5. Основою призми АВСA1B1C1 є правильний трикутник зі стороною 12см, вершина A1 проектується на площину АВС у центр основи призми, бічне ребро призми утворює з площиною основи кут 60˚. Знайти висоту призми. 6. Основою прямої призми є ромб із тупим кутом 120˚. Більша діагональ призми дорівнює 8см і утворює кут 60˚ із бічним ребром. Знайти довжини сторони ромба і меншої діагоналі призми. (Відповідь. 4

см)

Основа піраміди – рівнобедрений трикутник, у якого основа 6 см, а висота 9 см. Всі бічні ребра піраміди дорівнюють 13 см. Знайдіть: 1) висоту піраміди; 2) радіус кола, вписаного в основу; 3) площу повної поверхні піраміди. Дано: SABC –піраміда, АВС – рівнобедрений трикутник, ВС = 6 см, висота трикутника АК = 9 см, SA = SB = SC = 13 см. Знайти: висоту піраміди SO. Розв’язання. abc ОВ = R а =6 см, в=с 4 S З ▲АВК: АВ =√ 92 + 32 = √ 90 = 3√10 (см) – за теоремою Піфагора. Sосн = SАВС =1/2 аh= 27 см2 , R = 5 см. З ▲SOB: H =√ 132 +52 = 12 см. 77

VII. Підсумки уроку. Рефлексія. Враження учнів про урок. Виконання усних вправ 1. Бічна грань правильної шестикутної призми – квадрат, площа якого дорівнює 36см². Обчислити периметр основи призми. (Відповідь. 36см) 2. Діагональний переріз правильної чотирикутної призми – квадрат, площа якого дорівнює 18см². Обчислити площу основи призми. (Відповідь. 9см²) 3. Площа бічної грані правильної трикутної призми дорівнює 24см², а периметр основи – 9см. Знайти бічне ребро призми. (Відповідь. 8см) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з основою 6см і проведеною до неї висотою 4см. Обчислити діагоналі рівних бічних граней, якщо висота призми дорівнює 12см. (Відповідь. 13см) 1. У яких випадках вершина піраміди проектується в центр кола, описаного навколо основи піраміди? 2. вписаного в основу піраміди? 3. Уяких випадках висота піраміди збігається з одним із бічних ребер? 4. Як обчислити.поверхню піраміди? VIII. Домашнє завдання 1. Повторити означення та властивості призми і її елементів, правила зображення призми і піраміди.

УРОК 108. Площа поверхні призми. Мета:формування поняття про бічну поверхню Площею бічної поверхні (бічною поверхнею) призми називається сума площ бічних граней. Повна поверхня призми дорівнює сумі бічної поверхні і площ основ: Sпр = Sбіч + 2Sосн . Поверхня призми складається з основ і бічної поверхні. де Sпр — площа поверхні призми; Sбіч.пов — площа бічної поверхні призми; Sосн – площа основи. Теорема. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи на довжину ребра. Доведення Нехай а1; а2, ..., аn — сторони; основи призми, h — довжина бічного ребра (рис. 6). Тоді а1 + а2 + ... + ап =Р — периметр основи. Площа бічної поверхні дорівнює сумі площ усіх бічних граней:

Пряма призма, в основі якої лежить прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом. Прямокутний паралелепіпед, усі ребра якого рівні, називається кубом. 78

У молодших класах ви вже обчислювали об'єм прямокутногo паралелепіпеда за формулою V=abc (1) де а, b, с — відповідно довжина, ширина і висота паралелепіпеда. Формулу (1) можна записати у вигляді V= S h, (2) де S = аb — площа основи, h = с — висота паралелепіпеда. Формула (2) справедлива для будь-якої прямої призми. Розв'язування задач Основа прямої призми — прямокутний трикутник з катетами З і 4 см, висота призми 5 см. Знайдіть площу повної поверхні призми. (Відповідь. 72 см2.) У похилій трикутній призмі відстані між бічними ребрами дорівнюють 5, 12, 9 см. Знайти бічне ребро призми, якщо бічна поверхня її дорівнює 260 см2. (Відповідь. 10 см.) Запитання до класу 1) Дайте означення прямої (похилої) призми. 2). Дайте означення правильної призми. 3) Перелічіть властивості прямої призми. 4) Перелічіть властивості правильної призми. 5) Що таке бічна поверхня призми (повна поверхня призми)? 6) Чому дорівнює бічна поверхня прямої призми? На цьому і на наступних уроках можна використовувати довідкову схему «Правильні многокутники».

УРОК 109. Площа поверхні піраміди Мета уроку: формування понять правильна піраміда, апофема піраміди; вивчення властивостей правильної піраміди і теореми про знаходження бічної поверхні правильної піраміди. Обладнання: моделі правильних пірамід, схема «Площа многокутника». І. Перевірка виконання домашнього завдання 1. Перевірити наявність виконаних завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів при їх розв'язуванні. II. Сприймання та усвідомлення нового матеріалу Самостійна робота. Варіант 1 Основа піраміди — ромб зі стороною а і гострим кутом 60°. Всі двогранні кути при основі дорівнюють по 45°. Знайдіть площу бічної поверхні. (5 балів) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник, бічні сторони якого дорівнюють b; 79

бічні грані, що містять бічні сторони, перпендикулярні до основи та утворюють між собою кут . Третя грань утворює з основою теж кут . Знайдіть площу бічної поверхні. (7 балів) Варіант 2 Основа піраміди — ромб, більша діагональ якого d, а гострий кут 60°. Всі двогранні кути при основі дорівнюють по 60°. Знайдіть площу повної поверхні піраміди. (5 балів) Основа піраміди — квадрат, дві грані перпендикулярні основі піраміди. Дві інші бічні грані піраміди нахилені до основи піраміди під кутом ; висота піраміди Н. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди. (7 балів) 3   2b 2 sin  cos  cos а2 6 4 2 4 . Відповідь. Варіант 1. 1) ; 2) cos  2 d2 3  1  Варіант 2. 1) ; 2) h 2 ctg    1 . 2  sin   Поняття правильної піраміди Правильною пірамідою називається піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а основа висоти піраміди збігається з центром цього многокутника. Демонструються моделі правильних пірамід. Нехай SАВСD — правильна чотирикутна піраміда (рис. 92). Тоді за означенням її основа АВСD — правильний чотирикутник (квадрат); центр квадрата точка О — основа висоти S0 піраміди. Пряма, яка містить висоту піраміди, називається віссю правильної піраміди. На рис. 92 пряма S0 — вісь правильної піраміди SАВСD. Висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з вершини піраміди, називається апофемою. На рис. 92 SК — апофема. 360 о При повороті навколо осі на кут правильний n-кутник n (основа правильної п-кутної піраміди) кожен раз суміщається із собою, тоді суміщається із собою і правильна п-кутна піраміда. Звідси випливає, що у правильної піраміди: бічні ребра рівні; бічні грані рівні; апофеми рівні; двогранні кути при основі рівні; двогранні кути при бічних ребрах рівні; кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від всіх вершин основи; кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх бічних граней. Розв'язування задач 1. Чи можна піраміду назвати правильною (і чому), якщо: а) її основа — квадрат, а основа висоти — вершина квадрата; б) її основа — прямокутник, а основа висоти — точка переткну діагоналей прямокутника; в) її основа — рівносторонній трикутник, а основа висоти — точка перетину його медіан? 2. Скільки осей симетрії має правильна п-кутна піраміда? 3. Скільки площин симетрії має правильна п-кутна піраміда? 7. Бічне ребро правильної шестикутної піраміди дорівнює b і утворює з площиною основи кут  . Знайдіть висоту піраміди, площу основи і площі діагональних перерізів.

b 2  cos  12  9 cos 2  3 3 2 1 2 2 .) b  cos  ; b  sin 2 ; 4 2 2 2 Теорема про площу бічної поверхні правильної піраміди Учні самостійно знайомляться з теоремою 5. 6 із підручника. Розв'язування задач Знайдіть площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди, у якої сторона основи дорівнює 10 см, а бічне ребро — 13 см. (Відповідь. 240 см2.) Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, у якої бічне ребро дорівнює 10 см, а апофема — 6 см. (Відповідь. 144 см2.) III. Домашнє завдання IV. Підведення підсумку уроку Запитання до класу Дайте означення правильної піраміди. Що таке вісь правильної піраміди? Що таке апофема правильної піраміди? Сформулюйте теорему про площу бічної поверхні правильної піраміди. Чому дорівнює площа бічної поверхні правильної піраміди, якщо відомі площа основи S піраміди і кут α між бічною гранню та основою піраміди? На цьому і на наступних уроках можна скористатися наведеною довідковою схемою. (Відповідь. b  sin  ;

Площа многокутника

УРОК 110. Об'єм призми. Мета уроку: формування поняття об'єму; вивчення основних властивостей об'ємів; виведення формули для об'єму прямокутного паралелепіпеда; формування вмінь знаходити об'єм прямокутного паралелепіпеда. виведення формули для об'єму призми; формування умінь знаходити об'єм призми. Обладнання: моделі прямокутного паралелепіпеда. І. Перевірка домашнього завдання Наприкінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки виконання домашнього завдання та ведення зошитів. II. Аналіз виконання тематичного оцінювання № 4 Повідомити загальний результат виконання роботи та проаналізувати її. III. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу Об'єм, основні властивості об'ємів Кожне геометричне тіло займає частину простору. Об'ємом геометричного тіла будемо називати додатне число, яке характеризує частину простору, що займає геометричне тіло, і задовольняє таким умовам: 1. Рівні тіла мають рівні об'єми. 2. Якщо тіло розбите на кілька частин, то його об'єм дорівнює сумі об'ємів усіх цих частин. 3. Об'єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці. Куб, довжина ребра якого дорівнює одиниці довжини, називають одиничним. Об'єм одиничного куба приймають за одиницю об'єму, називаючи таку одиницю кубічною. Наприклад: кубічний сантиметр — це об'єм куба, ребро якого дорівнює 1 см (рис. 142). Виконання вправ Поясніть, що таке: а) 1 кубічний кілометр; б) 1 кубічний метр; в) 1 кубічний дециметр; г) 1 кубічний міліметр. Виміряти об'єм, геометричного тіла — значить знайти число, яке показує, скільки одиничних кубів міститься в даному тілі. Тіла, які мають рівні об'єми, називаються рівновеликими. Ми будемо далі розглядати лише прості тіла — тіла, які можна розбити на скінчене число трикутних пірамід. Вивчені многогранники: призми, піраміди, зрізані піраміди — є простими тілами. Слід зазначити, що в «Началах» Евкліда і у творах Архімеда були виведені точні формули для знаходження об'ємів многогранників і деяких тіл обертання (циліндра, конуса, кулі та їх частин). К. Ж. Жордан (1838—1922) — французький математик, один із засновників сучасної математики, розробив в 1892 році теорію площ і об'ємів. У минулому одиницями вимірювання об'єму були міри посудин, які використовувались для зберігання сипких і рідких тіл. Наприклад, в Англії: 36,4 дм3 — бушель; 4,5 дм3 — галон; 159 дм3 — барель; від 470 см3 до 568 см3 — пінта; на Русі: 12 дм3 — відро; 1,2 дм3 — штоф; 490 дм3 — діжка. У давнину міра маси, а отже і об'єму, часто збігалась із мірою вартості товару — грошовою одиницею. 82

На Русі основна одиниця маси — гривня — була водночас грошовою одиницею. Гривня — злиток срібла, маса якого наближено дорівнювала 1 фунту  96 золотникам, 1 золотник  4,3 г. У другій половині XIII ст. гривню почали рубати пополам і назвали рублем, який із XV ст. став основною грошовою одиницею. Зараз в Україні гривня — грошова одиниця. Розв'язування задач 1. Два тіла рівні. Чи рівновеликі вони? 2. Два тіла рівновеликі. Чи рівні вони? Формула для об'єму прямокутного паралелепіпеда Теорема Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів, тобто якщо a, b, c — лінійні виміри прямокутного паралелепіпеда, то його об'єм V обчислюється за формулою V = abc . Д о в е д е н н я 1. Нехай виміри а, b, с прямокутного паралелепіпеда виражені натуральними числами. Такий паралелепіпед можна розрізати на с шарів, кожний з яких містить ab одиничних кубів Отже, об'єм цього паралелепіпеда: V = аbс. Наслідок 1. Об'єм куба дорівнює кубу його ребра: V = а3, де а — довжина ребра куба. Наслідок 2. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи паралелепіпеда на висоту. Оскільки ab = S, с = h, то V = Sh. Наслідок З.У прямокутного паралелепіпеда будь-яку грань можна вважати основою. Розв'язування задач 1. Знайдіть об'єм куба, ребро якого дорівнює 5 см. (Відповідь. 125 см3.) 2. Знайдіть об'єм куба, якщо площа повної поверхні дорівнює 150 см2. (Відповідь. 125 3 см .) 3. Об'єм куба дорівнює 8 см3. Знайдіть площу повної поверхні куба. (Відповідь. 24 см2.) d3 3 6. Знайдіть об'єм куба, діагональ якого дорівнює d. (Відповідь. ) 9 7. Знайдіть об'єм куба, площа грані якого дорівнює Q. (Відповідь. Q Q .) d3 2 .) 4 9. Знайдіть об'єм куба, площа діагонального перерізу якого дорівнює S. (Відповідь.

8. Знайдіть об'єм куба, діагональ грані якого дорівнює d. (Відповідь.

S   2

3 4

  .)  6

10. Об'єм куба V. Знайдіть довжину його діагоналі. (Відповідь. 27V .) 12. Площі трьох граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 6 см2, 6 см2, 9 см2. Знайдіть його об'єм. (Відповідь. 18 см3.) 13. Площі граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють S1, S2, S3. Доведіть, що V =

S1 S 2 S 3 . Розв'язання Якщо виміри паралелепіпеда а, b, с, то ab = S1, ас = S2, bc = S3. Перемноживши ці

рівності, маємо: a2b2c2 = S1S2S3. Тоді об'єм паралелепіпеда V = аbс = Запитання до класу 83

S1 S 2 S 3 .

1) Сформулюйте основні властивості об'єму. 2) Що таке 1 см3; 1 м3; 1 мм3; 1 дм3; 1 км3? 3) Чому дорівнює об'єм прямокутного паралелепіпеда? 4) Знайдіть об'єм прямокутного паралелепіпеда, якщо його виміри дорівнюють 6 см, 9 см, 7 см. (Відповідь. 378 см3.) 5) Знайдіть об'єм піраміди, основа якої — грань куба, що має об'єм V, а вершина V піраміди — точка перетину діагоналей цього куба. (Відповідь. .) 6 6) У кубі, об'єм якого V, знаходиться правильний октаедр так, що всі його шість V вершин збігаються з центрами граней куба. Знайдіть V об'єм октаедра. (Відповідь. .) 4 Теорема про об'єм похилого паралелепіпеда Теорема Об'єм похилого паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту. Доведення Розглянемо довільний похилий паралелепіпед. Нехай основою є паралелограм, площа якого дорівнює S, а висота паралелепіпеда дорівнює h. Введемо систему координат так, щоб основа паралелепіпеда лежала в площині уz (рис. 148). Перетнемо паралелепіпед площиною, яка проходить через точку х із відрізка [0; h], паралельно основі. Площа S(x) одержаного перерізу дорівнює площі основи, тобто S (х) = S . b

Використавши формулу V   S ( x)dx , знайдемо об'єм a

паралелепіпеда: h

V   S ( x)dx   Sdx  S x 0  S (h  0)  Sh . h

Отже, об'єм похилого паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту. Враховуючи теорему про об'єм прямокутного паралелепіпеда і теорему про об'єм похилого паралелепіпеда, можна зробити висновок: Об'єм будь-якого паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту. Розв'язування задач В основі прямого паралелепіпеда лежить ромб зі стороною 10 см і гострим кутом 30°. Висота паралелепіпеда — 5 см. Знайдіть об'єм паралелепіпеда. (Відповідь. 250 см3.) В основі прямого паралелепіпеда лежить ромб, діагоналі якого дорівнюють 6 і 8 см, а бічне ребро 10 см. Знайдіть об'єм паралелепіпеда. (Відповідь. 240 см3.) Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 7 і 18 см і утворюють кут 45°, а менша діагональ паралелепіпеда утворює кут 45° з площиною основи. Знайдіть об'єм паралелепіпеда. (Відповідь. 105 см3.) Сторони основи похилого паралелепіпеда дорівнюють 6 і 12 см і утворюють кут 60°. Бічне ребро паралелепіпеда дорівнює 14 см і утворює з площиною основи кут 30°. Знайдіть об'єм паралелепіпеда. (Відповідь. 252 3 см3.) Запитання до класу Як знайти об'єм довільного паралелепіпеда? Запишіть формулу для знаходження об'єму паралелепіпеда. Кожне ребро похилого паралелепіпеда має довжину 1 см. Бічне ребро утворює з основою кут 60° . Знайдіть об'єм паралелепіпеда, якщо гострий кут основи також 84

дорівнює 60° . (Відповідь.

3 3 см .) 4

Розв'язування задач В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник із катетами 6 і 8 см. Висота призми дорівнює 10 см. Знайдіть об'єм призми. (Відповідь. 240 см3.) В основі прямої призми лежить трикутник, сторона якого дорівнює 12 см, а висота, проведена до неї — 5 см. Бічне ребро призми дорівнює 8 см. Знайдіть об'єм призми. (Відповідь. 240 см3.) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 12 см, а висота, проведена до неї — 8 см. Знайдіть об'єм призми, якщо її висота дорівнює 10 см. (Відповідь. 480 см3.) В основі прямої призми лежить трапеція з основами 9 і 15 см і висотою 5 см. Знайдіть об'єм призми, якщо її бічне ребро дорівнює 10 см. (Відповідь. 600 см3.) Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює 5 см, а діагональ бічної грані — 13 см. Знайдіть об'єм призми. (Відповідь. 300 см3.) Бічне ребро похилої трикутної призми дорівнює 6 см, дві бічні грані її взаємно перпендикулярні і мають площі 24 см2 і 30 см2. Знайдіть об'єм призми. (Відповідь. 60 см3.) III. Домашнє завдання IV. Підведення підсумку уроку Запитання до класу Чому дорівнює об'єм довільної призми? Запишіть формулу для знаходження об'єму призми. Чому дорівнює об'єм похилої призми? В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник із гострим кутом р Діагональ бічної грані, яка містить гіпотенузу, дорівнює а і утворює з площиною основи кут α. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні: а) висота призми дорівнює d cos α; б) гіпотенуза основи дорівнює d cos α; в) катет, прилеглий до кута β, дорівнює d sin α cos β; 1 2 г) площа основи дорівнює d cos2 α sin 2β; 4 1 3 д) об'єм призми дорівнює d cos2 α sin α sin 2β. 4

УРОК 111. Об'єм піраміди. Мета уроку: виведення формули об'єму піраміди; формування умінь знаходити об'єми пірамід. Обладнання: моделі пірамід. І. Перевірка домашнього завдання Перевірити наявність виконаного домашнього завдання та відповісти на запитання, які виникли в учнів при розв'язуванні задач. II. Аналіз самостійної роботи, проведеної на попередньому уроці III. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу Теорема про об'єм піраміди 85

Теорема Об'єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі 1 її основи на висоту, тобто V = SH , де S — площа основи 3 піраміди, Н — її висота. Доведення Нехай дано піраміду, площа основи якої S, а висота Н (рис. 153). Введемо систему координат так, щоб вершина піраміди була початком координат, а вісь Ох направимо перпендикулярно до основи піраміди. Кожна січна площина, яка перпендикулярна до осі Ох, перетинає піраміду по многокутнику, який подібний основі призми. Площу одержаного перерізу позначимо S ( x) x 2 S  2 звідси S(x) = 2 x2. через S(x). Тоді S H H b



Використовуючи формулу V  S ( x)dx для обчислення об'єму тіла при

а = 0; b

S 2 S = Н , одержимо: V   S ( x)dx =  2 x dx = H2 0 0 H

S x3 x dx  = 0 H2 3

H 0  S H 1     = 2  = SH . 3 H 3 3  3 Теорему доведено. Розв'язування задач 1. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 3 см, бічне ребро — 5 см. Знайдіть об'єм піраміди. (Відповідь. 32 см3.) 2. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 4 см, висота піраміди дорівнює 6 3 см. Знайдіть об'єм піраміди. (Відповідь. 24 см3.) 3. Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює 5 см, висота — 4 см. Знайдіть об'єм піраміди. (Відповідь. 9 3 см3.) 4. Площа основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює Q, бічна поверхня — S. Знайдіть об'єм піраміди. Розв'язання S Нехай а — довжина сторони основи, тоді а2 = Q; 2аl = S, де l — апофема, l  . 2a Знайдемо висоту Н піраміди: 3

S H2

S2 a2 a l   = =  4 4a 2 2 2

S2 Q =  4Q 4

S 2  Q2 = 4Q

S 2  Q2 2 Q

1 S 2  Q2 1 1 Об'єм V дорівнює: V = S осн H = Q = QS 2  Q 2  . 3 3 6 2 Q





1 Q S 2  Q2 . 6 5. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює а, а бічне ребро утворює з площиною основи кут α. Знайдіть об'єм піраміди. Р о з в ' я з а н н я

Відповідь.

Нехай SABC — правильна піраміда (рис. 154), в якій АВ = ВС = АС = а; SO  АВ 2 3 а2 3 (АВС); <SBO = а. Площа основи S1 = = , OB — 4 4 АВ радіус кола, описаного навколо трикутника АВС, тому 0В = = 3 а а . Далі із ΓSOB SO = OB tg<SBO= tgα . Отже, шуканий об'єм 3 3 а 3 tg 1 1 а2 3 а V дорівнює: V = S1 · SO = ∙ · tg α = . 12 3 3 4 3

а 3 tg . 12 6. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює Н, а бічна грань утворює з основою кут α. Знайдіть об'єм піраміди. Р о з в ' я з а н н я Нехай SABCD — правильна чотирикутна піраміда (рис. 155), в якій SO  (АВС), SO = Н. Проведемо OK  DC, за теоремою протри перпендикуляри маємо: SK  CD; отже, <SKO = α. Із ΓSKO OK = OS ctg <SKO = H ctg α. Оскільки AD = 2·OK , то одержуємо: AD = 2Hctgα. Тоді площа основи S1 = AD2 = 4H2 ctg2α. Отже, шуканий об'єм 1 1 2 4 V = S1·OS = H ctgгα · H = Н3 ctg2 α. 3 3 3 4 Відповідь. Н3 ctg2 α. 3 7. Основа піраміди — ромб з гострим кутом α. Всі висоти бічних граней, проведені з вершини піраміди, дорівнюють h і нахилені до основи під кутом β. Знайдіть об'єм піраміди. Р о з в ' я з а н н я Нехай SABCD — дана піраміда (рис. 156); ABCD — ромб, <BAD = α; SO  (ABC). Відповідь.

Проведемо MN  ВА , LK  ВС, тоді SM  АВ, SK  ВС, SN  DC, SL  AD (за теоремою про три перпендикуляри), і, отже, SM = SK = SN = SZ, = h, <SMO = <SKO = <SNO = <SLO = β. Оскільки двогранні кути при основі піраміди рівні, то точка О — центр кола, вписаного в ромб ABCD. Із ΓSLO SO = SL sin <SLO = h sin β; LO = SL cos <SLO = h cos β. 2h cos  LK Враховуємо, що LK = 2h cos β. Сторона ромба АВ = = . sin  BAD sin  4h 2 cos 2  2h cos  Отже, S1 = AB ∙ LK = ∙ 2h cosβ = . sin  sin  2 2 4h 3 cos 2  sin  1 1 1 4h cos  Тоді V = S1 · H = S1 · SO = h sinβ = . sin  3 sin  3 3 3 4h 3 cos 2  sin  Відповідь. . 3 sin  IV. Домашнє завдання 87

V. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу 1) Чому дорівнює об'єм будь-якої піраміди? 2) Запишіть формулу для обчислення об'єму піраміди. 3) Як зміниться об'єм правильної піраміди, якщо її висоту збільшити в п раз, а сторону зменшити у стільки ж раз? 4) Чи рівновеликі дві піраміди з рівними висотами, якщо їх основами є чотирикутники з відповідно рівними сторонами?

УРОК 112. Многогранники. Об’єми та площі поверхонь многогранників. Контрольна робота №9. Мета уроку: перевірка навчальних досягнень учнів з теми «. Многогранники. Об’єми та площі поверхонь многогранників.»

Тестові завдання Тема: ‖Многогранники‖. 1. Що називається многогранником? а) тіло, що складається з скінченої кількості многокутників. б) тіло, що складається з нескінченої кількості многокутників. в) тіло, що складається з трьох різних многокутників. г)тіло, що має n+2 вершин. 2. Основою прямокутного паралелепіпеда є : а) паралелограм; б) ромб; в) квадрат; г)прямокутник. 88

3. Якщо виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 8 см, 9 см і 12 см, то його діагональ дорівнює: а) 12 см; б) 17 см; в) 20 см; г) 29 см. 4. Яка призма називається прямою ? а) в основі призми квадрат; б) бічні ребра перпендикулярні до площини основи; в) в основі призми прямокутник; г) всі бічні ребра рівні. 5. Яку форму мають бічні грані прямої призми? а) прямокутник; б) трикутник; в) ромб; г) паралелограм. 6. Скільки вершин має тетраедр? а) 3; б) 6; в) 4; г) 8. 7. Що називається апофемою правильної піраміди? а) відрізок, що сполучає вершину з основою піраміди; б) діагональ основи; в) висота бічної грані; г) найбільше ребро піраміди. 8. Якщо периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а апофема – 1 см, то площа бічної поверхні піраміди дорівнює: а) 1 см2; б) 2 см2; в) 0,5 см2; г) 4 см2. 9. Який многогранник називається правильним ? а) в основі прямокутник; б) в основі опуклий многокутник; в) в основі паралелограм; г) в основі правильний многокутник. 10. Якщо кожне ребро правильної шестикутної призми дорівнює а, то площа її бічної поверхні дорівнює: а) 2а2; б) 4а2; в) 6а2; г) 8а2. 11. Скільки граней має n – кутна призма? а) n; б) n-2; 89

в) n+2; г) n+4. 12. У якої призми немає діагоналей? а) трикутної; б) чотирикутної; в) шестикутної; г) дванадцятикутної. І Варіант Рівень А. 1.Сторона основи правильної чотирикутної призми 4 см., висота 6 см. Знайти об’єм. 2.Виміри прямокутного паралелепіпеда 15 м, 50 м, і 36 м. Знайдіть ребро рівновеликого куба. 3. Знайдіть об’єм піраміди всі ребра якої дорівнюють 2 см. Рівень В. 1. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 4 см., а бічне ребро - 2 3 см. Знайти об’єм призми. 2.Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2 см, а площа діагонального перерізу – 1,5 2 см2. Знайдіть об’єм піраміди. 3.Площі граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 4 см2, 8 см2, Обчисліть діагональ паралелепіпеда.

12 см2.

Рівень С. 1. Якщо кожне ребро куба збільшити на 2 см., то його об’єм збільшиться на 98 см2. Яка довжина ребра куба?

2.За стороною а і бічним ребром b знайдіть об’єм правильної шестикутної піраміди. 3.Основа прямої призми – прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом  . Діагональ бічної грані, яка містить катет,протилежний куту  , утворює з площиною основи кут  . Знайти об’єм призми. ІІ Варіант Рівень А. 1.Знайти об’єм цеглини розмірами 25х12х6,5 см. 2.Знайдіть об’єм куба, якщо площа повної поверхні дорівнює 150 см2. 3.У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 3 см, бічне ребро – 5 см. Знайдіть об’єм піраміди. Рівень В. 90

1. Основою прямої призми є паралелограм із сторонами 4 см і 5 см.та гострим кутом 30 0. Знайти об’єм призми, якщо її бічне ребро дорівнює 6 см. 2.В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гіпотенузою 2 10 см., і катетом 3 2 2 см. Знайдіть об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює 2 . 3.Знайдіть площу повної поверхні прямокутного паралелепіпеда, якщо сторони основ дорівнюють 5 см, і 10 см, а діагональ паралелепіпеда - 5 6 . Рівень С. 1.Якщо кожне ребро куба збільшити на 1 м. , то його об’єм збільшиться у 125 разів. Знайти ребро. 2. За стороною а і бічним ребром b знайдіть об’єм правильної трикутної піраміди. 3. Основа прямої призми – прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим до нього кутом  . Діагональ бічної грані, яка містить гіпотенузу, утворює з площиною основи кут  . Знайти об’єм призми.

УРОК 113. Тіла обертання та їх елементи. Мета уроку: формування понять циліндр, основи і твірні циліндра; радіус, висота та вісь циліндра; осьовий переріз циліндра; вивчення властивостей основ і твірних циліндра; формування вмінь учнів знаходити елементи циліндра. Обладнання: моделі циліндрів. І. Перевірка домашнього завдання Наприкінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки виконання домашнього завдання та ведення зошитів. II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу Тіла та поверхні обертання Уявимо, що плоский многокутник АВСВ обертається навколо прямої АВ (рис. 99, а). При цьому кожна його точка, що не належить прямій АВ, описує коло з центром на цій прямій. Весь многокутник АВСВ, обертаючись навколо прямої АВ, описує деяке тіло обертання (рис. 99, б). Поверхня цього тіла називається поверхнею обертання. Пряму АВ називають віссю обертання цього тіла.

Рис. 99 Будь-яка площина, що проходить через вісь тіла обертання, перетинає це тіло. Утворений переріз називають осьовим перерізом тіла обертання. У житті ми дуже часто зустрічаємося з тілами обертання. Це — звичайна пляшка, 91

пробірка, колба, хокейна шайба, патрон, котушка тощо. Більшість деталей, виготовлених на токарному верстаті, має форму тіл обертання. Циліндр Наведемо інший варіант пояснення. Прямим круговим циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони. На рис. 100 зображено циліндр, утворений обертанням плоского прямокутника ОАВО1 навколо прямої 001 — осі циліндра. Сторони ОА і 01В описують рівні круги, які лежать у паралельних площинах і називаються основами циліндра. Радіуси кругів називаються радіусами циліндра. Сторона АВ описує поверхню, яка називається бічною поверхнею циліндра. Відрізки бічної поверхні, які паралельні і дорівнюють АВ, називаються твірними циліндра. Висотою циліндра називається відрізок, перпендикулярний до основ циліндра, кінці якого належать основам. Висота циліндра дорівнює його твірній. Розв'язування задач 1. Наведіть приклади побутових предметів, які мають форму циліндра. 2. Користуючись рис. 100, назвіть: а) радіус циліндра; б) висоту циліндра; в) вісь циліндра; г) твірну циліндра. 3. Які властивості мають основи циліндра? 4. Які властивості мають твірні циліндра? 5. Яку властивість має вісь циліндра щодо: а) його основ; б) його твірних? 6. Часто висотою прямого кругового циліндра називають відрізок, що з'єднує центри основ. Яку властивість має висота циліндра щодо: а) твірних; б) основ? 7. Із стопки картону взяли аркуш і вирізали круг. Дістали циліндр з дуже малою висотою. Як практично визначити його висоту? 8. Кусок тонкого дроту можна вважати циліндром, у якого радіус дуже малий. Як практично визначити цей радіус? 9. Назвіть властивості циліндра, які однакові з властивостями прямої призми. 10. Як знайти відстань між прямими АВ і СD (рис. 102)? 11. Де відрізок АВ перетинає площину перерізу КLМN циліндра (рис. 103)? 12. Циліндр розміщений на площині α (рис. 104). На цій самій площині взято точку С. Де пряма ВС вдруге перетне поверхню циліндра?

13. Довжина відрізка, кінці якого знаходяться на колах основ циліндра і який перетинає вісь, дорівнює 13 см. Знайдіть радіус циліндра, якщо його висота дорівнює 5 см. (Відповідь. 6 см.) 14. Довжина відрізка, що з'єднує дві точки кіл основ циліндра і перетинає вісь, дорівнює 10 см. Знайдіть висоту циліндра, якщо його радіус дорівнює 3 см. (Відповідь. 8 см.) Знаходження елементів циліндра Розв'язування задач 1. Радіус основи циліндра дорівнює R, висота — Н. Знайдіть діагональ осьового перерізу та площу осьового перерізу. (Відповідь. 4R 2  H 2 ; 2RН.) 2. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює а і утворює з площиною основи кут α. Знайдіть площу осьового перерізу та площу основи. 1 1 (Відповідь. d2sin2α; πd2 соs2α .) 4 2 3. Знайдіть діагональ осьового перерізу циліндра, якщо площа основи дорівнює Q, а площа осьового перерізу в п разів більша площі основи. (Відповідь.

16Q  n 2 2 Q

.) 2  4. Радіус циліндра дорівнює R, висота — Н. Знайдіть кут нахилу діагоналі осьового H перерізу до площини основи циліндра. (Відповідь. arctg .) 2R 5. Площа основи циліндра відноситься до площі осьового перерізу як π : 4. Знайдіть кут між діагоналями осьового перерізу. (Відповідь. 90°.) Запитання до класу 1) Що таке прямий круговий циліндр (твірна циліндра, основи циліндра, бічна поверхня циліндра, радіус циліндра, вісь циліндра, осьовий переріз циліндра)? 2) Заповніть пропуски: а) основи циліндра лежать у ... площинах і ...; б) твірні циліндра ... і ,..; в) поверхня циліндра складається із ... і ...; г) прямий круговий циліндр — це тіло, яке описує прямокутник при обертанні його навколо ... як осі; д) радіус циліндра — це радіус .,.; е) висотою циліндра називається відстань між... (Відповідь, а) Паралельних ... рівні; б) паралельні... рівні; в) основ... бічної поверхні; г) сторони; д) його основи; е) площинами його основ.) Прямим круговим конусом називається тіло, утворене обертанням плоского прямокутного трикутника навколо одного із його катетів Круговим конусом називається тіло, яке складається з круга — основи конуса, точки, яка не лежить у площині цього круга, — вершини конуса і всіх відрізків, що сполучають вершину конуса з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи, називаються твірними конуса. Конус називається прямим (далі просто «конус»), якщо пряма, що сполучає вершини конуса з центром основи, перпендикулярна до площини основи. Прямий круговий конус можна розглядати як тіло, утворене в результаті обертання -прямокутного трикутника навколо його катета як осі. Висота конуса — перпендикуляр, опущений із його вершини на площину основи. Віссю прямого кругового конуса називається пряма, яка містить його висоту. Зверніть увагу на рисунок нижче. Так звані «контурні твірні» SA i SB є дотичними до 93

еліпса, який зображує основу конуса, точки A і B не є кінцями великої осі еліпса. Переріз конуса площиною, яка проходить через його вершину, — рівнобедрений трикутник, у якого бічні сторони є твірними конуса, а основою є хорда основи. Якщо прямокутний трикутник SАО обертається навколо катета SO, то його гіпотенуза описує бічну поверхню, а катет ОА — круг — основу конуса. Радіус цього круга називається радіусом конуса; точка S, відрізок SА, відрізок SO, пряма SO називаються відповідно вершиною, твірною, висотою і віссю конуса. Куля та сфера Кулею називається тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра. Сферою називається фігура, утворена обертанням кола навколо його діаметра. Сферою називається поверхня, яка складається із всіх точок простору, що знаходяться на даній відстані (яка називається радіусом) від даної точки (яка називається центром). Відрізок, який з'єднує центр сфери з точкою сфери, називається радіусом сфери. Відрізок, який з'єднує дві точки сфери і проходить через центр сфери, називається діаметром сфери. На рис. 135 точка О — центр сфери, ОА, OB — радіуси сфери, АВ — діаметр сфери. Кулею називається тіло, яке складається із всіх точок простору, які знаходяться на відстані не більшій даної (яка називається радіусом кулі) від даної точки (яка називається центром кулі). Площина, яка проходить через центр кулі (сфери), називається діаметральною площиною. Переріз кулі (сфери) діаметральною площиною називається великим кругом (великим колом). III. Домашнє завдання IV. Підведення підсумку уроку Математичний диктант Радіус кулі дорівнює: варіант 1 — 3 см; варіант 2 — 2 см. Знайдіть: а) діаметр кулі; б) довжину великого кола; в) площу великого круга; г) сторону правильного трикутника, вписаного у велике коло; д) площу правильного трикутника, вписаного у великий круг. 27 3 2 Відповідь. Варіант 1.а) 6 см; б) 6π см; в) 9π см2; г) 3 3 см; д) см . 4 Варіант 2. а) 4 см; б) 4π см; в) 4π см2; г) 2 3 см; д) 3 3 см2.

УРОК 114. Зображення тіл обертання, їх елементів та перерізів. Мета уроку: основи і твірні циліндра; радіус, висота та вісь циліндра; осьовий переріз циліндра; вивчення властивостей основ і твірних циліндра; формування понять конус, основа конуса, вершина конуса, твірна конуса, висота конуса, прямий конус, вісь конуса, осьовий переріз конуса. Теорема Переріз циліндра площиною, паралельною його осі, є прямокутник 94

Доведення Дійсно, січна площина перетинає бічну поверхню циліндра по твірних АВ і СD, які рівні і паралельні, крім того, АВ  АD, СD  АD. Отже, чотирикутник АВСD — прямокутник. Теорема Переріз циліндра площиною, паралельною основам циліндра, є круг, який дорівнює основі (рис. 110). Доведення Дійсно, січна площина перетинає циліндр по кругу, бо, якщо виконати паралельне перенесення уздовж осі циліндра, яке суміщає січну площину з площиною основи циліндра, то переріз суміститься з кругом Розв'язування задач Висота циліндра 6 см, радіус основи 5 см. Знайдіть периметр перерізу, проведеного паралельно осі циліндра на відстані 4 см від неї. (Відповідь. 24 см.) Висота циліндра дорівнює 10 см. Площа перерізу циліндра площиною, паралельною осі циліндра і віддаленою на 9 см від неї, дорівнює 240 см2. Знайдіть радіус циліндра. (Відповідь. 15 см.) У циліндрі проведено паралельно осі площину, яка відтинає від кола основи хорду, яку видно з центра цієї основи під кутом 120°. Висота циліндра дорівнює 10 см. Знайдіть площу перерізу, якщо січна площина віддалена від осі на 2 см. (Відповідь. 40 3 см2.) Знаходження елементів циліндра Розв'язування задач Радіус циліндра дорівнює R, висота Н, площа перерізу, паралельного осі, дорівнює S.

4H 2 R 2  S 2 .) 2H Висота циліндра Н, радіус основи R. Кінці даного відрізка лежать на колах двох основ, довжина відрізка дорівнює l. Знайдіть відстань від відрізка до осі циліндра. 1 (Відповідь. 4 R 2  l 2  H 2 .) 2 У циліндрі з основою радіуса R паралельно до його осі проведено площину, яка перетинає нижню основу по хорді, яку видно із центра цієї основи під кутом 2α. Відрізок, який з'єднує центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи, утворює з площиною основи кут β. Знайдіть площу перерізу. (Відповідь. 2R2 sіn α tg β.) Запитання до класу 1) Що є перерізом циліндра площиною, яка: а) паралельна основам циліндра; б) паралельна осі циліндра? 2) Заповніть пропуски. а) Переріз циліндра площиною, яка перпендикулярна до основи, є..., дві сторони якого — ..., а дві інші — ... б) Переріз циліндра площиною, яка проходить через його вісь, називається... в) Переріз циліндра площиною, перпендикулярною до його осі, є..., що дорівнює основі. На якій відстані від осі знаходиться площина перерізу? (Відповідь.

г) Площина, паралельна площині основи циліндра, перетинає його бічну поверхню по..., що дорівнює... 95

(Відповідь, а) ...прямокутник... твірні циліндра... паралельні хорди основ; б) ...осьовим перерізом; в) круг; г) ...колу... колу основи.) Призма, вписана в циліндр Призмою, вписаною в циліндр, називається така призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічними ребрами — твірні циліндра (рис. 115). У цьому випадку циліндр називається описаним навколо призми. Розв'язування задач Яким умовам повинна задовольняти призма, щоб навколо неї можна було описати циліндр? У циліндр вписано чотирикутну призму. Доведіть, що сума протилежних двогранних кутів при її бічних ребрах дорівнює 180°. У рівносторонній циліндр радіуса R вписана правильна трикутна призма. Знайдіть площу перерізу призми, проведеного через вісь циліндра і бічне ребро призми. (Відповідь. 3R2.) У рівносторонньому циліндрі діагональ осьового перерізу дорівнює d. Знайдіть площу найменшого діагонального перерізу правильної шестикутної призми, вписаної в d2 3 циліндр. (Відповідь. .) 4 Призма, описана навколо циліндра Площиною, дотичною до циліндра, називається площина, яка проходить через твірну циліндра і перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю твірну (рис. 116). Призмою, описаною навколо циліндра, називається призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічні грані дотикаються до циліндра (рис. 117). При цьому циліндр називається вписаним в призму.

Розв'язування задач Яким умовам повинна задовольняти призма, щоб в неї можна було вписати циліндр? Доведіть, що вісь циліндра, вписаного в призму, однаково віддалена від всіх її бічних граней. Суми площ протилежних бічних граней прямої чотирикутної призми рівні. Доведіть, що в цю призму можна вписати циліндр. Навколо рівностороннього циліндра радіуса r описано правильну трикутну призму. Знайдіть площу її грані. (Відповідь. 4r2 3 .) Навколо рівностороннього циліндра радіуса r описано правильну чотирикутну призму. Знайдіть площу її грані. (Відповідь. 4r2.) Прямим круговим конусом називається тіло, утворене обертанням плоского прямокутного трикутника навколо одного із його катетів Круговим конусом називається тіло, яке складається з круга — основи конуса, точки, яка не лежить у площині цього круга, — вершини конуса і всіх відрізків, що сполучають вершину конуса з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи, називаються твірними конуса. Осьовий переріз конуса — переріз конуса площиною, яка проходить через його вісь. Всі осьові перерізи конуса являють собою рівнобедрені трикутники, рівні між собою. На 96

рис. 125 ∆SАВ — осьовий переріз (SА = SВ). Висотою конуса називається перпендикуляр, опущений з його вершини на площину основи. У прямого кругового конуса основа висоти збігається з центром основи. На рис. 125 S0 — висота конуса. Виконання вправ Наведіть приклади побутових предметів, які мають форму конуса. Радіус основи конуса дорівнює 6 см, висота — 8 см. Знайдіть твірну конуса. (Відповідь. 10 см.) Твірна конуса дорівнює l і нахилена до площини основи під кутом α. Знайдіть: а) висоту конуса; б) радіус основи конуса; в) площу основи; г) площу осьового перерізу; д) відстань від центра основи конуса до твірної. 1 1 (Відповідь. а) l∙sіnα; б) l∙соsα ; в) πl2соs2α; г) l2∙sіп2α; д) l∙sіn2α.) 2 2 Радіус основи конуса дорівнює 28 см, а твірна довша висоти на 8 см. Знайдіть площу осьового перерізу конуса. (Відповідь. 1260 см2.) Відношення площі основи конуса до площі осьового перерізу дорівнює π. Знайдіть кут нахилу твірної до основи. (Відповідь. 45°.) Піраміда, вписана в конус Пірамідою, вписаною в конус, називається така піраміда, основою якої є многокутник, вписаний у коло основи конуса, а його вершина є вершиною конуса (рис. 132). Конус в цьому випадку називається описаним навколо піраміди. Бічні ребра піраміди, вписаної в конус, є твірними конуса. Розв'язування задач 1. У конус вписано правильну чотирикутну піраміду. Висота і радіус конуса відповідно дорівнюють 1 і 2 2 см. Знайдіть: а) бічне ребро піраміди; б) сторону основи піраміди; в) апофему піраміди; г) площу основи піраміди; д) площу бічної поверхні піраміди. (Відповідь, а) 3 см; б) 4 см; в) 5 см; г) 16 см2; д) 8 5 см2.) 2. У конус, радіус основи якого дорівнює R, вписано правильну трикутну піраміду. Бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут α. Знайдіть: а) висоту піраміди; б) сторону основи піраміди; в) твірну конуса; 3 3R 2 R 2 3 (Відповідь, а) R·tgα; б) R ; в) ; г) R tgα; д) .) cos  4 Піраміда, описана навколо конуса Площиною, дотичною до конуса, називається площина, яка проходить через твірну конуса і перпендикулярна до площини осьового перерізу, проведеного через цю твірну (рис. 133). Пірамідою, описаною навколо конуса, називається піраміда, в 97

основі якої лежить многокутник, описаний навколо основи конуса, а вершина збігається з вершиною конуса (рис. 134).

При цьому конус називається вписаним у піраміду. Площини бічних граней описаної піраміди є дотичними площинами до конуса. Розв'язування задач 1. Бічне ребро правильної трикутної піраміди і сторона основи відповідно дорівнюють 5 і 6 см. У дану піраміду вписано конус. Знайдіть: а) твірну конуса; б) радіус основи конуса; в) висоту конуса; г) площу бічної поверхні піраміди д) площу осьового перерізу конуса. (Відповідь, а) 4 см; б) 3 см; в) 13 см; г) 36 см2; д) 39 см2.) 2. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди, описаної навколо конуса, дорівнює l, а плоский кут при вершині піраміди — 2α. Знайдіть: а) твірну конуса; б) сторону основи піраміди; в) радіус основи конуса; г) висоту конуса; д) площу бічної поверхні піраміди. (Відповідь. а) lсоsα; б) 2lsinα; в) lsіnα; г) l сos 2 ; д) 2l2sin2α.) Взаємне розміщення площини і кулі (сфери) в просторі Як можуть розміщуватися в просторі куля (сфера) і площина? Нехай відстань від центра кулі (сфери) до площини дорівнює d, а радіус кулі (сфери) дорівнює r. Можливі три випадки (рис. 136). Якщо d > r, то площина і куля (сфера) не мають спільних точок (рис. 136, а). Якщо d < r, то площина і куля (сфера) перетинаються по кругу (колу) радіуса О1А =

r 2  d 2 (рис. 136, б). Якщо d = r, то площина і куля (сфера) мають тільки одну спільну точку (рис. 136, в).

Рис. 136 Розв'язування задач Кулю радіуса 5 см перетнуто площиною на відстані 3 см від центра. Знайдіть площу перерізу. (Відповідь. 16π см2.) Кулю перетнуто площиною на відстані 6 см від центра. Площа перерізу дорівнює 64π см2. Знайдіть радіус кулі. (Відповідь. 10 см.) Кулю перетнули площиною на відстані а від центра. Площа перерізу дорівнює Q. Q  a 2 .) Знайдіть радіус кулі. (Відповідь.



Кулю радіуса 41 см перетнули площиною. Площа перерізу дорівнює якій відстані від центра кулі проведено площину? (Відповідь. 9 см.)

1600π см2. На

Розв'язуючи задачі з використанням географічних координат, слід нагадати учням, 98

що таке екватор, широта α і довгота β точки на поверхні Землі, що називається паралеллю (рис. 137). Розв'язування задач Знайдіть довжину паралелі, широта якої α, якщо радіус Землі (кулі) дорівнює R. (Відповідь. 2πRcоsα.) Радіус Землі 6,4 тис. км. Який шлях проходить за добу внаслідок обертання Землі місто Київ, широта якого 50°27'? (Відповідь.  26 тис. км.) Розв'язування задач 1. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 30 см і 40 см. На якій відстані від площини трикутника знаходиться центр сфери яка має радіус 65 см і проходить через всі вершини трикутника? (Відповідь. 60 см.) 2. Вершини прямокутника лежать на сфері радіуса 10 см. Знайдіть відстань від центра сфери до площини прямокутника, якщо діагональ прямокутника дорівнює 16 см. (Відповідь. 6 см.) 3. Площина перетинає сферу. Діаметр сфери, проведений в одну із точок лінії перетину, утворює з площиною кут α. Знайдіть радіус перерізу, якщо діаметр сфери d дорівнює d. (Відповідь. cos α.) 2 4. На поверхні кулі радіуса r дано дві точки, відстань між якими дорівнює радіусу r кулі. Знайдіть найкоротшу відстань між цими точками по поверхні кулі. (Відповідь. .) 3 5. У кулі радіуса r проведено великий круг і переріз площиною, яка має з великим кругом тільки одну спільну точку й утворює з ним кут α. Знайдіть площу перерізу. (Відповідь, πr2 cos2 α.) Запитання до класу 1) Скільки осей симетрії має куля (сфера)? 2) Скільки площин симетрії має куля (сфера)? 3) Скільки центрів симетрії має куля (сфера)? . Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) У циліндр вписано правильну шестикутну призму. Радіус циліндра R, висота циліндра Н (рис. 118). Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні: а) всі бічні ребра призми збігаються з твірними циліндра; б) кожна бічна грань призми є перерізом циліндра площиною, яка паралельна осі; в) площа бічної поверхні призми дорівнює 6RН; г) площа осьового перерізу циліндра менша від площі найбільшого діагонального перерізу призми. 2) У куб вписано циліндр радіуса R. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні: а) висота циліндра дорівнює 2R; б) площа осьового перерізу циліндра дорівнює 4R2 2 ; в) площа діагонального перерізу куба дорівнює 4R2; г) площа повної поверхні куба дорівнює 24R2.

УРОК 115. Площа поверхні циліндра. Мета уроку: формування поняття площі поверхні; вивчення формули для площі бічної поверхні циліндра, а також умінь знаходити площу поверхні циліндра. Обладнання: моделі циліндрів. І. Перевірка домашнього завдання Наприкінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки виконання домашнього завдання та ведення зошитів. III. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу Площа поверхні циліндра Поверхня циліндра складається з двох рівних основ і бічної поверхні. Якщо поверхню циліндра розрізати по колах основ і якій-небудь твірній, а потім розгорнути на площині, то дістанемо розгортку циліндра Вона складається з прямокутника, сторони якого дорівнюють довжині кола основи циліндра і його висоті, і двох кругів, що дорівнюють основам циліндра. Площею бічної і повної поверхні циліндра називають площу розгортки бічної і повної поверхні. Тоді площа бічної поверхні Sбіч і площа повної поверхні Sцил визначаються формулами: Sбіч = 2πRH, Sцил = 2πRH + 2πR2 = 2πR(H + R), де R, Н — радіус і висота циліндра відповідно. Розв'язування задач Діаметр циліндра дорівнює 1 см, а висота дорівнює довжині кола основи. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра. (Відповідь, π2.) Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 15π. Знайдіть площу осьового перерізу циліндра. (Відповідь. 15.) Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною 8 см. Знайдіть бічну поверхню циліндра. (Відповідь. 64π см2.) Осьовим перерізом циліндра є квадрат, площа якого дорівнює 16 см2. Знайдіть повну поверхню циліндра. (Відповідь. 24π см2.) Радіус циліндра дорівнює r, а діагональ осьового перерізу — d. Знайдіть площу бічної поверхні і площу повної поверхні циліндра. (Відповідь. 2πr d 2  4r 2 ; 2πr(r + d 2  4r 2 ).) Площа осьового перерізу циліндра дорівнює Q. Знайдіть площу бічної поверхні. (Відповідь. πQ.) Площа поверхні і площа бічної поверхні циліндра дорівнюють 50 см2 і 30 см2. 3 10 10 Знайдіть радіус і висоту циліндра. (Відповідь. см; см.) 2   Бічна поверхня циліндра дорівнює S, а довжина кола основи — с. Знайдіть об'єм сS циліндра. (Відповідь. .) 4 Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S, а його об'єм — V. Знайдіть його висоту. S2 (Відповідь. .) 4V IV. Домашнє завдання V. Підведення підсумку уроку Запитання до класу Чому дорівнює площа бічної поверхні циліндра? Запишіть формулу для знаходження площі бічної та повної поверхні циліндра. Висота конуса дорівнює Н, а діагональ осьового перерізу утворює з площиною основи кут 45°. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні: 100

Н ; 2 б) площа основи циліндра дорівнює πН2; Н 2 в) бічна поверхня циліндра дорівнює ; 2 3Н 2 г) повна поверхня циліндра дорівнює . 2

а) радіус циліндра дорівнює

УРОК 116. Об'єм циліндра. Мета уроку: формування знань учнів про об'єм циліндра, а також умінь знаходити об'єми циліндрів. Обладнання: моделі циліндрів. І. Перевірка домашнього завдання Наприкінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки виконання домашнього завдання та ведення зошитів. II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу Припустимо, у просторі дано циліндр, у якого в основі лежить коло радіуса R. Висота даного циліндра дорівнює h. Тоді, володіючи цими даними, об’єм циліндра V можна знайти наступним чином: V = π R2 h. З першої формули можна вивести інші, адже відомо, що площа кола можна знайти так: S = π R ?, R ? = d? / 4. З цього випливає: V=Sh V = π (d? / 4) h, де d — діаметр лежить в основі циліндра кола. Розв'язування задач 1. Знайдіть об'єм тіла, утвореного при обертанні квадрата навколо його сторони, яка дорівнює а. (Відповідь, πа3.) 2. Осьовий переріз циліндра — квадрат зі стороною а. Знайдіть об'єм циліндра. а 3 (Відповідь. .) 4 3. Осьовий переріз циліндра — квадрат, діагональ якого дорівнює d. Знайдіть об'єм d 3 2 циліндра. (Відповідь. .) 16 4. Знайдіть об'єм циліндра, якщо розгортка його бічної поверхні — квадрат зі а3 стороною а. (Відповідь. .) 4 5. Радіус основи циліндра дорівнює R, площа осьового перерізу — S. Знайдіть об'єм RS циліндра. (Відповідь. .) 2 6. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює а і нахилена до площини основи d 3 cos 2  sin  .) під кутом α. Знайдіть об'єм циліндра. (Відповідь. 4 7. Діагональ осьового перерізу циліндра утворює з твірною кут α. Знайдіть об'єм циліндра, якщо радіус основи циліндра дорівнює R. (Відповідь. 2πR2ctgα.) 101

8. Діагональ осьового перерізу циліндра утворює з основою кут α. Знайдіть об'єм H 3 ctg 2 циліндра, якщо його висота дорівнює Н. (Відповідь. .) 4 IV. Закріплення та осмислення знань учнів Розв'язування задач 1. Алюмінієвий дріт діаметром 4 мм має масу 6,8 кг. Знайдіть довжину дроту (густина алюміній 2,6 г/см3). (Відповідь,  208 м.) 2. Яку кількість нафти (в тонах) вміщує циліндрична цистерна діаметром 18 м і висотою 7 м, якщо густина нафти 0,85 г/см3? (Відповідь.  1513 т.) 3. Знайдіть площу круглої плями на поверхні моря, утвореного кубометром вилитої нафти, якщо товщина плівки 1 мм. (Відповідь. 103 м2.) 4. Скільки квадратних метрів паперу в рулоні, висота якого 85 см, а радіуси 45 см і 2 см? Товщина паперу 0,1 мм. (Відповідь.  5394 м2.) 5. У циліндрі, паралельно його осі, проведено площину. Вона перетинає основу по хорді, яку видно із центра цієї основи під кутом α. Діагональ утвореного перерізу дорівнює d і нахилена до основи під кутом β. Знайдіть об'єм циліндра. (Відповідь. d 3 cos 2  sin  .) 2  4 sin 2 6. Площа осьового перерізу циліндра дорівнює S, кут між діагоналлю перерізу і площиною основи дорівнює α. Знайдіть об'єм циліндра. S (Відповідь. Sctg  .) 4 V. Домашнє завдання VI. Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) Чому дорівнює об'єм циліндра? 2) Запишіть формулу для обчислення об'єму циліндра. 3) Радіус циліндра R = 5 см, а висота Н = 8 см. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні: а) осьовим перерізом циліндра є прямокутник зі сторонами 2R і Н; б) площа основи циліндра дорівнює πR2; в) об'єм циліндра більший πR2H; г) об'єм циліндра дорівнює 200π см3. 4) Об'єм циліндра дорівнює 250π см3, а висота — 10 см. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні: а) об'єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту; б) площа основи циліндра дорівнює 25 см2; в) радіус циліндра дорівнює 10 см; г) радіус циліндра вдвічі менший від твірної циліндра.

102

УРОК 117. Площа поверхні конуса. Мета уроку: виведення формули для площі бічної поверхні конуса; формування вмінь знаходити площу поверхні конуса. Обладнання: моделі конусів. І. Перевірка домашнього завдання Самостійна робота. Варіант 1 1) Знайдіть об'єм циліндра, якщо площа основи циліндра дорівнює Q, а площа бічної поверхні — S. (5 балів) 2) Паралельно осі циліндра проведено переріз, який відтинає від кола основи дугу, градусна міра якої дорівнює 120°. Площа перерізу дорівнює 16 3 см2, а його діагональ утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра. (7 балів) Варіант 2 1) Бічна поверхня циліндра дорівнює S, а висота — Н. Знайдіть об'єм циліндра. (5 балів) 2) Паралельно осі циліндра проведено переріз, який відтинає від кола основи дугу, градусна міра якої дорівнює 60°. Площа перерізу дорівнює 12 3 см2, а його діагональ утворює з твірною циліндра кут 60° . Знайдіть площу бічної поверхні циліндра. (7 балів) Варіант З 1) Бічна поверхня циліндра дорівнює S, а довжина кола основи дорівнює С. Знайдіть об'єм циліндра. (5 балів) 2) У циліндрі паралельно його осі проведено площину, що перетинає нижню основу циліндра по хорді, яку видно з центра цієї основи під кутом α. Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом β. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо площа його основи дорівнює S. (7 балів) Варіант 4 1) Знайдіть об'єм циліндра, якщо площа його основи дорівнює Q, а площа бічної поверхні — πS . (5 балів) 2) У циліндрі паралельно його осі проведено площину, що перетинає нижню основу циліндра по хорді, яку видно з центра цієї основи під кутом α. Знайдіть площу бічної 103

поверхні циліндра, якщо площа утвореного перерізу дорівнює S. (7 балів)

S Q S2 ; 2) 32π см2. Варіант 2. 1) ; 2) 24π 3 см2. 2  4H S SC  S Варіант 3. 1) ; 2) 4S·sin tgβ. Варіант 4. 1) . Q ; 2)  4 2 2 sin 2 ІІ. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу Площа поверхні конуса Бічну поверхню конуса, як і бічну поверхню циліндра, можна розгорнути на площину, розрізавши її по твірній (рис. 170). Розгорткою бічної поверхні конуса є круговий сектор, радіус якого Дорівнює твірній конуса, а довжина дуги сектора — довжині кола основа конуса. Площею бічної поверхні конуса будемо вважати площу її розгортки. Виразимо площу бічної поверхні конуса Sбіч, через його твірну l і радіус основи R. Площа кругового сектора — розгортки бічної  l поверхні конуса (рис. 170) — дорівнює  , де α — градусна міра дуги АА1, тому 360  l 2 S біч   (1). Виразимо α через l і R. Оскільки довжина дуги АА1 дорівнює 2πR 360 360 R  l (довжині кола основи конуса), то 2πR = . Підставивши цей вираз у  , звідси   l 180   l 2 360 R   Rl . формулу (1), одержимо: S біч  360 l Відповідь. Варіант 1.1)

Рис. 170 Таким чином, площа бічної поверхні конуса дорівнює добутку половини довжини кола основи та твірну: Sбіч = πRl. Площею повної поверхні конуса називається сума площ бічної поверхні та основи. Для обчислення площі повної поверхні конуса Sк одержуємо формулу Sк = πR (l + R). Розв'язування задач Висота конуса дорівнює 6 см, радіус основи — 8 см. Знайдіть бічну поверхню конуса. (Відповідь. 80π см2.) Твірна конуса дорівнює 5 см, висота — 4 см. Знайдіть площу його повної поверхні. (Відповідь. 24π см2.) Осьовий переріз конуса — правильний трикутник, сторона якого дорівнює 6 см. Знайдіть бічну поверхню конуса. (Відповідь. 18π см2.) Площа осьового перерізу конуса 0,6 см2. Висота конуса дорівнює 1,2 см. Знайдіть площу повної поверхні конуса. (Відповідь. 0,9π см2.) Площа основи конуса дорівнює 36 см2, а його твірна — 10 см. Знайдіть площу бічної поверхні конуса. (Відповідь. 60  см2.) Кут між твірною і віссю конуса дорівнює 45° , а твірна — 6,5 см. Знайдіть площу 169 2 бічної поверхні конуса. (Відповідь. см2.) 8 Твірна конуса дорівнює 14 см, а кут при вершині осьового перерізу — 60°. Знайдіть площу повної поверхні конуса. (Відповідь. 147π см2.) Твірна конуса дорівнює 8 см і утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть площу повної поверхні конуса. (Відповідь. 48π см2.) 104

III. Закріплення та осмислення знань учнів Знаходження площі поверхні конуса Розв'язування задач Площа основи конуса дорівнює S, а площа його поверхні — 3S. Під яким кутом нахилена твірна до площини основи? (Відповідь. 60°.) Периметр осьового перерізу конуса дорівнює Р, кут між твірною і основою дорівнює α. Знайдіть площу бічної поверхні конуса. (Відповідь. Р 2 cos  .) 16 cos 4



Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом φ. В основу конуса вписано трикутник; у якого одна сторона дорівнює а, а протилежний кут дорівнює α. Знайдіть площу повної поверхні конуса. IV. Домашнє завдання V. Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) Чому дорівнює бічна поверхня конуса? 2) Запишіть формули для знаходження площ бічної і повної поверхні конуса.

УРОК 118. Об'єм конуса. Мета уроку: виведення формули для об'єму конуса; формування умінь знаходити об'єм конуса. Обладнання: моделі конусів. І. Перевірка домашнього завдання 1. Перевірити правильність виконання домашнього завдання за записами, зробленими на дошці до початку уроку. Відповісти на запитання учнів. Самостійна робота. Варіант 1 Діагональ осьового перерізу циліндра утворює з основою кут α. Знайдіть об'єм циліндра, якщо радіус основи циліндра дорівнює R. (5 балів) В основі циліндра проведено хорду, яку видно із центра цієї основи під кутом β. Відстань від центра цієї основи до хорди дорівнює d. Відрізок, який з'єднує центр однієї основи з точкою кола другої основи, утворює з площиною основи кут α. Знайдіть об'єм циліндра. (7 балів) Варіант 2 Діагональ осьового перерізу циліндра утворює з твірною кут α. Знайдіть об'єм циліндра, якщо його висота дорівнює Н. (5 балів) В основі циліндра проведено хорду, яка стягує дугу α. Відрізок, який з'єднує центр другої основи із серединою цієї хорди, дорівнює l і утворює з площиною основи кут β. Знайдіть об'єм циліндра. (7 балів) d 3 tg Відповідь. Варіант 1. 1) 2πR3tgα . 2) . 3  cos 2 3 2 3 2 H tg  l cos  sin  Варіант 2. 1) . 2) . 4 2  cos 2

105

Побудуємо два багатокутника в площині основи конуса: багатокутник Р, що містить основи конуса, і багатокутник , що міститься в основі конуса. Побудуємо дві піраміди з основами Р и й вершиною у вершині конуса. Перша піраміда містить конус, а друга піраміда міститься в конусі. Як ми знаємо, існують такі багатокутники Р и , площі яких при необмеженому збільшенні числа їх сторін n необмежено наближаються до площі кругу в основі конуса. Для таких багатокутників об'єми побудованих пірамід необмежено наближаються до , де S — площа основи конуса, а H — його висота. Відповідно до визначення звідси слідує, що об'єм конуса . Отже, об'єм конуса дорівнює однієї третини добутку площі основи на висоту. Розв'язування задач 1. Висота конуса дорівнює 6 см, твірна — 10 см. Знайдіть об'єм конуса. (Відповідь. 128π см3.) 2. Осьовий переріз конуса — прямокутний трикутник із гіпотенузою 12 см. Знайдіть об'єм конуса. (Відповідь. 72π см3.) 3. Осьовий переріз конуса — прямокутний трикутник із катетом 6 см. Знайдіть об'єм конуса. (Відповідь. 18 2 π см3.) Розв'язування задач. 3. Із центра основи конуса проведено перпендикуляр до твірної, який утворює з висотою кут р. Знайдіть об'єм конуса, якщо його твірна дорівнює l. l 3 (Відповідь. cos2 β sin β .) 3 4. Хорда основи конуса дорівнює а і стягує дугу α. Відрізок, який з'єднує вершину конуса із серединою хорди, нахилений до основи під кутом β. Знайдіть об'єм конуса. 106

(Відповідь.

a 3 ctg



24 sin

2 2

tg



IV. Домашнє завдання V. Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) Чому дорівнює об'єм конуса? 2) Запишіть формулу для знаходження об'єму конуса. 3) Дано конус, у якого радіус основи ОА = 8 см і висота SO = 15 CM. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні: а) катети прямокутного трикутника SOA дорівнюють 17 см і 8 см; б) осьовим перерізом конуса є прямокутний трикутник із гіпотенузою SA = 17 см; в) твірна конуса дорівнює 15 см;

г) об'єм конуса дорівнює

1 π · 82 · 15 см3. 3

УРОК 119. Площа поверхні сфери. Мета уроку: вивчення формули для площі сфери; формування вмінь застосовувати вивчену формулу до розв'язування задач. І. Перевірка домашнього завдання II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу Площа сфери Сферою називається фігура, утворена обертанням кола навколо діаметра. (Демонструються моделі куль (сфер).) Можна дати й інші означення сфери і кулі. Сферою називається поверхня, яка складається з усіх точок простору, що розташовані на даній відстані (яка називається радіусом) від даної точки (яка називається центром). Відрізок, який сполучає центр сфери з точкою сфери, називається радіусом сфери. Відрізок, який сполучає дві точки сфери і проходить через центр сфери, називається діаметром сфери. На рис. 3 точка О — центр сфери, ОА, ОВ — радіуси сфери, АВ — діаметр сфери. Задача № 1 Навколо сфери радіуса r описано опуклий многогранник. Доведіть, що його об'єм V може бути обчислений за формулою 1 V= Sr , де S — площа поверхні многогранника. 3 Розв'язання З'єднаємо центр сфери точку О з усіма вершинами многогранника Тоді об'єм V многогранника дорівнює сумі об'ємів пірамід, основи яких — грані даного многогранника, а висота дорівнює радіусу г вписаної кулі: 1 1 1 1 1 1 V = S1r + S2r + S3r +... + Snr = r (S1 + S2 + ...Sn) = rS, 3 3 3 3 3 3 107

де S1, S2, S3 , ..., Sn — площі граней многогранника, S — площа поверхні многогранника. Задача № 2 Радіус сфери дорівнює r. Знайдіть площу сфери. Розв'язання Опишемо навколо сфери опуклий многогранник з п малими гранями. Будемо необмежене збільшувати п таким чином, щоб площа кожної грані наближалася до нуля. За площу сфери приймемо границю послідовності площ поверхонь, описаних навколо сфери многогранників, за умови наближення до нуля площі кожної грані. Нехай Sn — площа поверхні многогранника, Vn — його об'єм. Тоді, згідно з задачею 1 № 1, маємо: Vn = S R. 3 Будемо тепер необмежене збільшувати число п, тоді число граней многогранника буде необмежене збільшуватися, площа його поверхні буде наближатися до площі сфери S, а об'єм многогранника — до об'єму V кулі: 4 3   R3 1 3V 3 Отже V = SR , звідси маємо: S = = = 4πR2. R 3 R Таким чином, площа S сфери радіуса R обчислюється за формулою S = 4πR2. Розв'язування задач Знайдіть площу поверхні кулі, діаметр якої 10 см. (Відповідь. 100π см2.) Площа великого круга кулі дорівнює 20π см2. Знайдіть площу поверхні кулі. (Відповідь. 80π см2.) Площа поверхні кулі дорівнює 64π см2. Знайдіть діаметр кулі. (Відповідь. 8 см.) Довжина кола великого круга кулі дорівнює 10π см. Знайдіть площу поверхні кулі. (Відповідь. 100π см2.) Дано півкулю радіуса R. Знайдіть її повну поверхню. (Відповідь. 3πR.) Як зміниться площа поверхні кулі, якщо її радіус збільшити у 2 рази? (Відповідь. Збільшиться в 4 рази.) Доведіть, що, якщо рівносторонній конус і півкуля мають спільну основу, то площа бічної поверхні конуса дорівнює площі сферичної поверхні півкулі. III. Домашнє завдання IV. Підведення підсумку уроку Запитання до класу 1) Сформулюйте, чому дорівнює площа сфери. 2) Запишіть формулу для обчислення площі сфери.

УРОК 120. Об'єм кулі та її частин. Мета уроку: виведення формули для об'єму тіла обертання та кулі; формування вмінь знаходити об'єм кулі. Обладнання: моделі куль. І. Перевірка домашнього завдання Кулею називається тіло, що складається з усіх точок простору, які розташовані від 108

даної точки на відстані, не більшій за дану. Ця точка називається центром кулі, а дана відстань — радіусом кулі. Площина, яка проходить через центр кулі (сфери), називається діаметральною площиною. Переріз кулі (сфери) діаметральною площиною називається великим кругом (великим колом). II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу Формул й для об'ємів тіл обертання Із курсу алгебри і початків аналізу відомо, що об'єм тіла можна обчислити за формулою: b

V   S ( x)dx , де S(x) — площа перерізу тіла площиною, a

перпендикулярною до відрізка [а; b]. Виведемо формулу для об'єму тіла обертання. Розглянемо криволінійну трапецію aАВb, обмежену графіком неперервної функції у = f(x) (рис. 165). Під час обертання криволінійної трапеції навколо осі Ох утвориться тіло обертання. Будь-яким перерізом тіла обертання є круг радіуса r = f(x). Площа перерізу S(x) = πг2 = πf2(x), тому об'єм тіла обертання знайдемо за формулою: b

V   S ( x)dx     f 2 ( x)dx    f 2 ( x)dx Отже, об'єм тіла обертання, утвореного в результаті обертання кривої у = f(x), х b], дорівнює:

 [а;

Формула для об'єму кулі Розв'язування задач 1. Радіус кулі дорівнює 9 см. Знайдіть об'єм кулі. (Відповідь. 972π см3.) 2. Радіуси трьох куль дорівнюють 3, 4 і 5 см. Знайдіть радіус кулі, об'єм якої дорівнює сумі об'ємів даних куль. (Відповідь. 6 см.) 3. Відношення об'ємів двох куль дорівнює 8. У скільки раз радіус однієї кулі більший за радіус другої кулі? (Відповідь. У 2 рази.) Запитання до класу 1) Запишіть формулу для знаходження об'єму кулі. 2) Знайдіть об'єм кулі, діаметр якої дорівнює 12 см. (Відповідь. 288π см3.) 3) Об'єм кулі дорівнює 36π см3. Знайдіть радіус кулі. (Відповідь. 3 см.) Об'єм кульового сегмента і кульового сектора. Розв'язування задач Радіус кулі R = 6 см. На відстані 4 см від її центра куля перетнута площиною. 64 Знайдіть об'єм кульового сегмента (меншого із утворених). (Відповідь. π см3.) 3 Знайдіть об'єм меншого кульового сегмента, якщо радіус кола його основи дорівнює 6500 20 см, а радіус кулі 25 см. (Відповідь. см3.) 3 109

У півкулі радіуса R через середину її висоти проведено переріз, паралельний основі півкулі. Знайдіть об'єм утвореного кульового сегмента і об'єм другої частини півкулі 5 3 11 3 (кульового поясу). (Відповідь. R , R ) 24 24 Радіус кульового сектора дорівнює R, кут в осьовому перерізі дорівнює 120°. R 3 Знайдіть об'єм кульового сектора. (Відповідь. .) 3 Дуга в осьовому перерізі кульового сектора дорівнює α, радіус кулі R. Знайдіть об'єм 4  кульового сектора. (Відповідь. R 3 sin 2 .) 3 4 III. Домашнє завдання IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу 1) Що таке кульовий сегмент? 2) Запишіть формулу для знаходження об'єму кульового сегмента. 3) Що таке кульовий сектор? 4) За якою формулою обчислюється об'єм кульового сектора? 5) Що таке кульовий пояс? 6) Як можна обчислити об'єм кульового поясу?

УРОК 121. Тіла обертання. Об’єми та площі поверхонь тіл обертання. Контрольна робота №10. Мета уроку: перевірка навчальних досягнень учнів з теми «Тіла обертання. Об’єми та площі поверхонь тіл обертання. ». Хід уроку Тематичне оцінювання можна провести у вигляді тематичної контрольної роботи. І Варіант 1. Висота циліндра 6 см, радіус основи 5 см. Знайдіть площу перерізу, проведеного паралельно осі циліндра на відстані 4 см від неї.

110

2. На поверхні кулі дано три точки. Прямолінійні відстані між ними 6 см, 8 см, 10 см. Радіус кулі 13 см. Знайдіть відстань від центра кулі до площини, яка проходить через ці точки. 3. В основі циліндра проведено хорду, яку видно із центра цієї основи під кутом β. Відстань від центра цієї основи до хорди дорівнює d. Відрізок, який з'єднує центр однієї основи з точкою кола другої основи, утворює з площиною основи кут α. Знайдіть об'єм циліндра. 4. Осьовий переріз конуса — прямокутний трикутник із катетом 6 см. Знайдіть об'єм конуса. 5. Радіуси трьох куль дорівнюють 3, 4 і 5 см. Знайдіть радіус кулі, об'єм якої дорівнює сумі об'ємів даних куль. ІІ Варіант 1. Висота циліндра 8 дм, радіус основи 5 дм. Циліндр перетнуто площиною так, що у перерізі утворився квадрат. Знайдіть відстань від цього перерізу до ос.і 2. Сторони трикутника 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть відстань від площини трикутника до центра кулі, яка дотикається до всіх сторін трикутника. Радіус кулі 5 см. 3. В основі циліндра проведено хорду, яка стягує дугу α. Відрізок, який з'єднує центр другої основи із серединою цієї хорди, дорівнює l і утворює з площиною основи кут β. Знайдіть об'єм циліндра. 4. Осьовий переріз конуса — прямокутний трикутник із гіпотенузою 12 см. Знайдіть об'єм конуса. 5. Відношення об'ємів двох куль дорівнює 8. У скільки раз радіус однієї кулі більший за радіус другої кулі?

111

Рекомендована література Основні підручники та навчальні посібники: 1. Бевз Г.П. та інші. Геометрія: Підручник для шкіл з поглибленим вивченням математики), 10-11 кл. – К.: Освіта, 2000, 2005 2. Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенько А.К. Математика (підручник для студентів ВНЗ І-ІІ р.а. технічних спеціальностей) – К.: Вища школа, 2001 3. Лейфура В.М. та інші. Математика (підручник для підготовки молодших спеціалістів економічних спеціальностей) – К.: Техніка, 2003 4. Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенько А.К. Дидактичні матеріали з математики (навчальний посібник для студентів ВНЗ І-ІІ р.а.)

– К.: Вища школа, 2001

5. Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвітніх навчальних закладів – К.: Школяр, 2004, Освіта, 2001 6. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики. Геометрія. За ред. Слєпкань З.І. 11 кл. – Х.: Гімназія, 2005 7. Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенько А.К. Геометрія (підручник для шкіл (класів) технічного профілю), 10-11 кл. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2004 8. Тадеєв В.О. Геометрія (підручник). 10, 11 кл. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2003 9. Бевз Г.П. та інші. Геометрія: Підручник для 10 – 11 кл. загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Вежа, 2004

112

Додаткові підручники та посібники: 1. Афанасьєва О.М. та інші. Дидактичний матеріал з геометрії, 10-11 кл. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2003 2. Прокопенко Н.С., Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Математика. Збірник завдань для тематичного оцінювання знань, 10, 11 кл. – К.: КІМО, 2001 3. Стадник Л.Г., Гальперина А.Р. Варіанти завдань для тематичного оцінювання навчальних досягнень учнів. Алгебра. Геометрія. 10 кл. – Х.: Ранок, 2003 4. Стадник Л.Г., Маркова І.С. Варіанти завдань для тематичного оцінювання навчальних досягнень учнів. Алгебра. Геометрія. 11 кл. – Х.: Ранок, 2003 5. Бродський Я.С. Тести із стереометрії, 10-11 кл. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2004 6. Роєва Т.Г. Завдання для поточного оцінювання. Геометрія. Книга для вчителя. 11 кл. – К.: Країна мрій, 2005 7. Роєва Т.Г., Адруг Л.М. Геометрія Завдання для тематичного оцінювання. 10, 11 кл. – К.: Країна мрій, 2007 8. Захарійченко О.В., Школьний Ю.В. Тестові завдання з математики. – К.: Генеза, 2007

113

114