Tema 3: Un resultado astronómico importante: la medida del meridiano terrestre
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5. Método de Eratóstenes. Su versión más difundida
Una vez que los sistemas cosmológicos permitían modelizar los movimientos de los astros, el siguiente paso era evidente: obtener medidas ciertas sobre el tamaño de esos astros, de los círculos que describen, o mejor, de sus esferas, y su distancia a la Tierra. Igualmente el propio tamaño de la Tierra, una vez aceptada su esfericidad, constituía otro de los problemas que preocupaban a los astrónomos y para los que se fueron encontrando distintas respuestas a lo largo de varios siglos. Eratóstenes nació en Cirene, actual Shahhat en Libia, en 276 a. C. y murió en Alejandría en 194 a. C. Formado en Atenas fue llamado por Ptolomeo Evergetes para educar a su hijo y hacia el 240 le nombró director de la Biblioteca de Alejandría, donde pasaría el resto de su vida. Interesado por muchas ramas del conocimiento trabajó
en
Matemáticas,
Astronomía,
Filosofía,
Geografía, Poesía, ... Sin embargo, su cálculo del tamaño de la Tierra será el resultado por el que ha sido recordado por la posteridad. Sin olvidar, por supuesto, la criba que lleva su nombre y que permite localizar los primos en una lista de números. Su método para determinar el tamaño de la Tierra se apoya en la solución de un sencillo problema de Geometría plana, pues conocer el tamaño de una esfera equivale a determinar la longitud de la circunferencia de uno de sus círculos máximos, ya que de ahí se puede obtener muy fácilmente su radio. En definitiva, el problema consiste en establecer la relación de proporcionalidad entre un arco de circunferencia y el ángulo central que le corresponde, ambos conocidos, sabiendo que a toda la circunferencia, de longitud desconocida, le corresponden 360º. Es decir, de acuerdo con la figura y llamando L a la longitud de la circunferencia, tendremos
L 360 = d α
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Si se conocen los datos correspondientes al arco, es decir, d y
α , se podrá calcular L
con gran facilidad. La dificultad radica en obtener esos valores y aquí es donde debemos reconocer la genialidad de Eratóstenes, pues fue capaz de determinar la distancia entre dos puntos bastante alejados de la superficie terrestre y calcular el ángulo central correspondiente a ese arco. Efectivamente, conocía Eratóstenes que el día en que una estaca clavada en el suelo de la ciudad de Syena, actual Asuán en Egipto, no proyectaba sombra en el momento del mediodía –culminación solar– en Alejandría, y en el mismo instante una estaca vertical, sí proyectaba una sombra. La distancia
entre ambas ciudades se había determinado con
bastante precisión y se cifraba en 5000 estadios. La determinación del ángulo central constituye un extraordinario logro. En la figura se muestran las dos ciudades y la dirección vertical en cada una de ellas, se han situado sus puntos cenitales ZA y ZS para Alejandría y Syena respectivamente. El hecho de que durante el solsticio de verano no hubiese sombra para un objeto vertical en el momento de la culminación solar, se traduce en que Syena está en el trópico de Cáncer. Igualmente, se suponía que ambas ciudades estaban situadas en un mismo meridiano, por lo que determinar la longitud de ese meridiano permite conocer el tamaño de la Tierra.
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Finalmente otra genialidad, dada la enorme distancia a la que está el Sol, puede suponerse que los rayos solares inciden paralelamente en cualquier punto de la Tierra. En la figura los rayos R1 y R2 representan a los que llegan a esas ciudades, pero en el instante de culminación del Sol en la fecha del solsticio, en Syena, los rayos solares inciden verticalmente, coincidiendo con la dirección cenital. Por lo tanto, si puede hallarse el ángulo formado en Alejandría por los rayos solares en ese instante y la vertical, también se conocerá el ángulo central correspondiente al arco de meridiano considerado. Es decir, la diferencia de latitudes entre ambos puntosDeterminar ese ángulo sí es sencillo pues se puede medir la longitud de la estaca vertical –gnomon– y la de su sombra en el instante deseado –mediodía del solsticio de veranoy a partir de esa relación entre catetos de un triángulo rectángulo, hallar el ángulo agudo 1 buscado. Ese ángulo se calculó como del correspondiente al círculo completo, esto es, 7º 50 12´. Por lo tanto el tamaño, de la Tierra era 50 veces la distancia entre Alejandría y Syena: 5000 x 50 = 250000 estadios.
Pasar esa cantidad a metros no es inmediato, pues se manejaban diferentes longitudes para el estadio. Habitualmente se utilizaba el estadio olímpico de unos 185 metros y en Egipto el estadio real egipcio de 210 metros aproximadamente. Sin embargo, parece ser que el utilizado en este caso era el empleado en Egipto por los medidores profesionales -itinerum mensores- y que equivalía a 157,5 metros. En tal caso, el meridano mediría 39375 km. Y utilizando la estimación arquimediana de
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π, 7
,la Tierra era una esfera perfecta de
39375 x 157,5 = 12528, 4 Km, de diámetro, o bien 6264´2 Km de radio. Valor que todavía asombra por su exactitud. Este método nos muestra como con pocos recursos pero con ideas extraordinarias por su sencillez y originalidad, se dieron pasos de gigante en el desarrollo de las ciencias, en este caso en la Astronomía. Se ha comentado anteriormente que éste era un método totalmente geométrico, de ahí su claridad de exposición, pero también supuso que los astrónomos no le concedieran el valor que tiene y prefirieran otros métodos totalmente astronómicos que permitían localizar la diferencia de latitudes mediante la observación de las posiciones de una estrella desde diferentes puntos de un mismo meridiano. Tal es el caso del método de Posidonio de Rodas (131 a d C. - 51 a d C.) que resolvió el mismo problema a través de la observación de la estrella Canope,
α carinae .
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Puede resultar interesante ver un breve fragmento de la serie Cosmos donde Carl Sagan habla de este personaje y su método. Por ello, te propongo visitar esta dirección y seguir los comentarios y las explicaciones de Sagan http://video.google.es/videosearch?hl=es&q=Erat%C3%B3stenes&um=1&ie=UTF8&sa=N&tab=iv#
Comenta en el foro qué te parece el video y su utilidad didáctica.
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