INTRODUCCIÓ AL TEMA DE FUNCIONS REALS DE VARIABLE REAL OBJECTIUS 1.- Saber determinar les coordenades d’un punt del pla en uns eixos de coordenades o cartesians. 2.- Saber diferenciar els conceptes de constant i de variable. 3.- Entendre el concepte de funció i conèixer exemples en la vida quotidiana 4.- Saber i entendre el llenguatge de les funcions i els símbols que utilitzem. 5.- Confeccionar la taula de valors d’una funció. 6.- Dibuixar la gràfica d’una funció a partir de la seva taula de valors. 7.- Saber buscar imatges i antiimatges amb la fórmula d’una funció. 8.- Saber buscar imatges i antiimatges amb la gràfica d’una funció.
Introducció al tema de funcions reals de variable real
–
1
CONCEPTE 1.- Coneixements previs. Els eixos de coordenades o cartesians són dues rectes perpendiculars en què es determina una graduació, divideixen el pla en quatre quadrants. L’origen de coordenades és el punt on es tallen les rectes i el definirem amb les coordenades O = (0,0). L’eix d’abscisses (OX) és la recta horitzontal on el valors de la dreta són positius i els de l’esquerra negatius. L’eix d’ordenades (OY) és la recta vertical on els valors de dalt són positius i els de baix negatius.
y
2n quadrant
1r quadrant
Origen de coordenades
3r quadrant
x
4t quadrant
Les coordenades d’un punt del pla sempre s’ha de donar en un mateix ordre:
Introducció al tema de funcions reals de variable real
–
2
1a coordenada = abscissa del punt (a) 2a coordenada = ordenada del punt (b)
y b
P=(a, b)
a
x
PROCEDIMENT 1.- Coneixements previs.
1.- Dibuixa en un sistema de referència cartesià, els punts A=(2,4) , B=(–5,6) , C=(0,5) , D=(–3,–2) , E=(–6,0) , F=(2,–7) i G=(0,0). 2.- Què tenen en comú els punts situats sobre l’eix d’abscisses? 3.- Què tenen en comú els punts situats sobre l’eix d’ordenades? 4.- Parlem del mateix punt si canviem l’ordre de les coordenades? Posa un exemple. 5.- Dibuixa en un sistema de referència cartesià, els punts A=(1/2,3/4) , B=(–2/3,6) , C=(3/2,0) , D=(–5,–1) , E=(0,3/2) i F=(1/3,–3).
Introducció al tema de funcions reals de variable real
–
3
CONCEPTE 2.- Constant i variable.
Una constant té un valor fix i determinat. Per exemple el nombre pi, la velocitat de la llum en el buit o l’aire, el valor de l’euro respecte la pesseta,... Una variable pot tenir diferents valors. Per exemple la velocitat d’un cotxe, el saldo d’un compte corrent, el preu d’un litre de gasolina,...
CONCEPTE 3.- Definició de funció real de variable real.
Una funció és una relació de dependència entre dues variables de manera que a cada valor real de la primera li correspon un únic valor real de la segona. La primera l’anomenem variable independent i la segona variable dependent. La imatge de x , és el valor real de variable dependent que li correspon. L’antiimatge de y, és el valor o valors reals de variable independent que li correspon.
. CONCEPTE 4.- Formes d'expressar aquesta relació.
Una funció es pot expressar mitjançant: -
Una descripció verbal. Una taula de valors. Una gràfica. Una expressió algebraica o fórmula.
Introducció al tema de funcions reals de variable real
–
4
PROCEDIMENT 2.- Exercicis per treballar el concepte de funció i el seu entorn.
1.- Els globus sonda són utilitzats per les estacions meteorològiques per mesurar, entre altres coses, la temperatura de l’atmosfera a diferents alçades. S’ha comprovat que en les capes més baixes de l’atmosfera ( fins els 3.000 m aproximadament ), per cada 200m d’alçada la temperatura disminueix en 1ºC. En u dia determinat la temperatura al nivell del mar és de 4ºC. a) Quina és la variable independent i la variable dependent? b) Si simbolitzem amb la lletra x l’altura a la qual està situat el globus, i amb T la temperatura de l’atmosfera, construeix la taula de valors adient. c) Dibuixa en paper mil·limetrat la gràfica d’aquesta funció ( 0,5cm=200m altura i 1cm=1ºC ). d) Gràficament contesta a les següents preguntes: - A quina alçada la temperatura és de 2,5ºC? - Quina temperatura marcarà el termòmetre a 1.700m? - A partir de quina alçada la temperatura és inferior o igual a 0ºC? - Si sabem que el globus sonda està situat entre 800 i 1.500m, què podem dir de la temperatura que marcarà el termòmetre?
2.- En Kilian Jornet camina a velocitat constant durant tot un dia. L’espai que recorre es pot calcular amb la següent expressió matemàtica: x=6.t , on x s’expressa en quilòmetres i el temps en hores. a) Quina és la variable independent i la variable dependent? b) Construeix la taula de valors adient. c) Dibuixa la gràfica corresponent. d) Comprova un punt a partir de l’expressió matemàtica, la taula de valors i la gràfica. e) Quina distància ha recorregut al cap de 1,15 h ?
Introducció al tema de funcions reals de variable real
–
5
3.- Volem construir una piscina però només disposem de 18 metres de la rajola que es posa al voltant. Quines han de ser les dimensions de la piscina per tal que la superfície sigui màxima? Quina forma tindrà la piscina? a) Per tal de trobar les mides ideals, retallem un tros de paper mil·limetrat, imitant la forma de la piscina i suposant que el perímetre és de 18 centímetres. Quina superfície has aconseguit? b) Anota els resultats obtinguts pels altres companys de classe i retalla els papers adequats per tal de trobar les diferents superfícies. c) Construeix la taula de valors adient. d) Representa en uns eixos de coordenades la gràfica corresponent. e) Comprova tres punts de la taula i de la gràfica mitjançant la fórmula que relaciona la superfície i la llargada de la piscina.
4.- En un aparcament de la ciutat ens cobren 2€ per la primera hora i 1€ per cada hora o fracció d’hora posterior. a) Quina és la variable independent i la variable dependent? b) Si simbolitzem amb la lletra P el preu a pagar i amb t el temps que hem tingut el cotxe aparcat, construeix la taula de valors adient. c) Dibuixa en paper mil·limetrat la gràfica d’aquesta funció. d) Comprova tres punts de la taula i de la gràfica.
Introducció al tema de funcions reals de variable real
–
6