VARIACIONES O ARREGLOS
DefiniciĂłn.- Dado un conjunto que tiene đ?‘›đ?‘› elementos diferentes, se denomina variaciĂłn o arreglo de los đ?‘›đ?‘› elementos tomados de đ?‘˜đ?‘˜ en đ?‘˜đ?‘˜ a
cualquier sucesiĂłn ordenada de đ?‘˜đ?‘˜ elementos diferentes escogidos entre los đ?‘›đ?‘› elementos existentes. El nĂşmero de variaciones o arreglos de đ?‘›đ?‘›
objetos diferentes tomados de đ?‘˜đ?‘˜ en đ?‘˜đ?‘˜ es:
Ejemplos
đ?‘‰đ?‘‰đ?‘˜đ?‘˜đ?‘›đ?‘› =
đ?‘›đ?‘›! (đ?‘›đ?‘› − đ?‘˜đ?‘˜)!
1. ÂżDe cuĂĄntas maneras se
pueden elegir tres bolas
de billar de un total de 16?
3. ÂżDe cuĂĄntas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de
presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fĂştbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?
SoluciĂłn
4. ÂżDe cuĂĄntos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos?
SoluciĂłn
SoluciĂłn
2. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres. SoluciĂłn
5. ÂżCuĂĄntos nĂşmeros de tres cifras diferentes se puede formar con los dĂgitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?
SoluciĂłn
6. ÂżCuĂĄntas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?
SoluciĂłn
PERMUTACIONES
La permutaciĂłn es un caso particular de la variaciĂłn y esta definida como sigue:
Definición.- Dado un conjunto que contiene �� elementos distintos, se denomina permutación de los �� elementos a todo arreglo ordenado de estos �� elementos tomados de �� en ��. El número total de
7. a. ÂżCuĂĄntas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de
salida de 8 autos que participan en una carrera de fĂłrmula uno?
permutaciones que pueden formarse con đ?‘›đ?‘› elementos, denotado por đ?‘ƒđ?‘ƒđ?‘›đ?‘› ,
es dado por:
(Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. ÂżCuĂĄntas maneras
diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fĂłrmula uno?
SoluciĂłn
đ?‘ƒđ?‘ƒđ?‘›đ?‘› = đ?‘‰đ?‘‰đ?‘›đ?‘›đ?‘›đ?‘› =
đ?‘›đ?‘›! đ?‘›đ?‘›! = = đ?‘›đ?‘›! (đ?‘›đ?‘› − đ?‘›đ?‘›)! 0!
Ejemplos
1. ÂżDe cuantas maneras diferentes pueden ubicarse 5 alumnos en una fila de 5 asientos?
SoluciĂłn
2. Carlos tiene 5 tomos de una
colección de libros matemáticas,
¿de cuántas maneras distintas se
pueden ubicar en una biblioteca?
Solución
3. Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresa manufacturera serán sentados juntos en un banquete. Determinar el número de diferentes posiciones posibles de los asientos para los cinco individuos.
Solución
5. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?
Solución
6. Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos? Solución
7. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y 4. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
Solución
dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
Solución
Ejercicios 1
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIĂ“N
1. Para ir al estadio, Pedro desea usar un polo, una bermuda y un par de zapatillas. Sabiendo que dispone de cinco polos, tres bermudas
tres pares de zapatillas, Âżde cuĂĄntas maneras distintas puede vestirse Pedro?
2. Una agencia de viajes ofrece boletos aĂŠreos para el tramo LimaCusco a travĂŠs de tres compaĂąĂas: Aerocontinente, AeroperĂş, AerocĂłndor. El pasajero tambiĂŠn puede escoger entre primera clase,
clase ejecutiva y clase econĂłmica. ÂżDe cuĂĄntas maneras un pasajero
puede realizar tal selecciĂłn?
3. Un examen de matemĂĄticas consta de diez preguntas de tipo V o F ÂżDe cuĂĄntas maneras distintas puede ser resuelto? PRINCIPIO DE ADICIĂ“N
4. SupĂłn que para la elecciĂłn de un delegado de un salĂłn de clases se presentan tres candidatos de un grupo A, y dos candidatos de un
grupo B, Si el delegado va a ser alguno de estos candidatos, ÂżcuĂĄntas posibilidades hay para el ganador?
5. La biblioteca de un instituto posee seis textos de matemĂĄtica, cinco de programaciĂłn y tres de diseĂąo grĂĄfico. ÂżDe cuĂĄntas maneras un estudiante puede elegir un libro de uno de estos tres temas?
6. Una contraseĂąa de computadora consiste en una letra del alfabeto seguida de 3 o 4 dĂgitos. Hallar el nĂşmero total de contraseĂąas que pueden ser creadas. 7. Simplificar a.
b. c.
đ?‘›đ?‘›! (đ?‘›đ?‘›âˆ’1)! (đ?‘›đ?‘›+2)! đ?‘›đ?‘›! 2(3đ?‘›đ?‘›!) 3!(3đ?‘›đ?‘›âˆ’2)!
d. (�� + 3)! = 120 VARIACIÓN 8. El cuadrangular final de un torneo de futbol es disputado por cuatro
clubes: A, B, C y D. ÂżDe cuantas maneras distintas podemos tener los tres primeros puestos?
9. Para la elecciĂłn de los dirigentes de una determinada asociaciĂłn se
presentan ocho candidatos. ÂżDe cuĂĄntas maneras podrĂĄn ser elegidos el presidente y el vicepresidente?
10. En una prueba de atletismo compiten doce atletas. ÂżDe cuĂĄntas maneras se pueden distribuir las medallas de oro, plata y bronce?
PERMUTACIÓN
11. Cinco automóviles e alinean para pagar un peaje. ¿Cuántos ordenamientos distintos se pueden hacer con estos cinco carros?
12. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8
autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) , y ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los
primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno?