Mantýk KÖÞETAÞI
KAZANIMLAR
1.
Klasik mantýk ile sembolik mantýðýn arasýndaki farký kavrar.
2.
Terimi kavrar.
3.
Önermeyi tanýr.
4.
Ýki önermenin denkliðini kavrar.
5.
Doðruluk deðer tablosunu yapar.
6.
Bir önermenin deðilini bulur.
7.
Bileþik önermelerde “” ve “” baðlaçlarýný tanýr.
8.
“” veya “” baðlaçlarýný içeren önermenin doðruluk tablosunu yapar.
9.
“” ve “” baðlaçlarýnýn özelliklerini kavrar.
10. De Morgan kurallarýný kavrar. 11. Totoloji ve çeliþkiyi kavrar. 12. “” baðlacýný tanýr. 13. p q önermesinin karþýtýný, tersini ve karþýt tersini bulur. 14. p q önermesini indirger. 15. “” baðlacýný tanýr. 16. Önermeler cebiri ile etkin alýþtýrma yapar. 17. Bileþik bir önermenin deðilini alýr. 18. Önermeler cebirinde denklem çözer. 19. Açýk önermeyi tanýr. 20. Niceleyicileri tanýr. 21. Niceleyicilerle belirtilen önermelerin deðilini bulur.
1.1
mantýk
köþetaþý Türkçe Ali
Ýngilizce Berna Ceylin Damla
Yandaki þema bir otobüste Türkçe ve Ýngilizce bilenleri göstermektedir. Þemanýn hangi bölgesi “Türkçe ve Ýngilizce bilmeyenleri” gösterir?
açýklamalý çözüm Konuþtuðumuz dilde “Türkçe ve Ýngilizce bilmeyenler” ifadesinin karþýlýðýný þema üzerinde bulmaya çalýþalým. Ýlk anda benim aklýma bu cümlenin karþýlýðýnýn Damla olduðu geliyor. Bu durumda bana “bu ifadenin olumsuzu nedir?” sorusu yöneltilirse doðal olarak “Türkçe ve Ýngilizce bilenler” cevabýný veririm. “Türkçe ve Ýngilizce bilenler” ise Berna’ya karþýlýk gelir. Halbuki olumsuz cümle, olumlu cümlenin belirttiðinin dýþýnda kalan herþeyi içerir. Bundan dolayý Türkçe ve Ýngilizce bilen sadece Berna ise, bilmeyenler Ali + Ceylin + Damla’yý içermeliydi. Türkçe’yi en iyi kullanan Türkçe öðretmenlerine þemadan “Türkçe ve Ýngilizce bilenleri gösteriniz” sorusu yöneltilirse mutlaka farklý cevaplar alýnacaktýr. Meselenin özü þu: köþetaþýný cevapsýz kalsýn, kafalar karýþsýn diye sordum. Sorun mantýkla ilgili deðil, kullanýlan dille ilgili. Yukarýda örneklendirildiði üzere, konuþulan dilden kaynaklanan problemler sembolik mantýðýn doðmasýna neden olmuþtur. Aristoteles’in ortaya koyduðu mantýk kurallarý 19. yüzyýla kadar egemenliðini sürdürmüþtür. Bu kurallarýn oluþturduðu sisteme klasik mantýk denilir. Klasik mantýk konuþulan dile baðýmlýdýr. Her dilde sözcüklerin farklý anlamlarý olduðu gibi, farklý sözcüklerin de eþ anlamlarý olabilir. Dolayýsýyla akýl yürütme, sözcüklere yüklenen anlamlara baðlý kalýr. Bundan dolayý, klasik mantýkta ayný varsayýmlar altýnda farklý sonuçlara varýlabilir. Klasik mantýk’ta görülen bu sakýncayý gidermek için Augustus De Morgan (1806 - 1871) ve George Boole (1815 - 1865) matematiksel yöntemlerin mantýða uygulanmasý için matematiksel mantýðý geliþtirdiler. Bu bölümde göreceðiniz matematiksel mantýk zaman zaman Boole Cebiri, Boole mantýðý, sembolik mantýk, simgesel mantýk, önermeler cebiri vb. adlarla anýlýr. 1.
3.
Aþaðýdakilerden hangisi diðerlerinden farklýdýr? A) Sembolik mantýk
Aþaðýdakilerden hangisi tümdengelim yönteminin adýdýr?
B) Matematiksel mantýk C) Boole Cebiri
A) Mantýk
D) Klasik mantýk
karekök özel
I. De Moivre II. De Morgan III. Boole Yukarýdakilerden hangileri modern mantýðýn geliþmesinde önemli rol oynamýþtýr? A) Yalnýz I
B) Yalnýz II D) I ve II
B) Boole Cebiri
D) De Morgan Kurallarý
E) Simgesel mantýk
2.
Bilimsel araþtýrma yöntemleri iki türlü akýl yürütmeye dayanýr: Tümevarým (induction) ve tümdengelim (deduction).
4.
C) Terim
E) Akýl
Belli koþullar altýnda ifadelerin (önermelerin) doðru veya yanlýþ olduðunu belirleyen bilim dalýdýr. Doðru akýl yürütmenin kurallarýný ortaya koyar. Bütün bilimlerin temel metodu olmakla kalmayýp elektrik devrelerinin, hesap makinalarýnýn, bilgisayarlarýn genel teorisi durumundadýr. Yukarýda anlatýlan bilim aþaðýdakilerden hangisidir? A) Elektronik
C) Yalnýz III
D) Fizik
E) II ve III
2
B) Elektrik
C) Mantýk E) Mekatronik D E
A C
1.2
mantýk
köþetaþý
Bisikletçi Kaya, bisiklet tekerleklerinin jantlarýnýn ortasýný ayna ile kaplayýp, jantýn merkezine de bir ampul takýyor. Bu büyük buluþu sayesinde karanlýkta bisikletin yan tarafýnda kalan çukurlarý görebiliyor. Iþýl ýþýl bir bisiklet yaratan Kaya, bu icadýna “tekerfar” ismini veriyor. Buluþu kýsa zamanda kabul görüp yaygýnlaþýyor. Tekerfar yandaki çukurlarý gösterdiðinden, bisikletçi Kaya Cuma günü önündeki bir çukura düþüp kolunu kýrýyor. Yukarýdaki paragrafta “tekerfar” sözcüðü aþaðýdaki anlam türlerinden hangisini kazanmýþtýr? A) Gerçek anlam
B) Mecaz anlam
C) Yan anlam
D) Terim anlam
E) Argo anlam
açýklamalý çözüm Yukarýda benimle dalga geçen yazar,
Terim: Bir bilim, sanat veya meslek dalýyla ilgili olup belirli bir öðretim modeli olarak “Modüler bir kavramý karþýlayan sözcüklerdir. Piramit Sistemi”ni geliþtirmiþtir. Bazen bir sözcük (sözcükler), bir bilim (sanat, meslek) dalýnda günlük konuþma dilindeki anlamýndan baþka bir anlam kazanýr, bazen de, bir sözcüðün, bir bilim dalýnda geçerli bir anlamý vardýr. Köþetaþýndaki paragrafta tekerfar bisikletçilik mesleðinde bir tekerlek aksesuarýnýn ismi olmuþtur. Bu terim bisikletçiler arasýnda bilineceðinden, anlatýlan aksesuarý satýn almak için bir çok söz söylemek yerine, tekerfar istemeniz yeterli olacaktýr. Bu kelime terim anlam kazanmýþtýr. Terimler bilimde kavramlara karþýlýk geldiðinden söz kalabalýðýný engeller ve net bilgi aktarýmýna yardýmcý olur.
1.
3.
Günlük hayatta içine mektup konulan kaðýt olarak bilinir. Bir dil bilgisi terimi olarak ise, “bir fiilin, bir sýfatýn anlamýný etkileyerek daha belirgin hale getiren sözcük” demektir. Yukarýda anlatýlan sözcük aþaðýdakilerden hangisidir? A) Evrak
B) Zarf
2.
Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi tanýmlý terimdir?
E) Mektup
A) Yanlýþ
B) Yaðmur D) Eðim
C) Debi
B) Nokta D) Çember
4.
Aþaðýdakilerden hangisi bir coðrafya terimi deðildir? A) Sis
“Kaya’nýn yaptýðý kaza ÖSS’den önceki Cuma meydana gelmiþtir.” Yazar
Matematiðin herhangi bir dalýndaki terim, kendinden önce tanýmlanmýþ baþka terimler yardýmýyla tanýmlanýr. Bu þekilde terimleri tanýmlanýþ sýrasýna koyarsak hepsinden önce gelen ve baþka terimlere dayalý olmayan terimlerin olmasý gereði ortaya çýkar. Bu terimlere ilkel terimler ya da tanýmsýz terimler denir. Diðer terimlere ise tanýmlý terimler denir.
karekök özel
D) Kutu
C) Sýfat
Modüler Piramit Sistemi tamlamasý eðitimde bir terim anlam kazanmýþ olabilir, ama benim ÖSS yi kazanmama yardýmcý olamamýþtýr. Bisikletçi Kaya
B) Alan D) Tatlý
3
E) Doðru
Aþaðýdakilerden hangisi bir matematik terimi deðildir? A) Daire
E) Far
C) Küme
C) Grup E) Yedi B
E D D
1.3
mantýk
köþetaþý I. II. III. IV. V.
4, bir doðal sayýdýr. 3 + 9 = 10 Günaydýn arkadaþlar. Okula gidelim. Soruyu çöz.
Yukarýdaki ifadelerden hangileri için doðru, hangileri için yanlýþ denilebilir?
açýklamalý çözüm I. ifade doðrudur, II. ifade yanlýþtýr. III. ifade bir dilek belirtir. IV. ifade bir istek belirtir. V. ifade emirdir. Dolayýsýyla III., IV. ve V. ifadelerin doðru veya yanlýþ olmasý söz konusu deðildir. Günlük yaþantýmýzda kullandýðýmýz bazý ifadeler doðru - yanlýþ olabilirken, bazýlarýnýn doðruluðundan ya da yanlýþlýðýndan bahsedilemez. Önerme: Doðru ya da yanlýþ bir hüküm bildiren ama ayný anda hem doðru hem de yanlýþ olmayan ifadelere denir. Köþetaþýndaki I. ve II. ifadeler birer önermedir, diðerleri önerme deðildir. Matematikte önermeler p, q, r, s gibi harflerle gösterilir.
1.
3.
Aþaðýdakilerden hangisi bir önermedir? A) Seni seviyorum.
“1 ve kendisinden baþka böleni olmayan 2 veya daha büyük doðal sayýlara asal sayý denir.” Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
B) Zil kaçta çalýyor? C) Bir tanem, nar tanem.
A) Asal sayý bir terimdir.
D) Okula gidelim.
B) Bir tanýmlama yapýlmýþtýr.
E) Bir yýl yedi aydýr.
C) Verilen cümle bir önermedir. D) Bir terim tanýmlanýrken baþka terimler kullanýlmýþtýr.
2.
Aþaðýdakilerden hangisi doðru önermedir? 4
A) 2 4
2
karekök özel
E) Önerme yanlýþtýr.
4.
p : ñ4 = 2 q:42 r :4+20
B) 5, 116 yý tam böler.
önermelerinden hangileri doðrudur?
C) 5 + 2 < 7
A) Yalnýz p
D) Çember tanýmsýzdýr. E) 9 dan küçük 9 doðal sayý vardýr.
B) Yalnýz q D) p ve r
4
C) p ve q E) p, q, r E
E
E
E
1.4
mantýk
köþetaþý p : Ankara, Türkiye’dedir. q:6–4=2 r :4+19 önermelerinden hangileri birbirine denktir?
açýklamalý çözüm Bir önerme doðru ise “doðruluk deðeri 1 dir” denir. Bir önerme yanlýþ ise “doðruluk deðeri 0 dýr” denir. Zaman zaman, Doðru D ile Yanlýþ Y ile gösterilir. Buna göre, köþetaþýndaki p önermesi doðru olduðundan doðruluk deðeri 1 dir ve p 1 ile ifade edilir. Ýki önermenin doðruluk deðeri birbirine eþit ise “bu iki önerme birbirine denktir (eþdeðerdir)” denir. p1 q1 r0 olduðundan p ile q önermeleri denktir ve p q ile gösterilir. Not: Her önerme kendisine denktir. 1.
3.
p : 4, asal sayý deðildir. q : 5, doðal sayýdýr.
q : Veli, Ali’den küçüktür.
r : –2, rasyonel sayý deðildir.
r : Selami, Ali’den küçüktür.
önermeleri için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) p 0
B) q 0 D) p q
p : Ali, Veli’den büyüktür.
Önermelerinden hangileri kesinlikle birbirine denktir?
C) r 1
A) p ve q
E) p r
B) p ve r
2.
karekök özel
D) Hiçbiri
p : At, bir hayvandýr. q : Hayvan, bir canlýdýr.
4.
E) Hepsi
pq qs s
r : Canlýlar ölür.
C) q ve r
0
Önermelerinden hangileri birbirine denktir?
olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
A) Yalnýz p ve q
A) p p
D) Hiçbiri
B) Yalnýz p ve r
C) Yalnýz q ve r
B) q D) p s
E) Hepsi
5
0
C) s 1 E) p 0 D E
A
E
1.5
mantýk
köþetaþý p, q, r gibi üç önermenin doðruluk tablosunu yapýnýz.
açýklamalý çözüm Bir önermenin doðru veya yanlýþ diye nitelenmesine o önermenin doðruluk deðerleri; doðruluk deðerlerinin gösterildiði tabloya da doðruluk deðerleri tablosu veya kýsaca doðruluk tablosu denir. n
n tane önermenin doðruluk tablosu 2 satýrdan oluþur. Sistemli n
tablo oluþtururken sütun sütun çalýþýlýr. Ýlk sütunda 2 satýrýn yarýsý 1, diðer yarýsý 0 yapýlýr. Ýkinci sütunda bu sayýlar yarýya indirilerek çalýþýlýr. Buna göre,
p 1 1 0 0
p 1 0 Bir önermenin doðruluk tablosu
1.
p 1 1 1 1 0 0 0 0
q 1 0 1 0
Ýki önermenin doðruluk tablosu
3.
C) 12
D) 16
E) 32
p, q, r gibi üç önermenin doðruluk tablosunda kaç tane 1 vardýr? A) 4
B) 8
C) 10
D) 12
E) 16
karekök özel
B) 8
r 1 0 1 0 1 0 1 0
Üç önermenin doðruluk tablosu
4 farklý önermenin doðruluk tablosu kaç satýrdan oluþur? A) 4
q 1 1 0 0 1 1 0 0
Doðruluk tablosundaki satýrlarýn iki tabanýnda yazýldýðý kabul edilirse satýr numarasý bulunabilir. Örneðin; 3. tablodaki (101) satýrý on tabanýna çevrilince (101)2 = 5 olur ki bu sayýya 1 eklenerek alttan 6. satýrda olduðu bulunur.
4. 2.
p, q, r, s gibi dört önermenin üçünün doðru, birinin yanlýþ olduðu kaç durum vardýr? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
p, q, r, s gibi dört önermenin düzgün bir doðruluk tablosunda sýrasýyla 1, 1, 1, 0 deðerlerini içeren satýr yukarýdan aþaðý kaçýncý satýrdýr? A) 1
B) 2
C) 4
D) 7
E) 15
(Ýpucu: 2 tabanýndaki deðeri neyi verir?)
E) 8
6
D D D B
1.6
mantýk
köþetaþý p:3<x q:4+1=5 r : Ay, dünyadan küçüktür. s : Türkiye, Ýspanya’yý yendi. t : Kaya, ayvayý yedi. önermelerinin deðillerini bulunuz.
açýklamalý çözüm DEÐÝLÝN DEÐÝLÝ
p önermesinin deðili (olumsuzu) p veya ~p veya ¯p ile gösterilir. Bir önermenin deðili, hükmünün dýþýndaki tüm durumlarý içerir.
(p) p
p : (3 = x veya 3 > x) q : 4 + 1 5 yani q : (4 + 1 > 5 veya 4 + 1 < 5) r : Ay, dünyadan daha küçük deðildir (Ay dünyaya eþittir veya büyüktür).
p
p
(p)
1
0
1
0
1
0
s : Türkiye Ýspanya’yý yenmedi (Bu cümlenin anlamý içinde beraberlik de var yenilgi de). t : Kaya, ayvayý yemedi. 1.
3.
p : Ali, Veli’den küçüktür.
p, q ve r önermeleri birbirine denktir.
önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisidir?
Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur?
A) Veli, Ali’den küçüktür.
A) p r
B) Ali, Veli’den büyüktür.
C) (p) q
B) q r D) (q) r
E) (p) r
C) Veli, Ali’den büyüktür. D) Ali ile Veli akrandýr.
2.
p
p ¯
(~¯ p)
1
x
y
0
z
t
karekök özel
E) Ali ile Veli akran veya Ali, Veli’den büyüktür.
Yukarýdaki tabloda x, y, z, t nin sayýsal deðerleri için 2x – y + 3z – 2t iþleminin sonucu kaçtýr? A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
4.
p(n) = “n kere deðili alýnan p önermesinin doðruluk deðeri” p 1 ve r 0 olduðuna göre, p(17) + r(8) kaçtýr? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
E) 2
7
E D D A
1.7
mantýk
köþetaþý p 0 ve q 1 olduðuna göre, (p q ) (p q) önermesinin doðruluk deðeri nedir?
açýklamalý çözüm Ýki ya da daha fazla önerme (veya), (ve) , (ise) , (ancak ve ancak) iþlemleriyle (baðlaçlarýyla) birbirine baðlanýnca bileþik önermeler oluþur. Bu köþetaþýnda ve iþlemlerini göreceðiz. Ýlkokulda toplama iþlemi için alýþtýrmalar yaptýðýmýz gibi þimdi de ve iþlemleri için alýþtýrmalar yapacaðýz. Bu iþlemler aþaðýdaki gibi tanýmlýdýr. 1 1
1 1
1 0
1 0
0 1
0 1
0 0
0 0
Kýsaca; “” iþlemine girenlerden en az biri 1 ise, sonuç 1 olur. “” iþlemine girenlerden en az biri 0 ise, sonuç 0 olur. Buna göre, köþetaþýný çözelim: (p q ) (p q) (1 1 ) (0 1) 1 1 1 1.
3.
(1 0) (1 (0 1)) iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisine eþittir? A) 0 D) 1 1
q : Adana, Akdeniz bölgesindedir. r : Türkiye, Mýsýr’ýn komþusudur.
C) 1 1
B) 1
p : Ýstanbul, Türkiye’nin baþkentidir.
önermeleri veriliyor.
E) 1 0
Buna göre, aþaðýdaki bileþik önermelerden hangisinin doðruluk deðeri 0 dýr? A) p q
B) q r
karekök özel
D) (p q) r
2.
4.
C) (p r) E) (p q) r
(p 1) (q 1) 0
Aþaðýdakilerden hangisinin sonucu 1 dir?
denkleminin çözümü için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur?
A) [1 (0 1)] 0
B) 0 [1 (1 0)]
A) p 1 , q 1
B) p 0 , q 0
C) (1 0) (1 1)
D) (1 0) (1 0)
C) p 0 , q 1
D) p 1 , q 0
E) (1 0) (0 0)
E) Çözümü yoktur
8
A D D E
1.8
mantýk
köþetaþý (p q) (r p) önermesinin doðruluk tablosunu yapýnýz.
açýklamalý çözüm 3
Üç farklý önerme olduðundan doðruluk tablosu 2 = 8 satýrdan oluþur. Tablo sütun sütun doldurulur. Ýlk sütunun yarýsý 1, yarýsý 0 dýr. Ýkinci ve üçüncü sütunda 1 ve 0 sayýlarýnýn yarýya indiðine dikkat ediniz. Tablosu yapýlacak önermenin her parçasý için bir sütun açýldýðýna dikkat ediniz. Önceki köþetaþýndaki kurallarla iþlem yapýlýr.
1.
p
q
r
p
p q
(p q)
rp
(p q) (r p)
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
3.
(p q) (r p) önermesinin doðruluk tablosunu yapýnýz.
p
q
p
1
1
y
1
0
x
1
0
0
pq
p (p q)
t z
Yukarýdaki tabloda x, y, z, t nin sayýsal deðerlerinin toplamý kaçtýr?
2.
(p q) p önermesinin doðruluk tablosunu yapýnýz.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
karekök özel
A) 0
4.
p (p q) önermesinin aþaðýdakilerden hangisine denk olduðunu tablo yaparak bulunuz. A) p
9
C) p q
B) q D) p q
E) p q B C
1.9
mantýk
köþetaþý p (q r) (p q) (p r) denkliðini tablo yaparak gösteriniz.
açýklamalý çözüm p 1 1 1 1 0 0 0 0
q 1 1 0 0 1 1 0 0
r 1 0 1 0 1 0 1 0
qr 1 1 1 0 1 1 1 0
pq 1 1 0 0 0 0 0 0
pr 1 0 1 0 0 0 0 0
p (q r) (p q) (p r) 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabloda görüldüðü gibi p (q r) önermesi (p q) (p r) önermesine denktir. iþleminin iþlemi üzerine daðýlma özelliðinin var olduðunu gördük. Aþaðýdaki özelliklere dikkat ediniz.
1.
1)
p (q r) (p q) (p r) daðýlma özelliði
2)
p (q r) (p q) (p r) daðýlma özelliði
3)
p q q p deðiþme özelliði
4)
p q q p deðiþme özelliði
5)
(p q) r p (q r) birleþme özelliði
6)
(p q) r p (q r) birleþme özelliði
3.
p (q r) (p q) r denkliðini tablo yaparak gösteriniz.
p (q r) (p q) (p r) denkliði ile aþaðýdakilerden hangisi benzerdir? A) 2 + 5 = 5 + 2 B) 2 + (5 + 7) = (2 + 5) + 7
2.
p (q r) (p q) (p r) denkliðini tablo yaparak gösteriniz.
karekök özel
C) 2 + (5.7) = 2 + 35 D) 4.(5 + 7) = (4.5) + (4.7) E) 2.5.7 = (2 + 5).(2.5)
4.
pq1 pr0 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi p (q r) önermesine denktir? A) 0
10
B) 1
C) r
D) p
E) p r D B
1.10
mantýk
köþetaþý (p q) (p q) önermesinin en sade þeklini 1) tablo ile 2) önermeler cebirinden (önerme özellikleri) ile bulunuz.
açýklamalý çözüm 1)
p
q
q
p q (p q) p q
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
FARK ET ÖNEMLÝ
(p q) (p q)
p p 0 p p 1 p00 p11 ppp
q nun sütunu ile (p q) (p q) önermesinin sütununun eþit olduðunu fark ediniz.
ppp
Demek ki (p q) (p q) q olur.
p0p
p1p
2) De Morgan Kurallarý p q (p q) p q (p q) Bu kurallarý uygularsak (p q) (p q) (p q) (p q) (p p) q (daðýlma özelliðinden) 1qq 1.
3.
p (¯ q q)
(p q) [(p q) p]
önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir?
önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir?
A) 0
A) 0
C) p
D) q
E) ¯ p
B) 1
C) p
D) p
E) q
karekök özel
B) 1
2.
4.
p (p q) önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir? A) 0
B) 1
C) p
D) q
[(p q) (p q)] p önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir?
E) p q
A) 0
11
B) 1
C) p
D) q
E) p q C E D B
1.11
mantýk
köþetaþý [(p q) q] (p q) önermesinin bir çeliþki olduðunu gösteriniz.
açýklamalý çözüm Bir bileþik önerme, bileþenlerinin bütün doðruluk deðerlerine karþýlýk daima 1 (doðru) deðerini alýyorsa bu bileþik önermeye totoloji, daima 0 (yanlýþ) deðerini alýyorsa çeliþki denir. Örneðin; p p 1 bileþik önermesi totolojidir. p p 0 bileþik önermesi bir çeliþkidir. p 0 0 bileþik önermesi bir çeliþkidir. p 1 1 bileþik önermesi totolojidir. Köþetaþýndaki önermenin çeliþki olduðu tabloyla gösterilebilir. Ancak, bu köþetaþý totoloji ve çeliþkiyi anlatmanýn yanýnda önermeler cebrini geliþtirmek için yazýldý. Yukarýdaki dört örneðin yanýnda önceki köþetaþýnda da verilen p1p,
p0p,
ppp,
ppp
denkliklerini bilmelisiniz. Þimdi köþetaþýný çözelim. [(p q) q] (p q) [(p q) q] (p q) [(p q) (q q)] (p q) [(p q) 0] (p q) (p q) (p q)
(p q r olsun)
r r 0 1.
3.
Aþaðýdakilerden hangisi totoloji deðildir? A) p 1 C) (p p) q
Aþaðýdakilerden hangisi çeliþkidir?
B) p p
A) p p
D) (p q) q
C) p (p q)
2.
D) p (p q) E) (p p) q
karekök özel
E) (p q) (p q)
B) p 1
I. p (p q) II. p (p q)
4.
(p q) (p q)
III. [(p q) (p q)] p
önermesi için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur?
Yukarýdaki önermelerden hangileri totolojidir?
A) p ye denktir.
B) q ya denktir.
A) Yalnýz I
C) (p q) ya denktir.
D) Çeliþkidir.
B) Yalnýz II D) I ve II
C) Yalnýz III
E) Totolojidir.
E) I ve III
12
D E
E
E
1.12
mantýk
köþetaþý (1 0) [0 (1 0)] iþleminin sonucu nedir?
açýklamalý çözüm (ise)” baðlacýdýr. Bileþik önerme üreten baðlaçlardan (iþlemlerden) biri de “ p q önermesi “p ise q” þeklinde okunur ve aþaðýdaki gibi tanýmlýdýr. 111
FARK ET
100
p q önermesi
011
p 1 ve q 0 iken yanlýþ, diðer durumlarda doðru kabul edilir.
001 Köþetaþýnýn çözümü: (1 0) [0 (1 0)] 0 (0 0) 01 1 1.
3.
(0 1) (1 0)
A) 0 D) 0 0
önermeleri veriliyor.
C) 1 0
B) 1
p : Ýstanbul, Türkiye’dedir. q : Ýstanbul baþkenttir.
iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
Buna göre, aþaðýdaki bileþik önermelerden hangisinin doðruluk deðeri 0 dýr?
E) 1 0
A) p q
B) p q E) q p
D) q p
2.
Aþaðýdakilerden hangisinin sonucu 0 dýr?
karekök özel
4.
C) p q
(p q) (p r) 0 olduðuna göre, p, q, r önermelerinin doðruluk deðerleri aþaðýdakilerin hangisinde doðru verilmiþtir? p _________
q _________
r _________
A)
1
1
1
B) (1 0) (1 0)
B)
1
1
0
C) 1 (0 1)
C)
1
0
1
D) (1 1) 1
D)
0
1
1
E) (0 0) (0 1)
E)
0
0
1
A) (1 0) (1 0)
13
B
E C B
1.13
mantýk
köþetaþý pq,
qp,
p q ,
q p
önermelerinin doðruluk tablolarýný yapýnýz.
açýklamalý çözüm p
q
p
q
pq
qp
p q
q p
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
p q önermesinin karþýtý : q p tersi : p q karþýt tersi : q p Tablodan p q q p ve q p p q olduðunu fark ediniz. Bir örnek daha: “Bir üçgenin iç açýlarý eþ ise kenarlarý eþittir.” önermesinin karþýtý : “Bir üçgenin kenarlarý eþit ise açýlarý eþtir.” tersi : “Bir üçgenin açýlarý eþ deðilse kenarlarý eþit deðildir.” karþýt tersi : “Bir üçgenin kenarlarý eþit deðil ise açýlarý eþ deðildir.”
1.
3.
“Hava güneþli ise sýcaktýr.” önermesinin karþýt tersi aþaðýdakilerden hangisidir?
Aþaðýdakilerden hangisi diðerlerine denk deðildir? B) q p
A) p q
A) Hava sýcak ise güneþlidir.
D) p q
B) Hava sýcak deðil ise güneþlidir.
C) (p q) E) p q
C) Hava sýcak deðil ise güneþli deðildir. D) Hava güneþli deðil ise sýcak deðildir.
karekök özel
E) Hava güneþli deðil ise sýcaktýr.
2.
Aþaðýdakilerden hangisi p q önermesine denktir? A) p q
C) q p
B) q p D) p q
4.
Aþaðýdakilerden hangisi totoloji deðildir? A) p 1
E) p q
B) p 1 D) p p
14
C) 0 p E) 1 p C B
E
E
1.14
mantýk
köþetaþý (p q) (p q) önermesinin doðruluk deðerini tablo yapmadan bulunuz.
açýklamalý çözüm DEÐÝL MÝ AMA!
Bu köþetaþýnda “” baðlacýnýn en önemli özelliði olan
(p q) (p q)
p q p q
p q
baðýntýsýný uygulayacaðýz. Bu özelliðin yardýmýyla aþaðýdaki özellikleri kolayca çýkarabileceksiniz. pp1
p 0 p
p11
p p p
0p1
1pp
ÝNDÝRGENMÝÞ ÞEKÝL Bir önermedeki ““ ve ““ baðlaçlarýnýn ortadan kaldýrýlýp (sadeleþtirilip) “” ve ”” baðlaçlarýyla ifade edilmesidir.
Köþetaþýnýn çözümü: (p q) (p q) (p q) (p q)
(p q r olsun.)
r r 0 1.
3.
(p q) (p q) önermesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir? B) 1
C) p
D) q
önermesinin tam indirgenmiþ þekli aþaðýdakilerden hangisidir?
E) p
A) 0
karekök özel
A) 0
2.
p (q p)
B) 1
C) p
D) q
4.
B) 1
C) p
D) q
E) p
[q (q p)] (q p) önermesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisidir?
önermesinin indirgenmiþ þekli aþaðýdakilerden hangisidir? A) 0
[p (p q)] (p q)
A) 0
E) p
D) p
15
C) q
B) p
q
p
E) q B
B C C
1.15
mantýk
köþetaþý (1 0) [(0 1) 1] iþleminin sonucu nedir?
açýklamalý çözüm Ancak ve Ancak Baðlacý: p q koþullu önermesi ile karþýtý olan q p önermesinin “” baðlacý ile baðlanmasý sonucu oluþan bileþik önermeye iki yönlü koþullu önerme denir.
FARK ET
iþleminde farklý deðerler 0 sonucunu çýkarýyor.
(p q) (q p) p q p q ifadesi “p ancak ve ancak q” biçiminde okunur ve aþaðýdaki gibi tanýmlýdýr. 111 100 010
ÝÞLEMÝNDE DEÐÝÞME ÖZELLÝÐÝ VARDIR pqqp
001 Köþetaþýnýn çözümü: (1 0) [(0 1) 1] 0 (1 1) 1 1 1
1.
3.
[(p q) q] (q p)
2.
(1 1) [(0 1) 1) önermesinin doðruluk deðerini hesaplayýnýz.
karekök özel
önermesinin totoloji olduðunu tablo yaparak gösteriniz.
4.
Aþaðýdakilerden hangisinin doðruluk deðeri 1 dir? A) (1 0) (0 1) B) (0 1) (1 0)
p 0 ve q 1 olduðuna göre,
C) [(1 (1 0)] (1 0)
(p q) (p q)
D) [(1 0) 1] (0 1)
önermesinin doðruluk deðerini bulunuz.
E) 1 (1 0)
16
1
1
C
1.16
mantýk
köþetaþý [((p q) r) ((q r ) r )] [(p q) (q p)] önermesinin en sade þeklini bulunuz.
açýklamalý çözüm Þu ana kadar öðrendiðimiz tüm matematik kurallarýndan yararlanarak tablo yapmadan sadeleþtirme yapacaðýz. Örneði uzun ve zor seçmemizin sebebi emek veren öðrencinin her türlü kuralý fark edebilmesini istememizdir. [((p q) r) ((q r ) r )] [(p q) (q p)] [((p q) r) ((q r ) r )] [(p q) ((q p) (p q)] [((p q) r) ((q r ) r )] [(p q) ((q p) (p q)] [((p q) r) ((q r) r)] [(p q) ((q p) (p q)] [(p q r) (q r r)] [[(p q) (q p)] [(p q) (p q)]] [(p q r) (q 1)] [[(p q q p] [p q p q]] [(p q r) 1] [(q 1) (p 1)] 1 [1 1] 1 1 1 1.
3.
(q p) (q p) önermesinin en sade þekli aþaðýdakilerden hangisine denktir?
2.
B) 1
C) p
D) q
önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir? A) p q
E) p
(0 p) (p q)
4.
önermesinin indirgenmiþ hali aþaðýdakilerden hangisidir? A) 0
E) (p q)
(p q) önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir?
C) p q
B) 1 D) p q
C) p q
B) p q D) q p
karekök özel
A) 0
p q
A) p q
E) p q
B) p q D) p q
17
C) p q E) p q B C B
B
1.17
mantýk
köþetaþý (p q) (p q) önermesinin deðilini bulunuz.
açýklamalý çözüm Þu ana kadar öðrenilen tüm özellikler kullanýlacaktýr. Özellikle de De Morgan kurallarý önemli rol oynayacaktýr. (p q) (p q) önermesini önce sadeleþtirelim. (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) p q Verilen önermeyi sadeleþtirdiðimize göre, artýk çýkan önermenin deðilini alabiliriz. (p q) p q
1.
3.
[(q p) q] p önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisine denktir? B) 1
C) p
D) q
önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisine denktir?
E) q
2.
[(p q) q] q
B) 1
C) p
D) q
4.
C) q
D) 1
E) 0
[((q r) p) (q r)] [p (q r)] önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir?
önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisine denktir? A) 0
B) p
A) p
karekök özel
A) 0
[(q p) q] (p q)
A) p
E) q
B) p
C) q
D) r
E) 1
(Ýpucu: Bu soru 3. sorudaki q önermesinin yerine q r yazarak elde edildi.)
18
A
A
E
E
1.18
mantýk
köþetaþý p (q r) 0 olduðuna göre, (p q) [r (p q)] bileþik önermesinin doðruluk deðeri nedir?
açýklamalý çözüm Bu tip sorularda doðruluk deðeri verilen önerme irdelenir. Bu araþtýrma sonucunda elde edilen deðerler istenende yerine yazýlýr. p (q r) 0 denkliðini irdeleyelim. “” baðlacýnda birinci bileþen 1, ikinci bileþen 0 olduðunda sonuç 0 olacaðýndan p 1, q r 0 bulunur. “ “ baðlacýnda her iki bileþen de 0 olduðunda sonuç 0 olacaðýndan q 0, r 0 bulunur. Bulunan deðerleri (p q) [r (p q)] önermesinde yerine yazalým. (1 0) [0 (1 0)] (0 0) [0 (1 1)] 0 (0 1) 00 1 1.
3.
(p q) q 1 olduðuna göre, (p q) q önermesi aþaðýdakilerden hangisine denk deðildir? A) p
B) q
C) p
D) p q
(~p q) ~r 0 ~(s t) u 1 denkliklerinde verilen p, q, r, s, t, u önermelerinin kaç tanesinin doðruluk deðeri 1 dir?
E) p q
2.
karekök özel
A) 2
~(p q) ~r 1 olduðuna göre, p, q, r önermelerinin doðruluk deðerleri sýrasýyla aþaðýdakilerden hangisidir? A) 1, 1, 1
B) 1, 1, 0 D) 1, 0, 0
4.
B) 3
C) 4
[(p q) (t (p r))] 1 olduðuna göre, p, q, r, t önermelerinin doðruluk deðerleri sýrasýyla aþaðýdakilerden hangisinde verilmiþtir? B) 1, 1, 0, 0
C) 0, 0, 1, 0
E) 0, 1, 0
E) 6
pq0
A) 1, 1, 1, 1
C) 1, 0, 1
D) 5
D) 0, 0, 0, 1 E) 0, 0, 1, 1
19
C D B D
1.19
mantýk
köþetaþý p(x) : 3 x < 8, x Z açýk önermesinin doðruluk kümesini yazýnýz.
açýklamalý çözüm Açýk önerme: Ýçinde en az bir deðiþken bulunduran ve bu deðiþkenin aldýðý deðere göre doðruluðu ya da yanlýþlýðý ortaya çýkan önermelere denir. Açýk önermeyi doðru yapan deðerlerin kümesine de doðruluk kümesi denir. Genellikle D ya da Ç ile gösterilir. p(x) : 3 x < 8, x Z açýk önermesinin doðruluk kümesi D olsun. D = {3, 4, 5, 6, 7} Bu tür sorularda tüm matematik bilgilerinizi karþýnýza çýkarabilirler, þöyle ki: q(x) : 17 x < 117, x = 3n, n N açýk önermesinin doðruluk kümesinin eleman sayýsýný bulalým. n N iken 3n ifadesi 3 ün katý anlamýna gelir. Demek ki 17 ile 117 arasýnda kalan ve 3 e tam bölünen doðal sayýlarýn adedi isteniyor.
ÇOK DEÐÝÞKENLÝ AÇIK ÖNERMELERÝN GÖSTERÝMÝ Açýk önermede x, y, z gibi üç deðiþken varsa p(x, y, z) þeklinde gösterilir. Doðruluk kümesinin elemanlarý da (x, y, z) biçimindedir. AÇIK ÖNERMENÝN DEÐÝLÝ 2
p(x) : x + 1 = 5 önermesinin deðili 2
p(x) ¯ :x +15
Bu sayýlar: 18, 21, 24, ......... , 114 tür. q(x) : x < 7 önermesinin deðili
114 18 1 33 tür. 3
Bunlarýn sayýsý da
q(x) ¯ :x7
(Bakýnýz MPS, Matematik 1) p(x) : x + 1 = 17 , x R
p(x) : 20 < x 180, x = 5n, n N
önermesinin doðruluk kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
önermesinin doðruluk kümesinin eleman sayýsý kaçtýr?
A) {0}
A) 28
B) {–1, 1}
C) {–4, 4}
2
2
4.
önermesinin doðruluk kümesindeki (x, y) ikilisi aþaðýdakilerden hangisidir? B) (3, 1) D) (–1, 3)
C) 30
D) 31
E) 32
E) {1, 17}
p(x, y) : (x – 3) + (y + 1) = 0, x R, y R
A) (1, 3)
B) 29
karekök özel
D) {4}
2.
3.
2
1.
p(x) : |x + 1| > 5, x Z önermesinin deðilinin doðruluk kümesi kaç elemanlýdýr?
C) (3, –1)
A) 5
E) (0, –2)
20
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
C C E D
1.20
mantýk
köþetaþý I. xN,
p(x): 3 x 5
II. xN, p(x): 3 x 5 III. xN, p(x): 3 x 5 önermelerinden hangisi için “kesinlikle doðrudur” denebilir?
açýklamalý çözüm “Bazý” niceleyicisi (varlýksal niceleyici): Ýsminden de anlaþýlacaðý gibi “bazý” anlamýnda kullanýlýr. “” ile gösterilir. x ifadesinden “bazý x deðerleri için” ya da “en az bir x deðeri vardýr” anlaþýlýr. “Her” niceleyicisi (evrensel niceleyici): “Her” anlamýnda kullanýlýr, “” ile gösterilir. x ifadesinden “her x deðeri için” ya da “tüm x deðerleri için” anlaþýlýr. Köþetaþýnýn çözümü: I. önerme için kesinlikle doðrudur ya da yanlýþtýr diyemeyiz. Eðer x{3, 4} olursa doðrudur, aksi durumda yanlýþtýr deriz. II. önerme için kesinlikle doðrudur diyebiliriz. Önerme “3 x < 5 koþulunu saðlayan en az bir doðal sayý deðeri vardýr” anlamýný taþýmaktadýr ki bu da doðrudur. III. önerme için yanlýþtýr diyebiliriz. 3 x < 5 koþulunu tüm doðal sayýlarýn saðladýðýný iddia ediyor ki, bu yanlýþtýr. DÝKKAT: II. önermenin doðru olmasý için sadece bir x deðeri yeterken, III. önermenin yanlýþlýðý için yine sadece bir x deðeri yetmektedir. 1.
3.
2
I. x R, p(x): x + 25 = 0 2
II. x N, p(x): x – 25 = 0 III. x N, p(x): x
A) Bazý insanlar Kayserilidir.
0
B) Her insan gýda alýr. C) Her insan okuma - yazma bilir.
önermelerinden hangileri doðrudur? B) Yalnýz II D) I ve II
2.
E) Bazý insanlar okula gitmez.
E) II ve III
Aþaðýdaki önermelerden hangisi yanlýþtýr? A) x R, p(x): |x| = ñ2
D) Bazý insanlar gýda alýr.
C) Yalnýz III
karekök özel
A) Yalnýz I
Aþaðýdakilerden hangisi yanlýþ bir önermedir?
4.
Aþaðýdaki önermelerden hangisinde k nýn yerine yazýldýðýnda doðru, yazýldýðýnda yanlýþ önerme elde edilir? A) kx N, p(x): 2 < x < 3
B) x Z, p(x): x = 2n, n R
B) kx N, p(x): x – 2 = 0
C) x N, p(x): 2 x < 3
C) kx Z, p(x): x – 2 0
D) x N, p(x): x 0
D) kx R, p(x): x = –1
2
2
E) x R, p(x): x – 2x = 0
2
E) kx R, p(x): x –1
21
E
E C B
1.21
mantýk
köþetaþý 2
I. xN, p(x): x 5
II. xR, p(x): x 0
III. xR, p(x): x + 1 = 4
IV. xN, p(x): |x| 4 2
2
V. (xR, x x) (xR, x > 0) önermelerinin deðilini bulunuz.
açýklamalý çözüm Niceleyici bulunduran önermelerin deðilleri için kural þudur: x, p(x)] x, p(x) [ x, p(x)] x, p(x) [ Buna göre, köþetaþýndaki önermelerin deðillerini alalým. 2
II. xR, p(x): x 0
I. xN, p(x): x 5 veya x = 5 III. xR, p(x): x + 1 4
IV. xN, p(x): |x| 4 2
2
V. (xR, x x) (xR, x 0) Bir örnek daha: “Bazý insanlar okuma - yazma bilir” önermesinin deðili “Her insan okuma yazma bilmez” önermesidir. Bu önermeyi biraz daha açýk Türkçeyle yazarsak “Hiçbir insan okuma - yazma bilmez” olur. Bir önermenin doðruluk deðeri ile deðilinin doðruluk deðerinin zýt olmasý gerektiðini unutmayýnýz.
2.
3.
xR, p(x): |x – 2| = 5
(x, x = 5) (y, y 7)
önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisidir?
önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisidir?
A) xR, p(x): |x – 2| 5
A) (x, x 5) (y, y 7)
B) xR, p(x): |x – 2| < 5
B) (x, x 5) (y, y 7)
C) xR, p(x): |x – 2| 5
C) (x, x 5) (y, y 7)
D) xR, p(x): |x – 2| < 5
D) (x, x 5) (y, y 7)
E) xR, p(x): |x – 2| > 5
E) (x, x 5) (y, y 7)
Aþaðýdaki önermelerden hangisinin deðilinin doðruluk deðeri 1 dir?
karekök özel
1.
2
A) xR, x < 0
4.
“Her insan uçar ve bazý kuþlar yürür” önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisidir? A) Her insan yürür ve bazý kuþlar uçar. B) Her insan yürür veya bazý kuþlar uçar.
B) xR, 1 < x
C) Bazý insanlar uçar veya her kuþ yürümez.
C) xN, x > –1
D) Bazý insanlar uçmaz veya her kuþ yürümez.
D) xZ, x – x = 0
E) Bazý insanlar uçmaz ve her kuþ yürümez.
E) xZ, x < 0
22
C A
B D
AKSÝYOM VE TEOREM Bu iki kavramý anladýðýmda “deðermiþ” dedim! Matematik, aksiyomlarýn ve teoremlerin bir silsilesidir. Silsile kelimesini kullanmamýn sebebi aksiyom ve teoremlerin birbirleriyle ilintili olmasýdýr. Matematikte yanlýþ yoktur, her kuralý doðrudur. Bir çoðumuza karmaþýk gelen bu yapý nasýl oluyor da yanlýþlardan uzak tutulabiliyor? Yanlýþlardan uzak olmasýnýn nedeni, kurallarýn matematik silsilesine dahil edilmeden önce ispatlanmasýdýr. Pekala, ispat nedir? Ýspat, p q biçimindeki bir önermede p hipotezi doðru iken q hükmünün doðru olduðunu göstermektir. Burada önemli olan p nin doðru olmasýdýr. p de daha önce doðruluðu ispatlanmýþ bir hükümdür, t p gibi. Demek ki bir kuralýn sebebi (hipotezi) matematikçiye sorulduðunda daha önce ispatý yapýlmýþ kurallardan, sebebi söyleyebilir. Matematikçi bir kuralýn ispatýný baþka bir kurala dayandýrýnca, “dayanak olan kuralýn da ispatý nedir?” sorusu ona yöneltilse onun da ispatýný yapar. Bu sorular peþ peþe devam ettirilirse, her teoremi baþka bir teoreme dayandýrýr (Bu arada teoremin ispatlanabilir kural olduðunu anladýnýz sanýrým). Pekala, bunun sonu gelmeyecek mi? Elbette, bunun sonu gelecek ve matematikçi, – hooop! sen de burada dur diyecektir. Ýþte! Matematikçinin sen de dur dediði kural, aksiyomdur. Aksiyom’un ispatý olmaz, ilk söylendiðinde doðru kabul edilir. Bu nokta akýl yürütmenin durduðu noktadýr. Baþka bir deyiþle bu nokta akýl yürütmenin baþladýðý noktadýr. Örneðin sayýlar teorisi, Peano aksiyomlarý denen üç aksiyoma (postulaya) dayanýr. Lise boyunca okuduðumuz geometri, Öklit’in beþ aksiyomuna dayanýr. Bunun anlamý; öðrendiðiniz tüm kurallar, Öklit’in beþ aksiyomundan akýl yürütme ile çýkarýlmasýdýr. Günümüzde Öklit’in paralellik aksiyomu deðiþtirilerek kurallarý daha baþka iþleyen yeni geometriler üretilmiþtir. Matematik uygun (açýk) aksiyomlarýn üzerine akýl yürütme ile kurallar koyma (sistem kurma) iþidir. Aksiyom, matematikçinin inanç esasýdýr. Ýspatsýz olarak doðru kabul ettiði bu esaslarýn üzerine, sistemini kurmak da matematikçinin uðraþýdýr. Bu noktada insanlarýn farklý inançlarýnýn olmasýnýn makul olduðunu fark ediyorsunuz. Hatta inançlarý birbiriyle tamamen zýt olabilir de. Ve, inandýklarý þeyin doðruluðunu ispatlamalarýný insanlardan isteme hakkýmýzýn olmadýðýný da fark ediyorsunuz. Ancak, insanlar inançlarý doðrultusunda bir yaþam þekli oluþtururken, inançlarýyla tutarlý olmalarý gerekmektedir. En azýndan bireysel olarak olmasa bile, oluþturulan yapý tutarlýlýðýný korumalýdýr. Matematikçi tutarlýlýk ve çeliþkileri fark edendir, inançlarý sabitleyen deðil. Bunu fark ettiðimde bir kaþýk bal için bu kadar keçi boynuzu yemeye deðermiþ dedim. Hoþgörü tüm inançlara, ancak tutarsýzlýklara matematik hoþ bakamaz. MUHARREM DUÞ Temmuz 2008, Aðva 23
TARAMA TESTÝ mantýk 1.
5.
Aþaðýdakilerden hangisi matematiksel mantýk yerine kullanýlamaz? A) Sembolik Mantýk
B) Boole Cebiri
C) Klasik Mantýk
D) Simgesel Mantýk
32 satýrdan oluþan bir doðruluk tablosunda kaç farklý önerme vardýr? A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
E) Önermeler Cebiri
2.
I. Çember II. Basýnç
6.
III. Düzlem IV. Ribozom
A) I – II
B) I – III D) II – III – IV
p:
qr
B) q r D) p r
C) p 0 E) q 1
C) II – III E) I – III – IV
12 3 4
q : 10 – 6 7 r:
p q,
A) p r
Yukarýdakilerden hangileri geometriye ait bir terimdir?
3.
(p) 1,
olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
7.
3 %16 25
Aþaðýdakilerden hangisinin doðruluk deðeri 0 dýr? A) [(1 0) 1] 1
B) [(0 0) 1] 0
C) (1 0) (0 0)
D) [1 (0 1)] (1 1)
Yukarýdaki önermelerden hangileri doðrudur? A) Yalnýz I
B) Yalnýz II
C) Yalnýz III
E) I – III
karekök özel
D) I – IV
E) [0 (1 1)] [1 (0 0)]
4.
p 1,
q r,
r 0,
8.
qt
olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) p q
B) p r D) t 0
p (r q) önermesinin doðruluk tablosu yapýldýðýnda son sütunda kaç tane 1 bulunur?
C) r t
A) 3
E) p t
24
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
mantýk 9.
13.
pq0 qr=1
Buna göre, p ve q önermeleri sýrasýyla aþaðýdakilerden hangisi olabilir?
olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisinin doðruluk deðeri 1 dir? A) (p q) r
B) q r
D) (p r ) p
10.
p önermesinin karþýt tersi, q önermesinin tersine denktir.
A) r t
C) p q
B) r t
r t
E) p r
C) r t
tr
tr
D) t r rt
E) r t r t
(p q) (p q) önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir? A) p q
B) p
14.
C) q
D) 1
p (p q) önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir?
E) 0
A) p q
B) p q
11.
Aþaðýdakilerden hangisi bir totolojidir? A) p p
B) (p q) q D) p q
15.
C) (p q) q
C) 0 E) p q
D) 1
[(1 0) 1] [(0 0) 1] önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir?
E) (p)q
A) 1 0
B) 1 0
C) 0 0 E) 0 0
karekök özel
D) 1 0
12.
(1 0) (0 1)
16.
önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir? A) 0 1
B) 1 1 D) 1 (0 1)
(p q) (p q) önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir?
C) 0 (1 0)
A) 1
E) 1 (0 0)
D) p q
25
C) p q
B) 0 E) p q
mantýk 17.
(p q) [(p q) q]
21.
2
xR, p(x): x + 1 = 10
önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir?
önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisidir?
A) p q
A) xR, p(x): x + 1 10
B) 1
2
C) 0
2
D) p
B) xR, p(x): x + 1 10
E) q
2
C) xR, p(x): x + 1 = 10 2
D) xR, p(x): x + 1 < 10 2
E) xR, p(x): x + 1 < 10
18.
(p q) r 0 r) önermesinin olduðuna göre, [(p r) q] (q doðruluk deðeri aþaðýdakilerden hangisinin doðruluk deðerine denktir? B) p q
A) p D) q
19.
C) q r E) pq
p(x): |x – 3| < 2, xN önermesinin doðruluk kümesinin eleman sayýsý kaçtýr?
20.
B) 4
C) 5
D) 6
Aþaðýdaki önermelerin hangisi yanlýþtýr?
E) 7
karekök özel
A) 3
A) xR, p(x): x > 1 B) xR, p(x): 4x = 0 C) xZ, p(x): x + 1 > 0 2
D) xR, p(x): x 0 E) xR, p(x): 2xZ
26
KONU TESTÝ - 1 mantýk 1.
6.
Aþaðýdakilerden hangisi bir önerme deðildir?
(p q) (p q)
A) Asude 19 aylýktýr.
önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir?
B) Kare, bir matematik terimidir.
A) 1
B) p
C) q
D) p
E) q
C) Düzlem, tanýmsýz matematik terimidir. D) 4 + 7 < 8 E) Asude, güzel bir kýz olacak.
7. 2.
3.
p1
Altý farklý önermenin doðruluk tablosu kaç satýrdan oluþur? A) 6
B) 12
C) 18
D) 64
olduðuna göre, (q r) [(r q) (p q)] önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir?
E) 72
A) 0
p doðru, q yanlýþ önerme olduðuna göre, aþaðýdaki bileþik önermelerden hangisi yanlýþtýr? A) p q
B) p q ¯ D) p ¯q
4.
8.
E) q ¯
C) 1
9. D) 0
C) r
D) p r
E) q r
(p q) r 0
A) 0
B) p
C) q
D) r
E) s
(p q) q 0 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisine eþittir? B) 0 ¯
B) 1
olduðuna göre, (p s) [(p q) (q r)] önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir?
C) p q
[1 (0 1)] ( 1 ¯ 0)
A) –1
(q r) p 1
B) p q
A) p q
E) 1 0
C) q E) p q
karekök özel
D) p q
5.
p (p q)
10.
önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisidir? A) 0
C) p q
B) 1 D) p q
(p q) (p q) bileþik önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisidir?
E) p q
A) 0
27
B) 1
C) q
D) p
E) q
mantýk 11.
p 0,
q 1,
16.
r0
olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) p q r
B) q r
D) p r
Aþaðýdakilerden hangisi totolojidir? A) p 0 D) p p
C) p q
E) p p
E) q r
17. 12.
C) p p
B) 1 p
p: xR, x – x = 0 q: xR,
(p r) q
olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur?
önermesinin karþýtý aþaðýdakilerden hangisidir? A) (p r) q
B) (p r) q
C) q (p r)
D) q (p r)
2
x <0 B) p q
A) p q
C) p q E) p
D) q p
E) q (p r)
18.
p q p q denkliði önermeler cebirinin önemli özelliklerindendir.
13.
p (q r)
p: “Asude sevimlidir” q: “Asude yaramazdýr”
önermesinin karþýt tersi aþaðýdakilerden hangisidir? A) p (q r)
Yukarýda verilen özellik ve önermeler kullanýldýðýnda q p önermesi aþaðýdakilerden hangisine denk olur?
B) (q r) p
C) (q r) p
D) (p q) r E) (p q) r
A) Asude sevimliyse, yaramazdýr. B) Asude sevimli deðilse, yaramazdýr. C) Asude yaramazsa, sevimlidir. D) Asude yaramaz deðilse, sevimlidir. E) Asude yaramazsa, sevimli deðildir.
14.
p 1, q 1, r 0 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi bir gerektirmedir? (p q önermesi doðru ise, gerektirmedir.) A) p r
B) q r D) (p q) r
19.
C) r p
(p q) (q p) önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisine denktir?
E) r (p q)
B) p
C) p
D) q
E) q
karekök özel
A) 1
15.
20.
p 1 ve q 0 iken aþaðýdakilerden hangisi bir çift gerektirmedir? (p q önermesi doðru ise, çift gerektirmedir.) A) p q
B) p q D) (p q) p
C) q p
Matematikte her kuralýn çýkýþ noktasý olan ve ispatý yapýlamayan doðruluðu kabul edilen en ilkel kurala ne ad verilir? A) Taným
E) (p q) q
B) Terim D) Teorem
28
C) Postula E) Önerme
KONU TESTÝ - 2 mantýk 1.
6.
p q 1 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisinin doðruluk deðeri 1 dir? B) p q
A) p q D) p 0
p 1 olduðuna göre, (p q) (p q) önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir? A) 0
C) p
B) 1
D) q
E) q
C) p q E) q p
7.
p (p q) önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisine denktir?
2.
A) p q
Dört farklý önermenin doðruluk tablosunda ikisinin doðru, ikisinin yanlýþ olduðu kaç satýr vardýr? A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
B) p q
C) p q
D) p q
E) p q
E) 10
8.
Aþaðýdakilerden hangisi totoloji deðildir? A) p (p p)
B) p (p p)
C) p (p p)
D) p (p p)
E) p (p p)
3.
p q önermesinin 10 kere deðili alýndýðýnda aþaðýdakilerden hangisine denk bir önerme elde edilir? A) p q
C) p q
B) p q D) p q
E) p q
9.
(p q) (p q) önermesinin 7 kere deðili alýndýðýnda aþaðýdakilerden hangisine denk olur? A) 0
4.
B) 1
D) q
C) p
E) p q
(p q) (p q) önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir? A) 0
B) 1
D) p
C) p
E) q 2
10.
(x 2) (x 9) önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisidir? 2
B) (x 2) (x 9)
2
2
D) (x 2) (x 9)
A) (x 2) (x 9)
p
q
1
1
1
0
0
1
0
0
p q
karekök özel
5.
p q z
x t
2
E) (x 2) (x 9)
11.
y
2
C) (x 2) (x 9)
upq wpq
Yukarýdaki tabloda x, y, z, t nin sayýsal deðerlerinin toplamý kaçtýr?
olduðuna göre, u w önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisine denktir?
A) 0
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
29
B) 1
C) p
D) q
E) p q
mantýk 12.
17.
p : xR, x 6 q : xR, x > 3 olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? A) p 0
B) q ¯0
D) q ¯ : xR, x < 3
13.
[ ( p r) (q p )] [(r q) (p q ) ] bileþik önermesi aþaðýdakilerden hangisine denktir? A) 0
B) 1
C) p
D) r
E) q
C) p ¯q1
E) p ¯ : xR, x < 6
(p q) (p q) w wu1 olduðuna göre, (p q) u aþaðýdakilerden hangisine denktir? A) 0
B) 1
C) p
D) q
18.
Önermeler üzerinde, p q (p q) q
E) w
biçiminde bir “” iþlemi tamamlýyor. Buna göre, (1 q) p iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisine denktir? A) 0
14.
B) 1
C) p
D) q
E) p q
(p q) (p q) önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisine denktir? A) 0
B) 1
C) p
D) q
E) q
19. 15.
9 farklý önermenin doðruluk tablosu düzgün biçimde oluþturuluyor.
“Bu fasikül faydalýysa deðerlidir.” önermesinin karþýt tersi aþaðýdakilerden hangisidir?
Tabloda (110010101) sýralamasý alttan kaçýncý satýrda oluþur? (Ýpucu: 2 tabanýndaki deðeri neyi verir?)
A) Bu fasikül faydasýzsa deðersizdir.
A) 324
B) 350
C) 364
D) 386
E) 406
B) Bu fasikül deðerliyse faydasýzdýr. C) Bu fasikül faydasýzsa deðerlidir. D) Bu fasikül deðersizse faydalýdýr.
karekök özel
E) Bu fasikül deðersizse faydasýzdýr.
20.
16.
(p q) q önermesinin deðili aþaðýdakilerden hangisine denktir? A) 0
Tabloda (1001101) sýralamasý üstten kaçýncý satýrda oluþur?
C) p q
B) 1 D) p q
7 farklý önermenin doðruluk tablosu düzgün biçimde oluþturuluyor.
A) 46
E) p q
30
B) 47
C) 49
D) 51
E) 52
ÖSYS SORULARI mantýk 1.
4.
“Mantýk tüm bilimlerin genel yöntemi olarak kabul edilir.” Aþaðýdakilerden hangisinde mantýk terimi bu anlamda kullanýlmýþtýr?
Aþaðýdaki önermelerden hangisi tüm yorumlamalarda doðru deðerini alýr? B) p ~ p
A) p p
D) ~ (p ~ p)
E) (p ~ p)
A) Yapýlacak en mantýklý iþ susmaktýr.
(ÖYS 1998 SOSYAL)
B) Duygusallýðý býrak mantýklý ol. C) Matematiðin geliþmesinde mantýk önemli rol oynamýþtýr.
5.
D) Söylediklerinde ne akýl var ne mantýk. E) Gençlerin mantýðý yaþlýlarýnkinden farklý olabilir. (ÖYS 1985 SOSYAL)
2.
C) p p
I.
II.
III.
pq
p q
q ~p
~p ~q
DD
D
Y
D
DY
Y
D
Y
YD
Y
D
Y
YY
D
Y
D
Aþaðýdakilerden hangisi önerme deðildir? Yukarýda doðruluk çizelgesi verilen önermelerden I. ve III. eþdeðerdir.
A) Saatin kalitesini, kurgu mekanizmasý yani zembereði belirler.
Buna göre, iki önermenin eþdeðer olmasý için aþaðýdakilerden hangisi gereklidir?
B) Durmuþ bir saat hiç deðilse günde iki kez doðru zamaný gösterir. C) Zaman hýzla geçerken onu iyi deðerlendirmeli.
A) En az birer yorumlamalarýnýn yanlýþ olmasý
D) Kimi saatler ileri gider, kimi ise geri kalýr.
B) Ayný önerme eklemine sahip olmalarý
E) Zamanýn geçtiðini anlamak için saate bakýlýr.
C) Ayný doðruluk deðerlerine sahip olmalarý D) En az birer yorumlamalarýnýn doðru olmasý
(ÖYS 1998 SOSYAL)
E) Birer bileþik önerme olmalarý (ÖYS 1987 SOSYAL)
Spor beden geliþimini etkiler. (p)
6.
Dengeli beslenme beden geliþimini etkiler. (q) Buna göre aþaðýdaki önermelerden hangisi (~ p ~ q) biçiminde sembolleþtirilir? A) Ne spor ne de dengeli beslenme beden geliþimini etkiler. B) Sporun ve dengeli beslenmenin beden geliþimini etkilediði doðru deðildir. C) Spor beden geliþimini etkilemezse, dengeli beslenme de etkilemez.
karekök özel
3.
D) Spor kadar dengeli beslenme de beden geliþimi için gerekli deðildir.
I
II
III
IV
pq
p q
p q
~p
~p q
DD
D
D
Y
D
DY
Y
Y
Y
Y
YD
Y
D
D
D
YY
Y
D
D
D
Yukarýdaki doðruluk çizelgesi tablosuna göre, I. , II. , III. ve IV numaralý önermelerden hangileri eþdeðerdir? A) I ve II
E) Spor beden geliþimini etkilemediði zaman dengeli beslenme etkiler.
D) II ve III
(ÖYS 1989 SOSYAL)
B) I ve III
C) II ve IV E) III ve IV (ÖSS 2006 SOSYAL)
31
mantýk 7.
9.
(p q) (q p) önermesinin tutarlýlýðý doðruluk çizelgesiyle aþaðýdaki biçimde denetlenmiþtir. I
II
III
IV
pq
p q
q p
(p q) (q p)
DD
D
D
?
DY
Y
Y
?
YD
D
Y
?
YY
D
Y
?
Yüreðin çalýþma ritmindeki deðiþme, sinir sistemi veya hormonlarla saðlanýr. (p q) Bu önerme aþaðýdakilerden hangisine eþdeðerdir? A) Hem sinir sistemi hem de hormonlar yüreðin çalýþma ritmindeki deðiþmeyi saðlar. (p q) B) Yüreðin çalýþma ritmindeki deðiþmeyi sinir sistemi saðlamazsa hormonlar saðlar. (~p q) C) Yüreðin çalýþma ritmindeki deðiþmeyi sinir sistemi saðladýðýnda hormonlar saðlamaz. (p ~q)
Buna göre soru iþaretlerinin olduðu IV. sütunun yerine aþaðýdakilerden hangisi getirilmelidir? A)
B)
Y
C)
D
D) Yüreðin çalýþma ritmindeki deðiþmeyi sinir sistemi saðlar ama hormonlar saðlamaz. (p ~q)
D
D
D
Y
Y
Y
D
E) Yüreðin çalýþma ritmindeki deðiþmenin sinir sistemi ve hormonlarla saðlandýðý doðru deðildir. ~(p q)
D
Y
Y
(ÖYS 1989 SOSYAL)
D)
E)
Y
D
Y
D
D
D
D
Y
10. “Her sayýnýn sonlu olduðu doðru deðildir.” (~xSx) (~xSx) önermesi aþaðýdakilerden hangisine eþdeðerdir? A) Her sayýnýn sonsuz olduðu doðru deðildir. (x~Sx)
(ÖSS 2007 SOSYAL-2)
B) Bazý sayýlarýn sonlu olduðu doðru deðildir. (~xSx) C) Hiçbir sayý sonlu deðildir. (x~Sx) D) Bazý sayýlar sonsuzdur. (x~Sx)
I. Yatýrýmlar artarsa enflasyon artacak. (p q) II. Enflasyon artarsa, kiþilerin alým gücü düþecek. (q r) Yukarýdaki öncüllerin mantýksal sonucu aþaðýdakilerden hangisidir? A) Yatýrýmlar artarsa kiþilerin alým gücü düþecek. (p r)
E) Bazý sayýlarýn sonsuz olduðu doðru deðildir. (~x~Sx)
karekök özel
8.
(ÖYS 1990 SOSYAL)
11. x(x metaldir) önermesi aþaðýdakilerden hangi-
B) Yatýrýmlar artacak veya kiþilerin alým gücü düþecek. (p r)
sinde verilen evrende doðrudur? A) {Altýn, Demir, Bakýr}
C) Enflasyon artmazsa kiþilerin alým gücü düþmez. (~q ~r)
B) {Kurþun, Cýva, Plastik} C) {Kalay, Kum, Çimento}
D) Kiþilerin alým gücü düþmez veya enflasyon artmaz. (~r ~q)
D) {Nikel, Cam, Naylon} E) {Kâðýt, Krom, Kauçuk}
E) Yatýrýmlar artmazsa, enflasyon düþer. (~p ~q)
(ÖYS 1998 SOSYAL)
(ÖYS 1988 SOSYAL) 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Tarama Testi
C
B
A
B
C
C
C
A
A
E
C
C D
E
C
A
A
A
C
Konu Testi - 1
E
D C D A
B
A
E
D B
E
C
B
C
C
C D A
E
C
Konu Testi - 2
E
C
C
A D A D B
C
E
E
E
D
ÖSYS Sorularý C
C
A D C
B D D D C C
B
A
B D A
32
C B
B
B