ÁLGEBRA LINEAL 2º BAC CIENTÍFICO-TECNOLÓXICO
Apuntes de Matemáticas orientados al examen de Selectividad. Bloque I: Álgebra Lineal
ÍNDICE ________________________________________________________________
Tema 1.- Matrices Tema 2.- Determinantes Tema 3.- Aplicaciones de los determinantes Tema 4.- Sistemas de ecuaciones (1ª parte) Tema 5.- Sistemas de ecuaciones: Discusión y Resolución
José Pedrouzo Devesa Profesor de Matemáticas IES As Mercedes LUGO
TEMA 1. MATRICES 1.1 Definición de matriz de orden m x n. Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij, que son números reales, aij Є ﺍR , dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales. Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas a,b,c,…y con subíndices que indican el lugar ocupado. Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij ) a11 a A = 21 ··· a m1
a12 a 22 ··· am2
··· a1n ··· a 2 n ··· ··· ··· a mn
Ejemplo: 2 1/ 3 − 5 , donde sus filas son : ( 2 1/3 - 5) y ( 5 - 7 A = 5 − 7 1 2 1 / 3 − 5 y y sus columnas , 5 − 7 1
1)
Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas. El número total de elementos de una matriz Amxn es m·n
Igualdad de matrices. Dos matrices A = (aij)mxn y B = (bij)pxq son iguales, sí y solo si, tienen en los mismo lugares elementos iguales; es decir: m=p, n=q; aij = bij ∀ i,j.
1.2 Tipos de Matrices. Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos,... reciben nombres diferentes:
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n. A1x3 = ( 2 -5
1)
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, por tanto es de orden m x1 2 A2 x1 = − 1
Matriz rectangular: Es aquella en la que el número de filas es distinto al de columnas, m≠n Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m=n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no nxn. Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria. Diagonal principal:
Diagonal secundaria:
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, At a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m 1 4 1 2 3 t , entonces A = 2 5 Si A = 4 5 6 3 6 Propiedades de la transposición de matrices. 1.- Dada una matriz A, siempre existe su transpuesta y además es única. 2.- (At)t = A Nota: Otras propiedades de la matriz traspuesta respecto a las operaciones se verán luego.
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es aij = aji ∀ i,j 2 8 − 5 A3 = 8 1 3 − 5 3 0
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = – At, es decir, si aij = -aji ∀ i,j 8 − 5 0 A3 = − 8 0 2 5 − 2 0
Matriz nula: Es aquella que todos sus elementos son nulos y se representa por 0. O3x 4
0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. 4 0 0 A = 0 2 0 0 0 − 1
Matriz unidad o identidad: Es una matriz diagonal con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. 1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1 Matriz unidad o identidad de orden 3
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: -Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 si i>j. -Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 si i<j.
4 3 − 4 A = 0 2 0 Triangular superior 0 0 − 1
4 0 0 B = 8 2 0 − 6 5 − 1
Triangular inferior
1.3 Suma de matrices y producto por escalares. Propiedades. Suma de matrices La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=A+B=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices éstas han de tener la misma dimensión.
1 0 − 2 7 − 1 7 + = 3 − 5 − 1 − 4 2 − 9
Propiedades de la suma de matrices
1. 2. 3. 4.
A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) A + B = B + A (propiedad conmutativa) A + 0 = A (0 es la matriz nula) La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0. La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)
Producto de una matriz por un escalar El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
1 4 − 5 3 2 8 − 10 6 = 2· 0 6 − 2 9 0 12 − 4 18 El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.
Propiedades del producto de una matriz por un escalar
1. 2. 3. 4.
k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª) (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª) k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta) 1·A = A (elemento unidad)
1.4 Producto de matrices. Empezaremos multiplicando una matriz fila F por una matriz columna C. Para poder multiplicarlas deberán de tener el mismo número de elementos “n”, siendo el resultado del producto el número obtenido de la siguiente forma:
( a1
a2
... a n − 1
b1 b2 a n ) · . = a1b1 + a 2 b2 + ······· + a n − 1bn − 1 + a n bn bn − 1 b n
Por ejemplo:
2 − 3 ( 3 2 − 1 4 − 2) · 0 = 6 − 6 − 4 − 10 = − 14 − 1 5 Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B. El resultado será otra matriz que tendrá tantas filas como A y tantas columnas como B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
pij = Fi · C j =
n
∑
k= 1
aik ·bkj , siendo Fi la fila i-ésima de A y Cj la columna j-ésima de B.
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m× n y B dimensión n× p, la matriz P será de orden m× p.
1.5 Propiedades del Producto de matrices. 1. 2. 3. 4.
Asociativa: A·(B·C) = (A·B)·C El producto de matrices en general no es conmutativo. O sea, en general: A·B ≠ B·A Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B=B·A=In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 . 5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B+C)=A·B + A·C (A+B)·C=A·C+B·C Consecuencias del producto de matrices 1. Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0. 2. Si A·B=A·C no implica que B = C.
3. En general (A+B)2 ≠ A 2 + B2 +2AB,ya que A·B ≠ B·A. 4. En general (A+B)·(A–B) ≠ A2–B2, ya que A·B ≠ B·A.
Otras Propiedades de la matriz traspuesta respecto a las operaciones 1. (A+B)t = At + Bt 2. (k·A)t = k·At 3. (A·B)t = Bt·At
TEMA 2. DETERMINANTES Introducción La idea de determinante es la de un valor real que se asigna a cada matriz cuadrada. Sin embargo, antes de definir lo que es un determinante, necesitamos dar algunas definiciones previas.
Permutación Una permutación de n elementos es una aplicación biyectiva de {1,2,3,…,n} en {1,2,3,…,n} de la siguiente forma: σ : {1,2,3,…,n} → {1,2,3,…,n} (1,2,3,…,n) → (σ(1), σ(2), σ(3),…, σ(n)) Como el elemento inicial no suele ser importante en una permutación (están ordenados como 1, 2, 3, ...,n) se acostumbra a identificar la permutación con el elemento resultante (la imagen de la aplicación).
Así, (1, 7, 4, 2, 5, 6, 3) es una permutación de 7 elementos, donde, la aplicación es tal que:
El conjunto de permutaciones de n elementos se representa por Sn y tiene n! elementos. Ejemplo: Las permutaciones posibles con {1, 2, 3} son 3! = 6 y son: σ1 = (1,2,3)
σ2 = (1,3,2)
σ3 = (2,1,3)
σ4 = (2,3,1)
σ5 = (3,1,2)
σ6 = (3,2,1)
Inversión de dos elementos en una permutación Se dice que los elementos h y k de la permutación σ forman una inversión cuando h < k y σ(h) > σ(k), es decir, cuando, tras la permutación, se pierde el orden creciente en relación a estos dos elementos. Ej:En la permutación de 5 elementos (4,3,5,2,1) 3 y 2 forman una inversión, y 3 y 1 forman otra inversión.
Índice de una permutación
Se nota i(σ) , es el número total de inversiones de una permutación. Si el índice de σ es par, se dice que la permutación es de clase par. Si el índice de σ es impar, se dice que la permutación es de clase impar.
2.1 Definición de determinante de una matriz cuadrada.
Dada una matriz A cuadrada de orden n :
a11 a A = 21 ··· a n1
a12 a 22 ··· an2
··· a1n ··· a 2 n ··· ··· ··· a nn
Se llama determinante de A y se representa por |A| ó también det(A), al número real siguiente:
a11 a A = det( A) = 21 ··· a n1
a12 a 22 ··· an2
··· a1n ··· a 2 n = ··· ··· ··· a nn
∑
σ ∈ Sn
(− 1) i (σ ) ·a1σ (1) ·a 2σ ( 2 ) ·······a nσ ( n )
Por tanto, el determinante de una matriz de orden n estará formado por la suma de n! sumandos, cada uno de ellos formado por n factores, entre los que figura un solo elemento de cada fila y un solo elemento de cada columna de la matriz.
Vamos a ver qué significa esta definición en matrices de orden pequeño:
Determinantes de orden 1: Si A = (a11) es una matriz de orden 1, entonces det(A) = a11
Determinantes de orden 2: a 12 a a 12 a ⇒ A = 11 A = 11 = a 11 ·a 22 − a 12 ·a 21 a a a a 21 22 21 22 El primer término a11·a22 lleva signo + porque la permutación de los índices de las columnas (1, 2) es par. El segundo término a12·a21 lleva signo - porque la permutación de los índices de las columnas (2, 1) es impar.
Determinantes de orden 3:
En el desarrollo aparecen 3! = 6 sumandos. En cada uno de ellos intervienen 3 factores entre los que hay un solo elemento de cada fila y un solo elemento de cada columna. Cada sumando va precedido del signo + ó – según la paridad de la permutación formada por los índices de columnas. Así, el término a12 · a21 · a33 lleva signo menos ya que la permutación (2, 1, 3) es impar.
2.2 Menor complementario de un elemento El menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada es el determinante de la matriz que obtenemos al suprimir la fila y la columna donde está dicho elemento. Lo representamos por αij.
Ejemplo: Hallar el menor complementario del elemento a23 en la matriz:
3 0 1 2 − 1 4 − 2 5 2
⇒
α
23
=
1 3 = 5 − (− 6) = 11 − 2 5
Adjunto de un elemento El adjunto del elemento aij se denota Aij y se define mediante la fórmula:
Aij = (-1)i+j αij Se deduce por tanto que: - Si la suma de los subíndices i+j es par el adjunto coincide con el menor complementario. - Si la suma de los subíndices i+j es impar el adjunto es el opuesto del menor complementario. Ejemplo: Calcula el adjunto del elemento a23 en la matriz anterior. A23 = (-1)2+3 α23 = (-1) · 11 = -11
Matriz adjunta Dada una matriz cuadrada A= (aij), se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz que se obtiene sustituyendo cada elemento de A por su adjunto.
Adj(A) = (Aij) Ejercicio: Calcular la matriz adjunta de la anterior: A11 = (-1)1+1 α11 = -22
A12 = (-1)1+2 α12 = -12
A13 = (-1)1+3 α13 = 8
A21 = (-1)2+1 α21 = -6
A22 = (-1)2+2 α22 = 2
A23 = (-1)2+3 α23 = -11
A31 = (-1)3+1 α31 = 12
A32 = (-1)3+2 α32 = -4
A33 = (-1)3+3 α33 = -7
A11 Por tanto: Adj(A) = A 21 A 31
A12 A 22 A 32
A13 − 22 − 12 8 A 23 = − 6 2 − 11 A 33 12 − 4 − 7
2.3 Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de una linea (fila o columna) por sus respectivos adjuntos.
O sea : det(A) = a11 A11 + a12 A12 + ···· + a1n A1n , desarrollando por la 1ª fila
det(A) = a13 A13 + a23 A23 + ···· + an3 An3 , desarrollando por la 3ª columna
Esta propiedad nos permite resolver determinantes de cualquier orden, puesto que al desarrollar por una linea, los determinantes que tenemos que calcular son de orden menor en una unidad y así, siempre podremos llegar a un determinante de orden 3, que ya sabemos calcular.
Para desarrollar por una linea es importante elegir la que más ceros tenga y utilizando la propiedad nº 7, que luego veremos, hacer ceros todos los elementos de esa linea menos uno.
Ejemplo:
det(A) = 2 A11 + (-1) A12 + 3 A13 + 1 A14
2.4 Propiedades de los determinantes. 1º El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta
det(A) = det(At)
2º Si los elementos de una fila (o columna) de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número.
det (F1, F2, …, k·Fi, …, Fn) = k· det (F1, F2, …, Fi, …, Fn) det (C1, C2, …, t·Cj, …, Cn) = t· det (C1, C2, …, Cj, …, Cn)
3º Si los elementos de una fila (o columna) de una matriz se pueden descomponer en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las filas (o columnas) excepto dicha fila (o columna) cuyos sumandos pasan, respectivamente, a cada uno de los determinantes:
4º El determinante de un producto de dos matrices cuadradas coincide con el producto de los determinantes de ambas matrices:
5º Si en una matriz cuadrada se permutan dos filas(o columnas), su determinante cambia de signo.
det (F1, F2, …, Fi, …Fj, …, Fn) = - det (F1, F2, …, Fj, …Fi, …, Fn) 6º Si los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada son combinación lineal de las filas (columnas) restantes, es decir son el resultado de sumar los elementos de otras filas (columnas) multiplicadas por números reales, su determinante es cero.
7º Si a los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada se le suma una combinación lineal de otras filas (columnas), su determinante no varía.
TEMA 3. APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES 3.1 Rango de una matriz: Definición y cálculo. Propiedades. Cálculo del rango por el método de GAUSS. Definiciones Previas
• Una línea Li (fila o columna) de una matriz es una combinación lineal de las líneas Lj, Lk, …, Lt si se puede expresar de la forma siguiente: Li = xj Lj + xk Lk +…+ xt Lt, siendo xj, xk, …, xt Є |R.
• Un conjunto de líneas (filas o columnas) es un sistema linealmente dependiente si alguna de las líneas es una combinación lineal de las restantes. Por ejemplo: Si F1 = 2·F3 - 3·F4, entonces decimos que {F1, F3, F4} es un sistema linealmente dependiente.
• Un conjunto de líneas es un sistema linealmente independiente si ninguna línea se puede expresar como una combinación lineal de las restantes.
Menor de Orden K
• Llamamos menor de orden k de una matriz Amxn al determinante de cualquiera de las submatrices cuadradas de orden k que se pueden formar con los elementos que pertenecen a k filas y a k columnas de la matriz A.
Definición: Rango de una matriz RANGO (o característica) de una matriz A es el orden del mayor menor distinto de cero. Notación: r (A) Consecuencia: El rango no puede ser mayor que el número de filas o de columnas.
Cálculo del rango por menores Si a un menor M de orden k de la matriz A se le añade una nueva fila y una nueva columna, se puede formar un menor N de orden k+1 que se dice obtenido de M orlando este menor con las nuevas fila y columna . El método para el cálculo del rango es un proceso iterado que sigue los siguientes pasos: Antes de comenzar el método se busca un elemento no nulo, ya que si todos los elementos fuesen nulos, el rango sería 0. El elemento encontrado será el menor de orden k=1 de partida. 1. Se orla el menor de orden k hasta encontrar un menor de orden k+1 no nulo. Cuando se encuentra un menor de orden k+1 no nulo se repite este paso con dicho menor. 2. Si todos los menores de orden k+1 orlados a partir del de orden k del ap. anterior son nulos, el rango es k.
Propiedades i)
Si el rango de una matriz es k, entonces todos los menores de orden superior a k son nulos. Si el rango de una matriz A es k, las k filas ( y las k columnas) de A que intervienen en el menor de orden k no nulo constituyen un sistema linealmente independiente. Las restantes líneas de la matriz A que no intervienen en dicho menor se pueden expresar como combinación lineal de las que sí intervienen. r (A) = r (At)
ii) iii) iv) EJEMPLO 1:
EJEMPLO 2: 2 −3 −1 0 Sea A = 1 − 6 0 0 1≠0
1 1 5 1
0 2 6 0
1 0 2 1
0 0 0 1
⇒ r (A) ≥ 1.
2 0 = 2 ≠ 0 ⇒ r (A) ≥ 2. 1 1
2 0 0 6 2 0 = 4 ≠ 0 ⇒ r (A) ≥ 3. 0 1 1
1 1 5 1
2 −1 1 0
0 2 6 0
1 0 2 1
0 2 6 0
0 1 0 1 0 = 1 2 0 = 4 + 6 − 10 = 0 ; 0 5 6 2 1
1 0 2 1
−3 0 − 6 0
0 2 6 0
1 0 2 1
0 −3 0 1 0 = 0 2 0 = − 12 + 12 = 0 0 − 6 6 2 1
0 2 0 1 0 = − 1 2 0 = 8− 6− 2 = 0 0 1 6 2 1
Por tanto rg(A)=3
Cálculo del rango por el método de GAUSS Diremos que el RANGO por filas (rango por columnas) de una matriz A es k si:
El máximo número de filas (máximo número de columnas) que se pueden extraer de A de forma que constituyan un sistema linealmente independiente es k.
Teorema:
El rango por columnas de una matriz A coincide con el rango por filas y coincide con el rango de A dado en la 1ª definición.
• TRANSFORMACIONES ELEMENTALES QUE PUEDEN REALIZARSE CON UNA MATRIZ PARA CALCULAR SU RANGO SIN QUE ÉSTE VARÍE
1. Intercambiar dos filas entre sí. Fi ↔ Fj 2. Multiplicar una fila por un número “a” distinto de cero. Fi a·Fi 3. Sumarle a la fila i otra fila multiplicada por un número: Fi Fi + a·Fj
• OTRAS OPERACIONES QUE MANTIENEN EL RANGO INVARIANTE También podremos realizar las siguientes operaciones: a) Suprimir una fila que tenga todos sus elementos nulos.
b) Suprimir una fila que sea combinación lineal de otra/s (en particular proporcional a otra).
Las transformaciones y operaciones anteriores son también válidas para columnas.
ATENCIÓN: Las transformaciones elementales anteriores NO pueden ser aplicadas en el cálculo de determinantes, pues alterarían el valor de los mismos, excepto la Nº 3. Sin embargo, todas ellas pueden utilizarse para averiguar el rango de una matriz sin que se modifique el valor de éste.
Procedimiento Cálculo del rango por el método de GAUSS Sea una matriz A de dimensión mxn.
Vamos a describir el método por filas (de igual forma sería por columnas). Básicamente consiste en escalonar la matriz, o sea, hacer nulos los elementos que están por debajo de los aii con i= 1, 2, 3, ..., m-1 , siendo los aii no nulos. El rango será el número de filas no nulas una vez terminado el proceso.
El método consta de m-1 etapas, siendo m el número de filas. En una etapa i cualquiera se deja fija la fila i , y tomando como referencia el elemento aii , por medio de transformaciones elementales y otras operaciones (nombradas anteriormente) se hacen cero todos los elementos de su columna que estén por debajo de él. Si el elemento aii es igual a cero, es preciso intercambiar previamente esa fila por alguna otra fila de debajo, y si no es posible (porque también sea cero) con alguna columna de la derecha, hasta conseguir que aii sea distinto de cero (es conveniente, para evitar cálculos tediosos que sea 1; si no lo fuera, utilizando operaciones sencillas intentaremos cambiarlo a 1).
Finalmente, el rango es el número de filas no nulas que aparecen en la matriz una vez escalonada. •
Ejercicio: Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss
3 −2 1 1 − 2 0 3 1 −1 5 −1 0 −1 2 0
C2 ↔ C5
0 4 5 − 3 4 2 8 0 0 − 6
F → F + 2F 2 2 1 F → F − 3F 3 3 1 F → F − 5F 4 4 1 F → F + F 5 5 1
4 −2 1 5 −3 0 0 − 10 5 0 − 20 10 0 − 2 − 2
0 3 5 6 4 −8 8 − 16 0 5
1 3 0 6 0 − 8 0 − 16 0 5
−2 −3 5 10 −2
F → F + 2F 3 3 2 F4 → F4 + 4 F2
0 4 5 5 4 − 10 8 − 20 0 − 2 1 4 0 5 0 0 0 0 0 − 2
− 2 0 3 − 3 5 6 − 1 14 4 − 2 28 8 − 2 0 5
F2 → 2 F2 F → 5F 5 5
−2 0 3 1 4 0 10 − 6 10 12 0 0 − 1 14 4 − 2 28 8 0 0 0 − 10 − 10 0 25
F → F − 2F 4 4 3 F5 → F5 − 16 F3
1 4 − 2 0 10 − 6 0 0 −1 0 0 − 2 0 0 − 16
F5 → F5 + F2
0 3 1 4 − 2 12 0 10 − 6 10 0 0 −1 14 4 0 0 0 0 0 0 0 0 − 214 − 27
F ↔ F 4 5
0 3 10 12 14 4 28 8 10 37
0 3 1 4 − 2 10 12 0 10 − 6 0 0 −1 14 4 0 − 214 − 27 0 0 0 0 0 0 0
Después de aplicar el procedimiento se observa que hay 4 filas no nulas. Por tanto el rango de la matriz es 4. Notas: 1.- En el primer paso se observa que F4 = 2 F3 ; por tanto la cuarta fila podría suprimirse por ser proporcional a otra; de esta manera la matriz quedaría más sencilla, reduciéndose en buena medida la operativa posterior. 2.- En el penúltimo paso se podría eliminar la cuarta fila, por tener todos sus elementos nulos.
3.2 Definición de matriz inversa de una matriz cuadrada Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, y se denota por A-1, si se verifica que:
A·A-1 = A-1·A = I
Condición necesaria y suficiente para la existencia de la inversa A matriz cuadrada tiene inversa |A| ≠ 0
Propiedades de la matriz inversa 1. La matriz inversa, si existe, es única. 2.
(A·B) -1=B-1A-1
3. (A-1) -1=A 4. (kA) -1=(1/k)·A-1 5. (At)-1 = (A-1)t
3.3 Matrices regulares (o inversibles) y singulares (o no inversibles) Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de no inversible o singular.
Cálculo da matriz inversa La matriz inversa de A se calcula así:
1 A− 1 = ·[ Adj(A)] t A Ejemplo
TEMA 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4.1 Definición de ecuación lineal con n incógnitas Una ecuación lineal con "n" incógnitas, x1, x2 , …, xn , es una expresión algebraica de la forma:
a1 x1 + a2 x2 + ··· + an xn = b
• •
en la que:
a1 , a2 , ··· , an son números reales conocidos llamados coeficientes b es un número real conocido llamado término independiente.
Definición de su solución Una solución de la ecuación anterior es una n-upla de números reales (s1, s2, s3, ..., sn) que verifican: a1 s1 + a2 s2 + ··· + an sn = b
Nota: Una n-upla es un conjunto ordenado de n números Ejemplos:
1. 2.
La ecuación 2x - 3 = 0 es una ecuación lineal con una incógnita. Obviamente sólo tiene una solución. La ecuación -3x + 2y = 7 es una ecuación lineal con dos incógnitas. Sus soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.
4.2 Definición de sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto formado por m ecuaciones lineales con las mismas n incógnitas en cada una de ellas. Podemos escribirlo de la siguiente forma:
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + ··· + a1n x n = b1 a x + a x + a x + ··· + a x = b 21 1 22 2 23 3 2n n 2 ··· ··· ··· ··· a m1 x1 + a m 2 x 2 + a m 3 x3 + ··· + a mn x n = bm
aij son números reales conocidos, llamados coeficientes del sistema
• •
bj son números reales conocidos, llamados términos independientes del sistema x1, x2 , …, xn son las incógnitas.
Definición de su solución Una solución del sistema es una n-upla de números reales (s1, s2, ..., sn) que es solución de las "m" ecuaciones del sistema. O sea: al sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn respectivamente, las ecuaciones se transforman en identidades numéricas.
4.3 Sistemas de ecuaciones equivalentes Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Transformaciones de Sistemas Equivalentes Las siguientes transformaciones permiten pasar de un sistema de ecuaciones lineales a otro equivalente.
• • •
Cambiar de orden las ecuaciones: Ei ↔ Ej Multiplicar ambos miembros de alguna de las ecuaciones por un nº real distinto de 0: Ei a·Ei Sumarle a una ecuación otra multiplicada por un número: Ei Ei + a·Ej
También se puede:
• •
Suprimir una ecuación que sea combinación lineal de otra/s (en particular proporcional a otra). Intercambiar el orden de las incógnitas.
4.4 Sistemas homogéneos Un sistema es homogéneo si todos sus términos independientes son nulos.
Un sistema homogéneo siempre tiene al menos una solución, que se denomina solución trivial (0, 0, ... , 0)
Clasificación de los sistemas atendiendo a sus términos independientes
Homogéneos: Todos los términos independientes son nulos.
No Homogéneos: No todos sus términos independientes son nulos.
Ejemplo de sistema homogéneo:
3 x1 + 2 x 2 − 5 x3 = 0 x + 4x + x = 0 1 2 3 x1 − 2 x 2 + x3 = 0 − x1 + x 2 = 0
4.5 Forma matricial de un sistema Sea el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas siguiente:
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + ··· + a1n x n = b1 a x + a x + a x + ··· + a x = b 21 1 22 2 23 3 2n n 2 ··· ··· ··· ··· a m1 x1 + a m 2 x 2 + a m 3 x3 + ··· + a mn x n = bm Este sistema de ecuaciones lineales puede expresarse de la forma siguiente:
a11 a 21 ··· a m1
a12 a 22 ··· am2
··· a1n x1 b1 ··· a 2 n x 2 b2 · = ··· ··· ··· ··· ··· a mn x n bm
A·X=B Se dice que el sistema anterior está expresado en forma matricial, en donde:
• • • •
Llamamos matriz de los coeficientes a la matriz de dimensión m×n formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A. Llamamos matriz de las incógnitas a la matriz columna de dimensión nx1 cuyos elementos son las incógnitas del sistema. Llamamos matriz de los términos independientes a la matriz columna de dimensión mx1 cuyos elementos son los términos independientes. Llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz de los coeficientes la columna de los términos independientes, y la denotamos por A*, es decir:
4.6 Clasificación de los sistemas atendiendo al número de soluciones
TEMA 5. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5.1 Enunciado del teorema de Rouché-Frobenius Sea S un sistema de m ecuaciones con n incógnitas. S es compatible si y sólo si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.
S compatible ⇔ rang (A) = rang (A*) Demostración: rang (A) = rang (A*) ⇔ La última columna de A* es combinación lineal de las restantes ( Existen a1, a2 , ··· , an números reales tales que: Cn+1 = a1 C1 + a2 C2 + ··· + an Cn ) ⇔ La n-upla (a1, a2 , ··· , an) es solución de S ⇔ S es compatible
Discusión de Sistemas de Ecuaciones Lineales • •
rang (A) ≠ rang (A*) ⇔ S incompatible rang (A) = rang (A*) = r ⇔ S compatible - Si r = n , entonces S es compatible determinado (SCD) - Si r < n , entonces S es compatible indeterminado (SCI)
5.2 Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales a) Forma Matricial Sea S un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, donde el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero ( |A| ≠ 0) Entonces: A·X = B ⇒ A-1 · A · X = A-1 · B ⇒ X = A-1 · B
b) Regla de Cramer Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas m=n y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. A este tipo de sistema se le denomina sistema de Cramer. Por tanto, un sistema de Cramer es, aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, compatible determinado y, por tanto, tiene siempre una solución única.
El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.
Ejemplo:
Ampliación de la Regla de Cramer La regla de Cramer se puede aplicar también a cualquier sistema compatible, como veremos a continuación: Sea S un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, compatible. Supongamos que r (A) = r (A*) = r , con r < m, r < n. Esto significa que la matriz de coeficientes tiene un menor M de orden r no nulo. Además, como r ( A*) = r, las m-r filas de A* que no forman parte de ese menor son combinación lineal de las r filas que sí forman parte de dicho menor M. Entonces podemos eliminar del sistema esas m-r ecuaciones, quedando únicamente las r ecuaciones que figuran en el menor M. A continuación pasaremos las n-r incógnitas que no forman parte del menor M al 2º miembro, las cuales las consideraremos como parámetros. De esta forma, obtendremos un sistema de Cramer, que resolveremos aplicando la regla de Cramer, quedando las r incógnitas que figuraban en el menor M en función de las n-r restantes.
5.3 Discusión y Resolución de Sistemas por el método de GAUSS Hemos visto en el tema anterior que las siguientes transformaciones permitían pasar de un sistema de ecuaciones lineales a otro equivalente.
• • • •
Cambiar de orden las ecuaciones: Ei ↔ Ej Multiplicar ambos miembros de alguna de las ecuaciones por un nº real distinto de 0: Ei a·Ei Sumarle a una ecuación otra multiplicada por un número: Ei Ei + a·Ej Suprimir una ecuación que sea combinación lineal de otra/s (en particular proporcional a otra).
•
Intercambiar el orden de las incógnitas.
Por comodidad y claridad, aplicaremos las anteriores transformaciones en la matriz ampliada del sistema, puesto que cada fila de dicha matriz representa una ecuación; de esta forma se observa que las transformaciones anteriores son las mismas que las que se hacían en las filas de una matriz a la hora de calcular su rango. Notas: 1.- La columna de los términos independientes no se puede intercambiar con ninguna otra. 2.- Sólo se intercambiarán las columnas de la matriz de coeficientes, que son las que corresponden a las incógnitas. 3.- Conviene escribir cada incógnita encima de la columna correspondiente.
Descripción del método de Gauss El método de Gauss consiste en convertir un sistema de "m" ecuaciones con "n" incógnitas en otro equivalente, aplicando las transformaciones anteriormente expuestas, en el que la matriz de coeficientes del nuevo sistema tenga las siguientes características:
ai , j = 0, si i > j ai ,i ≠ 0, ∀ i
Es un método iterativo que consta de varias etapas, empezando por la 1ª fila. En una etapa cualquiera se deja fija la fila i , y tomando como referencia el elemento aii , que debe ser no nulo, se hacen cero por medio de transformaciones elementales (nombradas anteriormente), todos los elementos de su columna que estén por debajo de él. Si el elemento aii es igual a cero, es preciso intercambiar previamente esa fila por alguna otra fila de debajo, y si no es posible (porque también sea cero) con alguna columna de la derecha (excepto la de los términos independientes) , hasta conseguir que aii sea distinto de cero (es conveniente, para evitar cálculos tediosos que sea 1; si no lo fuera, utilizando operaciones sencillas intentaremos cambiarlo a 1).
Si en este proceso, se obtiene una fila en la que todos sus elementos son nulos, dicha fila se puede suprimir. Si en este proceso, se obtiene una fila en la que todos sus elementos son nulos excepto el último, entonces el sistema sería INCOMPATIBLE. Al terminar el proceso la matriz ampliada puede quedar de una de estas 3 formas: PRIMERA FORMA: ⊗ 0 * A = 0 0
∆ ⊗ 0 0
∆ ∆ ⊗ 0
∆ ∆ ∆ ⊗
∆ ∆ ∆ ∆
⊗ representa un n º real dist int o de cero , donde ∆ representa un n º real cualquiera
En este caso el sistema sería COMPATIBLE DETERMINADO Para resolverlo, una vez escrito el sistema correspondiente a la matriz obtenida, empezaremos resolviendo la última ecuación que sólo tiene una incógnita. Con el valor obtenido, lo sustituimos en la
anterior ecuación y la resolvemos; así sucesivamente hasta resolverlas todas, de una en una, y de abajo arriba. SEGUNDA FORMA: ⊗ 0 * A = 0 0
∆ ⊗ 0 0
∆ ∆ ⊗ 0
∆ ∆ ∆ ⊗
∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆
⊗ representa un n º real dist int o de cero , donde ∆ representa un nº real cualquiera
En este caso el sistema sería COMPATIBLE INDETERMINADO Se consideran como principales, aquellas incógnitas que corresponden a las primeras r columnas en las que los aii , i= 1,2 , …, r son no nulos; mientras que las restantes n-r se consideran como parámetros. Para resolverlo, una vez escrito el sistema correspondiente a la matriz obtenida, se pasarán al segundo miembro de cada una de las ecuaciones, las n-r incógnitas que hemos considerado como parámetros. Después resolveremos como en el apartado anterior, ecuación a ecuación y de abajo arriba. La solución del sistema vendrá dada en función de tantos parámetros como incógnitas hemos pasado al 2º miembro; es decir n-r. TERCERA FORMA: ·· ·· * A = ·· 0
·· ·· ·· 0
·· ·· ·· 0
·· ·· ·· 0
·· ·· ·· 0
·· ·· ·· ⊗
, donde ⊗ representa un n º real dist int o de cero
En este caso el sistema sería INCOMPATIBLE
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema