LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
¿Qué es una función exponencial? › Dícese de función exponencial de aquella función cuya forma más simple es:
y=a
x
› Siempre que “a” sea positivo.
Vale, ahora en serio. ¿Qué es una función exponencial? › Una función exponencial básica es en la que “y” equivale a un número positivo elevado a “x”. Por ejemplo: › y = 3x › y=8
x
› y = -6x › y = (1/3)x
ESPERA, PARA EL CARRO
¿No era que el número tenía que ser positivo? ¿Cómo que y = -6x ?
Vale, error de lenguaje. La base es la que tiene que ser positiva, es decir, lo que no podría ser sería: y = (-6) x, porque ahí la base sí es negativa. Dicho esto, continuamos.
Pero, ¿qué tiene de especial esta función? › Que crece o se empequeñece muy rápido. Dicho así parece una tontería, pero tiene su intríngulis. › Vamos a centrarnos en la función y = 3x. › Ahora vamos a ver qué pasa si hacemos una tabla y una gráfica con ella. › Aviso de que esta crece.
La Tabla Valores de x
Valores de y (teniendo y=3 x)
Coordenadas
-2
y = 3-2 => y = 1/32 => y = 1/9 = aprox. 0,1
(-2 , 0’1)
-1
y = 3-1 => y = 1/31 => y = 1/3 = aprox. 0,3
(-1 , 0’3)
0
y = 30 => y = 1
(0 , 1)
1
y = 31 => y = 3
(1 , 3)
2
y = 32 => y = 9
(2 , 9)
3 y = 33 => y = 27 (3 , 27) Ya tenemos todos los valores que necesitamos para hacer un gráfico. Lo que vamos a usar son las coordenadas de la tercera columna, que son los puntos que vamos a marcar y luego a unir. Dicho así igual no se entiende, pero en la gráfica se va a ver claro.
La famosa gráfica… 30 25 20 15 10 5
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
…Y su explicación 30 20 10 0
-3 -2 -1 0
1
2
3
4
Aquí tenemos la representación gráfica de la función y = 3x . Es una curva sube cada vez más rápido. La forma que crean esta y todas las funciones exponenciales se llama “curva exponencial”, porque tiene forma de curva y sale de una función exponencial; mira tú qué fácil.
Cadaen uno los que pequeños cuadraditos marcados coordenadas que sacamos antes la de tabla, luego hemos unidoque contiene la línea naranja.son las Ahora vamos a ver la gráfica que forman otro tipo de funciones exponenciales, simplemente ver la curva que hacen, sin más.
y = -3x -3
-2
-1
0
0
-5 -10 -15 -20 -25 -30 Esta es de las que bajan muy rรกpido.
1
2
3
4
y = (1/3)x escribir y = 3 -x
(solo que esta a los matemรกticos les parece fea y la suelen , pero es lo mismo) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
Vale, ¿pero todo esto para qué sirve? › Pues si no vas a estudiar ninguna ciencia, es probable que no para mucho, pero últimamente se está hablando mucho de la “curva de contagios” del COVID-19,es decir, la cantidad de gente contagiada por este virus. La de abajo es la de España e Italia, ¿te suena? Espera, ¿no te recuerda a algo?
Se parecen, Âżverdad? 30 20 10 -3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
Esto es porque ambas son curvas exponenciales, porque resulta que las enfermedades tienen un crecimiento exponencial, es decir, que crecen siguiendo una ecuaciĂłn exponencial, y decrecen siguiendo otra, una de este tipo: 10 5 -3 -2 -1
0
0
1
2
3
4
Más sobre coronavirus
(y esas palabras raras que usan los periodistas que nadie entiende qué quieren
decir)
› Vamos a ver otra gráfica más exacta sobre el crecimiento de contagios de este virus en estas últimas semanas.
Más sobre enfermedades
› Para hablar de una enfermedad en concreto, primero tenemos que saber cómo se propagan y como se habla en términos médicos y matemáticos de las enfermedades en general.
La verdadera curva › Antes puse dos ejemplos de curva de contagios, pero en realidad ese tipo de curva no es exactamente de la que nos vamos ocupar, sino de otra que es una predicción de lo que pueda pasar, con una forma como esta (sin las personas, claro):
› Esta es la que aquí nos atañe, porque es de la que vamos a seguir hablando.
Palabrejas Primero hay que hablar de palabras, algunas a lo mejor dichas tal como se van a definir no se entienden, pero con una gráfica se va a entender. › Número de reproducción o R0: es la cantidad de personas a las que puede contagiar alguien con el virus hasta que se cura o muere. Cuanto menor sea R0 más dilatada en el tiempo y menos picuda va a ser la curva de contagios que produzca finalmente este virus. › Pico: puntos álgidos en una gráfica. Tienen forma de pico. › Tendencia: es lo que parece que va a seguir haciendo una gráfica incompleta, es decir, si parece que va a seguir subiendo, se va a estabilizar, va a empezar a bajar…
Una para aprender › Vamos a volver a tomar la curva de contagios de antes.
Esto son picos
Ahora la tendencia en Canarias es que baje el número de contagios, pero en el conjunto de España, la tendencia es a aumentar.
Hasta aquí la tendencia era que siguiera aumentando.
Hasta aquí la tendencia era a estabilizarse, es decir, que se quedara la gráfica plana.
“Aplanar la curva” › Seguro que le has oído decir a alguien en la tele que “se debe intentar aplanar la curva”, o algo parecido; pero, ¿qué quiere decir esto exactamente? › Lo más intuitivo es pensar que quiere decir que la curva en lugar de ser picuda sea más plana. Esto es correcto, pero como aquí estamos hablando de matemáticas vamos a ver lo que se quiere conseguir desde el punto de vista matemático. › Las enfermedades siguen una curva marcada por una función exponencial. Mientras aumentan los contagios es algo así (es más complicado, pero para entendernos): › Nº de contagios = R0nº de días que pasan desde el primer contagio
La ecuación para este virus › La fórmula que pusimos antes se puede cambiar un poquito para que sea más fácil de trabajar: › y = R0 x . Lo que va a mantenerse constante (por ahora) es el R0, y a partir de los valores de “x” vamos a hallar “y”, es decir, el número de contagiados. › El R0 que tiene este virus es más o menos 2, así que ya con todo sustituido queda así: › y = 2x › Toma función exponencial. › Con esto, la gráfica queda así:
Lo que pasaría según las matemáticas si todo se mantuviera igual:
Curva de contagios Covid-19 5000 4000 Número de contagiados
3000 2000 1000 0
0
2
4
6
8
10
12
14
¿Pero esto va a seguir así para siempre?¿Creciendo? › Ahora ya más de uno se habrá dado cuenta de que esto no puede seguir así indefinidamente, porque la gente se va a ir recuperando o muriendo, y luego estarán inmunizados, así que va a tener que bajar en algún momento esta curva. › Por eso he dicho que la ecuación que teníamos es muy básica, y no es cuestión de entrar ahora en detalles porque es complicado, perote diré que la gráfica quedaría algo así:
Curva de contagios 15 10 5 0
0
5
10
15
20
25
30
Más problemas › ¿Pero que tenga que acabar bajando es el único cambio que puede haber? No. › Y aquí es donde vamos a explicar en serio qué quiere decir eso de “aplanar la curva”. › Resulta que lo que quiere decir realmente “aplanar la curva” es hacer más pequeño R0, porque de esa manera no hay picos tan elevados, sino que todo son curvas suaves o líneas. Vamos a ver qué pasa con diferentes R0 con tablas de valores: Con R0 = 5:
Con R0 = 6:
x
y = 5x
x
y = 6x
1
5
1
6
2
25
2
36
3
125
3
216
4
625
4
1296
Solo con un R0 una unidad más grande, los resultados son mucho mayores.
Entonces, ÂżquĂŠ es lo menos malo que nos puede pasar? Pues lo que muestra este GIF, que consigamos cambiar la tendencia y hacer que crezca muy lento, de manera que no haya demasiados enfermos a le vez.
¿Y lo peor? Pues que la curva tome una forma así, más o menos, es decir, que haya muchos enfermos a la vez. 12 10 8 6 4 2 0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Y se acabó Espero que esta presentación te haya servido para entender un poquito qué es una función exponencial, las enfermedades o por lo menos para haber visto curvas naranjas y de colorines.