Guía matematica i by henry apellido

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

ITCA INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR JOSÉ CHIRIBOGA GRIJALVA CALIDAD Y EXCELENCIA EDUCATIVA MODALIDAD PRESENCIAL GUÍA DIDÁCTICA MATEMÁTICA APLICADA I

CARRERA:

DESARROLLO INTEGRAL DEL NIÑO

SEMESTRE: PRIMERO PERIODO:

OCTUBRE 2013- MARZO 2014

DATOS DE IDENTIFICACIÓN PROFESOR: TELÉFONO: E-MAIL: TUTORÍA:

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

ÍNDICE Pág. Presentación Objetivos generales Unidades de competencia Bibliografía Desarrollo de los contenidos: CONJUNTOS Competencias Sinopsis Temática: Concepto Clases Funciones Operaciones Talleres Tarea 1.1 Tarea 1.2 Desarrollo de los contenidos: FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA Competencias Sinopsis Temática: Operaciones fundamentales con números Potenciación y radicación Fracciones decimales y radicación Polinomios; funciones polinómicas

CONCEPTOS

Desarrollo de los contenidos: SISTEMAS DE NUMERACIÓN Competencias Sinopsis Temática: Definición de sistema de numeración Clasificación de los sistemas de numeración Decimal Binario Tarea 5.1. Tarea 5.2 Desarrollo de los contenidos: REGLA DE TRES Y PORCENTAJES Competencias 2

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva” Sinopsis Temática: Definición de regla de tres Clasificación Regla de tres simple: Directa e Inversa Regla de tres compuesta Definición de porcentaje Aumento sucesivo Descuento sucesivo Aplicaciones comerciales del tanto por ciento Tarea 6.1. Tarea 6.2 Tarea 6.3

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

PRESENTACIÓN La formación matemática juega un rol importante, en la carrera de Desarrollo Integral del Niño, cuyos conceptos básicos, estructuras, reglas, métodos, principios y habilidades que estimulan las facultades mentales superiores de la persona, capacitándola para resolver distintas situaciones problemas, no sólo en el ámbito del razonamiento matemático sino también en otras ciencias y en la vida diaria. Es necesario indicar que el aprendizaje de la matemática exige una clara comprensión y aplicación de las definiciones, propiedades, leyes y principios, a tal punto que hoy en día se considera que saber matemáticas es estar en condiciones de manejar conceptos y no simplemente números; por esta razón, sus esfuerzos deben estar encaminados en primer lugar a la aprehensión y comprehensión de los fundamentos teóricos, y que más adelante permiten las aplicaciones en la resolución de ejercicios y problemas. En consecuencia se pretende enfatizar en la solución de problemas como medio de comprensión. Los ejemplos están diseñados para razonar, instruir, y guiar a los profesionales en formación; por lo tanto los ejercicios proporcionarán a los estudiantes la oportunidad de juzgar, deducir y aplicar su conocimiento a situaciones del mundo real. La educación a distancia es fundamentalmente un proceso autónomo y muy sacrificado, pero se puede transformar en algo más sencillo y agradable, cuando las actividades se realizan de manera responsable, ordenada y en forma secuencial.

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

OBJETIVOS GENERALES



Interpretar la dinámica general de la teoría de Conjuntos, la interrelación entre sus diferentes clases, funciones y operaciones fundamentales.



Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollar las operaciones fundamentales con los números en base a potenciación y radicación, fracciones decimales y racionales y polinomios.



Manejar herramientas y técnicas de sistema de numeración decimal y binario.



Identificar y resolver problemas aplicando las reglas de tres y el manejo de los porcentajes.

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

UNIDADES DE COMPETENCIA

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva” MATEMÁTICA

OBJETIVOS

CONTENIDOS

BIBLIOGRAFÍA

CONJUNTOS OBJETIVOS

FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA SINÓPSIS

SISTEMA DE NUEMRACIÓN TEMÁTICA

REGLA DE TRES Y PORCENTAJES TAREAS

AUTOEVALUACIÓN

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

BIBLIOGRAFÍA TEXTO BASE: 1.- Álgebra elemental de González MANCIL Tomo I y II.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA: 1.

Haeussler, E. et al (2008), Matemáticas para administración y economía aplicadas a la administración y a la economía, México S.A. Editorial Pearson.

MATAMOROS Paz, Vicente (2004), Álgebra Básica, Loja, Editores Imprenta Cosmos.

REES, Paúl; SPARKS, Fred (2000) Algebra, México, Editorial Mac Graw Hill. Décima Edición

http://www.marin.esc.edu.ar/dock1/acquaviva/contenido/EJERCICIOSEXPRESIO NES.htm

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3e so/algebra/simbolizacion/simbolizacion.htm

6. 7. 8.

http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/cap2.html http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0221-04/4-estudioaplicaciones.html http://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/cap_02/cap2_2-1.html

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva” 9.

http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/Sucesiones_progresiones/sucesion5.ht m

10.

http://www.mate.com.mx/algebra/suc_geometricas/sucgeom0002.htm

11.

http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/Sucesiones_progresiones/sucesion5.ht m

DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS UNIDAD DE COMPETENCIA:

PARTE 1

CONJUNTOS

COMPETENCIAS

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

♦ Conocer y analizar cada una de las propiedades de los conjuntos de los números reales ♦ Ejemplificar cada una de las operaciones con conjuntos de números racionales e irracionales ♦ Investigar ejercicios de intervalos, para reforzar los conocimientos adquiridos

SINÓPSIS

CAPÍTULO I: CONJUNTOS 

Definiciones de conjuntos de números Enteros



Clases: Números Racionales e Irracionales



Intervalos



Funciones



Talleres

TEMÁTICA Al igual que en los conjuntos N, Z y Q, en los números reales R utilizaremos la recta numérica y los signos >, <, ", " e = para establecer las relaciones de orden entre dos números dados. En estos conjuntos, los números situados a la derecha son mayores que los situados a la izquierda. Relaciones ", " en R. 10

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Consideremos los números reales "3 y "2. Para compararlos hacemos aproximaciones racionales de las raíces. "3 " 1,732 y "2 " 1,414 1,732 > 1,414 "3 > "2 Al generalizar dos números reales a y b, decimos que a < b si b está mas a la derecha que a en la recta real. Si a < b, entonces b - a > 0 Los intervalos en R se definen como los intervalos en Q. Para expresar los intervalos abiertos es suficiente el signo < (menor qué), pero para expresar los intervalos cerrados, se necesita el signo " (menor o igual qué) Intervalo abierto (a,b)

Intervalo [a,b]

%% ab

cerrado Intervalo abierto a la Intervalo abierto a la derecha [a,b) izquierda (a,b] %% ab

%% ab

El intervalo abierto (a,b) está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, excluidos a y b. Se expresa por a < x < b. El intervalo cerrado [a,b] está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, incluidos a y b. Se expresa por a " x " b. Análogamente, el intervalo [a,b) se expresa a " x < b. y el intervalo (a,b] se expresa por a < x " b. De la recta numérica se puede deducir que: •

Cualquier numero positivo es mayor que cualquier numero negativo

•

Cualquier numero negativo es mayor que menor que cualquier numero positivo.

Orden en los números Reales Dados dos números reales a y b siempre se cumple uno de los siguientes casos: •

a>b 11

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva” •

a<b

•

a=b

Para ordenar un conjunto de números reales, se comparan dichos números y se establecen las relaciones de orden (>, < o =) que existen entre ellos.



TAREA 1.1. TEMA: NÚMEROS ENTEROS

Proceda a leer con detenimiento las páginas 8-9 del texto base, y luego resuelva las actividades de aprendizaje, las mismas que usted las entregará como tarea de trabajo individual en las jornadas presenciales.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Resuelva: • + (+8) - (-2) + (-5) - (-6) + (-9) - (+5) = • - (+4) - (-9) - (+6) - (+8) - (+13) + (-15) - (-25) = • + (+8) - (-17) + (-54) + (+31) - (-23) + (-52) - (-35) = • (+4) - (-5) + (-102) - (-345) + (-201) - (-322) + (-3) = • (-9) - (-36) + (-104) - (-325) + (+523) - (-2) = • - (-4) + (-107) - (-345) + (-21) - (-813) + (-459) = • (+21) - (-45) + (-37) - (+51) - (-43) + (-59) = • - (+51) - (+72) + (+63) - (+63) -(+69) +(-58)- (+25) = • + (-108) - (-205) + (-524) - (+831) - (-256) + (+729)= • - (-257) - (-345) + (+727) - (+512) + (-831) - (-1052)= • (+428) - (+513) - (-814) + (-526) - (-725) + (+205) = • - (-406) + (-517) - (-916) + (-725) - (-813) - (+54) = • - (-1592) + (+3512) - (-8415) - (+6741) - (+1000) = • (-8412) - (+5913) + (-4512) + (-4523) - (-8412) = • - (+6312) + (+4931) - (-5418) + (-64) - (+8761) = • (+8765) - (-4321) + (-8714) - (-7685) + (-3215) = • (+765) - (+9765) - (-3451) + (+7483) - (-1) = • (-2153) + (-5124) - (+976) + (-5413) - (+6514) = • (+543) - (-8765) + (+6512) + (+7148) - (-6182) = • - (+9876) - (+7542) + (+3145) - (+712) - (-8190) = • (+22315) - (-73514) + (-25438) - (-45321) + (-2) = • (-1) - (+21) - (-321) + (-4321) - (+54321) - (-654321) = • (+8542) - (-37512) + (+85213) - (+8543) - (-4951) = • - (+5143) - (-2435) + (-4352) - (-9513) + (+1321) - (-452) = 12

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva” • • • • • •



(+9154) - (-1342) - (+3421) - (-1583) + (+2342) - (+1342) = (+2)(-3) + (-4) + (-5) - (+6) (+2)(-4) + (-8)(-9) - (+4)(+2)(-1) (+2) + (-8)(-5)(+1) - (-4)(-3)(+2)(-1) (-3)(-2)(-1)(+1) + (-2)(+4) - (-3)(-2) + (-1)(+4) (+3)(+4) + (-1)(+8)(-9) - (+3)(-2)(+1) - (-2) + (-3)

TAREA 1.2. TEMA: CLASES: NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Resuelva: - Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de las siguientes ternas de números: a) 80, 120 y 72 b) 250, 72 y 225 c) 1.815, 99 y 275 -

Un tonel de vino está lleno. Se saca la mitad y luego se rellena con la tercera parte de su capacidad. Si en este momento en el tonel quedan 200 litros. a) ¿Qué fracción de la capacidad del tonel está llena de vino? b) ¿Qué fracción está vacía? c) ¿Cuál es la capacidad del tonel?

Luisa había leído en una semana la tercera parte de un libro; la semana siguiente leyó la cuarta parte del mismo. Si el libro tiene 288 páginas y quiere terminarlo de leer en cinco días, ¿cuántas páginas deberá leer por término medio cada día?

El 33 % de los alumnos de un colegio estudian francés, mientras que 31 de los alumnos de ese colegio estudian inglés. ¿Cuál de estas dos lenguas es más elegida por los alumnos?

Halla la expresión decimal de los siguientes números racionales:

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”



TAREA 1.3. TEMA: INTERVALOS

Proceda a leer con detenimiento el sitio http://www.scribd.com/doc/52763/Inecuacionesparte1, y luego resuelva las actividades de aprendizaje, las mismas que usted las entregará como tarea de trabajo individual a distancia en las jornadas presenciales.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE -

Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada expresión represente un número real.

Sea S =[− 4,2) y R = (0,10 ], hallar S ‫ ں‬R Dado p =(−8, 20) y q = (2,10),hallar p ‫ ں‬q Sea u = [−4, 5) y v = (1,10]. Hallar la unión, intersección, diferencia u − v y v − u y la diferencia simétrica



TAREA 1.4.

TEMA: FUNCIONES Una función f de un conjunto X en otro conjunto Y es una correspondencia que asocia a cada elemento x∈ X un único elemento y∈Y. La imagen de x mediante f es denotada y = f (x). El dominio de f es el conjunto X y el rango es el conjunto de todas las imágenes f (x) de los elementos x∈ X. Al elemento “x” se le llama variable independiente y al elemento “y” variable dependiente. Nosotros consideraremos funciones cuyo dominio y rango son conjuntos de números reales, las cuales reciben el nombre de funciones reales de una variable real. Función real de una variable real. Una función real de una variable real, es una función de un conjunto A ⊆ ℝ en otro conjunto B ⊆ ℝ, lo que se escribe f :A→B definida por y = f (x). A la variable independiente “x” se le llama también abscisa, y a la variable dependiente “y” ordenada. Una función real de una variable real se puede considerar como un conjunto f de pares ordenados (x; y) de números reales, en el que no pueden existir dos pares distintos con igual abscisa. Ejemplos 1.26. 1) f = {(−2, 4), (2,4), (3,9), (4,16), (5, 25)}, este conjunto es una función, puesto que, no existen pares distintos con igual abscisa.

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

2) g = {(1,3), (2,6),(3,9),(4,12), (3,15)}, este conjunto no es una función, porque, existen dos pares con igual abscisa: (3,9) y (3,15). 1.44. Gráfica de una función.

La gráfica de una función f, es la representación en el plano cartesiano de todos los puntos (x;

y)∈ℝ2 para los cuales (x; y) es un par ordenado de f. 1.45. Dominio, rango y gráfica de algunas funciones. Sean A ⊆ ℝ y B ⊆ ℝ. El dominio de una función f :A → B, esta formado por los valores que pueda tomar la variable independiente x∈A , de manera tal que y = f (x)∈ℝ.

El rango es el conjunto formado por todas las imágenes y = f (x) de x∈ A. Geométricamente, el dominio de una función es la proyección de su gráfica sobre el eje x o eje de las abscisas y el rango es la proyección sobre el eje y o eje de las ordenadas. A continuación se presentan algunas funciones elementales con sus respectivos dominios y rangos, y un ejemplo específico con su gráfica para comprobarlos. Todos los ejemplos son relacionados con la función que se esté presentando; se recomiendo tratar de entender las gráficas de todas las funciones porque la compresión de los dominios mediante ese recurso facilitará la determinación de los dominios de funciones compuestas complejas. Trate de memorizar los dominios y los rangos de las funciones presentadas a continuación. 1) f (x)=ax + b, a∈ℝ ∧ b∈ℝ.

Dom f ={x / x∈ℝ}=(−∞;+∞) , Rgo f ={x / x∈ℝ}=(−∞;+∞) Ejemplo 1.27. Consideremos la función f( )x =3 x − 1; su gráfica es mostrada en la figura 4 1.2; podemos verificar que el dominio es el señalado por definición.

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Resolver las siguientes funciones y establezca el dominio y el rango: a. f(x) = X3 +3 x2 +x+3 b. f(x) = X3 +2 x2 -x+6 c. f(x) = X3 +4 x2 +x+5 d. f(x) = X3 -7 x2 -x+4 e. f(x) = 4X3 +3 x2 +x+3 f. f(x) = 3 X-3 5 g. f(x) = 5 x – 8 7

DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS UNIDAD DE COMPETENCIA:

PARTE 2

FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

COMPETENCIAS

COMPETENCIAS ♦ ♦ ♦ ♦

Conocer y analizar cada una de las propiedades de la potenciación Ejemplificar cada una de las operaciones con potencias Investigar ejercicios de potenciación con números complejos Conocer las propiedades de la radicación mediante ejercicios y actividades de refuerzo

♦ Analizar todas las transformaciones de los radicales desde la simplificación hasta la reducción. ♦ Manejar las fracciones decimales y racionales ♦ Determinar el manejo de los polinomios.

SINÓPSIS

CAPÍTULO II: POTENCIACIÓN 

Propiedades de la potenciación



Potencia de exponente 0 y 1



Potencias de base 10



Operaciones con potencias

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

TEMÁTICA La potenciación no es una operación matemática, es una ley que se nota como a n, y que se lee "x elevado a n", que involucra dos números: la base a y el exponente n. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente: • Cuando el exponente es un número natural, la potenciación corresponde a una multiplicación de varios factores iguales: el exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Por ejemplo: En general:

•

Cuando el exponente es un entero negativo -p, una potencia que tenga exponente negativo es el resultado de elevar la fracción inversa de la base 1/a al exponente positivo p.

•

Cuando el exponente es una fracción irreducible m/n, se define

La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales. Como caso especial, destacar que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vacío o simplemente por analogía con el resto de números.

TAREA 2.1.



TEMA: PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Proceda a leer con detenimiento el sitio http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci %C3%B3n, y luego resuelva las actividades de aprendizaje, las mismas que usted las entregará como tarea de trabajo individual a distancia en las jornadas presenciales.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Resuelva: - 33 · 34 -

· 3

57 : 53

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva” -

(53)4 (5 · 2 · 3) 4 (34)4 [(53)4] (82)3 (93)2 25 · 24 · 2 (−2)2 · (−2)3 · (−2)4 (−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 2−2 : 23

- (-2)3 · (-2)4 · (-2)2 - (-6)2 + (-2)3 - (-4)2 - 22 · (-4)2 ·(-8)3 Simplifica utilizando las propiedades de las potencias

Calcula utilizando potencias de base 2, 3, 5

Averigua el valor que falta para que se cumpla la igualdad. a) 36 · 3___ = 310 b) (-2)8 · (-2)____ = (-2)15 c) 4___ · 47 = 420 d) (-3)7 · (-3)____ = (-3)2 e) 74 · 7____ = 7-6 f) 59 · 5____ = 5-1 g) 24 · 2____ = 1 h) 2___ · 23 = 23 Lee atentamente y resuelve aplicando propiedades de las potencias:

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

a) Calcula el volumen de un cubo cuya arista mide 2 3 cm. Expresa tu respuesta usando potencias b) Carola ha decidido regalar 24 dulces a cada uno de sus 2 5 amigos. ¿Cuántos dulces regalará en total? c) Si el área de un rectángulo es 135 m2 y su largo mide 132 m, calcula su ancho d) Si el área de un rectángulo es 304 m2 y su largo mide 54 m, calcula su ancho

TAREA 2.2.



TEMA: POTENCIA DE EXPONENTE 0 Y 1 Luego de la lectura de la página 9 del texto base, resuelva las actividades de aprendizaje propuestas a continuación. Recuerde que las actividades resaltadas con negrilla usted las entregará como tarea de trabajo individual a distancia en las jornadas presenciales. Las restantes le sirven como Autoevaluación.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Resuelva:



[(23 )4]0

La potencia 51 = La potencia 50 = La potencia 720 = La potencia 721 = La potencia 71 = La potencia 70 =

TAREA 2.3. TEMA: POTENCIAS DE BASE 10

Visite el sitio http://www.vadenumeros.es/cuarto/repaso-de-potencias.htm y resuelva las actividades de aprendizaje propuestas a continuación. Recuerde que las actividades usted las entregará como tarea de trabajo individual.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Resuelva: - 103 = - 105 = - 102 = - 104 = - 107 = - 106 = - Piensa una potencia que vale 1000 y su base es 10. ¿Cuál es el exponente? 20

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva” -

Escribe en forma abreviada los siguientes números: a) 0,0000009 = b) 0,000000045 = c) 0,0000000000000017 = d) 0,00000000024 = e) 0,00000033 = f) 0,000000000010 = Marca con una X los números escritos en notación científica ___ 4,85 · 10-9 ___ 23,54 · 108 ___ 0,41 · 103 ___ 5 · 10-4 ___ 83 · 1020 ___ 2,3 · 1015 ___ 0,04 · 10-16 ___ 1 · 1013 ___ 1,1 · 1016 ___ 6,8 · 1011 Expresa en notación científica los siguientes números: a) Velocidad de la luz: 300.000 km/s b) Radio terrestre: 6.370.000 metros c) Edad de la Tierra: 4.500.000.000 años d) Radio de la Luna: 1.700.000 metros e) Desaparición de los dinosaurios: 65.000.000 años f) Medida del virus de la gripe: 0,000000120 metros g) Medida del virus del SIDA: 0,0000001 metros h) Constante de gravitación universal: 0,0000000000667 Nm2/kg2 Expresa en notación científica .

a) b) c) d) e) f)



25 billones = 36 trillones = 4.590.000.000.000.000.000 = 0,0000000023 = 0,00000000000125 = 0,0000000000000000000099 =

TAREA 2.4. TEMA: OPERACIONES CON POTENCIAS

Visite el sitio http://www.vadenumeros.es/cuarto/repaso-de-potencias.htm y resuelva las actividades de aprendizaje propuestas a continuación. Recuerde que las actividades las entregará como tarea de trabajo individual a distancia en las jornadas presenciales.

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva” ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Resuelva: -

DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS 22

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

UNIDAD DE COMPETENCIA:

PARTE 3 RADICACIÓN

COMPETENCIAS ♦ Conocer las propiedades de la radicación mediante ejercicios y actividades de refuerzo ♦ Analizar todas las transformaciones de los radicales desde la simplificación hasta la reducción ♦ Realizar ejercicios para conocer todos las operaciones en las que se utilizan radicales ♦ Investigar y efectuar ejercicios de aprendizaje acerca de la racionalización de denominadores.

SINÓPSIS 23

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

CAPÍTULO III: RADICACIÓN 

Propiedades de la radicación



Transformaciones de radicales



Operaciones con radicación



Racionalización de denominadores



Adición y sustracción de radicales

TEMÁTICA La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando. En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado. La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b 2 = a. Raíz cuadrada exacta La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0. Cuadrados perfectos Son los números que poseen raíces cuadradas exactas . 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ... Raíz cuadrada entera Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera. Radicando = (Raíz entera) 2 + Resto



TAREA 3.1. TEMA: PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva” En

los

sitios:

http://www.vitutor.com/di/n/a_7.html#to, http://www.cam.educaciondigital.net/acquaviva/noveno/NUMEROSREALES/PROPRADICA.pdf

se explica con detenimiento este tema; sin embargo, le sugerimos, de ser necesario, leer varias veces con detenimiento, es preciso concentrar nuestra atención para comprender mejor dichos conceptos. Proceda luego a resolver las actividades de aprendizaje correspondientes.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Resuelva: -

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

TAREA 3.2.



TEMA: TRANSFORMACIONES DE RADICALES En los sitios: http://www.scribd.com/document_downloads/400561?extension=pdf, http://bitacoraed.wordpress.com/2007/09/23/transformacion-de-radicalesteoremafundamental-de-la-radicacion/, http://es.wikipedia.org/wiki/Amplificaci %C3%B3n_y_simplificaci%C3%B3n_de_radicales, se explica con detenimiento este tema; sin embargo, le sugerimos, de ser necesario, leer varias veces con detenimiento, es preciso concentrar nuestra atención para comprender mejor dichos conceptos. Proceda luego a resolver las actividades de aprendizaje correspondientes.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Simplifique los radicales, definir la potenciación de exponente fraccionario y reduzca a índice común: Escribe tres radicales iguales a cada uno de los siguientes radicales: 26

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Simplifique los siguientes radicales: -

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Reducir a índice común los siguientes radicales: -



TAREA 3.3. TEMA: OPERACIONES CON RADICACIÓN

En los sitios: http://www.ejemplode.com/5-matematicas/416ejemplo_de_simplificacion_de_radicales.html donde se explica con detenimiento este tema; sin embargo, le sugerimos, de ser necesario, leer varias veces con detenimiento, 28

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

es preciso concentrar nuestra atención para comprender mejor dichos conceptos. Proceda luego a resolver las actividades de aprendizaje correspondientes.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Efectúa los productos siguientes: -

Efectúa los siguientes cocientes de radicales:

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Calcula las potencias y simplifica el resultado haciendo: · Primos entre sí el índice y el exponente del radicando · Extrayendo todos los factores posibles -

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Calcular la raíz de un radical: -

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”



TAREA 3.4. TEMA: RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

En los sitios: http://bitacoraed.wordpress.com/2008/04/05/racionalizacion-de-denominadores, http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/racionalizar/racionalizar.htm donde se explica con detenimiento este tema; sin embargo, le sugerimos, de ser necesario, leer varias veces con detenimiento, es preciso concentrar nuestra atención para comprender mejor dichos conceptos. Proceda luego a resolver las actividades de aprendizaje correspondientes. 32

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Racionalizar:

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

TAREA 3.5.



TEMA: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES En los sitios: http://www.google.com.ec/search?hl=es&q=Adici%C3%B3n+y+sustracci %C3%B3n+de+radicales, http://www.monografias.com/trabajos10/radic/radic.shtml donde se explica con detenimiento este tema; sin embargo, le sugerimos, de ser necesario, leer varias veces con detenimiento, es preciso concentrar nuestra atención para comprender mejor dichos conceptos. Proceda luego a resolver las actividades de aprendizaje correspondientes.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Resuelva: -

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”



TAREA 3.6. TEMA: FRACCIONES DECIMALES Y RACIONALES

En los sitios: Básese en Mancill tomo I y II, en donde se explica con detenimiento este tema; sin embargo, le sugerimos, de ser necesario, leer varias veces con detenimiento, es preciso concentrar nuestra atención para comprender mejor dichos conceptos. Proceda luego a resolver las actividades de aprendizaje correspondientes. Un número racional es un número representado por el cociente de dos números enteros es decir, en forma de fracción (lo que normalmente llamamos quebrado), Por ejemplo: 5/7. El nuero de la izquierda se denomina numerador y el de la derecha denominador. Definición Un número racional es un número representado por el cociente de dos números enteros es decir, en forma de fracción (lo que normalmente llamamos quebrado), Por ejemplo: 5/7. El nuero de la izquierda se denomina numerador y el de la derecha denominador. 35

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a=a/1. Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.

Tipos de números Racionales

↑↑↑

Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica Los hay de cuatro tipos: • • • •

Enteros Decimal exacto Decimal periódico puro Decimal periódico mixto

↑↑↑ Enteros Cualquier número entero se puede poner en forma de fracción de dos enteros, él mismo y la unidad. Ejemplos 5 10 25 5=---- = ----- = ----- = ..... 1 2 5 -2 10 2 -2=---- = ----- = ----- = ..... 1 -5 -1 2900 5800 2900=------ = ----- = 1 2

.....

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

0 0 0 0=---- = ----- = ----- = ..... 1 2 -5

↑↑↑ Decimal exacto Es un número que tiene un número finito de decimales. Para pasarlo a forma de fracción se escriben todas sus cifras, incluidos los decimales, y se divide por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga. Después se puede multiplicar o dividir numerador y denominador por un mismo número para obtener fracciones equivalentes, que todas ellas representan el mismo número racional. Ejemplos 24 12 36 2,4=---- = ----- = ----- = ..... 10 5 15 125 25 5 1,25=---- = ----- = ----- = ..... 100 20 4 45128 5641 45,128 =------- = -------- = 1000 125

↑↑↑ Decimal periódico puro Es un número indefinidamente.

que

tiene

infinitas

cifras

decimales

que

repiten

Para pasarlo a forma de fracción de números enteros, se escribe en el numerador la parte entera seguida del grupo de cifras del período, y se le resta la parte entera, y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tiene el período.

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva” Ejemplos 234-2 232 2,34343434... = 2,34periodo =------- = ----99 99 03-0 3-0 3 1 0,333333... = 0,3periodo =------ = ----- = ----- = ----9 9 9 3

↑↑↑ Decimal periódico mixto Es un número que tiene infinitas cifras decimales periódicas, pero tiene algunas, justo detrás de la coma que no se repiten. Para pasarlos a forma de fracción de números enteros se escribe en el numerador la parte entera seguida de la parte no periódica y del período, menos la parte entera seguida de la parte no periódica, y en el denominador tantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica. Ejemplos 735482-7354 728128 7,3548282828282... = 7,354 82Periodo = ------------- = ---------99000 99000 345-3 342 0,345454 = 0,3 45Periodo = ------- = ----990 990 Una forma de comprobar si has hecho bien el paso de decimal a fracción es coger la calculadora y dividir numerador entre denominador, te tiene que salir el decimal que tenías al principio. Y ya no hay más Cualquier número racional tiene una de estas cuatro formas Y viceversa, si coges cualquier fracción de números enteros, al hacer la división verás que siempre te va a dar un número con la forma de una de las cuatro que hemos descrito, o sea o te da entero, o un decimal exacto, o un decimal periódico puro, o un decimal periódico mixto.

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

↑↑↑ Operaciones con números Racionales

↑↑↑ Equivalencia Dos fracciones son equivalentes, y se expresa a a' ---- = ---b b'

si a · b' = b · a'.

Ejemplo 27 9 ---- = ---36 12

Porque 27 * 12 = 36 * 9 = 324

↑↑↑ Simplificación Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha reducido: a a' * d ---- = ---------b b' * d

a' = ------b'

Por ejemplo: 120 12 ---- = ---90 9 La fracción final es el resultado de simplificar dividiendo sus términos por 10. Fracción irreducible Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son números primos entre sí. La fracción 3/5 es irreducible. La fracción 12/9 no es irreducible porque se puede simplificar:

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva” 12 3 ---- = ---9 4

Reducción a común denominador Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos, entonces se dice que se ha reducido al mínimo común denominador. (m.c.m.)[http://es.encarta.msn.com/encyclopedia_961546360/M %C3%ADnimo_com%C3%BAn_m%C3%BAltiplo.html] Por ejemplo, para reducir a común denominador las fracciones 2 3 ---- ; ---3 4

3 ; ---5

Se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene: 2 60 3 40 3 54 ----= ---- ; ---- = ------ ; ---- = ----3 90 4 90 5 90 Es decir, 60 40 ---- ; ---90 90

54 ; ---90

Es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90. Pero si en vez de 90 se toma como denominador común 45, que es el m.c.m. de 3, 9 y 5, entonces se obtiene 30 20 ---- ; ---45 45

27 ; ---45

Que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común denominador.

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva” Suma de fracciones

Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo: 2 3 3 30 20 27 30 + 20 + 27 77 ---- + ---- + ---- = ------ + ---- = ----- = ---------------= ---3 4 5 45 45 45 45 45

↑↑↑ Producto de fracciones El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores: a c a * d ---- * ----- = ------b d b * c

↑↑↑ Inversa de una fracción La inversa de una fracción a/b es otra fracción, b/a, que se obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a 1: a b a * b ---- * ----- = ------- = 1 b a b * a

↑↑↑ Cociente de fracciones El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda: a p a q a * q ---- : ----- = ----- * ------- = ------b q b p b * p

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Resuelva: 41

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva” ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”



TAREA 3.7. TEMA: POLINOMIOS: FUNCIONES

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Resuelve de adentro hacia afuera 1)

2) 3) 47

MATEMÁTICA APLICADA II

5) 6) 7) 8)

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS UNIDAD DE COMPETENCIA:

PARTE 4 SISTEMA DE NUMERACION

COMPETENCIAS Se realizará una serie de ejercicios de aplicación como respaldo  Analizar, reconocer y aprender a aplicar los diferentes conceptos sobre sistema de numeración.  Conocer la clasificación de los sistemas de numeración: decimal y binario. 

MISIÓN: 45 Formar profesionales tecnólogos altamente calificados, con valores éticos, humanistas y espíritu emprendedor que les permita asumir retos empresariales; comprometiéndose con la cultura, cuidado del medio ambiente y el desarrollo socioeconómico de la región norte del país.

MATEMÁTICA APLICADA II

SINÓPSIS CAPÍTULO IV: SISTEMA DE NUMERACIÓN 

Definición del sistema de numeración



Clasificación de los sistemas de numeración



Decimal



Binario

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

MISIÓN: 47 Formar profesionales tecnólogos altamente calificados, con valores éticos, humanistas y espíritu emprendedor que les permita asumir retos empresariales; comprometiéndose con la cultura, cuidado del medio ambiente y el desarrollo socioeconómico de la región norte del país.

MATEMÁTICA APLICADA II

Sistema de numeración decimal En el sistema de numeración decimal se utilizan sólo diez símbolos para representar cualquier número. Las diez cifras llamadas dígitos son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. El valor de cada dígito en un número está en relación a la posición que ocupa. Cada cifra ubicada a la izquierda de otra aumenta diez veces su valor. Sistema posicional de numeración

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

Es un conjunto de principios que permiten la correcta formación, escritura y lectura de los números. Principios fundamentales a) Del orden. Toda cifra que forma parte de un número ocupa un orden determinado, el cual se considera de derecha a izquierda. Valor absoluto y valor relativo de una cifra en un número I) Valor absoluto (V.A.) Es el valor que tiene la cifra por su representación, no se toma en cuenta la posición de la cifra. II) Valor relativo (V.R.) Es el valor que tiene la cifra, de acuerdo a la posición que ocupa dentro del número. b) De la base. Todo sistema de numeración tiene una base, la cual es un número entero positivo mayor que 1, que nos indica el número de unidades suficientes y necesarias de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. c) De las cifras. Las cifras que forman un numeral deben ser enteros positivos, donde la cifra que ocupa el primer lugar debe ser diferente de cero y todas las cifras deben ser menores que la base. Sistema binario El sistema de numeración binario es el sistema de base 2. Este sistema utiliza sólo dos símbolos: 0 y 1. Cualquier número puede expresarse como una combinación de los símbolos 0 y 1, teniendo en cuenta el siguiente principio: Dos unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. Sistema Ternario Este sistema utiliza tres símbolos: 0; 1 y 2. Su principio fundamental es: Tres unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. Para expresar gráficamente un número en el sistema ternario, podemos ayudarnos con las mismas figuras que empleamos en el sistema binario, con la diferencia que ahora las agrupaciones se harán de tres en tres. Escritura de números consecutivos en cualquier base Ya sabemos escribir números consecutivos en el sistema de numeración decimal (o sistema de base 10). Ahora escribiremos números consecutivos en otras bases; sólo hay que tener en cuenta que si estamos en el sistema de base n, n unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. Por ejemplo, en el sistema de base 5 MISIÓN: 49 Formar profesionales tecnólogos altamente calificados, con valores éticos, humanistas y espíritu emprendedor que les permita asumir retos empresariales; comprometiéndose con la cultura, cuidado del medio ambiente y el desarrollo socioeconómico de la región norte del país.

MATEMÁTICA APLICADA II

se cumple que 5 unidades de primer orden forman una unidad de segundo orden; 5 unidades de segundo orden forman una unidad de tercer orden; 5 unidades de tercer orden forman una unidad de cuarto orden, etc. Representación literal de los números Cuando no se conocen las cifras de un número, éstas se representan con letras y con una rayita arriba. Tener en cuenta las siguientes observaciones: * La primera cifra de un número debe ser diferente de cero. * Toda expresión entre paréntesis representa a una cifra. * Las letras diferentes no necesariamente representan a cifras diferentes, salvo que se indique. * Las letras iguales sí representan a cifras iguales. Descomposición polinómica de un número La descomposición polinómica es la suma de los valores relativos de las cifras que conforman el número. El resultado de efectuar esta descomposición es el equivalente del número en base 10. Cambios de base I ) De una base diferente de 10 a base 10 Un número que está escrito en una base diferente de 10 se transforma a base 10 mediante la descomposición polinómica. II. De base 10 a una base distinta Para convertir un número de base 10 a otra base, se divide el número dado entre la base a la cual se desea transformar, si el cociente es mayor que el divisor se continúa con la división hasta obtener un cociente menor que la base. Este procedimiento se llama divisiones sucesivas. III. De una base distinta de 10 a otra también distinta de 10 En este caso primero se pasa a base decimal y luego a la base deseada, haciendo uso de los métodos expuestos en los casos anteriores. Aplicación:

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

MISIÓN: 51 Formar profesionales tecnólogos altamente calificados, con valores éticos, humanistas y espíritu emprendedor que les permita asumir retos empresariales; comprometiéndose con la cultura, cuidado del medio ambiente y el desarrollo socioeconómico de la región norte del país.

MATEMÁTICA APLICADA II

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1. Hallar (a+c)2 si: aacc(6) = 1670 (9) 2. Hallar (z+x)3 si: zzxx(4) = 1090 (8) 3. Hallar (m+n)5 si: mmnn(3) = 1050 (5) 4. El número 100 se expresa en base 6 como aabb (6) ¿Cómo se expresa aaa (b) en base 10? 5. El número 500 se expresa en base 8 como xxbb (6) ¿Cómo se expresa xxx (b) en base 10?

DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS UNIDAD DE COMPETENCIA:

PARTE 5 REGLA DE TRES Y PORCENTAJES MISIÓN: 53 Formar profesionales tecnólogos altamente calificados, con valores éticos, humanistas y espíritu emprendedor que les permita asumir retos empresariales; comprometiéndose con la cultura, cuidado del medio ambiente y el desarrollo socioeconómico de la región norte del país.

MATEMÁTICA APLICADA II

COMPETENCIAS   

Conocer las reglas de tres Analizar los porcentajes Conocer y aplicar mediante casos prácticos.

SINÓPSIS CAPÍTULO V : REGLAS DE TRES Y PORCENTAJES 

Definición de regla de tres



Clasificación



Definición de porcentajes

TEMÁTICA REGLA DE TRES 54

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

La regla de tres o regla de tres simple es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados. Regla de tres es la operación de hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres. La regla de tres más conocida es la regla de tres simple directa, si bien resulta muy práctico conocer la regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta, pues son de sencillo manejo y pueden utilizarse para la resolución de problemas cotidianos de manera efectiva. CLASIFICACIÓN: Regla de tres simple En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valor X, calculamos un cuarto valor. Y,4

La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa, será directa cuando a un mayor valor de A habrá un mayor valor de B, y será inversa, cuando se dé que, a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B, veamos cada uno de esos casos. a. Regla de tres simple directa

MISIÓN: 55 Formar profesionales tecnólogos altamente calificados, con valores éticos, humanistas y espíritu emprendedor que les permita asumir retos empresariales; comprometiéndose con la cultura, cuidado del medio ambiente y el desarrollo socioeconómico de la región norte del país.

MATEMÁTICA APLICADA II

La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, la regla de tres establece una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:

Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos representar:

y diremos que: A es a B directamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de B por X dividido entre A. Imaginemos que se nos plantea lo siguiente: Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones? Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor número de habitaciones hará falta más pintura, y lo representamos así:

b. Regla de tres simple inversa En la regla de tres simple inversa, en la relación entre los valores se cumple que:

donde e es un producto constante, para que esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara una disminución de B, para que su producto permanezca constante, si representamos la regla de tres simple inversa, tendremos:

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

y diremos que: A es a B inversamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X. Si por ejemplo tenemos el problema: Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores en levantar el mismo muro? Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo).

El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo harán en 40 horas, etc. En todos los casos el número total de horas permanece constante. Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simple inversa, tenemos:

Regla de tres compuesta En ocasiones el problema planteado involucra más de tres cantidades conocidas, además de la desconocida. Observemos el siguiente ejemplo: Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, ¿cuántos trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metros en 26 horas? En el problema planteado aparecen dos relaciones de proporcionalidad al mismo tiempo. Además, para completar el ejemplo, se ha incluido una relación inversa y otra directa. En efecto, si un muro de 100 metros lo construyen 12 trabajadores, es evidente que para construir un muro de 75 MISIÓN: 57 Formar profesionales tecnólogos altamente calificados, con valores éticos, humanistas y espíritu emprendedor que les permita asumir retos empresariales; comprometiéndose con la cultura, cuidado del medio ambiente y el desarrollo socioeconómico de la región norte del país.

MATEMÁTICA APLICADA II

metros se necesitarán menos trabajadores. Cuanto más pequeño es el muro, menos número de obreros precisamos: se trata de una relación de proporcionalidad directa. Por otro lado, si disponemos de 15 horas para que trabajen 12 obreros, es evidente que disponiendo de 26 horas necesitaremos menos obreros. Al aumentar una cantidad, disminuye la otra: se trata de una relación de proporcionalidad inversa. El problema se enunciaría así: 100 metros son a 15 horas y 12 trabajadores como 75 metros son a 26 horas e Y trabajadores. La solución al problema es multiplicar 12 por 75 y por 15, y el resultado dividirlo entre el producto de 100 por 26. Por tanto, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que por redondeo resultan ser 6 trabajadores ya que 5 trabajadores no serían suficientes). Formalmente el problema se plantea así:

•

La resolución implica plantear cada regla de tres simple por separado. Por un lado, la primera, que, recordemos, es directa, y se resuelve así:

•

A continuación planteamos la segunda, que, recordemos, es inversa, y se resuelve así:

•

A continuación unimos ambas operaciones en una sola, teniendo cuidado de no repetir ningún término (es decir, añadiendo el término C una sola vez):

lo que nos da la solución buscada. El problema se puede plantear con todos los términos que se quiera, sean todas las relaciones directas, todas inversas o mezcladas, como en el caso anterior. Cada regla ha de plantearse con sumo cuidado, teniendo en cuenta si es inversa o directa, y teniendo en cuenta (esto es muy

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

importante) no repetir ningún término al unir cada una de las relaciones simples. Ejemplos • Para pasar 60 grados a radianes podríamos establecer la siguiente regla de tres: Ubicamos la incógnita en la primera posición:

Esto formaliza la pregunta "¿Cuántos radianes hay en 60 grados, dado que π radianes son 180 grados?". Así tenemos que:

Donde π es el Número π. Una técnica útil para recordar cómo encontrar la solución de una regla de tres es la siguiente: X es igual al producto de los términos cruzados (π y 60, en este caso) dividido por el término que está frente a X. •

Calcular cuántos minutos hay en 7 horas. Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo que escribimos:

El resultado es:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Resuelva: Reducción a la unidad: 1. Si 8 kilos de manzanas valen 16 euros, ¿cuántos euros vale un MISIÓN: 59 Formar profesionales tecnólogos altamente calificados, con valores éticos, humanistas y espíritu emprendedor que les permita asumir retos empresariales; comprometiéndose con la cultura, cuidado del medio ambiente y el desarrollo socioeconómico de la región norte del país.

MATEMÁTICA APLICADA II

kilo? 2. De problema anterior, ¿cuántos kilos podré comprar con un euro? 3. Tengo 12 botellas de vino y me han costado 120 euros. ¿Cuántos euros vale una botella? 4. Del problema anterior, ¿cuántas botellas puedo comprar con un 1 euro? 5. Si 500 ruedas de metal pesan 3000 kilos, ¿cuántos kilos pesa cada rueda? 6. Del problema anterior, ¿cuántas ruedas podré hacer con 1 kilo? Regla de tres directa: 1. Unos 6 kilos de bombones cuestan 6,3 euros, ¿cuánto costarán 12 kilos? 2. Un obrero fabrica 200 piezas en 5 horas. ¿Cuántas piezas puede fabricar en 48 horas? 3. Un pintor tarde 3 horas en pintar 30 cuadros.¿Cuánto tardará en pintar 200 cuadros? 4. Un montador cobra 72 euros por 40 horas de trabajo.¿Cuánto cobrará por 80 horas? 5. Con 12 kilogramos de manzanas se obtienen 7 litros de sidra. ¿Cuántos litros se obtendrán con 48 kg? 6. Si 8 metros de cable cuestan 13 euros, ¿cuánto costarán 16 metros? Regla de tres inversa: 1. Unos 30 soldados cavan una trinchera en 5 días. ¿Cuántos días le costarán a 15 soldados? 2. Un coche de Teruel a Zaragoza tarda 3 horas a una velocidad de 80 kilómetros por hora. ¿Cuántas horas tardará a una velocidad de 120 km por hora? 3. Unos 5 albañiles tardan 45 días en hacer un chalet. ¿Cuántos días tardarán en hacerlo 15 albañiles? 4. Leyendo 20 páginas cada día terminé un libro en 33 días. ¿Cuántos días tardaré leyendo 30 páginas diarias?

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

TEMÁTICA PORCENTAJE En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que tiene el número 100 como denominador. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa “de cada cien unidades”. Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad. El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación. 1 Por ejemplo, "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32 % y significa 'treinta y dos de cada cien'. También puede ser representado como:

y, operando: El 32% de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000, es decir: MISIÓN: 61 Formar profesionales tecnólogos altamente calificados, con valores éticos, humanistas y espíritu emprendedor que les permita asumir retos empresariales; comprometiéndose con la cultura, cuidado del medio ambiente y el desarrollo socioeconómico de la región norte del país.

MATEMÁTICA APLICADA II

640 unidades en total. El porcentaje se usa para comparar una fracción (que indica la relación entre dos cantidades) con otra, expresándolas mediante porcentajes para usar 100 como denominador común. Por ejemplo, si en un país hay 500 000 enfermos de gripe de un total de 10 millones de personas, y en otro hay 150 000 enfermos de un total de un millón de personas, resulta más claro expresar que en el primer país hay un 5% de personas con gripe, y en el segundo hay un 15%, resultando una proporción mayor en el segundo país. El símbolo % es una forma estilizada de los dos ceros. Evolucionó a partir de un símbolo similar sólo que presentaba una línea horizontal en lugar de diagonal (c. 1650), que a su vez proviene de un símbolo que representaba "P cento" (c. 1425). Signos relacionados incluyen ‰ (por mil) y e ‱ (por diez mil, también conocido como un punto básico), que indican que un número se divide por mil o diez mil, respectivamente. El tanto por ciento como fracción El tanto por ciento se divide entre 100 y se simplifica la fracción. Ejemplo: Para saber cómo se representa el 10 % en fracción se divide y luego se simplifica:

El porcentaje La fracción común se multiplica por 100 y se resuelve la operación, como resultado será el porcentaje. Ejemplo: Para representar 1/10 como un porcentaje se hace la operación siguiente:

Obtener un tanto por ciento de un número Para obtener un tanto por ciento de un número simplemente se multiplica. Por ejemplo, el 25 % de 150 es . Alternativamente, en un método muy habitual antaño, se construye una regla de tres simple directa. Así, para calcular el 25% de 150 se hace la regla de tres: simplemente se multiplica cruzado y divide por el que queda solo o en conjunción con el restado.

Por tanto: 37.5 es el 25% de 150

Descuento de precios A menudo los negocios venden productos a un precio de descuento. El negocio hará un descuento en un producto utilizando un porcentaje del

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “José Chiriboga Grijalva”

Ibarra – Imbabura Sucre 3-50 entre Grijalva y Borrero Fax: 06 2958 120 Telf: 06 2611 274 www.tecnologicoitca.edu.ec

precio original. Por ejemplo, un producto que originalmente cuesta $20 podría tener un 25% de descuento. Para averiguar la cantidad del descuento calcula el 25% de $20. ($20.00*25/100=$5.00) Resta el descuento del precio original para averiguar el precio de venta. (precio de venta $20.00-$5.00=$15.00 ). Estos son algunos términos que puedes ver para productos descontados: 50% menos Ahorre 50% Descontado en 50%

Margen de ganancia Los negocios compran los productos a mayoristas o distribuidores e incrementan el precio cuando venden los productos a los consumidores. El incremento en el precio les proporciona dinero para el funcionamiento del negocio y para los sueldos de la gente que ahí trabaja. Un negocio puede tener una regla que el precio de determinado tipo de producto necesita un incremento de un determinado porcentaje para establecer a cuanto venderlo. Este porcentaje se llama margen de ganancia. Si se conoce el costo y el porcentaje de del margen de ganacia, el precio de venta es el costo original más la cantidad del margen de ganancia. Por ejemplo, si el costo original es $4.00 y el margen de ganancia es 25%, el precio de venta debería ser $4.00 + $4.00*25/100 = $5.00. Una forma más rápida de calcular el precio de venta es igualar el costo original a 100%. El margen de ganancia es 25% entonces el precio de venta es 125% del costo original. En el ejemplo, $4.00 * 125/100 = $5.00.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Resuelva: 1.-El prensado de su peso obtenida.

de en

1.500 kg de aceituna produjo el 36% aceite. Calcula la cantidad de aceite

2.- Si hoy han faltado a clase por enfermedad el 20% de los 30 alumnos/as, ¿cuántos alumnos han asistido? ¿Cuántos alumnos/as han faltado? 3.- Los embalses de agua que abastecen a una ciudad tienen una capacidad total de 400 km3 , y se MISIÓN: 63 Formar profesionales tecnólogos altamente calificados, con valores éticos, humanistas y espíritu emprendedor que les permita asumir retos empresariales; comprometiéndose con la cultura, cuidado del medio ambiente y el desarrollo socioeconómico de la región norte del país.

MATEMÁTICA APLICADA II

encuentran contienen?

capacidad.

km 3

¿Cuantos

4.- En una población de 7.000 habitantes, el 80% tiene más de 18 años. Averigua el número de personas mayores de esa edad. 5.De 500 les gusta el un porcentaje.

mujeres fútbol.

encuestadas, Expresa es

370 afirman que cantidad mediante

6.- María recibe el 12% del dinero de las ventas que realiza. ¿Cuánto tendrá que vender para ganar 4.800 €? 7.- Juan cobra 26.000 € al año y paga impuestos. ¿Qué porcentaje de impuestos paga?

5.200

€