1000 Baitap by Quốc Văn Hà

Hà Quốc Văn

Phương trình quy về phương trình bậc hai Phương trình a[f(x)]² + bf(x) + c = 0 Cách giải: ðặt t = f(x). Phương trình trùng phương ax4 + bx² + c = 0 Cách giải: ðặt t = x², ðK: t ≥ 0. 2

e d Phương trình ax + bx³ + cx² ± dx + e = 0 (ab ≠ 0) với =   a b Cách giải: Vì x = 0 không là nghiệm, chia 2 vế phương trình cho x²: e  d  d   a  x2 + 2  + b  x ± + c = 0 . ðặt x= x ±  bx  bx ax    4

1  1   * ðặc biệt a=e; b=d: pt ⇔ a  x 2 + 2  + b  x ±  + c = 0 x x    1 1 ðặt t = x + . ðK |t|≥ 2 (hoặc t = x − , t∈R) x x Phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m với a + b = c + d Cách giải: PT ⇔ [x² + (a + b)x + ab][x² + (c + d)x + cd] = m. ðặt t = x² + (a + b)x

Phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx² với ab = cd Cách giải: PT ⇔ [x² + (a + b)x + ab][x² + (c + d)x + cd] = mx² ab   cd   ⇔ x + a + b + x +c+d+  =m   x  x   ab ðặt t = x + x Phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c a+b a−b Cách giải: ðặt t = x + , m= 2 2 4 4 PT ⇔ (t + m) + (t – m) = c ⇔ [(t + m)² + (t – m)²]² – 2(t + m)²(t – m)² = c ⇔ 4(t² + m²)² – 2(t² – m²)² = c. Phương trình bậc ba ax³ + bx² + cx + d = 0 * ðoán nghiệm xO + Nếu a + b + c + d = 0: ph.trình có 1 nghiệm xO = 1 + Nếu a – b + c – d = 0: ph.trình có 1 nghiệm xO = – 1 m + Nghiệm hữu tỉ của pt có dạng x O = với m là ước số của d, n là ước số của a, n thay lần lượt các giá trị xO vào pt ñể tìm nghiệm xO * Phân tích thành pt tích: ax³ + bx² + cx + d = (x – xO)(ax² + b’x + c’) + Phép chia ña thức + Thuật toán Horner Trang 2

1. Giải các phương trình 4 2 1) x − 8x − 9 = 0 2) x4 − 4x2 + 3 = 0 3) (x – 1)4 + (x + 1)4 = 16 4) (2x – 3)4 + (2x – 5)4 = 2 5) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 6) (x – 2)(x –1)(x + 2)(x + 4) = 16x² 4 3 2 7) x + 4x – 23x + 4x + 1 = 0 4 3 2 8) x + 4x – 3x – 14x + 6 = 0 9) (x2 – 6x – 9)2 = x3 – 4x2 – 9x 10) x³ + 2x² – 4x – 3 = 0 11) 27x³ + 54x² – 81x + 22 = 0 12) x³ – 3 3 x² + 7x – 3 = 0 2. Tìm m ñể các phương trình có 3 nghiệm phân biệt: 2 1) x³ − 2(m – 3)x + (m − 2)x + m – 5 = 0 2) x³ + (2 – m)x² + (3 – m)x + 2m + 6 = 0 3) x³ + (1 – m)x² – (m + 5)x – 5 = 0 3. Tìm m ñể các phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt 1) (x + 1)2 = 2|x + m| 2) |2x² – mx + 2| = |x² + x – 2m +1|

Bất phương trình tích – thương f(x) f(x) f(x) f(x) > 0; < 0; ≥ 0; ≤0 g(x) g(x) g(x) g(x) → Tìm nghiệm của tử và mẫu → Lập bảng xét dấu: trên mỗi khoảng nghiệm VT chỉ mang một dấu → KL

→ Biến ñổi về dạng

4. Giải các bất phương trình 1) 2) 3)

(x 2 − 3x + 2x)(5 − 2x)(4x + 3) (x − 3x 2 )(2 − x) x(x 2 − x − 2)(2x − 5) (x 2 + 3x + 2)(4 − 3x)

x2 − x − 2

≥2−

≤0

3 x +1

x + 3x + 2 x2 − x − 5 3x 4 4) < − x +3 x x 2 + 3x 5) (x − 2)(x 2 + 3x − 5) < (x − 2)(x 3 − x − 1) 2

Trang 3

Tam thức không ñổi dấu Cho f(x) = ax² + bx + c ( a ≠ 0) a > 0 f(x) > 0, ∀x∈R ⇔  ∆ < 0

a < 0 f(x) < 0, ∀x∈R ⇔  ∆ < 0

5. ðịnh m ñể: 1) f(x) = x² – 2mx – m > 0 , ∀x∈R 2 2) f(x) = –x – 4(m+1)x + m – 3 ≤ 0 , ∀x∈R 2 3) f(x) = x − 2mx + m + 6 ≥ 0 , ∀x∈R 4) f(x) = x2 – 2(m – 1) x + m2 – 3 > 0 , ∀x∈R 6. Tìm m sao cho: 1) f(x) = mx² – 4x + 3m + 1 > 0 , ∀x∈R 2) f(x) = (3 − m)x² − 2(m + 1)x + 3(m − 2) ≤ 0 , ∀x∈R 3) f(x) = (x + 2)(x + 4)(x² + 6x + 10) ≥ m , ∀x∈R 7. Tìm m ñể các bất phương trình vô nghiệm: 2 1) (2m + 1) x + 3(m + 1) x + m +1 < 0 2 2) mx − 4x + 3m + 1 > 0

ðẠO HÀM ðịnh nghĩa: Cho f(x) xác ñịnh trên (a;b) và x0 ∈ (a;b) f(x 0 + ∆x) − f(x 0 ) f(x) − f(x 0 ) ∆y f /(x0) = y /(x0) = lim = lim = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 x → x0 ∆x x − x0 f(x + ∆x) − f(x) (Lập tỉ − Tìm lim) ∆x → 0 ∆x ∆y ðạo hàm bên trái : f /(x0−) = lim ∆x → 0 − ∆ x ∆y ðạo hàm bên phải : f /(x0+) = lim ∆x → 0 + ∆ x / − / + / f (x0 ) = f (x0 ) = A ⇔ f (x0) = A f(x) có ñạo hàm tại x0 ⇒ f(x) liên tục tại x0 f(x) không liên tục tại x0 ⇒ f(x) không có ñạo hàm tại x0 ðạo hàm trên khoảng: f /(x) = lim

QUY TẮC TÍNH ðẠO HÀM (u ± v) / = u / ± v / (uv) / = u /v + v /u ⇒ (uvw) / = u /vw + uv /w + uvw / (k.u) / = k.u / (k ∈ R) /

u/ v − uv / u ⇒ (v ≠ 0) v = v2  

ðạo hàm của hàm số hợp: y=f(u); u=g(x) thì y’x = y’u.u’x Trang 4

BẢNG CÁC ðẠO HÀM * c / = 0 (c ∈ R) (xα )/ = α.xα − 1

* x/ = 1

* (ku) / = k.u / (uα )/ = α.uα − 1u/ /

u/ 1 u = − 2 u  

1 1 x = − 2 x   /

n.u / 1  = −  n un+1 u 

n  1   n  = − n+1 x x  1 ( x )/ = 2 x 1 (n x )/ = n n x n−1

2 u u/

( u) =

( u) n

n un−1 (sinu) / = cosu.u/ (cosu) / = − sinu.u/ u' / (tanu) / = = (1 + tan²u).u cos 2 u u' (cotu) /= − 2 = –(1+cot²u).u/ sin u

(sinx)/ = cosx (cosx)/ = − sinx 1 (tanx)/ = = 1 + tan²x cos 2 x 1 (cotx) /= – = – (1+ cot²x) sin2 x

ñặc biệt /

a b c d

 ax + b  ☺  = cx + d (cx + d)2   /

 ax + bx + c  ☺ =  Ax + B    2

 ax 2 + bx + c  ☺ 2 =  Ax + Bx + C   

aAx 2 + 2aBx +

b c A B

(Ax + B)2 x2

a b a c b c + 2x + A B A C B C (Ax 2 + Bx + C)2 /

ðạo hàm cấp cao: f (n) (x) =  f (n−1) (x)  (n ≥ 2)   8. Tìm m thỏa :

1 x³ – mx² + (m + 1)²x – 5. ðịnh m ñể y / ≥ 0, ∀x∈R 3 2) y = –2x³ – (m + 2)x² + mx – m + 2. ðịnh m ñể y / ≤ 0, ∀x∈R x 2 − (m + 1)x − m + 2 3) y = . ðịnh m ñể y / ≥ 0, ∀x∈D x+2 2 mx − (2m + 1)x − m + 2 4) y = . ðịnh m ñể y / ≤ 0, ∀x∈D x −1 1) y =

Trang 5

9. Chứng minh các hệ thức: 1) Cho y = 3 +

5 x

(x ≠ 0) chứng minh xy / + y = 3.

2x − x 2 chứng minh y3.y / / + 1 = 0. x −3 3) Cho y = (x ≠ 0) chứng minh 2(y /)2 = (y –1).y / /. x+4 2) Cho y =

4) Nếu y = x + 1 + x 2 thì 4(1 + x )y + 4xy – y = 0 10. Chứng minh các hệ thức: / // 1) Cho y = x.sinx , chứng minh xy – 2(y – sinx) + xy = 0. 2) Cho y = x.tanx chứng minh x2.y / / – 2(x2 + y2)(1 + y) = 0. // 3) Cho y=3sin5x – 5cos5x chứng minh : y = – 25y 2

sin 3 x + cos3 x thì y / / = −y (TNPT 97.98) 1 − sin x cos x // 5) Nếu y = xsinx thì y + y = 2cosx 1 − sin 2x 6) Nếu y = thì y / / + y = 0 sin x − cos x 4) Nếu y =

TIẾP TUYẾN Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) Dạng 1: Tiếp tuyến tại tiếp ñiểm M(xO;yO)∈(C) / Hệ số góc tiếp tuyến (∆) với (C) tại M(x0; f(x0)) ∈ (C) là k = f (x0) Phương trình tiếp tuyến (∆) với (C) tại tiếp ñiểm M(x0; y0) : y = f /(x0)(x − x0) + y0 Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước Tìm phương k

Hai ñường thẳng (D1): y = k1x + b1 và (D2): ): y = k2x + b2 có hệ số góc k1 , k2 (D1) // (D2) ⇔ k1 = k2 (D1) ⊥ (D2) ⇔ k1. k2 = –1

ðường thẳng (D): y = kx + b tạo với trục Ox góc α (0° ≤ α ≤ 90°) thì |k| = tanα

ðường thẳng (D): y = kx + b ⇔ kx – y + b = 0 tạo với ñường thẳng Ak − B Ax + By + C = 0 góc α (0° ≤ α ≤ 90°) thì cosα = k 2 + 1 A 2 + B2 /

Tìm hoành ñộ tiếp ñiểm: giải f (x0) = k ñể tính x0 . Tính y0 ñể có tiếp ñiểm M(x0;y0). / Thay vào phương trình tiếp tuyến y = f (x0)(x – x0) + y0.

Trang 6

11. Viết phương trình tiếp tuyến của các ñường: 1) y = – x2 + 2x tại ñiểm A(–1;–3).

1 tại ñiểm có hoành ñộ x = 2. x −1 12. Viết phương trình tiếp tuyến của : x2 + x + 1 1) y = tại giao ñiểm của ñồ thị với trục tung. x +1 2) y =

2) y = 2x − 2x 2 + 1 tại giao ñiểm của ñồ thị với 2 trục tọa ñộ. 13. Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong : 3 2 1) y = x + x – 4x – 2 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1.

x biết tiếp tuyến song song với (d): y = 3x + 4 2x + 3 x2 + x −1 3) y = biết tiếp tuyến vuông góc với (d): 4x + 3y = 0 x +1 14. Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong : 3 1) y = biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3. x 2) y = x3 + x2 biết tiếp tuyến song song với (d): y = 8x – 1. 3x − 2 3) y = biết tiếp tuyến song song với ñường phân giác thứ hai. x −1 x2 − x − 2 biết tiếp tuyến vuông góc với (d): x – 3y = 0. 4) y = x −3 2 5) y = biết tiếp tuyến vuông góc với (d): x – 2y + 6 = 0. x +1 3 2 6) y = x –2x +2x +1 biết tiếp tuyến vuông góc với (d): 9x – y + 5 = 0 3 15. Viết phương trình tiếp tuyến của ñường y = (x − 1) biết : 1) Tiếp ñiểm có hoành ñộ x = 0. 2) Tiếp tuyến song song với ñường thẳng 12x – y = 0. 3) Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 4x + 3y + 5 = 0. 4) Tiếp tuyến cùng phương với trục Ox. −4x + 3 16. Cho (C): y = f(x) = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết góc tạo bởi tia Ox x −1 và phần tiếp tuyến nằm trên trục Ox bằng 450. 17. * Tìm m, n ñể ñường cong y = x2 + mx + n tiếp xúc với ñường thẳng y = −2x −2 tại ñiểm có hoành ñộ bằng −2. 3x − 2 18. Cho (C): y = . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết: x −1 5 1) Tung ñộ tiếp ñiểm bằng . 2 2) Tiếp tuyến song song với ñường thẳng x + y − 3 = 0. 3) Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 4x − y − 10 = 0. 19. Cho (P) : y = x2 và A(3 ; 0), M ∈ (P) có xM = a. 1) Tính a ñể AM ngắn nhất. ðS : a = 1 2) Chứng minh khi AM ngắn nhất thì AM ⊥ tiếp tuyến tại M của (P) 2) y =

Trang 7

x2 20. Cho (C1):y = và (C2):y = .Viết phương trình tiếp tuyến của (C1), (C2) tại giao x 2 2 ñiểm của chúng. Tìm góc của 2 tiếp tuyến trên. 4 21. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x – x² – 2 tại ñiểm A có hoành ñộ xO. Suy ra không có tiếp tuyến nào của (C) qua gốc O. 1 22. Cho (C): y = x³ – 2x² + 4x Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến chắn 3 trên 2 trục tọa ñộ hai ñoạn bằng nhau. x+2 23. Cho hàm số y = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (C), biết tiếp 2x + 3 tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai ñiểm phân biệt A , B và tam giác OAB cân tại gốc toạ ñộ. 2x 24. Cho hàm số y = (C). Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến tại M cắt trục x +1 hoành, trục tung lần lượt tại hai ñiểm phân biệt A , B và tam giác OAB có diện tích bắng ¼. x +1 25. Cho hàm số y = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (C), biết tiếp 2x + 3 tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai ñiểm phân biệt A , B và tam giác OAB cân tại gốc toạ ñộ 1 m 1 26. Gọi (Cm) là ñồ thị của hàm số y = x 3 − x 2 + (*) (m là tham số). Gọi M là ñiểm 3 2 3 thuộc (Cm) có hoành ñộ bằng –1. Tìm m ñể tiếp tuyến của (Cm) tại ñiểm M song song với ñường thẳng 5x – y = 0. 2x − 1 27. Cho hàm số y = (C). Cho I(1;2), tìm ñiểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) x −1 tại M vuông góc ñường thẳng IM . x2 + x −1 28. Cho hàm số y = có ñồ thị là (C). Gọi A, B là hai giao ñiểm của (C) và trục x −1 hoành, viết phương trình tiếp tuyến tại A, B của (C). 29. Cho (P): y = x² và ñiểm I(0; 2), viết phương trình tiếp tuyến với (P) sao cho khoảng cách từ I ñến tiếp tuyến bằng 2. 30. Cho (Cm): y = x³ – m(x + 1) + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại giao ñiểm của (Cm) với Oy. Tìm m ñể tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ ñộ tam giác có diện tích bằng 8. 31. Cho ñồ thị (C) có phương trình y = x² – 2x, viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến song song với phân giác của góc tạo bởi 2 ñường thẳng (d): x – 2y + 5 = 0 và (d’): 3x – y = 0. 3x − 1 32. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = , biết tiếp tuyến tạo với ñường thẳng (d): x −3 x + 3y – 3 = 0 một góc 45°. 1

Trang 8

Hình học Hệ thức lượng trong tam giác Hệ thức lượng trong tam giác vuông a2 = b2 + c2 ⇔ BC2 = AB2 + AC2 b2 = a.b' ⇔ AC2 = BC.CH c2 = a.c' ⇔ AB2 = BC.BH bc = ah ⇔ AC.AB = BC.AH 2 h = b'.c' ⇔ AH2 = BH.CH 1 1 1 1 1 1 2= 2+ 2 ⇔ = + h b c AH 2 AB2 AC2 sinB = b/a ; cosB = c/a ; tanB = b/c ; cotB = c/b

A b

c c' B

3 2 2 2 2 o ðịnh lý cosin: a = b + c − 2bc.cosA (A=90 : Pythago) a b c ðịnh lý sin: = = = 2R sin A sin B sin C ðịnh lý trung tuyến: 2b 2 + 2c2 − a 2 2 2 2 2 2 b + c = 2ma + ½ a hay ma = 4 2 2 AB − AC = 2BC.MH Diện tích 2S 1. S = ½ aha = ½ bhb = ½ chc ⇒ h a = a 2. S = ½ bc.sinA = ½ ac.sinB = ½ ab.sinC abc abc 3. S = ⇒ R= 4R 4S S 4. S = pr ⇒ r= p

b' C

Hệ thức lượng trong tam giác ñều chiều cao = cạnh

5. S =

p(p − a)(p − b)(p − c) (Hê-rông)

Diện tích tứ giác 1. Hình vuông: S = a²; ñường chéo = cạnh 2 2. Hình chữ nhật: S = ab 3. Hình bình hành: S = a.h 4. Hình thang: S = ½ (a + b)h ðường tròn Diện tích hình tròn: S = πR² Chu vi ñường tròn: 2πR

Trang 9

KHÔNG GIAN Song song d / /a ⇒ d / /(P)  a ⊂ (P) 

Vuông góc d ⊥ a,d ⊥ b  a ∩ b ≠ ∅ ⇒ d ⊥ (P) a, b ⊂ (P) 

d a P

d / /(P)  ⇒ d / /a d ⊂ (Q) (P) ∩ (Q) = a 

a / /a ', b / /b' a '∩ b' ≠ ∅  ⇒ (P) / /(Q)  a, b ⊂ (P)  a ', b' ⊂ (Q) (P) / /(Q) ⇒ d / /(Q)  d ⊂ (P)

P b'

P d a

d ⊥ (P) ⇒ (P) ⊥ (Q)  d ⊂ (Q)

Q d

Q P

d P Q

(P) / /(Q)  (R) ∩ (P) = a ⇒ a / /b (R) ∩ (Q) = b  a / /b a ⊂ (P)  ⇒ d / /a / /b  b ⊂ (Q)  (P) ∩ (Q) = d

a P b Q

a P

b Q

(P) ⊥ (Q) (P) ∩ (Q) = a  ⇒ d ⊥ (P)  d (Q) ⊂  d ⊥ a (P) ⊥ (R)  ⇒ d ⊥ (R) (Q) ⊥ (R) (P) ∩ (Q) = d 

Q d

P R

a ⊥ d  ⇒ a / /b b ⊥ d a, b,d ⊂ (P) 

Xác ñịnh hình chiếu của ñiểm H ∈ (P) / (P) ⇔  MH ⊥ (P) 1. Trong (P) có A , (d): MA ⊥ (d) * Trong (P) kẻ (d’) qua A, vuông góc với (d) * Trong (M, d’) kẻ MH ⊥ (d’) 2. Trong (P) có A, B: MA = MB * Trong (P) kẻ ñường trung trực (d’) của AB * Trong (M, d’) kẻ MH ⊥ (d’) 3. Có ñường thẳng (a) ⊥ (P) * Xác ñịnh giao tuyến (d’) = (P) ∩ (M, a) * Trong ((M, a) kẻ MH // (a) cắt (d’) tại H 4. Có (Q) chứa M và (Q) ⊥ (P) * Xác ñịnh giao tuyến (d’) = (P) ∩ (Q) * Trong (Q) kẻ MH ⊥ (d’) cắt (d’) tại H H = hc

d ⊥ (P) ⇒d⊥a  a ⊂ (P) 

Trang 10

d H

B H

d' A

Xác ñịnh và tính số ño góc Góc giữa ñường thẳng a và mp (P) Xác ñịnh hình chiếu a’ của a trên (P)

Chọn góc nhọn giữa a và a’

A H

Góc giữa 2 mặt phẳng

Xác ñịnh góc giữa 2 mp: - Tìm d = (P)∩(Q) - Xác ñịnh (R) ⊥ d - Tìm (R)∩(P)=a; (R)∩(Q)=b = (a, b) ⇒ (P,Q) R

b Q

Khoảng cách

Xác ñịnh khoảng cách giữa ñiểm A và (P)

Xác ñịnh hình chiếu H của M trên (P)

d[M(P)] = MH

H P

Xác ñịnh khoảng cách giữa ñường thẳng a và (P) song song với a Tìm khoảng cách từ ñiểm M tùy ý trên a ñến (P) Xác ñịnh khoảng cách giữa 2 mp song song Tìm khoảng cách từ ñiểm M tùy ý trên mp này ñến mp kia Xác ñịnh khoảng cách giữa 2 ñường thẳng chéo nhau a và b.

Là ñộ dài ñoạn vuông góc chung của 2 ñường thẳng

Xác ñịnh ñoạn vuông góc chung của 2 ñường thẳng a và b Trường hợp b ⊂ (P) ⊥ a

Trong (P) dựng OH ⊥ b ⇒ IJ là ñoạn vuông góc chung a

O H

Trường hợp b ⊂ (P) // a Chọn ñiểm M “thích hợp” trên a tìm hình chiếu H của M lên (P). ðường thẳng qua H và // a cắt b tại B. ðường thẳng qua B và // HM cắt a tại A. ⇒ AB là ñoạn vuông góc chung của a và b. Nếu 1 bài toán không yêu cầu dựng ñoạn vuông góc chung AB của a và b thì

d(a,b) = d(a,P) = d(M,P). trong ñó b⊂ P//a

d(a,b) = d(P,Q) trong ñó a ⊂ Q; b ⊂ P và P // Q. a A M

b P a'

H B

Trang 11

CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH Hình chóp • Hình chóp ñều: Mặt ñáy là ña giác ñều và chân ñường cao là tâm của ñáy. Các cạnh bên bằng nhau • Tứ diện ñều: Tất cả các cạnh bằng nhau, các mặt là các tam giác ñều. • Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau: ðường cao hình chóp qua ñỉnh và tâm ñường tròn ngoại tiếp mặt ñáy. • Hình chóp có 2mặt bên vuông góc với ñáy: ðường cao là cạnh chung của 2 mặt bên ñó. • Hình chóp có 1mặt bên vuông góc với ñáy: ðường cao của mặt bên ñó là ñường cao hình chóp Thể tích :

1 Bh 3 h

Hình chóp thường : Sxq = tổng diện tích các mặt bên 1 Hình chóp ñều : Sxq = pd 2 (p là chu vi ñáy, d là trung ñoạn-chiều cao của mặt bên)

B S

Tỉ số thể tích của 2 tứ diện:

VS.MNP SM SN SP = . . VS.ABC SA SB SC

N A

C B

Hình lăng trụ Gọi p là chu vi thiết diện thẳng, S là diện tích thiết diện thẳng Gọi B là diện tích ñáy, h là chiều cao, l là cạnh bên Sxq = pl thường dùng Sxq = tổng diện tích các mặt bên V = Bh = Sl Phân loại: Hình lăng trụ xiên Hình lăng trụ ñứng có cạnh bên vuông góc với ñáy (h = l; B = S) Hình lăng trụ ñều là hình lăng trụ ñứng có mặt ñáy là ña giác ñều

h B

ðặc biệt: Hình hộp có 6 mặt là hình bình hành Hình hộp ñứng có cạnh bên vuông góc với ñáy Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật. ðườngchéo d = a 2 + b 2 + c 2 ; V = abc Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông. ðường chéo d = a 3 ; V= a³ Trang 12

Hình trụ : Bán kính ñáy R, chiều cao h Sxq = 2πRh (chu vi ñáy X chiều cao) Stp = 2πRh + 2πR2 V = πR2h (diện tích ñáy X chiều cao)

Hình nón : Bán kính ñáy R, chiều cao h, ñường sinh l Sxq = πRl ( ½ chu vi ñáy X chiều cao) Stp = πRl + πR2 1 V = πR2h ( 1/3 diện tích ñáy X chiều cao) 3

l Hình cầu : diện tích mặt cầu : S = 4πR2 thể tích khối cầu : V = 4/3 πR3

33. Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC, xác ñịnh hc A/(SBC) 34. Cho hình chóp S.ABCD ñáy là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD) 1) Xác ñịnh hc A/(SBC), hc A/(SBD) 2) Xác ñịnh hc O/(SCD), hc C/(SBD)

= SAC , tìm chân ñường 35. Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác cân tại A, góc SAB

cao hình chóp vẽ từ S 36. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD và góc A 'AB = A 'AD , xác ñịnh chân ñường vuông góc hạ từ ñỉnh A’ xuống (ABCD) 37. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD, mp(P) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Xác ñịnh chân ñường vuông góc hạ từ S xuống (P) = xOz , tìm chân ñường vuông góc hạ 38. Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không ñồng phẳng, góc xOy từ M trên Ox xuống (yOz) 39. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD, lấy ñiểm M bên trong tam giác SAB, tìm hình chiếu của M trêm (ABCD) 40. Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác vuông tại C, SA ⊥ (ABC), tìm chân ñường vuông góc hạ từ ñiểm M trên cạnh AB xuống (SBC) 41. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình chữ nhật ABCD, SA ⊥ (ABCD) 1) Tìm hình chiếu của ñiểm M trên SA xuống (SBC) 2) Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD, mp(P) qua O song song BC, xác ñịnh hình chiếu của S trên (P) 42. Cho hình chóp S.ABCD có SA = SC, SB = SD và ñáy ABCD là hình thoi tâm O 1) Xác ñịnh hình chiếu của O trên (SBC) 2) Xác ñịnh hình chiếu của A trên (SBC) 43. Cho hình chóp S.ABC; tam giác ABC vuông tại B, AB = 2a, BC = a, SA⊥(ABC) Tính khoảng cách từ B ñến (SAC) 44. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh BC và AD. Hãy tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a 2 . Trang 13

a 6 vuông 2 góc với mặt phẳng ñáy (ABC) . Tính khoảng cách từ ñiểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a. 46. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a . Gọi E là trung ñiểm của cạnh CD . Tính theo a khoảng cách từ ñiểm S ñến ñường thẳng BE. 47. Hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a. Gọi I là trung ñiểm của SC và M là trung ñiểm của AB. 1) Chứng minh IO ⊥ (ABCD) 2) Tính khoảng cách từ ñiểm I ñến ñường thẳng CM. 48. Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân ñỉnh B và AC = 2a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. 1) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC) 2) Tính khoảng từ A ñến (SBC) 3) Gọi O là trong ñiểm của AC . Tính khoảng cách từ O ñến (SBC) 49. Tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B , AB = 2a, BC = a 3 , SA ⊥ (ABC), SA=2a. Gọi M là trung ñiểm của AB. 1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 2) Tính ñường cao AK của tam giác AMC 3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SMC) và (ABC) 4) Tính khoảng cách từ A ñến (SMC) 50. Hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥(ABCD) và SA=a. Dựng và tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung của các cặp ñường thẳng: SA và AD; SC và BD; SB và CD 51. Cho tứ diện ñều ABCD cạnh bằng a . Gọi O là tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆BCD. 1) Chứng minh rằng OA ⊥ CD. 2) Gọi M là trung ñiểm của CD. Tính cosin góc giữa AC và BM. 52. Hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SC=SD=a 2 . Gọi I và J lần lượt là trung ñiểm của AD và BC 1) Chứng minh (SIJ) ⊥ (SBC) 2) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AD và SB 53. Tứ diện ABCD có ABC là tam giác ñều cạnh a , AD vuông góc với BC , AD = a và khoảng cách từ D ñến BC là a. Gọi H là trung ñiểm của BC và I là trung ñiểm của AH. 1) Chứng minh BC ⊥ (ADH) và DH=a 2) Chứng minh DI ⊥ (ABC) 3) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AD và BC 54. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = b, cạnh SA vuông góc với ñáy và SA = 2a. Gọi M là trung ñiểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a. 55. Hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc A bằng 60° và có ñường cao SO=a. 1) Tính khoảng cách từ O ñến mặt phẳng (SBC) 2) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AD và SB 56. Cho lăng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình thoi cạnh a , góc A = 60o .Gọi O và O’ là tâm của hai ñáy, OO’ = 2a. tính diện tích các mặt chéo của lăng trụ 57. Cho lăng trụ ñứng ABC.A'B'C' có ñáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC = 120°, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung ñiểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I). 45. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a và cạnh bên SA=

Trang 14

58. Cho tứ diện SABC có ñáy là tam giác ABC vuông tại B, AB = 2a, BC = a 3 ,

SA⊥(ABC), SA = 2a. Gọi I là trung ñiểm AB 1) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông 2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SIC) và (ABC) 3) Gọi N là trung ñiểm AC ,tính khoảng cách từ ñiểm N ñến mặt phẳng (SBC) 59. Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA ⊥ (ABCD). 1) Tính góc giữa SC và (ABCD). 2) Tính tan của góc giữa SC và (SAB). 3) Tính sin của góc giữa SB và (SAC). 4) Tính sin góc giữa AC và (SBC) 60. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A'B'C' có ñáy là tam giác ñều cạnh bằng a . Biết BC' hợp với (ABB'A') góc 30°. 1) Tính AA'. 2) Tính khoảng cách từ trung ñiểm M của AC ñến mặt phẳng (BA'C'). 3) Gọi N là trung ñiểm của cạnh BB1. Tính sin của góc giữa MN và (BA'C'). 61. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác ñều cạnh a, SA = SB = SC = a 3 1) Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABC) 2) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 3) Tính diện tích tam giác SBC 62. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, BC=a, SA=SB=SC=

a 3 2

1) Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABC) 2) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc nhau 3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) 63. Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a , SA=SB=SC=2a 1) Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABC). 2) Tính cosin góc giữa ñường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). 64. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, A = 60°, SA=SB=SD=

a 3 2

1) Tính hình chóp từ S ñến mặt phẳng (ABCD) 2) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) vuông góc nhau 3) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vuông góc nhau và tính khoảng cách từ A

ñến mặt phẳng (SBD) 4) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD), tính diện tích ∆SBD = 600 , BC’ 65. Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác vuông tại A, AC=a, BCA tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc α=45°. Xác ñịnh α và tính chiều cao lăng trụ 66. Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A'B'C' có cạnh ñáy = cạnh bên = a, Gọi I, J là trung ñiểm BC và BB' 1) Chứng minh rằng BC' ⊥ (AIJ) 2) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (AIJ) và (ABC) 3) Tính diện tích tam giác AIJ = 600 , A’A=A’B=DA’= a 3 67. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, ñáy là hình thoi cạnh a, A 2

1) Tính chiều cao lăng trụ 2) Chứng minh rằng hai mặt chéo của lăng trụ vuông góc nhau 3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD) 4) Tính diện tích tam giác A’BD và diện tích toàn phần của lăng trụ Trang 15

68. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ 1) Chứng minh rằng hai mặt chéo vuông góc nhau 2) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AA’ và BD’ 3) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (D’AC) và (ABCD) 4) Tính diện tích tam giác D’AC 69. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ñường chéo DB’ = 12, CD=6, CC’ = 8 1) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp 2) Tính góc giữa B’D và các mặt hình hộp 70. *.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a, cạnh bên = a và hình chiếu của

C’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm của tam giác ABC 1) Tính góc giữa cạnh bên và ñáy,chiều cao của lăng trụ 2) Chứng minh rằng các mặt bên AA’C’C và BB’C’C bằng nhau ; mặt bên ABB’A’ là hình vuông. Từ ñó tính diện tích toàn phần của lăng trụ 71. *.Cho lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có cạnh ñáy bằng a .ðường chéo AB’ của mặt bên tạo với ñáy một góc ϕ = 60o. Gọi I là trung ñiểm BC 1) Xác ñịnh hình chiếu của A trên BB’C’C 2) Tính góc giữa ñường thẳng AB’ và mặt phẳng (BB’C’C) 72. *.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a; cạnh bên AA’ = a và hình chiếu của B’ trên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm I của AC 1) Tính góc giữa cạnh bên và ñáy 2) Tính chiều cao lăng trụ 73. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình thoi ABCD cạnh a, tâm O và góc A=60°, D’O vuông góc (ABCD) ; cạnh bên tạo với ñáy một góc ϕ bằng 60° 1) Xác ñịnh góc ϕ và tính chiều cao , cạnh bên của hình hộp 2) Chứng minh rằng BD’ ⊥ A’C’ 3) Chứng minh rằng các mặt bên của hình hộp bằng nhau 74. Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có cạnh ñáy = a, ñường chéo BC’ tạo với mặt phẳng (AA’B’B) một góc α = 30°. Xác ñịnh α và tính chiều cao lăng trụ 75. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có ñáy ABCD là hình thoi tâm O; cạnh a góc A= 60°; B’O vuông góc (ABCD) ; cạnh bên bằng a 1) Tính góc giữa cạnh bên và ñáy và thể tích của lăng trụ 2) Chứng minh rằng hai mặt chéo vuông góc nhau 3) Tính diện tích toàn phần lăng trụ 76. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều ABC cạnh a, ñiểm A’ cách ñều A,B,C và AA’ tạo với ñáy một góc ϕ = 60°. 1) Chứng minh rằng mặt bên BB’C’C là một hình chữ nhật 2) Tính chiều cao lăng trụ 77. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) là 60°. Tính MN, Tính SO, Tính sin góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).

Trang 16

HÀM SỐ

ðƠN ðIỆU Cho y = f(x) xác ñịnh trên (a;b) / f (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a;b) ⇔ f(x) tăng trên (a;b)(dấu “=” xảy ra hữu hạn ñiểm) / f (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a;b) ⇔ f(x) giảm trên (a;b) / f (x) = 0 ∀x ∈ (a;b) ⇔ f(x) là hàm hằng trên (a;b) ad − bc ax + b Chú ý: ðối với hàm y = có y / = cx + d (cx + d)2 y ñồng biến trên D ⇔ y / > 0 ∀x ∈ D (dấu “=” không xảy ra) y nghịch biến trên D ⇔ y / < 0 ∀x ∈ D (dấu “=” không xảy ra) Xét dấu • f /(x) là ña thức hay phân thức: xét dấu nhị thức hay tam thức • f /(x) là hàm vô tỉ, lượng giác, mũ, logarit: giải bất p.trình f’(x) ≥ 0 hay f’(x) ≤ 0 • f /(x) là hàm phức tạp : o Tìm x0 sao cho f /(x0) = 0 hay f /(x) không xác ñịnh. o Các số x0 chia miền xác ñịnh của f(x) thành nhiều khoảng. o Trên mỗi khoảng f /(x) có 1 dấu duy nhất, xác ñịnh dấu mỗi khoảng bằng cách xét 1 giá trị ñặc biệt.

Xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x) – Tìm tập xác ñịnh của hàm số. – Tính y’. Tìm các ñiểm mà tại ñó y’ = 0 hoặc y’ không xác ñịnh (gọi là ñiểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y’ (bảng biến thiên). Từ ñó kết luận các khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số. 78. Xét chiều biến thiên của : 2 1) y = 2x – 5x + 4. 2 2) y = 4 + 2x – x . 3) y = x4 – 2x2 + 3. 4) Y = 2x4 + 3x² – 5 5) y = x3 – 2x2 + x – 3 6) y = – x³ + 3x² – 3x + 2 7) y = 2x³ – x² + 4x – 1 8) y = (4 – x)(x – 1)² 9) y = – 6x4 + 8x³ – 3x² – 1 79. Xét các khoảng ñơn ñiệu của:

3x − 2 . 4x + 3 x 2 − 2x 2) y = . x −1 1) y =

Trang 17

4 . x −1 x 2 + 3x + 3 4) y = . x +1 4x 2 − 15x + 9 5) y = . 3x 2x − 1 6) y = . x2 3x − 2 7) y = 2 . x +4 x2 − 1 8) y = 2 . x −4 x2 − x + 1 9) y = 2 . x + x +1 80. Khảo sát sự biến thiên của: 1) y = x – 2sinx. 2) y = x + cosx. 81. Xét tính tăng giảm của: 3) y = 3x – 2 +

1) y =

x 2 − 5x + 4

− x 2 + 3x − 2 3) y = x + 3 + 2 2 − x 4) y = 2x − 1 − 3 − x 2) y =

5) y = x 2 − x 2 6) y = 3 − 2x − x 2

2x − x 2 ñồng biến trên (0;1) và nghịch biến trên (1; 2). x +1 83. Lập bảng biến thiên và tìm tập giá trị của hàm số : y = . 2 x +2 84. Chứng minh các hàm số sau ñơn ñiệu (luôn ñồng biến hoặc nghịch biến) trên từng khoảng xác ñịnh hoặc tập xác ñịnh của nó: 1) y = x³ + 5x + 13 2) y = x³ – 9x² + 27x – 2 2x − 1 3) y = 1− x x 2 + 2x − 3 4) y = x +1 2 x − 2mx − 1 5) y = x−m 85. Chứng minh các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác ñịnh hoặc tập xác ñịnh của nó: 1) y = – 5x + cot(x –1) 2) y = cosx – x 82. Chứng minh y =

Trang 18

3) y = sinx – cosx – 2 2 x 86. Cho hàm số f(x) = 2 – sin²x – sin²(x + a) – 2cosacosxcos(x + a) 1) Tính ñạo hàm của hàm số f 2) Suy ra hàm số f lấy giá trị không ñổi trên R, tính giá trị ñó

x  π π 2  4 4 1) Tính ñạo hàm của hàm số f 2) Suy ra hàm số f là hàm hằng trên , tìm hàm hằng ñó 88. Tùy theo m khảo sát sự biến thiên của : 1) y = 4x3 + (m + 3)x2 + mx. mx + m − 7 2) y = . 5x − m + 3 87. Trên  − ;  cho hàm số f(x) = cosx + sinxtan

3) y =

1 3 x 3

– 2x2 + mx –2.

4) y = x + m.sinx. 89. Tìm m ñể các hàm số sau ñồng biến trên từng khoảng xác ñịnh

x+m x−m mx + 4 2) y = x+m x 2 − 2mx − 1 3) y = x−m 2 x − 2mx + 3m 2 4) y = x − 2m 90. Với giá trị nào của tham số thì hàm số tăng trên R 3 2 1) y = x – 3(2m + 1)x + (12m + 5)x + 2. 2) y = x3 – ax2 – (2a2 – 7a +7)x + 2(2a2 – 5a +3) 1) y =

3) y =

1 3 x 3

– ½ (sina + cosa)x2 + ¾ sina.x

2x 2 − 3x + m 91. Với giá trị nào của m thì hàm số : y = ñồng biến trên từng khoảng xác ñịnh. x −1 −2x 2 − 3x + m 92. ðịnh m ñể y = nghịch biến trong từng khoảng xác ñịnh. 2x + 1 93. Xác ñịnh m ñể các hàm số sau nghịch biến trên R: 1) y = (m – 3)x – (2m + 1)cosx. 1 3

2) y = – x3 + (m – 1)x2 + (m + 3)x

x 2 − 2ax + 3a 2 nghịch biến trên từng khoảng xác ñịnh 2a − x x 2 + mx − 5 95. Cho y = ðịnh m ñể hàm số giảm trên khoảng xác ñịnh. 3− x 2x 2 + (1 − m)x + 1 + m 96. Cho hàm số y = . Xác ñịnh m ñể hàm số nghịch biến trên từng −x + m khoảng xác ñịnh 94. Xác ñịnh a ñể y =

Trang 19

Ứng dụng tính ñơn ñiệu ñể chứng minh bất ñẳng thức ðể chứng minh bất ñẳng thức ta thực hiện các bước sau: Chuyển bất ñẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥, ≤ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác ñịnh do ñề bài chỉ ñịnh. Xét dấu f ’(x). Suy ra hàm số ñồng biến hay nghịch biến. Dựa vào ñịnh nghĩa sự ñồng biến, nghịch biến ñể kết luận. Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét ñược dấu của f ’(x) thì ta ñặt h(x) = f ’(x) và quay lại tiếp tục xét dấu h ’(x) … cho ñến khi nào xét dấu ñược thì thôi. 2) Nếu bất ñẳng thức có hai biến thì ta ñưa bất ñẳng thức về dạng: f(a) < f(b). Xét tính ñơn ñiệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

π 2

97. Chứng minh hàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x ñồng biến trên [0; ) .

π Suy ra 2sinx + tanx > 3x với mọi x ∈ (0; ) 2

π 2

98. Chứng minh hàm số f(x) = tanx – x ñồng biến trên [0; ) .

Chứng minh tan x > x +

π x3 với mọi x ∈ (0; ) 2 3

99. Chứng minh các bất ñẳng thức

x3 < sin x < x , với x>0 6 2 1 π 2) sin x + tan x > x , với 0 < x < 2 3 3 π 3) x < tanx, với 0 < x < 2 π 4) sinx + tanx > 2x, với 0 < x < 2 4  π 5) tan x ≤ x , với mọi x∈ 0;  π  4 1) x −

100. Cho hai số thực a, b sao cho 0 < a < b < 1) a – sina < b – sinb 2) a – tana <b – tanb 3)

tan b b < t ana a

Trang 20

π , chứng minh: 2

Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất bằng tính biến thiên: Phương trình f(x) = 0 Xét hàm số y = f(x), chứng minh f(x) ñồng biến (hoặc nghịch biến) trên D Chọn ñược x0 : f(x0) = 0 ⇒ x0 là một nghiệm của phương trình. Khi x < x0 : f(x) < f(x0) = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm Khi x > x0 : f(x) > f(x0) = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm KL: Phương trình có nghiệm duy nhất x = x0. Phương trình f(a) = f(b) Xét hàm số y = f(x), chứng minh f(x) ñồng biến (hoặc nghịch biến) trên D; a, b ∈ D pt ⇔ f(a) = f(b) ⇔ a = b thé vào phương trình giải tìm nghiệm 101. Chứng minh phương trình 2x 2 x − 2 = 11 có nghiệm duy nhất 102. Giải các phương trình 1) x 5 + x 3 − 1 − 3x + 4 = 0

x 2 + 15 = 3x − 2 + x 2 + 8  tan x − tan y = y − x  103. Giải hệ phương trình  5π 2x + 3y = 4

CỰC TRỊ Kí hiệu : fCð , fCT ðIỂM TỚI HẠN : f(x) xác ñịnh trên (a;b) và x0 ∈ (a;b) ðiểm x0 là ñiểm tới hạn nếu f /(x0) không xác ñịnh hay bằng 0 A. Tìm ñiểm cực trị x0 Tìm miền xác ñịnh, tính y / Tìm các ñiểm tới hạn / Xét dấu y , lập bảng biến thiên / Nếu y ñổi dấu từ + sang – tại x0 thì y ñạt cực ñại tại x0 Nếu y / ñổi dấu từ – sang + tại x0 thì y ñạt cực tiểu tại x0 Tìm miền xác ñịnh, tính f /(x) , f / /(x) / Tìm nghiệm x0 của f (x) (nếu x0 ∈ D mà f /(x0) không xác ñịnh thì không ñược dùng cách 2)  Nếu f ”(x0) < 0 thì y ñạt cực ñại tại x0  Nếu f ”(x0) > 0 thì y ñạt cực tiểu tại x0  Nếu f ”(x0) = 0 chưa kết luận Chú ý x0 : ñiểm cực trị (Cð hay CT) của hàm số (x0; y0): ñiểm cực trị (Cð hay CT) của ñồ thị y0 : giá trị cực trị (Cð ay CT) hay gọi tắt là cực trị Trang 21

104. Dùng dấu hiệu 1, tìm các ñiểm cực trị của : 1) y = 2x³ – 3x². 5) y = − x 2 . x 2 + 2 . 4 2) y = x + 2x² – 3. 6) y = x³(1 – x)². 2x − 1 3 3) y = . 7) y = (x − 4) x 2 .

x +1 2x 2 − 4x + 2 4) y = . 2x + 3 105. Dùng dấu hiệu 2, tìm các ñiểm cực trị của : 1) y = x³ – 2ax² + a²x (a>0) a2 2) y = x + (a > 0). x 3) y = sin2x – x. 106. Tìm cực trị của các hàm số sau: 1) y = x³ – 6x² + 9x – 4. 4 2) y = –x + 3x² + 2. 4 3) y = x – 8x² – 1. 107. Tìm cực trị của các hàm số sau: 3x − 1 1) y = . x+2 x 1 2) y = − 3 + . 2 2x − 1 1 3) y = 2 . x − x +1 108. Tìm cực trị của các hàm số sau:

4) y = sin2x + cos2x. 5) y = 3 sinx + cosx + x. 6) y = ½.cos2x + cosx + 1.

4) y = (x – 1)³.(2x + 3)4. 5) y = (x – 2)³ + 4x.

4) y = y = 5) y =

4x 2 + 2x − 1

2x 2 + x − 3 3x 2 + 4x + 4 x2 + x + 1

1) y = x x 2 − 4 .

4) y = x 2 − 2x + 5

2) y = 4 − x 2 .

5) y = x + 2x 2 + 1

3) y = 3x − x 2 . 109. Tìm cực trị của các hàm số sau:

6) y = y = x + 2x − x 2

1) y =

x 3 − 3x − 2 . 3

2) y = y = x 2 + 1

x2 2x + 1 4) y = x – 4sin²x 3) y =

B. Tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị / Tìm miền xác ñịnh, tính f (x) / Hàm số có cực trị khi f (x) = 0 có nghiệm và ñổi dấu khi x qua các nghiệm ñó  Nếu ñề nói rõ cực ñại hay cực tiểu thì phải thử lại bằng BBT hay f / /(x0) Chú ý: Tìm giá trị cực trị yCð , yCT Hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt xo là ñiểm cực trị thì yo = y’(xo).(mxo + n) + Axo + B = Axo + B ax 2 + bx + c −B Hàm số y = (aA≠0) có cực trị ⇔ y’=0 có 2 nghiệm phân biệt khác Ax + B A P(x o ) P '(x o ) xo là ñiểm cực trị thì y o = = Q(x o ) Q '(x o ) Trang 22

110. Chứng minh các hàm số sau luôn có cực ñại , cực tiểu: 1) y = x³ – 3mx² + 3(m² – 1)x – m³ 3) y = 2x³ – 3(2m + 1)x² + 6m(m + 1) x + 1

x 2 + mx − m + 2 2) y = x − m +1

x 2 + m(m 2 − 1)x − m 4 + 1 4) y = x−m

111. Xác ñịnh m ñể các hàm số có cực trị : 1) y =

1 3

x3 + mx2 + (m + 6)x –1.

x 2 + mx − 2 2) y = . mx − 1 112. Tìm m ñể các hàm số sau không có cực trị: 1) y = x³ – 3x² + 3mx + 3m + 4 2) y = mx³ + 3mx² – (m – 1)x –1 − x 2 + mx + 5 3) y = x −3 x 2 − (m + 1)x − m 2 + 4m − 2 4) y = x −1 113. Tìm m ñể hàm số : 1) y = mx³ + 3x² + 5x + 2 ñạt cực ñại tại x = 2. 1 π 2) y = sin3x + m.sinx ñạt cực ñại tại x = . 3 3 x 2 − 2mx + 2 3) y = ñạt cực tiểu tại x = 2 x−m 2 4) y = a.x³ + bx + x ñạt cực ñại tại x=2 và ñạt cực tiểu tại x=1. 5) y =

1 3 x 3 2

– 2m2x2 + (m + 2)x – 5m + 1 ñạt cực ñại tại x=1

x −x+m có một giá trị cực ñại bằng 0 x −1 114. Tìm m ñể hàm số : 1) Hàm số y = mx³ + (m – 3)x² + 5x + 2 ñạt cực trị tại x = 2 . x 2 − mx + 4 2) Hàm số y = ñạt cực trị y = 3. mx − 4 115. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d . Xác ñịnh a, b, c, d ñể hàm số ñạt cực tiểu bằng 0 tại x = 2 ñạt cực ñại bằng 4 tại x=0 116. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d. Tính a, b, c, d ñể hàm số có giá trị cực ñại bằng 3 khi x = 1 và giá trị cực tiểu bằng –1 khi x = 3. 117. Tìm a, b, c ñể hàm số y = ax4 + bx2 + c qua gốc tọa ñộ và ñạt cực trị bằng –9 tại x = 3 . 118. Tìm a, b, c ñể các hàm số : x 2 + bx + c 1) y = ñạt cực trị bằng –6 tại x = –1 x −1 ax 2 + bx + ab 2) y = (a ≠0) ñạt cực trị tại x = 0 và x = 4 bx + a ax 2 + 2x + b 3) y = ñạt cực ñại bằng 5 tại x = 1 2 x +1 6) y =

Trang 23

119. Cho hàm số y = mx + x 2 − 2x + 2 . 1) Chứng minh ∀m hàm số không có cực ñại. 2) ðịnh m ñể hàm số có cực tiểu.

Xác ñịnh a ñể y = –2x + 2 + a x 2 − 4x + 5 có cực ñại. ðịnh m ñể y = x4 + mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 chỉ có cực tiểu mà không có cực ñại. ðịnh m ñể y = mx4 – 2(m2 + 1)x2 + 3m + 2 có 2 cực tiểu và 1 cực ñại. ðịnh m ñể y = x4 +8mx³ +3(2m+1)x² – 4 chỉ có cực tiểu mà không có cực ñại * Tìm a ñể hàm số y = − x4 + (3−a)x3 + 4ax2 − a +1 có ñúng 1 cực trị. * Tìm m ñể y = x4 – mx² + 4x + m có 3 ñiểm cực trị A, B, C và tam giác ABC nhận gốc O làm trọng tâm. x 2 + mx + m − 2 126. Tìm m ñể y = có 2 ñiểm cực trị nằm 2 phía ñối với trục tung. Chứng x−m minh 2 ñiểm cực trị luôn nằm cùng một phía ñối với trục hoành. x 2 + mx 127. Tìm m ñể y = có khoảng cách giữa 2 ñiểm cực trị bằng 10. 1− x x 2 + (m + 1)x + m + 1 128. Chứng minh y = luôn có ñiểm Cð, CT và khoảng cách giữa 2 x +1 ñiểm ñó bằng 20 . 129. Tìm m ñể y = –x³ + 3x² + 3(m² – 1)x – 3m² – 1 có Cð, CT và các ñiểm cực trị cách ñều gốc tọa ñộ O. − x 2 + 2mx + 5 130. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = có 2 ñiểm cực trị nằm 2 phía ñối với ñường x −1 thẳng y = 2x 131. Tìm m ñể y = 2x³ + mx² – 12x – 13 có 2 ñiểm cực trị cách ñều trục tung. 132. Tìm m ñể y = x³ – 3mx² + 4m³ có các ñiểm Cð, CT ñối xứng nhau qua ñường phân giác thứ nhất 2mx 2 + (4m 2 + 1)x + 32m 2 + 2m 133. Tìm m ñể y = có 2 ñiểm cực trị nằm trong góc phần tư x + 2m thứ nhất và ñiểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng tọa ñộ. 120. 121. 122. 123. 124. 125.

C. ðường thẳng qua 2 ñiểm cực trị Hàm số bậc ba y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d Chia f(x) cho f’(x): f(x) = Q(x).f’(x) + Ax + B  y = f(x1 ) = Ax1 + B Giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các ñiểm cực trị thì  1  y 2 = f(x 2 ) = Ax 2 + B ⇒ Các ñiểm cực trị (x1; y1), (x2; y2) nằm trên ñường thẳng y = Ax + B ax 2 + bx + c P(x) Hàm số phân thức y = = Ax + B Q(x) P '(x o ) 2ax o + b Giả sử (xO; yO) là ñiểm cực trị thì y o = = Q '(x o ) A Nếu hàm số có 2 ñiểm cực trị thì ñường thẳng qua 2 ñiểm cực trị: y = Trang 24

2ax + b A

134. Viết phương trình ñường thẳng qua 2 ñiểm cực trị của các hàm số: 1) y = x³ – 2x² – x + 1 2) y = 3x² – 2x³ 3) y= x³ – 3x² – 6x + 8

2x 2 − x + 1 4) y = x +3 2 x − x −1 5) y = x−2 135. Tìm m ñể hàm số có Cð, CT và viết phương trình ñường thẳng qua 2 ñiểm Cð, CT của

ñồ thị hàm số: 1) y = x³ – 3mx² + 3(m² – 1)x – m³ 2) y = x³ – 3(m – 1)x² + (2m² – 3m + 2)x – m(m – 1) 3) y = – x³ + 3mx² + 3(1 – m²)x + m³ – m² x 2 + mx − 6 4) y = x−m 2 x + mx − m + 2 5) y = x − m +1 136. Tìm m ñể y = 2x³ + 3(m – 1)x² + 6(m – 2)x –1 có ñường thẳng qua 2 ñiểm cực trị song

song với ñường thẳng y = – 4x + 1 137. Tìm m ñể y = x³ + mx² + 7x + 3 có ñường thẳng qua 2 ñiểm cực trị vuông góc với ñường thẳng y = 3x – 8 138. Tìm m ñể y = 2x³ + 3(m – 1)x² + 6m(1 – 2m)x có các ñiểm Cð, CT nằm trên ñường thẳng y = – 4x 139. Tìm m ñể y = x³ – 3x² + m²x + m có các ñiểm Cð, CT ñối xứng nhau qua ñường thẳng x – 2y – 5 = 0. x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m 140. Tìm m ñể y = có Cð, CT ñồng thời các ñiểm cực trị cùng với x+2 gốc O tạo thành tam giác vuông tại O

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT − GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ðịnh nghĩa : Số M là giá trị lớn nhất của y trên tập D nếu ∀x ∈ D : f (x) ≤ M kí hiệu: M = max f (x)  ∃ x ∈ D : f (x ) = M D  0 0 Số M là giá trị nhỏ nhất của y trên tập D nếu ∀x ∈ D : f (x) ≥ m kí hiệu: m = min f (x)  ∃ x ∈ D : f (x ) = m D  0 0

Trang 25

Phương pháp: Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của y = f(x) Cách 1: Dùng ñạo hàm (dùng trên ñoạn [a;b]). Xác ñịnh tính liên tục của hàm số trên [a;b]. / Tìm y Tìm các ñiểm tới hạn x1 , x2 , . . . , xn của f(x) trên [a;b] Tính f(x1), f(x2), . . . , f(xn), f(a), f(b) Tìm số lớn nhất M − nhỏ nhất m trong các số trên Kí hiệu: M = max f(x) ; m = min f(x) x∈[a;b]

x∈[a;b]

Cách 2 : Lập bảng biến thiên dùng trên khoảng (a;b) hay nửa khoảng Cách 3 : Biện luận phương trình Tìm ñiều kiện phương trình f(x) = y có nghiệm x∈[a;b] Tập hợp các giá trị này là miền giá trị của f(x) trên [a;b] Từ ñó suy ra M = max f(x) ; m = min f(x) x∈[a;b]

x∈[a;b]

141. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số : 1) y = x³ − 3x² − 9x + 1 trên [−4; 4]. 2) y = x4 − 2x² + 3 trên [−3; 2]. 3) y = x5 − 5x4 + 5x³ + 1 trên [−1; 2]. 4) y = (x + 2)2.(x − 1)2 trên [−3; 0]. 142. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số : 1) y = cos2x + x trên [− π; π ].

π π ; ]. 2 2 3π 3) y = sin2x + 2sinx trên [0; ]. 2 2 4) y =  x − 3x + 2  trên [−10; 10]. 143. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số : 1) y = 5 − 2x trên [−2; 2]. 2) y = sinx – x trên [−

2) y =

16 − x 2 trên [−3; 2].

3) y = x + 4 − x 2 . 4) y = 2 + x + 4 − x 144. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất (nếu có) của hàm số : 1) y = 1 − 2x + 3x². 4 2) y = 4x³ − 3x .

(x + 2)2 (x > 0) . x 4 4) y = x2 + (x > 0). x x −1 5) y = 2 . x − 3x + 3 x 2 − 3x + 1 6) y = . x 3) y =

Trang 26

7) y = (1 + cosx)sinx.

sin x − 3cos x 2sin x + 5cos x 145. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất (nếu có) của hàm số : 1) y = 2sin²x – cosx + 1 2) y = cos2x – 2sinx – 1 3) y = sin³x + cos³x 4 4 4) y = sin x + cos x. 2sin x − 1 5) y = . sin x + 2 sin x + 2 6) y = . sin 2 x + sin x + 3 1 7) y = . 2 cos x + cos x + 1 8) y =

8) y = 4 x 2 − 2x + 5 + x 2 − 2x + 3 . 9) y = − x 2 + 4x + x 2 − 4x + 3 146. Tìm GTLN-GTNN (nếu có) của hàm số bằng phương pháp miền giá trị:

x2 + x +1

1) y = 2 x − x +1

2sin x + cos x + 13 sin x − 2cos x + 3 2sin x + cos x + 3 3) y = − sin x + 2cos x + 4 2) y =

Ứng dụng max-min ñể giải phương trình và bất phương trình Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh trên tập D và tồn tại max f(x) , min f(x) D

Mệnh ñề 1: Phương trình f(x) = k có nghiệm ⇔ min f(x) ≤ k ≤ max f(x) D

Mệnh ñề 2: f(x) ≤ k có nghiệm trên D

⇔

f(x) ≤ k nghiệm ñúng ∀x∈D ⇔

Mệnh ñề 3: f(x) ≥ k có nghiệm trên D

min f(x) ≤ k D

max f(x) ≤ k D

⇔ max f(x) ≥ k

f(x) ≥ k nghiệm ñúng ∀x∈D ⇔

min f(x) ≥ k D

147. Tìm m ñể các phương trình sau có nghiệm: 1) x + 2x 2 + 1 = m 2) 3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) = m Trang 27

148. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm thuộc [–3;3]: x³ + 3x² – 9 = m 149. Tìm m ñể các bất phương trình sau nghiệm ñúng với mọi x∈R 1) x + 2x 2 + 1 > m 2) m 2x 2 + 9 < x + m 4 3) mx – 4x + m ≥ 0 150. Tìm m ñể bất phương trình sau có nghiệm: mx − x − 3 ≤ m + 1 151. Cho bất phương trình x³ – 2x² + x – 1 + m < 0. Tìm m ñể bất phương trình 1) có nghiệm trên [0; 2] 2) có nghiệm với mọi x ∈ [0;2]

TỊNH TIẾN HỆ TỌA ðỘ ∀x ∈ D : − x ∈ D Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ trên D ⇔  f(− x) = −f(x) ðồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa ñộ làm tâm ñối xứng ∀x ∈ D : − x ∈ D Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên D ⇔  f(− x) = f(x) ðồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục ñối xứng Công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI = (x 0 ; y 0 ) :  x = X + x 0   y = Y + y 0 Chứng minh ñiểm I(xO; yO) là tâm ñối xứng của ñồ thị (C): y = f(x) Dùng công thức chuyển trục bằng phép tịnh tiến theo OI = (x 0 ; y 0 ) Viết phương trình của (C) trong hệ tọa ñộ mới IXY Chứng minh phương trình của (C) trong hệ tọa ñộ mới là hàm số lẻ Chứng minh ñường thẳng x = xO là trục ñối xứng của ñồ thị (C): y = f(x) Dùng công thức chuyển trục bằng phép tịnh tiến theo OI = (x 0 ;0) Viết phương trình của (C) trong hệ tọa ñộ mới IXY Chứng minh phương trình của (C) trong hệ tọa ñộ mới là hàm số chẵn Chứng minh ñiểm ñường thẳng (D): y = ax + b là trục ñối xứng của ñồ thị (C): y = f(x) Gọi (∆) là ñường thẳng vuông góc với (D) Giả sử (∆) cắt (C) tại 2 ñiểm A, B, gọi I là trung ñiểm AB (D) là trục ñối xứng của (C) ⇔ I ∈ (∆) Chú ý: I(xO; yO) là tâm ñối xứng của ñồ thị (C): y = f(x) ⇔ ∀x∈D: f(xO+x) + f(xO–x) = 2yO

152. Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo OI và viết các phương trình

của ñồ thị (C) ñối với hệ tọa ñộ IXY: 1) y = x – 4, I(2;–3) 2) y = x² + 6x – 1, I(–3; –10) Trang 28

3) y = â&#x20AC;&#x201C;2xÂł + xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 3x, I(1; 2)

2x + 3 , I(4; 2) xâ&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;3x + 1 5) y = , I(â&#x20AC;&#x201C;3;2) xâ&#x2C6;&#x2019;2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 3x + 6 6) y = , I(3;3) x â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;2x 2 + x â&#x2C6;&#x2019; 1 7) y = , I(â&#x20AC;&#x201C;5; 1) x +5 153. CháťŠng minh (C): y = x4 â&#x20AC;&#x201C; 4xÂł â&#x20AC;&#x201C; 2xÂ˛ + 12x â&#x20AC;&#x201C; 1 nháşn ĂąĆ°áť?ng tháşłng x = 1 lĂ m tráťĽc Ăąáť&#x2018;i xáťŠng. 154. CháťŠng minh (C): y = xÂł + 3xÂ˛ + 5 nháşn I(â&#x20AC;&#x201C;1; 7) lĂ m tĂ˘m Ăąáť&#x2018;i xáťŠng. x2 â&#x2C6;&#x2019; 2 155. CháťŠng minh (C): y = nháşn I(1; 2) lĂ m tĂ˘m Ăąáť&#x2018;i xáťŠng. x â&#x2C6;&#x2019;1 x â&#x2C6;&#x2019;1 156. CháťŠng minh (C): y = nháşn ĂąĆ°áť?ng tháşłng y = â&#x20AC;&#x201C;x lĂ m tráťĽc Ăąáť&#x2018;i xáťŠng. x +1 4) y =

TIáť&#x2020;M CáşŹN (d): y = y0 lĂ tiáť&#x2021;m cáşn ngang cáť§a (C) náşżu lim f(x) = y 0 hay lim f(x) = y 0 x â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

(d): x = x0 lĂ tiáť&#x2021;m cáşn ĂąáťŠng cáť§a (C) náşżu cĂł Ăt nháşĽt máť&#x2122;t trong cĂĄc Ă°K

lim f(x) = +â&#x2C6;&#x17E; ; lim f(x) = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ; lim f(x) = +â&#x2C6;&#x17E; ; lim f(x) = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

x â&#x2020;&#x2019; x 0â&#x2C6;&#x2019;

x â&#x2020;&#x2019; x 0+

(d): y = ax + b lĂ tiáť&#x2021;m cáşn xiĂŞn cáť§a (C) náşżu lim [f(x) â&#x2C6;&#x2019; (ax + b)] = 0 hay

lim [f(x) â&#x2C6;&#x2019; (ax + b)] = 0

x â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

cĂĄch xĂĄc Ăąáť&#x2039;nh a, b: f(x) f(x) a = lim ; b = lim [f(x) â&#x2C6;&#x2019; ax] hay a = lim ; b = lim [f(x) â&#x2C6;&#x2019; ax] x â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; x x â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; Ă°áşˇc biáť&#x2021;t : HĂ m phĂ˘n tháťŠc :

xo lĂ nghiáť&#x2021;m cáť§a máşŤu (khĂ´ng lĂ nghiáť&#x2021;m cáť§a táť): tiáť&#x2021;m cáşn ĂąáťŠng x = xo

Báşc táť â&#x2030;¤ báşc máşŤu : cĂł tiáť&#x2021;m cáşn ngang

Báşc táť = báşc máşŤu + 1 : cĂł tiáť&#x2021;m cáşn xiĂŞn tháťąc hiáť&#x2021;n phĂŠp chia táť cho máşŤu y = ax + b + g(x) trong ĂąĂł lim g(x) = 0 thĂŹ y = ax + b lĂ x â&#x2020;&#x2019;Âąâ&#x2C6;&#x17E;

tiáť&#x2021;m cáşn xiĂŞn cáť§a Ăąáť&#x201C; tháť&#x2039;

Báşc táť > báşc máşŤu : cĂł tiáť&#x2021;m cáşn cong 157. TĂŹm cĂĄc tiáť&#x2021;m cáşn ĂąáťŠng : 1) y = 2) y =

x . xâ&#x2C6;&#x2019;2 2+x 9 â&#x2C6;&#x2019; x2

3) y =

x2 + x + 1

3 â&#x2C6;&#x2019; 2x â&#x2C6;&#x2019; 5x 2 2x + 1 4) y = . x

Trang 29

158. Tìm các tiệm cận ngang : 1) y = 2) y = 3) y =

4x − 3 . x−2 2x 2 + 1

. 3x 2 + 5 5x + 1 x 2 + 2x + 3

x 2 + 3x − 4 4) y = . x −1 159. Tìm tiệm cận xiên : 2x 2 − 5x + 8 1) y = . 2x + 1 3x 2 + 5 2) y = . 4x + 3 2x 3 3) y = 2 . x +1 4) y = x +

4x 2 − 6x + 2 .

5) y = x 2 − 6x + 5 .

x3 6) y = x −1 160. Tìm các tiệm cận 2 − 2x 1) y = . x +3 x −1 2) y = 2 . x +2 x 2 + 2x − 3 3) y = . x+2 x2 + x − 2 4) y = . 2x 2 − x − 3 5x 5) y = . 2x 2 − x − 3 x 2 − 6x + 3 6) y = . x −5 2 7) y = 5x − 2 + . 2x − 3 8) y = 2x + 3 +

4x 2 + 1 .

9) y = x 2 + 2x + 5 . 161. Chứng minh giao ñiểm của 2 tiệm cận của các ñồ thị sau là tâm ñối xứng 1) y =

−2x + 3 . x +1

Trang 30

2) y =

x2 − x + 5 . x−4

162. Tùy theo m, tìm các tiệm cận (nếu có) của các ñồ thị : 1) y = 2) y = 3) y = 4) y =

mx 2 . x −1 mx 2 + 6x − 2 . x+2 2x + 1 . mx − 2 mx − 1 . x2 − m

mx 2 − 2x + 5 163. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = thỏa : x +1 1) Có một tiệm cận ñứng và một tiệm cận ngang. 2) Có một tiệm cận ñứng và một tiệm cận xiên. 3) Không có tiệm cận. mx 2 + (3m − 1)x + 3m − 3 164. Cho hàm số y = : x +1 1) Với giá trị nào của m thì ñồ thị có tiệm cận xiên. 2) Tìm m ñể tiệm cận xiên qua A(–2;–1). mx 2 + (m + 1)x + m − 3 165. Cho hàm số y = : x−2 Với giá trị nào của m thì ñồ thị có tiệm cận ngang.

KHẢO SÁT HÀM SỐ Tìm tập xác ñịnh (xét tính chẵn lẻ, tuần hoàn nếu có) Khảo sát sự biến thiên

Tính ñạo hàm → tìm ñiểm tới hạn (y / = 0 hay y/ không xác ñịnh) → ñiểm cực trị ðối với hàm bậc ba: Tính ñạo hàm cấp hai → tìm ñiểm uốn Tìm giới hạn và tiệm cận Lập bảng biến thiên Vẽ ñồ thị Tìm một số ñiểm ñặc biệt, giao ñiểm với các trục Vẽ ñồ thị (chú ý tính ñối xứng) Nhận xét về ñồ thị

HÀM SỐ BẬC BA y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) Miền xác ñịnh D = R / 2 / 2 ðạo hàm y = 3ax + 2bx + c → ∆ = b − 3ac

y / = 0 có 2 nghiệm (∆ / > 0) ⇔ y có cực ñại, cực tiểu.

y / = 0 có nghiệm kép hay vô nghiệm (∆ / ≤ 0) ⇔ y không có cực trị, hàm số luôn tăng hoặc giảm ðạo hàm cấp hai y” = 6ax + 2b

y” = 0 ⇔ x = − ðồ thị: với a > 0

b b ⇒ ðiểm uốn có hoành ñộ x = − , ñiểm uốn là tâm ñối xứng. 3a 3a y

∆>0

∆=0

∆<0

166. Khảo sát các hàm số bậc hai, bậc ba 1) y = x² − 2x − 3. 2) y = − x² + 4x + 5. 3) y = − x³ + x² − x − 1. 4) y = 2x³ − 3x − 1.

x2 5) y = − + 2x 2 − 3x . 3 1 3 6) y = ( x − 1) . 2 x3 7) y = − 2x 2 + 4x + 2 . 3 8) y = x ( 3 − x ) . 2

x2 7 9) y = + x2 + x − . 3 3 10) y = (1 – x)³ . x3 11) y = − + x 2 − 2x + 1 . 3

HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y = ax4 + bx² + c (a ≠ 0) Miền xác ñịnh D = R Hàm số chẵn → ðồ thị có trục ñối xứng Oy / 3 2 ðạo hàm y = 4ax + 2bx = 2x(2ax + b)

ab < 0 : y / = 0 có 3 nghiệm ⇔ hàm số có 3 cực trị

ab ≥ 0 : y / = 0 có 1 nghiệm ⇔ hàm số có 1 cực trị ðồ thị: với a > 0 y

y x

Hàm số có 3 cực trị 167. Khảo sát các hàm số trùng phương 1) y = ¼ x4 − 2x² − 1 2) y = x4 + 3x² 3) y = – x4 – 2x² + 1 Trang 32

Hàm số có 1 cực trị

4) y = ½ x4 − 3x² + 2. 5) y = (x² – 1)²

x4 x2 3 − + 4 2 4 7) y = (x² + 1)² − 4. 6) y = −

(

)(

8) y = − x 2 − 2 x 2 + 4

)

x 4 − 6x 2 + 3 9) y = 2 4 10) y = – x + 1 x4 3 11) y = − x2 + 2 2 4 12) y = 1 + 4x² – 2x .

HÀM SỐ NHẤT BIẾN y =

ax + b (c ≠ 0; D = ad − bc ≠ 0) cx + d

Tiệm cận:

tiệm cận ñứng x = −

d c

a a ⇒ ñường thẳng y = là tiệm cận ngang x →±∞ c c  −d a  Giao ñiểm 2 tiệm cận là tâm ñối xứng I  ;   c c ðồ thị:

lim y =

168. Khảo sát các hàm số nhất biến

x +1 . x −1 2 2) y = . x+2 4 3) y = − . x 2 4) y = . 1− x 5−x 5) y = . x 1 − 2x 6) y = . 2x − 4 1) y =

Trang 33

x . 2x + 3 2 8) y = . 3− x 2x 9) y = 4 − 3x 7) y =

ax 2 + bx + c HÀM SỐ HỮU TỈ BẬC 2/1 : y = (aA≠0) Ax + B Miền xác ñịnh D = R \ {

−B } A

aAx 2 + 2aBx + ðạo hàm y = /

A B

(Ax + B)

y = 0 có 2 nghiệm khác –B/A ⇔ y có cực ñại, cực tiểu.

y / = 0 vô nghiệm ⇔ y không có cực trị. Tiệm cận: −B

tiệm cận ñứng : x = A k

Lấy tử chia cho mẫu y = mx + n + (hay dùng sơ ñồ Horner) Ax + B lim [y − (mx − n)] = 0 ⇒ ñường thẳng y = mx + n là tiệm cận xiên 2

x →±∞

Cực tri : Nếu x0 là nghiệm của y = 0 thì y0 = /

u / (x 0 ) v / (x 0 )

Giao ñiểm 2 tiệm cận là tâm ñối xứng I ðồ thị y

y x

* y có cực ñại, cực tiểu (aA > 0)

* y có cực ñại, cực tiểu (aA < 0) 169. Khảo sát các hàm số hữu tỉ

x 2 + 3x + 6 1) y = . x+2 Trang 34

* y không có cực trị (aA > 0)

* y không có cực trị (aA < 0)

x2 − x − 6 2) y = . x−2 x 2 + 5x + 7 3) y = . x+2 − x 2 + 3x 4) y = . 2x − 2 x 2 − 3x + 6 5) y = . 2x − 2 2x 2 + x + 3 6) y = . 2x − 1 x2 − x + 1 7) y = . x +1 1 8) y = − x − 1 − . x−2 x2 + 1 9) y = . 1− x x 2 − 4x 10) y = . 4x + 2 x 2 − 2x + 4 11) y = . 2x − 4 x 2 − 4x + 4 12) y = . x−2 x 2 − 9x + 18 13) y = . x−2 4x 2 − 15x + 9 14) y = . 3x 170. Cho hàm số y = x3 + mx2 + 9x + 4 1) ðịnh m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu. 2) Khảo sát hàm số với m = 6. 171. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 1 – m 1) ðịnh m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu. 2) Khảo sát hàm số với m = 2. 172. Cho hàm số y = –x4 + (m + 1)x2 – m + 2 1) ðịnh m ñể hàm số có 3 cực trị trong ñó chỉ có một cực trị có giá trị bằng 0 2) Khảo sát hàm số với m = 2. 173. Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + 1 1) ðịnh m ñể hàm số có 3 cực trị trong ñó có 2 cực trị có giá trị bằng 0. 2) Khảo sát hàm số với m = 0. x + 3m − 1 174. Cho hàm số y = (m + 2)x + 4m 1) Tùy theo m khảo sát chiều biến thiên của hàm số. 2) Khảo sát hàm số với m = 1. Trang 35

175. Tìm phương trình hàm số y =

ax + b (c ≠ 0) biết ñồ thị qua A(2; 13) B(0;–3) C(–1; 1). cx + d

Khảo sát hàm số tìm ñược. x 2 + (m + 1)x − m + 1 176. Cho hàm số y = x−m 1) Khảo sát hàm số với m = 2. 2) Chứng minh ñồ thị hàm số là hyperbol với mọi giá trị m. 3) Chứng minh hàm số luôn có cực ñại, cực tiểu.

ðiểm cố ñịnh Cho ñồ thị (Cm) : y = f(x,m) * A(x0,y0) là ñiểm cố ñịnh (nếu có) của họ (Cm) A(x0,y0) ∈ (Cm) ∀m∈R ⇔ y0 = f(x0 ,m) ∀m∈R Xét phương trình ẩn m: y = f(x,m) (*) (*) nghiệm ñúng ∀m∈R ⇔ tất cả (Cm) nếu ñi qua A ⇔ A là ñiểm cố ñịnh của (Cm) Am + B = 0 ∀m∈R ⇔ A = B = 0 Am² + Bm + C = 0 ∀m∈R ⇔ A = B = C = 0 Acosm + Bsinm = C ∀m∈R ⇔ A² + B² ≥ C²

(*) vô nghiệm ⇔ không có (Cm) nào ñi qua A ðiểm M(x0,y0) là ñiểm mà họ (Cm) không bao giờ qua ⇔ M(x0,y0) ∉ (Cm) ∀m ⇔ y0 = f(x0 ,m) vô nghiệm Am + B = 0 vô nghiệm ⇔ A = 0 ∧ B ≠ 0 2 Am + Bm + C = 0 vô nghiệm A ≠ 0 A = B = 0 ⇔  hay  2 B − 4AC < 0 C ≠ 0 Acosm + Bsinm = 0 vô nghiệm ⇔ A² + B² < C² (*) có n nghiệm ⇔ có n ñường (Cm) ñi qua A 177. Tìm ñiểm cố ñịnh của họ ñường có phương trình sau : 1) y =

mx + 1 . m(x − 1) + 2

mx 2 − (m − 1)x − 1 x−m 2 mx − (m 2 + m − 1)x + m 2 − m + 2 3) y = x−m 4) y = x³ – (m + 1)x² – (2m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1). 5) y = x4 + mx² – m – 1. 178. Tìm ñiểm cố ñịnh của họ (Cm) với : 1) y = (2m + 1)x³ − mx − m + 1 2) y =

Trang 36

2) y = (m − 1)x³ + x² − m

mx + 4 x+m 4 4) y = 2mx − x² − 4m + 1 mx 2 + 2x − m + 1 5) y = x 2 − 3x 179. Tìm những ñiểm mà họ ñường cong không bao giờ ñi qua : 1) y= x4 + 2(m –2)x2 + m2 –5m –5 2x 2 + (6 − m)x + 4 2) y = mx + 2 (3m + 1)x − (m 2 − m) 3) y = . x+m (m − 2)x − (m 2 − 2m + 4) 180. Cho y = có ñồ thị (Cm) . Tìm các ñiểm mà ñồ thị (Cm) không x−m thể ñi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào x 2 + (m − 2)x + m − 1 181. Cho (Cm) : y = Chứng minh (Cm) luôn qua 3 ñiểm cố ñịnh khi mx + m − 1 1 m≠1 và m ≠ 3) y =

x2 − x + m 182. Chứng minh khi m thay ñổi khác 2 giá trị cần xác ñịnh thì (Cm) : y = luôn 2x + m qua 2 ñiểm cố ñịnh 183. Tìm các ñiểm trên (d): x = 1 mà không có ñường cong nào của họ (3m + 1)x − m 2 + m y= ñi qua với m ≠ 0. x+m 184. Cho y = (m − 1)x3 − m + 2 (Cm) 1) Chứng minh (Cm) qua 1 ñiểm cố ñịnh 2) ðịnh m ñể (Cm) qua ñiểm (2;0). 185. Cho hàm số y = x3 – 2mx2 – mx (Cm). Chứng minh trên Parabol (P): y = x2 + 1 tồn tại ít nhất 2 ñiểm mà (Cm) không bao giờ qua. (m − 1)x + m 186. Cho (Cm): y = (m ≠ 0). x+m 187. Chứng minh các ñường thuộc họ (Cm) luôn qua một ñiểm cố ñịnh và tiếp xúc nhau tại ñiểm cố ñịnh ñó. 1) Viết phương trình tiếp tuyến chung của họ (Cm) tại ñiểm cố ñịnh.

Tìm giao ñiểm của 2 ñồ thị Cho y = f(x) có ñồ thị (C1), y = g(x) có ñồ thị (C2)

 y = f (x) Tọa ñộ giao ñiểm của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ   y = g(x) ⇒ phương trình hoành ñộ giao ñiểm f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao ñiểm của hai ñồ thị (C1) và (C2) Nếu phương trình có nghiệm x = α thì (x – α)h(x) = 0

Trang 37

188. Tìm giao ñiểm của :

x −1 và (D): y = –x + 1. 2x + 1 2) (C): y = x³ – 12 + 6 và (P): y = 4x² – 8x. 3) (C): y = x³ – x² – 5x + 6 và (D): y = 4x – 3. x−2 4) (C): y = và (P): y = x² – 3x + 2. x +1 2x − 2 5) (C): y = và (P): y = x² – 4x + 3. x−2 (x − 2)2 189. Cho hàm số y = có ñồ thị (C) và ñường thẳng (D) qua A(0;3) và có hệ số góc k. 1− x 1) Biện luận theo k số diểm chung của (C) và (D). 2) Tìm k ñể (D) cắt (C) tại 2 ñiểm phân biệt : a/ Thuộc 2 nhánh khác nhau. b/ Thuộc cùng một nhánh. x −1 190. Cho ñồ thị hàm số (C): y = . 2x − 4 1) Chứng minh ñường thẳng (D) y = x + m luôn cắt (C) tại 2 ñiểm phân biệt M, N. 2) Gọi P, Q là giao ñiểm của (D) với 2 tiệm cận. Chứng minh MP = NQ. 191. Cho (C): y = – x³ + 3x² + 1 ; (D): y = m(x – 1) + 3. Tìm m 1) (D) và (C) có 3 giao ñiểm phân biệt. 2) (D) và (C) có 1 ñiểm chung duy nhất. 3) (D) và (C) có 3 giao ñiểm phân biệt A, B, C với AB = AC. 192. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 + 2m – 1 cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ lập thành cấp số công. 193. Biện luận theo m số ñiểm chung của 2 ñồ thị sau : x 1) y = và y = x + m. x +1 x 2) y = và y = mx + 2m + 2. 2x − 1 x 2 − 3x + 3 3) y = và y = mx + 2m + 1. x −1 2x 2 + 3x − 3 4) y = và y = – ½ x + m . 2x + 1 2x − 1 194. Cho (C): y = và (D): y = – ½ x + m . x +1 1) Chứng minh (C) và (D) luôn cắt nhau tại 2 ñiểm M, N. 2) Tính MN theo m. x2 − x −1 195. Khảo sát hàm số y = . x −1 1) (∆) là ñường thẳng qua E(0;–1) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao ñiểm của (∆) và (C). 2) viết phương trình ñường thẳng qua E và cắt (C) tại 2 ñiểm A, B sao cho E là trung ñiểm ñoạn AB. 1) (C): y =

Trang 38

196. Cho hàm số y = x³ – 3mx² + (m – 1)x + 2m (Cm). ðịnh m ñể (Cm) cắt Ox tại 3 ñiểm phân

biệt.

Phương trình tiếp tuyến Cho y = f(x) có ñồ thị (C) / Phương trình tiếp tuyến TẠI M0(x0; y0) ∈ (C): y − y0 = y (x − x0) Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k Giải f /(x) = k ñể tìm hoành ñộ các tiếp ñiểm xi . Phương trình tiếp tuyến y = k(x – xi) + f(xi). Phương trình tiếp tuyến qua M(x1; y1) Phương trình ñường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x − x1) + y1 f(x) = k(x − x1 ) + y1 Tọa ñộ tiếp ñiểm thỏa  , tìm x0, k f '(x) = k 

Tìm (tậphợp) ñiểm A thỏa ðK cho trước sao cho từ ñó kẻ ñược: ♦ ít nhất 1 tiếp tuyến ñến (C) ⇔ ðk tiếp xúc cho ít nhất 1 tiếp ñiểm hay ít nhất 1 giá trị của k (có thể ứng dụng ñạo hàm ñể xác ñịnh miền giá trị của a khi ñiểm A cần tìm có toạ ñộ chỉ phụ thuộc vào 1 tham số a) ♦ ñúng n (n = 1,2,…) tiếp tuyến ñến (C) ⇔ ðk tiếp xúc cho ñúng n giá trị k. (hay ñk tiếp xúc cho ñúng n giá trị hoành ñộ tiếp ñiểm x0 và không có tiếp tuyến nào tiếp xúc với (C) tại 2ñiểm) ♦ Tồn tại (D) tiếp xúc với (C): y = f(x) tại 2 ñiểm A(a;f(a)), B(b;f(b)) phân biệt ⇔ Tồn tại a,b f (a) − f (b) (a≠b): f’'(a) = f’'(b) = a−b Ví dụ: Chứng minh qua A(1;–1) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với đồ thị hàm số (C): 1 y=x+ x +1 Giải: Đường thẳng (d) qua A không song song với trục tung y= k(x – 1) – 1 tiếp xúc 1   x + x + 1 = k(x − 1) − 1 (1) với (C) ⇔  có nghiệm 1 1 − =k (2)  (x + 1)2 ĐK: k ≠ 1 1 = k(x + 1) (3) (nhân 2 vế với x+1) x +1 2 1 (1) – (3): –1 + = –2k – 1 ⇔ = − k (4) x +1 x +1 thay (4) vào (2): 1 – (–k)2 = k ⇔ k2 + k –1 = 0. Phương trình này có 2 nghiệm thỏa k1.k2 = –1 nên có hai tiếp tuyến qua A vuông góc với nhau.

(2) ⇔ x +1 –

Trang 39

197. Viết phương trình tiếp tuyến với : 1) (C): y = – x³ + x² – x + 1 tại ñiểm uốn của (C). Chứng minh tiếp tuyến này có hệ số góc lớn

nhất trong các tiếp tuyến của (C). 4x − 1 2) (C): y = tại M ∈ (C) với yM = 1. 2x + 3 − x 2 + 2x − 3 198. Cho (P): y = x² – 3x –1 và (C): y = , chứng minh (P) và (C) tiếp xúc nhau x −1 x2 + x −1 199. Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = biết : x −1 1) Tiếp tuyến song song với (d): y = – x + 1. 2) Tiếp tuyến vuông góc với (d): y = 2x – 1. 200. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) ñi qua ñiểm A: 3 1) (C): y = x – 3x + 1; A(1;–6). 2) (C): y = x4 – 2x2 ; A(0;–1). x2 − x + 1 3) (C): y = ; A(2;–1). Chứng minh các tiếp tuyến vuông góc nhau x 201. Tìm những ñiểm trên Oy mà từ ñó vẽ ñược 3 tiếp tuyến với (C): y = x4 –x² –2 x2 − 9 / 202. Tìm những ñiểm trên x Ox mà từ ñó vẽ ñược duy nhất 1 tiếp tuyến với (C): y= . x +1 x2 + 1 203. Tìm những ñiểm trên mặt phẳng Oxy mà từ ñó vẽ ñược 2 tiếp tuyến với (C): y = x và 2 tiếp tuyến ñó vuông góc nhau.

ðồ thị chứa giá trị tuyệt ñối Một số tính chất về ñồ thị: a) ðồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = – f(x) ñối xứng nhau qua trục hoành b) ðồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục ñối xứng c) ðồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa ñộ làm tâm ñối xứng Dạng 1: Từ ñồ thị (C): y = f(x) ⇒ (C1): y = |f(x)| Cách giải f (x) khi f (x) ≥ 0 (1) B1. Ta có : (C1 ) : y =| f (x) |=  −f (x) khi f (x) < 0 (2) B2. Từ ñồ thị (C) ñã vẽ ta có thể suy ra ñồ thị (C1) như sau: • Giữ nguyên phần ñồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) ) • Lấy ñối xứng qua Ox phần ñồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) ) • Bỏ phần ñồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ ñược (C1)

Trang 40

Dạng 2: Từ ñồ thị (C): y = f(x) ⇒ (C2): y = f(|x|) f (x) khi x ≥ 0 (1) B1. Ta có : (C2 ) : y = f (| x |) =  f (− x) khi x < 0 (2) B2. Từ ñồ thị (C) ñã vẽ ta có thể suy ra ñồ thị (C2) như sau: • Giữ nguyên phần ñồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do (1) ) • Lấy ñối xứng qua Oy phần ñồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do do tính chất hàm chẵn ) • Bỏ phần ñồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta sẽ ñượ (C2)

Dạng 3: Từ ñồ thị (C): y = f(x) ⇒ (C3): |y| = f(x) Cách giải f (x) ≥ 0  B1. Ta có : (C3 ) :| y |= f (x) ⇔   y = f (x) (1)   y = −f (x) (2)  B2. Từ ñồ thị (C) ñã vẽ ta có thể suy ra ñồ thị (C3) như sau: • Giữ nguyên phần ñồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) ) • Lấy ñối xứng qua Ox phần ñồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (2) ) • Bỏ phần ñồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ ñược (C3)

Trang 41

204. Cho hàm số : y = – x³ + 3x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1) 2) Từ ñồ thị (C) ñã vẽ, hãy suy ra ñồ thị các hàm số sau: a/ y = | –x³ + 3x| b/ y = – |x|³ + 3|x| c/ |y| = – x³ + 3x

x −1 x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1) 2) Từ ñồ thị (C) ñã vẽ, hãy suy ra ñồ thị các hàm số sau: x −1 a/ y = x +1 x −1 b/ y = x +1 x −1 c/ y = x +1 x −1 d/ y = x +1 x −1 e/ y = x +1 205. Cho hàm số : y =

Biện luận số nghiệm của phương trình bằng ñồ thị Biện luận số nghiệm của phương trình f(x, m) = 0 (1) Khai triển, biến ñổi phương trình về dạng f(x) = m (2) Xem phương trình (2) là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của ñường (C): y = f(x)

và ñường thẳng (D): y = m. ðường thẳng (D) cùng phương với trục Ox và cắt Oy tại (0; m). Khảo sát (C) và vẽ (D). Tùy theo số ñiểm chung của (C) và (D) ta có số nghiệm tương ứng của phương trình .

Ghi chú: ♦ Có thể dùng bảng biến thiên của hàm số y = f(x) để biện luận số giao điểm. ♦ Nếu phương trình (2) có dạng f(x,m) có chứa sinx, cosx, ex, lnx, . . . có thể biến đổi về dạng f(t) = m. Đặt t = g(x) = sinx (hoặc t = cosx, t = ex , t = lnx, . . .) Khảo sát hàm số f(t) và đường thẳng (D):y = m trên miền giá trị của hàm t = g(x), suy ra số nghiệm của phương trình f(t) = m và căn cứ hàm t = g(x) suy ra số nghiệm x. 206. Cho hàm số y = (x + 1)².(2 – x) 1) Khảo sát hàm số . Gọi (C) là ñồ thị hàm số . 2) Dùng (C) biện luận số nghiệm của phương trình : a/ x³ – 3x – 2 + m = 0. 3 b/ x – 3x + 1 – 2m = 0.

Trang 42

207. Cho hàm số y = (x + 1)².(x – 1)² 1) Khảo sát hàm số . Gọi (C) là ñồ thị hàm số . 2) Dùng (C) biện luận số nghiệm của phương trình:(x² – 1)² – 2a + 1 = 0.

x 2 + 2x − 2 208. Cho hàm số y = . x −1 1) Khảo sát hàm số . Gọi (C) là ñồ thị hàm số . 2) Dùng (C) biện luận số nghiệm của pt: x² + (2 – m)x + m – 2 = 0. x 2 + 3x + 3 209. Cho hàm số y = x+2 1) Khảo sát hàm số . Gọi (C) là ñồ thị hàm số . 2) Dùng (C) biện luận số nghiệm của phương trình: x² + (3 – a)x + 3 – 2a = 0. So sánh các nghiệm với – 3; – 1 4 210. ðịnh m ñể phương trình : x – 2x² – m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. x+2 211. Cho hàm số y = x −1 1) Khảo sát hàm số . Gọi (C) là ñồ thị hàm số . 2 2) Dùng (C) biện luận số nghiệm của phương trình: 3x – (m + 2)x + m + 2 = 0. x+2 / 3) Từ (C) suy ra ñồ thị (C ) hàm số y = . x −1 x+2 4) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: =a+1 x −1 x2 + x + 1 212. Cho hàm số y = x +1 1) Khảo sát hàm số . Gọi (C) là ñồ thị hàm số . 2) Dùng (C) biện luận theo m số nghiệm trong (–π; π) của phương trình : cos2t + 2(1 – m)cost + 3 – 2m = 0. 3) Tìm m ñể phương trình 4x³ –3x + 4m3 – 3m = 0 có 3 nghiệm

Tập hợp ñiểm Phương pháp chung:

Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M: xM = g(m); yM = h(m)

Khử tham số m ñể tìm hệ thức giữa x và y.

Giới hạn : Căn cứ diều kiện tồn tại ñiểm M. Chú ý : Nếu xM = c thì phương trình chứa tập hợp ñiểm M là x = c. Tọa ñộ các ñiểm thường gặp Tọa ñộ trung ñiểm ñường thẳng (D): y = g(x,m) cắt (C):y = f(x) tại A và B x + xB  x I = A Tọa ñộ trung ñiểm I của ñoạn AB:  với xA, yA là nghiệm của phương trình 2  y I = g(x I , m) hoành ñộ giao ñiểm. ðiều kiện tồn tại I : pt hoành ñộ giao ñiểm có 2 nghiệm.

Trang 43

Tọa ñộ tâm ñối xứng d  x = − I  ax + b c * Của ñồ thị (H): y = là  cx + d y = a  I c ðiều kiện tồn tại I : c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0.  x I là nghiêm pt y'' = 0 * Của ñồ thị (C): y = ax3 + bx2 + cx + d:  3 2  y I = ax I + bx I + cx I + d

ðiều kiện tồn tại I : a ≠ 0. 213. Tìm tập hợp ñỉnh của các parabol : 1) y = x² + (2m – 4)x + m + 1. 2) y = ½ x2 – mx + m + 3. 214. Tìm tập hợp tâm ñối xứng của các ñường cong : 1) y = x³ – 3mx² + 2x – 3m – 1.

(m − 1)x + 1 (m ≠ 0; m ≠ ½ ). mx − 1 x 2 − mx − 2m 2 + 1 3) y = . x − 2m 2m − 1 4) y = x + 1 + (m ≠ ½ ). x + 2m 215. Cho hàm số y = 2x³ – 3(2m + 1)x² + 6m(m + 1)x + 1. 1) Tìm tập hợp tâm ñối xứng của ñồ thị hàm số . 2) Chứng minh hàm số luôn có 2 cực trị. Tìm tập hợp các ñiểm cực ñại trên ñồ thị . x −1 216. Cho hàm số y = (H). x +1 1) ðịnh m ñể (d): y = 2x + m cắt (H) tại 2 ñiểm A, B. 2) Tìm tập hợp trung ñiểm M của ñoạn AB. 217. Cho hàm số y = (x + 2)(x – 1)² (C). 1) (D) là ñường thẳng qua A(–2; 0) và có hệ số góc m. Với giá trị nào của m thì (D) cắt (C) tại 3 ñiểm A, B, C. 2) Tìm tập hợp trung ñiểm M của ñoạn BC. 1 218. Cho hàm số y = 2x – 2 + (C) x 1) Biện luận theo m số giao ñiểm của (C) và (d): y = x + m. 2) Trường hợp (C) cắt (d) tại 2 ñiểm A, B. Tìm tập hợp trung ñiểm I của ñoạn AB. 2) y =

ÔN TẬP 219. Cho hàm số y = x³ + mx² + 1 (Cm) 1) Tìm m ñể hàm số ñồng biến trong R. 2) Tìm m ñể (Cm) cắt (d): y = – x + 1 tại 3 ñiểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến

cua (Cm) tại B, C vuông góc nhau. 3) Khảo sát hàm số khi m = – 3. Gọi (C) là ñồ thị hàm số . 4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vẽ từ A(0; 1). Trang 44

220. Cho hàm số y = x³ + 3x² + 1 (C). 1) Khảo sát hàm số . 2) Từ gốc tọa ñộ vẽ ñược bao nhiêu tiếp tuyến với (C). Viết phương trình các tiếp tuyến ñó. 3) Dựa vào (C), biện luận số nghiệm của phương trình x³ + 3x² + m = 0.

1 x³ – mx – m (Cm) 3 1) ðịnh m ñể (Cm) cắt trục hoành tại ñiểm có hoành ñộ x = 2 2) Khảo sát hàm số khi m = 4. Gọi ñồ thị là (C). 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại ñiểm uốn của (C). 4) ðịnh m ñể hàm số không có cực trị. 5) Xác ñịnh ñiểm mà (Cm) luôn ñi qua ∀m∈R. 1 3 222. Khảo sát hàm số y = x4 – 3x² + (C). 2 2 3 1) Tìm các tiếp tuyến của (C) qua A(0; ). 2 4 2) ðịnh m ñể pt x – 6x² + 3 + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt. 223. Cho hàm số y = – x4 + 2mx² – 2m + 1 (Cm). 1) Biện luận theo m số cực trị của hàm số . 2) Tìm m ñể (Cm) cắt Ox tại 4 ñiểm có hoành ñộ lập thành cấp số cộng. 3) Khảo sát hàm số khi m = 5. Gọi (C) là ñồ thị. 4) Tìm a ñể phương trình x4 – 10x² + 9 + a có 4 nghiệm phân biệt. 4 224. Cho hàm số y = – x + 2(m + 1)x² – 2m – 1 (Cm). 1) ðịnh m ñể hàm số có 3 cực trị. 2) Khảo sát hàm số khi m = 0. Gọi (C) là ñồ thị. 3) Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) qua A(0;–1). 4) Tìm các ñiểm cố ñịnh mà (Cm) luôn ñi qua. 2x − 3 225. Cho hàm số y = (C). x+2 1) Khảo sát hàm số . 2) Tìm ñiểm trên (C) có tọa ñộ là các số nguyên. 3) Tìm pt tiếp tuyến với (C) tại ñiểm trên (C) có x = 0. 4) Tìm pt tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 7x + y – 1 = 0 ax + b 226. Cho hàm số y = . x −1 1) Xác ñịnh a, b sao cho ñồ thị qua A(3; 1) và tiếp xúc với ñường thẳng y = 2x – 4. 2) Khảo sát hàm số với a = 2; b = – 4. Gọi (C) là ñồ thị. 3) Chứng minh các tiếp tuyến của (C) ñều không ñi qua giao ñiểm của 2 ñường tiệm cận. x 2 − 3x 227. Khảo sát hàm số y = (C). x −1 1) Tìm ñiểm trên (C) có tọa ñộ là các số nguyên. 2) Chứng minh ñường thẳng (d): y = –x + m luôn cắt (C) tại 2 ñiểm phân biệt M, N. 3) Giả sử (d) cắt 2 tiệm cận của (C) tại P, Q. Chứng minh hai ñoạn MN và PQ có cùng trung ñiểm. x 2 + mx − 2m − 4 228. Cho hàm số y = . x+2 1) Xác ñịnh m ñể hàm số có 2 cực trị. 221. Cho hàm số y =

Trang 45

2) Khảo sát hàm số khi m = 1. Gọi (C) là ñồ thị . 3) Giả sử tiếp tuyến tại M∈(C) cắt 2 tiệm cận tại P, Q. CMR: MP=MQ 229. Khảo sát hàm số y =

1 4 5 x – 3x² + (C). 2 2

1) Khảo sát hàm số . 2) Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M có hoành ñộ a. Tìm a ñể (D) cắt (C) tại 2 ñiểm

phân biệt P, Q khác M. Tìm tập hợp trung ñiểm I của PQ khi a thay ñổi. / 3) Tìm ñiểm trên y Oy mà qua ñó có 3 tiếp tuyến với (C). x +3 230. Cho hàm số y = (C) x +1 1) Khảo sát hàm số . 2) Chứng minh ñường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại 2 ñiểm phân biệt M, N. Tìm m ñể ñoạn thẳng MN có ñộ dài nhỏ nhất. x +3 x+3 3) Dựa vào (C) vẽ các ñồ thị sau: y = ;y= . x +1 x +1 ax + b 231. Cho hàm số y = (C) cx + d 1) Tìm phương trình y biết (C) có tâm ñối xứng I(–2;2) và qua A(−1;−3) 2) Khảo sát hàm số . 3) Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) qua tâm I. 4) (D) là ñường thẳng qua B(–1; 3) và có hệ số góc m. Tìm m ñể (D) cắt (C) tại 2 ñiểm M, N nằm trên 2 nhánh khác nhau của (C). Tìm tập hợp trung ñiểm của MN. (m − 1)(x 2 − 2x) + m + 4 232. Cho hàm số y = (Cm). mx + m 1) Tìm m ñể (Cm) tiếp xúc với (D): y = 1. 2) Tìm m ñể (Cm) có cực ñại , cực tiểu và 2 ñiểm cực trị ở cùng một phía ñối với Ox 3) Khảo sát hàm số khi m = 2. Gọi (C) là ñồ thị . 4) Tìm ñiểm trên (C) có tọa ñộ là các số nguyên. 5) Tiếp tuyến tại M ∈ (C) cắt 2 tiệm cận tại P, Q, gọi I là tâm ñối xứng. Chứng minh M là trung ñiểm PQ và diện tích ∆IPQ không phụ thuộc vị trí ñiểm M. −2x 2 − 3x + m 1 233. ðịnh m ñể y = nghịch biến trong khoảng (− ; + ∞) 2 2x + 1 234. ðịnh a ñể hàm số y = x³ − 3(a − 1)x² + 3(a − 2)x + 1 ñồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho 1 ≤ |x| ≤ 2 235. Cho (Cm) : y = (m + 1)x³ − 2mx² − (m − 2)x + 2m − 3 1) Tìm ñiểm cố ñịnh 2) ðịnh m ñể hàm số ñồng biến trên R. 3) Khảo sát hàm số khi m = −2 ; m = 0 236. ðịnh a, b, c ñể ñồ thị hàm số y = x³ + ax² + bx + c có ñiểm uốn I(0;1) và hàm số ñạt cực trị tại x = 1 x 2 + 3x + m 237. ðịnh m ñể ñồ thị hàm số y = có tiếp tuyến vuông góc với ñường phân giác x +1 thứ I. Chứng minh lúc ñó ñồ thị hàm số có ñiểm cực ñại và ñiểm cực tiểu.

Trang 46

ax 2 + bx + c 238. Cho hàm số y = Tìm a, b, c biết hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 và tiệm x−2 1 cận xiên của ñồ thị hàm số vuông góc với ñường thẳng y = (1 − x) 2 ax + b 239. ðịnh a, b ñể ñồ thị hàm số y = có tiệm cận ngang y = 2 và hệ số góc của tiếp x +1 tuyến với ñồ thị hàm số tại ñiểm x = 0 bằng 4 x 2 + mx + 2m − 1 240. ðịnh m ñể hàm số y = có cực trị và tiệm cận xiên của ñồ thị hàm số ñi mx + 1 qua gốc tọa ñộ −3x 2 + mx + 4 241. ðịnh m ñể tiếp tuyến với ñồ thị hàm số y = tại ñiểm x = 0 vuông góc với 4x + m tiệm cận của ñồ thị hàm số . 2mx 2 + (m + 2)x − m + 3 242. Cho hàm số y = . Tính khoảng cách d từ ñiểm O ñến tiệm cận x −1 xiên của ñồ thị hàm số . Tìm giá trị lớn nhất của d. sin α.x 2 + 2cos α.x + 1 243. Cho hàm số y = Tính khoảng cách từ ñiểm O ñến tiệm cận xiên x+2 của ñồ thị hàm số . Xác ñịnh α ñể khoảng cách trên lớn nhất . x 2 + mx − m + 8 244. Cho hàm số y = . ðịnh m ñể các ñiểm cực ñại, cực tiểu của ñồ thị hàm x −1 số ở về 2 phía của (D) 9x − 7y − 1 = 0 245. Viết phương trình Parabol ñi qua ñiểm cực ñại, cực tiểu của ñồ thị hàm số: x2 − x + 4 1) y = và tiếp xúc ñường thẳng y = −4. x −1 x2 − x + 9 2) y = và tiếp xúc ñường thẳng 2x − y − 10 = 0. x −1 3 1 3) y = x 3 − x 2 + 1 và tiếp xúc ñường thẳng y = x. 2 2 2x 2 − 3x + m 246. Chứng minh ∀m ≠ 0 , một tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = tại giao ñiểm x−m của nó với trục Oy luôn cắt tiệm cận ñứng tại ñiểm có tung ñộ bằng 1. x 2 + 2x − 1 247. Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị hàm số y = sao cho các tiếp tuyến ñó x −1 vuông góc với tiệm cận xiên của ñồ thị . Chứng minh tiếp ñiểm là trung ñiểm của ñoạn tiếp tuyến bị chắn bởi 2 tiệm cận của ñồ thị hàm số 248. Xác ñịnh m ñể tam giác tạo bởi 2 trục tọa ño và ñường tiệm cận xiên của ñồ thị hàm số 2x 2 + mx − 2 y= có diện tích bằng 4. x −1 x 2 + 4x − 2 249. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) : y = . Biện luận theo m số nghiệm phương trình x2 +1 (1 − m)sin²x − 4cosx + 2m + 1 = 0 Trang 47

x 2 + 3x + 3 250. Khảo sát và vẽ (C): y = , Biện luận theo m số nghiệm t e-∈ [0; π] của x+2 phương trình : cos²t +(3– m)cost +3–2m = 0 x2 + x + 1 251. Khảo sát và vẽ (C): y = x +1 1) Dùng (C) ñể biện luận theo m số nghiệm của pt: x2 + (1 – m)|x| + 1– m = 0 2) Dùng (C) ñể biện luận theo a số nghiệm của phương trình: sin2x + (1 – a)sinx + 1 – a = 0 với 0 ≤ x ≤ π /2 x2 − x + 1 252. * Dùng ñồ thị (C) : y = ñể biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x2 −1 x2 − x + 1 3 2 a 4a 3 = − + + 2 x2 −1 x 2 − 5x + 5 . x −1 x 2 − 5x + 5 1) Từ (C), hãy suy ra ñồ thị hàm số y = . x −1 2) Biện luận theo m số nghiệm t của pt : | 4t –5.2t + 5| = m(2t – 1). x2 − x + 2 . Biện luận theo m số nghiệm của phương 254. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) : y = x −1 253. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C): y =

x2 − x + 2 =m–2 trình : x −1 255. Khảo sát và vẽ (C1): y = f(x) =

2x x −1

2| x | . | x | −1 2) Dùng (C1) ñể bluận theo m số nghiệm x ∈[−1; 2] của pt: (m–2)| x| – m=0 256. * Xác ñịnh k ñể pt : (x − 1)² = 2 |x − k| có ít nhất 3 nghiệm phân biệt. 257. * Vẽ ñồ thị hàm số f(x) = | x² − 4|x| + 3 | 1) ðịnh k ñể phương trình f(x) = k có 8 nghiệm phân biệt. 2) Tìm các giá trị của m ñể pt: f(x) = f(m) có 4 nghiệm phân biệt mx 2 + (2 − m 2 )x − 2m − 1 258. Tìm m ñể (Cm):y = có cực trị. CMR với m tìm ñược, trên x−m (Cm) luôn tìm ñược 2 ñiểm mà tiếp tuyến với (Cm) tại 2 ñiểm ñó vuông góc nhau. 259. Cho hàm số : y = 2x³ + 3(m – 3)x² + 11 – 3m (Cm)  19  1) Cho m=2.Tìm phương trình các ñường thẳng qua  ;4  và tiếp xúc với ñồ thị (C2)  12  2) Tìm m ñể (Cm) có 2 cực trị. Gọi M1 ,M2 là các ñiểm cực trị, tìm m ñể M1, M2 và B(0;–1) thẳng hàng. 260. * Xét 3 ñiểm A, B, C thẳng hàng và thuộc (C): y = x³− 3x – 2. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là giao ñiểm của (C) với tiếp tuyến của (C) tại A,B,C. CMR A1, B1, C1 cũng thẳng hàng. 261. Cho hàm số y = f(x)= mx³ + 3mx² – (m–1)x –1. 1) ðịnh m ñể f(x) không có cực trị. 2) Khảo sát & vẽ ñồ thị hàm số trên khi m=1. 1) Từ (C) hãy suy ra ñồ thị (C1) của y = g(x) =

Trang 48

(2m − 1)x − m 2 262. Cho hàm số : y = (1) ( m là tham số ). x −1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = –1. 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñường cong (C) và hai trục tọa ñộ. 3) Tìm m ñể ñồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với ñường thẳng y = x mx 2 + x + m 263. Cho hàm số y = (1) x −1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m = −1. 2) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt và hai ñiểm ñó có hoành ñộ dương. − x 2 + 3x − 3 264. Cho hàm số y = (1). 2(x − 1) 1) Khảo sát hàm số (1). 2) Tìm m ñể ñường thẳng y = m cắt ñồ thị hàm số (1) tại hai ñiểm A, B sao cho AB=1. 1 265. Gọi (Cm) là ñồ thị của hàm số y = mx + (*) ( m là tham số). x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (*) khi m = ¼ 2) Tìm m ñể hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ ñiểm cực tiểu của (Cm) ñến tiệm cận xiên 1 của (Cm ) bằng 2 266. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số y = 2x³ – 9x² + 12x – 4. 2) Tìm m ñể phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: y = 2|x|³ – 9x² + 12|x| – 4.

2x x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho. 2) Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng ¼ 268. Cho hàm số y = x³ – 3x² + 4 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1). 2) Chứng minh rằng mọi ñường thẳng ñi qua ñiểm I(1;2) với hệ số góc k ( k > –3) ñều cắt ñồ thị của hàm số (1) tại ba ñiểm phân biệt I, A, B ñồng thời I là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB. 269. Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x² + 3m có ñồ thị là (Cm) m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho khi m = 0. 2) Tìm m ñể ñường thẳng y = −1 cắt ñồ thị ( Cm) tại 4 ñiểm phân biệt ñều có hoành ñộ nhỏ hơn 2. 270. Cho hàm số : y = mx4 + (m² – 9)x² + 10 (1) ( m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m ñể hàm số (1) có ba ñiểm cực trị. 271. Cho hàm số y = x³ – 3x² + m (m là tham số). 1) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm phân biệt ñối xứng với nhau qua gốc tọa ñộ. 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m =2. 1 272. Cho hàm số y = y = x 3 − 2x 2 + 3x (1) có ñồ thị (C). 3 1) Khảo sát hàm số (1). 267. Cho hàm số y =

Trang 49

2) Viết phương trình tiếp tuyến 9 của (C) tại ñiểm uốn và chứng minh rằng 9 là tiếp tuyến của

(C) có hệ số góc nhỏ nhất. x 2 + (m + 1)x + m + 1 273. Gọi (Cm) là ñồ thị của hàm số y = (*) ( m là tham số). x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (*) khi m = 1. 2) Chứng minh rằng với m bất kỳ, ñồ thị (Cm) luôn luôn có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai ñiểm ñó bằng 20 . x2 + x −1 274. Cho hàm số y = x+2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C), biết tiếp tuyến ñó vuông góc với tiệm cận xiên của (C). 275. Cho hàm số: y = –x³ + 3x² + 3(m² – 1)x – 3m² – 1 (1), m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) cách ñều gốc tọa ñộ O. 276. Cho hàm số y = 4x³ – 6x² + 1 (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1). 2) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến ñó ñi qua ñiểm M(– 1;–9) 4 277. Cho hàm số y = 2x – 4x² (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1). 2) Với các giá trị nào của m, phương trình x²|x² – 2| = m có ñúng 6 nghiệm thực phân biệt ? 278. Cho hàm số : y = − x³ + 3mx² + 3(1 − m²)x + m³ − m² (1) ( là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m=1 2) Tìm k ñể phương trình: x³ + 3x² + k³ − 3k² = 0 có ba nghiệm phân biệt. 3) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1). mx 2 + x + m 279. Cho hàm số y = (1) (m là tham số). x −1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m = −1. 2) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt và hai ñiểm ñó có hoành ñộ dương. 280. Cho hàm số y = x³ – 3mx² + 9x + 1 (1) với m là tham số. 1) Khảo sát hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm m ñể ñiểm uốn của ñồ thị hàm số (1) thuộc ñường thẳng y = x + 1. 281. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số y = 2x³ – 9x² + 12x – 4. 2) Tìm m ñể phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2|x|³ – 9x² + 12|x| = m. 282. Cho hàm số y = x³ – 3mx² + 9x + 1 (1) với m là tham số. 1) Khảo sát hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm m ñể ñiểm uốn của ñồ thị hàm số (1) thuộc ñường thẳng y = x + 1.

mx 2 + (3m 2 − 2)x − 2 283. Cho hàm số y = (1), với m là tham số thực. x + 3m 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m ñể góc giữa hai ñường tiệm cận của ñồ thị hàm số (1) bằng 45° . Trang 50

x 2 + mx − 1 284. Cho hàm số y = (1). ðịnh m ñể ñường thẳng y = m cắt ñồ thị hàm số (1) tại x −1 hai ñiểm phân biệt A, B sao cho OA ⊥ OB . x+2 285. Cho hàm số y = (1). 2x + 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1). 2) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai ñiểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc O. x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m 286. Cho hàm số y = , m là tham số. x+2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = –1. 2) Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại và cực tiểu, ñồng thời các ñiểm cực trị của ñồ thị cùng với gốc tọa ñộ O tạo thành một tam giác vuông tại O. x 2 + mx − 1 287. Tìm m ñể tiệm cận xiên của hàm số y = cắt các trục toạ ñộ tại hai ñiểm A, B x −1 sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8. 2x + 3 288. Cho hàm số y = (C). x−2 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số . 2) Xác ñịnh m ñể ñường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau. 289. Cho hàm số y = – x³ – 3x² + mx + 4 trong ñó m là tham số thực 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho, với m = 0 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể hàm số ñã cho nghịch biến trên khoảng (0;+∞) 290. Cho hàm số : y = x³ + 3mx² + (m + 1)x + 1 (1) , m là tham số thực 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m = –1 2) Tìm các giá trị của m ñể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1) tại ñiểm có hoành ñộ x = –1 ñi qua ñiểm A(1 ; 2) 291. Cho hàm số y = x 4 − 8x 2 + 7 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) 2) Tìm các giá trị của tham số m ñể ñường thẳng y = mx – 9 tiếp xúc với ñồ thị hàm số (1). x 2 + (3m − 2)x + 1 − 2m 292. Cho hàm số y = (1) , m là tham só thực . x+2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) 2) Tìm các giá trị của m ñể hàm số (1) ñồng biến trên từng khoảng xác ñịnh . 293. Cho hàm số y = x³ – 3x² – 3m(m + 2)x –1 (1) , m là tham số thực 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m = 0 2) Tìm các giá trị m ñể hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu 294. Cho hàm số y = x³ – 3x² – 9x + m, trong ñó m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho khi m = 0. 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể ñồ thị hàm số ñã cho cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ lập thành cấp số cộng. 295. Cho hàm số : y = x³ – 3x + 2 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C ) của hàm số . 2) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua A(3;20) cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt. Trang 51

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

296. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết AB = a, BC = 2a,

SC=3a và cạnh bên SA vuông góc với ñáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 297. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA = a 2 và vuông góc với ñáy, góc giữa SC và ñáy là 45° .Tính thể tích của khối chóp. 298. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC vuông góc với nhau từng ñôi một. Biết SA = a, AB = BC = a 3 .Tính thể tích của khối chóp và tìm tâm của mặt cầu ngọai tiếp hình chóp. 299. Cho khối chóp S.ABC có ñường cao SA= a, (a > 0 ) và ñáy là tam giác ñều. Góc giữa mặt bên (SBC) và mặt dáy bằng 600 . Tính thể tích của của khối chóp S.ABC theo a. 300. Cho khối chóp S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a, (a >0). Tam giác SAC cân tại S góc SAC bằng 600 ,(SAC) ⊥ (ABC) . Tính thể tích của của khối chóp S.ABC theo a. 301. Cho tứ diện S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC ñôi một vuông góc và SA=a, SB=b, SC=c. Hai ñiểm M, N lần lượt thuộc 2 cạnh AB, BC sao cho AM = 1/3 AB, BN= 1/3 BC. Mặt phẳng (SMN) chia khối tứ diện S.ABC thành 2 khối ña diện (H) và (H’) trong ñó (H) là khối ña diện chứa ñỉnh C. Hãy tính thể tích của (H) và (H’) 302. Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,AC = a 3, mặt bên SBC là tam giác ñều và vuông góc với mặt phẳng ñáy. Tính theo a thể tích của khối chóp. 303. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp tứ giác ñều có ñộ dài cạnh bên gấp ñôi cạnh ñáy và bằng a 304. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với ñáy, cạnh bên SC tạo với ñáy một góc 30° . 1) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp. 2) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 305. Cho hình chóp tứ giác ñều, tất cả các cạnh ñều bằng a. Tính thể tích hình chóp 306. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác ñều và vuông góc với ñáy. Gọi H là trung ñiểm AB. Chứng minh rằng: SH vuông góc mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 307. Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b, = 900 . Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. AC = c và BAC a 308. Cho tứ diện ñều ABCD có cạnh bằng 2 1) Tính chiều cao của tứ diện ABCD. 2) Tính thể tích của tứ diện ABCD. a 309. Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh ñáy bằng , cạnh bên bằng a 2 1) Tính chiều cao của hình chóp S. ABC. 2) Tính thể tích của hình chóp S.ABC. 310. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy. SA = 3a, SB = 5a, AD = a 1) Tính ñộ dài AB. 2) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.

Trang 52

311. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành. SA ⊥ (ABCD) . SA =

a , AB= 2

2a, AD = 5a, góc BAD có số ño 30°. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD. a 312. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng , cạnh bên bằng 3a 2 1) Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD. 2) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD. 313. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy. SB = 5a, AB = 3a , AC= 4a. 1) Tính chiều cao của S.ABCD. 2) Tính thể tích của S.ABCD. 3 314. Cho hình chóp ñều S. ABC có cạnh SA = AB = 2 1) Tính chiều cao của S.ABC. 2) Tính thể tích của S.ABC. 315. Cho hình chóp S. ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại A. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy. SA = AB = 2a, BC = 3a. Tính thể tích của S.ABC. 316. Cho hình chóp S. ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại C. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy. SA = AB = 5a, BC = 3a. Tính thể tích của S.ABC. 317. Cho hình chóp S. ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại A. Cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng ñáy. SA = 5a, AB = 2a, BC = 3a. Tính thể tích của S.ABC. 318. Cho hình chóp S. ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B. Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng ñáy. SC = AB = a/2, BC = 3a. Tính thể tích của S.ABC. 319. Cho hình chóp S. ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy. SA = AC , AB = a, BC = 2AB. Tính thể tích của S.ABCD. 320. Cho hình chóp S. ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B. Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng ñáy. SC = AB = a/3, BC = 3a. Tính thể tích của S.ABC. 321. Cho hình chóp S. ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy. SA = 2a , AB = a, AC = 3a. 1) Tính thể tích của S.ABCD. 2) Chứng minh BC ⊥ (SAB) a 322. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng , cạnh bên bằng 3a 3 1) Tính chiều cao của S.ABCD. 2) Tính thể tích của S.ABCD. 323. Cho khối chóp tam giác ñều S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a và các cạnh bên tạo với ñáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp ñó. 324. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA, SB, SC ñôi một vuông góc nhau và SA = a, SB= b, SC = c. Tính ñộ dài ñường cao vẽ từ S của hình chóp S.ABC. 325. Cho tứ diện ABCD.M là ñiểm trên cạnh CD sao cho MC = 2 MD.Mặt phẳng (ABM) chia khối tứ diện thành hai phần .Tính tỉ số thể tích hai phần ñó 326. Cho khối chóp tam giác ñều S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a và các cạnh bên tạo với ñáy một góc α . Hãy tính thể tích của khối chóp theo a và α 327. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. SA vuông góc với mp(ABCD), góc giữa SC với mặt ñáy bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Trang 53

328. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a và góc ASB bằng α . Tính diện

a α cot 2 − 1 2 2 329. Cho hình chóp tam giác S.ABC có ñáy là tam giác vuông ở B. cạnh SA vuông góc với ñáy. Từ A kẻ các ñoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB=3, BC = 4, SA = 6. 1) Tính thể tích khối chóp S.ADE. 2) Tính khoảng cách từ E ñến mặt phẳng (SAB). 330. Cho khối chóp S.ABC có ñáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với ñáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp ñó. 331. Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, C=60°. ðường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) một góc 30°. 1) Tính ñộ dài ñoạn AC’ 2) Tính V khối lăng trụ. 332. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là một tam giác ñều cạnh a và ñiểm A’ cách ñều các ñiểm A,B,C. Cạnh bên AA’ tạo với mp ñáy một góc 60°. 1) Tính V khối lăng trụ. 2) Chứng minh mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật. 3) Tính S xung quanh hình lăng trụ. 333. Tính V khối tứ diện ñều cạnh a. 334. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD. 1) Biết AB =a và góc giữa mặt bên và ñáy bằng α , tính V khối chóp. 2) Biết trung ñoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và ñáy bằng β. Tính V khối chóp. 335. Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC. 1) Biết AB=a và SA=l , tính V khối chóp. 2) Biết SA=l và góc giữa mặt bên và ñáy bằng α , tính V khối chóp. 336. Hình chóp cụt tam giác ñều có cạnh ñáy lớn 2a, ñáy nhỏ là a, góc giữa ñường cao với mặt bên là 30°. Tính V khối chóp cụt . 337. Một hình trụ có bán kính ñáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. 1) Tính S xung quanh và S toàn phần của hình trụ . 2) Tính V khối trụ tương ứng. 3) Tính V khối lăng trụ tứ giác ñều nội tiếp trong khối trụ ñã cho . 338. Một hình trụ có bán kính ñáy R và ñường cao R√3. Gọi A và B là 2 ñiểm trên 2 ñường tròn ñáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30°. 1) Tính S xung quanh và S toàn phần của hình trụ . 2) Tính V khối trụ tương ứng. 339. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông a. 1) Tính S xung quanh và S toàn phần của hình nón. 2) Tính V khối nón tương ứng. 340. Cho một tứ diện ñều có cạnh là a . 1) Xác ñịnh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. 2) Tính S mặt cầu. 3) Tính V khối cầu tương ứng. 341. Cho một hình chóp tứ giác ñều có cạnh ñáy là a, cạnh bên hợp với mặt ñáy góc 60°. 1) Xác ñịnh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 2) Tính S mặt cầu 3) Tính V khối cầu tương ứng. tích xung quanh của hình chóp và chứng minh ñường cao của hình chóp bằng

Trang 54

342. Cho hình nón có ñường cao SO=h và bán kính ñáy R. Gọi M là ñiểm trênñoạn OS, ñặt

OM = x (0<x<h). 1) Tính S thiết diện (T) vuông góc với trục tại M. 2) Tính V của khối nón ñỉnh O và ñáy (T) theo R, h và x. 343. Hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy a, góc giữa mặt bên và ñáy là phi . 1) Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp . 2) Tính giá trị của tan(phi) ñể các mặt cầu này có tâm trùng nhau. 344. Một hình nón ñỉnh S có chiều cao SH = h và ñường sinh l bằng ñường kính ñáy. Một hình cầu có tâm là trung ñiểm O của ñường cao SH và tiếp xúc với ñáy hình nón . 1) Xác ñịnh giao tuyến của mặt nón và mặt cầu. 2) Tính S xung quanh của phần mặt nón nằm trong mặt cầu . 3) Tính S mặt cầu và so sánh với S toàn phần của mặt nón. 345. Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ cạnh ñáy a, góc giữa ñường thẳng AB’ và mp(BB’CC’) bằng α. Tính S xung quanh của hình lăng trụ. 346. Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a. Hình chiếu của A’ xuống (ABC) trùng với tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cho góc BAA’=45°. 1) Chứng minh BCC’B’ là hình chữ nhật . 2) Tính S xung quanh của hình lăng trụ. 347. Một hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a và góc ASB = α . 1) Tính S xung quanh của hình chóp. 2) Tính chiều cao của hình chóp. 3) Gọi O là giao ñiểm các ñường chéo của ñáy ABCD. Xác ñịnh góc α ñể mặt cầu tâm O ñi qua 5 ñiểm S,A,B,C,D. 348. Cho khối chóp tam giác ñều S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a, các cạnh bên tạo với ñáy một góc 60°. Tính V khối chóp ñó. 349. Cho khối chóp S.ABC có ñáy là tam giác cân, AB=AC=5a ,BC =6a , và các mặt bên tạo với ñáy một góc 60°. Tính V khối chóp ñó. 350. Cho hình chóp tam giác S.ABC có ñáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với ñáy. Từ A kẻ các ñoạn thẳng AD vuông góc SB, AE vuông góc SC. Biết AB=a, BC=b, SA=c. 1) Tính V khối chóp S.ADE. 2) Tính khoảng cách từ E ñến mp(SAB) . 351. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ 1 ñiểm trong bất kỳcủa 1 tứ diện ñều ñến các mặt của nó là 1 số không ñổi . 352. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a, BC =2a , AA’ =a. Lấy ñiểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD. 1) Tính V khối chóp M.AB’C 2) Tính khoảng cách từ M ñến mp(AB’C) . 353. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a, BC =b , AA’ =c. Gọi M,N theo thứ tự là trung ñiểm của A’B’ và B’C’. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ . 354. Cho 2 ñoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là ñường vuông góc chung của chúng. Biết AC=h, AB=a, CD=b và góc giữa 2 ñường thẳng AB và CD bằng 60°. Tính V tứ diện. 355. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ . Tính tỉ số V khối hộp ñó và V khối tứ diện ACB’D’. 356. Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có AB=a . Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với ñáy một góc 60°. Tính V khối chóp ñó . 357. Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a , BC=6a , CA=7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với ñáy một góc 60°. Tính V khối chóp ñó . Trang 55

358. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật , SA vuông góc với ñáy và

AB=a , AD=b, SA =c. Lấy các ñiểm B’,D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB’ vuông góc SB, AD’ vuông góc SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính V khối chóp ñó . 359. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD , ñáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với ñáy một góc 60°. Gọi M là trung ñiểm SC. Mặt phẳng ñi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính V khối chóp S.AEMF. 360. Cho hình lăng trụ ñứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a. 1) Tính V khối tứ diện A’BB’C. 2) Mặt phẳng ñi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính V khối chóp C.A’B’FE. 361. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M là trung ñiểm của A’B’, N là trung ñiểm của BC. 1) Tính V khối tứ diện ADMN. 2) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương ñã cho thành 2 khối ña diện . Gọi (H) là khối ña diện chứa ñỉnh A, (H’) là khối ña diện còn lại .Tính tỉ số V(H) và V(H’) 362. Cho khối chóp S.ABC có ñường cao SA =a , ñáy là tam giác vuông cân có AB =BC =a. Gọi B’ là trung ñiểm của SB , C’ là chân ñường cao hạ từ A của ∆ ABC. 1) Tính V khối chóp S.ABC. 2) Chứng minh: SC vuông góc (AB’C’). 3) Tính V khối chóp S.AB’C’. 363. Cho khối chóp S.ABC có ñường cao SA = 2a , tam giác ABC vuông ở C có AB=2a, góc CAB = 30°. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB . 1) Tính V khối chóp H.ABC. 2) Chứng minh : AH vuông góc SB và SB vuông góc (AHK). 3) Tính V khối chóp S.AHK. 364. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có mặt ñáy là tam giác ABC vuông tại B và AB=a, BC =2a , AA’=3a . Một mp(P) ñi qua A và vuông góc với CA’ lần lượt cắt các ñoạn thẳng CC’ và BB’ tại M và N . 1) Tính V khối chóp C.A’AB. 2) Chứng minh : AN vuông góc A’B. 3) Tính V khối tứ diện A’AMN. 4) Tính S tam giác AMN. 365. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên bằng 2a , ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =a, AC =a√3 và hình chiếu vuông góc của ñỉnh A’ trên mp(ABC) là trung ñiểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa 2 ñường thẳng AA’, B’C’. 366. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA=a , SB=a√3 và mp(SAB) vuông góc với mặt phẳng ñáy. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB,BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa 2 ñường thẳng SM, DN. 367. Cho lăng trụ ñứngABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông , AB=BC=a, cạnh bên AA’=a√2. Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 ñường thẳng AM,B’C. 368. Cho hình lăng trụ lục giác ñều ABCDE.A’B’C’D’E’ cạnh bên l, mặt chéo ñi qua 2 cạnh ñáy ñối diện nhau hợp với ñáy 1 góc 60°. Tính V lăng trụ. 369. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SB,BC,CD. Chứng minh : AM vuông góc BP và tính V khối tứ diện CMNP. Trang 56

370. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñáylà hình vuông cạnh a . Gọi E là ñiểm ñối

xứng của D qua trung ñiểm của SA, M là trung ñiểm của AE , N là trung ñiểm của BC. Chứng minh : MN vuông góc BD và tính khoảng cách giữa 2 ñường thẳng MN và AC. 371. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang, góc ABC = BAD = 90°, BA=BC=a, AD =2a. Cạnh bên SA vuông góc với ñáy và SA=a√2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính d[H,(SCD)]. 372. Cho hình trụ có các ñáy là 2 hình tròn tâm O và O’, bán kính ñáy bằng chiều cao và bằng a. Trên ñường tròn ñáy tâm O lấy ñiểm A, trên ñường tròn ñáy tâm O’ lấy ñiểm B sao cho AB=2a . Tính V khối tứ diện OO’AB. 373. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a , AD=a√2, SA= a và SA vuông góc (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AD và SC, I là giao ñiểm của BM và AC . 1) Chứng minh (SAC) vuông góc (SMB) 2) Tính V khối tứ diện ANIB. 374. Cho hình chóp tam giác S.ABC có ñáy ABClà tam giác ñều cạnh a, SA =2a và SA vuông góc (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các ñường thẳng SB và SC . Tính V khối chóp A.BCMN. 375. Cạnh ñáy của 1 hình chóp tam giác ñều bằng a; mặt bên của hình chóp tạo với mặt ñáy góc α. Tính V khối chóp . 376. Cho 1 hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ñường chéo B’D=a tạo thành với mặt phẳng ñáy ABCD góc α và tạo thành với mặt bên AA’D’D góc beta. Tính V của hình hộp chữ nhật trên. 377. ðường sinh của 1 hình nón có ñộ dài bằng a và tạo thành với ñáy 1 góc α. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón . 378. Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông cân , cạnh huyền BC = a . Mặt bên SBC tạo với ñáy góc α. Hai mặt bên còn lại vuông góc với ñáy . 1) Chứng minh SA là ñường cao của hình chóp . 2) Tính V khối chóp . 379. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là 1 hình vuông và chiều cao bằng h. Góc giữa ñường chéo và mặt ñáy của hình hộp chữ nhật ñó bằng α. Tính S xung quanh và V của hình hộp ñó. 380. Cho hình chóp tam giác S.ABC. Hai mặt bên SAB và SBC của hình chóp cùng vuông góc với ñáy , mặt bên còn lại tạo với ñáy góc α. ðáy ABC của hình chóp có góc A=90°, B=60°, cạnh BC =a. Tính S xung quanh và V của hình chóp. 381. ðáy của hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ là tam giác cân có AB=AC =a và A = 2 α. Góc giữa mặt phẳng ñi qua 3 ñỉnh A’,B,C và mặt ñáy (ABC) bằng beta. Tính S xung quanh và V của hình lăng trụ ñó. 382. Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’có cạnh ñáy bằng a và ñiểm D trên cạnh BB’. Mặt phẳng qua các ñiểm D,A,C tạo với mặt ñáy (ABC) góc α và mp qua các ñiểm D, A’, C’ tạo với mặt ñáy A’B’C’ góc β . Tính V lăng trụ . 383. Cho hình nón tròn xoay ñỉnh S . Trong ñáy của hình nón ñó có hình vuông ABCD nội tiếp, cạnh bằng a . Biết rằng góc ASB = 2α (0° < α < 45°). Tính V và Sxq của hình nón . 384. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông ABCDcạnh a; (SAC) vuông góc với ñáy, ASC = 90° và SA tạo với ñáy góc bằng α. Tính V của hình chóp. 385. Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ . ðáy ABC là tam giác cân có AB=AC=120°. ðường chéo của mặt BB’C’C bằng d và tạo với mặt ñáy góc α. Tính S xung quanh và V của hình lăng trụ ñó . Trang 57

386. Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại A với AC=a và C=α.

ðường chéo BC của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc β. Tính V lăng trụ . 387. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình thoi ABCD cạnh a , A= α, và chân ñường vuông góc hạ từ B’ xuống ñáy (ABCD) trùng với giao ñiểm O các ñương chéo của ñáy. Cho BB’ =a . Tính V và S xung quanh của hình hộp ñó . 388. Cho hình chóp S.ABC có BAC=90°, ABC= α; SBC là tam giác ñều cạnh a và (SAB) vuông góc (ABC). Tính V của hình chóp. 389. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD , có chiều cao h, góc ở ñỉnh của mặt bên bằng 2 α. Tính S xung quanh và V của hình chóp ñó . 390. Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên ñều là tam giác vuông ñỉnh S và SA=SB=SC =a. Tính d[S,(ABC)]. 391. Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a√3, ñườngcao SA=a. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H cắt SC tại K. Tính SK và diện tích tam giác AHK. 392. Cho hình chóp S.ABCD , ñáy là hình bình hành ABCD có diện tích bằng a²√3 và góc giữa 2 ñường chéo bằng 60°. Biết rằng các cạnh bên của hình chóp nghiêng ñều trên mặt ñáy góc 45°. 1) Chứng tỏ ABCD là hình chữ nhật. 2) Tính V của hình chóp ñó . 393. Cho hình chóp S.ABCD, ñáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và B, AB=BC=2a, ñường cao của hình chóp là SA =2a . 1) Xác ñịnh và tính ñoạn vuông góc chung của AD và SC . 2) Tính V của hình chóp ñó . 394. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA =x , còn tất cả các cạnh khác có ñộ dài bằng 1. 1) Chứng minh : SA vuông góc SC 2) Tính V của hình chóp ñó . 395. Cho tứ diện ABCD có AB=a , BC =b, BD =c, ABD=ABC=60°, CBD=90°. Tính V của tứ diện ñó . 396. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, trong ñó ABC là tam giác ñều cạnh c, A’H vuông góc với mp(ABC). H là trực tâm của tam giác ABC, cạnh bên AA’ tạo với mp(ABC) góc α. 1) Chứng minh : AA’ vuông góc BC 2) Tính V của khối lăng trụ . 397. Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC, có ñường cao SO =1 và ñáy ABC có cạnh bằng 2√6. ðiểm M, N là trung ñiểm của cạnh AB, AC tương ứng . Tính V của hình chóp S.AMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp ñó. 398. Tính thể tích tứ diện ABCD biết AC=AD=BC=BD=CD=a√3. 399. Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA=SB =SC =d và ASB=ASC=90°, BSC=60°. 1) Chứng minh : tam giác ABC là tam giác vuông. 2) Tính V của tứ diện SABC. 400. Cho lăng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc nhọn BAD=60°. Biết AB’ vuông góc BD’. Tính V của khối lăng trụ trên theo a . 401. Trên nửa ñường tròn ñường kính AB =2R , lấy 1 ñiểm C tuỳ ý . Dựng CH vuông góc AB (H thuộc AB) và gọi I là trung ñiểm của CH . Trên nửa ñường thẳng It vuông góc với mp(ABC) lấy ñiểm S sao cho ASB=90°. 1) Chứng minh : tam giác SHC là tam giác ñều . 2) ðặt AH =h . Tính V của tứ diện SABC theo h và R. Trang 58

402. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung ñiểm của AB . Qua I dựng ñường vuông

góc với mp(ABC) và trên ñó lấy ñiểm S sao cho 2IS=a√3. 1) Chứng minh : tam giác SAD là tam giác vuông . 2) Tính V của hình chóp S.ACD. Suy ra d[C,(SAD)]. 403. Bên trong hình trụ tròn xoay có 1 hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà 2 ñỉnh liên tiếp A, B nằm trên ñường tròn ñáy thứ 1 của hình trụ, 2 ñỉnh còn lại nằm trên ñường tròn ñáy thứ 2 của hình trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với ñáy hình trụ góc 45°. Tính S xung quanh và V của hình trụ. 404. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Góc giữa mặt bên và ñáy là α (45° < α < 90°).Tính S toàn phần và V hình chóp. 405. Cho hình chóp ñều S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Cạnh bên SA=a√5. Một mp(P) ñi qua AB và vuông góc với mp(SCD). mp(P) lần lượt cắt SC và SD tại C’ và D’. 1) Tính S tứ giác ABC’D’ 2) Tính V hình ña diện ABCDD’C’. 406. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA =2a và vuông góc với mặt phẳng ñáy. 1) Tính S toàn phần của hình chóp. 2) Hạ AE vuông góc SB, AF vuông góc SD. Chứng minh: SC vuông góc (AEF). 407. Cho SABC là 1 tứ diện có ABC là tam giác vuông cân ñỉnh B và AC =2a , cạnh SA vuông góc (ABC) và SA =a. 1) Tính d[A,(SBC)]. 2) Gọi O là trung ñiểm của AC . Tính d[O,(SBC)]. 408. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ñáy là hình thang ABCD vuông tại A và D, AB=AD=a, CD=2a . Cạnh bên SD vuông góc (ABCD), SD= a . 1) Chứng minh : tam giác SBC vuông . Tính S tam giác SBC. 2) Tính d[A,(SBC)]. 409. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ñáy là hình thang ABCD vuông tại A và D , AB=AD=a ,CD=2a .Cạnh bên SD vuông góc (ABCD), SD=a√3 . Từ trung ñiểm E của DC dựng EK vuông góc SC (K ∈ SC). Tính V hình chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC vuông góc (EBK). 410. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ñáy là hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết rằng AB=2a , AD=CD =a (a>0). Cạnh bên SA =3a vuông góc với ñáy . 1) Tính S tam giác SBD. 2) Tính V tứ diện SBCD theo a. 411. Cho hình chóp tam giác S.ABC có ñáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với ñáy. Từ A kẻ các ñoạn thẳng AD vuông góc SB và AE vuông góc SC. Biết AB=a,BC=b,SA=c 1) Tính V của khối chóp S.ADE. 2) Tính d[E,(SAB)]. 412. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác ñều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy. Biết góc BAC = 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. (TNPT 2009)

Trang 59

Lũy thừa – Hàm số mũ Lũy thừa với số mũ nguyên

n ∈ N* : an = a.a…a (n thừa số)

a0 = 1 ; a–n = 1/an ( a ≠ 0) Căn bậc n

a có duy nhất một căn bậc lẻ

a > 0 có hai căn bậc chẵn ñối nhau * Lũy thừa với số mũ hữu tỉ (a > 0, m∈ Z, n∈ N ) m an

n m

= a Tính chất a, b > 0; x,y ∈ R

ax.ay = ax+y

(ax)y = (ay)x = axy

(ab)x = axbx

1 an

= na

ax/ay = ax–y = 1/ay–x

(a/b)x = ax/bx

413. Tính 1) A =

23.2−1 + 5−3.54

6) F = 4 0,0001 − 6 0,000064

10−3 :10−2 − (0, 25)0

( )

−3

3 1  2 : 4−2 + 3−2   9 2) B = −2 −3 2 01 5 .25 + (0,7)   2

3) C = 3

27 − 10 2

8) H =

4+2 3 + 4−2 3

9) I= 13 + 30 2 + 9 + 4 2 10) J

23 3 2 3 2 3

7) G =

3 =16 4

11) K =

4) D = 80. 405

1 + (25 4 ) −2

5 144 4 1 27 6

2 5 − (225 5 ) 3

5) E = 4 8(4 − 17)4 414. Rút gọn: 1) A =

1 a b khi x =  +  ;a, b < 0 (ðS: a(a–b)/b v a –b) 2 b a x + x2 −1 2a x 2 − 1

2) B = 2(a

1 −1 + b) .(ab) 2

1 1   2a + a 2 .b 2 3) C =  3a  

4) D

1 =x2

Trang 60

−

1 2

1 22

 1 a b  1 +  − khi a.b > 0 (ðS: 1 v –1)  a   4 b  

−1

3   3  2   a − b2 a−b  −  .  khi a,b > 0 (ðS: 3 b ) 1 1 a + b    2 2   a − a .b 

(1 − x)(1 − x 1+ x

−

1 2)

khi x > 0 (ðS: 2)

a 3b −3 − b3 − a 3 2(a − b)−1 5) E = ⋅ khi ab > 0;a ≠ b (ðS: 1 v –1) 1 a 2 + b2 − +1 (ab) 2 ab 6) F = 4 x 2 .3 x 7) G = x x x x 8) H = (x − 2 + x

−1

11 : x 16

1 )(x 2

−x

−

1 2)

9) I = ( x − 4 x + 1)( x + 4 x + 1)(x − x + 1) 415. Biến ñổi X về cơ số a:

9 3 ; a =33 27 16 3 2 1 2) X = 6 ;a= 8 2 3 m 1 3) X = 2 ; a = 3 2 m 5m m

125 5 ;a= 5 3 5 7 32 1 5) X = 8 ; a = 3 2 8 2

1) X = 5

4) X =

Bất ñẳng thức am > an khi a > 1 m>n ⇒  am < an khi 0 < a < 1

an < bn ⇔ n > 0 0 < a < b: n n a > b ⇔ n < 0

416. So sánh a và b: 1) a

1 = π2 ;

b=π

π  2

2) a =  3) a = (

5 2

3 2

π ; b=  2

1 3 − 1) 4 ;

 3 6) a =    5 

10 3

b = ( 3 − 1)

2 2

4 4 1)   <   3 3 418. Nhận xét cơ số a (a > 0) 1)

2 a3

2) a

−

3 > a4 5 6

− 2

417. So sánh số mũ p và k: k

 2 ;b=   2 

π  3  3  7) a =   ; b=  2  7  

4) a = (3 − 5) − 2 ; b = (3 − 5) − 3 5) a = 45; b = 55

− 2

 2  3 8) a =   ;b=   3   6  9) a = 2300 ; b = 3200 10) a = (1/3)-5 ; b = 1

2) (2 − 3)p > (2 + 3) − k

− 2

2 2 3)   >   π π

3) a −0,2 > a1,2

4 < a3

Trang 61

Hàm số logarit ðịnh nghĩa : a = N ⇔ loga N = x (0 < a ≠ 1 ) x

loga1 = 0

logaa = 1

aloga N = N Công thức : A, B > 0 ; 0 < a ≠ 1

loga(A.B) = logaA + logaB

loga(A/B) = logaA – logaB

loga(1/B) = – logaB

logaAα = αlogaA

logax2k = 2kloga|x| ðổi cơ số : 0 < a, b ≠ 1 ; x > 0 log x

logbx = a

logab.logbx = logab loga b

logb a =

1 loga b

log

1 loga x α

Tính ñơn ñiệu :

logaX1 > logaX2 ⇔ (a –1)(X1 – X2) > 0 loga x > logb x khi 0 < x < 1 0 < b < a < 1

Cho  ⇒  loga x < logb x khi x > 1  1 < b<a 419. Tính: 1) log264 2) log63 + log612 3) 27

log3 5

9) log 9 3

7) log81 5 9 8) log 1 3 3 3

log 21 16 2

6) log 2 8

1 3

10) log 3 3 27 π 11) log9tan /6 12) log 1 4 32

5) log0,0001

420. Tính : 2 − log 2

1 log 6 3

3 1) 3 2 +2lg7 2) 10

log

3 2

4 23− 4 log8 3 92 log3 2 + 4 log81 2 6) 81−log 2 3 3) 4) 5)

1 log5 2

2−

7) 2 +3 421. Tính :

log

1 log8 2

8) 9 +4 9) log35.log2527

10) log 2 log 3 4 3 11) log3[log3 3 3 ] 12) –log8[log4(log216)]

+ 27log9 36 + 3log9 7 log 5 log 2 log N log M 2) 2 3 − 5 3 ⇒ M a = N a log3 5

log3 2

−2 3 4) log a a . a 3) 3

15) log 3 8.log 4 81 16) log 2

1 log 4 3

1) 81

log 2 3

5) log a 6) a 7)

 16  125 13)   64  25  14) log 6 3.log 3 36

a 2 .3 a a 3 a

2 + log a b

1− 3log a b a 2

1 .log 25 3 2 5

422. Tìm x: 1) logx2 = 2 2) logx243 = 5 3) log x 10 3 = −0,1 4) log x 2 3 2 = −6 423. So sánh : 1) log 1 3 và log 1 4 10 2

5) 2logx = log9 – log5 + log2 6) 2logx = 9log2 –3log4 2 1 7) logx = /5log32 – /3log64 + log10 8) 6logx=4log(a+b)−3log(a–b)–3loga 2) log23 và log32 3) log23 và log311

Cho logax = α; logay = β tính logaN theo α, β Phân tích N thành N = amxnyp → áp dụng công thức tính logarit Nếu tính logbN : Dùng công thức đổi cơ số đưa về trường hợp trên 424. Cho log23 = α; log25 = β tính log2180; log2 0,03 ; log2 135 425. Cho α =log3; β =log5 tính log308 (ðS: 3(1 – β)/(1 + α) 426. Cho log2 = α ; log27 = β tính log56 (ðS: α(3 + β)) 427. Cho α =log153; tính log2515 theo α (ðS: ½(1 – α))

a (ðS: –8/ ) 5 5 b 49 429. Cho log257 = α ; log25 = β tính log 3 5 8 430. * Cho α =log615 ; β = log1218 tính log2524 (ðS: (5 – β) /2(α +αβ – 2β +1) 431. * cho α =log630 ; β = log1524 tính log1260 432. Tìm miền xác ñịnh: − x 2 + 8x − 12 1) f(x) = log 7 x+3 2) f(x) = log 1 (x − 2x + 24) 428. Cho logabb = 3 tính logab

433. Chứng minh : 1) logaN/logabN = 1 + logab 2) log186 + log26 = 2log186.log26 3) logaN.logbN +logbN.logcN +logcN.logaN =

log a N.log b N.log c N (0 < a,b,c,abc,N≠1) log abc N

4) a c = b c (0 < a,b,c; c ≠1) 5) logabx = (logax).(logbx)/(logax +logbx) 434. * Cho a,b > 0 , 0 < N ≠ 1 1) a² + 4b² = 12ab. Chứng minh logN(a + 2b) –2logN2 = 1/2(logNa +logNb) 2) a² + 4b² = 23ab. Chứng minh logN(a + 2b/3) = 1/2(logNa + logNb + logN3) log b

log a

Trang 63

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Dạng 1. Phương trình cơ bản

a) Phương trình mũ cơ bản có dạng: ax = m , trong ñó 0 < a ≠ 1 và m ∈ R. • Nếu m ≤ 0 , thì phương trình ax = m vô nghiệm. • Nếu m > 0 , thì phương trình ax = m có nghiệm duy nhất x = loga m .

b) Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: loga x = m , trong ñó m là số ñã cho. • Phương trình có ñiều kiện xác ñịnh là x > 0 ( a > 0, a ≠ 1 ). • Với mọi m ∈ ℝ , phương trình loga x = m có nghiệm duy nhất x = am . 435. Giải các phương trình sau: 1) 5x +1 + 6.5x − 3.5x −1 = 52

2) 3x +1 + 3x + 2 + 3x + 3 = 9.5x + 5x +1 + 5x + 2 3) 3x.2 x +1 = 72

2 2 2 4) 4 x −3x + 2 + 4 x + 6x + 5 = 42x + 3x + 7 + 1

5) 5.32x −1 − 7.3x −1 + 1 − 6.3x + 9 x +1 436. Giải các phương trình sau: 1) log 3 x ( x + 2 ) = 1

(

)

2) log 2 x 2 − 3 − log 2 ( 6x − 10 ) + 1 = 0 3) log ( x + 15 ) + log ( 2x − 5 ) = 2

(

)

4) log 2 2 x +1 − 5 = x 437. Giải các phương trình sau: 1) 3x +1 − 2.3x − 2 = 25

2) 3.2 x +1 + 2.5x − 2 = 5x + 2 x − 2 2 3) 4log x +1 − 6log x = 2.3log x + 2

3x −1

16 4 7 4)     − =0 49 7 4 5) 2.5x + 2 − 5x +3 + 375 = 0 6) 3 2 x −5 − 5 2 x − 7 = 32

1 5

1 4

7) 2.5x +1 − .4 x + 2 − .5x + 2 = 4 x +1

(

)

(

8) 3 10 x − 6 x + 2 + 4.10 x +1 = 5 10 x −1 − 6 x −1 9) log 3 ( x − 2 ) log5 x = 2log 3 ( x − 2 )

x −1 + log 2 ( x − 1)( x + 4 ) = 2 x+4 11) log 2 16 − log x 7 = 2 x 10) log 2

(

)

12) 2log8 ( 2x ) + log8 x 2 − 2x + 1 = Trang 64

4 3

)

Dạng 2. Phương pháp ñưa về cùng cơ số Sử dụng công thức: aα = aβ ⇔ α = β . b > 0 ( hoÆc c > 0 ) loga b = loga c ⇔  b = c 438. Giải các phương trình sau: 1) 52x +1 + 7 x +1 − 175x − 35 = 0 1 1 2) 3.4 x + .9 x + 2 = 6.4 x +1 − .9 x +1 3 2 3) x 2 .2 x +1 + 2

x −3 + 2

x −3 + 4

= x 2 .2 2 x +1 = 2( ) + 1

+ 2 x −1

4) 4 x + x + 21− x 439. Giải các phương trình sau: 1) log x 2.log x 2 = log x 2 2

5 + log 52 x = 1 x 3) log 2 x + log3 x + log 4 x = log 20 x 1 4) log 2 ( 3x − 1) + = 2 + log 2 ( x + 1) log ( x + 3) 2 2) log 5x

( ) = 12 log 3 x 2− 1 + log3 x − 3 6) log 2 ( x 2 + 3x + 2 ) + log 2 ( x 2 + 7x + 12 ) = 3 + log 2 3 5) log 9 x 2 − 5x + 6

1 log 2 441. Giải các phương trình sau:

x + 3) + 2(

440. Giải phương trình sau:

x 1

1) 9  

2 − 3x

1 8 log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4x ) 4

= 27 x 81x + 3 3

3 2) log 4 log 2 x + log 2 log 4 x = 2 3) 3.13x + 13x +1 − 2 x + 2 = 5.2 x +1

x −1 ( ) x +3 2 5) log 4 ( x 2 − 1) − log 4 ( x − 1) = log 4 x − 2 6) log 5 ( 6 − 4x − x 2 ) = 2log 5 ( x + 4 ) 4) log 5 x 2 + 2x − 3 = log 5

1 log x 5 − log x 2 2 8) 2log 9 x = log 3 x.log 3 2x + 1 − 1 7) 2log ( x − 1) =

(

)

9) log 4 ( x + 1) + 2 = log 2 4 − x + log8 ( 4 + x ) 2

Trang 65

Dạng 3. Phương pháp ñặt ẩn phụ 442. Giải các phương trình sau: 2 2 1) 4 x + x − 2 − 5.2 x −1+ x − 2 − 6 = 0

2) 43+ 2 cos x − 7.41+ cos x − 2 = 0

( ) + 2(7 + 4 3 ) x x 4) ( 2 − 3 ) + ( 2 + 3 ) = 14 3) 26 + 15 3

(

−2 2− 3

3 x −1

− 3.25−3x + 7 = 0 8   1   6)  23x − 3x  − 6  2 x − x −1  = 1 2   2   x x x 7) 27 + 12 = 2.8 443. Giải các phương trình sau: 1) log 2 ( x + 1) = log x +116 5) 5.2

(

)

2) log 6.5x + 25.20 x = x + log 25 3) log 22 x.log x (4x 2 ) = 12 4)

log 2 x log8 4x = log 4 2x log16 8x

(

)

(

)

5) log 2 4 x +1 + 4 .log 2 4 x + 1 = 3 6) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2 2 7) log x (125x ) .log 25 x =1

8) log x 3 + log3 x = log x 3 + log3 x + 2 9) ( 2 − log3 x ) log9x 3 −

(

4 =1 1 − log 3 x

)

10) log 2 x = log 3 x + 2 444. Giải các phương trình sau: 1) 9 x − 10.3x + 9 = 0 2 2 2) 4 x − 6.2 x + 8 = 0 2

3) 15.25x − 34.15x + 15.9 x = 0 2 2 4) 9sin x + 9cos x = 10

(

5) 2 + 3

) ( x

+ 2− 3

6) log 3 x + log x 3 = 7) 2x log 2 x + 2x

)

5 2

−3log8 x

8) 5x −1 + 5.0,2 x − 2

−5=0 = 26

9) 25x − 12.2 x − 6,25.0,16 x = 0 Trang 66

)

1 64 x

3 x

−2 + 12 = 0 11) 25 = 5 + 4.x log 5 10)

log x

12) 4 x − 4 x +1 = 3.2 x + x 2 2 13) 2sin x + 5.2cos x = 7 2 14) 4cos 2x + 4cos x = 3

) + ( 4 + 15 ) = 8 7+4 3) +( 7−4 3)

( 16) (

4 − 15

15)

cos x

(

17) 7 + 3 5 18) 7

cos x

) + (7 − 3 5 ) x

log 225 ( 5x ) −1

5 2

= 14.2 x

− x log5 7 = 0

log x 3x .log 3 x + 1 = 0 log 2 x log8 4x 20) = log 4 2x log16 8x 21) 1 + 2log x + 2 5 = log 5 ( x + 2 ) 19)

22) 5log 2 x + 2.x log 2 5 = 15

( ) 24) log 3 ( 3x − 1) .log ( 3x +1 − 3) = 6

23) log ( log x ) + log log x 3 − 2 = 0

25) 9 x − 8.3x + 7 = 0 26) 27) 28)

1 2x −1 .4 + 21 = 13.4 x −1 2 1 6.9 x 3

1 − 13.6 x

1 + 6.4 x

25x − 9 x + 15x = 0

(

)

29) log 2 9 − 2 x = 3 − x 30)

(

2+ 3

) +( x

2− 3

)

= 2x

Dạng 4. Phương pháp lôgarit 445. Giải các phương trình

2 1)   5

4x +1

1 =  7

3x + 2

2 2) 5x.3x = 1

x x .8 + 2

3) 3 =6 446. Giải các phương trình sau: x

1) 4.9 x −1 = 3 22x +1 Trang 67

2 2) 2 x − 2x.3x = 1,5

3) 5

4) 3

2x −1 .2 x +1

= 50

3x x .2 + 2

5) 23 = 32

Dạng 5. Phương pháp sử dụng tính ñồng biến và nghịch biến của hàm số 447. Giải các phương trình: 1) 2

x = 1 + 32

2) 2 3− x = − x 2 + 8x − 14 448. Giải các phương trình: 1) log 2 x = 3 − x

2) log 22 x + ( x − 1) log 2 x = 6 − 2x 449. Giải các phương trình: 1) 25x − 2 ( 3 − x ) 5x + 2x − 7 = 0 2) 8 − x.2 x + 23− x − x = 0

450. Giải phương trình: x 2 .3x + 3x (12 − 7x ) = − x 3 + 8x 2 − 19x + 12

(

)

451. Giải phương trình: log 2 1 + x = log3 x 452. Giải phương trình: 22x +1 + 23− 2x =

(

log 3 4x 2 − 4x + 4

453. Giải các phương trình sau:

1) ( x + 2 ) log 32 ( x + 1) + 4 ( x + 1) log 3 ( x + 1) − 16 = 0 2) 4 x + 9 x = 25x

3) 3.25x − 2 + ( 3x − 10 ) .5x − 2 + 3 − x = 0 4) 9 x + 2 ( x − 2 ) .3x + 2x − 5 = 0 454. Giải các phương trình sau:

(

)

1) x + log x 2 − x − 6 = 4 + log ( x + 2 ) 2) ( x + 3) log32 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log 3 ( x + 2 ) = 16

Trang 68

)