FICHA TÉCNICA Supervisão Editorial
Designer Gráfico | Editoração
Cáius L. Miranda Louzada
Flávia Passarelli Lopes
Produção de Conteúdo
Impressão Gráfica
Cáius L. Miranda Louzada
Cromarte Gráfica Digital
Fábio Franco Felipe E. Sotorilli Flávia P. Lopes João Paulo M. de Campos Régis G. Barros © 2013 – Disciplina: Análise de Livros e Materiais Didáticos de Matemática (MA225) Proibida a reprodução final ou parcial por qualquer meio de impressão, em forma idêntica, resumida ou modificada em língua portuguesa ou qualquer outro idioma. Impressão no Brasil 2013.
CONTEXTO HISTÓRICO............................................................................................7 SISTEMA DE COORDENADAS DO PLANO..............................................................7 OPERAÇÕES COM VETORES.................................................................................10 EXERCÍCIOS PROPOSTOS.....................................................................................17 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..........................................................................19
Geometria Analítica Plana - Vetores
Contexto Histórico Os vetores como os conhecemos nasceram no início do século 19 com o inicio das representações geométricas dos números complexos. Podemos ver trabalhos anteriores relacionando entidades vetoriais como por exemplo nos trabalhos de Aristóteles relacionando a lei do paralelogramo e somas vetoriais. Entretanto tal lei é tão trivial que não se sabe ao certo sua origem. Temos que Newton usou em seu trabalho entidades vetoriais como força e velocidade, entretanto também não usou vetores de forma propriamente dita. A álgebra vetorial como conhecemos foi revelada primeiramente como um conjunto de notas de aula desenvolvidos por J. Willard Gibbs, feito para seus alunos da Universidade de Yale. Gibbs compreendeu após estudos que os vetores apresentavam uma ferramenta mais eficiente para seus trabalhos em física, então em 1882 imprimiu por conta própria suas notas sobre vetores para seus alunos. Posteriormente essas notas de aula foram distribuídas para vários estudiosos em nos Estados Unidos e Inglaterra. Os vetores então tomaram grande importância em vários ramos da física e matemática, como por exemplo a eletricidade, o magnetismo e propriamente o desenvolvimento da geometria analítica.
SISTEMADECOORDENADASDOPLANO A ideia de representar pontos no plano por meio de números é antiga. Por exemplo, nos mapas antigos, um determinado lugar pode ser caracterizado por um número de medidas, como na figura abaixo, feitas a partir de referências indicadas. A ideia de sistema de coordenadas na Matemática é um refinamento desse processo intuitivo.
60 Passos Medidas: 50 passos, 60 passos / Referências: Rio, Pedra alta e lisa
Primeiramente, podemos observar que dada uma reta r, representamos os pontos desta reta por números reais, através desta construção.
7
Uma Abordagem Vetorial
ss Pa 50
R
IO
os
Pedra Alta e Lisa
Escolhe-se um ponto O da reta r, chamado origem, uma unidade de comprimento O1 e um sentido
positivo de percurso. Então, a cada ponto X, da reta r, corresponde a um número x, que é a medida de OX, onde por medida podemos entender que o comprimento de OX na unidade O1, associada, quando X ≠ O, a um sinal positivo se o sentido de O para X coincide com o sentido positivo e negativo caso contrário. Vamos utilizar a notação m(OX) para indicar a medida de OX. É claro que quando X = O, m(OX) = 0.
Cada ponto da reta r é representado por único número real, chamado coordenada do ponto. Ao mes-
mo tempo, dado um número real x, obteremos um único ponto X de r, marcando a partir de O um segmento OX tal que m(OX) = x. 1
0
X
+
r X
-
Uma representação semelhante para os pontos de um plano P pode ser obtido da seguinte forma:
fixa-se em P um ponto O, chamado origem, e por O traçam-se duas retas x e y, perpendiculares, chamadas eixos coordenados. X4 -8
0
X3
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
2
3
4
X1
5
6
7
8
X2
x1 = 2,5 ; x2 = 5 ; x3 = - 1,5 ; x4 = - 3
Sobre estas retas podemos escolher unidades de medir comprimentos (iguais) e sentidos de percur-
sos, como no caso anterior. Por cada ponto p do plano P, traçam-se paralelas de a y e x, que intersectam as retas x e y nos pontos X e Y, respectivamente. Os números x e y dados por x = m(OX), y = M(OY), são chamados coordenadas de p no sistema xOy, onde x é a abscissa e y é a ordenada e o par (x,y) de coordenadas do ponto p. E cada região do plano P, chamamos de quadrante. Este plano nós chamamos de Plano Cartesiano.
Uma Abordagem Vetorial
Representação de Pontos no Plano
P3
4
3
-2 -4
8
P2 P1
2º
1º
3º
4º
4 -2
P4
Divisão dos Quadrantes
3 -3
5 P5
P1 = (3, 2, 5) P2 = (5, 4) P3 = (-4, 3 )
P4 = (-2, -3) P5 = (4, -2)
Introdução de Vetores no Plano (IR²) Relembrando: no capítulo 2 que cada par ordenado de números reais (x,y) associamos um ponto p do plano cartesiano. Agora vamos interpretar o par ordenado não como um ponto, mas um transporte ou uma translação, associando-se a noção de movimento. O par ordenado (x,y) de números reais denominamos vetor e indicamos por (x,y). A propósito a palavra vetor vem do latim vehere, que quer dizer conduzir ou transportar. Assim, vamos dar a seguinte definição: •
Vetor no plano Cartesiano é um par ordenado (x,y) de números reais.
•
Os números reais x e y são as componentes ou coordenadas do vetor v, que denominamos simplesmente coordenadas do vetor v. Se o representante do vetor v = (x,y) tem para origem o ponto A = (x1, y1) e para extremidade o ponto
B = (x2,y2), as coordenadas do vetor v satisfazem as relações:
X = X2 - X1 Y= Y2 - Y1
Ou seja:
V = (x, y) = (x2 – x1, y2 – y1) Esses resultados nos levam a uma notação de vetores conhecida: V
=B-A
Devemos relembrar que o segmento de reta diz-se orientado se estipulou qual de suas extremidades é a inicial; a outra será a extremidade final. Dois segmentos de reta orientados no mesmo plano dizem-se equipolentes quando: A’
C’
i) Têm o mesmo comprimento; ii) São paralelos ou colineares; C’
A A
A’
C
iii) Têm o mesmo sentido.
C 9
Uma Abordagem Vetorial
Vetores Equipolentes
OPERAÇÕESCOMVETORES Já sabemos que a translação preserva distâncias e dessa forma sempre será possível, ao adotarmos vetores quaisquer no plano, transladarmos cada um destes vetores de maneira que sua origem coincida com a origem do plano cartesiano. Da mesma forma, podemos fazer transladar o vetor de maneira que sua extremidade, ou sua origem, coincida também com a extremidade/origem do outro vetor. Esse procedimento é muito útil em determinadas questões; vejamos os exemplos a seguir: Exemplo 1: Encontre os pontos A (1,2) e B (3,5) no plano cartesiano. Encontre o vetor u = AB no plano. Quais são as coordenadas de u ? Encontre os pontos C (5,7) e D (12,5) no plano cartesiano. Encontre o vetor v = CD no plano. Quais são as coordenadas de v ? Translade os vetores u e v, de modo que o ponto A seja a origem do R2 e o ponto C seja coincidente ao ponto B. 1º Passo: Utilize a ferramenta novo ponto para marcar os pontos A, B, C e D. 2º Passo: Utilize a ferramenta vetor definido por dois pontos para definir os vetores u e v.
3º Passo: Utilize a ferramenta mover para mover os vetores u
Uma Abordagem Vetorial
e v. Para facilitar ao aluno em seu entendimento do tema, iremos nos referir aos vetores, a partir desse momento e na maioria das vezes, simplesmente pela sua representação em letra minúscula com uma seta sobrescrita, por exemplo u .
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Adição de Vetores
A adição de vetores pode ser definida de duas maneiras equivalentes. A primeira (método da poligo-
nal) consiste em representar u = AB e, em seguida, v = BC, por um segmento orientado cujo início seja a extremidade final B do primeiro segmento e pôr u + v = AC, por definição. A segunda maneira (método do paralelogramo) consiste em representar os vetores u = OB e v = OC por segmentos orientados com o mesmo início e definir u + v = OO’ , onde OO’ é a diagonal do paralelogramo com lados consecutivos iguais a OB e OC . Vamos, então, aos métodos citados.
Método da Poligonal
Determinaremos a soma de vetores da seguinte forma: dados dois vetores u e v.
u
v
De um ponto A qualquer, traçamos um segmento orientado (A, B) de origem em A representado pelo
vetor u = AB. Da extremidade B traçamos o segmento orientado (B, C), representado pelo vetor v = BC. Dessa forma, teremos o vetor representado pelo segmento orientado (A,C) como sendo a soma de u com v, ou seja: u + v = AC. u+v
A
C v
u
Uma Abordagem Vetorial
B Observação: a ordem em que somamos os vetores não altera o resultado. B v
u A
C u+v 11
Dessa forma, fixando um sistema de coordenadas no plano, sejam u = (α, β) e v = (γ, δ). Se A =
(a, b) e AB = u, então B = (a + α, b + β). De maneira análoga, se BC = v, então C = (a + α + γ, b + β + δ). Como temos, por definição, que u + v = AC, as coordenadas de u + v são a + α + γ - a = α + γ, b + β +δ - b = β + δ. Portanto se u = (α, β) e v = (γ, δ) então u + v = (α + γ, β + δ). Exemplo 2: Utilizando os vetores encontrados no exemplo 1, encontre no plano o vetor w = u + v. O que você pode observar em relação ao vetor soma? O que você pode observar em relação às coordenadas do vetor soma? 4º Passo: Utilize a ferramenta entrada para escrever w = u + v.
Esse método funciona mesmo
que os segmentos orientados AB e BC sejam colineares e, ainda, pode ser aplicado para dois ou mais vetores.
Exemplo: Dados os vetores u, v e w abaixo, determinar u + v + w e v + w + u.
D u+v +w
v
Uma Abordagem Vetorial
u
w
A
u
C w
u
B v
C
D A
w B
v
u+v +w
Observação: conhecendo-se a propriedade associativa da adição de vetores, dada na sequência, esse exemplo se torna trivial:
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Método do Paralelogramo
Esse método nada mais é do que uma variação do método da poligonal e consiste em adotarmos
um ponto O, qualquer, como sendo a origem e transportamos a origem dos vetores para esse ponto. Sendo assim, dados os vetores v e u ; com suas origens em O, pela extremidade de u traçamos uma paralela ao vetor v e da mesma maneira, pela extremidade de v, traçamos uma paralela ao vetor u. Essas retas se interceptam num ponto que chamaremos de O’ e a figura assim obtida forma um paralelogramo, em que a diagonal OO’ é o vetor soma u + v. v u
O’
u+v
u v
u O
v
Exemplo 3: Vejamos a resolução do exemplo 2 utilizando o método do paralelogramo. 1º Passo: Utilize a ferramenta mover para mover o vetor v de modo ao ponto C coincidir com a origem do plano. 2º Passo: Copie os vetores u e v de modo a construir um paralelogramo. 3º Passo: Com a ferramenta vetor determinado por dois pontos ligue a diagonal maior
Propriedades da Adição
Sabendo-se que cada coordenada do vetor u + v é a soma das respectivas coordenadas de u
e v, fica fácil deduzir as propriedades da adição de vetores. Temos então, para quaisquer vetores u, v, w.
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Uma Abordagem Vetorial
do paralelogramo.
1) Associativa: (u + v) + w = u + (v + w)
2) Comutativa: u + v = v + u
v v u
u+v
v+w
u+v
u
w
v+u O
u + (v + w) = (u + w) + w
O’
u
v
3) Existe um único vetor nulo (elemento neutro) 0
4) Para todo vetor v, existe um único vetor -v (ve-
tal que, para todo vetor v , se tem:
tor oposto de v) tal que: v + (- v) = - v + v = 0
v+0=0+v=v Observação: admitiremos o vetor nulo (por exemplo AA) como um segmento onde o início e a extremidade se reduzem a um mesmo ponto. Como os demais vetores, o vetor nulo pode ter sua origem em qualquer ponto do plano. Em qualquer sistema, temos que as coordenadas do vetor nulo são (0, 0).
Subtração de vetores Dados dois vetores u e v, o vetor diferença entre u e v (u - v) é a soma do vetor u com o oposto, ou
simétrico, do vetor v, ou seja, u - v = u + (- v)
Uma Abordagem Vetorial
u+v
v
v-u -u
u -v
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u-v
Observação (1): Dado o vetor v = AB, seu simétrico, ou oposto, é o vetor – v = BA. Se, num sistema de coordenadas, temos v = (α, β), então – v = (-α, -β). Observação (2): As propriedades da subtração são as mesmas da adição.
Exemplo 4: Dados dois vetores u e v, vamos determinar a adição e a subtração usando o método do paralelogramo. v
v
u
u+v
u-v
u
-v u-v
Dica importante: Podemos perceber, do exemplo acima, que no paralelogramo formado, uma diagonal é u + v e a outra é u – v, que é muito útil na resolução de problemas. Exemplo 5: Utilizando os vetores do exemplo 2 encontre o vetor -v e também o vetor z = u – v. Quais são as coordenadas do vetor z ? Utilizando a regra do paralelogramo o que representam os vetores w e z ?
1º Passo: Utilize a ferramenta vetor definido por dois pontos para encontrar o vetor -v ;
para criar o paralelogramo; 3º Passo: Verifique que os vetores w e z são as diagonais do paralelogramo.
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Uma Abordagem Vetorial
2º Passo: Utilize a ferramenta mover
Multiplicação de Escalar por Vetores A multiplicação de um vetor v por um escalar α , será representada por α v e possuirá as seguintes
propriedades: a) É o vetor nulo se α = 0 ou v = 0,
Porém, se nenhuma das condições acima é satisfeita então: b) o vetor α v terá comprimento |a| e mesma direção de v. (Portanto, podemos dizer que v e α v são paralelos). Além disso, α v terá mesmo sentido que v se α > 0, e terá sentido oposto a v se α < 0. Como visto na seção anterior, dado o vetor v = (vx , vy), então as coordenadas do vetor v + v = 2v
= (vx + vx , vy + vy) = (2vx , 2vy). De maneira análoga, ao tomarmos um α ϵ R, as coordenadas do vetor α v serão definidas por: α v = (α . vx , α . vy)
Propriedades Dados dois vetores v e u dois números reais α e β, então são válidas as seguintes propriedades: 1) α . (β . u) = (α . β) . u De fato: α . (β . u) = α . (βux , βuy) = (αβux , αβuy) = (α . β) . (ux , uy) = (α . β) . u 2) α . (u + v) = (α . u) + (α . v) De fato: α . (u + v) = α . (ux + vx , uy + vy) = (αux + αvx , αuy + αvy) = (α . u) + (α . v)
Uma Abordagem Vetorial
3) (α + β) . u = α . u + β . u De fato: (α + β) . u = [(α + β) . ux , (α + β) . uy] = (αux + βux , αuy + βuy) = α . u + β . u 4) 1 . u = u De fato: 1 . u = 1 . (ux , uy) = (ux , uy) = u
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EXERCÍCIOSPROPOSTOS Questão 1 Encontre no plano o ponto C (9, 6) e o vetor W = BC. Encontre o vetor w + v . O que você pode observar em relação ao vetor soma? O que você pode observar em relação às coordenadas do vetor soma?
Questão 2
Uma Abordagem Vetorial
Encontre o vetor s = w - v e t = w + u. O que você pode observar em relação a estes vetores obtidos?
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Questão 3 Encontre os vetores soma v + v = 2v e v + v + v = 3v. O que podemos observar em relação a esses vetores? O que podemos observar em relação às coordenadas destes vetores? Quais seriam as coordenas do vetor k . v (sendo k um número real)?
1) Faça o seu plano de estudos e defina seus horários. Elabore um quadro com os dias da semana e marque em cada um deles suas obrigações para cada dia.
Uma Abordagem Vetorial
2) Defina o tempo de estudo para cada matéria. 3) Siga a risca seu quadro de horários respeitando o tempo de descanso 4) Todo mundo tem suas matérias prediletas, mas o ideal é dar atenção justamente para aquelas que você tem mais dificuldades. 5) Faça resumos para memorizar o que está escrevendo, e terá um material para revisão. 6) Se for preciso, refaça seu plano de estudo com novas metas e objetivos a serem cumpridos. 7) Não deixe a ansiedade atrapalhar seus estudos, pois ao se preparar para a avaliação você estará apto para obter o resultado esperado.
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REFERÊNCIASBIBLIOGRÁFICAS GEOGEBRA. Disponível em:< http://www.geogebra.org/cms/en/>. Acesso em: 27 Maio 2013. HISTÓRIA DOS VETORES. Disponível em:<http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/vectors.htm>. Acesso em: 25 Maio 2013. IMPA. Programa de Aperfeiçoamento de Professores de Matemática do Ensino Médio. Disponível em:< http://video.impa.br/index.php?page=papmem-janeiro-de-2013>. Acesso em: 26 abr. 2013. LIMA, Elon Lages. Et. al. A Matemática no Ensino Médio – Volume 2. Editora SBM, Rio de Janeiro, 2006. UFRJ. Coordenadas do Plano. Disponível em:<http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/ conteudo/capitulos/cap21.html>. Acesso em: 23 Maio 2013. _____. Operações com Vetores. Disponível em:<http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/ sala/conteudo/capitulos/cap91s4.html>. Acesso em: 23 Maio 2013. UNESP. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. Disponível em:< http://wwwp.fc.unesp.br/~lfcruz/GA_
Uma Abordagem Vetorial
cap_01.pdf>. Acesso em: 25 Maio 2013.
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