Soluções C.A. p1-p296 by Geometria Descritiva

SOLUÇÕES

SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS NOTA : Se bem que os dados métricos dos enunciados estejam em c e n t í m e t r o s, as soluções apresentadas não consideraram o centímetro como unidade. De facto, no sentido do estudante, o objectivo da consulta das soluções dos exercícios deve ser a verificação da correcç ã o dos raciocínios e dos traçados e não a c o m p a r a ç ã o m é t r i c a dos mesmos. Dessa forma, considerou-se de maior utilidade o desenvolvimento dos relatórios e a resolução gráfica dos problemas a uma escala que evite qualquer tentativa de comparação métrica. A escala utilizda foi de 1/2, o que significa que a cada centímetro da resolução do aluno corresponderá 0,5 cm nestas soluções.

13 P ARALELISMO 1. a) Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta r, em função dos dados. Em seguida, assinalaram-se as projecções da recta s, coincidentes com as projecções de nome contrário da recta r, ou seja, s2 (a projecção frontal da recta s) está coincidente com r1, (a projecção horizontal da recta r) e s1 (a projecção horizontal da recta s)está coincidente com r2 (a projecção frontal da recta r). As duas rectas são paralelas, pois têm as projecções homónimas paralelas entre si. b) Em primeiro lugar, determinaram-se os traços da recta r nos planos de projecção – F e H. Em seguida, determinaram-se os traços da recta s nos planos de projecção – F’ e H’. O traço frontal do plano está definido por F e F’ e o traço horizontal do plano está definido por H e H’, o que resulta no facto de os dois traços do plano estarem coincidentes.

Em primeiro lugar, representaram-se as rectas p e p', pelas respectivas projecções, em função dos dados. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pois todos os pontos de uma recta de perfil têm a mesma abcissa. Da mesma forma, os pontos C e D também têm a mesma abcissa. Sobre a posição relativa das duas rectas, sabe-se imediatamente que não são concorrentes – podem ser paralelas ou enviesadas. Uma vez que, no enunciado, se refere expressamente a não utilização de qualquer processo geométrico auxiliar, foi necessário um raciocínio relativamente linear. Se as rectas p e p’ forem paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas rectas concorrentes com p e p’ serão, também elas, complanares. Recorreu-se a duas rectas auxiliares, as rectas r e s. A recta r é concorrente com p em A e com p’ em D (está definida por dois pontos). A recta s é concorrente com p em B e com p’ em C (também está definida por dois pontos). As rectas r e s não são complanares (não são paralelas nem concorrentes), pelo que p e p’ não são complanares – logo, não são paralelas.

3. Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções das rectas p e p’, de acordo com os dados (ver relatório do exercício anterior). Em seguida, uma vez que é expressamente pedido o recurso ao processo do rebatimento, conduziu-se, pela recta p, um plano de perfil π e rebateu-se o plano para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi fπ). Rebatendo o plano obtiveram-se Ar e Br, bem como a recta pr, definida por Ar e Br. Em seguida, conduziu-se, pela recta p’, um outro plano de perfil π’, e rebateu-se o plano π’ também para o Plano Frontal de Projecção e para o mesmo lado – note que só é possível averiguar o paralelismo entre as duas rectas em rebatimento se o rebatimento dos dois planos de perfil for exactamente o mesmo (é necessário rebater os dois planos de perfil para o mesmo plano e no mesmo sentido de rotação). Rebatendo o plano π’ obtiveram-se os pontos Cr e Dr, bem como a recta p’r, definida por Cr e Dr. As rectas pr e p’r não são paralelas, pelo que as rectas p e p’ não são paralelas no espaço. Note que um outro processo de resolver este exercício (mas que não é o pedido no enunciado) seria o de efectuar uma mudança do diedro de projecção – substituindo plano 4), paralelo o Plano Frontal de Projecção por um outro plano de projecção (p às duas rectas, por exemplo (transformando as duas rectas em rectas frontais), seria possível averiguar o paralelismo entre as duas rectas sem se ter o cuidado de garantir a semelhança entre os dois rebatimentos dos planos de perfil.

SOLUÇÕES

4. Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta p e do ponto C, em função dos dados (ver relatório do exercício 2). Em seguida, pelas projecções de C conduziram-se imediatamente as projecções da recta p’, a recta pedida – note que, embora as projecções da recta pedida se tivessem desenhado imediatamente, estas não são suficientes para definir a recta em Dupla Projecção Ortogonal (a recta p’ está definida por um ponto e uma direcção). É necessário, então, mais um ponto da recta p’ (para além de C) para a definirmos totalmente em projecções. Como as rectas p e p’ são paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas rectas concorrentes com p e p’ serão igualmente complanares. Assim, recorreu-se a uma recta do plano definido pelas rectas p e p’ – a recta a, que está definida por B e C (que são os pontos de concorrência de r com p e p’, respectivamente). Em seguida, recorreu-se a uma outra recta, a recta b, paralela à recta a e concorrente com a recta p no ponto A – a recta b está definida por um ponto (ponto A) e uma direcção (é paralela à recta a) e é complanar com as rectas a e p. A recta b terá, também, de ser complanar com a recta p’, pelo que, não sendo paralela a esta, será necessariamente concorrente – o ponto G é o ponto de concorrência das rectas b e p’. A recta p’, definida por A e G, é necessariamente paralela à recta p. Sublinha-se que a recta b poderia ser concorrente com a recta a – nesse caso estaria definida por dois pontos (os pontos de concorrência com as recta p e a). Note que o problema poderia ter sido resolvido tanto pelo processo exposto como pelo rebatimento tanto como, ainda, pela mudança do diedro de projecção, uma vez que o enunciado é omisso em relação ao processo de resolução.

Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta p e do ponto R, em função dos dados (os pontos M e N têm a mesma abcissa). Em seguida, pelas projecções de R conduziram-se imediatamente as projecções da recta p’, a recta paralela a p (note que as projecções da recta p’ são insuficientes para a definir – ver relatório do exercício anterior). Como as rectas p e p’ são paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas rectas concorrentes com p e p’ serão igualmente complanares. Assim, recorreu-se a uma recta do plano definido pelas rectas p e p’ – a recta f, que está definida por M e R (que são os pontos de concorrência de f com p e p’, respectivamente – a recta f é uma recta frontal). Em seguida, recorreu-se a uma outra recta, a recta f ’, paralela à recta f e concorrente com a recta p no ponto N – a recta f ’ está definida por um ponto (ponto N) e uma direcção (é paralela à recta f). A recta f ’ terá, também, de ser complanar com a recta p’, pelo que, não sendo paralela a esta, será necessariamente concorrente – o ponto S é o ponto de concorrência das rectas f ’ e p’. A recta p’, definida por R e S, é necessariamente paralela à recta p. Para determinar os traços do plano α, poder-se-ia ter determinado os traços das rectas de perfil, o que envolveria o recurso a processos geométricos auxiliares. No entanto, optou-se por um outro raciocínio, mais simples – atendeu-se ao facto que já temos quatro rectas do plano α (as rectas p, p’, f e f ’). Assim, foi suficiente recorrer às rectas f e f ’ para determinar os traços do plano α. H é o traço horizontal da recta f e H’ é o traço horizontal da recta f ’. O traço horizontal do plano α, hα, está definido por H e H’. O traço frontal do plano α, fα, é concorrente com hα no eixo X e é paralelo às rectas f e f ’ (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo). Note que o problema se poderia ter resolvido sem a determinação do ponto S – de facto, com o recurso às duas rectas auxiliares, o problema resolveu-se como se o plano estivesse definido por três pontos não colineares, pelos quais se conduziram duas rectas do plano.

6. Em primeiro lugar, representaram-se a recta p e o ponto C, pelas suas projecções, bem como o plano ν, pelo seu traço frontal, em função dos dados. Em seguida, pelas projecções de C conduziram-se imediatamente as projecções da recta p’, a recta paralela a p (a recta p’ não fica totalmente definida pelas suas projecções). As rectas p e p’ são paralelas, pelo que são complanares – quaisquer duas rectas concorrentes com p e p’ serão igualmente complanares. Assim, recorreu-se a uma recta do plano definido pelas rectas p e p’ – a recta r, que está definida por A e C (que são os pontos de concorrência de r com p e p’, respectivamente). Em seguida, recorreu-se a uma outra recta, a recta s, paralela à recta r e concorrente com a recta p no ponto B – a recta s está definida por um ponto (ponto B) e uma direcção (é paralela à recta r). A recta s terá, também, de ser complanar com a recta p’, pelo que, não sendo paralela a esta, será necessariamente concorrente – o ponto D é o ponto de concorrência das rectas s e p’. A recta p’, definida por C e D, é necessariamente paralela à recta p. Para determinar a recta de intersecção dos dois planos, teve-se em conta que o plano ν é projectante frontal – i2, a projecção frontal da recta i (a recta de intersecção dos dois planos), está necessariamente sobre (ffν). Para definirmos a recta i são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Os pontos poderiam ser os pontos em que o plano ν corta as rectas p e p’ (as rectas dadas), mas a determinação desses pontos carece do recurso a processos geométricos auxiliares. Assim, atendendo a que já temos quatro rectas do plano (as rectas p, p’, r e s), foi suficiente recorrer às rectas r e s para determinar a recta i – o plano ν corta a recta r no ponto M (que é, assim, um ponto comum aos dois planos) e corta a recta s no ponto N (que é um outro ponto comum aos dois planos). A recta i, definida por M e N, é a recta de intersecção entre os dois planos.

SOLUÇÕES

7. Em primeiro lugar, representaram-se a recta p e o ponto B, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta p, porque é passante, é concorrente com o eixo X no ponto P. Em seguida, pelas projecções de B conduziram-se imediatamente as projecções da recta p’, a recta paralela a p (note que a recta p’ não fica totalmente definida em projecções – ver relatório do exercício 4). Assim, há que obter as projecções de mais um ponto da recta. Optou-se por recorrer a uma mudança do diedro de projecção – substituiu-se o Plano plano 2) por um novo plano de projecção (p plano 4), Frontal de Projecção (p paralelo às duas rectas, definindo um novo diedro de projecção (o diedro formado pelo plano 1 e pelo plano 4) no qual as rectas p e p’ são rectas frontais (de frente) – o novo eixo X (eixo X’) é paralelo a p1 e a p’1 e é a recta de intersecção do plano 1 com o plano 4. As projecções de A, B e P no plano 4 determinaram-se em função das respectivas cotas, que se mantiveram. A projecção da recta p no plano 4 (p4) está definida por A 4 e por P4. A projecção da recta p’ no plano 4 (p’4) passa por B4 e é paralela a p4 (o paralelismo entre as rectas é directo no novo diedro de projecção). Determinou-se um ponto qualquer da recta p’ – o ponto F (que é o traço frontal da recta p’). F1 determinou-se directamente e F2, a projecção frontal de F no diedro de projecção inicial, determinou-se em função da sua cota, que se manteve. A recta p’, definida por B e F, é paralela à recta p.

8. Uma recta é paralela a um plano se e só se for paralela a uma recta do plano e não estiver contida nesse plano, ou seja, uma recta é paralela a um plano se pertencer a uma «família» de rectas que esteja contida no plano. De forma recíproca, um plano é paralelo a uma recta se e só se não contiver a recta e contiver uma recta paralela à recta dada, ou seja, um plano é paralelo a uma recta se contiver a «família» de rectas a que a recta dada pertence.

9. Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, por P1, conduziu-se r 1, a projecção horizontal da recta r, fazendo o ângulo pretendido (45o a.d.) com o eixo X. Para a recta r ser paralela ao plano α, terá de ser paralela a uma recta do plano. Para tal, recorreu-se a uma recta auxiliar s, pertencente ao plano e garantindo que s seja paralela à recta r – s1 é paralela a r 1. A recta s está definida pelos seus traços (condição para que uma recta pertença a um plano). Em seguida, conduziu-se, por P2, a projecção frontal da recta r (r 2), paralela a s2. A recta r é paralela ao plano α, pois é paralela a uma recta do plano (a recta s).

10. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, desenhou-se a projecção frontal da recta r – r 2 – passando por P2 e fazendo, com o eixo X, o ângulo pedido. Para a recta r ser paralela ao plano ρ, terá de ser paralela a uma recta do plano. Para tal, recorreu-se a uma recta auxiliar s, pertencente ao plano e garantindo que s seja paralela à recta r – s2 é paralela a r 2. A recta s está definida pelos seus traços (condição para que uma recta pertença a um plano). Em seguida, conduziu-se, por P1, a projecção horizontal da recta r (r 1), paralela a s1. A recta r é paralela ao plano ρ, pois é paralela a uma recta do plano (a recta s).

SOLUÇÕES

11. Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, pelas projecções de P conduziram-se imediatamente as projecções da recta p – note que não foi necessário nenhum procedimento particular para desenhar as projecções da recta p. A recta p, no entanto, não está completamente definida – falta-nos outro ponto para definir a recta, para além do ponto P. Por outro lado, há que garantir que a recta p seja paralela ao plano α, para o que a recta p terá de ser paralela a uma recta do plano α (critério de paralelismo entre rectas e planos). Assim, recorreu-se a uma recta p’, qualquer, de perfil e pertencente ao plano – a recta p’ está definida por dois pontos, que são os seus traços (condição para que uma recta pertença a um plano). A recta p tem de ser paralela à recta p’. Para garantir o paralelismo entre as rectas p e p’ recorreu-se ao raciocínio exposto no relatório do exercício 4. As rectas p e p’, sendo paralelas, são complanares – recorreu-se a duas rectas do plano definido por p e p’. A recta r é concorrente com a recta p no ponto P e com a recta p’ no ponto H (o seu traço horizontal). A recta s é concorrente com a recta p’ no ponto F (o seu traço frontal) e com a recta r no ponto M. A recta s, porque é complanar com a recta p, é concorrente com esta num ponto R . A recta p, definida por P e R , é paralela à recta p’, que é uma recta do plano α, pelo que a recta p é paralela ao plano α.

12.

Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação das projecções da recta p, de perfil, paralela ao plano ρ e passando por P, ver relatório do exercício anterior.

13. Em primeiro lugar, representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, por P 2, conduziu-se r 2, a projecção frontal da recta r, fazendo, com o eixo X, o ângulo pretendido (60° a.d.). Para que a recta r seja paralela ao plano γ, terá de ser paralela a uma recta do plano γ. Ora, uma vez que o plano γ é projectante horizontal, sabe-se que todas as suas rectas têm a sua projecção horizontal sobre hγ, pelo que desenhando r 1 paralela a hγ (e passando por P1) se garante que a recta r é paralela ao plano α (porque existe, de certeza, uma recta do plano γ que é paralela à recta r).

14. Em primeiro lugar, representaram-se o plano φ, pelos seus traços, e o ponto R , pelas suas projecções, em função dos dados. Para que a recta f (a recta frontal pretendida) seja paralela ao plano φ, a recta terá de ser paralela a uma recta de φ (critério de paralelismo entre rectas e planos). O traço frontal de φ (ff φ) é uma recta frontal (de frente) do plano, com afastamento nulo – esta raciocínio permitiu-nos economizar traçado, pois não houve necessidade de se desenharem as projecções de outra recta do plano. Assim, por R conduziu-se a recta f pedida, paralela a f φ – f está definida por um ponto (R R ) e por uma direcção (é paralela a f φ).

SOLUÇÕES

15. Em primeiro lugar, representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação das projecções da recta r, ver exercício 9 e respectivo relatório. Note que, com vista a uma maior economia de traçados, se optou por fazer com que o traço frontal da recta s (a recta auxiliar do plano δ à qual a recta r é paralela) tenha abcissa nula.

16. Em primeiro lugar, representaram-se a recta m e o ponto A , pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano pedido contenha o ponto A , o ponto A tem de pertencer a uma recta do plano. Por outro lado, para que o plano α seja paralelo à recta m, tem de conter uma recta paralela à recta m. Assim, há que conduzir, por A , uma recta paralela à recta m, que será uma recta do plano α – a recta r. Determinaram-se os traços da recta r, pois os traços da recta têm de estar sobre os traços homónimos do plano (condição para que uma recta pertença a um plano). Em seguida, pelo traço horizontal de r conduziuhα está definido por um ponto e uma direcção) -se hα, com o ângulo pretendido (h – f α é concorrente com hα sobre o eixo X e contém F, o traço frontal de r (ff α está definido por dois pontos). O plano α é paralelo à recta m, pois contém uma recta paralela a m (a recta r). O plano α contém o ponto A , pois A pertence a uma recta do plano (a recta r).

17. Em primeiro lugar, representaram-se a recta r e o ponto A , pelas respectivas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano ρ ver relatório do exercício anterior. A recta s, paralela à recta r e passando por A , foi a recta auxiliar a que se recorreu. Os traços do plano ρ são rectas fronto-horizontais que contêm os traços homónimos da recta s. O plano ρ é paralelo à recta r, pois contém uma recta paralela a r (a recta s). O plano ρ contém o ponto A , pois A pertence a uma recta do plano (a recta s).

18. Em primeiro lugar, representaram-se a recta r pelas suas projecções, em função dos dados. Os traços do plano ρ (o plano passante paralelo à recta r) determinaram-se imediatamente – estão ambos coincidentes com o eixo X. No entanto, os traços do plano ρ, porque são uma única recta, são insuficientes para definir o plano (um plano só pode estar definido por uma única recta se essa recta for uma das suas rectas de maior declive ou uma das suas rectas de maior inclinação). Assim, há que recorrer a mais um elemento para definir o plano ρ – esse elemento poderá ser um ponto (caso em que o plano ρ estará definido por uma recta – o eixo X – e um ponto exterior) ou uma recta (caso em que o plano ρ estará definido por duas rectas). Assim, recorreu-se a uma recta qualquer, paralela à recta r – a recta s. A recta s tem necessariamente de ser uma recta passante, pois caso contrário não seria uma recta do plano ρ (o plano ρ apenas contém rectas fronto-horizontais e rectas passantes – estas poderão ser oblíquas ou de perfil). Note que não se poderia recorrer a uma recta fronto-horizontal, pois uma recta fronto-horizontal não é paralela à recta r. Note ainda que também não se poderia ter recorrido a uma recta de perfil passante, pois a recta r não é de perfil. A única hipótese é, pois, a situação apresentada – uma recta oblíqua passante, qualquer, paralela à recta r. O plano ρ está, assim, definido por duas rectas concorrentes – o eixo X e a recta s.

SOLUÇÕES

19. Em primeiro lugar, representaram-se a recta f e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano α, ver relatório do exercício 16. A recta f ’, paralela à recta f e passando por P, foi a recta auxiliar a que se recorreu. H’ é o traço horizontal da recta f ’. Uma vez que os traços do plano α estão coincidentes, no plano do papel, os dois traços têm a mesma direcção. Assim, por H’1 conduziu-se hα, o traço horizontal de α, paralelo a f ’2 (e a f 2). O traço frontal de α, f α, é concorrente com hα no eixo X e também é paralelo a f ’2 (e a f 2), pelo que os traços de α ficam coincidentes (no plano do papel).

20. Em primeiro lugar, representaram-se a recta r e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Para que o plano γ seja paralelo à recta r, o plano γ, terá de conter uma recta paralela à recta r. Ora, uma vez que o plano γ é projectante horizontal, sabe-se que todas as suas rectas têm a sua projecção horizontal sobre hγ. Além disso, e uma vez que se trata de um plano projectante horizontal, sabe-se também que todos os seus pontos têm a sua projecção horizontal sobre hγ. Assim, desenhando hγ, passando por P 1 e paralelo a r 1 (a projecção horizontal de r), está garantido o paralelismo entre o plano γ e a recta r – note que qualquer recta do plano (à excepção das rectas verticais) terá a sua projecção horizontal paralela à projecção horizontal da recta r. Note ainda que o plano γ contém o ponto P, pois P1 situa-se sobre hγ. Tratando-se de um plano vertical, f γ é uma recta vertical com afastamento nulo, que é concorrente com hγ no eixo X.

21.

Em primeiro lugar, representaram-se a recta r e o ponto A , pelas respectivas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano α, ver exercício 16 e respectivo relatório. A recta s é a recta auxiliar a que se recorreu – a recta s contém o ponto A e é paralela à recta r. F’ é o traço frontal da recta s e H é o seu traço horizontal. Uma vez que os traços do plano estão coincidentes (na folha de papel), estão coincidentes na recta que passa por F’2 e por H1.

22. Em primeiro lugar, representou-se o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, conduziu-se, por P1, a projecção horizontal da recta r (r1), com o ângulo pretendido – r1 faz, com o eixo X, um ângulo de 45° (a.d.). A recta r é uma recta paralela ao β2/4, pelo que as suas projecções são paralelas entre si – assim, por P2 conduziu-se r2, a projecção frontal da recta r, paralela a r1.

SOLUÇÕES

23. Em primeiro lugar, representou-se o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, conduziu-se, por P2, a projecção frontal da recta r (r 2), com o ângulo pretendido – r 2 faz, com o eixo X, um ângulo de 30o (a.d.). A recta r é uma recta paralela ao β1/3, pelo que as suas projecções fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. Assim, por P1 conduziu-se r 1, a projecção horizontal da recta r, fazendo também um ângulo de 30o (a.d.) com o eixo X.

24.

Em primeiro lugar, representaram-se o ponto K e a recta f, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, conduziu-se, por P1, a projecção horizontal da recta, r 1, com o ângulo pretendido – um ângulo de 45o (a.d.) com o eixo X. A recta r é uma recta paralela ao β2/4, pelo que as suas projecções são paralelas entre si – assim, por P 2 conduziu-se r 2, a projecção frontal da recta r , paralela a r 1. Em seguida, determinaram-se os traços das duas rectas e desenharam-se os traços do plano. H é o traço horizontal da recta r e H’ é o traço horizontal da recta f. F é o traço frontal da recta r. O traço horizontal do plano α, hα, passa por H e H’ (está definido por dois pontos). O traço frontal do plano α, f α, é concorrente com hα no eixo X e passa por F (está também definido por dois pontos).

25. O ponto de concorrência tem 4 cm de afastamento – atendendo a que o ponto de concorrência (ponto P) pertence à recta h, que tem 2 cm de cota, sabe-se imediatamente que o ponto P tem também 2 cm de afastamento. Este raciocínio permitiu-nos desenhar as projecções da recta h e do ponto P. Em seguida conduziu-se, por P1, a projecção horizontal da recta, r 1, com o ângulo pretendido – um ângulo de 30o (a.d.) com o eixo X. A recta r é uma recta paralela ao β1/3, pelo que as suas projecções fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. Assim, por P2 conduziu-se r 2, a projecção frontal da recta r, fazendo também um ângulo de 30o (a.d.) com o eixo X. Em seguida, determinaram-se os traços das duas rectas e desenharam-se os traços do plano. H é o traço horizontal da recta r e F é o traço frontal da recta h. O traço horizontal do plano α, hα, passa por H e é paralelo à recta h (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). O traço frontal do plano α, f α, é concorrente com hα no eixo X e passa por F (está definido por dois pontos).

26. Em primeiro lugar, representou-se o plano α, pelos seus traços, bem como o ponto M e a recta a, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta a é uma recta paralela ao β1/3, pelo que as suas projecções fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura – assim, a1, a projecção horizontal da recta a, faz também um ângulo de 30o (a.e.) com o eixo X. Para determinar o ponto de intersecção da recta a com o plano α, e uma vez que nem a recta nem o plano são projectantes, recorreu-se ao método geral da intersecção de rectas com planos. Assim, tem-se: 1. por a conduziu-se um plano auxiliar (o plano γ, que é um plano vertical – é o plano projectante horizontal da recta a); 2. determinou-se a recta i, a recta de intersecção dos dois planos (a recta i está definida pelos seus traços, pois trata-se do caso geral da intersecção entre planos); 3. o ponto de concorrência da recta i com a recta a (o ponto I) é o ponto de intersecção da recta a com o plano α.

SOLUÇÕES

27.

a) Em primeiro lugar, representaram-se as rectas r e s, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta r é paralela ao β1/3, pelo que as suas projecções fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. A recta s é paralela ao β2/4, pelo que as suas projecções são paralelas entre si. Em seguida, determinaram-se os traços das duas rectas e desenharam-se os traços do plano. F é o traço frontal da recta r e F’ é o traço frontal da recta s. H é o traço horizontal da recta r e H’ é o traço horizontal da recta s. f α passa por F e F’. hα passa por H e H’ (e é concorrente com f α no eixo X). b) A recta i’ é uma recta que pertence simultaneamente ao plano α (o plano dado) e ao β1/3 – todos os seus pontos pertencem simultaneamente aos dois planos. Para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. O ponto de concorrência dos dois traços do plano (ff α e hα) é um ponto que pertence aos dois planos, pois situa-se no eixo X (todos os pontos do eixo X pertencem ao β1/3). Já temos um ponto – falta-nos outro ponto ou uma direcção. Determinou-se Q, o traço da recta s no β1/3 – Q pertence ao plano α, pois pertence a uma recta do plano (a recta s) e pertence ao β1/3, pois tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X. Já temos dois pontos para definir a recta i’. Note que a recta r, porque é paralela ao β1/3, não tem traço no β1/3. Por outro lado, e uma vez que as rectas r e i’ são rectas complanares (pertencem, ambas, ao plano α), e não sendo concorrentes, são paralelas – a recta i’ é paralela à recta r (a recta i’ é uma recta do β1/3 e a recta r é uma recta paralela ao β1/3 – são rectas da mesma «família» de rectas). A recta i’’ é uma recta que pertence simultaneamente ao plano α e ao β2/4 – todos os seus pontos pertencem simultaneamente aos dois planos. Para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. O ponto de concorrência dos dois traços do plano é um ponto que pertence aos dois planos, pois situa-se no eixo X (todos os pontos do eixo X pertencem ao β2/4). Já temos um ponto – falta-nos outro ponto ou uma direcção. Determinou-se I, o traço da recta r no β2/4 – I pertence ao plano α, pois pertence a uma recta do plano (a recta r) e pertence ao β2/4, pois tem as suas projecções coincidentes. Já temos dois pontos para definir a recta i’’. Note que a recta s, porque é paralela ao β2/4, não tem traço no β2/4. Por outro lado, e uma vez que as rectas s e i’’ são rectas complanares (pertencem, ambas, ao plano α), e não sendo concorrentes, são paralelas – a recta i’’ é paralela à recta s (a recta i’’ é uma recta do β2/4 e a recta s é uma recta paralela ao β2/4 – são rectas da mesma «família» de rectas).

28. Em primeiro lugar, representou-se o ponto A, pelas suas projecções, em função das suas coordenadas. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projecções da recta p – estas, no entanto, não são suficientes para definir totalmente a recta p em Dupla Projecção Ortogonal (a recta, no espaço, está definida por um ponto e uma direcção). Por outro lado, para que a recta p seja paralela ao β2/4, a recta tem de ser paralela a uma recta do β2/4. Recorreu-se a um plano de perfil π, que contém a recta p, e determinou-se a recta de intersecção do plano π com o β2/4 – a recta i. A recta p terá de ser paralela à recta i (critério de paralelismo entre rectas e planos). A recta i é uma recta de perfil passante que faz, com os planos de projecção (e com os traços do plano π) ângulos de 45°. Em seguida, rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi fπ), obtendo-se Ar. Em seguida, desenhou-se ir, que é a recta i em rebatimento. Note que o ponto A se situa no 1o Diedro e que a recta i, sendo uma recta do β2/4, atravessa os 2o e 4o Diedros – assim, ir não pode, nunca, passar pelo quadrante em que se situa Ar. Por outro lado, sendo i uma recta passante, o seu ponto de concorrência com o eixo X é fixo, pois situa-se na charneira – ir passa pelo ponto de concorrência dos traços do plano e faz, com fπr e hπr, ângulos de 45°. A recta pr passa por Ar e é paralela a ir. Em seguida, determinaram-se os traços da recta p em rebatimento – Fr está sobre fπr e Hr está sobre hπr (condição para que uma recta pertença a um plano, que se verifica tanto no espaço como em projecções e em rebatimento). Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de F (traço frontal da recta p) e H (traço horizontal da recta p). Note que se poderia ter determinado a recta i em rebatimento, recorrendo a um ponto qualquer da recta – seria um ponto do β2/4, pelo que teria as suas projecções coincidentes. Rebatendo esse ponto, ter-se-ia a recta ir definida por dois pontos.

SOLUÇÕES

29. Em primeiro lugar, representou-se o ponto P, pelas suas projecções, em função das suas coordenadas. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projecções da recta p – estas, no entanto, não são suficientes para definir totalmente a recta p em Dupla Projecção Ortogonal (a recta, no espaço, está definida por um ponto e uma direcção). Por outro lado, para que a recta p seja paralela ao β1/3, a recta tem de ser paralela a uma recta do β1/3. Representou-se uma recta r, de perfil, contida no β1/3 e situada no mesmo plano de perfil da recta p – a recta r está definida pelo ponto A (que é o seu B tem as ponto de concorrência com o eixo X) e por um ponto B, qualquer, do β1/3 (B suas projecções simétricas em relação ao eixo X). Em seguida, optou-se por recorrer a uma mudança do diedro de projecção – substituiu-se o Plano Frontal de Projecção plano 2) por um novo plano de projecção (p plano 4), paralelo às duas rectas, definindo (p um novo diedro de projecção (o diedro formado pelo plano 1 e pelo plano 4) no qual as rectas p e r são rectas frontais (de frente). O novo eixo X (eixo X’) é paralelo a p1 e a r1 e é a recta de intersecção do plano 1 com o plano 4. As projecções de A, B e P no plano 4 determinaram-se em função das respectivas cotas, que se mantiveram. A projecção da recta r no plano 4 (r4) está definida por A 4 e por B4. A projecção da recta p no plano 4 (p4) passa por P4 e é paralela a r4 (o paralelismo entre as rectas é directo no novo diedro de projecção). Em seguida, determinaram-se os traços da recta p em função das coordenadas conhecidas – F1 já era conhecido no diedro de projecção inicial e H2 também. H4 determinou-se em função da sua cota (que é nula) e F4 determinou-se em função de F1. Invertendo a mudança do diedro de projecção, determinou-se F2 em função da sua cota (que é negativa e que se manteve). Note que o exercício se poderia ter resolvido com o recurso ao rebatimento do plano de perfil que contém as duas rectas, conforme exposto no relatório do exercício anterior.

30. Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções das rectas p e h, concorrentes no ponto P, em função dos dados. Para determinar os traços do plano há que determinar os traços das duas rectas nos planos de projecção – F’ é o traço frontal da recta h. Note que as projecções da recta p se desenharam imediatamente, apesar da recta estar definida apenas por um ponto e uma direcção (é paralela ao β2/4). Para determinar os traços da recta p (que são mais dois pontos da recta) é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – recorreu-se ao rebatimento do plano de perfil que a contém (o plano π). Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi fπ), obtendo-se Pr. A recta pr passa por Pr e, uma vez que a recta p é paralela ao β2/4, sabe-se que a recta faz ângulos de 45° com os planos de projecção (e com os traços do plano π) – os ângulos de 45° com os traços do plano estão em V.G., em rebatimento, nos ângulos que a recta pr faz com hπr e com fπr. Das duas hipóteses possíveis, apenas a apresentada garante que a recta p é paralela ao β2/4 (na outra situação, a recta seria paralela ao β1/3) – note que o ponto P se situa no 1o Diedro e que a recta, sendo paralela ao β2/4, terá de atravessar os 2o e 4o Diedros, bem como um qualquer dos outros dois (se não atravessasse mais nenhum Diedro, seria uma recta do próprio β2/4). Em função das coordenadas do ponto P, a recta p atravessa os 2o, 1o e 4o Diedros. Note que se poderia ter determinado a recta de intersecção do plano π com o β2/4 (recta i) e garantir o paralelismo da recta p em relação à recta i, conforme exposto no relatório do exercício 28. Em seguida, determinaram-se os traços da recta p em rebatimento (ver exercício 28 e respectivo relatório) – F é o traço frontal da recta p e H é o seu traço horizontal. fα, o traço frontal do plano α, passa por F e F’. hα, o traço horizontal do plano α, passa por H, é concorrente com fα no eixo X e é paralelo à recta h (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula).

SOLUÇÕES

31. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e a recta p, pelas suas projecções, em função dos dados. Note que as projecções da recta p se desenharam imediatamente, apesar da recta não se encontrar completamente definida. Para determinar o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ, e uma vez que nem a recta nem o plano são projectantes, recorreu-se ao método geral da intersecção de rectas com planos, como em seguida se expõe: 1. conduziu-se, pela recta, um plano auxiliar – o plano π (que é um plano de perfil); 2. determinou-se a recta de intersecção do plano π com o plano ρ (a recta i, que é uma recta de perfil) – a recta i fica definida por dois pontos, que são os seus traços (trata-se do caso geral da intersecção de planos); 3. o ponto de concorrência das duas rectas (recta p e recta i) é o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ. Uma vez que tanto a recta p com a recta i são rectas de perfil, a determinação do seu ponto de concorrência só se pode processar com o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π – rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi fπ). Rebateu-se a recta i, pelo rebatimento dos seus traços – ir fica definida por Fr e Hr. A recta pr passa por Sr e, uma vez que a recta p é paralela ao β1/3, sabe-se que a recta faz ângulos de 45° com os planos de projecção (e com os traços do plano π) – os ângulos de 45° com os traços do plano estão em V.G., em rebatimento, nos ângulos que a recta pr faz com hπr e com fπr. Das duas hipóteses possíveis, apenas a apresentada garante que a recta p é paralela ao β1/3 (na outra situação, a recta seria paralela ao β2/4, tal como se observou no exercício anterior) – note que o ponto S se situa no 1o Diedro e que a recta, sendo paralela ao β1/3, terá de atravessar os 1o e 3o Diedros, bem como um qualquer dos outros dois (se não atravessasse mais nenhum Diedro, seria uma recta do próprio β1/3). Em função das coordenadas do ponto S, a recta p atravessa os 1o, 2o e 3o Diedros. Uma outra forma de resolver a questão do paralelismo da recta p em relação ao β1/3 seria determinar a recta de intersecção do plano π com o β1/3 e desenhar a recta em rebatimento (à semelhança do exposto no relatório do exercício 28) – a recta pr passaria por Sr e seria paralela àquela. O ponto de intersecção das duas rectas (recta p e recta i) – o ponto I – determinou-se em rebatimento. Ir é o ponto de concorrência de i r e pr. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projec-ções do ponto I que é o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ.

32. Em primeiro lugar, representaram-se as rectas p e r, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Uma vez que a recta r é paralela ao β1/3, as suas projecções fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. Em seguida, determinaram-se os traços frontal e horizontal da recta r – F e H, respectivamente. A deterF’ e H’) processou-se conforme exposto no relatório do minação dos traços da recta p (F exercício 30. f α, o traço frontal do plano α, está definido por F e F’. hα, o traço horizontal do plano α, está definido por H e H’ e é concorrente com f α no eixo X.

33. Dois planos são paralelos se e só se duas rectas concorrentes de um dos planos forem paralelas a duas rectas concorrentes do outro plano, ou seja, dois planos são paralelos se e só se tiverem, em comum, duas «famílias» de rectas.

SOLUÇÕES

34. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Para que dois planos sejam paralelos, duas rectas concorrentes de um dos planos têm de ser paralelas a duas rectas concorrentes do outro (os dois planos têm de conter duas «famílias» de rectas em comum). Atendendo a que os traços de um plano oblíquo são duas rectas concorrentes desse plano, para que o plano θ seja paralelo ao plano α, basta que os seus traços sejam paralelos aos traços homónimos de α. Por outro lado, para que o plano θ contenha o ponto P, é necessário que P se situe numa recta do plano θ. Assim, em primeiro lugar há que conduzir, por P, uma recta do plano θ – essa recta terá de ser uma recta frontal (de frente) ou uma recta horizontal (de nível), que são as rectas do plano θ que já conhecemos (ffθ é uma recta frontal e hθ é uma recta horizontal). Optou-se pela primeira hipótese – a recta f, frontal (de frente), que passa por P, é uma recta do plano θ pois será paralela a f θ, uma vez que rectas frontais (de frente) de um plano são paralelas entre si (e f θ é paralelo a f α, pelo que já sabemos a direcção das rectas frontais de θ). Em seguida, determinou-se H, o traço horizontal de f. Por H conduziu-se hθ, paralelo a hα e f θ é paralelo a f α (e a f) e concorrente com hθ no eixo X. O plano θ contém o ponto P e é paralelo ao plano α.

35. Em primeiro lugar representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano λ, ver relatório do exercício anterior.

36. Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Note que as projecções do ponto P estão sobre os traços homónimos do plano α, mas P não pertence ao plano α, pois não verifica a condição para que um ponto pertença a um plano em relação ao plano α (tem de pertencer a uma recta do plano). Sobre a determinação dos traços do plano δ, ver exercício 34 e respectivo relatório. A recta h, horizontal (de nível), que passa por P, é uma recta do plano δ pois será paralela a hδ, uma vez que rectas horizontais (de nível) de um plano são paralelas entre si (e hδ é paralelo a hα, pelo que já sabemos a direcção das rectas horizontais de δ). Em seguida, determinou-se F, o traço frontal de h. Por F conduziu-se f δ, paralelo a f α e hδ é paralelo a hα (e a h) e concorrente com f δ no eixo X. O plano δ contém o ponto P e é paralelo ao plano α.

37. Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Note que as projecções do ponto P estão sobre os traços homónimos do plano θ, mas P não pertence ao plano θ, pois não verifica a condição para que um ponto pertença a um plano em relação ao plano θ (tem de pertencer a uma recta do plano). Sobre a determinação dos traços do plano α, ver exercício 34 e respectivo relatório. A recta h, horizontal (de nível), que passa por P, é a recta auxiliar a que se recorreu – será paralela a hα. F é o traço frontal de h – por F conduziu-se f α, paralelo a f θ e hα é paralelo a hθ (e a h) e concorrente com f α no eixo X. O plano α contém o ponto P e é paralelo ao plano θ.

SOLUÇÕES

38. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Para que o plano γ seja paralelo ao plano α, o plano γ tem de ter os seus traços paralelos aos traços homónimos do plano α. Por outro lado, uma vez que se trata de planos projectantes horizontais, para que o plano γ contenha o ponto P, basta que hγ passe por P1 – um plano projectante horizontal projecta todas as suas rectas e pontos no seu traço horizontal, e o plano γ é projectante horizontal. Assim, por P1 conduziu-se hγ, paralelo a hα – f γ é vertical (é paralelo a f α) e é concorrente com hγ no eixo X.

39. A afirmação é verdadeira. No entanto, os traços homónimos de um plano de rampa são sempre paralelos entre si, mesmo que os dois planos não sejam paralelos entre si, pois são rectas da mesma «família» de rectas. De facto, tanto o traço frontal como o traço horizontal de um qualquer plano de rampa são, ambos, rectas fronto-horizontais, e rectas fronto-horizontais são sempre paralelas entre si. Assim, quaisquer dois planos de rampa têm, sempre, os traços homónimos paralelos entre si, mesmo que não sejam paralelos. De facto, ao contrário das restantes situações (todos os planos que não sejam paralelos ao eixo X), o facto de os traços homónimos de dois planos de rampa serem paralelos entre si (o que se verifica sempre) não nos garante o paralelismo entre os dois planos.

40. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, pelos respectivos traços, em função dos dados. Para que os dois planos sejam paralelos, têm de conter duas «famílias» de rectas em comum (duas rectas concorrentes de um dos planos têm de ser paralelas a duas rectas concorrentes do outro plano). Os traços (horizontal de frontal) dos dois planos são rectas de uma mesma «família» de rectas (as rectas fronto-horizontais), pelo que os dois planos já têm uma «família» de rectas em comum. É necessário averiguar se existe outra «família» de rectas em comum. Para tal, recorreu-se a uma recta auxiliar qualquer, r do plano ρ – a recta r está definida por dois pontos, que são os seus traços (condição para que uma recta pertença a um plano). Se os dois planos forem paralelos, a «família» da recta r também existe no plano σ. Assim, desenharam-se as projecções de uma recta s, do plano σ, tentando que s seja paralela à recta r – s2, a projecção frontal da recta s, é paralela a r2, a projecção frontal da recta r. Em seguida, determinaram-se os traços da recta s e desenhou-se a sua projecção horizontal, s1 (a recta s também está definida por dois pontos, que são igualmente os seus traços). Constata-se que, embora as projecções frontais das duas rectas sejam paralelas entre si, as suas projecções horizontais não o são, pelo que as duas rectas não são paralelas entre si (não são rectas da mesma «família» de rectas). Então, os dois planos não são paralelos.

41. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. De acordo com o exposto na resposta à questão do exercício 39, os traços de σ serão sempre paralelos aos traços homónimos de ρ, quer os planos sejam paralelos ou não (são rectas da mesma «família» de rectas). Assim, há que recorrer a outra «família» de rectas para garantir o paralelismo entre os dois planos. Por outro lado, para que o plano σ contenha o ponto P, é necessário que P pertença a uma recta do plano. Assim, desenharam-se as projecções de uma recta r, oblíqua, qualquer, do plano ρ. A recta r é uma recta de uma outra «família» de rectas qualquer (diferente da «família» de rectas dos traços do plano), que terá de ser comum aos dois planos. Em seguida, pelas projecções de P conduziram-se as projecções de uma recta s, paralela à recta r, e determinaram-se os seus traços. Pelos traços de s conduziram-se os traços homónimos do plano σ. O plano σ é paralelo ao plano ρ (pois contém duas rectas concorrentes paralelas a duas rectas concorrentes do plano ρ) e contém o ponto P (pois P pertence a uma recta do plano – a recta s).

SOLUÇÕES

42. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o plano σ, pelo seu traço frontal, em função dos dados. Os dois planos já têm uma «família» de rectas em comum – a «família» das rectas fronto-horizontais. Para que os planos sejam paralelos, os planos têm de conter uma outra «família» de rectas em comum. Recorreu-se a uma recta r, oblíqua, qualquer, do plano ρ. A recta r é uma recta de uma outra «família» de rectas qualquer (diferente da «família» de rectas dos traços do plano), que terá de ser comum aos dois planos. Em seguida, desenharam-se as projecções de uma recta s, paralela à recta r e pertencente ao plano σ (o traço frontal da recta s, F’, tem de se situar sobre f σ). Determinou-se o traço horizontal da recta s, H’, e por H’ conduziu-se o traço horizontal do plano σ, hσ. O plano σ é paralelo ao plano ρ, pois contém duas rectas concorrentes paralelas a duas rectas concorrentes do plano ρ (o seu traço frontal e a recta s, por exemplo, que são paralelos, respectivamente, ao traço frontal do plano ρ e à recta r).

43. a) Em primeiro lugar representou-se o ponto P pelas suas projecções, em função das suas coordenadas. Sendo dada a amplitude do diedro que o plano ρ faz com o Plano Horizontal de Projecção, sabe-se que as suas rectas de perfil fazem, com o Plano Horizontal de Projecção, ângulos com a mesma amplitude. Assim, em primeiro lugar conduziu-se, por P , uma recta p, de perfil, que está definida por um ponto (o ponto P) e uma direcção (faz um ângulo de 30o com o Plano Horizontal de Projecção). Os traços do plano ρ têm de conter os traços homónimos da recta p. Optou-se por recorrer ao rebatimento do plano de perfil (plano π) que contém a recta p – rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo Pr. O ângulo que a recta p faz com o Plano Horizontal de Projecção é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que a recta p faz com hπ, que está em V.G. no ângulo entre pr e hπr. Assim, conduziu-se pr, por Pr, fazendo um ângulo de 30° com hπr e garantindo que o traço horizontal da recta se situa no SPHA (é dado que o traço horizontal do plano tem afastamento positivo). Determinaram-se os traços da recta p em rebatimento, após o que se inverteu o rebatimento e se determinaram as respectivas projecções. Em seguida, por F conduziu-se f ρ (o traço frontal do plano ρ) e por H conduziu-se hρ (o traço horizontal do plano ρ). b) Em primeiro lugar representou-se o ponto S, pelas suas projecções. O plano σ é necessariamente um plano de rampa, pelo que já temos a direcção dos seus traços, que são uma única «família» de rectas. Para que o plano σ seja paralelo ao plano ρ, tem de haver outra «família» de rectas comum aos dois planos – essa «família» de rectas pode ser a das rectas de perfil. Assim, de forma a economizar traçado e a usar o rebatimento já efectuado, conduziu-se, por S, uma recta g, fronto-horizontal – a recta g é necessariamente uma recta do plano σ. O ponto S’ é o ponto de intersecção da recta g com o plano π. A recta p’, que passa por S’ e é paralela à recta p, é uma recta do plano σ – note que p’ é a recta de intersecção do plano π com o plano σ, tal como a recta p era a recta de intersecção do plano π com o plano ρ. Determinou-se S’r e por S’r conduziu-se p’r, paralela a pr. Determinaram-se os traços da recta p’ em rebatimento, após o que se inverteu o rebatimento e se determinaram as respectivas projecções. Em seguida, por F’ conduziu-se fσ (o traço frontal do plano σ) e por H’ conduziu-se hσ (o traço horizontal do plano σ).

44. Em primeiro lugar representaram-se os planos ρ e σ pelos seus traços, em função dos dados – note que, sendo o plano σ um plano passante, é possível definir imediatamente os seus traços que, no entanto, são insuficientes para definir o plano, pois são uma única recta (é possível definir um plano por uma única recta se e só se essa recta for uma das suas rectas de maior declive ou uma das suas rectas de maior inclinação). Os dois planos já têm uma «família» de rectas em comum – a «família» das rectas fronto-horizontais. Para que os planos sejam paralelos, os planos têm de conter uma outra «família» de rectas em comum. Recorreu-se a uma recta r, oblíqua, qualquer, do plano ρ. A recta r é uma recta de uma outra «família» de rectas qualquer, que terá de ser comum aos dois planos. Em seguida desenharam-se as projecções de uma recta s, paralela à recta r e pertencente a σ – a recta s é n e c e s s a r i a m e n t e uma recta passante. O plano σ, definido por duas rectas concorrentes (o eixo X e a recta s) é paralelo ao plano ρ.

SOLUÇÕES

45. Em primeiro lugar representaram-se o plano σ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X) e pelo ponto P, e o ponto A, pelas suas projecções, em função dos dados. Já se sabe que os traços do plano ρ (o plano pedido) são rectas fronto-horizontais, pois trata-se de um plano de rampa – os dois planos já têm uma «família» de rectas em comum (a «família» das rectas fronto-horizontais). Para que os planos sejam paralelos, os planos têm de conter uma outra «família» de rectas em comum. Por outro lado, para que o plano ρ contenha o ponto A, o ponto tem de pertencer a uma recta do plano. Recorreu-se a uma recta r, oblíqua, qualquer, do plano σ – a recta r passa pelo ponto P (que é um ponto do plano σ) e é uma recta passante. Em seguida, desenharam-se as projecções de uma recta s, paralela à recta r e passando por A – determinaram-se os traços da recta s, pelos quais se conduziram os traços homónimos do plano ρ. O plano ρ é paralelo ao plano σ (os dois planos têm duas «famílias» de rectas em comum) e contém o ponto A , pois o ponto A pertence a uma recta do plano ρ (a recta s).

46. Em primeiro lugar representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, pelas projecções de P conduziram-se imediatamente as projecções da recta p – note que não foi necessário nenhum procedimento particular para desenhar as projecções da recta p. A recta p, no entanto, não está completamente definida – falta-nos outro ponto para definir a recta, para além do ponto P. Por outro lado, há que garantir que a recta p seja paralela ao plano γ, para o que a recta p terá de ser paralela a uma recta do plano γ (critério de paralelismo entre rectas e planos). Assim, recorreu-se a uma recta p’, qualquer, de perfil e pertencente ao plano – por uma questão de economia de traçados, optou-se por fazer com que a recta p’ tenha abcissa nula. A recta p’ está definida por dois pontos, que são os seus traços (condição para que uma recta pertença a um plano). A recta p tem de ser paralela à recta p’. Para garantir o paralelismo entre as rectas p e p’ recorreu-se ao raciocínio exposto no relatório do exercício 4. As rectas p e p’, sendo paralelas, são complanares – recorreu-se a duas rectas do plano definido por p e p’. A recta r é concorrente com a recta p no ponto P e com a recta p’ no ponto H (o seu traço horizontal). A recta s é concorrente com a recta p’ no ponto F (o seu traço frontal) e é paralela à recta r. A recta s, porque é complanar com a recta p, é concorrente com esta num ponto M. A recta p, definida por P e M, é paralela à recta p’, que é uma recta do plano γ, pelo que a recta p é paralela ao plano γ.

47. Em primeiro lugar representaram-se o plano ψ, pelos seus traços, e a recta p, pelas suas projecções, em função dos dados. Note que as projecções da recta p se desenharam imediatamente, apesar da recta não se encontrar completamente definida. Para determinar o ponto de intersecção da recta p com o plano ψ, e uma vez que nem a recta nem o plano são projectantes, recorreu-se ao método geral da intersecção de rectas com planos, como em seguida se expõe: 1. conduziu-se, pela recta, um plano auxiliar – o plano π (que é um plano de perfil); 2. determinou-se a recta de intersecção do plano π com o plano ψ (a recta i, que é uma recta de perfil) – a recta i fica definida por dois pontos, que são os seus traços (trata-se do caso geral da intersecção de planos); 3. o ponto de concorrência das duas rectas (recta p e recta i) é o ponto de intersecção da recta p com o plano ψ. Uma vez que tanto a recta p com a recta i são rectas de perfil, a determinação do seu ponto de concorrência só se pode processar com o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π – rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π). Rebateu-se a recta i, pelo rebatimento dos seus traços – ir fica definida por Fr e Hr. A recta pr passa por Pr e, uma vez que a recta p é paralela ao β2/4, sabe-se que a recta faz ângulos de 45° com os planos de projecção (e com os traços do plano π) – ver exercício 30 e respectivo relatório. O ponto de intersecção das duas rectas (recta p e recta i) – o ponto I – determinou-se em rebatimento. Ir é o ponto de concorrência de i r e pr. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do ponto I que é o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ.

SOLUÇÕES

48. Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e h, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Para que o plano α seja paralelo à recta r, tem de conter uma recta paralela à recta r (critério de paralelismo entre planos e rectas). Assim, conduziu-se uma recta s, paralela à recta r e concorrente com a recta h – por uma questão de economia de traçados, optou-se por fazer com que a recta s seja concorrente com a recta h no ponto B. O plano definido pelas rectas h e r está definido por duas rectas concorrentes e é necessariamente paralelo à recta r. Em seguida, determinaram-se H, o traço horizontal da recta s (o seu traço frontal está fora dos limites do desenho) e F, o traço frontal da recta h. hα, o traço horizontal do plano α, passa por H e é paralelo a à recta h (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). f α passa por F e é concorrente com hα no eixo X.

49. Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e a recta g, pelas suas projecções, em função dos dados. Para que os dois planos sejam paralelos, têm de conter duas «famílias» de rectas em comum – uma vez que se trata de planos de rampa, os dois planos já têm, em comum, a «família» das rectas fronto-horizontais. É necessária uma outra «família» de rectas comum aos dois planos. Assim, desenharam-se as projecções de uma recta r, oblíqua, qualquer, do plano θ. A recta r é uma recta de uma outra «família» de rectas qualquer (não é fronto-horizontal, que é a «família» que os dois planos já têm em comum), que terá de ser comum aos dois planos – a recta r está definida por dois pontos, que são os seus traços. Em seguida, desenharam-se as projecções de uma recta s, paralela à recta r e concorrente com a recta g num ponto P, e determinaram-se os seus traços. Pelos traços de s conduziram-se os traços homónimos do plano ρ. O plano ρ é paralelo ao plano θ, pois contém duas rectas concorrentes paralelas a duas rectas concorrentes do plano θ.

SOLUÇÕES

14 P ERPENDICUL ARIDADE E O RTOGONALIDADE 50. Duas rectas perpendiculares são duas rectas ortogonais (que formam, entre si, quatro ângulos rectos – de 90°) que são complanares (são concorrentes). Rectas o r t o g o n a i s são rectas não complanares paralelas a duas rectas perpendiculares.

51. A afirmação é f a l s a. Duas rectas ortogonais podem ou não ser perpendiculares – se forem complanares, então são perpendiculares (são concorrentes), mas se não forem complanares, as rectas serão apenas ortogonais. Já o contrário é verdade – duas rectas perpendiculares são necessariamente ortogonais. A ortogonalidade é condição necessária para que se verifique a perpendicularidade, mas não o contrário.

52. A afirmação é f a l s a. As projecções de duas rectas perpendiculares entre si não são perpendiculares entre si, a menos que uma das rectas seja paralela a um dos planos de projecção – nesse caso, as projecções das duas rectas nesse plano de projecção serão sempre perpendiculares entre si.

53. A afirmação é verdadeira. De facto, e como se referiu na resposta à questão anterior, se duas rectas são perpendiculares ou ortogonais e uma delas é paralela a um dos planos de projecção, as projecções das duas rectas nesse plano de projecção são necessariamente perpendiculares entre si. Assim, atendendo a que as rectas horizontais (de nível) são paralelas ao Plano Horizontal de Projecção, qualquer recta perpendicular ou ortogonal a uma recta horizontal (de nível) terá a sua projecção horizontal (a projecção no Plano Horizontal de Projecção) perpendicular à projecção horizontal da recta horizontal (de nível).

54.

Em primeiro lugar representaram-se a recta h e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, uma vez que a recta h é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, sabe-se que a ortogonalidade entre a recta h e qualquer outra recta é directa em projecção horizontal. Assim, por P1 conduziu-se p1, a projecção horizontal da recta p, perpendicular a h1 – a ortogonalidade entre as duas rectas já está garantida. Por outro lado, é pedido que as rectas sejam perpendiculares, pelo que as rectas terão de ser concorrentes. Em projecção horizontal, determinou-se I1, a projecção horizontal do ponto de concorrência das duas rectas – I2 situa-se sobre h2. A projecção frontal da recta p, p2, está definida por P2 e por I2. As rectas p e h são ortogonais e, uma vez que são concorrentes, são perpendiculares.

55. Em primeiro lugar representaram-se a recta h e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Os dados permitiram-nos, imediatamente, desenhar a projecção frontal da recta p – p2. Em seguida, uma vez que a recta h é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, a ortogonalidade entre a recta h e qualquer outra recta é directa em projecção horizontal. Assim, por P1 conduziu-se p1, a projecção horizontal da recta p, perpendicular a h1 – a ortogonalidade entre as duas rectas já está garantida. As duas rectas não são concorrentes – são apenas ortogonais.

SOLUÇÕES

56.

Em primeiro lugar representaram-se a recta f e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta a é frontal (de frente) e a ortogonalidade entre rectas frontais (de frente) é directa em projecção frontal, pois ambas as rectas (f e a) são paralelas ao Plano Frontal de Projecção. Assim, por P2 conduziu-se, imediatamente, a2, a projecção frontal da recta a, perpendicular a f2 – a1 é paralela ao eixo X e passa por P1. Já no que respeita à recta b, que é horizontal (de nível), teve-se em conta que não há nenhuma recta horizontal (de nível) cuja projecção frontal seja perpendicular a f2. No entanto, tratando-se de uma recta horizontal (de nível), que é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, sabe-se que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal. Assim, por P1 conduziu-se b1, perpendicular a f1 (b1 fica perpendicular ao eixo X) – a partir de b1 constatou-se que a recta b terá de ser uma recta de topo, pois é a única recta horizontal (de nível) cuja projecção horizontal é perpendicular ao eixo X (uma recta de topo é um caso particular das rectas horizontais). A projecção frontal de b é um ponto, que está coincidente com P2. Sublinha-se que para desenhar as projecções da recta a se teve em conta que a recta a é uma recta frontal (de frente), paralela ao Plano Frontal de Projecção, pelo que a ortogonalidade é directa em projecção frontal. Já para desenhar as projecções da recta b, que é uma recta horizontal (de nível), paralela ao Plano Horizontal de Projecção, se teve em conta que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal. Visualize no espaço que qualquer recta de topo é necessariamente ortogonal a qualquer recta frontal (de frente).

57.

Em primeiro lugar representaram-se a recta h e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação das projecções da recta r, ver exercício 55 e respectivo relatório.

58. Em primeiro lugar representaram-se a recta t e o ponto B, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, por B 2 conduziu-se p2, com o ângulo pedido – p2 faz, com o eixo X, um ângulo de 45° (a.d.). Uma recta de topo é um caso particular das rectas horizontais (de nível) – é paralela ao Plano Horizontal de Projecção e a ortogonalidade entre uma recta de topo e outra recta qualquer é directa em projecção horizontal. Assim, por B 1 conduziu-se a projecção horizontal da recta p, p1, perpendicular a t 1 – constata-se imediatamente que a recta p é uma recta frontal (de frente). Visualize no espaço que qualquer recta ortogonal a uma recta de topo é necessariamente uma recta frontal (de frente), incluindo qualquer dos seus casos particulares.

59. Em primeiro lugar representaram-se a recta g e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta g, porque se trata de uma recta fronto-horizontal, é simultaneamente um caso particular das rectas frontais (de frente) e um caso particular das rectas horizontais (de nível). Assim, para desenhar as projecções de uma recta ortogonal à recta g, esta pode ser considerada como uma recta frontal (em que a ortogonalidade é directa em projecção frontal) ou como uma recta horizontal (em que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal). Optou-se pela segunda hipótese – considerando a recta g como uma recta horizontal (de nível), sabe-se que a ortogonalidade entre a recta g e outra recta qualquer é directa em projecção horizontal. Assim, p1, a projecção horizontal da recta p, é perpendicular a g1 (e ao eixo X) – qualquer que seja a projecção frontal da recta, a recta p é necessariamente ortogonal à recta g, pois a ortogonalidade já está garantida. A projecção horizontal desenhada só pode corresponder a uma recta de topo ou a uma recta de perfil. Optou-se pela primeira situação – a recta p desenhada é uma recta de topo. Caso se tivesse considerado a recta g como um caso particular das rectas frontais (de frente), p2, a projecção frontal da recta p, seria perpendicular a g2 – nesse caso, a recta p poderia ser uma recta vertical ou uma recta de perfil (são as únicas rectas a que poderia corresponder aquela projecção frontal). Assim, face ao exposto, as hipóteses de resolução que existem são três – rectas de topo, rectas verticais ou rectas de perfil. Tenha em conta que qualquer recta de perfil é necessariamente ortogonal a uma recta fronto-horizontal – assim, quando se refere a recta de perfil estão incluídas as infinitas direcções de rectas de perfil.

SOLUÇÕES

60. Em primeiro lugar representaram-se a recta g e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. De acordo com o exposto no relatório do exercício anterior, é possível começar por desenhar qualquer das projecções da recta p – optou-se igualmente por desenhar p1. No entanto, ao contrário do exercício anterior, agora pretende-se que as duas rectas sejam perpendiculares – para tal, as duas rectas terão de ser concorrentes. O ponto I, determinado através da sua projecção horizontal, é o ponto de concorrência das duas rectas. A recta p passa por P e por I, pelo que é necessariamente uma recta de perfil que está definida por dois pontos. Note que, caso se tivesse começado por desenhar a projecção frontal da recta p se chegaria à mesma resolução final, sendo que, nesse caso, o ponto I seria determinado a partir da sua projecção frontal.

61. Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. As únicas rectas ortogonais à recta r que se podem definir, com os conhecimentos adquiridos, são rectas frontais (de frente) ou r e c t a s h o r izontais (de nível). Optou-se pela segunda hipótese. Fazendo a recta p uma recta horizontal (de nível), que é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, a ortogonalidade é directa em projecção horizontal. Assim, p1 passa por P1 e é perpendicular a r 1 – p2 passa por P2 e é paralela ao eixo X. Caso se tivesse optado por fazer a recta p uma recta frontal (de frente), que é paralela ao Plano Frontal de Projecção (em que a ortogonalidade é directa em projecção frontal), p2 seria perpendicular a r 2. Conforme se referiu acima, a outra hipótese seria, então, uma recta frontal (de frente).

62.

a) Em primeiro lugar representaram-se a recta g e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta r é uma recta horizontal (de nível), paralela ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal – assim, r 1 passa por P1 e tem de ser perpendicular a g1 (e perpendicular ao eixo X). A única recta horizontal (de nível) que tem a projecção horizontal desenhada é uma recta de topo – r é, assim, uma recta de topo. b) A recta s é uma recta frontal (de frente), paralela ao Plano Frontal de Projecção, pelo que a ortogonalidade é directa em projecção frontal – assim, s2 passa por P2 e tem de ser perpendicular a g2 (e perpendicular ao eixo X). A única recta frontal (de frente) que tem a projecção frontal desenhada é uma recta vertical – s é, assim, uma r e c t a v e r t i c a l.

63. a) Em primeiro lugar representou-se a recta r pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, determinou-se o ponto da recta r que tem 2 cm de cota – o ponto P (que é o ponto de concorrência das duas rectas). A projecção frontal da recta h, h 2, desenhou-se imediatamente, passando por P 2 e paralela ao eixo X. Uma vez que a recta h é horizontal (de nível), que é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, a ortogonalidade é directa em projecção horizontal – assim, h1 passa por P1 e é perpendicular a r 1. b) Para determinar os traços do plano definido pelas duas rectas, determinaram-se os traços destas nos planos de projecção – F e H são, respectivamente, o traço frontal e o traço horizontal da recta r e F’ é o traço frontal da recta h. f α, o traço frontal do plano, está definido por F e F’. hα, o traço horizontal do plano, passa por H, é concorrente com f α no eixo X e é paralelo à recta h. A recta r é uma recta de maior declive do plano α, pois é perpendicular às rectas horizontais (de nível) do plano (e ao traço horizontal do plano).

SOLUÇÕES

64.

a) Em primeiro lugar, representou-se a recta r pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, determinou-se o ponto da recta r que tem 2 cm de afastamento – o ponto P (que é o ponto de concorrência das duas rectas). A projecção horizontal da recta f, f 1, desenhou-se imediatamente, passando por P1 e paralela ao eixo X. Uma vez que a recta f é frontal (de frente), que é paralela ao Plano Frontal de Projecção, a ortogonalidade é directa em projecção frontal – assim, f 2 passa por P2 e é perpendicular a r 2. b) Para determinar os traços do plano definido pelas duas rectas, determinaram-se os traços destas nos planos de projecção – F e H são, respectivamente, o traço frontal e o traço horizontal da recta r e H’ é o traço horizontal da recta f. hδ, o traço horizontal do plano, está definido por H e H’. f δ, o traço frontal do plano, passa por F e é paralelo à recta f (note que o ponto do eixo X que é o ponto de concorrência dos dois traços do plano se situa fora dos limites do desenho). A recta r é uma recta de maior inclinação do plano δ, pois é perpendicular às rectas frontais (de frente) do plano (e ao traço frontal do plano).

65. A recta h tem 4 cm de cota – todos os seus pontos têm 4 cm de cota. A recta f tem 3 cm de afastamento – todos os seus pontos têm 3 cm de afastamento. O ponto de concorrência das duas rectas (ponto P), porque pertence simultaneamente às duas rectas, tem 4 cm de cota e 3 cm de afastamento. A partir do raciocínio exposto, desenharam-se as projecções das rectas f e h, em função dos dados. A recta r, sendo perpendicular à recta f (que é paralela ao Plano Frontal de Projecção), tem de ter a sua projecção frontal perpendicular a f 2, pois a perpendicularidade é directa em projecção frontal – r 2 passa por P2 e é perpendicular a f 2. Por outro lado, a recta r, sendo perpendicular à recta h (que é paralela ao Plano Horizontal de Projecção), tem de ter a sua projecção horizontal perpendicular a h1, pois a perpendicularidade é directa em projecção horizontal – r 1 passa por P1 e é perpendicular a h1.

66. A afirmação é f a l s a. Uma recta é ortogonal a um plano se e só se for ortogonal a duas rectas concorrentes do plano. De facto, atendendo à situação do exercício 63, por exemplo, a recta r é ortogonal (e perpendicular) a duas rectas do plano α (a recta h e hα, o traço horizontal do plano) mas, no entanto, a recta r não é ortogonal ao plano mas, sim, pertence ao plano. Tal justifica-se pelo facto de as rectas h e hα serem duas rectas p a r a l e l a s do plano α e não duas rectas concorrentes.

67. O Critério de ortogonalidade entre rectas e planos afirma que uma recta é ortogonal a um plano se e só se for ortogonal a duas rectas concorrentes desse plano, pelo que um plano é ortogonal a uma recta se e só se contiver duas rectas concorrentes ortogonais à recta dada.

68. A afirmação é verdadeira. Segundo o Teorema da ortogonalidade entre rectas e planos, uma recta ortogonal a um plano é ortogonal a todas as rectas desse plano. Assim, uma vez que os traços de um plano são duas rectas desse plano, qualquer recta ortogonal a esse plano é necessariamente ortogonal aos traços do plano.

69.

Em primeiro lugar representaram-se o plano ν, pelo seu traço frontal, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes desse plano. O plano ν, porque é horizontal (de nível), contém todas as direcções das rectas horizontais (de nível). Assim, a recta p terá de ser uma recta qualquer, que seja ortogonal a duas rectas horizontais (de nível) quaisquer, concorrentes – a recta p é necessariamente uma r e c t a v e r t i c a l.

70. Em primeiro lugar representaram-se o plano ϕ, pelo seu traço horizontal, e o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes desse plano. O plano ϕ, porque é frontal (de frente), contém todas as direcções das rectas frontais (de frente). Assim, a recta p terá de ser uma recta qualquer, que seja ortogonal a duas rectas frontais (de frente) quaisquer, concorrentes – a recta p é necessariamente uma recta de topo.

SOLUÇÕES

71. Em primeiro lugar representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes desse plano. Os traços do plano γ são duas rectas concorrentes do plano – assim, basta fazer com que a recta p seja simultaneamente ortogonal aos traços do plano, para garantir que a recta p seja ortogonal ao plano. O traço frontal do plano, f γ, é uma recta frontal (de frente) do plano (é uma recta vertical, que é um caso particular das rectas frontais), pelo que a ortogonalidade é directa em projecção frontal – por P2 conduziu-se p2, perpendicular a f γ. O traço horizontal do plano, hγ, é uma recta horizontal (de nível) do plano, pelo que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal – por P1 conduziu-se p1, perpendicular a hγ. A recta p é uma recta horizontal (de nível).

72. Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes desse plano. Os traços do plano θ são duas rectas concorrentes do plano – assim, basta fazer com que a recta p seja simultaneamente ortogonal aos traços do plano, para garantir que a recta p seja ortogonal ao plano. O traço horizontal do plano, hθ, é uma recta horizontal (de nível) do plano (é uma recta de topo, que é um caso particular das rectas horizontais), pelo que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal – por P1 conduziu-se p1, perpendicular a hθ. O traço frontal do plano, f θ, é uma recta frontal (de frente) do plano, pelo que a ortogonalidade é directa em projecção frontal – por P2 conduziu-se p2, perpendicular a f θ. A recta p é uma recta frontal (de frente).

73.

Em primeiro lugar representaram-se o plano π, pelos seus traços, e o ponto A, pelas suas projecções, em função dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes desse plano. Os traços do plano π são duas rectas concorrentes do plano – assim, basta fazer com que a recta p seja simultaneamente ortogonal aos traços do plano, para garantir que a recta p seja ortogonal ao plano. O traço horizontal do plano, hπ, é uma recta horizontal (de nível) do plano (é uma recta de topo, que é um caso particular das rectas horizontais), pelo que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal – por A 1 conduziu-se p1, perpendicular a hπ. O traço frontal do plano, f π, é uma recta frontal (de frente) do plano (é uma recta vertical, que é um caso particular das rectas frontais), pelo que a ortogonalidade é directa em projecção frontal – por A 2 conduziu-se p2, perpendicular a f π. A recta p é uma recta fronto-horizontal.

74. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes desse plano. Os traços do plano α são duas rectas concorrentes do plano – assim, basta fazer com que a recta p seja simultaneamente ortogonal aos traços do plano, para garantir que a recta p seja ortogonal ao plano. O traço horizontal do plano, hα, é uma recta horizontal (de nível) do plano, pelo que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal – por P1 conduziu-se p1, perpendicular a hα. O traço frontal do plano, f α, é uma recta frontal (de frente) do plano, pelo que a ortogonalidade é directa em projecção frontal – por P2 conduziu-se p2, perpendicular a f α. A recta p é ortogonal ao plano, pois é ortogonal a duas rectas concorrentes do plano – os traços do plano. Note que as projecções da recta p são perpendiculares aos traços homónimos do plano, o que se verificou igualmente nas situações anteriores.

SOLUÇÕES

75. a) Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação das projecções da recta p, ver exercício anterior e respectivo relatório. b) Para determinar o ponto de intersecção da recta p com o plano α, e uma vez que nem a recta nem o plano são projectantes, há que recorrer ao método geral da intersecção de rectas com planos. Assim, tem-se: 1. por p conduziu-se um plano auxiliar (o plano γ, que é um plano vertical – é o plano projectante horizontal da recta p); 2. determinou-se a recta i, a recta de intersecção dos dois planos (a recta i está definida pelos seus traços, pois trata-se do caso geral da intersecção entre planos); 3. o ponto de concorrência da recta i com a recta p (o ponto I) é o ponto de intersecção da recta p com o plano α.

76.

Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação das projecções da recta r , ver exercício 74 e respectivo relatório. Sobre a determinação do ponto I, e tendo em conta que nem a recta nem o plano são projectantes, recorreu-se ao método geral da intersecção de rectas com planos (ver a alínea b) do relatório do exercício anterior). O plano γ, de topo, é o plano auxiliar a que se recorreu – é o plano projectante frontal da recta r.

77. Em primeiro lugar representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação das projecções da recta r, ver exercício 74 e respectivo relatório. Note que a recta r tem as suas projecções paralelas entre si – trata-se de uma recta paralela ao β2/4.

78.

Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projecções da recta p, perpendiculares aos traços homónimos de ρ. A recta p é uma recta de p e r f i l, que não se encontra totalmente definida em Dupla Projecção Ortogonal, uma vez que as suas projec-ções não verificam o Critério de reversibilidade. Assim, necessitamos de mais um ponto da recta p, para além do ponto P. A recta p, para ser ortogonal ao plano ρ, tem de ser ortogonal a duas «famílias» de rectas do plano. A recta p já é ortogonal às rectas fronto-horizontais de ρ (qualquer recta de perfil é necessariamente ortogonal a uma recta fronto-horizontal – ver relatório do exercício 59) – é necessário que a recta p seja ortogonal a outra «família» de rectas do plano (às rectas de perfil do plano, por exemplo). Por p conduziu-se um plano auxiliar π, de perfil. Em seguida, determinou-se a recta i, que é a recta de intersecção de π com ρ – a recta i é uma recta de perfil de ρ e está definida pelos seus traços (trata-se do caso geral da intersecção entre planos). A recta p terá de ser perpendicular à recta i. É necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo-se ir (definida por Fr e Hr) e Pr. Por Pr conduziu-se pr, perpendicular a ir. Sobre pr representou-se arbitrariamente um outro ponto, para além de P – Rr. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de R – a recta p, ortogonal a ρ, está definida por P e R. Note que o processo geométrico auxiliar utilizado poderia ser, por exemplo, uma mudança do diedro de projecção.

SOLUÇÕES

79.

Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação da recta p, ver relatório do exercício anterior. O outro ponto da recta p a que se recorreu para a definir em Dupla Projecção Ortogonal foi o seu traço frontal – o ponto F’. A recta p, definida por M e por F’, é ortogonal ao plano ρ.

80. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelo seu traço frontal (não é conhecido o seu traço horizontal, pois é dada a orientação do plano), e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projecções da recta p, que é necessariamente uma recta de perfil – a recta p não se encontra totalmente definida em Dupla Projecção Ortogonal, uma vez que as suas projecções não verificam o Critério de reversibilidade. Assim, necessitamos de mais um ponto da recta p, para além do ponto P. A recta p, para ser ortogonal ao plano ρ, tem de ser ortogonal a duas «famílias» de rectas do plano. A recta p já é ortogonal às rectas fronto-horizontais de ρ (qualquer recta de perfil é necessariamente ortogonal a uma recta fronto-horizontal) – é necessário que a recta p seja ortogonal a outra «família» de rectas do plano (às rectas de perfil do plano, por exemplo). Por p conduziu-se um plano auxiliar π, de perfil. Em seguida, determinou-se a recta i, que é a recta de intersecção de π com ρ – a recta i é uma recta de perfil de ρ e está definida pelo seu traço frontal, F, e pela sua direcção (faz um ângulo de 30° com o Plano Horizontal de Projecção, que é um ângulo com a mesma amplitude do diedro que o plano ρ faz com o Plano Horizontal de Projecção). O ângulo que a recta i faz com o Plano Horizontal de Projecção tem a mesma amplitude que o ângulo que a recta i faz com hπ. A recta p terá de ser perpendicular à recta i. É necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi fπ), obtendo-se Pr e Fr. Por Fr conduziu-se ir, fazendo um ângulo de 30o com hπr e garantindo que o traço horizontal da recta tem afastamento positivo (é dado que o traço horizontal do plano ρ se situa no SPHA). Por Pr conduziu-se pr, perpendicular a ir. Sobre pr representou-se arbitrariamente um outro ponto, para além de P – Ar. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de A – a recta p, ortogonal a ρ, está definida por P e A. Note que o ponto A é o ponto de concorrência das duas rectas (p e i) e é, assim, o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ, mas poderia ser outro ponto qualquer. Note ainda que não foi necessária a determinação do traço horizontal do plano ρ para a resolução do exercício, nem aquele era pedido no enunciado. A determinação do traço horizontal da recta i, H, processou-se apenas para garantir que o traço horizontal do plano tem afastamento positivo. Sublinha-se que o processo geométrico auxiliar utilizado poderia ser, por exemplo, uma mudança do diedro de projecção.

81. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelo seu traço frontal (ver exercício anterior), e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação da recta, ver exercício anterior e respectivo relatório. Note que, nesta situação, o traço horizontal da recta i (a recta de intersecção do plano π com o plano ρ) tem afastamento negativo, pois é pedido expressamente no enunciado que o traço horizontal do plano se situe no SPHP. O ponto A, o outro ponto a que se recorreu para definir a recta p, já não foi o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ.

SOLUÇÕES

82. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X) e pelo ponto P, bem como o ponto K , pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, passando por K , desenharam-se imediatamente as projecções da recta p, que é necessariamente uma recta de perfil – a recta p não se encontra totalmente definida em Dupla Projecção Ortogonal, uma vez que as suas projecções não verificam o Critério de reversibilidade. Assim, necessi-tamos de mais um ponto da recta p, para além do ponto K . A recta p, para ser ortogonal ao plano ρ, tem de ser ortogonal a duas «famílias» de rectas do plano. A recta p já é ortogonal às rectas fronto-horizontais de ρ (qualquer recta de perfil é necessariamente ortogonal a uma recta fronto-horizontal) – é necessário que a recta p seja ortogonal a outra «família» de rectas do plano (às rectas de perfil do plano, por exemplo). Por p conduziu-se um plano auxiliar π, de perfil. Em seguida, determinou-se a recta i, que é a recta de intersecção de π com ρ – a recta i é uma recta de perfil de ρ (é uma recta de perfil passante). Para definir a recta i já temos um ponto – o seu ponto de concorrência com o eixo X. Necessitamos de um outro ponto. Pelo ponto P (que é um ponto do plano ρ) conduziu-se uma recta m, fronto-horizontal (que é uma recta do plano ρ), e determinou-se o ponto de intersecção da recta m com o plano π – o ponto M. M é um ponto comum aos dois planos, pelo que é um outro ponto da recta i. A recta i já está, assim, definida por dois pontos. A recta p terá de ser perpendicular à recta i. É necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo-se K r e M r. A recta i r fica definida por dois pontos – M r e o seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo (é um ponto da charneira). Por Pr conduziu-se pr, perpendicular a i r. Sobre pr representou-se arbitrariamente um outro ponto, para além de P – L r. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de L – a recta p, ortogonal a ρ, está definida por K e L. Note que o processo geométrico auxiliar utilizado poderia ser, por exemplo, uma mudança do diedro de projecção, conforme se expõe no relatório do exercício seguinte.

83. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X) e pelo ponto A, bem como o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, passando por P, desenharam-se imediatamente as projecções da recta p, que é necessariamente uma recta de perfil – a recta p não se encontra totalmente definida em Dupla Projecção Ortogonal, uma vez que as suas projecções não verificam o Critério de reversibilidade. Assim, necessitamos de mais um ponto da recta p, para além do ponto P. Para evitar a complexidade dos raciocínios dos exercícios anteriores, optou-se por recorrer imediatamente a uma mudança do diedro de projecção, de forma a transformar o plano ρ num plano de topo, por exemplo – com um plano de topo, cujos traços são duas rectas concorrentes (ao contrário dos planos de rampa, cujos traços são duas rectas paralelas – são rectas da mesma «família» de rectas), a ortogonalidade entre rectas e planos é directa. Assim, substituiu-se o plano 2) por um outro plano de projecção (p plano 4), Plano Frontal de Projecção (p ortogonal ao plano ρ – o novo eixo X (eixo X’) é perpendicular a hρ e é a recta de intersecção do plano 1 com o plano 4. As projecções de A e P no plano 4 determinaram-se em função das respectivas cotas, que se mantiveram. O traço do plano ρ no plano 4, f 4ρ, é concorrente com hρ no eixo X’ e passa por A4 (note que, no diedro formado pelo plano 1 e pelo plano 4, o plano ρ é de topo, projectante frontal, pelo que projecta todos os seus pontos e rectas no seu traço no plano 4). Uma vez que, no novo diedro de projecção, hρ e f 4ρ são duas rectas concorrentes, e tendo já p1 perpendicular a hρ, para que a recta p seja ortogonal a ρ basta que p4 (a projecção da recta p no plano 4) seja perpendicular a f 4ρ (trata-se da situação do exercício 72). Assim, por P4 conduziu-se p4, perpendicular a f 4ρ. No diedro de projecção formado pelo plano 1 e pelo plano 4, determinou-se um ponto qualquer da recta p – o ponto B (que é o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ, mas que poderia ser um ponto qualquer). B1 teve determinação directa, a partir de B4. Invertendo a mudança do diedro de projecção efectuada, determinou-se B2 em função da cota de B, que se manteve. A recta p, ortogonal a ρ, está definida por P e B. Note que o exercício se poderia ter resolvido pelo processo de resolução do exercício anterior.

SOLUÇÕES

84. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X) e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ρ está definido por uma recta (o eixo X) e pela sua orientação – é dado o diedro que o plano faz com o Plano Frontal de Projecção. Em seguida, passando por P, desenharam-se imediatamente as projecções da recta p, que é necessariamente uma recta de perfil – a recta p não se encontra totalmente definida em Dupla Projecção Ortogonal, uma vez que as suas projecções não verificam o Critério de reversibilidade. Assim, necessitamos de mais um ponto da recta p, para além do ponto P. A recta p, para ser ortogonal ao plano ρ, tem de ser ortogonal a duas «famílias» de rectas do plano. A recta p já é ortogonal às rectas fronto-horizontais de ρ (qualquer recta de perfil é necessariamente ortogonal a uma recta fronto-horizontal) – é necessário que a recta p seja ortogonal a outra «família» de rectas do plano (às rectas de perfil do plano, por exemplo). Por p conduziu-se um plano auxiliar π, de perfil. Em seguida, determinou-se a recta i, que é a recta de intersecção de π com ρ – a recta i é uma recta de perfil de ρ (é uma recta de perfil passante), que está definida pelo ponto M (o seu ponto de concorrência com o eixo X) e pela sua direcção. Note que a recta i faz um ângulo de 30° com o Plano Frontal de Projecção, que é um ângulo com a mesma amplitude do diedro que o plano ρ faz com o Plano Frontal de Projecção). O ângulo que a recta i faz com o Plano Frontal de Projecção tem a mesma amplitude que o ângulo que a recta i faz com f π. A recta p terá de ser perpendicular à recta i. É necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optouM roda sobre si próprio, pois é um -se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo-se Pr e Mr (M ponto da charneira). A recta ir passa por Mr e faz, com f πr, um ângulo de 30°. Note que, sendo P um ponto do 1o Diedro, a recta ir tem de passar pelo quadrante em que se situa Pr. Por Pr conduziu-se pr, perpendicular a ir. Sobre pr representou-se arbitrariamente um outro ponto, para além de P – A r. Note que A é o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ (é o ponto de concorrência das rectas p e i), mas poderia ser outro ponto qualquer. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de A – a recta p, ortogonal a ρ, está definida por P e A. Note que o exercício poderia ter sido resolvido com o recurso a uma mudança do diedro de projecção, à semelhança do exercício anterior.

85. Em primeiro lugar, representou-se o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. O β2/4 está definido por uma recta (o eixo X) e pela sua orientação – o β2/4 faz diedros de 45o com os dois planos de projecção, pelo que esta situação é semelhante à situação do exercício anterior (ver relatório do exercício anterior). A recta i é a recta de intersecção do plano π com o β2/4 – é uma recta de perfil do β2/4 (é uma recta de perfil passante). A recta i faz ângulos de 45o com os traços do plano π. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo-se Pr. A recta i r faz, com f πr e hπr, ângulos de 45o – note que, sendo P um ponto do 1o Diedro, a recta i r não pode passar pelo quadrante em que se situa Pr. O ponto a que se recorreu para definir a recta p foi o seu traço frontal, F – a recta p, ortogonal ao β2/4, está definida por P e F. Note que o exercício poderia ter sido resolvido com o recurso a uma mudança do diedro de projecção, à semelhança do exercício 83.

86. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, determinou-se um ponto A qualquer, do eixo X (a recta p é uma recta passante), pelo qual se conduziu a recta p. Note que este exercício é idêntico ao exercício 78, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. As diferenças residem, apenas, no facto de o ponto dado ser um ponto do eixo X e no facto de os traços do plano serem coincidentes, o que pode resultar nalguma confusão ao nível da execução, mas tenha em conta que se mantêm todos os raciocínios expostos no relatório do exercício 78. O ponto B é o ponto a que se recorreu para definir a recta p em Dupla Projecção Ortogonal.

SOLUÇÕES

87.

Em primeiro lugar representaram-se a recta h e o ponto G, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano γ seja ortogonal à recta h, o plano γ tem de conter duas rectas concorrentes ortogonais à recta h (duas «famílias» de rectas ortogonais à recta h) – essas rectas podem ser os seus traços. Assim, f γ, o traço frontal do plano, porque é uma recta frontal (de frente), tem de ser perpendicular a h2 (a ortogonalidade é directa em projecção frontal). Por seu lado, hγ, o traço horizontal do plano γ, porque é uma recta horizontal (de nível), tem de ser perpendicular a h1 (a ortogonalidade é directa em projecção horizontal). Para que f γ seja perpendicular a h2, que é paralela ao eixo X, f γ terá de ser perpendicular ao eixo X – o plano γ é, assim, um plano vertical (um plano projectante horizontal). Para que o plano γ contenha o ponto G, e uma vez que se trata de um plano projectante horizontal, basta que hγ passe por G1 – assim, por G1 conduziu-se hγ, perpendicular a h1. f γ é concorrente com hγ no eixo X e é perpendicular a h2 (é vertical). O plano γ é ortogonal à recta h e contém o ponto G, pois G1 situa-se sobre hγ (o plano γ é projectante horizontal). O plano γ é necessariamente um plano vertical. Visualize a situação no espaço e constate que um plano ortogonal a uma recta horizontal (de nível) é necessariamente um plano vertical (projectante horizontal).

88. Em primeiro lugar representaram-se a recta f e o ponto B, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano α seja ortogonal à recta f, o plano α tem de conter duas rectas concorrentes ortogonais à recta f (duas «famílias» de rectas ortogonais à recta f ) – essas rectas podem ser os seus traços. Assim, f α, o traço frontal do plano, porque é uma recta frontal (de frente), tem de ser perpendicular a f2 (a ortogonalidade é directa em projecção frontal). Por seu lado, hα, o traço horizontal do plano α, porque é uma recta horizontal (de nível), tem de ser perpendicular a f1 (a ortogonalidade é directa em projecção horizontal). Para que hα seja perpendicular a f1, que é paralela ao eixo X, hα terá de ser perpendicular ao eixo X – o plano α é, assim, um plano de topo (um plano projectante frontal). Para que o plano α contenha o ponto B, e uma vez que se trata de um plano projectante frontal, basta que fα passe por B2 – assim, por B2 conduziu-se fα, perpendicular a f2 . hα é concorrente com fα no eixo X e é perpendicular a f 1 (é de topo). O plano α é ortogonal à recta f e contém o ponto B, pois B2 situa-se sobre f α (o plano α é projectante frontal). O plano α é necessariamente um plano de topo. Visualize a situação no espaço e constate que um plano ortogonal a uma recta frontal (de frente) é necessariamente um plano de topo (projectante frontal).

89.

90.

Em primeiro lugar representou-se a recta g, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano seja ortogonal à recta g, o plano tem de conter duas rectas concorrentes ortogonais à recta g (duas «famílias» de rectas ortogonais à recta g) – essas rectas podem ser os seus traços. Assim, o traço frontal do plano, porque é uma recta frontal (de frente), tem de ser perpendicular a g2 (a ortogonalidade é directa em projecção frontal). Por seu lado, o traço horizontal do plano, porque é uma recta horizontal (de nível), tem de ser perpendicular a g1 (a ortogonalidade é directa em projecção horizontal). Para que o traço horizontal do plano seja perpendicular a g1, que é paralela ao eixo X, o traço horizontal do plano terá de ser perpendicular ao eixo X – o traço horizontal do plano é, assim, uma recta de topo e o plano é um plano projectante frontal. Para que o traço frontal do plano seja perpendicular a g2, que é paralela ao eixo X, o traço frontal do plano terá de ser perpendicular ao eixo X – o traço frontal do plano é, assim, uma recta vertical e o plano é um plano projectante horizontal. O plano pedido é, pois, um plano duplamente projectante – trata-se de um plano de perfil (um plano de perfil é o único plano duplamente projectante, cujo traço frontal é uma recta vertical e cujo traço horizontal é uma recta de topo). Visualize a situação no espaço e constate que um plano ortogonal a uma recta fronto-horizontal é necessariamente um plano de perfil. Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano α seja ortogonal à recta r, o plano α tem de conter duas rectas concorrentes ortogonais à recta r (duas «famílias» de rectas ortogonais à recta r) – essas rectas podem ser os seus traços. Por outro lado, para que o plano α contenha o ponto P, P terá de pertencer a uma recta do plano α. Assim, por P conduziu-se uma recta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano α – h é ortogonal à recta r, pois h1 é perpendicular a r1 (a ortogonalidade é directa em projecção horizontal). Já temos uma «família» de rectas do plano α que é ortogonal à recta r (o traço horizontal do plano é também uma recta horizontal, que é paralela à recta h). Necessitamos de uma outra, que terá de ser a «família» das rectas frontais (de frente) de α. Por F, o traço frontal da recta h, conduziu-se fα, perpendicular a r2 – f α é uma recta frontal (de frente) do plano α e é ortogonal à recta r, pois a ortogonalidade verifica-se directamente em projecção frontal. Em seguida, desenhou-se hα, que é concorrente com f α num ponto do eixo X e é paralelo a h1 (e perpendicular a r 1). O plano α é ortogonal à recta r (contém duas rectas concorrentes ortogonais à recta r) e passa pelo ponto P, pois P pertence a uma recta do plano α (a recta h). Note que se tem que os traços do plano α são perpendiculares às projecções homónimas da recta r, o que já se tinha verificado nas situações anteriores.

SOLUÇÕES

91. Em primeiro lugar representaram-se a recta m e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta m tem as suas projecções paralelas entre si, pois é paralela ao β2/4. Sobre a determinação dos traços do plano α, ver exercício anterior e respectivo relatório.

92. Em primeiro lugar representaram-se a recta p e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pois situam-se na mesma recta de perfil. Um plano ortogonal a uma recta de perfil é necessariamente um plano de rampa. Assim, já sabemos uma das «famílias» das rectas do plano (o plano σ) que são ortogonais à recta p – as rectas fronto-horizontais. Por outro lado, para que o ponto P pertença ao plano σ, o ponto terá de pertencer a uma recta do plano – essa recta poderá ser uma recta fronto-horizontal. Assim, por P conduziu-se uma recta m, fronto-horizontal, pertencente ao plano. Necessitamos de uma outra recta do plano σ – essa recta terá, também ela, de ser ortogonal à recta p. Essa recta poderá ser uma recta de perfil. Conduziu-se, pela recta p, um plano de perfil π. A recta p’, de perfil, é a recta de intersecção do plano π com o plano σ – a recta p’ é necessariamente ortogonal (perpendicular) à recta p. Já temos a direcção da recta. Falta-nos um ponto para definir a recta p’. O ponto P’ é o ponto de intersecção da recta m (que é uma recta do plano σ) com o plano π. O ponto P’ é, assim, um ponto da recta p’. A recta p’ está, assim, definida por um ponto (o ponto P’) e por uma direcção (é perpendicular à recta p). Resolveu-se o problema através do rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção. A recta pr está definida por Ar e por Br. A recta p’r passa por P’r e é ortogonal à recta pr. Note que as rectas p e p’ são perpendiculares, pois são concorrentes – são complanares (estão contidas no mesmo plano de perfil). Em seguida, determinaram-se os traços da recta p’, em rebatimento, e inverteu-se o rebatimento. Pelos traços da recta p’ conduziram-se os traços homónimos do plano σ. O plano σ é ortogonal à recta p (pois contém duas «famílias» de rectas que são ortogonais à recta p) e contém o ponto P, pois P pertence a uma recta do plano (a recta m). Note que este exercício poderia ter sido resolvido com o recurso a uma mudança do diedro de projecção, à semelhança do exercício seguinte.

SOLUÇÕES

93. Em primeiro lugar representaram-se a recta p e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta p, porque é passante, é concorrente com o eixo X num ponto (o ponto B). Um plano ortogonal a uma recta de perfil é necessariamente um plano de rampa. Para evitar a complexidade dos raciocínios do exercício anterior, optou-se por recorrer imediatamente a uma mudança do diedro de projecção, de forma a transformar a recta p numa recta frontal (de frente) – ao contrário da recta de perfil, cujas projecções não verificam o Critério de reversibilidade, a ortogonalidade entre uma recta frontal (de frente) e um plano é directa (um plano ortogonal a uma recta frontal é um plano de topo – ver exercício 88). Assim, subsplano 2) por um outro plano de tituiu-se o Plano Frontal de Projecção (p plano 4), paralelo à recta p – o novo eixo X (eixo X’) é paralelo projecção (p a p1 e é a recta de intersecção do plano 1 com o plano 4. As projecções de A, B e P no plano 4 determinaram-se em função das respectivas cotas, que se mantiveram. A projecção da recta p no plano 4, p4, está definida por A4 e B4. No novo diedro de projecção (o diedro formado pelo plano 1 e pelo plano 4), o plano ρ (o plano ortogonal à recta p) é projectante frontal (é um plano de topo) – f 4ρ, o traço do plano ρ no plano 4, passa por P4 (o plano é projectante frontal) e é perpendicular a p4 (a ortogonalidade é directa). O traço do plano ρ no plano 4 é concorrente com hρ no eixo X’ – hρ é perpendicular ao eixo X’ (está definido por um ponto e uma direcção). Para inverter a mudança do diedro de projecção efectuada e determinar o traço frontal do plano ρ no diedro de projecção inicial recorreu-se a um ponto qualquer do plano, cuja projecção horizontal esteja no eixo X inicial – o ponto F. Por uma questão de economia de traçados, optou-se por se situar F na linha de chamada do ponto P. A projecção frontal de F (no plano 2) determinou-se em função da sua cota, que se manteve. Por F2 conduziu-se f ρ, o traço frontal do plano ortogonal à recta p. O plano ρ é o plano ortogonal à recta p que contem o ponto P.

94.

Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto K , pelas suas projecções, em função dos dados. A recta r é paralela ao β1/3, pelo que as suas projecções fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. Em seguida, uma vez que a ortogonalidade entre a recta r, que é oblíqua, e a recta p, que é também oblíqua, não é directa em nenhuma das projecções (nenhuma das duas rectas é paralela a qualquer dos planos de projecção), é necessário fazer com que a recta p esteja contida num plano ortogonal à recta r. Por outro lado, uma vez que se pretende que a recta p contenha o ponto K , esse plano ortogonal à recta r tem necessariamente de conter o ponto K . Assim, conduziu-se, por K , um plano α ortogonal à recta r (para o que se recorreu a uma recta f, frontal) – ver exercício 90. Todas as rectas do plano α são ortogonais ou perpendiculares à recta r. A recta p é a recta do plano α que contém K e cuja projecção horizontal faz, com o eixo X, o ângulo pretendido (60°, de abertura para a direita). A recta p tem de ter os seus traços sobre os traços homónimos do plano α, para pertencer ao plano (condição para que uma recta pertença a um plano). Determinaram-se os traços da recta – F e H’. A recta p está definida por H’, K (a recta passa por K ) e F, mas poderia estar definida, apenas, por H’ e K , por exemplo (bastavam dois pontos). A recta p passa pelo ponto K e é ortogonal à recta r, pois está contida num plano ortogonal à recta r (o plano α, que também contém o ponto K ).

95. Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto M, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, uma vez que a ortogonalidade entre a recta r, que é oblíqua, e a recta p, que é também oblíqua, não é directa em nenhuma das projecções (ver exercício anterior), é necessário fazer com que a recta p esteja contida num plano ortogonal à recta r, plano esse que tem de conter o ponto M, para que a recta p contenha o ponto M. Assim, conduziu-se, por M, um plano γ, ortogonal à recta r (para o que se recorreu a uma recta h, horizontal) – ver exercício 90. Todas as rectas do plano γ são ortogonais ou perpendiculares à recta r. A recta p é, assim, uma recta do plano γ que contenha o ponto M. Sabe-se que a recta p é uma recta passante – qualquer recta passante do plano γ tem de ser concorrente com o eixo X no ponto de concorrência dos traços do plano. A recta p está, assim, definida por dois pontos – o ponto M e o ponto de concorrência dos traços do plano γ. A recta p passa pelo ponto M e é ortogonal à recta r, pois está contida num plano ortogonal à recta r (o plano γ).

SOLUÇÕES

96. Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, uma vez que a ortogonalidade entre a recta r, que é oblíqua, e a recta p, que é também oblíqua, não é directa em nenhuma das projecções (nenhuma das duas rectas é paralela a qualquer dos planos de projecção), é necessário fazer com que a recta p esteja contida num plano ortogonal à recta r, plano esse que tem de conter o ponto P, para que a recta p contenha o ponto P. Assim conduziu-se, por P, um plano γ, ortogonal à recta r (para o que se recorreu a uma recta f, frontal) – ver exercício 90. Todas as rectas do plano γ são ortogonais ou perpendiculares à recta r. A recta p é a recta do plano γ que contém P e cuja projecção horiF’ e H) zontal é paralela à projecção horizontal da recta r. A recta p tem os seus traços (F sobre os traços homónimos do plano γ (condição para que uma recta pertença a um plano). A recta p está definida por F’, P e H, mas poderia estar definida, apenas, por dois daqueles pontos. A recta p passa pelo ponto P e é ortogonal à recta r.

97.

Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação da recta p, ver relatório do exercício anterior. Note que a recta p, de perfil, está definida por três pontos – o ponto P (conduziram-se as projecções da recta p pelas projecções do ponto P) e os seus traços nos planos de projecção, F e H (a recta tem de verificar a condição para que uma recta pertença a um plano).

98. Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta r tem as suas projecções paralelas entre si, pois é uma recta paralela ao β2/4. Em seguida, uma vez que a ortogonalidade entre a recta r, que é oblíqua, e a recta p, que é também oblíqua, não é directa em nenhuma das projecções, é necessário fazer com que a recta p esteja contida num plano ortogonal à recta r, plano esse que tem de conter o ponto P, para que a recta p contenha o ponto P. Assim conduziu-se, por P, um plano α, ortogonal à recta r (para o que se recorreu a uma recta h, horizontal) – ver exercício 90. Note que, atendendo a que as projecções da recta r são paralelas entre si, os traços do plano α (o plano ortogonal à recta r) ficam coincidentes. Todas as rectas do plano α são ortogonais ou perpendiculares à recta r. A recta p é, assim, uma recta do plano α que contenha o ponto P e que pertença ao β1/3 – a recta p é, então, a recta de intersecção do plano α com o β1/3. O ponto P, que pertence ao plano α, é também um ponto do β1/3 – P é um ponto comum aos dois planos. Já temos um ponto. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Os traços do plano são concorrentes no ponto M, que é um ponto do eixo X – todos os pontos do eixo X pertencem ao β1/3, pelo que o ponto M é outro ponto que pertence simultaneamente aos dois planos. Já temos dois pontos para definir a recta p. A recta p, definida por P e por M, é ortogonal à recta r e pertence ao β1/3 (é uma recta de perfil passante – é uma recta de perfil do β1/3).

99. O Critério de ortogonalidade entre planos afirma que um plano é ortogonal a um plano dado se e só se contiver uma recta ortogonal ao plano dado, ou seja, dois planos são ortogonais entre si se e só se um deles contiver a «família» de rectas que é ortogonal ao outro plano.

SOLUÇÕES

100. O problema admite i n f i n i t a s s o l u ç õ e s. Segundo o Critério da ortogonalidade entre planos, para que um plano seja ortogonal ao plano α, aquele tem de conter uma recta ortogonal ao plano α. Por outro lado, para que o plano pedido contenha o ponto P, a recta ortogonal ao plano α terá de passar pelo ponto P – qualquer plano que contenha essa recta contém o ponto P e é ortogonal ao plano α. De facto, por P é possível, apenas, conduzir uma única recta ortogonal ao plano α mas, no entanto, todos os planos que contenham essa recta (que são infinitos planos) serão necessariamente ortogonais ao plano α e contêm o ponto P.

101. Em primeiro lugar representaram-se o plano ν, pelo seu traço frontal, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Para que um plano seja ortogonal ao plano ν, tem de conter uma recta ortogonal ao plano ν. Por outro lado, para que o plano contenha o ponto P, o ponto tem de pertencer a uma recta do plano. Assim, em primeiro lugar há que conduzir, pelo ponto P, uma recta ortogonal ao plano ν – a recta p, que é uma recta vertical (ver exercício 69). Qualquer plano que contenha a recta p é necessariamente ortogonal ao plano ν e contém o ponto P. Optou-se por representar um plano γ, vertical, qualquer, mas o problema admite i n f i n i t a s s o l u ç õ e s (ver a resposta à questão do exercício anterior) – todos os planos verticais que contêm a recta p, o plano frontal (de frente) que contém a recta p e o plano de perfil que contém a recta p.

102. Em primeiro lugar representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano α seja ortogonal ao plano γ, o plano α tem de conter uma recta ortogonal ao plano γ. Por outro lado, para que o plano α contenha o ponto A , o ponto A tem de pertencer a uma recta do plano α. Assim, começou-se por conduzir, por A, uma recta h, ortogonal ao plano γ (ver exercício 71) – a recta p é uma recta horizontal (de nível). Qualquer plano que contenha a recta p é ortogonal a γ e contém o ponto A . Determinou-se o traço frontal da recta h – F. O traço frontal do plano α, f α, passa por F e faz, com o eixo X, o ângulo pedido – 60o (a.d.). O traço horizontal do plano α, hα, é concorrente com f α no eixo X e é paralelo à recta h (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). O plano α é ortogonal ao plano γ P pertence a (contém uma recta ortogonal ao plano γ – a recta h ) e contém o ponto P (P uma recta do plano α – a recta h).

103.

Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano δ seja ortogonal ao plano α, o plano δ tem de conter uma recta ortogonal ao plano α. Por outro lado, para que o plano δ contenha o ponto P, o ponto P tem de pertencer a uma recta do plano δ. Assim, começou-se por conduzir, por P, uma recta p, ortogonal ao plano α (ver exercício 74) – a recta p é uma recta oblíqua, cujas projecções são perpendiculares aos traços homónimos do plano α. Qualquer plano que contenha a recta p é ortogonal a α e contém o ponto P. Determinaram-se os traços da recta p – F e H. O traço frontal do plano δ, f δ, passa por F e faz, com o eixo X, o ângulo pedido – 65o (a.d.). O traço horizontal do plano δ, hδ, é concorrente com f δ no eixo X e passa por H. O plano δ é ortogonal ao plano α (contém uma recta ortogoP pertence a uma recta do plano δ nal ao plano α – a recta p) e contém o ponto P (P – a recta p).

104. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação do plano θ, ver relatório do exercício anterior. Note que não é estritamente necessária a determinação dos traços da recta p nos planos de projecção, pois o plano θ é o plano projectante horizontal da recta p (seria possível determinar os traços de θ sem determinar os traços da recta p).

SOLUÇÕES

105. Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano α seja ortogonal ao plano θ, o plano α tem de conter uma recta ortogonal ao plano θ. Por outro lado, para que o plano α contenha o ponto P, o ponto P tem de pertencer a uma recta do plano α. Assim, começou-se por conduzir, por P, uma recta p, ortogonal ao plano θ (ver exercício 72) – a recta p é uma recta frontal (de frente). Qualquer plano que contenha a recta p é ortogonal a θ e contém o ponto P. Determinou-se o traço horizontal da recta p – H. O traço horizontal do plano α, hα, passa por H e tem de ser paralelo a p2, para que os traços do plano α sejam coincidentes (os dois traços, na folha de papel, têm de ter a mesma direcção). O traço frontal do plano α, f α, é concorrente com hα no eixo X e é paralelo à recta p (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo). O plano α é ortogonal ao plano θ P pertence a (contém uma recta ortogonal ao plano θ – a recta p) e contém o ponto P (P uma recta do plano α – a recta p).

106. Em primeiro lugar representaram-se o plano λ, pelos seus traços, e o ponto G, pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano γ, ver relatório do exercício 103. Note que, para que os traços do plano γ sejam coincidentes (na folha de papel), aqueles têm de se situar na recta que passa por F2 e por H1.

107. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano ρ, ver relatório do exercício 103. A recta p é a recta ortogonal ao plano α que passa por M – a recta p tem as suas projecções paralelas entre si, pelo que é uma recta paralela ao β2/4. Pelos traços da recta p conduziram-se os traços homónimos do plano ρ, paralelos ao eixo X.

108.

Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano σ seja ortogonal ao plano ρ, o plano σ tem de conter uma recta ortogonal ao plano ρ. Por outro lado, para que o plano σ contenha o ponto A , A tem de pertencer a uma recta do plano σ. Assim, conduziu-se, por A , uma recta p, ortogonal ao plano ρ (ver exercício 78 e respectivo relatório). A recta p é uma recta de perfil. Qualquer plano que contenha a recta p é ortogonal a ρ e contém o ponto A . Determinaram-se os traços da recta p – F’ e H’. Note que os traços da recta p se determinaram previamente em rebatimento, após cuja inversão se obtiveram as projecções de F’ e H’. Pelos traços de p conduziram-se os traços homónimos do plano σ. O plano σ é ortogonal ao plano ρ (pois contém uma recta ortogonal a ρ – a recta p) e contém o ponto A (pois A pertence a uma recta de σ – a recta p).

SOLUÇÕES

109. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto D, pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano α, ver relatório do exercício anterior. F’ e H’ são os traços da recta p, a recta ortogonal ao plano ρ que passa pelo ponto D. Por H’ conduziu-se hα, o traço horizontal do plano, fazendo, com o eixo X, o ângulo pedido – um ângulo de 60o (a.e.). O traço frontal do plano, f α, é concorrente com hα no eixo X e passa por F’.

110. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X) e pelo ponto P, e o ponto A, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano α seja ortogonal ao plano ρ, o plano α tem de conter uma recta ortogonal ao plano ρ. Por outro lado, para que o plano α contenha o ponto A, A tem de pertencer a uma recta do plano α. Assim, conduziu-se, por A, uma recta p, ortogonal ao plano α (ver exercício 83 e respectivo relatório). A recta p é uma recta de perfil. Qualquer plano que contenha a recta p é ortogonal a ρ e contém o ponto A. Determinaram-se os traços da recta p – F e H. Note que para a determinação dos traços da recta p se teve H tem cota nula) e F1 também está no eixo X (F F tem afastamento em conta que já era conhecida uma projecção de cada um – H2 está no eixo X (H nulo). A partir destas, determinaram-se H4 (em função da sua cota, que se manteve) e F4 (a partir da sua projecção horizontal, que se manteve). H1 teve determinação imediata, a partir de H4. Invertendo a mudança do diedro de projecção efectuada, determinou-se F2 em função da sua cota, que se manteve. Pelos traços de p conduziram--se os traços homónimos do plano α, que são concorrentes num ponto com –5 de abcissa. O plano α é ortogonal ao plano ρ (pois contém uma recta ortogonal a ρ – a recta p) e contém o ponto A (pois A pertence a uma recta de α – a recta p). Note que o problema se poderia resolver com o recurso a um rebatimento, à semelhança do exercício seguinte.

SOLUÇÕES

111. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X) e pelo ponto P, e o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano α seja ortogonal ao plano ρ, o plano α tem de conter uma recta ortogonal ao plano ρ. Por outro lado, para que o plano α contenha o ponto A , A tem de pertencer a uma recta do plano α. Assim, conduziu-se, por A, uma recta p, ortogonal ao plano α (ver exercício 82 e respectivo relatório). A recta p é uma recta de perfil. Qualquer plano que contenha a recta p é ortogonal a ρ e contém o ponto A . Determinaram-se os traços da F e H) em rebatimento – invertendo o rerecta p (F batimento, obtiveram-se as projecções de F e H. Por H conduziu-se f α, o traço frontal do plano, fazendo, com o eixo X, o ângulo pedido – um ângulo de 60o (a.e.). O traço horizontal do plano, hα, é concorrente com f α no eixo X e passa por H. O plano α é ortogonal ao plano ρ (pois contém uma recta ortogonal a ρ – a recta p) e contém o ponto A (pois A pertence a uma recta de α – a recta p). Note que o exercício se poderia resolver com o recurso a uma mudança do diedro de projecção, à semelhança do exercício anterior.

112. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta f, em função dos dados. Em seguida, determinou-se o traço horizontal da recta – H. Um plano ortogonal ao β2/4 tem os seus traços coincidentes. Assim, hα o traço horizontal do plano α, tem de passar por H e, para que os traços do plano fiquem coincidentes, tem de ser paralelo a f 2. O traço frontal do plano, f α, é concorrente com hα no eixo X e é paralelo a f 2, pelo que fica coincidente com hα.

113. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta f, em função dos dados. Em seguida, determinou-se o traço horizontal da recta – H. Um plano ortogonal ao β1/3 tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X. Assim, por H conduziu-se hα, fazendo um ângulo de 30o (a.e.) com o eixo X (um ângulo igual e com o mesmo sentido de abertura do ângulo entre o traço frontal e o eixo X, que será igual ao ângulo que a recta frontal faz com o Plano Horizontal de Projecção). O traço frontal do plano α, f α, é concorrente com hα no eixo X e é paralelo a f 2, pelo que os traços do plano ficam simétricos em relação ao eixo X.

114. Em primeiro lugar representaram-se os planos α e ρ, pelos respectivos traços, em função dos dados. O plano α é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coincidentes. O plano ρ é ortogonal ao β1/3, pelo que tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X – f ρ tem 4 cm de cota. Em seguida, determinaram-se as projecções da recta i, a recta de intersecção dos dois planos – a recta i fica definida por dois pontos, que são os seus traços nos planos de projecção (trata-se do caso geral da intersecção entre planos).

SOLUÇÕES

115. Em primeiro lugar representou-se o plano α pelos seus traços, em função dos dados. O plano α é ortogonal ao β1/3, pelo que tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X. A recta r, porque é uma recta de maior declive do plano α, tem a sua projecção horizontal perpendicular a hα. Por outro lado, uma vez que se trata de uma recta passante, a recta r tem de ser concorrente com o eixo X no ponto de concorrência dos traços do plano. Estes dois raciocínios permitiram-nos desenhar imediatamente r 1, a projecção horizontal da recta. No entanto, para definir a recta só temos um ponto – o seu ponto de concorrência com o eixo X. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Os dados do plano são insuficientes para definir a recta r, pelo que é necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano. Optou-se por recorrer a uma recta d – d é uma outra recta de maior declive do plano (a recta d está definida por dois pontos, que são os seus traços). As rectas r e d são complanares (estão, ambas, contidas no plano α) e não são concorrentes, pelo que são paralelas – já temos a direcção. Em seguida, desenhou-se r 2, paralela a d2. Tenha em conta que as rectas de maior declive de um plano são todas paralelas entre si, pois trata-se de uma mesma «família» de rectas do plano.

116. Em primeiro lugar representou-se o plano γ pelos seus traços, em função dos dados. O plano γ é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coincidentes. A recta s, porque é uma recta de maior inclinação do plano γ, tem a sua projecção frontal perpendicular a f γ. Por outro lado, uma vez que se trata de uma recta passante, a recta s tem de ser concorrente com o eixo X no ponto de concorrência dos traços do plano. Estes dois raciocínios permitiram-nos desenhar imediatamente s2, a projecção frontal da recta. No entanto, para definir a recta só temos um ponto – o seu ponto de concorrência com o eixo X. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Os dados do plano são insuficientes para definir a recta s, pelo que é necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano. Optou-se por recorrer a uma recta i – i é uma outra recta de maior inclinação do plano (a recta i está definida por dois pontos, que são os seus traços). As rectas s e i são complanares (estão, ambas, contidas no plano γ) e não são concorrentes, pelo que são paralelas – já temos a direcção. Em seguida, desenhou-se s1, paralela a i 1. Tenha em conta que as rectas de maior inclinação de um plano são todas paralelas entre si, pois trata-se de uma mesma «família» de rectas do plano.

117. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano α é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coincidentes. Pelas projecções de P conduziram-se as projecções da recta p, perpendiculares aos traços homónimos do plano α (ver exercício 7 4 ) – a recta p , porque tem as suas projecções paralelas entre si, é uma recta paralela ao β2/4. Para determinar o ponto de intersecção da recta p com o plano α, e uma vez que nem a recta nem o plano são projectantes, recorreu-se ao método geral da intersecção de rectas com planos (ver exercício 75).

118. Em primeiro lugar representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano δ é ortogonal ao β1/3, pelo que tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X. Pelas projecções de P conduziram-se as projecções da recta p, perpendiculares aos traços homónimos do plano δ (ver exercício 74) – as projecções da recta p fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura, pelo que a recta p é uma recta paralela ao β1/3. Para determinar o ponto de intersecção da recta p com o plano δ, e uma vez que nem a recta nem o plano são projectantes, recorreu-se ao método geral da intersecção de rectas com planos (ver exercício 75).

SOLUÇÕES

119.

Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ρ é ortogonal ao β1/3, pelo que tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X – o traço horizontal do plano tem 4 cm de afastamento. Por P conduziram-se as projecções da recta p, a recta ortogonal ao plano – p é uma recta de perfil, que está definida por um ponto (o ponto P) e uma direcção (é ortogonal ao plano ρ). Para determinar o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ, e atendendo a que nem a recta nem o plano são projectantes, há que recorrer ao método geral da intersecção de rectas com planos. Assim sendo, temse: 1. por p conduziu-se um plano auxiliar (o plano π, que é um plano de perfil); 2. determinou-se a recta i, a recta de intersecção dos dois planos (a recta i está definida pelos seus traços, pois trata-se do caso geral da intersecção entre planos – a recta i é uma recta de perfil do plano ρ); 3. o ponto de concorrência da recta i com a recta p (o ponto I) é o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ. A terceira etapa conclui-se com o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π – rebateu-se o plano para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π). A recta i r fica definida por Fr e Hr, os seus traços em rebatimento. A recta pr passa por Pr e é perpendicular à recta i r – note que só nesta etapa é que se resolveu definitivamente o problema da ortogonalidade entre a recta p e o plano ρ, pois só agora é que se garante que a recta p é ortogonal a duas «famílias» de rectas do plano ρ (ver exercício 78 e respectivo relatório). O ponto Ir é o ponto de concorrência das rectas i r e pr – I é o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do ponto I. Note que o problema se poderia resolver com o recurso a uma mudança do diedro de projecção, à semelhança do exercício seguinte.

120. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ρ é ortogonal ao β2/4, pelo que os seus traços estão coincidentes. Por P conduziram-se as projecções da recta p , a recta ortogonal ao plano – p é uma recta de perfil, que está definida por um ponto (o ponto P) e uma direcção (é ortogonal ao plano ρ). Para determinar o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ, e atendendo a que nem a recta nem o plano são projectantes, optou-se por recorrer a uma mudança do diedro de projecção, transformando o plano ρ num plano projectante – um plano de topo. Nesse sentido, substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (o plano 2) por um novo plano de projecção (o plano 4), ortogonal ao plano ρ – o novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do plano 1 com o plano 4 e é perpendicular a hρ. Na mudança do diedro de projecção efectuada, mantiveram-se as projecções horizontais e as cotas. Para determinar o traço do plano ρ no plano 4, recorreu-se a um ponto qualquer do plano – o ponto A , que é um ponto com afastamento nulo. O ponto A tem cota negativa (é um ponto de f ρ), que se manteve – A 4 e P4 são, respectivamente, as projecções de A e P no plano 4, e determinaram-se em função das respectivas cotas, que se mantiveram. O traço do plano ρ no plano 4, f 4ρ, é concorrente com hρ no eixo X’ e passa por A 4 (note que o plano ρ, no novo diedro de projecção, é projectante frontal, pelo que projecta todos os seus pontos e rectas no plano 4). No novo diedro de projecção (formado pelo plano 1 e pelo plano 4, o plano ρ é um plano de topo e a recta p, sendo ortogonal ao plano, é uma recta frontal (de frente) – ver exercício 72. Assim, por P4 conduziu-se imediatamente p4, perpendicular a f 4ρ. Por outro lado, atendendo a que, no novo diedro de projecção, o plano ρ é projectante frontal, a determinação do ponto de intersecção da recta p com o plano ρ resume-se à intersecção entre uma recta não projectante e um plano projectante – I tem, assim, determinação imediata a partir da sua projecção no plano 4, I4. I1 teve determinação imediata, a partir de I4. Invertendo a mudança do diedro de projecção efectuada, e uma vez que se mantêm as cotas, determinou-se I2 em função da sua cota (que se manteve).

SOLUÇÕES

121.

Em primeiro lugar representaram-se os planos α e θ, pelos respectivos traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano α, porque é ortogonal ao β1/3, tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X. O plano θ, porque é ortogonal ao β2/4, tem os seus traços coincidentes. Pretende-se que o plano γ contenha o ponto P e seja ortogonal ao plano α – o plano γ terá, então, de conter uma recta ortogonal ao plano γ que passe pelo ponto P (ver exercício 103). A recta p é a recta que passa pelo ponto P e é ortogonal ao plano α. Por outro lado, pretende-se também que o plano γ contenha o ponto P e seja ortogonal ao plano θ – o plano γ terá, então, de conter uma recta ortogonal ao plano θ que passe pelo ponto P (ver exercício 103). A recta p’ é a recta que passa pelo ponto P e é ortogonal ao plano θ. As rectas p e p’ são concorrentes (no ponto P), pelo que definem um plano – esse será o plano γ, simultaneamente ortogonal aos planos α e θ. Note que a recta p é uma recta passante – é concorrente com o eixo X e é uma recta do β1/3. Determinaram-se os traços da recta p’ nos planos de projecção – F e H. O traço frontal do plano γ, f γ, passa por F e pelo ponto de concorrência da recta p com o eixo X. O traço horizontal do plano γ, hγ, passa por H e é concorrente com f γ no eixo X.

122. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta h, em função dos dados. Em seguida, determinaram-se as projecções do ponto P, o ponto de concorrência das duas rectas (que tem 2 cm de afastamento). Pretende-se que a recta r seja perpendicular à recta h – uma vez que a recta h é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, sabe-se que a perpendicularidade é directa em projecção horizontal. Assim, por P 1 conduziu-se r1, a projecção horizontal da recta r, perpendicular a h1 – r2 é paralela a r1, pois a recta r, sendo paralela ao β2/4, tem as suas projecções paralelas entre si. Em seguida, determinaram-se os traços da recta r nos planos de projecção, F e H – note que não foi necessário determinar o traço frontal da recta h. O traço horizontal do plano α, hα, passa por H e é paralelo à recta h (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). O traço frontal do plano f α, passa por F e é concorrente com hα no eixo X.

123. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta m, em função dos dados. A recta m tem as suas projecções paralelas entre si, pois é paralela ao β2/4. Sobre a determinação da recta p, ver relatório do exercício 98. O plano α é o plano ortogonal à recta r a que se recorreu para determinar a recta p e a recta f foi a recta a que se recorreu para determinar o plano α – note que a recta f pode ser uma recta qualquer (ortogonal à recta m), pois não é dado nenhum ponto. A recta p, porque pertence simultaneamente ao plano α (para ser ortogonal à recta m) e ao β2/4, tem de ser a recta de intersecção do plano α com o β2/4. O ponto de concorrência dos traços do plano já é um ponto que pertence simultaneamente ao plano α e ao β2/4. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Determinou-se I, o traço da recta f no β2/4. I pertence ao β2/4, pois tem as suas projecção coincidentes, e pertence ao plano α, pois pertence a uma recta do plano – a recta f. Já temos dois pontos para definir a recta p – a recta p passa por I e é concorrente com o eixo X no ponto de concorrência dos traços do plano α.

124. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta r, em função dos dados. Em seguida, sendo pedida uma recta do β1/3 que seja perpendicular à recta r, sabe-se que as rectas têm de ser c o n c o r r e n t e s – o único ponto da recta r (que é uma recta do β2/4) que pertence ao β1/3 é o seu ponto de concorrência com o eixo X (o ponto A ). Sabe-se, portanto, que a recta p terá de passar por A . Para definir a recta p há que conduzir, por A , um plano ortogonal à recta r (ver exercício 98). Uma vez que A é um ponto do eixo X, A será também o ponto de concorrência dos traços do plano α (o plano ortogonal à recta r) – os traços do plano α, perpendiculares às projecções homónimas da recta r, têm, assim, determinação imediata. Sabe-se que a recta p (a recta pedida) é uma recta do β1/3 e que passa por A – já temos um ponto para definir a recta. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Recorreu-se a uma recta h, horizontal (de nível), auxiliar, do plano α, determinou-se o traço da recta h no β1/3 – o ponto Q. A recta p está definida por dois pontos – A e Q.

SOLUÇÕES

125. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano σ, ver exercício 108 e respectivo relatório.

126. Em primeiro lugar representaram-se os planos α e ρ, pelos respectivos traços, em função dos dados. O plano α é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coincidentes. O plano ρ também é ortogonal ao β2/4, pelo que os seus traços também estão coincidentes. Para determinar a recta de intersecção entre os dois planos, teve-se em conta que se trata do caso geral da interH é o ponto secção de planos – determinaram-se os traços da recta nos planos de projecção (H de concorrência dos traços horizontais dos dois planos e F é o ponto de concorrência dos traços frontais dos dois planos). A recta de intersecção dos dois planos é uma recta de perfil que está definida por F e H, os seus traços nos planos de projecção.

SOLUÇÕES

15 P ROCESSOS G EOMÉTRICOS A UXILIARES II 127. A finalidade dos processos geométricos auxiliares é a determinação de projecções mais favoráveis de um dado objecto para um determinado estudo (em relação às projecções iniciais). De facto, é através dos processos geométricos auxiliares que é possível resolver situações que as projecções iniciais não permitem, como, por exemplo, a determinação de verdadeiras grandezas onde estas não existem de forma imediata.

128. Os processos geométricos auxiliares são t r ê s: o processo da mudança do diedro de projecção, o processo da rotação e o processo do rebatimento (que consiste no caso particular de uma rotação).

129. O processo da mudança do diedro de projecção consiste em, mantendo fixo o objecto, introduzir novos planos de projecção, criando novos diedros de projecção nos quais o objecto se projecte de forma mais favorável para o estudo em curso. O processo da rotação consiste em rodar o objecto em torno de um eixo (uma recta), mantendo o diedro de projecção inicial, de forma a que, no diedro de projecção inicial, o objecto se projecte de forma mais favorável para o estudo em curso. Por fim, o processo do rebatimento é semelhante ao processo da rotação e, assim, consiste também na rotação do objecto em torno de um eixo (uma recta), mantendo o diedro de projecção inicial. A diferença entre estes dois processos (o da rotação e o do rebatimento) consiste em que, no segundo (no rebatimento), o eixo de rotação é complanar com os objectos a rodar, enquanto que, no primeiro (na rotação), tal não se verifica. Resulta dessa diferença o facto de, nos rebatimentos, os objectos a rodar terem de estar necessariamente contidos em planos (para que o eixo de rotação seja complanar com o objecto) – o eixo é, assim, uma recta do plano que contém o objecto (que tem de estar contido num plano). Já nas rotações, o eixo é uma recta exterior ao plano e podem rodar-se objectos tridimensionais (num rebatimento só se podem rodar objectos uni ou bidimensionais – só se rebatem planos).

130. O processo da mudança do diedro de projecção consiste em introduzir novos planos de projecção em posições mais favoráveis em relação ao objecto a projectar, substituindo os planos de projecção iniciais e mantendo fixo o objecto, o que implica que o objecto passa a existir num diedro de projecção diferente (de onde vem o nome deste processo) e no qual se projecta de forma mais favorável para o estudo em curso.

131. Há que substituir o Plano Frontal de Projecção (o plano 2) por um outro plano de projecção (o plano 4), paralelo ao segmento – uma vez que se mantém o Plano Horizontal de Projecção, mantêm-se todas as referências a este plano de projecção (mantêm-se as projecções horizontais e mantêm-se as cotas). O novo eixo X (eixo X’) é a recta de intersecção do Plano Horizontal de Projecção (o plano 1) com o novo plano de projecção (o plano 4) e fica paralelo à projecção horizontal do segmento. A projecção do segmento no plano 4 obtém-se a partir das cotas dos extremos do segmento, que se mantêm.

132. A B] pelas suas Em primeiro lugar representou-se o segmento de recta [A projecções, em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma recta de topo é um caso particular das rectas horizontais (de nível). A B] num segmento horizontal Assim, em primeiro lugar transformou-se [A (de nível) com 4 cm de cota, substituindo o Plano Horizontal de Projecção plano 1) por um novo plano de projecção (o plano 4), paralelo a [A A B] e a (p 4 cm deste. O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do plano 4 A 2B 2]. Mancom o Plano Frontal de Projecção (o plano 2) e é paralelo a [A teve-se o Plano Frontal de Projecção, pelo que se mantiveram as projecções frontais e os afastamentos dos pontos A e B . A 4 e B 4 são as projecções de A e B no plano 4, que se determinam em função dos afastamentos dos pontos. No novo diedro de projecção, o segmento de recta A B] é horizontal (de nível) e tem 4 cm de cota. Um segmento de topo é [A ortogonal ao Plano Frontal de Projecção, o que ainda não se verifica no diedro de projecção criado. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de plano 2) por um novo plano de projecção (o plano 5), ortogonal a [A A B]. O novo eixo X (o eixo X’’) é a recta de intersecção do Projecção (p plano 4 com o plano 5 e é perpendicular à recta suporte de [A A 4B4]. Manteve-se o plano 4, pelo que se mantiveram as projecções no plano 4 e a cota dos pontos, que passou a ser 4 cm (e está referenciada ao plano 4). A 5 e B 5 determinam-se em função das suas cotas, que é 4 cm. A B] é de topo e tem 4 cm de cota. A V.G. de 苶 A苶 Bé苶 A 苶B B苶. No diedro de projecção formado pelo plano 4 e pelo plano 5, [A 4苶 4

133. A B] pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que Em primeiro lugar representou-se o segmento de recta [A uma recta fronto-horizontal é um caso particular das rectas frontais (de frente) e das rectas horizontais (de nível). Começou-se por transformar A B] num segmento frontal (de frente) com 4 cm de afastamento. Para tal substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (o plano 2) por um novo [A (Continua na página seguinte) 37

SOLUÇÕES

A B] e a 4 cm deste. O novo eixo X plano de projecção (o plano 4), paralelo a [A (o eixo X’) é a recta de intersecção do Plano Horizontal de Projecção (o plano 1 A 1B 1]. – o plano de projecção que se mantém) com o plano 4 e é paralelo a [A Manteve-se o Plano Horizontal de Projecção, pelo que se mantiveram as projecções horizontais e as cotas dos pontos A e B . A 4 e B 4 determinam-se em função das suas cotas, que se mantêm. No novo diedro de projecção, o A B] é frontal (de frente) e tem 4 cm de afastamento. Um segmento de recta [A segmento fronto-horizontal é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção. Assim, em seguida substituiu-se o Plano Horizontal de Projecção (o plano 2) A B] e a 2 cm deste. O novo eixo X (o eixo X’’) é a recta pelo plano 5, paralelo a [A A 4B 4]. Manteve-se o de intersecção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a [A plano 4, pelo que se mantiveram as projecções no plano 4 e o afastamento dos pontos, que passou a ser 4 cm (e está referenciado ao plano 4). A 5 e B 5 determinam-se em função dos seus afastamentos, que é 4 cm. No diedro de A B] é frontoprojecção formado pelo plano 4 e pelo plano 5, o segmento [A Bé苶 B苶4 ou A苶 A 苶B -horizontal e tem 4 cm de afastamento e 2 cm de cota. A V.G. de 苶 4苶 B苶. A 苶B 苶 5苶 5

134.

Em primeiro lugar representou-se a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados – a recta r é paralela ao β1/3, pelo que as suas projecções fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. Em seguida teve-se em conta que uma recta vertical é um caso particular das rectas frontais (de frente). Assim, começou-se por transformar r numa recta frontal (de frente) com 4 cm de afastamento. Nesse sentido, substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (o plano 2) por um novo plano de projecção (o plano 4), paralelo a r e a 4 cm desta. O novo eixo X (o eixo X’) é plano 1 – o plano a recta de intersecção do Plano Horizontal de Projecção (p de projecção que se mantém) com o plano 4 e é paralelo a r1. Mantêm-se as projecções horizontais e as cotas. A 4 determinou-se em função da sua cota, que se mantém. Para definir a recta r no novo diedro de projecção necessitamos de um outro ponto para além de A. Assim, recorreu-se a um outro ponto de r – H, o seu traço horizontal. H4 determinou-se em função da sua cota, que é nula e se mantém – r4 fica definida por A 4 e H4. No novo diedro de projecção, a recta r é uma recta frontal (de frente). Uma recta vertical é ortogonal ao Plano Horizontal de Projecção. Assim, em seguida substituiu-se o Plano Horizontal de Projecção (o plano 1) por um novo plano de projecção (o plano 5), ortogonal a r. O novo eixo X (o eixo X’’) é a recta de intersecção do plano 4 com o plano 5 e é perpendicular a r 4. Mantêm-se as projecções no plano 4 e os afastamentos (agora referenciados ao plano 4) – note que, agora, todos os pontos da recta já têm o mesmo afastamento, que é 4 cm. A 5 e H5 determinaram-se em função dos seus afastamentos (e estão coincidentes) – r 5, a projecção da recta r no plano 5, é um ponto, pois no diedro de projecção formado pelo plano 4 e pelo plano 5 a recta r é vertical (projectante horizontal).

135. Em primeiro lugar representou-se a recta m, pelas suas projecções, em função dos dados – a recta m é paralela ao β2/4, pelo que as suas projecções são paralelas entre si. Em seguida, teve-se em conta que uma recta fronto-horizontal é simultaneamente um caso particular das rectas frontais (de frente) e das rectas horizontais (de nível). Começou-se por transformar a recta m numa recta horizontal (de nível) com 3 cm de cota. Nesse sentido, substituiu-se o Plano Horizontal de Projecção (o plano 1) por um novo plano de projecção (o plano 4), paralelo a m e a 3 cm desta. O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do Plano Frontal de Projecção plano 2 – o plano de projecção que se mantém) com o plano 4 e é paralelo a m2. (p Mantêm-se as projecções frontais e os afastamentos. P4 determinou-se em função do seu afastamento, que se mantém. Para definir a recta m no novo diedro de projecção necessitamos de um outro ponto para além de P. Assim, recorreu-se a um outro ponto de m – F, o seu traço frontal. F4 determinou-se em função do seu afastamento, que é nulo e se mantém – m4 fica definida por P4 e F4. No novo diedro de projecção, a recta m é uma recta horizontal (de nível). Uma recta fronto-horizontal é paralela ao Plano Frontal de Projecção. Assim, em seguida substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (o plano 2) por um novo plano de projecção (o plano 5), paralelo a m. O novo eixo X (o eixo X’’) é a recta de intersecção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a m4. Mantêm-se as projecções no plano 4 e as cotas (agora referenciadas ao plano 4) – note que, agora, todos os pontos da recta já têm a mesma cota, que é 3 cm. P5 e F5 determinaram-se em função das suas cotas – m5, a projecção da recta m no plano 5, é paralela ao eixo X’’, pois no diedro de projecção formado pelo plano 4 e pelo plano 5 a recta m é fronto-horizontal.

SOLUÇÕES

136. Em primeiro lugar representou-se a recta t, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para transformar a recta t numa recta oblíqua, há que efectuar os raciocínios expostos no relatório do exercício 132 por ordem inversa. Assim, uma vez que uma recta de topo é um caso particular das rectas horizontais (de nível), em primeiro lugar há que transformar a recta t numa recta horizontal (de nível). Para tal, há que substituir o Plano Frontal de Projecção (o p l a n o 2) por um novo plano de projecção (o plano 4), que não seja ortogonal à recta t – o novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do plano 4 com o Plano Horizontal de Projecção (o plano 1 – o plano de projecção que se mantém) e é oblíquo a t1. Manteve-se o Plano Horizontal de Projecção, pelo que se mantiveram as projecções horizontais e as cotas. Para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção – assim, para definir t4 (a projecção da recta t no plano 4) representaram-se previamente dois pontos da recta t, no diedro de projecção inicial (os pontos A e B). A 4 e B 4 são as projecções de A e B no plano 4, que se determinaram em função das suas cotas (que é 4 cm) e t4, a projecção da recta t no plano 4, está definida por A 4 e B 4 e é paralela ao eixo X’. No novo diedro de projecção, a recta t é horizontal (de nível) – é paralela ao Plano Horizontal de Projecção (o plano 1) e oblíqua ao plano 4. Para transformar agora a recta t numa recta oblíqua cuja projecção frontal faça um ângulo de 45o (a.e.) com o eixo X (que será o novo eixo X – o eixo X’’), é necessário substituir o Plano Horizontal de Projecção (o plano 1) por um novo plano de projecção (o plano 5), oblíquo a t4 e tal que o eixo X’’ faça um ângulo de 45o (a.e.) com t4 – o eixo X’’ cumpre essas premissas e é a recta de intersecção do plano 4 com o plano 5. Manteve-se o plano 4, pelo que se mantiveram as projecções no plano 4 e os afastamentos dos pontos. A 5 e B5 são as projecções de A e B no plano 5, que se determinaram em função dos seus afastamentos e t5, a projecção da recta t no plano 5, está definida por A 5 e B 5. No novo diedro de projecção (formado pelo plano 4 e pelo plano 5), a recta t é oblíqua e a sua projecção frontal (a projecção no plano 4) faz um ângulo de 45o (a.e.) com o eixo X (o eixo X’’).

137. A e B). Em primeiro lugar representou-se a recta p, pelas suas projecções, em função dos dados – a recta p está definida por dois pontos (A Em seguida, teve-se em conta que uma recta de topo é um caso particular das rectas horizontais (de nível). Assim, começou-se por transformar p numa recta horizontal (de nível) com 3 cm de cota. Nesse sentido, substituiu-se o Plano Horizontal de Projecção (o plano 1) por um novo plano de projecção (o plano 4), paralelo a p e a 3 cm desta. O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do Plano Frontal de Proplano 2 – o plano de projecção que se mantém) com o plano 4 e é paralelo a p2. Mantêm-se as projecções frontais e os afastamenjecção (p tos. A 4 e B 4 determinaram-se em função dos seus afastamentos, que se mantêm – p4 fica definida por A 4 e B 4. No novo diedro de projecção, a recta p é uma recta horizontal (de nível). Uma recta de topo é ortogonal ao Plano Frontal de Projecção. Assim, em seguida substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (o plano 2) por um novo plano de projecção (o plano 5), ortogonal a p. O novo eixo X (o eixo X’’) é a recta de intersecção do plano 4 com o plano 5 e é perpendicular a p4. Mantêm-se as projecções no plano 4 e as cotas (agora referenciadas ao plano 4) – note que, agora, todos os pontos da recta já têm a mesma cota, que é 3 cm. A 5 e B 5 determinaram-se em função das suas cotas (e estão coincidentes) – p5, a projecção da recta p no plano 5, é um ponto, pois no diedro de projecção formado pelo plano 4 e pelo plano 5 a recta p é de topo (projectante frontal).

SOLUÇÕES

138. Em primeiro lugar representou-se a recta p, pelas suas projecções, em função dos dados – a recta p está definida por dois A e B). Uma recta fronto-horizontal é simultaneamente pontos (A um caso particular das rectas frontais (de frente) e das rectas horizontais (de nível), pelo que, em primeiro lugar, há que transformar a recta p numa recta frontal (de frente) ou numa recta horizontal (de nível). Optou-se pela primeira hipótese. Assim, começou-se por transformar p numa recta frontal (de frente) com 4 cm de afastamento. Nesse sentido, substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (o plano 2) por um novo plano de projecção (o plano 4), paralelo a p e a 4 cm desta. O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do Plano Hoplano 1 – o plano de projecção que se rizontal de Projecção (p mantém) com o plano 4 e é paralelo a p1. Mantêm-se as projecções horizontais e as cotas. A 4 e B4 determinaram-se em função das suas cotas, que se mantêm – p4 fica definida por A 4 e B4. No novo diedro de projecção, a recta p é uma recta frontal (de frente). Uma recta fronto-horizontal é paralela ao Plano Horizontal de Projecção. Assim, em seguida substituiu-se o Plano Horizontal de Projecção (o plano 1) por um novo plano de projecção (o plano 5), paralelo a p. O novo eixo X (o eixo X’’) é a recta de intersecção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a p4. Mantêm-se as projecções no plano 4 e os afastamentos (agora referenciados ao plano 4) – note que, agora, todos os pontos da recta já têm o mesmo afastamento, que é 4 cm. A 5 e B5 determinaram-se em função dos seus afastamentos – p5, a projecção da recta p no plano 5, está definida por A5 e B5 e é paralela ao eixo X’’. No diedro de projecção formado pelo plano 4 e pelo plano 5 a recta p é fronto-horizontal. Note que se localizou o plano 5 de forma a evitar a sobreposição dos traçados. Note ainda que se poderia ter começado por transformar a recta p numa recta horizontal (à semelhança do efectuado no exercício anterior) e, em seguida, transformá-la numa recta fronto-horizontal.

139.

Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e deseA B C], contido no plano, em nharam-se as projecções do triângulo [A função dos dados. A e B e C pertencem ao plano α, pois pertencem a rectas do plano – A pertence a f α (que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo) e B e C pertencem a uma recta frontal (de frente) do plano com 4 cm de afastamento. Para transformar o plano α num plano horizontal (de nível), há que ter em conta que um plano horizontal (de nível) é um caso particular dos planos projectantes frontais. Assim, em primeiro lugar há que transformar o plano α num plano projectante p l a n o 2) frontal, para o que se substituiu o Plano Frontal de Projecção (p pelo plano 4, ortogonal a α. Manteve-se o Plano Horizontal de Projecção (o plano 1), pelo que se mantiveram as projecções horizontais e as cotas dos pontos. O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do Plano Horizontal de Projecção (o plano 1 – o plano de projecção que se manteve) com o plano 4 e é perpendicular a hα. Note que hα), pois situa-se no se manteve, também, o traço horizontal do plano (h plano de projecção que se manteve. Tenha em conta que se conduziu o novo eixo X (o eixo X’) por A1, o que significa que, no novo diedro de projecção, A tem afastamento nulo – no entanto, o exposto não é uma A4, B4 e C4) condição essencial. As projecções de A, B e C no plano 4 (A determinaram-se em função das suas cotas, que se mantiveram. O traço do plano α no plano 4, f 4α, passa por A 4, B4 e C4 e é concorrente com hα no eixo X’ – no novo diedro de projecção, o plano α é, agora, um plano projectante frontal. Nesse sentido, note que bastaria determinar B 4, por exemplo, e, em seguida, conduzir f 4α por B 4 e concorrente com hα no eixo X’ – as projecções de A e C no plano 4 situar-se-iam necessariamente sobre f 4α, nas respectivas linhas de chamada (perpendiculares ao eixo X’). No novo diedro de projecção, o plano α já é um plano de topo (projectante frontal). Um plano horizontal (de nível) é um plano projectante frontal que é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção. plano 1) por um novo plano de projecção (o plano 5), paralelo a α e situado Assim, em seguida substituiu-se o Plano Horizontal de Projecção (p a 2 cm deste (a cota pretendida). O novo eixo X (o eixo X’’) é a recta de intersecção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a f 4α. Mantiveram-se A 5, B5 e C5) determinaas projecções no plano 4 e os afastamentos, agora referenciados ao plano 4. As projecções de A, B e C no plano 5 (A ram-se em função dos seus afastamentos, que se mantiveram. No diedro de projecção formado entre o plano 4 e o plano 5, o plano α é horiA BC] está no triângulo [A A 5B5C5]. zontal (de nível) com 2 cm de cota e não tem traço horizontal. A V.G. do triângulo [A

SOLUÇÕES

140. A B C], em função dos dados Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e desenharam-se as projecções do triângulo [A (ver relatório do exercício anterior). Para transformar o plano α num plano frontal (de frente), há que ter em conta que um plano frontal (de frente) é um caso particular dos planos projectantes horizontais. Assim, em primeiro lugar há que transformar o plano α num plano proplano 1) pelo plano 4, ortogonal a α. Manteve-se o Plano jectante horizontal, para o que se substituiu o Plano Horizontal de Projecção (p Frontal de Projecção (o plano 2), pelo que se mantiveram as projecções frontais e os afastamentos dos pontos. O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do Plano Frontal de Projecção (o plano 2 – o plano de projecção que se manteve) com o plano 4 e é perpendicular a f α. Note que se manteve, também, o traço frontal do plano (ff α), pois situa-se no plano de projecção que se manteve. As projecções de A, B e C no plano 4 (A A 4, B 4 e C4) determinaram-se em função dos seus afastamentos, que se mantiveram. O traço do plano α no plano 4, h4α, passa por A 4, B4 e C4 e é concorrente com f α no eixo X’ – no novo diedro de projecção, o plano α é, agora, um plano projectante horizontal. Nesse sentido, note que bastaria determinar B 4, por exemplo, e, em seguida, conduzir h4α por B 4 e concorrente com f α no eixo X’ – as projecções de A e C no plano 4 situar-se-iam necessariamente sobre h4α, nas respectivas linhas de chamada (perpendiculares ao eixo X’). No novo diedro de projecção, o plano α já é um plano vertical (projectante horizontal). Um plano frontal (de frente) é um plano projectante horizontal que é plano 2) por um novo plano de proparalelo ao Plano Frontal de Projecção. Assim, em seguida substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (p jecção (o plano 5), paralelo a α (note que não é pretendido nenhum afastamento em particular). O novo eixo X (o eixo X’’) é a recta de intersecção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a h 4α. Mantiveram-se as projecções no plano 4 e as cotas, agora referenciadas ao plano 4. A 5, B 5 e C5) determinaram-se em função das suas cotas, que se mantiveram. No diedro de projecAs projecções de A , B e C no plano 5 (A A B C] está no triângulo ção formado entre o plano 4 e o plano 5, o plano α é frontal (de frente) e não tem traço frontal. A V.G. do triângulo [A A 5B 5C5]. [A

141. Em primeiro lugar representou-se o plano γ, pelos seus traços, e desenhaA B C], em função dos dados. O plano γ ram-se as projecções do triângulo [A tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. A e B e C pertencem ao plano γ, pois pertencem a rectas do plano – A pertence a hγ (que é uma recta horizontal do plano com cota nula), B pertence a f γ (que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo) e C pertence a uma recta horizontal (de nível) do plano com 4 cm de cota. Para transformar o plano γ num plano frontal (de frente), há que ter em conta que um plano frontal (de frente) é um caso particular dos planos projectantes horizontais, o que consiste nos procedimentos efectuados no exercício anterior, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Note que o facto de o plano γ ter os seus traços coincidentes não altera em nada os procedimentos expostos naquele relatório. Note ainda que, uma vez que se pretende que o plano γ seja transformado num plano frontal (de frente) com 3 cm de afastamento, o plano 5 situa-se a 3 cm (o afastamento pretendido) de h4γ (o eixo X’’ situa-se a 3 cm de h4γ).

SOLUÇÕES

142. Em primeiro lugar representaram-se os pontos P e Q, pelas respectivas projecções. Em seguida, desenharam-se as projecções da recta r, a recta que passa por P e Q, e determinaram-se os seus traços – P é, imediatamente, o traço frontal de r. Pelos traços de r conduziram-se os traços homónimos do plano ρ. Os dados do exercício permitiram-nos, ainda, determinar a projecção frontal de R . Por R conduziu-se uma recta s, paralela a r e pertencente ao plano ρ, o que nos permitiu determinar a projecção horizontal de R e, em seguida, desenhar as P Q R]. Para transformar o plano ρ num plano projecções do triângulo [P frontal (de frente), há que ter em conta que um plano frontal (de frente) é um caso particular dos planos projectantes horizontais, o que consiste nos procedimentos efectuados no exercício 140, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Note que o facto de se tratar de um plano de rampa não altera em nada os procedimentos expostos naquele relatório. Note ainda que, uma vez que se pretende que o plano ρ seja transformado num plano frontal (de frente) com 2 cm de afastamento, o plano 5 situa-se a 2 cm (o afastamento pretendido) de h4ρ (o eixo X’’ situa-se a 2 cm de h4ρ).

143. Em primeiro lugar representaram-se os pontos P e Q, pelas respectivas projecções, determinaram-se os traços do plano ρ e desenharamP Q R] (ver relatório do exercício anterior). Para transformar o plano ρ num plano horizontal (de nível), há que -se as projecções do triângulo [P ter em conta que um plano horizontal (de nível) é um caso particular dos planos projectantes frontais, o que consiste nos procedimentos efectuados no exercício 139, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Note que o facto de se tratar de um plano de rampa não altera em nada os procedimentos expostos naquele relatório. Note ainda que, uma vez que se pretende que o plano ρ seja transformado num plano horizontal (de nível) com 1 cm de cota, o plano 5 situa-se a 1 cm (a cota pretendida) de f 4ρ (o eixo X’’ situa-se a 1 cm de f 4ρ).

144. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ (cujos traços estão coincidentes no eixo X), que está definido pelo eixo X e pelas projecções do ponto A. Os dados do enunciado permitem-nos, ainda, determinar B2, a projecção frontal de B, e C1 a projecção horizontal de C. Em seguida, recorreu-se a uma recta r, passante, tal que r 2 passa por A 2 e B2 – após determinar r 1 (definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X C2) e determinou-se a e por A 1), determinou-se B1, sobre r 1. A recta s é a recta a que se recorreu para determinar a projecção frontal de C (C partir da sua projecção horizontal, s1, por raciocínios semelhantes aos expostos para a recta r. A partir das projecções dos três pontos, (Continua na página seguinte) 42

SOLUÇÕES

desenharam-se as projecções do triânA B C]. Para transformar o plano ρ gulo [A num plano frontal (de frente), há que ter em conta que um plano frontal (de frente) é um caso particular dos planos projectantes horizontais, o que consiste nos procedimentos efectuados no exercício 140, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Note que o facto de se tratar de um plano de rampa passante não altera em nada os procedimentos expostos naquele relatório. Note ainda que, uma vez que se pretende que o plano ρ seja transformado num plano frontal (de frente) com 3 cm de afastamento, o plano 5 situa-se a 3 cm (o afastamento pretendido) de h4ρ (o eixo X’’ situa-se a 3 cm de h4ρ). Note ainda que se localizou o plano 5 de forma a evitar a sobreposição de traçados.

145. O processo da rotação consiste em, mantendo o diedro de projecção inicial, mudar a posição do objecto projectado, rodando-o em torno de uma recta (eixo de rotação), de forma a obter uma posição mais favorável do objecto para o estudo em curso, no diedro de projecção em que se situa. Nesse sentido, o objecto é rodado em torno de uma recta (um eixo), que tem de ser ortogonal a um dos planos de projecção (tem de ser projectante), até atingir a posição pretendida, mas mantendo fixa a sua posição em relação ao eixo.

146. Em primeiro lugar há que ter em conta que os arcos das rotações existem em planos o r t o g o n a i s aos respectivos eixos de rotação. Para efectuar uma rotação, há que desenhar os arcos de rotação dos pontos rodados, o que apenas se pode efectuar se aqueles se projectarem em verdadeira grandeza. Ora, para que os arcos de rotação se projectem em verdadeira grandeza, têm de estar contidos em plano paralelos aos planos de projecção – planos horizontais (de nível) ou planos frontais (de frente). Se os arcos estão contidos em planos frontais (de frente), e uma vez que os planos que contêm os arcos de rotação são ortogonais ao eixo de rotação, o eixo da rotação tem de ser uma recta de topo (projectante frontal). Se, por outro lado, os arcos estão contidos em planos horizontais (de nível), e atendendo mais uma vez que os planos que contêm os arcos de rotação são ortogonais ao eixo de rotação, o eixo da rotação tem de ser uma recta vertical (projectante horizontal). Assim, só se estudam as rotações em que os respectivos eixos de rotação são rectas projectantes.

147. a) Em primeiro lugar representaram-se os pontos A , M e N, pelas respectivas projecções. Em seguida conduziu-se, por M, uma recta vertical – a recta e, que é o eixo da rotação pretendida. Uma vez que se pretende rodar o ponto A em torno de um eixo vertical (projectante horizontal), o arco da rotação de A existe num plano ortogonal à recta e – um plano horizontal (de nível). O plano ν, horizontal (de nível), é, assim, o plano que contém o ponto A e que contém o arco da rotação a efectuar. O ponto O é o ponto de intersecção do plano ν com O苶 A é o raio do arco da rotação de A . o eixo e e é o centro do arco da rotação de A – 苶 Com o compasso, fazendo centro em O1 e raio até A 1, desenhou-se um arco com 80° de amplitude, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (que é a projec២ ção horizontal do arco A A ’), obtendo A’1 no seu extremo (sendo A’ o ponto A rodado). Uma vez que o arco da rotação de A está contido no plano ν, o ponto A mantém a sua cota na rotação, pelo que A’2 se situa sobre (ff ν), na linha de chamada de A’1. O ponto A’, definido pelas suas projecções, é o ponto A após a rotação pretendida. b) Pelo ponto N conduziu-se uma recta de topo – a recta e’, que é o eixo da rotação pretendida. Uma vez que se pretende rodar o ponto A’ em torno de um eixo de topo (projectante frontal), o arco da rotação de A’ existe num plano ortogonal à recta e’ – um plano frontal (de frente). O plano ϕ, frontal (de frente), é, assim, o plano que contém o ponto A’ e que contém o arco da rotação a efectuar. O ponto Q é o ponto de Q苶 A 苶’ é intersecção do plano ϕ com o eixo e’ e é o centro do arco da rotação de A’ – 苶 o raio do arco da rotação de A’. Com o compasso, fazendo centro em Q2 e raio até A’2, desenhou-se um arco com 120o de amplitude, no sentido dos ponteiros do reló២ gio (que é a projecção frontal do arco A’A’’), obtendo A’’2 no seu extremo (sendo A’’ o ponto A’ rodado). Uma vez que o arco da rotação de A’ está contido no plano ϕ, o hϕ), na ponto A’ mantém o seu afastamento na rotação, pelo que A’’1 se situa sobre (h linha de chamada de A’’2. O ponto A’’, definido pelas suas projecções, é o ponto A’ após a rotação pretendida.

SOLUÇÕES

148. A B], em função dos daEm primeiro lugar desenharam-se as projecções do segmento [A dos. Em seguida, teve-se em conta que uma recta vertical é um caso particular das rectas A B] num segmento frontal (de frontais (de frente). Assim, começou-se por transformar [A frente). São os afastamentos que se alteram (de forma a ficarem todos iguais), pelo que a rotação se processa em planos horizontais (de nível), pois mantêm-se as cotas – o eixo é uma recta vertical, qualquer, cujas projecções se desenharam imediatamente (recta e). Note que se localizou o eixo e, de forma a que B seja o ponto a rodar, mas o eixo poderia ter outra localização qualquer (seria necessário, nesse caso, determinar o ponto que permitiria rodar o segmento). Note que se omitiu a representação do centro da rotação de B (o ponto O, o ponto de intersecção de e com o plano horizontal que contém B), bem como a representação do plano horizontal (de nível) no qual existe o arco da rotação de B OB] (recorde que se omitiu a identificação do ponto O) é simultaneamente – o segmento [O A B] e a e. O ponto B rodou até a recta suporte de [A A1B1] ficar paralela ao perpendicular a [A O1B’1] é perpendicular ao eixo X). O ponto B eixo X (o ponto B’ é o ponto B rodado e [O manteve a sua cota, tal como A. Note que se omitiu a representação dos planos horizontais (de nível) que contêm os arcos da rotação de A e B, apesar de se ter recorrido a eles (através das paralelas ao eixo X que passam por A2 e B2). A1 rodou até encontrar a recta A’1B’1] (que é paralela ao eixo X e passa por B’1). [A A’B’] é o segmento [A A B] suporte de [A rodado e é frontal (de frente). Uma recta vertical é uma recta frontal (de frente) que é ortoA’B’] num segmento de gonal ao Plano Horizontal de Projecção. Assim, para transformar [A recta vertical, são as cotas que se alteram – a rotação do segmento processa-se num plano frontal (de frente), pelo que na rotação seguinte o eixo é de topo (o eixo e’ escolheu-se criteriosamente, de forma a ser A’ o ponto a rodar). O centro da rotação de A’ é Q (cuja representação se QA’] é simultaneamente perpendicular a [A A’B’] e a e’. O ponto A’ rodou até a recta suporte de [A A’2B’2] ficar perpendicular ao eixo X omitiu) – [Q Q2A’’2] é paralelo ao eixo X – recorde que se omitiu a identificação do ponto Q). O ponto A’ manteve o seu (o ponto A’’ é o ponto A’ rodado e [Q afastamento, tal como B’ (note que o plano frontal que contém o arco da rotação de A’ é o mesmo que contém o arco da rotação de B’ – é A’B’]). B’2 rodou até encontrar a recta suporte de [A A’’2B’’2] (que é perpendicular ao eixo X e passa por o plano frontal que contém o segmento [A A’’2). [A A’’B’’] é [A A’B’] rodado. Na sua nova posição, [A A B] é vertical e a sua V.G. é 苶 A苶’苶’苶B B苶’苶’苶. 2苶 2

149. MN], em função dos daEm primeiro lugar desenharam-se as projecções do segmento [M dos. A recta r é a recta suporte do segmento – r é paralela ao β2/4, pelo que as suas projecções são paralelas entre si. O ponto N é o ponto da recta r que tem 6 cm de afastamento. Em seguida, teve-se em conta que uma recta fronto-horizontal é simultaneamente um caso particular das rectas frontais (de frente) e um caso particular das rectas horizontais (de níMN] num segmento de recvel). Assim, em primeiro lugar há que transformar o segmento [M ta frontal (de frente) ou num segmento de recta horizontal (de nível). Optou-se pela primeira MN] num segmento frontal (de frente). São hipótese. Assim, começou-se por transformar [M os afastamentos que se alteram (de forma a ficarem todos iguais), pelo que a rotação se processa em planos horizontais (de nível), pois mantêm-se as cotas – o eixo é uma recta vertical, qualquer, cujas projecções se desenharam imediatamente (recta e). Note que se localizou o eixo e, de forma a que N seja o ponto a rodar. Note que se omitiu a representação do centro da rotação de N (o ponto O, o ponto de intersecção de e com o plano horizontal que contém N), bem como a representação do plano horizontal (de nível) no qual ON] (recorde que se omitiu a identificação do existe o arco da rotação de N – o segmento [O MN] e a e. O ponto N rodou até a recta ponto O) é simultaneamente perpendicular a [M M1N1] ficar paralela ao eixo X (o ponto N’ é o ponto N rodado e [O O1N’1] é persuporte de [M pendicular ao eixo X). O ponto N manteve a sua cota, tal como M. Note que se omitiu a representação dos planos horizontais (de nível) que contêm os arcos da rotação de M e N, apesar de ser ter recorrido a eles (através das paralelas ao eixo X que passam por M2 e N2). M1 rodou até encontrar a recta suporte de [M M’1N’1] (que é paralela ao eixo X e passa M’N’] é o segmento [M MN] rodado e é frontal (de frente). Uma recta fronto-horizontal é uma recta frontal (de frente) que é paralela ao por N’1). [M M’N’] num segmento de recta fronto-horizontal, são as cotas que se alteram – a rotaPlano Horizontal de Projecção – assim, para transformar [M ção do segmento processa-se num plano frontal (de frente), pelo que na rotação seguinte o eixo é de topo (o eixo e’ escolheu-se criteriosaQM’] é simultaneamente mente, de forma a ser M’ o ponto a rodar). O centro da rotação de M’ é Q (cuja representação se omitiu) – [Q M’N’] e a e’. O ponto M’ rodou até a recta suporte de [M M’2N’2] ficar paralela ao eixo X (o ponto M’’ é o ponto M’ rodado e perpendicular a [M Q2M’’2] é perpendicular ao eixo X – recorde que se omitiu a identificação do ponto Q). O ponto M’ manteve o seu afastamento, tal como N’ [Q (note que o plano frontal que contém o arco da rotação de M’ é o mesmo que contém o arco da rotação de N’ – é o plano frontal que contém o M’N’]). N’2 rodou até encontrar a recta suporte de [M M’’2N’’2] (que é paralela ao eixo X e passa por N’’2). [M M’’N’’] é [M M’N’] rodado. Na segmento [M MN] é fronto-horizontal e a sua V.G. é 苶 M苶’苶’苶N N苶’苶2 = 苶 M苶’苶’苶N N苶’苶. sua nova posição, [M 2苶 1苶 1

SOLUÇÕES

150. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta r, em função dos dados – a recta r é paralela ao β1/3, pelo que as suas projecções fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. Em seguida, teve-se em conta que uma recta de topo é um caso particular das rectas horizontais (de nível). Assim, começou-se por transformar a recta r numa recta horizontal (de nível). São as cotas que se alteram (de forma a ficarem todas iguais), pelo que a rotação se processa em planos frontais (de frente), pois mantêm-se os afastamentos – o eixo é uma recta de topo, qualquer, cujas projecções se desenharam imediatamente (recta e). Note que se localizou o eixo e de forma a que A seja o ponto a rodar. Note que se omitiu a representação do centro da rotação de A (o ponto O, o ponto de intersecção de e com o plano frontal que contém A ), bem como a representação do plano frontal (de frente) no qual existe o arco da O A] (recorde que se omitiu a identificação do ponto O) é rotação de A – o segmento [O simultaneamente perpendicular à recta r e ao eixo e. O ponto A rodou até r 2 ficar paraO2A’2] é perpendicular ao eixo X). lela ao eixo X (o ponto A’ é o ponto A rodado e [O O ponto A manteve o seu afastamento (tal como todos os pontos da recta r). Note que apesar de se ter omitido a representação do plano frontal (de frente) que contém o arco da rotação de A , se recorreu a ele (através da paralela ao eixo X que passa por A 1). Já temos a projecção frontal da recta r rodada – r’2 (r’ é a recta r rodada). Para definirmos uma recta necessitamos de dois pontos ou de um ponto e uma direcção. Assim, é necessário o recurso a um outro ponto da recta r, para definirmos r’1. O ponto escolhido foi o seu traço frontal – F. F2 rodou até encontrar r’2, mantendo-se o afastamento de F (que é nulo) – r’1 fica definida por A’1 e F’1. A recta r’ é a recta r rodada e é horizontal (de nível), na sua nova posição. Uma recta de topo é uma recta horizontal (de nível) que é ortogonal ao Plano Frontal de Projecção – assim, para transformar r’ numa recta de topo são os afastamentos que se alteram, mantendo-se as cotas. A rotação seguinte processa-se, assim, num plano horizontal (de nível) e o eixo é a recta e’, que é vertical (note que se escoQA’] é lheu e’ criteriosamente, de forma a A ’ ser o ponto a rodar). O centro da rotação de A ’ é Q (cuja representação se omitiu) – [Q simultaneamente perpendicular a r’ e a e’. O ponto A’ rodou até a recta r’1 ficar perpendicular ao eixo X – o ponto A’’ é o ponto A’ rodado e Q1A’’1] é paralelo ao eixo X. A’ manteve a sua cota na rotação efectuada. A recta r’’ é de topo e passa por A’’, não tendo sido necessária a [Q rotação de F’ para a determinação das projecções da recta na sua nova posição. A projecção frontal da recta é, agora, um ponto – a recta r’’ é a recta r’ rodada e é de topo (está definida por um ponto – A’’ – e uma direcção – é de topo).

151. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta s em função dos dados – a recta s é paralela ao β2/4, pelo que as suas projecções são paralelas entre si. Em seguida, teve-se em conta que uma recta fronto-horizontal é simultaneamente um caso particular das rectas frontais (de frente) e um caso particular das rectas horizontais (de nível). Assim, em primeiro lugar há que transformar a recta s numa recta frontal (de frente) ou numa recta horizontal (de nível). Optou-se pela primeira hipótese. Assim, começou-se por transformar a recta s numa recta frontal (de frente). São os afastamentos que se alteram (de forma a ficarem todos iguais), pelo que a rotação se processa em planos horizontais (de nível), pois mantêm-se as cotas – o eixo é uma recta vertical, qualquer, cujas projecções se desenharam imediatamente (recta e). Note que se localizou o eixo e de forma a que A seja o ponto a rodar. Note que se omitiu a representação do centro da rotação de A (o ponto O, o ponto de intersecção de e com o plano horizontal que contém A), bem como a representação do plano horizontal OA] (recorde que se omitiu a identifi(de nível) no qual existe o arco da rotação de A – o segmento [O cação do ponto O) é simultaneamente perpendicular à recta s e ao eixo e. O ponto A rodou até s1 O1A’1] é perpendicular ao eixo X). O ponto ficar paralela ao eixo X (o ponto A’ é o ponto A rodado e [O A manteve a sua cota (tal como todos os pontos da recta s). Note que apesar de se ter omitido a representação do plano horizontal (de nível) que contém o arco da rotação de A , se recorreu a ele (através da paralela ao eixo X que passa por A2). Já temos a projecção horizontal da recta s rodada – s’1 (s’ é a recta s rodada). Para definirmos uma recta necessitamos de dois pontos ou de um ponto e uma direcção. Assim, é necessário o recurso a um outro ponto da recta s, para definirmos s’2. O ponto escolhido foi um ponto B, qualquer. B1 rodou até encontrar s’1, mantendo-se a cota de B – s’2 fica definida por A’2 e B’2. A recta s’ é a recta s rodada e é frontal (de frente), na sua nova posição. Uma recta vertical é uma recta frontal (de frente) que é ortogonal ao Plano Horizontal de Projecção – assim, para transformar s’ numa recta vertical são as cotas que se alteram, mantendo-se os afastamentos. A rotação seguinte processa-se, assim, num plano frontal (de frente) e o eixo é a recta e’, que é de topo (note que se escolheu e’ criteriosamente, de forma a A’ ser o ponto a rodar). O centro QA’] é simultaneamente perpendicular a s’ e a e’. O ponto A’ rodou até a recta s’2 ficar da rotação de A’ é Q (cuja representação se omitiu) – [Q Q2A’’2] é perpendicular ao eixo X. A’ manteve o seu afastamento na rotação efectuada. paralela ao eixo X – o ponto A’’ é o ponto A’ rodado e [Q A recta s’’ é fronto-horizontal e passa por A’’, não tendo sido necessária a rotação de B’ para a determinação das projecções da recta na sua nova posição. A projecção horizontal da recta s’’ está coincidente com s’1, pois a rotação processou-se no plano frontal (de frente) que contém a A’’) e por uma direcção (é fronto-horizontal). recta s’ – a recta s’’ está definida por um ponto (A

152. Em primeiro lugar representou-se a recta v, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para transformar a recta v numa recta oblíqua, há que efectuar os raciocínios expostos no relatório do exercício 148 por ordem inversa. Assim, uma vez que uma recta vertical é um caso particular das rectas frontais (de frente), em primeiro lugar há que transformar a recta v numa recta frontal (de frente) – uma recta frontal (de frente) é paralela ao Plano Frontal de Projecção e oblíqua ao Plano Horizontal de Projecção. Assim, começou-se por transformar a recta v numa recta frontal (de frente). São as cotas que se alteram – note que para transformar uma recta vertical numa recta frontal (de frente), os afastamentos (Continua na página seguinte) 45

SOLUÇÕES

mantêm-se, pois ambas as rectas são paralelas ao Plano Frontal de Projecção. A rotação processa-se, assim, em planos frontais (de frente) – a rotação processa-se no plano frontal (de frente) que contém a recta e o eixo é uma recta vertical qualquer, cujas projecções se desenharam imediatamente (recta e). O ponto A é o ponto que nos permite rodar a recta – o ponto A é o ponto da recta tal que o OA] (sendo O o centro do arco da rotação de A) é simultaneamente perpendicular à recta segmento [O v e ao eixo e. Note que se omitiu a representação do ponto O (que é o ponto de intersecção de e com o plano horizontal que contém A), bem como a representação do próprio plano horizontal (de nível) no qual existe o arco da rotação de A. O ponto A rodou até v2 ficar oblíqua ao eixo X (o ponto A’ é o O1A’1] é oblíquo ao eixo X). Note que a obliquidade da recta v’2 em relação ao eixo ponto A rodado e [O X pode ser uma qualquer. Ao longo da rotação, o ponto A manteve o seu afastamento (tal como todos os pontos da recta v). Note que apesar de se ter omitido a representação do plano horizontal (de nível) que contém o arco da rotação de A, se recorreu a ele (através da paralela ao eixo X que passa por A2). Já temos a projecção frontal da recta v rodada – v’2 (v’ é a recta v rodada). Por outro lado, uma vez que a recta v’, após a rotação, é uma recta frontal (de frente), não é necessário qualquer outro ponto da recta, pois é possível desenhar imediatamente v’1 (v’1 passa por A’1 e é paralela ao eixo X, pois a recta v’ é paralela ao Plano Frontal de Projecção). No entanto, com vista à determinação das projecções da recta após a segunda rotação, optou-se por rodar um outro ponto da recta – o ponto B. B2 rodou até encontrar v’2, mantendo-se o afastamento de B – B’1 situa-se sobre v’1. A recta v’ é a recta v rodada e é frontal (de frente), na sua nova posição. Em seguida, para transfomar a recta v’ numa recta oblíqua (que é oblíqua ao Plano Frontal de Projecção), as alterações processam-se ao nível dos afastamentos (mantendo--se as cotas) – a rotação processa-se, assim, em planos horizontais (de nível), pelo que o segundo eixo de rotação terá de ser uma recta vertical. Desenharam-se as projecções de um eixo vertical e’, qualquer – note que se localizou criteriosamente o eixo e’ de forma a que o QB’] é ponto B’ seja o ponto a rodar. O centro da rotação de B’ é Q (cuja representação se omitiu) – [Q simultaneamente perpendicular a v’ e a e’. O ponto B’ rodou até a recta v’1 fazer, com o eixo X, um ângulo de 45o (a.d.) – o ângulo pretendido. QB’] tem de fazer um ângulo de 45o (a.e.) com o eixo X em projecção horizontal – o ponto B’’ é o Note que, para que tal se verifique, o segmento [Q Q1B’’1] faz, com o eixo X, um ângulo de 45o (a.e.). A projecção horizontal da recta v’’ (a recta v’ rodada) passa por B’’1 e é perponto B’ rodado e [Q Q1B’’1], pelo que faz, com o eixo X, um ângulo de 45o (a.d.) – o ângulo pretendido. B’ manteve a sua cota na rotação efectuada. A pendicular a [Q recta v’’ é oblíqua e passa por B’’, mas para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. É necessário, então, rodar um outro ponto da recta – o ponto A’. A’ rodou em torno de e’ até A’1 se situar sobre v’’1, onde se situa A’’1. O ponto A, ao longo da sua rotaA’’ é o ponto A rodado). A projecção frontal da recta v’ na sua nova posição (v’’2) está ção, manteve a sua cota, o que nos permitiu determinar A’’2 (A definida por A’’2 e B’’2 – a recta v é, agora, uma recta oblíqua cuja projecção horizontal faz um ângulo de 45o (a.d.) com o eixo X.

153. Em primeiro lugar representou-se a recta p, pelas suas projecções, em função dos dados – A e B). Em seguida, teve-se em conta que uma reca recta p está definida por dois pontos (A ta de topo é um caso particular das rectas horizontais (de nível). Assim, começou-se por transformar a recta p numa recta horizontal (de nível). São as cotas que se alteram (de forma a ficarem todas iguais), pelo que a rotação se processa em planos frontais (de frente), pois mantêm-se os afastamentos – o eixo é uma recta de topo, qualquer, cujas projecções se desenharam imediatamente (recta e). Note que se localizou o eixo e de forma a que o ponto A seja o ponto a rodar. Note que se omitiu a representação do centro da rotação de A (o ponto O, o ponto de intersecção de e com o plano frontal que contém A ), bem como a representação do plano frontal (de frente) no qual existe o arco da rotação de A – o segO A] (recorde que se omitiu a identificação do ponto O) é simultaneamente permento [O pendicular à recta p e ao eixo e. O ponto A rodou até p2 ficar paralela ao eixo X (o ponto A’ O2A’2] é perpendicular ao eixo X). O ponto A manteve o seu afastaé o ponto A rodado e [O mento (tal como todos os pontos da recta p). Note que apesar de se ter omitido a representação do plano frontal (de frente) que contém o arco da rotação de A , se recorreu a ele (através da paralela ao eixo X que passa por A 1). Já temos a projecção frontal da recta p rodada – p’2 (p’ é a recta p rodada). Para definirmos uma recta necessitamos de dois pontos ou de um ponto e uma direcção. Assim, é necessário o recurso a um outro ponto da recta p, para definirmos p’1 – o ponto B. B 2 rodou até encontrar p’2, mantendo-se o afastamento de B – p’1 fica definida por A’1 e B’1. A recta p’ é a recta p rodada e é horizontal (de nível), na sua nova posição. Uma recta de topo é uma recta horizontal (de nível) que é ortogonal ao Plano Frontal de Projecção – assim, para transformar p’ numa recta de topo são os afastamentos que se alteram, mantendo-se as cotas. A rotação seguinte processa-se, assim, num plano horizontal (de nível) e o eixo é a recta e’, que é vertical (note que se localizou e’ criteriosamente, de forma a que o ponto B’ seja o ponto a rodar). O centro da rotação de B’ é Q (cuja representação se omitiu) – QB’] é simultaneamente perpendicular a p’ e a e’. O ponto B’ rodou até a recta p’1 ficar perpendicular ao eixo X – o ponto B’’ é o ponto B’ [Q Q1B’’1] é paralelo ao eixo X. B’ manteve a sua cota na rotação efectuada. A recta p’’ é de topo e passa por B’’, não sendo necesrodado e [Q sária a rotação de A’ para a determinação das projecções da recta na sua nova posição. No entanto, optou-se por efectuar a rotação de A’ – A’1 rodou até encontrar p’’1, sendo que manteve a sua cota, pelo que se tem A’’1 ≡ B’’1. A projecção frontal da recta é, agora, um ponto – a recta p’’ é a recta p’ rodada e é de topo.

SOLUÇÕES

154. Em primeiro lugar representou-se a recta p, pelas suas projecções, em função A e B). Uma recta fronto-horidos dados – a recta p está definida por dois pontos (A zontal é simultaneamente um caso particular das rectas frontais (de frente) e das rectas horizontais (de nível), pelo que, em primeiro lugar, há que transformar a recta p numa recta frontal (de frente) ou numa recta horizontal (de nível). Optou-se pela primeira hipótese. Assim, começou-se por transformar a recta p numa recta frontal (de frente). São os afastamentos que se alteram (de forma a ficarem todos iguais), pelo que a rotação se processa em planos horizontais (de nível), pois mantêm-se as cotas – o eixo é uma recta vertical, qualquer, cujas projecções se desenharam imediatamente (recta e). Note que se localizou o eixo e de forma a que o ponto B seja o ponto a rodar. Note que se omitiu a representação do centro da rotação de B (o ponto O, o ponto de intersecção de e com o plano horizontal que contém A), bem como a representação do plano horizontal (de nível) no qual OB] (recorde que se omitiu a identifiexiste o arco da rotação de B – o segmento [O cação do ponto O) é simultaneamente perpendicular à recta p e ao eixo e. O ponO1B’1] to B rodou até p1 ficar paralela ao eixo X (o ponto B’ é o ponto B rodado e [O é perpendicular ao eixo X). O ponto B manteve a sua cota (tal como todos os pontos da recta p). Note que apesar de se ter omitido a representação do plano horizontal (de nível) que contém o arco da rotação de B, se recorreu a ele (através da paralela ao eixo X que passa por B2). Já temos a projecção horizontal da recta p rodada – p’1 (p’ é a recta p rodada). Para definirmos uma recta necessitamos de dois pontos ou de um ponto e uma direcção. Assim, é necessário o recurso a um outro ponto da recta p, para definirmos p’2 – o ponto A. A1 rodou até encontrar p’1, mantendo-se a cota de A – p’2 fica definida por A’2 e B’2. A recta p’ é a recta p rodada e é frontal (de frente), na sua nova posição. Uma recta fronto-horizontal é uma recta frontal (de frente) que é paralela ao Plano Horizontal de Projecção – assim, para transformar p’ numa recta fronto-horizontal são as cotas que se alteram, mantendo-se os afastamentos. A rotação seguinte processa-se, assim, num plano frontal (de frente) e o eixo é a recta e’, que é de topo (note que se escolheu e’ criteriosamente, de forma a que o ponto B’ seja o ponto a rodar). O cenQB’] é simultaneamente perpendicular a p’ e a e’. O ponto B’ rodou até a recta p’2 ficar tro da rotação de B’ é Q (cuja representação se omitiu) – [Q Q2B’’2] é perpendicular ao eixo X. B’ manteve o seu afastamento na rotação efectuada. paralela ao eixo X – o ponto B’’ é o ponto B’ rodado e [Q A recta p’’ é fronto-horizontal e passa por B’’, não sendo necessária a rotação de A’ para a determinação das projecções da recta na sua nova posição. No entanto, optou-se por efectuar a rotação de A’ – A’2 rodou até encontrar p’’2, sendo que manteve o seu afastamento. A projecção horizontal da recta p’’ está coincidente com p’1, pois a rotação processou-se no plano frontal (de frente) que contém a recta p’ – a recta p’’ é fronto-horizontal.

155. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A, B e C, pelas respectivas projecções, e desenharam-se as projecções do A BC]. Para determinar os traços do plano definido triângulo [A pelos três pontos conduziu-se, por A e C, uma recta frontal (de frente), que não se identificou (para evitar a complexidade da resolução gráfica final), e determinou-se o seu traço horizontal. Em seguida, por A e B conduziu-se uma recta horizontal (de nível), que pelos mesmos motivos também não se identificou, e determinou-se o seu traço frontal. O traço frontal do plano, fα, passa pelo traço frontal da recta A B e é paralelo à recta A C. O traço horizontal do plano, hα, passa pelo traço horizontal da recta A C, é concorrente com fα no eixo X e é paralelo à recta A B. Em seguida, para transformar o plano α num plano frontal (de frente), teve-se em conta que um plano frontal (de frente) é um caso particular dos planos projectantes horizontais. Nesse sentido, começou-se por transformar o plano α num plano projectante horizontal (vertical) – as rectas frontais (de frente) de um plano vertical são verticais, pelo que fα tem de ficar perpendicular ao eixo X (vertical). Os afastamentos mantêm-se, pelo que a rotação se processa em planos frontais (de frente) – o eixo da rotação, e, é uma recta de topo qualquer (por economia de traçados optou-se por conduzir o eixo de rotação e pelo ponto A). O ponto P é o ponto de fα que nos permite roOP] é simultaneamente perpendicudar o plano. O segmento [O lar a fα e a e – O é o ponto de intersecção de e com o plano frontal (de frente) que contém o arco da rotação de P (o próprio Plano Frontal de Projecção) e é o centro da rotação de P, que não se identificou. OP] (recorde que não se identificou o ponto O, que é o traço frontal de e) ficar paralelo ao eixo X – f’α que é perpendicular O ponto P rodou até [O OP], fica perpendicular ao eixo X e passa por P’ (P P’ é o ponto P rodado). Note que não se determinaram P1 e P’1, as projecções horizontais a [O de P e P’ que se situam no eixo X, por não serem necessárias. A’ ≡ A, pois A é um ponto do eixo da rotação (roda sobre si próprio, pois é fixo). O novo traço horizontal de α, h’α, é concorrente com f’α no eixo X e contém A’1, pois α, após a rotação, é projectante horizontal (é vertical). (Continua na página seguinte) 47

SOLUÇÕES

Os pontos B e C mantêm os afastamentos na sua rotação, o que nos permite determinar B’1 e C’1 sobre h’α, pela respectiva translação ao longo dos planos frontais (de frente) que contêm os respectivos arcos de rotação. B2 e C2 rodaram até às respectivas linhas de chamada (a amplitude da rotação de B2 e C2 é igual à da rotação de P2). Um plano frontal (de frente) é um plano projectante horizontal que é paralelo ao Plano Frontal de Projecção. Assim, na rotação seguinte, com vista a transformar o plano α num plano paralelo ao Plano Frontal de Projecção, as alterações processam-se ao nível dos afastamentos – a rotação processa-se, pois, em planos horizontais (de nível), pelo que o eixo é vertical. O segundo QA’] é perpendicular a α e a e’ (Q Q é o centro da rotação de A’ e não se eixo de rotação, e’, escolheu-se por forma a ser A’ o ponto a rodar – [Q QA’’] ficar perpenidentificou – Q é o ponto de intersecção do eixo e’ com o plano horizontal que contém o arco da rotação de A’). A’ rodou até [Q h’’α) ficou paralelo ao eixo X. O plano α é, agora, frontal (de frente) e não tem traço frontal. B’1 e C’1 dicular ao eixo X – h’α, na sua nova posição (h h’’α), obtendo-se B’’1 e C’’1. B’2 e C’2 mantiveram as suas cotas, o que nos permitiu determinar B’’2 e C’’2 nas linhas de chamada rodaram até (h A BC] está no triânde B’’1 e C’’1, respectivamente. O plano α, na sua nova posição, é um plano frontal (de frente), pelo que a V.G. do triângulo [A A’’2B’’2C’’2]. gulo [A

156. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A , B e C, pelas respectivas projecções, e desenharam-se as A B C]. Os traços do plano projecções do triângulo [A determinaram-se conforme exposto no relatório do exercício anterior. Em seguida, para transformar o plano α num plano horizontal (de nível), teve-se em conta que um plano horizontal (de nível) é um caso particular dos planos projectantes frontais. Nesse sentido, começou-se por transformar o plano α num plano projectante frontal (de topo) – as rectas horizontais (de nível) de um plano de topo são de topo, pelo que hα tem de ficar perpendicular ao eixo X (de topo). As cotas mantêm-se, pelo que a rotação se processa em planos horizontais (de nível) – o eixo da rotação, e, é uma recta vertical qualquer (por economia de traçados optou-se por conduzir o eixo de rotação e pelo ponto A ). O ponto P é o ponto de hα O P] é que nos permite rodar o plano. O segmento [O simultaneamente perpendicular a hα e a e – O é o ponto de intersecção de e com o plano horizontal (de nível) que contém o arco da rotação de P (o próprio Plano Horizontal de Projecção) e é o centro da rotação de P , que não se identificou. O ponto P rodou até OP] (recorde que não se identificou o ponto O, que é [O o traço horizontal de e) ficar paralelo ao eixo X – h’α, OP], fica perpendicular ao eixo que é perpendicular a [O X e passa por P’ (P P’ é o ponto P rodado). Note que não se determinaram P2 e P’2, as projecções frontais de P e P’ que se situam no eixo X, por não serem necessárias. A ’≡ A, pois A é um ponto do eixo da rotação (roda sobre si próprio, pois é fixo). O novo traço frontal de α, f’α, é concorrente com h’α no eixo X e contém A’2, pois α, após a rotação, é projectante frontal (é de topo). Os pontos B e C mantêm as cotas na sua rotação, o que nos permite determinar B’2 e C’2 sobre f ’α, pela respectiva translação ao longo dos planos horizontais (de nível) que contêm os respectivos arcos de rotação. B 1 e C1 rodaram até às respectivas linhas de chamada (a amplitude da rotação de B 1 e C1 é igual à da rotação de P1). Um plano horizontal (de nível) é um plano projectante frontal que é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção. Assim, na rotação seguinte, com vista a transformar o plano α num plano paralelo ao Plano Horizontal de Projecção, as alterações processam-se ao nível das cotas – a rotação processa-se, pois, em plaQC’] é nos frontais (de frente), pelo que o eixo é de topo. O segundo eixo de rotação, e’, escolheu-se por forma a ser C’ o ponto a rodar – [Q Q é o centro da rotação de C’ e não se identificou – Q é o ponto de intersecção do eixo e’ com o plano frontal que perpendicular a α e a e’ (Q QC’’] ficar perpendicular ao eixo X – f ’α, na sua nova posição (ff’’α) ficou paralelo ao eixo X. contém o arco da rotação de C’). C’ rodou até [Q O plano α é, agora, horizontal (de nível) e não tem traço horizontal. A’2 e B’2 rodaram até (ff’’α), obtendo-se A’’2 e B’’2. A’2 e B’2 mantiveram os seus afastamentos, o que nos permitiu determinar A’’1 e B’’1 nas linhas de chamada de A’’2 e B’’2, respectivamente. O plano α, na sua A B C] está no triângulo [A A’’1B’’1C’’1]. nova posição, é um plano horizontal (de nível), pelo que a V.G. do triângulo [A

157. a) Em primeiro lugar representaram-se os pontos P e Q, pelas respectivas projecções. Em seguida, desenharam-se as projecções de uma recta r, a recta que passa por P e Q (que não se identificou) e determinaram-se os seus traços – P é, imediatamente, o traço frontal da recta (note que não se identificou o traço horizontal da recta). Pelos traços da recta PQ conduziram-se os traços homónimos do plano ρ. Os dados do exercício permitiram-nos, ainda, determinar a projecção frontal de R . Por R conduziu-se uma recta s (que também não se identificou), paralela à recta PQ e pertencente ao plano ρ, o que nos permitiu determinar a projecção horizontal de R e, em seguida, deP Q R]. senhar as projecções do triângulo [P b) Para transformar o plano ρ num plano frontal (de frente), há que ter em conta que um plano frontal (de frente) é um caso particular dos planos projectantes horizontais, o que consiste nos procedimentos efectuados no exercício 155, pelo que se aconselha a leitura do (Continua na página seguinte) 48

SOLUÇÕES

respectivo relatório. Note que o facto de se tratar de um plano de rampa não altera em nada os procedimentos expostos naquele relatório. O primeiro eixo de rotação é a recta de topo e, que contém o ponto Q (por uma questão de economia de traçados) – Q’ ≡ Q, pois Q situa-se no eixo de rotação (roda sobre si próprio). O ponto A é o ponto de f ρ que nos permite rodar f ρ. O segundo eixo de rotação é a recta vertical e’, que se localizou de forma a ser o ponto R’ o ponto a rodar. Após a segunda rotação, o plano ρ é um plano frontal (de frente), pelo que a V.G. P Q R] está do triângulo [P P’’2Q’’2R’’2]. do triângulo [P

158.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos P e Q, pelas respectivas projecções. Em seguida, determinaram-se os traços do plano ρ e as projecções do ponto R e do triângulo (ver alínea a) do relatório do exercício anterior). Em seguida, para transformar o plano ρ num plano horizontal (de nível), há que ter em conta que um plano horizontal (de nível) é um caso particular dos planos projectantes frontais, o que consiste nos procedimentos efectuados no exercício 156, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Note que o facto de se tratar de um plano de rampa não altera em nada os procedimentos expostos naquele relatório. O primeiro eixo de rotação é a recta vertical e, que contém o ponto P (por uma questão de economia de traçados) – P’ ≡ P, pois P situa-se no eixo de rotação (roda sobre si próprio). O ponto A é o ponto de hρ que nos permite rodar hρ. O segundo eixo de rotação é a recta de topo e’, que se localizou de forma a ser o ponto Q’ o ponto a rodar. Após a segunda rotação, o plano ρ é um plano horizontal (de nível), pelo que a V.G. do PQR] está do triângulo [P P’’1Q’’1R’’1]. triângulo [P

159. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ (cujos traços estão coincidentes no eixo X), que está definido pelo eixo X e pelas projecções do ponto P. Os dados do enunciado permitem-nos, ainda, determinar Q1, a projecção horizontal de Q, e R 2 a projecção frontal de R. Em seguida recorreu-se a uma recta r, passante, tal que r1 passa por P1 e Q1 – após determinar r2 (definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X e por P2), determinou-se Q2, sobre r2. A recta s é a recta a que R1) e se recorreu para determinar a projecção horizontal de R (R determinou-se a partir da sua projecção frontal, s2, por raciocínios semelhantes aos expostos para a recta r. A partir das projecções dos três pontos, desenharam-se as projecções do PQR]. Para transformar o plano ρ num plano frontal triângulo [P (de frente), há que ter em conta que um plano frontal (de frente) é um caso particular dos planos projectantes horizontais, o que consiste nos procedimentos efectuados no exercício 155, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Note que o facto de se tratar de um plano passante não altera em nada os procedimentos expostos naquele relatório. O primeiro eixo de rotação é a recta de topo e, que contém o ponto R (por uma questão de economia de traçados) – R’ ≡ R, pois R situa-se no eixo de rotação (roda sobre si próprio). O ponto A, do eixo X, é o ponto de fρ que nos permite rodar fρ. O segundo eixo de rotação é a recta vertical e’, que se localizou de forma a ser o ponto R’ o ponto a rodar. Após a segunda PQR] está do triângulo [P P’’2Q’’2R’’2]. rotação, o plano ρ é um plano frontal (de frente), pelo que a V.G. do triângulo [P

SOLUÇÕES

160. A afirmação é verdadeira. Um rebatimento consiste efectivamente na rotação de um plano em torno de uma das suas rectas – o eixo da rotação, no caso dos rebatimentos, é complanar com o plano a rodar e chama-se charneira (ou eixo) do rebatimento.

161. a) Rebatendo o plano para o Plano Horizontal de Projecção, a charneira do rebatimento é o traço horizontal do plano – o arco do rebatimento existe num plano ortogonal à charneira do rebatimento. Uma vez que o traço horizontal do plano é uma recta horizontal (de nível) do plano, o arco do rebatimento desse ponto está, assim, contido num plano vertical que é ortogonal ao traço horizontal do plano e que contém o ponto. O centro do arco do rebatimento desse ponto, por sua vez, situa-se necessariamente na charneira do rebatimento – uma vez que o arco do rebatimento existe num plano que contém o ponto e é ortogonal à charneira do rebatimento, o centro do arco do rebatimento é, então, o ponto de intersecção da charneira do rebatimento com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento desse ponto. b) A distância que nos permite rebater o ponto é o raio do arco do rebatimento e é a distância do ponto (a rebater) ao centro do arco do seu rebatimento.

162. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e desenharam-se A BC], contido no plano, em função dos dados. A e B as projecções do triângulo [A e C pertencem ao plano α, pois pertencem a rectas do plano – A pertence a f α (que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo) e B e C pertencem a uma recta frontal (de frente) do plano com 4 cm de afastamento. Em seguida, para determinar a V.G. do triângulo, rebateu-se o plano α para o Plano Frontal de Projecção (a charneira é f α, que se identificou imediatamente – f α ≡ e2 ≡ f αr), conforme é expressamente pedido no enunciado. Note que A é um ponto de f α, que é a charneira, pelo que se tem imediatamente Ar ≡ A2. Rebateu-se hα rebatendo H (o traço horizontal da recta f, a recta frontal (de frente) a que se recorreu para determinar as projecções dos pontos B e C) ao longo de θ, o plano ortogonal a fα que contém o arco do rebatimento de H (o plano θ, o plano ortogonal a fα que contém o arco do rebatimento de H, é um plano de topo que se representou apenas pelo seu traço frontal, razão pela qual este se assinalou entre parêntesis). O ponto M é o ponto de concorrência dos dois traços do plano e é fixo, pois pertence à charneira. H苶1 para (ff θ), obtendo Hr – hαr está definido M苶H Com centro em M, transportou-se 苶 1苶 por Hr e Mr. Por Hr conduziu-se fr, paralela a f αr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traços frontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento) – Br e Cr estão sobre fr, nas respectivas perpendiculares a f αr que passam por B2 e C2. Note que as perpendiculares a f α que passam por B2 e C2 correspondem aos traços frontais dos planos ortogonais a f α (planos de topo) que contêm os arcos do rebatimento de B e C, mas que não se identificaram. Tenha em conta que B e C são dois pontos da recta f pelo que, em rebatimento, Br e Cr são também dois A rBrCr], que é a V.G. do triângulo [A A BC]. pontos da recta fr (que é a recta f rebatida). A partir de A r, Br e Cr, desenhou-se o triângulo [A

163. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e desenhaA BC], contido no plano, em função dos ram-se as projecções do triângulo [A dados (ver relatório do exercício anterior). Em seguida, para determinar a V.G. do triângulo, rebateu-se o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hα, que se identificou imediatamente – hα ≡ e1 ≡ hαr), conforme é expressamente pedido no enunciado. Rebateu-se fα rebatendo A (que é um ponto de fα) ao longo do plano ortogonal a hα que contém o arco do rebatimento de A (note que não se identificou o plano que contém o arco do rebatimento do ponto A, que é um plano vertical). O ponto M é o ponto de concorrência dos dois traços do plano e é fixo, pois pertence à charneira. M苶A A苶2 para a perpendicular à charneira que Com centro em M, transportou-se 苶 2苶 passa por A1 (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de A), obtendo Ar – fαr está definido por Ar e Mr. H, o traço horizontal da recta f (a recta que nos permitiu determinar as projecções de B e C) é um ponto da charneira, pelo que é fixo (roda sobre si próprio) – tem-se, imediatamente, H1 ≡ Hr. Por Hr conduziu-se fr, paralela a fαr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traços frontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento) – Br e Cr estão sobre fr, nas respectivas perpendiculares a hαr que passam por B1 e C1. Note que as perpendiculares a hα que passam por B1 e C1 correspondem aos traços horizontais dos planos ortogonais a hα (planos verticais) que contêm os arcos do rebatimento de B e C, mas que não se identificaram. Tenha em conta que B e C são dois pontos da recta f pelo que, em rebatimento, B r e Cr são também dois pontos da recta f r (que é a recta f A r B r Cr], que é a V.G. do triângulo [A A B C]. rebatida). A partir de A r, B r e Cr, desenhou-se o triângulo [A

SOLUÇÕES

164. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e desenhaA BC], contido no plano, em função dos ram-se as projecções do triângulo [A dados (ver relatório do exercício 162). Rebateu-se o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hα, que se identificou imediatamente – hα ≡ e1 ≡ hαr), conforme é expressamente pedido no enunciado. Rebateu-se o ponto A conduzindo, por A 1, uma perpendicular a hα (que é o traço horizontal do plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de A – o plano θ, representado apenas pelo seu traço horizontal, razão pela qual se assinalou entre parêntesis). O centro do arco do rebatimento de A é O, que é o ponto de intersecção de hα com θ. O triângulo do A A1O], que está contido em θ rebatimento de A (no espaço) é o triângulo [A OA], que é o raio do arco do rebatimento. O raio do e a sua hipotenusa é [O arco do rebatimento não se projecta em V.G., pelo que é necessário efectuar um rebatimento do plano θ – sobre uma paralela à charneira passando por A 1, representou-se a cota de A, obtendo-se A r1. O triângulo do rebatiOAr1A 1] e a V.G. do raio do arco do rebatimento de mento de A, em V.G., é [O A苶r苶. Aé苶 O苶 Com o compasso, fazendo centro em O e raio até A r1, transpor1 hθ), obtendo-se A r. O procedimento foi idêntico para B. tou-se 苶 O苶 A苶r苶1 para (h O arco do rebatimento de B está contido num outro plano ortogonal a hα (que não se identificou) e o seu centro é Q. O triângulo do rebatimento de B, QBr1B1] e o raio do arco do rebatimento de B, em V.G., é 苶 Q苶 B苶r苶. em V.G., é [Q 1 Note que as hipotenusas dos triângulos do rebatimento de A e B são paralelas entre si. O procedimento foi idêntico para o ponto C, o que nos permitiu determinar Cr (e constata-se que as hipotenusas dos três triângulos do A BC] está no triânrebatimento são paralelas entre si). A V.G. do triângulo [A A rBrCr]. gulo [A

165. a) Em primeiro lugar representou-se o plano γ, pelos seus traços, e A BC], contido em γ, pelas suas projecções, em funo triângulo [A ção dos dados. O plano γ é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coincidentes. O ponto A pertence a hγ, que é uma recta horizontal do plano com cota nula. A recta h, horizontal (de nível), com 3 cm de cota, foi a recta do plano a que se recorreu para determinar as projecções de B. A recta h’, horizontal (de nível), com 5 cm de cota, foi a recta do plano a que se recorreu para determinar as projecções de C. Em seguida, para determinar a V.G. do triângulo, rebateu-se o plano γ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é h γ , que se identificou imediatamente – hγ ≡ e1 ≡ hγr), conforme é expressamente pedido no enunciado. Note que se trata de uma situação idêntica à do exercício 163, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. De facto, a diferença entre as duas situações reside, apenas, no facto de o plano γ ter os seus traços coincidentes, mas tal não deverá ser factor de diferença entre os dois exercícios, uma vez que se mantêm todos os raciocínios expostos naquele relatório (os traços do plano γ são duas rectas, à semelhança da situação do exercício 163). O ponto que nos permitiu rebater f γ foi F’, o traço frontal da recta h’ – f γr está definido por F’r e pelo ponto de concorrência dos dois traços do plano, que é fixo. A recta h’r (a recta h’ rebatida) passa por F’r e é paralela a hγr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento). O ponto Cr situa-se sobre h’r, na perpendicular à charneira que passa por C1 (é o ponto de intersecção de h’r com a perpendicular à charneira que passa por C1). Note que a perpendicular à charneira que passa por C1 corresponde ao traço horizontal do plano ortogonal à F é o traço frontal da recta h) conduziu-se uma perpendicular charneira (um plano vertical) que contém o arco do rebatimento de C. Por F1 (F à charneira – o ponto de intersecção desta com f γr é Fr (a perpendicular à charneira que passa por F1 corresponde ao plano ortogonal à B é um ponto da recta h) charneira que contém o arco do rebatimento de F). Por Fr conduziu-se hr, paralela a hγr (e a h’r). Br situa-se sobre hr (B na perpendicular à charneira que passa por B1 (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de B). Note que, uma vez que o ponto A se situa na charneira do rebatimento (é um ponto de hγ), se tem imediatamente A r ≡ A 1 (o ponto A roda sobre si próprio). b) As vantagens do rebatimento efectuado em relação ao rebatimento do plano γ para o Plano Frontal de Projecção têm a ver com economia de traçados, pois sendo o ponto A um ponto da charneira, que fica imediatamente rebatido (roda sobre si próprio), para rebater o plano é necessário rebater, apenas, dois dos seus pontos – os pontos B e C. De facto, caso se tivesse efectuado o rebatimento do plano γ para o Plano Frontal de Projecção, seria necessário rebater os três pontos – A, B e C.

SOLUÇÕES

166. a) Em primeiro lugar representou-se o plano θ, pelos seus traços, e o triânP Q R], contido em θ, pelas suas projecções, em função dos dados. gulo [P O plano θ é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação ao eixo X. A recta f, frontal (de frente), com 3 cm de afastamento, foi a recta do plano a que se recorreu para determinar as projecções do ponto P. A recta h, horizontal (de nível), com 2 cm de cota, foi a recta do plano a que se recorreu para determinar as projecções do ponto Q – a recQ R] do triângulo, que se projecta ta h é também a recta suporte do lado [Q em V.G. no Plano Horizontal de Projecção. Assim, a partir de Q1, sobre h1, Q R]) e determinaram-se as mediram-se os 5 cm (o comprimento do lado [Q projecções de R , sobre as projecções homónimas da recta h. Em seguida, P Q R]. O plano ϕ é o plano desenharam-se as projecções do triângulo [P frontal (de frente) que contém o ponto Q – ϕ é o plano para o qual se pretende rebater o plano θ. Rebatendo o plano θ para um plano frontal (de frente), que é paralelo ao Plano Frontal de Projecção, a figura rebatida projecta-se em V.G. no Plano Frontal de Projecção. A charneira do rebatimento é a recta de intersecção dos dois planos (a charneira do rebatimento é a recta de intersecção do plano a rebater com o plano para o qual se processa o rebatimento) – a recta e é a charneira do rebatimento e é uma recta frontal (de frente) do plano θ (está definida por um ponto – Q – e por uma direcção – é paralela às rectas frontais do plano θ). Q é um ponto da charneira, pelo que roda sobre si próprio – tem-se imediatamente Qr ≡ Q2. O ponto R rebateu-se pelo triângulo do rebatimento – este construiu-se com base na distância a, que é a distância de R ao plano ϕ (é o afastamento do ponto R em relação ao plano ϕ). O centro do arco do rebatimento de R é o ponto de intersecção da charneira (recta e) com a perpendicular à charneira que passa por R 2 (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de R – um plano de topo). O ponto P rebateu-se igualmente pelo triângulo do rebatimento – este construiu-se com base na distância b, que é a distância de P ao plano ϕ (é o afastamento do ponto P em relação ao plano ϕ). O centro do arco do rebatimento de P é o ponto de intersecção da charneira (recta e) com a perpendicular à charneira que passa por P2 (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P – outro plano de topo). A P Q R] está no triângulo [P Pr Qr R r]. V.G. do triângulo [P b) As vantagens do rebatimento proposto em relação ao rebatimento do plano θ para qualquer dos planos de projecção tem a ver com economia de traçados – de facto, no rebatimento efectuado foi necessário, apenas, rebater dois pontos (o ponto Q é um ponto da charneira, pelo que é fixo), enquanto que, ao rebater o plano θ para qualquer dos planos de projecção, seria necessário rebater os três pontos.

167. a) Em primeiro lugar representou-se o plano θ, pelos seus traços, e o triângulo P Q R], contido em θ, pelas suas projecções, em função dos dados (ver alí[P nea a) do relatório do exercício anterior). O plano ν é o plano horizontal (de Q R] do triângulo – ν é o plano para o qual se prenível) que contém o lado [Q tende rebater o plano θ. Rebatendo o plano θ para um plano horizontal (de nível), que é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção, a figura rebatida projecta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção. A charneira do rebatimento é a recta de intersecção dos dois planos – a recta e é a própria recta h (a recta suporte do lado [Q Q R]). Q e R são dois pontos da charneira, pelo que rodam sobre si próprios – tem-se imediatamente Qr ≡ Q1 e R r ≡ R 1. O ponto P rebateu-se pelo triângulo do rebatimento – este construiu-se com base na distância d, que é a distância de P ao plano ν (é a cota do ponto P em relação ao plano ν). O centro do arco do rebatimento de P é o ponto de intersecção da charneira (recta e) com a perpendicular à charneira que passa por P1 (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o P Q R] arco do rebatimento de P – um plano vertical). A V.G. do triângulo [P Pr Qr R r]. está no triângulo [P b) As vantagens do rebatimento proposto em relação a qualquer outro rebatimento do plano θ (incluindo o do exercício anterior) tem a ver com economia de traçados – no rebatimento efectuado foi necessário, apenas, rebater um ponto (os pontos Q e R são dois pontos da charneira, pelo que são fixos). De facto, ao rebater o plano θ para qualquer dos planos de projecção, seria necessário rebater os três pontos e no rebatimento anterior foi necessário rebater dois pontos.

SOLUÇÕES

168. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas suas projecções, e determinaram-se os traços do plano ρ. Para tal conduziu-se, por A e B, uma recta r. Determinaram-se os traços da recta r e por estes conduziram-se os traços homónimos de ρ. Os dados do exercício permitiram-nos, ainda, determinar C2, a projecção frontal de C. A recta s, paralela à recta r e passando por C (s2 passa por C2), foi a recta do plano a que se recorreu para determinar C1, a projecção horizontal do ponto C. A partir das projecções dos três pontos, desenhaA B C]. Para determinar a V.G. do triângulo ram-se as projecções do triângulo [A rebateu-se o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção (conforme é expressamente pedido no enunciado). A charneira é f ρ, pelo que se tem imediatamente f ρ ≡ e2 ≡ f ρr. Rebateu-se o ponto A conduzindo, por A 2, uma perpendicular a f ρ (essa perpendicular é o plano π, que é o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de A – é um plano de perfil). O centro do arco do rebatimento de A é O, que é o ponto de intersecção de f ρ (a charneira) com o plano π (o plano que contém o arco do rebatimento de A ). O triângulo do rebatiA A2O], que está contido em π e a sua himento de A (no espaço) é o triângulo [A O A ], que é o raio do arco do rebatimento. O raio do arco do potenusa é [O rebatimento não se projecta em V.G., pelo que é necessário efectuar um rebatimento do plano π – sobre uma paralela à charneira passando por A 2, representou-se o afastamento de A , obtendo-se A r 1. O triângulo do rebatimento de A , O Ar 1A 2] e a V.G. do raio do arco do rebatimento de A é 苶 O苶 A 苶r 苶. em V.G., é [O Com o 1 O苶 A 苶r 苶1 para f π, obcompasso, fazendo centro em O e raio até A r 1, transportou-se 苶 tendo-se A r. O procedimento foi idêntico para C. O arco do rebatimento de C está contido num outro plano ortogonal a f ρ (que não se identificou) e o seu QCr 1C1] e o raio do centro é Q. O triângulo do rebatimento de C, em V.G., é [Q Q苶 C苶r 苶. arco do rebatimento de C, em V.G., é 苶 Note que as hipotenusas dos triân1 gulos do rebatimento de A e C são paralelas entre si. O procedimento foi idêntico para o ponto B, o que nos permitiu determinar B r (e consA B C] está no triângulo [A A r B r Cr]. tata-se que as hipotenusas dos três triângulos do rebatimento são paralelas entre si). A V.G. do triângulo [A

169. a) Em primeiro lugar representaram-se os pontos P e Q, pelas suas projecções, e determinaram-se os traços do plano ρ. Para tal conduziu-se, por P e Q, uma Q é, imediatamente, o traço horirecta r. Determinaram-se os traços da recta r (Q zontal da recta r) e por estes conduziram-se os traços homónimos do plano ρ. Os dados do exercício permitiram-nos, ainda, determinar R 1, a projecção horizontal de R . A recta s, paralela à recta r e passando por R (s1 passa por R 1), foi a recta do plano a que se recorreu para determinar R 2, a projecção frontal do ponto R . A partir das projecções dos três pontos, desenharam-se as projecP Q R]. Para determinar a V.G. do triângulo rebateu-se o plano ções do triângulo [P ρ para o Plano Horizontal de Projecção (conforme é expressamente pedido no enunciado). A charneira é hρ, pelo que se tem imediatamente hρ ≡ e1 ≡ hρr. Rebateu-se o ponto P conduzindo, por P1, uma perpendicular a hρ (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P – um plano de perfil). Note que se omitiu a identificação do plano de perfil (o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P). O centro do arco do rebatimento de P é O, que é o ponto de intersecção de hρ (a charneira) com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P. P P1O] e a sua hipoO triângulo do rebatimento de P (no espaço) é o triângulo [P OP], que é o raio do arco do rebatimento de P. Para determinar a tenusa é [O V.G. do raio do arco do rebatimento representou-se a cota de P sobre uma paralela à charneira que passa por P1, obtendo-se Pr 1. O triângulo do rebatimento OPr 1P1] e a V.G. do raio do arco do rebatimento de P é 苶 O苶 P苶r苶. de P, em V.G., é [O 1 O苶 P苶r 苶1 para Com o compasso, fazendo centro em O e raio até Pr 1, transportou-se 苶 a perpendicular à charneira, obtendo-se Pr. O ponto R rebateu-se a partir de procedimentos idênticos aos expostos para o ponto P (note que se omitiu a identificação do plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de R , bem como do centro do respectivo arco do rebatimento). Q é um ponto da charneira, pelo que é fixo (roda sobre si próprio) – tem-se imediatamente Qr ≡ Q1. A V.G. do triânP Q R] está no triângulo [P Pr Qr R r]. gulo [P b) As vantagens do rebatimento efectuado em relação ao rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de Projecção têm a ver com economia de traçados, pois sendo o ponto Q um ponto da charneira, que fica imediatamente rebatido (roda sobre si próprio), para rebater o plano é necessário rebater, apenas, dois dos seus pontos – os pontos P e R . De facto, caso se tivesse efectuado o rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de Projecção, seria necessário rebater os três pontos – P, Q e R .

SOLUÇÕES

170. Em primeiro lugar representaram-se os pontos P e Q, pelas suas projecções, determinaram-se os traços do plano ρ e desenharam-se as projecções do PQR] (ver alínea a) do relatório do exercício anterior). Para determitriângulo [P nar a V.G. do triângulo rebateu-se o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção (conforme é expressamente pedido no enunciado) – a charneira é f ρ, pelo que se tem imediatamente f ρ ≡ e2 ≡ f ρr,. Rebateu-se hρ rebatendo um dos seus pontos – Q, que é o traço horizontal da recta r e, simultaneamente, um dos vértices do triângulo. Rebateu-se Q ao longo de um plano de perfil (o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de Q e que O é o ponto não se identificou) – O é o centro do arco do rebatimento de Q (O de intersecção de f ρ com o plano de perfil que contém o arco do rebatimento de Q). Construiu-se o triângulo do rebatimento de Q em V.G. – numa paralela à charneira que passa por Q2 (ou seja, no próprio eixo X) representou-se o afastamento de Q, obtendo Qr 1 (note que correspondeu ao transporte do afastamento de Q para o eixo X, com o compasso e fazendo centro em Q2). OQr1Q2]. Com centro em O transO triângulo do rebatimento de Q em V.G. é [O Q苶r 苶1 para a perpendicular à charneira que passa por Q2, obtendo O苶 portou-se 苶 Qr – hρr passa por Qr e é paralelo ao eixo X. Fr ≡ F2, pois F é fixo (roda sobre si próprio, pois é um ponto da charneira). A recta rr fica definida por Fr e por Qr. Por P2 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P) e obteP e um ponto da recta r, pelo que Pr tem de se situar sobre ve-se Pr sobre rr (P rr). Para rebater o ponto R foi necessário rebater a recta s (uma recta do plano à qual o ponto pertence). F’ é o traço frontal da recta s, que é um ponto da charneira, pelo que é fixo – F’r ≡ F’2. A recta sr está já definida – está definida F’r) e por uma direcção (é paralela à recta rr, pois r e s são por um ponto (F rectas paralelas e o paralelismo verifica-se no espaço, em projecções e em H’ é o rebatimento). No entanto, optou-se por determinar o traço horizontal da recta s em rebatimento, o que se efectuou conduzindo, por H’2 (H traço horizontal da recta s), uma perpendicular à charneira – o ponto de intersecção da perpendicular à charneira com hρr é H’r. A recta sr fica definida por F’r e por H’r (note que sr é paralela a rr). O ponto R é um ponto da recta s, pelo que R r tem de se situar sobre sr – conduzindo uma PQR] está no triângulo perpendicular à charneira por R 2, determinou-se R r no ponto de intersecção daquela com sr. A V.G. do triângulo [P PrQrR r]. [P

171. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados. Os dados do exercício permitem-nos, ainda, determinar A2 e B2, as projecções frontais de A e B, respectivamente. A recta r, passando por A e B (r2 passa por A2 e por B2) foi a recta do plano a que se recorreu para determinar as projecções horizontais de A e B. Em seguida, pelas projecções de B conduziram-se as projecções homóniB C] do triângulo) – mas de uma recta g, fronto-horizontal (a recta suporte do lado [B BC] projecta-se em uma vez que g é paralela a ambos os planos de projecção, o lado [B V.G. em ambos os planos de projecção, o que nos permitiu determinar as projecções de C sobre as projecções homónimas da recta g e, em seguida, desenhar as projecA BC]. Para determinar a V.G. do triângulo rebateu-se o plano ρ para ções do triângulo [A o Plano Horizontal de Projecção (conforme é expressamente pedido no enunciado) – a charneira é hρ, pelo que se tem imediatamente hρ ≡ e1 ≡ hρr. Rebateu-se fρ, rebatendo um dos seus pontos – F, que é o traço frontal da recta r. Rebateu-se F ao longo de um plano de perfil (o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de F e que não se identificou). Com o compasso, fazendo centro em F1, transportou-se a cota de F para o eixo X (que é a paralela à charneira que passa por F1) e desenhou-se o triângulo do rebatimento de F em V.G. – com centro na charneira e raio igual à hipotenusa do triângulo de rebatimento de F transportou-se o raio do arco do rebatimento para a perpendicular à charneira que passa por F1, obtendo-se Fr. Por Fr conduziu-se fρr, paralelo a hρr. H, o traço horizontal da recta r, é um ponto da charneira, pelo que é fixo – Hr ≡ H1. A recta r, em rebatimento (a recta rr), está definida por Fr e Hr. Os pontos A e B são dois pontos da recta r, pelo que Ar e Br se situam necessariamente sobre rr – conduzindo, por A1 e B1, as respectivas perpendiculares à charneira (que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os arcos do rebatimento de A e B) determinaram-se Ar e Br sobre rr. A recta g, em rebatimento, passa por B e é paralela aos traços do plano em rebatimento – este raciocínio permitiu-nos determinar gr imediatamente. O ponto C é um ponto da recta g, pelo que Cr tem de se situar sobre gr – conduzindo, por C1, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de C), determinou-se Cr sobre gr. Note que o rebatimento de um plano de rampa pelo rebatimento dos seus traços consiste, afinal, em rebater rectas do plano às quais os pontos pertençam e, em seguida, determinar os pontos rebatidos sobre as respectivas rectas rebatidas. A V.G. do triângulo A BC] está no triângulo [A ArBrCr]. [A

SOLUÇÕES

172. a) Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, e o triângulo A B C], contido em ρ, pelas suas projecções, em função dos dados (ver alínea [A a) do relatório do exercício anterior). O plano ϕ é o plano frontal (de frente) B C] do triângulo – ϕ é o plano para o qual se pretende que contém o lado [B rebater o plano ρ. Rebatendo o plano ρ para um plano frontal (de frente), que é paralelo ao Plano Frontal de Projecção, a figura rebatida projecta-se em V.G. no Plano Frontal de Projecção. A charneira do rebatimento é a recta de intersecção dos dois planos – a recta e é a própria recta g (a recta suporte do lado B C]). B e C são dois pontos da charneira, pelo que rodam sobre si próprios [B – tem-se imediatamente B r ≡ B 2 e Cr ≡ C2. O ponto A rebateu-se pelo triângulo do rebatimento – este construiu-se com base na distância d, que é a distância de A ao plano ϕ (é o afastamento do ponto A em relação ao plano ϕ). O centro do arco do rebatimento de A é o ponto de intersecção da charneira (recta e) com a perpendicular à charneira que passa por A 2 (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de A – um A B C] está no triângulo [A A r B r Cr]. plano de perfil). A V.G. do triângulo [A b) As vantagens do rebatimento proposto em relação a qualquer outro rebatimento do plano ρ tem a ver com economia de traçados – no rebatimento efectuado foi necessário, apenas, rebater um ponto (os pontos B e C são dois pontos da charneira, pelo que são fixos).

173. Em primeiro lugar representaram-se os traços do plano ρ, coincidentes com o eixo X, e o ponto A , pelas suas projecções. Em seguida representaram-se, ainda, a projecção frontal de B e a projecção horizontal de C, que os dados do exercício nos permitem representar. Para determinar as projecções do ponto B conduziu-se, por A 2 e B 2, a projecção frontal de uma recta r (r 2), do plano – é uma recta passante (concorrente com o eixo X num ponto M) que contém A e B. A projecção horizontal da recta, r 1, está definida por M 1 e por A 1 e permite-nos determinar B 1. Em seguida, recorreu-se a uma recta s, do plano, passando por C e paralela à recta r – s1 passa por C1. A projecção frontal da recta s, s2, fica definida pelo ponto de concorrência com o eixo X (o ponto N) e pela direcção de r 2 e permite-nos determinar C2. A partir das projecções A B C]. Para dos três pontos, desenharam-se as projecções do triângulo [A determinar a V.G. do triângulo rebateu-se o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção, conforme é expressamente pedido no enunciado – a charneira é o próprio eixo X. Rebateu-se A ao longo do plano ortogonal à charneira (ao eixo X) que contém o arco do rebatimento de A (que é um plano de perfil) – o centro do arco do rebatimento de A é Ao (o ponto de intersecção do eixo X com o plano de perfil que passa por A). Numa paralela à charneira representou-se a cota de A , obtendo A r 1. O triângulo do rebatimento de A em V.G., A o A r 1 A 1]. A A 苶o苶A 苶r苶1苶 pelo rebatimento do plano de perfil que o contém, é [A é o raio do arco do rebatimento de A . Com centro em A o transportou-se A苶A A苶r苶1 para a perpendicular à charneira que passa por A (e que corresponde 苶 o苶 ao plano de perfil que contém o arco do rebatimento de A ), obtendo A r. O procedimento foi idêntico para B e C. O triângulo do rebatimento de B em V.G., pelo rebatimento do plano de perfil que o contém (o plano ortogonal à B oB r 1B 1]. 苶 B苶B B苶r 苶1 é o charneira que contém o arco do rebatimento de B), é [B o苶 raio do arco do rebatimento de B, em V.G. O triângulo do rebatimento de C em V.G., pelo rebatimento do plano de perfil que o contém (o plano ortogoC o C r 1 C 1]. nal à charneira que contém o arco do rebatimento de C ), é [C C苶C C苶r 苶1 é o raio do arco do rebatimento de C, em V.G. A V.G. do triângulo 苶 o苶 A B C] está no triângulo [A A r B r Cr]. [A

SOLUÇÕES

174. Em primeiro lugar representaram-se os traços do plano ρ, coincidentes com o eixo X, e o ponto A , pelas suas projecções. Em seguida, desenhaA B C] (ver relatório do exercício anteram-se as projecções do triângulo [A rior). Para determinar a V.G. do triângulo rebateu-se o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção, conforme é expressamente pedido no enunciado – a charneira é o próprio eixo X. O rebatimento do ponto A efectuou-se com o recurso ao seu triângulo do rebatimento, conforme exposto no relatório do exercício anterior. Em seguida, desenhou-se a recta r em rebatimento – o ponto M, o ponto de concorrência da recta r com o eixo X, é fixo (é um ponto da charneira), pelo que se tem imediatamente M 1 ≡ M 2 ≡ M r. A recta r r fica definida por A r e por M r. O ponto B é um ponto da recta r, pelo que B r tem de se situar sobre r r – conduziu-se, por B 1, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de B) e determinou-se B r sobre r r. Em seguida, rebateu-se a recta s – a recta s é paralela à recta r, pelo que sr é necessariamente paralela a r r. O ponto de concorrência da recta s com o eixo X é fixo, N1 ≡ N2 ≡ Nr) e sr fica definida por um ponto (N Nr ) pois situa-se na charneira (N e por uma direcção (é paralela a r r). O ponto C é um ponto da recta s, pelo que Cr tem de se situar sobre sr – por C1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de C) e determinou-se Cr sobre sr. A V.G. do triângulo A B C] está no triângulo [A A r B r Cr]. [A

175. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ (cujos traços estão coincidentes no eixo X), que está definido pelo eixo X e pelas projecções do ponto A. Os dados do enunciado permitem-nos, ainda, determinar as projecções horizontais de B e C. Em seguida, recorreu-se a uma recta r, passante (do plano), tal que r 1 passa por A 1 e B1 – após determinar r 2 (definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X e por A 2), determinou-se B2, sobre r2. A recta s é a recta paralela à recta r a que se recorreu para C2) – as projecdeterminar a projecção frontal de C (C ções da recta s determinaram-se a partir da sua projecção horizontal, s1, que passa por C1 e é paralela a r1. A recta s, porque pertence ao plano ρ, é também uma recta passante – a projecção frontal da recta s está definida por um ponto (o ponto de concorrência da recta s com o eixo X) e pela sua direcção (é paralela a r2). C2 situa-se sobre s2. A partir das projecções dos três pontos, desenharam-se as A BC]. Para transformar o projecções do triângulo [A plano ρ num plano horizontal (de nível), há que ter em conta que um plano horizontal (de nível) é um caso particular dos planos projectantes frontais, o que consiste nos procedimentos efectuados no exercício 139, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Note que o facto de se tratar de um plano de rampa passante não altera em nada os procedimentos expostos naquele relatório. Note ainda que, uma vez que se pretende que o plano ρ seja transformado num plano horizontal (de nível) com 1 cm de cota, o plano 5 situa-se a 1 cm (a cota pretendida) de f 4ρ (o eixo X’’ situa-se a 1 cm de h4ρ). Note ainda que se localizou o plano 5 de forma a evitar a sobreposição de traçados.

SOLUÇÕES

176. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ (cujos traços estão coincidentes no eixo X), que está definido pelo eixo X e pelas projecções do ponto A . Em seguida, A B C] (ver desenharam-se as projecções do triângulo [A relatório do exercício anterior). Para transformar o plano ρ num plano horizontal (de nível), há que ter em conta que um plano horizontal (de nível) é um caso particular dos planos projectantes frontais, o que consiste nos procedimentos efectuados no exercício 156, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Note que o facto de se tratar de um plano passante não altera em nada os procedimentos expostos naquele relatório. O primeiro eixo de rotação é a recta vertical e, que contém o ponto A (por uma questão de economia de traçados) – A’ ≡ A, pois A situa-se no eixo de rotação (roda sobre si próprio). O ponto P, do eixo X, é o ponto de hρ que nos permite rodar hρ. O segundo eixo de rotação é a recta de topo e’, que se localizou de forma a ser o ponto C’ o ponto a rodar. Após a segunda rotação, o plano ρ é um plano horizontal (de nível), pelo que a V.G. do triânPQR] está no triângulo [P P’’1Q’’1R’’1]. gulo [P

177. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A , B e C, pelas respectivas projecções – os pontos situam-se no β1/3, pelo que têm coordenadas iguais e projecções simétricas em relação ao eixo X. A partir das projecções dos três pontos, desenharam-se as projecções do triângulo. Em seguida, desenharam-se as projecções das rectas r e s – a recA B] do triângulo e a recta s é a recta ta r é a recta suporte do lado [A paralela à recta r que passa por C. Para determinar a V.G. do triângulo, optou-se por rebater o β1/3 para o Plano Horizontal de Projecção. O β1/3 é um plano passante, pelo que o rebatimento do β1/3 para o Plano Horizontal de Projecção é idêntico ao rebatimento do plano passante exposto no relatório do exercício 174, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório.

SOLUÇÕES

178. Em primeiro lugar representaram-se os pontos P, Q e R , pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta f é a recta do plano que está definida pelos pontos P e Q (trata-se de uma recta frontal). A recta h é a recta do plano que está definida pelos pontos P e R . O plano α está definido por duas rectas concorrentes (as rectas f e h são concorrentes no ponto P). Uma vez que se pretende rebater o plano α para o plano frontal (de frente) que contém os vértices P e Q, não é necessária a determinação dos traços do plano. De facto, apenas é fundamental a determinação da charneira do rebatimento, que é a recta de intersecção do plano a rebater (o plano α) com o plano para o qual se processa o rebatimento – o plano ϕ, frontal (de frente) que contém os pontos P e Q (e que contém a recta f). A recta de intersecção dos dois planos é a própria recta f (pois pertence simultaneamente aos dois planos), que é, assim, a charneira, pelo que se tem e ≡ f. Rebatendo o plano α para um plano frontal (de frente), que é paralelo ao Plano Frontal de Projecção, a figura em rebatimento projecta-se em V.G. no Plano Frontal de Projecção. P e Q são dois pontos da charneira, pelo que rodam sobre si próprios (são fixos) – Pr ≡ P2 e Qr ≡ Q2. Para rebater o ponto R (o único ponto que não se situa na charneira do rebatimento) recorreu-se ao seu triângulo do rebatimento – este construiu-se com base na distância d, que é a distância de R ao plano ϕ (é o afastamento do ponto R em relação ao plano ϕ). O centro do arco do rebatimento de R é o ponto de intersecção da charneira (recta e) com a perpendicular à charneira que passa por R 2 (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento P Q R] está no triângulo [P Pr Qr R r]. As vande R – um plano de topo). A V.G. do triângulo [P tagens do rebatimento efectuado em relação ao rebatimento do plano α para qualquer dos planos de projecção tem a ver com uma enorme economia de traçados e de tempo de execução – de facto, no rebatimento efectuado não foi necessária a determinação de qualquer dos traços do plano e foi suficiente rebater, apenas, um único ponto (os pontos P e Q são dois pontos da charneira, pelo que são fixos). Pelo contrário, ao rebater o plano α para qualquer dos planos de projecção, seria necessário determinar os traços do plano (ou, pelo menos, um deles) e, além disso, rebater os três pontos.

179. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas suas projecções, e determinou-se o traço horizontal do plano ρ. Para tal conduziu-se, por A e B, uma recta r e determinou-se o seu traço horizontal, H, pelo qual se conduziu h ρ – neste exercício, como em seguida se observará, não é necessária a determinação do traço frontal do plano. Os dados do enunciado permitem-nos, ainda, determinar C1, a projecção horizontal do ponto C. Para determinar C2 conduziu-se, por C, uma recta s, paralela à recta r – s1 passa por C1 e é paraH’) lela a r 1. H’ é o traço horizontal da recta s e esta fica definida por um ponto (H e por uma direcção (é paralela à recta r). C2 situa-se sobre r 2. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém o vértice A do triângulo – ν é o plano para o qual se pretende rebater o plano ρ. Rebatendo o plano ρ para um plano horizontal (de nível), que é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção, a figura rebatida projecta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção. A charneira do rebatimento é a recta de intersecção dos dois planos – a recta e é uma recta fronto-horizontal, que está definida por um ponto (o ponto A , que pertence simultaneamente aos dois planos) e por uma direcção (é fronto-horizontal, pois as rectas fronto-horizontais são a única «família» de rectas comum aos dois planos). A é um ponto da charneira, pelo que roda sobre si próprio – tem-se imediatamente A r ≡ A 1. O ponto B rebateu-se pelo triângulo do rebatimento – este construiu-se com base na distância d, que é a distância de B ao plano ν (é a cota do ponto B em relação ao plano ν). O centro do arco do rebatimento de B (ponto O) é o ponto de intersecção da charneira (recta e) com a perpendicular à charneira que passa por B1 (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de B – um plano de perfil). O ponto C rebateu-se pelo triângulo do rebatimento – este construiu-se com base na distância d1, que é a distância de C ao plano ν (é a cota do ponto C em relação ao plano ν). O centro do arco do rebatimento de C (ponto Q) é o ponto de intersecção da charneira (recta e) com a perpendicular à charneira que passa por C1 (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de C – um plano de perfil). A V.G. do triângulo A B C] está no triângulo [A A r B r Cr]. As vantagens do rebatimento efectuado em relação a qualquer outro rebatimento do plano ρ tem a ver [A com economia de traçados – no rebatimento efectuado, por um lado não foi necessário determinar sequer o traço frontal do plano e, por outro lado, foi suficiente rebater, apenas, dois pontos (o ponto A é um ponto da charneira, pelo que é fixo).

SOLUÇÕES

16 R EPRESENTAÇÃO DE F IGURA S P L ANA S III 180. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e os pontos A e B, pelas suas projecções, em função dos dados – o plano α é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação ao eixo X. O ponto A é um ponto de hα, que é uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. A recta h, horizontal (de nível), com 3 cm de cota e pertencente ao plano, foi a recta a que se recorreu para determinar as projecções do ponto B. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, A BC] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecpelo que o triângulo [A ção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de traçados optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr), pelo que se tem imediatamente Ar ≡ A1, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por exemplo. Para tal conduziu-se, por F, o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento (note que se omitiu a representação do plano mas que este corresponde à perpendicular à charneira que passa por F1). Os traços do plano α são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira) – com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por F1 e obteve-se Fr. O traço frontal do plano α em rebatimento (ffαr) passa por Fr e é concorrente com hαr no eixo X (ffαr está definido por dois pontos). A recta hr passa por Fr e é paralela a hαr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento) – hr está definida por um ponto e uma direcção. Por B1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém B é um ponto de h, pelo que Br tem de se situar sobre hr). A partir de Ar e Br, conso arco do rebatimento de B) e determinou-se Br sobre hr (B A BC] em V.G., em rebatimento, determinando-se Cr. Para determinar as projecções do triângulo, inverteu-se o rebatimento truiu-se o triângulo [A do plano α, invertendo o rebatimento de C. Para tal conduziu-se, em rebatimento, uma recta pelo ponto C – a recta f, frontal (de frente). A recta fr passa por Cr e é paralela a fαr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento). A recta fr é concorrente com hαr em Hr – H é o traço horizontal de f e é um ponto da charneira, pelo que se H1 ≡ Hr e H2 está no eixo X). Pelas projecções de H conduziram-se as projecções homónimas determinaram imediatamente as projecções de H (H de f (que é paralela a fα). Em seguida conduziu-se, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de C) – o ponto em que esta intersecta f1 é C1. C2 situa-se sobre f2, na linha de chamada de C1. A partir das proA BC]. jecções de C, construíram-se as projecções do triângulo [A

181.

Em primeiro lugar representou-se o plano ψ, pelos seus traços, e os pontos A e O, pelas suas projecções, em função dos dados. O ponto A é um ponto de f ψ, que é uma recta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo. A recta f, frontal (de frente), com 3 cm de afastamento e pertencente ao plano, foi a recta a que se recorreu para determinar as projecções do ponto O. O plano ψ não é paralelo A B C D] a nenhum dos planos de projecção, pelo que o quadrado [A não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de traçados optou-se por rebater o plano ψ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira é f ψ – f ψ ≡ e2 ≡ f ψr), pelo que se tem imediatamente A r ≡ A 2, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano ψ há que rebater o seu traço horizontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto H (traço horizontal da recta f), por exemplo. Para tal conduziu-se, por H, o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento (note que se omitiu a representação do plano mas que este corresponde à perpendicular à charneira que passa por H2). Os traços do plano ψ são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira) – com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até H1, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por H2 e obteve-se Hr. O traço h ψ r ) passa por H r e é horizontal do plano ψ em rebatimento (h (Continua na página seguinte) 59

SOLUÇÕES

hψr está definido por dois pontos). A recta f r passa por Hr e é paralela a f ψr (rectas frontais de um plano são concorrente com f ψr no eixo X (h paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento) – f r está definida por um ponto e uma direcção. Por O2 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o O é um ponto de f, pelo que Or tem de se situar sobre f r). Com centro em Or e raio até arco do rebatimento de O) e determinou-se Or sobre f r (O A r desenhou-se a circunferência circunscrita ao quadrado e construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. Para determinar as projecções do quadrado, inverteu-se o rebatimento do plano ψ, invertendo o rebatimento de B, C e D. Para inverter o rebatimento de C conduziu-se, em rebatimento, uma recta por C – a recta h, horizontal (de nível). A recta hr passa por Cr e é paralela a hψr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento). A recta hr é concorrente com f ψr em Fr – F é o traço frontal de h e é um ponto da charneira, pelo que se determinaram imediatamente as projecções de F F2 ≡ Fr e F1 está no eixo X). Pelas projecções de F conduziram-se as projecções homónimas de h (que é paralela a hψ). Em seguida condu(F ziu-se, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de C) – o ponto em que esta intersecta h2 é C2. C1 situa-se sobre h1, na linha de chamada de C2. Para inverter o rebatimento de B e D conduziu-se, em H’ é o traço horizontal de r) rebatimento, uma recta pelos dois pontos – a recta r. A recta r r passa por Br e Dr e é concorrente com hψr em H’r (H F’ é o traço frontal de r e é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram imediatae é concorrente com f ψr em F’r (F mente – F’2 ≡ F’r e F’1 está no eixo X). Por H’r conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se H’2 no eixo X – H’1 situa-se sobre hψ. Pelas projecções de F’ e H’ conduziram-se as projecções homónimas da recta r. Por Br e Dr conduziram-se perpendiculares à charneira (que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) e determinaram-se as projecções de B e D, sobre as projecções homónimas da recta r. A partir das projecções de B, C e D, construíram-se as projecções do quadrado [A A B CD]. Note que a inversão do rebatimento de B e D se poderia ter processado, por exemplo, com o recurso a rectas horizontais (de nível) do plano, à semelhança do efectuado para inverter o rebatimento do vértice C. Tal possibilidade resultaria, no entanto, na necessidade de se ter de recorrer a duas rectas para inverter o rebatimento (uma recta por ponto) o que, na situação apresentada, se evitou, pois a recta r contém os dois pontos.

182. Em primeiro lugar representou-se o plano μ, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta h, horizontal (de nível), com 3 cm de cota e pertencente ao plano, foi a recta a que se recorreu para determinar as projecções do ponto O. O plano μ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o pentágono não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano μ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hμ – hμ ≡ e1 ≡ hμr). Para rebater o plano μ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por exemplo. Para tal conduziu-se, por F, o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento (note que se omitiu a representação do plano mas que este corresponde à perpendicular à charneira que passa por F1). Os traços do plano μ são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira) – com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por F1 e obteve-se Fr. O traço frontal do plano μ em rebatimento (ffμr) passa por Fr e é concorrente com hμr no eixo X (ff μr está definido por dois pontos). A recta hr passa por Fr e é paralela a hμr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento) – hr está definida por um ponto e uma direcção. Por O1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira Oé que contém o arco do rebatimento de O) e determinou-se Or sobre hr (O um ponto de h, pelo que Or tem de se situar sobre hr). Uma vez que um dos vértices do polígono tem cota nula (situa-se sobre hμ) e o seu lado de maior cota é horizontal (paralelo a hμ), infere-se que a circunferência circunscrita ao pentágono é tangente a hμ. Assim, com centro em Or desenhou-se uma circunferência tangente a hμr – um dos vértices do polígono (o vértice A, por exemplo) é o ponto de tangência da circunferência com hμr. Em seguida, construiu-se o pentágono em V.G., em rebatimento. Para determinar as projecções do pentágono inverteu-se o rebatimento. A é um ponto da charneira, pelo que se tem imediatamente A r ≡ A 1 – A 2 situa-se no eixo X. Para inverter o rebatimento de C e D conduziu-se, em rebatimento, uma recta pelos dois pontos – a recta h’, horizontal (de nível). A recta h’r passa por Cr e Dr e é paralela a hμr e a hr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento). A recta h’r é concorrente com f μr em F’r – F’ é o traço frontal de h’. Por F’r conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se F’1 no eixo X – F’2 situa-se sobre f μ. Pelas projecções de F’ conduziram-se as projecções homónimas de h’ (que é paralela a hμ e a h). Em seguida, por Cr e Dr conduziram-se perpendiculares à charneira (que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) e determinaram-se as projecções de C e D, sobre as projecções homónimas da recta h’. O processo repetiu-se para os pontos B e E. A recta h’’ é a recta horizontal (de nível) a que se recorreu para inverter o rebatimento dos dois pontos, e F’’ é o seu traço frontal. A partir das projecções dos cinco pontos desenharam-se as projecções da figura. Note que a inversão do rebatimento de B, C, D e E se poderia ter processado, por exemplo, com o recurso a rectas frontais (de frente) do plano, conforme exposto no relatório do exercício 180. Tal possibilidade resultaria, no entanto, na necessidade de se ter de recorrer a quatro rectas para inverter o rebatimento (uma recta por ponto) o que, na situação apresentada, se evitou, pois cada recta contém dois pontos. 60

SOLUÇÕES

183. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e o pontos P, pelas suas projecções, em função dos dados. O ponto P é um ponto de hα, que é uma recta horizontal (de nível) do plano com PQ] do quacota nula. Note que o ângulo dado (o ângulo que o lado [P drado faz com o traço horizontal do plano) é um ângulo real e não um ângulo em projecções – esse ângulo existe no espaço ou, mais precisamente, está contido no plano α e não é possível representá-lo directamente em projecções. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto P é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de traçados optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr), pelo que se tem imediatamente Pr ≡ P1, pois P é um ponto da charneira. Para rebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – A é um ponto qualquer de f α, escolhido aleatoriamente, o ponto A (A para rebater f α). Para tal conduziu-se, por A 1, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento). Os traços do plano α são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira) – com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até A 2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por A 1 e obteve-se A r. O traço frontal do plano α em rebatimento (ff αr) passa por A r e é concorrente com hαr no eixo X (ff αr está definido PQ] faz com hα – 30°) e determinou-se Qr por dois pontos). Em rebatimento, a partir de Pr, mediu-se o ângulo dado (o ângulo que o lado [P sobre f αr (o ponto Q tem afastamento nulo, pelo que é um ponto de f α). A partir de Pr e Qr construiu-se o quadrado em VG., em rebatimento, obtendo R r e Sr. Para inverter o rebatimento de S conduziu-se, em rebatimento, uma recta por Sr – a recta f, frontal (de frente). A recta f r passa por Sr e é paralela a f αr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento). A recta f r é concorrente com hαr em Hr – H é o traço horizontal de f. H é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinam imediatamente – H1 ≡ Hr e H2 situa-se no eixo X. Pelas projecções de H conduziram-se as projecções homónimas de f (que é paralela a f α). Em seguida, por Sr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém os arcos do seu rebatimento) e determinaram-se as projecções de S sobre as projecções homónimas da recta f O processo repetiu-se para o ponto R. A recta f é a recta frontal (de frente) a que se recorreu para inverter o rebatimento de R e H’ é o seu traço horizontal. A partir das projecções dos quatro pontos, desenharam-se as projecções do quadrado.

184.

Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e os pontos A e C, pelas suas projecções, em função dos dados – o plano α é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação ao eixo X. A recta f, frontal (de frente), com 2 cm de afastamento e pertencente ao plano, foi a recta a que se recorreu para determinar as projecções do ponto A. A recta f ’, frontal (de frente), com 5 cm de afastamento e pertencente ao plano, foi a recta a que se recorreu para determinar as projecções do ponto C. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de A BCD] não se projecta em V.G. em neprojecção, pelo que o quadrado [A nhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr). Para rebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus P é um ponto qualquer de fα, escolhido aleatoriamente, pontos – o ponto P (P para rebater f α). Para tal conduziu-se, por P1, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento). Os traços do plano α são concorrentes no ponto M, que é fixo (é um ponto da charneira) – com o recurso ao compasso, fazenM苶P P苶2 para a perpendicular à do centro em M e raio até P2, transportou-se 苶 2苶 charneira que passa por P1 e obteve-se Pr. O traço frontal do plano α em rebatimento (ff αr ) passa por P r e é concorrente com h α r no ponto M r (ff αr está definido por dois pontos). Para rebater o ponto A, é necessário rebater uma recta a que o ponto pertença – a recta f, por exemplo. H, o traço horizontal de f é um ponto da charneira, pelo que é fixo – Hr ≡ H1. A recta f em rebatimento, fr, passa por Hr e é paralela a f αr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento) – fr está definida por um ponto e uma direcção. Por A 1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do A é um ponto de f, pelo que A r tem de se situar sobre fr). O processo repetiu-se em relação à rebatimento de A) e determinou-se A r sobre fr (A H’ é o traço horizontal da recta f ’). A partir de A r e Cr construiu-se o quadrado recta f ’ (a recta que contém o ponto C), obtendo-se Cr sobre f ’r (H (Continua na página seguinte) 61

SOLUÇÕES

em VG., em rebatimento, obtendo Br e Dr. Para inverter o rebatimento de D conduziu-se, em rebatimento, uma recta por Dr – a recta r (note que CD] do quadrado). A recta rr passa por Cr e Dr e é concorrente com f αr em Fr (F F é o traço frontal de r) e é a recta r é a recta suporte do lado [C H’’ é o traço horizontal de r e é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram imediataconcorrente com hαr em H’’r (H mente – H’’1 ≡ H’’r e H’’2 está no eixo X). Por Fr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se F1 no eixo X – F2 situa-se sobre f α. Pelas projecções de F e H’’ conduziram-se as projecções homónimas da recta r (note que as projecções de r têm necessariamente de passar pelas projecções homónimas do ponto C, pois C é um ponto da recta r). Por Dr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinaram-se as projecções de D, sobre as projecções homónimas da recta r. Para inverter o rebatimento de B conA B] do quadrado e é paralela à recta r). A duziu-se, em rebatimento, uma recta por Br – a recta s (note que a recta s é a recta suporte do lado [A recta rr passa por A r e Br e é paralela à recta rr (o paralelismo verifica-se no espaço, em projecções e em rebatimento). As projecções da recta s determinam-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas do ponto A (que é um ponto da recta s) e são paralelas às projecções homónimas da recta r (as duas rectas são paralelas). Por Br conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinaram-se as projecções de B, sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do polígono, desenharam-se as suas projecções. Note que a inversão do rebatimento de B e D se poderia ter processado, por exemplo, com o recurso a rectas horizontais (de nível) do plano, conforme exposto no relatório do exercício 182.

185. Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto Q, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano δ é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coincidentes. A recta h, horizontal (de nível), com 5 cm de cota e pertencente ao plano, foi a recta a que se recorreu para determinar as projecções do ponto Q. O plano δ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o hexágono não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano δ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hδ – hδ ≡ e1 ≡ hδr). Para rebater o plano δ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por exemplo. Sobre o rebatimento de F, de fδ e de Q, ver relatório do exercício 182, uma vez que os dois exercícios são semelhantes. Com o compasso, fazendo centro em Qr e com 4 cm de raio (o raio da circunferência circunscrita ao hexágono é igual ao comprimento do lado do hexágono) desenhou-se a circunferência circunscrita ao polígono e construiu-se o hexágono em V.G., em rebatimento. Dois dos lados do hexágono são horizontais (de nível), pelo que são paralelos ao traço horizontal do plano (ou seja, em rebatimento são paralelos a hδr, pois rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento). Para inverter o rebatimento recorreu-se a rectas horizontais (de nível) do plano (as rectas suporte dos lados horizontais do hexágono) – ver exercício 182. A partir das projecções de todos os vértices do hexágono, desenharam-se as suas projecções.

186. Em primeiro lugar representaram-se os planos δ e ρ, pelos respectivos traços, e os pontos A e B, pertencentes ao plano δ, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano δ é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação ao eixo X. O ponto A é um ponto de f δ, que é uma recta frontal (de frente) do plano com cota nula. O ponto B é um ponto de hδ, que é uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. O plano δ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projecção e que o ponto B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano δ para o Plano Horizontal de Projecção ou para o Plano Frontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano δ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hδ – hδ ≡ e1 ≡ hδr), pelo que se tem imediatamente Br ≡ B1, pois B é um ponto da charneira. Para rebater o plano δ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto A, que é um ponto de f δ (ver relatório do exercício 175). A partir de A r e de Br construiu-se o quadrado em V.G., em (Continua na página seguinte) 62

SOLUÇÕES

A B] e o lado rebatimento, obtendo Cr e Dr. Para inverter o rebatimento recorreu-se às rectas suporte de dois lados do quadrado – o lado [A CD]. A recta r r é a recta suporte do lado [A A B], em rebatimento – as projecções de r determinaram-se imediatamente, a partir das projec[C CD] em rebatimento – sr é paralela a r r, ções homónimas de A e B. Por Cr e Dr conduziu-se uma recta sr, que é a recta suporte do lado [C pois os dois lados em questão são paralelos. Hr é o ponto de concorrência de sr com hδr – H é o traço horizontal da recta s e é um ponto da H1 ≡ Hr e H2 situa-se no eixo X). Uma vez que as rectas r e s são paralelas, as suas projecções homónimas são charneira, pelo que é fixo (H também paralelas entre si – as projecções da recta s determinaram-se imediatamente, paralelas às projecções homónimas da recta r e passando pelas projecções homónimas de H, o seu traço horizontal (a recta s está definida por um ponto e uma direcção). Conduzindo, por Cr e Dr, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaram-se C1 e D1 sobre s1 – C2 e D2 situam-se sobre s2, nas respectivas linhas de chamada. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções. Note que a inversão do rebatimento se poderia ter processado com o recurso a rectas horizontais (de nível) do plano (à semelhança do efectuado no exercício 182) ou com o recurso a recta frontais (de frente) do plano (à semelhança do efectuado no exercício 180), mas tal implicaria o recurso a duas rectas para inverter o rebatimento, o que se processou com o recurso a, apenas, uma única recta, o que se traduziu em maior economia de traçados. Para determinar as projecções R S], o segmento resultante da intersecção do plano ρ com o quadrado [A A B CD] (que está contido no plano δ), é necessário do segmento [R determinar a recta de intersecção dos dois planos – a recta i. A recta i determinou-se a partir dos seus traços (trata-se do caso geral da A D] do quadrado no ponto R intersecção entre planos). F é o traço frontal da recta i e H’ é o seu traço horizontal. A recta i intersecta o lado [A CD] do quadrado no ponto S – o segmento [R R S] é, assim, o segmento da recta i que se situa no quadrado [A A B CD]. e intersecta o lado [C

187.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, pelas projecções de A e B conduziram-se as projecções homónimas da recta r, a recta que passa por A e B, e determinaram-se os seus traços nos planos de projecção – F e H. Uma vez que, de acordo com o enunciado, a recta r é uma recta de maior inclinação do plano α, por F (o traço frontal da recta r) conduziu-se fα, perpendicular a r2 – hα é concorrente com fα no eixo X e passa por H, o traço horizontal da recta r. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que F é um ponto do Plano Frontal de Projecção e que H é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção ou para o Plano Frontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr), pelo que se tem imediatamente Hr ≡ H1, pois H é um ponto da charneira. Para rebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F, que é um ponto de fα (ver relatório do exercício 175). A recta rr (a recta r em rebatimento) fica definida por Hr e Fr e o traço frontal do plano, em rebatimento (ffαr) é concorrente com hαr no eixo X e passa por Fr (note que fαr é perpendicular a rr, pois r é uma recta de maior inclinação do plano). Conduzindo, por A 1 e por B1, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaram-se Ar e Br sobre rr. A partir de Ar e Br construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, obtendo Cr e Dr. Após a construção do quadrado em rebatimento, constata-se que dois dos lados do quadrado são paralelos a fαr – este facto tem uma justificação científica, que em seguida se apresenta. Recorde que rectas de maior inclinação de um plano são perpendiculares ao traço frontal do plano (e a toA B] do quadrado está contido numa recta de maior inclinação do plano (bem como o lado [C CD], que é das as rectas frontais do plano) – o lado [A A B]). Uma vez que os lados [B B C] e [A AD] do quadrado são perpendiculares aos outros dois lados (que estão contidos em rectas de paralelo a [A B C] e [A AD] estão necessariamente contidos em rectas frontais (de frente) do plano e, por isso, são maior inclinação do plano), então os lados [B paralelos a fαr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, no espaço, em projecção e em rebatimenAD]. A to). Assim, por Ar e Dr conduziu-se uma recta fr, que é paralela a fαr – f é uma recta frontal (de frente) do plano e é a recta suporte do lado [A H’1 ≡ H’r e H’2 situa-se no recta fr é concorrente com hαr em H’r – H’ é o traço horizontal da recta f e é um ponto da charneira, pelo que é fixo (H eixo X). As projecções da recta f determinaram-se imediatamente, pois f é paralela a fα (a recta f está definida por um ponto e uma direcção). Note que as projecções da recta f passam pelas projecções homónimas de A, que é um ponto da recta f. Conduzindo, por Dr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinou-se D1 sobre f1 – D2 situa-se sobre f2, na respectiva linha de chamada. O processo repetiu-se para o ponto C – f ’ é a recta frontal (de frente) que é a recta suporte do lado B C] e H’’ é o seu traço horizontal. As projecções da recta f ’ passam pelas projecções homónimas de B, que é um ponto da recta f ’. A partir das [B CD] do quadrado projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as projecções do polígono. Note que a projecção frontal do lado [C é perpendicular a fα (pois é o outro lado do quadrado que também está contido numa recta de maior inclinação do plano α).

SOLUÇÕES

188. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas suas projecções, em função dos dados. Uma vez que A tem afastamento nulo e B tem cota nula, sabe-se imediatamente que A é um ponto do traço frontal do plano e que B é um ponto do traço horizontal do plano, o que nos permitiu desenhar f ρ e hρ. O triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projecção e que B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de traçados é indistinto rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se, no entanto, por rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira é f ρ), pelo que se tem imediatamente A r ≡ A 2, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço horizontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto B (que é um ponto de hρ). Para tal conduziu-se, por B, o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento (que é um plano de perfil e, na presente situação, é o próprio plano YZ). O ponto B rebateu-se através do seu triângulo do rebatimento. O é o ponto de intersecção do plano YZ com a charneira (note que não se identificou o ponto O) e é o centro do arco do rebatimento de B. O triângulo do rebatiOBB2], que é rectângulo em B2, e o comprimento da sua hipotenusa mento de B é [O OB]) é a distância que nos permite rebater B. Construiu-se o triângulo do rebatimento ([O de B em V.G. (pelo rebatimento do plano YZ) – numa paralela à charneira (ou seja, no próprio eixo X) representou-se o afastamento de B, obtendo Br1. O triângulo do rebatiOBr1B2] (recorde que não se identificou o ponto O, apesar de mento de B em V.G. é [O O苶 B苶r苶1 para a perpendicular à se lhe fazer referência). Com centro em O transportou-se 苶 charneira que passa por B2 (que é Y ≡ Z), obtendo Br – hρr passa por Br e é paralelo ao eixo X (e a f ρr). A partir de A r e Br construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, determinando Cr. Para determinar as projecções do triângulo inverteu-se o rebatimento do plano ρ, invertendo o rebatimento de C. Para tal conduziu-se, em rebatimento, uma recta r, do plano, passando por C – por economia de traçados optou-se por fazer com que a recta r seja a recta B C] do triângulo. Assim, a recta r, em rebatimento (rr), passa por Cr e Br. A recta rr é concorrente com f ρr no ponto Fr – F é o suporte do lado [B traço frontal da recta r. F é um ponto da charneira (é fixo – roda sobre si próprio), pelo que se tem imediatamente Fr ≡ F2 – F1 situa-se no eixo X. O ponto B é o próprio traço horizontal da recta r – as projecções da recta r desenharam-se imediatamente, passando pelas projecções homónimas de F e B (a recta r está definida por dois pontos). Conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homónimas da recta r. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.

189. Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e A , pelas suas projecções, em função dos dados. Uma vez que A tem cota nula, sabe-se imediatamente que A é um ponto do traço horizontal do plano, o que nos permitiu desenhar hρ. Por O e A conduziu-se uma recta r e determinou-se o seu traço frontal – F. Por F conduziu-se f ρ, o traço frontal do plano. Note que A é, imediatamente, o traço horizontal da recta r. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de traçados optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hρ), pelo que se tem imediatamente A r ≡ A 1, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (que é um ponto de f ρ). Para tal conduziu-se, por F, o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento (que é um plano de perfil). O ponto F rebateu-se através do seu triângulo do rebatimento. M é o ponto de intersecção da charneira com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de F (note que não se identificou o ponto M no desenho) – M é o centro do arco do rebatimento de F. O triângulo do rebatimento de F é MFF1], que é rectângulo em F1, e o comprimento da sua hipotenusa ([M MF]) [M é a distância que nos permite rebater F. Construiu-se o triângulo do rebatimento de F em V.G. (pelo rebatimento do plano de perfil que contém o arco do rebatimento de F) – numa paralela à charneira (ou seja, no próprio eixo X) representou-se a cota de F, obtendo Fr1. O triângulo do rebatimento de F em MFr1F1] (recorde que não se identificou o ponto M, apesar de se lhe V.G. é [M (Continua na página seguinte) 64

SOLUÇÕES

fazer referência). Note que, devido a se ter efectuado o rebatimento do plano de perfil para a direita, Fr 1 ficou coincidente com A 2, mas que M苶 F苶r 苶1 para a perpendicular tal não se verificaria caso se tivesse rebatido o plano de perfil para a esquerda. Com centro em M transportou-se 苶 à charneira que passa por F1 (que é o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de F), obtendo Fr – f ρr passa por Fr e é paralelo ao eixo X (e a hρr). Por Fr e A r conduziu-se uma recta, que é r r – a recta r em rebatimento. Por O1 conduziu-se uma perpendicular O é um à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de O) e determinou-se Or sobre r r (O ponto de r, pelo que Or se situa sobre r r). Com o compasso, fazendo centro em Or e raio até A r, desenhou-se a circunferência circunscrita ao quadrado em V.G., em rebatimento, e construiu-se o polígono, inscrito na circunferência, em rebatimento. Note que o vértice Cr, do quadrado em rebatimento, se situa sobre a recta r r (a recta r é a recta suporte de uma diagonal do quadrado). Para inverter o rebatimento de C conduziu-se, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) C1), o que nos permitiu determinar C2, em seguida, sobre r 2. Para inverter – o ponto em que esta intersecta r 1 é a projecção horizontal de C (C o rebatimento de B e D conduziu-se, em rebatimento, uma recta s, do plano, passando pelos dois pontos – a recta s é a recta suporte da BD] do quadrado. Assim, a recta s, em rebatimento (sr), passa por B r e Dr – uma vez que s é a recta suporte da diagonal [B BD], vediagonal [B rifica-se que sr passa por Or. A recta sr é concorrente com hρr no ponto H’r – H’ é o traço horizontal da recta s. H’ é um ponto da charneira (é fixo – roda sobre si próprio), pelo que se tem imediatamente H’r ≡ H’1 – H’2 situa-se no eixo X. A recta sr é concorrente com f ρr no ponto F’r – F’ é o traço frontal da recta s. Para determinar as projecções de F’ conduziu-se, por F’r, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se F’1 sobre o eixo X – F’2 determinou-se em seguida, F’ é um ponto de f ρ). A partir das projecções de H’ e de F’ desenharam-se as projecções da recta s (note que as projecções da sobre f ρ (F recta s passam necessariamente pelas projecções homónimas de O). Conduzindo, por B r e Dr, as perpendiculares à charneira que por eles passam (que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) determinaram-se as projecções de B e D sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções.

190. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. O ponto P é um ponto de hρ, que é uma recta horizontal (fronto-horizontal) do plano com PQ] do quacota nula. Note que o ângulo dado (o ângulo que o lado [P drado faz com o traço horizontal do plano) é um ângulo real e não um ângulo em projecções – esse ângulo existe no espaço ou, mais precisamente, está contido no plano ρ e não é possível representá-lo directamente em projecções. O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto P é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de traçados optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hρ – hρ ≡ e1 ≡ hρr), pelo que se tem imediatamente Pr ≡ P1, pois P é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto A A é um ponto qualquer de f ρ, escolhido aleatoriamente, para rebater f ρ). (A O ponto A rebateu-se conforme exposto no relatório do exercício anterior para o rebatimento de F. Por A r conduziu-se f ρr, paralelo a hρr (e ao eixo X). Em rebatimento, a partir de Pr, mediu-se o ângulo dado (o ângulo PQ] faz com hρ – 30°) e determinou-se Qr, a 4 cm de Pr. A que o lado [P partir de Pr e Qr construiu-se o quadrado em VG., em rebatimento, obtendo R r e Sr. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a duas rectas do plano – as rectas r e s, que são as rectas suporte de dois lados do quaP S ] – Fr é o drado. A recta r r é, em rebatimento, a recta suporte do lado [P F é o traço frontal da recta r). As ponto de concorrência entre r r e f ρr (F projecções de F determinaram-se conduzindo, por F r , uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) – F1 situa-se no eixo X e F2 situa-se sobre f ρ. As projecções da recta r determinam-se imediatamente, P é o traço horizontal da recta r). Para determinar as projecções do ponto S conduziu-se, a partir das projecções homónimas de F e de P (P por Sr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) – as projecções de S estão sobre as projecções homónimas da recta r (o ponto S é um ponto da recta r). A recta sr é, em rebatimento, a recta suporte Q R] – as rectas r r e sr são paralelas entre si. H’r é o ponto de concorrência da recta sr com hρr – H’ é o traço horizontal da recta s e do lado [Q é um ponto da charneira, pelo que é fixo (roda sobre si próprio), pelo que se tem imediatamente H’1 ≡ H’r e H’2 situa-se no eixo X. F’r é o F’ é o traço frontal da recta s). As projecções de F’ determinaram-se de forma semelhante à exposta ponto de concorrência entre sr e f ρr (F para o ponto F. As projecções da recta s determinam-se imediatamente, a partir das projecções homónimas de F’ e de H’. Para determinar as projecções dos pontos Q e R conduziram-se, por Qr e por R r, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) – as projecções de Q e R estão sobre as projecções Q e R são dois pontos da recta s). A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas homónimas da recta s (Q projecções. Note que o ponto F’ não é fundamental para a determinação das projecções da recta s, pois esta poderia estar definida por um H’ o seu traço horizontal) e por uma direcção (a direcção da recta r, pois as duas rectas são paralelas). ponto (H

SOLUÇÕES

Um plano de rampa paralelo ao β2/4 é necessariamente ortogonal ao β1/3, pelo que o plano ρ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X. Com base no raciocínio acima apresentado, em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida constatou-se que não é dada a medida do lado da figura. No entanto, sendo dado que o lado A B] pertence ao Plano Frontal de Projecção, sabe-se imediatamente que [A A B] tem afastamento nulo, pelo que A e B são dois pontos de fρ. Por outro [A DE] pertence ao Plano Horizontal de Projecção, lado, uma vez que o lado [D DE] tem cota nula, pelo que D e E são dois ponsabe-se imediatamente que [D AE] e [B BD] são de tos de hρ. Por outro lado, ainda, sabendo que as diagonais [A perfil, é possível, de forma imediata, representar os pontos A e E pelas respectivas projec-ções, pois os dois pontos têm a mesma abcissa – não é possível representar os pontos B e D, pois não é conhecida a medida do lado do hexágono. O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projecção e o ponto E é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de traçados é indistinto rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hρ – hρ ≡ e1 ≡ hρr), pelo que se tem imediatamente Er ≡ E1, pois E é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – A é um ponto de fρ). O ponto A rebateu-se conforme exposto no o ponto A (A relatório do exercício 189 para o rebatimento de F. Por Ar conduziu-se fρr, paralelo a hρr (e ao eixo X). Em rebatimento, já temos dois pontos do hexágono em V.G. – Ar e Er são dois extremos de uma das diagonais menores do hexáAE] do hexágono faz, com a diagogono, pelo que a construção do hexágono requer um raciocínio particular. Esse raciocínio é que a diagonal [A AD] contém dois vértices diametralmente opostos do hexágono e, por isso mesmo, contém o centro da AD], um ângulo de 30o (a diagonal [A nal [A figura). Por outro lado, sabe-se que D é um ponto de hρ. Assim, a partir de Ar mediram-se 30o em V.G. e obteve-se Dr sobre hρr – uma vez que a BD] é de perfil e B é um ponto de fρ, a determinação de Br, sobre fρr é imediata. As diagonais [A AD] e [B BE] bissectam-se no centro do diagonal [B O é o centro da figura). Com o hexágono (que é o centro da circunferência circunscrita ao hexágono), o que nos permitiu determinar Or (O compasso, fazendo centro em Or e raio até Ar (ou até Br ou até Dr ou até Er, pois todos estes pontos estão equidistantes de Or), desenhou-se a circunferência circunscrita ao hexágono (a circunferência passa pelos quatro pontos). Em seguida, construiu-se o hexágono em V.G., em rebatimento, obtendo Cr e Fr. Para determinar as projecções da figura, há que inverter o rebatimento, o que se processa invertendo o rebatimento de cada um dos pontos. A inversão do rebatimento dos pontos D e B é imediata, com o recurso a uma perpendicular à charneira que contém os dois pontos (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém os respectivos arcos do rebatimento, que é o mesmo plano). D1 ≡ Dr, pois D é um ponto da charneira e D2 situa-se no eixo X. B 1 situa-se no eixo X, pois B é um ponto de f ρ (tem afastamento nulo) e B 2 situa-se O). sobre f ρ. Os pontos C e F situam-se numa recta fronto-horizontal do plano ρ – essa recta é a recta g, que passa pelo centro da figura – (O BE] (poderia ter-se recorrido à diagonal [A AD]) e por O conduziu-se uma perpendicular à Assim, determinaram-se as projecções da diagonal [B charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), o que nos permitiu determinar as projecBE]. Pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas da recta g – g está definições de O sobre as projecções da diagonal [B da por um ponto (o ponto O) e uma direcção (é fronto-horizontal). Por Cr e Fr conduziram-se as perpendiculares à charneira que por eles passam (que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) e determinaram-se as projecções de C e F sobre as projecções homónimas da recta g (recorde que C e F são dois pontos da recta g). A partir das projecções dos seis vértices da figura, desenharam-se as suas projecções.

191.

192. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ pelos seus traços, em função dos dados. Note que não é possível, de forma imediata, determinar as projecções do ponto O, o centro da circunferência, pois apenas se sabe que a figura é tangente ao dois planos de projecção – O está necessariamente equidistante dos dois traços do plano. Este raciocínio permitir-nos-ia determinar as projecções de O com alguns traçados auxiliares, mas optou-se por determinar o ponto O previamente em rebatimento. O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano para o Plano Horizontal de Projecção (ao nível da economia de traçados, é indistinto rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção ou para o Plano Frontal de Projecção), pelo que a charneira é hρ – hρ ≡ e1 ≡ hρr. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos A é um ponto qualquer de f ρ, escolhido aleatoriamente, seus pontos – o ponto A (A para rebater f ρ). O ponto A rebateu-se conforme exposto no relatório do exercício 189 para o rebatimento de F. Por A r conduziu-se f ρr, paralelo a hρr (e ao eixo X). Em rebatimento, determinou-se Or, equidistante de f ρr e de hρr (optou-se por localizar Or no plano de perfil que contém A, mas tal não é essencial – tem vantagens apenas ao nível da economia de traçados). Com centro em Or, desenhou-se a circunferência em V.G., em rebatimento, tangente a f ρr e a hρr (note que a circunferência é (Continua na página seguinte) 66

SOLUÇÕES

tangente a f ρr em A r. As duas projecções da circunferência serão e l i p s e s, cujo desenho requer, no mínimo, oito dos seus pontos, para além do paralelogramo envolvente e, de preferência, os seus dois eixos. Note que o diâmetro que não sofre deformação em projecção frontal é o mesmo que também não sofre deformação em projecção horizontal (é o diâmetro fronto-horizontal da circunferência) – esse diâmetro é aquele que nos dará os eixos maiores das duas elipses. Por outro lado, o diâmetro da circunferência que sofre a deformação máxima em projecção frontal é o mesmo que também sofre a deformação máxima em projecção horizontal (é o diâmetro de perfil da circunferência) – esse diâmetro é aquele que nos dará os eixos menores das duas elipses. O eixo de homologia é a charneira, que é hρ. Assim, inscreveu-se a cirPQRS]) e desenharam-se as suas medianas e as suas diagonais (que se cunferência num quadrado de lados paralelos a hρ (o quadrado [P bissectam duas a duas em Or). Os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado dão-nos, imediatamente, os extremos dos dois eixos das elipses – a mediana fronto-horizontal é o diâmetro cujas projecções são os eixos maiores das duas elipses, enquanto que a mediana de perfil é o diâmetro cujas projecções são os eixos menores das duas elipses. Em seguida, inverteu-se o rebatimento dos vértices do quadrado e determinaram-se as duas projecções da figura (o quadrado), a partir dos seus vértices – um dos lados do quadrado está contido em hρ e outro lado está contido em f ρ. Note que as duas projecções do quadrado são rectângulos. Em seguida, desenharam-se, em projecções, as medianas e das diagonais do quadrado (as diagonais e as medianas dos dois rectângulos). Os pontos em que as medianas do quadrado se apoiam nos seus lados (em projecções) são, imediatamente, quatro pontos de cada uma das elipses e são, também, os pontos de tangência das elipses aos lados do quadrado (dos rectângulos que são as projecções do quadrado). Já temos quatro pontos para o desenho de cada uma das elipses. Os outros quatro pontos são os pontos de intersecção da circunferência com as diagonais do quadrado – estes transportaram-se para as projecções das diagonais através das perpendiculares à charneira que por eles passam (que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento). A partir dos oito pontos assim determinados, desenharam-se as duas elipses que são as projecções da circunferência pedida, atendendo às situações de tangência atrás referidas.

193.

Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelo seu traço horizontal (o único que é dado, uma vez que o plano ρ está definido pela sua orientação), bem como o ponto A, pelas suas projecções, em função dos dados – A é um ponto de hρ, que é uma recta horizontal (fronto-horizontal) do plano com cota nula. O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de traçados optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hρ – hρ ≡ e1 ≡ hρr), pelo que se tem imediatamente Ar ≡ A1, pois A é um ponto da charneira. Note ainda que não seria possível rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção, pois não é conhecido o seu traço frontal (que seria, nessa situação, a charneira). Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, mesmo sem este ser conhecido. Para rebater fρ é necessário rebater um dos seus pontos – considerou-se um ponto P, qualquer, pertencente a fρ. Uma vez que P será um ponto com afastamento nulo, sabe-se imediatamente que P1 se situa no eixo X. No sentido de uma maior economia de traçados, optou-se por se situar o ponto P no plano de perfil que contém A, pelo que se tem P1 ≡ A2. O plano de perfil que contém os dois pontos é o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P e, por conseguinte, também contém o triângulo do rebatimento de P. O triângulo do rebatimento de P, no espaço, é o APP1] (note que A é o ponto de intersecção da chartriângulo [A neira com o plano de perfil que contém o triângulo, pelo que A é APP1] é reco centro do arco do rebatimento de P). O triângulo [A A P] está contida numa recta de tângulo em P1 e a hipotenusa [A perfil (que é a recta de intersecção do plano ρ com o plano de perfil que contém o triângulo). Sabe-se que o diedro que um plano de rampa faz com o Plano Horizontal de Projecção tem a mesma amplitude que o ângulo que as rectas de perfil do plano fazem com o Plano Horizontal de Projecção – assim, sabe-se imediatamente que a hipotenusa A P] faz, com o Plano Horizontal de Projecção, um ângulo de 60o, sendo que P se situa no SPFS. Assim, desenhou-se o triângulo do rebatimento [A de P directamente em V.G., pelo rebatimento do plano de perfil – com vértice em Ar mediu-se o ângulo de 60o com hfr, obtendo Pr1 no eixo X. Pr1 ArP1Pr1] é o triângulo do rebatimento de P em V.G. – com o compasso, é o ponto P rebatido pelo rebatimento do plano de perfil e o triângulo [A fazendo centro em P1 e raio até Pr1 (o raio corresponde à cota de P) inverteu-se o rebatimento do plano de perfil, obtendo P2, pelo qual se conduziu fρ. Para rebater o ponto P, pelo rebatimento do plano ρ, com o recurso ao compasso, com centro em Ar (que é o centro do arco do rebatimento de P, no rebatimento do plano ρ) e raio até Pr1 (a medida da hipotenusa do triângulo do rebatimento de P, em V.G.), desenhou-se um arco até à perpendicular à charneira que passa por P1 (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), obtendo Pr. Por Pr conduziu-se fρr. A partir de todos os procedimentos efectuados, que consistiram em rebater o plano ρ que estava definido por A BCD]. Note uma recta e pela sua orientação, passou-se à realização dos traçados necessários à determinação das projecções do quadrado [A A B] do quadrado faz com o traço horizontal do plano) é um ângulo real e não um ângulo em projecque o ângulo dado (o ângulo que o lado [A ções – esse ângulo existe no espaço ou, mais precisamente, está contido no plano ρ e não é possível representá-lo directamente em projecções. Esta situação é semelhante à do exercício 190, pelo que se aconselha o acompanhamento da restante resolução com a leitura daquele relatório.

SOLUÇÕES

194. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelo seu traço horizontal (o único dado concreto, uma vez que é referido que os traços do plano distam, entre si, 9 cm, e essa medida não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção), bem como o ponto A, pelas suas projecções, em função dos dados – A é um ponto de h ρ, que é uma recta horizontal (fronto-horizontal) do plano com cota nula. O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. O ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, pelo que se rebateu o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hρ – hρ ≡ e1 ≡ hρr) – tem-se imediatamente Ar ≡ A1, pois A é um ponto da charneira. Note que não seria possível rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção, pois não é conhecido o seu traço frontal (que seria, nessa situação, a charneira). Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, mesmo sem este ser conhecido. Para rebater fρ é necessário rebater um dos seus pontos – considerou-se um ponto P, qualquer, pertencente a fρ. Uma vez que P será um ponto com afastamento nulo, sabe-se imediatamente que P1 se situa no eixo X. No sentido de uma maior economia de traçados, optou-se por se situar o ponto P no plano de perfil que contém A, pelo que se tem P1 ≡ A2. O plano de perfil que contém os dois pontos é o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P e, por conseguinte, também contém o triângulo do rebatimento de P. O triângulo do rebatimento de P, no espaço, é o triânAPP1] (note que A é o ponto de intersecção da chargulo [A neira com o plano de perfil que contém o triângulo, pelo que A é o centro do arco do rebatimento de P). O triângulo [A APP1] é rectângulo em P1 e a hipotenusa [A A P] está contida numa recta de perfil (que é a A P] mede 9 cm, que é a distância entre os dois traços do plano. recta de intersecção do plano ρ com o plano de perfil que contém o triângulo) – [A Assim, desenhou-se o triângulo do rebatimento de P directamente em V.G., pelo rebatimento do plano de perfil – com o recurso ao compasso, Pr1 está a 9 cm de Ar). Pr1 é o fazendo centro em Ar e com 9 cm de raio (a distância entre os dois traços do plano) determinou-se Pr1 no eixo X (P ArP1Pr1] é o triângulo do rebatimento de P em V.G. – com o compasso, fazenponto P rebatido pelo rebatimento do plano de perfil e o triângulo [A do centro em P1 e raio até Pr1 (o raio corresponde à cota de P) inverteu-se o rebatimento do plano de perfil, obtendo P2, pelo qual se conduziu fρ. Para rebater o ponto P, pelo rebatimento do plano ρ, com o recurso ao compasso, com centro em Ar (que é o centro do arco do rebatimento de P, no rebatimento do plano ρ) e raio até Pr1 (o raio é 9 cm, que é a medida da hipotenusa do triângulo do rebatimento de P), desenhou-se um arco até à perpendicular à charneira que passa por P1 (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), A B] do triângulo faz com o traço horizontal do plano) é um ânobtendo Pr. Por Pr conduziu-se fρr. Note que o ângulo dado (o ângulo que o lado [A gulo real e não um ângulo em projecções – esse ângulo existe no espaço ou, mais precisamente, está contido no plano ρ e não é possível representá-lo directamente em projecções. Esta situação é semelhante à do exercício 190, pelo que se aconselha o acompanhamento da restanA BC] em V.G., em rebatimento, para determinar as projecções da te resolução com a leitura daquele relatório. Após a construção do triângulo [A figura é necessário inverter o rebatimento, invertendo o rebatimento dos pontos B e C. Para tal recorreu-se a uma recta r, que contém os dois B C] do triângulo. A recta rr é, em rebatimento, a recta suporte do lado [B B C]. Hr é o ponto de concorpontos – a recta r é a recta suporte do lado [B rência da recta rr com hρr – H é o traço horizontal da recta r e é um ponto da charneira, pelo que é fixo (roda sobre si próprio), pelo que se tem F é o traço frontal da recta r). As projecções de F imediatamente H1 ≡ Hr e H2 situa-se no eixo X. Fr é o ponto de concorrência entre rr e fρr (F determinaram-se de forma semelhante à exposta para o ponto F no relatório do exercício 189. As projecções da recta r determinam-se imediatamente, a partir das projecções homónimas de F e de H. Para determinar as projecções dos pontos B e C conduziram-se, por Br e por Cr, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do B e C são dois pontos da recta r). A partir das projecrebatimento) – as projecções de B e C estão sobre as projecções homónimas da recta r (B ções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.

195. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes com o eixo X) e pelas projecções do ponto P. Para determinar as projecções do quadrado, há que rebater previamente o plano ρ e construir o quadrado em V.G., em rebatimento, pois o polígono não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Na presente situação, não há qualquer diferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá rebater o plano ρ, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hρ, que é o próprio eixo X). Para rebater o ponto P recorreu-se ao seu triângulo do rebatimento. Assim, por P conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) – O é o centro do arco do rebatimento de P (note que não se identificou o ponto O, que é o ponto de intersecção da charneira com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P). O triângulo do rebatimento de P é [O OPP1], que é rectângulo em P1, e o comprimento da sua hipotenusa ([O OP]) é a distância que nos permite rebater P. Construiu-se o triângulo do rebatimento de P em V.G. (pelo rebatimento do plano de perfil que contém P, que é o plano ortogonal à charneira que contém o arco (Continua na página seguinte) 68

SOLUÇÕES

do seu rebatimento) – numa paralela à charneira que passa por P1 representou-se a cota de P, obtendo Pr1. O triângulo do rebatimento O苶 P苶r 苶1 para OPr1P1]. Com centro em O transportou-se 苶 de P em V.G. é [O a perpendicular à charneira que passa por P1, obtendo Pr. A partir de Pr, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, de acordo com Q é um ponto do eixo X), à direita de P, os dados – Qr está no eixo X (Q P苶Q Q苶r = 6 cm (que é a medida do lado do polígono). A construtal que 苶 r苶 ção do quadrado em rebatimento permitiu-nos determinar também R r e Sr. Para determinar as projecções do quadrado, há que inverter o rebatimento e determinar as projecções de Q, R e S. Q é um ponto da charneira (roda sobre si próprio, pelo que é fixo), pelo que as suas projecções se determinam imediatamente. Para inverter o rebatimento de S recorreu-se a uma recta do plano – a recta r, que é a recta suPS] do quadrado. A recta rr é a recta r em rebatimento porte do lado [P e passa por Pr e por Sr. A recta rr é concorrente com o eixo X (que é a charneira) num ponto, que é fixo (roda sobre si próprio) – as projecções da recta r determinaram-se imediatamente, a partir do seu ponto de concorrência com o eixo X e das projecções do ponto P. Conduzindo, por Sr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de S sobre as projecções homónimas da recta r. Para inverter o rebatimento do ponto R recorreu-se a outra QR] do quadrado. A recta s é paralela à recta r. A recta sr passa por Qr e por R r e é recta do plano – a recta s, que é a recta suporte do lado [Q paralela a rr. Q é o ponto de concorrência da recta s com o eixo X, e é fixo – as projecções da recta s desenharam-se imediatamente, pois a recta está definida por um ponto (o ponto Q) e por uma direcção (é paralela à recta r). Conduzindo, por R r, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de R sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções.

196. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes com o eixo X) e pelas projecções do ponto A . Para determinar as projecções do triângulo, há que rebater previamente o plano ρ e construir o triângulo em V.G., em rebatimento, pois o polígono não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Nesta situação não há qualquer diferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá rebater o plano ρ, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hρ, que é o próprio eixo X). Para rebater o ponto A recorreu-se ao seu triângulo do rebatimento, o que consiste no processo exposto no relatório do exercício anterior para o rebatimento do ponto P, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. A partir de A r, construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, B é um ponto do eixo X), de acordo com os dados – B r está no eixo X (B A 苶B B苶r = 7 cm (que é a medida do lado do polígoà direita de A , tal que 苶 r苶 no). A partir de A r e de B r construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, e determinou-se C r . Para determinar as projecções do triângulo, há que inverter o rebatimento e determinar as projecções de B e C. B é um ponto da charneira (roda sobre si próprio, pelo que é fixo), pelo que as suas projecções se determinam imediatamente. Para inverter o rebatimento de C recorreu-se a uma recta do plano – a A B] do triângulo. recta s. A recta s é uma recta do plano ρ, paralela a uma outra recta do plano ρ – a recta r, que é a recta suporte do lado [A A recta r r é a recta r em rebatimento e passa por A r e por B r. As projecções da recta r determinam-se imediatamente, a partir das projecções homónimas de A e B (note que a recta r é apenas uma recta auxiliar, essencial à determinação das projecções da recta s). A recta sr passa por Cr e é paralela a r r. A recta sr é concorrente com o eixo X num ponto que é fixo – as projecções da recta s determinam-se imediatamente, a partir do seu ponto de concorrência com o eixo X, sendo paralelas às projecções homónimas da recta r (as duas rectas são paralelas e a recta s está definida por um ponto e uma direcção). Conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.

SOLUÇÕES

197. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes com o eixo X) e pelas projecções do ponto P. Os dados do enunciado permitiram-nos, ainda, determinar a projecção frontal do ponto A. Para determinar a projecção horizontal de A recorreu-se a uma recta r, do plano, passando por P e por A – as projecções da recta r (que é uma recta passante) desenharam-se a partir da sua projecção frontal, que passa por P2 e por A2. A1 situa-se sobre r1, na linha de chamada de A2. Para determinar as projecções do quadrado, há que rebater previamente o plano ρ e construir o quadrado em V.G., em rebatimento, pois o polígono não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Mais uma vez não há qualquer diferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá rebater o plano ρ, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira é fρ, que é o próprio eixo X). Assim, por P conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) – O é o centro do arco do rebatimento de P (note que não se identificou o ponto O, que é o ponto de intersecção da charneira com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatiOPP2], que é rectângulo mento de P). O triângulo do rebatimento de P é [O OP]) é a distância que nos em P2, e o comprimento da sua hipotenusa ([O permite rebater P. Construiu-se o triângulo do rebatimento de P em V.G. (pelo rebatimento do plano de perfil que contém P, que é o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) – numa paralela à OPr1P2]. Com centro charneira que passa por P2 representou-se o afastamento de P, obtendo Pr1. O triângulo do rebatimento de P em V.G. é [O O苶 P苶r苶1 para a perpendicular à charneira que passa por P2, obtendo Pr. A partir de Pr rebateu-se a recta r – rr fica definida por em O transportou-se 苶 Pr e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo. Conduzindo, por A2, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano orA é um ponto da recta r). Note que o ângulo dado (o ântogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) determinou-se Ar sobre rr (A A B] do triângulo faz com o eixo X) é um ângulo real e não um ângulo em projecções – esse ângulo existe no espaço ou, mais gulo que o lado [A precisamente, está contido no plano ρ e não é possível representá-lo directamente em projecções. Assim, em rebatimento, a partir de A r, A B] faz com o eixo X – 60o) e determinou-se Br, a 5 cm (a medida do lado do quadrado) de Ar. mediu-se o ângulo dado (o ângulo que o lado [A B A A partir de r e r construiu-se o quadrado em VG., em rebatimento, obtendo Cr e Dr. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a duas rectas do plano – as rectas a e b, que são as rectas suporte de dois lados do quadrado. A situação exposta é, assim, semelhante à utilizada para inverter o rebatimento do plano ρ no exercício 195, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução sequente com a leitura daquele relatório.

198. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes com o eixo X). Uma vez que é dada a orientação do plano ρ, não nos é possível determinar as projecções do ponto A – os dados do enunciado permitiram-nos, apenas, determinar a projecção horizontal do ponto A. Para determinar as projecções do triângulo, há que rebater previamente o plano ρ e construir o triângulo em V.G., em rebatimento, pois o polígono não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Mais uma vez não há qualquer diferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá rebater o plano ρ, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hρ, que é o próprio eixo X). Para rebater o plano ρ é necessário rebater o ponto A , para o que é necessário o recurso ao seu triângulo do rebatimento. O triânOAA1] – O gulo do rebatimento de A, no espaço, é o triângulo [O é o centro do arco do rebatimento de A e é o ponto de intersecção da charneira com o plano de ortogonal à charneira que contém o triângulo do rebatimento de A . O triângulo OA] está contida numa recta de perfil (que é a recta de intersecção do plano ρ com o plano de OAA1] é rectângulo em A 1 e a hipotenusa [O [O perfil que contém o triângulo do rebatimento de A). Sabe-se que o diedro que um plano de rampa (um plano passante é um plano de rampa) faz com o Plano Frontal de Projecção tem a mesma amplitude que o ângulo que as rectas de perfil do plano fazem com o Plano Frontal de (Continua na página seguinte) 70

SOLUÇÕES

O A] faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 60°. Esse ângulo Projecção – assim, sabe-se imediatamente que a hipotenusa [O estará em V.G. no ângulo que a hipotenusa do triângulo fará com o eixo X (sugere-se que tente visualizar a situação no espaço, para uma melhor compreensão do exposto). Assim, desenhou-se o triângulo do rebatimento de A directamente em V.G., pelo rebatimento do plano de perfil – com vértice em O mediu-se o ângulo de 60o, o que nos permitiu determinar A r com o eixo X (que corresponde a um ângulo de 30o O A1] do triângulo), obtendo A r 1 na paralela ao eixo X que passa por A 1 (note que o segmento [A A r 1A 1] corresponde à cota de A , com o lado [O O A1A r 1] é o triângulo do rebatimento de A que era desconhecida. A r 1 é o ponto A rebatido pelo rebatimento do plano de perfil e o triângulo [O em V.G. – com o compasso, fazendo centro em O e raio até A r 1 (a hipotenusa do triângulo do rebatimento de A , que é o raio do arco do rebatimento de A ), desenhou-se um arco até à perpendicular à charneira que passa por A 1 (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), obtendo A r. Note que todos os procedimentos atrás explicitados consistiram em rebater o plano ρ, que estava definido por uma recta e pela sua orientação. Em seguida passou-se à realização dos traçados necessários à determinação das A B C], que se trata de uma situação semelhante à do exercício 196, pelo que se aconselha o acompanhamento da projecções do triângulo [A resolução sequente com a leitura daquele relatório.

199. Em primeiro lugar representaram-se os pontos R e S, pelas respectivas projecções, em função dos dados – os dois pontos pertencem ao β1/3, pelo que as suas projecções são simétricas em relação ao eixo X (os dois pontos têm cota igual ao afastamento, pois pontos do β1/3 têm coordenadas iguais). Note que não é necessário representar os traços do β1/3 (que estão coincidentes no eixo X, pois trata-se de um plano passante). Note ainda que se trata de uma situação semelhante à do exercício anterior, se bem que com alguns contornos diferentes – o β1/3 está igualmente definido por uma recta (o eixo X) e pela sua orientação (faz diedros de 45o com os dois planos de projecção). No entanto, ao contrário da situação anterior, foi possível determinar, imediatamente, as d u a s p r o j e c ç õ e s dos pontos dados. Para determinar as projecções do triângulo, há que rebater previamente o β1/3 e construir o triângulo em V.G., em rebatimento, pois o polígono não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o β1/3 não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Não há qualquer diferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá rebater o β1/3, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o β1/3 para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é o próprio eixo X). Assim, por S conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) So é o ponto de intersecção – So é o centro do arco do rebatimento de S (S da charneira com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do SoS S1], que é recrebatimento de S). O triângulo do rebatimento de S é [S SoS]) é a distância tângulo em S1, e o comprimento da sua hipotenusa ([S que nos permite rebater S. Construiu-se o triângulo do rebatimento de S em V.G. (pelo rebatimento do plano de perfil que contém S, que é o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento e, nesta siuação, é o próprio plano YZ) – numa paralela à charneira que SoSr 1S1]. Note que [S SoSr 1] é a hipotenusa passa por S1 representou-se a cota de S, obtendo Sr 1. O triângulo do rebatimento de S em V.G. é [S SoS] está contido numa recta de perfil do do triângulo do rebatimento de S e o seu comprimento é o raio do arco do rebatimento de S – [S SoSr 1] faz um ângulo de 45o com o eixo X e um ângulo de 45o com [S SoS1]). Com centro em So transportou-se 苶 S苶S S苶r 苶1 para a β1/3, pelo que [S o苶 perpendicular à charneira que passa por S1, obtendo Sr. Para determinar R r, e para evitar a construção de novo triângulo do rebatimento, recorreu-se a uma recta r, do β1/3 – a recta que passa por R e S (é uma recta passante, concorrente com o eixo X num ponto fixo). A recta r r (a recta r em rebatimento) fica definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X e por Sr. Conduzindo, por R 1, uma perpendicular à R é um ponto charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) determinou-se R r sobre r r (R da recta r). A partir de R r e Sr construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, obtendo Tr. Para inverter o rebatimento de T recorreu-se a uma recta do plano – a recta s. A recta s é uma recta do β1/3 paralela à recta r. A recta sr passa por Tr e é paralela a r r. A recta sr é concorrente com o eixo X num ponto que é fixo – as projecções da recta s determinam-se imediatamente, a partir do seu ponto de concorrência com o eixo X, sendo paralelas às projecções homónimas da recta r (as duas rectas são paralelas e a recta s está definida por um ponto e uma direcção). Conduzindo, por Tr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de T sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.

SOLUÇÕES

200. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e os pontos A e B, pertencentes ao plano α, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano α é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coincidentes. O ponto A é um ponto de hα, que é uma recta horizontal (de nível) do plano com afastamento nulo. O ponto B é um ponto de f α, que é uma recta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção e que o ponto B é um ponto do Plano Frontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano α para o Plano Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr), pelo que se tem imediatamente Ar ≡ A1, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto B, que é um ponto de fα (ver relatório do exercício 175). A partir de A r e de Br construiu-se o rectângulo em V.G., em rebatimento, obtendo Cr e Dr. Para inverter o rebatimento recorreu-se à recta suporte CD] do rectângulo – a recta r. A recta rr é a recta r em do lado [C rebatimento e passa por Cr e por Dr. Hr é o ponto de concorrência de rr com hαr – H é o traço horizontal da recta r e é um H1 ≡ Hr e H2 situa-se no ponto da charneira, pelo que é fixo (H eixo X). Fr é o ponto de concorrência de rr com fαr – F é o traço frontal da recta r (é um ponto com afastamento nulo). Para inverter o rebatimento de F conduziu-se, por F1, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se F1 sobre o eixo X – F2 situa-se sobre fα, pois F é um ponto de fα. As projecções da recta r estão definidas pelas projecções homónimas de F e H. Conduzindo, por Cr e Dr, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaram-se C1 e D1 sobre r1 – C2 e D2 situam-se sobre r2, nas respectivas linhas de chamada. A partir das projecções dos quatro vértices do rectângulo, desenharam-se as suas projecções. Note que a inversão do rebatimento se poderia ter processado com o recurso a rectas horizontais (de nível) do plano (à semelhança do efectuado no exercício 182) ou com o recurso a recta frontais (de frente) do plano (à semelhança do efectuado no exercício 180), mas tal implicaria o recurso a duas rectas para inverter o rebatimento, o que se processou com o recurso a, apenas, uma única recta, o que se traduziu em maior economia de traçados.

201. Em primeiro lugar representou-se o plano θ, pelos seus traços, e determinaram-se as projecções do ponto O, pertencente ao plano, em função dos dados. O plano θ é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coincidentes. A recta h é a recta horizontal (de nível) do plano, com 4 cm de cota, a que se recorreu para determinar as projecções do ponto O. Para determinar as projecções da circunferência, há que rebater o plano θ e construir a circunferência em V.G., em rebatimento, pois a figura não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano θ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Na presente situação, não há qualquer diferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá rebater o plano θ, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o plano θ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hθ). Para rebater o plano θ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (o traço frontal da recta h), por exemplo. O rebatimento de F e de fθ processou-se conforme exposto no relatório do exercício 175. A recta hr é a recta h em rebatimento – Fr) e por uma direcção (é paestá definida por um ponto (F ralela a hθr, pois rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e ao traço horizontal do plano, no espaço, (Continua na página seguinte) 72

SOLUÇÕES

em projecções e em rebatimento). Conduzindo, por O1, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinou-se Or sobre hr. Em seguida, com o compasso, fazendo centro em Or e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a circunferência em V.G., em rebatimento. Note que as duas projecções da circunferência serão elipses. Assim, tratando-se de duas elipses, é necessário ter em conta que o desenho de cada uma requer alguns cuidados particulares, nomeadamente um mínimo de oito pontos e, se possível, os dois eixos (de cada uma) e um paralelogramo envolvente. A relação mais directa é a que existe entre a circunferência em V.G. e a elipse que é a sua projecção horizontal, sendo uma relação homológica cujo eixo de homologia é hθ (a charneira do rebatimento). Tratemos, então, da elipse que é a projecção horizontal da circunferência. Assim, inscreveu-se a circunferência num quadrado (o quadrado A BCD]) de lados paralelos ao eixo de homologia (que é hθ) e desenharam-se as suas medianas e as suas diagonais. Os extremos das media[A nas do quadrado são os pontos em que a circunferência é tangente aos quatro lados do quadrado e dão-nos, imediatamente, os extremos dos dois eixos da elipse que é a projecção horizontal da circunferência. Assim, a projecção horizontal do diâmetro da circunferência que é paralelo a hθr corresponderá ao eixo maior da referida elipse (por ser paralelo ao eixo de homologia e, assim, não sofrer qualquer deformação), enquanto que a projecção horizontal do diâmetro que é perpendicular a hθr corresponderá ao eixo menor da elipse (por ser aquele que é perpendicular ao eixo de homologia e, assim, sofrer a maior redução). As projecções horizontais dos extremos dos dois diâmetros referidos serão, imediatamente, quatro pontos da elipse – os outros quatro pontos serão os pontos de intersecção da circunferência com as diagonais do quadrado em que aquela se inscreve. Para determinar as projecções da circunferência começou-se, então, por inverter o rebatimento e construir as projecções do A BCD]. A recta h’ é a recta horizontal (de nível) do plano a que se recorreu para inverter o rebatimento dos pontos A e B – a recta h’ é quadrado [A A B] do quadrado (ver exercício 182 e respectivo relatório). A recta h’’ é a recta horizontal (de nível) do plano a que se a recta suporte do lado [A CD] do quadrado (ver exercício 182 e respectivo recorreu para inverter o rebatimento dos pontos C e D – a recta h’’ é a recta suporte do lado [C relatório). A partir das projecções de A, B, C e D desenharam-se as duas projecções do quadrado envolvente da circunferência – a projecção horizontal do quadrado é um rectângulo e a sua projecção frontal é um paralelogramo. Em projecções, desenharam-se as projecções das medianas e das diagonais do quadrado, que se bissectam duas a duas sobre as projecções homónimas do ponto O. Os pontos em que as medianas do rectângulo (que é a projecção horizontal do quadrado) se apoiam nos lados do polígono são, imediatamente, quatro pontos da elipse que é a projecção horizontal da circunferência e são, também, os extremos dos dois eixos da figura. Os pontos em que as medianas do paralelogramo (que é a projecção frontal do quadrado) se apoiam nos lados do polígono são, imediatamente, quatro pontos da elipse que é a projecção frontal da circunferência – ao contrário da projecção horizontal, no entanto, estes quatro pontos não são os extremos dos dois eixos da elipse. Já temos quatro pontos de cada uma das elipses. Conduzindo, pelos pontos em que a circunferência (em rebatimento) corta as A BCD], as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira diagonais do quadrado [A que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaram-se as projecções horizontais daqueles pontos – a partir das projecções horizontais desses quatro pontos, determinaram-se as suas projecções frontais sobre as projecções frontais das diagonais do quadrado. Já temos oito pontos para desenhar cada uma das duas curvas. No que respeita à elipse que é a projecção horizontal da circunferência, esta foi desenhada a partir dos seus dois eixos e atendendo às situações de tangência da curva em relação aos lados do rectângulo em que se inscreve. Já no que respeita à elipse que é a projecção horizontal da circunferência, optou-se por desenhá-la imediatamente, a partir dos oito pontos determinados e dos seus pontos de tangência ao paralelogramo envolvente. No entanto, este desenho carece do rigor da outra elipse, uma vez que não foram determinados os seus dois eixos. Para tal bastaria, em rebatimento, determinar o diâmetro da circunferência que é paralelo a fθr e o outro que lhe é perpendicular – a projecção frontal do primeiro seria o eixo maior dessa elipse e a projecção frontal do segundo seria o eixo menor dessa mesma elipse. Esse procedimento dar-nos-ia mais quatro pontos da curva em cada uma das projecções, o que permitiria um desenho ainda mais preciso das duas elipses (com um total de doze pontos). No entanto, optou-se por não efectuar esses procedimentos na solução apresentada, uma vez que a quantidade de informação gráfica que tal iria provocar dificultaria, em muito, a leitura da resolução gráfica proposta.

202. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelo seu traço horizontal (o único que é conhecido), bem como os pontos A e B, pelas suas projecA B] do hexágono, porque ções, em função dos dados. Note que o lado [A tem cota nula, se situa em hρ (que é uma recta horizontal do plano com cota nula) e, atendendo a que hρ é uma recta fronto-horizontal, o segmento A B] projecta-se em V.G. em ambas as projecções. Os dados do enuncia[A do não nos permitem desenhar f ρ, mas é possível prosseguir com o exercício. O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo processo do rebatimento, o que nos obriga a rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção, pois não se conhece o seu traço frontal (que seria a charneira, caso se efectuasse o rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de Projecção). Assim, a charneira foi hρ, pelo que se tem imediatamente hρ ≡ e1 ≡ hρr – A r ≡ A 1 e B r ≡ B 1, pois A e B são dois pontos da charneira. A partir de A r e B r efectuaram-se os traçados necessários à determinação do centro da figura em rebatimento (o ponto Or) e à construção do hexágono em V.G., em rebatimento. Sabe-se que os vértices D e E têm afastamento nulo, pelo que é possível conduzir f ρr directamente por Dr e por Er – D e E são dois pontos de f ρ. Tenha em conta que, sabendo que D e E são dois pontos de f ρ é possível, de forma imediata, determinar as suas projecções horizontais, que se situam no eixo X – conduzindo, por Dr e Er as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do (Continua na página seguinte) 73

SOLUÇÕES

D1 ≡ B 2 e E1 ≡ A 2). Para inverter o rebatimento, é necessário determinar f ρ em primeiro rebatimento), é possível determinar D1 e E1 no eixo X (D lugar, o que se processa invertendo o rebatimento de um dos seus pontos – o ponto D, por exemplo. Consideremos, então, o ponto D – o BD] do hexátriângulo do rebatimento de D está contido num plano ortogonal à charneira (que é o plano de perfil que contém a diagonal [B gono), plano esse que corta a charneira no ponto B. O ponto B é, assim, um dos vértices do triângulo do rebatimento de D e é o centro do BDD1], que é rectângulo em D1). Com o compasso, fazendo cenarco do rebatimento de D (o triângulo do rebatimento de D é o triângulo [B B r Dr], e o seu comprimento está em V.G. e é o raio do arco do tro em B r e com raio até Dr (a hipotenusa do triângulo em rebatimento é [B rebatimento de D) desenhou-se um arco de circunferência até ao eixo X, onde se situa Dr 1. Dr 1 é o ponto D rebatido pelo rebatimento do B r D1Dr 1] é o triângulo do rebatimento de D em V.G. – com o compasso, fazendo centro em D1 e raio até Dr 1 (o plano de perfil e o triângulo [B raio corresponde à cota de D) inverteu-se o rebatimento do plano de perfil, obtendo D2, pelo qual se conduziu f ρ. Sobre a inversão do rebatimento dos restantes vértices do hexágono, a atendendo a que doravante esta situação é semelhante à situação do exercício 191, sugere-se A D] do hexágono. A recta o acompanhamento da resolução sequente com a leitura daquele relatório. A recta r é a recta suporte da diagonal [A m é a recta fronto-horizontal que contém os vértices C e F do hexágono – é a recta suporte da diagonal [C CF] do hexágono e é concorrente com a recta r no ponto O.

203. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelo seu traço horizontal (o único que é conhecido), bem como o ponto A, pelas suas projecções, em função dos dados – A é um ponto de hα, que é uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. Os dados do enunciado não nos permitem desenhar f α – note que o ângulo dado (o ângulo entre os dois traços do plano) é o ângulo real, que existe no espaço (ou, mais correctamente, que está contido no plano α) e não tem correspondência directa em projecções, pois o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. No entanto, é possível prosseguir com o exercício. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo processo do rebatimento, o que nos obriga a rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção, pois não se conhece o seu traço frontal (que seria a charneira, caso se efectuasse o rebatimento do plano α para o Plano Frontal de Projecção). Assim, a charneira foi hα, pelo que se tem imediatamente hα ≡ e1 ≡ hαr – A r ≡ A 1, pois A é um ponto da charneira. Em rebatimento, com vértice no ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é um ponto fixo, pois é um ponto da charneira) e a partir de hαr, mediram-se os 70° (o ângulo entre os dois traços do plano) em V.G., em rebatimento, o que nos permitiu desenhar f αr. O vértice B, do quadrado, tem afastamento nulo, pelo que B é um ponto de f α – B r tem de se situar sobre f αr. Com o compasso, fazendo centro em A r e com 5 cm de raio (a medida do lado do quadrado), determinou-se B r sobre f αr. A partir de A r e B r construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, obtendo Cr e Dr. Para inverter o rebatimento, é necessário determinar f α, o que se processa determinando as projecções de um dos seus pontos – o ponto B, neste caso, que é o único ponto conhecido de f α (note que se poderia, de qualquer forma, representar um outro ponto qualquer sobre f αr). Por B r conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresB é um ponto com afastamento ponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se B1 no eixo X (B nulo). Com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é fixo) e raio até B r, desenhou-se um arco de circunferência até à linha de chamada de B 1, onde se situa B 2 – f α passa por B 2 e é concorrente com hα no eixo X. A inversão do rebatimento dos pontos Cr e Dr processou-se com o recurso a rectas frontais (de frente) do plano α, à semelhança do exercício 180, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções.

204. Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em função dos dados – O pertence ao β1/3, pelo que as suas projecções são simétricas em relação ao eixo X (o ponto tem coordenadas iguais, pois pertence ao β1/3). Note que não é necessário representar os traços do β1/3 (que estão coincidentes no eixo X, pois trata-se de um plano passante) – ver relatório do exercício 199. Para determinar as projecções do pentágono, há que rebater previamente o β1/3 e construir o polígono em V.G., em rebatimento, pois o pentágono não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o β1/3 não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Não há qualquer diferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá rebater o β1/3, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o β1/3 para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é o próprio eixo X) – o ponto O rebateu-se com o recurso ao seu triângulo do rebatimento, de forma semelhante à exposta para o rebatimento de S no relatório do exercício 199, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Com o compasso, fazendo centro em Or e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono e construiu-se a figura, inscrita na circunferência, de acordo com os dados. Para determinar as projecções do pentágono, há que inverter o rebatimento, o que se processou com o recurso a rectas do plano, para evitar o recurso a cinco triângulos do rebatimento. Assim, começou-se A B] do pentágono), a recta b (a recta suporte da por desenhar, em rebatimento, três rectas do plano – a recta a (a recta suporte do lado [A CE] do pentágono, que é paralela à recta a) e a recta c (que é a recta paralela às rectas a e b e contém o vértice D do pentágono). diagonal [C (Continua na página seguinte) 74

SOLUÇÕES

Para determinar as projecções destas três rectas recorreu-se a uma outra recta, paralela às rectas a, b e c , que contenha um ponto conhecido do plano – a recta r, que contém o ponto O. A recta r r é paralela a ar, a br e a c r e passa por Or – as projecções da recta r determinam-se imediatamente, pois a recta r é uma recta passante (é concorrente com o eixo X num ponto fixo) e as suas projecções passam pelas projecções homónimas do ponto O. Em seguida, determinaram-se as projecções da recta a – estas são paralelas às projecções homónimas da recta r e são concorrentes entre si num ponto do eixo X, que é o ponto fixo da recta (o seu ponto de concorrência com o eixo X, que é a charneira). Conduzindo, por A r e por B r, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaram-se as projecções de A e B sobre as projecções homónimas da recta a. O processo descrito repetiu-se em relação à recta b e aos pontos C e E, bem como em relação à recta c e ao ponto D, o que nos permitiu determinar as projecções dos cinco vértices do polígono e, em seguida, desenhar as projecções do pentágono.

205. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto A , pertencente ao plano, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano θ é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coincidentes. O ponto A é um ponto de f α, que é uma recta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo. Em seguida, há que determinar as projecções do ponto B . A B] tem as suas projecções paralelas Uma vez que o lado [A entre si, para que tal se verifique B tem de ter afastamento A B] está contido numa recta paralela igual à cota de A (o lado [A ao β2/4). Um outro processo para determinar as projecções de B seria determinar, em primeiro lugar, a recta de intersecção do A B], plano α com o β2/4 (a recta i) – a recta suporte do lado [A por ser paralela ao β2/4, seria paralela à recta i. Assim, pelas projecções de A conduzir-se-iam as projecções homónimas de uma recta paralela à recta i e B seria o traço horizontal dessa recta. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projecção e B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto rebater o plano α para o Plano Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr). B é um ponto da charneira, pelo que se tem imediatamente B r ≡ B 1. Para rebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto A. Sobre o rebatimento de A e de f α, ver relatório do exercício 182. A partir de Ar e Br construiu-se o triângulo A B C] em V.G., em rebatimento. Para inverter o rebatimento [A recorreu-se a uma recta horizontal (de nível) do plano – a recta h, que contém o ponto C – ver exercício 182. A partir das projecções de todos os vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.

206. Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em função dos dados – O pertence ao β1/3, pelo que as suas projecções são simétricas em relação ao eixo X (o ponto tem 4 cm de cota e 4 cm de afastamento, pois pontos do β1/3 têm coordenadas iguais). Note que não é necessário representar os traços do β1/3 (que estão coincidentes no eixo X, pois trata-se de um plano passante) – ver relatório do exercício 199. Para determinar as projecções do pentágono, há que rebater previamente o β1/3 e construir o polígono em V.G., em rebatimento, pois o pentágono (Continua na página seguinte) 75

SOLUÇÕES

não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o β1/3 não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Não há qualquer diferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá rebater o β1/3, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o β1/3 para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é o próprio eixo X) – o ponto O rebateu-se com o recurso ao seu triângulo do rebatimento, de forma semelhante à exposta para o rebatimento de S no relatório do exercício 199, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Com o compasso, fazendo centro em Or, desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono (que é tangente ao eixo X) e construiu-se a figura, inscrita na circunferência, A tem cota nula, pelo que é um ponto do de acordo com os dados (A eixo X –os pontos do β1/3 que têm cota nula situam-se todos no eixo X, pelo que A é o ponto em que a circunferência é tangente ao eixo X). Para determinar as projecções do pentágono, há que inverter o rebatimento, o que se processou com o recurso a rectas do plano, para evitar o recurso a quatro triângulos do rebatimento. Assim, começou-se por desenhar, em rebatimento, a recta r – a recta r é uma recta que contém o ponto O e que contém um vértice do pentágono (o vértice C). A recta rr passa por Or e Cr – as projecções da recta r determinam-se imediatamente, pois trata-se de uma recta passante (é concorrente com o eixo X num ponto fixo) e as suas projecções passam pelas projecções homónimas do ponto O. Conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homóniBE] do penmas da recta r. A recta a é a recta suporte da diagonal [B tágono – é uma recta fronto-horizontal. A recta ar passa por Br e Er e é concorrente com rr no ponto Pr. As projecções de P determinaram-se imediatamente, sobre as projecções homónimas da recta r, recorrendo ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento. Pelas projecções de P conduziram-se as projecções homónimas da recta a – a recta a está definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (é fronto-horizontal). Conduzindo, por Br e por Er, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaCD] do pentágono – é outra recta ram-se as projecções de B e E sobre as projecções homónimas da recta a. A recta b é a recta suporte do lado [C fronto-horizontal. A recta br passa por Cr e Dr e é concorrente com rr em Cr. As projecções de C já são conhecidas. Pelas projecções de C conduziram-se as projecções homónimas da recta b – a recta b está definida por um ponto (o ponto C) e por uma direcção (é fronto-horizontal). Conduzindo, por Dr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de D sobre as projecções homónimas da recta b. A é um ponto de charneira, que é o eixo X pelo que se tem imediatamente Ar ≡ A1 ≡ A2. A partir das projecções dos cinco vértices do polígono, desenharam-se as projecções do pentágono.

207. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelo seu traço horizontal (o único que é conhecido), bem como o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados – A é um ponto de hα, que é uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. Os dados do enunciado não nos permitem desenhar f α – note que o ângulo dado (o ângulo entre os dois traços do plano) é o ângulo real, que existe no espaço (ou, mais correctamente, que está contido no plano α) e não tem correspondência directa em projecções, pois o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Trata-se, portanto, de uma situação semelhante à do exercício 203, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Rebateu-se o plano α para o Plano Horizontal de Projecção, pois não se conhece o seu traço frontal (que seria a charneira, caso se efectuasse o rebatimento do plano α para o Plano Frontal de Projecção). Assim, a charneira foi h α, pelo que se tem imediatamente hα ≡ e1 ≡ hαr – A r ≡ A 1, pois A é um ponto da charneira. Em rebatimento, com vértice no ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é um ponto fixo, pois é um ponto da charneira) e a partir de hαr, mediram-se os 60o (o ângulo entre os dois traços do plano) em V.G., em rebatimento, o que nos permitiu desenhar f αr. O vértice B, do triângulo, tem afastamento nulo, pelo que B é um ponto de f α – B r tem de se situar sobre f αr. Por outro A B] faz com hα é, também, um ângulo real que lado, o ângulo que o lado [A está contido no próprio plano α (e que também não tem correspondência (Continua na página seguinte) 76

SOLUÇÕES

directa em projecções). Uma vez que o plano α já está rebatido, esse ângulo já pode ser medido em V.G. (em rebatimento). Assim, com vértice em A r e a partir de hαr, mediram-se os 60°, havendo duas hipóteses de o fazer – numa delas, o outro lado do ângulo fica paralelo a f αr, pelo que o ponto B se situaria no infinito. Assim, das duas hipóteses para medir os 60°, apenas a apresentada é a solução pretendida – A B C] em V.G., em rebatimento – note que, em função dos ânguo ponto B r situa-se sobre f αr. A partir de A r e de B r construiu-se o triângulo [A B r Cr] é necessariamente paralelo a hαr (está contido numa recta horizontal do plano) e o lado [A A r Cr] é necessariamente los dados, o lado [B paralelo a f αr (está contido numa recta frontal do plano). Para inverter o rebatimento, é necessário determinar f α, o que se processa determinando as projecções de um dos seus pontos – o ponto B, neste caso, que é o único ponto conhecido de f α (note que se poderia, de qualquer forma, representar um outro ponto qualquer sobre f αr). Por B r conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano B é um ponto com afastamento nulo). Com o ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se B 1 no eixo X (B compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é fixo) e raio até B r, desenhou-se um arco de circunferência até à linha de chamada de B 1, onde se situa B 2 – f α passa por B 2 e é concorrente com hα no eixo X. A inversão do rebatimento do B C] do triânponto Cr processou-se com o recurso a uma recta horizontal (de nível) do plano α (a recta h, que é a recta suporte do lado [B gulo), à semelhança do exercício 182, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Note que o ponto B é o traço frontal da recta h. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.

208. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelo seu traço horizontal (o único dado concreto, uma vez que o enunciado é omisso em relação ao traço frontal do plano), bem como o ponto C, pelas suas projecções, em função dos dados – C é um ponto de hρ, que é uma recta horizontal (fronto-horizontal) do plano com cota nula. O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. O ponto C é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, pelo que se rebateu o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hρ – hρ ≡ e1 ≡ hρr) – tem-se imediatamente Cr ≡ C1, pois C é um ponto da charneira. Note que não seria possível rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção, pois não é conhecido o seu traço frontal (que seria, nessa situação, a charneira). Não é possível rebater o traço frontal do plano, pois aquele não é conhecido, mas é possível prosseguir com o exercício. Consideremos, então, plano ρ já rebatido e efectuemos os traçados necessários à construção do quadrado em rebatimento. O ângulo dado entre a diagonal A C] e o traço horizontal do plano é um ângulo real, que existe no [A espaço e não em projecções (esse ângulo está contido no plano ρ) – ver exercício 190 e respectivo relatório. Assim, uma vez que o plano está rebatido, esse ângulo está em V.G. – com vértice em Cr, e a partir de hρr, mediram-se os 60° (o ângulo dado), garantindo que A se situa à esquerda de C, e obtendo uma recta rr (a recta r é A C] do quadrado). Sobre rr medirama recta suporte da diagonal [A -se os 8 cm (o comprimento da diagonal) e determinou-se Ar (note que Ar se situa à esquerda de Cr – caso o ângulo se tivesse medido para a direita, Ar situar-se-ia à direita de Cr). Por Ar conduziu-se fαr, paralelo a hρr (e ao eixo X) – note que é dado, no enunciado, que A tem afasA BCD] em V.G., em rebatimento. Para determinar as tamento nulo, pelo que A é um ponto de fρ. A partir de Ar e Cr, construiu-se o quadrado [A projecções do polígono, há que inverter o rebatimento. Comecemos por determinar fρ – para tal é necessário inverter o rebatimento de um ponto de fρ, que é o ponto A. Por Ar conduziu-se uma perpendicular à charneira, que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco A tem afastado seu rebatimento (que é um plano de perfil, que também contém o triângulo do rebatimento de A) e determinou-se A1 no eixo X (A OAA1] – note que O é o ponto de intersecção da charneira com o plano mento nulo). O triângulo do rebatimento de A, no espaço, é o triângulo [O O é um ponto fixo do qual não se assinalaram as projecde perfil que contém o triângulo, pelo que O é o centro do arco do rebatimento de A (O OAA1] é rectângulo em A1 e a hipotenusa [O OA] ções, por questões de simplificação da leitura da resolução gráfica apresentada). O triângulo [O está contida numa recta de perfil (que é a recta de intersecção do plano ρ com o plano de perfil que contém o triângulo). Com o compasso, OA] é a hipotenusa do triângulo do rebatimento de A e está em V.G. no rebatimento do plano ρ) desenhoufazendo centro em O e raio até Ar ([O -se um arco de circunferência até ao eixo X, onde se situa Ar1 – o triângulo do rebatimento de A está em V.G. (pelo rebatimento do plano de perfil A苶A A苶r苶1 é a cota de A – com o compasso, fazendo centro em A1 e raio até Ar1, desenhou-se um OA1Ar1]. Note que 苶 que o contém) no triângulo [O 1苶 arco de circunferência até à perpendicular à charneira que passa por Ar (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento bem como o seu triângulo do rebatimento) e determinou-se A2. O traço frontal do plano ρ, fρ, passa por A2 e é paralelo ao eixo X. Para inverter o rebatimento dos pontos B e D recorreu-se a duas rectas do plano, paralelas à recta r – a recta a e a recta b. A recta ar passa por Br e é paralela a rr – Hr é o ponto de concorrência de ar com hρr e é um ponto da charneira (é fixo), pelo que se tem imediatamente H1 ≡ Hr (H H2 situa-se no eixo X). As projecções da recta a determinaram-se imediatamente, passando pelas projecções homónimas de H e paraleH) e por uma direcção (é paralela à recta r). Note que as projeclas às projecções homónimas da recta r – a recta a está definida por um ponto (H ções da recta a se poderiam ter determinado a partir dos seus dois traços, à semelhança da situação do exercício 190. Conduzindo, por Br, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de B sobre as projecções homónimas da recta a. O processo exposto repetiu-se para o vértice D – a recta b é a recta paralela à recta r que contém D e H’ é o seu traço horizontal. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções.

SOLUÇÕES

17 P ROBLEMA S M ÉTRICOS 209. Por problemas métricos entende-se o conjunto dos problemas e exercícios que envolvem a determinação da real dimensão (verdadeira grandeza) de algumas grandezas mensuráveis, nomeadamente distâncias (entre pontos, entre pontos e planos, entre pontos e rectas e entre planos paralelos) e ângulos (entre rectas, entre rectas e planos e entre planos).

210. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B pelas suas projecções, em função dos dados. A V.G. da distância entre os pontos A e B é o comprimento do segmento de recta que tem extremos nesses dois pontos. Como o segmento A B] é oblíquo a ambos os planos de projecção, não se projecta em V.G. em ne[A nhum dos planos de projecção, pelo que a determinação da V.G. do seu comprimento passa, necessariamente, pelo recurso a um dos processos geométricos auxiliares. Recorreu-se ao rebatimento do plano projectante frontal do segmento (o plano α) para o Plano Horizontal de Projecção, conforme se pede expressamente no enunciado. A charneira do rebatimento é a recta de intersecção do plano com o Plano Horizontal de Projecção – é o seu traço horizontal (que é uma recta de topo do plano com cota nula). Os arcos do rebatimento estão contidos em planos frontais (planos ortogonais à charneira), pelo que se projectam em V.G. no Plano Frontal de Projecção. Os pontos mantêm, assim, o seu afastamento. A r B r]. A V.G. da distância entre A e B é o comprimento do segmento [A

211. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B pelas suas projecções, em função dos dados. A V.G. da distância entre os pontos A e B é o comprimento do A B] segmento de recta que tem extremos nesses dois pontos. Como o segmento [A é oblíquo a ambos os planos de projecção, não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que a determinação da V.G. do seu comprimento passa, necessariamente, pelo recurso a um dos processos geométricos auxiliares. Recorreu-se ao rebatimento do plano projectante frontal do segmento (o plano α) para o Plano Frontal de Projecção, conforme se pede expressamente no enunciado. Na presente situação, a charneira do rebatimento é o traço frontal do plano (que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo) – a recta de intersecção do plano com o Plano Frontal de Projecção. O rebatimento dos pontos processa-se em planos ortogonais à charneira – planos de topo ortogonais a f α. Assim, por A 2 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e, sobre esta, representou-se em V.G. o afastamento de A , que é o raio do seu arco do rebatimento, obtendo A r. O processo repetiu-se para B, obtendo B r. A V.G. da distância entre A e B é o compriA r B r]. mento do segmento [A

212. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B pelas suas projecções, em função dos dados. A V.G. da distância entre os pontos A e B é o comprimento do segmento de recta que tem extremos nesses dois pontos. Como o segmento A B] é oblíquo a ambos os planos de projecção, não se projecta em V.G. em [A nenhum dos planos de projecção, pelo que a determinação da V.G. do seu comprimento passa, necessariamente, pelo recurso a um dos processos geométricos auxiliares. Recorreu-se a uma mudança do diedro de projecção, conforme se pede expressamente no enunciado. Na presente situação optou-se por transforA B] num segmento de recta horizontal (de nível) – manteve-se mar o segmento [A plano 2), substituindo o Plano Horizontal de Proo Plano Frontal de Projecção (p plano 1) por um outro plano (p plano 4), paralelo ao segmento. Dessa forjecção (p ma, mantêm-se as projecções frontais e alteram-se as projecções horizontais. Já em relação às coordenadas, mantêm-se os afastamentos (a relação entre os pontos e o Plano Frontal de Projecção manteve-se) e alteram-se as cotas (mudou a relação entre os pontos e o Plano Horizontal de Projecção). O novo eixo X (eixo X’) é a recta de intersecção do plano 2 com o plano 4 e é paralelo à projecção frontal do segA 4 e B 4) determinaram-se em função dos seus afastamentos (que mento (a uma distância qualquer desta). As novas projecções de A e B (A se mantiveram) nas novas linhas de chamada dos pontos (perpendiculares ao eixo X’). A V.G. da distância de A a B é o comprimento do A 4B 4]. Note que a resolução poderia passar pela transformação do segmento [A A B] num segmento frontal (de frente). segmento [A 78

SOLUÇÕES

213. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B pelas suas projecções, em função dos dados. A V.G. da distância entre os pontos A e B é o comprimento do segmento de A B] é oblíquo a ambos recta que tem extremos nesses dois pontos. Como o segmento [A os planos de projecção, não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que a determinação da V.G. do seu comprimento passa, necessariamente, pelo recurso a um dos processos geométricos auxiliares. Recorreu-se ao rebatimento do plano projectante horizontal do segmento (o plano γ) para o plano frontal (de frente) que contém o ponto A (o plano ϕ, representado pelo seu traço horizontal), conforme se pede expressamente no enunciado. A charneira do rebatimento é a recta de intersecção do A B]) com o plano ϕ (o plano frontal que passa plano γ (o plano projectante horizontal de [A por A) – é a recta vertical (e) que passa por A, pois A é um ponto dos dois planos. O plano projectante horizontal do segmento (plano γ) está definido pelo segmento e pela charneira. O segmento rebatido sobre o plano frontal ϕ projecta-se em V.G. no Plano Frontal de Projecção, pois ϕ é paralelo àquele. A 2 ≡ A r, pois A é um ponto da charneira. O rebatimento de B processa-se num plano ortogonal à charneira – um plano horizontal (de nível). Dessa forma, o arco do rebatimento de B projecta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção e o seu centro é o ponto de intersecção da charneira com o plano horizontal (de nível) que contém o arco do rebatimento de B. Note que não se identificou nem o plano horizontal (de nível) nem o centro do arco do rebatimento de B. O ponto B, no seu rebatimento, mantém a sua cota, pelo que B r tem a cota de B 2. A V.G. da distância A rBr], que está em V.G. no Plano Frontal de Projecção. de A a B é o comprimento do segmento [A

214. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B pelas suas projecções, em função dos dados. A V.G. da distância entre os pontos A e B é o comprimento do A B] segmento de recta que tem extremos nesses dois pontos. Como o segmento [A é oblíquo a ambos os planos de projecção, não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que a determinação da V.G. do seu comprimento passa, necessariamente, pelo recurso a um dos processos geométricos auxiliares. Recorreu-se ao rebatimento do plano projectante horizontal do segmento (o plano γ) para o plano horizontal (de nível) que contém o ponto A (o plano ν, representado pelo seu traço frontal), conforme se pede expressamente no enunciado. A charneira A B] (o do rebatimento é a recta de intersecção do plano projectante horizontal de [A plano γ) com o plano horizontal (de nível) que passa por A – é uma recta horizontal (e) que passa por A , pois A é um ponto dos dois planos. O plano projectante horizontal do segmento (plano γ) está definido pelo segmento e pela charneira. O segmento rebatido sobre o plano horizontal (de nível) ν projecta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção, pois ν é paralelo àquele. A 1 ≡ A r, pois A é um ponto da charneira. O rebatimento de B processa-se num plano ortogonal à charneira – um plano vertical ortogonal à charneira. Assim, por B 1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e, sobre esta, representou-se em V.G. a cota de B em relação ao plano ν (a distância de B a ν), que é o raio do seu arco do rebatimento, obtendo B r. A V.G. da distância entre A e B é o comprimento do A r B r], que está em V.G. no Plano Horizontal de Projecção. segmento [A

215. Em primeiro lugar representaram-se os pontos R e S pelas suas projecções, em função dos dados, bem como o plano de perfil (o plano π) que os contém, pelos seus traços. A V.G. da distância entre os pontos R e S é o comprimento do segmento de recta que tem R S] é oblíquo a ambos os planos de extremos nesses dois pontos. Como o segmento [R projecção, não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que a determinação da V.G. do seu comprimento passa, necessariamente, pelo recurso a um dos processos geométricos auxiliares. Recorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção, conforme se pede expressamente no enunciado. Na presente situação, a charneira do rebatimento é o traço frontal do plano (que é uma recta vertical do plano com afastamento nulo) – a recta de intersecção do plano com o Plano Frontal de Projecção. O rebatimento dos pontos processa-se em planos ortogonais à charneira – planos horizontais (de nível). Os arcos do rebatimento projectam-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção e os pontos, ao longo do seu rebatimento, mantêm as respectivas cotas. A V.G. da distânR r Sr]. cia de R a S é o comprimento do segmento [R

SOLUÇÕES

216. Em primeiro lugar representaram-se os pontos R e S pelas suas projecções, em função dos dados, bem como o plano de perfil (o plano π) que os contém, pelos seus traços. A V.G. da distância entre os pontos R e S é o comprimento do segmento de recta que tem R S] é oblíquo a ambos os planos de extremos nesses dois pontos. Como o segmento [R projecção, não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que a determinação da V.G. do seu comprimento passa, necessariamente, pelo recurso a um dos processos geométricos auxiliares. Recorreu-se a uma mudança do diedro de projecção, conforme se pede expressamente no enunciado. Na presente situação optou-se por transR S] num segmento de recta frontal (de frente) – manteve-se o Plano formar o segmento [R plano 1), substituindo o Plano Frontal de Projecção (p p l a n o 2) Horizontal de Projecção (p plano 4), paralelo ao segmento. Dessa forma, mantêm-se as projecpor um outro plano (p ções horizontais e alteram-se as projecções frontais. Já em relação às coordenadas, mantêm-se as cotas (a relação entre os pontos e o Plano Horizontal de Projecção manteve-se) e alteram-se os afastamentos (mudou a relação entre os pontos e o Plano Frontal de Projecção). O novo eixo X (eixo X’) é a recta de intersecção do plano 1 com o plano 4 e é paralelo à projecção horizontal do segmento (a uma distância qualquer desta). As novas R 4 e S4) determinaram-se em função das suas cotas (que se mantiprojecções de R e S (R veram) nas novas linhas de chamada dos pontos (perpendiculares ao eixo X’). A V.G. da R 4S4]. Note que a resolução poderia distância de R a S é o comprimento do segmento [R R S] num segmento horizontal (de nível). passar pela transformação do segmento [R

217. Em primeiro lugar representaram-se os pontos M e N pelas suas projecções, em função dos dados. A V.G. da distância entre os pontos M e N é o comprimento do segM N] é mento de recta que tem extremos nesses dois pontos. Como o segmento [M oblíquo a ambos os planos de projecção, não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que a determinação da V.G. do seu comprimento passa, necessariamente, pelo recurso a um dos processos geométricos auxiliares. Recorreu-se a uma mudança do diedro de projecção, optando-se por transformar o segMN] num segmento de recta frontal (de frente), o que resulta na situação do mento [M exercício anterior, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. A V.G. da M 4N4]. Note que a resolução distância de M a N é o comprimento do segmento [M MN] num segmento horizontal (de poderia passar pela transformação do segmento [M nível) ou, ainda, pelo rebatimento de um plano projectante do segmento (o plano projectante frontal do segmento ou o seu plano projectante horizontal), uma vez que o enunciado é omisso em relação ao processo geométrico auxiliar a utilizar.

218. Em primeiro lugar representaram-se os pontos M e N pelas suas projecções, em função dos dados. A V.G. da distância entre os pontos M e N é o comprimento do segmento de recta que tem extremos nesses dois pontos. Como o segmento M N] é oblíquo a ambos os planos de projecção, não se projecta em V.G. em [M nenhum dos planos de projecção, pelo que a determinação da V.G. do seu comprimento passa, necessariamente, pelo recurso a um dos processos geométricos auxiliares. Recorreu-se a uma mudança do diedro de projecção, optando-se por MN] num segmento de recta frontal (de frente), o que transformar o segmento [M resulta na situação do exercício 216, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Note que N4, a projecção no ponto N no plano 4, se determinou em função da sua cota, que se manteve e é negativa. A V.G. da distância de M a N é o M 4N4]. Note mais uma vez que a resolução poderia comprimento do segmento [M MN] num segmento horizontal (de nível) passar pela transformação do segmento [M ou, ainda, pelo rebatimento de um plano projectante do segmento (o plano projectante frontal do segmento ou o seu plano projectante horizontal), uma vez que o enunciado é omisso em relação ao processo geométrico auxiliar a utilizar.

SOLUÇÕES

219. Por distância de um ponto a um plano entende-se o comprimento do segmento de recta ortogonal ao plano que tem um extremo no ponto e o outro extremo no plano (no ponto de intersecção do plano com a recta suporte do segmento).

220. O método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano consiste em: 1. conduzir, pelo ponto, uma recta ortogonal ao plano; 2. determinar o ponto de intersecção dessa recta com o plano; 3. a distância do ponto ao plano é o comprimento do segmento de recta que tem extremos nos dois pontos – o ponto dado e o ponto de intersecção da recta com o plano.

221. Em primeiro lugar representaram-se o plano ν, pelo seu traço frontal, e o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Para determinar a distância do ponto A ao plano ν recorreu-se ao método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano, conforme se expõe em seguida. 1. Pelo ponto A conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano (a recta p é uma recta vertical). 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o plano ν – o ponto I teve determinação directa, pois tanto a recta como o plano são projectantes. 3. A A I]. O segmento [A A I] distância do ponto A ao plano ν é o comprimento do segmento de recta [A é vertical, pelo que se projecta em V.G. no Plano Frontal de Projecção – a V.G. da distância de Aaνé苶 A 苶I 2苶I苶. 2

222. Em primeiro lugar representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Para determinar a distância do ponto P ao plano γ recorreu-se ao método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano, conforme se expõe em seguida. 1. Pelo ponto P conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano (a recta p é uma recta horizontal). 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o plano γ – o ponto I teve determinação directa a partir da sua projecção horizontal, pois o plano é projectante horizontal. 3. A distância P I]. O segmento [P P I] é do ponto P ao plano γ é o comprimento do segmento de recta [P horizontal (de nível), pelo que se projecta em V.G. no Plano Horizontal de Projecção – a P苶I V.G. da distância de P a γ é 苶 1苶I苶. 1

223. Em primeiro lugar representaram-se o plano π, pelos seus traços, e o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Para determinar a distância do ponto A ao plano π recorreu-se ao método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano, à semelhança do exercício anterior, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. A recta p (a recta ortogonal ao plano π que passa por A ) é fronto-horizontal. O plano π é um plano duplamente projectante (a determinação do ponto I é directa, a partir das suas duas A I] é fronto-horizontal, pelo que se projecta em V.G. em ambas as projecções). O segmento [A A 苶I A 苶I projecções – a V.G. da distância de A a π é 苶 2苶I苶2 = 苶 1苶I苶. 1

SOLUÇÕES

224. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. O ponto P tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X, pois é um ponto do β1/3 (pontos do β1/3 têm coordenadas iguais e projecções simétricas em relação ao eixo X). Para determinar a distância do ponto P ao plano α recorreu-se ao método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano, conforme se expõe em seguida. 1. Pelo ponto P conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano (a recta p é uma recta oblíqua, cujas projecções são perpendiculares aos traços homónimos do plano). 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o plano α – a determinação do ponto I processou-se com o recurso ao método geral da intersecção de rectas com planos, pois nem a recta nem o plano são projectantes. O plano γ é o plano auxiliar a que se recorreu (é o plano projectante horizontal da recta p). A recta i é a recta de intersecção dos dois planos (o plano α e o plano γ) e determinou-se a partir do caso geral da intersecção entre planos. O ponto I é o ponto de concorrência das rectas p e i. 3. A distância do ponto P ao plano α é o comprimento P I]. O segmento [P P I] é oblíquo, pelo que não se projecta em V.G. do segmento de recta [P em nenhuma das suas projecções. A determinação da V.G. da distância obriga, assim, ao recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da distância para o plano horizontal (de nível) que contém o ponto I (ver exercício 214 e respectivo relatório). O ponto P rebateu-se em função da sua cota em relação P苶I ao plano ν (a distância do ponto P ao plano ν). A V.G. da distância de P a α é 苶 r 苶I苶. r

225. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Para determinar a distância do ponto P ao plano α recorreu-se ao m é t o d o g e r a l p a r a a determinação da distância de um ponto a um plano – uma vez que o plano α é um plano oblíquo, a presente situação é semelhante à situação do exercício anterior, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. P I] processou-se A determinação da V.G. do comprimento do segmento [P através do rebatimento do plano γ (o plano projectante horizontal da distância) para o Plano Frontal de Projecção – o ponto P é um ponto da charneira, pelo que se tem imediatamente P r ≡ P2. A V.G. da distância de Paαé苶 P苶I r 苶I苶. r

226. Em primeiro lugar representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano δ tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. Para determinar a distância do ponto P ao plano δ recorreu-se ao método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano – uma vez que o plano δ é um plano oblíquo, a presente situação é semelhante à situação do exercício 224, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. A recta p (a recta ortogonal ao plano δ que passa por P) tem as suas projecções paralelas entre si. A determinação da V.G. do P I] processou-se com o recurso a uma mudança comprimento do segmento [P do diedro de projecção, transformando o segmento (que é oblíquo) num segmento horizontal (de nível). Para tal, manteve-se o Plano Frontal de Projecção plano 2), substituindo o Plano Horizontal de Projecção (p plano 1) por um outro (p plano 4), paralelo ao segmento. Dessa forma, mantêm-se as projecções plano (p frontais e alteram-se as projecções horizontais. Já em relação às coordenadas, mantêm-se os afastamentos (a relação entre os pontos e o Plano Frontal de Projecção manteve-se) e alteram-se as cotas (mudou a relação entre os pontos e o Plano Horizontal de Projecção). O novo eixo X (eixo X’) é a recta de intersecção do plano 2 com o plano 4 e é paralelo à projecção frontal do segmento (a uma distância qualquer desta). As novas P 4 e I4) determinaram-se em função dos seus afastamentos (que se mantiveram) nas novas linhas de chamada dos projecções de P e I (P P4I4]. pontos (perpendiculares ao eixo X’). A V.G. da distância de P a I é o comprimento do segmento [P

SOLUÇÕES

227. Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. As projecções da recta r determinaram-se em função das projecções de A e B. Em seguida, determinaram-se os traços da recta r nos planos de projecção. A recta r é uma recta de maior declive do plano λ, pelo que hλ passa por H1 e é perpendicular a r 1. O traço frontal de λ, f λ, é concorrente com hλ no eixo X e passa por F2. A determinação dos traços de λ foi essencial para conduzir, por P, uma recta ortogonal a λ. Para determinar a distância do ponto P ao plano δ recorreu-se ao método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano – uma vez que o plano δ é um plano oblíquo, a presente situação é semelhante à situação do exercício 224, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. A P I] processou-se rebatendo o determinação da V.G. do comprimento do segmento [P plano α (o plano projectante horizontal da distância) para o plano horizontal (de nível) que passa por P (ver exercício 214 e respectivo relatório). P é um ponto da charneira (é fixo) e o ponto I rebateu-se em função da sua cota em relação ao plano P苶I ν (a distância de I a ν). A V.G. da distância de P a λ é 苶 r 苶I苶. r

228. Em primeiro lugar representaram-se as rectas f e h, bem como o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O ponto de concorrência das rectas f e h (o ponto A ) tem 3 cm de afastamento (o afastamento da recta frontal) e 4 cm de cota (a cota da recta horizontal). Para determinar a distância do ponto P ao plano α recorreu-se ao método geral para a determinação da distância de um ponto a um plan o , conforme se expõe em seguida. 1. Pelo ponto P conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano. A recta ortogonal ao plano α que passa por P tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes do plano α – a recta p é ortogonal à recta f (p2 é perpendicular a f 2) e é ortogonal à recta h (p1 é perpendicular a h1), pelo que a recta p é ortogonal ao plano α (é ortogonal a duas rectas concorrentes do plano α – as rectas f e h). 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o plano α – a determinação do ponto I processou-se com o recurso ao método geral da intersecção de rectas com planos, pois nem a recta nem o plano são projectantes. O plano θ é o plano auxiliar a que se recorreu (é o plano projectante frontal da recta p e está representado apenas pelo seu traço frontal, razão pela qual aquele se assinalou entre parêntesis). A recta i é a recta de intersecção dos dois planos (o plano α e o plano θ) e está definida por dois pontos – o ponto M (o ponto em que o plano θ corta a recta h) e o ponto N (o ponto em que o plano θ corta a recta f ). Os pontos M e N foram determinados a partir das respectivas projecções frontais, pois o plano θ é projectante frontal. O ponto I é o ponto de concorrência das recP I]. O segmento [P P I] é oblíquo, pelo que não se protas p e i. 3. A distância do ponto P ao plano α é o comprimento do segmento de recta [P jecta em V.G. em nenhuma das suas projecções. A determinação da V.G. da distância obriga, assim, ao recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da distância para o plano horizontal (de nível) que contém o ponto P (ver exercício 214 e respectivo relatório). P é um ponto da charneira (é fixo) e o ponto I rebateu-se em função da sua cota em relação ao plano ν (a P苶I distância de I a ν). A V.G. da distância de P a α é 苶 r 苶I苶. r Note que para a resolução do exercício (e tal como o enunciado expressamente refere) não foi necessária a determinação dos traços do plano. No entanto, caso o enunciado fosse omisso a esse respeito, a resolução do exercício poderia passar pela determinação dos traços do plano, apesar desses traçados serem desnecessários (a resolução efectuada apresenta maior economia de traçados).

229. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A , B, C e P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Para determinar a distância do ponto P ao plano δ recorreu-se ao m é t o d o g e r a l p a r a a d e t e r m i n a ç ã o d a d i s t â n c i a d e u m p o n t o a u m p l a n o, conforme se expõe em seguida. 1. Pelo ponto P conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano. A recta ortogonal ao plano δ que passa por P tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes do plano δ. Assim, atendendo a que os pontos A e C (dois dos pontos que definem o plano) têm a mesma cota, pelos dois pontos conduziu-se uma recta do plano, que é uma recta horizontal (de nível) – a recta h. Por outro lado, atendendo a que os pontos B e C (dois dos pontos que definem o plano) têm o mesmo afastamento, pelos dois pontos conduziu-se uma recta do plano, que é uma recta frontal (de frente) – a recta f. As rectas h e f são duas rectas do plano que são concorrentes no ponto C. Esta situação redunda, assim, na situação do exercício anterior, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório do exercício anterior.

SOLUÇÕES

230. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano, conforme exposto no relatório do exercício 224. 1. Por P conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano ρ – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ – a determinação do ponto I processou-se com o recurso ao método geral da intersecção de rectas com planos, pois nem a recta nem o plano são projectantes. O plano π é o plano auxiliar a que se recorreu (é o plano projectante da recta p). A recta i é a recta de intersecção dos dois planos (é uma recta de perfil) e determinou-se a partir do caso geral da intersecção entre planos – a recta i está definida pelos seus traços nos planos de projecção. A determinação do ponto de concorrência das duas rectas processou-se com o recurso ao rebatimento do plano π (para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π). A recta i r está definida por Fr e Hr. A recta p, em rebatimento (a recta pr) contém Pr e é perpendicular a i r. As rectas pr e i r são concorrentes em Ir – I é o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ. 3. A distância do ponto P ao plano ρ é o comprimento P I], que está em V.G. em rebatimento – 苶 P苶I do segmento de recta [P r 苶I苶r é a V.G. da distância de P a ρ. Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano π, determinando as projecções do ponto I, o que nos permitiu desenhar as PI], que é o segmento representativo da distância de P a ρ. Tenha em conta que o exercício se poderia ter resolvido projecções do segmento [P com o recurso a uma mudança do diedro de projecção (que corresponde à situação do exercício seguinte), mas o enunciado refere expressamente o recurso ao rebatimento.

231. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano, conforme exposto no relatório do exercício 224. 1. Por P conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano ρ – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ. Para resolver esta etapa recorreu-se a uma mudança do diedro de projecção, conforme é expressamente pedido no enunciado. Assim, optou-se por transformar o plano ρ num plano de topo, para o que se substituiu o Plano Frontal de plano 2) por um outro plano de projecção (p plano 4), ortogonal ao plano ρ. ManProjecção (p teve-se o Plano Horizontal de Projecção, pelo que se mantiveram as projecções horizontais, o traço horizontal do plano ρ e as cotas. O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do plano 1 com o plano 4 e é perpendicular a hρ. Para determinar o traço do plano ρ no plano 4 recorreu-se a um ponto qualquer do plano – o ponto A, que é um ponto de fρ. A4 é a projecção de A no plano 4 e determinou-se em função da sua cota, que se manteve. O traço do plano ρ no plano 4 (ff 4ρ) passa por A4 (no novo diedro de projecção, o plano ρ é projectante frontal) e é concorrente com hρ no eixo X’. P4 é a projecção de P no plano 4 e determinou-se, tal como A4, em função da sua cota, que se manteve. No novo diedro de projecção (formado pelo plano 1 e pelo plano 4), o plano ρ é um plano de topo e a recta p (a recta ortogonal ao plano ρ que passa por P) é uma recta frontal (note que o eixo X é paralelo a p1). Assim, por P4 conduziu-se p4, perpendicular a f 4ρ – p4 é a projecção da recta p no plano 4. O ponto I (o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ) teve determinação directa, no novo diedro de projecção, a partir da sua projecção no plano 4 – I4 é a projecção de I no plano 4 e I 1 determinou-se directamente. Note que o exposto se refere apenas à segunda etapa da determinação da distância do ponto P ao plano ρ. 3. A distância de P ao plano ρ é o comprimento PI] – no diedro de projecção formado entre o plano 1 e o plano 4, o segmento [P PI] é frontal (de frente), pelo que a V.G. do segmento de recta [P P苶I da distância é 苶 4苶I苶. 4 A projecção frontal de I (no diedro de projecção inicial) determinou-se em função da sua cota, o que nos permitiu determinar PI] no diedro de projecção inicial – [P PI] é o segmento representativo da distância de P ao plano ρ. as projecções do segmento [P

232. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano. Uma vez que se optou por recorrer a uma mudança do diedro de projecção, a situação deste exercício redunda na situação do exercício anterior, pelo que se sugere o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório do exercício anterior. Note que o exercício se poderia resolver com o recurso a um plano de perfil e ao seu rebatimento, redundando, nesse caso, na situação apresentada no exercício 230.

SOLUÇÕES

233. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto A, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano. Tenha em conta que a situação deste exercício e a do exercício 231 são muito semelhantes, diferindo, apenas, no facto de as projecções do ponto A se situarem sobre os traços homónimos do plano ρ, o que pode provocar alguma confusão, nomeadamente no facto de induzir na falsidade de o ponto pertencer ao plano – tal não é verdade, pois o ponto A não pertence a nenhuma recta do plano (condição para que um ponto pertença a um plano). Assim, e uma vez que se optou igualmente por recorrer a uma mudança do diedro de projecção, a situação deste exercício redunda na situação do exercício 231, pelo que se sugere o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório daquele exercício. O ponto P é o ponto do plano ρ (pertencente a f ρ) a que se recorreu para determinar o traço do plano ρ no plano 4. Sublinha-se que o exercício se poderia resolver com o recurso a um plano de perfil e ao seu rebatimento, redundando, nesse caso, na situação apresentada no exercício 230.

234. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelo seu traço frontal (o plano está definido pelo seu traço frontal e pela sua orientação), e o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do m é t o d o g e r a l p a r a a d e t e r m i n a ç ã o d a d i s t â n c i a d e u m p o n t o a u m plano, conforme exposto no relatório do exercício 230. 1. Por A conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano ρ – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ – a determinação do ponto I processou-se com o recurso ao método geral da intersecção de rectas com planos, pois nem a recta nem o plano são projectantes. O plano π é o plano auxiliar a que se recorreu (é o plano projectante da recta p). A recta i é a recta de intersecção dos dois planos (é uma recta de perfil) – a recta i está definida por um ponto (o seu traço frontal) e por uma direcção (faz um ângulo de 60o com o Plano Frontal de Projecção). Note que a amplitude do diedro formado entre um plano de rampa e o Plano Frontal de Projecção é igual à amplitude do ângulo que qualquer recta de perfil do plano de rampa faz com o Plano Frontal de Projecção. A determinação do ponto de concorrência das duas rectas processou-se com o recurso ao rebatimento do plano π (para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π). A recta i r passa por Fr e faz um ângulo de 60o com f πr (tendo-se garantido que o traço horizontal da recta tem afastamento positivo, pois o enunciado refere expressamente que o traço horizontal do plano ρ se situa no SPHA). A recta p, em rebatimento (a recta pr) contém A r e é perpendicular a ir. As rectas pr e i r são concorrentes em Ir – I é o ponto de intersecção da recta p com o A I], que está em V.G. em rebatimento – 苶 A苶I plano ρ. 3. A distância do ponto A ao plano ρ é o comprimento do segmento de recta [A r 苶I苶r é a V.G. da distância de A a ρ. Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano π, determinando as projecções do ponto I, o que nos permitiu desenhar A I], que é o segmento representativo da distância de A a ρ. as projecções do segmento [A

235. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, indicando os seus traços (que estão coincidentes com o eixo X) e determinando as projecções do ponto A , e o ponto P, pelas suas projecções. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano, conforme exposto no relatório do exercício 230. 1. Por P conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano ρ – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ – a determinação do ponto I processou-se com o recurso ao método geral da intersecção de rectas com planos, pois nem a recta nem o plano são projectantes. O plano π é o plano auxiliar a que se recorreu (é o plano projectante da recta p). A recta i é a recta de intersecção dos dois planos (é uma recta de perfil passante). Para definir a recta i, da qual já temos um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo X) recorreu-se a uma recta auxiliar do plano ρ – a recta g, fronto-horizontal, que passa por A . O ponto A’ é o ponto de intersecção de g com o plano π e é outro ponto da recta i – a recta i está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X e por A’. A determinação do ponto de concorrência das duas rectas processou-se com o recurso ao rebatimento do plano π (para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π). A recta i r está definida por A’r e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo, pois é um ponto da charneira). A recta p, em rebatimento (a recta pr) contém Pr e é perpendicular (Continua na página seguinte) 85

SOLUÇÕES

a i r. As rectas pr e i r são concorrentes em Ir – I é o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ. 3. A distância do ponto P ao plano ρ é o P I], que está em V.G. em rebatimento – 苶 P苶I comprimento do segmento de recta [P r 苶I苶r é a V.G. da distância de P a ρ. Em seguida, inverteu-se o P I], que é o rebatimento do plano π, determinando as projecções do ponto I, o que nos permitiu desenhar as projecções do segmento [P segmento representativo da distância de P a ρ. Tenha em conta que o exercício se poderia ter resolvido com o recurso a uma mudança do diedro de projecção (que corresponde à situação do exercício seguinte, mas o enunciado refere expressamente o recurso ao rebatimento).

Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, indicando os seus traços (que estão coincidentes com o eixo X) e determinando as projecções do ponto A , e o ponto P, pelas suas projecções. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da dist â n c i a d e u m p o n t o a u m p l a n o . 1 . Por P conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano ρ – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ. Para resolver esta etapa recorreu-se a uma mudança do diedro de projecção, conforme é expressamente pedido no enunciado. Assim, optou-se por transformar o plano ρ num plano de topo, para o que se substituiu o Plano Frontal de plano 2) por um outro plano de projecção (p plano 4), ortogonal Projecção (p ao plano ρ. Manteve-se o Plano Horizontal de Projecção, pelo que se mantiveram as projecções horizontais, o traço horizontal do plano ρ e as cotas. O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do plano 1 com o plano 4 e é perpendicular a hρ. Para determinar o traço do plano ρ no plano 4 recorreu-se ao ponto A , que é o ponto que define o plano. A 4 é a projecção de A no plano 4 e determinou-se em função da sua cota, que se manteve. O traço do plano ρ no plano 4 (ff 4ρ) passa por A 4 (no novo diedro de projecção, o plano ρ é projectante frontal) e é concorrente com hρ no eixo X’. P4 é a projecção de P no plano 4 e determinou-se, tal como A 4, em função da sua cota, que se manteve. No novo diedro de projecção (formado pelo plano 1 e pelo plano 4), o plano ρ é um plano de topo e a recta p (a recta ortogonal ao plano ρ que passa por P) é uma recta frontal (note que o eixo X é paralelo a p1). Assim, por P4 conduziu-se p4, perpendicular a f 4ρ – p4 é a projecção da recta p no plano 4. O ponto I (o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ) teve determinação directa, no novo diedro de projecção, a partir da sua projecção no plano 4 – I4 é a projecção de I no plano 4 e I1 determinou-se directamente. Note que o exposto se refere apenas à segunda etapa da determinação da distância do ponto P ao plano ρ. 3. A distância de P ao plano ρ é PI] – no diedro de projecção formado entre o plano 1 e o plano 4, o segmento [P PI] é frontal (de frente), o comprimento do segmento de recta [P P苶I pelo que a V.G. da distância é 苶 4苶I苶. 4 A projecção frontal de I (no diedro de projecção inicial) determinou-se em função da sua cota, o que nos P I] no diedro de projecção inicial – [P P I] é o segmento representativo da distância de P ao permitiu determinar as projecções do segmento [P plano ρ. Vantagens deste processo de resolução em relação ao utilizado no exercício anterior: têm a ver com a possibilidade de resolver directamente o problema da intersecção da recta p com o plano ρ, no novo diedro de projecção, evitando os raciocínios necessários à determinação da recta de intersecção do plano π com um plano passante (o plano ρ).

236.

237. Em primeiro lugar representou-se o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados – o β1/3 não carece de representação, mas trata-se de um plano passante definido por uma recta (o eixo X) e pela sua orientação (faz diedros de 45° com os planos de projecção). Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano, conforme exposto no relatório do exercício 230. 1. Por P conduziu-se uma recta p, ortogonal ao β1/3 – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o β1/3 – a determinação do ponto I processou-se com o recurso ao método geral da intersecção de rectas com planos, pois nem a recta nem o β1/3 são projectantes. O plano π é o plano auxiliar a que se recorreu (é o plano projectante da recta p). A recta i é a recta de intersecção dos dois planos – é uma recta de perfil passante que faz ângulos de 45o com os planos de projecção e que atravessa os 1o e 3o Diedros. A recta i está definida por um ponto e uma direcção. A determinação do ponto de concorrência das duas rectas processou-se com o recurso ao rebatimento do plano π (para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π). A recta i r está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo, pois situa-se na charneira) e atravessa o quadrante em que se situa Pr (note que P é um ponto do 1o Diedro e que a recta i atravessa o 1o Diedro). A recta p, em rebatimento (a recta pr) contém Pr e é perpendicular a i r. As rectas pr e i r são concorrentes em Ir – I é o ponto de intersecção da recta p com o β1/3. 3. A distância do ponto P ao β1/3 é o comprimento do P I], que está em V.G. em rebatimento – 苶 P苶I segmento de recta [P r 苶I苶r é a V.G. da distância de P ao β1/3. Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano π, determinando as projecções do ponto I, o que nos permitiu desenhar as projecP I], que é o segmento representativo da distância de P ao β1/3. Tenha em conta que o exercício se poderia ter resolvido ções do segmento [P com o recurso a uma mudança do diedro de projecção (o que resulta na situação do exercício seguinte), mas o enunciado refere expressamente o recurso ao rebatimento.

SOLUÇÕES

238. Em primeiro lugar representou-se o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados – o β1/3 não carece de representação. No entanto, em função do processo de resolução pedido (o recurso a uma mudança do diedro de projecção), optou-se por representar os traços do plano (que se denominou apenas por β), que estão coincidentes no eixo X. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano. 1. Por P conduziu-se uma recta p, ortogonal ao β1/3 – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o β1/3. Para resolver esta etapa recorreu-se a uma mudança do diedro de projecção, conforme é expressamente pedido no enunciado. Assim, optou-se por transformar o β1/3 num plano vertical, para o que se plano 1) por um outro plano de projecção substituiu o Plano Horizontal de Projecção (p plano 4), ortogonal ao β1/3. Manteve-se o Plano Frontal de Projecção, pelo que se man(p tiveram as projecções frontais, o traço frontal do β1/3 e os afastamentos. O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do plano 1 com o plano 4 e é perpendicular a f β. Para determinar o traço do β1/3 no plano 4 recorreu-se a um ponto qualquer do plano – o ponto A (que é um ponto com projecções simétricas em relação ao eixo X). A 4 é a projecção de A no plano 4 e determinou-se em função do seu afastamento, que se h4β) passa por A 4 (no novo diedro de projecção, o manteve. O traço do β1/3 no plano 4 (h β1/3 é projectante horizontal) e é concorrente com f β no eixo X’. P4 é a projecção de P no plano 4 e determinou-se, tal como A 4, em função do seu afastamento, que se manteve. No novo diedro de projecção (formado pelo plano 1 e pelo plano 4), o β1/3 é um plano vertical e a recta p (a recta ortogonal ao β1/3 que passa por P) é uma recta horizontal (note que o eixo X é paralelo a p2). Assim, por P4 conduziu-se p4, perpendicular a h4β – p4 é a projecção da recta p no plano 4. O ponto I (o ponto de intersecção da recta p com o β1/3) teve determinação directa, no novo diedro de projecção, a partir da sua projecção no plano 4 – I4 é a projecção de I no plano 4 e I1 determinou-se directamente. Note que o exposto se refere apenas à segunda etapa da determinação da distância do P I] – no diedro de projecção formado entre o plano 1 e ponto P ao β1/3. 3. A distância de P ao β1/3 é o comprimento do segmento de recta [P P I] é horizontal (de nível), pelo que a V.G. da distância é 苶 P苶I o plano 4, o segmento [P 4苶I苶. 4 A projecção horizontal de I (no diedro de projecção P I] no diedro de projecinicial) determinou-se em função do seu afastamento, o que nos permitiu determinar as projecções do segmento [P P I] é o segmento representativo da distância de P ao β1/3. ção inicial – [P

239. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, indicando os seus traços (que estão coincidentes com o eixo X), e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ρ está definido pelo por uma recta (o eixo X) e pela sua orientação. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano. 1. Por P conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano ρ – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ – a determinação do ponto I processou-se com o recurso ao método geral da intersecção de rectas com planos, pois nem a recta nem o plano ρ são projectantes. O plano π é o plano auxiliar a que se recorreu (é o plano projectante da recta p). A recta i é a recta de intersecção dos dois planos – é uma recta de perfil passante que faz um ângulo de 30° com o Plano Horizontal de Projecção. Note que a amplitude do diedro formado entre um plano de rampa (um plano passante é um plano de rampa) e o Plano Horizontal de Projecção é igual à amplitude do ângulo que qualquer recta de perfil do plano de rampa faz com o Plano Horizontal de Projecção. Por outro lado, é necessário ter em conta que o plano ρ atravessa os 1o e 3o Diedros. A recta i está definida por um ponto e uma direcção. A determinação do ponto de concorrência das duas rectas processou-se com o recurso ao rebatimento do plano π (para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π). A recta ir está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo, pois situa-se na charneira), faz um ângulo de 30o com hπ r e atravessa o quadrante em que se situa Pr (note que P é um ponto do 1o Diedro e que a recta i atravessa o 1o Diedro). A recta p, em rebatimento (a recta pr) contém Pr e é perpendicular a i r. As rectas pr e i r são concorrentes em Ir – I é o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ. 3. A distância do ponto P ao plano ρ é o comprimento do segmento PI], que está em V.G. em rebatimento – 苶 P苶I de recta [P r 苶I苶r é a V.G. da distância de P ao plano ρ. Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano π, PI], que é o segmento representativo da determinando as projecções do ponto I, o que nos permitiu desenhar as projecções do segmento [P distância de P ao plano ρ. Tenha em conta que o exercício se poderia ter resolvido com o recurso a uma mudança do diedro de projecção, mas o enunciado refere expressamente o recurso ao rebatimento.

SOLUÇÕES

240. Em primeiro lugar representou-se o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados – o β2/4 não carece de representação, mas trata-se de um plano passante definido por uma recta (o eixo X) e pela sua orientação (faz diedros de 45o com os planos de projecção). Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano. 1. Por A conduziu-se uma recta p, ortogonal ao β2/4 – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o β2/4 – a determinação do ponto I processou-se com o recurso ao método geral da intersecção de rectas com planos, pois nem a recta nem o β2/4 são projectantes. O plano π é o plano auxiliar a que se recorreu (é o plano projectante da recta p). A recta i é a recta de intersecção dos dois planos – é uma recta de perfil passante que faz ângulos de 45o com os planos de projecção e que atravessa os 2o e 4o Diedros. A recta i está definida por um ponto e uma direcção. A determinação do ponto de concorrência das duas rectas processou-se com o recurso ao rebatimento do plano π (para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π). A recta i r está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo, pois situa-se na charneira) e não atravessa o quadrante em que se situa A r (note que A é um ponto do 1o Diedro e que a recta i não atravessa o 1o Diedro). A recta p, em rebatimento (a recta pr) contém A r e é perpendicular a i r. As rectas pr e i r são concorrentes em Ir – I é o ponto de intersecção A I], que está em V.G. em rebatimento – A da recta p com o β2/4. 3. A distância do ponto A ao β2/4 é o comprimento do segmento de recta [A 苶苶I r 苶I苶r é a V.G. da distância de A ao β2/4. Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano π, determinando as projecções do ponto I, o que nos A I], que é o segmento representativo da distância de A ao β2/4. Tenha em conta que o exerpermitiu desenhar as projecções do segmento [A cício se poderia ter resolvido com o recurso a uma mudança do diedro de projecção, à semelhança do exercício anterior.

241. Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e s, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano β é paralelo à recta r, que é uma recta fronto-horizontal, pelo que o plano β contém rectas fronto-horizontais – é necessariamente um plano de rampa. Pelos traços da recta s conduziram-se os traços homónimos do plano β. A distância entre uma recta e um plano paralelo à recta redunda na situação da distância de um ponto a um plano, pois todos os pontos da recta (que é paralela ao plano) estão equidistantes do plano. Assim, representou-se um ponto A , qualquer, sobre a recta r, e efectuaram-se os traçados necessários à determinação da distância do ponto A ao plano β – tendo em conta que se optou por recorrer a uma mudança do diedro de projecção, este exercício é semelhante à situação do exercício 231, pelo que se sugere o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório daquele exercício.

242. Por distância entre dois planos paralelos entende-se a distância entre dois pontos quaisquer dos planos (um ponto de cada plano) contidos na mesma recta ortogonal aos planos, ou seja, é o comprimento de um segmento de recta ortogonal aos dois planos que tem um extremo em cada um dos planos.

243. O método geral para a determinação da distância entre dois planos paralelos consiste em: 1. conduzir uma recta qualquer, ortogonal aos dois planos; 2. determinar os pontos de intersecção dessa recta com ambos os planos; 3. a distância entre os dois pontos de intersecção é a distância entre os dois planos (é o comprimento do segmento de recta que tem extremos nos dois pontos).

244. Em primeiro lugar representaram-se os planos ϕ e ϕ1, pelos seus traços horizontais, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância entre dois planos. 1. Conduziu-se uma recta p, qualquer, ortogonal aos dois planos – a recta p é uma recta de topo. 2. Determinaram-se os pontos I e I’, os pontos de intersecção da recta p com os planos ϕ e ϕ1, respectivamente (os pontos I e I’ determinaram-se directamente a partir das suas projecções horizontais, pois os planos são projectantes horizontais). 3. A distância entre os pontos I e I’ é a distância entre os dois planos – o segmento [III’] é um segmento representativo da distância entre os dois planos. O segmento [III’] projecta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção, pois é paralelo a este – 苶I苶I 1苶I苶’苶1 é a V.G. da distância entre os dois planos.

SOLUÇÕES

245. Em primeiro lugar representaram-se os planos δ e θ, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância entre dois planos. 1. Conduziu-se uma recta p, qualquer, ortogonal aos dois planos – a recta p é uma recta frontal (de frente). 2. Determinaram-se os pontos I e I’, os pontos de intersecção da recta p com os planos δ e θ, respectivamente (os pontos I e I’ determinaram-se directamente a partir das suas projecções frontais, pois os planos são projectantes frontais). 3. A distância entre os pontos I e I ’ é a distância entre os dois planos – o segmento [III ’] é um segmento representativo da distância entre os dois planos. O segmento [III’] projecta-se em V.G. no Plano Frontal de Projecção, pois é paralelo a este – 苶I苶I 2苶I苶’苶2 é a V.G. da distância entre os dois planos.

246. Em primeiro lugar representaram-se os planos π e π1, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância entre dois planos. 1. Conduziu-se uma recta p, qualquer, ortogonal aos dois planos – a recta p é uma recta fronto-horizontal. 2. Determinaram-se os pontos I e I’, os pontos de intersecção da recta p com os planos π e π1, respectivamente (os pontos I e I’ têm determinação directa, pois os planos são duplamente projectantes – são projectantes frontais e projectantes horizontais). 3. A distância entre os pontos I e I’ é a distância entre os dois planos – o segmento [III’] é um segmento representativo da distância entre os dois planos. O segmento [III’] projecta-se em V.G. nos dois planos de projecção, pois é paralelo a ambos – 苶I苶I 1苶I苶’苶1 = 苶I苶I 2苶I苶’苶2 é a V.G. da distância entre os dois planos.

247. Em primeiro lugar representaram-se os planos α e δ, pelos seus traços, em função dos dados – os dois planos, porque são paralelos, têm os traços homónimos paralelos entre si. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância entre dois planos. 1. Conduziu-se uma recta p, qualquer, ortogonal aos dois planos – a recta p é uma recta oblíqua, cujas projecções são perpendiculares aos traços homónimos dos dois planos. 2. Determinaram-se os pontos I e I’, os pontos de intersecção da recta p com os planos α e δ, respectivamente. Uma vez que nem a recta p nem os planos são projectantes, a determinação dos pontos I e I’ processou-se com o recurso ao método geral da intersecção entre rectas e planos. O plano γ é o plano auxiliar a que se recorreu (é o plano projectante horizontal da recta p). A recta a é a recta de intersecção do plano γ com o plano α (está definida por dois pontos, que são os seus traços) – a recta a é concorrente com a recta p no ponto I, que é o ponto de intersecção da recta p com o plano α. A recta b é a recta de intersecção do plano γ com o plano δ (está definida por dois pontos, que são os seus traços) – a recta b é concorrente com a recta p no ponto I’, que é o ponto de intersecção da recta p com o plano δ. Note que as rectas a e b são paralelas entre si, pois qualquer plano corta dois planos paralelos segundo duas rectas paralelas. 3. A distância entre os pontos I e I’ é a distância entre os dois planos – o segmento [III’] é um segmento representativo da distância entre os dois planos. O segmento [III’] é oblíquo aos dois planos de projecção, pelo que não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano γ (o plano projectante horizontal do segmento) para o Plano Horizontal de Projecção. A V.G. da distância dos dois planos é 苶I苶I r 苶I苶’苶. r Tenha em conta que se poderia ter recorrido a uma mudança do diedro de projecção, por exemplo, para determinar a V.G. do comprimento do segmento [III’].

SOLUÇÕES

248. Em primeiro lugar representaram-se os planos α e δ, pelos seus traços, em função dos dados – os dois planos, porque são paralelos, têm os traços homónimos paralelos entre si. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância entre dois planos, à semelhança do exercício anterior, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório do exercício anterior. Note que a recta b (a recta de intersecção do plano auxiliar γ com o plano δ) está definida por um ponto – o seu traço horizontal – e por uma direcção – é paralela à recta a, pois qualquer plano corta dois planos paralelos segundo duas rectas paralelas. A V.G. da distância (a V.G. do comprimento do segmento [III’]) determinou-se com o recurso a uma mudança do diedro de projecção – transformou-se o segmento [III ’] num segmento frontal (de frente). Tenha em conta que se poderia ter recorrido a um rebatimento, por exemplo, para determinar a V.G. do comprimento do segmento [III’] (à semelhança do efectuado no exercício anterior).

249. Em primeiro lugar representaram-se os planos θ e γ, pelos seus traços, em função dos dados. O plano θ, porque é ortogonal ao β2/4, tem os seus traços coincidentes. Os dois planos, porque são paralelos, têm os traços homónimos paralelos entre si – o plano γ também tem os seus traços coincidentes. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância entre dois planos, à semelhança do exercício 247, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório daquele exercício. A recta p (a recta ortogonal aos dois planos) tem necessariamente as suas projecções paralelas entre si. O plano α foi o plano auxiliar (o plano projectante horizontal da recta p) a que se recorreu para a determinação dos pontos de intersecção da recta p com os planos θ e γ. A recta b (a recta de intersecção do plano auxiliar α com o plano γ) está definida por um ponto – o seu traço horizontal – e por uma direcção – é paralela à recta a (a recta de intersecção do plano α com o plano θ), pois qualquer plano corta dois planos paralelos segundo duas rectas paralelas. A V.G. da distância (a V.G. do comprimento do segmento [III’]) determinou-se com o recurso ao rebatimento do plano α (o plano projectante horizontal do segmento) para o Plano Horizontal de Projecção, mas poder-se-ia ter recorrido a uma mudança do diedro de projecção para o efeito.

250. Em primeiro lugar representaram-se os planos α e μ, em função dos dados – o plano α está definido pelas projecções das rectas h e f e o plano μ está definido pelas projecções do ponto N e pela sua orientação (é paralelo ao plano α). Note que, tal como em seguida se expõe, não é necessária a determinação dos traços de nenhum dos dois planos, o que se traduz numa maior economia de traçados. Assim, procedeu-se à execução sequencial das etapas do m é t o d o g e r a l p a r a a d e t e r m i n a ç ã o d a d i s t â n c i a e n t r e d o i s p l a n o s. 1. Conduziu-se uma recta p, qualquer, ortogonal aos dois planos. Com vista a uma maior economia de traçados, e uma vez que o único dado conhecido do plano μ é o ponto N, optou-se por conduzir a recta p pelo ponto N. A projecção frontal da recta p é perpendicular a f 2 , o que garante a ortogonalidade entre a recta p2 e uma recta frontal do plano α. A projecção horizontal da recta p (p1) é perpendicular a h1, o que garante a ortogonalidade entre a recta p e uma recta horizontal do plano α. As rectas f e h são duas rectas concorrentes do plano α, pelo que a recta p é, então, ortogonal ao plano α, pois é ortogonal a duas rectas concorrentes do plano. Uma vez que os planos α e μ são paralelos entre si, a recta p é também ortogonal ao plano μ. Como se pôde constatar, foi possível determinar a recta p sem o recurso aos traços dos planos, mas (Continua na página seguinte) 90

SOLUÇÕES

apenas porque as rectas que definem o plano α são uma recta frontal (de frente) e uma recta horizontal (de nível) – caso fossem duas rectas oblíquas, por exemplo, seria necessário determinar os traços do plano ou determinar uma recta horizontal (de nível) e uma recta frontal (de frente) do plano. 2. Determinaram-se os pontos de intersecção da recta p com os planos α e μ. Uma vez que a recta p passa pelo ponto N, que é um ponto do plano μ, o ponto N é, imediatamente, o ponto de intersecção da recta p com o plano μ. A determinação do ponto de intersecção da recta p com o plano α (ponto I) processou-se com o recurso ao método geral da intersecção entre rectas e planos (nem a recta nem o plano são projectantes). O plano γ (que está definido apenas pelo seu traço horizontal, razão pela qual este se assinalou entre parêntesis) é o plano auxiliar a que se recorreu (é o plano projectante horizontal da recta p). A recta i é a recta de intersecção do plano γ com o plano α e está definida por dois pontos – os pontos A e B (que são os pontos em que o plano γ corta as rectas f e h, respectivamente). A recta i é concorrente com a recta p no ponto I, que é o ponto de intersecção da recta p com o plano α. 3. A distância entre os pontos I e N é a distância entre os dois planos – o segmento [IIN] é um segmento representativo da distância entre os dois planos. O segmento [IIN] é oblíquo aos dois planos de projecção, pelo que não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo recurso a uma mudança do diedro de projecção – transformou-se o segmento [IIN] num segmento horizontal (de nível). Note que, em função dos limites do desenho, se transformou o segmento [IIN] num segmento horizontal (de nível) com cota negativa, mas que tal não é estritamente necessário nem deve fazer confusão. Tenha em conta que também se poderia ter recorrido a um rebatimento, por exemplo, para determinar a V.G. da distância.

251. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, em função dos dados – o plano α, porque é ortogonal ao β1/3, tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X. Tenha em conta que o problema proposto consiste numa variação dos problemas de distâncias entre planos – o plano δ (o plano pretendido) será determinado em função da sua distância ao plano α. Assim, a resolução do exercício passa necessariamente pela execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância entre dois planos, como em seguida se expõe. 1. Conduziu-se uma recta p, qualquer, ortogonal aos dois planos – com vista a uma maior economia de traçados, optou-se por fazer com que a recta p seja uma recta passante. 2. Determinou-se o ponto A , o ponto de intersecção da recta p com o plano α – note que não é possível determinar o ponto de intersecção da recta p com o plano δ, pois este é o que é pedido no enunciado (não é conhecido). De qualquer forma, o ponto de intersecção da recta p com o plano δ é um ponto que se situa na recta p a 3 cm (a distância entre os dois planos) do ponto A . Note que, atendendo a que nem a recta p nem o plano α são projectantes, a determinação do ponto A se processou com o recurso ao método geral da intersecção entre rectas e planos. O plano θ é o plano auxiliar a que se recorreu (é o plano projectante frontal da recta p). A recta i é a recta de intersecção do plano θ com o plano α (está definida por dois pontos, que são os seus traços) – a recta i é concorrente com a recta p no ponto A , que é o ponto de intersecção da recta p com o plano α. 3. A distância entre os dois planos tem de ser medida sobre a recta p, a partir de A . Uma vez que a recta p é oblíqua aos dois planos de projecção, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar para se medir a distância em V.G. – optou-se pelo rebatimento do plano θ (o plano projectante frontal da recta p) para o Plano Horizontal de Projecção. A charneira foi hθ e o ponto de concorrência da recta p com o eixo X (a recta p é passante) é fixo – pr fica definida por dois pontos (o seu ponto de concorrência com o eixo X e A r). 3. Sobre pr, a partir de A r, mediram-se os 3 cm (a distância entre os dois planos), obtendo um ponto B r – B será o ponto de intersecção da recta p com o plano δ. O ponto B r situou-se sobre pr de forma a garantir que o plano δ (que contém o ponto B) corte o eixo X num ponto com abcissa positiva (como é pedido no enunciado). Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do ponto B, sobre as projecções homónimas da recta p. A conclusão do exercício passa, agora, por determinar os traços do plano δ, paralelos aos traços homónimos do plano α, fazendo com que o plano δ contenha o ponto B. Para tal, recorreu-se a uma recta do plano δ que passe por B – a recta f, que é uma recta frontal (de frente) do plano δ, que é paralela a f α (para que um ponto pertença a um plano, tem de pertencer a uma recta do plano). H’ é o traço horizontal da recta f – hδ passa por H’ e é paralelo a hα e f δ é concorrente com hδ no eixo X e é paralelo a f 2 (e a f α).

SOLUÇÕES

252. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados – o plano ρ está definido pelos seus traços e o plano σ está definido pelo seu traço frontal e pela sua orientação (é paralelo a ρ). Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância entre dois planos. 1. Conduziu-se uma recta p, qualquer, ortogonal aos dois planos – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinaram-se os pontos I e I’, os pontos de intersecção da recta p com os planos ρ e σ, respectivamente. Como nem a recta p nem os planos ρ e σ são projectantes, recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos. Assim, conduziu-se, pela recta p, um plano π, auxiliar (π é um plano de perfil). Em seguida determinou-se a recta i, a recta de intersecção dos planos π e ρ (que está definida por F e H, os seus traços). Não é possível determinar directamente o ponto de concorrência das rectas p e i. Em seguida determinou-se a recta i’, a recta de intersecção dos planos π e σ (que está definida por F’ e pela sua direcção – é paralela à recta i, pois qualquer plano corta dois planos paralelos segundo duas rectas paralelas). Também não é possível determinar directamente o ponto de concorrência das rectas i’ e p. Há que resolver o exercício com o recurso a um processo geométrico auxiliar – o do rebatimento, segundo é expressamente pedido no enunciado. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π. A recta i r está definida por Fr e Hr e a recta i’r está definida por F’r e pela sua direcção (é paralela a i r). Em rebatimento, desenhou-se pr, qualquer, perpendicular a i r e i’r e determinaram-se os pontos de concorrência de pr com aquelas – Ir e I’r, respectivamente. I é o ponto de intersecção de p com ρ e I’ é o ponto de intersecção de p com σ. 3. A distância entre os dois pontos é a distância entre os dois planos. 苶I苶I r 苶I苶’苶r é, assim, a V.G. da distância entre os dois pontos (e da distância entre os dois planos). Inverteu-se o rebatimento, obtendo as projecções de I e I’. As projecções do segmento [III’] são as projecções de um segmento representativo da distância entre os dois planos.

253. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados – o plano ρ está definido pelos seus traços e o plano σ está definido pelo seu traço frontal e pela sua orientação (é paralelo a ρ). Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância entre dois planos. 1. Conduziu-se uma recta p, qualquer, ortogonal aos dois planos – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinaram-se os pontos I e I’, os pontos de intersecção da recta p com os planos ρ e σ, respectivamente. O recurso à mudança do diedro de projecção (que é expressamente pedido no enunciado) simplifica bastante o exercício, tanto ao nível dos raciocínios como dos traçados. Como não é dado o traço horizontal de σ, opplano 1) por um outro plano tou-se por substituir o Plano Horizontal de Projecção (p plano 4), obtendo um diedro de projecção no qual os dois planos são planos verti(p cais (que mantêm o paralelismo). O novo eixo X (o eixo X’) é perpendicular a f ρ e a f σ. Mantiveram-se os traços frontais dos dois planos (manteve-se o Plano Frontal de Projecção) e determinou-se o traço de ρ no plano 4 com o recurso a um ponto A 4) determinou-se qualquer de hρ – o ponto A . A projecção do ponto A no plano 4 (A em função do seu afastamento, que se manteve. O traço de ρ no plano 4, h4ρ, passa por A 4 (no novo diedro de projecção, o plano ρ é projectante horizontal) e é concorrente com f ρ no eixo X ’ . O traço de σ no p l a n o 4 é paralelo a h 4 ρ, sendo concorrente com f σ no eixo X’. No novo diedro de projecção, os dois planos são verticais e a recta p é uma recta horizontal (de nível) – p4 é, assim, perpendicular aos traços dos dois planos no plano 4 e os pontos de intersecção de p com os dois planos têm determinação imediata, a partir das suas projecções no plano 4 (no novo diedro de projecção os planos são projectantes horizontais). Este raciocínio permitiu-nos determinar I4 e I’4. 3. A distância entre os pontos I e I’ é a distância entre os dois planos. Como a recta p é horizontal (no diedro de projecção formado pelo plano 2 e pelo plano 4), o segmento [III’] é horizontal (é paralelo ao plano 4) e projecta-se em V.G. no plano 4. 苶I苶I 4苶I苶’苶4 é, assim, a V.G. da distância entre os dois planos. As projecções frontais de I e I’ determinam-se directamente e as suas projecções horizontais, no diedro de projecção inicial (o diedro de projecção formado entre o plano 1 e o plano 2), determinam-se em função dos seus afastamentos, que se mantêm, obtendo-se assim as projecções do segmento [III’], que é um segmento representativo da distância entre os dois planos.

SOLUÇÕES

254. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados – o plano ρ está definido pelos seus traços e o plano σ está definido pelo seu traço horizontal e pela sua orientação (é paralelo a ρ). Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância entre dois planos. 1. Conduziu-se uma recta p, qualquer, ortogonal aos dois planos – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinaram-se os pontos I e I’, os pontos de intersecção da recta p com os planos ρ e σ, respectivamente. Para tal, recorreu-se a uma mudança do diedro de projecção, à semelhança do exercício anterior. Como não é dado o traço frontal de σ, optou-se por substituir o plano 2) por um outro plano (p plano 4), obtendo um diedro Plano Frontal de Projecção (p de projecção no qual os dois planos são planos de topo (que mantêm o paralelismo). O novo eixo X (o eixo X’) é perpendicular a hρ e a hσ. Mantiveram-se os traços horizontais dos dois planos (manteve-se o Plano Horizontal de Projecção) e determinou-se o traço de ρ no plano 4 com o recurso a um ponto qualquer de f ρ – o ponto A . A projecção do A 4) determinou-se em função da sua cota, que se manteve. O traço ponto A no plano 4 (A de ρ no plano 4, f 4ρ, passa por A 4 (no novo diedro de projecção, o plano ρ é projectante frontal) e é concorrente com hρ no eixo X’. O traço de σ no plano 4 é paralelo a f 4ρ, sendo concorrente com hσ no eixo X’. No novo diedro de projecção, os dois planos são de topo e a recta p é uma recta frontal (de frente) – p4 é, assim, perpendicular aos traços dos dois planos no plano 4 e os pontos de intersecção de p com os dois planos têm determinação imediata, a partir das suas projecções no plano 4 (no novo diedro de projecção os planos são projectantes frontais). Este raciocínio permitiu-nos determinar I4 e I’4. 3. A distância entre os pontos I e I’ é a distância entre os dois planos. Como a recta p é frontal (no diedro de projecção formado pelo plano 1 e pelo plano 4), o segmento [III’] é frontal (é paralelo ao plano 4) e projecta-se em V.G. no plano 4. 苶I苶I 4苶I苶’苶4 é, assim, a V.G. da distância entre os dois planos. As projecções horizontais de I e I’ determinam-se directamente e as suas projecções frontais, no diedro de projecção inicial (o diedro de projecção formado entre o plano 1 e o plano 2), determinam-se em função das suas cotas, que se mantêm, obtendo-se assim as projecções do segmento [III’], que é um segmento representativo da distância entre os dois planos.

255. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados – o plano ρ está definido pelo seu traço frontal e pela sua orientação (faz um diedro de 60° com o Plano Horizontal de Projecção e o seu traço horizontal situa-se no SPHA) e o plano σ está definido pelo seu traço horizontal e pela sua orientação (é paralelo a ρ, pelo que faz igualmente um diedro de 60o com o Plano Horizontal de Projecção). Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância entre dois planos. 1. Conduziu-se uma recta p, qualquer, ortogonal aos dois planos – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinaramse os pontos I e I’, os pontos de intersecção da recta p com os planos ρ e σ, respectivamente. Como nem a recta p nem os planos ρ e σ são projectantes, recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos. Assim, conduziu-se, pela recta p, um plano π, auxiliar (π é um plano de perfil). Em seguida, determinou-se a recta i, a recta de intersecção dos planos π e ρ. A recta i está definida por um ponto (o seu traço frontal, F) e por uma direcção (faz um ângulo de 60o com o Plano Horizontal de Projecção). Note que a amplitude do diedro formado entre um plano de rampa e o Plano Horizontal de Projecção é igual à amplitude do ângulo que qualquer recta de perfil do plano de rampa faz com o Plano Horizontal de Projecção. Não é possível determinar directamente o ponto de concorrência das rectas p e i. Em seguida, determinou-se a recta i’, a recta de intersecção dos planos π e σ (que está definida por H, o seu traço horizontal, e pela sua direcção – é paralela à recta i, pois qualquer plano corta dois planos paralelos segundo duas rectas paralelas). Também não é possível determinar directamente o ponto de concorrência das rectas i’ e p. Há que resolver o exercício com o recurso a um processo geométrico auxiliar – o do rebatimento, por exemplo. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π. A recta i r passa por Fr e faz um ângulo de 60o com hπr. Note que, apesar de não se ter assinalado o traço horizontal da recta i r em rebatimento, se garantiu que este se situa no SPHA. A recta i’r passa por Hr e é paralela a i r . Em rebatimento, desenhou-se pr, qualquer, perpendicular a i r e i’r e determinaram-se os pontos de concorrência de pr com aquelas – Ir e I’r, respectivamente. I é o ponto de intersecção de p com ρ e I’ é o ponto de intersecção de p com σ. 3. A distância entre os dois pontos é a distância entre os dois planos. 苶I苶I r 苶I苶’苶r é, assim, a V.G. da distância entre os dois pontos (e da distância entre os dois planos). Inverteu-se o rebatimento, obtendo as projecções de I e I’. As projecções do segmento [III’] são as projecções de um segmento representativo da distância entre os dois planos.

SOLUÇÕES

256. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados – ambos os planos estão definidos pelos seus traços. O plano σ, no entanto, porque os seus traços são uma única recta (o eixo X) está definido por uma recta (o eixo X) e pela sua orientação (é paralelo a ρ). Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da d i s t â n c i a e n t r e d o i s p l a n o s . 1. Conduziu-se uma recta p, qualquer, ortogonal aos dois planos – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinaram-se os pontos I e I’, os pontos de intersecção da recta p com os planos ρ e σ, respectivamente. Optou-se pelo recurso a uma mudança do pladiedro de projecção – substituiu-se o Plano Horizontal de Projecção (p no 1) por um outro plano (p plano 4), obtendo um diedro de projecção no qual os dois planos são planos verticais (que mantêm o paralelismo). O exercício é, assim, semelhante ao exercício 253, mantendo-se os traçados naquele efectuados, bem como os raciocínios que os justificam, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório daquele exercício.

257. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seu traços, em função dos dados. Um plano de rampa paralelo ao β1/3 é necessariamente ortogonal ao β2/4, pelo que o plano ρ tem os seus traços coincidentes (planos ortogonais ao β2/4 têm os seus traços coincidentes). Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância entre dois planos – tendo em conta que se recorreu ao processo do rebatimento, trata-se de uma situação semelhante à do exercício 252, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução proposta com a leitura do relatório daquele exercício. Note que a recta de intersecção do plano de perfil π com o β1/3 (a recta i’) é uma recta de perfil passante – está definida por um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo X) e por uma direcção (faz ângulos de 45o com os planos de projecção e atravessa os 1o e 3o Diedros). A recta i’, em rebatimento, faz ângulos de 45o com f πr e hπr e é necessariamente paralela à recta de intersecção de π com ρ (a recta i), pois o plano ρ e o β1/3 são paralelos e o plano π corta os dois planos segundo duas rectas paralelas.

258. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados. Tenha em conta que o problema proposto consiste numa variação dos problemas de distâncias entre planos – o plano σ (o plano pretendido) será determinado em função da sua distância ao plano ρ. Assim, a resolução do exercício passa necessariamente pela execução sequencial das etapas do método geral p a r a a d e t e r m i n a ç ã o d a d i s t â n c i a e n t r e d o i s p l a n o s , como em seguida se expõe. 1. Conduziu-se uma recta p, qualquer, ortogonal aos dois planos – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ, conforme exposto no relatório do exercício 252 – note que não é possível determinar o ponto de intersecção da recta p com o plano σ, pois este é o que é pedido no enunciado (não é conhecido). De qualquer forma, o ponto de intersecção da recta p com o plano σ é um ponto que se situa na recta p a 3 cm (a distância entre os dois planos) do ponto I. 3. Sobre pr, a partir de Ir, mediram-se os 3 cm (a distância entre os dois planos), obtendo um ponto I’r – I’ será o ponto de intersecção da recta p com o plano σ. O ponto I’r situou-se sobre pr de forma a garantir que o plano σ (que contém o ponto I’) se situe entre o eixo X e o plano ρ (como é pedido no enunciado). Note que 苶I苶I r 苶I苶’苶r é, assim, a V.G. da distância entre os dois planos. Por I’r conduziu-se uma recta i’r, paralela à recta i r (e perpendicular a pr) – i’ é a recta de intersecção do plano π com o plano σ. As rectas i e i’ são necessariamente paralelas, pois são as rectas de intersecção de um plano (o plano π) com dois planos paralelos (os planos ρ e σ). Em rebatimento, determiF’r situa-se naram-se os traços da recta i’, sobre os traços homónimos do plano π (F sobre f πr e H’r situa-se sobre hπr). Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de F’ (que é fixo, pois é um ponto da charneira) e H’ – os traços do plano σ passam pelos traços homónimos da recta i’ e são paralelos aos traços homónimos do plano ρ (o plano σ é outro plano de rampa).

SOLUÇÕES

259. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados – o plano ρ, passante, está definido pelo eixo X e pelas projecções do ponto P e o plano σ está definido pelo seu traço frontal e pela sua orientação (é paralelo ao plano ρ). Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método g e r a l d a d i s t â n c i a e n t r e d o i s p l a n o s. 1. Conduziu-se uma recta p, qualquer, ortogonal aos dois planos – a recta p é uma recta de perfil. Por uma questão de economia de traçados, optou-se por conduzir a recta p pelo ponto P, o ponto que define o plano passante. 2. Determinaram-se os pontos de intersecção da recta p com os planos ρ e σ. O ponto P é, imediatamente, o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ. Para determinar o ponto de intersecção da recta p com o plano σ, uma vez que nem a recta p nem o plano σ são projectantes, recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos. Assim, conduziu-se, pela recta p, um plano π, auxiliar (π é um plano de perfil). Em seguida, determinou-se a recta i, a recta de intersecção dos planos π e σ. A recta i está definida por um ponto (o seu traço frontal, F) e por uma direcção (é paralela a uma recta de perfil do plano ρ – a recta i’, que é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ, pois qualquer plano corta dois planos paralelos segundo duas rectas paralelas). A recta i’ é uma recta de perfil passante e está definida por dois pontos – o ponto P e o seu ponto de concorrência com o eixo X. Não é possível determinar directamente o ponto de concorrência das rectas p e i. Há que resolver o exercício com o recurso a um processo geométrico auxiliar – o do rebatimento, por exemplo. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π. A recta i r passa por Fr e é paralela à recta i’r (a recta i’r está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo, e por Pr). Em rebatimento, desenhou-se pr, perpendicular a i r e i’r e passando por Pr, e determinou-se o ponto de concorrência de pr com i r – Ir. I é o ponto de intersecção de p com σ e P é o ponto de intersecção de p com σ P苶I (como acima se referiu). 3. A distância entre os dois pontos é a distância entre os dois planos. 苶 r 苶I苶r é, assim, a V.G. da distância entre os dois P I] são as pontos (e da distância entre os dois planos). Inverteu-se o rebatimento, obtendo as projecções de I. As projecções do segmento [P projecções de um segmento representativo da distância entre os dois planos.

260. Por distância de um ponto a uma recta entende-se o comprimento de um segmento de recta perpendicular à recta (concorrente com esta), que tem um extremo no ponto dado e o outro no seu ponto de concorrência com a recta, ou seja, é a menor distância do ponto à recta, medida numa perpendicular à recta que passa pelo ponto.

261. Em primeiro lugar representaram-se a recta h e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Uma vez que a distância de um ponto a uma recta é medida perpendicularmente à recta, há que conduzir, pelo ponto, uma recta perpendicular à recta h. Tal procedimento pode efectuar-se com o recurso ao método geral para a determinação da distância de um ponto a uma recta mas, atendendo a que a recta h é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que a perpendicularidade é directa em projecção horizontal, é possível conduzir, por P, uma recta perpendicular à recta h de forma directa – a recta p. Assim, conduziu-se p1 por P1, perpendicular a h1 – p1 e h1 são concorrentes em I1, que é a projecção horizontal do ponto de concorrência das duas rectas. I2 situa-se sobre h2, na linha de chamada de I1 – p2 fica definida por P2 e I2. A recta p, definida por P e I, é a recta perpendiPI] é o segmento representativo da distância de P cular à recta h que passa por P. [P a h, que não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (é oblíquo a P I] recorreu-se a uma mudança do diedro de ambos). Para determinar a V.G. de [P P I] num segmento de recta frontal projecção, na qual se transformou o segmento [P (de frente) – ver exercício 216 e respectivo relatório.

SOLUÇÕES

262. Em primeiro lugar representaram-se a recta f e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A distância de um ponto a uma recta é medida perpendicularmente à recta, pelo que há que conduzir, pelo ponto, uma recta perpendicular à recta f. Tal como no exercício anterior, apesar desse procedimento se poder efectuar com o recurso ao método geral para a determinação da distância de um ponto a uma recta, atendendo a que a recta f é paralela ao Plano Frontal de Projecção e a perpendicularidade é directa em projecção frontal, é possível conduzir, por P, uma recta perpendicular à recta f de forma directa – a recta p. Assim, conduziu-se p2 por P2, perpendicular a f 2 – p2 e f 2 são concorrentes em I2, que é a projecção frontal do ponto de concorrência das duas rectas. I1 situa-se sobre f 1, na linha de chamada de I2 – p1 fica definida por P1 e I1. A recta p, definida por P e I, é a recta perpendicular à recta f que passa por P. [P P I] é o segmento representativo da distância de P a f, que não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (é P I] recorreu-se a uma mudança do diedro de oblíquo a ambos). Para determinar a V.G. de [P P I] num segmento de recta frontal (de projecção, na qual se transformou o segmento [P frente) – ver exercício 216 e respectivo relatório. Note que o ponto I tem cota negativa, que se manteve na mudança do diedro de projecção efectuada – mantiveram-se as cotas e mudaram os afastamentos.

263. Em primeiro lugar representaram-se a recta t e o ponto M, pelas suas projecções, em função dos dados – a projecção frontal da recta t é um ponto, o que se assinalou devidamente com parêntesis. A distância de um ponto a uma recta é medida perpendicularmente à recta, pelo que há que conduzir, pelo ponto, uma recta perpendicular à recta t. A recta t, de topo, é um caso particular das rectas horizontais (de nível) – é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que a perpendicularidade é directa em projecção horizontal. Assim, à semelhança do exercício 261, conduziu-se a projecção horizontal da recta p (a recta perpendicular à recta t) – p1 passa por M 1 e é perpendicular a t1. As rectas p1 e t1 são concorrentes em I1, que é a projecção horizontal do ponto de concorrência das duas rectas – I2 tem determinação directa, pois a recta é projectante frontal e p2 fica definida por M 2 e I2. A recta p, definida por M e I, é a M I] é recta perpendicular à recta t que passa por M – a recta p é uma recta frontal (de frente). [M o segmento representativo da distância de M a t, que se projecta em V.G. no Plano Frontal de P I] está na sua projecção frontal e é 苶 M苶I Projecção, pois é paralelo a este. A V.G. de [P 2苶I苶. 2

264. Em primeiro lugar representou-se o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. A distância de um ponto a uma recta é medida perpendicularmente à recta, pelo que há que conduzir, pelo ponto, uma recta perpendicular ao eixo X – o eixo X é uma recta fronto-horizontal, que é simultaneamente um caso particular das rectas horizontais (de nível) e das rectas frontais (de frente). Qualquer recta perpendicular a uma recta fronto-horizontal é necessariamente uma recta de perfil, pois a perpendicularidade é directa em qualquer das projecções ou em ambas as projecções. Assim, conduziu-se, pelo ponto A , uma recta p de perfil, perpendicular ao eixo X – uma vez que as duas rectas são concorrentes, a recta p é uma recta de perfil passante (é concorrente com o eixo X no ponto I). A recta p é a recta perpendicular ao eixo X que passa por A e está definida A I] é o segmento representativo da distância por dois pontos – o ponto A e o ponto I. [A de A ao eixo X, que não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (é obA I] recorreu-se ao rebatimento do plano π, o líquo a ambos). Para determinar a V.G. de [A plano de perfil que contém a recta p. Efectuou-se o rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π) – ver exercício 215 e respectivo relatório (note A 苶I que o ponto I é fixo, pois situa-se na charneira). 苶 r 苶I苶r é a V.G. da distância do ponto A ao eixo X.

SOLUÇÕES

265. Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A distância de um ponto a uma recta é medida perpendicularmente à recta, pelo que há que conduzir, pelo ponto P, uma recta perpendicular à recta r. No entanto, ao contrário das situações anteriores, em que a recta era paralela a um dos planos de projecção ou a ambos (sendo que a perpendicularidade era directa em projecções), nesta situação a perpendicularidade não é directa em nenhuma das projecções, pois a recta não é paralela a qualquer dos planos de projecção. Assim sendo, o processo de resolução mais linear consiste em resolver o problema a d u a s d i m e n s ões, no plano definido pela recta e pelo ponto – para tal é necessário rebater o plano definido pela recta e pelo ponto, pois em rebatimento (em VG.) a perpendicularidade é directa. Assim, rebateu-se esse plano para o plano horizontal (de nível) ν que contém o ponto P – a charneira do rebatimento (recta e) fica definida pelo ponto P e pelo ponto de intersecção da recta r com o plano ν, que é o próprio ponto A (note que A e P têm a mesma cota). Pr ≡ P1 e A r ≡ A 1, pois P e A são dois pontos da charneira. Já temos um ponto para definir a recta r em rebatimento (o ponto A r). Recorreu-se a um outro ponto (o seu traço horizontal – H) da recta, para rebater a recta – r r fica definida por A r e Hr. Note que H se rebateu pelo triângulo do rebatimento, em função da sua cota em relação ao plano ν (a distância de H ao plano ν). Em rebatimento (no plano definido pela P苶I recta e pelo ponto), conduziu-se, por Pr, uma perpendicular a r r, obtendo Ir - 苶 r 苶I苶r é a V.G. da distância de P a r . Inverteu-se o rebatimento, com o recurso à perpendicular à charneira que passa por I (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), obtendo I1 sobre r 1 e I 2, na mesma linha de chamada de I1, sobre r 2. A partir das projecções de I, obtiveram-se as projecções P I], que é o segmento representativo da distância de P a r. de [P

266. Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta r é passante, pelo que é concorrente com o eixo X – as suas projecções são concorrentes entre si no eixo X. Note que, em função dos dados, o ponto de concorrência da recta r com o eixo X é um ponto com abcissa nula. A distância de um ponto a uma recta é medida perpendicularmente à recta, pelo que há que conduzir, pelo ponto P, uma recta perpendicular à recta r. Tal como na situação anterior, a perpendicularidade não é directa em nenhuma das projecções, pois a recta não é paralela a qualquer dos planos de projecção. Assim sendo, à semelhança do exercício anterior, o processo de resolução mais linear consiste em resolver o problema a duas dimensões, no plano definido pela recta e pelo ponto, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório do exercício anterior. A charneira do rebatimento (recta e) fica definida por P e por B, que é o ponto de intersecção do plano ν com a recta r. O ponto A foi o ponto a que se recorreu para rebater a recta r.

267. Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta r é paralela ao β2/4, pelo que as suas projecções são paralelas entre si. O ponto P tem cota e afastamento nulos, pois é um ponto do eixo X. A distância de um ponto a uma recta é medida perpendicularmente à recta, pelo que há que conduzir, pelo ponto P, uma recta perpendicular à recta r. Tal como na situação do exercício 265, a perpendicularidade não é directa em nenhuma das projecções, pois a recta não é paralela a qualquer dos planos de projecção. Assim sendo, à semelhança daquele exercício, o processo de resolução mais linear consiste em resolver o problema a duas dimensões, no plano definido pela recta e pelo pont o, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório do exercício 265. Rebateu-se o plano definido pela recta e pelo ponto para o Plano Frontal de Projecção – a charneira fica definida pelo ponto P (que é um ponto do Plano Frontal de Projecção, pois situa-se no eixo X) e pelo traço frontal da recta r – F. O ponto A foi o ponto da recta r a que se recorreu para rebater a recta.

SOLUÇÕES

268. Em primeiro lugar representaram-se a recta m e o ponto M, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta m é uma recta do β2/4, pelo que tem as suas projecções coincidentes. O ponto M, porque pertence ao β1/3 (o bissector dos diedros ímpares), tem coordenadas iguais e projecções simétricas em relação ao eixo X. A distância de um ponto a uma recta é medida perpendicularmente à recta, pelo que há que conduzir, pelo ponto M, uma recta perpendicular à recta m. Tal como na situação do exercício 265, a perpendicularidade não é directa em nenhuma das projecções, pois a recta não é paralela a qualquer dos planos de projecção. Assim sendo, à semelhança daquele exercício, o processo de resolução mais linear consiste em resolver o problema a duas dimensões, no plano definido pela recta e pelo ponto, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório do exercício 265. Rebateu-se o plano definido pela recta e pelo ponto para o plano frontal (de frente) ϕ que passa por M – a charneira fica definida pelo ponto M e pelo ponto A , que é o ponto de intersecção do plano ϕ com a recta m. O ponto B foi o ponto da recta m a que se recorreu para rebater a recta – B é o ponto de concorrência da recta com o eixo X.

269. Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta r é uma recta do β1/3, pelo que tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X. O ponto P, porque pertence ao β1/3, tem coordenadas iguais e projecções simétricas em relação ao eixo X. A distância de um ponto a uma recta é medida perpendicularmente à recta, pelo que há que conduzir, pelo ponto P, uma recta p e r p e n d i c u l a r à recta r. Tal como na situação do exercício 265, a perpendicularidade não é directa em nenhuma das projecções, pois a recta não é paralela a qualquer dos planos de projecção. Assim sendo, à semelhança daquele exercício, o processo de resolução mais linear consiste em resolver o problema a duas dimensões, no plano definido pela recta e pelo ponto, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório do exercício 265. Rebateu-se o plano definido pela recta e pelo ponto para o plano horizontal (de nível) ν que passa por P – a charneira fica definida pelo ponto P e pelo ponto B, que é o ponto de intersecção do plano ν com a recta r. O ponto A foi o ponto da recta r a que se recorreu para rebater a recta – A é o ponto de concorrência da recta com o eixo X. Note que, uma vez que tanto a recta r como o ponto P pertencem ao β1/3, o plano definido pela recta e pelo ponto é o próprio β1/3 – o rebatimento efectuado foi o rebatimento do β1/3, pelo que a charneira é uma recta fronto-horizontal (é a recta de intersecção do β1/3 com um plano horizontal – o plano ν).

270. Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Note que a situação do presente exercício é idêntica à do exercício 268, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório.

SOLUÇÕES

271. Em primeiro lugar representaram-se a recta p e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A distância de um ponto a uma recta é medida perpendicularmente à recta, pelo que há que conduzir, pelo ponto P, uma recta perpendicular à recta p. A recta p não é paralela a nenhum dos planos de projecção, pelo que a perpendicularidade não é directa em nenhuma das projecções – há, então, que resolver o problema a duas dimensões, no plano definido pela recta e pelo ponto. Para tal, é necessário rebater o plano definido pela recta e pelo ponto, pois em rebatimento (em VG.) a perpendicularidade é directa. Assim, rebateu-se esse plano para o plano frontal (de frente) ϕ que contém o ponto P – a charneira do rebatimento (recta e’) fica definida pelo ponto P e pelo ponto C, que é o ponto de intersecção da recta p com o plano ϕ. Note que a determinação das projecções do ponto C se processou com o recurso a um processo geométrico auxiliar, pois as projecções da recta p não verificam o Critério de Reversibilidade. Assim, a determinação de C1, a projecção horizontal de C, é directa, pois o plano ϕ é projectante horizontal. Para determinar C2, a projecção frontal de C, recorreu-se ao rebatimento da recta p, pelo rebatimento do plano de perfil que a contém – o plano π. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e). A recta pr fica definida por A r e por B r – em rebatimento, sobre pr, determinou-se Cr a partir do rebatimento de C1. Invertendo o rebatimento, determinou-se C2. A charneira do rebatimento do plano definido pela recta p e pelo ponto P (que é um plano oblíquo) para o plano frontal (de frente) ϕ está agora totalmente definida – a recta e’ passa por P e por C. Pr ≡ P2 e Cr ’ ≡ C2, pois P e C são dois pontos da charneira (recta e’) – note que Cr ’ é o ponto C rebatido pelo segundo rebatimento da recta p. Já temos um ponto para definir a recta p em rebatimento (o ponto Cr ’). Recorreu-se a um outro ponto da recta (o ponto A ), para a rebater – pr ’ fica definida por A r ’ e Cr ’. O ponto A rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função do seu afastamento em relação ao plano ϕ (a distância de A ao plano ϕ). Note que a recta pr ’ é a recta p rebatida pelo rebatimento do plano definido pela recta e pelo ponto P (o seu segundo rebatimento), tal como A r ’ é o ponto A rebatido no seu segundo rebatimento (o rebatimento do plano definido pela recta p e pelo ponto P). Em rebatimento (no plano definido pela recta e pelo ponto), conduziu-se, por Pr, uma perpendiP苶I cular a pr ’, obtendo Ir – 苶 r 苶I苶r é a V.G. da distância de P a p. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso à perpendicular à charneira que passa por I (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), obtendo I1 sobre p1. Para determinar I2, uma vez que as projecções da recta p não verificam o Critério de Reversibilidade, recorreu-se ao rebatimento da recta p pelo rebatimento do plano π – Ir ’ é o ponto I rebatido pelo rebatimento do plano π. Ir ’ determinou-se sobre pr a partir de I1. Invertendo o rebatimento, determiP I], que é o segmento representativo da distância de P a p. nou-se I2 sobre p2. A partir das projecções de I, obtiveram-se as projecções de [P

272.

Em primeiro lugar representaram-se a recta p e o ponto M, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Note que a recta p está definida por um ponto (o ponto A) e pela sua direcção (é dado o ângulo que a recta faz com o Plano Horizontal de Projecção). A distância de um ponto a uma recta é medida perpendicularmente à recta, pelo que há que conduzir, pelo ponto M, uma recta perpendicular à recta p. A recta p não é paralela a nenhum dos planos de projecção, pelo que a perpendicularidade não é directa em nenhuma das projecções – no entanto, recorrendo a uma mudança do diedro de projecção, é possível transformar a recta p numa recta frontal (de frente), o que fará com que a perpendicularidade passe a ser directa, e o ângulo que a recta faz com o Plano Horizontal de Projecção passará a projectar-se em V.G., no novo plano de projecção. Assim, efectuaram-se os traçados necesplano 2) por sários a tal – substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (p plano 4), paralelo à recta p. O novo eixo um novo plano de projecção (p X (o eixo X’) é a recta de intersecção do Plano Horizontal de Projecção plano 1) com o plano 4 e é paralelo a p1. As projecções dos pontos M (p e A no plano 4 determinaram-se em função das suas cotas, que se mantêm – p4, a projecção da recta p no plano 4, passa por A 4 e faz, com o eixo X’, um ângulo de 30o (o ângulo dado, que é o ângulo que a recta p faz com o Plano Horizontal de Projecção). Note que se garantiu que o traço frontal da recta p (no diedro de projecção inicial) tenha cota positiva. No novo diedro de projecção, a recta p é uma recta frontal (de frente), pois é paralela ao plano 4, pelo que se trata da situação do exercício 262 – a perpendicularidade é directa no plano 4. Assim, por M4 conduziu-se uma perpendicular a p4 (a recta r4), obtendo I4 – I1 situa-se sobre p1, na linha de chamada de I4. A projecção frontal de I, I2, determinou-se em função da sua cota (a distância de I4 ao eixo X’), que se MI], que é o segmento repremantém. A partir das projecções de I no diedro de projecção inicial, desenharam-se as projecções do segmento [M MI] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois é oblíquo a ambos. Assim, para desentativo da distância de M a p – [M p l a n o 2) M苶I recorreu-se a outra mudança do diedro de projecção – substituiu-se uma vez mais o Plano Frontal de Projecção (p terminar a V.G. de 苶 MI] num segmento frontal (de frente). O novo eixo X (o eixo X’’) é a por um outro plano de projecção (o plano 5), transformando o segmento [M plano 1) com o plano 5 e é paralelo a [M M 1I1]. As projecções de M e I no plano 5 deterrecta de intersecção do Plano Horizontal de Projecção (p M5I5] é a V.G. da distância de M a p. minaram-se em função das respectivas cotas, que se mantêm – o comprimento do segmento [M

SOLUÇÕES

273. Em primeiro lugar representaram-se a recta p e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Note que a recta p está definida por um ponto (o ponto A ) e pela sua direcção (é paralela ao β1/3). A distância de um ponto a uma recta é medida perpendicularmente à recta, pelo que há que conduzir, pelo ponto P, uma recta perpendicular à recta p. A recta p não é paralela a nenhum dos planos de projecção, pelo que a perpendicularidade não é directa em nenhuma das projecções – há, então, que resolver o problema a duas dimensões, no plano definido pela recta e pelo ponto. Para tal é necessário rebater o plano definido pela recta e pelo ponto, pois em rebatimento (em VG.) a perpendicularidade é directa. Assim, rebateu-se esse plano para o próprio Plano Frontal de Projecção (o ponto P é um ponto do Plano Frontal de Projecção). A charneira do rebatimento (recta e’) fica definida pelo ponto P e por F, o traço frontal da recta p. Este determinou-se com o recurso a um processo geométrico auxiliar, pois as projecções da recta p não verificam o Critério de Reversibilidade. Optou-se pelo rebatimento da recta p, pelo rebatimento do plano de perfil que a contém – o plano π. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e). A recta pr passa por A r e faz, com os traços do plano π em rebatimento, ângulos de 45o (ver exercício 31 e respectivo relatório). Em rebatimento, determinou-se Fr, sobre f πr – invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de F. A charneira do rebatimento do plano definido pela recta p e pelo ponto P (que é um plano oblíquo) para o Plano Frontal de Projecção está agora totalmente definida – a recta e’ passa por P e por F. Pr ≡ P2 e Fr ’ ≡ F2, pois P e F são dois pontos da charneira (recta e’) – note que Fr ’ é o ponto F rebatido pelo segundo rebatimento da recta p. Já temos um ponto para definir a recta p em rebatimento (o ponto Fr ’). Recorreu-se a um outro ponto da recta (o ponto A ), para a rebater – pr ’ fica definida por A r ’ e Fr ’. O ponto A rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função do seu afastamento. Note que a recta pr ’ é a recta p rebatida pelo rebatimento do plano definido pela recta e pelo ponto P (o seu segundo rebatimento), tal como A r ’ é o ponto A rebatido no seu segundo rebatimento (o rebatimento do plano definido pela recta p e pelo ponto P). Em rebatimento (no plano definido pela recta e pelo ponto), conduziu-se, por Pr, uma perpendicular a pr ’, obtendo Ir – 苶 P苶I r 苶I苶r é a V.G. da distância de P a p. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso à perpendicular à charneira que passa por I (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), obtendo I1 sobre p1. Para determinar I2, uma vez que as projecções da recta p não verificam o Critério de Reversibilidade, recorreu-se ao rebatimento da recta p pelo rebatimento do plano π – Ir ’ é o ponto I rebatido pelo rebatimento do plano π. Ir ’ determinou-se sobre pr a partir de I1. Invertendo o rebatimento, determinou-se I2 sobre p2. P I], que é o segmento representativo da distância de P a p. A partir das projecções de I, obtiveram-se as projecções de [P

274. Em primeiro lugar representaram-se a recta p e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Note que a recta p é uma recta do β2/4, pelo que, apesar de as suas projecções não verificarem o Critério de reversibilidade, é possível representar qualquer ponto da recta de forma directa – todos os pontos da recta pertencem ao β2/4, pelo que todos os pontos da recta têm as suas projecções coincidentes. A distância de um ponto a uma recta é medida perpendicularmente à recta, pelo que há que conduzir, pelo ponto P, uma recta perpendicular à recta p. A recta p não é paralela a nenhum dos planos de projecção, pelo que a perpendicularidade não é directa em nenhuma das projecções – há, então, que resolver o problema a duas dimensões, no plano definido pela recta e pelo ponto. Para tal é necessário rebater o plano definido pela recta e pelo ponto, pois em rebatimento (em VG.) a perpendicularidade é directa. Assim, rebateu-se esse plano para o plano horizontal (de nível) ν que passa pelo ponto P – a charneira do rebatimento (recta e) fica definida pelo ponto P e pelo ponto A , que é o ponto de intersecção do plano ν com a recta p (as projecções do ponto A determinaram-se directamente, sem o recurso ao rebatimento da recta p, pois A é um ponto do β2/4 – tem as suas projecções coincidentes, como acima se referiu). Pr ≡ P1 e A r ≡ A 1, pois P e A são dois pontos da charneira (recta e). Já temos um ponto para definir a recta p em rebatimento (o ponto A r). Recorreu-se a um outro ponto da recta – o ponto B, que é o ponto de concorrência da recta p com o eixo X (a recta p, sendo uma recta de perfil do β2/4, é necessariamente uma recta de perfil passante). O ponto B rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função da sua cota em relação ao plano ν (a distância de B ao plano ν). Em rebatimento (no plano definido pela recta e pelo ponto), conduziu-se, por Pr, uma perpendicular a pr, obtendo Ir – 苶 P苶I r 苶I苶r é a V.G. da distância de P a p. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso à perpendicular à charneira que passa por I (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), obtendo I1 sobre p1. Uma vez que I é um ponto da recta p e, por conseguinte, um ponto do β2/4, sabe-se que tem as suas projecções coincidentes, o que nos permitiu determinar I2 directamente. A partir das P I], que é o segmento representativo da distância de P a p. projecções de I, obtiveram-se as projecções de [P

100

SOLUÇÕES

275. Em primeiro lugar representaram-se a recta p e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Note que a recta p está definida por um ponto (o ponto A) e pela sua direcção (é dado o ângulo que a recta faz com o Plano Horizontal de Projecção). A situação deste exercício é idêntica à do exercício 272, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório daquePI] é o segmento representativo da le exercício. O segmento [P PI] não se projecta em V.G. em nenhum distância de P a p – [P dos planos de projecção, pois é oblíquo a ambos. Assim, para determinar a V.G. da distância recorreu-se ao rebatimento do plano projectante frontal do segmento para o plano horizontal (de nível) ν que passa por I. A charneira do rebatimento é a PI]) com recta de intersecção do plano projectante frontal de [P o plano ν (o plano horizontal que passa por I) – é a recta de topo (e) que passa por I, pois I é um ponto que pertence aos dois planos. O plano projectante frontal do segmento está definido pelo segmento e pela charneira. O segmento rebatido sobre o plano horizontal (de nível) ν projecta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção, pois ν é paralelo a este. I1 ≡ Ir, pois I é um ponto da charneira. O rebatimento de P processa-se num plano ortogonal à charneira – um plano frontal (de frente). Dessa forma, o arco do rebatimento de P projecta-se em V.G. no Plano Frontal de Projecção e o seu centro é o ponto de intersecção da charneira com o plano frontal (de frente) que contém o arco do rebatimento de P. Note que não se identificou nem o plano frontal (de frente) nem o centro do arco do rebatimento de P. O ponto P, no seu rebatimento, mantém o seu afastamento, pelo que Pr tem o afastamento de P1. A V.G. da distância de P a I (que é a Pr Ir], que está em V.G. no Plano Horizontal de Projecção. distância do ponto P à recta p) é o comprimento do segmento [P

276. Por ângulo entre duas rectas entende-se a amplitude de qualquer dos dois ângulos menores entre elas formados. Como um ângulo é uma s u p e r f í c i e b i d i m e n s i o n a l, o ângulo entre duas rectas concorrentes está necessariamente contido no plano definido pelas duas rectas.

277. Duas rectas enviesadas não formam, entre si, nenhum ângulo de forma directa, pois não são complanares (o ângulo entre duas rectas, sendo uma superfície bidimensional, está contido no plano definido pelas duas rectas e duas rectas enviesadas não definem plano nenhum). No entanto, o ângulo que duas rectas enviesadas formam entre si é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que formam, entre si, duas rectas quaisquer, concorrentes entre si e com as direcções das rectas dadas (duas rectas complanares). Assim, sendo dadas duas rectas enviesadas quaisquer, r e s, para determinar o ângulo entre elas é necessário conduzir, por um ponto qualquer da recta r (por exemplo), uma recta s’, paralela à recta s – o ângulo formado entre as rectas r e s’ (que são necessariamente concorrentes) tem a mesma amplitude do ângulo formado entre r e s.

278. Em primeiro lugar representaram-se as rectas t e h, pelas respectivas projecções, em função dos dados. As duas rectas são concorrentes, pelo que definem um plano – trata-se de um plano horizontal (de nível). O ângulo formado entre as duas rectas está contido nesse plano, que é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção – o ângulo formado entre as rectas t e h projecta-se, assim, em V.G. no Plano Horizontal de Projecção. O ângulo entre t e h é, assim, qualquer dos dois ângulos agudos entre t1 e h1, que têm vértice em A 1 e que se projectam em V.G. no Plano Horizontal de Projecção. Assinalou-se um dos ângulo a traço forte (as semi-rectas que limitam o ângulo) e assinalou-se a V.G. da sua amplitude com αo.

279. Em primeiro lugar representou-se a recta f, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta f e o eixo X são duas rectas enviesadas, pelo que não formam, entre si e de forma directa, nenhum ângulo (não definem plano nenhum). No entanto, o ângulo que formam entre si indirectamente é igual ao ângulo que duas rectas concorrentes paralelas às rectas dadas formam entre si – a recta f e qualquer outra recta paralela ao eixo X e concorrente com a recta f, por exemplo. A projecção horizontal da recta f, f1, é uma recta paralela ao eixo X que é concorrente com a recta f (no traço horizontal da recta f, que não se assinalou). Assim, o ângulo pretendido é igual ao ângulo formado entre a recta f e a sua projecção horizontal, f1 – esse ângulo está contido num plano frontal (de frente), que é o plano frontal (de frente) que contém a recta f. O ângulo formado entre as duas rectas está contido nesse plano, que é paralelo ao Plano Frontal de Projecção – o ângulo formado entre as rectas f e f1 projecta-se, assim, em V.G. no Plano Frontal de Projecção. O ângulo entre f e f1 é, assim, qualquer dos dois ângulos agudos entre f2 e o eixo X (a projecção frontal da recta que é f1 situa-se no eixo X) e que se projectam em V.G. no Plano Frontal de Projecção. Assinalou-se um dos ângulo a traço forte (as semi-rectas que limitam o ângulo) e assinalou-se a V.G. da sua amplitude com αo.

101

SOLUÇÕES

280. Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e s, pelas suas projecções, em função dos dados. As duas rectas são concorrentes (no ponto B), pelo que definem um plano – o ângulo entre as duas rectas está contido no plano definido pelas duas rectas e tem vértice em B. Uma vez que o plano definido pelas duas rectas não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano definido pelas duas rectas para o plano frontal (de frente) ϕ que passa por C. A charneira do rebatimento (recta e) é a recta de intersecção dos dois planos e está definida pelos pontos C e D (os pontos de intersecção do plano ϕ com as rectas s e r, respectivamente). Cr ≡ C2 e Dr ≡ D2, pois C e D são dois pontos da charneira (são fixos – rodam sobre si próprios). Rebateu-se o ponto B pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância a ϕ (o afastamento de B em relação a ϕ) – r r fica definida por Dr e B r e sr fica definida por Cr e B r. A V.G. do ângulo entre r e s é qualquer dos dois ângulos agudos entre r r e sr, com vértice em B r – identificou-se um dos ângulos através das semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo.

281. Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e p, pelas suas projecções, em função dos dados. As duas rectas são concorrentes (no ponto P), pelo que definem um plano – o ângulo entre as duas rectas está contido no plano definido pelas duas rectas e tem vértice em P. Uma vez que o plano definido pelas duas rectas não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Por uma questão de economia de traçados, optou-se por rebater o plano definido pelas duas rectas para o plano frontal (de frente) ϕ que passa por Q. Note que caso não tivesse sido essa a opção, seria necessário o recurso a outro processo geométrico auxiliar (nomeadamente o do rebatimento do plano de perfil que contém a recta p) para a determinação de um outro ponto da recta, que não o ponto Q. A charneira do rebatimento (recta e) é a recta de intersecção dos dois planos e está definida pelos pontos Q e R (os pontos de intersecção do plano ϕ com as rectas p e r, respectivamente). Qr ≡ Q2 e R r ≡ R 2, pois Q e R são dois pontos da charneira. Rebateu-se o ponto P pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância a ϕ (o afastamento de P em relação a ϕ) – r r fica definida por R r e Pr e pr fica definida por Qr e Pr. A V.G. do ângulo entre r e p é qualquer dos dois ângulos agudos entre r r e pr, com vértice em Pr – identificou-se um dos ângulos através das semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo. Note que é de evitar que o plano ϕ passe por P pois, nesse caso, só teríamos um ponto da charneira, pelo que a determinação de um segundo ponto da charneira ou da sua direcção obrigaria ao recurso a raciocínios e/ou processos geométricos auxiliares, como acima se referiu.

282.

Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e g, pelas suas projecções, em função dos dados. As rectas r e g são concorrentes (no ponto P), pelo que definem um plano – o ângulo entre as duas rectas está contido no plano definido pelas duas rectas e tem vértice em P. Uma vez que o plano definido pelas duas rectas não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Por uma questão de economia de traçados, optou-se por rebater o plano definido pelas duas rectas para o plano frontal (de frente) ϕ que contém a recta g – a charneira do rebatimento (recta e) é a recta de intersecção dos dois planos, pelo que é a própria recta g. Assim sendo, a recta g roda sobre si própria, pelo que se tem imediatamente gr ≡ e2 ≡ g2. Sublinha-se que seria igualmente económico, em termos de traçado, efectuar o rebatimento do plano definido pelas duas rectas para o plano horizontal (de nível) que contém a recta g. Note que, caso não tivesse sido essa a opção, seria necessário determinar a charneira do rebatimento, o que se evitou com a situação referida. Pr ≡ P2 pois P é um ponto da charneira. Para rebater a recta r é necessário o recurso a um ponto qualquer da recta – o ponto M, por exemplo. M rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância a ϕ (o afastamento de M em relação a ϕ). A recta rr está definida por Pr e M r. A V.G. do ângulo entre r e g está em qualquer dos dois ângulos agudos entre gr e r r, com vértice em Pr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo.

102

SOLUÇÕES

283.

Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e f, pelas respectivas projecções, em função dos dados. As projecções da recta r (que é uma recta passante) são concorrentes entre si num ponto do eixo X (o ponto S). As rectas r e f são enviesadas, pelo que não formam nenhum ângulo directamente. Para determinar o ângulo formado entre r e f conduziu-se, pelo ponto R da recta r, uma recta f ’, paralela à recta f – as rectas r e f ’ são concorrentes, pelo que definem um plano e o ângulo que as rectas r e f ’ formam entre si está contido nesse plano (e tem vértice em R ). O plano definido pelas duas rectas não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas. Optou-se por rebater o plano definido pelas duas rectas para o plano frontal (de frente) ϕ que contém a recta f ’, o que se traduz numa grande economia de traçados. A charneira do rebatimento (recta e) é a recta de intersecção dos dois planos, pelo que é a própria recta f ’ – f ’r ≡ e2 ≡ f ’2 , pois a recta f ’ roda sobre si própria. R r ≡ R 2 pois R é um ponto da charneira. Para rebater a recta r é necessário o recurso a um ponto qualquer da recta – o ponto S, por exemplo. S rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância a ϕ (o afastamento de S em relação a ϕ). A recta r r está definida por R r e Sr. A V.G. do ângulo entre r e f está em qualquer dos dois ângulos agudos entre r r e f ’r, com vértice em R r – identificou-se o ângulo através das semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo.

284. Em primeiro lugar representaram-se as rectas h e p, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta p está definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (faz um ângulo de 60o com o Plano Horizontal de Projecção). As rectas h e p são e n v i e s a d a s, pelo que não formam nenhum ângulo directamente. Para determinar o ângulo formado entre h e p conduziu-se, pelo ponto P da recta p, uma recta h’, paralela à recta h – as rectas p e h’ são concorrentes, pelo que definem um plano e o ângulo que as rectas p e h’ formam entre si está contido nesse plano (e tem vértice em P). O plano definido pelas duas rectas não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas. Optou-se por rebater o plano definido pelas duas rectas para o plano horizontal (de nível) ν que contém a recta h’, o que se traduz numa grande economia de traçados. A charneira do rebatimento (recta e) é a recta de intersecção dos dois planos, pelo que é a própria recta h’ – h’r ≡ e1 ≡ h’1, pois a recta h roda sobre si própria. O ponto P é fixo, pois roda sobre si próprio (é um ponto da charneira). Para rebater a recta p é necessário o recurso a um ponto qualquer da recta – o ponto A , por exemplo. Para determinar o ponto A foi necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento da recta p, pelo rebatimento do plano de perfil que a contém (o plano π). Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e). A recta pr passa por Pr e faz um ângulo de 60° (o ângulo dado) com hπr (note que se garantiu que o traço horizontal da recta p, que não se assinalou, se situa no SPHA – tem afastamento positivo). Em rebatimento, sobre pr, determinou-se A r. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções Pr ’ é o ponto P no de A . Analisemos, agora, o rebatimento do plano definido pelas rectas p e h’ – Pr ’ ≡ P1 pois P é um ponto da charneira (P seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano definido pelas rectas p e h’). O ponto A rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função da sua cota em relação a ν (a distância de A a ν), obtendo A r ’. A recta pr ’ está definida por Pr ’ e por A r ’. Note que a recta pr ’ é a recta p rebatida pelo rebatimento do plano definido pela recta e pelo ponto P (o seu segundo rebatimento), tal como A r ’ é o ponto A rebatido no seu segundo rebatimento (o rebatimento do plano definido pela recta p e pelo ponto P). A V.G. do ângulo entre r e h está em qualquer dos dois ângulos agudos entre r r e h’r, com vértice em Pr ’ – identificou-se o ângulo através das semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo.

103

SOLUÇÕES

285. Em primeiro lugar representou-se a recta m, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta m e o eixo X são duas rectas enviesadas, pelo que não formam, entre si e de forma directa, nenhum ângulo (não definem plano nenhum). No entanto, o ângulo que formam entre si indirectamente é igual ao ângulo que duas rectas concorrentes paralelas às rectas dadas formam entre si – a recta m e qualquer outra recta paralela ao eixo X e concorrente com a recta m, por exemplo (também poderia ser uma recta paralela à recta m e concorrente com o eixo X). Optou-se por conduzir, pelo ponto P, uma recta g, fronto-horizontal, paralela ao eixo X – o ângulo formado entre a recta m e a recta g é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo formado entre a recta m e o eixo X. As rectas m e g são concorrentes (no ponto P), pelo que definem um plano – o ângulo entre as duas rectas está contido no plano definido pelas duas rectas e tem vértice em P. Uma vez que o plano definido pelas duas rectas não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Por uma questão de economia de traçados, optou-se por rebater o plano definido pelas duas rectas para o plano horizontal (de nível) ν que contém a recta g – a charneira do rebatimento (recta e) é a recta de intersecção dos dois planos, pelo que é a própria recta g. Assim sendo, a recta g roda sobre si própria, pelo que se tem imediatamente gr ≡ e1 ≡ g1. Sublinha-se que seria igualmente económico, em termos de traçado, efectuar o rebatimento do plano definido pelas duas rectas para o plano frontal (de frente) que contém a recta g. Note que, caso não tivesse sido essa a opção, seria necessário determinar a charneira do rebatimento, o que se evitou com a situação referida. Pr ≡ P1 pois P é um ponto da charneira. Para rebater a recta m é necessário o recurso a um ponto qualquer da recta – o seu traço horizontal, por exemplo. H (o traço horizontal da recta m) rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância a ν (a cota de H em relação a ν). A recta mr está definida por Pr e Hr. A V.G. do ângulo entre a recta m e o eixo X está em qualquer dos dois ângulos agudos entre mr e gr, com vértice em Pr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo.

286.

Em primeiro lugar representaram-se os planos α e δ, pelos respectivos traços, em função dos dados. O plano α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. O plano δ tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. O traço frontal de α (ff α) e o traço horihδ) são duas rectas enviesadas, pelo que não formam, entre si e zontal de δ (h de forma directa, nenhum ângulo (não definem plano nenhum). No entanto, o ângulo que formam entre si indirectamente é igual ao ângulo que duas rectas concorrentes paralelas às rectas dadas formam entre si – fα e qualquer outra recta paralela a hδ e concorrente com f α, por exemplo (também poderia ser uma recta paralela a f α e concorrente com hδ). Optou-se por conduzir, pelo ponto A (que é o ponto de concorrência dos traços do plano α), uma recta h, paralela a hδ (h é uma recta horizontal com cota nula – é uma recta do Plano Horizontal de Projecção). O ângulo formado entre a recta h e f α é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo formado entre f α e hδ. As rectas h e f α são concorrentes (no ponto A), pelo que definem um plano – o ângulo entre as duas rectas está contido no plano definido pelas duas rectas e tem vértice em A. Uma vez que o plano definido pelas duas rectas não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Por uma questão de economia de traçados, optou-se por rebater o plano definido pelas duas rectas para o Plano Frontal de Projecção (que é o plano frontal que contém f α) – a charneira do rebatimento (recta e) é fα, que roda sobre si próprio, pelo que se tem imediatamente fα ≡ ᐉ2 ≡ fαr. Sublinha-se que seria igualmente económico, em termos de traçado, efectuar o rebatimento do plano definido pelas duas rectas para o Plano Horizontal de Projecção, uma vez que a recta h é uma recta do Plano Horizontal de Projecção – nesse caso, seria a recta h a rodar sobre si própria. A r ≡ A 2 pois A é um ponto da charneira. Para rebater a recta h é necessário o recurso a um ponto qualquer da recta – o ponto B, que é um ponto qualquer da recta h. B rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função do seu afastamento. A recta hr está definida por A r e Br. A V.G. do ângulo entre f α e hδ está em qualquer dos dois ângulos agudos entre hr e f αr, com vértice em A r – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com θo.

104

SOLUÇÕES

287. Em primeiro lugar representaram-se as rectas f e p pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta p está definida por um ponto e uma direcção (faz um ângulo de 60o com o Plano Frontal de Projecção). Note que os dados nos permitiram, apenas, desenhar f1, a projecção horizontal da recta f. Uma vez que as rectas são concorrentes (é dado no enunciado), é possível determinar, de forma directa, a projecção horizontal do ponto de concorrência (o ponto P), mas não a sua projecção frontal. Para tal recorreu-se ao rebatimento da recta p, pelo rebatimento do plano π, o plano de perfil que a contém. A recta pr está definida por A r e pela sua direcção – faz um ângulo de 60° com f πr, sendo que se garantiu que o seu traço frontal tenha cota positiva (apesar de não se ter assinalado o traço frontal da recta, pois tal não é necessário). A partir de P1 determinou-se Pr, sobre pr – invertendo o rebatimento, determinou-se P2, o que nos permitiu desenhar f2, passando por P2 e fazendo, com o eixo X, o ângulo pedido (60o de abertura para a direita). As rectas p e f são concorrentes (no ponto P), pelo que definem um plano – o ângulo entre as duas rectas está contido no plano definido pelas duas rectas e tem vértice em P. Uma vez que o plano definido pelas duas rectas não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Por uma questão de economia de traçados, optou-se por rebater o plano definido pelas duas rectas para o plano frontal (de frente) ϕ que contém a recta f – a charneira do rebatimento (recta e’) é a recta de intersecção dos dois planos, pelo que é a própria recta f. Assim sendo, a recta f roda sobre si própria, pelo que se tem imediatamente fr ≡ e’2 ≡ f2. Pr’ ≡ P2 pois P é um ponto Pr’ é o ponto P rebatido pelo seu segundo rebatimento – pelo rebada charneira (P timento do plano definido por p e f). Para rebater a recta p é necessário o recurso a um ponto qualquer da recta – o ponto A, por exemplo (caso se escolhesse um outro ponto, este teria de ser determinado previamente no rebatimento da recta p pelo rebatimento do plano π). A rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância a ϕ (o afastamento de A em relação a ϕ). A recta pr’ está definida por Pr’ e A r’ – A r’ e pr’ são, respectivamente, o ponto A e a recta p rebatidos no seu segundo rebatimento (o rebatimento do plano definido pelas rectas f e p). A V.G. do ângulo entre as rectas p e f está em qualquer dos dois ângulos agudos entre pr’ e fr, com vértice em Pr’ – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com α°.

288. Por ângulo entre uma recta e um plano entende-se qualquer dos dois menores ângulos formados entre a recta e a sua projecção ortogonal sobre o plano, ou seja, o ângulo formado entre a recta dada e a recta de intersecção do plano dado com o plano que lhe é ortogonal e que contém a recta dada. O ângulo entre uma recta e um plano está contido no plano que contém a recta dada e que é ortogonal ao plano dado.

289. O método geral para a determinação do ângulo entre uma recta e um plano consiste na execução sequencial das seguintes etapas: 1. determinar o ponto de intersecção da recta dada com o plano – ponto I; 2. determinar a projecção ortogonal da recta sobre o plano, o que se processa conduzindo, por um ponto P qualquer da recta, uma recta p ortogonal ao plano e determinando P’, o ponto de intersecção daquela com o plano – a projecção ortogonal da recta sobre o plano fica definida por I e por P’; 3. o ângulo formado entre a recta e o plano é qualquer dos dois menores ângulos formados entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano.

290. Os dois processos para determinar a amplitude do ângulo entre uma recta e um plano são o método geral para a determinação do ângulo entre uma recta e um plano e o método do ângulo complemen tar. Apesar de os dois métodos serem universais (utilizáveis independentemente da situação), o recurso a um ou a outro tem a ver, a p e n a s, com economia de traçados. De facto, dada a quantidade de traçados a que o primeiro processo obriga em determinadas situações, é, nessas situações, bastante mais vantajoso o recurso ao segundo processo. Essas situações são aquelas em que se pretende o ângulo entre uma recta qualquer e um plano não projectante, pois a determinação das sucessivas intersecções (do ponto de intersecção da recta dada com o plano dado e do ponto de intersecção do plano dado com a recta que lhe é ortogonal e que passa por um ponto da recta dada) obriga ao recurso ao método geral da intersecção de rectas com planos vezes sucessivas, o que resulta num traçado muito denso e complexo, de difícil leitura e de execução bastante morosa. Assim, nessas situações (ângulo entre uma recta qualquer e um plano não projectante) é mais conveniente o recurso ao método do ângulo comp l e m e n t a r.

105

SOLUÇÕES

291. Em primeiro lugar representaram-se o plano ϕ, pelo seu traço horizontal, e a recta h, pelas suas projecções, em função dos dados. O ângulo entre uma recta e um plano está contido no plano ortogonal ao plano dado e que contém a recta – é o ângulo entre a recta dada e a recta de intersecção dos dois planos (o plano dado e o plano que lhe é ortogonal e contém a recta). O plano ortogonal ao plano ϕ que contém a recta h é um plano horizontal (de nível), pelo que o ângulo entre a recta e o plano se projecta em V.G. no Plano Horizontal de Projecção – note que não se identificou esse plano. A recta de intersecção do plano horizontal (de nível) que contém a recta h com o plano ϕ é uma recta fronto-horizontal (que não se identificou) que tem a sua projecção horizontal sobre o traço horizontal do plano frontal (de frente), pois este é projectante horizontal. Assim sendo, a V.G. do ângulo entre o hϕ) – identificouplano ϕ e a recta h está em qualquer dos dois ângulos agudos entre h1 e (h -se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo. Note que não se recorreu ao método geral para a determinação do ângulo entre uma recta e um plano de forma deliberada, em função do ângulo pedido estar contido num plano paralelo a um dos planos de projecção (o que resulta numa situação de resolução imediata, conforme se expôs) – no entanto, caso se tivesse recorrido a esse processo de resolução, ter-se-ia chegado à mesma conclusão com um pouco mais de traçado.

292.

Em primeiro lugar representaram-se o plano ν, pelo seu traço frontal, e a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta r, porque é paralela ao β2/4, tem as suas projecções paralelas entre si. O ângulo entre uma recta e um plano está contido no plano ortogonal ao plano dado e que contém a recta – é o ângulo entre a recta dada e a recta de intersecção dos dois planos (o plano dado e o plano que lhe é ortogonal e contém a recta). O ângulo entre a recta r e o plano ν está contido num plano vertical que contém a recta r – o plano ortogonal a ν que contém a recta r (é o plano projectante horizontal da recta r). Como esse plano não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, o ângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano vertical que contém a recta r para o próprio plano horizontal (de nível) ν – ver exercício 214. O plano vertical está definido pela recta r e pela charneira (recta e), que é a recta de intersecção dos dois planos. A charneira (recta e), porque é a recta de intersecção dos dois planos, é imediatamente a projecção ortogonal da recta r sobre o plano ν, pelo que o ângulo entre a recta r e o plano ν é o ângulo formado entre a recta r e a charneira do rebatimento (recta e), que tem vértice no ponto I – o ponto de intersecção de r com ν. I é um ponto da charneira, pelo que é fixo (roda sobre si próprio), pelo que se tem imediatamente Ir ≡ I1. O ponto A foi o ponto a que se recorreu para rebater a recta r – A rebateu-se em função da sua cota em relação a ν (a distância de A a ν). A recta r r está definida por Ir e por A r. A V.G. do ângulo entre o plano ν e a recta r está em qualquer dos dois ângulos agudos entre r r e e1, com vértice em Ir – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo. Note que, dado o imediatismo da situação, não se recorreu ao método geral para a determinação do ângulo entre uma recta e um plano de forma deliberada – no entanto, caso se tivesse recorrido a esse processo de resolução, ter-se-ia chegado à mesma conclusão com um pouco mais de traçado.

293. Em primeiro lugar representou-se a recta s, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta s, porque é uma recta passante, tem as suas projecções concorrentes entre si num ponto do eixo X. O ângulo entre a recta s e o Plano Frontal de Projecção está contido num plano ortogonal ao Plano Frontal de Projecção que contém a recta s – é o plano de topo que contém a recta s (é o plano projectante frontal da recta). O ângulo entre a recta e o Plano Frontal de Projecção é o ângulo entre a recta e a sua projecção frontal (note que a projecção frontal da recta s é, imediatamente, a projecção ortogonal da recta s no Plano Frontal de Projecção). Como o plano que contém o ângulo (que é o plano projectante frontal da recta s) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, o ângulo não se projecta em V.G., pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano que contém o ângulo (o plano projectante frontal da recta) para o Plano Frontal de Projecção. O plano que contém o ângulo está definido pela recta s e pela charneira, que é a recta de intersecção dos dois planos (a charneira é a própria projecção frontal da recta s). O ponto de concorrência da recta s com o eixo X é fixo, pois é um ponto da charneira. O ponto S foi o ponto a que se recorreu para rebater a recta s – o ponto S rebateu-se em função do seu afastamento. A recta sr está definida pelo ponto do eixo X (que é fixo) e por Sr. A V.G. do ângulo entre a recta s e o Plano Frontal de Projecção está em qualquer dos dois ângulos agudos entre sr e e2, com vértice no eixo X – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo. Note mais uma vez que, dado o imediatismo da situação, não se recorreu ao método geral para a determinação do ângulo entre uma recta e um plano de forma deliberada – no entanto, caso se tivesse recorrido a esse processo de resolução, ter-se-ia chegado à mesma conclusão com um pouco mais de traçado.

106

SOLUÇÕES

294. Em primeiro lugar representaram-se o plano ϕ, pelo seu traço horizontal, e a recta p, pelas suas projecções, em função dos dados. O ângulo entre uma recta e um plano frontal (de frente) é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo entre a recta e o Plano Frontal de Projecção. Como se referiu no relatório do exercício anterior, o ângulo entre uma recta e o Plano Frontal de Projecção é o ângulo entre a recta e a sua projecção frontal (que é a projecção ortogonal da recta no Plano Frontal de Projecção) – esse ângulo existe no plano projectante frontal da recta. Assim, nesta situação, o ângulo entre a recta p e o plano ϕ é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo entre a recta p e o Plano Frontal de Projecção (que é paralelo ao plano ϕ) e que é, afinal, o ângulo entre a recta p e a sua projecção frontal (p2) – esse ângulo está contido no plano projectante frontal da recta, que é o plano de perfil que contém a recta. Assim, por p conduziu-se o plano π – o plano de perfil que contém a recta (π é o plano ortogonal ao Plano Frontal de Projecção que contém a recta p). O ângulo pretendido é o ângulo entre a recta p e f π, que é a recta de intersecção do plano π (o plano ortogonal ao Plano Frontal de Projecção que contém a recta p) com o Plano Frontal de Projecção. Esse ângulo não se projecta em V.G., pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hπ, pelo que se tem imediatamente hπ ≡ e1 ≡ hπr e f πr está no eixo X. A recta pr está definida por A r e por B r. A V.G. do ângulo entre a recta p e o plano ϕ está em qualquer dos dois ângulos agudos entre pr e f πr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo. Note de novo que, dado o imediatismo da situação, não se recorreu ao método geral para a determinação do ângulo entre uma recta e um plano de forma deliberada – no entanto, caso se tivesse recorrido a esse processo de resolução, ter-se-ia chegado à mesma conclusão com um pouco mais de traçado.

295. Em primeiro lugar representou-se a recta p, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta p é uma recta passante – o ponto A é o ponto em que a recta p é concorrente com o eixo X. A recta p é paralela ao plano α (que se representou pelos seus traços, em função dos dados), pelo que é paralela a uma recta do plano – a recta p’, pertencente ao plano α e definida pelos seus traços, é a recta a que se recorreu para definir a recta p. A recta p está definida por um ponto (o ponto A ) e por uma direcção (é paralela à recta p ’ ). As rectas p e p ’ são paralelas, pelo que fazem, com o Plano Horizontal de Projecção, âng u l o s i g u a i s (com a mesma amplitude). Assim, não há necessidade de efectuar mais traçados no sentido de determinar um outro ponto da recta p, por exemplo, uma vez que é possível determinar imediatamente o ângulo que a recta p’ faz com o Plano Horizontal de Projecção. O ângulo entre a recta p’ e o Plano Horizontal de Projecção é, afinal, o ângulo entre a recta p’ e a sua projecção horizontal (p’1), que é a projecção ortogonal da recta p’ no Plano Horizontal de Projecção. Esse ângulo está contido no plano projectante horizontal da recta p’, que é um plano de perfil, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por plano 2) por um novo plano de projecção recorrer a uma mudança do diedro de projecção – substituindo o Plano Frontal de Projecção (p plano 4) paralelo à recta p’, obtém-se um diedro de projecção no qual a recta p’ é frontal (de frente) e, por isso, o ângulo entre a recta e a (p sua projecção horizontal projecta-se em V.G. no plano 4. O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do plano 1 (o plano que se manteve) com o plano 4 e é paralelo a p’1. A projecção da recta p’ no plano 4 (p’4) passa por H4 e por F4 – H4 e F4 são as projecções no plano 4 dos traços da recta p’ e determinaram-se em função das respectivas cotas, que se mantiveram. O ângulo entre a recta p’ e a sua projecção horizontal (p’1) projecta-se, agora, em V.G. no ângulo entre p’4 e o eixo X’ e tem vértice em H4. A V.G. do ângulo entre a recta p e o Plano Horizontal de Projecção está em qualquer dos dois ângulos agudos entre p’ 4 e o eixo X’ – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com θo. Note de novo que não se recorreu ao método geral para a determinação do ângulo entre uma recta e um plano – no entanto, caso se tivesse recorrido a esse processo de resolução, ter-se-ia chegado à mesma conclusão com um pouco mais de traçado.

107

SOLUÇÕES

296. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ϕ, pelo seu traço horizontal, e a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta r, porque é uma recta do β2/4, tem as suas projecções coincidentes. O ângulo entre uma recta e um plano frontal (de frente) é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo entre a recta e o Plano Frontal de Projecção. O ângulo entre uma recta e o Plano Frontal de Projecção é o ângulo entre a recta e a sua projecção frontal (que é a projecção ortogonal da recta no Plano Frontal de Projecção) – esse ângulo existe no plano projectante frontal da recta. Assim, nesta situação, o ângulo entre a recta r e o plano ϕ é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo entre a recta r e o Plano Frontal de Projecção (que é paralelo ao plano ϕ) e que é, afinal, o ângulo entre a recta r e a sua projecção frontal (r 2) – esse ângulo está contido no plano projectante frontal da recta, que é um plano de topo. Esse ângulo não se projecta em V.G., pois o plano projectante frontal da recta não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano para o Plano Frontal de Projecção – a charneira é a recta e, que é a própria projecção frontal da recta r. A recta r é uma recta passante – é concorrente com o eixo X num ponto. Esse ponto, porque é um ponto da charneira, é fixo. Para rebater a recta r é necessário o recurso a um outro ponto qualquer da recta r – o ponto A , por exemplo. O ponto A rebateu-se em função do seu afastamento. A recta r r passa pelo ponto fixo do eixo X e por A r. A V.G. do ângulo entre a recta r e o plano ϕ está em qualquer dos dois ângulos agudos entre r r e e2 – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo. Note que ainda não se recorreu ao método geral para a determinação do ângulo entre uma recta e um plano em função do imediatismo das situações apresentadas – sublinha-se sempre que, caso se tivesse recorrido a esse processo de resolução, ter-se-ia chegado à mesma conclusão com um pouco mais de traçado.

297.

Em primeiro lugar, representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e a recta f, pelas suas projecções, em função dos dados. O ângulo entre a recta f e o plano θ está contido num plano ortogonal ao plano θ que contém a recta f – trata-se do plano frontal (de frente) que contém a recta f. O ângulo entre a recta f e o plano θ é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano θ – essa projecção é a recta de intersecção do plano θ com o plano frontal (de frente) que contém a recta f (que é o plano ortogonal ao plano θ que contém a recta f). Essa recta terá a sua projecção horizontal coincidente com f 1 (pois o plano frontal é projectante horizontal) e terá a sua projecção frontal sobre f θ (pois o plano θ é projectante frontal). O ângulo entre as duas rectas projecta-se em V.G. no Plano Frontal de Projecção, pois o plano que o contém (o plano frontal que contém a recta f) é paralelo ao Plano Frontal de Projecção. Assim, a projecção frontal desse ângulo é, directamente, o ângulo entre f 2 e f θ. A V.G. do ângulo entre a recta f e o plano θ está em qualquer dos dois ângulos agudos entre f 2 e f θ – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo. Note que não se recorreu ao método geral para a determinação do ângulo entre uma recta e um plano em função do ângulo pedido estar contido num plano paralelo a um dos planos de projecção (o que resulta numa situação de resolução imediata, conforme se expôs) – sublinha-se ainda que, caso se tivesse recorrido a esse processo de resolução, ter-se-ia chegado à mesma conclusão com um pouco mais de traçado.

298. Em primeiro lugar representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e a recta h, pelas suas projecções, em função dos dados. O ângulo entre a recta h e o plano δ está contido num plano ortogonal ao plano δ que contém a recta h – trata-se do plano horizontal (de nível) que contém a recta h. O ângulo entre a recta h e o plano δ é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano δ – essa projecção é a recta de intersecção do plano δ com o plano horizontal (de nível) que contém a recta h (que é o plano ortogonal ao plano δ que contém a recta h). Essa recta terá a sua projecção frontal coincidente com h2 (pois o plano horizontal é projectante frontal) e terá a sua projecção horizontal sobre hδ (pois o plano δ é projectante horizontal). O ângulo entre as duas rectas projecta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção, pois o plano que o contém (o plano horizontal que contém a recta h) é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção. Assim, a projecção horizontal desse ângulo é, directamente, o ângulo entre h1 e hδ. A V.G. do ângulo entre a recta h e o plano δ está em qualquer dos dois ângulos agudos entre h1 e hδ – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo. Note que não se recorreu ao método geral para a determinação do ângulo entre uma recta e um plano em função do ângulo pedido estar contido num plano paralelo a um dos planos de projecção (o que resulta numa situação de resolução imediata, conforme se expôs) – sublinha-se mais uma vez que, caso se tivesse recorrido a esse processo de resolução, ter-se-ia chegado à mesma conclusão com um pouco mais de traçado.

108

SOLUÇÕES

299. Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e a recta h, pelas suas projecções, em função dos dados. Uma vez que se trata do ângulo entre uma recta e um plano projectante (e o ângulo não está contido em nenhum plano paralelo a qualquer dos planos de projecção, como em situações anteriores), recorreu-se ao método geral para a determinação do ângulo entre uma recta e um plano. 1. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta h com o plano θ (II é o vértice do ângulo). O ponto I teve determinação directa a partir da sua projecção frontal, pois o plano θ é projectante frontal. 2. Determinou-se a projecção ortogonal da recta h no plano θ. Para tal conduziu-se, por um ponto P, da recta h, uma recta p, ortogonal ao plano θ, e determinou-se o ponto de intersecção da recta p com o plano θ – o ponto P’ (o ponto P’ teve determinação directa a partir da sua projecção frontal, pois o plano θ é projectante frontal). P’ é a projecção ortogonal do ponto P no plano θ. A recta r, definida por I e por P’, é a projecção ortogonal da recta h no plano θ. A recta p é uma recta frontal (de frente). 3. O ângulo entre a recta h e a recta r é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo entre a recta h e o plano θ. Este ângulo está contido no plano definido pelas rectas h e r – é um plano oblíquo. Note que o plano contém, também, a recta p. O ângulo não se projecta em V.G., pelo que se recorreu ao rebatimento do plano definido pelas duas rectas para o plano frontal (de frente) ϕ que contém a recta p. A recta p é a própria charneira, pois é a recta de intersecção dos dois planos. Tem-se imediatamente Pr ≡ P2 e P’r ≡ P’2, pois P e P’ são dois pontos da charneira. Rebateu-se o ponto I pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância ao plano ϕ (o afastamento de I em relação a ϕ). A recta hr fica definida por Pr e Ir e a recta r r fica definida por P’r e por Ir. O ângulo entre a recta h e o plano θ é qualquer dos ângulos agudos entre hr e r r, com vértice em Ir – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo.

300.

Em primeiro lugar representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. As projecções da recta r fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura, pois a recta é paralela ao β1/3. Uma vez que se trata do ângulo entre uma recta e um plano projectante, recorreu-se ao método geral para a determinação do ângulo entre uma recta e um plano. 1. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta h com o plano θ (II é o vértice do ângulo). O ponto I teve determinação directa a partir da sua projecção horizontal, pois o plano γ é projectante horizontal. 2. Determinou-se a projecção ortogonal da recta r no plano γ. Para tal conduziu-se, pelo ponto A da recta r, uma recta p, ortogonal ao plano γ, e determinou-se o ponto de intersecção da recta p com o plano γ – o ponto A’ (o ponto A’ teve determinação directa a partir da sua projecção horizontal, pois o plano γ é projectante horizontal). A’ é a projecção ortogonal do ponto A no plano γ. A recta r’, definida por I e por A’, é a projecção ortogonal da recta r no plano γ. A recta p é uma recta horizontal (de nível). 3. O ângulo entre a recta r e a recta r’ é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo entre a recta r e o plano γ. Este ângulo está contido no plano definido pelas rectas r e r’ – é um plano oblíquo. Note que o plano contém, também, a recta p. O ângulo não se projecta em V.G., pelo que se recorreu ao rebatimento do plano definido pelas duas rectas para o plano horizontal (de nível) ν que contém a recta p. A recta p é a própria charneira, pois é a recta de intersecção dos dois planos. Tem-se imediatamente A r ≡ A 1 e A’r ≡ A’1, pois A e A’ são dois pontos da charneira. Rebateu-se o ponto I pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância ao plano ν (a cota de I em relação a ν). A recta r r fica definida por A r e Ir e a recta r’r fica definida por A’r e por Ir. O ângulo entre a recta r e o plano γ é qualquer dos ângulos agudos entre r r e r’r, com vértice em Ir – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo.

109

SOLUÇÕES

301. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e a recta f, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano α é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação ao eixo X. Uma vez que se trata do ângulo entre uma recta e um plano não projectante, recorreu-se ao método do ângulo complementar. 1. Pelo ponto P, da recta, conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano α. Note que, uma vez que o ponto P é um ponto do β1/3 e que o plano α é ortogonal ao β1/3, a recta p é uma recta do β1/3 (é uma recta passante, concorrente com o eixo X no ponto A ). 2. O ângulo formado entre as duas rectas está contido no plano definido pelas mesmas (que é um plano de topo), e não se projecta em V.G. – recorreu-se ao rebatimento do plano definido pelas duas rectas para o Plano Horizontal de Projecção. A charneira foi hθ. Rebateu-se o ponto P , obtendo P r . O ponto A é um ponto da charneira, pelo que é fixo – roda sobre si próprio. O traço horizontal da recta f, o ponto H, foi o ponto a que se recorreu para rebater a recta f – H também é fixo, pois é também um ponto da charneira. A recta pr fica definida por Pr e por A r. A recta f r fica definida por Pr e por Hr. O ângulo entre f e p é qualquer dos ângulos agudos entre f r e pr, com vértice em Pr, e identificou-se com 90o–βo, pois é o ângulo complementar do ângulo pretendido. 3. O ângulo entre a recta f e o plano α é o ângulo comp l e m e n t a r do ângulo 90 o –β o – assim, por P r conduziu-se uma perpendicular a pr. O ângulo pretendido é o ângulo entre esta perpendicular e f r, e identificou-se com βo.

302.

110

Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. As projecções da recta r fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura, pois a recta é paralela ao β1/3. Uma vez que se trata do ângulo entre uma recta e um plano não projectante, recorreu-se ao método do ângulo complementar. 1. Por um ponto A qualquer, da recta r, conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano. 2. O ângulo formado entre as duas rectas está contido no plano definido pelas mesmas e não se projecta em V.G. – recorreu-se ao rebatimento do plano definido pelas duas rectas para o plano frontal (de frente) ϕ que passa pelo ponto P. A charneira é a recta e, que é a recta de intersecção dos dois planos e está definida pelos pontos P e B. P é o ponto de intersecção do plano ϕ com a recta r e B é o ponto de intersecção do plano ϕ com a recta p. Tem-se imediatamente Pr ≡ P2 e B r ≡ B 2, pois P e B são dois pontos da charneira. Rebateu-se o ponto A pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância ao plano ϕ (o afastamento de A em relação a ϕ). A recta r r fica definida por A r e Pr e a recta pr fica definida por A r e por B r. O ângulo entre r e p é qualquer dos ângulos agudos entre r r e pr, com vértice em A r, e identificou-se com 90o–θo, pois é o ângulo complementar do ângulo pretendido. 3. O ângulo entre a recta r e o plano α é o ângulo complementar do ângulo 90o–θo – assim, por A r conduziu-se uma perpendicular a r r. O ângulo pretendido é o ângulo entre esta perpendicular e pr, e identificou-se com θo.

SOLUÇÕES

303. Em primeiro lugar representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta r é paralela ao β2/4, pelo que tem as suas projecções paralelas entre si. O plano δ é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coincidentes. Uma vez que se trata do ângulo entre uma recta e um plano não projectante, recorreu-se ao método do ângulo complementar. 1. Pelo ponto P, da recta r, conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano. 2. O ângulo formado entre as duas rectas está contido no plano definido pelas mesmas, e não se projecta em V.G. – recorreu-se ao rebatimento do plano definido pelas duas rectas para um plano frontal (de frente) ϕ. A charneira é a recta e, que é a recta de intersecção dos dois planos e está definida pelos pontos A e B. A é o ponto de intersecção do plano ϕ com a recta r e B é o ponto de intersecção do plano ϕ com a recta p. Tem-se imediatamente A r ≡ A 2 e Br ≡ B2, pois A e B são dois pontos da charneira. Rebateu-se o ponto P pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância ao plano ϕ (o afastamento de P em relação a ϕ). A recta r r fica definida por A r e Pr e a recta pr fica definida por B r e por Pr. O ângulo entre r e p é qualquer dos ângulos agudos entre r r e pr, com vértice em Pr, e identificou-se com 90o–θo, pois é o ângulo complementar do ângulo pretendido. 3. O ângulo entre a recta r e o plano δ é o ângulo complementar do ângulo 90o–θo – assim, por Pr conduziu-se uma perpendicular a r r . O ângulo pretendido é o ângulo entre esta perpendicular e pr, e identificou-se com θo.

304.

Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. Uma vez que se trata do ângulo entre uma recta e um plano não projectante, recorreu-se ao método do ângulo complementar. 1. Pelo ponto A , da recta r, conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano ρ – a recta p é uma recta de perfil definida por um ponto (o ponto A ) e por uma direcção (é ortogonal ao plano ρ). 2. O ângulo formado entre as duas rectas está contido no plano definido pelas mesmas (que é um plano oblíquo), e não se projecta em V.G. – recorreu-se ao rebatimento do plano definido pelas duas rectas para o Plano Horizontal de Projecção. A charneira desse rebatimento é a recta e’, que está definida pelos traços horizontais das duas rectas. O traço horizontal da recta p determinou-se com o recurso ao rebatimento do plano de perfil (o plano π) que a contém. A recta i é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ (é uma recta de perfil) e está definida pelos seus traços nos planos de projecção, F e H. A recta p tem de ser perpendicular à recta i, o que se resolveu também em rebatimento. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e). A recta i r está definida por Fr e Hr. A recta p, em rebatimento (a recta pr) passa por A r e é perpendicular a i r. Está garantida a ortogonalidade entre a recta p e o plano ρ. Em rebatimento, determinou-se o traço horizontal da recta p – H’. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de H’. A charneira do rebatimento do plano definido pelas rectas p e r (recta e’) está definida por H’ (traço horizontal da recta p) e por H’’ (traço horizontal da recta r). Rebateu-se o ponto A , pelo seu triângulo do rebatimento (em função da sua cota), obtendo A r ’ (o ponto A r ’ é o ponto A rebatido pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano definido pelas rectas r e p). H’r ≡ H’1 e H’’r ≡ H’’1, pois H’ e H’’ são dois pontos da charneira (rodam sobre si próprios). A recta pr ’ fica definida por A r ’ e por H’r (a recta pr ’ é a recta p rebatida pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano definido pelas rectas r e p). A recta r r fica definida por A r ’ e por H’’r. O ângulo entre r e p é qualquer dos ângulos agudos entre r r e pr ’, com vértice em A r ’, e identificou-se com 90o–θo, pois é o ângulo complementar do ângulo pretendido. 3. O ângulo entre a recta r e o plano ρ é o ângulo complementar do ângulo 90o–θo – assim, por A r ’ conduziu-se uma perpendicular a r r. O ângulo pretendido é o ângulo entre esta perpendicular e pr ’, e identificou-se com θo.

111

SOLUÇÕES

305. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelo seu traço horizontal (o plano está definido pelo seu traço horizontal e pela sua orientação), e a recta h, pelas suas projecções, em função dos dados. Uma vez que se trata do ângulo entre uma recta e um plano não projectante, recorreu-se ao método do ângulo complementar. 1. Pelo ponto P, da recta h, conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano ρ – a recta p é uma recta de perfil definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (é ortogonal ao plano ρ). 2. O ângulo formado entre as duas rectas está contido no plano definido pelas mesmas (que é um plano oblíquo), e não se projecta em V.G. – recorreu-se ao rebatimento do plano definido pelas duas rectas para o plano horizontal (de nível) ν que contém a recta h. A charneira desse rebatimento é a própria recta h, que roda sobre si própria, pelo que se tem imediatamente hr ≡ e1 ≡ h1. O ponto P, porque é um ponto da charneira, roda sobre si próprio, pelo que se tem imediatamente Pr ≡ P1. Já temos um ponto para definir a recta p em rebatimento – necessitamos de um outro ponto, que tem de ser determinado em rebatimento, rebatendo a recta pelo rebatimento do plano de perfil que a contém. Rebateu-se o plano de perfil (o plano π) que contém a recta p para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi a recta e’, que é f π). A recta i é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ (é uma recta de perfil) e está definida pelo seu traço horizontal, H, e pela sua direcção (faz um ângulo de 30o com o Plano Horizontal de Projecção, que é um ângulo com a mesma amplitude do diedro formado entre o plano ρ e o Plano Horizontal de Projecção). A recta p tem de ser perpendicular à recta i, o que se resolveu também em rebatimento. A recta i r está definida por Hr e pela sua direcção – faz um ângulo de 30o com hπr. Note que se garantiu, ao medir o ângulo de 30o, que o traço frontal da recta (que não se assinalou) se Pr ’ é o ponto P rebatido pelo seu segundo rebatisitua no SPFS. A recta p, em rebatimento (a recta pr) passa por Pr ’ e é perpendicular a i r (P mento – o rebatimento do plano π). Está garantida a ortogonalidade entre a recta p e o plano ρ. Em rebatimento, determinou-se um outro ponto qualquer da recta p – o ponto A (note que A e o ponto de concorrência das rectas i e p, pelo que é o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ, mas poderia ser um outro ponto qualquer). Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de A . Rebateu-se o ponto A , pelo seu triângulo do rebatimento (em função da sua cota em relação a ν – a distância de A a ν), obtendo A r ’ (o ponto A r ’ é o ponto A rebatido pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano definido pelas rectas h e p). A recta pr ’ fica definida por A r ’ e por Pr (a recta pr ’ é a recta p rebatida pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano definido pelas rectas h e p). O ângulo entre h e p é qualquer dos ângulos agudos entre hr e pr ’, com vértice em Pr, e identificou-se com 90o–βo, pois é o ângulo complementar do ângulo pretendido. 3. O ângulo entre a recta h e o plano ρ é o ângulo complementar do ângulo 90o–βo – assim, por Pr conduziu-se uma perpendicular a hr. O ângulo pretendido é o ângulo entre esta perpendicular e pr ’, e identificou-se com βo.

306.

112

Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e a recta p, pelas suas projecções, em função dos dados. Uma vez que se trata do ângulo entre uma recta e um plano projectante, é possível recorrer ao mét o d o g e r a l p a r a a d e t e r m i n a ç ã o d o â n g u l o e n t r e u m a r e c t a e u m p l a n o. No entanto, é necessário ter em conta que a determinação da projecção ortogonal da recta p sobre o plano α poderia obrigar a raciocínios particulares, nomeadamente o rebatimento da recta p, para determinar o ponto de intersecção da recta p com o plano α. Assim, dada a universalidade dos dois processos, optou-se por recorrer ao método do ângulo complement a r. 1. Pelo ponto A , da recta p, conduziu-se uma recta m, ortogonal ao plano. A recta m é uma recta horizontal (de nível). 2. O ângulo formado entre as duas rectas está contido no plano definido pelas mesmas, e não se projecta em V.G. – recorreu-se ao rebatimento do plano definido pelas duas rectas para o plano frontal (de frente) ϕ que contém o ponto B (com vista a uma maior economia de traçados, pois de outra forma seríamos obrigados a determinar outro ponto da recta p, o que implicaria o recurso a processos geométricos auxiliares). A charneira é a recta e, que é a recta de intersecção dos dois planos e está definida pelos pontos B e C. B é o ponto de intersecção do plano ϕ com a recta p e C é o ponto de intersecção do plano ϕ com a recta m. Tem-se imediatamente B r ≡ B 2 e Cr ≡ C2, pois B e C são dois pontos da charneira. Rebateu-se o ponto A pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância ao plano ϕ (o afastamento de A em relação a ϕ). A recta pr fica definida por A r e B r e a recta mr fica definida por A r e por Cr. O ângulo entre p e m é qualquer dos ângulos agudos entre pr e mr, com vértice em A r, e identificou-se com 90o–θo, pois é o ângulo complementar do ângulo pretendido. 3. O ângulo entre a recta p e o plano α é o ângulo complementar do ângulo 90o–θo – assim, por A r conduziu-se uma perpendicular a pr. O ângulo pretendido é o ângulo entre esta perpendicular e mr, e identificou-se com θo.

SOLUÇÕES

307. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e a recta p, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é um plano ortogonal ao β1/3. Uma vez que se trata do ângulo entre uma recta e um plano não projectante, recorreu-se ao método do ângulo complementar. 1. Pelo ponto B, da recta p, conduziu-se uma recta m, ortogonal ao plano α. 2. O ângulo formado entre as duas rectas está contido no plano definido pelas mesmas, e não se projecta em V.G. – recorreu-se ao rebatimento do plano definido pelas duas rectas para o plano frontal (de frente) ϕ que contém o ponto A (com vista a uma maior economia de traçados, pois de outra forma seríamos obrigados a determinar outro ponto da recta p, o que implicaria o recurso a processos geométricos auxiliares). A charneira é a recta e, que é a recta de intersecção dos dois planos e está definida pelos pontos A e C. A é o ponto de intersecção do plano ϕ com a recta p e C é o ponto de intersecção do plano ϕ com a recta m. Tem-se imediatamente A r ≡ A 2 e Cr ≡ C2, pois A e C são dois pontos da charneira. Rebateu-se o ponto B pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância ao plano ϕ (o afastamento de B em relação a ϕ). A recta pr fica definida por A r e B r e a recta mr fica definida por B r e por Cr. O ângulo entre p e m é qualquer dos ângulos agudos entre pr e mr, com vértice em B r, e identificou-se com 90°–θ°, pois é o ângulo complementar do ângulo pretendido. 3. O ângulo entre a recta p e o plano α é o ângulo complementar do ângulo 90°–θ° – assim, por B r conduziu-se uma perpendicular a mr. O ângulo pretendido é o ângulo entre esta perpendicular e pr, e identificou-se com θ°.

308. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e a recta p, pelas suas projecções, em função dos dados. Apesar de ser possível, neste exercício, recorrer a qualquer dos dois processos referidos (o método geral para a determinação do ângulo entre uma recta e um plano e o método do ângulo complementar), dada a especificidade da situação optou-se por uma resolução diferente e bastante mais simples. Esta consistiu, em primeiro lugar, em efectuar uma mudança do diedro de projecção, transformando o plano ρ num plano de topo e a recta p numa recta frontal (de frente), o que redunda na situação do exercício 297. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de Projecção plano 2) por um novo plano de projecção (p plano 4), paralelo à (p recta p e ortogonal ao plano ρ. O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do p l a n o 1 com o p l a n o 4 e é paralelo a p 1 (e perpendicular a hρ). A projecção da recta p no plano 4, p4, determinou-se a partir das projecções dos pontos A e B no plano 4 – A 4 e B 4 determinaram-se em função das cotas de A e B, que se mantiveram. Para determinar o traço do plano ρ no plano 4 recorreu-se a um ponto C, de f ρ – C4 determinou-se em função da cota de C, que se manteve. Uma vez que, no novo diedro de projecção, o plano ρ é projectante, f 4ρ passa por C4 e é concorrente com hρ no eixo X’. No novo diedro de projecção (formado pelo plano 1 e pelo plano 4), a recta p é uma recta frontal (de frente) e o plano ρ é um plano de topo, pelo que se trata da situação exposta no relatório do exercício 297. Assim, o ângulo entre a recta p e o plano ρ está contido num plano paralelo ao plano 4 (o plano ortogonal ao plano ρ que contém a recta p), pelo que se projecta em V.G. no plano 4 – é qualquer dos dois ângulos agudos entre p4 e f 4ρ, e identificou-se com θo.

113

SOLUÇÕES

309. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X) e pelo ponto A , e a recta p, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta p está definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (é dado o ângulo que a recta faz com o Plano Frontal de Projecção). Tal como na situação anterior, o processo de resolução mais simples consiste em efectuar uma mudança do diedro de projecção, transformando o plano ρ num plano de topo e a recta p numa recta frontal (de frente), o que redunda mais uma vez na situação do exercício 297. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de Projecção plano 2) por um novo plano de projecção (p plano 4), paralelo à recta p (p e ortogonal ao plano ρ. O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do plano 1 com o plano 4 e é paralelo a p1 (e perpendicular a hρ). A projecção da recta p no plano 4, p4, determinou-se a partir da projecP 4), e a em função do ângulo que a recta p ção do ponto P no plano 4 (P faz com o Plano Frontal de Projecção. P4 determinou-se em função da sua cota (que se manteve). A recta p, fazendo um ângulo de 60° com o Plano Frontal de Projecção, faz um ângulo de 30° (o ângulo complementar) com o Plano Horizontal de Projecção – esse é o ângulo que nos permitiu desenhar p4, a partir de P4, pois esse ângulo projecta-se em V.G. no plano 4, no ângulo entre p4 e o eixo X’. Note que se garantiu, ao medir o ângulo, que a recta p intersecta o Plano Horizontal de Projecção num ponto com afastamento negativo (um ponto do SPHP), conforme é expressamente pedido no enunciado. Para determinar o traço do plano ρ no plano 4 recorreu-se à projecção, no plano 4, do ponto A , que é o ponto que define o plano – A 4 determinou-se em função da cota de A , que se manteve. Uma vez que, no novo diedro de projecção, o plano ρ é projectante, f 4ρ passa por A 4 e é concorrente com hρ no eixo X’. No novo diedro de projecção (formado pelo plano 1 e pelo plano 4), a recta p é uma recta frontal (de frente) e o plano ρ é um plano de topo, pelo que se trata da situação exposta no relatório do exercício 297. Assim, o ângulo entre a recta p e o plano ρ está contido num plano paralelo ao plano 4 (o plano ortogonal ao plano ρ que contém a recta p), pelo que se projecta em V.G. no plano 4 – é qualquer dos dois ângulos agudos entre p4 e f 4ρ, e identificou-se com αo.

310.

Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, que estão coincidentes no eixo X (o plano está definido pelo eixo X e pela sua orientação), e a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta r tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X, pois trata-se de uma recta do β1/3 – é uma recta passante, concorrente com o eixo X num ponto A. Uma vez que se trata do ângulo entre uma recta e um plano não projectante, recorreu-se ao método do ângulo complementar. 1. Por um ponto P, qualquer, da recta r, conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano ρ – a recta p é uma recta de perfil definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (é ortogonal ao plano ρ). 2. O ângulo formado entre as duas rectas está contido no plano definido pelas mesmas (que é um plano oblíquo), e não se projecta em V.G. – recorreu-se ao rebatimento do plano definido pelas duas rectas para o Plano Horizontal de Projecção. A charneira desse rebatimento é a recta e’, que está definida pelo ponto A (o ponto de concorrência da recta r com o eixo X) e pelo traço horizontal da recta p. O traço horizontal da recta p determinou-se com o recurso ao rebatimento do plano de perfil (o plano π) que a contém. A recta p’ é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ (é uma recta de perfil) – a recta p’ é uma recta de perfil passante, e está definida por um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo X) e por uma direcção (faz um ângulo de 60o com o Plano Frontal de Projecção, que é um ângulo com a mesma amplitude do diedro formado entre o plano ρ e o Plano Horizontal de Projecção). A recta p tem de ser perpendicular à recta p’, o que se resolveu também em rebatimento. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fπ (recta e). A recta p’r está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo, pois é um ponto da charneira) e pela sua direcção – a recta p’r faz um ângulo de 60o com fπr. Note que se garantiu, ao medir o ângulo de 60o, que a recta atravessa os 1o e 3o Diedros, pois P é um ponto do 1o Diedro e p’r passa pelo quadrante no qual se situa Pr. A recta p, em rebatimento (a recta pr) passa por Pr e é perpendicular a p’r. Está garantida a ortogonalidade entre a recta p e o plano ρ. Em rebatimento, determinou-se o traço horizontal da recta p – H. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de H. A charneira do rebatimento do plano definido pelas rectas p e r (Continua na página seguinte)

114

SOLUÇÕES

(recta e’) está definida por H (traço horizontal da recta p) e pelo ponto A (o ponto de concorrência da recta r com o eixo X). Rebateu-se o ponto P, pelo seu triângulo do rebatimento (em função da sua cota), obtendo Pr’ (o ponto Pr’ é o ponto P rebatido pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano definido pelas rectas r e p). A recta pr’ fica definida por Pr’ e por Hr’ (o ponto Hr’ e a recta pr’ são, respectivamente, o ponto H e a recta p rebatidos pelo segundo rebatimento – o rebatimento do plano definido pelas rectas r e p). O ângulo entre r e p é qualquer dos ângulos agudos entre rr e pr’, com vértice em Pr’, e identificou-se com 90o–βo, pois é o ângulo complementar do ângulo pretendido. 3. O ângulo entre a recta r e o plano ρ é o ângulo complementar do ângulo 90o–βo – assim, por Pr’ conduziu-se uma perpendicular a pr’. O ângulo pretendido é o ângulo entre esta perpendicular e rr, e identificou-se com βo.

311. Em primeiro lugar representou-se a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. Note que não se representaram os traços do β1/3, por tal não ser necessário (o β1/3 é um plano que não carece de representação), mas que estão coincidentes no eixo X. A recta r tem as suas projecções coincidentes, pois trata-se de uma recta do β2/4 – é uma recta passante, concorrente com o eixo X num ponto A. Uma vez que se trata do ângulo entre uma recta e um plano não projectante, recorreu-se ao método do ângulo complementar. 1. Por um ponto P, qualquer, da recta r, conduziu-se uma recta p, ortogonal ao β1/3 – a recta p é uma recta de perfil definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (é ortogonal ao β1/3). Note que a recta p é necessariamente uma recta de perfil do β2/4, pelo que é possível, em qualquer circunstância, determinar quaisquer pontos da recta p – todos os seus pontos têm as suas projecções coincidentes. 2. O ângulo formado entre as duas rectas está contido no plano definido pelas mesmas (que é o próprio β2/4, pois as duas rectas são rectas do β2/4), e não se projecta em V.G. – recorreu-se ao rebatimento do plano definido pelas duas rectas (o β2/4) para o Plano Horizontal de Projecção. A charneira desse rebatimento é a recta e, que é o próprio eixo X. A recta p, sendo uma recta de perfil do β2/4, é necessariamente uma recta de perfil passante – é concorrente com o eixo X num ponto B. Ar ≡ A1 e Br ≡ B1, pois A e B são dois pontos da charneira. Rebateu-se o ponto P, pelo seu triângulo do rebatimento, em função da sua cota, obtendo Pr. A recta rr está definida por Ar e por Pr. A recta pr está definida por Br e por Pr. O ângulo entre r e p é qualquer dos ângulos agudos entre rr e pr, com vértice em Pr, e identificou-se com 90o–αo, pois é o ângulo complementar do ângulo pretendido. 3. O ângulo entre a recta r e o β1/3 é o ângulo complementar do ângulo 90o–αo – assim, por Pr conduziu-se uma perpendicular a rr. O ângulo pretendido é o ângulo entre esta perpendicular e pr, e identificou-se com αo.

312. Por ângulo entre dois planos entende-se o rectilíneo do menor diedro formado entre os dois planos, ou seja, o ângulo formado entre as rectas de intersecção dos dois planos com um terceiro plano, ortogonal à aresta do diedro.

313. Os dois processos para determinar a amplitude do diedro entre dois planos distinguem-se sobretudo ao nível dos traçados a executar, sendo que ambos são processos universais (utilizáveis independentemente da situação). De qualquer forma, o recurso a um ou a outro tem a ver, apenas, com economia de traçados. Assim, sempre que o plano ortogonal à aresta do diedro entre os dois planos dados for projectante e tiver determinação imediata (têm de se verificar as duas situações), é aconselhável o recurso ao 1o P r o c e s s o, em função da linearidade dos raciocínios e de traçados decorrentes da utilização desse processo. Por oposição, sempre que o plano ortogonal à aresta do diedro formado entre os dois planos dados não seja projectante ou não tenha determinação imediata (ou ambas as situações), o recurso ao 1o P r o c e s s o reveste-se de grande complexidade ao nível dos traçados e raciocínios, pelo que é aconselhável o recurso ao 2o P r o c e s s o, em função, precisamente, da linearidade de raciocínios e de traçados decorrentes da utilização deste processo.

314.

Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, pelos respectivos traços, em função dos dados – o plano γ representou-se pelos seus dois traços e o plano ϕ representou-se pelo seu traço horizontal. O plano γ é projectante horizontal, pelo que hγ tem necessariamente de passar por A 1, pois A é um ponto do plano. Em seguida, e uma vez que a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta vertical, constatou-se que o plano ortogonal à aresta do diedro é projectante (é um plano horizontal) e tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 1o Processo. 1. A aresta do diedro já está identificada – é uma recta vertical. 2. Recorreu-se a um plano auxiliar, ortogonal à aresta do diedro – o próprio Plano Horizontal de Projecção (que é um plano horizontal com cota nula). 3. Determinaram-se as rectas de intersecção do Plano Horizontal de Projecção (o plano auxiliar) com hγ e hϕ), pelo que os dois planos – estas são, imediatamente, os traços horizontais dos dois planos (h já estão determinadas. 4. O ângulo entre as duas rectas é o ângulo entre os dois planos. O ângulo entre hγ e hϕ está contido no Plano Horizontal de Projecção e está em V.G. – é qualquer dos dois ângulos agudos entre as duas rectas e identificou-se com αo. Salienta-se que não é estritamente necessária a determinação da recta de intersecção dos dois planos para a resolução do exercício. Note que, na etapa 1. do 1o Processo, está explicitamente identificar a recta de intersecção dos dois planos e não determinar a recta de intersecção dos dois planos. De facto, a determinação da recta de intersecção dos dois planos não é essencial à resolução do exercício – essencial é, sim, a sua identificação, o que nos permite conduzir um plano qualquer que lhe seja ortogonal.

115

SOLUÇÕES

315. Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, em função dos dados – o plano δ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. Pretende-se a VG. da amplitude do diedro formado entre o plano δ e o Plano Horizontal de Projecção – a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta horizontal (é o próprio traço horizontal do plano δ – hδ), pelo que o plano ortogonal à aresta do diedro é projectante (é um plano vertical) e tem determinação imediata. Assim, é possível recorrer ao 1o P r o c e s s o. No entanto, optou-se por um outro raciocino, mais simples. O ângulo entre um plano oblíquo qualquer e o Plano Horizontal de Projecção é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que as suas rectas de maior declive fazem com o Plano Horizontal de Projecção. Assim, o problema resume-se à determinação do ângulo entre uma recta (uma recta d, de maior declive do plano δ) e o Plano Horizontal de Projecção. Determinaram-se as projecções de uma recta d, uma recta de maior declive do plano, qualquer – a recta d está definida pelos seus traços. O ângulo entre a recta d e o Plano Horizontal de Projecção está contido num plano que contém a recta d e é ortogonal ao Plano Horizontal de Projecção – trata-se do plano projectante horizontal da recta d. Assim, por d conduziu-se um plano vertical (o plano γ) – o ângulo entre a recta d e o Plano Horizontal de Projecção é o ângulo entre a recta d e a sua projecção ortogonal no Plano Horizontal de Projecção (que é d1, que é o próprio traço horizontal do plano γ – hγ). Esse ângulo está contido no plano γ e não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano γ para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f γ. Rebateu-se a recta d, rebatendo os seus traços – dr está definida por Fr e por Hr. A V.G. da amplitude do diedro ângulo o plano δ e o Plano Horizontal de Projecção está em qualquer dos dois ângulos agudos entre dr e hγr, com vértice em Hr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo.

316. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, em função dos dados – o plano α tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. Pretende-se a VG. da amplitude do diedro formado entre o plano α e o Plano Frontal de Projecção – a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta frontal (é o próprio traço frontal do plano α – f α), pelo que o plano ortogonal à aresta do diedro é projectante (é um plano de topo) e tem determinação imediata. Assim, é possível recorrer ao 1o P r o c e s s o. No entanto, optou-se por um outro raciocínio, mais simples. O ângulo entre um plano oblíquo qualquer e o Plano Frontal de Projecção é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que as suas rectas de maior inclinação fazem com o Plano Frontal de Projecção. Assim, o problema resume-se à determinação do ângulo entre uma recta (uma recta i, de maior inclinação do plano α) e o Plano Frontal de Projecção. Determinaram-se as projecções de uma recta i, uma recta de maior inclinação do plano, qualquer – a recta i está definida pelos seus traços. O ângulo entre a recta i e o Plano Frontal de Projecção está contido num plano que contém a recta i e é ortogonal ao Plano Frontal de Projecção – trata-se do plano projectante frontal da recta i. Assim, por i conduziu-se um plano de topo (o plano θ) – o ângulo entre a recta i e o Plano Frontal de Projecção é o ângulo entre a recta i e a sua projecção ortogonal no Plano Frontal de Projecção (que é i 2, que é o próprio traço frontal do plano θ – f θ). Esse ângulo está contido no plano θ e não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano θ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hθ. Rebateu-se a recta i, rebatendo os seus traços – i r está definida por Fr e por Hr. A V.G. da amplitude do diedro ângulo o plano α e o Plano Frontal de Projecção está em qualquer dos dois ângulos agudos entre i r e f θr, com vértice em Fr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com γ o.

116

SOLUÇÕES

317. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos pelos respectivos traços, em função dos dados – o plano λ está representado pelos seus dois traços e o plano ϕ está representado pelo seu traço horizontal. A amplitude do diedro entre um plano oblíquo qualquer e um plano frontal (de frente) é igual à amplitude do diedro formado entre esse plano oblíquo e o Plano Frontal de Projecção – o plano frontal (de frente) e o Plano Frontal de Projecção são dois planos paralelos. Assim, efectuaram-se os traçados necessários à determinação da amplitude do diedro formado entre o plano λ e o Plano Frontal de Projecção, o que consiste na situação do exercício anterior, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. A V.G. da amplitude do diedro entre o plano λ e o Plano Frontal de Projecção (que é igual à amplitude do diedro formado entre o plano λ e o plano ϕ) está em qualquer dos dois ângulos agudos entre i r e f θr, com vértice em Fr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com α°.

318. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, determinaram-se os traços do plano ρ conduzindo, por A e B (que são dois pontos do plano), uma recta do plano (recta r) – determinaram-se os traços da recta r, pelos quais se conduziram os traços homónimos do plano ρ. Pretende-se a amplitude do diedro formado entre o plano ρ e o Plano Horizontal de Projecção – a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta fronto-horizontal (é hρ) e o plano que lhe é ortogonal é projectante (é um plano de perfil) e tem determinação imediata, pelo que, à partida, o problema se pode resolver com o recurso ao 1o P r o c e s s o para a determinação do ângulo entre os dois planos. No entanto, optou-se por uma resolução diferente – recorreu-se a uma mudança do diedro de projecção, transformando o plano ρ num plano projectante, o que faz com que o problema passe a ter uma resolução direcplano 2) por um novo ta. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (p plano 4) ortogonal ao plano ρ, criando um novo diedro plano de projecção (p de projecção – neste, o plano ρ é um plano de topo. O novo eixo X (o eixo X’) é perpendicular a hρ e é a recta de intersecção do plano 1 com o plano 4. O traço do plano ρ no plano 4 (ff 4ρ) determinou-se a partir da projecção do traço frontal da recta r, F, no plano 4 – F4 determinou-se em função da sua cota, que se manteve. Uma vez que, no novo diedro de projecção, o plano ρ é projectante frontal, f 4ρ passa por F4 e é concorrente com hρ no eixo X’. Trata-se, agora, de determinar a amplitude do diedro entre um plano de topo e o Plano Horizontal de Projecção, que está contido num plano frontal (de frente). No novo diedro de projecção, esse plano frontal (de frente) pode ser o próprio plano 4. A recta de intersecção do plano 4 com o plano ρ é f 4ρ. A V.G. da amplitude do diedro entre o plano ρ e o Plano Horizontal de Projecção está em qualquer dos dois menores ângulos entre f 4ρ e o eixo X’– identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo.

319. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ pelos seus traços (que estão coincidentes com o eixo X) e pelas projecções do ponto A , em função dos dados. A determinação do ângulo entre os dois planos (o plano ρ e o Plano Frontal de Projecção) processou-se com o recurso ao 1o P r o c e s s o, pois a recta de intersecção dos dois planos é f ρ, que é fronto-horizontal, e o plano que lhe é ortogonal é projectante (é um plano de perfil) e tem determinação imediata. 1. A aresta do diedro já está identificada – é uma recta fronto-horizontal. 2. Recorreu-se a um plano auxiliar, ortogonal à aresta do diedro – o plano π (é um plano de perfil). Por uma questão de economia de traçados, optou-se por conduzir o plano π (o plano de perfil ortogonal à aresta do diedro) pelo ponto A . 3. Determinaram-se as rectas de intersecção do plano π (o plano auxiliar) com os dois planos – i (é uma recta de perfil do plano ρ, pelo que é uma recta de perfil passante) e f π. 4. O ângulo entre as duas rectas tem a amplitude do diedro entre os dois planos. O ângulo entre i e f π está contido no plano de perfil, pelo que não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção. Assim, recorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π. A recta i r fica definida por A r e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo (a recta i é uma recta de perfil passante). A V.G. do diedro formado entre o plano ρ e o Plano Frontal de Projecção está em qualquer dos dois ângulos agudos entre i r e f πr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo.

117

SOLUÇÕES

320. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, e uma vez que a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta oblíqua, o plano ortogonal à aresta do diedro não é projectante nem tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 2o P r o c e s s o. 1. Por um ponto P, qualquer, exterior aos planos, conduziram-se duas rectas – uma recta p, ortogonal ao plano γ, e uma recta p’, ortogonal ao plano α. A recta p é uma recta horizontal (de nível). 2. O ângulo entre as rectas p e p’ é o ângulo entre os planos α e γ. Esse ângulo está contido no plano definido pelas duas rectas, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o ângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção. Assim, rebateu-se o plano definido por p e p’ para o plano horizontal (de nível) ν, que contém a recta p – p é a charneira (que é a recta de intersecção dos dois planos), pelo que se P é um ponto da charneira). A rectem imediatamente pr ≡ e1 ≡ p1 e Pr ≡ P1 (P A rebateu-se com ta p’ rebateu-se com o recurso a um ponto A , da recta p’ (A o recurso ao seu triângulo do rebatimento, em função da sua cota em relação a ν – a distância de A a ν) – p’r está definida por A r e Pr. A V.G. do ângulo entre α e γ está em qualquer dos dois ângulos menores entre pr e p’r, com vértice em Pr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com θo

321. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, pelos seus traços, em função dos dados. O plano δ tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. Em seguida, e uma vez que a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta oblíqua, o plano ortogonal à aresta do diedro não é projectante nem tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 2o P r oc e s s o. 1. Por um ponto P, qualquer, exterior aos planos, conduziram-se duas rectas – uma recta p, ortogonal ao plano α, e uma recta p’, ortogonal ao plano δ. A recta p é uma recta frontal (de frente). 2. O ângulo entre as rectas p e p’ é o ângulo entre os planos α e δ. Esse ângulo está contido no plano definido pelas duas rectas, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o ângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção. Assim, rebateu-se o plano definido por p e p’ para o plano frontal (de frente) ϕ que contém a recta p – p é a charneira (que é a recta de intersecção dos dois planos), pelo que se tem imediataP é um ponto da charneira). A recta p’ mente pr ≡ e2 ≡ p2 e Pr ≡ P2 (P rebateu-se com o recurso a um ponto qualquer da recta – o seu traço frontal, F. F rebateu-se com o recurso ao seu triângulo do rebatimento, em função do seu afastamento em relação a ϕ – a distância de F a ϕ. A recta p’r está definida por Fr e Pr. A V.G. do ângulo entre α e δ está em qualquer dos dois ângulos menores entre pr e p’r, com vértice em Pr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com βo.

118

SOLUÇÕES

322. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, pelos seus traços, em função dos dados. O plano α, porque é ortogonal ao β1/3, tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X. Em seguida, e uma vez que a recta de intersecção dos dois planos é uma recta oblíqua, o plano ortogonal à aresta do diedro não é projectante nem tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 2o P r o c e s s o. 1. Por um ponto P, qualquer, exterior aos planos, conduziram-se duas rectas – uma recta p, ortogonal ao plano α, e uma recta p’, ortogonal ao plano δ. 2. O ângulo entre as rectas p e p’ é o ângulo entre os planos α e δ. Esse ângulo está contido no plano definido pelas duas rectas, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o ângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção. Assim, rebateu-se o plano definido por p e p’ para um plano frontal (de frente) ϕ. A charneira é a recta e, que está definida pelos pontos A e B – A e B são, respectivamente, os pontos de intersecção de ϕ com as rectas p e p’. A r ≡ A 2 e B r ≡ B 2, pois A e B são dois pontos da charneira. O ponto P rebateu-se pelo seu triângulo do rebatimento, em função do seu afastamento em relação a ϕ (a distância de P a ϕ). A recta pr está definida por A r e Pr e a recta p’r está definida por B r e Pr. A V.G. da amplitude do diedro entre α e δ está em qualquer dos dois ângulos menores entre pr e p’r, com vértice em Pr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com θo.

323. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, pelos seus traços, em função dos dados. O plano α, porque é ortogonal ao β1/3, tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X. O plano φ, porque é ortogonal ao β2/4, tem os seus traços coincidentes. Em seguida, e uma vez que a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta oblíqua, o plano ortogonal à aresta do diedro n ã o é p r o j e c t a n t e n e m t e m d e t e r m i n a ç ã o imediata, pelo que se recorreu ao 2o Processo – esta situação é, assim, idêntica à situação do exercício anterior, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório do exercício anterior. A recta p’, ortogonal ao plano φ, tem as suas projecções paralelas entre si.

324. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, e uma vez que a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta oblíqua, constatou-se que o plano ortogonal à aresta do diedro não é projectante nem tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 2o P r o c e s s o. 1. Por um ponto P, qualquer, exterior aos planos, conduziram-se duas rectas – uma recta a, ortogonal ao plano ρ, e uma recta b, ortogonal ao plano θ. A recta b é uma recta frontal (de frente). A recta a é uma recta de perfil, que está definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (é ortogonal ao plano ρ). 2. O ângulo entre as rectas a e b é o ângulo entre os planos (Continua na página seguinte) 119

SOLUÇÕES

ρ e θ. Esse ângulo está contido no plano definido pelas duas rectas, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o ângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção. Assim, rebateu-se o plano definido por a e b para o plano frontal (de frente) ϕ, que contém a recta b – esta é a charneira (recta e’), pelo que se tem imediatamente br ≡ e’2 ≡ b2. Para rebater a recta a necessitamos de um outro ponto da recta, para o que é necessário o recurso a um outro processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π, o plano de perfil que contém a recta a. A recta a, porque é ortogonal ao plano ρ, tem de ser ortogonal às rectas de perfil do plano ρ – a recta i é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ e é uma recta de perfil do plano ρ. A recta i está definida pelos seus traços nos planos de projecção (trata-se do caso geral da intersecção entre planos). Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e). A recta i r está definida por Fr e Hr. A recta ar passa por Pr e é perpendicular a i r – a ortogonalidade entre a recta a e o plano ρ já está garantida. Em rebatimento, determinou-se um outro ponto da recta a – o ponto A (que é o traço frontal da recta a). Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projecções do ponto A (que é fixo, pois é um ponto da charneira). Para rebater a recta a (no rebatimento do Pr ’ é o ponto P rebatido pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano plano definido pelas rectas a e b) já temos um ponto – Pr ’ (P definido pelas rectas a e b). P é um ponto da charneira (recta e’), pelo que se tem imediatamente Pr ’ ≡ P2. O ponto A rebateu-se pelo seu triângulo do rebatimento, em função do seu afastamento em relação a ϕ (a distância de A a ϕ) – A r ’ é o ponto A rebatido pelo seu segundo rebatimento (o rebatimento do plano definido pelas rectas a e b). A recta ar ’ está definida por A r ’ e Pr (a recta ar ’ é a recta a rebatida pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano definido por a e b). A V.G. da amplitude do diedro entre ρ e θ está em qualquer dos dois ângulos menores entre ar ’ e br, com vértice em Pr ’ – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo.

325. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, pelos seus traços, em função dos dados. Os dois planos, por serem ortogonais ao β1/3, têm os seus traços simétricos em relação ao eixo X. Em seguida, e uma vez que a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é oblíqua (é uma recta de perfil), o plano ortogonal à aresta do diedro não é projectante nem tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 2o Processo. 1. Por um ponto P, qualquer, exterior aos planos, conduziram-se duas rectas – uma recta a, ortogonal ao plano ρ, e uma recta b, ortogonal ao plano α. A recta a é uma recta de perfil, que está definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (é ortogonal ao plano ρ). 2. O ângulo entre as rectas a e b é o ângulo entre os planos α e ρ. Esse ângulo está contido no plano definido pelas duas rectas, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o ângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção. Assim, rebateu-se o plano definido por a e b para o Plano Horizontal de Projecção. A charneira do rebatimento (recta e’) está definida pelos traços horizontais das rectas a e b. O traço horizontal da recta b é o ponto B, que se determinou imediatamente. O traço horizontal da recta a, que é de perfil, não tem determinação imediata – é necessário o recurso a um outro processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π, o plano de perfil que contém a recta a. A recta a, porque é ortogonal ao plano ρ, tem de ser ortogonal às rectas de perfil do plano ρ – a recta i é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ e é uma recta de perfil do plano ρ. A recta i está definida pelos seus traços nos planos de projecção (trata-se do caso geral da intersecção entre planos). Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e). A recta i r está definida por Fr e Hr. A recta ar passa por Pr e é perpendicular a i r – a ortogonalidade entre a recta a e o plano ρ já está garantida. Em rebatimento, determinou-se o traço horizontal da recta a – o ponto A . Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projecções do ponto A . A recta e’ (a charneira do rebatimento do plano definido pelas rectas a e b) está definida por A e B A r ’ é o ponto A rebatido pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do pla– A r ’ ≡ A 1 e B r ≡ B 1, pois A e B são dois pontos da charneira (A no definido pelas rectas a e b). Rebateu-se o ponto P, pelo seu triângulo do rebatimento (em função da sua cota) – Pr ’ é o ponto P rebatido pelo seu segundo rebatimento (o rebatimento do plano definido pelas rectas a e b). A recta br está definida por B r e por Pr ’. A recta ar ’ está definida por A r ’ e por Pr ’ (ar ’ é a recta a rebatida pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano definido por a e b). A V.G. da amplitude do diedro entre α e ρ está em qualquer dos dois ângulos menores entre ar ’ e br, com vértice em Pr ’ – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com θo.

120

SOLUÇÕES

326. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados – o plano α está definido pelos seus traços e o plano ρ está definido pelo eixo X (onde se situam os seus traços, que estão coincidentes) e pelas projecções do ponto P. Em seguida, e uma vez que a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta oblíqua, o plano ortogonal à aresta do diedro não é projectante nem tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 2o P r o c e s s o. 1. Por um ponto qualquer, conduziram-se duas rectas – uma recta p, ortogonal ao plano ρ, e uma recta p’, ortogonal ao plano α. Por uma questão de economia de traçados, optou-se por conduzir as duas rectas pelo ponto P, o ponto que define o plano passante. A recta p’ é uma recta horizontal (de nível). A recta p é uma recta de perfil, que está definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (é ortogonal ao plano ρ). 2. O ângulo entre as rectas p e p’ é o ângulo entre os planos ρ e α. Esse ângulo está contido no plano definido pelas duas rectas, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o ângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção. Assim, rebateu-se o plano definido por p e p’ para o plano horizontal (de nível) ν, que contém a recta p’ – esta é a charneira (recta e’), pelo que se tem imediatamente p’r ≡ e’1 ≡ p’1. Para rebater a recta p necessitamos de um outro ponto da recta, para o que é necessário o recurso a um outro processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π, o plano de perfil que contém a recta p. A recta p, porque é ortogonal ao plano ρ, tem de ser ortogonal às rectas de perfil do plano ρ – a recta a é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ e é uma recta de perfil do plano ρ. A recta a está definida por dois pontos – o ponto P (que é um ponto comum aos dois planos) e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (a recta a, porque é uma recta de perfil do plano ρ, é necessariamente uma recta de perfil passante). Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π. A recta ar está definida por Pr e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo (é um ponto da charneira – recta e). A recta pr passa por Pr e é perpendicular a ar – a ortogonalidade entre a recta p e o plano ρ já está garantida. Em rebatimento, determinou-se um outro ponto da recta p – o ponto F (que é o traço frontal da recta p). Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projecções do ponto F (que é fixo, pois é um ponto da charneira). Para rebater a recta p Pr 1 é o ponto P rebatido pelo seu segundo rebatimento – o (no rebatimento do plano definido pelas rectas p e p’) já temos um ponto – Pr 1 (P rebatimento do plano definido pelas rectas p e p’). P é um ponto da charneira (recta e’), pelo que se tem imediatamente Pr 1 ≡ P1. O ponto F rebateu-se pelo seu triângulo do rebatimento, em função da sua cota em relação a ν (a distância de F a ν) – Fr 1 é o ponto F rebatido pelo seu segundo rebatimento (o rebatimento do plano definido pelas rectas p e p’). A recta pr1 está definida por Fr 1 e Pr 1 (a recta pr1 é a recta p rebatida pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano definido por p e p’). A V.G. da amplitude do diedro entre ρ e α está em qualquer dos dois ângulos menores entre pr1 e p’r, com vértice em Pr 1 – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com βo

327. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ρ é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação ao eixo X. A recta de intersecção dos dois planos é uma recta fronto-horizontal e o plano que lhe é ortogonal é projectante (é um plano de perfil) e tem determinação imediata, pelo que é possível recorrer ao 1o P r o c e s s o para a determinação do ângulo entre os dois planos. No entanto, optou-se por uma resolução diferente – recorreu-se a uma mudança do diedro de projecção, transformando os dois planos em planos projectantes, o que faz com que o problema passe a ter uma resolução directa. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de Projecplano 2) por um novo plano de projecção (p plano 4) ortogonal aos ção (p dois planos, criando um novo diedro de projecção – neste, os dois planos são planos de topo. O novo eixo X (o eixo X’) é perpendicular aos traços horizontais dos dois planos. O traço do plano ρ no plano 4 (ff 4ρ) determinou-se a partir da projecção de um ponto A , qualquer, de f ρ, no plano 4 – A 4 determinou-se em função da sua cota, que se manteve. Uma vez que, no novo diedro de projecção, o plano ρ é projectante frontal, f 4ρ passa por A 4 e é concorrente com hρ no eixo X’. De forma idêntica, o traço do plano σ no plano 4 determinou-se com o recurso a um ponto B, qualquer, de fσ – B4 determinou-se em função da sua cota, que se manteve (note que, por uma questão de economia de traçados, se fez com que os dois pontos – A e B – se situassem na mesma linha de chamada). Tal como o plano ρ, no novo diedro de projecção o plano σ é projectante frontal, pelo que f 4σ passa por B 4 e é concorrente com hσ no eixo X’. Trata-se, agora, de determinar o ângulo entre dois planos de topo, que está contido num plano frontal (de frente) – no novo diedro de projecção, esse plano frontal (de frente) pode ser o próprio plano 4. As rectas de intersecção do plano 4 com os planos ρ e σ são, respectivamente, f 4ρ e f 4σ – o ângulo entre f 4ρ e f 4σ está em V.G. no plano 4 e identificou-se com αo.

121

SOLUÇÕES

328. Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, em função dos dados. O β1/3 é um plano que não carece de representação (embora se trate de um plano passante, cujos traços estão coincidentes no eixo X). Em seguida, e uma vez que a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta oblíqua, o plano ortogonal à aresta do diedro não é projectante nem tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 2o P r oc e s s o. 1. Por um ponto P, qualquer, exterior aos planos, conduziram-se duas rectas – uma recta a, ortogonal ao β1/3, e uma recta b, ortogonal ao plano δ. A recta a é uma recta de perfil, que está definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (é ortogonal ao β1/3). 2. O ângulo entre as rectas a e b é o ângulo entre o plano δ e o β1/3. Esse ângulo está contido no plano definido pelas duas rectas, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o ângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção. Assim, rebateu-se o plano definido por a e b para o Plano Horizontal de Projecção. A charneira do rebatimento (recta e’) está definida pelos traços horizontais das rectas a e b. O traço horizontal da recta b é o ponto B, que se determinou imediatamente. O traço horizontal da recta a, que é de perfil, não tem determinação imediata – é necessário o recurso a um outro processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π, o plano de perfil que contém a recta a. A recta a, porque é ortogonal ao β1/3, tem de ser ortogonal às rectas de perfil do β1/3 – a recta i é a recta de intersecção do plano π com o β1/3 e é uma recta de perfil do β1/3 (é uma recta de perfil passante que faz ângulos de 45o com os dois planos de projecção). A recta i está definida por um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo X) e pela sua direcção (faz ângulos de 45o com os planos de projecção). Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e). A recta i r passa pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo, pois é um ponto da charneira) e faz ângulos de 45o com f πr e com hπr (note que a recta i atravessa os 1o e 3o Diedros, pelo que a recta i r tem de passar pelo quadrante no qual se situa Pr – P é um ponto do 1o Diedro). A recta ar passa por Pr e é perpendicular a i r – a ortogonalidade entre a recta a e o β1/3 já está garantida. Em rebatimento, determinou-se o traço horizontal da recta a – o ponto A . Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projecções do ponto A . A recta e’ (a charneira do rebatimento do plano definido pelas rectas a e b) está definida por A e B A r’ é o ponto A rebatido pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano – A r’ ≡ A 1 e Br ≡ B1, pois A e B são dois pontos da charneira (A definido pelas rectas a e b). Rebateu-se o ponto P, pelo seu triângulo do rebatimento (em função da sua cota) – Pr ’ é o ponto P rebatido pelo seu segundo rebatimento (o rebatimento do plano definido pelas rectas a e b). A recta br está definida por B r e por Pr ’. A recta ar ’ está definida por A r ’ e por Pr ’ (ar ’ é a recta a rebatida pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano definido por a e b). A V.G. da amplitude do diedro entre o plano δ e o β1/3 está em qualquer dos dois ângulos menores entre ar ’ e br, com vértice em Pr ’ – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com θo.

329. Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, em função dos dados. O β2/4 é um plano que não carece de representação (embora se trate de um plano passante, cujos traços estão coincidentes no eixo X). Em seguida, e uma vez que a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta oblíqua, o plano ortogonal à aresta do diedro não é projectante nem tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 2o P r o c e s s o. 1. Por um ponto P, qualquer, exterior aos planos, conduziram-se duas rectas – uma recta a, ortogonal ao β2/4, e uma recta b, ortogonal ao plano δ. A recta a é uma recta de perfil, que está definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (é ortogonal ao β2/4). 2. O ângulo entre as rectas a e b é o ângulo entre o plano δ e o β2/4. Esse ângulo está contido no plano definido pelas duas rectas, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o ângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção. Assim, rebateu-se o plano definido por a e b para um plano horizontal (de nível) ν qualquer. A charneira do rebatimento (recta e’) está definida pelos pontos de intersecção do plano ν com as rectas a e b – A e B, respectivamente. O ponto B teve determinação imediata, ao contrário do ponto A , uma vez que as projecções da recta a não verificam o Critério de Reversibilidade. Para determinar a projecção horizontal do ponto A é necessário o recurso a um outro processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π, o plano de perfil que contém a recta a. A recta a, porque é (Continua na página seguinte) 122

SOLUÇÕES

ortogonal ao β2/4, tem de ser ortogonal às rectas de perfil do β2/4 – a recta p é a recta de intersecção do plano π com o β2/4 e é uma recta de perfil do β2/4 (é uma recta de perfil passante que faz ângulos de 45° com os dois planos de projecção). A recta p está definida por um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo X) e pela sua direcção (faz ângulos de 45° com os planos de projecção). Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π. A recta pr passa pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo, pois é um ponto da charneira) e faz ângulos de 45o com f πr e com hπr (note que a recta p atravessa os 2o e 4o Diedros, pelo que a recta pr não pode passar pelo quadrante no qual se situa Pr – P é um ponto do 1o Diedro). A recta ar passa por Pr e é perpendicular a pr – a ortogonalidade entre a recta a e o β2/4 já está garantida. Em rebatimento, e a partir da projecção frontal de A , determinou-se A r – por casualidade, A é o próprio traço frontal da recta a. Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projecções do ponto A (que é fixo, pois é um ponto da charneira). A recta e’ (a charneira do rebatimento do plano definido pelas rectas a e b) está definida por A e B – A r 1 ≡ A 1 e B r ≡ B 1, pois A e B são dois A r 1 é o ponto A rebatido pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano definido pelas rectas a e b). Rebateupontos da charneira (A -se o ponto P, pelo seu triângulo do rebatimento (em função da sua cota em relação a ν – a distância de P a ν) – Pr 1 é o ponto P rebatido pelo seu segundo rebatimento (o rebatimento do plano definido pelas rectas a e b). A recta br está definida por B r e por Pr 1. A recta ar1 está definida por A r 1 e por Pr 1 (ar1 é a recta a rebatida pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano definido por a e b). A V.G. da amplitude do diedro entre o plano δ e o β2/4 está em qualquer dos dois ângulos menores entre ar1 e br, com vértice em Pr 1 – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com θ°.

330. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelo eixo X (com o qual os seus traços estão coincidentes) e pelas projecções do ponto P, em função dos dados. O β1/3 é um plano que não carece de representação (embora se trate de um outro plano passante, cujos traços estão também coincidentes com o eixo X). Em seguida, e uma vez que a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta fronto-horizontal (é o próprio eixo X), o plano ortogonal à aresta do diedro é projectante (é um plano de perfil) e tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 1o Processo. 1. A aresta do diedro já está identificada – é uma recta fronto-horizontal (é o próprio eixo X). 2. Recorreu-se a um plano auxiliar, ortogonal à aresta do diedro – o plano π (é um plano de perfil). Por uma questão de economia de traçados, optou-se por conduzir o plano π pelo ponto P. 3. Determinaram-se as rectas de intersecção do plano π (o plano auxiliar) com os dois planos – a recta a (é uma recta de perfil do plano ρ) e a recta b (é uma recta de perfil do β1/3). A recta a é uma recta de perfil passante – está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X e pelo ponto P (que é um ponto comum ao plano π e ao plano ρ). A recta b é outra recta de perfil passante – está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X e pela sua direcção (faz ângulos de 45o com os dois planos de projecção). 4. O ângulo entre as duas rectas é o ângulo entre os dois planos. O ângulo entre a e b está contido no plano de perfil π, pelo que não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção. Assim, recorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hπ. A recta ar fica definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo, pois é um ponto da charneira) e por Pr. A recta br fica definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo, pois é um ponto da charneira) e faz ângulos de 45° com f πr e com hπr (note que a recta b atravessa os 1o e 3o Diedros, pelo que a recta br tem de passar pelo quadrante no qual se situa Pr – P é um ponto do 1o Diedro). A V.G. da amplitude do diedro entre o plano ρ e o β1/3 está em qualquer dos dois ângulos menores entre ar e br – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo.

331.

Em primeiro lugar representou-se o plano α, indicando os seus traços (que estão coincidentes com o eixo X) e determinando as projecções do ponto M, e o ponto P, pelas suas projecções. O ponto P, porque pertence ao β2/4, tem as suas coordenadas simétricas e as suas projecções coincidentes. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância de um ponto a um plano. 1. Por P conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano α – a recta p é uma recta de perfil. 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o plano α. Para resolver esta etapa recorreu-se a uma mudança do diedro de projecção. Assim, optou-se por transformar o plano α num plano de plano topo, para o que se substituiu o Plano Frontal de Projecção (p 2) por um outro plano de projecção (p plano 4), ortogonal ao plano α. Manteve-se o Plano Horizontal de Projecção, pelo que se mantiveram as projecções horizontais, o traço horizontal do plano α e as cotas. O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do plano 1 com o plano 4 e é perpendicular a hα. Para determinar o traço do plano α no plano 4 recorreu-se ao ponto M, que é o ponto que define o plano. M4 é a projecção de M no plano 4 e determinou-se em função da sua cota, que se manteve. O traço do plano α no plano 4 (ff 4α) passa por M 4 (no novo diedro de projecção, o plano α é projectante (Continua na página seguinte) 123

SOLUÇÕES

frontal) e é concorrente com hα no eixo X’. P4 é a projecção de P no plano 4 e determinou-se, tal como M 4, em função da sua cota, que se manteve (e que é negativa). No novo diedro de projecção (formado pelo plano 1 e pelo plano 4), o plano α é um plano de topo e a recta p (a recta ortogonal ao plano α que passa por P) é uma recta frontal (note que o eixo X é paralelo a p1) com afastamento negativo (em função da localização escolhida para o eixo X’, que se poderia ter localizado de forma a garantir que o afastamento da recta p fosse positivo). Assim, por P4 conduziu-se p4, perpendicular a f 4α – p4 é a projecção da recta p no plano 4. O ponto I (o ponto de intersecção da recta p com o plano α) teve determinação directa, no novo diedro de projecção, a partir da sua projecção no plano 4 – I4 é a projecção de I no plano 4 e I1 determinou-se directamente. O exposto refere-se apenas à segunda etapa da determinação da distância do ponto P ao plano α. 3. A P I] – no diedro de projecção formado entre o plano 1 e o plano 4, o distância de P ao plano α é o comprimento do segmento de recta [P P I] é frontal (de frente), pelo que a V.G. da distância é 苶 P苶I segmento [P 4苶I苶. 4 A projecção frontal de I (no diedro de projecção inicial) determinouPI] no diedro de projecção inicial – [P PI] é o segmento -se em função da sua cota, o que nos permitiu determinar as projecções do segmento [P representativo da distância de P ao plano α.

332. Em primeiro lugar representaram-se o ponto P e a recta r, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Note que a recta r, de perfil, está definida por um ponto (o ponto A ) e pela sua direcção (é ortogonal ao β1/3, o bissector dos diedros ímpares). Este problema é semelhante ao do exercício 2 7 1 , pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução apresentada com a leitura do relatório daquele exercício. Note que a recta r r, a recta r em rebatimento, é perpendicular à recta i r – a recta i é a recta de intersecção do plano π (o plano de perfil que contém a recta r) com o β1/3 (a recta i é uma recta de perfil do β1/3). Trata-se portanto, de determinar uma recta de perfil ortogonal ao β1/3, o que redunda numa situação semelhante à do exercício 85 (no qual era pedida uma recta ortogonal ao β2/4), pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório.

333. Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e s, pelas respectivas projecções. As projecções da recta r fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura, pois é uma recta paralela ao β1/3. Note que esta situação (distância entre duas rectas paralelas), não se tratando de um conteúdo do programa da disciplina, redunda, no entanto, na distância de um ponto a uma recta, pois a distância entre duas rectas é a distância de qualquer ponto de uma das rectas à outra recta (todos os pontos das duas rectas estão equidistantes da outra recta). Assim, a distância entre duas rectas paralelas mede-se necessariamente numa recta perpendicular a ambas – tendo em conta que as rectas são oblíquas (não são paralelas a nenhum dos planos de projecção) pelo que a perpendicularidade não é directa, à semelhança da situação do exercício 265, é necessário resolver o exercício em duas dimensões, neste caso no plano definido pelas duas rectas. Para tal, é necessário rebater o plano definido pelas duas rectas para, em rebatimento, se conduzir uma perpendicular às rectas. Rebateu-se o plano definido pelas duas rectas (que é um plano de rampa) para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira do rebatimento (recta e) está definida pelos traços horizontais das duas rectas. Hr ≡ H1 e H’r ≡ H’1, pois H e H’ são dois pontos da charneira. Já temos um ponto para defi(Continua na página seguinte) 124

SOLUÇÕES

nir cada uma das rectas em rebatimento. Para rebater a recta r, por exemplo, é necessário o recurso a um outro ponto da recta – o ponto A, por exemplo. A rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função da sua cota. A recta rr passa por H’r e por A r (está definida por dois pontos). Hr) e por uma direcção (é paralela a rr, pois o paralelismo verifica-se no espaço, em projecções e em reA recta sr está definida por um ponto (H batimento). Em rebatimento, conduziu-se uma perpendicular qualquer às rectas rebatidas – pr – e determinaram-se os pontos de intersecção R rSr] é a V.G. da distância entre as duas rectas. Invertendo o redesta com as rectas rebatidas – R r e Sr. O comprimento do segmento de recta [R batimento, conduzindo, por R r e Sr, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) determinaram-se as projecções dos pontos R e S (sobre as projecções homónimas das rectas r e s, respectivamente), bem como as projecções da recta p (a perpendicular às duas rectas) e as projecções do segmento repreRS]). sentativo da distância (o segmento [R

334. Em primeiro lugar representaram-se as rectas h e p pelas respectivas projecções, em função dos dados. Note que os dados nos permitiram, apenas, desenhar h2, a projecção frontal da recta h. Uma vez que as rectas são concorrentes (é dado no enunciado), é possível determinar, de forma directa, a projecção frontal do ponto de concorrência das duas rectas (o ponto B), mas não a sua projecção horizontal. Para tal recorreu-se ao rebatimento da recta p, pelo rebatimento do plano π, o plano de perfil que a contém. A recta pr está definida por Fr e por Hr. A partir de B2 determinou-se Br, sobre pr – invertendo o rebatimento, determinou-se B1, o que nos permitiu desenhar h1, passando por A 1 e por B1. As rectas p e h são concorrentes (no ponto B), pelo que definem um plano – o ângulo entre as duas rectas está contido no plano definido pelas duas rectas e tem vértice em B. Uma vez que o plano definido pelas duas rectas não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Por uma questão de economia de traçados, optou-se por rebater o plano definido pelas duas rectas para o plano horizontal (de nível) ν que contém a recta h – a charneira do rebatimento (recta e’) é a recta de intersecção dos dois planos, pelo que é a própria recta h. Assim sendo, a recta h roda sobre si própria, pelo que se tem imediatamente hr ≡ e’1 ≡ h1. Br’ ≡ B1 pois B é um ponto da charneiBr’ é o ponto B rebatido pelo seu segundo rebatimento ra (B – pelo rebatimento do plano definido por p e h). Para rebater a recta p é necessário o recurso a um ponto qualquer da recta – o seu traço horizontal, por exemplo. H rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância a ν (a cota de H em relação a ν). A recta pr’ está definida por Br’ e Hr’ – Hr’ e pr’ são, respectivamente, o traço horizontal da recta p e a própria recta p, rebatidos no seu segundo rebatimento (o rebatimento do plano definido pelas rectas h e p). A V.G. do ângulo entre as rectas p e h está em qualquer dos dois ângulos agudos entre pr’ e hr, com vértice em Br’ – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo.

335. Resolução

(Continua na página seguinte) 125

SOLUÇÕES

335. Relatório Em primeiro lugar representou-se o plano β, pelos seus traços, bem como a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano β tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. A recta r pertence ao plano β, pois tem os seus traços sobre os traços homónimos do plano β. O ângulo entre a recta r e o traço frontal de β está contido no próprio plano β (o ângulo entre duas rectas concorrentes está contido no plano definido pelas duas rectas que, nesta situação, é o próprio plano β, pois f β e r são duas rectas de β). O plano β não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o ângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Por uma questão de economia de traçados, optou-se pelo rebatimento do plano β para o Plano Frontal de Projecção – a charneira é f β, que é fixo, pois roda sobre si próprio. Fr ≡ F2, pois F é um ponto da charneira. A recta r rebateu-se a partir do seu traço horizontal, H – este rebateu-se pelo seu triângulo do rebatimento, e em função do seu afastamento. A V.G. do ângulo entre as rectas r e f β está em qualquer dos dois ângulos agudos entre r r e f βr, com vértice em Fr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo.

336. Em primeiro lugar representou-se a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, determinaram-se os traços dos planos α e β. O traço horizontal do plano α, hα passa por H (o traço horizontal da recta r) e é perpendicular a r 1, pois a recta r é uma recta de maior declive do plano α. O traço frontal do plano α, f α, é concorrente com hα no eixo X e passa por F, o traço frontal da recta r. O traço frontal do plano β, f β passa por F (o traço frontal da recta r) e é perpendicular a r 2, pois a recta r é uma recta de maior inclinação do plano β. O traço horizontal do plano β, hβ, é concorrente com f β no eixo X e passa por H, o traço horizontal da recta r. Em seguida, e uma vez que a recta de intersecção dos dois planos é uma recta oblíqua (é a própria recta r), o plano ortogonal à aresta do diedro não é projectante nem tem det e r m i n a ç ã o i m e d i a t a , pelo que se recorreu ao 2o Processo – esta situação é, assim, idêntica à situação do exercício 322, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório daquele exercício.

337. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, pelos seus traços, em função dos dados. O plano β, porque é ortogonal ao β1/3, tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X. O plano α, porque é ortogonal ao β2/4, tem os seus traços coincidentes. Note que a situação deste exercício é idêntica à situação do exercício 3 2 3 , pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório daquele exercício.

126

SOLUÇÕES

18 R EPRESENTAÇÃO DE S ÓLIDOS III 338. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e os pontos A e C, pelas suas projecções e pertencentes ao plano, em função dos dados. O plano α é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação ao eixo X. A é um ponto de hα, que é uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. A e C situam-se no mesmo plano de perfil (situam-se na mesma recta de perfil), pelo que têm a mesma abcissa e C é um ponto de f α, que é uma recta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo. Uma A BCD] não se projecta em V.G. em nenhum vez que o quadrado [A dos planos de projecção, para construir as suas projecções da base da pirâmide, rebateu-se o plano α para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hα e tem-se imediatamente A r ≡ A 1. Note que, em termos de economia de traçados, seria indistinto o rebatimento para qualquer dos dois planos de projecção, pois o ponto C é um ponto do Plano Frontal de Projecção. O ponto C foi o ponto que nos permitiu rebater f α. Em rebatimento, construiu-se o quadraA BCD] em V.G. e determinou-se Or, o centro do quadrado em do [A rebatimento. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a rectas frontais (de frente) do plano, obtendo-se as projecções de B e D (ver exercício 180) – note que se omitiram as notações referentes às rectas frontais (de frente) que nos permitiram inverter o rebatimento de Br e Dr, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). As projecções de O determinaram-se directamente a partir do desenho das projecções das diagonais do quadrado. Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas de uma recta p, ortogonal a α – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide. Note que a recta p é uma recta passante nesta situação particular. O vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 6 cm de O. Como a recta p é OV] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o oblíqua aos dois planos de projecção, o segmento [O recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da recta p (o plano γ) para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hγ (recta e’). A recta p rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – o ponto O e o seu ponto de concorrência com o eixo X (que é um ponto fixo, pois situa-se na charneira). A recta pr fica definida por Or1 e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (note que Or1 é o ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano γ). Sobre pr, a partir de Or1, mediram-se os 6 cm (a altura da pirâmide), obtendo-se Vr (garantindo que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de γ, obtendo-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta p. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A A 2B2V2C2D2] e o contorno aparente horizontal é [A A 1V1B1C1D1]. Em projecção frontal, todos os vértices integram o B CV] pelo que a aresta [B B C] da base é a única contorno aparente frontal. No entanto, a base do sólido é invisível, bem como a face lateral [B aresta invisível em projecção frontal (as restantes arestas são todas visíveis). Também em projecção horizontal se tem que todos os vértices A BV] pelo que a integram o contorno aparente horizontal. Também nesta projecção a base do sólido é invisível, bem como a face lateral [A A B] da base é a única aresta invisível em projecção horizontal (as restantes arestas são todas visíveis). aresta [A

339. Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dos dados. A recta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 2 cm de cota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinar as projecções do ponto O. O plano δ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o pentágono não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano δ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hδ – hδ ≡ e1 ≡ hδr). Para rebater o plano δ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por exemplo. Para tal conduziu-se, por F1, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento). Os traços do plano δ são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por F1 e obteve-se Fr – f δr passa por Fr e é concorrente com hδr no eixo X. A recta hr passa por Fr e é paralela a hδr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento). Por O1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se Or sobre hr. Uma vez que a circunferência circunscrita ao pentágono é tangente a hδ, com centro em Or desenhou-se uma circunferência tangente a hδr – o vértice A do polígono, porque tem cota nula, é o ponto de tangência da circunferência com hδr. Em seguida, construiu-se o pentágono em V.G., em rebatimento. Para determinar as projecções do pentágono inverteu-se o rebatimento. A é um ponto da charneira, pelo que se tem imediatamente A r ≡ A 1 – A 2 situa-se no eixo X. A inversão do rebatimento dos pontos B, C, D e E (Continua na página seguinte) 127

SOLUÇÕES

processou-se com o recurso às rectas horizontais (de nível) do plano que por eles passam, obtendo-se as suas projecções (ver exercício 182 e respectivo relatório) – note que se omitiram as notações referentes às rectas horizontais (de nível) que nos permitiram inverter o rebatimento dos pontos, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. A partir das projecções dos cinco pontos, desenharam-se as projecções do pentágono (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas de uma recta p, ortogonal a δ – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide. O vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 8 cm (a altura da pirâmide) de O. Como a recta p é oblíqua OV] não se proaos dois planos de projecção, o segmento [O jecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante frontal da recta p (o plano γ) para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fγ (recta e’). A recta p rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – o ponto O e o seu traço horizontal, H. A recta pr Or1 é o ponto O no seu segundo rebatifica definida por Or1 (O mento – o rebatimento do plano γ) e por Hr. Sobre pr, a partir de Or1, mediram-se os 8 cm (a altura da pirâmide), obtendose Vr (garantindo que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de γ, obtendo-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta p. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contorA2V2D2E2] e nos aparentes – o contorno aparente frontal é [A B1V1E1D1C1]. Em projeco contorno aparente horizontal é [B ç ã o f r o n t a l, há dois vértices que não integram o contorno aparente – C e D. Estes são os vértices de menor afastamento do sólido, pelo que são invisíveis (bem como todas as arestas que neles convergem). A base do sólido é invisível, bem A BV], [B B CV] e [C CDV]. A aresta lateral [E EV] é visível, pois separa duas faces visíveis em projecção frontal – as faces latecomo as faces laterais [A AEV] e [D DEV]. Em projecção horizontal, o vértice A é o único vértice que não integra o contorno aparente horizontal – este é invisível (por rais [A ser o vértice de menor cota), bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, a base do sólido é invisível, tal como A BV] e [A AEV]. As restantes faces laterais são visíveis, bem como as restantes arestas. as faces laterais [A

340. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O ponto A é um ponto do Plano Frontal de A tem afastamento nulo), pelo que é um ponto de f α. O ponto B é Projecção (A B tem cota nula), pelo que é um um ponto do Plano Horizontal de Projecção (B ponto de hα. O plano α é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coincidentes – estes estão coincidentes na recta que passa por A 2 e por B1. O triânA B C] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção gulo [A (o plano que o contém – o plano α – é oblíquo a ambos os planos de projecção), pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Em termos de economia de traçados, é indistinto o plano de projecção para o qual se processe o rebatimento do plano α, pois temos um ponto de cada plano de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira é hα e B r ≡ B 1, pois B é um ponto da charneira. É necessário rebater f α, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto A . Por A 1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos traços do plano e raio até A 2, transportou-se essa distância para a perpendicular à charneira que passa por A 1, obtendo A r. O traço frontal do plano rebatido (ff αr) passa por A r e é concorrente com hαr no eixo X. A partir de A r e B r consA B C] em V.G., em rebatimento e, com vista à determinatruiu-se o triângulo [A ção das projecções da pirâmide, determinou-se também o seu centro – o ponto O. A inversão do rebatimento dos pontos O e C processou-se com (Continua na página seguinte) 128

SOLUÇÕES

o recurso às rectas frontais (de frente) que por eles passam – ver exercício 183 e respectivo relatório. A recta f é a recta frontal (de frente) que nos permitiu determinar as projecções de C. A recta f ’ é a recta frontal (de frente) que nos permitiu determinar as projecções de O. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas de uma recta p, ortogonal a α – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide. O vértice V, da pirâmide, porque tem cota nula, é o traço horizontal da recta p, o que nos permite determinar imediatamente as suas projecções, sem o recurso a qualquer outro rebatimento. A partir B 2 V 2 C 2] e o das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [B contorno aparente horizontal é [A A 1B 1C1V1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice A . Este é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A base do sólido é invisíA BV] e [A ACV]. Em projecção horizontal, todos os vértices integram o contorno aparente. No entanto, as vel, bem como as faces laterais [A A BV] e [B B CV] são invisíveis, pelo que a aresta lateral [B BV] (a aresta que separa aquelas faces) é invisível. Já a aresta [A A C] da faces laterais [A ACV]. base é visível, pois separa duas faces visíveis em projecção horizontal – a base e a face lateral [A

341. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dos dados. O plano α tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. A recta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 4 cm de cota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinar as projecções do ponto O. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr). Para rebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por exemplo. Para tal conduziu-se, por F1, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento). Os traços do plano α são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por F1 e obteve-se Fr – f αr passa por Fr e é concorrente com hαr no eixo X. A recta hr passa por Fr e é paralela a hαr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento). Por O1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se Or sobre hr. Com o compasso, fazendo centro em Or e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo e construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência e de A B] é horizontal (é paralelo a hαr), sendo A o vértice de maior afastamento e C o vértice de menor cota acordo com os dados – o lado [A (o vértice que se situa mais próximo de hαr). Em seguida, inverteu-se o rebatimento dos três vértices do triângulo, com o recurso às rectas horizontais (de nível) do plano que por eles passam (ver exercício 182 e respectivo relatório) – note que se omitiram as notações referentes às rectas horizontais (de nível) que nos permitiram inverter o rebatimento dos pontos, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas de uma recta p, ortogonal a α – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide. O vértice V, da pirâmide, porque tem afastamento nulo, é o traço frontal da recta p, o que nos permite determinar imediatamente as suas projecções, sem o recurso a qualquer outro rebatimento. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno A 1B 1V1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente frontal é [B B 2V2C2] e o contorno aparente horizontal é [A aparente – o vértice A . Este é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível (bem como todas as arestas que nele convergem). A BV] e [A ACV] (a face lateral [B B CV] é a única face invisível em projecção frontal). Em A base do sólido é visível, bem como as faces laterais [A projecção horizontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C. Este é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é A BV] é a única face visível em projecção horizontal – a base e as invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A face lateral [A restantes faces são invisíveis.

129

SOLUÇÕES

342. Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e A , pelas respectivas projecções, em função dos dados, e desenharam-se as projecções da recta r. Em seguida, uma vez que A é o traço frontal da recta r, foi possível desenhar imediatamente f ψ, passando por A 2 e perpendicular a r 2. Para determinar hψ poder-se-ia determinar o traço horizontal da recta r, mas optou-se por conduzir, por O, uma recta frontal (de frente) f, do plano (paralela a f ψ) – H é o traço horizontal da recta f. O traço horizontal do plano, hψ, passa por H1 e é concorrente com f ψ no eixo X. O plano ψ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projecção, com vista a uma maior economia de traçados, optou-se por rebater o plano ψ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira é f ψ – f ψ ≡ e2 ≡ f ψr e tem-se imediatamente A r ≡ A 2). Para rebater o plano ψ há que rebater o seu traço horizontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto H (traço horizontal da recta f), por exemplo. Para tal conduziu-se, por H2, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento). Os traços do plano ψ são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até H1, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por H2 e obteve-se Hr – hψr passa por Hr e é concorrente com f ψr no eixo X. A recta f r passa por Hr e é paralela a f ψr. Conduzindo, por O2, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o seu arco do rebatimento) determinou-se Or sobre f r. A recta r r fica definida por A r e por Or. Note que não seria possível rebater o ponto O exclusivamente através do rebatimento da recta r, o que justifica o facto de se ter recorrido a uma recta frontal (de frente) do plano, passando por O. Com o compasso, fazendo centro em Or e raio até A r, desenhou-se a circunferência circunscrita ao quadrado e construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência. A inversão do rebatimento dos pontos B e D efectuou-se com o recurso à recta frontal (de frente) f, que passa por O, pois os dois pontos pertencem à mesma recta. A inversão do rebatimento do ponto C processou-se com o recurso a uma recta horizontal (de nível) do plano, passando por C – note que se omitiram as notações referentes à projecção frontal da recta horizontal (de nível) que nos permitiu inverter o rebatimento de Cr, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Omitiu-se a representação da projecção horizontal da recta horizontal (de nível), pois C é um ponto da recta r e, assim, as projecções de C situam-se sobre as projecções homónimas da recta r. A partir das projecções dos quatro pontos, desenharam-se as projecções do polígono (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, A B CD] é uma base de um prisma situado no 1o Diedro, que é as projecções do sólido). O enunciado refere expressamente que o quadrado [A pelo que se infere que se trata da base inferior do sólido. Assim, em seguida conduziu-se, por C, uma recta p, ortogonal ao plano ψ – a recta p é CC’] do prisma, que mede 5 cm (a altura do prisma). Como a recta p é oblíqua aos dois planos de projeca recta suporte da aresta lateral [C CC’] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geoção, o segmento [C métrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da recta p (o plano α) para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hα (recta e’). A recta p rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – o ponto C e H’, o seu traço horizontal. A recta pr fica definida por Cr 1 e H’r (note que Cr 1 é o ponto C no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano α). Sobre pr, a partir de Cr 1, mediram-se os 5 cm (a altura do prisma), obtendo-se C’r (garantindo que C’ se situa no 1º Diedro). Inverteu-se o rebatimento de α, obtendo-se as projecções de C’, sobre as projecções homónimas da recta p. As projecções de A’, B’ e D’, os restantes vértices da base superior, deterA’B’C’D’] são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [A A B CD] e que os minaram-se atendendo a que os lados do quadrado [A seus vértices estão sobre as rectas ortogonais a ψ (paralelas à recta p) que contêm as respectivas arestas laterais. Assim, pelas projecções B’C’], até encontrarem as projecções homónimas da recta suporte da de C’, conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [B BB’] – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para D’, a partir de C’, e ainda para A’, a partir de aresta lateral [B B’ ou de D’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente f r o n t a l é [B B 2C2D2D’2A’2B’2] e o contorno aparente horizontal é [A A 1D1C1C’1B’1A’1]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice C’ (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em p r o j e c ç ã o h o r i z o n t a l, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice D’ (que é o vértice de maior cota, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice B (que é o vértice de menor cota, pelo que é invisível bem A’B’C’D’] é visível em ambas as projecções e a base [A A B CD] é invisível em ambas as como todas as arestas que nele convergem). A base [A projecções.

130

SOLUÇÕES

343. Em primeiro lugar representou-se o plano λ, pelos seus traços, e os pontos R e S, pelas suas projecções e pertencentes ao plano, em função dos dados. O ponto R é um ponto de h λ, pois tem cota nula. A recta h , horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 3 cm de cota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinar as projecções do ponto S. O plano λ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Com vista a uma maior economia de traçados, e uma vez que o ponto R é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, optou-se por rebater o plano λ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hλ – hλ ≡ e1 ≡ hλr e tem-se imediatamente Rr ≡ R1). Para rebater o plano λ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por exemplo. Para tal conduziu-se, por F1, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento). Os traços do plano λ são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por F1 e obteve-se Fr – fλr passa por Fr e é concorrente com hλr no eixo X. A recta hr passa por Fr e é paralela a hλr. Por S1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se Sr sobre hr. A partir de R r e Sr construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, obtendo Tr. A inversão do rebatimento de T processou-se com o recurso a uma recta frontal (de frente) do plano, passando por T (recta f). A partir das projecções dos três pontos, desenharam-se as projecções do triângulo (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do R’S’T’] é a base superior do prisma, pelo que se exercício, que é as projecções do sólido). O enunciado refere expressamente que o triângulo [R RST] é sua base inferior. Por outro lado, sabe-se que o vértice S’, da base superior, tem afastamento nulo – assim, em infere que o triângulo [R SS’] do prisma). O ponto S’ é imeseguida conduziu-se, por S, uma recta p, ortogonal ao plano λ (a recta p é a recta suporte da aresta lateral [S diatamente o traço frontal da recta p. As projecções de R’ e T’, os restantes vértices da base superior, determinaram-se atendendo a que os R’S’T’] são paralelos aos lados correspondentes do triângulo [R RST] e que os seus vértices estão sobre as rectas ortogonais lados do triângulo [R a λ (paralelas à recta p) que contêm as respectivas arestas laterais. Assim, pelas projecções de S’ conduziram-se as projecções da recta suporte R’S’], paralelas às projecções homónimas de [R RS], até encontrarem as projecções homónimas da recta p’ (a recta suporte da do segmento [R R R ’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é R’. Repetiu-se o processo para T’, a partir de S’ (a recta suporte da aresta aresta lateral [R T T’] é a recta p’’). A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno lateral [T aparente frontal é [R R 2S2S’2T’2R’2] e o contorno aparente horizontal é [S S1T1T’1R’1S’1]. Em projecção frontal, existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice T’, que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, também existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice R , que é o vértice de RST] é visível em projecção frontal e invisível em menor cota, pelo que é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. A base [R R’S’T’] é visível em projecção horizontal (a aresta [S S’T’] da base é visível) e invisível em projecção frontal (a projecção horizontal. A base [R R’S’] da base é invisível). aresta [R

344. Em primeiro lugar representou-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dos dados. O plano γ tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. A recta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 3 cm de cota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinar as projecções do ponto O. O plano γ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano γ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hγ – hγ ≡ e1 ≡ hγr). Para rebater o plano γ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por exemplo. Para tal conduziu-se, por F1, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos traços do plano (que é um ponto fixo) e raio até F2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por F1, obtendo-se Fr. O traço frontal do plano rebatido, f γr, passa por Fr e é concorrente com hγr no eixo X. A recta hr passa por Fr e é paralela a hγr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano). Por O1 conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se Or sobre hr. Com o compasso, fazendo centro em Or e com 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo e A B] é frontal (é paralelo a construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência e de acordo com os dados – o lado [A f γr), sendo A o vértice de maior cota. Em seguida, inverteu-se o rebatimento dos três vértices do triângulo, com o recurso às rectas frontais (de frente) do plano que por eles passam (ver exercício 187 e respectivo relatório). A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do (Continua na página seguinte) 131

SOLUÇÕES

A B ] é frontal sólido) – note que o lado [A B C ] é horizontal (paralelo a f γ), o lado [B A C] é de perfil. (paralelo a h γ) e o lado [A Em seguida conduziu-se, por C, uma recta c, ortogonal ao plano γ – a recta c é a recCC’] do prista suporte da aresta lateral [C ma, que mede 4 cm (a altura do prisma). Como a recta c é oblíqua aos dois planos C C ’ ] não se de projecção, o segmento [C projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da recta c (o plano α) para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f α (recta e’). A recta c rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – o ponto C e F’, o seu traço frontal. A recta c r fica definida por C r 1 e F’ r (note que C r 1 é o ponto C no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano α). Sobre c r, a partir de C r 1, mediram-se os 4 cm (a altura do prisma), obtendo-se C’ r (garantindo que C’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de α, obtendo-se as projecções de C’ sobre as projecções homónimas da recta c. As projecções de A’ e B’, os outros dois vértices da base superior, determinaram-se atendendo a que os lados do A’B’C’] são paralelos aos lados triângulo [A A B C] e que correspondentes do triângulo [A os seus vértices estão sobre as rectas ortogonais a γ (paralelas à recta c) que contêm as respectivas arestas laterais. Assim, pelas projecB’C’], até encontrarem as projecções homónimas da recta b (a recções de C’ conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [B BB’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para A’ – pelas projecções de C’ ta suporte da aresta lateral [B A’C’], até encontrarem as projecções homónimas da recta a (a recta suporte conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [A A A ’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é A’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharamda aresta lateral [A A 2A’2B’2B 2C2] e o contorno aparente horizontal é [A A 1B 1B’1C’1C1]. Em se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C’, que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, também há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice A’, que é o vértice de maior cota do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem. A A’B’C’] é visível em projecção horizontal e invisível em projecção frontal. A base [A A B C] é visível em projecção frontal e invisível em base [A A B] da base é visível em projecção frontal e a aresta [B B C] da base é invisível em projecção horizontal. projecção horizontal – a aresta [A

345. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e os pontos A e B, pertencentes ao plano α, pelas suas projecções, em função dos dados. O ponto A é um ponto de f α, que é uma recta frontal (de frente) do plano com cota nula. O ponto B é um ponto de hα, que é uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projecção e que o ponto B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano α para o Plano Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr), pelo que se tem imediatamente B r ≡ B 1, pois B é um ponto da charneira. Para rebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto A , que é um ponto de f α. Para tal conduziu-se, por A 1, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos traços do plano (que é um ponto fixo) e raio até A 2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por A 1, obtendo-se A r. O traço frontal do plano rebatido, f αr, passa por A r e é concorrente com hαr no eixo X. A partir de A r e B r construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento. Para inverter o reCD] do quadrado – a recta s. A recta sr passa por Cr e Dr e é paralela à batimento dos pontos C e D, recorreu-se à recta suporte do lado [C A B] do quadrado). As projecções da recta r determinam-se recta r r, que é a recta que passa por A r e B r (a recta r é a recta suporte do lado [A imediatamente – estão definidas pelas projecções homónimas de A e B. A recta sr é concorrente com hαr no ponto Hr – H é o traço horizontal da recta s. As projecções de H determinam-se imediatamente, pois H é um ponto da charneira (é fixo). A recta s fica definida por um ponH) e por uma direcção (é paralela à recta r ), o que nos permitiu desenhar as projecções da recta s – passam pelas projecções to (H homónimas de H e são paralelas às projecções homónimas da recta r. Conduzindo, por Cr e Dr, as perpendiculares à charneira que por (Continua na página seguinte) 132

SOLUÇÕES

eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaram-se as projecções de C e D, sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em A A ’] do cubo, cujo comprimento será seguida conduziu-se, por A , uma recta a, ortogonal ao plano α – a recta a é a recta suporte da aresta [A A r B r Cr Dr]. Como a recta a é oblíqua aos dois planos de projecção, o segmento [A A A ’] não se projecta em V.G. igual ao lado do quadrado [A em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da recta a (o plano γ) para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f γ (recta e’). A recta a rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – o ponto A (que é o seu traço frontal) e um ponto P, qualquer, da recta. A recta ar fica definida por A r 1 e Pr (note A r B r C r Dr ] que A r 1 é o ponto A no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano γ). Transportou-se a medida do lado do quadrado [A para ar, a partir de A r 1, obtendo-se A’r (garantindo que A’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de γ, obtendo-se as projecções de A’ sobre as projecções homónimas da recta a. As projecções de B’, C’ e D’, os outros três vértices da face superior do cubo, determinaA’B’C’D’] são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [A A B CD] e que os seus ram-se atendendo a que os lados do quadrado [A vértices estão sobre as rectas ortogonais a α (paralelas à recta a) que contêm as respectivas arestas. Assim, pelas projecções de A’ conduA’B’], até encontrarem as projecções homónimas da recta b (a recta suporte da ziram-se as projecções da recta suporte do segmento [A BB’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para D’ – pelas projecções de A’ conduziram-se as aresta [B A’D’], até encontrarem as projecções homónimas da recta d (a recta suporte da aresta [D DD’]) e o projecções da recta suporte do segmento [A ponto de concorrência das duas rectas é D’. Por fim, repetiu-se uma vez mais o processo descrito para C’ – pelas projecções de B’ (ou de D’) B’C’] (ou do segmento [C C’D’]), até encontrarem as projecções homónimas da conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [B CC’]) e o ponto de concorrência das duas rectas é C’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, recta c (a recta suporte da aresta [C B 2 B ’ 2 A ’ 2 D’ 2 D 2 C 2 ] e o c o n t o r n o a p a r e n t e h o r i z o n t a l é desenharam-se os seus contornos aparentes – o c o n t o r n o a p a r e n t e f r o n t a l é [B A 1A’1B’1C’1C1D1]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice C’ (que é o vértice de [A maior afastamento do cubo, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de menor afastamento do cubo, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em projecção horizontal, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice D’ (que é o vértice de maior cota do cubo, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice B (que é o vértice de menor cota do cubo, pelo que é invisível bem como todas as arestas que A’B’C’D’] é visível em ambas as projecções e a face [A A B CD] é invisível em ambas as projecções. nele convergem). A face [A

133

SOLUÇÕES

346. Em primeiro lugar representaram-se os pontos R e T, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, desenharam-se os traços do plano ρ – T tem cota nula, pelo que hρ passa por T1, e R tem afastamento nulo, pelo que f ρ passa por R 2. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto R é um ponto do Plano Frontal de Projecção e que o ponto T é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ. Tr ≡ T1, pois T é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto R (que é um ponto de f ρ), por exemplo. Para tal conduziu-se, por R , uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) – com o compasso, fazendo centro em R 1 e raio até R 2 (o raio é a cota de R ) transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu construir o triângulo do rebatimento de R em V.G. e determinar Rr (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, f ρr, passa por R r e é paralelo ao eixo X (e a hρr). A partir de R r e Tr construiu-se o quadrado em V.G., em rebaO é o centro da timento, determinando Sr e Ur, bem como Or (O circunferência circunscrita ao quadrado). Para inverter o rebatimento de Sr conduziu-se, por Sr , uma recta sr, paralela à recta r r – a recta r é a recta que passa por R e T, cujas projecções se determinaram imediatamente. O traço horizontal da recta s é fixo (é um ponto da charneira), pelo que as suas projecções se determinaram imediatamente (note que não se identificou o traço horizontal da recta s, nem em projecções nem em rebatimento, de forma a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada). A recta s, em projecções, fica definida por um ponto (o seu traço horizontal) e por uma direcção (é paralela à recta r), o que nos permitiu desenhar imediatamente as suas projecções, paralelas às projecções homónimas da recta r. Conduzindo, por Sr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de S sobre as projecções homónimas da recta s. Repetiu-se o processo para o ponto U – a recta m é a recta paralela à recta r que passa por U e está igualmente definida por um ponto e uma direcção (as projecções do ponto U determinaram-se a partir das projecções da recta m). A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). As projecções do ponto O determinaram-se a partir das duas diagonais do quadrado – O2 é o ponto de concorrência das projecções frontais das duas diagonais do quadrado e O1 é o ponto de concorrência das projecções horizontais das duas diagonais do quadrado. Em seguida, pelas projecções de O, conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide e é uma recta de perfil. A recta p está definida por um ponto (o ponto O) e pela sua direcção (é ortogonal a ρ). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e determinou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelos seus traços, F e H). A recta i contém o ponto O (que é um ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares OV] no ponto O. Por outro lado, ο vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 8 cm de O (a altura da pirâmide). Atendendo a que o segmento [O não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, é necessário o recurso a um outro processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e ’ ). A recta i r fica definida por Fr e Hr. Note que o Or 1 é o ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do ponto Or 1 tem também de se situar sobre i r, pois O é um ponto da recta i (O plano π). A recta pr passa por Or 1 e é perpendicular a i r em Or 1. Sobre pr, a partir de Or 1, mediram-se os 8 cm, obtendo-se Vr (garantindo que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projecções de V. A partir das projecções de todos os vértices do S 2 T 2 U2 V 2] e o c o n t o r n o a p a r e n t e h o r i z o n t a l é sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o c o n t o r n o a p a r e n t e f r o n t a l é [S R 1S1V1U1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice R , que é o vértice de menor afastamento [R do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, também há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice T, que é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele TV] é visível em projecção frontal, pois separa duas faces visíveis em projecção frontal – as faces laterais [S STV] convergem. A aresta lateral [T TUV]. A aresta lateral [R R V] é visível em projecção horizontal, pois separa duas faces visíveis em projecção horizontal – as faces laterais e [T RSV] e [R RUV]. [R

134

SOLUÇÕES

347. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados – o plano ρ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. Os dados permitiram-nos, ainda, determinar as projecções de A e B – A tem cota nula, pelo que é um ponto de hρ e B tem afastamento nulo, pelo que é um ponto de f ρ. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pelo que se situam na mesma linha de chamada. Uma vez que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção e que o ponto B é um ponto do Plano Frontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou--se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ. A r ≡ A 1, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto B (que é um ponto de f ρ), por exemplo. Para tal, conduziu-se, por B, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro em B 1 e raio até B 2 (a cota de B) transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu construir o triângulo do rebatimento de B em V.G. e determinar B r (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, f ρr, passa por B r e é paralelo ao eixo X (e a hρr). A partir de A r e B r construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, determinando Cr (garantindo que C é o vértice de menor abcissa, ou seja, o vértice que se situa mais à direita) e Or (O O é o centro do triângulo). Para inverter o rebatimento de Or conduziu-se, por Or e por B r, uma recta r r – r r é concorrente com hρr no ponto Hr (H H é o traço horizontal da recta r e B é o seu traço frontal). H é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram imediatamente, o que nos permitiu, em seguida, determinar as projecções da recta r, passando pelas projecções homónimas de H e B. Conduzindo, por Or, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de O sobre as projecções homónimas de r. Cr situa-se na recta fronto-horizontal que passa por Or e cujas projecções se determinaram a partir das projecções homónimas de O – conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira, determinaram--se as projecções de C sobre as projecções homónimas da recta fronto-horizontal. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide e é uma recta de perfil. A recta p está definida por um ponto (o ponto O) e pela sua direcção (é ortogonal a ρ). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e determinou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelos seus traços, F e H’). A recta i contém o ponto O (que é um ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares no ponto O. Por outro lado, ο vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 7 cm de O OV] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, é necessário o (a altura da pirâmide). Atendendo a que o segmento [O recurso a um outro processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e’). A recta i r fica definida por Fr e H’r. Note que o ponto Or 1 tem também de se situar sobre i r, pois O é um ponto da recta i (O Or 1 é o ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano π). A recta pr passa por Or 1 e é perpendicular a i r em Or 1. Sobre pr, a partir de Or 1, mediram-se os 7 cm, obtendo-se Vr (garantindo que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projecções de V. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A A 2B 2V2C2] e o contorno aparente horizontal é [A A 1B 1C1V1]. Em projecção frontal, todos os vértices da pirâmide integram o contorno B CV]. Assim, em projecção frontal, apenas a aresta aparente – no entanto, a base é invisível em projecção frontal, tal como a face lateral [B B C] da base é invisível (as restantes arestas são todas visíveis, pois situam-se na parte visível do sólido). Em projecção horizontal, todos [B os vértices da pirâmide integram também o contorno aparente – no entanto, a base é invisível em projecção horizontal, tal como a face lateral ACV]. Assim, em projecção horizontal, apenas a aresta [A A C] da base é invisível (as restantes arestas são todas visíveis, pois situam-se na [A parte visível do sólido).

135

SOLUÇÕES

348. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados – o plano ρ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. A recta r é a recta do plano a que se recorreu para determinar as projecções do ponto Q (a recta r está definida pelos seus traços, H e F). Uma vez que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Note que o ângulo dado (o ângulo que um dos lados do triângulo faz com hρ) é um ângulo que está contido no plano (trata-se do ângulo entre duas rectas) e não tem correspondência directa em projecções, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Ao nível da economia de traçados é indistinto rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ. Hr ≡ H1, pois H (o traço horizontal da recta r) é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (o traço frontal da recta r), por exemplo. Para tal, conduziu-se, por F, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro em F1 e raio até F2 (a cota de F) transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu construir o triângulo do rebatimento de F em V.G. e determinar Fr (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, f ρr, passa por Fr e é paralelo ao eixo X (e a hρr). Por Fr e Hr conduziu-se r r – conduzindo, por Q1, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) determinou-se Qr sobre r r. Com centro em Qr, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo e construiu-se o polígono, em V.G., inscrito na circunferência e de acordo com os dados. O ângulo que um lado do triângulo faz com hρ A B] é o lado do triângulo que faz, com hρ, um ângulo de 20o e o vértice C será, pode, agora, em rebatimento, ser medido em V.G. – o lado [A assim, o vértice de menor cota do triângulo. Note que caso se tratasse da outra situação possível, em que C seria o vértice de maior cota do polígono, C não se situaria no espaço do 1o Diedro, o que implica que a situação apresentada é a única solução do problema. Para inverter o H’ é o traço horizontal da recta s) e é rebatimento de A r e Cr conduziu-se, pelos dois pontos, uma recta sr – sr é concorrente com hρr em H’r (H F’ é o traço frontal da recta s). A recta s é a recta suporte do lado [A A C] do triângulo. H’ é um ponto da charneira, concorrente com f ρr em F’r (F pelo que as suas projecções se determinaram imediatamente. As projecções de F’ determinaram-se conduzindo, por F’r uma perpendicular à charneira – F’ é um ponto de f ρ. A partir das projecções de F’ e H’, desenharam-se as projecções da recta s. Conduzindo, por A r e Cr, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de A e C sobre as projecções homónimas de s. Para inF’’ é o traço frontal da recta m). A recta verter o rebatimento de B r conduziu-se, por A r e B r, uma recta mr – mr é concorrente com f ρr em F’’r (F m é a recta suporte do lado [A A B] do triângulo. As projecções de F’’ determinaram-se conduzindo, por F’’r uma perpendicular à charneira – F’’ é um ponto de f ρ. A partir das projecções de A e F’’, desenharam-se as projecções da recta m. Conduzindo, por B r, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de B sobre as projecções homónimas de m. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Sobre a determinação das projecções de V, o vértice da pirâmide, ver relatório do exercício anterior. A partir das projecções de A 2 C 2 B 2 V 2] e o c o n t o r n o a p a todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A rente horizontal é [A A 1B 1C1V1]. Em projecção frontal, todos os vértices da pirâmide integram o contorno aparente – no entanto, a base é inA BV]. Assim, em projecção frontal, apenas a aresta [A A B] da base é invisível (as restantes visível em projecção frontal, tal como a face lateral [A arestas são todas visíveis, pois situam-se na parte visível do sólido). Em projecção horizontal, todos os vértices da pirâmide integram tamACV]. Assim, em projecção horibém o contorno aparente – no entanto, a base é invisível em projecção horizontal, tal como a face lateral [A A C] da base é invisível (as restantes arestas são todas visíveis, pois situam-se na parte visível do sólido). zontal, apenas a aresta [A

136

SOLUÇÕES

349.

Em primeiro lugar representou-se o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Os dados permitiram-nos, ainda, determinar as A B] é fronto-horizontal e projecta-se em V.G. em ambos os planos de projecção. A recta g é a recta fronto-horiprojecções de B – o lado [A zontal que passa por A e B. O plano está definido por um ponto (o ponto A ) e pela sua orientação (é dada a amplitude do diedro que o plano faz com o Plano Horizontal de Projecção). O primeiro problema que o exercício nos coloca é a determinação dos traços do plano, o que poderia ser resolvido com o recurso a uma recta de perfil do plano, passando por A , e com o rebatimento do plano de perfil que contivesse a recta. No entanto, optou-se por uma situação diferente – o recurso a uma mudança do diedro de projecção, transformando o plano ρ num plano 2) por um novo plano de projecção (p plano 4), ortogonal ao plano ρ plano de topo. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (p – o novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do plano 1 (o Plano Horizontal de Projecção, que se manteve) com o plano 4 e é perpendicular ao eixo X. As projecções de A e B no plano 4 determinaram-se em função da sua cota (que é a mesma), que se manteve, o que nos permitiu, também, determinar a projecção da recta g no plano 4 – a recta g, no novo diedro de projecção, é uma recta de topo, razão pela qual se assinalou g4 entre parêntesis. O plano ρ, no novo diedro de projecção, é um plano de topo e o diedro que o plano faz com o Plano Horizontal de Projecção projecta-se em V.G. no plano 4 – assim, o traço do plano ρ no plano 4 (ff 4ρ) passa por A 4 (e por B 4) e faz, com o eixo X’, um ângulo de 40o (o ângulo dado). Uma vez que os dois traços do planos são concorrentes no eixo X’, pelo ponto em que f 4ρ intersecta o eixo X conduziu-se uma paralela ao eixo X inicial, que é hρ. Em seguida, recorrendo a um ponto M, do plano (e com afastamento nulo no diedro de projecção inicial), determinou-se f ρ (o traço frontal do plano ρ no diedro de projecção inicial) – M é um ponto de f ρ. O triângulo não se projecta em V.G., pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Aproveitando a mudança do diedro de projecção efectuada, procedeu-se ao rebatimento do plano ρ como plano projechρ ≡ e1 ≡ hρr) que, no novo diedro de projecção, é tante (no novo diedro de projecção, o plano ρ é um plano de topo). A charneira foi hρ (h uma recta de topo – a projecção da charneira no plano 4 é um ponto (e4), que se assinalou devidamente entre parêntesis. Para rebater o traço frontal do plano (ff ρ) efectuou-se o rebatimento do ponto M (que é um ponto de f ρ), pelo rebatimento do plano de topo (sugere-se que o aluno ponha a folha de papel com o eixo X’ na horizontal, para melhor entendimento deste processo), obtendo M r – f ρr passa por M r e é paralelo a hρr. Também através do rebatimento do plano de topo se rebateram os pontos A e B. A partir de A r e B r, construiu-se o triângulo A B C], em V.G., em rebatimento, e determinou-se ainda Or, o centro do triângulo. Para determinar as projecções de C conduziu-se, por Cr [A A C] do triângulo. A recta r r é concorrente com hρr em Hr (H H é o traço horizontal da recta r) uma recta r r – a recta r é a recta suporte do lado [A (Continua na página seguinte) 137

SOLUÇÕES

F é o traço frontal da recta r). H é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram imee é concorrente com f ρr em Fr (F diatamente. As projecções de F determinaram-se conduzindo, por Fr, uma perpendicular à charneira – F é um ponto de f ρ. A partir das projecções de F e H, desenharam-se as projecções da recta r (note que as projecções da recta r passam pelas projecções homónimas do ponto A , que é um ponto da recta – bastaria o traço horizontal da recta e o ponto A para desenhar as projecções da recta). Conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homónimas de r. Para inverter o rebatimento de Or conduziu-se, por Or, uma recta mr, fronto-horizontal – mr é concorrente com r r num ponto Pr, cujas projecções se determinaram imediatamente, sobre as projecções homónimas da recta r. Pelas projecções de P conduziram-se as projecções homónimas de m. Conduzindo, por Or , uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de O sobre as projecções homónimas de m. A partir das A B C], desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o projecções dos três vértices do triângulo [A objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). O problema seguinte consiste em determinar as projecções do vértice D (o quarto vértice do tetraedro), pois não é conhecida a altura do sólido – apenas se sabe que as suas arestas têm todas o mesmo comprimento. Assim, o ponto D situa-se numa recta ortogonal ao plano ρ que passa por O, estando equidistante dos outros três vértices do sólido. A recta CD] também é de perfil, pelo que é possível resolver o exerortogonal ao plano ρ que passa por O é uma recta de perfil (recta p) e a aresta [C CD]). cício em rebatimento, recorrendo ao rebatimento do plano de perfil que contém as duas rectas (a recta p e a recta suporte da aresta [C CD], pelo que No entanto, atendendo à mudança do diedro de projecção efectuada, há que reconhecer que o plano 4 é paralelo à aresta [C esta se projecta em V.G. no plano 4. Por outro lado, na mudança do diedro de projecção efectuada, o plano ρ é um plano de topo e a ortogonalidade entre a recta p e o plano ρ também é directa. Assim, o processo mais simples consiste, efectivamente, em recorrer à mudança do diedro de projecção, para concluir o exercício. Em primeiro lugar, determinaram-se as projecções de O e C no plano 4, através das linhas de chamada (perpendiculares ao eixo X’) que passam por O1 e C1 – O4 e C4 situam-se sobre f 4ρ, pois no novo diedro de projecção, o plano ρ é projectante frontal. A projecção da recta p, no plano 4, passa por O4 e é perpendicular a f 4ρ. Com o compasso, fazendo centro em C4 e com 6 cm de raio (a medida da aresta do tetraedro, que é a medida do lado do triângulo [A A B C]), determinou-se D4 sobre p4. D1 teve determinação directa, a partir de D4, e D2 determinou-se através da cota de D (que se manteve). A partir das projecções de todos os vértices A 2 B 2 D 2] e o c o n t o r n o a p a r e n t e h o r i z o n t a l é do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A A 1C1B 1D1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C, que é o vértice de menor afastamento [A A B D] é a única face visível em projecção do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a face [A A B C] é invisível em profrontal. Em projecção horizontal, todos os vértices da pirâmide integram o contorno aparente – no entanto, a face [A A B D]. Assim, em projecção horizontal, apenas a aresta [A A B] é invisível. jecção horizontal, tal como a face [A

350. Resolução

(Relatório na página seguinte) 138

SOLUÇÕES

350. Relatório Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, desenhou-se o traço horizontal do plano ρ – B tem cota nula, pelo que hρ passa por B1. Por A e B conduziu-se uma recta r, do plano, e determinou-se o seu traço frontal – f ρ passa por F2. Uma vez que o quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é preferível efectuar o rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (economiza-se o rebatimento de um ponto). Rebateu-se o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ. B r ≡ B 1, pois B é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (que é um ponto de f ρ), por exemplo. Para tal, conduziu-se, por F, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro em F1 e raio até F2 (a cota de F) transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu construir o triângulo do rebatimento de F em V.G. e determinar Fr (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, f ρr, passa por Fr e é paralelo ao eixo X (e a hρr). A recta r r está definida por B r e por Fr. Conduzindo, por A 1, uma perpendicular à charneira, determinou-se A r sobre r r. A partir de A r e B r construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, determinando Cr e Dr. Para inverter o rebatimento de Cr e Dr conduziu-se, pelos dois pontos, uma recta sr, paralela à recta r r. A recta sr é concorrente com f ρr no ponto F’r (F F’ é o traço frontal da recta s). Note que o traço horizontal da recta s se situa fora dos limites do desenho. Conduzindo, por F’r, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de F’ – F’ é um ponto de f ρ. As projecções da recta s determinaram-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de F’ e são paralelas às projecções homónimas da recta r (a recta s está definida por um ponto e uma direcção). Conduzindo, por Cr e Dr, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de C e D sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de A conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a A A ’] e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – A – e pela sua direcção – é ortorecta p é a recta suporte da aresta lateral [A gonal a ρ). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e determinou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelos seus traços, F’’ e H). A recta i contém o ponto A (que é um ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares no ponto A . Por outro lado, ο vértice A’ situa-se sobre p, a 7 cm de A (a altura do prisma). Atendendo a que o segmento [A A A ’] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, recorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e’). A recta i r fica definida por F’’r e Hr. A r 1 é o ponto A no seu segundo rebatimento – no Note que o ponto A r 1 tem também de se situar sobre i r, pois A é um ponto da recta i (A rebatimento do plano π). A recta pr passa por A r 1 e é perpendicular a i r em A r 1. Sobre pr, a partir de A r 1, mediram-se os 7 cm, obtendo-se A’r (garantindo que A’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projecções de A’. A partir das projecções de A’ A’B’C’D’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [A A BCD] – B’, C’ e D’ desenharam-se as projecções do quadrado [A estão nas rectas de perfil ortogonais a ρ que contêm B, C e D, respectivamente. Assim, pelas projecções de A’ conduziram-se as projecA’B’], até encontrarem as projecções homónimas da recta de perfil que contém a aresta ções homónimas da recta suporte do segmento [A BB’] – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para D’, a partir de A’, e ainda para C’, a partir de B’ ou lateral [B de D’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é A 2B 2C2C’2D’2A’2] e o contorno aparente horizontal é [A A 1A’1B’1C’1C1D1]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não integram o [A contorno aparente – o vértice B’ (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice D (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em projecção h o r i z o n t a l, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice D’ (que é o vértice de maior cota, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice B (que é o vértice de menor cota, pelo que é invisível bem como todas A B CD] é invisível em ambas as projecções e que a base [A A’B’C’D’] é visível em ambas as arestas que nele convergem). Note que a base [A CC’D’D] e [A AA’D’D] são visíveis – no entanto, estas faces são invisíveis em projecção as projecções. Em projecção horizontal, as faces laterais [C A A ’ B ’ B] e [B BB’C’C], são visíveis em projecção frontal e invisíveis em projecção horizontal. frontal. Já as faces [A

139

SOLUÇÕES

351. Em primeiro lugar representaram-se os pontos R e S, pelas suas projecções, em função dos dados. Por R e S conduziu-se uma recta r, do plano, e determinaram-se os seus traços nos planos de projecção – pelos traços da recta conduziram-se os traços homónimos do plano ρ. Uma vez que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ. Hr ≡ H1, pois H (o traço horizontal da recta r) é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (o traço frontal da recta r, que é um ponto de f ρ), por exemplo. Para tal, conduziu-se, por F, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro em F1 e raio até F2 (a cota de F) transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu construir o triângulo do rebatimento de F em V.G. e determinar Fr (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, fρr, passa por Fr e é paralelo ao eixo X (e a hρr). A recta rr está definida por Hr e por Fr. Conduzindo, por R 1 e por S1, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se R r e R r Sr T r ] Sr sobre rr. A partir de R r e Sr construiu-se o triângulo equilátero [R em V.G., em rebatimento, determinando Tr. Para inverter o rebatimento de Tr conduziu-se, pelo ponto, uma recta sr, paralela à recta rr. A recta sr é F’ é o traço frontal da recta s) e é conconcorrente com f ρr no ponto F’r (F H’ é o traço horizontal da recta s). Conducorrente com hρr no ponto H’r (H zindo, por F’ r , uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de F’ – F’ é um ponto de f ρ. H’r ≡ H’1, pois H’ é um ponto da charneira. As projecções da recta s determinaram-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de F’ e H’ (e são paralelas às projecções homónimas da recta r). Conduzindo, por Tr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de T sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de R conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte da aresta RR’] e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – R – e pela sua direcção – é ortogonal a ρ). A determinação das projeclateral [R RR’] determinou-se conforme exposto no relatório do exercício anterior para o ponto A’. ções do ponto R’, o extremo superior da aresta lateral [R O plano π é o plano de perfil que contém a recta p. A recta i (definida por F’’ e por H’’) é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – ir fica definida por F’’r e por H’’r (e passa por R r1). A recta pr é perpendicular a ir em R r1. R’r situa-se sobre pr a 6 cm de R r1 (a altura do prisma). Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de R’. A partir das R’S’T’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do triângulo [R R S T] projecções de R’ desenharam-se as projecções do triângulo [R – S’ e T’ estão nas rectas de perfil ortogonais a ρ que contêm S e T, respectivamente. Assim, pelas projecções de R’ conduziram-se as projecR’S’], até encontrarem as projecções homónimas da recta de perfil que contem a aresta lateral ções homónimas da recta suporte do segmento [R SS’] – o ponto de concorrência das duas rectas é S’. Repetiu-se o processo para T’, a partir de R’. A partir das projecções de todos os vértices [S S2S’2R’2T’2T2] e o contorno aparente horizontal é do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [S R 1S1S’1T’1T1]. Em projecção frontal, existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice R’, que é o vértice de menor afasta[R mento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, também existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice R’, que é o vértice de maior cota, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem. Note RST] é invisível em ambas as projecções e que a base [R R’S’T’] é visível em ambas as projecções. Em projecção horizontal, as faces que a base [R RR’S’S] e [R RR’T’T] são visíveis – no entanto, estas faces são invisíveis em projecção frontal. Já a face lateral [S S S’T’T] é visível em laterais [R projecção frontal e invisível em projecção horizontal.

352. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ρ é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus traços A BCD] é tangente aos dois planos de projecsão simétricos em relação ao eixo X. Uma vez que a circunferência circunscrita ao rectângulo [A A C] do plano é de perfil e que ção, sabe-se que a circunferência é tangente aos dois traços do plano. Por outro lado, uma vez que a diagonal [A A tem cota nula, sabe-se que a circunferência será tangente a hρ em A. É possível, imediatamente, determinar as projecções de A (que é um ponto de hρ). Por outro lado, atendendo a que C será o outro extremo da diagonal, C terá de ser o ponto em que a circunferência será tangente a f ρ – este raciocínio permite-nos, imediatamente, determinar as projecções de C (que é um ponto de f ρ com a mesma abcissa de A). Só é possível desenhar a circunferência em V.G., com o recurso a um processo geométrico auxiliar, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção e que C é um ponto do Plano Frontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção ou para o Plano Frontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ. Ar ≡ A1, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto C, por exemplo. Para tal, conduziu-se, por C, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro em C1 e raio até C2 (Continua na página seguinte) 140

SOLUÇÕES

(a cota de C), transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu construir o triângulo do rebatimento de C em V.G. e determinar Cr (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, f ρr, passa por Cr e é paralelo ao eixo X (e a hρr). Em rebatimento, deterA r Cr] (com o recurso à construção da minou-se o ponto médio de [A mediatriz de um segmento de recta) e, com centro nesse ponto e raio até A r (ou Cr), desenhou-se a circunferência circunscrita ao rectângulo, em V.G., em rebatimento (note que a circunferência é tangente a f ρr em Cr e é tangente a hρr em A r). Em rebatimento, efectuou-se a construção do rectângulo, inscrito na circunferência, de acordo com os A B] dados. Tenha em conta que o ângulo dado (o ângulo que o lado [A do rectângulo faz com hρ) é um ângulo que está contido no plano (trata-se do ângulo entre duas rectas) e não tem correspondência directa em projecções, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos A B] faz com hρ pode, em rebatiplanos de projecção. O ângulo que [A mento, ser medido em V.G. – com vértice em A r, mediram-se os 25o com hρr, com abertura para a direita, garantindo que o vértice B se situa à direita de A (note que Br tem de se situar sobre a circunferência). A partir de B r , determinou-se D r , sobre a circunferência e no extremo oposto do diâmetro que passa por Br. Para inverter o rebatimento de Br e Dr conduziu-se, pelos dois pontos, uma recta rr (a recta r BD]). A recta rr é concorrente com f ρr no é a recta suporte da diagonal [B F é o traço frontal da recta r) e é concorrente com hρr no ponto ponto Fr (F Hr (H H é o traço horizontal da recta r). Conduzindo, por Fr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de F – F é um ponto de f ρ. Hr ≡ H1, pois H é um ponto da charneira. As projecções da recta r determinaram-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de F e H. Conduzindo, por Br e Dr, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de B e D sobre as projecções homónimas da recta r. A partir das projecções dos quatro vértices do rectângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de A A A ’] (sendo [A A’B’C’D’] a face superior conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte da aresta [A do paralelepípedo) e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – A – e pela sua direcção – é ortogonal a ρ). A determinação das AA’] determinou-se conforme exposto no relatório do exercício 350. O plano π é o plano projecções do ponto A’, o extremo superior da aresta [A de perfil que contém a recta p. A recta i é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ (note que a recta i está definida por A e por C, que são os seus traços nos planos de projecção – A é o traço horizontal de i e C é o seu traço frontal). Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – ir fica definida por A r1 e por Cr1 (note que A r1 e Cr1 são, respectivamente, os pontos A e C rebatidos pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano π). A recta pr é perpendicular a ir em A r1. A’r situa-se sobre pr a 4 cm de A r1 (a altura do sólido). Invertendo o A’B’C’D’], cujos rebatimento, determinaram-se as projecções de A’. A partir das projecções de A’ desenharam-se as projecções do rectângulo [A A BCD] – B’, C’ e D’ estão nas rectas de perfil ortogonais a ρ que contêm B, C e D, lados são paralelos aos lados correspondentes do rectângulo [A respectivamente (ver relatório do exercício 350). A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos A 2B2B’2C’2D’2D2] e o contorno aparente horizontal é [C C1D1D’1A’1B’1B1]. Em projecção frontal, aparentes – o contorno aparente frontal é [A existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice A’ (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice C (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em projecção horizontal, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice C’ (que é o vértice de maior cota, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de menor cota, A B CD] é invisível em ambas as projecções e que a pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Note que a face [A A’B’C’D’] é visível em ambas as projecções. Em projecção horizontal, as faces [C CC’D’D] e [B BB’C’C] são visíveis – no entanto, estas faces face [A AA’B’B] e [A AA’D’D] são visíveis em projecção frontal e invisíveis em projecção horizontal. são invisíveis em projecção frontal. Já as faces [A

353. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X) e pelo ponto A . Uma vez que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ (que é o próprio eixo X). O ponto A rebateu-se pelo triângulo do rebatimento (ver exercício 195 e respectivo relatório). Em rebatimento, construiu-se o triângulo equiA B C] em V.G., em função dos dados. O ângulo que o lado [A A B] faz com o eixo X é o ângulo r e a l, no espaço, e não em projecções, látero [A pelo que só é possível medir esse ângulo em V.G., em rebatimento. Por A r conduziu-se uma recta fazendo um ângulo de 45o com o eixo X, A B] em de forma a que B r se situe nessa recta à esquerda de A e tenha cota inferior a A – essa recta é r r, que é a recta suporte do lado [A rebatimento. Sobre r r mediram-se os 5 cm (o lado do triângulo) e determinou-se B r, sobre r r. A partir de A r e B r construiu-se o triângulo equiA r B r Cr] em V.G., em rebatimento, e determinou-se Or, o centro do triângulo. Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano, inverlátero [A tendo o rebatimento dos pontos Cr e Or, com o recurso a rectas oblíquas do plano (que são rectas passantes). As projecções da recta r determinam-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas do ponto A e são concorrentes entre si no ponto de concorrência (Continua na página seguinte) 141

SOLUÇÕES

da recta r com o eixo X. Conduzindo, por Br, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de B sobre as projecções homónimas da recta r. A recta sr é a recta paralela à recta r r que passa por Or – as projecções da recta s determinaram-se imediatamente, paralelas às projecções homónimas da recta r. A recta s está definida por um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo) e por uma direcção (é paralela à recta r). Conduzindo, por Or, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de O sobre as projecções homónimas da recta s. A recta mr é a recta paralela às rectas rr e sr que passa por Cr – as projecções da recta m determinaram-se imediatamente, paralelas às projecções homónimas das rectas r e s. A recta m está definida por um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo) e por uma direcção (é paralela às rectas r e s). Conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homónimas da recta m. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – O – e pela sua direcção – é ortogonal a ρ). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e determinou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelo ponto O e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, pois trata-se de uma recta de perfil passante). A recta i contém o ponto O (que é um ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares no ponto O. Por outro lado, ο vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p e, uma vez que tem cota nula, será o traço horizontal da recta p. A determinação do traço horizontal da recta p implica o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fπ (recta e’). A recta ir fica definida por Or1 e pelo seu ponto de concorrência Or1 é o ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano π). A recta pr com o eixo X, que é fixo, pois é um ponto da charneira (O passa por Or1 e é perpendicular a ir em Or1. Em rebatimento, determinou-se o traço horizontal da recta p, que é Vr – invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de V. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A A2V2B2C2] e o contorno aparente horizontal é [A A 1B1C1V1]. Em projecção frontal, todos os vértices do sólido A BV], pelo que a única aresta invisíintegram o contorno aparente frontal. No entanto, a base da pirâmide é invisível, bem como a face lateral [A A B] da base. Em projecção horizontal, todos os vértices integram, igualmente, o contorno aparente horivel em projecção frontal é a aresta [A ACV] – as faces laterais [A A BV] e [B B CV] são zontal. No entanto, ao contrário da projecção frontal, a base é visível, bem como a face lateral [A BV] é a única aresta invisível, em projecção horizontal. Note que a base do ambas invisíveis em projecção horizontal, pelo que a aresta lateral [B sólido é visível em projecção horizontal e invisível em projecção frontal, pois o plano ρ é um plano em tensão.

354. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X) e pelo ponto O. Uma vez que o quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ (que é o próprio eixo X). O ponto O rebateu-se pelo triângulo do rebatimento (ver exercício 195 e respectivo relatório). Em rebatimento, com o compasso, fazendo A B CD] em V.G., em centro em Or e com 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao quadrado e construiu-se o quadrado [A A B] faz com o eixo X é o ângulo real, no espaço, e não em projecções, pelo que só é possível medir função dos dados. O ângulo que o lado [A A C] faz um ângulo de 45o com o lado [A A B] que, por sua vez, faz um ângulo de 20o com o esse ângulo em V.G., em rebatimento. A diagonal [A A C] faz, assim, um ângulo de 65o com o eixo X (20o+45o = 65o). Este raciocínio permitiu-nos efectuar a construção do eixo X – a diagonal [A quadrado, em rebatimento. Note que se garantiu que A é o vértice de menor afastamento do quadrado (é o vértice mais próximo do eixo X) e que se situa à direita de B. Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano, invertendo o rebatimento dos vértices do quadrado, com o reBD] do quadrado em rebatimento – note curso a rectas oblíquas do plano (que são rectas passantes). A recta rr é a recta suporte da diagonal [B que rr passa por Or. As projecções da recta r determinam-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de O e são concorrentes entre si no ponto de concorrência da recta r com o eixo X. Conduzindo, por Br e Dr, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaram-se as projecções de A B] do quadrado, em rebatimento. As projecções da B e D sobre as projecções homónimas da recta r. A recta sr é a recta suporte do lado [A recta s determinam-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de B e são concorrentes entre si no ponto de concorrência da recta s com o eixo X. Conduzindo, por A r, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de A sobre as projecções homónimas da recta s. A recta mr é a recta suporte do CD] do quadrado, em rebatimento – note que mr é paralela a sr. As projecções da recta m determinam-se imediatamente – passam lado [C (Continua na página seguinte) 142

SOLUÇÕES

pelas projecções homónimas de D e são paralelas às projecções homónimas da recta s (a recta m está definida por um ponto (o ponto D) e por uma direcção (é paralela à recta s) – note que o ponto de concorrência da recta m com o eixo X se situa fora dos limites do desenho, mas que já tínhamos as projecções do ponto D. Conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homónimas da recta m. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – O – e pela sua direcção – é ortogonal a ρ). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e determinou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelo ponto O e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, pois trata-se de uma recta de perfil passante). A recta i contém o ponto O (que é um ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares no ponto O. Por outro lado, ο vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p e, uma vez que tem afastamento nulo, será o traço frontal da recta p. A determinação do traço frontal da recta p implica o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e’). A recta ir fica definida por Or1 e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, Or1 é o ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano π). A recta pr passa por Or1 e que é fixo, pois é um ponto da charneira (O é perpendicular a ir em Or1. Em rebatimento, determinou-se o traço frontal da recta p, que é Vr – invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de V. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A A 2B2V2D2] e o contorno aparente horizontal é [A A 1D1C1B1V1]. Em projecção frontal, existe um único vértice que não integra o contorno aparente frontal – o vértice C, que é o vértice de maior afastamento da pirâmide, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele B CV] e [C CDV]. Já as faces laterais [A ADV] convergem. Note que a base da pirâmide é visível em projecção frontal, bem como as faces laterais [B A BV] são invisíveis, pelo que a única aresta invisível em projecção frontal é a aresta lateral [A AV]. Em projecção horizontal, todos os vértices e [A da pirâmide integram o contorno aparente horizontal. No entanto, por oposição à projecção frontal, a base é invisível em projecção horizontal, A BV] – a aresta [A A B] da base é a única aresta invisível da pirâmide, em projecção horizontal. Note que as faces latebem como a face lateral [A ADV], [C CDV] e [B B CV] são visíveis em projecção horizontal. Note que a base do sólido é invisível em projecção horizontal e visível em prorais [A jecção frontal, pois o plano ρ é um plano em tensão.

143

SOLUÇÕES

355. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços e pelo A BCD] não se projecta em V.G. ponto A. Uma vez que o quadrado [A em nenhum dos planos de projecção (o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fρ (que é o próprio eixo X). O ponto A reA B] bateu-se pelo triângulo do rebatimento. O ângulo que o lado [A faz com o eixo X é o ângulo real, no espaço, e não em projecções, pelo que só é possível medir esse ângulo em V.G., em rebatimento. Por A r conduziu-se uma recta fazendo um ângulo de 30° com o eixo X, de forma a que Br se situe nessa recta à direita de A e tenha afastamento superior a A – Br tem de estar mais distante do eixo X do que A r . Sobre essa recta, a partir de A r , mediram-se os 5 cm (a aresta do cubo), obtendo Br. A partir de A r e Br, construiu-se o quaA BCD] em V.G., em rebatimento. Inverteu-se o rebatimento drado [A AD] e [B B C] do plano ρ, com o recurso às rectas suportes dos lados [A do quadrado, que são rectas passantes. A recta rr é, em rebatimenAD] do quadrado – as projecções da recto, a recta suporte do lado [A ta r determinaram--se imediatamente (passam pelas projecções homónimas de A e são concorrentes entre si no ponto de concorrência da recta r com o eixo X). Conduzindo, por Dr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de D sobre as projecções homónimas da recta r. A recta sr é, em rebatimento, a recta B C] do quadrado (sr é paralela a rr) – as projecções suporte do lado [B da recta s determinaram-se imediatamente, paralelas às projecções homónimas da recta r. A recta r está definida por um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo) e por uma direcção (é paralela à recta r). Conduzindo, por Br e Cr, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de B e C sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções AA’] (considerando que o quadrado de A conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte da aresta [A A’B’C’D’] é a face superior o sólido) e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – A – e pela sua direcção – é ortogonal a ρ). A [A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e determinou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelo ponto A e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, pois trata-se de uma recta de perfil passante). A recta i contém o ponto A (que é um ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares no AA’] não se projecta em ponto A. Por outro lado, ο vértice A’ situa-se sobre p, a 5 cm de A (a aresta do cubo). Atendendo a que o segmento [A V.G. em nenhum dos planos de projecção, recorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e’). A recta ir fica definida por A r1 e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo, pois é um ponto da charneira (A A r1 é o ponto A no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano π). A recta pr passa por A r1 e é perpendicular a ir em A r1. Sobre pr, a partir de A r1, mediram-se os 5 cm, obtendo-se A’r (garantindo que A’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projecções de A’. A A’B’C’D’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do partir das projecções de A’ desenharam-se as projecções do quadrado [A A BCD] – B’, C’ e D’ situam-se nas rectas de perfil ortogonais a ρ que contêm B, C e D, respectivamente. Assim, pelas projecções de quadrado [A A’ conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [A A’B’], até encontrarem as projecções homónimas da recta de perfil que conBB’] – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para D’, a partir de A’, e para C’, a partir de B’ ou de tem a aresta [B D’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é B1C1D1D’1A’1B’1]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não integram o A 2B2B’2C’2D’2D2] e o contorno aparente horizontal é [B [A contorno aparente – o vértice A’ (que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice C (que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem). Em projecção horizontal, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice C’ (que é o vértice de maior cota do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é A BCD] é invisível em projecção horizontal e visível em projecção invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Note que a face [A A’B’C’D’] é invisível em projecção frontal e visível em projecção horizontal. frontal (o plano ρ é um plano em tensão), enquanto que a face [A

144

SOLUÇÕES

356.

Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em função dos dados – O é um ponto do β1/3, pelo que as suas coordeA BCDE] não se projecta em V.G. em nadas são iguais. Note que o β1/3 não carece de representação. Uma vez que o pentágono regular [A nenhum dos planos de projecção (o β1/3 não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do β1/3 para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi o próprio eixo X. O ponto O rebateu-se pelo triângulo do rebatimento. Com centro em Or e 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono, em rebatimento, e construiu-se o polígono, inscrito na circunferência, de acordo com os dados – o seu lado mais à esquerda é de perfil (ou seja, é perpendicular ao eixo X) Note que a ordem dos vértices é arbitrária, pois o enunciado é omisso. Para inverter o rebatimento do β1/3 recorreu-se a rectas do plano (poder-se-ia, também, ter recorrido ao triângulo do rebatimento, mas trata-se de um processo mais moroso e meArBr] do pentágono em rebatimento – nos rigoroso). A recta rr é, em rebatimento, uma recta do β1/3 que passa por Or, e que é paralela ao lado [A a recta r é uma recta passante, cujas projecções se determinam imediatamente, pois são concorrentes entre si no ponto de concorrência da recta com o eixo X e passam pelas projecções homónimas do ponto O (a recta r fica definida por dois pontos – o ponto O e o seu ponto de concorrência com o eixo X). Note que as projecções da recta r são simétricas em relação ao eixo X. A recta ar é outra recta do β1/3 que passa por A r e Br – a recta a é a recta suporte do lado [A A B] do pentágono e é necessariamente paralela à recta r. As projecções da recta a determinam-se imediatamente, pois está definida por um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo X) e por uma direcção (é paralela à recta r). Conduzindo, por A r e Br, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de A e B sobre as projecções homóniCE] do pentágono (br é paralela a rr e a ar) – as projecções da recta mas da recta a. A recta br é, em rebatimento, a recta suporte da diagonal [C b determinaram-se imediatamente, paralelas às projecções homónimas das rectas r e a. A recta b está definida por um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo) e por uma direcção (é paralela às rectas r e a). Conduzindo, por Cr e Er, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de C e E sobre as projecções homónimas da recta b. A recta mr é, em rebatimento, a recta fronto-horizontal do β1/3 que passa por Dr – a recta mr é concorrente com a recta ar no ponto Pr. As projecções do ponto P determinam-se imediatamente, sobre as projecções homónimas da recta a, com o recurso à perpendicular à charneira que passa por Pr. Pelas projecções de P conduziram-se as projecções homónimas da recta m – conduzindo, por Dr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de D sobre as projecções homónimas da recta m. A partir das projecções dos cinco vértices do pentágono, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). É dado que existe um único vértice do prisma com cota nula. Uma vez que o prisma se situa no 1o Diedro, esse vértice será o vértice de menor cota do sólido – será o A’B’C’D’E’] correspondente ao vértice E (que é o vértice de menor cota da base [A A BCDE]). Assim, pelas projecções de E convértice da base [A EE’] e é uma recta de perfil (que está definida duziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte da aresta [E (Continua na página seguinte) 145

SOLUÇÕES

por um ponto – E – e pela sua direcção – é ortogonal ao β1/3). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do β1/3. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e determinou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelo ponto E e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, pois trata-se de uma recta de perfil passante). A recta i contém o ponto E (que é um ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares no ponto E. Por outro lado, ο vértice E’ será o ponto da recta p que tiver cota nula – será o traço horizontal da recta p. A determinação do traço horizontal da recta p requer o recurso a outro processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fπ (recta e’). A recta ir fica definida por Er1 e pelo seu ponto de concorEr1 é o ponto E no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano π). A recta rência com o eixo X, que é fixo, pois é um ponto da charneira (E pr passa por Er1 e é perpendicular a ir em Er1. E’r é o traço horizontal da recta p em rebatimento – invertendo o rebatimento, determinaram-se as A’B’C’D’E’], cujos lados são paralelos aos projecções do ponto E’. A partir das projecções de E’ desenharam-se as projecções do pentágono [A A BCDE] – A’, B’, C’ e D’ situam-se nas rectas de perfil ortogonais ao β1/3 que contêm A, B, C e D, respeclados correspondentes do pentágono [A E’D’], até encontrarem as projecções hotivamente. Assim, pelas projecções de E’ conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [E DD’] – o ponto de concorrência das duas rectas é D’. Repetiu-se o processo para A’, a partir de mónimas da recta de perfil que contem a aresta [D E’, bem como para B’ (a partir de A’) e para C’ (a partir de B’). Note que, uma vez que o lado [C C’D’] é de perfil, não seria possível determinar D’ a partir de C’, sem o recurso a outro processo geométrico auxiliar. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus A2B2C2C’2D’2E’2A’2] e o contorno aparente horizontal é [A A1E1D1C1C’1B’1A’1]. Note que contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A CC’D’D] do prisma é de perfil, que é duplamente projectante, pelo que não há invisibilidades a assinalar nesta face – as arestas ina face lateral [C visíveis estão ocultas por arestas visíveis. Ao nível dos restantes vértices do sólido, em projecção frontal, existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice E (que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice B’ (que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem). Sem referir os vértices da face de perfil (pelas razões já indicadas), em projecção horizontal, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice B (que é o vértice de maior cota do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice E’ (que é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Note A BCDE] é visível em projecção horizontal e invisível em projecção frontal (o β1/3 é um plano em tensão), enquanto que a base que a base [A A’B’C’D’E’] é visível em projecção frontal e invisível em projecção horizontal. [A

357. Em primeiro lugar representou-se o plano γ, pelos seus traços, e os pontos P e Q, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano γ é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coincidenP tem tes. O ponto P é um ponto do Plano Horizontal de Projecção (P cota nula), pelo que é um ponto de hγ. A recta h é a recta horizontal (de nível) do plano, com 4 cm de cota, a que se recorreu para deterPQR] não se projecta minar as projecções do ponto Q. O triângulo [P em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano que o contém – o plano γ – é oblíquo a ambos os planos de projecção) pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. O ponto P é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, pelo que, atendendo a uma maior economia de traçados, se optou por rebater o plano γ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi h e Pr ≡ P1, pois P é um ponto da charneira. É necessário rebater f , o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (o traço frontal da recta h). Por F1 conduziu-se uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos traços do plano e raio até F2, transportou-se essa distância para a perpendicular à charneira que passa por F1, obtendo Fr . O traço frontal do plano rebatido (ff γr) passa por Fr e é concorrente com hγr no eixo X. Por Fr conduziu-se a recta hr, paralela a hγr. Conduzindo, por Q1, uma perpendicular à charneira, determinou-se Qr PQR] em sobre hr . A partir de Pr e de Qr, construiu-se o triângulo [P VG., em rebatimento e, com vista à determinação das projecções da pirâmide, determinou-se também o seu centro – o ponto O. A inversão do rebatimento dos pontos O e R processou-se com o recurso às rectas frontais (de frente) que por eles passam – ver exercício 183 e respectivo relatório. A recta f é a recta frontal (de frente) que nos permitiu determinar as projecções de R. A recta f ’ é a recta frontal (de frente) que nos permitiu determinar as projecções de O. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas de uma recta p, ortogonal a γ – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide. O vértice V, da pirâmide, porque tem afastamento nulo, é o traço frontal da recta p, o que nos permite determinar imediatamente as suas projecções, sem o recurso a qualquer outro rebatimento. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [P P2V2Q2] e o contorno aparente horizontal é [Q Q1R 1V1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice R, que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível (bem como todas as arestas que nele conPRV] e [Q QRV] (a face lateral [P PQV] é a única face invisível em projecção frontal). vergem). A base do sólido é visível, bem como as faces laterais [P Em projecção horizontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice P, que é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é P R V] e [P PQV] (a face invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A base do sólido é invisível, bem como as faces laterais [P QRV] é a única face visível em projecção frontal). Note que o plano γ é um plano em tensão, o que justifica o facto de a base ser invilateral [Q sível em projecção horizontal e ser visível em projecção frontal.

146

SOLUÇÕES

358. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, em função dos dados. O plano α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. O plano α é oblíquo aos dois planos de projecA B C ] não se ção, pelo que o triângulo equilátero [A projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção. Note que, uma vez que é dado que a circunferência circunscrita ao triângulo A B C] é tangente aos dois planos de projecção, sabe[A -se que a circunferência é tangente aos dois traços do plano – este dado não nos permite, de forma directa, determinar as projecções do centro da circunferência, o ponto O, pelo que é necessário, antes de mais, rebater o plano. Para rebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto P (que é um ponto qualquer de f α). Para tal, conduziu-se, por P 1 , uma perpendicular à charneira. Os traços do plano α são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até P2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por P1 e obteve-se Pr – f αr passa por Pr e é concorrente com hαr no eixo X. Em rebatimento, determinou-se o ponto que está a 4 cm de f αr e de hαr – esse ponto é Or, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, em rebatimento. Com o compasso fazendo centro em Or e com 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo, que é necessariamente tangente a hρr e a f ρr. Em seguida, procedeu-se à construção do triângulo, de acordo com os dados – C tem cota nula, A B] é horizontal pelo que é um ponto de hα, e o lado [A (de nível), pelo que é paralelo a hα. Cr é, assim, o ponto A r B r] tem de ser paralelo a hαr, o que implica que um dos seus extremos (B B r na resolução de tangência da circunferência a hαr. O lado [A apresentada) tem de se situar necessariamente sobre f αr (é o ponto de tangência da circunferência com f αr). Em seguida, procedeu-se à inversão do rebatimento do plano α. O ponto C é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinam imediatamente – C1 ≡ Cr e C2 situa-se no eixo X. O ponto B é um ponto de f α, pelo que as suas projecções também se determinam imediatamente – conduzindo, por B r, uma perpendicular à charneira, obtém-se B 1 no eixo X e B 2 situa-se sobre f α, na linha de chamada de B 1. A recta h é a recta horizontal A B] do triângulo – as projecções da recta h determinam-se imediatamente (a recta h está definida (de nível) que é a recta suporte do lado [A por um ponto – o ponto B e por uma direcção – é paralela a hα). Conduzindo, por A r, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de A sobre as projecções homónimas da recta h. A recta h’ é a recta horizontal (de nível) do plano a que se recorreu para inverF é o traço frontal de h’). Conduzindo, por Fr, uma perpendicular à ter o rebatimento de O – h’r passa por Or e é concorrente com f αr em Fr (F F é um ponto de f α). Pelas projecções de F conduziram-se as projecções homónimas da charneira, determinaram-se as projecções de F (F recta h’. Conduzindo, por Or, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de O sobre as projecções homónimas da recta h’. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Atendendo a que um tetraedro toma a forma aparente de uma pirâmide A B C]) passa por O e é ortogonal ao plano α – assim, pelas projecções de O triangular regular, sabe-se que o eixo do sólido (relativo à face [A conduziram-se as projecções homónimas de uma recta p, ortogonal a α. A recta é necessariamente uma recta do β1/3 (é uma recta passanA D], [B BD] e [C CD] se prote). O quarto vértice do sólido, o vértice D, situa-se sobre p, equidistante de A , de B e de C. Nenhuma das arestas [A jecta em V.G., pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano projectante A B C]) bem como a aresta horizontal da recta p – o plano γ. Note que o plano γ contém simultaneamente o eixo do sólido (relativo à face [A CD], sendo esta que nos permitirá determinar o vértice D do sólido. Rebateu-se o plano γ para o Plano Frontal de Projecção – a charneira [C foi f γ (recta e’) – rebatendo O e A . Or 1 e A r 1 são os pontos O e A , rebatidos no seu segundo rebatimento (no rebatimento do plano γ). O ponto de concorrência da recta p com o eixo X é fixo (é um ponto da charneira) – pr passa por esse ponto e por Or 1. Uma vez que as arestas do A B B r = B C C r = A C C r determisólido são todas iguais e que Dr tem de se situar sobre pr, com o compasso, fazendo centro em A r 1 e com raio r r r nou-se Dr sobre pr. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de D sobre as projecções homónimas da recta p. A partir das A 2 V 2 C 2] e o c o n projecções de todos os vértices do sólido, desenharam--se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A torno aparente horizontal é [A A 1B1V1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice B. Este é o vértiA B C] do sólido é invisível, ce de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A face [A A B D] e [B B CD] (a face [A ACD] é a única face visível em projecção frontal). Em projecção horizontal, há um vértice que bem como as faces [A não integra o contorno aparente – o vértice C. Este é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas que A B D] é a única face visível em projecção horizontal – as restantes faces são invisíveis em projecção horizontal. nele convergem). A face [A

147

SOLUÇÕES

359. Em primeiro lugar representou-se a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, determinaram-se os traços da recta r nos F é o traço frontal da recta r e o ponto A é o próprio traço horizontal da recta) pelos quais se conduziram os traços hoplanos de projecção (F mónimos do plano α – hα passa por A 1 e é perpendicular a r 1 (a recta r é uma recta de maior declive do plano) e f α passa por F2 e é concorA B C] não se projecta em V.G. rente com hα no eixo X. O plano α é oblíquo aos dois planos de projecção, pelo que o triângulo equilátero [A em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano α – uma vez que o ponto A é um ponto de hα, com vista a uma maior economia de traçados, rebateu-se o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hα e tem-se imediatamente Ar ≡ A1 pois A é um ponto da charneira). Para rebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (o traço frontal da recta r), por exemplo. Para tal conduziu-se, por F1, uma perpendicular à charneira. Os traços do plano α são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por F1 e obteve-se Fr – fαr passa por Fr e é concorrente com hαr no eixo X. A recta rr fica definida por Ar e por Fr. A utilidade da recta r para rebater o ponto O é nula, pelo que se recorreu a uma recta horizontal (de nível) h, do plano, passando por O – F’ é o traço frontal da recta h. As rectas h e r são concorrentes em O. Conduzindo, por F’1, uma perpendicular à charneira, determinou-se Fr sobre fαr. Por F’r conduziu-se hr, paralela a hαr – Or é o ponto de concorrência de hr com rr. Com o compasso, fazendo centro em Or e raio até A r, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triânBrCr] é paralelo à recta hr, o que significa que está contido gulo em V.G., em rebatimento, e construiu-se o triângulo em rebatimento. O lado [B noutra recta horizontal (de nível do plano. Inverteu-se o rebatimento desta recta (conforme exposto no relatório do exercício anterior), o que nos permitiu determinar as projecções de B e C (ver exercício anterior e respectivo relatório). Note que se omitiram as notações referentes à B C] do triângulo, bem como as referentes ao seu traço frontal, com vista a não sobrecarregar em recta horizontal (de nível) que contém o lado [B demasia a resolução gráfica apresentada. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Sobre a determinação do vértice D do tetraedro, ver exercício anterior e respectivo relatório. O plano γ é o plano vertical que contém a recta p e o vértice A do tetraedro. Rebateu-se o plano γ para o Plano Frontal de Projecção – a recta p rebateu-se a partir do rebatimento de O e de H, o seu traço horizontal. A partir das A2V2B2] e o contorno projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A aparente horizontal é [B B 1C1V1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C. Este é o vértice de A B C] do sólido é invisível, bem menor afastamento do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A face [A A C D] e [B B CD] (a face [A A B D] é a única face visível em projecção frontal). Em projecção horizontal, há um vértice que não como as faces [A integra o contorno aparente – o vértice A . Este é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas que B CD] é a única face visível em projecção horizontal – as restantes faces são invisíveis em projecção horizontal. nele convergem). A face [B

148

SOLUÇÕES

360. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas suas projecções, em função dos dados. A é um ponto com cota nula, pelo que é um ponto de hρ, o que nos permitiu desenhar imediatamente hρ. Para determinar o traço frontal do plano poder-se-ia conduzir, por A e B , uma recta do plano e determinar o seu traço frontal, mas este situa-se fora dos limites do papel, pelo que se optou por prosseguir com o exercício, mesmo sem determinar f ρ. O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo A B CD] não se projecta em VG. – é necessário o que o quadrado [A recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ. Uma vez que f ρ não é conhecido e que A é um ponto de hρ, optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ e A r ≡ A 1 pois A é um ponto da charneira. O ponto B rebateu-se com o recurso ao seu triângulo do A B C D] rebatimento. A partir de A r e Br, construiu-se o quadrado [A em V.G., em rebatimento. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a A D] e [B B C] do duas rectas do plano – as rectas suporte dos lados [A quadrado. A recta r r é, em rebatimento, a recta suporte do lado Héo B C] do quadrado. A recta r r é concorrente com hρr em Hr (H [B traço horizontal da recta r). H é um ponto da charneira, pelo que é fixo – as projecções de H determinam-se imediatamente. A partir das projecções de B e H, foi possível desenhar as projecções da recta r e determinar o seu traço frontal, F. O traço frontal do plano, f ρ, passa por F2. Conduzindo, por F1, uma perpendicular à charneira, determinou-se Fr sobre r r – f ρr passa por Fr. Em seguida, conduziu-se, por Cr, uma perpendicular à charneira e determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homónimas da recta r. Para inverter o rebatimento de Dr recorreu-se à recta sr – esta é, em A D] do quadrado. A recta sr rebatimento, a recta suporte do lado [A A é o próprio traço horizontal da recta s) e é concorrente com f ρr em F’r (F F’ é o traço frontal da recta s). Coné concorrente com hρr em A r (A F’ é um ponto de f ρ). As projecções da recta s ficam duzindo, por F’r, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de F’ (F definidas pelas projecções de A e F’. Conduzindo, por Dr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de D sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, efectuaram-se as consA’B’C’D’]), conforme exposto no relatório truções necessárias à determinação das projecções dos vértices da face superior do cubo (a face [A do exercício 352, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. A recta p é a recta ortogonal ao plano ρ que passa por A (é a recta A A ’]). O plano π é o plano que contém a recta p. A recta i é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ. F’’ é o traço suporte da aresta [A frontal da recta i e A é o seu traço horizontal. As rectas p e i são perpendiculares em A. A r1 é o ponto A rebatido pelo seu segundo rebatimento A ’ A A r = A B B r = A D D r = B C C r = C D D r (que é a medida da aresta do cubo). – o rebatimento do plano π. O ponto A’r é um ponto de pr tal que r r r r r 1 A’B’C’D’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes A partir das projecções de A’ desenharam-se as projecções do quadrado [A A B CD]. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno do quadrado [A aparente frontal é [A A 2B 2B’2C’2D’2D2] e o contorno aparente horizontal é [B B 1C1D1D’1A’1B’1]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice C (que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A’ (que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem). Em projecção horizontal, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice C’ (que é o vértice de maior cota do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de meA B CD] é invisível em ambas as nor cota do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Note que a face [A A’B’C’D’] é visível em ambas as projecções. projecções e a face [A

361. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X), e o ponto O, pela sua projecção horizontal (a única que os dados do exercício nos permitem localizar de forma directa). O plano está definido pela sua orientação – é necessário, antes de mais, definir totalmente o plano e determinar a projecção frontal do ponto O. O diedro que o plano ρ faz com o Plano Horizontal de Projecção tem a mesma amplitude que o ângulo que as rectas de perfil de ρ fazem com o Plano Horizontal de Projecção. Assim, conduziu-se, por O, um plano de perfil π – a recta i é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ. A recta i é uma recta de perfil passante – está definida por um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo X) e por uma direcção (faz um ângulo de 30o com o Plano Horizontal de Projecção). Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fπ (recta e). O ângulo que a recta i faz com o Plano Horizontal de Projecção é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que a recta i faz com hπ e esse ângulo está em V.G. em rebatimento – em rebatimento, desenhou-se ir, fazendo um ângulo de 30o com hπr e passando pelo seu ponto fixo (o ponto de concorrência com o eixo X). Rebatendo o ponto O a partir da sua projecção horizontal, determinou-se Or sobre ir – invertendo o rebatimento, determinou-se O2. Note que o ponto O é um ponto do 1o Diedro e se garantiu que a recta ir passa pelo quadrante em que Or se situa (o plano ρ atravessa os 1o e 3o Diedros). Em seguida, procedeu--se à construção do triânA BC] – este está contido no plano ρ, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que não se projecta em V.G. nenhum gulo [A (Continua na página seguinte) 149

SOLUÇÕES

dos planos de projecção. Nesse sentido, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hρ, que é o próprio eixo X). O ponto O rebateu-se pelo seu triângulo do rebatimento, obtendo-se Or1 é o ponto O rebatido no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano ρ). Com o compasso, fazendo centro em Or1, desenhou-se Or1 (O A B] é fronto-horia circunferência circunscrita ao triângulo e construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, de acordo com os dados (o lado [A zontal e C é o vértice de maior cota do triângulo, ou seja, o vértice mais distante do eixo X). Para inverter o rebatimento do plano ρ, recorreu-se a rectas do plano (poder-se-ia, também, ter recorrido ao triângulo do rebatimento, mas trata-se de um processo mais moroso e menos rigoroso). A ArCr] do triângulo em rebatimento – a recta r é uma recta rr é, em rebatimento, uma recta do plano ρ que passa por Or e que é paralela ao lado [A recta passante, cujas projecções se determinam imediatamente, pois são concorrentes entre si no ponto de concorrência da recta com o eixo X e passam pelas projecções homónimas do ponto O (a recta r fica definida por dois pontos – o ponto O e o seu ponto de concorrência com o A C] do triângulo e é necessariamente paraleeixo X). A recta sr é outra recta do plano ρ e passa por Ar e Cr – a recta s é a recta suporte do lado [A la à recta r. As projecções da recta s determinam-se imediatamente, pois está definida por um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo X) e por uma direcção (é paralela à recta r). Conduzindo, por Ar e Cr, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de A e C sobre as projecções homónimas da recta s. A recta mr é, em rebatimento, a recta fronto-horizontal que passa por Ar e é a recta A B] do triângulo – as projecções da recta m determinam-se imediatamente, passando pelas projecções homónimas do ponto A suporte do lado [A (a recta m está definida por um ponto – A – e por uma direcção – é fronto-horizontal). Conduzindo, por Br, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de B sobre as projecções homónimas da recta m. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em CC’] (consiseguida, pelas projecções de C conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte da aresta [C A’B’C’] é a base superior do sólido) e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – C – e pela sua direcção derando que o triângulo [A – é ortogonal a ρ). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π (é o plano de perfil com o qual se iniciou o exercício) e determinou-se a recta de intersecção de π com ρ – a recta i (que é a recta inicialmente determinada). A recta i contém o ponto C (que é um ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares no ponto C. Por outro lado, ο vértice C’ situa-se sobre p, a 6 cm de C (a CC’] não se projecta altura do prisma). Atendendo a que o segmento [C em V.G. em nenhum dos planos de projecção, recorreu-se ao rebatimento já efectuado do plano π para o Plano Frontal de Projecção. A Cr1 é o ponto C no recta ir já estava definida e Cr1 é um ponto de ir (C seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano π). A recta pr é perpendicular a ir em Cr1. Sobre pr, a partir de Cr1, mediram-se os 6 cm, obtendo-se C’r (garantindo que C’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projecções de C’. A partir das projecções de C’ desenharam-se as projecções do triângulo A’B’C’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do [A A BC] – ver exercício 355 e respectivo retriângulo [A latório. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o c o n t o r n o a p a r e n t e f r o n t a l é A2B2B’2C’2A’2] e o contorno aparente horizontal [A B1C1A1A’1B’1]. Em projecção frontal, existe um é [B vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C (que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem). Em projecção horizonta l, também existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C’ (que é o vértice de maior cota do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem). Note A BC] é invisível em projecção horique a base [A zontal e visível em projecção frontal (o plano ρ é um plano em tensão), enquanto que a base A’B’C’] é invisível em projecção frontal e visível [A em projecção horizontal.

362. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelo seu traço horizontal (o único que é dado) e o ponto A, pelas suas projecções, em função dos dados. O ponto A é um ponto com cota nula, pelo que é um ponto de hα. Os dados do enunciado não nos permitem desenhar f α – note que o ângulo dado (o ângulo entre os dois traços do plano) é o ângulo real, que existe no espaço (ou, mais correctamente, que está contido no plano α) e não tem correspondência directa em projecções, pois o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Trata-se, portanto, de uma situação semelhante à do exercício 203, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Rebateu-se o plano α para o Plano Horizontal de Projecção, pois não se conhece o seu traço frontal (que seria a charneira, caso se efectuasse o rebatimento do plano α para o Plano Frontal de (Continua na página seguinte) 150

SOLUÇÕES

Projecção). Assim, a charneira foi hα, pelo que se tem imediatamente A r ≡ A 1, pois A é um ponto da charneira. Em rebatimento, com vértice no ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é um ponto fixo, pois é um ponto da charneira) e a partir de hαr, mediram-se os 70o (o ângulo entre os dois traços do plano) em V.G., em rebatimento, o que nos permitiu desenhar f αr. O vértice B, do triângulo, tem afastamento nulo, pelo que B é um ponto de f α – Br situa-se sobre f αr, a 6 cm (a medida do lado do triângulo) de A r. A partir de A r e de Br construiu-se o triângulo A BC] em V.G., em rebatimento e determinou-se o ponto Or (o centro do triângulo, em rebatimento), com vista à determinação das projecções [A da pirâmide. Para inverter o rebatimento, é necessário determinar f α, o que se processa determinando as projecções de um dos seus pontos – B é um ponto o ponto B, neste caso, que é um ponto de f α. Por Br conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se B1 no eixo X (B com afastamento nulo). Com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é fixo) e raio até Br, desenhou-se um arco de circunferência até à linha de chamada de B1, onde se situa B2 – f α passa por B2 e é concorrente com hα no eixo X. A inversão do rebatimento dos pontos Cr e Or processou-se com o recurso às rectas horizontais (de nível) do plano α que por eles passam (e cujas notações se omitiram). A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Sobre a determinação do vértice da pirâmide, ver exercício 339 e respectivo relatório. A recta p, passando por O, é a recta ortogonal ao plano α que contém o eixo da pirâmide. O plano γ é o plano projectante horizontal da recta p. Rebateu-se o plano γ para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f γ (recta e’). A recta p rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – O e F, o seu traço frontal (que é um ponto fixo, pois situa-se na charneira). Or1 é o ponto O rebatido pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano γ. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes A2C2V2] e o contorno aparente horizontal é [A A1C1V1]. Em projecção frontal, existe um vértice que não integra o – o contorno aparente frontal é [A contorno aparente – o vértice B (que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em projecção horizontal, também existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice A (que é o vértice de menor cota do sóliA BC] é invisível em ambas as projecções. do, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Note que a base [A

363. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ, pelo seu traço frontal (o único que é conhecido), e o ponto A, pela sua projecção frontal (a única que os dados do exercício nos permitem localizar de forma directa). O plano está definido pela sua orientação – é necessário, antes de mais, definir totalmente o plano e determinar a projecção horizontal do ponto A. O diedro que o plano ρ faz com o Plano Horizontal de Projecção tem a mesma amplitude que o ângulo que as rectas de perfil de ρ fazem com o Plano Horizontal de Projecção. Assim, conduziu-se, por A, um plano de perfil π – a recta i é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ. A recta i é uma recta de perfil que está definida por um ponto (o seu traço frontal F) e por uma direcção (faz um ângulo de 30o com o Plano Horizontal de Projecção). Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fπ (recta e). O ponto F é um ponto fixo, pois situa-se na charneira. O ângulo que a recta i faz com o Plano Horizontal de Projecção é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que a recta i faz com hπ e esse ângulo está em V.G. em rebatimento – em rebatimento, Fr). A é o traço horizontal da recta i, o que nos permitiu desenhou-se ir, fazendo um ângulo de 30o com hπr e passando pelo seu ponto fixo (F (Continua na página seguinte) 151

SOLUÇÕES

determinar imediatamente Ar. Invertendo o rebatimento, determinou-se A1 – por A1 conduziu-se hρ. Note que o ponto A é um ponto com afastaA é um ponto de hρ pois tem cota nula). mento positivo, e é pedido expressamente que o traço horizontal do plano tenha afastamento positivo (A A BC] – este está contido no plano ρ, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecEm seguida, procedeu-se à construção do triângulo [A ção, pelo que não se projecta em V.G. nenhum dos planos de projecção. Nesse sentido, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi fρ – recta e’). O triângulo do rebatimento de A já FrAr], que já está em V.G., no rebatimento do plano π. FrA2Ar] – a hipotenusa do triângulo do rebatimento é, assim, [F está em V.G. no triângulo [F Assim, com o recurso ao compasso, fazendo centro em Fr e raio até Ar, desenhou-se o arco do rebatimento de A (pelo rebatimento do plano π) Ar1 é o ponto A rebatido pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano ρ). Note que o ângulo dado (o ângulo que e determinou-se Ar1 (A A B] do quadrado faz com hρ) é um ângulo que está contido no plano (trata-se do ângulo entre duas rectas) e não tem correspondência o lado [A directa em projecções, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Esse ângulo pode, em rebatimento, ser medido em A B] faz, com hρ, um ângulo de 30o e o vértice B situa-se à direita de A. Com vértice em Ar1 e a partir de hρr, mediram-se os 30o, obV.G. – o lado [A A B] em rebatimento – sobre essa recta mediram-se os 5 cm (o lado do quadrado) e determinou-se Br. A partir de tendo a recta suporte do lado [A A BCD] em V.G, em rebatimento. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a duas rectas do plano – as rectas Ar1 e Br construiu-se o quadrado [A AD] e [B B C] do quadrado. A recta rr é, em rebatimento, a recta suporte do lado [A AD] do quadrado. A recta rr é concorrente suporte dos lados [A A é o traço horizontal da recta r) e é concorrente com fρr em F’r (F F’ é o traço frontal da recta r). F’ é um ponto da charneira, pelo com hρr em Ar1 (A que é fixo – as projecções de F’ determinam-se imediatamente. As projecções de A já são conhecidas. A partir das projecções de F’ e A, foi possível desenhar as projecções da recta r. Em seguida conduziu-se, por Dr, uma perpendicular à charneira e determinaram-se as projecções de D sobre as projecções homónimas da recta r. Para inverter o rebatimento de Br e Cr recorreu-se à recta sr – esta é, em rebatimento, a recta suporte B C] do quadrado. A recta sr é paralela à recta rr. A recta sr é concorrente com fρr em F’’r (F F’’ é o traço frontal da recta s). As projecções do lado [B de F’’ determinaram-se imediatamente, pois é um ponto da charneira. As projecções da recta s determinam-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de F’’ e são paralelas às projecções homónimas da recta r (a recta s está definida por um ponto e uma direcção). Conduzindo, por Br e Cr, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de B e C sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Sobre a determinação das projecções do prisma, ver exercício 350 e respectivo relatório. Com vista a uma maior economia de traçados, optou-se por conduzir a recta p pelo ponto A, uma vez que existe uma quantidade significativa de traçados precedentes que nos permite economizar traçado. A recta p é a recta ortogonal a ρ que passa por A (é a AA’] do prisma. A recta p está definida por um ponto (o ponto A) e por uma direcção (é ortogonal a ρ). A recta i recta suporte da aresta lateral [A (já determinada no início do exercício) é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ. Resolveu-se a questão da altura do prisma em rebatimento, no rebatimento previamente efectuado do plano π – a recta pr é perpendicular à recta ir em Ar. Sobre pr, a partir de Ar, mediram-se os 8 cm (a altura do prisma), obtendo A’r. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de A’ – a partir destas, determinaram-se as projecções dos restantes vértices da base superior do sólido (ver exercício 350 e respectivo relatório). A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o c o n t o r n o a p a r e n t e f r o n t a l é A 2B 2B’2C’2D’2D2] e o contorno aparente hori[A z o n t a l é [C C 1 D 1 D ’ 1 A ’ 1 B ’ 1 B 1 ]. Em p r o j e c ç ã o f r o n t a l, existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice A’ (que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice C (que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em p r o j e c ç ã o h o r i z o n t a l , também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice C’ (que é o vértice de maior cota do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem).

152

SOLUÇÕES

19 P L ANOS T ANGENTES ÀS S UPERFÍCIES C ÓNICA E C ILÍNDRICA 364. Por recta tangente a uma superfície num ponto entende-se uma recta tangente, nesse ponto, a qualquer curva que passa por esse ponto e que está contida na superfície.

365. Por plano tangente a uma superfície num ponto entende-se o lugar geométrico das rectas tangentes à superfície nesse ponto.

366. Se o plano θ é tangente a uma superfície cónica num ponto, conclui-se que o plano θ é tangente à superfície ao longo da geratriz que contém o ponto (a geratriz de contacto ou de tangência) e é igualmente tangente à directriz da superfície. Sabe-se, ainda, que o plano θ contém o vértice da superfície (qualquer geratriz de uma superfície cónica contém o vértice da superfície).

367. A geratriz ao longo da qual um dado plano é tangente a uma superfície cónica chama-se geratriz de contacto ou geratriz de tangência.

368. A afirmação é verdadeira. De facto, qualquer plano tangente a uma superfície cónica é tangente à superfície ao longo de uma geratriz – qualquer plano tangente a uma superfície cónica contém, assim, uma geratriz da superfície (a geratriz de contacto ou de tangência). Uma vez que todas as geratrizes contêm o vértice da superfície, qualquer plano tangente a uma superfície cónica contém necessariamente o vértice da superfície (pois o vértice da superfície é um ponto da geratriz de contacto, ou de tangência, que, por sua vez, está contida no plano).

369. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. Para determinar as projecções do ponto P determinou-se, previamente, o lugar geométrico dos pontos da superfície lateral do cone que têm 3 cm de cota. Para tal, recorreu-se a um plano horizontal (de nível) ν, com 3 cm de cota, e determinou-se a circunferência resultante da intersecção desse plano com a superfície lateral do cone – o ponto M é o ponto de intersecção de ν com a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal. O ponto P é o ponto dessa circunferência que tem 5 cm de afastamento e se situa à esquerda do eixo do sólido. Em seguida, desenharam-se as projecções da geratriz g, que contém o ponto P – a geratriz g é a geratriz de contacto (ou de tangência) e é a geratriz ao longo da qual o plano é tangente à superfície lateral do cone. A geratriz g fica definida por P e por V – H, o traço horizontal da geratriz, é o ponto da geratriz que pertence à base do cone. A geratriz g é, já, uma recta tangente à superfície lateral do cone no ponto P – já temos uma recta para definir o plano θ. Necessitamos de outra recta. Recorreu-se à recta t, outra recta tangente à superfície no ponto P. A recta t é uma recta horizontal (de nível) e é a recta de intersecção do plano θ com o plano ν (o plano auxiliar a que se recorreu para determinar as projecções de P). A recta t está definida por um ponto (o ponto P) e uma direcção (é perpendicular ao raio da circunferência que contém P no ponto P). Já temos duas rectas para definir o plano θ – a geratriz g e a recta tangente t. Em seguida, determinaram-se os traços do plano θ – hθ, o traço horizontal de θ, passa por H (traço horizontal de g) e é paralelo a t (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula), estando definido por um ponto e uma direcção. O traço frontal do plano, f θ, passa por F (o traço frontal da recta t) e é concorrente com hθ no eixo X – f θ está definido por dois pontos. Note que hθ é uma recta tangente à base do cone em H, pelo que é perpendicular ao raio da base no ponto H, tal como a recta t é também perpendicular ao raio da circunferência (que contém P) em P.

153

SOLUÇÕES

370. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. A recta f é a recta frontal (de frente) que contém o eixo do sólido. O, o centro da base do cone, é o traço horizontal da recta f (o ponto de intersecção de f com o plano da base). O vértice V, do cone, é o ponto da recta f que tem 6 cm de cota (que é a distância de V ao plano da base). Para determinar as projecções do ponto T determinou-se, previamente, o lugar geométrico dos pontos da superfície lateral do cone que têm 3 cm de cota. Para tal, recorreu-se a um plano horizontal (de nível) ν, com 3 cm de cota, e determinou-se a circunferência resultante da intersecção desse plano com a superfície lateral do cone. Essa circunferência tem centro no ponto Q (que é o ponto de intersecção do eixo com o plano ν) e A苶1 – o ponto A é o ponto de intersecção de ν com a geratriz mais à direita Q苶A raio 苶 1苶 do contorno aparente frontal. O ponto T é o ponto dessa circunferência que tem 4 cm de afastamento e que é visível em projecção horizontal (o outro ponto da circunferência que também tem 4 cm de afastamento é invisível em projecção horizontal). Em seguida, desenharam-se as projecções da geratriz g, que contém o ponto T – a geratriz g é a geratriz de contacto (ou de tangência) e é a geratriz ao longo da qual o plano é tangente à superfície lateral do cone. A geratriz g fica definida por T e por V – H, o traço horizontal da geratriz, é o ponto da geratriz que pertence à base do cone. A geratriz g é, já, uma recta tangente à superfície lateral do cone no ponto T – já temos uma recta para definir o plano θ. Necessitamos de outra recta. Recorreu-se à recta t, outra recta tangente à superfície no ponto T. A recta t é uma recta horizontal (de nível) e é a recta de intersecção do plano θ com o plano ν (o plano auxiliar a que se recorreu para determinar as projecções de T). A recta t está definida por um ponto (o ponto T) e uma direcção (é perpendicular ao raio da circunferência que contém T no ponto T). Já temos duas rectas para definir o plano θ – a geratriz g e a recta tangente t. Em seguida, determinaram-se os traços do plano θ – hθ, o traço horizontal de θ, passa por H (traço horizontal de g) e é paralelo a t (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula), estando definido por um ponto e uma direcção. O traço frontal do plano, f θ, passa por F (o traço frontal da recta t) e é concorrente com hθ no eixo X – f θ está definido por dois pontos. Note que hθ é uma recta tangente à base do cone em H, pelo que é perpendicular ao raio da base no ponto H, tal como a recta t é também perpendicular ao raio da circunferência (que contém T) em T.

371.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. O plano ν é o plano que contém a base do cone. A base do cone tem 4 cm de raio, pois é tangente ao Plano Frontal de Projecção. O ponto A é o ponto de maior afastamento da base do cone – a geratriz g fica definida por A e V. O ponto P é o ponto da geratriz g que tem 4 cm de cota. A geratriz g é a geratriz de contacto (ou de tangência) e é a geratriz ao longo da qual o plano é tangente à superfície lateral do cone. A geratriz g é, já, uma recta tangente à superfície lateral do cone no ponto P – já temos uma recta para definir o plano θ. Necessitamos de outra recta. Recorreu-se à recta t, uma recta tangente à base do cone no ponto A – a recta t é uma outra recta tangente à superfície do cone. A recta t é uma recta fronto-horizontal e é a recta de intersecção do plano θ com o plano ν (o plano da base do cone). A recta t está definida por um ponto (o ponto A ) e uma direcção (é perpendicular ao raio da base no ponto A ). Já temos duas rectas para definir o plano θ – a geratriz g e a recta tangente t. Em seguida, determinaram-se os traços da geratriz g nos planos de projecção. O plano θ está definido por uma recta oblíqua e por uma recta fronto-horizontal, pelo que se trata necessariamente de um plano de rampa. O traço horizontal do plano θ, hθ, passa por H (traço horizontal de g) e é paralelo a t, estando definido por um ponto e uma direcção – hθ é uma recta fronto-horizontal do plano com cota nula. O traço frontal do plano, f θ, passa por F (o traço frontal da geratriz g) e é também paralelo à recta t (está também definido por um ponto e uma direcção) – f θ é uma recta fronto-horizontal do plano com afastamento nulo.

154

SOLUÇÕES

372. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. Para determinar as projecções do ponto T determinou-se, previamente, o lugar geométrico dos pontos da superfície lateral do cone que têm 5 cm de afastamento. Para tal, recorreu-se a um plano frontal (de frente) ϕ1, com 5 cm de afastamento, e determinou-se a circunferência resultante da intersecção desse plano com a superfície lateral do cone – o ponto M é o ponto de intersecção de ϕ1 com a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal. O ponto T é o ponto dessa circunferência que tem 2 cm de cota e se situa à esquerda do eixo do sólido. Em seguida, desenharam-se as projecções da geratriz g, que contém o ponto T – a geratriz g é a geratriz de contacto (ou de tangência) e é a geratriz ao longo da qual o plano é tangente à superfície lateral do cone. A geratriz g fica definida por T e por V – A é o ponto da geratriz que pertence à base do cone. A geratriz g é, já, uma recta tangente à superfície lateral do cone no ponto T – já temos uma recta para definir o plano θ. Necessitamos de outra recta. Recorreu-se à recta t, uma recta tangente à base do cone no ponto A – a recta t é uma outra recta tangente à superfície do cone. A recta t é uma recta frontal (de frente) e é a recta de intersecção do plano θ com o plano ϕ (o plano da base do cone). A recta t está definida por um ponto (o ponto A ) e uma direcção (é perpendicular ao raio da base no ponto A ). Já temos duas rectas para definir o plano θ – a geratriz g e a recta t. H é o traço horizontal da recta t. O traço horizontal da geratriz g situa-se fora dos limites do desenho. Assim, recorreu-se a uma outra recta do plano – a recta t’. A recta t’ é uma outra recta do plano θ – é paralela à recta t e passa por V (que é um ponto do plano θ, pois qualquer plano tangente a um cone contém o vértice do cone). Note que a recta t’ é concorrente com a geratriz g em V. H’ é o traço horizontal da recta t’. O traço horizontal do plano θ, hθ, passa por H (traço horizontal de t) e por H’ (traço horizontal da recta t’) – está definido por dois pontos. O traço frontal do plano θ, f θ, é concorrente com hθ no eixo X e é paralelo às rectas t e t’ (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo). Note que se poderia ter determinado o traço frontal da geratriz g, F, que se situa nos limites do desenho, e, em seguida, desenhar imediatamente f θ, passando por F e paralelo a t – este procedimento evitaria o recurso à recta auxiliar t’, que acima se expôs.

373. Resolução

(Relatório na página seguinte) 155

SOLUÇÕES

373. Relatório Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. A recta r tem as suas projecções paralelas entre si, pois é paralela ao β2/4. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone – O, o centro da base, é o ponto de intersecção do plano ϕ com a recta r. O vértice do cone é o ponto da recta r que dista 6 cm (a altura do cone) do plano ϕ – V tem 8 cm de afastamento, pois o plano ϕ tem 2 cm de afastamento (6 + 2 = 8). Para determinar as projecções do ponto A determinou-se, previamente, o lugar geométrico dos pontos da superfície lateral do cone que têm 4 cm de afastamento. Para tal, recorreu-se a um plano frontal (de frente) ϕ1, com 4 cm de afastamento, e determinou-se a circunferência resultante da intersecção desse plano com a superfície lateral do cone. Essa circunferência tem N苶2 – o ponto N é o ponto de intersecção de ϕ1 com a geQ苶N centro no ponto Q (que é o ponto de intersecção do eixo com o plano ϕ1) e raio 苶 2苶 ratriz mais à direita do contorno aparente horizontal. O ponto A é o ponto dessa circunferência que tem 3,5 cm de cota e que é visível em projecção frontal (o outro ponto da circunferência que também tem 3,5 cm de cota é invisível em projecção frontal). Em seguida, desenharam-se as projecções da geratriz g, que contém o ponto A – a geratriz g é a geratriz de contacto (ou de tangência) e é a geratriz ao longo da qual o plano é tangente à superfície lateral do cone. A geratriz g fica definida por A e por V – T é o ponto da geratriz que pertence à base do cone. A geratriz g é, já, uma recta tangente à superfície lateral do cone no ponto A – já temos uma recta para definir o plano θ. Necessitamos de outra recta. Recorreu-se à recta t, outra recta tangente à superfície no ponto A . A recta t é uma recta frontal (de frente) e é a recta de intersecção do plano θ com o plano ϕ1 (o plano auxiliar a que se recorreu para determinar as projecções de A ). A recta t está definida por um ponto (o ponto A ) e uma direcção (é perpendicular ao raio da circunferência que contém A no ponto A ). Note que, à semelhança dos exercícios anteriores, se poderia ter recorrido a uma recta tangente à base do cone no ponto T. Já temos duas rectas para definir o plano θ – a geratriz g e a recta t. H é o traço horizontal da recta t. O traço horizontal da geratriz g situa-se fora dos limites do desenho. F é o traço frontal da geratriz g. O traço frontal do plano θ, f θ, passa por F (traço frontal de g) e é paralelo à recta t (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo) – está definido por um ponto e por uma direcção. O traço horizontal do plano θ, hθ, é concorrente com f θ no eixo X e passa por H (traço horizontal da recta t) – está definido por dois pontos.

374.

156

Em primeiro lugar representaram-se o cone e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V e P conduziu-se uma recta (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base (que é o próprio Plano Horizontal de Projecção) – é o traço horizontal da recta i, que se identificou imediatamente com a letra H. 3. Por H conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, que são imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes (uma vez que o plano da base é o próprio Plano Horizontal de Projecção, e só por isso). Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pelo seu traço horizontal e pela recta i. Note que as tangentes à base (os traços horizontais dos planos) se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é H1. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas – o plano θ1 está definido por hθ1, por i e por g e o plano θ2 está definido por hθ2, por i e por g’. Determinou-se F o traço frontal da recta i – f θ1 passa por F2 e é concorrente com hθ1 no eixo X (ff θ1 está definido por dois pontos). O mesmo raciocínio não se pode aplicar à determinação de f θ2, uma vez que o ponto de concorrência dos dois traços do plano θ2 não se situa nos limites do desenho. Assim, recorreu-se a uma recta auxiliar do plano θ2 – a recta f, que é uma recta frontal (de frente) do plano. A recta f passa por V (que é necessariamente um ponto do plano θ2, pois qualquer plano tangente a um cone contém o seu vértice) e o seu traço horizontal, H’, situa-se sobre hθ2. O traço frontal do plano θ2, f θ2, passa pelo traço frontal da recta i e é paralelo à recta f (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo).

SOLUÇÕES

375. Em primeiro lugar representaram-se o cone e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V e P conduziu-se uma recta (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. Note que a recta i é uma recta frontal (de frente). 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base (que é o próprio Plano Horizontal de Projecção) – o ponto I, que é o traço horizontal da recta i e que se identificou imediatamente com a letra H. 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, t e t’ (que são imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes, uma vez que o plano da base é o próprio Plano Horizontal de Projecção). Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pelo seu traço horizontal e pela recta i. Note que as tangentes à base (os traços horizontais dos planos) se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é I1. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas – o plano θ1 está definido por hθ1, por i e por g e o plano θ2 está definido por hθ2, por i e por g’. O traço frontal do plano θ1, f θ1, é concorrente com hθ1 no eixo X e é paralelo à recta i (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo) – f θ1 está definido por um ponto e uma direcção. O mesmo raciocínio se aplicou à determinação de f θ2, o traço frontal do plano θ2 – f θ2 é concorrente com hθ2 no eixo X e é paralelo à recta i.

376. Em primeiro lugar representaram-se o cone e o ponto G, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V e G conduziu-se uma recta (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base – o ponto I. 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, t e t’ (que são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o plano ν, o plano da base do cone). Tenha em conta que as rectas t e t’ são duas rectas horizontais (de nível). Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pela recta i e por uma das rectas t e t’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é I1. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas – o plano θ1 está definido pelas rectas i, t e g e o plano θ2 está definido pelas rectas i, t’ e g’. Determinou-se H, o traço horizontal da recta i – note que o traço frontal da recta i se situa fora dos limites do desenho. O traço horizontal do plano θ1, hθ1, passa por H1 e é paralelo à recta t (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula) – hθ1 está definido por um ponto e uma direcção. Determinou-se F, o traço frontal da recta t (que pertence ao plano θ1) – f θ1 passa por F2 e é concorrente com hθ1 no eixo X, mas este ponto (o ponto de concorrência dos dois traços do plano θ1) situa-se fora dos limites do desenho. Recorreu-se a uma outra recta do plano – a geratriz g. F’’ é o traço frontal da geratriz g – f θ1 passa por F2 e por F’’2 (está definido por dois pontos). O traço horizontal do plano θ2, hθ2, passa pelo traço horizontal da recta i e é paralelo à recta t’ – hθ2 está definido por um ponto e uma direcção. Determinou-se F’, o traço frontal da recta t’ (que pertence ao plano θ2) – f θ2 passa por F’2 e é concorrente com hθ2 no eixo X.

157

SOLUÇÕES

377. Em primeiro lugar representaram-se o cone e o ponto A , pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V e A conduziu-se uma recta (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes – note que a recta i é uma recta fronto-horizontal. 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base – o ponto I. A recta i é paralela ao plano da base, pelo que o ponto I s e s i t u a n o i n f i n i t o. 3. Por I (que se situa no infinito) conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, t e t’ – as rectas t e t’ são concorrentes com a recta i num ponto do infinito, pelo que são necessariamente paralelas à recta i (são igualmente rectas fronto-horizontais). As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o plano ϕ, o plano da base do cone. Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pela recta i e por uma das rectas t e t’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que são paralelas a uma recta dada que, neste caso, é a recta i . Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas – o plano θ1 está definido pelas rectas i, t e g e o plano θ2 está definido pelas rectas i, t’ e g’. Note que se trata necessariamente de planos de rampa – os dois traços de ambos os planos são rectas fronto-horizontais. Determinaram-se os traços da geratriz g, H e F, pelos quais se conduziram os traços homónimos do plano θ1. Em seguida, determinaram-se os traços da geratriz g’, H’ e F’, pelos quais se conduziram os traços homónimos do plano θ2.

378. Em primeiro lugar representaram-se o cone e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V e P conduziu-se uma recta (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base (que é o próprio Plano Horizontal de Projecção) – é o traço horizontal da recta i, que se identificou imediatamente com a letra H. 3. Por H conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, que são imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes (uma vez que o plano da base é o próprio Plano Horizontal de Projecção). Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pelo seu traço horizontal e pela recta i . Note que as tangentes à base (os traços horizontais dos planos) se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é H1. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas – o plano θ1 está definido por hθ1, por i e por g e o plano θ2 está definido por hθ2, por i e por g’. Note que hθ2 é uma recta fronto-horizontal com cota nula, pelo que se conclui que o plano θ2 é um plano de rampa (não poderá ser um plano frontal, pois contém uma recta oblíqua). Determinou-se F o traço frontal da recta i – f θ1 passa por F2 e é concorrente com hθ1 no eixo X (ff θ1 está definido por dois pontos). Uma vez que o plano θ2 é um plano de rampa, f θ2 é uma recta fronto-horizontal que passa por F2.

158

SOLUÇÕES

379.

Em primeiro lugar representaram-se o cone e a recta r, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta r tem as suas projecções paralelas entre si, pois trata-se de uma recta paralela ao β2/4. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V conduziu-se uma recta paralela à recta r (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base (que é o próprio Plano Horizontal de Projecção) – é o traço horizontal da recta i, que se identificou imediatamente com a letra H. 3. Por H conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, que são imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes (uma vez que o plano da base é o próprio Plano Horizontal de Projecção, e só por isso). Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pelo seu traço horizontal e pela recta i. Note que as tangentes à base (os traços horizontais dos planos) se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é H1. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas. Determinou-se F, o traço frontal da recta i. O traço frontal do plano θ1, f θ1, passa por F2 e é concorrente com hθ1 no eixo X. O mesmo raciocínio não se pode aplicar à determinação do traço frontal do plano θ2, pois o ponto de concorrência dos dois traços do plano θ2 situa-se fora dos limites do desenho. Assim, foi necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano – a recta h. A recta h é uma recta horizontal (de nível) do plano θ2, que é concorrente com a geratriz g’ no ponto A . A recta h está definida por um ponto (o ponto A ) e por uma direcção – é paralela a hθ2 (pois rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). F’ é o traço frontal da recta h – f θ2 passa pelos traços frontais das rectas i e h (que são duas rectas do plano θ2), estando assim definido por dois pontos.

380. Em primeiro lugar representaram-se o cone e a recta f, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O vértice do cone, V, é o ponto da recta r que tem 7 cm (a altura do cone) de afastamento – é o ponto da recta r que dista 7 cm do plano da base, que é o Plano Frontal de Projecção. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V conduziu-se uma recta paralela à recta f (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes (a recta i é igualmente uma recta frontal). 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base – o ponto I. A recta i é paralela ao plano da base, pelo que o ponto I s e s i t u a n o i n f i n i t o. 3. Por I (que se situa no infinito) conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, que são imediatamente os traços frontais dos dois planos tangentes – f θ1 e f θ2. As rectas f θ1 e f θ2 são concorrentes com a recta i num ponto do infinito, pelo que são necessariamente paralelas à recta i. As rectas f θ1 e f θ2 são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o Plano Frontal de Projecção, o plano que contém a base do cone. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que são paralelas a uma recta dada que, neste caso, é a recta i. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas. Determinou-se H, o traço horizontal da recta i. O traço horizontal do plano θ1, hθ1, passa por H1 e é concorrente com f θ1 no eixo X. Recorreu-se a um raciocínio idêntico para a determinação de hθ2 – hθ2 passa por H1 e é concorrente com f θ2 no eixo X.

159

SOLUÇÕES

381. Em primeiro lugar representaram-se o cone e a recta h, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V conduziu-se uma recta paralela à recta h (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes (a recta i é igualmente uma recta horizontal). 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base – o ponto I. A recta i é paralela ao plano da base, pelo que o ponto I s e s i t u a n o i n f i n i t o. 3. Por I (que se situa no infinito) conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, t e t’ – a rectas t e t’ são concorrentes com a recta i num ponto do infinito, pelo que são necessariamente paralelas à recta i (são igualmente rectas horizontais). As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o plano ν, o plano da base do cone. Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pela recta i e por uma das rectas t e t’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que são paralelas a uma recta dada que, neste caso, é a recta i. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas. Uma vez que a recta i (que é uma recta comum aos dois planos) é horizontal (de nível), sabe-se imediatamente que os traços horizontais dos dois planos são paralelos à recta i (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). Determinou-se H, o traço horizontal da geratriz g. O traço horizontal do plano θ1, hθ1, passa por H1 e é paralelo à recta i. Determinou-se F, o traço frontal da recta i. O traço frontal do plano θ1, f θ1, passa por F2 e é concorrente com hθ1 no eixo X. Determinou-se H, o traço horizontal da geratriz g’. O traço horizontal do plano θ2 passa por H’1 e é paralelo à recta i – o traço frontal do plano, f θ2, passa por F2 e é concorrente com hθ2 no eixo X.

382. Em primeiro lugar representaram-se o cone e a recta m, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V conduziu-se uma recta paralela à recta m (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes – a recta i é igualmente uma recta fronto-horizontal. 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base – o ponto I. A recta i é paralela ao plano da base, pelo que o ponto I s e s i t u a n o i n f i n i t o. 3. Por I (que se situa no infinito) conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, t e t’ – as rectas t e t’ são concorrentes com a recta i num ponto do infinito, pelo que são necessariamente paralelas à recta i (são igualmente rectas fronto-horizontais). As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o plano ν, o plano da base do cone. Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pela recta i e por uma das rectas t e t’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que são paralelas a uma recta dada que, neste caso, é a recta i. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. Note que as geratrizes g e g’ são, ambas, de perfil. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas – o plano θ1 está definido pelas rectas i, t e g e o plano θ2 está definido pelas rectas i, t’ e g’. Note que se trata n e c e s s a r i amente de planos de rampa – os dois traços de ambos os planos são rectas fronto-horizontais. A determinação dos traços dos dois planos pode passar pela determinação dos traços das geratrizes que, sendo de perfil, (Continua na página seguinte) 160

SOLUÇÕES

obrigar-nos-ia ao recurso a um qualquer processo geométrico auxiliar. Assim, optou-se por um outro raciocínio – o recurso a rectas auxiliares dos planos. A recta r é uma recta auxiliar do plano θ1 – a recta r é concorrente com a recta t no ponto A e é concorrente com a recta i no ponto B (recorde que as rectas t e i são duas rectas do plano θ1). A recta r está definida por dois pontos e é necessariamente uma recta do plano θ1. Determinaram-se os traços da recta r nos planos de projecção, H e F, pelos quais se conduziram os traços homónimos do plano θ1. Recorreu-se a um raciocínio idêntico para o plano θ2 – a recta s é a recta auxiliar do plano θ2 a que se recorreu (por uma questão de economia de traçados, optou-se por fazer a projecção frontal da recta s coincidente com a projecção frontal da recta r). A recta s é concorrente com a recta t’ no ponto C e é concorrente com a recta i no ponto B (recorde que as rectas t’ e i são duas rectas do plano θ2). A recta s está definida por dois pontos e é necessariamente uma recta do plano θ2. Determinaram-se os traços da recta s nos planos de projecção, H’ e F’, pelos quais se conduziram os traços homónimos do plano θ2. Sublinha-se que se poderia ter recorrido, por exemplo, ao rebatimento das geratrizes, através do rebatimento do plano de perfil que as contém, e determinar, em rebatimento, os traços das duas geratrizes nos planos de projecção – invertendo o rebatimento, obter-se-iam as respectivas projecções, o que nos permitiria determinar os traços dos planos tangentes. No entanto, este processo seria mais moroso do que o apresentado e teria mais traçado.

383. Em primeiro lugar representaram-se o cone e a recta f, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta p é a recta de perfil que contém o eixo do cone. Os dados permitiram-nos determinar imediatamente V2, a projecção frontal do vértice do cone e, assim, concluir a construção da sua projecção frontal. Para determinar V1 foi necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano π, o plano de perfil que contém a recta p. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π. A recta pr (a recta p em rebatimento) passa por Or e é concorrente com o eixo X num ponto fixo, que é o ponto de concorrência dos dois traços do plano (a recta p é uma recta passante). A partir de V2 transportou-se, para o rebatimento, a cota de V, obtendo Vr – invertendo o rebatimento, determinou-se V1, o que nos permitiu concluir a construção da projecção horizontal do cone. No que respeita à recta f, note que a sua localização foi totalmente arbitrária, pois não é dado nenhum ponto da recta f. Tal facto, no entanto, não é relevante para o exercício, pois a solução final será sempre a mesma, independentemente da situação da recta f – a solução do problema depende, unicamente, da direcção da recta f. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V conduziu-se uma recta paralela à recta f (a recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. Note que a recta i é igualmente uma recta frontal (de frente). 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base – o ponto I. 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, t e t’. Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pela recta i e por uma das duas rectas t e t’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é I1. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas – o plano θ1 está definido por i, t e g e o plano θ2 está definido por i, t’ e g’. Determinou-se H, o traço horizontal da recta i. O traço horizontal do plano θ1, hθ1, passa por H1 e é paralelo à recta t, pois a recta t é uma recta horizontal (de nível) do plano θ1 (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). O traço frontal do plano θ1, fθ1, é concorrente com hθ1 no eixo X e é paralelo à recta i, pois a recta i é uma recta frontal (de frente) do plano θ1 (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo). De forma idêntica, o traço horizontal do plano θ2, hθ2, passa por H1 e é paralelo à recta t’, pois a recta t’ é uma recta horizontal (de nível) do plano θ2 – o traço frontal do plano θ2, fθ2, é concorrente com hθ2 no eixo X e é paralelo à recta i, pois a recta i é também uma recta frontal (de frente) do plano θ2.

384. Se o plano θ é tangente a uma superfície cilíndrica num ponto, conclui-se que o plano θ é tangente à superfície ao longo da geratriz que contém o ponto (a geratriz de contacto ou de tangência) e é igualmente tangente à directriz da superfície. Sabe-se, ainda, que o plano θ contém a «família» de rectas das geratrizes da superfície (e do seu eixo).

161

SOLUÇÕES

385. A geratriz ao longo da qual um dado plano é tangente a uma superfície cilíndrica chama-se geratriz de contacto ou geratriz de tangência.

386. A afirmação é verdadeira. De facto, qualquer plano tangente a uma superfície cilíndrica é tangente à superfície ao longo de uma geratriz – qualquer plano tangente a uma superfície cilíndrica contém, assim, uma geratriz da superfície (a geratriz de contacto ou de tangência), pelo que contém igualmente, uma infinidade de rectas paralelas a essa geratriz. Uma vez que todas as geratrizes de uma superfície cilíndrica são paralelas entre si e paralelas ao eixo da superfície, qualquer plano tangente a uma superfície cilíndrica contém, assim, a «família» de rectas do eixo da superfície, ou seja, verifica o Critério de paralelismo entre planos e rectas em relação ao eixo da superfície (para que um plano seja paralelo a uma recta, tem de conter a «família» de rectas a que essa recta pertence).

387. Em primeiro lugar representou-se o cilindro, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do sólido. Para determinar as projecções do ponto P determinou-se, previamente, o lugar geométrico dos pontos da superfície lateral do cilindro que têm 2 cm de cota. Para tal, recorreu-se a um plano horizontal (de nível) ν1, com 2 cm de cota, e determinou-se a circunferência resultante da intersecção desse plano com a superfície lateral do cilindro – essa circunferência tem raio igual ao raio das bases e tem centro no ponto Q, que é o ponto de intersecção do plano ν1 com o eixo do sólido. O ponto P é o ponto dessa circunferência que tem 3 cm de afastamento e é visível em projecção horizontal (o outro ponto da circunferência que também tem 3 cm de afastamento é invisível em projecção horizontal). Em seguida, conduziu-se, por P, uma geratriz g, da superfície lateral do cilindro – a geratriz g é a geratriz de contacto ou de tangência (é a geratriz ao longo da qual o plano θ é tangente à superfície lateral do cilindro). A geratriz g está definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (é paralela ao eixo do cilindro). O ponto H é o traço horizontal da geratriz e é o ponto da geratriz que se situa na base inferior do sólido. A geratriz g é, já, uma recta tangente à superfície lateral do cilindro no ponto P – já temos uma recta para definir o plano θ. Necessitamos de outra recta. Recorreu-se à recta t, outra recta tangente à superfície no ponto P. A recta t é uma recta horizontal (de nível) e é a recta de intersecção do plano θ com o plano ν1 (o plano auxiliar a que se recorreu para determinar as projecções de P). A recta t está definida por um ponto (o ponto P) e uma direcção (é perpendicular ao raio da circunferência que contém P no ponto P). Já temos duas rectas para definir o plano θ – a geratriz g e a recta tangente t. O traço horizontal do plano θ, hθ, passa por H (o traço horizontal da geratriz g) e é paralelo à recta t, pois t é uma recta horizontal (de nível) do plano θ. Em seguida, determinou-se F, o traço frontal da recta t – o traço frontal do plano θ, f θ, passa por F e é concorrente com hθ no eixo X.

388. Em primeiro lugar representou-se o cilindro, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do sólido. O plano ν1 é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro. Para determinar as projecções do ponto M recorreu-se a uma geratriz g, do cilindro, com 3 cm de afastamento e situada à esquerda do eixo do sólido – o ponto M é o ponto da geratriz g que tem 5 cm de cota. Note que este raciocínio é exclusivo dos cilindros de revolução com geratrizes verticais (que é o caso) ou de topo. A geratriz g, porque contém o ponto M, é a geratriz de contacto ou de tangência (é a geratriz ao longo da qual o plano θ é tangente à superfície lateral do cilindro). Já temos uma recta para definir o plano θ – falta-nos outra recta. O ponto A é o ponto da geratriz g que se situa na base inferior do cilindro. A recta t é a recta tangente à base inferior do sólido no ponto A (t é perpendicular ao raio da base no ponto A ) – a recta t está definida por um ponto e uma direcção. O plano θ está definido por duas rectas concorrentes – a recta t e a geratriz g. H é o traço horizontal da geratriz g – hθ passa por H1 e é paralelo à recta t (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). O traço frontal do plano θ, f θ, é concorrente com hθ no eixo X e é paralelo à geratriz g (a geratriz g é uma recta vertical, que é uma caso particular das rectas frontais – rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo). Note que, atendendo a que a geratriz g é uma recta vertical (projectante horizontal), era um dado adquirido que o plano θ seria necessariamente um plano projectante horizontal. Note que este raciocínio permitir-nos-ia ter poupado o recurso à recta t, pois bastava garantir que o plano θ contivesse a geratriz g e fosse tangente ao cone, o que era possível garantir, directamente, em projecção horizontal.

162

SOLUÇÕES

389. Em primeiro lugar representou-se o cilindro, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do sólido. Para determinar as projecções do ponto P recorreu-se a uma geratriz g, do cilindro, com 6,5 cm de cota e situada à esquerda do eixo do sólido – o ponto P é o ponto da geratriz g que tem 5 cm de afastamento. Sublinha-se que este raciocínio é exclusivo dos cilindros de revolução com geratrizes de topo (que é o caso) ou verticais (que é o caso do exercício anterior). A geratriz g, porque contém o ponto P, é a geratriz de contacto ou de tangência (é a geratriz ao longo da qual o plano θ é tangente à superfície lateral do cilindro). Já temos uma recta para definir o plano θ – falta-nos outra recta. O ponto F é o ponto da geratriz g que se situa na base de menor F é o traço frontal da geratriz g). A recta t afastamento do cilindro (F é a recta tangente à base de menor afastamento do sólido em F (t é perpendicular ao raio da base no ponto F) – a recta t é o próprio traço frontal do plano θ. O plano θ está definido por duas rectas concorrentes – a geratriz g e o seu traço frontal (ff θ). O traço horizontal do plano θ, hθ, é concorrente com f θ no eixo X e é paralelo à geratriz g (a geratriz g é uma recta de topo, que é uma caso particular das rectas horizontais – rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). Note que, atendendo a que a geratriz g é uma recta de topo (projectante frontal), era um dado adquirido que o plano θ seria necessariamente um plano projectante frontal.

390. Em primeiro lugar representou-se o cilindro, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do sólido. O plano ϕ1 é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento do sólido. Os pontos T e T’ são os pontos de menor cota das duas bases do sólido (da base de maior afastamento e da base de menor afastamento, respectivamente). A geratriz g está definida por T e T’ (e é paralela ao eixo do sólido). A geratriz g é a geratriz de contacto ou de tangência (é a geratriz ao longo da qual o plano θ é tangente à superfície lateral do cilindro). A geratriz g é, já, uma recta do plano θ – já temos uma recta para definir o plano θ. Necessitamos de outra recta. Recorreu-se à recta t, outra recta tangente à superfície – a recta t é a recta tangente à base de maior afastamento do cilindro no ponto T. A recta t é uma recta fronto-horizontal e é a recta de intersecção do plano θ com o plano ϕ (o plano da base de maior afastamento). A recta t está definida por um ponto (o ponto T) e uma direcção (é perpendicular ao raio da base no ponto T). Já temos duas rectas para definir o plano θ – a geratriz g e a recta tangente t. O plano está definido por uma recta oblíqua (a geratriz g) e por uma recta fronto-horizontal (a recta t), pelo que o plano θ é necessariamente um plano de r a m p a. Determinaram-se os traços da geratriz g nos planos de projecção, pelos quais se conduziram os traços homónimos do plano θ.

163

SOLUÇÕES

391. Em primeiro lugar representou-se o cilindro, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta r tem as suas projecções paralelas entre si, pois é paralela ao β2/4. O centro da base de maior afastamento é o ponto da recta r que dista 3 cm (o raio das bases) do Plano Horizontal de Projecção – o ponto O é o ponto da recta r que tem 3 cm de cota. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do cilindro. O plano ϕ1 é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento do cilindro. O plano ϕ1 dista 4 cm (a altura do cilindro) do plano ϕ. O ponto O’ é o centro da base de menor afastamento do cilindro e é o ponto de intersecção do plano ϕ1 com a recta r. Para determinar as projecções do ponto P determinou-se, previamente, o lugar geométrico dos pontos da superfície lateral do cilindro que têm 5 cm de afastamento. Para tal, recorreu-se a um plano frontal (de frente) ϕ2, com 5 cm de afastamento, e determinou-se a circunferência resultante da intersecção desse plano com a superfície lateral do cilindro – essa circunferência tem centro no ponto A (que é o ponto de intersecção do plano ϕ2 com o eixo do sólido) e M苶2 (M M é o ponto em que o plano ϕ2 corta a geratriz [G GG’], A 苶M raio 苶 2苶 que é a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal). O ponto P é o ponto dessa circunferência que tem 2 cm de cota (é o ú n i c o ponto dessa circunferência que tem 2 cm de cota). Note que o raio dessa circunferência é igual ao raio das faces, pelo que a determinação do ponto M não foi fundamental. Em seguida conduziu-se, por P, uma geratriz g, da superfície lateral do cilindro – a geratriz g é a geratriz de contacto ou de tangência (é a geratriz ao longo da qual o plano θ é tangente à superfície lateral do cilindro). A geratriz g está definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (é paralela ao eixo do cilindro). O ponto H é o traço horizontal da geratriz e é o ponto da geratriz que se situa na base de maior afastamento do sólido. A geratriz g é, já, uma recta tangente à superfície lateral do cilindro no ponto P – já temos uma recta para definir o plano θ. Necessitamos de outra recta. Recorreu-se à recta t, outra recta tangente à superfície no ponto P. A recta t é uma recta fronto-horizontal e é a recta de intersecção do plano θ com o plano ϕ2 (o plano auxiliar a que se recorreu para determinar as projecções de P). A recta t está definida por um ponto (o ponto P) e uma direcção (é perpendicular ao raio da circunferência que contém P no ponto P). Já temos duas rectas para definir o plano θ – a geratriz g e a recta tangente t. O plano θ está definido por uma recta oblíqua (a geratriz g) e por uma recta fronto-horizontal (a recta t), pelo que o plano θ é necessariamente um plano de rampa. Determinou-se o traço frontal da geratriz g, pelo qual se conduziu o traço frontal do plano θ. O traço horizontal do plano θ passa pelo traço horizontal da geratriz g, já determinado.

392. Em primeiro lugar representou-se o cilindro e o ponto A , pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por A conduziu-se uma recta paralela às geratrizes do cilindro (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. A recta i é uma recta vertical. 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base de referência (a base de menor cota), que é o próprio Plano Horizontal de Projecção. O ponto I é o próprio traço horizontal da recta i, que se identificou imediatamente com a letra H. 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro, que são imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes (uma vez que o plano da base é o próprio Plano Horizontal de Projecção). Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pelo seu traço horizontal e pela recta i. Note que as tangentes à base (os traços horizontais dos planos) se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é I1. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’, que são rectas verticais – g passa por T e g’ passa por T’. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas (a recta i, a respectiva geratriz de contacto e o respectivo traço horizontal). Para determinar os traços frontais dos dois planos, teve-se em consideração que as rectas verticais (a recta i e as geratrizes g e g’) são casos particulares das rectas frontais (de frente) – os traços frontais são, assim, rectas verticais (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo) e são concorrentes com os respectivos traços horizontais no eixo X.

164

SOLUÇÕES

393.

Em primeiro lugar representou-se o cilindro e o ponto G, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do cilindro. O plano ν1 é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por G conduziu-se uma recta paralela às geratrizes do cilindro (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base de referência (a base de menor cota) – o ponto I. 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor cota) – t e t’. As rectas t e t’ são rectas horizontais (de nível) e são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o plano da base de referência (a base de menor cota do cilindro). Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pela recta i e por uma das duas rectas t e t’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é I1. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro, tal como g’ passa por T ’ e é também paralela ao eixo do sólido. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas (a recta i, a respectiva geratriz de contacto e a respectiva tangente à base inferior). Determinaram-se os traços da recta i nos planos de projecção – F e H. O traço horizontal do plano θ1 passa por H1 e é paralelo à recta t (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). De forma idêntica, o traço horizontal do plano θ2 passa também por H1 e é paralelo à recta t’. O traço frontal do plano θ2, f θ2, passa por F2 e é concorrente com hθ2 no eixo X. O mesmo raciocínio não se pode aplicar à determinação do traço frontal do plano θ1, pois o ponto de concorrência dos dois traços do plano situa-se fora dos limites do desenho. Assim, determinou-se o traço frontal da geratriz g (a geratriz que pertence ao plano θ1) – F’. O traço frontal do plano θ1 passa pelos traços frontais de i e g (está definido por dois pontos).

394. Em primeiro lugar representou-se o cilindro e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) com 6 cm de afastamento que contém a base de maior afastamento do cilindro. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por P conduziu-se uma recta paralela às geratrizes do cilindro (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. A recta i é uma recta horizontal (de nível). 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base de referência (a base de menor afastamento) – o ponto I (note que I é, imediatamente, o traço frontal da recta i). 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor afastamento) – estas são, imediatamente, os traços frontais dos dois planos tangentes (ff θ1 e f θ2). Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pela recta i e pelo respectivo traço frontal. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é I2. Note ainda que fθ2 é paralelo ao eixo X (é uma recta fronto-horizontal). Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro, tal como g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do sólido. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas (a recta i, a respectiva geratriz de contacto e o respectivo traço frontal). Uma vez que a recta i é uma recta horizontal (de nível), o traço horizontal do plano θ1, hθ1, é paralelo à recta i (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula) e é concorrente com f θ1 no eixo X. Já o plano θ2, pelo seu traço frontal, só pode ser um plano de rampa ou um plano horizontal (de nível). As três rectas conhecidas no plano θ2 (as rectas i, g e f θ2) são rectas horizontais (de nível) ou os seus casos particulares, pelo que o plano θ2 é necessariamente um plano horizontal (de nível), razão pela qual se assinalou o seu traço frontal entre parêntesis.

165

SOLUÇÕES

395. Em primeiro lugar representou-se o cilindro e o ponto M, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento do cilindro. O plano ϕ1 é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do cilindro. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por M conduziu-se uma recta paralela às geratrizes do cilindro (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base de referência (a base de menor afastamento) – o ponto I. 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor afastamento) – as rectas t e t’, que são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o plano ϕ (o plano da base de referência). Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pela recta i e por uma das duas rectas t e t’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é I2. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro, tal como g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do sólido. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas (a recta i, a respectiva geratriz de contacto e a respectiva recta tangente à base de referência). Determinou-se o traço frontal da recta i (o ponto F) – o seu traço horizontal situa-se fora dos limites do desenho. Por F2 conduziram-se os traços frontais dos dois planos tangentes – f θ1 é paralelo às recta t (a recta t é uma recta frontal do plano θ1 e rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo), tal como f θ2 é paralelo à recta t’ (que, por sua vez, é uma recta frontal do plano θ2). Note que os traços frontais dos dois planos estão, ambos, definidos por um ponto e uma direcção. Determinou-se o traço horizontal da recta t – o ponto H. O hθ1 está definido por dois pontos). Determinou-se o traço traço horizontal do plano θ1, hθ1, passa por H1 e é concorrente com f θ1 no eixo X (h horizontal da recta t’ – o ponto H’. O ponto de concorrência dos traços do plano θ2 situa-se fora dos limites do desenho, pelo que, ao contrário do exposto para hθ1, só temos um ponto para definir hθ2 – falta-nos outro ponto ou uma direcção, pelo que é necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano. Recorreu-se a uma recta horizontal (de nível) h, do Plano θ2, que passa por T’ – a recta h está definida por dois pontos (o ponto T’ e o seu traço frontal, F’, que se situa sobre f θ2). O traço horizontal do plano θ2 passa por H’1 e é paralelo à recta h (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula) – hθ2 está definido por um ponto e uma direcção.

166

SOLUÇÕES

396. Em primeiro lugar representou-se o cilindro e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. As projecções da recta r fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura, pois a recta é paralela ao β1/3. O centro da base inferior do cilindro é o ponto da recta r que dista 3 cm (o raio das bases) do Plano Frontal de Projecção – o ponto O é o ponto da recta r que tem 3 cm de afastamento. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do cilindro. O eixo do cilindro (que mede 6 cm) não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois a sua recta suporte (a recta r) é oblíqua a ambos os planos de projecção. É necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano α, o plano projectante horizontal da recta r. Rebateu-se o plano α para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f α. A recta rr é a recta r rebatida e está definida por Or e por A r – a partir de Or, sobre rr, O’ é o centro da base superior do cilindro). Invertendo o rebatimento, mediram-se os 6 cm (o comprimento do eixo do sólido), obtendo O’r (O determinaram-se as projecções de O’ (sobre as projecções homónimas da recta r) e concluiu-se a construção das duas projecções do sólido. O plano ν1 é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por P conduziu-se uma recta paralela às geratrizes do cilindro (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. Note que, uma vez que a recta r (a recta suporte do eixo do cilindro) é paralela ao β1/3, a recta i passando por P (que é um ponto do β1/3) e sendo paralela à recta r, é necessariamente uma recta do β1/3. 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base de referência (a base de menor cota) – o ponto I. 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor cota) – as rectas t e t’, que são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o plano ν (o plano da base de referência). Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pela recta i e por uma das duas rectas t e t’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é I1. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro, tal como g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do sólido. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas (a recta i, a respectiva geratriz de contacto e a respectiva recta tangente à base de referência). A recta i, sendo uma recta do β1/3, é uma recta passante, pelo que o ponto em que a recta i é concorrente com o eixo X é o ponto de concorrência dos dois traços de ambos os planos. Assim, por esse ponto conduziram-se, imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes – hθ1 é paralelo à recta t (a recta t é uma recta horizontal do plano θ1 e rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula), tal como hθ2 é paralelo à recta t’ (que, por sua vez, é uma recta horizontal do plano θ2). Note que os traços horizontais dos dois planos estão, ambos, definidos por um ponto e uma direcção. Determinou-se o traço frontal da recta t – o ponto F. O traço frontal do plano θ1, f θ1, passa por F2 e é concorrente com hθ1 no eixo X (ff θ1 está definido por dois pontos). Determinou-se o traço frontal da recta t’ – o ponto F’. O traço frontal do plano θ2, f θ2, passa por F’2 e é concorrente com hθ2 no eixo X (ff θ2 está definido por dois pontos).

167

SOLUÇÕES

397. Em primeiro lugar representou-se o cilindro e a recta r, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta r tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X, pois é uma recta do β1/3. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do sólido. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de rectas que se conhecem – a «família» da recta dada (recta r) e a «família» das geratrizes do cilindro. Assim, por um ponto qualquer, há que conduzir uma recta paralela à recta r e uma recta paralela às geratrizes do cilindro. Optou-se, com vista a uma maior economia de traçados, por escolher um ponto R , da recta r, como o ponto exterior ao cilindro. Assim, por R conduziu-se uma recta f , paralela às geratrizes do sólido (que estão contidas em rectas frontais) – o plano definido pelas rectas r e f (plano θ) é paralelo aos planos tangentes. 2 . Determinou-se a recta de intersecção do plano θ (o plano definido por r e f) com o plano da base de referência (a base de menor cota) – hθ (que é, imediatamente, o traço horizontal do plano θ). Optou-se por determinar também o traço frontal do plano θ, f θ, apesar de, à partida, não ser necessário. 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor cota) que são paralelas a hθ – estas são, hθ1 e hθ2). As tangentes à base de referência permitem-nos, ainda, determinar imediatamente, os traços horizontais dos planos tangentes (h os pontos de tangência, T e T’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que são paralelas a uma recta dada que, neste caso, é hθ. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangência), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro e g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do cilindro. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas rectas (o respectivo traço horizontal e a respectiva geratriz de contacto) e pela sua orientação (são, ambos, paralelos ao plano θ, cujos traços já conhecemos). Assim, a determinação do traço frontal de θ1 é imediata – f θ1 é concorrente com hθ1 no eixo X e é paralelo a f θ (plano paralelos têm os seus traços homónimos paralelos entre si. Em relação ao plano θ2, observa-se que o ponto de concorrência dos dois traços se situa fora dos limites do desenho, pelo que temos, apenas, a direcção de f θ2 – é paralelo a f θ. Falta-nos um ponto. Recorreu-se a uma recta auxiliar do plano θ2 – a recta t. A recta t é uma recta horizontal (de nível) do plano θ2 T’’ é o ponto da geratriz g’ que pertence à base superior do cilindro) e é paralela a hθ2. Note – t é concorrente com a geratriz g’ no ponto T’’ (T que a recta t é outra recta do plano θ2 que é tangente à base superior do cilindro (no ponto T’’) – t é a recta de intersecção do plano θ2 com o plano ν. Determinou-se F, o traço frontal da recta t – f θ2 passa por F2 e é paralelo a f θ.

398. Em primeiro lugar representou-se o cilindro e a recta h, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do cilindro. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de rectas que se conhecem – a «família» da recta dada (recta r) e a «família» das geratrizes do cilindro. Assim, por um ponto qualquer há que conduzir uma recta paralela à recta h e uma recta paralela às geratrizes do cilindro. Optou-se, com vista a uma maior economia de traçados, por escolher o ponto P , da recta h, como o ponto exterior ao cilindro. Assim, por P conduziu-se uma recta r, paralela às geratrizes do sólido (a recta r é uma recta de topo) – o plano definido pelas rectas r e h (plano θ) é paralelo aos planos tangentes. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano θ (o plano definido por h e r ) com o plano da base de referência (a base de menor afastamento) – a recta i, que é uma recta fronto-horizontal (está definida por F e F’, os traços frontais das rectas r e h, respectivamente). Tenha em conta que o plano definido pelas rectas r e h é n e c e s s a r i a m e n t e um plano horizontal (de nível) – os dois planos tangentes serão, igualmente, planos horizontais (Continua na página seguinte) 168

SOLUÇÕES

(de nível). 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor afastamento) que são paralelas à recta i – t e t’. Estas são, imediatamente, os traços frontais dos planos tangentes (ff θ1 e f θ2). As tangentes à base de referência permitem-nos, ainda, determinar os pontos de tangência, T e T’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que são paralelas a uma recta dada que, neste caso, é i 2. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangência), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro e g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do cilindro. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas rectas (o respectivo traço frontal e a respectiva geratriz de contacto) e pela sua orientação (são, ambos, paralelos ao plano θ, que é um plano horizontal). Assim, os planos θ1 e θ2, porque são planos horizontais (de n í v e l ), não têm traço horizontal e estão definidos por um único traço (o seu traço frontal), razão pela qual os respectivos traços frontais se encontram assinalados entre parêntesis.

399. Em primeiro lugar representou-se o cilindro e a recta f, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do sólido. O plano ν1 é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do sólido. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de rectas que se conhecem – a «família» da recta dada (recta f) e a «família» das geratrizes do cilindro. Assim, por um ponto qualquer, há que conduzir uma recta paralela à recta f e uma recta paralela às geratrizes do cilindro. Optou-se, com vista a uma maior economia de traçados, por escolher o ponto M, da recta f, como o ponto exterior ao cilindro. Assim, por M conduziu-se uma recta r, paralela às geratrizes do sólido (que estão contidas em rectas frontais) – o plano definido pelas rectas r e f (plano θ) é paralelo aos planos tangentes. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano θ (o plano definido por r e f) com o plano da base de referência (a base de menor cota). Uma vez que o plano da base de referência é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção, e atendendo a que um dado plano corta dois planos paralelos segundo duas rectas paralelas, optou-se por determinar imediatamente a recta de intersecção do plano θ com o Plano Horizontal de Projecção – hθ (o traço horizontal do plano θ). A recta de intersecção do plano θ com o plano ν (o plano da base de referência), apesar de não se ter determinado, é paralela a hθ. Optou-se por determinar também o traço frontal do plano θ, f θ, apesar de, à partida, não ser necessário. 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor cota) que são paralelas a hθ – as rectas t e t’. Estas são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o plano ν (o plano da base de referência). As tangentes à base de referência permitem-nos, ainda, determinar os pontos de tangência, Te T’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que são paralelas a uma recta dada que, neste caso, é hθ. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangência), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro e g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do cilindro. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas rectas (a respectiva tangente à base inferior do cilindro e a respectiva geratriz de contacto) e pela sua orientação (são, ambos, paralelos ao plano θ, cujos traços já conhecemos). Determinou-se H’’, o traço horizontal da geratriz g – hθ1, o traço horizontal do plano θ1, passa por H’’1 e é paralelo a hθ e à recta t (a recta t é uma recta horizontal do plano θ1 e rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). O traço frontal do plano θ1, f θ1, é concorrente com hθ1 no eixo X e é paralelo a f θ (planos paralelos têm os traços homónimos paralelos entre si). Determinou-se H’’’, o traço horizontal da geratriz g’ – hθ2, o traço horizontal do plano θ2, passa por H’’’1 e é paralelo à recta t’ (a recta t’ é uma recta horizontal do plano θ2) e a hθ. O traço frontal do plano θ2, f θ2, é concorrente com hθ2 no eixo X e é paralelo a f θ.

169

SOLUÇÕES

400. Em primeiro lugar representou-se o cilindro e a recta r, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento do cilindro. O plano ϕ1 é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do cilindro. A recta r, porque é uma recta do β2/4, tem as suas projecções coincidentes. Note que, apesar de as projecções da recta r passarem pelas projecções frontais de O e de O’ (que estão coincidentes), nenhum destes pontos pertence à recta r, pois são pontos que não pertencem ao β2/4. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de rectas que se conhecem – a «família» da recta dada (recta r) e a «família» das geratrizes do cilindro. Assim, por um ponto qualquer, há que conduzir uma recta paralela à recta r e uma recta paralela às geratrizes do cilindro. Uma vez que as geratrizes do cilindro são projectantes frontais (são rectas de topo), teve-se em conta que a orientação dos plano tangentes é determinada directamente – é a orientação do plano projectante frontal da recta r. O plano θ é o plano projectante frontal da recta r e é um plano de topo – note que o plano θ (definido pelos seus traços) contém a recta r e contém rectas de topo, pelo que é necessariamente paralelo às geratrizes do cilindro. Este raciocínio é exclusivo das situações em que as geratrizes do cilindro ou a recta dada são projectantes. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano θ (o plano paralelo aos planos tangentes) com o plano da base de referência (a base de menor afastamento). Note que, à semelhança do exercício anterior, se optou por determinar a recta de intersecção do plano θ com o Plano Frontal de Projecção (ffθ) que é paralela à recta de intersecção de θ com ϕ (o plano da base de referência). O plano θ já estava definido pelos seus traços, pelo que esta segunda etapa já estava concluída. 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor afastamento) que são paralelas a f θ – t e t ’. As tangentes à base de referência permitem-nos, ainda, determinar os pontos de tangência, T e T’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que são paralelas a uma recta dada que, neste caso, é f θ. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangência), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro e g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do cilindro. As duas geratrizes são rectas de topo. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas rectas (a respectiva tangente à base de referência e a respectiva geratriz de contacto) e pela sua orientação (são, ambos, paralelos p r o j e c t a n t e s f r o n t a i s), os seus traços tiveram ao plano θ, que é um plano de topo). Assim, porque os planos θ1 e θ2 são planos de topo (p determinação directa.

170

SOLUÇÕES

401. Em primeiro lugar representou-se o cilindro e a recta h, pelas respectivas projecções, em função dos dados. As projecções das geratrizes do cilindro fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura, porque as respectivas rectas suporte são paralelas ao β1/3. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do sólido. O plano ν1 é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do sólido e dista 5 cm (a altura do cilindro) do plano ν. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de rectas que se conhecem – a «família» da recta dada (recta h) e a «família» das geratrizes do cilindro. Assim, por um ponto qualquer há que conduzir uma recta paralela à recta h e uma recta paralela às geratrizes do cilindro. Optou-se, com vista a uma maior economia de traçados, por escolher o ponto P, da recta h, como o ponto exterior ao cilindro. Assim, por P conduziu-se uma recta r, paralela às geratrizes do sólido – o plano definido pelas rectas r e h (plano θ) é paralelo aos planos tangentes. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano θ (o plano definido por r e h) com o plano da base de referência (a base de menor cota) – recta i. A recta i é uma recta horizontal (de nível) do plano θ e está definida por um ponto (o ponto I, que é o ponto de intersecção da recta r com o plano ν) e uma direcção (é paralela à recta h, pois rectas horizontais de um plano são paralelas entre si). 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor cota) que são paralelas à recta i – as rectas t e t’. As rectas t e t’ são rectas horizontais (de nível) e são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o plano ν (o plano da base de referência). As tangentes à base de referência permitem-nos, ainda, determinar os pontos de tangência, T e T’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que são paralelas a uma recta dada que, neste caso, é i 1. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangência), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro e g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do cilindro. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas rectas (a respectiva tangente à base de referência e a respectiva geratriz de contacto) e pela sua orientação (são, ambos, paralelos ao plano θ). Determinou-se o traço horizontal da geratriz g – H. Por H1 conduziu-se hθ1, o traço horizontal do plano θ1, paralelo à recta t (a recta t é uma recta horizontal do plano θ1 e rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula) – hθ1 está definido por um ponto e uma direcção. Em seguida, determinou-se F, o traço frontal da recta t – f θ1, o traço frontal do plano θ1, passa por F2 e é concorrente com hθ1 no eixo X (ff θ1 está definido por dois pontos). Determinou-se o traço horizontal da geratriz g’ – H’. Por H’1 conduziu-se hθ2, o traço horizontal do plano θ2, paralelo à recta t (a recta t é uma recta horizontal do plano θ2) – hθ2 está definido por um ponto e uma direcção. Em seguida determinou-se F’, o traço frontal da recta t’ – f θ2, o traço frontal do plano θ2, passa por F’2 e é concorrente com hθ2 no eixo X (ff θ2 está definido por dois pontos).

171

SOLUÇÕES

402. Em primeiro lugar representaram-se o cone e o ponto M, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V e M conduziu-se uma recta (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. A recta i é uma recta de perfil. 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base (que é o próprio Plano Horizontal de Projecção) – esse ponto é o traço horizontal da recta i, cuja determinação requer o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento – rebateu-se o plano π (o plano de perfil que contém a recta i) para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π). A recta i r (a recta i rebatida) fica definida por Vr e por M r – Hr é o traço horizontal da recta i em rebatimento. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de H – H é, assim, o ponto de intersecção da recta i com o plano da base (o Plano Horizontal de Projecção). 3. Por H conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, que são imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes (uma vez que o plano da base é o próprio Plano Horizontal de Projecção) – hθ1 e hθ2. Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pelo seu traço horizontal e pela recta i. Note que as tangentes à base (os traços horizontais dos planos) se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é H1. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas – o plano θ1 está definido por hθ1, por i e por g e o plano θ2 está definido por hθ2, por i e por g’. Determinou-se F, o traço frontal da recta i – o ponto F determinou-se previamente em rebatimento (no rebatimento anteriormente efectuado para determinar H). O traço frontal do plano θ1, f θ1, passa por F2 e é concorrente com hθ1 no eixo X (ff θ1 está definido por dois pontos). Raciocínio idêntico aplicou-se ao plano θ2 – o seu traço frontal, f θ2, passa por F2 e é concorrente com hθ2 no eixo X.

172

SOLUÇÕES

403. Em primeiro lugar representou-se o cilindro e a recta m, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do sólido. O plano ϕ1 é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento do sólido e dista 6 cm (a altura do cilindro) do plano ϕ. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de rectas que se conhecem – a «família» da recta dada (recta m) e a «família» das geratrizes do cilindro. Assim, por um ponto qualquer, há que conduzir uma recta paralela à recta m e uma recta paralela às geratrizes do cilindro. Optou-se, com vista a uma maior economia de traçados, por não executar esta etapa, uma vez que o plano θ (o plano paralelo aos planos tangentes), sendo um plano definido por uma recta oblíqua e por uma recta fronto-horizontal, será necessariamente um plano de rampa. Os dois planos tangentes serão, assim, planos de rampa. Uma vez que planos de rampa têm sempre os seus traços homónimos paralelos entre si, quer sejam ou não paralelos, a determinação dos traços do plano θ é desnecessária. 2. Determinar a recta de intersecção do plano θ com o plano da base de referência (a base de maior afastamento). Optou-se, também, por não executar esta etapa, pois a recta de intersecção de um plano de rampa (o plano θ) com um plano frontal (o plano ϕ) é necessariamente uma recta fronto-horizontal – já é conhecida a direcção da recta i, mesmo sem efectivar a sua determinação. 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de maior afastamento) que são paralelas à recta i – as rectas t e t’. As rectas t e t’ são rectas fronto-horizontais e são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o plano ϕ (o plano da base de referência). As tangentes à base de referência permitem-nos, ainda, determinar os pontos de tangência, T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangência), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro e g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do cilindro. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas rectas (a respectiva tangente à base de referência e a respectiva geratriz de contacto). Determinaram-se os traços da geratriz g – H e F. Pelos traços de g conduziram-se os traços homónimos do plano θ1 (que é um plano de rampa). Determinaram-se os traços da geratriz g’ – H’ e F’. Note que H’1 se situa fora dos limites do desenho. Pelos traços de g’ conduziram-se os traços homónimos do plano θ2 (que é um plano de rampa). Note que, uma vez que H’ 1 se situa fora dos limites do desenho, hθ2 também se situa fora dos limites do desenho, pelo que não foi possível desenhá-lo.

173

SOLUÇÕES

404. Em primeiro lugar representaram-se o cone e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Os dados relativos ao cone permitiram-nos, de forma imediata, representar a sua base, desenhar a projecção horizontal da recta r (a recta que contém o eixo do sólido) e determinar a projecção horizontal do vértice do sólido (tendo em conta que a geratriz mais à direita do sólido é de perfil). A partir de V1, concluiu-se a construção da projecção horizontal do cone. No entanto, não se sabe a cota de V – uma vez que o eixo do cone não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (é oblíquo a ambos), é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar, para a determinação do vértice V, do cone. Optou-se pelo rebatimento do plano projectante horizontal do eixo – o plano α. Rebateu-se o plano α para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f α (recta e). Rebateu-se o ponto O (o centro da base, que é um extremo do eixo) e a referência de V – com o compasso, fazendo centro em Or e com 9 cm (o comprimento do eixo) de raio, determinou-se Vr. Invertendo o rebatimento, determinou-se V2, o que nos permitiu concluir a construção da projecção frontal do cone. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V e P conduziu-se uma recta (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. A recta i é uma recta de perfil. 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base (o plano ν) – esse ponto é o ponto I, cuja determinação requer o recurso a um processo geométrico auxiliar (note que é possível determinar, de forma imediata, I2, a projecção frontal de I). Optou-se pelo rebatimento – rebateu-se o plano π (o plano de perfil que contém a recta i) para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π – recta e’). A recta i r (a recta i rebatida) fica definida por Vr e por Pr – Ir determinou-se, sobre ir, em função da sua cota. Invertendo o rebatimento, determinou-se I1. I é, assim, o ponto de intersecção da recta i com o plano da base (o plano ν). 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base do cone – as rectas t e t’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é I1. Os pontos de tangência são T e T’. A recta t é uma recta horizontal (de nível) e a recta t’ é uma recta de topo. Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pela recta i e por uma das rectas t e t’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. Note que a geratriz g’ é uma recta de perfil. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas – o plano θ1 está definido por i, t e g e o plano θ2 está definido por i, t’ e g’. Uma vez que a recta i e a geratriz g’ são duas rectas de perfil do mesmo plano de perfil, no qual está contida, ainda, a recta t’, conclui-se que o plano θ2 é o próprio plano π. Determinaram-se os traços da recta i – H é o traço horizontal de i e F é o seu traço frontal (note que H e F se determinaram previamente em rebatimento, no rebatimento anteriormente efectuado do plano π). O traço horizontal do plano θ1 passa por H1 e é paralelo à recta t, que é uma recta horizontal do plano θ1 (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). O ponto de concorrência dos dois traços do plano situa-se fora dos limites do desenho, tal como o traço frontal da recta t . Recorreu-se a uma outra recta do plano θ1 – a geratriz g. F’ é o traço frontal da geratriz g – f θ1 passa por F2 e por F’2.

174

SOLUÇÕES

405. Em primeiro lugar representaram-se o cone e a recta p, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta p está definida por um ponto (o ponto A ) e por uma direcção (a recta faz um ângulo de 60o com o Plano Horizontal de Projecção, sendo que o seu traço frontal tem cota negativa). Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V conduziu-se uma recta paralela à recta p (a recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. Note que a recta i é igualmente uma recta de perfil – é uma recta de perfil paralela à recta p. 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base – o ponto I. Uma vez que se trata de uma recta de perfil, a determinação do ponto I carece do recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano π (o plano de perfil que contém a recta i). No entanto, é possível determinar, de forma imediata, I2. Tenha em conta que a solução do problema depende, unicamente, da direcção da recta p e não da sua localização. Assim, com vista a uma maior economia de traçados, optou-se por determinar um ponto A’, pertencente ao plano π e com as mesmas coordenadas do ponto A. Por A’ conduziu-se uma recta p’, paralela à recta p – a recta p’ é, afinal, a projecção ortogonal da recta p no plano π. Este procedimento permite-nos economizar um rebatimento – as duas situações pendentes do recurso a processos geométricos auxiliares (a determinação do ponto I e o paralelismo entre a recta i e a recta p) resolvem-se com um único rebatimento. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π. A recta p’r é a recta p’ rebatida – passa por A’r faz, com hπr, um ângulo de 60o, sendo que o seu traço frontal (que não se determinou) tem cota negativa (situa-se no SPFI). A recta i r, a recta i rebatida, passa por Vr e é paralela à recta p’r. O ponto I determinou-se em rebatimento, a partir da sua projecção frontal – invertendo o rebatimento, determinou-se I1. 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, t e t’. Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pela recta i e por uma das duas rectas t e t’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é I1. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas – o plano θ1 está definido por i, t e g e o plano θ2 está definido por i, t’ e g’. Determinaram-se os traços da recta i – H, o seu traço horizontal, e F, o seu traço frontal. Tenha em conta que os traços da recta i se determinaram previamente em rebatimento, no rebatimento anteriormente efectuado no plano π. O traço horizontal do plano θ1, hθ1, passa por H1 e é paralelo à recta t, pois a recta t é uma recta horizontal (de nível) do plano θ1 (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). O traço frontal do plano θ1, f θ1, é concorrente com hθ1 no eixo X e passa por F2. O traço horizontal do plano θ2, hθ2, passa igualmente por H1 e é paralelo à recta t’, pois a recta t’ é uma recta horizontal (de nível) do plano θ2. O traço frontal do plano θ2, f θ2, é concorrente com h θ2 no eixo X e passa por F2.

175

SOLUÇÕES

406. Em primeiro lugar representou-se o cilindro e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. No que respeita ao cilindro, os dados do enunciado permitiram-nos, apenas, concluir a construção da sua projecção horizontal – o ponto O’ (o centro da base superior) tem abcissa nula e 3 cm de afastamento (o raio das bases, pois a base superior é tangente ao Plano Frontal de Projecção). É dado que as geratrizes do sólido medem 9 cm – o eixo do cilindro tem o mesmo comprimento e não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. É necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano α, o plano projectante horizontal do eixo do cilindro. Rebateu-se o plano α para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fα. Rebateu-se o ponto O e a referência de O’ – com o compasso, fazendo centro em Or e com 9 cm de raio, determinou-se O’r. Invertendo o rebatimento, determinou-se O’2 e concluiu-se a construção da projecção frontal do cilindro. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por P conduziu-se uma recta paralela às geratrizes do cilindro (recta i), que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base de referência (a base inferior) – o ponto I (que é, imediatamente, o traço horizontal da recta i). 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base inferior) – t e t’. As rectas t e t’ são, imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes. Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pela recta i e pelo respectivo traço horizontal. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é I1. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro, tal como g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do sólido. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas (a recta i, a respectiva geratriz de contacto e o respectivo traço horizontal). Determinou-se o traço frontal da recta i – F. O traço frontal do plano θ2 passa por F2 e é concorrente com hθ2 no eixo X. De forma idêntica, o traço frontal do plano θ1 passa também por F2 e é concorrente com hθ1 no eixo X. O ponto de concorrência dos dois traços do plano θ1, no entanto, situa-se fora dos limites do desenho, pelo que é necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano. Recorreu-se ao traço frontal da geratriz g – F ’. O traço frontal do plano θ1, f θ1, passa pelos traços frontais das duas rectas (g e i) – está definido por dois pontos.

176

SOLUÇÕES

407. Em primeiro lugar representou-se o cilindro e a recta f, pelas respectivas projecções, em função dos dados. As geratrizes do cilindro estão contidas em rectas horizontais (de nível). O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento do sólido. O plano ϕ’ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do sólido. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de rectas que se conhecem – a «família» da recta dada (recta f) e a «família» das geratrizes do cilindro. Assim, por um ponto qualquer, há que conduzir uma recta paralela à recta f e uma recta paralela às geratrizes do cilindro. Optou-se, com vista a uma maior economia de traçados, por escolher o ponto N, da recta f, como o ponto exterior ao cilindro. Assim, por N conduziu-se uma recta h, paralela às geratrizes do sólido – o plano definido pelas rectas f e h (plano θ) é paralelo aos planos tangentes. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano θ (o plano definido por f e h) com o plano da base de referência (a base de menor afastamento) – recta i. A recta i é uma recta frontal (de frente) do plano θ e está definida por um ponto (o ponto I, que é o ponto de intersecção da recta h com o plano ϕ) e uma direcção (é paralela à recta f, pois rectas frontais de um plano são paralelas entre si). 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor afastamento) que são paralelas à recta i – as rectas t e t’. As rectas t e t’ são rectas frontais (de frente) e são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o plano ϕ (o plano da base de referência). As tangentes à base de referência permitem-nos, ainda, determinar os pontos de tangência, T e T’. Note que as tangentes à base se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma circunferência que são paralelas a uma recta dada que, neste caso, é i 2. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangência), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro e g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do cilindro. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas rectas (a respectiva tangente à base de referência e a respectiva geratriz de contacto) e pela sua orientação (são, ambos, paralelos ao plano θ). Determinou-se o traço horizontal da recta t – H. Por H1 conduziu-se hθ1, o traço horizontal do plano θ1, paralelo à geratriz g (a geratriz g é uma recta horizontal do plano θ1 e rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula) – hθ1 está definido por um ponto e uma direcção. Em seguida, desenhou-se f θ1, concorrente com hθ1 no eixo X e paralelo à recta t (a recta t é uma recta frontal do plano θ1 e rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo) – f θ1 está definido por um ponto e uma direcção. Determinou-se o traço horizontal da recta t’ – H’. Por H’1 conduziu-se hθ2, o traço horizontal do plano θ2, paralelo à geratriz g’ (a geratriz g’ é uma recta horizontal do plano θ2) – hθ2 está definido por um ponto e uma direcção. Em seguida, desenhou-se f θ2 , concorrente com hθ2 no eixo X e paralelo à recta t’ (a recta t’ é uma recta frontal do plano θ2) – f θ2 está definido por um ponto e uma direcção.

177

SOLUÇÕES

20 S ECÇÕES P L ANA S 408. Por secção plana de um poliedro entende-se o polígono formado pela intersecção de um plano (plano secante) com as faces de um poliedro.

409. Por sólido truncado (ou sólido resultante da secção) entende-se um outro sólido, formado por uma parte do sólido seccionado – a parte compreendida entre o plano secante e uma base ou o vértice. Por figura da secção entende-se, apenas, o polígono (que é uma figura plana) resultante da secção produzida no sólido pelo plano secante.

410. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano secante (o plano ν), pelo seu traço frontal, em função dos dados. As projecções da pirâmide desenharam-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício – o sólido resultante da secção. Em seguida, atendendo a que o plano secante é paralelo ao plano da base, sabe-se imediatamente que a figura da secção será um quadrado (semelhante ao quadrado da base), e com os seus lados paralelos aos lados correspondentes do quadrado da base. Por outro lado, uma vez que o plano ν (o plano secante) é projectante frontal, os vértices da figura da secção foram determinados a partir das suas projecções frontais – tratou-se de determinar os pontos de intersecção das arestas laterais (que estão contidas em rectas não projectantes) com um plano projectante frontal (o plano ν). A partir das proA’, B’, C’ e D’), desenharam-se as jecções dos quatro vértices da figura da secção (A A’B’C’D’]) e as projecções do sólido resultante projecções da figura (o quadrado [A da secção (a parte da pirâmide compreendida entre o plano secante e a base inferior). Note que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte compreendida entre o plano secante e o vértice da pirâmide) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. O sólido resultante da secção é, no presente caso, um tronco da pirâmide dada – um sólido compreendido A BCD] (a sua base inferior) e o quadrado [A A’B’C’D’] (a sua base entre o quadrado [A superior). Assim, representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) desse novo sólido, bem como as respectivas invisibilidades. Por fim, atendendo a que, em projecção horizontal, a figura da secção é visível (a superfície da figura, ou seja, a área do corte), identificou-se a figura a tracejado (em projecção horizontal).

411. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano secante (o plano ν1), pelo seu traço frontal, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do sólido. Em seguida, atendendo a que o plano secante é paralelo ao plano da base, sabe-se imediatamente que a figura da secção será um polígono semelhante ao polígono da base, e com os seus lados paralelos aos lados correspondentes do quadrado da base. Por outro lado, uma vez que o plano ν1 (o plano secante) é projectante frontal, os vértices da figura da secção foram determinados a partir das suas projecções frontais – tratou-se de determinar os pontos de intersecção das arestas laterais (que estão contidas em rectas não projectantes) com um plano projectante frontal (o plano ν1). A partir das projecções dos quatro vértices da figura da secção (aos quais não se atribuiu nenhum nome, para simplificar a leitura da resolução gráfica apresentada), desenharam-se as projecções da figura (que é um quadrado, tal como a base). Em projecção frontal, a figura da secção reduz-se a um segmento de recta, pois o plano secante é projectante frontal. Já em projecção horizontal, o quadrado projecta-se em V.G. mas, atendendo a que não houve a desagregação do sólido (é pedida a f i g u r a d a s e c ç ã o e não o s ó l i d o r e s u l t a n t e d a secção) há que representar as suas invisibilidades. Uma vez que todas as faces laterais (nas quais estão contidos os lados da figura da secção) são invisíveis em projecção horizontal, a figura da secção é invisível em projecção horizontal, na sua totalidade (a figura está contida na superfície do sólido que é invisível em projecção horizontal). Note que, em termos de traçado, o sólido se representou a traço médio (é um dado) e o pretendido (a f i g u r a d a s e c ção) se representou a traço forte.

178

SOLUÇÕES

412. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano secante (o plano ϕ1), pelo seu traço horizontal, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do sólido. As projecções da recta r fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura, pois a recta r é paralela ao β1/3. O vértice da pirâmide, o ponto V, é o ponto da recta r que dista 8 cm (a altura da pirâmide) do plano ϕ. Em seguida, atendendo a que o plano secante é paralelo ao plano da base, sabe-se imediatamente que a figura da secção será um polígono semelhante ao polígono da base, e com os seus lados paralelos aos lados correspondentes do triângulo da base. Por outro lado, uma vez que o plano ϕ1 (o plano secante) é projectante horizontal, os vértices da figura da secção foram determinados a partir das suas projecções horizontais – tratou-se de determinar os pontos de intersecção das arestas laterais (que estão contidas em rectas não projectantes) com um plano projectante horizontal (o plano ϕ1). A partir das projecções dos três vértices da figura A ’, B’ e C’), desenharam-se as projecções da figura (o da secção (A A’B’C’]). Em projecção horizontal, a figura da secção reduztriângulo [A -se a um segmento de recta, pois o plano secante é projectante horizontal. Já em projecção frontal, o triângulo projecta-se em V.G. mas, atendendo a que não houve a desagregação do sólido (é pedida a f i g u r a d a s e c ç ã o e não o s ó l i d o r e s u l t a n t e d a s e c ç ã o ) há que A ’ B ’] e [A A ’ C ’] estão representar as suas invisibilidades. Os lados [A contidos em faces visíveis (em projecção frontal) da pirâmide (as faA BV] e [A ACV], respectivamente), pelo que são visíveis. ces laterais [A B’C’] da figura, porque está contido numa face lateral inviJá o lado [B B CV]), é invisísível (em projecção frontal) da pirâmide (a face lateral [B vel em projecção frontal. Note que, em termos de traçado, o sólido se representou a traço médio (é um dado) e o pretendido (a figura da secção) se representou a traço forte.

Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano δ, pelos seus traços, em função dos dados. Uma vez que o plano α (o plano que contém a base da pirâmide) não é paralelo a nenhum dos planos de projecA B CDEF] ção, a determinação das projecções do hexágono [A processou-se com o recurso a um processo geométrico auxiliar – o rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hα). O hexágono foi construído previamente em V.G., em rebatimento, respeitando os dados – dois dos lados do polígono são de topo (paralelos a hα e a hαr). Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do hexágono da base da pirâmide. O eixo do sólido está contido numa recta frontal (de frente), passando por O (o centro do hexágono) e ortogonal ao plano α e projecta-se em V.G. no Plano Frontal de Projecção, pois é paralelo a este. As projecções da pirâmide desenharam-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício – o sólido resultante da secção. Em seguida, atendendo a que o plano secante é paralelo ao plano da base, sabe-se imediatamente que a figura da secção será um hexágono (semelhante ao hexágono da base), e com os seus lados paralelos aos lados correspondentes do hexágono da base. Por outro lado, uma vez que o plano δ (o plano secante) é projectante frontal, os vértices da figura da secção foram determinados a partir das suas projecções frontais – tratou-se de determinar os pontos de intersecção das arestas laterais (que estão contidas em rectas não projectantes) com um plano A’, B’, C’, D’, E’ e F’), desenharam-se as projecprojectante frontal (o plano δ). A partir das projecções dos seis vértices da figura da secção (A A’B’C’D’E’F’]) e as projecções do sólido resultante da secção (a parte da pirâmide compreendida entre o plano ções da figura (o hexágono [A

413.

(Continua na página seguinte) 179

SOLUÇÕES

secante e a base inferior). Note que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte compreendida entre o plano secante e o vértice da pirâmide) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. O sólido resultante da secção é, no presente caso, um tronco da pirâmide dada – um sólido A BCDEF] (a sua base inferior) e o hexágono [A A’B’C’D’E’F’] (a sua base superior). Assim, representaram-se compreendido entre o hexágono [A os contornos aparentes (horizontal e frontal) desse novo sólido, bem como as respectivas invisibilidades. Por fim, atendendo a que, em projecção horizontal, a figura da secção é visível (a superfície da figura, ou seja, a área do corte), identificou-se a figura a tracejado (em projecção horizontal). A V.G. da figura da secção determinou-se com o recurso ao rebatimento do plano δ (o plano secante) para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f δ.

414. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano α, pelos seus traços, em função dos dados. Note que a distância entre os planos γ (o plano que contém a base do sólido) e α (o plano secante) é medida ortogonalmente aos dois planos (trata-se da distância entre dois planos paralelos) e não é medida no eixo X, ao contrário da situação anterior, em que eram dadas as abcissas dos pontos em que os dois planos cortavam o eixo X. Uma vez que o plano γ (o plano que contém a base da pirâmide) não é paralelo a nenhum A B CD] processou-se com o recurso a um processo geométrico dos planos de projecção, a determinação das projecções do quadrado [A auxiliar – o rebatimento do plano γ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f γ). O quadrado foi construído previamente em V.G., em A B] faz com f γ existe no espaço e não tem correspondência em projecções. rebatimento, respeitando os dados – o ângulo que o lado [A Esse ângulo está contido no plano γ e só pode ser medido em V.G., em rebatimento – com vértice em A r, a partir de f γr, mediram-se os 60o, B tem cota nula). A partir de A r e B r, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. Invertendo o garantindo que B r se situe sobre hγr (B rebatimento, determinaram-se as projecções do quadrado da base da pirâmide. O eixo do sólido está contido numa recta horizontal (de nível) ortogonal ao plano γ (passando por O, o centro do quadrado) e projecta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção, pois é paralelo a este. As projecções da pirâmide desenharam-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício – o s ó l i d o resultante da secção. Em seguida, atendendo a que o plano secante é paralelo ao plano da base, sabe-se imediatamente que a figura da secção será um quadrado (um polígono semelhante ao quadrado da base), com os seus lados paralelos aos lados correspondentes do quadrado da base. Por outro lado, uma vez que o plano α (o plano secante) é projectante horizontal, os vértices da figura da secção foram determinados a partir das suas projecções horizontais – tratou-se de determinar os pontos de intersecção das arestas laterais (que estão contidas em rectas não projectantes) com um plano projectante horizontal (o plano α). A partir das projecções dos quatro vértices da figura da A’, B’, C’ e D’), desenharam-se as projecções da figura da secção (o quadrado [A A’B’C’D’]). Em projecção horizontal, a figura secção (A reduz-se a um segmento de recta, pois o plano secante (o plano α) é projectante horizontal. Já em projecção frontal, sendo pedida a f i g u r a da secção e não o sólido resultante da secção (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibilidades existentes na figura da secção. Os lados [A A’B’] e [A A’D’] estão contidos em faces visíveis (em projecção frontal) da pirâmide (as faces laterais [A A BV] e A DV], respectivamente), pelo que são visíveis. Já os lados [B B’C’] e [C C’D’] da figura, porque estão contidos em faces laterais invisíveis (em [A CDV], respectivamente), são invisíveis em projecção frontal. Note que, em termos B CV] e [C projecção frontal) da pirâmide (as faces laterais [B de traçado, o sólido se representou a traço médio (é um dado) e o pretendido (a figura da secção) se representou a traço forte.

180

SOLUÇÕES

415. A B C], pelas suas projecções, e o plano ν’, pelo seu traço frontal, em função dos Em primeiro lugar representou-se o triângulo equilátero [A A B C]. Os dados do exercício permitiram-nos concluir a construção dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém o triângulo [A da projecção horizontal do tetraedro – a projecção horizontal do vértice D (o quarto vértice do sólido) está coincidente com O1 (a projecção horizontal do centro do triângulo). Não é possível, de forma directa, determinar a cota de D, pois não se sabe a altura de um tetraedro – sabe-se, apenas, que todas as suas arestas têm o mesmo comprimento, sendo esse o raciocínio que suporta a construção das projecções A D], [B BD] e [C CD] têm comprimento igual ao lado do triângulo [A A B C], mas nenhuma delas se projecta de um tetraedro. Assim, as arestas [A em V.G. – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π, o plano de perfil que contém a CD]. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo Cr e a referência de Dr. Com o compasso, aresta [C A B C], determinou-se Dr – invertendo o rebatimento, determinou-se a profazendo centro em Cr e raio igual à medida do lado do triângulo [A jecção frontal de D e concluiu-se a construção da projecção frontal do sólido (as projecções do sólido representaram-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício – o sólido resultante da secção). Em seguida, atendendo a que o plano secante é paralelo ao plano da base, sabe-se imediatamente que a figura da secção será um triângulo equilátero (um polígono semelhante ao triângulo da base), com os seus lados paralelos aos lados correspondentes do triângulo da base. Por outro lado, uma vez que o plano ν’ (o plano secante) é projectante frontal, os vértices da figura da secção foram determinados a partir das suas projecções frontais – tratou-se de determinar os pontos de intersecção das arestas laterais (que estão contidas em rectas não projectantes) com um plano projectante fronCD] (a aresta de perfil), não teve determinação imetal (o plano ν’). No entanto, o ponto C’, que é o ponto em que o plano ν’ corta a aresta [C diata a partir da sua projecção frontal (como os pontos A’ e B’), uma vez que não é possível determinar, de forma directa, as projecções de pontos pertencentes a rectas de perfil – as projecções de uma recta de perfil não verificam o Critério de Reversibilidade, pelo que a condição para que um ponto pertença a uma recta é condição necessária, mas não suficiente. No entanto, atendendo a que a figura da secção (o A’B’C’]) é um t r i â n g u l o e q u i l á t e ro, de lados paralelos aos lados correspondentes do triângulo da base, sabe-se que o lado polígono [A A’C’] é paralelo ao lado [A A C], da base, tal como o lado [B B’C’] é paralelo ao lado [B B C], da base. Com esse raciocínio, conduziu-se, por A’1, [A A 1C1], obtendo C’1 sobre [C C1D1] – o ponto C’1, assim determinado, garante-nos também que [B B’C’] é paralelo a [B B C]. uma paralela a [A A’, B’ e C’), desenharam-se as projecções da figura (o triângulo equilátero A partir das projecções dos três vértices da figura da secção (A A’B’C’]) e as projecções do sólido resultante da secção (a parte do tetraedro compreendida entre o plano secante e a face inferior). Note [A que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte compreendida entre o plano secante e o vértice D) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objecA B C] (a sua face inferior) e o tivo do exercício. O sólido resultante da secção é um outro sólido – um sólido compreendido entre o triângulo [A A’B’C’] (a figura da secção). Assim, representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) desse novo sólido, bem como triângulo [A as respectivas invisibilidades. Por fim, atendendo a que, em projecção horizontal, a figura da secção é visível (a superfície da figura, ou seja, a área do corte), identificou-se a figura a tracejado (em projecção horizontal).

181

SOLUÇÕES

416. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano ϕ’, pelo seu traço horizontal, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base da pirâmide. Note que, atendendo a que a aresta lateral BV] é de perfil, se sabe que o vértice da pirâmide tem a abcissa de B. Por outro [B CV] é horizontal (de nível), conclui-se que V tem lado, sabendo que a aresta lateral [C a cota de C. Estes dois dados permitiram-nos localizar a projecção frontal de V, que, segundo o enunciado, tem afastamento nulo. Em seguida, atendendo a que o plano secante é paralelo ao plano da base, sabe-se imediatamente que a figura da secção será um quadrado (um polígono semelhante ao quadrado da base), com os seus lados paralelos aos lados correspondentes do quadrado da base. Por outro lado, uma vez que o plano ϕ’ (o plano secante) é projectante horizontal, os vértices da figura da secção foram determinados a partir das suas projecções horizontais – tratou-se de determinar os pontos de intersecção das arestas laterais (que estão contidas em rectas não projectantes) com um plano projectante horizontal (o plano ϕ’). B V] No entanto, o ponto B ’ , que é o ponto em que o plano ϕ’ corta a aresta [B (a aresta de perfil), não teve determinação imediata a partir da sua projecção frontal (como os pontos A’, C’ e D’), uma vez que não é possível determinar, de forma directa, as projecções de pontos pertencentes a rectas de perfil – as projecções de uma recta de perfil não verificam o Critério de Reversibilidade, pelo que a condição para que um ponto pertença a uma recta é condição necessária, mas não suficiente. A’B’C’D’]) é um quaNo entanto, atendendo a que a figura da secção (o polígono [A drado, de lados paralelos aos lados correspondentes do quadrado da base, sabeA’B’] é paralelo ao lado [A A B], da base, tal como o lado [B B ’ C ’] é -se que o lado [A B C], da base. Com esse raciocínio, conduziu-se, por A’2, uma paraparalelo ao lado [B A 2B 2], obtendo B’2 sobre [B B 2V2] – o ponto B’2, assim determinado, garante-nos também que [B B’C’] é paralelo a [B B C]. A partir das lela a [A A ’, B’, C’ e D’), desenharam-se as projecções da f i g u r a d a s e c ç ã o (o quadrado projecções dos quatro vértices da figura da secção (A A’B’C’D’]). Em projecção horizontal, a figura reduz-se a um segmento de recta, pois o plano secante (o plano ϕ’) é projectante horizontal. [A Já em projecção frontal, sendo pedida a figura da secção e não o sólido resultante da s ecção (não houve desagregação do sólido), há A’B’], [A A’D’] e [C C’D’] estão contidos em faces invisíveis (em que representar as invisibilidades existentes na figura da secção. Os lados [A A BV], [A A DV] e [C CDV], respectivamente), pelo que são invisíveis. Já o lado [B B’C’] da figura, projecção frontal) da pirâmide (as faces laterais [A B CV]), é visível em projecção frontal. Note que, porque está contido numa face lateral visível (em projecção frontal) da pirâmide (a face lateral [B em termos de traçado, o sólido se representou a traço médio (é um dado) e o pretendido (a figura da secção) se representou a traço forte.

417. Em primeiro lugar representou-se o prisma, pelas suas projecções, e o plano secante, pelo seu traço horizontal, em função dos dados. O plano ϕ é o plano que contém a base de menor afastamento do prisma e o plano ϕ1 o plano que contém a sua base de maior afastamento. O plano ϕ2 é o plano secante. Uma vez que o plano secante é paralelo aos planos das bases, sabe-se imediatamente que a figura da secção será um polígono geometricamente igual aos quadrados das bases, e com os seus lados paralelos aos lados correspondentes daqueles. Por outro lado, uma vez que o plano ϕ2 (o plano secante) é projectante horizontal, os vértices da figura da secção foram determinados a partir das suas projecções horizontais – tratou-se de determinar os pontos de intersecção das arestas laterais (que estão contidas em rectas projectantes frontais) com um plano projectante horizontal (o plano ϕ2). A partir das projecções dos quatro vértices da figura da secção (aos quais não se atribuiu nenhum nome, para simplificar a leitura da resolução gráfica apresentada), desenharam-se as projecções da figura (que é um quadrado) e as projecções do sólido resultante da secção (a parte do prisma compreendida entre o plano secante e a base inferior). Note que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte compreendida entre o plano secante e a base de maior afastamento) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. O sólido resultante da secção é, no presente caso, um outro prisma – um prisma quadrangular regular, com bases frontais (de frente), cuja base de menor RSTU] e com 3 cm de altura (a diferença entre os afastamentos afastamento é o quadrado [R do plano ϕ e do plano ϕ2). Assim, representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) desse novo sólido, bem como as respectivas invisibilidades. Por fim, atendendo a que, em projecção frontal, a figura da secção é visível (a superfície da figura, ou seja, a área do corte), identificou-se a figura a tracejado (em projecção horizontal).

182

SOLUÇÕES

418. Em primeiro lugar representou-se o prisma, pelas suas projecções, e o plano secante, pelo seu traço frontal, em função dos dados. O plano ν é o plano que contém a base inferior do prisma e o plano ν1 o plano que contém a sua base superior. O plano ν2 é o plano secante. Uma vez que o plano secante é paralelo aos planos das bases, sabe-se imediatamente que a figura da secção será um polígono geometricamente igual aos pentágonos das bases, e com os seus lados paralelos aos lados correspondentes daqueles. Por outro lado, uma vez que o plano ν2 (o plano secante) é projectante frontal, os vértices da figura da secção foram determinados a partir das suas projecções frontais – tratou-se de determinar os pontos de intersecção das arestas laterais (que estão contidas em rectas não projectantes) com um plano projectante frontal (o plano ν2). A partir das projecções dos cinco vértices da figura da secção (aos quais não se atribuiu nenhum nome, para simplificar a leitura da resolução gráfica apresentada), desenharam-se as projecções da f i g u r a da secção (que é um pentágono regular). Em projecção frontal, a figura reduz-se a um segmento de recta, pois o plano secante (o plano ν2) é projectante frontal. Já em projecção horizontal, sendo pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibilidades existentes na figura da secção. Os lados da figura que se situam nas faces CC’D’D] e [D DD’E’E] são invisíveis em projecção horizontal, em virlaterais [C tude de aquelas faces serem invisíveis em projecção horizontal. Os outros três lados da figura da secção são visíveis, por se situarem em faces lateAA’E’E], rais que são visíveis em projecção horizontal (as faces laterais [A BB’C’C]). Note que, em termos de traçado, o sólido se repreA A ’ B ’ B] e [B [A sentou a traço médio (é um dado) e o pretendido (a figura da secção) se representou a traço forte.

419. Em primeiro lugar representou-se o prisma, pelas suas projecções, e o plano α, pelos seus traços, em função dos dados. O plano α dista 4 cm do plano θ – a distância entre os dois planos é medida ortogonalmente aos dois planos (trata-se da distância entre dois planos paralelos). Uma vez que o plano θ (o plano que contém a base inferior do prisma) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, a determinação das projecções do quaA B CD] processou-se com o recurso a um prodrado [A cesso geométrico auxiliar – o rebatimento do plano θ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hθ). O quadrado foi construído previamente em V.G., em rebatimento. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do quadrado da base inferior do prisma. As arestas laterais do sólido estão contidas em rectas frontais (de frente), passando pelos vértices da base inferior e ortogonais ao plano θ. O plano θ’, representado apenas pelo seu traço frontal (razão pela qual se encontra assinalado entre parêntesis), é o plano que contém a base superior do sólido – está a 7 cm (a altura do prisma) do plano θ. Os vértices da base superior do prisma determinaram-se a partir das suas projecções frontais – trata-se da intersecção de rectas não projectantes (as rectas suporte das arestas laterais) com um plano projectante frontal (o plano θ’). As projecções do prisma desenharam-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício – o s ó l i d o r e s u l t a n t e d a secção. Em seguida, atendendo a que o plano secante é paralelo aos planos das bases, sabe-se imediatamente que a figura da secção será um quadrado (um polígono geometricamente igual aos polígonos das bases), e com os seus lados paralelos aos lados correspondentes dos quadrados das bases. Por outro lado, uma vez que o plano α (o plano secante) é projectante frontal, à semelhança dos vértices da base superior, os vértices da figura da secção foram determinados a partir das suas (Continua na página seguinte) 183

SOLUÇÕES

projecções frontais – tratou-se de determinar os pontos de intersecção das arestas laterais (que estão contidas em rectas não projectantes) M, N, O e P), desenharam-se com um plano projectante frontal (o plano α). A partir das projecções dos quatro vértices da figura da secção (M MNOP]) e as projecções do sólido resultante da secção (a parte do prisma compreendida entre o as projecções da figura (o quadrado [M plano secante e a base inferior). Note que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte compreendida entre o plano secante e a base superior) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. O sólido resultante da secção é, no presente caso, um outro prisma – um prisma A B CD] (a sua base inferior) e o quadrado [M MNOP] (a sua base quadrangular regular, com 4 cm de altura compreendido entre o quadrado [A superior). Assim, representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) desse novo sólido, bem como as respectivas invisibilidades. Por fim, atendendo a que, em projecção horizontal, a figura da secção é visível (a superfície da figura, ou seja, a área do corte), identificou-se a figura a tracejado (em projecção horizontal).

420. Em primeiro lugar representou-se o prisma, pelas suas projecções, e o plano γ, pelos seus traços, em função dos dados. Uma vez que o plano α (o plano que contém a base mais à direita do prisma) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, a determinação das RST] processou-se com o recurso a um processo geométrico auxiliar – o rebatimento do plano α para o Plano projecções do triângulo [R Frontal de Projecção (a charneira foi f α). O triângulo foi construído previamente em V.G., em rebatimento, em função dos dados. Invertendo RST]. As arestas laterais do sólido estão contidas em rectas fronto-horizontais, o rebatimento, determinaram-se as projecções do triângulo [R RST]. O plano α’, representado pelos seus traços, é o plano que contém a base mais à esquerda do passando pelos vértices do triângulo [R sólido – está a 6 cm (a altura do prisma) do plano α. Note que a distância entre os planos α e α’ se mediu ortogonalmente aos dois planos, R’S’T’]) determinarampois trata-se da distância entre dois planos paralelos. Os vértices da base mais à esquerda do prisma (o triângulo [R -se a partir das suas projecções horizontais – trata-se da intersecção de rectas não projectantes (as rectas suporte das arestas laterais) com um plano projectante horizontal (o plano α’). Uma vez que o plano secante é paralelo aos planos das bases, sabe-se imediatamente que a figura da secção será um polígono geometricamente igual aos pentágonos das bases, e com os seus lados paralelos aos lados correspondentes daqueles. Por outro lado, uma vez que o plano γ (o plano secante) é projectante horizontal, os vértices da figura da secção foram deR’S’T’], tratou-se terminados a partir das suas projecções horizontais – à semelhança do exposto para a determinação dos vértices da base [R de determinar os pontos de intersecção das arestas laterais (que estão contidas em rectas não projectantes) com um plano projectante A, B e C), desenharam-se as projecções da f i g u r a da horizontal (o plano γ). A partir das projecções dos três vértices da figura da secção (A secção (que, no espaço, é um triângulo equilátero, se bem que apresente deformação em projecções). Em projecção horizontal, a figura reduz-se a um segmento de recta, pois o plano secante (o plano γ) é projectante horizontal. Já em projecção frontal, sendo pedida a f i g u r a da secção e não o s ó l i d o r e s u l t a n t e d a s e c ç ã o (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibilidades existentes na f i gura da secção. Os lados [A A B] e [B B C] da figura, que se situam nas faces laterais [R RR’S’S] e [S S S’T’T], respectivamente, são invisíveis em A C] da figura da secção é visível, por se situar projecção frontal, em virtude de aquelas faces serem invisíveis em projecção frontal. O lado [A RR’T’T]). Note que, em termos de traçado, o sólido se representou a traço numa face lateral que é visível em projecção frontal (a face lateral [R médio (é um dado) e o pretendido (a figura da secção) se representou a traço forte.

184

SOLUÇÕES

421. Em primeiro lugar representou-se o cubo, pelas suas projecções, e o plano α (o plano secante) pelos seus traços, em função dos dados. O plano α dista 2 cm do plano θ – a distância entre os dois planos é medida ortogonalmente aos dois planos (trata-se da distância entre dois planos paralelos). Uma vez que o plano θ (o plano que contém a face inferior do cubo) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, a determinação das projecções do quadraA B CD] processou-se com o recurso a um processo do [A geométrico auxiliar – o rebatimento do plano θ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hθ). O quadrado foi construído previamente em V.G., em rebatimento. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do quadrado da face inferior do cubo. Sobre a determinação das projecções do cubo, ver exercício 4 1 9 e respectivo relatório (trata-se de duas situações semelhantes, tanto ao nível dos raciocínios como ao nível dos traçados). O plano θ’, representado apenas pelo seu traço frontal (razão pela qual se encontra assinalado entre parêntesis), é o plano que conA’B’C’D’]) – tém a face superior do sólido (o quadrado [A está a 5,5 cm (a medida da aresta do cubo) do plano θ. Em seguida, atendendo a que o plano secante é paralelo aos planos das bases, sabe-se imediatamente que a figura da secção será um quadrado (um polígono geometricamente igual aos polígonos das faces de topo do sólido), e com os seus lados paralelos aos lados correspondentes A B CD] e [A A’B’C’D’]. Por outro lado, uma dos quadrados [A vez que o plano α (o plano secante) é projectante frontal, à semelhança dos vértices da face superior, os vértices da figura da secção foram determinados a partir das suas projecções frontais – tratou-se de determinar os pontos de intersecção das arestas frontais (de frente) com um plano projectante frontal (o plano α). A partir das projecM, N, O e P), desenharam-se as projecções da figura da secção (o quadrado [M MNOP]). Em ções dos quatro vértices da figura da secção (M projecção frontal, a figura reduz-se a um segmento de recta, pois o plano secante (o plano α) é projectante frontal. Já em projecção horizontal, sendo pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibiliMN] e [N NO] da figura, que se situam nas faces [A AA’B’B] e [B BB’C’C] respectivamente, são dades existentes na figura da secção. Os lados [M M P] e [O OP] da figura da invisíveis em projecção horizontal, em virtude de aquelas faces serem invisíveis em projecção horizontal. Os lados [M AA’D’D] e [C CC’D’D], respectivamente). Note que, em secção são visíveis, por se situarem em faces visíveis em projecção horizontal (as faces [A termos de traçado, o sólido se representou a traço médio (é um dado) e o pretendido (a figura da secção) se representou a traço forte.

422. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. A circunferência circunscrita O苶 A , pois A é um dos vértices ao quadrado da base tem centro em O e raio 苶 do quadrado. As projecções da pirâmide desenharam-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício – o s ó l i d o resultante da secção. Uma vez que o plano secante é projectante frontal, é possível concluir que o plano corta as quatro arestas laterais da pirâmide e não corta a base – a f i g u r a d a s e c ç ã o tem, assim, quatro vértices (é um quadrilátero). No entanto, uma vez que o plano secante não é paralelo ao plano da base, esse quadrilátero não será um quadrado. Os pontos em que o plano corta as arestas laterais tiveram determinação directa a partir das suas projecções frontais, pois trata-se da intersecção de rectas não projectantes (as arestas laterais) com um plano projectante frontal (o plano α). A’, B’, C’ e D’), A partir das projecções dos quatro vértices da figura da secção (A A’B’C’D’]) e as prodesenharam-se as projecções da figura (o quadrilátero [A jecções do sólido resultante da secção (a parte da pirâmide compreendida entre o plano secante e o vértice da pirâmide). Note que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte compreendida entre o plano secante e a base) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. Representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) do novo sólido (o sólido resultante da secção), bem como as respectivas invisibilidades. Atendendo a que, em projecção horizontal, a figura da secção é visível (a superfície da figura, ou seja, a área do corte), identificou-se a figura a tracejado (em projecção horizontal).

185

SOLUÇÕES

423. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O vértice C, da base, é o vértice de maior abcissa, ou seja, é o vértice que se situa mais à esquerda. Uma vez que se trata de um plano projectante frontal, é possível concluir que o plano secante A B] e [B B C]) e uma aresta lateral (a aresta corta duas arestas da base (as arestas [A BV]) – a figura da secção tem, assim, três vértices (é um triângulo). No entanto, [B uma vez que o plano secante não é paralelo ao plano da base, esse triângulo não será um triângulo equilátero. Os pontos em que o plano corta as arestas da pirâmide tiveram determinação directa a partir das suas projecções frontais, pois trata-se da intersecção de rectas não projectantes com um plano projectante frontal K , L e M), (o plano α). A partir das projecções dos três vértices da figura da secção (K K L M]). Em prodesenharam-se as projecções da figura da secção (o triângulo [K jecção frontal, a figura reduz-se a um segmento de recta, pois o plano secante (o plano α) é projectante frontal. Já em projecção horizontal, sendo pedida a f i g u r a da secção e não o s ó l i d o r e s u l t a n t e d a s e c ç ã o (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibilidades existentes na f i g u r a d a s e c ç ã o . A BV], é invisível em projecção horiO lado [LL M] da figura, que se situa na face [A K L] zontal, uma vez que aquela face é invisível em projecção horizontal. O lado [K da figura da secção é visível, por se situar numa face visível em projecção horizonB CV]). Já o lado [K K M], da figura da secção, uma vez que se situa na tal (a face [B base (que é projectante horizontal) não admite a representação de qualquer invisibilidade. Note que, em termos de traçado, o sólido se representou a traço médio (é um dado) e o pretendido (a figura da secção) se representou a traço forte.

424. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Note que, para a construção das projecções da pirâmide, se recorreu ao rebatimento do plano de perfil π que contém a base do sólido para, dessa forma, se determinarem as projecções do hexágono. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fπ. A circunferência circunscrita ao hexágono é tangente aos dois planos de projecção, pelo que tem 4 cm de raio (em rebatimento, a circunferência é simultaneamente tangente a f πr e a hπr ). A atribuição de letras aos vértices foi arbitrária, pois o enunciado é omisso. O eixo da pirâmide está contido numa recta fronto-horizontal (ortogonal ao plano π) que passa por O e o seu comprimento (que corresponde à altura da pirâmide) projecta-se em V.G. nos dois planos de projecção – determinou-se V, o vértice da pirâmide, que se situa à direita do plano da base (para ter abcissa negativa) e desenharam-se as projecções do sólido (note que não existem invisibilidades, pois as arestas invisíveis do sólido estão ocultas por arestas visíveis). Em função dos dados, o plano θ (o plano secante) contém necessariamente o vértice superior da base da pirâmide (o vértice D, neste caso) – o plano secante corta, assim, a aresta DV] no próprio ponto D. Além disso, o plano θ lateral [D corta as restantes arestas laterais (o que se constata atendendo a que se trata de um plano projectante frontal), pelo que a figura da secção tem seis vértices – é um hexágono. No entanto, uma vez que o plano secante não é paralelo ao plano da base, esse hexágono não será um hexágono regular. Os pontos em que o plano corta as arestas da pirâmide tiveram determinação directa a partir das suas projecções frontais, pois trata-se da intersecção de rectas não projectantes com um plano projectante frontal (o plano α). A partir A’, B’, C’, D, E’ e F’), desenharam-se as projecções da figura da secção (o hexágono das projecções dos seis vértices da figura da secção (A (Continua na página seguinte) 186

SOLUÇÕES

A’B’C’DE’F’]). Uma vez que não existe desagregação do sólido (é pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção), há [A que representar as invisibilidades da figura da secção (se as houver). Em projecção frontal, a figura da secção reduz-se a um segmento de CDV] e [D DEV] – as faces recta, pois o plano secante é projectante frontal. Em projecção horizontal, as faces laterais visíveis são as faces [C A BV] e [A AFV] são invisíveis, em projecção horizontal, e as faces laterais [B B CV] e [E EFV] são projectantes horizontais. Assim, os laterais [A C’D] e [D DE’], da figura da secção, são visíveis em projecção horizontal (por estarem contidos em faces laterais visíveis) enquanto que lados [C A’B’] e [A A’F’], da figura da secção, são invisíveis em projecção horizontal (por estarem contidos em faces laterais invisíveis). Note os lados [A que a superfície da figura da secção (a área do corte) n ã o é v i s í v e l em nenhuma das projecções, pois não há a desagregação do sólido, pelo que não há lugar à execução de tracejado.

425. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. A é o vérCD] (o lado oposto a A ) é vertical. O vértice da pirâmide tem 10 cm tice mais à direita do pentágono (o vértice de menor abcissa) e o lado [C de afastamento (dista 8 cm do plano ϕ, o plano da base, que tem 2 cm de afastamento) – V2 ≡ C2, pois os dois pontos situam-se na mesma recta projectante frontal. a) As projecções da pirâmide desenharam-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício – o s ó l i d o resultante da secção. Uma vez que o plano secante é projectante frontal, é possível concluir que o plano corta duas arestas da base (as A B] e [E ED]) e duas arestas laterais (as arestas [A AV] e [E EV]) – a figura da secção tem, assim, quatro vértices (é um quadrilátero). arestas [A Os pontos em que o plano corta as arestas tiveram determinação directa a partir das suas projecções frontais, pois trata-se da intersecção de rectas não projectantes com um plano projectante frontal (o plano α). A partir das projecções dos quatro vértices da figura da secção R, S, T e U), desenharam-se as projecções da figura (o quadrilátero [R RSTU]) e as projecções do sólido resultante da secção (a parte da (R pirâmide compreendida entre o plano secante e o Plano Horizontal de Projecção). Note que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte compreendida entre o plano secante e o vértice) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. Representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) do novo sólido (o sólido resultante da secção), bem como as respectivas invisibilidades. Atendendo a que, em projecção horizontal, a figura da secção é visível (a superfície da figura, ou seja, a área do corte), identificou-se a figura a tracejado (em projecção horizontal). b) Para determinar a V.G. da figura da secção, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – a secção está contida no plano θ, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano θ para o Plano Horizontal de Projecção – a R r Sr Tr Ur]. charneira foi hθ. A V.G. da figura da secção está no quadrilátero [R

187

SOLUÇÕES

426. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. A circunferência circunsA B CDEF] tem centro em O e raio crita ao hexágono [A O苶 A , pois A é um dos vértices do polígono. Uma vez 苶 que se trata de um plano projectante horizontal, é possível concluir que o plano secante corta duas aresA B] e [E ED]) e três arestas tas da base (as arestas [A A V], [F FV] e [E EV]) – a f i g u r a d a laterais (as arestas [A s e c ç ã o tem, assim, cinco vértices (é um pentágono irregular). Os pontos em que o plano corta as arestas da pirâmide tiveram determinação directa a partir das suas projecções horizontais, pois trata-se da intersecção de rectas não projectantes com um plano projectante horizontal (o plano π). A partir das projecções dos cinco vértices da figura da secção (JJ , K , L , M e N), desenharam-se as projecções da figura da secção (o pentágono irregular [JJ K L M N]). Em projecção horizontal, a figura reduz-se a um segmento de recta, pois o plano secante (o plano π) é projectante horizontal. Já em projecção frontal, sendo pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibilidades existentes na f i g u r a d a s e c ç ã o. Os lados K L] e [LL M] da figura, que se situam nas faces [JJ K], [K A BV], [A A F V] e [E EFV], respectivamente, são laterais [A MN] da figura da secção é visível, por invisíveis em projecção frontal, uma vez que aquelas faces são invisíveis em projecção frontal. O lado [M EDV]). Já o lado [JJ N], da figura da secção, uma vez que se situa na base (que é se situar numa face visível em projecção horizontal (a face [E projectante frontal) não admite a representação de qualquer invisibilidade. Note que, em termos de traçado, o sólido se representou a traço médio (é um dado) e o pretendido (a figura da secção) se representou a traço forte. Para determinar a V.G. da figura da secção, recorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π).

427. Relatório A B C], pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos Em primeiro lugar representou-se o triângulo equilátero [A A B C]. O ponto A , porque é um ponto do β1/3, tem coordenadas iguais dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém o triângulo [A e projecções simétricas em relação ao eixo X. Os dados do exercício permitiram-nos concluir a construção da projecção frontal do tetraedro – a projecção frontal do vértice D (o quarto vértice do sólido) está coincidente com O2 (a projecção frontal do centro do triângulo). Não é possível, de forma directa, determinar o afastamento de D, pois não se sabe a altura de um tetraedro – sabe-se, apenas, que todas as suas A D], arestas têm o mesmo comprimento, sendo esse o raciocínio que suporta a construção das projecções deste sólido. Assim, as arestas [A BD] e [C CD] têm comprimento igual ao lado do triângulo [A A B C], mas nenhuma delas se projecta em V.G. – é necessário o recurso a um pro[B A D]. Rebateu-se o plano θ para o cesso geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano θ, o plano de topo que contém a aresta [A Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hθ – recta e), obtendo A r e a referência de Dr. Com o compasso, fazendo centro em A r e raio A B C], determinou-se Dr – invertendo o rebatimento, determinou-se a projecção horizontal de D e conigual à medida do lado do triângulo [A cluiu-se a construção da projecção horizontal do sólido (as projecções do sólido representaram-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício – o sólido resultante da secção). A B], a) Uma vez que o plano secante é projectante horizontal, é possível concluir que o plano corta quatro arestas do sólido (as arestas [A B C], [C CD] e [A A D]) – a figura da secção tem, assim, quatro vértices (é um quadrilátero). Os pontos em que o plano corta as arestas tive[B ram determinação directa a partir das suas projecções horizontais, pois trata-se da intersecção de rectas não projectantes com um plano A’, C’, M e N), desenharam-se as proprojectante horizontal (o plano α). A partir das projecções dos quatro vértices da figura da secção (A A’C’MN]) e as projecções do sólido resultante da secção (a parte do tetraedro compreendida entre o jecções da figura (o quadrilátero [A plano secante e o Plano Frontal de Projecção). Note que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte compreendida entre o plano secante e a base) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. Representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) do novo sólido (o sólido resultante da secção), bem como as respectivas invisibilidades. Atendendo a que, em projecção frontal, a f i g u r a da secção é visível (a superfície da figura, ou seja, a área do corte), identificou-se a figura a tracejado (em projecção frontal). b) Para determinar a V.G. da figura da secção, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – a secção está contida no plano α, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Frontal de Projecção – a A’r C’r M r Nr]. charneira foi f α (recta e’). A V.G. da figura da secção está no quadrilátero [A (Continua na página seguinte) 188

SOLUÇÕES

427.

Resolução

428. Em primeiro lugar representou-se o prisma, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ν é o plano que contém a base inferior do prisma e o plano ν1 o plano que contém a sua base superior. a) Uma vez que se trata de um plano projectante frontal, é possível concluir que o plano secante corta as quatro arestas laterais do prisma, não cortando nenhuma aresta da base (o plano θ não corta nenhuma das bases) – a figura da secção tem, assim, quatro vértices (é um quadrilátero). No entanto, uma vez que o plano secante não é paralelo aos planos das bases, esse quadrilátero não será um quadrado. Os pontos em que o plano corta as arestas laterais do prisma tiveram determinação directa a partir das suas projecções frontais, pois trata-se da intersecção de rectas não projectantes (as rectas suporte das arestas laterais) com um plano projectante frontal (o plano θ). A partir M, N, das projecções dos quatro vértices da figura da secção (M O e P), desenharam-se as projecções da figura da secção (o MNOP]). Em projecção frontal, a figura reduz-se a quadrilátero [M um segmento de recta, pois o plano secante (o plano θ) é projectante frontal. Já em projecção horizontal, sendo pedida a figura da secção e não o s ólido resultante da secção (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibiliNO] e [O O P] dades existentes na figura da secção. Os lados [N BB’C’C] e [C CC’D’D], da figura, que se situam nas faces laterais [B respectivamente, são invisíveis em projecção horizontal, uma MN] e [M M P] da figura da secção são visíveis, por se situarem em favez que aquelas faces são invisíveis em projecção horizontal. Os lados [M AA’B’B] e [A AA’D’D], respectivamente). Note que, em termos de traçado, o sólido se repreces visíveis em projecção horizontal (as faces [A sentou a traço médio (é um dado) e o pretendido (a figura da secção) se representou a traço forte. b) Para determinar a V.G. da figura da secção, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – a secção está contida no plano θ, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano θ para o Plano Frontal de Projecção – a charMrNrOrPr]. neira foi f θ. A V.G. da figura da secção está no quadrilátero [M

189

SOLUÇÕES

429.

Em primeiro lugar representou-se o prisma, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos A BC], é o vértice que se situa mais seus traços, em função dos dados. O vértice C, do triângulo [A à direita, por ser o vértice de menor abcissa do triângulo. Os planos das bases distam 5 cm (a altura do prisma). As projecções do sólido representaram-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício – o sólido resultante da secção. O plano secante passa necessariamente pelo vértice A’ da base de maior afastamento do sólido. Uma vez que se trata de um plano projectante horizontal, é possível concluir que o plano secante corta AA’] e [B BB’]) e duas arestas da base de menor afasduas arestas laterais do sólido (as arestas [A B C] e [A A C]) – a figura da secção tem, assim, quatro vértices (é um quadritamento (as arestas [B AA’] e a base de maior afastamento no látero). Note que o plano secante corta a aresta lateral [A mesmo ponto – o vértice A’ da base de maior afastamento. Os pontos em que o plano corta as arestas do prisma tiveram determinação directa a partir das suas projecções horizontais, pois trata-se da intersecção de rectas com um plano projectante horizontal (o plano α). A partir das A’, J, K e L), desenharam-se as projecções projecções dos quatro vértices da figura da secção (A A ’ J K M]) e as projecções do sólido resultante da secção (a parte do da figura (o quadrilátero [A prisma que está compreendida entre o plano secante e o Plano Frontal de Projecção). Note que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte compreendida entre o plano secante e a base de maior afastamento) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. Representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) do novo sólido (o sólido resultante da secção), bem como as respectivas invisibilidades. Atendendo a que, em projecção frontal, a figura da secção é visível (a superfície da figura, ou seja, a área do corte), identificou-se a figura a tracejado (em projecção frontal).

430. Em primeiro lugar representou-se o prisma, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Note que, para a construção das projecções do prisma se recorreu ao rebatimento do plano de perfil π que contém a base mais à direita do sólido para, dessa forma, se determinarem as projecA B C D E ]. Rebateu-se o plano π ções do pentágono [A para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π. A circunferência circunscrita ao hexágono é tangente ao Plano Horizontal de Projecção, pois tem 3 cm de raio (em rebatimento, a circunferência é tangente a hπr). As arestas laterais do prisma estão contidas em rectas paralelas ao β1/3, pelo que as respectivas projecções fazem, ambas, ângulos de 25° (a.e.) com o eixo X . O plano π’ é o plano que contém a base mais à esquerda do sólido – o plano π’ dista 7 cm (a altura do prisma) do plano π. Os vértices da base mais à esquerda do prisma foram determinados através da intersecção de rectas não projectantes (as rectas suporte das arestas laterais do sólido) com um plano projectante (o plano π’). As projecções do sólido representaram-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício – o sólido resultante da secção. O ponto M é o ponto médio do eixo do sólido e determinou-se com OO’]. o recurso à construção da mediatriz do segmento [O O plano α (o plano secante) corta as cinco arestas laterais do sólido (o que se constata atendendo a que se trata de um plano projectante horizontal), não cortando nenhuma das bases – a figura da secção tem cinco vértices (é um pentágono). No entanto, uma vez que o plano secante não é paralelo aos planos das bases, esse pentágono não será um pentágono regular. Os pontos em que o plano corta as arestas laterais do prisma tiveram determinação directa a partir das suas projecções horizontais, pois trata-se da intersecção de rectas não projecQ, R , S, T e U), detantes com um plano projectante horizontal (o plano α). A partir das projecções dos cinco vértices da figura da secção (Q QRSTU]) e do sólido resultante da secção (a parte do prisma que está senharam-se as projecções da figura da secção (o pentágono [Q compreendida entre o plano secante e o plano π – a base mais à direita). Note que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte compreendida entre o plano secante e a base mais à esquerda) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. Representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) do novo sólido (o sólido resultante da secção), bem como as respectivas invisibilidades. Atendendo a que, em projecção frontal, a figura da secção é visível (a superfície da figura, ou seja, a área do corte), identificou-se a figura a tracejado (em projecção frontal).

190

SOLUÇÕES

431. Em primeiro lugar representou-se o prisma, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Note que, para a construção das projecções do prisma, se recorreu ao rebatimento do plano de perfil π que contém a base mais à direita do sólido para, dessa forma, se determinarem as projecções do A B CD]. Rebateu-se o plano π para o Plano quadrado [A Frontal de Projecção – a charneira foi f π. As arestas laterais do prisma estão contidas em rectas fronto-horizontais e o plano π’ é o plano que contém a base mais à esquerda do sólido – o plano π’ dista 8 cm (a altura do prisma) do plano π. Os vértices da base mais à esquerda do prisma foram determinados através da intersecção de rectas não projectantes (as rectas suporte das arestas laterais do sólido) com um plano projectante (o plano π’). O plano γ (o plano secante) corta as quatro arestas laterais do sólido (o que se constata atendendo a que se trata de um plano projectante horizontal), não cortando nenhuma das bases – a figura da secção tem quatro vértices (é um quadrilátero). No entanto, uma vez que o plano secante não é paralelo aos planos das bases, esse quadrilátero não será um quadrado. Os pontos em que o plano corta as arestas laterais do prisma tiveram determinação directa a partir das suas projecções horizontais, pois trata-se da intersecção de rectas não projectantes com um plano projectante horizontal (o plano γ). A partir das projecR, S, T e ções dos quatro vértices da figura da secção (R U), desenharam-se as projecções da figura da secção (o RSTU]). Note que o quadrilátero [R RSTU], quadrilátero [R em projecção frontal, é um quadrado, mas, no espaço, não o é – na deformação inerente à sua projecção frontal, a figura transformou-se num quadrado mas, na realidade, não é um quadrado. Tal facto deveu-se a um conjunto de factores, nomeadamente à posição do plano secante em relação aos planos das bases e ao Plano Frontal de Projecção – o diedro que o plano secante faz com os planos das bases tem a mesma amplitude do diedro que o plano secante faz com o Plano Frontal de Projecção. Em projecção horizontal, a figura reduz-se a um segmento de recta, pois o plano secante (o plano γ) é projectante horizontal. Já em projecção frontal, sendo pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibilidades R S] e [S ST] da figura, que se situam nas faces laterais [A A A ’ B ’ B] e [B BB’C’C], respectivamente, são existentes na figura da secção. Os lados [R RU] e [T TU] da figura da secção são invisíveis em projecção frontal, uma vez que aquelas faces são invisíveis em projecção frontal. Os lados [R AA’D’D] e [C CC’D’D], respectivamente). Note visíveis, por se situarem em faces do prisma que são visíveis em projecção frontal (as faces [A que, em termos de traçado, o sólido se representou a traço médio (é um dado) e o pretendido (a figura da secção) se representou a traço forte.

432. Relatório Em primeiro lugar representou-se o cubo, pelas suas projecções, e o plano θ (o plano secante) pelos seus traços, em função dos dados. A B CD]). O plano ν’ é o plano horizontal (de nível) O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a face inferior do cubo (o quadrado [A A’B’C’D’]). O plano ν’ dista 6 cm (a medida da aresta do cubo) do plano ν. Uma vez que que contém a face superior do cubo (o quadrado [A o plano secante é um plano projectante frontal, é possível concluir que o plano secante corta uma única aresta vertical do sólido (a arestas DD’]), duas arestas da face inferior (as arestas [A A D] e [A A B]) e outras duas arestas da face superior (as arestas [A A’B’] e [C C’D’]) – a figura da [D O, P e secção tem, assim, cinco vértices (é um pentágono). Os pontos em que o plano secante corta as arestas do cubo (os pontos M, N¸O Q) tiveram determinação directa, a partir das suas projecções frontais, pois o plano secante é projectante frontal. A partir das projecções MNOPQ]). Em projecção frontal, dos cinco vértices da figura da secção, desenharam-se as projecções da figura da secç ão (o pentágono [M a figura reduz-se a um segmento de recta, pois o plano secante (o plano θ) é projectante frontal. Já em projecção horizontal, sendo pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibilidades exisMN] da figura, que se situa na face [A A B CD], é invisível em projecção horizontal, em virtude de aquela tentes na figura da secção. O lado [M PQ] da figura da secção é visível, por se situar numa face do sólido que é visível em proface ser invisível em projecção horizontal. O lado [P A’B’C’D’]). Os lados [M MQ], [N NO] e [O OP] da figura da secção, por se situarem em faces do sólido que estão contijecção horizontal (a faces [A das em planos projectantes horizontais, não admitem a representação de qualquer invisibilidade. Note que, em termos de traçado, o sólido se representou a traço médio (é um dado) e o pretendido (a figura da secção) se representou a traço forte. (Continua na página seguinte) 191

SOLUÇÕES

432. Resolução

433. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano ρ (o plano secante) pelos seus traços, em função dos dados. Ao contrário das situações anteriores, em que era possível identificar imediatamente as arestas do sólido que eram cortadas pelo plano secante, em virtude de os planos secantes serem projectantes, nesta situação esse raciocínio não é possível – o plano secante não é projectante. Assim, começou-se por averiguar se o plano secante corta a base da pirâmide. A recta de intersecção do plano ρ (o plano secante) com o plano da base é hρ – hρ é exterior à base (não corta a base), pelo que o plano ρ não corta a base da pirâmide. O plano cortará, então, apenas as arestas laterais da pirâmide, pelo que a figura da secção terá três vértices – será um triângulo. No entanto, uma vez que o plano secante não é paralelo ao plano da base, esse triângulo não será um triângulo equilátero. Assim, efectuaram-se os traçados necessários à determinação dos pontos em que o plano ρ corta as arestas laterais do sólido. Começou-se por determiBV] com o plano ρ – para tal recorreu-se ao nar o ponto de intersecção da aresta lateral [B método geral da intersecção de rectas com planos. O plano α, vertical, é o plano auxiliar a BV] (α é o plano projectante horique se recorreu – é um plano que contém a aresta lateral [B BV]). A recta i é a recta de intersecção de α com ρ – i está definida pelos zontal da aresta [B seus traços (trata-se do caso geral da intersecção entre planos). B’ é o ponto de intersecBV] – B’ é o ponto em que o plano ρ corta a aresta [B BV]. Já teção da recta i com a aresta [B mos um ponto da figura da secção – o ponto B’. Em seguida, determinou-se a recta de A BV] (o plano A BV) com o plano secante – intersecção do plano que contém a face lateral [A a recta i’. Para definir a recta i’ necessitamos de dois pontos ou um ponto e uma direcção. Já temos um ponto – B’. B’ é um ponto que pertence ao plano ρ (pois pertence à recta i, que pertence ao plano ρ) e pertence ao plano A BV (pois pertence à recta BV, que pertence ao plano A BV). Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Desenhou-se a recta suporte da A B], da base – a recta A B. A recta A B é a recta de intersecção do plano A BV com o plano da base (o Plano Horizontal de Projecção). aresta [A hρ é a recta de intersecção do plano ρ com o plano da base) e não são paralelas, pelo que são concorA recta A B e hρ são complanares (h rentes – H’ é o ponto de concorrência. O ponto H’ é, assim, outro ponto comum aos dois planos (o plano A BV e o plano ρ). A recta i’ (a recAV] no ponto A’ – A’ é, assim, ta de intersecção do plano A BV com o plano ρ) fica definida por B’ e por H’. A recta i’ intersecta a aresta [A B CV] (o plano B CV) outro ponto da figura da secção. Em seguida, determinou-se a recta de intersecção do plano que contém a face lateral [B com o plano secante – a recta i’’. Para definir a recta i’’ necessitamos de dois pontos ou um ponto e uma direcção. Já temos um ponto – B’. B’ é um ponto que pertence ao plano ρ e pertence ao plano B CV (pois pertence à recta BV, que pertence ao plano B CV). Falta-nos outro (Continua na página seguinte) 192

SOLUÇÕES

B C], da base – a recta B C. A recta B C é a recta de intersecção do plano ponto ou uma direcção. Desenhou-se a recta suporte da aresta [B B CV com o plano da base (o Plano Horizontal de Projecção). A recta B C e hρ são complanares (h hρ é a recta de intersecção do plano ρ com o plano da base) e não são paralelas, pelo que são concorrentes – H’’ é o ponto de concorrência. O ponto H’’ é, assim, outro ponto comum aos dois planos (o plano B CV e o plano ρ). A recta i’’ (a recta de intersecção do plano B CV com o plano ρ) fica definida por B’ e por H’’. CV] no ponto C’ – C’ é, assim, outro ponto da figura da secção. A partir dos três vértices da figura da secção, A recta i’’ intersecta a aresta [C A’B’C’]). Sendo pedida a figura da secção e não o s ó l i d o r e s u l t a n t e desenharam-se as suas projecções (a figura da secção é o triângulo [A da secção (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibilidades existentes na figura da secção – note que o plano secante não é projec tante, pelo que nenhuma das duas projecções da figura da secção se reduz a um segmento de recta. Assim, pode haA’B’C’] estão contidos nas três faces laterais da pirâmide – estas ver invisibilidades em ambas as projecções. Os três lados do triângulo [A são todas visíveis em projecção horizontal, pelo que, em projecção horizontal, a figura da secção é visível na sua totalidade. Já em projecA’B’] e [B B’C’] da figura, que se situam nas faces laterais [A A BV] e [B B CV], respectivamente, são invisíveis em projecção ção frontal, os lados [A A’C’] da figura da secção é visível, por se situar numa face da frontal, uma vez que aquelas faces são invisíveis em projecção frontal. O lado [A ACV]). Note que, em termos de traçado, o sólido se representou a traço médio (é um pirâmide que é visível em projecção frontal (a face [A dado) e o pretendido (a figura da secção) se representou a traço forte.

434. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano γ (o plano secante) pelos seus traços, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base da pirâmide. Tal como a situação do exercício anterior, uma vez que o plano secante não é projectante, não é possível, de forma directa identificar as arestas do sólido que são cortadas pelo plano secante, o que obriga a procedimentos auxiliares e à análise, aresta a aresta, das arestas que são cortadas pelo plano secante. Assim, começou-se por averiguar se o plano secante corta a base da pirâmide. A recta de intersecção do plano γ (o plano secante) com o plano da base é a recta i – a recta i é uma recta frontal (de frente) do plano γ. A recta i está definida por um H, o seu traço horizontal) e por uma direcção (é paralela a f γ, ponto (H pois rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo). A recta i corta a base em dois pontos – os pontos Q e R que são, respectivamente, os pontos em que o plano γ (o plano secanA D] e [C CD] da base. Já temos dois pontos da te) corta as arestas [A figura da secção. Para determinar o ponto de intersecção da aresta AV] com o plano γ recorreu-se ao método geral da intersecção lateral [A de rectas com planos – o plano α, de topo, é o plano auxiliar a que se AV] (α é o recorreu. O plano α é um plano que contém a aresta lateral [A AV]) – o plano α contém, tamplano projectante horizontal da aresta [A CV]. A recta i’ é a recta de intersecção de α com bém, a aresta lateral [C H’, o seu traço horizontal) e por uma γ – i’ está definida por um ponto (H direcção (é uma recta frontal comum aos dois planos, pois os traços frontais dos dois planos são paralelos entre si). A recta i’ intersecta a CV] no ponto S e a aresta lateral [A AV] no ponto U – S e aresta lateral [C U são, respectivamente, os pontos em que o plano γ corta as arestas CV] e [A AV] da pirâmide. Já temos mais dois pontos da figura laterais [C A DV] segundo o segmento da secção. O plano γ corta a face lateral [A QU] e corta a face lateral [C CDV] segundo o segmento [R R S], pelo que [Q DV]. Em seguida, determinou-se a recta de intersecção do plano que contém a face lateral [A A BV] (o plano A BV) não corta a aresta lateral [D com o plano secante – a recta i’’. Para definir a recta i’’ necessitamos de dois pontos ou um ponto e uma direcção. Já temos um ponto – U. U é um ponto que pertence ao plano γ (pois pertence à recta i’, que pertence ao plano γ) e pertence ao plano A BV (pois pertence à recta AV, que pertence ao plano A BV). Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Desenhou-se a recta suporte da aresta [A A B], da base – a recta A B. A recta A B é a recta de intersecção do plano A BV com o plano da base (o plano ϕ). A recta i é a recta de intersecção do plano γ (o plano secante) com o plano da base (o plano ϕ). A recta A B e a recta i são complanares (estão ambas contidas no plano ϕ) e não são paralelas, pelo que são concorrentes – I é o ponto de concorrência. O ponto I é, assim, outro ponto comum aos dois planos (o plano A BV e o plano γ). BV] no ponto T – T é, A recta i’’ (a recta de intersecção do plano A BV com o plano γ) fica definida por U e por I. A recta i’’ intersecta a aresta [B assim, outro ponto da figura da secção. Note que se omitiu a representação, em projecção horizontal, do ponto I e da recta i , por estas não serem necessárias à conclusão do exercício. Já temos cinco pontos da figura da secção – o plano secante não corta mais nenhuma aresta Q, R , S, T e U), da pirâmide, pelo que a figura da secção é um pentágono. A partir das projecções dos cinco vértices da figura da secção (Q QRSTU]) e do sólido resultante da secção (a parte da pirâmide que está desenharam-se as projecções da figura da secção (o pentágono [Q compreendida entre o plano secante e o plano da base). Note que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte compreendida entre o plano secante e o vértice) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. Representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) do novo sólido (o sólido resultante da secção), bem como as respectivas invisibilidades. Atendendo a que a figura da secção (a superfície da figura, ou seja, a área do corte) é visível em ambas as projecções, identificou-se a figura a tracejado (em ambas as projecções).

193

SOLUÇÕES

435. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano α (o plano secante) pelos seus traços, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base da pirâmide. Para que a aresta lateral AV] seja horizontal (de nível), a posição [A do pentágono tem de ser tal que o lado oposto ao vértice A é vertical (note que A tem de ser o vértice mais à esquerda do pentágono, para ser o vértice de A V], por ser maior abcissa). A aresta [A horizontal (paralela ao Plano Horizontal de Projecção), projecta-se em V.G. em projecção horizontal – com o compasso, fazendo centro em A 1 e com 8 cm de raio (o comprimento da aresta) determinou-se V 1 , sobre a recta suporte do eixo. Tal como as situações dos exercícios anteriores, uma vez que o plano secante n ã o é p r o j e c t a n t e , não é possível, de forma imediata identificar as arestas do sólido que são cortadas pelo plano secante, o que obriga a procedimentos auxiliares e à análise, aresta a aresta, das arestas que são cortadas pelo plano secante. Assim, começou-se por averiguar se o plano secante corta a base da pirâmide. A recta de intersecção do plano α (o plano secante) com o plano da base é a recta f – a recta f é uma recta frontal (de frente) do plano α. H, o seu traço horizontal) e por uma direcção (é paralela a fα, pois rectas frontais de um plano são paralelas A recta f está definida por um ponto (H entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo). A recta f corta a base em dois pontos – os DE] e [A A B] da base. Já temos dois ponpontos J e K que são, respectivamente, os pontos em que o plano α (o plano secante) corta as arestas [D CV] com o plano α recorreu-se ao método geral da intersectos da figura da secção. Para determinar o ponto de intersecção da aresta lateral [C CV] (γ é o ção de rectas com planos – o plano γ, vertical, é o plano auxiliar a que se recorreu. O plano γ é um plano que contém a aresta lateral [C CV]) – o plano γ contém, também, a aresta lateral [D DV] (note que a face lateral [C CDV] da pirâmide está plano projectante horizontal da aresta [C contida num plano projectante horizontal, que é o próprio plano γ). A recta i é a recta de intersecção de α com γ – i está definida por dois pontos, CV] no ponto M e a que são os seus traços (trata-se do caso geral da intersecção entre rectas e planos). A recta i intersecta a aresta lateral [C DV] no ponto L – M e L são, respectivamente, os pontos em que o plano α corta as arestas laterais [C CV] e [D DV] da pirâmide. aresta lateral [D B CV] (o Já temos mais dois pontos da figura da secção. Em seguida, determinou-se a recta de intersecção do plano que contém a face lateral [B plano B CV) com o plano secante – a recta i’. Para definir a recta i’ necessitamos de dois pontos ou um ponto e uma direcção. Já temos um ponto – M. M é um ponto que pertence ao plano α (pois pertence à recta i, que pertence ao plano α) e pertence ao plano B CV (pois pertence à recta CV, que pertence ao plano B CV). Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Desenhou-se a recta suporte da aresta [B B C], da base – a recta B C. A recta B C é a recta de intersecção do plano B CV com o plano da base (o plano ϕ). A recta f é a recta de intersecção do plano α (o plano secante) com o plano da base (o plano ϕ). A recta B C e a recta f são complanares (estão ambas contidas no plano ϕ) e não são paralelas, pelo que são concorrentes – I é o ponto de concorrência. O ponto I é, assim, outro ponto comum aos dois planos (o plano B CV e o plano α). A recta i’ (a recBV] no ponto N – N é, assim, outro ponta de intersecção do plano B CV com o plano α) fica definida por M e por I. A recta i’ intersecta a aresta [B A BV] segundo o segmento [K K N], corta a base segundo o segmento [JJ K] e corta a face to da figura da secção. O plano α corta a face lateral [A DEV] segundo o segmento [JJ L], pelo que o plano α não corta as arestas laterais [A AV] e [E EV]. Já temos cinco pontos da figura da secção lateral [D – o plano secante não corta mais nenhuma aresta da pirâmide, pelo que a figura da secção é um pentágono. A partir das projecções dos cinco vértices da figura da secção (JJ, K , L, M e N), desenharam-se as projecções da figura da secção (o pentágono [JJKLMN]) – note que o plano secante não é paralelo ao plano da base, pelo que o pentágono [JJKLMN] não é um pentágono regular. Sendo pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibilidades existentes na figura da secção – note que o plano secante não é projectante, pelo que nenhuma das duas projecções da figura da secção se reduz a um segmento de recta. Assim, pode haver invisibilidades em ambas as projecções. As cinco faces laterais da pirâmide são invisíveis em projecção frontal, pelo que os lados do MN] e [K K N]. Em projecção pentágono [JJKLMN] que estão contidos nas faces laterais são invisíveis em projecção frontal – os lados [JJ L], [LL M], [M frontal, apenas o lado [JJ K] da figura da secção é visível, por estar contido na base (que é visível, em projecção frontal). Já em projecção horizonK N] e [M MN] da figura, que se situam nas faces laterais [A A BV] e [B B CV], respectivamente, são visíveis em projecção horizontal, uma tal, os lados [K vez que aquelas faces são visíveis em projecção horizontal. O lado [JJ L] da figura da secção é invisível em projecção horizontal, por se situar DEV]). Os lados [JJ K] e [LL M], porque se situam em faces projectantes numa face da pirâmide que é invisível em projecção horizontal (a face [D CDV] e a base) não admitem a representação de quaisquer invisibilidades em projecção horizontal). Note horizontais do sólido (a face lateral [C que, em termos de traçado, o sólido se representou a traço médio (é um dado) e o pretendido (a figura da secção) se representou a traço forte.

194

SOLUÇÕES

436.

Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. A partir da projecção horizontal do eixo da pirâmide determinou-se V1, a projecção horizontal do vértice do sólido – V2 determinou-se em função da V tem 9 cm de cota, pois a pirâmide tem 7 cm de altura e a base tem 2 cm de cota). As projecções do sólido desenhaaltura da pirâmide (V ram-se a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício (que é o sólido resultante da secção). a) Uma vez que o plano secante não é projectante, não é possível, de forma imediata identificar as arestas do sólido que são cortadas pelo plano secante, o que obriga a procedimentos auxiliares e à análise, aresta a aresta, das arestas que são cortadas pelo plano secante. Assim, começou-se por averiguar se o plano secante corta a base da pirâmide. A recta de intersecção do plano ρ (o plano secante) com o plano da base é a recta m – a recta m está definida por uma direcção (é fronto-horizontal, pois a recta de intersecção de um plano de rampa com um plano horizontal é necessariamente fronto-horizontal) e por um ponto (o ponto I, que é o ponto de intersecção da recta r, uma recta do plano ρ, com o plano ν). A recta m corta a base da pirâmide nos pontos P e Q – os pontos P e Q são, respectivamente, os B C] e [A A C] da base. Já temos dois pontos da figura da secção. Em seguida pontos em que o plano ρ (o plano secante) corta as arestas [B BV] com o plano ρ – para tal recorreu-se ao método geral da intersecção de recdeterminou-se o ponto de intersecção da aresta lateral [B BV] nem o plano ρ são projectantes). O plano α, vertical, é um plano auxiliar que contém a aresta [B BV] (α tas com planos (nem a aresta [B BV]). A recta i é a recta de intersecção de α com ρ e está definida por dois pontos (os seus é o plano projectante horizontal da aresta [B BV] no ponto R – R é o ponto de intertraços, H’ e F’) – trata-se do caso geral da intersecção entre planos. A recta i intersecta a aresta [B BV] com o plano secante. Já temos mais um ponto da figura da secção – o ponto R . Em seguida, determinou-se o secção da aresta [B AV] com o plano ρ – para tal recorreu-se mais uma vez ao método geral da intersecção de rectas ponto de intersecção da aresta lateral [A AV] (θ é o plano projectante frontal da aresta [A AV]). A recta i’ é com planos. O plano θ, de topo, é um plano auxiliar que contém a aresta [A a recta de intersecção de θ com ρ e está definida por dois pontos (os seus traços, H’’ e F’’) – trata-se mais uma vez do caso geral da inAV] no ponto S – S é o ponto de intersecção da aresta [A AV] com o plano secante. tersecção entre planos. A recta i’ intersecta a aresta [A B CV] segundo o segmento [P P R], corta a base Já temos mais um ponto da figura da secção – o ponto S. O plano ρ corta a face lateral [B PQ] e corta a face lateral [A ACV] segundo o segmento [Q QS], pelo que o plano ρ não corta a aresta lateral [C CV]. segundo o segmento [P (Continua na página seguinte) 195

SOLUÇÕES

Já temos quatro pontos da figura da secção – o plano secante não corta mais nenhuma aresta da pirâmide, pelo que a figura da secção P, Q, R e S), desenharam-se as projecções da figura é um quadrilátero. A partir das projecções dos quatro vértices da figura da secção (P PQRS]) e do sólido resultante da secção (a parte da pirâmide que está compreendida entre o plano secante da secção (o quadrilátero [P e os planos de projecção). Note que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte que se situa para cima do plano secante) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. Representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) do novo sólido (o sólido resultante da secção), bem como as respectivas invisibilidades. Atendendo a que a figura da secção (a superfície da figura, ou seja, a área do corte) é visível em ambas as projecções, identificou-se a figura a tracejado (em ambas as projecções). b) Para determinar a V.G. da figura da secção, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – a secção está contida no plano ρ, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f ρ (ver exercício 170 e respectivo relatório). O ponto que nos permitiu rebater hρ foi H, o traço horizontal da recta r. A recta r r fica definida por Fr e por Hr. O ponto Ir determinou-se conduzindo, por I2, uma perpendicular à charneira – Ir situa-se sobre r r. A recta mr passa por Ir e é paralela a f ρr (e a hρr). Pr e Qr determinaram-se, sobre mr, conduzindo, por P2 e Q2, as perpendiculares à charneira que por eles passam. A recta i r está definida por F’r (que é um ponto da charneira) e por H’r – R r situa-se sobre i r, na perpendicular à charneira que passa por R 2. A recta i’r está definida por F’’r (que é um ponto da charneira) e por H’’r – Sr situa-se sobre i’r, na perpendicular à Pr Qr R r Sr]. charneira que passa por S2. A V.G. da figura da secção está no quadrilátero [P

437. Em primeiro lugar representou-se o A B C ], pelas triângulo equilátero [A suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. Em função B C] do triângulo dos dados, o lado [B é necessariamente fronto-horizontal. Os dados do exercício permitiram-nos concluir a construção da projecção horizontal do tetraedro – a projecção horizontal do vértice D (o quarto vértice do sólido) está coincidente com O 1 (a projecção horizontal do centro do triângulo). Não é possível, de forma directa, determinar a cota de D, pois não se sabe a altura de um tetraedro – sabe-se, apenas, que todas as suas arestas têm o mesmo comprimento, sendo esse o raciocínio que suporta a construção das projecções deste sólido. Assim, as aresA D ], [B B D ] e [C C D ] medem tas [A todas 8 cm (a medida da aresta do tetraedro), mas nenhuma delas se projecta em V.G. – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π, o plano de perfil que A D]. Rebateu-se contém a aresta [A o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π – recta e), obtendo A r e a referência de Dr. Com o compasso, fazendo centro em A r e com 8 cm de raio, determinou-se Dr – invertendo o rebatimento, determinou-se a projecção frontal de D e concluiu-se a construção da projecção frontal do sólido (as projecções do sólido representaram-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício – o sólido resultante da secção). Uma vez que o plano secante não é projectante, não é possível, de forma imediata identificar as arestas do sólido que são cortadas pelo plano secante, o que obriga a procedimentos auxiliares e à análise, aresta a aresta, das arestas que são cortadas pelo plano secante. Assim, começou-se por averiguar se o plano secante A B C]). A recta de intersecção do plano α (o plano secante) com o plano da face [A A B C] é hα – hα corta a face inferior do sólido (o triângulo [A A B C] do tetraedro nos pontos P e Q que são, respectivamente, os pontos em que o plano α (o plano secante) corta as arestas corta a face [A A B] e [B B C] da face inferior do sólido. Já temos dois pontos da figura da secção. Em seguida determinou-se o ponto de intersecção da [A A D] com o plano α – para tal recorreu-se ao método geral da intersecção de rectas com planos (nem a aresta [A A D] nem o plano α aresta [A A D] (que é de perfil) – π é o plano projectante da aresta [A A D]. A recta são projectantes). O plano π, de perfil, é o plano que contém a aresta [A (Continua na página seguinte) 196

SOLUÇÕES

i é a recta de intersecção de π com α e está definida por dois pontos (os seus traços, H e F) – trata-se do caso geral da intersecção entre A D] tem de se processar com o recurso planos. A recta i é uma recta de perfil. A determinação do ponto em que a recta i intersecta a aresta [A a um processo geométrico auxiliar – recorreu-se ao rebatimento previamente efectuado do plano de perfil, rebatendo a recta i. A recta i r está A rDr] no ponto R r – invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de R. Já temos definida por Fr e Hr. A recta ir intersecta a aresta [A ACD] (o plano ACD) com mais um ponto da figura da secção. Em seguida, determinou-se a recta de intersecção do plano que contém a face [A o plano secante – a recta h. Para definir a recta h necessitamos de dois pontos ou um ponto e uma direcção. Já temos um ponto – R. R é um ponto que pertence ao plano α (pois pertence à recta i, que pertence ao plano α) e pertence ao plano ACD (pois pertence à recta A D, que pertence ao plano A C D). Falta-nos outro ponto ou uma direcção. A recta de intersecção do plano A C D com o Plano Horizontal de Projecção (a recta A C) é uma recta horizontal (de nível) e é paralela a hα (que é outra recta horizontal), pelo que já se conhece a direcção das rectas horizontais (de nível) dos dois planos – a recta de intersecção dos dois planos é necessariamente uma recta horizontal (de nível), paralela a A C e a hα. A recta h, passando por R e paralela a hα (e a [A A C]) é a recta de intersecção do plano α com o plano A C D. A recta h intersecta a CD] no ponto S – S é um outro ponto da figura da secção. O plano α corta a face [A A B D] segundo o segmento [P P R], corta a face aresta [C A B C] segundo o segmento [P PQ] e corta a face [B B CD] segundo o segmento [Q QS], pelo que o plano α não corta a aresta [B BD]. Já temos [A quatro pontos da figura da secção – o plano secante não corta mais nenhuma aresta do sólido, pelo que a figura da secção é um quadrilátero. P, Q, R e S), desenharam-se as projecções da figura da secção (o quadriláA partir das projecções dos quatro vértices da figura da secção (P PQRS]) e do sólido resultante da secção (a parte do tetraedro que está compreendida entre o plano secante e os planos de projectero [P ção). Note que se representou, a traço forte, o s ó l i d o r e s u l t a n t e d a s e c ç ã o , por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte que se situa para cima do plano secante) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. Representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) do novo sólido (o sólido resultante da secção), bem como as respectivas invisibilidades. Atendendo a que a figura da secção (a superfície da figura, ou seja, a área do corte) é visível em ambas as projecções, identificou-se a figura a tracejado (em ambas as projecções). Para determinar a V.G. da figura da secção, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – a secção está contida no plano α, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 163 e respectivo relatório) – a charneira foi hα (recta e’). Pr ≡ P1 e Qr ≡ Q1, pois P e Q são pontos da charneira. O ponto que nos permitiu rebater f α foi F’, o traço frontal da recta h. A F’r) e por uma direcção (é paralela a hαr). Conduzindo, por R 1 e S1, as perpendiculares à charneira que recta hr fica definida por um ponto (F Pr Qr R r Sr]. por eles passam, determinaram-se R r e Sr sobre hr. A V.G. da figura da secção está no quadrilátero [P

438. Em primeiro lugar representou-se o prisma, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano α (o plano secante) tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base A B C D] inferior do sólido. A circunferência circunscrita ao quadrado [A O苶 A, pois A é um da base inferior do prisma tem centro em O e raio 苶 dos vértices do polígono. As projecções das arestas laterais do prisma são paralelas às projecções homónimas do eixo do sólido. O plano ν1 é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do sólido. Os vértices da base superior foram determinados a partir das suas projecções frontais – trata-se da intersecção de rectas não projectantes (as rectas suporte das arestas laterais) com um plano projectante frontal (o plano ν 1 ). A base superior do prisma é o quadrado A’B’C’D’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do [A A BCD]. Uma vez que o plano secante não é projectante, quadrado [A não é possível, de forma imediata identificar as arestas do sólido que são cortadas pelo plano secante, o que obriga a procedimentos auxiliares e à análise, aresta a aresta, das arestas que são cortadas pelo plano secante. Assim, começou-se por averiguar se o plano secante corta as bases do sólido. A recta i é a recta de intersecção do plano α com o plano ν – a recta i é uma recta horizontal (de nível) do plano α e está definida por um ponto (o seu traço frontal, F) e por uma direcção (é paralela a hα, pois rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). A recta i é exterior ao quadrado A BCD], pelo que o plano α não corta a base inferior do sólido. A rec[A ta i’ é a recta de intersecção do plano α com o plano ν1 – é igualmente uma recta horizontal (de nível) do plano α e está igualmente definida A ’ B ’ C ’ D ’] por um ponto e uma direcção. A recta i’ corta o quadrado [A nos pontos Q e R – Q e R são, respectivamente, os pontos em que o A’B’] e [A A’D’] da base superior do prisma. Já plano α corta as arestas [A CC’] com o plano α – para tal temos dois pontos da figura da secção. Em seguida, determinou-se o ponto de intersecção da aresta lateral [C CC’] nem o plano α são projectantes). O plano δ, de topo, é o recorreu-se ao método geral da intersecção de rectas com planos (nem a aresta [C CC’] (δ é o plano projectante frontal da aresta). A recta a é a recta de intersecção do plano δ com o plano α – plano auxiliar que contém a aresta [C CC’] – R é o ponto em que o a recta a está definida por dois pontos (os seus traços, F’’ e H). R é o ponto de intersecção da recta a com a aresta [C CC’]. Já temos outro ponto da figura da secção – o ponto R. Em seguida, determinou-se o ponto de plano secante (o plano α) corta a aresta [C (Continua na página seguinte) 197

SOLUÇÕES

DD’] com o plano α, pelo mesmo processo. O plano θ, de topo, é o plano auxiliar que contém a aresta [D DD’] (θ é intersecção da aresta lateral [D o plano projectante frontal da aresta e é paralelo ao plano δ). A recta b é a recta de intersecção do plano θ com o plano α – a recta b está definida por um ponto (o seu traço frontal, que não se identificou para evitar sobrecarregar em demasia a resolução gráfica apresentada) e por uma direcção (é paralela à recta a). Recorde que qualquer plano corta dois planos paralelos segundo rectas paralelas – os planos δ e θ são paralelos, pelo que as rectas a e b (as rectas de intersecção do plano α com os planos δ e θ, respectivamente) são necessariamente paralelas. S DD’] – S é o ponto em que o plano α corta a aresta [D DD’]. Já temos outro ponto da figura da é o ponto de intersecção da recta b com a aresta [D BB’] com o plano α, pelo mesmo processo. O plano γ, secção – o ponto S. Em seguida, determinou-se o ponto de intersecção da aresta lateral [B BB’] (γ é o plano projectante frontal da aresta e é paralelo aos planos δ e θ). A recta c é a recta de topo, é o plano auxiliar que contém a aresta [B de intersecção do plano γ com o plano α – a recta c está definida por um ponto (o seu traço frontal, que não se identificou) e por uma direcção (é paralela às rectas a e b). Recorde que qualquer plano corta dois planos paralelos segundo rectas paralelas – os planos δ, θ e γ são paralelos, pelo que as rectas a, b e c (as rectas de intersecção do plano α com os planos δ, θ e γ, respectivamente) são necessariamente paralelas. T é o BB’] – T é o ponto em que o plano α corta a aresta [B BB’]. Já temos outro ponto da figura da secponto de intersecção da recta c com a aresta [B AA’B’B] segundo o segmento [P PT], corta a base superior segundo o segmento [P PQ] e corta a ção – o ponto T. O plano α corta a face lateral [A AA’D’D] segundo o segmento [Q QS], pelo que o plano α não corta a aresta lateral [A AA’]. A figura da secção tem, assim, cinco vértiface lateral [A PQRST]), desenharam-se as ces – os vértices P, Q, R, S e T (é um pentágono). A partir dos cinco vértices da figura da secção (o pentágono [P suas projecções. Sendo pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção (não houve desagregação do sólido), há que repreRS] e [R RT] da figura da secção são invisíveis em projecção frontal, por se sentar as invisibilidades existentes na figura da secção. Os lados [R CC’D’D] e [B BB’C’C], respectivamente). Os restantes lados da figura situarem em faces laterais invisíveis em projecção frontal (as faces laterais [C da secção são visíveis, em projecção frontal, por se situarem em faces visíveis (em projecção frontal) ou em faces projectantes frontais (a base RS] e [Q QS] da figura da secção são invisíveis em projecção horizontal, por se situarem em faces laterais invisíveis em prosuperior). Os lados [R CC’D’D] e [A AA’D’D], respectivamente). Os restantes lados da figura da secção são visíveis, em projecção jecção horizontal (as faces laterais [C horizontal, por se situarem em faces visíveis em projecção horizontal.

439. Em primeiro lugar representou-se o prisma, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Atendendo a que uma das faces laterais do sólido (a face de menor cota) está contida num plano horizontal (de nível), foi possível determinar a posição dos pentágonos das bases. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento. O plano ϕ’ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento – o plano ϕ’ dista 7 cm (a altura do prisma) do plano ϕ. As projecções do sólido desenharam-se a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício (que é o s ó l i d o r e s u l t a n t e d a s e c ç ã o). Uma vez que o plano secante não é projectante, não é possível, de forma imediata identificar as arestas do sólido que são cortadas pelo plano secante, o que obriga a procedimentos auxiliares e à análise, aresta a aresta, das arestas que são cortadas pelo plano secante. Assim, começou-se por averiguar se o plano secante corta as bases do prisma. Para tal há que determinar as rectas de intersecção do plano ρ (o plano secante) com os planos ϕ e ϕ’ (os planos das bases). A recta de intersecção de um plano frontal (de frente) com um plano de rampa é uma recta fronto-horizontal – já temos a direcção (falta-nos um ponto) Recorreu-se a uma recta r, do plano ρ (a recta r é uma recta auxiliar e está definida por dois pontos, que são os seus traços). O plano ϕ (o plano que contém a base de menor afastamento) corta a recta r no ponto K – a recta m, fronto-horizontal e passando por K , é a recta de intersecção de ϕ com ρ. A recta m corta a base de menor afastamento do prisma nos pontos P e Q – P e Q são, respectivamente, os pontos em que o plano ρ corta as aresAE] e [A A B] da base. Já temos dois pontos da figura da secção. Note que não se determinou a recta de intersecção do plano ϕ’ (o plano tas [A que contém a base de maior afastamento do prisma) com o plano ρ – essa recta, no entanto, é uma recta fronto-horizontal que se situa no A’B’C’D’E’]. O plano ρ não corta a base de maior afastamento do prisma. Em seguida, para determi4o Diedro, pelo que é exterior à base [A nar os pontos de intersecção das arestas laterais do prisma com o plano ρ recorreu-se ao método geral da intersecção de rectas com plaBB’] e [E EE’] do prisma. A recta de nos. O plano ν é um plano horizontal (de nível) auxiliar – é o plano que contém as arestas laterais [B intersecção do plano ν com o plano ρ é a recta i – a recta i é uma recta fronto-horizontal, que está definida por uma direcção e por um ponto BB’] no ponto S e intersecta a aresta lateral (o ponto I, que é o ponto em que o plano ν corta a recta r). A recta i intersecta a aresta lateral [B EE’] no ponto S – R e S são, respectivamente, os pontos em que o plano ρ corta as arestas laterais [B BB’] e [E EE’]. Já temos mais dois pontos [E (Continua na página seguinte) 198

SOLUÇÕES

CC’] e [D DD’] do prisma da figura da secção. O plano ν’ é outro plano horizontal (de nível) auxiliar – é o plano que contém as arestas laterais [C (note que o plano ν’ é o plano que contém a face lateral inferior do sólido). A recta de intersecção do plano ν’ com o plano ρ é a recta i’ – a recta i’ é outra recta fronto-horizontal, que está também definida por uma direcção e por um ponto (o ponto I’, que é o ponto em que o plano ν’ CC’] no ponto T e intersecta a aresta lateral [D DD’] no ponto U – T e U são, respectivacorta a recta r). A recta i’ intersecta a aresta lateral [C CC’] e [D DD’]. Já temos mais dois pontos da figura da secção. Já temos seis mente, os pontos em que o plano ρ corta as arestas laterais [C pontos da figura da secção – o plano secante não corta mais nenhuma aresta do prisma, pelo que a figura da secção é um hexágono (irreP, Q, R , S, T e U), desenharam-se as projecções da figura da secção gular). A partir das projecções dos seis vértices da figura da secção (P PQRSTU]) e do sólido resultante da secção (a parte do prisma que está compreendida entre o plano secante e o Plano Hori(o hexágono [P zontal de Projecção). Note que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte que se situa para cima do plano secante) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. Representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) do novo sólido (o sólido resultante da secção), bem como as respectivas invisibilidades. Atendendo a que a figura da secção (a superfície da figura, ou seja, a área do corte) é visível em ambas as projecções, identificou-se a figura a tracejado (em ambas as projecções).

440. Em primeiro lugar representou-se o cubo, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a face superior do cubo. O plano α, porque é ortogonal ao β1/3, tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X. Por outro lado, uma vez que o plano α contém o ponto A (que é um ponto do Plano Horizontal de Projecção), sabe-se que hα passa por A 1. As projecções do sólido desenharam-se a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício (que é o s ó l i d o r e s u l t a n t e d a s e c ç ã o ). O plano secante não é projectante, pelo que não é possível, de forma imediata identificar as arestas do sólido que são cortadas pelo plano secante, o que obriga a procedimentos auxiliares e à análise, aresta a aresta, das arestas que são cortadas pelo plano secante. Assim, começou-se por averiguar se o plano secante corta as faces horizontais (de nível) do cubo. Para tal há que determinar as rectas de intersecção do plano α (o plano secante) com o Plano Horizontal de Projecção (que contém a face inferior do cubo) e o plano ν (que contém a face superior do cubo). A recta de intersecção do plano α com o Plano Horizontal de Projecção é hα – hα é A BCD] no ponto A, pelo que o plano α corta a face [A A BCD] do cubo no ponto A. Já temos um ponto da figura tangente (rasante) ao quadrado [A da secção. A recta h é a recta de intersecção do plano α com o plano ν – é uma recta horizontal, que está definida por um ponto (o seu traço frontal, que é o ponto D’) e por uma direcção (é paralela a hα, pois rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço hoA’B’C’D’]) nos rizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). A recta h corta a face superior do cubo (o quadrado [A AA’B’B] segunpontos B’ e D’ – B’ e D’ são mais dois pontos da secção. Já temos três pontos da secção – A, B’ e D’. O plano α corta a face [A AB’] (que é uma diagonal dessa face). O plano α corta a face [A A’B’C’D’] segundo o segmento [B B’D’] (que é uma diagonal dessa do o segmento [A AA’D’D] segundo o segmento [A AD’] (que é uma diagonal dessa face). Conclui-se que o plano α não corta face). O plano α corta a face [A AB’D’]. A partir das projecções dos três vértices da figura da secção, desenhamais nenhuma face do cubo – a figura da secção é o triângulo [A ram-se as projecções da figura da secção e do sólido resultante da secção (a parte do cubo que está compreendida entre o plano secante e os planos de projecção). Note que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte que se situa para cima do plano secante) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. Representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) do novo sólido (o sólido resultante da secção), bem como as respectivas invisibilidades. Atendendo a que a figura da secção (a superfície da figura, ou seja, a área do corte) é visível em ambas as projecções, identificou-se a figura a tracejado (em ambas as projecções). Para determinar a V.G. da figura da secção, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – a secção está contida no plano α, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 163 e respectivo relatório) – a charneira foi hα (recta e). Ar ≡ A1, D’r) e pois A é um ponto da charneira. O ponto que nos permitiu rebater fα foi D’, o traço frontal da recta h. A recta hr fica definida por um ponto (D por uma direcção (é paralela a hαr). Conduzindo, por B’1 uma perpendicular à charneira, determinou-se B’r sobre hr. A V.G. da figura da secção A rB’rD’r]. Note que se trata de um triângulo equilátero. está no triângulo [A

199

SOLUÇÕES

441. Em primeiro lugar representou-se o cubo pelas suas projecções, em função dos dados. O β1/3 é um plano que não carece de representaA B CD]). O plano ϕ’ dista 6 cm ção. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a face de menor afastamento do cubo (o quadrado [A A’B’C’D’]). (a aresta do cubo) do plano ϕ e é o plano frontal (de frente) que contém a face de maior afastamento do cubo (o quadrado [A AA’] é a aresta projectante frontal que se situa no Plano O plano α é o plano projectante frontal que contém uma das faces do cubo – a aresta [A Horizontal de Projecção e é de topo (está contida em hα). As projecções do sólido desenharam-se a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício (que é o sólido resultante da secção). O plano secante (o β1/3) não é projectante, pelo que não é possível, de forma imediata identificar as arestas do sólido que são cortadas pelo plano secante, o que obriga a procedimentos auxiliares e à análise, aresta a aresta, das arestas que são cortadas pelo plano secante. Assim, começou-se por averiguar se o plano secante corta as faces frontais (de frente) do cubo. Para tal há que determinar as rectas de intersecção do β1/3 (o plano secante) com o plano ϕ (o plano que contém a face de menor afastamento do cubo) e o plano ϕ’ (que contém a face de maior afastamento do cubo). A recta i é a recta de intersecção do plano ϕ com o β1/3 – trata-se de uma recta fronto-horizontal. O plano ϕ é projectante horizontal, pelo que i 1 tem determinação imediata – rectas do β1/3 têm as suas projecções simétricas em relação ao eixo X, pelo que é possível, de forma imediata, determinar i 2 (tem A B CD] nos pontos P e Q – P e Q são, respectivamente, os pontos em que o β1/3 corta as arestas 2 cm de cota). A recta i corta o quadrado [A A D] e [A A B] da face [A A B CD] do cubo. Já temos dois pontos da figura da secção. A recta i’ é a recta de intersecção do plano ϕ’ com o β1/3 – [A trata-se de outra recta fronto-horizontal. O plano ϕ’ é projectante horizontal, pelo que i’1 tem determinação imediata – rectas do β1/3 têm as A ’ B ’ C ’ D ’] suas projecções simétricas em relação ao eixo X, o que nos permite determinar i’2 (tem 8 cm de cota). A recta i’ corta o quadrado [A C’D’] e [B B’C’] da face [A A’B’C’D’] do cubo. Já tenos pontos R e S – R e S são, respectivamente, os pontos em que o β1/3 corta as arestas [C AA’B’B’] do cubo) – mos mais dois pontos da figura da secção. A recta a é a recta de intersecção do plano α (o plano que contém a face [A BB’]. O plano α é projectante frontal, pelo que a2 tem determinação imediata – a recta a, porque é uma note que o plano α contém a aresta [B recta do β1/3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X, o que nos permite desenhar imediatamente a1. Note que a recta a A B], que está contida no plano α) e é um ponto passa necessariamente pelo ponto Q, pois Q é um ponto do plano α (situa-se na aresta [A A B]). A recta a corta a aresta [B BB’] no ponto U – U é um outro ponto da secção. O plano δ do β1/3 (pois é o ponto em que o β1/3 corta a aresta [A AA’D’D] do cubo (e contém a aresta [D DD’]) – o plano δ é um plano de topo. A recta b é a recta de intersecé o plano que contém a face [A ção do plano δ com o β1/3 – o plano δ é projectante frontal, pelo que b2 tem determinação imediata e a recta b, porque é uma recta do β1/3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X, o que nos permite desenhar imediatamente b1. Note que a recta b passa n e c e s s a r i a m e n t e pelo ponto P, pois P é um ponto do plano δ (situa-se na aresta [A A D], que está contida no plano δ) e é um ponto do β1/3 (pois é A D]). A recta b corta a aresta [D DD’] no ponto T – T é um outro ponto da secção. O β1/3 não corta mais o ponto em que o β1/3 corta a aresta [A PQRSTU]. A partir das projecnenhuma face e/ou aresta do cubo – a figura da secção tem seis vértices e é, assim, o hexágono (irregular) [P ções dos seis vértices da figura da secção, desenharam-se as suas projecções e as do s ó l i d o r e s u l t a n t e d a s e c ç ã o (a parte do cubo que está compreendida entre o β1/3 e o Plano Horizontal de Projecção). Note que se representou, a traço forte, o s ó l i d o r e s u l t a n t e d a s e c ç ã o, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte que se situa entre o β1/3 e o Plano Frontal de Projecção) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. Representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) do novo sólido (o sólido resultante da secção), bem como as respectivas invisibilidades. Atendendo a que a f i g u r a da secção (a superfície da figura, ou seja, a área do corte) é v i s í v e l apenas em projecção horizontal, identificou-se a figura a tracejado (em projecção horizontal). Note que o β1/3 é um plano em tensão, o que justifica o facto de a figura da secção não ser visível em ambas as projecções.

200

SOLUÇÕES

442. Em primeiro lugar representou-se o prisma, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do sólido e tem 5 cm (a altura do prisma) de cota. Os vértices da base superior foram determinados a partir das suas projecções frontais – trata-se da intersecção de rectas não projectantes (as rectas suporte das arestas laterais) com um plano projectante frontal (o plano ν). A base superior do prisA’B’C’], cujos lados são pama é o triângulo equilátero [A A B C]. ralelos aos lados correspondentes do triângulo [A Uma vez que o plano secante não é projectante, não é possível, de forma imediata identificar as arestas do sólido que são cortadas pelo plano secante, o que obriga a procedimentos auxiliares e à análise, aresta a aresta, das arestas que são cortadas pelo plano secante. Assim, começou-se por averiguar se o plano secante corta as bases do sólido. A recta de intersecção do plano α (o plano secante) com o Plano Horizontal de Projecção (o plano que contém a base inferior do sólido) é hα – hα é exterior à base [A A B C], pelo que o plano α não corta a base inferior do sólido. Optou-se por não determinar graficamente a recta de intersecção do plano α (o plano secante) com o plano ν (o plano que contém a base superior do prisma), mas caso se tivesse determinado constatar-se-ia que a recta seria exterior à base A’B’C’] – o plano α também não corta a base superior [A do sólido. Assim, cortará as três arestas laterais, pelo que a figura da secção será um triângulo (terá três vértices). Em seguida, determinouA A ’] com o plano α – para tal recorreu-se ao método geral da intersecção de rectas com planos se o ponto de intersecção da aresta lateral [A A A ’] nem o plano α são projectantes). O plano δ, de topo, é o plano auxiliar que contém a aresta [A A A ’] (δ é o plano projec(nem a aresta [A tante frontal da aresta). A recta i é a recta de intersecção do plano δ com o plano α – a recta i está definida por dois pontos (os seus traços, A A ’] – M é o ponto em que o plano secante (o plano α) corta a aresta [A A A ’]. Já F e H). M é o ponto de intersecção da recta i com a aresta [A CC’] com o plano α, temos um ponto da figura da secção – o ponto M. Em seguida, determinou-se o ponto de intersecção da aresta lateral [C CC’] (γ é o plano projectante frontal da aresta e é paralepelo mesmo processo. O plano γ, de topo, é o plano auxiliar que contém a aresta [C lo ao plano δ). Note que o plano γ está representado, apenas, pelo seu traço frontal, razão pela qual este se assinalou entre parêntesis. A recta i’ é a recta de intersecção do plano γ com o plano α – a recta i está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’) e por uma direcção (é paralela à recta i). Recorde que qualquer plano corta dois planos paralelos segundo rectas paralelas – os planos δ e γ são paralelos, pelo que as rectas i e i’ (as rectas de intersecção do plano α com os planos δ e γ, respectivamente) são necessariamente paralelas. N é o ponto CC’] – N é o ponto em que o plano α corta a aresta [C CC’]. Já temos outro ponto da figura da secção de intersecção da recta i’ com a aresta [C BB’] com o plano α, pelo mesmo processo. O plano θ, de – o ponto N. Em seguida, determinou-se o ponto de intersecção da aresta lateral [B BB’] (θ é o plano projectante frontal da aresta e é paralelo aos planos δ e γ). Note que o plano topo, é o plano auxiliar que contém a aresta [B θ está representado, apenas, pelo seu traço frontal, razão pela qual este se assinalou entre parêntesis. A recta i’’ é a recta de intersecção do plano θ com o plano α – a recta i’’ está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’’) e por u\ma direcção (é paralela às rectas i e i’). Recorde que qualquer plano corta dois planos paralelos segundo rectas paralelas – os planos δ, γ e θ são paralelos, pelo que as rectas i, i’ e i’’ (as rectas de intersecção do plano α com os planos δ, γ e θ, respectivamente) são necessariamente paralelas. O é o ponto de intersecção da BB’] – O é o ponto em que o plano α corta a aresta [B BB’]. Já temos o terceiro ponto da figura da secção – o ponto O. recta i’’ com a aresta [B MNO]. A partir dos três vértices da figura da secção, desenharam-se as suas projecções. Sendo pedida a A figura da secção é o triângulo [M figura da secção e não o sólido resultante da secção (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibilidades existentes NO] da figura da secção é invisível em projecção frontal, por estar contido numa face lateral invisível em prona figura da secção. O lado [N BB’C’C]. Os restantes lados da figura da secção são visíveis em projecção frontal, por estarem contidos em jecção frontal – a face lateral [B MO] da figura da secção é invisível em projecção horizontal, por estar contido numa face lateral faces visíveis (em projecção frontal). O lado [M AA’B’B’]. Os restantes lados da figura da secção são visíveis em projecção horizontal, por invisível em projecção horizontal – a face lateral [A estarem contidos em faces visíveis em projecção horizontal. Para determinar a V.G. da figura da secção, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – a secção está contida no plano α, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 163 e respectivo relatório) – a charneira foi hα (recta e). O ponto que nos permitiu rebater f α foi F, o traço frontal da recta i. Hr ≡ H1, pois H é um ponto da charneira. A recta i r fica definida por dois pontos Fr e Hr. Conduzindo, por M 1, uma perpendicular à charneira, determinou-se M r sobre i r. Para rebater o ponto N rebateu-se a recta i’, à qual o ponto F’r) e por pertence. Conduzindo, por F’1, uma perpendicular à charneira, determinou-se F’r sobre f αr – a recta i’r está definida por um ponto (F uma direcção (é paralela a i r, pois o paralelismo entre rectas verifica-se no espaço, em projecções e em rebatimento). Conduzindo, por N1, uma perpendicular à charneira, determinou-se Nr sobre i’r. O processo repetiu-se para o ponto O e a recta i’’. Conduziu-se uma perpendicular à charneira por F’’1, determinando-se F’’r sobre f αr – a recta i’’r passa por F’’r e é paralela a i r e a i’r . Nr situa-se sobre i’’r , na perpendicular à M r Nr Or]. charneira que passa por N1. A V.G. da figura da secção está no triângulo [M

201

SOLUÇÕES

443. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos A BCD] tem censeus traços, em função dos dados. A circunferência circunscrita ao quadrado [A RT]. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que tro em O, que é o ponto médio do segmento [R contém a base da pirâmide. As projecções do sólido desenharam-se a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício (que é o sólido resultante da secção). Uma vez que se trata de um plano projectante horizontal, é possível concluir que o plano secanRS] e [S ST]) e três arestas laterais (as arestas [U UV], te corta duas arestas da base (as arestas [R RV] e [T TV]) – a figura da secção tem, assim, cinco vértices (é um pentágono irregular). O pla[R ST] e [R RS] da base nos pontos A e B, respectivamente – estes no secante corta as arestas [S pontos têm determinação imediata a partir das suas projecções horizontais, pois o plano secante é projectante horizontal (trata-se da intersecção de rectas não projectantes com um plano UV] no ponto E – este ponto tem igualmente projectante). O plano secante corta a aresta lateral [U determinação imediata a partir da sua projecção horizontal (e pelo mesmo motivo), pois o plano TV] e [R RV] (as arestas de secante é projectante horizontal. O plano α corta as arestas laterais [T perfil) nos pontos C e D, respectivamente – as projecções horizontais destes pontos determinam-se imediatamente, o mesmo não acontecendo com as suas projecções frontais, pois as projecções de rectas de perfil não verificam o Critério de reversibilidade. Os pontos C e D são, assim, os pontos «problemáticos» da secção. A determinação destes pontos processou-se com o recurso ao método dos planos paralelos à base. Conduziu-se um plano frontal (de frente) ϕ1 – um plano paralelo à base – pelos pontos C e D. Em seguida, desenhou-se parte da secção produzida pelo plano ϕ1 na pirâmide, da qual C e D são dois vértices – o plano ϕ1 corta a aresta UV] no ponto M. A figura da secção produzida por ϕ1 na pirâmide será um quadrado, semelhante ao polígono da base e com os seus lados para[U A BCD]. Assim, por M2 conduziu-se uma paralela a [U U2T2], obtendo C2 sobre [T T2V2]. Em seguida, lelos aos lados correspondentes do quadrado [A U2R2], obtendo D2 sobre [R R2V2]. Já temos as projecções frontais de C e D. A partir das projecções dos quatro por M2 conduziu-se uma paralela a [U vértices da figura da secção (a secção produzida pelo plano α na pirâmide), desenharam-se as suas projecções, representando-se as projecções do sólido pedido a traço forte – o sólido resultante da secção (a parte compreendida entre o plano secante e o vértice). A parte desprezada da pirâmide (a parte compreendida entre o plano secante e a base) representou-se a traço leve. Note que a superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projecção frontal, razão pela qual se identificou com tracejado. Sublinha-se que a determinação dos pontos C e D (os pontos RV] e [T TV]. «problemáticos» da secção) se poderia ter processado com o recurso ao rebatimento do plano de perfil que contém as arestas [R

444. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide. Para determinar o centro da circunferência circunscrita ao hexágono da base, procedeu-se à construção de um triângulo equilátero a partir de A e B – o terceiro vértice desse triângulo é O, o centro da circunferência circunscrita ao hexáA BCDEF]. As projecções do sólido desenharam-se a traço leve, pois trata-se de gono [A um traçado auxiliar para o objectivo do exercício (que é o sólido resultante da secção). Uma vez que se trata de um plano projectante frontal, é possível concluir que o plano secante não corta a base da pirâmide – o plano θ corta as seis arestas laterais da pirâmide, pelo que a figura da secção tem seis vértices (será um hexágono). Por outro lado, uma vez que o plano secante não é paralelo ao plano da base, a figura da secção não será CV], [D DV], [E EV] e [F FV] um hexágono regular. O plano secante corta as arestas laterais [C nos pontos C’, D’, E’ e F’, respectivamente – estes pontos têm determinação imediata a partir das suas projecções frontais, pois o plano secante é projectante frontal (trata-se da intersecção de rectas não projectantes com um plano projectante). O plano secante corAV] e [B BV] (as arestas de perfil) nos pontos A’ e B’, respectivamenta as arestas laterais [A te – as projecções frontais destes pontos determinam-se imediatamente, o mesmo não acontecendo com as suas projecções horizontais, pois as projecções de rectas de perfil não verificam o Critério de reversibilidade. Os pontos A’ e B’ são, assim, os pontos «problemáticos» da secção. A determinação destes pontos processou-se com o recurso ao método dos planos paralelos à base. Conduziu-se um plano horizontal (de nível) ν1 – um plano paralelo à base – pelos pontos A’ e B’. Em seguida, desenhou-se parte da secção produzida pelo plano ν1 na pirâmide, da qual A’ e B’ são dois vértices – o plano ν1 FV] no ponto M e corta a aresta lateral [C CV] no ponto N. A figura da corta a aresta lateral [F secção produzida por ν1 na pirâmide será um hexágono regular, semelhante ao polígono da base e com os seus lados paralelos aos lados correspondentes do hexágono A B CDEF]. Assim, por M 1 conduziu-se uma paralela a [A A 1F1], obtendo A’1 sobre [A A 1V1]. Em seguida, por N1 conduziu-se uma paralela a [A C1B 1], obtendo B’1 sobre [B B 1V1]. Já temos as projecções horizontais de A’ e B’. A partir das projecções dos seis vértices da figura da sec[C ção (a secção produzida pelo plano θ na pirâmide), desenharam-se as suas projecções, representando-se as projecções do sólido pedido a traço forte – o sólido resultante da secção (a parte compreendida entre o plano secante e a base). A parte desprezada da pirâmide (a parte compreendida entre o plano secante e o vértice) representou-se a traço leve. Note que a superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projecção horizontal, razão pela qual se identificou com tracejado. Sublinha-se que a determinação dos pontos A’ e B’ (os pontos AV] e [B BV]. «problemáticos» da secção) se poderia ter processado com o recurso ao rebatimento do plano de perfil que contém as arestas [A

202

SOLUÇÕES

445. A B C], pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos Em primeiro lugar representou-se o triângulo equilátero [A dados. Os dados do exercício permitiram-nos concluir a construção da projecção horizontal do tetraedro – a projecção horizontal do vértice D (o quarto vértice do sólido) está coincidente com a projecção horizontal do centro do triângulo. Não é possível, de forma directa, determinar a cota de D, pois não se sabe a altura de um tetraedro – sabe-se, apenas, que todas as suas arestas têm o mesmo comprimento, sendo A D], [B BD] e [C CD] medem todas 6 cm (a medida esse o raciocínio que suporta a construção das projecções deste sólido. Assim, as arestas [A da aresta do tetraedro), mas nenhuma delas se projecta em V.G. – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo CD]. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi rebatimento do plano π, o plano de perfil que contém a aresta [C f π – recta e), obtendo Cr e a referência de Dr. Com o compasso, fazendo centro em Cr e com 6 cm de raio, determinou-se Dr – invertendo o rebatimento, determinou-se a projecção frontal de D e concluiu-se a construção da projecção frontal do sólido. Uma vez que o plano secante não é projectante, não é possível, de forma imediata identificar as arestas do sólido que são cortadas pelo plano secante, o que obriga a procedimentos auxiliares e à análise, aresta a aresta, das arestas que são cortadas pelo plano secante. Assim, começou-se por averiguar se A B C]). A recta de intersecção do plano α (o plano secante) com o plano da face o plano secante corta a face inferior do sólido (o triângulo [A A B C] é hα – hα é exterior ao triângulo [A A B C], pelo que o plano α não corta a face inferior do sólido. Em seguida determinou-se o ponto de [A CD] com o plano α – para tal recorreu-se ao método geral da intersecção de rectas com planos (nem a aresta [C C D] intersecção da aresta [C CD] (que é de perfil) – π é o plano projectante da nem o plano α são projectantes). O plano π, de perfil, é o plano que contém a aresta [C CD]. A recta i é a recta de intersecção de π com α e está definida por dois pontos (os seus traços, H e F) – trata-se do caso geral da aresta [C CD] tem de se prointersecção entre planos. A recta i é uma recta de perfil. A determinação do ponto em que a recta i intersecta a aresta [C cessar com o recurso a um processo geométrico auxiliar – recorreu-se ao rebatimento previamente efectuado do plano de perfil, rebatendo Cr Dr] no ponto R r – invertendo o rebatimento, determinaram-se as a recta i. A recta i r está definida por Fr e Hr. A recta i r intersecta a aresta [C projecções de R . Já temos um ponto da figura da secção. Note que, ao contrário das situações anteriores, não era conhecida nenhuma das projecções deste ponto (que é um ponto «problemático» da secção, pois situa-se numa aresta de perfil) – assim, não seria possível o recurso ao método dos planos paralelos à base, pois não se saberia por onde conduzir o plano paralelo à base que nos iria permitir determinar o A D] com o plano α – nem a aresta nem o plano são projectantes, ponto R . Em seguida, determinou-se o ponto de intersecção da aresta [A pelo que há que recorrer, de novo, ao método geral da intersecção entre rectas e planos. O plano γ, vertical, é o plano que contém a aresta A D] – γ é o plano projectante horizontal da aresta [A A D]. A recta i’ é a recta de intersecção do plano γ com o plano α e está definida por [A dois pontos (os seus traços, que não se identificaram para não sobrecarregar demasiado a resolução gráfica apresentada) – trata-se do A D] no ponto S – já temos mais um ponto da figura da secção. Em secaso geral da intersecção entre planos. A recta i intersecta a aresta [A A B D] (o plano A B D) com o plano secante – a recta i’’. Para definir guida, determinou-se a recta de intersecção do plano que contém a face [A a recta i’’ necessitamos de dois pontos ou um ponto e uma direcção. O plano A B D é um plano passante, pelo que já temos um ponto comum aos dois planos – o ponto de concorrência dos traços do plano α. O ponto S é um outro ponto da recta i’’, pois S é um ponto que pertence ao plano α (pois pertence à recta i’, que pertence ao plano α) e pertence ao plano ACD (pois pertence à recta A D, que pertence ao plano A C D). Já temos dois pontos para definir a recta i’’ – as projecções da recta i’’ passam pelas projecções homónimas do ponto S e são BD] no ponto T – T é um outro ponto concorrentes entre si no ponto de concorrência dos traços do plano α. A recta i’’ intersecta a aresta [B da figura da secção. Já temos três pontos da figura da secção – o plano secante não corta mais nenhuma aresta do sólido, pelo que a figuR , S e T), desenharam-se as projecções da f i g ura da secção é um triângulo. A partir das projecções dos três vértices da figura da secção (R ra da secção (o triângulo [R RST]). Sendo pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibilidades existentes na figura da secção. Os lados da figura da secção estão, todos, contidos nas faces laterais do sólido que são visíveis em projecção horizontal – em projecção, a figura da secção é visível na sua totalidade. Já em projecção ST] da figura da secção é invisível, por estar contido numa face invisível em projecção frontal (a face lateral [A A BV]). Os resfrontal, o lado [S tantes lados da figura da secção são visíveis, em projecção frontal, por se situarem em faces visíveis (em projecção frontal).

203

SOLUÇÕES

446. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano ϕ, pelo seu traço horizontal, em função dos dados. O ponto A, da base, porque tem afastamento nulo, é um ponto de f γ. O ponto B, porque tem cota nula, é necessariamente um ponto de hγ. É dado que o lado A B] tem as suas projecções paralelas entre si (está contido numa recta [A A 1B1] está contido em hγ, sabe-se que paralela ao β2/4) – uma vez que [A A 2B2] tem de ser paralelo a hγ. Uma vez que o plano γ (o plano que con[A tém a base da pirâmide) não é paralelo a nenhum dos planos de projecA BCD] processou-se ção, a determinação das projecções do quadrado [A com o recurso a um processo geométrico auxiliar – o rebatimento do plano γ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f γ). O quadrado foi construído previamente em V.G., em rebatimento – a partir de A r e B r, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do quadrado da base da pirâmiAV] é de perfil e que a aresta lateral de. Sabendo que a aresta lateral [A DV] é horizontal (de nível), sabe-se que V tem a abcissa de A e a cota de [D D, o que nos permitiu determinar V2. A aresta lateral [D DV] mede 8 cm, e atendendo a que é paralela ao Plano Horizontal de Projecção (é horizontal), projecta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção – com o compasso, fazendo centro em D1 e com 8 cm de raio (o comprimento da aresta), determinou-se V1 e conclui-se a construção das projecções da pirâmide. Uma vez que o plano secante é um plano projectante horizontal, é possível concluir que corta a base da pirâmide (corta duas arestas da base) e três das suas arestas laterais – o plano ϕ corta cinco arestas da pirâmide, pelo que a figura da secção tem cinco vértices (será um pentáCD] e [B B C] da base gono irregular). O plano secante corta as arestas [C nos pontos M e N, respectivamente – estes pontos têm determinação imediata a partir das suas projecções horizontais, pois o plano secante é projectante horizontal (trata-se da intersecção de rectas não projectantes com um plano projectante). O plano secante corta as arestas laterais DV] e [B BV] nos pontos P e O, respectivamente – estes pontos têm também determinação imediata a partir das suas projecções horizontais, [D pois o plano secante é projectante horizontal (trata-se mais uma vez da intersecção de rectas não projectantes com um plano projectante). Por AV] (a aresta de perfil) no ponto Q – a projecção horizontal deste ponto determina-se imediatamente, fim, o plano secante corta a aresta lateral [A o mesmo não acontecendo com a sua projecção frontal, pois as projecções de rectas de perfil não verificam o Critério de Reversibilidade. O ponto Q é, assim, o ponto «problemático» da secção. A determinação deste ponto processou-se com o recurso ao método dos planos paralelos à base. Conduziu-se um plano vertical α – um plano paralelo à base – pelo ponto Q. Em seguida, desenhou-se parte da secção produziBV] no ponto K . A figura da secção produzida por α na da pelo plano α na pirâmide, da qual Q é um vértice – o plano α corta a aresta lateral [B A BCD]. pirâmide será um quadrado, semelhante ao polígono da base e com os seus lados paralelos aos lados correspondentes do quadrado [A A 2B2], obtendo Q2 sobre [A A 2V2]. A partir das projecções dos cinco vértices da figura da secção (M M, Assim, por K 2 conduziu-se uma paralela a [A N, O, P e Q), desenharam-se as projecções da figura da secção (o pentágono [M MNOPQ]). Em projecção horizontal, a figura reduz-se a um segmento de recta, pois o plano secante (o plano ϕ) é projectante horizontal. Já em projecção frontal, sendo pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibilidades existentes na figura da secção. Os P M], [N NO] e [O OQ] estão contidos em faces visíveis (em projecção frontal) da pirâmide (as faces laterais [C CDV], [B B CV] e [A A BV], respectilados [P PQ] da figura, porque está contido numa face lateral invisível (em projecção frontal) da pirâmide (a vamente), pelo que são visíveis. Já o lado [P ADV]), é invisível em projecção frontal. Da mesma forma, o lado [M MN] da figura da secção, porque está contido na base da pirâmiface lateral [A de (que é invisível em projecção frontal), é igualmente invisível. Recorde que, em termos de traçado, o sólido se representa a traço médio (é um dado) e o pretendido (a figura da secção) se representa a traço forte.

447. Um plano produz uma secção triangular num cone sempre que contiver o vértice do cone e for secante à sua base. Nestes casos, o plano corta a superfície lateral do cone segundo duas geratrizes, as quais contêm dois lados do triângulo.

448. Se o plano produz uma secção hiperbólica no cone, sabe-se que o plano é paralelo a duas geratrizes da superfície e não contém o vértice da superfície (caso contivesse o vértice, a secção seria triangular).

449. Em primeiro lugar, se a secção é e l í p t i c a, sabe-se que o plano secante é oblíquo ao plano da base, não contendo o vértice do cone e não sendo paralelo a qualquer das geratrizes da superfície. A secção será um segmento da elipse se o plano secante, verificando as condições anteriores, cortar a base do sólido.

204

SOLUÇÕES

450. Se o plano α produz uma secção parabólica numa superfície cónica, sabe-se que o plano α é paralelo a uma única geratriz da superfície (e não contém o vértice da superfície, pois nesse caso a secção seria uma única recta – a própria geratriz à qual o plano α é paralelo). Por outro lado, se o plano δ produz uma secção h i p e r b ó l i c a nessa superfície cónica, sabe-se que o plano δ é paralelo a duas geratrizes da superfície (e não contém o vértice da superfície, pois nesse caso a secção seria triangular).

451. Em primeiro lugar representou-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. Em seguida, executaram-se sequencialmente as três etapas que nos permitem identificar o tipo de secção que o plano θ produz no cone. 1. Conduziu-se, pelo vértice do cone, um plano α, paralelo a θ. Uma vez que o plano θ é um plano de topo (projectante frontal), o plano α será igualmente um plano de topo (projectante frontal), com os seus traços paralelos aos traços homónimos do plano θ. Sendo um plano projectante frontal, para que o plano α contenha o vértice V do cone, basta que f α passe por V2. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano α com o plano da base do cone (o plano ϕ). O plano ϕ é hϕ) ≡ i 1. O plaprojectante horizontal, pelo que se tem imediatamente (h no α é projectante frontal, pelo que se tem imediatamente f α ≡ i 2. A recta i é a recta de intersecção dos dois planos (é uma recta frontal). 3. Analisou-se a posição da recta i em relação à base do cone – a recta i é secante à base do cone, pelo que a secção que o plano θ produz no cone é uma hipérbole (ou, mais correctamente, um ramo de uma hipérbole, uma vez que se trata de um cone que está limitado lateralmente por uma única folha de uma superfície cónica).

452.

Em primeiro lugar representou-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano α tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. É dado que as geratrizes do cone medem 6 cm – as únicas geratrizes que se projectam em V.G. são as geratrizes frontais (de frente) do cone que, na presente situação, são as geratrizes do contorno aparente frontal. Considerou-se a geratriz esA V]. Com o compasso, fazendo querda do contorno aparente frontal – a geratriz [A centro em A 2 e com 6 cm de raio (o comprimento das geratrizes), determinou-se V2, na linha de chamada de V1. Em seguida executaram-se sequencialmente as três etapas que nos permitem identificar o tipo de secção que o plano α produz no cone. 1. Conduziu-se, pelo vértice do cone, um plano α1, paralelo a α. Para tal, e uma vez que o plano α não é um plano projectante (o plano α1 também não será projectante), é necessário conduzir, por V, uma recta do plano α1, para que V pertença ao plano (condição para que um ponto pertença a um plano). Recorreu-se a uma recta h, horizontal (de nível), paralela às rectas horizontais (de nível) do plano α (as rectas horizontais de α 1 são necessariamente paralelas às rectas horizontais de α). Determinou-se F, o traço frontal da recta h, pelo qual se conduziu f α1, paralelo a f α – hα1 é paralelo a h (e a hα) e é concorrente com f α1 no eixo X. O plano α1, definido pelos seus traços (que também estão coincidentes), é paralelo a α e contém V. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano α1 com o plano da base do cone (o plano horizontal ν) – recta i. A recta i é uma recta horizontal (de nível) do plano α1 e está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’) e por uma direcção (a direcção das rectas horizontais de α1). 3. Analisou-se a posição da recta i em relação à base do cone – i é tangente à base do cone, pelo que a secção que o plano α produz no cone é uma parábola.

205

SOLUÇÕES

453. Em primeiro lugar representou-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. Em seguida, executaram-se sequencialmente as três etapas que nos permitem identificar o tipo de secção que o plano α produz no cone. 1. Conduziu-se, pelo vértice do cone, um plano σ, paralelo a ρ. Para tal, e uma vez que o plano ρ não é um plano projectante (o plano σ também não será projectante), é necessário conduzir, por V, uma recta do plano σ, para que V pertença ao plano (condição para que um ponto pertença a um plano). Recorreu-se a uma recta s, oblíqua, paralela a uma recta r, obliqua, do plano ρ. Determinaram-se os traços da recta s nos planos de projecção, pelos quais se conduziram os traços homónimos do plano σ. O plano σ, definido pelos seus traços, é paralelo a ρ e contém V. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano σ com o plano da base do cone (o plano frontal ϕ) – recta i. A recta i é necessariamente uma recta fronto-horizontal (a recta de intersecção entre um plano de rampa e um plano frontal é fronto-horizontal) – a recta i está definida pela sua direcção e por um ponto (o ponto I, que é o ponto de intersecção da recta s com o plano ϕ). 3. Analisou-se a posição da recta i em relação à base do cone – i é exterior à base do cone, pelo que a secção que o plano ρ produz no cone é uma e l i p s e.

454. Em primeiro lugar representou-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano θ é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação ao eixo X. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. A partir da cota do vértice do cone, é possível identificar as geratrizes horizontais (de nível) do sólido. A recta h é a recta suporte da AV], que é a geratriz que faz o ângulo de 60o (a.e.) geratriz [A com o Plano Frontal de Projecção (a outra geratriz horizontal, que não se assinalou, faz necessariamente um ângulo de abertura para a direita). Em seguida, executaram-se sequencialmente as três etapas que nos permitem identificar o tipo de secção que o plano θ produz no cone. 1. Conduziu-se, pelo vértice do cone, um plano α, paralelo a θ. Para tal, e uma vez que o plano θ não é um plano projectante (o plano α também não será projectante), é necessário conduzir, por V, uma recta do plano α, para que V pertença ao plano (condição para que um ponto pertença a um plano). Recorreu-se a uma recta horizontal (de nível), paralela às rectas horizontais (de nível) do plano θ (as rectas horizontais de α são necessariamente paralelas às rectas horizontais de θ). A recta horizontal (de nível) é a própria recta h. Determinou-se F, o traço frontal da recta h, pelo qual se conduziu f α, paralelo a fθ – hα é paralelo a h (e a hθ) e é concorrente com fα no eixo X. O plano α, definido pelos seus traços (que também estão coincidentes), é paralelo a θ e contém V. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano α com o plano da base do cone (o plano frontal ϕ) – recta i. A recta i é uma recta frontal (de frente) do plano α e está definida por um ponto (o seu traço horizontal, H) e por uma direcção (a direcção das rectas frontais de α). 3. Analisou-se a posição da recta i em relação à base do cone – i é tangente à base do cone, pelo que a secção que o plano θ produz no cone é uma parábola.

206

SOLUÇÕES

455. Em primeiro lugar representou-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Atendendo a que o plano θ é projectante frontal, o ponto P, porque pertence ao plano θ (é um ponto da secção que o plano θ produz no cone) tem de ter a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano – P2 é o ponto de f θ que tem 2,5 cm de cota e é visível em ambas as projecções. Em seguida, desenhou-se a projecção frontal da geratriz g, a geratriz do cone que contém o ponto P, passando por P2 – T é o ponto da geratriz g que pertence à base do cone. A projecção horizontal da geratriz, g1, fica definida por V1 e por T1 – P1 situa-se sobre g1. Note que o ponto T é o traço horizontal da geratriz, pois a base do cone situa-se no Plano Horizontal de Projecção. A recta tangente a um ponto de uma secção é a recta de intersecção do plano secante com o plano tangente à superfície nesse ponto. Assim, há que determinar os traços do plano tangente à superfície do cone no ponto P (ver exercício 369 e respectivo relatório). A geratriz g, que contém o ponto P, é a geratriz de contacto (ou de tangência) – é a geratriz ao longo da qual o plano α (o plano tangente) é tangente à superfície lateral do cone. A geratriz g é, já, uma recta tangente à superfície lateral do cone no ponto P – já temos uma recta para definir o plano α. Necessitamos de outra hα), recta. Essa recta pode ser, imediatamente, o traço horizontal do plano α (h que é tangente à base do cone no ponto T. O plano definido pela geratriz g e por hα é o plano tangente à superfície no ponto P. O traço frontal da geratriz g situa-se fora dos limites do desenho, pelo que se recorreu a uma recta auxiliar do plano α – uma recta horizontal (de nível) h, paralela a hα e passando pelo vértice do cone (h é concorrente com a geratriz g em V). F é o traço frontal da recta h. O traço frontal do plano α (o plano tangente à superfície no ponto P), f α é concorrente com hα no eixo X e passa por F2. O plano α, definido pelos seus traços, é o plano tangente à superfície no ponto P. A recta de intersecção do plano α (o plano tangente à superfície no ponto P) com o plano θ (o plano secante) é a recta tangente à secção no ponto P. Já temos um ponto da recta – o ponto P (o ponto P é, já, um ponto que pertence aos dois planos). Determinou-se H’, o ponto de concorrência dos traços horizontais dos dois planos – H’ é o traço horizontal da recta de intersecção dos dois planos (a recta tangente à secção no ponto P). A recta t é a recta tangente à secção no ponto P – a recta t P e H’, o seu traço horizontal). Note que a recta t e a geratriz g são concorrentes no ponto P. está definida por dois pontos (P

456. Em primeiro lugar representou-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ρ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. Os dados permitiram-nos desenhar as projecções da geratriz g – g está defiV, o vértice do cone, e T, o ponto da geratriz que se nida por dois pontos (V situa na base do cone). O ponto P, da secção, porque pertence à geratriz g, tem de ser o ponto de intersecção da geratriz g com o plano ρ (o plano secante) – é o ponto em que o plano ρ corta a geratriz g. Uma vez que se trata da intersecção entre uma recta não projectante (a geratriz g) e um plano não projectante (o plano ρ), recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos. O plano α é o plano auxiliar a que se recorreu – é o plano projectante frontal da geratriz g. A recta i, definida F e H), é a recta de intersecção do plano α com o plapelos seus traços (F no ρ (trata-se do caso geral da intersecção entre rectas e planos). A recta i intersecta a geratriz g no ponto P – P é o ponto em que o plano ρ corta a geratriz g. A recta tangente a um ponto de uma secção é a recta de intersecção do plano secante com o plano tangente à superfície nesse ponto. Assim, há que determinar os traços do plano tangente à superfície do cone no ponto P (ver exercício 369 e respectivo relatório). A geratriz g, que contém o ponto P, é a geratriz de contacto (ou de tangência) – é a geratriz ao longo da qual o plano θ (o plano tangente) é tangente à superfície lateral do cone. A geratriz g é, já, uma recta tangente à superfície lateral do cone no ponto P – já temos uma recta para definir o plano θ. Necessitamos de outra recta. Essa recta pode ser a recta t’, que é uma recta tangente à base do cone no ponto T. A recta t’ é a recta de intersecção do plano tangente (o plano θ) com o plano da base do cone (o plano ϕ). A recta t’ é uma recta frontal (de frente) do plano θ. O plano definido pela geratriz g e pela recta t’ é o plano tangente à superfície no ponto P. Determinou-se o traço frontal da geratriz g – F’. O traço frontal do plano θ, f θ, passa por F’2 e é paralelo à recta t’ (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é (Continua na página seguinte) 207

SOLUÇÕES

uma recta frontal do plano com afastamento nulo). Determinou-se o traço horizontal da recta t’ – H’. O traço horizontal do plano θ, hθ, passa por H’1 e é concorrente com f θ no eixo X. O plano θ, definido pelos seus traços, é o plano tangente à superfície no ponto P. A recta de intersecção do plano θ (o plano tangente à superfície no ponto P) com o plano ρ (o plano secante) é a recta tangente à secção no ponto P. Já temos um ponto da recta – o ponto P (o ponto P é, já, um ponto que pertence aos dois planos). Determinaram-se H’’ e F’’, os traços da recta de intersecção dos planos θ e ρ (trata-se do caso geral da intersecção entre planos), mas bastaria determinar apenas um deles. A recta t é a recta tangente à secção no ponto P – a recta t está definida por dois pontos (os seus traços) e passa necessariamente pelo ponto P (ou seja, está definida por três dos seus pontos). Note que a recta t e a geratriz g são concorrentes no ponto P.

457. Em primeiro lugar representou-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelo seu traço frontal, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. O plano ν1 é o plano secante. As projecções do sólido desenharam-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício (que é o sólido resultante da secção). O plano secante é paralelo ao plano da base e não contém o vértice do cone, pelo que a secção produzida pelo plano ν1 no cone é um círculo. O centro do círculo é o ponto Q, que é o ponto em que o plano ν1 (o plano secante) corta o eixo do sólido. Para determinar o raio do círculo, determinou-se o ponto em que o plano ν1 corta a geratriz mais à diAV]. Note que foi necessário desenhar reita do contorno aparente frontal – a geratriz [A a projecção horizontal da geratriz, pois esta não foi necessária à construção da projecção horizontal do sólido. O ponto M é o ponto em que o plano ν1 corta a geratriz AV]. A figura da secção produzida pelo plano ν1 no cone é o círculo com centro em [A M. Note que o círculo é necessariamente tangente às duas geratrizes do Q e raio 苶 Q苶 contorno aparente horizontal. Em seguida, desenharam-se as projecções do s ó l i d o resultante da secção – o tronco do cone que está compreendido entre a figura da secção e a base. A parte desprezada do cone (a parte compreendida entre o plano secante e o vértice) representou-se a traço leve. Note que a superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projecção horizontal, razão pela qual se identificou com tracejado.

458. Em primeiro lugar representou-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. O plano θ (o plano secante) contém o vértice do cone, pelo que a secção produzida pelo plano θ no sólido é um triângulo, de que V é um vértice. A recta i é a recta de intersecção do plano θ (o plano secante) com o plano ϕ (o plano da base). A recta i corta a base do cone nos pontos A e B – a figura da secção produzida pelo plano θ no A BV]. A partir das projecções dos seus três vértices, desenharam-se cone é o triângulo [A as projecções da figura da secção. Em projecção frontal, a figura reduz-se a um segmento de recta, pois o plano secante (o plano θ) é projectante frontal. Já em projecção horizontal, sendo pedida a figura da secção e não o s ó l i d o r e s u l t a n t e d a s e c ç ã o (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibilidades existentes na figura da secção. O lado [B BV] da figura, que se situa na parte invisível da superfície lateral do AV] da figura da secção é visível, por se cone, é invisível em projecção horizontal. O lado [A A B], da figura da secção, situar na parte visível da superfície lateral do cone. Já o lado [A uma vez que se situa na base (que é projectante horizontal) não admite a representação de qualquer invisibilidade. Note que, em termos de traçado, o sólido se representou a traço médio (é um dado) e o pretendido (a figura da secção) se representou a traço forte.

208

SOLUÇÕES

459. Em primeiro lugar representou-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. A recta r é a recta suporte do eixo do sólido. Uma vez que a geratriz mais à esquerda é de perfil (que é imediatamente, uma geratriz do contorno aparente horizontal), e atendendo a que a recta r faz, em projecção horizontal, um ângulo de 45o (a.e.), a outra geratriz do contorno aparente horizontal é frontal (de frente) e contém o ponto de maior afastamento da base do cone. A projecção frontal da recta r determinou-se a partir da projecção frontal de V (que se determinou em função da sua cota, que corresponde à altura do sólido). As projecções do sólido desenharam-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício (que é o s ó l i d o r e s u l t a n t e d a s e c ç ã o). O plano θ (o plano secante) contém o vértice do cone, pelo que a secção produzida pelo plano θ no sólido é um t r i â n g u l o, de que V é um vértice. O traço horizontal do plano, hθ, é a recta de intersecção do plano θ (o plano secante) com o plano da base – hθ corta a base do cone nos pontos A e B. A figura da secção produzida pelo plano θ no cone é o triânA BV]. A partir das projecções dos seus três vértices, desenharam-se as projecgulo [A ções da f i g u r a d a s e c ç ã o e do s ó l i d o r e s u l t a n t e d a s e c ç ã o (a parte do cone compreendida entre o plano secante e o Plano Horizontal de Projecção). Desenharam-se, a traço forte, os contornos aparentes desse novo sólido, bem como as invisibilidades existentes. A parte desprezada do cone (a parte do cone que se situa acima do plano secante) representou-se a traço leve. Note que a superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projecção horizontal, razão pela qual se identificou a tracejado.

460. Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Em seguida, efectuaram-se os traçados necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano α no sólido. 1. Conduziu-se, por V, um plano paralelo a α – o plano α1 (o que se processou de forma directa, pois α é projectante frontal pelo que, para que α1 contenha V, basta que f α 1 passe por V2). Note que o plano α1 está representado, apenas, pelo seu traço frontal, razão pela qual aquele se encontra assinalado entre parêntesis. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano α1 com o plano da base (o plano ν) – a recta i (a recta i é uma recta de topo, pois trata-se da recta de intersecção entre dois planos projectantes frontais). 3. Averiguou-se a posição da recta i em relação à base do cone – a recta i é exterior à base do cone, pelo que a secção que o plano α produz no cone é uma e l i p s e (ou um segmento de elipse, caso o plano α corte a base do cone). Já sabendo que tipo de curva a secção vai gerar, procedeu-se à sua determinação. O desenho relativamente preciso da curva requer um mínimo de oito pontos. Assim, determinaram-se, antes de mais, os pontos em que o plano α (o plano secante) corta os contornos aparentes. O plano α corta o contorno aparente frontal em dois pontos – A e B (os pontos em que o plano α corta as geratrizes mais à direita e mais à esquerda do contorno aparente frontal, respectivamente). A é o ponto de menor cota da secção e B o seu ponto de maior cota. Note que o ponto A é o ponto da geratriz mais à direita do contorno aparente frontal que se situa na base do cone. O plano α corta o contorno aparente horizontal no ponto A . Já temos dois pontos da curva da secção, que são os dois extremos do eixo maior da elipse (e que definem o espaço útil para os planos auxiliares). Para determinar o eixo menor recorreu-se ao ponto médio de A B] (que se determinou com o recurso à mediatriz de [A A B]), pelo qual se conduziu o primeiro plano auxiliar paralelo à base – o plano hori[A zontal (de nível) ν1. O plano ν1 corta o cone segundo uma circunferência – esta tem centro em Q (o ponto em que ν1 corta o eixo do sólido) Q苶 P (P P é o ponto em que ν1 corta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal). A recta de intersecção do plano ν1 com o e raio 苶 plano α (o plano secante) é também uma recta de topo, que corta a circunferência nos pontos C e D – C e D são mais dois pontos da secção e são os extremos do eixo menor da elipse. Já temos quatro pontos da curva da secção. Repetiu-se o processo com mais dois planos (Continua na página seguinte) 209

SOLUÇÕES

auxiliares paralelos à base (os planos horizontais ν2 e ν3), distribuídos uniformemente entre os pontos já determinados – cada um destes planos permitiu-nos determinar mais dois pontos da elipse. Com um total de oito pontos, desenharam-se as projecções da figura da secção (que não apresenta quaisquer invisibilidades) – a projecção frontal é um segmento de recta (o plano secante é projectante frontal) e a projecção horizontal é outra elipse, cujo desenho, a partir dos oito pontos determinados, foi relativamente preciso. Para determinar a V.G. da figura da secção, que está contida no plano α (que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hα. A partir do rebatimento dos oito pontos determinados para o desenho da elipse, foi possível desenhar a curva em V.G., com alguma precisão.

461. Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. Em seguida, efectuaram-se os traçados necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano γ no sólido. 1. Conduziu-se, por V, um plano paralelo a γ – o plano α (o que se processou de forma directa, pois γ é projectante horizontal pelo que, para que α contenha V, basta que hα passe por V1). 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano α com o plano da base (o plano ϕ) – a recta i (a recta i é uma recta vertical, pois trata-se da recta de intersecção entre dois planos projectantes horizontais). 3. Averiguou-se a posição da recta i em relação à base do cone – a recta i é exterior à base do cone, pelo que a secção que o plano γ produz no cone é uma elipse (ou um segmento de elipse, caso o plano γ corte a base do cone). Já sabendo que tipo de curva a secção vai gerar, procedeu-se à sua determinação. O desenho relativamente preciso da curva requer um mínimo de oito pontos. Assim, determinaram-se, antes de mais, os pontos em que o plano γ (o plano secante) corta os contornos aparentes. A recta i’ é a recta de intersecção do plano γ (o plano secante) com o plano ϕ (o plano da base) – a recta i’ é outra recta vertical. A recta i’ corta a base nos pontos A e B – conclui-se, então, que a secção produzida pelo plano γ no cone é um segmento de elipse (note que A e B são os pontos em que o plano γ corta o contorno aparente frontal). O plano γ corta o contorno aparente horizontal em três pontos – os pontos A e B já determinados e o ponto C, que é o ponto em que o plano γ corta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal. A e B são os pontos de menor afastamento da secção e C é o ponto de maior afastamento da secção. Já temos três pontos da curva da secção, que não são extremos de nenhum dos eixos da elipse, pois a elipse não será completa. De qualquer forma, os pontos A e B e o ponto C definem o espaço útil para os planos auxiliares (os planos paralelos à base). Os planos auxiliares (paralelos à base) distribuíram-se uniformemente pelo espaço útil. O primeiro plano auxiliar paralelo à base foi o plano frontal (de frente) ϕ1. O plano ϕ1 corta o cone segundo uma circunferência – esta tem centro em Q (o ponto em que ϕ1 corta o Q苶 P (P P é o ponto em que ϕ1 corta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal). A recta de intersecção do eixo do sólido) e raio 苶 plano ϕ1 com o plano γ (o plano secante) é também uma recta vertical, que corta a circunferência nos pontos C e D – C e D são mais dois pontos da secção. Já temos cinco pontos da curva da secção. Repetiu-se o processo com mais dois planos auxiliares paralelos à base (os planos frontais ϕ2 e ϕ3) – cada um destes planos permitiu-nos determinar mais dois pontos da elipse. Com um total de nove pontos, desenharam-se as projecções da figura da secção e do sólido resultante da secção (a parte do cone que está compreendida entre o plano secante e o plano da base). A parte desprezada do cone (a parte do cone que se situa entre o plano secante e o vértice) representou-se a traço leve e a parte pretendida a traço forte. A superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projecção frontal, razão pela qual se identificou a tracejado.

210

SOLUÇÕES

462. Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelo seu traço horizontal, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Em seguida, efectuaram-se os traçados necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano ϕ no sólido. 1. Conduziu-se, por V, um plano paralelo a ϕ – o plano ϕ1 (o que se processou de forma directa, pois ϕ é projectante horizontal pelo que, para que ϕ1 contenha V, basta que hϕ1 passe por V1). Note que o plano ϕ1 está representado, apenas, pelo seu traço horizontal, razão pela qual aquele se encontra assinalado entre parêntesis. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano ϕ1 com o plano da base (o plano ν) – a recta i (a recta i é uma recta fronto-horizontal, pois trata-se da recta de intersecção entre um plano frontal e um plano horizontal). 3. Averiguou-se a posição da recta i em relação à base do cone – a recta i é secante à base do cone, pelo que a secção que o plano ϕ produz no cone é uma hipérbole (ou, mais correctamente, um ramo de uma hipérbol e, pois o cone é limitado lateralmente por uma única folha de uma superfície cónica). Já sabendo que tipo de curva a secção vai gerar, procedeu-se à sua determinação. O desenho relativamente preciso da curva requer um mínimo de oito pontos. Assim, determinaram-se, antes de mais, os pontos em que o plano ϕ (o plano secante) corta os contornos aparentes. O plano ϕ corta o contorno aparente horizontal em dois pontos – A e B (os pontos em que o plano ϕ corta a circunferência que delimita a base do sólido). O plano ϕ não corta o contorno aparente frontal. A e B são, ambos, os pontos de menor cota da secção. O ponto de maior cota da secção é o ponto em que o plano ϕ PV] – o ponto C. A projecção horizontal do ponto C teve decorta a geratriz de perfil [P terminação imediata, pois o plano ϕ é projectante horizontal. No entanto, uma vez que as projecções de uma recta de perfil não verificam o Critério de Reversibilidade, é necessário o recurso a raciocínios auxiliares ou a um processo geométrico auxiliar, para determinar a projecção frontal de C. Recorreu-se ao rebatimento do plano π, o Pr Vr] é a geratriz PV] – rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π) e [P plano de perfil que contém a geratriz [P Pr Vr] – invertendo o rebatimento, determinou-se a em rebatimento. Determinou-se o ponto Cr, a partir da sua projecção horizontal, sobre [P projecção frontal de C. Já temos três pontos da figura da secção. O espaço útil para os planos auxiliares (os planos paralelos à base) é o espaço entre o ponto C (o ponto de maior cota da secção) e os pontos A e B (os pontos de menor cota da secção). Recorreu-se a dois planos auxiliares (paralelos à base) distribuídos uniformemente pelo espaço útil. O primeiro plano auxiliar (paralelo à base) foi o plano horizontal (de nível) ν1 – o plano ν1 corta a superfície lateral do cone segundo uma circunferência (ver exercício 460 e respectivo relatório). A recta de intersecção do plano ν1 com o plano ϕ (o plano secante) é também uma recta fronto-horizontal, que corta a circunferência nos pontos D e E – D e E são mais dois pontos da secção. Já temos cinco pontos da curva da secção. Repetiu-se o processo com mais um plano auxiliar paralelo à base (o plano horizontal ν2), que nos permitiu determinar mais dois pontos da parábola (os pontos F e G). Com um total de sete pontos, desenharam-se as projecções da figura da secção – a projecção horizontal reduz-se a um segmento de recta (o plano secante é projectante horizontal) e a projecção frontal é uma parábola, que é invisível na sua totalidade, pois a curva situa-se, na sua totalidade, na parte invisível da superfície lateral do cone. Note que o desenho da parábola, a partir dos sete pontos determinados, foi relativamente preciso. De facto, não se determinaram oito pontos da curva mas, sim, apenas sete – dada a dimensão da curva, na resolução gráfica apresentada, considerou-se que os sete pontos seriam suficientes. No entanto, seria possível recorrer a mais planos auxiliares, sendo que cada um deles nos permitiria determinar mais dois pontos – é possível recorrer a quantos planos auxiliares se pretenda. Note que, atendendo a que o planos secante é frontal (de frente), paralelo ao Plano Frontal de Projecção, a figura da secção se projecta em V.G. no Plano Frontal de Projecção.

463. Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. O vértice do cone é o ponto de concorrência da recta suporte do eixo com a recta suporte da geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal (a geratriz que contém o ponto mais à esquerda da base do cone). Em seguida, efectuaram-se os traçados necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano γ no sólido. 1. Conduziu-se, por V, um plano paralelo a γ – o plano γ1 (o que se processou de forma directa, pois γ é projectante horizontal pelo que, para que γ1 contenha V, basta que hγ1 passe por V1). 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano γ1 com o plano da base (o plano ϕ) – a recta i (a recta i é uma recta vertical, pois trata-se da recta de intersecção entre dois planos projectantes horizontais). 3. Averiguou-se a posição da recta i em relação à base do cone – a recta i é tangente à base do cone, pelo que a secção que o plano γ produz no cone é uma parábola. Já sabendo que tipo de curva a secção vai gerar, procedeu-se à sua determinação. O desenho relativamente preciso da curva requer um mínimo de oito pontos. Assim, determinaram-se, antes de mais, os pontos em que o plano γ (o plano secante) corta os contornos aparentes. O plano γ corta o contorno aparente frontal em dois pontos – A e B (os pontos em que o plano γ corta a circunferência que delimita a base do sólido). O plano γ corta o contorno aparente horizontal nos pontos A e B (já determinados) e no ponto C (que é o ponto em que o plano γ corta a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal). A e B são, ambos, os pontos de menor afastamento da secção. O ponto C é o ponto de maior afastamento da secção. Já temos três pontos da figura da secção. O espaço útil para os planos auxiliares (os planos paralelos à base) é o espaço entre o ponto C (o ponto de maior afastamento da secção) e os pontos A e B (os pontos de menor afastamento da secção). Recorreu-se a três planos auxiliares (paralelos à base) distribuídos uniformemente pelo espaço útil. O primeiro plano auxiliar (para(Continua na página seguinte) 211

SOLUÇÕES

lelo à base) foi o plano frontal (de frente) ϕ1 – o plano ϕ1 corta a superfície lateral do cone segundo uma circunferência (ver exercício 461 e respectivo relatório). A recta de intersecção do plano ϕ1 com o plano γ (o plano secante) é também uma recta vertical, que corta a circunferência nos pontos E e F – E e F são mais dois pontos da secção. Já temos cinco pontos da curva da secção. Repetiu-se o processo com mais dois planos auxiliares paralelos à base (os planos frontais ϕ2 e ϕ3), que nos permitiram determinar mais quatro pontos da parábola (os pontos G, H, I e J) – cada um dos dois planos auxiliares nos permitiu determinar dois pontos. Com um total de nove pontos, desenharam-se as projecções da figura da secção e do s ó l i d o r e s u l t a n t e d a s e c ç ã o – a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o plano da base. A parte desprezada do cone (a parte do cone que se situa para a frente do plano secante) representou-se a traço leve e a parte pretendida a traço forte. A superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projecção frontal, razão pela qual se identificou a tracejado.

464. Resolução

(Relatório na página seguinte) 212

SOLUÇÕES

464. Relatório Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelo seu traço horizontal, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Para que o plano γ (o plano secante) contenha o ponto O (o centro da base) basta que hγ passe por O1 (pois trata-se de um plano projectante horizontal). a) Em primeiro lugar, efectuaram-se os traçados necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano γ no sólido. 1. Conduziu-se, por V, um plano paralelo a γ – o plano α (o que se processou de forma directa, pois γ é projectante horizontal pelo que, para que α contenha V, basta que hα passe por V1). 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano α com o plano da base (o plano ν) – a recta i (a recta i é uma recta horizontal do plano α). 3. Averiguou-se a posição da recta i em relação à base do cone – a recta i é secante à base do cone, pelo que a secção que o plano γ produz no cone é uma hipérbole (ou, mais correctamente, um ramo de uma hipérbole, pois o cone é limitado lateralmente por uma única folha de uma superfície cónica). Já sabendo que tipo de curva a secção vai gerar, procedeu-se à sua determinação. O desenho relativamente preciso da curva requer um mínimo de oito pontos. Assim, determinaram-se, antes de mais, os pontos em que o plano γ (o plano secante) corta os contornos aparentes. O plano γ corta o contorno aparente horizontal em dois pontos – A e B (os pontos em que o plano γ corta a circunferência que delimita a base do sólido). O plano γ corta o contorno aparente frontal nos pontos A e B (já determinados) e no ponto C – o ponto C é o ponto em que o plano γ corta a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. A e B são, ambos, os pontos de menor cota da secção, mas o ponto C não é o ponto de maior cota da secção. Para determinar o ponto de maior cota da secção recorreu-se a uma recta t, tangente à base e paralela ao traço horizontal do plano γ (o plano secante). A recta t é tangente à base do cone no ponto T – a geratriz g, definida por T e V, é a geratriz que contém o ponto de maior cota da secção. O ponto D é o ponto em que o plano γ corta a geratriz g – D é o ponto de maior cota da secção. Já temos quatro pontos da figura da secção. O espaço útil para os planos auxiliares (os planos paralelos à base) é o espaço entre o ponto D (o ponto de maior cota da secção) e os pontos A e B (os pontos de menor cota da secção). Recorreu-se a três planos auxiliares (paralelos à base) distribuídos uniformemente pelo espaço útil. O primeiro plano auxiliar (paralelo à base) foi o plano horizontal (de nível) ν1 – o plano ν1 corta a superfície lateral do cone seQ苶 P (P P é o ponto em que ν1 corta a gegundo uma circunferência com centro em Q (o ponto em que o plano ν1 corta o eixo do cone) e raio 苶 ratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal – a geratriz vertical). A recta de intersecção do plano ν1 com o plano γ (o plano secante) é também uma recta horizontal (do plano γ), que corta a circunferência nos pontos E e F – E e F são mais dois pontos da secção. Já temos seis pontos da curva da secção. Repetiu-se o processo com mais dois planos auxiliares paralelos à base (os planos horizontais ν2 e ν3), que nos permitiram, cada um, determinar mais dois pontos da parábola (os dois planos permitiram-nos determinar mais quatro pontos da figura da secção, aos quais não se atribuiu nenhuma notação). Com um total de dez pontos, desenharam-se as projecções da figura da secção e do sólido resultante da secção (a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o Plano Frontal de Projecção). Note que a curva da secção é tangente ao contorno aparente frontal no ponto C. A parte desprezada do cone (a parte do cone que se situa para a frente do plano secante) representou-se a traço leve e a parte pretendida a traço forte. A superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projecção frontal, razão pela qual se identificou a tracejado. b) Para determinar a V.G. da figura da secção, que está contida no plano γ (que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano γ para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi hγ. A partir do rebatimento dos dez pontos determinados para o desenho da hipérbole, foi possível desenhar a curva em V.G., com alguma precisão. 465. Em primeiro lugar representaram-se o sólido, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Para a construção das projecções do sólido, representaram-se, em primeiro lugar, os centros das duas bases e a base inferior. Em seguida, desenharam-se as projecções do eixo do sólido e determinou-se o vértice da superfície – V é o ponto do eixo que tem 4 cm de cota. Pelos pontos de maior e de menor abcissa da base inferior do sólido conduziram-se duas geratrizes – as geratrizes g e g’, que são as geratrizes do contorno aparente frontal. Determinaram-se os pontos em que o plano da base superior (o plano ν) corta as duas geratrizes que são os pontos de maior e de menor abcissa da base superior, o que nos permitiu determinar o raio da base superior e concluir a construção das projecções do sólido. Para determinar a secção produzida pelo plano α no sólido efectuaram-se, em primeiro lugar, os traçados necessários à identificação do tipo de cónica gerada. 1. Conduziu-se, por V, um plano paralelo a α – o plano α1. Note que se omitiu a representação desta etapa, de forma a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada, mas o plano α1 teria determinação directa, pois trata-se de um plano projectante horizontal. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano α1 com o plano da base inferior (o Plano Horizontal de Projecção) – hα1. Note que apesar de se ter omitido a representação do plano α1, se sabe que o seu traço horizontal conteria a projecção horizontal do eixo do sólido. 3. Averiguou-se a posição relativa entre hα1 e a base inferior do sólido – apesar de se ter omitido a representação do plano α1, constata-se que hα1 seria secante à base inferior do sólido, pelo que a secção que o plano α produz no sólido é uma hipérbole. Note que, uma vez que o sólido é limitado lateralmente pelas duas folhas de uma superfície (Continua na página seguinte) 213

SOLUÇÕES

cónica, ao contrário da situação do exercício 462, na presente situação a secção produzida será realmente uma hipérbole e não apenas um ramo da hipérbole. Já sabendo o tipo de cónica gerada, procedeu-se à sua determinação. Assim, determinaram-se, antes de mais, os pontos em que o plano secante corta os contornos aparentes. O plano α corta a base inferior em dois pontos – A e B. O plano α corta a base superior em dois pontos – C e D. O plano α corta a geratriz g (que é uma das geratrizes do contorno aparente frontal) no ponto E. O plano α corta a geratriz g’ (que é a outra geratriz do contorno aparente frontal) no ponto F. Já temos seis pontos da figura da secção – os pontos A , B e E pertencem ao ramo inferior da hipérbole e os pontos C, D e F pertencem ao ramo superior da hipérbole. De qualquer forma, nem o ponto E é o ponto de maior cota do ramo inferior da hipérbole, nem o ponto F é o ponto de menor cota do ramo superior da hipérbole. Assim, ainda não está definido, para cada ramo da hipérbole, o espaço útil para os planos auxiliares (os planos paralelos à base) que nos permitirão determinar mais pontos da curva da secção. Para determinar aqueles pontos é necessário recorrer às rectas tangentes à base e paralelas ao traço horizontal do plano α (o plano secante). Omitiu-se a representação das rectas tangentes, mas determinaram-se os pontos de tangência – os pontos T e T’. T e T’ são os pontos da base inferior cujas tangentes são paralelas a hα. As geratrizes g’’ e g’’, que passam por T e T’, respectivamente, são as geratrizes que contêm os pontos de maior e menor cota da secção. O ponto G é o ponto em que o plano α corta a geratriz g’’ – G é o ponto de maior cota do ramo inferior da hipérbole. O ponto H é o ponto em que o plano α corta a geratriz g’’’ – H é o ponto de menor cota do ramo superior da hipérbole. Já temos quatro pontos para o desenho de cada ramo da curva e já está igualmente definido o espaço útil para cada ramo – o espaço útil para o ramo inferior é o espaço entre o ponto G e a base inferior (os pontos A e B são os pontos de menor cota do ramo inferior da hipérbole) e o espaço útil para o ramo superior é o espaço entre o ponto H e a base superior (os pontos C e D são os pontos de maior cota do ramo superior da hipérbole). Recorreu-se a um único plano auxiliar para cada ramo da curva. O plano ν1 é o plano paralelo às bases que nos permitiu determinar mais dois pontos do ramo inferior da hipérbole (ver exercício 460 e respectivo relatório). O plano ν2 é o plano paralelo às bases que nos permitiu determinar mais dois pontos do ramo superior da hipérbole. Dada a dimensão do desenho, os seis pontos determinados para cada ramo da hipérbole permitiram-nos um desenho relativamente preciso da curva – desenharam-se as projecções da figura da secção, atendendo às invisibilidades. Tenha em conta que o ramo inferior da hipérbole é tangente ao contorno aparente frontal do sólido no ponto E e que o troço da curva compreendido entre os pontos E e A é invisível (por se situar na parte invisível da superfície lateral do sólido. O ramo superior da hipérbole, por sua vez, é tangente ao contorno aparente frontal do sólido no ponto F e o troço da curva compreendido entre os pontos F e C é invisível (por se situar na parte invisível da superfície lateral do sólido).

466. Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida há que identificar o tipo de secção que o plano α produz no cone (ver exercício 452). Note que, apesar de se ter omitido o conjunto de traçados que nos permitiu identificar a cónica gerada pela secção produzida pelo plano α no cone (o plano paralelo a α que passa pelo vértice e a recta de intersecção desse plano com o plano da base), se sabe que a secção produzida é uma elipse, pois a recta de intersecção entre o plano da base e o plano paralelo a α que passa pelo vértice é exterior à base. Para determinar os pontos de maior e de menor afastamento da secção, há que determinar os pontos da secção cujas tangentes são rectas frontais (de frente). Para tal, há que determinar os planos tangentes ao cone que intersectam o plano secante segundo rectas frontais (de frente), ou seja, determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos às rectas frontais (de frente) do plano α (ver exercício 380). Nesse sentido, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V conduziu-se uma recta paralela às rectas frontais (de frente) do plano α – a recta i, que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes (a recta i é uma recta frontal). 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base – o ponto I. A recta i é paralela ao plano da base, pelo que o ponto I se situa no infinito. 3. Por I (que se situa no infinito) conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, que são imediatamente os traços frontais dos dois planos tangentes – f θ1 e f θ2. As rectas f θ1 e f θ2 são concorrentes com a recta i num ponto do infinito, pelo que são necessariamente paralelas à recta i. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas. Determinou-se H, o traço horizontal da recta i. O traço horizontal do plano θ1, hθ1, passa por H1 e é concorrente com f θ1 no eixo X. Recorreu-se a um raciocínio idêntico para a determinação de hθ2 – hθ2 passa por H1 e é concorrente com f θ2 no eixo X. As geratrizes g e g’ são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor afastamento da secção. Para determinar aqueles pontos, há que determinar as respectivas rectas tangentes, que são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante (e que são rectas frontais). Determinou-se a recta t, a recta de intersecção do plano θ1 com o plano α (o plano secante) – a recta t está definida por um ponto (o seu traço horizontal, H’, que é o ponto de concorrência de hθ1 com hα) e por uma direcção (é uma recta frontal, paralela a f θ1, a f α e à recta i). A recta t é concorrente com a geratriz g no ponto N. Em seguida, determinou-se a recta t’, a recta de intersecção do plano θ2 com o plano α (o plano secante) – a recta t’ está definida por um ponto (o seu traço horizontal, H’’, que é o ponto de concorrência de hθ2 com hα) e por uma direcção (é uma recta frontal, paralela a f θ2, a f α e à recta i). A recta t’ é concorrente com a geratriz g’ no ponto M. O ponto M é o ponto de maior afastamento da secção produzida no cone pelo plano α e o ponto N é o ponto de menor afastamento da secção.

214

SOLUÇÕES

467. Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, há que identificar o tipo de secção que o plano α produz no cone (ver exercício 452). Note que, apesar de se ter omitido o conjunto de traçados que nos permitiu identificar a cónica gerada pela secção produzida pelo plano α no cone (o plano paralelo a α que passa pelo vértice e a recta de intersecção desse plano com o plano da base), se sabe que a secção produzida é uma e l i p s e, pois a recta de intersecção entre o plano da base e o plano paralelo a α que passa pelo vértice é exterior à base. Para determinar os pontos de maior e de menor cota da secção, há que determinar os pontos da secção cujas tangentes são rectas horizontais (de nível). Para tal, há que determinar os planos tangentes ao cone que intersectam o plano secante segundo rectas horizontais (de nível), ou seja, determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos às rectas horizontais (de nível) do plano α (ver exercícios 379 e 381). Nesse sentido, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V conduziu-se uma recta paralela às rectas horizontais (de nível) do plano α – a recta i, que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes (a recta i é uma recta horizontal). 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base – o ponto F (note que o ponto de intersecção da recta i com o plano da base é, imediatamente, o traço frontal da recta i). 3. Por F conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, que são imediatamente os traços frontais dos dois planos tangentes – f θ1 e f θ2. Os pontos de tangência são A e B. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e A e g’ está definida por V e B. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas. Para a conclusão do exercício é desnecessária a determinação dos traços horizontais dos dois planos tangentes, como em seguida se expõe. As geratrizes g e g’ são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor cota da secção. Para determinar aqueles pontos, há que determinar as respectivas rectas tangentes, que são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante (e que são rectas horizontais). Determinou-se a recta t, a recta de intersecção do plano θ1 com o plano α (o plano secante) – a recta t está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’, que é o ponto de concorrência de f θ1 com f α) e por uma direcção (é uma recta horizontal, paralela a hα e à recta i). Note que não foi necessária a determinação de hθ1 para obtermos a recta t. A recta t é concorrente com a geratriz g no ponto T. Em seguida determinou-se a recta t’, a recta de intersecção do plano θ2 com o plano α (o plano secante) – a recta t’ está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’’, que é o ponto de concorrência de f θ2 com f α) e por uma direcção (é uma recta horizontal, paralela a hα e à recta i). Note que, à semelhança do exposto para a recta t, foi possível determinar a recta t’ sem a determinação de hθ2. A recta t’ é concorrente com a geratriz g’ no ponto T’. O ponto T é o ponto de maior cota da secção produzida no cone pelo plano α e o ponto T’ é o ponto de menor cota da secção.

215

SOLUÇÕES

468. Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, há que identificar o tipo de secção que o plano α produz no cone (ver exercício 452). Note que, apesar de se ter omitido o conjunto de traçados que nos permitiu identificar a cónica gerada pela secção produzida pelo plano α no cone (o plano paralelo a α que passa pelo vértice e a recta de intersecção desse plano com o plano da base), se sabe que a secção produzida é uma hipérbole, pois a recta de intersecção entre o plano da base e o plano paralelo a α que passa pelo vértice é secante à base. Mais correctamente, a secção produzida pelo plano α no cone é um ramo de uma hipérbole, pois o cone dado é limitado lateralmente por uma única folha de uma superfície cónica. Para determinar os pontos de maior e de menor cota da secção, há que determinar os pontos da secção cujas tangentes são rectas horizontais (de nível). Para tal, há que determinar os planos tangentes ao cone que intersectam o plano secante segundo rectas horizontais (de nível), ou seja, determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos às rectas horizontais (de nível) do plano α. Nesse sentido, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V conduziu-se uma recta paralela às rectas horizontais (de nível) do plano α – a recta i, que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes (a recta i é uma recta horizontal). 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base – o ponto I. A recta i é paralela ao plano da base, pelo que o ponto I se situa no inf i n i t o. 3. Pelo ponto I (que se situa no infinito) conduziram-se as rectas tangentes à base do cone – as rectas h e h’. As rectas h e h’ são concorrentes com a recta i num ponto do infinito, pelo que são necessariamente paralelas à recta i. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas. Determinou-se F, o traço frontal da recta i. O traço frontal do plano θ1, f θ1, passa por F2 e F’ é o traço frontal da recta h). Apesar de não ser necessário, determinou-se o traço horizontal do plano θ1 – hθ1 é concorrente com por F’2 (F f θ1 no eixo X e é paralelo à recta h (e à recta i). O traço frontal do plano θ2, f θ2, passa por F2 (o traço frontal da recta i) e por F’’2 (F F’’ é o traço frontal da recta h’). Apesar de não ser necessário, determinou-se também o traço horizontal do plano θ2 – hθ2 é concorrente com f θ2 no eixo X e é paralelo à recta h’ (e à recta i). As geratrizes g e g’ são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor cota da secção. Para determinar aqueles pontos, há que determinar as respectivas rectas tangentes, que são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante (e que são rectas horizontais). Determinou-se a recta t, a recta de intersecção do plano θ1 com o plano α (o plano secante) – a recta t está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’’’, que é o ponto de concorrência de f θ1 com f α) e por uma direcção (é uma recta horizontal, paralela a hθ1, a hα e às rectas i e h). A recta t é concorrente com a geratriz g no ponto M. Em seguida, determinou-se a recta t’, a recta de intersecção do plano θ2 com o plano α (o plano secante) – a recta t’ está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’’’’, que é o ponto de concorrência de f θ2 com f α) e por uma direcção (é uma recta horizontal, paralela a hθ2, a hα e às rectas i e h’). A recta t’ é concorrente com a geratriz g’ no ponto N. O ponto M é o ponto de maior cota do ramo inferior da hipérbole (que é a secção produzida no cone pelo plano α) e o ponto N é o ponto de menor cota do ramo superior da secção. Note que o ponto N se situa fora da superfície do cone – tal deve-se ao facto de a secção produzida pelo plano α no cone se resumir ao ramo inferior da hipérbole.

216

SOLUÇÕES

469. Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, há que identificar o tipo de secção que o plano ρ produz no cone. Note que, apesar de se ter omitido o conjunto de traçados que nos permitiu identificar a cónica gerada pela secção produzida pelo plano ρ no cone (o plano paralelo a ρ que passa pelo vértice e a recta de intersecção desse plano com o plano da base), se sabe que a secção produzida é uma e l i p s e, pois a recta de intersecção entre o plano da base e o plano paralelo a ρ que passa pelo vértice é exterior à base. Para determinar os pontos de maior e de menor cota da secção, há que determinar os pontos da secção cujas tangentes são rectas horizontais (de nível). Para tal, há que determinar os planos tangentes ao cone que intersectam o plano secante segundo rectas horizontais (de nível), ou seja, determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos às rectas horizontais (de nível) do plano ρ (ver exercício 382) – note que as rectas horizontais (de nível) do plano ρ são r e c t a s f r o n t o - h o r i z o nt a i s. Nesse sentido, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V conduziu-se uma recta fronto-horizontal – a recta i, que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes (a recta i é igualmente uma recta fronto-horizontal). 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base – o ponto P. A recta i é paralela ao plano da base, pelo que o ponto P s e s i t u a n o i n f i n i t o. 3. Por P (que se situa no infinito) conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, que são imediatamente os traços horizontais dos dois planos tangentes – hθ1 e hθ2 (que são concorrentes com a recta i num ponto do infinito, pelo que são necessariamente paralelos à recta i – são igualmente rectas fronto-horizontais). Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas rectas – pela recta i e pelo respectivo traço horizontal. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. Note que as geratrizes g e g’ são, ambas, de perfil. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas – o plano θ1 está definido pelo seu traço horizontal e pelas rectas i e g e o plano θ2 está definido pelo seu traço horizontal e pelas rectas i e g’. Note que se trata necessariamente de planos de rampa – os traços horizontais de ambos os planos são rectas fronto-horizontais. Para a conclusão do exercício é desnecessária a determinação dos traços frontais dos dois planos. As geratrizes g e g’ são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor cota da secção. Para determinar aqueles pontos, há que determinar as respectivas rectas tangentes, que são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante (e que são rectas fronto-horizontais). Para determinar as rectas t e t’, foi necessário o recurso a um plano auxiliar – o plano α, vertical. A recta a é a recta de intersecção do plano ρ com o plano α – a recta a está definida pelos seus traços (trata-se do caso geral da intersecção entre planos). A recta r é a recta de intersecção do plano θ1 com o plano α e está definida por dois pontos – o seu traço horizontal, H’, e o ponto I, que é o ponto de intersecção da recta i com o plano α (recorde que a recta i é uma recta que pertence simultaneamente aos dois planos tangentes). A recta a e a recta r são concorrentes no ponto R – a recta t (a recta de intersecção do plano ρ com o plano θ1) é a recta fronto-horizontal que passa por R (está definida por um ponto e uma direcção). A recta t é concorrente com a geratriz g no ponto M. A recta s é a recta de intersecção do plano θ2 com o plano α e está definida por dois pontos – o seu traço horizontal, H’’, e o ponto I, que é o ponto de intersecção da recta i com o plano α (a recta i é uma recta que pertence simultaneamente aos dois planos tangentes). A recta a e a recta s são concorrentes no ponto S – a recta t’ (a recta de intersecção do plano ρ com o plano θ2) é a recta fronto-horizontal que passa por S (está definida por um ponto e uma direcção). A recta t’ é concorrente com a geratriz g’ no ponto N. O ponto M é o ponto de maior cota da secção que o plano ρ produz no cone e o ponto N é o ponto de menor cota da secção. Uma vez que uma recta fronto-horizontal é, simultaneamente, um caso particular das rectas horizontais (de nível) e das rectas frontais (de frente), as rectas t e t’ são, simultaneamente, as tangentes horizontais (de nível) e as tangentes frontais (de frente) à curva da secção. Com base nesse raciocínio se conclui que o ponto M é, simultaneamente, o ponto de maior cota e o ponto de menor afastamento da secção produzida pelo plano ρ no cone. Da mesma forma se conclui que o ponto N é, simultaneamente, o ponto de menor cota e o ponto de maior afastamento da secção produzida pelo plano ρ no cone.

217

SOLUÇÕES

470. Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, identificou-se o tipo de cónica gerada pela secção (ver relatório do exercício 466), que é uma e l i p s e. Para determinar os pontos de maior e de menor abcissa da secção, há que determinar os pontos da secção cujas tangentes são rectas de perfil. Para tal, há que determinar os planos tangentes ao cone que intersectam o plano secante segundo rectas de perfil, ou seja, determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos às rectas de perfil do plano α. Nesse sentido, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V conduziu-se uma recta paralela às rectas de perfil do plano α – a recta i, que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. A recta i é uma recta de perfil, que está definida por um ponto V) e uma direcção (é paralela às rectas de perfil do plano α). 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano da base – o ponto I (note que o ponto de intersecção da recta i com o plano da base é, imediatamente, o traço frontal da recta i, pois a base está contida no Plano Frontal de Projecção). É possível determinar, imediatamente, a projecção horizontal de I, que se situa no eixo X. Uma vez que as projecções das rectas de perfil não verificam o Critério de Reversibilidade, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se por uma mudança do diedro de projecção. Substiplano 2) por um novo plano de projecção (p plano 4), criando um novo diedro de projecção (formado tuiu-se o Plano Frontal de Projecção (p pelo plano 1 e pelo plano 4) no qual a recta i seja uma recta frontal (de frente) – ver exercício 7 e respectivo relatório. Determinou-se a projecção de V no plano 4 – V4. Já temos um ponto para definir a recta i – falta-nos outro ponto ou uma direcção. Recorreu-se a uma recta p, de perfil, contida no plano α (a recta p é uma recta de perfil com abcissa nula e está definida pelos seus traços, F e H). A projecção da recta p no plano 4 (p4) determinou-se a partir de F4 e H4. A projecção da recta i no plano 4 (i 4) passa por V4 e é paralela a p4. Determinou-se I4 e, a partir da sua cota, determinou-se I2, a projecção frontal de I. 3. Por I (que é o próprio traço frontal da recta i – F’) conduziram-se as rectas tangentes à base do cone, que são imediatamente os traços frontais dos dois planos tangentes – f θ1 e f θ2. Os pontos de tangência são T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g’ – g está definida por V e T e g’ está definida por V e T’. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três rectas. Para a conclusão do exercício é desnecessária a determinação dos traços horizontais dos dois planos tangentes, como em seguida se expõe. As geratrizes g e g’ são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor abcissa da secção. Para determinar aqueles pontos, há que determinar as respectivas rectas tangentes, que são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante (e que são rectas de perfil). Determinou-se a recta t, a recta de intersecção do plano θ1 com o plano α (o plano secante) – a recta t está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’’, que é o ponto de concorrência de f θ1 com f α) e por uma direcção (é uma recta de perfil, paralela às rectas i e p). Note que não foi necessária a determinação de hθ1 para obtermos a recta t. A recta t é concorrente com a geratriz g no ponto P. Em seguida, determinou-se a recta t’, a recta de intersecção do plano θ2 com o plano α (o plano secante) – a recta t’ está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’’’, que é o ponto de concorrência de f θ2 com f α) e por uma direcção (é uma recta de perfil, paralela às rectas i e p). Note que, à semelhança do exposto para a recta t, foi possível determinar a recta t’ sem a determinação de hθ2. A recta t’ é concorrente com a geratriz g’ no ponto Q. O ponto P é o ponto de maior abcissa da secção produzida no cone pelo plano α e o ponto Q é o ponto de menor abcissa da secção.

218

SOLUÇÕES

471. Em primeiro lugar representou-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Uma vez que a geratriz mais à esquerda é de perfil (que é imediatamente, uma geratriz do contorno aparente horizontal), e atendendo a que a recta suporte do eixo faz, em projecção horizontal, um ângulo de 45o (a.d.), a outra geratriz do contorno aparente horizontal é frontal (de frente) e contém o ponto de menor afastamento da base do cone. Essa é a geratriz que mede 9 cm e, uma vez que se projecta em V.G. no Plano Frontal de Projecção (é paralela ao Plano Frontal de Projecção), e possível medir os 9 cm em V.G. e, em seguida, determinar V2. As projecções do sólido desenharam-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício (que é o sólido resultante da secção). Uma vez que o plano secante contém o vértice do cone, aquele ponto tem de verificar a condição para que um ponto pertença a um plano. Nesse sentido conduziu-se, por V, uma recta horizontal (de nível) h, pertencente ao plano – a recta h faz um ângulo de 45o (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção (é paralela a hα e a direcção deste é dada). Determinou-se F, o traço frontal da recta h, pelo qual se conduziu f α – f α faz um ângulo de 45o (a.e.) com o eixo X, pois o plano α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X (é ortogonal ao β1/3). O traço horizontal do plano é concorrente com f α no eixo X e é paralelo à recta h – hα passa necessariamente pelo ponto O. a) O plano α (o plano secante) contém o vértice do cone, pelo que a secção produzida pelo plano α no sólido é um triângulo, de que V é um vértice. O traço horizontal do plano, hα, é a recta de intersecção do plano α (o plano secante) com o plano da base – hα corta a base do cone A BV]. A partir das projecções dos seus três vértices, denos pontos A e B. A figura da secção produzida pelo plano α no cone é o triângulo [A senharam-se as projecções da figura da secção e do sólido resultante da secção (a parte do cone compreendida entre o plano secante e o Plano Horizontal de Projecção). Desenharam-se, a traço forte, os contornos aparentes desse novo sólido, bem como as invisibilidades existentes. A parte desprezada do cone (a parte do cone que se situa acima do plano secante) representou-se a traço leve. Note que a superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em ambas as projecções, razão pela qual aquelas se identificaram a tracejado. b) Para determinar a V.G. da figura da secção, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – a secção está contida no plano α, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 163 e respectivo relatório) – a charneira foi hα (recta e). A r ≡ A 1 e Br ≡ B1, pois A e B são dois pontos da charneira. O ponto que nos Fr) e por uma direcção (é paralela a hαr). Conduzindo, permitiu rebater fα foi F, o traço frontal da recta h. A recta hr fica definida por um ponto (F A rBrVr]. por V1 uma perpendicular à charneira, determinou-se Vr sobre hr. A V.G. da figura da secção está no triângulo [A

219

SOLUÇÕES

472. Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano α (o plano secante) tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. Os dados referentes ao sólido permitiram-nos determinar as projecções de O, o centro da base – situa-se na projectante horizontal de V (o eixo do cone é ortogonal ao plano da base) e tem cota nula. O ponto da base que o plano secante contém é o ponto mais à direita da circunferência que delimita a base do cone. Em seguida, efectuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano α no cone. 1. Em p r i m e i r o l u g a r identificou-se o tipo de cónica gerada pela secção. Para tal conduziu-se, pelo vértice, um plano α1, paralelo ao plano α (o plano secante), e determinou-se a recta de intersecção do plano α1 com o plano da base. A recta f, frontal (de frente) e paralela a f α, é a recta a que se recorreu – é uma recta do plano α1, que passa por V. Determinou-se H, o traço horizontal da recta f (o ponto de intersecção da recta f com o plano da base) e por H1 conduziu-se hα1, paralelo a hα. A recta de intersecção do plano α1 com o plano da base é hα1 e é exterior à base, pelo que a secção produzida pelo plano α no cone é uma elipse (ou um segmento de elipse, se o plano α cortar a base do cone). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta a base do sólido. A recta de intersecção do plano α com o plano da base é hα – hα corta a base do cone nos pontos A e B, pelo que a figura da secção será um segmento de elipse. Os pontos A e B são dois pontos da secção. 3. Em terceiro lugar, determinaram-se os pontos em que o plano α (o plano secante) corta os contornos aparentes. O plano α corta o contorno aparente horizontal nos pontos A e B já determinados. Para determinar os pontos em que o plano α corta as geratrizes do contorno aparente frontal recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos (nem aquelas geratrizes nem o plano secante são projectantes). O plano ϕ é o plano frontal (de frente) auxiliar a que se recorreu – o plano ϕ é o plano projectante horizontal das duas geratrizes do contorno aparente frontal. A recta i é a recta de intersecção do plano ϕ (o plano auxiliar) com o plano α (o plano secante) – é uma recta frontal (de frente) do plano α, definida por um ponto (o seu traço horizontal, H’) e por uma direcção (é paralela a f α). A recta i intersecta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal no ponto C – C é, assim, mais um ponto da secção e é o ponto em que a figura da secção será tangente àquela geratriz, em projecção frontal. A recta i intersecta a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal no ponto B, que é um dos pontos em que o plano α corta a base do cone. 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor cota da secção. Atendendo a que o plano α corta a base do sólido nos pontos A e B, estes são, imediatamente, os pontos de menor cota da secção (recorde que o plano secante corta o sólido segundo um segmento de elipse – o ponto de menor cota da elipse está fora dos limites do sólido). Assim, para determinar o ponto de maior cota da secção é necessário determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos a hα (que intersectam o plano secante segundo rectas horizontais). Para tal, conduziu-se, por V, uma recta h, paralela a hα – h intersecta o plano da base num ponto do infinito. Por esse ponto conduziram-se as tangentes à base (que são paralelas a h e que são, imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes). Note que se desenhou, apenas, o traço horizontal de um dos planos tangentes – o do plano θ1, uma vez que o outro plano tangente é o que nos permitiria determinar o ponto de menor cota da secção que, como atrás se referiu, está fora dos limites do sólido. O traço horizontal do plano θ1 permite-nos determinar o ponto de tangência (o ponto T) e a geratriz g (a geratriz de contacto ou de tangência). Em seguida, determinou-se o traço frontal do plano θ1 (ff θ1 é concorrente com hθ1 no eixo X e passa por F, o traço frontal da recta h) e a recta de intersecção do plano θ1 com o plano α (o plano secante) – a recta t. A recta t é uma recta horizontal (de nível) e está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’, que é o ponto de concorrência de f θ1 com f α) e por uma direcção (é paralela a hα e a hθ1). Note que não se determinaram as projecções horizontais nem do ponto F’ nem da recta t (para não sobrecarregar visualmente a resolução), pois não são necessários para o pretendido. A recta t (que é a tangente horizontal) e a geratriz g são concorrentes no ponto M – M é outro ponto da secção e é o seu ponto de maior cota. 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção. Atendendo a que o plano α corta a base do sólido nos pontos A e B, e A tem afastamento superior a B, o ponto A é, imediatamente, o ponto de maior afastamento da secção (recorde que a secção é um segmento de elipse – o ponto de maior afastamento da elipse está fora dos limites do sólido). Assim, para determinar o ponto de menor afastamento da secção é necessário determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos a fα (que intersectam o plano secante segundo rectas frontais). Para tal, conduziu-se, por V, uma recta f, paralela a f α – note que se trata da recta f a que se recorreu para identificar o tipo de cónica gerada pela secção. H é o ponto de intersecção da recta f com o plano da base. Por H conduziram-se as tangentes à base (que são, imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes). Note que se desenhou, apenas, o traço horizontal de um dos planos tangentes – o do plano θ2, uma vez que o outro plano tangente é o que nos permitiria determinar o ponto de maior afastamento da secção que, como atrás se referiu, está fora dos limites do sólido. O traço horizontal do plano θ2 permite-nos determinar o ponto de tangência (o ponto T’) e a geratriz g’ (a geratriz de contacto ou de tangência). Não foi necessário determinar o traço frontal do plano θ2. Em seguida, determinou-se a recta de intersecção do plano θ2 com o plano α (o plano secante) – a recta t’. A recta t’ é uma recta frontal (de frente) e está definida por um ponto (o seu traço horizontal, H’’, que é o ponto de concorrência de hθ2 com hα) e por uma direcção (é paralela a f α). Note que não se determinaram as projecções frontais nem do ponto H’’ nem da recta t’ (para não sobrecarregar visualmente a resolução), pois não são necessários para o pretendido. A recta t’ (que é a tangente frontal) e a geratriz g’ são concorrentes no ponto R – R é outro ponto da secção e é o seu ponto de menor afastamento. Já temos cinco pontos da secção – A, B, C, M e R. 6. Atendendo a que os cinco pontos já determinados não são suficientes para (Continua na página seguinte) 220

SOLUÇÕES

um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método dos planos paralelos à base para determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. O plano ν1 é um plano horizontal (de nível), paralelo à base. O plano ν1 corta o cone segundo uma circunferência (ver exercício 457) e intersecta o plano α (o plano secante) segundo uma recta – esta é secante à circunferência, o que nos permite obter mais dois pontos da secção. Note que não se atribuíram notações nem à recta de intersecção dos dois planos nem aos dois pontos assim determinados, de forma a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Repetiu-se o processo com um outro plano ν2, que nos permitiu determinar mais dois pontos da secção (e, mais uma vez, se omitiram as notações referentes a estes traçados). Já temos nove pontos da secção, o que nos permitiu um desenho relativamente preciso da curva – esta é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal, em projecção frontal, no ponto C2. Desenharam-se as projecções da figura da secção e do sólido resultante da secção – a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o plano da base. Note que o contorno aparente frontal do sólido resultante da secção tem uma parte curva – o segmento de elipse compreendido entre C2 e B2 (e que passa por M2 e R 2). Note que tem de se verificar uma concordância entre a parte remanescente da geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal e o segmento da elipse que integra o contorno aparente. A parte desprezada do cone (a parte do cone que se situa entre o plano secante e o vértice) representou-se a traço leve e a parte pretendida a traço forte. A superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em ambas as projecções, razão pela qual se assinalou a tracejado, em ambas as projecções.

473. Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. O plano α (o plano secante) tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. Em seguida, efectuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano α no cone. 1. Em primeiro lugar identificou-se o tipo de cónica gerada pela secção. Para tal conduziu-se, pelo vértice, um plano α1, paralelo ao plano α (o plano secante), e determinou-se a recta de intersecção do plano α1 com o plano da base. A recta h, horizontal (de nível) e paralela a hα, é a recta a que se recorreu – é uma recta do plano α1, que passa por V. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta h com o plano da base – por I conduziu-se a recta i, paralela a f α (note que não se determinaram os traços do plano α1, mas ainda assim é possível determinar a recta de intersecção do plano α1 com o plano ϕ, que é uma recta frontal do plano α1). A recta i é a recta de intersecção do plano α1 com o plano da base (o plano ϕ) e é secante à base, pelo que a secção produzida pelo plano α no cone é uma hipérbole (mais correctamente um ramo de uma hipérbole, pois o cone é limitado lateralmente por uma única folha de uma superfície cónica). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta a base do sólido. A recta i’ é a recta de intersecção do plano α com o plano da base – a recta i’ corta a base do cone nos pontos A e B. Os pontos A e B são dois pontos da secção. 3. Em terceiro lugar, determinaram-se os pontos em que o plano α (o plano secante) corta os contornos aparentes. O plano α corta o contorno aparente frontal nos pontos A e B já determinados. Para determinar os pontos em que o plano α corta as geratrizes do contorno aparente horizontal recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos (nem aquelas geratrizes nem o plano secante são projectantes). A geratriz g é a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal do cone. O plano δ (representado, apenas, pelo seu traço frontal, que se assinalou entre parêntesis) é o plano auxiliar a que se recorreu – o plano δ é o plano projectante frontal da geratriz g. A recta i’’ é a recta de intersecção do plano δ (o plano auxiliar) com o plano α (o plano secante) – o ponto F (o traço frontal da recta i’’) tem determinação imediata (é o ponto de concorrência de f α com f δ). No entanto, falta-nos outro ponto para definir a recta. Recorreu-se ao plano ϕ (o plano da base) como plano auxiliar para a intersecção – a recta i’ é a recta de intersecção do plano α com o plano ϕ (conforme acima se expôs). O plano δ corta a recta i’ no ponto I’ – I’ é, assim, um outro ponto comum aos planos α e δ, pelo que é um outro ponto da recta i’’. A recta i’’ está definida por F e I’’. A recta i’’ intersecta a geratriz g no ponto C – C é o ponto em que o plano secante corta a geratriz g (note que a projecção horizontal da figura da secção será tangente à projecção horizontal da geratriz g em C1). Em função dos pontos determinados, infere-se que o plano α não cortará a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal (nos limites do sólido). 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor cota da secção. Atendendo a que o plano α corta a base do sólido nos pontos A e B, e que o ponto C se situa entre A e B, infere-se que os restantes pontos da curva terão cotas entre A e B – A é o ponto de maior cota da curva e B o seu ponto de menor cota (a curva do ramo da hipérbole desenvolve-se entre A e B). Não é necessário determinar os planos tangentes ao cone que intersectam o plano secante segundo rectas horizontais (de nível). 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção. Atendendo a que o plano α corta a base do sólido nos pontos A e B, e que a base do cone contém todos os pontos do sólido com o menor afastamento possível, A e B são, imediatamente, os pontos de menor afastamento da secção. (Continua na página seguinte) 221

SOLUÇÕES

Assim, para determinar o ponto de maior afastamento da secção é necessário determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos a f α (que intersectam o plano secante segundo rectas frontais). Para tal conduziu-se, por V, uma recta f, paralela a f α. A recta f intersecta o plano da base num ponto do infinito – por esse ponto conduziram-se as tangentes à base (que são paralelas à recta f), as rectas f ’ e f ’’. Estas permitiram-nos determinar os pontos de tangência, bem como as geratrizes de contacto. O ponto T é o ponto no qual a recta f ’’ é tangente à base do TV] é a geratriz de contacto (ou de tangência), na qual se situará o ponto de maior afastamento do ramo da hipérbole que é a cone – a geratriz [T secção produzida pelo plano α no cone (note que a outra geratriz dar-nos-ia o ponto de menor afastamento do outro ramo da hipérbole, que se situa fora dos limites do sólido). H é o traço horizontal da recta f. Por H e pelos traços horizontais das rectas f ’ e f ’’ (que não se identificaram) conduziram-se os traços horizontais dos dois planos tangentes, hθ1 e hθ2. Note que o plano θ2 é plano tangente ao longo da geratriz que não TV]. Note que não é necessária a determinação do traço frontal do nos interessa – o plano θ1 é o plano que é tangente ao longo da geratriz [T plano θ1. Determinou-se a recta t, a recta de intersecção do plano θ1 com o plano α (o plano secante) – a recta t é uma recta frontal (de frente) do plano θ1 (que é paralela às rectas frontais do plano α). A recta t está definida por um ponto (o seu traço horizontal, H’, que é o ponto de conTV] no ponto D – D é o ponto de corrência de hθ1 com hα) e pela sua direcção (é paralela a f α e às rectas f e f ’’). A recta t intersecta a geratriz [T maior afastamento da curva da secção (desse ramo da hipérbole) e é mais um ponto da secção. Já temos quatro pontos da secção – A, B, C e D. 6. Atendendo a que os quatro pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método dos planos paralelos à base para determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. O plano ϕ1 é um plano frontal (de frente), paralelo à base. O plano ϕ1 corta o cone segundo uma circunferência (ver exercício 461) e intersecta o plano α (o plano secante) segundo uma recta – esta é secante à circunferência, o que nos permite obter mais dois pontos da secção. Note que não se atribuíram notações nem à recta de intersecção dos dois planos nem aos dois pontos assim determinados, de forma a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Repetiu-se o processo com um outro plano ϕ2, que nos permitiu determinar mais dois pontos da secção (e, mais uma vez, se omitiram as notações referentes a estes traçados). Já temos oito pontos da secção, o que nos permitiu um desenho relativamente preciso da curva – esta é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal, em projecção horizontal, no ponto C1. Desenharam-se as projecções da figura da secção, atendendo às invisibilidades existentes. Em projecção frontal, toda a curva se A B] é invisível, porque se situa na base (que é invisível em projecção frontal). situa na parte visível da superfície do cone – apenas o segmento [A Já em projecção horizontal, a parte da curva compreendida entre C1 e B1 é invisível, porque se situa na parte invisível da superfície lateral do cone (em projecção horizontal).

474. Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados (ver exercício 452 e respectivo relatório). Em seguida, efectuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano ρ no cone. 1. Em primeiro lugar identificou-se o tipo de cónica gerada pela secção, que é uma elipse ou um segmento de elipse (ver exercício 453 e respectivo relatório). 2. Em segundo lugar, verificou-se que o plano secante não corta a base do sólido, pelo que a figura da secção é uma e l i p s e . Note que não se efectuaram quaisquer traçados referentes a esta etapa, mas, a partir dos afastamentos dos traços horizontais dos dois planos (o plano da base, ϕ, e o plano secante, ρ) se conclui que a recta de intersecção dos dois planos (que é fronto-horizontal) se situa no 4o Diedro, pelo que não corta a base. 3. Em terceiro lugar, determinaram-se os pontos em que o plano ρ (o plano secante) corta os contornos aparentes. O plano ρ não corta o contorno aparente frontal. Para determinar os pontos em que o plano ρ corta as geratrizes do contorno aparente horizontal recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos (nem as geratrizes nem o plano secante são projectantes). O plano α é o plano auxiliar a que se recorreu – o plano α é um plano vertical e é o plano projectante horizontal da geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal. A recta i é a recta de intersecção do plano α (o plano auxiliar) com o plano ρ (o plano secante) – a recta i está definida pelos seus traços (trata-se do caso geral da intersecção entre planos). A recta i intersecta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal no ponto A – A é um ponto da secção e é o ponto em que a figura da secção será tangente àquela geratriz, em projecção horizontal. As duas geratrizes do contorno aparente horizontal definem um plano de rampa – a recta de intersecção desse plano com o plano ρ é uma recta fronto-horizontal que passa por A – essa recta intersecta a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal no ponto B. B é, assim, mais um ponto da secção e é o ponto em que a figura da secção será tangente àquela geratriz, em projecção horizontal. 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor cota da secção. Para tal é necessário determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos a hρ (que intersectam o plano secante segundo rectas horizontais que, neste caso, são fronto-horizontais). Para tal, conduziu-se, por V, uma recta j, paralela a hρ – j intersecta o plano da base num ponto do infinito. Por esse ponto conduziram-se as tangentes à base (que são paralelas a j – são T e T’), bem como as fronto-horizontais), que são as rectas m e m’. As rectas tangentes permitiram-nos determinar os pontos de tangência (T (Continua na página seguinte) 222

SOLUÇÕES

TV] e [T T’V]. Em função da posição destas geratrizes, é possível concluir que o ponto geratrizes de contacto (ou de tangência) – as geratrizes [T TV] e que o ponto de menor cota se situa na geratriz [T T’V]. É necessário, agora, determinar as de maior cota da secção se situa na geratriz [T rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o plano secante, o que se processou sem o recurso aos traços dos dois planos tangentes. No entanto, foi necessário recorrer a um plano auxiliar (trata-se da intersecção entre planos de rampa). O plano γ é o plano auxiliar (vertical) F’ e H’), é a recta de intersecção entre o plano γ e o plano ρ (o plano secante). A recta r a que se recorreu. A recta i’, definida pelos seus traços (F é a recta de intersecção do plano θ1 (que está definido pelas rectas j e m) com o plano γ – a recta r está definida pelos pontos M (o ponto de intersecção da recta m com o plano γ) e J (o ponto de intersecção da recta j com o plano γ). A recta r e a recta i’ são concorrentes no ponto R – a recta t, fronto-horizontal e passando por R, é a recta de intersecção do plano θ1 com o plano ρ (o plano secante). A recta t é a tangente horiTV] no ponto C – C é o ponto de maior cota da secção. A recta s é a recta de intersecção do zontal (de nível) à secção e intersecta a geratriz [T plano θ2 (que está definido pelas rectas j e m’) com o plano γ – a recta s está definida pelos pontos M’ (o ponto de intersecção da recta m’ com o plano γ) e J (o ponto de intersecção da recta j com o plano γ). A recta s e a recta i’ são concorrentes no ponto S – a recta t’, fronto-horizontal e passando por S, é a recta de intersecção do plano θ2 com o plano ρ (o plano secante). A recta t’ é a tangente horizontal (de nível) à secção e T’V] no ponto D – D é o ponto de menor cota da secção. 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e intersecta a geratriz [T menor afastamento da secção. Uma vez que uma recta fronto-horizontal é, simultaneamente, um caso particular das rectas horizontais (de nível) e das rectas frontais (de frente), as rectas t e t’ são, simultaneamente, as tangentes horizontais (de nível) e as tangentes frontais (de frente) à curva da secção. Assim, conclui-se que o ponto R é, simultaneamente, o ponto de maior cota e o ponto de menor afastamento da secção, tal como o ponto S é, simultaneamente, o ponto de menor cota e o ponto de maior afastamento da secção produzida pelo plano ρ no cone. Já temos quatro pontos da secção – A, B, C e D. 6. Atendendo a que os quatro pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método dos planos paralelos à base para determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. O plano ϕ1 é um plano frontal (de frente), paralelo à base. O plano ϕ1 corta o cone segundo uma circunferência (ver exercício 461) e intersecta o plano ρ (o plano secante) segundo uma recta fronto-horizontal (a recta a). Para determinar a recta a determinou-se o ponto P, que é o ponto em que o plano ϕ1 intersecta a recta i’ (que é uma recta do plano ρ) – a recta a é a recta fronto-horizontal que passa por P. A recta a corta a circunferência (a secção que o plano ϕ1 produz no cone) em dois pontos (que não se identificaram) – já temos mais dois pontos da secção. Atendendo às dimensões da figura da secção, considerou-se que seis pontos são suficientes para desenhar a curva com alguma precisão. A projecção horizontal da elipse (a figura da secção) é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal, em projecção horizontal, no ponto A 1 e tangente à geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal, em projecção horizontal, no ponto B1. Desenharam-se as projecções da figura da secção e do sólido resultante da secção – a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o plano da base. A parte desprezada do cone (a parte do cone que se situa entre o plano secante e o vértice) representou-se a traço leve e a parte pretendida a traço forte. Note que o contorno aparente horizontal do sólido resultante da secção tem uma parte curva – o segmento de elipse compreendido entre A 1 e B1 e que passa por C1. Note que tem de se verificar uma concordância entre a parte remanescente das geratrizes do contorno aparente horizontal e o segmento da elipse. A superfície da figura da secção (a área do corte) é invisível em ambas as projecções, pelo que não há lugar à execução de tracejado, em nenhuma das projecções.

475. Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano α (o plano secante) tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Em seguida, efectuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano α no cone. 1. Em primeiro lugar identificou-se o tipo de cónica gerada pela secção. Para tal, conduziu-se, pelo vértice, um plano α1, paralelo ao plano α (o plano secante), e determinou-se a recta de intersecção do plano α1 com o plano da base. A recta f, frontal (de frente) e paralela a fα, é a recta a que se recorreu – é uma recta do plano α1, que passa por V. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta f com o plano ν (o plano da base). Por I conduziu-se uma recta a, horizontal (de nível), paralela a hα – a recta a é a recta de intersecção do plano α1 com o plano ν. Note que não se determinaram os traços do plano α1, mas ainda assim é possível determinar a recta de intersecção do plano α1 com o plano ν, que é uma recta horizontal (de nível) do plano α1, paralela às rectas horizontais (de nível) do plano α. A recta a é exterior à base, pelo que a secção produzida pelo plano α no cone é uma elipse (ou um segmento de elipse, se o plano α cortar a base do cone). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta a base do sólido. Determinou-se a recta de intersecção do plano α com o plano da base – a recta h (que está definida pelo seu traço frontal, F, e pela sua direcção). A recta h é uma recta horizontal (de nível)do plano α e corta a base do cone nos pontos A e B, pelo que a figura da secção será um segmento de elipse. Os pontos A e B são dois pontos da secção. 3. Em terceiro lugar, determinaram-se os pontos em que o plano α (o plano secante) corta os contornos aparentes. O plano α corta o contorno aparente horizontal nos pontos A e B já determinados. Para determinar os pontos em que o plano α corta as geratrizes do contorno aparente frontal recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos (nem aquelas geratrizes nem o plano secante são projectantes). O plano ϕ é o plano frontal (de frente) auxiliar a que se recorreu – o plano ϕ é o plano projectante horizontal das duas geratrizes do contorno aparente frontal. A recta i é a recta de intersecção do plano ϕ (o plano auxiliar) com o plano α (o plano secante) – é uma recta frontal (de frente) do plano α, definida por um ponto (o seu traço horizontal, H) e por uma direcção (é paralela a fα). A recta i intersecta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal no ponto C – C é, assim, mais um ponto da secção e é o ponto em que a figura da secção será tangente àquela geratriz, em projecção frontal. A recta i intersecta a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal no ponto B, que é um dos pontos em que o plano α corta a base do cone. 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor cota da secção. Atendendo a que o plano α corta a base do sólido nos pontos A e B, estes são, imediatamente, os pontos de maior cota da secção (recorde que o plano secante corta o sólido segundo um segmento de elipse – o ponto de maior cota da elipse está fora dos limites do sólido). Assim, para determinar o ponto de menor cota da secção é necessário determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos a hα (que intersectam o plano secante segundo rectas horizontais). Para tal conduziu-se, por V, uma recta i’, paralela a hα – i’ intersecta o plano da base num ponto do infinito. Por esse ponto conduziram-se as tangentes à base (que são paralelas M e M’), bem como as geratrizes de contacto (ou de tangência) a i’) – as rectas m e m’. Estas permitem-nos determinar os pontos de tangência (M – as geratrizes j e j’. Determinaram-se os traços frontais dos dois planos tangentes – fλ1 e fλ2. O traço frontal do plano λ1 está definido por F’ (traço frontal da recta i’) e F’’ (traço frontal da recta m). Note que o ponto de concorrência entre fλ1 e fα se situa acima do cone, pelo que λ1 é o plano tangente que nos daria o ponto de maior cota da elipse (que se situa fora dos limites do sólido). O traço frontal do plano λ2 está definido por F’ (Continua na página seguinte) 223

SOLUÇÕES

(traço frontal da recta i’) e F’’’ (traço frontal da recta m’). Em seguida determinou-se a recta de intersecção do plano λ2 com o plano α (o plano secante) – a recta h’. A recta h’ é uma recta horizontal (de nível) e está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’’’’, que é o ponto de concorrência de fλ22 com fα) e por uma direcção (é paralela a hα e à recta i’). A recta h’ (que é a tangente horizontal) e a geratriz j’ são concorrentes no ponto E – E é outro ponto da secção e é o seu ponto de menor cota. 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção, o que se processa com o recurso aos planos tangentes ao cone que são paralelos a f α (que intersectam o plano secante segundo rectas frontais). Para tal, conduziu-se, por V, uma recta f, paralela a fα – note que se trata da recta f a que se recorreu para identificar o tipo de cónica gerada pela secção. I é o ponto de intersecção da recta f com o plano da base. Por I conduziram-se as tangentes à base – as recT e T’), bem como as geratrizes de contacto (ou de tangência) – as geratrizes tas t e t’. Estas permitem-nos determinar os pontos de tangência (T g e g’. Determinaram-se os traços horizontais dos dois planos tangentes, hθ1 e hθ2 – hθ1 passa por H’ (o traço horizontal da recta f) e é paralelo à recta t e hθ2 passa também por H’ e é paralelo à recta t’. Note que o ponto de concorrência entre hθ2 e hα tem afastamento superior a qualquer ponto do cone, pelo que θ2 é o plano tangente que nos daria o ponto de maior afastamento da elipse (que se situa fora dos limites do sólido). De facto, o ponto A é, neste caso, o ponto de maior afastamento da secção, em virtude de o plano α cortar a base do sólido. Em seguida, determinou-se a recta de intersecção do plano θ1 com o plano α (o plano secante) – a recta f ’. A recta f ’ é uma recta frontal (de frente) e está definida por um ponto (o seu traço horizontal, H’’, que é o ponto de concorrência de hθ1 com hα) e por uma direcção (é paralela a fα e à recta f). Note que não foi necessária a determinação de fθ1. A recta f ’ (que é a tangente frontal) e a geratriz g são concorrentes no ponto D – D é outro ponto da secção e é o seu ponto de menor afastamento. Já temos cinco pontos da secção – A, B, C, D e E. 6. Atendendo a que os cinco pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método dos planos paralelos à base para determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. Recorreu-se a dois planos auxiliares, distribuídos uniformemente pelo espaço entre o ponto D e a base do cone. O plano ν1 é um plano horizontal (de nível), paralelo à base. O plano ν1 corta o cone segundo uma circunferência (ver exercício 457) e intersecta o plano α (o plano secante) segundo uma recta – esta é secante à circunferência, o que nos permite obter mais dois pontos da secção. Note que não se atribuíram notações nem à recta de intersecção dos dois planos nem aos dois pontos assim determinados, de forma a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Repetiu-se o processo com o plano ν2, que nos permitiu determinar mais dois pontos da secção (e, mais uma vez, se omitiram as notações referentes a estes traçados). Já temos nove pontos da secção, o que nos permitiu um desenho relativamente preciso da curva – esta é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal, em projecção frontal, no ponto C2. Desenharam-se as projecções da figura da secção, atendendo às invisibilidades existentes. Em projecção horizontal, uma vez que a superfície lateral do cone é invisível na totalidade, a parte curva da secção é totalmente invisíA B] é visível, porque se situa na base do sólido. Já em projecção frontal, A parte da curva que tem extremos vel – apenas o segmento de recta [A em C2 e em B2 (passando por E2 e D2) é invisível, por se situar na parte invisível (em projecção frontal) da superfície lateral do cone.

224

SOLUÇÕES

476.

Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Uma vez que a geratriz de maior cota é horizontal (que é imediatamente, uma geratriz do contorno aparente frontal), e atendendo a que o eixo do sólido faz, em projecção frontal, um ângulo de 45o (a.e.), a outra geratriz do contorno aparente frontal é de perfil e contém o ponto de maior abcissa da base do cone. Note que a geratriz de perfil é simultaneamente uma geratriz do contorno aparente horizontal e uma geratriz do contorno aparente frontal. Em seguida, efectuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano ρ no cone. 1. Em primeiro lugar identificou-se o tipo de cónica gerada pela secção, que é uma elipse ou um segmento de elipse. Note que se omitiram todos os traçados referentes a esta etapa – o plano paralelo a ρ que passa por V e a recta de intersecção desse plano com o plano da base (que seria exterior à base). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta a base do sólido. Para tal, recorreu-se a uma recta r, do plano ρ – a recta r está definida pelos seus traços. O plano ϕ (o plano da base do cone) corta a recta r no ponto I – a recta de intersecção do plano ρ com o plano ϕ é uma recta fronto-horizontal que passa por I (recta i). A recta i corta a base do cone nos pontos A e B, que são os pontos em que o plano ρ corta a base do sólido – A e B são dois pontos da secção que será, assim, um segmento de elipse. 3. Em terceiro lugar, determinaram-se os pontos em que o plano ρ (o plano secante) corta os contornos aparentes. A geratriz mais à esquerda do contorno GV]). Para determinar o ponto em que o plano ρ corta a geratriz g, e aparente (frontal e horizontal) é a geratriz g, que é de perfil (é a geratriz [G uma vez que se trata da intersecção entre uma recta e um plano não projectantes, é necessário o recurso ao método geral da intersecção entre rectas e planos. O plano π é o plano auxiliar a que se recorreu – é o plano projectante da geratriz g. A recta i’, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ. Para resolver o problema da intersecção foi necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π). A geratriz rebatida está definida por Vr e Gr. A recta i’ rebatida está definida por H’r e F’r. A recta i’r intersecta a geratriz gr no ponto C – invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de C, que é o ponto em que o plano ρ corta a geratriz g. Já temos mais um ponto da secção. O plano ρ corta o contorno aparente frontal nos pontos A e C. Em seguida averiguou-se se o plano ρ corta a geratriz g’ (a geratriz [G G’V]), que é a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal. Uma vez que se trata da intersecção entre uma recta e um plano não projectantes, é necessário o recurso ao método geral da intersecção entre rectas e planos. O plano α é o plano auxiliar a que se recorreu – é o plano projectante horizontal da geratriz g’. A recta i’’, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ. A recta i’’ intersecta a geratriz g’ no ponto D – D é o ponto em que o plano ρ corta a geratriz g’. Já temos mais um ponto da secção. O plano ρ corta o contorno aparente horizontal nos pontos C e D. Note que a figura da secção será tangente à geratriz g no ponto C, em ambas as projecções. Por sua vez, a curva será tangente à geratriz g’, em projecção horizontal, no ponto D1. 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor cota da secção. Para tal, é necessário determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos a hρ (que intersectam o plano secante segundo rectas horizontais que, neste caso, são fronto-horizontais). Para tal, conduziu-se, por V, uma recta m, paralela a hρ – m intersecta o plano da base num ponto do infinito. Por esse ponto conduziram-se as tangentes à base (que são paralelas a m – são fronto-horizontais), que são as rectas t e t’. Note que a recta t’ é o próprio traço T e T’), bem como as geratrizes de contacto (ou horizontal do plano ϕ. As rectas tangentes permitiram-nos determinar os pontos de tangência (T TV] e [T T’V]. Em função da posição destas geratrizes, é possível concluir que o ponto de maior cota da secção se de tangência) – as geratrizes [T TV] (que é uma geratriz horizontal e contém o ponto de maior cota da base) e que o ponto de menor cota se situa na geratriz situa na geratriz [T (Continua na página seguinte) 225

SOLUÇÕES

T’V]. No entanto, o plano ρ não corta a geratriz [T TV] nos limites do sólido, pois corta a base ao longo do segmento [A A B] – A e B são, assim, os [T T’V] com o pontos de maior cota da secção. É necessário, agora, determinar as rectas de intersecção do plano tangente ao longo da geratriz [T plano secante, o que se processou sem o recurso aos traços do plano tangente. No entanto, foi necessário recorrer a um plano auxiliar (trata-se da intersecção entre planos de rampa). O plano γ é o plano auxiliar (vertical) a que se recorreu (é o plano projectante horizontal da recta r). A recta r é a recta de intersecção entre o plano γ e o plano ρ (o plano secante). A recta a é a recta de intersecção do plano tangente (que está definido pelas rectas m e t’) com o plano γ – a recta a está definida pelos pontos M (o ponto de intersecção da recta m com o plano γ) e S (o ponto de intersecção da recta t’ com o plano γ). A recta r e a recta a são concorrentes no ponto I’ – a recta h, fronto-horizontal e passando por I’, é a recta de intersecção do plano tangente com o plano ρ (o plano secante). A recta h é a tangente horizontal (de nível) à secção e interT’V] no ponto E – E é o ponto de menor cota da secção. 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor secta a geratriz [T afastamento da secção. Uma vez que uma recta fronto-horizontal é, simultaneamente, um caso particular das rectas horizontais (de nível) e das rectas frontais (de frente), a recta h é, simultaneamente, uma tangente horizontal (de nível) e uma tangente frontal (de frente) à curva da secção. Assim, conclui-se que o ponto E é, simultaneamente, o ponto de menor cota e o ponto de maior afastamento da secção. Os pontos A e B, porque pertencem à base do cone (onde se situam todos os pontos do cone com menor afastamento), são os pontos de menor afastamento da secção. Já temos cinco pontos da secção – A, B, C, D e E. 6. Atendendo a que os cinco pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método dos planos paralelos à base para determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. O plano ϕ1 é um plano frontal (de frente), paralelo à base. O plano ϕ1 corta o cone segundo uma circunferência (ver exercício 461) e intersecta o plano ρ (o plano secante) segundo uma recta fronto-horizontal (a recta b). Para determinar a recta b determinou-se o ponto R, que é o ponto em que o plano ϕ1 intersecta a recta r (que é uma recta do plano ρ) – a recta b é a recta fronto-horizontal que passa por P. A recta b corta a circunferência (a secção que o plano ϕ1 produz no cone) em dois pontos (que não se identificaram) – já temos mais dois pontos da secção. A partir dos sete pontos determinados, desenharam-se as projecções da curva com alguma precisão. A projecção horizontal da curva (a figura da secção) é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal, em projecção horizontal, no ponto C1 e tangente à geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal, em projecção horizontal, no ponto D1. A projecção frontal da curva (a figura da secção) é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal, em projecção frontal, no ponto C2. Desenharam-se as projecções da figura da secção e do sólido resultante da secção – a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o vértice. A parte desprezada do cone (a parte do cone que se situa entre o plano secante e os planos de projecção) representou-se a traço leve e a parte pretendida a traço forte. Note que o contorno aparente horizontal do sólido resultante da secção tem duas partes curvas – o segmento de elipse compreendido entre C1 e B1 e o segmento de elipse compreendido entre D1 e A 1. De forma semelhante, o contorno aparente frontal do sólido resultante da secção tem duas partes curvas – o segmento de elipse compreendido entre C2 e A 2 e o arco de circunferência compreendido entre T2 e A 2. Note que têm de se verificar as concordâncias entre as partes remanescentes das geratrizes dos contornos aparentes e as partes curvas. A superfície da figura da secção (a área do corte) é invisível em ambas as projecções, pelo que não há lugar à execução de tracejado, em nenhuma das projecções.

477. Um plano produz uma secção rectangular num cilindro sempre que for paralelo ao seu eixo e for secante às bases. Nestes casos, o plano corta a superfície lateral do cilindro ao longo de duas geratrizes, as quais contêm dois lados do rectângulo.

478. Em primeiro lugar se a secção é e l í p t i c a, sabe-se que o plano secante não é paralelo nem aos planos das bases nem ao eixo do sólido. A secção será um segmento da elipse se o plano secante, verificando as condições anteriores, cortar uma base do sólido (ou as duas).

479. Em primeiro lugar representaram-se o sólido, pelas suas projecções, e o plano θ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento do sólido e o plano ϕ1 o plano que contém a base de maior afastamento do sólido – o plano ϕ1 dista 4 cm (a altura do sólido) do plano ϕ. A recta r é a recta suporte do eixo do sólido – as suas projecções fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura, pois trata-se de uma recta paralela ao β1/3. O ponto O’, o centro da base de maior afastamento, é o ponto de intersecção da recta r com o plano ϕ1. Em seguida, efectuaram-se os raciocínios necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano θ no sólido. 1. Em primeiro lugar, analisou-se a posição do plano secante em relação aos planos das bases. As bases estão contidas em planos frontais (de frente) e o plano secante é um plano de topo, que não é paralelo aos planos das bases – a figura da secção não é um círculo. 2. Analisou-se a posição do plano secante em relação ao eixo do sólido. O plano θ é necessariamente paralelo à recta r (a recta suporte do eixo do cilindro), pois trata-se de um plano projectante frontal e f θ é paralelo a r 2. A figura da secção é, assim, um p a r a l e l o g r a m o (o plano θ corta a superfície lateral do sólido ao longo de duas geratrizes).

226

SOLUÇÕES

480. Em primeiro lugar representaram-se o sólido, pelas suas projecções, e o plano ρ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do sólido e o plano ν1 o plano que contém a base superior – o plano ν1 dista 5 cm (a altura do sólido) do plano ν. Em seguida, efectuaram-se os raciocínios necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano ρ no sólido. 1. Em primeiro lugar, analisou-se a posição do plano secante em relação aos planos das bases. As bases estão contidas em planos horizontais (de nível) e o plano secante é um plano de rampa, que não é paralelo aos planos das bases – a figura da secção não é um círculo. 2. Analisou-se a posição do plano secante em relação ao eixo do sólido. O eixo do sólido está contido numa recta vertical (projectante horizontal) – um plano de rampa não contém rectas verticais, pelo que o plano secante também não é paralelo ao eixo do sólido (não verifica o Critério de Paralelismo entre planos e rectas em relação ao eixo do cilindro). A figura da secção é, então, uma e l i p s e (ou um segmento de elipse, caso o plano secante corte uma ou as duas bases do sólido).

481. Em primeiro lugar representaram-se o cilindro, pelas suas projecções (ver exercício 479 e respectivo relatório), e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. Em seguida, efectuaram-se os raciocínios necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano α no sólido. 1 . Em primeiro lugar, analisou-se a posição do plano secante em relação aos planos das bases. As bases estão contidas em planos frontais (de frente) e o plano secante é um plano oblíquo, que não é paralelo aos planos das bases – a figura da secção não é um círculo. 2. Analisou-se a posição do plano secante em relação ao eixo do sólido. Para tal recorreu-se a uma recta s, do plano α, tentando que s seja paralela à recta r (a recta suporte do eixo do cilindro). Para tal, desenhou-se s1, a projecção horizontal da recta s, paralela a r 1 – determinaram-se os traços da recta, sobra os traços homónimos do plano (condição para que uma recta pertença a um plano), e determinou-se s2, a projecção frontal da recta s. A recta s, definida pelos seus traços, pertence ao plano α, mas não é paralela à recta r (as projecções das duas rectas são paralelas, mas as suas projecções frontais não o são). Conclui-se, assim, que o plano α não é paralelo à recta r, pois não verifica o Critério de paralelismo entre planos e rectas – a secção produzida pelo plano α no cilindro é uma e l i p s e (ou um s e g m e n t o d e e l i p s e, no caso de o plano α cortar qualquer das bases).

482. Relatório Em primeiro lugar representaram-se o cilindro, pelas suas projecções (ver exercício 479 e respectivo relatório), e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ρ tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. Em seguida, efectuaram-se os raciocínios necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano ρ no sólido. 1. Em primeiro lugar, analisou-se a posição do plano secante em relação aos planos das bases. As bases estão contidas em planos frontais (de frente) e o plano secante é um plano de rampa, que não é paralelo aos planos das bases – a figura da secção não é um círculo. 2. Analisou-se a posição do plano secante em relação ao eixo do sólido. Para tal, recorreu-se a uma recta s, do plano ρ, tentando que s seja paralela à recta r (a recta suporte do eixo do cilindro). Para tal, desenhou-se s1, a projecção horizontal da recta s, paralela a r 1 – determinaram-se os traços da recta, sobra os traços homónimos do plano (condição para que uma recta pertença a um plano), e determinou-se s2, a projecção frontal da recta s. A recta s, definida pelos seus traços, pertence ao plano ρ e é paralela à recta r (as projecções homónimas das duas rectas são paralelas). Conclui-se, assim, que o plano ρ é paralelo à recta r, pois verifica o Critério de paralelismo entre planos e rectas – a secção produzida pelo plano ρ no cilindro é um paralelogramo. (Resolução na página seguinte) 227

SOLUÇÕES

482. Resolução

483. Em primeiro lugar representou-se o cilindro, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Atendendo a que o plano δ é projectante frontal, o ponto P, porque pertence ao plano δ (é um ponto da secção que o plano δ produz no cilindro) tem de ter a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano – P2 é o ponto de f δ que tem 1,5 cm de cota e é visível em projecção frontal. Em seguida, desenharam-se as projecções da geratriz g, a geratriz do cilindro que contém o ponto P – a geratriz g é a recta vertical (projectante horizontal) que passa por P (as geratrizes do cilindro são verticais). A recta tangente a u m p o n t o d e u m a s e c ç ã o é a recta de intersecção do plano secante com o plano tangente à superfície nesse ponto. Assim, há que determinar os traços do plano tangente à superfície do cone no ponto P (ver exercício 388 e respectivo relatório). A geratriz g, que contém o ponto P, é a geratriz de contacto (ou de tangência) – é a geratriz ao longo da qual o plano θ (o plano tangente) é tangente à superfície lateral do cilindro. A geratriz g é, já, uma recta tangente à superfície lateral do cilindro no ponto P – já temos uma recta para definir o plano θ. Necessitamos de outra recta. Essa hθ), recta pode ser, imediatamente, o traço horizontal do plano θ (h T é o ponto que é tangente à base inferior do cilindro no ponto T (T da geratriz g que se situa na base inferior do sólido). O plano definido pela geratriz g e por hθ é o plano tangente à superfície no ponto P – o plano θ é necessariamente um plano projectante horizontal, pois contém rectas projectantes horizontais (que é o caso da geratriz g). Este raciocínio permite-nos determinar, imediatamente, o traço frontal do plano – f θ é uma recta vertical, concorrente com hθ no eixo X. O plano θ, definido pelos seus traços, é o plano tangente à superfície no ponto P. A recta de intersecção do plano θ (o plano tangente à superfície no ponto P) com o plano δ (o plano secante) é a recta tangente à secção no ponto P. Uma vez que o plano θ (o plano tangente) é projectante horizontal, sabe-se imediatamente que a projecção horizontal da recta t, a recta tangente à secção no ponto P, está coincidente com o traço horizontal do plano – t1 ≡ hθ. Por outro lado, uma vez que o plano δ (o plano secante) é projectante frontal, sabe-se imediatamente que a projecção frontal da recta t, a recta tangente à secção no ponto P, está coincidente com o traço frontal do plano – t2 ≡ f δ. A recta t, definida pelas suas projecções, é a recta tangente à secção no ponto P.

228

SOLUÇÕES

484. Em primeiro lugar representou-se o cilindro, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do cilindro. O plano ϕ1 é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento do cilindro. Determinou-se o ponto A , da base de maior afastamento do cilindro, e desenharam-se as projecções da geratriz g – note que há dois pontos na base de maior afastamento com 5 cm de cota, mas apenas o escolhido garante que a geratriz g seja visível em projecção frontal. O ponto P é o ponto da geratriz que tem 6 cm de cota. A recta tangente a um ponto de uma secção é a recta de intersecção do plano secante com o plano tangente à superfície nesse ponto. Assim, há que determinar os traços do plano tangente à superfície do cone no ponto P (ver exercício 387 e respectivo relatório). A geratriz g, que contém o ponto P, é a geratriz de contacto (ou de tangência) – é a geratriz ao longo da qual o plano θ (o plano tangente) é tangente à superfície lateral do cilindro. A geratriz g é, já, uma recta tangente à superfície lateral do cilindro no ponto P – já temos uma recta para definir o plano θ. Necessitamos de outra recta. Essa recta pode ser a recta f, uma recta tangente à base de maior afastamento do cilindro no ponto A (a recta f é perpendicular ao raio da base no ponto A ). A recta f é a recta de intersecção do plano θ (o plano tangente) com o plano (o plano da base de maior afastamento). A recta f é uma recta frontal (de frente) do plano θ – o plano θ está definido pela recta f e pela geratriz g. Determinou-se F, o traço frontal da geratriz g – por F2 conduziu-se f θ, paralelo à recta f rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo). Determinou-se H, o traço horizontal da recta f – hθ, o traço horizontal do plano θ, passa por H1 e é concorrente com f θ no eixo X. O plano θ, definido pelos seus traços, é o plano tangente à superfície no ponto P. A recta de intersecção do plano θ (o plano tangente à superfície no ponto P) com o plano α (o plano secante) é a recta tangente à secção no ponto P. Determinou-se a recta de intersecção dos dois planos (a recta t), que está definida pelos seus traços (trata-se do caso geral da intersecção entre planos) – a recta t, definida por F’ e H’ (e passando necessariamente por P) é a recta tangente à secção no ponto P. Note que P é o ponto de concorrência da recta t com a geratriz g.

485. Em primeiro lugar representou-se o cilindro, pelas suas projecções, e o plano secante, pelo seu traço frontal, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro. O plano ν1 é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do cilindro – situa-se 4 cm (a altura do cilindro) abaixo do plano ν. O eixo do cilindro tem as suas projecções paralelas entre si, pois é paralelo ao β2/4. O ponto O’ (o centro da base inferior) é o ponto de intersecção da recta suporte do eixo do sólido com o plano ν1. O plano ν2 é o plano secante. O plano secante é paralelo aos planos das bases, pelo que a secção produzida pelo plano ν2 no sólido é um c í r c u l o. O círculo tem centro no ponto Q (o ponto em que o plano secante corta o eixo do sólido) e tem raio igual ao raio das bases. Note que o círculo é necessariamente tangente às duas geratrizes do contorno aparente horizontal. Em seguida, desenharam-se as projecções do sólido resultante da secção – o tronco do cilindro que está compreendido entre a figura da secção e a base. A parte desprezada do cilindro (a parte compreendida entre o plano secante e a base superior) representou-se a traço leve. Note que a superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projecção horizontal, razão pela qual se identificou com tracejado.

229

SOLUÇÕES

486. Em primeiro lugar representou-se o cilindro, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do cilindro. O plano ν1 é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro. O plano α (o plano secante) é paralelo ao eixo do cilindro, pelo que a secção produzida pelo plano α no sólido é um paralelogramo (note que, tratando-se de um cilindro de revolução, esse paralelogramo é um rectângulo). O plano α (o plano secante) corta a base inferior do cilindro nos pontos A e B – o plano α corta a superfície lateral do cilindro ao longo das geratrizes g e g que passam, respectivamente, pelos pontos A e B. A figura da secção produzida pelo plano α AA’B’B]. A partir das projecções dos seus quatro vértices, no cilindro é o rectângulo [A desenharam-se as projecções da figura da secção. Em projecção horizontal, a figura reduz-se a um segmento de recta, pois o plano secante (o plano α) é projectante horizontal. Já em projecção frontal, sendo pedida a figura da secção e não o sólido res u l t a n t e d a s e c ç ã o (não houve desagregação do sólido), há que representar as BB’] da figura, que se situa na invisibilidades existentes na figura da secção. O lado [B parte invisível da superfície lateral do cilindro, é invisível em projecção frontal. O lado A A ’] da figura da secção é visível, por se situar na parte visível da superfície lateral do [A A B] e [A A’B’], da figura da secção, uma vez que estão contidos cilindro. Já os lados [A nas bases (que são projectantes frontais), não admitem a representação de quaisquer invisibilidades. Note que, em termos de traçado, o sólido se representou a traço médio (é um dado) e o pretendido (a figura da secção) se representou a traço forte.

487. Em primeiro lugar representaram-se o cilindro, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados (ver exercício 482 e respectivo relatório). Em função do exercício 482, sabe-se que a secção produzida pelo plano ρ no cilindro é um paralelogramo – o plano ρ corta a superfície lateral do sólido ao longo de duas geratrizes. Assim, em primeiro lugar há que determinar os pontos em que o plano ρ corta as bases do sólido, o que se processa determinando as rectas de intersecção do plano ρ com os planos das bases. As bases do sólido estão contidas em planos frontais (de frente) e a recta de intersecção entre um plano frontal (de frente) e um plano de rampa é n e c e s s a r i a m e n t e uma recta fronto-horizontal. Já temos a direcção das rectas de intersecção – falta-nos um ponto (para cada uma). Recorreu-se a uma recta s, oblíqua, qualquer, do plano ρ – a recta s está definida pelos seus traços. Determinou-se o ponto I, o ponto em que o plano ϕ (o plano da base de menor afastamento do cilindro) corta a recta s. A recta i, fronto-horizontal e passando por I, é a recta de intersecção do plano ρ (o plano secante) com o plano ϕ (o plano da base de menor afastamento) – a recta i está definida por um ponto e uma direcção. A recta i corta a base de menor afastamento do sólido nos pontos A e B, que são dois vértices do paralelogramo. Determinou-se o ponto I’, o ponto em que o plano ϕ1 (o plano da base de maior afastamento do cilindro) corta a recta s. A recta i’, fronto-horizontal e passando por I’, é a recta de intersecção do plano ρ (o plano secante) com o plano ϕ1 (o plano da base de maior afastamento) – a recta i’ está definida por um ponto e uma direcção. A recta i’ corta a base de maior afastamento do sólido nos pontos A’ e B’, que são os outros dois vértices do paralelogramo. A secção produzida pelo plano ρ no cilindro é o paraleloA A ’ B ’ B] – o plano ρ cota a superfície lateral do cilindro ao longo das geratrizes [A A A ’] e [B BB’]. Em seguida, desenharam-se as projecgramo [A ções do s ó l i d o r e s u l t a n t e d a s e c ç ã o – a parte do cilindro que está compreendido entre a figura da secção e o Plano Horizontal de Projecção (a parte que se situa para baixo do plano secante). A parte desprezada do cilindro (a parte que se situa para cima do plano secante) representou-se a traço leve. Note que a superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projecção horizontal, razão pela qual se identificou com tracejado. O plano ρ é um plano em tensão, pelo que a figura da secção não é visível em ambas as projecções – é visível apenas em projecção horizontal.

230

SOLUÇÕES

488. a) Em primeiro lugar representaram-se o sólido, pelas suas projecções, e o plano α (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. Depois, efectuaram-se os raciocínios necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano α no sólido. 1. O plano secante não é paralelo aos planos das bases (que são planos frontais), pelo que a figura da secção não é uma circunferência. 2. O plano secante não é paralelo ao eixo do sólido, pelo que a secção produzida é uma e li p se (ou um segmento de elipse, se o plano secante cortar qualquer das bases do sólido). Uma vez que o plano α é projectante horizontal, constatase que o plano α corta a base de maior afastamento do sólido, pelo que a figura da secção é um segmento de elipse. O procedimento seguinte foi determinar os pontos em que o plano α (o plano secante) corta as linhas dos contornos aparentes. O plano α corta a base de menor afastamento no ponto A. O plano α corta a base de maior afastamento nos pontos B e C e corta a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal no ponto A – A, B e C são, assim, três pontos da figura da secção. Note que é possível, de forma imediata e sem a determinação de qualquer outro ponto, representar o sólido resultante da secção – a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o Plano Frontal de Projecção. Tal deve-se ao facto de tanto o plano secante como as geratrizes do sólido serem projectantes. No entanto, com vista à determinação da V.G. da figura da secção (que é pedida na aliena b) do exercício), é necessária a determinação de mais pontos da figura – o desenho da curva em V.G. com alguma precisão requer um mínimo de oito pontos. A determinação de mais pontos da figura da secção processou-se com o recurso ao método das geratrizes. Determinaram-se duas geratrizes da superfície lateral do cilindro – as geratrizes g e g’, que têm as suas projecções horizontais coincidentes. O plano α corta a geratriz g no ponto D e corta a geratriz g’ no ponto E – D e E são, assim, mais dois pontos da figura da secção. Repetiu-se o processo exposto com mais dois pares de geratrizes, o que nos permitiu determinar mais quatro pontos da figura da secção. Note que se omitiram as notações referentes às restantes geratrizes e aos outros quatro pontos determinados, para não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Após a determinação dos nove pontos da curva, desenharam-se as projecções do sólido resultante da secção – a parte desprezada do cilindro (a parte compreendida entre o plano secante e a base de maior afastamento) representou-se a traço leve. A superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projecção frontal, razão pela qual se identificou com tracejado. b) Para determinar a V.G. da figura da secção, que está contida no plano α (que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f α. A partir do rebatimento dos nove pontos determinados para o desenho da curva, foi possível desenhar o segmento de elipse em V.G., com alguma precisão.

489.

Em primeiro lugar representaram-se o sólido, pelas suas projecções, e o plano θ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. As arestas do sólido são frontais (de frente), pelo que se projectam em V.G. em projecção frontal – a cota da base superior do cilindro determinou-se em função do comprimento do eixo (que se mediu directamente em projecção frontal). Em seguida, efectuaram-se os raciocínios necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano θ no sólido. 1. O plano secante não é paralelo aos planos das bases (que são planos horizontais), pelo que a figura da secção não é um círculo. 2. O plano secante não é paralelo ao eixo do sólido, pelo que a secção produzida é uma e l i p s e (ou um s e g m e n t o d e e l i p s e, se o plano secante cortar qualquer das bases do sólido). Uma vez que o plano θ é projectante frontal, constata-se que θ não corta nenhuma das bases, pelo que a figura da secção é uma e l i p s e. O procedimento seguinte foi determinar os pontos em que o plano θ (o plano secante) corta as linhas dos contornos aparentes. O plano θ corta as geratrizes do contorno aparente frontal nos pontos A e B – A e B são dois pontos da secção e são os extremos do eixo maior da elipse. O plano θ corta as geratrizes do contorno aparente horizontal nos pontos C e D. Já temos quatro pontos da secção. Note que a figura da secção será tangente às geratrizes do contorno aparente horizontal em C1 e D1. Para determinar os extremos do eixo menor recorreuA B], que passa pelas projecções frontais dos pontos -se à mediatriz do segmento [A C e D – constata-se que C e D são os extremos do eixo menor da elipse. ObservaA苶 B é menor que 苶 C苶 D. Tal justifica-se pelo facto de a projecção horizontal da -se que 苶 elipse (a figura da secção) ser uma outra elipse (resultante da deformação em A B] é o eixo menor dessa outra projecção da elipse que é a figura da secção) – [A (Continua na página seguinte) 231

SOLUÇÕES

elipse e [C CD] é o eixo maior dessa outra elipse. Determinaram-se duas geratrizes da superfície lateral do cilindro – as geratrizes g e g’, que têm as suas projecções frontais coincidentes. O plano θ corta a geratriz g no ponto E e corta a geratriz g’ no ponto F – E e F são, assim, mais dois pontos da figura da secção. Repetiu-se o processo exposto com mais três pares de geratrizes, o que nos permitiu determinar mais seis pontos da figura da secção. Note que se omitiram as notações referentes às restantes geratrizes e aos outros seis pontos determinados, para não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Após a determinação dos doze pontos da curva, desenharam-se as projecções da figura da secção, atendendo às invisibilidades existentes. A projecção horizontal da elipse reduz-se a um segmento de recta. A projecção horizontal da elipse é uma outra elipse, tangente às geratrizes do contorno aparente horizontal em C1 e D1. O segmento dessa elipse entre C1 e D1 que passa por A 1 é invisível, por se situar na parte invisível da superfície lateral do cilindro.

490. Em primeiro lugar representaram-se o sólido, pelas suas projecções (ver relatório do exercício anterior), e o plano γ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do sólido. O plano ν1 é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do sólido. Em seguida, efectuaram-se os raciocínios necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano γ no sólido. 1. O plano secante não é paralelo aos planos das bases (que são planos horizontais), pelo que a figura da secção não é um círculo. 2. O plano secante não é paralelo ao eixo do sólido, pelo que a secção produzida é uma e l i p s e (ou um segmento de elipse, se o plano secante cortar qualquer das bases do sólido). Uma vez que o plano γ é projectante horizontal, constata-se que γ corta as duas bases do cilindro, pelo que a figura da secção é um segmento de elipse. O procedimento seguinte foi determinar os pontos em que o plano γ (o plano secante) corta as linhas dos contornos aparentes. O plano γ não corta nenhuma das geratrizes dos contornos aparentes. O plano γ corta a base inferior nos pontos A e B – A e B são dois pontos da secção. O plano γ corta a base superior nos pontos C e D – C e D são mais dois pontos da secção. Já temos quatro pontos da secção. A determinação de mais pontos da figura da secção processou-se com o recurso ao método dos planos paralelos às bases (mas poderia processar-se igualmente com o recurso ao método das geratriz e s). Recorreu-se a três planos auxiliares, horizontais (de nível), paralelos às bases e distribuídos uniformemente entre as duas bases. O plano ν2 foi o primeiro plano auxiliar a que se recorreu – o plano ν2 corta o eixo do sólido no ponto Q. A secção produzida pelo plano ν2 no cilindro é uma circunferência com centro no ponto Q e raio igual ao raio das bases (note que a circunferência é necessariamente tangente às geratrizes do contorno aparente horizontal). O plano γ corta essa circunferência nos pontos E e F que são, assim, mais dois pontos da figura da secção. O processo exposto repetiu-se mais duas vezes, com os planos ν3 e ν4, o que nos permitiu determinar mais quatro pontos da secção. A partir dos dez pontos determinados, desenharam-se as projecções da figura da secção e do sólido resultante da secção – a parte do sólido que está compreendida entre o plano secante e o Plano Frontal de Projecção. Desenharam-se os contornos aparentes desse novo sólido, bem como as invisibilidades existentes (referentes à base inferior). A parte desprezada do sólido (a parte que se situa para a frente do plano secante) representou-se a traço leve. Note que, em projecção frontal, a parte do sólido compreendida entre a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal e a curva que tem extremos em A 2 e C2 integra a parte do sólido que foi desprezada. Em projecção horizontal, a figura da secção reduz-se a um segmento de recta, pois o plano secante é projectante horizontal. A superfície do corte, porque é visível em projecção frontal, identificou-se a tracejado (em projecção frontal).

491. Em primeiro lugar representaram-se o cilindro, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. As geratrizes do cilindro são paralelas ao β1/3, pelo que as suas projecções fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. Em seguida, há que identificar o tipo de secção que o plano α produz no cilindro (ver exercício 479). 1. Em primeiro lugar, analisou-se a posição do plano secante em relação aos planos das bases. As bases estão contidas em planos horizontais (de nível) e o plano secante é um plano oblíquo, que não é paralelo aos planos das bases – a figura da secção não é um círculo. 2. Analisou-se a posição do plano secante em relação ao eixo do sólido. O plano α não é paralelo ao eixo do sólido, pelo que a secção produzida pelo plano α no cilindro é uma elipse (ou um segmento de elipse, se o plano α cortar qualquer das bases). Note que se omitiram os traçados que nos permitiram concluir que o plano α não é paralelo ao eixo do sólido – as projecções de uma recta do plano α com uma das projecções paralela à projecção homónima do eixo do sólido (Critério de Paralelismo entre planos e rectas). Para determinar os pontos de maior e de menor cota da secção, há que determinar os pontos da secção cujas tangentes são rectas horizontais (de nível). Para tal, há que determinar os planos tangentes ao cilindro que intersectam o plano secante segundo rectas horizontais (de nível), ou seja, determinar os planos tangentes ao cilindro que são paralelos às rectas horizontais (de nível) do plano α. Nesse sentido, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema (ver exercício 401). 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de (Continua na página seguinte) 232

SOLUÇÕES

rectas que se conhecem – a «família» das rectas horizontais (de nível) do plano α e a «família» das geratrizes do cilindro. Assim, por um ponto qualquer, conduziram-se uma recta h, paralela a hα, e uma recta r, paralela às geratrizes do cilindro. O plano definido pelas rectas r e h (plano θ) é paralelo aos planos tangentes. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano θ (o plano definido por r e h) com o plano da base de referência (a base de menor cota), que é imediatamente o traço horizontal do plano – hθ. Apesar de não ser estritamente necessário, optou-se por determinar, também, o traço frontal do plano θ, f θ. 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor cota) que são paralelas a hθ – hθ1 e hθ2 que são, imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes (são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o plano da base de referência). As tangentes à base de referência permitem-nos determinar os pontos de tangência, T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangência), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro e g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do cilindro. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas rectas (o respectivo traço horizontal e a respectiva geratriz de contacto) e pela sua orientação (são, ambos, paralelos ao plano θ). O traço frontal do plano θ1 determinou-se de forma directa – f θ1 é concorrente com hθ1 no eixo X e é paralelo a f θ (planos paralelos têm os traços homónimos paralelos entre si). O traço frontal do plano θ2 determinou-se igualmente de forma directa – f θ2 é concorrente com hθ2 no eixo X e é igualmente paralelo a f θ. As geratrizes g e g’ são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor cota da secção. Para determinar aqueles pontos, há que determinar as respectivas rectas tangentes, que são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante (e que são rectas horizontais). Determinou-se a recta t, a recta de intersecção do plano θ1 com o plano α (o plano secante) – a recta t está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’, que é o ponto de concorrência de f θ1 com f α) e por uma direcção (é uma recta horizontal, paralela a hθ, a hθ1 e a hα). A recta t é concorrente com a geratriz g no ponto N. Note que, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada, não se determinou nem a projecção horizontal de F’ nem a projecção horizontal da recta t, pois é possível determinar o ponto N a partir apenas da projecção frontal da recta t. Em seguida determinou-se a recta t’, a recta de intersecção do plano θ2 com o plano α (o plano secante) – a recta t’ está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’’, que é o ponto de concorrência de f θ2 com f α) e por uma direcção (é uma recta horizontal, paralela a hθ, a hθ2 e a hα). A recta t’ é concorrente com a geratriz g’ no ponto M. Note que, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada, também aqui não se determinou nem a projecção horizontal de F’’ nem a projecção horizontal da recta t’, pois é possível determinar o ponto M a partir apenas da projecção frontal da recta t’. O ponto M é o ponto de maior cota da secção e o ponto N é o ponto de menor cota da secção.

492. Em primeiro lugar representaram-se o cilindro, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados, e identificou-se o tipo de cónica gerada pela secção (ver relatório do exercício anterior). Para determinar os pontos de maior e de menor afastamento da secção, há que determinar os pontos da secção cujas tangentes são rectas frontais (de frente). Para tal, há que determinar os planos tangentes ao cilindro que intersectam o plano secante segundo rectas frontais (de frente), ou seja, determinar os planos tangentes ao cilindro que são paralelos às rectas frontais (de frente) do plano α. Nesse sentido, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de rectas que se conhecem – a «família» das rectas frontais (de frente) do plano α e a «família» das geratrizes do cilindro. Assim, por um ponto qualquer, conduziram-se uma recta f, paralela a f α, e uma recta r, paralela às geratrizes do cilindro. O plano definido pelas rectas r e f (plano θ) é paralelo aos planos tangentes. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano θ (o plano definido por r e f ) com o plano da base de referência (a base de menor cota), que é imediatamente o traço horizontal do plano – hθ. Apesar de não ser estritamente necessário, optou-se por determinar, também, o traço frontal do plano θ, f θ. 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor cota) que são paralelas a hθ – hθ1 e hθ2 que são, imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes (são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o plano da base de referência). As tangentes à base de referência permitem-nos determinar os pontos de tangência, T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangência), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro e g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do cilindro. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas rectas (o respectivo traço horizontal e a respectiva geratriz de contacto) e pela sua orientação (são, ambos, paralelos ao plano θ). Não foi necessária a determinação dos traços frontais dos dois planos tangentes. As geratrizes g e g’ são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor afastamento da secção. Para determinar aqueles pontos, há que determinar as respectivas rectas (Continua na página seguinte) 233

SOLUÇÕES

tangentes, que são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante (e que são rectas frontais). Determinou-se a recta t, a recta de intersecção do plano θ1 com o plano α (o plano secante) – a recta t está definida por um ponto (o seu traço horizontal, H’’, que é o ponto de concorrência de h θ 1 com h α ) e por uma direcção (é uma recta frontal, paralela a f θ e a f α). A recta t é concorrente com a geratriz g no ponto R . Note que seria possível determinar o ponto R a partir apenas da projecção horizontal da recta t. Em seguida, determinou-se a recta t’, a recta de intersecção do plano θ2 com o plano α (o plano secante) – a recta t’ está definida por um ponto (o seu traço horizontal, H’’’, que é o ponto de concorrência de h θ2 com h α) e por uma direcção (é uma recta frontal, paralela a f θ e a f α). A recta t’ é concorrente com a geratriz g ’ no ponto S . Note que também aqui seria possível determinar o ponto S a partir apenas da projecção horizontal da recta t’. O ponto R é o ponto de menor afastamento da secção e o ponto S é o ponto de maior afastamento da secção.

493.

Em primeiro lugar representaram-se o cilindro, pelas suas projecções (ver relatório do exercício 491), e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida há que identificar o tipo de secção que o plano ρ produz no cilindro (ver exercício 482). 1. Em primeiro lugar, analisou-se a posição do plano secante em relação aos planos das bases. As bases estão contidas em planos horizontais (de nível) e o plano secante é um plano de rampa, que não é paralelo aos planos das bases – a figura da secção não é um círculo. 2. Analisou-se a posição do plano secante em relação ao eixo do sólido. O plano ρ não é paralelo ao eixo do sólido, pelo que a secção produzida pelo plano ρ no cilindro é uma elipse (ou um segmento de elipse, se o plano ρ cortar qualquer das bases). Note que se omitiram os traçados que nos permitiram concluir que o plano ρ não é paralelo ao eixo do sólido – as projecções de uma recta do plano ρ com uma das projecções paralela à projecção homónima do eixo do sólido (Critério de paralelismo entre planos e rectas). Para determinar os pontos de maior e de menor cota da secção, há que determinar os pontos da secção cujas tangentes são rectas horizontais (de nível). Para tal, há que determinar os planos tangentes ao cilindro que intersectam o plano secante segundo rectas horizontais (de nível), ou seja, determinar os planos tangentes ao cilindro que são paralelos às rectas horizontais (de nível) do plano ρ (ver exercício 403) – note que as rectas horizontais (de nível) do plano ρ são rectas fronto-horizontais. Nesse sentido, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de rectas que se conhecem – a «família» das rectas horizontais (de nível) do plano ρ (que são rectas fronto-horizontais) e a «família» das geratrizes do cilindro. Assim, por um ponto qualquer, há que conduzir uma recta m, fronto-horizontal, e uma recta r, paralela às geratrizes do cilindro. O plano definido pelas rectas r e m (plano θ) é paralelo aos planos tangentes. Note que não se executou esta etapa graficamente, uma vez que um plano definido por uma recta oblíqua (recta r) e uma recta fronto-horizontal (recta m) é n e c e s s a r i a m e n t e um plano de rampa – os planos tangentes são planos de rampa. 2. Determinar a recta de intersecção do plano θ (o plano definido por r e m) com o plano da base de referência (a base de menor cota), que seria o traço horizontal do plano – hθ. Apesar de não se ter determinado, em função do que atrás se expôs, sabe-se imediatamente que hθ é fronto-horizontal. 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor cota) que são paralelas a hθ – hθ1 e hθ2 que são, imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes (são as rectas (Continua na página seguinte) 234

SOLUÇÕES

de intersecção dos dois planos tangentes com o plano da base de referência). Note, na sequência do atrás exposto, que foi possível determinar hθ1 e hθ2, mesmo sem se ter definido graficamente o plano θ – hθ1 e hθ2 são os traços horizontais de dois planos de rampa, elo que são paralelos ao eixo X. Note, ainda, que hθ1 é o próprio eixo X – o plano θ1 será um plano passante. As tangentes à base de referência permitem-nos determinar os pontos de tangência, T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangência), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro e g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do cilindro. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas rectas (o respectivo traço horizontal e a respectiva geratriz de contacto) – note que não é conhecida a orientação dos planos tangentes, pois não se definiu graficamente o plano θ. Não é necessária a determinação dos traços frontais dos dois planos tangentes. As geratrizes g e g’ são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor cota da secção. Para determinar aqueles pontos, há que determinar as respectivas rectas tangentes, que são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante (e que são rectas fronto-horizontais – a recta de intersecção entre dois planos de rampa é necessariamente fronto-horizontal). Recorreu-se a um plano auxiliar – o plano α, que é o plano projectante frontal das geratrizes g e g’. A recta i é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ e está definida pelos seus traços. A recta i intersecta a geratriz g no ponto M – M é, assim, um ponto comum aos planos ρ e θ1 (a geratriz g é uma recta do plano θ1). A recta t, a recta de intersecção do plano ρ com o plano θ1, é a recta fronto-horizontal que passa por M. A recta i intersecta a geratriz g’ no ponto N – N é, assim, um ponto comum aos planos ρ e θ2 (a geratriz g’ é uma recta do plano θ2). A recta t’, a recta de intersecção do plano ρ com o plano θ2, é a recta fronto-horizontal que passa por N. O ponto M é o ponto de maior cota da secção e o ponto N é o ponto de menor cota da secção. Note que se determinaram os pontos M e N, antes de se determinarem as rectas t e t’ – M e N são os pontos em que o plano secante corta as geratrizes g e g’, respectivamente. Por fim, atendendo a que uma recta fronto-horizontal é, simultaneamente, um caso particular das rectas horizontais (de nível) e das rectas frontais (de frente), as rectas t e t’ são, simultaneamente, as tangentes horizontais (de nível) e as tangentes frontais (de frente) à curva da secção. Com base nesse raciocínio se conclui que o ponto M é, simultaneamente, o ponto de maior cota e o ponto de menor afastamento da secção produzida pelo plano ρ no cilindro. Da mesma forma se conclui que o ponto N é, simultaneamente, o ponto de menor cota e o ponto de maior afastamento da secção produzida pelo plano ρ no cilindro.

494. Em primeiro lugar representaram-se o cilindro, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, efectuaram-se os raciocínios necessários à identificação do tipo de cónica gerada pela secção. 1. Em primeiro lugar, analisou-se a posição do plano secante em relação aos planos das bases. As bases estão contidas em planos horizontais (de nível) e o plano secante é um plano vertical, que não é paralelo aos planos das bases – a figura da secção não é um círculo. 2. Analisou-se a posição do plano secante em relação ao eixo do sólido. O plano π não é paralelo ao eixo do sólido (o que se constata imediatamente, pois o plano π é projectante horizontal), pelo que a secção produzida pelo plano π no cilindro é uma elipse (note que o plano π não corta nenhuma das bases). Para determinar os pontos de maior e de menor c o t a da secção, há que determinar os pontos da secção cujas tangentes são rectas horizontais (de nível). Para tal, há que determinar-se os planos tangentes ao cilindro são paralelos às rectas horizontais (de nível) do plano π. Nesse sentido, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de rectas que se conhecem – a «família» das rectas horizontais (de nível) do plano π e a “família” das geratrizes do cilindro. Assim, por um ponto P, qualquer, conduziram-se uma recta h, paralela a hπ, e uma recta r, paralela às geratrizes do cilindro. O plano definido pelas rectas r e h (plano θ) é paralelo aos planos tangentes. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano θ (o plano definido por r e h) com o plano da base de referência (a base de menor afastamento), que é imediatamente o traço frontal do plano – f θ. 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor afastamento) que são paralelas a f θ – f θ1 e f θ2 que são, imediatamente, os traços frontais dos dois planos tangentes. As tangentes à base de referência permitem-nos determinar os pontos de tangência, T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangência), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro e g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do cilindro. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas rectas (o respectivo traço frontal e a respectiva geratriz de contacto) e pela sua orientação (são, ambos, paralelos ao plano θ). Não é necessária a determinação dos traços horizontais dos dois planos tangentes. As geratrizes g e g’ são as geratrizes que contêm os pontos de maior e (Continua na página seguinte) 235

SOLUÇÕES

de menor cota da secção. Para determinar aqueles pontos, há que determinar as respectivas rectas tangentes, que são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante (e que são rectas horizontais). Determinou-se a recta t, a recta de intersecção do plano θ1 com o plano π (o plano secante) – a recta t está definida por um ponto (o seu traço frontal, F, que é o ponto de concorrência de f θ1 com f π) e por uma direcção (é uma recta horizontal, paralela a hπ). A recta t é concorrente com a geratriz g no ponto N. Note que, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada, não se determinou nem a projecção horizontal de F nem a projecção horizontal da recta t, pois é possível determinar o ponto N a partir apenas da projecção frontal da recta t. Em seguida, determinou-se a recta t’, a recta de intersecção do plano θ2 com o plano π (o plano secante) – a recta t’ está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’, que é o ponto de concorrência de f θ2 com f π) e por uma direcção (é uma recta horizontal, paralela a hπ). A recta t’ é concorrente com a geratriz g’ no ponto M. Note que, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada, também aqui não se determinou nem a projecção horizontal de F’ nem a projecção horizontal da recta t’, pois é possível determinar o ponto M a partir apenas da projecção frontal da recta t’. O ponto M é o ponto de maior cota da secção e o ponto N é o ponto de menor cota da secção. Para determinar os pontos de maior e de menor afastamento da secção, há que determinar os pontos da secção cujas tangentes são rectas frontais (de frente). Para tal, há que determinar os planos tangentes ao cilindro que são paralelos às rectas frontais (de frente) do plano π (que são rectas verticais). Nesse sentido, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de rectas que se conhecem – a «família» das rectas frontais (de frente) do plano π (que são verticais) e a «família» das geratrizes do cilindro. Assim, por um ponto P’, qualquer, conduziram-se uma recta f, paralela a f π, e uma recta r’, paralela às geratrizes do cilindro. O plano definido pelas rectas r’ e f (plano σ) é paralelo aos planos tangentes. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano σ (o plano definido por r’ e f) com o plano da base de referência (a base de menor afastamento), que é imediatamente o traço frontal do plano – f σ. Optou-se por determinar, também, o traço horizontal do plano σ, hσ. O plano σ é um plano vertical. 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor afastamento) que são paralelas a f σ – f σ1 e f σ2 que são, imediatamente, os traços frontais dos dois planos tangentes. As tangentes à base de referência permitem-nos determinar os pontos de tangência, T’’ e T’’’. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangência), g’’ e g’’’ – g’’ passa por T’’ e é paralela ao eixo do cilindro e g’’’ passa por T’’’ e é também paralela ao eixo do cilindro. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas rectas (o respectivo traço frontal e a respectiva geratriz de contacto) e pela sua orientação (são, ambos, paralelos ao plano σ). Determinaram-se imediatamente os traços horizontais dos dois planos tangentes, pois trata-se de planos verticais. As geratrizes g’’ e g’’’ são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor afastamento da secção. Para determinar aqueles pontos, há que determinar as respectivas rectas tangentes, que são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante (e que são rectas verticais). Determinou-se a recta i, a recta de intersecção do plano σ1 com o plano π (o plano secante) – a recta i é vertical e teve determinação imediata. A recta i é concorrente com a geratriz g’’ no ponto R. Note que R é o ponto em que o plano π corta a geratriz g’’. Em seguida, determinou-se a recta i’, a recta de intersecção do plano σ2 com o plano π (o plano secante) – a recta i’ é outra recta vertical que teve, igualmente, determinação imediata. A recta i’ é concorrente com a geratriz g’’’ no ponto S. Note que S é o ponto em que o plano π corta a geratriz g’’’. O ponto R é o ponto de maior afastamento da secção e o ponto S é o ponto de menor afastamento da secção.

495. Em primeiro lugar representaram-se o cilindro, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do sólido. O plano δ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. Em seguida, há que identificar o tipo de secção que o plano δ produz no cilindro. 1. Em primeiro lugar, analisou-se a posição do plano secante em relação aos planos das bases. As bases estão contidas em planos horizontais (de nível) e o plano secante é um plano oblíquo, que não é paralelo aos planos das bases – a figura da secção não é um círculo. 2. Analisou-se a posição do plano secante em relação ao eixo do sólido. O plano δ não é paralelo ao eixo do sólido, pelo que a secção produzida pelo plano δ no cilindro é uma e l i p s e (ou um segmento de elipse, se o plano δ cortar qualquer das bases). Note que se omitiram os traçados que nos permitiram concluir que o plano δ não é paralelo ao eixo do sólido – as projecções de uma recta do plano δ com uma das projecções paralela à projecção homónima do eixo do sólido (Critério de paralelismo entre planos e rectas). Para determinar os pontos de maior e de menor abcissa da secção, há que determinar os pontos da secção cujas tangentes são rectas de perfil. Para tal, há que determinar os planos tangentes ao cilindro que intersectam o plano secante segundo rectas de perfil, ou seja, determinar os planos tangentes ao cilindro que são paralelos às rectas de perfil do plano δ. Nesse sentido, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de rectas que se conhecem – a «família» das rectas de perfil do plano δ e a «família» das geratrizes do cilindro. Assim, por um ponto P, qualquer, conduziram-se uma recta p, de perfil (paralela às rectas de perfil do plano δ) (Continua na página seguinte) 236

SOLUÇÕES

e uma recta r, paralela às geratrizes do cilindro. O plano definido pelas rectas r e p (plano θ) é paralelo aos planos tangentes. 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano θ (o plano definido por r e p) com o plano da base de referência (a base de menor cota), que é imediatamente o traço horizontal do plano – hθ (que fica definido por H’ o traço horizontal da recta p, e H’’ o traço horizontal da recta r). É possível determinar, imediatamente, a projecção frontal de H’ (o traço horizontal da recta p), que se situa no eixo X. Uma vez que as projecções das rectas de perfil não verificam o Critério de reversibilidade, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se plano 2) por um novo plano de projecção (p plano 4), por uma mudança do diedro de projecção. Substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (p criando um novo diedro de projecção (formado pelo plano 1 e pelo plano 4) no qual a recta p seja uma recta frontal (de frente) – ver exercício 7 e respectivo relatório. Determinou-se a projecção de P no plano 4 – P 4. Já temos um ponto para definir a recta p – falta-nos outro ponto ou uma direcção. Recorreu-se a uma recta p’, de perfil, contida no plano δ (a recta p’ é uma recta de perfil com abcissa nula e está definida pelos seus traços nos planos de projecção, F e H). A projecção da recta p’ no plano 4 (p’4) determinou-se a partir de F4 e H4. A projecção da recta p no plano 4 (p4) passa por P4 e é paralela a p’4. Determinou-se H’4 e, em seguida, determinou-se H’1, a projecção horizontal de H’. 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base de referência do cilindro (a base de menor cota) que são paralelas a hθ – hθ1 e hθ2 que são, imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes (são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes com o plano da base de referência). As tangentes à base de referência permitem-nos determinar os pontos de tangência, T e T’. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangência), g e g’ – g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro e g’ passa por T’ e é também paralela ao eixo do cilindro. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas rectas (o respectivo traço horizontal e a respectiva geratriz de contacto) e pela sua orientação (são, ambos, paralelos ao plano θ). Não foi necessária a determinação dos traços frontais dos dois planos tangentes. As geratrizes g e g’ são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor abcissa da secção. Para determinar aqueles pontos, há que determinar as respectivas rectas tangentes, que são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante (e que são rectas de perfil). Determinou-se a recta i, a recta de intersecção do plano θ1 com o plano δ (o plano secante) – a recta i está definida por um ponto (o seu traço horizontal, H’’’, que é o ponto de concorrência de hθ1 com hδ) e por uma direcção (é uma recta de perfil, paralela às rectas p e p’). A recta i é concorrente com a geratriz g no ponto R. Em seguida, determinou-se a recta i’, a recta de intersecção do plano θ2 com o plano δ (o plano secante) – a recta i’ está definida por um ponto (o seu traço horizontal, H’’’’, que é o ponto de concorrência de hθ2 com hδ) e por uma direcção (é uma recta de perfil, paralela às rectas p e p’). A recta i’ é concorrente com a geratriz g’ no ponto S. O ponto R é o ponto de maior abcissa da secção e o ponto S é o ponto de menor abcissa da secção.

496. Em primeiro lugar representaram-se o sólido, pelas suas projecções, e o plano ρ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do cilindro. O ponto A é o ponto em que f α (o traço frontal do plano secante) é tangente à base de menor afastamento do sólido. Em seguida, efectuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano α no cilindro. 1. Em pr i m ei r o l ug ar, identificou-se o tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano α no sólido. O plano secante (que é oblíquo) não é paralelo aos planos das bases (que são planos frontais), pelo que a secção não é um círculo. O plano secante não é paralelo ao eixo do sólido (que é uma recta de topo), pois um plano oblíquo não pode conter rectas de topo – a secção produzida no cilindro pelo plano α é uma e l i p s e (ou um segmento de elipse, se o plano secante cortar qualquer das bases do sólido). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta as bases do sólido ou não. A recta de intersecção do plano α com o plano da base de menor afastamento é f α – f α é tangente à base de menor afastamento do cilindro (no ponto A ), pelo que α corta a base de menor afastamento do sólido no ponto A . Já temos um ponto da secção. Em seguida, determinou-se a recta de intersecção do plano α com o plano ϕ (o plano da base de maior afastamento) – a recta i. A recta i é uma recta frontal (de frente) do plano α – está definida pelo seu traço horizontal, H, e por uma direcção (é paralela a f α). A recta i é exterior à base de maior afastamento do sólido, pelo que α não corta esta base – a secção é uma e l i p s e completa. 3. Em terceiro lugar, verificou-se se o plano α corta os contornos aparentes, o que se processou com o recurso ao método geral da intersecção de rectas com planos. O plano ν é o plano (horizontal) auxiliar que contém as duas geratrizes do contorno aparente horizontal. A recta i’ é a recta de intersecção do plano ν com o plano α. A recta i’ é uma recta horizontal (de nível) do plano α – está definida pelo seu traço frontal, F, e por uma direcção (é paralela a hα). A recta i intersecta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal no ponto C e intersecta a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal no ponto B – B e C são, assim, mais dois pontos da secção (são os pontos em que a projecção horizontal da elipse será tangente às geratrizes do contorno aparente horizontal do cilindro). 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor cota da secção, para o que é necessário determinar os planos tangentes ao cilindro que intersectam o plano α segundo rectas horizontais (os planos tangentes ao cilindro que são paralelos a hα). Esses planos estão defi(Continua na página seguinte) 237

SOLUÇÕES

nidos por uma recta horizontal (de nível) paralela às rectas horizontais do plano α e por uma recta paralela às geratrizes do cilindro (que são de topo) – trata-se, portanto, de planos horizontais (de nível), que têm determinação imediata. O plano ν1 é um dos planos tangentes (é tangente ao cilindro ao longo da sua geratriz de maior cota, que é a geratriz de contacto ou de tangência) e o plano ν2 é o outro plano tangente (é tangente ao cilindro ao longo da sua geratriz de menor cota, que é a geratriz de contacto ou de tangência). A recta de intersecção do plano ν1 com o plano α é a recta h – esta está definida pelo seu traço frontal, F’, e por uma direcção (é paralela a hα). A recta h intersecta a geratriz de maior cota do cilindro no ponto D, que é o ponto de maior cota da secção. A recta de intersecção do plano ν2 com o plano α é a recta h’ – esta está definida pelo seu traço frontal, F’’, e por uma direcção (é paralela a hα). A recta h’ intersecta a geratriz de menor cota do cilindro no ponto E, que é o ponto de menor cota da secção. 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção, para o que é necessário determinar os planos tangentes ao cilindro que intersectam o plano α segundo rectas frontais (os planos tangentes ao cilindro que são paralelos a f α). Esses planos estão definidos por uma recta frontal (de frente), paralela a f α, e uma recta paralela às geratrizes (que são rectas de topo) – trata-se, portanto, de planos de topo, que têm determinação directa. O ponto de menor afastamento da secção é o ponto A , que é o ponto do plano α que se situa na base de menor afastamento do sólido. Só é necessário o recurso ao plano tangente que nos dará o ponto de maior afastamento da secção – o plano θ, que teve determinação directa. Determinou-se a recta de intersecção do plano θ com o plano α – a recta t (que é uma recta frontal). A recta t é a tangente frontal (de frente) à secção, que intersecta a geratriz de contacto no ponto M – M é, assim, o ponto de maior afastamento da secção e é mais um ponto da secção. Já temos seis pontos da secção – A , B, C, D, E e M. 6. Atendendo a que os seis pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método das geratrizes, determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. Determinaram-se duas geratrizes quaisquer (situadas entre os planos ν e ν1), da superfície lateral do sólido e com a mesma cota. Por essas duas geratrizes conduziu-se um plano horizontal (de nível) e determinou-se a recta de intersecção desse plano com o plano α. Os pontos em que a recta de intersecção corta as duas geratrizes são mais dois pontos da secção. O procedimento exposto consiste na repetição do efectuado para determinar os pontos em que o plano α corta as geratrizes do contorno aparente horizontal. Note que se omitiram todas as notações referentes aos procedimentos descritos. Repetiu-se o exposto em relação a mais um par de geratrizes, situado entre os planos ν e ν2, o que nos permitiu determinar mais dois pontos da secção. Os dez pontos da secção já determinados permitem-nos um desenho relativamente preciso da curva. Note que a projecção frontal da figura da secção coincide com a projecção frontal do sólido, pois as geratrizes são projectantes frontais. A figura da secção, em projecção horizontal, é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal no ponto C1 e é tangente à geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal no ponto B 1. Desenharam-se as projecções da figura da secção e do sólido resultante da secção – a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o Plano Frontal de Projecção. A parte desprezada do cilindro (a parte do cilindro que se situa entre o plano secante e o plano ϕ) representou-se a traço leve e a parte pretendida a traço forte. Note que o contorno aparente horizontal do sólido resultante da secção tem uma parte curva – o segmento de elipse compreendido entre C 1 e B 1 que passa por M1 e E1. Note que têm de se verificar as concordâncias entre as partes remanescentes das geratrizes do contorno aparente horizontal e a parte curva do contorno aparente. A superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em ambas as projecções, o que se assinalou convenientemente a tracejado, em ambas as projecções.

497. Resolução

(Relatório na página seguinte) 238

SOLUÇÕES

497. Relatório Em primeiro lugar representaram-se o sólido, pelas suas projecções, e o plano δ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados (ver exercício 495 e respectivo relatório). Em seguida, efectuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano δ no cilindro. 1. Em primeiro lugar, identificou-se o tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano δ no sólido – a secção produzida é uma elipse ou um segmento de elipse (ver relatório do exercício 495). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta as bases do sólido ou não. A recta de intersecção do plano δ com o plano da base inferior é hδ – hδ é exterior à base inferior do cilindro, pelo que δ não corta a base inferior do sólido. O plano δ também não corta a base superior do cilindro, se bem que se tenham omitido os traçados referentes a essa conclusão – a recta de intersecção do plano δ com o plano ν (o plano da base superior), que é exterior à base. A secção produzida pelo plano δ no sólido é uma elipse completa. 3. Em terceiro lugar, verificou-se se o plano δ corta os contornos aparentes, o que se processou com o recurso ao método geral da intersecção de rectas com planos (nem as geratrizes nem o plano secante são projectantes). O plano γ é o plano (vertical) auxiliar que contém a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal (cuja projecção frontal se desenhou em seguida) – o plano γ é o plano projectante horizontal da geratriz. A recta i, definida pelos seus traços (que não se identificaram) é a recta de intersecção do plano γ com o plano δ (o plano secante). A recta i intersecta aquela geratriz no ponto A – A é um ponto da secção. O plano γ1, definido apenas pelo seu traço horizontal (facto pelo qual este se assinalou entre parêntesis) é o plano (vertical) auxiliar que contém a geratriz de maior afastamento do contorno aparente horizontal (cuja projecção frontal se desenhou em seguida) – o plano γ1 é o plano projectante horizontal da geratriz. Uma vez que os planos γ e γ1 são paralelos, sabe-se que o plano δ (o plano secante) corta aqueles dois planos segundo duas rectas paralelas. Assim, a recta i’, definida pelo seu traço horizontal (que não se identificou) e pela sua direcção (é paralela à recta i) é a recta de intersecção do plano γ1 com o plano δ. A recta i’ intersecta a geratriz de maior afastamento do contorno aparente horizontal no ponto B – B é outro ponto da secção. Os pontos A e B são os pontos em que o plano δ corta as geratrizes do contorno aparente horizontal – são os pontos nos quais a projecção horizontal da elipse será tangente às geratrizes do contorno aparente horizontal. O plano α é o plano (de topo) auxiliar que contém a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal (cuja projecção horizontal se desenhou em seguida) – o plano α é o plano projectante frontal da geratriz. A recta a, definida pelos seus traços (que não se identificaram) é a recta de intersecção do plano α com o plano δ (o plano secante). A recta a intersecta aquela geratriz no ponto C – C é mais um ponto da secção. O plano α1, definido apenas pelo seu traço frontal (facto pelo qual este se assinalou entre parêntesis) é o plano (de topo) auxiliar que contém a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal (cuja projecção horizontal se desenhou em seguida) – o plano α1 é o plano projectante frontal da geratriz. Uma vez que os planos α e α1 são paralelos, sabe-se que o plano δ (o plano secante) corta aqueles dois planos segundo duas rectas paralelas. Assim, a recta a’, definida pelo seu traço frontal (que não se identificou) e pela sua direcção (é paralela à recta a) é a recta de intersecção do plano α1 com o plano δ. A recta a’ intersecta a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal no ponto D – D é outro ponto da secção. Os pontos C e D são os pontos em que o plano δ corta as geratrizes do contorno aparente frontal – são os pontos nos quais a projecção frontal da elipse será tangente às geratrizes do contorno aparente frontal. 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor cota da secção, para o que é necessário determinar os planos tangentes ao cilindro que intersectam o plano δ segundo rectas horizontais (os planos tangentes ao cilindro que são paralelos a hδ). Para tal, definiu-se um plano θ, por duas rectas concorrentes (duas rectas das duas «famílias» de rectas que definem os planos tangentes) – uma recta h (paralela às rectas horizontais do plano δ) e uma recta r (paralela às geratrizes do cilindro), concorrentes num ponto P qualquer. Determinou-se a recta de intersecção do plano θ com o plano da base inferior (a base de referência), que é imediatamente o traço horizontal do plano θ – hθ. Optou-se por determinar igualmente o traço frontal do plano θ – f θ. Em seguida conduziram-se as rectas tangentes à base do cilindro que são paralelas a hθ – hθ1 e hθ2 que são, imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes. As tangentes à base inferior do cilindro permitiram-nos, ainda, determinar os pontos de T e T’) bem como as geratrizes de contacto (g e g’). Em seguida, desenharam-se os traços frontais dos dois planos tangentes, θ1 e tangência (T θ2, paralelos a f θ e concorrentes com os respectivos traços horizontais no eixo X. Em seguida, determinaram-se as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano δ, t e t’ (que são as tangentes horizontais nos pontos de maior e de menor cota da secção). A recta t está definida F) e pela sua direcção (é paralela a hδ). A recta t’ está igualmente definida pelo seu traço frontal (F F’) e pela sua direcção pelo seu traço frontal (F (é paralela a hα). Note que se omitiram as projecções horizontais das rectas t e t’, bem como dos seus traços horizontais, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada – de qualquer forma, é possível determinar os pontos de maior e menor cota da secção apenas a partir das projecções frontais daquelas rectas. A recta t intersecta a geratriz g no ponto M (que se determinou a partir da sua projecção frontal) e a recta t’ intersecta a geratriz g’ no ponto N (que se determinou igualmente a partir da sua projecção frontal). O ponto M é o ponto de maior cota da secção e o ponto N o seu ponto de menor cota. Já temos mais dois pontos da secção. 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção, para o que é necessário determinar os planos tangentes ao cilindro que intersectam o plano δ segundo rectas frontais (os planos tangentes ao cilindro que são paralelos a f δ). Dada a dimensão do desenho e a complexidade geral de que já se reveste a resolução gráfica apresentada, optou-se por não realizar graficamente esta etapa, se bem que se considere imprescindível para uma correcta determinação da figura da secção. Nesse sentido, aconselha-se ao estudante a execução dessa etapa, seguindo o exposto no relatório do exercício 492. Já temos seis pontos da secção – A, B, C, D, M e N. 6. Atendendo a que os seis pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método dos planos paralelos às bases, para determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. Para tal, recorreu-se a três planos auxiliares (paralelos às bases), distribuídos uniformemente de forma a colmatar as lacunas existentes ao nível dos pontos necessários ao desenho da curva (em ambas as projecções). O plano ν1 é um plano auxiliar (horizontal) – ν1 corta a superfície do sólido segundo uma circunferência e corta o plano δ segundo uma recta horizontal (paralela a hδ). A recta de intersecção dos dois planos corta a circunferência em dois pontos, que são mais dois pontos da secção. Note que não se identificaram nem a recta de intersecção dos dois planos nem os dois pontos da secção assim determinados. O plano ν2 é outro plano auxiliar (horizontal) que nos permitiu, de forma semelhante, determinar mais dois pontos da secção. O plano ν3 é o terceiro plano auxiliar (horizontal) que nos permitiu, de forma semelhante, determinar mais dois pontos da secção. Os doze pontos determinados permitiram-nos um desenho relativamente preciso das duas elipses que são as projecções da figura da secção. Note que a projecção horizontal da elipse é tangente às geratrizes do contorno aparente horizontal em A1 e B1. A projecção frontal da elipse, por sua vez, é tangente às geratrizes do contorno aparente frontal em C2 e em D2. Com esses pressupostos, desenharam-se as projecções da figura da secção, assinalando convenientemente as invisibilidades existentes. Em projecção horizontal, o segmento da elipse que tem extremos em A 1 e B1 e passa por C1 e N1 é invisível, por se situar na parte invisível (em projecção horizontal) da superfície lateral do cilindro. Em projecção frontal, o segmento da elipse que tem extremos em C2 e D2 e passa por A2 e M2 é invisível, por se situar na parte invisível (em projecção frontal) da superfície lateral do cilindro. 239

SOLUÇÕES

498. Em primeiro lugar representaram-se o sólido, pelas suas projecções, e o plano ρ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados (ver exercício 493 e respectivo relatório). Em seguida, efectuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano ρ no cilindro. 1. Em p r i m e i r o l ugar, identificou-se o tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano ρ no sólido – a secção produzida é uma e l i p s e ou um segmento de elipse (ver relatório do exercício 493). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta as bases do sólido ou não. A recta de intersecção do plano ρ com o plano da base inferior é hρ – hρ é exterior à base inferior do cilindro, pelo que o plano ρ não corta a base inferior do sólido. Apesar de não se ter determinado, a recta de intersecção do plano ρ com o plano da base superior é uma recta fronto-horizontal exterior à base superior do sólido, pelo que o plano ρ também não corta a base superior do cilindro. A figura da secção é, assim, uma e l i p s e completa. 3. Em terceiro lugar, determinaram-se os pontos de maior e menor cota da secção, no que consiste numa ligeira alteração da ordem de execução dos exercícios anteriores (note que seria possível manter a ordem dos exercícios anteriores). Para tal, é necessário determinar os planos tangentes ao cilindro que são paralelos a hρ (que intersectam o plano secante segundo rectas horizontais que, neste caso, são fronto-horizontais) – os planos tangentes serão necessariamente planos de rampa, cujos traços horizontais (as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano da base de referência – a base inferior) são hθ1 e hθ2 e têm determinação imediata. A partir dos traços horizontais dos planos tangentes estão identificadas as geratrizes de contacto, g e g’ – as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor afastamento das bases do sólido. Não é necessária a determinação das rectas de intersecção do plano secante com os planos tangentes (as tangentes à secção) – basta determinar os pontos em que o plano ρ (o plano secante) corta as geratrizes g e g’. Para tal, recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos (trata-se da intersecção entre rectas não projectantes e um plano não projectante). O plano α é o plano auxiliar a que se recorreu (é um plano de topo e é o plano projectante frontal das geratrizes). A recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ. A recta i intersecta a geratriz g no ponto N e intersecta a geratriz g’ no ponto M. O ponto M é o ponto de maior cota da secção e o ponto N é o ponto de menor cota da secção. Note que, caso os pontos M e N se tivessem determinado com o recurso aos planos tangentes, as rectas tangentes à secção nos pontos M e N seriam rectas horizontais (de nível) – seriam as tangentes horizontais (de nível). 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção. Uma vez que uma recta fronto-horizontal é, simultaneamente, um caso particular das rectas horizontais (de nível) e das rectas frontais (de frente), as tangentes horizontais (de nível) são simultaneamente as tangentes frontais (de frente) à curva da secção. Assim, conclui-se que o ponto M é, simultaneamente, o ponto de maior cota e de menor afastamento da secção, tal como o ponto N é, simultaneamente, o ponto de menor cota e o ponto de maior afastamento da secção produzida pelo plano ρ no cone. 5. Atendendo à inversão da ordem de execução, a quinta etapa consiste em verificar se o plano ρ corta os contornos aparentes – os pontos em que o plano ρ corta as geratrizes dos contornos aparentes. Para determinar o ponto em que o plano ρ corta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal desenhou-se a sua projecção horizontal e recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos (nem a geratriz nem o plano secante são projectantes). Assim, conduziu-se, pela geratriz, um plano δ (que está representado apenas pelo seu traço frontal, que se assinalou entre parêntesis), paralelo ao plano α – o plano δ é o plano projectante frontal da geratriz. Os planos α e δ são paralelos, pelo que as rectas de intersecção do plano ρ (o plano secante) com os planos α e δ são paralelas. Assim, determinou-se a recta de intersecção do plano δ com o plano ρ, que está definida pelo seu traço frontal (que não se identificou) e pela sua direcção é paralela à recta i) – recta i’. A recta i’ intersecta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal no ponto C – C é o ponto em que o plano ρ corta aquela geratriz e é o ponto no qual a projecção frontal da figura da secção será tangente à projecção frontal daquela geratriz. Repetiu-se o processo em relação à geratriz mais à direita do contorno aparente frontal (note que houve a necessidade de desenhar a projecção horizontal da geratriz), o que nos permitiu determinar o ponto D. Note que se omitiram todas as notações referentes a estes traçados (a representação do plano projectante frontal da geratriz e da recta de intersecção desse plano com o plano secante, que é paralela às rectas i e i’). O ponto D é o ponto em que o plano ρ corta a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal e é o ponto no qual a projecção frontal da figura da secção será tangente àquela geratriz. Repetiu-se o processo em relação à geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal (note que houve a necessidade de desenhar a projecção frontal desta geratriz), o que nos permitiu determinar o ponto A . Note que se omitiram todas as notações referentes a estes traçados (a representação do plano projectante frontal da geratriz e da recta de intersecção desse plano com o plano secante, que é paralela às rectas i e i’). O ponto A é o ponto em que o plano ρ corta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal e é o ponto no qual a projecção horizontal da figura da secção será tangente àquela geratriz. Repetiu-se o processo em relação à geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal (note que houve a necessidade de desenhar a projecção frontal da geratriz), o que nos permitiu determinar o ponto B. Note que se omitiram todas as notações referentes a estes traçados (a representação do plano projectante frontal da geratriz e da recta de intersecção desse plano com o plano secante, que é paralela às rectas i e i’). O ponto B é o ponto em que o plano ρ corta a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal e é o ponto no qual a projecção horizontal da figura da secção será tangente àquela geratriz. Já temos seis pontos da secção – A , B, C, D, M e N. 6. Atendendo a que os seis pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método das geratrizes, determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. Recorreu-se às geratrizes (Continua na página seguinte) 240

SOLUÇÕES

do cilindro que estão coincidentes, em projecção frontal, com as geratrizes do contorno aparente horizontal, o que nos permite economizar traçado (já temos os planos projectantes frontais das geratrizes e as respectivas rectas de intersecção com o plano ρ). Determinaram-se os pontos em que o plano ρ corta aquelas geratrizes, obtendo, assim, mais dois pontos da figura da secção. Os oito pontos da secção já determinados permitem-nos um desenho relativamente preciso das duas curvas (a projecção frontal e a projecção horizontal da elipse). A figura da secção, em projecção horizontal, é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal no ponto A 1 e é tangente à geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal no ponto B1. A figura da secção, em projecção frontal, é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal no ponto C2 e é tangente à geratriz mais à direita do contorno aparente frontal no ponto D2. Desenharam-se as projecções da figura da secção e do sólido resultante da secção – a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o Plano Horizontal de Projecção. A parte desprezada do cilindro (a parte do cilindro que se situa acima do plano secante) representou-se a traço leve e a parte pretendida a traço forte. Note que o contorno aparente horizontal do sólido resultante da secção tem uma parte curva – o segmento de elipse compreendido entre A 1 e B1 que passa por N1 e D1. Note que o contorno aparente frontal do sólido resultante da secção também tem uma parte curva – o segmento de elipse compreendido entre C2 e D2 que passa por M2 e B2. Note que têm de se verificar as concordâncias entre as partes remanescentes das geratrizes dos contornos aparentes e as respectivas partes curvas. A superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em ambas as projecções, o que se assinalou convenientemente a tracejado, em ambas as projecções.

499. Em primeiro lugar representaram-se o sólido, pelas suas projecções, e o plano γ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. O plano γ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. Em seguida, efectuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano γ no cilindro. 1. Em p r i m e i r o l ugar, identificou-se o tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano γ no sólido. O plano γ (que é um plano oblíquo) não é paralelo aos planos das bases (que são planos horizontais), pelo que a figura da secção não é um círculo. O plano γ também não é paralelo ao eixo do cilindro, pelo que a secção produzida é uma e l i p s e (ou um segmento de elipse, caso o plano γ corte qualquer das bases). Note que se omitiram os traçados que nos permitiram concluir que o plano γ não é paralelo ao eixo do cilindro – as projecções de uma recta do plano γ com uma das suas projecções paralela à projecção homónima do eixo do sólido (Critério de paralelismo entre planos e rectas). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta as bases do sólido ou não. A recta de intersecção do plano γ com o plano da base inferior é hγ – hγ corta a base inferior do cilindro nos pontos A e B. A e B são dois pontos da secção e conclui-se que a figura da secção será um segmento de elipse. O plano γ não corta a base superior do cilindro, se bem que se tenham omitido os traçados referentes a essa conclusão – a recta de intersecção do plano γ com o plano da base superior, que é exterior à base. 3. Em terceiro lugar, verificou-se se o plano γ corta os contornos aparentes. O ponto B (um dos pontos em que o plano γ corta a base inferior) é o ponto da geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal que se situa na base – o plano γ corta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal no ponto B. A determinação dos pontos em que o plano γ (o plano secante) corta as restantes geratrizes do contorno aparente processou-se com o recurso ao método geral da intersecção de rectas com planos (nem as geratrizes nem o plano secante são projectantes). A geratriz g é a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. O plano α é o plano (de topo) auxiliar que contém a geratriz g (cuja projecção horizontal se desenhou em seguida) – o plaF e H) é a recta de intersecção do plano α com o plano no α é o plano projectante frontal da geratriz g. A recta i, definida pelos seus traços (F γ (o plano secante). A recta i intersecta a geratriz g no ponto C – C é mais um ponto da secção (é o ponto em que o plano secante corta a geratriz g). C é o ponto no qual a projecção frontal da elipse será tangente à geratriz g. O plano α1 é o plano (de topo) auxiliar que contém a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal – é o plano projectante frontal da geratriz (foi necessário desenhar a projecção frontal da geratriz, para definir o plano α1). A recta i’, definida pelos seus traços (que não se identificaram, para não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada), é a recta de intersecção do plano α1 com o plano γ (o plano secante). A recta i’ corta aquela geratriz do contorno aparente horizontal no ponto D – D é mais um ponto da secção (é o ponto em que o plano secante corta a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal). D é o ponto no qual a projecção horizontal da elipse será tangente àquela geratriz. Note que as rectas i e i’ são paralelas – tendo em conta que os planos α e α1 são paralelos entre si, as rectas de intersecção dos dois planos com o plano γ (o plano secante) são também paralelas entre si. Tendo em conta que o plano corta a base inferior do cilindro ao longo A B] e que corta a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal, conclui-se que o plano não corta a geratriz do segmento [A de maior afastamento do contorno aparente horizontal (nos limites do sólido). 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior (Continua na página seguinte) 241

SOLUÇÕES

e menor cota da secção, para o que é necessário determinar os planos tangentes ao cilindro que intersectam o plano γ segundo rectas horizontais (os planos tangentes ao cilindro que são paralelos a hγ). Note que os pontos A e B, que são os pontos em que o plano γ (o plano secante) corta a base inferior do sólido, são imediatamente os pontos de menor cota da secção (que é um segmento de elipse) – o ponto de menor cota da e l i p s e situa-se fora dos limites do sólido. Há, então, que determinar o ponto de maior cota da secção. Optou-se por não recorrer ao plano definido por duas rectas concorrentes (uma recta paralela às geratrizes do cilindro e uma recta paralela às rectas horizontais do plano γ), definindo, imediatamente, o plano tangente que nos interessa – o plano θ. O traço horizontal do plano θ é paralelo a hγ e é tangente à base inferior do cilindro no ponto T – hθ é, imediatamente, a recta de intersecção do plano tangente com o plano da base de referência (a base inferior). Note que o facto de hθ ser paralelo a hγ nos garante, imediatamente, que os dois planos se intersectam segundo uma recta horizontal (de nível), que será a tangente à secção no seu ponto de maior cota. A geratriz g’, definida por um ponto (o ponto T) e por uma direcção (é paralela ao eixo do cilindro) é a geratriz de contacto (ou de tangência) e é a geratriz na qual se situa o ponto de maior cota da secção. Não é necessária a determinação da recta de intersecção do plano secante com o plano tangente (a tangente à secção) – basta determinar o ponto em que o plano γ (o plano secante) corta a geratriz g’. Para tal, recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos (trata-se da intersecção entre uma recta não projectante e um plano não projectante). Pela geratriz g’ conduziu-se um plano de topo, auxiliar, paralelo aos planos α e α1 (plano esse que não se identificou) – trata-se do plano projectante frontal da geratriz g’. A recta de intersecção desse plano com o plano secante (recta i’) é necessariamente paralela às rectas i e i’ – está definida pelo seu traço frontal (que não se identificou) e pela sua direcção (é paralela a i e a i’). Note que também não se identificou a recta i’’, com vista a não sobrecarregar visualmente em demasia a resolução gráfica apresentada. A recta i’’ intersecta a geratriz g’ no ponto E – o ponto E é, assim, o ponto de maior cota da secção. Note que, caso o ponto E se tivesse determinado com o recurso ao plano tangente, a recta tangente à secção no ponto E seria uma recta horizontal (de nível) – seria a tangente horizontal (de nível) à secção. 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção, para o que é necessário determinar os planos tangentes ao cilindro que intersectam o plano γ (o plano secante) segundo rectas frontais (os planos tangentes ao cilindro que são paralelos a f γ). Dada a dimensão do desenho e a complexidade geral de que já se reveste a resolução gráfica apresentada, optou-se por não realizar graficamente esta etapa, se bem que se considere imprescindível para uma correcta determinação da figura da secção. Nesse sentido, aconselha-se ao estudante a execução dessa etapa, seguindo o exposto no relatório do exercício 492. Já temos cinco pontos da secção – A, B, C, D e E. 6. Atendendo a que os cinco pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método das geratrizes para determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. Em primeiro lugar, recorreu-se à geratriz do cilindro que, em projecção frontal, está coincidente com a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal, o que nos permite economizar traçado (já temos o plano projectante frontal da geratriz e a respectiva recta de intersecção com o plano γ – a recta i’). Determinou-se o ponto em que a recta i’ intersecta aquela geratriz, obtendo, assim, mais um ponto da figura da secção. Repetiu-se o processo acima exposto em relação à geratriz do cilindro que, em projecção frontal, está coincidente com a geratriz g’, o que nos permitiu determinar mais um ponto da secção. Em seguida, recorreu-se a mais duas geratrizes, de forma a colmatar a lacuna ao nível dos pontos da secção entre B e D – a geratriz que está coincidente, em projecção frontal, com o eixo do cilindro e uma outra geratriz. Por cada uma dessas duas geratrizes (cujas projecções frontais se desenharam, por necessidade imperiosa) se conduziu um plano auxiliar (paralelo aos planos α e α1) e determinaram-se as respectivas rectas de intersecção com o plano γ (essas rectas de intersecção estão definidas pelos respectivos traços frontais e pela sua direcção, pois são paralelas às rectas i e i’). Note que não se identificaram nem as geratrizes, nem os planos (de topo) que as contêm, nem as rectas de intersecção com o plano γ nem sequer os respectivos traços frontais, para não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Os nove pontos da secção já determinados permitem-nos um desenho relativamente preciso das duas curvas (a projecção frontal e a projecção horizontal da elipse). A figura da secção, em projecção horizontal, é tangente à geratriz mais de menor afastamento do contorno aparente horizontal no ponto D1. A figura da secção, em projecção frontal, é tangente à geratriz mais à direita do contorno aparente frontal no ponto C2 e é concordante (ou tangente) com a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal no ponto B2. Com esses pressupostos, desenharam-se as projecções da figura da secção, assinalando convenientemente as invisibilidades existentes. Em projecção horizontal, o segmento da elipse que tem extremos em B 1 e D1 é invisível, por se situar na parte invisível (em projecção horizontal) da superfície lateral do A B] é invisível, por se situar na base inferior o sólido (que é invisível em projecção horizontal). Em projecção cilindro. Também o segmento [A frontal, o segmento da elipse que tem extremos em B2 e C2 e passa por D2 e E2 é invisível, por se situar na parte invisível (em projecção frontal) da superfície lateral do cilindro.

500. Em primeiro lugar representaram-se o sólido, pelas suas projecções, e o plano α (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro. O plano α tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. Em seguida, efectuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano α no cilindro. 1. Em p r i me i r o l u g ar, identificou-se o tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano α no sólido. O plano α (que é um plano oblíquo) não é paralelo aos planos das bases (que são planos horizontais), pelo que a figura da secção não é um círculo. O plano α também não é paralelo ao eixo do cilindro, pelo que a secção produzida é uma e l i p s e (ou um segmento de elipse, caso o plano α corte qualquer das bases). Note que se omitiram os traçados que nos permitiram concluir que o plano α não é paralelo ao eixo do cilindro – as projecções de uma recta do plano α com uma das suas projecções paralela à projecção homónima do eixo do sólido (Critério de paralelismo entre planos e rectas). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta as bases do sólido ou não. A recta de intersecção do plano α com o plano da base inferior é hα – hα é tangente à base inferior do cilindro no ponto A , pelo que o plano α corta a base inferior do sólido no ponto A . O plano α não corta a base superior do cilindro, se bem que se tenham omitido os traçados referentes a essa conclusão – a recta de intersecção do plano α com o plano ν (o plano da base superior), que é exterior à base. A secção produzida pelo plano α no sólido é uma e l i p s e completa (que tem um ponto na base inferior – o ponto A ). 3. Em terceiro lugar, verificou-se se o plano α corta as geratrizes dos contornos aparentes, o que se processou com o recurso ao método geral da intersecção de rectas com planos (nem as geratrizes nem o plano secante são projectantes). A geratriz g é a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal, cuja projecção horizontal se desenhou imediatamente (a partir do ponto M). O plano γ é o plano (vertical) auxiliar que contém a geratriz g – o plano γ é o plano projectante (Continua na página seguinte) 242

SOLUÇÕES

horizontal da geratriz g. A recta i, definida pelos F e H) é a recta de intersecção do seus traços (F plano γ com o plano α (o plano secante). A recta i intersecta a geratriz g no ponto B – B é um ponto da secção (é o ponto em que o plano α corta a geratriz g) e é o ponto em que a projecção frontal da elipse será tangente à projecção frontal da geratriz g. A geratriz g’ é a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal, cuja projecção horizontal se desenhou imediatamente (a partir do ponto N). O plano γ1 é o plano (vertical) auxiliar que contém a geratriz g’ – o plano γ1 é o plano projectante horizontal da geratriz g’ (e é paralelo ao plano γ). A recta i’ é a recta de intersecção do plano γ1 com o plano α (o plano secante) – a recta i’ está definida pelo H’ ) e pela sua direcção seu traço horizontal (H (é paralela à recta i, pois os planos γ e γ1 são paralelos e o plano α corta os dois planos segundo duas rectas paralelas). A recta i’ intersecta a geratriz g’ no ponto C – C é mais um ponto da secção (é o ponto em que o plano α corta a geratriz g’) e é o ponto em que a projecção frontal da elipse será tangente à projecção frontal da geratriz g’. A geratriz j é a geratriz de maior afastamento do contorno aparente horizontal, cuja projecção frontal se desenhou imediatamente (a partir do ponto P). O plano δ é o plano (vertical) auxiliar que contém a geratriz j – o plano δ é o plano projectante horizontal da geratriz j (e é paralelo aos planos γ e γ1). A recta H’’) e pela sua a é a recta de intersecção do plano δ com o plano α (o plano secante) – a recta a está definida pelo seu traço horizontal (H direcção (é paralela às rectas i e i’, pois os planos γ, γ1 e δ são paralelos e o plano α cota os três planos segundo três rectas paralelas). A recta a intersecta a geratriz j no ponto D – D é mais um ponto da secção (é o ponto em que o plano α corta a geratriz j) e é o ponto em que a projecção horizontal da elipse será tangente à projecção horizontal da geratriz j. A geratriz j’ é a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal, cuja projecção frontal se desenhou imediatamente (a partir do ponto P’). O plano δ1 é o plano (vertical) auxiliar que contém a geratriz j’ – o plano δ1 é o plano projectante horizontal da geratriz j’ (e é paralelo aos planos γ, γ1 e δ). A recta a’ é a recta de intersecção do plano δ1 com o plano α (o plano secante) – a recta a’ está definida pelo seu traço horizontal (que não se identificou) e pela sua direcção (é paralela às rectas i, i’ e a, pois os planos γ, γ1, δ e δ1 são paralelos e o plano α corta os quatro planos segundo quatro rectas paralelas). A recta a’ intersecta a geratriz j’ no ponto E – E é mais um ponto da secção (é o ponto em que o plano α corta a geratriz j’) e é o ponto em que a projecção horizontal da elipse será tangente à projecção horizontal da geratriz j’. 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor cota da secção, para o que é necessário determinar os planos tangentes ao cilindro que intersectam o plano α segundo rectas horizontais (os planos tangentes ao cilindro que são paralelos a hα). Note que o ponto A , que é o ponto em que o plano α (o plano secante) corta a base inferior do sólido, é imediatamente o ponto de menor cota da secção. Há, então, que determinar o ponto de maior cota da secção. Optou-se por não recorrer ao plano definido por duas rectas concorrentes (uma recta paralela às geratrizes do cilindro e uma recta paralela às rectas horizontais do plano α), definindo, imediatamente, o plano tangente que nos interessa – o plano θ. O traço horizontal do plano θ é paralelo a hα e é tangente à base inferior do cilindro no ponto T – hθ é, imediatamente, a recta de intersecção do plano tangente com o plano da base de referência (a base inferior). Note que o facto de hθ ser paralelo a hγ nos garante, imediatamente, que os dois planos se intersectam segundo uma recta horizontal (de nível), que será a tangente à secção no seu ponto de maior cota. A geratriz g’’, definida por um ponto (o ponto T) e por uma direcção (é paralela ao eixo do cilindro) é a geratriz de contacto (ou de tangência) e é a geratriz na qual se situa o ponto de maior cota da secção. Não é necessária a determinação da recta de intersecção do plano secante com o plano tangente (a tangente à secção) – basta determinar o ponto em que o plano α (o plano secante) corta a geratriz g’’. Para tal, recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos (trata-se da intersecção entre uma recta não projectante e um plano não projectante). Note que g’’1 ≡ g’1. Assim, o plano auxiliar a que se recorreu é o próprio plano γ1 e a recta de intersecção deste plano com o plano α é a recta i’ – a recta i’ intersecta a geratriz g’’ no ponto R , que é, assim, o ponto de maior cota da secção. Note que, caso o ponto R se tivesse determinado com o recurso ao plano tangente, a recta tangente à secção no ponto R seria uma recta horizontal (de nível) – seria a tangente horizontal (de nível) à secção. 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção, para o que é necessário determinar os planos tangentes ao cilindro que intersectam o plano α (o plano secante) segundo rectas frontais (os planos tangentes ao cilindro que são paralelos a f α). Dada a dimensão do desenho e a complexidade geral de que já se reveste a resolução gráfica apresentada, optou-se por não realizar graficamente esta etapa, se bem que se considere i m p r e s c i n d í v e l para uma correcta determinação da figura da secção. Nesse sentido, aconselha-se ao estudante a execução dessa etapa, seguindo o exposto no relatório do exercício 492. Já temos seis pontos da secção – A, B, C, D, E e R. 6. Atendendo a que os seis pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método das geratrizes, para determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. Para tal, recorreu-se a um par de geratrizes, cujas projecções horizontais estão coincidentes – as geratrizes (Continua na página seguinte) 243

SOLUÇÕES

m e m’. Os pontos em que o plano α (o plano secante) corta estas geratrizes determinaram-se de forma semelhante à exposta para as geratrizes dos contornos aparentes, o que nos permitiu obter mais dois pontos da secção. Note que as geratrizes m e m’ permitiram-nos colmatar a lacuna, ao nível de pontos da secção, entre B e E e entre E e A . Recorreu-se a um outro par de geratrizes (cujas projecções horizontais estão coincidentes) para, de forma semelhante, colmatar a lacuna, ao nível de pontos da secção, entre R e D e entre C e D. Note que se omitiu a maior parte das notações referentes aos procedimentos referidos, caso contrário a resolução gráfica não teria leitura. Os dez pontos determinados permitiram-nos um desenho relativamente preciso das duas elipses que são as projecções da figura da secção. Note que a projecção horizontal da elipse é tangente às projecções horizontais das geratrizes do contorno aparente horizontal em D1 e E1. A projecção frontal da elipse, por sua vez, é tangente às projecções frontais das geratrizes do contorno aparente frontal em B 2 e em D2. Com esses pressupostos, desenharam-se as projecções da figura da secção e do sólido resultante da secção – a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o Plano Horizontal de Projecção. A parte desprezada do cilindro (a parte do cilindro que se situa acima do plano secante) representou-se a traço leve e a parte pretendida a traço forte. Note que o contorno aparente horizontal do sólido resultante da secção tem uma parte curva – o segmento de elipse compreendido entre D1 e E1, que passa por C1 e A 1. Note que o contorno aparente frontal do s ó l ido resultante da secção também tem uma parte curva – o segmento de elipse compreendido entre B 2 e C2, que passa por D2 e R 2. Note que têm de se verificar as concordâncias entre as partes remanescentes das geratrizes dos contornos aparentes e as respectivas partes curvas. A superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projecção horizontal, o que se assinalou convenientemente a tracejado, em ambas as projecções. Note que o plano α é um plano em tensão, pelo que a figura da secção é visível, apenas, em projecção horizontal.

501. Qualquer plano secante a uma esfera secciona a esfera segundo um c í r c u l o. Este pode variar entre um círculo máximo (caso o plano secante contenha o centro da esfera) e um ponto (que é um círculo com 0 cm de raio, no caso em que o plano seja tangente à esfera).

502. O centro do círculo (a figura da secção) é o ponto em que o plano secante corta o raio da esfera que é ortogonal ao plano secante – o centro do círculo situa-se, assim, numa recta que contém o centro da esfera e é ortogonal ao plano.

503. Em primeiro lugar representou-se a esfera, pelas suas projecções, e o plano secante, pelo seu traço frontal, em função dos dados. Uma vez que a esfera é tangente aos dois planos de projecção, sabe-se que o seu centro (o ponto O) tem 3,5 cm (o raio da esfera) de cota e de afastamento. As projecções da esfera desenharam-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício (que é o sólido resultante da secção). A secção produzida pelo plano ν na esfera é um c í r c u l o, que se projecta em V.G. no Plano Horizontal de Projecção, pois o plano secante é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção. O centro do círculo é o ponto Q, que é o ponto em que o plano ν (o plano secante) corta o raio vertical (ortogonal ao plano ν) da esfera. Para determinar o raio do círculo, determinou-se um dos pontos em que o plano ν corta o círculo máximo frontal da esfera (o contorno aparente frontal da esfera) – o ponto A . A figura da secção produzida pelo plano ν na esfera é o círculo com Q苶 A . Em seguida desenharam-se as projecções do sólido resultante da centro em Q e raio 苶 secção – a parte da esfera que se situa abaixo do plano secante (entre o plano secante e o Plano Horizontal de Projecção). A parte desprezada da esfera (a parte que se situa para cima do plano secante) representou-se a traço leve. A superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projecção horizontal, razão pela qual se identificou com tracejado.

504. Em primeiro lugar representaram-se o sólido, pelas suas projecções (ver relatório do exercício anterior), e o plano α (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. O plano secante contém um círculo máximo da esfera, pelo que passa necessariamente pelo centro da esfera. A secção produzida por α na esfera é um c í r c u l o (um círculo máximo, neste caso). Uma vez que o plano α contém o centro da esfera, o centro do círculo é o próprio centro da esfera e o seu raio é igual ao raio da esfera (3,5 cm). Ao contrário da situação anterior, a figura da secção não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano secante não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. A projecção horizontal da figura da secção será um segmento de recta (o plano secante é projectante horizontal) e a sua projecção frontal será uma elipse (note que, ao contrário das secções cónicas e cilíndricas, a projecção da figura é que é uma elipse e não a própria figura da secção). Em seguida, determinaram-se os pontos em que o plano α corta os contornos aparentes da esfera. O plano α corta o A 2B 2] será o eixo maior da elipse contorno aparente frontal da esfera nos pontos A e B (estão contidos no diâmetro vertical da esfera) e [A (que é a projecção frontal da figura da secção). O plano secante corta o contorno aparente horizontal da esfera nos pontos C e D (estão A B]). O segmento [C C2D2] será, assim, o eixo menor da elipse (que é a projeccontidos num diâmetro horizontal da esfera, perpendicular a [A ção frontal do círculo). O desenho da elipse (a projecção frontal da figura da secção) com alguma precisão requer um mínimo de oito pontos – já temos quatro pontos da figura. Optou-se pelo método do rebatimento, em função do rigor que proporciona, para a determinação de (Continua na página seguinte) 244

SOLUÇÕES

mais quatro pontos da curva. Assim, procedeu-se ao rebatimento do plano secante para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f α), obtendo Or, A r, B r, Cr e Dr. Em rebatimento, com centro em Or e 3,5 cm de raio, desenhou-se a circunferência em V.G. (que A B] e [C CD] são dois passa necessariamente por A r, B r, Cr e Dr ([A diâmetros da circunferência). Em rebatimento, determinaram-se mais quatro pontos da circunferência (os pontos Er, Fr, Gr e Hr) – estes pontos são os quatro pontos que, em conjunto com os outros quatro pontos já determinados, nos permitirão um desenho relativamente preciso da elipse. Inverteu-se o rebatimento, obtendo as projecções dos quatro pontos determinados. A partir das projecções frontais dos oito pontos, desenhou-se a elipse, que é a projecção frontal do círculo (a figura da secção) – note que a elipse é tangente ao contorno aparente frontal nos pontos A 2 e B 2. Em seguida, representou-se o sólido resultante da secção a traço forte e tracejou-se a superfície da figura da secção (a área do corte) em projecção frontal, por ser visível em projecção frontal. Sublinha-se que a elipse obtida é a projecção frontal do círculo, resultante da deformação inerente à projecção (o plano secante não é paralelo ao Plano Frontal de Projecção, pois, nesse caso, o círculo projectar-se-ia em V.G.).

505. Em primeiro lugar representaram-se o sólido, pelas suas projecções, e o plano θ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. A secção produzida por θ na esfera é um círculo, cujo centro é o ponto de intersecção do plano θ com o raio da esfera que é ortogonal a θ. O ponto Q é o ponto de intersecção do plano θ com o raio da esfera que é ortogonal ao plano θ – Q é o centro da igura da secção. A figura da secção não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano secante não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. A projecção frontal da figura da secção será um segmento de recta (o plano secante é projectante frontal) e a sua projecção horizontal será uma e l i p s e (um círculo deformado pela projecção). Em seguida, determinaram-se os pontos em que o plano θ corta os contornos aparentes da esfera – os pontos A e B são os pontos em que o plano θ corta o contorno aparente frontal da esfera (estão A 1B1] será o eixo menor da contidos numa recta frontal) e [A A 1B1], pelo que elipse. O eixo maior será perpendicular a [A A B] é um diâmetro do círcuserá de topo. Por outro lado, [A lo resultante da secção. O plano θ não corta o contorno aparente horizontal. Para a construção da elipse (a projecção horizontal da figura da secção), optou-se pelo método do rebatimento, em função do rigor que proporciona. Assim, procedeu-se ao rebatimento do plano secante, para a determinação, em rebatimento, dos pontos que nos permitem desenhar a elipse (o circulo deformado pela projecção). Rebateu-se o plano θ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hθ), obtendo Qr, A r e Br. Em rebatimento, desenhou-se a circunferência em V.G., com centro em Qr e passando A B] é um diâmetro da figura da secção). Ainda em rebatimento, determinou-se o diâmetro perpendicular a [A A B] (o diâpor A r e Br (note que [A CD]), cuja projecção horizontal será o eixo maior da elipse, bem como mais quatro pontos da circunferência – esses quatro pontos, em metro [C conjunto com os pontos A, B, C e D, são os oito pontos necessários a um desenho relativamente preciso da elipse. Inverteu-se o rebatimento, obtendo as projecções dos seis pontos assim determinados. A partir das projecções horizontais dos oito pontos, desenhou-se a elipse, que é a projecção horizontal do círculo (a figura da secção) – a elipse é invisível na sua totalidade, pois a curva situa-se, na sua totalidade, na parte invisível da superfície esférica.

245

SOLUÇÕES

506.

Em primeiro lugar representaram-se a esfera, pelas suas projecções, e o plano ϕ, pelo seu traço horizontal, em função dos dados. Note que não é possível, de forma imediata, determinar os traços do plano α. Uma vez que a esfera é tangente aos dois planos de projecção, sabe-se que o seu centro (o ponto O) tem 4 cm (o raio da esfera) de cota e de afastamento. As projecções da esfera desenharam-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício (que é o s ó l i d o r e s u l t a n t e d a s e c ç ã o). A secção produzida pelo plano ϕ na esfera é um c í r c u l o, que se projecta em V.G. no Plano Frontal de Projecção, pois o plano secante é paralelo ao Plano Frontal de Projecção. O centro do círculo é o ponto Q, que é o ponto em que o plano ϕ (o plano secante) corta o raio de topo (ortogonal ao plano ϕ) da esfera. Para determinar o raio do círculo, determinou-se um dos pontos em que o plano ϕ corta o círculo máximo horizontal da esfera (o contorno aparente horizontal da esfera) – o ponto A . A figura da secção produzida pelo plano ϕ na esfera é o círculo com centro em Q Q苶 A . O ponto A é um ponto do contorno aparente e raio 苶 horizontal da esfera e situa-se à esquerda do centro da esfera. O ponto A é um ponto do plano ϕ – o ponto A é, então, o ponto comum aos dois planos secante a que faz referência o enunciado. Este raciocínio permitiu-nos desenhar os traços do plano α. A secção produzida por α na esfera é um outro c í r c u l o, cujo centro é o ponto de intersecção do plano α com o raio da esfera que é ortogonal a α. O ponto Q’ é o ponto de intersecção do plano α com o raio da esfera que é ortogonal ao plano α – Q’ é o centro da figura da secção. Ao contrário da secção produzida na esfera pelo plano ϕ, a figura da secção produzida na esfera pelo plano α não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. A projecção horizontal da figura da secção será um segmento de recta (o plano secante é projectante horizontal) e a sua projecção frontal será uma e l i p s e (um círculo deformado pela projecção). Em seguida, determinaram-se os pontos em que o plano α corta os contornos aparentes da esfera – os pontos A e D A 2B 2] será o eixo são os pontos em que o plano α corta o contorno aparente horizontal da esfera (estão contidos numa recta horizontal) e [A A 2D2], pelo que será vertical. Por outro lado, [A A D] é um diâmetro do círculo resultante menor da elipse. O eixo maior será perpendicular a [A da secção. O plano α corta o contorno aparente frontal nos pontos B e C – a figura da secção será tangente ao contorno aparente frontal em B2 e C2. Para a construção da elipse (a projecção frontal da figura da secção), optou-se pelo método do rebatimento, em função do rigor que proporciona. Assim, procedeu-se ao rebatimento do plano secante, para a determinação, em rebatimento, dos pontos que nos permitem desenhar a elipse (o circulo deformado pela projecção). Rebateu-se o plano α para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f α), obtendo Q’r, A r AD] é um diâmetro da figue Dr. Em rebatimento, desenhou-se a circunferência em V.G., com centro em Q’r e passando por A r e Dr (note que [A AD] (o diâmetro [E EF]), cuja projecção frontal será o eixo ra da secção). Ainda em rebatimento, determinou-se o diâmetro perpendicular a [A maior da elipse, bem como mais quatro pontos da circunferência – esses quatro pontos, em conjunto com os pontos A , D, E e F, são os oito pontos necessários a um desenho relativamente preciso da elipse. Inverteu-se o rebatimento, obtendo as projecções dos seis pontos assim determinados. A partir das projecções frontais dos oito pontos, desenhou-se a elipse, que é a projecção frontal do círculo (a figura da secção), bem como as projecções do sólido resultante da secção – a parte da esfera que se situa entre os dois planos secantes (que é um «gomo» da esfera). Note que a elipse (a projecção frontal da secção produzida pelo plano α na esfera) é tangente ao contorno aparente frontal da esfera em B 2 e C2. O contorno aparente frontal do novo sólido (o sólido resultante da secção) integra uma parte da elipse (a parte compreendida entre B 2 e C2 que passa por A 2) e uma parte do círculo máximo frontal da esfera (a parte que se situa para a direita de B 2 e C2). O contorno aparente frontal desse sólido é, assim, constituído por um segmento de elipse e por um arco de circunferência. A parte desprezada da esfera (a parte que se situa para a frente do plano ϕ e a parte entre o plano α e o Plano Frontal de Projecção) representou-se a traço leve. A superfície da figura da secção (a área do corte) produzida pelo plano ϕ é visível em projecção frontal, razão pela qual se identificou com tracejado. Note que a figura da secção produzida pelo plano α é invisível em projecção frontal, pelo que não há lugar à execução de tracejado no que diz respeito a esta figura.

507. A BC], pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços e pelo ponto P, em Em primeiro lugar, representou-se o triângulo equilátero [A B C] do triângulo é necessariamente fronto-horizontal. Os dados do exercício permitiram-nos função dos dados. Em função dos dados, o lado [B concluir a construção da projecção horizontal do tetraedro – a projecção horizontal do vértice D (o quarto vértice do sólido) está coincidente com a projecção horizontal do centro do triângulo. Não é possível, de forma directa, determinar a cota de D, pois não se sabe a altura de um tetraedro – sabe-se, apenas, que todas as suas arestas têm o mesmo comprimento, sendo esse o raciocínio que suporta a construção das proAD], [B BD] e [C CD] medem todas 5 cm (a medida da aresta do tetraedro), mas nenhuma delas se projecções deste sólido. Assim, as arestas [A jecta em V.G. – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π, o plano de perfil que contém AD]. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi fπ – recta e), obtendo A r e a referência de Dr. Com o a aresta [A compasso, fazendo centro em A r e com 5 cm de raio, determinou-se Dr – invertendo o rebatimento, determinou-se a projecção frontal de D e (Continua na página seguinte) 246

SOLUÇÕES

concluiu-se a construção da projecção frontal do sólido (as projecções do sólido representaram-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para o objectivo do exercício – o sólido resultante da secção). Uma vez que o plano secante não é projectante, não é possível, de forma imediata identificar as arestas do sólido que são cortadas pelo plano secante, o que obriga a procedimentos auxiliares e à análise, aresta a aresta, das arestas que são cortadas pelo plano secante. Assim, começou-se por averiguar se o plano secante corta a face inferior A BC]). A recta de intersecção do plano ρ (o plano secante) do sólido (o triângulo [A A BC] é hρ (que é o próprio eixo X) – hρ não corta a face com o plano da face [A A BC] do tetraedro pelo que o plano ρ (o plano secante) não corta a face inferior [A AD] com do sólido. Em seguida, determinou-se o ponto de intersecção da aresta [A o plano ρ – para tal, recorreu-se ao método geral da intersecção de rectas com AD] nem o plano ρ são projectantes). O plano π, de perfil, planos (nem a aresta [A AD] (que é de perfil) – π é o plano projectante da é o plano que contém a aresta [A AD]. A recta i é a recta de intersecção de π com ρ – a recta i é necessaaresta [A riamente uma recta de perfil passante. Para definir a recta i já temos um ponto – o seu ponto de concorrência com o eixo X. Falta-nos outro ponto. Recorreu-se a uma recta m, fronto-horizontal, pertencente ao plano ρ e passando ponto P (o ponto que define o plano passante) – a recta m intersecta o plano π no ponto M que é, assim, um ponto comum aos dois planos. A recta i está, agora, definida por dois pontos – o seu ponto de concorrência com o eixo X e o ponto M. A deAD] tem de se procesterminação do ponto em que a recta i intersecta a aresta [A sar com o recurso a um processo geométrico auxiliar – recorreu-se ao rebatimento previamente efectuado do plano de perfil, rebatendo a recta i. A recta ir está definida por Mr e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo. A recta ir intersecta a aresta [A A rDr] no ponto R r – invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de R. Já temos um ponto da figura da secção. Em seguida, determinou-se a recta de ACD] (o plano ACD) com o plano secante – a recta i’. Para definir a recta i’ necessitamos de dois intersecção do plano que contém a face [A pontos ou um ponto e uma direcção. Já temos um ponto – R. R é um ponto que pertence ao plano ρ (pois pertence à recta i, que pertence ao plano ρ) e pertence ao plano ACD (pois pertence à recta AD, que pertence ao plano ACD). Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Recorreu-se à recta de intersecção do plano ACD com o Plano Horizontal de Projecção – a recta A C. A recta A C é concorrente com o eixo X (onde se situa o traço horizontal do plano ρ) num ponto comum aos dois planos – por esse ponto e por R1 conduziu-se i’1, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o plano ACD. A recta i’ é necessariamente uma recta passante (note que não é necessária a determinação de i’2, mas que passaria por R 2 e pelo ponto de concorrência de i’1 com o eixo X). Em projecção horizontal, determinou-se o ponto em que a recta CD] – o ponto S. A partir de S1, determinou-se S2 sobre a projecção frontal da aresta [C CD]. Já temos outro ponto da seci’ intersecta a aresta [C BD], teve-se em conta que a face [B B CD] do tetraedro está contida num plano de ção. Para determinar o ponto em que o plano ρ corta a aresta [B rampa – a recta de intersecção desse plano com o plano ρ é necessariamente uma recta fronto-horizontal que passa por S – esse raciocínio BD] que se situa na fronto-horizontal que passa por S. Já temos o terceiro ponto permitiu-nos determinar o ponto T, que é o ponto da aresta [B R, S e T), desenharam-se as projecções da figura da secção (o triânda secção. A partir das projecções dos três vértices da figura da secção (R RST], que não é equilátero, pois o plano ρ não é paralelo a nenhuma das faces do sólido) e do sólido resultante da secção (a parte do gulo [R tetraedro que está compreendida entre o plano secante e o Plano Horizontal de Projecção). Note que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido – a parte do sólido que é desprezada (a parte que se situa para cima do plano secante) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objectivo do exercício. Representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) do novo sólido (o sólido resultante da secção), bem como as respectivas invisibilidades. Atendendo a que a figura da secção (a superfície da figura, ou seja, a área do corte) é visível apenas em projecção horizontal, identificou-se a figura a tracejado (em projecção horizontal). Note que o plano ρ é um plano em tensão, o que justifica o facto de a figura da secção ser visível apenas numa das suas projecções.

508. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ν, passando por C, é o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide. Uma vez que se trata de uma pirâmide regular, sabe-se que O, o centro da circunferência circunscrita à base, se situa na projectante horizontal que passa por V, o que nos permite determinar as O1 ≡ V1) e concluir a construção das projecções da pirâmide. Uma vez que o plano secante é um plano projectante horiprojecções de O (O A B] e [A A C]) e duas arestas laterais (as arestas [B BV] e zontal, é possível concluir que o plano secante corta duas arestas da base (as arestas [A CV]) – a figura da secção tem, assim, quatro vértices (é um quadrilátero). O plano secante corta as arestas [A A B] e [A A C] da base nos pon[C tos R e U, respectivamente – estes pontos têm determinação imediata a partir das suas projecções horizontais, pois o plano secante é projectante horizontal (trata-se da intersecção de rectas não projectantes com um plano projectante). O plano secante corta a aresta lateral BV] no ponto S – este ponto tem igualmente determinação imediata a partir da sua projecção horizontal (e pelo mesmo motivo), pois o pla[B CV] (a aresta de perfil) no ponto T – a projecção horizontal deste ponto no secante é projectante horizontal. O plano π corta a aresta lateral [C determina-se imediatamente, o mesmo não acontecendo com a sua projecção frontal, pois as projecções de rectas de perfil não verificam o Critério de reversibilidade. O ponto T é, assim, o ponto «problemático» da secção. A determinação deste ponto processou-se com o recurso ao método dos plano s paralelos à base. No entanto, uma vez que os planos paralelos à base são planos horizontais (de nível), e não se conhece a projecção frontal de T mas, sim, a sua projecção frontal, não é possível, de forma imediata, conduzir, por T, um plano paralelo à base, à semelhança do efectuado no exercício 444. No entanto, com um raciocínio ligeiramente diferente, é possível recorrer a este processo. Consideremos um plano ν1, paralelo ao plano ν e passando por T, mas cuja cota se desconhece. Sabe-se que a secção produzida por esse plano na pirâmide é necessariamente um triângulo semelhante ao triângulo da base e de lados paralelos aos lados correspondentes do triânACV] da pirâmide segundo um segmento de recta paralelo a ao lado [A A C] do gulo da base. Assim, esse plano cortará, por exemplo, a face [A (Continua na página seguinte) 247

SOLUÇÕES

triângulo da base. Uma vez que o plano ν1 contém o ponto T, T será um extremo desse segmento. Assim, conduzindo, por T, uma paralela A 1C1], determinou-se um ponto M 1, sobre [A A 1V1]. O segmento [M M T] a [A é um lado da secção que o plano ν1 produz na pirâmide. M 2, a projecA 2V2], a ção frontal do ponto M, tem determinação imediata, sobre [A partir da sua projecção horizontal. Por M 2 já é possível conduzir o traço frontal do plano ν1 e, em seguida, determinar T2. A partir das projecções dos quatro vértices da figura da secção (a secção produzida pelo plano π na pirâmide), desenharam-se as suas projecções. Em projecção horizontal, a figura reduz-se a um segmento de recta, pois o plano secante (o plano π) é projectante horizontal. Já em projecção frontal, sendo pedida a figura da secção e não o s ó l i d o r e s u l t a n t e da secção (não houve desagregação do sólido), há que representar R S] da figuas invisibilidades existentes na figura da secção. O lado [R A B V] (que é invisível em projecção ra, que se situa na face lateral [A ST] e [T TU] da figura frontal), é invisível em projecção frontal. Os lados [S da secção são visíveis, por se situarem em faces visíveis em projecção B CV] e [A ACV], respectivamente). O lado [R R U] frontal (as faces laterais [B da figura, que está contido na base do sólido, não admite a representação de qualquer invisibilidade, pois a base é projectante frontal. Tenha em conta que a determinação do ponto T (o ponto «problemático» da secção) se poderia ter processado com o recurso ao rebatiCV]. No entanto, a mento do plano de perfil que contém a aresta [C resolução apresentada efectuou-se com maior economia de traçados do que essa opção permitiria. Para determinar a V.G. da figura da secção é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar, pois o plano π (o plano que contém a figura) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano π para o PlaR r Sr Tr Ur]. no Frontal de Projecção – a charneira foi f π. A V.G. da figura da secção está no quadrilátero [R

509. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços e pelo ponto P, em função dos daPQRSTU]. Uma vez que o plano secandos. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base da pirâmide, que é o hexágono regular [P te não é projectante, não é possível, de forma imediata identificar as arestas do sólido que são cortadas pelo plano secante, o que obriga a procedimentos auxiliares e à análise, aresta a aresta, das arestas que são cortadas pelo plano secante. Assim, começou-se por averiguar se o plano secante corta a base do sólido. Optou-se, em simultâneo, por averiguar se o plano ρ corta as arestas de perfil. Assim, pelas arestas de perfil conduziu-se um plano de perfil π e determinou-se a recta de intersecção do plano π com o plano ρ – a recta i. A recta i é uma recta de perfil passante – já temos um ponto para definir a recta (o seu ponto de concorrência com o eixo X). Necessitamos de outro ponto para definir a recta i. Para tal, recorreu-se a uma recta m, fronto-horizontal, pertencente ao plano ρ e passando por M. O ponto de intersecção da recta m com o plano π é o ponto M’. A recta i está, agora, definida por dois pontos – o seu ponto de concorrência com o eixo X e o ponto M’. RebateuPrVr] e [S SrVr]. A recta ir fica defi-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π – recta e). As arestas de perfil rebatidas são [P SrVr] no ponto A r, e não intersecta a nida por M’r e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo). A recta ir intersecta a aresta [S PrVr]. O ponto Ir, por outro lado, é, em rebatimento, o ponto em que a recta i intersecta a base da pirâmide. Invertendo o rebatimento, aresta [P determinaram-se as projecções de A e de I. A recta de intersecção do plano ρ (o plano secante) com o plano ϕ (o plano da base) é uma recta fronto-horizontal que passa por I – a recta i’, cujas projecções se desenharam imediatamente, passando pelas projecções homónimas do ponTU] e to I. A recta i’ corta a base da pirâmide nos pontos B e C – B e C são, respectivamente, os pontos em que o plano ρ corta as arestas [T QR] da base. Já temos três pontos da figura da secção – A B e C. O plano α é o plano vertical (projectante horizontal) que contém a face late[Q TUV] da pirâmide. A recta r é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ. A recta r é uma recta passante, que está definida por dois ral [T pontos – o ponto B e o seu ponto de concorrência com o eixo X. Note que B é um ponto que pertence ao plano ρ (pois pertence à recta i’, que é uma recta do plano ρ) e que pertence ao plano α (pois α é um plano projectante horizontal e a projecção horizontal de B situa-se sobre hα). A TV] no ponto D que é, assim, mais um ponto da secção. A recta r não intersecta a aresta [U UV], pelo que se conclui recta r intersecta a aresta [T UV]. O ponto G é o ponto de concorrência da recta r com a recta m (a sua determinação não se reveste de que o plano ρ não corta a aresta [U grande importância para a resolução do exercício). Já temos mais um ponto da secção – o ponto D. O plano γ é o plano vertical (projectante QRV] da pirâmide. A recta s é a recta de intersecção do plano γ com o plano ρ. A recta s é uma recta pashorizontal) que contém a face lateral [Q sante, que está definida por dois pontos – o ponto C é o seu ponto de concorrência com o eixo X. Note que C é um ponto que pertence ao plano ρ (pois pertence à recta i’, que é uma recta do plano ρ) e que pertence ao plano γ (pois γ é um plano projectante horizontal e a projecção RV] no ponto E que é, assim, mais um ponto da secção. A recta s não intersechorizontal de C situa-se sobre hγ). A recta s intersecta a aresta [R QV], pelo que se conclui que o plano ρ não corta a aresta [Q QV]. O ponto L é o ponto de concorrência da recta s com a recta m (a ta a aresta [Q sua determinação não se reveste de grande importância para a resolução do exercício). Já temos mais um ponto da secção – o ponto E. Já se UV], [P PV] e [Q QV], pelo que já estão determinados os cinco vértices da figura da secção (que é um sabe que o plano ρ não corta as arestas [U pentágono irregular). A partir das projecções dos cinco vértices da figura da secção, desenharam-se as suas projecções. Atendendo a que é pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção (não houve desagregação do sólido), há que representar as invisibilidades existentes na figura da secção. Em projecção frontal, uma vez que apenas a base é visível (as faces laterais são todas invisíveis em projecção B C] da figura da secção é visível (está contido na base da pirâmide) – os outros lados da figura da secção, porque esfrontal), apenas o lado [B TUV] e [Q QRV] e a base são projectantes tão contidos em faces laterais da pirâmide, são invisíveis. Em projecção horizontal, as faces laterais [T (Continua na página seguinte) 248

SOLUÇÕES

BD], [C CE] e [B B C] horizontais, pelos que os lados [B da figura da secção, porque estão contidos naquelas faces, não admitem a representação de quaisTSV] e [R R S V] quer invisibilidades. As faces laterais [T são invisíveis em projecção horizontal – os lados AD] e [A AE] da figura da secção, porque estão con[A tidos naquelas faces, também são invisíveis em projecção horizontal. Para determinar a V.G. da figura da secção é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar, pois o plano ρ (o plano que contém a figura) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ (que é o próprio eixo X). A r1 e o ponto A rebatido pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano ρ. Note que A r1 se rebateu a partir da medida do raio do seu arco do rebatimento, que já estava em V.G. no rebatimento do plano π. O ponto G rebateu-se pelo seu triângulo do rebatimento (ver exercício 173 e respectivo relatório). O ponto Lr situa-se na perpendicular à charneira que passa por L1 e na fronto-horizontal que passa por Gr. A recta rr fica definida por Gr e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo). Conduzindo, por B1 e D1, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se Br e Dr sobre rr. A recta sr fica definida por Lr e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo). Conduzindo, por C1 e E1, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se Cr e Er sobre sr. Note que Er e Cr se situam sobre as fronto-horizontais (em rebatimento) que passam por Dr e Br, respectivamente – no espaço, D e E situam-se na mesma recta fronto-horizontal, tal como B e C se situam na mesma recta fronto-horizontal. A V.G. da figura da secção está no pentágono irreA rDrBrCrEr]. gular [A

510. Em primeiro lugar representaram-se o cone, pelas suas projecções, e o plano secante, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X) e pelo ponto P, em função dos dados. Em seguida, efectuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano ρ no cone. 1. Em primeiro lugar, identificou-se o tipo de cónica gerada pela secção, que é uma elipse ou um segmento de elipse. Note que se omitiram os traçados referentes a esta etapa (o plano paralelo ao plano ρ que passa por V e a recta de intersecção desse plano com o plano da base). No entanto, é possível observar, de forma empírica, que o plano paralelo a ρ que passa por V (que é um plano de rampa) tem o seu traço frontal (a recta de intersecção com o plano da base) no SPFS, pelo que é exterior à base. 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta a base do sólido. O plano secante é tangente à base no ponto B, que é um ponto da secção – a figura da secção é uma elipse. 3. Em terceiro lugar, determinaram-se os pontos em que o plano ρ (o plano secante) corta os contornos aparentes. O plano ρ corta o contorno aparente frontal no ponto B já determinado. Para determinar os pontos em que o plano ρ corta as geratrizes do contorno aparente horizontal recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos (nem as geratrizes nem o plano secante são projectantes). O plano ν é o plano auxiliar a que se recorreu – o plano ν é um plano horizontal (de nível) e é o plano projectante frontal das duas geratrizes do contorno aparente horizontal. A recta de intersecção do plano ν com o plano ρ é uma recta fronto-horizontal – já temos a direcção da recta. Falta-nos um ponto. Recorreu-se a uma recta auxiliar do plano ρ, passando por P – a recta r, que é uma recta passante (é concorrente com o eixo X num ponto com abcissa nula). O plano ν corta a recta r no ponto R – a recta i (a recta de intersecção do plano ν com o plano ρ) é a recta fronto-horizontal que passa pelo ponto R. A recta i intersecta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal no ponto E e intersecta a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal no ponto F. E e F são mais dois pontos da secção e são os pontos em que a figura da secção, em projecção horizontal, será tangente às geratrizes do contorno aparente horizontal. 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor cota da secção. Para tal, é necessário determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos a hρ (que intersectam o plano secante segundo rectas horizontais que, neste caso, são fronto-horizontais) – os planos tangentes serão necessariaAV] e [B BV]). Assim, não é necessámente planos de rampa, que serão tangentes ao cone ao longo das suas geratrizes de perfil (as geratrizes [A ria a determinação dos planos tangentes – basta determinar os pontos em que o plano ρ corta aquelas geratrizes. O ponto B é o ponto em que BV] e é, assim, o ponto de menor cota da secção. Para determinar o ponto em que o plano ρ corta a geratriz [A AV], e o plano ρ corta a geratriz [B uma vez que se trata da intersecção entre uma recta e um plano não projectantes, há que recorrer ao método geral da intersecção entre rectas AV] (é o plano projectante da geratriz). A recta i’ é a recta de intersecção e planos. O plano π, de perfil, é o plano auxiliar que contém a geratriz [A entre o plano π e o plano ρ – a recta i’ é uma recta de perfil passante. Para definir a recta já temos um ponto – o seu ponto de concorrência (Continua na página seguinte) 249

SOLUÇÕES

com o eixo X. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Recorreu-se a uma recta auxiliar no plano ρ, passando por P – a recta m. O plano π corta a recta m no ponto P’ – a recta i’ está, assim, definida pelo ponto P’ e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X. O ponto de intersecção da recta i’ com a geAV] determinou-se com o recurso a um proratriz [A cesso geométrico auxiliar – o do rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π). Rebateu-se o plano, rebatendo A (que roda sobre si próprio, pois é um ponto da charneira), V e P’ – a recta i’r intersecta o segmento [A A r Vr] no ponto Cr. Inverteu-se o rebatimento, determinando as projecções de C – C é o ponto em que o plano ρ corta AV] e é o ponto de maior cota da secção. a geratriz [A Note que, caso o ponto C se tivesse determinado com o recurso ao plano tangente, a recta tangente à secção no ponto C seria uma recta horizontal (de nível) – seria a tangente horizontal (de nível). 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção. Uma vez que uma recta fronto-horizontal é, simultaneamente, um caso particular das rectas horizontais (de nível) e das rectas frontais (de frente), as tangentes horizontais (de nível) são simultaneamente as tangentes frontais (de frente) à curva da secção. Assim, conclui-se que o ponto C é, simultaneamente, o ponto de maior cota e maior afastamento da secção, tal como o ponto B é, simultaneamente, o ponto de menor cota e menor afastamento da secção produzida pelo plano ρ no cone. Já temos cinco pontos da secção – A, B, C, E e F. 6. Atendendo a que os quatro pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método dos planos paralelos à base para determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. Recorreu-se a dois planos frontais (de frente), distribuídos uniformemente pelo espaço entre os pontos E e F e a base do sólido. O plano ϕ é um plano frontal (de frente), paralelo à base. O plano ϕ corta o cone segundo uma circunferência (ver exercício 461) e intersecta o plano ρ (o plano secante) segundo uma recta fronto-horizontal (a recta i’’). Para determinar a recta i’’ determinou-se o ponto S, que é o ponto em que o plano ϕ intersecta a recta r (que é uma recta do plano ρ) – a recta i’’ é a recta fronto-horizontal que passa por S. A recta i’’ corta a circunferência (a secção que o plano ϕ produz no cone) em dois pontos (que não se identificaram) – já temos mais dois pontos da secção. O plano ϕ1 é o outro plano frontal (de frente) a que se recorreu, e a recta i’’’ é a recta de intersecção do plano ϕ1 com o plano ρ (é fronto-horizontal e passa pelo ponto T). O recurso ao plano ϕ1 permitiu-nos determinar mais dois pontos da secção. Os oito pontos determinados possibilitam um desenho relativamente preciso das projecções da curva. A projecção horizontal da elipse (a figura da secção) é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal, em projecção horizontal, no ponto E1 e tangente à geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal, em projecção horizontal, no ponto F1. Desenharam-se as projecções da figura da secção e do sólido resultante da secção – a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o plano da base. A parte desprezada do cone (a parte do cone que se situa entre o plano secante e o vértice) representou-se a traço leve e a parte pretendida a traço forte. Note que o contorno aparente horizontal do sólido resultante da secção tem uma parte curva – o segmento de elipse compreendido entre E1 e F1 e que passa por C1. Note que tem de se verificar uma concordância entre a parte remanescente das geratrizes do contorno aparente horizontal e o segmento da elipse. A superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projecção frontal, o que se assinalou com tracejado (a superfície do corte é invisível em projecção frontal, pois o plano ρ é um plano em tensão).

511. Em primeiro lugar representou-se o sólido, pelas suas projecções. O β1/3 (o plano secante) é um plano que não carece de representação. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do sólido. Em seguida, efectuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo β1/3 no cilindro. 1. Em primeiro lugar, identificou-se o tipo de cónica que é a secção produzida pelo β1/3 no sólido. O β1/3 (que é um plano de rampa passante) não é paralelo aos planos das bases (que são planos horizontais), pelo que a figura da secção não é um círculo. O β1/3 também não é paralelo ao eixo do cilindro, pelo que a secção produzida é uma elipse (ou um segmento de elipse, caso o β1/3 corte qualquer das bases). Note que se omitiram os traçados que nos permitiram concluir que o β1/3 não é paralelo ao eixo do cilindro – as projecções de uma recta do β1/3 com uma das suas projecções paralela à projecção homónima do eixo do sólido (Critério de paralelismo entre planos e rectas). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o β1/3 corta as bases do sólido ou não. A recta de intersecção do β1/3 com o plano da base inferior é o próprio eixo X, que é exterior à base inferior do cilindro – o β1/3 não corta a base inferior do sólido. Em seguida, determinou-se a recta de intersecção do β1/3 com o plano ν (o plano da base superior), a recta i. O plano ν é projectante frontal, pelo que i 2 (a projecção frontal da recta i) tem determinação imediata (está coincidente com o traço frontal do plano ν). A recta i é uma recta fronto-horizontal e, porque pertence ao β/3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X – este raciocínio permitiu-nos desenhar i 1. A recta i é secante à base superior do sólido nos pontos A e B – A e B são os pontos em que o β1/3 corta a base superior do sólido (a figura da secção é um segmento de elipse). 3. A terceira etapa consiste em verificar se o β1/3 corta os contornos aparentes do sólido – os pontos em que o β1/3 corta as geratrizes dos contornos aparentes. Para determinar o ponto em que o β1/3 corta a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal desenhou-se a sua projecção horizontal e recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos (nem a geratriz nem o β1/3 são projectantes). Assim, conduziu-se, pela geratriz, um plano α (que está representado apenas pelo seu

250

SOLUÇÕES

traço frontal, que se assinalou entre parêntesis), de topo – o plano α é o plano projectante frontal da geratriz. A recta a é a recta de intersecção do plano α com o β1/3 – a2 está sobre f α, pois o plano α é projectante frontal. A recta a tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X, (é uma recta do β1/3), o que nos permitiu desenhar em seguida a sua projecção horizontal. A recta a intersecta a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal no ponto C – C é mais um ponto da secção e é o ponto em que o β1/3 corta aquela geratriz (é o ponto no qual a projecção frontal da figura da secção será tangente à projecção frontal daquela geratriz). O plano δ é o plano auxiliar a que se recorreu para determinar o ponto de intersecção do β1/3 com a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal – o plano δ é paralelo ao plano α. Note que se desenhou imediatamente a projecção horizontal da geratriz. O plano δ (de topo) é o plano projectante frontal da geratriz e está representado apenas pelo seu traço frontal (que se assinalou entre parêntesis). A recta b é a recta de intersecção do plano δ com o β1/3 – b2 está sobre f δ, pois o plano δ é projectante frontal. A recta b tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X, (é uma recta do β1/3), o que nos permitiu desenhar a sua projecção horizontal (note que a recta b é paralela à recta a pois os planos α e δ são paralelos). A recta b intersecta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal no ponto D – D é mais um ponto da secção e é o ponto em que o β1/3 corta aquela geratriz (é o ponto no qual a projecção frontal da figura da secção será tangente à projecção frontal daquela geratriz). O ponto em que o β1/3 corta a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal (o ponto M) determinou-se de forma idêntica à acima exposta para as geratrizes do contorno aparente frontal – note que se omitiram todas as notações dos traçados efectuados para a determinar o ponto M. O ponto M é o ponto no qual a projecção horizontal da figura da secção será tangente à projecção horizontal da geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal. Em função da posição do β1/3 e do facto de o β1/3 cortar a base, infere-se que o β1/3 não corta a geratriz de maior afastamento do contorno aparente horizontal. 4. Em quarto lugar determinaram-se os pontos de maior e menor cota da secção. Para tal, é necessário determinar os planos tangentes ao cilindro que são paralelos ao eixo X (que intersectam o β1/3 segundo rectas horizontais que, neste caso, são fronto-horizontais) – os planos tangentes serão necessariamente planos de rampa. Os traços horizontais dos planos tangentes (as rectas de intersecção desses planos com o plano da base de referência – a base inferior) serão tangentes à base inferior nos pontos de maior e de menor afastamento da base. Tal raciocínio permitiu-nos não desenhar os traços horizontais dos planos tangentes e identificar, imediatamente, as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor cota da secção – as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor afastamento das bases do cilindro. Os pontos A e B (os pontos em que o β1/3 corta a base superior do cilindro) são necessariamente os pontos de maior cota da secção (que é um segmento de elipse) – o ponto de maior cota da elipse situa-se fora dos limites do sólido (seria o ponto em que β1/3 cortaria a geratriz que contém os pontos de maior afastamento das bases). Desenharam-se as duas projecções da geratriz que contém os pontos de menor afastamento das bases e determinou-se o ponto em que o β1/3 corta essa geratriz – o ponto E. Note que o ponto E se determinou de forma idêntica à acima exposta para as geratrizes do contorno aparente frontal – o plano γ é o plano auxiliar a que se recorreu (é um plano de topo paralelo aos planos α e δ – é o plano projectante frontal da geratriz) e a recta c é a recta de intersecção do plano γ com o β1/3. O ponto E é o ponto de menor cota da secção. 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção. Uma vez que uma recta fronto-horizontal é, simultaneamente, um caso particular das rectas horizontais (de nível) e das rectas frontais (de frente), as tangentes horizontais (de nível) são simultaneamente as tangentes frontais (de frente) à curva da secção. Assim, conclui-se que o ponto E é, simultaneamente, o ponto de menor cota e o ponto de menor afastamento da secção. O ponto de maior afastamento da secção (que seria o ponto de maior cota da secção) situa-se fora dos limites do sólido, como atrás se referiu. Já temos seis pontos da secção – A, B, C, D, E e M. 6. Atendendo a que os seis pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método das geratrizes, determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. Recorreu-se a mais três geratrizes do cilindro, que nos permitiram determinar mais três pontos da secção (de forma idêntica à exposta para a determinação dos pontos em que o β1/3 corta as geratrizes dos contornos aparentes). Note que se omitiram todas as notações referentes à determinação desses três pontos. Os nove pontos da secção já determinados permitem-nos um desenho relativamente preciso das duas curvas (a projecção frontal e a projecção horizontal do segmento de elipse). A figura da secção, em projecção horizontal, é tangente à geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal no ponto M1. A figura da secção, em projecção frontal, é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal no ponto D2 e é tangente à geratriz mais à direita do contorno aparente frontal no ponto C2. Desenharam-se as projecções da figura da secção e do sólido resultante da secção – a parte do sólido compreendida entre o β1/3 e o Plano Horizontal de Projecção. A parte desprezada do cilindro (a parte do cilindro que se situa acima do β1/3) representou-se a traço leve e a parte pretendida a traço forte. Note que o contorno aparente horizontal do sólido resultante da secção tem uma parte curva – o segmento de elipse compreendido entre M1 e B1. Note que o contorno aparente frontal do sólido resultante da secção tem duas partes curvas – o segmento de elipse compreendido entre D2 e A 2 e o segmento de elipse compreendido entre B2 e C2. Note que têm de se verificar as concordâncias entre as partes remanescentes das geratrizes dos contornos aparentes e as respectivas partes curvas. A superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projecção horizontal, o que se assinalou convenientemente a tracejado, em projecção horizontal. Note que o β1/3 é um plano em tensão, o que justifica facto de a figura da secção ser visível apenas numa das projecções.

251

SOLUÇÕES

21 S OMBRA S 512. A afirmação é verdadeira, pois quando um objecto é exposto a uma situação luminosa resulta uma sombra projectada sobre uma qualquer superfície. Essa sombra existe, precisamente, por haver uma superfície (plano de projecção) sobre a qual aquela se projecta, resultado da passagem, pelo objecto, de um feixe luminoso (feixe de rectas projectantes) oriundo de uma qualquer fonte luminosa (centro de projecção) – a sombra do objecto é, assim, a projecção do objecto nessa superfície. Assim sendo, temos: a fonte luminosa é o centro de projecção, os raios luminosos (ou raios luz/sombra) são as rectas projectantes e o plano onde se projecta a sombra é o plano de projecção.

513. Por sombra de um ponto num plano entende-se o ponto de intersecção do raio luminoso que passa pelo ponto com esse plano.

514. Por raio luminoso (ou raio luz/sombra) entende-se toda a recta que passa por uma fonte luminosa.

515. Por fonte luminosa entende-se todo o corpo que emite luz própria, ou seja, que emite radiações em forma de luz (que se propaga de forma rectilínea, ou seja, segundo rectas que são os raios luminosos).

516. A diferença entre foco luminoso e direcção luminosa é a distância da fonte luminosa em relação ao objecto (e à superfície sobre a qual se projecta a sombra) e a consequente posição relativa dos raios luminosos. Assim sendo, foco luminoso é a situação em que a fonte luminosa está situada a uma distância finita e em que os raios luminosos (ou raios luz/sombra) são rectas concorrentes entre si (no foco luminoso). Por outro lado, uma direcção luminosa é a situação em que a fonte luminosa está situada a uma distância infinita e em que os raios luminosos (ou raios luz/sombra), sendo concorrentes num ponto do infinito, são paralelos entre si.

517. Por direcção convencional da luz (ou direcção luminosa convencional) entende-se a direcção luminosa considerada ideal para as pessoas dextras escreverem, por não produzir sombra sobre a escrita – a luz provém de cima, da esquerda e de trás, e o seu ângulo de incidência com o plano da escrita (um plano horizontal) tem uma amplitude de cerca de 35o 26’ (que convencionalmente se representa por ϕ o).

518. Em primeiro lugar representou-se um raio luminoso (um raio luz/sombra) l, com a direcção luminosa convencional – esta faz ângulos de 45o (a.e.) em ambas as projecções, com o eixo X, pelo que l 2 e l 1 são as projecções de um qualquer raio luminoso. Por uma questão de economia de traçados, optou-se por representar um raio no espaluminoso passante. A direcção convencional da luz faz o mesmo ângulo (n ço) com os dois planos de projecção. Na situação apresentada, determinou-se o ângulo que o raio luminoso l faz com o Plano Frontal de Projecção. Esse ângulo está contido num plano de topo θ (o plano ortogonal ao Plano Frontal de Projecção que contém a recta l – o plano projectante frontal da recta l) e é o ângulo entre o raio luminoso l e a sua projecção ortogonal no Plano Frontal de Projecção, ou seja, é o ângulo entre o raio luminoso l e o traço frontal do plano θ (que é a projecção ortogonal de l no Plano Frontal de Projecção) – ver exercício 293. Determinou-se a V.G. da amplitude do ângulo rebatendo o plano de topo que contém o raio luminoso para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hθ. O ponto A foi o ponto a que se recorreu para rebater o raio luminoso l. O raio luminoso rebatido é l r, e está definido por dois pontos – A r e o seu ponto de concorrência com o eixo X, que é um ponto fixo (é um ponto da charneira). A V.G. da amplitude do ângulo que o raio luminoso l faz com o Plano Frontal de Projecção está no ângulo entre l r e f θr e representou-se com a notação convencional – ϕ o.

252

SOLUÇÕES

519. Por sombra projectada de um objecto num plano entende-se a região do plano na qual não incidem os raios luminosos, por terem sido interceptados pela superfície do objecto ou, de uma outra forma, a zona do plano onde os raios luz/sombra incidem em sombra, depois de terem sido interceptados pelo objecto (opaco) e se terem transformado em raios de sombra.

520. Por sombra própria de um objecto entende-se a parte (ou o conjunto das partes) do objecto na qual os raios luminosos não incidem (é a parte do objecto que se encontra sombreada).

521. Por sombra espacial entende-se a porção do espaço compreendida entre o objecto (a parte em sombra do objecto – a sombra própria do objecto) e a sua sombra projectada, ou seja, a porção do espaço em que os raios luz/sombra, por terem sido interceptados pelo objecto, estão em sombra.

522. Por sombra real de um ponto entende-se o ponto de intersecção do raio luminoso que passa pelo ponto com a primeira superfície opaca que encontra depois de passar pelo ponto – é a sombra existente do ponto.

523. Por sombra virtual de um ponto entende-se o ponto de intersecção do raio luminoso que passa pelo ponto com toda e qualquer superfície após originar a sombra real do ponto – é toda e qualquer sombra imaginária do ponto.

524. Em primeiro lugar representaram-se o ponto P e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Para determinar as sombras real e virtual do ponto P conduziu-se, por P, um raio luminoso l, que passa pelo foco luminoso L (está definido por dois pontos). Em seguida, determinaram-se os traços de l nos planos de projecção – o traço frontal situa-se no SPFS e o traço horizontal situa-se no SPHP. Atendendo a que as sombras reais se situam sempre no SPHA ou no SPFS, o traço frontal de l é, então, a sombra real de P (P Ps 2) e o traço horizontal de l é a sombra virtual de P (P Pv 1). Note que se omitiram as notações referentes às projecções que se situam no eixo X, por estas não serem necessárias.

525. Em primeiro lugar representou-se o ponto M, pelas suas projecções. Para determinar as sombras real e virtual de M conduziu-se, por M, um raio luminoso l, com a direcção luminosa dada (está definido por um ponto e uma direcção) – as projecções de l fazem, com o eixo X, os ângulos dados. Em seguida, determinaram-se os traços de l nos planos de projecção – o traço horizontal situa-se no SPHA e o traço frontal situa-se no SPFI. Atendendo a que as sombras reais se situam sempre no SPHA ou no SPFS, o traço horizontal de l é, então, a somM s 1) e o traço frontal de l é a sombra virtual de M (M M v 2). Note que bra real de M (M se omitiram as notações referentes às projecções que se situam no eixo X, por estas não serem necessárias.

253

SOLUÇÕES

526. Em primeiro lugar representou-se o ponto P, pelas suas projecções. Para determinar as sombras real e virtual de P conduziu-se, por P, um raio luminoso l, com a direcção luminosa dada (está definido por um ponto e uma direcção) – tratando-se da direcção convencional da luz, l faz, em ambas as projecções, ângulos de 45o (a.e.) com o eixo X. Em seguida, determinaram-se os traços de l nos planos de projecção – o traço frontal situa-se no SPFS e o traço horizontal situa-se no SPHP. Atendendo a que as sombras reais se situam sempre no SPHA ou no SPFS, o traço fronPs 2) e o traço horizontal de l é a sombra virtual de P (P Pv 1). tal de l é, então, a sombra real de P (P Note que se omitiram as notações referentes às projecções que se situam no eixo X, por estas não serem necessárias.

527. Em primeiro lugar, representou-se o ponto A, pelas suas projecções. Para determinar a sombra real de A conduziu-se, por A , um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz, que faz ângulos de 45o com o eixo X em ambas as projecções, de abertura para a esquerda). Em seguida, determinou-se o primeiro traço da recta que, neste caso, é o traço horizontal de l – A s 1 é o traço horizontal de l e é a sombra real de A , pois situa-se no SPHA. O ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção e a sombra real de A é o próprio ponto A , que está coincidente com a sua projecção horizontal. Conclusão: a sombra real de qualquer ponto do Plano Horizontal de Projecção está coincidente com o próprio ponto, ou seja, que está coincidente com a projecção horizontal do ponto.

528. Em primeiro lugar representou-se o ponto B pelas suas projecções. Para determinar a sombra real de B conduziu-se, por B, um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz, que faz ângulos de 45o com o eixo X em ambas as projecções, de abertura para a esquerda). Em seguida, determinou-se o primeiro traço da recta que, neste caso, é o traço frontal de l – B s 2 é o traço frontal de l e é a sombra real de B, pois situa-se no SPFS. O ponto B é um ponto do Plano Frontal de Projecção e a sombra real de B é o próprio ponto B, que está coincidente com a sua projecção frontal. Conclusão: a sombra real de qualquer ponto do Plano Frontal de Projecção está coincidente com o próprio ponto, ou seja, que está coincidente com a projecção frontal do ponto.

529.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos M e N e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Por M conduziu-se um raio luminoso l (que passa por L e está, assim, definido por dois pontos) e determinou-se o primeiro traço da recta que, neste caso, é o traço horizontal – M s 1 é o traço horizontal de l e é a sombra real de M, pois situa-se no SPHA. A sombra real de M está, assim, coincidente com o próprio ponto M (que está coincidente com a sua projecção horizontal). Por N conduziu-se um raio luminoso l’ (que passa por L e está também definido por dois pontos) e determinou-se o primeiro traço da recta que, neste caso, é o traço frontal – Ns2 é o traço frontal de l’ e é a sombra real de N, pois situa-se no SPFS. A sombra real de N está, assim, coincidente com o próprio ponto N (que está coincidente com a sua projecção frontal). Comparação com os dois exercícios anteriores: a sombra de um ponto do Plano Horizontal de Projecção está coincidente com o próprio ponto, quer se trate de uma direcção luminosa quer se trate de um foco luminoso, tal como a sombra de um ponto do Plano Frontal de Projecção está coincidente com o próprio ponto, quer se trate de uma direcção luminosa quer se trate de um foco luminoso.

254

SOLUÇÕES

530. Em primeiro lugar representou-se o ponto R , pelas suas projecções. O ponto R tem coordenadas iguais e projecções simétricas em relação ao eixo X, pois é um ponto do β1/3. Para determinar as sombras real e virtual de R conduziu-se, por R , um raio luminoso l, com a direcção luminosa dada (está definido por um ponto e uma direcção) – tratando-se da direcção convencional da luz, l faz, em ambas as projecções, ângulos de 45o (a.e.) com o eixo X. Em seguida, determinaram-se os traços de l nos planos de projecção – uma vez que o raio luminoso l é uma recta passante, os dois traços da recta estão coincidentes no ponto de concorrência do raio luminoso l com o eixo X. Assim, a sombra real de R (R R s) está coincidente com a sua sombra virtual (R R v). Note que o raio luminoso l que passa pelo ponto R intersecta ambos os planos de projecção no eixo X, pelo que a sua sombra (que é simultaneamente real e virtual e, por isso mesmo, se representa por R s ≡ R v, mas que também se poderia representar apenas por R s) se situa no eixo X. Esta situação deve-se ao facto de o ponto R se situar no β1/3, tal como o próprio raio luminoso que por ele passa.

531. Em primeiro lugar representou-se o ponto G, pelas suas projecções. Para determinar as sombras real e virtual de G conduziu-se, por G, um raio luminoso l e determinaram-se os seus traços nos planos de projecção. Gs 1 é a sombra real de G e é o traço horizontal de l – Gs 1 situa-se no SPHA. O raio luminoso l é uma recta frontal (de frente), pelo que não intersecta o Plano Frontal de Projecção, pois é paralelo a este (uma recta frontal não tem traço frontal) – não existe sombra virtual de G. No entanto, numa abordagem mais correcta e mais científica, o raio luminoso l intersecta realmente o Plano Frontal de Projecção num ponto do infinito – assim, a sombra virtual de G situa-se no infinito, no ponto de intersecção de l com o Plano Frontal de Projecção.

532. Por sombra real de um segmento de recta entende-se a sombra projectada do segmento das faces do 1o Diedro, ou seja, no SPHA e/ou no SPHP.

533. A B], pelas suas projecções, em função Em primeiro lugar representou-se o segmento [A dos dados. Em seguida, conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luminosos com a direcção convencional da luz (que faz ângulos de 45o com o eixo X em ambas as projecções, de abertura para a esquerda) e determinaram-se as sombras reais dos extremos do segmento – l é o raio luminoso que passa por A e A s 2 é a somA s 2 é o traço frontal de l e situa-se no SPFS), enquanto que l’ é o raio bra real de A (A Bs2 é o traço frontal de l’ e situaluminoso que passa por B e Bs2 é a sombra real de B (B -se igualmente no SPFS). As sombras reais dos dois extremos do segmento situam-se no mesmo plano de projecção (no S P F S ), pelo que a sombra do segmento n ã o admite a existência de pontos de quebra. A sombra do segmento [A A B] é o segmento A s2Bs2], que se situa, na sua totalidade, no SPFS. Ao nível da expressividade, de recta [A note que tanto o segmento de recta dado como a sua sombra (que é pedida) deverão ter a mesma expressividade, pois nos exercícios de sombras o que se pretende é o resultado final, ou seja o conjunto do objecto e da sombra que ele produz. Assim, tanto o segmento dado como a sua sombra deverão ser representados a traço forte.

255

SOLUÇÕES

534. CD], pelas suas projecções, em Em primeiro lugar representou-se o segmento [C função dos dados. Em seguida, conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luminosos com a direcção convencional da luz (que faz ângulos de 45o com o eixo X em ambas as projecções, de abertura para a esquerda) e determinaram-se as sombras reais dos extremos do segmento – l é o raio luminoso que Cs 1 é o traço horizontal de l e situa-se passa por C e Cs 1 é a sombra real de C (C no SPHA), enquanto que l’ é o raio luminoso que passa por D e Ds 1 é a sombra Ds 1 é o traço horizontal de l’ e situa-se igualmente no SPHA). As somreal de D (D bras reais dos dois extremos do segmento situam-se no mesmo plano de projecção (no SPHA), pelo que a sombra do segmento não admite a existência de C D ] é o segmento de recta pontos de quebra. A sombra do segmento [C Cs 1Ds 1], que se situa, na sua totalidade, no SPHA. Ao nível da expressividade, [C note que tanto o segmento de recta dado como a sua sombra são representados a traço forte.

535. M N], pelas suas projecEm primeiro lugar representou-se o segmento [M ções, em função dos dados. Note que, neste exercício, é expressamente MN] no Plano Horizontal de Propedida a sombra do segmento de recta [M jecção, pelo que não se trata de determinar a sombra real do segmento mas, sim, considerar que o Plano Frontal de Projecção não existe e, por isso, a sombra do segmento existe no Plano Horizontal de Projecção, na sua totalidade, independentemente de se situar no SPHA ou no SPHP. Assim sendo, conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luminosos com a direcção convencional da luz (que faz ângulos de 45o com o eixo X em ambas as projecções, de abertura para a esquerda) e determinaram-se as sombras dos extremos do segmento no Plano Horizontal de Projecção – l é o raio luminoso que passa por M e Ms1 é o traço horizontal de l (M Ms1 é a sombra real de M, pois situa-se no SPHA), enquanto que l’ é o raio luminoNv1 é a sombra virtual so que passa por N e Nv1 é o traço horizontal de l’ (N Ms1Nv1] é, pois, a sombra do de N, pois situa-se no SPHP). O segmento [M MN] no Plano Horizontal de Projecção. Note que a parte da segmento [M sombra que se situa entre o eixo X e Nv1 se situa no SPHP e, por isso, corresponderia à parte virtual da sombra do segmento.

536. MN], pelas suas projecções, em Em primeiro lugar representou-se o segmento [M função dos dados. Note que, neste exercício, é expressamente pedida a sombra MN] no Plano Frontal de Projecção, pelo que não se trata do segmento de recta [M de determinar a sombra real do segmento mas, sim, considerar que o Plano Horizontal de Projecção não existe e, por isso, a sombra do segmento existe no Plano Frontal de Projecção, na sua totalidade, independentemente de se situar no SPFS ou no S P F I. Assim sendo, conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luminosos com a direcção convencional da luz e determinaram-se as sombras dos extremos do segmento no Plano Frontal de Projecção – l é o raio luminoso que M v 2 é a sombra virtual de M, pois situa-se passa por M e M v 2 é o traço frontal de l (M no SPFI), enquanto que l’ é o raio luminoso que passa por N e Ns2 é o traço frontal Ns 2 é a sombra real de N, pois situa-se no SPFS). O segmento [M M v 2Ns 2] é, de l’ (N MN] no Plano Frontal de Projecção. Note que a pois, a sombra do segmento [M parte da sombra que se situa entre M v 2 e o eixo X se situa no SPFI e, por isso, corresponderia à parte virtual da sombra do segmento.

256

SOLUÇÕES

537. MN], pelas suas projecEm primeiro lugar representou-se o segmento [M ções, em função dos dados. Note que, neste exercício, é expressamente MN], pelo que se está a pedida a sombra real do segmento de recta [M considerar a sombra que existe exclusivamente no espaço do 1o Diedro, ou seja, a sombra existente no SPHA e/ou no SPFS (as faces do 1o Diedro). Determinaram-se, então, as s o m b r a s r e a i s de M e N – l é o raio luz/sombra que passa por M e M s 1 é a sombra real de M (situa-se no SPHA) e l’ é o raio luz/sombra que passa por N e Ns 2 é a sombra real de N (situa-se no SPFS). As sombras reais dos dois extremos do segmento situam-se em planos distintos, pelo que a s o m b r a r e a l do segmento MN] admite necessariamente um ponto de quebra, ou seja, um ponto [M situado no eixo X – esse será o ponto a partir do qual a sombra do segmento deixa de estar numa das faces do 1o Diedro e passa a estar noutra face do 1o Diedro. O ponto de quebra é, assim, um ponto comum às sombras que o segmento produz nos dois planos de projecção. Atendendo aos dois exercícios anteriores, observa-se que a sombra do segmento no Plano Horizontal de Projecção (exercício 535) e a sombra do segmento no Plano Frontal de Projecção (exercício 536) intersectam o eixo X no mesmo ponto – esse ponto, que é o ponto comum às duas sombras, é precisamente o ponto de quebra. Assim, para o determinar bastará determinar a sombra que o segmento produz num dos dois planos de projecção. Optou-se por determinar a sombra do segmento no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 535). O ponto em que o segM s 1Nv 1] intersecta o eixo X é o ponto de quebra – Q. O segmento [M M s 1Q] é a sombra real do segmento [M MN] no Plano Horizontal mento [M QNs 2] é a s o m b r a r e a l do segmento [M M N] no Plano Frontal de Projecção (situa-se no de Projecção (situa-se no S P H A). O segmento [Q MN] nos planos de projecção. SPFS). A linha quebrada [M M s 1QNs 2] é, assim, a sombra real do segmento [M

538. A B] e o foco luminoso L , pelas Em primeiro lugar representou-se o segmento [A respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luminosos (que passam pelo foco luminoso L) e determinaram-se as sombras reais dos extremos do segmento – l é o raio luminoso A s 1 é o traço horizontal de l e situaque passa por A e A s 1 é a sombra real de A (A -se no SPHA), enquanto que l’ é o raio luminoso que passa por B e B s 1 é a somB s 1 é o traço horizontal de l’ e situa-se igualmente no SPHA). As bra real de B (B sombras reais dos dois extremos do segmento situam-se no mesmo plano de projecção (no SPHA), pelo que a sombra do segmento não admite a existência de A B] é o segmento de recta [A A s 1B s 1], pontos de quebra. A sombra do segmento [A que se situa, na sua totalidade, no SPHA.

539.

A B], pelas suas projecEm primeiro lugar representou-se o segmento [A ções, em função dos dados. Em seguida, conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luminosos (com a direcção luminosa dada) e determinaram-se as sombras reais dos extremos do segmento – l é o A s1 é o traraio luminoso que passa por A e A s1 é a sombra real de A (A ço horizontal de l e situa-se no SPHA), enquanto que l’ é o raio luminoB s 1 é o traço so que passa por B e B s 1 é a sombra real de B (B horizontal de l’ e situa-se igualmente no SPHA). As sombras reais dos dois extremos do segmento situam-se no mesmo plano de projecção (no SPHA), pelo que a sombra do segmento não admite a existência A B] é o segmento de de pontos de quebra. A sombra do segmento [A A s 1B s 1], que se situa, na sua totalidade, no SPHA. recta [A

257

SOLUÇÕES

540. A B], pelas suas projecções, em função Em primeiro lugar representou-se o segmento [A dos dados. Em seguida, conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luz/sombra (com a direcção luminosa dada) e determinaram-se as sombras reais dos extremos do A s2 é o traço segmento – l é o raio luminoso que passa por A e A s2 é a sombra real de A (A frontal de l e situa-se no SPFS), enquanto que l’ é o raio luminoso que passa por B e Bs1 é Bs1 é o traço horizontal de l’ e situa-se no SPHA). As sombras reais a sombra real de B (B dos dois extremos do segmento situam-se em planos distintos, pelo que a sombra real do A B] admite necessariamente um ponto de quebra, ou seja, um ponto situado segmento [A no eixo X – o ponto a partir do qual a sombra do segmento deixa de estar numa das faces do 1o Diedro e passa a estar noutra face. O ponto de quebra é, assim, um ponto comum às sombras que o segmento produz nos dois planos de projecção. Para determinar o ponto de quebra da sombra recorreu-se à sombra do segmento no Plano Horizontal de Projecção, para o que se determinou a sombra virtual de A – A v1 é a sombra virtual de A (situaBs1A v1] intersecta -se no SPHP) e é o traço horizontal de l. O ponto em que o segmento [B o eixo X é o ponto de quebra – Q (que não se identificou, por não ser necessário). O segBs1Q] é a sombra real do segmento [A A B] no Plano Horizontal de Projecção (situamento [B QAs2] é a sombra real do segmento [A A B] no Plano Frontal -se no SPHA) e o segmento [Q Bs1QAs2] é, assim, a sombra real do de Projecção (situa-se no SPFS). A linha quebrada [B A B] nos planos de projecção. Sublinha-se que, apesar de se fazer referência segmento [A ao ponto Q (o ponto de quebra da sombra), este não se identificou, tanto por não ser necessário, como para não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Esta última justificação, apesar de não ser tão relevante neste exercício (que possui pouco traçado), adquirirá maior importância em exercícios de maior complexidade, em que seja necessário determinar diversos pontos de quebra.

541.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do R S], em função dos dados. De forma imesegmento [R diata, sobre o segmento conhece-se apenas um dos seus extremos (o ponto R ) e a direcção da sua projecção horizontal. Por outro lado, é dado o comprimento do segmento, mas este não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois é oblíquo a ambos. Assim, é necessário desenhar o segmento em V.G., em primeiro lugar, para depois se determinarem as suas projecções. Para tal é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano projectante horizontal do segmento (plano α) – note que o único plano que é possível conduzir pelo segmento é n e c e s s a r i a m e n t e o plano projectante horizontal do segmento, em função dos dados que possuímos. Rebateu-se o plano α para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f α), obtendo R r . Como S tem cota nula (é dado), sabe-se que S é um ponto do traço horizontal do plano, pelo que Sr terá de estar sobre hαr. Com o recurso ao compasso, fazendo centro em R r e com raio igual a 8 cm (o comprimento do segmento), determinou-se Sr sobre o eixo X (onde se siR r Sr] (que é o segmento [R R S] em rebatimento). Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projecções de S e tua hαr), obtendo o segmento [R R S]. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de R e S. S é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, pelo que a do segmento [R sua sombra real está coincidente com o próprio ponto (ver exercícios 527 e 529) – S1 ≡ Ss 1. R s 2 é a sombra real de R e é o traço frontal do raio luz/sombra l que passa por R . As sombras reais de R e S situam-se em planos distintos, pelo que a sombra do segmento admite a exisR S] determinou-se com o recurso à tência um ponto de quebra (ver exercício 535 e respectivo relatório). O ponto de quebra da sombra de [R R S] no Plano Horizontal de Projecção. A linha quebrada que tem extremos em Ss 1 e R s 2 e um sombra virtual de R e à sombra do segmento [R R S]. vértice no eixo X é a sombra real do segmento [R

258

SOLUÇÕES

542. A B], pelas suas projecções, em função dos Em primeiro lugar representou-se o segmento [A A B] é um segmento horizontal (de nível), pelo que é paralelo ao Plano Horizontal de dados – [A Projecção. Em seguida conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luminosos e determinaram-se as sombras reais dos extremos do segmento – A s 1 é a sombra real de A (é o traço horizontal do raio luz/sombra l que passa por A ) e B s 1 é a sombra real de B (é o traço horizontal do raio luz/sombra l’ que passa por B). A s 1 situa-se no SPHA, tal como B s 1 – uma vez que as sombras reais dos dois extremos do segmento se situam no mesmo plano (no SPHA), a A s1Bs1] é a sombra real sombra do segmento não admite a existência de pontos de quebra. [A A B] e existe, na totalidade, no SPHA. Conclusão: a sombra projectada no Plano Horizontal de [A de Projecção de qualquer segmento de recta paralelo ao Plano Horizontal de Projecção é paralela ao próprio segmento (e à sua projecção horizontal). Esta conclusão encontra a sua justificação no plano luz/sombra que contém o segmento. De facto, a sombra de um qualquer de segmento no Plano Horizontal de Projecção está no traço horizontal do plano luz/sombra que o contém (a recta de intersecção do plano luz/sombra que contém o segmento com o Plano Horizontal de Projecção). Tendo em conta que rectas horizontais (de nível) de um plano são todas paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, qualquer segmento de recta horizontal (de nível) é necessariamente paralelo à sua sombra no Plano Horizontal de Projecção.

543.

CD], pelas suas projecções, em função Em primeiro lugar representou-se o segmento [C CD] é um segmento frontal (de frente), pelo que é paralelo ao Plano Frontal dos dados – [C de Projecção. Em seguida, conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luminosos (com a direcção luminosa dada) e determinaram-se as sombras reais dos extremos do segmento – Cs 2 é a sombra real de C (é o traço frontal do raio luz/sombra l que passa por C) e Ds 2 é a sombra real de D (é o traço frontal do raio luz/sombra l’ que passa por D). Cs 2 situa-se no SPFS, tal como Ds 2 – uma vez que as sombras reais dos dois extremos do segmento se situam no mesmo plano (no SPFS), a sombra do segmento não admite Cs2Ds2] é a sombra real de [C CD] e existe, na totalidade, a existência de pontos de quebra. [C no SPFS. Conclusão: a sombra projectada no Plano Frontal de Projecção de qualquer segmento de recta paralelo ao Plano Frontal de Projecção é paralela ao próprio segmento (e à sua projecção frontal). Esta conclusão encontra a sua justificação no plano luz/sombra que contém o segmento. De facto, a sombra de um qualquer de segmento no Plano Frontal de Projecção está no traço frontal do plano luz/sombra que o contém (a recta de intersecção do plano luz/sombra que contém o segmento com o Plano Frontal de Projecção). Tendo em conta que rectas frontais (de frente) de um plano são todas paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, qualquer segmento de recta frontal (de frente) é necessariamente paralelo à sua sombra no Plano Frontal de Projecção.

544. Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do segmento, em função do seu R S] é horizontal (de nível), pelo que se projecta comprimento. O segmento de recta [R em V.G. no Plano Horizontal de Projecção. Assim, sobre a projecção horizontal da recta suporte do segmento (a recta h), representaram-se os 7 cm (o comprimento do segmento) a partir de R 1, obtendo as projecções de S e do segmento. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos dois extremos do segmento, que R s 2 é a sombra real de R e situa-se no SPFS e Ss 1 é se situam em planos distintos (R a sombra real de S e situa-se no SPHA) – a sombra do segmento admite um ponto de quebra. Este poder-se-ia ter determinado com o recurso à sombra virtual de qualquer dos dois extremos do segmento (ver exercício 537), mas, em função das conclusões extraídas a partir do exercício 542, optou-se por um processo mais simR S] é horizontal (de níples e com menos traçado. Atendendo a que o segmento [R vel), a sua sombra no Plano Horizontal de Projecção é paralela ao segmento. Assim, por Ss 1 conduziu-se uma paralela ao segmento até ao eixo X, onde se situa QSs 1] é a sombra real do segmento [R R S] no o ponto de quebra Q. O segmento [Q R s 2 Q] é a Plano Horizontal de Projecção (e é paralela ao segmento). O segmento [R R S] no Plano Frontal de Projecção. A linha quebrada sombra real do segmento [R R s 2QSs 1] é a sombra real do segmento. [R 259

SOLUÇÕES

545. MN], em função do Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do segmento [M MN] é frontal (de frente), pelo que se projecta seu comprimento. O segmento de recta [M em V.G. no Plano Frontal de Projecção. Assim, conhecendo-se a abcissa do ponto N, representou-se previamente a sua linha de chamada. Em seguida, com o recurso ao compasso, fazendo centro em M 2 e com 8 cm de raio (o comprimento do segmento), obteve-se a projecção frontal de N (na linha de chamada de N), bem como a projecção frontal do segmento (a sua projecção horizontal já tinha sido determinada em função dos dados). Em seguida, considerando a direcção convencional da luz, determinaram-se as sombras reais dos dois extremos do segmento, que se situam em planos distintos M s 1 é a sombra real de M e situa-se no SPHA e Ns 2 é a sombra real de N e situa-se no (M SPFS) – a sombra do segmento admite um ponto de quebra. Este poder-se-ia ter determinado com o recurso à sombra virtual de qualquer dos dois extremos do segmento (ver exercício 537), mas, em função das conclusões extraídas a partir do exercício 543, optou-se por um processo semelhante ao exposto no relatório do exercício anterior. MN] é frontal (de frente), a sua sombra no Plano Frontal Atendendo a que o segmento [M de Projecção é paralela ao segmento. Assim, por Ns 2 conduziu-se uma paralela ao segmento até ao eixo X, onde se situa o ponto de quebra, desenhando-se, em seguida, a linha quebrada que é a sombra real do segmento (ver relatório do exercício anterior).

546.

Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do foco luminoso L, em função MN], em função do seu comprimento (ver dos dados, e as projecções do segmento [M relatório do exercício anterior). Em seguida, conduzindo, pelo extremos do segmento, os raios luminosos que por eles passam (e que passam por L), determinaram-se as suas sombras reais, que se situam em planos distintos, pelo que a sombra do segmento admite um ponto de quebra. Assim, e uma vez que a situação é semelhante à do exercício anterior, sugere-se o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório do exercício anterior.

547. A B], em função do seu comprimento. O Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do segmento [A A B] é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que se projecta em V.G. no Plano segmento de recta [A Horizontal de Projecção. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos dois extremos do segmento, A s 2 é a sombra real de A e situa-se no SPFS e Bs 1 é a sombra real de B que se situam em planos distintos (A e situa-se no SPHA) – a sombra do segmento admite um ponto de quebra. Este poderia ter sido determinado com o recurso à sombra virtual de qualquer dos dois extremos do segmento (ver exercício 537), mas optou-se por uma resolução semelhante à exposta para o exercício 544. Atendendo a que uma recta de topo é um caso particular das rectas horizontais (de nível), sabe-se que a sombra projectada do segmento no Plano Horizontal de Projecção será paralela ao segmento. Assim, por Bs 1 conduziu-se uma paralela ao segmento até ao eixo X, onde se situa o ponto de quebra. O segmento de recta que tem um extremo em Bs 1 e outro no ponto de quebra é a sombra real de [A A B] no Plano Horizontal de Projecção. O segmento de A B] no Plano Frontal de recta que tem um extremo em A s 2 e outro no ponto de quebra é a sombra real de [A Projecção. Note que, atendendo a que os dois pontos têm as suas projecções frontais coincidentes, os raios luminosos l e l’ (que passam por A e B, respectivamente) também têm as suas projecções frontais coincidentes. 260

SOLUÇÕES

548. R S], pelas suas projecções, em função dos Em primeiro lugar representou-se o segmento [R dados. Determinaram-se as sombras reais de R e S – l é o raio luz/sombra que passa por R e R s 2 é a sombra real de R (situa-se no SPFS) e l’ é o raio luz/sombra que passa por S e Ss 1 é a sombra real de S (situa-se no SPHA). As sombras reais dos dois extremos do segR S] admite mento situam-se em planos distintos, pelo que a sombra real do segmento [R necessariamente um ponto de quebra. A determinação do ponto de quebra processou-se Ss 1R v 1] é a sombra do segmento com o recurso à sombra virtual de R – R v 1. O segmento [S R S] no Plano Horizontal de Projecção – o ponto em que o segmento [S Ss 1R v 1] intersecta o [R eixo X é o ponto de quebra. A partir da determinação do ponto de quebra, desenhou-se a sombra real do segmento – a linha quebrada que tem extremos em Ss1 e em R s2 e um vértice no eixo X. Note que a determinação do ponto de quebra se poderia ter processado com o recurso à sombra virtual de S, mas não com os raciocínios expostos nos exercícios anteriores, pois o segmento não é paralelo a nenhum dos planos de projecção.

549. Em primeiro lugar representaram-se os dois segmentos, pelas respectivas projecções. A recta horizontal (de nível) h é a recta suporte do segmento A B] – a recta h é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que o seg[A A B] se projecta em V.G. no Plano Horizontal de Projecção. Assim, somento [A bre h1 e a partir de A 1, mediram-se os 7 cm (o comprimento do segmento) e determinaram-se as projecções de B (garantindo que o segmento se situa no 1o Diedro). Em função dos dados, foi possível desenhar f1, a projecção horiCD]. zontal da recta frontal (de frente) f, que é a recta suporte do segmento [C Em seguida, determinou-se o ponto de concorrência dos dois segmentos (o ponto P), a partir da sua projecção horizontal, e desenhou-se a projecção frontal da recta f. Note que P é um ponto com 4 cm de cota e 4 cm de afastamento, pelo que é um ponto do β1/3. C é o ponto da recta f que tem 1 cm de cota (situa-se na mesma linha de chamada de A). A recta f é paralela ao PlaCD] se projecta em V.G. no no Frontal de Projecção, pelo que o segmento [C Plano Frontal de Projecção. Assim, sobre f2 e a partir de C2, mediram-se os 7 cm (o comprimento do segmento) e determinaram-se as projecções de D (garantindo que o segmento se situa no 1o Diedro). Note que D se situa na mesma linha de chamada de B. A partir das projecções dos segmentos, efectuaram-se os traçados necessários à determinação das respectivas sombras, considerando a direcção convencional da luz. Em primeiro lugar determinaram-se as sombras reais dos extremos dos dois segmentos. A s2 é a sombra real de A e Bs1 é a sombra real de B – A s2 situa-se no SPFS e Bs1 situa-se no SPHA, pelo que a sombra de [A A B] admite um ponto de quebra. Cs1 é a sombra real de C e Ds2 é a sombra real de D – Cs1 situa-se no SPHA e Ds2 situaC D] também admite um ponto de -se no S P F S, pelo que a sombra de [C quebra. Os pontos de quebra poderiam ser determinados recorrendo às sombras virtuais (ver exercício 537 e respectivo relatório) ou atendendo à situação de paralelismo entre os segmentos e a sua sombra projectada num dos planos de projecção (ver exercício 544 e respectivo relatório A B] e exercício 545 e respectivo relatório para o segmento [C CD]). No entanto optou-se, nesta situação particular, por um rapara o segmento [A ciocínio diferente, que em seguida se expõe. Uma vez que o ponto P (que é o ponto de concorrência dos dois segmentos – pertence simultaneamente aos dois segmentos) é um ponto do β1/3, e atendendo a que se trata da direcção convencional da luz, sabe-se que a sombra de P A B] e o ponto de quebra da sombra de se situa no eixo X – Ps (a sombra de P) é, assim, simultaneamente o ponto de quebra da sombra de [A CD]. O segmento [A As2Ps] é a sombra real de [A A B] no Plano Frontal de Projecção e o segmento [P PsBs1] é a sombra real de [A A B] no Plano Hori[C Cs1Ps] é a sombra real de [C CD] no Plano Horizontal de Projecção e o segmento [P PsDs2] é a sombra real de zontal de Projecção. O segmento [C CD] no Plano Frontal de Projecção. [C

261

SOLUÇÕES

550. Em primeiro lugar representaram-se os dois segmentos, pelas respectivas A B] desenham-se imediatamenprojecções. As projecções do segmento [A C D] é te, a partir dos dados. Para determinar as projecções do segmento [C A B], o que se procesnecessário determinar o ponto médio do segmento [A sou em rebatimento – rebateu-se o plano π (o plano de perfil que contém o segmento) para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π). Em rebaA r B r]. Invertendo timento, determinou-se M r, o ponto médio do segmento [A o rebatimento, determinaram-se as projecções de M, pelas quais se conduziram as projecções homónimas da recta h (a recta suporte do segmenCD]). A recta h é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que o to [C C D] se projecta em V.G. no Plano Horizontal de Projecção. segmento [C Assim, sobre h1 e a partir de M1, mediram-se 4 cm (metade do comprimento do segmento) para cada lado, determinando-se as projecções de A e B. A partir das projecções dos dois segmentos, efectuaram-se os traçados necessários à determinação das respectivas sombras, considerando a direcção convencional da luz. Em primeiro lugar, determinaram-se as sombras reais dos extremos dos dois segmentos. A s 2 é a sombra real de A e B s 1 é a sombra real de B – A s 2 situa-se no SPFS e B s 1 situa-se no SPHA, A B] admite um ponto de quebra. Cs 2 é a sombra pelo que a sombra de [A real de C e Ds 1 é a sombra real de D – Cs 2 situa-se no SPFS e Ds 1 situa-se CD] também admite um ponto de queno SPHA, pelo que a sombra de [C bra. Os pontos de quebra poderiam ser determinados recorrendo às sombras virtuais (ver exercício 5 3 7 e respectivo relatório) ou, no caso do A B], atendendo à situação de paralelismo entre o segmento e a segmento [A sua sombra projectada no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 544 e respectivo relatório). No entanto optou-se, nesta situação particular, por um raciocínio diferente, que em seguida se expõe. O ponto M (que é o ponto de concorrência dos dois segmentos – pertence simultaneamente aos dois segmentos) é um ponto do β1/3 (tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X) e atendendo a que se trata da direcção convencional da luz, sabe-se que a sombra de M se situa A B] e o ponto de quebra da sombra de [C CD]. no eixo X – Ms (a sombra de M) é, assim, simultaneamente o ponto de quebra da sombra de [A A s 2M s] é a sombra real de [A A B] no Plano Frontal de Projecção e o segmento [B B s 1M s] é a sombra real de [A A B] no Plano HoriO segmento [A Cs 2M s] é a sombra real de [C CD] no Plano Frontal de Projecção e o segmento [M M s Ds 1] é a sombra real de zontal de Projecção. O segmento [C CD] no Plano Horizontal de Projecção. [C

551.

Em primeiro lugar representou-se a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para determinar a sombra da recta, é necessário, em primeiro lugar, determinar a parte da recta susceptível de produzir sombra – a parte da recta que se situa no 1o D i e d r o. Uma vez que a recta r está definida pelos seus traços nos planos de projecção F e H), a identificação da parte da recta que se situa no 1o Diedro é imediata – é o seg(F FH]. Fs2 ≡ F2, pois F é um ponto do Plano Frontal de Projecção (ver exercício 527 mento [F e respectivo relatório). Hs1 ≡ H1, pois H é um ponto do Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 528 e respectivo relatório). Fs2 e Hs1 situam-se em planos distintos, pelo que a FH]) admite um ponto de quebra. A determinação do sombra da recta (do segmento [F Fv1), mas poderia ponto de quebra processou-se com o recurso à sombra virtual de F (F FH ] Hs1Fv1] é a sombra do segmento [F ter-se recorrido à sombra virtual de H. O segmento [H Hs1Fv1] intersecta o eixo no Plano Horizontal de Projecção – o ponto em que o segmento [H X é o ponto de quebra. A linha quebrada que tem extremos em Hs1 e Fv1 e um vértice no ponto de quebra é a sombra projectada da recta r (da parte da recta que se situa no 1o Diedro e que, por isso, é a parte da recta susceptível de produzir sombra).

262

SOLUÇÕES

552. Em primeiro lugar representou-se a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para determinar a sombra da recta, é necessário, em primeiro lugar, determinar a parte da recta susceptível de produzir sombra – a parte da recta que se situa no 1o Diedro. Determinou-se o traço horizontal da recta, H e identificou-se a parte da recta que • • se situa no 1o Diedro – a semi-recta H A (ou HB). Note que, apesar de não se ter determinado o traço frontal da recta (que se situa fora dos limites do desenho), é possível deduzir que se situará no SPFI. Por outro lado, A e B são dois pontos da recta que se situam no 1o Diedro. Hs1 ≡ H1, pois H é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. Determinou-se a sombra real de A – A s1. A s1 situa-se no SPHA. A sombra real da recta (semi-recta) no Plano Horizontal de Projecção tem origem em Hs1 e passa por A s1. Observa-se que essa linha é concorrente com o eixo X num ponto – o ponto Q, que é o ponto de quebra da sombra da recta r . Hs1Q] é a sombra real da recta r no Plano Horizontal de O segmento [H Projecção (no SPHA). Constata-se, portanto, que a recta produz sombra nos dois planos de projecção. Para determinar a sombra da recta no Plano Frontal de Projecção poder-se-ia recorrer à sombra de B, mas optou-se por um raciocínio ligeiramente diferente – determinou-se A v2, a sombra virtual de A (que se situa no SPFI). A sombra da recta r no Plano Frontal de Projecção passa por A v2 e por Q – a parte real dessa sombra é a que A v2Q] se situa no se situa para cima do eixo X. Note que o segmento [A SPFI e, por isso, é uma parte virtual da sombra da recta no Plano Frontal de Projecção, sendo que a sombra real da recta no SPFS é a semi-recta A v2Q], a partir de Q. que dá sequência ao segmento [A

553. Em primeiro lugar representou-se a recta m, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para determinar a sombra da recta é necessário, em primeiro lugar, determinar a parte da recta susceptível de produzir sombra – a parte da recta que se situa no 1o Diedro. Determinaram-se os traços da recta nos planos de projecF e H) e identificou-se a parte da recta que se situa no 1o Diedro – o segmento ção (F FH]. Fs 2 ≡ F2, pois F é um ponto do Plano Frontal de Projecção (ver exercício 527 e [F respectivo relatório). Hs 1 ≡ H1, pois H é um ponto do Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 528 e respectivo relatório). Fs 2 e Hs 1 situam-se em planos distintos, FH]) admite um ponto de quebra. Este pelo que a sombra da recta (do segmento [F poderia ter sido determinado com o recurso às sombras virtuais – a sombra virtual de H ou de F. No entanto, optou-se por uma situação diferente. Considerando que o FH], determinou-se a sombra de A – A s 2. A s 2 ponto A é um ponto do segmento [F FH] no SPFS passa por A s 2. Assim, consitua-se no SPFS, pelo que a sombra de [F duziu-se uma linha recta por Fs 2 e por A s 2, até ao eixo X, onde se situa o ponto de FH] produz no SPFS é o segmento quebra da sombra. A sombra que o segmento [F de recta que tem um extremo em Fs 2 e o outro no ponto de quebra. A sombra que o FH] produz no SPHA é o segmento de recta que tem um extremo em Hs 1 segmento [F e o outro no ponto de quebra. A sombra projectada da recta nos planos de projecção (sombra real) é a linha quebrada que tem extremos em Fs2 e em Hs1 e um vértice no ponto de quebra.

263

SOLUÇÕES

554. Em primeiro lugar representou-se a recta m e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, para determinar a sombra da recta, é necessário, em primeiro lugar, determinar a parte da recta susceptível de produzir sombra – a parte da recta que se situa no 1o Diedro. Determinaram-se os traços da F e H) e identificou-se a parte da recta que se situa recta nos planos de projecção (F FH]. Fs 2 ≡ F2, pois F é um ponto do Plano Frontal de no 1o Diedro – o segmento [F Projecção (ver exercício 529 e respectivo relatório). Hs 1 ≡ H1, pois H é um ponto do Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 529 e respectivo relatório). Fs 2 e Hs 1 FH]) adsituam-se em planos distintos, pelo que a sombra da recta (do segmento [F mite um ponto de quebra. Este poderia ter sido determinado com o recurso às sombras virtuais – a sombra virtual de H ou de F. No entanto, optou-se por uma FH], desituação diferente. Considerando que o ponto B é um ponto do segmento [F terminou-se a sombra de B – B s 1. B s 1 situa-se no S P H A, pelo que a sombra de FH] no SPHA passa por B s 1. Assim, conduziu-se uma linha recta por Hs 1 e por [F B s 1, até ao eixo X, onde se situa o ponto de quebra da sombra. A sombra que o FH] produz no SPHA é o segmento de recta que tem um extremo em segmento [F Hs1 e o outro no ponto de quebra. A sombra que o segmento [F FH] produz no SPFS é o segmento de recta que tem um extremo em Fs 2 e o outro no ponto de quebra. A sombra projectada da recta nos planos de projecção (sombra real) é a linha quebrada que tem extremos em Fs 2 e em Hs 1 e um vértice no ponto de quebra.

555. Espacialmente, para determinar a sombra de uma recta num plano conduz-se, pela recta, um plano luz/sombra – a recta de intersecção do plano luz/sombra com um determinado plano é a sombra projectada da recta nesse plano.

556. O plano luz/sombra de qualquer recta contém necessariamente a recta dada e a fonte luminosa, onde quer que esta se situe (quer se situe a uma distância finita quer se situe a uma distância infinita). a) Considerando uma direcção luminosa (em que a fonte luminosa está situada a uma distância infinita), o plano luz/sombra de uma recta r está definido por duas rectas concorrentes – a recta r e um raio luz/sombra qualquer, com a direcção luminosa dada e concorrente com a recta r. b) Considerando um foco luminoso L (em que a fonte luminosa está situada a uma distância finita), o plano luz/sombra de uma recta r está definido por uma recta (a recta r) e um ponto exterior à recta (o foco luminoso L).

557. Em primeiro lugar representou-se a recta p , pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para determinar a sombra da recta, e conforme é expressamente pedido no enunciado, é necessário, em primeiro lugar, determinar a parte da recta susceptível de produzir sombra – a parte da recta que se situa no 1o Diedro. Para tal há que determinar os traços da recta, o que se processa com o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano de perfil que contém a recta – o plano π. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo A r e B r pelos quais se conduziu pr. Os traços da recta, em rebatimento, estão sobre os traços do plano π rebatidos – Fr é o ponto de concorrência entre pr e f πr e Hr é o ponto de concorrência entre pr e hπr. O segmenFr Hr] corresponde, em rebatimento, à parte da recta p que se situa no 1o Diedro to [F – a parte da recta susceptível de produzir sombra. Inverteu-se o rebatimento e deFH]. Fs 2 ≡ F2, pois terminaram-se as projecções de F e H, bem como do segmento [F F é um ponto do Plano Frontal de Projecção. Hs 1 ≡ H1, pois H é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. Fs 2 e Hs 1 situam-se em planos distintos, pelo que a sombra da recta admite a existência de um ponto de quebra. Este determinou-se com o recurso à sombra real do ponto A – A s 2. A sombra da recta p no SPFS é o segmento de recta que tem um extremo em Fs 2, passa por A s 2 e tem o outro extremo no eixo X, onde se situa o ponto de quebra da sombra. A sombra da recta p no SPHA é o segmento de recta que tem um extremo em Hs 1 e o outro no ponto de quebra.

264

SOLUÇÕES

558. Em primeiro lugar representou-se a recta p pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, conforme é expressamente pedido no enunciado, recorreu-se ao plano luz/sombra da recta – a sombra da recta nos planos de projecção estará sobre os traços do plano luz/sombra da recta. O plano luz/sombra da recta p está definido pela recta p e pela direcção luminosa (ver resposta à alínea a) da questão do exercício 556). Assim, por A conduziu-se um raio luminoso l, com a direcção lumiA s2 é o traço frontal da recta l). Em senosa convencional, e determinou-se a sombra real de A – A s2 (A guida conduziu-se, por B, um outro raio luminoso l’, paralelo a l, e determinou-se a sombra real de B Bs1 é o traço horizontal de l’). Note que, se bem que a recta p não nos permita obter quaisquer – Bs1 (B outros pontos da recta (nomeadamente os seus traços) sem o recurso a qualquer processo geométrico auxiliar, já temos outras duas rectas do plano luz/sombra da recta p – as rectas l e l’. Assim, recorrendo exclusivamente a estas rectas, é possível determinar os traços do plano λ (o plano Bv2 é o traço frontal da recta l’) – f λ luz/sombra da recta p). Determinou-se Bv2, a sombra virtual de B (B (o traço frontal do plano luz/sombra) fica definido por A s2 e Bv2 (que são os traços frontais das rectas l e l’). Por sua vez, hλ (o traço horizontal do plano luz/sombra da recta p) é concorrente com f λ no eixo X e passa por Bs1 (que é o traço horizontal de l’). Como a recta p pertence ao plano λ, os seus traços têm de estar sobre os traços homónimos do plano – este raciocínio permitiu-nos determinar os FH]. Fs2 ≡ F2 e Hs1 ≡ H1. O traços da recta, F e H. A parte da recta que produz sombra é o segmento [F ponto de quebra da sombra da recta é o ponto de concorrência dos dois traços do plano λ. A sombra da recta p no SPFS é o segmento de f λ que tem um extremo em Fs2 passa por A s2 e tem o outro extremo no eixo X, onde se situa o ponto de quebra da sombra. A sombra da recta p no SPHA é o segmento de hλ que tem um extremo em Hs1 e o outro no ponto de quebra, passando por Bs1.

559. Em primeiro lugar representaram-se a recta p e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, para determinar a sombra da recta é necessário, em primeiro lugar, determinar a parte da recta susceptível de produzir sombra – a parte da recta que se situa no 1o Diedro. Para tal, há que determinar os traços da recta, o que se processa com o recurso a um processo geométrico auxiliar. Um outro processo consiste em recorrer ao plano luz/sombra da recta, conforme se expôs no relatório do exercício anterior – foi esse o processo a que se recorreu. O plano luz/sombra da recta p está definido pela recta p e pelo foco luminoso L (ver resposta à alínea b) da questão do exercício 556). Assim, por A conduziu-se um raio luminoso l, oriundo de L, e determinaram-se os traços da recta l – Av1 e Av2. Note que o ponto A é um ponto do 4o Diedro, pelo que não produz sombra real em circunstância nenhuma – Av2 é a sombra virtual de A no SPFI e, embora Av1 se situe no SPHA, situa-se entre A e o foco luminoso L, pelo que se trata de uma outra sombra virtual de A (nunca a sombra de qualquer ponto pode estar antes de o raio luminoso passar pelo ponto, o que justifica o facto de Av1 ser uma sombra virtual). Em seguida conduziu-se, por B, um outro raio luminoso l’, oriundo de L, e determinou-se a sombra real de B – Bs (l’ é um raio luz/sombra passante, pelo que Bs é o ponto B s situa-se no eixo X, pelo que será imede concorrência de l’ com o eixo X).B diatamente o ponto de quebra da sombra da recta p. Note que, se bem que a recta p não nos permita obter quaisquer outros pontos da recta (nomeadamente os seus traços) sem o recurso a qualquer processo geométrico auxiliar, já temos outras duas rectas do plano luz/sombra da recta p – as rectas l e l’. Assim, recorrendo exclusivamente a estas rectas, é possível determinar os traços do plano λ (o plano luz/sombra da recta p). O traço horizontal de λ está definido por A v 1 (que é o traço horizontal de l) e por B s, e permite-nos determinar o traço horizontal da recta p (que se situa no SPHA), bem como a sua sombra – Hs 1 ≡ H1. O traço frontal de λ está definido por A v 2 (que é o traço frontal de l) e por B s, e permite-nos determinar o traço frontal da recta p (que se situa no SPFI, pelo que não produz sombra). A parte da recta que se situa no 1o Diedro e que, por isso, produz • B s Hs 1]. A sombra da recta p no SPFS é a parte de f λ que se sombra, é a semi-recta H B. A sombra da recta p no S P H A é segmento [B situa para cima do eixo X.

265

SOLUÇÕES

560. Em primeiro lugar representou-se a recta f, pelas suas projecções, em função dos dados. Apesar de haver diversas formas para resolver este exercício, optou-se por basear a sua resolução no pressuposto dos exercícios 543 e 545. De facto, um segmento de recta (ou uma recta) paralelo a um dos planos de projecção produz, nesse plano, uma sombra paralela ao próprio segmento (ou à própria recta). Em primeiro lugar, identificou-se imediatamente a parte da recta que se situa no 1o Diedro, determinando o seu traço horizontal, H – a semi• -recta HA é a parte da recta que se situa no 1o Diedro e, por isso, é a parte da recta susceptível de produzir sombra. A recta f é frontal (de frente), pelo que a sombra que a recta produz no Plano Frontal de Projecção será necessariamente paralela à recta. Começou-se, então, por determinar a sombra que a recta produz no Plano Horizontal de Projecção, determinando as sombras de H e de A no Plano Horizontal de Projecção – Hs 1 é a sombra real de H (situa-se no SPHA) e A v 1 é a sombra virtual de A (situa-se no SPHP). Conduziu-se uma linha por Hs 1 (sombra real de H) e por A v 1 (sombra virtual de A ), obtendo o ponto de quebra da sombra da recta no eixo X. A partir deste ponto, a sombra da recta situa-se no SPFS, pelo que é necessariamente paralela à recta.

561. Em primeiro lugar representou-se a recta h, pelas suas projecções, em função dos dados. O ponto P, porque pertence à recta h, tem 4 cm de cota – pontos do β1/3 têm coordenadas iguais e projecções simétricas em relação ao eixo X, pelo que P tem, também, 4 cm de afastamento. Desenharam-se as projecções da recta e identificou-se imediatamente a parte da recta que produz sombra (a parte que se situa no 1o Diedro), determinando o seu traço • frontal, F – a semi-recta PF é a parte da recta que se situa no 1o Diedro e, por isso, é a parte da recta susceptível de produzir sombra. Determinaram-se as sombras de F (traço frontal de h) e de P – Ps situa-se no eixo X, pelo que Ps é, imediatamente, o ponto de quebra da Fs 2Ps] é a sombra real da recta no SPFS. A sombra da recta sombra da recta. O segmento [F no SPHA é uma semi-recta paralela a h1 e com extremidade em Ps, pois de acordo com os pressupostos dos exercícios 542 e 544, a sombra projectada no Plano Horizontal de Projecção de um segmento de recta (ou recta) paralelo ao Plano Horizontal de Projecção é paralela ao segmento (ou recta).

562. Em primeiro lugar representou-se a recta v , pelas suas projecções, em função dos dados. Note que a recta v é paralela ao Plano Frontal de Projecção – trata-se de um caso particular das rectas frontais (de frente), pelo que este exercício é semelhante ao exercício 560. Assim, a sombra da recta v no Plano Frontal de Projecção será paralela à própria recta. Em primeiro lugar identificou-se a parte da recta que • se situa no 1o Diedro, determinando o seu traço horizontal, H – a semi-recta H A é a parte da recta que o se situa no 1 Diedro e, por isso, é a parte da recta susceptível de produzir sombra. Determinaram-se as sombras de A e H, atendendo à direcção luminosa dada (que não é a convencional) – A s 2 e Hs 1 são as sombras reais de A e H, respectivamente. As duas sombras reais situam-se em planos distintos, pelo que a sombra da recta admite um ponto de quebra. Por As2 conduziu-se uma paralela à recta v, até ao eixo X – trata-se de uma semi-recta, que é a sombra projectada da recta v no SPFS. O extremo dessa semi-recta, que se situa no eixo X, é o ponto de quebra da sombra da recta v. O segmento que tem um extremo no ponto de quebra e o outro em Hs 1 é a sombra da recta no SPHA.

266

SOLUÇÕES

563. Em primeiro lugar representou-se a recta t , pelas suas projecções, em função dos dados. Note que a recta t é paralela ao Plano Horizontal de Projecção – trata-se de um caso particular das rectas horizontais (de nível), pelo que este exercício é semelhante ao exercício 561. Assim, a sombra da recta t no Plano Horizontal de Projecção será paralela à própria recta. Em primeiro lugar identificou-se a parte da recta que se situa no 1o Diedro, determinando o seu traço frontal, F – a semi• -recta FB é a parte da recta que se situa no 1o Diedro e, por isso, é a parte da recta susceptível de produzir sombra. Determinaram-se as sombras de B e F, atendendo à situação luminosa dada (o raio luz/sombra l, que passa por B, passa por L, o foco luminoso) – B s 1 e Fs 2 são as sombras reais de B e F, respectivamente. As duas sombras reais situam-se em planos distintos, pelo que a sombra da recta admite um ponto de quebra. Por B s 1 conduziu-se uma paralela à recta t, até ao eixo X – trata-se de uma semi-recta, que é a sombra projectada da recta t no SPHA. O extremo dessa semi-recta, que se situa no eixo X, é o ponto de quebra da sombra da recta t. O segmento que tem um extremo no ponto de quebra e o outro em Fs 2 é a sombra da recta no SPFS.

564. Por plano luz/sombra passante entende-se o lugar geométrico dos pontos do espaço que produzem sombra no eixo X, considerando uma qualquer situação luminosa, ou seja, o plano definido por todos esses pontos. Assim sendo, o plano luz/sombra passante é um plano passante que contém necessariamente o eixo X e a fonte lumino sa, quer esta se situe a uma distância finita ou a uma distância infinita. Assim, no caso de a fonte luminosa se situar a distância finita (trata-se de um foco luminoso), o plano luz/sombra passante está definido pelo eixo X e pelo foco luminoso. No caso de a fonte luminosa se situar no infinito (trata-se de uma direcção luminosa), o plano luz/sombra passante está definido pelo eixo X e por um qualquer raio luminoso concorrente com o eixo X.

565. As vantagens do recurso ao plano luz/sombra passante na determinação da sombra de figuras planas prendem-se com a possibilidade da determinação prévia dos pontos do objecto cujas sombras são os pontos de quebra da sombra do objecto, antecedendo a determinação da própria sombra do objecto. Se bem que o recurso ao plano luz/sombra passante não apresente grandes vantagens na sombra de p o l ígonos em relação a outros processos, o mesmo já não se passa no caso da sombra de c í r c u l o s e c i r c u n f e r ê n c i a s, em que o recurso ao plano luz/sombra passante nos permite, em simultâneo, determinar os pontos das figuras cujas sombras serão os pontos de quebra, bem como identificar as partes das figuras que produzem sombra num ou noutro plano de projecção.

566. O processo para a identificação da sombra própria de uma figura consiste em, considerando um movimento rotativo qualquer, fazer a sequência dos vértices da figura e da figura-sombra, a partir de um mesmo vértice, e analisar a ordem das duas sequências. 1. Se as duas sequências apresentarem os vértices correspondentes pela mesma ordem, a face visível da figura está iluminada. 2. Se as duas sequências apresentarem os vértices correspondentes por ordens diferentes, a face visível está sombreada (em sombra própria).

567. A sombra projectada da figura no Plano Horizontal de Projecção será uma ampliação sempre que a situação luminosa for um foco luminoso. A sombra projectada da figura no Plano Horizontal de Projecção será uma isometria sempre que a situação luminosa for uma direcção luminosa. NOTA I M P O R TANTE: A representação das partes visíveis das sombras projectadas e das sombras próprias das figuras planas e/ou sólidos pode processar-se de formas distintas. De uma forma geral, e tendo em conta o que é expressamente pedido nos Exames Nacionais da disciplina, essa representação pode ser feita com o recurso ao tracejado (a traço leve e extremamente regular, com os traços paralelos sempre à mesma distância entre si – cerca de 1 mm uns dos outros) ou através de uma mancha clara e uniforme, a grafite, que não oculte os traçados auxiliares que se encontram na área em sombra. Aconselha-se, nessa situação, que essa mancha seja feita com o recurso a um esfuminho. Já no que respeita ao tracejado e à sua direcção, tem sido prática corrente, nos Exames Nacionais, definir as direcções pretendidas que são consonantes com as expressas nas páginas 129 e 130 do Volume 2 do Manual. No entanto, salienta-se o facto de não haver nenhuma convenção universal sobre a direcção do tracejado na representação dos diferentes tipos de sombra. De qualquer forma, nos Exames Nacionais é dada ao examinando a possibilidade de optar pela representação que entender – tracejado ou mancha. Nesse sentido, sugere-se que o aluno pratique intensamente os dois tipos de representação, mas que eleja um dos dois como a sua representação preferencial (aquele com o qual melhor se identificar), para o praticar mais intensamente e com ele estar mais familiarizado no Exame. Neste Livro de Exercícios, por uma questão prática de rentabilização de recursos, optou-se por representar as áreas visíveis de sombra sempre com uma mancha, excepto nas situações em que nos enunciados se pede expressamente outro tipo de representação.

267

SOLUÇÕES

568. A B C], pelas suas projecções, em função Em primeiro lugar representou-se o triângulo [A dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém o polígono. Em seguida conduziram-se raios luminosos (paralelos entre si e com a direcção convencional da luz) pelos três vértices do triângulo e determinaram-se as respectivas sombras reais. A s 1 e Cs 1 são as sombras reais de A e C, respectivamente (são os traços horizontais dos raios luminosos que por eles passam), e situam-se no SPHA. A sombra do lado A C] do triângulo não admite ponto de quebra, pois as sombras dos seus extremos si[A tuam-se, ambas, no SPHA. B s 2 é a sombra real de B (é o traço frontal do raio luminoso A B] e [B B C] admitem, amque passa por B) e situa-se no SPFS. As sombras dos lados [A bas, pontos de quebra, pois as sombras reais dos seus extremos situam-se em planos A B] e distintos. Os pontos de quebra determinaram-se considerando que os lados [A B C] são segmentos de recta horizontais (de nível), logo paralelos ao Plano Horizontal [B de Projecção, pelo que as sombras que produzem no Plano Horizontal de Projecção são paralelas aos segmentos (ver exercício 544 e respectivo relatório). A superfície deliA s 1B s 2Cs 1] é a sombra projectada do triângulo nos planos mitada pela linha quebrada [A de projecção, que se assinalou convenientemente com uma mancha clara e uniforme. Note que existe uma parte da sombra projectada do polígono que está oculta pelo próprio polígono, em projecção horizontal. Essa parte, porque é invisível, tem o seu contorno a traço interrompido (tipo de traço convencionalmente utilizado para representar as invisibilidades) e não se preencheu com a referida mancha, precisamente por não ser visível. Analisando a questão da sombra própria, observa-se que a parte em sombra do triângulo não é visível, ou seja, que a superfície visível do polígono (em projecção horizontal) está iluminada. Para tal, recorreu-se ao processo exposto nas páginas 128 e 129 do Volume 2 do Manual. Assim, a partir do vértice A e no sentido dos ponteiros do relógio, os vértices surgem pela seguinte ordem: A 1, B 1 e C1. No mesmo sentido, e também a partir de A , os vértices da sombra surgem pela seguinte ordem: A s 1, B s 2 e Cs 1. Como as duas sequências têm a mesma ordem, a superfície visível da figura está iluminada (se a ordem fosse diferente, a superfície visível do polígono estaria em sombra). Note que, em projecção frontal, em que a projecção do polígono se resume a um segmento de recta, não existe o problema da existência de sombra própria.

569.

A B C] e o foco Em primeiro lugar, representaram-se o triângulo [A luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação da sombra do polígono, ver relatório do exercício anterior.

268

SOLUÇÕES

570. A B CD], pelas suas proEm primeiro lugar representou-se o quadrado [A jecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém o quadrado. Em seguida determinaram-se as sombras reais dos quatro vértices do polígono, considerando a direcção luminosa convencional. A sombra de A é o próprio A , pois este é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. A sombra de B situa-se no eixo X, pelo que se situa simultaneamente nos dois planos de projecção (note que B é um ponto do β1/3). A s 1 e B s situam-se ambos no SPHA, pelo que a A B] não admite pontos de quebra. Cs 2 e Ds 2 situam-se, amsombra de [A CD] não admite pontos de quebos, no SPFS, pelo que a sombra de [C B C] bra. Cs 2 e B s situam-se, ambos, no SPFS, pelo que a sombra de [B também não admite pontos de quebra. O único lado cuja sombra admiA D], pois as sombras dos seus extremos te ponto de quebra é o lado [A situam-se em planos distintos. O ponto de quebra determinou-se atenA D] no Plano Frontal de Projecção é paralela dendo a que a sombra de [A A D] é um segmento de recta frontal (de ao próprio segmento, pois [A frente) – ver exercício 545 e respectivo relatório. Note que se assinalou convenientemente (a traço interrompido) a parte do contorno da sombra que é invisível, por estar oculta pelo polígono (está por detrás deste). Note ainda que a parte invisível da sombra não se preencheu com a mancha, precisamente por ser invisível. A face visível do quadrado está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices da projecção frontal do quadrado e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

571. A B CD] e o foco Em primeiro lugar representaram-se o quadrado [A luminoso L , pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém o quadrado. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos quatro vértices do polígono, considerando raios luminosos oriundos de L. A sombra de A é o próprio A , pois este é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. O raio luminoso que passa por D é de perfil, pelo que não é possível determinar a sombra de D de forma directa – as projecções de rectas de perfil não verificam o Critério de Reversibilidade (recorde que a sombra de D será um dos traços do raio luminoso). Poder-se-ia recorrer a um processo geométrico auxiliar, nomeadamente ao rebatimento do plano de perfil que contém o raio luminoso. No entanto, optou-se por uma resolução mais simples e com maior economia de traçados. Sabe-se, à partida, que a sombra de D se situa no mesmo plano de perfil que contém D e L. Por outro lado, CD] é paralela a [C CD], pois sabe-se também que a sombra do lado [C trata-se de um segmento frontal (de frente) – ver exercício 545 e respectivo relatório. Assim, por C s 2 conduziu-se uma paralela a C2D2], obtendo Ds 2 (a sombra de D) no ponto em que aquela inter[C secta a linha de chamada de D. A s 1 e B s 1 situam-se ambos no SPHA, pelo que a sombra de [A A B] não admite pontos de quebra. Cs 2 e Ds 2 situam-se, ambos, no SPFS, pelo que a sombra de [C C D] não admite pontos de quebra. Cs 2 e B s 1 situam-se em planos distinB C] e de [A A D] tos, tal como A s 1 e Ds 2, pelo que as sombras de [B admitem, ambas, pontos de quebra. Estes foram determinados atendendo a que se trata de segmentos de recta frontais (de frente) e que, por isso, as suas sombras no Plano Frontal de Projecção são paralelas aos próprios segmentos (ver exercício 545 e respectivo relatório). Note que se assinalou convenientemente (a traço interrompido) a parte do contorno da sombra que é invisível, por estar oculta pelo polígono (está por detrás deste). Note ainda que a parte invisível da sombra não se preencheu com a mancha, precisamente por ser invisível. A face visível do quadrado está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices da projecção frontal do quadrado e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

269

SOLUÇÕES

572. A B CDE], pelas suas projecções, Em primeiro lugar representou-se o pentágono [A em função dos dados. O ponto O (o centro do pentágono) tem coordenadas iguais e projecções simétricas em relação ao eixo X, pois é um ponto do β1/3. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém o pentágono. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos cinco vértices do polígono, considerando a direcção convencional da luz. A sombra de A é o próprio A , pois este é um ponto do Plano Frontal de Projecção. A s 2, B s 2 e Es 2 situam-se no SPFS, pelo que as sombras de A B] e de [A A E] não admitem pontos de quebra. Cs 1 e Ds 2 situam-se, ambos, no [A SPHA, pelo que a sombra de [C CD] também não admite pontos de quebra. Cs 1 e B s 2 situam-se em planos distintos, tal como Es 2 e Ds 1, pelo que as sombras de B C] e de [D DE] admitem, ambas, pontos de quebra. Estes foram determinados [B atendendo a que se trata de segmentos de recta horizontais (de nível) e que, por isso, as suas sombras no Plano Horizontal de Projecção são paralelas aos próprios segmentos (ver exercício 544 e respectivo relatório). Note que se assinalou convenientemente (a traço interrompido) a parte do contorno da sombra que é invisível, por estar oculta pelo polígono (está por baixo deste). Note ainda que a parte invisível da sombra não se preencheu com a mancha, precisamente por ser invisível. A face visível do pentágono está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices da projecção frontal do quadrado e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

573. A B C D E], pelas suas Em primeiro lugar representou-se o pentágono [A projecções, em função dos dados (ver relatório do exercício anterior). Determinaram-se as sombras reais dos cinco vértices do pentágono, considerando a direcção luminosa dada que é frontal (de frente). O pentágono está contido num plano horizontal (de nível), paralelo ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que a sombra do polígono no Plano Horizontal de Projecção será uma figura semelhante ao polígono e de lados paralelos aos lados correspondentes do polígono. Por outro lado, tendo em conta que se trata de uma direcção luminosa, não há ampliação, pelo que a sombra do polígono no Plano Horizontal de Projecção será um outro polígono geometricamente igual ao primeiro. Assim sendo, a partir das sombras de B, C, D e E é possível desenhar imediatamente a sombra do pentágono no Plano Horizontal de Projecção. No entanto, a sombra de A está no SPFS, pois A pertence ao Plano Frontal de Projecção. O que acontece nesta situação particular é que o ponto A , cuja sombra está coincidente com o próprio A , produz sombra ao longo do raio luminoso que por ele passa até ao eixo X. Recorde que, para determinar a sombra de um ponto, se conduz, por esse ponto, um raio luminoso (ou raio luz/sombra) que, estando em luz, ao passar pelo ponto, que é opaco, se transforma num raio de sombra. Assim sendo, o raio luz/sombra que passa por A está em sombra a partir de A até ao eixo X. A B CDE] nos planos de projecção é, assim, um outro pentágono situado no Plano Horizontal de Projecção e um A sombra do pentágono [A segmento de recta situado no Plano Frontal de Projecção. Note que, se caso se pretenda determinar os pontos de quebra da sombra situados entre Bs1 e A s2 ou entre Es1 e A s2 pelo processo exposto no exercício 544 rapidamente se chegará à conclusão acima exposta e, portanto, ao mesmo resultado. Note que se assinalou convenientemente (a traço interrompido) a parte do contorno da sombra que é invisível, por estar oculta pelo polígono (está por baixo deste) e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. A face visível do pentágono está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices da projecção frontal do quadrado e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

270

SOLUÇÕES

574. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do círculo, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a figura. Como se referiu na resposta à questão do exercício 565, é na determinação da sombra de um círculo que se reveste de maior utilidade o recurso ao plano luz/sombra passante, no sentido de determinar previamente os pontos de quebra da sombra. Tal deve-se ao facto de que a determinação prévia dos pontos da figura cuja sombra são os pontos de quebra da sombra do círculo permite identificar, imediatamente, as partes do círculo que produzem sombra em cada um dos planos de projecção. Assim sendo, em primeiro lugar definiu-se o plano passante luz/sombra – está definido pelo eixo X e por um raio luminoso l , passante. Em seguida, determinou-se a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano ν (o plano que contém o círculo) – a recta i. A recta i é fronto-horizontal e passa pelo ponto I, que é o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano ν. A recta i é exterior à circunferência que delimita o círculo, pelo que a sombra projectada da figura não admite pontos de quebra – a sombra projectada da figura está num único plano. Para identificar o plano no qual existe a sombra Os1), que se situa no SPHA, do círculo, determinou-se a sombra real do seu centro O (O pelo que a sombra do círculo se situa, na totalidade, no SPHA. Assim sendo, porque o círculo está contido num plano horizontal (de nível), paralelo ao Plano Horizontal de Projecção, a sua sombra vai ser uma figura semelhante – vai ser outro círculo. Como se trata de uma direcção luminosa e não de um foco luminoso, não há ampliação (trata-se de uma isometria – ver página 131 do Volume 2 do Manual), a sombra do círculo vai ser um outro círculo, com centro em Os1 e o mesmo raio. Note que se assinalou convenientemente a parte invisível da sombra, que não se preencheu com a mancha. Note ainda que a face visível do círculo está iluminada.

575.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do círculo, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a figura. Como se referiu no relatório do exercício anterior, é conveniente o recurso ao plano luz/sombra passante, no sentido de determinar previamente os pontos de quebra da sombra. Assim sendo, em primeiro lugar definiu-se o plano passante luz/sombra – está definido pelo eixo X e por um raio luminoso l , passante. Em seguida, determinou-se a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano ν (o plano que contém o círculo) – a recta i. A recta i é fronto-horizontal e passa pelo ponto I, que é o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano ν. A recta i é e x t e r i o r à circunferência que delimita o círculo, pelo que a sombra projectada da figura não admite pontos de quebra – a sombra projectada da figura está num único plano. Determinou-se a sombra real de O, o centro do círculo, que se situa no SPFS – é Os2. A sombra do círculo situa-se, na totalidade, no Plano Frontal de Projecção. Como o círculo não é paralelo ao Plano Frontal de Projecção, a sua sombra neste plano será necessariamente uma elipse, resultado de uma transformação que tem o seu eixo no traço frontal do plano ν (o plano que contém a figura). Para desenhar a elipse (à mão livre) com alguma precisão, são necessários, no mínimo, oito dos seus pontos e, de preferência, o paralelogramo envolvente. Para tal, é necessário inscrever o círculo num quadrado de lados paralelos ao eixo da transformação (que é uma recta fronto-horizontal – o traço frontal de ν). A sombra do quadrado será um paralelogramo (o paralelogramo envolvente da elipse). Em seguida, desenharam-se as medianas e as diagonais do quadrado. As medianas do quadrado apoiam-se nos lados do quadrado precisamente nos pontos em que o círculo é tangente àqueles – as sombras destes pontos serão os pontos em que a elipse será tangente aos lados do paralelogramo e correspondem a quatro pontos da elipse. Por outro lado, a circunferência que delimita o círculo corta as diagonais do quadrado em outros quatro pontos – as sombras destes serão os outros quatro pontos de que necessitamos para desenhar a elipse. Determinou-se a sombra do quadrado, tendo em conta os seguintes aspectos: em primeiro lugar, que a sombra do quadrado é um paralelogramo que se situa, na totalidade, no SPFS; em segundo lugar, que dois dos lados do quadrado são fronto-horizontais, pelo que as respectivas sombras no Plano Frontal de Projecção são também fronto-horizontais; em terceiro lugar, que dois dos seus lados são de topo e que os respectivos planos luz/sombra são de topo, contendo a direcção luminosa; por fim, considerando, ainda, que as diagonais do paralelogramo (que é a sombra do (Continua na página seguinte) 271

SOLUÇÕES

quadrado) se bissectam sobre Os2. Assim sendo, determinaram-se as sombras de dois vértices opostos do quadrado – A e B. Por A s2 conduziu-se uma fronto-horizontal até à projecção frontal do raio luminoso que passa por B, onde se situa a sombra de um outro vértice do quadrado. Por Bs2 conduziu-se uma fronto-horizontal até à projecção frontal do raio luminoso que passa por A, obtendo a sombra de outro vértice do quadrado. A partir desses quatro pontos, temos o paralelogramo que é a sombra do quadrado no Plano Frontal de Projecção. Em seguida, desenharam-se as medianas do paralelogramo, paralelas aos lados respectivos do paralelogramo e passando por Os2 – são as sombras das medianas do quadrado. Os pontos em que as medianas do paralelogramo se apoiam nos lados do paralelogramo são, imediatamente, quatro pontos da elipse – são os pontos nos quais a elipse será tangente aos lados do paralelogramo. Em seguida, desenharam-se as diagonais do paralelogramo, que se bissectam em Os2 e que são as sombras das diagonais do quadrado. Determinaram-se as projecções frontais dos pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado – pelas projecções frontais desses pontos conduziram-se as projecções frontais dos raios luminosos que por eles passam, determinando as respectivas sombras sobre as diagonais do paralelogramo. Em seguida, desenhou-se a elipse, passando pelos oito pontos e respeitando as situações de tangência acima referidas.

576. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do círculo, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a figura. Em seguida, recorreu-se ao plano luz/sombra passante, no sentido de determinar previamente os pontos de quebra da sombra. Assim sendo, definiu-se o plano passante luz/sombra – está definido pelo eixo X e por um raio luminoso l, passante. Em seguida, determinou-se a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano ϕ (o plano que contém o círculo) – a recta i. A recta i é fronto-horizontal e passa pelo ponto I, que é o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano ϕ. A recta i é secante à circunferência que delimita o círculo, pelo que a sombra projectada da figura admite pontos de quebra – o círculo produz sombra nos dois planos de projecção. A recta i é secante à circunferência que delimita o círculo nos pontos M e N, que se representaram, apenas, pelas respectivas projecções frontais (as projecções horizontais de M e N são desnecessárias para a conclusão do exercício). As sombras de M e N serão, precisamente, os pontos de quebra da sombra da circunferência que delimita o círculo. Note que a recta i divide a figura em duas partes desiguais – uma parte maior, na qual está o centro da figura, e uma parte menor. Para saber qual a parte que produz sombra e em que plano (o que se pode processar de forma empírica), determinou-se a sombra real de O, o centro da figura – Os2 situa-se no SPFS, pelo que a parte maior do círculo produz sombra no Plano Frontal de Projecção. Como se trata de uma direcção luminosa, trata-se de uma i s o m e t r i a, pelo que a sombra desse segmento de círculo será um outro segmento de círculo, com centro em Os 2 e o mesmo raio. Note que, determinando previamente as sombras de M e N (que se situam no eixo X, pois são os pontos de quebra), a sombra do círculo no Plano Frontal de Projecção, que tem centro em Os 2 e o mesmo raio da figura dada, passará necessariamente por M s e por Ns. A ២N) situa-se no Plano Horizontal de Projecção e será um segmento sombra do segmento menor de círculo (correspondente ao arco menor M de elipse. Para um desenho (à mão livre) mais preciso do segmento da elipse, optou-se por desenhar metade da elipse, mesmo atendendo que parte dessa figura será uma sombra virtual. Assim sendo, e seguindo o exposto no relatório do exercício 575, inscreveu-se a semicir២N) em metade do quadrado circunscrito ao círculo (e de lados paralelos ao eixo X), desecunferência inferior (que inclui o arco menor M nhando, em seguida, as partes correspondentes das diagonais e das medianas do quadrado – estes traçados permitem-nos determinar cinco pontos da semicircunferência (os dois extremos do diâmetro fronto-horizontal, o ponto de menor cota da curva e os dois pontos em que a semicircunferência corta as meias diagonais do quadrado). A sombra da semicircunferência será uma semi-elipse. Determinou-se a sombra que o meio quadrado produz no Plano Horizontal de Projecção (mesmo atendendo que parte dessa sombra é virtual), determinando os cinco pontos da semi-elipse que esta figura nos permite obter (ver relatório do exercício 575). Repare que os pontos M s e Ns são os pontos de quebra da sombra da circunferência que delimita o círculo, pelo que a semi-elipse a desenhar terá de cortar o eixo X nestes dois pontos – temos, então, sete pontos para desenhar a semi-elipse. Desenhou-se a semi-elipse, atendendo a todas as situações de tangência, representando, a traço forte, a parte que se situa no SPHA e que delimita a sombra do círculo no Plano Horizontal de Projecção. A parte da semi-elipse que se situa SPHP representou-se a traço leve, pois tratou-se de um traçado auxiliar para aumentar o rigor e a precisão do desenho à mão livre do troço da curva pretendida. A sombra projectada do círculo nos planos de projecção está limitada por um segmento de elipse com extremos em M s e Ns (a parte da sombra da figura que se situa no SPHA) e por um segmento de círculo (a parte da sombra da figura que se situa no SPFS). Assinalaram-se convenientemente as invisibilidades existentes e identificou-se a parte visível da sombra com uma mancha clara e uniforme.

272

SOLUÇÕES

577. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do círculo, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a figura. Em seguida, recorreu-se ao plano luz/sombra passante, no sentido de determinar previamente os pontos de quebra da sombra. Assim sendo, definiu-se o plano passante luz/sombra – está definido pelo eixo X e pelo foco luminoso L . Em seguida determinou-se a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano ϕ (o plano que contém o círculo) – a recta i. A recta i é fronto-horizontal e passa pelo ponto I, que é o ponto de intersecção do plano ϕ com um raio luminoso l, passante (e passando por L). A recta i é secante à circunferência que delimita o círculo, pelo que a sombra projectada da figura admite pontos de quebra – o círculo produz sombra nos dois planos de projecção. A recta i é secante à circunferência que delimita o círculo nos pontos M e N, que se representaram, apenas, pelas respectivas projecções frontais (as projecções horizontais de M e N são desnecessárias para a conclusão do exercício). As sombras de M e N serão, precisamente, os pontos de quebra da sombra da circunferência que delimita o círculo. Note que a recta i divide a figura em duas partes desiguais – uma parte maior, na qual está o centro da figura, e uma parte menor. Para saber qual a parte que produz sombra e em que plano (o que se pode processar de forma empírica), determinou-se a sombra real de O, o centro da figura – Os 2 situa-se no SPFS, pelo que a parte maior do círculo produz sombra no Plano Frontal de Projecção. Como se trata de um foco luminoso, trata-se de uma ampliação, pelo que a sombra desse segmento de círculo será um outro segmento de círculo, com centro em Os 2 mas com um raio maior. Determinando previamente as sombras de M e N (que se situam no eixo X, pois são os pontos de quebra), a sombra do círculo no Plano Frontal de Projecção terá centro em Os 2 e passará necessariamente por M s e por Ns, o que nos permite inferir o raio dessa parte da sombra. O segmento de ២N produz sombra no Plano Horizontal de Projecção, que será um segmento de uma elipse. Tal como círculo correspondente ao arco menor M no exercício anterior, optou-se por desenhar uma parte maior desse segmento de elipse, para o que se inscreveu a semicircunferência inferior num meio quadrado. A sombra deste meio quadrado será necessariamente um trapézio que se determinou a partir das sombras de dois dos A e B), com raciocínios semelhantes aos exposto no relatório do exercício 575. A partir da construção do trapézio (que é a seus vértices (A sombra do meio quadrado), desenhou-se o segmento de elipse, conforme exposto no relatório do exercício anterior.

578. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do círculo, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a figura. Em seguida, recorreu-se ao plano luz/sombra passante para determinar os pontos de quebra da sombra – o plano passante luz/sombra está definido pelo eixo X e por um raio luminoso l, passante. Em seguida, determinou-se a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano ϕ (o plano que contém o círculo) – a recta i. A recta i é fronto-horizontal e passa pelo ponto I (que é o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano ϕ). A recta i é secante à circunferência que delimita o círculo, pelo que a sombra projectada da figura admite pontos de quebra – o círculo produz sombra nos dois planos de projecção. Note que a recta i corta o círculo segundo o seu diâmetro fronto-horizontal – os extremos desse diâmetro são os pontos cujas sombras são os pontos de quebra da sombra do círculo. Em função do exposto, e ao contrário das situações anteriores, a recta i divide a figura em duas partes iguais – o semicírculo superior produzirá sombra no SPFS (que será outro semicírculo com o mesmo raio) e o semicírculo inferior produzirá sombra no SPHA (que será uma semi-elipse). Determinou-se a sombra real de O (recorrendo à direcção luminosa dada), o centro da figura – Os situa-se no eixo X, pelo que se situa simultaneamente no SPHA e no SPFS. A sombra do círculo no SPFS é, como atrás se referiu, um semicírculo – esse semicírculo tem centro em Os e 3 cm de raio (o raio do círculo dado, pois trata-se de uma i s o m e t r i a), sendo limitado inferiormente pelo eixo X (a linha de quebra da sombra da figura). A determinação da sombra do semicírculo inferior (a sombra do círculo no SPHA) determinou-se inscrevendo o semicírculo na metade correspondente do quadrado envolvente do círculo, e efectuando todos os procedimentos expostos no relatório do exercício 576, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório (tendo em conta que os pontos M e N daquele exercício correspondem, na presente situação, aos extremos do diâmetro fronto-horizontal do círculo). O desenho (à mão livre) da semi-elipse processou-se a partir de cinco dos seus pontos e da parte correspondente do paralelogramo envolvente.

273

SOLUÇÕES

579. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e os pontos A e B, pelas respectivas projecções e pertencentes ao plano. A tem afastamento nulo, pelo que é um ponto de fα. B tem cota nula, pelo que é um ponto de hα. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi fα) – Ar ≡ A2, pois A é um ponto da charneira. A partir de Ar e Br construiu-se o quadrado em V.G. – invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções dos restantes vértices e as projecções do quadrado. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos quatro vértices do quadrado e analisou-se a existência de pontos de quebra na sombra do polígono. As2 ≡ A2, pois A é um ponto do Plano Frontal de Projecção. Bs1 ≡ B1, pois B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. As2 e Ds2 situam-se no SPFS, pelo que a AD] não admite pontos de quebra. Bs1 e Cs2 sombra de [A B C] situam-se, ambos, no SPHA, pelo que a sombra de [B também não admite pontos de quebra. Cs1 e Ds2 situamCD] e de [A A B] admitem, ambas, pontos de quebra. Os pontos de quebra -se em planos distintos, tal como Bs1 e As2, pelo que as sombras de [C foram determinados com o recurso às sombras virtuais de C e B, respectivamente para cada um daqueles segmentos. A partir das sombras dos quatro vértices do polígono e dos pontos de quebra determinados, desenhou-se o contorno da sombra projectada do polígono, assinalando convenientemente a parte invisível (que está oculta pelo próprio quadrado). Note que a parte invisível da sombra não se preencheu com a mancha que assinala a parte visível da sombra projectada do quadrado. A face visível do quadrado (em projecção frontal) está iluminada, pois considerando um qualquer movimento rotativo, os vértices da projecção frontal e da sombra aparecem sempre pela mesma ordem. A projecção horizontal não admite a existência de sombra própria, pois resume-se a um segmento de recta (o plano α é projectante horizontal). Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto O (o centro da circunferência circunscrita ao triângulo), pelas suas projecções e pertencente ao plano. O ponto O pertence ao β1/3, pelo que tem coordenadas iguais e projecções simétricas em relação ao eixo X. O triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano θ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano θ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hθ. Em rebatimento, com centro em Or, desenhou-se a circunferência em V.G. e construiu-se o triângulo, inscrito na circunferência e de acordo com os dados. Note que os ângulos daA B] faz com os planos de dos (os ângulos que o lado [A projecção) também não se projectam em V.G., pois estão A B] faz, contidos no plano θ – são os ângulos que o lado [A no espaço, com hθ e f θ (que estão em V.G. nos ângulos A rBr] faz com hθr e f θr). Das quatro hipóteses possíque [A veis, apenas a apresentada garante que o vértice C seja o vértice mais distante do eixo X (ou seja, o ponto mais distante do ponto de concorrência dos dois traços do plano). Inverteu-se o rebatimento e determinaram-se as projecções dos três vértices do triângulo e as projecções da figura. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos três vértices do triângulo e analisou-se a eventual existência de pontos de quebra na sombra do triângulo. A s1 e Cs1 situam-se, ambos, no SPHA, pelo que a sombra de [A A C] não admite pontos de quebra. Cs1 e Bs2 situam-se em planos distintos, tal como Bs2 e A s1, pelo que as B C] e de [A A B] admitem, ambas, pontos de quebra. Os pontos de quebra foram determinados com o recurso à sombra virtual de sombras de [B B (B Bv1), que nos permitiu determinar os dois pontos de quebra existentes. A partir das sombras dos três vértices do polígono e dos pontos de quebra determinados, desenhou-se o contorno da sombra projectada do polígono, assinalando convenientemente a parte invisível (que está oculta pelo próprio triângulo). Note que a parte invisível da sombra não se preencheu com a mancha que assinala a parte visível da sombra projectada do triângulo. A face visível do triângulo (em projecção horizontal) está iluminada, pois, considerando um qualquer movimento rotativo, os vértices da projecção horizontal e da sombra aparecem sempre pela mesma ordem. A projecção frontal não admite a existência de sombra própria, pois resume-se a um segmento de recta (o plano θ é projectante frontal).

580.

274

SOLUÇÕES

581. Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, em função dos dados. Para a circunferência circunscrita ao pentágono ser tangente aos dois planos de projecção, a circunferência terá de ser tangente aos dois traços do plano δ – o centro da circunferência terá de estar equidistante dos dois traços do plano. Por outro lado, uma vez que o pentágono não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano δ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano δ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f δ), identificando os traços do plano em rebatimento. O centro da circunferência determinou-se em rebatimento – Or tem de estar a 4 cm (o raio da circunferência) de f δr e de hδr. Este raciocínio poderia, no entanto, ter sido feito sem o recurso ao rebatimento prévio do plano, atendendo às distâncias de O aos traços do plano e onde é que estas se projectam em V.G. Considerou-se que o vértice com afastamento nulo é o vértiC D] ce A, o que significa que o lado oposto – o lado [C – é necessariamente vertical. Construiu-se o pentágono em V.G., em rebatimento, e inverteu-se o rebatimento, determinando as projecções dos vértices da figura e da própria figura. Em seguida, considerando a direcção convencional da luz, determinaram-se as sombras dos vértices do pentágono. A s2 ≡ A 2, pois A é um ponto do Plano Frontal de ProA B] e de [B B C] não admitem pontos de quebra. Ds1 e Es1 situam-se, amjecção. A s2, Bs2 e Cs2 situam-se no SPFS, pelo que as sombras de [A DE] também não admite pontos de quebra. Cs2 e Ds1 situam-se em planos distintos, tal como A s2 e Es1, bos, no SPHA, pelo que a sombra de [D CD] e de [A AE] admitem, ambas, pontos de quebra. O ponto de quebra situado entre Cs2 e Ds1 determinou-se consipelo que as sombras de [C CD] é vertical – a sombra que [C CD] produz no SPFS é também vertical. Assim, por Cs2 conduziu-se uma vertical até ao derando que o lado [C eixo X, onde se situa o ponto de quebra. O ponto de quebra situado entre A s2 e Es1 determinou-se com o recurso à sombra virtual de E. Desenhou-se o contorno da sombra projectada do polígono, assinalando a traço interrompido a parte invisível (que está oculta pelo pentágono). Note que a parte invisível da sombra não se preencheu com a mancha que assinala a parte visível da sombra projectada. Analisando a questão da sombra própria (em projecção frontal, pois em projecção horizontal não há lugar a sombra própria), considerou-se o sentido dos ponteiros do relógio e estabeleceram-se as sequências dos vértices da projecção frontal da figura e da sombra projectada, a partir do vértice A. Em projecção frontal, os vértices da projecção frontal surgem pela seguinte ordem – A2, B2, C2, D2 e E2. Também a partir de A, e considerando o mesmo sentido rotativo, as sombras projectadas dos vértices surgem pela seguinte ordem – A s2, Bs2, Cs2, Ds1 e Es1. Como as duas sequências apresentam a mesma ordem, a face visível do polígono (em projecção frontal) está iluminada.

582. Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, em função dos dados, e efectuaram-se os traçados necessários à determinação das projecções do pentágono e da sua sombra projectada (ver relatório do exercício anterior). Comparação com o exercício anterior: em primeiro lugar, há a assinalar que, nesta situação, por oposição à anterior, toda a sombra projectada do polígono é visível; em segundo lugar, há a referir que a face visível da figura está em sombra p r ó p r i a, ao contrário da situação anterior, em que a face visível em projecção frontal estava iluminada. De facto, analisando a questão da sombra própria (em projecção frontal, pois em projecção horizontal não há lugar a sombra própria), e considerando, mais uma vez, o sentido dos ponteiros do relógio e estabeleceram-se as sequências dos vértices da projecção frontal da figura e da sombra projectada, a partir do vértice A . Em projecção frontal, os vértices da projecção frontal surgem pela seguinte ordem – A 2, E2, D2, C2 e B 2. Também a partir de A , e considerando o mesmo sentido rotativo, as sombras projectadas dos vértices surgem pela seguinte ordem – A s 2, B s 2, Cs 2, Ds 1 e Es 1. Como as duas sequências apresentam o r d e n s d i f e r e n t e s, a face visível do polígono (em projecção frontal) está em sombra (é a sombra própria da figura). As duas sombras da figura (a projectada e a própria) identificaram-se, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes, com vista a possibilitar uma melhor leitura da resolução gráfica apresentada. No entanto, caso o estudante opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça, na sombra própria, paralelamente ao eixo X.

275

SOLUÇÕES

583. Em primeiro lugar representaram-se o plano π, pelos seus traços, e os pontos A e C, pelas respectivas projecções e pertencentes ao plano, em função dos dados. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano π não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π. Em rebatimento, a partir de A r e Cr, construiu-se o quadrado em V.G. e inverteu-se o rebatimento, determinando as projecções dos quatro vértices do polígono, bem como as projecções do quadrado. Em seguida, considerando a direcção luminosa convencional, determinaram-se as sombras reais dos quatro vértices do quadrado e analisou-se a eventual existência de pontos de quebra. A s2 e Ds2 situam-se, ambos, no SPFS, pelo que a sombra de [A AD] não admite pontos de quebra. Bs1 e Cs1 situam-se, ambos, no SPHA, pelo que a B C] também não admite pontos de quebra. Cs1 e Ds2 situamsombra de [B C D] e -se em planos distintos, tal como A s2 e Bs1, pelo que as sombras de [C A B] admitem, ambas, pontos de quebra. O ponto de quebra situado de [A entre A s2 e Bs1 determinou-se com o recurso à sombra virtual de A. O ponto de quebra situado entre Ds2 e Cs1 poder-se-ia ter determinado de forma A B] e [C C D] semelhante, mas optou-se por um outro raciocínio. Os lados [A são paralelos, pelo que as sombras por eles produzidas nos planos de projecção serão necessariamente paralelas entre si. Dessa forma, por Cs 1 A B] produz no SPHA, que corresponde à sombra de [C CD] no SPHA. De forma semelhante, por Ds2 conduziu-se uma paralela à sombra que [A A B] no SPFS, que corresponde à sombra de [C CD] no SPFS. Este raciocínio permitiu-nos determinar o se conduziu uma paralela à sombra de [A CD] com maior economia de traçados (evitou-se a determinação de uma sombra virtual), sendo essa a grande ponto de quebra da sombra de [C vantagem do processo exposto.

584. Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto A , pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dos dados. O ponto A , porque pertence ao β1/3, tem coordenadas iguais (tem 6 cm de cota e de afastamento) e projecções simétricas em relação ao eixo X. Uma vez que a diaA C] pertence ao β1/3, determinaram-se gonal [A as projecções da recta i (a recta de intersecção do plano θ com o β1/3) – a recta i é a recta A C] e é necessariamente suporte da diagonal [A uma recta passante que contém A (note que as projecções da recta i são simétricas em relação ao eixo X, pois trata-se de uma recta do β1/3). O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano θ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano θ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hθ. A recta ir passa por A r e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo (é um ponto da charneira). Note A C] (sobre ir) e que o vértice B tem afastamento que, para a construção do quadrado em V.G., sabemos apenas onde se situa a diagonal [A nulo. Sabe-se, por outro lado, que os lados de um quadrado fazem ângulos de 45° com as diagonais, pelo que, conduzindo por A r uma recta a A rBr], ob45° com ir, obtém-se Br sobre f θr, verificando-se que a cota de B seja inferior à de A. A partir de Br conduziu-se uma perpendicular a [A tendo-se Cr sobre ir, a partir do qual se concluiu a construção do polígono em V.G. Inverteu-se o rebatimento e determinaram-se as projecções dos vértices do quadrado e do próprio polígono. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices do quadrado, considerando a direcção convencional da luz. As sombras de A e C estão no eixo X, pois A e C são dois pontos do plano luz/sombra passante (que é o β1/3). A s e Cs são, assim, os pontos de quebra da sombra do quadrado (ver exercício 570). Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada do quadrado, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. A face visível do quadrado (em projecção horizontal, pois a projecção frontal do quadrado reduz-se a um segmento de recta) está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices da projecção frontal do quadrado e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

276

SOLUÇÕES

585. Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, o ponto A (pertencente ao plano) e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O ponto A, porque tem cota nula, é um ponto de hθ. O triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano θ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano θ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hθ. A r ≡ A 1, pois A é um ponto da charneira. Note que o A B] faz com hθ) não se projecta ângulo dado (o ângulo que o lado [A A B] em V.G., pois está contido no plano θ – é o ângulo que o lado [A faz, no espaço, com hθ e não tem correspondência directa em projecções. Assim, em rebatimento (em V.G.), com vértice em A r e a partir de hθr, mediu-se o ângulo de 45o, garantindo-se que B tem afastamento superior a A e que o triângulo se situa, na totalidade, no espaço do 1o Diedro. A partir de A r e Br (que está a 6 cm de A r), construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento – invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de B e C e construíram-se as projecções do triângulo. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos três vértices do polígono (considerando raios luminosos oriundos do foco luminoso L) e analisou-se a eventual existência de pontos de quebra. A s1 ≡ A 1, pois A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. A s1 A B] não e Bs1 situam-se, ambos, no SPHA, pelo que a sombra de [A admite pontos de quebra. Bs1 e Cs2 situam-se em planos distintos, tal B C] e de [A A C] admitem, como A s1 e Cs2, pelo que as sombras de [B ambas, pontos de quebra. Os dois pontos de quebra foram determinados com o recurso à sombra virtual de C – Cv1. Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada do triângulo, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. A face visível do triângulo (em projecção horizontal, pois a projecção frontal do triângulo reduz-se a um segmento de recta) está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices da projecção frontal do triângulo e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

586.

Em primeiro lugar representaram-se o plano π, pelos seus traços, e a A s), em função dos dados. Em seguida, para sombra do vértice A (A determinar as projecções de A conduziu-se, por A s, o raio luminoso que origina a sombra de A (ver exercício 513 e 530) – A é um ponto desse raio luminoso e, por outro lado, A é um ponto do plano π, pelo que A é o ponto de intersecção do plano π com o raio luminoso que passa por A s. Note que, nesta situação, A é necessariamente um ponto do β1/3. Por outro lado, como C também é um ponto do β1/3, o A C] do polígono está necessariamente contido na recta de lado [A intersecção de π com o β1/3 – a recta i, cujas projecções se determinaram imediatamente (a recta i é uma recta de perfil passante, que contém o ponto A). O triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano π não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo A r – a recta ir passa por A r e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo, pois é um ponto da charneira). Não nos é dada a medida do lado da figura, apenas que o vértice B tem cota nula (é um ponto de hπ). No entanto, sabe-se que o lado A C] está contido em i (a recta i é a recta suporte do lado [A A C] do [A triângulo) e que os lados de qualquer triângulo equilátero fazem, entre si ângulos de 60o. Assim sendo, com vértice em A r, a partir de i r, mediu-se um ângulo de 60o e determinou-se Br sobre hπr (o vértice B tem cota nula, pelo que é um ponto de hπ). A distância de A r a Br é a medida do lado do polígono, que nos permitiu determinar Cr sobre ir e, assim, construir o triângulo em V.G. – invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projecções do polígono. Em seguida, recorrendo à direcção luminosa convencional, determinaram-se as sombras reais de B e C (a sombra real de A já era dada) e desenhou-se o contorno da sombra projectada do triângulo. Bs1 ≡ B1, pois B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. Note que a sombra de C também se situa no eixo X, pois C, tal como A, é um ponto do β1/3 que, neste caso, é o plano luz/somA C] está contida no eixo X. Não há pontos de quebra nem invisibilidades neste exercício. bra passante. Assim sendo, a sombra do lado [A

277

SOLUÇÕES

587. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e C, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida conduziu-se, por A e C, uma recta r do plano ρ (para que um ponto pertença a um plano o ponto tem de pertencer a uma recta do plano, e A e C são dois pontos do mesmo plano). Determinaram-se os traços da recta r, pelos quais se conduziram os traços homónimos do plano (condição para que uma recta pertença a um plano), que são rectas fronto-horizontais. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hρ). O ponto F (o traço frontal da recta r) foi o ponto que nos permitiu rebater f ρ (pelo triângulo do rebatimento – ver exercício 189 e respectivo relatório). Hr ≡ H1, pois H é um ponto da charneira. A recta rr fica definida por Fr e por Hr e f ρr passa por Fr. Rebateram-se os pontos A e C ao longo dos planos de perfil que contêm os respectivos arcos do rebatimento, obtendo A r e Cr sobre rr. Em seguida construiu-se o quadrado em V.G., obtendo Br e Dr. Inverteu-se o rebatimento recorrendo a uma BD] do quadrado). As projecções de s obtiveramrecta s, que contém os vértices B e D do quadrado (a recta s é a recta suporte da diagonal [B -se a partir dos seus traços e as projecções de B e D estão sobre as projecções homónimas de s, sobre os planos de perfil que contêm os respectivos arcos do rebatimento (ver exercício 189 e respectivo relatório). Desenharam-se as projecções do quadrado e determinaram-se as sombras reais dos seus vértices (considerando a direcção convencional da luz). A s2 e Ds2 situam-se, ambos, no SPFS, pelo que a sombra de B C] também não admite pontos de quebra. AD] não admite pontos de quebra. Bs1 e Cs1 situam-se, ambos, no SPHA, pelo que a sombra de [B [A Cs 1 e Ds 2 situam-se em planos distintos, tal como A s 2 e B s 1, pelo que as sombras de [C CD] e de [A A B] admitem, ambas, pontos de quebra – estes determinaram-se com o recurso às sombras virtuais de C e B, respectivamente. Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada do quadrado, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. A face visível do quadrado (que é a mesma em ambas as projecções) está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices das duas projecções do quadrado e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568). Note que é necessário averiguar, pelo processo exposto no relatório do exercício 568, a possibilidade de existência de sombra própria visível nas duas projecções, sempre que nenhuma delas se reduza a um segmento de recta (caso das figuras planas contidas em planos não projectantes, como a presente situação).

278

SOLUÇÕES

588. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e C, pelas respectivas projecções, em função dos dados, e efectuaram-se todos os traçados necessários à determinação das projecções do quadrado, à semelhança do exercício anterior (ver relatório do exercício anterior). Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos quatro vértices do quadrado (considerando a direcção luminosa dada) e, uma vez que se situam, todas, no SPHA, conclui-se que a sombra do quadrado não admite pontos de quebra (os raios luminosos são paralelos ao Plano Frontal de Projecção, pelo que só projectam sombra no SPHA). Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada do quadrado, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. A face visível do quadrado (que é a mesma em ambas as projecções) está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices das duas projecções do quadrado e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

589. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e os pontos A e C, pelas suas projecções e pertencentes ao plano, em função dos dados. O plano α, sendo ortogonal ao β1/3, tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X . O ponto A , porque tem afastamento nulo, é um ponto de f α. O ponto C, porque tem cota nula, é um ponto de hα. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hα. Cr ≡ C1, pois C é um ponto da charneira. O ponto A foi o ponto que nos permitiu rebater f α (ver exercício 187 e respectivo relatório). A partir de A r e Cr, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. Em seguida, inverteu-se o rebatimento, com o recurso a rectas frontais (de frente) do plano passando por B e D (ver exercício 187 e respectivo relatório), o que nos permitiu determinar as projecções daqueles vértices e, consequentemente, do quadrado. Determinaram-se as sombras reais dos vértices do quadrado (considerando a direcção luminosa dada) e (Continua na página seguinte) 279

SOLUÇÕES

analisou-se a eventual existência de pontos de quebra na sombra do polígono. A s 2 ≡ A 2, pois A é um ponto do Plano Frontal de Projecção. Cs 1 ≡ C1, pois C é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. A s 2, B s 2 e Ds 2 situam-se no SPFS, pelo que as sombras de [A A B] e de [A A D] CD] e de [B B C] adminão admitem pontos de quebra. Cs 1 e Ds 2 situam-se em planos distintos, tal como B s 2 e Cs 1, pelo que as sombras de [C tem, ambas, pontos de quebra – estes determinaram-se com o recurso às sombras virtuais de D e B, respectivamente. Em seguida desenhou-se o contorno da sombra projectada do quadrado, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. A face visível do quadrado (que é a mesma em ambas as projecções) está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices das duas projecções do quadrado e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

590. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B , pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, desenharam-se os traços do plano – f α passa por A 2 A é um ponto com afastamento nulo) e faz, com o eixo (A X, o ângulo dado e hα é concorrente com f α no eixo X e B é um ponto com cota nula). O triângulo passa por B 1 (B não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f α. A r ≡ A 2, pois A é um ponto da charneira. O ponto B foi o ponto que nos permitiu rebater hα (ver exercício 181 e respectivo relatório). A partir de A r e B r, construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento. Em seguida, inverteu-se o rebatimento, com o recurso à recta horizontal (de nível) do plano que passa por C, o que nos permitiu determinar as projecções de C e, consequentemente, do triângulo. Determinaram-se as sombras reais dos vértices do triângulo (considerando a direcção luminosa dada) e analisou-se a eventual existência de pontos de quebra na sombra do polígono. A s 2 ≡ A 2, pois A é um ponto do Plano Frontal de Projecção. B s 1 ≡ B 1, pois B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. A s 2 e Cs 2 situam-se no SPFS, pelo A C] não admite ponto de quebra. B s 1 que a sombra de [A e A s 2 situam-se em planos distintos, tal como B s 1 e Cs 2, A B] e de [B B C] admitem, ampelo que as sombras de [A bas, pontos de quebra – estes determinaram-se com o recurso às sombras virtuais de A e C, respectivamente (note que, caso se tivesse recorrido à sombra virtual de B, uma única sombra virtual permitir-nos-ia determinar os dois pontos de quebra). Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada do triângulo, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. A face visível do triângulo (que é a mesma em ambas as projecções) está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices das duas projecções do triângulo e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

591. Em primeiro lugar representou-se o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. A é um ponto de hρ, o que nos permitiu desenhar os traços do plano ρ – os traços do plano ρ são simétricos em relação ao eixo X, pois trata-se de um plano ortogonal ao β1/3. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ. A r ≡ A 1, pois A é um ponto da charneira. Para rebater f ρ recorreu-se a um ponto qualquer de f ρ – A B] faz com hρ) não se projecta em V.G., o ponto P (ver exercício 189 e respectivo relatório). Note que o ângulo dado (o ângulo que o lado [A A B] faz, no espaço, com hρ e não tem correspondência directa em projecções. Assim, pois está contido no plano ρ – é o ângulo que o lado [A em rebatimento (em V.G.), com vértice em A r e a partir de hρr, mediu-se o ângulo de 30o, garantindo-se que B se situa no 1o Diedro à esquerda de A. A partir de A r e B r (que está a 4,5 cm de A r), construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento – invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de B, C e D e construíram-se as projecções do quadrado. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a duas rectas do A D]) e a recta s (a recta suporte do lado [B B C]). As projecções da recta r determinaram-se a partir plano – a recta r (a recta suporte do lado [A (Continua na página seguinte) 280

SOLUÇÕES

A é o traço horizontal de r e F o seu traço frontal – a dos seus traços (A recta r está definida por dois pontos), obtendo-se as projecções de D sobre as projecções homónimas de r. As projecções de s determinaH’) e a partir da sua direcção – ram-se a partir do seu traço horizontal (H a recta s é paralela à recta r (a recta s está definida por um ponto e uma direcção). As projecções de B e C estão sobre as projecções homónimas de s. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos vértices do quadrado (considerando a direcção convencional da luz) e analisou-se a eventual existência de pontos de quebra. A s 1 ≡ A 1, pois A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. A s 1 e B s 1 situam-se, A B] não admite ponto de ambos, no SPHA, pelo que a sombra de [A quebra. Cs 2 e Ds 2 situam-se, ambos, no SPFS, pelo que a sombra de CD] também não admite ponto de quebra. B s 1 e Cs 2 situam-se em [C B C] e planos distintos, tal como Ds 2 e A s 1, pelo que as sombras de [B A D] admitem, ambas, pontos de quebra – estes determinaram-se de [A com o recurso às sombras virtuais de B e D, respectivamente. Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada do quadrado, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. A face visível do quadrado (que é a mesma em ambas as projecções) está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices das duas projecções do quadrado e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

592. Em primeiro lugar representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e os pontos A e B, pelas respectivas projecções e pertencentes ao plano, em função dos dados. O plano δ tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. O ponto A , porque tem afastamento nulo, é um ponto de f δ. O ponto B, porque tem cota nula, é um ponto de hδ. O triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano δ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano δ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hδ. B r ≡ B 1, pois B é um ponto da charneira. O ponto A foi o ponto que nos permitiu rebater f δ (ver exercício 205 e respectivo relatório). A partir de A r e B r, construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento. Em seguida, inverteu-se o rebatimento, com o recurso à recta frontal (de frente) do plano que passa por C (ver exercício 187 e respectivo relatório), o que nos permitiu determinar as projecções de C e, consequentemente, do triângulo. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos vértices do triângulo (considerando a direcção convencional da luz) e analisou-se a eventual existência de pontos de quebra. A s 2 ≡ A 2, pois A é um ponto do Plano Frontal de Projecção. B s 1 ≡ B 1, pois B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. Note que a sombra de C está n e c e s s a r i a m e n t e no eixo X (se o exercício estiver executado com rigor), pois C é um ponto do plano luz/sombra passante (que é o β1/3). Cs é, assim, um ponto de quebra da sombra do triângulo (ver exercício 570). A s 2 e Cs situam-se, ambos, A C] não admite ponto de no SPFS, pelo que a sombra de [A quebra. B s 1 e Cs situam-se, ambos, no SPHA, pelo que a B C] também não admite ponto de quebra. A s 2 e B s 1 situam-se em planos distintos, pelo que a sombra de [A A B] admite um ponsombra de [B to de quebra – este determinou-se com o recurso à sombra virtual de A . Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada do (Continua na página seguinte) 281

SOLUÇÕES

quadrado, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. Por fim, analisou-se a questão da sombra própria da figura, pois a face visível em projecção frontal e a face visível em projecção horizontal não são a mesma (trata-se de um plano em tensão). Consideremos o sentido dos ponteiros do relógio e início no vértice A . Assim, a partir do vértice A e no sentido dos ponteiros do relógio, os vértices da sombra surgem pela seguinte ordem: A s 2, Cs e B s 1. No mesmo sentido, e também a partir de A , os vértices da projecção frontal da figura surgem pela seguinte ordem: A 2, C2 e B 2. Como as duas sequências têm a mesma ordem, a face visível (em projecção frontal) da figura está iluminada. Ainda no mesmo sentido (o dos ponteiros do relógio), e também a partir de A , os vértices da projecção horizontal da figura surgem pela seguinte ordem: A 1, B 1 e C1. Como esta sequência apresenta uma ordem diferente da sequência dos vértices da sombra, a face visível (em projecção horizontal) da figura está sombreada (em sombra p r ó p r i a). As duas sombras da figura (a projectada e a própria) identificaram-se, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes com vista a conferir uma melhor leitura à resolução gráfica apresentada. No entanto, caso o estudante opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça, na sombra própria, paralelamente ao eixo X.

593. Em primeiro lugar desenhou-se o traço horizontal do plano ρ, em função dos dados, e representou-se o ponto A , pelas A tem cota nula, suas projecções e pertencente ao plano (A pelo que é um ponto de hρ). Note que o único dado sobre o plano ρ é o afastamento do seu traço horizontal. Sobre o traço frontal sabe-se, apenas, que B é um ponto do traço B tem afastamento nulo), pelo que f ρ se determinafrontal (B rá em função de B, ou seja, em função da construção do triângulo em V.G. – o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que só se conhece o traço horizontal do plano ρ, só é possível rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hρ). A r ≡ A 1, pois A é um ponto da charneira. A B] faz com Note que o ângulo dado (o ângulo que o lado [A hρ) não se projecta em V.G., pois está contido no plano ρ – A B] faz, no espaço, com hρ e não é o ângulo que o lado [A tem correspondência directa em projecções. Assim, em rebatimento (em V.G.), com vértice em A r e a partir de hρr, mediu-se o ângulo de 75° e mediram-se os 7 cm (o comprimento do lado do polígono), obtendo B r e garantindo que B se situa à esquerda de A – por B r conduziu-se imediatamente f ρr. A partir de A r e B r, construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento. Para inverter o rebatimento conduziu-se, por Br, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de B, que é um plano de perfil). B 1 está no eixo X, pois B tem afastamento nulo. Com o recurso ao compasso, fazendo centro no ponto de intersecção da perpendicular com a charneira e raio até B r, desenhou-se um arco de circunferência (o arco do rebatimento de B, rebatido pelo rebatimento do plano de perfil) até ao eixo X (a paralela à charneira que passa por B1), obtendo um outro ponto do triângulo do rebatimento de B, que se desenhou imediatamente. Com o recurso ao compasso, fazendo centro em B1 e com raio até ao outro vértice do triângulo do rebatimento que se situa no eixo X, desenhou-se novo arco de circunferência até à perpendicular à charneira que passa por Br, obtendo-se B 2, por onde se conduziu f ρ. Note que o processo descrito consiste, precisamente, no rebatimento de um ponto do traço frontal de um plano de rampa, em sentido inverso (ver exercício 194 e respectivo relatório). As projecções do ponto C obtiveram-se com o recurso A C] (ver exercício 189 e respectivo relatório). Em seguida, determinaram-se a uma recta auxiliar – a recta r, que é a recta suporte do lado [A as sombras reais dos três vértices do triângulo (considerando a direcção convencional da luz) e analisou-se a eventual existência de pontos de quebra. A s 1 ≡ A 1, pois A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. B s 2 ≡ B 2, pois B é um ponto do Plano Frontal de Projecção. B s 2 e Cs 2 situam-se, ambos, no SPFS, pelo que a sombra de [B B C] não admite ponto de quebra. B s 2 e A s 1 situam-se em planos distintos, tal como Cs 2 e A s 1, pelo que as sombras de [A A B] e de [A A C] admitem, ambas, pontos de quebra – estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de A . Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada do triângulo, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. A face visível do triângulo (que é a mesma em ambas as projecções) está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices das duas projecções do triângulo e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

282

SOLUÇÕES

594. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X) e pelas projecções do ponto A , em função dos dados. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ (que é o próprio eixo X). O ponto A rebateu-se pelo triângulo do rebatimento (ver exercício 196 e respectivo relatório). Em seguida, com o recurso ao compasso, fazendo centro em A r e com 7 cm de raio (a medida do lado do quadrado) obteve-se Br sobre o eixo X, considerando que B se situa à direita de A. A partir de A r e Br construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a duas rectas do plano – a recta r (a recta suporte do A B]) e a recta s (a recta suporte do lado lado [A CD]), que são n e c e s s a r i a m e n t e paralelas. As [C projecções de B determinam-se imediatamente, pois B é fixo (é um ponto da charneira), pelo que as projecções da recta r também se obtêm de forma imediata, passando pelas projecções homónimas de A e B . As projecções da recta s são paralelas às projecções homónimas da recta r , passando pelo ponto M, o ponto em que s é concorrente com o eixo X (as rectas r e s são ambas rectas passantes). Conduzindo, por C e D, as perpendiculares à charneira que por eles passam (que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento – são planos de perfil), obtêm-se as projecções de C e D sobre as projecções homónimas da recta s, a partir das quais se desenharam as projecções do quadrado. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices do polígono (considerando a direcção convencional da luz). As sombras reais de todos os vértices do quadrado situam-se, sem excepção, no SPFS, pelo que a sombra do quadrado não admite pontos de quebra. Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada do quadrado, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. Por fim, analisou-se a questão da sombra própria da figura, pois a face visível em projecção frontal e a face visível em projecção horizontal não são a mesma (trata-se de um plano em tensão). Consideremos o sentido dos ponteiros do relógio e início no vértice A. Assim, a partir do vértice A e no sentido dos ponteiros do relógio, os vértices da sombra surgem pela seguinte ordem: As2, Ds2, Cs2 e Bs. No mesmo sentido, e também a partir de A, os vértices da projecção frontal da figura surgem pela seguinte ordem: A 2, D2, C2 e B2. Como as duas sequências têm a mesma ordem, a face visível (em projecção frontal) da figura está iluminada. Ainda no mesmo sentido (o dos ponteiros do relógio), e também a partir de A, os vértices da projecção horizontal da figura surgem pela seguinte ordem: A 1, B1, C1 e D1. Como esta sequência apresenta uma ordem diferente da sequência dos vértices da sombra, a face visível (em projecção horizontal) da figura está sombreada (em sombra própria). As duas sombras da figura (a projectada e a própria) identificaram-se, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes com vista a conferir uma melhor leitura à resolução gráfica apresentada. No entanto, caso o estudante opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça, na sombra própria, paralelamente ao eixo X.

595. Em primeiro lugar representaram-se o foco luminoso L, pelas suas projecções, e o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X) e pelas projecções do ponto A , em função dos dados. Sobre a construção das projecções do quadrado, ver relatório do exercício anterior. Para determinar a sombra projectada do polígono, determinaram-se as sombras reais dos vértices A , B e C do quadrado (considerando raios luminosos oriundos de L). Note que o raio luminoso que passa por D é de perfil, e as projecções de rectas de perfil não verificam o Critério de reversibilidade (recorde que a sombra de D será um dos traços do raio luminoso). Poder-se-ia recorrer a um processo geométrico auxiliar, nomeadamente ao rebatimento do plano de perfil que contém o raio luminoso. No entanto, optou-se por uma resolução mais simples e com maior economia de traçados, sempre tendo presente que o raio luminoso que passa por D é de perfil, pelo que a somA D], bra de D se situa no mesmo plano de perfil que contém o ponto D (e o foco luminoso). Representou-se um ponto P, qualquer, do lado [A CD]), e determinou-se a sua sombra – Ps 1. A recta que passa por A s 1 e por Ps 1 é a recta supor exemplo (poderia igualmente ser do lado [C A s 1Ds 1], sendo que Ds 1 se situa necessariamente sobre a mesma linha de chamada de D. Uma vez que as sombras porte do segmento [A reais dos quatro vértices do quadrado se situam, sem excepção, no SPHA, conclui-se que a sombra do quadrado não admite pontos de quebra. Assim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do quadrado, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte (Continua na página seguinte) 283

SOLUÇÕES

visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. Por fim, analisou-se a questão da sombra própria da figura, pois a face visível em projecção frontal e a face visível em projecção horizontal n ã o são a mesma (trata-se de um plano em tensão). Consideremos o sentido dos ponteiros do relógio e início no vértice A . Assim, a partir do vértice A e no sentido dos ponteiros do relógio, os vértices da sombra surgem pela seguinte ordem: A s 1, B s , C s 1 e Ds 1. No mesmo sentido, e também a partir de A , os vértices da projecção frontal da figura surgem pela seguinte ordem: A 2, D2, C2 e B 2. Como as duas sequências têm o rdens diferentes, a face visível (em projecção frontal) da figura está sombreada (em sombra própria). Ainda no mesmo sentido (o dos ponteiros do relógio), e também a partir de A , os vértices da projecção horiz o n t a l da figura surgem pela seguinte ordem: A 1, B 1, C1 e D1. Como esta sequência e a sequência dos vértices da sombra têm a mesma ordem, a face visível (em projecção horizontal) da figura está i l u m i n a d a . As duas sombras da figura (a projectada e a própria) identificaram-se, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes com vista a conferir uma melhor leitura à resolução gráfica apresentada. No entanto, caso o estudante opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça, na sombra própria, paralelamente ao eixo X.

596. Em primeiro lugar representou-se o ponto A , pelas suas proA B], jecções, e desenharam-se as projecções do segmento [A que têm determinação directa (o segmento projecta-se em V.G. em projecção horizontal), em função dos dados. O traço A B], horizontal do plano α é a recta suporte do segmento [A pelo que tem igualmente determinação directa. No entanto, é desconhecida a posição do traço frontal do plano, sendo que o único dado referente a f α é o facto de o vértice C ser um C tem afastamento nulo) – f α ponto do traço frontal do plano (C será determinado em função de C, ou seja, em função das projecções do triângulo. O triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que só se conhece o traço horizontal do plano α, só é possível rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hα). A r ≡ A 1 e B r ≡ B 1, pois A e B são dois pontos da charneira. A partir de A r e B r construiu-se o triângulo em V.G., obtendo Cr – fαr passa por Cr e é concorrente com hαr no eixo X. Torna-se agora necessário inverter o rebatimento para determinar as projecções de C e, dessa forma, obter f α. Por Cr conduziu-se uma perpendicular à charneira (corresponde ao plano perpendicular à charneira que contém o arco do rebatimento de C), obtendo-se C1 no eixo X – C tem afastamento nulo. Já é conhecida a linha de chamada de C , portanto. Como C é um ponto de f α, a distância de C ao ponto de concorrência dos dois traços de α (que se situa no eixo X) é a (Continua na página seguinte) 284

SOLUÇÕES

mesma, quer em rebatimento quer em projecções, pois essa distância situa-se sobre f α – com o recurso ao compasso, fazendo centro no ponto em que hα é concorrente com o eixo X e raio em Cr, desenhou-se um arco de circunferência até este intersectar a linha de chamada de C, onde se situa C2 e por onde passa f α (ver exercício 203 e respectivo relatório). Note que o procedimento atrás descrito corresponde, por ordem inversa, ao rebatimento de um ponto do traço frontal de um plano oblíquo, quando a charneira é o seu traço horizontal. Em seguida, desenharam-se as projecções do triângulo e determinaram-se as sombras reais dos seus vértices (considerando a direcção convencional da luz), a partir das quais se analisou a eventual existência de pontos de quebra na sombra do triângulo. A s 1 ≡ A 1 e B s 1 ≡ B 1, pois A e B são dois pontos do Plano Horizontal de Projecção. Cs 2 ≡ C2, pois C é um ponto do Plano Frontal de Projecção. A sombra do lado [A A B] A s 1 e B s 1 situam-se, ambos, no SPHA). A s 1 e Cs 2 situam-se em planos distintos, tal como B s 1 e Cs 2, pelo que não admite pontos de quebra (A A C] e de [B B C] admitem, ambas, pontos de quebra – estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de C. Em seguias sombras de [A da, desenhou-se o contorno da sombra projectada do triângulo, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. A face visível do triângulo (que é a mesma em ambas as projecções) está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices das duas projecções do triângulo e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

597. Em primeiro lugar representaram-se o traço horizontal do plano δ e o ponto A (pelas suas projecções), que é um ponto de hδ, pois tem cota nula. Os dados do enunciado não nos permitem desenhar f δ – note que o ângulo dado (o ângulo entre os dois traços do plano) é o ângulo real, que existe no espaço (ou, mais correctamente, que está contido no plano δ) e não tem correspondência directa em projecções, pois o plano δ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção (ver exercício 203 e respectivo relatório). No entanto, é possível prosseguir com o exercício. O plano δ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo processo do rebatimento, o que nos obriga a rebater o plano δ para o Plano Horizontal de Projecção, pois não se conhece o seu traço frontal (que seria a charneira, caso se efectuasse o rebatimento do plano δ para o Plano Frontal de Projecção) – a charneira foi hδ. A r ≡ A 1, pois A é um ponto da charneira. Em rebatimento, com vértice no ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é um ponto fixo, pois é um ponto da charneira) e a partir de hδr, mediram-se os 120o (o ângulo entre os dois traços do plano) em V.G., em rebatimento, o que nos permitiu desenhar f δr. O vértice B, do quadrado, tem afastamento nulo, pelo que B é um ponto de f δ – Br tem de se situar sobre f δr. Com o compasso, fazendo centro em A r e com 7,35 cm de raio (a medida do lado do quadrado), determinou-se Br sobre f δr. A partir de A r e Br, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, obtendo Cr e Dr. Para inverter o rebatimento, é necessário determinar f δ, o que se processa determinando as projecções de um dos seus pontos – o ponto B, neste caso, que é o único ponto conhecido de f δ. As projecções de B determinaram-se conforme exposto no relatório do exercício anterior para o ponto C, o que nos permitiu determinar o traço frontal do plano (que está necessariamente coincidente com hδ, se a resolução estiver rigorosa). As projecções dos pontos C e D obtiveram-se com o recurso a recta frontais (de frente) do plano (que são paralelas ao traço frontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento) – ver exercício 187 e respectivo relatório. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as projecções do polígono e determinaram-se as sombras reais dos seus vértices (considerando a direcção convencional da luz), a partir das quais se analisou a eventual existência de pontos de quebra na sombra do quadrado. Note que, em função dos daB C] e [A AD] do quadrado são de perfil e os seus lados [A A B] e [C C D] dos (e sempre que a resolução esteja particularmente rigorosa), os lados [B têm as suas projecções paralelas entre si (são paralelos ao β2/4). A s1 ≡ A 1, pois A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. Bs2 ≡ B2, pois B é um ponto do Plano Frontal de Projecção. As sombras dos lados [A AD] e [B B C] não admitem pontos de quebra – A s1 e Ds1 situam-se, ambos, no SPHA, tal como Bs2 e Cs2 se situam, ambos, no SPFS. A s1 e Bs2 situam-se em planos distintos, tal como Ds1 e Cs2, pelo que as sombras de A B] e de [C CD] admitem, ambas, pontos de quebra. O ponto de quebra da sombra do lado [C CD] determinou-se com o recurso à sombra virtual [A A B] determinou-se atendendo a que segmentos de recta paralelos produzem, sobre os planos de D. O ponto de quebra da sombra do lado [A (Continua na página seguinte) 285

SOLUÇÕES

A B] produz no SPFS é paralela à sombra que [C CD] produz no SPFS, tal como a de projecção, sombras igualmente paralelas – a sombra que [A A B] produz no SPHA é paralela à sombra que [C CD] produz no SPHA (ver exercício 583 e respectivo relatório). Em seguida, desesombra que [A nhou-se o contorno da sombra projectada do quadrado, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. Por fim, analisou-se a questão da sombra própria da figura, pois a face visível em projecção frontal e a face visível em projecção horizontal não são a mesma (trata-se de um plano em tensão). Consideremos o sentido dos ponteiros do relógio e início no vértice A. Assim, a partir do vértice A e no sentido dos ponteiros do relógio, os vértices da sombra surgem pela seguinte ordem: As1, Bs2, Cs2 e Ds1. No mesmo sentido, e também a partir de A, os vértices da projecção frontal da figura surgem pela seguinte ordem: A2, B2, C2 e D2. Como as duas sequências têm a mesma ordem, a face visível (em projecção frontal) da figura está iluminada. Ainda no mesmo sentido (o dos ponteiros do relógio), e também a partir de A, os vértices da projecção horizontal da figura surgem pela seguinte ordem: A1, D1, C1 e B1. Como esta sequência e a sequência dos vértices da sombra têm ordens diferentes, a face visível (em projecção horizontal) da figura está sombreada (em sombra própria). As duas sombras da figura (a projectada e a própria) identificaram-se, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes com vista a conferir uma melhor leitura à resolução gráfica apresentada. No entanto, caso o estudante opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça, na sombra própria, paralelamente ao eixo X.

598. Em primeiro lugar representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto A , pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dos dados. O ponto A , porque pertence ao β1/3, tem coordenadas iguais e projecções simétricas em relação ao eixo X (tem 3 cm de afastamento e de cota). Os dados permitem-nos, ainda, localizar B 1, a projecção horizontal de B – B tem afastamento nulo, pelo que é um ponto de f γ. Uma vez que o A B] tem as suas projecções paralelas entre si, e lado [A A B], por sendo já conhecida a projecção horizontal de [A A 2 conduziu-se uma paralela a [A A 1B 1], determinando B 2 sobre f γ. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano γ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano γ para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f γ. B r ≡ B 2, pois B é um ponto da charneira. Rebateu-se o ponto A e, a partir de A r e B r, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. Em seguida, inverteu-se o rebatimento e determinaram-se as projecções de C e D e do quadrado. Para determinar a sombra do quadrado, determinaram-se as sombras reais dos quatro vértices do polígono (considerando a direcção convencional da luz) que se situam todas, sem excepção, no SPFS. A s é a sombra de A e situa-se no eixo X (recorde que A é um ponto do β1/3). Note que as sombras reais dos quatro pontos se situam todas sobre f γ – a sombra projectada A s Cs 2]. Tal do quadrado é, assim, o segmento de recta [A encontra a sua justificação no facto de o plano γ conter a direcção luminosa, ou seja, ser um plano luz/sombra (um plano projectante no sistema de projecção das sombras) que projecta, dessa forma, a sombra do quadrado nos seus traços. Por outro lado, os raios luz/sombra que estão contidos no plano γ são interceptados pelos lados A D] e [C CD] do quadrado, transformando-se, em seguida, em raios de sombra – as duas faces do quadrado estão, assim, em sombra, [A pois estão na sombra espacial daqueles segmentos de recta (ver páginas 122 e 123 do Volume 2 do Manual). Note que se trata de uma situação particular e diferente de todas as que, até agora, tinham sido apresentadas – em todas as situações abordadas se verifica que uma das faces da figura está iluminada (aquela sobre a qual incidem os raios luminosos em luz) e a outra está em sombra (sombra própria). Neste caso, são as duas faces da figura que estão em sombra própria, mas apenas uma delas é visível (em projecção frontal), o que se assinalou com uma mancha clara e uniforme.

286

SOLUÇÕES

599. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projecções, pertencente ao plano, em função dos dados. O círculo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f α. Com centro em Or e 3 cm de raio, desenhou-se a circunferência que delimita a figura em V.G., em rebatimento. A projecção horizontal da figura será um segmento de recta (o plano α é projectante horizontal), mas a sua projecção frontal será uma elipse, cujo desenho requer um mínimo de oito pontos e, se possível, os seus eixos. Assim, inscreveu-se a circunferência num quadrado, de lados paralelos à charneira (o eixo de homologia), e desenharam-se as suas medianas e as suas diagonais. Os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado são, imediatamente, quatro pontos que nos vão permitir desenhar a elipse – a projecção frontal do diâmetro vertical (a mediana vertical do quadrado) será o eixo maior da elipse e o seu eixo menor será a projecção frontal do diâmetro horizontal (a mediana horizontal do quadrado). Os pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado são mais quatro pontos que nos permitirão desenhar a curva. Em seguida, inverteu-se o rebatimento, determinando as projecções do quadrado, cuja projecção frontal é um rectângulo – directamente em projecção frontal, desenharam-se as medianas e as diagonais do rectângulo. Os pontos em que as medianas do rectângulo se apoiam nos lados do rectângulo são, imediatamente, quatro pontos da elipse e são os pontos em que a curva será tangente aos lados do rectângulo. As projecções frontais dos outros quatro pontos transportaram-se para as projecções frontais das respectivas diagonais do rectângulo, o que os permitiu obter os oito pontos de que necessitávamos. No entanto, não se desenhou imediatamente a curva, pois, caso a sua sombra admita pontos de quebra, determinar-se-ão mais pontos da elipse. A determinação dos pontos de quebra da sombra do círculo processou-se com o recurso ao plano luz/sombra passante – este está definido pelo eixo X e por um raio luminoso l, passante. A recta de intersecção do plano α com o plano luz/sombra passante é a recta i, que passa pelo ponto I (o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano α) e é uma recta passante. Rebateu-se o ponto I para o rebatimento já efectuado, e desenhou-se i r – i r é secante à circunferência nos pontos Ir e Qr. Inverteu-se o rebatimento, obtendo as projecções dos pontos I e Q sobre as projecções da recta i (note que se determinaram, apenas, as suas projecções frontais, pois estas são suficientes para o pretendido) e, dessa forma, obtiveram-se nove pontos para desenhar a elipse, o que nos garantiu um desenho relativamente preciso da curva. Note que os pontos I e Q são os pontos da circunferência cujas sombras serão os pontos de quebra da sombra da figura (note que as sombras destes dois pontos estarão, necessariamente, no eixo X). Por I2 e por Q2 conduziram-se as projecções frontais dos raios luminosos que passam por I e Q, obtendo-se Is e Qs no eixo X. Identificou-se, em seguida, as partes da figura que produzem sombra no SPFS e no SPHA – a parte do círculo que se situa acima da recta i produz sombra no SPFS e a parte que se situa para baixo da recta i produz sombra no SPHA (são dois segmentos de elipse). Para determinar e desenhar, com alguma precisão, cada um desses segmentos de elipse, determinou-se previamente a sombra do quadrado envolvente do círculo nos planos de projecção. Em seguida, determinaram-se as sombras dos nove pontos da elipse nos planos de projecção e desenharam-se as duas curvas, atendendo às situações de tangência à sombra do quadrado envolvente.

287

SOLUÇÕES

600. Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projecções, pertencente ao plano, bem como o foco luminoso L, pelas suas projecções, em função dos dados. O círculo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano θ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano θ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hθ. Com centro em Or e 4 cm de raio (a figura é tangente ao Plano Frontal de Projecção, pelo que, em rebatimento, é tangente a f θr), desenhou-se a circunferência que delimita a figura em V.G., em rebatimento. A projecção frontal da figura será um segmento de recta (o plano θ é projectante frontal), mas a sua projecção horizontal será uma elipse, cujo desenho requer um mínimo de oito pontos e, se possível, os seus eixos. Assim, inscreveu-se a circunferência num quadrado, de lados paralelos à charneira (o eixo de homologia), e desenharam-se as suas medianas e as suas diagonais. Os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado são, imediatamente, quatro pontos que nos vão permitir desenhar a elipse – a projecção horizontal do diâmetro de topo (a mediana de topo do quadrado) será o eixo maior da elipse e o seu eixo menor será a projecção horizontal do diâmetro frontal (a mediana frontal do quadrado). Os pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado são mais quatro pontos que nos permitirão desenhar a curva. Em seguida, inverteu-se o rebatimento, determinando as projecções do quadrado, cuja projecção horizontal é um rectângulo – directamente em projecção horizontal, desenharam-se as medianas e as diagonais do rectângulo. Os pontos em que as medianas do rectângulo se apoiam nos lados do rectângulo são, imediatamente, quatro pontos da elipse e são os pontos em que a curva será tangente aos lados do rectângulo. As projecções horizontais dos outros quatro pontos transportaram-se para as projecções horizontais das respectivas diagonais do rectângulo, o que os permitiu obter os oito pontos de que necessitávamos. No entanto, não se desenhou imediatamente a curva, pois, caso a sua sombra admita pontos de quebra, determinar-se-ão mais pontos da elipse. A determinação dos pontos de quebra da sombra do círculo processou-se com o recuso ao plano luz/sombra passante – este está definido pelo eixo X e pelo foco luminoso L. A recta de intersecção do plano θ com o plano luz/sombra passante é a recta i, que passa pelo ponto I (o ponto de intersecção do raio luminoso passante l com o plano θ) e é uma recta passante. Rebateu-se o ponto I para o rebatimento já efectuado, e desenhou-se ir – ir é secante à circunferência nos pontos A r e Br. Inverteu-se o rebatimento, obtendo as projecções horizontais dos pontos A e B sobre a projecção horizontal da recta i (note que não se determinaram as projecções frontais dos dois pontos, por não serem necessárias) e, dessa forma, obtiveram-se dez pontos para desenhar a elipse, o que nos garantiu um desenho relativamente preciso da curva. Note que os pontos A e B são os pontos da circunferência cujas sombras serão os pontos de quebra da sombra da figura (note que as sombras destes dois pontos estarão, necessariamente, no eixo X). Por A 1 e por B 1 conduziram-se as projecções horizontais dos raios luminosos que passam por A e B, obtendo-se A s e B s no eixo X. Identificou-se, em seguida, as partes da figura que produzem sombra no SPFS e no SPHA – a parte do círculo que se situa entre a recta i e o Plano Frontal de Projecção produz sombra no SPFS e a parte remanescente produz sombra no SPHA (são dois segmentos de elipse). Para determinar e desenhar, com alguma precisão, cada um desses segmentos de elipse, determinou-se previamente a sombra do quadrado envolvente do círculo nos planos de projecção. Em seguida, determinaram-se as sombras dos dez pontos da elipse nos planos de projecção e desenharam-se as duas curvas, atendendo às situações de tangência à sombra do quadrado envolvente.

288

SOLUÇÕES

601. Em primeiro lugar representaram-se o plano π, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projecções, pertencente ao plano, em função dos dados. Note que para obter as projecções do círculo não é necessário, sequer, o recurso ao rebatimento do plano de perfil, pois ambas as projecções são dois segmentos de recta (o plano de perfil é duplamente projectante) com 7 cm de comprimento (a medida do diâmetro do círculo), de que as projecções de O são os pontos médios. No entanto, com vista à determinação da sombra da figura, optou-se por construir o círculo em rebatimento e, dessa forma, inscrevendo-o num quadrado com lados paralelos ao eixo de transformação (a charneira do rebatimento), determinar os oito pontos que nos permitirão obter a sua sombra (ver relatório do exercício 599). Em seguida, analisou-se a eventual existência de pontos de quebra na sombra do círculo, para o que se recorreu ao plano luz/sombra passante (que está definido pelo eixo X e por um raio luminoso l, passante). Determinou-se a recta i, a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano π – a recta i é uma recta passante e passa pelo ponto I, que é o ponto de intersecção do raio luminoso l com π. A posição relativa da recta i e do círculo averiguou-se em rebatimento – i r (que passa por Ir é pelo ponto de concorrência dos dois traços do plano) é secante ao círculo, sendo R r e Sr os dois pontos em que i r corta a circunferência que delimita a figura (em rebatimento). Os pontos R e S são os pontos da circunferência cujas sombras se situam no eixo X. Inverteu-se o rebatimento, determinando as projecções frontais de R e S – para a determinação de R s e Ss é desnecessária a determinação das projecções horizontais de R e S. Em seguida, identificou-se as partes do círculo que produzem sombra em cada um dos pla២ ២ nos de projecção. O arco maior R S (a parte do círculo que se situa abaixo da recta i) produz sombra no SPHA e o arco menor R S (a parte i S P F S A m b a s a s s o m b r a s do círculo que se situa acima da recta ) produz sombra no . são segmentos de elipses, cujo traçado requer um número de pontos jamais inferior a oito (para a totalidade da curva) e, de preferência, as partes correspondentes dos paralelogramos correspondentes, para se terem em conta as situações de tangência. Para a determinação da sombra do círculo no SPHA determinou-se, pre២ viamente, a sombra da parte do quadrado envolvente do arco maior R S no SPHA (cerca de 3/4 do quadrado envolvente), que é a parte correspondente de um paralelogramo. Para tal, determinou-se a sombra de O no SPHA – Os 1 – e teve-se em conta que os lados de topo do quadrado produzem, no Plano Horizontal de Projecção, sombras igualmente de topo. Por Os 1 conduziram-se as duas medianas do paralelogramo que é a sombra do quadrado – uma das medianas é de topo e a outra é paralela aos outros dois lados do paralelogramo. Os pontos em que as medianas se apoiam nos lados correspondentes do paralelogramo permitiram-nos determinar dois pontos da elipse. Em seguida, determinaram-se as diagonais do paralelogramo, sobre as quais se obtiveram os pontos correspondentes da circunferência. Este processo permitiu-nos determinar, ao todo, cinco pontos do segmento de elipse que é a sombra do círculo no SPHA. O processo repetiu-se para a parte da sombra do círculo sobre o SPFS, determinando, igualmente, a parte do paralelogramo que é a sombra da parte correspondente do quadrado envolvente. Ov 2, a sombra de O no Plano Frontal de Projecção, é o centro do paralelogramo que é a sombra do quadrado no Plano Frontal de Projecção. Os lados verticais do quadrado produzem, no Plano Frontal de Projecção, sombras igualmente verticais. Por Ov 2 conduziram-se as duas medianas do paralelogramo que é a sombra do quadrado – uma das medianas é vertical e a outra é paralela ao lado do paralelogramo que é a sombra do lado de topo superior do quadrado. Os pontos em que estas medianas se apoiam nos respectivos lados do paralelogramo são, já, dois pontos da parte da elipse que corresponde à sombra da circunferência. Em seguida, determinou-se a parte da diagonal do paralelogramo que contém o vértice superior deste, sobre a qual se determinou o ponto correspondente da circunferência. Este processo permitiu-nos determinar três pontos do segmento de elipse que é a sombra do círculo no SPFS. Contando com os pontos de quebra, ao todo temos, então, sete pontos para desenhar o segmento de elipse que é a sombra do círculo no SPHA e cinco para desenhar o segmento de elipse que é a sombra do círculo no SPFS, o que nos permitiu um desenho relativamente preciso das duas curvas.

289

SOLUÇÕES

602.

Em primeiro lugar representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projecções, pertencente ao plano, em função dos dados. O plano δ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. A recta h foi a recta horizontal (de nível), auxiliar, com 3 cm de cota e pertencente ao plano, a que se recorreu para determinar as projecções de O. Ao contrário do exercício anterior, para obter as duas projecções do círculo é necessário recorrer a um processo geométrico auxiliar, pois o círculo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção e as duas projecções do círculo são elipses (cujo desenho à mão livre requer, no mínimo, oito pontos). Optou-se pelo processo do rebatimento, rebatendo o plano δ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hδ). O ponto F (o traço frontal da recta h) foi o ponto que nos permitiu rebater f δ e a recta h – Or situa-se sobre hr. Com o compasso, fazendo centro em Or e com raio até hδr (o círculo é tangente ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que a circunferência que o delimita tem de ser tangente ao traço horizontal do plano), desenhou-se a circunferência que delimita o círculo. Para inverter o rebatimento e determinar as projecções dos oito pontos necessários ao desenho das elipses, inscreveu-se a circunferência num quadrado de lados paralelos à charneira do rebatimento (o eixo de homologia), e desenharam-se as medianas e as diagonais do quadrado. Inverteu-se o rebatimento e determinaram-se as projecções do quadrado (a projecção horizontal é um rectângulo e a projecção frontal é um paralelogramo), após o que se determinaram as projecções das suas diagonais e medianas. Note que dois lados do quadrado estão contidos em rectas de maior declive de δ. Os pontos em que as projecções das medianas se apoiam nas projecções dos lados correspondentes do quadrado permitem-nos, em ambas as projecções, obter quatro pontos das respectivas elipses. Os pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado em que se inscreve (em rebatimento) foram transportados para as projecções das diagonais, obtendo, assim, mais quatro pontos das duas elipses. A partir dos oito pontos assim determinados, é possível um desenho relativamente preciso das duas curvas, atendendo, em ambas as situações, que as curvas são necessariamente tangentes aos lados dos paralelogramos. Note que, apenas em projecção horizontal, se têm os dois eixos da elipse. No entanto, optou-se por não desenhar as elipses imediatamente, pois com a determinação dos pontos de quebra da sombra do círculo podemos obter mais pontos das curvas. Em seguida, analisou-se a existência de pontos de quebra na sombra do círculo, recorrendo ao plano luz/sombra passante – este está definido pelo eixo X e por um raio luz/sombra passante l. Determinou-se a recta i, a recta de intersecção do plano δ com o plano luz/sombra passante – a recta i é uma recta passante (concorrente com o eixo X no ponto de concorrência dos dois traços do plano δ) que passa pelo ponto I. O ponto I é o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano δ, e determinou-se com o recurso ao método geral da intersecção entre rectas e planos (nem o raio luminoso l nem o plano δ são projectantes) – o plano θ é o plano auxiliar a que se recorreu (é o A recta i rebateu-se a partir do rebatimento do ponto P, que é o ponto de concorrência da recta i com a recta h, que já estava rebatida – i r (Continua na página seguinte) 290

SOLUÇÕES

passa por Pr e pelo ponto de concorrência dos dois traços do plano δ (que é fixo). A recta i é secante ao círculo, sendo R e S os dois pontos em que a recta i corta a circunferência que delimita a figura e cuja sombra se encontra no eixo X. Para a determinação de R s e Ss é desnecessária a determinação das projecções frontais de R e S. No entanto, caso se determinem as projecções frontais dos dois pontos, teremos dez pontos para desenhar cada uma das elipses – assim, temos oito pontos para desenhar a elipse que é a projecção frontal do círculo e ២ dez pontos para desenhar a elipse que é a sua projecção horizontal. O arco maior R S produz sombra no SPHA (situa-se para baixo da rec២ ta i) e o arco menor R S produz sombra no SPFS (situa-se para cima da recta i). Ambas as sombras são segmentos de elipses, cujo traçado requer um número de pontos jamais inferior a oito (para a totalidade da curva) e, de preferência, as partes correspondentes dos paralelogramos correspondentes, para se observarem as situações de tangência. Para a determinação da sombra do círculo no S P H A ២ determinou-se, previamente, a sombra da parte do quadrado envolvente do arco maior R S no SPHA (cerca de 3/4 do quadrado envolvente), que é a parte correspondente de um paralelogramo. Para tal, determinou-se a sombra de O no SPHA – Os 1 – e teve-se em conta que os lados horizontais do quadrado produzem, no Plano Horizontal de Projecção, sombras paralelas àqueles. Por Os 1 conduziram-se as duas medianas do paralelogramo que é a sombra do quadrado – uma das medianas é horizontal e a outra é paralela aos outros dois lados do paralelogramo. Os pontos em que as medianas se apoiam nos lados correspondentes do paralelogramo permitiram--nos determinar dois pontos da elipse. Em seguida, determinaram-se as diagonais do paralelogramo, sobre as quais se obtiveram os pontos correspondentes da circunferência. Este processo permitiu-nos determinar, ao todo, cinco pontos do segmento de elipse que é a sombra do círculo no SPHA. O processo repetiu-se para a parte da sombra do círculo sobre o SPFS, determinando, igualmente, a parte do paralelogramo que é a sombra da parte correspondente do quadrado envolvente. Ov 2, a sombra de O no Plano Frontal de Projecção, é o centro do paralelogramo que é a sombra do quadrado no Plano Frontal de Projecção. Os lados do quadrado que estão contidos em rectas de maior declive de δ produzem, no Plano Frontal de Projecção, sombras verticais. Por Ov 2 conduziram-se as duas medianas do paralelogramo que é a sombra do quadrado – uma das medianas é vertical e a outra é paralela ao lado do paralelogramo que é a sombra do lado horizontal superior do quadrado. Os pontos em que estas medianas se apoiam nos respectivos lados do paralelogramo são, já, dois pontos da parte da elipse que corresponde à sombra da circunferência. Em seguida, determinou-se a parte da diagonal do paralelogramo que contém o vértice superior deste, sobre a qual se determinou o ponto correspondente da circunferência. Este processo permitiu-nos determinar três pontos do segmento de elipse que é a sombra do círculo no SPFS. Contando com os pontos de quebra, ao todo temos, então, sete pontos para desenhar o segmento de elipse que é a sombra do círculo no SPHA e cinco para desenhar o segmento de elipse que é a sombra do círculo no SPFS, o que nos permitiu um desenho relativamente preciso das duas curvas.

291

SOLUÇÕES

603. Em primeiro lugar representou-se o traço frontal do plano, em função dos dados. O círculo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo processo do rebatimento. Não sendo conhecido o traço horizontal do plano, sabe-se, no entanto, que dista 8 cm de f ρ, que é o diâmetro do círculo (que é tangente aos dois planos de projecção, logo é tangente aos dois traços do plano). Assim sendo, optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção, sendo f ρ a charneira do rebatimento – note que não seria possível rebater o plano para o Plano Horizontal de Projecção, pois, nesse caso, a charneira seria hρ, que se desconhece. Note que se trata de uma situação semelhante à do exercício 194, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Construiu-se o círculo em V.G., em rebatimento, obtendo-se Or , o seu centro (que está equidistante dos dois traços do plano, em rebatimento), e o traço horizontal do plano em rebatimento. A inversão do rebatimento processou-se com o recurso ao ponto em que o círculo é tangente a hρ (ver exercício 194 e respectivo relatório). Para determinar as projecções do círculo foi necessário inscrevê-lo previamente, em rebatimento, num quadrado de lados paralelos a f ρ (a charneira do rebatimento, que é o eixo de homologia) – note que um lado do quadrado está contido em f ρr e o outro está contido em hρr. Obtendo-se hρ, é possível, de forma imediata, obter as projecções do quadrado (que são dois rectângulos), as suas diagonais, o seu centro e as suas medianas, por esta ordem. Os pontos em que as medianas se apoiam nos lados respectivos dos dois rectângulos são, já, quatro pontos das duas elipses que são as projecções do círculo. Os pontos em que a circunferência que delimita o círculo corta as diagonais do quadrado foram transportados para as duas projecções, obtendo-se, assim, mais quatro pontos em cada uma das projecções, o que nos permite um desenho relativamente preciso das duas curvas. No entanto, optou-se por não desenhar as elipses imediatamente, pois com a determinação dos pontos de quebra da sombra do círculo podemos obter mais pontos das curvas. Assim, em seguida, analisou-se a eventual existência de pontos de quebra na sombra do círculo, para o que se recorreu ao plano luz/sombra passante – este está definido pelo eixo X e por um raio luz/sombra passante l. Determinou-se a recta i, a recta de intersecção do plano ρ com o plano luz/sombra passante – a recta i é uma recta fronto-horizontal que passa pelo ponto I. O ponto I é o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano ρ, e determinou-se com o recurso ao método geral da intersecção entre rectas e planos (nem o raio luminoso l nem o plano ρ são projectantes) – o plano θ é o plano auxiliar a que se recorreu (é o plano projectante frontal de l) e a recta a é a recta de intersecção de θ com ρ. A posição relativa da recta i e do círculo averiguou-se em rebatimento. A recta i rebateu-se a partir do rebatimento da recta a e do ponto I – i r passa por Ir e é fronto-horizontal. A recta i é secante ao círculo, sendo R e S os dois pontos em que a recta i corta a circunferência que delimita a figura e cuja sombra se encontra no eixo X. Note que bastariam as projecções frontais de R e S para a determinação de R s e Ss, mas optou-se por determinar também as suas projecções horizontais, o que nos permite um total de dez pontos para desenhar cada uma das elipses (que são as projecções do círculo). O arco ២ ២ maior R S produz sombra no SPHA (corresponde à parte do círculo que se situa abaixo da recta i) e o arco menor R S produz sombra no SPFS (corresponde à parte do círculo que se situa acima da recta i). Ambas as sombras são segmentos de elipses. Para a determinação ២ da sombra do círculo no SPHA determinou-se, previamente, a sombra da parte do quadrado envolvente do arco maior R S no SPHA (cerca de 1/2 do quadrado envolvente), que é a parte correspondente de um paralelogramo. Para tal, determinou-se a sombra de O no SPHA – Os 1. A sombra da mediana de perfil no SPHA determina-se imediatamente - passa por Os 1 e tem um ponto fixo, que é o ponto em que se apoia em hρ. As sombras dos dois lados de perfil do quadrado no SPHA são paralelas à sombra desta mediana, o que nos permite determinar os pontos em que a sombra do quadrado corta o eixo X. Por Os 1 conduziram-se, ainda, as sombras das duas diagonais do quadrado, que têm, cada uma, um ponto fixo sobre hρ. Os pontos em que as sombras das medianas se apoiam nos lados respectivos do paralelogramo dão-nos, imediatamente, três pontos do segmento da elipse. Os pontos em que a circunferência que delimita o círculo corta as diagonais foram transportados directamente para as sombras das diagonais, o que nos permite determinar mais dois pontos do segmento da elipse. O processo repetiu-se para a sombra do quadrado no SPFS, determinando-se Ov 2 (a sombra de O no Plano Frontal de Projecção), o que nos permitiu determinar a sombra no SPFS da mediana de perfil e dos dois lados de perfil do quadrado. Por Ov 2 conduziram-se, ainda, as sombras das duas diagonais do quadrado, que têm, cada uma, um ponto fixo sobre f ρ. O ponto em que a sombras da mediana de perfil se apoia no lado fronto-horizontal do paralelogramo é, imediatamente, um ponto do segmento da elipse. Os pontos em que a circunferência que delimita o círculo corta as diagonais foram transportados directamente para as sombras das diagonais, o que nos permite determinar mais dois pontos do segmento da elipse. Contando com os pontos de quebra, ao todo temos, então, sete pontos para desenhar o segmento de elipse que é a sombra do círculo no SPHA e cinco para desenhar o segmento de elipse que é a sombra do círculo no SPFS, o que nos permitiu um desenho relativamente preciso das duas curvas.

292

SOLUÇÕES

604. Por sombra própria de um poliedro entende-se o conjunto das faces do poliedro sobre as quais não incidem os raios luminosos (ou incidem como raios de sombra, depois de terem sido interceptados por noutras faces do poliedro – as faces que estão iluminadas, sobre as quais incidem os raios luminosos em luz). A sombra própria de um poliedro é, assim, o conjunto das faces do poliedro que estão sombreadas (em sombra própria).

605. a) Por linha separatriz luz/sombra entende-se a linha fechada que é constituída pelo conjunto de linhas/arestas da superfície do sólido que separam a parte iluminada do sólido da sua parte sombreada. A linha separatriz luz/sombra é, assim, a linha fechada que separa a parte iluminada de um sólido da parte do sólido que está em sombra (sombra própria) – é a sequência de todas as linhas da superfície do sólido que separam de forma sucessiva as partes da superfície sobre as quais incidem os raios luminosos (e que, por isso, estão iluminadas) daquelas onde estes não incidem (e que estão em sombra). b) A importância da linha separatriz luz/sombra na determinação da sombra de um sólido tem a ver com o facto de esta nos permitir identificar a sombra própria do sólido e, de forma sequente, determinar a sombra projectada do sólido. De facto, de uma forma imediata, a linha separatriz luz/sombra permite-nos identificar as partes do sólido que estão em sombra e, portanto, assinalar a sombra própria do sólido. Por outro lado, a sombra da linha separatriz luz/sombra é o contorno da sombra projectada do sólido, pelo que a correcta identificação da linha separatriz luz/sombra é fundamental para a determinação da sombra de sólidos.

606. Por planos tangentes luz/sombra entendem-se os planos que contêm raios luminosos e que são tangentes (ou rasantes) a um dado sólido ao longo de uma geratriz (no caso dos cones e cilindros) ou aresta (no caso dos poliedros) da sua superfície lateral. No caso de um foco lum i n o s o, os planos tangentes luz/sombra contêm o foco luminoso (contêm infinitos raios luminosos, concorrentes entre si no foco luminoso) e, no caso de uma direcção luminosa, os planos tangentes luz/sombra contêm a direcção luminosa (contêm infinitos raios luminosos paralelos entre si, com a direcção dada).

607. a) Os planos tangentes (ou rasantes) luz/sombra, no caso de cones e pirâmides, determinam-se em quatro etapas: 1. conduz-se, pelo vértice do sólido, um raio luminoso l (que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra); 2. determina-se o ponto I, o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano da base do sólido; 3. por I conduzem-se as rectas tangentes (ou rasantes) à base do sólido, t e t’, que nos permitem identificar os pontos de tangência e determinar as geratrizes/arestas laterais de tangência; 4. os dois planos tangentes luz/sombra estão, ambos, definidos por três rectas (um dos planos tangentes luz/sombra está definido pelo raio luminoso l, pela recta t e pela respectiva geratriz/aresta lateral de tangência e o outro está definido pelo raio luminoso l, pela recta t’ e pela respectiva geratriz/aresta lateral de tangência). Note-se que, no caso de cones e pirâmides, o processo é idêntico, quer se trate de um foco luminoso ou de uma direcção luminosa. b) Os planos tangentes (ou rasantes) luz/sombra, no caso de cilindros e prismas, determinam-se de forma distinta, caso se trate de um foco luminoso, ou de uma direcção luminosa. No caso de um foco luminoso os dois planos tangentes (ou rasantes) luz/sombra são secantes entre si e definem-se através de duas rectas da seguinte forma 1. conduz-se, pelo foco luminoso, uma recta i paralela às geratrizes/arestas laterais do sólido (a recta i é a recta de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra); 2. determina-se o ponto I, o ponto de intersecção de i com o plano de uma das bases do sólido (a base de referência); 3. por I conduzem-se as rectas tangentes (ou rasantes) a essa base do sólido, t e t’, que nos permitem identificar os pontos de tangência e determinar as geratrizes/arestas laterais de tangência; 4. os dois planos tangentes luz/sombra estão, ambos, definidos por três rectas (um dos planos tangentes luz/sombra está definido pela recta i, pela recta t e pela respectiva geratriz/aresta lateral de tangência e o outro está definido pela recta i , pela recta t’ e pela respectiva geratriz/aresta lateral de tangência). No caso de uma direcção luminosa, os planos tangentes (ou rasantes) luz/sombra são paralelos entre si, pelo que há que, em primeiro lugar, determinar a orientação dos planos tangentes luz/sombra para, depois, os definir por duas rectas, o que se processa da seguinte forma: 1. por um ponto qualquer do espaço conduzem-se duas rectas – uma recta paralela à direcção luminosa (que é uma das direcção que os planos tangentes luz/sombra contêm) e uma outra paralela às geratrizes/arestas laterais do sólido (que é outra das direcção que os planos tangentes luz/sombra contêm); 2. as duas rectas são concorrentes, pelo que definem um plano – determina-se a recta de intersecção desse plano (que já tem a orientação dos planos tangentes luz/sombra) com o plano de uma das bases (a base de referência) – recta i; 3. conduzem-se as rectas t e t’, tangentes (ou rasantes) a essa base do sólido e paralelas à recta i e que nos permitem identificar os pontos de tangência e determinar as geratrizes/arestas laterais de tangência; 4. as rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra com o plano dessa base e cada um dos planos tangentes luz/sombra está definido por duas rectas e pela sua orientação (um dos planos está definido pela recta t, pela respectiva geratriz/aresta lateral de tangência e pela sua orientação previamente determinada, e o outro pela recta t’, pela respectiva geratriz/aresta lateral de tangência e também pela sua orientação).

293

SOLUÇÕES

608. Segundo o Critério de paralelismo entre planos, dois planos são paralelos entre si se e só se duas rectas concorrentes de um dos planos forem paralelas a duas rectas concorrentes do outro plano, ou seja, se os dois planos tiverem, em comum, duas «famílias» de rectas. Sendo dada uma direcção luminosa, os dois planos tangentes (ou rasantes) luz/sombra contêm necessariamente a direcção luminosa, que é uma «família» de rectas – já está identificada uma «família» de rectas comum aos dois planos. Por outro lado, qualquer plano tangente (ou rasante) a um prisma contém necessariamente a «família» das arestas laterais do sólido – já está identificada outra «família» de rectas comum aos dois planos. Face ao exposto, os dois planos têm, em comum, duas «famílias» de rectas, pelo que verificam o Critério de paralelismo entre planos – os dois planos são necessariamente paralelos.

609. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da pirâmide, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s l u z / s o m b r a, o que se efectuou através das quatro etapas para o efeito. 1. Conduziu-se, por V, um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz). 2. Determinou-se o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano da base – ponto I (note que I é, imediatamente, o traço horizontal de l, pois a base da pirâmide está contida no Plano Horizontal de Projecção). 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base, t e t’, que são, imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes luz/sombra. 4. As rectas t e t’ são tangentes à base nos pontos B e A , respectivamente – as arestas laterais [B BV] e [A AV] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra (são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes ao sólido). As BV] e [A AV] separam a parte da superfície lateral da pirâmiarestas [B de que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniênB CV], [C CDV] e cia da luz (de cima, de trás e da esquerda), as faces [B A DV] estão iluminadas, enquanto que a face [A A BV] está em som[A bra. A base da pirâmide também está em sombra, pelo que a l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a é a l i n h a q u e b r a d a f e c h a d a [A A V B CD]. A s o m b r a p r ó p r i a da pirâmide integra unicamente a face lateral A BV] e a base da pirâmide. Em projecção horizontal, apenas a [A base é invisível (as faces laterais são todas visíveis em projecção horizontal), pelo que se assinalou a sombra própria visível. Já em projecção frontal, nenhuma das faces em sombra é visível, pelo que não há sombras próprias a assinalar. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra – As 1, B s 1, Cs 1 e Ds 1 situam-se no SPHA e Vs 2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra projectada da pirâmide tem pontos de quebra. Estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de V – Vv 1. Após o desenho do contorno da sombra, identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes com vista a conferir uma melhor leitura à resolução gráfica apresentada. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça, na sombra própria, paralelamente ao eixo X e, na projectada, perpendicularmente à respectiva projecção da direcção luminosa. Note que a porção de sombra que está por baixo da base está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação a tracejado, pois não se vê a sombra).

610. Em primeiro lugar representaram-se a pirâmide e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício anterior, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes à base AV] e [C CV] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra (são nos pontos A e C, respectivamente – as arestas laterais [A AV] e [C CV] separam a parte da superfície lateral da pirâas arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes ao sólido). As arestas [A A BV] e [B B CV] estão iluminadas mide que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (do foco luminoso), as faces [A CDV] e [A A DV] estão em sombra. A base da pirâmide também está em sombra, pelo que a l i n h a s e p a r a t r i z enquanto que as faces [C luz/sombra é a linha quebrada fechada [A AVCB]. A sombra pró pria da pirâmide integra as faces laterais [A A DV] e [C CDV] e a base da pirâmide. Em projecção horizontal, apenas a base é invisível (as faces laterais são todas visíveis em projecção horizontal), pelo que se assinalou CDV] é visível, pelo que é a única a sombra própria visível. Já em projecção frontal, de todas as partes em sombra apenas a face lateral [C sombra própria a assinalar. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra, que se situam todas, sem excepção, no SPHA – a sombra projectada da pirâmide não admite pontos de quebra. Após o desenho do contorno da (Continua na página seguinte) 294

SOLUÇÕES

sombra, identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes com vista a conferir uma melhor leitura à resolução gráfica apresentada. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça, na sombra própria, paralelamente ao eixo X e, na projectada, perpendicularmente à respectiva projecção da direcção luminosa. Note que a porção de sombra que está por baixo da base está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação a tracejado, pois não se vê a sombra).

611. Em primeiro lugar representou-se a pirâmide pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base da pirâmide. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s l u z / s o m b r a, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que, nesta situação, em que a base da pirâmide não está contida em nenhum dos planos de projecção, as rectas t e t’ não são nenhum dos traços dos planos tangentes luz/sombra – as rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano ϕ (o plano que contém a base da pirâmide). As rectas t e t’ são tangentes à base nos pontos A e C, respectivamente – AV] e [C CV] são, imediatamente, duas arestas da linha as arestas laterais [A separatriz luz/sombra (são as arestas segundo as quais os planos λ1 e AV] e [C CV] separam a parte da λ2 são tangentes ao sólido). As arestas [A superfície lateral da pirâmide que está iluminada, da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, de trás e da esquerda), as faces A BV] e [B B CV] estão iluminadas enquanto que as faces [C CDV] e [A ADV] [A estão em sombra. A base da pirâmide também está em sombra, pelo que AVCB]. A a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [A sombra própria da pirâmide integra as faces laterais [A ADV] e [C CDV] e a base da pirâmide. Em projecção frontal, apenas a base é invisível (as faces laterais são todas visíveis em projecção frontal), pelo que se assinalou a sombra própria visível. Já em projecção horizontal, de todas as CDV] é visível, pelo que é a únipartes em sombra apenas a face lateral [C ca sombra própria a assinalar. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra – Bs2 e Cs2 situam-se no SPFS e Vs1 e A s1 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada da pirâmide admite dois pontos de quebra (um situado entre Vs1 e Cs2 e o outro situado entre Bs2 e A s1). O primeiro determinou-se com A B] do quadrado (que é o recurso à sombra virtual de C – Cv1. O segundo determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o lado [A frontal) e a sua sombra no Plano Frontal de Projecção (ver exercício 570 e respectivo relatório). Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada da pirâmide, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, é possível identificar as áreas de sombra com tracejado (ver relatório do exercício anterior).

295

SOLUÇÕES

612. Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da pirâmide, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que, nesta situação, em que a base da pirâmide não está contida em nenhum dos planos de projecção, as rectas t e t’ não são nenhum dos traços dos planos tangentes luz/sombra – as rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano ν (o plano que contém a base da pirâmide). As rectas t e t’ são tangentes à base nos pontos C e D, respectivaCV] e [D DV] são, imemente – as arestas laterais [C diatamente, duas arestas da l i n h a s e p a r a t r i z luz/sombra (são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes ao sólido). As arestas CV] e [D DV] separam a parte da superfície lateral [C da pirâmide que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, de A D V ], [A A BV] e trás e da esquerda), as faces [A B C V ] estão em sombra, enquanto que a face [B CDV] está iluminada. A base da pirâmide também [C está iluminada, pelo que a l i n h a s e p a r a t r i z luz/sombra é a linha quebrada fechada CVDA B]. A s o m b ra p r ó p r i a da pirâmide integra [C A DV], [A A BV] e [B B CV]. Em projecas faces laterais [A ção horizontal, apenas a base é visível (as faces laterais são todas invisíveis em projecção horizontal), pelo que não há nenhuma sombra própria visível (todas as faces em sombra própria são invisíveis em projecção horizontal) – a base, que é visível, está iluminada. Já em projecção frontal, de B CV] é visível, pelo que é a única sombra própria a assinalar. Em seguida, determinaramtodas as faces em sombra apenas a face lateral [B -se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra – As 2, B s 2 e Ds 2 situam-se no SPFS e Cs 1 e Vs 1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada da pirâmide admite dois pontos de quebra (um situado entre Vs 1 e Ds 2 e o outro situado entre B s 2 e Cs 1). O primeiro determinou-se com o recurso à sombra virtual de D – Dv 1. O segundo determinou-se atendendo à situação de paralelismo B C] do quadrado (que é horizontal) e a sua sombra no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 568 e respectivo relatório). entre o lado [B Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada da pirâmide, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, é possível identificar as áreas de sombra com tracejado (ver relatório do exercício 610).

613. Em primeiro lugar representaram-se a pirâmide e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano ν (o plano que contém a base da CV] e [D DV] são, imediatamente, pirâmide). As rectas t e t’ são tangentes à base nos pontos C e D, respectivamente – as arestas laterais [C CV] duas arestas da linha separatriz luz/sombra (são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes ao sólido). As arestas [C DV] separam a parte da superfície lateral da pirâmide que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (do foco e [D A DV], [A A BV] e [B B CV] estão em sombra, enquanto que a face [C CDV] está iluminada. A base da pirâmide também está luminoso), as faces [A CVDA B]. A sombra própria da pirâmide integra as faces iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [C A DV], [A A BV] e [B B CV]. Em projecção horizontal, apenas a base é visível (as faces laterais são todas invisíveis em projecção horizonlaterais [A tal), pelo que não há nenhuma sombra própria visível (todas as faces em sombra própria são invisíveis em projecção horizontal) – a base, (Continua na página seguinte) 296