L贸gica a trav茅s del tiempo Hombres y Mujeres involucrados con la ciencia
Estudio de la Integral
. Elaborada por:
Eduardo Gaona José A. Escobar Jenimar Saavedra Fecha de Edición: Semana 20 Año 2011
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Lógica a través del tiempo
Históricamente la palabra “lógica” ha ido cambiando de sentido. Comenzó siendo una modelización de los razonamientos, propuesta por los filósofos griegos, y posteriormente ha evolucionado hacia diversos sistemas formales, relacionados con la teoría. Etimológicamente la palabra lógica deriva del término griego logikós derivado de logos ‘razón’.
Se
considera a Aristóteles el fundador de la En la edad Antigua: La lógica nace como disciplina independiente Grecia. Aristóteles fue el primer filosofo quien escribió la obra "EL ORGANON” En esta obra expone en forma detallada el SILOGISMO. Después de Aristóteles aparecen los filósofos megáricos como Crisipo Filón y otros que crearon la lógica Coligativa.
En la edad Media: En esta edad sigue dominando la lógica Aristotélica. Aparecen los
lógica como propedéutica o herramienta básica para todas las Ciencias, ya que fue el primero en formalizar completamente el campo. Entre los muchos aportes que hizo Aristóteles al conocimiento abstracto, sin duda la lógica formal – de la que fue indiscutiblemente creador – no solamente puede considerarse el más trascendental, sino aquel en que logró mejores y mayores aciertos. La principal aportación de Aristóteles fue la silogística, el estudio del procedimiento de raciocinio por medio del silogismo, en que de dos premisas se deduce una conclusión; también llamada lógica de las proposiciones o lógica “clásica”. Los filósofos ulteriores, sobre todo los pertenecientes a la escuela estoica pre-cristiana y a la escolástica medieval desarrollaron a fondo la lógica de las proposiciones; sistematizando y completando la silogística aristotélica así como llegaron a desarrollar las llamadas “lógicas modales”. filósofos Alberto de Sajonia, Juan Buridán y Pedro Abelardo quienes descubrieron nuevos tipos de inferencia.
En la edad Moderna: Sigue predominando el silogismo de Aristotélico. Pero Godofredo Leibniz trato de invertir un lenguaje formalizo pero no trascendido. Posteriormente los filósofos y matemáticos ingleses George Boole y de Morgan crean el lenguaje formalizado y revoluciona la teoría de la inferencia.
En la edad Contemporánea: En la primera década presente siglo aparecen los filósofos: Bertrand, Russell, Alfrdo Whiteheard quienes sistematizaron todos los tipos de inferencia descubiertos, en su obra “principia methematica”. Por ultimo aparece el genial David Gilber, que perfecciono los trabajos de Russel y Whitehead. Luego surgen Godel y Tarsky.
que relacionan a estos objetos entre sí, los axiomas de la teoría. De los axiomas se deducen nuevas proposiciones -los teoremas-, y a veces, nuevos objetos. La construcción de sistemas formales -formalización, piedra angular de la lógica matemática-, permite eliminar la arbitrariedad en la elección de los axiomas y definir explícita y exhaustivamente las reglas de la deducción matemática.
Las matemáticas y la lógica
Lógica Matemática La lógica matemática cuestiona con rigor los conceptos y las reglas de deducción utilizados en matemáticas lo que convierte la lógica en una especie de metamatemática. Una teoría matemática considera objetos definidos -enteros, por ejemplo- y define leyes
Del año 600 aC hasta 300 aC se desarrollan en Grecia los principios formales de las matemáticas. Este periodo clásico lo protagonizan Platón, Aristóteles y Euclides. Platón propone ideas o abstracciones. Aristóteles resuelve el razonamiento deductivo y sistematizado. Euclides es el autor que establece el método axiomático. En los Elementos Euclides organiza las pruebas deductivas de que dispone dentro de una estructura sistemática, rigurosa, altamente eficaz.
Hombres y Mujeres involucrados con la ciencia
Leibniz fue el primero en ver que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podían ser organizados en un arreglo, ahora conocido como matriz, el cual podía ser manipulado para encontrar la solución del sistema, si la hubiera. Este método fue conocido más tarde como "Eliminación Gaussiana". Leibniz también hizo aportes en el campo del álgebra booleana y la lógica simbólica. Cálculo infinitesimal Gottfried Wilhelm Leibniz, a veces von Leibniz (Nace, 1 de julio de 1646 - Muere, 14 de noviembre de 1716) fue un filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán. Aportes a la Matemática: Aunque la noción matemática de función estaba implícita en la trigonometría y las tablas logarítmicas, las cuales ya existían en sus tiempos, Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en emplearlas explícitamente para denotar alguno de los varios conceptos geométricos derivados de una curva, tales como abscisa, ordenada, tangente, cuerda y perpendicular.9 En el siglo XVIII, el concepto de "función" perdió estas asociaciones merament geométricas.
La invención del cálculo infinitesimal es atribuida tanto a Leibniz como a Newton. De acuerdo con los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 tuvo lugar un acontecimiento fundamental, ese día empleó por primera vez el cálculo integral para encontrar el área bajo la curva de una función y=f(x). Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo "integral" ∫, que representa una S alargada, derivado del latín "summa", y la letra "d" para referirse a los "diferenciales", del latín "differentia". Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo es probablemente su legado matemático más perdurable. Leibniz no publicó nada acerca de su Calculus hasta 1684.10 La regla del producto del cálculo diferencial es aún denominada "regla de Leibniz para la derivación de un producto".
GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN Nació el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz, Hannover (Ahora Alemania) Falleció el 20 de julio de 1866 en Selasca, Italia Bernhard Riemann fue hijo de un ministro protestante. Recibió la educación elemental de su padre y mostró talento para la aritmética a temprana edad. En 1846 se inscribió en la Universidad de Góttingen para estudiar teología y filología, pero prefirió estudiar matemática. Estudió física con Weber y matemática con Gauss. Gauss, el maestro, que no tenía hábitos de elogiar a otros matemáticos, habló de "la mente creativa, activa, en verdad matemática y la gloriosamente fértil originalidad" de Riemann. En 1851 recibió su grado de doctor en filosofía en la universidad de Góttingen. Allí se quedó para dedicarse a la docencia dado que continuó con la cátedra de Gauss que fue ocupada por Dirichlet en el año 1855 y luego por él.
Sus escritos de 1854 llegaron a ser un clásico en matemática. En 1862, año un después de su matrimonio, sufrió un ataque de pleuritis y durante el resto de su vida fue un hombre agobiado por esta enfermedad para morir de tuberculosis a los 39 años de edad.
Los ricos y amplios conceptos de Riemann del espacio y de la geometría tuvieron profundos efectos en el desarrollo de la teoría física moderna y brindaron los conocimientos y métodos usados cincuenta años más tarde como apoyo concreto para la teoría general de la relatividad desarrollada por Einstein. Además de su trabajo en geometría, hizo contribuciones básicas a la teoría de las funciones de una variable compleja, a la física matemática y a la teoría de números. Clarificó la noción de Integral, definiendo lo que ahora llamamos Integral de Riemann. Él fue quien permitió calcular las integrales a partir de la definición como un límite de sumas. Su muerte prematura determinó una gran pérdida para el mundo matemático porque su trabajo fue brillante y de importancia capital. Pensador y generador de métodos, teoremas y conceptos que llevan su nombre.
Émilie de Chatelet Su obra cumbre es la traducción al francés de los "Principios de Newton" a los que añadió sus comentarios y explicaciones. Es la primera y única traducción francesa hasta la fecha. Por aquella época muy pocos eran capaz de entender la obra de Newton y este libro ayudaría a la divulgación del genial matemático. Émilie frecuentaba los cafes parisinos, pero tenía que ir vestida de hombre pues solo se dejaba entrar a las putas, el resto de mujeres tenían su entrada prohibida. En éstos cafes los matemáticos discutían de ciencia y filosofía. Si Émilie tuvo que disfrazase de hombre, otra francesa quizás la mayor matemática de la historia; tuvo que adoptar la identidad de un hombre para poder dar a conocer sus descubrimientos matemáticos. Se trata de Sophie Germain. Sophie fue autodidacta. En plena Revolución Francesa aún estaba mal visto que una mujer se dedicase a las matemáticas.
María Gateana Agnesi Hay que esperar más de 1300 años para volver a encontrar una mujer impartiendo clases de matemáticas. Es en 1748 en la Universidad de Bolonia se trata de la milanesa María Gaetana Agnesi. Unos meses antes acababa de publicar "Las instituciones analíticas". Es el libro más completo para explicar unas nuevas matemáticas, que Newton y Leibniz acababan de descubrir de forma independiente, "el cálculo diferencial e integral". Muy pocos matemáticos dominaban éstas nuevas matemáticas y "las instituciones" se convirtieron en el libro de texto más popular en Europa durante más de cincuenta años. María Agnesi descubrió una curva que desde entonces se llama "Curva de Agnesi" aunque por un error en la primera traducción inglesa, también se le conoce como "Bruja de Agnesi". Además de ser una gran matemática hablaba perfectamente siete idiomas.
Estudio de la Integral El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
La integral Es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
Teoría De la Integral
Dada una variable f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano xy limitada entre la grafica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x. La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina, integral indefinida mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental de cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una anti derivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.
Notación de la Integral
Historia De la Integral
Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundía fácilmente con o , que Newton usaba para indicar la derivación, y además la notación "caja" era difícil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas.
Integración antes del cálculo
La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675.2 3 Para indicar summa (en latín, "suma" o "total"), adaptó el símbolo integral, "∫", a partir de una letra S alargada. La notación moderna de la integral definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera vez Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819–20, reimpresa en su libro de 1822.4 5 En la notación matemática en árabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido
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La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.