12 belles équations et formules emblématiques by FSMP FSMP

12 belles ĂŠquations et formules emblĂŠmatiques

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avec l’aide précieuse de Valérie Berthé

Si la formule E=mc2 vous est sûrement familière, l’équation ci-dessus est, elle, moins connue. Publiée par Albert Einstein en 1915, elle décrit comment la matière et l’énergie modifient la courbure de l’espace-temps. Ses solutions permettent de déterminer cette courbure, et donc la géométrie de l’espace-temps. Parmi ses applications, se trouve la modélisation des trous noirs : ces objets célestes qui ne peuvent ni émettre, ni réfléchir la lumière.

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L’équation d’Einstein

Courbe elliptique, cela vous fait penser à ellipse ? Rien d’aussi simple cependant : cette dernière n’appartient pas à la catégorie des courbes elliptiques. L’équation de l’ellipse dans le plan n’est pas de la forme ci-dessus, et ne contient pas de termes à la puissance 3. De très nombreux domaines des mathématiques et de l’informatique fondamentale font appel aux courbes elliptiques : théorie des nombres, géométrie algébrique, analyse complexe, cryptologie. Elles sont même utilisées pour décrire le mouvement des toupies.

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Les courbes elliptiques

La formule établie par James Stirling au XVIIIème siècle fait apparaître cette curieuse notation, n!, où n est un entier naturel. Appelée factorielle, elle désigne le produit de tous les entiers, strictements positifs, qui sont inférieurs ou égaux à n. Ainsi 1!=1, 2!=2x1, 3!=3x2x1, etc. Et par convention, 0!=1. Le principal intérêt de la formule de Stirling, c’est qu’elle donne l’équivalent de n! quand n tend vers l’infini.

La formule de Stirling

Cette équation aux dérivées partielles définie par Fischer Black et Myron Scholes en 1973 est capitale dans l’univers des produits dérivés. En la résolvant, il devient possible de calculer les prix de certains de ces produits dérivés, de manière à se prémunir contre des événements de marché, ou de spéculer sur d’autres. Largement utilisée, cette équation s’obtient cependant sous certaines hypothèses de marché, qui ne sont pas vérifiées en cas de crises ou de crashs.

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L’équation Black-Scholes

Claude Shannon a inauguré l’ère de l’information avec sa définition de l’entropie. Partant d’une source quelconque (texte, signal électrique, fichier informatique,...) cette fonction considère la probabilité d’apparition de chaque symbole composant cette source. Plus l’entropie ainsi obtenue est grande, plus il y a d’incertitude sur les symboles à venir. Fondement de la théorie de l’information et des télécommunications, l’entropie de Shannon trouve aussi des applications en statistiques, systèmes dynamiques, intelligence artificielle ou cryptographie.

L’entropie de Shannon

Considérez les nombres 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862 ... Sauriez-vous trouver les suivants ? La formule ci-dessus le permet : elle donne le n-ième terme de cette suite d’entiers naturels. C’est au XIXème siècle, en étudiant le jeu mathématique de la Tour de Hanoï, que Eugène Catalan intoduisit ces nombres. Ceux-ci comptent de nombreux objets combinatoires, comme par exemple les expressions parenthésées.

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Les nombres de Catalan

Un prix d’un million de dollars est attaché à la résolution de cette équation, établie au XIXème siècle par Henri Navier et George Stokes. En effet, le problème est ardu : l’équation tend à décrire le mouvement des fluides, or ceux-ci se déplacent de façon très complexe. Aujourd’hui, par une résolution approchée, il est possible de modéliser courants océaniques et mouvements de masse d’air. À la clé, des applications dans de multiples domaines (météorologie, aviation, etc.).

L’équation de Navier-Stokes

Considérée comme la formule la plus remarquable du monde (Richard Feynman), l’étalon-or de la beauté mathématique (Paul Nahin), l’identité établie par Leonhard Euler au XVIIIème siècle n’en finit pas de fasciner. Elle fait apparaître l’addition, la multiplication et l’exponentiation, trois des opérations basiques de l’arithmétique, et lie cinq constantes mathématiques fondamentales : e, i, π, 1 et 0. Il est possible de la démontrer géométriquement ou par l’analyse complexe.

L’identité d’Euler

Il aura fallu plus de trois siècles de recherches et d’efforts, menés par des mathématiciens parmi les plus talentueux, pour venir à bout de la conjecture de Fermat. C’est Andrew Wiles qui démontre enfin, en 1995, l’énoncé suivant : l’équation ci-dessus n’admet pas de solution (x,y,z) en nombres entiers dès que n est un entier strictement supérieur à 2. Les idées et les outils conçus pour cette démonstration, qui font notamment appel à la notion de courbe elliptique, ont constitué une avancée remarquable en théorie des nombres et en géométrie algébrique.

L’équation de Fermat

C’est en étudiant la propagation de la chaleur dans une tige métallique, au début du XIXème siècle, que Joseph Fourier conçut la transformée qui porte son nom. Son objectif ? Modéliser l’évolution de la température le long de la tige. Parmi les applications actuelles, se trouvent la compression numérique pour les images, la vidéo et le son (jpeg, mpeg, map3, mp4,…), la détermination de structures type ADN, le calcul numérique et formel avec la multiplication rapide, et bien d’autres encore.

La transformée de Fourier

Ces quatre équations, établies par James Maxwell au XIXème siècle, lient profondément électricité et magnétisme : elles montrent que lorsque qu’un champ électrique est en rotation, un champ magnétique est créé, et vice-versa. Radio, radar, télévision ou encore connexion sans fil en découlent : « Les équations de Maxwell n’ont pas seulement transformé le monde, elles en ont ouvert un tout neuf » (Ian Stewart).

Les équations de Maxwell

Imaginez un univers où un chat dans une boîte pourrait être à la fois vivant et mort ; où la lumière serait tout à la fois onde et particule. C’est en effet dans ce monde pour le moins déroutant, celui de l’infiniment petit, que prend place l’équation du physicien Erwin Schrödinger. À cette échelle, elle modélise la matière en tant qu’onde, et en décrit sa propagation.

L’équation de Schrödinger

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