GRADO
GUÍA DE ESTUDIO DE LA ASIGNATURA 2ª PARTE | Matemática Discreta
2010-2011
Ernesto Martínez
GRADO EN TÍTULO DEL GRADO UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
1.
PLAN DE TRABAJO Y CRONOGRAMA
El objetivo general del curso de Matem´atica Discreta ser´a introducir a los alumnos en el conocimiento de las t´ecnicas b´asicas que comprenden las disciplinas matem´aticas de las tres Unidades Did´acticas que componen el programa de la asignatura. Pero como toda asignatura de Matem´aticas, y m´as al estar ubicada en el comienzo del plan de estudios, debe ense˜ nar a los estudiantes a pensar matem´aticamente. Para conseguir esto u ´ltimo K. H. Rosen, en el prefacio de su libro Discrete Mathematics and its Applications, destaca cinco importantes temas que deben estar cuidadosamente mezclados y entrelazados. Resumimos brevemente sus ideas junto a comentarios propios: Razonamiento matem´ atico. Se debe entender el razonamiento matem´atico para estar en condiciones de leer, comprender y construir argumentos matem´aticos. Hay que conseguir una buena comprensi´on de la inducci´on como una t´ecnica importante y v´alida para demostrar resultados. An´ alisis combinatorio. Una destreza que hay que conseguir es la habilidad para resolver problemas en los que hay que contar objetos. Por tanto, hay que poner el acento en saber plantear bien las situaciones combinatorias sin quedarse en una mera aplicaci´on de f´ormulas. Estructuras discretas. Las estructuras discretas son las estructuras abstractas utilizadas para representar objetos discretos: por ejemplo, conjuntos, permutaciones, grafos y ´arboles. El estudiante debe conseguir saber trabajar con estas estructuras abstractas superando el ejemplo concreto que puede habelas motivado. Aplicaciones y Modelizaci´ on. Las aplicaciones en las que se usa la Matem´atica Discreta son innumerables. A trav´es del estudio de algunas de esas aplicaciones, el estudiante debe captar la importancia y alcance de los conceptos que aprende en esta asignatura. Saber modelizar es tambi´en una importante habilidad que se debe conseguir trabajando muchos y variados ejemplos y ejercicios. Pensamiento algor´ıtmico. Muchos problemas que se estudian en esta disciplina se resuelven mediante un algoritmo que puede ser implementado en un ordenador. El estudiante debe acostumbrarse a pensar algor´ıtmicamente. Aunque en primer curso no se ha cursado todav´ıa pro´ gramaci´on, la utilizaci´on de programas de C´alculo y Algebra Simb´olica, como Maple, ayudar´a a conseguir este objetivo. Para ello los pasos que se seguir´an para el desarrollo de cada tema son los siguientes: Motivar con ejemplos y problemas concretos la aparici´on de los distintos conceptos.
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Desarrollar los contenidos (definiciones y resultados) con mucho detalle y abundantes explicaciones. Ilustrar los contenidos con gran n´ umero de ejemplos detalladamente resueltos, y proponer ejercicios no resueltos que permitan ejercitarse en las t´ecnicas aprendidas y autoevaluarse. Este punto es importante ya que, en general, los conceptos y resultados que se estudian en esta asignatura se caracterizan por una extraordinaria sencillez en su enunciado, que muchas veces no se corresponde con su nivel real de dificultad. Aludir, siempre que sea posible, a las aplicaciones de los conceptos y t´ecnicas vistos en cada tema. Para ello, adem´as de incluir en cada Unidad Did´actica un apartado dedicado a Aplicaciones, se ha dise˜ nado un conjunto de pr´acticas elaboradas con el programa Maple.
CRONOGRAMA La Matem´atica discreta es una asignatura de 6 ECTS, as´ı que se calcula que llevar´a unas 150 horas de trabajo. Este tiempo es solamente indicativo y aproximado puesto que depende de la disponibilidad real de tiempo del estudiante, de su rapidez en asimilar los contenidos y, quiz´a principalmente, de su formaci´on previa. Es imposible generalizar estos factores, por lo que cada uno tendr´a que concretarse su ritmo de estudio y trabajo de las actividades. El curso est´a planificado en 12 semanas, que es aproximadamente la duraci´on de un cuatrimestre. A continuaci´on se sugiere el contenido de estudio para cada semana, junto con las actividades de repaso y autoevaluaci´on. En el Curso virtual se dar´an orientaciones detalladas para el estudio de cada una de las tres Unidades Did´acticas y para cada uno de los quince Temas del programa. El contenido de la Primera Unidad Did´actica se ha dividido en cuatro semanas. En cada una se estudiar´an uno o dos capitulos, de acuerdo a la longitud de los mismos. La quinta semana se dedica al cap´ıtulo 1-6 (muy corto y sencillo) y a las actividades de repaso y autoevaluaci´on. Semana 1
Semana 2
Operaciones con n´ umeros enteros y propiedades de las mismas Algoritmo de la Divisi´on Definici´on y propiedades del operador MOD M´aximo com´ un divisor y Algoritmo de Euclides Teorema Fundamental de la Aritm´etica C´alculo del m.c.d y del m.c.m de dos o m´as n´ umeros Principio de Inducci´on Principio Fuerte de Inducci´on Ecuaciones diof´anticas. Condici´on de solubilidad Algoritmo para resolver una ecuaci´on diof´antica Algoritmo de factorizaci´on de Fermat Ternas pitag´oricas Algunas ecuaciones diof´anticas no lineales 2
Semana 3
Semana 4
Definiciones. Congruencias. Sistema completo de residuos Propiedades de las congruencias Conjunto de soluciones no congruentes de una ecuaci´on diof´antica Sistemas de ecuaciones diof´anticas. El Teorema Chino del Resto Funci´on φ de Euler y Teorema de Euler El Peque˜ no Teorema de Fermat Teorema de Wilson Expresi´on de un n´ umero entero en una base b cualquiera (b ∈ N, b ≥ 2) Operaciones con n´ umeros expresados en una base no decimal Criterio general de divisibilidad por un n´ umero natural k ≥ 2 Se sugiere realizar el resto de los ejercicios del libro de Problemas Actividades de autoevaluaci´on
Se sugiere dedicar cuatro semanas a la Segunda Unidad Did´actica. . Semana 5
Semana 6
Semana 7
Semana 8
Definiciones de los elementos de un grafo Tipos especiales de grafos: digrafos, pseudografos y multigrafos Grafos isomorfos Primer Teorema de la Teor´ıa de Grafos Definici´on de subgrafo Grafos regulares y grafos completos Definiciones: camino, camino cerrado, longitud de un camino, caminos simples, ciclos y circuitos Grafos conexos Definiciones de camino y circuito euleriano. Grafos Eulerianos Condici´on necesaria y suficiente para que un grafo sea Euleriano Definiciones de caminos y ciclos hamiltonianos. Grafos Hamiltonianos Componentes conexas de un grafo Una condici´on para que un grafo sea Hamiltoniano Matriz de adyacencia de un grafo y de un digrafo C´alculo del n´ umero de caminos de longitud dada entre dos v´ertices de un grafo mediante matrices de adyacencia Definici´on y propiedades de los ´arboles Algoritmo de Dijkstra Grafos planos Mapas. Regiones. Grado de una regi´on F´ormula de Euler Condiciones num´ericas necesarias para que un grafo sea plano Teorema de Kuratowski de caracterizaci´on de un grafo plano Coloraci´on de grafos y mapas. El Teorema de los Cuatro Colores Se sugiere realizar el resto de los problemas del libro de Problemas Actividades de autoevaluaci´on Repaso de las Unidades 1 y 2
Se dedicar´an tres semanas a la Tercera Unidad Did´actica. Para el Tema 3-2 (bastante largo) se sugiere dividir su estudio entre las semanas nueve y diez. La semana doce se dedicar´a al repaso general de la asignatura. 3
Semana 9
Semana 10
Semana 11
Semana 12
2.
Principios de Adici´on, de Multiplicaci´on y de Distribuci´on Permutaciones: definici´on, notaci´on, producto de permutaciones N´ umero de permutaciones en un conjunto de n elementos Variaciones. N´ umero de variaciones. Variaciones con repetici´on Definici´on de n´ umero combinatorio. Propiedades Combinaciones. Combinaciones con repetici´on N´ umero de soluciones enteras no negativas de una ecuaci´on N´ umero de combinaciones con repetici´on Permutaciones circulares Cuadro resumen Otras propiedades de los n´ umeros combinatorios F´ormula y tri´angulo de Pascal Teorema del Binomio Coeficientes multinomiales. Permutaciones con repetici´on de objetos F´ormula de Leibniz para el c´alculo de coeficientes multinomiales N´ umero de elementos en la intersecci´on de varios conjuntos finitos Principio de Inclusi´on-Exclusi´on Desordenaciones de los elementos de un conjunto. N´ umero de ellas Definici´on de relaci´on de recurrencia. Valores iniciales Relaciones de recurrencia lineales Ecuaci´on caracter´ıstica asociada a una relaci´on de recurrencia M´etodos de resoluci´on de algunos tipos de relaciones de recurrencia Se sugiere realizar el resto de los ejercicios del libro de Problemas Ejercicios de autoevaluaci´on Repaso de la 3a Unidad Did´actica Repaso general de la asignatura Realizaci´on de algunos ex´amenes de a˜ nos anteriores
ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO DE LOS TEMAS
A continuaci´on se hace una breve descripci´on de los conceptos m´as importantes que se estudian en los Temas que componen el programa. En el Curso virtual aparecer´a una introducci´on m´as detallada al comienzo de cada Unidad Did´actica y de cada Tema.
Unidad Did´ actica 1: Introducci´ on a la Teor´ıa de N´ umeros Se supone que el alumno est´a familiarizado con los n´ umeros naturales y enteros. Estos conjuntos de n´ umeros se denotan mediante los s´ımbolos N y Z, respectivamente. Expl´ıcitamente: N = 1, 2, 3, 4, 5, . . ., Z = . . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .. En el Tema 1.1 se presentan las operaciones b´asicas entre n´ umeros enteros: suma, diferencia, producto y divisi´on. Se establece el Algoritmo de la Divisi´on de dos n´ umeros enteros, que garantiza la unicidad del cociente y el resto en la divisi´on. Tras introducir el concepto de m´aximo com´ un divisor, se establece el Algoritmo de Euclides, que nos permitir´a calcular el m´aximo com´ un divisor de dos n´ umeros enteros. 4
Se introduce el concepto de n´ umero primo en el Tema 1.2 y se estudian propiedades b´asicas de estos n´ umeros. Como consecuencia de ellas se establece el Teorema Fundamental de la Aritm´etica, que permite factorizar todo n´ umero entero no nulo y distinto de ±1 como producto de n´ umeros primos. A menudo, en las Matem´aticas, aparecen muchos problemas que tienen un enunciado de la siguiente forma: Sea P (n) una determinada propiedad acerca de un n´ umero natural. Demostrar que P (n) es verdadera para todo n ∈ N. Para resolver este tipo de problemas se utiliza el Principio de Inducci´on, que se introduce en el Tema 1.3, y que es una potente herramienta en Matem´aticas. Otro importante concepto que se estudiar´a en esta parte de la asignatura es el de Ecuaci´on Diof´antica. Hasta ahora, el alumno est´a familiarizado con la resoluci´on de ecuaciones lineales del tipo ax+b = 0, con las de segundo grado: ax2 +bx+c = 0, y, en general, con las ecuaciones polin´omicas en una variable, as´ı como con sistemas lineales de ecuaciones en varias variables. Las soluciones de esta clase de ecuaciones pod´ıan pertenecer al conjunto de los n´ umeros reales R, o al de los complejos C. Cuando tratemos de encontrar las soluciones enteras de ecuaciones algebraicas con m´as de una variable indeterminada, estaremos resolviendo una ecuaci´on diof´antica. En el Tema 1.4 se estudiar´an las ecuaciones lineales en dos variables: ax + by = n, donde a, b, x, y, n ∈ Z, y las ecuaciones diof´anticas de la forma x2 − y 2 = n, entre otras. Un importante problema computacional es el manejo y representaci´on de n´ umeros enteros muy grandes. Para resolver, en parte, este problema es muy u ´til el concepto de congruencia. Dos n´ umeros enteros a y b son congruentes m´odulo otro entero m, si el resto de la divisi´on de a por m es el mismo que el que se obtiene al dividir b por m. Las congruencias permiten traducir problemas que involucran enteros muy grandes, en problemas equivalentes usando enteros peque˜ nos. Estas cuestiones se tratan en el Tema 1.5. Finalmente en el Tema 1.6, se estudiar´an los sistemas de sumeraci´on. En la sociedad actual, el sistema de numeraci´on empleado para representar los n´ umeros naturales es el sistema decimal. Cuando representamos un n´ umero, por ejemplo n = 138, en el sistema decimal, estamos diciendo de forma impl´ıcita que 138 = 1 · 102 + 3 · 101 + 8 · 100 , es decir estamos escribiendo el n´ umero como una combinaci´on de potencias de 10. Si escribi´esemos el mismo n´ umero como combinaci´on de potencias de 5 tendr´ıamos: n = 1 · 53 + 0 · 52 + 2 · 1 0 5 + 3 · 5 podr´ıamos decir que el n´ umero n escrito en base 5 es: 1023. El uso del sistema decimal es puramente convencional e hist´oricamente se han usado otros sistemas. Los Babilonios, hace 3000 a˜ nos, usaban potencias de 60 (un residuo actual de ello es nuestra forma de dividir las horas y los minutos). Actualmente los ordenadores trabajan con los sistemas binario (base 2), octal (base 8) y hexadecimal (base 16).
Unidad Did´ actica 2: Introducci´ on a la Teor´ıa de Grafos En el Tema 2.1 se introducen el lenguaje y los conceptos fundamentales sobre la estructura de grafo: v´ertices, aristas, grafos, digrafos, multigrafos, pseudografos, grado de un v´ertice, grafos isomorfos, subgrafo, grafo regular y grafo completo. Tambi´en se estudiar´a en este tema un resultado fundamental: El Primer Teorema de la Teor´ıa de Grafos, 5
que muestra la relaci´on existente entre el n´ umero de aristas de un grafo y los grados de sus v´ertices. Los grafos son utilizados con frecuencia para representar redes de comunicaci´on o de transporte, para ello resultan especialmente interesantes los llamados grafos eulerianos y hamiltonianos. As´ı que, una vez familiarizados con el concepto de grafo, en el Tema 2.2, se introduce el concepto de camino (sucesi´on de aristas conectadas por v´ertices) en un grafo, y se estudia la existencia de caminos cerrados que recorran todas las aristas de un grafo sin pasar dos veces por la misma (circuitos eulerianos), as´ı como los caminos cerrados que recorran todos los v´ertices de un grafo sin pasar dos veces por el mismo (ciclos hamiltonianos). Si un grafo se utiliza para representar una red de comunicaci´on es importante saber cu´ando un v´ertice, o nodo de la red, se puede comunicar con otro (esto se podr´a hacer siempre si el grafo es conexo) y cu´al es el camino m´as corto entre dos v´ertices. Para estudiar estas cuestiones resulta muy u ´til representar el grafo a trav´es de una matriz llamada Matriz de Adyacencia. Este concepto se tratar´a en el Tema 2.3 y es muy u ´til para la realizaci´on de c´omputos en ordenador. Tambi´en en este tema se estudian los grafos etiquetados. En estos grafos se asigna a cada arista una etiqueta, que se puede interpretar como su longitud o como el coste que supone recorrerla. El Algoritmo de Dijkstra nos dir´a como obtener el camino m´as corto, o de menos coste, entre dos v´ertices de un digrafo etiquetado. El dise˜ no de circuitos electr´onicos es una de las m´ ultiples aplicaciones de la Teor´ıa de Grafos. Imaginemos que se desea dise˜ nar un “chip” en el que existen tres puntos p1 , p2 y p3 que deben ser conectados con otros tres p4 , p5 y p6 . Para que esto sea posible las conexiones deben realizarse de modo que los hilos de conexi´on no se corten entre s´ı. La respuesta a este problema est´a en ver si el grafo que representa dicho circuito es plano. Los grafos planos tienen la caracter´ıstica de admitir una representaci´on gr´afica, en el plano, de modo que sus aristas no se corten entre s´ı. Estos grafos se estudiar´an en el Tema 2.4. La representaci´on gr´afica de los grafos planos da lugar al concepto de mapa. En el estudio de los mapas se abordar´a el problema cl´asico de la coloraci´on, que consiste en asignar colores a las regiones del plano que determina un mapa de modo que dos regiones lim´ıtrofes no tengan el mismo color. El Teorema de los Cuatro Colores nos dice que todo mapa en el plano se puede colorear usando cuatro (o menos) colores.
Unidad Did´ actica 3: Combinatoria En el Tema 3.1 se estudiar´an dos principios b´asicos para contar elementos de un conjunto: el Principio de Adici´on y el Principio de Multiplicaci´on. Tambi´en se estudiar´a el Principio de Distribuci´on que nos ser´a muy u ´til cuando tratemos de agrupar elementos de un conjunto. Uno de los problemas fundamentales que aborda la Combinatoria es el estudio de distintas colecciones de objetos que se pueden formar, seg´ un una ley dada. Estas colecciones responden a los nombres de: Permutaciones, Variaciones y Combinaciones, y ser´an estudiadas en el Tema 3.2.
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En el Tema 3.3 se estudian propiedades aritm´eticas de los n´ umeros combinatorios. Utilizando estas propiedades se obtienen los coeficientes del desarrollo del binomio (x+y)n (Teorema del Binomio), as´ı como los del desarrollo de la expresi´on algebraica (x1 + x2 + · · · + xk )n , llamados coeficientes multinomiales. Se dar´a una interpretaci´on en t´erminos combinatorios de estos coeficientes que se utilizan para la resoluci´on de un gran n´ umero de problemas. El Principio de Inclusi´on-Exclusi´on es, a pesar de su aparente simplicidad, una potente herramienta del An´alisis Combinatorio. Constituye, junto con los Principios de Adici´on y Multiplicaci´on, un resultado fundamental para el recuento de elementos de un conjunto. Permite la divisi´on de un problema complejo en subproblemas m´as sencillos. Se estudiar´a en el Tema 3.4 donde tambi´en se introduce el concepto de desordenaci´on, como un tipo particular de permutaci´on. Finalmente se estudiar´a el concepto de Recursi´on. Se dice que un objeto es recursivo, o est´a definido recursivamente, si est´a definido en funci´on de s´ı mismo. Las definiciones y las estructuras recursivas en Matem´aticas son un importante medio de plantear y resolver problemas y definir conjuntos. En las Ciencias de la Computaci´on, la recursi´on se usa en casi cualquier algoritmo: se dice c´omo proceder en uno o varios casos particulares, y de forma gen´erica se tienen los restantes casos por repetici´on de un proceso que, en cada paso, utiliza los datos que se obtuvieron en el paso anterior. Se estudiar´an las relaciones de recurrencia lineales con coeficientes constantes y algunos m´etodos para su resoluci´on.
3.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES
Para un completo desarrollo del curso se recomienda la realizaci´on de las siguientes actividades: Curso virtual. Lo primero que conviene es familiarizarse con el Curso virtual, sus contenidos y posibilidades. Al principio se debe leer la Introducci´on general a la asignatura, las orientaciones detalladas para el estudio y para la utilizaci´on del Laboratorio de Matem´atica Discreta con Maple. Estos mismos pasos se dar´an al comienzo de cada Unidad Did´actica y al comienzo del estudio de cada Tema. Al terminar el estudio de un Tema se realizar´an las pr´acticas con Maple y al concluir toda una Unidad Did´actica se realizar´an las actividades de autoevaluaci´on de la misma. Estudio de los temas correspondientes en el Texto base de la asignatura Elementos de Matem´ atica Discreta. Se aconseja realizar una primera lectura de los contenidos dedicando mucho tiempo a las definiciones y resultados principales as´ı como a los ejemplos detalladamente expuestos en el texto. Ejercicios y pr´ acticas. Se recomienda resolver los ejercicios propuestos en el libro de teor´ıa. Es muy importante enfrentarse a los problemas dedic´andoles esfuerzo y tiempo, antes de consultar las soluciones en el libro de problemas Problemas de Matem´ atica Discreta. Tambi´en se realizar´an las pr´acticas de Maple relacionadas con ´ cada Tema. Estas permiten la experimentaci´on y comprobaci´on r´apida de resultados. 7
Tutor´ıas y foros. Como medio para comunicarse con sus compa˜ neros, con su Tutor y con el Equipo Docente, se deben utilizar los foros del Curso virtual. Este medio es muy importante pues ayuda a resolver dudas de forma r´apida y a contrastar el estudio. El esfuerzo que se realiza para la exposici´on de las dudas ayuda a entender mejor el origen de sus problemas. Ex´ amenes del Curso virtual. Cuando se haya adquirido destreza en el manejo de los conceptos de la Unidad Did´actica, y se hayan hecho suficientes ejercicios y pr´acticas, se recomienda realizar los ex´amenes inclu´ıdos en el Curso virtual. All´ı hay ex´amenes de cada Unidad Did´actica, y otras pruebas globales sobre todos los contenidos de la asignatura. Complementos y Aplicaciones. En el Curso virtual tambi´en se han inclu´ıdo introducciones hist´oricas en cada una de las Unidades Did´acticas y enlaces a distintas p´aginas en Internet donde se pueden ampliar los conocimientos sobre temas concretos, aprender m´as sobre el origen de algunos de los problemas m´as famosos en las Matem´aticas (que aparecen en la asignatura), consultar biograf´ıas de matem´aticos, etc. Las Aplicaciones que se incluyen en algunos de los Temas permiten apreciar la potencia y utilidad de lo aprendido. Aunque los contenidos de las Aplicaciones no se preguntar´an en la Prueba Presencial, son interesantes y pueden ser objeto de actividades voluntarias para la evaluaci´on continua.
4.
GLOSARIO El Glosario est´a incluido en el Curso virtual.
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