Eventyrlig Matematikk- Fibos Farlige Reise by Fagbokforlaget

FIBOS FARLIGE REISE

Indias vidunderlige tall

FIBOS FARLIGE REISE

Anker Tiedemann

En pil suste tett forbi Fibos øre. Hvor kom den fra? Han kunne ikke se det. Det var mørkt rundt han. Det var mange stjerner på den svarte nattehimmelen, men de lyste uendelig svakt. Fibo kunne ane klippene som lå rundt han. Enda en pil. Men Fibo hadde hurtig lagt seg ned bak dromedaren. Det store dyret lå foran han som et skjold. Fienden gjemte seg et sted ute i mørket. Det var en bande med berbere som ville røve karavanens kostbare last. Fibos farlige reise er en bok i serien Eventyrlig matematikk. De spennende bøkene handler om mennesker som løste matematiske gåter. De brukte sin nysgjerrighet, oppfinnsomhet og fantasi. Og de hadde en stor porsjon mot. Les også de andre eventyrlige bøkene i serien. BM

DEN HEMMELIGE KLUBBEN

Lær deg å lage koder selv

Eureka. Jeg har funnet det!

DEN USYNLIGE SPIONEN

MORDET PÅ ARKIMEDES

SAMURAISVERDET

Anker Tiedemann

Pytagoras og vennene hans

Anker Tiedemann

En historie om veldig store tall

ISBN 978-82-11-03148-8

,!7II2B1-adbeii!

Dette er et utdrag.

FIBOS FARLIGE REISE Indias vidunderlige tall Anker Tiedemann Illustrasjoner Lars Bjørstrup

LESEDILLA EVENTYRLIG MATEMATIKK

Lesenivå: 6 Bokmål

LESEDILLA EVENTYRLIG MATEMATIKK

Lesenivå: 6 Bokmål

Forord

I bøkene om eventyrlig matematikk kan du lese om mennesker som har brukt livet sitt på å løse matematiske gåter. Spennende mennesker som har vært nysgjerrige og oppfinnsomme – og noen ganger veldig modige. Er du også nysgjerrig? Og har du lyst til både å lese en spennende historie og løse matematiske oppgaver underveis? Da er bøkene akkurat noe for deg. Hver oppgave har en rød prikk i første linje. Hvis du vil se om du har løst en oppgave riktig, kan du se det på slutten av boka. God fornøyelse!

•

Originaltittel: Fibos farlige færd. Indiens vidunderlige tal Copyright © originalutgave Anker Tiedemann og Forlaget Matematik Copyright norsk utgave © 2019 by Vigmostad & Bjørke AS All Rights Reserved 1. utgave / 1. opplag 2019 ISBN: 978-82-11-03148-8 Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen Grafisk design: Anker Tiedemann Illustrasjoner: Lars Bjørstrup Omslagsdesign ved forlaget Oversatt fra dansk av Jan Presttun Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00 Faks: 55 38 88 01 e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.

n pil suste tett forbi Fibos øre. Hvor kom den fra? Han kunne ikke se det. Det var mørkt rundt han. Det var mange stjerner på den sorte nattehimmelen, men de lyste uendelig svakt. Fibo kunne bare ane klippene som var rundt han. Enda en pil, men Fibo hadde kastet seg ned bak dromedaren sin. Det store dyret lå foran han som et skjold. Fienden gjemte seg et sted ute i mørket. Det var en bande berbere som ville røve karavanens kostbare last. Ved siden av Fibo lå vennen hans Pietro. Pietro var klar til å bruke armbrøsten sin hvis en berber skulle komme for tett innpå. «De gjemmer seg på baksiden av klippene», sa Pietro. «Når solen står opp, kan vi kanskje få has på dem.» Svissssh …! En ny pil. Pilen traff dromedaren, men den trengte ikke gjennom dyrets tykke skinn. Dromedaren ristet seg litt og ville reise seg opp. Fibo fikk beroliget den og fikk den til å bli liggende. «Klarer vi dette?» hvisket han til Pietro. «Kanskje slår de oss i hel og tar alle gullmyntene våre!» «Klarer vi dette! Vi skal klare det! Vi skal ned til kysten og hjem med lasten vår!» svarte Pietro. «De skal ikke få en eneste gullmynt!»

Fibo – Bonaccis sønn

Fibo var en gutt på 13 år. Han bodde i Afrika, men sine første leveår hadde han tilbrakt i byen Pisa i Italia. Der ble han født i 1170. Han husket ennå da de bygget det runde klokketårnet ved Pisas domkirke. Dette ble senere berømt som

En armbrøst er et skytevåpen med en spent bue som sender en pil av sted med stor kraft. Mannen på tegningen har spent buen. En mekanisme har trukket strengen tilbake og holder den fast. Armbrøsten er klar til å skyte. Fibo het egentlig Fibonacci. Det italienske navnet uttales fiboNAtsji.

«Det skjeve tårn i Pisa». Men da Fibo var liten, hadde tårnet ennå ikke begynt å synke til den ene siden på den myke jorden. Det skjedde først noen år senere. Fibos far var kjøpmann. Han het Guglielmo Bonacci, og Fibo var døpt Leonardo Bonacci. Senere ble han kalt noe helt annet. Leonardo ble nemlig en berømt matematiker, og man ga han navnet Fibonacci. Navnet hans kommer fra figlio di Bonacci, som er italiensk for sønn av Bonacci. Noen av vennene hans har sikkert gitt han et kjælenavn. Det gjør vi også i denne historien. Vi kaller han Fibo.

Pietro, Fibos beste venn

Da Fibo var tolv år gammel, flyttet familien til Algerie til en havneby som i dag heter Béjaïa. Noen av de rike kjøpmennene i Pisa hadde sagt til faren hans: «Broder Bonacci, Pisa har bruk for deg! Vi kjøpmenn handler jo med araberne i Afrika. Vi har bruk for en mann på stedet. Kan det være noe for deg?» Bonacci var ikke i tvil. Forretningen hans i Pisa gikk ikke særlig godt. Kanskje ville det hjelpe hvis han reiste til Afrika. Der kunne han komme nærmere de kjøpmennene som solgte varer fra Asia. Kanskje var det gode penger å tjene. Jo, det var klart noe for han å flytte til Béjaïa. Bonaccis kjøpmansgård lå ved havnen i Pisa. Den solgte han for 15 000 libra. Men så mange penger kunne 6

Da Fibo var tolv år, reiste han fra Pisa til landet Algerie i Afrika. På sin farlige reise over fjellene møtte han jenta Hana.

isa rta

han ikke ha med seg til Afrika. Vekten av gullmyntene alene ville kreve 40 esler. Myntene ga han til sin onkel, som også var kjøpmann i Pisa. I stedet for dem fikk han veksler. Det var noen flott skrevne verdibrev som han kunne veksle om til penger, eller bruke til å betale varer med. En tidlig vårmorgen i 1182 gikk den lille familien om bord i et seilskip i Pisas havn – Bonacci, hans kone, Fibo og fire yngre barn. Men det var ikke bare familien som fulgte kjøpmannen. Han tok også sine trofaste medarbeidere med, først og fremst sin førstemann, Pietro Farina. Pietro hadde arbeidet for familien i tjue år, og han var selv en dyktig kjøpmann. Han var også Fibos beste venn, så Fibo var glad for at han ble med.

• I Norge teller vi penger

i kroner. I Italia brukte man på 1100-tallet ordet libra, som betyr pund eller vekt. 1 libra hadde samme verdi som ca. 20 kr i dag. Bonacci fikk 15 000 libra for kjøpmansgården sin. Kan du på en smart måte regne ut hva beløpet blir i kroner?

Det heter romertall

Fibo hadde gått på en av Pisas beste latinskoler. Men allerede før han begynte på skolen, hadde Pietro lært han å regne. Og han hadde lært å telle sin fars mange gullmynter. Ofte var det klippet eller skåret stykker av myntene. Det gjorde man når man ikke hadde vekslepenger. Derfor var det alltid nødvendig å veie myntene for å regne ut hvor mye de egentlig var verd. Det gjorde Fibo, og han ble også flink til å regne på kuleramme. Eller han regnet ved å flytte små brikker langs noen streker på et bord. Pietro hadde forklart han om tallene: «De heter romertall», sa han. «Det var nemlig romerne som fant på dem for over 1000 år siden.» 8

En italiensk mynt fra middelalderen blir klippet. Middelalderen er en historisk periode fra ca. 500 til ca. 1500 etter Kristus.

«Tallet 1, det er en strek. Det kunne være bildet av en finger», forklarte Pietro. Han skrev bokstaven I på et stykke pergament. «2 er to fingre. To I-ere … II.» «Og 3 er tre fingre … III.» «5 er også lett å huske», sa Pietro. «Det er bokstaven V. Kanskje forestiller det en hånd med fem fingre.» Pietro laget en pause for å tenke seg om. «Det kan også være en annen forklaring», sa han litt tøysende. «I gamle dager skar man et hakk i en kjepp når man skulle telle et eller annet. Kanskje er tallene bilder av slike hakk.» «Men etter de første tallene er det slutt med å telle fingre», fortsatte han med et smil og ramset opp: «10 skrives med en X, 50 skrives med en L, 100 skrives med en C, 500 skrives med en D, og 1000 skrives med en M.» Pietro skrev alle de forskjellige tallene på pergamentet: I II III V X L C D M

Hei! Hva med 4?

Fibo studerte tallene som Pietro hadde skrevet. «Hei! Hva med 4?» spurte han. «Skriver man det med fire I-er … IIII?» «Ja, det kunne man selvfølgelig gjøre», svarte Pietro, «men som regel gjør man noe annet. Man skriver en I foran en V – altså IV. Det betyr at man trekker 1 fra 5 og får 4.» Pietro slo reglene fast:

På 1100-tallet skrev man på pergament. Det var skinn fra kalver, geiter og sauer. Skinnet ble renset og tørket så man kunne skrive på det. Navnet viser til den tyrkiske byen Pergamon, hvor man fant på å lage pergament. I dag bruker vi også ordet pergament om gjennomsiktig papir, for eksempel matpapir. D = 500 har en spesiell historie. Man mener at 1000 opprinnelig ble skrevet med et tegn som så slik ut: ↀ. Og 500 ble så skrevet som en halv oval: D

• En dag veide Fibo 20 gull-

mynter. Hver mynt skulle veie 17,5 gram, men det var klippet stykker av flere mynter. Til sammen veide de bare 280 gram. Hvor mange gram manglet det? Kanskje du kan regne det ut i prosent? Hvor mange hele mynter tilsvarer denne gullmengden? 9

«Tall som er like, legger man sammen. For eksempel de to I-ene. De er lik 2.» «Et mindre tall som står foran et større tall, trekker man fra. For eksempel VL. Der blir V trukket fra L. Altså 50 – 5 = 45. Og mindre tall som kommer etter et større, skal legges til, for eksempel LV, det blir 50 + 5 = 55.» Fibo var straks med: «Når man skal skrive 9, så skriver man altså IX, et ett-tall foran et ti-tall. Og når man skal skrive 11, så skriver man XI.» «Akkurat», sa Pietro. Han tok pennen og skrev tallene fra 1 til 10: I II III IV V VI VII VIII IX X Etterpå skrev han enda et tall: MMLXIV. «Kan du lese det?» spurte han. «Ja», sa Fibo, «MM er 2000, L er 50, X er 10, I er 1, og 1 skal trekkes fra V, som er 5. Altså 2000 + 50 + 10 – 1 + 5. Det er det samme som 2064.»

I dag bruker vi romertall bare når vi vil at noe skal se stort, fornemt og gammelt ut. Kong Haralds far het ikke Olav d. 5., men Olav V. Og olympiaden i Beijing var ikke den 29. olympiaden, men «XXIX Olympiade». På offentlige bygninger og kongelige slott står året for oppførelsen for det meste med romertall. Tallene sees også ofte på gamle klokker og i bøker, så man kan se når de kom ut. Prøv om du kan finne noen romertall.

Glem alt om hakkene

Fibo var en nysgjerrig gutt, og han ville gjerne ha flere forklaringer: «Hvis disse tallene en gang var hakk i en kjepp, hva så med C, som betyr 100? Man kan jo ikke skjære en C som et hakk.» Pietro forklarte: «For 1000 år siden snakket de gamle romerne latin, og på latin heter 100 centum. Derfor ble 100 til en C. Så i dette tilfellet må du glemme alt om hakkene.» «Og på samme måte ble 1000 til en M», fortsatte Pietro, «for på latin heter 1000 mille.» 10

Fibo la sammen og trakk fra ved å flytte brikker langs noen linjer på et bord. Noen ganger brukte han også en kuleramme. Pietro hadde lært han å skrive resultatene med romertall som i virkeligheten var bokstaver. 

Fibo syntes at romertallene var gøye, og han prøvde å skrive forskjellige tall. Her kommer det han skrev – oversatt til de tallene vi bruker i dag: VII = 7 IX = 9 XIII = 13 XV = 15 XVII = 17 XVIII = 18 XIX = 19 XX = 20 XXXIX = 39

XL = 40 XLVII = 47 LIV = 54 LXII = 62 LXX = 70 LXXVIII = 78 LXXXIX = 89 XC = 90 XCIX = 99

CXLIX = 149 CCCXCIX = 399 CD = 400 DCCCXCIX = 899 MX = 1010 LM = 950 MLIV = 1054 MMXIV = 2014 MCMIV = 1904

Legg merke til tallet MCMIV, hvor tallet C står mellom to M-er. Her hører C-en til den andre M-en. Et mindre tall foran et større tall hører alltid sammen med det større tallet. Dette gjelder også selv om det står et annet større tall foran det mindre.

«Fint», sa Pietro, «og det siste tallet har du skrevet helt riktig. MCMIV er det samme som 1904. Først skrev du M, det er 1000. Etterpå skriver du CM, det er 900, osv.»

Dere skal ut på en reise

Fibo og Pietro stod oppe på broen til styrmannen da skipet med familien fra Pisa nærmet seg Afrika og byen Béjaïa dukket opp av horisonten. Middelhavet under skipets planker var dypblått, og himmelen over skipets røde seil med Pisas byvåpen hadde lette, hvite skyer. En flokk måker hadde fløyet ut fra kysten for å ta imot dem. Byen lå innerst i en bred bukt. Den var beskyttet av to høye klipper som strakte seg ut i havet. Bak byens hvite hus lå noen lave fjell. Fibos far kom opp til Fibo og Pietro på broen. «Jeg får det travelt de neste dagene», sa kjøpmannen. «Jeg skal skaffe oss venner blant araberne.» 12

• Prøv om du kan lese disse ti romertallene: XXIX CDXXI LXII DCC XXXVII DCL XLIV MMXIV CCXII MMMCDI Prøv om du kan oversette disse tallene til romertall: 31 725 150 410 76 1600 59 3012 304 914

•

«Men jeg har en oppgave til dere to», fortsatte han. «Også til deg, Fibo. Du er 13 år, og gammel og klok nok til å få et ansvar. Dere skal dra ut på en reise.» «Vi som er kjøpmenn fra Pisa, handler med kjøpmennene i Béjaïa. Men de vet nok svært godt hva de skal ha for varene. De henter varene sine nede ved grensen til den store ørkenen Sahara. Dit kommer karavanene med varene sine fra Egypt, Persia og India, ja, helt fra Kina.» «Karavanene kommer med alle mulige kostbare ting. Krydder, vevde tepper, silkestoffer, smykker, røkelse og flotte glass … Vi må kunne handle direkte med dem og på den måten få varene billigere!» «Jeg vet at karavanene kommer til en by som heter Bou Saâda. Den ligger minst ti dagsreiser sør for Béjaïa, gjennom fjellene og over en stor slette. Dit skal dere reise.» Han tilføyde: «Det blir en farlig reise, men dere får gode folk med på ferden.» «Det skal vi klare», sa Fibo. Han var stolt over at faren hans stolte på at han kunne klare en voksen oppgave.

Flotte arabiske mønstre

Huset som Pisa-kjøpmennene hadde kjøpt til familien, var stort. Det lå innenfor Béjaïas høye bymur og i nærheten av havnen. Utenfor husets store utskårne port var det en liten plass med et stort tre. Fibo fant raskt veien rundt omkring i byens smale streder og bort til souken med sine mange butikker. Ett sted satt smedene og hamret innviklede dekorasjoner på store kobberfat. Et annet sted farget mann ullgarn

En berømt karavanevei førte fra Kina tvers over Asia til byen Bukhara i landet Usbekistan. Den ble kalt silkeveien fordi karavanene brakte den kostbare silken til Europa. Andre karavaneveier gikk tvers gjennom Sahara-ørkenen. Bou Saâdas navn er satt sammen av to arabiske ord: Bou, som betyr sted, og Saâda, som betyr lykke. Altså det lykkelige stedet. Skrevet med de vakre arabiske skrifttegnene ser Bou Saâdas navn slik ut: ‫ةداعسوب‬. På arabisk leser man fra høyre mot venstre. I de arabiske landene var souken opprinnelig en handelsplass som lå utenfor bymuren. Her møttes man når karavanen kom langveisfra med nye varer. Senere flyttet man souken inn midt i byene, og slik er det også i dag de fleste steder. I Nord-Afrika bruker man ordet souk. I Iran (som en gang het Persia) sier man bazaar. 13

i strålende farger. Overalt var det roping og skriking når selgerne tilbød varene sine og kundene prutet på prisene. Bak huset lå byens moské. Fra den høye minareten kalte muezzinen til bønn fem ganger om dagen. Store kupler dekket moskeens bønnerom, og gulvene var dekket med kostbare tepper i flere lag. Fibo var ofte der inne. Han måtte bare huske på å ta skoene sine av. Et par ganger tok muezzinen han med seg opp i den høye minareten så han kunne se utover byen og ned på familiens eget hus. Familien, tjenestefolkene og medarbeiderne fant seg fort til rette. Det var mange rom i huset. Disse lå rundt en gårdhage med appelsintrær. Det var også kjellere der med plass til varer. Veggene i de fleste rommene var dekket av fargede fliser. Ikke firkantede fliser, men ganske små fliser med forskjellige former. Til sammen dannet de innviklede geometriske mønstre. Fibo syntes at mønstrene var fantastiske. Han tegnet dem av og moret seg med å finne geometrien i dem. Dette hadde han også prøvd hjemme i Pisa. Her var domkirken dekorert med flotte mønstre, men de arabiske mønstrene var mye mer spennende.

En sterk karavane

Det tok en hel måned å forberede reisen til Bou Saâda. Pietro planla og handlet inn, og Fibo hjalp han. De skulle kjøpe 25 dromedarer, og de skulle finne noen kjøpmenn som ville reise sammen med dem. De skulle danne en karavane. 14

Alle moskeer har en muezzin. Det er en mann som har ansvaret for at de troende blir ropt inn til bønn. Han roper ut budskapet sitt over byen fra et høyt tårn. Tårnet kalles en minaret.

Tegningene på neste side viser tre av de arabiske flisemønstrene. Til høyre sees geometrien i dem. Legg merke til at de små flisene alle har samme form, men forskjellige farger.



Prøv selv å kikke etter mønstre der du går. Du vil bli overrasket over hvor mange mønstre som er omkring oss.

FIBOS FARLIGE REISE

Indias vidunderlige tall

FIBOS FARLIGE REISE

Anker Tiedemann

DEN HEMMELIGE KLUBBEN

Lær deg å lage koder selv

Eureka. Jeg har funnet det!

DEN USYNLIGE SPIONEN

MORDET PÅ ARKIMEDES

SAMURAISVERDET

Anker Tiedemann

Pytagoras og vennene hans

Anker Tiedemann

En historie om veldig store tall

ISBN 978-82-11-03148-8

,!7II2B1-adbeii!