Eventyrlig Matematikk- Mordet på Arkimedes by Fagbokforlaget

MORDET PÅ ARKIMEDES

Eureka. Jeg har funnet det!

MORDET PÅ ARKIMEDES

Anker Tiedemann

Det ble hamret kraftig på porten. «Lukk opp!» lød en sint stemme. «Vi skal hente Arkimedes! Han skal med til generalen vår!» Husets tjenestefolk stod bak porten. De var redde og stille som mus. Byen ble erobret av en hær med romerske soldater. Det var brutale folk som brøt seg inn i husene og slo barn og voksne i hjel. Det gjaldt å ikke lukke opp. Tjenestefolkene hadde stablet opp tunge møbler foran porten. Kunne den klare å stå imot presset? Mordet på Arkimedes er en bok i serien Eventyrlig matematikk. De spennende bøkene handler om mennesker som løste matematiske gåter. De brukte sin nysgjerrighet, oppfinnsomhet og fantasi. Og de hadde en stor porsjon mot. Les også de andre eventyrlige bøkene i serien: BM

Pytagoras og vennene hans

DEN HEMMELIGE KLUBBEN Anker Tiedemann

Indias vidunderlige tall

Lær deg å lage koder selv

En historie om veldig store tall

FIBOS FARLIGE REISE

DEN USYNLIGE SPIONEN

SAMURAISVERDET

Anker Tiedemann

ISBN 978-82-11-03150-1

,!7II2B1-adbfab!

Dette er et utdrag.

MORDET PÅ ARKIMEDES Eureka, jeg har funnet det!

Anker Tiedemann Illustrasjoner Lars Bjørstrup

LESEDILLA EVENTYRLIG MATEMATIKK

Lesenivå: 6 Bokmål

LESEDILLA EVENTYRLIG MATEMATIKK

Lesenivå: 6 Bokmål

Forord

I bøkene om eventyrlig matematikk kan du lese om mennesker som har brukt livet sitt på å løse matematiske gåter. Spennende mennesker som har vært nysgjerrige og oppfinnsomme – og noen ganger veldig modige. Er du også nysgjerrig? Og har du lyst til både å lese en spennende historie og løse matematiske oppgaver underveis? Da er bøkene akkurat noe for deg. Hver oppgave har en rød prikk i første linje. Hvis du vil se om du har løst en oppgave riktig, kan du se det på slutten av boka. God fornøyelse!

•

Originaltittel: Mordet på Arkimedes. Heureka, jeg har fundet det! Copyright © originalutgave Anker Tiedemann og Forlaget Matematik Copyright norsk utgave © 2019 by Vigmostad & Bjørke AS All Rights Reserved 1. utgave / 1. opplag 2019 ISBN: 978-82-11-03150-1 Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen Grafisk design: Anker Tiedemann Illustrasjoner: Lars Bjørstrup Omslagsdesign ved forlaget Oversatt fra dansk av Jan Presttun Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00 Faks: 55 38 88 01 E-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.

et ble hamret kraftig på porten. «Lukk opp!» lød en sint stemme. «Vi skal hente Arkimedes! Han skal med til generalen vår!» Husets tjenestefolk stod bak porten. De var redde og stille som mus. Byen ble erobret av en hær med romerske soldater. Det var brutale folk som brøt seg inn i husene og slo barn og voksne i hjel. Det gjaldt å ikke lukke opp. Tjenestefolkene hadde stablet opp tunge møbler foran porten. Kunne den klare å stå imot presset? Det var to soldater der ute. Hvis de ikke klarte å komme inn, ville de da gå videre til neste hus? Det store fornemme huset lå i Syrakus. Byen ligger på øya Sicilia, som er en del av Italia. For mer enn 2000 år siden var byen ikke italiensk. Den var gresk. Hele den sydlige delen av Italia var en del av Hellas. Syrakus var en stor og vakker by. Det var tempel til gudenes ære. Det var store torg med livlig handel. Det var rike palass og en viktig havn. Syrakus var også en fredelig by. Men så kom romerne og erobret den. Den romerske hæren ble ledet av en general som het Marcus Claudius Marcellus. «Lukk opp med en gang!» ropte de to soldatene igjen ute fra gata. De hamret løs på porten med sverdene sine så det ljomet i hele huset. «Kom ut Arkimedes! General Marcellus forlanger at du kommer! Nå! Med det samme!» Arkimedes var både rik og berømt. Huset hans var stort.

Byen Syrakus ligger på den store italienske øya Sicilia. Den delen av byen som går tilbake til oldtiden, ligger på en liten øy et stykke fra kysten. I dag kom mer man over til øya langs en demning. I oldtiden var det en høy mur hele veien rundt øya. Romerne erobret Syrakus i år 212 før Kristus. 5

Han hadde mange tjenestefolk. De fleste var slaver. Det var folk på kjøkkenet, og det var gutter og jenter til å varte opp. En av jentene het Penelope, og en av guttene het Pollux. De var begge tolv år og store for alderen. Penelope hadde mørk hud, langt, kullsvart hår med to fletter og brune, levende øyne. Pollux var lysere. Familien hans kom fra det nordlige Italia. Han hadde lyst hår og blå, intelligente øyne. De to barna var ikke slaver. Moren til Penelope laget mat på kjøkkenet, og faren til Pollux var gartner.

Steinkaster og skipsrister

Pollux og Penelope visste godt hvorfor soldatene hamret på porten. Den romerske generalen hadde bruk for herren deres. Arkimedes var ikke bare en berømt matematiker. Han var også oppfinner. Blant annet hadde han laget noen krigsmaskiner. De ble brukt mens romerne prøvde å erobre Syrakus. Romerne hadde omringet bymuren i 30 måneder og ventet på å slå til. Maskinene til Arkimedes holdt dem på avstand. Penelope og Pollux hadde vært oppe på muren og sett de store maskinene. Noen av maskinene kastet store steiner. Det var et problem med mange av den type maskiner. De kastet steinene i samme avstand hele tiden. Steinene landet i et belte foran bymuren. Det betydde at fiendene bare kunne skynde seg gjennom beltet. Var de først kommet gjennom, ble de ikke truffet. 6

De to sinte soldatene hamret pĂĽ husets port. Den var kledd med tykke bronseÂ plater. Men den var bare av tre. Ville den da holde mot angrepet deres?

Men kastemaskinene til Arkimedes var smartere. De kunne kaste både kort og langt. Så når romerne angrep, kunne steinene treffe dem overalt. De romerske krigerne ble veldig overrasket. Steinene falt tett omkring dem. Mange ble truffet. Noen ble drept. Romerne flyktet bare de så en av maskinene. Arkimedes konstruerte også en «skipsrister». Den kunne gripe et romersk skip, heise skipets ene ende opp og riste soldatene ned i vannet. Når maskinen så slapp skipet, falt skipet ned med et stort plask og sank til bunns. Ristemaskinen var laget som en stor kran med en stor krok. Penelope og Pollux opplevde den et par ganger. De jublet da de romerske soldatene ble kastet ut av skipet og fikk seg en dukkert i havnen. Barna var også begeistret for en tredje av oppfinnelsene til Arkimedes: de store hulspeilene. Speilene var plassert langs kysten og samlet solstrålene i kraftige bunter. Når en slik stråle traff seilet på et skip, tok det fyr i det og falt brennende ned. Da tok det fyr i båten, og den gikk til bunns. Arkimedes var en oppfinnsom mann og farlig for fienden. Derfor ville den romerske generalen Marcellus ha fatt i han. Generalen hadde sendt to av sine sinte soldater etter han. De var fremdeles ute på gata. Pollux og Penelope holdt seg musestille bak den låste porten. De var veldig redde. 8

Penelope og Pollux satt oppe på bymuren og så på maskinene til Arkimedes. Noen kastet store steiner, andre ristet romernes skip så soldatene falt i vannet.



I 2005 bygde noen «skips risterne» til Arkimedes for å teste om maskinen virket. Det gjorde den.

Et hulspeil kjenner du fra en lommelykt. Lyset fra pæren speiles i den hule overflaten og samles til en stråle som sendes framover. I 1973 testet en gresk viten skapsmann hulspeilet til Arki medes. Han stilte opp 70 speil av polerte kobberplater og sendte solstrålene mot et skip 50 meter borte. Skipet tok fyr.

«Kan dere finne sentrum?» Arkimedes var 75 år gammel. Han var en høy, skallet mann med et langt hvitt skjegg. Han gikk ikke lenger så godt. Han hadde vondt i beina. Derfor satt han ofte i skyggen og tegnet matematikken sin i sanden på gulvet. «Jeg vil ikke bli forstyrret», sa han. «Men Penelope og Pollux kan godt få være her.» Arkimedes hadde kjent de to fra de ble født. Han hadde sett dem vokse opp og bli kloke barn. Penelope og Pollux kom med fruktsaft med honning i, og de satt ofte sammen med han. De syntes det var kjekt å tegne sirkler med passeren hans. En dag hadde han selv tegnet en stor sirkel på et stykke papyrus. Det het papiret den gangen. «Hvor er sentrum?» spurte han. Merket etter passerbeina i sentrum var ikke til å se. «Inne i midten», sa Pollux. «Jammen, hvor er midten?» Pollux pekte, men det var ikke det nøyaktige stedet. «Nei, nå skal dere bare se», sa Arkimedes. Han tegnet et linjestykke på et annet stykke papyrus. «Hvordan finner dere midten av linjestykket?» spurte han. «Det vet jeg», kom det fra Penelope. Hun tok passeren og satte spissen ned i linjestykkets ene endepunkt. Deretter tegnet hun en bue. Radien var lengre enn halvdelen av linjestykket. Så flyttet hun passeren til linjestykkets andre ende og tegnet enda en bue. Den hadde samme radius som den første. 10

I oldtiden laget man papir av en plante som heter papyrus. Det samme ordet bruker vi om det gamle egyptiske papiret. Bøkene fra den gang hadde ikke sider, men bestod av lange remser med papir i ruller. Alle punkter på en sirkel ligger i en bestemt avstand fra sentrum. Denne avstanden kaller vi radius.

«Slik», sa hun. Pollux var straks med og laget resten av tegningen. «Fint», sa Arkimedes. «Nå kan dere det. Det er slik vi finner midten av et linjestykke. Nå finner dere lett sentrum i sirkelen.» «Hvordan?» spurte Pollux. «Det må du finne ut av selv», kom det med et lite smil fra Arkimedes. Han lot som om han hadde noe annet å tenke på. De to barna gikk i gang. De spekulerte og prøvde flere muligheter. Det var ikke så lett … «Jeg har det!» kom det plutselig fra Penelope. «Vi skal gjøre det to ganger! Og vi skal gjøre det med to linjestykker.» «To ganger? To linjestykker?» sa Pollux. «Nå ja, så klart!» De grep den lange linjalen og passeren og fant hurtig sentrum.

«Bruker faren din et hjul?»

En dag satt Penelope og Pollux inne hos Arkimedes. Det var noen år før romerne hærtok byen. Barna hadde tatt mat med inn til Arkimedes, stekt kylling, brød dyppet i olivenolje og vin. De hadde hentet noen vindruer i hagen hvor faren til Pollux var gartner. Etter en god slurk av rødvinen sa Arkimedes til Pollux: «Hvordan måler faren din avstander ute i hagen? For eksempel når han skal lage bed og stier? Bruker han et hjul?» «Ja, han bruker et hjul», svarte Pollux. «Det har jeg sett ofte. Han gjør det når han skal måle lengden av et bed. Da triller han hjulet og teller hvor mange ganger

• Kan du lage resten av teg

ningen selv og finne midten av linjestykket?

• Kan du finne ut hvordan de gjorde det? Svaret står i løsningen bak erst i boka.

hjulet kjører rundt. For hver omdreining har han kjørt tre ganger hjulets bredde …» «Ikke hjulets bredde», rettet Arkimedes han. «Vi sier diameter. Han ganger hjulets diameter med tre, sier du. På den måten finner han hjulets omkrets. Så teller han hvor mange ganger hjulet dreier rundt. Og deretter ganger han antall omdreininger med omkretsen. Så vet han hvor langt stykke han har trillet hjulet, og da kjenner han avstanden.» «Har du prøvd å kontrollmåle?» fortsatte han. «Hvordan kontrollmåle?» spurte Pollux. «For eksempel ved å kjøre hjulet til faren din i sanden ute i hagen og kontrollmåle. Altså finne lengden av sporet i sanden. Det synes jeg du skal gjøre.» Pollux gikk ut i hagen og fant hjulet til faren. Han satte et merke i sanden og trillet hjulet en omdreiing vekk fra merket. Hjulet laget et spor i sanden. Det var et rødt merke på hjulet, så det var enkelt å stoppe nøyaktig etter én omgang. Sporets lengde var like langt som hjulets omkrets. Han kunne faktisk målt samme lengde ved å legge en snor rundt hjulet. Deretter målte Pollux hjulets bredde – nei, hjulets diameter, rettet han seg selv. Diameteren var 50 cm. Han tok en lang linjal og målte hurtig sporet i sanden. «Tre ganger», sa han da han vendte tilbake til Arkimedes. «Hjulets omkrets er tre ganger så lang som diameteren. 150 cm.» «Tre ganger?» gjentok Arkimedes med hevede øyenbryn. «Nøyaktig tre ganger?» 12

Diameteren i en sirkel er dob belt så lang som radius. Den går alltid gjennom sentrum.

Pollux kjørte med hjulet til faren og laget spor i sanden. På den måten kunne han måle hju lets omkrets. Han fikk det til at omkretsen var 3 ganger lengden av hjulets diameter, men det var nå ikke helt rett.



For 2000 år siden regnet de ikke med meter og centimeter. De regnet med fot og tommer – lengden på et menneskes fot og bredden av en tommeltott. Men i denne historien bruker vi de målene vi kan. Det er lettere.

«Nei, det var et lite stykke til overs. Bare et lite stykke …» «Det er altså ikke nøyaktig tre ganger», sa Arkimedes. «Hjulets omkrets er litt lengre enn tre ganger diameteren. Hvor mye lengre?» Han avbrøt seg selv og satt litt og tenkte. «Jeg holder faktisk akkurat på å finne ut av det», mumlet han. Det må være et helt nøyaktig tall …» Og så snudde han ryggen til barna og glemte alt rundt seg. Han bøyde seg over papirene sine og begynte å tegne og regne. Penelope og Pollux listet seg stille ut av kjøkkenet for ikke å forstyrre han. Tallet som vi kaller pi Arkimedes fant det nøyaktige tallet. Det var en av hans mange matematiske oppdagelser. Han beviste at når vi kjenner en sirkels diameter, så kan vi finne sirkelens omkrets. Vi skal bare gange diameteren med det tallet vi i dag kaller pi. Vi skriver tallet med den greske bokstaven π. Den uttales pi. Arkimedes forklarte det til Pollux og Penelope: «Jeg tegner først en sirkel med en sekskant inni. Sekskanten er regulær. Regulær … dere vet hva det ordet betyr, ikke sant?» «Jo», sa Penelope. Alle sidene i sekskanten er like lange. Og alle seks vinklene i hjørnene er like store.» «Nemlig. Og de seks hjørnene ligger på en sirkel.» Arkimedes tegnet en sekskant og en sirkel rundt på et stykke papyrus. «Og så tegner jeg en annen sekskant utenfor. Hvor 14

• På disse sidene handler det

om likesidete sekskanter. Det vil si sekskanter med like lange sider og like store vinkler i hjørnene. Slike sekskanter kaller vi også regulære. Kan du tegne en regulær trekant, en firkant, en femkant og en sekskant? Hvis ikke, kan du se det i løsningene bak i boka.

Arkimedes tegnet en sirkel på et stykke papyrus. Inne i den tegnet han en regulær sekskant hvor alle hjørnene lå på sirkelen. Deretter tegnet han en regu lær sekskant utenom. Den la seg helt inn til sirkelen. Midt punktet på hver av sekskantens sider berørte sirkelen. Vi kaller de to sekskantene for sirkelens «innskrevne» og «omskrevne» sekskant.



MORDET PÅ ARKIMEDES

Eureka. Jeg har funnet det!

MORDET PÅ ARKIMEDES

Anker Tiedemann

Pytagoras og vennene hans

DEN HEMMELIGE KLUBBEN Anker Tiedemann

Indias vidunderlige tall

Lær deg å lage koder selv

En historie om veldig store tall

FIBOS FARLIGE REISE

DEN USYNLIGE SPIONEN

SAMURAISVERDET

Anker Tiedemann

ISBN 978-82-11-03150-1

,!7II2B1-adbfab!