Relación de Temas de MATEMÁTICAS II (CURSO 2005/2006)
BLOQUE I. ÁLXEBRA LINEAL 1. MATRICES • Definición de matriz de orde m x n. Igualdade de matrices. • Tipos de matrices: fila, columna, rectangular, cuadrada, diagonal (conceptos de diagonal principal e secundaria), triangular, nula, identidade (ou unidade), trasposta, simétrica, antisimétrica. • Suma de matrices e producto por escalares. Propiedades. • Definición de productos de matrices según o convenio de filas por columnas. • Propiedades do producto de matrices[1]. 2. DETERMINANTE DUNHA MATRIZ CADRADA • Definición de determinante. Cálculo de determinantes de ordes 2 e 3 mediante a Regra de Sarrus. • Definicións de menor complementario, adxunto dun elemento e matriz adxunta. • Desenrrolo dun determinante de orde n polos elementos dunha liña. • Propiedades dos determinantes. 3. APLICACIÓNS DOS DETERMINANTES • Rango dunha matriz: Definición e cálculo. Propiedades. Obtención do rango dunha matriz polo método de Gauss. • Definición de matriz inversa dunha matriz cadrada. Condición necesaria e suficiente para a existencia da inversa. Propiedades da matriz inversa. • Matrices regulares (ou invertibles) e singulares (ou non invertibles). Cálculo da matriz inversa. 4. SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS • Definición de ecuación lineal con n incógnitas. Definición da súa solución. • Definición de sistema de m ecuacións lineais con n incógnitas. Definición da súa solución. • Sistemas de ecuacións equivalentes. • Sistemas homoxéneos. • Forma matricial dun sistema. • Clasificación dos sistemas atendendo ó número de solucións. 5. DISCUSIÓN E RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS • Enunciado do teorema de Rouché-Frobenius. • Discusión e resolución de sistemas de ecuacións lineais. Enunciado da Regla de Cramer. • Discusión e resolución polo método de Gauss. • Discusión e resolución de sistemas de ecuacións lineais con un parámetro.
BLOQUE II. XEOMETRÍA 1. ESPACIO AFÍN TRIDIMENSIONAL. POSICIÓNS RELATIVAS DE • • • • •
RECTAS E PLANOS Vectores no espacio. Operacións. Dependencia e independencia lineal de vectores. Ecuacións da recta. Ecuacións do plano. Posicións relativas de dous planos. Posicións relativas de tres planos. Posicións relativas dunha recta e un plano. Posicións relativas de dúas rectas no espacio.
2. ESPACIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Producto escalar, producto vectorial e producto mixto • Definición de producto escalar de dous vectores a partir do coseno do ángulo que forman. Propiedades (definido positivo, conmutativo, distributivo, homoxéneo), interpretación xeométrica e expresión analítica. • Módulo dun vector. Propiedades. Vector unitario. Ángulo que forman dous vectores. Ortogonalidade. • Definición de producto vectorial de dous vectores. Propiedades e interpretación xeométrica. Expresión analítica. • Aplicación do producto vectorial ao cálculo da área de paralelogramos e triángulos. • Definición de producto mixto de tres vectores. Propiedades e interpretación xeométrica. Expresión analítica. • Aplicación do producto mixto de tres vectores ao cálculo do volume de paralelepípedos e tetraedros. 3. ESPACIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: ángulos e perpendicularidade de rectas e planos • Vector característico dun plano. Ecuación normal dun plano. • Ángulo que forman dúas rectas. Condición de perpendicularidade de dúas rectas. • Ángulo que forman dous planos. Condición de perpendicularidade de dous planos. • Ángulo que forman recta e plano. Condición de perpendicularidade de recta e plano. 4. ESPACIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións dos productos escalar, vectorial e mixto ao cálculo de distancias • Distancia entre dous puntos. • Distancia dun punto a un plano. Distancia entre dous planos paralelos. • Distancia dun punto a unha recta. Distancia entre dúas rectas paralelas. • Distancia entre dúas rectas que se cruzan. Distancia dunha recta a un plano paralelo a ela.
BLOQUE III. ANÁLISE 1. SUCESIÓNS DE NÚMEROS REAIS • Conceptos preliminares: Definición de sucesión numérica. Operacións elementais entre sucesións (sumas, diferencias, productos e cocientes de sucesións e producto por escalares). Concepto de crecemento e decrecemento nunha sucesión. Concepto de acotación (superior e inferior) dunha sucesión. Sucesión acotada. • Concepto de límite dunha sucesión. Sucesións converxentes, diverxentes e oscilantes. Propiedades elementais: unicidade do límite, propiedades alxebraicas dos límites. • número e como límite dunha sucesión. • Cálculo de límites de sucesións. Indeterminacións. 2. FUNCIÓNS REAIS DE VARIABLE REAL • Conceptos preliminares: Definición de función real de variable real, dominio de definición (ou campo de existencia), percorrido (ou rango) e grafo dunha función real de variable real. • Funcións elementais (polinómicas, racionais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.) • Límite dunha función nun punto. Límites laterais. Cálculo de límites de funcións. Asíntotas. • Función continua nun punto. Continuidade lateral. Discontinuidades (evitable, de salto, infinita.) • Función continua nun intervalo. Enunciado e interpretación xeométrica do teorema de Bolzano. • Enunciado e interpretación xeométrica do teorema de Weierstrass. Consecuencias. 3. DERIVADA DUNHA FUNCIÓN • Definición de derivada dunha función nun punto. Interpretación xeométrica. Derivadas laterais. • Ecuación da recta tanxente a unha función nun punto. Ecuación da normal. • Relación entre continuidade e derivabilidade. • Regras de derivación. Regra da cadea[2] • Interpretación da derivada como razón de cambio. • Definición de función derivada. Derivadas de orde superior. 4. APLICACIÓNS DAS DERIVADAS • Conceptos preliminares: Definición de función crecente e decrecente. Función monótona. Determinación dos intervalos de monotonía dunha función. Definición de extremos relativos e absolutos. • Criterios para o cálculo de extremos relativos e puntos de inflexión dunha función. • Problemas de optimización. • Teorema de Rolle: Enunciado e interpretación xeométrica. • Teorema do Valor Medio do Cálculo Diferencial: Enunciado e interpretación xeométrica. • Enunciado da Regra de L’Hôpital: Aplicación[3] á resolución de límites indeterminados. • Representación gráfica de funcións de tipo polinómico, racional, exponencial, logarítmico e trigonométricas, ou combinación delas.
•
estudio gráfico incluirá o cálculo do dominio de definición da función, puntos de corte cos eixes, simetrías, intervalos de crecemento, máximos e mínimos, intervalos de concavidade e convexidade, puntos de inflexión e asíntotas.
5. PRIMITIVAS DUNHA FUNCIÓN • Definición de primitiva dunha función. Concepto de integral indefinida. Propiedades lineais da integración indefinida. Cálculo de integrais inmediatas. • Cálculo de primitivas: Método de integración por partes, método de cambio de variable, integración de funcións racionais: exposición do método para o caso de raíces reais simples e múltiples no denominador da función a integrar[4]. 6. INTEGRAL DEFINIDA • Sumas superiores e inferiores. • Definición de integral definida nun intervalo pechado. Interpretación xeométrica. • Propiedades da integral definida (monotonía, linealidade, aditividade en intervalos). • Teorema do Valor Medio do Cálculo Integral para funcións continuas: enunciado e interpretación xeométrica. • Teorema Fundamental do Cálculo Integral para funcións continuas: enunciado e interpretación xeométrica. • Enunciado da Regra de Barrow. • Cálculo de áreas planas limitadas por funcións. _______________________________________ Aínda que aos alumnos/as non se lles indica o concepto de anel unitario, enténdese que se lles dan a conocer as propiedades que convirten o conxunto das matrices nun anel unitario [2] Non máis de dúas composicións [3] Aplicación da Regra de L’Hôpital a tódolos tipos de indeterminacións [4] Aínda que se suprime o caso de raíces complexas simples, enténdese que sí son materia de exame as do tipo ∫ dx/x2 + a2 [1]
Orientacións Xerais do Grupo de Traballo. Matemáticas. Matrices e Sistemas de Ecuacións Lineais Os obxetivos dos temas 1 ó 5 son: • Utiliza-las matrices para organizar e representar datos extraídos de diversas situacións, especialmente da xeometría, e operar con elas para resolvelos (en particular, o uso das matrices e as súas operacións permite representar sistemas de ecuacións lineais). • Calcular determinantes de orde 2 ou 3 utilizando a Regra de Sarrus. Calcular determinantes desenrrolando polos elementos dunha liña. • Obter a matriz inversa utilizando o cálculo de determinantes. • Calcular o rango dunha matriz utilizando o método de Gauss. • Resolver sistemas de ecuacións lineais utilizando a Regra de Cramer e as operacións con matrices. • Clasificar sistemas de ecuacións lineais atendendo as súas solucións. • Discutir e resolver sistemas de ecuacións lineais polo método de Gauss. • Discutir e resolver sistemas de ecuacións lineais dependentes dun parámetro. Xeometría no espacio Tendo en conta os conceptos que aborda este bloque xeométrico, consideramos convinte que os alumnos lembren nocións como vector no plano, ecuacións da recta no plano ou posicións relativas de dúas rectas no plano, así como distancia entre dous puntos e distancia dun punto a unha recta no plano, todos eles conceptos que estudiaron no primeiro curso. Os obxetivos fundamentais nestes temas son a utilización dos vectores e as súas operacións para representar e resolver problemas afins e métricos no espacio (posicións relativas, determinación de ángulos e distancias,…), así como o uso da linguaxe de matrices e determinantes, as súas operaciones e propiedades, para resolve-los problemas de xeometría, relacionando así os distintos temas da asignatura. E, por suposto, deben saber interpretar xeométricamente a discusión e resolución de sistemas de ecuacións lineais. Sucesións numéricas Dado que en primeiro curso se introducen as sucesións numéricas, a idea intuitiva de límite dunha sucesión, o cálculo de límites elementais e o número e como límite dunha sucesión, neste segundo curso, creemos convinte un repaso deses conceptos. Ainda que somos conscientes da dificultade que entraña a definición de límite, tamén o somos da necesidade de mostrar ó alumno/a de segundo de bacharelato,a existencia de certo formalismo nos conceptos que manexa habitualmente.
En canto á unicidad de límite, bastará una idea intuitiva dese feito. As operacións entre sucesións permiten abordar as propiedades alxebraicas (sen demostración) do límite de sucesións para finalmente, calcular límites nos que se presentan indeterminacións. Existe unha grande colección de sucesións accesibles para os alumnos/as de segundo á hora de estudiar a sús converxencia, diverxencia ou oscilación: sucesións tales que o seu término xeral é un cociente de polinomios, sucesións nas que interveñen radicales, ou aquelas con término xeral unha expresión exponencial, aparte das sucesións "de tipo" e por exemplo (1+3/n)2n. Funcións reais de variable real: límites, continuidade, derivación e integración •
Ó comezo dos temas 2 e 4 inclúense epígrafes con contidos que, probablemente, os alumnos/as estudiaron xa no primeiro curso de Bacharelato, pero que necesitan ter presentes á hora de abordar a análise diferencial e integral. Por outra banda, o estudio da función valor absoluto permite introduci-la diferencia entre os conceptos de continuidade e derivabilidade; e as funcións definidas a trozos son moi apropiadas para o estudio dos límites laterais, outro dos obxetivos do bloque analítico. É importante aquí tamén interpretar situacións expresadas mediante relacións funcionais analizando as gráficas e aproveita-las expresións alxebraicas para obter datos cuantitativos.
•
Outro obxectivo non menos importante é empregar o cálculo de límites para analizalas tendencias de evolución dunha situación representada mediante unha función e calcula-las derivadas das familias das funcións elementais e das súas composicións.
•
Os conceptos de límite, continuidade e derivabilidade foron introducidos de modo intuitivo no curriculum de primeiro curso de bacharelato, polo que parece natural insistir nas súas definicións ó longo deste segundo ano.
•
mesmo que no estudio dos límites de funcións, se considera de gran importancia, ó tratar a derivación, a interpretación dos conceptos e as súas aplicacións en casos prácticos. Aínda sendo moi importante que o alumno/a acade un dominio nas regras de derivación, non o é menos que interprete o concepto de derivada como razón de cambio dunha magnitude respecto a outra –o que lle proporcionará unha visión máis aplicada do concepto analítico de derivada--. Por esta razón, inclúense nos contidos deste bloque as nocións de tasa de variación media e tasa de variación instantánea.
•
A aplicación do cálculo de derivadas á resolución de problemas de optimización e o estudio gráfico de funcións, onde se incluirá o cálculo do dominio de definición da función, puntos de corte cos eixes, simetrías, intervalos de crecemento e decrecemento, máximos e mínimos, intervalos de concavidade e convexidade [1], puntos de inflexión e asíntotas, completan os obxectivos do tema 3 de Análise.
•
En canto aos capítulos de integración, no primeiro deles, suprímese con relación ó curso anterior o método de integración de funcións racionais con raíces complexas simples, ainda que sí son materia de exame as integrais do tipo ∫ dx/x2 + a2.
•
Empregarase o cálculo de primitivas para resolver problemas de áreas de recintos planos limitados por funcións, establecendo a importancia do teorema fundamental de integración e da Regra de Barrow. Nesta parte do tema resulta fundamental o
coñecemento das propiedades tanto da función integrando a considerar, como da integral de Riemann no recinto de integración, o que de novo permite relacionar distintos conceptos vistos ó longo deste bloque. •
Finalmente, en canto ás demostracións, é claro o seu importante valor formativo pero, dacordo co Decreto de Enseñanzas Mínimas, aínda que recomendamos a exposición na aula das demostracións dos resultados, sen embargo, non se consideran materia específica de exame.
[1]
Enténdese que unha función é convexa nun punto do seu dominio de definición se, nun entorno dese punto, a gráfica da función se mantén por encima da tanxente á curva nese punto; é dicir: a parábola y=x 2 é un exemplo de función convexa.
Criterios Xerais de Avaliación. Matemáticas. A principal novidade, respecto dos criterios do curso pasado, está no feito de que o exame de Matemáticas (Código 21) das PAAU, para os alumnos aos que se lles aplica o Decreto 231/2002, constará de tres bloques con dúas opcións en cada bloque. Serán teóricoprácticos a lo menos un e como máximo dous dos bloques e terán a seguinte puntuación numérica: Bloque I (3 puntos): Álxebra lineal Bloque II (3 puntos): Xeometría Bloque III (4 puntos): Análise Cada alumno/a contestará a tres preguntas, unha de cada bloque (en www.cesga.es/ciug pódese atopar un exemplo de estrutura de exame).
• • • • • • • •
En canto á avaliación, valoraranse os coñecementos teórico/prácticos do alumno e o adecuado uso da ferramenta matemática, así como o rigor nos razoamentos desenrolados e na linguaxe empregada. No desenrolo dos problemas, exercicios e cuestións valóranse os seguintes aspectos: A identificación do modelo matemático e das propiedades matemáticas e a súa descripción concisa. A coherencia ordenada e razonada da exposición da resposta. A claridade de exposición. A utilización dunha adecuada terminoloxía e notación matemática. A facilidade e precisión na realización do cálculo. Se no desenrolo dunha resposta, por un erro nos cálculos, o alumno obtén unha solución absurda (o valor dunha área negativa, por exemplo), valorarase positivamente que o alumno faga constar o absurdo de tal resultado. A ausencia de explicacións na solución dun problema repercute negativamente na súa valoración, podendo acadar unha puntuación nula se só aporta a solución numérica dun problema ou cuestión sen ningunha explicación. Cando sexa posible, é recomendable ilustrar a resolución dos problemas con representacións gráficas, posto que se valora a corrección e detalle das mesmas, o emprego de unidades e o mantenemento aproximado das proporcións.
Ainda que no exame de Matemáticas das PAAU ESTARÁ PERMITIDO O USO DE CALCULADORA non programable, os exercicios que se proporán nas P.A.A.U poderanse resolver utilizando simplificacións e se o resultado dun problema é 2π, por exemplo, non é necesario aproximar dito resultado, ese é o resultado correcto: o seu valor exacto. Por outra parte, no suposto de que un alumno responda a dúas preguntas dun determinado bloque só se lle corrixe e valora a resposta escrita en primeiro lugar. Ademáis, a puntuación de cada pregunta está condicionada polo que o alumno fai ben e non polo que fai mal ou deixa de facer, é dicir, as preguntas parcialmente contestadas ou incorrectas nos seus resultados fináis poden acadar unha calificación intermedia en función do seu desenvolvemento.