Interpretación gráfica del movimiento periódico. ¿Cómo es qué el movimiento periódico simple se puede describir mediante funciones armónicas (seno y coseno)? En general, la forma de la función se determina por el desplazamiento inicial de la masa a la condición inicial del sistema. Esta condición inicial es el valor del desplazamiento en t = 0 y nos determina en que forma se pone en movimiento el sistema al inicio. A continuación observaremos el comportamiento del MAS, a partir de una masa m unida a un extremo de un resorte con el otro extremo fijo despreciándose en cada caso la fricción. X
Desplazamiento
m
Punto de equilibrio El desplazamiento x se mide con respecto a la posición de equilibrio, cuando una masa m se mueve unido a un resorte. Desplazamiento
t=0
Tiempo t
X = Acoswt
m
Al moverse un papel con rapidez constante hacia la izquierda, el lápiz unido a la masa de extremo del resorte trazará el desplazamiento x en función del tiempo t a partir de X= A Cos wt
Estas gr谩ficas representan el desplazamiento X, la velocidad v y la aceleraci贸n a en funci贸n del tiempo t para el movimiento arm贸nico simple
Ejercicios resueltos: Nota: Para utilizar las ecuaciones del MAS, te debes asegurar de ajustar la calculadora para leer ángulos en radianes (rad), de la misma manera no tratar de redondear los números antes de tener la respuesta final, ya que, un pequeño error en la medida en radianes es significativo. 1. Una masa m oscila con un MAS de frecuencia 3 Hz y una amplitud de 6 cm. ¿Cuáles son sus posiciones cuando el tiempo es de t = 0 y t = 2.4 s? Datos: f = 3 Hz A = 6 cm x =? t1 = 0 t2 = 2.4 s
Fórmula: x = A cos θ = A cos ωt x = A cos 2 π f t
Desarrollo: a) para t = 0 x = ( 6cm) cos 2(3.1416)(3 1/s)(0) x = (6 cm)cos (0 rad.)= 6 (1) cm = 6 cm R. X = 6 cm b) para t = 2.4 s x = (6cm) cos 2(3.1416)(3 1/s)(2.4 s) x = (6 cm)cos (45.238 rad) x = 6 cm (0.309016) = 1.854 R. X = 1.854 cm
2. Una masa de 200 gr se encuentra suspendida de un largo resorte en espiral. Cuando se desplaza 10 cm, la masa vibra con un período de 2 s. (a) ¿Cuál es la constante del resorte? (b) ¿Cuáles son su velocidad y aceleración cuando se mueve hacia arriba hasta un punto que se encuentra a 5 cm sobre su posición de equilibrio? Datos :
Fórmula:
m = 200 g = 0.2 kg A = 10 cm = 0.1 m T=2s
F=-kx v = - vT sen θ = - w A sen wt = - 2π f A sen θ a = - aC cos θ = - w2 A cos wt = - 4 π 2 f 2A cos 2π f t
a) k = ?
a=-4π2f2AX
b) v = ? a=?
Cos θ =
X A
Desarrollo: a) Hallar la constante k del resorte La fuerza que actúa sobre el resorte es la del peso del cuerpo suspendido, F = - m g, por lo que: F = - k x ⇒ k = - F / x = - ( - m g) / x k = 0.2 kg ( 9.8 m / s2 ) = 19.6 N / m 0.1 m R. k = 19.6 N / m b) Para hallar la velocidad y aceleración se requiere conocer el ángulo correspondiente a la amplitud de 5 cm. Cos θ =
X A
⇒ Cos θ =
5cm 10cm
= 0.5 rad
θ = cos -1 ( 0.5) = arc cos (0.5) = π / 3 = 1.0472 rad v = - 2π f A sen θ v = - 2 (3.1416) (0.5 1/s) (10cm) sen (1.0472) v = - 27.2 cm / s R. v = - 0.272 m / s a=-4π2f2x a = - 4 (3.1416) 2 (0.5 1/s) 2 (5cm) = - 49.35 cm / s2 R. a =- 49.35 cm / s2