MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO En la mayor parte de las situaciones reales, la velocidad de un objeto en movimiento no es constante si no que varia con el tiempo, esto es, el objeto aumenta o disminuye de velocidad. Esta variación de la velocidad recibe el nombre de la aceleración Considerando que la velocidad es un vector, la aceleración también lo es ACELERACIÓN Cantidad vectorial que representa la variación de la velocidad de un cuerpo con respecto al tiempo.
Su expresión matemática es: a=
vf − vo t
donde: m ft a = aceleración del móvil en 2 , 2 s s m ft , s s
vf = velocidad final del móvil en
m ft , s s
vo = Velocidad inicial de móvil en
t = tiempo en que se produce el cambio de velocidad en segundos (s) Es muy común que, conociendo su velocidad inicial y la aceleración de un móvil se requiera calcular la velocidad final a cabo de cierto tiempo. Por lo tanto, despejando vf de la ecuación anterior. a=
vf − vo ∴ t
v f = Vo + at
El signo de la aceleración será el mismo que tenga la variación de la velocidad. Por tanto: • La aceleración será positiva cuando:
a) la velocidad es del signo positivo y experimenta un aumento. b) La velocidad es de signo negativo y sufre una disminución, o sea, un frenado. •
La aceleración será negativa cuando:
a) La velocidad es de signo negativo y tiene un aumento b) La velocidad es de signo positivo y disminuye, o sea, un frenado. Ahora bien si la velocidad aumenta la aceleración es positiva. Si la velocidad disminuye, la aceleración es negativa. Cuando la velocidad aumenta se dice que el cuerpo está acelerado, pero si la velocidad decrece se dice que el cuerpo desacelera.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Cuando un cuerpo se desplaza en línea recta y experimenta cambios de velocidad iguales en cada unidad de tiempo.
INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL M.R.U.V. Se tiene un movimiento rectilíneo uniformemente variado cuando la aceleración es constante, es decir, se efectúan cambios iguales de velocidad en intervalos de tiempos iguales. Si el cuerpo se desplaza con la velocidad indicada en la tabla, en el intervalo de los 2 a los 5 segundos experimenta un movimiento uniformemente acelerado. En la gráfica, las cantidades en el eje x representan los tiempos y las velocidades se indican en el eje y.
TABLA Tiempo (s)
m Velocidad s
1
5
2
15
3
25
4
35
5
45
6
70
vs
Aceleración del móvil
Observa que al graficar la velocidad en relación al tiempo, en el intervalo indicado (2 – 5 segundos) se obtiene una línea recta, lo que nos indica que en ese lapso la aceleración que experimenta el cuerpo es constante. Ecuaciones Utilizadas en el M.R.U.V El movimiento rectilíneo uniforme variado, la velocidad está cambiando constantemente de valor. Considerando el concepto de velocidad media y aceleración obtendremos las ecuaciones para la solución de ejercicios de movimiento cuando la aceleración es uniforme. vf + vo 2 analizando las ecuaciones:
v=
v=
v=
s t
-----------
-----------
s =v t
v=
vf + vo 2
1
-----------
2
3
sustituyendo 3 en 2 s=
vf + vo t 2
-----------
4
sabemos que: v f = vo + a t
-----------
5
sustituyendo 5 en 4
s=
vo + a t + vo t --------2
6
2v o + a t t ---------7 2 Efectuando la operación (Multiplicando por t y dividiendo entre 2) s=
s t
a=
vf − vo t
s = vo t +
a t2 ----------2
8
Cuando la velocidad inicial del móvil es cero Entonces la ecuación se transforma en : s =
v0 = 0
a t2 2
-----------
9
Para determinar las velocidades finales en un M.R.U.V. partimos de la ecuación s=
vf + vo t 2
-----------
4
sabemos que vf − vo t
a=
-----------
10
multiplicando ec.10 por ec.4 v − vo vf + vo as = f t -- t 2 2
as=
11
2
vf − vo ----------2
12
despejando la velocidad final 2
2
vf = vo + 2 a s - - - - - - - - - -
13
Si vo = 0 2
vf = 2 a s
-----------
14
de la ecuación 12 despejamos el desplazamiento 2
s=
2
vf − vo ----------2a
15
Si vo = 0 2
s=
vf 2a
-----------
16
Conclusión: Las ecuaciones para calcular los desplazamientos y las velocidades finales en M.R.U.V. las cuales utilizaremos dependiendo de las situaciones en que se presente el movimiento son:
Fórmulas para el M.R.U.V.
Ecuaciones Generales vf = vo + a t
v + vo s= f t 2 2
2
vf = vo + 2 a s s = vo t +
1 2 at 2
Ecuaciones Especiales vo = 0 vf = a t s= 2
1 vf t 2
vf = 2 a s
s=
1 a t2 2
Ejercicios resueltos 1. -Un motociclista lleva una velocidad de 2.5 velocidad es de 7
m al sur, a los 4 segundos, su s
m . Determinar: s
a) su aceleración b) su desplazamiento en ese tiempo Datos vo = 2.5
vf = 7
m s
Fórmula m s
a=
vf − vo t
s = vo t +
1 2 at 2
Desarrollo
a=
7
m m − 2.5 s s 4s
a = 1.125
m s2
t =4s
m 2 1.125 2 ( 4 s ) m s s = 2.5 ( 4 s ) + s 2
a=?
m m s = 10 ( s/ ) + 9 2 ( s/ 2 ) s/ s/
s=?
s = 19 m
2. -Determine la rapidez que llevará un ciclista a los 6 segundos, si al bajar por una pendiente adquiere una aceleración de 1.5 de 4
m y parte con una rapidez inicial s2
m . s
Datos vo = 4
Fórmula m s
Desarrollo
v f = vo + a t
t =6s m s2
a = 1.5
vf = 4
m m + 1.5 2 ( 6 s ) s s
vf = 4
m m + 9 2/ ( s/ ) s s
vf = 13
m s
vf = ?
3. -La velocidad de un tren se reduce uniformemente de 14
m m a6 . Sabiendo s s
que durante ese tiempo recorre una distancia de 120 m, calcular: a) La desaceleración b) La distancia que recorre a continuación hasta detenerse suponiendo la misma desaceleración. Datos
Fórmula
Desarrollo 2
vo = 14
m s
2
2
vf = vo + 2 a s
m m 6 − 14 s s a= 2 (120 m )
2
despejando la aceleración m vf = 6 s
s = 120 m a=? s=?
2
v − vo a= f 2s
2
m2 m2 − 196 s2 s2 a= 240 m m a = - 0.667 2 s 36
b) ahora la velocidad inicial es vo = 6 Datos
m y la velocidad final Vf = 0 s
Fórmula
Desarrollo 2
vo = 6
m s
2
2
vf = vo + 2 a
m 0 − 6 s s= m 2 - 0.667 2 s
despejando la aceleración 2
s=
vf = 0
a = - 0.66
vf − vo 2a
2
m s2
m 2/ s/ 2 s= m - 1.334 2 s/ − 36
s = 26.99 m
4. -Un automóvil parte del reposo y aumenta su velocidad a 40
km aumenta su h
velocidad en 7 segundos. Si su aceleración es constante. a) ¿Cuál será su aceleración? b) ¿Qué distancia recorrió en ese tiempo? Datos
Fórmula a=
vo = 0
vf = 40
m km = 11.11 s h
vf − vo t
s = vo t +
1 2 at 2
t =7s
Conversión de
a=?
Unidades
s=?
40
km 1000m 1h m = 11.11 h 1km 3600s s
Desarrollo a=
m −0 s 7s
11.11
a = 1.587
m s2
1 m s = ( 0/ ) t + 1.587 2 ( 7 s/ 2 ) 2 s/ s = 38.881 m