ANÁLISIS DIMENSIONAL Y CONVERSIÓN DE UNIDADES OPERACIONES CON CANTIDADES FÍSICAS Las cantidades físicas se expresan mediante símbolos algebraicos. Un símbolo algebraico se forma por número y literal, al igual que las cantidades físicas; por ejemplo una longitud se expresa como 20 m, 3 ft, 10 cm, etc. Es por ello que los cálculos de las cantidades físicas se realizan igual que lo hacemos con los símbolos algebraicos. Las unidades que se utilicen para la resolución de toda ecuación o fórmula deben pertenecer a un mismo sistema (Internacional o Inglés). SUMA Para efectuar esta operación, todas las cantidades deben tener las mismas unidades. La operación se resuelve, sumando los números y escribiendo la misma unidad. Ejemplo: 5 m + 2 m + 41 m = 48 m RESTA Para restar una cantidad de otra, deben tener las mismas unidades. Se realiza, restando los números y escribiendo la misma unidad. Ejemplo: 7 m2 – 4 m2 = 3 m2 MULTIPLICACIÓN Para efectuar la multiplicación las cantidades pueden tener distintas unidades. Para resolver esta operación, multiplica los números y posteriormente multiplica las unidades como literales algebraicas. Ejemplo: (2 m) (8 m ) = 16 m2 (9 m2) (3 m) = 27 m3 (5
m ms ) ( 3 s) = 15 = 15 m s s
DIVISIÓN Las cantidades que se dividen pueden tener distintas unidades. Para efectuar la operación, divide los números; a continuación divide las unidades como literales algebraicas Ejemplo: 25 m 5s
4m 2m
= 5
=2
m s
m = 2. m
m m s =3 s s 4s 1
12
=3
m s2
ANÁLISIS DIMENSIONAL Las dimensiones de una cantidad física indican el tipo de unidades que la forman. El análisis de las dimensiones de una fórmula nos permite determinar si esta es correcta. Toda ecuación o fórmula debe ser dimensionalmente consistente, es decir las cantidades a cada lado del signo igual deben tener las mismas unidades. Ejemplo: Verifica mediante el análisis dimensional las siguiente fórmulas.(Expresa las unidades en el Sistema Internacional). 1) S = v t Desplazamiento = (velocidad) (tiempo) La ecuación expresada dimensionalmente en el Sistema Internacional es la siguiente: m m = ( s ) s
m=
ms =m s
m=m
Dimensionalmente correcta.
W =m g 2) Peso = (masa) (aceleración de la gravedad)
La ecuación expresada dimensionalmente en el Sistema Internacional es la siguiente: N = (kg ) (
m ) s2
como N =
kg m s2
N =N
Concluimos indicando que la ecuación es dimensionalmente correcta puesto que las unidades en ambos miembros de la ecuación son iguales. Aplicación: El análisis dimensional permite asegurar si un problema determinado se ha resuelto correctamente desde el punto de vista de las dimensiones o de las unidades con las que opera.
Ejercicios resueltos: Verifica mediante el análisis dimensional las siguientes fórmulas ( Expresa las unidades en el Sistema Internacional).
1.-
v=
S t
Velocidad =
desplazami ento tiempo
La velocidad se expresa en
m s
La distancia en m El tiempo en s La ecuación expresada dimensionalmente es: m m = s s
2.-
Dimensionalmente correcto.
a = vf − v0 t
Aceleracion =
velocidad final − velocidad inicial tiempo
La aceleración se expresa en La velocidad en El tiempo en s
m s
m s2
La ecuación expresada dimensionalmente es: m m − m s s = 2 s s
Análisis dimensional m m m s 2 = s = s2 s 1 m m = Dimensionalmente correcto. s2 s2 3.-
vf = v0 + a t
velocidad final = velocidad inicial + (aceleración ) ( tiempo) La velocidad se expresa en
m s
La aceleración se expresa en
m s2
El tiempo se expresa en (s) La ecuación expresada dimensionalmente es: m m m = + ( s) s s s2
Análisis dimensional m m m = + s s s m m = s s
4.-
Dimensionalmente correcto 2
2aS = v f − v o
2
2(aceleración)(desplazamiento)=(velocidad final) 2 – (velocidad inicial )2
La aceleración se expresa en
m s2
El desplazamiento se expresa en m La velocidad en
m s
La ecuación expresada dimensionalmente es: 2
m m m 2 ( m) = − s s s
m2 m2 = 2 s2 s
5.-
2
Dimensionalmente correcto
v + vf S= 0 t 2
velocidad inicial + velocidad final desplazamiento = tiempo 2
La ecuación expresada dimensionalmente es: m m m= + s s s
Análisis dimensional m m = s s
m = m Dimensionalmente correcto
CONVERSIONES En algunas ocasiones existe la necesidad de cambiar o convertir las unidades que se están empleando. Esta conversión de unidades se puede efectuar aplicando el principio de cancelación. La conversión de una cantidad expresada en determinada unidad, a su equivalente en una unidad diferente de la misma clase, se basa en el hecho de que multiplicar o dividir cualquier cantidad por uno no afecta su valor. Mediante este método las conversiones pueden ser fácilmente realizadas, conociendo las cantidades equivalentes.
CANTIDADES EQUIVALENTES
Longitud 1 m = 100 cm 1 m = 1 000 mm 1 cm = 10 mm 1 m = 39.37 in 1 m = 3.281 ft 1 m = 1.094 yd 1 km = 1000 m 1 in = 2.54 cm 1 ft = 0.3048 m 1 ft = 30.48 cm 1 ft = 12 in 1 mi = 1.609 km 1 mi = 5280 ft 1 yd = 3.0 ft 1 yd = 3.0 ft 1 yd = 91.44 cm 1 in = 0.0254 m
Volumen 1 m = 1 000 litros 1 cm3 = 1 ml 1 l = 1 000 cm3 1 l = 1 dm3 1 galón = 3.785 litros
Tiempo 1 hora = 60 min. 1 min = 60 s 1 hora = 3 600 s
Fuerza 1 lb = 4.45 N
Masa 1 slug = 14.59 kg
3
CONVERSIÓN DE UNIDADES LINEALES (ELEVADAS A LA POTENCIA 1) . Ejemplo: Convertir 46 m en cm 1. - Escribimos la cantidad que se desea convertir
46 m
2. - Buscamos las cantidades equivalentes de las unidades involucradas (Tabla de cantidades equivalentes). 1m = 100 cm 3. - Multiplicamos la cantidad original por un quebrado (factor de conversión), que estará formado por las cantidades equivalentes, colocando la unidad que se quiere eliminar opuesta a su posición en la cantidad original, de tal forma que al efectuar la operación, se cancele.
( 46
100 cm ( 46 ) (100 ) m) cm = 4 600 cm 1m = 1
Por lo tanto: 46 m = 4 600 cm Si efectúas la operación inversa o sea convertir cm en m basta invertir el factor de conversión. Ejemplo: convertir 25 cm
en
m
1m = 0.25 m 100 cm
( 25 cm )
25 cm = 0.25 m El factor de conversión está formado por una igualdad, por lo que su valor es uno, de forma que la cantidad original no se afecta al multiplicarla por dicho factor. 100 cm =1 1m
1m =1 100 cm
CONVERSIÓN DE UNIDADES NO LINEALES (ELEVADAS A POTENCIA DIFERENTE DE 1) Para convertir unidades elevadas a potencia diferente de 1 el método de conversión es el mismo, tomando en consideración lo siguiente: 1m = 100 cm
Ejemplo: Convertir
(1m)2 = (100 cm)2
(1m)3=(100 cm)3
1m2 = 10 000 cm2
1 m3 = 1000 000 cm3
540 m2 en
cm2
Se utilizan las equivalencias lineales de las unidades involucradas Equivalencia 1m = 100 cm Para eliminar m2, el factor de conversión debe involucrar m2 por lo tanto se elevan las dos cantidades equivalentes, de tal forma que el factor de conversión mantenga su valor = 1. (1 m)2 = (100 cm)2 1 m2 = 10 000 cm2 Se colocan las cantidades equivalentes de modo que al efectuar la operación se cancelen m2 y sólo queden cm2 cm (540 m ) 10 000 1m 2
2
2
= 5 400 000 cm2
540 m2 = 5 400 000 cm2
CONVERSIÓN DE UNIDADES COMBINADAS Cuando se requiere convertir una cantidad física como la velocidad que implica la relación de dos cantidades, el procedimiento es el mismo solo que se requerirá de dos factores de conversión. Ejemplo:
Convertir 80
km h
en
m s
Equivalencias 1 km = 1 000 m 1 h = 3 600 s Se multiplica la cantidad que se desea convertir por dos factores de conversión, colocados de forma que al efectuar la operación se eliminen los km y las h y el resultado quede expresado en (
km 1000 m 80 h 1 km
m ). s
m 1 h 80 000 m 3 600 s = 3 600 s = 22. 2 s
80
km m = 22. 2 h s
Ejercicios resueltos Realiza las siguientes conversiones 1. -
a
28.3 cm
Equivalencia
m
1 m = 100 cm
28.3 1m cm ) m = 0.283 m = 100 100 cm
( 28.3
28.3 cm = 0.283 m 2. -
a
568 ft
Equivalencia
millas
1 mi = 5 280 ft
1 mi 5 280 ft
( 568 ft )
568 = 5 280 mi. = 0.108 mi
568 ft = 0.108 mi 1 250 in
3. -
a
Equivalencia
m
1 in = 0.0254 m
(1250 in ) 0.0254 m = 31.75 m
1 in
1250 in =3.71 m 30 m3
4. -
cm3
a
Equivalencia
(1m )
3
= (100cm )
1 m = 100 cm 3
3
1 m = 1 000 000 cm3 cm (30 m ) 1 0001000 m 3
3
3
= 30 000 000 cm 3
30 m3 = 30 000 000 cm3
5. -
300 cm2
m2
a
Equivalencia 1 m = 100 cm
(1 m ) 2
= (100 cm )
2
1 m2 = 10 000 cm2 1m (300 cm ) 10 000 cm
300 = m 2 = 0.03 m 2 10 000
2
2
2
300 cm2 = 0.03 m2 6. -
83.5 ft3
a
m3
Equivalencias 1 ft = 0.3048 m
( l ft ) 3
= ( 0.3048 m )
3
l ft3 = 0.0283 m3 m (83.5 ft ) 0.0283 1 ft 3
3
3
= 2.363 m 3
83.5 ft3 = 2.363 m3 7. -
10
km h
m s
a
Equivalencias 1 km = 1 000 m 1 h = 3 600 s km 1 000 m 1 h 10 h 1 km 3 600
10 000 m m = = 2.778 s 3 600 s s
10 8. -
367
mi h
a
km h
= 2.778
m s
= 538.267
ft s
ft s
Equivalencias 1 mi = 5 280 ft 1 h = 3 600 s mi 5 280 ft 1 h 1 937 760 ft ft = 538.267 367 1 mi 3 600 s = 3 600 h s s
367
mi h
9. Un contratista colocará azulejo importado en la pared de una cocina, que mide 3 metros de ancho y 2 metros de alto. ¿Cuántos pies cuadrados ( ft2) de azulejo se necesitan?
3.00 m
2.00 m
Solución I Se requiere determinar el área o superficie de la pared en el Sistema Ingles, por lo que las dimensiones de la pared deben estar expresadas en este sistema. De forma que se convierten las medidas de metros (m) a pies (ft) Equivalencia
1 m = 3.281 ft
3.281 ft 2m 1 m = 6.562 ft
o
1 ft = 0.3048 m
3.281 ft 3m = 9.843 ft 1m
Por tanto: Area =(base) (altura) Sustituyendo Área = (9.843 ft ) ( 6.562 ft ) = 64.59 ft2 Área = 64.59 ft2 Solución II Se calcula el área en m2 y el resultado se convierte a ft2 Area = ( 3 m ) ( 2 m ) = 6 m2 Convertir 6 m2 en ft2 Equivalencia 1 m= 3.281 ft
(1 m ) 2
= ( 3.281 ft )
2
1 m2 = 10.765 ft2 10.765 ft 2 2 2 = 64.59 ft 1m
6 m2
Área = 64.59 ft2 10. - Un cohete al ser lanzado alcanza una altura de 250 Km ¿A cuánto equivale esta distancia en ft? Se convierten 250 Km a ft
En la tabla de equivalencias no contamos con el factor de conversión directa de km a ft. En este caso se realiza la conversión utilizando factores intermedios conocidos. Por ejemplo convertiríamos km a m y posteriormente los m a ft. 250 km
a
m
Equivalencia 1 km = 1 000 m
1 000 m (250 km) 1 km = 250 000 m
250 000 m
a
ft
Equivalencia 1m = 3.281 ft
3.281 ft (250 000 m) 1m = 820 250 ft
250 km = 820 250 ft
11. - Una persona pesa 130 lb y tiene una altura de 5 ft y 9 in. Expresa el peso y la altura en unidades del Sistema Internacional. En el Sistema Internacional el peso se expresa en newton (N) Por lo tanto: Se convierten 130 lb en N Equivalencia 1 N = 0.225 lb
1N 130 = N = 577.778 N 0.225 lb 0.225
(130 lb )
Peso = 577.778 N
En el Sistema Internacional la altura se expresa en metros ( m). Convertir 5 ft
en
m
Equivalencia 1 ft = 0.3048 m
( 5 ft ) 0.3048 m = 1.524 m
1 ft
Convertir 9 in a m Equivalencia 1 in = 0.0254 m
(9 in ) 0.0254 m = 0.229 m
1 in
Altura = 1.524 m + 0.229 m = 1.753 m Altura = 1.753 m