CONDICIONES DE EQUILIBRIO. Existen dos tipos de equilibrio que son el traslacional y el rotacional; cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas coplanares paralelas, puede existir equilibrio traslacional pero no necesariamente equilibrio rotacional, ya que un objeto puede no moverse a la izquierda o la derecha ni hacia arriba o hacia abajo, pero si puede estar rotando. Por ejemplo cuando hacemos girar el volante de nuestro automóvil por el efecto de las fuerzas que no tienen un mismo punto de aplicación, cuando utilizamos la llave de cruz al cambiar una llanta, etc. Por el análisis anterior, se presentan dos condiciones de equilibrio para un sólido rígido que establecen lo siguiente: PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO “Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional si la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre él es igual a cero” Por lo tanto:
∑F =0
Si existen fuerzas con diferentes direcciones, se descomponen en sus componentes x, y. Por lo que se cumple:
∑F ∑F
x
=0
y
=0
Donde: Σ = Suma algebraica Fx = Componente en x de cada fuerza Fy = Componente en y de cada fuerza
Fx = F Cos θ Fy = F Sen θ
Donde: F = Es la magnitud de la fuerza θ = Dirección de la fuerza SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO “Un cuerpo se encuentra en equilibrio rotacional si la suma de los momentos de fuerza que actúan sobre él es igual a cero” Por lo tanto:
∑M = 0 ∴ M
1
+ M2 + M3 + = 0
Donde: Σ = Suma algebraica M = Momento de fuerza Por lo general cuando se analiza una situación física conviene realizar un bosquejo o diagrama de las condiciones que se presentan, por medio de un sistema de vectores, que recibe el nombre de diagrama de cuerpo libre o diagrama de fuerzas.
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Es el dibujo que indica a las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Consiste en dibujar el objeto como un punto, si las fuerzas son concurrentes o una línea, si son paralelas a partir del cual se indican gráficamente las fuerzas que actúan, respetando su magnitud, dirección y punto de aplicación (Ver fig.6). Por éste pasará el eje horizontal (x) y el vertical (y). .5 m
.5 m
2m
2m A
W
200 N
W
200 N
fig. 6 Construcción de un diagrama de fuerzas de una situación real La fuerza de gravedad o peso de los cuerpos se grafica a partir del centro geométrico del sólido rígido que se presente, dirigido vertical hacia abajo. Procedimiento para resolver ejercicios: 1.- Leer y comprender el ejercicio propuesto para determinar los datos y las variables. 2.- Aislar el objeto en estudio y dibujar a todas las fuerzas que participan respetando su magnitud y dirección. 3.- Construir el diagrama de fuerzas. 4.- Se calculan las componentes rectangulares de las fuerzas que participan y los momentos de fuerza correspondientes, considerando un eje de rotación de modo que la línea de acción de una fuerza desconocida pase a través del punto de intersección del eje y el plano. Se considera como variable lo desconocido. 5.- Aplicar la primera y segunda condición de equilibrio. Σ F = 0 ec. 1
Σ M = 0 ec. 2 6.- Resolver las ecuaciones encontradas. Si las variables resultan con signo negativo, indica que el sentido considerado para esa fuerza al inicio del ejercicio no es el correcto, pero la magnitud encontrada si lo es. Para elegir un eje de rotación, si la suma de los momentos de torsión alrededor de un eje es igual a cero para un sólido rígido que satisface la primera condición de equilibrio, se tiene que esa suma es también igual a cero alrededor de otros ejes paralelos al primero. Por lo tanto se recomienda elegir los ejes de modo que la línea de acción de una fuerza desconocida pase a través del punto de intersección del eje y el plano.
Ejercicios resueltos 1.- Una barra uniforme pesa 300 N y sostiene un peso de 500 N como lo muestra la figura. Determinar las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre la barra por los soportes colocados en los extremos, si se encuentra en equilibrio. a) Para el eje A b) Para el eje B 10 m 2.5 m
A
B
a) Diagrama de fuerzas si el eje es el punto A 10m 5m
2.5 m B
A -
F1 W1
W2
+ F2
Solución para el eje A Datos
Fórmula
Wl = 300 N
∑F
W2 = 500 N
∑M =0
F1 + F2 − 300 N − 500 N = 0
Existe equilibrio
M =F r
F1 + F2 − 800 N = 0
y
Desarrollo Aplicando la 1° Condición de Equilibrio:
=0
F1 + F2 + W1 + W2 = 0
F1 + F2 = 800 N
ec. 1
Aplicando la 2° Condición de Equilibrio. Si el eje es A M F1 = F1 ( 0 ) = 0
M F2 = F2 ( 10 m ) = +10 m F2
M W1 = ( 300 N )( 5 m ) = −1500 N m
M W2 = ( 500 N )( 7.5 m ) = −3750 N m
∑M
A
= 0 +10 m F2 −1500 N m − 3750 N m = 0
+ 10 m F2 − 5250 N m = 0 ec. 2
Resolviendo la ec. 2 F2 =
5250 m = 525 N 10 m
F2 = 525 N Sustituyendo en la ec. 1 F1 + 525 N = 800 N F1 = 800 N − 525 N F1 = 275 N
F1 = 275 N b) Diagrama de fuerzas si el eje es el punto B 10m 5m -
2.5 m +
+
F1 Solución para el eje B Datos
Fórmula
W1
B W2
F2
Desarrollo Aplicando la 1° Condición de Equilibrio:
W1 = 300 N
∑F
W2 = 500 N
∑M = 0
y
F1 + F2 + W1 + W2 = 0
=0
F1 + F2 − 300 N − 500 N = 0 F1 + F2 − 800 N = 0
Existe equilibrio
F1 + F2 = 800 N ec. 1
Aplicando la 2° Condición de Equilibrio. Si el eje es B M F1 = F1 (10 m ) = −10 m F1
M F2 = F2 ( 0 ) = 0
M W1 = ( 300 N )( 5 m ) = +1500 N m
M W2 = ( 500 N )( 2.5 m ) = +1250 N m
∑M
B
= −10 m F1 + 0 +1500 N m +1250 N m = 0
−10 m F1 + 2750 N m = 0 ec. 2
Resolviendo la ec. 2 F1 =
− 2750 N m = 275 N −10 m
F1 = 275N Sustituyendo en la ec. 1
275 N + F2 = 800 N F2 = 800 N − 275 N = 525 N
F2 = 525 N 2.- Determinar las fuerzas que se ejercen en los extremos de un andamio de 4 m de largo y 200 N de peso, si un albañil que pesa 600 N se coloca a 1 m de su extremo izquierdo. Diagrama de fuerzas 4m 1m
2m
A F1
Datos
Fórmula
W2
W1
F2
Desarrollo Aplicando la 1° Condición de Equilibrio:
l =4 m
∑F
W1 = 200 N W2 = 600 N F1 =? F2 =?
∑M = 0
y
=0
∑F
y
=0
F1 + F2 + W1 + W2 = 0 F1 + F2 − 200 N − 600 N = 0 F1 + F2 = 800 N ec. 1
∑M =0
Aplicando la 2° Condición de Equilibrio. Si el eje es A M F1 = F1 ( 0 ) = 0
M F2 = F2 ( 4 m ) = +4 m F2
M W1 = ( 200 N )( 2 m ) = −400 N m M W2 = ( 600 N )(1 m ) = −600 N m
∑M
A
= 4 m F2 − 400 N m − 600 N m = 0
4 m F2 −1000 N m = 0 ec. 2
Resolviendo la ec. 2 F2 =
1000 N m = 250 N 4m
F2 = 250 N Sust. en ec. 1
F1 + 250 N = 800 N F1 = 800 N − 250 N = 550 N
F1 = 550 N 3.- Una palanca de primer género, como lo muestra la figura, sostiene un peso de 200 N en su brazo mayor. Determinar el peso en el brazo menor para que el sistema presente equilibrio. No se considera el peso de la palanca. .5 m
.5 m
2m
2m A
W
200 N
Datos
Fórmula
W1 = 200 N
∑F
r1 = 2 m
y
=0
∑M = 0
W2
Desarrollo Aplicando la 1° Condición de Equilibrio:
∑F
y
=0
F − W1 − W2 = 0
W1=200 N
r2 = 0.5 m W2 = ?
M =F r
F − 200 N − W2 = 0 F − W2 = 200 N ec. 1
∑M =0
Aplicando la 2° Condición de Equilibrio. Si el eje es A M F = F( 0 ) = 0 M W1 = ( 200 N )( 2 m ) = −400 N m
M W2 = W2 ( 0.5 m ) = +0.5 m W2
∑M
A
= −400 N m + 0.5 m W2 = 0 ec. 2
De la ec. 2 W2 =
400 N m = 800 N 0 .5 m
W2 = 800 N Sust. en ec.1
F −800 N = 200 N F = 200 N +800 N =1000 N
F = 1000 N