MOVIMIENTO CIRCULAR DESCRIPCIÓN CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR. El movimiento es el cambio de posición que experimenta un cuerpo No todos los movimientos que suceden a nuestro alrededor son en línea recta, la rotación de la Tierra sobre su eje, las manecillas de un reloj, el carrusel de la feria o el de los satélites naturales o artificiales alrededor de la Tierra describen una trayectoria circular alrededor de un eje o un punto determinado. MOVIMIENTO CIRCULAR Es aquél que se presenta cuando un móvil describe en su trayectoria, imaginariamente, una circunferencia. Cada uno de nosotros también recorremos una trayectoria circular debido a que la Tierra está girando sobre su propio eje.
DEFINICIÓN ANGULAR.
DE
TRAYECTORIA
Y
DESPLAZAMIENTO
CIRCULAR
Y
Debido a que la Tierra está girando sobre su propio eje, cualquier punto sobre su superficie presenta movimiento circular. Si consideramos como referencia el eje de rotación terrestre, cada uno de nosotros recorremos una distancia de 2πr en 24 horas. En el movimiento circular el móvil presenta un desplazamiento angular. DESPLAZAMIENTO ANGULAR ( θ) Es la distancia recorrida por una partícula en una trayectoria circular. Ésta describe la cantidad de rotación que realiza el cuerpo En el Sistema Internacional de medida la unidad del desplazamiento angular es el radián ( rad ). Ver fig. 1.
RADIÁN Es el ángulo subtendido por el arco cuya longitud es igual al radio del círculo.
s=r r
θ
r
fig.1 Desplazamiento de 1 rad El desplazamiento angular en radianes se obtiene por la relación: θ=
s r
Donde: θ = Desplazamiento angular ( rad ) s = Distancia o longitud del arco descrito por el movimiento angular ( m ) r = Es el radio de la trayectoria circular ( m ) Si la longitud del arco es igual al radio del círculo, el desplazamiento angular es de un radián. El radián no tiene dimensiones, ya que es la relación entre dos longitudes (del arco y radio ) y por lo tanto tiene el mismo valor en todos los Sistemas de Unidades. Se puede agregar o eliminar en los resultados donde sea necesario. Otras unidades son: Revoluciones ( rev ): Es un círculo completo. Grados ( ° ): Es 1/360 de un círculo completo o de una revolución completa. . Los factores de conversión entre las unidades de desplazamiento angular son: 1 rev = 360 ° 1 rev = 2π rad 1 rad = 57.3 °
VELOCIDAD ANGULAR. De manera similar que en el movimiento rectilíneo, podemos definir una velocidad angular representada por ω (letra griega omega minúscula), como: VELOCIDAD ANGULAR ( ω ) Es desplazamiento angular que recorre un cuerpo en un intervalo de tiempo. Por lo tanto la velocidad angular media es:
ω=
θ θf − θ0 = t t
Donde: ϖ = Velocidad angular media ( rad/s ) θ = Desplazamiento angular recorrido ( rad ) θf = Desplazamiento angular final θo = Desplazamiento angular inicial t = Tiempo transcurrido ( s ) Las unidades de la velocidad angular son unidades de desplazamiento angular entre unidades de tiempo. También pueden ser: rev/min = rpm, ° /s, etc.
PERIODO ( T ) Y FRECUENCIA( f ). En el movimiento circular uniforme se define los conceptos de periodo y frecuencia, ya que son necesarios para comprender los fenómenos que se producen en los movimientos periódicos que se estudian en Acústica y Óptica. PERIODO ( T ) Es el tiempo que tarda un móvil en recorrer los 360° de su trayectoria circular. La unidad de periodo es el segundo ( s ) Sobre la superficie de la Tierra todos los cuerpos presentan el mismo periodo de 86 400 s ( 24 h ). FRECUENCIA ( f ) Es el número de revoluciones o vueltas completas que realiza el móvil en la unidad de tiempo. Por lo tanto:
f =
1 T
T=
1 f
La unidad de frecuencia es el Hertz ( Hz ). 1 Hz = 1 rev / s En problemas técnicos la velocidad angular media se expresa en términos de la frecuencia de revoluciones. Por lo tanto, se calcula de la siguiente manera: ω= 2 πf
ω=
2π T
Dónde: ϖ = velocidad angular media (rad /s ) f = frecuencia ( rev /s ) T = periodo (s )
INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ( MCU ) Un objeto se mueve con velocidad constante (movimiento uniforme) a menos que una fuerza externa no equilibrada actúe sobre él. La velocidad es un vector que presenta magnitud (rapidez) y dirección, para modificar a cualquier de ellos se necesita aplicar una fuerza. Cuando en un movimiento se aplica una fuerza en una dirección diferente a la original se provoca cambio en la trayectoria del objeto en movimiento.
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Se presenta cuando un móvil recorre una trayectoria circular conservando la magnitud de su velocidad constante, pero cambiando su dirección en cada punto. El movimiento circular uniforme se produce cuando una fuerza externa constante actúa siempre formando ángulos rectos con respecto a la trayectoria de la partícula en movimiento. Cualquier punto sobre un disco que gira en una tornamesa presenta éste movimiento ( Ver fig. 2 )
ω
r 1
θ
m1
fig. 2 Velocidad angular La velocidad lineal en el movimiento circular uniforme siempre es tangente a la trayectoria circular ( Ver fig. 3 ).
v s ω
v
r
θ
r
fig. 3 Velocidad lineal tangente.
Ejercicios resueltos: 1.- Determinar la velocidad angular de 50 °/s en rev /s y en rad /s . Datos ϖ = 50
Fórmula
Desarrollo ° 1 rev rev ϖ = 50 × = 0.1388 s 360° s
° s
ϖ=?
° 1rad rad ϖ = 50 × = 0.8726 s 57.3° s
rev rad y s s
rad/s
ω =0.1388 rev/s ω = 0.8726
2.- Determinar la velocidad angular del segundero de un reloj de pared. Datos θ =1 rev
Fórmula ϖ=
θ t
Desarrollo ϖ=
1rev rev = 0.0166 60s s
ω=0.0166 rev/s t = 60 s
3.- Determinar la velocidad angular de la Tierra en un día. Datos θ =1 rev
t = 24 s
Fórmula ϖ=
θ t
Desarrollo ϖ=
1 rev rev = 0.04166 24 h h
ω=0.04166 rev/h = 1.1574X10-5 rev/s
INTERPRETACIÓN ANGULAR.
ENTRE
VELOCIDAD
Y
ACELERACIÓN
LINEAL
Y
Tomando en consideración que la velocidad lineal es la distancia recorrida respecto al tiempo y sí una partícula realiza una vuelta completa (revolución), en un tiempo (periodo “T” ) de cada segundo, éste hace un recorrido por medio de una velocidad tangencial determinada por la siguiente expresión:
v=
s t
donde: s = arco de giro (perímetro) = 2πr t = tiempo de realización del giro (Periodo) = T
1 1 T = ∴f = f T
v=
2 πr =2 πf r T
Si consideramos la velocidad angular tomando en cuenta el ángulo descrito en un periodo, dicho ángulo en radianes, es una circunferencia determinada por medio de 2π, y la velocidad angular se expresa por medio de: velocidad angular =
ω=
desplazamiento angular tiempo
θ 2π = = 2π f t T
ω= 2 πf ec.2
donde:
ω = velocidad angular θ = desplazamiento angular = un giro = 2π rad t = tiempo de giro = T (periodo)
Dividiendo miembro a miembro la ec. 1 con la ec. 2 v 2 πf r = =r ω 2 πf
se obtiene la velocidad tangencial en relación con la velocidad angular y el radio, por medio de la siguiente expresión:
v = ωr Donde; ω esta en rad/s. En forma análoga y considerando que tanto el movimiento lineal como el movimiento circular puede ser uniforme o variado, lo cual implica que la velocidad puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento angular resultante. Y por lo tanto la aceleración angular se relaciona con la aceleración lineal por medio de la siguiente identidad:
a =αr Donde; ∝ esta en rad/s2 De manera semejante para el desplazamiento lineal se observa que su relación con el desplazamiento angular queda determinado por la siguiente condición matemática: s =θr
Donde; θ debe de estar en rad.
VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA Y MEDIA:
VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA Es aquella que lleva el objeto a un determinado instante de su movimiento circular, la cual se representa por medio de la siguiente expresión:
ω = lim ∆t →0
∆θ ∆t
∆θ = distancia angular pequeñísima en la cual se mueve el cuerpo.
donde:
∆t = límite de tiempo indicando su aproximación a cero. VELOCIDAD ANGULAR MEDIA Es el promedio de la suma de la velocidad angular inicial y la velocidad angular final, la cual se determina por medio de la siguiente ecuación, cuando la aceleración angular es uniforme
ϖ=
θ t
ϖ=
ωo + ωf 2
ACELERACIÓN ANGULAR Dentro del movimiento circular uniforme, la velocidad de la partícula cambia alterando su dirección, la cual describe una trayectoria circular por medio de un radio R. Al igual que en el movimiento lineal en el movimiento circular, después de un intervalo de tiempo la velocidad angular se incrementa dando como resultado una aceleración, la cual se determina por medio de la siguiente formula: ωf − ωo t De manera semejante para el desplazamiento angular y la velocidad angular, cuando el movimiento circular es uniformemente acelerado, se tiene que: α=
θ = ωo t +
1 a t2 2
ωf2 = ωo2 + 2 α θ
Analogía entre el movimiento lineal y el movimiento circular
Movimiento Lineal
Movimiento Circular
s =v t vf = vo + a t
v=
θ=ωt
ωf = ωo + a t
vo + vf 2
ϖ=
1 a t2 2 2 2 vf = vo + 2 a s
ωo + ωf 2
1 α t2 2 2 2 ωf = ωo + 2 α θ
s = vo t +
θ = ωo t +
Relación entre magnitudes lineales y circulares. S =θr
(
v = ωr
rad ω en s
a =αr
rad α en 2 s
INTERPRETACIÓN GRÁFICA UNIFORMEMENTE VARIADO
DEL
θ en rad
)
MOVIMIENTO
CIRCULAR
Hay que tener presente que los cuerpos en la naturaleza no siempre se mueven en líneas rectas, ya que por lo general su trayectoria es curva debido a la
influencia de campos gravitacionales (terrestre, sist. Solar, etc.) por lo cual el movimiento de cualquier cuerpo se encuentra sujeto por lo menos a dos dimensiones. El movimiento circular uniforme es el más sencillo que se produce en dos dimensiones debido al efecto de una fuerza externa que actúa constante en la partícula cuando esta se encuentra bajo una trayectoria circular, donde la fuerza resultante forma ángulos rectos, produciendo una aceleración que altera que altera solo la dirección del movimiento, permitiendo que la rapidez sea constante.
Fuerza hacia adentro
En el movimiento circular la aceleración cambia la velocidad de la partícula, alterando su dirección, tomando en cuenta que la aceleración es el cambio de la velocidad por unidad de tiempo:
a=
v − v1 ∆v = 2 ∆t ∆t
De acuerdo a la siguiente figura y considerando el radio R de la trayectoria circular de la partícula cuando cambia su posición del punto A al punto B se puede determinar lo siguiente: v2
P v2 B
B v1
-v1 Q
s
v
s
A
A
R
R
C C Si tenemos la construcción de los triángulos similares BPQ y ABC, se puede establecer la siguiente proporcionalidad: ∆v S = v R
Y considerando que el intervalo de tiempo sea muy pequeño, se tiene que:
s =v ∆t
Al sustituirla en la ecuación anterior nos daría: ∆v v ∆t ∆ v v2 = ⇒ = v R ∆t R
Y considerando a la aceleración, a=
∆v ∆t
se tiene: ac =
v2 R
La cual es considerada como la aceleración Centrípeta, indicando que la partícula siempre se dirige hacia el centro del giro de la trayectoria circular
Ejercicios resueltos: 1.- Convierte cada una de las velocidades circulares de r.p.m. a rad/s. a) 600 r.p.m. = ? rad/s b) 300 r.p.m. = ? rad/s solución a) rad 600 rev 2 π rad 1 min ω=600 r.p.m. = = 62.832 s 1 min 1 rev 60 s
solución b) rad 300 rev 2 π rad 1 min ω= 300 r.p.m. = 1 rev 60 s = 31.416 s 1 min
Respuesta: a): ω = 62.832 rad/s b): ω = 10 π rad/s. = 31.416 rad. 2.- Una rueda de esmeril gira a partir del reposo alcanzando una velocidad angular de 1200 r.p.m. después de 20 s. Calcula: a)Su aceleración angular en rad/s2. b)El número de vueltas que realiza en ese tiempo. Datos: ωo = 0
ωf = 1200 r.p.m.
t = 20 s.
∝ =?(rad/s2)
Formulas: α=
ωf − ωo t
;
θ = ωo t +
1 α t2 2
conversión: rad 1,200r.p.m. 2πrad 1 min ωf = = 125.664 s 1 min 1rev 60s
θ =? (rev)
Desarrollo: 1) realizando las conversiones de las cantidades 1200 r.p.m. a rad/s: sustitución de datos: α=
θ = ( 0 )( 20s ) +
θ=
rad −0 rad s = 6.283 2 20 s s
125.664
1 rad 2 6.283 2 ( 20s ) = 1,256.637 rad 2 s
1,256.637 rad(1rev ) = 200rev. 2πrad
∝ = 6.283 rad/s2 θ = 200 rev.
Respuesta:
3.- Una polea de 12 cm de radio, montada sobre el eje de un motor, gira a 900 r.p.m. cuando empieza a disminuir uniformemente hasta 300 r.p.m. Mientras realiza 100 vueltas. Calcula: a) La aceleración angular. b) El tiempo que tarda en cambiar su velocidad. c) La cantidad de metros de banda que pasan a través de la polea. Datos: R = 12 cm. = 0.12 m. ω0 = 900 r.p.m. ωf = 300 r.p.m. θ = 100 rev. fórmulas s =θ r
;
ω f2 = ω o2 + 2 α θ
;
α=
t=
ωf − ωo α
Despeje de formulas: α=
Desarrollo:
ω f2 − ω o2 2θ
ωf − ωo t
Conversión de medidas angulares. ω0 = 900 rpm =
900 rev 2 π rad 1 min rad × × = 94.248 min 1 rev 60 s s
ωf = 300 rpm =
300 rev 2 π rad 1 min rad × × = 31.416 min rev 60 s s
θ = 100 rev ( 2 π rad ) = 628.318 rad
Sustitución de datos: 2
2
rad rad 31.416 −94.248 rad s s α= = −6.283 2 2( 628.318rad ) s
t=
rad rad − 94.25 s s = 10.0 s rad − 6.283 2 s
31.416
s = 628.318 rad ( 0.12 m ) = 75.40 m
Respuesta: ∝ = - 6.283 rad/s2. t = 10.0 s s = 75.40 m 4.- Una rueda de 70 cm de diámetro viaja a una velocidad de 25 m/s a lo largo de una distancia de 100.00 m. Calcula: a) Número de vueltas que realiza b) La velocidad angular. Datos: ∅ = 70 cm r = 0.35 m. V = 25 m/s S = 100.00 m
Formulas:
s=θr
v=ωr
Despejes: θ=
s r
ω
Sustitución de datos: θ=
100.00 m .35 m
;
θ = 285.714 rad =
v r
285.714 rad (1rev ) = 45.473 rev 2 πrad
m s = 71.428 rad ω= 0.35 m s 25.0
Respuesta:
θ = 45.473 rev. ω = 71.428 rad/s.