Proyecto 0
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Índice
Ejercicios propuestos -------------- 18 Introducción --------------------------- 1
Inecuaciones -------------------------- 20
Simbología Utilizada ---------------- 2
Inecuaciones de 1er grado ------- 23
Ecuaciones ----------------------------- 3
Inecuaciones de 2do grado ------ 24
Ecuaciones de 1er grado----------- 4
Ejercicios propuestos --------------28
Ecuaciones de 2do grado---------- 6
Potenciación -------------------------- 29
Ejercicios Propuestos--------------- 8
Propiedades de la potenciación--30
Monomios y Polinomios------------ 9
Radicación ------------------------------33
Valor numérico de polinomios-- 11
Propiedades de la radicación-----34
Operaciones con monomios ----- 12
Ejercicios propuestos --------------36
Operaciones con polinomios ---- 15
Bibliografía --------------------------- 48
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Introducción En este libro voy mencionar algunas de las problemáticas que he tenido al transcurrir del tiempo en mis estudios matemáticos, estas problemáticas han surgido debido a la dejadez y alejamiento de las matemáticas que he tenido desde que finalice el bachillerato. El fin con el cual hago este pequeño libro es para poder buscar las soluciones a cada una de mis lagunas matemáticas esperando así poder resolver y reforzar mis habilidades con los números y operaciones matemáticas. Además que otros estudiantes que también posean lagunas matemáticas puedan estudiar de este manual, el cual está compuesto por conceptos, desarrollo, explicaciones, ejemplos y ejercicios prácticos para ayudar a un mejor entendimiento de los temas aquí expuestos. Quizás en este proyecto no exponga todas las lagunas que tengo desde 6to hasta 4to. Pero si la gran mayoría de estas.
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Simbología utilizada Las 4 operaciones principales + suma - resta * ó × ó • multiplicación / ó ÷ división
Las demás operaciones ∑ sumatoria √ raíz cuadrada n! factorial ∫ integración |n| valor absoluto
Los operadores de conjuntos ∩ intersección U unión C incluido Є pertenece _ X complemento
Otros ∆ incremento ("delta") ∞ infinito lim(n→∞) limites
Los símbolos de asociación () primer nivel [ ] segundo nivel { } tercer nivel
∫(x) integrales ∂(x) derivadas. ∃∄ existe y no existe sen(x) seno de x
Los operadores de comparación > mayor que < menor que ≥ mayor o igual que ≤ menor o igual que = igual que ≡ equivalente ≠ distinto
cos(x) coseno de x sec(x) secante de x csc(x) cosecante de x tan(x) tangente de x cot(x) cotangente de x f(x) función de x π pi
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Ecuaciones Ecuación: Es toda función tipo f(x)=0, si f(x) es una función algebraica, entonces tenemos una ecuación algebraica. Ejemplo:
x2 + 3x + 3 = 0,
ax + 4 = 0. 3
Si f(x) es una función transcendente, entonces tenemos una ecuación trascedente. Ejemplo:
3 sen x + 4 = 0,
4x+1 = 81.
También podemos decir que una ecuación es una igualdad donde hay una o más variables. Una ecuación puede ser una identidad, es cuando la ecuación se satisface para cualquier valor que tome la variable o variables. Las leyes del algebra son identidades. Ejemplo:
x2 – y2 =(x + y) (x-y)
También tenemos las ecuaciones condicionales, las cuales solo son válidas para ciertos valores que hacen verdadera la ecuación, de le llaman soluciones o raíces de la ecuación, el proceso que se utiliza para determinar estas raíces se conoce como resolución de la ecuación.
Ecuaciones de coeficientes numéricos: Son aquellas ecuaciones algebraicas en las cuales los coeficientes son valores numéricos y solamente tienen como variable la polinómica. Ejemplo:
x + 3 =0, 2x2 + 4 =0.
Ecuaciones de coeficientes literales: Son aquellas ecuaciones en las cuales los coeficientes contienen letras diferentes de la variable polinómica. Ejemplo:
x + d =0, abx2 + k =0, kx2 + 2x + k =0.
Ecuaciones equivalentes. Son dos ecuaciones que tienen iguales soluciones. Ejemplos: a) 8x-3 = 13 8x =13 + 3 8x = 16 x = 16/8 x=2
b) x + 7 = 9 x = 9 -7 x=2
Las ecuaciones a y b son equivalentes. La solución de ambas es igual a 2. Podemos tener ecuaciones de coeficientes enteros, fraccionarios, irracionales, etc. Ejemplos: a) x2 + 4x – 1 = 0, ecuación de coeficientes enteros b) 1/2x2 – 3x – 1/4 = 0, ecuación con coeficientes fraccionarios. c) √
2
-√
5
= 0, ecuación con coeficientes irracionales.
Ecuaciones de primer grado. Todas las ecuaciones de tipo ax + b = 0, son ecuaciones de primer grado donde b puede ser cero o no, a ≠ 0, siempre. Estas ecuaciones se resuelven de la siguiente manera. A) Se efectúan las operaciones indicadas en la ecuación. B) Se despeja la incógnita x, haciendo uso del concepto de operaciones inversas a las cuales está sometida la variable x. Ejemplo. a) ax + b = 0 ax + b – b = -b, ax = -b ax = -b a a a x = -b
b) 2x – 1 = 3 + 4x 2x – 1 – 4x + 1 = 3 + 4x – 4x + 1 2x – 4x = 3 + 1 - 2x = 4 x = 4 , x = -2 -2
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Ecuaciones de segundo grado. Es toda ecuación del tipo: ax2 + bx + c = 0, esta resulta de igualar f(x) = ax2 + bx + c = 0. Esta ecuación es completa cuando a, b y c son ≠ 0., a, b y c son números reales. Cuando b ó c son cero, la ecuación es incompleta, a siempre es ≠ 0. Ejemplos. ax2 + bx = 0, c=0
ax2 + c = 0 b=0
Resolución de una ecuación de segundo grado. Una ecuación de segundo grado podemos resolverla de diferentes maneras entre ellas tenemos la formula general y por factorización. Formula general. La fórmula general de una ecuación de segundo grado con una incógnita es: ax² + bx + c = 0 "a" es el coeficiente cuadrático "b" es el coeficiente lineal "c" es el término independiente Para resolver esta ecuación, se aplica la fórmula general: √
Partiendo de: ax2 + bx + c = 0 Multiplicando esta expresión por a y pasando a c del otro lado de la igualdad, tenemos. a2x2 + ab x = -ac
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Discriminantes de la ecuación de segundo grado. Llamamos discriminante a la expresión. b2 -4ac. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta). Por medio de este discriminante podemos determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado. Si b2 – 4 ac > 0, las raíces son reales y diferentes. Si b2 – 4 ac = 0, las raíces son reales e iguales. Si b2 – 4 ac < 0, las raíces son complejas y conjugadas. Ejemplos: A) 3x2 – x – 2 = 0 a = 3, b = -1, c = -2 b2 – 4 ac = (-1)2 – 4(3)(-2) = 25 >0, las raíces son reales y diferentes. Verificamos por medio de la ecuación de segundo grado. √
√
√
1+5 x1 = ––––– = 1 6 1-5 x2 = –––– = -2/3 6
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B) X2 + 2x + 1 = 0
a= 1, b = 2, c = 1 b2 – 4ac = (2)2 – 4 (1) (1) = 0, raíces son reales e iguales
C) X2 + 2x + 5 = 0 a= 1, b = 2, c = 5 b2 – 4ac = (2)2 – 4 (1) (5) = 4 -20 = 16 <0, Las raíces son complejas y conjugadas.
Verifiquemos. √
Verifiquemos: √
√
√
√
√
-2 x1 = ––––– = -1 2
√
√
-2 x2 = –––– = -1 2 X1 = x2,
X1 = -1 + 2i , x2 = -1 – 2i
raíces reales e iguales.
Raíces compleja y conjugada.
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Ejercicios propuestos
A) Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado, para la incógnita presente en cada caso. 1. 2x = 8 2. 4u – 10 = -10 3. 4x – 5 = 3x + 10 4. 5z – 2 = 10z + 10 5. 9x – 18 = 27x – 9 6. 13m + 8 = 12 m 7. 5 ( x + 2) = 6 + 3 ( 2x -1) 8. 2 w – 4 (w + 2) = 5(w + 4) B) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Resolver por la formula general. 3x2 + 5x -1 = 0 –x2 -6x + 5 = 0 -2x2 + x-3 = 0 X2 – x – 12 = 0 X2 + ax = 20a X2 + 6x – 5 = 0 10x2 + 12x – 9 = 0
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Monomios y Polinomios Monomio: Un monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras o variables son el producto y la potencia de exponente natural. Monomios:
-5x2
- x5
2x3y
3x + 5y
No son monomios:
6+x+y
9
-2x + 3y2
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes. El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de la parte literal (letras o variables). Es decir que el exponente de la parte literal de un monomio es su grado. Ejemplos: El grado del monomio -5x2, es 2. El grado del monomio 2x2 es 2.
El grado del monomio 2x3 y, es 4. El grado del monomio -3x5, es 5.
Monomios Semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal. Ejemplos:
-5x2
y
- x2;
2x3y
y
5x3y;
- x5
y
2x5;
Polinomio: Un Polinomio, en matemáticas, se denomina a la suma de varios monomios, llamados términos del polinomio. Es una expresión algebraica constituida por una o más variables, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos. El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio. Ejemplos:
3x + 5
6+x+y
-2x + 3y2 + z
3x2 -2y + 6
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma: P(x) = an x n + an - 1 x n - 1 + an - 2 x n - 2 + ... + a1 x 1 + a 0 Siendo an, an - 1... a1, ao números, llamados coeficientes. n un número natural. x la variable o indeterminada. ao es el término independiente.
Grado de un polinomio El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x. Es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. Expresión
Nombre
Grado
3x + 5
Binomio
1
3x2 + 5x + 6
Trinomio
2
3x3 – 2y + 6
Trinomio
3
polinomio
5
-2x + 3y2 + z +
x5
Polinomio completo Es aquel que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado. Ejemplos:
-2x + 3y2 + z +
x5
Polinomio ordenado Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado. Ejemplos:
-2x + 3y2 + 4z3 +
x5
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Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican: Los dos polinomios tienen el mismo grado. Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales. 11
Valor numérico de un polinomio Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. Si asignamos valores a las letras de un polinomio, encontraremos su valor numérico. Después de sustituidas las letras por números, se realizan las operaciones aritméticas indicadas. Si el polinomio p (x) = 2x – 5, hacemos x = 3, el valor numérico del polinomio será: P (3) = 2 (3) – 5 = 6 – 5 = 1. Luego, p (3) = 1. Para x = -2, el valor numérico del mismo polinomio será: P (-2) = 2 (-2) – 5 = -4 - 5 = -9. Luego, p (-2) = -9. Para x = 4, el valor numérico de Q (x) = x2 – 5x + 3, será: Q (4) = (4)2 – 5(4) + 3 = 16 – 20 + 3 = -4 + 3 = -1. Luego, Q (4) = -1. Para x = 0, el valor numérico de R (x) = x3 – 3x2 - 5, será: Q (0) = (0)2 – 3(0)2 - 5 = 0 – 0 - 5 = -5. Luego, R (0) = -5. El orden de realización de las operaciones indicadas en el polinomio es el ya estudiado:
Primero, se realizan las potencias. Luego, se llevan a cabo las multiplicaciones. Finalmente, las sumas y restas.
Operaciones con monomios Suma de Monomios Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes. Producto de un número por un monomio El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.
Producto de monomios El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.
Cociente de monomios El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.
Suma y resta de Monomios Para sumar o restar dos o más monomios deben ser semejantes, es decir, tener la misma parte literal y se actúa sumando y/o restando la parte numérica y dejando la misma parte literal. Suma La suma de monomios semejantes se obtiene sumando sus coeficientes y dejando igual su parte literal. Seguiremos la regla de los signos ya conocida. Ejemplos: 3x + 5x = 8x;
z5 +
z5 + ( -
6xy – xy + 5xy = 10xy;
z5 ) = [
+
+(-
-2xy2 + 3xy2 = xy2
)] z5 =
z5
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Resta Para restar monomios semejantes, se restan sus coeficientes y se deja igual su parte literal. Ejemplos: (-3 w2) – (-9 w2) = [(- 3) – (-9)] w2 = 6 w2 13
Multiplicación y División de Monomios Para multiplicar o dividir monomios no es necesario que tengan el mismo grado.
Multiplicación Para multiplicar dos o más monomios, se multiplican sus coeficientes y se suman los exponentes de su parte literal. La multiplicación de dos o más expresiones pueden ser expresadas colocando entre paréntesis a dichas expresiones y omitiendo el signo de multiplicación. Ejemplos: Así, el producto de los monomios 4x2 y -5x4 se expresa: (4x2) (-5x2) = [(4) x (-5) ] x2+4 = -20 Veamos otro ejemplo:
x3 ) (
x2) = [ ( ) x ( -
)] x 3+2 =
x5
División Para dividir dos o más monomios, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes del divisor del exponente del dividendo. Ejemplos: 8x6 ÷ 2x2 = (8) ÷ (2) x6-2 = 4 x4 Veamos otro ejemplo:
-4w3 ÷ 3w = (-4 ÷ 3) w3-1 = -4/3w2 6x3y4z2 / 3 x3y4z2 = 2x2 6x3y4z2 / 3x5y2z4 = 2y2/ x2z2
Potenciación y Radicación de Monomios Potenciación Los monomios pueden ser elevados a una potencia determinada. Para hacerlo, se eleva su coeficiente y se multiplica el exponente de su parte literal por el exponente de la potencia a la cual se eleva el monomio.
(axn)m = am . xn . m Ejemplos:
(5x2)3 = (5) 3 x 2x3 = 125 x6 (-4z5)4 = (-4) 4 z5x4 = 256 z20 (-1/3y3)5 = (-2/3) 5 y 3x5 = 1/243 y15
Radicación A los monomios se les pueden extraer raíces de determinados índices. Para hacerlo, se extrae la raíz de su coeficiente, si esta existe, y se divide el exponente de la parte literal del monomio por el índice de la raíz. Nos limitaremos a los casos en que el exponente de la parte literal del monomio es un múltiplo del índice de la raíz. Ejemplos:
3
4
5
√ √ √
. = √ u12÷3 = 2u4 . = √ z8÷4 = 3z2 .= √
t25÷5 = 2t5
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Operaciones con Polinomios Suma de polinomios Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. La diferencia consiste en sumar el opuesto del sustraendo .
Producto de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
Producto de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
Producto de polinomios 1. Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. 2. Se suman los monomios del mismo grado.
Suma y Resta de Polinomios. Suma Para sumar dos o más polinomios, se procede como sigue: 1. Se colocan de tal modo que queden en una misma columna los
monomios semejantes. 2. Se suman los monomios semejantes. Si un término no tiene con quien sumarse, se baja igual.
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Ejemplos: Sumemos p(x) = 2x3 – 5x2 + 8 , Q(x) = - 5 x3 - 3x2 – x +2. p(x) = 2x3 – 5x2 +8 3 2 Q(x) = - 5x - 3x – x + 2 p(x) + Q(x) = - 3x3 - 8x2 - x + 10
Resta La resta de dos polinomios, p(x) – Q(x), equivale a sumar al polinomio minuendo P(x), el polinomio sustraendo con todos sus términos Cambiados de signo. Ejemplos: Restaremos p(x) = 3x3 – 2x2 + 5 x - 7 , Q(x) = - x3 – x + 8. p(x) = 3x3 – 2x2 + 5x - 7 Q(x) = x3 + x+ 8 3 2 p(x) + Q(x) = 4x - 2x + 6x-15
Multiplicación de un monomio y de un polinomio. Se toma en cuenta la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, un monomio puede multiplicarse por un polinomio. La multiplicación del monomio m(x) y el polinomio p(x) se escribe m(x) p(x), omitiendo por razones de simplicidad el signo de multiplicación. Ejemplos:
Multiplicar m(x) = - 2x3 , p(x) = x2 – 5x
m(x) p(x) = (-2x3) (x2 - 5x + 6) = (-2x3) (x2) - (-2x3) (5x) + (-2x3) (6)= Respuesta: -2x5 + 10x4 – 12x3
Multiplicar n(z) = 1/3z2 , Q(z) = 2/5z4 + 7/2z3 – z2 + 1/9
n(x) Q(x) = (1/3z2) (2/5z4 + 7/2z3 – z2 + 1/9) = (1/3z2) (2/5z4) + (1/3z2) (7/2z3) – (1/3z2) (z2) + (1/3z2) (1/9) = Respuesta: 2/15z6 + 7/6z5 - 1/3z4 + 1/27z2
Proyecto 0 El producto de un monomio y un polinomio, dé como resultado un polinomio de grado igual a la suma de los grados del monomio y del polinomio. En el primer ejemplo el monomio es de grado 3 y el polinomio factor es de grado 2, el polinomio producto es de grado 3 + 2 = 5. En el segundo ejemplo n(z) Q(z) es de grado 4, El polinomio producto n(z) Q(z) es grado 2 + 4 = 6.
División de un polinomio por un monomio. Si se toma en cuenta la propiedad distributiva de la división con respecto a la suma o la resta por la derecha, un polinomio puede dividirse por un monomio. Si P(x) y M (x), representan polinomio y monomio respectivamente, la division del primero por el segundo se representa P(x) / M (x).
Ejemplos:
Dividir P(x) = 8x5 – 6x4 + 12x3 - 2x2+ 16x) por M(x) = -2x
P(x) / M (x) = (8x5 – 6x4 + 12x3 - 2x2 + 16x) / (-2x) = (8x5) / (-2x) - (6x4) / (-2x) + (12x3) / (-2x) - (2x2) / (-2x) + (16x) / (-2x) Respuesta: = -4x4 + 3x3 – 6x2 + x – 8.
Dividir R(w) = w8 + w6 – 2w4 + 20w2 por S(w) = 5w.
P(x) / M (x) = (w8 + w6 – 2w4 + 20w2) / (5w) = (w8) / (5w) + (w6) / (5w) - (2w4) / (5w) + (20w2) / (5w) Respuesta: = 1/5w7 + 1/5w5 – 2/5w3 + 4w.
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Ejercicios Propuestos A) Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios o polinomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.
3x . 5x -3 . 3x + 1. √ x.
5.
x4 +
x3 -
x + 6.
6. √ 7. 3x6 + x10 + 5x4 - 10x. 4
8.
x
B).Determina el valor numérico de los polinomios sustituyendo la letra por el valor indicado. 1. X = 0; x 3 – 2x 2 + 6. 2. X = -1; x 2 + x – 6. 3. X = ; x 2 + 5x + 1. 4. Z= -0.7; 2.7z 2 + 0.08z – 1.57. 5. X =
; x 2 + 3x 3 – 2x 2 + 5 -10.
C) Efectúa las siguientes sumas y restas de monomios. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
(2x 3 ) · (5x 3 ) = (12x 3 ) · (4x) = (5x 2 y 3 z) · (2y 2 z 2 ) = (18x 6 y 2 z 5 ) : (6x 3 yz 2 ) = 12x 3 y 5 + 18x 4 y 5 – 48x 1 0 y 3 6x2y3 6. 6x3y4z2 3x2y2z2 1. 2. 3. 4. 5.
3
1. 2. 3. 4.
D) Efectúa las siguientes multiplicaciones y divisiones de monomios.
2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 2x 3 + 5x 3 = (-4x 8 ) + 2x 8 + x 8 2x 3 - 5x 3 = 3x 4 − 2x 4 + 7x 4 = 2a 2 bc 3 − 5a 2 bc 3 +3a 2 bc 3 − 2a 2 bc 3 =
E) Calcula las siguientes Potencias y radicaciones de los monomios.
1. (2x 3 ) 3 = 2. (−3x 2 ) 3 = 3. 4. √ 5. √ 6. √
x3 )2 = 12 16 18
F) Dados los polinomios: P(x) = 4x 2 – 1; U(x) = x 2 + 2 Q(x) = x 3 − 3x 2 + 6x − 2 R(x) = 6x 2 + x + 1 S(x) = 1/2x 2 + 4; T(x) = 3/2x 2 + 5
Proyecto 0 Determina: 1. P(x) + Q(x)= 2. P(x) - U(x)= 3. P(x) + R(x)= 4. 2P(x) - R(x)= 5. S(x) - T(x) + U(x) G) Dados los polinomios: P(x) = x 4 − 2x 2 − 6x – 1 Q(x) = x 3 − 6x 2 + 4 R(x) = 2x 4 − 2x − 2 Calcular: 1. P(x) + Q(x) − R(x) 2. P(x) + 2 Q(x) − R(x) 3. Q(x) + R(x) − P(x) H) Miltiplicar. 1. (x 4 − 2x 2 + 2) · (x 2 − 2x + 3) 2. (3x 2 − 5x) · (2x 3 + 4x 2 − x + 2) 3. (2x 2 − 5x + 6) · (3x 4 − 5x 3 − 6x 2 + 4x − 3). 4. M(x)= x 3 ; P(x)= x 2 + x + 1
I) Dividir. 1. (x 4 − 2x 3 − 11x 2 + 30x − 20) : (x 2 + 3x − 2) 2. (x 6 + 5x 4 + 3x 2 − 2x) : (x 2 − x + 3) 3. P(x)=x 5 +2x 3 −x – 8: Q(x) = x 2 − 2x + 1 4. P(x)= - 6x 3 + 3x 2 – 3x; M(x)= 3x
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Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad en que intervienen variables. Las inecuaciones son desigualdades de expresiones algebraicas en las que hay, al menos, una variable cuyo valor numérico desconocemos y al que llamamos incógnita. La solución de cada una de estas inecuaciones es un conjunto de valores que hace que la desigualdad sea cierta. Las desigualdades pueden ser: Nombre Mayor que Menor que Mayor o igual que Menor o igual que
Símbolo > < ≥ ≤
Ejemplos: X > 2 se lee: x "es mayor que" 2 Donde x son TODOS los valores mayores a 2. Esto puede ser representado gráficamente en la recta numérica:
Este gráfico recibe el nombre de Intervalo. La solución está formada por todos los valores mayores a 2 pero no incluye al 2 es por eso que marcamos este extremo de intervalo con un paréntesis, el otro extremo está en el infinito, por eso no es necesario marcarlo, también se puede marcar con un circulo sin pintar envés de un paréntesis. X < 3 se lee: x "es menor o igual que" 3.
Proyecto 0 En este caso, en el intervalo debemos incluir al 3 como parte de la solución, para hacerlo, en lugar del paréntesis utilizamos corchetes, pero también podemos utilizar un círculo pintado. Los intervalos Podemos además de graficarlos, expresarlos anotando sus extremos: Para el primer ejemplo: x > 2 tendremos: S = (2, ∞) Para el segundo ejemplo: x ≤ 3 tendremos: S = (-∞, 3] Para dejar indicado de esta manera el resultado, "recorremos" el gráfico de izquierda a derecha y anotando el primer extremo que veamos, considerando que si éste pertenece a la solución usamos corchete, si no pertenece usamos paréntesis y si es el infinito o el menos infinito usamos también paréntesis. x > -5 x ≤ -4 x<6 x≥1
tendremos: tendremos: tendremos: tendremos:
S = ( -5 , oo ) S = (-oo , -4 ] S = (-oo , 6 ] S = [ 1 , oo )
En la inecuación 2x + 1 > 9, ¿qué valores pueden tomar las incógnitas para que la inecuación sea cierta? Damos valores arbitrarios a la incógnita x, obteniendo: Para x = 1: Para x = 2: Para x = 3: Para x = 4: Para x = 5:
2·1+1=3<9 2·2+1=5<9 2·3+1=7<9 2·4+1=9 2 · 5 + 1 = 11 > 9
Por tanto, la inecuación es cierta cuando sustituimos x por un número mayor que 4, La solución es x > 4.
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Inecuaciones Equivalentes El proceso de resolución de inecuaciones (Igual que en el caso de las ecuaciones) es la transformación de la inecuación inicial en otra equivalente más sencilla. Regla de la Suma y del Producto de las inecuaciones. Para resolver una inecuación, necesitamos pasarla a otra equivalente que sea más sencilla. Para ello, necesitamos repasar un par de reglas básicas: Regla de la suma: Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta la misma cantidad o una misma expresión algebraica, se obtiene otra inecuación equivalente. Regla del producto: Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecuación por una misma cantidad, se obtiene otra inecuación: 1. Equivalente con el mismo sentido de la desigualdad, si esa cantidad es positiva, 2. Con el sentido contrario si esa cantidad es negativa.
Regla de la Suma Queremos resolver la inecuación:
Regla del Producto Queremos resolver la inecuación:
X–2<3 Sumamos 2 en los dos miembros de la desigualdad:
5x < 25 Dividimos toda la inecuación por 5:
X–2+2<3+2
<
Obtenemos: Obtenemos: X<5 Esta inecuación es equivalente a la primera, y nos dice que todos los valores menores que cinco son solución de la inecuación inicial
X<5
Proyecto 0
Veamos lo que ocurre cuando tenemos que multiplicar o dividir una inecuación por un número negativo: Observa cómo resolvemos la siguiente inecuación:
-3x > 9 Dividimos por -3 en ambos miembros, así que debemos cambiar el sentido de la desigualdad:
< Obtenemos:
X < -3
Inecuaciones de Primer grado Resoluciones de inecuaciones de primer grado Consideremos la inecuación:
]
2 -[
La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1º Quitar corchetes. 2 -( 2º
)
Quitar paréntesis.
2 + 2x + 2 + 3º
Quitar denominadores.
24x + 24 + 24 + 6 . (x - 3) ≤ 8x – (5x - 3) + 36x 24x + 24 + 24 + 6x - 18 ≤ 8x – 5x - 3 + 36x
23
4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro. 24x + 6x – 8x + 5x -36x ≤ 3 – 24 – 24 + 18 5º
Efectuar las operaciones. -9x ≤ -27
Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad. 6º
-9x .(-1) ≤ -27 . (-1) = 9x ≥ 27 7º
Despejamos la incógnita. X ≥ 3
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla: De forma gráfica:
Como un intervalo:
[ 3, + ∞)
Inecuaciones de Segundo Grado Una inecuación de segundo grado es una inecuación en donde encontramos números, una variable (que llamaremos x) que esta vez la podemos encontrar multiplicándose a ella misma, y un símbolo de desigualdad. Un ejemplo de inecuación de segundo grado podría ser:
Proyecto 0 2x2 – x < 2x − 1 Donde podemos observar que el término 2x2 es el término cuadrático, característico de las inecuaciones de segundo grado, ya que si éste no estuviera, tendríamos una inecuación de primer grado.
Resoluciones de inecuaciones de segundo grado Para resolver una inecuación de segundo grado usaremos un método compuesto por una serie de pasos a seguir. Consideremos la inecuación: X 2 – 6x + 8 > 0 La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado. X 2 − 6x + 8 = 0
2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
P (0) = 0 2 − 6 · 0 + 8 > 0 P (3) = 3 2 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0P (5) = 5 2 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
25
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
S = ( -∞, 2)
( 4, ∞)
Consideremos el caso en que discriminante es cero. X 2 + 2x +1 ≥ 0 X 2 + 2x +1 = 0
(X + 1) 2 ≥ 0 Como un número elevado al cuadrado es s iempre positivo la solución es
So lu c ión
x 2 + 2x + 1 ≥ 0
( x + 1) 2 ≥ 0
x 2 + 2x + 1 > 0
( x + 1) 2 > 0
x 2 + 2x + 1 ≤ 0
( x + 1) 2 ≤ 0
x 2 + 2x + 1 < 0
( x + 1) 2 < 0
x = − 1
Proyecto 0
Consideremos el caso en que discriminante es menor que cero. X 2 + x +1 > 0 X2 + x + 1 = 0
27 Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .
El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.
So lu c ión
x2 + x +1 ≥ 0
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 ≤ 0
x2 + x +1 < 0
Ejercicios propuestos A) Comprueba las propiedades de las siguientes desigualdades efectuando la operación indicada. 1. 2 ≤ 6; multiplicar por 5. 2. -2 > -5; multiplicar por 2. 3. 4 > -2; divide por 2. 4. 3/4 ≤ 4/5; multiplicar por -20. 5. 10 ≥ 5; divide por -5. 6. 0.53 < 1; multiplicar por 6. B) Representa gráficamente las siguientes desigualdades. 1. X > 8. 2. X ≥ 8. 3. X ≤ 5. 4. X < -4. 5. X > 3/4. 6. X ≥ 0. 7. X < -5. 8. X ≤ 0. C) Resuelve las desigualdades. 1. X – 5 ≤ 12. 2. X + 7 > 10. 3. X – 8 ≥ 14. 4. U + 15 ≤ 18. 5. U + 0.85 > 1.14. D) Escribe el número que corresponda a cada punto y su signo. 1. 5x + 3 <10. 2. -2x + 15 ≥ 10. 3. 25x – 18 > 0. 4. 3u + 1 ≤ 2u – 1. 5. -4x + 10 < 2x.
Proyecto 0
Potenciación La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe a y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n.
An La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada). En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Potencia de números enteros.
Las potencias de exponente par son siempre positivas. (+) P a r = + (−)
pa r
= +
Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base. (+) Imp a r = + (−)
im pa r
= −
Propiedades de la Potenciación. Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son:
La potencia de 0: Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
29
a 0 = 1; Ejemplos:
a 0 = 1 si se cumple que a ≠ 0 100 = 1
;
1,0000 = 1
; 570 = 1
La potencia de exponente 1: Toda potencia de exponente 1 es igual a la base a1 = a Ejemplos:
101 = 10 ; 1,0001 = 1,000
; 571 = 57
Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. Para el producto de dos o más potencias de igual base se coloca la misma base y se suman los exponentes. am · an = am
+ n
Ejemplos: (−2) 5 · (−2) 2 = (−2) 5
+ 2
= (−2) 7 = −128 ; 93 . 92 = 93+2 = 95
División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. En la división de dos potencias de igual base se coloca la misma base y se restan los exponentes. am / an = am
– n
Ejemplos: (−2) 5 / (−2) 2 = (−2) 5
− 2
= (−2) 3 = −8
Potencia de una potencia:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. Para resolver la potencia de una potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes. (a m ) n = a m
· n
Proyecto 0 Ejemplos:
[(−2) 3 ] 2 = (−2) 6 = 64
Potencia de un producto:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases. La potencia de un producto de base (a·b) y de exponente "n" es igual a la potencia "a" a la "n" por "b" a la "n". Cada base se multiplica por el exponente. 31 (a . b)n = an . bn Ejemplos: ( 2 . 4)2 = 22 . 42 = 4 . 16 = 64
Potencia de una división:
En la potencia de una división de base "a/b" y exponente "n" se procede a elevar cada uno de los componentes de la base a "n". Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. a n : b n = (a : b) n Ejemplos: (−6) 3 / 3 3 = (−2) 3 = −8
Propiedad distributiva:
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.
Distributiva con respecto a la multiplicación y división:
(am)n = am.n
No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:
(a + b)m ≠ am + bm
Propiedad Conmutativa:
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general: La
Ab ≠ Ba
Propiedad Asociativa: propiedad
conmutativa
no
se
cumple
para
la
potenciación
Potencia de base 10:
Toda potencia de base 10 y que tiene como exponente un número natural es igual a la unidad seguida de la cantidad de ceros que indica el exponente. Ejemplos:
101 = 10 ; 106 = 1.000.000
;
842.000 = 842 . 103
Potencia de exponente fraccionario:
Es una potencia que tiene su exponente en forma de fracción, y en la que se cumple que
Ejemplos:
4 3/5 = √
5
Potencia de exponente negativo:
Una potencia que tenga exponente negativo se cambia de lugar y de este modo su exponente automáticamente cambiara a ser positivo. a-n = 1n/an
(a/b)-n = a-n/b-n = bn/an
Proyecto 0
Radicación La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.
√
= Raíz
En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.
√
= Raíz
La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b2 = a.
√
=5
Raíz cuadrada exacta: La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0. Radicando = (Raíz exacta)2
Ejemplos: √
=4
16 = 42
Cuadrados perfectos
Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.
Ejemplos:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...
Raíz cuadrada entera Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera. Radicando = (Raíz entera)2 + Resto
Ejemplos:
√
17 = 42 + 1
33
Propiedades de la Radicación Las propiedades de la radicación son bastante parecidas a las propiedades de la potenciación, ya que una raíz es una potencia con exponente racional.
Raíz de raíz:
√√ = √√
Ejemplo:
√
=
=±2
√
porque:
√√
= √ =±2
Simplificación de exponentes e índices: En la potenciación y Radicacion, por ser operaciones inversas, pueden simplificarse exponentes con índices. Ejemplos:
( √ )6 = 82 = 64 √
2
porque: (
2 porque: √ =
=3
6 6 √ ) = 2 = 64
√ =3
Propiedad distributiva respecto al producto y a la división:
√ Ejemplos:
√
√
=± √
=± √
= √ . √ . √ = ± 5 . 2 = ±10
. √ = ± 3 . 2 = 6 porque
√
√
= ±10.
= 6.
No distributiva respecto a la suma y a la resta
≠ √ ± √
√ Ejemplos:
√ = √
√ Ejemplo2:
√
√ = √
≠ √
+ √
porque
+ √
= 8 + 6 = 14.
≠ √
- √
- √
porque
= 5 - 3 = 2.
√
=√
√
=√
=4
= 10
Proyecto 0 Extracción de una potencia de una raíz Se descompone en factores el radical, se distribuye la raíz y se simplifica los factores cuyos exponentes sean múltiplos del índice. Ejemplo:
√
=√
=√
. √ = 3√
35
Suma y resta de raíces con igual índice Por no ser la Radicacion distributiva con respecto a la suma y reta, no se puede aplicar la propiedad contraria, la asociativa. Por consiguiente la suma de √ + √
no es igual a √
Se deben sumar raíces iguales, con idénticos radicales. En este caso se puede intentar factorear el número que no es primo: Ejemplo:
√ + √
=√ + √
=√ + √
.√ =√ +
√ = 3√
En definitiva se puede pensar que se saca factor común √ entonces resultaría: √ + √
=√ + √
=√ + √
. √ = √ (1 + 2) = √
= 3√
Producto y cociente de raíces con igual índice: La radicación si es distributiva respecto a la multiplicación y división y se puede aplicar la propiedad asociativa. Ejemplo:
√ .
√ = 3.5 √
=
√
=
Ejercicios Propuestos A) Realizar las siguientes operaciones con potencias de números enteros. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
(−2) 2 · (−2) 3 · (−2) 4 = (−8) · (−2) 2 · (−2) 0 (−2) = (−2) − 2 · (−2) 3 · (−2) 4 = 2−2 · 2−3 · 24 = 22 / 23 = 2 -2 / 2 3 =
7. 2 2 : 2 -3 = 8. 2 -2 : 2 -3 = 9. [(−2) − 2 ] 3 · (−2) 3 · (−2) 4 = 10. (−3) 2 · (−3) 3 · (−3) −4 =
B) Calcula las siguientes raíces cuadradas.
1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5. √
Proyecto 0
Bibliografía Matemática IV, segundo grado, segundo ciclo de Rafael Peña Geraldino. Matemática 8, Santillana Básica.
Matemática II, segundo grado, primer ciclo de Rafael Peña Geraldino. Matemática I, Educación Media, primer grado, primer ciclo de Rafael Peña Geraldino.
http://www.sangakoo.com http://www.vitutor.com
http://www.ite.educacion.es http://www.ojocientifico.com
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