Equações

Resolução de Equações ax 2 + bx + c = 0

Equações do 2º grau

Relembra…

Chama-se equação do 2º grau a uma incógnita a toda a equação do tipo:

ax 2 + bx + c = 0 Com a, b e c números reais e a ≠ 0 Equação na forma canónica

ax + bx + c = 0 2

Termo em x2

Termo em x

Termo independente

ax + bx + c = 0 2

Equações do

Completas

2º grau

Incompletas

ax 2 + bx + c = 0

ax 2 = 0

ax 2 + c = 0

ax 2 + bx = 0

a≠0 b≠0 c≠0

b=0 c=0

b=0

c=0

Equações do 2º gr au incomplet as

ax 2 + c = 0

Observa o triângulo rectângulo e determina o valor de x.

12 cm

15 cm

Pelo Teorema de Pitágoras sabemos que: 2

2

2

15 = 12 + x ⇔ ⇔ 225 = 144 + x 2 ⇔ 225 − 144 = x 2 ⇔ x 2 − 81 = 0 Equação do 2º grau incompleta porque b = 0.

x cm

x 2 = 81 ⇔ x = ± 81 ⇔ x = ±9 ⇔

⇔ x = +9 ∨ x = −9 Conjunto-Solução da equação = { -9 , 9} Resposta: x é 9 porque o valor de um comprimento não pode ser negativo.

Reduz as equações a expressões do tipo ax 2 +bx +c = 0 com a ≠ 0 Indica o valor de a , b e c e determina a solução.

(

)

3 x 2 + 2 − x( x + 1) = 24 − x ⇔ ⇔ 3x 2 + 6 − x 2 − x = 24 − x ⇔ ⇔ 3x 2 − x 2 − x + x + 6 − 24 = 0 ⇔ ⇔ 2 x 2 − 18 = 0

18 ⇔ 2 x = 18 ⇔ x = ⇔ 2 2

2

⇔ x 2 = 9 ⇔ x = ± 9 ⇔ x = ±3 ⇔ x = −3 ∨ x = +3 Conjunto-solução = { - 3 , 3 }

1º reduzir à forma canónica ax 2 + bx + c = 0 a = 2; b = 0 ; c = -18

2º Resolver a equação e indicar o conjunto solução.

(

)

−5 −2 − x 2 − ( x − 3) = − x − 2 ⇔

⇔ 10 + 5x 2 − x + 3 + x + 2 = 0 ⇔

⇔ 5x 2 + 15 = 0 ⇔ 5x 2 = −15 ⇔

1º reduzir à forma canónica ax 2 + bx + c = 0

a = 5 ; b = 0 ; c = 15 2º resolver a equação

−15 ⇔x = ⇔ x 2 = −3 5 2

Equação IMPOSSÍVEL, não há nenhum nº real cujo quadrado seja negativo.

x = ± −3 IMPOSSÍVEL

Equações do 2º gr au incomplet as

ax = 0 2

A soma de seis com o quíntuplo do quadrado de um número é seis. Qual é o número?

2 5 × x 6+ =6 ⇔

⇔ 6 + 5x2 = 6 ⇔ ⇔ 5x2 = 6 − 6 ⇔ ⇔ 5x2 = 0 ⇔ ⇔ x2 =

0 ⇔ 5

⇔ x2 = 0 ⇔

⇔ x=0

S = { 0} 0 é a solução da equação

Equações do 2º gr au incomplet as

ax + bx = 0 2

A diferença entre o quadrado de um número e o seu quadruplo é zero. Qual é o número?

2

x - 4× x = 0

Equações do 2º gr au incomplet as

ax + bx = 0 2

x2 − 4x = 0

a = 1 ; b = -4 ; c = 0

⇔ x ( x − 4) = 0 ⇔

1º colocar a incógnita em evidência (factorizar)

⇔ x = 0 ∨ x−4= 0⇔

2º Aplicar a lei do anulamento do produto

⇔ x=0 ∨ x=4 Conjunto-solução = {0,4 }

3º Encontrar as soluções

Resolve a Equação x 2 3( x − 4) − = −2( x − 3) 3 2

⇔

1º Reduzir à forma canónica

x 2 3x 12 ⇔ − + = −2 x + 6 ⇔ 3 2 2 a=2 ; b=3 ; c=0

⇔ 2 x 2 − 9 x + 36 = −12 x + 36 ⇔

⇔ 2 x 2 + 3x = 0 ⇔

⇔ x( 2 x + 3) = 0 ⇔

⇔ x = 0 ∨ 2x + 3 = 0 ⇔ 3 ⇔x=0 ∨ x=− 2 

2º colocar a incógnita em evidência

3 S = 0, −  2 

3º Aplicar a lei do anulamento do produto

Exercício 10 da página 74

Equações do 2º gr au complet as Fórmula Resolvente 2 Dada uma equação do tipo ax + bx + c = 0 com a ≠ 0 Podemos encontrar as soluções, utilizando a seguinte fórmula:

2

−b± b −4×a ×c x= 2×a À expressão que está dentro da raiz quadrada chama-se BINÓMIO DISCRIMINANTE e representa-se por ∆ ( delta ) 2 = b −4×a×c ∆

Resolve a Equação 2

2x + x − 3 = 0

⇔

−1 ± 12 −4 ×2 ×( −3) ⇔x = ⇔ 2 ×2

⇔x =

−1 ± 25 ⇔ 4

a = 2; b = 1; c = -3

−b ± b 2 − 4ac x= 2a

−1 − 5 −1 + 5 −1 ± 5 x = ∨ x = ⇔ ⇔x= ⇔ 4 4 4

6 4 3 ⇔ x = − ∨ x = ⇔ x = − ∨ x =1 4 4 2

 3  S = − ,1  2 

Duas Soluções Conclusão: Se o Binómio Discriminante é positivo, a equação tem duas soluções.

Resolve a Equação 2

2 x + 28 = 12 x + 10 ⇔ ⇔ 2 x 2 − 12 x + 18 = 0 ⇔ ⇔ x=

− ( − 12) ±

( − 12)

2

− 4 × 2 × 18

2× 2

12 ± 144 − 144 ⇔ x= ⇔ 4 12 − 0 12 + 0 ⇔ x= ∨ x= ⇔ 4 4

1º Reduzir à forma canónica

a = 2; b = -12; c = 18

⇔

− b ± b 2 − 4ac x= 2a

12 ± 0 x= ⇔ 4 x=3 ∨ x=3

3 é uma raiz dupla da equação

Conclusão: Se o Binómio Discriminante é zero, a equação tem uma solução dupla.

Resolve a Equação x 2 + 9 = 2x + 4

⇔

⇔ x 2 − 2x + 5 = 0 ⇔ ⇔x =

− ( − 2) ±

( − 2)

2

− 4×1× 5

2× 1

2 ± 4 − 20 ⇔x = ⇔ 4

1º Reduzir à forma canónica

a = 1; b = -2; c = 5

⇔

− b ± b 2 − 4ac x= 2a

2 ± − 16 x= 2

Equação IMPOSSÍVEL, não há nenhum nº real cujo quadrado seja negativo.

Conclusão: Se o Binómio Discriminante é negativo, a equação é impossível.

Exercício 24 a) e b) da página 81

Determina o perímetro do triângulo rectângulo. ( 3x+2 ) cm

( x+3 ) cm

( 2x+1 ) cm

Pelo Teorema de Pitágoras:

( 3x + 2) = ( 2 x + 1) + ( x + 3) ⇔ 2

2

2

⇔ 9 x 2 + 12 x + 4 = 4 x 2 + 4 x + 1 + x 2 + 6 x + 9 ⇔ 2 − 2 ± 2 − 4 × 4 × ( −6) 2 ⇔ ⇔ 4x + 2x − 6 = 0 ⇔ x = 2×4

3 − 2 − 10 − 2 + 10 ⇔ x= ∨ x= ⇔ x= − ∨ x =1 2 8 8

Solução do Problema Se x = −

( 3x+2 ) cm

( x+3 ) cm

( 2x+1 ) cm

3 2

 3 3 ×  −  + 2 = −2,5 cm  2 x não pode ser

Se x = 1 3 × 1 + 2 = 5 cm

1 + 3 = 4 cm

2 × 1 + 1 = 3 cm

Perímetro = 5+3+4 =12 cm

−

3 2

Um Pouco de História

Este matemático Português do século XVI realizou uma grandiosa obra na área da Matemática, Física, Astronomia e nas suas aplicações à Náutica. No que diz respeito às equações, Pedro Nunes resolvias com grande rigor de raciocínio embora sem usar linguagem simbólica.

T.P.C. Resolver os exercícios 26 da página 81 do manual e 28 e 29 da página 83.

Sumário: Apresentação em PowerPoint: •Resolução de equações do 2º grau incompletas.

•Formula resolvente.

Fim