Resolução de Equações ax 2 + bx + c = 0
Equações do 2º grau
Relembra…
Chama-se equação do 2º grau a uma incógnita a toda a equação do tipo:
ax 2 + bx + c = 0 Com a, b e c números reais e a ≠ 0 Equação na forma canónica
ax + bx + c = 0 2
Termo em x2
Termo em x
Termo independente
ax + bx + c = 0 2
Equações do
Completas
2º grau
Incompletas
ax 2 + bx + c = 0
ax 2 = 0
ax 2 + c = 0
ax 2 + bx = 0
a≠0 b≠0 c≠0
b=0 c=0
b=0
c=0
Equações do 2º gr au incomplet as
ax 2 + c = 0
Observa o triângulo rectângulo e determina o valor de x. 12 cm
15 cm
Pelo Teorema de Pitágoras sabemos que: 2
2
2
15 = 12 + x ⇔ ⇔ 225 = 144 + x 2 ⇔ 225 − 144 = x 2 ⇔ x 2 − 81 = 0 Equação do 2º grau incompleta porque b = 0.
x cm
x 2 = 81 ⇔ x = ± 81 ⇔ x = ±9 ⇔
⇔ x = +9 ∨ x = −9 Conjunto-Solução da equação = { -9 , 9} Resposta: x é 9 porque o valor de um comprimento não pode ser negativo.
Reduz as equações a expressões do tipo ax 2 +bx +c = 0 com a ≠ 0 Indica o valor de a , b e c e determina a solução.
(
)
3 x 2 + 2 − x( x + 1) = 24 − x ⇔ ⇔ 3x 2 + 6 − x 2 − x = 24 − x ⇔ ⇔ 3x 2 − x 2 − x + x + 6 − 24 = 0 ⇔ ⇔ 2 x 2 − 18 = 0
18 ⇔ 2 x = 18 ⇔ x = ⇔ 2 2
2
⇔ x 2 = 9 ⇔ x = ± 9 ⇔ x = ±3 ⇔ x = −3 ∨ x = +3 Conjunto-solução = { - 3 , 3 }
1º reduzir à forma canónica ax 2 + bx + c = 0 a = 2; b = 0 ; c = -18
2º Resolver a equação e indicar o conjunto solução.
(
)
−5 −2 − x 2 − ( x − 3) = − x − 2 ⇔
⇔ 10 + 5x 2 − x + 3 + x + 2 = 0 ⇔
⇔ 5x 2 + 15 = 0 ⇔ 5x 2 = −15 ⇔
1º reduzir à forma canónica ax 2 + bx + c = 0
a = 5 ; b = 0 ; c = 15 2º resolver a equação
−15 ⇔x = ⇔ x 2 = −3 5 2
Equação IMPOSSÍVEL, não há nenhum nº real cujo quadrado seja negativo.
x = ± −3 IMPOSSÍVEL
Equações do 2º gr au incomplet as
ax = 0 2
A soma de seis com o quíntuplo do quadrado de um número é seis. Qual é o número? 2 5 × x 6+ =6 ⇔
⇔ 6 + 5x2 = 6 ⇔ ⇔ 5x2 = 6 − 6 ⇔ ⇔ 5x2 = 0 ⇔ ⇔ x2 =
0 ⇔ 5
⇔ x2 = 0 ⇔
⇔ x=0
S = { 0} 0 é a solução da equação
Equações do 2º gr au incomplet as
ax + bx = 0 2
A diferença entre o quadrado de um número e o seu quadruplo é zero. Qual é o número? 2
x - 4× x = 0
Equações do 2º gr au incomplet as
ax + bx = 0 2
x2 − 4x = 0
a = 1 ; b = -4 ; c = 0
⇔ x ( x − 4) = 0 ⇔
1º colocar a incógnita em evidência (factorizar)
⇔ x = 0 ∨ x−4= 0⇔
2º Aplicar a lei do anulamento do produto
⇔ x=0 ∨ x=4 Conjunto-solução = {0,4 }
3º Encontrar as soluções
Resolve a Equação x 2 3( x − 4) − = −2( x − 3) 3 2
⇔
1º Reduzir à forma canónica
x 2 3x 12 ⇔ − + = −2 x + 6 ⇔ 3 2 2 a=2 ; b=3 ; c=0
⇔ 2 x 2 − 9 x + 36 = −12 x + 36 ⇔
⇔ 2 x 2 + 3x = 0 ⇔
⇔ x( 2 x + 3) = 0 ⇔
⇔ x = 0 ∨ 2x + 3 = 0 ⇔ 3 ⇔x=0 ∨ x=− 2
2º colocar a incógnita em evidência
3 S = 0, − 2
3º Aplicar a lei do anulamento do produto
Exercício 10 da página 74
Equações do 2º gr au complet as Fórmula Resolvente 2 Dada uma equação do tipo ax + bx + c = 0 com a ≠ 0 Podemos encontrar as soluções, utilizando a seguinte fórmula:
2
−b± b −4×a ×c x= 2×a À expressão que está dentro da raiz quadrada chama-se BINÓMIO DISCRIMINANTE e representa-se por ∆ ( delta ) 2 = b −4×a×c ∆
Resolve a Equação 2
2x + x − 3 = 0
⇔
−1 ± 12 −4 ×2 ×( −3) ⇔x = ⇔ 2 ×2
⇔x =
−1 ± 25 ⇔ 4
a = 2; b = 1; c = -3
−b ± b 2 − 4ac x= 2a
−1 − 5 −1 + 5 −1 ± 5 x = ∨ x = ⇔ ⇔x= ⇔ 4 4 4
6 4 3 ⇔ x = − ∨ x = ⇔ x = − ∨ x =1 4 4 2
3 S = − ,1 2
Duas Soluções Conclusão: Se o Binómio Discriminante é positivo, a equação tem duas soluções.
Resolve a Equação 2
2 x + 28 = 12 x + 10 ⇔ ⇔ 2 x 2 − 12 x + 18 = 0 ⇔ ⇔ x=
− ( − 12) ±
( − 12)
2
− 4 × 2 × 18
2× 2
12 ± 144 − 144 ⇔ x= ⇔ 4 12 − 0 12 + 0 ⇔ x= ∨ x= ⇔ 4 4
1º Reduzir à forma canónica
a = 2; b = -12; c = 18
⇔
− b ± b 2 − 4ac x= 2a
12 ± 0 x= ⇔ 4 x=3 ∨ x=3
3 é uma raiz dupla da equação
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é zero, a equação tem uma solução dupla.
Resolve a Equação x 2 + 9 = 2x + 4
⇔
⇔ x 2 − 2x + 5 = 0 ⇔ ⇔x =
− ( − 2) ±
( − 2)
2
− 4×1× 5
2× 1
2 ± 4 − 20 ⇔x = ⇔ 4
1º Reduzir à forma canónica
a = 1; b = -2; c = 5
⇔
− b ± b 2 − 4ac x= 2a
2 ± − 16 x= 2
Equação IMPOSSÍVEL, não há nenhum nº real cujo quadrado seja negativo.
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é negativo, a equação é impossível.
Exercício 24 a) e b) da página 81
Determina o perímetro do triângulo rectângulo. ( 3x+2 ) cm
( x+3 ) cm
( 2x+1 ) cm
Pelo Teorema de Pitágoras:
( 3x + 2) = ( 2 x + 1) + ( x + 3) ⇔ 2
2
2
⇔ 9 x 2 + 12 x + 4 = 4 x 2 + 4 x + 1 + x 2 + 6 x + 9 ⇔ 2 − 2 ± 2 − 4 × 4 × ( −6) 2 ⇔ ⇔ 4x + 2x − 6 = 0 ⇔ x = 2×4
3 − 2 − 10 − 2 + 10 ⇔ x= ∨ x= ⇔ x= − ∨ x =1 2 8 8
Solução do Problema Se x = −
( 3x+2 ) cm
( x+3 ) cm
( 2x+1 ) cm
3 2
3 3 × − + 2 = −2,5 cm 2 x não pode ser
Se x = 1 3 × 1 + 2 = 5 cm
1 + 3 = 4 cm
2 × 1 + 1 = 3 cm
Perímetro = 5+3+4 =12 cm
−
3 2
Um Pouco de História
Este matemático Português do século XVI realizou uma grandiosa obra na área da Matemática, Física, Astronomia e nas suas aplicações à Náutica. No que diz respeito às equações, Pedro Nunes resolvias com grande rigor de raciocínio embora sem usar linguagem simbólica.
T.P.C. Resolver os exercícios 26 da página 81 do manual e 28 e 29 da página 83.
Sumário: Apresentação em PowerPoint: •Resolução de equações do 2º grau incompletas. •Formula resolvente.
Fim