´ TOPICOS DE GEOMETR´IA EUCLIDIANA I Anibal Mu˜ noz Loaiza, Oscar Marino Garcia Arias Gustavo Villalobos Nieto Facultad de Educaci´on Universidad del Quind´ıo Armenia - Colombia. 19 de diciembre de 2008
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Mu˜ noz L. A., Garcia A. O. M., Villalobos N. G.
Doctor, Anibal Mu˜ noz Loaiza Magister, Oscar Marino Garcia Arias Ingeniero, Gustavo Villalobo Nieto ´ TOPICOS DE GEOMETR´IA EUCLIDIANA I No est´a permitida la reproducci´on total o parcial de esta obra por cualquier medio o m´etodo sin autorizaci´on escrita de los autores.
Derechos Reservados ©Armenia Quind´ıo Colombia 2008
ISBN:——–
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Mu˜ noz L. A., Garcia A. O. M., Villalobos N. G.
Dedicado con cari˜ no a nuestras familias Anibal Mu˜ noz Loaiza Oscar Marino Garcia Arias Gustavo Villalobos Nieto
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´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Mu˜ noz L. A., Garcia A. O. M., Villalobos N. G.
Agradecimientos: A la Facultad de Educaci´ on y Facultad de Ciencias B´ asicas y Tecnologias, Universidad del Quind´ıo, Armenia - Quind´ıo Colombia. Anibal Mu˜ noz Loaiza Oscar Marino Garcia Arias Gustavo Villalobos Nieto Armenia - Quind´ıo, Colombia Octubre del 2008
´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
Prologo ————————————– ———————————————–
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´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
´Indice general 1. Introducci´ on Hist´ orica
3
1.1. Pit´agoras - Aristoteles - Plat´on . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2. Euclides - Arqu´ımedes - Apolonio . . . . . . . . . . . . .
15
1.2.1. Euclides y su obra . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.2.2. Arqu´ımedes de Samos . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2.3. Apolonio de Perga en Panfilia . . . . . . . . . . .
19
1.3. El M´etodo Axiom´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.3.1. Las explicaciones y definiciones iniciales . . . . .
22
1.3.2. Los Postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.3.3. Los Axiomas o nociones comunes . . . . . . . . .
25
1.3.4. Las cuarenta y ocho proposiciones del Libro I . .
25
2. Conceptos Generales
31
2.1. Conceptos Primitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2. T´erminos Definidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2.1. Postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2.2. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.3. M´etodos de demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.3.1. Demostraci´on directa . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.3.2. Demostraci´on indirecta . . . . . . . . . . . . . . .
36
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´ 3. Rectas y Angulos
41
3.1. Segmentos Consecutivos: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.2. Punto Medio de un Segmento: . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.3. Multiplicaci´on de un Segmento por un Entero no Negativo
49
3.4. Divisi´on de un Segmento en Partes Iguales . . . . . . . .
50
3.5. Posici´on de Dos Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.6. Concurrentes, Incidentes o Secantes . . . . . . . . . . . .
51
3.7. Coincidentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.8. Regiones Simples y No Simples . . . . . . . . . . . . . .
52
3.9. Interior y Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.10. Regiones Convexas y Concavas . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.11. Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.11.1. Medida Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.11.2. Clases de Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.11.3. Sistemas de Medida Angular . . . . . . . . . . . .
63
3.11.4. Conversi´on de un Sistema a Otro . . . . . . . . .
64
3.12. Rectas Perpendiculares y Paralelas . . . . . . . . . . . .
66
3.13. Rectas Perpendiculares y Paralelas . . . . . . . . . . . .
67
3.13.1. Distancia de un Punto a una Recta . . . . . . . .
70
3.13.2. Mediatriz de un Segmento . . . . . . . . . . . . .
70
3.13.3. Rectas Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.14. Angulos entre dos Rectas y una Transversal . . . . . . . ´ 3.15. Medida de los Angulos de un Trapecio . . . . . . . . . .
71
3.16. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4. Pol´ıgonos
55 59
72 76
87
4.1. Conceptos B´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.1.1. Clases de Pol´ıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.2. El Tri´angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.3. Congruencia de Tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.4. Semejanza de Tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
4.4.1. El Postulado B´asico de la Semejanza . . . . . . .
113
4.5. El Tri´angulo Rect´angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
4.5.1. El Teorema de Pit´agoras y su Rec´ıproco . . . . .
129
5. Problema del paralelismo
´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
´Indice de figuras 1.
Euclides de Alejandr´ıa [26]. . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
1.1. Arte antiguo [50]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2. Pir´amides de Egipto [47]. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3. Papiro de Mosc´ u [23]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4. La Antigua Grecia [51]. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5. Pit´agoras (572 a. c.) [47]. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.6. Hipocrates de Chios [25]. . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.7. Plat´on y Arist´oteles en la Escuela de Atenas [52]. . . . .
11
1.8. Thales de Mileto (624-546) [53]. . . . . . . . . . . . . . .
12
1.9. Simbolo de la Escuela Pitag´orica [54]. . . . . . . . . . .
12
1.10. Plat´on (428-347) [55]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.11. Arist´oteles (384-322 a.C.) [56]. . . . . . . . . . . . . . .
14
1.12. Euclides de Alejandr´ıa [26]. . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.13. Arquimedes de Samos (287 a. C.) [27]. . . . . . . . . . .
17
1.14. Apolonio de Perga [37]. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.1. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.2. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.3. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.4. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.5. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.6. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
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3.7. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.8. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.9. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.10. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.11. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.12. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.13. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.14. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.15. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.16. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.17. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.18. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.19. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.20. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.21. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.22. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.23. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.24. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.25. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.26. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.27. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.28. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.29. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.30. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.31. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.32. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.33. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.34. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.35. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.36. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.37. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.38. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.39. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.40. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.41. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.42. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.43. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.44. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3.45. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.46. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.47. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.48. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.49. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.50. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.51. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.52. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.53. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.54. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.55. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.56. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.57. Apolonio de Perga [37]. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.58. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.59. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.60. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.61. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.62. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.63. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.64. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.65. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.66. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Mu˜ noz L. A., Garcia A. O. M., Villalobos N. G.
3.67. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.68. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.69. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.70. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.71. Apolonio de Perga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.1. Ejemplos de poligonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
4.2. Ejemplos de poligonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.3. Elementos de un pol´ıgono . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.4. Pol´ıgono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.5. Pol´ıgonos: Tri´angulo equil´atero y cuadrado . . . . . . . .
91
4.6. Tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.7. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4.8. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.9. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.10. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.11. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4.12. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4.13. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.14. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.15. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
4.16. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
4.17. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
4.18. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
4.19. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
4.20. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
4.21. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.22. Tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.23. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.24. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.25. Tri´angulos
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4.26. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.27. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.28. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
4.29. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.30. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.31. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.32. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.33. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.34. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.35. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
4.36. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
4.37. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
4.38. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
4.39. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
4.40. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
4.41. Tri´angulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
5.1. John Playfair (1748 - 1819) [29]. . . . . . . . . . . . . . .
136
5.2. Postulado de Lobachevski. . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
5.3. Nicolas Ivanovich Lobachevski (1793 - 1856 ) [38]. . . . .
137
5.4. G. F. Bernhard Riemann (1826 - 1866) . . . . . . . . . .
138
´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
xviii
Mu˜ noz L. A., Garcia A. O. M., Villalobos N. G.
´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
´Indice de cuadros
xix
xx
Mu˜ noz L. A., Garcia A. O. M., Villalobos N. G.
´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
xxi
Mu˜ noz L. A., Garcia A. O. M., Villalobos N. G.
Figura 1: Euclides de Alejandr´ıa [26].
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Introducci´ on
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Cap´ıtulo 1 Introducci´ on Hist´ orica Las primeras nociones geom´etricas del hombre son muy antiguas y parecen tener su origen en las observaciones simples que provienen de la habilidad humana para conocer la forma f´ısica y comparar formas y tama˜ nos. Hubo muchas circunstancias en la vida del hombre primitivo que le condujo a cierta cantidad de descubrimientos geom´etricos subconscientes. Consideremos algunos casos: La noci´on de distancia fue sin duda alguna, uno de los primeros conceptos que descubrieron. La limitaci´on de terrenos condujo a la noci´on de figuras geom´etricas, tales como: cuadrados, rect´angulos, tri´angulos, etc. La construcci´on de paredes y viviendas les sugiri´o la idea de vertical, paralela, perpendicular. La periferia del sol, el arco iris, algunas semillas, sugirieron la noci´on de circunferencia. El lanzamiento de una piedra, describe una par´abola. 3
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Una cuerda no estirada, cuelga formando una catenaria. Algunos huevos de p´ajaros son aproximadamente elipsoides de revoluci´on. Un anillo es un toro. Los troncos de los ´arboles son cilindros circulares. La mayor´ıa de las hojas, flores y algunas conchas y cristales ilustran la noci´on de simetr´ıa. La idea de volumen viene de inmediato al considerar recept´aculos para contener l´ıquidos y otros art´ıculos de consumo simple. Los alfareros primitivos hicieron muchas superficies y s´olidos de revoluci´on.
Figura 1.1: Arte antiguo [50]. Estas nociones geom´etricas fueron dadas por una geometr´ıa subconsciente. Esta geometr´ıa subconsciente se empleo por el hombre primitivo ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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al hacer ornamentos decorativos y modelos; y podemos decir que el arte primitivo ayud´o mucho a preparar la forma para el desarrollo posterior geom´etrico. En estos albores el hombre solo consider´o los problemas geom´etricos concretos, que se presentaban en forma individual y s´olo hasta cuando la inteligencia humana fue capaz de extraer de relaciones geom´etricas concretas, una relaci´on abstracta general, la geometr´ıa se volvi´o una ciencia, pero no hay evidencia que nos permita estimar el n´ umero de siglos que transcurrieron antes que sucediera esto. Al respecto los escritores de la antiguedad concuerdan en que el Valle del Nilo de Egipto Antiguo fue el lugar en que la Geometr´ıa Subconsciente se convirti´o por primera vez en Geometr´ıa Cient´ıfica y surgi´o la necesidad pr´actica, para quienes se ocupaban de la agricultura y la ingenier´ıa. [5] [7] [9] Hay evidencia hist´orica de que esto tuvo lugar no s´olo
Figura 1.2: Pir´amides de Egipto [47]. en el R´ıo Nilo de Egipto, sino tambi´en en otras cuencas de grandes r´ıos, tales como: El Tigris y el Eufrates de Mesopotamia, el Indus y el Ganges de Asia, el Hwang Ho, el Yangtze del este de Asia. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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En estas cuencas tuvieron origen las formas avanzadas de la sociedad conocidas por sus haza˜ nas de ingenier´ıa en el drenaje de terrenos fangosos, irrigaci´on, control de inundaciones y la construcci´on de grandes edificios y estructuras. Los registros existentes m´as antiguos de la actividad del hombre en el campo de la Geometr´ıa son unas tablas inscritas de arcilla cocida enterradas en Mesopotamia y que datan del a˜ no 3.000 a.C. Hay otras tablas cuneiformes mas recientes provenientes de Babilonia Las fuentes principales de informaci´on relacionadas con la geometr´ıa egipcia antigua son: los papiros de Mosc´ u y Rhin, libros que contienen 110 problemas de los cuales 26 son geom´etricos y datan respectivamente de 1850 a.C. y 1650 a.C. En el Museo de Berl´ın, se encuentra el m´as an-
Figura 1.3: Papiro de Mosc´ u [23]. tiguo instrumento astron´omico o topogr´afico existente; una combinaci´on de plomada y vara de agrimensor, que proviene del Egipto antiguo, 1950 ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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a.C. Hay adem´as un reloj de sol egipcio, 1500 a.C., siendo el m´as antiguo que existe. Estos instrumentos indican, por supuesto, un conocimiento de una geometr´ıa pr´actica relacionada. Algunos de los problemas hallados en los papiros de Mosc´ u son: El ´area de un rect´angulo es 12, y la anchura es
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de la longitud,
¿Cu´ales son las dimensiones? Un cateto de un tri´angulo rect´angulo es 2 12 veces el otro, el ´area es 20. ¿Cu´ales son las dimensiones? Es muy notable en el papiro de Mosc´ u, el ejemplo num´erico de la f´ormula correcta para el volumen de un tronco de una pir´amide cuadrada: V =
h(a2 + b + b2 ) 3
(1.1)
Donde h es la altura, y a, b son las longitudes de los lados de las dos bases cuadradas. Los cambios econ´omicos y pol´ıticos provocaron que el poder de Egipto y de Babilonia decayera y en consecuencia que el desarrollo posterior de la geometr´ıa pasara a los griegos. Los antiguos escritores griegos expresaron respeto a la sabidur´ıa del Este, y esta sabidur´ıa estuvo disponible para cualquiera que viajara a Egipto y Babilonia. Una diferencia y un avance muy notable es que los griegos transformaron el estudio de la Geometr´ıa. Insistieron en que los hechos geom´etricos ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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deben establecerse, no por procedimientos emp´ıricos, sino por razonamiento deductivo, y debe llegarse a conclusiones geom´etricas por demostraciones l´ogicas y no por experimentaci´on. Es decir, los griegos transformaron la Geometr´ıa Emp´ırica o Cient´ıfica de los antiguos egipcios y babilonios en lo que hoy puede llamarse Geometr´ıa Sistem´ atica o Matem´ atica. El sumario de Eudemo, de
Figura 1.4: La Antigua Grecia [51]. Proclo, es una de las obras m´as antiguas de la Geometr´ıa Griega; contiene un resumen del libro I, comentarios sobre Euclides y un esbozo muy breve del desarrollo de la Geometr´ıa Griega desde los tiempos primitivos hasta Euclides. Eudemo, fue alumno de Arist´oteles y escribi´o una serie de trabajos que se consideran como una historia completa de la Geometr´ıa Griega, que cubre el per´ıodo anterior al 335 a.C. y en consecuencia el Sumario de Eudemo recibi´o ese nombre debido a que se admite que se basa en dicho trabajo primitivo. De acuerdo con est´a obra, la Geometr´ıa Griega parece haber iniciado ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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en una forma esencial con el trabajo de Thales de Mileto uno de los Siete hombres Sabios. En la primera mitad del siglo VI a.C. Thales fue un fundador de la Geometr´ıa sistem´atica y el primero a quien se le asocia la utilizaci´on de los m´etodos deductivos de la Geometr´ıa. El siguiente matem´atico griego sobresaliente mencionado en el Sumario de Eudemo es Pit´agoras, a quien se le atribuye haber continuado con la sistematizaci´on de la Geometr´ıa que empez´o unos 50 a˜ nos antes por Thales. Pit´agoras naci´o en el 572 a.C. en la Isla de Samos, una de las
Figura 1.5: Pit´agoras (572 a. c.) [47]. islas del Mar Egeo cerca de la ciudad de Mileto. Parece que Pit´agoras visit´o entonces a Egipto y posiblemente viaj´o a´ un en forma m´as extensa por el Oriente Antiguo. En el puerto griego de Crotona en Italia del Sur, fund´o la celebrada Escuela Pitag´orica, una fraternidad unida a ritos secretos, cabal´ısticos y costumbres, la cual se dedic´o al estudio de la Filosof´ıa, las Matem´aticas y las Ciencias Naturales. Durante los doscientos a˜ nos que siguieron a la creaci´on de su organizaci´on contribuyeron con gran cantidad de conocimien´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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tos matem´aticos. Sostiene el ”Sumario de Eudemo” que el pitag´orico, Hip´ocrates de Chios fue el primero en intentar, al menos con ´exito parcial, una presentaci´on l´ogica de la Geometr´ıa. Hicieron mejores intentos Leon, Teudio
Figura 1.6: Hipocrates de Chios [25]. y otros. Luego, aproximadamente 300 a.C. Euclides produjo el esfuerzo de su ´epoca, los Elementos. [5] [7] [9]
1.1.
Pit´ agoras - Aristoteles - Plat´ on
Hay que hacer notar que el gran trabajo desarrollado por los griegos en Geometr´ıa debe su estructura a la estrecha relaci´on que ellos descubrieron entre la Matem´ atica, la Filosof´ıa y la L´ ogica. T´opicos filos´oficos de la Matem´atica se estudiaban en la antigua escuela griega y es precisamente esta reflexi´on filos´ofica la que plantea el problema del m´etodo axiom´atico - deductivo en matem´aticas [12] [48] [49]. Es en Grecia donde la filosof´ıa y la matem´atica se relacionan ´ıntima´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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mente consolidandose esta u ´ltima como ciencia, recibiendo de la filosof´ıa la teor´ıa del m´etodo, la axiom´atica, la l´ogica. Detr´as del gran trabajo desarrollado por Euclides en los Elementos se encuentra Arist´oteles, ya que es este qui´en dise˜ na las caracter´ısticas principales del m´etodo axiom´atico. Los primeros estudios geom´etricos en Grecia abarcan problemas de ge-
Figura 1.7: Plat´on y Arist´oteles en la Escuela de Atenas [52]. ograf´ıa y astronom´ıa, motivados claramente por cuestiones cosmol´ogicas. Como ejemplo tenemos que Thales de Mileto (624-546 a.C.) predice el eclipse de sol del 585 a.C. y atendiendo la etimolog´ıa, la geometr´ıa es una rama de la geograf´ıa. Para Pit´ agoras (570-500 a.C.) .El hombre es medida de todas las cosas” y son tanto la raz´on como el n´ umero los principios para dar explicaci´on al universo y no as´ı la naturaleza tangible como predicaba Thales, este pensamiento se ve reflejado en la m´axima de la Escuela Pitag´orica que enuncia: ”Las cosas son n´ umeros”. Pit´agoras da un verdadero avance para convertir la matem´atica en ciencia. Primero delimita el objeto de estudio al especificar el t´ermino como el estudio de la geometr´ıa y la aritm´etica. Adem´as, parte de un conjunto de principios y sugiere un camino preciso para generar y comprobar verdades. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 1.8: Thales de Mileto (624-546) [53].
Figura 1.9: Simbolo de la Escuela Pitag´orica [54].
Aunque en Pit´agoras se ve una clara intenci´on de formalizar la matem´atica, todav´ıa no se logra apreciar en ´el un riguroso m´etodo de deducci´on. Muchos consideran que los Pitag´oricos era un grupo que abordaba cuestiones de orden filos´ofico y m´ıstico, mas que cient´ıfico. Plat´ on (428-347), disc´ıpulo de S´ocrates, adem´as de promover el estudio matem´atico en su tiempo (”Que nadie entre si no sabe Geometr´ıa”), se le atribuye la creaci´on del idealismo filos´ ofico ya que para Plat´on el conocimiento emp´ırico es insuficiente y propone que las ideas provienen de un mundo inteligible, inmutable e ideal.
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Precisar definiciones y axiomas y proponer un sistema formal para el desarrollo de las matem´aticas son algunas aportaciones de este sabio griego al conocimiento geom´etrico. Tambi´en se planteo el problema de estructurar la divisi´on y el concepto de l´ogica, y aunque en principio no es un t´opico concerniente a la geometr´ıa es de fundamental importancia en el m´etodo axiom´atico. Arist´ oteles (384-322 a.C. de Estagira)
Figura 1.10: Plat´on (428-347) [55]. Se cre´e que abarc´o todo el conocimiento de su epoca ya que es autor de diversos estudios de pol´ıtica, filosof´ıa, biolog´ıa, f´ısica y l´ogica. Aunque de manera directa se cree que su aportaci´on a la geometr´ıa fue muy poca o nula, a ´el se le debe la estructura y la organizaci´on de la ciencia matem´atica, particularmente de la geometr´ıa. En los Primeros Anal´ıticos aborda el silogismo que considera un proceso que consiste en derivar una nueva proposici´on considerando la veracidad de otras dos. En su obra Anal´ıticos Segundos expone los ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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fundamentos del m´etodo axiom´atico - deductivo al considerar la estructura general de las ciencias. [12] [48] [49] Se le considera el padre, o fundador, de la L´ogica Formal ya que consider´o la necesidad de un instrumento o m´etodo que permitiera un conocimiento demostrativo y verdadero. Adem´as descubre la ley del tercero excluido, esto es que dada una proposici´on y su negaci´on una de ellas es verdadera.
Figura 1.11: Arist´oteles (384-322 a.C.) [56]. Arist´oteles se˜ nala que la matem´atica se construye deductivamente, de lo general a lo particular. Adem´as, considera que toda proposici´on se deriva en u ´ltimo t´ermino de proposiciones ya no demostrables, ya que se consideran ciertas. Distingue tres tipos de proposiciones: los axiomas, las definiciones y las hip´otesis y considera que las premisas (proposiciones que sirven de base para generar el silogismo) son verdaderas e indemostrables ya que esto garantiza la imposiblilidad de un eterno retorno a las premisas iniciales. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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1.2.
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Euclides - Arqu´ımedes - Apolonio
Estos tres matem´aticos griegos marcan el apogeo de la geometr´ıa y puede decirse que todos los desarrollos geom´etricos subsiguientes, aun los m´as recientes, tienen su origen en alg´ un trabajo de estos Tres Grandes Geometras.
1.2.1.
Euclides y su obra
De Euclides no se sabe donde naci´o ni donde muri´o. Se le llama Euclides de Alejandr´ıa porque ejerci´o su influencia, muy probablemente, como profesor en la universidad de aquella ciudad y parece ser que recibi´o su educaci´on matem´atica en la Escuela Plat´onica de Atenas. Era tan poco
Figura 1.12: Euclides de Alejandr´ıa [26]. conocido que durante mucho tiempo se le confundi´o con Euclides de M´egara, disc´ıpulo de S´ocrates y fundador de la Escuela Filos´ofica de M´egara. Tambi´en se le confundi´o con Te´on de Alejandr´ıa quien edit´o los Elementos. Euclides escribi´o otros tratados geom´etricos; algunos de los cuales han ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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sobrevivido hasta la fecha: Datos, trata del contenido de los primeros seis libros de los Elementos. Sobre divisiones, contiene problemas de construcci´on que requieren la divisi´on de una figura por una recta limitada de modo que las partes tendr´an ´areas en una raz´on determinada. Esta obra nos ha llegado por una traducci´on ´arabe. Otros trabajos geom´etricos de Euclides que se han perdido y son conocidos solo por comentarios son: Los Pseudar´ıa, o libro de los Sofismas Geom´etricos. Porisma, un trabajo relativamente profundo respecto al cual se han hecho considerables especulaciones. Conicas, un tratado en cuatro libros. Lugares geom´ etricos superficiales, posiblemente un tratado sobre superficies de curvatura doble; pero respecto al cual no se conoce nada realmente cierto. Otros trabajos de Euclides tratan de matem´aticas aplicadas y dos de ´estos a´ un existen: Fen´ omenos, que trata de la Geometr´ıa Esf´eri´ ca y Optica y un Tratado Elemental de Perspectiva. [5] [7] [9]
1.2.2.
Arqu´ımedes de Samos
De Arqu´ımedes, uno de los matem´aticos m´as grandes de todos los tiempos, poco se sabe. Nativo de la ciudad griega de Siracusa en la Isla de Sicilia, naci´o por el a˜ no 287 a. C. y muri´o durante el saqueo romano ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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de Siracusa. Su padre fue Fidias el astr´onomo y posiblemente se hallaba relacionado con el rey de Siracusa, Hiero II, que era su amigo. Se cuenta que de joven pas´o alg´ un tiempo en Egipto, probablemente en la Universidad de Alejandr´ıa pues se contaban entre sus amigos Conon, Dos´ıstemo y Erat´ostenes; los dos primeros fueron sucesores de Euclides; el u ´ltimo fue un bibliotecario de la Universidad. Los trabajos de Ar-
Figura 1.13: Arquimedes de Samos (287 a. C.) [27]. qu´ımedes han sido creaciones altamente originales. Tres de sus obras existentes est´an dedicadas a la Geometr´ıa Plana y son: Medidas de una circunferencia, contiene el m´etodo cl´asico para calcular π. Cuadratura de la Par´ abola, contiene 24 proposiciones y Sobre esp´ırales, que contiene 28 proposiciones dedicadas a las propiedades de la curvatura que se conoce hoy como Espiral de Arqu´ımedes Dos de los trabajos existentes de Arqu´ımedes se dedican a la geometr´ıa tridimensional y son: ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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• Sobre la Esfera y el Cilindro, son dos libros los cuales contienen un total de 60 proposiciones. En ellos aparecen teoremas que dan las ´areas de una esfera, vol´ umenes de una esfera y de un segmento de una base. • Sobre Conoides y Esferoides, es un tratado de 40 proposiciones que tratan principalmente de la investigaci´on de los vol´ umenes de cuadr´aticas de revoluci´on. Pappus, ha adscrito, a Arqu´ımedes trece poliedros semirregulares, pero desafortunadamente se ha perdido la explicaci´on de ellos, por el propio Arqu´ımides. En el libro I, sobre la esfera y el Cilindro aparece el conocido como Postulado de Arqu´ımedes: Dados dos segmentos rectil´ıneos desiguales, siempre hay alg´ un m´ ultiplo finito del menor que es mayor que el otro. En algunos tratados modernos de Geometr´ıa este Postulado sirve como parte de la Base Postulacional para introducir el concepto de continuidad. Durante los siglos XIX y XX se construyeron sistemas geom´etricos que negaron el Postulado de Arqu´ımedes. Es de se˜ nalar que ´este postulado hab´ıa sido considerado antes por Eudoxio. El denominado postulado o axioma de Arqu´ımedes, aparece en el contador de arena: una obra llena de gran inter´es. Este axioma esta relacionado con el hecho de haber demostrado que la cantidad de arena del mundo era finita. Existen dos tratados de Arqu´ımedes sobre Matem´aticas Aplicadas: sobre el equilibrio de planos y sobre cuerpos flotantes. En estos trabajos sobre mec´anica, Arqu´ımedes empleo el m´etodo axiom´atico. S´olo hasta el siglo XVI con la obra de Sim´on Stevin, la ciencia de la est´atica y la teor´ıa de la hidrost´atica, avanzaron m´as all´a de los puntos alcanzados ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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por Arqu´ımedes. Heiberg, descubri´o en Constantinopla, en 1906 el trabajo de Arqu´ımedes, titulado M´ etodo. Este trabajo est´a en forma de carta dirigida a Erat´ostenes y es importante debido a la informaci´on que proporciona referente al M´ etodo que Arqu´ımedes utiliz´o para descubrir muchos de sus teoremas. Invent´o el C´alculo Integral: esto quiere decir que dio demostraciones para encontrar las ´areas, vol´ umenes y centros de gravedad de curvas y superficies, c´ırculos, esferas, c´onicas y espirales.
1.2.3.
Apolonio de Perga en Panfilia
Fue el tercer gran matem´atico de este per´ıodo, que consigui´o el t´ıtulo de Gran Ge´ ometra. Se sabe poco de ´el: lleg´o cuando era joven a Alejandr´ıa, permaneciendo all´ı mucho tiempo, viaj´o a otros lugares y visit´o P´ergamo donde conoci´o a Eudemo, uno de los primeros historiadores de nuestra ciencia. Se dice que todo lo que hizo Euclides por la
Figura 1.14: Apolonio de Perga [37]. Geometr´ıa plana, lo hizo Apolonio por las secciones c´onicas. A trav´es de ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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la Geometr´ıa pura, obtuvo las propiedades de las c´onicas; fue adem´as un aritm´etico y un astr´onomo sobresaliente. Su obra, secciones c´onicas, son ocho libros que contienen alrededor de 400 proposiciones. Los nombres de elipse, par´abola e hip´erbola fueron dados por Apolonio, y fueron tomados de la terminolog´ıa antigua pitag´orica de la aplicaci´on de ´areas. Otras obras de Apolonio son: Sobre Secci´on Proporcional (181 proposiciones). Sobre Secci´on Espacial (124 proposiciones). Sobre Secci´on Determinada (83 proposiciones). Tangencias (124 proposiciones). Tendencias (125 proposiciones). Lugares geom´etricos planos (147 proposiciones). S´olo el primero de estos ha sobresalido y est´a en ´arabe. Con la muerte de Apol´onio, la edad de oro de la geometr´ıa griega lleg´o a su fin, y los pocos ge´ometras que siguieron hicieron poco m´as que llenar los detalles y tal vez desarrollar en forma independiente algunas teor´ıas cuyos g´ermenes ya estaban contenidos en los trabajos de los tres grandes predecesores. Entre estos u ´ltimos ge´ometras debe hacerse menci´on especial a Her´on, Men´elao, Claudio Tolomeo y Pappus. Her´on, trato principalmente de las mediciones planas y del espacio. Men´elao y Tolomeo, contribuyeron a la Trigonometr´ıa como un tipo de ayuda a la Astronom´ıa. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Pappus, el u ´ltimo de los ge´ometras griegos, vivi´o hacia el final del tercer siglo a. de C., 500 a˜ nos despu´es de Apolonio. Su gran trabajo geom´etrico, la Colecci´ on, la mayor parte del cual nos ha llegado, es un comentario combinado y el libro gu´ıa de los trabajos geom´etricos existentes de su ´epoca, mostrando con numerosas proposiciones originales, mejores extensiones y comentarios hist´oricos valiosos. Podemos concluir que en la Geometr´ıa de la Antigua Grecia, tanto en su forma como en su contenido, encontramos el manantial del tema. [5] [7] [9]
1.3.
El M´ etodo Axiom´ atico
Una vez ampliados los conocimiento geom´etricos se hizo notable la necesidad de generalizar los principios geom´etricos, y de ah´ı pasar de la geometr´ıa concreta a la geometr´ıa abstracta, axiom´atica. La geometr´ıa presento otro tipo de desarrollo cuando se considero que existen proposiciones que se pueden deducir de otras mediante las leyes de la l´ogica, sin necesidad de la experimentaci´on y solo con puro razonamiento. Es en esta fase cuando se empiezan a clasificar las proposiciones como fundamentales (axiomas) y como derivadas de estas (teoremas), adem´as de tratar de reducir los axiomas, surge el M´ etodo Axiom´ atico en la Geometr´ıa. Este hecho se ve reflejado sistem´aticamente en los Elementos de Euclides, escritos aproximadamente 300 a˜ nos antes de nuestra era, ya que primero presenta un conjunto de definiciones y axiomas, y despu´es se demuestran varios resultados basandose en los axiomas y teoremas anteriores. Presentamos las proposiciones y definiciones iniciales de los Ele´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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mentos, esencialmente tomados de [7].
1.3.1.
Las explicaciones y definiciones iniciales
1. Un punto es lo que no tiene parte o dimensi´on. 2. Una l´ınea es una longitud sin anchura. 3. Los extremos o l´ımites de una l´ınea son puntos. 4. Una recta es una l´ınea que tiene todos sus puntos en la misma direcci´on. 5. Una superficie es la que s´olo tiene longitud y anchura. 6. Los extremos o l´ımites de una superficie son l´ıneas. 7. Una superficie plana es la que contiene una recta en cualquier posici´on. 8. Un ´ angulo plano es la inclinaci´on entre s´ı de dos l´ıneas de un plano si ´estas se cortan y no est´an en una misma recta. 9. Cuando las l´ıneas que comprenden el ´angulo son rectas, el ´angulo se dice que es rectil´ıneo. 10. Cuando una recta se levanta sobre otra recta formando ´angulos adyacente iguales, cada uno de los ´angulos iguales se llama ´ angulo recto, y la recta que se eleva sobre la otra se llama perpendicular a esta otra. 11. Un ´ angulo obtuso es mayor que uno recto. 12. Un ´ angulo agudo es menor que uno recto. 13. Un l´ımite es lo que constituye un extremo de alguna cosa. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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14. Una figura es lo que esta contenido en un l´ımite o en varios l´ımites. 15. Un c´ırculo es una figura plana contenida en una l´ınea, llamada circunferencia, tal que todas las rectas que van desde un punto particular hasta puntos de ella, quedando dentro de la figura, son iguales. 16. El punto particular (de la definici´on 15) se llama centro de la circunferencia o del c´ırculo. 17. Un di´ ametro de un c´ırculo o de una circunferencia es una recta que pasa por su centro y termina, en ambos sentidos, en la circunferencia. Dicha recta biseca adem´as a la circunferencia y al c´ırculo. 18. Un semic´ırculo es la figura contenida entre un di´ametro y una semicircunferencia, o sea, la mitad de la circunferencia cortada por ´el. El centro del semic´ırculo es el mismo que el del c´ırculo. 19. Figuras rectil´ıneas son las contenidas entre rectas, figuras trilaterales (o tri´angulos) son las contenidas entre tres, cuadrilaterales (o cuadril´ ateros), las contenidas entre cuatro y las multilaterales (o pol´ıgonos) las contenidas entre m´as de cuatro rectas. 20. De las figuras trilaterales, un tri´ angulo equil´ atero es aquel cuyos tres lados son iguales, un tri´ angulo is´ osceles tiene dos de sus lados iguales y un tri´ angulo escaleno tiene sus tres lados desiguales. 21. Adem´as, de las figuras trilaterales, un tri´ angulo rect´ an gulo es la que tiene un ´angulo recto, un tri´ angulo obtus´ angulo la que tiene un ´angulo obtuso, y un tri´ angulo acut´ angulo la que tiene sus tres ´angulos agudos. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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22. De las figuras cuadrilaterales, un cuadrado es la que es equil´atera y sus ´angulos son rectos; un cuadrilongo es la que tiene todos sus ´angulos rectos, pero no es equil´atera; un rombo es la equil´atera pero sin ´angulos rectos, y un romboide es la que tiene sus lados y ´angulos opuestos iguales unos a otros pero no es ni equil´atera ni tiene ´angulos rectos. Los cuadril´ateros distintos de los anteriores se les llama trapecios o trapezoides seg´ un que tenga un par de lados paralelos o no tenga ninguno. 23. Rectas paralelas son las que, estando en el mismo plano prolong´andolas indefinidamente en ambos sentidos, no se cortan ni en uno ni en el otro sentido.
1.3.2.
Los Postulados
Considere los siguientes postulados: 1. Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro. 2. Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida. 3. Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia. 4. Todos los ´angulos rectos son iguales entre s´ı. 5. Si una recta que corta a otras dos forman con ´estas ´angulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortar´an del lado en que dicha suma de ´angulos sea menor que dos rectos. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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1.3.3.
Los Axiomas o nociones comunes
1. Las cosas que sean iguales a la misma cosa tambi´en son iguales entre s´ı. 2. Si a cantidades iguales se suman otras tambi´en iguales, los totales ser´an iguales. 3. Si se restan cantidades iguales de otras tambi´en iguales, los residuos ser´an iguales. 4. Las cosas que coinciden entre s´ı son iguales entre s´ı. 5. El todo es mayor que una parte.
1.3.4.
Las cuarenta y ocho proposiciones del Libro I
1. Dada una recta finita, constr´ uyase un tri´angulo equil´atero. 2. Col´oquese a partir de un punto dado (como extremo) una recta igual a otra dada. 3. Dadas dos rectas desiguales, c´ortese o sep´arese de la mayor una recta igual a la menor. 4. Si dos tri´angulos tienen dos lados de uno igual respectivamente a dos del otro y los ´angulos comprendidos por dichas parejas de rectas son iguales, tambi´en tendr´an la base de uno igual a la de otro, un tri´angulo ser´a igual al otro, los ´angulos restantes de uno ser´an iguales a los restantes del otro, respectivamente, es decir, que ser´an iguales los opuestos a lados iguales. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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5. En los tri´angulos is´osceles, los tri´angulos de la base son iguales entre s´ı, y si las rectas iguales se prolongan, los ´angulos que est´an bajo la base ser´an tambi´en iguales 6. Si en un tri´angulo dos ´angulos son iguales, los lados opuestos a los ´angulos iguales tambi´en ser´an iguales. 7. Dadas dos rectas trazadas sobre otra (a partir de sus extremos) y que se cortan en un punto, no pueden trazarse sobre la misma recta (a partir de sus extremos), y del mismo lado de ella, otras dos rectas que se corten en otro punto y que sean iguales a las anteriores respectivamente, es decir, cada una igual a la que pase por el mismo extremo. 8. Si dos tri´angulos tienen dos lados del uno iguales respectivamente a otros dos del otro, y adem´as tienen sus bases iguales, tendr´an tambi´en iguales los ´angulos opuestos a las rectas iguales. 9. Bis´equese un ´angulo rectil´ıneo dado. 10. Bis´equese una recta finita dada. 11. Tr´acese una recta perpendicularmente a otra desde un punto de ´esta. 12. Tr´acese una recta perpendicular a otra infinita dada, desde un punto que no est´e sobre esta u ´ltima. 13. Si se traza una recta sobre otra, formando ´angulo, formar´a dos ´angulos rectos o bien ´angulos cuya suma sea igual a dos ´angulos rectos. 14. Si con una recta cualquiera, y pasando por un punto sobre ella, dos rectas, que no est´en del mismo lado de la primera, forman ´angulos ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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adyacentes cuya suma sea igual a dos rectos, las dos rectas ser´an una continuaci´on de la otra constituyendo una sola recta. 15. Si dos rectas se cortan, forman ´angulos opuestos por el v´ertice iguales entre s´ı. 16. En un tri´angulo, si se prolonga uno de los lados, el ´angulo exterior es mayor que cualquiera del interior y que el opuesto. 17. En un tri´angulo dado la suma de dos ´angulos cualesquiera es menor que dos rectos. 18. En un tri´angulo, el lado mayor se opone al ´angulo mayor. 19. En un tri´angulo, el ´angulo mayor es opuesto al lado mayor. 20. En un tri´angulo, la suma de dos lados cualesquiera es mayor que el otro lado. 21. Si sobre uno de los lados de un tri´angulo, y a partir de sus extremos, se trazan dos rectas que se corten dentro del tri´angulo, la suma de las rectas as´ı trazadas ser´a menor que la suma de los dos lados restantes del tri´angulo, pero el ´angulo que comprender´an ser´a mayor. 22. Con tres rectas, que sean iguales a tres rectas dadas, constr´ uyase un tri´angulo; por tanto, es necesario que la suma de dos cualesquiera de ellas sea mayor que la restante. 23. Sobre una recta dada y con v´ertice en un punto de ella, constr´ uyase un ´angulo rectil´ıneo igual a otro dado. 24. Si dos tri´angulos tienen dos lados de uno iguales, respectivamente a dos del otro, pero uno de los ´angulos comprendidos por una de ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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las parejas de lados es mayor que el de la otra, tambi´en tendr´a la base mayor el tri´angulo de la pareja de mayor ´angulo. 25. Si dos tri´angulos tienen dos lados de uno iguales, respectivamente, a dos del otro, pero la base del primero es mayor que la del segundo, el ´angulo de la primera pareja de rectas ser´a mayor que el de la segunda. 26. Si dos tri´angulos tienen dos ´angulos de uno iguales, respectivamente, a dos del otro, y un lado igual a otro, es decir, iguales cualquiera de los lados, de uno y otro, adyacentes a los mismos ´angulos iguales, o sea, los opuestos en ambos a uno de los ´angulos iguales, tambi´en tendr´an los lados restantes del uno iguales a los lados restantes del otro y el ´angulo restante igual al ´angulo restante. 27. Si una recta que atraviesa a otras dos forma con ´estas ´angulos alternos iguales, las dos rectas ser´an paralelas. 28. Si una recta que atraviesa a otras dos forma con una de ´estas un ´angulo externo igual al interno, con la otra, del mismo lado de la transversal, o si los ´angulos internos del mismo lado de ´esta son iguales a dos rectos, las dos rectas ser´an paralelas. 29. Una recta que atraviesa a otras dos paralelas forma con ´estas ´angulos alternos iguales, un ´angulo externo igual al interno no adyacente del mismo lado de la transversal y los ´angulos internos del mismo lado de ´esta son suplementarios. 30. Las rectas paralelas a la misma recta son tambi´en paralelas entre s´ı. 31. Trazar por un punto una recta paralela a otra dada. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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32. En un tri´angulo, si se prolonga uno de los lados, el ´angulo externo formado es igual a la suma de los dos internos no adyacentes, y los tres ´angulos internos del tri´angulo suman dos rectos. 33. Las rectas que unen en la misma direcci´on los extremos de rectas iguales y paralelas son paralelas e iguales. 34. En ´areas paralelogr´amicas (o sea, encerradas en paralelogramos), los lados y los ´angulos opuestos son iguales entre s´ı y el di´ametro, o diagonal, biseca las ´areas. 35. Los paralelogramos que est´an sobre la misma base y entre las mismas paralelas, son iguales. 36. Los paralelogramos que est´an sobre bases iguales y entre las mismas paralelas son iguales. 37. Los tri´angulos que est´an sobre la misma base y entre las mismas paralelas son iguales. 38. Los tri´angulos que est´an sobre bases iguales y entre las mismas paralelas son iguales. 39. Los tri´angulos iguales que est´en sobre la misma base y al mismo lado de ellas est´an tambi´en entre las mismas paralelas. 40. Los tri´angulos iguales que est´en sobre bases iguales y al mismo lado de ellas estan tambi´en entre las mismas paralelas. 41. Si un paralelogramo tiene la base com´ un con la de un tri´angulo y ambos est´an entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del tri´angulo. 42. Construir, dentro de un ´angulo rectil´ıneo dado, un paralelogramo igual a un tri´angulo dado. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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43. En un paralelogramo, los complementos para formar paralelogramos a un lado u otro de un di´ametro, o diagonal, son iguales. 44. A una recta dada apl´ıquese, dentro de un ´angulo rectil´ıneo dado, un paralelogramo igual a un tri´angulo dado. 45. Constr´ uyase, dentro de un ´angulo rectil´ıneo dado, un paralelogramo igual a una figura rectil´ınea dada. 46. Constr´ uyase sobre una recta dada un cuadrado. 47. En tri´angulos rect´angulos el cuadrado sobre el lado opuesto al ´angulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que forman el ´angulo recto. 48. Si en un tri´angulo el cuadrado construido sobre uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados sobre los dos lados restantes del tri´angulo, el ´angulo comprendido por los dos lados restantes del tri´angulo es recto.
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Cap´ıtulo 2 Conceptos Generales A la geometr´ıa se le puede considerar como el modelo por excelencia de un sistema deductivo o de una teor´ıa axiom´ atica. Axiomatizar una teor´ıa es organizar sus resultados y proposiciones, buscando todas sus interrelaciones y tratando de establecer un equilibrio de econom´ıa, elegancia y conveniencia. En una teor´ıa axiom´atica hay que considerar los siguientes elementos: T´erminos no definidos o conceptos primitivos T´erminos definidos Proposiciones elementales o postulados Proposiciones generales o teoremas Relaciones, reglas de formaci´on y m´etodos de demostraci´on
2.1.
Conceptos Primitivos
Los conceptos primitivos o t´erminos no definidos son ciertas palabras que no se definen y de los cuales se tiene una fuerte idea intuitiva. Se 31
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introducen sin definir, con el objeto de evitar las llamadas definiciones c´ıclicas. A si por ejemplo, puede definirse: Punto: La intersecci´on de dos rectas Recta: La figura obtenida por el movimiento de un punto a lo largo del camino m´as corto entre dos puntos Se ha definido punto en t´erminos de recta y recta en t´erminos de punto, con lo cual no se ha aclarado nada acerca de la naturaleza de un punto o de una recta. En consecuencia, la u ´nica manera de evitar definiciones c´ıclicas en matem´aticas o en cualquier otra ciencia, es tomar un peque˜ no numero de palabras como no definidas.
2.2.
T´ erminos Definidos
Estos se definen usando las ideas primitivas y el vocabulario cotidiano. No es f´acil decidir cu´ales palabras deben dejarse como no definidas y cu´ales deben definirse por medio de ellas. La selecci´on final puede depender en gran parte de razones de simplicidad o elegancia.
2.2.1.
Postulados
Los postulados o axiomas son afirmaciones acerca de los t´erminos no definidos. Estas afirmaciones son proposiciones en el sentido matem´atico y se pueden relacionar libremente. Sin embargo esta selecci´on no puede ser arbitraria. Existen en realidad, unos requisitos esenciales y es que el sistema de axiomas sea: Compatible, Independiente y Completo. Un conjunto de axiomas es compatible si no hay contradicciones entre ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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ellos, ni entre los teoremas que puedan inferirse de ... si no existen en la teor´ıa una proposici´on p y su negaci´on ∼ p que sean ambos teoremas en la teor´ıa. Este es el requisito mas importante, pero el m´as dif´ıcil de satisfacer. Las matem´aticas han ideado un mecanismo practico para demostrar la compatibilidad o consistencia de un conjunto de axiomas, exhibiendo un modelo especifico cuyos elementos y relaciones sean interpretaciones particulares de los t´erminos indefinidos del sistema abstracto por el cual puede ser verificado cada uno de los axiomas. Un conjunto de axiomas es independiente si ninguno de ellos puede inferirse como una consecuencia l´ogica de los otros anteriormente establecidos. La independencia no es una condici´on l´ogicamente necesaria y solo es conveniente desde el punto de vista de la est´etica y la elegancia. El intento de los matem´aticos de demostrar la independencia del V postulado de Euclides o de las paralelas, condujo al descubrimiento de nuevas geometr´ıas, denominadas Geometr´ıas No-Euclidianas. Un conjunto de axiomas es completo si resulta imposible ampliarlo agregando uno nuevo que sea compatible con los que ya existen en el conjunto y tambi´en independiente de ellos.
2.2.2.
Teoremas
Los teoremas son proposiciones generales deducidas l´ıcitamente de los postulados ya establecidos en la teor´ıa. Toda Proposici´on que involucre los conceptos primitivos y las relaciones de una teor´ıa axiom´atica, que no sea uno de los axiomas, es, en potencia, un teorema del sistema; si se puede deducir a partir de los axiomas, es realmente un teorema. Si puede ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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demostrarse su falsedad, entonces su negaci´on es un teorema. Pero si no se puede decidir sobre la verdad o falsedad de tal proposici´on, el conjunto de axiomas no seria completo y podr´ıa completarse agregando nuevos axiomas hasta contar finalmente con los necesarios para poder aceptar o rechazar toda proposici´on que pudiera hacerse sobre los elementos del sistema. Los teoremas pueden enunciarsen de muchas formas, pero la m´as importante, porque es la mas usual, es la forma implicativa. En realidad, solo esta forma es usada para realizar derivaciones matem´aticas, porque permite deslindar el fundamento de la deducci´on con mayor claridad. El proceso deductivo puede realizarse atrav´es de otras formas, pero todas pueden reducirse a la IMPLICATIVA. En consecuencia, todo teorema consiste de dos partes: Una que establece lo que se da o conoce, llamada antecedente, dato o hip´ otesis y una parte que debe deducirse o probarse llamada consecuente, conclusion o tesis. La demostraci´on formal de un teorema en geometr´ıa consta de las siguientes partes: 1. El enunciado del teorema 2. Una figura general que ilustre el teorema 3. Una o varias proposiciones, en t´erminos de los elementos de la figura, que recoge la informaci´on de aquello que se nos pide deducir 4. Una sucesi´on de proposiciones establecidas mediante definiciones l´ogicas, axiomas aceptados y teoremas demostrados con anterioridad. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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2.3.
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M´ etodos de demostraci´ on
La demostraci´on es un razonamiento o sucesi´on de razonamientos, que prueban la validez, la falsedad o la posibilidad de un nuevo conocimiento. Cuando un conocimiento se ha demostrado, se le reconoce como v´alido y es admitido dentro de la disciplina a que corresponde. La demostraci´on es, as´ı, el enlace entre los conocimientos anteriores. Dicho enlace se hace mediante una sucesi´on finita de proposiciones, en la cual cada proposici´on es un postulado o una conclusion que se ha deducido de las proposiciones anteriores. En matem´aticas, los nuevos conocimientos se llaman teoremas y se demuestran en base a los postulados o axiomas, mediante la ejecuci´on de operaciones l´ogicas bien coordinadas. Indudablemente, no existe una manera u ´nica de demostrar un teorema en matem´aticas. Se conocen varias formas, llamadas m´etodos de demostraci´on, los cuales, son a su vez: Directos o Indirectos.
2.3.1.
Demostraci´ on directa
El m´etodo de demostraci´on directo, prueba la validez de una tesis estableciendo que ´esta es una consecuencia directa de algunos de los fundamentos de la disciplina de que se trate (postulados, definiciones o teoremas ya establecidos en el caso de la matem´atica). En ciertos casos, la consecuencia resulta directamente de los fundamentos; pero, en la mayor´ıa de los casos, entre la tesis y los fundamentos media una serie mas o menos larga de razonamientos, entre los cuales puede haber algunos ya demostrados previamente. As´ı la demostraci´on consiste en agregar algunos nuevos eslabones de una cadena de razonamientos, que deben terminar con la conclusion deseada. Por lo tanto, solamente pueden ser admitidos como nuevos eslabones de una demostraci´on, aquellas proposiciones cuya validez se encuentre probada rigurosamente por otra demostraci´on, salvo ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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el caso de que se trate de un postulado.
2.3.2.
Demostraci´ on indirecta
Ahora bien, existen varios tipos de demostraci´on indirecta: Demostraci´on por contraposici´on Demostraci´on por reducci´on al absurdo Demostraci´on por contra ejemplo El tipo de demostraci´on por contraposici´on, como su nombre lo indica, consiste en que para demostrar una proposici´on de la forma si p entonces q, se demuestra su contrareciproco si ∼ q entonces ∼ p. En este caso se construye una cadena de proposiciones que conducen de ∼ q a ∼ p, en vez de p a q, como es el caso del m´etodo directo. De esta manera, queda demostrada la validez de la proposici´on, por cuanto si ∼ q entonces ∼ p es tautol´ogicamente equivalente a si p entonces q. El tipo de demostraci´on por reducci´on al absurdo, consiste de los siguientes pasos: Introducir la negaci´on de la conclusion deseada como una premisa adicional. De esta nueva premisa, junto con las premisas dadas en la hip´otesis, deducir una contradicci´on cualquiera. Establecer la conclusion deseada como una consecuencia l´ogica, deducida de las premisas originales. Lo anterior se basa en el siguiente principio: Si de la hip´otesis de la falsedad de p, se derivan dos proposiciones contradictorias cualesquiera, entonces p es una ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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proposici´on verdadera. Simb´olicamente, este principio se expresa as´ı: [∼ p −→ (q∧ ∼ q)] −→ p
(2.1)
y se denomina ley de reducci´ on al absurdo. Veamos esquem´aticamente como operan estos pasos en una demostraci´on formal. Sea p la conjunci´on de las premisas y r la conclusi´on deseada: (1)
p
Premisa
(2) .. .
∼r .. .
Premisa adicional .. .
(n)
q∧ ∼ q
Reglas de deducci´on
(n + 1) ∼ r −→ q∧ ∼ q (n + 2)
r
Regla de deducci´on Ley de reducci´on al absurdo.
Este m´etodo de prueba se usa muy frecuentemente en geometr´ıa y otras ramas de la matem´atica, y hay un buen n´ umero de teoremas para los cuales no se ha descubierto otro m´etodo de prueba. El tipo de demostraci´on por contra-ejemplo o refutaci´on por ejemplo del contrario es conveniente cuando se trata de refutar afirmaciones con cuantificadores universales, es decir, afirmaciones de la forma: Para todo x se cumple la propiedad px. Para refutar una afirmaci´on de este tipo, se considera un valor de x para el cual la afirmaci´on es falsa, y esto indudablemente acaba con la cuesti´on. En este momento, es necesario hacer una advertencia: A pesar de que el tipo de demostraci´on por contra-ejemplo es un procedimiento v´alido, los teoremas no se pueden demostrar simplemente verific´andolos en var´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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ios casos particulares. No se deben confundir estas dos ideas.
Ejemplo 1. Hagamos la demostraci´ on del siguiente teorema: Teorema 1. Si a y b son n´ umeros pares, entonces a + b es un n´ umero par. Demostraci´on. Supongamos que a y b son numeros pares. Entonces, seg´ un la definici´on de numero par, a = 2m y b = 2n para dos enteros m y n. As´ı que, a + b = 2m + 2n = 2(m + n), por lo tanto, a + b es un n´ umero par. Este es un ejemplo de demostraci´on directa. Ejemplo 2. Demostramos ahora, el siguiente teorema Teorema 2. Si a y b son enteros positivos y ab es un n´ umero impar, entonces a y b son impares. Demostraci´on. Supongamos que a y b no son impares. Entonces, uno de ellos, digamos a, es par, a = 2m para m entero positivo. Por tanto, ab = 2mb. As´ı que, ab es un numero par. Se ha demostrado la contrareciproca. Ejemplo 3. Probaremos el siguiente teorema: Teorema 3. Si a es un n´ umero entero y a es impar, entonces a2 es impar. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Demostraci´on. Supongamos que a es impar, entonces a = 2m + 1 para m entero. a2 = (2m + 1)2 = 4m2 + 4m + 1 = 2(2m2 + 2m) + 1 Por consiguiente, concluimos que a2 es impar. Este es otro ejemplo de prueba directa. Ejemplo 4. Probar que para un cuadrado, la raz´ on: Longitud del lado Longitud de la diagonal
no se puede expresar como m/n donde m, n ∈ Z y no tiene divisor com´ un.
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Cap´ıtulo 3 ´ Rectas y Angulos Para iniciar aceptaremos que PUNTO, RECTA Y PLANO son conjuntos con infinitos puntos cada uno, pero no entraremos a definirlos, es decir, son TERMINOS PRIMITIVOS. Hablemos de ellos como seres o entes conocidos y los iremos interrelacionando. Para indicar puntos usaremos letras may´ usculas. •A
•M •X
Un punto geom´etrico no tiene dimensi´on. Una recta se representa con letra min´ uscula o con una pareja de puntos. La recta solo tiene una dimensi´on: longitud. Se extiende infinitamente en dos sentidos. Para el plano usaremos letras del alfabeto griego como α, β, γ, θ, ϕ,...etc.
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Figura 3.1: Apolonio de Perga El plano tiene dos dimensiones que se extienden infinitamente. Axioma 1. Dos puntos diferentes de un plano determinan una sola recta. Definici´ on 1. Todos los puntos de una misma recta se dice que son COLINEALES. Axioma 2. Tres puntos no colineales determinan un solo plano. Axioma 3. Dos rectas diferentes de un mismo plano, que se cortan, tiene solo un punto com´ un. Definici´ on 2. Todos los puntos de un plano se dicen coplanares. Axioma 4. Cuatro puntos no coplanares determinan el ESPACIO. Para unificar lenguaje, si un punto P pertenece a una recta r, diremos que P est´a en r o que r pasa por P . As´ı como hemos aceptado t´erminos y proposiciones (axiomas o postulados primitivos), tambi´en aceptaremos la siguiente relaci´on primitiva: ESTAR ENTRE. Decimos que el punto L est´a entre A y B o que el punto L est´a entre B y A. Esto lo escribiremos as´ı: A−L−B
´o B − L − A
Esta relaci´on tiene entre otras, las siguientes propiedades. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.2: Apolonio de Perga 1. A − L − B = B − L − A. 2. Si A − L − B, entonces no es posible que A − B − L ´o L − A − B. 3. A − L − B, ss, A 6= L 6= B 6= A. El siguiente axioma nos dice que una recta tiene infinitos puntos. Axioma 5. Dados dos puntos (distintos) A y B existen por lo tanto tres puntos X, Y, Z tales que. A−X −B Y −A−B A−B−Z Si la curva es cerrada, la relaci´on de estar entre, no se cumple, seg´ un se puede observar, ya que se puede ir de A a B, sin cruzar por L, o sea, L puede estar o no, entre A y B. Vamos ahora a definir lo que entendemos por segmento de recta. Definici´ on 3. El segmento cuyo extremo son los puntos A y B es el ↔
conjunto de los puntos de la recta AB, comprendidos entre A y B. Si A y B pertenecen al segmento, ´este se llama CERRADO. Si no pertenece ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.3: Apolonio de Perga se llama ABIERTO. AB = {X ∈ α|A − X − B
o ´
X=A
o ´
X = B}
AB = {X ∈ α|A − X − B}
Figura 3.4: Apolonio de Perga
Todos los segmentos que utilizaremos aqu´ı ser´an cerrados a menos que se especifique. Definici´ on 4. Llamamos NULO al segmento cuyos extremos coinciden. Como hemos asignado a cada punto de la recta un n´ umero real, es f´acil asignarle a un segmento una medida, la medida de su LONGITUD, que es el valor absoluto de la diferencia de los n´ umeros asignados a sus extremos. medida de AB = AB = |a − b| = |b − a|. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.5: Apolonio de Perga
Obs´ervese que un segmento lo denotamos AB, mientras que su medida ser´a simplemente AB.
3.1.
Segmentos Consecutivos:
Figura 3.6: Apolonio de Perga Son los que tienen un extremo com´ un. As´ı, son consecutivos AL y LE; en igual forma son consecutivos P Q y QR. Si dos segmentos est´an sobre una misma recta se dicen COLINEALES. Estos pueden ser consecutivos o no consecutivos. Dos segmentos colineales y consecutivos se llaman ADYACENTES. La recta sobre la cual est´a el segmento AB se llama SOPORTE.
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Figura 3.7: Apolonio de Perga Si sobre una recta se ubica un punto cualquiera M , la recta queda dividida en dos regiones llamadas SEMIRECTAS. Nosotros consideramos el punto M como perteneciente a cada semirecta. Este punto se le llama ORIGEN de la semirecta. Si una recta r se traza
Figura 3.8: Apolonio de Perga sobre un plano α, ´este queda dividido en dos regiones (tres para ser m´as precisos) llamadas SEMIPLANOS de origen r. Estos semiplanos son opuestos entre s´ı, respecto a r. Si a un segmento se le asigna un n´ umero real, se puede hablar de igualdad y desigualdad de segmentos. A la igualdad de segmentos se llama CONGRUENCIA. Decimos que dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida, La congruencia se denota: ≡ ´o ∼ =. AB ≡ CD
,ss,
AB = CD
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Figura 3.9: Apolonio de Perga Al segmento nulo se le asigna la medida CERO. Es muy f´acil para el lector demostrar el teorema siguiente: Teorema 4. La congruencia entre segmentos es una relaci´ on de equivalencia. Podemos construir segmentos congruentes con uno dado, en forma axiom´atica. Axioma 6 (Construcci´on de segmentos). Se puede construir sobre un soporte dado y a partir de un punto M , un segmento M N , congruente con un segmento dado AB.
Figura 3.10: Apolonio de Perga Esta construcci´on se hace con un comp´as, con una apertura igual a AB y a partir de M se describe un arco que corta al soporte en N . El segmento M N es congruente con AB. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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3.2.
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Punto Medio de un Segmento:
Consideremos el segmento AB, decimos que el punto T es el punto medio de AB si y solo si AT = T P y A − T − B. Si dos segmentos no son
Figura 3.11: Apolonio de Perga congruentes se denota: AB CD En el caso anterior se habla de un segmento menor que el otro (y por lo tanto de uno mayor que el otro). Como 3 < 5, no es descabellado decir que: Ahora, si el segmento AB
Figura 3.12: Apolonio de Perga mide p y el segmento CD mide q, y si p < q, se puede escribir AB < CD. Ahora podemos generalizar. Definici´ on 5. AB < CD, ss, AB < CD. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Esta desigualdad entre segmentos cumple con las mismas propiedades que la desigualdad entre n´ umeros reales y damos por sentado que el lector conoce el tema. Es claro que si AB es un segmento y X es un punto tal que A − X − B se tiene que: AB = AX + XB
y de aqu´ı
AX < AB XB < AB Este es uno de los axiomas claves en lo referente a segmentos. Axioma 7. El todo es igual a la suma de sus partes y la parte es menor que el todo. En matem´atica aparecen situaciones donde esto no siempre es cierto. La suma de segmentos goza de las propiedades de la suma de reales no negativos y por lo tanto es ASOCIATIVA, IDENTICA Y CONMUTATIVA. Si un segmento AB es mayor que CD, se puede hallar un segmento DIFERENCIA P Q, tal que AB = CD + P Q o sea AB − CD = P Q.
3.3.
Multiplicaci´ on de un Segmento por un Entero no Negativo
Aqu´ı multiplicamos n´ umeros enteros por segmentos. Esta multiplicaci´on ´ entre elementos de dos conjuntos diferentes se llama MULTIPLICACION ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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EXTERNA. Esta operaci´on es muy com´ un a la vida diaria, cuando compramos varias libras de un mismo articulo, o metros de la misma tela o pagamos la entrada a un cine, cuando vamos con la familia. Si un segmento se multiplica por cero, se convierte en el segmento nulo. Igual sucede si multiplicamos un n´ umero por el segmento nulo. Al multiplicar un segmento por el entero (1), este no sufre cambio alguno. Los dem´as enteros dilatan el segmento, tantas veces como indica el entero. Como por ejemplo:
Figura 3.13: Apolonio de Perga
3.4.
Divisi´ on de un Segmento en Partes Iguales
Queremos dividir AB en 5 partes iguales. Se procede as´ı: Se traza otro
Figura 3.14: Apolonio de Perga segmento por A (o por B), como se observa en la figura. Se miden 5 ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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segmentos iguales. Se une M con B y se trazan paralelas por los puntos de divisi´on C, D, E, F . Estas dividen a AB en 5 partes iguales.
3.5.
Posici´ on de Dos Rectas
Figura 3.15: Apolonio de Perga Dos rectas (distintas) de un mismo plano se dicen COPLANARES. Ellas son PARALELAS (distintas) si no tienen puntos comunes. Esta relaci´on se denota as´ı k.
3.6.
Concurrentes, Incidentes o Secantes
Son dos rectas coplanares con un solo punto en com´ un.
Figura 3.16: Apolonio de Perga
´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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3.7.
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Coincidentes
Son dos rectas coplanares con dos puntos (y por consiguiente todos) comunes.
Figura 3.17: Apolonio de Perga
3.8.
Regiones Simples y No Simples
Figura 3.18: Apolonio de Perga He aqu´ı varias l´ıneas. Las que no se entre cruzan, como g), c), f), e), d) se llaman simples; las que se entrecruzan se llaman no simples a), b). Si uno parte de un punto y puede recorrer toda la linea, pudiendo siempre llegar al punto de donde parti´o, estas l´ıneas se llaman CERRADAS; si esto no siempre es posible las l´ıneas se llaman ABIERTAS. En la gr´afica anterior son cerradas b), c), e), g) y abiertas a), d), f). ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.19: Apolonio de Perga
3.9.
Interior y Exterior
Figura 3.20: Apolonio de Perga Observando la line cerrada simple, dibujada en el plano α vemos que el plano, se divide en dos grandes conjuntos de puntos: Los que est´an dentro de la curva y los que est´an fuera. Los puntos dentro de la curva constituyen el INTERIOR y los que est´an fuera el EXTERIOR. Los puntos de la curva o mejor, la curva se llama FRONTERA. Los conjuntos interior y exterior se llaman REGIONES. Definici´ on 6 (Region plana). Cualquier porci´ on de plano limitada por una curva cerrada, es una region plana. En la regi´ on plana se incluyen el interior y la frontera. He aqu´ı cuatro regiones planas. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.21: Apolonio de Perga
Figura 3.22: Apolonio de Perga
3.10.
Regiones Convexas y Concavas
En las regiones planas a) y c) siempre que deseemos unir dos puntos de su interior, a trav´es de un segmento de rectas, vemos que los puntos (todos) del segmento pertenecen a la regi´on, o sea, que el segmento est´a todo contenido en la regi´on; as´ı: MN ⊂ a PQ ⊂ c Esto siempre es posible en las regiones b) y d), ya que como se observa. XY
* b
AB * d Definici´ on 7. Una regi´on plana es CONVEXA si dados dos puntos de ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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ella, el segmento de recta que los une, est´ a todo contenido en la regi´ on. En caso contrario la regi´on se llama CONCAVA. Teorema 5. La intersecci´on de dos regiones planas convexas es una regi´on convexa. Demostraci´ on 1. Sean a y b dos regiones planas convexas y P y Q dos puntos de a ∩ b. P ∈a∩b y Q∈a∩b P ∈ a, y, P ∈ b, y, Q ∈ a, y, Q ∈ b P ∈ a, y, Q ∈ a, y, P ∈ b, y, Q ∈ b P Q ⊂ a, y, P Q ⊂ b
a y b son convexas
P Q ⊂ (a ∩ b) Teorema 6. Todo plano es una regi´ on convexa. Axioma 8 (De separaci´on en el plano). Una recta divide el plano en dos semiplanos (sin incluir la recta) tales que: i) Los semiplanos son convexos. ii) Todo punto de un semiplano se une con un punto cualquiera del otro semiplano, por un segmento que encuentra a la recta.
3.11.
´ Angulos
´ Existen muchas maneras de definir lo que es un ANGULO. Aqu´ı usaremos una de las tantas definiciones. Definici´ on 8. La reuni´on de dos semirectas coplanares con el mismo origen se llama ´angulo. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.23: Apolonio de Perga
Figura 3.24: Apolonio de Perga
Figura 3.25: Apolonio de Perga Las semirectas AB y AC se llaman LADOS del ´ angulo, y el punto se llama v´ ertice. El ´angulo de v´ertice A y lados AB y AC se representa: ˆ = B AC ˆ ∠BAC = ∠CAB = C AB ˆ y si no hay peligro de confusi´on A.
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La regi´on β comprendida entre los lados del ´angulo se lama INTERIOR del ´angulo, el resto del plano α (sin el ´angulo) se llama el EXTEˆ con su interior se llama REGION ´ RIOR del ´angulo. El ´angulo B AC, ANGULAR.
3.11.1.
Medida Angular
Al igual que con los segmentos, a cada ´angulo se le asigna un valor num´erico. Es la medida de su amplitud. Este n´ umero se llama su MEDIDA y, generalmente se da en grados. Definici´ on 9. Dos ´angulos que tienen la misma medida se llaman CONGRUENTES. ˆ escribiremos: Si α ˆ es congruente con β, α ˆ∼ = βˆ Teorema 7. La congruencia angular es una relaci´ on de equivalencia. Definici´ on 10 (Bisectriz). La recta que cruza por el origen de un ´ angulo y lo divide en dos ´angulos congruentes se llama BISECTRIZ del angulo. ´
Figura 3.26: Apolonio de Perga ˆ si y solo si ABD ˆ ∼ ˆ BD es bisectriz de ABC = C BD ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.27: Apolonio de Perga
Axioma 9 (Construcci´on de ´angulos). Sea α un plano y OA una recta que lo divide. Sea k un n´ umero entre 0 y 180. Entonces existe una −−→ ˆ = semirecta u ´nica OB, en elsemiplano que contiene a B, tal que m AOB k
Figura 3.28: Apolonio de Perga
Figura 3.29: Apolonio de Perga ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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ˆ Entonces tenemos lo siguiente: D es un punto interior al ´angulo ABC. ˆ ˆ + m DBC ˆ m ABC = m ABD ˆ ˆ m ABC > m ABD ˆ ˆ m ABC > m DBC ˆ − m ABD ˆ ˆ m ABC = m DBC ˆ − m DBC ˆ ˆ m ABC = m ABD La suma y la desigualdad de ´angulos tienen las mismas propiedades que la suma y la desigualdad entre n´ umeros reales no negativos. mˆ α − mβˆ
3.11.2.
est´a permitida si
mˆ α ≥ mβˆ
´ Clases de Angulos
´ Definici´ on 11 (Angulo nulo). Sus lados coinciden. Su amplitud es nula.
Figura 3.30: Apolonio de Perga
´ Definici´ on 12 (Angulo llano). Sus lados est´ an en semirectas opuestas respecto del v´ertice. ´ Definici´ on 13 (Angulo completo). Es el que tiene la amplitud de una vuelta. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.31: Apolonio de Perga
Figura 3.32: Apolonio de Perga ´ Definici´ on 14 (Angulo recto). Su medida es igual a la mitad de la de un ´angulo llano.
Figura 3.33: Apolonio de Perga
´ Definici´ on 15 (Angulo agudo). Su medida es mayor que la de un ´ angulo nulo y menor que la de un ´angulo recto. ´ Definici´ on 16 (Angulo obtuso). Su medida es mayor que la de un ´ angulo recto y menor que la de un ´angulo llano. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.34: Apolonio de Perga
Figura 3.35: Apolonio de Perga ´ Definici´ on 17 (Angulo adyacente). Son los que tienen un lado y el v´ertice com´ un y los otros dos lados est´ an en semiplanos opuestos respecto del lado com´ un.
Figura 3.36: Apolonio de Perga
´ Definici´ on 18 (Angulos complementarios). La suma de sus medidas es igual a la de un ´angulo recto. No necesariamente son adyacentes. ´ Definici´ on 19 (Angulo suplementarios). La suma de sus medidas es igual a la de un ´angulo llano. No necesariamente son adyacentes. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.37: Apolonio de Perga
Figura 3.38: Apolonio de Perga ´ Definici´ on 20 (Angulos opuestos por el v´ertice). Son dos no adyacentes formados por dos rectas que se cortan en un punto (v´ertice).
Figura 3.39: Apolonio de Perga
´ Definici´ on 21 (Angulos colineales). Son adyacentes y suplementarios. Tambi´en se les llama PAR LINEAL. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.40: Apolonio de Perga
3.11.3.
Sistemas de Medida Angular
Existen infinitos sistemas de medida angular. Es muy sencillo construir uno. Para eso se toma el ´angulo completo o de una vuelta y se divide en un n´ umero arbitrario de partes (´angulos) congruentes. Cada una de esas partes se llama GRADO. Si es necesario, cada grado se vuelve a dividir en partes iguales, obteniendo as´ı subm´ ultiplos del grado. El sistema de medida angular mas conocido es el SEXAGECIMAL, que divide al ´angulo de una vuelta en 360 grados, cada grado se divide a su vez en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. En este sistema, para indicar que un ´angulo mide 16 grados, 20 minutos y 45 segundos se escribe: 16°20’45”. Otro sistema, muy usado en la marina y la aviaci´on es el CENTECIMAL que divide al ´angulo completo en 400 grados; cada grado en 100 minutos y el minuto en 100 segundos. Existe un sistema especial cuya unidad angular recibe el nombre de RADIAN. Este sistema se llama CICLICO o RADIAN, y divide al ´angulo de una vuelta en 2π partes (radianes).
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Un radi´an es la medida del ´angulo central en una circunferencia cuyos lados interceptan un arco cuya longitud es igual al radio. 1 radi´an mide
Figura 3.41: Apolonio de Perga
aproximadamente 57°17’48,8” Sexagecimales. 1° sexagecimal es aproximadamente 0,0174533 radianes.
3.11.4.
Conversi´ on de un Sistema a Otro
Sup´ongase que alguien nos dice: Este ´angulo mide
17 π 12
grados sexagecimales son?. Resolvemos el problema as´ı: 2π radianes = 360° sexagecimales 17 π radianes = X 12 Planteada la proposici´on tenemos: 2π radianes 360° sg = 17 X π 12 ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
radi´an. Cuantos
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Entonces X =
360° sg × 17π 2π × 12
X = 255° sg Veamos otro ejemplo: Convertir 100° centesimales a radianes. 2π radianes = 400° centesimales
X = 100° centesimales
X =
100° × 2π radianes 400°
X =
π radianes 2
En este trabajo cuando hablemos de grados sexagecimales, lo haremos sin colocar el peque˜ no cero. As´ı 30° = 30 ; 28° = 28. Un ´angulo recto mide 90. Para el desarrollo de nuestro trabajo aceptamos como axiomas los siguientes: Axioma 10. Todos los ´angulos rectos son congruentes. Axioma 11. Los complementos (suplementos) de un mismo ´ angulo o de angulos congruentes, son congruentes. ´ Como consecuencia inmediata de este axioma se tiene el teorema siguiente: Teorema 8. Los ´angulos opuestos por el v´ertice son congruentes. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.42: Apolonio de Perga
Figura 3.43: Apolonio de Perga
α ˆ∼ = βˆ
Axioma 12. Dos ´angulos adyacentes cuyos lados no comunes forman un ´angulo llano, son suplementarios.
3.12.
Rectas Perpendiculares y Paralelas
Por uno de los axiomas anteriores, sabemos que si dos rectas distintas de un plano se cortan, lo hacen en un solo punto. Dentro de las multiples posiciones de dos rectas secantes, hay una donde se forma un ´angulo recto. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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3.13.
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Rectas Perpendiculares y Paralelas
Por uno de los axiomas anteriores, sabemos que si dos rectas distintas de un plano se cortan, lo hacen en un solo punto. Dentro de las multiples posiciones de dos rectas secantes, hay una donde se forma un ´angulo recto. Definici´ on 22. Dos rectas coplanares secantes que forman un ´ angulo recto se llaman PERPENDICULARES. Si a es perpendicular a b, se escribe a ⊥ b.
Figura 3.44: Apolonio de Perga
Definici´ on 23. Dos rectas distintas secantes que no son perpendiculares se llaman INCLINADAS u OBLICUAS. Teorema 9. Si dos rectas son perpendiculares forman dos ´ angulos rectos. Teorema 10. Si dos rectas son perpendiculares forman tres ´ angulos rectos. Teorema 11. Si dos rectas son perpendiculares forman cuatro ´ angulos rectos. Para mostrar un ejemplo de prueba indirecta, haremos la demostraci´on del siguiente teorema sobre perpendiculares. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Teorema 12. Por un punto de una recta pasa una y solo una recta perpendicular a la recta dada. Demostraci´on.
1. Pasa por lo menos una. Esto es inmediato si por el
punto P dado de una recta r se construye un ´angulo recto.
Figura 3.45: Apolonio de Perga
2. La recta t perpendicular a r en el punto P , es u ´nica. Aqu´ı aparece la forma indirecta. Se supone que existe otra recta distinta de t, que cruza por P y es perpendicular a r Es claro que APˆ C ∼ = APˆ B
Figura 3.46: Apolonio de Perga (axioma: todos los ´angulos rectos son congruentes) y por tanto mAPˆ C = mAPˆ B. Ahora por el axioma de construcci´on de ´angulos, al ser B un punto interior del ´angulo APˆ C tenemos que: mAPˆ C > mAPˆ B ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Pero esto, claramente, es una contradicci´on ya que es imposible que: mAPˆ C = mAPˆ B y mAPˆ C > mAPˆ B Lo anterior nos obliga a concluir que existe una recta u ´nica que cruza por P y es perpendicular a r. Corolario 1. Dada una recta r y un punto exterior k. Por ese punto puede bajarse una y solo una perpendicular a la recta r.
Figura 3.47: Apolonio de Perga Si se traza por k una paralela a r y se usa el teorema anterior, se demuestra el corolario. Corolario 2. Ning´ un tri´angulo tiene dos ´ angulos rectos.
Figura 3.48: Apolonio de Perga
´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
70
3.13.1.
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Distancia de un Punto a una Recta
Se llama distancia de un punto a una recta, la medida del segmento perpendicular a la recta. A veces se llama distancia (por abuso del lenguaje) al segmento de perpendicular entre el punto y la recta.
Figura 3.49: Apolonio de Perga
3.13.2.
Mediatriz de un Segmento
Definici´ on 24. Es la recta perpendicular al segmento en su punto medio. Si AM = M B y l ⊥ AB, entonces l es la mediatriz de AB.
Figura 3.50: Apolonio de Perga
Teorema 13. Todo punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento. La demostraci´on de este teorema se har´ a mas adelante. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.51: Apolonio de Perga
3.13.3.
Rectas Paralelas
Hemos dicho que dos rectas distintas coplanares son paralelas cuando no se cortan; pero ahora vamos a dar otra definici´on usando el concepto de distancia de un punto a una recta. Definici´ on 25. Dos rectas de un plano son PARALELAS cuando conservan siempre entre si la misma DISTANCIA.
Figura 3.52: Apolonio de Perga Ahora, si dos rectas coinciden, su distancia es siempre cero y por tanto se puede aceptar que toda recta es paralela consigo misma. Es ahora muy f´acil para el lector demostrar el teorema siguiente. Teorema 14. El paralelismo entre rectas es una relaci´ on de equivalencia. Otra manera de caracterizar dos rectas paralelas es la relaci´on de los ´angulos que forman con otra recta que las corte (transversal). ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.53: Apolonio de Perga
3.14.
´ Angulos entre dos Rectas y una Transversal
Una transversal forma con dos retas ocho ´angulos principales. Los que est´an fuera de las rectas se llaman EXTERNOS y los que est´an entre las ˆ 2, ˆ 7, ˆ 8ˆ Externos rectas, INTERNOS. 1,
Figura 3.54: Apolonio de Perga
ˆ3, ˆ4, ˆ5, ˆ6 Internos Si dos ´angulos est´an a lado y lado de la secante, sin ser consecutivos ni opuestos por el v´ertice, se llaman ALTERNOS. ˆ4, ˆ5 son ALTERNOS INTERNOS. ˆ1, ˆ8 son ALTERNOS EXTERNOS. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Se llaman ´angulos CORRESPONDIENTES dos que est´an al mismo
Figura 3.55: Apolonio de Perga lado de la transversal sin ser consecutivos, uno interno y otro externo. ˆ4 y ˆ8 son correspondientes. CONJUGADOS INTERNOS Son dos internos, del mismo lado de la secante. ˆ4 y ˆ6 son conjugados internos. CONJUGADOS EXTERNOS son dos externos, del mismo lado de la secante. ˆ1 y ˆ7 son conjugados externos. Axioma 13 (DE las paralelas). Por un punto exterior a una recta se pueda trazar una y solo una paralela a la recta dada.
Figura 3.56: Apolonio de Perga Vamos a presentar ahora un axioma que caracteriza a dos rectas paralelas. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Axioma 14. Dos rectas coplanares cortadas por una transversal son paralelas si y solo si Dos ´angulos alternos internos son congruentes.
Figura 3.57: Apolonio de Perga [37].
ˆ5 ∼ = ˆ4 ⇔ x k y Dos ´angulos alternos externos son congruentes.
Figura 3.58: Apolonio de Perga
ˆ2 ∼ = ˆ7 ⇔ x k y ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
75
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Dos ´angulos correspondientes son congruentes.
Figura 3.59: Apolonio de Perga
ˆ4 ∼ = ˆ8 ⇔ x k y Dos ´angulos conjugados internos son suplementarios.
Figura 3.60: Apolonio de Perga
mˆ3 + mˆ5 = 180 ⇔ x k y
Dos ´angulos conjugados externos son suplementarios. mˆ1 + mˆ7 = 180 ⇔ x k y
Como una consecuencia casi inmediata tenemos los tres teoremas siguientes: ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.61: Apolonio de Perga Teorema 15. Dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre s´ı. x ⊥ z, f, y ⊥ z ⇒ x k y
Figura 3.62: Apolonio de Perga Teorema 16. Si dos rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas, es perpendicular a la otra. x k y, f, z ⊥ y ⇒ z ⊥ x Teorema 17. Dos ´angulos de lados paralelos (o perpendiculares) son congruentes o suplementarios.
3.15.
´ Medida de los Angulos de un Trapecio
Teorema 18. En cualquier tri´ angulo, la suma de las medidas de sus angulos interiores, es 180. ´ ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.63: Apolonio de Perga
Figura 3.64: Apolonio de Perga Demostraci´on.
1. P CK k AB por C Axioma de las paralelas y con-
strucci´on. ˆ = 180 Angulo ´ 2. mP CK llano. ˆ + mβˆ = 180 Axioma del todo igual a la suma de sus 3. mˆ α + mACB partes. ˆ Alternos internos entre paralelas. 4. α ˆ∼ = Aˆ ; βˆ ∼ =B ˆ + mCˆ = 180 Sustituci´on. 5. mAˆ + mB
Corolario 3. Un tri´angulo no puede tener m´ as de un ´ angulo obtuso (recto). Corolario 4. Si dos ´angulos de un tri´ angulo son respectivamente congruentes a dos ´angulos de otro tri´ angulo, los terceros ´ angulos son congruentes. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Corolario 5. Los ´angulos agudos de un tri´ angulo rect´ angulo son complementarios. Corolario 6. Cada ´angulo de un tri´ angulo equil´ atero mide 60. Teorema 19. El ´angulo externo de un tri´ angulo tiene una medida igual a la suma de las medidas de los ´ angulos interiores no adyacentes.
Figura 3.65: Apolonio de Perga
3.16.
Ejercicios
Ejercicio 1. ¿Cuantas rectas determinan tres puntos no colineales? Ejercicio 2. ¿Cuantas rectas determinan tres puntos colineales? Ejercicio 3. ¿Cuantos planos est´ an determinados por cuatro puntos no coplanares? Analizar todas las posibilidades. Ejercicio 4. Dados tres puntos A, B, C de una recta, ¿Cu´ antos segmentos determinan? Ejercicio 5. Si AB = M N , EF = CD, M N < CD, P Q = AB. ¿ Que relaci´on hay entre P Q y EF ? Ejercicio 6. Dados A, B, C no colineales, determinar mediante una regla, que cada uno de los segmentos determinados por ellos es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Ejercicio 7. Demostrar que la congruencia entre segmentos es una relaci´ on de equivalencia. Ejercicio 8. Sean A, B, C, D cuatro puntos de una recta. Sea M el punto medio de AB y N el punto medio de CD. Demostrar que si C y D son exteriores al segmento AB, M N es mayor que la suma de las mitades de AB y CD. Ejercicio 9. Dibujar los segmentos AB = 2, 5 cm; CD = 4 cm; EF = 3 cm y sumarlos gr´aficamente. Ejercicio 10. Multiplicar gr´ aficamente 4 por el segmento AB sabiendo que AB = 2 cm. Ejercicio 11. Dibujar AB = 8 cm y CD = 5 cm y efectuar gr´ aficamente AB − CD. Ejercicio 12. Si B es el punto medio de AD y C es el punto medio de BD y mAD = 20 cm; hallar AB, BC, CD. Ejercicio 13. Si AM = 15 cm, dividirlo gr´ aficamente en 5 partes congruentes. Ejercicio 14. Si AB = DE = 2CD; BC = AB +1; AE = 50 cm, hallar AB, BC, CD, DE. Ejercicio 15. Trazar un segmento AB de 7,2 cm. Prolongarlo desde A hacia la izquierda 1/4 de AB, y desde B hacia la derecha 1/6 de AB. ¿Cu´al es la longitud del nuevo segmento?. Ejercicio 16. Dibujar: a) Cuatro l´ıneas simples. b) Cuatro l´ıneas no simples. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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c) Cuatro abiertas simples. d) Cuatro abiertas no simples. e) Cuatro cerradas simples. f ) Cuatro cerradas no simples. g) Cuatro regiones convexas. h) Cuatro regiones c´oncavas. Ejercicio 17. Demostrar que todo plano es una regi´ on convexa. Ejercicio 18. Demostrar que la congruencia entre ´ angulos es una relaci´ on de equivalencia. Ejercicio 19. Considerar el ´ angulo α ˆ . Construir:
Figura 3.66: Apolonio de Perga
Un ´angulo congruente con α ˆ. El complemento de α ˆ. El suplemento de α ˆ. Un ´angulo que sea la mitad de α ˆ. Un ´angulo que sea el triple de α ˆ. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Ejercicio 20. Construir con regla y comp´ as un ´ angulo de: 45° 135° 22°30’ Ejercicio 21. Considerar los ´ angulos α ˆ y βˆ dados. Construir:
Figura 3.67: Apolonio de Perga ˆ Un ´angulo igual a α ˆ + β. ˆ Un ´angulo igual a α ˆ − β. Un ´angulo igual a
ˆ 3(ˆ α − β) 2
Ejercicio 22. Expresar en el sistema sexagesimal: a) 3,14 radianes. b)
3π radianes. 2
c)
4π radianes. 5
d) 9,42 radianes. Ejercicio 23. Expresar en grados centesimales: a)
2π radianes. 3 ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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b) 150° sexagesimales. c) 90° sexagesimales. d)
π radianes. 2
e) 3,14 radianes. Ejercicio 24. Expresar en radianes: a) 45° sexagesimales. b) 100° centesimales. c) 75° sexagesimales. d) 135° sexagesimales. e) 260° centesimales. Ejercicio 25. Un ´angulo mide el triple de su suplemento. Calcular su valor. Ejercicio 26. Un ´angulo mide el triple de su complemento. Calcular su valor. Ejercicio 27. Dos rectas que se cortan determinan un ´ angulo de 35°45’centesimales. Calcular el valor de cada uno de los ´ angulos restantes. Ejercicio 28. Hallar el complemento y el suplemento (en grados sexagesimales) de: a) 17° b) 89°53’29” c) 48° ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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e) 1°47’12” Ejercicio 29. Cu´antos grados forman las agujas del reloj cuando son: a) las 2. b) las 5. Ejercicio 30. La Tierra da una vuelta sobre su eje en 24 horas. ¿Cuantos grados describe en 3 horas? Cuantos kil´ometros ha girado si un grado equivale a 111,111 kil´ ometros?. Ejercicio 31. Plantear una ecuaci´ on y resolver: a) Dos ´angulos son suplementarios, uno mide el triple del otro, m´ as 60. b) Dos ´angulos son complementarios, uno mide la mitad del otro, m´ as 30. ˆ Ejercicio 32. ¿Cu´anto mide cada ´ angulo, si mYˆ = 3mX?.
Figura 3.68: Apolonio de Perga
Ejercicio 33. Construir dos ´ angulos adyacentes complementarios y hallar el valor del ´angulo formado por sus bisectrices. Ejercicio 34. Demostrar que el paralelismo entre rectas es una relaci´ on de equivalencia. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 3.69: Apolonio de Perga Ejercicio 35. En la figura AB, F C, ED son perpendiculares a BD, sabiendo que mˆ1 = 60 y mˆ5 = 20; hallar mˆ2; mˆ3; mˆ4; mˆ6. Ejercicio 36. Si AB k DF y ˆ2 ∼ anto miden ˆ1, ˆ2, ˆ3 y = ˆ3 y mˆ4 = 40, ¿Cu´ ˆ5, ˆ6, ˆ7?
Figura 3.70: Apolonio de Perga
Ejercicio 37. Demostrar que si en un tri´ angulo, un ´ angulo interno es igual a la suma de los otro dos, el tri´ angulo es rect´ angulo. Ejercicio 38. Demostrar que si dos rectas son perpendiculares, forman: a) Dos ´angulos rectos. b) Tres ´angulos rectos. c) Cuatro ´angulos rectos. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Ejercicio 39. Demostrar que ning´ un tri´ angulo puede tener dos ´ angulos ´ ´ rectos (EXISTEN OTRAS GEOMETRIAS DONDE UN TRIANGULO ´ SI PUEDE TENER DOS ANGULOS RECTOS. AVERIGUAR). Ejercicio 40. Demostrar que si dos rectas son perpendiculares a una tercera,son paralelas entre s´ı. Ejercicio 41. Demostrar que si dos rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas, tambi´en lo es a la otra. Ejercicio 42. Demostrar que dos ´ angulos de lados paralelos o perpendiculares, son congruentes o suplementarios. ˆ yB ˆ∼ ˆ Ejercicio 43. Si Aˆ ∼ =X = Yˆ , demostrar que Cˆ ∼ = Z.
Figura 3.71: Apolonio de Perga ˆ demostrar que Aˆ y Cˆ son Ejercicio 44. Si 4ABC es rect´ angulo en B, complementarios. Ejercicio 45. El tri´angulo ABC es equil´ atero. Demostrar que cada ´ angulo interior mide 60.
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Cap´ıtulo 4 Pol´ıgonos Los pol´ıgonos se nos presentan en muchos objetos naturales y en otros construidos por el hombre. Percibimos pol´ıgonos en las puertas y ventanas de nuestras casas, en los edificios de nuestras ciudades, en el azulejo de nuestros pisos y paredes, en las secci´on recta de un panal de abejas, en la red de una tela de ara˜ na, etc.
4.1.
Conceptos B´ asicos
Definici´ on 26. Un pol´ıgono es un conjunto de puntos, el cual es la uni´ on de segmentos tales que: 1. Cada punto extremo es el punto extremo de precisamente dos segmentos. 2. Ning´ un par de segmentos se intersecta excepto en un punto extremo y, 3. Ning´ un par de segmentos con el mismo punto extremo son colineales. 87
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Los segmentos que forman el pol´ıgono se llaman lados de ´este. Los puntos extremos de los lados se llaman v´ertices del pol´ıgono y ´estos son tambi´en v´ertices de los ´angulos del pol´ıgono. Lados adyacentes del pol´ıgono son aquellos pares de lados que tienen un v´ertice com´ un. Los segmentos que unen dos v´ertices no consecutivos de un pol´ıgono se llaman diagonales. Si un pol´ıgono tiene n v´ertices, desde cada v´ertice se pueden trazar n − 3 diagonales y desde los n v´ertices, n(n − 3) diagonales. Pero cada diagon(n − 3) nal pasa por dos v´ertices, luego en un pol´ıgono de n lados hay 2 diagonales. Un ´angulo exterior de un pol´ıgono es un ´angulo que es adyacente y suplementario a un ´angulo del pol´ıgono. Ejemplo 5. Las siguientes figuras son pol´ıgonos.
Figura 4.1: Ejemplos de poligonos Ejemplo 6. Las siguientes figuras no son pol´ıgonos. Ejemplo 7. En el pol´ıgono ABCDEF de abajo AB, BC, CD, DE, EF y
F A son lados del pol´ıgono; A, B, C, D, E y F son v´ertices; ∠F AB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDE, ∠DE ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 4.2: Ejemplos de poligonos
y ∠EF A son ´angulos del pol´ıgono; AC, AD y F C son tres diagonales del pol´ıgono; AB y BC son los lados adyacentes. ∠HAF es un ´ angulo exterior del pol´ıgono.
Figura 4.3: Elementos de un pol´ıgono
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4.1.1.
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Clases de Pol´ıgonos
Los pol´ıgonos se pueden denominar de acuerdo al n´ umero de lados. El pol´ıgono de menor n´ umero de lados (3 lados) es el tri´angulo; el de cuatro lados, se llama cuadril´atero; el de cinco, pent´agono; el de seis, hex´agono; el de siete, hept´agono; el de ocho, oct´agono; el de nueve, non´agono; el de diez, dec´agono. En general un pol´ıgono de n lados se llama n-´agono. Para valores de n > 10, los pol´ıgonos tienen tambi´en nombres especiales derivados del griego, pero estos raras veces se utilizan. Definici´ on 27. Un pol´ıgono es convexo, si ning´ un par de sus puntos est´ a a lados opuestos de una recta que contenga un lado del pol´ıgono.
Figura 4.4: Pol´ıgono Ejemplo 8. Definici´ on 28. Un pol´ıgono es equil´ atero si todos sus lados son congruentes. Un pol´ıgono es equi´angulo si todos sus ´angulos son congruentes.
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Un pol´ıgono convexo es regular si es equil´atero y equi´angulo. El per´ımetro P de un pol´ıgono es la suma de las longitude de todos los lados del pol´ıgono. Ejemplo 9. El tri´angulo equil´ atero y el cuadrado son pol´ıgonos regulares.
Figura 4.5: Pol´ıgonos: Tri´angulo equil´atero y cuadrado
4.2.
El Tri´ angulo
El tri´angulo es el m´as simple de todos los pol´ıgonos, pero el m´as importante, puesto que de su estudio y an´alisis derivaremos casi la totalidad de las propiedades de los pol´ıgonos. En esta secci´on haremos un estudio detallado y pormenorizado de la congruencia y semejanza de tri´angulos y de sus aplicaciones a problemas que se nos presentan en algunas ramas de la ingenier´ıa, como tambi´en en el quehacer cotidiano.
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Los tri´angulos se pueden clasificar conforme a sus lados y a sus ´angulos. Respecto a sus lados, el tri´angulo puede ser: equil´atero, si sus tres lados son congruentes; is´osceles, si tiene dos lados congruentes; y escaleno, si ning´ un par de lados son congruentes. Respecto a sus ´angulos, el tri´angulo puede ser rect´angulo, si tiene un ´angulo recto; equi´angulo, si tiene sus tres ´angulos congruentes; acut´angulo, si tiene sus tres ´angulos agudos; y obtus´angulo, si tiene un ´angulo obtuso. En un tri´angulo rect´angulo, los lados que forman el ´angulo recto se llaman catetos y el lado que se opone a ´este, se llama hipotenusa.
Figura 4.6: Tri´angulos Existen algunas rectas importantes relacionadas con los tri´angulos. Estas son: Altura, Mediana, Bisectriz y Mediatriz. Definici´ on 29. Una altura de un tri´ angulo, es el segmento perpendicular que une uno de los v´ertices con la recta que contiene al lado opuesto. Todo tri´ angulo tiene tres alturas. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 4.7: Tri´angulos Definici´ on 30. Una mediana de un tri´ angulo, es el segmento que une uno de los v´ertices, con el punto medio del lado opuesto. Todo tri´ angulo tiene tres medianas. La intersecci´ on de las tres medianas se conoce como baricentro. Definici´ on 31. Una Bisectriz de un tri´ angulo, es un segmento que es bisectriz de uno de sus ´angulos. Todo tri´ angulo tiene tres bisectrices. La intersecci´on de las tres bisectrices se conoce como incentro. Definici´ on 32. Una Mediatriz de un tri´ angulo, es una mediatriz de cualquiera de sus lados. Todo tri´ angulo tri´ angulo tiene tres mediatrices.
4.3.
Congruencia de Tri´ angulos
La congruencia es uno de los primeros conceptos establecidos en geometr´ıa con el prop´osito de designar igual forma y tama˜ no. As´ı, por ejemplo ning´ un tri´angulo puede ser congruente con un cuadrado, aun cuando tengan la misma ´area. La idea de congruencia, sugiere entonces ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 4.8: Tri´angulos
Figura 4.9: Tri´angulos
un movimiento que permita superponer una figura sobre la otra, de manera que las partes correspondientes coincidan. Este movimiento se hace estableciendo una correspondencia biun´ıvoca entre los v´ertices de las figuras dadas y ´esta a su vez induce una correspondencia entre los lados y los ´angulos. Por ejemplo, los dos tri´angulos representados a continuaci´on son congruentes. Para verificarlo, basta colocar el 4ABC sobre el 4DEF ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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de manera que coincidan en todas sus partes. El lector puede comprobar esta coincidencia colocando A sobre D, B sobre E y C sobre F . Podemos denotar esta correspondencia as´ı: A ↔ D, B ↔ E y C ↔ F o m´as brevemente, ABC ↔ DEF . En este u ´ltimo caso se sobrentiende que la
Figura 4.10: Tri´angulos primera letra de la izquierda corresponde a la primera letra de la derecha, la segunda corresponde a la segunda, y la tercera corresponde a la tercera, seg´ un indicamos a continuaci´on: Si bajo una cierta correspondencia entre los v´ertices de dos tri´angulos, estos coinciden en todas sus partes, diremos que la correspondencia es una congruencia y la denotaremos as´ı: 4ABC ∼ = 4DEF Con mas precisi´on tenemos lo siguiente: Definici´ on 33. Dados 4ABC, 4DEF y la correspondencia ABC ↔ DEF entre sus v´ertices. Si cada par de lados y de ´ angulos correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia es una congruencia y escribiremos: 4ABC ∼ = 4DEF ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 4.11: Tri´angulos
Figura 4.12: Tri´angulos
La definici´on, exige la congruencia de los tres pares de lados y de los tres pares de ´angulos correspondientes bajo la correspondencia dada, es decir, ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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se requiere la congruencia de los seis pares siguientes: AB ∼ = DF BC ∼ = EF
∠A ∼ = ∠D y
AC ∼ = DF
∠B ∼ = ∠E ∠C ∼ = ∠F
Sin embargo, puede demostrarse, que s´olo se requieren tres partes correspondientes, pero no tres cualquiera como veremos. Estableceremos ahora los cuatro criterios b´asicos de la congruencia de tri´angulos y usaremos ciertas abreviaciones o f´ormulas nemot´ecnicas para recordarlos con facilidad. El primero de estos criterios es: Dada una correspondencia entre los v´ertices de dos tri´angulos (o entre un tri´angulo y si mismo). Teorema 20 (Teorema L.A.L). Si dos lados y el ´ angulo incluido del primer tri´angulo son congruentes a las partes correspondientes del segundo, entonces los tri´angulos son congruentes. As´ı por ejemplo, dados 4ABC, 4DEF y la correspondencia ABC ↔ DEF . Si AB ∼ = DE, AC ∼ = DF y ∠A ∼ = ∠D, entonces: 4ABC ∼ = 4DEF En base a ´este postulado se pueden establecer algunos corolarios o consecuencias directas de ´el, el primero de los cuales lo indicaremos como un teorema debido a su importancia. Teorema 21. Si un tri´angulo es is´ osceles, entonces los ´ angulos opuestos a los lados congruentes son congruentes. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 4.13: Tri´angulos Antes de proceder a la demostraci´on del teorema, consideraremos un tri´angulo 4ABC is´osceles con AB ∼ = AC y escribiremos expl´ıcitamente la hip´otesis y la tesis usando los elementos de la figura. Este mismo procedimiento lo haremos cada vez que enunciemos un nuevo teorema.
Demostraci´on. Hip´ otesis: 4ABC is´osceles con AB ∼ = AC. Tesis: ∠ABC ∼ = ∠ACB. 1. Escogemos dos puntos D en AB y E en AC tales que A − B − D, A − C − E y BD ∼ = CE ... Construcci´on de segmentos. 2. Unimos B con E y D con C ... Construcci´on. 3. AD ∼ = AE ... Suma de segmentos. 4. AB ∼ = AC ... Hip´otesis. 5. ∠A ∼ = ∠A ... Reflexiva. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 4.14: Tri´angulos 6. 4ABE ∼ = 4ACD ... L.A.L. 7. DC ∼ = BE y ∠D ∼ = ∠E ... Partes correspondientes de tri´angulos congruentes. 8. 4BDC ∼ = 4CEB ... L.A.L. ´ 9. ∠DBC ∼ correspondientes de tri´angulos con= ∠ECB ... Angulos gruentes. 10. ∠ABC ∼ = ∠ACB ... Suplementos de ´angulos congruentes.
Corolario 7. Si los catetos de un tri´ angulo rect´ angulo son respectivamente congruentes a los dos catetos de otro tri´ angulo rect´ angulo, entonces los tri´angulos son congruentes. Demostraci´on. La demostraci´on de este corolario es inmediata, sobre la base de que todos los ´angulos rectos son congruentes y usando L.A.L. Corolario 8. La bisectriz del ´ angulo opuesto a la base de un tri´ angulo is´ osceles, es altura del tri´angulo, mediana y mediatriz de la base. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Corolario 9. Si un tri´angulo es equil´ atero, entonces es equi´ angulo. Demostraci´on. Es un ejercicio f´acil para el lector, la demostraci´on de estos dos corolarios.!! Nuestro segundo criterio para la congruencia de tri´angulos es un teorema. El Teorema (A.L.A) Dada una correspondencia entre los v´ertices de dos tri´angulos (o entre un tri´angulo y si mismo). Si dos ´angulos y el lado incluido del primer tri´angulo son congruentes a las partes correspondientes del segundo, entonces los tri´angulos son congruentes. Consideremos los tri´angulos 4ABC, 4DEF y la correspondencia ABC ↔ DEF ;
Figura 4.15: Tri´angulos Demostraci´on. Hip´ otesis: En los tri´angulos 4ABC y 4DEF se tiene: ∠A ∼ = ∠D
,
AC ∼ = DF
y ∠C ∼ = ∠F
Tesis: 4ABC ∼ = 4DEF ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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1. Sobre DE existe un punto G tal que AB ∼ = DG ... Construcci´on de segmentos. 2. Unimos F con G ... Construcci´on. 3. ∠A ∼ = ∠D y AC ∼ = DF ... Hip´otesis. 4. 4ABC ∼ = 4DGF ... L.A.L. ´ 5. ∠C ∼ correspondientes de tri´angulos congru= ∠DF G ... Angulos entes. 6. ∠F ∼ = ∠DF E ∼ = ∠C ... Hip´otesis. 7. ∠DF E ∼ = ∠DF G ... Propiedad transitiva. 8. F E = F G ... Construcci´on de ´angulos. 9. E = G ... La intersecci´on de dos rectas diferentes es un u ´nico punto. 10. 4ABC ∼ = 4DEF ... Sustituyendo en el paso 3 G por E.
Nuestro tercer criterio es un corolario del teorema A.L.A. Corolario 10 (L.A.A). Dada una correspondencia entre los v´ertices de dos tri´angulos (o entre un tri´ angulo y s´ı mismo). S´ı un lado y dos ´ angulos adyacentes a otro lado del primer tri´ angulo son congruentes a las partes correspondientes del segundo tri´ angulo, entonces los tri´ angulos son congruentes. Demostraci´on. Consideremos los tri´angulos 4ABC, 4DEF y la correspondencia ABC ↔ DEF ; Hip´ otesis: AB ∼ = DE, ∠A ∼ = ∠D y ∠C ∼ = ∠F .
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Figura 4.16: Tri´angulos Tesis: 4ABC ∼ = 4DEF .
1. Sobre DE existe un punto G tal que AB ∼ = DG ... Construcci´on de segmentos. 2. Unimos F con G ... Construcci´on. 3. ∠A ∼ = ∠D y AC ∼ = DF ... Hip´otesis. 4. 4ABC ∼ = 4DGF ... L.A.L. ´ 5. ∠C ∼ correspondientes de tri´angulos congru= ∠DF G ... Angulos entes. 6. ∠F ∼ = ∠DF E ∼ = ∠C ... Hip´otesis. 7. ∠DF E ∼ = ∠DF G ... Propiedad transitiva. 8. F E = F G ... Construcci´on de ´angulos. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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9. E = G ... La intersecci´on de dos rectas diferentes es un u ´nico punto. 10. 4ABC ∼ = 4DEF ... Sustituyendo en el paso 3 G por E.
Nuestro tercer criterio es un corolario del teorema A.L.A. Corolario 11 (Del Teorema L.A.A.). Dada una correspondencia entre los v´ertices de dos tri´angulos (o entre un tri´ angulo y s´ı mismo). S´ı un lado y dos ´angulos adyacentes a otro lado del primer tri´ angulo son congruentes a las partes correspondientes del segundo tri´ angulo, entonces los tri´ angulos son congruentes. Demostraci´on. Consideremos los tri´angulos 4ABC, 4DEF y la correspondencia ABC ↔ DEF ; Hip´ otesis: AB ∼ = DE, ∠A ∼ = ∠D y
Figura 4.17: Tri´angulos ∠C ∼ = ∠F . Tesis: 4ABC ∼ = 4DEF .
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1. ∠A ∼ = ∠D y ∠C ∼ = ∠F ... Hip´otesis. 2. ∠B ∼ = ∠E ... Teorema. 3. 4ABC ∼ = 4DEF ... A.L.A.
El siguiente corolario es el rec´ıproco del primer teorema (teorema del tri´angulo is´osceles). Corolario 12. Si un tri´angulo tiene dos ´ angulos congruentes, entonces los lados que se oponen a estos ´ angulos son congruentes. Demostraci´on. Consideremos el 4ABC y la correspondencia ABC ↔ ACB entre sus v´ertices. Hip´ otesis: En el 4ABC, ∠B ∼ = ∠C.
Figura 4.18: Tri´angulos
Tesis: El 4ABC es is´osceles con AB ∼ = AC.
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1. ∠B ∼ = ∠C ... Hip´otesis. 2. ∠C ∼ = ∠B ... Propiedad sim´etrica. 3. BC ∼ = BC ... Propiedad reflexiva. 4. 4ABC ∼ = 4ACB ... A.L.A. 5. AB ∼ = AC ... Lados correspondientes de tri´angulos congruentes.
Corolario 13. Si un tri´angulo es equi´ angulo, entonces es equil´ atero. Se deja como ejercicio al lector. Corolario 14. Si un cateto y el ´ angulo agudo adyacente de un tri´ angulo rect´angulo son congruentes a las partes correspondientes de otro, entonces los tri´angulos son congruentes. Se deja como ejercicio al lector. Nuestro cuarto y u ´ltimo criterio para la congruencia de tri´angulos es el teorema L.L.L.
Teorema 22 (Teorema L.L.L.). Dada una correspondencia entre los v´ertices de dos tri´angulos (o entre un tri´ angulo y s´ı mismo). Si los lados del primer tri´angulo son congruentes a los correspondientes del segundo, entonces los tri´angulos son congruentes. Demostraci´on. Consideremos los tri´angulos 4ABC, 4DEF y la correspondencia ABC ↔ DEF ; Hip´ otesis: AB ∼ = DE, BC ∼ = EF y AC ∼ = DF . Tesis: 4ABC ∼ = 4DEF . ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 4.19: Tri´angulos Se deja como ejercicio al lector al final del cap´ıtulo.
Figura 4.20: Tri´angulos Ejemplo 10. Hip´ otesis: AC ∼ = BC, DF ∼ = EG y ∠CAE ∼ = ∠CBD. Tesis: 4HIJ es is´osceles. Demostraci´on.
1. AC ∼ = BC y ∠CAE ∼ = ∠CBD ... Hip´otesis. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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2. ∠C ∼ = ∠C ... Reflexiva. 3. 4CAE ∼ = 4CED ... A.L.A. 4. CD ∼ = CE ... Lados correspondientes de tri´angulos congruentes. 5. DF ∼ = EG ... Hip´otesis. 6. CF ∼ = CG ... Suma de segmentos. 7. ∠CF G ∼ = ∠CGF ... Teorema del tri´angulo is´osceles. 8. AC ∼ = BC ... Hip´otesis. 9. AF ∼ = BG ... Sustracci´on de segmentos. 10. ∠AF I ∼ = ∠BGJ ... Suplementos de ´angulos congruentes. 11. 4AF I ∼ = 4BGJ ... A.L.A. ´ 12. ∠F IA ∼ correspondientes de tri´angulos congru= ∠GJB ... Angulos entes. ´ 13. ∠F IA ∼ opuestos por el = ∠HIJ y ∠GJB ∼ = ∠HJI ... Angulos v´ertice. 14. ∠HIJ ∼ = ∠HJI ... Propiedad transitiva. 15. 4HIJ es is´osceles ... Segundo corolario del teorema A.L.A.
Ejemplo 11. Hip´ otesis: 4ABC y 4ADE is´ osceles con AB ∼ = AC y AE ∼ = AD adem´as ∠BAE ∼ = ∠CAD. Tesis: 1. ∠DBC ∼ = ∠ECB ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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2. F G ∼ = FH 3. GI ∼ = HJ
Figura 4.21: Tri´angulos
Demostraci´on.
1. 4BAE ∼ = 4CAD ... L.A.L.
2. BE ∼ = CD ... Lados correspondientes de tri´angulos congruentes. 3. ∠BAE ∼ = ∠CAD ... Hip´otesis. 4. ∠BAD ∼ = ∠CAE ... Suma de ´angulos. 5. 4BAD ∼ = 4CAE ... L.A.L. 6. BD ∼ = EC ... Lados correspondientes de tri´angulos correspondientes. 7. BC ∼ = BC ... Propiedad reflexiva. 8. 4BEC ∼ = 4CDB ... L.L.L. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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´ 9. ∠DBC ∼ correspondientes de tri´angulos corre= ∠ECB ... Angulos spondientes.
Esto demuestra la parte 1) de la tesis. El estudiante estar´a en capacidad de terminar la demostraci´on. Nota: Es importante darse cuenta de que no siempre que tengamos tres elementos de un tri´angulo congruentes a las partes correspondientes de otro, se tiene una congruencia. Se pueden dar contra-ejemplos de las siguientes combinaciones posibles: 1. A.A.A. Para refutar esta posibilidad, basta construir dos tri´angulos equil´ateros (y por tanto, equi´angulos) con lados de diferente longitud.
DE = 2(AB) Sabemos que: m∠A + m∠B + m∠C = 180 m∠D + m∠E + m∠F = 180 (Teorema de los ´angulos interiores de un tri´angulo) Por tanto, 3m∠A = 180 y 3m∠D = 180 (Los tri´angulos son equi´angulos) As´ı que, m∠A = m∠B = m∠C = 60 m∠D = m∠E = m∠F = 60 ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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O sea que; ∠A ∼ = ∠D, ∠B ∼ = ∠E y ∠C ∼ = ∠F Pero sin embargo AB DE 2. L.L.A. Para refutar esta otra posibilidad, consideremos los tri´angulos 4ABC y 4DBC como se muestra en la figura de abajo. En los 4ABC y 4DBC se tienen: AC ∼ = DC, BC ∼ = BC y ∠B ∼ = ∠B. Pero sin embargo los dos tri´angulos no son congruentes puesto que AB > DB.
Figura 4.22: Tri´angulos
4.4.
Semejanza de Tri´ angulos
El concepto geom´etrico de semejanza est´a estrechamente relacionado con el concepto aritm´etico de proporcionalidad. Para los griegos, la semejanza era uno de los temas m´as dif´ıciles, puesto que carec´ıan de una teor´ıa sobre los n´ umeros irracionales. Ellos trataron la proporcionalidad usando solamente los enteros positivos y los conceptos puramente geom´etricos. Intuitivamente, dos figuras geom´etricas son semejantes, si tienen exactamente la misma forma, a´ un cuando no necesariamente el mismo tama˜ no. As´ı por ejemplo, dos circunferencias cualquiera son semejantes; dos cuadrados cualquiera son semejantes, as´ı como tambi´en dos tri´angulos equil´ateros cualquiera. En la vida diaria y en la industria, se nos ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 4.23: Tri´angulos presentan ejemplos de figuras semejantes, una fotograf´ıa de una persona muestra una imagen considerablemente menor que la persona fotografiada, pero la forma de la imagen es precisamente la de la persona. Y cuando se amplifica una fotograf´ıa, se mantiene esta forma, pero todas las partes de la fotograf´ıa se amplifican por el mismo factor. Los ingenieros y los arquitectos trabajan a menudo con figuras semejantes. Una estructura que se acaba de dise˜ nar, primero se traza a escala sobre un papel. El dise˜ no es mucho menor que la propia estructura, pero todas las partes tienen la forma del producto terminado. En la industria automotriz y de construcci´on de aviones, generalmente se construyen primero modelos peque˜ nos de los autom´oviles y aviones que ser´an construidos posteriormente. Estos modelos corresponden en forma y detalle con el producto final. Los ingenieros y top´ografos aplican frecuentemente las propiedades de la semejanza de tri´angulos. Antes de dar nuestra definici´on formal de semejanza, procederemos a ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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discutir brevemente el concepto de proporcionalidad y sus propiedades mas importantes. Definici´ on 34. Sean a1 , a2 , a3 , ... y b1 , b2 , b3 , ... dos sucesiones de n´ umeros reales positivos. Diremos que estas dos sucesiones son proporcionales, si y s´olo si, a1 a2 a3 = = = ... b1 b2 b3 Usaremos el s´ımbolo ∼ para denotar proporcionalidad, es decir; a1 , a2 , a3 , ... ∼ b1 , b2 , b3 , ..., si y s´olo si. a1 a2 a3 = = = ... b1 b2 b3 El valor com´ un a1 /b1 , a2 /b2 , a3 /b3 ...Se llama constante de proporcionalidad y cada cociente se llama raz´on. La proporcionalidad mas f´acil de usar es la que tiene solamente cuatro elementos. A menudo, una proporcionalidad de este tipo se denomina una proporci´on. Ejemplo 12. 2, 4, 10 ∼ 3, 6, 15 puesto que 4 10 2 = = 3 6 15 Aqu´ı la constante de proporcionalidad es 2/3. 15, 21 ∼ 5, 7 puesto que 15 21 = 5 7 Aqu´ı la constante de proporcionalidad es 3. Las propiedades de las proporciones se dar´an en el siguiente; Teorema 23. Sean a, b, p, q n´ umeros reales positivos. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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1. a/p = b/q, si y s´olo si, aq = bp 2. a/p = b/q, si y s´olo si, a/b = p/q 3. a/p = b/q, si y s´olo si,
p±q a±b = b q
4. a/p = b/q, si y s´olo si,
a+b a b = = p+q p q
La demostraci´on de este teorema es sencilla, si se tiene en cuenta que una raz´on es una fracci´on y todas las reglas que gobiernan una fracci´on se aplican a las razones. Sin embargo, haremos la demostraci´on de la parte 3. Demostraci´on.
1. a/p = b/q ... Hip´otesis.
2. a/b = p/q ... Por parte 2. del teorema. 3.
a p + 1 = + 1 ... Sumando 1. b q
4.
p+q a+b = ... Reduciendo a un com´ un denominador. b q
4.4.1.
El Postulado B´ asico de la Semejanza
Sean l1 , l2 , l3 , tres rectas paralelas, con transversales comunes t1 y t2 que las intersectan en los puntos A, B, C y D, E, F . S´ı A−B−C (y D−E−F ), entonces: BC EF = AB DE Este postulado se puede extender, mediante varios artificios, al caso general en el siguiente corolario: ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 4.24: Tri´angulos Corolario 15. Sean l1 , l2 , l3 y l4 , cuatro rectas paralelas, con transversales comunes t1 y t2 que las intersectan en los puntos A, B, C, D y E, F, G, H. S´ı A − B − C − D (y E − F − G − H), entonces: CD GH = AB EF
Figura 4.25: Tri´angulos ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Demostraci´on.
1.
BC FG = ... Postulado b´asico. AB EF
2.
CD GH = ... Postulado b´asico BC FG
3.
BC AB = ... Propiedades de las proporciones. FG EF
4.
BC CD = ... Propiedades de las proporciones. FG GH
5.
AB CD = ... Propiedad transitiva. EF GH
6.
CD GH = ... Propiedades de las proporciones. EF AB
Daremos ahora la definici´on formal de semejanza triangular. Definici´ on 35. Dados dos tri´ angulos y una correspondencia entre sus v´ertices (o entre un tri´angulo y si mismo). Si los lados correspondientes son proporcionales y cada par de ´ angulos correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza. (en este caso, se dice que los tri´angulos son semejantes). Usaremos el s´ımbolo ∼ para denotar semejanza. As´ı por ejemplo, consideremos 4ABC, 4DEF y la correspondencia ABC ↔ DEF . Para simplificar usaremos la convenci´ on com´ un, seg´ un la cual a es la longitud del lado opuesto al ∠A, b es la longitud del lado opuesto al ∠B, y as´ı sucesivamente. De conformidad con lo anterior, nuestra definici´on de semejanza se expresa as´ı: Si bajo la correspondencia dada, a b c 1. a, b, c ∼ d, e, f = = y d e f 2. ∠A ∼ = ∠D, ∠B ∼ = ∠E, ∠C ∼ = ∠F , entonces 4ABC ∼ 4DEF . ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 4.26: Tri´angulos Es f´acil demostrar, en base a las definiciones de semejanza y de congruencia de tri´angulos, que: ”si dos tri´ angulos son congruentes,entonces son semejantes”. Pero la proposici´ on rec´ıproca, no siempre es cierta (pru´ ebelo). Para que dos tri´angulos sean semejantes bajo una cierta correspondencia, no es necesario que se cumplan simult´aneamente las dos condiciones dadas en la definici´on. Se puede demostrar que los ´angulos de un tri´angulo no pueden ser congruentes a los ´angulos de un segundo tri´angulo, sin que los lados correspondientes no est´en en proporci´on e inversamente, dos tri´angulos no pueden tener sus lados correspondientes proporcionales, sin que los ´angulos correspondientes sean congruentes. Estas observaciones, dan origen a dos de nuestros tres criterios para la semejanza de tri´angulos. Estos criterios se podr´an demostrar en base al postulado b´asico de la semejanza, a la definici´on de semejanza y a algunos criterios de congruencia. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Teorema 24 (A.A.). Dados dos tri´ angulos y una correspondencia entre sus v´ertices (o entre un tri´angulo y si mismo). Si dos ´ angulos del primer tri´ angulo son congruentes a las partes correspondientes del segundo, entonces los tri´angulos son semejantes.
Figura 4.27: Tri´angulos Demostraci´on. Hip´ otesis: Consideremos 4ABC, 4DEF y la correspondencia ABC ↔ DEF . Adem´as, ∠A ∼ = ∠D y ∠B ∼ = ∠E. Tesis: 4ABC ∼ 4DEF 1. ∠C ∼ = ∠F ... Teorema sobre suma de las medidas de los ´angulos de un tri´angulo. 2. Tomamos un punto I en EF y H en ED tales que AB ∼ = EH y BC ∼ = EI ... Construcci´on de segmentos. 3. Unimos H con I ... Construcci´on. 4. ∠B ∼ = ∠E ... Hip´otesis. 5. 4ABC ∼ = 4HEI ... L.A.L. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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´ 6. ∠A ∼ correspondientes de tri´angulos congru= ∠EHI ... Angulos entes. 7. ∠A ∼ = ∠D ... Hip´otesis. 8. ∠EHI ∼ = ∠D ... Transitiva. ´ 9. HI k DF ... Angulos correspondientes entre paralelas. 10.
EH EI = ... Postulado b´asico de la semejanza. ED EF
11.
AB BC = ... Sustituci´on en los pasos 2 y 10. ED EF
12.
BC AC = ... Procedimiento por analog´ıa. EF DF
13.
BC AC AB = = ... Transitiva. ED EF DF
14. 4ABC ∼ 4DEF ... Definici´on de semejanza.
Este teorema tiene algunos importantes corolarios: Corolario 16. Si dos tri´angulos rect´ angulos tienen un ´ angulo agudo de uno congruente a un ´angulo agudo del otro,entonces son semejantes. La demostraci´on se deja como ejercicio!! Corolario 17. La altura a la hipotenusa de un tri´ angulo rect´ angulo divide a ´este en dos tri´angulos, cada uno de los cuales es semejante a ´el. Adem´ as la altura es media geom´etrica de los segmentos en los cuales dicha altura divide a la hipotenusa. Demostraci´on. Hip´ otesis: 4ABC rect´angulo con su ´angulo recto en C y D el pie de la perpendicular de C a AB. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 4.28: Tri´angulos
Tesis: 4ACD ∼ 4ABC ∼ 4CBD y AD CD = CD BD 1. ∠A ∼ = ∠A ... Reflexiva. 2. ∠D ∼ = ∠ACB ... Por ser rectos. 3. La congruencia de los pasos 1 y 2, induce la correspondencia ACD ↔ ABC ... Definici´on de correspondencia. 4. 4ACD ∼ 4ABC ... A.A. 5. 4ABC ∼ 4CBD ... Procedimiento por analog´ıa. 6. 4ACD ∼ 4ABC ∼ 4CBD ... Transitiva. 7.
AD CD = ... Definici´on de semejanza. CD BD
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Corolario 18. Las alturas correspondientes de dos tri´ angulos semejantes est´ an en la misma raz´on que la de dos de los lados correspondientes cualquiera.
Figura 4.29: Tri´angulos
Demostraci´on. Hip´ otesis: 4ABC ∼ 4DEF . BH = h y EI = j alturas. Tesis: h a b c = = = j d e f ´ 1. ∠A ∼ correspondientes de tri´angulos semejantes. = ∠D ... Angulos 2. ∠H ∼ = ∠I ... Por ser rectos. 3. La congruencia de los pasos 1 y 2, induce la correspondencia AHB ↔ DIE ... Definici´on de correspondencia. 4. 4AHB ∼ 4DIE ... A.A. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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5.
h c = ... Definici´on de semejanza. j f
6.
c b a = = ... Por hip´otesis. f e d
7.
h c b a = = = ... Transitiva. j f e d
Corolario 19. En todo tri´ angulo, la bisectriz de uno de sus ´ angulos interiores divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados contiguos a los respectivos segmentos.
Figura 4.30: Tri´angulos −−→ Demostraci´on. Hip´ otesis: Dados 4ABC y BM bisectriz del ∠ABC com M en AC. Tesis: AM AB = CM BC 1. Por el punto C trazamos una paralela a BM ... Axioma de las paralelas y construcci´on. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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2. Prolongamos AB hasta encontrar a la paralela en el punto D ... Construcci´on. ´ 3. ∠α ∼ correspondientes entre paralelas. = ∠D ... Angulos 4. ∠α ∼ = ∠β ... Definici´on de bisectriz. 5. m∠α + m∠β = m∠D + m∠BCD ... Teorema de la medida del ´angulo interior. 6. m∠β = m∠BCD ... Cancelativa. 7. m∠D = m∠BCD ... Sustituci´on en el paso 4. 8. BD = BC ... Rec´ıproco del teorema del tri´angulo is´osceles. 9. 4ABM ∼ 4ADC ... A.A. 10.
AB AM = ... Definici´on de semejanza. AD AC
11. AD = AB + BD = AB + BC, AC = AM + M C ... El todo es igual a la suma de las partes. 12.
AB AM ... Sustituci´on. AB + BC AM + M C
13.
AM + M C AB + BC = ... Propiedad de las proporciones. AB AM
14.
MC BC = ... Propiedad de las proporciones. AB AM
15.
AM AB = ... Propiedad de las proporciones. MC BC
Ejemplo 13. Un muchacho observa que la sombra de un ´ arbol tiene 16 metros de largo cuando su sombra es de dos metros. Si la altura del muchacho es de 1.8 metros . Cu´ al es la altura del ´ arbol? (se puede suponer que los rayos del sol son paralelos). ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 4.31: Tri´angulos Soluci´ on: Analizando el problema, observamos que se forman dos tri´angulos rect´angulos con ∠α ∼ = ∠β, ya que se ha supuesto que los rayos del sol son paralelos. As´ı que los tri´angulos son semejantes por el criterio A.A. En consecuencia: h 16 = 1,8 2
, θ,
h = 8(1,8) = 14,4
O sea que la altura del ´arbol es de 14.4 metros. Teorema 25 (Teorema L.A.L). Dados dos tri´ angulos y una correspondencia entre sus v´ertices (o entre un tri´ angulo y si mismo). Si dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ´ angulos incluidos son congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza. Demostraci´on. Hip´ otesis: Consideremos 4ABC, 4DEF y la correc a spondencia ABC ↔ DEF . Adem´as ∠B ∼ = ∠F y = . f d Tesis: 4ABC ∼ 4DEF . −−→ 1. Tomemos H sobre ED tal que c = EH ... Construcci´on de segmen´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 4.32: Tri´angulos tos. 2. Tracemos HI k DF ... Postulado de las paralelas. ´ 3. ∠H ∼ correspondientes entre paralelas. = ∠D ... Angulos 4. ∠E ∼ = ∠E ... Reflexiva. 5. 4HEI ∼ 4DEF ... A.A. c EI = ... Definici´on de semejanza. f d c a 7. = ... Hip´otesis. f d 6.
8.
EI a = ... Transitiva. d d
9. EI = a ... Propiedad de las proporciones. 10. ∠B ∼ = ∠E ... Hip´otesis. 11. 4ABC ∼ = 4HEI ... L.A.L. 12. 4ABC ∼ 4HEI ... Si dos tri´angulos son congruentes. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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13. 4ABC ∼ 4DEF ... Transitiva de la semejanza.
Ejemplo 14. Hip´ otesis: En el 4ABC se tienen D en AB y E en AC tales que A−D −B y A−E −C. Adem´ as, AD = 15, DE = 10, AE = 18 y EC = 12. Tesis: DE k BC
Figura 4.33: Tri´angulos
Demostraci´on.
1.
AD 15 3 = = ... Sustituci´on. AB 25 5
2.
AE 18 3 = = ... Sustituci´on. AC 30 5
3.
AD AE = ... Transitiva. AB AC
4. ∠A ∼ = ∠A ... Transitiva. 5. 4EAD ∼ 4CAB ... L.A.L. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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´ 6. ∠AED ∼ correspondientes de tri´angulos congru= ∠C ... Angulos entes. ´ 7. DE k BC ... Angulos correspondientes entre paralelas.
Teorema 26 (Teorema L.L.L). Dados dos tri´ angulos y una correspondencia entre sus v´ertices (o entre un tri´ angulo y si mismo). Si los lados correspondientes son proporcionales, entonces los tri´ angulos son semejantes. Demostraci´on. La demostraci´on se deja como ejercicio al estudiante!! Sugerencia: Proceda en forma an´aloga a la demostraci´on del criterio L.A.L. para la semejanza. Ejemplo 15. Hip´ otesis: Dados 4ABC, 4DEF tales que: AB = 3,
BC =
21 , 4
AC = 6
DE = 2,
7 EF = , 2
DF = 4
Tesis: 4ABC ∼ 4DEF Demostraci´on.
1.
AB 3 = , DE 2
BC 21/4 3 AC 6 3 = = y = = ... EF 7/2 2 DF 4 2
Sustituci´on. 2.
AB BC AC = = ... Transitiva. DE EF DF
3. AB, BC, AC ∼ DE, EF, DF ... Definici´on de proporcionalidad. 4. 4ABC ∼ 4DEF ... L.L.L. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Figura 4.34: Tri´angulos Ejemplo 16. Demuestre que la suma de las distancias de un punto cualquiera de la base de un tri´ angulo is´ osceles a los lados congruentes es constante.
Figura 4.35: Tri´angulos
Demostraci´on. Hip´ otesis: 4ABC is´osceles con AB ∼ = AC y P un punto de la base del tri´angulo tal que: P D ⊥ AB y P E ⊥ AC y B − P − C. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Tesis: P D + P E = Constante. 1. Por el punto A bajamos AF ⊥ BC ... Teorema sobre perpendiculares. 2. ∠B ∼ = ∠B ... Reflexiva. 3. ∠F ∼ = ∠D ... Axioma de ´angulos rectos. 4. 4ABF ∼ 4P BD ... A.A. h 5. P D = .BP ... Definici´on de semejanza y despejando. c 6. ∠B ∼ = ∠C ... Teorema del tri´angulo is´osceles. 7. ∠F ∼ = ∠E ... Axioma de los ´angulos rectos. 8. 4ABF ∼ 4P CF ... A.A. h 9. P E = .P C ... Definici´on de semejanza y despejando. c h h 10. P D + P F = (BP + P C) = .a ... Sumando pasos 5 y 9 c c y sustituyendo.
4.5.
El Tri´ angulo Rect´ angulo
En la secci´on 4.2 de ´este cap´ıtulo, se estableci´o que un tri´angulo es rect´angulo, si tiene un ´angulo recto. Este tri´angulo, se conoce y maneja desde la antig¨ uedad y era un instrumento b´asico de algunos sacerdotes agrimensores, llamados harpedonaptas o tendedores de cuerdas, quienes ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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lo usaron para medir las tierras. Posteriormente, Pit´agoras y sus disc´ıpulos demostraron el teorema que lleva su nombre. De este teorema existen cerca de 400 demostraciones, una de las cuales se present´o en el cap´ıtulo 1. La demostraci´on que presentaremos aqu´ı, usa la teor´ıa de semejanza.
4.5.1.
El Teorema de Pit´ agoras y su Rec´ıproco
Teorema 27. El cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un tri´ angulo rect´angulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Figura 4.36: Tri´angulos Demostraci´on. Hip´ otesis: Sea 4ABC rect´angulo con ∠C recto. Tesis: c2 = a2 + b2 1. Sea D en AB el pie de la perpendicular bajada desde el v´ertice C ... Existencia de perpendiculares. 2. 4ACD ∼ 4ABC ∼ 4CED ... Corolario 2 del teorema A.A. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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BD BC AD AC = y = ... Definici´on de semejanza. BC AB AC AB g a d b 4. = y = ... Sustituci´on. a c b c 3.
5. g = a2 /c y d = b2 /c ... Despejando. 6. BA = BD + DA = g + d = c ... El todo es igual a la suma de sus partes. 7. c = a2 /c + b2 /c ... Sustituci´on en el paso 6. 8. c = a2 + b2 ... Sumando y factorizando.
Corolario 20 (Hipotenusa - Cateto). Si un tri´ angulo rect´ angulo tiene la hipotenusa y uno de los catetos congruentes a las partes correspondientes de potro, entonces los tri´angulos son congruentes.
Figura 4.37: Tri´angulos Demostraci´on. Hip´ otesis: 4ABC y 4DEF con sus ´angulos rectos en C y F respectivamente. AB ∼ = ED
y
AC ∼ = DF
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Tesis: 4ABC ∼ = 4DEF 1. c2 = a2 + b2 y f 2 = d2 + e2 ... Teorema de pit´agoras. 2. a2 = c2 − b2 y d2 = f 2 − e2 ... Despejando. 3. c = f y b = e ... Hip´otesis. 4. a2 = c2 − b2 = f 2 − e2 = d2 ... Sustituci´on. 5. a = d y as´ı BC ∼ = EF ... Extrayendo ra´ız cuadrada. 6. 4ABC ∼ = 4DEF ... L.L.L.
Ahora enunciaremos y demostraremos el rec´ıproco del teorema de pit´agoras. Teorema 28. Si el cuadrado de la longitud de un lado de un tri´ angulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, entonces el tri´angulo es rect´angulo y su ´ angulo recto es el opuesto al lado de mayor longitud.
Figura 4.38: Tri´angulos ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Demostraci´on. Hip´ otesis: Sea dado 4ABC tal que a2 = c2 + b2 . Tesis: 4ABC es rect´angulo y ∠C es recto.
Figura 4.39: Tri´angulos
1. Consideremos el ∠DEF recto ... Existencia de ´angulos rectos. 2. Tomemos un punto H en ED y un punto I en EF tales que EH = a y EI = b ... Construcci´on de segmentos. 3. Unimos H con I ... Construcci´on. 4. (HI)2 = (EH)2 + (EI)2 = a2 + b2 ... Teorema de pit´agoras y su sustituci´on. 5. c2 = a2 + b2 ... Hip´otesis. 6. (HI)2 = c2 y as´ı HI = c ... Transitiva. 7. 4ABC ∼ = 4IHE ... L.L.L. ´ 8. ∠C ∼ correspondientes de tri´angulos congruentes. = ∠E ... Angulos ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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9. ∠C es recto ... Puesto que es congruente a un ´angulo recto. 10. 4ABC es rect´angulo ... Definici´on.
Ejemplo 17. Consideremos el 4ABC con su ´ angulo recto en el v´ertice C y CD la altura sobre la hipotenusa tal que: DE = 9 y CD = 12. Hallar AC.
Figura 4.40: Tri´angulos
Demostraci´on.
1.
CD DB = ... Corolario 2 del teorema A.A. AD CD
2. (CD)2 = (AD)(DB) ... Propiedades de las proporciones. 3. 144 = 9(AD), ´o, AD =
144 = 16 ... Sustituci´on y despeje. 9
4. AB = AD + DB = 16 + 9 = 25 ... Axioma y sustituci´on. 5. (CB)2 = 144 + 81 = 255, ´o, CB = 15 ... Teorema de pit´agoras. 6. (AC)2 = (AB)2 − (BC)2 = 625 − 225 = 400 ... Teorema de pit´agoras. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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7. AC =
√
400 = 20 ... Extrayendo ra´ız cuadrada.
Ejemplo 18. Consideremos el 4ABC tal que: BC = 3, AC = 4 y AB = 5 Pruebe que 4ABC es rect´ angulo.
Figura 4.41: Tri´angulos
Demostraci´on.
1. 25 = 16 + 9
2. (AB)2 = (AC)2 + (BC)2 ... Sustituci´on. 3. 4ABC es rect´angulo con su ´angulo recto en C ... Teorema rec´ıproco al de pit´agoras.
´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
Cap´ıtulo 5 Problema del paralelismo Euclides en su sistema axiom´atico propuesto en su obra los Elementos, acept´o sin demostraci´on algunas proposiciones que llamo Axiomas (del griego Axios: digno de confianza) y de ah´ı dedujo los Teoremas (del griego Thereo: pienso o medito). El incluyo en su obra cinco postulados como pilares b´asicos, que son: 1. Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro. 2. Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida. 3. Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia. 4. Todos los ´angulos rectos son iguales entre si. Pero su piedra angular es el quinto, el de las paralelas, el cu´al dice: 5. Si una recta que corta a otras dos forma con estas ´ angulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean 135
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menores que dos rectos, las dos rectas si se prolongan indefinidamente, se cortar´ an del lado en que dicha suma de ´ angulos sea menor que dos rectos. Sobre este quinto postulado se presento el problema del paralelismo, uno de los paradigmas de mayores repercusiones en el pensamiento cient´ıfico y filos´ofico a partir del siglo XIX. El reto que se plantearon grandes geometras y matem´aticos desde en vida de Euclides, fue demostrar el postulado de las paralelas; es decir, mostrar su dependencia del resto de postulados y definiciones iniciales. Este quin-
Figura 5.1: John Playfair (1748 - 1819) [29]. to postulado fue enunciado posteriormente por el f´ısico, matem´atico y ministro escoc´es JOHN PLAYFAIR (1748 - 1819) de la siguiente manera: Por un punto exterior a una recta dada, pasa a lo m´ as una recta paralela a la recta dada; que es como se estudia en la actualidad. Adem´as de la versi´on de Playfair, se han dado otras formulaciones por ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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otros matem´aticos. La sustituci´on de este postulado por el siguiente: Por un punto exterior a una recta dada se pueden trazar al menos dos paralelas a la recta dada dada por Nicolas Ivanovich Lobachevski (1.793 - 1.856) dio origen a la Geometr´ıa Imaginaria o Pangeometr´ıa Posteriormente el matem´atico alem´an Georg Friedrich
Figura 5.2: Postulado de Lobachevski.
Figura 5.3: Nicolas Ivanovich Lobachevski (1793 - 1856 ) [38]. ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
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Bernhard Riemann (1826 - 1866), creo la Geometr´ıa No-Euclidiana el´ıptica afirmando que Por un punto exterior a una recta dada no pasa ninguna paralela a la recta dada
Figura 5.4: G. F. Bernhard Riemann (1826 - 1866)
´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
Bibliograf´ıa [1] Albis G. V., Alvarez R. Los trabajos de Gauss sobre la Teor´ıa de las paralelas, Epistemolog´ıa, Historia y did´ actica de la Matem´ atica, Universidad Nacional (1983) [2] Aleksandrov A. D., Kolmogorov A. N., Laurentiev M. A. La matem´atica: su contenido, m´etodos y significado Vol. 3 , Alianza Editorial. [3] Bell E. T. Los grandes matem´ aticos, Buenos Aires, Editorial Losada (1948). [4] Bonola R. Non - Euclidean Geometry, New York; Dover (1955). [5] Boyer C. B. A History of Mathematics, New York: Wiley (1968). [6] Coxeter H. S. M. Non - Euclidean Geometry, Toronto: University of Toronto Press (1968). [7] Eves H. Estudio de las Geometrias I y II, UTEHA, M´exico (1969). [8] Freeman M. B. La vida de Albert Einstein, M´exico: Libreros Mexicanos Unidos (1964). [9] Greenberg M. J. Euclidean and Non - Euclidean Geometries, W. H. Freeman and Company, New York (1997). 139
140
Mu˜ noz L. A., Garcia A. O. M., Villalobos N. G.
[10] Keedy M. L., Nelson C.W. Geometr´ıa, una moderna introducci´ on, Centro Regional de Ayuda T´ecnica. [11] Kulezycki S. Non - Euclidean Geometry, New York: Pergamon (1961). [12] Losee, J. Introducci´on hist´ orica a la Filosof´ıa de la Ciencia, Madrid: Alianza (1976). [13] Meschkowski H. Noneuclidean Geometry, New York: Academic Press (1964). [14] Mu˜ noz A. Sobre los Principios Pangeom´etricos, Memorias del Seminario Interno de Matem´aticas (1986). [15] Newmann J. R. El mundo de las matem´ aticas Vol.1, Ediciones Grijalbo (1974). [16] Ramos S., Haro G., Gortari E. Suplemento del Seminario de Problemas cient´ıficos y filos´oficos, M´exico, Ciudad Universitaria. [17] Rosenfeld B. A. A History of Non - Euclidean Geometry, New York: Springer Verlag (1988). [18] Saccheri G. Euclides ab omni naevo vindicatus, New York: Chelsea (1970). [19] Sommerville D. M. Y. Elements of Non - Euclidean Geometry, New York: Dover (1958). [20] Vera F. Veinte matem´ aticos c´elebres, Buenos Aires, Losada (1963). [21] Wolfe H. E. Introduction to Non - Euclidean Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston (1945). ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
141
Mu˜ noz L. A., Garcia A. O. M., Villalobos N. G.
[22] Wylie C. R. jr. Fundamentos de geometr´ıa, Buenos Aires, Troquel (1968). [23] www.oso.izt.uam.mx/ gnumat/histmat/Egipto [24] www.publispain.com/revista [25] www.upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb [26] www.acienciasgalilei.com/fotos [27] www.biografiasyvidas.com/biografia/a/fotos [28] www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/images [29] www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/Libros/Historia [30] www.if.ufrj.br/famous/lorentz.jpg [31] www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/Libros/Historia [32] www.geomatics.ucalgary.ca/ sneeuw [33] www.xavier.hubaut.info/coursmath/bio [34] www.upload.wikimedia.org/wikipedia/commons [35] www.es.geocities.com/fisicas/cientificos [36] www.portales.educared.net/wikiEducared [37] www.edoc.hu-berlin.de/cmsj/27 [38] www.mat.usal.es/Personales/ jadoming [39] www.math.ist.utl.pt/ lgodin/GEOII [40] www.upload.wikimedia.org/wikipedia ´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I
142
Mu˜ noz L. A., Garcia A. O. M., Villalobos N. G.
[41] www.oni.escuelas.edu.ar/2002 [42] www.uv.es/ buso/escher [43] www.mlahanas.de/Physics/Bios/images [44] www.chronos.msu.ru/biographies [45] www.personal.umich.edu [46] http://es.wikipedia.org/wiki/ImmanuelKant [47] http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo [48] http://es.geocities.com/soloapuntes/quinto [49] http://enfenix.webcindario.com/logica [50] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons [51] http://destinia.com/imglib/fotos/big/g [52] http://www.mappinginteractivo.com/imagenes [53] http://remacle.org/bloodwolf/philosophes [54] http://rt000z8y.eresmas.net/Oro-iconos [55] http://www.biografiasyvidas.com/biografia [56] http://www.psycho.uni-duesseldorf.de
´ TOPICOS DE GEOMETR´ IA EUCLIDIANA I