Amplitude - Matemática - 9

MATEMÁTICA

José Roberto Bonjorno

Regina Azenha Bonjorno

Ayrton Olivares

Marcinho Mercês Brito

Ensino Fundamental – Anos Finais

Componente curricular: Matemática

José Roberto Bonjorno

• Bacharel e licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Regina Azenha Bonjorno

• Bacharel e licenciada em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Professora do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Ayrton Olivares

• Bacharel e licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Marcinho Mercês Brito

• Doutor em Estatística e Experimentação Agropecuária pela Universidade Federal de Lavras (UFLA-MG)

• Mestre em Ciências Agrárias pela Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB-BA)

• Pós-graduado em Formação para o Magistério – Área de Concentração: Metodologia do Ensino e da Pesquisa em Matemática e Física pelas Faculdades Integradas de Amparo (FIA-SP)

• Engenheiro Agrônomo pela Universidade Federal da Bahia (UFBA)

• Licenciado em Matemática pela Faculdade de Ciências Educacionais (FACE-BA)

• Professor do Ensino Médio e do Ensino Superior

ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

COMPONENTE

CURRICULAR

MATEMÁTICA

MANUAL DO PROFESSOR

1a edição São Paulo, 2022

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Amplitude : matemática, 9 : ensino fundamental : anos finais / José Roberto Bonjorno...[et al.]. --

1. ed. -- São Paulo : Editora do Brasil, 2022. -(Amplitude matemática)

Outros autores: Regina Azenha Bonjorno, Ayrton Olivares, Marcinho Mercês Brito

ISBN 978-85-10-09327-9 (aluno)

ISBN 978-85-10-09325-5 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Bonjorno, José Roberto. II. Bonjorno, Regina Azenha. III. Olivares, Ayrton. IV. Brito, Marcinho Mercês. V. Série.

22-113200

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427

© Editora do Brasil S.A., 2022

Todos os direitos reservados

Direção-geral: Vicente Tortamano Avanso

Direção editorial: Felipe Ramos Poletti

Gerência editorial de conteúdo didático: Erika Caldin

Gerência editorial de produção e design: Ulisses Pires

Supervisão de artes: Andrea Melo

Supervisão de editoração: Abdonildo José de Lima Santos

Supervisão de revisão: Elaine Cristina da Silva

Supervisão de iconografia: Léo Burgos

Supervisão de digital: Priscila Hernandez

Supervisão de controle de processos editoriais: Roseli Said

Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes

Supervisão editorial: Everton José Luciano

Edição: Daniel Leme, Katia Queiroz, Lourdes Ferreira, Marcos Silva e Maria Amélia Azzellini

Assistência editorial: Douglas F. Giaquinto e Wagner Razvickas

Revisão: Amanda Cabral, Andréia Andrade, Bianca Oliveira, Fernanda Sanchez, Gabriel Ornelas, Giovana Sanches, Jonathan Busato, Júlia Castello, Luiza Luchini, Maisa Akazawa, Mariana Paixão, Martin Gonçalves, Rita Costa, Rosani Andreani e Sandra Fernandes

Pesquisa iconográfica: Ana Brait

Design gráfico: APIS design

Capa: Estúdio Siamo

Imagens de capa: dabldy/iStockphoto.com e fongfong2/iStockphoto.com

Edição de arte: Daniel Souza, Marcela Tenguan e Mario Junior

Ilustrações: André Martins, Caio Boracini, DAE, Daniel Queiroz Porto, Danillo Souza, Danilo Dourado, FJF Vetorização, Hélio Senatore, João P. Mazzoco, Lettera Stúdio, Lilian Gonzaga, Luca Navarro, Luiz Lentini, Marcel Borges, Reinaldo Vignati, Tarcísio Garbellini e Wanderson Souza

Editoração eletrônica: Fórmula Produções Editoriais

Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Jennifer Xavier, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini

Controle de processos editoriais: Bruna Alves, Julia do Nascimento, Rita Poliane, Terezinha de Fátima Oliveira e Valeria Alves

1a edição, 2022

Rua Conselheiro Nébias, 887 São Paulo/SP – CEP 01203-001

Fone: +55 11 3226-0211

www.editoradobrasil.com.br

Olá, professora. Olá, professor.

Entre os desafios que enfrentamos cotidianamente na formação dos estudantes, está aquele que mais tem nos motivado a concentrar esforços para construir uma aprendizagem significativa: o conhecimento aplicado às experiências de vida.

Como fazer as ações pedagógicas ganharem sentido na apropriação do conhecimento pelos estudantes? Como perceber o ensino da Matemática por meio da reavaliação de velhos estigmas, aprendizagem de fórmulas e de conceitos distanciados das experiências dos aprendizes?

Pensando nessas questões, elaboramos este material para que os conhecimentos da Matemática possam dialogar com o saber individual dos estudantes, ressignificando a aprendizagem deles, colocando-os como agentes do processo de construção do conhecimento e buscando mobilizar olhares para o reconhecimento da Matemática no dia a dia.

Pretendemos, com esta coleção, contribuir para o exercício da prática docente, ao apresentarmos novas ferramentas e possibilidades de ações que propiciem ampliar o trabalho pedagógico, oferecendo subsídios que colaborem para a execução das propostas curriculares dos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Os autores

Pressupostos teórico-metodológicos

Vivemos em um mundo que se transforma a todo instante, e as profundas mudanças ocorridas nos últimos anos impuseram à escola um olhar mais atento para a singularidade e a diversidade do ser humano. Pensar na singularidade humana é pensar nas diferenças que constituem cada pessoa, sejam elas relacionadas a aspectos físicos, subjetivos, cognitivos, relacionais, religiosos. A singularidade que nos constitui é o que torna o mundo em que vivemos tão diverso. Respeitar e valorizar as diferenças é, portanto, fundamental para a vida em sociedade.

Entre os inúmeros objetivos almejados para esta coleção, buscamos criar oportunidades para que os estudantes pensem na coletividade, desenvolvam atitudes empáticas e cooperativas, reflitam sobre temas contemporâneos – às vezes, polêmicos – que envolvem a discussão de valores, para que, assim, possam reconhecer e respeitar a diversidade e promover a inclusão

Garantir esses valores é afirmar compromisso com a formação integral e cidadã dos estudantes e com a permanente busca por uma educação equitativa e de qualidade

Além disso, é fundamental promover situações que favoreçam o trabalho com a resolução de problemas vinculados ao mundo real, a fim de oportunizar aos estudantes que se posicionem de forma crítica, responsável e construtiva e utilizem o diálogo para mediar conflitos.

Acreditamos que, na escola, os estudantes desenvolvem habilidades e competências – incluindo as socioemocionais – por meio das próprias experiências vividas, do conhecimento e das interações com seus pares. Nessa direção, inúmeras propostas apresentadas nesta coleção foram pensadas para propiciar e favorecer essas interações. Não basta mais apenas apresentar definições, axiomas e teoremas aos estudantes. É preciso oferecer-lhes oportunidades de ação e de reflexão sobre suas ações, de modo que consigam antecipar resultados e fazer previsões.

Neste momento, vale lembrar o que afirma Paulo Freire: Saber que ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a sua própria produção ou a sua construção. Quando entro em uma sala de aula devo estar sendo um ser aberto a indagações, à curiosidade, às perguntas dos alunos, a suas inibições; um ser crítico e inquiridor, inquieto em face da tarefa que tenho – a de ensinar e não a de transferir conhecimento (FREIRE, 1996, p. 47, grifo nosso).

E como os livros didáticos podem auxiliar no tão almejado desenvolvimento integral dos estudantes?

Acreditamos que as proposições apresentadas nesta coleção, tanto nas propostas do Livro do Estudante quanto nas sugestões apresentadas do Manual do Professor, poderão potencializar ainda mais o trabalho já desenvolvido na escola.

Assim, apresentamos, neste manual, os pressupostos que embasaram a construção de cada proposição e sugestão de aplicação nele presentes.

Esperamos que as informações aqui apresentadas favoreçam a reflexão de professores sobre a prática pedagógica, seja no trabalho diário com os estudantes em sala de aula, seja nos momentos de planejamento das aulas e da avaliação da aprendizagem.

Letramento matemático

O letramento matemático, segundo a BNCC – baseando-se na Matriz do Pisa de 2012 –, engloba as habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente.

Tais habilidades são constantemente mencionadas no ensino de Matemática, mas pouco se explora o significado de cada uma delas. A compreensão mais ampla desses verbos pode auxiliar o professor tanto nas escolhas para as práticas e intervenções em sala de aula como na organização das atividades propostas nesta coleção.

Raciocinar está relacionado a um conjunto de processos mentais que se ampara em conhecimentos internalizados para a produção de novos conhecimentos em um movimento complexo.

Na Matemática, muito se fala em raciocínio lógico, dedutivo e indutivo. Mas também podemos considerar outros, como o raciocínio abdutivo e o relacional.

Independentemente dos tipos, o raciocínio se desenvolve quando é posto em prática e usado na análise de processos de raciocínio externalizados por outros (no caso da escola, pelos colegas).

Representar é um verbo de grande desafio na área da Matemática. Considerando que muitos conceitos só existem nas teorizações, é por meio da representação que podemos torná-los visíveis. É a representação que dá acesso ao raciocínio.

As representações perpassam todas as unidades temáticas que compõem o ensino da Matemática. Na Geometria, por exemplo, vemos mapas, croquis e representações gráficas de figuras. Na Álgebra, há uma variedade de símbolos que descrevem regularidades e generalizações. Com relação aos números, o próprio símbolo numérico é uma representação de quantidade, ordem, código ou medida.

Devido à necessidade de representar conceitos, a fim de que se operem com eles, pesquisadores apontam a importância de trabalhar a maior variedade de representações para que a aprendizagem ocorra.

Comunicar e argumentar são duas ações que dependem diretamente da linguagem matemática. Os momentos de discussão são fundamentais para que os estudantes possam se comunicar matematicamente para além de registros gráficos convencionais.

As aulas de Matemática devem também valorizar as formas de comunicação oral em que os estudantes precisem escutar argumentos de colegas e organizar os próprios argumentos para fortalecer ou reconstruir aprendizagens. As atividades desta coleção possibilitam aos estudantes que tais habilidades sejam desenvolvidas, por exemplo, nos momentos em que são convidados a explicitar os caminhos percorridos e o raciocínio empregado na resolução de uma situação.

Resolução de problemas

O ensino de Matemática deve explorar a capacidade do estudante de compreender o mundo a seu redor, contextualizado socialmente, bem como promover o entendimento de como o conhecimento da Matemática pode auxiliá-lo nessa atividade.

O ensino de Matemática se apresenta hoje fortemente ligado a essa metodologia, pois ela exige que o estudante desenvolva a capacidade de descobrir e usar informações e estratégias próprias para resolver problemas.

Um dos grandes autores na área de resolução de problemas, Polya (20--) afirma que problema é uma situação que exige uma solução elaborada, que não é imediata. Ele destaca quatro pontos que devem ser considerados na resolução de um problema.

1. Compreensão do problema.

2. Elaboração de um plano de resolução.

3. Execução do plano.

4. Verificação da solução.

O foco na resolução de problemas enfatiza que os estudantes podem trabalhar individualmente ou em grupo, enquanto o professor atua como facilitador e guia. Dessa forma, o estudante é a figura central do processo. Ele analisa dados, estabelece relações e chega a conclusões tentando fundamentá-las, explicando-as, dando assim significado à aprendizagem.

Cálculo mental e calculadora

Quanto à resolução de problemas, é importante que os estudantes desenvolvam diferentes estratégias. O cálculo mental e o uso de calculadora levam os estudantes a raciocinar sobre suas ações. Calcular é uma operação com a qual os estudantes convivem desde pequenos, pois os números, a contagem e as operações costumam fazer parte do brincar, do jogar e do comércio. Para lidar com números pequenos, não são necessários cálculos

ou algoritmos elaborados, é possível usar cálculo mental. Você pode propor situações, problemas e desafios com cálculos simples de adição, subtração, multiplicação e divisão a serem feitos mentalmente com discussões sobre as maneiras de raciocinar. Em todas as situações possíveis, é necessário incentivar o cálculo mental.

Os estudantes terão intimidade cada vez maior com os números ao começarem a verbalizar os resultados e as estratégias utilizadas para a realização dos cálculos. As propriedades e as regularidades matemáticas surgirão naturalmente quando forem discutidas as formas e os caminhos percorridos para chegar ao resultado. Desse modo, os estudantes adquirem mais confiança em si mesmos ao perceber que são capazes de resolver problemas; também passam a respeitar mais os colegas, pois começam a vê-los como pessoas que pensam com autonomia e contribuem com outras soluções.

Além de incentivar o cálculo mental, é importante que o uso da calculadora esteja previsto na sala de aula. A BNCC orienta que cabe ao educador a tarefa de iniciar os estudantes na utilização de novas tecnologias, entre elas a calculadora. As razões que reforçam o uso da calculadora na escola são sociais e pedagógicas. As primeiras dizem respeito ao fato de que a escola não pode se distanciar da realidade, uma vez que o uso desse instrumento está totalmente popularizado. As razões pedagógicas dizem respeito ao uso da calculadora para explorar regularidades e relações matemáticas, além da possibilidade de ampliar os números. O uso desse recurso deve favorecer a aprendizagem de diferentes estratégias de cálculo e explorar os limites desse instrumento. Cabe ao professor decidir quando seu uso é adequado e quando o cálculo mental é mais eficiente. Outra possibilidade de uso da calculadora é tê-la como uma ferramenta de controle e verificação de resultados de operações feitas com papel e lápis, pois permite que os estudantes tenham autonomia na execução e na correção.

A prática docente

O perfil do professor

Na apresentação dos pressupostos teórico-metodológicos desta coleção, iniciamos dizendo que vivemos em um mundo em constante transformação. Diante disso, é primordial que o professor, dia a dia, repense seu papel no processo ensino-aprendizagem, especificamente na interação com os estudantes e com seus pares.

Para tanto, ele necessita planejar as aulas de maneira diferente, extrapolando os tradicionais métodos de ensino, que acabam por privilegiar a “transmissão” de conteúdo, afinal, se o mundo está em constante transformação, e a escola faz parte do mundo, ela também precisa mudar.

Ao repensar seu papel, o professor gera possibilidades de os estudantes repensarem o deles e de se tornarem protagonistas em sua aprendizagem, desenvolvendo competências e habilidades que serão essenciais à vida, nos mais variados contextos: pessoal, familiar, acadêmico, profissional, político, intelectual e outros.

Dessa forma, talvez seja necessário pensar na descentralização do papel do professor no processo ensino-aprendizagem, que, na atualidade, não deve mais estar pautado somente na transmissão de informações, mas na mediação do conhecimento, aqui entendida não apenas “com a função de ligar dois elementos mas sim de ser o centro organizador dessa relação” (AGUIAR et al., 2009, p. 58).

O professor, que antes era considerado apenas o detentor e transmissor do conhecimento, passa a ser também, considerado um mediador, um orientador da aprendizagem – organizando o ensino de acordo com a real capacidade dos estudantes – e do desenvolvimento de hábitos de estudo e de reflexão deles. Estes, que antes eram considerados “baldes vazios”, receptores dos conhecimentos neles “despejados” pelo professor, passam a ser seres ativos na construção do conhecimento, usando, para isso, capacidades, habilidades, inteligência, criticidade e criatividade, tendo o professor como orientador e incentivador da aprendizagem.

O professor passa, então, a fazer intervenções oportunas, necessárias e eficazes no processo ensino-aprendizagem e a propor aos estudantes problemas com base na observação atenta de conhecimentos e estratégias de resolução por eles manifestados.

Ações como experimentação, comparação, estabelecimento de relações, análises, justaposições, levantamento de hipóteses e argumentações são essenciais para que a aprendizagem aconteça de forma significativa.

Neste momento, uma pergunta se faz necessária: como articular a Matemática apresentada nos currículos com as reais necessidades dos estudantes, considerando os contextos nos quais eles estão inseridos? Para respondê-la, é preciso que a ideia de contexto/contextualização seja bem compreendida.

A contextualização, normalmente, é atrelada ao cotidiano dos estudantes, o que é muito importante para que eles possam estabelecer relações e realizar ampliações construindo repertórios potentes para resolver problemas. No entanto, o ensino de Matemática pode ir além, propondo contextos inexistentes no cotidiano de determinado estudante – mas frequentes na vida de outros – ou focando no contexto intramatemático, em que importantes discussões podem acontecer dentro das regularidades, ampliando a compreensão do funcionamento da linguagem matemática.

Considerando que a Matemática é uma construção humana, sempre haverá um contexto, ou seja, os conceitos construídos surgem de problemas que podem estar presentes em situações do dia a dia, em necessidades de ciências específicas – como para o desenvolvimento de um software ou para o cálculo de substâncias na composição de medicamentos – ou em teorizações matemáticas.

Quando pensamos no cotidiano atual dos estudantes, é necessário ter em mente a velocidade com que as informações se espalham por meio de diferentes mídias. Também é preciso considerar que o cotidiano não inclui apenas questões sociais, como a falta de moradia ou de alimentação – sem deslegitimar a importância de tais fatores – mas também aos jogos com os quais os estudantes estão em contato, às leituras que fazem de outras culturas e de outros espaços, entre outros temas que lhes são interessantes, mesmo que pareçam distantes de suas “realidades”.

É certo que os livros didáticos não darão conta da enorme diversidade cotidiana de cada comunidade escolar, daí a importância do papel do professor para aproximar os estudantes desses contextos “distantes”, fazendo inter-relações entre o novo e aquilo que já conhecem, ampliando, assim, o conhecimento de mundo deles.

Ao pensar nos contextos extramatemáticos, é válido observar a variedade de temas que podem ser abordados, considerando o rico cotidiano dos estudantes de hoje e a possibilidade de apresentar-lhes situações novas que exemplifiquem outras formas de estar no mundo.

O professor, ao mediar o aprendizado construído pelos estudantes, torna a aprendizagem mais significativa.

Monkey Business Images/Shutterstock.com

Desse modo, os conteúdos desta coleção são apresentados com base em diferentes contextos, assim como as atividades, que englobam tanto situações que se referenciam em possíveis cotidianos dos estudantes como as que focam no desenvolvimento intramatemático.

Como vemos, a prática do professor abrange uma diversidade de aspectos relacionados ao ensino, que precisam ser considerados para potencializar os momentos de aprendizagem: o planejamento das aulas; os conhecimentos didáticos; os conhecimentos dos conteúdos; a qualidade da relação com os estudantes, com os pais e com os demais atores que compõem a comunidade escolar; a disponibilidade de recursos que apoiem sua prática, entre outros.

Com relação ao planejamento, o professor precisa articular seus objetivos, os objetos de conhecimento definidos nos documentos curriculares, as possibilidades metodológicas para explorá-los e os conhecimentos dos estudantes sobre o assunto, tudo isso organizado em um tempo didático.

O livro didático poderá ser uma ferramenta indispensável para essa articulação; no entanto, caberá ao professor adaptá-la às necessidades dos estudantes e organizá-la no tempo organizá-la no tempo, espaço e recursos didáticos disponíveis em cada instituição escolar.

Esse processo de adaptação de atividades do livro didático, ou de qualquer outro recurso externo, depende de escuta ativa do professor sobre as ações dos estudantes. Muitas vezes, não basta perguntar ou aplicar um instrumento avaliativo ou diagnóstico para identificar os conhecimentos dos estudantes; é preciso estar atento ao cotidiano escolar: O que explicitam as situações de aprendizagens? Como realizam as atividades rotineiras, sem a pressão avaliativa, em situações de brincadeira, nas relações com seus pares? Conhecer os estudantes é, portanto, incluir na prática docente um olhar e uma escuta sensíveis para o que acontece na sala de aula e em outros espaços da escola.

Mesmo trazendo essas questões para o planejamento, sempre haverá o imprevisível, as situações com as quais o professor, por mais experiente que seja, poderá não saber lidar. Nesse sentido, os estudos de Alarcão (2011) sobre a noção de professor reflexivo apontam algumas questões sobre a prática docente que podem ajudar o professor a lidar com tal imprevisibilidade e que devem ser consideradas no planejamento e na gestão da sala de aula.

Para a autora:

A noção de professor reflexivo baseia-se na consciência da capacidade de pensamento e reflexão que caracteriza o ser humano como criativo e não como mero reprodutor de ideias e práticas que lhe são exteriores. É central, nesta conceptualização, a noção do profissional como uma pessoa que, nas situações profissionais, tantas vezes incertas e imprevistas, atua de forma inteligente e flexível, situada e reativa (ALARCÃO, 2011, p. 44, grifo nosso).

Fundamentada na concepção de professor reflexivo apresentada por Donald Schön, Alarcão (2011) destaca a importância de uma prática reflexiva embasada no conhecimento, na ação e em três tipos de reflexão: a reflexão na ação, a reflexão sobre a ação e a reflexão sobre a reflexão na ação.

A autora explica que a reflexão na ação acontece no decurso da própria ação, sem interrupções, embora com breves instantes de distanciamento: reformulamos o que estamos fazendo enquanto estamos fazendo.

Já a reflexão sobre a ação consiste em pensarmos retrospectivamente sobre a ação: reconstruímos a ação mentalmente e tentamos analisá-la.

Por fim, a reflexão sobre a reflexão na ação constitui-se em um processo de metarreflexão: pensamos sobre a reflexão que fizemos sobre a ação e encontramos novas formas de agir em situações futuras.

Alarcão (2011, p. 55) cita algumas estratégias de desenvolvimento da capacidade de reflexão, como:

a) a análise de casos;

b) as narrativas;

c) a elaboração de portfólios reveladores do processo de desenvolvimento seguido;

d) o questionamento dos outros atores educativos;

e) o confronto de opiniões e abordagens;

f) os grupos de discussão ou círculos de estudo;

g) a auto-observação;

h) a supervisão colaborativa;

i) as perguntas pedagógicas.

É importante destacar que o professor pode refletir sobre diversos aspectos, entre eles a gestão da sala de aula e os conhecimentos que possui em sua área de conhecimento. É justamente nesse processo reflexivo que pode romper com suas crenças sobre o ensino e os significados do componente curricular que ministra.

Com esse rompimento, a ampliação dos conhecimentos e a interação com os pares, o professor ganha mais segurança para planejar e pôr em prática situações vigorosas de ensino.

Os diferentes perfis dos estudantes

Considerar os diferentes perfis dos estudantes é de grande importância como forma de criar uma visão geral de cada estudante, assim como valorizar a multiplicidade e a diversidade individual e cultural. Essa visão influencia no processo ensino-aprendizagem. Dessa forma, criar um universo que facilite o aprendizado e a harmonia entre esses diversos perfis é de suma importância.

Gardner, em sua Teoria das Inteligências Múltiplas, considera que “a mente é um instrumento multifacetado de muitos componentes que não podem, de maneira legítima, ser capturados num simples instrumento, estilo lápis e papel”.

Estimular o pensamento crítico e a criatividade é relevante, dando oportunidade para que cada estudante possa analisar, filtrar, selecionar e usar informações novas, estabelecendo conexões entre os saberes que já possui e criando possibilidades para uso dos dados e dos pontos de vista, por meio de análises críticas, criativas e propositivas.

O desenvolvimento da capacidade argumentativa também deve ser estimulado, para que os estudantes tenham a oportunidade de opinar e apresentar seus próprios pontos de vista, tornando-se capazes não só de constatar fatos e emitir hipóteses mas também de justificar e defender suas ideias, quando confrontadas com os demais estudantes.

O estímulo à leitura de textos de diferentes gêneros é de grande importância e a inferência é um fator essencial que está relacionada à compreensão da leitura, no que se refere aos elementos explícitos e implícitos. Chegar a conclusões a partir de informações do texto é inferir, ou seja, concluir pelo raciocínio buscando sempre a essência do texto.

O trabalho em sala de aula

A gestão da sala de aula também inclui o tipo de relação que se constrói com os estudantes. É possível conceber relações verticais, em que o professor se posiciona como detentor do saber, ou relações horizontais, nas quais constrói uma gestão democrática, sem desconsiderar, porém, a assimetria naturalmente existente na relação professor-estudante.

A gestão democrática da sala de aula pode potencializar os trabalhos coletivos dos estudantes e abrir mais possibilidades de comunicação na relação professor-estudante, concebendo um espaço propício à aprendizagem voltada para as questões da cidadania, do respeito e da cooperação.

Há várias proposições que podem colaborar para que o professor alcance seus objetivos.

As propostas individuais permitem a mobilização de conhecimentos já elaborados, as atividades em duplas permitem uma interação mais focada e a discussão de ideias, e as organizações em grupos possibilitam trocas e debates.

O trabalho em pequenos grupos, por exemplo, potencializa a qualidade das aprendizagens e favorece a aquisição de conhecimentos pelos estudantes, a partir da interação entre eles (BONALS, 2003). Conhecer os estudantes, no entanto, é fundamental para agrupá-los de modo produtivo, a fim de que consigam expor suas ideias e fazer trocas sólidas e válidas.

Os agrupamentos podem considerar, dentre outros aspectos, o nível de conhecimento dos estudantes e a afinidade entre eles. Quando o nível de conhecimento dos estudantes é mais próximo, o diálogo pode ser mais equilibrado do que quando os conhecimentos de um estudante são muito diferentes dos de outro. Em tais situações, o diálogo pode nem acontecer, dada a dificuldade de compreensão das ideias entre eles.

Nos momentos em que os agrupamentos são organizados, o professor poderá circular pela sala de aula para observar como as interações acontecem para além das discussões sobre o conteúdo, identificando como está o nível de argumentação, de escuta e de articulação de ideias de cada um.

Em Matemática, um exemplo de agrupamento para desenvolver estratégias de cálculo mental pode ser a organização dos estudantes de modo ascendente, começando com o trabalho individual e evoluindo para duplas (em que cada estudante apresenta sua estratégia) e quartetos (em que os estudantes discutem e concluem qual é a estratégia mais econômica). O papel do professor, nesse tipo de atividade, é observar as estratégias individuais apresentadas pelos estudantes, pedindo que as expliquem, e fazer os agrupamentos em duplas e em quartetos a partir de suas observações (BIBIANO; SANTOMAURO; MARTINS, 2009).

Cabe destacar que o tipo de relação construída entre o professor e os estudantes inclui a forma como os erros e as ideias daqueles são recebidos por este. É possível que alguns estudantes deixem de fazer perguntas e de expor ideias quando sentirem que não são escutados ou que seus erros são repreendidos. A compreensão do erro como parte do processo de aprendizagem deve ser explorada com os estudantes. Esse tema tem sido estudado por muitos pesquisadores no campo da Educação Matemática. Alguns o fazem com o objetivo de entender os motivos que levam ao erro, investigando obstáculos que são colocados nos processos didáticos ou obstáculos que são construídos historicamente na produção dos conhecimentos. Outros analisam também o que os erros podem revelar sobre os estudantes. Há, ainda, aqueles que buscam diagnósticos de erros frequentes, caracterizando-os como problemas ou dificuldades de aprendizagem que necessitam de outros tipos de intervenção.

Reinaldo

Vignati

Para pensar a gestão da sala de aula, é necessário estabelecer um bom diálogo e uma escuta atenta para as situações de erro em sala de aula, as quais, muitas vezes, proporcionam uma aprendizagem potente e são descartadas somente por não se alinharem aos resultados esperados pelo professor.

Uma forma de o professor ativar a escuta e o olhar sensível para com o estudante e suas ações é perguntar-se frequentemente o que está acontecendo na sala de aula, mesmo que nada pareça acontecer, pois será com base em ações rotineiras e em erros muitas vezes desconsiderados que ele poderá construir uma relação mais aberta e mais sensível com os estudantes.

Como trabalhar com grupos grandes

Trabalhar com turmas que têm grande quantidade de estudantes é, certamente, um dos maiores desafios enfrentados pelo professor no exercício diário da prática docente. Pensar em caminhos que lhe possibilitem superar esse desafio leva-nos novamente a pensar na descentralização de seu papel no processo ensino-aprendizagem, como abordamos no tópico anterior.

É de grande importância refletirmos sobre novas metodologias para favorecer o aprendizado de grandes grupos de estudantes.

Essa descentralização pode ser obtida por meio da adoção de estratégias de ensino que coloquem os estudantes no centro da aprendizagem, como protagonistas do processo de construção do conhecimento (BRASIL, 2018), tendo o professor como mediador desse processo. Para isso, entendemos que se faz necessário aos estudantes desenvolver sua autonomia e interagir com seus pares em diferentes momentos e de diversas maneiras.

Essa interação entre pares também faz com que os próprios estudantes sejam mediadores do conhecimento e, portanto, promotores de aprendizagens para si e para os colegas.

Nessa direção, as metodologias ativas surgem como possível caminho para proporcionar aos estudantes meios para que consigam exercer o protagonismo e a autonomia em sua aprendizagem.

Moran (2017, p. 24) explica que as metodologias ativas “são estratégias de ensino centradas na participação efetiva dos estudantes na construção do processo de aprendizagem, de forma flexível, interligada, híbrida”.

Quando o professor trabalha com metodologias ativas, a construção do conhecimento, pelos estudantes, permite o desenvolvimento de diversas competências, entre elas:

• saber buscar e investigar informações com criticidade (critérios de seleção e priorização), a fim de atingir determinado objetivo, a partir da formulação de perguntas ou desafios dados pelos educadores;

• compreender a informação, analisando-a em diferentes níveis de complexidade, contextualizando-a e associando-a a outros conhecimentos;

• interagir, negociar e comunicar-se com o grupo, em diferentes contextos e momentos;

• conviver e agir com inteligência emocional, identificando e desenvolvendo atitudes positivas para a aprendizagem colaborativa;

• ter autogestão afetiva, reconhecendo atitudes interpessoais facilitadoras e dificultadoras para a qualidade da aprendizagem, lidando com o erro e as frustrações, e sendo flexível;

• tomar decisão individualmente e em grupo, avaliando os pontos positivos e negativos envolvidos;

• desenvolver a capacidade de liderança;

• resolver problemas, executando um projeto ou uma ação e propondo soluções (BRASIL, [2018?b], p. [1]).

Essas informações foram apresentadas por Glasser em forma de gráfico, dando origem à conhecida “pirâmide de aprendizagem” (DINIZ, 2021).

Aprendizagem ativa

Observando a “pirâmide de aprendizagem”, podemos facilmente concluir que, quanto mais interagimos com o outro e ampliamos o uso de nossas habilidades comunicativas, mais podemos aprender, o que nos leva a concluir também que existe uma profunda relação entre as metodologias ativas de ensino e a pirâmide de aprendizagem desenvolvida por Glasser.

Entre as principais metodologias ativas, destacamos as seguintes (SANTOS, 2021, p. [1]):

1. Sala de aula invertida: nessa prática, o professor inicialmente propõe aos alunos realizar uma tarefa específica ou pesquisar sobre determinado conteúdo antes de uma aula. Assim, durante a aula, o docente utiliza o que foi feito pelos alunos e, se necessário, complementa com mais explicações, momentos tira-dúvidas e com atividades e debates sobre o tema. Essa estratégia é um dos modelos de ensino híbrido.

2. Rotação por estações: consiste em organizar a sala de aula em pequenos grupos, nas chamadas estações, e, em cada uma delas, realiza-se uma tarefa diferente, embora todas estejam conectadas a um mesmo tema. A ideia é que os alunos façam um circuito por essas estações, passando por todas as atividades. O uso de um recurso digital em uma das estações pode ser útil para coletar dados sobre a aprendizagem dos alunos. Essa estratégia é outro modelo de ensino híbrido.

Reinaldo Vignati

3. Laboratório rotacional: segue dinâmica semelhante à da rotação, mas envolve outros espaços da escola. Aqui são formados dois grupos, sendo que um ficará no espaço com o professor (que não precisa ser a sala de aula) e o outro irá utilizar um recurso digital em outro local, como o laboratório de informática, a biblioteca ou outro espaço que cumpra a função. Novamente, as ferramentas digitais podem auxiliar a coleta de dados sobre a aprendizagem, possibilitando a personalização do ensino. Assim como as anteriores, trata-se de um modelo de ensino híbrido.

4. Aprendizagem baseada em projetos: possui várias definições, sendo um conceito bem amplo, que busca ensinar os conceitos curriculares aos alunos integrando várias disciplinas. É ideal que os projetos se baseiem em situações-problema reais do contexto escolar e dos alunos, buscando uma solução em forma de produto, o que vai envolver hipóteses, investigação, construção de um plano para a solução, e muito trabalho coletivo e colaborativo. Ao final, os estudantes podem compartilhar as soluções construídas com a turma toda, sendo mediados pelo professor.

5. Aprendizagem baseada em problemas: como o nome indica, utiliza problemas para a construção dos conceitos desejados pelo professor. É interessante que os problemas sejam baseados na realidade dos alunos, que podem resolvê-los de diversas formas – ou seja, são abertos e as respostas não podem ser obtidas por resoluções simples como a mera aplicação de uma fórmula. O processo de resolução dos problemas, inclusive, pode ser mais importante do que a própria solução, já que o docente pode analisar a compreensão dos alunos pelo modo como o resolveram. O trabalho em grupo ganha força com essa abordagem.

Embora as metodologias ativas sejam comumente associadas ao uso de tecnologias digitais, sabemos que estas, sozinhas, não têm o poder de promover a aprendizagem dos estudantes. O que, de fato, fará diferença no processo de ensino e aprendizagem será o planejamento das aulas pelo professor, tendo como foco a participação ativa dos estudantes nas atividades a serem realizadas.

O trabalho interdisciplinar

Embora os documentos curriculares oficiais e os livros desta e da maioria das coleções estejam organizados disciplinarmente, isto é, por componente curricular, as discussões sobre interdisciplinaridade estão presentes há muito tempo entre os professores e os pesquisadores interessados pelo tema.

A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) aponta que as aprendizagens essenciais definidas para cada etapa da Educação Básica só se materializarão mediante o conjunto de decisões que irão adequar as proposições da BNCC à realidade local (BRASIL, 2018), entre elas:

[...] decidir sobre formas de organização interdisciplinar dos componentes curriculares e fortalecer a competência pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à gestão do ensino e da aprendizagem (BRASIL, 2018, p. 16, grifo nosso).

Para possibilitar tais formas de organização curricular interdisciplinar, é preciso compreender a concepção de interdisciplinaridade e diferenciá-la de outras concepções que carregam o mesmo radical (“disciplina”), como multidisciplinaridade, pluridisciplinaridade e transdisciplinaridade

Segundo Nogueira (1998), a multidisciplinaridade ocorre em duas situações: quando há integração de diferentes conteúdos de uma mesma disciplina ou quando há justaposição de diferentes conteúdos de disciplinas distintas, sem, porém, nenhuma preocupação de integração.

Já a pluridisciplinaridade diz respeito à prática na qual já existem sinais de cooperação entre os diferentes componentes curriculares, mas ainda sem objetivos comuns. Não existe uma coordenação propriamente dita, sistemática, mas uma coordenação intuitiva.

Na interdisciplinaridade, por sua vez, “a tônica é o trabalho de integração das diferentes áreas do conhecimento. Um real trabalho de cooperação e troca, aberto ao diálogo e ao planejamento” (NOGUEIRA, 1998, p. 26, grifo nosso).

Por fim, como explica o autor, na transdisciplinaridade, as relações não seriam apenas de integração dos diferentes componentes curriculares, mas de um sistema sem fronteiras, em que a integração chegaria a um nível tão alto, que seria impossível distinguir os limites de cada um deles. Sabemos que a organização curricular por componente curricular viabiliza o processo ensino-aprendizagem, mas não devemos perder de vista que o conhecimento não se limita a uma ou a outra área. Na vida, os conteúdos estão integrados. Exemplo disso está na imagem a seguir.

Que componentes curriculares ou áreas do conhecimento estão presentes na cena?

Embora não haja “placas” que nos indiquem isso, sabemos que, de forma integrada, estão presentes conhecimentos sobre:

• cálculos, unidades de medida, números, formas geométricas (Matemática);

• força, gravidade, resistência (Física);

• compostos, materiais (Química);

• segurança no trabalho (Direito);

• comunicação oral e escrita, leitura de projetos (Língua Portuguesa);

• condições de trabalho e de empregabilidade (Sociologia);

• impacto ambiental (Ciências);

• formas de relevo, propriedades do solo (Geografia)... entre tantos outros.

Fazer essa análise ajuda-nos a entender que a realidade não é segmentada, ou seja, na vida, os conhecimentos das mais diferentes áreas interpenetram-se e inter-relacionam-se; existem de forma integrada.

E na escola? Como o professor pode superar a possível visão fragmentada de sua área de conhecimento, com enfoque meramente disciplinar?

Trabalhadores em um canteiro de obras.

Red ivory/Shutterstock.com

Uma das possibilidades é o trabalho com projetos interdisciplinares, sejam aqueles envolvendo professores de dois ou mais componentes curriculares, sejam aqueles desenvolvidos com os estudantes por um único professor, uma vez que este pode ter uma visão interdisciplinar de seu ensino e promovê-la em suas aulas.

Interdisciplinaridade, na verdade, é uma atitude. A integração deve ocorrer entre os saberes e não, necessariamente, entre os professores, embora saibamos que a realização de projetos interdisciplinares por dois ou mais docentes traz uma série de benefícios a todos os envolvidos, como engajamento da comunidade escolar, fortalecimento de vínculos, ampliação da capacidade de trabalhar em equipe, criação de ambientes mais colaborativos, entre outros.

Outra ideia equivocada que comumente encontramos nas escolas é de que projetos interdisciplinares precisam ser longos, por vezes, até exaustivos. Na verdade, a duração de um projeto interdisciplinar deverá ser condizente com a abrangência da temática desenvolvida, que, vale lembrar, precisa estar em consonância com situações-problemas reais vividas pelos estudantes.

Nesta coleção, as atividades são indicadas em consonância com os componentes curriculares definidos pela BNCC, no entanto, algumas propostas possibilitam um trabalho inter, multi ou pluridisciplinar, com base nas ampliações do professor. Em algumas atividades específicas, há indicações da possibilidade de trabalho interdisciplinar, a fim de auxiliar o professor em seu planejamento e na articulação de saberes.

Para trabalhar com essa perspectiva de diálogo entre os componentes curriculares, o professor precisa estar aberto ao diálogo com outros professores e atualizar constantemente seus conhecimentos, potencializando as ações pedagógicas.

Também, é necessário que tome alguns cuidados ao articular os componentes curriculares, pois algumas tentativas de aproximar conhecimentos em relação a um tema podem empobrecer o trabalho matemático, propondo relações artificiais ou reduzindo as atividades ao uso de tabelas e gráficos que, em geral, poderiam ser utilizados em uma grande diversidade de temas. Claro que o uso das tabelas e gráficos é importante, entretanto, as articulações entre os componentes curriculares devem ser mais ricas, proporcionando outros conhecimentos matemáticos igualmente importantes.

As práticas de pesquisa

Sabemos que, até pouco tempo, as “pesquisas” realizadas pelos estudantes, a pedido dos professores, resumiam-se a simples cópias de informações obtidas em livros e enciclopédias, prática que, com o advento da tecnologia, foi substituída pelos comandos “copiar” e “colar”, feitos no computador.

Nesse sentido, cabe uma reflexão: encontrar informações sobre determinado assunto, seja em suportes físicos ou digitais, e reproduzi-las consiste, de fato, no ato de pesquisar?

Lüdke e André (1986) afirmam que esse tipo de atividade não representa, verdadeiramente, o conceito de pesquisa, mas sim uma atividade de consulta que, embora importante para a aprendizagem dos estudantes, não esgota o sentido do termo.

Segundo as autoras, para a realização de uma pesquisa,

[...] é preciso promover o confronto entre os dados, as evidências, as informações coletadas sobre determinado assunto e o conhecimento teórico acumulado a respeito dele. Em geral, isso se faz a partir do estudo de um problema, que ao mesmo tempo desperta o interesse do pesquisador e limita sua atividade de pesquisa a uma determinada porção do saber, a qual ele se compromete a construir naquele momento. [...] Esse conhecimento é, portanto, fruto da curiosidade, da inquietação, da inteligência e da atividade investigativa dos indivíduos, a partir e em continuação do que já foi elaborado e sistematizado pelos que trabalharam o assunto anteriormente (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p. 1-2).

E assim, ano após ano, os estudantes seguem coletando e reproduzindo informações, sem, efetivamente, realizar pesquisas. Uma das razões para que isso aconteça seja, talvez, o fato de que precisem aprender a pesquisar, o que, muitas vezes, não acontece na escola.

Nessa direção, a pesquisadora brasileira Walkiria Rigolon, em entrevista concedida à Revista Ensino sobre o tema “Aprender a estudar” comenta que:

A escola, em geral, naturaliza alguns saberes, como se determinados conteúdos não precisassem ser ensinados, ou que pudessem ser aprendidos sem um modelo, sem apoio ou referência. Tratamos assim os procedimentos e técnicas de estudos como se fossem um dom natural (RIGOLON, 2017, p. [1]).

O ato de pesquisar, portanto, não é “natural”, e sim algo que precisa ser aprendido, sendo a escola lócus privilegiado para essa aprendizagem. Nessa perspectiva, os professores precisam criar situações de aprendizagem que possibilitem aos estudantes o desenvolvimento de algumas habilidades, entre elas:

• localizar, selecionar e compartilhar informações;

• ler, compreender e interpretar textos com maior grau de complexidade;

• consultar, de forma crítica, fontes de informação diferentes e confiáveis;

• formar e defender opiniões;

• argumentar de forma respeitosa;

• sintetizar;

• expor oralmente o que aprendeu apoiando-se em diferentes recursos;

• generalizar conhecimentos;

• produzir gêneros acadêmicos (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Se o desenvolvimento dessas e de outras habilidades necessárias ao ato de pesquisar constituir-se em ponto de atenção dos professores de diferentes componentes curriculares, certamente o processo ensino-aprendizagem ganhará outras dimensões, pois proporcionará aos estudantes que aprendam e se desenvolvam em diferentes áreas do conhecimento, de forma ativa e autônoma.

É de extrema importância a orientação do professor para o planejamento e para o acompanhamento das pesquisas realizadas pelos estudantes.

Ao propor aos estudantes a realização de uma pesquisa, é fundamental que o professor compartilhe com eles:

[...] por que a pesquisa será feita, que relação ela terá com o que estão aprendendo ou aprenderão e qual será o tempo estipulado para sua realização, entre outras informações que ajudem a contextualizar e problematizar a temática a ser investigada. Esse compartilhamento tem por objetivo criar nos estudantes expectativas que os ajudem a atribuir significado e sentido ao ato de pesquisar (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Outro ponto importante é a elaboração coletiva do roteiro, que deverá explicitar as etapas da pesquisa, [...] desde o levantamento inicial das informações, a seleção de diversas fontes, a leitura de todo o material selecionado, a utilização dos procedimentos de estudo para aprofundamento das leituras e os registros das aprendizagens construídas, até a apresentação dos resultados obtidos, garantindo que existam ao longo desse processo, sobretudo, momentos de compartilhamento do que se aprendeu (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Nessa perspectiva, o professor deverá atentar-se à forma como avaliará o trabalho realizado pelos estudantes, pois considerar apenas o resultado, e não o processo como um todo, seria incorrer em uma visão reducionista do processo ensino-aprendizagem.

Uma boa estratégia complementar à avaliação do professor é a realização da autoavaliação pelos estudantes e pelo próprio grupo. Assim, eles podem autoavaliar-se em cada etapa do processo de pesquisa,

[...] identificando suas dificuldades, os desafios do ato de pesquisar e, principalmente, seus avanços. Com essa estratégia de avaliação, é possível observar, por exemplo, que um estudante se saiu muito bem na seleção de material, porém não teve o mesmo êxito ao apresentar oralmente seus resultados; ou que teve sucesso na apresentação dos resultados, mas selecionou fontes não confiáveis. Nesse contexto, a avaliação final consideraria todas as etapas da produção da pesquisa, sem focar apenas um quesito (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Destacamos que o ensino sistemático da pesquisa desde os primeiros anos de escolaridade contribui para que os estudantes não cheguem aos Anos Finais da Educação Básica sem desenvolver essa capacidade que, certamente, será fundamental para o sucesso de seus estudos na universidade.

Veja como isso se materializa na BNCC (BRASIL, 2018, p. 305, 311, 315 e 319):

• 6? ano: (EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

• 7? ano: (EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

• 8? ano: (EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

• 9? ano: (EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e o ensino da Matemática

A BNCC apresenta um conjunto de aprendizagens essenciais que todos os estudantes devem desenvolver ao longo da Educação Básica, de modo que tenham assegurados seus direitos de aprendizagem e desenvolvimento, conforme estabelecido no Plano Nacional de Educação (PNE).

Ao longo desse período, as aprendizagens essenciais definidas no documento devem contribuir para assegurar aos estudantes o desenvolvimento de dez competências gerais que consolidam, no âmbito pedagógico, os direitos de aprendizagem e desenvolvimento.

A BNCC define competência como

[...] a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho (BRASIL, 2018, p. 8).

Vale comentar que, entre os marcos legais que embasam a BNCC, estão a Constituição Federal (CF) de 1988, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) no 9.394/1996 e a Lei no 13.005/2014, que promulgou o PNE.

A Constituição Federal, trinta anos antes da publicação integral da BNCC, já anunciava, em seu artigo 210, a concepção de currículo comum:

Serão fixados conteúdos mínimos para o Ensino Fundamental, de maneira a assegurar formação básica comum e respeito aos valores culturais e artísticos, nacionais e regionais (BRASIL, 2016, p. 124, grifo nosso).

Da mesma forma, a LDB, em seus artigos 9o (inciso IV) e 26o, anos antes da publicação da BNCC, já expressava essa concepção:

[Cabe à União] [...] estabelecer, em colaboração com os Estados, o Distrito Federal e os Municípios, competências e diretrizes para a educação infantil, o ensino fundamental e o ensino médio, que nortearão os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum (BRASIL, 2017, p. 12, grifo nosso).

[...]

Os currículos da educação infantil, do ensino fundamental e do ensino médio devem ter uma base nacional comum, a ser complementada, em cada sistema de ensino e em cada estabelecimento escolar, por uma parte diversificada, exigida pelas características regionais e locais da sociedade, da cultura, da economia e dos educandos (BRASIL, 2017, p. 19, grifo nosso).

Da mesma forma, na meta 7 do PNE, estratégia 7.1, também já se fazia presente a concepção de currículo comum: (7.1) estabelecer e implantar, mediante pactuação interfederativa, diretrizes pedagógicas para a básica e a base nacional comum dos currículos, com direitos e objetivos de aprendizagem e desenvolvimento dos(as) alunos(as) para cada ano do ensino fundamental e médio, respeitada a diversidade regional, estadual e local (BRASIL, 2014, p. [1], grifos nossos).

Também é importante mencionar que a BNCC tem como fundamentos pedagógicos o foco no desenvolvimento de competências e o compromisso com a educação integral. Com relação ao primeiro fundamento pedagógico, a BNCC indica que [...] as decisões pedagógicas devem estar orientadas para o desenvolvimento de competências. Por meio da indicação clara do que os alunos devem “saber” [...] e,

sobretudo, do que devem “saber fazer” [...], a explicitação das competências oferece referências para o fortalecimento de ações que assegurem as aprendizagens essenciais definidas na BNCC (BRASIL, 2018, p. 13).

Com relação ao segundo fundamento pedagógico, a BNCC reconhece que [...] a Educação Básica deve visar à formação e ao desenvolvimento humano global, o que implica compreender a complexidade e a não linearidade desse desenvolvimento, rompendo com visões reducionistas que privilegiam ou a dimensão intelectual (cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda, assumir uma visão plural, singular e integral da criança, do adolescente, do jovem e do adulto – considerando-os como sujeitos de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas suas singularidades e diversidades (BRASIL, 2018, p. 14).

Para que as aprendizagens essenciais definidas para cada etapa da Educação Básica se materializem, faz-se necessário que as proposições da BNCC sejam adequadas à realidade local. Nesse sentido, algumas ações precisam ser tomadas pela comunidade escolar, entre elas:

• contextualizar os conteúdos dos componentes curriculares, identificando estratégias para apresentá-los, representá-los, exemplificá-los, conectá-los e torná-los significativos, com base na realidade do lugar e do tempo nos quais as aprendizagens estão situadas;

• decidir as formas de organização interdisciplinar dos componentes curriculares e fortalecer a competência pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à gestão do ensino e da aprendizagem;

• selecionar e aplicar metodologias e estratégias didático-pedagógicas diversificadas, recorrendo a ritmos diferenciados e a conteúdos complementares, se necessário, para trabalhar as necessidades de diferentes grupos de estudantes, suas famílias e cultura de origem, suas comunidades, seus grupos de socialização etc.;

• conceber e pôr em prática situações e procedimentos para motivar e engajar os estudantes nas aprendizagens;

• construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa de processo ou de resultado que levem em conta os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros como referência para melhorar o desempenho da escola, dos professores e dos estudantes;

• selecionar, produzir, aplicar e avaliar recursos didáticos e tecnológicos para apoiar o processo de ensinar e aprender;

• criar e disponibilizar materiais de orientação para os professores, bem como manter processos permanentes de formação docente que possibilitem contínuo aperfeiçoamento dos processos de ensino e aprendizagem;

• manter processos contínuos de aprendizagem sobre gestão pedagógica e curricular para os demais educadores, no âmbito das escolas e dos sistemas de ensino (BRASIL, 2018, p. 16-17).

Implicações da BNCC no ensino de Matemática no contexto da sala de aula

No componente curricular de Matemática, é necessário destacar quais são as concepções assumidas sobre o ensino da área e como os conhecimentos organizam-se no período escolar.

Segundo a BNCC, equivalência, ordem, proporcionalidade, interdependência, representação, variação e aproximação são algumas das ideias fundamentais da área que precisam ser consideradas no desenvolvimento do pensamento matemático dos estudantes por meio de objetos de conhecimento. Essas ideias fundamentais perpassam as cinco unidades temáticas que compõem a Matemática escolar proposta pelo documento.

As unidades temáticas são uma forma de organizar os conhecimentos matemáticos, mas é importante salientar que, no trabalho a ser desenvolvido com os estudantes, elas devem estar inter-relacionadas.

Vejamos algumas informações acerca de cada uma dessas unidades temáticas, especificamente na etapa dos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Números

Por meio da exploração de campos numéricos, essa unidade temática inclui o desenvolvimento das ideias fundamentais de aproximação, proporcionalidade, equivalência e ordem.

Nos Anos Finais do Ensino Fundamental, os estudantes devem ampliar suas habilidades de operar com números naturais, inteiros e racionais. Os números irracionais também devem ser explorados, de acordo com a percepção dos estudantes e de sua necessidade, em situações nas quais os números racionais não são suficientes, por exemplo, em contextos geométricos. O cálculo e a compreensão de porcentagem bem como a identificação de números na reta numérica, explorando ordem, ampliam ainda mais o trabalho com essa unidade temática.

Os conceitos básicos de economia e finanças, que visam à educação financeira dos estudantes, também compõem o trabalho e facilitam a interlocução com outras áreas do conhecimento.

[...] podem ser discutidos assuntos como taxa de juros, inflação, aplicações financeiras (rentabilidade e liquidez de um investimento) e impostos. Essa unidade temática favorece um estudo interdisciplinar envolvendo as dimensões culturais, sociais, políticas e psicológicas, além da econômica sobre as questões do consumo, trabalho e dinheiro (BRASIL, 2018, p. 269).

Álgebra

Essa unidade temática envolve o desenvolvimento do pensamento algébrico, relacionado à identificação de regularidades e padrões, tanto em sequências numéricas como não numéricas, à construção ou à compreensão de leis matemáticas que representem relações de interdependência entre grandezas diversas e, também, às diversas representações gráficas e simbólicas. Os objetos de conhecimento dessa unidade relacionam-se às ideias de equivalência, variação, interdependência e proporcionalidade

[...] Em síntese, essa unidade temática deve enfatizar o desenvolvimento de uma linguagem, o estabelecimento de generalizações, a análise da interdependência de grandezas e a resolução de problemas por meio de equações ou inequações (BRASIL, 2018, p. 270).

Vale destacar que essa unidade temática deve ser explorada desde os Anos Iniciais do Ensino Fundamental, mas cabe aos Anos Finais dar continuidade a ela, explorando as variáveis numéricas em expressões, estabelecendo generalizações, investigando novas regularidades e padrões, identificando valores desconhecidos, entre outras habilidades.

Além disso, segundo a BNCC, os conhecimentos envolvidos nessa e em outras unidades temáticas podem dar grande sustentação para o pensamento computacional, já que desenvolvem a capacidade de traduzir situações em linguagens específicas.

Números Álgebra

Geometria

Grandezas e medidas

Probabilidade e Estatística

Reinaldo Vignati

Geometria

Os objetos de conhecimento e as competências inseridos nessa unidade temática buscam desenvolver o pensamento geométrico, que propicia ao estudante um novo olhar para o mundo físico, por meio da exploração e do estudo de espaços, deslocamentos, formas, incluindo figuras planas e espaciais. Quanto ao aspecto funcional, essa unidade engloba as transformações geométricas.

Para o trabalho com os objetos de conhecimento, é importante considerar o desenvolvimento das ideias de construção, representação e interdependência

A BNCC destaca o trabalho com os conceitos de congruência e semelhança, de modo que os estudantes sejam capazes de realizar demonstrações simples, e enfatiza o quanto as atividades não podem ser reduzidas à aplicação de fórmulas ou aplicações imediatas de teoremas, já que pode haver outras formas e estratégias de resolver as problemáticas propostas.

Grandezas e medidas

O trabalho com medidas e com a relação entre elas pode ser um ponto integrador tanto com outras unidades temáticas (ampliação da noção de número, por exemplo) como com outros componentes curriculares (uso de escalas em mapas no campo da Geografia, por exemplo). É esperado que, nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, os estudantes reconheçam as unidades de medidas convencionais, para que o tema possa ser ampliado nos Anos Finais, com a exploração de densidade, velocidade e capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

Probabilidade e estatística

Essa unidade temática trata da parte da Matemática que lida com o incerto, com o tratamento de dados e o desenvolvimento das habilidades de coletar, organizar, representar, interpretar e analisar dados. Tais habilidades possibilitam um olhar crítico para as situações do dia a dia, de modo a permitir que os estudantes analisem a ocorrência de eventos ou identifiquem dados de determinadas situações que revelem necessidades de uma comunidade, de uma instituição ou de qualquer outro espaço. Esse tipo de conhecimento também alicerça a tomada de decisões, pois torna possível a antecipação de situações para se evitarem escolhas vazias.

O uso de tecnologias digitais

Como mencionamos, o mundo em que vivemos está em constante transformação, e boa parte das mudanças ocorridas, sem dúvida, tem sido ocasionada pelo significativo avanço tecnológico das últimas décadas. Hoje, as tecnologias digitais estão presentes não apenas nas grandes empresas mas também nas escolas e nas casas das pessoas.

Conforme aponta a BNCC (BRASIL, 2018), essas constantes mudanças advindas do avanço tecnológico repercutem na forma como as pessoas se comunicam, se relacionam, aprendem e trabalham, impactando diretamente no funcionamento da sociedade.

A preocupação com esse impacto está expressa na Base e se explicita na competência geral 5 para a Educação Básica:

Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva (BRASIL, 2018, p. 9).

A BNCC tematiza três dimensões que caracterizam a computação e as tecnologias digitais – o pensamento computacional, o mundo digital e a cultura digital – que, em articulação com as competências gerais, também foram contempladas nas competências específicas e nas habilidades dos diferentes componentes curriculares do Ensino Fundamental, respeitadas as características dessa etapa.

Nesse contexto, é preciso lembrar que incorporar as tecnologias digitais na educação não se trata de utilizá-las somente como meio ou suporte para promover

aprendizagens ou despertar o interesse dos alunos, mas sim de utilizá-las com os alunos para que construam conhecimentos com e sobre o uso dessas TDICs (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Na área de Matemática, a BNCC destaca o uso de tecnologias digitais como calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares de Geometria dinâmica para auxiliar na construção de figuras geométricas e suas transformações bem como na organização e na apresentação de dados. O documento salienta a necessidade do uso dessas e de outras tecnologias, digitais ou não, estarem integradas a situações que propiciem a reflexão dos estudantes, contribuindo para a sistematização e a formalização dos conceitos matemáticos (BRASIL, 2018).

Destacamos que, além de usar as tecnologias digitais apontadas pela BNCC, os estudantes sejam estimulados e orientados a produzir materiais multimidiáticos diversos, como histórias em quadrinhos digitais – para contar, por exemplo, a história da Matemática –, fanpages, blogs, podcasts, vídeos, entre outros.

Produzindo materiais desse tipo, eles passam a usar a tecnologia de forma ativa, deixando de ser apenas consumidores de informação para serem produtores de conhecimento.

O pensamento computacional

O pensamento computacional, uma das três dimensões que caracterizam a computação e as tecnologias digitais, conforme apresentado pela BNCC, envolve a compreensão de algoritmos e fluxogramas que permeiam os meios digitais e estão intimamente relacionados às competências matemáticas.

Segundo a Base, no Ensino Fundamental, a área de Matemática “centra-se na compreensão de conceitos e procedimentos em seus diferentes campos e no desenvolvimento do pensamento computacional, visando à resolução e formulação de problemas em contextos diversos” (BRASIL, 2018, p. 471).

Em outras palavras:

O pensamento computacional pode ser definido como uma estratégia usada para desenhar soluções e solucionar problemas de maneira eficaz tendo a tecnologia como base. Ao contrário do que a expressão pode inferir, não necessariamente significa o que está ligado à programação de computadores ou mesmo à navegação na internet, à utilização de redes sociais, entre outros.

[...] Resumidamente, [pensamento computacional] seria a capacidade criativa, crítica e estratégica de utilizar as bases computacionais nas diferentes áreas de conhecimento para a resolução de problemas (A LÓGICA..., [202-], p. [2]).

O pensamento computacional pode ser organizado em quatro etapas – decomposição, reconhecimento de padrões, abstração e algoritmos –, conforme ilustrado no infográfico a seguir.

Os 4 pilares do Pensamento Computacional Decomposição

Dividir um problema complexo em pequenas par tes, a m de solucioná-lo com mais facilidade.

Reconhecimento de padrões

Identi car aspectos comuns nos processos, encontrar o padrão ou os padrões que podem ajudar na solução.

Abstração

Priorizar elementos e processos importantes, diferenciando-os dos detalhes menos relevantes. Dessa forma, a solução pode ser válida para vários problemas diferentes

Algoritmos

Estipular uma ordem ou uma sequência de passos para resolver o problema, a partir das etapas anteriores. É a utilização da lógica e da racionalidade para a busca de uma solução.

Fonte: FERNANDES, Ester. O que é pensamento computacional? In: EDUCAPES. [Brasília, DF]: Portal eduCAPES, 25 mar. 2021. Disponível em: https://educapes.capes.gov.br/handle/capes/597639. Acesso em: 24 maio 2022.

Reinaldo Vignati

Entre as capacidades envolvidas no pensamento computacional, a BNCC destaca “as capacidades de compreender, analisar, definir, modelar, resolver, comparar e automatizar problemas e suas soluções, de forma metódica e sistemática, por meio do desenvolvimento de algoritmos” (BRASIL, 2018, p. 474).

Para alguns professores, a falta de computadores nas escolas ou de acesso à internet pode representar um grande desafio na hora de promover atividades relacionadas ao desenvolvimento do pensamento computacional dos estudantes, entretanto, é possível realizar as atividades com os recursos didático-pedagógicos disponíveis, usando a lógica do pensamento computacional. Desenvolver o pensamento computacional “envolve mais a lógica de resolução e análise de problemas do que de fato aplicá-los ao mundo digital” (A LÓGICA..., [202-], p. [2]).

O desenvolvimento de competências e habilidades

A BNCC oferece-nos um bom aporte para o entendimento do que são competências e habilidades, a partir da observação de como o documento está estruturado.

No caso do Ensino Fundamental, essa etapa está organizada em cinco áreas do conhecimento. Cada uma delas estabelece suas competências específicas de área, “cujo desenvolvimento deve ser promovido ao longo dos nove anos. Essas competências explicitam como as dez competências gerais se expressam nessas áreas” (BRASIL, 2018, p. 28, grifo nosso). Também são definidas as competências específicas do componente curricular, que deverão ser desenvolvidas pelos estudantes ao longo dos nove anos que constituem essa etapa de escolarização. Por fim, para que se garanta o desenvolvimento dessas competências específicas, cada componente curricular apresenta um conjunto de habilidades, que “estão relacionadas a diferentes objetos de conhecimento – aqui entendidos como conteúdos, conceitos e processos –, que, por sua vez, são organizados em unidades temáticas” (BRASIL, 2018, p. 28, grifo do autor).

Esquematizando, temos o seguinte:

Competências gerais

Competências especí cas da área do conhecimento

Competências especí cas do componente curricular Unidades temáticas

Objetos de conhecimento

Habilidades

Como podemos observar, as competências “contêm” as habilidades, o que pode ficar ainda mais claro quando nos atentamos à definição de competência apresentada pela BNCC. No documento, competência é definida como “a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho” (BRASIL, 2018, p. 8, grifo nosso).

Esquematizando novamente, temos o seguinte:

Atitudes e valores

Conhecimentos

Fonte: BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf Acesso em: 24 maio 2022.

Vale destacar que as competências específicas do componente curricular [...] possibilitam a articulação horizontal entre as áreas, perpassando todos os componentes curriculares, e também a articulação vertical, ou seja, a progressão entre o Ensino Fundamental – Anos Iniciais e o Ensino Fundamental – Anos Finais e a continuidade das experiências dos alunos, considerando suas especificidades” (BRASIL, 2018, p. 28, grifo do autor).

Tomemos como exemplo disso e da relação existente entre as competências (amplas) e as habilidades (específicas) a competência específica 4 para o Ensino Fundamental:

Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

Para que os estudantes desenvolvam essa competência específica ao longo de todo o Ensino Fundamental, eles devem desenvolver as habilidades a seguir relacionadas a diferentes objetos de conhecimento.

(EF02MA23) Realizar pesquisa em universo de até 30 elementos, escolhendo até três variáveis categóricas de seu interesse, organizando os dados coletados em listas, tabelas e gráficos de colunas simples.

(EF03MA28) Realizar pesquisa envolvendo variáveis categóricas em um universo de até 50 elementos, organizar os dados coletados utilizando listas, tabelas simples ou de dupla entrada e representá-los em gráficos de colunas simples, com e sem uso de tecnologias digitais.

(EF04MA24) Registrar as temperaturas máxima e mínima diárias, em locais do seu cotidiano, e elaborar gráficos de colunas com as variações diárias da temperatura, utilizando, inclusive, planilhas eletrônicas.

(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

Fonte: BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018, p. 267, 285, 289, 293, 305, 311 e 319. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Temas Contemporâneos Transversais (TCTs)

Além do grande avanço tecnológico mencionado anteriormente, que não pode ser ignorado pelos currículos escolares, outros temas contemporâneos precisam ser considerados no ensino dessa nova geração de estudantes. Segundo a BNCC, as escolas devem incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas a abordagem de 15 temas contemporâneos que afetam a vida humana em escala local, regional e global, presentes em seis macroáreas, conforme a seguir.

Temas Contemporâneos Transversais

• Vida Familiar e Social

• Educação para o Trânsito

MEIO AMBIENTE

• Educação Ambiental

• Educação para o Consumo

• Trabalho

ECONOMIA

• Educação Financeira

• Educação Fiscal

SAÚDE

• Saúde

• Educação Alimentar e Nutricional

CIDADANIA E CIVISMO

• Educação em Direitos Humanos

• Direitos da Criança e do Adolescente

• Processos de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

• Diversidade Cultural

MULTICULTURALISMO

• Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

CIÊNCIA E TECNOLOGIA • Ciência e Tecnologia

Fonte: BRASIL. Ministério da Educação. Caderno economia: Educação Financeira, Educação Fiscal, trabalho. Coordenação-geral de Maria Luciana da Silva Nóbrega. Brasília, DF: MEC, 2022. (Série Temas Contemporâneos Transversais: Base Nacional Comum Curricular). p. 16. Disponível em: http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/cadernos_tematicos/caderno_economia_consolidado_v_final_09_03_2022.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

A abordagem desses temas contemporâneos deve se dar, preferencialmente, de forma transversal e integradora, uma vez que não pertence a uma área do conhecimento em particular, mas atravessa todas elas.

Na BNCC, essas temáticas são contempladas em habilidades dos componentes curriculares, cabendo às escolas tratá-las de forma contextualizada, de acordo com a realidade de sua comunidade escolar.

Como podemos ver, esses temas são amplos e permitem a articulação de conhecimentos e habilidades de diversos componentes curriculares, na tentativa de superar a fragmentação do conhecimento, favorecendo sua aplicação no cotidiano.

No caso dos conhecimentos matemáticos, é possível mostrar como o componente curricular se aplica nos diferentes temas, tornando-a um vigoroso instrumento na busca de soluções em diferentes situações.

Nos Anos Finais do Ensino Fundamental, tais temas podem ser apresentados com mais profundidade, pois se espera que os estudantes já tenham entrado em contato com inúmeras questões de ordem social, cultural e política. Espera-se também que eles possam ampliar os conhecimentos de modo mais articulado.

Nessa etapa, é imprescindível olhar para as vivências e as necessidades dos estudantes em seus mais variados contextos, incluindo conhecimentos do componente curricular e de temas contemporâneos.

Nosso objetivo também é o desenvolvimento dos estudantes, tendo em vista a continuação dos estudos no Ensino Médio, contribuindo, assim, positivamente para a construção da trajetória e do projeto de vida deles.

Veja no quadro a seguir alguns dos Temas Contemporâneos Transversais contemplados em cada volume da coleção.

Reinaldo Vignati

6o ano Educação para o Consumo Educação Alimentar e Nutricional

7o ano Educação Ambiental

Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

8o ano Educação em Direitos Humanos Direitos da Criança e do Adolescente

9o ano Ciência e Tecnologia Educação Financeira

Cultura juvenil

Conforme mencionamos em tópicos anteriores, a BNCC tem como um de seus fundamentos pedagógicos o compromisso com a educação integral, entendida como a “construção intencional de processos educativos que promovam aprendizagens sintonizadas com as necessidades, as possibilidades e os interesses dos estudantes e, também, com os desafios da sociedade contemporânea”, o que “supõe considerar as diferentes infâncias e juventudes, as diversas culturas juvenis e seu potencial de criar novas formas de existir” (BRASIL, 2018, p. 14, grifo nosso).

Como vemos, cultura juvenil é um tema que está presente no documento, por isso é importante entendermos como se manifesta entre os estudantes do Ensino Fundamental – Anos Finais.

A entrada nessa etapa de escolarização corresponde ao período de transição dos estudantes, da infância para a adolescência, momento marcado por profundas transformações, não apenas orgânicas mas também psicossociais. Como aponta o Parecer CNE/CEB no 11/2010 (BRASIL, 2010a), nesse período, também se modificam as relações sociais e os laços afetivos e se ampliam as possibilidades intelectuais, resultando na capacidade de raciocinar de forma mais abstrata. Os estudantes desenvolvem a capacidade de descentração, isto é, de ver os fatos sob a perspectiva do outro, “importante na construção da autonomia e na aquisição de valores morais e éticos” (BRASIL, 2010a, p. 9).

As Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica destacam que, entre os estudantes dos Anos Finais do Ensino Fundamental, frequentemente, observa-se uma

[...] forte adesão aos padrões de comportamento dos jovens da mesma idade, o que é evidenciado pela forma de se vestir e também pela linguagem utilizada por eles. Isso requer dos educadores maior disposição para entender e dialogar com as formas próprias de expressão das culturas juvenis, cujos traços são mais visíveis, sobretudo, nas áreas urbanas mais densamente povoadas (BRASIL, 2013, p. 110, grifo nosso).

Segundo Prado (2012, p. 68), podemos entender cultura juvenil como a maneira com que “os jovens se manifestam no grupo, por meio da construção de vários estilos e formas de vida”. O autor ressalta que a cultura juvenil muda conforme a época e o local onde a pessoa vive.

Martins e Carrano, citando Cruz (2000, p. 11 apud MARTINS; CARRANO, 2011, p. 48), explicam que as culturas juvenis resultam de um conjunto de “práticas arraigadas no âmbito local que se alimentam incessantemente de elementos da cultura globalizada”. Desse modo, estão “baseadas no consumo de bens materiais e simbólicos que permitem observar as ligações entre o local e o global e as maneiras que as culturas se inter-relacionam e interagem naquele espaço”.

Não há como pensarmos na cultura globalizada, mencionada pelos autores, sem associá-la ao avanço tecnológico e às profundas transformações por ele provocadas na sociedade atual, sendo uma delas a inserção das pessoas na cultura digital, não apenas como consumidoras mas também como produtoras de informações e conhecimentos.

Com nossos estudantes dos Anos Finais do Ensino Fundamental não é diferente, afinal, mais do que muitos adultos, até, eles estão absolutamente imersos nessa “nova” cultura. Como aponta a BNCC, os adolescentes

[...] têm se engajado cada vez mais como protagonistas da cultura digital, envolvendo-se diretamente em novas formas de interação multimidiática e multimodal e de atuação social em rede, que se realizam de modo cada vez mais ágil. Por sua vez, essa cultura também apresenta forte apelo emocional e induz ao imediatismo de respostas e à efemeridade das informações, privilegiando análises superficiais e o uso de imagens e formas de expressão mais sintéticas, diferentes dos modos de dizer e argumentar característicos da vida escolar (BRASIL, 2018, p. 61).

Diante dessa realidade, a escola se depara com alguns desafios na formação dos estudantes, dentre eles:

• estimular a reflexão e a análise aprofundada, contribuindo para o desenvolvimento, nos estudantes, de uma atitude crítica em relação ao conteúdo e à multiplicidade de ofertas midiáticas e digitais;

• compreender e incorporar as novas linguagens e seus modos de funcionamento, descobrindo possibilidades de comunicação com eles;

• educá-los para usos mais democráticos das tecnologias e para uma participação mais consciente na cultura digital

Podemos citar, ainda, o desafio enfrentado pela escola de tornar mais harmônica e próxima possível a relação entre professores e estudantes, pois são pessoas de diferentes gerações. Como ressaltam Martins e Carrano (2011, p. 54), é necessário que a escola esteja atenta “para reconhecer que as culturas juvenis não se encontram subordinadas às relações de dominação ou resistência impostas pelas culturas das gerações mais velhas”. Esse reconhecimento, segundo os autores

[...] pode auxiliar a construção de projetos pedagógicos e processos culturais que aproximem professores e alunos. Através da elaboração de linguagens em comum, a escola pode recuperar seu prestígio entre os jovens, bem como o prazer deles estarem em um lugar que podem chamar de seu na medida em que são reconhecidos como sujeitos produtores de cultura (MARTINS; CARRANO, 2011, p. 54).

Vale lembrar que, para haver aprendizagem, é preciso que os estudantes vejam sentido naquilo que aprendem. Daí a importância e a necessidade de se inserirem no currículo escolar temas ligados às culturas juvenis e de os contextos em que vivem os jovens serem reconhecidos e valorizados pela comunidade escolar.

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Conhecer os estudantes, seus hábitos e gostos é de extrema importância para aproximar o aprendizado do cotidiano deles.

Fonte: BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018, p. 61. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov. br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Projeto de vida

Quando pensamos em projeto de vida, é muito comum pensarmos nos jovens e nos adultos fazendo planos para seu futuro, especialmente na esfera profissional, mas fazer planos, projetar o futuro não é algo que acontece naturalmente com todas as pessoas. Para muitas, isso demanda aprendizagem; é preciso aprender a se organizar e a selecionar as ações que levarão à concretização de seus planos que, em última instância, são reflexos de seus sonhos, seus desejos, seus interesses. E essa aprendizagem não acontece da noite para o dia, mas de forma gradual e contínua.

Tanto é assim que, entre as dez competências gerais apresentadas pela BNCC, as quais deverão ser desenvolvidas pelos estudantes ao longo da Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio), está a competência geral 6, que faz referência ao projeto de vida, conforme destacamos a seguir: Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade (BRASIL, 2018, p. 9, grifo nosso).

Assim, entre os maiores desafios que se apresentam à escola esteja, talvez, o de conseguir conectar o currículo escolar aos projetos de vida dos estudantes, sejam eles relacionados ao estudo ou ao trabalho.

Nessa direção, no Ensino Fundamental – Anos Finais, a escola pode contribuir para o delineamento do projeto de vida dos estudantes, ao estabelecer uma articulação não somente com os anseios desses jovens em relação ao seu futuro como também com a continuidade dos estudos no Ensino Médio. Esse processo de reflexão sobre o que cada jovem quer ser no futuro, e de planejamento de ações para construir esse futuro, pode representar mais uma possibilidade de desenvolvimento pessoal e social (BRASIL, 2018, p. 62).

Projeto de vida é um tema que deve ser trabalhado em todos os componentes curriculares, sempre que possível de forma interdisciplinar.

Se considerarmos que o projeto de vida pode se relacionar não apenas ao estudo e ao trabalho mas também às escolhas de estilos de vida, no ensino de Matemática, desde a Educação Infantil, os professores poderão trabalhar, por exemplo, a Educação Financeira, um dos temas contemporâneos transversais propostos pela BNCC, para desenvolver nos estudantes a percepção do dinheiro e de seu valor bem como a importância de se usar os recursos financeiros de modo responsável e consciente.

Os objetivos e as metas a serem atingidas são de extrema importância para planejar o futuro.

Cultura de paz

Em Assembleia Geral de 6 de outubro de 1999, as Nações Unidas definiram a cultura de paz como sendo

[...] um conjunto de valores, atitudes, tradições, comportamentos e estilos de vida baseados:

a) No respeito à vida, no fim da violência e na promoção e prática da não violência por meio da educação, do diálogo e da cooperação;

b) No pleno respeito aos princípios de soberania, integridade territorial e independência política dos Estados e de não ingerência nos assuntos que são, essencialmente, de jurisdição interna dos Estados, em conformidade com a Carta das Nações Unidas e o direito internacional;

c) No pleno respeito e na promoção de todos os direitos humanos e liberdades fundamentais;

d) No compromisso com a solução pacífica dos conflitos;

e) Nos esforços para satisfazer as necessidades de desenvolvimento e proteção do meio ambiente para as gerações presente e futura;

f) No respeito e promoção do direito ao desenvolvimento;

g) No respeito e fomento à igualdade de direitos e oportunidades de mulheres e homens;

h) No respeito e fomento ao direito de todas as pessoas à liberdade de expressão, opinião e informação;

i) Na adesão aos princípios de liberdade, justiça, democracia, tolerância, solidariedade, cooperação, pluralismo, diversidade cultural, diálogo e entendimento em todos os níveis da sociedade e entre as nações;

[...] e animados por uma atmosfera nacional e internacional que favoreça a paz (NAÇÕES UNIDAS, 1999, p. [1]).

Respeito à vida, não violência, diálogo e cooperação, entre outros valores e atitudes presentes nessa definição, podem e devem ser trabalhados na escola, com o objetivo de promover uma cultura de paz que possa ser levada para outros contextos de vida dos estudantes, como a família e a sociedade. Incentivar, na escola, um ambiente de respeito às diferenças, por exemplo, é um bom caminho para essa promoção, visto que a escola, assim como a realidade social que a cerca, caracteriza-se pela diversidade humana, seja ela racial, de gênero, regional, política ou religiosa.

Para a escola conseguir estabelecer a cultura de paz dentro e fora de seus muros, é fundamental que os estudantes sejam incentivados a assumir o protagonismo dessa ação e que toda a comunidade escolar seja envolvida nesse trabalho.

Estratégias que oportunizem aos estudantes ler, debater e refletir sobre o tema certamente contribuirão para que eles sejam organizadores e executores do próprio trabalho.

E como a Matemática, enquanto componente curricular escolar, pode ajudar na construção de uma cultura de paz?

Portanova (2006, p. 436, grifo da autora) acredita que [...] o uso da Matemática tenha sido uma das primeiras necessidades do homem, depois da comunicação e da sobrevivência. A contagem, a ordenação, a soma, a divisão etc. são conhecimentos essenciais para a convivência em grupo. Desde a colheita de alimentos até a ordenação dos ritos religiosos, sempre presentes no desenvolvimento da humanidade, a Matemática aparece como uma ferramenta. Ora auxilia na paz , ora no conflito , ora na guerra . Muitos exemplos a história nos mostra.

Ao refletir sobre a relação existente entre Educação Matemática e Educação para a paz, a autora destaca que o conhecimento matemático se amplia

[...] ao ser vinculado aos diversos processos de analisar e responder problemas (interdisciplinares, transdisciplinares) de diversas naturezas. Educar para a paz também é educar para resolver conflitos, a ser criativos, a ser persistentes nos seus objetivos, a respeitar a opinião dos outros e o processo de aprendizagem (matemático) desenvolve cada uma dessas competências (PORTANOVA, 2006, p. 442).

Falando de sua experiência como professora de Matemática na Educação Básica e orientadora de pesquisas no Ensino Superior, Portanova (2006) afirma que esse componente curricular pode contribuir muito para a elevação da autoestima dos estudantes. Segundo a autora:

Experiências de sala de aula nos mostram que uma criança, ou um adolescente, que tem a sua autoestima elevada é menos agressivo, convive melhor com outras crianças, com os colegas e com a família. Vive em paz consigo e com os que o cercam. A paz social começa com a paz que cada um tem dentro de si. Essa paz interior, que começa na infância e se reflete na adolescência, depende muito da valorização da criança pelas pessoas que com ela convivem

[...]

Algumas experiências realizadas com alunos, que apresentavam deficiência de aprendizagem, muito agressivos e de difícil relacionamento com colegas e professores, mostraram modificações em sua conduta quando incentivados e apoiados em sala de aula. Eles conseguiram melhorar seu desempenho em Matemática e passaram a ser aceitos pelo grupo tornando-se menos agressivos (PORTANOVA, 2006, p. 443, grifo nosso).

Assim, ao pensar nas possíveis formas de aliar o ensino de Matemática ao estabelecimento de uma cultura de paz dentro e fora da escola, os professores poderão refletir sobre como os conhecimentos matemáticos podem ser trabalhados em projetos dessa natureza, envolvendo os estudantes para que se sintam valorizados e, cada vez mais, participem ativamente das atividades propostas na escola.

Projetos que tenham como tema o respeito às diferenças poderão impactar diretamente a vida dos estudantes, que poderão trazer à tona discussões e reflexões acerca de bullying e saúde mental, por exemplo, um problema vivido diariamente em nossas escolas.

Avaliação

No sistema educacional brasileiro, no que diz respeito a sua abrangência, a avaliação acontece de modo interno e formativo – aplicado pela própria instituição escolar – e externo e em larga escala, como o Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb), que permite a realização de um diagnóstico da Educação Básica brasileira, e o Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa), que propicia um estudo comparativo internacional sobre o desempenho dos estudantes ao término da escolaridade básica obrigatória.

Ao abordarmos a avaliação da aprendizagem, é fundamental mencionarmos a LDB no 9.394/1996 (BRASIL, 2017), que regulamenta a educação brasileira.

Em seu artigo 24, inciso V, a LDB dispõe que a verificação do rendimento escolar deverá observar os seguintes critérios:

a) avaliação contínua e cumulativa do desempenho do aluno, com prevalência dos aspectos qualitativos sobre os quantitativos e dos resultados ao longo do período sobre os de eventuais provas finais;

b) possibilidade de aceleração de estudos para alunos com atraso escolar;

c) possibilidade de avanço nos cursos e nas séries mediante verificação do aprendizado;

d) aproveitamento de estudos concluídos com êxito;

e) obrigatoriedade de estudos de recuperação, de preferência paralelos ao período letivo, para os casos de baixo rendimento escolar, a serem disciplinados pelas instituições de ensino em seus regimentos (BRASIL, 2017, p. 18).

Nesse artigo, a LDB, um dos marcos legais que embasam a BNCC, deixa implícitos os direitos do estudante quanto à forma de ser avaliado e o dever das instituições escolares quanto à forma de avaliar. Esse pressuposto deve orientar a prática avaliativa e a escolha das bases teóricas que regem a educação brasileira.

A BNCC evidencia a necessidade de: “Construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa de processo ou de resultado que levem em conta os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros como referência para melhorar o desempenho da escola, dos professores e dos alunos” (BRASIL, 2018, p. 17).

A Resolução CNE/CEB no 7/2010 (BRASIL, 2010a, p. 39), outro marco legal que embasa a BNCC, apregoa, em seu artigo 32, que:

A avaliação dos alunos, a ser realizada pelos professores e pela escola como parte integrante da proposta curricular e da implementação do currículo, é redimensionadora da ação pedagógica e deve:

I. assumir um caráter processual, formativo e participativo, ser contínua, cumulativa e diagnóstica [...];

II. utilizar vários instrumentos e procedimentos, tais como a observação, o registro descritivo e reflexivo, os trabalhos individuais e coletivos, os portfólios, exercícios, provas, questionários, dentre outros [...];

III. fazer prevalecer os aspectos qualitativos da aprendizagem do aluno sobre os quantitativos, bem como os resultados ao longo do período sobre os de eventuais provas finais [...];

IV. assegurar tempos e espaços diversos para que os alunos com menor rendimento tenham condições de ser devidamente atendidos ao longo do ano letivo; prover, obrigatoriamente, períodos de recuperação, de preferência paralelos ao período letivo [...];

V. assegurar tempos e espaços de reposição dos conteúdos curriculares, ao longo do ano letivo, aos alunos com frequência insuficiente, evitando, sempre que possível, a retenção por faltas;

VI. possibilitar a aceleração de estudos para os alunos com defasagem idade-série.

A avaliação contínua, também chamada formativa (ZABALA, 1998), pode ter diferentes funções, de acordo com o momento de sua realização.

Quando feita no início de uma etapa de trabalho, para levantar os conhecimentos prévios dos estudantes, exerce a função diagnóstica. As informações obtidas permitem ao professor planejar o trabalho e orientar na sua atuação. Também possibilitam ao estudante reconhecer o que já sabe e preparar-se para a construção de novos conhecimentos.

Quando ocorre durante um processo, com a intenção de acompanhar as aprendizagens em relação aos objetos de conhecimento e às habilidades, tem a função reguladora. As informações obtidas contribuem para que o professor faça ajustes no planejamento e para que o estudante acompanhe o processo de aprendizagem. Quando realizada ao final de uma etapa ou de um período de aprendizagem, exerce a função integradora e possibilita localizar o desenvolvimento do estudante em relação aos objetivos estabelecidos inicialmente e validar as estratégias adotadas. O estudante pode avaliar sua aprendizagem e perceber os pontos fortes e frágeis de seu desempenho.

Conhecimentos prévios (o que meu estudante sabe, sabe fazer e como ele é)

Intervenção adequada

Adaptação das atividades e novas intervenções

Aprendizagem adquirida

Conhecimento e avaliação de todo o percurso

É importante lembrar que cabe ao professor instruir e estimular a atitude crítica do estudante em relação à própria aprendizagem. Ao identificar suas dificuldades e reconhecer suas competências e potencialidades, ao fazer a autoavaliação, o estudante sente-se confiante e cada vez mais responsável pelo próprio desempenho.

Vale destacar também a importância de o professor registrar sistematicamente os procedimentos empregados na avaliação. Recursos como relatórios e fichas cumulativas, entre outros, podem ser incorporados à prática diária e são úteis para a composição de notas, conceitos ou pareceres sobre a aprendizagem dos estudantes.

Sugerimos ao professor que, com base no planejamento, destaque os objetos de conhecimento e as habilidades considerados prioritários para a continuidade dos estudos, enfatizando-os em suas práticas avaliativas e nos registros realizados.

Necessidade de uso de recursos sistemáticos no princípio, durante e no nal de qualquer unidade didática

Planejamento

Avaliação diagnóstica

Eventuais ajustes no planejamento

Avaliação de processo

Avaliação nal do ciclo

Fonte: ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar. Tradução: Ernani F. F. Rosa. Porto Alegre: ArtMed, 1998

Reinaldo Vignati

Instrumentos de avaliação

Recorrer a variados instrumentos avaliativos – como práticas orais e escritas, pesquisas, relatórios, autoavaliação, observação, portfólio, seminários e outros – e empregá-los de diferentes maneiras – por meio de atividades individuais, em duplas, em pequenos grupos e coletivas (toda a turma) –, é fundamental para a avaliação da aprendizagem, pois permite medir diferentes competências e habilidades.

Atividades individuais

• Práticas orais e escritas

• Pesquisa

• Relatórios

• Autoavaliação

• Observação

• Portfólio

• Seminários e outros

Atividades em duplas

Atividades em grupos

Atividades coletivas

Partindo da observação de cada atividade realizada, de cada questionamento ou intervenção, de cada reação de interesse ou desatenção, individual ou em grupo, o professor poderá avaliar quais são as dificuldades dos estudantes, em que área eles se destacam, quais são seus estilos de aprendizagem, entre outros aspectos.

Avaliação por rubrica

Avaliar pode consistir em uma das tarefas mais complexas do processo ensino-aprendizagem, principalmente porque exige do professor a tomada de decisões e o estabelecimento de critérios de correção nem sempre claros para ele. Que objetos de conhecimento e habilidades, de fato, devem ser avaliados? O que é fundamental que os estudantes saibam? Como avaliar de forma isenta, ou seja, o menos subjetiva possível? Como mensurar a aprendizagem dos estudantes? Como fazê-los entender a nota, o conceito ou o parecer que foi atribuído pelo professor? Essas e outras perguntas evidenciam a complexidade da avaliação da aprendizagem.

Algo que pode contribuir significativamente para essa tarefa são as rubricas, pois um dos principais objetivos desse instrumento é tornar os critérios de avaliação mais objetivos e explícitos, tanto para os educadores quanto para os estudantes.

Segundo Biagiotti (2005, p. 2):

Podemos definir rubricas, na educação, de diversas maneiras. Uma das definições que mais me agrada é a que escutei de Maria Alice Soares por ocasião da realização do workshop sobre rubricas. Segundo ela, rubricas são esquemas explícitos para classificar produtos ou comportamentos, em categorias que variam ao longo de um contínuo. Podem ser usadas para classificar qualquer produto ou comportamento, tais como redações, ensaios, trabalhos de pesquisa, apresentações orais e atividades. A avaliação pode ser feita pelos próprios estudantes, ou por outros, como professores, outros alunos, supervisores de trabalho ou revisores externos. Rubricas podem ser usadas para prover feedback formativo dos alunos, para dar notas ou avaliar programas.

De acordo com o autor, para que as rubricas se tornem, realmente, uma boa ferramenta para avaliar o desempenho dos estudantes nas tarefas, elas devem ter algumas características, dentre as quais destacamos:

• Facilidade: tornar fácil avaliar trabalhos complexos;

• Objetividade: avaliar de forma objetiva, acabando com aquela aura de subjetividade que comumente se imprime à avaliação;

• Granularidade: possuir a granularidade adequada, isto é, níveis adequados de minúcia;

• Transparência: tornar o processo de avaliação transparente, a ponto de permitir ao estudante controlar seu aprendizado.

Ao se elaborar uma rubrica, dois itens são primordiais: os critérios de avaliação e as graduações ou níveis de desempenho – por exemplo “Atende totalmente”, “Atende parcialmente” e “Não atende” (aos critérios estabelecidos) ou “Excelente”, “Bom”, “Regular” e “Insuficiente”.

Veja, a seguir, um exemplo de rubrica para avaliar a resolução de problemas matemáticos.

Resolução de problema Atende Atende parcialmente Não atende

Compreensão da situação-problema

Analisou e compreendeu completamente o problema.

Estratégia

Demonstrou claramente a estratégia utilizada e chegou ao resultado esperado.

Compreendeu parcialmente os dados do problema.

Demonstrou parcialmente a estratégia utilizada e não chegou ao resultado esperado.

Não compreendeu o problema.

Não evidenciou a estratégia utilizada e não chegou ao resultado esperado.

É importante destacar que a forma como o professor elabora os instrumentos de avaliação, independentemente de quais sejam eles, pode impactar diretamente o desempenho dos estudantes. Por essa razão, é fundamental atentar-se para alguns cuidados, como:

• escolher um instrumento que seja compatível com o conteúdo que se deseja avaliar;

• delimitar adequadamente o conteúdo a ser avaliado, identificando quais são as aprendizagens essenciais;

• formular, com clareza enunciados, consignas e alternativas empregados nos instrumentos;

• considerar, na elaboração do instrumento, o tempo necessário para o estudante realizar a atividade;

• valorar as questões atentando-se para o grau de elaboração das respostas.

Estratégias para correção de eventuais defasagens

Para corrigir eventuais defasagens, o professor deve observar a participação dos estudantes e refletir sobre possíveis estratégias que possam ser empregadas para favorecer a aprendizagem, como: orientar a organização do horário de estudo do estudante em casa; indicar leituras e vídeos relacionados aos objetos de conhecimento que necessitam ser aprendidos; orientar sobre a postura no momento dos estudos, para que os estudantes dediquem atenção ao que estão realizando.

O professor também pode orientar os estudantes quanto à elaboração de estratégias para verificação dos erros. Para alguns, por exemplo, pode ser eficiente revisitar os enunciados das atividades que não foram concluídas adequadamente ou observar se a dificuldade ocorreu no momento da execução, ou ainda, se o equívoco aconteceu no registro da resposta.

Ao corrigir as atividades, independentemente do resultado final, é de extrema importância que o professor observe o percurso realizado durante a execução da atividade, mesmo que o estudante não chegue ao resultado correto. Dessa forma, poderá considerar as estratégias por ele utilizadas para fazer interferências que o levem a refazer o percurso, buscando chegar ao resultado esperado.

Diferentes estratégias podem ser utilizadas para favorecer a aprendizagem, entre elas: manipulação de materiais concretos; registros no caderno; comparações entre fenômenos; experimentações; uso de simuladores ou de softwares de Geometria dinâmica; elaboração de glossário que possa ser consultado e revisitado sempre que necessário.

Conheça o livro

Organização da obra

Esta coleção é composta de quatro volumes destinados aos Anos Finais do Ensino Fundamental. Cada volume corresponde a um ano de escolaridade (6o, 7o, 8o e 9o anos), organizados em oito unidades. As unidades estão divididas em capítulos que tratam de conteúdos específicos.

Seções e boxes

Abertura de unidade

A abertura de unidade, em página dupla, apresenta imagem e um pequeno texto relacionado ao conteúdo que será trabalhado.

Traz questões que têm por finalidade instigar a curiosidade e propor um momento de troca de ideias. Apresenta, também, os principais objetivos de aprendizagem, o que dá ciência ao estudante do que será desenvolvido, promovendo a autonomia.

Inicia todos os capítulos e convida os estudantes a mobilizar e comunicar seus conhecimentos. Essa seção oportuniza ao professor observar as hipóteses dos estudantes sobre o conteúdo que será trabalhado em cada capítulo.

Propõe situações em que os estudantes devem mobilizar os conhecimentos de forma investigativa, fazendo inferências ou mesmo pequenas pesquisas sobre o conteúdo que está sendo apresentado.

Seção que vem entremeada aos tópicos trabalhados. Apresenta atividades diversificadas e permite o acompanhamento processual da aprendizagem dos estudantes. Traz, também, atividades desafiadoras e propicia o trabalho em duplas ou em pequenos grupos, favorecendo a troca de estratégias, ideias e discussões sobre o processo de resolução.

Apresenta Temas Contemporâneos Transversais, bem como a relação da Matemática com outras áreas do conhecimento. Promove o desenvolvimento de análises críticas, criativas e propositivas bem como o desenvolvimento do trabalho com atitudes e valores. Pode ser ampliada, de acordo com o interesse da turma pelo tema, dando origem a pequenos projetos bem como ao trabalho colaborativo com professores de outras áreas.

Promove o uso de tecnologias digitais.

Apresenta uma variedade de atividades lúdicas. Esse tipo de atividade, além de mobilizar o interesse dos estudantes, estimula-os a utilizar conhecimentos em contextos diferentes e desafiadores. É um ótimo momento para desenvolver o trabalho com atitudes e valores

Além dos conhecimentos matemáticos necessários nos processos de compra e venda, são abordados temas como consumo e consumismo.

Presente no fim de algumas seções Atividades, tem por finalidade trabalhar a habilidade de argumentação com foco no desenvolvimento do pensamento lógico matemático. Raciocínios e estratégias de resolução podem ser compartilhados para que os estudantes comecem a refletir sobre processos lógicos.

Blocos de atividades que retomam os conteúdos trabalhados nas unidades. São apresentadas atividades diversificadas bem como de avaliações oficiais. O professor pode, a seu critério, utilizá-las como ferramenta avaliativa, a fim de dar continuidade aos trabalhos das unidades seguintes.

Relaciona a história da Matemática ao conteúdo que está sendo estudado. É importante que esse trabalho seja ampliado para além do conhecimento de nomes e biografias de grandes matemáticos, a fim de que os estudantes conheçam, explorem e reconheçam que a Matemática é uma ciência em construção.

Apresenta fatos curiosos em que a Matemática está presente.

Indicação de livros, sites, vídeos etc.

Orientações específicas para as Unidades e capítulos

Esse manual oferece sugestões e informações para o professor distribuídas em colunas laterais e na parte inferior das páginas, com uma forma reduzida do Livro do Estudante representada ao centro. Esse manual apresenta as seções a seguir.

• Principais objetivos da unidade: destaca os principais objetivos de aprendizagem que serão trabalhados.

• Justificativa: relaciona os principais objetivos às habilidades que se pretende desenvolver nos estudantes.

• Pré-requisitos pedagógicos: destaca o que os estudantes já devem conhecer para dar continuidade e desenvolver as habilidades indicadas.

compreendam diferentes representações para localização de objetos no plano por meio de pares ordenados. Avaliação diagnóstica importante observar o que os estudantes dominam em relação aos pré-requisitos relacionados. Promova uma roda de conversa em seguida, elabore algumas atividades BNCC na unidade Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade. Competências gerais 2 5 Competências específicas EF06MA25 EF06MA26 EF06MA27 EF06MA28

Para aprofundar O artigo indicado seguir apresenta uma pesquisa partindo da etnomatemática como contextualização, utilizando tecnológica. O texto está disponível em: http://www.ebrapem2016. ufpr.br/wp-content/uploads/2016/04/gd16_gerson_alten burg.pdf (acesso em: 10 jun. 2022).

que lugares são esses ou viram outras imagens deles? Conseguem identificarguma forma ou elemento geométrico? Chame a atenção dos estudantes para os destaques em vermelho nas fotos, que indicam ângulos e retas. Antes de encaminhar as atividades propostas, discuta com os estudantes quais são as figuras geométricas os conceitos encontrados nas imagens que abrem a unidade e peça que falem suas percepções sobre uso da Geometria no cotidiano. Anote as respostas na lousa incentive participação de todos.

• BNCC na Unidade: destaca as principais competências gerais, específicas e habilidades que serão trabalhadas na unidade.

• Avaliação diagnóstica: evidencia a necessidade de verificar as aprendizagens já adquiridas.

• Foco na BNCC: apresenta as principais competências gerais, específicas e habilidades que serão trabalhadas em cada capítulo.

• Foco nos TCTs: indica os principais Temas Contemporâneos Transversais contemplados no capítulo.

• Orientações: busca auxiliar à prática pedagógica e traz comentários e/ou resolução de todas as atividades propostas.

• Para aprofundar: sugere textos para aprofundamento pedagógico, contribuindo para a formação continuada.

• Atividades complementares: sugere atividades que podem ampliar ou aprofundar o conteúdo trabalhado.

Sugestões de cronograma

Apresentamos as possibilidades de planejamento do curso ao longo de um ano, por meio dos cronogramas a seguir.

1o bimestre Unidades 1 e 2

2o bimestre Unidades 3 e 4

Planejamento bimestral

3o bimestre Unidades 5 e 6

4o bimestre Unidades 7 e 8

1o trimestre Unidades 1, 2 e 3

Planejamento trimestral

2o trimestre Unidades 4, 5 e 6

3o trimestre Unidades 7 e 8

1o semestre Unidades 1, 2, 3 e 4

Planejamento semestral

2o semestre Unidades 5, 6, 7 e 8

Competências gerais, específicas e habilidades da BNCC

Competências gerais da Educação Básica

1 Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

2 Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

3 Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

4 Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

5 Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

6 Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

7 Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

8 Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

Competências gerais da Educação Básica

9 Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

10 Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

Competências específicas de Matemática para o Ensino Fundamental

1 Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

2 Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

3

Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

4 Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

5 Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

6 Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

7 Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

8 Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Habilidades da BNCC para o 6o ano

EF06MA01 Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.

EF06MA02

EF06MA03

Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

EF06MA04 Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).

EF06MA05

Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.

EF06MA06 Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

EF06MA07 Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

EF06MA08

Habilidades da BNCC para o 6o ano

Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.

EF06MA09 Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.

EF06MA10 Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

EF06MA11 Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.

EF06MA12 Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.

EF06MA13 Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

EF06MA14

Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

EF06MA15 Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

EF06MA16 Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1? quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

EF06MA17 Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

EF06MA18 Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.

EF06MA19 Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

EF06MA20 Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

EF06MA21 Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

EF06MA22 Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.

EF06MA23 Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

EF06MA24

Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

EF06MA25 Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.

EF06MA26 Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão.

EF06MA27 Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

EF06MA28 Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.

EF06MA29 Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

EF06MA30

Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

Habilidades da BNCC para o 6o ano

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

EF06MA34

Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).

Habilidades da BNCC para o 7o ano

EF07MA01

Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

EF07MA02 Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

EF07MA03 Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.

EF07MA04 Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

EF07MA05 Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.

EF07MA06 Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura, podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

EF07MA07 Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.

EF07MA08 Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

EF07MA09 Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

EF07MA10 Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

EF07MA11 Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

EF07MA12 Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

EF07MA13 Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

EF07MA14 Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

EF07MA15 Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

EF07MA16 Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

EF07MA17 Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

EF07MA18 Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1? grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

EF07MA19 Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

EF07MA20 Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

EF07MA21

Habilidades da BNCC para o 7o ano

Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

EF07MA22 Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

EF07MA23 Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

EF07MA24 Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

EF07MA25 Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

EF07MA26 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

EF07MA27

Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

EF07MA28 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

EF07MA29 Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

EF07MA30 Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

EF07MA31 Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

EF07MA32 Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

EF07MA33 Estabelecer o número como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

EF07MA34 Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

EF07MA35 Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

EF07MA36 Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

EF07MA37 Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

Habilidades da BNCC para o 8o ano

EF08MA01 Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.

EF08MA02 Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

EF08MA03 Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.

EF08MA04 Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

EF08MA05 Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.

EF08MA06 Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

EF08MA07 Associar uma equação linear de 1? grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.

EF08MA08

Habilidades da BNCC para o 8o ano

Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1? grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.

EF08MA09 Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2? grau do tipo ax2 = b.

EF08MA10 Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.

EF08MA11 Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.

EF08MA12 Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.

EF08MA13 Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.

EF08MA14 Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

EF08MA15 Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.

EF08MA16 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

EF08MA17 Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas

EF08MA18 Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.

EF08MA19

Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.

EF08MA20 Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes.

EF08MA21 Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.

EF08MA22 Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

EF08MA23 Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

EF08MA24 Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.

EF08MA25

EF08MA26

EF08MA27

Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.

Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada).

Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

Habilidades da BNCC para o 9o ano

EF09MA01

Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).

EF09MA02

Habilidades da BNCC para o 9o ano

Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

EF09MA03 Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

EF09MA04 Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

EF09MA05

EF09MA06

Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

EF09MA07 Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

EF09MA08

EF09MA09

EF09MA10

Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2? grau.

Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

EF09MA11 Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

EF09MA12 Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

EF09MA13 Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

EF09MA14 Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

EF09MA15 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares

EF09MA16 Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

EF09MA17 Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

EF09MA18

Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

EF09MA19 Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

EF09MA20 Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

EF09MA21 Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

EF09MA22

EF09MA23

Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

Quadro de conteúdos e relação com a BNCC

Nos quadros a seguir, estão apresentadas as principais competências, habilidades e os Temas Contemporâneos Transversais trabalhados nos capítulos, ao longo da coleção.

6o ano

Competências gerais

1

1 Sistema de numeração decimal

• Reconhecer as principais características do sistema de numeração decimal.

• Identificar semelhanças e diferenças com outros sistemas de numeração.

Competências específicas

1, 2 e 6

Habilidades

EF06MA02

EF06MA03

EF06MA04

Competências gerais

2 Números naturais

• Caracterizar o conjunto dos números naturais.

• Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais.

• Representar números naturais na reta numérica.

2, 5, 7 e 9

Competências específicas

2 5 e 6

Habilidades

EF06MA01

EF06MA04

EF06MA12

3 Adição e subtração

4 Multiplicação e divisão

• Efetuar adições e subtrações com números naturais por meio e estratégias diversas.

• Explorar a adição e a subtração como operações inversas.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam adição e subtração.

• Efetuar multiplicações e divisões com números naturais por meio e estratégias diversas.

• Explorar as ideias da multiplicação e suas propriedades.

• Efetuar divisões e identificar seus termos.

• Resolver problemas que envolvem multiplicação e divisão.

5 Expressões numéricas

• Entender os conceitos envolvendo expressões numéricas.

• Resolver expressões numéricas com números naturais envolvendo as quatro operações.

Competências gerais

2 e 7

Competências específicas

2

Habilidades

EF06MA01

EF06MA03

Competências gerais

1, 2, 3, 6 e 10

Competências específicas

1 e 2

Habilidades

EF06MA03

EF06MA06

EF06MA12

EF06MA15

Competências gerais

2, 4, e 5

Competências específicas

2 e 5

Habilidades

EF06MA03

EF06MA14

Educação em Direitos Humanos

Educação para o Consumo

• Reconhecer as características dos divisores e múltiplos de um número natural.

• Estabelecer critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.

• Reconhecer as características de números primos e compostos no conjunto dos números naturais.

• Decompor números naturais em fatores primos.

• Resolver e elaborar problemas utilizando a partição de um todo em partes proporcionais.

• Efetuar potenciação com números naturais, conhecer seus termos e aplicar propriedades.

• Aproximar números para a potência de 10 mais próxima.

• Identificar e representar ponto, reta, plano e ângulo, usando a notação adequada.

• Reconhecer reta, semirreta e segmento de reta.

• Identificar retas paralelas, perpendiculares e concorrentes no plano.

• Determinar a medida de abertura de ângulo com a utilização de régua e transferidor.

• Classificar ângulos considerando suas medidas em graus.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo a noção de ângulo em diferentes contextos.

Competências gerais 1, 2, 5, 8 e 9

Competências específicas

1, 2, 3, 5 e 8

Habilidades

EF06MA03

EF06MA04

EF06MA05

EF06MA06

EF06MA15

Competências gerais 2 e 3

Competências específicas 2, e 3

Habilidades

EF06MA03

EF06MA11

EF06MA12

Competências gerais

1, 2, 3, 4 e 5

Competências específicas

1, 2, 3, 5, 6 e 8

Habilidades

EF06MA22

EF06MA23

EF06MA25

EF06MA26

EF06MA27

Competências gerais

1, 2, 4 e 9

• Associar, no plano cartesiano, vértices de polígonos a pares ordenados.

• Interpretar plantas baixas e vistas aéreas.

Competências específicas

1, 3, 5, 6 e 8

Habilidades

EF06MA16

EF06MA23

EF06MA28

2 O plano cartesiano

1 Números racionais na forma fracionária

2 Porcentagem

• Ler, escrever e comparar números racionais na forma fracionária.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam frações de quantidade, tendo como resultado um número natural.

• Relacionar números fracionários a pontos na reta numérica.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo adição e subtração na representação fracionária.

• Resolver problemas envolvendo a multiplicação de um número natural por fração.

• Resolver problemas relacionados ao conceito de porcentagem sem o uso da regra de três.

Competências gerais

1, 2 e 4

Competências específicas

2, 3 e 5

Habilidades

EF06MA07

EF06MA08

EF06MA09

EF06MA10

EF06MA23

Competências gerais

7, 8, 9 e 10

Competências específicas

2

Habilidades

EF06MA13

Competências gerais

Educação Alimentar e Nutricional

Educação Ambiental

1 Figuras geométricas planas

• Reconhecer, nomear e comparar polígonos no plano e nas faces dos poliedros.

• Identificar e classificar os triângulos em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

• Identificar e classificar os quadriláteros em relação aos lados e ângulos.

2 Figuras geométricas espaciais

• Quantificar e estabelecer relação entre o número de faces, vértices e arestas de prismas e pirâmides.

• Resolver problemas que envolvam o número de arestas, faces e vértices de um sólido geométrico.

3 Construção de figuras semelhantes

• Identificar relações de proporcionalidade em figuras geométricas planas.

• Resolver problemas que envolvam ampliação e redução de figuras planas.

• Reconhecer, nomear, comparar e escrever números racionais na representação decimal.

• Transformar números racionais da representação fracionária para a representação decimal.

2, 3 e 4

Competências específicas

2, 3 e 5

Habilidades

EF06MA18

EF06MA19

EF06MA20

EF06MA22

Competências gerais

1 e 9

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF06MA17

Competências gerais

2

Competências específicas

3

Habilidades

EF06MA21

Competências gerais

8 e 9

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF06MA01

• Relacionar números decimais a pontos da reta numérica.

• Efetuar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais na representação decimal.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais na representação decimal.

Competências gerais

8 e 9

EF06MA08 2

Competências específicas

2 e 5

Habilidades

EF06MA04

EF06MA06

EF06MA10

EF06MA11

Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

Unidade 6

3

Probabilidade

• Identificar situações em que a probabilidade está presente.

• Calcular a probabilidade de eventos simples e registrá-la na forma fracionária e na forma decimal.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo o cálculo de probabilidade.

Unidade 7 • Grandezas e medidas

1 Unidades de medida de comprimento e de área

2

Unidades de medida de volume, de capacidade e de massa

3 Unidades de medida de tempo e de temperatura

1

Leitura de variáveis, legendas, tabelas e gráficos

• Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de comprimento e de área.

• Identificar e utilizar unidades de medida de comprimento e de área.

• Compor e decompor figuras para determinação de área.

• Identificar unidades de medida de volume, capacidade e massa.

• Resolver problemas que envolvem medidas de volume, massa e capacidade.

• Identificar unidades de medida de tempo e de temperatura.

• Resolver problemas que envolvem medidas de tempo e de temperatura.

• Compreender o que são variáveis numéricas e categóricas.

• Utilizar legendas e símbolos de maneira adequada.

• Ler, analisar e interpretar gráficos e tabelas.

Competências gerais

8 e 9

Competências específicas

3

Habilidades EF06MA08 EF06MA30

Competências gerais

1, 3 e 9

Competências específicas

1 e 6

Habilidades EF06MA24 EF06MA29

Competências gerais

2

Competências específicas

2 Habilidades EF06MA24

Competências gerais

1, 7 e 8

Competências específicas 1, 3 e 7

Habilidades

EF06MA24

Competências gerais 7 e 8

Competências específicas 2, 4 e 6

Habilidades

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

2 Coleta, organização e registro de dados

• Coletar, organizar e registrar dados oriundos de diferentes fontes de informação.

• Utilizar fluxogramas para representar etapas de um processo.

• Construir gráficos e tabelas em planilhas eletrônicas.

Educação Ambiental

3

Probabilidade

• Compreender a probabilidade como a chance de um evento ocorrer.

• Calcular a probabilidade de um evento acontecer.

Competências gerais 2, 4 e 5

Competências específicas 3, 5 e 8

Habilidades

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

EF06MA34

Competências gerais

8

Competências específicas

4

Habilidades

EF06MA13

EF06MA30

EF06MA33

Educação Alimentar e Nutricional

1 Múltiplos e divisores de um número natural

• Identificar múltiplos e divisores de números naturais.

• Resolver e elaborar problemas com múltiplos, divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum por meio de estratégias diversas.

• Reconhecer, comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos.

• Identificar o sucessor e o antecessor de um número inteiro.

2 Números inteiros

3 Adição e subtração com números inteiros

• Representar os números inteiros na reta numérica.

• Reconhecer os números simétricos ou opostos.

• Determinar o módulo ou o valor absoluto de um número inteiro.

• Representar pontos no plano utilizando coordenadas cartesianas.

• Resolver e elaborar problemas de adição e subtração com números inteiros.

• Reconhecer e aplicar as propriedades da adição.

• Resolver expressões numéricas que envolvam adição e subtração em à

• Efetuar multiplicações com números inteiros.

• Reconhecer e aplicar as propriedades da multiplicação.

4 Multiplicação, divisão e potenciação com números inteiros

• Efetuar divisões com números inteiros.

• Resolver expressões numéricas que envolvam adição, subtração, multiplicação e divisão em Z

• Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

• Calcular potências com base inteira e expoente natural.

• Reconhecer e aplicar as propriedades da potenciação.

5 Radiciação

• Entender a radiciação como operação inversa da potenciação.

• Efetuar, quando possível, a radiciação com números inteiros.

Competências gerais

9 Competências específicas

2 e 7

Habilidades

EF07MA01

EF07MA06

EF07MA07

Competências gerais

1, 2 e 3

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF07MA03

EF07MA04

Competências gerais

1, 2 e 5

Competências específicas

1, 2 e 5

Habilidades

EF07MA03

EF07MA04

EF07MA07

Capítulo Objetivos do capítulo BNCC TCT Unidade

Competências gerais

3, 4, e 5

Competências específicas

1, 2, 3 e 5

Habilidades

EF07MA03

EF07MA04

EF07MA05

EF07MA06

EF07MA07

Competências gerais

7 e 9

Competências específicas

8

Ciência e Tecnologia

Educação Ambiental

Habilidades

EF07MA04

3 Experimentos aleatórios

• Compreender variável representada por letras ou símbolos, por meio da relação de dependência entre diferentes grandezas.

• Utilizar expressões algébricas para generalizar e representar situações matemáticas.

• Reconhecer a equivalência de expressões algébricas.

• Identificar a regularidade em uma sequência.

• Obter uma sequência numérica com base em seu termo geral.

• Identificar uma equação polinomial do 1? grau com uma incógnita.

• Entender a definição de incógnita como o termo desconhecido de uma equação

• Resolver equações polinomiais do 1? grau com uma incógnita utilizando procedimentos construídos com base nas propriedades da igualdade.

• Reconhecer a raiz ou a solução de uma equação.

• Definir o conjunto universo.

• Reconhecer o conjunto-solução como um subconjunto do conjunto universo.

• Representar e resolver situações-problema por meio de equações polinomiais do 1? grau com uma incógnita.

• Efetuar adição e subtração com números racionais utilizando o mmc.

• Introduzir o conceito de razão e destacar a escala como uma razão particular, explorando-a em diferentes situações-problema.

• Identificar grandezas obtidas por meio da razão entre duas grandezas.

• Compreender o conceito de proporção e suas propriedades.

• Resolver situações-problema que envolvem a ideia de números e grandezas direta ou inversamente proporcionais.

• Resolver problemas de contagem que envolvam árvores de possibilidades.

• Resolver situações-problema que envolvam o cálculo da probabilidade de determinado evento.

Competências gerais

1 e 8

Competências específicas

1, 2, 3, 4, 6 e 8

Habilidades

EF07MA13

EF07MA14

EF07MA15

EF07MA16

EF07MA17

Competências gerais

1, 4, 7 e 9

Competências específicas

1, 2 e 5

Habilidades

EF07MA18

Educação em Direitos Humanos

Competências gerais

2

Competências específicas

2

Habilidades EF07MA01

EF07MA09

EF07MA12

EF06MA18

Competências gerais

3 e 10

Competências específicas

1, 3 e 6

Habilidades

EF07MA08

EF06MA09

EF06MA17

Competências gerais

3, 6 e 10

Competências específicas

3 Habilidades

EF07MA34

Educação Ambiental

1 A circunferência

• Reconhecer a circunferência como lugar geométrico, em que o ponto fixo é o centro da circunferência, e identificar seus elementos.

• Construir circunferência usando compasso.

• Estabelecer o número p como a razão entre a medida da circunferência e seu diâmetro para resolver problemas.

• Identificar ângulos congruentes e ângulos adjacentes, ângulos opostos pelo vértice, sua congruência e aplicações.

2 Ângulos

• Identificar e construir a bissetriz de um ângulo dado.

• Definir e aplicar as relações existentes entre pares de ângulos complementares e ângulos suplementares.

• Identificar as relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal.

• Reconhecer polígonos de acordo com suas características.

3 Ângulos e polígonos

1 Cálculo de áreas de figuras planas

• Calcular a medida de ângulos internos de polígonos.

• Construir triângulo equilátero e quadrado utilizando régua e compasso.

• Descrever por escrito e por meio de fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular.

Competências gerais

6

Competências específicas

1, 3 e 6 Habilidades

EF07MA22

EF07MA33

Diversidade Cultural

2 Volume de blocos retangulares

• Calcular a área de figuras planas pela decomposição e composição de figuras, utilizando a equivalência entre áreas.

• Estabelecer expressões de cálculo da área de triângulos e quadriláteros.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo de área de triângulos e quadriláteros.

Competências gerais

5

Competências específicas

3 e 5

Habilidades

EF07MA23

Competências gerais

3, 5, 6 e 9

Competências específicas

1, 2, 3, 5 e 8

Habilidades

EF07MA24

EF07MA25

EFMA0726

EF07MA27

EF07MA28

Diversidade Cultural

• Resolver problemas que envolvem cálculo do volume do bloco retangular e do cubo.

Competências gerais

2

Competências específicas

2 e 5

Habilidades

EF07MA31

EF07MA32

Competências gerais

2 e 8

Competências específicas

3 e 7

Habilidades

EF07MA29

EF07MA30

Educação Ambiental

1

Identificando o conjunto dos números racionais

• Números racionais

• Identificar e comparar números racionais.

• Representar números racionais na reta numérica.

6

Unidade

7 • Simetria e transformação geométrica de polígonos

Unidade

2

Operações com números racionais

• Efetuar operações com números racionais.

• Compreender e aplicar as propriedades da multiplicação e da divisão na potenciação envolvendo números racionais.

• Calcular raízes de números racionais nas formas fracionária e decimal.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo números racionais

Competências gerais

7 e 10

Competências específicas

1 e 2

Habilidades

EF07MA10

1

Simetrias de translação, rotação e reflexão

• Identificar simetrias de reflexão, de translação e de rotação em figuras geométricas planas.

• Utilizar a malha quadriculada e instrumentos como régua e transferidor para obter transformações isométricas de figuras planas em relação aos eixos e à origem.

Competências gerais

5, 7 e 10

Competências específicas 5 e 8

Habilidades

EF07MA10

EF07MA11

EF07MA12

Educação Financeira

2

• Reconhecer, no plano cartesiano, o simétrico de uma figura em relação à origem e aos eixos.

• Compreender como a multiplicação das coordenadas do vértice de uma figura no plano cartesiano se relaciona com as transformações geométricas.

Competências gerais

3

Competências específicas

1 e 2

Habilidades

EF07MA21

Competências gerais

9

Competências específicas

8

Habilidades

EF07MA19

EF07MA20

EF07MA21

1 Gráfico de setores

2 Planejamento e execução de pesquisa

3 Média aritmética

• Interpretar e analisar dados utilizando gráficos de setores.

• Compreender situações que podem ser representadas por meio de gráficos de setores.

• Identificar a relação entre a área de um setor e o valor numérico que ela representa.

• Compreender o que são pesquisas censitárias e pesquisas amostrais.

• Diferenciar população de amostra.

• Planejar e fazer pesquisas estatísticas.

• Utilizar conhecimentos matemáticos e recursos tecnológicos para organizar e analisar dados obtidos em pesquisas.

Competências gerais 7

Competências específicas 2, 4, 6, 7 e 8

Habilidades

EF07MA02

EF07MA37

Competências gerais 5 e 6

Competências específicas 3, 4, 5, 6 e 7

Habilidades

EF07MA02

EF07MA35

EF07MA36

EF07MA37

Competências gerais

2

• Aplicar a ideia de média aritmética na resolução de problemas.

• Utilizar ferramentas tecnológicas para explorar a média de um conjunto de dados.

Competências específicas 2 e 7

Habilidades

EF07MA12

EF07MA35

EF07MA36

Educação Financeira

Educação para a valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

1 Cálculos com números reais

• Determinar a fração geratriz de dízimas periódicas.

• Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros.

• Compreender e utilizar a notação científica.

• Relacionar potências a raízes e entender a raiz como potência de expoente fracionário.

• Compreender e utilizar a porcentagem em situações de acréscimo ou decréscimo.

2 Porcentagem

• Resolver e elaborar problemas envolvendo cálculos de porcentagens.

• Utilizar calculadora para efetuar cálculos de porcentagem.

3 Contagem e possibilidades

• Compreender o princípio multiplicativo da contagem.

• Elaborar e resolver problemas que envolvam o princípio multiplicativo da contagem.

• Identificar e diferenciar os tipos de gráfico.

• Identificar todos os elementos que um gráfico deve conter.

• Construir gráficos de setores com base no cálculo do ângulo de cada setor.

• Construir um gráfico com base nos dados apresentados em uma tabela.

• Organizar os dados de uma pesquisa em diferentes classes.

• Identificar a frequência de uma classe.

• Associar uma tabela de frequência a um gráfico.

Competências gerais

1 Competências específicas

1 e 2 Habilidades EF08MA01 EF08MA02 EF08MA05 EF08MA06

Competências gerais

1

Competências específicas

1 Habilidades

EF08MA04

Competências gerais

1 e 9 Competências específicas

2, 4 e 6 Habilidades

EF08MA03

EF08MA04

Competências gerais

9 Competências específicas

2 e 4 Habilidades

EF08MA04

EF08MA23

EF08MA27

Competências gerais

9 Competências específicas

2 e 4 Habilidades

EF08MA24

EF08MA27

Saúde

Vida Familiar e Social

Educação em Direitos Humanos

Direitos da Criança e do Adolescente

Saúde

1 Equação linear do 1? grau com duas incógnitas

• Reconhecer equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas inferindo possíveis soluções de pares ordenados.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do valor numérico de expressões algébricas utilizando as propriedades das operações.

• Representar algébrica e graficamente equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Identificar sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Determinar graficamente a solução de um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

2 Sistemas de equações polinomiais do 1? grau

• Discutir, com base na resolução gráfica de um sistema de equações polinomiais do 1? grau, se o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.

• Determinar soluções para sistemas de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas pelo método da substituição e da adição.

• Representar e resolver problemas por meio de um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Identificar, compreender e aplicar os casos de congruência entre triângulos na resolução de problemas.

• Identificar e explorar propriedades dos triângulos isósceles e equiláteros.

• Identificar e explorar propriedades de paralelogramos e trapézios.

• Compreender o significado de mediatriz de segmento e bissetriz de ângulo.

2 Construções geométricas

• Resolver problemas aplicando os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos.

• Traçar ângulos de 90‘, 60‘, 45‘ e 30‘

• Construir polígonos regulares utilizando instrumentos de desenho e softwares de Geometria dinâmica.

Competências gerais

1, 2, 3, 4 e 8

Competências específicas

1, 2, 3 e 6

Habilidades

EF08MA06

EF08MA07

Competências gerais

3, 4, 5 e 8

Competências específicas

3, 5, 6 e 8

Habilidades

EF08MA07

EF08MA08

Educação Ambiental

Competências gerais

2, 3, 4, 5, 7, 9 e 10

Competências específicas

2

Habilidades

EF08MA14

EF08MA18

Competências gerais

2 e 5

Competências específicas

3 e 5

Habilidades

EF08MA15

EF08MA16

EF08MA17

1 Sequências

2 Proporcionalidade

• Identificar regularidades de sequências numéricas não recursivas e construir um algoritmo por meio de fluxogramas.

• Identificar a regularidade de sequências numéricas recursivas e construir algoritmos por meio de fluxogramas.

• Identificar a natureza da variação de duas grandezas (direta e inversamente proporcionais ou não proporcionais).

• Expressar uma relação entre grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de uma sentença algébrica.

• Resolver problemas que envolvam grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas.

• Compreender a definição de equações polinomiais do 2? grau.

1 Equação polinomial do 2? grau com uma incógnita

• Explorar estratégias de resolução de equações polinomiais do 2? grau.

• Resolver equações do 2? grau do tipo ax2 + c = 0.

• Resolver e elaborar problemas que podem ser representados por equações polinomiais do 2? grau do tipo ax2 + c = = 0.

• Aplicar o princípio multiplicativo da contagem no cálculo de probabilidades.

• Elaborar e resolver problemas que envolvam o princípio multiplicativo da contagem.

2

Possibilidades e probabilidade

• Explorar a ideia de espaço amostral.

• Relacionar a probabilidade à razão entre o número de eventos favoráveis e o número de eventos possíveis.

• Reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

Competências gerais

3 Competências específicas

1 e 3 Habilidades EF08MA10 EF08MA11

Competências gerais

1, 8 e 10 Competências específicas 2, 3 e 7 Habilidades EF08MA12 EF08MA13

Educação para o Trânsito Saúde

Competências gerais

1 e 4

Competências específicas

1

Habilidade EF08MA09

Competências gerais

1, 3, 7 e 9

Competências específicas

1, 4, 6, 7 e 8

Habilidades

EF08MA03 EF08MA22

1 Simetrias: reflexão, rotação e translação

• Reconhecer transformações geométricas de isometria.

• Construir figuras obtidas por meio de composições que envolvem simetrias de rotação, translação ou reflexão.

• Utilizar instrumentos de desenho geométrico e softwares de Geometria dinâmica para construir figuras por composições de transformações geométricas.

• Determinar e utilizar expressões para o cálculo de área de quadriláteros, triângulo e círculo.

• Resolver e elaborar problemas que envolvem medidas de área de figuras planas.

2 Área, volume e capacidade

• Reconhecer a relação entre volume e capacidade.

• Reconhecer a relação entre litro e decímetro cúbico.

• Determinar o volume de blocos retangulares.

• Elaborar e resolver problemas que envolvem volume e capacidade.

• Compreender e calcular a média, a moda e a mediana de um conjunto de dados.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam as medidas de tendência central.

• Utilizar tabelas de frequência para organizar um conjunto de dados.

• Compreender o que são pesquisas censitárias e pesquisas amostrais.

• Diferenciar os tipos de amostragem.

• Entender os procedimentos de execução de uma pesquisa estatística.

• Planejar e fazer uma pesquisa amostral.

• Organizar um conjunto de dados.

Competências gerais

1, 2, 3 e 5

Competências específicas

1 e 3

Habilidades

EF08MA18

Competências gerais

2, 9 e 10

Competências específicas

2, 4 e 7

Habilidades

EF08MA19

EF08MA20

EF08MA21

Educação em Direitos Humanos

Competências gerais

10

Competências específicas 7 e 8

Habilidade

EF08MA25

Competências gerais 4, 5 e 7

Competências específicas 2, 3, 5 e 8

Habilidades

EF08MA26

EF08MA27

Educação Ambiental

Capítulo Objetivos do capítulo BNCC

• Reconhecer números irracionais como números reais.

• Localizar e representar números reais na reta numérica.

• Reconhecer que existem segmentos de reta cujo comprimento é expresso por um número racional.

Competências gerais

1

Competências específicas

2 e 3

Habilidades

EF09MA01

EF09MA02 EF09MA04

Competências gerais

1 e 3

2 Potências e raízes

• Resolver problemas envolvendo potenciação e radiciação.

• Resolver e elaborar problemas com números reais e em notação científica.

Competências específicas

1, 4, 6 e 8

Habilidades

EF09MA03

EF09MA04 EF09MA18

Competências gerais

1, 2 e 5

3 Unidades de medida na informática

• Entender conceitos da linguagem binária de um computador

Competências específicas

2 • Vistas ortogonais e volume de prismas e cilindros

1 Vistas ortogonais de figuras geométricas espaciais

• Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

• Conhecer e utilizar a nomenclatura das diferentes vistas de uma figura geométrica espacial em relação ao observador.

• Utilizar o conhecimento de vistas ortogonais para desenhar objetos em perspectiva.

2 Volume de prismas e cilindros

• Resolver problemas que envolvam o cálculo do volume de prismas e de cilindros retos.

• Compreender a relação entre os volumes de sólidos geométricos equivalentes.

• Representar sólidos geométricos e vistas usando software de Geometria dinâmica.

1 Produtos notáveis

• Diferenciar os produtos notáveis e utilizá-los para simplificar expressões algébricas.

Competências gerais

2 e 5

Competências específicas

2 e 5

Habilidades EM09MA17

Competências gerais

1

Competências específicas

1, 3 e 5

2 Habilidades EM09MA04 EM09MA18 Unidade

Habilidades EM09MA17 EF09MA19

Competências gerais

1, 3 e 4

Competências específicas 6 e 8

Habilidades EF09MA09

Competências gerais

2 e 4

2 Fatoração

• Compreender os processos de fatoração e sua relação com produtos notáveis e expressões algébricas.

Competências específicas

2

Habilidades EF09MA09

Competências gerais

3

Equações polinomiais do 2? grau

• Resolver equações polinomiais do 2? grau por diferentes métodos.

• Resolver sistemas de equações polinomiais do 2? grau.

2

Competências específicas

1 e 2

Habilidades EF09MA09

Ciência e Tecnologia

1 Retas e ângulos

Unidade

2 Semelhança de figuras

3 Construção de polígonos regulares

1 Leitura, interpretação e construção de gráficos

2 Planejamento e execução de pesquisa amostral

• Entender a relação entre ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal.

• Resolver problemas estabelecendo relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência.

• Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

• Resolver problemas que envolvam semelhança de polígonos e casos de semelhança de triângulos.

• Construir polígonos regulares usando régua, compasso e esquadro.

• Descrever um algoritmo para a construção de polígonos regulares usando fluxogramas.

• Ler, interpretar e construir gráficos com ou sem uso de planilhas eletrônicas para representar um conjunto de dados.

• Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, elementos que podem induzir em erro de leitura e interpretação.

• Planejar e executar pesquisa amostral e comunicar os resultados por meio de relatório.

Competências gerais

1 e 5

Competências específicas

1, 3 e 5

Habilidades

EF09MA10

EF09MA11

Competências gerais

1, 3, 4 e 5

Competências específicas

2, 3, 5 e 8

Habilidades

EF09MA12

Competências gerais

5

Competências específicas

5

Habilidades

EF09MA15

Competências gerais

2, 4 e 7

Competências específicas

2, 4, 6 e 8

Habilidades

EF09MA21

EF09MA22

Competências gerais

5

Competências específicas

6, 7 e 8

Habilidades

EF09MA22

EF09MA23

1 Proporcionalidade em Geometria

• Reconhecer e aplicar as relações de proporcionalidade de segmentos de reta em feixes de retas paralelas cortadas por transversais.

• Compreender e aplicar o teorema de Tales.

Diversidade

Cultural

Ciência e Tecnologia

2 Triângulo retângulo

• Demonstrar e aplicar as relações métricas do triângulo retângulo.

Competências gerais

1

Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

3 Distância entre pontos no plano cartesiano

• Calcular a distância entre dois pontos do plano cartesiano.

• Determinar o ponto médio de um segmento de reta.

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF09MA14

Competências gerais

1

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF09MA13

EF09MA14

Competências gerais

5

Competências específicas

2 e 5

Habilidades

EF09MA16

1

Função afim

• Entender o conceito de função

• Identificar uma função polinomial do 1? grau.

• Identificar e representar graficamente uma função afim.

• Identificar uma função polinomial do 2? grau.

• Interpretar e representar gráficos de funções polinomiais do 2? grau.

2

Função quadrática

• Identificar o domínio, contradomínio e o conjunto imagem de uma função.

• Calcular o(s) zero(s) de uma função.

• Identificar a concavidade de uma parábola.

• Calcular o valor máximo ou mínimo de uma função polinomial do 2? grau.

• Reconhecer eventos dependentes e independentes em experimentos aleatórios.

1

Probabilidade

• Calcular a probabilidade da ocorrência de eventos dependentes e independentes em experimentos aleatórios.

• Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes.

Competências gerais

2 e 8

Competências específicas

3 4 e 6

Habilidades EF09MA06

Competências gerais

4

Competências específicas

1

Habilidades EF09MA06

Competências gerais

2, 4 e 7

Competências específicas

2 e 8

Habilidades EF09MA20

Competências gerais

2

Competências específicas

• Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagem.

• Compreender a aplicação de percentuais sucessivos e determinação de taxas percentuais.

8 e 10

Habilidades EF09MA07

EF09MA08

Competências gerais

2, 3 e 4

Competências específicas

Educação para o Trânsito 3 Porcentagem

2, 3, 6, 8 e 9

Habilidades EF09MA05

Educação Financeira

Referências

AGUIAR, W. M. J. et al. Reflexões sobre sentido e significado. In: BOCK, A. M. B.; GONÇALVES, M. G. M. (org.). A dimensão subjetiva da realidade: uma leitura sócio-histórica. São Paulo: Cortez, 2009.

O livro aborda a “realidade” considerando o sujeito que a constitui e que, ao mesmo tempo, é constituído por ela. No capítulo “Reflexões sobre sentido e significado”, os autores tratam de duas importantes categorias de análise da perspectiva sócio-histórica: “sentido” e “significado”.

ALARCÃO, I. Professores reflexivos em uma escola reflexiva. 8. ed. São Paulo: Cortez, 2011. (Coleção Questões da nossa época, v. 8).

O livro discute importantes temáticas para a escola da atualidade, entre elas: o papel dessa instituição frente à sociedade da informação, do conhecimento e da aprendizagem; a formação do professor crítico-reflexivo; a dimensão coletiva do trabalho docente e a gestão para uma escola reflexiva.

A LÓGICA da tecnologia: o que é pensamento computacional? In: CAPES. eduCapes. Brasília, DF, [202-]. Disponível em: https://educapes.capes.gov.br/ bitstream/capes/597639/2/INFOGR%C3%81FICO%20 -%20O%20QUE%20%C3%89%20PENSAMENTO% 20COMPUTACIONAL.pdf. Acesso em: 24 maio 2022. Infográfico que apresenta a definição de “pensamento computacional” e as quatro etapas para a organização dessa estratégia: decomposição, reconhecimento de padrões, abstração e algoritmos.

BIAGIOTTI, L. C. M. Conhecendo e aplicando rubricas em avaliações. In: CONGRESSO INTERNACIONAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA, 12., 2005, Florianópolis. Anais [...]. Florianópolis: ABED, 3 abr. 2005. Disponível em: http://www.abed.org.br/congresso2005/por/ pdf/007tcf5.pdf. Acesso em: 24 maio 2022. Artigo que apresenta a rubrica como um potente instrumento de avaliação. Discute as características e as aplicações desse instrumento bem como os procedimentos para sua elaboração e as vantagens e desvantagens de sua utilização.

BIBIANO, B.; SANTOMAURO, B.; MARTINS, A. R. Como agrupo meus alunos? Nova Escola, [São Paulo], 1 mar. 2009. Disponível em: https://novaescola.org.br/ conteudo/1475/como-agrupo-meus-alunos. Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que apresenta e discute diferentes critérios para agrupamento dos estudantes na sala de aula, tendo como ponto de partida o diagnóstico do que cada um sabe sobre o tema em estudo.

BONALS, J. O trabalho em pequenos grupos em sala de aula. Tradução: Neusa Kern Hickel. Porto Alegre: Artmed, 2003.

O livro aborda o trabalho em pequenos grupos na sala de aula, oferecendo ao professor alguns elementos para realizá-lo de maneira satisfatória.

BRASIL. [Constituição (1988)]. Constituição da República Federativa do Brasil de 1988. Brasília, DF: Presidência da República, [2016]. Disponível em: https://www2.senado.leg.br/bdsf/bitstream/handle/ id/518231/CF88_Livro_EC91_2016.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Lei máxima do país que trata da elaboração de todas as outras leis e do conteúdo mínimo que devem ter.

BRASIL. Lei no 13.005, de 25 de junho de 2014 Aprova o Plano Nacional de Educação – PNE e dá outras providências. Brasília, DF: Presidência da República, 2014. Disponível em: http://www.planalto. gov.br/ccivil_03/_ato2011-2014/2014/lei/l13005.htm. Acesso em: 24 maio 2022.

Lei que aprova o Plano Nacional de Educação (PNE), o qual determina diretrizes, metas e estratégias para a política educacional brasileira no período de 2014 a 2024.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/ BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Documento de caráter normativo, aplicado exclusivamente à educação escolar, que define o conjunto orgânico e progressivo de aprendizagens essenciais que todos os estudantes devem desenvolver ao longo da Educação Básica, de modo a terem garantidos seus direitos de aprendizagem e seu desenvolvimento, conforme estabelecido no Plano Nacional de Educação (PNE).

BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica Brasília, DF: MEC, 2013. Publicação que reúne as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Básica, que buscam prover os sistemas educativos, nas esferas municipal, estadual e federal, de instrumentos para que todos os estudantes possam se desenvolver plenamente, em consonância com a idade e o nível de aprendizagem. São essas diretrizes que estabelecem a Base Nacional Comum Curricular (BNCC).

BRASIL. Ministério da Educação. Metodologia de pesquisa na escola. Brasília, DF: MEC, [2018?a]. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov. br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/ aprofundamentos/192-metodologia-de-pesquisa-naescola. Acesso em: 24 maio 2022.

Disponível no portal da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), esse artigo discorre sobre alguns dos múltiplos aspectos envolvidos no planejamento de ações pedagógicas que utilizam metodologia de pesquisa na Educação Básica.

BRASIL. Ministério da Educação. O uso de metodologias ativas colaborativas e a formação de competências. Brasília, DF: MEC, [2018?b]. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov. br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/ aprofundamentos/202-o-uso-de-metodologias-ativas -colaborativas-e-a-formacao-de-competencias-2.

Acesso em: 24 maio 2022.

O artigo, disponível no portal da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), discorre sobre o uso de metodologias ativas colaborativas, como jogos de tabuleiro e/ou games, e sua importância para o desenvolvimento de competências e aprendizagens significativas dos estudantes.

BRASIL. Ministério da Educação. Parecer CNE/CEB no 11, de 7 de julho de 2010 – Diretrizes Curriculares

Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos. Brasília, DF: MEC, 2010a. Disponível em: http:// portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman &view=download&alias=6324-pceb011-10&cate gory_slug=agosto-2010-pdf&Itemid=30192.

Acesso em: 24 maio 2022.

Parecer do sociólogo, educador e pesquisador Cesar Callegari sobre as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de nove anos.

BRASIL. Ministério da Educação. Resolução no 7, de 14 de dezembro [de] 2010. Fixa Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos. Brasília, DF: MEC, 2010b. Disponível em: http:// portal.mec.gov.br/dmdocuments/rceb007_10.pdf.

Acesso em: 24 maio 2022.

Resolução da Câmara de Educação Básica do Conselho Nacional de Educação que fixa as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de nove anos.

BRASIL. Ministério da Educação.Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação no contexto escolar: possibilidades. Brasília, DF: MEC, [2018?c].

Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov. br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/ aprofundamentos/193-tecnologias-digitais-dainformacao-e-comunicacao-no-contexto-escolarpossibilidades. Acesso em: 24 maio 2022.

Disponível no portal da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), o artigo aborda a incorporação das Tecnologias Digitais da informação e Comunicação (TDICs) às práticas docentes como meio de promover aprendizagens significativas aos estudantes. Também apresenta possibilidades de aplicação das TDICs nas aulas, com exemplos de práticas pedagógicas.

BRASIL. Senado Federal. LDB. Lei de diretrizes e bases da educação nacional. Brasília, DF: Senado Federal: Coordenação de Edições Técnicas, 2017. Disponível em: https://www2.senado.leg.br/bdsf/ bitstream/handle/id/529732/lei_de_diretrizes_e_ bases_1ed.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Lei que estabelece as diretrizes e as bases da educação nacional, as quais definem e regularizam o sistema educacional brasileiro com base nos princípios presentes na Constituição Federal.

DINIZ, Y. Entenda o que são e como trabalhar as metodologias ativas. In: IMAGINIE. Educação. [S. l.], 19 maio 2021. Disponível em: https://educacao.imaginie. com.br/metodologias-ativas/. Acesso em: 24 maio 2022. Texto que explica o que são “metodologias ativas” e apresenta alguns exemplos de sua aplicação na sala de aula.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 25. ed. São Paulo: Paz e Terra, 1996.

O livro enfoca a questão da formação docente e a reflexão sobre a prática educativo-progressiva em favor da autonomia dos estudantes. Em três capítulos, apresenta e discute os inúmeros saberes necessários à prática educativa.

LÜDKE, M.; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, 1986. (Coleção Temas básicos de educação e ensino).

O livro aborda temas relacionados à pesquisa em educação, na perspectiva das abordagens qualitativas. Discorre sobre a evolução da pesquisa educacional e apresenta algumas abordagens qualitativas de pesquisa (pesquisa etnográfica e estudo de caso), bem como alguns métodos de coleta de dados (observação, entrevista e análise documental). Traz, ainda, importantes questões relacionadas à análise de dados.

MARTINS, C. H. dos S.; CARRANO, P. C. R. A escola diante das culturas juvenis: reconhecer para dialogar. Educação, Santa Maria, v. 36, n. 1, p. 43-56, jan./abr. 2011. Disponível em: https://periodicos.ufsm.br/ reveducacao/article/view/2910/1664. Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que apresenta e discute os processos sociais e culturais que produzem as chamadas “culturas juvenis”, enfatizando a necessidade de a escola reconhecer esses processos.

MORAN, J. Metodologias ativas e modelos híbridos na educação. In: YAEGASHI, S. et al. (org.). Novas tecnologias digitais: reflexões sobre mediação, aprendizagem e desenvolvimento. Curitiba: CRV, 2017.

O livro discute as contribuições das tecnologias digitais para a educação, com ênfase na formação de professores e nos processos de ensino-aprendizagem. No capítulo

“Metodologias ativas e modelos híbridos na educação”, o autor discorre sobre como os modelos híbridos e as metodologias ativas contribuem para envolver os estudantes no processo de ensino-aprendizagem, tornando-o mais interessante e significativo.

NAÇÕES UNIDAS. Declaração e Programa de Ação sobre uma Cultura de Paz. In: COMITÊ PAULISTA

PARA A DÉCADA DA CULTURA DE PAZ. [S. l.], 1999. Disponível em: http://www.comitepaz.org.br/dec_prog

_1.htm. Acesso em: 24 maio 2022.

Publicação que apresenta as resoluções aprovadas pelas Nações Unidas, em assembleia geral realizada no dia 6 de outubro de 1999, para que se promova e se fortaleça uma cultura de paz em todo o mundo.

NOGUEIRA, N. R. Interdisciplinaridade aplicada. São Paulo: Érica, 1998.

O livro aborda detalhadamente a temática da interdisciplinaridade e apresenta várias alternativas para os professores aplicarem-na em seu cotidiano escolar, com exemplos de projetos interdisciplinares voltados para o Ensino Fundamental.

PORTANOVA, R. A educação matemática e a educação para a paz. Educação, Porto Alegre, v. XXIX, n. 2, p. 435-444, maio/ago. 2006. Disponível em: https://www.redalyc.org/pdf/848/84805910.pdf.

Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que aborda as contribuições da Educação Matemática para a construção de um mundo de paz, destacando outros valores além do conteúdo matemático.

PRADO, A. R. do. Cultura juvenil. Encontros Teológicos, Florianópolis, ano 27, n. 3, p. 67-80, 2012. Disponível em: https://facasc.emnuvens.com.br/ret/ article/viewFile/177/168. Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que apresenta e discute as características mais significativas da cultura juvenil urbana.

RIGOLON, Walkiria. Aprender não é um dom natural. [Entrevista cedida a] Redação. Revista Educação, [São Paulo], 19 maio 2017. Disponível em: https:// revistaeducacao.com.br/2017/05/19/aprender -nao-e-um-dom-natural/. Acesso em: 24 maio 2022. Entrevista com a professora e pesquisadora Walkiria Rigolon sobre a naturalização de alguns saberes e a responsabilidade da escola e da universidade no ensino de procedimentos e técnicas de estudo.

SANTOS, V. O que são metodologias ativas e como elas favorecem o protagonismo dos alunos, Nova Escola, [São Paulo], 8 set. 2021. Disponível em: https://novaescola.org.br/conteudo/20630/especial -metodologias-ativas-o-que-sao-as-metodologias -ativas-e-como-funcionam-na-pratica. Acesso em: 24 maio 2022.

Texto que aborda as metodologias ativas como estratégias que colocam os estudantes no centro do processo de ensino-aprendizagem, oferecendo algumas reflexões para se reavaliar o papel do estudante e do professor nesse processo. Também apresenta alguns exemplos de aplicação de metodologias ativas na sala de aula.

ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar.

Tradução: Ernani F. F. Rosa. Porto Alegre: ArtMed, 1998.

O livro aborda a prática educativa, sob diversos enfoques, como: as variáveis que configuram a prática educativa; a função social do ensino; a aprendizagem dos conteúdos segundo sua tipologia (conteúdos factuais, conceituais, procedimentais e atitudinais); as sequências didáticas e as sequências de conteúdo; as relações interativas em sala de aula; a organização da classe, com enfoque na forma de agrupamento dos estudantes; a organização dos conteúdos; o processo avaliativo e outros.

José Roberto Bonjorno

• Bacharel e licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Regina Azenha Bonjorno

• Bacharel e licenciada em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Professora do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Ayrton Olivares

• Bacharel e licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Marcinho Mercês Brito

• Doutor em Estatística e Experimentação Agropecuária pela Universidade Federal de Lavras (UFLA-MG)

• Mestre em Ciências Agrárias pela Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB-BA)

• Pós-graduado em Formação para o Magistério – Área de Concentração: Metodologia do Ensino e da Pesquisa em Matemática e Física pelas Faculdades Integradas de Amparo (FIA-SP)

• Engenheiro Agrônomo pela Universidade Federal da Bahia (UFBA)

• Licenciado em Matemática pela Faculdade de Ciências Educacionais (FACE-BA)

• Professor do Ensino Médio e do Ensino Superior

ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

COMPONENTE CURRICULAR MATEMÁTICA

1a edição São Paulo, 2022

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Amplitude : matemática, 9 : ensino fundamental : anos finais / José Roberto Bonjorno...[et al.]. --

1. ed. -- São Paulo : Editora do Brasil, 2022. -(Amplitude matemática)

Outros autores: Regina Azenha Bonjorno, Ayrton Olivares, Marcinho Mercês Brito

ISBN 978-85-10-09327-9 (aluno)

ISBN 978-85-10-09325-5 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Bonjorno, José Roberto. II. Bonjorno, Regina Azenha. III. Olivares, Ayrton. IV. Brito, Marcinho Mercês. V. Série.

22-113200

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427

© Editora do Brasil S.A., 2022

Todos os direitos reservados

Direção-geral: Vicente Tortamano Avanso

Direção editorial: Felipe Ramos Poletti

Gerência editorial de conteúdo didático: Erika Caldin

Gerência editorial de produção e design: Ulisses Pires

Supervisão de artes: Andrea Melo

Supervisão de editoração: Abdonildo José de Lima Santos

Supervisão de revisão: Elaine Cristina da Silva Supervisão de iconografia: Léo Burgos

Supervisão de digital: Priscila Hernandez

Supervisão de controle de processos editoriais: Roseli Said Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes

Supervisão editorial: Everton José Luciano

Edição: Daniel Leme, Katia Queiroz, Lourdes Ferreira, Marcos Silva e Maria Amélia Azzellini

Assistência editorial: Douglas F. Giaquinto e Wagner Razvickas

Revisão: Amanda Cabral, Andréia Andrade, Bianca Oliveira, Fernanda Sanchez, Gabriel Ornelas, Giovana Sanches, Jonathan Busato, Júlia Castello, Luiza Luchini, Maisa Akazawa, Mariana Paixão, Martin Gonçalves, Rita Costa, Rosani Andreani e Sandra Fernandes

Pesquisa iconográfica: Ana Brait

Design gráfico: APIS design

Capa: Estúdio Siamo

Imagens de capa: dabldy/iStockphoto.com e fongfong2/iStockphoto.com

Edição de arte: Daniel Souza, Marcela Tenguan e Mario Junior Ilustrações: André Martins, Caio Boracini, DAE, Daniel Queiroz Porto, Danillo Souza, Danilo Dourado, FJF Vetorização, Hélio Senatore, João P. Mazzoco, Lettera Stúdio, Lilian Gonzaga, Luca Navarro, Luiz Lentini, Marcel Borges, Reinaldo Vignati, Tarcísio Garbellini e Wanderson Souza Editoração eletrônica: Fórmula Produções Editoriais Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Jennifer Xavier, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini Controle de processos editoriais: Bruna Alves, Julia do Nascimento, Rita Poliane, Terezinha de Fátima Oliveira e Valeria Alves

1a edição, 2022

Rua Conselheiro Nébias, 887 São Paulo/SP – CEP 01203-001

Fone: +55 11 3226-0211

www.editoradobrasil.com.br

Apresentação

Cara estudante, caro estudante

Vivemos hoje em uma sociedade dinâmica, complexa e tecnológica. Nesse universo, mesmo sem perceber, estamos todos conectados a números, algoritmos, operações, medidas etc. Ao falar sua data de nascimento, você usa os números; para pagar uma compra, você também os utiliza; as páginas da internet e das redes sociais que você acessa funcionam por meio de algoritmos, e assim por diante. Com esta coleção, queremos aproximar ainda mais a Matemática de sua realidade, de modo que você possa raciocinar matematicamente, pensar de maneira lógica, comparar grandezas, analisar evidências e argumentar com base em números. Assim, você poderá programar um futuro melhor, no qual símbolos que representam matematicamente a desigualdade e a diferença poderão ser socialmente substituídos pelos sinais de igualdade e semelhança. Para construir esse futuro, precisamos aprender a pensá-lo matematicamente melhor!

Bons estudos!

Os autores

DAE

Abertura de unidade

Em cada uma das oito aberturas, você encontrará imagens, textos e questões relacionados ao tema estudado na unidade.

Abertura de capítulo

Os conteúdos são apresentados de forma objetiva e organizada.

Para começar

Agora, vamos analisar as seguintes situações.

BasPhoto/Shutterstock.com

86

A forma cilíndrica é muito utilizada no dia dia. Muitas indústrias armazenam produtos em grandes tanques que tem a forma cilíndrica, por exemplo. Imagine que uma empresa armazena grãos de trigo em tanques cilíndricos, chamados de silos, com 8 m de altura e 2 m de diâmetro, como o representado na imagem ao lado. Então, vamos calcular o volume deste silo.

Podemos representar o tanque como um cilindro reto cujo diâmetro da base mede 2 m e altura mede 8 m, conforme a figura abaixo. Primeiro, calculamos a medida da área da base. A medida da área da base circular é dada por: A ². Tomaremos o valor aproximado de p com duas casas decimais (3,14). Como a medida do diâmetro do cilindro dado é 2 m, a medida do raio é 1 m.

Assim: =p. 3,14 3,14 A área da base mede, aproximadamente, 3,14 m A fórmula para obter a medida do volume de um cilindro é dada pela multiplicação da medida da área da base A pela medida da altura h V A h V h Daí:

V 3,14 8 25,12 Portanto, a medida do volume desse cilindro é de 25,12 m Uma lata de leite em pó completamente cheia, no formato de um cilindro, com altura de 12 cm e raio da base de 5 cm, era vendida por R$ 15,00. O fabricante alterou a embalagem aumentando em 2 cm altura e diminuindo em 1 cm o raio da base. Se ele mantiver a relação preço/volume, qual será o novo preço do produto? 12 cm, o volume inicial da lata de leite em pó dado por: V 3,14 5 12 942 942 cm Com 4 cm e h 14 cm, medida do volume da nova embalagem será dada por: V h V o 3,14 4 14 703,36 703,36 cm Logo, a medida do volume de leite na nova embalagem passará a ser, aproximadamente, 703 cm Mantendo a relação preç lu da primeira embalagem e considerando o novo preço como x obtemos: preç lu 15 942703 Assim, temos: =6 x 15 942703 15703 942 11,19 O novo preço do produto deverá ser R$ 11,19.

Ladrilhos notáveis Você sabe o que ladrilho? É um tipo de revestimento de superfícies que pode ser utilizado em paredes ou pisos. Lee

Tung/Shutterstock.com

Objetos decorativos feitos com pastilhas de vidro.

Mosaicos quadrangulares feitos com pastilha de vidro.

Neste jogo, você será ladrilhador! Vamos lá? Para começar, convide um colega para jogar: você será o ladrilhador A e o colega, o ladrilhador B Vocês vão precisar de: papel quadriculado (uma folha de 10 por 10 quadradinhos para cada jogador); lápis de cor; borracha; um dado cúbico numérico com faces numeradas de 1 a 6 (o professor pode orientar na montagem, se necessário); um dado cúbico que chamaremos de dado notável, com a + b escrito em três de suas faces e ( - b nas outras três (o professor vai orientar na montagem dele);

uma tabela de anotações, como do modelo seguir, para os ladrilhadores registrarem os valores obtidos nas rodadas. Rodadas A B ab Resultado ab Resultado

Apresenta perguntas disparadoras e testagem de conhecimentos prévios sempre no começo de cada capítulo.

3 Como jogar 1. O ladrilhador A inicia o jogo lançando o dado numérico para encontrar o valor de A diferença de para 7 será atribuída ao número2. Depois, o ladrilhador A lança o dado notável e calcula os valores de b dependendo da face que sortear no lançamento. 3. Então, o ladrilhador A faz as devidas anotações na tabela de registros, pinta, em sua folha de papel quadriculado, a quantidade de quadradinhos equivalente ao resultado obtido e passa vez ao ladrilhador B 4. O ladrilhador B lança o dado numérico para sortear o valor de b A diferença de b para 7 será atribuída ao número 7 - b 5. Depois, ladrilhador B lança dado notável calcula, para os valores de b que obteve, quadrado da soma ou da diferença desses dois números, dependendo da face que sortear no lançamento. 6. Então, ladrilhador B anota na tabela de registros o resultado obtido e passa a vez ao ladrilhador A 7. Quem primeiro conseguir “ladrilhar” completamente sua folha quadriculada será o vencedor. Trabalhando juntos 1. Quais valores foram obtidos para o quadrado da soma de b em cada jogada?

É hora do jogo

(ab)

(ab)(ab) + Kirilldz/Shutterstock.com

Proporcionalidade em Geometria

Em qual figura a razão correspondente entre a parte pintada e figura completa maior?

igura igura A

Segmentos proporcionais Observe estes segmentos.

A

3 7,53 34 7,53 Portanto, a altura da árvore é 10 m.

Qual o volume de cada sólido representado seguir?

DAE 9 m b)

5 De um cubo maciço metálico são produzidas moedas, conforme mostram as ilustrações.

Derretendo-se o cubo, quantas moedas poderão ser produzidas? (Use po 3.) 6 Um posto de gasolina pretende instalar um tanque cilíndrico que deverá ficar deitado sobre 4 pés de sustentação. A imagem mostra duas alternativas de instalação.

E F 6 cm cm CD

GH

Vimos que a razão entre dois segmentos é expressa pelo quociente da medida de um deles pela medida do outro, tomadas na mesma unidade de medida. Assim, as razões entre ABCDEFGHABEF nessa ordem, podem ser expressas da seguinte maneira: AB CD 4 8 1 2 isto é, a medida de é 1 2 EF GH 3 6 1 2 isto é, medida de EF é 1 2 da medida de GH AB 4 4 isto é, a medida de AB 4 3 da medida de EF Note que as razões AB CD EF GH são iguais. Dizemos, então, que ABCD EF e GH nessa ordem, são segmentos proporcionais.

Duas razões de mesmo valor formam uma proporção

Proporção áurea ou A razão áurea, também chamada segmento agradável proporção entre duas medidas. Os gregos um segmento em média extrema razão” ou, simplesmente, convencionou-se identificá-la pela letra grega ao arquiteto e escultor Phídias, responsável pela o número irracional 1,618… [...] QUEIROZ, Maria Rosania. pós-graduação (Formação continuada em Matemática) Disponível em: https://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pde/rosania-razao-aurea.pdf.

razão entre GHEF Explique raciocínio que você utilizou para fazer o cálculo. CD GH - 1) Atividades Considere AB med(AB); med e assim por diante. Veja o exemplo. A razão entre a altura de um poste e altura de uma do poste é 7,5 m, qual a altura da árvore? Chamando altura da árvore de temos: altura do poste altura da árvore

Pense e responda

+=+=

2. Se a soma de b fosse 8, que valores seriam obtidos nos cálculos dos quadrados da soma de a b? 3. Quais valores foram obtidos para os quadrados da diferença de b em cada jogada? 4. Se a soma de b fosse 8, que valores seriam obtidos nos cálculos dos quadrados da diferença de a e b bb 2 () ab

Prepare-se para encarar jogos matemáticos desafiadores nesta seção.

aabb 2 ++ () ab quadrado

Traz questões que funcionam como reflexão em meio à teoria.

Atividades

87

Esta seção irá ajudá-lo a concretizar os conteúdos estudados.

da base são iguais. Determine, em centímetros, as medidas do raio da base e da altura do cilindro do tipo B, de modo que as duas embalagens tenham o mesmo volume. Qual o volume dessa lata? Considere po 3,14. 3 Um reservatório tem o formato de um cilindro, com 9 m de diâmetro 10 m de altura. Sabendo que 50% do volume está ocupado por gasolina, quantos litros de gasolina há em seu interior? (Considere 3,14.) 4 Um cilindro circular reto, de volume 40p cm tem altura de 5 cm. Qual é a medida, em centímetros, do raio da base desse cilindro? cm cm 12 cm André Martins Atividades Tanque A. Tanque B. cm cm cm 8 cm de proporção. 192

Apresenta fatos curiosos ligados a algum tema em discussão.

Indicação de livros, sites, vídeos etc.

No final de algumas seções Atividades, é o momento para trabalhar o raciocínio lógico.

Faça uma viagem no tempo com este boxe para descobrir a origem de determinado tema/conteúdo.

Educação Financeira * Inteligência Financeira Educação Financeira é processo de aprendizado sobre finanças. Por meio dela, é possível obter conhecimentos sobre conceitos e produtos financeiros, permitindo que as pessoas tomem consciência das oportunidades riscos de suas ações. Quando se trata de dinheiro, a Educação Financeira estimula a inteligência emocional e o consumo consciente, fornecendo parâmetros para o uso da inteligência financeira.

Educação Financeira

Por meio de textos e questões, você vai explorar o tema e aprender a ter uma vida financeira saudável.

O planejamento dos gastos financeiros contribui para um consumo consciente.

É importante que cada membro da família esteja consciente do que pode fazer para colaborar com o orçamento doméstico. Cite algumas situações em que é possível reduzir gastos familiares. 2 Utilize a internet para pesquisar sobre um dos temas marcados a seguir.

As dimensões de uma piscina olímpica são: 50 m de comprimento, 25 m de largura 3 m

37 500 000

MatemaTIC

CADERNETA DE POUPANÇA CARTÃO DE CRÉDITO FUNDOS IMOBILIÁRIOS CRIPTOMOEDAS E BLOCKCHAIN

As Estações de Tratamento de Água (ETAs) são locais onde a água é tratada para atender aos padrões de potabilidade exigidos por lei ou para obter a qualidade desejada para uso individual.

Em determinada

RENDA VARIÁVEL BÔNUS

RENDA FIXA TAXA SELIC

Agora, apresente aos colegas uma síntese sobre o tema escolhido.

cidade foi construído um reservatório que foi revestido internamente com azulejos quadrados com 40 cm de lado. Esse reservatório tem formato de um bloco retangular cuja dimensão estabelecida foi de 60 fileiras de azulejos no comprimento, 50 fileiras na largura e 8 fileiras na altura. Considerando as informações, elabore um problema, troque com um colega e resolva o elaborado por ele. Ao finalizar, converse com ele sobre como foi processo de Pesquise algumas substâncias contidas nas ETAs que são prejudiciais à saúde. Geni desenhou, em uma folha de cartolina retangular com 29 cm de comprimento por 14 cm de largura, todas as faces demarcadas, para depois construir um bloco retangular, como mostra a figura a seguir.

14 cm

Calcule o volume desse bloco retangular após ser construído.

12 (ENEM) Um mestre de obras deseja fazer uma laje com espessura de 5 cm utilizando concreto usinado, conforme as dimensões do projeto dadas na figura. O concreto para fazer a laje será fornecido por uma usina que utiliza caminhões com capacidades máximas de 2 m 5 m

10 m de concreto.

Qual é a

Matemática Interligada

menor quantidade de caminhões, utilizando suas capacidades máximas, que o mestre de obras deverá pedir à usina de concreto para fazer a laje? a) Dez caminhões com capacidade máxima de 10 m

Seção que apresenta temas contemporâneos e relaciona a Matemática a outras áreas do conhecimento.

b) Cinco caminhões com capacidade máxima de 10 m

c) Um caminhão com capacidade máxima de 5 m

d) Dez caminhões com capacidade máxima de 2 m e)

Um caminhão com capacidade máxima de 2 m

1 m m

14 m

meios homogêneos transparentes luz se propaga em linha reta luz). para determinar grandes alturas, como prédios, montanhas etc. com esse princípio, as sombras projetadas no solo de um poste de calcule a altura da torre.

raio de luz 2 m 100 m

Luca Navarro

2,2 3,2 D

B CA

tem na sua parte mais paciente ao caminhar deslocou 3,2 metros distância em metros que atingir o ponto mais c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros. tarefa de medir a altura do prédio da escola que frequentava. seus conhecimentos de óptica geométrica e mediu, em determicomprimento das sombras do prédio, e dele próprio, projetadas na calçada a altura do prédio da escola era de cerca de 22,1 m. As medidas por 10,4 m e W 0,8 m. Qual é a altura do estudante?

Cotia deve realizar cinco trabalhos: A B C D e E que serão execucronograma de entrega, ele estabeleceu as seguintes condições: trabalho A antes do trabalho B trabalho A antes do trabalho D depois do trabalho C e terceiro a ser realizado. ser realizado: c) só pode ser o d) só pode ser o A B e) só pode ser o

Ícones

Softwarede Geometria dinâmica Use um software de Geometria dinâmica on-line ou que possa ser baixado gratuitamente. Vamos construir um prisma de base triangular e, depois, fazer sua planificação. passo: Ao abrir o programa, vá até a aba “Exibir” e selecione a opção “Janela de visualização 3D”. 2 Selecione a opção “Prisma”, como indicado na figura abaixo.

Ilustrações: Tarcísio Garbellini

Selecionado esse item, clique os pontos dos eixos para construir o triângulo que será a base e, em seguida, determine a altura desse prisma. Veja a seguir o modelo de prisma de base triangular que foi criado.

Nesta seção, você precisará do apoio de tecnologias digitais para executar variadas atividades sobre diversos assuntos.

64 65

Para encerrar

B A O B

p

Atividades complementares apresentadas ao final de cada unidade cujo objetivo é revisar o conteúdo estudado.

A

A matemática na propagação da luz Uma consequência da propagação retilínea da luz a formação de imagens em um dispositivo conhecido como câmera escura. Trata-se de um dispositivo composto basicamente de uma caixa fechada por paredes opacas e com um pequeno orifício em uma delas, pelo qual penetram os raios luminosos provenientes de um objeto luminoso ou iluminado. Veja o exemplo da vela de comprimento x na frente do orifício O de uma câmera escura na figura seguir. A vela emite luz em toda as direções, motivo pelo qual podemos observá-la de qualquer lugar do ambiente. Ela também emite luz na direção do orifício da câmera escura. Vamos analisar esses raios de luz. Os raios de luz provenientes da vela cruzam o orifício e, por se propagarem em linha reta, atingem parede aposta da câmera escura, formando uma imagem de comprimento x invertida em relação à fonte x Pela montagem da figura, possível identificar formação de dois triângulos: AOB e A’OB” opostos pelo vértice (orifício O da câmara). Pela propriedade geométrica de semelhança dos triângulos AOB e A’OB’, podemos x p x p sendo p a distância entre objeto o orifício O e p distância entre o orifício O e a imano plano da câmera escura.

Em uma câmara escura caseira, feita com uma lata de alumínio e papel vegetal no lugar da tampa da lata, a imagem poderá ser vista por um observador localizado após a posição no lado direito do nosso esquema acima.

a) Faça uma pesquisa sobre os princípios da propagação retilínea da luz.

b) Um objeto retilíneo de 10 cm de altura está 50 cm de uma câmera escura com orifício de 18 cm de profundidade. Calcule altura da imagem que será formada.

c) Uma árvore está a uma distância de 5 m de uma câmera escura de orifício. Nessas condições, sua imagem na caixa mede 50 cm. A que distância da posição inicial devemos levar a caixa para que a nova imagem tenha 40 cm? Esse deslocamento deve ser de aproximação ou afastamento do objeto?

C B F Figura fora

6 (UFV-MG) Para determinar o comprimento de uma lagoa, utilizou-se o esquema indicado pela figura abaixo, onde os segmentos AB CD são paralelos.

m

de escala

P D

C Sabendo-se que 36 m, DP 40 m, o comprimento CD da lagoa em metros, é: a) b) 368. c) 288.

d) e) 188.

7 (UFPR) Em uma rua, um ônibus com 12 m de comprimento e 3 m de altura está parado 5 m de distância da base de um semáforo, o qual está a 5 m do chão. Atrás do ônibus, para um carro, cujo motorista tem os olhos a 1 m do chão e a 2 m da parte frontal do carro, conforme indica a figura abaixo.

Determine a menor distância d  que o carro pode ficar do ônibus de modo que o motorista possa enxergar o semáforo inteiro.

a) 13,5 m b) 14,0 m c) 14,5 m

d) 15,0 m e) 15,5 m 8 (UFMA) Em um dia de tráfego intenso, não foi possível ao funcionário da SETUB medir a largura de um certo trecho da Avenida Daniel de La Touche, cujos meios-fios são retas paralelas. Contudo, utilizando a figura a seguir, foi possível ao funcionário encontrar que a largura era de: a) 12,8. b) 13,5. c) 14,6. d) 15,2.

Autoavaliação

Momento para você verificar o que aprendeu na unidade.

Atividade em dupla 151

dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que indicado pelo segmento de reta AB.Os segmentos ADe BCrepresentam cabos de aço que serão instalados.

Autoavaliação Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente Ainda não compreendi O que aprendi CPN Entendo a relação entre ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal. Resolvo problemas que estabelecem relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência. Reconheço as condições necessárias para que dois triângulos sejam semelhantes. Resolvo problemas que envolvem semelhança entre triângulos.

Este selo indica o trabalho sobre um Tema Contemporâneo Transversal.

Principais objetivos da unidade

• Reconhecer números irracionais como números reais.

• Localizar e representar números reais na reta numérica.

• Reconhecer que existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por um número racional.

• Resolver problemas envolvendo radiciação e potenciação.

• Resolver e elaborar problemas com números reais e em notação científica.

• Entender conceitos da linguagem binária de um computador.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF09MA01 ao reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional. A habilidade EF09MA02 contribui para o reconhecimento de números racionais como números reais e estimar a localização desses números em reta numérica. Ao efetuar cálculos com números reais e potências com números fracionários é desenvolvida a habilidade EF09MA03

A habilidade EF09MA04 está contemplada por meio da resolução e elaboração de problemas com números reais, incluindo notação científica.

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• compreendam o Sistema de Numeração Decimal;

• identifiquem números naturais inteiros e racionais e representem-nos na reta numérica;

• conheçam as propriedades da potenciação;

• compreendam o que é segmento de reta;

• conheçam a notação científica;

• relacionem radicais com expoentes na forma de fração;

• efetuem adição, subtração, multiplicação, potenciação e radiciação com números racionais.

Avaliação diagnóstica

É importante observar o que os estudantes já dominam em relação aos pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos na unidade. Promova uma roda de conversa e, em seguida, elabore algumas atividades escritas para verificar se dominam os pré-requisitos para os conteúdos que serão abordados na unidade. Se necessário, retome-os, para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

BNCC na unidade Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 2, 3 e 5

Competências específicas 1, 2, 3, 4, 6 e 8

Habilidades EF09MA01, EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04 e EF09MA18

Os computadores são fundamentais para o avanço tecnológico e científico.

Números reais, potências, raízes e unidades de medida na informática

Você já ouviu falar em bit ou byte? Sabe qual é a diferença entre eles?

O bit (binary digit) é a menor unidade de medida de informação e pode ser representado apenas pelos números 0 (zero) ou 1 (um). Já o byte é o conjunto de 8 bits

1. Você possui celular ou tablet? Qual é a capacidade de armazenamento de cada um deles?

2. O prefixo mega (M) representa um fator equivalente a um milhão, e o prefixo tera (T), um fator equivalente a um trilhão. Escreva, com uma potência de 10, os fatores correspondentes a cada um deles.

Respostas pessoais. 106 e 1012

Orientações

Utilize a ideia da abertura da unidade para justificar o uso da matemática no dia a dia do estudante, retomando os conceitos de potenciação e fazendo uma analogia das potências de 2 com a capacidade de armazenamento de informações dos aparelhos que os estudantes possuem (celulares, tablets, computadores etc.).

Peça aos estudantes que respondam à questão 1 e compartilhem com os colegas. Pergunte se eles sabem o que significam as capacidades 32 GB, 64 GB, 128 GB, 256 GB etc. Pergunte também por que não temos celulares com capacidade de armazenamento de, por exemplo, 70 GB. Observe as hipóteses deles acerca desses questionamentos.

Após os estudantes resolverem a questão 2, façam a correção coletiva, retomando as classes e ordens do sistema de numeração decimal. Pergunte qual é a dificuldade que encontramos ao escrever, usando apenas algarismos, números muito grandes ou muito pequenos.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• reconhecer números irracionais como números reais;

• resolver problemas envolvendo radiciação e exponenciação;

• compreender conceitos da linguagem binária de computadores.

Objetivos do capítulo

• Reconhecer números irracionais como números reais.

• Localizar e representar números reais na reta numérica.

• Reconhecer que existem segmentos de reta cujo comprimento é expresso por um número racional.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1 Competências específicas 2 e 3

Habilidades EF09MA01, EF09MA02 e EF09MA04

Foco nos TCTs

• Saúde

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA01

Ao realizar as operações propostas em Para começar, os estudantes deverão perceber que não há um padrão de repetição dos algarismos decimais.

Você pode ampliar a discussão pedindo aos estudantes que tentem descobrir, usando estratégias próprias, qual é o número decimal que, elevado ao quadrado, mais se aproxima de 7. Ao final, liste na lousa as respostas obtidas por eles e discutam as aproximações e o número de casas decimais.

Em Pense e responda , você pode solicitar a todos os estudantes que deem um exemplo de número e verificar, com eles, cada um dos exemplos dados (com ou sem uso da calculadora). Para isso, precisamos inicialmente considerar o intervalo dado na questão, de 2 a p . Considerando as aproximações: =p=21,41  e  3,14 , as respostas podem ser: 2; 2,5; 3 2 etc.

Conjuntos dos números reais

Digite o número 2 em uma calculadora, aperte a tecla de raiz quadrada e observe o resultado.

Faça o mesmo procedimento com o número 3. Ao comparar as casas decimais, é possível estabelecer alguma relação?

Resposta pessoal.

Faça o mesmo procedimento com os números: 2,5; 2,6 e 2,7.

Apesar de obtemos um valor distinto para cada número, podemos observar um padrão bem específico para cada resposta. Em sua opinião, qual é esse padrão?

Resposta pessoal. Espera-se que o estudante observe que não há um padrão de repetição dos algarismos decimais.

Números irracionais

Neste item, vamos rever e ampliar o conhecimento sobre os números irracionais. Observe os números a seguir.

• 2 = 1,4142135…

• …52,2360679-= -

• = 71,91 3 29311...

• 3,1415926 p=

• 13 2,7320508... +=

Os três pontinhos que aparecem depois do último algarismo de cada representação decimal indicam que podemos continuar calculando esses números e ir aumentando indefinidamente o número de casas decimais.

Na representação decimal desses números, não há uma repetição de número ou período como os números 0,4444… e 1,5383838..., que possuem repetições constantes dos algarismos da parte decimal.

Os números que podem ser escritos na forma decimal com infinitas casas decimais e que não são periódicos são denominados números irracionais

1. Dê um exemplo de um número racional maior que 2 e menor que p

2. Registre o que você pensou para responder e troque ideias com um colega.

1. Respostas possíveis:

2; 2,5; 3 2 etc.

2. Resposta pessoal.

Número irracional é todo número cuja representação decimal infinita não é periódica.

O número 2

Foram os pitagóricos, discípulos de Pitágoras (580 a.C.-500 a.C., aproximadamente), que começaram a estudar números racionais que, elevados ao quadrado, resultassem no número 2. Eles calcularam uma série de tentativas e não conseguiram encontrar um valor adequado.

Esse número, cujo quadrado é igual a 2, é, na verdade, a raiz quadrada de 2, representado por 2 , um número irracional.

Vamos, então, fazer uma simulação daquilo que fizeram os pitagóricos, isto é, tentativas para achar um número racional que elevado ao quadrado resulte em 2.

1; tentativa

2 está entre quais números inteiros?

Como 12 < 2 < 22, podemos afirmar que 1 < 2 < 2 e que 2 não é um número inteiro

Número n

Quadrado de n

2; tentativa Aproximação para décimos.

Orientações

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EF09MA01

Após apresentar o procedimento para obter o valor aproximado de 2 , peça aos estudantes que façam o mesmo processo para 7e  11 Para cada uma das raízes, solicite um intervalo com quantidade de casas decimais diferente. A compreensão dos números irracionais é importante para que os estudantes percebam a necessidade de ampliação do conjunto numérico.

Como (1,4)2 < 2 < (1,5)2, podemos afirmar que 1,4 < 2 < 1,5.

3; tentativa Aproximação para centésimos.

=

Se continuarmos esse processo, obteremos para 2 representações decimais com um número cada vez maior de casas após a vírgula, porém, sem periodicidade.

Veja a representação decimal do número 2 com 30 casas após a vírgula.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades EF09MA01 e EF09MA02 e da competência específica 3

Peça aos estudantes que, usando régua e compasso, reproduzam no caderno o procedimento para localizar a 2 na reta numérica. Ao finalizar, pergunte por que a abertura do compasso equivale à medida do segmento GF, e não do segmento GE. Peça que observem que GF é a diagonal do quadrado GCFQ cujos lados medem 1 cm, associando a medida da diagonal do quadrado a 2

O número 2 na reta numérica

O quadrado ABCD tem 2 cm de lado e área de 4 cm2. Unindo os pontos médios de seus lados, obtemos o quadrado EFGH, cuja área é a metade da área do quadrado ABCD, ou seja, 2 cm2

Observe na figura que o quadrado ABCD pode ser dividido em 8 triângulos retângulos idênticos cuja área é 0,5 cm2

Se a área do quadrado EFGH é igual a 2 cm², então o seu lado mede 2 cm. Vamos agora desenhar sobre o lado DC a reta numérica r. Para isso, vamos considerar que o ponto G corresponde ao zero na reta numérica. Veja a imagem a seguir.

Sabemos que med(GF) = 2 cm é a medida da diagonal do quadrado QFCG. Usando um compasso com a ponta-seca em G e abertura GF, transportamos a medida GF para a reta numérica, obtendo o ponto P, ao qual está associado o número irracional 2

Esta é a representação exata de 2 na reta numérica.

As palavras que usamos

A linguagem que usamos para descrever as várias classes de números faz parte de nossa herança histórica e, sendo assim, é pouco provável que ela mude, apesar de sentirmos que algumas palavras sejam ligeiramente peculiares. Por exemplo, na linguagem de todo dia, ao dizermos que algo é “irracional”, queremos, em geral, dizer que esse algo é desprovido de bom senso, sendo, portanto, contrário à razão. Mas, é claro que não consideramos números irracionais contrários à razão. Aparentemente, os gregos ficaram surpresos ao descobrirem os números irracionais porque eles pensavam que, dados dois segmentos quaisquer, como o lado e a diagonal de um quadrado, existiram sempre inteiros a e b, tais que a razão dos comprimentos dos segmentos fosse a b . O significado matemático da palavra “irracional” refere-se à ausência de uma tal razão.

A palavra “comensurável” tem sido usada para descrever dois comprimentos cuja razão é um número racional. Duas grandezas comensuráveis são tais que uma delas pode ser “medida” por intermédio da outra, no seguinte sentido: existe um inteiro k, tal que, se dividirmos o primeiro segmento em k partes iguais, cada uma de comprimento l, o segundo segmento também poderá ser dividido em um número inteiro, digamos m, de partes iguais, cada uma de comprimento l. Nesse caso, a razão dos comprimentos dos dois segmentos será

123... k - 1k l

123... m - 1m l k m k m 1 1  , = que é um número racional [...]. Porém, se os segmentos forem tais que a razão de seus comprimentos é irracional (por exemplo, o lado e a diagonal de um quadrado), então a construção acima nunca poderá ser feita, não importando quão grande escolhamos k (e quão pequeno escolhamos L). Nesse caso, os segmentos dados se dizem incomensuráveis. [...] NIVEN, Ivan. Números: racionais e irracionais. Rio de Janeiro: SBM, 1990, p. 53-54.

1 Jessica quer determinar a medida do segmento AB usando como unidade de medida o segmento XY

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA01

Antes de propor aos estudantes que leiam o texto apresentado em Viagem no tempo, pergunte a eles se sabem explicar o conceito que envolve a palavra “irracional” e da palavra “incomensurável”. Depois, desenhe na lousa um segmento e pergunte a eles como fariam para medir o comprimento. É interessante estimular, nos estudantes, o raciocínio que envolve rotinas triviais, como medir segmentos. Provavelmente, eles irão responder que é só usar a régua. Depois dessa conversa inicial, proponha que leiam o texto e respondam às questões. Faça a correção coletiva. Resolução da atividade 1

a) Jessica deve verificar quantas vezes o segmento XY cabe no segmento AB

b) Um pouco mais do que 4 segmentos XY

c) Sim, se o segmento XZ for metade do valor da medida do segmento XY, XZ vai “caber” duas vezes mais no segmento AB

a) Que procedimento ela deve usar?

Verificar quantas vezes o segmento XY “cabe” no segmento AB

b) Que resposta é provável que ela encontre?

4 segmentos XY e mais um pouco

c) Suponha um novo segmento XZ cuja medida é metade do segmento XY. É conveniente afirmar que, ao utilizar o segmento XZ como unidade padrão de medida para determinar o comprimento de AB, obteremos o dobro da quantidade de segmentos XY?

Orientações

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EF09MA02

Mostre aos estudantes que, uma vez fixada a unidade de medida de comprimento, existem segmentos de reta cuja medida não pode ser expressa por um número racional; por exemplo, 2, 3, 5, altura de um triângulo equilátero de lado unitário etc.

O texto apresentado em Curiosidade favorece o desenvolvimento da competência geral 1

Converse com os estudantes sobre a aproximação de casas decimais quando se utiliza uma calculadora para obter a raiz quadrada de um número que não é um quadrado perfeito. Se possível, faça o cálculo da raiz de números primos usando uma planilha eletrônica, aumentando cada vez mais o número de casas decimais apresentadas.

Números reais

Denominamos número real todo número seja racional ou irracional. Portanto, o conjunto dos números reais, que representamos por R, é a reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. Os números reais podem ser representados em uma reta de tal modo que cada número real corresponda a um ponto da reta e cada ponto da reta corresponda a um número real. A reta assim construída é denominada reta numérica ou reta real

Note que os números irracionais são representados por um valor aproximado. Por exemplo, o número 5 -=-2,236068... fica próximo de -2,2; o número p= 3,141592... fica próximo de 3,1 e o número 2 = 1,4142136... fica próximo de 1,4.

Observe que essa correspondência um a um não ocorre com os conjuntos anteriores. Por exemplo:

• se representarmos todos os números racionais na reta numérica, sobram os pontos que correspondem aos números irracionais (como é o caso do 2 ). A reta fica “esburacada”;

• se representarmos todos os números irracionais na reta numérica, também sobram os pontos associados aos números racionais (como é o caso de -2,0 e 0,5).

A origem do símbolo pi

Em 1647, o matemático inglês William Oughtred escreveu d p para designar a razão entre o diâmetro de uma circunferência e seu perímetro. Neste caso, d (“delta” em grego) é a primeira letra de “diâmetro”, e p (“pi” em grego, claro) é a letra inicial de perímetro e periferia. Isaac Barrow, outro matemático inglês, usou os mesmos símbolos em 1664.

O matemático escocês David Gregory (sobrinho do famoso James Gregory) também escreveu p p para designar a razão entre o perímetro de uma circunferência e seu raio (p é a letra grega “rô”, que é a inicial de raio). Mas, para todos esses matemáticos, os símbolos designavam comprimentos diferentes, conforme o tamanho da circunferência.

Em 1706, o matemático galês William Jones usou p para denotar a razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro, num trabalho que apresentava o resultado do cálculo de John Machin para o valor de p com 100 casas decimais.

No início da década de 1730, Euler usou os símbolos p e c, e a história poderia ter sido diferente, mas em 1736 ele mudou de ideia e passou a usar o símbolo p em seu sentido moderno. O símbolo começou a ser usado de maneira mais geral depois de 1748, quando Euler publicou a Introdução à análise do infinito STEWART, Ian. Incríveis passatempos matemáticos. Tradução: Diego Alfaro. São

Acompanhe essa situação: como podemos calcular 6 usando a calculadora?

Veja a aproximação de 6 que depende da quantidade de dígitos que a calculadora mostra.

• 1 casa decimal: 2,4

• 2 casas decimais: 2,45

• 3 casas decimais: 2,449

• 4 casas decimais: 2,4495

• 5 casas decimais: 2,44949

1 Analise os resultados obtidos dividindo-se o numerador pelo denominador das frações a seguir.

• 57 5 11,4 =

• 57 7 8,1428571 =…

• 57 8 7,125 =

• 57 9 6,33333 =…

• 57 11 5,181818 =…

• 57 13 4,384615 =…

a) Que diferenças e que semelhanças você observa nos quocientes obtidos?

b) Quais quocientes são números decimais:

• finitos? • infinitos?

Resposta pessoal.

c) Você consegue prever quais algarismos ocuparão as próximas ordens nas representações infinitas?

Resposta pessoal.

Qual figura corresponde aos seguintes números racionais?

D.

c) 15 3 = 3 (três inteiros), o que corresponde a 3 quadradinhos inteiros.

Figura A.

d) 15 10 = 3 2 (três meios), o que corresponde a 3 metades de um quadradinho.

Figura C.

Resolução da atividade 3

a) 8² = 64 e 9² = 81

64 < 70 < 81

8,1 . 8,1 = 65,61

8,3 . 8,3 = 68,89

8,4 8,4 = 70,56 que é a melhor aproximação até décimos.

b) 11² = 121 e 12² = 144 121 < 127 < 144 Fazendo o mesmo procedimento de tentativas do item anterior, obtemos que a raiz é aproximadamente 11,3.

a) 70 8,4

c)

3 Encontre, por tentativa, a raiz quadrada, com aproximação até décimos, dos números a seguir.

a) 3

b) 8

c) 92

5 Considere os números reais a seguir.

• 3,178641920078493...

a) Qual é o maior deles? E o menor?

15 5 d) 15 10

b) 127 11,3

4 Com o auxílio da calculadora, determine, com aproximação de duas casas decimais, os valores abaixo.

d) 10

e) 35 f) 50

• 3,178641920069883...

• 3,178641920070193...

b) Escreva, no caderno, um número real que esteja entre o menor e o maior desses números.

6 Considerando as aproximações 2 = 1,41; 3 = 1,73; 5 = 2,24; determine o valor aproximado da expressão abaixo.

A = 23 93 54 2 -+-+

7 Considere dois números inteiros distintos, M e N, escolhidos entre os inteiros de 1 a 50, com M > N.

Qual é o maior valor que pode assumir a expressão MN MN +

A o-1,54. 99 AB CD Luca Navarro Calculadora

-

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades EF09MA02 e EF09MA04

Resolução da atividade 1

a) Respostas possíveis: alguns quocientes são decimais finitos, outros não; alguns são dízimas periódicas etc.

b) Quocientes finitos: 57 5  e 57 8

Quocientes infinitos: todos os demais.

c) Não, exceto naqueles quocientes que são dízimas periódicas, como 57 9  e 57 11

Resolução da atividade 2

a) 15 2 = 6 3 2 (seis inteiros e três meios), o que corresponde a 6 quadradinhos inteiros e 3 metades de um quadradinho. Figura D.

b) 15 4 = 3 3 4 (três inteiros e três quartos), o que corresponde a 3 quadradinhos inteiros e 3 4 de um quadradinho.

Figura B.

Na atividade 4, verifique se os estudantes estão usando corretamente a calculadora. Peça que comparem os números obtidos e as aproximações com um colega e, juntos, façam as correções necessárias.

Resolução da atividade 5

a) Como 3,1786419200 é comum a todos os números, devemos comparar a 11a casa decimal (7, 6 e 7). Daí temos que o menor número é 3,178641920069883...

Agora, comparando a 12a casa decimal dos outros 2 números (8 e 0), concluímos que o maior número é 3,178641920078493...

b) Resposta possível: 3,178641920075325...

Resolução da atividade 6

A o- 2(1,73) + 3 - 3(2,24) + + 4(1,41) 6 A o-1,54. Resolução da atividade 7

O maior valor será obtido quando o denominador (M - N) for 1 e o numerador (M + N) for o maior possível. Como o maior numerador possível é 50 + 49 = 99, o denominador será 50 - 49 = 1. Portanto, o maior valor de expressão é = 99 1 99 , com M = 50 e N = 49.

1,73 2,83 9,59 3,16 5,92 7,07

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF09MA02 e EF09MA04

Resolução da atividade 8

Cada divisão da reta vale N 6 , então:

N = 6N 2 ; 2N = 12N 2 e 7N 2 = 14N 2

Resolução da atividade 9

1² = 1 e 2² = 4, <<13 2

1,1² = 1,21

1,4² = 1,96

1,7² = 2,89

1,8² = 3,24

1,7² < 3 < 1,8² 6

6<< 1,73 1,8

1,71² = 2,9241

1,72² = 2,9584

1,73² = 2,9929

1,74² = 3,0276

Portanto, a melhor aproximação para 3 é 1,73.

Resolução da atividade 10 - 3 =- 1,73. Assim, entre - 3 e 5 existem -1, 0, 1, 2, 3 e 4, ou seja, 6 números inteiros.

Resolução da atividade 11

Algumas outras possibilidades:

a) 11 e7

b) 7 e  1 7 ;13 e  13

c) 23  e 17

d) 27  e 3

e) 10  e 30

Resolução da atividade 12

Calculando o lucro de 20%:

1 400 . 1,20 = 1 680

Calculando o imposto de 15%:

1 680 . 1,15 = 1 932

Portanto, o preço final será de R$ 1.932,00.

Alternativa c

Resolução da atividade 13

Considerando o preço como P,

temos:

1o aumento: 1,15P

2o aumento: 1,1 . 1,15P = 1,265P

3 o aumento: 1,05 1,265 P =

= 1,32825P

O aumento no preço foi de 32,8%, ou aproximadamente 33%.

Resolução da atividade 14

a) 2,6457513. Não.

b) 77 2 = () e (2,6457513)² =

6,99999994145169

Os resultados não são exatamente

iguais e isso acontece porque 7

não é uma raiz exata.

c) Respostas pessoais.

9 Faça uma simulação para calcular 3 com aproximação para centésimos.

10 Quantos números inteiros há entre 3 - e 5?

11 Escreva dois números irracionais:

a) cuja diferença entre eles seja irracional;

b) cujo produto deles seja racional;

c) cujo produto deles seja irracional;

Resposta no Manual do Professor.

6 números inteiros

Resposta possível: 32 -

Resposta possível: 2 e 1 2 , 3 e 3

Resposta possível: 5 e 2

d) cujo quociente entre eles seja racional;

e) cujo quociente entre eles seja irracional.

Resposta possível: 8 e 2

Resposta possível: 6 e 2

12 (FCC-TRT) Uma mercadoria comprada por R$ 1.400,00 será vendida com lucro de 20% sobre o preço de compra acrescido com 15% de imposto. Nessas condições, o preço de venda dessa mercadoria, deve ser igual a

Alternativa c

a) R$ 1.540,00

b) R$ 1.442,00

c) R$ 1.932,00

d) R$ 1.890,00

e) R$ 1.952,00

13 Suponha que o preço do álcool em um posto de combustível sofreu três aumentos consecutivos: o primeiro de 15%, o segundo de 10%, e o terceiro de 5%. Comparando o preço após o terceiro aumento com o preço antes do primeiro aumento, qual foi, aproximadamente, o percentual total de aumento do álcool?

14 Resolva em grupo.

a) Digitem o número 7 na calculadora seguido da tecla . Que número apareceu no visor da calculadora? Podemos afirmar quer 7 é exatamente o número que apareceu no visor da calculadora?

b) Ainda utilizando a calculadora, quanto é () 7 2 ? E quanto é (2,6457513)2?

o 33% 2,6457513; não.

Comparem os dois resultados encontrados e respondam se são iguais ou diferentes. Por que vocês acham que isso acontece?

Respostas pessoais.

c) Pensem em um número positivo que represente a área de um quadrado. Agora, utilizem um método estudado e determinem a medida do lado desse quadrado.

• Que tipo de número é esse?

• Existe outra maneira de representar esse número?

• Esse número pertence à reta real?

Registrem as conclusões no caderno e apresentem-nas aos colegas. Depois, conversem como foi o processo de resolução.

Respostas pessoais.

Intervalos

Vamos estudar alguns subconjuntos de R, definidos por desigualdades, chamados de intervalos. Veja os intervalos destacados em azul nos exemplos a seguir.

Intervalo Representação geométrica

O símbolo | significa "tal que".

d)

–10–9–8–7–6–5–4–3–2 e)

–5–4–3–2–101

f)

Ilustrações: DAE

–3–2–10123

{x óR|-5 k x k 6} ou [-5,6]

Representa todos os números reais maiores ou iguais a -5 e menores ou iguais a 6. Os números -5 e 6 são chamados de extremos do intervalo.

{x óR|-5 < x < 6} ou ]-5, 6[

Representa todos os números reais maiores do que

5 e menores que 6.

7

Representa todos os números reais maiores do que zero e menores ou iguais a 2 7 {x óR| x > 10} ou ]10,+8[

Representa todos os números reais maiores do que 10.

{x óR| x k- 2 } ou ]-8 , - 2 ]

Representa todos os números reais menores ou iguais a 2

Atividades

1 Represente, na reta real, os subconjuntos de R a seguir.

Ilustrações: DAE

Resolução da atividade 2

a) {x óR | -4 < x k 21}.

b) xx{| 23 }. óR-kk

c) {x óR | x > 8}.

d) xx{| 13 } óRk

Respostas no Manual do Professor.

O que representam os intervalos:

A bolinha vazia ( ) indica que os extremos não pertencem ao intervalo e a bolinha cheia ( ) indica que os extremos pertencem ao intervalo. Os

a) {x óR | -1 k x k 4}

b) {x óR | -3 < x < 13 }

2 Descreva os intervalos reais, destacados em azul abaixo.

a)

c) {x óR | x l 8}

d) [-9,-2[ e) ]-5,+8[ f) ]-8,2]

b) c) d)

3 Elabore intervalos parecidos com os intervalos da atividade 2 e troque com um colega para escrevê-los em forma de conjunto. Depois, destroquem as questões elaboradas e, juntos, confiram as resoluções e as estratégias utilizadas.

Respostas no Manual do Professor. Resposta pessoal.

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA02, além da competência específica 2

No Pense e responda, temos o primeiro intervalo, que é aberto em 0 – ou seja, o número zero não é considerado – e fechado em 7 2 – ou seja, esse número entra e é o último do intervalo. Os símbolos -8 (lê-se: menos infinito) e +8 (lê-se: mais infinito) não representam números reais, mas são símbolos usados na representação de intervalos reais ilimitados. Logo, o segundo intervalo vai de - 2 ao infini-

to negativo; então, o maior número será - 2 , que vai ao infinito negativo.

Antes da resolução das atividades, reforce os conceitos apresentados.

Resolução da atividade 1

a)

b)

–2–1012345

√13

–3–2–101234

c)

Departamento de Arte e Editoração (DAE)

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade

EF09MA02

Resolução da atividade 4

31 - (-5) = 36

x + 5 = 36 2 + (- 5)

x = 18 - 10 = 8

Resolução da atividade 5

=-o- A 32 5, 65

=-o- B 10 3,16

=-o- C 31,73

=o D 17 4,12

=o E 58 7, 61

F = 0,666...

G =-4,25

== H 49 7

=o I 72 ,64

Resolução da atividade 6 18013 ,41 -o-

Portanto, o menor número inteiro

é - 13 e o maior número inteiro menor que 10 é 9. Resolução da atividade 7

Exemplos de resposta: 450

4 Esta figura mostra um trecho da reta real. Os pontos destacados dividem o segmento de reta em partes iguais.

Se (x + 5) é o número real correspondente ao ponto P, determine o valor de x

Na atividade 8, para orientar os estudantes na pesquisa sobre o fator de proteção solar, você pode indicar os links:

• FATOR SOLAR. In: UNIVERSIDADE

FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO. [Seropédica], [20--?]. Disponível em: http://www.ufrrj.br/institutos/ it/de/acidentes/fator.htm#:~:text= Fator%20de%20Prote%C3%A7% C3%A3o%20Solar%20%2D%20 FPS,os%20raios%20ultravioletas %20(UV). Acesso em: 21 jun. 2022.

• BRAGA, Nathália. O que são os números FPS no protetor solar? Superinteressante, [s.l.], 10 dez. 2012. Disponível em: https://super.abril.com. br/comportamento/o-que-sao-os -numeros-fps-no-protetor-solar/.

Acesso em: 26 maio 2022.

5 Associe os números irracionais 58 ,32, 17 ,10 , 3 - , 0,666..., -4,25, 49 e 7 as letras da reta numérica a seguir.

x = 8. Respostas no Manual do Professor.

6 A figura ao lado representa um intervalo de números reais. Quais são o menor número inteiro e o maior número inteiro que pertencem a esse intervalo?

7 Veja como Adriana obteve um valor inteiro aproximado para expressar a raiz quadrada de 320.

o 320

Então, 320 18.

Escreva três números maiores que 400 e menores que 500 e entregue a um colega para ele calcular a raiz quadrada inteira aproximada desses números. Pegue os números dele e faça a mesma coisa. Depois, destroquem para confirmar as respostas.

Resposta pessoal.

8 Especialistas indicam que a exposição ao Sol deve ser evitada das 10h às 16h, por ocorrer, nesse intervalo de tempo, uma incidência maior de raios UVB, que podem causar diversos problemas à saúde física, como o câncer de pele.

a) Escreva, utilizando a notação algébrica e a representação geométrica de intervalos, o intervalo de tempo indicado pelos especialistas para evitar exposição ao Sol.

10 k x k 16

b) O Fator de Proteção Solar (FPS) é um índice matemático muito importante quando se trata do cuidado com a saúde da pele. Pesquise as relações matemáticas envolvidas no cálculo do FPS e sintetize essas informações por escrito.

Resposta pessoal.

Lógico, é lógica!

Abel em primeiro, Ivan em segundo, Jorge em terceiro e Ciro em quarto.

Quatro cantores, Abel, Ciro, Ivan e Jorge, obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso julgado por uma comissão de três jurados. Ao comunicarem a classificação final, cada jurado anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa. Veja, a seguir, as falas de cada jurado.

Jurado 1: “Abel foi o primeiro; Ciro foi o segundo.”

Jurado 2: “Abel foi o segundo; Jorge foi o terceiro.”

Jurado 3: “Ivan foi o segundo; Jorge foi o quarto.” Sabendo que não houve empates, descubra a ordem em que os cantores foram classificados.

Essa atividade oportuniza o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal: Saúde Resolução de Lógico, é lógica!

Sabendo que cada um contou uma verdade e uma mentira e que não pode haver empates, temos as situações

a seguir:

Primeira situação: “Ciro foi o 2o lugar” é verdadeiro. Abel não ficará em 1o lugar devido à mentira contada pelo jurado 1 e não poderá ficar em 2o por causa do empate; então,

Jorge ficará em 3o e não poderá ficar em 4o; logo, o jurado 3 terá mentido, e Ivan passa a ficar em 2o, empatado com Ciro. Assim, essa situação é impossível.

Segunda situação: “Abel foi o 1o lugar” é verdadeiro. Ciro ter sido o 2o é mentira e Jorge ter sido o terceiro é verdade; com isso, Ivan ter sido o 2o é verdade. Logo, a segunda situação é a correta. A ordem correta da colocação é: Abel em 1o, Ivan em 2o, Jorge em 3o e Ciro em 4o lugar.

Potências e raízes

Qual é a raiz quadrada de 1 81 ? 1 9

Radiciação e os números reais

Seja n um número inteiro positivo e a um número real. Para o cálculo da raiz enésima de a () na , temos os casos a seguir.

I. Se n é par e a l 0, na é um número real b tal que bn = a. Exemplos:

• 1, 44 = 1,2 porque 1,2 é positivo e (1,2)2 = 1,44;

• 0 = 0 porque 0 é não negativo e 02 = 0;

• 16 4 = 2 porque 2 é positivo e 24 = 16.

II. Se n é par e a < 0, não existe na no conjunto dos números reais. Exemplos:

• 36- não existe no conjunto dos números reais porque não existe número real que, elevado ao quadrado, seja igual a -36;

• 64 6 - não existe no conjunto dos números reais porque não existe número real que, elevado à sexta potência, seja igual a -64.

III. Se n é ímpar e a é um número real, então na é um número real b tal que bn = a. Exemplos:

• 8 3=-2 porque (-2)3 =-8;

• 0 3 = 0 porque 03 = 0;

• 1 32 5 =

A operação pela qual calculamos a raiz enésima de um número real a recebe o nome de radiciação

Objetivos do capítulo

• Resolver problemas envolvendo potenciação e radiciação.

• Resolver e elaborar problemas com números reais e em notação científica.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1 e 3 Competências específicas 1, 4, 6 e 8

Habilidades EF09MA03, EF09MA04 e EF09MA18

Orientações

Em Para começar, verifique se os estudantes tentariam calcular qual número fracionário que elevado ao quadrado resultaria na fração dada ou se eles já tentariam calcular isoladamente o valor que ao quadrado resulta em 1 e o valor que ao quadrado dá 81.

Aproveitando a explicação, proponha alguns valores negativos para os estudantes tentarem calcular a raiz cúbica deles. Se necessário, retome com eles a regra dos sinais para esclarecer esse processo de radiciação. Então, dê um tempo para que tentem resolver a questão proposta no Pense e responda. Observe se eles percebem que é uma raiz de índice ímpar, então, pode existir.

Qual é o valor de 1024? 5-4

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA03

Em Curiosidade, apresentam-se a origem e o desenvolvimento do símbolo de raiz, , colaborando para o desenvolvimento da competência específica 1

Resolução da atividade 1

A = 169 6 l = 16913 =

P = 4 . 13 = 52 4 52 cm

Resolução da atividade 2

V = 343 6 l = 343 3 = 7 4 7 cm

Resolução da atividade 3

a) = 81 9 , pois 92 = 81

b) = 216 6 3 , pois 63 = 216

c) Não existe, pois não existe número racional que elevado ao cubo resulta em 81.

d) 64 2 6 = , pois 26 = 64

e)

[...]

Com esta sequência de trabalhos, a partir de 1202, com Leonardo de Pisa, verificamos que o símbolo tem origem na letra r da palavra radix e leva o nome de radical pelo mesmo motivo.

Em 1556 Johann Scheibel 6 ra 100 aequalis 10

1553 Rudolff 6 r 100 aequalis 10

1555 vários autores 6 r 100 aeq 10

1557 Robert Recorde 6 √ 100 = 10

1585 Simon Stevin 6 100 = 10

CONTADOR, Paulo Roberto Martins. Matemática: uma breve história. São Paulo: Livraria da Física, 2012. v. 1, p. 150.

Veja o exemplo a seguir. O cubo representado abaixo tem volume de 512 cm3. Determine as dimensões desse cubo.

Atividades

Chamando a medida de cada aresta de a, temos: V = a a a 6 V = a3

512 = a3 6 a = 512 3 6 a = 8 Portanto, a aresta da caixa mede 8 cm.

1 Qual é o perímetro de um quadrado cuja área é 169 cm2?

2 Responda:

a) Qual é o volume de um cubo cuja aresta mede 4,5 cm?

b) Qual é a medida da aresta de um cubo cujo volume é 343 cm3 ?

3 Identifique as raízes que possuem solução racional e calcule-as.

4 Calcule o valor da expressão: 349   4 125 4, 84 3 +

5 Calcule o valor das raízes a seguir.

7 Determine o valor da expressão: 60 000 0,00018 0,0004 3

8 Um ciclista costuma dar 35 voltas completas por dia em um quarteirão quadrado onde mora, cuja área é de 14 400 m². Qual distância, em metros, ele pedala por dia?

9 A figura ao lado é formada por três quadrados. A área do quadrado ABGH é 36 cm2, e a do quadrado BCDI é 16 cm2

a) Qual é a área do quadrado EFGI ?

b) Qual é o perímetro dessa figura?

10 Qual é o número cujo dobro da raiz quadrada é 36?

9

Seja, A1: Área do quadrado ABGH, A2: área do quadrado BCDE; A3: área do

da atividade 10

xxxx 2361818 2 =6=6=6

xxxx 2361818 324 2 =6=6=6=

Existem dezenas de lendas sobre a criação de jogo de xadrez, mas a mais divulgada diz que seu aparecimento se deve ao sábio indiano Sissa. Ele criou o xadrez a pedido do rei Kaíde, e o rei prometeu-lhe a recompensa que desejasse se o jogo fosse realmente interessante. Sissa pediu-lhe, então, que um grão de trigo fosse colocado na primeira casa do tabuleiro, dois grãos na segunda casa, quatro na terceira, oito na quarta, e assim por diante, sempre multiplicando o número por dois até a última casa, ou seja, a casa de número 64. O rei achou o pedido simples demais e concedeu-lhe sem muito se preocupar. Mas, feitos os cálculos sobre o número de grãos necessários, chegou-se a este extraordinário algarismo:

18 446 073 709 551 615.

GIUSTI, Paulo. História ilustrada do xadrez. São Paulo: Ciência Moderna, 2006. p. 6.

1. De acordo com o seu entendimento, descreva, brevemente, como esse calculo foi realizado. Resposta pessoal.

Potência com expoente fracionário

Já estudamos que as potências de expoente fracionário podem ser escritas por meio de radicais. Veja a seguir. 88 512 4,76

Utilizando as propriedades da potência, qual é o resultado de 100 3 2 ? Explique como você pensou para responder.

• Se m e n são inteiros e n q 0, temos aa m nm n = , supondo a real, a l 0 se n for par.

• Se m n é uma fração irredutível e n um número ímpar, podemos ter a negativo.

Orientações

Leia com os estudantes o texto de Curiosidades e verifique a descrição feita por eles sobre como o cálculo foi realizado. Ao final, façam a resolução coletiva para garantir a compreensão de todos. Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência geral 3 Resolução de Pense e responda A potência em questão pode ser escrita como:

-=-=-o-

-=-=-=()() 66 61,43

As atividades e o conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA03

Resolução da atividade 6

bac 44 41 12164864 8 2 2 -=..-=+== () ()

Resolução da atividade 7

1 000. Resposta pessoal.

Orientações

As atividades e o conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA03 e EF09MA04

1

Atividades

1 Escreva cada radical a seguir em forma de potência.

a) 625 3 -

a) 55 4 3 4 3 -=-() ()

b) == --3636 (6 )6

c) 22 7 5 7 5 -=-() ()

d) 66 2 3 2 3

b) 1 36

2 Calcule o valor da expressão a seguir.

c) 128 5

d) 36 3

3 Escreva o radical equivalente ao resultado de

4 Se 2 5 a = , qual é o valor da expressão

5 Qual é o valor de 8 0,666 ?

6 Considere que a expressão a seguir pode ser usada para calcular uma simples aproximação da área, em metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa.

11 100 2 3 p

Sabendo que p é a massa da pessoa em quilograma, determine a área da superfície corporal de uma:

a) criança de 8 kg;

0,44 m2

b) pessoa de 70 kg (use 4  90017 3 o ).

1,87 m2

c) Em sua opinião, você considera que apenas a massa é suficiente para calcular a área de superfície de uma pessoa? Qual outro fator você consideraria importante?

7 Dê um exemplo com números para demonstrar que aaaxyxy +q + 1 11 1 , sendo a q 1.

Resposta no Manual do Professor.

Notação científica e problemas

Embora a ciência já tenha comprovado valores mais precisos, vamos considerar que a idade do planeta Terra é estimada em 4 500 000 000 anos, e a massa do átomo de hidrogênio é aproximadamente 0,000000000000000000000001673 gramas.

Observe que esses números contêm uma grande quantidade de zeros, o que dificulta lê-los ou recordá-los.

A fim de facilitar a escrita de cada um deles, podemos escrever esses números de uma outra forma, chamada notação científica. Observe a seguir.

• 4 500 000 000 anos = 4,5 . 109 anos.

• 0,000000000000000000000001673 gramas = 1,673 10-24 gramas. Essas notações com potências de 10 facilitam a escrita de números grandes ou muito pequenos.

Um número está em notação científica quando é escrito na forma N . 10n, em que 1 k N < 10 ou -10 < N k-1 e n é um número inteiro.

c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que a altura de uma pessoa também pode influenciar na área de sua superfície corporal.

E, temos: == + aaa

5

Assim, os dois membros são diferentes.

Após explorarem o texto de notação científica, solicite aos estudantes que pesquisem, em casa, artigos na internet em que apareçam números com notação científica. Informe que essa notação é muito comum em artigos científicos.

Atividades

1 Os astrônomos usam a unidade de medida chamada ano-luz, que é a distância que a luz percorre em um ano. Utilizando a velocidade da luz como 360 000 km por segundo, obtemos que a distância de um ano-luz é de aproximadamente 9 500 000 000 000 km.

Represente, em notação científica, as respostas às questões a seguir.

a) Quantos quilômetros a luz percorre em dois anos? E em cem anos?

b) Se a estrela Alfa do Centauro está a 4,3 anos-luz do Sol, qual é a distância, em quilômetros, entre esses dois astros?

c) Se a estrela Vega está a 26 anos-luz do Sol, qual é a distância, em metros, entre esses dois astros?

2 As dimensões das células são, em geral, microscópicas. Por isso, utilizam-se algumas unidades de Medida menores que o metro para fazer referências ao seu tamanho, conforme quadro abaixo. UnidadeSímboloValor

micrômetroµm10–6 m nanômetronm10–9 m

a) Converta as medidas a seguir para o metro e expresse o resultado em notação científica.

• Medida de uma célula com cerca de 0,1 mm de diâmetro.

• Medida de um óvulo com cerca de 7,5 cm de diâmetro.

• Medida da célula de um órgão com cerca de 30 mm de diâmetro.

• Medida de um glóbulo vermelho cuja medida varia entre 5 mm e 7 mm.

b) Qual é o tamanho, em milímetro, de uma célula cujo diâmetro mede 500 micrômetros?

c) Expresse:

• 10–7 m em nanômetros;

• 10–15 m em nanômetro.

3 Para objetos pequenos em relação às dimensões humanas, o metro é uma unidade de medida pouco prática. Por exemplo, na escala atômica, usamos a unidade de medida chamada angstrom ( A 0 ), que é igual a um décimo de bilionésimo do metro:

== - 1A 1 10000000000 m10m 0 10

a) Expresse, em angstrom, as medidas a seguir.

• Espessura média do fio de cabelo: 10–14 m.

• Dimensões do átomo: 10–10 m.

• Dimensões do núcleo atômico: 10–14 m.

b) Expresse 100 A 0 em metros e em nanômetros.

4 Escreva os números a seguir em notação científica.

a) 8102 0,07 .-+

b) 5103 0,03 .-+

c) 1210 50,25.-+

5 Considere que a massa de um grão de arroz é de aproximadamente 1,0 10–5 kg. Quantos grãos de arroz há em um saco com 1 kg de arroz?

6 Em uma cidade foram efetuadas, em um dia, 3 . 108 chamadas telefônicas. Em média, cada chamada teve a duração de 0,06 hora. Determine, em minutos, o tempo total de todas as chamadas realizadas nessa cidade nesse dia. Dê a resposta em notação científica.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das

EF09MA04 e EF09MA18

1

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA03 e EF09MA18

Resolução da atividade 7

a) 1 G = 1 000 M; 5 P =

= 5 0 00 0 00 0 00 M; 7 E = = 7 000 000 000 000 000 k

7 Os prefixos do Sistema Internacional de Unidade (SI) representam potências de 10. Veja alguns deles a seguir.

a) Transforme:

• 1 giga (1 G) em mega; • 5 petas (5 P) em mega; • 7 exas (7 E) em quilo.

b) Agora, escreva as respostas do item anterior em notação científica.

8 Veja como Gabriela calculou 1 3002 e escreva o resultado em notação científica.

1 3002 = (13 100)2 = (13 102)2 = 132 104 = 169 104 = 1,69 106

Calcule os itens a seguir usando o procedimento de Gabriela e escreva cada resultado em notação científica.

a) 2002

b) 1 5002 c) 14 0002 d) (2 000 000)3 e) (300 000)5 f) (-22 000)3 Com um colega, expliquem como foi o processo de resolução efetuado por Gabriela.

9 No sistema de base 10, os prefixos mili (mm), micro (m) e nano (n) correspondem aos submúltiplos 1 1000 , 1 1 000000 , 1 1 000000000 , respectivamente, e são escritos conforme o quadro a seguir.

Para expressar a medida de um comprimento muito pequeno, usamos, por exemplo, as unidades milímetro (mm), micrômetro (um) e nanômetro (nm). Use a notação científica para expressar, em metros, as medidas abaixo.

a) 5 mm

b) 0,4 mm

c) 0,07 mm

d) 2 mm

e) 35 mm

f) 0,6 mm

10 A Terra tem a forma aproximada de uma esfera com 6,37 106 m de raio. Qual é a medida do comprimento da circunferência da Terra? Use po 3,14.

4,00 107 m

11 Encontre cinco maneiras possíveis de representar 0,0000000625 que sejam equivalentes.

no Manual do Professor.

Unidade astronômica

Em Astronomia, como as distâncias entre os astros são muito grandes, usa-se a unidade astronômica, representada por au (astronomical unit) para medir distâncias.

Essa unidade de medida representa a distância média entre o centro da Terra e o centro do Sol e vale 149 597 870 700 m, ou seja, aproximadamente:

1 au = 150 000 000 km = 1,5 108 km.

Representação da distância entre a Terra e o Sol.

simplificada em cores-fantasia e tamanhos sem escala.

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA04 e EF09MA18

Resolução da atividade 1

Colocando a distância entre o Sol e Júpiter em notação científica, temos:

778 300 000 km = 7,783 108 km

O quadro abaixo mostra a distância média entre o centro de alguns planetas e o centro do Sol.

Fontes: O SISTEMA Solar. [São Paulo]: Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas da Universidade de São Paulo, [20--?]. Disponível em: https://www.iag.usp.br/siae98/universo/sistsolar.htm; DEFINIÇÃO de unidade astronômica. [São Paulo]: Observatório Abrahão de Moraes, 27 mar. 2013. Disponível em: http://www.observatorio.iag.usp.br/index.php/mencurio/curiodefin.html. Acessos em: 1 jun. 2022.

Veja o exemplo.

Sabendo que o planeta Netuno está a uma distância aproximada de 4,515 109 km do Sol, expresse essa distância em unidades astronômicas.

Se considerarmos que 1 au = 1,5 108 km, temos: 4,515 . 109 : 1,5 . 108 = 3,01 . 10 = 30,1

Portanto, considerando as aproximações, Netuno está a 30,1 au do Sol.

Atividades

1 A distância entre Júpiter e o Sol é de 778 300 000 km. Escreva essa distância em unidades astronômicas.

7,783 108 : (1,5 108) o 5,20 4 4 5,20 au. Resolução da atividade 2

a) Netuno, que está a 30,0578 au.

b) Usando regra de três e os dados do quadro, temos:

Distância Terra-Sol: 1,5 . 108 km.

Distância Mercúrio-Sol:

0,3871 1,5 108 o 0,581 108 = = 5,81 107 4 5,81 107 km

Distância Marte-Sol:

1,5237 1,5 108 o 2,29 108 4 4 2,29 107 km

Resolução da atividade 3 No ponto de afélio: 36 . 108 : 1,5 . 108 = 24 6 24 au. No ponto de periélio 14 108 : 1,5 108 o 9,33 6 9,33 au.

Resolução da atividade 4

Colocando a distância em notação científica, temos:

1 430 000 000 km = 1,43 . 109 km

1,43 . 109 : 1,5 . 108 o 0,953 . . 10 o 9,53 4 9,53 au.

2 Usando os dados do quadro acima e sabendo que 1 au = 150 000 000 km, faça o que se pede a seguir.

a) Que planeta mostrado no quadro está a uma distância maior do Sol?

5,20 au Netuno.

b) Usando notação científica, escreva a distância, em quilômetros, entre:

• a Terra e o Sol;

• Mercúrio e o Sol;

• Marte e o Sol.

3 Um asteroide em órbita elíptica dista 36 108 km do Sol no afélio e 14 108 km no periélio. Escreva essas distâncias em unidades astronômicas.

e o 9,33 au

4 A distância entre Saturno e o Sol é de 1 430 000 000 km. Escreva essa distância em unidades astronômicas.

Representação

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA04

Aproveite para explicar aos estudantes que o assunto abordado em “Ordem de grandeza” tem muita aplicação na prática, pois é utilizado como aproximação para medidas.

Resolução da atividade 1

a) Como 9,15 está perto de 10, a ordem de grandeza é 106 m.

b) Podemos aproximar 8,5 para 10, então, 10 . 10-8 = 10-7, que é a ordem de grandeza do número dado.

c) Como 2,96 está mais perto de 1 do que de 10, a ordem de grandeza é 109 kg.

d) Como 2,75 está mais perto de 1 do que de 10, a ordem de grandeza é 10-6 cm²

Resolução da atividade 2 Como 7,6 está mais próximo de 10, a ordem de grandeza do número dado é: 10 . 106 = 107 4 107 s.

Resolução da atividade 3

a) 3 500 600 = 2 100 000 4

4 2 100 000 L.

1 m³ = 1 000 L

2 100 000 L = 2 100 m3 = 2,1 . 10³ m³.

b) 10³ m³

Atividades

Ordem de grandeza

Considere as medidas 8,75 . 102 cm e 2,6 . 10–3 m. Como 8,75 está mais perto de 10 do que de 1, a potência de 10 que mais se aproxima dela é 103, pois 10 102 cm = 103 cm. Essa potência é chamada de ordem de grandeza

10 1 8,75

Por outro lado, como 2,6 está mais perto de 1 de que de 10, sua ordem de grandeza é 10–3 m, pois 1   10–3 m = 10–3 m.

Acompanhe a situação a seguir.

O tempo que a Terra leva para dar uma volta completa em torno do Sol é de 3,2 107 segundos. Qual é a ordem de grandeza desse número?

Como 3,2 está mais perto de 1 do que de 10, aproximamos 3,2 de 1. Assim, temos:

3,2 107 s 4 1 107 s = 107 s

Portanto, a ordem de grandeza de 3,2 . 107 s é 107 s.

1 Escreva a ordem de grandeza de:

a) 9,15 105 m;

b) . -8,510 8 cm;

c) 2, 96109 kg;

d) . -2,7510 6 cm².

2 O tempo que o planeta Mercúrio leva para dar uma volta completa em torno do Sol é igual a 7,6 106 segundos. Qual é a ordem de grandeza desse número?

3 Em um bairro com 3 500 casas, o consumo médio diário de água em cada uma delas é de 600 litros.

a) Qual é a medida do volume, em metros cúbicos, que a caixa-d’água do bairro deve ter para abastecer todas as casas por um dia sem faltar água? Escreva esse número em notação científica.

b) Qual é a ordem de grandeza de volume obtido no item anterior?

Operações com radicais

Adição e subtração

Observe como podemos calcular o perímetro do quadrilátero a seguir.

Chamando o perímetro de P, temos:

Note que os radicais dessa expressão têm o mesmo índice e o mesmo radicando; por isso, são chamados semelhantes

Como 2 é fator comum a todos os termos, podemos colocá-lo em evidência:

(3 + 7 + 5 + 1) = 2162

Portanto, o perímetro do quadrilátero é igual a 16 2

Na adição e na subtração com radicais, só podemos escrever o resultado em um único termo se os radicais forem semelhantes.

Exemplos:

• -=-=5102 10 (5 2) 10 310

• + 23 75 4 (a soma fica indicada, pois 3 e 5 não são semelhantes)

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades EF09MA03 e EF09MA04, além da competência específica 6

Em “Operações com radicais” , assunto iniciado na página anterior, reforce aos estudantes que a adição e a subtração só são possíveis quando os radicais são semelhantes, isto é, têm o mesmo índice e o mesmo radicando. Resolução de Pense e responda +=41 10 510 ()

1. Qual é o resultado de + 41010 ?

2. Como você pensou para resolver? 510 Resposta pessoal.

Multiplicação e divisão

Antes de multiplicar ou dividir dois ou mais radicais é preciso verificar se eles apresentam o mesmo índice. Veja o exemplo abaixo.

.=.=4252 510 ou, ainda, .==425 10010

Note que tanto 4 como 25 têm o mesmo índice (no caso, 2).

E para realizar a multiplicação 5 3 2 3 , como podemos fazer?

Primeiro, associamos uma variável a cada fator da multiplicação, x = 5 3 e y = 2 3

Desse modo:

=6=55 3 3 xx

Substituindo x e y pelos respectivos radicais, obtemos: .=52 10 33 3

Se na e nb são números reais, então:

.=.=.=.6.= 11 1 abababababab nnnnnnnnn ()

Agora vamos ver alguns exemplos de divisão.

72927 93 3, 33:=:= ou, ainda, 729 27 27 3 3 3 ==

Note que tanto 729 3 como 27 3 têm o mesmo índice (no caso, 3).

O produto de dois radicais de mesmo índice é igual ao radical de mesmo índice do produto dos radicandos.

Verifique se os estudantes compreenderam os procedimentos e as propriedades envolvidas na multiplicação e divisão de dois ou mais radicais. Se necessário, retome apresentando novos exemplos.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA03 e EF09MA04

Resolução da atividade 1

a) +-=86 52 92 ()

b) +-=68 543394 ()

c)

d) (7 - 4 - 1) + (- 1 - 1 + 5)

73 34 15 32 33 -+=+ 15 32 33 -+=+

Resolução da atividade 2

a) 40 (3 ) 120 3 3 .=

b) 25 52 5 85 82 65 +-=+

52 5 85 82 65 +-=+

c) = 32 5  30 44

d) 62 3 :=

e) 15 35:=

f) 2010 44 2 :=

Na atividade 3, peça aos estudantes que verifiquem a pertinência das perguntas elaboradas e se são possíveis de serem respondidas com base nos dados apresentados. Peça a eles que, juntos, corrijam eventuais enganos.

Resolução da atividade 4

a) P 93  9 3  93  9 9   9 3 =++=++()

27 3 4 27 3 cm.

b) P 6106 10 810 668 10 =++= =++() = 2010 4 2010 cm.

Resolução da atividade 5

Início

Calcular = ++ p abc 2

Acompanhe mais uma situação. Observe como podemos dividir 36 por9

Se na e nb são números reais, então:

O quociente de dois radicais de mesmo índice é igual a outro radical de mesmo índice cujo radicando é o quociente dos radicandos.

Atividades

1 Efetue as operações abaixo.

a) 82 62 52 +-

b) 64  8 45 4 33 3 +-

c) 2 4 32 2 2 6 +-

d) 7  3  3 + 4  1 53 () () ()

2 Calcule o que se pede.

a) 23 43 53 .. d) 62 :

b)

c)

3 Observe esta figura cujas medidas são dadas em

4 Determine o perímetro do:

a) triângulo equilátero cujo lado mede 93 cm;

b) triângulo isósceles cuja base mede 810 cm e os demais lados medem 610 cm cada um.

5 Elabore um fluxograma que calcule a medida da área A de um retângulo empregando a fórmula A = ()()() ppapbpc - , chamada fórmula de Herão (Heron ou Hero), em que a, b e c são as medidas dos lados do triângulo e

2 p abc = ++ é a medida do semiperímetro do triângulo. Depois, execute esse fluxograma para calcular a medida da área de cada um dos triângulos a seguir. Aproxime a medida das áreas para os décimos.

cm Resposta no Manual do Professor.

Elabore perguntas que envolvam os dados numéricos dessa figura e os conceitos de área e de perímetro e troque com um colega. Resolva as perguntas elaboradas por ele. Depois de finalizado, destroquem para corrigir as respostas. Conversem sobre como foi o processo de resolução. Resposta pessoal.

Arredondar A para os décimos

6 Qual é o volume de um cubo cuja aresta mede:

Calcular =Appapbpc ()()()

Substituindo 3por  1,73 , temos:

A = 25 . 1,73 = 43,25 4 43,25 cm². Resolução da atividade 6

a)

b)

Mostrar A

Ler a, b, c DAE Fim

7 As dimensões de um bloco retangular são 2  m, 2 3 m e 6 m. Qual é o volume, em metros cúbicos, desse bloco retangular?

8 Nos triângulos retângulos representados a seguir, as medidas dos lados estão em centímetros.

Quantas vezes, aproximadamente, o comprimento de:

a) AB “cabe” em DE ?

b) AC “cabe” em DF ?

c) BC “cabe” em EF ?

o 3,16 vezes

4 vezes

o 3,87 vezes

Organizem um debate sobre como vocês podem responder a essas perguntas. Troquem opiniões, registrem as ideias no caderno e apresentem propostas de solução para os problemas encontrados.

Resposta

9 A medida da diagonal de um quadrado se obtém multiplicando a medida do lado por 2 . Analise o fluxograma que mostra como calcular a medida de diagonal d do quadrado cujo lado mede W, conforme representação ao lado.

a) Elabore um fluxograma para calcular a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 8cm. Depois, execute-o.

Resposta pessoal.

b) Crie um fluxograma para calcular a medida do lado de um quadrado cuja diagonal mede 10 cm. Aproxime a medida do lado para os centésimos.

Resposta pessoal.

Potenciação e radiciação

De maneira simplificada, podemos definir uma potência como uma multiplicação por fatores iguais.

Se houver fatores fora do radical, devemos elevá-los ao expoente indicado. Veja outros exemplos.

Com relação à radiciação, sabemos que a nm = a m n . Veja o exemplo a seguir.

Para elevar um radical a um expoente, basta elevar o radicando a esse expoente.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA03 e EF09MA04

da atividade 7

A atividade 8 propõe uma discussão de estratégias de resolução. Observe como os estudantes trocam ideias e se há respeito e empatia pela opinião dos colegas.

Questões que envolvem representação de dados, comandos e informações expressas por meio de fluxogramas contribuem para o desenvolvimento da competência específica 4

Resolução da atividade 8

a)

AB DE 10 1 3,16

b) DF AC 45 5  4 ==

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA03 e EF09MA04

Resolução da atividade 1

a) ===55 525 4 4 2 2 ()

b) =.=.= 35 35 95 45

c) 23 23 16 9 144

d) = 3636 3 3 9

Sendo m e n números naturais maiores que 1 e supondo que as raízes envolvidas sejam números reais, temos:

Na radiciação, o índice do radical final é o produto dos índices dos dois radicais.

Atividades

1 Efetue e simplifique o resultado. a) 5 4()

b) 35 2()

c) 23 4() -

2 Resolva a operação a seguir. 22 6 3 3 () :

3 Calcule o valor numérico da expressão x2 - 5x + 6 para x igual a:

4 Simplifique a expressão

()

5 Veja como Cláudia encontrou o valor de 4096 4 usando uma calculadora simples.

• Apertou as teclas 4 0 9 6

• Apertou

Feito isso, no visor da calculadora apareceu o número 8.

a) Em linguagem matemática, que operações ela utilizou?

b) Utilizando uma calculadora e o método de Cláudia, determinem os resultados a seguir.

Simplificação de expressões com radicais

Os radicais 43 e 73 são semelhantes porque têm o mesmo índice e o mesmo radicando. Entretanto:

• 62 e 35 não são semelhantes porque os radicandos são diferentes;

• 45 e 25 3 não são semelhantes porque os índices dos radicais são diferentes.

Às vezes podemos combinar termos semelhantes para simplificar uma expressão. Por exemplo, vamos simplificar a expressão:

3282 +-

Inicialmente vamos reduzir cada radical à forma mais simples.

32 22 22 22 42 44 2 =.=.=.=

82 22 22 22 32 2 ==.=.=

Depois, combinamos os radicais semelhantes usando a propriedade distributiva para fatorar e simplificar a expressão.

3282 42 22 24 21 25 2 () +-=+-=+-=

Portanto, a expressão simplificada é 52

Vamos acompanhar outros exemplos.

• Qual número é maior: 72 ou 27 ?

Para responder, vamos utilizar as propriedades dos radicais para incluir os fatores externos 7 e 2 nos radicandos.

72 72 72 49 298 22 =.=.=.=

27 27 27 47 28 22 =.=.=.=

Como 98 > 28, temos 9828 >

Portanto, 7227 > e 72 é o maior.

Agora, calcule 1764

Portanto, 1764 = 42.

• Vamos calcular :- 432 8 33

Usando a propriedade da divisão de radicais de mesmo índice, temos:

1 Simplifique estas expressões.

a) +- 80 320 125

b) +-

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA03 e EF09MA04

Para a resolução dessas atividades, relembre os procedimentos de fatoração. Conseguir identificar o fator comum nas expressões é muito útil, não só nas expressões com radicais mas também em vários casos de resoluções de problemas posteriores.

Orientações

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Resolução da atividade 6

6 Justifique se o número

Não, pois a expressão é igual a 2.

7 Sabendo que 2 , 3 , 6 e 2 + 3 são irracionais, escreva dois números irracionais:

Respostas no Manual do Professor.

Por tanto, a expressão não resulta em um número múltiplo de 4. Resolução da atividade 7

Exemplos:

a) .==33 93

b) .=23 6

c) 23 23 23

a) cujo produto seja racional;

b) cujo produto seja irracional;

c) cuja soma seja racional;

d) cujo quociente seja racional.

8 Vilma inventou a seguinte operação matemática com números reais a e b, na qual ela usa o sinal *:

a * b = (a + b) (b - 1).

Calcule:

a)

2  31 22 +-=-=-=-()() () ()

2323 23 2  31 22 +-=-=-=-()() () ()

d) 66 1 :=

Resolução da atividade 8

a) 3 6 = (3 + 6) (6 – 1) = 9 .

.

5 = 45

b) 52 52 21 52 52 24 23.=+-=-+-=()()

21 52 52 24 23+-=-+-=-()()

52 24 23+-=-

c)

Racionalização de denominadores

Em Matemática, as frações cujos denominadores são números irracionais, como + 2 3 ,  10 5 ,  6 36 ,  2 3439 + 2 3 ,  10 5 ,  6 36 ,  2 3439 , costumam ser transformadas em frações equivalentes cujos denominadores são números racionais. O procedimento usado para efetuar essa transformação é chamado de racionalização de denominadores ou, simplesmente, racionalização.

A ideia básica para efetuar uma racionalização é multiplicar o numerador e o denominador da fração por um fator que possibilite a transformação do número irracional que está no denominador em um número racional.

Veja, por exemplo, como fazemos para racionalizar a fração 4 3 Como 3 é um número irracional, vamos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número para obter uma fração equivalente, mas que não tenha um número irracional no denominador. O número multiplicado por 3 que o transforma em um número racional é o próprio 3 . Veja abaixo.

Observe que o denominador irracional da fração inicial se transformou em um número racional na fração final.

Assim, dizemos que 43 3 é a forma racionalizada de 4 3 e que o número 3 é o fator racionalizante de 4 3

Orientações

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Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA03

Em MatemaTIC, explore técnicas diferentes de utilizar a calculadora simulando casos em que alguns botões não funcionam para avaliar como os estudantes fariam os cálculos.

Na atividade 1, verifique se os estudantes estão seguindo os procedimentos indicados.

Peça que confiram os resultados obtidos em cada item com um colega e, em caso de divergência, repitam juntos o passo a passo.

Calculando raízes com a calculadora científica

Vamos aprender a fazer operações de radiciação usando uma calculadora científica. Observe a seguir algumas funções das teclas destacadas na imagem.

A tecla x3 é utilizada para o cálculo de potências de expoente 3. Contudo, a função desejada é a função secundária, ou seja, a que está escrita em amarelo na imagem e que é usada para o cálculo de raízes cúbicas.

Vamos ver uma aplicação? Por exemplo, o cálculo de 8 3

Para fazer esse cálculo, adotamos o seguinte procedimento:

1. Apertamos a tecla shift e habilitamos a função secundária do teclado.

2. Em seguida, clicamos em x3

3. No visor, aparecerá o radical com índice 3.

4. Depois, digitamos o radicando, que, nesse caso, é 8.

5. Por fim, apertamos a tecla = . No visor, vai aparecer o número 2. Como no caso anterior, também vamos usar a função secundária da tecla ^

A função secundária dessa tecla calcula raízes com qualquer valor para o índice. Veja, por exemplo, como calcular 1 296 4 :

1. Digite o valor do índice, no caso, 4.

2. Por meio da tecla shift, habilitamos a função secundária e, em seguida, clicamos em ^ . Aparecerá na tela o radical, e no lugar do índice vai aparecer x

3. Digitamos o radicando; nesse caso, 1 296.

4. Para finalizar, apertamos a tecla = . No visor, vai aparecer o número 6.

1 Agora, efetue as operações a seguir na calculadora.

Nem todos os modelos de calculadora científica têm as três teclas destacadas na foto acima; afinal, existem diversos tipos. Se esse for o caso da calculadora que você essá usando, pesquise quais teclas têm função semelhante às destacadas. Se necessário, junte-se a um colega para descobrir.

Unidades de medida na informática

O sistema de numeração indo-arábico não utiliza letras nem figuras para representar números e efetuar operações. Veja:

+ 542 1608

2 150 Sistema indo-arábico.

+ Sistema romano.

Sistema egípcio.

Compare as operações de adição efetuadas nos três sistemas de numeração acima. Em qual desses sistemas a operação de adição é mais prática? Cite algumas vantagens na sua resposta.

Respostas no Manual do Professor.

Sistema de numeração com bases diferentes de 10

A base de contagem no sistema de numeração que utilizamos é 10. Cada algarismo de um número tem um valor posicional correspondente a uma potência de 10 que indica quantas vezes essa potência está contida no número.

Veja:

5 643 = 5 1 000 + 6 100 + 4 10 + 3 1

5 643 = 5 103 + 6 102 + 4 101 + 3 100 milhares centenas dezenas unidades

Objetivos do capítulo

• Entender conceitos da linguagem binaria de um computador.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 2 e 5 Competências específicas 2 Habilidades EF09MA04 e EF09MA18

Orientações

Em Para começar, questione os estudantes sobre as vantagens que eles observam na utilização do sistema indo-arábico. Como exemplo de respostas, podemos ter:

• Economia de notação e facilidade da expressão dos números.

• A mais importante é a facilidade de efetuar cálculos.

Aproveite e solicite aos estudantes que tentem multiplicar MMCXLIV por III sem representar os números no sistema indo-arábico. Para os estudantes entenderem na prática o que é um sistema de numeração com base diferente de 10, providencie um relógio de ponteiro e sinalize o sistema sexagesimal (de base 60) utilizado para subdividir 1 hora em 60 minutos ou 1 minuto em 60 segundos. Dessa forma, eles veem uma aplicação prática do conteúdo abordado.

103 102 101 100

Entretanto, os números podem ser escritos em qualquer base diferente de 10.

O sistema de numeração binário, cuja base é 2, utiliza somente dois algarismos: o 0 (zero) e o 1 (um). Em um número escrito na base 2, cada algarismo corresponde a um valor de posição que é uma potência de 2.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA04 e da competência geral 1

Acompanhe com os estudantes a representação do número, sua representação em um sistema de numeração de outra base e sua respectiva notação.

Observe se eles associam o processo de decomposição de um número em uma base qualquer à decomposição na base 10.

Resolução de Pense e responda

• 20144

• 2 . 4³ + 0 . 4² + 1 . 4 + + 4 . 40 = 128 + 0 + 4 + 4 = = 136

O número 1011 (lê-se: um – zero – um – um), escrito na base 2, representa o número 11 na base 10. =.+.+.+.=+++= 1 011 12 02 1212 80 21 11 32 10

23 22 21 20

O sistema de numeração de base 4 utiliza os algarismos 0, 1, 2 e 3. Cada algarismo do número corresponde a uma potência de 4.

234 representa o número: 2 ∙ 41 + 3 ∙ 40 = 8 + 3 = 11 na base 10

1024 representa o número: 1 ∙ 42 + 0 ∙ 4

+ 2 ∙ 40 = 16 + 0 + 2 = 18 na base 10

Para escrever um número em certa base usamos tantos algarismos quantos são os indicados pela base, começando do zero.

Para converter um número da numeração decimal para uma numeração em outra base, divide-se sucessivamente o número dado pela nova base até obter 0 (zero) no quociente. Por exemplo, convertendo o número decimal 11 para a base 2, temos:

número de unidades de primeira ordem (20)

número de unidades de segunda ordem (21)

número de unidades de terceira ordem (22)

número de unidades de quarta ordem (23)

A sucessão de restos do primeiro ao último (1, 1, 0, 1) representa o número de unidades da primeira, da segunda, da terceira e da quarta ordem. Escrevendo os restos na ordem inversa das divisões efetuadas, isto é, da última à primeira, obtemos o número correspondente a 11 na base 2: 10112

Observe o número representado no ábaco abaixo.

43 42 41 40

• Escreva esse número na base 4.

• Escreva esse número na base 10. 20144 136

Atividades

1 Que algarismos são usados no sistema de numeração de base:

a) 3?

b) 5?

2 Observe os números representados nos ábacos a seguir.

c) 8?

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA04

e 2

da atividade 1

a) Escreva o número do ábaco da figura 1 nas bases 2 e 10.

b) Escreva o número do ábaco da figura 2 nas bases 5 e 10.

3 Converta os números escritos na base 2 indicados abaixo para a base 10.

a) 1001

b) 101001

c) 100101

d) 11001011

4 Converta para a base 2 os números decimais representados a seguir.

a) 8

b) 12

c) 15

d) 301

5 Escreva, no sistema de numeração binário, os números representados em cada item a seguir.

a) 1 24 + 0 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20

b) 1 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20

6 O número 5306 corresponde ao número decimal 198.

Veja: 5306 representa o número 5 . 62 + 3 . 61 + 0 . 60 = 180 + 18 + 0 = 198.

Converta para a base 10 os seguintes números: a) 2034

b) 3345

7 Sabendo que um número pode ser escrito em qualquer base de numeração diferente de 10, converta os números decimais abaixo para as bases indicadas.

a) 278 para a base 4

b) 1 000 para a base 5

c)

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA18, da competência geral 2 e da competência geral 5

Acompanhe com os estudantes o texto e os exemplos apresentados. Verifique se eles conseguem associar o sistema binário à representação da lâmpadas, ou seja: 1 passa corrente elétrica e 0 não passa corrente elétrica. Resolução de Pense e responda

1 GB = 1 024 MB

Portanto, 1 gigabyte é aproximadamente 1 000 vezes maior que 1 megabyte

Capacidade de armazenamento de computadores

Unidades de medida: bit e byte

Os computadores se comunicam e processam as informações armazenadas nas memórias, nos discos etc. por meio de códigos binários, ou seja, utilizam somente os algarismos 0 e 1, que são chamados de bit Essa linguagem é chamada linguagem binária

Bit é a sigla para binary digit, que em português significa dígito binário.

Eles utilizam o sistema binário porque seus componentes admitem apenas duas situações distintas opostas: sim e não; ligado e desligado; aberto e fechado. É como se os computadores representassem os números com lâmpadas: lâmpada acesa e lâmpada apagada.

• Se a lâmpada está acesa, o bit vale 1.

• Se a lâmpada está apagada, o bit vale 0.

Por exemplo, o número 17 no sistema binário se escreve 10001 e resulta na representação de uma sucessão de cinco lâmpadas, a primeira acesa, a segunda, a terceira e a quarta apagadas e a quinta acesa.

O conjunto de oito bits é chamado de byte, que se indica pela letra maiúscula B

O byte é a unidade básica de medida de capacidade de armazenamento do computador.

A capacidade de armazenamento de um computador de 1 gigabyte é aproximadamente quantas vezes maior do que a de um computador de 1 megabyte? Aproximadamente 1 000 vezes (1 024 vezes) maior.

Linguagem binária

A linguagem binária é utilizada na linguagem computacional, que basicamente adota o sistema binário, ou seja, os algarismos 0 e 1. Os computadores entendem impulsos elétricos, e o uso desses dois algarismos em sequências determinadas transmite as informações, geralmente da seguinte maneira:

• 0: sem impulso elétrico (desligado); • 1: com impulso elétrico (ligado).

Os algarismos 0 ou 1 representam 1 bit (binary digit). Um conjunto de 8 bits representa 1 byte

Os computadores antigos trabalhavam com apenas 8 bits por vez. Atualmente é comum encontrar processadores de 32 bits ou 64 bits, inclusive em celulares.

Por exemplo, veja a palavra Teste decodificada para a linguagem binária; cada letra deve ser substituída por uma sequência de algarismos (0 e 1), de acordo com a tabela binária a seguir.

Tabela binária

Código Letra correspondente

01010100 T

01110100 t

01100101 e 01110011 s

Acesso

Com a decodificação, a palavra Teste fica assim: 01010100 01100101 01110011 01110100 01100101

Usando uma tabela binária, os caracteres (letras, números, símbolos, pontuação, espaço em branco e outros caracteres especiais) podem ser decodificados e armazenados. Essa leitura é feita automaticamente pelos processadores dos computadores.

Agora é com você! Crie uma mensagem secreta para um colega decifrar. Use a tabela binária a seguir.

Tabela ASCII

Orientações

Acompanhe com os estudantes a leitura de MatemaTIC

Explore a tabela ASC II e peça que escrevam uma palavra em linguagem binária e troquem com um colega para decodificá-la. Para que os estudantes entendam melhor como surgiu essa ideia e a necessidade de um sistema binário, solicite que pesquisem, em casa, a origem do sistema de numeração binária. Na aula seguinte, discutam em grupo as origens e os caminhos que levaram até os tempos atuais. Questões como as que são contempladas neste capítulo sobre computadores, linguagem binária e armazenamento digital propiciam o desenvolvimento da competência específica 2

Fonte: TABELA ASCII. [São Paulo]: Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, [20--?]. Disponível em: https://www.ime.usp.br/~kellyrb/mac2166_2015/ tabela_ascii.html. Acesso em: 1 jun. 2022.

Resposta pessoal.

Fonte: TABELA ASCII. [São Paulo]: Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, [20--?]. Disponível em: https://www.ime.usp. br/~kellyrb/mac2166_2015/ tabela_ascii.html.

em: 22 mar. 2022.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA18

Explique aos estudantes que o quilo usado em informática é indicado pela letra K maiúscula e corresponde a 1 024 (210), e não a 1 000 (103). Os prefixos mega, giga e tera também são potências de 2.

1 = 20

1 024 = 210

1 048 576 = 220

1 073 741 824 = 230

1 099 511 627 776 = 240

Unidades de medida maiores que o byte

Cada símbolo usado na informática é chamado de caractere. Os caracteres podem ser números, letras, imagens, sons, espaços em branco etc., cada um com seu código binário correspondente. O quadro a seguir mostra alguns caracteres do código ASCII (American Standard Code for Information Interchange).

Fonte: SCOTTI, Haline de S.; FERREIRA, Rodrigo F. Sistemas de numeração. [Florianópolis]: Departamento de Informática e Estatística – UFSC, [20--?]. Disponível em: http://www.inf.ufsc.br/~bosco.sobral/ extensao/sistemas-de-numeracao.pdf. Acesso em: 1 jun. 2022.

Nesse código, cada caractere é formado por oito “zeros” e “uns”. Apertando a tecla A do teclado é ocupado um espaço de armazenamento correspondente a 8 bits ou 1 B na memória do computador. Se digitarmos a palavra bola, que tem quatro caracteres, será ocupado um espaço de armazenamento de 4 1 B = 4 B.

Se o texto inserido no computador tem muitos caracteres, o computador precisa ter uma capacidade maior de armazenamento. Para isso usamos unidades de medida maiores, por exemplo, quilobyte, megabyte, gigabyte e terabyte

O quadro a seguir mostra a correspondência entre essas unidades na base 2.

Unidade de medidaNúmero de caracteres Espaço 1 byte (B)

Veja algumas mídias que armazenam dados e suas respectivas capacidades.

Atividades

1 Um computador pode armazenar diversas informações, como textos, músicas, imagens, vídeos etc. Essas informações são guardadas em arquivos organizados em pastas. Uma pasta não ocupa espaço de armazenamento no computador por ser uma forma de organização lógica; portanto, uma pasta tem tamanho zero, e os arquivos podem ter tamanhos diferentes. Por exemplo, suponha que em um computador haja uma pasta com os arquivos mostrados a seguir:

Nome Tamanho

Apresentação 127 KB

Crimes digitais 4 063 KB

Material de apoio 5 065 KB

Regimento interno405 344 KB

Treinamento 1 697 963 KB

a) Escreva o nome de três arquivos dessa pasta.

Resposta pessoal.

b) Dê, em bytes, o tamanho dos arquivos Apresentação e Crimes digitais.

Apresentação: 130 048 B; Crimes digitais: 4 160 512 B.

c) Os pen drives são dispositivos usados para armazenar arquivos que podem ser transportados e manipulados em outros computadores. Uma pessoa quer copiar essa pasta para um pen drive. Qual é o espaço livre, aproximado, que deverá ter esse pen drive para receber essa pasta?

2 112 562 KB o 2,1 GB

2 Quantos bits tem um arquivo de:

a) 420 MB?

b) 80 B?

c) 5 GB?

o 3,5 109 B

6,4 102 B

o 4 1010 B

3 Quantos videoclipes de aproximadamente 800 MB cada um podemos armazenar em um HD externo de 1 TB?

Aproximadamente 1 311 videoclipes.

4 Qual é a capacidade de armazenamento, em bytes, de um disco magnético (HD) externo de 1 TB?

240 B

5 Um DVD comum é capaz de armazenar, aproximadamente, 4 GB. Qual é o número de DVDs necessários para armazenar 3 petabytes?

786 432 DVDs

(OPRM) Para evitar que o seu irmão descubra o que escreve no seu diário, a Margarida inventou um código secreto em que cada letra corresponde a um número com um ou dois algarismos. Infelizmente o seu irmão Antônio descobriu que a frase O dia estava de sol tinha sido codificada para:

52 85567 534437467 855 34526

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA18

Resolução da atividade 1

a) Há várias possibilidades. Exemplo: Apresentação, Material de apoio e Treinamento.

b) Apresentação: 127 KB 127 . 1 024 B = 130 048 B

Crimes digitais: 4 063 KB 4 063 . 1 024 B = 4 160 512 B.

c) 127 + 4 063 + 5 065 + + 405 344 + 1 697 963 = = 2 1 12 5 62; 2 1 12 5 62 KB o o 2,1 GB

Resolução da atividade 2

a) 420 MB = 420 . 1 024 . 1 024 . . 8 B o 3,5 . 109 B

b) 80 B = 80 . 8 = 640 B = 6,4 . . 10² B

c) 5 GB = 5 . 1 024 . 1 024 . . 1 024 . 8 o 4,3 . 1010 B

Resolução da atividade 3

1 TB = 1 048 576 MB

1 048 576 : 800 = 1 310,72 o 1 311 4 1 311 videoclipes

Resolução da atividade 4

1 TB = 210 . 210 . 210 . 210 B = 240 B

Resolução da atividade 5

1 PB = 210 . 210 GB = 220 GB = = 1 048 576 GB, portanto 3 PB = = 3 145 728 GB

Por regra de três:

DVDCapacidade (GB)

4 x

Qual é o código que corresponde à letra T?

a) 3 b) 4 c) 37 d) 43 e) 44 Alternativa d

145 728 x = 3 145 728 : 4 = 786 432, isto é, 786 432 DVDs. Resolução de Lógico, é lógica! Decifrando a frase, começamos com O = 52, então a sequência 34 526, que corresponde a sol, é 34 = S, 52 = 0 e 6 = L. Comparando 85 567 (dia) com 855 (de) temos 85 = D, 5 = E. Comparando 85 567 (dia) e 534 437 457 (estava), temos que as letras A correspondem ao 7. Ao final temos: O = 52; D = 85; I = 56; A = 7; E = 5; S = 34; T = 43; V = 46; L = 6. Portanto, a letra T corresponde a 43. Alternativa d

Orientações

Para encerrar contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1

a) Se a e b são números naturais, então a + b é um número natural. Verdadeiro.

b) O produto de dois números racionais sempre é um racional. Verdadeiro.

c) A soma de dois números irracionais pode ser um número racional. Verdadeiro.

d) O produto de dois números inteiros negativos é um número inteiro positivo. Verdadeiro.

e) A soma de um número racional com um número irracional é um número racional. Falso.

Alternativa e Resolução da atividade 2

1 pol = 2,5 cm = 25 mm.

Medidas iniciais: l = 595 mm e

c = 840 mm.

Medidas novas: l = 595 + 25 =

= 620 4 620 mm

c = 840 + 16 . 25 = 1 240 4

4 1 240 mm.

A nova razão é: 620 1  240

Alternativa b Resolução da atividade 3

Seja S: salário do professor

Gasto inicial: 0,10 S + 0,30 S =

0,40S

Com os aumentos de 10% e 20%, respectivamente:

0,11S + 0,36S = 0,47S.

0,47S – 0,40S = 252

0,07S = 252

S = 3 600 4 R$ 3.600,00.

Alternativa d

1 (UAB-UESPI) Assinale a alternativa incorreta

a) Se a e b são números naturais, então a + b é um número natural.

b) O produto de dois números racionais sempre é um número racional.

c) A soma de dois números irracionais pode ser um número racional.

d) O produto de dois números inteiros negativos é um número inteiro positivo.

e) A soma de um número racional com um número irracional é um número racional.

2 (ENEM) Um técnico gráfico constrói uma nova folha a partir das medidas de uma folha A0. As medidas de uma folha A0 são 595 mm de largura e 840 mm de comprimento. A nova folha foi construída do seguinte modo: acrescentando uma polegada na medida da largura e 16 polegadas na medida do comprimento. Esse técnico precisa saber a razão entre as medidas da largura e do comprimento, respectivamente, dessa nova folha. Considere 2,5 cm como valor aproximado para uma polegada. Qual é a razão entre as medidas da largura e do comprimento da nova folha?

3 (ENEM) Um professor tem uma despesa mensal de 10% do seu salário com transporte e 30% com alimentação. No próximo mês, os valores desses gastos sofrerão aumentos de 10% e 20%, respectivamente, mas o seu salário não terá reajuste. Com esses aumentos, suas despesas com transporte e alimentação aumentarão em R$ 252,00. O salário mensal desse professor é de

a) R$ 840,00

b) R$ 1.680,00

c) R$ 2.100,00

d) R$ 3.600,00

e) R$ 5.200,00

4 (UFLA-MG) O valor da expressão

5 (IFMA) A medida do segmento de reta AB na figura abaixo é: Alternativa a

a) 210  cm

b) 25  cm

c) 35  cm

d) 53  cm

e) 45  cm

6 (ENEM) Pesquisadores da Universidade de Tecnologia de Viena, na Áustria, produziram miniaturas de objetos em impressoras 3D de alta precisão. Ao serem ativadas, tais impressoras lançam feixes de laser sobre um tipo de resina, esculpindo o objeto desejado. O produto final da impressão é uma escultura microscópica de três dimensões, como visto na imagem ampliada.

A escultura apresentada é uma miniatura de um carro de Fórmula 1, com 100 micrômetros de comprimento. Um micrômetro é a milionésima parte de um metro. Usando notação científica, qual é a representação do comprimento dessa miniatura, em metro? Alternativa c

Resolução da atividade 7

Faltam 9 L para o balde ser completamente preenchido.

5 gotas: 5 5 10-2 =

= 25 . 10-2 = 2,5 . 10-1 4 2,5 .

. 10-1 mL

2,5 . 10-1 mL = 2,5 . 10-4 L

Fazendo uma regra de três para saber quanto tempo vai levar para encher o balde:

Tempo (s)Capacidade (L)

1 2,5 10-4

x 9

x = 9 : (2,5 10-4 )= 3,6 . 104s.

Hora Segundos

1 3,6 103

x 3,6 104

x = 1 101 = 10 410 horas.

Alternativa b

Resolução da atividade 8

Fazendo a equivalência:

500 . 75 = 37 500 4 37 500 GB

37 500 : 80 = 468,75 4 468,75 GB

Portanto, o valor mais próximo é 468.

Alternativa a Resolução da atividade 9

Devemos ter:

7 (ENEM) Uma torneira está gotejando água em um balde com capacidade de 18 litros. No instante atual, o balde se encontra com ocupação de 50% de sua capacidade. A cada segundo caem 5 gotas de água da torneira, e uma gota é formada, em média, por 5 × 10–2 mL de água. Quanto tempo, em hora, será necessário para encher completamente o balde, partindo do instante atual?

Alternativa b

a) 2 . 101

b) 1 101

c) 2 . 10–2

d) 1 10–2

e) 1 . 10–3

8 (ENEM) Os computadores operam com dados em formato binário (com dois valores possíveis para cada dígito), utilizando potências de 2 para representar quantidades. Assim, tem-se, por exemplo:

1 kB = 210 Bytes, 1 MB = 210 kB e 1 GB = 210 MB, sendo que 210 = 1 024. Neste caso, tem-se que kB significa quilobyte, MB significa megabyte e GB significa gigabyte. Entretanto, a maioria dos fabricantes de discos rígidos, pendrives ou similares adotam preferencialmente o significado usual desses prefixos, em base 10. Assim, nos produtos desses fabricantes, 1GB = 103 MB = 106 kB = 109 Bytes Como a maioria dos programas de computadores utilizam as unidades baseadas em potências de 2, um disco informado pelo fabricante como sendo de 80 GB aparecerá aos usuários como possuindo, aproximadamente, 75 GB.

Um disco rígido está sendo vendido como possuindo 500 gigabytes, considerando unidades em potências de 10.

Qual dos valores está mais próximo do valor informado por um programa que utilize medidas baseadas em potências de 2?

Alternativa a

a) 468 GB

b) 476 GB

c) 488 GB

d) 500 GB

e) 533 GB

Daí vem:

Decompondo 131 072, obtemos:

Logo, x = 17.

Alternativa e

9 (CSMS-RS) É muito provável que alguém, que nasceu nos anos 2000, nunca ouviu falar, ou mesmo nunca viu de perto o famoso “disquete”, que era um tipo de disco de armazenamento com o mesmo propósito dos atuais pen drives. Por uma grande diferença, os disquetes tinham espaços de armazenamento muito pequenos, o equivalente a 2,88 Mb (megabytes), tamanho em média de um arquivo de música MP3. Apesar de seus 20 anos de existência, o pen drive é considerado uma tecnologia em constante evolução. Hoje em dia já existem pen drives com capacidade que chegam a 2 Tb (terabytes). Partindo da informação de que o primeiro pen drive criado tinha 8 Mb de armazenamento, que cada novo modelo de pen drive tem o dobro da capacidade do anterior e que 1 Tb = 1 024 Gb e que 1 Gb = = 1 024 Mb, pergunta-se: Quantas vezes, começando em 8 Mb, a capacidade de armazenamento do pen drive dobrou até chegar à capacidade de 1 Tb?

Alternativa e

a) 7

b) 8

c) 10

d) 16

e) 17

10 Analise o fluxograma a seguir, que mostra como se calcula 2 + 5 com aproximação da soma para centésimos usando uma calculadora.

Início

Ligar a calculadora

Digitar 2

Digitar a tecla +

Digitar a tecla =

Arredondar a soma para o plano centésimo

Mostrar a soma

Desligar a calculadora

Fim

a) Execute esse fluxograma e determine a soma.

b) Crie um fluxograma para calcular 710 + e 20 8

Orientações

Resolução da atividade 10

a) 25 1, 41 2, 24 3, 65 +=+=

b) Exemplo de fluxograma para uma das operações. O outro pode ser feito de forma análoga.

Início

Ligar a calculadora Digitar a tecla +

Digitar 7

Digitar 10

Arredondar a soma para centésimo

Mostrar a soma

Digitar a tecla = Desligar a calculadora

Fim

c) Elabore um fluxograma para calcular 15 6 com aproximação do produto para centésimos. Depois, execute-o.

3,65 Resposta pessoal. Resposta no Manual do Professor.

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Reconheço números irracionais como números reais.

Localizo e represento números reais na reta numérica.

Reconheço que existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por um número racional.

Resolvo problemas envolvendo radiciação e exponenciação.

Resolvo e elaboro problemas com números reais e em notação científica.

Entendo conceitos da linguagem binária de um computador.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras. Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

c)

Início

Ligar a calculadora

Digitar 15

Digitar a tecla

Digitar 6

Digitar a tecla =

Arredondar a soma para centésimo Desligar a calculadora

Mostrar o produto

Fim

15 63,8732,449 9,45 ..

15 63,8732,449 9,45

Objetivos da unidade

• Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

• Conhecer e utilizar a nomenclatura das diferentes vistas de uma figura geométrica espacial em relação ao observador.

• Resolver problemas envolvendo o cálculo do volume de prismas e de cilindros retos.

• Compreender a relação entre os volumes de sólidos geométricos equivalentes.

• Representar sólidos geométricos e vistas usando software de Geometria dinâmica.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF09MA17 ao levar os estudantes a reconhecer vistas ortogonais e de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva. Ao resolver e elaborar problemas com medidas de volume de prismas e de cilindros retos é desenvolvida a habilidade EF09MA19

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• conceituem ponto, reta, segmento de reta e plano;

• conheçam a forma espacial de um objeto;

• identifiquem figuras geométricas planas;

• conheçam o conceito de volume e suas unidades de medida;

• efetuem cálculos com números reais;

• identifiquem prismas e cilindros por meio da planificação de suas superfícies.

Avaliação diagnóstica

É importante observar o que os estudantes já dominam em relação aos pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos nesta unidade. Para isso, promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre os pré-requisitos elencados e citar exemplos do cotidiano. Elabore algumas atividades escritas para verificar o que já dominam. Se necessário, retome os conteúdos propostos para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

Orientações

Para iniciar a exploração da abertura da unidade, levante os conhecimentos dos estudantes a respeito de vistas ortogonais, principalmente em contextos cotidianos. Você pode trabalhar de modo prático usando um mapa on-line com a vista de satélite da cidade, que, semelhante à obtida por drones, corresponde à vista superior da cidade. Dessa forma, a competência geral 5 é favorecida.

BNCC

na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 2, e 5

Competências específicas 1, 2, 3 e 5

Habilidades EF09MA17 e EF09MA19

Vista aérea do Rio Grande, durante uma seca, perto de Guapé, Minas Gerais, 2021.

Vistas ortogonais e volume de prismas e cilindros

Devido aos avanços tecnológicos, as imagens obtidas por meio de câmeras subaquáticas e drones permitem visualizar cidades, oceanos, rodovias, construções, animais etc. de perspectivas inimagináveis.

1. Atualmente, com o auxílio de drones, tirar fotos aéreas ficou muito mais fácil que antes, mas seu uso envolve algumas questões éticas, como o direito à privacidade das pessoas. Em sua opinião, o uso social do drone pode afetar a privacidade?

Resposta pessoal.

2. Façam um debate sobre os limites do direito à privacidade das pessoas. Resposta pessoal.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais;

• desenhar objetos em perspectiva;

• resolver e elaborar problemas que envolvem conceitos de volumes de prisma e cilindros retos;

• aplicar conceitos de volume em questões voltadas ao cotidiano.

Orientações

Fotografias como a dessa página também permitem trabalhar os conceitos de vistas ortogonais. Se possível, posicione um objeto sobre a mesa na sala de aula e proponha aos estudantes que o fotografem de cima, de frente e de lado. As fotografias obtidas correspondem às vistas solicitadas. Em seguida, eles podem desenhar no caderno as respectivas vistas do objeto.

A utilização de caixas e objetos que tenham formato parecido com sólidos geométricos também é oportuna para explorar vistas ortogonais.

As questões propostas permitem conversar com os estudantes sobre o direito à privacidade e a regulamentação da utilização do drone, por exemplo, garantindo a distância segura de outras pessoas etc. No endereço a seguir, você encontra mais detalhes sobre essa regulamentação no texto “Legislação de drones no Brasil: conheça os pontos mais importantes” (disponível em: https://www.mode lismobh.com.br/blog/legislacao-de -drones-no-brasil-conheca-os-pon tos-mais-importantes/; acesso em: 29 jul. 2022).

Vista frontal da fachada do Museu de Artes e Ofícios. Belo Horizonte, Minas Gerais, 2018.

Objetivos do capítulo

• Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

• Conhecer e utilizar a nomenclatura das diferentes vistas de uma figura geométrica espacial em relação ao observador.

• Utilizar o conhecimento de vistas ortogonais para desenhar objetos em perspectiva.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2 e 5

Competências específicas

2 e 5

Habilidades EF09MA17

Orientações

Resolução de Para começar

Parte de baixo: 2 . 4 = 8.

Parte do meio: 2 . 4 - 1 = 7.

Parte de cima: 4.

Total: 8 + 7 + 4 = 19 4 19 cubos. Observe como os estudantes traçam estratégias para encontrar a quantidade de cubos desse sólido. Retome o cálculo de volume com essa unidade de medida para orientá-los na resolução.

Vistas ortogonais de figuras geométricas espaciais

Na sua opinião, quantos cubos formam a figura a seguir?

Descreva o raciocínio que você utilizou para responder. 19 cubos. Resposta pessoal.

Projeções ortogonais

Projeção ortogonal de um ponto

A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano a é o ponto que chamamos de P ', resultado da interseção entre o plano a com a reta r perpendicular a ele, que passa pelo ponto P Observe a imagem a seguir.

Em que:

a : plano de projeção;

r : reta projetante do ponto P;

P’: projeção ortogonal de P em a

Projeção ortogonal de um segmento de reta

A projeção ortogonal de um segmento de reta sobre um plano pode ocorrer das seguintes maneiras.

Se o segmento de reta é inclinado em relação ao plano, a medida da projeção ortogonal é menor do que a medida do segmento de reta.

Se o segmento de reta é paralelo ao plano, a medida da projeção ortogonal é a mesma do segmento de reta.

Se o segmento de reta é perpendicular ao plano, a medida da projeção ortogonal é zero. Note que a projeção se reduz a um ponto.

Projeção ortogonal de uma figura plana sobre um plano

A projeção ortogonal de uma figura plana sobre um plano é obtida por meio das projeções ortogonais de todos os pontos da figura sobre o plano. Veja os exemplos.

Orientações

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Verifique se os estudantes compreendem que, quando uma figura plana é paralela ao plano de projeção, a figura e a respectiva projeção são congruentes. Para entender melhor, eles podem imaginar um polígono paralelo ao plano e projetar cada lado dele.

Atividades complementares

Se a figura plana for paralela ao plano de projeção, a figura e sua projeção ortogonal são congruentes, como nos casos acima.

Na figura 1, por exemplo, o polígono ABCDE e a sua respectiva projeção ortogonal, A’B’C’D’E’, são congruentes.

Projeções ortogonais de figuras geométricas espaciais

As projeções ortogonais são utilizadas para representar as vistas ortogonais de figuras geométricas tridimensionais por meio de figuras planas.

Em uma projeção ortogonal devemos considerar os elementos a seguir.

Objeto

É uma figura geométrica espacial a ser representada.

Observador

É a pessoa que vê, imagina ou desenha um modelo a partir de sua posição de observação.

Distribua folhas de papel sulfite para os estudantes e, em seguida, peça que escolham um objeto e, com base na observação, desenhem suas projeções. Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 2

Figura 1.

Figura 2.

Figura 3.

Orientações

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Comente com os estudantes que as projeções das faces de objetos são úteis para o design digital de embalagens. Para isso, em programas específicos de ilustração gráfica, os profissionais traçam as projeções das faces da embalagem e o programa “monta” o visual tridimensional dela.

Para aprofundar

Sugerimos a leitura do artigo a seguir, que traz situações didáticas que podem ser desenvolvidas em sala de aula utilizando o Geogebra para ensinar projeções ortogonais.

• SOUSA etal. O GeoGebra 3D no estudo de projeções ortogonais amparado pela teoria das situações didáticas. JornalInternacional deEstudosemEducaçãoMatemática, Fortaleza, v. 14, n. 1, 2021. Disponível em: https://seer.pgsskro ton.com/index.php/jieem/article/ view/8941. Acesso em: 29 jul. 2022.

Planos de projeção

As projeções das faces de um objeto são feitas, por convenção, como se ele estivesse dentro de uma caixa cúbica, em que cada face interna do cubo representa um plano de projeção. Ao colocarmos um objeto em uma caixa imaginária, podemos fazer as seguintes projeções ortogonais:

Observe que as projeções foram obtidas com base em uma referência: a vista frontal do objeto, cuja projeção é indicada pelo número 1.

Note que as projeções 3 e 4 são bem parecidas, no entanto, a projeção 3 tem uma linha contínua interna e, na projeção 4, essa linha é tracejada. Por convenção, usamos a linha contínua para projetar uma aresta visível para o observador e a tracejada para indicar a aresta que está do lado oposto da imagem projetada. Perceba que as imagens opostas são representadas de forma simétrica, conforme observado nas vistas 1 e 6 e, também, nas vistas 2 e 5.

Em razão dessas características, geralmente utilizamos três vistas para representar um objeto, uma vez que a respectiva vista oposta pode ser deduzida.

Resolução

Atividades

Respostas no Manual do Professor.

1 Desenhe a vista superior (VS), a vista frontal (VF) e a vista lateral (VL) das figuras a seguir. a)

2 Desenhe três vistas diferentes dos sólidos representados a seguir. Respostas no Manual do Professor. a)

3 Elabore perguntas que envolvam as vistas ortogonais das figuras a seguir, depois, dê para um colega resolver enquanto você resolve as que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as respostas e conversem sobre como foi o processo de resolução. Troque com um colega para responder às perguntas dele e, depois, destroque para conferir as respostas. Resposta pessoal.

Orientações

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Nas atividades 1 e 2, peça aos estudantes que utilizem régua para deixar os lados das faces de mesma medida, conforme a figura.

Resolução da atividade 2

Resolução da atividade 3 Resposta pessoal. Observe como os estudantes constroem os problemas e auxilie-os, caso seja necessário. Escolha alguns problemas criados para resolver coletivamente.

Ilustração: João P. Mazzoco

Figura 1.

Figura 2.

Ilustrações:

Orientações

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Na atividade 4, os estudantes podem se apropriar do compasso para desenhar a base do cilindro. Caso ache necessário, sugira que façam uso da planificação do cilindro. Resolução da atividade 5

Cada três faces do cubo que podem ser vistas ao mesmo tempo compartilham um vértice; o cubo tem 8 vértices, o número de composições de cores percebidas visualmente é 8. Se possível, traga para a aula um objeto em formato cúbico, com as faces coloridas, para os estudantes posicionarem-no das oito maneiras possíveis.

Na atividade 6, relembre o conceito de aresta e ressalte que, mesmo que não estejam à vista, a observação de uma das faces do sólido auxilia na contagem total de arestas.

4 Uma empresa pretende construir um tanque para peixes em um parque municipal. Veja, a seguir, as seis vistas do projeto desse tanque.

Desenhe o sólido correspondente ao tanque que será construído.

5 (OBMEP) Soninha pintou as seis faces de um cubo da seguinte maneira: uma face preta e a face oposta vermelha, uma face amarela e a face oposta azul, uma face branca e a oposta verde. Ao olhar para o cubo, de modo a ver três faces, como na figura, e considerando apenas o conjunto das cores das três faces visíveis, de quantas maneiras diferentes pode ser visto esse cubo? 8

6 Os sólidos geométricos a seguir têm algumas arestas que não podem ser observadas.

Desenhe no caderno essas figuras e utilize uma linha tracejada para representar as arestas que não podem ser observadas.

7 Indique a quantidade de cubos que há em cada montagem a seguir.

35 cubos 20 cubos

35 cubos

8 Observe o projeto da coifa representada a seguir.

De que pontos de vista o desenhista observou a coifa para fazer o projeto?

9 Os drones, atualmente, desenvolvem mais funções do que apenas tirar fotos; empresas já estudam usá-los para fazer entregas, entre outras possibilidades. A imagem abaixo foi feita com auxílio de um drone. Use-a para desenhar a vista frontal da casa. Resposta pessoal.

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Resolução da atividade 7

Possíveis cálculos:

a) 3 3 3 + 5 + 2 + 1 = 35

b) 15 + 3 + 2 = 20

c) 24 + 8 + 2 + 1 = 35

Na atividade 8, verifique se os estudantes conseguem identificar as vistas frontal e lateral da lareira. Para ampliar, você pode pedir a eles que, usando a imaginação, tentem desenhar a vista superior dessa lareira.

Na atividade 9, se achar conveniente, organize os estudantes em pequenos grupos e peça que comparem os desenhos que fizeram. É importante escolher alguns que mais se aproximam da resposta esperada para servir de referência para a turma.

Essa atividade propicia o desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 5

Ilustrações: Luiz Lentini

Reinaldo Vignati Vista frontal. Vista lateral.

EE B A D C D C ɑ ɑ

Orientações

Orientações

A atividade dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA17

A atividade 10 trabalha a vista superior de objetos tridimensionais por meio de sua sombra projetada no chão.

A imagem que representa a projeção correta é a que aparece na alternativa e Resolução de Lógico, é lógica! Modo 1

Supondo que, na primeira afirmação, Mário estude Logística, a segunda afirmação deve ter Tiago como estudante de Soldagem, pois a afirmação “Mário estuda Soldagem” é inviável, dado que iniciamos assumindo que Mário estuda Logística.

Na terceira afirmação, é necessário que a sentença “é Mário que estuda Alimentos” seja verdadeira, pois a afirmação “é Tiago que estuda Alimentos” contradiz o que concluímos no parágrafo anterior. Entretanto, como iniciamos com Mário estudando Soldagem, não podemos concluir que ele estude Alimentos, portanto, esse caminho é inválido.

Modo 2

Para que a primeira afirmação seja verdadeira, temos de ter “é Fábio que estuda Logística” verdadeira.

Se, na segunda afirmação, assumirmos que Tiago estuda Soldagem, temos de assumir, na terceira afirmação, que Mário estuda Alimentos, mas na quarta afirmação temos de assumir que Fábio estuda Soldagem, contrariando o que assumimos no parágrafo anterior. Portanto, esse caminho é inválido.

Conclusão

Resta-nos assumir que a segunda afirmação “é Mario que estuda Soldagem” nos obriga a admitir na terceira e na quarta afirmações que Tiago estuda Alimentos.

Resposta: Alternativa d Verifique as estratégias dos estudantes para determinar o curso de cada amigo. A atividade favorece a competência geral 2 e a competência específica 2

10 (ENEM) Um grupo de países criou uma instituição responsável por organizar o Programa Internacional de Nivelamento de Estudos (PINE) com o objetivo de melhorar os índices mundiais de educação. Em sua sede foi construída uma escultura suspensa, com a logomarca oficial do programa, em três dimensões, que é formada por suas iniciais, conforme mostrada na figura.

Essa escultura está suspensa por cabos de aço, de maneira que o espaçamento entre letras adjacentes é o mesmo, todas têm igual espessura e ficam dispostas em posição ortogonal ao solo, como ilustrado a seguir.

Ao meio-dia, com o sol a pino, as letras que formam essa escultura projetam ortogonalmente suas sombras sobre o solo.

A sombra projetada no solo é: Alternativa e a)

b)

(FATEC-SP) Fábio, Mário e Tiago são três amigos que estudam em uma Fatec. Cada um deles faz um único curso: um dos rapazes faz o curso de Alimentos, outro faz o curso de Logística e outro faz o curso de Soldagem, não necessariamente nessa ordem.

Sabe-se que todas as afirmações a seguir são verdadeiras:

• ou é Fábio que estuda Logística, ou é Mário que estuda Logística;

• ou é Tiago que estuda Soldagem, ou é Mário que estuda Soldagem;

• ou é Mário que estuda Alimentos, ou é Tiago que estuda Alimentos;

• ou é Fábio que estuda Soldagem, ou é Tiago que estuda Alimentos.

Assim sendo, pode-se concluir corretamente que os cursos de Fábio, Mário e Tiago são, respectivamente, Alternativa d

a) Alimentos, Logística e Soldagem.

b) Alimentos, Soldagem e Logística.

c) Logística, Alimentos e Soldagem.

d) Logística, Soldagem e Alimentos.

e) Soldagem, Alimentos e Logística.

Objetivos do capítulo

Volume de prismas e cilindros

O cubo representado na figura tem aresta de comprimento 2 cm.

Em sua opinião, ao triplicar a aresta deste cubo, em quanto aumentaria o seu volume? Explique o raciocínio que você usou para responder. Aumentaria 27 vezes.

Volume do bloco retangular

Para explorar os estudos acerca do cálculo de volume de sólidos geométricos, considere o bloco retangular ilustrado a seguir, em que c, W e h são as medidas do comprimento, da largura e da altura, respectivamente. h

Como já estudamos, a fórmula do volume V do bloco retangular é dada por:

V = c .W. h

Como o produto c W representa a área da base Ab e h é a altura do bloco retangular, obtemos a seguinte fórmula de volume:

V = Ab . h

Portanto, o volume de um bloco retangular pode ser obtido pela multiplicação da área da sua base pela sua altura.

• Resolver problemas envolvendo cálculo do volume de prismas e de cilindros retos.

• Compreender a relação entre os volumes de sólidos geométricos equivalentes.

• Representar sólidos geométricos e vistas usando software de Geometria dinâmica.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1 Competências específicas 1, 3 e 5

Habilidades EF09MA17 e EF09MA19

Orientações

Inicie o estudo deste capítulo verificando os conhecimentos dos estudantes acerca do cálculo do volume de diferentes sólidos geométricos. Os estudos relacionados a esses cálculos mobilizam procedimentos e conhecimentos algébricos e geométricos, trabalhando a competência específica 3

Em Para começar, ouça a opinião dos estudantes sobre qual será o aumento. Peça que realizem o cálculo do volume do cubo representado e depois do cubo com as novas medidas propostas. A resposta será a razão entre os dois resultados:

Resolução do Para começar

V1 = 2 2 2 = 8 4 8 cm3

Ao triplicar as arestas temos:

V2 = 6 6 6 = 216 4 216 cm3 216 : 8 = 27

O volume aumentaria 27 vezes.

Luca Navarro

Orientações

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EF09MA19

Verifique se os estudantes compreenderam a relação entre as grandezas volume e capacidade e providencie diferentes caixas para que eles calculem o volume total e a capacidade (volume interior) desprezando a espessura das faces das caixas. Ressalte a importância de utilizar as unidades de medida adequadas a cada grandeza calculada.

O cubo é um caso particular de bloco retangular, pois todas as arestas têm a mesma medida a

A fórmula do volume de um cubo é dada por: V = a a a 6 V = a3

Acompanhe a situação a seguir.

• Cada barra de gelo da imagem tem o formato de um bloco retangular cujas dimensões são 1 m * 0,3 m * 0,25 m.

Qual é o volume de todas as barras de gelo juntas, em m³?

Para calcular o conjunto de todas as barras de gelo juntas, antes precisamos calcular o volume de 1 barra. Assim, temos:

V = 1 m . 0,3 m . 0,25 m

V = 0,075 m3

Dessa forma, o volume das 7 barras é dado por:

7 0,075 = 0,525.

Assim, podemos concluir que o volume das 7 barras juntas é igual a 0,525 m3

A grandeza volume se relaciona com a grandeza capacidade, que representa a unidade usada para definir o volume interior de um recipiente.

Veja o exemplo a seguir.

• A aresta interna de uma caixa-d’água cúbica mede 6 metros. Qual é a capacidade, em metros cúbicos, dessa caixa-d’água?

V = ( 6 )3

V = 63

V =.6621

V = 66

A capacidade dessa caixa-d’água é de 66 m³.

O litro (L) é a unidade-padrão para medir capacidade, e 1 L é a capacidade de um cubo cujas arestas medem 1 dm. Portanto, 1 L = 1 dm3

Acompanhe a situação a seguir.

• Quantos litros de água são necessários para encher completamente o aquário de dimensões 65 cm, 20 cm e 45 cm representado abaixo?

Orientações

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Calculando o volume do aquário:

V = 65 . 45 . 20 = 58 500 4 58 500 cm3

Como 1 L = 1 000 cm3, temos:

58 000 cm3 = 58,5 L

Portanto, são necessários 58,5 litros de água para encher esse aquário.

Atividades

1 Calcule o volume de blocos retangulares cujas dimensões estão indicadas a seguir.

a) 6 cm, 10 cm e 12 cm b) 0,5 m, 0,8 m e 1,4 m c) 1 2 m, 3m e6 m

720 cm3 0,56 m3

2 Um recipiente com o formato de um bloco retangular tem as seguintes medidas de dimensões internas: 0,4 m, 0,2 m e 0,5 m. Quantos litros de água esse recipiente pode conter se estiver completamente cheio? Dado que 1 L = 1 000 cm3 40 L

3 Para enviar pequenas encomendas, uma empresa comercializa dois tipos de caixas de papelão no formato de um bloco retangular, como mostrado a seguir.

Dimensões do tipo 1: 27 cm, 18 cm e 9 cm.Dimensões do tipo 2: 36 cm, 27 cm e 18 cm.

com os estudantes que eles também podem utilizar a fórmula

bh para o cálculo do volume, calculando primeiro a área da base e, depois, multiplicando-a pela altura do prisma.

Se uma caixa do tipo 1 custa R$ 4,50, quanto custará uma caixa do tipo 2? Considere que o valor de comercialização de cada tipo de caixa é proporcional a seu volume. Aproximadamente R$ 18,00.

Orientações

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Resolução da atividade 4

Volume do reservatório:

15 mm = 0,015 m

V = 20 0,015 = 0,3 4 0,3 m3

1 m3 = 1 000 L 6 0,3 m3 = 300 L

Aborde a conscientização e economia de água; converse com os estudantes se conhecem o sistema SAAP. Resolução da atividade 5

Chamando as medidas da base de a e 2a, temos:

V = a 2a 16

V = 32a2

1 152 = 32a2

a2 = 1  152 32

a = 36

a = 6 ou a =-6 (não satisfaz)

a = 6 4 6 cm

2a = 2 6 = 12 4 12 cm

Resolução da atividade 6

V = (1,5)3 = 3,375 4 3,375 m3

Como 1 m3 = 1 000 L, temos:

3,375 1 000 = 3 375 4 3 375 L.

Como foram colocados 1 500 L, faltarão:

3 375 - 1 500 = 1 875 4 1 875 L.

4 O proprietário do JM lava-rápido resolveu implantar um Sistema de Aproveitamento de Águas Pluviais (SAAP), além de instalar um pluviômetro para medir a quantidade de água que poderia armazenar. Após um dia com fortes chuvas, o dono da empresa observou que o reservatório, que tem formato de bloco retangular e área da base medindo 20 m2, atingiu uma altura de água de 15 mm. Sendo assim, quantos litros puderam ser acumulados? 300 L

5 O volume de um bloco retangular é igual a 1 152 cm3 e a medida de uma das dimensões da base é igual ao dobro da outra. Sabendo que a altura desse bloco é 16 cm, calcule as medidas das dimensões da base. 6 cm e 12 cm

6 A aresta interna de uma caixa-d’água de formato cúbico mede 1,5 m. Se colocarmos 1 500 L de água nessa caixa, que inicialmente estava vazia, quantos litros de água faltarão para enchê-la completamente?

1 875 L

Sólidos geométricos equivalentes

Se dois sólidos geométricos ocupam a mesma porção do espaço, ou seja, o mesmo volume, eles são ditos equivalentes. Observe as figuras. Ilustrações:

A é equivalente a B C não é equivalente a D

Volume de um prisma reto

Considere dois modelos de sólidos geométricos equivalentes: um bloco retangular e um prisma triangular reto. Ambos são maciços, construídos com o mesmo material, com a mesma altura e a área das bases equivalentes.

Se medirmos a massa de cada um desses sólidos e verificarmos que elas são iguais, então, podemos concluir que os dois sólidos são equivalentes, ou seja, seus respectivos volumes são iguais – dizemos que o volume do prisma triangular reto é igual ao volume do bloco retangular. Logo, podemos utilizar a fórmula do bloco retangular para calcular o volume do prisma de base triangular, ou seja:

V = Ab h

O volume de um prisma reto (de qualquer base) é dado pela multiplicação da medida da área da base pela medida da altura.

Vamos analisar a situação a seguir. Ana ganhou um presente que veio em uma embalagem cujo formato é de prisma triangular.

Orientações

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Analise com os estudantes a situação-problema que utiliza a expressão para calcular o volume de um prisma. Para discutir o conceito dos sólidos geométricos equivalentes, você pode utilizar o Material Dourado para fazer essas representações, assim como discutir o volume de um prisma reto. Resolução da atividade 1

Ana mediu as dimensões da embalagem: para o triângulo que representa a base do prisma, ela encontrou 8,5 cm como medida do lado menor e 10,2 cm de altura correspondente. A medida do comprimento da caixa (altura do prisma) foi de 18,6 cm. Qual é o volume total da embalagem? Com os dados informados, basta calcular o volume.

V = Ab h = 8,510,2

2 . 18,6 = 806,31

Portanto, a embalagem tem volume aproximado de 806 cm3

Atividades

1 Os blocos retangulares são prismas de base retangular. Calcule o volume dos prismas representados a seguir.

18 dm3

2 Um fabricante produz chocolate e o vende em embalagem em formato parecido com o de prisma triangular, como representada a seguir. 69,2 cm3

a) V = 2 . 1,5 . 6 = 18 4 18 dm3

b) V = 2,5 8 11 = 220 4 220 cm3

c) V = 10 3 = 1 000 4 1 000 cm3

Resolução da atividade 2

V = 43 10 .o 69,2 4 69,2 cm3

Sabendo que a área de sua base é 43 cm2 e o comprimento é 10 cm, qual é o volume de chocolate dessa barra? Use 3 o 1,73.

Caixa de presente em formato de prisma de base triangular. FJF Vetorização

Orientações

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Resolução da atividade 3

1 470 = 70 h

h = 1 470 70 = 21 4 21 cm.

Resolução da atividade 4

P = 2 . (2x + x) = 24

6x = 24 6 x = 4 4 4 cm.

V = x 2x 12

V = 4 8 12 = 384 4

4 384 cm3

Resolução da atividade 5

b) V = 30 . 70 . 80 = 168 000  4

4 168 000 cm3

3 A área da base do prisma reto representado a seguir é igual a 70 cm2

Imagens da página fora de proporção.

Sabendo que o volume desse prisma é 1 470 cm3, qual é a medida de sua altura?

4 No prisma reto mostrado abaixo, a altura é de 12 cm e cada uma das suas bases é formada por um retângulo em que um lado mede o dobro do outro, com perímetro igual a 24 cm.

Determine o volume, em cm3, desse prisma.

384 cm3

5 Os retângulos a seguir representam três vistas de um poliedro.

a) Desenhe esse poliedro.

b) Calcule o volume, em centímetros cúbicos, desse poliedro. 168 000 cm3

6 Para suprir a água para a família por 30 dias, o proprietário de um sítio pretende construir uma cisterna no formato de um bloco retangular em uma região de 3,5 metros de comprimento por 2 metros de largura.

Sabe-se que, por dia, 120 litros de água são suficientes para atender as necessidades básicas de uma pessoa. Considerando que no sítio moram 5 pessoas, responda ao que se pede.

a) Qual deve ser a profundidade mínima dessa cisterna?

b) Pesquisem:

Orientações

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Resolução da atividade 6

Aproximadamente 2,57 m

• O que é uma cisterna? Como ela funciona? Quais são seus benefícios?

• Que cuidados deve-se ter para a manutenção de uma cisterna?

• Por que as primeiras águas das chuvas devem ser eliminadas para não entrar na cisterna? Respostas pessoais.

c) Organizem um debate sobre os benefícios do uso de cisterna com outros grupos e a mediação do professor.

7 Foram retirados de cada canto de um pedaço de cartolina retangular, cujos lados medem 10 cm e 20 cm, quadrados iguais de lado x centímetros, conforme mostra a figura.

a) 120 L = 0,12 m3

Como são 5 pessoas, temos:

5 . 0,12 = 0,6 4 0,6 m3

Durante 30 dias, tem-se:

30 . 0,6 = 18 4 18 m3

18 = 3,5 2 p 6 p o 2,57 4 2,57 m

b) Os estudantes devem concluir que as primeiras áreas cem sobres os telhados, que pode ter poeira, fezes de animais, folhas secas etc Resolução da atividade 7

a)

Dobrando-se essa cartolina na linha pontilhada, obtém-se uma caixa retangular sem tampa. Com base nessas informações, responda:

a) Que sentença matemática na variável x representa o volume, em cm3, dessa caixa?

V = 4x3 – 60x2 + 200x.

b) Qual seria o volume dessa caixa se o valor de x fosse 2 cm? 192 cm3

8 Lídia, dona de uma pizzaria, escolheu uma embalagem para as pizzas. Veja, na imagem a seguir, o modelo e as medidas da embalagem que ela escolheu.

V = (20 - 2x) . (10 - 2x) . x

V = 4x3 - 60x2 + 200 x

b) Para x = 2, temos:

V = 4 23 - 60 2 2 + 200 2 = = 192 4 192 cm3

Resolução da atividade 8

a) Prisma de base octogonal.

b)

a) O formato da caixa se parece com qual sólido geométrico?

b) Calcule o volume da caixa, sabendo que a altura é igual a 6 cm.

Prisma de base octogonal. 8 148 cm3

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Resolução da atividade 9

V = 50 25 3 = 3 750 4 3 750 m3

1 m3 = 1 000 L

3 750 m3 = 3 750 000 L

Alternativa d Resolução da atividade 10 Resposta pessoal.

Dimensões do reservatório de acordo com o enunciado:

Comprimento:

40 60 = 2 400 4 2 400 cm = 24 m.

Largura:

40 50 = 2 000 4 2 000 cm = 20 m.

Altura:

40 8 = 320 cm 4 3,2 m.

V = 24 . 20 . 3,2 = 1 536 4

4 1 536 m3

Como 1 m3 = 1 000 L temos:

1 536 m3 = 1 536 000 L.

Verifique se os estudantes compreenderam o enunciado do problema. Podem surgir questões referentes às dimensões do reservatório, do seu volume ou da sua capacidade. Verifique se estão utilizando as unidades de medidas adequadas.

Resolução da atividade 11 Da figura, obtemos as medidas:

9 (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina olímpica são: 50 m de comprimento, 25 m de largura e 3 m de profundidade. O seu volume em litros é: Alternativa d

a) 3 750

b) 37 500

c) 375 000

d) 3 750 000

e) 37 500 000

10 As Estações de Tratamento de Água (ETAs) são locais onde a água é tratada para atender aos padrões de potabilidade exigidos por lei ou para obter a qualidade desejada para uso individual.

Em determinada cidade foi construído um reservatório que foi revestido internamente com azulejos quadrados com 40 cm de lado. Esse reservatório tem formato de um bloco retangular cuja dimensão estabelecida foi de 60 fileiras de azulejos no comprimento, 50 fileiras na largura e 8 fileiras na altura.

a) Considerando as informações, elabore um problema, troque com um colega e resolva o elaborado por ele. Ao finalizar, converse com ele sobre como foi o processo de resolução e registre suas conclusões no caderno.

b) Pesquise algumas substâncias contidas nas ETAs que são prejudiciais à saúde.

7 cm 5 cm 7 cm 29 cm

Ilustrações: DAE Para Criar

14 cm

Calcule o volume desse bloco retangular após ser construído. 490 cm3

A caixa construída fica assim:

Qual é a menor quantidade de caminhões, utilizando suas capacidades máximas, que o mestre de obras deverá pedir à usina de concreto para fazer a laje?

Alternativa c

a) Dez caminhões com capacidade máxima de 10 m3

b) Cinco caminhões com capacidade máxima de 10 m3

c) Um caminhão com capacidade máxima de 5 m3

d) Dez caminhões com capacidade máxima de 2 m3

e) Um caminhão com capacidade máxima de 2 m3

Respostas pessoais. 3 m

3 m 14 m

O volume da caixa é:

V = 14 5 7 = 490 4 490 cm3

Resolução da atividade 12

14cm 5cm7cm5cm7cm5cm 7cm 7cm Ilustrações: Reinaldo Vignati 14cm 7cm 5cm 8 m 3 m 14 m 8 m 3 m 1 m

A =14 . 8 – 3 . 1 – 3 . 3 = 100 4

4 100 m2

5 cm = 0,05 m

V = 100 0,05 = 5 4 5 m3

Portanto, será necessário um caminhão com capacidade de 5 m3 Alternativa c

Software de Geometria dinâmica

Use um software de Geometria dinâmica on-line ou que possa ser baixado gratuitamente. Vamos construir um prisma de base triangular e, depois, fazer sua planificação.

1? passo: Ao abrir o programa, vá até a aba “Exibir” e selecione a opção “Janela de visualização 3D”.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades EF09MA17 e EF09MA19, além da competência específica 5

MatemaTIC apresenta a construção de prismas e cilindros retos em um software de Geometria dinâmica. Com ele, é possível obter a planificação da superfície desses sólidos geométricos.

Se possível, leve os estudantes à sala de informática para que sigam o passo a passo proposto. Esse software também pode ser manipulado em smarthphone, pois as ferramentas e os procedimentos são os mesmos.

2? passo: Selecione a opção “Prisma”, como indicado na figura abaixo.

Selecionado esse item, clique os pontos dos eixos para construir o triângulo que será a base e, em seguida, determine a altura desse prisma. Veja a seguir o modelo de prisma de base triangular que foi criado.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF09MA17 e EF09MA19

Para ampliar o trabalho de MatemaTIC, proponha aos estudantes que calculem o volume dos sólidos geométricos que eles construíram no software usando as fórmulas estudadas no capítulo. No caso do prisma de base triangular ilustrado, a base é um triângulo retângulo com catetos medindo 4 u e 6 u, e a altura do prisma mede 6 u. Assim, o volume é:

V = 4 6 6 = 144 4144 u3

Basta clicar a imagem e ela será planificada. Assim, é possível obter as vistas lateral, frontal e superior desse prisma.

Com a opção “Mover” selecionada, você consegue ver todas as faces planificadas em várias perspectivas. Veja, a seguir, dois exemplos com base na figura mostrada anteriormente. Na segunda imagem, é possível observar todas as vistas do prisma desenhado.

Agora é com você! Utilizando esse mesmo passo a passo, construa e obtenha as vistas de um cubo e de um cilindro reto.

Volume de cilindros

Considere um cilindro de área da base igual a Ab e altura h, em que r é a medida do raio da base do cilindro.

r h h

Ab Ab

De forma análoga ao cálculo do volume de um prisma, o volume do cilindro também pode ser obtido pela mesma regra, ou seja, o volume de um cilindro é dado pela multiplicação da medida da área da base pela medida da altura.

V = Ab . h =p. r² . h

Qual é o volume aproximado de um cilindro de raio 5 cm e altura 10 cm? Considere po 3,14. 785 cm³

Assim como um polígono bidimensional pode ser reduzido a uma série de triângulos, um poliedro tridimensional geralmente pode também ser reduzido a sólidos regulares para cálculo de volume. Os antigos egípcios conheciam métodos para calcular o volume de um cubo, de uma pirâmide quadrada ou triangular, cilindros e cones. Mas o volume de formas que não podem ser reduzidas a qualquer uma dessas é mais difícil de calcular. É atribuída a Arquimedes a descoberta de que o volume de uma forma irregular pode ser determinado medindo-se o volume de água que aquela forma desloca, uma descoberta que, segundo se conta, o fez sair nu de seu banho correndo pela rua gritando “Eureka!”.

ROONEY, Anne. A história da Matemática: desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. São Paulo: M. Books, 2012. p. 106.

Ideias geniais na Matemática, de Surendra Verma (Gutenberg).

Nesse livro, você encontra diversos problemas e desafios para resolver que envolvem conceitos de Geometria. Que tal embarcar nessas ideias geniais?

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades EF09MA17 e EF09MA19 , além da competência geral 1 e a competência específica 1. Retome com estudantes as expressões para o cálculo do comprimento da circunferência e da área do círculo.

Façam a leitura coletiva do texto apresentado em Curiosidades, e se possível, simulem a experiência feita por Arquimedes.

Comente a leitura proposta em Assim também se aprende solicitando uma síntese dos problemas mais desafiadores que encontraram no livro.

Resolução do Pense e responda

A = 3,14 . 52

A = 3,14 . 25 = 78,5 4 78,5 cm2

Logo, o volume será:

V = 10 . 78,5 = 785 4 785 cm3

Editora Gutenberg

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA19

Leia e analise com os estudantes as situações-problema dessa página e sua resolução.

É importante que eles percebam que uma mesma expressão para cálculo, resolve problemas nos mais diversos contextos. Portanto, encaminhe outras atividades que envolvam cálculo de volume de cilindros.

Agora, vamos analisar as seguintes situações.

• A forma cilíndrica é muito utilizada no dia a dia. Muitas indústrias armazenam produtos em grandes tanques que tem a forma cilíndrica, por exemplo.

Imagine que uma empresa armazena grãos de trigo em tanques cilíndricos, chamados de silos, com 8 m de altura e 2 m de diâmetro, como o representado na imagem ao lado.

Então, vamos calcular o volume deste silo.

O formato cilíndrico de um silo é vantajoso, pois a pressão interna sobre as paredes é constante.

Podemos representar o tanque como um cilindro reto cujo diâmetro da base mede 2 m e a altura mede 8 m, conforme a figura abaixo.

Primeiro, calculamos a medida da área da base.

A medida da área da base circular é dada por: Ab =p r².

Tomaremos o valor aproximado de p com duas casas decimais (3,14). Como a medida do diâmetro do cilindro dado é 2 m, a medida do raio é 1 m.

Assim:

Ab =p. r² o 3,14 . 12 o 3,14

A área da base mede, aproximadamente, 3,14 m2

A fórmula para obter a medida do volume de um cilindro é dada pela multiplicação da medida da área da base Ab pela medida da altura h

V = Ab . h ou V =p r2 h

Daí:

V o 3,14 8 o 25,12

Portanto, a medida do volume desse cilindro é de 25,12 m3

• Uma lata de leite em pó completamente cheia, no formato de um cilindro, com altura de 12 cm e raio da base de 5 cm, era vendida por R$ 15,00. O fabricante alterou a embalagem aumentando em 2 cm a altura e diminuindo em 1 cm o raio da base. Se ele mantiver a relação preço/volume, qual será o novo preço do produto?

Sendo r1 = 5 cm e h1 = 12 cm, o volume inicial (V1) da lata de leite em pó é dado por:

V1 =p r 1 2 h1

V1 o 3,14 . 52 . 12 = 942 4 942 cm3

Com r2 = 4 cm e h2 = 14 cm, a medida do volume da nova embalagem será dada por:

V2 =p r 2 2 h2

V2 o 3,14 42 14 = 703,36 4 703,36 cm3

Logo, a medida do volume de leite na nova embalagem passará a ser, aproximadamente, 703 cm3

Mantendo a relação preço volume da primeira embalagem e considerando o novo preço como x, obtemos:

preço volume 15 942703 x ==

Assim, temos:

=6=o x x 15 942703 15703 942 11,19

O novo preço do produto deverá ser R$ 11,19.

Atividades

1 Qual é o volume de cada sólido representado a seguir?

Adote po 3,14.

a) V o 2 543,4 m3

5 De um cubo maciço metálico são produzidas moedas, conforme mostram as ilustrações.

Resolução da atividade 4

40 3,14 = 5 3,14 r2

= r 40 3,14

5 3,14 2

r 8 2 =

r = 8 =42222 cm

Resolução da atividade 5

Vcubo = 23 = 8 4 8 cm3 2 mm = 0,2 cm

Vmoeda = 0,2 3 1 2 = 0,6 4 4 0,6 cm3

b) V o 301,44 cm3

4 cm 24 cm

c) V o 18 840 cm3

2 As figuras mostram a planificação da superfície de uma lata cilíndrica feita de alumínio.

Derretendo-se o cubo, quantas moedas poderão ser produzidas? (Use po 3.)

Aproximadamente 13 moedas.

6 Um posto de gasolina pretende instalar um tanque cilíndrico que deverá ficar deitado sobre 4 pés de sustentação. A imagem mostra duas alternativas de instalação.

A quantidade de moedas será dada por: Q = 8 : 0,6 o 13 4 13 moedas. Resolução da atividade 6 V

Qual é o volume dessa lata? Considere po 3,14. V o 2 260,8 cm3

3 Um reservatório tem o formato de um cilindro, com 9 m de diâmetro e 10 m de altura. Sabendo que 50% do volume está ocupado por gasolina, quantos litros de gasolina há em seu interior? (Considere po 3,14.)

1; alternativa: Colocar o tanque A com uma altura de 4 cm e uma base com 8 m de diâmetro.

2; alternativa: Colocar o tanque B com uma altura de 8 m e uma base com 4 m de diâmetro.

Qual desses tanques tem maior capacidade de armazenamento? Justifique sua resposta.

7 Um creme para massagem pode ser embalado em dois tipos de embalagem, A e B, ambas com formato de cilindro reto. Suas características são:

Tipo A: raio da base 8 cm e altura 2 cm.

Tipo B: as medidas da altura e do diâmetro da base são iguais.

4 Um cilindro circular reto, de volume 40p cm3, tem altura de 5 cm. Qual é a medida, em centímetros, do raio da base desse cilindro?

V o 317 925 L. 22  cm. r =

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA19

Resolução da atividade 1

a) V = 10 . 3,14

b)

c)

Resolução

Determine, em centímetros, as medidas do raio da base e da altura do cilindro do tipo B, de modo que as duas embalagens tenham o mesmo volume. Raio da base: 4 cm; altura: 8 cm.

6. O tanque A, porque tem 64p cm3 de volume, enquanto o B tem apenas 32p cm3

Imagens da página fora de proporção.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA19

Resolução da atividade 8

V = 4 4 10 - 3,14 12 10 =

= 128,6 4 128,6 cm3

Fazendo uma regra de 3:

cm3 g 1 7,2

128,6 x

x = 128,6 7,2 = 925,92 4

4 925,92 g.

Resolução da atividade 9

O volume da peça A é igual à soma dos volumes do cilindro de raio

6 cm e altura 12 cm com o cilindro de raio 12 cm e altura 4 cm. Logo:

VA = 3,1 62 12 + 3,1 . 122 4

VA = 3 124,8 4 3 124,8 cm3

Para calcular o volume da peça

B, podemos entender que a peça é formada por um paralelepípedo retângulo de dimensões 9 cm, 2 cm e 4 cm, e que dele foi retirado outro paralelepípedo retângulo menor, de dimensões 3 cm, 2 cm e 2 cm. Portanto:

VB = (9 2 4) - (3 2 2)

VB = 60 4 60 cm3

Resolução da atividade 10

O volume da peça é igual ao volume da placa de madeira menos os volumes retirados.

Usando p= 3,14, calculamos:

V = (30 3 25) - (10 10 3) +

- (3,14 52 3)

V = 2 250 - 27 - 235,5 =

= 1 714,50 4 1 714,50 cm3

Resolução da atividade 11

Volume dos quatro canos:

V canos = 4 .p. (0,05)2 . 20 = 0,2p

Volume do reservatório central

VRC = 3,3 p 22 = 13,2p

Volume dos quatro cilindros pe -

quenos:

VR = 4 p (1,5)2 1,5 = 13,5p

VC = VR + V canos + VC (diminuído)

13,2p= 4p. (1,5)2 . h + 0,2p+ + 4ph 6 h = 1 4 1 m.

Alternativa d

8 A figura a seguir ilustra o projeto de uma peça de ferro formada por um prisma quadrangular regular vazado por um cilindro. As dimensões estão indicadas na figura. Sabendo que 1 cm3 de ferro tem massa igual a 7,2 g, calcule a massa aproximada dessa peça. (Use po 3,14.) 25,92 g

10 Em uma placa de madeira maciça, de dimensões 30 cm * 3 cm * 25 cm, um marceneiro fez dois furos, um quadrangular e outro circular, como mostra a figura.

9 As peças a seguir foram confeccionadas em madeira.

Calcule o volume de madeira da peça confeccionada pelo marceneiro. V o 1 714,50 cm3

11 (ENEM) Uma construtora pretende conectar um reservatório central (Rc) em formato de um cilindro, com raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 3,30 m, a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (R1, R2, R3 e R4), os quais possuem raios internos e alturas internas medindo 1,5 m.

Sabendo que as medidas indicadas estão em centímetros, calcule o volume de madeira necessário para construir cada peça. Quando necessário, use po 3,1. VA o 3 124,8 cm3 VB o 60 cm3

As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos com 0,10 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento, conectados próximos às bases de cada reservatório. Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central, há registros que liberam ou interrompem o fluxo de água. No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das colunas de água nos reservatórios se igualam, assim que cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos vasos comunicantes.

A medida, em metro, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de água entre eles, é Alternativa d

b) 1,16 c) 1,10 d) 1,00 e) 0,95

a) 1,44

Imagens da página fora de proporção.

(USF-SP) A Ressonância Magnética (RM) é um exame diagnóstico que retrata imagens em alta definição dos órgãos do corpo humano. O equipamento utilizado apresenta um tubo horizontal de magneto, com o formato cilíndrico. Com o avanço da tecnologia e primando pelo conforto do paciente, os tubos internos dos equipamentos de RM foram ficando maiores. Atualmente, é possível encontrar máquinas com abertura (diâmetro) de 72 cm, possibilitando, assim, que pacientes obesos ou claustrofóbicos possam realizar o exame com maior comodidade. Antigamente essas máquinas possuíam somente 60 cm de abertura. Comparando as máquinas atuais e as antigas, e considerando que não houve alteração no comprimento dos equipamentos, o aumento do volume no interior do tubo de magneto é de aproximadamente: Alternativa d

Imagens

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA19

Resolução da atividade 12

V antes = h p 302 = 900 ph

Vdepois = h p 362 = 1 296 ph

a) 17%

b) 20%

c) 31%

d) 44%

e) 70%

13 Elabore o enunciado de um problema que envolva uma relação de igualdade de volumes entre um cilindro reto e um paralelepípedo, em que ambos tenham exatamente um volume de 628 cm3. (Use po 3,14.) Resposta pessoal.

14 (IFSC) Diante dos frequentes períodos de estiagem na cidade onde está sediada, a empresa MESOC decidiu construir um reservatório para armazenar água. Considerando que esse reservatório deva ser cilíndrico e ter 10 metros de diâmetro interno e 10 metros de altura, assinale a alternativa CORRETA.

A capacidade do reservatório a ser construído, em litros, será: (Use p= 3,1.) Alternativa e

a) 3 100

b) 7 750

c) 155 000

d) 310 000

e) 775 000

15 (OBMEP) Alice colocou um litro (1 000 cm3) de água em uma jarra e mediu o nível da água. Depois ela colocou um objeto maciço de prata na jarra e mediu novamente o nível da água, conforme a figura.

A massa de um centímetro cúbico de prata é 10,5 gramas.

Qual é a massa desse objeto? Alternativa d

a) 1 050 g

b) 1 500 g

c) 1 800 g

d) 2 100 g

e) 3 000 g

6.= = h 900

1 296 0, 44 0, 44100%44% = 44%

p p

Alternativa d Resolução da atividade 13 Resposta pessoal.

Resolução da atividade 14

10 3,1 52 = 775 4 775 m3

775 m3 = 775 000 L

Alternativa e Resolução da atividade 15 Calculando o volume excedente temos:

cm cm3

15 1 000

3 x

15x = 3 . 1 000 =6= x x 15 3 1000 200 4 4 200 cm³

O enunciado nos diz que cada cm³ tem massa de 10,5 gramas, logo 10,5 200 = 2 100 4 2 100 g

Alternativa d

da página fora de proporção.

Equipamento de ressonância magnética.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA19

Matemática interligada traz a técnica de cubagem, que é o cálculo de um volume em metro cúbico, aplicada a uma tora de madeira. Peça aos estudantes que pesquisem onde e em quais contextos essa prática é utilizada.

Ressalte que essa tora de madeira não é um cilindro, já que suas bases têm medidas diferentes entre si. Nesse caso, trata-se de um tronco de cone.

Resolução da questão 1

Calculando o volume do tronco de cone, temos:

= p. +.+ () V 3 3 0, 28 0, 28 0, 24 0, 24 22

+.+ () 0, 28 0, 24 0, 24 22

V =p (0,0784 + 0,0672 + + 0,0576) = 0,2032p

Considerando po 3,14, vem:

V o 3,14 0,2032 = 0,638048 4

4 0,64m3

ou

Considerando po 3:

V o 3 . 0,2032 = 0,6096 4

4 0,61 m3

Comparando os resultados, percebe-se que o método do engenheiro florestal foi o que gerou o resultado mais próximo do obtido nesse cálculo.

Cubagem da madeira

Para vender a madeira em toras, é necessário calcular o volume das toras.

Um tronco de árvore (sem ser derrubada) foi medido e está representado na figura 1. O sólido que o representa é um tronco de cone.

Um madeireiro e um engenheiro florestal foram entrevistados e cada um deles apresentou o método de cálculo para o volume desse tronco (ou tora).

O método do madeireiro consiste em transformar a tora em um bloco retangular.

Ele considera uma perda de 25% do volume, por isso, faz um desconto de 25% no diâmetro médio da tora (0,51 m), que passa a ser a largura e a altura do bloco retangular.

O modelo matemático que ele usa para obter o volume é V = D2 L

Assim: V é o volume da tora; D é a medida do diâmetro médio menos 25% dessa medida e L é o comprimento da tora.

• D = 0,51 - 0,25 0,51 = 0,3825 4 0,3825 m

Assim, o volume da tora calculado pelo marceneiro é:

V = (0,51 . 0,75)2 . 3 = 0,43892 4 0,43892 m3

O engenheiro florestal trabalha com a madeira cerrada em tábuas e pranchas. Ele também transforma a tora em um bloco retangular. Contudo, a largura e a altura do bloco são determinadas pela divisão do comprimento da circunferência média em 4 partes.

O modelo matemático que ele usa para obter o volume é: V =

sendo: V o volume da tora; C m o comprimento da circunferência média e L o comprimento da tora.

• C m = 1,60 m •

Assim, o volume da tora calculado pelo engenheiro é:

V = 0,4 0,4 3 = 0,48 4 0,48 m3

Fonte: MOSSMANN, Adriana Inês; MALDANER, Janice Maria; BLASZAK, Sidmara. Cubagem de madeira. Ijuí: Unijuí, 2002. Disponível em: http://www.projetos.unijui. edu.br/matematica/modelagem/cubagem. Acesso em: 1 jun. 2022.

1. Calcule o volume do tronco de cone fazendo: V = 3 hp (R2 + Rr + r2), em que h é a altura, R é a medida do raio da base maior e r é a medida do raio menor do tronco de cone.

V o 0,61 m3

O método do engenheiro florestal é o mais aproximado.

2. Qual dos métodos apresentados fornece o volume mais aproximado do volume do tronco de cone: o do marceneiro ou o do engenheiro florestal? Considere as informações desta seção e seus conhecimentos para responder.

Figura 1.

Cubagem: refere-se à medição do volume em metros cúbicos.

Figura 2.

1 Existem muitas formas de desenhar em perspectiva. Uma delas é desenhando um ponto fixo F (chamado de ponto de fuga). O fluxograma a seguir mostra o passo a passo para construir uma sala em perspectiva.

Início Fim

Desenhar um ponto F

Construir um quadrado com centro no ponto F

Construir outros elementos no ambiente utilizando as semirretas e retas paralelas aos lados do quadrado

Resposta pessoal.

Desenhar as retas suportes às diagonais do quadrado

Desenhar semirretas com origem em F que não passem pelos vértices do quadrado

Reinaldo Vignati

2 (ENEM) A Figura 1 apresenta uma casa e a planta do seu telhado, em que as setas indicam o sentido do escoamento da água de chuva. Um pedreiro precisa fazer a planta do escoamento da água de chuva de um telhado que tem três caídas de água, como apresentado na figura 2.

DAE

Essa seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Na atividade 1 , é importante acompanhar de perto se os estudantes estão construindo as linhas guias (as semirretas com origem no ponto de fuga e que não passam pelos vértices do quadrado) corretamente. No exemplo da figura, todos os elementos desenhados foram construídos com segmentos paralelos aos lados do quadrado ou com segmentos sobre estas linhas guias. Após a construção desses elementos, é indicado apagar as linhas guias (na figura algumas foram tracejadas, a fim de contribuir para a visualização do processo).

Na atividade 2,verifique se os estudantes observaram as diferentes vistas e as setas que indicam o escoamento da água de chuva.

Alternativa b

(a) Casa (b) Planta do telhado Figura 2.

Figura 1.

e)

c) d) Imagens: ENEM 2020

Os outros elementos sugeridos para o ambiente podem ser quadros, tapetes, eletrodomésticos, móveis, etc. Assim, utilizando o fluxograma apresentado, desenhe uma sala em perspectiva.

Orientações

Orientações

Resolução da atividade 3

Se numerarmos com I, II, III e IV as faces da figura na ordem em que elas serão colocadas na montagem, podemos verificar se, em cada imagem, as faces visíveis estão representadas adequadamente.

3 (OBMEP) Em um dos lados de uma folha de papel grosso, Pedro desenhou a figura abaixo. Depois, recortou-a e montou uma torre em miniatura.

Na imagem 1, estão coladas corretamente as faces I e IV. Na imagem 2, aparecem coladas as faces II e IV, o que é incorreto, pois elas são opostas. Na imagem 3, estão corretamente coladas as faces I e II. Na imagem 4, estão coladas as faces I e IV, mas a posição está incorreta (é importante observar aqui a inclinação dos segmentos de reta da face IV). Finalmente, na imagem 5, estão corretamente coladas as faces III e IV.

Portanto, somente as imagens 1, 3 e 5 podem representar a torre em miniatura montada por Pedro.

Alternativa a Na atividade 4, comente com aos estudantes de que as peças podem ser giradas para propiciar o encaixe.

Se achar conveniente, utilize o Material Dourado para que eles visualizem a peça que falta para complementar o paralelepípedo.

Alternativa e

a) Imagens 1, 3 e 5

b) Imagens 1, 4 e 5

c) Imagens 1, 2 e 3

d) Imagens 2, 3 e 4

e) Imagens 3, 4 e 5

Alternativa a Alternativa e

4 (OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA UNIVATES) Observe que no sólido da figura 1 falta uma peça para terminar a construção do paralelepípedo. Qual das peças seguintes permite construir este paralelepípedo?

Imagem 1. Imagem 2. Imagem 3. Imagem 4. Imagem 5.

a)

c) e)

b) d)

Ilustrações: André Martins

Figura 1.

Ilustrações: André Martins

Das cinco imagens abaixo, quais podem representar a torre montada por Pedro?

5 (CMBH) O derretimento das calotas polares é um fenômeno verificado nas últimas décadas e está relacionado ao aquecimento global, provocado principalmente pela emissão de gases poluentes. Alguns cientistas mais pessimistas afirmam que, se nada for feito, muitas ilhas e cidades litorâneas podem desaparecer do mapa. A geleira Pine Island é a que está derretendo mais rapidamente na Antártica. De acordo com pesquisadores da região, esta geleira está perdendo cerca de 15 cm de altura por ano. Imagens aéreas recentes, tomadas deste local, mostram que um iceberg se desprendeu da geleira de Pine Island. (Antártica, derretimento de enorme geleira é irreversível. Disponível em: Antártica, derretimento de enorme geleira é irreversível… | Thoth3126)

CM-BH

Orientações

Resolução da atividade 5

V = 10 000 . 10 000 . 0,15 =

= 15 000 000 4 15 milhões de m3

Alternativa c

Explique aos estudantes que o iceberg, que inicialmente apresenta o formato de cubo, passará a ter o formato de bloco retangular, com 15 cm a menos de altura por ano.

Resolução da atividade 6

O menor múltiplo comum entre as medidas 1 cm, 2 cm e 3 cm é igual a 6 cm. Assim, devemos ter um cubo com aresta medindo 6 cm.

O volume desse cubo é igual a:

VC = 6 6 6 = 216 4 216 cm3

O volume do paralelepípedo é igual a:

VP = 1 . 2 . 3 = 6 4 6 cm3

A quantidade de paralelepípedos para formar o cubo é:

216 : 6 = 36.

Alternativa b

Supondo que o iceberg, que se desprendeu da geleira Pine Island, tenha a forma de um cubo gigante de 10 km de aresta e que em um ano ele perca cerca de 15 cm de sua altura, o volume derretido, em metros cúbicos, será igual a:

a) 150 mil

b) 1,5 milhão

Alternativa c

c) 15 milhões

d) 150 milhões

e) 1,5 bilhão

Unindo um paralelepípedo ao outro, qual a quantidade mínima de peças necessárias para se formar esse cubo? Alternativa b

a) 18

b) 36

Orientações

Resolução da atividade 7

As medidas dos paralelepípedos

são:

A: 18 cm, 1 dm (10 cm) e 15 cm.

B: 12 cm, 15 cm e 2 dm (20 cm).

Seus volumes, em cm3, são iguais a:

VA = 18 10 15 = 2 700.

VB = 12 15 20 = 3 600.

Após o paralelepípedo A ficar cheio, faltará h cm para encher o paralelepípedo B. Daí vem:

12 . 15 . (20 - h) = 2 700

h = 3 600 2 700 180() = 5 4

4 5 cm.

Alternativa a Resolução da atividade 8

Da figura, calculamos o volume de água no recipiente:

V = 6 . 6 . 10 = 360 4 360 cm3

Ao virar o recipiente, a base passa a ter 6 cm * 15 cm e o volume de água será o mesmo. Assim:

360 = 6 15 h

h = 4 4 4 cm.

Alternativa a

7 (CMF-CE) Observe os recipientes abaixo, em formato de paralelepípedo, cujas medidas internas encontram-se indicadas.

Duas torneiras, uma para cada recipiente, abertas ao mesmo tempo, lançam a mesma quantidade de água por minuto nesses recipientes. No momento em que o recipiente de menor volume enche completamente, fecham-se as duas torneiras. Nesse momento, considerando que ambos os recipientes permanecem nas mesmas posições indicadas nas figuras, a água está a que distância, em centímetro, da borda superior do recipiente de maior volume? Alternativa a

a) 5

b) 12

c) 15

d) 18

e) 20

8 (FAMEMA-SP) Um recipiente transparente possui o formato de um prisma reto de altura 15 cm e base quadrada, cujo lado mede 6 cm. Esse recipiente está sobre uma mesa com tampo horizontal e contém água até a altura de 10 cm, conforme a figura.

Se o recipiente for virado e apoiado na mesa sobre uma de suas faces não quadradas, a altura da água dentro dele passará a ser de: Alternativa a

Imagens da página fora de proporção.

9 Uma piscina de formato retangular tem 5 m de largura, 12 m de comprimento e seu fundo é um plano inclinado. No ponto mais raso ela tem 1 m de profundidade e, no ponto mais fundo, 2,5 m. Qual é o volume de água contido na piscina?

a) 60 m3

b) 300 m3

c) 150 m3

Alternativa d

d) 105 m3

e) 210 m3

10 (CMBEL-PA) Mariana pediu um aquário de presente de aniversário para o tio dela. Observe as informações sobre os modelos existentes numa loja visitada por Mariana e o tio:

Orientações

Resolução da atividade 9

Do enunciado, temos:

cm

volume:

Mariana resolveu calcular o volume de cada aquário com o objetivo de ter maiores dados para a escolha. Ela, após cálculos detalhados, encontrou os seguintes volumes: Alternativa e

a) Aquário A: 60 000 cm3; Aquário B: 50 000 cm3; Aquário C: 30 000 cm3

b) Aquário A: 30 000 cm3; Aquário B: 27 000 cm3; Aquário C: 35 000 cm3

c) Aquário A: 70 000 cm3; Aquário B: 35 000 cm3; Aquário C: 40 000 cm3

d) Aquário A: 40 000 cm3; Aquário B: 20 000 cm3; Aquário C: 50 000 cm3

e) Aquário A: 60 000 cm3; Aquário B: 45 000 cm3; Aquário C: 27 000 cm3

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

Reconheço vistas ortogonais de figuras espaciais e aplico esse conhecimento para observar objetos em perspectiva.

Conheço e utilizo a nomenclatura das diferentes vistas de uma figura geométrica espacial em relação ao observador.

Resolvo e elaboro problemas que envolvem conceitos de volume de prismas e cilindros retos.

Aplico conceitos de volume em situações cotidianas.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras. Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Considerando a face em formato de trapézio como base do sólido que a piscina representa, seu volume, em m3, é igual a:

=.6= +. .= () VAhV 2, 51 12 2 5 105 b

=.6= +. .=4 () VAhV 2, 51 12 2 5 105 b 105  m3 4

Alternativa d É indicado que os estudantes desenhem uma representação da piscina para compreender o formato de prisma de base trapezoidal, em que as bases são duas das laterais da piscina. Resolução da atividade 10 Das imagens, o aquário A tem o formato de paralelepípedo retângulo. Das relações entre os volumes dos aquários, temos:

Aquário A:

VA = 30 . 50 . 40 = 60 000 4

4 60 000 cm3

Aquário B:

VB = 75% de 60 000

VB = 75 100 60 000 = 45 000 4

4 45 000 cm3

Aquário C: VC = 60% de 45 000

VC = 60 100 45 000 .= 27 000 4 4 27 000 cm3

Alternativa e

Ilustrações: DAE

Objetivos de aprendizagem

• Diferenciar os produtos notáveis e utilizá-los para simplificar expressões algébricas.

• Compreender os processos de fatoração e sua relação com produtos notáveis e expressões algébricas.

• Resolver equações polinomiais do 2? grau por diferentes métodos.

• Resolver sistemas de equações polinomiais do 2? grau.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF09MA09 por meio da compreensão dos processos de fatoração de expressões algébricas e da resolução de problemas representados por equações polinomiais de 2? grau.

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• reconheçam uma sentença algébrica e o que é incógnita;

• efetuem operações com expressões algébricas e calculem o seu valor numérico;

• calculem perímetros e áreas de figuras planas e volumes de figuras espaciais;

• saibam o que é mínimo múltiplo comum;

• efetuem operações com números reais;

• utilizem as propriedades da igualdade;

• conheçam a propriedade fundamental das proporções.

Neste experimento, uma pena e uma maçã com pinos de metal são abandonadas. A pena cai em uma câmara de vácuo com pressão de 30 mícrons, seguindo a mesma proporção que a maçã no ar (ambas atraídas por ímãs). O flash é disparado em intervalos de 1 20 de segundo.

Avaliação diagnóstica

É importante observar se os estudantes já dominam os pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos nesta unidade. Para isso, promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre os pré-requisitos elencados e a citar exemplos do cotidiano. Elabore algumas atividades escritas para verificar o que já dominam. Se necessário, retorne os conteúdos propostos para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

A BNCC na Unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 2, 3 e 4

Competências específicas 1, 2, 6 e 8

Habilidades EF09MA09

Foco nos TCTs

• Ciência e Tecnologia

Produtos notáveis, fatoração e equação polinomial do 2 ? grau

[...] O estudo de queda livre iniciou-se com Aristóteles aproximadamente (300 a.C). Ele afirmava que dois corpos com massas diferentes e soltos numa mesma altura, o corpo mais “pesado” chegará mais rápido ao solo. Tal afirmação se perdurou por dois mil anos, pois não havia a preocupação de verificar tal teoria. [...]

SANTOS, Débora Oliveira dos; AGUIAR, José Vicente de Souza. A formação de conceitos sobre queda livre dos corpos: uma análise epistemológica à luz de Gaston Bachelard. Revista Valore, [S. l.], v. 6, p. 449-459, jul. 2021. ISSN 2526-043X. Disponível em: https://revistavalore.emnuvens.com.br/valore/article/view/821/573. Acesso em: 6 jun. 2022.

Uma pedra cai de uma altura h e demora um tempo t para chegar até o solo.

1. Pesquise qual é a relação matemática entre a distância percorrida h e o tempo t

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• diferenciar os produtos notáveis e utilizá-los para simplificar expressões algébricas;

• fatorar expressões algébricas;

• resolver equações polinomiais do 2? grau por diferentes métodos.

Orientações

Leia com os estudantes o texto sobre o estudo de queda livre e explore a foto e a legenda.

Peça a eles que expliquem a experiência que foi fotografada. Observe a hipótese dos estudantes sobre o experimento.

Resposta da questão 1 hgt2 2 =. , em que g representa a aceleração da gravidade.

O trinômio a2 + 2ab + b2 é denominado trinômio quadrado perfeito

Veja mais alguns exemplos de soma de dois termos ao quadrado.

• (x + 3)2 = x2 + 2 x 3 + 32 = x2 + 6x + 9

• (2a + b)² = (2a)2 + 2 2a b + b2 = 4a2 + 4ab + b2

• 5 2 () 3y + 5 2 () = (3y)2 + 2 3y 5 + 5 2 () = 9y2 + 6 5 y + 5

Agora, vamos verificar as seguintes situações. Considere que a figura abaixo é composta por dois quadrados. A medida do lado de um deles é 2x + 5 e a do outro, x + 3, ambas em centímetros. Encontre o polinômio que representa a área dessa figura.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA09

As situações apresentadas favorecem o trabalho da competência específica 6, pois abordam exemplos de como os estudantes podem chegar a uma resolução, sintetizar a conclusão e usar diferentes formas para registrar os dados da situação-problema.

Observe que a área total A da figura é obtida a partir da soma das áreas dos dois quadrados. Logo:

A = A1 + A2 = (2x + 5)2 + (x + 3)2

Ao desenvolver os produtos notáveis que representam a área de cada  quadrado, obtêm-se:

A1 = (2x + 5)2 = (2x)2 + 2 . 2x . 5 + 52 = 4x2 + 20x + 25

A2 = (x + 3)2 = x2 + 2 . x . 3 + 32 = x2 + 6x + 9

A = A1 + A2 = 4x2 + 20x + 25 + x2 + 6x + 9 = 5x2 + 26x + 34

Assim, a área total da figura é A = 5x2 + 26x + 34.

• Agora, vamos ajudar o Fernando a calcular 1 0032

Vamos decompor o número 1 003 em um binômio, da seguinte forma:

1 003 = (1 000 + 3)

Calculando o quadrado da soma, obtemos:

(1 000 + 3)2 = 1 0002 + 2 . 1 000 . 3 + 32 = 1 000 000 + 6 000 + 9

Logo, podemos afirmar que:

(1 000 + 3)2 = 1 006 009

Portanto, 1 0032 é igual a 1 006 009.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA09 e da competência geral 4

Resolução

Atividades

1 Desenvolva:

a) (a + 3)2

b) (5y + 2)2

c) 212

d)

e) (x3 + x2)2

f) (-3 + 4n)2

g) (0,2x + 1,5)2

h) 10,12

2 O lado de um quadrado mede (2x + 7) centímetros.

a) Quais expressões representam a área e o perímetro do quadrado?

Área: (2x + 7)2; Perímetro: 8x + 28.

g)

b) Determine a área e o perímetro considerando x = 5 cm. Área: 289 cm; Perímetro: 68 cm2

3 Efetue:

a)

a)

Perímetro:

5 + 7)2 = 289 4 289 cm2

P = 8 . 5 + 28 = 68 4 68 cm. Resolução

+ 1 2 4 2 2 xx

b) (ab + a)2

4 Verifique se a igualdade a seguir é verdadeira.

(4m + 1)2 - (m + 2)2 = 15m2 + 5m - 4

5 Rogério tem uma plantação de eucalipto cuja madeira é vendida para uma fábrica de papel. Sua plantação fica em um terreno quadrado com 5 km de lado. Se Rogério quiser ampliar a área de plantio para 64 km², em quanto ele deve aumentar o lado do terreno de sua plantação, de forma que a região plantada ainda seja um quadrado?

b) ( ab ) 2 + 2 ab . a + a 2 = = a2b2 + 2a2b + a2

Resolução da atividade 4

(4m + 1)2 - (m + 2)2 = 16m2 +

+ 8m + 1 - m2 - 4m - 4 =

= 15m2 + 4m - 3.

Portanto, a igualdade é falsa. Resolução da atividade 5

A = 5 . 5 = 25 4 25 km2

A = 64 =6=6== AllAl 64 8 2 4 8 km.

8 - 5 = 3 4 3 km

Resolução da atividade 6

É importante observar que a expressão dada não é um trinômio quadrado perfeito.

Temos que: x + y = 8

Elevando os 2 membros ao quadrado, temos:

(x + y)2 = 82

x 2 + 2xy + y 2 = 64

x 2 + 2 . 15 + y 2 = 64

x 2 + y2 = 34

E temos a expressão dada:

x 2 + 6xy + y 2 =

= x 2 + y 2 + 6 15 =

= x 2 + y 2 + 90

x 2 + y 2 = 34 6 34 + 90 = 124.

6 Se x + y = 8 e x y = 15, qual é o valor de x2 + 6xy + y2?

Mata de reflorestamento de eucaliptos.

7 Verifique, geometricamente, o que deve ser acrescentado ao quadrado de área x2 para se obter o quadrado de área (x + 3)2

Resolução da atividade 7

Seja A: área que deve ser acrescentada. 3 (x + 3) + 3x 6 6x + 9

Quadrado da diferença de dois termos

Para calcular o quadrado de um binômio do tipo (a - b) podemos multiplicar o binômio por ele mesmo.

(a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - ab - ab + b2 = = a2 - 2ab + b2

EF09MA09

ababaabb () ()  2

Logo:

2 1 termo da soma 2 termo da soma

Portanto, podemos afirmar que o quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do 1? termo, menos o dobro do produto do 1? termo pelo 2? termo, mais o quadrado do 2? termo.

Vamos, agora, interpretar geometricamente esse produto por meio das áreas dos quadrados cujos lados medem a e b

O quadrado de área (a - b)2 (em azul) é obtido subtraindo-se do quadrado maior de área a2 (em laranja), dois retângulos de área b . (a - b) (em rosa) cada um e um quadrado menor de área b2 (em verde). Assim, temos:

(ab)2b(ab)DAE

(a - b)2 = a2 - 2b(a - b) - b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

O trinômio a2 - 2ab + b2 também é um trinômio quadrado perfeito

Outros exemplos:

(a b) -

2 quadrado do 2  termo oo oo oo a

22 quadrado do 1  termo duas vezes o produto dos termos +-=-+ a

b b

(ab) -

Para auxiliar na explicação da interpretação geométrica, solicite aos estudantes que se organizem em duplas e entregue-lhes folhas de papel previamente recortadas em formato quadrangular. Peça às duplas que escolham um valor para atribuir a b e façam a marcação na vertical e na horizontal, como indicado no livro. Ao final da explicação, solicite que façam a conta com a medida de a e a medida escolhida para b de cada dupla. Resolução de Pense e responda Possibilidades de resolução:

I) (2 – 5)2 = (–3)2 = 9

II) (2 – 5)2 = 22 - 2 . 2 . 5 + 52 = = 4 – 20 + 25 = 9

Qual é o valor de (2 - 5)²? 9 a2 (ab)2 -

• -=-..+=-+                       3 2 1 4 3 2 2 3 2 1 4 1 4 9 4 3 4 1 16 22 2 2 yyyyy

Vamos analisar duas situações distintas.

• Primeiro, vamos desenvolver o produto notável (2a - 5)2

Usando o resultado do quadrado da diferença de dois termos, obtemos:

(2a - 5)2 = (2a)² - 2 . 2a . 5 + 52 = 4a2 - 20a + 25

Portanto, (2a - 5)2 = 4a2 - 20a + 25.

• Agora, vamos calcular 8992

Para isso, vamos escrever o número 899 na forma de um quadrado da diferença de dois números (termos):

8992 = (900 - 1)2 = 9002 - 2 900 1 + 12 = 810 000 - 1 800 + 1 = 808 201

Portanto, 899² é igual a 808 201.

Orientações

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade

Atividades

1 Desenvolva os produtos notáveis.

a) (x - y)2

b) (a - 2)2 c)

x2 - 2xy + y2 a2 - 4a + 4

2 Calcule:

a) 992

b) 882

3 Qual polinômio representa a área colorida na figura abaixo?

c) 1992

4 Desenvolva o produto notável (x - y)4

5 Se (a - b)2 - (a + b)2 =-12, calcule o valor de ab

6 Qual expressão devemos adicionar à expressão x2 - 4x + 10 para que o resultado represente (x - 5)2?

7 Efetue:

a) (2x + y)2 - (3x - 2y)2

8 Observe a parte roxa do quadrado ABCD

b) 882 = (90 - 2)2 = 902 - 2 .

2 + 22 = 8 100 - 360 + + 4 = 7 744

c) 1992 = (200 - 1)2 = 2002 - 2 .

1 + 12 = 40 000 - 400 + + 1 = 39 601

+ 6x2y2

4 + y4 - 4x³y - 4xy³ +

Resolução da atividade 5

(a2 - 2ab + b2) - (a2 +

+ 2ab + b2) =-12 6- 4ab =

=-12 6 ab = 3

Resolução da atividade 6

(x - 5)2 = x2 - 2 . x . 5 + 52 =

= x2 - 10x + 25

x2 - 4x + 10 + E = x2 - 10x + 25

E = x2 - 10x + 25 - x2 + 4x -10

E =-6x + 15

Resolução da atividade 7

a) 4 x 2 + 4 xy + y 2 - 9 x 2

+ 12 xy - 4 y 2 =- 5 x 2 +

+ 16xy - 3y2

b) (x2y3)2 - 2(x2y3)(xy) + (xy)2 =

= x4y6 - 2x³y4 + x2y2

Resolução da atividade 8

a) I = (x - y) 6 A = (x - y)2

b) y(x - y) + y2 = xy - y2 + y2 =

= xy

b) (x2y3 - xy)2

a) Escreva o produto notável que representa a área da parte colorida da figura.

b) Mostre que a soma das áreas de um dos retângulos com a área do quadrado menor vale xy.

c) Que expressão algébrica fornece a área dos retângulos adicionada à área do quadrado menor?

9 Qual dos números a seguir não pode ser igual à diferença entre o quadrado da soma de dois números inteiros e a soma de seus quadrados? Justifique.

12 6 2 9 4

10 Elabore dois exercícios de produtos notáveis envolvendo o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois termos. Depois, troque-os com um colega para que resolvam os exercícios um do outro; em seguida, destroquem para conferir as respostas.

10

a expressão simplificada que corresponde à

Produto da soma pela diferença de dois termos

Outro produto notável importante é o produto (a + b) (a - b). Para calcular esse produto usaremos a propriedade distributiva da multiplicação.

(a + b) . (a - b) = a2 - ab + ba - b2 = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2

Então, o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1? termo menos o quadrado do 2? termo.

Observe que, se do quadrado maior de área a2 subtrairmos a área b2 do quadrado menor, restarão dois retângulos: um de área a . (a - b) e outro de área b . (a - b)

Ilustrações:

Adicionando essas duas áreas, obtemos: a2 - b2 = a (a - b) + b (a - b).

Como (a - b) é um fator comum, concluímos que: a2 - b2 = (a + b)(a - b).

Ou seja, obtemos um retângulo de lados (a + b) e (a - b).

Atividades

1 As medidas dos lados de um retângulo são expressas por 2x - 3 e 2x + 3.

a) Que polinômio representa a área desse retângulo?

b) Qual é esse valor se x = 15 metros?

2 Efetue os cálculos.

a) (x + y) (x - y)

b) (3x2 + x) (3x2 - x)

c) (-a2b - a) (-a2b + a)

4x2 - 9 891 metros

3 Escreva cada diferença na forma do produto da soma pela diferença de dois termos e faça os cálculos.

a) 92 - 22 b) (-4)2 - 32 c) 1002 - 1 0002

4 Simplifique a expressão (ab + 3) (ab - 3) - (ab + 5)2

5 Sejam A = (x + 6)2 + (x - 6) (x + 6) e B =-4x (x + 2), calcule A + B

6 Usando produtos notáveis, calcule:

a) 31 29 b) 52 48 c) 999 1 001

7 O número que se deve acrescentar a 185 9972 para se obter 185 9982 é um múltiplo de 5. Verifique se essa afirmativa é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA09

Orientações

O trabalho com jogos contribui para o desenvolvimento da competência geral 1, da competência geral 2 e da competência específica 8 Oriente os estudante na montagem do “dado notável”. Eles poderão montar um cubo de cartolina com base em seu molde e escrever (a + b)2 em três de suas faces e (a - b)2 nas outras três ou eles podem usar um dado convencional de 6 faces e adesivar conforme indicado.

Ladrilhos notáveis

Você sabe o que é ladrilho? É um tipo de revestimento de superfícies que pode ser utilizado em paredes ou pisos.

Neste jogo, você será o ladrilhador! Vamos lá?

Para começar, convide um colega para jogar: você será o ladrilhador A, e o colega, o ladrilhador B Vocês vão precisar de:

• papel quadriculado (uma folha de 10 por 10 quadradinhos para cada jogador);

• lápis de cor;

• borracha;

• um dado cúbico numérico com faces numeradas de 1 a 6 (o professor pode orientar na montagem, se necessário);

• um dado cúbico que chamaremos de dado notável, com (a + b)2 escrito em três de suas faces e (a - b)2 nas outras três (o professor vai orientar na montagem dele);

Lee Yiu Tung/Shutterstock.com

(ab)2 +

(ab)2(ab)2 + DAE Kirilldz/Shutterstock.com

Objetos decorativos feitos com pastilhas de vidro.

Mosaicos quadrangulares feitos com pastilha de vidro.

• uma tabela de anotações, como a do modelo a seguir, para os ladrilhadores registrarem os valores obtidos nas rodadas.

Verifique se os estudantes compreenderam as regras e se estão fazendo corretamente os cálculos que respondem às questões 1 e 3

Resolução da questão 2

(a + b)2 = 82 = 64 Resolução da questão 4

(6 - 2)2 = 42 = 16

(5 - 3)2 = 22 = 4

Como jogar

1. O ladrilhador A inicia o jogo lançando o dado numérico para encontrar o valor de a. A diferença de a para 7 será atribuída ao número b: 7 - a = b

2. Depois, o ladrilhador A lança o dado notável e calcula os valores de a e b dependendo da face que sortear no lançamento.

3. Então, o ladrilhador A faz as devidas anotações na tabela de registros, pinta, em sua folha de papel quadriculado, a quantidade de quadradinhos equivalente ao resultado obtido e passa a vez ao ladrilhador B

4. O ladrilhador B lança o dado numérico para sortear o valor de b. A diferença de b para 7 será atribuída ao número a: 7 - b = a

5. Depois, o ladrilhador B lança o dado notável e calcula, para os valores de a e b que obteve, o quadrado da soma ou da diferença desses dois números, dependendo da face que sortear no lançamento.

6. Então, o ladrilhador B anota na tabela de registros o resultado obtido e passa a vez ao ladrilhador A

7. Quem primeiro conseguir “ladrilhar” completamente sua folha quadriculada será o vencedor.

Trabalhando juntos

1. Quais valores foram obtidos para o quadrado da soma de a e b em cada jogada?

Resposta pessoal.

2. Se a soma de a e b fosse 8, que valores seriam obtidos nos cálculos dos quadrados da soma de a e b?

3. Quais valores foram obtidos para os quadrados da diferença de a e b em cada jogada?

4. Se a soma de a e b fosse 8, que valores seriam obtidos nos cálculos dos quadrados da diferença de a e b?

Há varias possibilidades de resposta. Sugestão: 16, 4 e 0.

(4 - 4)2 = 0 ou (2 - 6)2 = (-4)2 = 16 (3 - 5)2 = (-2)2 = 4

+=++

abaabb () 2 2 quadrado da soma de dois termos 22

22+=++ abaabb () 2 2 quadrado da soma de dois termos

Orientações

Em Viagem no tempo é importante para os estudantes compreenderem que as ideias algébricas não surgiram do nada; eram problemas reais que já existiam por volta do século XI a.C. Tal contexto é importante para o desenvolvimento da competência geral 1 Resolução

Produtos notáveis

Neste capítulo, você estudou os produtos notáveis e resolveu problemas com eles. No próximo capítulo, vamos utilizá-los para fatorar expressões algébricas.

O texto a seguir mostra uma forma que pode facilitar esse trabalho.

[...] O conceito de produtos notáveis apareceu na Grécia em contextos de álgebra geométrica, ferramenta bastante empregada pelos gregos para lidar com situações que envolvessem números irracionais. A álgebra geométrica grega nos foi transmitida principalmente por meio do livro II da obra Os elementos de Euclides (325-265 a.C.).

[...]

No livro II de Os elementos de Euclides se encontram algumas identidades algébricas, tais como:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b) (a - b) = a2 - b2

4 a b + (a - b)2 = (a + b)2 [...]

Assim a identidade (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 era pensada em termos do diagrama apresentado na figura abaixo:

a) x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9

b) (x + 3) (x + 3) = (x + 3)2

c) Como as áreas calculadas em cada item são equivalentes, temos:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

(x + 3)2 representa a área do quadrado de lado (x + 3).

CAVALCANTE, Romirys. O uso da geometria em questões algébricas. In: VIVENDO ENTRE SÍMBOLOS. Disponível em: https://www.vivendoentresimbolos.com/2017/08/ o-uso-da-geometria-em-questoes-algebricas.html. Acesso em: 30 abr. 2022.

1 Interprete o diagrama da figura desenhando um quadrado de lado 2 cm + 3 cm, ou seja, a = 2 cm e b = 3 cm.

2 Trace um quadrado de lado x + 3, conforme o diagrama da figura.

a) Escreva a expressão que representa a soma das áreas de cada parte do quadrado maior.

x2 + 6x + 9

b) Escreva a expressão que representa a área do quadrado maior. (x + 3)2

c) Escreva a igualdade resultante dos itens a e b e o que ela representa.

(x + 3)2 = x2 + 6x + 9

Representa a área do quadrado de lado x + 3.

Ilustrações: Reinaldo Vignati

Fatoração

As medidas do comprimento e da largura de um retângulo são expressas por x e y Em sua opinião, qual é a medida do perímetro desse retângulo? Explique como você chegou a esse resultado. 2(x + y) ou 2x + 2y

O que significa fatores?

Uma das propriedades de um número é sua decomposição em fatores, isto é, sua transformação em uma multiplicação de dois ou mais fatores. Ao decompor um número em fatores, dizemos que estamos fatorando esse número. Veja:

Representações do número 24 na forma fatorada

• 24 = 2 12 (2 e 12 são fatores de 24, mas 12 não é um número primo)

• 24 = 2 2 6 (2 e 6 são fatores de 24, mas 6 não é primo)

• 24 = 2 . 2 . 2 . 3 ou 24 = 23 . 3 (2 e 3 são fatores primos)

23 . 3 é a decomposição em fatores primos do número 24.

Representações do número 210 na forma fatorada

• 210 = 2 105 (2 e 105 são fatores de 210, mas 105 não é primo)

• 210 = 2 3 35 (2, 3 e 35 são fatores de 210, mas 35 não é primo)

• 210 = 2 3 5 7 (2, 3, 5 e 7 são fatores primos de 210)

2 3 5 7 é a decomposição em fatores primos do número 210.

De modo geral, podemos dizer que:

Fatorar um número é escrevê-lo na forma de multiplicação de dois ou mais fatores, geralmente números primos. Uma expressão numérica com fatores comuns (repetidos nos termos) pode ser fatorada da seguinte maneira:

Objetivos do capítulo

• Compreender os processos de fatoração e sua relação com produtos notáveis e expressões algébricas.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2 e 4 Competências específicas 2 Habilidades EF09MA09

Orientações

Resolução do Para começar P = x + x + y + y = 2x + 2y Acompanhe com os estudantes a leitura do texto O que significa fatores?

Pergunte aos estudantes em que outras situações eles já usaram “fatores”. Espera-se que os associem aos termos da multiplicação. Retome com eles a decomposição em fatores primos.

fator comum adição de duas parcelas (expressão não fatorada)

3 5 + 3 4

=

3 (5 + 4)

fator comum colocado em evidência adição de duas parcelas (expressão não fatorada)

O 3 é o fator comum que foi colocado em evidência, de acordo com a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Orientações

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EF09MA09

Em Pense e responda, caso os estudantes apresentem dificuldade para colocar 2ab2 em evidência, solicite que escrevam 8a2b³ como 2 2 2 . aabb2. Se a dificuldade ainda persistir, peça que reordenem da seguinte forma: 2 . a . b2 . 2 . 2 . a . b É importante que percebam que 2ab2 é o máximo divisor comum dos monômios 2ab2 e 8a2b3

Fatoração pelo fator comum

Vamos agora estender a ideia de fatoração para as expressões algébricas, uma vez que elas generalizam propriedades dos números e das suas operações.

O retângulo ABCD da figura abaixo é formado por dois retângulos menores: AEFD e EBCF

• Retângulo AEFD = comprimento x, largura a

• Retângulo EBCF = comprimento y, largura a Vamos calcular a área AABCD de duas maneiras diferentes, conforme descrito a seguir.

I. Adicionando as áreas de cada uma das partes, que chamaremos de A1 e A2: AABCD = A1 + A2 6 AABCD = ax + ay

II. Multiplicando a largura a pelo comprimento (x + y): AABCD = a . (x + y) Como as áreas calculadas das duas maneiras são iguais, podemos escrever:

A D

Na expressão fatorada:

B C

a xy +

• a é o fator comum colocado em evidência;

a . x + a . y = a . (x + y) expressão não fatorada expressão fatorada

• o fator (x + y) foi obtido dividindo-se cada monômio da expressão não fatorada pelo fator comum a colocado em evidência. Agora observe as várias formas de fatoração do polinômio 2ab2 + 8a2b3:

I. 2ab2 + 8a2b3 = a (2b2 + 8ab3)

II. 2ab2 + 8a2b3 = 2b (ab + 4a2b2)

III. 2ab2 + 8a2b3 = 2a (b2 + 4ab3)

IV. 2ab2 + 8a2b3 = 2ab2 (1 + 4ab)

ax : a

ax + ay = a(x + y)

ay : a

Note que, no exemplo IV, os fatores obtidos, 2ab2 e (1 + 4ab), não podem mais ser escritos como produtos de outros termos.

Assim, quando nos referirmos a uma fatoração, ficará implícito que os fatores do produto não poderão mais ser fatorados.

Na fatoração do polinômio 2ab2 + 8a2b3, o fator comum que foi colocado em evidência é 2ab2. Explique, então, como encontrá-lo. Resposta pessoal.

fator comum

Acompanhe a seguinte situação-problema.

• A expressão a (x + y) + b (x + y) - x - y representa a produção de papel, em toneladas por dia, de uma empresa. Encontre a forma fatorada dessa expressão e seu valor numérico para x + y = 5 e a + b = 9.

Para encontrar a forma fatorada, primeiro vamos reescrever a expressão colocando em evidência o fator (-1), comum aos dois termos de (-x - y):

a (x + y) + b (x + y) - 1x - 1y = a (x + y) + b (x + y) - 1(x + y)

Verificamos agora que (x + y) é um fator comum aos três termos da expressão obtida. Colocando esse fator em evidência, temos:

a (x + y) + b (x + y) - 1(x + y) = (x + y) (a + b - 1)

Substituindo os valores x + y = 5 e a + b = 9 na expressão fatorada, obtemos o valor numérico:

(x + y) . (a + b - 1) = 5 . (9 - 1) = 5 . 8 = 40

Portanto, nessas condições, a empresa produz 40 toneladas de papel por dia.

Atividades

1 Fatore as expressões a seguir.

a) 5x + 5y

5(x + y)

b) a3 + 3a2 + 5a

c) 7ab - 14bx

Orientações

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Resolução da atividade 1

a) Fator comum: 5

5(x + y)

b) Fator comum: a

a(a2 + 3a + 5)

c) Fator comum: 7b

7b(a - 2x)

d) Fator comum: 4x2

4x2(1 + 3xy + 7z)

e) Fator comum: x40 x40(1 + x)

a(a² + 3a + 5)

7b(a - 2x)

d) 4x2 + 12x3y - 28x2z

4x²(1 + 3xy + 7z)

e) x40 + x41

f) 4ay + 4ax - 4axy

g) 15a2 + 45a

x40(1 + x) 4a(y + x - xy) 15a(a + 3)

h) (y + 2)(2y - 5) + (2y - 5) (3y - 1)

2 Determine a área de cada figura abaixo e suas expressões na forma fatorada. a) b)

3 Observe as figuras a seguir.

(2y - 5)(4y + 1)

Ilustrações: Faça no caderno

f) Fator comum: 4a 4a(y + x - xy)

g) Fator comum: 15a 15a(a + 3)

h) Fator comum: (2y - 5) (2y - 5)[(y + 2) + (3y - 1)] = = (2y - 5)(4y + 1)

Resolução da atividade 2

a) A área total da figura é composta pela área do retângulo horizontal mais a área do retângulo vertical.

A = 3yy + 8 y = 3y2 + 8y = = y(3y + 8)

b) A área total da figura é composta pela área do retângulo vertical mais a área do retângulo horizontal.

A = xy + (z + x) x = xy + + zx + x2 = x(y + z + x)

Resolução da atividade 3

a) Área do quadrado é Aq = x2 , portanto, os lados do quadrado medem x

Para resolver as questões, considere que o quadrado tem área x2 e que cada um dos retângulos tem área x

a) Quais são as medidas dos lados do quadrado e de cada retângulo?

b) Escreva a expressão que dá a área total como uma soma das áreas de todas as figuras.

c) Podemos afirmar que x2 + 3x = x(x + 3)? Em caso positivo, faça uma figura para representar essa situação.

Os retângulos têm um lado de medida x (igual ao lado do quadrado) e, como sua área vale x, o outro lado mede 1, pois Ar = x 1 = x b) A t = x2 + x + x + x = x2 + 3x = = x(x + 3)

c) Resposta no rodapé.

1 x 11 x x x xx x +3 x Logo, x2

3x = x

(x +3).

Orientações

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Resolução da atividade 4

a) 0,8(5 + 3 + 2) = 0,8 10 = 8

b) 0,62(23 + 77) = 0,62 100 = 62

c) 0,125(997 + 3) = 0,125 1 000 = = 125

Resolução da atividade 5

a) (y - 3)(4a - 5b + 1).

b) Primeiramente, vamos colocar o fator - 1 em evidência no termo b - a

x ( a - b ) - y ( a - b ) + - 1(a - b).

Assim, temos o termo a - b como fator comum: (a – b)(x - y - 1).

c) (x + y)(2x - y)2 + (x + y)2 =

= (x + y) [(2x - y)2 + (x + y)]

Resolução da atividade 6

2 m + 2 n = 2(m + n) = 2 . . 10 = 20

Resolução da atividade 7

b) As medidas do retângulo 1 são x e (x + x + 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 + 1) = 2x + 6, isto é, x e (2x + 6).

As medidas do retângulo 2 são: (x + x) e (x + 1 + 1 + 1), isto é, 2x e (x + 3).

c) São compostos pelas mesmas figuras e têm medidas diferentes de lados.

d) Perímetro do retângulo 1: P1 =

= x + 2x + 6 + x + 2x + 6 =

= 6x + 12 = 6(x + 2).

Perímetro do retângulo 2: P2 =

= 2x + x + 3 + 2x + x + 3 =

= 6x + 6 = 6(x + 1).

e) Sim, é a mesma área, pois são formados pelas mesmas figuras.

A1 = x (2x + 6) = 2x(x + 3)

A2 = 2x (x +3) = 2x(x + 3)

É interessante os estudantes trabalharem com figuras recortadas para facilitar o manuseio. Providencie folha de papel ou cartolina e peça que recortem quadrados e retângulos conforme a ilustração da atividade para fazer novas composições.

Resolução da atividade 8

Primeiro, vamos encontrar os fatores comuns, assim, os retângulos devem ter as dimensões indicadas:

a) 4x2 + 7x = x(4x + 7)

4 Observe, na imagem abaixo, como Laura efetuou “de cabeça” a operação 7 0,95 + 3 0,95.

7 0,95 + 3 0,95 = = 0,95 (7 + 3) =

Faça como a Laura e efetue cada cálculo mentalmente. Depois, descreva como você chegou ao resultado.

5 Transforme as expressões a seguir em produtos.

a) 4a(y - 3) - 5b(y - 3) + (y - 3)

b) x(a - b) - y(a - b) + b - a

c) (x + y)(2x - y)2 + (x + y)2

(4a - 5b + 1)

6 Qual é o valor numérico da expressão 2m + 2n se m + n = 10?

7 Considere 2 quadrados, cada um com área de x2, e 6 retângulos, sendo que cada um deles tem área x, conforme a figura abaixo.

Com base nessa figura, também podemos montar outros retângulos. Veja dois exemplos.

a) Descubra outras maneiras de se formar um retângulo com todas as figuras acima.

b) Quais são as medidas dos lados dos retângulos 1 e 2?

c) Entre os retângulos 1 e 2, quais são as diferenças?

d) Verifique se os retângulos 1 e 2 tem o mesmo perímetro. Para cada um deles, escreva a fórmula do perímetro na forma fatorada.

e) Confirme se a área dos retângulos 1 e 2 é a mesma área. Para cada um deles, escreva a fórmula da área na forma fatorada.

Respostas no Manual do Professor. Respostas no Manual do Professor.

8 Construa retângulos que tenham as áreas indicadas a seguir. Expressem cada uma delas como o produto das dimensões de seus lados. a) 4x2 + 7x

2x2 + 8

8x4 + 32x2

3a2b + 9ab2

Ilustrações: Reinaldo Vignati

Fatoração por agrupamento

A área do retângulo MNPQ da figura pode ser obtida de várias maneiras. Vamos observar três delas.

Orientações

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Resolução de Pense e responda No agrupamento, o fator comum é um “grupo”, mas o raciocínio é o mesmo.

I. Pela soma das áreas dos retângulos QTUV, VURM, TPSU e USNR: ax + ay + bx + by

II. Pela soma das áreas dos retângulos MRTQ e RNPT: a(x + y) + b(x + y).

III. Pelo produto das medidas dos lados do retângulo MNPQ: (x + y) (a + b).

Como as três áreas são equivalentes, podemos escrever:

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

Peça aos estudantes que cada um deles dê um exemplo de fatoração pelo fator comum e por agrupamento. Esse complemento de atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 4

expressão não fatorada expressão fatorada fator comum: a fator comum: b

Veja, agora, como proceder para efetuar algebricamente a fatoração da expressão

ax + ay + bx + by

ax + ay + bx + by 4 Agrupamos os termos que têm fatores comuns.

a(x + y) + b(x + y) 4 Fatoramos cada grupo de parcelas com os respectivos fatores comuns em evidência.

novo fator comum

(x + y)(a + b) 4 Colocamos o novo fator comum em evidência e escrevemos os fatores.

Essa maneira de fatorar expressões é denominada fatoração por agrupamento

Qual é a diferença entre as fatorações pelo fator comum e por agrupamento? Reúna-se com um colega e registrem suas conclusões no caderno.

A diferença é que no agrupamento o fator comum é um “grupo”, mas o raciocínio é o mesmo.

Agora, acompanhe a seguinte situação.

Calcule o valor numérico da expressão 2 mx - 5ny - 2nx + 5my, sabendo que m - n = 4 e 2x + 5y = 15.

Para calcular o valor numérico da expressão, devemos trocar alguns termos de posição para formar grupos com fatores comuns.

2mx - 5ny - 2nx + 5my = 2mx - 2nx + 5my - 5ny =

fator comum: 2x fator comum: 5y

2x(m - n) + 5y (m - n) = (m - n) (2x + 5y)

fator comum: (m - n)

Substituindo pelos dados numéricos, obtemos:

(m - n) (2x + 5y) = 4 15 = 60

Atividade em grupo

Orientações

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Resolução da atividade 1

a) 2 x ( a + b ) + y ( a + b ) =

= (a + b) (2x + y)

b) x³(x - 3) + 2(x - 3) =

= (x3 + 2) (x - 3)

c) 5(x + 3) + 2y(x + 3) =

= (x + 3) . (5 + 2y)

d) a(b + 1) + (b + 1) =

= (a + 1) . (b + 1)

e) 5 x ( x 2 + 2) - 4( x 2 + 2) =

= (x2 + 2) (5x - 4)

Resolução da atividade 2

a) 3(a + 1) + (a + 1)(a + 1) =

= (a + 1)(3 + a + 1)

b) d(d + 1) + 2(d + 1) =

= (d + 2)(d + 1)

c) 4(x - 1) - (x - 1)(x - 1) =

= (x - 1)(4 - x + 1) =

= (x - 1)(5 - x)

Resolução da atividade 3

a) 3b e 2c

b) (6ab + 3bd) = 3b(2a + d)

(4ac + 2cd) = 2c(2a + d)

c) (2a + d)

d) 3b(2a + d) + 2c(2a + d) =

= (3b + 2c)(2a + d)

e) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes tenham obtido o mesmo resultado.

Resolução da atividade 4

ab + ac - 2b - 2c =

= a(b + c) - 2(b + c)

Substituindo os valores dados:

a(b + c) - 2(b + c) =

= 3 . 5 - 2 . 5 = 15 - 10 = 5

Resolução da atividade 5

7x2(y - 2) - (y - 2) =

= (7x2 - 1)(y - 2)

Atividades

1 Fatore as expressões.

a) 2ax + 2bx + ay + by

b) x4 - 3x3 + 2x - 6

(a + b) (2x + y)

(x3 + 2) (x - 3)

c) 5x + 15 + 2xy + 6y

d) ab + b + a + 1

(x + 3) (5 + 2y)

(a + 1) (b + 1)

e) 5x3 - 8 - 4x2 + 10x

(x2 + 2) (5x - 4)

2 Decomponha os polinômios a seguir em fatores do 1? grau.

a) 3a + 3 + (a + 1)2

b) d 2 + d + 2(d + 1)

c) 4x - 4 - (x - 1)2

(a + 1) (3 + a + 1)

(2 + d) (d + 1)

(5 - x) (x - 1)

3 Observe a expressão a seguir. Para fatorá-la, faça o que se pede e responda à pergunta. 6ab + 3bd + 4ac + 2cd

Respostas no Manual do Professor.

a) Agrupem as duas primeiras parcelas e as duas últimas como indicado:

(6ab + 3bd) + (4ac + 2cd)

Quais são os fatores comuns desses agrupamentos?

b) Em seguida, fatore cada agrupamento.

c) Depois de fatorado, escreva o fator comum entre os agrupamentos.

d) Considerando esse fator comum entre os agrupamentos, fatore-os novamente.

e) Escreva o resultado obtido.

Agora, compare seu resultado com o dos colegas para verificar se chegaram à mesma resposta. Comente a respeito.

4 Sabendo que a = 3 e b + c = 5, calcule o valor numérico da expressão ab + ac - 2b - 2c

5 Transforme 7x2y - 14x2 - y + 2 em uma multiplicação.

5 (7x2 - 1) (y - 2)

Fatoração pela diferença de dois quadrados e trinômio quadrado perfeito

As expressões algébricas que resultam de produtos notáveis também podem ser fatoradas, já que representam identidades.

A diferença entre os quadrados de dois termos (a2 - b2) é o resultado do produto da soma pela diferença desses termos (a + b)(a - b).

Por isso, dizemos que (a + b)(a - b) é a forma fatorada de a2 - b2. Traduzindo, temos:

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

expressão fatorada expressão não fatorada

A diferença de quadrados dos dois termos é igual ao produto da soma pela diferença entre eles. Agora, observe essas duas identidades:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Podemos dizer que:

• (a + b)2 é a forma fatorada de a2 + 2ab + b2, pois (a + b)2 = (a + b)(a + b);

• (a - b)2 é a forma fatorada de a2 - 2ab + b2, pois (a - b)2 = (a - b)(a - b).

Assim, os trinômios quadrados perfeitos a2 + 2ab + b2 e a2 - 2ab + b2 podem ser fatorados como o quadrado da soma ou o quadrado da diferença de dois termos, respectivamente.

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Acompanhe algumas situações.

Vamos fatorar as seguintes expressões.

a) a2 - 9

a2 - 9 = a2 - 32 = (a + 3) . (a - 3)

b) 4x61 25 8 y 4x61 25 8 y = ()

Agora, em cada item, verifique se os trinômios são quadrados perfeitos. Em caso afirmativo, fatore-os.

a) x2 + 20x + 100

b) 25b2 + 8b + 1

Devemos verificar se há dois termos dos quais seja possível extrair as respectivas raízes quadradas. Em seguida, verificamos se o 3? termo é igual a duas vezes o produto das raízes quadradas dos dois termos de cada trinômio, precedido do sinal + ou -. Se isso ocorrer, o trinômio será um quadrado perfeito; caso contrário, não será.

a) x2 + 20x + 100

2 x 100 x 10

b) 25b2 + 8b +

Orientações

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EF09MA09

Após discutir os exemplos com os estudantes, sugira um tipo de jogo em que eles vão até a lousa e propõem uma fatoração para um colega resolver. Se o estudante escolhido não conseguir resolver, o estudante que propôs a fatoração ganha dois pontos e deve mostrar a fatoração para a turma. É importante que todos os estudantes proponham, pelo menos, uma fatoração a um colega. Os que não conseguirem resolver as fatorações propostas são desclassificados. Vence o estudante que ficar mais tempo jogando.

Portanto, x2 + 20x + 100 é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é (x + 10)2

Portanto, 25b2 + 8b + 1 não é um trinômio quadrado perfeito.

Qual termo deve ser acrescentado ao trinômio x2 + 8x + 25 para transformá-lo em um trinômio quadrado perfeito?

Da mesma forma que a situação anterior, vamos verificar a expressão se ela forma trinômio quadrado perfeito.

x2 + 10x + 25

2 x 25

2 x 5 x 5 10x

Como o terceiro termo é 8x, para obtermos 10x devemos acrescentar 2x ao trinômio x2 + 8x + 25 e, assim, será igual a (x + 5)2

Orientações

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Resolução da atividade 1

a) (a + 1) (a - 1)

b) (2a - 3b) (2a + 3b)

c)

Atividades

1 Fatore as expressões.

a) a2 - 1

(a + 1) (a - 1)

b) 4a2 - 9b2

pq 1 7

2 +

d) (x³ - 1)2

e) 3 x( a - 2 b) + y( a - 2 b) =

= (3x + y) (a - 2b)

f) b(a + 3) - 2(a + 3) = (b - 2) .

. (a + 3)

g) (5a - 2b) . (5a + 2b)

h) (2x - 4) . (2x + 4)

i) (t + 4)2

j) (ax - by)2

k) 2a2(a2 - 4b2) = 2a2(a + 2b) (a - 2b)

l) a3(a2 - 2a + 1) + 2(a - 1) =

= a3(a - 1)2 + 2(a - 1) =

= (a - 1) . [a3(a - 1) + 2] =

= (a4 - a3 + 2) . (a - 1)

Resolução da atividade 2

A = 972 - 872

A = (97 + 87) (97 - 87)

A = 184 10

A = 1 840 4 1 840 cm2

Resolução da atividade 3

a) xyxy 5 10 5 10 22+.-

b) (x2y - xy2)(x2y + xy2)

Resolução da atividade 4

a) Sim, pois x2 + 16x + 64 = x2 + + 2 8 x + 82 = (x + 8)2

b) Não, pois o trinômio deveria ser:

-+ Resolução da atividade 5

a) x2 + 5x + 16 x 2 16 x4 2 x 4 8x

Deve ser acrescentado 3x, para obter (x + 4)2 = x2 + 8x + 16.

b) 4a2 - 2 2a 6 + 62 =

= 4a2 - 24a + 36 =

= (2a + 6)2

4a2 - 14a - 10a + 72 - 36 =

= 4a2 - 24a + 36.

Deve-se adicionar +72 e retirar-se

(2a - 3b) (2a + 3b)

c) ++ 2 7 1 49 22ppqq

d) x6 - 2x3 + 1

e) 3ax - 6bx + ay - 2by

f) ab + 3b - 2a - 6

g) 25a2 - 4b2

h) 4x2 - 16

(3x + y) . (a - 2b)

(b - 2) (a + 3)

(5a - 2b) . (5a + 2b)

(2x - 4) (2x + 4)

i) t2 + 8t + 16

j) a2x2 - 2abxy + b2y2

(t + 4)2 (ax - by)2

k) 2a4 - 8a2b2

2a2(a + 2b)(a - 2b)

l) a5 - 2a4 + a3 + 2a - 2

(a4 - a3 + 2) . (a - 1)

2 O lado da folha de cartolina quadrada representada na figura a seguir mede 97 cm.

5 Qual termo deve ser acrescentado ou retirado para que eles sejam um trinômio quadrado perfeito? a) x2 + 5x + 16 b) 4a2 - 14a - 36

Deve ser adicionado 72 e retirado 10a

97 cm

Renato quer diminuir o tamanho dessa folha deixando um quadrado com 87 cm de lado. Que área Renato vai retirar dessa folha? Resolva a questão usando fatoração.

Respostas no Manual do Professor.

3 Transforme essas diferenças em multiplicações.

a) x4y225 100

b) x4y2 - x2y4

4 Usando fatoração, verifique se os trinômios a seguir são quadrados perfeitos.

a) x2 + 16x + 64 Sim.

b) 1 4 a4b2 - 8a3b + 25a2

Resolução da atividade 6

Designando de x e y os números, temos:

x + y = 4,8 e x - y = 2,4.

Multiplicando as duas equações, obtemos:

(x + y) (x - y) = 4,8 2,4 6 x2 - y2 = 11,52.

Resolução da atividade 7

Sim, pois podemos fatorar o trinômio como (2x + 5)2. Assim, o lado vale 2x + 5.

Na atividade 8, verifique se os exercícios elaborados atendem ao que é pedido no enunciado e se os estudantes estão trabalhando de forma colaborativa.

6 A soma de dois números é 4,8 e a diferença é 2,4. Qual é o valor da diferença dos quadrados desses dois números? 11,52

7 O trinômio 4x2 + 20x + 25 representa a área de um quadrado? Se a resposta for positiva, qual é a medida do lado desse quadrado? Sim. 2x + 5.

8 Em duplas, elaborem três exercícios de fatoração que envolvam a diferença de dois quadrados. Peçam a outra dupla que resolva suas questões e comparem as respostas.

Deve ser acrescentado 3x Produção pessoal.

9 De um quadrado cujo lado mede 7x, foi retirado um quadrado menor cuja medida do lado é 4.

Quais serão as dimensões de um retângulo cuja área é igual à da figura?

10 Para o trinômio x2 + 2x + 1, podemos fazer a interpretação geométrica a respeito de sua fatoração, conforme a seguir.

Resolução da atividade 9

A área do quadrado completo é 7x 7x = 49x2

A área retirada é: 4 4 = 16.

A área final é 49x2 - 16, que pode ser escrito como (7x + 4) (7x - 4). Portanto, essas são as dimensões do retângulo de área igual à da figura.

Resolução da atividade 10 encontra-se na próxima página.

Respostas no Manual do Professor.

a) Considere os trinômios x2 + 3x + 9 e x2 + + 4x + 3. Confirme se eles são trinômios quadrados perfeitos e faça a representação geométrica de cada um deles.

b) Considere o trinômio 16x2 - 16xy + 4y2

• Qual é o primeiro termo desse trinômio?

• Qual é o terceiro termo?

• Qual é a raiz quadrada de cada um desses termos?

• É possível afirmar que 16xy representa o dobro do produto das raízes quadradas?

• Esse é um trinômio quadrado perfeito?

• Escreva esse trinômio na forma fatorada e faça uma representação geométrica.

11 Considerando cada uma das figuras coloridas a seguir, determine as medidas dos lados de um retângulo que tenha a mesma área.

12 Sabendo que 5A + 4B = 3, calcule o valor de 20A + 16B + 1.

13 Sabendo que (x2 - y2) - (x - y)2 = 6 e y - x =-3, calcule o valor de y

14 O valor da expressão 2a3 - 2ab2 - a2b + b3, para a = 15 e b = 4, é um número:

a) maior que 500.

b) ímpar.

c) divisível por 8.

d) múltiplo de 3.

e) quadrado perfeito.

15 Reunidos em grupos, elaborem dois exercícios de fatoração por agrupamento. Depois, peçam a outro grupo que resolva suas questões, enquanto vocês resolvem as dele.

16 Reunidos em duplas, elaborem três exercícios de fatoração que envolvam a diferença de dois quadrados. Depois, troquem as atividades com outra dupla e as resolvam.

Considere a seguinte afirmação: “Todas as primas de Adriana têm olhos azuis”.

Indique a única conclusão correta utilizando apenas essa afirmação.

Afirmação III

I. Se Juliana é prima de Adriana, então Juliana não tem olhos azuis.

II. Se Alessandra tem olhos azuis, então ela é prima de Adriana.

III. Se Beatriz não tem olhos azuis, então ela não é prima de Adriana.

IV. Adriana, como suas primas, tem olhos azuis.

V. Todas as moças de olhos azuis são primas de Adriana.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA09

Resolução da atividade 10

a) O trinômio x2 + 3x + 9 não é um quadrado perfeito, pois, deveria ser x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

O trinômio x2 + 4x + 3 não é um quadrado perfeito, pois, deveria ser: x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

b) 16x2 - 16xy + 4y2

• 1? termo: 16x2 • 3? termo: 4y2

• As raízes quadradas são, respectivamente, 4x e 2y

• Sim.

• (4x - 2y)2

Resolução da atividade 11

Sim.

Dimensões:

434 Como

5 434 é maior do que 500.

Alternativa a

Nas atividades 15 e 16, verifique se os exercícios elaborados atendem ao que é pedido no enunciado e se os estudantes estão trabalhando de forma colaborativa.

Resolução de Lógico, é lógica!

I. É falso, pois se Juliana é prima de Adriana, ela precisa ter olhos azuis, conforme o enunciado.

II. Não é porque Alessandra tem olhos azuis que ela necessariamente será prima de Adriana.

III. Se Beatriz não tem olhos azuis, então ela necessariamente não é prima de Adriana.

IV. Não é possível afirmar que Adriana tem olhos azuis pelo enunciado.

V. O raciocínio é análogo ao item II. Portanto, a afirmação III é a única correta.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 2 e da competência específica 2

Olhos azuis possuem uma quantidade mínima de melanina.

Objetivos do capítulo

• Resolver equações polinomiais do 2? grau por diferentes métodos.

• Resolver sistemas de equações polinomiais do 2? grau.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2

Competências específicas

1 e 2

Habilidades EF09MA09

Foco nos TCTs

• Ciência e Tecnologia

Orientações

Em Para começar, dê um tempo para os estudantes resolver e depois discutir as estratégias adotadas. O procedimento para a solução dessa questão provavelmente será tentativa e erro, sendo que o número é 5, pois 52 + 2 5 = = 25 + 10 = 35.

Você pode expandir a ideia propondo outros valores, por exemplo, “o quadrado de um número adicionado a seu triplo é igual a 40” e “o quadrado de um número adicionado a seu quádruplo é igual a 45”. A proposta de cálculo mental favorece o desenvolvimento da competência específica 2

Equações polinomiais

do 2? grau

Como podemos descobrir mentalmente qual é o número natural cujo quadrado adicionado a seu dobro é igual a 35? Resposta pessoal; 5.

Equações polinomiais do 2 ? grau com uma incógnita

Considere a seguinte situação: a diferença entre o quadrado e o triplo de um número inteiro é igual a 108. Qual é esse número?

Representando por x o número inteiro, esse enunciado pode ser representado pela equação:

x2 - 3x = 108 ou x2 - 3x - 108 = 0

Portanto, para resolver essa situação, recaímos em uma equação polinomial do 2? grau, porque o termo de maior grau na equação tem grau 2. Chama-se equação polinomial do 2? grau na incógnita x toda equação redutível à forma ax 2 + bx + c = 0 em que a b e c são números reais e a q 0

A equação ax2 + bx + c = 0 tem três termos: termo independente termo em x; b é o coeficiente de x termo em x2; a é o coeficiente de x2

Quando uma equação polinomial do 2 ? grau está escrita na forma ax2 + bx + c = 0, dizemos que está na forma reduzida.

Se:

• b q 0 e c q 0, dizemos que a equação polinomial do 2? grau é completa;

• b = 0 e c q 0, b q 0 e c = 0 ou b = 0 e c = 0, a equação polinomial do 2? grau é incompleta

Veja alguns exemplos:

Equação polinomial do 2? grau abc

5x2 = 0 500equação incompleta x2 - 10 = 0 10 -10 equação incompleta

2 - x2 + 3x = 0 2 30equação incompleta

4x2 - 5x + 1 = 0 4 -5 1equação completa

As equações 5x3 + 2x = 0 e -x5 + 1x2 + 3x = 0 não são equações polinomiais do 2? grau.

Porque, se a for zero, a equação não terá o termo em x².

Por que o coeficiente a deve ser diferente de zero em uma equação do 2? grau?

Vamos acompanhar as seguintes situações.

Escreva na forma reduzida a seguinte equação:

(x + 3)2 - (2x + 1) (2x - 1) = 5x + 2

Para escrever a equação na forma reduzida, primeiro devemos desenvolver todos os produtos notáveis e, em seguida, associar os termos semelhantes.

(x + 3)2 - (2x + 1)(2x - 1) = 5x + 2

[x2 + 2 x 3 + 32] - [(2x)2 - (1)2] = 5x + 2

x2 + 6x + 9 - [4x2 - 1] = 5x + 2

x2 + 6x + 9 - 4x2 + 1 = 5x + 2

x2 + 6x + 9 - 4x2 + 1 - 5x - 2 = 0

-3x2 + x + 8 = 0

Portanto, a forma reduzida é -3x2 + x + 8 = 0.

Agora, vamos discutir para qual valor de m a equação (5 - m) x2 + 7mx - 3 = 0 não é do 2? grau.

Uma equação polinomial não será do 2? grau se o coeficiente de x2 for nulo. Assim, temos:

5 - m = 0 6 m = 5.

Portanto, a equação não é do 2? grau se m = 5.

Atividades

1 Identifique quais das equações abaixo são polinomiais do 2? grau.

a) 2x2 + x - 1 = 0

b) 4x - 1 = x + 3

c) x = x2

d) x + x2 = x2 + 4

e) -x3 + 1 =-x3 + 2x + x2

2 Escreva a equação polinomial do 2? grau cujos coeficientes são:

a) a = 4, b =-1 e c = 8

b) a =1 3 , b = 0 e c = 2

c) a = 3 , b = 1 e c = 0

3 Para qual valor de k a equação (7 + k) x2 - 2x + 9 = 0 não é do 2? grau?

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA09

Em Pense e responda, dê um tempo para que reflitam e percebam que se o coeficiente a for zero, a equação não terá termo em x2, portanto, não será uma equação do 2? grau.

Resolução da atividade 1

Para saber se as equações são do 2? grau, é importante observar se a ≠ 0. Isso acontece nos itens a, c e e

Os demais itens não são equações do 2? grau.

Na atividade 2, observe se os estudantes estão conseguindo escrever as equações com base na observação dos coeficientes. Peça a eles que comparem as equações com as de um colega e juntos façam os ajustes necessários em caso de divergência.

Resolução da atividade 3

Temos: (7 + k)x2 - 2x + 9 = 0.

Para que a equação não seja do 2? grau, o coeficiente do termo em x2 deve ser zero. Então fazemos:

4 Represente as seguintes frases por meio de uma equação na forma reduzida.

a) A área de um quadrado de lado medindo (x + 5) cm é igual a 400 cm2

b) Um retângulo, cuja medida do comprimento é o triplo da medida da largura, tem área igual a 12 cm2

c) A soma da terça parte do quadrado de um número inteiro mais oito é igual a 50.

d) Quais são os valores de a, b e c em cada um desses casos?

Resposta no Manual do Professor.

5 Escreva as equações polinomiais do 2? grau a seguir na forma reduzida.

a) (x - 4)2 + (x + 9)(x - 9) = 2 (x + 1)

b) (y + 3)2 - (y - 3)2 = (2y + 1)

7 + k = 0 6 k =-7.

Resolução da atividade 4

a) A =W2

(x + 5)2 = 400 6 x2 + 10x + 25 =

= 400 6 x2 + 10x - 375 = 0.

b) Largura: x; comprimento: 3x.

12 = x 3x 6 3x2 - 12 = 0.

c) Número inteiro: x; quadrado do número: x2; terça parte do quadrado do número: x 3 2

A expressão é: x 3 2 + 8 = 50 x 3 2 - 42 = 0.

d) Em a : a = 1; b = 10 e c =-375; em b: a = 3; b = 0 e c =-12; em c: a 1 3 = ; b = 0 e c =-42.

Resolução da atividade 5

a) x2 - 8x + 16 + x2 - 81 = = 2x + 2

2x2 - 10x - 67 = 0.

b) y2 + 6y + 9 - y2 + 6y - 9 = = 2y + 1

10y - 1 = 0. Não forma uma equação polinomial do 2? grau.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA09

Acompanhe com os estudantes a resolução das equações ax2 + c = 0 e evidencie que a fatoração é uma ferramenta que facilita chegar ao resultado desse tipo de equação e favorece o desenvolvimento da competência geral 2

Oriente os estudantes para que sempre, após encontrar o valor de x, verifiquem o resultado substituindo os valores encontrados na própria equação. Se ao substituir, o valor encontrado for diferente de zero, peça a eles que procurem onde erraram e façam as devidas correções.

Resolução de equações polinomiais do 2 ? grau por fatoração

Equações do tipo ax2 + c = 0

Resolver uma equação é encontrar suas raízes ou soluções. Observe algumas situações.

• Quais são as raízes da equação x2 - 25 = 0?

A equação x2 - 25 = 0 é uma equação incompleta, pois b = 0. Sendo a expressão x2 - 25 do primeiro membro uma diferença de dois quadrados, podemos realizar a fatoração.

Assim, temos: x2 - 25 = 0 6 x2 - 52 = 0 6 (x + 5)(x - 5) = 0.

Utilizando o fato de que, se um produto é igual a zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero, temos que x + 5 = 0 ou x - 5 = 0.

Daí vem:

Verificação

• Para x =-5: (-5)2 - 25 = 0 25 - 25 = 0 0 = 0 (verdadeira)

Portanto, as raízes são -5 e 5.

• Agora, vamos calcular as raízes da equação 2x2 - 15 = 0.

A equação 2x2 - 15 = 0 é uma equação incompleta, pois b = 0. Colocando 2 em evidência no primeiro membro, obtemos:

15

Dividindo os dois membros da equação por 2, obtemos: x215 2 = 0.

Transformando o 1? membro da equação em uma diferença de dois quadrados, temos:

Se o produto é zero, pelo menos um dos fatores é zero, logo:

Equações do tipo ax2 + bx = 0

Vamos verificar algumas situações.

• O triplo do quadrado de um número adicionado oito vezes a esse número é igual a zero. Qual é esse número?

Simbolizando esse número por x, o enunciado pode ser representado pela equação incompleta 3x2 + 8x = 0, pois c = 0.

Fatorando o 1? membro da equação 3x2 + 8x = 0, teremos: x (3x + 8) = 0. Como o produto é zero, pelo menos um dos fatores é zero. Então, x = 0 ou 3x + 8 = 0.

3x - 8 = 0 6 x =8 3

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA09

•

Após a explicação sobre as equações do tipo ax2 + bx = 0, solicite aos estudantes que se juntem em duplas e criem três dessas equações para que um resolva a questão do outro e depois destroquem, a fim de corrigi-las. Durante as atividades, observe se os estudantes são respeitosos e empáticos com os colegas, em especial com aqueles que não conseguirem resolvê-las. Incentive os que forem bem-sucedidos a auxiliar aqueles que tiverem mais dificuldade.

Portanto, os números que são soluções da equação são 0 e8 3

• Agora, vamos calcular quais são as soluções da equação -3x2 + 10x = 0.

Nessa equação, o coeficiente do termo x2 é negativo (a =-3).

Portanto, para facilitar o cálculo das soluções da equação, vamos obter uma equação equivalente multiplicando os dois membros por -1. Veja:

-3x2 + 10x = 0 (-1) 6 3x2 -10x = 0

Em seguida, fatoramos o primeiro membro colocando x em evidência: x (3x -10) = 0 Daí vem: x = 0 ou 3x - 10 = 0

=

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

4x2 = 0 6 x2 = 0 6 x = 0

b) x2 = 4 6 x =+2 ou x =-2 c) -=6=+=-xxx

Atividades

1 Calcule as raízes das equações.

a) 4 5 0 2 x =

b) x2 - 4 = 0

c) x21 4 = 0

d) x2 - 0,01 = 0

2 Determine as soluções das equações.

a) x2 + 3x = 0

b) 3x2 - 15x = 0

Resolução da atividade 2

a) x ( x + 3) = 0 6 x = 0 ou x + 3 = 0 6 x =-3

b) 3x(x - 5) = 0 6 3x = 0

x = 0 ou x - 5 = 0 6 x = 5

c) x ( x + 1) = 0 6 x = 0 ou

x + 1 = 0 6 x =-1

Resolução da atividade 3

aa53 3 9 3 14 7 2 + -= -

aa56 3 14 7 2= -

7(5a -6) = 3(a2 -14)

35a - 42 = 3a2 - 42

3a2 -35a = 0 6 a(3a - 35) = 0

a = 0 ou 3a - 35 = 0

a = 35 3

Resolução da atividade 4

A equação procurada é:

2x + x2 = 48.

Como o enunciado fala em número natural e o resultado é 48, temos de buscar um número cujo quadrado seja menor do que 48, então, pode ser: 2, 3, 4, 5 ou 6. Fazendo as substituições, obtemos que o número desejado é 6, pois: 2 6 + 62 =

= 12 + 36 = 48.

Resolução da atividade 5

Pelo enunciado, temos:

x2 = 8 5x 6 x2 - 40x = 0

x(x - 40) = 0

x = 0 ou x - 40 = 0 6 x = 40

Como a medida não pode ser nula, temos que x = 40.

Resolução da atividade 6

Seja x: lado do quadrado.

c) x2 + x = 0

3 Para qual valor de a a igualdade se torna verdadeira?

53 3 3 14 7 2aa + -= -

4 A soma do dobro de um número natural e seu quadrado é 48. Qual é esse número?

5 As medidas das áreas do quadrado laranja e do retângulo roxo, mostrados nas figuras seguintes, são iguais. Determine, em centímetros, o valor de x

6 A área da região colorida da figura tem o mesmo valor numérico do perímetro, em metros, do quadrado ABCD

Qual é a medida do lado do quadrado ABCD?

Equação do tipo ax2 + bx + c = 0

Acompanhe algumas situações que envolvem a resolução por meio da fatoração de uma equação polinomial do 2? grau.

• Encontre as raízes da equação x2 - 10x + 25 = 0. Nessa situação, o primeiro membro da equação é um trinômio quadrado perfeito. Fatorando o 1? membro da equação, obtemos a seguinte equação equivalente à inicial: x2 - 10x + 25 = 0 6 (x - 5)2 = 0

Sabemos que, se um número elevado ao quadrado é igual a zero, podemos afirmar que esse número é zero:

22

xxxxxx 4

88 0

Agora, vamos encontrar a solução da equação x2 + 10x - 39 = 0.

Observe que x2 + 10x - 39 não é um trinômio quadrado perfeito.

Para obter um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro da equação, primeiro transportamos -39 para o segundo membro da equação:

x2 + 10x - 39 = 0 6 x2 + 10x = 39

quadrado de x 2 x 5

Podemos observar que as parcelas do trinômio, para ser quadrado perfeito, precisam ser x e 5. Por isso, adicionamos 25 ao primeiro membro, pois 52 = 25, e, para não alterar a igualdade, também adicionamos 25 ao segundo membro. quadrado de 5

x2 + 10x + 25 = 39 + 25

trinômio quadrado perfeito

6 x2 + 10x + 25 = 64

6 (x + 5)2 = 64

Sabendo que (x + 5) elevado ao quadrado é igual a 64, podemos afirmar que:

x + 5 =+ 64 ou x + 5 =- 64

Resolvendo essas equações, temos:

• x + 5 =  64 +6 x + 5 = 8 6 x = 8 - 5 6 x = 3

• x + 5 =- 64 6 x + 5 = 8 6 x =-8 - 5 6 x =-13

Portanto, as soluções da equação são -13 e 3.

Faça mentalmente a verificação dessas soluções.

• Agora, considere a equação x23 5 x + 1 5 = 0. Quais são as raízes desta equação?

Como o primeiro membro da equação não é um quadrado perfeito e o dobro do primeiro termo pelo segundo termo é 3 5 , pois 2 3 10 3 5 xx = , o segundo termo é 3 10 , que, elevado ao quadrado, fica

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA09

Antes de apresentar a resolução proposta nessa página, retome com os estudantes o trinômio do quadrado perfeito e peça a eles que façam a associação das equações apresentadas, tentando identificar como poderiam transformá-las no quadrado da soma ou no quadrado da diferença entre dois termos.

Em Pense e responda, observe se os estudantes estão conseguindo fazer mentalmente a verificação dos resultados.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 2

Adicionando 9 100 aos dois membros da equação, obtemos:

o resultado nunca será negativo e, por isso, não existe x que satisfaça essa equação. Portanto, não existe valor real para x

• Para finalizar, vamos calcular as raízes da equação x2 - 2x - 1 = 0.

Orientações

Atividades

1 Resolva as equações.

a) a2 + 4a + 4 = 0

b) x2 - 6x + 9 = 0

c) 36x2 - 12x + 1 = 0 d) x(x - 2) + 3(x - 1) = 27

2 Calcule as soluções das equações em R

a) x2 + 4x = 5

b) x2 + 2x + 7 = 0

c) x2 + 4x - 1 = 0

3 A diferença entre o quadrado e o dobro de um número inteiro é igual a 35. Qual é esse número?

4 Um homem tinha 36 anos quando nasceu seu filho. Multiplicando-se as idades deles hoje, obtém-se 4 vezes o quadrado da idade do filho. Determine a idade atual do pai e do filho.

5 Observe a resolução da equação a seguir.

c)

(

x2 - 10x + 24 = 0

x2 - 10x + 24 + 1 = 1

x2 - 10x + 25 = 1

(x - 5)2 = 1

x - 5 = 1

x = 6

A resolução apresenta um erro em umas das etapas. Identifique esse erro e o corrija.

O filho tem 12 anos, e o pai, 48. Resposta no Manual do Professor.

No século IX, o matemático árabe al-Khwarizmi descobriu um método geométrico para resolver equações do 2? grau – o método de completar quadrados

Para analisá-lo, vamos resolver a equação x2 + 10x = 39.

Representamos o quadrado do número (x2) como a área de um quadrado de lado x. Depois, representamos o termo 10x como a soma das áreas de dois retângulos de lados 5 e x, pois 5x + 5x = 10x

Em seguida, reunimos esses dois retângulos sobre os lados do quadrado de lado x e completamos um quadrado maior (de lado medindo x + 5), acrescentando outro quadrado de lado 5 e área 25.

A área do quadrado maior obtido é 64, pois equivale a 39 + 25. Então, podemos afirmar que a medida do lado desse quadrado é 8.

Assim, teremos: x + 5 = 8 6 x = 8 - 5 6 x = 3

Portanto, pelo método geométrico de al-Khwarizmi, a solução da equação x2 + 10x = 39 é 3.

Por esse método, al-Khwarizmi só obtinha a raiz positiva da equação, pois x representava a medida do lado de um quadrado, que deve ser sempre um número positivo.

a) Há outra solução para essa equação? Se houver, indique-a.

b) Resolva a equação a seguir usando o método de al-Khwarizmi.

x2 + 6x = 16 2

Resolução da atividade 4

Tomaremos a idade do pai como x e a idade do filho como

y = x - 36

x (x - 36) = 4(x - 36)2

4(x - 36)2 - x(x - 36) = 0

x - 36) [4(x - 36) - x] = 0

(x - 36) (3x - 144) = 0

x = 36 ou 3x - 144 = 0 6 x = 48

O pai tem 48 anos e o filho tem 12 anos (48 - 36 = 12).

Resolução da atividade 5

O erro está na penúltima passagem:

x - 5 =y 1, de modo que:

Resposta pessoal.

x - 5 = 1 6 x = 6 ou x - 5 =-1 6 x = 4.

Resolução do Viagem no tempo

a) Sim, se considerarmos que y 64 8 =y , temos:

x + 5 = 8 6 x = 3 ou x + 5 =-8 6 x =-13.

b) Pelo método citado, não se considera a raiz negativa da equação.

x2 + 6x = 16 6 x2 + 6x - 16 + 25 = 25 6 x2 + 6x +

+ 9 = 25 6 (x + 3)2 = 52 6 (x + 3) = 5 6 x = 2

O texto apresentado favorece o desenvolvimento da competência específica 1

Fórmula resolutiva de uma equação polinomial do 2 ? grau

Agora, vamos demonstrar uma fórmula matemática para resolver qualquer equação do 2? grau com uma incógnita, obtida pelo método de completar quadrados.

Para isso, consideremos a equação ax2 + bx + c = 0, em que a q 0. Observe os passos a seguir.

1. Dividimos por a os dois membros da equação para tornar o coeficiente de x2 igual a 1.

+ bx + c =

2. Isolamos os termos com a incógnita no 1? membro da equação.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade competência específica 1

3. Para transformar o 1? membro da equação em um trinômio quadrado perfeito, tomamos a metade do coeficiente de x e elevamos ao quadrado.

A fórmula apresentada no fim da página também é conhecida como fórmula de Bhaskara. A título de curiosidade, você pode informar aos estudantes que, por mais que a fórmula leve o nome do professor, astrólogo, astrônomo e matemático indiano Bhaskara Akaria (1114-1185), existem registros babilônicos de aproximadamente 4 mil anos antes do próprio Bhaskara. A diferença é que naquela época não existia Álgebra e, por isso, as contas eram escritas em forma de poesia ou textos por extenso.

4. Em seguida, adicionamos

aos dois membros da equação.

5. Fatoramos a expressão do 1? membro escrevendo-a como o quadrado de um binômio.

6. Extraímos a raiz quadrada dos dois membros da equação.

7. Isolamos x no primeiro membro da equação.

Assim, chegamos à fórmula resolutiva da equação do 2? grau:

A expressão b2 - 4ac é um número real, geralmente representado pela letra grega D (delta), chamada de discriminante da equação

Orientações

Solicite aos estudantes que leiam o desenvolvimento da situação apresentada. Em seguida, chame um deles para replicar a resolução na lousa (onde devem estar apenas a figura e os dados do problema). Nesse momento, aproveite para verificar quais estudantes estão conseguindo acompanhar o conteúdo e aqueles que estão apresentando dúvidas e aproveite para saná-las.

Usando essa letra, a fórmula resolutiva da equação do 2? grau passa a ser escrita da seguinte maneira: = -yD 2 x b a

A expressão b2 - 4ac “discrimina” o número de raízes da equação.

Embora não tenha sido desenvolvida pelo matemático hindu Bhaskara (1114-1185), a fórmula resolutiva da equação do 2? grau é conhecida por fórmula de Bhaskara.

Assim, se a equação ax2 + bx + c = 0, com a q 0, tem Dl 0, então:

2 x b a = -yD

Quando D< 0, a equação não admite raízes reais.

Acompanhe a seguinte situação.

A soma das medidas das áreas dos três quadrados representados ao lado é igual a 174 m2. Calcule, em centímetros, o valor de x

Observando a figura, temos que o lado do quadrado maior mede (x + 3) cm e o lado do quadrado menor, (x + 3 - 5) cm = (x - 2) cm. Adicionando as medidas das áreas desses três quadrados, temos: x2 + (x + 3)2 + (x - 2)2 = 174

Daí, vem: x2 + x2 + 6x + 9 + x2 - 4x + 4 = 174 6 3x2 + 2x - 161 = 0

Nessa equação, temos: a = 3, b = 2 e c =-161

Resolvendo a equação, temos: D= b² - 4ac 6D= 2² - 4 . 3 . (-161) 6D= 1 936

Como 1 93644,D== então:

Como x representa a medida de um comprimento, a solução não pode ser o número negativo 23 3 -

Portanto, o valor de x é igual a 7 cm.

• Agora, vamos determinar as raízes reais da equação 1,5x2 + 0,1x = 0,6.

Escrevendo a equação na forma reduzida, temos: 1,5x2 + 0,1x - 0,6 = 0.

Na equação, temos: a = 1,5, b = 0,1 e c =-0,6.

Resolvendo a equação, encontramos:

Equações quadráticas

A palavra “álgebra” veio do título de um livro escrito em árabe em torno do ano 825. O autor, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, nasceu provavelmente no que é agora o Uzbequistão. Ele viveu, entretanto, em Bagdá, onde o califa tinha estabelecido uma espécie de academia de ciências chamada “A Casa da Sabedoria”. Al-Khwarizmi era um generalista; escreveu livros sobre Geografia, Astronomia e Matemática. Mas seu livro sobre álgebra é um dos mais famosos. O livro de Al-Khwarizmi começa com uma discussão de equação quadrática. De fato, ele considera um problema específico:

Um quadrado e dez raízes dele são iguais a trinta e nove dirhems. Quer dizer, quanto deve ser o quadrado, o qual, quando aumentado por dez de suas próprias raízes, é igual a trinta e nove?

Se chamarmos a incógnita de x, poderemos chamar o “quadrado” de x2. Agora, uma “raiz desse quadrado” é x, de modo que dez raízes do quadrado é 10x. Usando essa notação, o problema se traduz na resolução de x2 + 10x = 39. Mas o simbolismo algébrico ainda não tinha sido inventado, de modo que tudo que al-Khwarizni poderia fazer era dizer isso em palavras. Na tradição dos professores de Álgebra, honrada em toda parte, ele sentiu o problema como uma espécie de receita para sua solução, novamente descrita em palavras:

A solução é a seguinte: você divide o número de raízes por dois, o que, no caso presente, fornece cinco. Isso você multiplica por si mesmo; o produto é vinte e cinco. Some isso a trinta e nove; a soma é sessenta e quatro. Agora, tome a raiz disso, que é oito, e subtraia disso a metade do número de raízes, que é cinco; o resto é três. Essa é a raiz do quadrado que você procurava; o próprio quadrado é nove. Aqui estão os cálculos com os nossos símbolos:

x 5395 2539 58 53 2 =+-=+-=-=

Não é difícil ver que isso é basicamente a fórmula quadrática como a conhecemos atualmente. Para x2 + bx = c, al-Khwarizmi usou a regra:

Orientações

O texto apresentado em Viagem no tempo contribui para o desenvolvimento da competência específica 1 Observe se os estudantes respondem corretamente à questão proposta.

A maior diferença entre isso e a fórmula moderna é que consideraríamos ambas as raízes quadradas positivas e negativas. Mas, tomando a raiz quadrada negativa, obteríamos um valor negativo para x. Os matemáticos daquela época não acreditavam em números negativos; a raiz positiva era a única para as quais eles se atentavam. Também colocamos a parte “-b” no início. Contudo, isso significaria novamente um número negativo, de modo que ele prefere colocá-lo no fim, como uma subtração.

[...]

Finalmente, ele escreve a equação com o c no lado direito, enquanto nós a escrevemos como x2 + bx - c = 0.

Se pusermos o “-b” na frente, adicionamos à raiz, lembrarmos de considerar o sinal do c e fizermos um pouco de álgebra, a fórmula dele se torna a nossa [...]

BERLINGHOFF, William P.; GOUVÊA, Fernando Q. A Matemática através dos tempos: um guia fácil e prático para professores e entusiastas. São Paulo: Edgard Blücher, 2008. p. 131-132.

1 Qual é a raiz negativa da equação x2 + 10x - 39 = 0? -13

Orientações

Atividades

1 Resolva as equações:

a) 90 diagonais? 15 lados

b) 5 diagonais? 5 lados

7 A soma dos quadrados de dois números inteiros consecutivos é 113. Determine-os.

8 Escreva o enunciado de um problema que possa ser resolvido pela equação x² = 5(x + 9).

3 Resolva as equações:

4 A diferença entre o

e o triplo de um número inteiro é igual a 28.

5 Uma loja especializada em jardinagem prepara e vende, semanalmente, x sacos de fertilizante para floricultura por (50 - 0,5x) reais cada saco. Quantos sacos devem ser vendidos para que o valor obtido com essa venda seja de R $ 1.250,00?

6 O número de diagonais de um polígono é dado por D = (3)  2 nn, em que D é o número de diagonais e n, o número de lados.

lado

Quantos lados tem o polígono de:

x 3

5 x 3

AB 5

9 A área do quadrado ABCD é igual a 121 cm2 Qual é o valor de x? As medidas estão indicadas em centímetros. D C

10 O peso P a uma altura h de uma pessoa que está acima da superfície da Terra satisfaz a relação

r rh + P0, em que P0 é o peso ao nível do mar e r, o raio da Terra (aproximadamente 6 400 km). Em que altitude uma pessoa deve estar para que seu peso seja a metade do peso que tem ao nível do mar?

11 A soma dos quadrados de três números naturais ímpares consecutivos é 83. Quais são esses números?

12 (FAUEL-PR) Assinale a alternativa que traga uma afirmação correta da maior das soluções da equação: x2 + 2x - 15 = 0

a) é impar

b) é negativo

c) é múltiplo de 4

d) é um quadrado perfeito

e) é igual a zero Alternativa a

Respostas no Manual do Professor.

Relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação polinomial do

Consideremos a equação do 2? grau ax2 + bx + c =

2 ? grau

Vamos calcular a soma e o produto dessas raízes. •

Qual é a soma e o produto das raízes da equação

Acompanhe as situações a seguir.

• Determine a soma e o produto das raízes da equação

resolutiva.

Na

A soma das raízes é 2 e seu produto é -6.

• Agora, considere a equação (m - 3)x2 - 4mx + 1 = 0. Determine o valor de m para que a soma das raízes dessa equação seja igual a seu produto.

Na equação, temos: a = m - 3, b =-4m e c = 1.

Chamamos as raízes de x1 e x2. Então, temos:

Sabemos que em uma equação do 2o grau o coeficiente a deve ser diferente de zero, daí concluímos que m q 3. Logo:

Se x = 7, então x + 1 = 8

Se x =-8, então x + 1 =-7

Os números são: 7 e 8 ou -8 e -7. Resolução da atividade 8 Sugestão de resposta: O quíntuplo da soma de um número com 9 é igual ao quadrado desse número.

Resolução da atividade 9

(3x + 5)2 = 121 x 35 121 +=y

3x + 5 =y11

x = 2 ou

x =16 3 não serve.

Nesse caso, a raiz negativa é desprezada, então, x = 2. Resolução da atividade 10

Substituindo os dados na equação:

Orientações

Resolução da atividade 1

a) S == () 13 1 13 e P == 42 1 42

b) S P

= =-=-

5 6  e 4 6 2 3

Resolução da atividade 2

a) S = 5 e P = 6, portanto, as raízes

são 2 e 3, pois 2 + 3 = 5 e 2 . 3 = 6.

b) S = 2 e P = 1, portanto, as raízes

são 1 e 1, pois 1 + 1 = 2 e 1 1 = 1.

c) S =-6 e P = 8, portanto, as raízes são -2 e -4, pois:

-2 - 4 =-6 e (-2) (-4) = 8.

Resolução da atividade 3

10x2 + 33x + 7 = 0

S =-=b a 33 10 = x 1 + x 2

P = c a 7 10 == x1 x2

Substituindo na expressão dada, temos: 4 33 10 3 7 10 132 10

Atividades

1 Determine a soma e o produto das raízes das equações sem resolvê-las.

a) x2 - 13x + 42 = 0

b) 6x2 - 5x - 4 = 0

S = 13 e P = 42.

S = 5 6 e P = 2 3 -

2 Calcule a soma e o produto das raízes das equações a seguir e, depois, descubra mentalmente suas raízes.

a) x2 - 5x + 6 = 0

b) x2 - 2x + 1 = 0

c) x2 + 6x + 8 = 0

S = 5 e P = 6. Raízes: 2 e 3.

S = 2 e P = 1. Raízes: 1 e 1.

S =-6 e P = 8. Raízes: -2 e -4.

3 Sejam x1 e x2 as raízes da equação 10x2 + 33x + 7 = 0, qual é o número inteiro mais próximo do número 4 . (x1 + x2) . 3x1x2?

28

4 Considerando m q 1, calcule o valor de m na equação (m - 1)x2 + 8x - 3 = 0 para que o produto das raízes seja 5.

5 Sabendo que x1 e x2 são as raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, calcule o valor de 11 12 xx +

6 Calcule o valor de k na equação x2 - 9x + k = 0, de modo que x1 = x2 + 5 e que x1 e x2 sejam as raízes da equação do 2? grau.

k = 14.

7 Ache o valor de a na equação x2 - ax + 147 = 0 para que uma raiz seja o triplo da outra.

8 Sem resolver a equação 5x2 + 22x - 15 = 0, responda:

a) As raízes têm o mesmo sinal? Por quê?

b) Qual é o sinal da raiz de maior módulo? Por quê?

Não. Porque o produto é negativo. Positivo, porque a soma é positiva.

Portanto, o número inteiro mais próximo é -28.

Resolução da atividade 4

P = c am 3 1 == x1 x2 m 5 3 1 =-

5(m - 1) =-3

5 m - 5 =-3

m = 2 5

Resolução da atividade 5

Temos que: xx xx xx S P 11 12

+= + . = (*)

21 12

Se x2 - 27x + 182 = 0, temos que:

S = 27 = x2 + x1 e P = 182 = x1 . x2

Substituindo em (*), obtemos: 27 182

Resolução da atividade 6

x1 + x2 = 9 e x1 = x2 + 5

x1 + x2 = 9 6 x2 + 5 + x2 = 9

2x2 = 4 6 x2 = 2

Como x2 = 2, então:

x1 + x2 = 9 6 x1 + 2 = 9 6 x1 = 7

Sendo k = x1x2, concluímos que:

k = x1x2 6 k = 2 . 7 = 14

Logo k = 14.

9 Os números p e q são as raízes da equação x2 - 2mx + m2 - 1 = 0. Calcule o valor de p2 + q2

2m2 + 2

Equação biquadrada

Observe a equação:

6x4 + 11x2 - 35 = 0.

Note que a incógnita x tem apenas expoentes pares. Como o maior expoente de x é 4, essa equação é do 4? grau e recebe o nome de equação biquadrada As equações a seguir não são biquadradas.

x4 - 5x3 + 2x2 - 5 = 0, 5x4 + x3 - 1 = 0 e 2x4 - x = 0

Para resolver uma equação biquadrada, podemos usar um artifício: mudamos a incógnita para obter uma equação do 2? grau.

x4 = (x²)², por isso o nome “biquadrada”.

Resolução da atividade 7

x2 - ax + 147 = 0 e x1 = 3 x2

Substituindo x1, temos:

xxx 147 3497 2 2 2 2 2 =6=6=y

Observe o exemplo. Vamos resolver a equação x4 - 5x2 + 4 = 0. Primeiro, mudamos a incógnita fazendo x2 = y. Temos, então:

x4 - 5x2 + 4 = 0 6 (x2)2 - 5x2 + 4 = 0 6 y2 - 5y + 4 = 0.

Partindo de p + q = 2m, temos: (p + q)2 = (2m)2 6 p2 + 2pq + q2 = 4m2

Substituindo m2 - 1 = pq, temos:

p2 + 2(m2 -1) + q2 = 4m2

p2 + q2 = 4m2 - 2 (m2 -1)

=.=.===-

xxx 33 721ou3 721

12 1 ()

aa 72128 ou 72128=+===-

Resolução da atividade 8

a) Não, porque o produto é negativo, -15.

b) O sinal é positivo, pois a soma é positiva, + 22.

Resolução da atividade 9

2m = p + q e m2 - 1 = p . q

p2 + q2 = 2m2 + 2

Depois, resolvemos em y a equação do 2? grau obtida: y2 - 5y + 4 =

Sabendo que a = 1, b =-5 e c = 4, temos:

D= b2 - 4ac 6D= (-5)2 - 4 1 4 6D= 9

Por último, voltamos à incógnita x:

44  2 ou 2 ou 11 1 ou 1

Portanto, as raízes são: -2, -1, 1 e 2. Note que essa equação apresenta quatro raízes reais.

1 Determine, em R, o conjunto-solução das equações.

a) x4 - 7x2 + 12 = 0

b) 3x4 - 6x2 = 0

c) (a2 - 4)2 = 9

2 Encontre as raízes reais das equações abaixo.

a) x4 - 25x2 = 0

b) y4 - y2 = 0

3 Resolva as equações a seguir.

a) (m + 2) (m - 1) (m2 + 1) = 10 + m(m2 + 1)

b) 4(a2 + 1) - 45 =-(a2 + 1)2

4 A figura ao lado é formada por dois quadrados: um de lado x2 e outro de lado x. Sabendo que a área total da figura é 272 cm2, calcule a medida do lado de cada quadrado.

5 As medidas da base e da altura de um triângulo isósceles, em centímetros, são expressas por (x2 + 4) e (x2 + 1), respectivamente.

Sabendo que a área desse triângulo é 740 cm², calcule as medidas, em centímetros, dos lados desse triângulo.

6 Adicionando 8 unidades à quarta potência de um número positivo, obtemos nove vezes o quadrado desse número. Qual é esse número?

7 Mostre que as

8 Qual é a maior raiz inteira da equação 16(x + 1)4 - 25(x + 1)² + 9 = 0?

Orientações

Resolução da atividade 1

a) Fazendo x2 = y, temos: y2 - 7y + 12 = 0.

Como S = 7 e P = 12, as raízes são y = 3 e y = 4.

Para y = 3 6 x =y 3 ; para y = 4 6 x =y 2.

Portanto, x = 2 e y = 4 ou x =- 2 e y = 4 ou

xyxy 3  e  3 ou  3  e  3=-===

b) x2(3x2 - 6) = 0 6 x = 0 ou x = 2 ou x =- 2

c) (a2 - 4)2 = 9 6 (a2 - 4) =y 3

(a2 - 4) = 3 6 a2 = 7 6 a =y 7

(a2 - 4) =-3 6 a2 = 1 6 a = 1 ou a =-1

Resolução da atividade 2

a) x2 (x2 - 25) = 0 6 x = 0 ou x =y5

b) y2(y2 - 1) = 0 6 y = 0, ou y = 1, ou y =-1

Resolução da atividade 3

a) Ao simplificar, obtemos: m4 - m2 -12 = 0.

Se m2 = x, temos: x2 - x - 12 = 0

2[(-1)2 - 6(-1)³]

14 = 14 6-1 é raiz da equação.

Sendo x = 1, temos:

[(1)2 - 6(1)]2 - 35 = 2[(1)2 - 6(1)³] -10 =-10 6 1 é raiz da equação.

Resolução da atividade 8

Fazendo a substituição indicada, temos:

16y2 - 25y + 9 = 0 e

D=-49 y yy

25 49 2   16 1ou  9 16

() = y == (x + 1)2 = 1 6 x = 0 ou x =-2

x xx

() = y ==-

149 2 4ou3

D= 49 e x xx

() = y ==-

149 2 4ou3

Desprezamos a raiz negativa, então, m2 = 4 6 m =y 2.

A maior raiz inteira é 0.

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA09

Em um primeiro momento, explique o conteúdo usando frutas e fazendo uma brincadeira conforme as ilustrações abaixo.

= 30 = 18 = 2 = ?

A resposta desse sistema será: maçã = 10; banana = 4, coco = 1, e a resposta final será coco + maçã + + banana = 1 + 10 + 4 = 15. Verifique se os estudantes percebem que a representação de dois cocos é diferente da representação de um coco.

Resolução da atividade 1

a) Considerando

Sistema de equações

Acompanhe a situação a seguir.

O perímetro de um retângulo é 32 cm e sua área é 60 cm2. Quais são as dimensões desse retângulo?

Chamando as dimensões do retângulo da figura de x e y, podemos determinar as expressões do perímetro e da área:

• Perímetro: x + x + y + y = 2x + 2y

• Área: x . y Logo, obtemos o sistema

ao dividir os dois membros da 1; equação por 2, temos:

4 + y4 = 5y2 6 y4 - 5y2 + 4 = 0

Substituindo y2 = t

t2 - 5t + 4 = 0

Temos que S = 5 e P = 4, portanto, as raízes são t = 1 ou t = 4.

y2 = t 6 y =y 1 ou y =y 2

Para y =y 1 6 x =y 2

Para y =y 2 6 x =y 1

Então, temos que as raízes do sistema são: (x, y) = (1, 2); (-1, -2); (2, 1) ou (-2, -1).

b) Sendo b = a 6 , temos que:

6 + a2 = 5a 6 a2 - 5a + 6 = 0.

Temos que S = 5 e P = 6, portanto, as raízes são a = 2 e a = 3.

Então, b = a 6 , temos:

b = 3 ou b = 2

As raízes do sistema são: (x, y) = (2, 3) ou (3, 2).

Resolução da atividade 2

O sistema que descreve o problema é:

xy 35 12 .= +=

Considerando que a soma das raízes é 12 e o produto 35, temos que as raízes do sistema são 7 e 5, portanto, (x, y) = (7, 5) ou (5, 7).

• Se x = 10:

+ y = 16 6 10 + y = 16 6 y = 6

Atividades

1 Resolva, em R, os sistemas a seguir.

(x, y) = (-1, -2), (-2, -1), (2, 1) ou (1, 2).

2 Decomponha o número 35 em dois fatores, tais que sua soma seja 12.

y =

y = 10 Note que encontramos um único retângulo, cujas dimensões são 10 cm e 6 cm.

(a, b) = (3, 2) ou (2, 3).

(x, y) = (5, 7) ou (7, 5).

3 O pátio de uma escola é formado por duas partes quadradas, conforme o esquema abaixo. Uma das partes tem lado de medida a e outra de medida b, em metros.

a) O que representa a sentença 4a + 2b = 130?

b) A área desse pátio é 850 m². Calcule a e b

Resolução da atividade 3

a) A expressão representa o perímetro do pátio.

b) Com os dados do problema, podemos compor o sistema:

2+ =65 850

E da 1a equação fazemos: b = 65 - 2a Substituindo na 2a equação, temos:

2 + (65 - 2a)2 = 850

+ 3 375 = 0 (: 5)

O perímetro do pátio.

Podemos ter (a, b) = (25, 15) ou (27, 11).

a2 - 52a + 675 = 0

∆ = (-52)2 - 4 1 675 = 2 704 - 2 700 = 4 = y = y 6== () aaa 52 4 2  52 2 2 27 ou  25

Como b = 65 - 2a, temos:

Para a = 27, b = 11.

Para a = 25, b = 15.

Então, as soluções para o sistema são: (27, 11) ou (25, 15).

Reinaldo Vignati

5 Na figura, a área do retângulo ABCD é 60 m2 e a área do retângulo DEFG é 8 m2. Calcule as dimensões a e b indicadas na figura.

Como ab = 8, temos: Para b = 2, a = 4; para b

6 Um pai disse ao filho: “Hoje, a minha idade é o quadrado da sua, mas daqui a 10 anos a minha idade excederá a sua em 30 anos”. Quais são as idades do pai e do filho?

A idade do pai é 36, e a do filho, 6.

7 Um grupo de pessoas decidiu comprar um computador que custa R$ 3.250,00. Todas elas contribuiriam com quantias iguais. Depois dessa decisão, outras três pessoas juntaram-se ao grupo e, desse modo, a cota de cada uma foi reduzida em R$ 75,00.

a) Quantas pessoas havia no grupo?

b) Quanto foi a cota de cada uma?

8 Elabore um problema para o sistema a seguir e resolva-o.

(ORM-SC) Pinho, Danilo, Fernando, Eliezer e Felipe disputaram uma prova de atletismo. Consideremos que:

• Felipe chegou antes de Pinho e Fernando;

• Eliezer chegou antes de Felipe;

• Danilo chegou depois de Fernando;

• Danilo não foi o último a chegar.

As medalhas de ouro, prata e bronze deverão ser entregues, respectivamente, a:

a) Eliezer, Felipe e Fernando.

b) Eliezer, Felipe e Pinho.

c) Eliezer, Fernando e Pinho.

d) Fernando, Eliezer e Felipe.

e) Danilo, Fernando e Pinho.

Orientações

Resolução da atividade 4

Considerando as medidas dos lados do retângulo como x e y, temos:

4 6 y =y 2

y = 2 (pois y deve ser positivo)

Se y = 2, então x = 6.

Os lados medem 2 m e 6 m. Logo, o perímetro é 16 m.

Alternativa a

temos:

na

Resolução da atividade 5

O sistema pode ser escrito como:

substituindo na 2a equação, temos:

6, temos que x

36. O

para y

tem 36 anos e o filho 6 anos. Resolução da atividade 7 Sendo p o número de pessoas e q a quantia paga, então:

()()

a) Ao final havia 13 pessoas.

b) A cota inicial era de 325 reais, mas depois se tornou 250 reais.

Resolução atividade 8

A elaboração do enunciado é pessoal, mas a solução do sistema é:

Se: x = 4 - y, então: (4 - y)2 + y2 = 10 6 y2 - 4y + + 3 = 0.

Resolvendo por soma e produto, temos que as raízes da equação são 3 e 1.

Como x = 4 - y, temos:

Para y = 3, x = 1; para y = 1, x = 3. Então, as soluções para o sistema são: (1, 3) ou (3, 1).

Resolução de Lógico, é Lógica! encontra-se no rodapé da próxima página.

Orientações

Na pesquisa, espera-se que os estudantes encontrem como resposta: asa-delta, avião, barco a vela, navio, pássaro e até mesmo pipa (também conhecida como papagaio ou pandorga, dependendo da região do país). O formato do estirante da pipa influencia no modo como ela vai adquirir resistência ao vento e, assim, conseguir se movimentar no ar com mais facilidade.

Essa atividade promove o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal: Ciência e Tecnologia.

Força de resistência do ar

Você sabia que a força de resistência do ar atua tanto nos carros durante uma corrida de Fórmula 1 quanto nos paraquedas durante um voo?

Os engenheiros e os projetistas aplicam conhecimentos da Matemática e da Física dos movimentos para que essa resistência seja usada em benefício do paraquedista e do piloto.

Em baixas velocidades, até cerca de 90 km/h, a resistência do ar varia de forma linear com a velocidade do corpo, isto é, podemos calculá-la usando a fórmula Fresist. = kv, em que k é um número que depende do formato do corpo e é determinado experimentalmente. Para velocidades acima de 90 km/h, a resistência do ar passa a depender do quadrado da velocidade e é dada pela fórmula Fresist. = kv2

Note, portanto, que as equações do 1? e do 2? grau são fundamentais para o estudo da resistência do ar e no projeto de carros, aviões, paraquedas e até mesmo de edifícios.

1 Pesquise outros exemplos em que essa força é benéfica para o movimento. Respostas possíveis: asa-delta, avião, barco a vela, navio, pássaro etc.

Resolução de Lógico, é lógica!

Pelas informações do enunciado, Eliezer chegou na frente de Felipe, e Felipe chegou na frente de Pinho e de Fernando (não necessariamente nessa ordem). Como Danilo não foi o último e chegou depois de Fernando, concluímos que o último lugar ficou com Pinho. Assim, a ordem de chegada é a seguinte: Eliezer - Felipe - Fernando - Danilo - Pinho. Alternativa a

Ivan Garcia/Shutterstock.com

Murat Can Kirmizigul/Shutterstock.com

Salto de paraquedas.

Carro de Fórmula 1.

2x2 + 5x + 5

1 Calcule as raízes das seguintes equações:

a) x2 - 625 = 0

b) 49x2 - 1 = 0

c) 3 x2 - 27 x = 0

2 Resolva as equações a seguir.

a) t2 + 18t - 63 = 0

b) x2 + 12x - 13 = 0

3 Resolva as equações por meio de fatoração.

a) 100n2 + 60n + 9 = 0

b) 1 10 1 4 1 4 0 2 xx++=

possui raízes reais.

4 A área de um pátio retangular, cujo comprimento tem 3 metros a mais que a largura, é 270 m2. Quais são as dimensões, em metros, desse pátio?

15 m e 18 m.

5 Calcule o valor de x sabendo que o perímetro do triângulo isósceles ABC mostrado a seguir é igual a 57 unidades de comprimento.

DAE

6 Um terreno quadrangular, com área total de 196 m2, foi dividido em duas regiões quadradas e duas retangulares para a construção de uma casa. Veja a seguir a representação desse terreno e da área destinada ao jardim e à garagem.

DAE

garagem

D=-15 A

equação

x

temos:          xy xy 270 3 .= =+ Substituindo

a 2a equação na primeira,

Resposta pessoal. 2x 4 4

Simplificando

Com base nos dados acima, elabore duas perguntas que possam ser respondidas usando uma equação do 2? grau e responda-as.

7 Calcule a razão entre a soma e o produto das raízes da equação:

a = 1 ou a = 3 jardim

- 21x + 14 = 0

x2 - 7x + 14 3 = 0 S = 7 e P = 14 3 == S P 7 14 3 3 2 Resolução da atividade 8 x2 + ax + (a - 1) = 0 D= (a - 2)2 = -y= -+== + =x aa x aa x aa a (   2 ) 2  2 2 1e 2 2 1  2 1 2

Orientações

a) x2 = 625 6 x = 25 ou x =-25

Fazendo

7 =-

-=6=-=6-=6=6=() () xxxxxxx 3270 0ou3 27 03 27 03 33 3 -=6-=6=6=() xxxxx 27 03 27 03 33 3 Resolução da atividade 2 a) t2 + 18t - 63 = 0 D= 576 e ttt 18576 2  1824 2 21 ou 3. = -y = -y 6= -= ttt 18576 2  1824 2 21 ou 3. = -y = -y 6= -= b) x2 + 12x - 13 = 0 D= 196 e = -y 6= -=xtt 12196 2  13 ou 1 Resolução da atividade 3 a) A equação pode ser escrita como um produto notável: (10n + 3)2 = 0 6 n =3 10

b) 49x2 = 1 6 x = x 1 7 ou 1

Orientações

Resolução da atividade 9

x2 + x + p2 - 7p = 0

P = p2 - 7p

p2 - 7p = 0 6 p(p - 7) = 0

p = 0 ou p = 7

Resolução da atividade 10

Fazendo a substituição:

x2 = y

4y2 + 25y + 36 = 0

D= 49

y yy

= -y . =-=-

2549 24 4ou 9 4

x2 = y 6 x =y y Como y só assume valores negativos, não existe solução real.

Resolução da atividade 11

a2 - b2 -(a + b)(a - b) =

= a2 - b2 - (a2 - b2) =

= a2 - b2 - a2 + b2 = 0

Alternativa b

Resolução da atividade 12 (x + y)2 = 64 6 x2 + 2xy + y2 = 64

x2 + y2 + 30 = 64 6 x2 + y2 = 34

Substituindo, temos:

x2 + 6xy + y2 = x2 + y2 + 6xy =

= 34 + 6 15 = 34 + 90 = 124

Alternativa a

Resolução da atividade 13

Como x 2 - xy = 23, então

x (x - y) = 23, mas 23 é um número primo, assim temos somente duas possibilidades:

•x = 1 e x - y = 23 (isso implica y

=- 22, o que não convém, pois x e y são números naturais); ou

•x = 23 e x - y = 1 6 y = 22

x + y = 22 + 23 = 45

Alternativa e Resolução da atividade 14

Considerando somente o último algarismo, o 7, temos:

7³ = 343 e 72 = 49.

343 - 49 = 294

Portanto, o algarismo das unidades é 4.

Alternativa b

Resolução da atividade 15

Temos que:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Dividindo os dois lados da igualdade por a2 + b2

9 Calcule os valores de p para que a equação x2 + x + p2 - 7p = 0 tenha uma raiz nula.

10 Resolva a equação 4x4 + 25x2 + 36 = 0, considerando x um número real.

11 (IFPE) Assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor da expressão a2 - b2 - (a + b)(a - b).

a) 2ab b) 0 c) a2 - b2 d) -ab e) b2 - a2

12 (OMRP) Se x + y = 8 e xy = 15, qual é o valor de x2 + 6xy + y2?

a) 124 b) 120 c) 109 d) 64 e) 54

13 (OBMEP) Os números naturais x e y são tais que x2 - xy = 23. Qual é o valor de x + y? a) 24

14 (OMRP) Seja n = 9 867. Se você calculasse n3 - n2 encontraria um número cujo algarismo das unidades

15 (OMRGN) Para números reais não nulos a e b, temos 22 ab ab + = 2 018. O valor da expressão ()2 22 ab ab + +

16 (OMRGN) Se a e b são números reais, tais que 0 < a < b e a2 + b2 = 6ab, então o valor de ab ab +

é igual

18 (IFSC) Considere a equação:

2(x + 4) (x + 3) = (x + 5)2 + x + 9.

Assinale a alternativa CORRETA.

Alternativa e

a) É uma equação do 1? grau cuja solução é 2.

b) É uma equação do 2? grau que não apresenta soluções reais.

c) É uma equação do 2? grau que tem soluções reais e iguais entre si.

d) É uma equação do 1? grau cuja solução é -5.

e) É uma equação do 2? grau que tem soluções reais.

19 (IFMG) Um terreno em formato de trapézio isósceles e área de 12 m2 possui dimensões, em metros, descritas conforme a figura a seguir, em que x representa o comprimento da base menor e da altura relativa à base maior.

Alternativa a

Qual é o comprimento x indicado na figura?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 12

20 (UDESC) O módulo da diferença das raízes de (x - 1) (x + 2) -2 (x + 2) - 4 = x - 2 é:

Orientações

Resolução da atividade 18

Simplificando a equação, obtemos: x2 + 3x - 10 = 0

D= 49 e = -y =-=

x xx

3   49 2  5 ou  2

Alternativa e Resolução da atividade 19

A fórmula para o cálculo da área de um trapézio é:

() A Bb hx 2 12 (10x) 2 = + .6=+

() A Bb hx 2 12 (10x) 2 = + .6=+

Alternativa d

a) 8. b) 2. c) 4. d) 6. e) 10.

21 (OMRP) A soma dos valores possíveis de k para os quais as equações quadráticas

Alternativa a

x2 - 3x + 2 = 0 e x2 - 5x + k = 0 têm uma raiz em comum é: a) 10. b) 11. c) 12. d) 13. e) 14.

22 (OMRP) A maior raiz da equação (x - 37)2 - 169 = 0 é:

Alternativa d

a) 39. b) 43. c) 47. d) 50. e) 53.

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Diferencio os produtos notáveis e os utilizo para simplificar expressões algébricas.

Compreendo os processos de fatoração e sua relação com produtos notáveis e expressões algébricas.

Resolvo equações polinomiais do 2? grau por diferentes métodos.

Resolvo sistemas de equações polinomiais do 2? grau.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras. Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

x xx

Simplificando, obtemos: x2 + 10x - 24 = 0 ∆ = 196 e = -y =-=

10196 2  12 ou 2

Desprezamos a raiz negativa, já que neste caso x é uma medida.

Alternativa a Resolução da atividade 20 Simplificando a equação do enunciado, obtemos: x2 - 2x - 8 = 0 6 (x - 1)2 =

d Resolução da atividade 21 Resolvendo a 1a equação por soma e produto, obtemos x = 1 ou x = 2.

Para x = 1 e x = 2, substituindo na 2a equação: 22 - 5 2 + k = 0 6 k = 6. 12 - 5 . 1 + k = 0 6 k = 4.

A soma dos valores que k pode assumir é 6 + 4 = 10.

Alternativa a Resolução da atividade 22 Simplificando a equação, obtemos:

x2 - 74x + 1 200 = 0

D= 676.

Portanto, a maior raiz é 50. Alternativa d

Principais objetivos da unidade

• Entender a relação entre ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal.

• Resolver problemas estabelecendo relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência.

• Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

• Resolver problemas que envolvam semelhança de polígonos e os casos de semelhança de triângulos.

• Construir polígonos regulares usando régua, compasso e esquadro.

• Descrever um algoritmo para a construção de polígonos regulares usando fluxogramas.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF09MA10 por meio da demonstração de relações simples entre ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal. A resolução de problemas estabelecendo relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo está contemplada por meio da habilidade EF09MA11. A habilidade EF09MA12 favorece o reconhecimento das condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes. A habilidade EF09MA15 é desenvolvida por escrito e por meio de fluxograma e de algoritmo para a construção de polígono regular.

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• reconheçam retas paralelas;

• saibam o que são ângulos: reto, raso, de uma volta, complementares e suplementares;

• reconheçam circunferência, seu centro, raio e diâmetro;

• saibam que a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo é 180‘ e de um quadrilátero é 360‘;

• identifiquem polígonos e poliedros;

• saibam utilizar régua e compasso.

Avaliação diagnóstica

É importante observar o que os estudantes já dominam dos pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos na unidade. Promova uma roda de conversa e, em seguida, elabore algumas atividades escritas para verificar. Se necessário, retome-os para garantir que todos tenham compreendido.

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 2, 3, 4 e 5

Competências específicas 1, 2, 3, 5 e 8 Habilidades EF09MA10, EF09MA11, EF09MA12 e EF09MA15

Relógio solar em Aiello del Friuli, Itália, 2017.

Retas, arcos e ângulos em uma circunferência e semelhança

[...] Um relógio solar analemático é um tipo particular de relógio solar horizontal, no qual o objeto que gera a sombra é vertical e se move de acordo a época do ano – ou para ser mais preciso, de acordo com a declinação do sol em um determinado dia. [...] O tempo é lido no ponto em que a sombra do gnômon, posicionando sobre a linha das datas, atravessa a linha das horas. [...]

RELÓGIO Solar Analemático, In: UNIPAMPA. Rio Grande do Sul, c2014. Disponível em: https://sites.unipampa.edu.br/astronomia/relogio-solar -analematico/. Acesso em: 6 jun. 2022.

1. Em sua opinião, o tamanho da sombra de uma pessoa pode variar durante um dia ensolarado?

Resposta pessoal.

2. Considerando o relógio circular, qual seria o ângulo percorrido pela sombra do gnômon das 13 às 17 horas? 120‘

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• demonstrar e resolver problemas envolvendo ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal, ângulos centrais, inscritos e arcos;

• reconhecer quando dois triângulos são semelhantes;

• construir polígonos regular utilizando régua, compasso ou software e descrever por meio de fluxograma.

Orientações

Pergunte aos estudantes se já conhecem os relógios solares e se já tiveram a oportunidade de explorar concretamente a sombra projetada pelo gnômon em diferentes horários. Relógios solares são comuns em praças, planetários e museus, além de serem artefatos históricos construídos há milhares de anos.

A exploração da situação abordada na abertura favorece o trabalho da competência geral 2 e 3 e da competência específica 1

Resolução da questão 1

Sim. Pela manhã e pela tarde as sombras são maiores porque o Sol está mais próximo do horizonte, por isso a sombra é maior.

Resolução da questão 2

=.=4 x 360 12 4 120120°

Objetivos do capítulo

• Entender a relação entre ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal.

• Resolver problemas estabelecendo relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1 e 5

Competências específicas 1, 3 e 5

Habilidades EF09MA10 e EF09MA11

Orientações

Em Para começar, ao responder às questões apresentadas, comente que o fio de prumo permite verificar a verticalidade de paredes e colunas. Por isso as duas retas representadas pelos fios são paralelas. Explore o feixe de retas paralelas intersectadas por uma transversal, que já foi estudado no 7? ano. Verifique se os estudantes conhecem as nomenclaturas dos pares de ângulos de acordo com a posição deles em relação às retas e enfatize essas nomenclaturas para que, posteriormente, eles saibam a relação entre as medidas desses ângulos.

Retas e ângulos

Em cada um dos pontos (A e B) representados na figura é colocado um fio de prumo.

• As retas que passam pelos segmentos representados pelos fios são paralelas?

• Descreva o raciocínio que você utilizou para responder a essa pergunta.

Sim. Resposta pessoal.

Retas paralelas intersectadas por uma transversal

Vamos rever alguns conteúdos já estudados que servirão de base para ampliar nossos conhecimentos.

Por exemplo, as retas r e s mostradas a seguir são paralelas. A reta t intersecta r no ponto P e intersecta s no ponto Q. A reta transversal t determina, com as retas r e s, oito ângulos. Veja:

Os ângulos b ˆ , cˆ, ê e h ˆ estão situados na região do plano limitada pelas retas r e s e são chamados ângulos internos. Os outros quatro ângulos, â, d ˆ , f ˆ e g ˆ , são chamados ângulos externos

Considerando os pares de ângulos formados em P e em Q, podemos nomeá-los da seguinte forma:

São pares de ângulos correspondentes: se um deles for interno, o outro será externo, ambos estão do mesmo lado em relação à reta transversal t

São pares de ângulos alternos externos : ambos são ângulos externos e estão em lados opostos em relação à reta transversal t

São pares de ângulos alternos internos: ambos são ângulos internos e  estão em lados opostos em relação à reta transversal t

São pares de ângulos colaterais internos: ambos são ângulos internos e estão do mesmo lado em relação à reta transversal t

São pares de ângulos colaterais externos: ambos são ângulos externos e estão do mesmo lado em relação à reta transversal t

Esses ângulos, aos pares, admitem as propriedades apresentadas a seguir.

• Os ângulos correspondentes são congruentes. Por medição, podemos confirmar essa propriedade. Por exemplo, a medida do â é igual à medida do ê

• Tanto os ângulos alternos internos quanto os alternos externos são congruentes.

Vamos demonstrar o caso da congruência dos ângulos alternos internos h ˆ e b ˆ

Hipótese: r e s são retas paralelas, h ˆ e b ˆ são ângulos alternos internos.

Tese: h ˆ h b ˆ

Demonstração:

Seja: med(h ˆ ) = h, med(ê) = e; med(â) = a e med(b ˆ ) = b

• h ˆ e ê são ângulos suplementares, portanto: h + e = 180‘;

• â e b ˆ são ângulos suplementares, portanto: a + b = 180‘

Portanto, h + e = a + b (I)

Como â e ê são ângulos correspondentes, temos: a = e

Substituindo em (I), temos:

h + e = a + b 6 h + a = a + b 6 h = b 6 h ˆ h b ˆ

A congruência dos ângulos alternos externos â e g ˆ também decorre de h ˆ h b ˆ , pois: 180‘ - a = b e como b = h, e h = 180‘ - g, então podemos afirmar que 180‘ - a = 180‘ - g e, portanto, a = g

De modo análogo, podemos demonstrar que os ângulos alternos internos são congruentes e os ângulos alternos externos d ˆ e f ˆ são congruentes.

Agora vamos demonstrar que os ângulos colaterais internos são suplementares

Hipótese: r e s são retas paralelas, c ˆ e h ˆ são ângulos colaterais internos.

Tese: c ˆ e h ˆ são suplementares.

Demonstração:

Seja: med(cˆ ) = c; med(dˆ ) = d e med(hˆ ) = h

Os ângulos c ˆ e d ˆ são suplementares, portanto, c + d = 180‘, e os ângulos d ˆ e h ˆ são correspondentes, portanto, h = d. Assim, temos:

+= = 6+= cd dh ch 180° 180°

, ou seja, os ângulos c ˆ e h ˆ são suplementares.

Orientações

Acompanhe com os estudantes o passo a passo da demonstração da congruência dos ângulos alternos internos, levando-os a perceber as informações conhecidas e aquelas que vão sendo conduzidas e concluídas ao longo da demonstração. De maneira análoga, eles devem escrever a demonstração da congruência dos ângulos alternos externos. Repita essas explorações e propostas para os ângulos colaterais internos, que são suplementares, assim como os ângulos colaterais externos.

Reforce as notações de abertura e representação de ângulo, bem como os conceitos de ângulos suplementares e complementares. Você pode utilizar cores distintas para fazer essas representações na lousa.

Orientações

Converse com os estudantes para verificar se compreenderam as relações de ângulos colaterais e opostos pelo vértice. Se achar conveniente, desenhe na lousa e pergunte coletivamente como se classificam os ângulos que você delimitar.

Atividades

complementares

Organize os estudantes em grupos de quatro integrantes e peça que façam demonstrações dos conceitos explorados nessa página. Por exemplo: peça que desenhem um feixe de retas paralelas intersectadas por uma transversal; em seguida, solicite que definam os ângulos formados em alternos internos, alternos externos, colaterais internos e colaterais externos. Depois, escolha um estudante de cada grupo para compartilhar a demonstração com os colegas. Peça a eles que usem régua e esquadro, bem como de lápis ou canetas coloridas.

De modo análogo, podemos mostrar que b ˆ e ê também são suplementares. Para demonstrar que os ângulos colaterais externos são suplementares, de forma semelhante à demonstração anterior, vamos considerar os ângulos colaterais externos d ˆ e g ˆ :

Seja: med(cˆ ) = c; med(dˆ ) = d, med(hˆ ) = h e med(g ˆ ) = g. Então:

cdc hgh 180°180° d 180°180° g +==+==⇒ ⇒

Assim:

c + h = 180‘6 180‘-d + 180‘ - g = 180‘6 360‘ - (d + g) = 180‘6 6 d + g = 180‘

Portanto, d ˆ e g ˆ são ângulos suplementares.

De modo análogo, podemos mostrar que â e f ˆ também são suplementares. Acompanhe o exemplo a seguir.

• Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule a medida do PQR

Traçando uma reta u paralela a r, passando por Q, obtemos:

Usando as propriedades dos ângulos formados pelas paralelas, obtemos: med () PQR = 60‘+ 35‘ = 95‘

Atividades

1 As ruas Jardim e Jarobá são paralelas. Quantos graus medem os ângulos â, b ˆ , cˆ, d ˆ , ê, f ˆ , gˆ , h ˆ , î, j ˆ , k ˆ , l ˆ , mˆ , nˆ , ô?

Resposta: a, ê, j ˆ , ô medem 40o;

, k ˆ , nˆ medem 140°;

cˆ , gˆ , h ˆ , mˆ medem 130°;

50° c k f l b d h i e o g m a n j Rua Cadro Rua Jardim Rua Jarobá Rua Juquiá Reinaldo Vignati

2 Identifique em cada figura a relação entre os pares de ângulos indicados e calcule x, y e z. Considere r // s

a)

b) Ângulos correspondentes, x = 20‘ Ângulos colaterais internos, y = 80‘

fli

r y s

110º 5z

a) Calcule o valor de a, em graus.

a) 3

x - 10 = 2x + 10

b) y

+ y + 20 = 180

y = 180 - 20

x - 15º2

c) d) Ângulos colaterais externos, z = 22‘ Ângulos alternos internos, x = 30‘

y + 20º r s

r s 45º

3 Duas retas paralelas determinam, com uma transversal, ângulos alternos internos de medidas expressas em graus por (a + 12‘) e (3a - 20‘).

b) Calcule a medida, em graus, de cada um desses ângulos.

x = 67‘; a = 52‘; b = 134 x - 10º3 x + 10º2

16‘ r s

y = 160 6 y = 80 4

5 Observe a figura em que as retas r e s são paralelas e as retas t e u são transversais.

r t x s u 85º 150º r P s 82º b 2 x x - 15º a Ilustrações: DAE

Elabore duas perguntas com base nos dados da figura e troque-as com um colega para que um responda às perguntas que o outro elaborou. Ao final, confiram juntos as respostas e troquem ideias sobre as estratégias de resolução.

pessoal.

Orientações

O texto apresentado em Curiosidade relaciona conceitos explorados neste capítulo com as projeções trabalhadas na Unidade 2.

Se possível, sugira aos estudantes que façam a experiência de projetar um objeto em um ecrã de vidro, como descrito no texto, usando uma caneta removível. O vídeo Introdução àGeometriaProjetiva traz aspectos epistemológicos para tratar projeções e dialoga com a área de Arte. Está disponível no link: https://www.you tube.com/watch?v=DTh_zHF6yMQ

(acesso em: 2 jun. 2022). Esse vídeo favorece o desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 3

Um uso comum do ecrã é quando espelhamos nossos smartphones em televisores, como forma de projetar o conteúdo de uma tela para outra.

Ao explorar o tópico “Arcos de circunferência”, verifique se os estudantes identificam os principais elementos da circunferência, como centro, raio e diâmetro. Desenhe uma circunferência na lousa para representar esses elementos e também os oriente para que façam uso do transferidor e do compasso.

A Geometria Projetiva

A geometria projetiva é o estudo das relações entre as formas e os seus mapeamentos, ou “imagens”, que resultam da projeção daquelas numa superfície. As projeções podem muitas vezes ser visualizadas como sombras emitidas pelos objetos.

O arquiteto italiano, Leon Battista Alberti (1404-1472), foi um dos primeiros a ter contato com a geometria projetiva através do seu interesse na perspectiva em arte. De forma mais genérica, os pintores e arquitetos do Renascimento interessavam-se por métodos de representação de objetos tridimensionais em desenhos bidimensionais. Alberti colocava por vezes um ecrã de vidro entre si próprio e a paisagem, fechava um olho e marcava no vidro determinados pontos que pareciam estar na imagem. O desenho bidimensional daí resultante dava uma imagem fiel do cenário tridimensional.

Templo Malatestiano, Ramini, Itália, projetado pelo arquiteto italiano Leon Battista Alberti, 2018..

O matemático francês, Gérard Desargues (1591-1661), foi o primeiro matemático profissional a formalizar a geometria projetiva, enquanto procurava formas de estender a geometria euclidiana. [...]

Em geometria projetiva, elementos como os pontos, as linhas e os planos permanecem geralmente pontos, linhas e planos quando projetados. No entanto, os comprimentos, os rácios dos comprimentos e os ângulos podem mudar em projeção. Em geometria projetiva, as linhas paralelas da geometria euclidiana encontram-se no infinito na projeção. [...]

Ecrã: tela, display, monitor.

Arcos de circunferência

Os pontos A e B pertencentes a uma circunferência dividem-na em duas partes, chamadas arcos de circunferência

Fazendo a leitura da figura ao lado no sentido horário, temos dois arcos:

ABeBA

A B O sentido horário A B O a AJ165/Shutterstock.com

PICKOVER, Clifford A. O livro da Matemática: de Pitágoras à 57; dimensão, 250 marcos da história da Matemática. Madri: Librero, 2011. p. 142.

Rácio: razão, proporção entre dois conjuntos.

A medida do ângulo central é igual à medida do arco correspondente. Veja os exemplos a seguir.

Orientações

Enfatize o sentido horário considerado na identificação de um arco. Por exemplo, um arco AB é o trecho da circunferência que vai do ponto A até o ponto B no sentido horário. Em seguida, relacione as medidas do arco e do ângulo central correspondente.

med( AB ) = 90o

med AO

Qualquer diâmetro divide a circunferência em dois arcos congruentes, denominados semicircunferências ou arcos de meia-volta

Qual é o valor de med( BA) em cada exemplo?

Para verificar se a leitura do ângulo foi compreendida, peça que respondam à pergunta do Pense e responda. Observe se eles entenderam que a leitura ocorre no sentido horário e que, desse modo, as medidas dos arcos AB são diferentes das medidas dos arcos BA. Dê um tempo para os estudantes lerem o texto de Curiosidade e observarem atentamente a imagem do relógio zodíaco, percebendo a divisão em 12 partes iguais.

O tema proposto favorece o desenvolvimento da competência específica 1

Os gregos tomaram a linha reta e o círculo como base de sua geometria e a partir daí desenvolveram a trigonometria. A convenção de 360‘ em um círculo e 60 segundos em um grau teve origem na matemática helênica – aparentemente já estava em uso no tempo de Hiparco da Bitínia (c. 190-120 a.C.). Provavelmente teve origem na divisão astronômica babilônica do zodíaco em 12 signos ou 36 decanos, e o ciclo anual de aproximadamente 360 dias. O sistema superior usado pelos babilônios para representar frações o tornou mais útil do que os sistemas egípcio e grego, e Ptolomeu (c. 90-168 d.C.) usou o sistema de base 60 ao dividir em graus e minutos (partes minutae primae), e cada minuto em 60 segundos (partes minutae secundae).

das pirâmides até a exploração do infinito. São Paulo: M. Books do Brasil, 2012. p. 87-88.

ROONEY, Anne. A história da Matemática: desde a criação

Relógio zodíaco baseado na divisão astronômica babilônica.

Orientações

Dê um tempo para os estudantes lerem e compreenderem a diferença entre medida linear e medida angular de um arco. Se possível, promova uma experimentação em que eles usem um objeto circular para medir, com transferidor, o ângulo central e, com a régua, o comprimento de um barbante usado para sobrepor o arco correspondente considerado.

Na situação apresentada, circunferência dividida em cinco arcos congruentes, proponha aos estudantes que tentem calcular a medida angular de cada arco antes de ver a resolução apresentada no Livro do Estudante.

Amplie o exemplo do livro e proponha a divisão de uma circunferência em 12 partes congruentes, como acontece em um relógio analógico, encontrando esses ângulos e mostrando as relações e os cálculos necessários para chegar a eles.

O Pense e responda trata de avaliar se eles compreenderam a definição de ângulo central.

Como os ponteiros das horas e dos minutos são fixos no centro do relógio sua abertura determina um ângulo central.

Ângulo central

O vértice O do ângulo AOB AOB da figura coincide com o centro da circunferência. Por isso, esse ângulo é chamado ângulo central

O ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio é um ângulo central? Sim.

AÔB é um ângulo central de vértice O e lados OAOB e

Nessa circunferência, OAOB  e determinam o arco AB, cuja medida é igual à medida do ângulo central correspondente, ou seja, o ângulo central AOBAOB e o arco AB correspondente medem 70‘

A medida angular de um arco também pode ser referida simplesmente como medida do arco. Arcos podem ter a mesma medida angular e não ter a mesma medida linear (comprimento). Veja a seguir.

• med AB () = med EF () = 35‘

Contudo, o comprimento do arco AB é menor do que o comprimento do arco EF

• med CD () = med GH () = 100‘

O comprimento do arco CD é menor do que o comprimento do arco GH

Acompanhe a seguinte situação.

• A circunferência abaixo foi dividida em cinco arcos congruentes. Quanto mede cada um desses arcos? E o arco AC?

Cada arco assinalado corresponde a um ângulo central. Por exemplo, o arco AB é correspondente ao ângulo AOBAOB ; logo, as medidas do arco AB e do ângulo AOB AOB são iguais.

Pelo enunciado, os cinco arcos são congruentes; então, podemos concluir que os respectivos ângulos centrais também o são.

Como a medida de um ângulo de uma volta completa é 360‘, temos:

med(AOB AOB ) + med(AOBBOC ) + med(AOB COD ) + med(AOBDOE ) + med( AOB E OA) = 360‘6

6 5 med(AOB AOB ) = 360‘6 med(AOB AOB ) = 72‘

Portanto, cada um dos arcos mede 72‘

O arco AC é correspondente a AOB AOC (ângulo central). Logo:

med( AOB AOC) = med( AOB AOB) + med( AOB BOC) 6 med( AOB AOC) = 72 + 72 = 144 6 med( AC ) = 144‘

1 Trace uma circunferência e desenhe um ângulo central correspondente a:

Resposta no Manual do Professor.

a) 30‘

b) 45‘

c) 90‘

d) 180‘

‘

Orientações

As atividades dessa seção mobilizam a habilidade EF09MA11 ao propor diferentes circunferências, arcos e ângulos para o cálculo da medida dos ângulos e da medida angular dos arcos.

Resolução da atividade 1

a)

, 90

BA CB AC

o o o

med62  med90 med 3609062 208208

= = =--= =4

Resolução da atividade 3

Um relógio analógico redondo pode ser associado a uma circunferência dividida em 12 partes iguais. Medida de cada arco entre dois números consecutivos:

360 : 12 = 30 4 30‘

a) 2 30 = 60 4 60‘

b) 6 30 = 180 4 180‘

c) 5 30 = 150 4 150‘

Caso algum estudante responda 210‘, relembre que sempre é considerado o menor ângulo entre os lados.

André Martins

Orientações

Resolução da atividade 4

Da figura:

5x + 22 + x + 24 + 3x - 1 = 360

9x + 45 = 360

9x = 315

x = 35 4 35‘

Então:

med( AC ) = 35 + 24 + 3 .

35 - 1 = 163 4 163‘

Ao apresentar o ângulo inscrito, verifique o entendimento dos estudantes sobre a posição dos lados do ângulo para que diferenciem ângulo central de ângulo inscrito. Em seguida, reforce a relação entre as medidas desses ângulos e acompanhe-os nas demonstrações dos três casos.

4 Quantos graus mede o arco CA mostrado na figura a seguir? 163‘

Ângulo inscrito

Na figura a seguir, o vértice A de AOBBAC localiza-se sobre a circunferência, e as semirretas AB e AC são secantes a essa circunferência, determinando CB

Uma reta é secante a uma circunferência quando intersecta a circunferência em dois pontos distintos.

Nessas condições, dizemos queAOBA ou AOBBAC é um ângulo inscrito na circunferência. O ângulo inscrito admite a propriedade a seguir.

A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida angular do arco correspondente. Nesse caso, med(AOBA) = CBmed( ) 2

Conforme a posição do centro da circunferência em relação ao ângulo inscrito, demonstraremos essa propriedade em três casos, relacionados a seguir.

1? caso: o centro da circunferência pertence a um dos lados do ângulo inscrito

Analisando a figura abaixo vemos que o triângulo AOC é isósceles, pois h AOCO ( AOCO  e são raios da circunferência).

Temos, então: a=g

O ângulo COB é externo ao triângulo AOC. Logo:

a+g=b6a+a=b6 2a=b6a= 2 b (I)

Como CB é correspondente ao ângulo central COB, temos: b= med( CB ). Substituindo em I:

a= CBmed( ) 2

2? caso: o centro da circunferência é interno ao ângulo inscrito

Orientações

Pela estratégia usada na demonstração do 2? caso, os estudantes também podem tentar demonstrar o 3? caso antes de acompanhar o texto do livro.

Oriente-os para que desenhem uma circunferência, usando compasso, marquem três pontos sobre ela e tracem os ângulos central e inscrito com as respectivas medidas. Por exemplo:

Traçando a semirreta de origem A que passa pelo centro O, dividimos o ângulo BAC inscrito nos ângulos BAD e DAC de medidas a1 e a 2, respectivamente.

Pelo 1? caso, sabemos que: DBDCmed( ) 2  e med( ) 2 12 a=a=

Como a=a1 +a2, temos: a= DBDCmed( ) 2 med( ) 2 +6a= CBmed( ) 2

3? caso: o centro da circunferência é externo ao ângulo inscrito

Traçando a semirreta de origem A que passa pelo centro O e cruza a circunferência no ponto D, obtemos os ângulos CAD e BAD de medidas a1 e a2, respectivamente.

Movendo um dos pontos sobre a circunferência, observa-se a manutenção das medidas dos ângulos (ao mover o centro do ângulo inscrito, como na figura 2), ou a alteração das medidas (ao mover algum dos outros dois pontos, como na figura 3, em ambos os casos com a manutenção da relação entre as medidas dos dois ângulos – ver figuras 2 e 3).

Figura 1.

Figura 2.

Figura 3.

Orientações

Se ainda persistirem dúvidas quanto à definição de ângulo inscrito, a resolução do Pense e responda pode ajudar a esclarecer. Veja a seguir.

• Os ângulos dos itens a, b e d não são inscritos, pois os vértices desses ângulos não pertencem à circunferência.

• Os ângulos dos itens c e e são inscritos, pois seus vértices pertencem à circunferência.

Pelo 1o caso, sabemos que: DCDBmed( ) 2  e med( ) 2 12 a=a=

Como a=a2 – a1, temos: a= DBmed( ) 2 –DCmed( ) 2 6a= CBmed( ) 2

Pelo fato de o ângulo central ter a mesma medida que o arco por ele determinado na circunferência, podemos enunciar uma propriedade recorrente:

med( )

Na figura a seguir, temos: b= med( CB ) e a=

Então: 2 a=b

ângulos representados abaixo, quais não são inscritos?

Acompanhe a seguinte situação: nesta figura, o ponto O é o centro da circunferência, o ângulo AOBOAB mede 50‘ e o ângulo AOBOBC mede 15‘. Determine a medida, em graus, do ângulo AOBOAC

Marcando na figura os ângulos dados e considerando que med( ˆ a) = a, med(b ˆ ) = b, med(c ˆ ) = c e med( ˆ x) = x, temos:

med(a) = 2 · med(c) (I)

O triângulo AOB é isósceles (AO = BO = raio), então:

med(b ˆ ) = 50‘

Como a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo ABO vale 180‘, temos:

50‘+ 50‘+ a = 180‘6 a = 80‘ (II)

Assim, substituindo II em I:

a = 2c 6 80‘ = 2c 6 c = 80 2 6 c = 40‘

Por fim, no triângulo ABC, temos:

c + (x + 50) + (b + 15) = 180‘6 40‘+ x + 50‘+ 50‘+ 15‘ = 180‘6 x = 25‘

Portanto, med( AOB OAC) = 25‘

1 Nas figuras a seguir, identifique o arco correspondente a cada ângulo inscrito assinalado.

a) c) AB corresponde a APB

Orientações

As atividades dessa seção mobilizam a habilidade EF09MA11. Ressalte a estratégia apresentada nas discussões anteriores sobre marcar os ângulos e as medidas na figura para auxiliar a identificação das informações dadas e daquelas que precisam ser calculadas, facilitando a resolução da atividade.

Resolução da atividade 1

a) APB determina BA

AB AB

Logo, AB corresponde a APB

b) APD determina DA. Logo, DA corresponde a APD

PAC determina PC Logo, PC corresponde a PAC

c) DBC determina DC

Logo, DC corresponde a DBC

BPC determina CB.

Logo, CB corresponde a CPB

ABAB AB AB

EC B determina BE. Logo, BE corresponde a BC E

d) APM determina MA

Logo, MA corresponde a APM

AMP determina AP

ABAB AB AB

Logo, AP corresponde a AMP

MAP corresponde a PM . Logo, PM corresponde a MAP

Orientações

Na atividade 2, verifique se os estudantes estão manuseando corretamente o compasso, se mediram a abertura de 4 cm correspondente ao raio da circunferência, se traçaram adequadamente os ângulos pedidos no item a e se no item b calcularam as medidas com base nas propriedades.

Resolução da atividade 3

a) x = 2 . 65 6 x = 130 4 130‘

b) 63 = 2x 6 x = 31,5 4 31,5‘

c) 120 = 2(x + 20) 6 x = 40 4

4 40‘

d) 2x = 30 6 x = 15 4 15‘

Resolução da atividade 4

Como C é o centro da circunferência, podemos afirmar que CE e CD são raios. Assim, o triângulo CDE é isósceles e a medida de DEB

é igual à medida de E D A, ou seja, med(E D A) = 50‘

Então med( DC E ) = 80 ‘ . Como DE é ângulo interno do arco BA, eles têm a mesma medida, ou seja, med( AB ) = 80‘

Z

2 Desenhe uma circunferência com raio de 4 cm e, em seguida, faça o que se pede.

a) Trace um ângulo central e um ângulo inscrito que determinem o mesmo arco na circunferência.

b) Determine a medida de cada ângulo.

3 Calcule o valor de x, medido em graus nas figuras a seguir, considerando o ponto O como o centro da circunferência.

a)

Respostas pessoais. 130‘ 40‘

c)

Ilustrações: DAE

b) d) 31,5‘ 15‘

4 Esta figura mostra uma circunferência de centro C Calcule, em graus, a medida do arco BA 80‘

O P X Y

Resolução da atividade 5

Se o triângulo XYZ é equilátero, seus ângulos internos medem 60o

Logo, med(XZ ) = 120o

AB 60º 60º

Daí vem:

50º

5 Esta figura mostra um triângulo equilátero XYZ inscrito numa circunferência de centro O, e um ponto P de arco ZX. Calcule a medida, em graus, do ângulo AOBZPX 60°

6 Determine as medidas de x e de y sabendo que todos os polígonos inscritos são regulares. a)

Ilustrações:

b)

e y = 72

7 Considere a circunferência de centro O representada a seguir.

Orientações

Resolução da atividade 6

a) med( x ) = 90‘, pois corresponde a um quarto de circunferência.

2 . med( y ) + med ( x ) = 180 2 med( y ) + 90 = 180

med( y )= 180 90 2= 45 4 45‘

b) Cada arco corresponde ao ângulo central de 72‘, pois corresponde a um quinto de circunferência. Assim, y corresponde à metade de 2 arcos:

med( y ) =.=4 2 72 2 7272 o Como x corresponde à metade de 3 arcos, temos: med( x ) =

c) Considerando que o triângulo é equilátero, temos: med( x ) =med( y ) = 60‘

d) Todos os triângulos que formam o hexágono são equiláteros. Seus ângulos internos medem 60o. Logo, med( x ) = 60o e med(

=

. 60 = 120 4 120‘ Resolução da atividade

Sabendo que as medidas AOB MNP e AOBQPR são, respectivamente, iguais a 86‘ e 104‘, calcule as medidas a e b dos ângulos AOB NMQ e AOBMQP

a = 104° e b = 94°.

8 Todo ângulo inscrito em uma semicircunferência cujos lados passam pelas extremidades de um diâmetro é reto.

Justifique essa afirmação usando o que você aprendeu sobre ângulo inscrito.

Resposta pessoal.

(reto)

igual à

da medida do arco (da semicircunferência, cujo ângulo central

Orientações

Resolução da atividade 9

med(AO B) = 2 . (29 + 35) = = 128 4 128‘

Resolução da atividade 10

a) O ângulo inscrito DB C mede 90‘ , pois a reta DB é perpendicular à reta BC

b) Por ser um ângulo inscrito de 90‘ , o arco CD, que corresponde a DBC , tem o dobro da medida de DBC , ou seja, 180‘. Assim, o segmento CD é um diâmetro da circunferência, ou seja, tem o dobro da medida de seu raio.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 5

9 Determine a medida do ângulo central AOB na figura abaixo e explique como fez seus cálculos. 128‘; resposta pessoal.

10 Em um software de Geometria dinâmica, Carla desenhou uma circunferência usando a ferramenta “Círculo”

Com a ferramenta “Reta” , traçou uma secante à circunferência, isto é, uma reta que cruza a circunferência em dois pontos C e B

Em seguida, ela usou a ferramenta “Reta perpendicular” e clicou no ponto B e na reta CB. Assim, ela traçou uma perpendicular a passando por B e cortando a circunferência no ponto D

a) Qual é a medida do ângulo inscrito ?

CD mede o dobro do raio da circunferência.

b) Qual é a razão entre a medida do segmento CD e a medida do raio da circunferência? Justifique as respostas e use as ferramentas de medições do software para verificá-las.

Resposta no Manual do Professor.

Orientações

Resolução da atividade 11

O med = 52 + 52 - 104 = 76 4 76‘

Z med 76 2 == 38 4 38‘

11 Observe a imagem a seguir.

Sabendo que O é o centro da circunferência, calcule a medida do ângulo AOBXZY

12 (UFSC) Na figura a seguir, O é o centro da circunferência, o ângulo AOBOAB mede 50‘ e o ângulo AOBOBC mede 15‘. Determine a medida, em graus, do ângulo AOBOAC

25‘

13 Esta figura representa uma circunferência de centro O e BC // AD

No enunciado da atividade 13, não há nenhum indício para os estudantes de que faltam dados. Peça a eles que observem atentamente a figura. Eles devem concluir que os dados apresentados não são suficientes para resolver o problema. Eles devem observar que:

• 30° se refere ao ângulo lilás, e não ao amarelo.

• Os ângulos O, E e B não deveriam ser destacados da mesma cor, uma vez que não têm a mesma medida.

• O ângulo B deveria ser destacado em lilás, como o ângulo D (alternos internos).

• O ângulo O deveria ser destacado em azul, como o ângulo C (alternos internos).

• Para a resolução, seria necessária a indicação da medida de mais um ângulo.

Após concluírem, peça a eles que meçam os ângulos com o transferidor, reproduzam a figura no caderno e façam os ajustes necessários, para que a resolução e a elaboração de perguntas com base na imagem sejam possíveis. Como ajustada a seguir.

Resposta pessoal.

Elabore perguntas usando os dados da figura e troque com um colega para responder. Depois, destroque para conferir as respostas. Depois de finalizado, conversem como foi o processo de resolução.

(FCC-TRF3R) Amanda, Brenda e Carmen são médica, engenheira e biblioteconomista, não necessariamente nessa ordem. Comparando a altura das três, a biblioteconomista, que é a melhor amiga de Brenda, é a mais baixa. Sabendo-se também que a engenheira é mais baixa do que Carmen, é necessariamente correto afirmar que:

Alternativa c

a) Brenda é médica.

b) Carmen é mais baixa que a médica.

c) Amanda é biblioteconomista.

d) Carmen é engenheira.

e) Brenda é biblioteconomista.

Depois de finalizado, peça que conversem com um colega sobre a observação da impossibilidade de resolução e elaboração de perguntas com base na imagem.

Atividades como essa aguçam a percepção, a inferência e a criatividade.

Resolução de Lógico, é lógica De acordo com as informações, temos:

Biblioteconomista Engenheira ?

Resolução da atividade 12

Como AO = OB (são raios), o triângulo AOB é isósceles e

=‘=- ABOAOB med( )50e med( ) 180

=‘=- ABOAOB med( )50e med( ) 180 - 100 = 80 6 80‘

Logo, med(ACB) = 80 2 = 40 6 40‘

No triângulo ABC, temos:

++=‘ABC med( )med() med( ) 180

x + 50 + 50 + 15 + 40 = 180 6 x = 25 4 25‘

++++=6=‘ OACOAC med( )50501540 180 med( )25.

++++=6=‘ OACOAC med( )50501540 180 med( )25.

Mais baixa Estatura média Mais alta ? BrendaCarmem

Do quadro, podemos concluir que Amanda é a biblioteconomista e Carmem é a médica. Alternativa c

Objetivos do capítulo

• Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

• Resolver problemas que envolvam semelhança de polígonos e casos de semelhança de triângulos.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 3, 4 e 5

Competências específicas 2, 3, 5 e 8

Habilidades EF09MA12

Foco nos TCTs

• Diversidade Cultural

• Ciência e Tecnologia

Orientações

Proponha aos estudantes que explorem diferentes ampliações ou reduções de imagens digitais, no computador ou no smartphone, ampliando-as, reduzindo e dando zoom nos aplicativos, a fim de que percebam que a forma de todos os elementos e os ângulos entre eles se mantêm, o que muda são as medidas dos comprimentos. Em seguida, proponha que reproduzam em papel quadriculado os quadriláteros A, B e C apresentados no livro para que percebam também essa relação de manutenção das medidas dos ângulos e ampliação ou redução proporcional das medidas dos lados.

Ao discutir a questão do Para começar, fale um pouco sobre a história e a arquitetura da Catedral Metropolitana de Nossa Senhora Aparecida, também conhecida como Catedral de Brasília. Ela foi projetada pelo arquiteto brasileiro Oscar Niemeyer. Pergunte se eles já viram imagens desse local em algum momento. Esperam-se respostas como: “Elas são iguais, porém têm tamanhos diferentes”.

Semelhança de figuras

Resposta esperada: Elas são iguais, porém em tamanhos diferentes.

Que características comuns podem ser identificadas nestas imagens?

Figuras semelhantes

A ideia de semelhança está muito presente em nosso cotidiano. Quando ampliamos ou reduzimos uma foto, por exemplo, a figura obtida e a inicial são semelhantes: têm a mesma forma e diferenciam-se apenas pelo tamanho. Em Geometria, a noção de semelhança está vinculada às formas das figuras geométricas. Observe a sequência de figuras a seguir.

Para aprofundar

O quadrilátero B é uma redução do quadrilátero A. Note que a medida de cada lado de B é metade da medida de cada lado de A, ou seja, a razão entre as medidas dos lados é 1 2 = 0,5.

Pereira (2016), em sua pesquisa de dissertação, fez investigações aplicando sequências didáticas para auxiliar no processo de construção de aprendizagem sobre semelhança de figuras. Esse artigo poderá auxiliar você nos planejamentos das aulas.

• PEREIRA, F. Uma sequência didática para o ensino de semelhança de figuras planas. In: ENCONTRO BRASILEIRO DE ESTUDANTES DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 10., 2016, Curitiba. Anais [...]. Curitiba: UFPR, 2016. Disponível em: http://www.ebrapem2016.ufpr.br/ wp-content/uploads/2016/04/gd2_Marcos_Fabricio.pdf. Acesso em: 29 jul. 2022.

Catedral Metropolitana Nossa Senhora Aparecida, Brasília (DF), 2019.

O quadrilátero C é uma ampliação do quadrilátero A. A medida de cada lado de C corresponde a 1,5 vez a medida de cada lado de A, ou seja, a razão entre as medidas dos lados é 3 2 = 1,5.

Em outras palavras podemos afirmar que cada unidade do quadrilátero A representa 1,5 unidade do quadrilátero C

01,53,04,56,07,59,0 10,5

Orientações

Ouça as respostas dos estudantes para as questões do Pense e responda e, se eles apresentarem dúvidas, peça que representem os quadriláteros em papel quadriculado, recortem cada um e sobreponham-nos, a fim de que percebam que eles têm a mesma forma e o mesmo tamanho. Retome, se achar conveniente, o conceito de proporcionalidade.

Ainda observando os quadriláteros, temos que os lados correspondentes são:

MNRSVXNPST XWPQTU  WY QM URYV ,e ;, e; ,e ;, e

E os ângulos correspondentes são:

MRVNSXPTWQUY

, e  ; ,   e ;  , e  ; ,   e

Além disso, podemos notar que os ângulos correspondentes nos quadriláteros B (reduzido) e C (ampliado) têm a mesma medida que no quadrilátero A e que os lados correspondentes foram reduzidos ou ampliados na mesma proporção.

Observe na figura a seguir em que todos os quadriláteros ampliados são semelhantes ao quadrilátero MNPQ

Para que dois polígonos sejam semelhantes é necessário que estejam na mesma posição? Não.

Orientações

O conteúdo de Matemática Interligada favorece o desenvolvimento das competências específicas 3 e 8 e das competências gerais 1 e 3 Promove também o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal: Diversidade Cultural

Oriente os grupos para que leiam o texto com atenção e discutam entre eles a importância dessas mulheres indígenas, que expressam seus saberes por meio de trabalhos manuais, assim como transformam a arte em um dos pilares de subsistência e sobrevivência.

Peça a opinião dos estudantes sobre de que forma essa exposição, que ultrapassou os limites do território brasileiro, pode contribuir para essas comunidades indígenas. Leve-os a perceber que a exposição propicia às comunidades sair do isolamento e vislumbrar outras possibilidades para mostrar a arte e a cultura indígena brasileira como um todo.

Converse sobre o fato de que esse é um trabalho coletivo, que fortalece os conhecimentos tradicionais dos antepassados.

É importante retomar com os estudantes que, para os indígenas, a floresta é onde buscam alimentos, materiais para as habitações, sementes.

Atividades complementares

Peça que redijam um pequeno texto baseado na afirmativa: “Preservar as florestas é um dever de todos”.

Diversidade indígena Arte de mulheres do Tumucumaque chega em exposição em Londres

As mulheres do Tumucumaque elaboraram um painel de miçangas para a primeira exposição de Arte Indígena Sul-Americana Contemporânea no exterior, com a curadoria de uma mulher indígena.

Itu nai anya arimikane: “A floresta é nosso futuro/As árvores que nos fazem crescer”. Esse foi o título que as mulheres indígenas do Tumucumaque, organizadas na AMITIKATXI (Articulação das Mulheres Tiriyó, Katxuyana, Txikiyana), escolheram para sua primeira obra de arte contemporânea. [...]

Composta por mais de 90 peças feitas de miçangas como colares, brincos e pulseiras, a obra foi feita por mais de 30 artesãs das terras indígenas do Parque do Tumucumaque, Rio Paru d’Deste e Kaxuyana-Tunayana, do norte do Pará. [...]

Tumucumaque chega em exposição em Londres. IEPE, Macapá, 14 mar. 2022. Disponível em: https:// institutoiepe.org.br/2022/03/arte-de-mulheres-do-tumucumaque-chega-em-exposicao-em-londres/. Acesso em: 19 maio 2022.

A diversidade indígena no Brasil

De acordo com a Fundação Nacional do Índio – FUNAI – estudos recentes comprovam que a população indígena vem aumentando rapidamente nas últimas décadas. Outro dado interessante é que mais da metade da população indígena está localizada nas regiões Norte e Centro-Oeste do Brasil, principalmente na área da Amazônia Legal. Mas há índios vivendo em todas as regiões brasileiras, em maior ou menor número. [...]

A DIVERSIDADE indígena no Brasil. KANINDÉ, Rondônia, [20--]. Disponível em: https://www. kaninde.org.br/a-diversidade-indigena-no-brasil/. Acesso em: 19 maio 2022.

SANTARÉM, Cecília. Arte de mulheres do

Instituto

Iepê Foto: Mirko Boffelli / Paradise Row Projects

Obra de arte das mulheres do Tumucumaque, no Pará, que integrou a exposição Ka'aBody - Cosmovision of the Rainforest, em Londres, Inglaterra, 2021.

O nome da cacique Miriam Kazaizokairo, da Aldeia Bakaval, é unanimidade entre os indígenas da Terra Indígena Utiariti (MT): na comunidade, ela é apontada como uma das principais lideranças da história da etnia Haliti-Paresi no Mato Grosso. Aos 68 anos, a professora aposentada é exemplo de força, trabalho, sabedoria e protagonismo, influenciando homens e mulheres indígenas de diferentes gerações. [...]

“Lutei pela nossa terra e pela criação dessa estrada que permitiu o acesso da aldeia à cidade e às escolas. Foi uma época muito difícil, de luta de índio contra índio, 'índio contra os brancos'. Eu sabia que ia ser importante ter esse acesso e briguei por isso. Também enfrentamos muita gente para começar o trabalho das lavouras. Depois de muita discussão e negociação, deu certo, a maioria sempre vence. Nossa etnia é conhecida por ser negociadora, não aceitamos qualquer coisa”, pontua. [...]

ABRIL Indígena [...]. Fundação Nacional do Índio, [Brasil], 7 abr. 2022. Disponível em: https://www.gov.br/funai/pt-br/assuntos/noticias/2022/abril -indigena-cacique-se-destaca-como-exemplo-de-lideranca-feminina-em-sua-comunidade. Acesso em: 19 maio 2022

Veja mais algumas manchetes, onde os indígenas tiveram destaques.

Indígena Haliti-Paresi é a primeira médica veterinária da etnia formada pela UFMT; confira a entrevista

INDÍGENA Haliti-Paresi [...]. FundaçãoNacionaldoÍndio, [Brasil], 7 abr. 2022. Disponível em: https://www.gov.br/funai/pt-br/assuntos/noticias/2022/ indigena-haliti-paresi-e-a-primeira-medica-veterinaria-da-etnia-formada-pela-ufmt. Acesso em: 6 jun. 2022.

Abril Indígena: Com apoio da Funai, povo Haliti-Paresi consolida produção sustentável de grãos no MT

ABRIL Indígena [...]. Fundação Nacional do Índio, [Brasil], 17 abr. 2021. Disponível em: https://www.gov.br/funai/pt-br/assuntos/noticias/2021/abril -indigena-com-apoio-da-funai-povo-haliti-paresi-consolida-producao-sustentavel-de-graos-no-mt. Acesso em: 6 jun. 2022.

Abril indígena: Com apoio da Funai, povo Guarani garante autonomia com produção de artesanato no Sul do país

ABRIL Indígena [...]. Fundação nacional do Índio, [Brasil], 22 abr. 2021. Disponível em: https://www.gov.br/funai/pt-br/assuntos/noticias/2021/abril -indingena-com-apoio-da-funai-povo-guarani-garante-autonomia-com-producao-de-artesanato-no-sul-do-pais. Acesso em: 6 jun. 2022.

• Façam uma pesquisa para saber mais sobre os indígenas no Brasil atual: Como vivem, quais são suas conquistas e reivindicações.

• Organizem as informações obtidas e definam a melhor forma de apresentá-las (painel, multimídia ou outra forma de apresentação que preferirem).

Orientações

Inicie a exploração da página pedindo aos grupos que leiam o texto que destaca mais uma liderança feminina, que trabalha em prol da comunidade.

Pergunte o que sabem sobre a Funai (Fundação Nacional do Índio). Esclareça que esse é o órgão responsável por promover e garantir os direitos dos indígenas no Brasil. Uma de suas funções é proteger suas terras da ação predatória e de possíveis invasões de povos não indígenas que representem perigo à manutenção da vida e da cultura deles.

Abril Indígena: Cacique se destaca como exemplo de liderança feminina em sua comunidade

Orientações

Ao apresentar o conceito de polígonos semelhantes, enfatize a importância da correta identificação dos lados e dos ângulos internos correspondentes em ambas as figuras. Nomear os vértices correspondentes como A e A’, por exemplo, auxilia essa identificação; porém, caso os vértices não estejam assim nomeados, eles podem fazer a associação de vértices, lados e ângulos internos pela observação das figuras. Por exemplo:

Polígonos semelhantes

Observe os polígonos ABCDE e A'B'C'D'E'.

Das figuras, temos:

• med(AOBA) = 125‘ e med(AOBA') = 125‘; então,AOBA hAOBA';

• med(AOBB) = 110‘ e med(AOBB') = 110‘; então,AOBBhAOBB';

• med(AOBC ) = 120‘ e med(AOBC ') = 120‘;então,AOBC hAOBC ';

• med(AOBD) = 105‘ e med(AOBD') = 105‘; então,AOBD hAOBD';

• med(AOBE ) = 80‘ e med(AOBE ') = 80‘; então,AOBE hAOBE '. Todos os ângulos correspondentes são congruentes, isto é, têm a mesma medida.

Observe agora as seguintes razões:

Comparando os ângulos internos, temos que os pares de vértices A e M, B e N, C e P são correspondentes.

Assim, os pares de lados AB e MN , AC e MP , BC e NP são correspondentes e, portanto, suas medidas são proporcionais:

== AB MN AC MP BC NP

Dois polígonos são semelhantes quando seus ângulos correspondentes são congruentes e seus lados correspondentes são proporcionais

Observe que os lados correspondentes também são proporcionais, isto é, a razão entre a medida de cada lado do polígono menor e a medida de cada lado correspondente no polígono maior é a mesma.

Satisfeitas essas duas condições, dizemos que o polígono ABCDE é semelhante ao polígono A’B’C’D’E’ e indicamos assim: A’B’C’D’E’ ~ ABCDE.

Agora, veja as figuras a seguir. Se o !ABC é semelhante ao !MNP, então, podemos afirmar que: Â h M ˆ B ˆ h N ˆ

ˆ h P ˆ

Ilustrações: André Martins

Para que haja semelhança entre dois polígonos, a congruência dos ângulos correspondentes e a proporcionalidade dos lados correspondentes têm de ser mantidas.

Orientações

Pergunte aos estudantes qual é a razão de semelhança entre as medidas dos lados do quadriláteros MNPQ e ABCD, nessa ordem. Espera-se que façam = MN AB 3 1

Observe os retângulos ABCD e EFGH abaixo.

Aparentemente, o retângulo EFGH é uma redução do retângulo ABCD, mas quando comparamos os lados correspondentes verificamos que isso não é verdade.

Note que ocorre congruência dos ângulos, mas não ocorre a proporcionalidade dos lados correspondentes.

= =

3 2 6 5

3 2 6 5 q

Logo, os retângulos ABCD e EFGH não são semelhantes.

Acompanhe a seguinte situação: o quadrilátero ABCD é semelhante ao quadrilátero MNPQ. Determine as medidas dos lados BC, CD e QM. As medidas indicadas estão em centímetros.

1 31827 7 AB MN BC NP CD PQ DA QM BCCD QM ====== ⇒ Logo: BC 1 318 =6 3 . BC = 18 6 BC = 6 CD 1 327 =6 3 CD = 27 6 CD = 9 1 3 7 QM =6 QM = 21 Portanto, BC = 6 cm, CD = 9 cm e QM

= 21

Para ampliar a discussão, proponha aos estudantes que representem um quadrilátero IJKL que seja semelhante ao quadrilátero ABCD e um quadrilátero MNOP semelhante ao quadrilátero EFGH. Após as representações, peça que as compartilhem com os colegas observando a razão escolhida entre as medidas dos lados.

Orientações

Resolução da atividade 1

Somente as figuras do item a, cujas medidas todas estão na razão de 2 : 1.

Verifique com os estudantes as estratégias que utilizaram para definir se as figuras são ou não semelhantes. É importante que também façam a representação matemática do problema.

Veja resolução da atividade 2 no rodapé da página.

Resolução da atividade 3

Área de I: yx

Área de II: ykxk = yxk2.

Razão entre as áreas =

== yxk yx k 2 2

Resolução da atividade 4

Atividades

Somente as figuras do item a

1 Considere as figuras a seguir e identifique os pares de figuras semelhantes.

a)

b) c)

2 Observe estas figuras.

4 Qual é o perímetro de um terreno semelhante a um terreno retangular de dimensões 20 m * 30 m e com metade de sua área?

a) As figuras I e II são semelhantes? Justifique sua resposta.

=6=6=kkk 600 300 22 22

PA = 2 30 + 2 20 = 100

=6= P P 100 2502 B B

Resolução da atividade 5

() AB med  = 4,8 . 600 = 2 880  4

4 2 880 cm = 28,8 m

() BC med = 3 . 600 = 1 880  4

4 1 880 cm = 18 m

() CD med = 2,4 600 = 1 440 4

4 1 440 cm = 14,4 m

() AD med = 1,8 . 600 = 1 080 4

4 1 080 cm = 10,8 m

Resolução da atividade 6

a) Construção pessoal.

b) Sim. As medidas dos pares de lados correspondentes são proporcionais.

b) Em uma folha de papel quadriculado, desenhe uma figura semelhante à figura I com razão de semelhança igual a:

• 2;

• 1;

• 3.

Não. Respostas no Manual do Professor.

3 Considere um retângulo cujas medidas de comprimento e de largura são, respectivamente, x e y

Se cada uma dessas medidas for multiplicada pelo número real positivo k, prove que a razão de semelhança entre suas áreas será igual a k2

Resposta no Manual do Professor.

c) Triângulo retângulo isósceles, com medidas de ângulos 45‘ e 90‘

Resolução da atividade 7

Chamando os perímetros dos quadriláteros A e B de PA e PB, respectivamente, temos:

5 A planta do terreno representado na figura a foi feita na escala 1 : 600. Quais são as medidas reais, em metros, dos lados desse terreno?

6 Observe a figura.

50 2 28,8 m, 18 m, 14,4 m, 10,8 m

b) Sim. Resposta pessoal.

a) Em uma folha de papel quadriculado (0,5 cm * 0,5 cm), reproduza essa figura duplicando todas as medidas.

Resposta pessoal.

b) A figura que você construiu é semelhante à figura original? Justifique sua resposta.

c) Qual é a medida, em graus, dos ângulos internos do triângulo ABC ?

7 A razão de semelhança entre as medidas dos lados de dois quadriláteros A e B é 2 3 e o perímetro do quadrilátero A mede 42 m. Qual é o perímetro do quadrilátero B?

45‘, 45‘ e 90‘ 63 m

Figura I. Figura II.

Reinaldo Vignati

Quais dos retângulos representados na malha quadriculada a seguir são semelhantes? Explique como você chegou a essa conclusão.

pessoal.

Resolução da atividade 9

c)

Utilizando uma malha quadriculada:

a) amplie a figura A pelo fator 1,5;

b) reduza a figura B pelo fator 2;

c) desenhe uma figura semelhante à figura C na razão de semelhança 1 : 2.

10 Dois quadrados são sempre semelhantes? Justifique sua resposta.

11 Desde que foi inventada, a fotografia é um registro visual muito popular. Essa tecnologia digital possibilita obter imagens ampliadas ou reduzidas de qualquer coisa que se possa fotografar. Meça a altura de um dos colegas. Em seguida, tire uma foto dele com a câmera do celular. Lembre-se de que a fotografia deve ser tirada de frente e de corpo inteiro (ative a grade na câmera do celular). Depois, meça a altura do colega na fotografia. Qual razão de redução foi utilizada pela câmera ao fotografar o colega?

Respostas no Manual do Professor. Sim. Resposta pessoal. Resposta pessoal.

Orientações

A atividade 11 contempla as competências gerais 4 e 5 e as competências específicas 3 e 5

Resolução da atividade 8

Os retângulos A, B e F, pois as medidas dos pares de lados correspondentes são proporcionais: A razão entre A e B e entre A e F é de 1 : 2.

Resolução da atividade 10 Sim, pois seus lados são proporcionais e seus 4 ângulos sempre são congruentes (medem 90‘). Resolução da atividade 11 Resposta pessoal. É importante explicar que, se a foto for realizada por outros ângulos (como uma selfie, por exemplo), as proporções não se manterão, necessariamente, constantes na fotografia. Por isso, a foto deve ser tirada de frente. Discuta um pouco sobre vistas e perspectivas, lembrando que um mesmo objeto, de uma perspectiva diferente, pode assumir proporções também diferenciadas.

9 Veja como Maria representou três prismas.

Figura A.

Figura B.

Figura C.

FiguraA.

FiguraB.

FiguraC.

FiguraA.

FiguraB. FiguraC.

FiguraA. FiguraB. FiguraC.

Orientações

A semelhança de triângulos é consequência da semelhança de polígonos. Entretanto, como os triângulos são figuras rígidas, eles admitem outras relações e propriedades. Além disso, a semelhança entre dois triângulos pode ser determinada sem a necessidade de análise dos três pares de ângulos correspondentes e dos três pares de lados correspondentes. Escolhendo alguns elementos específicos, temos os casos de semelhança dos triângulos, que serão estudados na sequência.

Ao apresentar o teorema fundamental da semelhança de triângulos, verifique se os estudantes percebem que ficam estabelecidas retas paralelas (que passam pelas bases dos dois triângulos obtidos) e retas transversais (que passam pelos outros lados dos triângulos), ou seja, pode-se aplicar as relações das medidas dos ângulos estudadas no capítulo anterior.

Semelhança de triângulos

Considere os triângulos semelhantes ABC e DEF representados a seguir. Quando indicamos a semelhança desses dois triângulos por !ABC !DEF, isso significa que os vértices A, B e C são correspondentes aos vértices D, E e F, respectivamente:

!ABC ~!DEF

Dessa maneira, os ângulos correspondentes sãoAOBA e  AOBD,AOBB eAOBE , AOBC e AOB F , e os lados correspondentes são ABDE BC  EF  CA  FD e, e, e Portanto:

    

ooo ==

!ABC !DEF, então: , ADBEeCF AB DE BC EF CA FD

Propriedades da semelhança de triângulos

Reflexiva

Um triângulo é semelhante a ele mesmo.

!ABC !ABC

Simétrica

Se o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF, então o triângulo DEF é semelhante ao triângulo ABC

!ABC~!DEF, então !DEF ~!ABC

Transitiva

Se o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF e o triângulo DEF é semelhante a outro triângulo GHI, então o triângulo ABC é semelhante ao triângulo GHI

!ABC ~!DEF e !DEF ~!GHI, então !ABC ~!GHI

Teorema fundamental da semelhança de triângulos

Consideremos o triângulo ABC representado a seguir.

Traçando uma reta r paralela ao lado BC, ela vai intersectar o lado AB no ponto P e o lado AC no ponto Q. Comparando os triângulos ABC e APQ, temos:

Os dois triângulos têm os ângulos ordenadamente congruentes, pois:

•AOBA hAOBA (ângulo comum);

•AOBB hAOBP (ângulos correspondentes);

•AOBC hAOBQ (ângulos correspondentes).

Orientações

Retome o teorema de Tales, estudado anteriormente: um feixe de retas paralelas determina, sobre duas retas transversais, segmentos proporcionais.

A B CF E D

AC , temos: = AP AB AQ AC

Ilustrações: P Q R

Sendo PQBC // e aplicando o teorema de Tales nas transversais AB e

Pelo ponto Q, traçamos QR paralela a AB e aplicamos o teorema de Tales:

AB BC DE EF =

AB

AC DE DF =

== AP AB AQ AC BR BC

Sendo PBRQ um paralelogramo, então BR o PQ, logo:

== AP AB AQ AC PQ BC

Assim, conclui-se que os triângulos ABC e APQ são semelhantes, ou seja, !ABC ~!APQ

Dessa forma, podemos definir que:

Toda reta paralela a um lado de um triângulo que intersecta os outros lados em pontos distintos determina um novo triângulo semelhante ao primeiro.

O quociente comum entre as medidas dos lados correspondentes é chamado de razão de proporcionalidade ou razão de semelhança entre os dois triângulos.

Acompanhe o exemplo.

• Qual é a medida x, em centímetros, do segmento AE mostrado no triângulo retângulo ABC abaixo?

Aplicando o teorema de Tales, temos:

= x 24 12 16

16x = 12 . 24

16x = 288

BC AC EF DF =

Aproveite o exemplo do Livro do Estudante para desenvolvê-lo com a turma e observe como estão construindo essa aprendizagem. Se achar conveniente, revise o teorema de Tales, atribuindo valores aos segmentos delimitados pelos feixes de retas acima, e a forma de resolução.

D

A x A BE

C 16 cm 24 cm

12 cm

Orientações

Resolução da atividade 1

Os triângulos RPM e NPQ são semelhantes, !RPM ~ !NQP, pois RN e são retos, P é ângulo comum e, assim, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180‘ , MeQ têm a mesma medida. Logo, temos:

MP2 = MR2 + RP2 6 102 = 62 + + RP2 6 RP = 8 4 8 cm

MR NQ RP NP

Atividades

1 Observe a figura abaixo.

4 Considerando que, na figura abaixo, as medidas indicadas estão em centímetros, calcule o valor de x 2 5 cm

Sabendo que MR = 6 cm, MP = 10 cm e NP = 4 cm, calcule a medida de NQ em centímetros.

3 cm

=6=4

NQ NQ 68 4 3  3cm.

Resolução da atividade 2 Para encontrarmos y:

2 Observe esta figura. As medidas indicadas estão em centímetros.

2 6 4 224 1212  cm.

=6= =4 y y y

Para encontrarmos x:

x x x

2 69 318 33  cm.

=6= =4

Resolução da atividade 3

Sugestão de perguntas:

• Qual é a razão entre a medida de (BC) e de (EC)?

Por semelhança de triângulos, temos:

Se med(AAOB BC) = med(CAOB DE), calcule o valor de x e de y

x = 3 cm e y = 12 cm.

3 A figura a seguir representa dois terrenos planos, ABDE e DEC.

5 Um engenheiro vai construir uma casa retangular de dimensões x e y em um terreno com formato de triângulo retângulo, cujos catetos medem 25 metros e 40 metros. Observe o esquema do terreno e da casa.

a) Escreva y em função de x

b) Determine a fórmula matemática que representa a área da casa em função de x

c) Qual é a área ocupada pela casa quando x = = 15 m?

BC

EC = 12 8 = 3 2

• Qual é a medida de DE?

DE AB = EC BC DE 5 = 8 12 6 DE = 40 : 12 o 3,3 4 4 3,3 m

Resolução da atividade 4 no rodapé. Resolução

O terreno ABDE será destinado à construção de uma casa, e o terreno DCE, a um jardim.

Elabore perguntas com base nos dados dessa figura. Depois, troque-as com um colega para que ele as responda enquanto você responde as elaboradas por ele. Juntos, confiram as resoluções.

6 Para calcular a profundidade de um poço com 1,10 m de diâmetro, uma pessoa cujos olhos estão a 1,60 m do chão se posiciona a 0,50 m da borda, como mostra a figura abaixo. Determine a profundidade desse poço.

Representação de um poço visto em corte.

Triângulos semelhantes

Dois triângulos são semelhantes quando os ângulos internos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

Como sabemos, a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180‘. A semelhança entre triângulos pode ser verificada com base em alguns critérios denominados casos de semelhança, os quais vamos apresentar a seguir.

1? caso: AA (ângulo – ângulo)

Dois triângulos são semelhantes quando dois de seus ângulos correspondentes são congruentes. Veja o exemplo:

Orientações

Trabalhe com os estudantes cada caso de semelhança de triângulos e a associação dos elementos correspondentes. No 2? caso (LAL), enfatize que os ângulos correspondentes congruentes devem ser aqueles formados pelos pares de lados correspondentes proporcionais.

SeAOBB hAOBB' eAOBC hAOBC', então !ABC !A'B'C'.

2? caso: LAL (lado – ângulo – lado)

Dois triângulos são semelhantes quando dois de seus lados correspondentes são proporcionais e os ângulos formados por eles são congruentes. Veja o exemplo:

Se = '''' AB AB CB CB eAOBB hAOBB', então !ABC ~!A'B'C'.

3? caso: LLL (lado – lado – lado)

Dois triângulos são semelhantes quando seus três lados correspondentes são proporcionais. Veja o exemplo:

Se AB A'B' CB C'B' AC A'C' == , então !ABC !A’B’C ’.

1. Se, em dois triângulos, dois ângulos correspondentes são congruentes, o terceiro ângulo de cada triângulo também será congruente ao seu correspondente?

Sim.

2. Descreva o raciocínio que você utilizou para responder a essa pergunta. Resposta pessoal.

A D

C

Veja o exemplo no qual os ângulos A e D são formados pelos pares de lados proporcionais. Essa relação garante a semelhança dos triângulos ABC e DEF B EF

A D

C

No exemplo a seguir, os lados correspondentes congruentes não formam ângulos de mesma medida nas duas figuras. Portanto, essa relação não garante a semelhança dos triângulos ABC e DEF B EF

O Pense e responda trata de esclarecer o primeiro caso de semelhança, em que são necessários apenas dois ângulos internos congruentes para que os triângulos sejam semelhantes, pois a soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo é igual a 180‘

Ilustrações: Reinaldo Vignati

Orientações

Acompanhe a resolução dos exemplos com os estudantes e proponha que tentem representar as figuras e os triângulos formados, identificando os lados e os ângulos correspondentes. Depois, eles devem verificar as resoluções.

A identificação dos elementos correspondentes e aqueles necessários para estabelecer a semelhança dos triângulos será necessária para a resolução das atividades das próximas páginas.

Caso sintam dificuldade, desenhe outros triângulos na lousa e peça que façam identificações, como sugere o exemplo.

Acompanhe as situações a seguir.

• Dois muros cujas alturas são 9 m e 3 m, respectivamente, foram escorados por duas barras metálicas, como mostra a figura a seguir.

• O gráfico a seguir representa o preço pago por uma corrida de táxi de acordo com a distância percorrida.

Desprezando as espessuras das duas barras, a que altura do nível do chão elas se cruzam?

Do enunciado, podemos representar a figura abaixo.

Quantos reais custará uma corrida de 6,5 km com esse táxi?

Do gráfico, temos:

DC EF BC BF 3 h BC BF

=6=6.=. DC EF BC BF 3 h BC BF hBCBF 3

!ABE !ACD 6= AB AC BE CD

x 6,52 10 2 15,2 3615,2=-

x 4,5 8 15,2 20,8 =8x - 121,6 = 93,6 6 x = 26,9

Portanto, uma corrida de 6,5 km custará R$ 26,90.

!BDC !BEF

Atividades

3 Sabendo que AB // DE, calcule os valores de x e y. x = 8 cm e y = 24 cm.

Orientações

As

zam

Com base nos dados da figura, calcule as medidas de:

7,5 m

15 2 5 m

2 (FGV-SP) Há muitas histórias escritas sobre o mais antigo matemático grego que conhecemos, Tales de Mileto. Não sabemos se elas são verdadeiras, porque foram escritas centenas de anos após sua morte. Uma delas fala do método usado por ele para medir a distância de um navio no mar, em relação a um ponto na praia. Uma das versões diz que Tales colocou uma vara na posição horizontal sobre a ponta de um pequeno penhasco, de forma que sua extremidade coincidisse com a imagem do barco. Conhecendo sua altura (h), o comprimento da vara (c) e a altura do penhasco (d), ele calculou a distância x em relação ao barco.

4 Uma lâmpada  F, cujas dimensões são desprezíveis, é fixada no teto de uma sala cuja altura é 6 m. Uma placa quadrada opaca com lado de 40 cm é suspensa a 2 m do teto, de modo que sua face seja horizontal e seu centro esteja na mesma posição vertical que a lâmpada, como ilustra o esquema abaixo. Calcule a área da sombra projetada no chão da sala. Dados: H = 6 m; h = 2 m; W= 40 cm = 0,4 m. A = 1,44 m2

Descreva com suas palavras um método para calcular a distância x. Em seguida, determine a distância do navio à praia com estes dados:

Resposta pessoal. 125 m

h = 1,80 m;

c = 0,75 m;

d = 298,20 m.

5 Considere o triângulo ACD isósceles, em que BE // CD , BE = 6 cm, CD = 10 cm, AE = 8 cm. Qual é a medida do perímetro do trapézio BCDE? Aproximadamente 26,7 cm.

1 Considere a figura a seguir.

a) AB;

b) AC

Ilustrações: Reinaldo Vignati

Orientações

Resolução da atividade 6

6 Segundo a Óptica Geométrica, nos meios homogêneos e transparentes a luz se propaga em linha reta (princípio da propagação retilínea da luz).

HH

H 2 110 10 10220 22  22m =6= =4

Resolução da atividade 7 = + 6 x 0, 8 2, 2 3, 2 (3 ,2 )

2,56 + 0,8x = 7,04

0,8x = 4,48 x = 5,6 4 5,6 m Alternativa d Resolução da atividade 8 22,1m 10,4m h

22 ,1 10 ,4 0, 8 10,422,10,8

h h h

= =. =4

1,7  1,7m

Resolução de Lógico, é lógica!

Sendo E o terceiro trabalho, o trabalho C deverá ser feito antes dele. Assim, C deverá ser o primeiro ou segundo trabalho a ser realizado.

Trabalhos

1? 2? 3? 4? 5? CE CE CE CE

Como os trabalhos B e D devem ser feitos antes de A, temos as possibilidades a seguir:

Trabalhos

1? 2? 3? 4? 5?

CBEDA CDEBA BCEDA DCEBA

Assim, o quarto trabalho deverá ser B ou D Alternativa e

Esse princípio pode ser empregado para determinar grandes alturas, como prédios, montanhas etc.

A imagem a seguir mostra, de acordo com esse princípio, as sombras projetadas no solo de um poste de luz e de uma torre elétrica.

Com base nos dados da imagem, calcule a altura da torre. 22 m

7 (ENEM) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 m. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:

a) 1,16 metro. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros.

8 (PUC-SP) A um aluno foi dada a tarefa de medir a altura do prédio da escola que frequentava. O aluno, então, pensou em utilizar seus conhecimentos de óptica geométrica e mediu, em determinada hora da manhã, o comprimento das sombras do prédio, e dele próprio, projetadas na calçada (L e W, respectivamente).

Facilmente, chegou à conclusão de que a altura do prédio da escola era de cerca de 22,1 m. As medidas por ele obtidas para as sombras foram L = 10,4 m e W = 0,8 m. Qual é a altura do estudante?

(FATEC-SP) Um estudante da Fatec Cotia deve realizar cinco trabalhos: A, B, C, D e E, que serão executados um de cada vez. Considerando o cronograma de entrega, ele estabeleceu as seguintes condições:

• não é possível realizar o trabalho A antes do trabalho B;

• não é possível realizar o trabalho A antes do trabalho D;

• o trabalho E só pode ser feito depois do trabalho C; e

• o trabalho E deverá ser o terceiro a ser realizado.

Assim sendo, o quarto trabalho a ser realizado:

a) só pode ser o A

b) só pode ser o B

Alternativa e

c) só pode ser o D

d) só pode ser o A ou o B

e) só pode ser o B ou o D

A matemática na propagação da luz

Uma consequência da propagação retilínea da luz é a formação de imagens em um dispositivo conhecido como câmera escura.

Trata-se de um dispositivo composto basicamente de uma caixa fechada por paredes opacas e com um pequeno orifício em uma delas, pelo qual penetram os raios luminosos provenientes de um objeto luminoso ou iluminado.

Veja o exemplo da vela de comprimento x na frente do orifício O de uma câmera escura na figura a seguir.

hh 10 50 18 3, 6  3,6m =6=4

c)

5m h d 50cm=0,5m

hhd 5 0, 5 d 2, 5 =6=

x +5 h d 40cm=0,4m h xd hd 5 0, 4 0, 4x 2 + =6=+ 0,4 x + 2 = 2,5 6 x = 1,25 4 1,25 m O deslocamento deve ser de afastamento.

A vela emite luz em toda as direções, motivo pelo qual podemos observá-la de qualquer lugar do ambiente. Ela também emite luz na direção do orifício da câmera escura. Vamos analisar esses raios de luz. Os raios de luz provenientes da vela cruzam o orifício e, por se propagarem em linha reta, atingem a parede aposta da câmera escura, formando uma imagem de comprimento x, invertida em relação à fonte x. Pela montagem da figura, é possível identificar a formação de dois triângulos: AOB e A’OB” opostos pelo vértice (orifício O da câmara). Pela propriedade geométrica de semelhança dos triângulos AOB e A’OB’, podemos escrever = x p x p

' ' , sendo p a distância entre o objeto e o orifício O e p’ a distância entre o orifício O e a ima-

gem x no plano da câmera escura.

Em uma câmara escura caseira, feita com uma lata de alumínio e papel vegetal no lugar da tampa da lata, a imagem poderá ser vista por um observador localizado após a posição x, no lado direito do nosso esquema acima.

a) Faça uma pesquisa sobre os princípios da propagação retilínea da luz.

b) Um objeto retilíneo de 10 cm de altura está a 50 cm de uma câmera escura com orifício de 18 cm de profundidade. Calcule a altura da imagem que será formada.

c) Uma árvore está a uma distância de 5 m de uma câmera escura de orifício. Nessas condições, sua imagem na caixa mede 50 cm. A que distância da posição inicial devemos levar a caixa para que a nova imagem tenha 40 cm? Esse deslocamento deve ser de aproximação ou afastamento do objeto? 1,25 m; afastamento

Orientações

Matemática Interligada trabalha proporcionalidade a partir da propagação da luz, o que favorece o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal: Ciência e Tecnologia. Convide o professor de Ciências para fazer uma atividade conjunta de discussão sobre a refração da luz. Prepare o ambiente para realizar experiências com a luz de uma lanterna e, de acordo com a variação das distâncias, calcular proporções. Atividades como esta favorecem o desenvolvimento das competências específicas 2 e 3

Resolução das atividades propostas

a) Princípio da propagação retilínea da luz: em um meio homogêneo e transparente, a luz se propaga em linha reta.

Princípio da reversibilidade dos raios de luz: o caminho percorrido por um raio de luz não se modifica quando invertemos as posições da fonte de luz e do observador.

Princípio da independência dos raios de luz: os raios de luz de determinado feixe são independentes um do outro. Isso significa que, se um raio luminoso atravessar o caminho de outro raio luminoso, ambos seguem sua trajetória sem sofrer nehum tipo de interferência.

Objetivos do capítulo

• Construir polígonos regulares usando régua, compasso e esquadro.

• Descrever um algoritmo para a construção de polígonos regulares usando fluxogramas.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 5 Competências específicas 5 Habilidades EF09MA15

Orientações

Como os estudantes precisarão de régua, compasso e esquadro para as atividades de construção, solicite esses materiais com antecedência.

Em Para começar, retome com os estudantes o conceito de polígonos regulares estudado anteriormente usando os polígonos representados na malha quadriculada e outros. Se possível, entregue-lhes desenhos de polígonos regulares e de polígonos não regulares para que possam medir os lados e os ângulos internos e classificá-los.

Construção de polígonos regulares

O quadrado é regular.

Em sua opinião, quais dos polígonos abaixo são regulares?

Construção de um triângulo equilátero

Já vimos que polígono regular é um polígono convexo cujos lados têm a mesma medida e cujos ângulos internos também têm medidas iguais. O quadrado, o triângulo equilátero e o pentágono regular são exemplos de polígonos regulares. Para construir um triângulo equilátero cujo lado mede x, desenhamos um segmento AB com a medida x desejada. Com a ponta-seca do compasso em A e abertura x, trace um arco. Com a ponta-seca do compasso em B e abertura x, trace um arco que intersecte o primeiro. O ponto de intersecção será o terceiro vértice, C

Construção de um quadrado

Observe os passos para construir um quadrado, dada a medida L do lado.

1? passo: Traçamos uma reta r e marcamos nela os pontos A e B, de modo que med(AB) = x

2? passo: Com o compasso, traçamos as perpendiculares à reta r a partir dos pontos A e B

3? passo: Com abertura de medida x e a ponta-seca do compasso em B, marcamos o ponto C

4? passo: Com a mesma abertura e a ponta-seca do compasso em A, marcamos o ponto D

Ilustrações:

5? passo: Desenhamos o segmento CD, completando o quadrado ABCD

Orientações

Faça a leitura coletiva do fluxograma da construção do quadrado, comparando os passos da construção feita com régua e compasso. Além de registrar os passos ordenadamente, do início ao fim, esse fluxograma garante a construção de qualquer quadrado, bastando definir a medida do lado.

Atividades complementares

Peça aos estudantes que, em duplas, construam dois quadrados, um com 3 cm de lado e outro com 5 cm de lado. Em cada dupla, ambos devem seguir os passos do fluxograma, mas cada estudante deve utilizar uma das medidas citadas. Ao final, ambos terão construído o quadrado seguindo os mesmos passos.

Veja o fluxograma dessa construção a seguir.

Traçar uma reta r

Em r, marcar os pontos A e B, de modo que med(AB) = x

Por A, traçar uma perpendicular s à reta AB

Por B, traçar uma perpendicular t à reta AB

Com a ponta-seca do compasso em B e abertura de medida x, marcar na reta s o ponto C

Com a ponta-seca do compasso em A e abertura de medida x, marcar na reta t o ponto D

Traçar o segmento CD completando o quadrado

Orientações

Na construção do octógono, usa-se a ideia de polígono inscrito em uma circunferência. Para isso, é necessário dividir a circunferência em 8 partes iguais, o que pode ser feito utilizando um par de retas perpendiculares no centro dela e as bissetrizes dos ângulos formados por essas retas. Também é interessante utilizar o GeoGebra para a construção desse polígono.

Enfatize o uso correto das ferramentas e a importância de seguir com clareza o passo a passo para evitar erros.

Para aprofundar

Para auxiliar nessas construções, sugerimos a leitura do livro de um professor do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA).

• WAGNER, Eduardo. Construções geométricas. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2007.

Construção de um octógono regular

1? passo: Traçamos uma reta r e sobre ela marcamos um ponto A Com a ponta-seca do compasso em A e abertura igual à medida x, marcamos em r o ponto B

2? passo: Traçamos a mediatriz do segmento AB, determinando o ponto

3? passo: Com centro em M e abertura igual à medida de AM , traçamos um arco, determinando o ponto N

4? passo: Com o centro do compasso em N e abertura igual à medida do segmento NA, traçamos um arco, marcando o ponto P

5 ? passo: Com centro em P e abertura igual à medida do segmento PA, traçamos uma circunferência.

Orientações

Comente com os estudantes que qualquer polígono regular pode ser construído usando a ideia de estar inscrito em uma circunferência. Para isso, é necessário elaborar uma sequência de passos que possibilite dividir a circunferência na quantidade de partes iguais desejadas.

Por exemplo, pode-se traçar uma circunferência e marcar nela um ponto. Depois, traça-se uma circunferência de mesmo raio com centro nesse ponto e, a cada novo ponto de intersecção da circunferência traçada com a circunferência inicial, repete-se o procedimento, até que a circunferência esteja dividida em 6 partes iguais. Unindo todos esses pontos, obtém-se o hexágono regular. Unindo três desses pontos, intercalados, obtém-se o triângulo equilátero.

6? passo: Traçamos a reta AP, determinando o ponto E, e a reta BP, determinando o ponto F

7? passo: Traçamos a mediatriz de BF , determinando os pontos D e H

8? passo: Traçamos a mediatriz de AE , determinando os pontos C e G

9? passo: Unimos os pontos determinados na circunferência, formando o octógono cujo lado mede x

Orientações

A seção Atividades mobiliza a habilidade EF09MA15 ao propor diferentes construções de polígonos regulares utilizando régua e compasso e seguindo ou criando um fluxograma de passos.

Resolução da atividade 1

Início

Trace um segmento AB de medida 5 cm

Com abertura de 5 cm, trace com o compasso dois arcos que se intersectem. Um com a ponta-seca em A e o outro com a ponta-seca em B

Marque o ponto C na intersecção dos dois arcos

Trace os segmentos CA e CB completando o triângulo.

Fim

Resolução da atividade 2

O passo a passo para a construção do quadrado se encontra nas páginas 152 e 153 do Livro do Estudante.

Resolução da atividade 3

Com uma régua, traçar o lado AB de 5 cm de comprimento.

Traçar as perpendiculares ao lado AB pelos pontos A e B

Marcar nessas perpendiculares os pontos C e D a 3 cm de B e de A, respectivamente.

Unir os pontos C e D para obter o retângulo ABCD

Resolução da atividade 4

O passo a passo para a construção de um octógono está nas páginas 154 e 155 do Livro do Estudante.

Na página 156, há um fluxograma desse processo.

Atividades

Veja o fluxograma dessa construção a seguir.

Início

Traçar uma reta r e marcar nela o ponto A

Em r, marcar o ponto B, de modo que med(AB) = x

Traçar a mediatriz do segmento AB, determinando o ponto M

Com a ponta-seca do compasso em B e abertura da medida de MA, marcar na mediatriz o ponto N

Com a ponta-seca do compasso em N e abertura da medida de NA, marcar na mediatriz o ponto P

Traçar uma circunferência com centro em P e raio com a medida de PA

Traçar a reta AP, determinando na circunferência o ponto E

Traçar a reta BP, determinando na circunferência o ponto F

Traçar a mediatriz de BF, determinando na circunferência os pontos D e H

Traçar a mediatriz de AE, determinando na circunferência os pontos C e G

Traçar o octógono unindo os pontos A, B, C, D, E, F, G e H

Fim

Faça no caderno

1 Escreva um fluxograma para construir um triângulo equilátero cujo lado mede 5 cm.

2 Desenhe um quadrado cujo lado meça 4 cm.

3 Desenhe um retângulo cujos lados meçam 5 cm e 3 cm.

Respostas no Manual do Professor. O procedimento é semelhante à construção de um quadrado.

4 Desenhe um octógono com 3 cm de lado.

Utilizando o aplicativo GeoGebra para construir polígonos regulares

Em apenas quatro passos vamos aprender a construir polígonos regulares.

1? passo: Faça o download, em computador ou smartphone, de um software de Geometria dinâmica de sua preferência e encontre a aba de ferramentas, como mostra o exemplo ao lado.

2? passo: Com o comando “Polígono regular” podemos construir polígonos a partir de dois pontos e de um valor positivo estabelecido para indicar a quantidade de lados e vértices.

3? passo: Selecione dois pontos no plano. Feito isso, uma janela irá aparecer para que você escolha a quantidade de vértices. No exemplo, escolhemos 6 vértices para obter um hexágono.

Orientações

MatemaTIC apresenta o passo a passo para manusear o GeoGebra e construir polígonos regulares. Essa abordagem favorece o desenvolvimento da competência geral 5, no que se refere a compreender, utilizar e criar tecnologias digitais, como também a competência específica 5, por utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas.

Peça aos estudantes que comparem os diferentes tipos de resolução da atividade proposta e, se julgar conveniente, amplie a atividade pedindo-lhes que construam outros polígonos.

4? passo: Após digitar o número de vértices clicando em “OK” obtém-se um polígono regular automaticamente.

Fácil, não é? Agora é sua vez!

Resposta pessoal.

Seguindo o passo a passo, construa um triângulo equilátero, um quadrado e um octógono. Compartilhe as construções com os colegas!

6 (UFV-MG) Para determinar o comprimento de uma lagoa, utilizou-se o esquema indicado pela figura abaixo, onde os segmentos AB e CD são paralelos.

Determine a menor distância (d ) que o carro pode ficar do ônibus de modo que o motorista possa enxergar o semáforo inteiro.

a) 13,5 m

b) 14,0 m

c) 14,5 m

d) 15,0 m

e) 15,5 m

Resolução da atividade 6

Sendo AB e CD paralelos, os triângulos APB e CPD são semelhantes.

Assim:

Sabendo-se que AB = 36 m, BP = 5 m e DP = 40 m, o comprimento CD da lagoa em metros, é:

Alternativa c

a) 248.

b) 368.

c) 288.

d) 208.

e) 188.

7 (UFPR) Em uma rua, um ônibus com 12 m de comprimento e 3 m de altura está parado a 5 m de distância da base de um semáforo, o qual está a 5 m do chão. Atrás do ônibus, para um carro, cujo motorista tem os olhos a 1 m do chão e a 2 m da parte frontal do carro, conforme indica a figura abaixo.

Autoavaliação

8 (UFMA) Em um dia de tráfego intenso, não foi possível ao funcionário da SETUB medir a largura de um certo trecho da Avenida Daniel de La Touche, cujos meios-fios são retas paralelas. Contudo, utilizando a figura a seguir, foi possível ao funcionário encontrar que a largura era de:

a) 12,8.

b) 13,5.

c) 14,6.

d) 15,2.

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Entendo a relação entre ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal.

Resolvo problemas que estabelecem relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência.

Reconheço as condições necessárias para que dois triângulos sejam semelhantes.

Resolvo problemas que envolvem semelhança entre triângulos.

Construo polígonos regulares usando régua, compasso e esquadro.

Descrevo um algoritmo para a construção de polígonos regulares usando fluxogramas.

Autoavaliação

CD

CD 36 40 5 288 288 cm

= =4

Alternativa c Resolução da atividade 7

Alternativa d d dd dd dd

,8 12 ,8 + + = +=+ +=+ =6=4

() ()

d Resolução da atividade 8 19 2 4 2 2194 2 2384 8 2301515m

Luca Navarro

Figura fora de escala

Principais objetivos da unidade

• Ler, interpretar e construir gráficos com ou sem uso de planilhas eletrônicas para representar um conjunto de dados.

• Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, elementos que podem induzir em erro de leitura e interpretação.

• Planejar e executar pesquisa amostral e comunicar os resultados por meio de relatório.

Justificativa

Os objetivos desta unidade retomam e ampliam conteúdos já estudados em anos anteriores, como a construção de vários tipos de gráfico e a escolha do gráfico mais adequado para apresentar os dados, desenvolvendo a habilidade EF09MA22 Também são discutidas as questões referentes a erros introduzidos em gráficos apresentados pela mídia, às vezes de forma proposital, trabalhando a habilidade EF09MA21. Para completar será discutida a proposta de realização de uma pesquisa amostral, contemplando os aspectos da habilidade EF09MA23

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento desses objetivos é esperado que os estudantes:

• construam tabelas de frequências;

• conheçam os conceitos de média aritmética, mediana e moda;

• conheçam o sistema cartesiano ortogonal;

• conheçam os procedimentos para a construção dos vários tipos de gráficos: de colunas, de setores e de linhas.

Avaliação diagnóstica

É importante observar se os estudantes já dominam os pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos nesta unidade. Para isso, promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem dos pré-requisitos elencados e a citar exemplos do cotidiano. Elabore algumas atividades escritas para verificar o que já dominam. Se necessário, retorne os conteúdos propostos para garantir que todos tenham compreendido.

Será que devemos restringir alimentos de nossa alimentação para sermos saudáveis?

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 2, 4, 5 e 7

Competências específicas 2, 4, 6, 7 e 8

Habilidades EF09MA21, EF09MA22 e EF09MA23

Foco nos TCTs

• Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

Gráficos e pesquisa amostral

Os números são alarmantes. Até 70% das “fake news” (notícias falsas) têm mais chances de viralizar nas mídias sociais do que as notícias verdadeiras. Entre elas, as informações sobre saúde são as mais comuns.

PALOS, Débora. Fake news faz mal à saúde: conheça 5 notícias falsas sobre alimentação. In: HOSPITAL NOVE DE JULHO. São Paulo, 30 mar. 2021. Disponível em: https://www.h9j.com.br/pt/sobre-nos/blog/fake-news-faz-mal-a-saude -conheca-5-noticias-falsas-sobre-alimentacao. Acesso em: 21 maio 2022.

1. Você já recebeu e/ou repassou alguma notícia falsa?

Orientações

Para introduzir os conceitos desta unidade, pergunte aos estudantes onde costumam ver informações gráficas. É esperado que respondam que costumam vê-las em notícias de jornais, na televisão. Nesse momento, você pode apresentar gráficos mais atrativos ao interesse deles, por exemplo, o gráfico de habilidades do personagem de algum jogo; ou estatísticas do jogo de um esporte de que eles gostem; ou até mesmo o levantamento de alguma informação relacionada a séries de uma plataforma virtual. Estratégias como essas visam estimular a curiosidade do estudante sobre o tema em questão e, consequentemente, favorecem o desenvolvimento da competência geral 2 Aproveite as questões apresentadas para conversar com os estudantes sobre a importância de conferir as informações recebidas nas mídias sociais antes de repassá-las para seus contatos. Espera-se que os estudantes façam a pesquisa proposta e depois respondam às questões.

Respostas pessoais.

2. Você costuma checar a veracidade das informações recebidas antes de repassá-las?

3. Julgue as afirmações a seguir e depois cheque, em fontes confiáveis, se são verdadeiras ou falsas.

a) Beber água quente com limão em jejum emagrece.

Nas atividades 1 e 2, aproveite para conversar com os estudantes sobre as consequências de disseminar fakenews

b) Chocolate diet engorda menos do que o tradicional.

c) Comer abacaxi após as refeições emagrece.

Falsa. Falsa. Falsa.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• ler, interpretar e construir gráficos com ou sem o uso de planilhas eletrônicas para representar um conjunto de dados;

• analisar e identificar elementos que podem induzir a erro de leitura e interpretação em gráficos divulgados pela mídia;

• planejar e executar pesquisa amostral e comunicar os resultados por meio de relatório.

3 a) Falsa. Beber água quente com limão ajuda na regularização intestinal, estimulando a evacuação. A redução de peso ocorre quando conseguimos realizar um balanço energético negativo, ou seja, ingerimos menos calorias e/ou aumentamos o gasto energético em atividades do dia a dia ou em práticas esportivas.

b) Falsa. Chocolates diet são aqueles que não possuem açúcar. Não servem para quem quer perder peso, pois, para o gosto permanecer atrativo, a quantidade de gorduras adicionadas acaba tornando o número de calorias maior ou equivalente ao dos chocolates convencionais.

c) Falsa. O abacaxi, quando consumido após as refeições, auxilia no processo digestivo, mas não diminui os valores calóricos e não interfere na absorção das gorduras das refeições.

Objetivos do capítulo

• Ler, interpretar e construir gráficos com ou sem uso de planilhas eletrônicas para representar um conjunto de dados.

• Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, elementos que podem induzir a erro de leitura e interpretação.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2, 4 e 7

Competências específicas 2, 4, 6 e 8

Habilidades EF09MA21 e EF09MA22

Foco nos TCTs

• Processo de envelhecimento, e respeito e valorização do Idoso

Orientações

Para introduzir o tema, desenvolva com os estudantes a pergunta do Para começar. Se houver oportunidade, faça uma pesquisa semelhante na sala de aula e monte uma tabela na lousa. Feito isso, pergunte onde eles gostam de estar para se divertir. Se julgar conveniente, faça a tabela com outro tema, por exemplo, o estilo musical favorito da turma ou o game/ filme/série favorita.

Resolução do Para começar

a) LocaisContagemTotal

Leitura, interpretação e construção de gráficos

Ana fez a seguinte pergunta aos seus estudantes do 9? ano do Ensino Fundamental: “Qual é o local que vocês gostariam de estar neste momento?”. Veja o resultado dessa pesquisa.

Portanto, são 5 lugares.

b) O lugar mais escolhido foi a praia, pois ocorreu mais vezes (4 vezes).

c) Respostas possíveis: tabela, gráfico de barras ou gráfico de setores.

a) Quantos lugares distintos foram propostos pelos estudantes? 5

b) Qual foi o lugar mais escolhido? Por quê? Praia, porque ocorreu mais vezes.

c) Como poderíamos organizar esse resultado? Possibilidades de resposta: tabela, gráfico de barras, gráfico de setores.

Gráficos de barras

Os gráficos são uma importante ferramenta para obter e organizar informações. Contudo, não basta ler as informações apresentadas, é preciso saber interpretá-las. Por isso, verificar as variações, ficar atento à proporcionalidade das barras ou dos setores em função dos dados, observar se a escala está adequada, entre outros, são alguns dos cuidados que devemos ter na hora de ler e interpretar um gráfico.

Os gráficos de barras (ou de colunas), os gráficos de setores e os gráficos de linhas são os mais utilizados nos meios de comunicação e informação.

O gráfico a seguir apresenta informações sobre os rendimentos provenientes de todos os trabalhos e de outras fontes não oriundas do trabalho das pessoas residentes no Brasil, por região, comparando os dados de 2019 e 2020. Os dados foram coletados pela Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua (Pnad Contínua).

Praia Clube Museu Teatro Clube Clube Praia Teatro Museu Praia Praia Parque

Lilian Gonzaga

Acesso

O gráfico de barras é uma ferramenta muito utilizada para apresentar grande quantidade de dados. As barras, que representam grupos de dados, podem ter comprimentos iguais ou diferentes e ser horizontais ou verticais.

Os gráficos de barras também podem ser chamados de gráficos de colunas, quando as barras são verticais.

Para a construção de um gráfico de barras é preciso estabelecer alguns elementos.

• Faça dois eixos, um vertical e um horizontal, perpendiculares entre si.

• Em um dos eixos, coloque as variáveis qualitativas distribuídas de modo que todas as barras tenham a mesma largura e que as distâncias entre elas sejam sempre iguais.

• Em ambos os eixos, as distâncias que representam as unidades da escala devem ser rigorosamente uniformes.

• As barras devem ser proporcionais às escalas escolhidas.

• Escreva a legenda correspondente a cada eixo.

• Coloque o título do gráfico e a fonte das informações, mesmo que a fonte seja fictícia.

Observe como pode ser construído o gráfico da tabela a seguir.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA21, da competência geral 7 e das competências específicas 2, 4 e 6

Providencie algumas folhas de cartolina, revistas e jornais e, após a explicação sobre gráficos de barras, solicite que, em grupos, os estudantes recortem delas gráficos de barras e os colem na cartolina. (Se for possível, essa pesquisa sobre gráficos pode ser feita na internet e os gráficos devem ser impressos.) Abaixo de cada gráfico, eles deverão escrever do que ele trata e, ao final do trabalho, cada grupo deverá apresentar os gráficos encontrados para a turma. Aproveite para discutir com os estudantes algumas questões acerca de fakenews e informações que podem induzi-los ao erro.

Para aprofundar

[...] Quando foi publicado pela primeira vez, em 1954, o livro de Darrell Huff foi saudado como pioneiro em conjugar linguagem simples e ilustrações para tratar de um tema polêmico e controverso: o mau uso da estatística para maquiar dados e abalizar opiniões. [...]

HUFF, Darrel. Como mentir com estatística Rio de Janeiro: Intrínseca, 2016.

Variável qualitativa: expressa uma qualidade, por isso não pode ser representada numericamente. São exemplos de variáveis qualitativas: o sexo, a cor dos olhos, a marca de um automóvel, as preferências pessoais etc.

Fonte: IBGE. Rendimento de todas as fontes 2020 Pnad Contínua. Rio de Janeiro: IBGE, c2021. p. 2. Boletim informativo. Disponível em: https:// biblioteca.ibge.gov. br/visualizacao/livros/ liv101880_informativo.pdf.

em: 21 maio 2022.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA22

Faça a construção dos gráficos na lousa explicando o passo a passo. Observe se os estudantes acompanham a construção e aproveite para esclarecer a importância da escolha das unidades de escala nos eixos.

Frequência: ou frequência absoluta, refere-se à quantidade de vezes que um dado se repete. Por exemplo: 50 dos 400 jovens que participaram de uma pesquisa praticam ciclismo durante a semana. A quantidade 50 representa a frequência com que o ciclismo foi citado pelos jovens.

Esta tabela apresenta a distribuição de frequências nas modalidades de atividades físicas praticadas pelos estudantes do 9? ano de uma escola.

Atividades físicas praticadas pelos estudantes do 9 ? ano

1? Com o auxílio de uma régua, trace dois eixos perpendiculares: um vertical, para representar a proporção das frequências, e outro horizontal, para representar as modalidades de atividades físicas.

2? Escolha a unidade de escala, cuidando para que as barras e/ou colunas tenham a mesma largura e que as distâncias entre as barras sejam sempre as mesmas. Observando a tabela temos que a menor frequência é 27. Por isso, podemos usar 25 unidades para a escala do eixo vertical. Para a escala do eixo horizontal, marcamos uma distância uniforme entre as modalidades.

3? Desenhamos as barras e/ou colunas, considerando as proporções de acordo com a escala.

Orientações

O conteúdo e a atividade dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA22

Problematize as questões apresentadas em Pense e responda fazendo um levantamento das diferentes respostas dos estudantes e suas justificativas.

Resolução do Pense e responda O eixo das abscissas corresponde ao eixo horizontal, e o das ordenadas, ao eixo vertical.

Resolução da atividade 1

4? Não podemos nos esquecer de colocar o título do gráfico e a fonte.

Atividades físicas praticadas pelos estudantes do 9? ano

Atividades

O eixo das abscissas de um gráfico corresponde ao eixo vertical ou horizontal? E o eixo das ordenadas?

• Converse com um colega. A que conclusões vocês chegaram?

a) Gráfico de colunas (barras verticais)

Venda

1 A tabela abaixo mostra a evolução mensal das vendas de certo produtor de janeiro a junho do ano passado.

b) Por exemplo:

• Suponha que, no primeiro trimestre, cada unidade desse produto foi vendida por R$ 100,00, no segundo trimestre, por R$120,00. Quantos reais a mais foram obtidos no segundo trimestre com a venda desse produto?

Resolução:

Respostas no Manual do Professor.

a) Construa o gráfico de colunas correspondente aos dados dessa tabela.

b) Elabore um problema com essas informações.

Tarcísio Garbellini

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA21 e EF09MA22

Resolução da atividade 2

a) Exemplo de gráfico no rodapé da página.

b) A moda é o valor mais frequente em um conjunto de dados, portanto, no conjunto em questão, ela vale 60.

c) Por exemplo:

• Qual foi a razão mais escolhida pelos estudantes?

Estudar e fazer pesquisas.

• Quantos estudantes a menos responderam assistir a programas preferidos do que estudar e fazer pesquisas?

60 - 17 = 43 4 43 estudantes

Resolução da atividade 3

a) É aquele cuja barra tem o menor comprimento, ou seja, Brasil, com 85%.

b) Estados Unidos e França, com 67%; Canadá e Irlanda, com 61%.

c) Suécia com 47%; Alemanha com 38% e Países Baixos com 31%.

É interessante retomar as questões referentes à conferência de informações pelos estudantes para evitar que disseminem fakenews

2 A tabela ao lado apresenta a distribuição de frequência das respostas dos estudantes do 9? ano de uma escola sobre as razões pelas quais eles usam a internet.

a) Construa um gráfico de barras ou de colunas com base nos dados apresentados nessa tabela.

b) Qual é a moda do conjunto de dados?

Resposta no Manual do Professor. 60

c) Elabore duas questões e, em seguida, troque-as com um colega para que ele possa responder às suas e você, às dele.

Razões pelas quais os estudantes do 9 ? ano usam a internet

programas preferidos 17

Conversar com outras pessoas 12

Buscar informações sobre o que acontece no mundo 25

Passar o tempo 10

Fonte: Dados fictícios. Resposta pessoal.

3 Em um cenário de crescente populismo, instabilidade política e econômica, foi publicada, na edição de 2019 do Reuters Institute Digital News Report, a situação de 15 países identificados no relatório acerca da preocupação com fake news na internet. Veja a seguir.

Países que mais se preocupam com Fake News na internet Índice de preocupação com o noticiário online em 2019

Fonte: McCARTHY, Nial. Brasil é o país que mais teme fake news na internet. Forbes, São Paulo, 13 jun. 2019. Disponível em: https://forbes.com.br/ escolhas-do-editor/2019/06/brasil-e-o-pais-que-mais-se-preocupa-com-fake-news-na-internet/. Acesso em: 21 maio 2022.

a) Qual país lidera o ranking dos países que mais se preocupam com as notícias falsas?

b) Quais países identificados no relatório têm o mesmo índice de preocupação com fake news na internet?

França e Estados Unidos, com 67%; Canadá e Irlanda, com 61%.

c) Quais países identificados no relatório têm o índice menor que 50%?

Brasil. Suécia, Alemanha e Países Baixos.

Gráfico da atividade 2 a)

Tarcísio Garbellini

Países que mais se preocupam com fake news na internet em 2019

Razões pelas quais os estudantes do 9o ano usam a internet

Tarcísio Garbellini Fonte: Dados fictícios.

4 O gráfico abaixo mostra o crescimento da população indígena no Brasil de 1991 até 2010, segundo os Censos de 1991, 2000 e 2010. O Censo é realizado no Brasil a cada dez anos. No entanto, devido à pandemia da covid-19, houve um atraso na edição de 2020.

Evolução da população indígena

Evolução da população residente autodeclarada indígena

Fonte: IBGE: Os indígenas no censo demográfico de 2010: primeiras considerações com base no quesito cor ou raça. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 12. Disponível em: https://www.ibge.gov. br/indigenas/indigena_ censo2010.pdf. Acesso em: 21 maio 2022.

Observando os dados do gráfico, respondam às questões a seguir.

a) Do ano de 2000 para o ano de 2010, a população indígena aumentou ou diminuiu? Em quantas pessoas? Aumentou; 83 836 pessoas.

b) Pesquisem com os colegas de grupo e, com as respostas, elaborem uma apresentação para a classe.

• Como vocês analisam a situação atual da população indígena no Brasil?

• Como é a situação dessa população na região em que vocês moram?

5 Segura este físico! A matemática de uma avaliação física. As academias estão lotadas. Cada vez mais as pessoas têm procurado estabelecer uma rotina de exercícios físicos, seja por interesses estéticos, seja para melhorar a própria saúde. O profissional de Educação Física é responsável por orientar esse processo e garantir que os treinos sejam executados com segurança. Esse profissional dispõe de um recurso muito útil na construção dos treinos: a avaliação física. A partir de vários testes e medições, o educador físico elabora um relatório que, por meio de tabelas, gráficos, medidas e índices matemáticos, possibilita traçar o perfil de seus alunos para prescrever os exercícios mais adequados a cada um.

Respostas no Manual do Professor.

a) Pesquise quais são os principais tipos de gráfico que podem ser utilizados para registrar os dados de uma avaliação física e os tipos de variável que uma avaliação física costuma apresentar.

b) Faça uma pesquisa sobre como se calcula o Índice de Massa Corporal (IMC) de uma pessoa e a classificação que se dá para cada faixa de valores do IMC, de acordo com a Organização Mundial da Saúde (OMS).

c) Pergunte a alguns integrantes de sua família as medidas da massa e da altura de cada um. Em seguida, construa um relatório usando gráficos e tabelas para representar os resultados dessa pesquisa, destacando a média, a moda e a mediana dos valores obtidos. Você também pode calcular o IMC dos familiares e indicar a classificação de cada pessoa de acordo com a OMS.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA22

Resolução da atividade 4

a) A população indígena aumentou em:

817 963 - 734 127 = 83 836.

Aumentou 83 836 pessoas

Resolução da atividade 5

a) Em uma busca na internet pode-se obter os gráficos utilizados para a avaliação física.

b) Sobre o Índice de Massa Corporal, IMC, pode-se encontrar material abundante na internet, inclusive diferenciando os critérios de cálculo para homens, mulheres e crianças. Se julgar conveniente, solicite detalhamento da pesquisa.

c) Resposta depende dos dados obtidos.

Resposta pessoal.

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA22

Nesse momento, retome os conceitos de fração já aprendidos pelos estudantes apresentando círculos divididos em setores. Faça a associação entre a fração relativa aos setores e o percentual que equivaleria a cada um deles. Na sequência, apresente círculos divididos em setores, mas dessa vez sem as frações equivalentes de cada setor, e peça que estimem o percentual de cada um. Relembre aos estudantes que o gráfico de setores é muito utilizado para representar variáveis qualitativas; os dados são divididos em grupos e cada grupo ou parte do círculo representa um setor do gráfico. Lembre-os ainda de colocar a legenda, o título e a fonte no gráfico, bem como de adicionar todos os percentuais para verificar se o resultado é igual a 100%.

Para aprofundar

Para subsidiar o trabalho com o conteúdo dessa unidade, sugerimos a leitura da obra a seguir. Trata-se de uma obra de referência, que mostra a relevância dos registros de representação semiótica para pesquisas no âmbito da educação matemática. O autor afirma que há dois tipos de transformações de representações semióticas: os tratamentos e as conversões. Os tratamentos são transformações de representações dentro de um mesmo registro, enquanto as conversões são transformações de representações em que ocorre a mudança de registro, mantendo-se os objetos denotados.

• DUVAL, Raymon. Semiósisepensamentohumano: registros semióticos e aprendizagens intelectuais. São Paulo: Livraria da Física, 2009.

Gráficos de setores

Proporção de alunos que praticam esportes por região da Bahia

Atividades

Fonte: Dados fictícios.

O gráfico de setores é também chamado de gráfico de pizza ou gráfico circular. A representação dos dados é feita por meio de uma figura que se assemelha a uma pizza cujo tamanho de cada “fatia” será determinado pela relação proporcional entre o valor percentual e a medida em graus do ângulo de abertura que corresponde a uma parte de um todo.

Veja, ao lado, o exemplo de um gráfico de setores.

Algumas informações sobre esse gráfico às quais você precisa ficar atento na hora de construí-lo:

• o círculo é dividido em setores cuja quantidade é igual ao número de grupos (ou classes);

• cada setor deve ser proporcional à frequência do dado correspondente;

• cada dado enquadra-se em apenas um setor;

• o resultado da soma dos percentuais que se enquadram em cada setor deve ser 100%.

Para desenhar um gráfico de setores, você deve adotar os seguintes procedimentos:

• nos casos em que o percentual de cada setor/parte em relação ao todo não for dado, calcule-o;

• veja como podemos calcular o número de graus correspondente a cada setor (em nosso gráfico, por exemplo, um percentual de 5,1%):

5,1% de 360‘ = 5,1 100 360‘ = 18,36‘;

• com o auxílio do compasso, trace uma circunferência;

• com o transferidor, meça na circunferência os ângulos correspondentes aos graus encontrados para cada setor.

1 No gráfico de setores abaixo está representada a participação de cada uma das regiões brasileiras nos casos confirmados de covid-19 no Brasil em 8 de outubro de 2020, segundo o Ministério da Saúde.

Casos confirmados por região

Fonte: ALVES, Rafael; RONAN, Gabriel; FRANCO, Hudson. Coronavírus em gráficos e mapas atualizados: entenda a situação agora. Estado de Minas, Belo Horizonte, 3 abr. 2020. Disponível em: www.em.com.br/app/ noticia/gerais/2020/04/03/interna_ gerais,1135376/coronavirus-graficos -mapas-atualizados-a-situacao-agora. shtml. Acesso em: 21 maio 2022.

a) Calcule a medida do ângulo do setor do gráfico que corresponde à Região Norte.

b) Que conclusões você tira desse gráfico?

2 Observe o gráfico a seguir.

Projeção da população por faixa etária: 0 a 14 anos, 15 a 64 anos e 65 anos ou mais

Orientações

A atividade 1 favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA22 Resolução da atividade 1

a) 0,13 . 360 = 46,8 4 46,8‘

b) Existem algumas conclusões que podem ser obtidas a partir do gráfico, sendo uma delas: A Região Sudeste foi a que apresentou a maior quantidade de casos no Brasil, e as regiões Sul e Centro-Oeste, a menor quantidade. Resolução da atividade 2

a) 46 633 . 100 : 66,05 o 70 603 4

4 70 603 pessoas

b) 0,0587 70 603 o 4 144 4

4 4 144 pessoas

c) 0,2808 360 o 101,09 4 101,09‘

Resolução da atividade 3

a) 30 + 60 + 15 + 45 = 150 4

Fonte: DEMOGRAFIA: painel de indicadores. In: REGIÃO E REDES. [S. l.], c2015. Disponível em: https://www.resbr.net.br/indgraf/theme/templates/admin3/.

O gráfico acima apresenta uma projeção da população do Alto Acre em 2020, baseada nos dados do Censo de 2010 e nos índices de crescimento populacional verificados nesse estado. Considerando que a projeção esteja correta, em 2020 a quantidade de indivíduos representada em amarelo seria de 46 633 pessoas.

Com base nesses dados, responda ao que se pede.

a) Qual seria a população total do Alto Acre em 2020? 70 603

b) Quantas seriam as pessoas com 65 anos ou mais? 4 144

c) Se esses dados fossem representados em um gráfico de setores, qual seria a medida do ângulo para representar a população de 0 a 14 anos no Alto do Acre? 101,09°

3 Com base nos dados da tabela sobre a preferência de esportes pelos jovens que frequentam um clube, responda às questões.

4 150 jovens

a) Quantos jovens foram pesquisados?

Acesso em: 21 maio 2022.

Fonte: Dados fictícios.

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA22, das competências gerais 4 e 7 e da competência específica 8

Resolução da atividade 3 (continuação)

b) Foi calculado a partir da razão entre a quantidade de jovens que preferem vôlei (15) e o total de jovens (150): 15 150 1 10 0,1 == , ou seja, 10%.

c) Calculando os percentuais por esportes:

Futebol:

0,2 360 = 72 4 72‘

Tênis:

0,4 . 360 = 144 4 144‘

Vôlei:

0,1 . 360 = 36 4 36‘

Basquete:

b) Como foi calculado o percentual dos jovens que preferem vôlei em relação ao total de jovens pesquisados? Dividindo 15 por 150.

c) Com base nas informações da tabela, construa um gráfico de setores.

d) Formule algumas questões para a leitura e a interpretação do gráfico construído e, depois, peça a um colega que responda a elas; aproveite também para responder às questões do colega.

4 Com base nos dados da tabela sobre a venda de celulares em determinada loja em uma semana, façam o que se pede.

Fonte:

• Quantos estudantes a menos preferem futebol a basquete?

45 - 30 = 15

• Qual é o esporte preferido dos jovens do clube?

Tênis.

Resolução da atividade 4

a) Segunda-feira: 0%.

Terça-feira:

==4 8 40 1 5 2020%

Quarta-feira: =4 4 40 =  1 10 1010%

Quinta-feira: ==4 2 40 1 20 55%

Vendas de celular na semana 25% 40% 0% 20% 5% 10% Legenda Segunda-feira Terça-feira Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira Sábado Preferência de jogos de esportes de jovens que frequentam um clube Legenda Futebol Vôlei Tênis Basquete 30% 20% 40% 15%

Sexta-feira: ==4 16 40 4 10 4040%

Sábado: ==4 10 40 1 4 2525%

Fonte: Dados

0%; 20%; 10%; 5%; 40% e 25% respectivamente

a) Calculem o percentual diário das vendas dos celulares em relação ao total de vendas.

b) Com base nas informações da tabela, construam um gráfico de setores.

Classe econômica Frequência (%) renda média 52% renda baixa 38% renda alta 10% Total 100% Atividade em dupla

Resposta no Manual do Professor.

a) Com base nessas informações, construa um gráfico de setores. Calcule a medida do ângulo de cada setor.

b) Elabore um problema com essas informações. Resposta pessoal. Resposta no Manual do Professor.

b) Resolução da atividade

Fonte: Dados fictícios.

5

Fonte: Dados fictícios.

fictícios.

Percentuais de lucro sobre vendas ao longo dos anos

Ano

2016201720182019202020212022

% 55,061,665,466,258,466,369,3

Com base nessas informações, faça o que se pede.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA22

a) Construa o gráfico que melhor representa os dados da evolução dos ganhos dessa empresa.

b) Em que ano a empresa apresentou o menor percentual de lucros sobre as vendas?

c) Em que ano o percentual de lucros sobre as vendas foi de 69,3%?

d) No período de 2017 a 2019 houve aumento nos ganhos da empresa? Sim.

e) Qual é o valor da mediana do conjunto das taxas de ganhos da empresa?

Resposta no Manual do Professor. 2016 2022 65,4

Gráficos de linhas

Marina, Júlio e Gabriel estão economizando parte do salário que recebem para uma viagem de férias. Veja no gráfico de linhas a seguir a quantia que eles economizaram de março a setembro.

Uma vez que os estudantes já tiveram contato com gráficos de barras, de setores e de linhas, pergunte qual gráfico eles acham que representa melhor os dados e o motivo da escolha. Depois que todos expressarem sua opinião, explique-lhes que a escolha do gráfico deverá ocorrer em virtude do contexto, pois não existe um gráfico que é melhor em todas as situações, já que cada um pode ser o mais útil dependendo da situação. Alerte os estudantes para que, na leitura de gráficos, estejam atentos à análise dos dados. Há casos em que os gráficos podem ter suas escalas manipuladas intencionalmente, com o objetivo de privilegiar determinada informação.

Resolução da atividade 6

a) Veja exemplo de representação gráfica no rodapé.

b) De acordo com a tabela, o menor percentual de lucro foi de 55% e ocorreu em 2016.

c) De acordo com a tabela, o percentual de 69,3% ocorreu em 2022.

d) Sim, houve um aumento de 61,6% para 66,2%, ou seja, de 4,6%.

e) 55,0; 58,4; 61,6; 65,4; 66,2; 66,3; 69,3.

A mediana é 65,4%.

O gráfico de linhas permite observar variações e tendências de dados ou de um fenômeno ao longo do tempo, como pode ser observado no gráfico acima. Observe que no mesmo gráfico estão representadas as quantias economizadas por cada um deles, com cores diferentes.

Esse tipo de gráfico também é indicado para representar variáveis como temperatura e tempo em horas etc. É formado por uma linha construída pela ligação de segmentos de reta unindo os pontos que representam os dados.

Exemplo de gráfico da atividade 6 a)

Fonte: Dados fictícios.

6 A tabela a seguir apresenta os percentuais de lucro sobre vendas de uma empresa ao longo dos anos.

Fonte: Dados obtidos por Gabriel, Marina e Júlio.

Fonte: Dados fictícios.

Vignati

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA21 e EF09MA22

Resolução da atividade 1

a) Veja exemplo de representação gráfica no rodapé.

b) Média de temperatura máxima:

(27 + 29 + 26 + 21 + 22 + + 25 + 25) : 7 == 175 7 25 4

4 25 ‘C

Resolução da atividade 2

Houve crescimento do IPCA nos seguintes períodos:

Maio/20-jun./20; jun./20-jul./20; ago./20-set./20; set./20-out./20; nov./20-dez./20; jan./21-fev./21 e fev./21-mar./21.

Alternativa b

Estimule a verificação das fontes de pesquisa para os estudantes analisarem a consistência dos dados apresentados. Dê exemplos de mais gráficos e explore atividades interpretativas.

Atividades

Para desenhar um gráfico de linhas, você deve considerar os procedimentos a seguir.

• Escolha bem a escala, verificando qual é a mais apropriada para não distorcer as informações.

• No eixo horizontal, coloque as variáveis qualitativas (tempo e temperatura, por exemplo e, no eixo vertical, as variáveis quantitativas.

• Na intersecção entre as retas vertical e horizontal, marque um ponto. Cada marcador representará um período ou o valor de cada período.

• Ligue os pontos com um traço para tornar visível a variável estudada, formando o gráfico de linhas.

1 A temperatura média diária para a última semana de agosto em uma cidade que fica no estado da Bahia está registrada na tabela a seguir.

Temperatura média diária para a última semana de agosto Dia da semana SegundaTerçaQuartaQuintaSextaSábadoDomingo

Temperatura máxima 27 ‘C29 ‘C26 ‘C21 ‘C22 ‘C25 ‘C25 ‘C

Temperatura mínima 14 ‘C15 ‘C15 ‘C13 ‘C14 ‘C13 ‘C11 ‘C

Com base nessas informações, faça o que se pede.

a) Construa o gráfico que melhor representar a temperatura durante a semana.

b) Qual foi a média da temperatura máxima dessa cidade durante a semana? 25 ‘C

2 (EPCAR) O Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) é um índice oficial de inflação do Brasil usado pelo Governo Federal. O objetivo do IPCA é medir a inflação de um conjunto de produtos e serviços comercializados no varejo, tais como transporte, educação, alimentação e outros. Ele serve de referência para as metas de inflação e para as alterações na taxa de juros.

O gráfico ao lado apresenta a variação mensal do IPCA no Brasil, de abril de 2020 a março de 2021.

Fonte https://www.ibge.gov.br/indicadores#ipca. Acesso em 24/04/2021. (Adaptado).

De acordo com as informações do gráfico e analisando as variações em períodos mensais, é correto afirmar que houve

Alternativa b

a) mais decrescimento que crescimento do IPCA.

b) crescimento do IPCA em, exatamente, 7 períodos.

c) crescimento do IPCA maior que 1% em pelo menos um período.

d) apenas períodos de crescimento ou de decrescimento da taxa percentual do IPCA.

Resolução da atividade 1

a) Temperatura média diária para a última semana de agosto

Fonte: Dados fictícios. Resposta no Manual do Professor.

3 O consumo de energia elétrica, em quilowatt-hora (kWh), registrado em cada mês do primeiro semestre do ano em uma residência é mostrada na tabela a seguir:

Resolução da atividade 3

Não podemos responder aos itens a, b e c, pois essas informações não são apresentadas no gráfico. d) Espera-se que os estudantes digam que o gráfico não é confiável, pois não apresenta a fonte dos dados e outros dados importantes.

Com base nos dados da tabela, construa o gráfico de linhas correspondente ao consumo de energia elétrica neste período. Respostas no Manual do Professor.

4 Um dos principais indicadores de inflação é o Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA). Observe os valores do IPCA apresentados no gráfico e responda às perguntas.

Inflação Anual – IPCA

a) Em que ano essa pesquisa foi feita?

b) Em que ano o IPCA foi mais alto?

c) Qual é a fonte da pesquisa?

O gráfico não apresenta a data em que foi realizada a pesquisa. Não se pode dizer, pois o gráfico não apresenta essa informação.

O gráfico não apresenta a fonte dos dados.

d) Diante dessa constatação, você acredita que esses dados são confiáveis?

Resposta pessoal.

Orientações

Fonte: Dados fictícios.

Orientações

Essa discussão desenvolve o Tema Contemporâneo Transversal: Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

Inicialmente, converse com os estudantes sobre como é o relacionamento deles com os idosos, se têm idosos na família etc. Pergunte quais fatores contribuem para a longevidade de uma pessoa. Você também pode pedir que pesquisem o assunto. Sugestão de perguntas: Em relação aos idosos com mais de 65 anos:

• Qual era o percentual aproximado em 2010?

8% a 25%

• Qual era a previsão aproximada de idosos para 2010?

800 000 a 2 500 000 pessoas.

Valorizar o idoso é um dever de todos

De acordo com a Assembleia Geral das Nações Unidas, o período de 2021 a 2030 foi declarado como a Década do Envelhecimento Saudável. Para o diretor-geral da Organização Mundial da Saúde (OMS), “o anúncio da Década do Envelhecimento Saudável manda um sinal claro de que é apenas trabalhando unidos, dentro do sistema das Nações Unidas e com governos, sociedade civil e setor privado, que poderemos não apenas adicionar anos à vida mas também [melhorar a qualidade de vida destes anos]”.

Ter saúde é fundamental nessa faixa de idade, para aproveitar oportunidades que o envelhecimento traz, mudando a forma como as pessoas pensam, sentem e agem em relação à idade e ao envelhecimento, e facilitar a capacidade dos idosos de participar de sua comunidade e contribuir no desenvolvimento da sociedade.

Os parceiros da OMS e da ONU estão buscando contribuições de todas as partes interessadas para construir uma plataforma colaborativa na qual todo conhecimento sobre envelhecimento possa ser acessado, compartilhado e produzido em um só lugar, por qualquer pessoa, em qualquer lugar do mundo.

O caso brasileiro não é muito diferente da tendência global, mas o processo de envelhecimento populacional no Brasil é ainda mais rápido, o que pode ser verificado no gráfico abaixo, que apresenta percentuais de idosos bem acima dos percentuais globais.

Fonte: ONU. Assembleia Geral da ONU declara 2021-2030 como Década do Envelhecimento Saudável. In: NAÇÕES UNIDAS BRASIL. Brasília, DF, 15 dez. 2020. Disponível em: https://brasil.un.org/pt-br/105264-assembleia-geral-da-onu-declara-2021-2030-como-decada-do-envelhecimento -saudavel. Acesso em: 21 maio 2022.

População absoluta e relativa de idosos de 60 anos e mais, 65 anos e mais e 80 anos e mais Mundo: 1950-2100

Fonte: ALVES, José E. Diniz. Envelhecimento populacional continua [...]. In: LABORATÓRIO DEMOGRÁFICO DE ESTUDOS POPULACIONAIS. Juiz de Fora: Universidade Federal de Juiz de Fora, 21 jun. 2020. Disponível em: https://www.ufjf.br/ ladem/2020/06/21/envelhecimento-populacional-continua-e-nao-ha-perigo-de-um-geronticidio-artigo-de-jose-eustaquio-diniz -alves/. Acesso em: 21 maio 2022.

Com base nas informações do texto e nos dados do gráfico, formulem algumas questões, elaborem as respostas e, com a orientação do professor, promovam um debate na classe sobre o tema. Resposta no Manual do Professor.

Elementos que podem induzir a erros de leitura

A tabela a seguir apresenta o número de domicílios que solicitaram e obtiveram empréstimos em setembro de 2020, de acordo com a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (Pnad).

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA21

Solicitou mas não conseguiu 8056718436410288

Não solicitou 63 2514 63616 36727 8209 6014 827

Fonte: IBGE. Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios: Pnad Covid-19. Rio de Janeiro: IBGE, set. 2020. p. 47. Resultado mensal. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101763.pdf.

Com base nos dados da tabela, um estudante do 9º ano construiu o gráfico a seguir.

Explique aos estudantes que não é incomum aparecerem gráficos incoerentes em meios de comunicação. Às vezes, trata-se de um erro cometido de forma não proposital mas também pode acontecer de o gráfico mostrar uma informação tendenciosa, ou seja, que induz o leitor ou o telespectador a formar um conceito com base em uma informação equivocadamente recebida.

O objetivo deste tópico é apresentar algumas dicas para ajudar os estudantes a identificar elementos que podem induzir a erros de leitura ou interpretação de gráficos. Pretendemos explorar situações em que os dados estatísticos podem ser manipulados para levar à interpretação desejada. Isso é muito comum, principalmente quando os dados são apresentados por meio de ferramentas auxiliares, como gráficos ou tabelas.

Estimule-os a se questionar se os números estão corretos, aprendendo desde o início a duvidar da informação até que os fatos sejam cuidadosamente analisados.

Os dados estatísticos, quando mal representados em gráficos, podem levar a erros de interpretação. Portanto, é preciso muita atenção na hora de analisá-los; mais importante do que conferir os cálculos matemáticos contidos nas representações estatísticas, é preciso saber ler e interpretar as informações. Aparentemente, os gráficos não são enganosos, mas é preciso cuidado, pois podemos ser levados a erros de interpretação por gráficos propositadamente mal formulados.

Assim, sempre que se deparar com gráficos e informações estatísticas, procure:

• analisar cautelosamente os dados representados;

Observe a tabela e responda: A representação dos dados no gráfico foi feita de maneira correta? Por quê?

• estar atento a possíveis equívocos, erros ou manipulações, como escalas inapropriadas, representação não proporcional de dados, entre outros;

• aprender a detectar se há alguma informação que possa induzir a erro, intencional ou não;

• ficar atento às escalas, à distribuição dos intervalos, à equivalência entre as barras, a pictogramas com figuras não equivalentes, a legendas não explicitadas corretamente, à omissão de informações, como fontes e datas, entre outros.

Diga-lhes que muitas informações podem ser omitidas, fazendo a diferença para a compreensão dos gráficos. Ressalte que saber interpretar gráficos é uma habilidade de extrema importância do ponto de vista social e para o exercício da cidadania, pois muitas informações são apresentadas na forma de gráficos e tabelas pelos diferentes meios de comunicação, o que exige cada vez mais o desenvolvimento de uma análise crítica.

Em Pense e responda a resposta é pessoal, mas espera-se que os estudantes percebam que os dados estão representados de maneira equivocada, pois o tamanho das barras não é proporcional aos valores apresentados nos dados, ou seja, não há equivalência entre as barras do gráfico.

Respostas pessoais.

Fonte: Estudante do 9? ano.

Acesso em: 21 maio 2022.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA22

Resolução da atividade 1

a) Aproximadamente 19% (100%- 81%), uma vez que, pela informação do texto, aproximadamente 81% do mercado é ocupado pelo sexo masculino, e há um pequeno percentual não especificado sobre a parcela do “Não se aplica”.

b) A soma dos percentuais de um gráfico de setores é sempre 100%. Resolução da atividade 2

Vôlei.

19 + 17 + 6 + 13 = 55

• 11 anos:

19 100 : 55 o 34,5 4 34,5%

• 12 anos:

17 . 100 : 55 o 30,9 4 30,9%

• 13 anos:

6 . 100 : 55 o 10,9 4 10,9%

• 14 anos:

13 100 : 55 o 23,6 4 23,6% Vôlei

Atividades

1 Considerando que o número de estabelecimentos agropecuários por sexo do produtor no Brasil é de maioria masculina, chegando a ocupar aproximadamente 81% do mercado, analise o gráfico e responda às questões a seguir.

Número de estabelecimentos agropecuários por sexo do produtor

Legenda

Masculino

Feminino Não se aplica

Fonte: IBGE. Censo Agro 2017. Rio de Janeiro: IBGE, [Brasil], [2018]. Disponível em: https://censos.ibge.gov.br/agro/2017/ templates/censo_agro/resultadosagro/produtores.html.

Acesso em: 21 maio 2022.

a) Qual é o percentual aproximado que o sexo feminino ocupa no mercado agropecuário?

Aproximadamente 19%.

b) Qual é a soma dos percentuais dos setores desse gráfico? 100%

2 Observe atentamente o gráfico a seguir sobre a quantidade de estudantes dos Anos Finais do Ensino Fundamental da Escola Felicidade, por idade, que praticam vôlei, basquete ou natação.

Fonte: Dados fictícios.

Com base nos valores expostos no gráfico acima, esboce um gráfico de setores para cada esporte.

Fonte: Dados fictícios.

Quais erros foram cometidos e quais informações faltam nos gráficos a seguir?

Orientações

A atividade dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA21

Resolução da atividade 3

a) Os intervalos na escala vertical estão desiguais. Peça aos estudantes que manipulem a escala desse gráfico, de modo que haja correspondência entre os dados. Busque, também, manipular outros gráficos, mude as escalas, faça correspondências equivocadas e apresente aos estudantes para que descubram os erros. O objetivo, nesse caso, é que associem informações ou tabelas apresentadas com gráficos propositalmente alterados, visando desenvolver a percepção de erros e o raciocínio crítico deles.

b) Não há equivalência (ou proporcionalidade) entre as figuras que representam a quantidade de carros vendidos. Pergunte aos estudantes que valores colocariam para o número de carros de modo a ajustar o gráfico. Aproveite e providencie gráficos de jornais e revistas, a fim de que os estudantes os analisem e manipulem a escala, observando o que acontece.

c) Faltam informações sobre a faixa etária da pesquisa, local e período onde foi feita a pesquisa etc.

Fonte: Dados fictícios.

Fonte: Dados fictícios.

Tarcísio Garbellini

Orientações

A atividade dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA21 e Lógico, é lógica! favorece o desenvolvimento da competência geral 2 e da competência específica 2

Resolução da atividade 4

a) O gráfico não explica que os dados vão até o mês de agosto de 2021 e também não apresenta a média de queimadas no estado de São Paulo.

b) Resposta pessoal. Além dos problemas elencados no item a, também é difícil identificar os dados numéricos de cada ponto do gráfico.

Resolução do Lógico, é lógica!

Vamos pensar nas netas como as letras A, B, C, D e E e descrever a ordem em que elas chegaram como uma sequência dessas letras, lida da esquerda para a direita. O enunciado nos diz que nessa sequência:

1. o B está à esquerda do A (Beatriz chegou antes de Ana);

2. o B está à direita do D (Beatriz chegou depois de Daniela);

3. o bloco CDE aparece sem letras intermediarias e com as letras nessa ordem (Cláudia, Daniela e Erica chegaram uma seguida da outra nessa ordem).

As informações 2 e 3 mostram que B aparece à direita do bloco CDE, e a informação 1 diz que o A está à direita de B.

A sequência é, então, CDEBA; concluímos, assim, que a primeira a chegar foi Cláudia. Alternativa c

4 Até agosto de 2021, o Brasil registrou o maior número de queimadas em áreas de Mata Atlântica nos últimos quinze anos, segundo o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (Inpe). Foram mais de 11,2 mil focos de incêndio em locais com a presença desse bioma em todo o território nacional. O estado de São Paulo registrou a média de 249 queimadas por dia em agosto de 2021. O gráfico abaixo sumariza essas informações.

na Mata Atlântica

Fonte: EM 8 MESES, Brasil tem maior n? de queimadas em áreas de Mata Atlântica dos últimos 15 anos. G1, São Paulo, 27 ago. 2021. Disponível em: https://g1.globo.com/sp/sao-paulo/ noticia/2021/08/27/em-8-meses-brasil-tem-maior-no-de-queimadas-em-areas-de-mata -atlantica-dos-ultimos-15-anos.ghtml. Acesso em: 21 maio 2022.

a) Com base na leitura do texto e do gráfico, escreva um relatório para sintetizar suas conclusões. Resposta pessoal.

b) Apresente seu relatório a um colega e acompanhe a apresentação dele. Depois, conversem sobre possíveis dificuldades na leitura e compreensão das informações apresentadas no gráfico. Respostas no Manual do Professor.

é lógica!

Ana, Beatriz, Cláudia, Daniela e Érica foram visitar a vovó Margarida. Beatriz chegou antes de Ana e depois de Daniela. Já Cláudia, Daniela e Érica chegaram uma em seguida da outra, nessa ordem. Quem foi a primeira a chegar? Alternativa c

a) Ana

b) Beatriz

c) Cláudia

d) Daniela

e) Érica

Planejamento e execução de pesquisa amostral

A PNAD coletou dados em todas as regiões do Brasil sobre as condições de trabalho durante a pandemia da covid-19. Observe um dos gráficos obtidos.

Percentual de pessoas ocupadas que estavam temporariamente afastadas do trabalho que tinham na semana de referência no total de pessoas ocupadas, por grupos de idade – Brasil: maio-setembro de 2020

Objetivos do capítulo

• Planejar e executar pesquisa amostral e comunicar os resultados por meio de relatório.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 5 Competências específicas 6, 7 e 8

Habilidades EF09MA22 e EF09MA23

Orientações

Em Para começar, converse sobre questões de condições de trabalho durante a pandemia da covid-19: Resposta do Para começar Maio: decrescente e depois crescente.

Agosto: decrescente e depois crescente.

Fonte: IBGE. Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios: Pnad Covid-19. Rio de Janeiro: IBGE, set. 2020. p. 19. Resultado mensal. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101763.pdf. Acesso em: 21 maio 2022.

O percentual de pessoas ocupadas que estavam temporariamente afastadas do trabalho foi crescente ou decrescente no período de maio a setembro? Como você chegou a essa conclusão?

Pesquisa amostral.

Que nome recebe a pesquisa realizada com parte da população?

Planejando uma pesquisa

Toda pesquisa exige um planejamento cuidadoso e sistematizado para que seja bem-feita e não apresente erros nos resultados.

Na etapa de planejamento, considere os elementos a seguir.

Setembro: decrescente e depois crescente. Resolução do Pense e responda Foi uma pesquisa amostral. Espera-se que percebam que a pesquisa amostral independe do número de pessoas, mas que existem métodos e condições para que ela, de fato, represente os sujeitos da população.

Pergunte aos estudantes se, caso a pesquisa fosse feita apenas na sala de aula, ela continuaria sendo uma pesquisa amostral, que é a resposta para a questão proposta.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA23

Se julgar necessário, explique aos estudantes a diferença entre pesquisa amostral e censitária. Na pesquisa amostral, coletam-se dados sobre um segmento que representará a população, enquanto na censitária é feita a coleta de dados de toda a população.

• Escolha ou delimitação do tema ou assunto a ser pesquisado.

• Escolha dos métodos de amostragem ou das técnicas (como a entrevista) para coleta de dados.

• Escolha dos sujeitos ou elementos da pesquisa.

• Decisão do local de realização da pesquisa.

• Escolha e elaboração dos instrumentos de coleta de dados.

• Decisão sobre as formas de registro e apresentação das informações.

Execução da pesquisa

Durante a etapa de execução de uma pesquisa, considere as orientações a seguir.

• Cuidado ao coletar e registrar os dados. Deve-se ter atenção e registrar cuidadosamente as informações para não esquecer algum dado ou colocar informações no lugar errado.

• Maneje bem os instrumentos, que podem ser questionários, formulários, fichas, entre outros. Tenha em conta a questão da ética na pesquisa; por isso, obtenha o consentimento dos sujeitos e/ou órgãos envolvidos.

• Procure organizar e resumir os dados em tabelas e gráficos, porque isso facilita a análise. Uma forma rápida de organizar e tratar os dados é usar planilhas eletrônicas.

• Analise detalhadamente os dados, visando inferir os resultados e tirar conclusões.

• Sempre é bom fazer um relatório final, apresentando uma síntese dos resultados, conclusões e até mesmo sugestões de melhorias ou reflexões sobre a pesquisa.

• Procure expor os resultados de sua pesquisa para os colegas da turma ou para a comunidade de seu bairro.

Diki Prayogo/ Shutterstock.com

Os dados de uma pesquisa podem ser apresentados em variados tipos de gráfico.

1. a) O nível de satisfação dos clientes em relação aos serviços prestados por uma empresa.

Atividades

b) Foi elaborado um formulário contendo cinco níveis de satisfação.

1 Suponha que uma empresa tenha elaborado um formulário para verificar o nível de satisfação dos clientes em relação aos serviços prestados. Depois de pronto, esse formulário foi distribuído para alguns clientes, e o resultado da pesquisa pode ser visto no quadro ao lado.

a) Qual é o assunto ou tema da pesquisa?

b) Qual foi o instrumento utilizado para a coleta de dados?

c) Quais foram os sujeitos da pesquisa?

Verificação do nível de satisfação dos clientes

g) De acordo com a tabela, 110 clientes.

h) Há duas modas: “muito satisfeito” e “pouco satisfeito” (bimodal). Número de votos igual a 30. i)

Verificação

d) Como as informações foram registradas?

e) A pesquisa foi amostral ou censitária?

Os clientes da empresa. Em uma tabela de frequência. Amostral.

f) Com base no quadro de resultados dessa pesquisa de satisfação, elabore uma tabela de distribuição de frequências.

Resposta no Manual do Professor.

g) Quantos clientes responderam ao formulário? 110

h) Qual é a moda desse conjunto de dados?

Há duas modas: “muito satisfeito” e “pouco satisfeito”.

i) Represente os dados da tabela de distribuição de frequências em um gráfico de setores. Não se esqueça de colocar o título, a legenda e a fonte.

Resolução da atividade 2

a) Prontuários dos pacientes.

b) No Hospital A Milagrosa.

c) Tempo em que os pacientes ficaram internados

j) Junte-se a um colega. Elaborem uma questão sobre o gráfico de setores construído.

k) Faça um relatório da pesquisa e apresente para a turma.

Resposta no Manual do Professor. Resposta pessoal. Resposta pessoal.

2 Uma enfermeira verificou, nos prontuários dos pacientes, a quantidade de horas em que eles estiveram internados no Hospital A Milagrosa, na última semana de agosto.

Dados fictícios.

d) Foram 27 pacientes que ficaram internados no Hospital A Milagrosa. Resolução continua na próxima página.

a) Que instrumento foi utilizado para coletar os dados?

b) Onde foi feita a pesquisa?

Prontuários de pacientes. Hospital A Milagrosa.

c) Organize e resuma os dados em uma tabela de frequência utilizando uma planilha eletrônica.

d) Quantos e quais foram os sujeitos dessa pesquisa?

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA22 e EF09MA23

Resolução da atividade 1

a) O nível de satisfação dos clientes em relação aos serviços prestados por uma empresa.

b) Foi elaborado um formulário contendo cinco níveis de satisfação.

c) Alguns clientes da empresa; por isso a pesquisa é amostral.

d) Foram registradas em uma tabela de frequência.

e) A pesquisa foi amostral, com alguns clientes.

Foram 27 pacientes que ficaram internados no Hospital A Milagrosa.

f) Verificação do nível de satisfação do cliente

Fonte: Dados fictícios.

2. c) Resposta pessoal.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA23, da competência geral

5 e das competências específicas

6, 7 e 8

Resolução da atividade 2 (continuação)

e) Média:

24 6 + 36 5 + 48 5 + 60 .

. 5 + 72 . 3 + 90 . 3 = 1 350

1 350 : 27 = 50 4 50 horas

24, 24, 24, 24, 24, 24, 36, 36, 36, 36,

35, 48, 48, 48, 48, 48, 60, 60, 60, 60,

60, 72,72,72, 90, 90, 90

Moda: 24 horas.

Mediana: 48 horas.

f) 90 - 24 = 66.

g) Sugestão de gráfico.

Horas que pacientes estiveram internados no Hopital

0243648607290

Fonte: Dados fictícios.

e) Encontre a média, a moda e a mediana desse conjunto de dados.

f) Qual é a amplitude do conjunto de dados?

Média: 50 horas, moda: 24 horas e mediana: 48 horas. 90 – 24 = 66

g) Construa um gráfico para representar esse conjunto de dados. Dê um título a ele.

h) Analise os dados resumidos no gráfico, faça um relatório da pesquisa e apresente-o à turma.

Resposta no Manual do Professor. Resposta pessoal.

3 (UFJF-MG) Uma professora fez uma pesquisa com 10 alunos de uma de suas turmas, sobre quanto tempo em média, em horas, eles passavam na internet por dia. Os dados foram colocados na tabela abaixo.

Aluno ABCDEFGHIJ

Marque a alternativa com os valores corretos da média, moda e mediana.

a) média 4; moda 4; mediana 5

b) média 4,5; moda 6; mediana 4,7

c) média 4,7; moda 4; mediana 4,5

d) média 4,7; moda 6; mediana 4,5

e) média 4,5; moda 6; mediana 5

Alternativa d

Nas atividades 4 e 5, verifique o planejamento e acompanhe a execução da pesquisa realizada pelos estudantes. Se necessário, oriente-os na elaboração do relatório.

4 Escolha um tema de pesquisa, planeje sua realização e execute-a. Considere os questionamentos a seguir. Resposta pessoal.

• Que tema ou assunto você escolheu para pesquisar?

• Que instrumentos de coleta de dados vai utilizar?

• Onde a pesquisa será realizada?

• Quantos sujeitos participarão da pesquisa?

• Após a coleta, organize os dados em uma tabela de frequência utilizando uma planilha eletrônica.

• É possível calcular a média, a moda e a mediana do conjunto de dados da pesquisa? Se sim, calcule-as.

• Calcule também, se possível, a amplitude do conjunto de dados.

• Que tipo de gráfico é o mais indicado para resumir as informações da pesquisa? Construa esse gráfico.

• Sintetize todas as informações em um relatório.

5 O que você conclui a respeito da pesquisa anterior? Elabore um pequeno relatório.

Alternativa d Resposta pessoal.

Um professor passou um problema bem difícil para os estudantes e, depois, perguntou-lhes qual era a resposta do problema. Mariana disse que era um número maior que 9; Joana disse que era um número par; Rubens disse que era menor que 15; Daniel disse que era maior que 17. Dentre as afirmações desses estudantes, quantas, no máximo, podem ser verdadeiras? 3

Resolução de Lógico, é lógica!

É possível que Mariana, Joana e Rubens encontrem a resposta correta, o que significa que podemos ter no máximo três afirmações verdadeiras. Observe que Daniel, Joana e Mariana também podem ter dito afirmações verdadeiras.

Tarcísio Garbellini

Criando gráficos usando planilha eletrônica

A planilha eletrônica é uma excelente ferramenta digital para organizar dados coletados em uma pesquisa. Há opções disponíveis gratuitamente nas lojas de aplicativos. Observe o passo a passo para criar gráficos utilizando essa ferramenta.

1? Passo. Instalar e abrir a planilha eletrônica no seu computador, tablet ou smartphone Dependendo do aplicativo escolhido, essa opção pode ser encontrada na parte superior ou inferior da tela.

2? Passo. Inserir os dados na tabela. Para isso, selecione uma célula e procure pelo campo de preenchimento acompanhado do símbolo ƒä

Digite um texto ou uma fórmula

No campo de preenchimento, coloque os dados de acordo com a as informações de interesse e construa sua planilha.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA22 e da competência geral 5

Se possível, leve os estudantes até a sala de informática e disponibilize a planilha para a aula. Se necessário, retome a construção de gráficos e dê início à atividade proposta, destacando o computador como coadjuvante no processo de ensino.

3? Passo. Para montar o gráfico, selecione uma célula da tabela e arraste até selecionar todas as informações.

Com a planilha selecionada, clique em “Inserir” na parte superior da tela. Aparecerá um menu; selecione a opção “Gráfico”.

Ilustrações: Reinaldo Vignati

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA22

Observe se os estudantes seguem as orientações apresentadas e se conseguem acompanhar o processo de construção de gráficos.

4? Passo. Após selecionar “Gráfico”, o menu irá exibir as opções de gráfico. Escolha a que melhor se adeque à análise desejada.

Para este exemplo, foi selecionado o gráfico de colunas.

Dependendo do aplicativo, o menu de seleção do gráfico pode ser diferente. Veja um exemplo de outro aplicativo.

Nesse caso, basta clicar em “Tipo” e escolher o tipo de gráfico desejado; no exemplo, foi escolhido o tipo pizza Prático, não é?

Na hora de escolher o tipo de gráfico, pode ser que você fique em dúvida. Lembre-se de que cada gráfico tem uma finalidade diferente. Observe o quadro abaixo, com um resumo dos principais gráficos que utilizamos.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA22 e EF09MA23

Verifique a elaboração dos gráficos na atividade 1. Observe se os dados estão representados de forma correta nos dois gráficos.

Para comparar valores de diferentes séries. A diferença entre eles está na disposição da representação gráfica dos dados.

Para visualizar a pesquisa no geral, possibilitando comparar cada categoria envolvida. Cada pedaço determina uma proporção.

Ideais para representar pesquisas que apresentam sequências cronológicas.

Na imagem a seguir, você pode relembrar as etapas de elaboração usando uma planilha eletrônica.

Auxilie os estudantes no planejamento e na execução da pesquisa proposta na atividade 2

1 Agora é sua vez! Abra a planilha eletrônica e construa seu gráfico.

Respostas no Manual do Professor.

a) Usando o resultado da pesquisa do exemplo, construa dois tipos de gráfico para apresentar os mesmos dados.

b) Qual deles representou melhor as informações da tabela? Como você chegou a essa conclusão?

2 Vamos fazer uma pesquisa.

a) Escolha um tema de importância social, colete as informações pertinentes e represente os dados graficamente, por meio de uma planilha eletrônica. Para isso, utilize um celular ou um computador. Não se esqueça de inserir a fonte completa dos dados e o título.

b) Compartilhe os resultados nas redes sociais e organize um pequeno debate com os colegas na sala de aula.

Imagens: Tarcísio Garbellini

Orientações

Essa seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1

Calculando as taxas de urbanização de cada município:

I. 8 000 : (4 000 + 8 000) = 0,666...

II. 10 000 : (10 000 + 8 000) = = 0,555...

III. 11 000 : (5 000 + 11 000) = = 0,6875

IV. 18 000 : (18 000 + 10 000) = = 0,6428...

V. 17 000 : (17 000 + 12 000) = = 0,5862...

A maior taxa de urbanização é do município III.

Alternativa c

Resolução da atividade 2

A vantagem é dada pela maior diferença entre coluna preta quando comparada com as dos concorrentes, o que acontece no item sabor.

Alternativa d

1 (ENEM) A taxa de urbanização de um município é dada pela razão entre a população urbana e a população total do município (isto é, a soma das populações rural e urbana). Os gráficos apresentam, respectivamente, a população urbana e a população rural de cinco municípios (I, II, III, IV, V) de uma mesma região estadual. Em reunião entre o governo do estado e os prefeitos desses municípios, ficou acordado que o município com maior taxa de urbanização receberá um investimento extra em infraestrutura.

Segundo o acordo, qual município receberá o investimento extra?

a) I

b) II

c) III

d) IV

e) V

2 (ENEM) A diretoria de uma empresa de alimentos resolve apresentar para seus acionistas uma proposta de novo produto. Nessa reunião, foram apresentadas as notas médias dadas por um grupo de consumidores que experimentaram o novo produto e dois produtos similares concorrentes (A e B).

A característica que dá a maior vantagem relativa ao produto proposto e que pode ser usada, pela diretoria, para incentivar a sua produção é a

a) textura.

b) cor.

c) tamanho.

d) sabor.

e) odor.

3 (ENEM) Uma empresa presta serviço de abastecimento de água em uma cidade. O valor mensal a pagar por esse serviço é determinado pela aplicação de tarifas, por faixas de consumo de água, sendo obtido pela adição dos valores correspondentes a cada faixa.

• Faixa 1: para consumo de até 6 m3, valor fixo de R$ 12,00;

• Faixa 2: para consumo superior a 6 m3 e até 10 m3, tarifa de R$ 3,00 por metro cúbico ao que exceder a 6 m3;

• Faixa 3: para consumo superior a 10 m3, tarifa de R$ 6,00 por metro cúbico ao que exceder a 10 m3 Sabe-se que nessa cidade o consumo máximo de água por residência é de 15 m3 por mês.

O gráfico que melhor descreve o valor P, em real, a ser pago por mês, em função do volume V de água consumido, em metro cúbico, é Alternativa a

Orientações

Resolução da atividade 3

Considerando o P (V), em reais, como o preço em função do volume de água consumido, temos:

0 k V k 6 6 P(V) = 12

6 k V k 10 6 12 k P(V) k 24 e

10 k V k 15 6 24 k P(V) k 54 Alternativa a

Orientações

Resolução da atividade 4 Com base no gráfico, temos:

• No dia 1o, a temperatura foi inferior a 10 ‘C e a umidade relativa do ar foi inferior a 40%.

• No dia 12, a temperatura foi de 40 ‘C, e a umidade relativa do ar ficou abaixo de 30%.

• No dia 13, a temperatura foi superior a 40 ‘C e a umidade relativa do ar foi superior a 25%. Logo, o alerta foi emitido corretamente no dia 1o Alternativa a

4 (ENEM) O serviço de meteorologia de uma cidade emite relatórios diários com a previsão do tempo. De posse dessas informações, a prefeitura emite três tipos de alertas para a população:

• Alerta cinza: deverá ser emitido sempre que a previsão do tempo estimar que a temperatura será inferior a 10 ‘C, e a umidade relativa do ar for inferior a 40%;

• Alerta laranja: deverá ser emitido sempre que a previsão do tempo estimar que a temperatura deve variar entre 35 ‘C e 40 ‘C, e a umidade relativa do ar deve ficar abaixo de 30%;

• Alerta vermelho: deverá ser emitido sempre que a previsão do tempo estimar que a temperatura será superior a 40 ‘C, e a umidade relativa do ar for inferior a 25%.

Um resumo da previsão do tempo nessa cidade, para um período de 15 dias, foi apresentado no gráfico.

Decorridos os 15 dias de validade desse relatório, um funcionário percebeu que, no período a que se refere o gráfico, foram emitidos os seguintes alertas:

• Dia 1: alerta cinza;

• Dia 12: alerta laranja;

• Dia 13: alerta vermelho.

Em qual(is) desses dias o(s) aviso(s) foi(ram) emitido(s) corretamente?

a) 1

b) 12

c) 1 e 12

d) 1 e 13

e) 1, 12 e 13

Orientações

5 (ENEM) Em uma seletiva para a final dos 100 metros livres de natação, numa olimpíada, os atletas, em suas respectivas raias, obtiveram os seguintes tempos:

Raia 12345678

A mediana dos tempos apresentados no quadro é

a) 20,70

b) 20,77

c) 20,80

Alternativa d

d) 20,85

e) 20,90

6 (IFRJ) O Índice de Gini vai de 0 a 1 e é uma medida utilizada para mensurar o nível de desigualdade dos países segundo renda, pobreza e educação. Quanto mais próximo de zero, mais igualitária a distribuição de renda. Em 2016, no Brasil, o índice variou de acordo com o gráfico a seguir.

Resolução da atividade 5 20,50; 20,60; 20,60; 20,80; 20,90; 20,90; 20,90 e 20,96.

Mediana:

(20,80 + 20,90) : 2 = 20,85.

Alternativa d Resolução da atividade 6

A região que apresenta o menor valor de índice Gini é a Região Sul, 0,465%.

Alternativa d

Pode-se perceber que a região com a melhor distribuição de renda foi:

a) Sudeste

b) Nordeste

Autoavaliação

c) Centro-Oeste

d) Sul

Alternativa d

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Leio, interpreto e construo gráficos com ou sem o uso de planilhas eletrônicas para representar um conjunto de dados.

Analiso e identifico, em gráficos divulgados pela mídia, elementos que podem induzir a erro de leitura e interpretação.

Planejo e executo pesquisa amostral e comunico os resultados por meio de relatório.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras. Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Luca Navarro

Fonte: Pnad Contínua 2016/IBGE.

Principais objetivos da unidade

• Reconhecer e aplicar as relações de proporcionalidade de segmentos de reta em feixes de retas paralelas cortadas por transversais.

• Compreender e aplicar o teorema de Tales.

• Demonstrar e aplicar as relações métricas do triângulo retângulo.

• Calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano.

• Determinar o ponto médio de um segmento de reta.

Justificativa

Nesta unidade serão trabalhadas as relações métricas no triângulo retângulo e as aplicações do teorema de Pitágoras, favorecendo o desenvolvimento das habilidades EF09MA13 e EF09MA14. Serão também trabalhados conceitos iniciais de Geometria analítica, porém, sem fórmulas para cálculos, atendendo aos requisitos da habilidade EF09MA16 para a determinação de ponto médio de segmentos e da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• saibam o que é ponto, reta, segmento de reta e reta numerada;

• utilizem o conceito de razão;

• conceituem retas paralelas e retas concorrentes;

• conceituem semelhança de triângulos;

• efetuem operações com números reais e com variáveis;

• compreendam o plano cartesiano;

• compreendam o valor absoluto de um número real;

• saibam calcular área e perímetro de figuras planas.

Avaliação diagnóstica

É importante observar se os estudantes já dominam os pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos nesta unidade. Para isso, promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre os pré-requisitos elencados e citar exemplos do cotidiano. Elabore algumas atividades escritas para verificar o que já dominam. Se necessário, retome os conteúdos propostos para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1 e 5

Competências específicas 1, 2, 3 e 5

Habilidades EF09MA13, EF09MA14 e F09MA16

Estruturas de madeira ou de metal podem ser usadas em diversos tipos de construção, como telhados residenciais.

Relações métricas no triângulo retângulo

As estruturas de madeira ou metal usadas como suporte nos telhados são chamadas de tesouras

Montadas com o formato de triângulo, as tesouras são interligadas, constituindo uma estrutura rígida apoiada nas extremidades.

Essas estruturas são capazes de suportar cargas sobre vãos relativamente grandes, sem a necessidade de suporte intermediário.

1. Na sua opinião, por que as tesouras dos telhados têm formato triangular? Faça uma pesquisa e troque ideias com os colegas. Resposta pessoal.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• reconhecer e aplicar as relações de proporcionalidade de segmentos de reta em feixes de retas paralelas cortadas por transversais;

• compreender e aplicar o teorema de Tales e o teorema da bissetriz interna de um triângulo na resolução de problemas;

• aplicar as relações de proporcionalidade de segmentos de reta em feixes de retas paralelas cortadas por transversais.

Orientações

Para começar a unidade, pergunte aos estudantes se já viram uma estrutura como a das fotografias e, por meio da leitura do texto, explore as nomenclaturas “tesoura” e “nós”. É provável que eles já tenham visto tesouras nos telhados, pois elas são muito comuns em construções com telhados inclinados, como as existentes nas casas brasileiras.

As tesouras também podem ser identificadas em outras estruturas, como pontes, pois conferem rigidez para suportar grandes massas.

Se possível, peça aos estudantes que pesquisem ou mostre fotografias ou esquemas de pontes ou outras estruturas em que são utilizadas tesouras. Damos a seguir alguns exemplos.

K. truss.

As figuras acima são modelos de pontes que usam estruturas triangulares em sua construção. São modelos conhecidos como pontes de treliça. Resposta da questão 1

O triângulo é uma estrutura rígida, isto é, não se deforma. Ele serve como aparato de apoio e força.

Ilustrações: Reinaldo Vignati

Objetivos do capítulo

• Reconhecer e aplicar as relações de proporcionalidade de segmentos de reta em feixes de retas paralelas cortadas por transversais.

• Compreender e aplicar o teorema de Tales.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1

Competências específicas 1, 2 e 3

Habilidades EF09MA14

Orientações

Os estudos deste capítulo mobilizam procedimentos e conhecimentos algébricos e geométricos, o que está relacionado à competência específica 3

Em Para começar, retome o conceito de razão entre dois segmentos de reta reforçando a ordem deles.

Proporcionalidade em Geometria

Em qual figura a razão correspondente entre a parte pintada e a figura completa é maior?

Na figura B.

Segmentos proporcionais

Observe estes segmentos.

Considere AB = med(AB); BC = med (BC) e assim por diante.

Vimos que a razão entre dois segmentos é expressa pelo quociente da medida de um deles pela medida do outro, tomadas na mesma unidade de medida. Assim, as razões entre AB e CD , EF e GH , AB e EF , nessa ordem, podem ser expressas da seguinte maneira:

• AB CD 4 8 1 2 == , isto é, a medida de AB é 1 2 da medida de CD ;

Figura B.

Resolução de Pense e responda questão 1

Para calcular a razão, basta fazer o seguinte:

GH EF 6 3 2 ==

questão 2

Espera-se que os estudantes expliquem que fizeram a divisão entre a medida do segmento GH pela medida do segmento EF, exatamente nessa ordem.

• EF GH 3 6 1 2 == , isto é, a medida de EF é 1 2 da medida de GH ;

• AB EF 4 3 4 3 == , isto é, a medida de AB é 4 3 da medida de EF

Note que as razões AB CD e EF GH são iguais. Dizemos, então, que AB , CD , EF e GH , nessa ordem, são segmentos proporcionais.

Duas razões de mesmo valor formam uma proporção

2. Explique o raciocínio que você utilizou para fazer o cálculo. 2 Resposta pessoal.

1. Qual é a razão entre GH e EF ?

Veja o exemplo.

• A razão entre a altura de um poste e a altura de uma árvore é 3 4 . Se a altura do poste é 7,5 m, qual é a altura da árvore?

Chamando a altura da árvore de x, temos:

altura do poste altura da árvore 3 4 7,53 4 34 7,53 30 10 x xxx =6=6=.6=6=

Portanto, a altura da árvore é 10 m.

Atividades

1 Determine a razão entre os segmentos de reta de medidas:

a) AB = 4 cm e BC = 12 cm;

b) MN = 10 cm e PQ = 20 cm;

c) CD = 12 cm e EF = 2 cm;

d) XY = 45 cm e ZW = 75 cm.

2 Uma pessoa tem 1,80 m de altura, e sua sombra, em determinada situação, 2,70 m. Determine a razão entre a altura da pessoa e o comprimento da sombra.

3 O perímetro de um retângulo é 180 m. Sabendo que a razão entre sua base e sua altura é 3 4 , determine a medida da base e a medida da altura desse retângulo.

Altura: 360 7 m.

Base: 270 7 m.

4 Considere os seguintes segmentos de reta, cujas medidas estão indicadas em centímetros:

Determine a medida de cada um desses segmentos sabendo que AB CD EF GH =

5 A razão entre as medidas med(A) e med(B) de dois ângulos complementares A e B é 5 13 . Qual é a razão entre as medidas do suplemento de A e do suplemento de B?

AB = 45 cm, CD = 15 cm, EF = 30 cm e GH = 10 cm. 31 23

6 Na reta r representada a seguir, AB mede 30 cm.

– 23x – 6 = 0 Dessa equação, obtemos: x 1 4 =- (não convém) ou x = 6. Assim, obtemos: AB = 7 6 + 3 = 45 4 45 cm

= 3 (6 - 1) = 15 4 15 cm

= 5 6 = 30 4 30 cm GH = 6 + 4 = 10 4 10 cm Resolução da atividade 5

ab ab 90 13 5 += =

Queremos marcar em r um ponto C, tal que:

3 5 AC CB = . A que distância do ponto A devemos marcar o ponto C, de modo que ele:

Resolvendo o sistema, obtemos 450 6 a = 25 e b = 65. Suplemento de A :

- 25 = 155

Suplemento de B :

a) pertença a AB ?

b) não pertença a AB ? 11,25 cm à direita de A 45 cm à esquerda de A

Proporção áurea ou razão áurea

A razão áurea, também chamada segmento áureo ou proporção áurea, representa a mais agradável proporção entre duas medidas. Os gregos antigos a designavam como “divisão de um segmento em média e extrema razão” ou, simplesmente, “secção”. No início do século XXI convencionou-se identificá-la pela letra grega Ä (Phi maiúsculo) (lê-se: Fi), em homenagem ao arquiteto e escultor Phídias, responsável pela concepção do templo grego Parthenon. Ä é o número irracional 1,618… [...]

QUEIROZ, Maria Rosania. Razão áurea a beleza de uma razão surpreendente. 2007. Trabalho de pós-graduação (Formação continuada em Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2007. p. [4]. Disponível em: https://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pde/rosania-razao-aurea.pdf. Acesso em: 6 jun. 2022.

- 65 = 115 A razão entre as medidas dos suplementos de A e B : 155 115 31 23 = Resolução da atividade 6 a)

11,25 cm à direita de A b)

y y y 30 3 5 75 Nesse caso, não existe o ponto C Resposta: 45 cm à esquerda de A O texto apresentado em Viagem no tempo contribui para o desenvolvimento da competência específica 1

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA14

Comente com os estudantes a definição de feixe de retas paralelas cortadas por transversais e o exemplo apresentado, que é usado para constituir o teorema de Tales. Nesse exemplo, usando as medidas w e v, foi obtida a razão 3 4 entre os segmentos de reta; escolhendo outras medidas para a construção das retas paralelas auxiliares, seriam determinadas outras medidas w e v, mas a proporção entre os mesmos segmentos de reta seria a mesma.

Resolução de Pense e responda

==6= AC AB DF DE AC AB DF DE 7 3

Feixe de retas paralelas cortadas por transversais

A figura mostra um feixe de retas paralelas, r, s e t, intersectadas por duas retas transversais a e b Feixe de retas paralelas é um conjunto de duas ou mais retas que pertencem ao mesmo plano e são paralelas entre si.

Os segmentos AB e BC, determinados sobre a reta a, têm como correspondentes, na reta b, os segmentos DE e EF, respectivamente. Construindo retas auxiliares, equidistantes entre si e paralelas a r, s e t, dividimos os segmentos AB e BC em partes iguais, de medida w, e os segmentos DE e EF também em partes iguais, de medida v. Veja na figura a seguir.

Agora, podemos estabelecer as proporções:

3 4 3 4 AB BC w w == (I) e 3 4 3 4 DE EF v v == (II)

Comparando I e II, temos:

3 4 AB BC DE EF AB BC DE EF ==6=

Essa importante igualdade constitui um dos principais teoremas da Geometria, atribuído a Tales de Mileto.

Teorema de Tales: quando um feixe de retas paralelas é intersectado por duas retas transversais, os segmentos determinados em uma das retas transversais são proporcionais aos segmentos correspondentes determinados na outra.

7 3 AC AB DF DE AC AB DF DE ==6=

Justifique a igualdade = AC AB DF DE

Acompanhe as situações a seguir.

• Calcule o valor de x sabendo que r // s // t.

Como r // s // t, usando o teorema de Tales, obtemos:

15 21 13,5 AB BC DE EFx =6=6 15x = 283,5 6 x = 18,9

Portanto, o valor de x é 18,9 cm.

Orientações

• Observe a seguir o desenho das ruas do bairro onde Rita mora. As ruas Colômbia, Paraguai e Chile são paralelas entre si. Sabendo que AB = 280 m, BC = 160 m e CE = 330 m, determine quantos metros Rita deve andar, caminhando pela Avenida Projetada, para ir da Rua Chile (ponto E) à Rua Paraguai (ponto D)

Podemos fazer um esquema para representar essas ruas e algumas medidas. Representando as ruas Chile, Paraguai e Colômbia pelas retas paralelas r, s e t, e as avenidas da Orla e Projetada pelas retas transversais u e v, respectivamente, temos:

Sendo DC = y e ED = x e usando o teorema de Tales, temos:

A atividade dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA14

Observe que, para resolver a questão proposta em Pense e responda, é importante perceber que existem outras proporções que podem ser escritas para, com base nelas, efetuar cálculos análogos aos realizados no texto.

Resposta do Pense e responda =6= =4

AC AB EC EDx x

440 280 330 210210 m

Resolução da atividade 1 Se chamarmos de x a medida de cada parte obtida na divisão de AH , teremos AH = 7x e CE = 2x Pelo teorema de Tales, temos:

AB PO AH PH xx 1 2 7 42 1 26 =6=6=

AB PO AH PH xx 1 2 7 42 1 26 =6=6=6 2x = 6

Portanto, CE = 6 cm.

280

160 7 4 4 7

AB BC ED DC x y x y yx=6=6=6= (I)

Do esquema, temos: x + y = 330 (II)

Substituindo I em II, obtemos:

4 7 xx+= 330 6 7x + 4x = 2 310 6 x = 210

Rita deve andar 210 m para ir da Rua Chile à Rua Paraguai pela Avenida Projetada.

De que outra maneira você poderia obter a distância entre E e D?

Resposta no Manual do Professor.

1 Na figura ao lado, as retas a, b, c, d, e, f e g são paralelas, e os pontos B, C, D, E, F e G dividem AH em sete partes de mesma medida.

1

Sabendo que a medida de PH é 42 cm e que

2 AB PO = , calcule a medida de CE 6 cm

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA14

2 Observe as figuras abaixo, a // b // c. Calcule, em cada caso, o valor de x sabendo que as medidas estão em centímetros.

3 (SARESP) No quintal de uma casa existe uma árvore que corre o risco de cair. Chamados para cortá-la, os bombeiros ficaram num dilema, pois seria necessário medi-la para que não houvesse perigo de atingir alguém. Nesse instante, a sombra projetada pela árvore era de 9,9 m, e a sombra do bombeiro era de 2,2 m. Qual a altura da árvore, sabendo-se que o bombeiro tem 1,70 m de altura? 7,65 m

4 As retas r, s e t, representadas nesta figura, são paralelas entre si.

Sabendo que as medidas indicadas estão em metros, quanto medem a, b e c?

= 1,5 m,

= 8 m e

= 2,5 m.

5 (IFPI) O percurso de uma corrida está representado na figura:

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

Os segmentos BD e CE são paralelos. Partindo de A, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por B, C, E, D, retornando a A. Qual é o perímetro do percurso da corrida? a) 9,75 km b) 10,00 km c) 10,25 km d) 10,50 km e) 10,75 km

6 Três terrenos têm frentes para a Rua A e para a Rua B, conforme mostra a figura abaixo. As divisas laterais dos terrenos são perpendiculares à Rua A

Se, juntos, os três terrenos têm 240 m de frente para a Rua B, qual é a medida da frente de cada terreno para a Rua B?

x = 72 m, y = 120 m e z = 48 m. Resposta pessoal.

7 Elabore questões com base nos dados da figura a seguir e troque com um colega para que ele as resolva enquanto você resolve as dele. Depois, destroque para conferir as respostas.

Portanto, as frentes dos terrenos da Rua B medem respectivamente 72 m, 120 m e 48 m.

base nos dados da figura, calcule os valores de x e y

Orientações

Resolução de Lógico, é lógica! Analisando as alternativas e indo por eliminação:

• Se Ari pede a mesma bebida que Carlos, então Bruna pede água.

Portanto, Bruna não pede sempre suco. Alternativa e eliminada.

• Se Ari pede uma bebida diferente da de Bruna, então Carlos pede suco.

• Se Bruna pede uma bebida diferente da de Carlos, então Ari pede água.

Portanto, Ari não pede sempre suco. Alternativa d eliminada.

• Se Ari pede a mesma bebida que Carlos, então Bruna pede água.

Portanto, Carlos não pede sempre suco. Alternativa c eliminada.

• Se Ari pede uma bebida diferente da de Bruna, então Carlos pede suco.

Portanto, se Ari pede água, Bruna pode pedir suco. Alternativa b eliminada.

• Se Bruna pede uma bebida diferente da de Carlos, então Ari pede água.

Alternativa a

Peça aos estudantes que compartilhem o raciocínio com os colegas. Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 2

Em Viagem no tempo, proponha aos estudantes que representem o experimento feito por Tales usando uma vareta e um objeto cuja altura eles não conheçam, como o prédio da escola ou uma árvore, para determinar essa medida. O texto apresentado favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1

(OBMEP) Ari, Bruna e Carlos almoçam juntos todos os dias, e cada um deles pede água ou suco.

• Se Ari pede a mesma bebida que Carlos, então Bruna pede água.

• Se Ari pede uma bebida diferente da de Bruna, então Carlos pede suco.

• Se Bruna pede uma bebida diferente da de Carlos, então Ari pede água.

• Apenas um deles sempre pede a mesma bebida. Quem pede sempre a mesma bebida e que bebida é essa? Alternativa a

a) Ari; água. b) Bruna; água. c) Carlos; suco. d) Ari; suco. e) Bruna; suco.

A altura da pirâmide

Conta-se que Tales de Mileto foi desafiado a medir a altura da pirâmide de Quéops. Calculou essa medida por meio de sua sombra, sem precisar escalar a pirâmide. Para isso, ele fincou no chão uma estaca na posição vertical e verificou que, em determinada hora do dia, a altura da estaca e o comprimento da sombra por ela projetada eram iguais.

Com base nessa informação, ele adicionou a metade da medida do lado da base da pirâmide à altura do triângulo determinado pela sombra da pirâmide e conseguiu determinar a altura da pirâmide.

Observe que a pirâmide tem uma base larga, que coincide com parte da sombra que a altura da pirâmide teria caso sua forma fosse a de uma estaca vertical e fina.

A ALTURA da Pirâmide de Quéops e o teorema de Tales. In: UNICAMP. Imecc. [Campinas], [20--]. Derivando a Matemática. Disponível em: http://www.ime.unicamp. br/~apmat/a-altura-da-piramide-de-queops-e-o-teorema-de-tales/. Acesso em: 6 jun. 2022.

metade da base comprimento da sombra

Represente as razões que Tales de Mileto estabeleceu para obter a medida da altura da pirâmide. Resposta no Manual do Professor.

Resolução do Viagem no tempo

Uma razão que Tales pode ter estabelecido, no momento em que percebeu que a medida da sombra e a da estaca eram iguais, é:

medidada altura da estaca medidada sombra da estaca

medidada altura da pirâmide medidada sombra da pirâmide metadeda medidada base da pirâmide

Objetivos do capítulo

Triângulo retângulo

Observe estes esquadros e seus ângulos internos.

Qual é o nome da figura geométrica plana com que o formato desses esquadros se parece?

Triângulo retângulo, pois um dos ângulos internos de cada esquadro mede 90‘

Relações métricas no triângulo retângulo

Em um triângulo retângulo, os lados, a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa admitem propriedades denominadas relações métricas. Uma dessas propriedades é o teorema de Pitágoras (no triângulo ao lado, a2 = b 2 + c 2).

Vamos explorar algumas relações que são consequência da semelhança de triângulos.

Para isso, consideremos o triângulo retângulo ABC, retângulo em A, em que:

• BC é a hipotenusa do triângulo, cuja medida chamamos de a;

• AC é o cateto oposto ao vértice B, cuja medida chamamos de b;

• AB é o cateto oposto ao vértice C, cuja medida chamamos de c;

• BH é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC , cuja medida chamamos de n;

• HC é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa BC , cuja medida chamamos de m;

• AH é a altura relativa à hipotenusa, cuja medida chamamos de h.

A altura h divide o triângulo ABC em dois outros triângulos retângulos semelhantes a ele e semelhantes entre si. Dessas semelhanças, podemos obter as relações a seguir.

1. É o segmento de reta que une, perpendicularmente, um vértice à reta que contém o lado oposto ao vértice.

1. O que é a altura de um triângulo?

2. Quantas alturas um triângulo pode ter? Troque ideias com os colegas para responder.

2. Três alturas.

• Demonstrar e aplicar as relações métricas do triângulo retângulo.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1

Competências específicas 1, 2 e 3

Habilidades EF09MA13 e EF09MA14

Orientações

Os estudos deste capítulo mobilizam procedimentos e conhecimentos algébricos e geométricos, o que contribui para o desenvolvimento da competência específica 3

Em Para começar, verifique se os estudantes identificam o ângulo de 90‘, associando o formato dos esquadros a triângulos retângulos.

Explore com os estudantes o triângulo apresentado e identifiquem juntos os catetos, a hipotenusa, as projeções e a altura.

Em Pense e responda, observe se os estudantes identificam, além da altura em relação à hipotenusa, já identificada na imagem, as alturas em relação aos catetos.

AECDBF Alturas: ,e

Orientações

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EF09MA13

Antes de apresentar as demonstrações, reúna os estudantes em pequenos grupos e peça que, com base no triângulo representado na página anterior, cheguem às respectivas demonstrações por meio de semelhança de triângulos. Se necessário, retome com eles os casos de semelhança.

1; relação

Observe os triângulos ABH e CBA abaixo.

Ilustrações:

Agora observe os triângulos BAC e AHC abaixo.

h BB H hhBB A (ângulos retos) e h BB B hhBB B (ângulo comum), então DABH ~DCBA.

AB BH CB BA c n a c ca n =6=6=. 2

h BB H hhBB A (retos) e h BB C hhBB C (comum), então DBAC ~DAHC.

AC HC BC AC b m a b ba m =6=6=. 2

Ou seja: o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa.

2; relação

Considere os triângulos ABH e CAH abaixo.

AH BH CH AH h n m h hm n =6=6=. 2

Ou seja: o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das duas projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

3; relação

Dos triângulos BAC e AHC, abaixo, temos:

h BB H hhBB A (retos) e h BB C hhBB C (comum), então DBAC DAHC.

BC BA AC AH a c b h bc ah =6=6.=

Ou seja: o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.

Resumindo, em todo triângulo retângulo ABC, com hipotenusa a e catetos b e c, temos:

• o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa;

• o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das duas projeções dos catetos sobre a hipotenusa;

• o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.

Teorema de Pitágoras

Observe o triângulo ABC, retângulo em A.

Usando as relações métricas b2 = a . m e c2 = a . n, podemos mostrar que a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras).

Como m e n são as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa, temos: a = n + m

Multiplicando essa relação por a, temos: a · a = a · n + a · m

Substituindo as relações b2 = a · m e c2 = a · n, chegamos a: a · a = a · n + a · m 6 a2 = b2 + c2

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Essa relação métrica, conhecida como teorema de Pitágoras, é uma das mais importantes da Matemática.

Acompanhe a seguinte situação.

As ruas Margarida e Tulipa são perpendiculares no cruzamento representado pelo ponto A.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA13

Nessa página é apresentado o teorema de Pitágoras. Para demonstrá-lo são utilizadas algumas das relações métricas vistas anteriormente. Acompanhe com os estudantes a demonstração algébrica em questão.

Para aprofundar

Outras demonstrações, inclusive a geométrica, podem ser verificadas em http://www.ime.unicamp.br/~apmat/ 5-demonstracoes-do-teorema-de-pi tagoras (acesso em: 30 jul. 2022).

Os pontos B e C são cruzamentos das ruas Tulipa com Girassol e Margarida com Girassol, respectivamente. Sabendo que AB = 360 m e AC = 150 m, qual é a distância do ponto A até a Rua Girassol?

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA13 e EF09MA14

Resolução da atividade 1

Algumas possibilidades de respos-

ta:

t2 = x2 + s2; r2 = y2 + s2;

t2 = x (x + y); r2 = y (x + y); s2 = xy e (x + y)2 = t2 + r²

Resolução da atividade 2

I)

() +=6=dxdx 25 20 22 2 22

II) +-=6=-dxdx (5 )5 25 (5 ) 22 22 2

=6=-dxdx )5 25 (5 ) 22 22 2

Igualando as equações (I) e (II), temos:

A distância do ponto A até a Rua Girassol é representada pela altura h do triângulo retângulo ABC, de catetos AB = c e AC = b e hipotenusa BC = a.

A distância do ponto A até a Rua Girassol pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras e a relação bc = ah

Para encontrar o valor de a, usamos o teorema de Pitágoras no DABC:

a2 = b2 + c2 6 a2 = 1502 + 3602 6 a =y 390 Como a é positivo, temos a = 390 m.

Para determinar o valor de h, fazemos:

bc = ah 6 150 360 = 390h 6 h o 138,5

Assim, a distância do ponto A até a Rua Girassol é aproximadamente 138,5 m.

Atividades

1 Escreva quatro relações métricas que podemos obter com as medidas indicadas no triângulo retângulo ABC representado a seguir.

-=6-=-+-6=6=4 xxxxxxx 20 25 (5 )2025251020102 2 km 22 22

6-=-+-6=6=4xxxxxxx (5 )2025251020102 2 km 22 22

+-6=6=4xxxxx51020102 2 km 22

E na equação (I):

=-6=-6=6=4 dxddd 2020 2164 4 km 22 22 2

6=-6=6=4 ddd2020 2164 4 km 22 2

Alternativa e Resolução da atividade 3 Da figura, temos:

62 = (x + 5) x 6 36 = x2 + 5x x2 + 5x – 36 = 0

x = 4 ou x =-9 (não convém).

3 Quais são os valores de x e y mostrados na figura? Considere que as medidas estão em centímetros. x = 4 cm e y = 2 13 cm.

Resposta no Manual do professor.

2 (FACULDADE ALBERT EINSTEIN) O radar de uma embarcação indica que a região segura de navegação até a praia é delimitada pelo triângulo cujas medidas dos lados estão descritas na figura. Alternativa e

=+6=+6=+6=6== yxyyyy 66 4361652522 13 22 22 22 22

6=+6=+6=6== yyyy66 4361652522 13 22 22

6=6== yy 652522 13 22

Portanto, x = 4 cm e y 213 = cm.

Desprezando-se os efeitos da curvatura da Terra, a menor distância entre a embarcação e a linha reta da praia, em quilômetros, é igual a a) 7 2 b) 15 c) 35 2 d) 53 2 e) 4

Sabendo que as medidas dos lados estão indicadas em centímetros, calcule o perímetro desse triângulo.

60 cm

5 Em um triângulo retângulo, a razão entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é 9 16 . Sabendo que a hipotenusa mede 10 cm, calcule:

a) as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa;

b) as medidas dos catetos;

c) a medida da altura relativa à hipotenusa.

6,4 cm e 3,6 cm 6 cm e 8 cm 4,8 cm

Orientações

As atividades da página seguinte favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA13 e EF09MA14

Resolução da atividade 6

Se o triângulo é equilátero e AMMC() é a altura, então M é o ponto médio de BC e, portanto, medAMMC() = 8 cm.

Seja x a medida de AMMC()

162 = x2 + 82

256

4 O triângulo representado a seguir é retângulo e sua área é 150 cm2

6 A figura mostra um triângulo equilátero ABC, cujo lado W mede 16 cm. Qual é a medida de MN ? 4 3 cm

9 (UNIFESP) De acordo com a Norma Brasileira de Regulamentação de Acessibilidade, o rebaixamento de calçadas para travessia de pedestres deve ter inclinação constante e não superior a 8,33% (1 : 12) em relação à horizontal. Observe o seguinte projeto de rebaixamento de uma calçada cuja guia tem altura BC = 10 cm.

Resolução da atividade 9

7 (ENEM) Construir figuras de diversos tipos, apenas dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é a arte do origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um significado altamente simbólico no Japão. A base do origami é o conhecimento do mundo por base do tato.

Uma jovem resolveu construir um cisne usando a técnica do origami, utilizando uma folha de papel de 18 cm por 12 cm. Assim, começou por dobrar a folha conforme a figura.

Alternativa d

Após essa primeira dobradura, a medida de AE é:

a) 222 cm.

b) 63 cm.

c) 12 cm.

d) 65 cm.

e) 12 2 cm.

8 A figura abaixo representa a vista frontal de uma casa. Determine as medidas x, y e h das dimensões do telhado dessa casa.

x = 210 m, y = 215 m e h = 26 m.

120 cm.

b) =6=6== BC ABAB AB 5 100 10 1 20

=6=6==4 ⋅ BC ABAB AB 5 100 10 1 20 1020200200 cm

a) Calcule a medida de AB na situação limite da regulamentação.

b) Calcule o comprimento de AC na situação em que a inclinação da rampa é de 5%. Deixe a resposta final com raiz quadrada.

10 (FUVEST) Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32 m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral, e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de 12 m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de:

Seja x a medida do segmento AC =+ = x x 20010 40100 22 2 2 x 10401=

16 16 12 A M L B P

a) 18,8 m

b) 19,2 m c) 19,6 m d) 20 m e) 20,4 m

96 5 19 =6=6==4 AP BM AL BL APAP 12

=6=6== AP BM AL BL APAP 12 32 20

Orientações

O texto apresentado em Curiosidade apresenta uma aplicação prática de conhecimentos de Geometria para a solução de um problema de abastecimento de água em uma região da Ilha de Samos no ano de 530 a.C. Esse conteúdo promove o desenvolvimento da competência específica 1

No ano 530 a.C., na ilha de Samos (terra natal de Pitágoras), Eupalinos construiu um aqueduto a mando do tirano Polícrates. O objetivo era trazer água de fontes abundantes que se situavam além do Monte Castro. Esse túnel, que atravessa o Monte Castro, ainda existe, tem mais de oitocentos metros de extensão e secção quadrada de aproximadamente dois metros de lado. É mencionado pelo historiador Heródoto e foi encontrado por arqueólogos alemães em 1822. O túnel foi escavado em duas frentes e, no encontro, houve um erro de menos de 1%, o que, para os recursos tecnológicos da época, é pequeno. Em sua construção, Eupalinos procedeu da seguinte maneira: dever-se-ia escavar a montanha através do caminho AB, como na figura, com entrada para a água no ponto A

Inicialmente é traçada, em torno da montanha, uma linha poligonal ACDEFGHB, cujos segmentos formam sempre ângulos retos.

Calcula-se a distância

AM = CD + EF - GH e BM = BH + GF - DE - AC

Considerando, então, o triângulo AMB, retângulo em M com catetos AM e BM, agora conhecidos, o problema é encontrar a direção da hipotenusa AB. São construídos, então, dois triângulos auxiliares, os triângulos AIJ e BKL, retângulos em I e K respectivamente, cuja razão entre os catetos é AI IJ = KL KB = BM MA portanto, conhecida.

Assim, JA fornece a direção em que se deverá escavar a partir de A[,] e LB fornece a direção pela qual se deve escavar a partir do ponto B REZENDE, Eliane Quelho Frota; QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria euclidiana plana e construções geométricas. Campinas: Unicamp, 2008. p. 80.

Túnel de Eupalinos na ilha de Samos, Grécia, 2019.

Verificações experimentais e demonstração geométrica do teorema de Pitágoras

Com base em conhecimentos geométricos adquiridos com agrimensores egípcios, o filósofo e matemático grego Pitágoras (586 a.C.-500 a.C.) percebeu uma relação muito importante a respeito de cada um dos lados de um triângulo retângulo, cujos lados medem 3, 4 e 5.

Ilustrações: DAE

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA14

Ao longo da história, muitas demonstrações foram desenvolvidas para o teorema de Pitágoras, com variadas estratégias algébricas e/ou geométricas para prová-lo. Acompanhe com os estudantes as demonstrações citadas, enfatizando que cada uma delas deve ser válida para qualquer triângulo retângulo. Peça a eles que verifiquem a relação apresentada em outros triângulos retângulos e, depois, compartilhem com os colegas. Com isso, estamos trabalhando as competências específicas 1 e 3

Observe que o quadrado construído sobre a hipotenusa tem tantos quadradinhos quanto a soma dos quadradinhos dos quadrados construídos sobre os catetos.

Assim, obtemos a relação: 25 = 9 + 16 6 52 = 32 + 42

A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

Para Pitágoras, não bastava que essa relação fosse válida para o triângulo retângulo cujos lados medissem 3, 4 e 5. Era preciso provar sua validade para os demais triângulos retângulos.

Veja a demonstração geométrica:

Queremos provar que, sendo a a medida da hipotenusa e b e c as medidas dos catetos de um triângulo retângulo, então: a2 = b2 + c2

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA14

O terno pitagórico mais conhecido é 3, 4 e 5. Deixe os estudantes verem a definição de terno pitagórico e perceberem como determinar outros usando valores naturais m com m l 2. No primeiro exemplo, para m = 2, obtém-se o terno 3, 4 e 5. Comente com eles que podemos multiplicar as medidas de um terno pitagórico por um número natural não nulo e obter outros ternos, como: 6, 8 e 10.

O conteúdo de Curiosidade favorece o desenvolvimento da competência geral 1

Vamos desenhar dois quadrados cujos lados medem b + c.

Para formar esses quadrados, note que usamos quatro triângulos retângulos idênticos, de catetos que medem b e c e hipotenusa que mede a, além de outros quadrados menores. Retirando de cada um desses quadrados os quatro triângulos retângulos idênticos, as partes restantes têm a mesma área.

Um terno de números inteiros a, b e c que possam representar as medidas dos catetos e da hipotenusa de um triângulo retângulo é chamado terno pitagórico. A relação a seguir, em que m pode ser par ou ímpar, constitui um terno pitagórico e é atribuída a Platão (427 a.C.-347 a.C.). (2m)2 + (m2 - 1)2 = (m2 + 1)2, em que m óN e m l 2

Portanto, a2 = b2 + c2

Apesar da forte tradição grega que associa o nome de Pitágoras a esse teorema, não há dúvida de que esse resultado já era conhecido, pelo menos experimentalmente, antes do tempo do filósofo.

Exemplos:

Para m = 2, temos o terno pitagórico (4, 3, 5), isto é, 42 + 32 = 52

Para m = 3, temos o terno pitagórico (6, 8, 10), isto é, 62 + 82 = 102

Para m = 4, temos o terno pitagórico (8, 15, 17), isto é, 82 + 152 = 172

A cerca de 50 quilômetros de Mileto, na ilha jônica de Samos, nasceu o homem que veio a emprestar seu nome ao mais conhecido dentre todos os teoremas da Matemática: Pitágoras. Também sobre ele o que se conta é um misto de fatos e lendas, sendo muito difícil distinguir uns dos outros. O período em que transcorreu sua vida não é conhecido com exatidão, mas conjectura-se que tenha sido de 586 a.C. a 500 a.C. Se assim foi e se Tales realmente viveu de 640 a.C. a 564 a.C., então Pitágoras tinha pouco mais de 20 anos quando morreu o pai da Matemática dedutiva. Não é impossível, portanto, que o jovem de Samos tenha sido atraído pela fama do sábio de Mileto e procurado entrar em contato com ele ou seus discípulos. Alguns autores antigos afirmam que houve contato pessoal entre Pitágoras e Tales, mas outros historiadores têm dúvidas sobre isso. Entretanto, é certo que Pitágoras foi fortemente influenciado pelas ideias de Tales.

GARBI, Gilberto Geraldo. A rainha das ciências. São Paulo: Livraria da Física, 2010. p. 25.

Gravura de Tales de Mileto. Gravura de Pitágoras.

Acompanhe as situações a seguir.

• Quantos metros de tábua foram gastos para colocar os dois reforços em diagonal no portão representado nesta figura?

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA14

Se julgar necessário, mencione outras situações-problema que envolvam o teorema de Pitágoras, como a altura que uma escada pode alcançar em uma parede, mantendo uma distância segura.

Considerando uma só tábua, podemos esboçar a figura a seguir.

O comprimento x da tábua é a medida da hipotenusa do triângulo retângulo. Usando o teorema de Pitágoras, temos:

x2 = (1,25)2 + 32 6 x2 = 1,5625 + 9 6 x2 = 10,5625

Sabendo que x é um número positivo e extraindo a raiz, obtemos x = 3,25 m. Como são duas tábuas: 2 3,25 = 6,5, então, foram usados 6,5 metros de tábua.

• João e Maria partem do mesmo ponto no mesmo instante. João segue em direção leste, com velocidade constante de 6 km/h, e Maria, em direção norte, com velocidade constante de 4,5 km/h. Supondo que eles caminhem em linha reta, encontre a distância que os separa depois de duas horas. Ilustrando a situação, temos:

Em duas horas, eles terão caminhado:

João: 2 6 = 12 4 12 km.

Maria: 2 4,5 = 9 4 9 km.

A distância d que os separa depois de duas horas pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras:

d 2 = 92 + 122 6 d 2 = 81 + 144 6 d 2 = 225 6 d = 225 y6 d =y15

Como d é positivo, obtemos d = 15 km.

Aproveite as situações e comente como a distância da base da escada em relação à parede influencia na inclinação dela.

Ilustrações: Reinaldo Vignati

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA14

Resolução da atividade 1

20m D

99m

Atividades

1 Cláudia mora próximo de uma praça retangular cujos lados medem 20 m e 99 m. Ontem, passeando com sua cachorra Tina, ela parou na banca de jornais e depois foi à sorveteria, atravessando a praça em sua diagonal. Quantos metros Cláudia caminhou da banca à sorveteria? 101 m

SORVETERIA

DD

222 2 2 =+6=+ =6=4

DD 2099400 9 801 10201101101 m.

Resolução da atividade 2

Como 45min equivalem a 3 4 h, eles percorreram:

.= 24 3 4 18 4 18 km

.= 32 3 4 24 4 24 km

D

18km 24km

DDD 1824900 3030 km 22 22 =+6==4

DDD 1824900 3030 km 226==4

A resolução da atividade 3 encontra-se no rodapé da página. Resolução da atividade 4

Os quatro triângulos da figura são idênticos. Seja a a medida da hipotenusa de um deles.

aaa 2410676 2626  cm 22 22 =+6=6=4

a 2410676 2626  cm 6=6=4

P = 26 + 26 + 26 + 26 = 104 4 4 104 cm.

Resolução da atividade 5

2 Dois ciclistas partem ao mesmo tempo de um mesmo local. Um vai para o norte, com velocidade constante de 24 km/h, e o outro vai para o leste, com velocidade constante de 32 km/h. Qual é a distância entre os ciclistas 45 minutos após a partida?

3 A figura abaixo mostra o trajeto de Fátima para ir do ponto A ao ponto B. Se ela tivesse usado o caminho mais curto, de A a B, quantos metros a menos ela teria percorrido?

30 km 46 m

4 O ponto de intersecção das diagonais de um losango é o ponto médio de cada diagonal. Sabendo que as diagonais de um losango medem 48 cm e 20 cm, qual é o perímetro dele? 104 cm

5 O trapézio retângulo MNPQ foi dividido em três triângulos retângulos.

Pela figura, podemos afirmar que a área do trapézio é: ()() = ++ = ++

A baab Aaabb 2 2 2

1 1

22

Pela soma das áreas dos triângulos: =++6= + AababcAcab 22 2 2 2 2

2 2

2

Resposta no Manual do Professor. Calcule a área do trapézio MNPQ usando a fórmula da área do trapézio e, depois, pela soma das áreas dos triângulos I, II e III. Iguale os dois resultados obtidos para demonstrar o teorema de Pitágoras.

22 2 22 2

2 2 2 2 22

aabbcab

bbcab abc 22

2

20m 30m 6m 2m 5m A B C xxx 815  289  1717  m. 22 22 =+6=6=4

30 + 6 + 20 + 2 + 5 = 63 4 63 m.

Se ela tivesse ido direto de A para B, ela teria percorido: 63 - 17 = 46 4 46 m.

Fátima percorreu:

6 (IFRJ) Os moradores da Baixada Fluminense sofrem diariamente com o abastecimento irregular de água. Ana, tentando contornar o problema, deseja instalar uma bomba-d’água para encher seu reservatório nos dias em que o fornecimento estiver normal. A bomba será instalada ao lado do reservatório que se encontra a 5 metros de distância de um poste de 12 metros de altura. Portanto, a quantidade de metros de fio que serão necessários para fazer a ligação entre o poste e a bomba é de: a) 9 m. b) 10 m. c) 12 m. d) 13 m.

7 (UFRJ) Segundo historiadores da Matemática, a análise de padrões como os ilustrados a seguir possibilitou a descoberta das triplas pitagóricas.

A área do quadrado maior é igual a S1 = a2. O quadrado no centro tem o lado igual a (b - c) e sua área é igual a S2 = (b - c)2 = = b2 - 2bc + c2

Sbcbcbcbcbc

2 2 2 2 2. 3

Como a soma das áreas dos quatro triângulos mais a área do quadrado do centro é igual à área do quadrado maior, temos:

Observe que os números 32, 42 e 52, representados respectivamente pelas 2;, 3; e 4; figuras, satisfazem ao Teorema de Pitágoras. Dessa forma (3, 4, 5) é uma tripla pitagórica.

SSSbbccbcabca 22 23 1 22 22 22+=6-++=+=

SSSbbccbcabca 22 23 1 22 22 22+=6-++=+=

Alternativa b

Os quadrados representados pelas 4;, 11; e na figuras determinam outra tripla pitagórica, sendo o valor de n a) 10 b) 12 c) 14 d) 16

8 A primeira figura das imagens a seguir representa um triângulo retângulo de catetos com medidas b e c e hipotenusa com medida a

Na atividade 9, verifique as demonstrações encontradas. Ao final, peça a cada grupo que explique a demonstração aos colegas.

Imagem extraída de: Matemática - uma breve história - volume 1, de Paulo Roberto Martins Contador. (Editora Livraria da Física, 2012).

Com base nele, construímos um quadrado de lado com medida a, usando quatro vezes o triângulo retângulo.

• No quadrado construído, a soma das áreas dos quatro triângulos mais a área do quadrado do centro é igual à área do quadrado maior. Usem esse fato para demonstrar que a2 = b2 + c2

Orientações

; Figura 2; Figura 3; Figura 4; Figura 5; Figura F B α

Resolução da atividade 6

Seja x a medida de AC

x x 12 5  169 16913  13m 22 2 =+= ==4

Alternativa d

S1 S2 S3

cb h

Resposta no Manual do Professor. Resposta pessoal. K L C J G

α H

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA14 e da competência específica 2

C BA 5m 12m poste

Imagem extraída de: Matemática - uma breve história - volume 1, de Paulo Roberto Martins Contador. (Editora Livraria da Física, 2012).

Resolução da atividade 7

1; figura: 2 bolinhas na coluna e 22 = 4 bolinhas na figura.

2; figura: 3 bolinhas na coluna e 32 = 9 bolinhas na figura.

x

11; figura: 11 + 1 = 12 bolinhas na coluna e 122 = 144

bolinhas na figura.

4; figura 11; figura n; figura

2

52

6 x2

Resolução da atividade 8

A soma das áreas dos quatro triângulos é igual a: =+++=

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA14

Resolução da atividade 10

Seja x a medida do segmento SU

x² = 400² + 300² = 250 000

x = 500 4 500 m

RS (distância em terra):

400 1 700 = 680 000 4

4 R$ 680.000,00

SU (distância sob o rio):

830 . 500 = 415 000 4

4 R$ 415.000,00

Custo total:

680 000 + 415 000 = 1 095 000 4

4 R$1.095.000,00

Alternativa d

Na atividade 11, espera-se que os estudantes façam questões envolvendo as medidas da hipotenusa, da altura do triângulo e das projeções. Os cálculos estão a seguir.

a² = 18² + 24² = 324 + 576

a² = 900 6 a = 30 4 30 m.

18 24 = 30 h

h = 14,4 4 14,4 m.

182 = 14,4m

m = 10,8 4 10,8 m

242 = 14,4n 6 n = 19,2 4 19,2 m

Resolução da atividade 12

• Seja x a medida do segmento AH

xxx 24 82 2  22 m 22=.6==4

xxx82 2  22 m 226==4

• Seja y a medida do segmento AB

22

=+ ==4 y y 28 12 2323 m

• Seja z a medida do segmento AC

zz 84 24 26  2 6m 22=+==4

10 (UNIFOR-CE) Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento, situada à margem de um rio de 400 m de largura (considerada constante), a um conjunto habitacional, situado na outra margem, através dos pontos USR, como mostra a figura.

O custo da instalação da tubulação através do rio é de R$ 830,00 o metro, enquanto, em terra, custa R$ 400,00.

Se a distância do conjunto habitacional até o ponto S for igual a 1 700 metros, pode-se afirmar, corretamente, que o custo de instalação da rede de água potável será de: Alternativa d

a) R$ 1.611.000,00.

b) R$ 1.012.000,00.

c) R$ 1.132.000,00.

d) R$ 1.095.000,00.

e) R$ 1.321.000,00.

11 Considere

24 m 18 m A BC André Martins 400 m 2000 m R S T U Ilustrações: DAE

a) Elabore, no caderno, o enunciado de um problema que envolva esse triângulo.

b) Elabore perguntas para determinar as demais medidas do triângulo e calcule-as.

c) Depois, troque com um colega e responda às perguntas elaboradas por ele. Juntos, confiram as estratégias utilizadas.

Resposta pessoal.

22=+==4

zz 84 24 26  2 6m

• Seja w a medida do segmento BC

BC = 2 + 4 = 6 6 BC = 6 4 6 m.

• Seja n a medida do segmento NH

n n

.=.6 =4

23 22 2 26 3 26 3 m

• Seja m a medida do segmento

MH

mm 26 42 2 43 3 43 3 m =.=4

mm 42 2 43 3 43 3 m =.=4

o triângulo abaixo. Respostas pessoais.

13 (UNIFOR-CE) A figura abaixo mostra um terreno, com medidas em metros, pertencente a uma empresa metalúrgica, na cidade de Caucaia, zona metropolitana de Fortaleza. Para isolar a área, a empresa colocou uma tela metálica em todo o perímetro desse terreno, deixando apenas um vão de 5 metros para a passagem de máquinas e caminhões. A tela foi comprada em rolos fechados, com 20 metros cada um, na quantidade mínima necessária de rolos. Na sua colocação houve uma perda de 5 metros.

DAE

Ilustrações:

Portanto, terminada a colocação, a quantidade de tela que restou no último rolo foi de: Alternativa a a) 8 metros. b) 9 metros. c) 10 metros. d) 11 metros. e) 12 metros.

14 Qual é a área da região hachurada na figura a seguir se o lado do quadrado ABCD mede 5 m e os catetos do triângulo retângulo medem 1,5 m? 23,875 m2

d = 17 cm. Portanto, o raio r de cada semicírculo sobre AC é r = 8,5 cm. Dois semicírculos correspondem a uma circunferência, então, seu comprimento é:

C = 2pr = 2 . 3 . 8,5 = 51 4 51 cm.

Fazendo o mesmo raciocínio sobre b, temos que b = 30 cm, então r = 7,5 cm.

C = 2pr = 2 3 7,5 = 45 4 45 cm.

Fazendo o mesmo raciocínio sobre o lado BC, temos que med(BC )  = = 16 cm, então r = 4 cm.

C = 2pr = 2 . 3 . 4 = 24 4 24 cm. Então, o contorno total da figura é: 51 + 45 + 24 = 120 4 120 cm. Resolução de Lógico, é lógica! Do enunciado, temos três afirmações: Ana é loira; Bia não é loira; Carla não é morena.

Vamos separar em 3 casos para resolver o problema.

1? caso: A primeira afirmação é verdadeira.

Ana é loira (verdadeiro).

15 Sobre os lados de um triângulo retângulo ABC cujos catetos medem 16 cm e 30 cm, é construída uma figura formada por semicírculos.

Bia não é loira (falso), então, Bia é loira (contradição), pois Ana é loira. 2? caso: A segunda afirmação é verdadeira.

Bia não é loira (verdadeiro), então, Bia é morena ou Bia é ruiva.

Carla não é morena (falso), então, Carla é morena.

Ana é loira (falso), então, Ana é morena ou Ana é ruiva.

Se Carla é morena, então, Ana é ruiva.

Calcule a medida do contorno dessa figura. Use po 3. 120 cm

logico, é logica!

(ESPM-SP) Ana, Bia e Carla são amigas. Uma delas é loira, outra morena e outra ruiva, não necessariamente nessa ordem. Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira:

E se Ana é ruiva, então, Bia é morena (contradição), pois Carla é morena.

3? caso: A terceira afirmação é verdadeira.

• Ana é loira.

• Bia não é loira. • Carla não é morena. Podemos afirmar, com certeza, que:

a) Ana é loira e Bia é ruiva.

b) Carla é morena e Bia é loira.

Orientações

Alternativa d

c) Bia é ruiva e Carla é morena.

d) Ana é morena e Carla é ruiva.

e) Carla é loira e Ana é morena.

Carla não é morena (verdadeiro), então, Carla é ruiva ou Carla é loira. Ana é loira (falso), então, Ana é morena ou Ana é ruiva.

Bia não é loira (falso), então, Bia é loira.

Se Bia é loira, então, Carla é ruiva. E se Carla é ruiva, então, Ana é morena (tautologia).

Assim, temos que Ana é morena, Bia é loira e Carla é ruiva.

Alternativa d

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA14

Resolução da atividade 13

x² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 6 x = 15 4 15 m

P = 21 + 9 + 9 + 15 + 18 = 72 6 p = 72 4 72 m

Seja P t o perímetro da área a ser isolada com tela.

P t = 72 – 5 = 67 6 P t = 67 4 67 m

4 20 = 80

- 67 = 13 13 - 5 = 8 4 8 m

Alternativa a

Resolução da atividade 14

Em Lógico, é lógica!, peça aos estudantes que compartilhem o raciocínio com os colegas. A atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 2

A = A q - A t = 25 - 1,125 = 23,875

A = 23,875 4 23,875 m²

Resolução da atividade 15

Seja a a medida da hipotenusa e b a medida do cateto BC

Sobre a hipotenusa AC, existem dois diâmetros iguais a

Objetivos do capítulo

• Calcular a distância entre dois pontos do plano cartesiano.

• Determinar o ponto médio de um segmento de reta.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 5

Competências específicas

2 e 5

Habilidades EF09MA16

Orientações

Neste capítulo, apresentaremos o cálculo da distância entre pontos da reta numérica e entre pontos do plano cartesiano. No segundo caso, começaremos considerando pontos cujo segmento de reta formado é paralelo a um dos eixos.

Explore, inicialmente, os pontos representados na mesma reta numérica, cuja distância se relaciona com o módulo da diferença entre as coordenadas dos pontos e o cálculo da coordenada do ponto médio de dois pontos da reta numérica.

Resolução do Para começar

0,6 + 0,7 + 0,9 = 2,2

Depois, dê um tempo para que os estudantes respondam à questão proposta em Pense e responda

Resposta do Pense e responda

A origem da reta numérica corresponde ao número real 0 (zero).

Distância entre pontos no plano cartesiano

A figura a seguir representa uma reta numérica cuja escala é igualmente espaçada.

Em uma escola há 54 alunos matriculados no 6? ano. Eles vão fazer uma visita ao Museu do Amanhã, na cidade do Rio de Janeiro (RJ). Lá, serão divididos em grupos com o mesmo número de alunos, cada um com mais de 5 e menos de 20 alunos. De quantas formas diferentes esses grupos poderão ser feitos?

Sabendo que os pontos A, B e C representam três números nessa reta, qual é o valor de A + B + C?

Distância entre dois pontos de uma reta numérica

Considere a reta numérica a seguir:

A distância entre os pontos A e B é igual a 4 unidades.

Essa distância é a diferença entre a coordenada do ponto B (maior coordenada) e a coordenada do ponto A (menor coordenada).

d(A, B) = AB = 5 - 1 = 4

Utilizando valores absolutos, não é necessário haver preocupação com a ordem dos termos da subtração, ou seja:

(, )| 51 || 15 |4=-=-= dAB

Qual é a coordenada do ponto correspondente à origem da reta numérica? Zero.

Sendo M o ponto médio de AB , podemos calcular sua coordenada na reta numérica considerando a coordenada 1 de A mais a metade da distância entre A e B:

1 + 4 2 = 1 + 2 = 3

Então, M está na coordenada 3 dessa reta.

Acompanhe as situações a seguir.

• Considere os pontos A, B, C e D de uma reta, de coordenadas -6, - 2, 3 e 1, respectivamente. Calcule a distância entre os pontos:

a) A e B; b) A e C; c) C e D.

Temos:

a) d(A, B) = AB =-=-+= |2 (6)| |2 6| |4 | = 4

b) d(A, C) = AC =-=-+= |3 (6)| |3 6| |9 | = 9

c) d(C, D) = CD =-=-=|1 3| |2 || 2| =

• Os pontos M e N de uma reta têm coordenadas respectivamente iguais a

2 e 8 . Qual é a coordenada do ponto médio P de MN?

Representando os pontos M e N na reta, temos: 82 22 22 32 ==.=

A distância entre M e N é igual a:

d(M, N) = MN =-== 22 22 2

A coordenada do ponto médio P é igual a:

2 2 22 2 2 32 2 += + =

Portanto, a coordenada do ponto P é 32 2

Orientações

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Ao trabalhar “Distância entre dois pontos no plano cartesiano”, apresente exemplos de cálculos cujo segmento de reta formado é paralelo aos eixos do plano.

Resolução da atividade 1

a) dAB,9 54=-= ()

b) dAB,6 06=-= ()

c) d(

1 Qual é a distância entre os pontos cujas coordenadas na reta são iguais a:

a) 5 e 9?

b) 0 e 6?

c) 8 e -10? d) 3 4 - e 0?

e) 3 - e 75 ?

f) 9 2 - e -1?

2 As coordenadas dos pontos A, B, C e D de uma reta são respectivamente

as coordenadas do ponto médio dos segmentos:

Distância entre dois pontos no plano cartesiano

No plano cartesiano, podemos determinar a distância entre dois pontos A e B de uma reta paralela ao eixo x ou ao eixo y, conforme mostrado a seguir.

g) 2 e 162 ?

h) 1

Resolução da atividade 2

a) A coordenada do ponto médio deve estar exatamente entre -6 e -2, portanto, M =-4.

b) Considerando B =-2 e C = 3, o ponto médio M vai estar exatamente entre esses dois pontos, então, M 1 2 =

c) Sendo A =-6 e D = 8, a distância entre esses dois pontos é: d(A, D) = 8 - (-6) = 14. Então, o ponto médio M vai estar a 7 unidades de cada um dos pontos, portanto, localizado em M = 1.

Orientações

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EF09MA16

Para o cálculo da distância entre dois pontos do plano cartesiano cujo segmento de reta formado não é paralelo a um dos eixos, determina-se um triângulo retângulo (a hipotenusa é o segmento de reta formado pelos pontos) e aplica-se o teorema de Pitágoras. Com base nos exemplos, os estudantes podem determinar fórmulas para esse cálculo.

Quando AB não é paralela ao eixo x ou ao eixo y, podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular a distância entre os pontos A e B da reta.

Observando a figura acima, vemos que AC é paralelo ao eixo x e CB é paralelo ao eixo y; logo, o triângulo ACB é retângulo em C. Sendo A(1, 3) e B(9, 9), temos:

Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo ACB, obtemos:

(AB)2 = (AC)2 + (CB)2 6 (AB)2 = 82 + 62

(AB)2 = 100 6 AB = 10 ou AB =-10

Como AB > 0, temos AB = 10.

Portanto, a distância entre A e B é de 10 unidades de comprimento. Veja agora como calcular as coordenadas do ponto médio de AB :

Portanto, M(5, 6).

Atividades

1 Calcule a distância entre os pontos A e B de cada uma das figuras a seguir.

Orientações

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Resolução da atividade 1

Ilustrações: DAE

a) d(A, B) = |3 - (-5)| = |8| = 8

b) d(A, B) = |8 - (-4)| = |12| = 12

Resolução da atividade 2

a) d(D, C) = d(A, B) =

= 30 - (-20) = 50 4 50 m

d(D, A) = d(C, B) = 15 - (-10)

d =25 4 25 m

P = 50 + 25 + 50 + 25 =

= 150 4 150 m

b) A = 50 25 = 1 250 4 1 250 m2

Resolução da atividade 3

2 Observe o retângulo ABCD representado na figura abaixo.

a) Supondo um ponto C(4, 1) para obter um triângulo retângulo ABC

Seja b a medida do segmento AB

b² = 7² + 4² = 49 + 16 = 65

b = 65

b) Supondo um ponto C(- 4, 0) para obter um triângulo retângulo ABC. Seja b a medida do segmento AB

b² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32

b = 4 2

Calcule:

a) o perímetro desse retângulo;

b) a área desse retângulo.

3 Qual é a distância entre os pontos A e B em cada uma das figuras a seguir? a)

Orientações

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Resolução da atividade 4

a) Calculando d(A, B). Supomos um ponto C(3, 0) para obter um triângulo retângulo ABC. Seja a a medida do segmento AB

a² = 3² + 4² = 25 6 a = 5.

Para calcular d(D, E), supomos um ponto F(2, 2) para obter um triângulo retângulo DEF. Seja d a medida do segmento DE

d² = 6² + 2² = 40

d = 2 10

Para calcular d(P, Q), supomos um ponto ()R 23 ;  1 para obter um triângulo retângulo PQR. Seja p a medida do segmento PQ

Pp 22 316   4 22 2 () =+=6=

b) AB: X m =

Logo, M(-1, 3).

Resolução da atividade 5

Os cálculos parciais das distâncias percorridas são:

=+=o dXY (, )8 22 17 8, 246 22 =+=o dYZ (, )3 33 24 , 242 22

Distância total:

8,246 + 4,243 = 12,488 o 12,49 4

4 12,49 km.

Resolução da atividade 6

As posições dos usuários são

Q(3, 7), R(6, 7) e S(5, 3). Os respectivos raios de abrangências medem

R q = 3, R r = 2 e R s = 5. Como a posição do bar I é (5, 6), obtemos:

dIq =+=+= 21  4 1  5 22

dIs = R 11  2 2 q 22+=<=

dIs = 6 - 3 = 3 < 5 = R s

Portanto, a resposta deve ser o bar I.

Alternativa a

4 Considere os pontos:

A(3, 4) e B(0, 0)

D(2, 4) e E(-4, 2)

P( 23 , 3) e Q( 43 , 1)

a) Calcule as distâncias d(A, B), d(D, E) e d(P, Q).

d(A,

b) Quais são as coordenadas dos pontos médios de AB e DE ?

5 Um avião sai da cidade no ponto X, faz escala na cidade no ponto Y e chega à cidade no ponto Z. Calcule o valor mais próximo, em quilômetros, da distância total percorrida pelo avião.

6 (ENEM) Um aplicativo de relacionamentos funciona da seguinte forma: o usuário cria um perfil com foto e informações pessoais, indica as características dos usuários com quem deseja estabelecer contato e determina um raio de abrangência a partir da sua localização. O aplicativo identifica as pessoas que se encaixam no perfil desejado e que estão a uma distância do usuário menor ou igual ao raio de abrangência. Caso dois usuários tenham perfis compatíveis e estejam numa região de abrangência comum a ambos, o aplicativo promove o contato entre os usuários, o que é chamado de match.

O usuário P define um raio de abrangência com medida de 3 km e busca ampliar a possibilidade de obter um match se deslocando para a região central da cidade, que concentra um maior número de usuários. O gráfico ilustra alguns bares que o usuário P costuma frequentar para ativar o aplicativo, indicados por I, II, III, IV e V. Sabe-se que os usuários Q, R e S, cujas posições estão descritas pelo gráfico, são compatíveis com o usuário P, e que estes definiram raios de abrangência respectivamente iguais a 3 km, 2 km e 5 km.

Com base no gráfico e nas afirmações anteriores, em qual bar o usuário P teria a possibilidade de um match com os usuários Q, R e S, simultaneamente?

a) I b) II c) III d) IV e) V Alternativa a

P 2294

8122

7 (USS-RJ) ABCD é um paralelogramo. Se A = (1, 2), B = (3, 6) e C = (4, 7), as coordenadas de D são:

a) (0, -1).

b) (1, 4).

Alternativa c

c) (2, 3).

d) (3, 2). e) (6, 11).

8 Observe o trapézio MNPQ representado abaixo.

a) Quais são as coordenadas dos vértices desse trapézio?

b) Qual é o perímetro desse trapézio?

c) Qual é a área desse trapézio?

M(-2, -2), N(3, -4), P(3, 4), Q(-2, 2). 12 + 229 unidades de comprimento 30 unidades de área

9 Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A,Be C,cujas coordenadas, no plano cartesiano, são dadas por (4, 0), (1, 6) e (7, 4), respectivamente. Calcule o perímetro desse triângulo.

5 + 35 + 210 unidades de comprimento

10 Os vértices de um triângulo retângulo ABC estão representados no plano cartesiano abaixo.

Resolução da atividade 9

Calculando as distâncias entre os pontos:

d(A,B) = 36  453 5 22+==

d(A,C) = 34  255 22+==

d(B,C) =

62  402 10 22+==

p = 5 + 35 + 210

Resolução da atividade 10 Sugestão:

• Qual é a área e o perímetro do triângulo ABC, cuja medida dos lados são dadas em cm?

d(A, B) = 5 - 1 = 4

d(B, C) = 5 - 3 = 2

d(A, C)2 = 42 + 22

d(A, C) = 25 = . =4 A 42 2 44 cm2

P = 4 + 2 + 25

P = 6 + 25 4 (6 + 25 ) cm Resolução da questão de Lógico, é lógica!

Se observarmos as letras do nosso alfabeto, vemos que os números que estão entre as letras representam a quantidade de letras entre elas. Veja a seguir.

B1D: entre o B e o D existe apenas uma letra, que é o C; logo essa quantidade é representada pelo número 1.

Elabore duas perguntas com base nos dados desse plano. Entregue as perguntas a um colega e respondam às perguntas um do outro. Juntos, confiram as estratégias utilizadas. Resposta pessoal.

logico, logica!

Observe o padrão que compõe os termos da sequência abaixo e escreva o número que deve estar no lugar de

B1D R1T P3T D12Q C  T 16

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA16

Resolução da atividade 7

Vamos considerar que o ponto D tem coordenadas (x, y).

Como ABCD é um paralelogramo, temos que as diagonais se cruzam em seu ponto médio e AC é uma diagonal.

Então, temos:

X m = 1 += 3 2 2, 5 e Y m = 2 += 5 2 4, 5

X

Ym: 4,5

Q(-2, 2).

b) P = d(M, N) + d(N, P) + d(P, Q) + d(Q, M) dMNdMNdPQ (, )2 529   ( ,) 29 (, ) 22 2 =+=6==

R1T: entre o R e o T existe apenas uma letra, que é o S; logo essa quantidade é representada pelo número 1.

P3T: entre o P e o T existem três letras, que são Q, R e S; logo essa quantidade é representada pelo número 3.

Orientações

Em MatemaTIC, vamos aprender a utilizar o GeoGebra para calcular a distância entre dois pontos no plano. Se possível, leve a turma para a sala de informática, mas, antes disso, verifique se o software já está instalado e disponível para uso pelos estudantes.

A atividade proposta contribui para o desenvolvimento da habilidade EF09MA16, ao determinar a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas. Contemplamos também a competência geral 5, no que se refere a compreender, utilizar e criar tecnologias digitais, bem como a competência específica 5, por utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas.

A resolução da atividade 1 encontra-se no rodapé da página.

Resolução da atividade 2

A distância entre U1 e U2:

d2 = 42 + 42

d = 42 o 5,7 4 5,7 cm.

Cálculo da distância entre dois pontos usando o GeoGebra

Vamos aprender como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano o utilizando o GeoGebra.

Observe o passo a passo a seguir.

1? passo: Acesse o software de Geometria dinâmica em seu computador ou smartphone (os comandos podem variar dependendo da versão do aplicativo) e vá até a aba de ferramentas, como mostra a imagem ao lado.

2? passo: Clique no comando para selecionar os pontos no plano cartesiano. Neste exemplo, os pontos selecionados formam os pares ordenados A (2,1), B (5,1) e C (5,5).

y

x

3? passo: Para encontrar a distância, clique no comando e selecione dois pontos para construir o segmento. Na aba “Álgebra”, as distâncias são apresentadas automaticamente.

y x

Distância entre AB = 3, BC = 4 e AC = 5. Vamos colocar em prática o que aprendemos para um exemplo hipotético? Suponha que a espaçonave Spacestar parta da estação espacial UNI 1 (U1) em direção à estação UNI 2 (U2) e descreva uma trajetória projetada sobre um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais cuja origem se encontra no planeta Rage (R). A estação U1 está localizada em um ponto que corresponde ao par ordenado (7, 4) e a U2 em um ponto que corresponde ao par ordenado (3, 8).

1 Com auxílio de um software de Geometria dinâmica, determine qual estação espacial está mais próxima, em quilômetros, do planeta Rage. A estação U1.

2 Qual é a distância aproximada, em quilômetros, entre as estações UNI 1 e UNI 2? 5,65

A estação espacial U1 é mais próxima do planeta Rage, aproximadamente 8,1 km.

Ilustrações: Luca Navarro

1 Um engenheiro precisa construir a ponte esboçada na figura abaixo. Sabendo que as retas r, s e t são paralelas, determine o comprimento da ponte. 60 m

Orientações

Essa seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades como tarefa de casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1 Seja x o comprimento da ponte:

=6=4 x x 4032 48 6060  m

Resolução da atividade 2 = AB''

2 (UFU-MG) Uma área delimitada pelas ruas 1 e 2 e pelas avenidas A e B tem a forma de um trapézio ADD’A’, com AD = 90 e A’D’ = 135 m, como mostra o esquema da figura abaixo.

135 40 90

9 A’B’ = 135 4

A’B’ = 60 4 60 m = CD''

135 20 90

9 A’B’ = 135 2

A’B’ = 30 4 30 m.

A’B’ - C’D’ = 60 - 30 = 30 4 30 m.

Alternativa b

Resolução da atividade 3 Considerando x, em centímetros, a medida do lado do quadrado:

Tal área foi dividida em terrenos ABB’A’, BCC’B’ e CDD’C’, todos na forma trapezoidal, com bases paralelas às avenidas tais que AB = 40 m, BC = 30 m e CD = 20 m. De acordo com essas informações, a diferença, em metros, A’B’ - C’D’ é igual a:

a) 20.

b) 30.

Alternativa b

c) 15.

d) 45.

3 (FUVEST) Um marceneiro possui um pedaço de madeira no formato de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 12 cm e 35 cm. A partir dessa peça, ele precisa extrair o maior quadrado possível, de tal forma que um dos ângulos retos do quadrado coincida com o ângulo reto do triângulo. A medida do lado do quadrado desejado pelo marceneiro está mais próxima de.

Alternativa c

a) 8,0 cm

b) 8,5 cm

c) 9,0 cm

Alternativa

d) 9,5 cm

e) 10,0 cm

Reinaldo Vignati

Resolução da atividade 4

4 (IFMG) Na figura seguinte, temos um mapa de dois terrenos com frente para as ruas A e B. As laterais dos terrenos são paralelas entre si. Os dois terrenos juntos têm 70 metros de frente para a Rua A e 105 metros de frente para a Rua B, conforme a figura a seguir. O terreno I tem 40 metros de frente para a Rua A.

xxx 105 7040 7010540 4 200 70 60  m =6=6=6= ⋅

7010540 4 200 70 60  m =6=6=4

xxx

Abhh 2 22 11 2 =6=

h = 4 4 4 cm

m² = 25 - 16 = 9

m = 3 4 3 cm

n = 11 - 3 = 8 4 8 cm

=+==o4

Perímetro do triângulo maior:

4 24,8 cm.

Alternativa b

O terreno I tem quantos metros de frente para a Rua B?

a) 26,7

b) 60,0

c) 78,8

d) 93,3

Alternativa b

5 (IFMA) O triângulo da figura seguinte tem área igual a 22 cm2

Considerando 5 o 2,2, o perímetro do triângulo acima é igual a:

Alternativa b 5 cm DAE

a) 23,8 cm.

b) 24,8 cm.

c) 21,8 cm.

d) 26,8 cm.

6 (OBMEP) O topo de uma escada de 25 m de comprimento está encostado na parede vertical de um edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da base do edifício, como na figura abaixo. Se o topo da escada escorregar 4 m para baixo ao longo da parede, qual será o deslocamento do pé da escada? 8 m

Resolução da atividade 6

A escada está encostada a uma altura H, sendo:

25² = 7² + H ² 6 625 - 49 = H ²

H ² = 576 6 H = 24 4 24 m.

Se o topo da escada escorregar 4 m, a nova altura será h = 20 4 20 m. Então, podemos escrever:

25² = d ² + 20²

d ² = 625 - 400 = 225 d = 15 4 15 m.

Como o afastamento do pé da escada já era de 7 m, passando para 15 m significa que a escada se deslocou 8 m (15 - 7 = 8).

Resolução da atividade 7

Calculamos as coordenadas do ponto médio M:

= x 5 75 2 6 M =-+=- y 2 10 (2) 2 6 M

7 (UNITAU-SP) O ponto médio entre os pontos A(5, -2) e B(7, -10) é:

a) M(6, 6).

b) M(-1, 4).

c) M(-1, 6).

d) M(1, -4).

8 (UFPI) A medida do perímetro do triângulo cujos vértices são os pontos (1, 1), (1, 3) e (2, 3) é:

a) 3 + 5

b) 3 + 25

Autoavaliação

c) 3 + 35

d) 3 + 45

e) M(6, -6).

Alternativa e Alternativa a

e) 3 + 55

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Reconheço e aplico as relações de proporcionalidade de segmentos de reta em feixes de retas paralelas cortadas por transversais.

Compreendo e aplico o teorema de Tales e o teorema da bissetriz interna de um triângulo na resolução de problemas.

Demonstro e aplico as relações métricas do triângulo retângulo.

Calculo a distância entre dois pontos do plano cartesiano.

Determino o ponto médio de um segmento de reta.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode, também, incluir questões atitudinais de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras. Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Logo, M(6, -6).

Alternativa e Resolução da atividade 8

Chamando os vértices do triângulo de A(1, 1), B(1, 3) e C(2, 3), temos:

Tarcísio Garbellini

Principais objetivos da unidade

Identificar uma função polinomial do 1? e do 2? graus.

• Interpretar gráficos de funções polinomiais do 1? e do 2? graus.

• Identificar o domínio, contradomínio e o conjunto imagem de uma função.

• Calcular o(s) zero(s) de uma função.

• Identificar a concavidade de uma parábola.

• Calcular o valor máximo ou mínimo de uma função polinomial do 2? grau.

Justificativa

Essa unidade apresenta os conceitos fundamentais de funções e, por meio de suas atividades, trabalha funções em suas diversas representações e sua aplicação em variados contextos. Busca, assim, dar significado ao aprendizado, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF09MA06

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos, é esperado que os estudantes:

• calculem porcentagem e efetuem cálculo algébrico;

• representem pontos no plano cartesiano;

• conceituem função e representem-na numericamente, algebricamente e graficamente;

• resolvam equações polinomiais do 1? grau;

• resolvam sistemas de duas equações polinomiais do 1? grau e identifiquem o par ordenado em comum;

• calculem áreas e volumes;

• identifiquem o valor numérico de uma expressão algébrica.

Avaliação diagnóstica

É importante observar quais assuntos os estudantes já dominam em relação aos pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos nesta unidade. Se necessário, retome-os para garantir que todos tenham compreendido bem os pré-requisitos.

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 2, 4 e 8

Competências específicas 1, 3, 4 e 6

Habilidades EF09MA06

Águas dançantes da fonte do Parque Ibirapuera, na cidade de São Paulo (SP).

Competição de salto em distância com motocicleta.

Funções

Em diversas cidades é comum encontrarmos em parques e praças os famosos chafarizes. As águas que saem das bicas dessas fontes formam uma curva chamada parábola. Essa é a mesma curva que as motocicletas fazem ao saltar um obstáculo.

Na Matemática, o estudo das funções permite modelar essas curvas e prever o que pode ocorrer antes mesmo de um fato acontecer.

1. O que a trajetória descrita pelo motociclista tem em comum com a curva descrita pelo jato de água?

Resposta pessoal.

2. Você conhece outras situações em que há uma representação de curva como as dessas imagens? Se sim, indique duas.

2. Resposta pessoal. Sugestões de resposta: o lançamento de uma bola ou de um foguete.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• identificar uma função polinomial do 1? e do 2? graus;

• interpretar gráficos de funções polinomiais do 1? e do 2? graus;

• identificar o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem de uma função;

• calcular o(s) zero(s) de uma função;

• identificar a concavidade de uma parábola;

• calcular o valor máximo ou o valor mínimo de uma função polinomial do 2? grau.

Orientações

Pergunte aos estudantes se eles já foram a um show de motocross e quais são alguns de seus interesses. Na sequência, pergunte como pretendem ganhar dinheiro para conquistar suas metas. Essa conversa poderá servir para conduzir as próximas aulas, permeando-as com assuntos do interesse deles. Além disso, favorece o desenvolvimento das competências socioemocionais de autoconsciência, autogestão, consciência social e tomada de decisão ética. É importante que os estudantes respeitem os sonhos e as metas dos colegas. Respostas das questões de abertura

1. As duas trajetórias descritas são denominadas parábolas.

2. Resposta pessoal. Pode-se citar, como exemplo, a trajetória de uma bola de basquete arremessada em direção à cesta de basquete.

Após encaminhar as questões da abertura, mostre aos estudantes algumas imagens genéricas de curvas de funções, como f(x) = x, f(x) =-x, f(x) = x2 e f(x) =-x2, e pergunte qual delas se parece com o trajeto do motoqueiro durante o salto. Esclareça que, durante o estudo desta unidade, eles compreenderão as características dessas funções e suas eventuais aplicações na vida real.

Aproveite esse momento para avaliar o conhecimento prévio dos estudantes sobre o assunto.

Tacio Philip Sansonovski/Shutterstock.com

223

Daniel Grund/Red Bull/Getty Images

Objetivos do capítulo

• Entender o conceito de função.

• Identificar uma função polinomial do 1? grau.

• Identificar e representar graficamente uma função afim.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2 e 8 Competências específicas 3, 4 e 6

Habilidade EF09MA06

Orientações

Problematize a questão do Para começar solicitando aos estudantes que substituam x por zero, depois por um e depois por dois.

Solicite a alguns estudantes que tentem resolver a questão do Pense e responda usando a lei de formação da função e outros apenas observando a sequência do quadro. Em seguida, peça que invertam os papéis (os que tentaram resolver pela lei de formação devem tentar resolver pelo quadro e vice-versa). Por fim, pergunte em qual método eles tiveram mais facilidade e peça que justifiquem a resposta. É importante que você introduza a relação binária.

Pergunte à turma com qual dos taxistas valeria mais a pena fazer a corrida se o valor cobrado por outro taxista fosse dado pela função y = 53 - 2,5x

Caso os estudantes não percebam, explique-lhes que com o primeiro taxista valeria a pena até certa quilometragem e que, a partir dela, com o segundo taxista seria mais vantajoso.

Se necessário, faça a simulação com os dois taxistas substituindo x pelos números naturais.

Resolução do Para começar y = 5x -1, para x 1 5 , = temos:

yy 51 5 10=-6= Resolução do Pense e responda

Função afim

Considere a equação y = 5x - 1. Em sua opinião, qual deveria ser o valor de y se = x 1 5 ?

Com as suas palavras, explique como podemos calcular esse valor desconhecido. Zero (0). Resposta pessoal.

O que é uma função

Antes de definir o que é uma função, vamos analisar o exemplo de uma corrida de táxi cuja tarifa fixa é R$ 3,00 e o quilômetro rodado é R$ 2,50. De acordo com essa informação, construímos uma tabela relacionando duas grandezas: a distância x percorrida pelo táxi e o valor a pagar y.

Valor a pagar em função da distância

Se um passageiro pagou R$ 23,00 em uma corrida, qual foi a distância percorrida pelo táxi?

Para x = 10, temos y = 28. Logo, o passageiro pagará R$ 28,00 se percorrer 10 km.

Para x = 15, temos y = 40,50. Nesse caso, o passageiro pagará R$ 40,50 se percorrer 15 km.

Note que cada valor atribuído à variável x corresponde a um único valor de y Essa correspondência entre x e y caracteriza um exemplo de função, que, nesse caso, é descrita pela lei de formação, ou fórmula, da função, dada por:

Valor a pagar y = 3 + 2,5x distância percorrida

taxa fixa valor cobrado por quilômetro

Como o valor de y depende do valor de x recebe o nome de variável dependente e x recebe o nome de variável independente

Indica-se por y = f(x) e lê-se: y é igual a f de x. Note que y e f(x) são notações para a mesma quantidade. A letra f, em geral, representa as funções, mas também é bem comum utilizar as letras g ou h. Como regra geral, pode ser utilizada uma outra letra qualquer. Por isso y = 3 + 2,5x e f(x)  = 3 + 2,5x são equivalentes.

Além disso, a função y = 3 + 2,5x pode ser representada graficamente no plano cartesiano por alguns pares ordenados da tabela.

Conforme as informações da tabela, não há valores de x negativos, a menor distância percorrida será para x = 0 e o valor a ser pago será R$ 3,00, quando y = 3. Considerando outras situações disponíveis na tabela, podemos concluir que, por exemplo, se x = 2, então y = 8; se x = 10, y = 28; se x = 15, y = 40. Podemos marcar esses pares ordenados no plano cartesiano conforme a imagem abaixo.

Orientações

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EF09MA06

Acompanhe com os estudantes, passo a passo, a construção do gráfico de função. Você pode desenhar um plano cartesiano na lousa e ir preenchendo com eles à medida que leem o texto. Pode, também, propor outras funções para os estudantes representarem em papel quadriculado.

Para aprofundar

Sugerimos a leitura do artigo a seguir, cujo objetivo foi analisar o processo de ensino e aprendizagem de função nos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Ao unirmos esses pontos obtemos o gráfico a seguir.

• NEVES. D.; REZENDE, R. O processo de ensino-aprendizagem do conceito de função: um estudo na perspectiva da teoria histórico-cultural. EducaçãoMatemáticaPesquisa, São Paulo, v.18, n. 2, p. 599-625, 2016. Disponível em: https://revis tas.pucsp.br/index.php/emp/arti cle/download/23866/pdf/77743

Acesso em: 1 ago. 2022.

Para analisar a forma pela qual o gráfico determina a correspondência, traçamos um segmento vertical e um horizontal que passam por um ponto P do gráfico, como mostra a figura. Como esses segmentos intersectam o eixo x = 10 e em y = 28, o par ordenado (10; 28) associa 10, no eixo x, com 28 no eixo y

Quando existe uma relação que estabelece uma correspondência em que cada valor de x corresponde a um só valor de y, chamamos essa relação de função

Na função y = 3 + 2,5x, para calcular o valor de y quando x = 10, indicamos f(10). Veja:

f(10) = 3 + 2,5 10 = 3 + 25 = 28

Orientações

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EF09MA06

Analise o quadro que relaciona a medida dos lados de um quadrado e suas respectivas áreas. É importante a leitura desse exemplo para os estudantes chegarem à Lei de Formação, que relaciona essas grandezas.

Os conceitos de domínio, contradomínio e imagem precisam estar bem definidos como conjuntos que terão restrições a depender da aplicabilidade, por exemplo, em casos de funções fracionárias, em que o denominador precisa ser diferente de zero, assim:

C = {x óR| x q 0}.

Ressalte a linguagem simbólica que estará presente a partir de agora em algumas definições e relembre os estudantes da notação de par ordenado, bem como sua representação no plano cartesiano.

Veja outro exemplo.

O quadro a seguir mostra a medida do lado de alguns quadrados e suas respectivas áreas.

Medida do lado (em cm) 23456

Área (em cm2) 49162536

O conjunto A representa os números que expressam a medida do lado de cada quadrado e o conjunto B, as áreas. Assim, podemos representar o quadro por meio de um diagrama, relacionando os respectivos elementos do conjunto A com os do conjunto B por meio de setas.

Essa relação de A em B apresenta as características a seguir.

• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B.

• Cada elemento de A está associado a apenas um elemento de B.

Nessas condições, dizemos que a relação entre os conjuntos A e B é uma função de A em B, e indicamos:

f: A 4 B (Lê-se: função f de “A em B”.)

Chamando de x a medida do lado do quadrado e de y sua área, podemos escrever: y = x2 ou f(x) = x2

O conjunto A é chamado de domínio (D) da função, o conjunto B é chamado de contradomínio (CD) da função e o conjunto dos elementos de B que estão relacionados com o conjunto A é chamado de conjunto imagem (Im). Neste caso, o conjunto imagem e o contradomínio são iguais, mas nem sempre isso ocorre.

Assim, de acordo com o nosso exemplo, temos: D(f) = {2, 3, 4, 5, 6} e Im(f) = {4, 9, 16, 25, 36}.

Usando a fórmula matemática y = x2 ou f(x) = x2, podemos escrever:

• Para x = 2, temos y = 22 = 4, pois 4 é a imagem do número 2 pela função f , ou seja, f(2) = 4.

• Para x = 6, temos y = 62 = 36, pois 36 é a imagem do número 6 pela função f , ou seja, f(6) = 36.

Podemos indicar a função f usando pares ordenados:

f = {(2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25), (6, 36)}

Agora, vamos ver uma outra situação que envolve gráfico.

Como verificar se y = 4x - 5 define que y é função de x?

Para que y = 4x - 5 represente uma função, todo valor de x deve determinar um único valor de y. Para determinar um valor de y, basta substituir x por um valor qualquer e calcular o valor numérico da função. Como essas operações são possíveis no conjunto dos números reais e cada opção distinta de x determina um único valor de y, podemos afirmar que y = 4x - 5 define que y é uma função de x

Como o valor de x pode ser qualquer número real, o domínio da função é o conjunto dos números reais, que indicamos por D(f) =R

Como o valor de y também pode ser qualquer número real, a imagem também é o conjunto dos números reais, que indicamos por Im(f) =R.

Agora, vamos representar alguns valores dessa função por meio de um diagrama e por um gráfico. Veja a seguir.

Diagrama

y = 4x - 5

x y (x, y)

-3 -17 (-3, -17)

1 4-6

1 4 ,  6

0 -5 (0, -5)

2 3 (2, 3)

4 15 (4, 15)

Vamos ver outro exemplo:

Gráfico

Orientações

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EF09MA06

Os exemplos são importantes para os estudantes verificarem estratégias de resolução e as replicarem ou criarem as próprias estratégias na resolução de outras atividades. Além disso, auxiliam no desenvolvimento da competência geral 2 e da competência específica 6 É importante os estudantes compreenderem também o que não seria uma função. Para isso, amplie os exemplos apresentados nessa página utilizando tabelas ou o próprio diagrama de Venn.

(O domínio é o conjunto dos números reais e a imagem também é o conjunto dos números reais.)

• Considerando que C = {-1, 0, 1, 2} e D = {-1, 0, 1, 1 2 , 3}, verifique se a fórmula y = x 1 em que x ó C e y ó D, é uma função de C em D.

Como x é um elemento de C e y é um elemento de D, temos o seguinte diagrama:

• Para x =-1, temos y =1 1 , ou seja, f(-1) =-1.

• Para x = 1, temos y = 1 1 , = 1, ou seja, f(1) = 1.

• Para x = 2, temos y = 1 2 , ou seja, f(2) = 1 2

Mas para x = 0 não existe y (o zero não é associado a nenhum elemento de D).

Logo, a relação de C em D definida por y = x 1 não é uma função, pois não são todos os elementos de C que estão associados a elementos de D

Orientações

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Resolução da atividade 1

a) O preço do tapete está em função de sua área.

b) O preço é de R$ 70,00 por cm2

Logo, y = 70x

c) O preço é a variável dependente e a área é a independente.

d) Para y = R$ 245,00, temos:

245 = 70x 6 x = 3,5 4 3,5 m².

Resolução da atividade 2

a) A cada dia, a planta cresce 5 cm.

Logo, t = 5h.

b) Para t = 30, temos:

30 = 5h 6 h = 6 4 6 cm.

Resolução da atividade 3

Não, pois há um elemento (Ana) que está associado a dois elementos (Márcia e Carmem).

Resolução da atividade 4

a) Número de dias (x)

Massa de gás restante no botijão em kg (y)

1 13 - 0,6 1 = 12,4

2 13 - 0,6 2 =11,8

4 13 - 0,6 4 = 10,6 1513 - 0,6 . 15 = 4

Fonte: Dados calculados com base na tabela do LE.

b) y = 13 - 0,6 x

Atividades

a) Qual grandeza está em função da outra?

b) Determine a fórmula que relaciona o preço do tapete (y) a sua área (x).

O preço do tapete está em função de sua área. y = 70x

c) Quais são as variáveis dependente e independente?

O preço é a variável dependente e a área é a independente.

d) Qual é a área de um tapete que custa R$ 245,00?

A

área

2 Um botânico mede o crescimento de uma planta na mesma hora do dia, a cada 5 dias. Observe a tabela.

Crescimento de uma planta Altura (em cm) 0123 4 Tempo (em dias) 0 5 1015 20

Fonte: Dados fictícios.

a) Que fórmula relaciona a altura h e o tempo t?

4 Um botijão de gás de cozinha completamente cheio contém 13 kg de gás. Na casa de Elvira, consome-se, em média, 0,6 kg do gás desse botijão por dia.

Respostas no Manual do Professor.

a) Que massa de gás resta no botijão após 1 dia, 2 dias, 4 dias e 15 dias de uso?

b) Que fórmula relaciona a massa de gás restante no botijão e o tempo decorrido?

c) Quantos dias terão decorridos quando restar 1 kg de gás no botijão?

d) Por quantos dias, no máximo, esse botijão poderá ser utilizado na casa de Elvira?

5 Em uma noite de estreia, as 300 poltronas de um cinema foram totalmente ocupadas durante uma sessão.

Luiz Lentini

a) Se x estudantes estiveram presentes na sessão, qual é a fórmula que expressa a arrecadação y em função de x?

b) Quantos estudantes estavam presentes nessa sessão, levando em conta que foram arrecadados R$ 1.680,00?

c) x x x

== ==

1130 ,6 0, 612 12 0, 6 20

Terão decorrido 20 dias.

d) O número máximo de dias pelos quais o mesmo botijão de gás poderá ser utilizado é o número mínimo de dias necessários (x) para a massa de gás (y) ser zero.

b) Que altura a planta terá no 30? dia?

t = 5h

A altura será de 6 cm.

3 Considere os conjuntos A e B, que representam pessoas, e a relação de A em B dada por “ser mãe de”. Essa relação é uma função ou não?

Não, pois há um elemento do conjunto de partida (A) que está associado a dois elementos do conjunto de chegada (B).

Vera Ana Helena Celina

Então, para y = 0, temos: yx x xx x

===6= o

13 0, 6 0130 ,6 0, 613 13 0, 6 22.

Portanto, o botijão poderá ser usado por no máximo 22 dias.

Resolução da atividade 5

a) Número de estudantes: x

Número de não estudantes: 300 - x

y = 4x + 8 . (300 - x)

y = 4x + 2 400 - 8x

y = 2 400 - 4x

b) Para y = 1 680 reais, temos:

==== x x x 1 680 2

Estavam presentes 180 estudantes.

Paulo

B A Márcia Carmem Marcos Ednaldo

y = 2 400 - 4x Im 0 -4 2 -2 6 2

Estavam D y = x + 4 Im 0 0 -3 1 -6 2 3 -9

Ilustrações: DAE

D

1 0 -1 -1

D y =-3x y = x3 8 2 Im -8 -2 1 0

a) A cada elemento x de D acrescentamos 4 para obter o elemento correspondente (y) da Im. Logo, y = x + 4.

b) Cada elemento x de D é multiplicado por -3 para obter o elemento correspondente y de Im. Logo, y =-3x

c) Cada elemento x de D é elevado ao quadrado para se obter o elemento correspondente y de Im. Logo, y = x3

Preço (em R$) 70140210280350420

7 Seja a função f: A 4 B definida por f(x)

D(f) e Im(f).

D(f ) = A e Im(f ) = {-2, -1, 0,1}

8 Observe o quadro a seguir.

A relação entre x e y é uma função? Caso seja, escreva a fórmula matemática que relaciona essas variáveis.

9 Um parque cobra R$ 6,00 pelo aluguel de uma bicicleta durante 1 hora.

Chamando x o número de horas em que a bicicleta permanece alugada e y o valor total do aluguel, determine a relação entre y e x

Sim, é função. y = 3 - x. y = 6x

Pessoas alugam bicicletas para passear em um parque.

10 Justifique se cada uma das sentenças abaixo define que y é uma função de x

Respostas no Manual do Professor.

a) y =-5x + 8

b) y2 = x

11 Escreva a fórmula matemática que relaciona o perímetro P e a área S do retângulo representado abaixo em função da medida a

P = 2(2a + 5 + a + 1) = 6a + 12

25 + a

12 Considere a função f: R4R, definida por y = x2

a) Calcule f(1,5), f( 2 ), f( 2 +1) e f( 5 -1).

2,25;

2; 3

b) Qual é o elemento do domínio de f cuja imagem é 64? E o elemento cuja imagem é -100?

Resposta no Manual do Professor.

c) Qual é o domínio dessa função? E a imagem?

13 (UFRJ) Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao ser exalado, tem temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Através de medições realizadas em um laboratório foi obtida a função TE = 8,5 + 0,75 * TA, 12 ‘C k TA k 30 ‘C, em que TE e TA representam, respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente. Calcule:

a) a temperatura do ambiente quando TE = 25 ‘C;

b) o maior valor que pode ser obtido para TE

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA06

A cada hora o preço do aluguel é multiplicado por 6, logo: y = 6x

Você pode aproveitar o contexto dessa atividade e questionar os estudantes se eles têm o hábito de praticar atividades físicas. Esclareça o quão benéfico isso é para a saúde. Essa reflexão favorece o desenvolvimento da competência geral 8

Aqui cabe, também, uma breve discussão sobre o respeito aos ciclistas e a importância da ciclofaixa. Resolução da atividade 10

a) Atribuindo qualquer número real a x obtemos um único valor de y. Assim, y é uma função de x. b) Para a sentença ser uma função, cada valor de x deve determinar um único valor de y. Porém, ao fazer x = 4, por exemplo, y pode ser 2 ou -2, pois, 22 = 4 e (-2)2 = 4. Como obtemos mais de um valor de y para x = 4, a sentença y2 = x não representa uma função. Resolução da atividade 11

P = 2(b + h).

P = 2(2a + 5 + a + 1)

P = 6a + 12

S = (2a + 5)(a + 1)

S = 2a2 + 7a + 5

Resolução da atividade 12

a) f(1,5) = 1, 5 2() = 2,25

()() f 22 2 2 ==

() () f 2121

2 +=+= =+

32 2

() () f 5151

2 -=-= =-

62 5

b) f(x) = x2 6 64 = x2 6 x =y8. Os elementos do domínio cuja imagem é 64 podem ser 8 ou -8. Não existem elementos cuja imagem é -100, pois todos os valores da imagem de f são positivos.

c) D(f ) =R e Im (f) = {x óR| x l 0}.

Resolução da atividade 13

a) 25 = 8,5 + 0,75 . TA

0,75 TA = 25 - 8,5

TA = 16 ,5 0,75 = 22 4 22 ‘C.

b) TE = 8,5 + 0,75 30

TE = 8,5 + 22,5

TE = 31 4 31 ‘C

fxx

1 2 = () A = { -4, -2, 0, 2} ()()() ff 4 1 2 44 2 -=6-=()()() ff 2 1 2 22 1-=.-6-=()()() ff 0 1 2 00 0 =.6= ff 2 1 2 22 1 =.6=()()() D(f ) = A e Im(f ) = {-2, -1, 0, 1}. Resolução da atividade 8 Sim, é função. y = 3 - x. Por exemplo: Se y = 3, x = 0, pois 3 – 0 = 3. Se y = 2, x = 1, pois 3 - 1 = 2, e assim sucessivamente.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA06

Para trabalhar o tópico “Interpretando gráficos”, solicite aos estudantes que providenciem reportagens de jornais ou revistas que contenham gráficos de linha. Interprete, com eles, as informações passadas pelo gráfico e ressalte a confiabilidade das informações de acordo com as fontes de onde foram retiradas. É importante que você tente despertar a curiosidade dos estudantes discutindo oralmente com eles, principalmente quando forem temáticas de relevância social.

Resolução da atividade 14

a) ff (2 )1 5 2 2( 2) 4

a) Calcule f(2), f

1 5 - , f

2 e x, tal que a imagem seja 5 2

b) Determine o domínio e a imagem dessa função.

D(f) =R e Im(f) =R

15 O quadro mostra a correspondência entre o tempo e a velocidade com que um carro percorre o trecho de uma estrada, sempre com velocidade constante de 90 km/h a partir das 8h.

Tempo Velocidade (km/h)

8h 90

8h30min 90

9h 90

9h30min 90

10h 90

a) A relação entre a velocidade e o tempo é uma função? Justifique sua resposta.

b) O que se pode dizer sobre o domínio e a imagem dessa relação?

da temperatura T, em °C, em uma região ao longo de um dia

Como x pode ser qualquer número real, o domínio da função é o conjunto dos números reais.

Como f(x) pode assumir qualquer valor real, a imagem da função é o conjunto dos números reais.

Resolução da atividade 15

a) Sim, pois para cada valor do tempo do domínio há um único valor correspondente ao conjunto imagem.

b) O domínio varia de 8h a 10h e a imagem corresponde, sempre a 90 km/h.

Resolução do Pense e responda

Pelo gráfico, vê-se que -5 ‘C foi a temperatura mais baixa do período analisado, e essa queda ocorreu às 4 h.

Sim, pois cada valor do tempo corresponde a um único valor da velocidade.

D(t) = {t óR| 8 k t k 10}

e Im(t) = 90

Interpretando gráficos

São muitas as situações em que a relação entre duas grandezas é expressa graficamente.

Diariamente observamos gráficos em jornais e revistas que tentam transmitir, de forma simples, informações sobre a elevação ou a queda da inflação, sobre lucros das empresas, vendas de determinados produtos, movimento de um carro, entre outras.

Como exemplo, vamos analisar o gráfico ao lado, que mostra a evolução da temperatura T, em °C, em uma região ao longo de um intervalo de tempo de 24 horas.

Observando esse gráfico, podemos concluir que:

• às 12h a temperatura nessa região foi de 13 ºC;

• a temperatura foi de 0 ºC às 2h e às 8h;

• a temperatura variou de -5 ºC a 13 ºC ao longo das 24 horas;

• a maior temperatura atingida foi de 13 ºC;

• a temperatura aumentou no intervalo de tempo de 4h a 12h;

• entre 2h e 8h a temperatura foi negativa;

• de 12h até 24h a temperatura diminuiu.

Evolução

Fonte: Dados fictícios.

Atividades

1 O gráfico abaixo representa a evolução de vendas de celulares, em reais, de certa loja ao longo do ano de 2022. Vendas (R

Evolução das vendas de celulares em 2022 Fonte:

Meses ago. set. out. nov. dez. fev. mar. abr. maiojun.jul. jan.

Responda às questões de acordo com o gráfico.

a) Quais são os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda em 2022?

b) Em que meses o total de vendas foi igual?

Ilustrações:

3 O gráfico representa o crescimento de uma planta a partir da medida de sua altura, em centímetros.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA06

Você pode pedir aos estudantes que respondam oralmente a essas atividades, incentivando a participação de todos. Nesse momento, tente atrair os menos participativos para a conversa.

Resolução da atividade 1

a) O ponto do gráfico referente às vendas do mês de junho corresponde ao mês de maior venda, enquanto que, o ponto do gráfico referente ao mês de agosto corresponde ao mês de menor venda no ano.

c) No bimestre abril-maio, houve aumento ou diminuição no total de vendas?

Junho e agosto. Outubro e novembro. Aumento.

2 O gráfico a seguir mostra o nível da água armazenada em uma barragem, ao longo de um ano. Analise-o atentamente e responda às perguntas.

Respostas no Manual do Professor.

a) Segundo o gráfico, que altura a planta alcançou em 30, 90 e 120 dias?

• 30 dias?

• 90 dias?

• 120 dias?

a) Qual foi o menor nível de água armazenada na barragem? Em que mês ocorreu o maior nível de água armazenada na barragem?

b) Quantas vezes durante o ano a barragem atingiu o nível de 18 metros? E o nível de 60 metros?

b) No período de outubro a novembro, o total das vendas em cada mês foi o mesmo.

c) A partir do gráfico, verificamos que entre abril e maio o total de vendas aumentou.

Resolução da atividade 2

b) Quantos centímetros a planta cresceu do 60? ao 90? dia?

5 cm 12,5 cm 15 cm Cresceu 2,5 cm.

4 O gráfico representa a distância percorrida por um aluno em função do tempo.

a) O menor nível foi de 10 metros; o maior nível de água armazenada foi em janeiro.

b) Duas vezes o nível de 18 metros e quatro vezes o nível de 60 metros.

Resolução da atividade 3

a) Em 30 dias: 5 cm.

Em 90 dias: 12,5 cm. Em 120 dias: 15 cm.

b) 90? dia: 12,5 cm e 60? dia: 10 cm

12,5 - 10 = 2,5 4 2,5 cm Resolução da atividade 4

a) A partir do gráfico, observando o primeiro e o último ponto, temos: 13 - 0 = 13 4 13 s 100 - 0 = 100 4 100 m Correu 100 m em 13 s.

a) Quantos metros esse aluno correu? Em quanto tempo?

b) Em qual intervalo ele foi mais rápido? 100 m; 13 s No intervalo de 6s a 8s.

b) O intervalo em que ele foi mais rápido é aquele em que a curva do gráfico d * t possui maior inclinação. Observa-se que isto ocorre no intervalo de 6 s a 8 s.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA06

Solicite aos estudantes que calculem a taxa média de variação para o intervalo [4, 8]. Verifique se percebem que, ao tomar intervalos de tamanhos iguais, a taxa média de variação da função será igual. Em Física, os estudantes estudam velocidade média quando iniciam a abordagem à Cinemática. Convide o professor de Física para trabalhar algumas atividades que contemplem a interdisciplinaridade e, juntos, relacionem a taxa de variação e a velocidade. Essa proposta favorece o desenvolvimento da competência específica 3

Resolução do Pense e responda

Taxa = 4 000 2 000 2412 167 bactérias.o4

4 167 bactérias/h.

Taxa média de variação de uma função

Se y = f(x) é uma função em que x pode assumir qualquer valor real, a razão () ()fxfx

Qual é a taxa média de variação do número de bactérias no intervalo de tempo [12, 24]?

o 167 bactérias/h

xx 21 21

-, com x2 q x1, é chamada de taxa média de variação da variável y em relação à variável x. Essa taxa pode ser interpretada como forma de medir “quão rápido” a variável y está mudando à medida que a variável x muda.

Por exemplo, considerando a função definida por y = 3 + 2,5x, em que x pode assumir qualquer valor real, vamos determinar a taxa média de variação da variável y quando x varia no intervalo [0, 4].

Sendo x1 = 0 e x2 = 4, temos:

f(x1) = f(0) = 3 + 2,5 0 6 f(x1) = f(0) = 3

f(x2) = f(4) = 3 + 2,5 4 6 f(x2) = f(4) = 13

Assim: () ()fxfx xx 13 3 40 10 4 2,5 21 21

-===

Note que 2,5 é o acréscimo de y quando x tem acréscimo de 1, pois, 10 4 5 2 2,5 ==

Vamos analisar mais uma situação.

• O gráfico a seguir mostra o número de bactérias por milímetro cúbico de sangue no corpo de um paciente infectado em função do tempo t, em hora.

y t

Qual é a taxa média de variação do número de bactérias no corpo do paciente no intervalo de tempo de 12h a 36h?

De acordo com o enunciado, temos:

Se t1 = 12h, então y1 = 2 000 bactérias

Se t2 = 36h, então y2 = 5 000 bactérias

A taxa de variação média é de: yy tt

Portanto, a taxa média de variação é de 125 bactérias por hora, ou seja, 125 bactérias/h, no intervalo de 12h a 36h.

Atividades

1 Considere a função f :R4R, definida por f (x) = x2 - 2x. Calcule a taxa média de variação de f quando x varia de:

a) 0 a 2; b) -1 a 4.

2 Um corpo que parte do repouso se desloca com velocidade, em quilômetros por hora, definida pela fórmula v(t) = 4t - t2, em que t representa o tempo em horas. Calcule a taxa média de variação da velocidade desse corpo no intervalo de tempo de 1h a 3h.

3 No mar, a pressão p em cada ponto é diretamente proporcional a sua profundidade x. Quando a profundidade é igual a 100 metros, a pressão correspondente é de 10,4 atmosferas. Com base nessas informações, faça o que se pede a seguir.

a) Calcule o valor da constante de proporcionalidade.

b) Determine a fórmula que relaciona p e x

c) Determine a pressão em um ponto situado a 500 m de profundidade.

d) Calcule a taxa média de variação da pressão quando a profundidade varia de 10 m a 50 m.

4 O gráfico representa o consumo de água, em m3, em função do valor a ser pago, em reais. De acordo com o gráfico, responda:

a) Qual será o valor da conta quando o consumo atingir 30 m3? E quando atingir 50m3?

R$ 60,00; R$ 120,00.

b) Qual é a variação média da conta de água quando o consumo varia de:

• 0 m3 a 30 m3? R$ 2,00/m3

• 30 m3 a 50 m3? R$ 3,00/m3

5 Analise os gráficos das funções f e g a seguir.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA06

Resolução da atividade 1

a) De acordo com o enunciado, temos:

x1 = 0 6 f(x1) = 02 - 2 . 0 = 0.

x2 = 2 6 f(x2) = 22 - 2 2 = 0.

A taxa de variação média é de: 00 20 0.=

b) De acordo com o enunciado, temos:

xfx11 21 12 3 11 2 () ()() =-6==+=

xfx44 24 16 88 22 2 =6=-.=-= ()

A taxa de variação média é de: 83 41 5 5 1.== ()

Resolução da atividade 2

De acordo com o enunciado, temos:

t1 = 1 h 6 V1 = 4 1 - 12 = = 4 - 1 = 3 4 3 km/h. t2 = 3 h 6 V2 = 4 . 3 - 32 = = 12 - 9 = 3 4 3 km/h.

A taxa de variação média é de:

VV

-===

tt 33 31 0 2 0. 21 21

Resolução da atividade 3

a) == k 10 ,4 100 0,104

b) p = 0,104x

c) p = 0,104 500 = 52 4 52 atm

d) Taxa de variação = 0,104 atm/m Resolução da atividade 4

a) Pela leitura dos pontos plotados no gráfico, temos que os valores, em reais, para o consumo de 30 m3 e 60 m3 de água, são, respectivamente, R$ 60,00 e R$ 120,00.

b)

• Variação média = 60 0 30 0 22=4 = 2 4 R$ 2,00/m³.

•

2) = 5. A taxa de variação média é de: 50 50 5 5 1.==

Logo, as taxas de variação são iguais.

que no intervalo [1, 3] a taxa média de variação da função f é a mesma da função g Resposta no Manual do Professor.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA06

Resolução do Pense e responda Como se trata de volume de um recipiente, ele tem de ser igual ou maior do que zero, por isso o domínio do valor de x é apresentado no enunciado. O menor volume que restará no recipiente é zero (o recipiente ficou vazio) e o maior volume é o volume inicial 50 L.

Para aprofundar

Sugerimos a leitura do texto a seguir, que aborda a resolução de problemas para o ensino de função polinomial do 1? grau.

• REZENDE, V.; NOGUEIRA, C. M. I.; CALADO, T. Função afim na Educação Básica: estratégias e ideias base mobilizadas por estudantes mediante a resolução de tarefas matemáticas. Alexandria, Florianópolis, v. 13, n. 2, p. 25-50, 2020. Disponível em: https://periodicos. ufsc.br/index.php/alexandria/arti cle/view/62643. Acesso em: 1 ago. 2022.

Função afim

Existem várias funções matemáticas presentes em situações do cotidiano e nas ciências. Uma delas é a função afim. Vamos conhecê-la?

Observe os exemplos a seguir.

• Perímetro y do retângulo da figura em função da medida x do comprimento.

Fórmula matemática: y = 2x + 6 (com x > 0). comprimento perímetro

• Volume V de água que resta em um recipiente de 50 litros, completamente cheio e que está sendo esvaziado à razão constante de 4 litros por minuto.

Fórmula matemática:

V = 50 - 4x ou V =- 4x + 50

Observação: nesse caso, o tempo deve ser menor do que 12,5 minutos, porém maior do que zero.

Explique por que o valor de V no exemplo acima tem que ser sempre maior ou igual a zero.

Porque se trata do volume de um recipiente.

• Distância d percorrida por um automóvel com velocidade constante de 30 km/h em função do tempo t, em horas, de percurso.

Fórmula matemática: d = 30 t (com t l 0)

distância tempo

Uma função f: R4R denomina-se função afim quando existem constantes a, b óR, tais que f(x) = ax + b para todo número real x e em que a é o coeficiente de x e b é o termo independente.

As funções nos quatro exemplos são chamadas de função afins.

Assim, em:

• y = 2x + 6, temos: a = 2 e b = 6;

• v =-4x + 50, temos: a =-4 e b = 50;

• d = 30t, temos a = 30 e b = 0

Quando b = 0 e a q 0, a função afim é conhecida por função linear e sua fórmula se reduz a y = ax

As grandezas x e y representadas em uma função linear são diretamente proporcionais, ou seja, a razão y x = a é a constante de proporcionalidade ou a taxa média de variação.

Atividades

1 Das funções f : R4R a seguir, indique quais são afins e identifique os coeficientes a e b

a) y = 7x1 2 -

É função afim; a = 7 e b = 1 2 -

d) f(x) = x 1 + 3 Não é função afim.

b) y =- 5 + 2 e) f(x) = x 7 5 2 2 -+ É função afim; a7 5 e b = 2 2

c) y = x2 - x f) f(x) = 10 x 1 4 - É função afim; a = b 1 4 e10-=

2 Uma função y associa a um número real x sua metade aumentada em 8 unidades.

a) Qual é a fórmula matemática dessa função?

b) Essa função é da forma f(x) = ax + b? Em caso afirmativo, determine a e b

c) Qual é a taxa média de variação dessa função?

3 Considere a função f : R4R, definida por f(x) = ax + b

a) Determine a e b sabendo que f(2) = 1 e f(-1) = 5.

b) Calcule 1

4 Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa de R$ 750,00 e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 9% do total de vendas que ele faz durante o mês.

a) Determine a lei que relaciona o salário mensal em função da comissão.

b) Que tipo de função é essa?

0,09x

c) Determine o salário do vendedor em um mês cujas vendas chegaram a R$ 60.000,00.

5 A medida do lado do hexágono regular é igual a x

a) Escreva a função que representa o perímetro y em função de x. Qual é o nome dessa função? As grandezas y e x são diretamente proporcionais?

b) Calcule o perímetro desse hexágono se x = 4 cm.

c) Calcule a medida do lado do hexágono se y = 45 cm.

d) Calcule a taxa média de variação dessa função.

6 Uma loja dispõe de computadores para usuários que desejam navegar pela internet. Para utilizar esse serviço o usuário paga um valor fixo de R$ 3,00 além de R$ 2,50 por hora de utilização da máquina.

a) Escreva uma fórmula que relaciona o preço total (y) e o preço a pagar por hora de utilização (x).

b) Quanto pagará uma pessoa que utilizar o computador por 4 horas?

c) As grandezas x e y são diretamente proporcionais? Justifique sua resposta.

7 Um automóvel se deslocou em uma estrada retilínea com velocidade constante. O quadro mostra suas posições, com intervalos de 1h, contadas a partir do quilômetro 20, onde se adotou o instante t = 0.

a) Qual sentença matemática relaciona a posição s com o tempo t?

b) Calcule s(10).

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA06

Resolução da atividade 1

a) É função afim, pois o coeficiente de x é 7 e o termo independente é 1 2 - , ou seja, ela é do tipo f(x) = ax + b,

com a = 7 e b = 1 2 - para todo x real.

b) Não é função afim, pois ela não é do tipo f(x) = ax + b, com a, b óR, com x real.

c) Não é função afim, pois ela não é do tipo f(x) = ax + b, com a, b óR, com x real.

d) Não é função afim, pois ela não é do tipo f(x) = ax + b, com a, b óR, com x real.

e) É função afim, pois ela é do tipo f(x) = ax + b, com ab 7 5  e 2 2 =-= , com x real.

f) É função afim, pois ela é do tipo f(x) = ax + b, com ab 1 4  e  10=-= , com x real.

b)

c) Na função yx 1 2 8 =+ , a taxa de variação é o valor do coeficiente de x, ou seja, a = 1

Resolução da atividade 4

a) Considerando que x representa o total de vendas que o vendedor faz durante o mês, temos:

y = 0,09x + 750.

b) É uma função polinomial do 1? grau ou função afim.

c) y = 0,09 . 60 000 + 750

= 6 150 4 R$ 6.150,00.

Resolução da atividade 5

a) É uma função linear em que a relação estabelecida entre medida de lado e perímetro são diretamente proporcionais, ou seja, p = 6x

b) P = 6 4 = 24 4 24 cm

c) 45 = 6x 6 x = 7,5 4 7,5 cm

d) A taxa de variação é 6.

A resolução dos exercícios 6 e 7 estão na coluna da página seguinte.

Orientações

Resolução da atividade 6

a) A função é do tipo y = ax + b, com b = 3 e a = 2,5.

Logo: y = 3 + 2,5x.

b) Para x = 4, temos:

y = 3 + 2,5 4

y = 13 4 R$ 13,00.

c) Observe o quadro a seguir com algumas variações de x e os correspondentes resultados de y x (horas) y (reais)

1 5,5

2 8

3 10,5 4 13

Como podemos observar, não existe uma constante k para k óR tal que y = kx. Assim, como a função é não linear, não existe relação de proporcionalidade entre um valor de x e seu correspondente y Resolução da atividade 7

a) A função matemática é do tipo

S(t) = at + b, com b = 20 e

a = 5020 10-= 30

S(t) = 30t + 20.

b) s(10) = 30 10 + 20

S(10) = 320 4 320 km

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Desenhe o gráfico da função afim na lousa para que os estudantes levantem hipóteses e as confirmem de forma coletiva. Proponha que marquem mais pontos, por exemplo, a cada 0,25 cm. Isso favorece o desenvolvimento da competência especifica 4 Também é possível utilizar softwares para desenvolver essa abordagem, o que contribui para o desenvolvimento da competência geral 5 Investigue como os estudantes estão fazendo as interpretações, a fim de identificar possíveis dúvidas.

Gráfico da função afim

Vamos fazer a representação gráfica de uma função afim por meio das situações a seguir.

• A figura mostra um triângulo isósceles cujos lados congruentes medem x, sendo 2 cm < x k 10 cm, e base medindo 4 cm.

Vamos construir o gráfico da função que representa o perímetro y desse triângulo em função de x e determinar o domínio e a imagem dessa função. O perímetro é a soma das medidas dos lados. Logo: y = x + x + 4 6 y = 2x + 4

Atribuindo alguns valores inteiros para x, obtemos:

Atribuindo alguns valores decimais para x, obtemos mais pontos no gráfico. Veja:

Se diminuirmos ainda mais o intervalo entre os valores de x, ou seja, x = 0,25 cm, x = 0,125 cm etc., vamos obter cada vez mais pontos, todos eles pertencentes ao mesmo segmento. Assim, podemos dizer que o gráfico da função y = 2x + 4 é uma reta.

Orientações

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A medida do lado x do triângulo isósceles acima precisa ser maior do que 2 para atender à condição de existência de um triângulo.

A soma das medidas de dois lados de um triângulo é maior do que a medida do terceiro lado.

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos do eixo das abscissas, que são obtidos pelas projeções dos pontos do gráfico da função sobre o eixo.

A imagem da função é o conjunto de todos os pontos do eixo das ordenadas, que são obtidos pelas projeções dos pontos do gráfico da função sobre o referido eixo.

Portanto:

D = {x óR| 2 < x k 10} ou D = ]2, 10]

Im = {y óR| 8 < y k 24} ou Im = ]8, 24]

Devemos lembrar que, a cada valor de x do seu domínio, deve corresponder um único valor de y do contradomínio. Assim, por meio do gráfico, podemos reconhecer uma função traçando retas paralelas ao eixo y a partir de valores de x pertencentes ao domínio. Se a reta intersecta o gráfico em um único ponto, esse gráfico representa uma função. Caso contrário, o gráfico não é de uma função.

Cada uma das retas r, s, t e u intersecta o gráfico em um único ponto.

Explore o gráfico com os estudantes, ressaltando como o domínio e o contradomínio podem ser reconhecidos apenas com sua observação.

Orientações

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Ao finalizar a leitura do texto, solicite aos estudantes que elaborem o gráfico da função y = 2x + 6 e y = 2x + 8. Espera-se que percebam que, conforme aumentam os valores no coeficiente b, a inclinação da curva não muda, mas os pontos vão se “movendo” para cima, como se estivessem se deslocando.

Peça aos estudantes que pesquisem sobre a aplicabilidade da função afim no cotidiano e abra um espaço para discutir os achados.

Atividades complementares

Organize a turma em grupos com quatro integrantes e distribua folhas de cartolina.

Em seguida, proponha uma temática para cada grupo elaborar um problema que contemple a função afim e peça que façam a representação gráfica na cartolina.

Os pontos do gráfico que representam a variação de duas grandezas x e y diretamente proporcionais pertencem a uma reta que passa pelo ponto (0, 0).

Observação

2 cm é o acréscimo de y quando x tem acréscimo de 1 cm, ou seja, representa a taxa de variação

y = 2x + 4

a = 2 é a taxa de variação

• Um carro partiu do ponto inicial (posição 0) de uma estrada e percorreu, com velocidade constante de 20 m/s (equivalente a 72 km/h), um trecho retilíneo dessa estrada.

Construa o gráfico da função que representa a posição y, em metros, em função do tempo x, em segundos, e expresse o domínio e a imagem dessa função.

A função que representa essa situação é: y = 20x

tempo

distância percorrida

Para traçar o gráfico, montamos uma tabela e marcamos os pares ordenados no sistema cartesiano ortogonal.

Observe que, ao duplicarmos o tempo (de 1s para 2s), a distância percorrida também é duplicada (de 20 m para 40 m); ao triplicarmos o tempo (de 1s para 3s), a distância percorrida também é triplicada (de 20 m para 60 m). Assim, concluímos que a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo.

Como o domínio da função y = 20x é o conjunto dos números reais não negativos, o gráfico é uma semirreta. A imagem da função é o conjunto dos números reais positivos.

Veículos em uma rodovia.

• Construa o gráfico da função y = 6 - 2x, com x real.

Marcando os pontos correspondentes aos pares ordenados do quadro em um sistema de coordenadas cartesianas, obtemos pontos alinhados. Unindo esses pontos, obtemos uma reta.

Como o gráfico dessa função é uma reta, para representá-la graficamente é suficiente marcar apenas dois pontos no sistema cartesiano, pois por dois pontos distintos passa uma única reta.

y = 6 - 2x x f(x) -1 8 -0,5 7

Dizemos que 3 é o zero da função y = 6 - 2x, pois, para x = 3, obtemos y = 0. O zero desta função é a raiz da equação 6 - 2x = 0. O ponto em que a reta intersecta o eixo x é (3, 0).

Qual é a taxa média de variação dessa função?

Atividades

-2 (y decresce -2 quando x aumenta 1)

1 (UFOP-MG) O custo total da fabricação de determinado artigo depende do custo de produção, que é de R$ 45,00 por unidade fabricada, mais um custo fixo de R$ 2.000,00. Pede-se:

a) A função que representa o custo total em relação à quantidade fabricada.

b) O custo total da fabricação de 10 unidades.

c) O número de unidades que deverão ser fabricadas para que o custo total seja de R$ 3.800,00.

d) O gráfico da função custo total, destacando os dados obtidos nos itens anteriores.

C(x) = 45x + 2 000 R$ 2.450,00. 40 Resposta no Manual do Professor.

2 Um corpo se movimenta em uma trajetória retilínea e tem posição s no decorrer do tempo t dada por: s = 5 + 2t

tempo em segundos posição em metros

a) Qual é a posição desse corpo nos instantes 0s, 4s e 10s?

b) Em que instante esse corpo estará na posição 40 m?

c) Construa um gráfico que represente essa função.

Orientações

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Resolução do Pense e responda

A taxa média de variação dessa função é -2, ou seja, y decresce de -2 quando x aumenta de uma unidade.

Resolução da atividade 1

a) A função é do tipo C(x) = ax + b, com a = 45 e b = 2 000. Logo, C(x) = 45x + 2 000.

b) C(10) = 45 . 10 + 2 000

C(10) = 2 450,00 4 R$ 2.450,00.

c) 3 800 = 45x + 2 000 45x = 1 800 6 x = 40 d) Como C(x) = 45x + 2 000, temos:

b)

= 17,5 4 17,5 s

c) Tomando-se as coordenadas obtidas no item a, temos:

Trajetória retilínea: linha com a forma de um segmento de reta que pode ser percorrida por um corpo.

Respectivamente, 5 m, 13 m e 25 m. 17,5 s.

Resposta no Manual do Professor.

Gráfico da atividade 1 d)

Gráfico da atividade 2 c)

Orientações

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Algumas atividades exploram a interpretação de gráficos. Resolva algumas delas coletivamente a fim de sanar dúvidas.

Resolução da atividade 3

a) x = 0 6 f(0) = 1,8 0 + 32 = 32

x = 10 6 f(10) = 1,8 . 10 + + 32 = 50

Portanto, a reta passa pelos pontos (0, 32) e (10, 50). Veja o gráfico a seguir.

50 32

3 A mudança de uma temperatura da escala Celsius para a escala Fahrenheit é uma função f : R4R, que associa, à medida x da escala Celsius, a medida f(x) da escala Fahrenheit por meio da fórmula:

f(x) = 1,8x + 32

a) Construa o gráfico dessa função. Resposta no Manual do Professor.

b) Quantos graus Fahrenheit equivalem a 25 ‘C?

c) Quantos graus Celsius equivalem a 68 ‘F?

77 ‘F 20 ‘C

4 Observe a sequência de triângulos formados com palitos e faça o que se pede.

y x

10 -200

b) Para x = 25, temos:

y = 1,8 . 25 + 32 = 77 4 77 ‘F.

c) Para y = 68, temos:

68 = 1,8x + 32

1,8x = 36

x = 20 4 20 ‘C.

Resolução da atividade 4

a) O número de palitos em cada figura é:

Figura Número de palitos

a) Qual é a função que representa a quantidade y de palitos relacionada com a quantidade n de triângulos formados?

y = 2n + 1

b) A forma do gráfico da função do item a é a de uma reta? Justifique sua resposta.

Sim, pois é uma função afim.

5 (UEG-GO) A função que descreve o lucro mensal L de um comerciante, em função da quantidade de produtos vendidos mensalmente, é representada pelo gráfico a seguir.

n 1 + 2n

A sequência é estabelecida por y = 2n + 1.

b) O gráfico é uma reta porque se trata de uma função afim.

Resolução da atividade 5

Analisando o gráfico, temos uma função afim, ou seja:

L(x) = ax + b

x = 0 - 1 000 = a . 0 + b

b =-1 000

x = 200 6 0 = a . 200 - 1 000

a = 5

Logo, L(x) = 5x - 1 000.

Para ter um lucro de 2 000, temos:

5x - 1 000 = 2 000 6 x = 600.

Portanto, para o comerciante obter um lucro de R$ 2.000,00, tem de vender 600 produtos.

Alternativa c

Analisando-se o gráfico, a quantidade de produtos que esse comerciante tem que vender para obter um lucro de exatamente R$ 2.000,00 é de:

Alternativa c

a) 200. b) 400.

600. d) 1 000. e) 10 000.

Tarcísio Garbellini

O gráfico abaixo mostra como o volume, em litros, de uma caixa-d’água aumenta de acordo com o tempo, em horas.

Orientações

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Resolução da atividade 6

a) O gráfico intersecta o eixo t na origem, ou seja, no ponto (0, 0).

b) Sim, pois o gráfico passa pela origem do sistema cartesiano e é uma reta.

c) A taxa de variação da função é de:

= 0 6 v1 = 0;

v2 = 1 000;

Sabendo que a capacidade da caixa-d’água é de 5 000L, respondam:

a) Quais as coordenadas do ponto em que o gráfico intersecta o eixo t?

b) Esse gráfico representa uma função linear? Justifiquem. Sim, pois o gráfico passa pela origem.

c) Qual é a taxa de variação dessa função?

d) Escrevam a função que relaciona V e t

e) Em quanto tempo a caixa-d’água ficará completamente cheia?

7 O quadro mostra a distância percorrida s, em metros, em função do tempo t, em segundos, referente à caminhada de uma pessoa.

a) Qual função representa a distância percorrida s em função do tempo t?

b) Que distância a pessoa percorre em 20 segundos?

c) Construa o gráfico de s = f(t). Resposta no Manual do Professor.

Tarcísio Garbellini

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Resolução da atividade 8

Observando o gráfico, temos uma função afim da forma T(t) = at + b

Se t = 0, 40 = a 0 + b

8 A temperatura T de um paciente variou durante as 6 horas em que foi observado, como mostra o gráfico abaixo:

b = 40 4 40 ‘C a a

36 6   40 4 6 2 3

T T T

=.+ =-=-

Logo, Ttt 2 3 40 =-+ ()

2  2 3 2   40

=-.+ = -+ =o

Se t = 2h, temos: () () () °

2  4  120 3 2  116 3 38 ,7  C

Resolução da atividade 9

a) y = 4x - 12 = 0

0 = 4x - 12 6 x = 3

b) y = 2 6 x + 8 6 0 = 2x + 8 2x =-8 6 x =-4

c) y = 0 6-x + 5 = 0 6 x = 5.

Determine a temperatura desse paciente no instante t = 2h, considerando que a variação de temperatura foi linear.

38,7 ºC.

9 Calcule os zeros das seguintes funções reais:

a) y = 4x - 12;

b) y = 2x + 8;

c) y =-x + 5;

d) y = x 1 2 - 10;

e) y = 7 - 21x;

f) y = x 36 +

10 Um carro A e um caminhão B movimentam-se sobre uma estrada retilínea com velocidades constantes e no mesmo sentido.

As posições sA e sB são dadas por sA = 100 + 20t e sB = 400 + 15t, em que t indica um instante qualquer (s em metros e t em segundos).

a) Construa, em um mesmo sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções sA = 100 + 20t e sB = 400 + 15t

b) Com base no gráfico, determine o tempo que o carro leva para alcançar o caminhão e o local da estrada em que isso ocorre.

Resposta no Manual do Professor. 60 s; 1 300 m.

b) De acordo com o gráfico, o carro alcança o caminhão no instante t = 60 s e na posição s = 1 300 m. Ressalte aos estudantes que essa atividade aborda a função horária do espaço do movimento retilíneo estudado em Física e que essa se trata de uma função afim.

Tarcísio Garbellini

11 Sem construir gráficos, determine o ponto em que cada reta a seguir intersecta o eixo x

a) f(x) = x - 7

b) f(x) =-x + 6

c) f(x) = 1 - 8x

d) f(x) = 10x

(7, 0) (6, 0)

1 8 , 0 (0, 0)

12 O quadro mostra o alongamento sofrido por uma mola quando se colocam corpos com massas diferentes em uma de suas extremidades.

Massa (g)

02004006001 000

Orientações

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f(x) = 0. a) 0 = x – 7 6 x = 7. Ponto (7, 0). b) 0 = – x + 6 6 x = 6. Ponto (6, 0). c) xx 0   1 8  1 8  Ponto 1 8 ,  0. =-6=       6 xx 0   1 8  1 8  Ponto 1 8 ,  0. =-6=       xx 0   1 8  1 8  Ponto 1 8 ,  0. =-6=       d) 0 = 10x 6 x = 0. Ponto (0, 0) Resolução

atividade

Alongamento(cm)

Tarcísio Garbellini

12

b) De acordo com o gráfico: • para uma massa de 300 g, o alongamento será de 9 cm; • para um alongamento de 21 cm, a massa será de 700 g.

a) Em uma folha de papel quadriculado, trace o gráfico que relaciona o alongamento da mola, em centímetros, com a massa, em gramas, do corpo pendurado.

b) Por esse gráfico, determine:

• o alongamento que corresponde a 300 g;

• a massa que corresponde a um alongamento de 21 cm. 9 cm 700 g

Orientações

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Resolução da atividade 13

I – Verdadeira.

II – Falsa, pois, para t = 10 s, o tatu se encontra a 9 m do ponto de partida.

III – Falsa, pois o tatu levou 16 s para voltar à sua toca.

IV – Falsa, pois o tatu estava a quase 4 metros de distância da toca.

V – Verdadeira.

Portanto, apenas as afirmações I e V são verdadeiras.

Resolução da atividade 14

75x - 3 000 = 4 000

75x = 4 000 + 3 000

x = 7 000 75 93 ,33 o

Logo, o menor número de camisetas vendidas para dar um lucro de R$ 4.000,00 é de 94 camisetas.

Alternativa d

Resolução da atividade 15

a) No final da segunda semana, a altura da planta é de 27 cm.

b) 27 18 2   1 9   9 cm=4

Resolução da atividade 16

a) Como 2% = 0,02, temos:

f(x) = 780 + 0,02x

b) f (14 320) = 780 + 0,02 .

14 320

f(14 320) = 1 066,40 4 R$ 1.066,40.

c) 1 800 = 780 + 0,02x 0,02x = 1 020

x = 51 000 4 R$ 51.000,00.

d) A taxa média de variação é o coeficiente angular 0,02.

Resolução da atividade 17

fxx

fxx 1 300 6 100 () 1 300 0, 06 () =+ =+

ou

f(x) = 0,06x + 1 300

Alternativa a

13 Um tatu afasta-se de sua toca em busca de alimento, percorrendo uma trajetória retilínea. O gráfico a seguir representa as posições do tatu, em função do tempo, considerando que, no instante t = 0, ele partiu da posição d = 0.

De acordo com o gráfico, quais das seguintes afirmações são verdadeiras?

I. O tatu parou duas vezes no trajeto de volta à toca.

II. No instante t = 10 s, o tatu encontrava-se a 10 m da toca, isto é, de seu ponto de partida.

III. O tatu levou 20 s para retornar à toca.

IV. No instante t = 3 s, o tatu estava a, aproximadamente, 8 m de distância da toca.

V. O tatu ficou parado por aproximadamente 1 s a 9 m da toca.

14 (UEA-AM) Uma pequena empresa que fabrica camisetas verificou que o lucro obtido com a venda de seus produtos obedece à função

L(x) = 75x - 3 000, sendo L(x) o lucro em reais e x o número de camisetas vendidas para 40 < x k 120. Para que o lucro da empresa chegue a R$ 4.000,00, o menor número de camisetas a serem vendidas é: Alternativa d

a) 97.

b) 96.

c) 95.

d) 94.

De acordo com o gráfico, responda:

a) Qual é a altura da planta, em centímetros, no final da segunda semana? 27 cm

15 O gráfico mostrado abaixo representa o crescimento de uma planta em função do tempo. As

b) Qual foi a taxa média de crescimento da planta durante a segunda semana?

9 cm

16 Yuri é vendedor de uma loja de tecidos e recebe um salário fixo de R$ 780,00 mais um adicional de 2% sobre as vendas concluídas no mês. Com base nessa informação, responda:

a) Qual é a função f que expressa o valor do rendimento mensal dele em função da venda mensal x?

b) Qual foi o rendimento de Yuri, no mês, sabendo que ele vendeu R$ 14.320,00? R$ 1.066,40.

c) Qual foi o total de vendas em um mês em que ele recebeu R$ 1.800,00?

f(x) = 780 + 0,02x R$ 51.000,00.

d) Qual é a taxa média de variação dessa função? 0,02

17 (FAURGS) Um trabalhador recebe um salário mensal composto de um valor fixo de R$ 1.300,00 e de uma parte variável. A parte variável corresponde a uma comissão de 6% do valor total de vendas que ele fizer durante o mês. A expressão matemática que representa o salário do trabalhador é: Alternativa a

a) f(x) = 0,06x + 1.300.

b) f(x) = 0,6x + 1.300.

c) f(x) = 0,78x + 1.300.

d) f(x) = 6x + 1.300.

Fonte: Dados fictícios.

Ilustrações: DAE

com 60% da carga total às 9 horas da manhã até atingir 20% da carga total às 15 horas da tarde do mesmo dia.

O

Com base nessas informações, afirma-se que a bateria deste celular atingiu 44% da carga total às

a) 11 h 20 min.

b) 11 h 22 min.

c) 11 h 24 min.

d) 11 h 26 min.

a) LA = 10x - 500

a) Determine LA e LB em função de x

b) Quais são os valores de LA e LB quando x = = 120 unidades?

LA: 700 milhares de reais; LB: 1 000 milhares de reais.

19 (UFABC) Calcule a área do trapézio em destaque na figura assumindo que os valores numéricos no plano cartesiano estão em centímetros.

LB = x 50 3 - 1 000 14 cm2

(UPE) O aluno Kleber do 6 ? ano A, do Colégio Virgulino, inventou, “de cabeça”, uma operação entre dois números naturais que representou pelo símbolo #. Em seguida, apresentou alguns exemplos aos colegas da sala:

Tarcísio Garbellini

y x

reta 1 2 14

20 (CMPA-RS) O gráfico a seguir mostra a porcentagem da carga C da bateria de um celular em função do tempo t em horas. No período indicado no gráfico, o consumo da bateria desse celular apresentou comportamento linear, iniciando

8 # 1 = 09 # 1 = 010 # 1 = 0

8 # 3 = 29 # 3 = 010 # 3 = 1

8 # 4 = 09 # 4 = 110 # 4 = 2

8 # 5 = 39 # 5 = 410 # 5 = 0

Alternativa c 3

8 # 7

= 19 # 7 = 210 # 7 = 3

Descubra a lógica da operação (#) criada por Kleber e assinale a alternativa que corresponde ao valor da expressão:

EF09MA06 Resolução da atividade 18 a) LA = 10x - 500 =-Lx 50 3 1 000 B b) Para x = 120 unidades: LA = 10 . 120 - 500 6 LA = 700 =.= L L 50 3 120 1 000 1 000. B B Resolução da atividade 19 Do enunciado temos a figura: 124 1 3 y1 y=f(x)=ax+b y2 0 y f x x = 0 6 1 = a . 0 + b 6 b = 1 x = 1 6 a . 1 + b = 3 a + 1 = 3 6 b = 2. Logo, y = f(x) = 2x + 1. x = 2 6 y1 = 2 2 + 1 = 5. x = 4 6 y2 = 2 . 4 + 1 = 9. Ayy A A 42 2 95 2 2 1414 cm 21 2 = +.= +. =4 () () () Resolução da atividade 20 a = 20 - 60 15 - 9 =40 6 o-6,67 b = 60 Logo C(t) =-6,67t + 60 44 =-6,67t + 60 t o 2,4 4 2,4 h ou 2 h 24 min 9 + 2,4 = 11,4 4 11,4 h ou 11 h 24 min.

celular

carga total às 11 h 24 min.

vem:

+ 32 = 29. Alternativa a

Objetivos do capítulo

• Identificar uma função polinomial do 2? grau.

• Interpretar e representar gráficos de funções polinomiais do 2? grau.

• Identificar o domínio, contradomínio e o conjunto imagem de uma função.

• Calcular o(s) zero(s) de uma função.

• Identificar a concavidade de uma parábola.

• Calcular o valor máximo ou mínimo de uma função polinomial do 2? grau.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 4 Competências específicas 1 Habilidades EF09MA06

Orientações

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EF09MA06

Para o trabalho desta unidade fluir de forma mais tranquila, é importante que você retome os conceitos referentes à equação do 2? grau, possibilitando que os estudantes tirem eventuais dúvidas que surgirem em relação a esse conteúdo. Retome a discussão do início da unidade sobre curvas e modelos curvilíneos.

Peça aos estudantes que resolvam a questão do Para começar e deixe que compartilhem suas estratégias de resolução.

Resolução do Para começar

f(10) = 102 – 10 . 10 + 4

f(10) = 4

Resposta do Pense e responda

Como A(x) =-x2 + 8x + 84

A(5) =-(52) + 8 . 5 + 84

A(5) = 99 4 99 m²

Função quadrática

Considere a função f(x) = x2 - 10x + 4. Em sua opinião, qual seria o valor de f(10)? Explique como obter a resposta. 4. Resposta pessoal.

O que é uma função quadrática

Acompanhe a situação a seguir. Um criador vai aproveitar um muro de 6 metros de comprimento para cercar um terreno retangular e, para isso, será usado 34 metros de cerca. Qual é a fórmula matemática que permite determinar a área A em função de x?

Qual é a área do cercado quando x = 5 m? 99 m2

Para indicar o perímetro do cercado de acordo com a figura, temos: x + y + x + 6 + y = 34 6 2x + 2y = 28 6 x + y = 14

Escrevendo y em função de x, obtemos: y = 14 - x (I)

A área do cercado é igual a: A(x) = (x + 6)y (II)

Substituindo (I) em (II), escrevemos A em função de x:

A(x) = (x + 6)(14 - x) 6 A(x) = 14x - x2 + 84 - 6x 6

6 A(x) =-x2 + 8x + 84

Assim, A(x) =-x2 + 8x + 84 é a lei da função da área A do terreno em função da medida x

Uma função f: R4R é chamada quadrática quando existem números reais a, b e c, com a q 0, tais que f(x) = ax2 + bx + c, para todo número real x

Em que a é o coeficiente de x2, b é o coeficiente de x, e c é o termo independente. Assim, são exemplos de funções quadráticas:

• f(x) = 3x2 + 5x + 10, em que a = 3, b = 5 e c = 10;

• y = 7x2 1 3 - , em que a = 7, b = 0 e c = 1 3 - ;

• f(x) = x2, em que a = 1, b = 0 e c = 0;

• y =-3x2 + 6x, em que a =-3, b = 6 e c = 0.

Não são funções quadráticas:

• f(x) = 5x;

• y = x 1 ;

Orientações

• f(x) = x3 + 5x2;

• f(x) = 2x

O domínio de uma função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0, é D(f) =R. Quando o domínio da função não for citado, é necessário uma análise cuidadosa dos possíveis valores que a variável independente pode assumir para determiná-lo.

[...] A palavra função apareceu pela primeira vez em um manuscrito de Leibniz em 1673. Ele tomou função para designar de maneira geral a dependência de quantidades geométricas como subtangentes e subnormais. Ele também introduziu os termos constante, variável e parâmetro.

O desenvolvimento do estudo do comportamento das curvas por métodos algébricos, a representação de quantidades que eram dependentes de uma variável por meio de uma expressão analítica, se fez cada vez mais necessária. Foi assim que as funções começaram a ser representadas por meio de expressões algébricas e, de acordo com Ponte (1992), essa nova maneira de representar apareceu em correspondências trocadas por Leibniz e Jean Bernoulli (1667-1748) entre 1694 e 1698. Em 1718, Bernoulli publicou um artigo que teve ampla divulgação, o qual continha a definição de uma função de uma variável. [...]

Fonte: PIRES, Rogério Fernando. O conceito de uma função: Uma análise histórico epistemológica.

In: Encontro Nacional de Educação Matemática, XII, 2016, São Paulo. Anais [...]. São Paulo: Enem, 2016. Disponível em: http://www.sbem.com.br/ enem2016/anais/pdf/6006_2426_ID.pdf. Acesso em: 20 maio 2022.

• Rodrigo lança verticalmente para cima uma bola que atinge a altura h, em metros, dada em função do tempo t decorrido após o lançamento, em segundos, por h(t) = at2 + bt

Sabendo que altura atingida nos instantes 1 s e 2 s são, respectivamente, 15 m e 20 m, vamos determinar os coeficientes a e b

Quando t = 1s, temos h = 15 m, ou seja, h(1) = 15. Então:

15 = a 12 + b 1 6 a + b = 15 (I)

Quando t = 2s, temos h = 20 m, ou seja, h(2) = 20. Assim:

20 = a . 22 + b . 2 6 4a + 2b = 20 6 2a + b = 10 (II)

Resolvendo o sistema formado pelas equações (I) e (II):

Substituindo a =-5 em (II), obtemos:

2 . (-5) + b = 10 6-10 + b = 10 6 b = 20

Logo, a =-5 e b = 20.

Como sabemos os valores de a e b, vamos determinar a altura da bola em qualquer instante. Como exemplo, vamos calcular h(t) para = 1,5 s.

A fórmula é: h(t) = at2 = bt 6 h(t) =-5t2 + 20t

Quando t = 1,5s, determinamos h(1,5). Assim:

h(1,5) =-5 . 1,52 + 20 . 1,5 6 h = 18,75.

Portanto, no instante 1,5 s, a bola atinge 18,75 m de altura.

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Faça a leitura de Viagem no tempo sobre o surgimento da palavra função pela definição atribuída a Leibniz. Peça aos estudantes que investiguem mais sobre essa notação e se outros matemáticos trouxeram diferentes definições. Essa discussão contempla aspectos epistemológicos da matemática e favorece o desenvolvimento da competência específica 1

O exemplo discute o lançamento de uma bola que relaciona tempo e altura máxima atingida. Se achar conveniente, leve os estudantes até a quadra da escola para trabalhar lançamentos e traçar relações.

Criança joga bola para cima.

Orientações

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Se julgar conveniente, separe os estudantes em duplas e solicite que um integrante da dupla explique ao outro a resolução de cada um dos itens. Após isso, escolha algumas duplas para explicá-las a você e à turma.

Atividades como essa auxiliam no desenvolvimento da competência geral 4 e a habilidade EF09MA06

Resolução da atividade 1

a) f(x) = (x + 4)(x - 4) + 2

f(x) = x2 - 14

É função quadrática com a = 1,

b = 0 e c =-14.

b) f(x) = 3x(1 - x) - x(x + 1)

f(x) = 3x - 3x2 - x2 - x

f(x) =-4x2 + 2x

É função quadrática com a =-4,

b = 2 e c = 0.

c) (x) = (x + 2)2 -x(x + 3)

f(x) = x2 + 4x + 4 - x2 - 3x

f(x) = x + 4

Não é uma função quadrática.

d) f(x) =-2 (x + 5)2

f(x) =-

f(x) =-

Atividades

1 Considere, a seguir, as funções definidas no conjunto dos números reais. Quais delas são funções quadráticas? Identifique para cada uma delas os valores dos coeficientes a, b e c.

a) f(x) = (x + 4)(x - 4) + 2 É função quadrática; a = 1, b = 0 e c =-14.

b) f(x) = 3x(1 - x) - x(x + 1) É função quadrática; a =-4, b = 2 e c = 0.

c) f(x) = (x + 2)2 - x(x + 3) Não é função quadrática.

d) f(x) =-2(x + 5)2 É função quadrática; a =-2, b =-20 e c =-50.

2 Dada a função RR → f : , definida por f(x) = x2 + 2x + 15, calcule:

a) f(0);

b) f(-1);

c) 3 () f ;

d) 12 () f +

3 Determine o valor de k para que f(x) = (k2 - 4)x2 - 5kx + 6 seja uma função quadrática.

4 Dada a função f(x) =-x2 + 3x + 10, determine os valores reais de x para:

a) f(x) = 0; b) f(x) = 6; c) f(x) =- 8.

5 A área y do retângulo ABCD da figura é dada em função da medida x

2(x2 + 10x + 25)

2x2 - 20x - 50

É uma função quadrática com

a =-2, b =-20 e c =-50.

Resolução da atividade 2

a) f(0) = 02 + 2 0 + 15 = 15

b) f(-1) = (-1)2 + 2 (-1) + 15 = = 14

c) f 33 23 1532

a) Qual é a fórmula que relaciona y em função de x?

b) Qual é o valor de x para que a área do retângulo seja 40 cm2?

y = x2 + 12x + 27 x = 1 cm

c) Qual é a taxa média de variação de y quando x varia de 5 cm a 10 cm?

6 Uma empresa de turismo vende um passeio com destino à Estação Ecológica da Jureia para n pessoas, com 10 k n k 75, em que cada uma paga uma taxa de (100 - n) reais. Nessas condições, a quantia arrecadada pela empresa varia em função do número n

=+.+=++=+

d) f 1212

Resolução da atividade 3

f ( x ) = ( k 2 - 4) x 2 - 5 kx + 6

k2 - 4 q 0 6 k q-2 e k q 2

Resolução da atividade 4

a) -x2 + 3x + 10 = 0

x = 37 2 -y -

x =-2 ou x = 5

b) -x2 + 3x + 10 = 6

x = 35 2 -y -

x =-1 ou x = 4

c) x2 + 3x + 10 =-8

x2 + 3x + 18 = 0

x = 39 2 -y -

x =-3 ou x = 6

x

Quantas pessoas poderão viajar com um total arrecadado de R$ 2.100,00? 30 ou 70 pessoas

Resolução da atividade 5

a) A área y do retângulo é dada por:

y = (x + 3)(x + 9) = x2 + 9x + 3x + 27 =

= x2 + 12x + 27.

b) Para y = 40, temos:

x2 + 12x + 27 = 40 6 x2 + 12x - 13 = 0

1214

x = 1 ou x =-13 (não convém).

c)

A taxa de variação média da função é de: 247112 10 5 135 5 27.==

Resolução da atividade 6

Portanto, poderão viajar 70 ou 30 pessoas.

Praia da Barra do Una, Reserva da Jureia, São Paulo (SP), 2016.

Gráfico da função quadrática

Vamos construir o gráfico da função f : R4R definida por y = x2 - x - 6.

Atribuindo alguns valores a x, obtemos os respectivos valores de y na função y = x2 - x - 6. Depois, marcamos no plano cartesiano os pontos correspondentes aos pares ordenados obtidos.

x =-3 6 y = (-3)2 - (-3) - 6 = 6

x =-2 6 y = (-2)2 - (-2) - 6 = 0

x =-1 6 y = (-1)2 - (-1) - 6 =-4

x = 0 6 y = 02 - 0 - 6 =-6

x = 1 6 y = 12 - 1 - 6 =-6

x = 2 6 y = 22 - 2 - 6 =-2

x = 3 6 y = 32 - 3 - 6 = 0

x = 4 6 42 - 4 - 6 = 6

Sem desconsiderar os valores já calculados, para visualizar melhor o gráfico, vamos atribuir a x outros valores.

Orientações

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Após os estudantes compreenderem como se traçam as parábolas, leve-os à sala de informática para acessar uma ferramenta de construção de gráficos ou fazer uso da malha quadriculada. Solicite que testem diversos gráficos no software GeoGebra e verifiquem o comportamento deles. Por exemplo: f(x) = 2x2; f(x) = x2 + 1; f(x) = x2 - 3.

Como podemos atribuir a x qualquer valor real e obter, por meio da lei de formação, valores reais para y, o gráfico é uma curva contínua denominada parábola

Observe nesse gráfico que o eixo de simetria intersecta com o eixo x em 0,5 e o vértice é o ponto V (0,5; -6,25).

O ponto de intersecção da parábola com o eixo de simetria é denominado vértice da parábola (V).

Observe também que o gráfico intersecta o eixo y em -6, ou seja, no ponto (0, -6).

Assim como na função afim, os zeros da função y = ax2 + bx + c são os valores de x para os quais y = 0, ou seja, são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, se existirem.

Orientações

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Aproveite que está trabalhando na sala de informática e passe também algumas funções com valores negativos. Por exemplo: f(x) =-x2; f(x) =-x3 + 2; f(x) =-x2 - 1.

Espera-se que percebam que a concavidade da parábola mudará devido ao fato de a ser menor que 0. Para responder ao Pense e responda, acompanhe os estudantes na observação dos gráficos de a > 0 e de a < 0, de modo que percebam a simetria da parábola e identifiquem seu vértice. O vértice é o ponto em que o eixo de simetria intersecta a parábola.

O ponto correspondente ao vértice da parábola é sempre um ponto do eixo de simetria da parábola? Sim.

No exemplo, os zeros da função são -2 e 3. Os zeros são as abscissas dos pontos em que a parábola intersecta o eixo x

Para encontrarmos o ponto de intersecção da parábola com o eixo y, fazemos x = 0 na função y = ax2 + bx + c. Veja:

x = 0 6 y = a 02 + b 0 + c 6 y = c

Assim, o ponto em que a parábola intersecta o eixo y é o ponto (0, c).

Concavidade das parábolas

É o coeficiente a da função quadrática y = ax2 + bx + c que determina se a concavidade está voltada para cima ou para baixo.

Se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima

Se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo

Coordenadas dos vértices

As coordenadas do vértice V( xv, yv) da parábola, gráfico da função y = ax2 + bx + c, podem ser obtidas por meio das relações:

2 x b va =e yv = f(xv)

Veja a demonstração a seguir.

O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, tem um eixo de simetria que passa pelo vértice da parábola.

As abcissas x v - 1 e x v + 1 são simétricas em relação a x v e correspondem à mesma ordenada y1, ou seja, f(xv - 1) = f(xv + 1). Logo:

a(xv -1)2 + b (xv -1) + c = a( x v + 1)2 + b(xv + 1) + c

Simplificando a igualdade, obtemos:

-2ax v - b = 2ax v + b 6-4ax v = 2b 6 2 x b va = -

Em seguida, substituímos x v em f para obter yv, isto é, yv = 2 ax v + bx v + c

Portanto, as coordenadas do vértice são V(xv, yv).

Observe como elaborar um esboço do gráfico da função polinomial do 2? grau f: R4R, definida por y = x2 - 7x + 12.

• Cálculo dos zeros:

y = x2 - 7x + 12 6 0 = x2 - 7x + 12

!= (-7)2 - 4 1 12 = 1. Como !> 0, a parábola intersecta o eixo x em x1 e x2:

x 71 2 71 2 = y = y 6 x1 = 3 e x2 = 4

• Cálculo das coordenadas do vértice: ()

⇒ x b a x 2 7 2 3,5 vv ==-= yv = (3,5)2 - 7 . 3,5 + 12 6 yv =-0,25

• Estudo da concavidade:

Na função y = x2 - 7x + 12, a = 1 > 0. Logo, a concavidade da parábola é voltada para cima. Assim, o esboço do gráfico é:

y

• Considerando que 1 é zero da função f(x) = ax2  + 2x - 1, determine o valor de a e faça o esboço do gráfico.

Primeiro, vamos determinar o valor de a. Como 1 é zero da função, temos que f(1) = 0.

f(1) = 0 6 a . 12 + 2 . 1 -1 = 0 6 a + 1 = 0 6 a =-1

Uma vez que sabemos o valor do coeficiente a, vamos fazer o esboço do gráfico de f(x), sendo D =R

Substituindo a por -1 na função f(x), temos que: f(x) =-x2 + 2x -1.

• Cálculo dos zeros:

!= b2 - 4ac 6!= 22 - 4 (-1) (-1) 6!= 4 - 4

Com != 0, a parábola intersecta o eixo x em x = 1.

• Cálculo das coordenadas do vértice: x b a x vv () ⇒ 2 2 21 1 ===

Logo, V(1, 0).

• Cálculo de ponto em que a parábola intersecta o eixo y:

f(0) =-02 + 2 0 -1 6 f(0) =-1 \ (0, -1)

• Concavidade:

Como a =-1, a concavidade está voltada para baixo. Portanto, o esboço do gráfico é:

Orientações

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Uma maneira de ampliar esse entendimento é formar duplas com os estudantes. Cada integrante deve replicar a atividade do exemplo dado nas duas páginas anteriores, alterando a função, e entregá-la ao colega para ele resolvê-la.

Orientações

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Resolução da atividade 1

A concavidade da parábola é voltada para cima se a > 0 e para baixo se a < 0; c é o valor de y onde a parábola intersecta o eixo vertical.

Logo:

a) a > 0 e c > 0.

b) a < 0 e c = 0.

c) a > 0 e c < 0.

d) a < 0 e c = 0.

Resolução

Atividades

b) 0 = x2 + 3x - 28

c)

d) 0 = x2 - 6x

x(x - 6) = 0 6 x = 0 ou x = 6

e) 0 = x2 + x + 10

D= 12 – 4 1 10 =-39 39- não existe nos números reais. Portanto, a função f(x) não tem zeros reais.

Resolução da atividade 4

y = x2 + 5x + k

Então, temos:

3 = (-2)2 + 5 (-2) + k

3 = 4 - 10 + k 6 k = 9.

Resolução da atividade 5

a) f(x) = ax2 + bx + c

x = 0 6 c = 5

x = 5 6 0 = 25a + 5b + 5

x =-1 6 0 = a - b + 5

Resolvendo obtemos:

a =-1, b = 4 e c = 5.

b) f(x) = ax2 + bx + c

f(x) =-x2 + 4x + 5

f(4) =-42 + 4 4 + 5

f(4) = 5.

Respostas no Manual do Professor.

1 Os gráficos a seguir representam uma função quadrática f(x) = ax2 + bx + c. Diga se os coeficientes a e c de cada uma dessas funções são positivos, negativos ou nulos. Justifique sua resposta.

y x

y x

2 Calcule os zeros das seguintes funções:

a) f(x) = 4x2 - 9;

b) f(x) = x2 + 3x - 28; 4 e -7

a) b) c) d)

y x Respostas no Manual do Professor.

y x

c) f(x) = 3x2 + 2x - 5; d) y = x2 - 6x; 0 e 6

e) y = x2 + x + 10.

3 Construa o gráfico das seguintes funções definidas nos reais, dadas por:

Não possui zeros no conjunto dos números reais. Resposta no Manual do Professor.

a) y = x2 - 6x + 5; b) y =-x2 + 4x - 3; c) f(x) = x2 - 5x; d) y = 2x2 + 3.

4 Calcule o valor de k para que o ponto (-2, 3) pertença à parábola representada pela função y = x2 + 5x + k

5 A figura representa o gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c

Determine:

Valor máximo e valor mínimo da função quadrática

Observando o gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, com a q 0, em relação ao vértice V, podemos concluir que:

• se a > 0, o vértice é o ponto mais baixo da parábola.

Nesse caso, yv é o menor valor que y pode assumir. Então, ele será chamado valor mínimo da função.

• se a < 0, o vértice é o ponto mais alto da parábola. Nesse caso, yv é o maior valor que y pode assumir. Então, ele será chamado valor máximo da função.

Resolução da atividade 3 a) b) c) d)

a) os números reais a, b e c;

b) f(4). f(4) = 5 a =-1, b = 4 e c = 5

Vamos analisar a seguinte situação.

• Isabele tem 40 metros de arame para delimitar uma área para cultivar algodão. Porém, ela decidiu que esse terreno precisa ter a área máxima. Veja como Isabele resolveu esse problema.

Representando as dimensões do retângulo por x e y, temos a figura ao lado.

Como o arame para cercar o terreno mede 40 m, temos:

2x + 2y = 40 6 x + y = 20 6 y = 20 - x (I)

A área desse retângulo pode ser calculada por: A = xy (II)

Substituindo (I) em (II), obtemos a área A em função de x:

A = xy 6 A = x (20 - x) 6 A =-x2 + 20x

Observe que a área A é uma função do 2? grau na variável x, com a =-1 < 0. Então, A tem um valor máximo que é igual a A(xv).

Zeros da função:

A =-x2 + 20x 6-x2 + 20x = 0 6 x(-x + 20) = 0

Calculando as coordenadas dos vértice:

⇒⇒ x b a xx vvv 2 20 2 10 ===

Fazendo A(xv) na função, encontramos yv:

yv = A(xv) =-x v 2 + 20x v

A(10) =- (10) 2 + 20 . 10 6 A =- 100 + 200 6 A = 100

Veja, a seguir, como é o gráfico da função A(x) =-x2 + 20x

x1 = 0

x2 = 20

Orientações

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Na questão do Pense e responda, use um gráfico para auxiliá-lo. Desenhe um primeiro gráfico com a concavidade para cima e informe aos estudantes que seu ponto mais alto tende ao infinito; desenhe um segundo gráfico com a concavidade para baixo, mas com o vértice no primeiro ou segundo quadrante; e um terceiro gráfico com o vértice da parábola no terceiro ou quarto quadrante. Com essa construção, os estudantes percebem que pode haver um ponto de máximo negativo.

Logo, a área máxima é 100 m2 e as dimensões do retângulo são x = 10 m e y = 10 m, pois x v = 10 e yv = 20 - x v 6 yv = 20 - 10 = 10.

Portanto, a área máxima é determinada por um quadrado de lado 10 cm.

O valor máximo de uma função quadrática pode ser negativo? Sim.

Orientações

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Atividades

1 Considere as funções a seguir. Diga se cada uma delas tem valor máximo ou valor mínimo e determine esse valor.

a) y = x2 - x - 42

Valor mínimo =169 4

b) f(x) = 2x2 - 4x - 2,5

c) y =-4x2

Valor mínimo =-4,5.

Valor máximo = 0.

d) y =- 2 5 x2 + 1 2 x

Resolução da atividade 2

Do enunciado, temos a função:

FC max = 163 + 1,16x - 0,018x2 =

=-0,018x2 + 1,16x + 168, em que: a =-0,018, b = 1,16 e c = 163.

A idade x em que FCmax assume seu valor maior é: x b a 2 1,16 20 , 018 1,16 0, 036 32 , 22.

v =-=.= =-o

Logo, o valor inteiro mais próximo é 32 anos.

Alternativa b

Resolução da atividade 3

a) O domínio da função é o conjunto dos números reais, ou seja, R.

b) f(x) =-2x + 8x + 24 = 0

= -yx 8   16 4

x =-2 ou x = 6

c) x 8 4 2 v =-= =-.+.+= y  2 28 22432 v 2

Logo, V(2, 32).

2 (FACULDADE PERNAMBUCANA DE SAÚDE-PE) A frequência máxima de batimento cardíaco de um indivíduo, FCmax, em batimentos por minuto, depende da idade, x, do indivíduo, dada em anos. Um estudo concluiu que a relação entre FCmax e x é função quadrática:

FC max = 163 + 1,16x - 0,018x2

Admitindo a veracidade do estudo, para qual idade temos que FCmax assume seu maior valor? Indique o valor inteiro mais próximo do valor obtido, em anos.

a) 31 anos b) 32 anos c) 33 anos d) 34 anos e) 35 anos

3 Considere a função f(x) =-2x2 + 8x + 24, bem como a parábola que representa y = f(x) no plano cartesiano, e determine:

a) o domínio da função;

b) os zeros da função;

c) as coordenadas do vértice da parábola;

Valor máximo = 5 32 Alternativa b R -2 e 6. (2, 32).

d) o valor máximo da função; yV = 32.

e) o ponto em que a parábola intercepta o eixo das ordenadas.

4 De acordo com conceitos administrativos, o lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática L = R – C, em que L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma indústria de peças automotivas produziu x unidades e verificou que o custo de produção era dado pela função C(x) = x² – 2 000x e a receita representada por R(x) = 6 000x – x2. Com base nessas informações, determine o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo.

5 Um engenheiro vai projetar uma piscina, em forma de paralelepípedo retangular, cujas medidas internas são, em metros, expressas por x, 20 - x e 2. Qual será o maior volume possível dessa piscina em metros cúbicos?

6 De um cubo com 4 cm de aresta, retira-se um paralelepípedo retângulo, resultando no sólido mostrado na figura, com as medidas indicadas em centímetros. O volume desse sólido varia conforme o valor de x. Calcule o menor valor que esse volume poderá ter:

d) O valor máximo da função e o da ordenada do ponto do vértice, ou seja, Y v = 32.

e) Ponto (0, 24).

Resolução da atividade 4

L = R – C

L = 6 000x - x ² - (x ² - 2 000x)

L

Resolução da atividade 5 O volume y da piscina será dado por:

Como o valor do volume máximo da piscina é igual a yv , seu valor será 200 m3

7 Observe o triângulo ABC a seguir, cujas medidas estão indicadas em centímetros.

Orientações

atividades

dessa

atividade

-

Agora, responda às questões.

a) Escreva a função que representa a área y desse triângulo e trace seu gráfico.

b) Calcule a medida da altura desse triângulo para que sua área seja 300 cm2 12 cm

8 Seja a função quadrática

f(x) = ax2 + bx + 6, em que f(1) = 3 e

f(-2) = 24. Sabendo disso, determine:

a) os valores de a e b;

b) f(3).

a = 2 e b =-5

9 (IFRS-RS) Em uma partida de vôlei, um jogador dá um saque. Em cada instante de tempo, para t ó [0, 10], a bola tem altura

h(t) =-t2 + 10t + 1,6.

Considere as afirmações a seguir.

I. Se esse saque ocorresse em um ginásio com teto de 30 m de altura, a bola alcançaria o teto.

II. A bola alcança a altura máxima no instante t = 5.

III. Se esse saque ocorresse em um ginásio com teto de 17,6 m de altura, a bola alcançaria o teto no instante t = 2.

Está(ão) correta(s) apenas:

a) I.

b) II.

c) I e II.

d) I e III.

Alternativa e

Resolução da atividade 6

V =

a) Quais são os zeros da função?

1

e

b) Quais são as coordenadas do vértice da parábola?

(OBMEP) A mãe de César deu a ele as seguintes instruções para fazer um bolo:

• se colocar ovos, não coloque creme;

• se colocar leite, não coloque laranja;

Alternativa d OBMEP 2007 =+ yxx 5 2 5 2

• se não colocar creme, não coloque leite.

17,6

• a afirmação II é verdadeira;

Seguindo essas instruções, César pode fazer um bolo com:

a) ovos e leite, mas sem creme.

b) creme, laranja e leite, mas sem ovos.

c) ovos e creme, mas sem laranja.

d) ovos e laranja, mas sem leite e sem creme.

• a afirmação III é verdadeira. Portanto, estão corretas apenas as afirmações II e III.

Alternativa e Resolução da atividade 10

a) Pelo gráfico, temos que os zeros são 1 e 3.

b) V(2,1)

c) Exemplo:

• O coeficiente de x2 é positivo ou negativo?

Para encerrar contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Elas contribuem para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1

a) Pelo gráfico, temos que o conjunto imagem é dado pelo intervalo natural [1, 7].

b) Das 16 empresas pesquisadas, apenas 3 tiveram mais de 4 acidentes de trabalho no semestre.

c) Das 16 empresas, 8 registraram menos de 3 acidentes no semestre.

d) A empresa H teve 2 acidentes no último semestre, e a empresa O teve 3 acidentes; portanto, O teve mais acidentes do que a empresa H

e) A empresa P teve 2 acidentes no último semestre, enquanto a empresa A apenas 1 acidente.

Alternativa c

Resolução da atividade 2

De acordo com o gráfico, é possível observar que os horários que ultrapassaram 55 decibéis foram:

2 h - 5 h

6 h - 9 h

11 h - 14 h

16 h - 17 h

19 h - 22 h

3 + 3 + 3 + 1 + 3 = 13

Alternativa e Resolução da atividade 3

É preciso interpretar o gráfico e compreender que entre 5 e 15 itens produzidos, o custo é maior que a receita, tornando o resultado negativo nesse intervalo. O gráfico que se adequa a essa afirmativa é o da alternativa a

1 (IFPE) Ao realizar um estudo sobre acidentes de trabalho em empresas do polo de confecções do Agreste, Dirce, aluna do curso de Segurança do Trabalho no campus Caruaru, desenhou o gráfico a seguir:

Nesse dia, durante quantas horas o ruído esteve acima de 55 decibéis?

Alternativa e Número de acidentes de trabalho no último semestre C D E F G H I J K L M N O P

a) 5 b) 8 c) 10 d) 11 e) 13

Com base no gráfico feito pela aluna, é CORRETO afirmar que:

a) o conjunto imagem da função representada pelo gráfico é o intervalo natural [2, 6].

b) a maioria das empresas pesquisadas teve mais de 4 acidentes de trabalho no semestre.

c) metade das empresas pesquisadas registrou menos de 3 acidentes de trabalho no semestre.

d) a empresa H teve mais acidentes de trabalho que a empresa O no último semestre.

e) a empresa P teve o menor número de acidentes de trabalho no último semestre.

2 (ENEM) A exposição a barulhos excessivos, como os que percebemos em geral em trânsitos intensos, casas noturnas e espetáculos musicais, pode provocar insônia, estresse, infarto, perda de audição, entre outras enfermidades. De acordo com a Organização Mundial da Saúde, todo e qualquer som que ultrapasse os 55 decibéis (unidade de intensidade do som) já pode ser considerado nocivo para a saúde. O gráfico foi elaborado a partir da medição do ruído produzido, durante um dia, em um canteiro de obras.

2 3 4 5 6 7 0

55 2 1 Hora

Decibel 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Disponível em: www.revistaencontro.com.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adaptado).

a) b) Alternativa a 5 0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 10 20 25 15 5 30 Custo Receita Quantidade de itens produzidos R$ 5 0 -5 -10 -15 -20 10 15 20 25 30 35 40 10 20 25 5 30 Quantidade de itens produzidos R$ 15 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 10 15 20 10 20 25 15 5 30 Quantidade de itens produzidos R$ Ilustrações: DAE Ilustrações: DAE

O lucro é determinado pela diferença: Receita - Custo.

O gráfico que representa o lucro dessa empresa, em função da quantidade de itens produzidos, é

DAE 5 (IFG) O desmatamento das florestas acarreta uma redução das árvores e, por consequência, uma diminuição no processo de fotossíntese, que é importante para manter a quantidade de gás carbônico e oxigênio na atmosfera, além de fornecer matéria-prima para a energia dos seres vivos. Os gráficos a seguir ilustram a influência da temperatura e da intensidade de luz (lux) na taxa de fotossíntese das plantas: De acordo com esses gráficos, é correto afirmar que: Alternativa b

Orientações

Resolução da atividade 4

1,50x = 180,60 6 x = 120,4

Portanto, o número máximo de peças é 120.

Alternativa b

Resolução da atividade 5

a) Falso. A taxa de fotossíntese relacionada à temperatura não é diretamente proporcional à taxa de fotossíntese relacionada à intensidade de luz. Podemos verificar essa afirmação, pois o gráfico referente à luz é estritamente crescente, enquanto o gráfico da temperatura cresce e depois decresce.

b) Verdadeiro. É possível observar o ponto de máximo do gráfico da temperatura no intervalo de 30 ‘C a 35 ‘C.

c) Falso. É possível observar que o ponto da curva relativa à temperatura em 35 ‘C é menor do que o ponto da curva em 30 ‘C.

d) Falso. No gráfico relativo à luz, é possível observar que seu crescimento é muito mais intenso de 0 a 500 lux do que no restante dele.

Alternativa b

4 (IFPI) Em uma fábrica, a produção de determinada peça para bicicleta tem custo fixo de R$ 12,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Qual o número máximo de peças que podem ser fabricadas com R$ 192,60?

Alternativa b

a) 119

b) 120

c) 121

d) 122

e) 123

a) A taxa de fotossíntese é diretamente proporcional à intensidade de luz, isto é, se a intensidade dobra de valor, a taxa de fotossíntese também dobra.

b) Quando a temperatura está na faixa de 30 ‘C a 35 ‘C, a taxa de fotossíntese atinge seu maior valor.

c) Quanto maior for a temperatura, maior será a taxa de fotossíntese.

d) A taxa de fotossíntese cresce mais rapidamente após 2 000 lux.

Aproveite a abordagem dessa atividade, que discute o desmatamento das florestas, e converse com os estudantes sobre a importância da preservação. Sugira que façam pesquisas sobre essa temática e mostrem graficamente os dados construídos.

Orientações

Resolução da atividade 6

a) Falsa.

f(0) > 0 e f(4) < 0, logo,

f(0) . f (4) < 0.

b) Falsa.

f(-1) > 0 e f(3) = 0, logo,

f(-1) f(3) = 0.

c) Verdadeira.

f(8) > 0 e f(7) = 0, logo,

f(8)f(7) = f(8)0 = 1.

d) Falsa.

f (2) > 0 e f (4) < 0, logo,

f

f 2 4 0 < () ()

e) Falsa.

f(10) > 0, f(3) = 0 e f(7) = 0

f(3 + 7) = f(3) + f(7)

f(10) = f(3) + f(7)

f(10) = 0 + 0 = 0.

Alternativa c Resolução da atividade 7

Sabemos que a família terá um gasto fixo de combustível de R$ 150,00 e que passará x dias no hotel fazenda. O gasto total da viagem será 150 reais fixos mais 390 reais por dia, ou seja, y = 390x + 150.

Alternativa d Resolução da atividade 8

O número de unidades para o lucro ser máximo corresponde à abscissa do vértice da parábola que representa a função. Logo:

x 16 2( 1) 8. v ==

Alternativa c Resolução da atividade 9

A expressão algébrica é do tipo y = ax + b

Do gráfico, temos:

x = 0 e y = 50 6 b = 50

x = 500 e y = 0 6 0 = 500a + b

+=6=-aa 500 50 0  1 10

A expressão algébrica é: y x 10 50. =-+

Alternativa b

Resolução da atividade 10

Como o ponto de mínimo coincide com o eixo das abscissas, então, ao deixarmos a função escrita como multiplicação de termos iguais, não teremos uma constante que some a este quadrado. Dessa forma, temos:

y

A respeito dessa função f, é CORRETO afirmar que:

a) f(0) f(4) > 0.

b) f(-1) f(3) < 0.

c) f(8)f(7) = 1.

d) f f (2) (4 ) > 0.

e) f(3 + 7) = f(3) + f(7).

7 (IFRN) Um casal resolveu levar a filha, vítima de cyberbullying, para passar x dias em um hotel-fazenda sem acesso à internet. O custo total da viagem de y reais corresponde a um valor fixo de R$ 150,00 para os gastos com combustível, mais R$ 390,00 a diária do quarto triplo com direito a todas as refeições. Em função de x dias de hospedagem, a equação que representa o custo total de y reais da viagem é:

a) y = 390 . x + 300.

b) y = 150 . x + 390.

c) y = 150 x + 300.

d) y = 390 x + 150.

8 (FASA) Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado artigo. O lucro desse fabricante foi modelado, matematicamente, através da função f, dada por f(x) =-x2 + 16x - 7. Quantas unidades desse artigo devem ser vendidas, mensalmente, para que o lucro do fabricante seja máximo?

a) 10

b) 16

c) 8

d) 4

9 (ENEM) Uma indústria automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de combustível são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível tenha sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo y (vertical), e a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo x (horizontal).

A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque e a distância percorrida pelo automóvel é:

Alternativa b

a) y =-10x + 500.

b) y = x 10+ 50.

c) y = x 10+ 500.

d) y = x 10 + 50.

e) y = x 10 + 500.

10 (IFPI) Sabe-se que a função f, definida por f(x) = x2 - 3px + 9, para x óR, tem imagem mínima igual a 0 (zero). Com base nessa informação, qual o valor positivo de “p”?

Alternativa e

a) 4 b) 7 2 c) 3 d) 3 2 e) 2

11 (UCB-DF) Um estudo epidemiológico da propagação da gripe em uma pequena cidade descobre que o número total P de pessoas que contraíram a gripe após t dias, em um surto da doença, é modelado pela seguinte função:

P(t) =-t2 + 13t + 130 com 1 k t k 6 Após quantos dias o número de pessoas infectadas será igual a 160?

Alternativa e

a) 5 b) 6 c) 4 d) 2 e) 3

D= 132 - 4 (-1) (-30)

D= 169 - 120

D= 49 x’ = 13 7 2 10= (não pode, pois não está no intervalo) x’ = 13 7 2 3 -+= Logo, alternativa e

6 (UPE) A figura abaixo traz a representação geométrica de uma função f: R4R

12 (IFRS) Dado um quadrado de lado 10 cm, retira-se um retângulo de dimensões (x - 1) cm e 2x cm localizado em um dos cantos do quadrado. A área y da figura resultante em função de x é:

a) y = 2x2 - 2x + 100.

b) y =-2x2 + 2x.

c) y =-2x2 + 2x + 100.

d) y =-2x2 - 100.

e) y =-2x2 + 2x - 100.

13 (IFBA) Ao estudar a variação da temperatura de um objeto armazenado em um determinado local, técnicos chegaram a determinado modelo matemático. A equação obtida foi:

fxxx () 12 210 2 =++

Alternativa c Alternativa d

sendo f(x) a temperatura dada em grau Celsius e x dado em horas. A temperatura máxima atingida por esse objeto, nesse local de armazenamento, é de:

a) 0 ‘C. b) 10 ‘C. c) 12 ‘C. d) 22 ‘C. e) 24 ‘C.

14 (UPE) De um ponto do solo, é lançado um foguete (F) cuja altura em função do tempo é dada por

h(t) =200 2 t + 4t, sendo h a altura, em metros, e t o tempo, em segundos.

Qual é a altura máxima alcançada por esse foguete, em metros? a) 580 b) 600 c) 640 d) 800 e) 880

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Identifico uma função polinomial do 1? e do 2? graus.

Interpreto gráficos de funções polinomiais do 1? e do 2? graus.

Identifico o domínio, contradomínio e o conjunto imagem de uma função.

Calculo o(s) zero(s) de uma função.

Identifico a concavidade de uma parábola.

Calculo o valor máximo ou mínimo de uma função polinomial do 2? grau.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras. Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Principais objetivos da unidade

• Reconhecer eventos dependentes e independentes em experimentos aleatórios.

• Calcular a probabilidade da ocorrência de eventos dependentes e independentes em experimentos aleatórios.

• Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagem.

• Compreender a aplicação de percentuais sucessivos e determinação de taxas percentuais.

Justificativa

Os objetivos desta unidade retomam e ampliam conteúdo já estudado no ano anterior como as aplicações de porcentagens, trabalhando a habilidade EF09MA05, com ênfase no tema da Educação Financeira.

São também discutidas situações de aplicações de grandezas diretamente e inversamente proporcionais, como parte das habilidades EF09MA07 e EF09MA08

Conceitos básicos de cálculo de probabilidade são apresentados e discutidos no estudo dos eventos aleatórios, eventos dependentes e independentes dentro da habilidade EF09MA20

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• conceituem experimento aleatório, espaço amostral e evento;

• saibam o que é probabilidade;

• conheçam o princípio multiplicativo da contagem;

• saibam o que é razão, razão inversa e proporção;

• conheçam as unidades de medida de grandezas;

• conceituem grandezas diretamente e inversamente proporcionais;

• utilizem a propriedade fundamental das proporções;

• resolvam sistemas de duas equações polinomiais de 1? grau com duas incógnitas;

• efetuem cálculos de porcentagem.

Avaliação diagnóstica

É importante observar se os estudantes já domina os pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos nesta unidade. Para isso, promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre os pré-requisitos elencados e citar exemplos do cotidiano. Elabore algumas atividades escritas para verificar o que já dominam. Se necessário, retome os conteúdos propostos para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 2, 3, 4, 7, 9 e 10

Competências específicas 2, 3, 6 e 8

Habilidades EF09MA05, EF09MA07, F09MA08 e EF09MA20

Foco nos TCTs

• Educação para o Trânsito

• Educação Financeira

Em diversas situações do cotidiano usamos o conceito de probabilidade, inclusive em quedas de raio.

Dark Moon Pictures/Shutterstock.com

Probabilidade, proporcionalidade e porcentagem

Você considera provável ser atingido por um raio? Segundo o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (Inpe), a chance de uma pessoa ser atingida diretamente por um raio é muito baixa; menor do que 1 em 1 milhão. Contudo, se a pessoa estiver em uma área descampada durante uma forte tempestade, essa chance pode aumentar para até 1 em 1 000. VOCÊ sabia? In: INPE. Grupo de Eletricidade Atmosférica. São José dos Campos, [20--]. Disponível em: http://www.inpe.br/webelat/homepage/menu/el.atm/ perguntas.e.respostas.php. Acesso em: 9 jun. 2022.

1. O que você entende por 1 em 1 milhão?

2. Pesquise sobre os cuidados que devemos ter em situações climáticas que envolvem muitos raios. Resposta pessoal. Resposta pessoal.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• reconhecer experimentos aleatórios e calcular probabilidade em eventos independentes e eventos dependentes;

• resolver e elaborar problemas que envolvem conceitos de porcentagem;

• resolver problemas que envolvem a razão entre grandezas de unidades diferentes;

• resolver problemas que envolvem proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa entre duas grandezas.

Orientações

Discuta com os estudantes as probabilidades apresentadas no texto de abertura da unidade. Observe se eles compreenderam o significado.

Se achar conveniente, sugira uma pesquisa sobre qual é o país campeão mundial em incidência de raios e a quantidade de raios que cai nele por ano.

Resposta da questão 1

Em cada 1 milhão de pessoas, uma terá a chance de ser atingida por um raio.

Resposta da questão 2

Alguns exemplos:

• Não permanecer embaixo de árvores e em locais abertos, como campos de futebol, quadras esportivas, praias etc.

• Não ficar perto de postes da rede elétrica.

• Evitar locais altos.

Objetivos do capítulo

• Reconhecer eventos dependentes e independentes em experimentos aleatórios.

• Calcular a probabilidade da ocorrência de eventos dependentes e independentes em experimentos aleatórios.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2, 4 e 7

Competências específicas 2 e 8

Habilidades EF09MA20

Orientações

Em Para começar, peça aos estudantes que sinalizem a diferença entre 50% de chance de acertar uma questão cuja resposta pode ser “sim” ou “não” e uma chance de acertar uma resposta em duas possibilidades. Espera-se que eles percebam que ter uma chance em duas possibilidades é o mesmo que ter 50% de chance, ou seja, 1 2 . Essa atividade oral auxilia no desenvolvimento das competências gerais 2, 4 e 7 e da competência específica 2

Probabilidade

O juiz pegou uma moeda e disse: “Se sair cara, o time da Dinamarca inicia o jogo com a bola. Se não, o time da Dinamarca escolhe o lado do campo”.

Em sua opinião, qual é a probabilidade maior: a Dinamarca começar o jogo com a bola ou escolher o campo? A probabilidade para ambos os casos é igual.

Jogos de azar: são aqueles cujos ganhadores se beneficiam devido ao azar dos outros jogadores, sendo que a probabilidade de ganhar é bem menor do que perder.

O estudo da probabilidade é fundamental para modelar fenômenos aleatórios nos quais os resultados não são previsíveis, mesmo com um grande número de repetições do mesmo fenômeno. O lançamento de um dado é um exemplo de fenômeno aleatório (ou fenômeno determinístico), ou seja, aquele que acontece ao “acaso”. Os chamados jogos de azar, a exemplo das loterias e das apostas de modo geral, também são fenômenos aleatórios.

Vamos recordar alguns conceitos estudados em anos anteriores.

As situações cujos resultados não podemos prever são chamadas de experimentos aleatórios, pois só temos a certeza do resultado depois que o experimento for realizado.

Assim, o lançamento de uma moeda ou de um dado é um experimento aleatório porque o resultado é incerto, ou seja, não podemos prever, com absoluta segurança, qual face cairá voltada para cima.

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral. Representamos o espaço amostral de um experimento pela letra grega ômega Ü

No lançamento de um dado, o espaço amostral é: Ü= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Um subconjunto desse espaço é chamado de evento

Por exemplo, A = {1, 2, 5} é um evento desse espaço amostral. O número de elementos desse evento pode ser escrito como n(A) = 3.

Caio Boracini

A probabilidade de um evento A acontecer é dada pela seguinte expressão:

número de resultados favoráveis  número total de resultados possíveis

número de elementos de  número de elementos  de

Essa fórmula também é conhecida como probabilidade clássica

Por exemplo, a probabilidade de o evento A = {1, 2, 5} acontecer é P(A) == 3 6 1 2 = 0,5 ou 50%. Vamos analisar alguns exemplos.

• Qual é a probabilidade de, no lançamento de um dado com faces numeradas de 1 a 6, não viciado, ser sorteado um número par?

Para calcular a probabilidade, precisamos conhecer o espaço amostral e o número de casos favoráveis do evento. Então, considerando o nosso evento “ocorrer um número par”, temos:

Ü= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, então n(Ü) = 6.

A = {2, 4, 6}, então n(A) = 3.

PA() == 3 6 1 2

Portanto, a probabilidade de ocorrer um número par é 1 2 . Percentualmente, essa probabilidade é de 50%. Vamos ver outra situação.

• Ao lançar uma moeda para o alto sucessivamente por 3 vezes, quantos e quais serão os possíveis resultados? Qual é a probabilidade de sair exatamente uma cara nesses lançamentos?

Sendo K = cara e C = coroa, podemos construir o espaço amostral desse experimento fazendo a árvore de possibilidades. Então, contaremos a quantidade de casos possíveis e de casos favoráveis.

São três etapas (três lançamentos) equiprováveis, ou seja, cada um deles tem a mesma chance de acontecer. Assim, temos:

1?, 2? e 3? resultados possíveis

K

K 4 (K, K, K)

C 4 (K, K, C)

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF09MA20

Selecione alguns estudantes para resolver as atividades dos exemplos na lousa. Peça a eles que expliquem aos colegas o passo a passo de cada resolução.

Resolução do Pense e responda Como não existe o número 7 no espaço amostral desse experimento, a probabilidade de sair 7 é igual a zero.

C

K 4 (K, C, K)

C 4 (K, C, C)

K 4 (C, K, K)

C

K

K C

C 4 (C, K, C)

K 4 (C, C, K)

C 4 (C, C, C)

Podemos observar que o espaço amostral é formado pelas oito sequências indicadas. Vamos calcular a probabilidade de observarmos exatamente uma cara nesses lançamentos. Dos oito resultados possíveis, os que apresentam exatamente uma cara são (K, C, C), (C, K, C) e (C, C, K), ou seja, são 3 casos favoráveis.

Sendo n(Ü) = 8 e n(A) =3, a probabilidade é igual a:

P(A) = 3 8 ou P(A) = 0,375

Percentualmente, essa probabilidade é de 37,5%.

Qual é a probabilidade de, no lançamento de um dado com faces numeradas de 1 a 6, sair o número 7?

A probabilidade é zero.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA20 e da competência específica 8

Resolução da atividade 1

a) P (5) 1 6 16 ,7%. =o

b) Pn(4 ) 2 6 1 3 33 ,3% >==o

c) () ==== P ímpar 3 6 1 2 0, 5 50%

Resolução da atividade 2

a)

b)

(3 vermelhas) 1 40  2 ,5% ==

c) P (2 símbolos) 4 40 1 10 10% === mbolos) 4 40 1 10 10% ===

Resolução da atividade 3

a) P soma 5 () =

b) P soma 10 () =

c) P soma ímpar () = ===

Atividades

1 No lançamento de um dado com faces numeradas de 1 a 6, considera-se como resultado o número da face superior. Qual é a probabilidade de o resultado ser:

a) 5?

b) maior que 4? c) um número ímpar?

2 Imagine um baralho de 40 cartas distribuídas em quatro naipes – pentágono, triângulo, círculo e retângulo –com 10 cartas cada um.

Escolhendo-se ao acaso uma carta do baralho, qual é a probabilidade de ser retirada:

a) uma carta com símbolos na cor amarela?

b) uma carta com apenas 3 símbolos vermelhos?

c) uma carta com apenas 2 símbolos de qualquer cor?

3 A figura mostra as combinações possíveis no lançamento simultâneo de dois dados: um azul e outro vermelho.

Calcule a probabilidade de que, no lançamento desses dois dados, a soma dos pontos obtidos seja:

c) um número ímpar;

4 O alvo da figura é formado por um quadrado de lado medindo 20 cm e um círculo inscrito nesse quadrado. Um garoto lança um dardo em direção ao alvo e acerta na figura.

6 (CMCG) O gráfico abaixo apresenta a quantidade de brinquedos, por tipo, que Carlinhos guardou em uma caixa.

Resolução da atividade 6

Total de brinquedos: 16

Total de carrinhos: 9

P 6 19 =

Alternativa b Resolução da atividade 7 Representando com H o nascimento de um menino e com M o nascimento de uma menina, temos:

Considerando po 3,14, qual é a probabilidade de que o dardo atinja:

a) o círculo?

b) a parte fora do círculo?

5 Em uma escola, há duas turmas no 9? ano: A e B. A tabela mostra a distribuição, por idade, dos estudantes dessas turmas.

Distribuição das turmas A e B do 9 ? ano (por idade)

Turma A B Total entre 13 e 14 anos 202545 entre 15 e 16 anos 352055 total 5545100

Fonte: Dados fictícios. Escolhendo-se, ao acaso, um estudante do 9o ano, qual é a probabilidade de ele ter:

a) entre 13 e 14 anos?

b) entre 15 e 16 anos?

c) ter entre 15 e 16 anos e ser da turma B?

d) ter entre 13 e 14 anos e ser da turma A?

Certo dia, ele resolve doar um desses brinquedos a uma campanha do Dia das Crianças. Ele escolhe, aleatoriamente, um dos brinquedos da caixa. Qual é a probabilidade de esse brinquedo ser um carrinho?

a) 13 19

b) 6 19

c) 1 19

d) 1 9 e) 1 6

7 Em uma gestação, a probabilidade de nascer um menino ou uma menina é a mesma. Em três gestações seguidas, qual é a probabilidade de nascer pelo menos um menino? Considere que nascerá apenas uma criança por gestação.

Em 1729, o filósofo francês Voltaire ficou rico elaborando um esquema para vencer a loteria de Paris. O governo havia instituído uma loteria para compensar a desvalorização das apólices municipais. Como a cidade acrescentou grandes quantias, resultou que o valor dos prêmios ultrapassava o preço de todos os bilhetes.

Voltaire formou um grupo que comprava todos os bilhetes da loteria de um mês e ganhou durante mais de um ano. Um apostador da loteria do estado de Nova York tentou ganhar uma parcela de um prêmio excepcionalmente grande, resultante da falta de ganhadores em sorteios prévios. Ele pretendia emitir um cheque de 6 135 756,00 dólares abrangendo todas as combinações, mas o estado não aceitou, sob a alegação de que a natureza da loteria teria sido alterada.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA20

Resolução da atividade 4

a) A c = 3,14 . 102 = 314 4 314 cm2

A

q = 202 = 400 4 400 cm2

PP 314 400 0,785  ou  78 ,5%. ===

b) Seja, A c : área do círculo e Af : área fora do círculo.

A = 202 = 400

A c = 10 3,14 = 314

Af = A - A c = 400 - 314 = 86

P 86 400 == 0,215 = 21,5%.

Resolução da atividade 5

a) == P 45 100 45%

b) == P 55 100 55%

c) P 20 100 20% ==

d) P 20 100 20% ==

São ao todo 8 possibilidades, sendo que em apenas uma gestação não teremos um filho homem, ou seja, a gestação M, M, M. Assim, a probabilidade será 7 8

Converse com os estudantes sobre o texto apresentado em Curiosidade. Calcule com os estudantes a probabilidade de se ganhar na loteria, e diga que para ter mais chance, o valor da aposta deve ser maior. Calculem o maior valor possível de aposta em determinada loteria e a probabilidade de sair vencedor. Evidencie que o valor da aposta maior dá chance maior, porém não é certeza de que os números sejam sorteados.

TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. Tradução: Alfredo A. Farias. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.

François-Marie Arouet (1694-1778), também conhecido como Voltaire.

Orientações

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EF09MA20

Para auxiliar a turma no entendimento de eventos independentes e eventos dependentes, use um saquinho e 5 borrachas, uma de cada estudante.

Pergunte qual é a probabilidade de tirar do saquinho a borracha do estudante X sem olhar. Espera-se que eles percebam que a probabilidade é 1 5 . Pergunte, então, ao devolver a borracha ao saco, qual é a probabilidade de tirar a borracha do estudante Y. Espera-se que respondam que a probabilidade também é 1 5

Repita a mesma pergunta em relação ao estudante X. Eles deverão afirmar que é a mesma probabilidade obtida anteriormente, ou seja, 1 5

Pergunte, agora, sem devolver a borracha ao saco, qual é a probabilidade de tirar a borracha do estudante Y Espera-se que respondam que agora a probabilidade é 1 4 , pois há apenas 4 borrachas no saco.

Essa é a diferença entre eventos independentes e dependentes. Os eventos independentes não têm relação direta uns com os outros (no exemplo, quando a borracha foi devolvida ao saco). Já os eventos dependentes têm relação direta entre si (no exemplo, quando a borracha não foi devolvida ao saco).

Resolução do Pense e responda

Eventos independentes e eventos dependentes

Dois eventos A e B são independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de o outro haver ou não ocorrido, ou seja, o resultado de um evento não influencia o resultado do outro.

A probabilidade de ocorrência de dois eventos independentes é dada pela seguinte fórmula:

P(A e B) = P(A) P(B)

Para três eventos independentes, teremos P(A, B e C) = P(A) . P(B) . P(C), e assim sucessivamente. Dois eventos A e B são dependentes quando o resultado de um evento influencia na probabilidade do outro.

Por exemplo, a ocorrência de um evento B que depende de um evento A é representada por P(B|A). Assim, nesse caso, a probabilidade de ocorrência desses dois eventos dependentes é dada pela fórmula:

P(A e B) = P(A) P(B|A)

Vamos ver duas situações que envolvem esse conceito.

• Em uma caixa há 10 bolas coloridas: três amarelas (A) e sete vermelhas (V). Se agitarmos a caixa e retirarmos 2 bolas aleatoriamente, uma de cada vez, e repondo essa bola de volta na caixa, qual é a probabilidade de a primeira bola ser amarela e de a segunda ser vermelha?

As condições de retirada desses eventos são independentes, assim:

P(A e V) = P(A) . P(V).

A probabilidade de sair uma bola amarela na primeira retirada é:

P(A) = 3 10 ou P(A) = 0,3

A probabilidade de sair uma bola vermelha na segunda retirada é:

P(V) = 7 10 ou P(V) = 0,7

Portanto, substituindo esses valores na fórmula, temos:

P(A e V) = 3 10 . 7 10 = 0,3 . 0,7= 0,21

Percentualmente, essa probabilidade é de 21%.

• Agora, vamos considerar a mesma caixa da situação anterior, porém, vamos retirar 2 bolas aleatoriamente, uma de cada vez, mas sem devolver à caixa a bola retirada. Qual é a probabilidade de a primeira bola ser amarela e de a segunda ser vermelha?

Observe que, agora, as condições de retirada dos eventos são dependentes, ou seja, a retirada da primeira bola vai influenciar na retirada da segunda.

P(A e V) = P(A) . P(V|A)

A probabilidade de sair uma bola amarela na primeira retirada continua sendo a mesma.

P(A) = 3 10 ou P(A) = 0,3

Mas a probabilidade de sair uma bola vermelha na segunda retirada vai mudar, pois na caixa, agora, só há 9 bolas. Assim, a probabilidade de ser retirada uma bola vermelha é:

P(V|A) = 7 9 ou P(V|A) o 0,78

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

P(A e V) = 3 10 . 7 9 o 0,3 . 0,78 = 0,234

Percentualmente, essa probabilidade é de aproximadamente 23,4%.

Qual é a probabilidade de ocorrer cara e um número primo no lançamento simultâneo de uma moeda e de um dado?

Marcel Borges

Atividades

1 Um baralho comum possui 52 cartas, sendo 4 de cada número de 2 a 10, 4 valetes, 4 damas, 4 reis e 4 ases. Retira-se ao acaso uma carta. Em seguida, essa carta é reposta no baralho e, logo depois, outra carta é retirada. Qual é a probabilidade de essas cartas serem 2 valetes?

Aproximadamente 0,60%.

Resolução da atividade 3

P(1 real, 50 centavos e 25 centavos) = 40 100 30 99 20 98 40 1 617 0,0247 ou =..=o 40 100 30 99 20 98 40 1 617 0,0247 ou=..=o= 2,47%.

Resolução da atividade 4

P(1 real, 50 centavos e 25 centavos) 40 100 30 100 20 100 0, 024 ou=..== = 2,4%.

2 Uma caixa contém 10 bolas, sendo 3 verdes, 2 vermelhas e 5 azuis. Qual é a probabilidade de alguém retirar, aleatoriamente, 1 bola azul no primeiro sorteio, 1 azul no segundo e outra azul no terceiro sorteio, sem repor nenhuma das bolas já sorteadas na caixa?

Aproximadamente 8,33%.

3 Em um saco há 100 moedas, sendo 40 moedas de 1 real, 30 de 50 centavos, 20 de 25 centavos e 10 de 10 centavos. Em um sorteio aleatório, qual é a probabilidade de retirar sucessivamente e sem reposição, 1 moeda de 1 real, 1 moeda de 50 centavos e 1 moeda de 25 centavos?

Aproximadamente 2,47%.

4 Calcule a probabilidade para o experimento da atividade anterior considerando que as moedas serão repostas no saco a cada sorteio. Depois, compare os resultados e diga qual tem maior probabilidade de acontecer e por quê.

2,4%; A que tem maior probabilidade é 2,47% da atividade anterior.

5 Em um posto de saúde foram atendidas, em um só dia, 200 pessoas com suspeita de covid-19. No final do dia, obtiveram-se os seguintes resultados:

MulheresHomens

testaram positivo 45105

testaram negativo 3020

Usando uma calculadora, determine a probabilidade de ser escolhido aleatoriamente, desse grupo de 200 pessoas, 1 homem que testou positivo. 52,5%

Orientações

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Resolução da atividade 1

P(valete 1? evento) = 4 52 1 13 =

P(valete 2? evento) = 4 52 1 13 =

P(valete 1? evento e valete 2? evento) =

P(valete 1? evento e valete 2? evento) o 0,006 = 0,60%.

Resolução da atividade 2

; bola azul) =

Ao comparar as probabilidades, conclui-se que, sem a reposição das moedas no saco, a probabilidade é maior.

Resolução da atividade 5

P(1 homem teste positivo) = == 105 200 0, 525 = 52,5%

Marcel Borges

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Luis Alvarenga/Getty Images

Cartas de baralho.

Triagem em hospital de campanha.

Saco com moedas.

Orientações

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Resolução da atividade 6 Podemos calcular conforme o procedimento a seguir.

Moeda: 2 possibilidades.

Dado: 6 possibilidades.

Sendo n as possibilidades do resultado do lançamento simultâneo, temos:

n = 2 . 6 = 12.

Portanto, considerando C cara e K coroa, são 12 as possibilidades: C1, C2, C3, C4, C5, C6, K1, K2, K3, K4, K5 e K6.

Resolução da atividade 7

P ==oo 30 90 1 3 0,3333%

Resolução da atividade 8

a) P(Felipe) =oo 1 3 0,3333%

P(Mila) === 1 4 0, 2525%

b) Pelo princípio multiplicativo, temos: 4 3 = 12; 12 duplas.

c) P(Geraldo-Helena) = 1 12 o

o 0,083 = 8,3%.

Resolução da atividade 9

a) P(maior que 7) = 8 15 0, 53 o= = 53%.

b) P(par) = 7 15 0, 47 o= 47%.

c) P(primo) = 6 15 0, 4 == 40%.

6 No lançamento de um dado, há seis possibilidades de resultado com a face voltada para cima: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Já no lançamento de uma moeda, são duas as possibilidades de resultado: cara ou coroa.

Quantas e quais são as possibilidades de resultado no lançamento simultâneo desse dado e dessa moeda?

São 12 possibilidades: C1, C2, C3, C4, C5, C6, K1, K2, K3, K4, K5 e K6 (considere C: cara e K: coroa).

7 Para uma festa, foram preparadas 90 empadas: 30 de frango e 60 de palmito. Na hora de servir, elas foram misturadas e colocadas em uma mesma bandeja. Sabendo que as empadas eram idênticas, qual é a probabilidade de alguém retirar uma empada de frango?

8 Um sorteio escolherá uma dupla do 9? ano A e uma do 9? ano B para representar o 9? ano em uma comemoração. Os candidatos são:

9ano A Arnaldo Caio

a) Qual é a probabilidade de Felipe ser sorteado? E a de Mila ser sorteada?

b) Quantas duplas de representantes podem ser formadas?

c) Qual é a probabilidade de ser formada a dupla Geraldo-Helena?

33%. Aproximadamente 33%; 25%. Aproximadamente 8,3%.

9 As bolas de sinuca estão numeradas de 1 a 15. Suponha que elas foram colocadas em uma bolsa e serão feitas retiradas aleatórias e com reposição.

Assim, qual é a probabilidade de:

a) uma bola ter numeração maior que 7?

b) ser retirada uma bola com numeração par?

c) ser retirada uma bola com um número primo?

53%.

Dado hexaédrico. Moeda de 1 real.

Bolas de um jogo de sinuca.

10 Qual é a probabilidade de obtermos, no máximo, uma cara no lançamento simultâneo de 3 moedas idênticas?

11 No lançamento de dois dados, ambos com faces numeradas de 1 a 6, qual é a probabilidade de obter um número maior ou igual a 4 no primeiro dado e um número ímpar no segundo?

12 Em um cesto de frutas há 8 maçãs vermelhas e 7 verdes. Elabore duas questões envolvendo eventos dependentes e eventos independentes. Dê a um colega para responder e responda às questões que ele formulou. Depois destroquem e confiram juntos as respostas.

Orientações

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Resolução da atividade 10

P 3 8 0,37537,5%===

Resolução da atividade 11

P(maior ou igual a 4) = 3 6 1 2 =

P(par) = 3 6 1 2 =

P(maior ou igual a 4 e par) = =.=== 1 2 1 2 1 4 0, 2525%

13 Você sabe qual é seu tipo sanguíneo? Pelo sistema ABO, eles podem ser classificados em A, B, AB ou O. Por meio de um simples teste em laboratório é possível identificar o tipo sanguíneo de uma pessoa. Essa informação é muito importante em processos de transfusão de sangue, uma vez que algumas tipologias sanguíneas não são compatíveis com outras.

A classificação do sangue dos filhos tem relação direta com a dos pais, já que estes indicam a probabilidade de os filhos terem determinado tipo de sangue. Por exemplo, se os pais tiverem, respectivamente, tipos sanguíneos AB e O, é impossível que eles tenham um filho com o sangue AB ou O. Portanto, esses eventos são impossíveis, com probabilidade de ocorrência igual a zero. Pesquise como se calcula a probabilidade de ocorrência de cada tipo sanguíneo em um bebê a partir da tipologia sanguínea dos pais. Em seguida, faça as atividades abaixo.

a) Se um homem e uma mulher que possuem tipos sanguíneos, respectivamente, iguais a AB e O tiverem um filho, qual é a probabilidade de que o bebê tenha sangue tipo B?

b) Construam cartazes que conscientizem as pessoas sobre a importância da doação de sangue e colem em pontos estratégicos da escola.

Resolução da atividade 13 a) O sangue tipo AB é identificado pelas mesmas letras A e B, enquanto o sangue tipo O é recessivo e é indicado pela letra i. Assim, uma pessoa que tenha sangue O terá essa representação como ii. Fazendo um quadro com a tipologia do sangue dos pais, temos:

Um professor desenhou o seguinte quadro na lousa:

Resposta no Manual do Professor.

2

Ele disse que, nos retângulos, só devem ser escritos números naturais não nulos, e que a soma de quaisquer três números consecutivos é sempre 10. Diante disso, perguntou aos estudantes que número deveria aparecer no último retângulo à direita, e somente um deles acertou. Qual foi a resposta dada por esse estudante e como ele chegou a tal conclusão?

Portanto, o filho tem 50% de chance de ter sangue A e 50% de chance de ter sangue B. Resolução do Lógico, é Lógica! Do enunciado, se decidirmos preencher os quadrados da esquerda para a direita, teremos duas possibilidades.

7127127127

7217217217

Assim, a resposta é 7.

André Martins

Cesto com maçãs vermelhas e verdes.

Objetivos do capítulo

• Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2 e 10

Competências específicas 8

Habilidades EF09MA07 e EF09MA08

Foco nos TCTs

• Educação para o Trânsito

Orientações

Antes de propor a questão do Para começar, apresente algumas relações que exemplificam o que está sendo trabalhado, como indicado abaixo.

• A uma velocidade constante, quanto maior a distância, maior o tempo gasto para chegar ao destino.

• Quanto maior a construção a ser feita, maior o tempo gasto se não aumentarmos o número de construtores.

• Quanto maior a velocidade de um veículo, menor o tempo gasto para chegar a determinado local.

• Quanto mais construtores, menos tempo é gasto para uma construção ser feita.

Se julgar necessário, ressalte as relações que são diretamente proporcionais e as que são inversamente proporcionais; esse assunto será tratado em detalhe mais adiante neste capítulo.

A resolução do Para começar =4 402 33 ,5 1212 km/L

Proporcionalidade

Em uma viagem de São Paulo a Curitiba, um carro percorreu 402 km e consumiu 33,5 L de gasolina. Em sua opinião, qual é a razão entre a distância percorrida e a gasolina consumida? O que significa essa razão? 12 km/L. Resposta pessoal.

Razão entre duas grandezas de espécies diferentes

Razão entre grandezas de espécies diferentes é o quociente entre as medidas de cada uma delas acompanhada da notação que as envolve. Veja os exemplos a seguir.

• O coração humano bate, em média, 104 000 vezes por dia: 104 000 vezes/dia.

• O coração de um adulto bombeia, em média, 5 litros de sangue por minuto: 5 L/min.

• A gramatura de uma folha de papel sulfite é igual a 75 gramas por metro quadrado: 75 g/m2

• A densidade demográfica de uma cidade é igual a 500 habitantes por quilômetro quadrado: 500 habitantes/km2

Velocidade média

Suponha que um carro percorra um trecho de estrada entre duas cidades. Sabemos que o carro não mantém sempre a mesma velocidade durante todo o trajeto devido a diversos fatores, como subidas, descidas, ultrapassagens, semáforos, valetas, diferentes limites de velocidade etc.

Desse modo, em vez de estudar o movimento do carro em cada trecho da estrada, podemos relacionar o espaço total percorrido por ele e o intervalo de tempo decorrido nesse percurso. Essa razão é denominada velocidade média.

Como exemplo, imagine que, em uma viagem entre as cidades de São Paulo e São José dos Campos, um carro percorreu 100 quilômetros em 2 horas.

Velocidade média 100  km 2 h velocidade média 50  km/h =6=

Durante o trajeto, a velocidade do carro oscilou em torno de 50 km/h. A velocidade escalar média representa a velocidade constante que o carro deveria manter ao partir da posição inicial e chegar à posição final, gastando o mesmo tempo.

Portanto, velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la.

Velocidade média distância percorrida tempo gasto para percorrer a distância =

Essa razão é muito utilizada em placas de trânsito, notícias, esportes, entre outras situações do dia a dia.

A velocidade de um ser humano andando normalmente é cerca de 4,5 km/h. Mantendo a velocidade, qual distância, em quilômetros, uma pessoa andará em 0,5 h? 2,25 km

Orientações

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EF09MA07 e EF09MA08

Resolução do primeiro Pense e responda

Veja alguns números impressionantes.

Neste momento, estamos todos viajando em torno do Sol, a bordo de nosso planeta, a uma velocidade média de 108 000 km/h. Também giramos em volta do eixo da Terra com uma velocidade que, sobre o Equador, chega a 1 656 km/h.

Densidade demográfica

-e-tanto-numero-que-um -velocimetro-iria-pirar.htm.

Segundo dados do IBGE, a população estimada do estado do Maranhão em 2020 era de 7 114 598 habitantes, distribuídos por uma área de aproximadamente 329 642 km2

Com esses dados, podemos obter a densidade demográfica do estado do Maranhão. Veja: =o Densidade demográfica 7 114 598 329  642 21,58 habitantes km2

Isso significa que, em 2020, havia aproximadamente, em média, 22 habitantes a cada quilômetro quadrado.

Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área dessa região.

A densidade demográfica mede a concentração populacional de uma região ou país.

Estime o valor da densidade demográfica de sua sala de aula na razão do número de estudantes por metro quadrado. Resposta pessoal.

Se em 1 hora ando uma distância d, em meia hora ando a distância d 2 . Portanto, a resposta é metade de 4,5 km, ou seja, 2,25 km. Para a realização da atividade do segundo Pense e responda é necessário que os estudantes saibam a medida da área da sala de aula; por isso, sugerimos a você que faça a medição com eles.

ixpert/shutterstock.com

Fonte: JOKURA, Tiago. Qual a velocidade da Terra? [...]. Uol, São Paulo, 23 jul. 2020. Tilt. Disponível em: https:// www.uol.com.br/tilt/colunas/ pergunta-pro-jokura/2020/07/20/ qual-e-a-velocidade-da-terra

Acesso em 28 abr. 2022.

Imagem fora de proporção em cores-fantasia.

Globo terrestre.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA07 e EF09MA08

Resolução da atividade 1

a) V = 160 2 8080 km/h m =4

b)

V 805 3, 5 230230 km/h m ==4

Resolução da atividade 2

V 100 9, 81 10,210,2m/s m ==4

Resolução da atividade 3

V 45 0, 5 9090 km/h m ==4

Resolução da atividade 4

a)

d 80 10 8  8  g/cm3 ==4

b)

Resolução da atividade 5

Ceará:

d 200 500 0, 4  0, 4  g/cm3 ==4 =o4

4

d 9 240580 148894,447  62,1  62 ,1 hab /km. 2

Santa Catarina:

d 7 338473 95730,690 76 ,7 76 ,7  hab/km. 2

Minas Gerais:

d 21411923 586513,983 36 ,5 36 ,5  hab/km. 2

=o4 4

Piauí:

d 3 289290 251755,481 13 ,1 13 ,1 hab/km. 2

=o4

4

Resolução da atividade 6

A =  240000 600 400400 km 2

=4

1 Calcule a velocidade média de um: a) automóvel que percorre 160 km em 2 horas; b) trem que percorre 805 km em 3,5 horas.

5 Observe a tabela a seguir.

80 km/h

230 km/h

2 Na prova de 100 metros rasos, nos Jogos Olímpicos do Rio de Janeiro, em 2016, Usain Bolt completou a corrida em 9,81 segundos. Qual foi a velocidade média, em metros por segundo, de Usain Bolt nessa corrida?

Aproximadamente 10,2 m/s.

3 Ao passar pelo marco “km 200” de uma estrada, um motorista vê um anúncio com a seguinte inscrição:

População estimada em 2021

EstadoÁrea (km2) População (hab.)

Ceará148 894,4479 240 580

Santa Catarina95 730,6907 338 473

Minas Gerais586 513,98321 411 923

Piauí251 755,4813 289 290

Fonte: IBGE. Cidades. Rio de Janeiro: IBGE, [2021]. Disponível em: https://cidades.ibge.gov.br/. Acesso em: 9 jun. 2022.

Calcule a densidade demográfica aproximada, em 2020, de cada um desses estados.

6 Um município com 240 mil habitantes tem densidade demográfica de 600 habitantes por quilômetro quadrado. Qual é a medida da área desse município?

7 Estime quantas pessoas cabem, em pé, no máximo, em uma superfície plana cuja área mede 1 m2

Resposta pessoal.

Considerando que esse posto de serviços se encontra junto ao marco “km 245” da estrada, que velocidade média, em quilômetros por hora, esse anunciante prevê para que os carros que trafegam nesse trecho cheguem ao posto de serviços? (Lembre-se: 30min correspondem a 0,5h.)

8 Uma peça maciça é formada de ouro com densidade 20 g/cm3. Sabendo que a medida do volume da peça é 625 cm3 , qual é sua massa?

4 A densidade de um corpo de massa m e volume V é definida pela razão:

= m V Densidade

Determine a densidade de um corpo:

a) A, de 80 g de massa e volume de 10 cm3;

b) B, de 200 g de massa e volume de 500 cm3

V m = 90 km/h. 8 g/cm³ 0,4 g/cm³

Resolução da atividade 7

Resposta pessoal. A estimativa aceita é que cabem de 4 a 9 pessoas, considerando o tamanho das pessoas.

Resolução da atividade 8

=.=4= m 206251250012500 g12,5  kg.

Resolução da atividade 9

Exemplo:

• Qual é a densidade demográfica da nossa sala de aula?

Os estudantes deverão dividir o número total de estudantes pela área, em metros quadrados, da sala de aula.

9 Com o auxílio de uma fita métrica ou trena, meça o comprimento e a largura de sua sala, e elabore um problema que envolva densidade demográfica e entregue para um colega resolver. Não esqueça de conferir se a resposta está correta.

m = 12 500 g = 12,5 kg. Resposta pessoal.

10 O índice de massa corporal (IMC) de um ser humano é o quociente entre a massa corporal (em quilograma) e o produto da altura (em metro) por ela mesma, conforme a relação a seguir.

IMC massa corporal altura     altura = Sabendo que o IMC de Nelson é 24 e sua altura é 1,70 m, calcule a massa corporal dele, em quilogramas.

m = 69,36 kg.

Resolução da atividade 10

massa corporal 24 1,7069 ,3669, 36  kg. 2

() =.=4

Respostas no Manual do Professor.

400 km2

Marcel Borges

[...]

De acordo com estudos realizados pelo órgão norte-americano Insurance Institute for Highway Safety nos últimos 20 anos, os aumentos de velocidade custaram cerca de 33 mil vidas em acidentes. Chegando a conclusão que a cada aumento de 8 km/h, cresce-se 4% o número de mortes, se o mesmo cálculo for aplicado apenas para rodovias o número sobe para 8%.

[...]

As lesões mais comuns em pacientes acidentados por excesso de velocidade são fraturas de extremidades, com destaque para a fratura tibial, fraturas de bacia e traumatismos cranioencefálicos.

[...]

Estudos da Organização Pan-Americana da Saúde (OPAS), Organização Mundial da Saúde (OMS) e do NewYork City Department OfTransportation apontam que quando um pedestre é atropelado a 60km/h a chance de ser fatal é de 98% enquanto se o acidente ocorrer a 40km/h essa porcentagem cai para 35%. Em resumo, uma redução de apenas 5% na velocidade média pode significar 30% menos acidentes fatais. [...] reduzir pela metade o número de veículos dirigindo acima do limite de velocidade é o sexto item do pacote de metas definidas pela ONU para melhorar a segurança viária mundial e deve ser atingido até 2030.

RODRIGUES, Yasmin. Pesquisas apontam velocidade como principal causa de mortes no trânsito em todo o mundo. In: UNIFOR. Observatório de segurança viária de Fortaleza. Fortaleza, [20--]. Disponível em: https://unifor.br/web/osv/pesquisas-apontam-velocidade-como-principal-causa-de -mortes-no-transito-em-todo-o-mundo. Acesso em: 7 jun. 2022.

1 Se a velocidade aumentar 16km/h, qual será o percentual do número de mortes?

2 A chance de o atropelamento de um pedestre ser fatal é diretamente proporcional ao aumento da velocidade do veículo? Justifique com base no texto.

Não, pois a 60 km/h a chance de ser fatal é de 98%, e a 40 km/h cai para 35%.

3 Conversem sobre a questão de segurança no trânsito e que medidas podem ser tomadas para reduzir os acidentes, além da redução da velocidade.

Resposta pessoal.

Orientações

Visando trabalhar as competências socioemocionais, aproveite o conteúdo de Matemática Interligada para perguntar aos estudantes se eles conhecem as leis de trânsito; em caso afirmativo, pergunte quais são elas. Tente ressaltar aspectos de boas condutas tanto para motoristas quanto para passageiros e pedestres.

Essa discussão oportuniza o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal: Educação para o Trânsito e favorece o desenvolvimento da competência específica 8 e da competência geral 10 Resolução da atividade 1 Seja x o percentual do número de mortes.

8x = 16 . 0,04 x = 0,08 = 8%

Resolução da atividade 2 Não, pois para serem grandezas diretamente proporcionais, se uma delas diminuir o seu valor, a outra diminuirá também, na mesma proporção. Então, se a 60 km/h a chance de ser fatal é de 98%, e a 40 km/h diminuir para 35%, não diminui na mesma proporção. Resolução da atividade 3 Sugestão de algumas medidas:

• Respeitar os limites de velocidade e à sinalização.

• Manter distância segura do veículo à frente.

• Usar cinto de segurança.

• Não usar celular se estiver ao volante.

• O condutor deve estar em boas condições físicas e psicológicas. O sono e o consumo de álcool e drogas diminuem o reflexo e afetam a coordenação motora, causando risco de acidente.

Pesquisas apontam velocidade como principal causa de mortes no trânsito em todo o mundo

Viaduto Jaceguai, Bela Vista. São Paulo (SP), 2020.

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EF09MA07 e EF09MA08

Antes de apresentar a situação aos estudantes, retome os conceitos de divisão em partes iguais. Na sequência, evidencie que a divisão, agora, deverá ser proporcional; para isso, você pode fazer uma analogia com o termo justo. Um exemplo de aplicação desse termo: se um funcionário trabalhou mais do que o outro, é justo que ele receba uma maior quantia de dinheiro do que um funcionário que trabalhou menos.

Resolução de Pense e responda

x + 2x = 1 200 6 3x = 1 200

x = 400 4 R$ 400,00

Portanto, um funcionário recebeu R$ 400,00 e o outro R$ 800,00.

Divisão em partes diretamente e inversamente proporcionais

Acompanhe as situações a seguir.

• Sílvia decidiu gratificar, com R$ 1.200,00, dois funcionários de sua empresa, um que trabalha há 5 anos, e o outro, há 3 anos, dividindo a quantia em partes diretamente proporcionais aos anos de serviço de cada um. Quantos reais cada funcionário recebeu?

Como o prêmio foi dividido em partes diretamente proporcionais ao tempo de trabalho, temos:

Zivica Kerkez/iStockphoto.com

Reunião entre funcionários de uma empresa.

• o primeiro funcionário trabalha há 5 anos, sua parte x é diretamente proporcional a 5;

• o segundo funcionário trabalha há 3 anos, sua parte y é diretamente proporcional a 3. Organizando esses dados, obtemos:

1? funcionário 2? funcionário parte x y tempo de trabalho (em anos) 5 3

Como as grandezas são diretamente proporcionais, as razões entre a parte recebida e o tempo de trabalho são iguais. Para encontrar o resultado, podemos resolver essa situação de dois modos.

1? modo

• Como a quantia total é de R$ 1.200,00 e deve ser distribuída proporcionalmente a 5 e 3, podemos escrever as equações: = xy 53 (I) e x + y = 1 200 (II).

Assim, obtemos o seguinte sistema pelas equações I e II: =

Aplicando a propriedade das proporções na primeira equação e isolando uma das incógnitas, vem:

Substituindo y na segunda equação, temos: x + y = 1 200 6 x + 3x 5 = 1 200 6 x = 750

Substituindo x por 750 na equação III, obtemos: 3 5 3 750 5 450 y x yy=6= . 6=

Portanto, o funcionário que trabalha há mais tempo recebeu R$ 750,00, e o outro, R$ 450,00.





xy 53

Em que k é a constante de proporcionalidade. De (I) vêm as igualdades: x = 5k e y = 3k.

Substituindo em (II), vem: x + y = 5k + 3k 6 x + y = 8k

Substituindo em (II), temos:

x

Portanto, o funcionário que trabalha há mais tempo recebeu R$ 750,00, e o outro, R$ 450,00.

Orientações

Vamos estudar mais essa situação.

• A escola em que Maria estuda promoveu um concurso de redação para os estudantes. Um prêmio de R$ 1.040,00 foi distribuído entre os dois primeiros colocados. Dos estudantes classificados, o primeiro cometeu dois erros de ortografia e, o segundo, três.

Quantos reais cada estudante recebeu se as partes são inversamente proporcionais ao número de erros?

Vamos indicar por a e b cada parte do prêmio.

Parte do prêmio ab Número de erros 23

Como as grandezas são inversamente proporcionais, os produtos da parte recebida pelo número de erros são iguais.

• 2a = 3b (I) e a + b = 1 040 (II)

• Sistema obtido pelas equações I e II: = +=      ab ab 23 1 040

Isolando a incógnita a na equação (II) e substituindo na equação (I), temos:

a + b = 1 040 6 a = 1 040 - b (III)

2a = 3b 6 2 . (1 040 - b) = 3b 6 2 080 - 2b = 3b 6 2 080 = 5b 6 b = 416

Substituindo b por 416 na equação III, obtemos:

a = 1 040 - b = 1 040 - 416 = 624

Logo, o primeiro colocado recebeu R$ 624,00 e, o segundo, R$ 416,00.

• Agora, divida o número 990 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4. Chamando as partes de x, y e z, temos:

Orientações

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EF09MA07 e EF09MA08

Nesse momento, explore outras proporções, como 3, 5 e 7, e acompanhe os estudantes. Observe se compreenderam o que foi apresentado. Se necessário, retome antes de prosseguir.

Estudantes participando de uma avaliação.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA07 e EF09MA08

Resolução da atividade 1

a) 70 5 = 14

A parte proporcional a 2 será:

2 . 14 = 28.

A parte proporcional a 3 será:

3 14 = 42.

b) O cálculo para a divisão inversamente proporcional deve ser feito utilizando um sistema de equações: a + b = 70 e 2a = 3b

ab ab ab ab 70 23 22 140 23 0

5b = 140 6 b = 28.

2a = 3 . 28 6 a = 42.

Resolução da atividade 2 160

2 = 2.

Turma A:

30 2 = 60 4 60 ingressos

Turma B: 50   2 = 100 4 100 ingressos.

Resolução da atividade 3

3 300 11 = 300 4 300 reais/hora.

Gláucia:

7 300 = 2 100 4 2 100 reais.

Vanessa:

4 300 = 1 200 4 1 200 reais.

Resolução da atividade 4

A quantidade de água despejada pelas duas torneiras: 24 litros/min.

1 200 24 = 50 4 50 min

10   50 = 500 4 500 L.

14 . 50 = 700 4 700 L.

Resolução da atividade 5

3 + 5 = 8

4 800 : 8 = 600 4 R$ 600,00

3 . 600 = 1 800 4 R$ 1.800,00

5 600 = 3 000 4 R$ 3.000,00

3 000 - 1 800 = 1 200 4

4 R$ 1.200,00

Alternativa d

Resolução da atividade 6

2 000

5 = 400 4 R$ 400,00/falta

400 2 = 800 4 R$ 800,00

400 3 = 1 200 4 R$ 1.200,00

Resolução da atividade 7

4 + 5 = 9

450 + 198 = 648 4 R$ 648,00

648 : 9 = 72 4 R$ 72,00/pessoa

4 . 72 = 288 4 R$ 288,00

5 72 = 360 4 R$ 360,00

Logo, a família maior deve pagar

R$ 360,00, e a menor R$ 288,00.

1 Divida o número 70 em partes:

a) diretamente proporcionais a 2 e 3.

b) inversamente proporcionais a 2 e 3.

28 e 42

42 e 28

2 Uma escola recebeu, por cortesia, 160 ingressos de um parque aquático. Decidiu oferecê-los aos estudantes de suas duas classes do 8? ano, turmas A e B, na proporção direta à quantidade de estudantes de cada turma, respectivamente, 30 e 50 estudantes. Quantos ingressos recebeu cada classe?

A turma A recebeu 60 ingressos, e a turma B, 100.

3 Gláucia e Vanessa vendem produtos naturais e, em certo mês, lucraram R$ 3.300,00. Nesse mês, cada uma dedicou tempos diferentes às vendas: Gláucia trabalhou 7 horas diárias, e Vanessa, 4 horas. Se Gláucia trabalhou mais horas, ela deve receber uma parte maior do lucro. Então, quanto cada uma deve receber se o lucro for dividido em partes diretamente proporcionais ao respectivo tempo dedicado às vendas?

Gláucia receberá R$ 2.100,00, e Vanessa, R$ 1.200,00.

4 Uma caixa-d’água com capacidade de 1 200 litros foi completamente cheia por duas torneiras: uma despejando 10 litros de água por minuto, e outra, 14 litros por minuto. Quantos litros de água a caixa-d’água recebeu de cada torneira?

500 litros da torneira mais lenta e 700 litros da torneira mais rápida Alternativa d

5 (FGV-SP) Duas áreas A e B de uma prefeitura apresentam orçamentos de gastos para 2018 de 3 milhões e 5 milhões de reais, respectivamente. A prefeitura dispõe apenas de 4,8 milhões destinados às duas áreas no total. Se a prefeitura atender a um mesmo percentual para cada área em relação às demandas solicitadas, a diferença (expressa em milhões de reais) entre o maior e o menor valor será:

a) 1,3.

b) 1,1.

c) 1,0.

d) 1,2.

e) 1,5.

6 Um prêmio de R$ 2.000,00 foi distribuído a dois participantes de um jogo de futebol de salão de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por eles. Quantos reais coube a cada um se as faltas foram 2 e 3?

R$ 1.200,00 e R$ 800,00, respectivamente.

7 Duas famílias, uma de 5 pessoas e outra de 4 pessoas, fizeram um churrasco e combinaram de dividir as despesas de acordo com a quantidade de pessoas de cada uma. A família de 4 pessoas gastou R$ 450,00, e a outra, R$ 198,00, razão pela qual precisaram fazer um acerto de contas. Explique como deve ser feito esse acerto.

Resposta no Manual do Professor.

8 As medidas dos ângulos internos de um triângulo são diretamente proporcionais aos números 2, 4 e 6. Determine a medida dos ângulos internos desse triângulo.

Os ângulos são: 30o, 60o e 90o

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o

Portanto, a família de 5 pessoas deve pagar R$ 162,00 para a família de 4 pessoas, pois: 360,00 - 198,00 = 162,00 4 R$162,00.

Resolução da atividade 8

2 + 4 + 6 = 12 180 12 = 15 4 15‘

2 15 = 30 4 30‘

4 15 = 60 4 60‘

6 15 = 90 4 90‘

9 (ENEM) Para chegar à universidade, um estudante utiliza um metrô e, depois, tem duas opções:

• seguir em um ônibus, percorrendo 2,0 km;

• alugar uma bicicleta, ao lado da estação do metrô, seguindo 3,0 km pela ciclovia.

O quadro fornece as velocidades médias do ônibus e da bicicleta, em km/h, no trajeto metrô-universidade.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA07 e EF09MA08 Resolução da atividade 9 Segunda-feira:

• de ônibus:

2 9 o 0,22

0,22 . 60 = 13,2 4 13,2 min.

• de bicicleta:

3

A fim de poupar tempo no deslocamento para a universidade, em quais dias o aluno deve seguir pela ciclovia?

Alternativa c

a) Às segundas, quintas e sextas-feiras.

b) Às terças e quintas-feiras, e aos sábados.

c) Às segundas, quartas e sextas-feiras.

d) Às terças, quartas e sextas-feiras.

e) Às terças e quartas-feiras, e aos sábados.

10 O queniano Eliud Kipchoge bateu o recorde mundial de maratona. Ele percorreu os 42 195 metros da prova em Berlim, em 2018, no tempo de 2h01min39s.

0 km

14mi24s

Em maratonistas predominam as fibras musculares de contração lenta, vermelhas, resistentes à fadiga e próprias para esportes aeróbicos e de longa duração

Acesso em: 16 mar. 2022.

Elabore perguntas com base nos dados desse enunciado e troque-as com um colega para ele responder. Depois, desfaça a troca para conferir as respostas.

Resposta pessoal.

11 Segundo o IBGE, a população estimada do município de Guarapuava, no estado do Paraná, para o ano de 2021 foi de 183 755 habitantes e uma densidade demográfica de 53,68 habitantes por quilômetro quadrado. De acordo com esses dados, calcule a medida da área de Guarapuava.

Aproximadamente 3 423,16 km².

Fonte: IBGE. Guarapuava. In: IBGE. Cidades. Rio de Janeiro: IBGE, [2021]. Disponível em: https://cidades.ibge.gov.br/brasil/pr/guarapuava/panorama. Acesso em: 7 jun. 2022.

15 = 0,2

0,2 60 = 12 4 12 min. Fazendo os cálculos de todos os dias, de acordo com os dados da tabela, conclui-se que ele deve ir pela ciclovia às segundas, quartas e sextas-feiras.

Alternativa c Resolução da atividade 10

Sugestões:

• Qual foi a velocidade média em todo o percurso? (20,71 km/h)

• Qual foi o tempo gasto no trecho entre 0 e 5 km? (14min24s)

Resolução

atividade 11 53

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA07 e EF09MA08

Resolução da atividade 12

V = 5 20 = 100 4 100 cm3

==4 d 600 100 6 6 g/cm3

Resolução da atividade 13

1 800 18 = 100 4 100,00 reais/ponto.

Primeiro colocado

100   10 = 1 000 4 R$ 1.000,00.

Segundo colocado

100 . 8 = 800,00 4 R$ 800,00.

Resolução da atividade 14

5 000 : 40 = 125 4 R$ 125,00/dia

Casal A:

125 10 = 1 250 4 R$ 1.250,00

Casal B:

125 16 = 2 000 4 R$ 2.000,00

Casal C:

125 14 = 1 750 4 R$ 1.750,00

Resolução da atividade 15

a) Considerando as dimensões como a, b, c, temos:

=== = abck abc 346 81

Substituindo os termos da 1; equação na 2;, temos: kkkkk

34 6 81

5 83218. 3 ..=6=6=

b) Substituindo o valor de k nas igualdades da 1; equação, temos:

3a = 18 6 a = 6

4b = 18 6 b = 4,5

6c = 18 6 c = 3

c) O bloco retangular contém 6 retângulos, sendo 2 de cada medida ab, ac e bc, portanto, podemos

escrever:

A = 2ab + 2bc + 2ac =

= 2(6 . 4,5 + 4,5 . 3 + 6 . 3) =

= 2 . 58,5 = 117

A = 117 4 117 cm2

Resolução da atividade 16

200 000 + 220 000 + 230 000 =

650 000.

130000

650000 = 0,2.

Antônio: 200 000 . 0,2 = 40 000.

Bento: 220 000 . 0,2 = 44 000.

Carlos: 230 000 . 0,2 = 46 000.

Alternativa b

12 Um objeto com o formato de um cilindro tem 5 cm2 como área da base e 20 cm de altura, e sua massa é igual a 600 gramas. Qual é a densidade desse objeto?

A densidade do objeto é de 6 g/cm3

13 Um prêmio de R$ 1.800,00 foi oferecido em um concurso para a escolha das melhores fotos das belezas da cidade do Rio de Janeiro. O prêmio foi dividido entre os dois primeiros colocados, em partes diretamente proporcionais aos pontos obtidos. Sabendo que o primeiro colocado obteve 10 pontos, e o segundo, 8, quantos reais cada um recebeu?

O primeiro colocado recebeu R$ 1.000,00, e o segundo, R$ 800,00.

14 Três casais, A, B e C, alugaram uma casa de praia por R$ 5.000,00 para uma temporada de 20 dias. A divisão do aluguel será diretamente proporcional à quantidade de dias que cada casal ficará na casa. Sabendo-se que o casal A ficará 10 dias; o casal B, 16 dias; e o casal C, 14 dias, quantos reais pagará cada casal?

O casal A pagará R$ 1.250,00; o casal B, R$ 2.000,00 e o casal C, R$ 1.750,00.

15 As dimensões de um paralelepípedo retângulo são inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 6. Sabendo que o volume desse paralelepípedo é 81 cm3, determine:

a) o valor da constante de proporcionalidade;

b) a medida de cada uma das dimensões do paralelepípedo;

18 a = 6, b = 4,5 e c = 3.

c) a medida da área total do paralelepípedo.

117 cm2

16 (UEPI) Três irmãos, Antônio, Bento e Carlos, se juntaram para montar um negócio. Antônio entrou com R$ 200.000,00, Bento com R$ 220.000,00 e Carlos com R$ 230.000,00. O negócio prosperou e após um ano tiveram um lucro de R$ 130.000,00. Sabendo que esse lucro deve ser dividido proporcionalmente ao capital investido, quanto Bento vai receber de lucro?

Alternativa b

a) R$ 40.000,00

b) R$ 44.000,00

c) R$ 46.000,00

d) R$ 48.000,00

e) R$ 50.000,00

(UNIT-SE) Dois irmãos, C e M, formaram uma sociedade. C entrou com R$ 9.000,00, e M, com R$ 5.000,00, e, depois de certo tempo, obtiveram um lucro de R$ 3.500,00, que deverá ser repartido proporcionalmente ao valor empregado. Sendo assim, tem-se que:

Alternativa b

a) C recebeu R$ 2.500,00.

b) M recebeu R$ 1.250,00.

c) C ficou com a menor parte.

d) M ficou com a maior parte.

e) Cada um recebeu R$ 1.750,00.

Resolução do Lógico, é lógica!

O total empregado foi de 9 000 + 5 000 = 14 000. Assim, vamos considerar que existem 14 000 par tes. Fazendo a divisão do lucro: 3 500 : 14 000 = 0,25.

Então, C irá receber 9 000 0,25 = 2 250 e M irá receber

5 000 . 0,25 = 1 250 4 R$ 1.250,00.

Alternativa b

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 2

Considere que o vazamento de uma torneira enche um copo de 250 mL a cada hora. Então, quanto mais tardar o conserto, maior será o desperdício de água.

Objetivos do capítulo

• Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagem.

• Compreender a aplicação de percentuais sucessivos e determinação de taxas percentuais.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2, 3, 4 e 9

Competências específicas 2, 3, 6 e 8

Habilidades EF09MA05

Foco nos TCTs

• Educação Financeira

Orientações

Se o vazamento não for consertado e, sabendo-se que 250 mL = 0,25 L, em quanto tempo será desperdiçado 1 L de água? E 10 L de água? 4 horas; 40 horas

Regra de três simples

Já estudamos problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, nos quais são conhecidos três dos quatro valores da proporção que as relacionam. Em problemas desse tipo, para determinar o quarto valor da proporção, é necessário resolver uma regra de três simples

Da situação do vazamento de água, quantas horas levará para um desperdício de 18 L de água?

Como, a cada 1 hora, ocorre o vazamento de 250 mL de água, em 2 horas, a quantidade de água desperdiçada vai dobrar; em 3 horas, vai triplicar, e assim por diante.

Logo, o volume de água desperdiçado é diretamente proporcional ao tempo.

Volume (L)Tempo (h)

0,25 1

Podemos, então, montar um quadro que relaciona essas duas grandezas e, assim, encontrar o valor desejado. = x 0,25 18 1 6 0,25x = 18 6 x = 72

18 x

Portanto, 18 litros de água serão desperdiçados em 72 horas.

Em Para começar, os estudantes deverão utilizar o mesmo raciocínio visto no capítulo anterior. Aproveite para esclarecer possíveis dúvidas, assim como levantar um debate sobre o desperdício de água e a importância de estar atento a vazamentos. A resolução para a questão proposta no boxe é que em 4 horas será desperdiçado 1 L de água, portanto, 10 L serão desperdiçados em 40 horas. Após apresentar os exemplos, pergunte aos estudantes se eles notaram semelhanças entre esse método e os métodos apresentados nos capítulos anteriores. A comparação os ajudará a criar estratégias e árvores lógicas, construindo conhecimento da maneira que considerarem mais fácil.

Chalermchai Chamnanyon/Shutterstock.com

Torneira vazando.

Orientações

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Resolução de Pense e responda

30 5 = 150 4 150 min = 2 h 30 min

Após a apresentação da regra de três simples e da regra de três composta, é necessário que os estudantes observem, com base em situações hipotéticas, qual delas deverão usar. Portanto, peça que apresentem situações e solicite que decidam se usariam esse conceito.

Vamos analisar mais uma situação.

Uma empresa compra matéria-prima para a fabricação de 650 produtos a cada 36 dias. Se forem produzidos 200 produtos a menos, qual será o novo intervalo para a empresa comprar matéria-prima?

Note que, ao reduzir a quantidade de produtos a serem fabricados, mantendo a quantidade de matéria-prima comprada, o estoque de matéria-prima durará mais dias, ou seja, a quantidade de produtos a serem fabricados diminuirá; com isso, o estoque levará mais tempo para terminar. Isso significa que essas grandezas são inversamente proporcionais, logo, o produto de seus valores é constante.

Portanto, essa empresa precisará comprar matéria-prima a cada 52 dias.

João costuma dizer que, quanto mais exercícios de Matemática ele faz, mais ele aprende. Geralmente ele gasta, em média, 5 minutos para responder cada exercício de Álgebra. Quanto tempo ele levará para responder 30 questões de Álgebra? 150 minutos ou 2 horas e 30 minutos

Regra de três composta

Problemas que relacionam mais de duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos usando a regra de três composta

Para isso, é conveniente montar um quadro em que sejam indicadas as situações e as respectivas grandezas envolvidas. Observe:

SituaçãoGrandeza A Grandeza B Grandeza N

1 A1 B1 N1

2 A2 B2 N2

Se conhecermos os valores das grandezas A e B em ambas as situações, e o valor da grandeza N em apenas uma das situações – por exemplo, N1 –, podemos encontrar o valor da grandeza N2. Veja como calcular quando as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais a N

Diretamente proporcionais à grandeza N Inversamente proporcionais à grandeza N

Acompanhe a situação a seguir e veja um exemplo de aplicação da regra de três composta de grandezas inversamente proporcionais.

O encarregado de uma obra quer encher um reservatório usando duas torneiras. Juntas, elas liberam 3 600 L de água em 5 horas. Em quantas horas 6 torneiras juntas, com a mesma vazão das anteriores, liberarão 5 400 L de água?

Orientações

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EF09MA05

Comente com os estudantes sobre a importância de economizar água potável, tomar banhos rápidos, não deixar a torneira aberta ao escovar os dentes ou lavar a louça etc.

Em Pense e responda, deixe que eles conversem e deem exemplos de aplicação das grandezas. Algumas sugestões são as compras de produtos unitários ou abastecer o carro com combustível, que são exemplos de grandezas diretamente proporcionais. Para as grandezas inversamente proporcionais, pode-se sugerir a velocidade no deslocamento: quanto maior é a velocidade, menor é o tempo consumido no trajeto.

Primeiro, vamos organizar as informações em um quadro.

A: número de torneiras B: volume (L) N: tempo (h)

2 3 600 5

6 5 400 x

Observe que o número x procurado depende de outras duas grandezas: volume (B) e número de torneiras (A). Então, relacionamos a grandeza tempo (N) às outras duas.

• A grandeza A é inversamente proporcional à grandeza N, pois aumentando-se o número de torneiras, diminui-se o tempo para encher o reservatório, mantendo o mesmo volume.

• Para liberar 3 600 litros, são necessárias 5 horas, e para liberar 5 400 litros, são necessárias mais horas. As Grandezas B e N são diretamente proporcionais.

Portanto, as 6 torneiras juntas levarão 2,5h para liberar 5 400 L de água.

Dê um exemplo do seu dia a dia de grandezas diretamente proporcionais e de grandezas inversamente proporcionais. Resposta pessoal.

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Resolução da atividade 1

Vamos estudar mais uma situação.

Doze operários, trabalhando 8 horas por dia, fazem 20 metros de um muro em 10 dias. Quantas horas por dia 16 operários devem trabalhar, nas mesmas condições, para concluir, em 6 dias, 13 metros do mesmo muro?

Vamos organizar as informações em um quadro.

=6= = x x x

5 62 ,5 1862 ,5 18 5 225 x = 225 4 R$ 225,00.

Atividades

Número de operários Tempo (hora/dia) Comprimento do muro (m) Número de dias

12 8 20 10

16 y 13 6

• Mantendo constantes o comprimento do muro e o número de dias: se 12 operários levam 8 horas por dia para fazer o muro, 16 operários levarão menos horas por dia. Logo, essas grandezas são inversamente proporcionais.

• Mantendo constantes o número de operários e o número de dias: se, trabalhando 8 horas por dia, 12 operários fazem 20 metros de muro, para fazer 13 metros de muro esses mesmos operários gastarão menos horas por dia. Logo, essas grandezas são diretamente proporcionais.

• Mantendo constantes o número de operários e o comprimento do muro: se, trabalhando 8 horas por dia, 12 operários levam 10 dias para fazer o muro, para fazê-lo em 6 dias deverão trabalhar mais horas por dia. Logo, essas grandezas são inversamente proporcionais.

Assim, temos:

y 8 = 16 12 20 13 6 10 6 y 8 = 16 2 2 13 1 1 6

6 16y = 8 . 13 6 y = 81 3 16 6 y = 6,5

Portanto, os operários devem trabalhar 6 horas e 30 minutos por dia. Hanohiki/Shutterstock.com

1 Se 5 metros de um tecido custam R$ 62,50, quanto custarão 18 metros desse tecido? R$ 225,00.

Rolos de tecidos expostos em uma loja.

2 Carol vai ao trabalho com o próprio veículo. De casa ao trabalho, ela demora duas horas, com velocidade média de 60 km/h. Se ela mantivesse uma velocidade média de 80 km/h, quanto tempo levaria para fazer o mesmo percurso?

1h30min

3 Um carro, com velocidade de 90 km/h, percorre a distância de 21 km em 14min. Qual será a velocidade necessária para esse carro percorrer a distância de 52 km em 1h15min?

41,6 km/h

4 (OMM-PR) Maria tirou uma foto de seu irmão, João, de pé ao lado de uma árvore. Depois de revelar a foto, ela mediu a imagem com uma régua e viu que o tamanho de João na imagem era de 5 cm e da árvore era 12 cm. Sabendo que a altura real de João é 1,70 metros, qual é a altura real da árvore?

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA05

Resolução da atividade 2

⋅= xx26080 120 80 1, 5h 1h 30 min

6= =

Resolução da atividade 3

5 Em uma empresa, cinco impressoras multifuncionais de mesmo rendimento imprimem certo número de cópias em 8 horas de funcionamento. Se duas delas quebrarem, em quanto tempo as máquinas restantes farão o mesmo serviço?

4,08 m 13h20min

A velocidade média é a razão entre a distância e o tempo. Mas antes é necessário ajustar o tempo dado, sendo que 1h15min = 1 hora e 1 4 de hora, portanto, 1,25h.

V 52 1, 25 41,6 41,6  km/ h ==4

Resolução da atividade 4

Vamos montar uma regra de três: x 5 12 1, 70 =6 5x = 12 1,70

x = 4,08 4 4,08 m.

Resolução da atividade 5

ImpressorasHoras 5 8 3 x

5 8 = 3 x 6 x o 13,33 4 4 13,33 h = 13 h 20 min

6 A roda de um moinho dá 120 voltas em 15 minutos. Quantas voltas essa roda dará em 1h30min?

Resolução da atividade 6

720 voltas 1 920 kg

7 Para fazer uma viagem de 45 dias, 25 pessoas precisam de 900 kg de mantimentos. De quantos quilogramas de mantimentos precisariam 40 pessoas para viajar durante 60 dias?

VoltasMinutos 15 120

90 x

15x = 120 . 90 6 x = 720 4

4 720 voltas

Resolução da atividade 7

DiasPessoasMantimentos (kg)

4525900

6040 x Nesse caso, as grandezas são diretamente proporcionais. Logo: =. =. =.. =4

x x x x

90025 40 45 60 900 5 8 3 4 6084 1 920 1 920 kg

Serão necessários 1 920 kg de mantimentos para atender às condições do problema.

Amigos viajando.

Funcionária usando impressora multifuncional.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA05

Resolução da atividade 8

8 Uma pessoa que digita 80 caracteres por minuto e trabalha 6 horas por dia conclui certo trabalho em 15 dias. Quantos dias outra pessoa levará para fazer o mesmo trabalho, se ela digita 60 caracteres por minuto e trabalha 5 horas por dia? 24 dias

=6=

xx

15 5 6 60 80 1510 16

x x x

15 5 8 5 120 2424 dias

=6= =4

Resolução da atividade 9

Em relação à grandeza horas/dia, a grandeza massa é diretamente proporcional e a grandeza dias é inversamente proporcional. Logo:

=6=6= xxx 875 63 7 9 825 21 7 9 825 3 1 9

=6= x 825 21 7 9 825 3 1 9 6 25x = 216

x = 8,64 4 8,64 4 8,64 h

8,64 - 8 = 0,64 4 0,64 h o 38 min

Resolução da atividade 10

As grandezas são todas diretamente proporcionais entre si, então:

x 1200 2 700 150 300 480 .=

x = 40 27 2 = 2 160

x = 2 160 4 R$ 2.160,00.

Resolução da atividade 11 Horas Área

9 Uma fábrica, funcionando 8 horas por dia, produz 75 toneladas de certo produto em 9 dias. Em quanto tempo deve ser prorrogado o trabalho diário para que a mesma fábrica produza 63 toneladas do mesmo produto em 7 dias?

10 Uma transportadora cobra R $ 480,00 para levar 1 200 kg de carga a uma cidade que fica a 150 km de distância. Quanto custará o transporte de 2 700 kg de carga a uma cidade cuja distância é o dobro da anterior?

38 minutos R$ 2.160,00.

11 Uma pessoa gasta 3 horas para plantar grama em um jardim circular de 5 metros de raio. Mantendo a mesma eficiência, quantas horas ela gastaria para gramar um jardim circular de 15 metros de raio? 27 horas

Colaborador trabalhando em um computador.

Colaborador realizando um entrega.

Dominó

Vamos jogar “dominó”? Nesse jogo, reforçamos os conceitos de porcentagem e taxa percentual. Para começar, junte-se a dois colegas e leiam as instruções a seguir.

Material

• papel e caneta para anotações;

• régua, tesoura com pontas arredondadas e cartolina (ou outro tipo de papel mais firme);

• 28 peças como as apresentadas abaixo, que devem ser confeccionadas conforme orientação do professor.

Orientações

A confecção do jogo e o trabalho em grupo são atividades importantes para o desenvolvimento das competências gerais 2, 3, 4 e 9 e das competências específicas 2, 3 e 8

Como jogar

• Confeccionem as peças de acordo com os modelos que o professor vai mostrar.

• Embaralhem as peças sobre a mesa, deixando as faces com números e/ou porcentagens voltadas para baixo.

• Cada integrante do grupo pega 7 peças para jogar. As peças que sobrarem devem ficar no centro da mesa, viradas para baixo, para serem “compradas”.

• Decidam quem iniciará o jogo.

• A primeira pessoa a jogar coloca uma peça (virada para cima) sobre a mesa e passa a vez.

• Cada jogador, na sua vez, tenta encaixar uma de suas peças em uma das extremidades “livres” do jogo e, em seguida, passa a vez para o próximo.

• Se não tiver peça para encaixar, o jogador vai “comprando” as peças que sobraram no centro da mesa, até achar uma que se encaixe no jogo. Caso não haja mais peças de “compra”, e nenhuma das peças que ele pegar sirva, o jogador passa a vez sem descartar nenhuma peça.

• O jogo termina se:

1. um jogador conseguir descartar todas as suas peças. Nesse caso, ele será o vencedor!

2. o jogo ficar “trancado” e ninguém conseguir continuar a rodada. Se isso acontecer, não haverá vencedor e o jogo deve recomeçar. Na nova partida, o primeiro a jogar será aquele que estiver sentado à direita de quem iniciou a partida anterior.

Trabalhando juntos

1. Listem as dificuldades que vocês tiveram para determinar as porcentagens.

2. Relacionem, também, as estratégias de cálculo mental que utilizaram para calcular as porcentagens.

3. Qual das estratégias é a mais rápida ou a mais eficiente para esse jogo? Discutam e registrem suas conclusões em um texto do grupo. Depois, conversem com os colegas dos outros grupos e conheçam as estratégias deles.

Orientações

O conteúdo e a atividade dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA05

Converse com os estudantes sobre as duas maneiras de resolver um problema. É muito importante que eles compreendam bem as aplicações dos conhecimentos sobre porcentagens.

Em Pense e responda, dê um tempo para os estudantes tentarem dar uma resposta e apresentarem a estratégia de resolução que aplicaram. A resolução se dá pela razão entre os números, 2 5 = 0,4 ou 40%, sendo que o mesmo raciocínio vale para a razão 1 10 = 0,1 ou 10%.

Resolução da atividade 1

A razão apresentada no texto é de 9 em 10 cidades; isso significa que 90% das cidades já tem energia solar. Portanto, apenas 10% não tem.

Problemas envolvendo porcentagem

O conceito de porcentagem pode nos ajudar na resolução de muitos problemas cotidianos.

Sua aplicação se dá em muitas situações que envolvem atividades comerciais como custo, pagamento à vista ou a prazo, desconto, lucro, prejuízo, empréstimo etc., porém, também encontramos aplicações em situações de proporcionalidade.

Diante disso, vamos estudar algumas situações.

• Na compra de um fone de ouvido cujo preço era R$ 240,00, foi concedido um desconto de 10%. Como determinar o valor pago pelo fone?

É possível resolver essa situação de duas maneiras.

1; maneira de resolver

Calculando o valor do desconto.

10% de 240 6 0,10 240 = 24

O custo do fone de ouvido é igual ao preço inicial menos o valor do desconto: 240 - 24 = 216

Portanto, o fone de ouvido custou R$ 216,00.

Acompanhe mais essa situação.

2; maneira de resolver

O preço do fone corresponde a 100%.

Se foi concedido um desconto de 10%, então o aparelho custou 90% (100% - 10%) do preço inicial.

Assim:

90% de 240 6 0,90 240 = 216

Logo, o fone de ouvido custou R$ 216,00.

• Suponha que três colegas, Angélica, Bete e Cláudia, prepararam, juntas, todos os materiais para a apresentação de um trabalho de História. Angélica fez 30% e Bete fez 60% do restante. Qual foi a contribuição de Cláudia?

Se Angélica preparou 30% de todo o material, então, Bete e Cláudia ficaram responsáveis pelo preparo dos 70% restantes.

Se Bete preparou 60% do restante, coube a Cláudia preparar 40% dos 70% restantes, ou seja: 0,4  0,7 = 0,28

Cláudia preparou 28% do trabalho.

40%; 10%

O número 2 equivale a quantos por cento de 5? Qual é a percentagem do número 1 em relação ao número 10?

Atividades

1 Leia a notícia a seguir.

Muito antes de janeiro começar o ano já aquecia diversas movimentações no mercado financeiro e econômico do país. O segmento de energia solar fotovoltaica não escapou dessas transformações. [...] Hoje é possível afirmar: nove a cada dez cidades do Brasil já possuem energia solar, segundo dados da Aneel (Agência Nacional de Energia Elétrica e do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística).[...]

O ANO da energia solar: entenda os motivos que estão levando diversas empresas a aderirem ao sistema. G1, São Paulo, 22 fev. 2022. Zona da Mata. Disponível em: https://g1.globo.com/mg/zona-da-mata/especial-publicitario/vesper-energia-solar/noticia/2022/02/22/ o-ano-da-energia-solar-entenda-os-motivos-que-estao-levando-diversas-empresas-a-aderirem-ao-sistema.ghtml. Acesso em: 7 jun. 2022.

Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), o Brasil conta com 5 570 municípios. Qual é a porcentagem que representa as cidades que ainda não possuem energia solar disponibilizada?

10%

2 Ao fazer um empréstimo para comprar sua casa, Carmem precisou pagar R$ 3.000,00 correspondentes a uma taxa de serviço de 5%. Qual foi o valor total do empréstimo obtido?

O valor total do empréstimo foi de R$ 60.000,00.

3 A projeção da população do Brasil feita pelo IBGE para 2020 foi de 212 077 375 pessoas, sendo 104 546 709 homens e 107 530 666 mulheres.

Veja a representação no gráfico de setores ao lado. Ainda de acordo com site, a projeção da população das grandes regiões está descrita na tabela a seguir.

Projeção da população para 2020

Projeção da população em 2020

Região

Projeção para o número de homens no Brasil por região em 2020

Fonte: Dados calculados com base na tabela do LE.

Nos itens d e e, observe se os estudantes construíram corretamente o gráfico de acordo com os graus de cada setor e se as perguntas são pertinentes

Fonte: INSTITUTO NACIONAL DO CÂNCER (Brasil). Estimativa 2020. In: INSTITUTO NACIONAL DO CÂNCER (Brasil). Anexo C - Projeção populacional para o ano de 2020 por Unidade da Federação, Capital e Brasil. [Brasília, DF]: Instituto Nacional do Câncer, 2019. Disponível em: https://www.inca.gov.br/estimativa/anexo-c-projecao-populacional-para-o-ano-de-2020-por-unidade-da-federacao-capital-e-brasil. Acesso em: 7 jun. 2022.

no Manual

a) Considerando o gráfico ou a tabela, qual é o percentual aproximado de homens e de mulheres no Brasil?

b) Observando a tabela, como podemos calcular o percentual de mulheres da Região Sudeste em relação à população total do Brasil?

c) Calcule o percentual aproximado de homens em cada região do país, de acordo com as projeções, e construa uma tabela. Para isso, basta utilizar a regra de três simples (por exemplo, Região Norte: 9  397  069

104 546 709 100 o 8,988%).

Lembre-se de que o resultado da soma dos percentuais deve dar 100%. Se necessário, ajuste os valores fazendo arredondamentos. Depois, faça o mesmo para as mulheres.

d) Escolha algumas informações da tabela e construa um gráfico de setor.

e) Forme um grupo com alguns colegas e, juntos, formulem algumas questões para leitura e interpretação do gráfico construído. Depois, peçam a outro grupo que as respondam.

4 Ao comprar um videogame que custava R$ 650,00, Isabela conseguiu um desconto de R$ 52,00. Qual foi o percentual de desconto?

5 Camila teve um reajuste salarial de 7,5% e passou a receber R$ 1.389,00. Qual era seu salário antes do reajuste?

Professor. 8% R$ 1.292,10

6 Um produto que custava R$ 120,00 sofreu um aumento de 8% no final do ano passado. Neste ano, o valor desse produto foi reduzido em 15%. Qual passou a ser o valor do produto após a redução?

O valor do produto passou a ser de R$ 110,16.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA05

Resolução da atividade 2 3 000 . 100 = 5 x 6 x = 300000

4 R$ 60.000,00. Resolução da atividade 3

a) Homens: 104546709

= 60 000 4

o 0,493 = 49,3% Mulheres: 107530666

Respostas

do

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA05

Resolução da atividade 7

a) O desconto será de:

0,35 200 = 70 4 R$ 70,00

Portanto, o preço a ser pago será:

200 - 70 = 130 4 R$ 130,00.

b) x - 0,35x = 91 6 0,65x =

= 91 6 x = 140 4 R$ 140,00.

Resolução da atividade 8

60 000 - 0,18 . 60 000 = 49 200

49 200 - 0,10 . 49 200 = 44 280 4

4 R$ 44.280,00.

Resolução da atividade 9

Custo da compra à vista:

80% de 1 000

0,8 1 000 = 800 4 R$ 800,00

Custo da compra a prazo:

entrada: 25% de 1 000

0,25 . 1 000 = 250 4 R$ 250,00

1 000 - 250 = 750

750 . 0,1 = 75

750 + 75 = 825 4 R$ 825,00

Total a prazo:

250 + 825 = 1 075 4 R$ 1.075,00

A diferença referida no enunciado

é 1 075 - 800 = 275 4 R$ 275,00.

Resolução da atividade 10

Se a produtividade inicial é 100% (1) e a outra é 20% menor (1 - 0,20 = 0,80), temos:

Trabalhadores 5040

Horas 8 10

Dias 24 x

Produtividade 1 0,80

30

Portanto, a obra ficaria pronta em 30 dias.

Resolução da atividade 11

O comerciante deve aumentar o preço inicial de cada produto em 100%, ou seja, dobrar seu valor, para que o preço com desconto volte ao valor inicial.

Converse com os estudantes sobre a ética (ou falta dela) na atitude do comerciante. Ressalte que é sempre importante pesquisar preços antes de comprar, verificando também se eventuais promoções são realmente vantajosas.

a) Quanto Rosa gastará se comprar a calça à vista?

R$ 130,00.

b) Qual era o preço do tênis, sem o desconto, se Rosa gastou R$ 91,00 para comprá-lo à vista?

R$ 140,00.

8 Um carro novo custa R$ 60.000,00 e sofre depreciação de 18% e 10%, respectivamente, nos dois primeiros anos. Qual será o valor do carro após essas depreciações?

R$ 44.280,00.

9 Em uma loja, um fogão custa R$ 1.000,00 e pode ser pago à vista ou a prazo. No pagamento à vista, dá-se um desconto de 20% sobre o preço. No pagamento a prazo, procede-se da seguinte maneira:

• paga-se uma entrada correspondente a 25% do preço total;

• ao restante é acrescido 10% do valor e dividido em 3 parcelas iguais.

Calcule a diferença, em reais, entre as quantias a serem desembolsadas por dois compradores: o primeiro pagará a prazo, e o segundo, à vista.

10 Com 50 trabalhadores de mesma produtividade trabalhando 8 horas por dia, um trecho de estrada ficaria pronto em 24 dias. Com 40 trabalhadores trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor do que os primeiros, em quantos dias o mesmo trecho de estrada ficaria pronto?

11 Um comerciante deseja fazer uma grande liquidação e anunciou 50% de desconto em todos os produtos. Para evitar prejuízos, ele vai remarcar os produtos antes. Encontre o percentual que os preços dos produtos devem ser aumentados para que, depois do desconto, o comerciante receba o valor inicial das mercadorias.

30 dias Resposta no Manual do Professor.

R$ 275,00.

Wanderson Souza

Educação Financeira * Inteligência Financeira

Educação Financeira é o processo de aprendizado sobre finanças. Por meio dela, é possível obter conhecimentos sobre conceitos e produtos financeiros, permitindo que as pessoas tomem consciência das oportunidades e riscos de suas ações.

Quando se trata de dinheiro, a Educação Financeira estimula a inteligência emocional e o consumo consciente, fornecendo parâmetros para o uso da inteligência financeira.

Conhecimento é seu melhor investimento.

Orientações

A Educação Financeira é um assunto muito importante para a formação cidadã dos estudantes e para prepará-los para o futuro.

Resolução da atividade 1

Sugestões:

• Cortar os gastos desnecessários.

• Pesquisar preços.

• Evitar desperdício de alimentos.

• Reduzir o consumo de água e de energia elétrica.

• Utilizar o cartão de crédito com sabedoria.

Aproveite a atividade 2 para pedir que apresentem o que produziram em uma cartolina, que será exposta na escola ou em um blog escolar, de forma a apresentar as informações à comunidade.

Esse trabalho oportuniza o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal: Educação Financeira e da competência geral 6

1 É importante que cada membro da família esteja consciente do que pode fazer para colaborar com o orçamento doméstico. Cite algumas situações em que é possível reduzir gastos familiares.

Resposta pessoal.

2 Utilize a internet para pesquisar sobre um dos temas marcados a seguir. Resposta pessoal.

RENDA VARIÁVEL

TAXA SELIC

Agora, apresente aos colegas uma síntese sobre o tema escolhido.

O planejamento dos gastos financeiros contribui para um consumo consciente.

Orientações

Compreender os juros que incidem sobre um certo valor ou capital é de extrema importância para efetuar compras inteligentes, avaliar os riscos na contratação de um empréstimo, em aplicações financeiras etc.

Juro

Juro é uma compensação paga ou recebida pelo empréstimo de uma quantia durante certo tempo. As taxas de juro são expressas em porcentagem.

O valor inicial de um empréstimo, ou de um investimento, é chamado de capital. A soma do capital com o juro é chamada de montante

O cálculo do juro se dá de basicamente duas formas diferentes: com o juro simples e com o juro composto

Juro simples

Algumas vezes, ao fazermos compras a prazo, pagamos um valor mais alto do que se tivéssemos comprado à vista. Como exemplo, veja o anúncio abaixo.

R$ 599,00 à vista

ou em 12 x R$ 58,90

Total a prazo: R$ 706,80

Note que, comprando a prazo, o preço do monitor é maior do que à vista. É como se o dono da loja estivesse emprestando o capital de R$ 599,00 para receber, no final do empréstimo, um montante de R$ 706,80. Esse valor de R $ 599,00 será pago ao dono da loja com um acréscimo (juro) de R$ 107,80, que é a diferença entre o preço a prazo e o preço à vista.

Juro simples é aquele gerado durante o prazo de aplicação, exclusivamente com base no capital inicial. Expressamos o juro simples pela fórmula: j = C i t, em que j é o juro, C é o capital, i é a taxa e o t é o tempo.

Importante: o período em que a taxa é corrigida deve ser a mesma unidade do tempo da aplicação. Exemplo: se a taxa é mensal, o tempo também deve ser mensal.

O montante, que é a soma do capital mais o juro, pode ser obtido pela fórmula: M = C + j, em que M é o montante, C é o capital e j é o juro.

Vamos analisar o seguinte exemplo.

• Um capital de R$ 600,00 foi aplicado por três meses à taxa de juro simples de 2% ao mês. Quantos reais esse capital produzirá de juro simples no fim desse tempo? Qual será o montante no final desse prazo?

Para iniciar a resolução, vamos calcular 2% de 600:

= 0,02 600 = 12

Isso significa que o juro de 1 mês corresponde a R$ 12,00.

Logo, o juro simples em 3 meses será de: 3 12 = 36.

Também é possível calcular o juro simples multiplicando o capital pela taxa e pelo tempo:

j = C i t 6 j = 600 0,02 3 = 36

O juro será de R$ 36,00.

Agora, o montante M é o capital somado ao juro. Logo: M = C + j 6 M = 600 + 36 = 636

O montante será igual a R$ 636,00.

Televisão de tela plana.

Atividades

1 Calcule o juro simples gerado por um capital de R$ 24.000,00 quando aplicado por 6 meses à taxa de juro simples de 3% ao mês.

R$ 4.320,00.

2 Em quantos meses um capital de R$ 8.500,00, aplicado a uma taxa mensal de juro simples de 2%, propicia juro de R$ 340,00?

2 meses

8 (IFPE) Três amigas − Ana, Simone e Marília − resolveram abrir uma loja para vender roupas e bolsas. Elas procuraram um especialista para obter informações sobre como tabelar os preços de suas mercadorias. O especialista informou o seguinte:

Resolução da atividade 5

+= +=        xy xy

900 0, 055 0, 06555

Portanto, foram aplicados R$ 350,00 e R$ 550,00.

3 Qual é o capital que, aplicado à taxa de juro simples de 1,5% ao mês, durante 1 ano e 6 meses, produz um juro de R$ 4.050,00?

R$ 15.000,00.

4 Pedro aplicou parte de seus R$ 20.000,00 à taxa de juro simples de 1,4% ao mês e o restante à taxa de juro simples de 1% ao mês. No final de um mês, ele recebeu um total de R$ 224,00 de juro. Determine os valores de cada aplicação.

5 Amélia depositou R$ 900,00 em dois bancos; um rende 5,5% ao mês, e o outro, 6,5% ao mês. O juro obtido no final de um mês, nos dois bancos, foi R$ 55,00. Quanto foi depositado, em reais, em cada banco?

R$ 350,00; R$ 550,00.

6 O gráfico a seguir mostra como varia o montante M de uma aplicação à taxa de juro simples em função do tempo t

(1) se a venda fosse em dinheiro, o valor da mercadoria deveria ser aumentado em 30% em relação ao preço de compra, que é a chamada margem de lucro.

(2) se a venda fosse em cartão de débito, após o aumento de 30%, elas deveriam acrescentar a taxa de 3% cobrada pela administradora da máquina.

(3) se a venda fosse em cartão de crédito, após o aumento de 30%, elas deveriam acrescentar a taxa de 5% cobrada pela administradora da máquina.

Então, se elas compraram uma bolsa por R$ 120,00, qual deve ser o preço dessa bolsa para uma venda no cartão de crédito?

Alternativa a

a) R$ 163,80.

b) R$ 161,80.

c) R$ 162,80.

d) R$ 160,80.

e) R$ 164,80.

9 Carlos fez um empréstimo de R$ 8.000,00 à taxa de juro simples de 5% ao mês. Dois meses depois, ele pagou R$ 5.000,00 do empréstimo e, um mês após esse pagamento, liquidou todo o valor devido. Qual foi o valor do último pagamento do empréstimo?

Fonte: Dados fictícios.

Qual foi o capital inicial e a taxa de juro anual dessa aplicação?

Resposta no Manual do Professor.

7 Mentalmente, calcule:

a) 5% de 40;

b) 10% de 1 500;

c) 50% de 250;

2 150 125 120

Resolução da atividade 6 Do 1? para o 2? ano, o montante aumentou 400 reais. Como o gráfico é linear, podemos deduzir que a partir da data inicial até o 1o ano houve um aumento de 400 reais. Portanto, a data inicial tinha 1 000 reais. Assim, como em 1 ano o aumento foi de 400 reais sobre o valor inicial de 1 000 reais, concluímos que a taxa de juro foi de 40% ao ano.

Resolução da atividade 7

A seguir, algumas dicas para ajudar no cálculo mental.

a) Como 10% de 40 é 4; 5% de 40 é 2.

b) 10% de 1 500 é 150.

c) 50% corresponde à metade de 250, assim, 125.

d) O raciocínio pode ser que 10% de 800 é 80, e 5% é 40; portanto, 15% (10% + 5%) é 120 (80 + 40).

Resolução da atividade 8

=+= M 120 30 100 120156.

Calculando o montante final:

10 Suponha que daqui a 6 meses você deva quitar uma dívida de R$ 520,00. Que importância você deve aplicar hoje, à taxa de juro simples de 5% ao mês, para que, no dia de pagamento, tenha o valor devido?

R$ 3.990,00. R$ 400,00.

11 Uma pessoa aplicou R$ 4.000,00 à taxa de juro simples de 12% ao ano. Qual será o montante se o prazo de aplicação for de 4 meses?

R$ 4.160,00.

=+= M 156 5 100 156163 , 80. f

Alternativa a

Resolução da atividade 9

M = 8 000 + 8 000 . 0,05 . 2 =

= 8 800 4 R$ 8.800,00.

Restante da dívida após o primeiro mês:

8 800 - 5 000 = 3 800 4

4 R$ 3.800,00.

Valor a ser pago no terceiro mês:

3 800 + 3 800 0,05 1 = 3 990 4

4 R$ 3.990,00.

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA05

Resolução da atividade 1

J = 24 000 . 0,03 . 6 = 4 320 4 R$ 4.320,00.

Resolução da atividade 2

J = 340 = 8 500 0,02 t 6 t = 340 170 = 2 4

4 2 meses.

Resolução da atividade 3

t = 1,5 ano = 18 meses

4 050 = C 0,015 18 6 0,27C = 4 050

C = 4 050

0, 27 = 15 000 4 R$ 15.000,00.

Resolução da atividade 4

Assim, temos: j1 = x . 0,014 6 j1 = 0,014x j2 = (20 000 - x) . 0,01 . 1 6 j2 = 200 - 0,01x Sabe-se que o juro é R$ 224,00. Assim, temos: j1 + j2 = 224 6 0,014x + 200 - 0,01x = 224 6 x = 6 000. Uma aplicação foi de R $ 6.000,00, e a outra, de R$ 14.000,00.

A resolução das atividades 10 e 11 estão na coluna da página seguinte.

R$ 6.000,00; R$ 14.000,00.

Orientações

Orientações

As atividades e o conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA05

Apresente com calma o tema juro composto. Para tanto, discuta o exemplo com todos os detalhes. Esse é um tema especialmente importante, porque é o tipo de juro que mais tem aplicação na vida cotidiana.

Resolução da atividade 10

C + j = 520 (I)

J = C . 0,05 . 6 6 J = 0,3 . C (II)

Substituindo (II) em (I):

C + 0,3C = 520 6 C = 400 4

4 R$ 400,00

Resolução da atividade 11

=== i 12% aa 12 1% 0 , 01.

j = 4 000 0,01 4 = 160 4

4 R$ 160,00

M = 4 000 + 160 = 4 160 4

4 R$ 4.160,00

Resolução da atividade 12

Vamos analisar cada desconto:

IR: 1 350 . 0,10 = 135

INSS: 1 350 . 0,08 = 108

AM: 1 350 0,02 = 27

Adicionando todos os descontos,

temos: 135 + 108 + 27 = 270.

Portanto, o valor líquido é:

1 350 - 2 70 = 1 080 , isto é, R$ 1.080,00.

Resolução da atividade 13

Se houve o desconto de 11% do IPI no valor do carro, o comprador pagou então 89% do valor total. Assim, sendo x o valor total do carro, podemos escrever:

x 0,89 = 65 700 6 x o

o 73 820,22 4 R$ 73.820,22.

Resolução do Lógico, é lógica

Se Athos diz a verdade, então Samuel pode estar com a bola; no entanto, Leonel mente. Logo, ele pode estar com a bola. Dessa forma, Athos não diz a verdade.

Se Leonel diz a verdade, então ele pode estar com a bola; no entanto, Alex também pode estar com a bola. Logo, Leonel mente.

Se Samuel diz a verdade, então Alex pode estar com a bola; no entanto, a bola pode também estar com Leonel. Logo, Samuel mente. Assim, Alex diz a verdade e a bola está com Leonel.

12 Nádia tem uma renda bruta de R$ 1.350,00, mas são feitos os descontos a seguir na folha de pagamento.

Imposto de renda 10%

INSS 8%

Assistência médica 2%

Qual é a renda líquida de Nádia? R$ 1.080,00.

13 Uma pessoa, com direito à isenção do IPI (Imposto sobre Produtos Industrializados), adquiriu um veículo pagando R$ 65.700,00 à vista. Sabendo-se que o IPI cobrado foi de 11%, qual é o valor do veículo se adquirido por uma pessoa sem direito ao IPI? R$ 73.820,22.

Um grupo de amigos sempre se reunia às quintas-feiras para jogar futebol. No último jogo, um dos quatro amigos – Athos, Samuel, Leonel e Alex – ficou com a bola. Chegou o momento tão aguardado do jogo, e cadê a bola? Estavam sem bola.

Mauro perguntou a cada um deles quem havia esquecido a bola e as respostas foram as seguintes.

Athos: Samuel é quem pode estar com a bola.

Leonel: Eu não estou com a bola.

Samuel: Alex é quem pode estar com a bola.

Alex: Samuel não fala a verdade quando diz que eu posso estar com a bola. Sabendo que somente um dos quatro diz a verdade, quem está com a bola?

Juro composto

Acompanhe a situação a seguir. Suponha que sejam aplicados R$ 900,00 em uma caderneta de poupança cujo rendimento é de 1% ao mês. Qual seria o montante de juro após 3 meses?

Para ter uma vida financeira saudável, é preciso equilibrar os gastos e os ganhos.

Capitalização: maneira de acumular capital, bens ou riquezas.

A caderneta de poupança é um sistema de capitalização em que o juro de cada período é calculado sobre o montante do período anterior.

Período Montante do mêsJuro do mês Montante (M = C + j)

1? mês R$ 900,000,01 900,00 = 9,00R$ 909,00

2? mês R$ 909,000,01 909,00 = 9,09R$ 918,09

3? mês R$ 918,090,01 918,09 = 9,18R$ 927,27

Logo, ao fim de três meses, o montante será de R$ 927,27.

Jogo de futebol.

A bola está com Leonel.

Suponha que um montante M foi obtido de um capital C, aplicado em uma caderneta de poupança cujo rendimento i durou por um período t. Vamos verificar o valor do montante período a período.

• Após 1 mês: M = C + i . C 6 M = C(1 + i).

• Após 2 meses: M = C(1 + i) + i[C(1 + i)] 6 M = C[(1 + i)(1 + i)] 6 M = C(1 + i)2

• Após 3 meses: M = C(1 + i)2 + i[ C(1 + i)2] 6 M = C(1+ i)2 (1 + i) 6 M = C(1 + i)3 x

• Após t meses: M = C(1 + i)t

Assim, juro composto é aquele gerado durante o prazo de aplicação e calculado com base no montante do período anterior.

Acompanhe mais um exemplo.

• Para investir no crescimento de sua empresa, Carlos precisou fazer um empréstimo de R$ 6.000,00 em um regime de juro composto cuja taxa é de 10% ao ano. No acordo, ficou combinado que o empréstimo será pago integralmente ao final de 4 anos. Que montante Carlos precisará pagar?

Ao contrair empréstimos, mesmo que para investir no próprio negócio, deve-se medir os riscos.

Vamos resolver de duas formas. Podemos organizar e calcular, ano a ano, o juro aplicado sobre o empréstimo. Veja a seguir.

Orientações

Resolução da atividade 1

a) M = 10 000(1 + 0,015) 4 =

= 10 000(1,015)4 o 10 613,64  4

4 R$ 10.613,64.

b) O valor do juro é a diferença entre o capital inicial e o montante:

10 613,63 - 10 000 = 613,64  4

Portanto, podemos concluir que Carlos, depois de 4 anos, irá pagar R$ 8.784,60. Também podemos resolver a mesma situação-problema utilizando a fórmula do montante do juro composto. Veja a seguir.

M = (1 + i)t 6 M = 6000(1 + 0,1)4 6 M = 6000(1,1)4 6 M = 6000 1,4641 6 M = 8 784,60

Assim como na resolução anterior, podemos concluir que Carlos, depois de 4 anos, pagará R$ 8.784,60.

Atividades

1 Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado durante quatro meses em um regime composto, cuja taxa de juro é de 1,5%.

a) Qual foi o montante obtido ao final dos quatro meses?

R$ 10.613, 64. R$ 613,64.

3 Determinado capital foi aplicado a uma taxa de 2% ao mês durante 3 meses, obtendo-se o montante de R$ 8.489,66. Considerando que o regime é composto, qual foi o capital investido? create jobs 51/Shutterstock.com

4 R$ 613,64.

Resolução da atividade 2

M = 60 000(1 + 0,15) 4 o o 104 940,38 4 R$ 104.940,38.

J = 104 940,38 - 60 000,00 =

= 44 940,38 4 R$ 44.940,38. Resolução da atividade 3

8 489,66 = C(1 + 0,02)³

C o 8 000 4 R$ 8.000,00.

2 Determine o juro de R$ 60.000,00 aplicado a uma taxa de 15% ao ano, durante 48 meses, considerando que o regime é composto.

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA05

Orientações

Aproveite o conteúdo de MatemaTIC para levar os estudantes à sala de informática e abrir um software de Geometria dinâmica para eles replicarem a atividade. A visualização auxilia muito na fixação do conceito apresentado na teoria. Tal atividade favorece o trabalho com a competência geral 4

Calculadora CAS do GeoGebra

Utilizando o GeoGebra também é possível explorar várias fórmulas matemáticas. Dentre os recursos fornecidos pelo software, utilizaremos a calculadora CAS.

Veja abaixo, na tela inicial, alguns elementos que o auxiliarão na navegação.

Com essa calculadora resolveremos o seguinte problema: Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado por seis meses à taxa de juro simples de 3% ao mês.

a) Quantos reais esse capital produzirá de juro no fim desse tempo?

b) Qual será o montante no fim desse prazo?

Utilizaremos a caixa de entrada para atribuir os valores numéricos que a questão fornece: capital de R$ 1.500,00 e taxa de juro simples de 3% ao mês.

Para isso, vamos digitar na caixa de entrada as eguintes igualdades: C = 1 500 e i =

Cada uma dessas atribuições deve ser digitada em uma linha por vez e confirmada com a tecla “Enter”, como na imagem a seguir.

Para resolver o item a do problema, é necessário atribuir o valor 1 ao tempo. Vamos representar o tempo como t, digite a seguinte atribuição no campo de entrada: t = 1. Em seguida, na próxima linha, digite a fórmula que você já conhece de juro simples j = C * i * t, em que * representa o sinal de multiplicação. Veja na janela a seguir como ficará a calculadora depois dessas atribuições.

Orientações

Resolução da atividade 1

== == j 1 500 6 100 4

15 64 360.

M = 1 500,00 + 360,00 = = 1 860,00 4 R$ 1.860,00. Resolução da atividade 2

Se o capital for de 2 000,50, temos:

== == j 2 000 ,50 6 100 4

20 , 005 64 480 ,12 4

4 R$ 480,12.

O montante seria:

M = C + j 6 M = 2 000,50 + + 480,12 = 2 480,62 4 R$ 2.480,62. Resolução da atividade 3

Assim que a fórmula é digitada, a calculadora já fornece o resultado do juro em reais. Para solucionar o item b, precisamos adicionar esse juro ao capital inicial usando a atribuição M = C + j em uma nova linha da caixa de entrada. A tela abaixo mostra o resultado, em reais.

Houve um aumento no montante, pois o valor é relacionado diretamente ao capital, isto é, se o capital aumenta, os juros aumentam e, consequentemente, o montante aumenta.

Agora é com você.

1 Altere a taxa de juro mensal da calculadora para 6% e o tempo para 4 meses. Qual será o montante obtido pela calculadora?

R$ 1.860,00.

2 Agora altere o capital inicial para R$ 2.000,50 e mantenha a mesma taxa e tempo. Qual será o montante?

R$ 2.480,62.

3 O montante aumentou ou diminuiu? Por quê? Compare e discuta seu resultado com os dos colegas.

Resposta no Manual do Professor.

A calculadora CAS interpreta o ponto e não a vírgula em números decimais.

Imagens: Tarcísio Garbellini

Essa seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1

Vamos resolver com uma regra de três simples:

Metros Tijolos

27 2 100

36 x

27x = 36 . 2100 6 x = 2 800 4

4 2 800 tijolos

Resolução da atividade 2

Custo da gasolina:

15 4,80 = 72 4 R$ 72,00.

Custo do álcool:

30 3,00 = 90 4 R$ 90,00.

A despesa total foi de R$ 162,00 (90 + 72) e foram abastecidos 45 L (15 + 30) de combustível. Então, na média, o preço do combustível foi de:

162

45 3, 6 = , isto é, R$ 3,60 por litro de combustível.

Resolução da atividade 3

Vamos montar um quadro com os dados do problema Pedreiros

1 Na construção de um muro de 27 metros foram gastos 2 100 tijolos. Quantos tijolos serão gastos na construção de 36 metros de muro?

2 800 tijolos

2 Um carro flex, que pode utilizar álcool e gasolina como combustível, é abastecido com 15 litros de gasolina e 30 litros de etanol. Sabe-se que o preço do litro de gasolina é R $ 4,80 e o preço do litro de etanol é R $ 3,00. Determine o preço médio do litro de combustível que foi utilizado.

Aproximadamente R$ 3,60 por litro.

3 Trabalhando 8 horas diárias durante 15 dias, 10 pedreiros fizeram uma parede de concreto de 48 m2. Se tivessem trabalhado 10 horas diárias, e se o número de operários fosse reduzido a 2, quantos dias levariam para fazer outra parede cuja área fosse o dobro da área da primeira parede?

5 Um engenheiro estimou para um cliente que a reforma de sua casa levaria 30 dias se 8 homens trabalhassem 10 horas por dia. O cliente disse que preferia 12 homens trabalhando 8 horas por dia. Nessas condições, quantos dias demoraria a reforma?

25 dias

AlimentosDias

Em relação à grandeza alimentos, todas as demais grandezas horas/ dia, estudantes e dias são diretamente proporcionais. Logo: =6= x x 12010 20 3 4 20 50 800

Então: x = 800 kg.

Essa quantidade foi arrecadada nos 20 dias finais. Como nos 10 primeiros dias a arrecadação foi de 120 kg, o total foi de 120 + 800 =

= 920 4 920 kg.

Alternativa a

4 (ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha.

Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:

a) 920 kg.

b) 800 kg.

c) 720 kg.

d) 600 kg.

e) 570 kg.

120 dias Alternativa a

6 (CMC-PR) Se uma pessoa se alimentar corretamente, a probabilidade de ela ter uma vida saudável é maior ou menor do que se não tiver uma alimentação saudável? Se alguém atravessar a rua com atenção, a probabilidade de sofrer um acidente é maior ou menor do que se atravessar a rua sem atenção? A palavra probabilidade aparece muito comumente em conversas do nosso dia a dia normalmente associada à medida da chance de algo ocorrer. Geralmente expressamos a probabilidade por uma fração ou pela porcentagem correspondente a essa fração. Por exemplo: lançando-se aleatoriamente uma única vez uma moeda comum (com duas faces: cara e coroa), a chance de ocorrer a face cara é de 1 (uma) possibilidade em 2 (duas), o que corresponde à fração 1 2 ou equivalentemente a 50%.

A tabela a seguir apresenta o número de meninos e meninas que preferem feijoada ou churrasco. Considere, nesse caso, que a criança teve apenas uma opção de preferência.

Considerando os dados apresentados na tabela, a probabilidade de uma dessas crianças, escolhida aleatoriamente, preferir feijoada é de:

a) 1 10 .

b) 3 10

c) 2 5

Alternativa e

d) 3 5 . e) 7 10

Resolução da atividade 5

Vamos montar um quadro com os dados do problema. Pedreiros Dias Horas/dia (h)

Resolução da atividade 6

Ao todo são 200 crianças. Destas, 140 (80 meninos e 60 meninas) gostam de feijoada. Assim, 140 200 14

Olefirenko Vitaly/Shutterstock.com

7 (ENEM) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m3. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio.

Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente. A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a:

Alternativa c

a) 2. b) 4. c) 5. d) 8. e) 9.

8 Com os dados do quadro abaixo, elabore uma situação-problema envolvendo regra de três e a resolva. Compartilhe a situação-problema que você elaborou com os colegas.

5 10 1 10 x 4

9 Veja as manchetes fictícias de dois jornais diferentes.

“Em Salutópolis, 60 entre 100 pessoas participam de atividades recreativas”

“60% dos cidadãos de Salutópolis participam de atividades recreativas”

11 (UFPR) Uma adaptação do Teorema do Macaco afirma que um macaco digitando aleatoriamente num teclado de computador, mais cedo ou mais tarde, escreverá a obra “Os Sertões”, de Euclides da Cunha. Imagine que um macaco digite sequências aleatórias de 3 letras em um teclado que tem apenas as seguintes letras: S, E, R, T, O. Qual é a probabilidade de esse macaco escrever a palavra “SER” na primeira tentativa?

a) 1 5

b) 1 15

c) 1 75

d) 1 125

e) 1 225

12 (CMSP) Mariana estuda no 6? ano do Ensino Fundamental. Na aula de História, a professora Sara indicou a leitura de um livro que trata dos animais característicos da Era Cenozoica. Há 23 páginas sobre o tigre-de-sabre, 33 páginas falando sobre mamutes e mastodontes, 16 páginas contando sobre a evolução das baleias e 25 páginas que citam aves. Mariana fecha os olhos e, aleatoriamente, abre uma página do livro. Qual é a probabilidade de essa página aberta por Mariana tratar sobre baleias?

a) 4 97

d) 1 4

Resolução da atividade 7

Reservatório

=. x 6 900 500 4 6 6 x = 5

Alternativa c Resolução da atividade 8

Sugestão:

• Em uma fábrica de roupas, uma costureira, trabalhando por 10 dias por 5 horas diárias, consegue produzir o mesmo que 4 costureiras trabalhando 10 horas diárias em quantos dias?

1,25 dia = 1 dia e 6 horas Resolução da atividade 9 Sim, porque 60% indica que de um total de 100 pessoas, 60 satisfazem à condição proposta. Resolução da atividade 10 São quatro as possibilidades de a soma ser 9; portanto, 36 possibilidades no total (6 para cada dado; 6 6 = 36).

A probabilidade é, então: 4 36 1 9 =

Resposta no Manual do Professor.

Analise essas manchetes e converse com os colegas. Elas apresentam as mesmas informações?

b) 16 97

c) 4 97

e) 81 97

Alternativa a Resolução da atividade 11 == p 1 5 1 5 1 5 1 125

Alternativa a

c) 2 3 d) 1 5

e) 2 15

10 (PM-CARUARU) Davi e Júlia estão “brincando de sorte” lançando dois dados, não viciados, sendo um azul e outro vermelho. Se a soma das faces sorteadas for 7, Davi ganha. Se a soma for 9, Júlia ganha. Os dados são lançados e sabe-se que Davi não ganhou. Qual é a probabilidade de Júlia ter ganhado a aposta? a) 1 9 b) 1 10

13 (IFSP) Um ciclista partiu do marco 40 km de uma estrada às 8 horas e seguiu por essa estrada até o marco 100 km, chegando lá às 10 horas. Assinale a alternativa que apresenta a velocidade média do ciclista nesse percurso.

Alternativa c

a) 50 km/h

b) 40 km/h c) 30 km/h d) 25 km/h e) 20 km/h

Alternativa d Resolução da atividade 12 O livro tem um total de páginas de: 23 + 33 + 16 + 25 = 97, das quais 16 são sobre baleias. Então, a probabilidade de Mariana abrir uma página sobre baleias é: 16 97 Alternativa b Resolução da atividade 13 Como o ciclista saiu do marco 40 km e foi até o marco 100 km, ele percorreu 60 km. Como saiu às 8 horas e chegou ao destino às 10 horas, gastou 2 horas. Portanto, ele percorreu 60 km em 2 horas, ou seja, 30 km em 1 hora. Logo, sua velocidade média é de 30 km/h.

Alternativa c

Resposta pessoal.

Resolução da atividade 14

Calculando o CRC de cada pneu para a condição de 70% (probabilidade de chover) e 30% (probabilidade de não chover).

(I) 6 . 0,7 + 3 . 0,3 = 5,1

7 . 0,7 + (-4) . 0,3 = 3,7 -2 . 0,7 + 10 . 0,3 = 1,6

2 0,7 + 8 0,3 = 3,8

-6 0,7 + 7 0,3 =-2,1

Alternativa a Resolução da atividade 15

São 31 quadradinhos completos, então, 31 . 4 = 124 4 124 km2

Portanto, a densidade demográfica

é: 6 820 124 = 55 4 55 hab/km2

Alternativa c Resolução da atividade 16

A =p. (10)2 = 100p

V = 100p. 2,2 = 220p

Considerando p= 3,14, temos que o volume é 690,8 mm3, ou seja, 0,69 cm3

A densidade é dada pela massa dividida pelo volume. Assim:

Densidade =o 4, 8 0, 69 6, 96.

Portanto, a densidade é de aproximadamente 7 g/cm3

Alternativa d Resolução da atividade 17

Inicialmente vamos compor um sistema, sendo que a produção de cada filho é j e r. Temos que:

j + r = 2 000 (1)

j = r + 700 (2)

Substituindo (2) em (1), temos:

r + 700 + r = 2 000

2r = 1 300 6 r = 650 4 650 kg, então, j = 1 350 kg.

Vamos agora dividir a área por

2 000 partes: 12 2 000 = 0,006 4

4 0,006 km2/kg.

Então, João vai receber:

0,006 1 350 = 8,1 4 8,1 km2

Romeu vai receber:

0,006 650 = 3,9 4 3,9 km2

Resolução da atividade 18

Sendo m a massa do filho (em kg),

temos:

GotaMassa (kg)

m = 230 5 12= ⋅

Portanto, m = 12 kg.

Alternativa a

14 (ENEM) Suponha que uma equipe de corrida de automóveis disponha de cinco tipos de pneu (I, II, III, IV, V) em que o fator de eficiência climática EC (índice que fornece o comportamento do pneu em uso, dependendo do clima) é apresentado:

EC do pneu I: com chuva 6, sem chuva 3;

EC do pneu II: com chuva 7, sem chuva -4; EC do pneu III: com chuva -2, sem chuva 10; EC do pneu IV: com chuva 2, sem chuva 8; EC do pneu V: com chuva -6, sem chuva 7.

O coeficiente de rendimento climático (CRC) de um pneu é calculado com a soma dos produtos dos fatores de EC, com ou sem chuva, pelas correspondentes probabilidades de se ter tais condições climáticas: ele é utilizado para determinar qual pneu deve ser selecionado para uma dada corrida, escolhendo-se o pneu que apresentar o maior CRC naquele dia. No dia de certa corrida, a probabilidade de chover era de 70% e o chefe da equipe calculou o CRC de cada um dos cinco tipos de pneu.

O pneu escolhido foi:

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

Alternativa a

15 (CMM-AM) Certa ilha possui o território conforme a figura mostrada na malha quadriculada abaixo. Nela vivem 6 820 habitantes e sua área pode ser estimada pela região cinza na malha.

a) 75 habitantes por km2

b) 85 habitantes por km2

c) 55 habitantes por km2

d) 45 habitantes por km2

e) 65 habitantes por km2

16 (UNESP) Considere as seguintes características da moeda de R$ 0,10: massa = 4,8 g; diâmetro = = 20,0 mm; espessura = 2,2 mm.

m

Sabendo que o lado de cada quadrado da malha quadriculada equivale a 2 km, qual é a densidade demográfica dessa ilha, ou seja, o quociente entre o seu número de habitantes e a área da região?

Admitindo como desprezível o efeito das variações de relevo sobre o volume total da moeda e sabendo que o volume de um cilindro circular reto é igual ao produto da área da base pela altura e que a área de um círculo é calculada pela fórmula pr2, a densidade do material com que é confeccionada a moeda de R$ 0,10 é de aproximadamente:

Alternativa d

a) 9 g/cm3

b) 18 g/cm3

c) 14 g/cm3

d) 7 g/cm3

e) 21 g/cm3

17 Um fazendeiro decidiu dividir 12 km2 de área plantada de suas terras entre os dois filhos, João e Romeu, proporcionalmente à produção que cada um deles obteve na lavoura. Sabe-se que juntos eles produziram 2 toneladas de milho e que João produziu 700 kg a mais que Romeu. Que área plantada recebeu cada filho?

Romeu recebeu 3,9 km2, e João, 8,1 km2

18 (ENEM) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de:

a) 12 kg.

b) 16 kg.

c) 24 kg.

Alternativa a

d) 36 kg.

e) 75 kg.

Imagens: Banco Central do Brasil

19 (ENEM) O fenômeno das manifestações populares de massa traz à discussão como estimar o número de pessoas presentes nesse tipo de evento. Uma metodologia usada é: no momento do ápice do evento, é feita uma foto aérea da via pública principal na área ocupada, bem como das vias afluentes que apresentem aglomerações de pessoas que acessam a via principal. A foto é sobreposta por um mapa virtual das vias, ambos na mesma escala, fazendo-se um esboço geométrico da situação. Em seguida, subdivide-se o espaço total em trechos, quantificando a densidade, da seguinte forma:

• 4 pessoas por metro quadrado, se elas estiverem andando em uma mesma direção;

• 5 pessoas por metro quadrado, se elas estiverem se movimentando sem deixar o local;

• 6 pessoas por metro quadrado, se elas estiverem paradas.

É feito, então, o cálculo do total de pessoas, considerando os diversos trechos, e desconta-se daí 1 000 pessoas para cada carro de som fotografado.

Com essa metodologia, procederam-se aos cálculos para estimar o número de participantes na manifestação cujo esboço geométrico é dado na figura. Há três trechos na via principal: MN, NO e OP, e um trecho numa via afluente da principal: QR

Legenda:

Obs.: a figura não está em escala (considere as medidas dadas).

Segundo a metodologia descrita, o número estimado de pessoas presentes a essa manifestação foi igual a: Alternativa b

20 (ENEM) Um motociclista planeja realizar uma viagem cujo destino fica a 500 km de sua casa. Sua moto consome 5 litros de gasolina para cada 100 km rodados, e o tanque da moto tem capacidade para 22 litros. Pelo mapa, observou que no trajeto da viagem o último posto disponível para reabastecimento, chamado Estrela, fica a 80 km do seu destino. Ele pretende partir com o tanque da moto cheio e planeja fazer somente duas paradas para reabastecimento, uma na ida e outra na volta, ambas no posto Estrela. No reabastecimento para a viagem de ida, deve considerar também combustível suficiente para se deslocar por 200 km no seu destino.

A quantidade mínima de combustível, em litro, que esse motociclista deve reabastecer no posto Estrela na viagem de ida, que seja suficiente para fazer o segundo reabastecimento, é:

Alternativa c

a) 13

b) 14

c) 17

d) 18

e) 21

21 No dia a dia, nos deparamos com os mais diversos tipos de papel.

Eles são utilizados em jornais, revistas, livros, cartões e para higiene pessoal, entre outras aplicações. Mas eles diferem entre si: basta avaliar as diversas texturas, espessuras e resistências. Alguns são mais duráveis, outros mais delicados. A gramatura é uma razão associada ao papel, sendo uma das variáveis a ser considerada ao escolher o tipo do papel. Leitores assíduos costumam levar em conta a gramatura utilizada ao comprar um livro, assim como empresários ao preparar materiais de divulgação impressa.

Resolução da atividade 19

Vamos calcular a área trecho a trecho e a quantidade de pessoas em cada trecho, de acordo com sua movimentação.

Alternativa b Resolução da atividade 20 Devemos ter em mente quantos quilômetros o motociclista vai rodar com a moto até o momento em que voltará para o segundo abastecimento. Serão 420 km para chegar ao posto pela primeira vez, 80 km para chegar ao seu destino, 200 km para passear por seu destino e 80 km para chegar ao posto novamente no trajeto de volta, totalizando 780 km.

Como a moto consome 5 litros a cada 100 quilômetros, então ela consumirá 1 litro a cada 20 quilômetros. Portanto, gastará 21 litros até chegar ao posto pela primeira vez.

Dessa forma, o motociclista precisará de gasolina suficiente para chegar ao posto pela segunda vez, ou seja, para rodar mais 360 km, sendo que ainda haverá 1 litro no tanque. Para rodar os 340 km restantes (360 - 20 referentes ao litro que ainda estará no tanque), ele gastará 17 litros.

a) 110 000.

b) 104 000 c) 93 000. d) 92 000. e) 87 000.

Forme um grupo e pesquisem como se calcula a gramatura de um papel, inclusive as mais comuns e as respectivas finalidades. Em seguida, construam um infográfico com as devidas ilustrações, mostrando as principais gramaturas de papel presentes na rotina de vocês e para quais fins elas são indicadas. Se possível, deixem o infográfico na biblioteca da escola.

Alternativa c Resolução da atividade 21 A gramatura de um papel é calculada dividindo a massa, em gramas, pela área, em metros quadrados, de sua superfície.

Se possível, exponha os infográficos no mural da sala de aula.

Resolução da atividade 22

De acordo com a escala cartográfica, 1 cm no mapa corresponde a 5 000 000 cm da distância real, o que equivale a 50 km. Então, podemos compor uma regra de três: cm km 1 50

7,3 x

x = 365 4 365 km.

Alternativa d Resolução da atividade 23

Área (m2) Homens Horas/ dia Dias

5 000 584

6 000 x62

22 (IFBA) Em um mapa da Bahia, a distância entre os pontos que ligam Jequié a Salvador é de 7,3 cm. Sabendo que a razão, usada na construção do mapa, foi de 1 : 5.000.000, é possível concluir que a distância entre estas cidades é de:

Alternativa d

a) 153 km.

b) 182 km.

c) 243 km.

d) 365 km.

e) 382 km.

Então, o salário desse trabalhador é igual a:

a) R$ 990,00

b) R$ 1.900,00

c) R$ 1.400,00

d) R$ 1.600,00

e) R$ 2.100,00

=..

x 5 5 000 6 000 6 8 2 4 6 x =

= 16 4 16 homens

Alternativa d

Resolução da atividade 24

Considere o valor aplicado como sendo x

1? mês: x - 0,3x = 0,7x.

2? mês: 0,7x + 0,2 0,3x = 0,76x.

0,76x = 3 800 6 x = 5 000

Alternativa c

Resolução da atividade 25

Salário: x

Prestação: 0,30x 4 Sobra 0,70x

Alimentação: 0,50 0,70x = 0,35x

Já gastou: 0,30x + 0,35x = 0,65x 4

4 Sobra 0,35x

Poupança: 0,20 0,35x = 0,07x 4

4 Sobra 0,28x

Logo: 0,28x = 448 6 x = 1 600 4

4 R$ 1.600,00

Alternativa d Resolução da atividade 26

A taxa inicial foi de 280 mg/dL.

1? mês: redução de 25%

0,75 280 = 210 4 210 mg/dL.

2? mês: redução de mais 20%

0,80 . 210 = 168 4 168 mg/dL.

A taxa ao final dos 2 meses ainda é considerada alta (160 a 169).

Alternativa d

23 (IFPI) Um campo de futebol de 5 000 m2 teve sua grama podada por 5 homens que trabalharam 8 horas por dia durante 4 dias. Quantos homens com a mesma capacidade de trabalho seriam necessários para podar a grama de um campo de 6 000 m2, trabalhando 6 horas por dia em 2 dias?

Alternativa d

a) 3 homens

b) 6 homens

c) 10 homens

d) 16 homens

e) 18 homens

24 (ENEM) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3.800,00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de:

Alternativa c

a) R$ 4.222,22

b) R$ 4.523,80

c) R$ 5.000,00

d) R$ 13.300,00

e) R$ 17.100,00

25 (IFMT) Um trabalhador reserva 30% do seu salário para o pagamento da prestação de sua casa e 50% do que resta para alimentação. Tirando a prestação da casa e a alimentação, coloca 20% do que sobra na poupança e os restantes R$ 448,00 serão utilizados em outras despesas.

26 (ENEM) O colesterol total de uma pessoa é obtido pela soma da taxa do seu “colesterol bom” com a taxa do seu “colesterol ruim”. Os exames periódicos, realizados em um paciente adulto, apresentaram taxa normal de “colesterol bom”, porém, a taxa do “colesterol ruim” (também chamado LDL) foi de 280 mg/dL.

O quadro apresenta uma classificação de acordo com as taxas de LDL em adultos.

Taxa de LDL (mg/dL)

ótima menor do que 100 próxima de ótimade 100 a 129

limite de 130 a 159

alta de 160 a 189

muito alta 190 ou mais Disponível em: www.minhavida.com.br. Acesso em: 15 out. 2015 (adaptado).

O paciente, seguindo as recomendações médicas sobre estilo de vida e alimentação, realizou o exame logo após o primeiro mês, e a taxa de LDL foi reduzida em 25%. No mês seguinte, realizou novo exame e constatou uma redução de mais de 20% na taxa de LDL.

De acordo com o resultado do segundo exame, a classificação da taxa de LDL do paciente é:

a) ótima.

Alternativa d Alternativa d

b) próxima de ótima.

c) limite.

d) alta.

e) muito alta.

27 (FGV-SP) Rita compra bijuterias para revender. Em julho, ela comprou 3 pulseiras iguais e 10 colares iguais, pagando, no total, R$ 87,00. Em

agosto, ela comprou 10 das mesmas pulseiras, com desconto de 10%, e 25 dos mesmos colares, com acréscimo de 10%, gastando, nessa compra, R$ 243,00. Em julho, o preço de cada colar superava o preço de cada pulseira em:

Alternativa e

a) 30%

b) 32%

c) 36%

d) 40%

e) 44%

28 Suponha que um automóvel adquirido por R$ 80.000,00 se desvalorize 7% ao ano. Qual será o valor desse veículo 8 anos após a compra?

Considere 0,938 = 0,56.

a) R$ 52.000,00

b) R$ 37.500,00

c) R$ 44.800,00

d) R$ 61.340,00

e) R$ 39.800,00

Autoavaliação

29 (IFPI) Um investidor fez uma aplicação de R$ 22.000,00 durante um ano com 5% ao trimestre. Quais os juros simples dessa aplicação?

Alternativa a

a) R$ 4.400,00.

b) R$ 3.300,00.

c) R$ 2.800,00.

d) R$ 2.100,00.

e) R$ 1.100,00.

30 (UERR) Um morador da cidade de Caracaraí resolveu aplicar R$ 75.000,00 num fundo de renda fixa, numa instituição financeira que opera no seu município. Sabendo que essa instituição financeira remunera seus depósitos em renda fixa a uma taxa de 1,3% ao mês, no regime de juros simples, assinale a alternativa correta quanto ao montante resgatado pelo investidor no final do 5? trimestre.

Resolução da atividade 27

Sendo p e c, respectivamente, os preços de uma pulseira e de um colar no mês de julho, na compra de três pulseiras e dez colares Rita gastou R$ 87,00. Logo:

3p + 10c = 87.

Como em agosto o preço da pulseira tem desconto de 10% e o preço do colar sofre acréscimo de 10%, temos que na compra de dez pulseiras e cinco colares serão gastos R$ 243,00. Logo:

10p . 90% + 25c . 110% = 243

9p + 27,5c = 243.

De I e II, temos:

+=

+= pc p 31087 927, 5 243

Resolvendo o sistema, obtemos: p = 5 e c = 7,2, ou seja, R$5,00 e R$ 7,20.

a) R$ 89.630,00.

b) R$ 89.625,00.

Alternativa b Alternativa c

c) R$ 89.620,00.

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

d) R$ 89.635,00.

e) R$ 89.640,00.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Identifico e diferencio eventos dependentes e independentes.

Calculo a probabilidade de eventos dependentes e independentes.

Resolvo e elaboro problemas que envolvem conceitos de porcentagem.

Resolvo problemas que envolvem a razão entre grandezas de unidades diferentes.

Resolvo problemas que envolvem proporcionalidade direta entre duas grandezas.

Resolvo problemas que envolvem proporcionalidade inversa entre duas grandezas.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras. Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Daí, vem:

7,20 - 5,00 = 2,20

Logo, 2, 20 5, 00 = 0,44 ou 44%.

Ou seja, 44% é o percentual que o valor do colar supera o valor da pulseira.

Alternativa e Resolução da atividade 28 Essa é uma situação de aplicação de juro composto, mas considerando a desvalorização assim:

Após 1 ano: M = C - Ci = C(1 - i)

Após 2 anos:

M = C(1 - i) - C(1 - i)i

M = C(1 - i)(1 - i) = C(1 - i)2

Após 3 anos:

M = C(1 - i)2 - C(1 - i)2i

M = C(1 - i)2(1 - i) = C(1 - i)³

Portanto, podemos assumir que, para uma situação de desvalorização, M = C(1 - i)t, temos que:

M = 80 000(1 - 0,07) 8 =

= 80 000(0,93)8 = 80 000 0,56 =

= 44 800 4 R$ 44.800,00.

Alternativa c Resolução da atividade 29

J = C . i . t = 22 000 . 0,05 . 4 =

= 4 400 4 R$ 4.400,00.

Alternativa a Resolução da atividade 30 É necessário fazer um ajuste entre tempo e juro, então, o 5? trimestre corresponde a 15 meses.

J = C . i . t = 75 000 . 0,013 . 15 =

= 14 625 4 R$ 14.625,00.

Assim, o total resgatado foi de: 75 000 + 14 625 = 89 625 4

4 R$ 89.625,00.

Alternativa b

BORBA, Marcelo C.; SCUCUGLIA, Ricardo; GADANIDIS, G. Fases das tecnologias digitais em educação matemática: sala de aula e internet em movimento. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. v. 1.

Esse livro, além de sintetizar, de forma retrospectiva e original, uma visão sobre o uso de tecnologias em educação matemática, resgata e compila, de maneira exemplificada, questões teóricas e propostas de atividades, apontando, assim, inquietações importantes sobre o presente e o futuro da sala de aula de Matemática.

BOYER, Carl B. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

O livro apresenta a história da Matemática desde a antiguidade até os dias atuais, incluindo demonstrações com o auxílio do computador.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 mar. 2022.

O endereço acima direciona para a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), na íntegra. Documento que, com força de lei, norteia a Educação Básica em todo o país.

CAJORI, F. Uma história da Matemática. Rio de Janeiro: Moderna, 2007.

O livro traz uma visão abrangente da história da Matemática, desde a Antiguidade até o século XX.

CAZORLA, I.; MAGINA, S.; GITIRANA, V.; GUIMARÃES, G. Estatística para os Anos Iniciais do Ensino Fundamental. São Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2017.

O livro apresenta duas propostas de ensino desenvolvidas com turmas do Ensino Fundamental para a aprendizagem de tabelas, incluindo a utilização de planilha eletrônica, levando os estudantes a refletir de forma crítica sobre os dados e opinar sobre eles para tomar decisões.

CONTADOR, Paulo R. M. Matemática, uma breve história. São Paulo: Livraria da Física, 2012. v. I.

O autor apresenta, de forma agradável e de fácil compreensão, grande parte dos conceitos matemáticos desde sua criação até chegar à forma atual.

EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. 2. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 1997.

O autor apresenta a história da Matemática desde a Antiguidade até os tempos modernos, de forma clara e acessível. Alguns capítulos trazem panoramas culturais da época abordada.

FLOOD, Raymond. Os grandes matemáticos: as descobertas e a propagação do conhecimento através dos grandes matemáticos. São Paulo: M. Books, 2013.

O autor evidencia que a Matemática é uma ciência viva, fruto da curiosidade e de necessidades humanas, que permeia nossa vida cotidiana. Traz realizações de grandes matemáticos no seu contexto histórico.

GALVÃO, Maria E. E. L. História da Matemática: dos números à Geometria. Osasco: Edifieo, 2008.

O livro convida o leitor a acompanhar a evolução do conhecimento humano e científico, transportando-o a culturas e civilizações antigas.

GUSTAFSON, David R.; FRISK, Peter D. Álgebra intermedia. 7. ed. Cidade do México: Internacional Thomson Editores, 2006.

Obra de fácil leitura. Destaca termos que os professores devem enfatizar em sala de aula, de forma a levar os estudantes a estudos mais aprofundados em Matemática.

IFRAH, Georges. Os números: história de uma grande invenção. 10. ed. São Paulo: Globo, 2004.

O livro aborda a evolução do raciocínio humano desde a Pré-História, contemplando várias civilizações da Antiguidade.

LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: Edifurb, 1999. v. 1.

O autor faz um estudo da Matemática ao longo do tempo. Aborda diversas culturas e procura recompor o pensamento de cada uma delas.

MACHADO, Nilson José (org.). A Geometria na sua vida. São Paulo: Ática, 2001.

Essa obra evidencia a Geometria no dia a dia: na natureza, na arte, na história ou nas cidades. Propõe alguns desafios e mostra como a Geometria ajuda a solucionar uma série de problemas.

MAGALHÃES, Marcos Nascimento; LIMA, Antonio Carlos P. de. Noções de probabilidade e estatística. 7. ed. São Paulo: Edusp, 2013.

Esse livro apresenta conceitos de estatística descritiva, de modo a esclarecer a relação entre estatística descritiva, probabilidade e variáveis aleatórias.

NIVEN, Ivan. Números: racionais e irracionais. Rio de Janeiro: SBM, 1990.

A publicação mostra, em linguagem simples, critérios para classificar os números em diversas categorias. Ao longo dos capítulos, são propostos problemas e apresentados resumos do conteúdo.

ROONEY, Anne. A história da Matemática: desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. São Paulo: M. Books, 2012.

Esse livro evidencia a Matemática como ferramenta valiosa, que observa padrões e regras que governam o mundo desde a Pré-História até os dias de hoje.

SANTOS, Cleane A.; NACARATO, Adair M. Aprendizagem em Geometria na Educação Básica: a fotografia e a escrita na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. (Coleção Tendências em Educação Matemática).

As autoras exploram os conceitos geométricos, aliando o uso de imagens fotográficas às produções escritas dos estudantes.

VLASSIS, Joëlle; DEMONTY, Isabelle. A Álgebra ensinada por situações-problemas. Lisboa: Instituto Piaget, 2002.

O livro procura evidenciar o raciocínio dos estudantes da Educação Básica bem como as dificuldades enfrentadas por eles. Propõe a abordagem da Álgebra por meio de situações-problema.

ISBN 978-85-10-09325-5