Intervalle FBD SN-MAT-4171-2

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Mathématique Séquence Sciences naturelles

2e année du 2e cycle du secondaire

Inter va ll e MAT-4171-2

Modélisation algébrique et graphique en contexte fondamental 1

Cahier d’apprentissage • • • • •

Notions Exercices Problèmes SAÉ-SÉ Tests et examen formatif

Dominique Boivin Richard Cadieux Dominic Paul François Pomerleau Vincent Roy CONFORME AU PROGRAMME DE LA FORMATION DE BASE DIVERSIFIÉE

TABLE DES MATIÈRES PRÉSENTATION DU CAHIER ................... V TEST DIAGNOSTIQUE ................................... 1

CHAPITRE 1

MANIPULATION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES .................................................. 5 RAPPEL 1 Loi des exposants, opérations sur les expressions algébriques et mise en évidence simple ................... 7

CHAPITRE 2 RELATIONS ET FONCTIONS............... 113 RAPPEL 2 Relation, réciproque et fonction ............................ 115 SECTION 2.1 Fonction polynomiale du second degré ................ 123

SECTION 1.1 Résolution d’équations et d’inéquations................. 15

2.1.1 Paramètres multiplicatifs et additifs ................. 123

1.1.1 Résolution d’équations du premier degré à une ou deux variables ..................................... 15

2.1.3 Passage d’une forme d’écriture à une autre .... 139

1.1.2 Résolution d’inéquations du premier degré à une ou deux variables ..................................... 19 Consolidation 1.1 ........................................................ 28 SECTION 1.2 Opérations sur les expressions algébriques .......... 33 1.2.1 Multiplication d’expressions algébriques ........... 33

2.1.2 Propriétés ........................................................ 133 2.1.4 Recherche de la règle et description................ 148 2.1.5 Résolution d’équations du second degré à une variable ................................................... 153 2.1.6 Résolution d’inéquations du second degré à une variable ................................................... 158 Consolidation 2.1 ...................................................... 163

1.2.2 Division d’expressions algébriques .................... 39

SECTION 2.2 Fonctions en escalier et partie entière .................. 169

Consolidation 1.2 ........................................................ 45

2.2.1 Fonction en escalier ......................................... 169

SECTION 1.3 Factorisation et expressions rationnelles ............... 49 1.3.1 Mise en évidence double ................................... 49 1.3.2 Trinôme carré parfait et différence de deux carrés.................................................... 55 1.3.3 Complétion de carré ........................................... 62 1.3.4 Factorisation de trinômes................................... 67 1.3.5 Factorisation de trinômes à l’aide des racines ... 73 1.3.6 Réduction d’expressions rationnelles ................ 78 Consolidation 1.3 ........................................................ 84 SYNTHÈSE 1 .............................................................. 89

2.2.2 Fonction partie entière et paramètres .............. 172 2.2.3 Propriétés ......................................................... 179 2.2.4 Description et représentation ........................... 183 Consolidation 2.2 ...................................................... 188 SYNTHÈSE 2 ............................................................ 193 BANQUE DE SA 2 .................................................... 201 SAÉ 2 : Les saines habitudes de vie ....................... 207 TEST 2 ...................................................................... 210

GARDER LE CAP CHAPITRES 1 ET 2 ....................................217

BANQUE DE SA 1 ...................................................... 97 SAÉ 1 : Un héritage bien partagé ........................... 103 TEST 1 ...................................................................... 106

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TABLE DES MATIÈRES

III

CHAPITRE 3

DROITES ET SYSTÈMES D’ÉQUATIONS .............................................. 221

RÉVISION ....................................................... 295

RAPPEL 3 Taux de variation, recherche de la règle et systèmes d’équations ......................................... 223

BANQUE DE SA ......................................... 305

SECTION 3.1 Droites ...................................................................... 231

SÉ 1 : Le centre de recherche médicale .......................................... 315 SÉ 2 : Les vols spatiaux habités .. 318

3.1.1 Équation d’une droite ....................................... 231 3.1.2 Position relative de deux droites ...................... 241

EXAMEN FORMATIF ................................ 321

Consolidation 3.1 ...................................................... 248

GLOSSAIRE ................................................... 331 SECTION 3.2 Résolution de systèmes d’équations à deux variables ....................................................... 250

ANNEXES .......................................................337

3.2.1 Système d’équations du premier degré ........... 250

CORRIGÉ ....................................................... 341

3.2.2 Système d’équations composé d’une équation du premier degré et d’une équation du second degré ................................................................ 258 Consolidation 3.2 ...................................................... 263 SYNTHÈSE 3 ............................................................ 267 BANQUE DE SA 3 .................................................... 275 SAÉ 3 : Le comité consultatif .................................. 281 TEST 3 ...................................................................... 284

GARDER LE CAP CHAPITRES 1 À 3 ...................................... 291

IV

TABLE DES MATIÈRES

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PRÉSENTATION DU CAHIER Le cahier Intervalle, MAT-4171-2 : Modélisation algébrique et graphique en contexte fondamental 1 s’adresse aux élèves de la 2e année du 2e cycle du secondaire en mathématique de la Formation de base diversifiée (FBD), séquence Sciences naturelles (SN). Il comporte un Test diagnostique suivi de trois chapitres. Après le chapirte 2 et après le chapitre 3, une rubrique Garderle cap est proposée. À la fin du cahier, on trouve, dans l’ordre, une rubrique Révision, une rubrique Banque de SA, deux situations d’évaluation (SÉ ), un Examen formatif, un glossaire, des annexes et un corrigé du cahier. p. 339

GNOSTIQUE

TESTDI multiple

Questions à choix

us, laquelle algébriques ci-desso

correspond au

développement

du produit

ons Parmi les expressi 5x 1 2 ? de 4x 2 3 par 5 de 4x

1

20x2 2 6 d) 20x 7x 2 6 20 2 2 7x c) 20x 9x 2 1 b) 9x 2 8 et 216a ? algébriques 18a des expressions 2 d) 2a grand facteur commun 2 2 Quel est le plus c) 6a 2 b) 18a le-solution a) 2a correspond à l’ensemb graphique qui la représentation  R, déterminez x que 3 Sachant 4x 1 5 , 17. 4 de l’inéquation 4 5 b) 1 0 1 2 3 20x 2 6 a) 20x

TEST DIAGNOSTIQUE

a)

Le Test diagnostique vous permet de vérifier la maîtrise des connaissances préalables à la poursuite de votre parcours en 2e année du 2e cycle du secondaire pour le cours MAT-4171-2. Il comprend quatre pages comportant des questions à choix multiple et des questions à réponse courte.

5

4

3

2

1

0

1

5

4

3

2

5

d) p. 339

réponse court

e

14 Pour chacu

4 Parmi

ons suiva

;

10 8 6 4 20 2 4 6 8 10

4

3

3

2

2

1

0

3)

;

ci-dessous, lequel b)

la valeur initial écrit en notation e ; 0,000 657 8 nd au nombre 6) le signe correspo . 24 y 6,578 3 10

50 40 30 20 10

2 4 6 8 710 x 40

20

0 10 20 30 40 50

2

1

8

2)

40

10 8 6 4 2

x

1)

3)

2)

4)

3) 4) 5)

6)

15 Déterminez a) 16a 4b 2 2

60.

[

y

20

5)

5

b25

b

;

4

3

2

1

y 3x 2 ? ns y 5 x 22 système d’équatio

ez :

2) le codom aine

5) la variat ion

6 Parmi les nombres

1)

4

ntes, indiqu

5

y 10 8 6 4 2

5

te la solution du us, lequel représen les couples ci-desso

ne des foncti

1) le doma ine

4) les zéros ;

a)

5

4

3

2

Questions à

2 0 2 4 6 8 10

x 2 4 6 8 10

STIQUE TEST DIAGNO

1

6)

les facteu

rs de chacu

4ab 3

ne des expre

ssions algéb

riques suiva

ntes.

b) 12 12yy 6z 5 2 72 72yy 4z 3 1 18y 18y 2z 4

16 Réduisez chacu

ne des expre ssions algéb a) (3a 3b 2 riques suiva 1 4a 4)(2ab 2 7b 3) ntes. b) (5x (5 6y 4 2 8x 8 4y 3)(6 )(6xy xy 5 1

CHAPITRES

Chacun des trois chapitres du cahier débute par une page d’introduction où figure une mise en situation qui met en rapport les savoirs à acquérir et leur utilité dans la vie de tous les jours. Une rubrique Programme d’études présente ensuite la liste des énoncés du programme qui sont à l’étude dans le chapitre.

© 2015, Les

Éditions CEC

inc. Reprod uction

interdite

CHA

PIT

Man ip d’exp ulations ressio Dans ns alg ce ch de apitre base , vo éb rés es

3 3y 6) 3x

RE

rique

1

us se olutio n d’é ntiels à étudierez les RA ex la po qu PP ce EL d’exp pression ations ursuit rtains Lois 1 conc des foncti ressions s algéb et d’iné e de sur les exposa ce co epts alg quati ons. ration riques, et mis expressio nts, opéra nelle la fac ons, les urs. En ébrique e en tions ns alg Plus s s so évide torisa précis opéra effet, nce ébriques nt tio des la simple esse émen tions éq SECT ntiell n et la ...... t, vo sur varia uations 7 es ION réd us Ré bles, et uc à l’é y ap solutio 1.1 Tous à mu des iné prend tude tion n d’é et d’in quati ces rez, équat quatio des votre conc ltiplier, on ns en ions s du à div tre au epts .......... pre l’ingé quotidie ise .......... SECT n, qu sont à la r et à mier de tres, à nierie .. rés 15 calcu gré fac e , base ION ou Opéra ler le de l’aéro ce soit 1.2 des toriser de à une ou dre monta dans foncti spati expres tions sur deux s po les ale nt d’u on le sions lyn algéb ne co ou en domaine s qui mo ômes. riques co urse dé ......... en tax re tout de la sa lisent SECT 33 simple nté i. MAN ION ment , de Factor 1.3 IP pour ALGÉ ULAT ration isation IO et

Prog

ramm

s

TABLE DES MATIÈRES

e d’ét

udes

BR nelles exp IQUE N D’EX .......... ressio • Op S (p PR éra .......... ns ESSI . 34 polyn tions sur ......... SYNT ON 5) ômes les exp 49 S HÈ • Dé par esssio SE un bin res velop ion 1 ..... ôme, nss algéb ........ d’ident pement, riques réduct 89 BA réd NQ ion d’e (mu de de ités algéb éduction UE ux car ou riques xpress ltiplication DE • Co rés) SA remarq substitutio ions , div ......................... 5 mpléti 1... 97 ration isio ........................................ n d’e uables SA on de nelles n de ALGÉBRIQUES • Fac xpress É1 (trinô carré D’EXPRESSIONS ) .......... torisa ions LATION me car MANIPU tion ..... à • Ré l’aide .......... ré pa de trin solutio rfait ...103 ômes es TEST n d’é et diff à une RAPPEL 1 à l’ai ...... 7 les expressions algébriqu quatio érence ou de 1 ..... de de ................................ s, opérations sur ns et .......... ux var ................................ Lois des exposant racine ................................ .......... iables d’inéq s uation en évidence simple 106 mise et s du pr mie pre 15 r de ................................ gréSECTION 1.1 ................................

CHAPITRE 1

................ . 15 ns et d’inéquations ................................ Résolution d’équatio à une ou deux variables.. 19 s du premier degré ................................ 1.1.1 Résolution d’équation à une ou deux variables ........ 28 ons du premier degré ................................ 1.1.2 Résolution d’inéquati ................................ ................................ Consolidation 1.1 ................ .......................... 33 ................................ ................ SECTION 1.2 es ........... 33 expressions algébriqu ................................ Opérations sur les s ................................ ...... 39 d’expressions algébrique ................................ 1.2.1 Multiplication ................................ ........ 45 ons algébriquess.............. ................................ 1.2.2 Division d’expressi ................................ ................................ Consolidation 1.2 ................ p. X ............... 49 ................................ ................................ ... 49 ................ ................ ................................ 55 ................................ ............................ ................................ .......... 62 ................................ ................................ .. 67 ................................ ................................ ................................ ................................ .................. 73 ................ ................................ ................ 78 ................................ ................ ................ ........................ 84 ................................ ................................ ................................ LOIS DES EXPOSA 89 NTS .............................. ................................ Les lois des exposants ................................ ...... 97 permettent d’effectuer ................................ ................................ des opérations qui la forme exponentiell font intervenir des ................................................ e. expressions écrites .......... 103 ........... ................................ sous ................................ ................................ Loi ................................ ................ ........................ 106 ................ ............................... Produit de puissances Exemple ................................ ...... 106 ................................ ................................ ................................ ................ ................................ Pour a  0 : a m 3 a n ...... 110 54 3 53 5 54 1 3 5 57 5 am 1 n ................................ 5 78 125 ................................ ................................ Quotient

Enfin, un sommaire du chapitre est présenté pour faciliter le repérage.

R PPE L 1

Au verso de la page d’introduction se trouve une table des matières détaillée du chapitre.

Lois des exposants, opérati ons sur les expressions algébriques et mise en évidence simple

1

de puissances

Chaque chapitre commence par une rubrique Rappel de huit pages qui vise à réactiver les connaissances préalables à l’acquisition des concepts abordés dans le chapitre. On y trouve un ou des encadrés théoriques suivis de quelques exercices et problèmes.

m Pour a  0 : a 5 m 2 n a an

96 5 96 2 2 5 94 5 6561 92

Pour a  0 et b 

0 : (ab ( ) m 5 a mbm

(3 3 8)2 5 32 3 82 5

Puissance d’une puissance Pour a  0 : (a ( m) n 5

(43)2 5 43 3 2 5 46 5

a mn

CEC inc. • Reproduction

interdite

9 3 64 5 576

4096

Puissance d’un quotient Pour a  0 et b 

1

a

0:   5 a b bm m

4

4  5 5 5 5 625 , soit   6 0,482. 64 1296

m

Récrivez chaque expression sous la forme d’une puissance de la base a) 139 3 132 donnée. b) (123)5 c) 54 4 57

11 2 d)  4 

 43 

© 2015, Les Éditions

CEC inc. • Reproduction

3 e) 6 3 6 5

612

f)

( 34 3 33 )2 ( 35 ) 22

interdite CHAPITRE 1

© 2016, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

© 2015, Les Éditions

Puissance d’un produit

RAPPEL 1

7

PRÉSENTATION DU CAHIER

V

Chaque chapitre est divisé en deux ou trois sections, chacune étant subdivisée en sous-sections de trois à dix pages présentant la ou les notions à l’étude, étape par étape. Chaque sous-section est composée d’un encadré théorique ou plus comportant cette ou ces notions accompagnées d’un exemple et d’une démarche, s’il y a lieu. Lorsque nécessaire, on trouve également une rubrique En pratique qui permet de modéliser un exercice à effectuer ou un problème à résoudre. Chaque encadré théorique est suivi d’exercices destinés à l’application des nouvelles notions.

1.1 1.1.1

Résolution

Résolution

ÉQUATIO

N

Une équat

ion est une

Exemples

d’équations

d’équations

relation mathé

: 1) 5 5x 1 1 5

matique qui

36

du premier

2) 12b 2 95

RÈGLES

nir le symbo

semblables les termes d Réunissez nnant d’abor en additio é. ensemble côté de l’égalit 10,5a de chaque

une variab

© 2015, Les

Éditions CEC

le.

X 7a

10,5a

5 = 12 + 5 22,5a – 5 + 22,5a = 17

semblables les termes Réunissez nant nnant mainte en additio é. côté de l’égalit 5 de chaque t chaque e a en divisan Isolez la variabl 22,5. l’égalité par membre de

22, 5a 22, 5

=

a=

17 22, 5 34 45

inc. • Reprod

uction interdit e

1

e) 5b 2 4 5

2 1 2y

2( 1 2) 5 g) 2(x

2

f)

b

k 5112 10

i) 3 2 2 x 5

2(3 2 1) 2(3x

7(2 2 3) 5 h) 7(2x

x18

1

Résolution

d’équations

et d’inéquat

PRÉSENTATION DU CAHIER

Éditions CEC

e uction interdit

inc. • Reprod

ions

p. X

CONS

1

OLID

TION

1.1

Pour chaq ue équation, détermine a) y 5 z la valeu 0,4 1 5,1 0,4x r de y à partir x 5 12 de la valeu b) y 5 2 r de x donn 10,2 2 10,2x ée. 4,6 x 5 8,3 c) y 5 2 9x 9 1 11 x 5 23

2 Pour chaq

ue équation, détermine a) y 5 z la valeu 5x 5 2 6,4 r de x à partir y 5 3,2 de la valeu b) y 5 2 r de y donn 2,1x 1 2,14 ée. y5 c) y 5 7,3 2 8 7,3x y54

p. X

1

1

SYNTHÈSE

5

n suivante : (3a

Effectuez l’opératio

1

2 ). 4 3 2 3 6ab)(5a b 2 4ab b4 1 11a b 2 , résolvez chaque inéqu

ation ci-de

chaque 2 Effectuez

division suivante (7a 2 12)

et exprimez le

ssous et

représente

z l’ensembl

e-solution

16

s’il y a lieu. d’une fraction, reste sous la forme (10 2 7) 59 2 56) 4 (10x (30x2 1 59x b) (30x

90) 4 (56 2 138a 1 a) (56a 2

2

toutes 3 Sachant que

les mesures sont

en centimètres,

dans chaque cas,

p. X

es rsonn rise es pe rep certain une ent us, ire de 3x m, 3 desso mémo er la ée cide 0,0 soulign orme illustr béton est béton. pour de tef lle de morial dalle la pla l r la da un mé autour de seur de la moria coule ruire pour Le mé béton const l’épais t lité e de ipa qu veu lle ipalité uler la da 3 . Sachant er la munic n m munic co urs 144 de béto Une 25 $/ 2 24x Pour débo Dalle pour x rues. devra A plateforme vices dispa que ses ser montant le offre minez déter

QU B N

1

E DE

Plate

forme

SA 1

carrée (2x

6

8

10

ion algé-

Losange

6 ?

8

10

Reproductio

n interd ite

?

9

6a 7

33x 1

2

2 1 7) cm A 5 (12a 2 20a

2

24) cm

26) m SYNTHÈSE

CHAPITRE 1

(2x

4

déterminez l’express

c)

Triangle

1

89

1

26) m

p. X

SAÉ 1

> Un héritag

e bien par

tagé

Un père de famille décéd é lègue la enfants. Un totalité de notaire est ses biens mandaté pour puis pour à ses les répartir inventorier selon les souha tous les biens , its du défun Cette situat t. ion d’apprentis sage et d’éva d’en appre ndre davan luation vous tage sur le permet personne partage de défunte. l’héritage d’une

TÂCHE

1

1:

Photo bass

1

e résolutio

n

La superfic

ie de

deux terra Au cours ins de ses reche ci-dessou rches, le notaire déco s. Détermin ez la supe uvre que le père poss rficie total e de ces édait les deux terra deux terra Terrain 1 ins. ins illust

rés

onse

Rép

5, Les

Éditions

CEC

Terrain 2

inc. •

(3x 2 4x) xx)

© 201

(11x 3 12x 2

(5x 3 2x 2

m (6x 2 4)

5) m

(8x 3 10x 2

© 2015,

3) m

m

1) m

Réponse : Les Édition

s CEC inc.

• Repro

duction

interdite

CHAPITRE

VI

11 5

24 x

2

© 2015, Les

CHAPITRE

16

19

2 4 2 5 5 2x c) 4x

suivante. e équation 8 1 4t b) 8t 2 4 5 Résolvez chaqu 18 2 135x a) 2x

2 1358 d) 2y

Chaque section se termine par une rubrique Consolidation de quatre à six pages qui propose des exercices et des problèmes en contexte visant à réinvestir l’ensemble des notions traitées dans les sous-sections.

Un pictogramme indique le numéro de page où se trouve le corrigé.

bles

et au moins

+ – 5 = 12 – 10,5a 12a + 10,5a 12 22,5a – 5 =

1,5.

8 - 7a par

1

Vient ensuite une situation d’apprentissage et d’évaluation (SAÉ ) sur trois pages dans laquelle vous devez effectuer trois tâches en lien avec le thème de la SAÉ.

le d’égalité

7 1 4c

En pratique

1

Des exercices et des problèmes vous permettent ensuite de vérifier et de consolider votre compréhension des notions fraîchement acquises.

À la suite de la Synthèse se trouve la Banque de SA. Il s’agit d’une rubrique de six pages qui comporte de courtes situations d’apprentissage (SA) permettant d’intégrer l’ensemble des connaissances acquises au cours du chapitre.

1

ns

ou deux varia

DE TRAN 3) y 5 9x SFORMAT 9x 2 23 • Les règles ION DES de transfo ÉQUATIO rmation des c’est-à-dire NS équations des équati permettent ons qui ont • On conse d’obtenir la ou les des équati rve la ou mêmes solutio ons équiva les solutio ns. ns d’une lentes, équation – en additio : nnant ou en soustr aux deux Exemples ayant le même membres d’équations nombre de l’équa équivalentes tion ; 1) 7 : 7xx 2 3 5 19 – en multip 7 7x 1 2 5 liant ou en 24 7x 2 3 1 7x divisant les 5 5 19 1 membres 5 deux 2) 4x de l’éq 4 115 12 nombre différe uation par un même 4 4x 2 8 5 nt de 0. 3 RÉSOLUTI ON D’UN DU PREM E ÉQUATIO IER DÉG N RÉ À UNE • Résoudre VARIABLE e une équati on à une la ou les variable, valeurs de c’est déterm la variable p. Xqui • Il est possib vérifient l’équa iner le de r tion. afin d’obte nir une équati on équiva lente dans laquelle la Exemple : variable est On veut résoud isolée. re l’équation uer. 8x 1 9 2 8x 8 exercice à effect 8x 5 3x 8x 3 Voici un 7a). 926 52 5 1,5(8 2 5 5x : 12a 2 5 l’équation Résolvez 3 4 25 5 2 5 5x le. che possib X 8 – 1,5 de démar x 5 20,6 exemple 12a – 5 = 1,5 un Voici multipliez e de droite, = 12 – 10,5a Dans le membr binôme termes du chacun des

Dans le texte courant, le gras est utilisé pour mettre en évidence les termes importants. Les mots en bleu et en gras sont définis dans le glossaire situé à la fin du cahier.

Une récapitulation en huit pages, appelée Synthèse, vient à la suite de la dernière section d’un chapitre. On y trouve des exercices et des problèmes en contexte portant sur l’ensemble des notions présentées dans le chapitre.

et d’inéquatio

degré à une

fait interve

1

SAÉ 1

103

© 2016, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

TEST 1

1

Finalement, un Test de sept pages clôt le chapitre. Celui-ci est divisé en deux parties : la partie Évaluation explicite des connaissances, sur un total de 20 points, et la partie Évaluation des compétences, sur un total de 80 points. Ce test, en tout point conforme à celui qui sanctionne le cours MAT-4171-2, vous permet d’avoir une rétroaction rapide sur l’état de vos apprentissages et du développement de vos compétences. Le corrigé des tests n’est pas disponible dans le corrigé du cahier.

QUESTI

ON 1

Dans chaq

Évaluation explicite des connai ssances

ue cas, effec

tuez l’opé

a) (15x (15 5

1

1

Évalua

tion de

s com

pétenc

réduisez

le résultat

à sa plus

Résultat :

simple expr ession.

/20

/6

/80

at :

Résult

TEST

ration, puis

es

r e. Pou matiqu

thé e ure ma salariale de ranc de nat sse tions assu t la ma prédic rs don es d’ utres facteu et d’a prim sieurs rances Les lyse plu d’assu

/25

ana primes tuaire culs de reprise, l’ac . orie en cal ues ent listes r catég d’une des risq spécia rance on leu ements ation sont des d’assu que l’évalu yés sel seign uaires de la prime emplo s ren é ainsi Les act nt pe les fournit de sécurit monta nt regrou cote de fixer le tuaire u suiva e rise, sa ial l’ac trep tablea se, l’en e salar trepri el. Le ne en aire annu mass ployé d’u La em n : ale sal d’u ari ) E1 leur annuel dollars sse sal és et TÂCH Salaire liers de r la ma d’employ (en mil re évalue loyés nomb 4 Pour d’emp loi, le 13x 1 Nombre d’emp . 8 sujet à ce 1 21x 2 mploi 2x 2 2 rie d’e 5 Catégo 3 2 3x 2 2 2x 2 1 7 2 7x soutien x14 2 5 yés de 5 2 5x 6 1 6x Emplo ciens x13 Techni eurs Ingéni se. trepri tte en Cadres de ce ariale sse sal z la ma mine Déter

Reproductio

n interd ite

rdite

GARDER LE CAP

5, Les

Éditions

CEC

inc. •

inte uction

rod

Rep

© 201

: onse

Les rubriques Garder le cap vous permettent de garder à jour les connaissances acquises tout au long de votre parcours. On y trouve notamment des exercices et des problèmes en contexte qui portent sur les notions étudiées dans le chapitre que vous venez de terminer et sur celles du ou des chapitres précédents.

Rép

110

CHAPI

TRE

TEST

1

1

p. X

GAR 1

DER

LE

Effect

CAP

Chap

uez cha cune a) ( 2 des op 9ab 1 ération 2b) (4a 2 s suivan 2 5a) tes

itres

. b) (42 2 y

c) ( 2 68x 68 2

1 134

x 1 2)

4 ( 24x 4

1 et 2

2 74y 74

2 20)

4 (21

y 1 5)

1 6) d) (7x (7 4y 3

2 9x 9 2y 2 )(3x )(3 2y 3 2

2xy 2xy) xy)

2 Fac tor

isez cha cune a) 2a 3 des exp b2 2 3 4a b ressio 1 4b ns sui 28 van

tes. b) x 4 2

16

RÉVISION

La rubrique Garder le cap est suivie d’une rubrique Révision de dix pages qui permet de survoler l’ensemble des notions vues dans le cours MAT-4171-2. Cette rubrique propose des questions à choix multiple, des questions à réponse courte et des questions à développement, et se veut un retour sur l’ensemble des connaissances, dites explicites, acquises dans le cadre du cours.

ION RÉ IS

p. X

Questions

1

36,25

y

iple

à choix mult

40

nomiale tion poly une fonc ci-contre On a tracé é. nd degr e du seco croissanc rvalle de l est l’inte ? a) Que fonction 6] 2 cette 2, de 2) [ 1 [ 2 2] ∪ [6, 2 1) ] , ]2 , 2]

32 24 16 8

4)

10

8

6

4

rvalle de l est l’inte ? b) Que fonction de cette 1 [ 2 2] ∪ [6, 2 1) ] ,

positivité

8

x

10

8

16

24

6] 2 2) [ 2,

6

4

2

0

2

1 [ 3) [2,

32

40

CA

P 2] 2 4) ] , 1 [ 217 spond el corre 2 6) 3) [2, ? ants, lequ 4) (2, les suiv la parabole 6) 2 met de i les coup 3) ( 2, du som c) Parm données 2 2) aux coor 2) (0, 2 6) 2 2 6 2 ? 3 (x 2) 2 tion 1) ( 2, ( x) 5 8 (x) f(x cette fonc 2) f( règle de 2 2 6 lle est la Que 3 2) d) ( 1 x) 5 8 (x 3 ( 2 2)2 1 6 (x) f(x 4) f( x) 5 8 (x (x) f(x 1) f( ie ? pas défin 2 3 ( 1 2)2 1 6 x 3 n’est-elle rx5 4 x) 5 8 (x (x) f(x d) Pou nnelle 2x 8 3) f( 2 ion ratio rx5 3 x l’express c) Pou valeur de r quelle it rx53 2 Pou b) Pou carré parfa 8 trinôme p. X 5 un x à r d a) Pou correspon 2 n suivants c) x 1 e d’équatio nômes droit poly la à el des 2 16 culaire b) x 2 3 Lequ e perpendi 2 d une droit 16 a) x 1 s correspon suivante équations elle des c) solution 4 À laqu 2 2 ? x comme 2 vide 1 4 le y 5 4x 5 La valeur d’une emb 4 b) y que l’ens action 2 4x 4 12 s n’admet Le graphique a) y 5 ci-dessou ci-contre uations montre les d’experts èmes d’éq prévisions en écono el des syst mie quant 12 d’une action 5 Lequ b) y 7x pour les année à la valeur tions 22 s à venir. 4 ité de solueux, la valeur de l’actio y 7x Selon a) y 3x et une infin n devrait se la région hachu 4 situer dans ssous adm y 3x rée du graph ns ci-de après ique. Dix-se uatio sa mise en march pt ans èmes d’éq é, est-il possi la valeur de el des syst 14 ble que l’action soit 6 Lequ b) y 5x de 11 $ ? ) x 14 21 y 5( a) y 3x 7) y 3(x

B NQUE DE

duction

© 2015,

ns CEC

Les Éditio

inc. • Repro

SA

prix d’une

action

10

8

6

interdite

4

BANQUE DE SA

À la suite de la rubrique Révision est proposée une rubrique Banque de SA, comme celles qu’on trouve à la fin de chacun des chapitres. Présentée sur dix pages, elle propose de courtes situations d’apprentissage (SA) en lien avec l’ensemble des notions du cahier.

Prévision du

Valeur ($)

Sommet de la parabole

(0, 2,80) 2

0

2

4

6

Réponse :

2

La fiche d’ide

8 10 Temps écoulé depuis la mise en marché de l’action (années)

ntité

Le somm et d’une parab ole est situé la droite oite d’équ sur l’axe des ation 4 4x 2 y 1 abscisses remplissez 8 5 0 passe du plan cartés le tableau par l’ordo suivant. ien. Sacha nnée à l’origi nt que ne et le somm • Sommet et de la parab de la parab ole, ole : (22, 0), • La parab soit le zéro ole passe de la droite par (0, 8), soit la valeu . r initiale de la droite. Équation

Droite 4 4x

Domaine

Parabole

Codomaine

che médicale

recher

tre de SÉ 1 Le cen

des où sont testés le est un lieu à la recherche médica qu’ils en sont Un centre de lement alors de nouveaux aceutiques, généra entre autres, produits pharm s peut y tester, d’analyse. On à jour des donnée dernière phase , ou encore mettre et des vaccins médicaments ts. s médicaux existan sur des produit

BANQUE

DE SA

307

r la

mente centre . Afin d’aug ssement du dernière, même temps patients en 1: L’agrandi section. Cette oir quatre TÂCHE analyse ajoutant une peut recev experts en centre en y nt, le centre taires. Les 2 agrandir le dans ts supplémen par patient 1 Présenteme , les chercheurs veulent 1 640) m oir 12 patien 2

SITUATIONS D’ÉVALUATION (SÉ)

Deux situations d’évaluation (SÉ ) sont offertes, chacune comportant trois tâches réparties sur trois pages. Les SÉ vous permettent d’évaluer l’état du développement des compétences à acquérir dans le cadre du cours MAT-4171-2 en plus de vous préparer à la partie Évaluation des compétences telle qu’on la trouve dans l’épreuve édictée pour ce cours. Contrairement aux SAÉ de fin de chapitre, les corrigés des SÉ ne sont pas disponibles dans le corrigé du cahier.

© 2016, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

800 ? ttra de recev productivité (250x 1 800x contrainte ale de (250 onale, perme cte-t-il cette nne minim de forme octog ficie moye proposé respe nt une super ns. Le plan L médicale exige les deux sectio , ce qui inclut L tout le centre

A rectangle (1500x

Réponse :

© 2015, Les

Éditions CEC

2

4800x

2

3840) m

SÉ 1

317

te uction interdi

inc. • Reprod

PRÉSENTATION DU CAHIER

VII

EXAMEN FORMATIF

TIF FORM s connaissance explicite des Évaluation

EXAM 1

N QUESTIO

Un Examen formatif de dix pages, en tout point conforme Ă celui qui sanctionne le cours MAT-4171-2, est offert Ă la fin du cahier. Il comporte deux parties distinctes. La partie Évaluation explicite des connaissances comporte cinq questions de connaissances et reprĂŠsente 20 % de la note de l’examen. La partie Évaluation des compĂŠtences comporte quatre tâches, la dernière demandant de confirmer ou de rĂŠfuter une affirmation. Cette partie reprĂŠsente 80 % de la note de l’examen. Ici aussi, le corrigĂŠ de l’examen formatif n’est pas disponible dans le corrigĂŠ du cahier.

ration, puis

l’opÊ Effectuez

EN

rĂŠduisez

/20

RĂŠsultat :

/4

ssion.

simple expre

Ă sa plus le rĂŠsultat

2 x 2 + 3x +  2 + 2x + 1 x −4 x 6 x 2 − 5x +

Évaluation des

2

compĂŠtences

RĂŠsultat :

Les resso urce

s ĂŠnergĂŠtiq De façon naturelle ues renouvela , l’Ênergie se prĂŠsente bles sous diffĂŠrentes formes. Selon leur disponibilitĂŠ et leur vitesse de on classe les ressourc renouvellement, es ĂŠnergĂŠtiques en deux catĂŠgorie ressources ĂŠnergĂŠtiq s : les ues renouvelables et non renouvel Une ressource ables. ĂŠnergĂŠtique renouvel able peut se reconstit se renouveler de uer ou façon naturelle au cours de la durĂŠe ĂŞtre humain. L’eau de vie d’un en mouvement, le vent, la terre des exemples de et le soleil sont ressources naturelle s servant Ă la productio d’Ênergie renouvel able. n

/80

Dans cette section, vous rĂŠaliserez diffĂŠrentes tâches l’univers des ĂŠnergies en lien avec renouvelables. TĂ‚CHE 1: L’Ênergie marĂŠm otrice

L’Ênergie marĂŠm otrice est obtenu produire, entre e par le mouve ment des marĂŠes autres, de l’Êlectr /20 . Ce type d’Ênerg icitĂŠ au moyen concernant la quantitĂŠ d’Êlect de centrales ie permet de marĂŠmotrices ricitĂŠ produit Ă partir de minuit. . Voici des renseig e par deux central nements es marĂŠmotrices au cours d’une journĂŠe, • La quantitĂŠ Centrale A q d’Ênergie (en MW) produit oĂš t correspond e par la central au temps (en e est donnĂŠe h) ĂŠcoulĂŠ depuis par la règle q minuit. 5 2 1 ((tt + 3)(t 3

• À minuit, la Centrale B centrale produit 28 MW. • À 18 h, la central e produit 46 MW. • La quantitÊ q d’Ênergie (en MW) produit depuis minuit, e par la central selon une fonctio e varie en fonctio n reprÊsentÊe n du temps t par une droite.

– 20),

(en h) ĂŠcoulĂŠ

RÊponse : Š 2015, Les

Éditions CEC

inc. •

interdite Reproduction

328

EXAMEN

FORMATIF Š 2015, Les

GLOS

GLOSSAIRE

aire

L’aire de ce

rectangle

est de 8 unitĂŠs

Un glossaire de six pages se trouve à la suite de l’examen formatif. Chaque mot en bleu et en gras dans le texte courant du cahier y est dÊfini.

cathète

le

Exemple :

A Hypo

thĂŠn

Cathète

axe de symĂŠtrie

Axe de rÊfl exion d’une c’est-à -dire fi d’une figure gure symÊtrique, image par qui est sa rÊflexion propre .

Exemple :

ction interdite

Chaque côtÊ de l’ang le droit d’un rectangle. triang

carrĂŠes.

A 4 2 8u 2

2 4

inc. • Reprodu

S IRE

Mesure de la ou une courb surface dÊlimitÊe par e. L’aire, A, se mesu une figure carrÊes. re en unitÊ s

Exemple :

Éditions CEC

use

C

Cathète

B

constante

Valeur invar iable, contr airement et aux param aux varia ètres

Axe de symĂŠtrie

. bles Exemple : Dans l’expre ssion algÊbri et le terme que 3x 8 sont des 8, le coeffi constantes. cient 3

contract

ion

RĂŠduction d’une figure d’Êchelle, par un chan soit horiz gement ontal horizontal e), soit vertic (contraction al (contractio Contraction n verticale). verticale : 0 |a|

axe des abscisse

s

Droite gradu ĂŠe horizontal dĂŠtermine e permettan r l’abscisse t de d’un point cartĂŠsien. dans le plan L’axe des abscisses axe des est aussi x ou axe horizontal appelĂŠ Exemple : .

Exemple :

1

ff(( x ) x 2

y

Axe des abscisses

axe des ordonnĂŠe

s

g( x )

NNEXE N

coordonn

ĂŠe

IQUES

SYMBOLES TIONS ET 1 – NOTA

ANNEXES

x2 2

MATHÉMAT

Notation et

Signification

symbole r ou ĂŠgal à ‌ ‌ est supĂŠrieu  ou ĂŠgal à ‌ est infĂŠrieur  nombres naturels a et b Ensemble des Intervalle incluant b [a, b] nombres entiers a et excluant Ensemble des s z Intervalle incluant nombres rationnel [a, b[ incluant b carrĂŠ Ensemble des excluant a et de els q Intervalle ]a, b] nombres irrationn a et b Ensemble des Produit de Intervalle excluant q' rĂŠels deux facte ]a, b[ nombres de e urs ĂŠgau Exemples Ensembl Infini rx. : ` d’ensembles Union ou rĂŠunion OpposĂŠ de a âˆŞ 2a Ensemble vide 2) 6,25 est 1 Inverse de a [ ou { } le carrĂŠ de ‌ a 21 ou a 2,5. ‌est ĂŠgal Ă 5 diffĂŠrent de ‌ sement en x à ‌ ou ‌est Variation ou accrcois ‌n’est pas ĂŠgal Dx Š 2015, à ‌ â€Śîƒžâ€Ś Les Édition sement en y ativement ĂŠgal s CEC inc. Variation ou accrcois • ‌ est approxim Dy près ĂŠgal à ‌ ou ‌est Ă peu ‌<‌ rà ‌ ‌ est supĂŠrieu . ‌ est infĂŠrieur à ‌ ES , RES PLAN E DES FIGU D’AIR LE ULES CERC E D’UN 2 – FORM gramme ONFÉRENC Aire d’un parallĂŠlo ET CIRC Notation et symbole

degrĂŠ

Signification

N

Ă€ la suite du glossaire sont proposĂŠes des annexes de trois pages, des fiches utiles dans votre apprentissage des mathĂŠmatiques.

Principales

figures planes

Aire d’un losange

Aire d’un carrÊ

h

d

b c

A5b3h

D

A5 2 A5c

D3d 2

Aire d’un triangle

Aire d’un trapèze b

Aire d’un rectangle

h

h

b

b3h

CORR

CORRIGÉ

IGÉ

TEST DIAGNO

Le corrigĂŠ des exercices, des problèmes, des SA et des SAÉ est prĂŠsentĂŠ Ă la fin du cahier, Ă la suite des annexes. On y trouve les rĂŠponses ainsi que les principaux calculs et dĂŠmarches permettant de rĂŠsoudre les problèmes en contexte, les SA et les SAÉ.

STIQUE

p. 1

1. c) 5. c)

2. b) 6. d)

3. d) 7. a)

p. 2

9. b)

10. d) p. 3

11. d)

12. a)

14. a) 1) [ 10, [

4. b) 8. b) 13. a)

2) [ 4, 3) 0 [ 4) 8, 5) Croiss 4, 0 et 4. ante sur [ 6, 3] âˆŞ dĂŠcroissant e sur [ 10, [3, [ ; 6] âˆŞ [ 3, 6) Positi 3]. f sur [ nĂŠgatif sur 10, 8] âˆŞ [ 4, 0] âˆŞ [4, [ [ 8, 4] âˆŞ ; [0, 4]. b) 1) ] , 30[ 2) ] , 40] 3) 30 4) 45 et 5) Croiss ante sur 20. ] , 25] dĂŠcroissant e sur [ 25, âˆŞ [ 15, 0] ; 6) Positi 15] âˆŞ [0, 30[. f sur [ 45, 20] ; nĂŠgat [20, 30[. if sur ] , 45] âˆŞ

CHAPITRE

RAPPEL 1 p. 7

1. a) 9 13 2

x

ues

c) 5 4 7

12 15

p. 9

5 3 ou 1 .

56

TION

e) 6 4 ou 1 . 64

b) 6 3 68 63 8 6 5 ou 1 .

d) 2 0 ou 1.

4

MANIPULA

p. 8

2. a) 3 2 (5 ) 53 2

p. 4

17. a) 3 37 3 2 39 b) 5 18 c) 2 65 3 3 37 3 10 18. a) 3x 8 4x 9 b) (2, 40) x 17 c) y 3 17 8 59 (17, 59) 19. a) 2 24 48 b) g(x) 4 12 0,5x 5 48 y 48

D’EXPRESS Lois des expo IONS ALG ÉBRIQUES et mise en sants, opÊrations sur les expr Êvidence simple essions algÊ briq

b) 12 3 5

13 11 d) 4 16

1

15. a) 16a 4 2 b 4ab 3 4ab 2(4a 3 b) 4ab 2 et 4a 3 b. b) 6y 2z 3 et 2y 4z 2 12y 2 3z. 16. a) (3a 3 2 b 4a 4 )(2ab 3 6a 4b 3 21a 3b 5 7b ) 21a 3 b 5 22a 4 3 8a 5b 28a 4b 3 b 8a 5 b b) 15x 9y 10 6x 7y 9 48x 5y 8

65

e) 3 6 ou 1 . 3 6 f)

f)

53

3 24

c) (2 4 2 ) (2 2) 3 28 6 2 14

7 6 ou 1 .

76

3. a) 5 4 3 x x2 4 20x 5y 4 y b) 1,44c 9 c) 173,6 d) t 14

b 4d 2 e) 12a 15b 2 45ab 42b 5a 2 g) h) 12b 3c 4 98x 2 168x 8b 6c 9 i) 9m 7n 4 4. a) 8 3 36m 5n 10 z b) a 6 4 2 z5 b 3 a 2b 1 ou a 2 c) 3 x 3 . b 2 ou 1,5 x 3 . d) 13x 2y 8 6 e) 14c z ou 13 y 8 z 6 3d f) 7m x2 . g) 15a 5b 4 12n 20ab 5 h) 5m 2n 3 8m 5n i) 4,5x 2 3 11n 4 y 5,5x 3 3 y ou 4,5 y 3 5,5 x 3 x2 . f)

VERSION NUMÉRIQUE

Š 2016,

Les Édition

s CEC inc.

• Repro

duction

interdite

y3

CORRIGÉ

341

Un code Ă gratter donnant accès Ă la version numĂŠrique du cahier est disponible au tout dĂŠbut du cahier. Accessible Ă partir du site MaZoneCEC, cette version vous permet : • de feuilleter et d’annoter chaque page ; • d’Êcrire vos rĂŠponses dans votre cahier ; • de travailler dans votre cahier sans connexion Internet ; • d’accĂŠder Ă une barre d’outils (solides, plan cartĂŠsien, table de valeurs, etc.) en un clic.

VIII

PRÉSENTATION DU CAHIER

Š 2016, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

p. 341

TESTDI

GNOSTIQUE

Questions Ă choix multiple

1

Parmi les expressions algÊbriques ci-dessous, laquelle correspond au dÊveloppement du produit de 4x 3 par 5x 2 ? a) 20x 6

b) 9x 1

c) 20x2 7x 6

d) 20x2 6

2 Quel est le plus grand facteur commun des expressions algĂŠbriques 18a8 et 216a2 ? a) 2a

b) 18a2

c) 6a2

d) 2a2

3 Sachant que x R, dĂŠterminez la reprĂŠsentation graphique qui correspond Ă l’ensemble-solution de l’inĂŠquation 4x 5 17. b)

a)

5

5

c)

4 5 34

4 5 34

23

12 01 10

21

32

43

54

5

23

12 01 10

21

32

43

54

5

5

5

d)

4 5 34

23

4 5 34

12 01 10

21

32

43

54

5

23

12 01 10

21

32

43

54

5

4 Parmi les couples ci-dessous, lequel reprĂŠsente la solution du système d’Êquations a) ( 2, 22)

b) (3, 7)

c) (2, 12)

y 3x 2 y 5 x 22

?

d) (3, 5)

5 Laquelle des ĂŠgalitĂŠs suivantes est vraie ? a)

3

b b 3

b)

1

1 b4 b4

c)

b5 b    c c5

5

d) ( b5 )2 b25

6 Parmi les nombres ci-dessous, lequel correspond au nombre 0,000 657 8 ĂŠcrit en notation scientifique ? a) 65,78 10 5

b) 6578 10 7

c) 6,578 104

d) 6,578 10 4

7 Sachant que h R, dÊterminez l’ensemble-solution de l’inÊquation 4(2h 3) 60. a) ] , 6]

b) [6, [

c) ] , 6[

d) ]6, [ y

8 Concernant la fonction reprĂŠsentĂŠe ci-contre,

10 8 6 4 2

lequel des ÊnoncÊs ci-dessous est vrai ? a) Le minimum est 3. b) L’ordonnÊe à l’origine est 0. c) Le maximum est 4. d) La fonction est positive sur l’intervalle [0, [ .

Š 2016, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

2 4 6 8 10 x

TEST DIAGNOSTIQUE

1

p. 341

9 Parmi les systèmes d’Êquations suivants, lequel n’admet comme solution que l’ensemble vide ? y 6x 2 y 5x 2

a)

b)

y 8x 11 y 8x 23

y 4x 7 y 4x 7

c)

y 3x 9 y 2x 9

d)

10 Parmi les graphiques ci-dessous, lequel ne reprĂŠsente pas une fonction ? a)

b)

y

y 10 8 6 4 2

10 8 6 4 2

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

c)

2 4 6 8 10 x

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

d)

y

y 10 8 6 4 2

10 8 6 4 2 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

2 4 6 8 10 x

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

2 4 6 8 10 x

2 4 6 8 10 x

11 Quelle expression algĂŠbrique correspond au quotient de 32m8n6 16m5n2 12m2n3 par 4m2n2 ? a)

8m6n4 16m5n2 12m2n3

b)

c)

8m10n8 4m4n4 3m4n5

d)

7m13n9 8m6n4 4m3 3n

12 Quelle expression algĂŠbrique correspond au dĂŠveloppement de (a b)2 ? a) a2 2ab b2

b) a2 2ab b2

c) a2 b2

d) a2 b2

13 Quelle est la règle de la fonction f reprÊsentÊe ci-contre ?

f (x ) 10

a) f(x) 2x 6

8

b) f(x) 3x 6

6

c) f(x) 6x 3

4

d) f(x) 6x 2

2 10

8

6

4

2 0 2

4

6

8

2

4

6

8

10

x

10

2

TEST DIAGNOSTIQUE

Š 2016, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

CHAPITRE Manipulation d’expressions algébriques

1

Dans ce chapitre, vous étudierez certains concepts algébriques de base essentiels à la poursuite de ce cours. En effet, la résolution d’équations et d’inéquations, les opérations sur les expressions algébriques, la factorisation et la réduction d’expressions rationnelles sont essentielles à l’étude des fonctions. Plus précisément, vous y apprendrez, entre autres, à résoudre des équations et des inéquations du premier degré à une ou deux variables, à multiplier, à diviser et à factoriser des polynômes. Tous ces concepts sont à la base des fonctions qui modélisent votre quotidien, que ce soit dans le domaine de la santé, de l’ingénierie, de l’aérospatiale ou encore tout simplement pour calculer le montant d’une course en taxi.

RAPPEL 1 Lois des exposants, opérations sur les expressions algébriques et mise en évidence simple ...... 7 SECTION 1.1 Résolution d’équations et d’inéquations ...................... 15 SECTION 1.2 Opérations sur les expressions algébriques......... 33 SECTION 1.3 Factorisation et expressions rationnelles ............................. 49 SYNTHÈSE 1 ............. 89

Programme d’études

BANQUE DE SA 1 ... 97

MANIPULATION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES

SAÉ 1 ............................103

• Opérations sur les expressions algébriques (multiplication, division de polynômes par un binôme, réduction d’expressions rationnelles) • Développement, réduction ou substitution d’expressions à l’aide d’identités algébriques remarquables (trinôme carré parfait et différence de deux carrés) • Complétion de carré • Factorisation de trinômes à l’aide des racines • Résolution d’équations et d’inéquations du 1er degré à une ou deux variables

TEST 1 .........................106

TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE 1 MANIPULATION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES ...............................................................

5

RAPPEL 1 Lois des exposants, opérations sur les expressions algébriques et mise en évidence simple ....................................................................................................

7

SECTION 1.1 Résolution d’équations et d’inéquations ..............................................................................

15

1.1.1 Résolution d’équations du premier degré à une ou deux variables ................................

15

1.1.2 Résolution d’inéquations du premier degré à une ou deux variables .............................

19

Consolidation 1.1 ......................................................................................................................

28

SECTION 1.2 Opérations sur les expressions algébriques ........................................................................

33

1.2.1 Multiplication d’expressions algébriques .........................................................................

33

1.2.2 Division d’expressions algébriques ..................................................................................

39

Consolidation 1.2 ......................................................................................................................

45

SECTION 1.3 Factorisation et expressions rationnelles .............................................................................

49

1.3.1 Mise en évidence double .................................................................................................

49

1.3.2 Trinôme carré parfait et différence de deux carrés ..........................................................

55

1.3.3 Complétion de carré ........................................................................................................

62

1.3.4 Factorisation de trinômes ................................................................................................

67

1.3.5 Factorisation de trinômes à l’aide des racines ................................................................

73

1.3.6 Réduction d’expressions rationnelles ..............................................................................

78

Consolidation 1.3 ......................................................................................................................

84

SYNTHÈSE 1 ............................................................................................................................

89

BANQUE DE SA 1 ....................................................................................................................

97

SAÉ 1 : Un héritage bien partagé ........................................................................................... 103 TEST 1 ...................................................................................................................................... 106 Évaluation explicite des connaissances ................................................................................... 106 Évaluation des compétences .................................................................................................... 110

6

CHAPITRE 1

TABLE DES MATIÈRES

© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

p. 341

1

R PPEL 1 Lois des exposants, opÊrations sur les expressions algÊbriques et mise en Êvidence simple LOIS DES EXPOSANTS Les lois des exposants permettent d’effectuer des opÊrations qui font intervenir des expressions Êcrites sous la forme exponentielle.

Exemple

Loi Produit de puissances

54 53 54 3 57 78 125

Pour a 0 : a m a n a m n Quotient de puissances Pour a 0 :

96 96 2 94 6561 92

am am n an

Puissance d’un produit (3 8)2 32 82 9 64 576

Pour a 0 et b 0 : (ab) m a mbm Puissance d’une puissance

(43)2 43 2 46 4096

Pour a 0 : (a m) n a mn Puissance d’un quotient

4  5  54 625 , soit 0,482.  6 64 1296

 a m am Pour a 0 et b 0 :   m b b

1

RÊcrivez chaque expression sous la forme d’une puissance de la base donnÊe. a) 139 132

11 d)  4 3 

4

2

b) (123)5

c) 54 57

3 5 e) 6 12 6

f)

Š 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

6

( 34 33 )2 ( 35 ) 2

CHAPITRE 1

RAPPEL 1

7

p. 341

2 Récrivez chaque expression sous la forme d’une puissance de la plus petite base possible.

1

b) 216

a) 1252

d) 163

82

2 e)  815 

49

c) 162

364

3

43

4 f)  49 2  343

 9 

3

OPÉRATIONS SUR LES MONÔMES • On exprime généralement une expression algébrique sous sa forme réduite, dans laquelle on a regroupé tous les termes semblables (monômes) et effectué toutes les opérations possibles sur les monômes. les opérations à effectuer. Opération

Exemples

Procédure 1) 28b

Addition ou soustraction

2) 14x2y3

Multiplication

Exploiter les propriétés de la multiplication.

17b 45b 23x2y3 9x2y3

1) 8d

3

2) 7a

5ac

1) 51x

3

2) 2,88bd

3

d

8

a

7 5 35a2c 51x 3

1,2

24d a

c

17x 2,88bd 1,2

2,4bd OPÉRATIONS SUR LES POLYNÔMES

Multiplication • Multiplier un polynôme par un monôme revient à multiplier chacun des termes du polynôme par le monôme. Exemples : 1)

4(3x5

7x

2) 7d(8ad3

12)

3,2)

4

7d

3x5 8ad3

4

7x

4

12

12x5

7d

3,2

56ad4

22,4d

28x

48

Division

Exemples : 1) (9x4 2) (21y7

15x 18y2

36)

5

9x4

111y)

3y

5

15x

21y7

5 3y

36 18y2

5

1,8x4 3y

111y

3x

7,2 3y

7y6

6y

37

PAGES 9 À 12 À VENIR

8

CHAPITRE 1

RAPPEL 1

© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

p. 342

12 Factorisez chacun des polynĂ´mes suivants.

1

a) 8y 4

b) 15a 35

c) 44x 77

d)

e)

8x 20

f) xy x

g) 21h2 56h

h)

2

a ab

i) 24d 40d2

j) 28e2f 42e2

k)

18a4 30a3b

l) 8x2y 4xy2 2xy

m) 120y4 40y2

n) 25c2 5c

o) 14y3 21y2 7y

p)

q) 8xy 10x 4y 2

r) 12xy 24x 36x2

50z 30

300h4 200h2 100h

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CHAPITRE 1

RAPPEL 1

13

p. 342

13 Chacune des expressions algĂŠbriques suivantes correspond Ă l’aire A (en mm2) d’un rectangle. Dans chaque cas, dĂŠterminez des expressions algĂŠbriques pouvant correspondre aux dimensions du rectangle.

1

a) A 25x2 75x

b) A 12a2 4a

c) A 20x2y 36xy2 4xy

14 Factorisez chacun des polynômes suivants en dÊterminant d’abord le plus grand facteur commun.

14

a) 12( y 4) y( y 4)

b) x(x 9) 5(x 9)

c) 3x(x 8) 2(x 8)

d) a(b 12) 6(b 12)

e) xy(2 x) 5(2 x)

f) x(x 3) 10(x 3)

CHAPITRE 1

RAPPEL 1

Š 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

1.1 1.1.1

1

RÊsolution d’Êquations et d’inÊquations

RÊsolution d’Êquations du premier degrÊ à une ou deux variables

ÉQUATION Une Êquation est une relation mathÊmatique qui fait intervenir le symbole d’ÊgalitÊ et au moins une variable. Exemples : 1) 5x 1 36

3) y 9x 23

2) 12b 9 7 4c

RĂˆGLES DE TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS • Les règles de transformation des ĂŠquations permettent d’obtenir des ĂŠquations ĂŠquivalentes, c’est-Ă -dire des ĂŠquations qui ont la ou les mĂŞmes solutions. • On conserve la ou les solutions d’une ĂŠquation : – en additionnant ou en soustrayant le mĂŞme nombre aux deux membres de l’Êquation ; Exemples :

1) 7x 3 19 7x 2 24

7x 3 5 19 5

2) 4x 1 12 4x 8 3

4x 1 9 12 9

– en multipliant ou en divisant les deux membres de l’Êquation par un mĂŞme nombre diffĂŠrent de 0. Exemples :

1) 5 2x 11 15 6x 33

3 (5 2x) 11 3

2) 8x 36 12 4x 18 6

(8x 36) 2 12 2

RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION DU PREMIER DÉGRÉ Ă€ UNE VARIABLE • RĂŠsoudre une ĂŠquation du premier degrĂŠ Ă une variable, c’est dĂŠterminer la ou les valeurs de la variable qui vĂŠrifient l’Êquation. • Il est possible de rĂŠsoudre une ĂŠquation du premier degrĂŠ Ă une variable en utilisant les règles de transformation des Êquations afin d’obtenir une ĂŠquation ĂŠquivalente dans laquelle la variable est isolĂŠe.

Exemple : On veut rÊsoudre l’Êquation 8x 9 3x 6. 8x 9 8x 3x 6 8x

On retranche 8x à chaque membre de l’Êquation.

9 5x 6 9 6 5x 6 6

On retranche 6 à chaque membre de l’Êquation.

3 5x 3 5 5x 5 x 0,6

On divise par 5 chaque membre de l’Êquation. La solution de l’Êquation est 0,6.

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CHAPITRE 1

RÊsolution d’Êquations et d’inÊquations

15

p. 343

En pratique

1

Voici un exercice à effectuer. RÊsolvez l’Êquation 12a 5 1,5(8 7a). Voici un exemple de dÊmarche possible. Dans le membre de droite, multipliez chacun des termes du binôme 8 7a par 1,5.

12a – 5 = 1,5 X 8 – 1,5 X 7a = 12 – 10,5a

RÊunissez les termes semblables ensemble en additionnant d’abord 10,5a de chaque côtÊ de l’ÊgalitÊ.

12a + 10,5a – 5 = 12 – 10,5a + 10,5a 22,5a – 5 = 12

RÊunissez les termes semblables en additionnant maintenant 5 de chaque côtÊ de l’ÊgalitÊ.

22,5a – 5 + 5 = 12 + 5 22,5a = 17

Isolez la variable a en divisant chaque membre de l’ÊgalitÊ par 22,5.

22, 5a 22, 5

=

a=

1

17 22, 5 34 45

RĂŠsolvez chaque ĂŠquation suivante. a) 2x 3 x 8

b) 8t 4 8 4t

c) 4x 5 2x 9

d) 2y 3 8 2y

e) 5b 4 b

f)

g) 2(x 2) x 8

h) 7(2x 3) 2(3x 1)

i) 3 2 x 4x 1

k 1 2 10

2

16

CHAPITRE 1

RÊsolution d’Êquations et d’inÊquations

5

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RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ À DEUX VARIABLES

1

Dans une Êquation faisant intervenir deux variables, lorsqu’une valeur est attribuÊe à une variable, il faut rÊsoudre l’Êquation ainsi obtenue pour dÊterminer la ou les valeurs de l’autre variable. Exemples : 1) Si y 3,2x 5,4, que vaut y lorsque x 8 ?

2) Si y 2x 8, que vaut x lorsque y 5 ?

y 3,2x + 5,4

y 2x 8

3,2 8 5,4 31

3) Si y 6x 28,8, quel est le zĂŠro de la fonction ?

5 5

y 6x 28,8

2x 8

0 6x 28,8

8 2x 8 8

0 28,8 6x 28,8 28,8

13

2x

28,8

13 2 x 2 2

6x

28,8 6 x 6 6

x 6,5

x 4,8

En pratique Voici un exercice à effectuer. RÊsolvez l’Êquation 3y 4x 12 lorsque x 15. Voici un exemple de dÊmarche possible. Isolez y dans l’Êquation en additionnant d’abord 4x de chaque côtÊ de l’ÊgalitÊ.

Divisez chaque membre de l’ÊgalitÊ par 3.

3y – 4x + 4x = 4x + 12 3y = 4x + 12 3y 3

=

y= Remplacez la variable x par sa valeur, ici 15, et calculez la valeur de y.

y=

4x 3 4x 3

12 3

+

+4

4 X 15 3

+4

= 60 + 4 3

= 20 + 4 = 24 La valeur de y est 24 lorsque x vaut 15.

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CHAPITRE 1

RÊsolution d’Êquations et d’inÊquations

17

p. 343

2 Pour chaque ĂŠquation, dĂŠterminez la valeur de y Ă partir de la valeur de x donnĂŠe.

1

a) y 5,4x 21 x 10,5

b) y 1,8x 11,9 x 6

c) y 10x 13 x 7,4

3 Pour chaque ĂŠquation, dĂŠterminez la valeur de x Ă partir de la valeur de y donnĂŠe. a) y 18x 4 y 23

b) y 0,75x 5 y 7

c) y 4,2x 9,8 y 8,4

4 Associez chaque ĂŠquation de la colonne de gauche Ă une ĂŠquation ĂŠquivalente de la colonne de droite. 2x 6 8x 10

A •

• 1

3x 9 6x 22

4x 3 12x 8

B •

• 2

12x 3 10x 11

8x 7 11x 6

C •

• 3

3x 9 9x 7

6x 4 5x 3

D •

• 4

4x 9 12x 2

3x 11 2x 6

E •

• 5

9x 3 4x 11

9x 5 4x 3

F •

• 6

11x 11 10x 6

5 Dans chaque cas, dĂŠterminez le zĂŠro de la fonction f, soit la valeur de x quand f(x) 0. a) f(x) 9x 18

18

CHAPITRE 1

b) f(x) 6,2x 27,9

RÊsolution d’Êquations et d’inÊquations

c) f(x) 13,1x 17

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1.1.2

RÊsolution d’inÊquations du premier degrÊ à une ou deux variables

1

INÉQUATION • Une inÊquation est une relation mathÊmatique qui fait intervenir un symbole d’inÊgalitÊ et au moins une variable. Exemples : 1) 7x 5 61

3) y 8x 3

2) 19b 1 25 6c

• L’ensemble des valeurs qui vÊrifient une inÊquation est appelÊ l’ensemble-solution. • L’ensemble-solution d’une inÊquation du premier degrÊ à une variable peut être exprimÊ à l’aide : Exemples Dans l’ensemble R (valeurs continues)

Description

Dans l’ensemble Z (valeurs discrètes)

1. d’un intervalle ou d’un ensemble de nombres ;

a) 3] , 2 6[ 1 0 1 2 3 4 5 6 7b) 8 {‌, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

2. d’une droite numĂŠrique sur laquelle on a indiquĂŠ les valeurs que peut prendre la variable.

a)

b) 4 2 0 2 4 6 8

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Un point vide est associÊ à une valeur qui n’appartient pas à l’ensemble-solution.

Un point plein est associÊ à une valeur qui appartient à l’ensemble-solution.

• Lorsque les valeurs sont continues, l’ensemble-solution d’une inÊquation du premier degrÊ à une variable peut Êgalement être exprimÊ à l’aide d’une inÊquation dans laquelle la variable est isolÊe. Exemples : 1) x 11

2) t 0,7

RĂˆGLES DE TRANSFORMATION DES INÉQUATIONS Les règles de transformation des inĂŠquations permettent d’obtenir des inĂŠquations ĂŠquivalentes, c’est-Ă -dire des inĂŠquations qui ont le mĂŞme ensemble-solution. Règles de transformation des inĂŠquations 1. Additionner ou soustraire un mĂŞme nombre aux deux membres d’une inĂŠquation conserve le sens de cette inĂŠquation.

Exemples a)

3x 2 19 3x 2 8 19 8 3x 10 27

b)

2b 11 21 2b 11 5 21 5 2b 16 16

2. Multiplier ou diviser les deux membres d’une inÊquation par un même nombre strictement positif conserve le sens de cette inÊquation.

a)

6 7x 15 (6 7x) 3 15 3 18 21x 45

b)

24b 10 8 (24b 10) 2 8 2 12b 5 4

3. Multiplier ou diviser les deux membres d’une inÊquation par un même nombre strictement nÊgatif inverse le sens de cette inÊquation.

a)

9x 5 11 (9x 5) 3 11 3 27x 15 33

b)

6 26b 60 (6 26b) 2 60 2 3 13b 30

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CHAPITRE 1

RÊsolution d’Êquations et d’inÊquations

19

1

RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ Ă€ UNE VARIABLE • RĂŠsoudre une inĂŠquation du premier degrĂŠ Ă une variable, c’est dĂŠterminer les valeurs de la variable qui vĂŠrifient l’inĂŠquation, c’est-Ă -dire son ensemble-solution. • Voici une dĂŠmarche qui permet de rĂŠsoudre une inĂŠquation du premier degrĂŠ Ă une variable. DĂŠmarche 1. Utiliser les règles de transformation des inĂŠquations afin d’obtenir une inĂŠquation ĂŠquivalente dans laquelle la variable est isolĂŠe.

Exemple : RÊsoudre l’inÊquation 10x 23 6x 7 pour x R. 10x 23 10x 6x 7 10x 23 4x 7 23 7 4x 7 7 30 4x 30 4 4x 4

On retranche 10x de chaque membre de l’inÊquation. On ajoute 7 à chaque membre de l’inÊquation. On divise par 4 chaque membre de l’inÊquation. [ 7,5, [

7,5 x

L’ensemble-solution est x 7,5 . 2. DÊduire l’ensemble-solution.

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

En pratique Voici un exercice à effectuer. RÊsolvez l’inÊquation 5 2b 3b 1 sachant que b R. Voici un exemple de dÊmarche possible. RÊunissez les termes semblables en soustrayant d’abord 3b de chaque membre de l’inÊquation.

5 + 2b – 3b > 3b – 3b + 1 5–b>1

RÊunissez les termes semblables en soustrayant maintenant 5 de chaque côtÊ de l’inÊgalitÊ.

5–5–b>1–5 -b > -4

Divisez chaque membre de l’inÊgalitÊ par 1 et changez le sens du symbole d’inÊgalitÊ, car 1 est un nombre infÊrieur à 0.

-b

Exprimez l’ensemble-solution à l’aide d’une inÊgalitÊ, d’un intervalle ou d’une droite numÊrique.

20

CHAPITRE 1

RÊsolution d’Êquations et d’inÊquations

-1

<

-4 -1

b<4

ou b ]-∞, 4[

4

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p. 343

1

Associez chaque inéquation de la colonne de gauche à la description correspondante de la colonne de droite. x

9

A •

• 1

x est supérieur à 9.

x

9

B •

• 2

x est inférieur ou égal à 9.

x

9

C •

• 3

x est au moins égal à 9.

x

9

D •

• 4

x vaut moins que 9.

1

2 Représentez sur une droite numérique l’ensemble-solution de chacune des inéquations ci-dessous. a) x 10

c) x

8

6

4

e) x

8

6

4

8

0

2

4

6

8

d) x 2

0

2

4

6

8

10

6

4

8

0

2

4

6

3 Sachant que dans chaque cas, x

8

10

10

6

4

8

6

8

0

2

4

6

8

10

2

0

2

4

6

8

10

4

Z

4, si x 10

2

R

8, si x

f) x 2

R

3, si x 10

10

Z

7, si x 10

2

R

5, si x 10

b) x

R

0, si x

6

4

2

0

2

4

6

8

10

6

4

2

0

2

4

6

8

10

18 16 14 12 10

8

6

R:

1) résolvez l’inéquation ; 2) représentez l’ensemble-solution sur une droite numérique ; 3) donnez l’ensemble-solution sous forme d’intervalle.

a) 4x

b) x

32

1) 2)

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

2)

10

8

3)

8

d) x

1

4

1) 2)

5

1)

3)

c) 7x

12

5

1) 10

8

6

4

2

0

2

4

3)

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6

8

10

2)

26 24 22 20

3)

CHAPITRE 1

Résolution d’équations et d’inéquations

21

p. 343

e)

f)

3x 6

x 1,2 5

1 1)

1)

2)

10

8

6

4

2

0

2

4

6

3)

8

10

2)

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

3)

4 Sachant que x R, rĂŠsolvez chaque inĂŠquation ci-dessous.

22

a) 5x 3 48

b) 17a 12 13a 16

c) 5(x 3) 3(2x 5) 11

d) 19b 6 5 8b

e) 3(a 6) 2(a 4)

f ) 6(3 5x) 3(4x 7) 30

CHAPITRE 1

RÊsolution d’Êquations et d’inÊquations

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RÉSOLUTION D’INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ À DEUX VARIABLES

1

• Pour traduire une situation donnĂŠe par une inĂŠquation Ă deux variables, on doit : – identifier les variables ; – ĂŠcrire l’inĂŠquation en choisissant le symbole d’inĂŠgalitĂŠ qui convient. Exemple : Dans une solution d’acide chlorhydrique, la quantitĂŠ d’eau (en ml) doit ĂŞtre au moins de 50 ml de plus que le quadruple de la quantitĂŠ d’acide chlorhydrique (en ml). Si x reprĂŠsente la quantitĂŠ d’eau (en ml), et y, la quantitĂŠ d’acide chlorhydrique (en ml), alors la situation peut ĂŞtre reprĂŠsentĂŠe par l’inĂŠquation x 4y 50. • Il est possible de reprĂŠsenter graphiquement l’ensemble-solution d’une inĂŠquation du premier degrĂŠ Ă deux variables dans un plan cartĂŠsien de la façon suivante.

Exemple : ReprÊsenter graphiquement l’inÊquation 2x y 2.

DĂŠmarche 1. Au besoin, ĂŠcrire l’inĂŠquation de dĂŠpart sous l’une des formes suivantes : y ax b, y ax b, y ax b ou y ax b. 2. Tracer la droite frontière d’Êquation y  ax  b : • en trait plein si les couples associĂŠs aux points de la droite font partie de l’ensemble-solution ( ou ) ; • en trait pointillĂŠ sinon ( ou ).

2x y 2 y 2x 2

Équation de la droite frontière : y 2x 2 La droite est tracĂŠe en trait plein, car tous les couples associĂŠs aux points de la droite font partie de l’ensemble-solution. y

2 0

x

2 y 2x 2

3. Substituer les coordonnĂŠes d’un point hors de la droite frontière aux variables de l’inĂŠquation. VĂŠrifier si le rĂŠsultat obtenu est vrai ou faux et hachurer le demi-plan qui correspond Ă l’ensemble-solution.

Le point (0, 0) fait partie de la rÊgion-solution, car ses coordonnÊes vÊrifient l’inÊquation. y 2x 2 0 2 0 2 0 2 est vrai. On hachure le demi-plan comportant le point (0, 0). y

2 0

x

2 y 2x 2

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CHAPITRE 1

RÊsolution d’Êquations et d’inÊquations

23

En pratique

1

Voici un exercice à effectuer. ReprÊsentez graphiquement l’ensemble-solution de l’inÊquation 2y 5x 4 x 2. Voici un exemple de dÊmarche possible. Isolez y en additionnant d’abord 5x de chaque côtÊ de l’inÊgalitÊ.

2y – 5x + 5x + 4 ≤ x + 5x – 2 2y + 4 ≤ 6x – 2

Soustrayez 4 de chaque côtÊ de l’inÊgalitÊ.

2y + 4 – 4 ≤ 6x – 2 – 4 2y ≤ 6x – 6

Divisez chaque membre de l’inÊquation par 2.

2y 2

≤

6x 2

-

6 2

y ≤ 3x - 3 Dans le plan cartÊsien, tracez la droite correspondant à l’Êquation y 3x 3. Il s’agira d’un trait plein puisque le symbole d’inÊgalitÊ est  infÊrieur ou Êgal à .

y

1 0

Choisissez un point du plan cartÊsien n’appartenant pas à la droite, par exemple le point de coordonnÊes (1, 1), et vÊrifiez s’il satisfait ou non l’inÊquation. Comme le point de coordonnÊes (1, 1) est situÊ dans le demi-plan situÊ au-dessus de la droite et qu’il ne satisfait pas l’inÊquation, hachurez le demi-plan situÊ au-dessous de la droite.

24

CHAPITRE 1

RÊsolution d’Êquations et d’inÊquations

1

x

y ≤ 3x – 3 1 ≤ 3(1) – 3 1 ≤ 0 Le point ne satisfait pas l’inÊquation. y

1 0

1

x

Š 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

p. 343-344

5 Écrivez chacune des inĂŠquations ci-dessous sous la forme y ax b, y ax b, y  ax  b ou y ax b. a) 2y 4x 8

b)

y 3x 2 0 2 4

1

c) 0,4x 0,6y 1,2

6 ReprÊsentez graphiquement l’ensemble-solution de chacune des inÊquations suivantes. a) 2x y 4 0

b) 2x y 5

y

y

2 0

c) y 0,5x 2

2 2

0

x

x

4

x

d) 8x 10y 60

y

y

2 0

2

4 2

Š 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

x

0

CHAPITRE 1

RÊsolution d’Êquations et d’inÊquations

25

p. 344

7 Associez chacun des demi-plans hachurÊs à l’une des inÊquations suivantes.

1

A x 2y 2

B 2x y 8 0

C y 0,5x 2

D 2x y 8

E x y 6 0

F y 0,5x 2

G y 0,5x 1

H y 2 2x

I

J 2x y 2 0

K y x 6

L y 3x 6

3x 6 y

y

a)

y

b)

2

2 0

2

0

x

y

d)

c)

e)

2

0

0

2

2

x

0

x

2

f)

y

2

y

2

x

2

x

y

2 0

x

2

8 Dans chaque cas, indiquez lesquels des points suivants sont des solutions de l’inÊquation. A (2, 1)

B ( 5, 8)

C (4, 36)

D (0, 0,8)

F ( 7, 5)

G ( 1,5, 9)

H (10, 1)

I

a) y 8x 4

26

CHAPITRE 1

b) 3x 6y 5

RÊsolution d’Êquations et d’inÊquations

E (12, 4)

( 11, 3) c) 0,5x 0,8 y

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p. 344-345

9 Dans chaque cas :

1

1) identifiez les variables ; 2) traduisez l’énoncé par une inéquation à deux variables.

a) Grâce à la vente d’un médicament, le revenu de l’année prochaine devrait dépasser d’au moins 1 000 000 $ celui de cette année. 1) x :

y: 2)

b) Le prix des billets pour assister à un spectacle familial est de 10 $ pour les enfants et de 20 $ pour les adultes. Les organisateurs s’attendent à encaisser au moins 1400 $. 1) x :

y: 2)

c) Dans le nouvel Airbus 380, on offre deux types de places : des places en classe affaires et des places en classe économique. Le nombre total de places ne doit pas dépasser 800. 1) x :

y: 2)

10 Le côté d’un carré et celui d’un hexagone régulier mesurent respectivement y 1 et x 2. Sébastien affirme qu’il existe une infinité de mesures entières strictement positives pour x et y telles que le périmètre du carré est inférieur au périmètre de l’hexagone. À l’aide d’un graphique, démontrez que Sébastien a raison. y

10

8

6

4

2

0

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2

CHAPITRE 1

4

6

8

10

Résolution d’équations et d’inéquations

x

27

p. 345

1

CONSOLID TION

1

1.1

Pour chaque ĂŠquation, dĂŠterminez la valeur de y Ă partir de la valeur de x donnĂŠe. a) y 0,4x 5,1 x 12

b) y 10,2x 4,6 x 8,3

c) y 9x 11 x 3

2 Pour chaque ĂŠquation, dĂŠterminez la valeur de x Ă partir de la valeur de y donnĂŠe. a) y 5x 6,4 y 3,2

b) y 2,1x 2,14 y 13,4

c) y 7,3x 8 y 4

3 Sachant que x R, rÊsolvez chaque inÊquation ci-dessous et reprÊsentez l’ensemble-solution sur une droite numÊrique. a) 2,5x 6 31

10

8

6

4

b) 16x 11 11x 14

2

0

2

4

6

8

10

c) 3(4x 7) 5(2x 4) 17

28

10

8

CHAPITRE 1

6

4

2

0

2

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

d) 4( 2x 3) 2(x 6)

4

6

CONSOLIDATION 1.1

8

10

10

8

6

4

2

0

Š 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

p. 345

4 Dans chaque cas, indiquez si le point (5, 1) fait partie de l’ensemble-solution de l’inÊquation. a) 2x y 6 0

b) y x2 4x 6

c) y 0,5(x 5)2 4

d) x 3y 2 0

e) y (x 3)2 1

f) 4x 5y 10

1

5 Dans chaque cas : 1) identifiez les variables ; 2) traduisez l’ÊnoncÊ par une inÊquation à deux variables.

a) Zachary gagne 13 $ de l’heure tandis que Ariane gagne 15 $ de l’heure. La somme de leur salaire hebdomadaire est infÊrieure à 336 $. 1) x :

y: 2)

b) Le solde d’un compte bancaire est rÊduit par plusieurs transactions de 15,03 $ chacune. Le solde est maintenant de 546,45 $ ou plus. 1) x :

y: 2)

c) Le pĂŠrimètre d’un terrain rectangulaire ne doit pas dĂŠpasser 360 m. 1) x :

y: 2) Š 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

CHAPITRE 1

CONSOLIDATION 1.1

29

p. 345

6 Traduisez chaque demi-plan ci-dessous par une inéquation.

1

a)

b)

y 10

y

c)

10

B(4, 9)

16 B(0, 12) 8 A( 8, 0) 0 16 8

8

8 6

6

A(1, 6)

A(2, 5)

4

4

B(6, 3)

2

2

y

8

16

x

8

16

0

2

4

6

8

10

0

x

y

d)

2

e)

4

8

10

4 A( 2, 3)

8

2

16

0 8

8

8

16

x

4

0

2

2

16

y 10 8

2

4 x B(3, 2)

4

CHAPITRE 1

CONSOLIDATION 1.1

A(2, 3)

2

4 0

30

B(8, 6)

6

B( 4, 4)

x

f)

y

16 A( 16, 12)

6

2

4

6

8

10

x

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p. 345-346

7 Écrivez chacune des inĂŠquations ci-dessous sous la forme y ax b, y ax b, y  ax  b ou y ax b. a) 3y 6x 12

1

4 2y c) 8 x

b) 3x 4y 8 0

2

3

8 Remplissez le tableau afin de dÊterminer si chaque ÊnoncÊ est vrai ou faux. ÉnoncÊ

Vrai

a)

Le couple (0, 0) est toujours une solution d’une inÊquation du premier degrÊ à deux variables.

b)

L’ensemble-solution d’une inÊquation du premier degrÊ à une variable peut seulement être reprÊsentÊ sur une droite numÊrique.

c)

Multiplier les deux membres d’une inÊquation par un même nombre strictement nÊgatif inverse le sens de cette inÊquation.

d)

Soustraire un même nombre aux deux membres d’une inÊquation inverse le sens de cette inÊquation.

Faux

9 Un investisseur achète un terrain pour construire des maisons individuelles et des maisons jumelĂŠes. Afin de maximiser ses ventes, le nombre total de constructions doit ĂŞtre au moins 10. De plus, pour respecter les normes de la ville en matière de dimensions de terrains, il ne peut pas construire plus de 20 maisons. ReprĂŠsentez graphiquement les possibilitĂŠs pour l’investisseur. Expliquez le graphique en donnant des exemples de choix possibles.

0

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CHAPITRE 1

CONSOLIDATION 1.1

31

p. 346

10 On connaît les coordonnées des quatre sommets d’un parallélogramme représenté dans un plan cartésien : A(4, 2), B(6, 7), C(4, 6) et D(2, 1). Donnez les quatre inéquations ayant comme ensemble-solution l’intérieur du parallélogramme.

1

Réponse :

11 Une alerte météo est en vigueur pour une région. Le tableau ci-dessous donne les coordonnées de cinq villes de la région et les équations délimitant la zone à risque. Coordonnées des villes (km) Limites de la zone à risque

A(10, 4), B(10, 30), C(20, 16), D(30, 30) et E(38, 40) y

1,5x

10 et y

1,5x

15

a) Représentez graphiquement la zone à risque. b) Écrivez les deux inéquations qui permettent de représenter la zone à risque.

0

c) Sachant que les villes situées dans la zone à risque doivent alerter leurs citoyens, lesquelles de ces cinq villes devront le faire ?

PAGES 33 À 88 À VENIR

32

CHAPITRE 1

CONSOLIDATION 1.1

© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

p. 356

SYNTHĂˆSE 1

1

1

Effectuez l’opÊration suivante : (3a5b4 11a2b3 6ab)(5a4b3 4ab2).

2 Effectuez chaque division suivante et exprimez le reste sous la forme d’une fraction, s’il y a lieu. a) (56a2 138a 90) (7a 12)

b) (30x2 59x 56) (10x 7)

3 Sachant que toutes les mesures sont en centimètres, dans chaque cas, dĂŠterminez l’expression algĂŠbrique associĂŠe Ă la mesure manquante. a)

b)

Rectangle

?

8x 3

? A (16x2 2 34x 15) cm2 2 A (16x 34x 15) cm

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6a 7 2 2 (12a AA (12a22 20a 20a 7)7)cmcm

CHAPITRE 1

SYNTHĂˆSE 1

89

p. 356

4 Décomposez les polynômes suivants en facteurs.

1

a) 4x2y2

5

x2

20y2

b) k3t2

1

k3

c) x2y

t2

0,81

3x2

0,27y

5 Dans chaque cas, factorisez l’expression algébrique avec la méthode du trinôme carré parfait ou celle de la différence de deux carrés. a) x4

6x2y

9y2

b) 36y8

c) 25x6

169

70x3y2

49y4

6 Dans chaque cas, factorisez l’expression algébrique avec la méthode de la complétion de carré. a) x2

76

7 Factorisez chacun des trinômes de la forme ax2

bx

23x

48

b) 4x2

72x

a) 2x2

22x

45

b) 3x2

17x

56

c) 5x2

10x

40

c) 6x2

23x

20

c suivants.

PAGES 91 À 94 À VENIR

90

CHAPITRE 1

SYNTHÈSE 1

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p. 357-358

18 L’aire d’un terrain rectangulaire correspond Ă l’expression algĂŠbrique (8x2  6x 27) m2, oĂš x 0. Sachant que les dimensions du terrain sont des binĂ´mes et que le plus petit cĂ´tĂŠ de ce terrain mesure 49 m, dĂŠterminez le coĂťt d’achat du terrain s’il se vend 22 $/m2.

1

RĂŠponse :

19 Un groupe de (5x – 2) personnes a gagnĂŠ une somme de (15x3 34x2 19x 1500) $ au loto. Chaque personne reçoit un montant de (3x2 8x 7) $. La somme est-elle rĂŠpartie ĂŠquitablement entre les membres du groupe ? Expliquez votre rĂŠponse.

RĂŠponse : Š 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

CHAPITRE 1

SYNTHĂˆSE 1

95

p. 358

20 À la suite d’un vol, des policiers ont établi un périmètre de sécurité délimité dans un plan cartésien par les inéquations x 4, y 2 et x + y 9. Sachant que les criminels se cachent dans des immeubles situés aux points A(5, 3) et B(6, 4), déterminez si le périmètre de sécurité a été correctement établi.

1

y

x

Réponse :

21 Un technicien en laboratoire prépare une solution tampon pour effectuer une analyse. Pour ce faire, il mélange (8x2 + 2xy – 8y2) g d’un produit dans (2x + 3y) L d’eau. Sachant que la concentration de la solution ne doit pas dépasser (4x – 5y) g/L, déterminez si la solution est correctement préparée. Les valeurs de x et y sont positives et non nulles.

Réponse :

96

CHAPITRE 1

SYNTHÈSE 1

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p. 358

B NQUE DE SA 1 1

1

Le mémorial Une municipalité veut construire un mémorial pour souligner la mémoire de certaines personnes disparues. Pour couler la dalle de béton autour de la plateforme illustrée ci-dessous, une entreprise offre ses services pour 25 $/m3. Sachant que l’épaisseur de la dalle de béton est de 0,03x m, déterminez le montant que devra débourser la municipalité pour couler la dalle de béton.

Aplateforme x 2 24x 144 Plate forme carrée

Dalle de béton

(2x 26) m (2x 26) m

Réponse : © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

CHAPITRE 1

BANQUE DE SA 1

97

p. 358-359

2

1

Le volume minimal Afin de réduire les coûts de manutention dans un entrepôt, un designer industriel doit concevoir un modèle de boîte dont le volume est maximal tout en respectant les contraintes décrites ci-dessous. • La boîte doit avoir la forme d’un prisme droit à base rectangulaire. • L’aire de chaque face est définie par une expression algébrique. • Chacune des dimensions de la boîte peut être représentée par un binôme. • Un des côtés doit mesurer 12 cm.

(x 2 10,5x 27,5) cm2 (x 2 25) cm2 (x 2 0,5x 27,5) cm2

Déterminez le volume maximal que peut avoir cette boîte.

Réponse :

98

CHAPITRE 1

BANQUE DE SA 1

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p. 359

3

Une question de réduction

1

Au cours d’une entrevue d’embauche, on demande parfois aux candidats de passer des tests psychométriques visant à évaluer leurs compétences dans le domaine d’emploi. habiletés en mathématique, vous devez effectuer la réduction de l’expression ci-dessous : 8x 2 4x 2

40x 36x

x2 x2

18x 81 25

x2 x2

x 8x

20 16

3x 2 9x 2

19x 24x

20 16

Réponse :

PAGES 100 À 105 À VENIR © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

CHAPITRE 1

BANQUE DE SA 1

99

TEST 1

1

Évaluation explicite des connaissances

RĂŠsultat :

QUESTION 1

/20

/6

Dans chaque cas, effectuez l’opÊration, puis rÊduisez le rÊsultat à sa plus simple expression. a) (15x5y 11x4y3 6x2y) (2x3y5 9x5y7)

RĂŠponse : b) (21a7b4 26a4b3 80ab2) (3a3b 8)

RĂŠponse :

106

CHAPITRE 1

TEST 1

Š 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

QUESTION 2

/4

1

Réduisez l’expression rationnelle et indiquez les valeurs de x

( 8x

2

26x 15 4x 3

) (x

2

19x 20 x 1

)

Réponse :

PAGES 108 ET 109 À VENIR © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

CHAPITRE 1

TEST 1

107

Évaluation des compétences

TEST 1

1

Résultat :

/80

Les primes d’assurance Les actuaires sont des spécialistes en calculs de primes d’assurances et d’autres prédictions de nature mathématique. Pour fixer le montant de la prime d’assurance d’une entreprise, l’actuaire analyse plusieurs facteurs dont la masse salariale de l’entreprise, sa cote de sécurité ainsi que l’évaluation des risques. Dans cette section, vous réaliserez différentes tâches en lien avec les primes d’assurances.

TÂCHE 1 :

La masse salariale

/25

Pour évaluer la masse salariale d’une entreprise, l’actuaire regroupe les employés selon leur catégorie d’emploi, le nombre d’employés et leur salaire annuel. Le tableau suivant fournit des renseignements à ce sujet.

Catégorie d’emploi

Nombre d’employés

Salaire annuel d’un employé (en milliers de dollars)

Employés de soutien

2x

1

13x

4

Techniciens

7x

2

21x

8

Ingénieurs

6x

5

2x2

3x

5

Cadres

x

3

5x2

x

4

Déterminez la masse salariale de cette entreprise.

Réponse :

PAGES 111 ET 112 À VENIR

110

CHAPITRE 1

TEST 1

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CHAPITRE Relations et fonctions

2

Ce chapitre aborde la fonction polynomiale du second degré qui permet d’expliquer et de modéliser plusieurs phénomènes, notamment en physique (déversement d’un réservoir, mouvement d’une balle, etc.). Il montre la façon de manipuler cette fonction pour en dégager les informations pertinentes à partir de diverses représentations visuelles ou symboliques. Ce chapitre présente également la fonction partie entière, un cas particulier de la fonction en escalier. Celle-ci permet de modéliser toutes les situations faisant référence à des intervalles. C’est notamment le cas du calcul pour le coût d’envoi d’une lettre, par exemple.

Programme d’études MANIPULATION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES • Résolution d’équations et d’inéquations du 2e degré à une variable RELATION, FONCTION • Expérimentation, observation, interprétation, description et représentation de fonctions réelles (fonction polynomiale du 2e degré et fonction partie entière) • Description et interprétation des propriétés des fonctions réelles (domaine, codomaine, croissance, décroissance, extremums, signe et coordonnées à l’origine) • Interprétation des paramètres multiplicatif et additif • Passage d’une forme d’écriture à une autre pour la fonction polynomiale du 2e degré

RAPPEL 2 Relation, réciproque et fonction ............................115 SECTION 2.1 Fonction polynomiale du second degré ...................123 SECTION 2.2 Fonctions en escalier et partie entière ....................169 SYNTHÈSE 2 ...........193 BANQUE DE SA 2..201 SAÉ 2 ...........................207 TEST 2 ........................210

TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE 2 RELATIONS ET FONCTIONS .................................................................................................................. 113

RAPPEL Relation, réciproque et fonction .............................................................................................. 115 SECTION 2.1 Fonction polynomiale du second degré .................................................................................. 123 2.1.1 Paramètres multiplicatifs et additifs ................................................................................... 123 2.1.2 Propriétés ........................................................................................................................... 133 2.1.3 Passage d’une forme d’écriture à une autre ...................................................................... 139 2.1.4 Recherche de la règle et description ................................................................................. 148 2.1.5 Résolution d’équations du second degré à une variable ................................................... 153 2.1.6 Résolution d’inéquations du second degré à une variable ................................................ 158 Consolidation 2.1 ........................................................................................................................ 163 SECTION 2.2 Fonctions en escalier et partie entière ................................................................................... 169 2.2.1 Fonction en escalier .......................................................................................................... 169 2.2.2 Fonction partie entière et paramètres ................................................................................ 172 2.2.3 Propriétés ........................................................................................................................... 179 2.2.4 Description et représentation ............................................................................................. 183 Consolidation 2.2 ........................................................................................................................ 188 SYNTHÈSE 2 .............................................................................................................................. 193 BANQUE DE SA 2 ...................................................................................................................... 201 SAÉ 2 : Les saines habitudes de vie ......................................................................................... 207 TEST 2 ........................................................................................................................................ 210 Évaluation explicite des connaissances ...................................................................................... 210 Évaluation des compétences ...................................................................................................... 214

PAGES 115 À 216 À VENIR

114

CHAPITRE 2

TABLE DES MATIÈRES

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p. 384

GARDER LE CAP 1

Chapitres 1 et 2

Effectuez chacune des opérations suivantes. a) (29ab 1 2b)(4a2 2 5a)

b) (42y2 2 74y 2 20)  (21y 1 5)

c) (268x2 1 134x 1 2)  (24x 1 6)

d) (7x4y3 2 9x2y2)(3x2y3 2 2xy)

2 Factorisez chacune des expressions suivantes. a) 2a3b2 2 4a3b 1 4b 2 8

b) x 4 2 16

c) x2 1 22x 1 121

d)

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0,25x2 2 7,7x 2 36,25

2

GARDER LE CAP

Chapitres 1 et 2

217

p. 385

3 Réduisez les expressions rationnelles suivantes en indiquant les restrictions qui s’appliquent, s’il y a lieu. a)

7 x

b) 8x

7 x

9

2x 10 12x 6

4 15

3x

9

4 Déterminez la variation de chaque fonction. a) f(x)

3(2x

4)2

b) g(x)

1,5

[ 4(x

1)]

7

5 Représentez sur la droite numérique l’ensemble-solution de chacune des inéquations suivantes. a)

3x

10

19

8

7x

6

4

R

4 si x

2

0

2

b) 16x

4

6

8

5

10

10

8

20x

6

4

Z

17 si x

2

0

2

4

6

8

10

6 Pour chaque équation, déterminez la valeur de la variable inconnue à partir de la valeur donnée de l’autre variable. a) y

3,4x

7,1 et x

0,5.

b) y

5x

12 et y

4.

c) y

0,2( x

31,6) et y

2.

PAGES 219 ET 220 À VENIR

218

GARDER LE CAP

Chapitres 1 et 2

© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

CHAPITRE

3

Droites et systèmes d’équations

Dans ce chapitre, vous apprendrez à déterminer l’équation d’une droite et la position d’une droite par rapport à une autre dans le plan cartésien. Vous utiliserez ces concepts pour représenter divers éléments, comme des routes, des structures ou les limites d’un terrain, dans le plan cartésien. Vous y étudierez aussi les systèmes d’équations. L’apprentissage de la résolution de systèmes d’équations vous permettra de comprendre la puissance des mathématiques dans la recherche de solutions dans des domaines aussi variés que l’urbanisme, l’agriculture ou la pharmacologie.

Programme d’études SYSTÈME • Représentation d’une situation à l’aide de droites ou de demi-plans • Résolution de systèmes d’équations du 1er degré à deux variables • Résolution de systèmes composés d’une équation du 1er degré et d’une équation du 2e degré à deux variables

RAPPEL 3 Taux de variation, recherche de la règle et systèmes d’équations............................223 SECTION 3.1 Droites ...................................231 SECTION 3.2 Résolution de systèmes d’équations à deux variables..250 SYNTHÈSE 3 ...........267 BANQUE DE SA 3.. 275 SAÉ 3 ...........................281 TEST 3 ........................284

TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE 3 DROITES ET SYSTÈMES D’ÉQUATIONS ..................................................................................... 221

RAPPEL Taux de variation, recherche de la règle et systèmes d’équations.................................... 223 SECTION 3.1 Droites ..................................................................................................................................... 231 3.1.1 Équation d’une droite ...................................................................................................... 231 3.1.2 Position relative de deux droites ..................................................................................... 241 Consolidation 3.1 ..................................................................................................................... 248 SECTION 3.2 Résolution de systèmes d’équations à deux variables....................................................... 250 3.2.1 Système d’équations du premier degré .......................................................................... 250 3.2.2 Système d’équations composé d’une équation du premier degré et d’une équation du second degré ................................................................................ 258 Consolidation 3.2 ..................................................................................................................... 263 SYNTHÈSE 3 ........................................................................................................................... 267 BANQUE DE SA 3 ................................................................................................................... 275 SAÉ 3 : Le comité consultatif d’urbanisme........................................................................... 281 TEST 3 ..................................................................................................................................... 284 Évaluation explicite des connaissances ................................................................................... 284 Évaluation des compétences ................................................................................................... 288

PAGES 223 À 290 À VENIR

222

CHAPITRE 3

TABLE DES MATIÈRES

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p. 402

GARDER LE CAP 1

Chapitres 1 à 3

Effectuez chacune des opérations suivantes. a) ( 54a2

93a

5)

( 3a

b) (15x3

5)

4x2

8)

(5x

1)

2 Déterminez une expression algébrique représentant le volume de la pyramide régulière sachant que les mesures sont en centimètres.

3x

6

3x 5 4x 3

4x 4

2x 2

3 Factorisez chaque expression algébrique. a) 4c4

36c2

b) 3x2

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526,5x

22 650

c) x2

60x

GARDER LE CAP

500

Chapitres 1 à 3

291

p. 402

4 Le graphique ci-contre représente la fonction

f(x )

du second degré transformée dont la règle est f(x 0,125(x 4)2 8. Pour cette fonction, déterminez :

10 8 6

a) le domaine ;

4

b) le codomaine ;

2

c) les abscisses à l’origine ;

20

d) l’ordonnée à l’origine ;

16

12

4 0 2

8

4

8

12

16

x

20

4

e) le signe ;

6 8

f ) la variation ;

10

g) l’extremum.

5 Représentez chaque fonction. a) f(x)

10

[x]

8

b) g(x)

8

6

7)(x

3)

f(x )

g(x )

10

10

8

8

6

6

4

4

2

2

2 0 2

4

0,2(x

2

4

6

8

10

x

10

8

6

4

2 0 2

4

4

6

6

8

8

10

10

2

4

6

8

10

x

6 Parmi les différentes formes d’écriture ci-dessous, encerclez les règles qui sont équivalentes. f(x)

2(x

1)(x

i(x)

2x2

2x

g(x)

3)

j(x)

3

2(x 2x2

1)(x 4x

3) 6

h(x)

2(x

1)2

8

k(x)

2(x

1)2

8

PAGES 293 ET 294 À VENIR

292

GARDER LE CAP

Chapitres 1 à 3

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p. 403

RÉ ISION Questions à choix multiple

1

fx ( ) 40

On a tracé ci-contre une fonction polynomiale du second degré.

32

a) Quel est l’intervalle de croissance de cette fonction ? , 2] ∪ [6,

1) ] 3) [2,

[

24 16

2) [ 2, 6]

[

4) ]

8

, 2]

10

8

6

2 0 8

4

b) Quel est l’intervalle de positivité de cette fonction ? , 2] ∪ [6,

1) ] 3) [2,

[

4) ]

4

6

8

10

x

16 24

2) [ 2, 6]

[

2

32

, 2]

40

c) Parmi les couples suivants, lequel correspond aux coordonnées du sommet de la parabole ? 1) ( 2, 6)

2) (0, 2)

3) ( 2, 6)

4) (2, 6)

d) Quelle est la règle de cette fonction ? 1) f(x)

(x

2)2

6

2) f(x)

(x

2)2

6

3) f(x)

(x

2)2

6

4) f(x)

(x

2)2

6

2 Pour quelle valeur de x l’expression rationnelle a) Pour x

b) Pour x

8

c) Pour x

3

3

d) Pour x

4

d) x2

16

3 Lequel des polynômes suivants correspond à un trinôme carré parfait ? a) x2

b) x2

16

c) x2

16

4x

16

8x

4 À laquelle des équations suivantes correspond une droite perpendiculaire à la droite d’équation y

4x

a) y

2? 4x

2

b) y

c) y

d) y

4x

2

5 Lequel des systèmes d’équations ci-dessous n’admet que l’ensemble vide comme solution ? a)

y y

3x 3x

4 4

b)

y y

3x 3( x

21 7)

b)

y y

7x 7x

y y

5x 14 5( x 14 )

12 22

c)

y

5x

y

x 5

y y

6x 11 13x 8

11

d)

23

y

x 6

5

y

6x

19

y

1 (x 4

2)

y

4x

8

6 a)

c)

d)

PAGES 296 ET 297 À VENIR © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

RÉVISION

295

p. 403

Questions à réponse courte

20 Décomposez en facteurs chacun des trinômes suivants. a) x2

c) 9x2

10x

24x

25

16

b) 20x2

14x

12

d) 12x2

44x

7

21 Factorisez chacun des trinômes suivants à l’aide de la méthode de complétion de carré. a) x2

c) 3x2

12x

18x

13

21

b) x2

d) 4x2

8x

64x

12

112

PAGES 299 ET 300 À VENIR

298

RÉVISION

© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

p. 404

Questions à développement

28 Voici des renseignements à propos de deux fonctions polynomiales du second degré. Fonction f • Les coordonnées du sommet de la parabole sont ( 2, 4). • La valeur initiale est 2.

Fonction g • Les coordonnées du sommet de la parabole sont (3, 3,5). • La courbe passe par le point A(4, 4).

Déterminez les coordonnées du ou des points d’intersection des deux paraboles, si ceux-ci existent.

Réponse :

29 Dans la figure ci-dessous, les rectangles ABEF et BCDE sont semblables. Déterminez une expression algébrique qui correspond à l’aire du rectangle ACDF. A

3x 4

B

m AB m BE m BE m ED 3x 4 9x 2 12x 9x 2 12x m ED

C

9x 2 12x

m ED D ( 9x 2 12x )2 (3 (3xx 4) 27 27xx 3 36x 2, si x 4 .

F

D

E

3

Réponse : © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

RÉVISION

301

p. 404-405

30 Le graphique ci-contre montre la hauteur d’une balle de ping-pong par rapport au temps écoulé depuis qu’elle a été frappée. Déterminez la hauteur de la balle par rapport au dessus de la table au moment où elle est frappée sachant que A et C sont des sommets.

Hauteur de la balle (dm)

Hauteur d’une balle de ping-pong

C(9, 8) A(2, 6)

D(12, 3,5)

B 0

Temps écoulé (s)

Réponse :

31 Voici des renseignements concernant le tarif de deux entreprises de taxi. Entreprise A • • 2 $ pour chaque tranche de deux kilomètres parcourus en totalité ou non Laquelle de ces deux entreprises offre le tarif le plus avantageux ?

Entreprise B • 2 $ à l’embarquement • 3 $ pour chaque tranche de deux kilomètres parcourus en totalité ou non Coût d’un transport en taxi

Coût ($)

Réponse :

0 Distance (km)

PAGES 303 ET 304 À VENIR

302

RÉVISION

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p. 405-406

B NQUE DE SA 1

La valeur d’une action Le graphique ci-contre montre les prĂŠvisions d’experts en ĂŠconomie quant Ă la valeur d’une action pour les annĂŠes Ă venir. Selon eux, la valeur de l’action devrait se situer dans la rĂŠgion hachurĂŠe du graphique. Dix-sept ans après sa mise en marchĂŠ, est-il possible que la valeur de l’action soit de 11 $ ?

PrÊvision du prix d’une action

Valeur ($) 10

8

6

4

Sommet de la parabole

(0, 2,80) 2

0

2

4

6

8 10 Temps ÊcoulÊ depuis la mise en marchÊ de l’action (annÊes)

RĂŠponse :

2

La fiche d’identitÊ Le sommet d’une parabole est situÊ sur l’axe des abscisses du plan cartÊsien. Sachant que la droite d’Êquation 4x y 8 0 passe par l’ordonnÊe à l’origine et le sommet de la parabole, remplissez le tableau suivant. Droite Équation

Parabole

4x y 8 0

Domaine Codomaine Valeur initiale ZĂŠro Variation

Signe

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BANQUE DE SA

305

p. 406

La démonstration

3 x2 2x 2

18x 33x

2 65 25 et 2 x sont équivalentes. 2x 3x 35 91

Réponse :

PAGES 307 À 314 À VENIR

306

BANQUE DE SA

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SÉ 1

Le centre de recherche médicale

Un centre de recherche médicale est un lieu où sont testés des produits pharmaceutiques, généralement alors qu’ils en sont à la dernière phase d’analyse. On peut y tester, entre autres, de nouveaux médicaments et des vaccins, ou encore mettre à jour des données sur des produits médicaux existants. Dans cette situation d’évaluation, vous réaliserez différentes tâches en lien avec l’agrandissement d’un centre de recherche médicale. TÂCHE 1:

L’agrandissement du centre

chercheurs veulent agrandir le centre en y ajoutant une section. Cette dernière, de forme octogonale, permettra de recevoir 12 patients supplémentaires. Les experts en analyse médicale exigent une 2 x2 800x par patient dans tout le centre, ce qui inclut les deux sections. Le plan proposé respecte-t-il cette contrainte ? L

Arectangle

(1500x 2

L

4800x

3840) m2

Réponse :

PAGES 316 ET 317 À VENIR © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

SÉ 1

315

SÉ 2

Les vols spatiaux habités

Les voyages habités dans l’espace sont de plus en plus courants, mais les organismes du domaine de l’aérospatiale proposant de tels vols font face à plusieurs contraintes. En effet, les ingénieurs en aérospatiale doivent, entre autres, bien contrôler la chaleur causée par les frottements de l’air sous la navette, la quantité de dioxygène dans l’habitacle ainsi que le stockage des déchets. Dans cette situation d’évaluation, vous réaliserez différentes tâches en lien avec les contraintes à contrôler lors d’un vol spatial habité.

TÂCHE 1:

La résistance à la chaleur

Lors du décollage d’une navette spatiale, la vitesse augmente rapidement pour atteindre la vitesse

la vitesse de la navette varie selon la règle V(t t 3750, où V(t) représente la vitesse (en km/h) et t, le temps écoulé (en s) depuis la 50e seconde. Les ingénieurs ont évalué que la chaleur dégagée variait selon une fonction quadratique représentée par la table de valeurs ci-dessous. Variation de la chaleur dégagée Temps écoulé depuis le décollage (s)

0

100

800

Température (°C)

0

700

0

aura atteint sa vitesse maximale ?

Réponse :

PAGES 319 ET 320 À VENIR

318

SÉ 2

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EXAMEN

FORM TIF

Évaluation explicite des connaissances

Résultat :

QUESTION 1

/20 /4

Effectuez l’opération, puis réduisez le résultat à sa plus simple expression. x2 − 4 x 2 − 5x + 6

x 2 + 3x + 2 x 2 + 2x + 1

Réponse :

PAGES 322 À 325 À VENIR © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

EXAMEN FORMATIF

321

Évaluation des compétences

Résultat :

/80

Les ressources énergétiques renouvelables De façon naturelle, l’énergie se présente sous différentes formes. Selon leur disponibilité et leur vitesse de renouvellement, on classe les ressources énergétiques en deux catégories : les ressources énergétiques renouvelables et non renouvelables. Une ressource énergétique renouvelable peut se reconstituer ou se renouveler de façon naturelle au cours de la durée de vie d’un être humain. L’eau en mouvement, le vent, la terre et le soleil sont des exemples de ressources naturelles servant à la production d’énergie renouvelable. Dans cette section, vous réaliserez différentes tâches en lien avec l’univers des énergies renouvelables.

TÂCHE 1:

L’énergie marémotrice

/20

L’énergie marémotrice est obtenue par le mouvement des marées. Ce type d’énergie permet de produire, entre autres, de l’électricité au moyen de centrales marémotrices. Voici des renseignements concernant la quantité d’électricité produite par deux centrales marémotrices au cours d’une journée, à partir de minuit. Centrale A • La quantité q d’énergie (en MW) produite par la centrale est donnée par la règle q où t correspond au temps écoulé (en h) depuis minuit.

1 (t + 3)(t – 20), 3

Centrale B • À minuit, la centrale produit 28 MW. • À 18 h, la centrale produit 46 MW. • La quantité q d’énergie (en MW) produite par la centrale varie en fonction du temps écoulé t (en h) depuis minuit, selon une fonction représentée par une droite.

PAGES 327 À 330 À VENIR

326

EXAMEN FORMATIF

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GLOSS IRE aire

cathète

Mesure de la surface délimitée par une figure ou une courbe. L’aire, A, se mesure en unités carrées.

Chaque côté de l’angle droit d’un triangle rectangle.

Exemple : L’aire de ce rectangle est de 8 unités carrées. A 4 2 8u2

2

Exemple :

A

Cathète C

4

Hyp

otén

use

B

Cathète

axe de symétrie

constante

Axe de réflexion d’une figure symétrique, c’est-à-dire d’une figure qui est sa propre image par réflexion.

Valeur invariable, contrairement aux variables et aux paramètres.

Axe de symétrie

Exemple :

Exemple : Dans l’expression algébrique 3x 8, le coefficient 3 et le terme 8 sont des constantes. contraction

Réduction d’une figure par un changement d’échelle, soit horizontal (contraction horizontale), soit vertical (contraction verticale). axe des abscisses

Exemple : Contraction verticale : 0 |a| 1

Droite graduée horizontale permettant de déterminer l’abscisse d’un point dans le plan cartésien. L’axe des abscisses est aussi appelé axe des x ou axe horizontal.

f( x ) x 2 y g( x )

Exemple :

x2 2

(2, 4)

Axe des abscisses

(2, 2) x coordonnée

axe des ordonnées

Droite graduée verticale permettant de déterminer l’ordonnée d’un point dans le plan cartésien. L’axe des ordonnées est aussi appelé axe des y ou axe vertical. Exemple : Axe des ordonnées

carré de

Produit de deux facteurs égaux. Exemples : 1) 3 au carré s’écrit 32 et est égal à 3 3. Donc 32 3 3 9, 9 est donc le carré de 3.

Paramètre numérique permettant de localiser un point dans un système de référence donné, comme une droite, un plan ou l’espace. degré

Le degré d’un monôme est la somme des exposants des variables composant le monôme. Le degré d’un polynôme est le degré du monôme de plus grand degré parmi tous les monômes composant le polynôme. Exemples : 1) Le degré du monôme 12x 2y 4z est 7, car 2 4 1 7. 2) Le degré du polynôme 5x 3 2x 2y 3 y 2 3 est 5 car 2x 2y 3 est le monôme de plus grand degré de ce polynôme.

2) 6,25 est le carré de 2,5.

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GLOSSAIRE

331

demi-plan

droites parallèles confondues

Une des deux portions d’un plan limitée par une de ses droites. Dans un plan cartésien, il s’agit de la représentation graphique de l’ensemble-solution d’une inéquation du premier degré à deux inconnues.

Droites dont les équations possèdent la même pente et la même ordonnée à l’origine. La résolution algébrique d’un tel système d’équations conduit à une égalité vraie et

Exemple : Le demi-plan, la partie ombrée du graphique ci-dessous, est formé de l’ensemble des points représentant les solutions de l’inéquation y 2x.

Exemple : Les droites y parallèles confondues.

2x

3 et 4x

2y

6

0 sont

y

y 1 0 1

x

1 0

x

1

droites perpendiculaires [ ⊥ ]

dilatation

Extension, allongement ou agrandissement d’un objet. La multiplication des abscisses du plan cartésien par une constante a telle que a 1 provoque une dilatation horizontale alors que la multiplication des ordonnées du plan cartésien par une constante b telle que b 1 provoque une dilatation verticale. Exemple :

y

x2

y

y

6x 2

Droites se coupant à angle droit et ayant des pentes opposées et inverses. Le produit de leurs pentes est égal à 1. 1 Les droites y 2x 3 et y x 2 sont 2 1 , on a : 2

perpendiculaires. Soit les pentes 2 et 2

1 2

1.

© 2015

y y

2x

3

1 0 1

x 1 x 2

y

2

x

101

droites sécantes droite

Objet géométrique dans le plan cartésien dont l’équation est Ax By C. Si B 0, on peut lui donner la forme y ax b, où taux de variation d b, ordonnée à l’origine (ou pente), et le terme (ou valeur initiale). Exemple : La droite y cartésien ci-dessous.

2x

Paire de droites ayant un point en commun. Elles sont distinctes et ne peuvent se couper qu’en un seul point. Des droites sécantes ont des pentes différentes. Les droites y sont sécantes.

2x

3 et y

y

2x

1 0 1 y

2x

1 0 1

1

y

2 est représentée dans le plan y

3x

2

3

x y

3x

1

x ensemble vide [

]

Ensemble ne contenant aucun élément.

PAGES 333 À 340 À VENIR

332

GLOSSAIRE

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CORRIGÉ TEST DIAGNOSTIQUE p. 1

1. c)

2. b)

3. d)

4. b)

5. c)

6. d)

7. a)

8. b)

p. 2

9. b)

10. d)

11. d)

12. a)

13. a)

p. 3

14. a) 1) [ 10,

2) [ 4,

[

3) 0

4)

2) ]

3) 30

4)

d)

139

45 et 20.

c) 265

3 59 (17, 59)

, 45] ∪

19. a) 2 4

24 12

y

48 x

4x 9 b) (2, 40) 17 17 8

c)

b) g(x)

48 48

0,5x

5

Lois des exposants, opérations sur les expressions algébriques et mise en évidence simple 2

p. 9

b)

123

c)

5

1215

416

1 6 4 ou 4 . f) 6

e)

b)

56 d)

b) 518

MANIPULATION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES

1311

(53)2 53 2

8 x

y

54

3. a)

7

b) 1,44c9

324

d) t f)

20 ou 1. e)

63 63

68

c)

8

6 5 ou 15 . 6 3 6 ou

1 . f) 36

(24)2 28 6

(22)3

7 6 ou

1 . 76

e) 12a

15b z8

8b6c9

i) 9m7n4

i) 4,5x 2y3

a6

4

2

1

b2

3

2 a b ou a .

f) 7m

3d

20ab

36m5n10

b 13 y 8 z 6 d) 13x 2y8z6 ou . x2

3 c) 3 x ou 1,5 x 3 . 2

4

168x

2

b)

3

g) 15a b

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2

5

e) 14c

42b

5a g) 98x

45ab

2

5

SUITE DU CAHIER À VENIR

y4 c) 173,6b4d2

h) 12b3c4 4. a)

x2

14

z

214

x3

5 4 20x5y4

1 5 3 ou 3 . 5

p. 8

2. a)

28a4b3

48x5y8

37 39

18. a) 3x

p. 7

1. a)

7b3) 8a5b 8a5b

33 37 3 10

[;

[20, 30[.

RAPPEL 1

34 32

17. a)

5) Croissante sur ] , 25] ∪ [ 15, 0] ; décroissante sur [ 25, 15] ∪ [0, 30[.

CHAPITRE 1

6x7y9

3z.

p. 4

, 40]

6) Positif sur [ 45, 20] ; négatif sur ]

12y2

16. a) (3a3b2 4a4)(2ab 6a4b3 21a3b5 21a3b5 22a4b3

8, 4, 0 et 4.

6) Positif sur [ 10, 8] ∪ [ 4, 0] ∪ [4, négatif sur [ 8, 4] ∪ [0, 4]. , 30[

b) 6y2z3 et 2y4z2

b) 15x9y10

[

5) Croissante sur [ 6, 3] ∪ [3, [ ; décroissante sur [ 10, 6] ∪ [ 3, 3].

b) 1) ]

15. a) 16a4b2 4ab3 4ab2(4a3 b) 4ab2 et 4a3 b.

5

5,5x3y 3 ou

12n

h) 5m n

2 3

4,5 y 3 x2

8m5n

11n4

5,5 x 3 . y3 CORRIGÉ

341

• Une ou deux rubriques Garder le cap où figurent des exercices et problèmes en contexte ; • Une Révision (10 pages) ; • Une Banque de SA (10 pages) ; • Deux situations d’évaluation (SÉ) ; • Un examen formatif comportant deux parties : Évaluation explicite des connaissances et Évaluation des compétences ; • Un glossaire ; • Le corrigé du cahier ; • Un index.

STRUCTURE D’UN GUIDE D’ENSEIGNEMENT En plus de tout le contenu proposé aux élèves dans chacun des cahiers d’apprentissage, les enseignants disposent, à leur usage exclusif, des éléments suivants : • Plus de 50 fiches reproductibles et leur corrigé (une banque de situations d’apprentissage et un test supplémentaire par chapitre, en plus d’un bilan, de deux SÉ et d’un examen préparatoire à celui du MELS) ; • Les corrigés des tests, des SÉ et de l’examen formatif présents dans le cahier d’apprentissage.

VERSIONS NUMÉRIQUES Pour l’enseignant

Pour l’élève

• Pour l’animation en classe et la correction collective, la version numérique du cahier vous permet :

• La version numérique du cahier permet à l’élève :

– de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; – d’afficher le corrigé du cahier, question par question ;

– de feuilleter et d’annoter chaque page ;

– d’accéder à tout le matériel reproductible ;

– d’écrire ses réponses dans son cahier ;

– de partager des notes et des documents avec vos élèves ;

– d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ;

– de corriger leurs réponses directement dans la version numérique de leur cahier ;

– de travailler dans son cahier sans connexion Internet.

– d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; – et de travailler dans votre matériel même sans connexion Internet.

CODE DE PRODUIT : 218347

ISBN 978-2-7617-7843-5

9 782761 778435

François Pomerleau Vincent Roy

Inter va ll e

• Un Test diagnostique ; • Deux ou trois chapitres comprenant chacun : – un Rappel (8 pages), – deux ou trois sections divisées en sous-sections comportant chacune un encadré théorique, des rubriques En pratique, des exercices et problèmes en contexte, chaque section se terminant par une Consolidation portant sur l’ensemble de la section, – une Synthèse (8 pages), – une Banque de SA (6 pages), – une situation d’évaluation et d’apprentissage (SAÉ), – un test divisé en deux parties : Évaluation explicite des connaissances et Évaluation des compétences ;

Mathématique Séquence Sciences naturelles

2e année du 2e cycle du secondaire

Inter va ll e

Dominique Boivin Richard Cadieux Dominic Paul

STRUCTURE D’UN CAHIER

MAT-4171- 2

De plus, la collection Intervalle innove en offrant aux utilisateurs élèves un accès gratuit au cahier numérique et, aux utilisateurs enseignants, un accès gratuit au guide d’enseignement.

Cahier d’apprentissage

Les cahiers d’apprentissage de la collection Intervalle couvrent les éléments prescrits par le Programme de la formation de base diversifiée (FBD) pour chacun des trois cours des séquences Sciences naturelles (SN) et Culture, société et technique (CST) de 4e secondaire.

Mathématique 2e cycle du secondaire

Inter va ll e

MAT-4171-2

Modélisation algébrique et graphique en contexte fondamental 1

Cahier d’apprentissage • • • • •

Notions Exercices Problèmes SAÉ-SÉ Tests et examen formatif

Dominique Boivin Richard Cadieux Dominic Paul François Pomerleau Vincent Roy CONFORME AU PROGRAMME DE LA FORMATION DE BASE DIVERSIFIÉE

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