Podemos notar que o número de diagonais traçadas a partir de um dos vértices é três unidades menor que o número de lados. Assim, se um polígono tem n lados, podemos traçar (n 2 3) diagonais por um vértice. Como o polígono possui n vértices, podemos traçar n 8 (n 2 3) diagonais por todos os vértices. ___
___
Como ele tem diagonais com extremidades em dois vértices (AD e DA, por exemplo), cada diagonal seria contada duas vezes. Logo, para determinar o número de diagonais (d ) de um polígono de n lados, podemos utilizar a fórmula: n(n 2 3) d 5 _______ 2 Observe os exemplos. Solução n 5 10 10 8 (10 2 3) d 5 __________ 5 35 2 Logo, o decágono possui 35 diagonais. • Determine o número de lados de um polígono que tem 20 diagonais. Solução n 8 (n 2 3) d 5 ________ 2 n 8 (n 2 3) 20 5 ________ 2 n2 2 3n 5 40
A H
B
G
n2 2 3n 2 40 5 0 (n 1 5) 8 (n 2 8) 5 0
C
F
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
• Determine o número de diagonais de um decágono.
D
Assim:
E
• n 1 5 5 0 ] n 5 2 5 (Não é solução, pois n deve ser um número natural.) • n2850 ] n58 Logo, o polígono é um octógono. Observação
Em um polígono regular, de número de lados (n) par, o número de diagonais que passam n pelo seu centro corresponde a __. 2
F
A
E
B
D
C
Em um hexágono, três diagonais passam pelo seu centro.
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