Professores Cícero, Carlos, Conrad e Ubiratan – Uniban 2011
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CAPÍTULO III Sequência ou sucessão numérica 1. Definição Uma sequência pode ser pensada como uma lista de números escritos em uma ordem definida: a1, a2, a3, a4, ..., an, ... O número a1 é chamado primeiro termo, a2 é o segundo termo e, em geral, an é o n-ésimo termo. Podemos lidar exclusivamente com sequências infinitas e, assim, cada an terá um sucessor an + 1. Note que, para cada inteiro positivo n, existe um número correspondente an e, dessa forma, uma sequência pode ser definida como uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos. Mas geralmente escrevemos an em vez da notação de função f(n) para o valor da função no número n. NOTAÇÃO: A sequência {a1, a2, a3, ...} é também denotada por: {an}
ou
∞
{a n }n = 1
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1: Algumas sequências podem ser definidas dando uma fórmula para o n-ésimo termo. Nos exemplos a seguir, damos três descrições da sequência: uma usando a notação anterior, outra
empregando a fórmula da definição e uma terceira escrevendo os termos da sequência. Note que n não precisa começar em 1. ∞
n a) n + 1 n = 1
an = ∞
( − 1) n (n + 1) b) 3n n = 1 c)
{
n −3
∞
}
n=3
n n+1
( − 1)n (n + 1) an = 3n
2 3 4 5 ( − 1)n (n + 1) , ..., , ... − , , − , 27 81 3n 3 9
a n = n − 3, n ≥ 3
∞
nπ d) cos 6 n = 0
n 1 2 3 4 , ... , , , , ..., n+1 2 3 4 5
a n = cos
nπ ,n ≥ 0 6
{0, 1,
}
2, 3, ..., n − 3, ...
3 1 nπ , , 0, ..., cos , ... 1, 2 2 6