CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỎI TOÁN
Chủ đề 1. Phân tích đa thức thành nhân tử
Chủ đề 2. Chia hết của đa thức
Chủ đề 3. Chứng minh bất đẳng thức
Chủ đề 4. Phương trình nghiệm nguyên
Chủ đề 5. Tính giá trị biểu thức
Chủ đề 6. Phương trình đại số
Chủ đề 7. Số chính phương, số nguyên tố, chia hết
Chủ đề 8. Tìm giá trị nhỏ nhất
Chủ đề 9. Tam giác đồng dạng
Ths Nguyễn Thanh Tú
eBook Collection
10
vectorstock com/32029674
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH
GIỎI TOÁN LỚP 8 NĂM 2021 (CÓ LỜI GIẢI
CHI TIẾT) - 300 TRANG
WORD VERSION | 2023 EDITION
ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL
TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
Tài liệu chuẩn tham khảo
Phát triển kênh bởi
Ths Nguyễn Thanh Tú
Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật :
Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon
Mobi/Zalo 0905779594
Trang
Liên hệ tài liệu word toán zalo: TÀILIỆUTOÁNHỌC
Website:
CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC BẬC BA VÀ BẬC 4
Phương pháp:
- Dùng máy tính nhẩm nghiệm.
- Nếu tổng các hệ số của đa thức bằng 0 thì đa thức có 1 nghiệm x = 1
- Nếu tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì đa thức có 1 nghiệm là x = - 1
Một số hằng đẳng thức đáng nhớ:
1, ( ) ( ) 222224 ababababab +=++=−+
2, ( ) ( ) 222224 ababababab −=+−=+−
3, ( ) ( ) 222222 ababababab +=+−=−+
4, ( ) ( ) ( ) ( ) 333223 ababaabbababab +=+−+=+−+
5, ( ) ( ) ( ) ( ) 333223 ababaabbababab −=−++=−+−
6, ( ) ( ) ( ) 22222 ababab +=++−
7, ( ) ( ) 224 ababab +−−=
8, ( ) ( ) ( ) 4422 ababababab
9, ( ) ( ) 2 4422 22 abababab
+=+−−
10, ( ) ( ) 333222 3 abcabcabcabcabbcca ++−=++++−−−
11, ( ) ( ) 42242222 aabbaabbaabb ++=++−+
12, ( ) ( ) 4222111aaaaaa ++=++−+
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3242924aaa+−+
Hướng dẫn
Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm là 1,3 và -8, nên sẽ có chứa các nhân tử (a
- 1), (a - 3) và (a + 8),
Ta có: ( ) ( ) ( ) 32322 42924552424 aaaaaaaa +−+=−+−+−+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 221512411524aaaaaaaa −+−−−=−+− = ( ) ( ) ( ) 138aaa−−+
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4326761xxxx++−+
HƯỚNG DẪN
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính
Và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:
Nên ta làm như sau:
4322222 22 6111 67616767xxxxxxx xxx
Website:
Đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) 222 222 267693 xttxttxt +++=++=+
Thay t trở lại ta được : 22 2 2222 1133(31) xx xxx
Vậy ( ) 4322 2 676131xxxxxx ++−+=+−
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 326116xxx+++
HƯỚNG DẪN
Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích : ( ) ( ) ( ) 326116123xxxxxx +++=+++
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) ( ) 135715xxxx +++++
HƯỚNG DẪN
Với dạng này, ta chỉ việc lấy số nhỏ nhất nhân với số lớn nhất, để tạo ra những số hạng giống nhau : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1735158781515 xxxxxxxx +++++=+++++
Đặt ( ) ( ) 222 871515221051522120 xxttttttt +==>+++=+++=++
( ) ( ) ( ) ( ) 22 1012810812 ttxxxx =++=++++ = ( ) ( ) ( ) 281062 xxxx ++++
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4221xx++
HƯỚNG DẪN
Nhận thấy ngay đa thức trên là hằng đẳng thức nên ta có : ( ) 4222 211xxx++=+
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 32 37175 xxx−+−
HƯỚNG DẪN
Bấm máy tính cho ta có nghiệm là 1 3 x = , nên có nhân tử là : (3x - 1)
nên ta có : 32322 37175362155 xxxxxxxx −+−=−−++−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 312315313125 xxxxxxxx =−−−+−=−−+
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: 32 2583 xxx−+−
HƯỚNG DẪN
Bấm máy tính cho ta có nghiệm là
1 2 x = , nên có nhân tử là : (2x - 1)
Nên ta có : 32322 258324263 xxxxxxxx −+−=−−++−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 212213212123 xxxxxxxx =−−−+−=−−+
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: 32 31443 xxx−++
HƯỚNG DẪN
Bấm máy tính cho ta nghiệm là : 1 3 x = nên có 1 nhân tử là : (3x + 1)
Ta có : 32322 31443315593 xxxxxxxx −++=+−−++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 315313313153 xxxxxxxx +−+++=+−+
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: 32584xxx+++
HƯỚNG DẪN
bấm máy tính cho ta nghiệm là : x= -1 và x= -2
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Website:
Như vậy ta có : ( ) ( ) 322 58412xxxxx +++=++
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: 42199719961997xxx +++
HƯỚNG DẪN
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 422222 11996199619961119961 xxxxxxxxxx +++++=++−++++
( ) ( ) 2211997xxxx =++−+
Bài 11: Phân tích thành nhân tử: 42200420032004 xxx +++
HƯỚNG DẪN
42200420042004 xxxx =++−+ ( ) ( )4220041 xxxx =−+++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3222 1200411120041 xxxxxxxxxx =−+++=−+++++
( ) ( ) 2212004 xxxx =++−+
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: 22001.2002xx
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) 222222001200112001200120012001 xx xx xx −−+=−+−=−−+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20112011201120112012 xxxxx −+−+=+−
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) 4610128xxxx++++
HƯỚNG DẪN
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1046128101024128xxxxxxxx ++++=++++
Đặt : 210 xxt += , Khi đó đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) 2 2412824128816 tt tttt ++=++=++
Thay t trở lại đa thức ta đươc : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 108101610828 xxxxxxxx ++++=++++
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4326761xxxx++−+
HƯỚNG DẪN
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính
và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: nên ta làm như sau:
4322222 22 6111 67616767xxxxxxx xxx xxxx − ++−+=++++=++−+
Đặt 22 2 11 2 xtxt xx −==>+=+ Đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) 222 222 267693 xttxttxt +++=++=+
Thay t trở lại ta được : 22 2 2222 1133(31) xx xxx xx xx −+ −+= =+−
Vậy ( ) 4322 2 676131xxxxxx ++−+=+−
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) 221212xxxx++++−
HƯỚNG DẪN
Website:
Đặt 2 xxt += khi đó đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 121231025 tttttt ++−=+−=−+
Thay t trở lại đa thức ta được : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22225125 xxxxxxxx +−++=−+++
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) 2241072xx
HƯỚNG DẪN
Đặt 24 xt −= khi đó đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 672672126162442 ttttttxxxxx −−=−−=−+=−+=−++
Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: 43261161xxxx +−++
HƯỚNG DẪN
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: nên ta làm như sau: 4322222 22 6111 67616767 xxxxxxxxxx xxxx
Đặt 22 2 11 2 xtxt xx +==>+=− . Đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) ( ) 222222676515 xttxttxtt −++=++=++
Thay t trở lại ta được : ( ) ( ) 22 2222 11115 15151 xxxx xxxx xxxx xxxx
Vậy ( ) ( ) 43222 6761151 xxxxxxxx ++−+=++++
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) ( ) 12341aaaa +++++
HƯỚNG DẪN
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1423154561 aaaaaaaa +++++=+++++
Đặt 255 aat ++= , Khi đó đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) 22211155 tttaa −++==++
Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) ( ) 234524xxxx ++++−
HƯỚNG DẪN
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 25342471071224 xxxxxxxx ++++−=++++−
Đặt : 2711 xxt ++= , Khi đó đa thức trở thành
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 112425557671616716 tttttxxxxxxxx −+−=−=−+=++++=++++
Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) ( ) 411213214 xxxx +−++−
HƯỚNG DẪN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 41321211412112121114 xxxxxxxx ++−+−=+++−−
Đặt 2 1211xxt += , Khi đó đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 214623 tttttt +−−=+−=−+ ( ) ( ) 22 1211212113 xxxx +−++
Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) ( ) 456101232 xxxxx ++++−
HƯỚNG DẪN
Website:
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 451261034176016603 xxxxxxxxxx ++++−=++++−
Website:
Bài 28: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) 2234624xxxx+−+−−
26060 417163xxx xx
, Đặt : 60 xt x += , Khi đó đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 41716341321085231235 xttxttxtt ++−=++=++
=++++=++++
( ) ( ) 222 120120 231235231120235120xxx xxxx xx
Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) 2231335xxxx+++−−
HƯỚNG DẪN
Đặt : 23 xxt += , Khi đó đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 13528243234 ttttttxxxx +−−=−−=+−=+++−
( ) ( ) ( ) ( ) 1214xxxx ++−+
Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: 43221xxxx++++
HƯỚNG DẪN 432222222 ()(1)(1)(1)(1)(1) xxxxxxxxxxxxx +++++=+++++=+++
Bài 24: Phân tích đa thức thành nhân tử: 432 6737812 aaaa +−−+
HƯỚNG DẪN
Nhẩm thấy đa thức có nghiệm là x=2, hay có 1 nhân tuer là x - 2
Ta có : ( ) ( ) 43243322 6737812(612)(19a38)2612 aaaaaaaaaa +−−+=−+−+−−− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3232 6219226226196 aaaaaaaaaaa −+−+−−−=−++−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 232132aaaa −+−+
Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: 432613124xxxx ++++
HƯỚNG DẪN
Thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có 1 nghiệm bằng -1
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 43243322 613124558844 xxxxxxxxxxx ++++=+++++++
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3232 15181411584 xxxxxxxxxxx +++++++=++++
= ( ) ( ) 2212xx++
Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) 22324831424 xxxxx +++++
HƯỚNG DẪN
( ) ( ) 2 222 483482 xxxxxx ++++++ ,
Đặt: ( ) 222 4832 xxyyxyx ++==>++ => ( ) ( ) 2 yxyx ++
Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử: 42201020092010xxx +++
HƯỚNG DẪN
( ) ( ) ( ) 42222212009200920091120091 xxxxxxxxxx +++++=++−++++
( ) ( ) 2212010xxxx =++−+
TÀILIỆUTOÁNH
HƯỚNG DẪN
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2234624142324 xxxxxxxx +−+−−=−+−+−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 241324282324 xxxxxxxx −+−+−=+−+−−
Đặt : 22 xxt += , khi đó đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) 2 83241111 tttttt −−−=−=−
Thay t trở lại ta được : ( ) ( ) ( ) ( ) 222 22112211xxxxxxxx ++−=++−
Bài 29: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) 222272423xxxxxx ++−++++
HƯỚNG DẪN
Đặt : 22 xxt += , khi đó đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 74377126515 tttttttttt +−++=+−−−=−−−=−++ , Thay t trở lại ta được : ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 2125125 xxxxxxx −++++=−+++
Bài 30: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4321026101xxxx ++++
HƯỚNG DẪN
4322222 22 10111 102610110261026xxxxxxx xxx xxxx
Đặt 22 2 11 2 xtxt xx +==>+=− Đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) ( ) 2222221026102446 xttxttxtt −++=++=++
Thay t trở lại ta được : ( ) ( ) 22 2222 114161 464161 xxxx xxxx xxxx xxxx
Vậy ( ) ( ) 43222 10261014161 xxxxxxxx ++++=++++
Bài 31: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) ( ) 45671680xxxx
HƯỚNG DẪN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 47561689112811301680 xxxxxxxx −−−−−=−+−+−
Đặt 21129 xxt −+= , Khi đó đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 11168016814141 ttttt −+−=−=−+
Thay t trở lại đa thức ta được : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 111211701211170 xxxxxxxx −−−+=−+−+
Bài 32: Phân tích đa thức thành nhân tử: 43241xxxx+−++
HƯỚNG DẪN 4322222 22 1111 4144xxxxxxx xxx xxxx
+−++=+−++=+++−
Đặt 22 2 11 2 xtxt xx +==>+=− Đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) ( ) 2222224623 xttxttxtt −+−=+−=−+
Thay t trở lại ta được :
+−++= =−++
Website: ( ) ( ) 22 2222 112131 231.31 xxxx xxxx xxx xxxx
Vậy ( ) ( ) 4322241131xxxxxxx +−++=−++
Bài 33: Phân tích đa thức thành nhân tử: 43271471xxxx −+−+
HƯỚNG DẪN
Website:
a, 444 xy + b, 8 41 x + c, 444xy +
HƯỚNG DẪN
a, Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 4422222222 4222.2.4 xyxyxyxyxy +=+=++−
( ) ( ) 222222 xyxy=+− ( ) ( ) 2222 2222 xyxyxyxy=+++−
b, Ta có : ( ) 2 8444 41212.2.14 xxxx +=++−
4322222 22 7111 71471714714xxxxxxx xxx xxxx
−+−+=−+++=+−++
( ) ( ) ( ) ( ) 22 424242 212221221 xxxxxx =+−=++−+
Đặt 22 2 11 2 xtxt xx +==>+=− Đa thức trở thành : ( ) ( ) ( ) ( ) 22222271471234 xttxttxtt −−+=−+=−−
c, Ta có : ( ) ( ) 22 442222222222 4222...24 xyxyxyxyxy +=+=++−
( ) ( ) ( ) ( ) 22222222222222 xyxyxyxyxyxy +−=−+++
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, 841xx++ b, 751xx++
+−+−= =−+−+
Thay t trở lại ta được : ( ) ( ) 22 2222 113141 3431.41 xxxx xxxx xxxx
Vậy ( ) ( ) 43222 714713141 xxxxxxxx −+−+=−+−+
Bài 34: Cho biểu thức: ( ) 2 22222 4 Abcabc =+−−
a, Phân tích A thành nhân tử
b, Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì A< 0
HƯỚNG DẪN
a) Ta có: ( ) ( ) ( ) 22 2 2222222242 Abcabcbcabc =+−−=+−− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 bcabcbcabcbcabcabcabca =+−−+−+=+−++−−−+
b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên: 0,0,0,00 bcabcabcabcaA +−>++>−−<−+>=><
DẠNG 2: THÊM BỚT HẠNG TỬ Phương pháp :
Các đa thức không thể sử dụng các phương pháp như đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử và sử dụng hằng đẳng thức cũng như đoán nghiệm, Trong các thành phần của đa thức có chứa các hạng tử bậc 4, ta sẽ thêm bớt để đưa về hằng đẳng thức số : ( ) ( ) 22 ababab −=−+
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, 4 481 x + b, 6444 xy + HƯỚNG DẪN
a, Ta có : ( ) ( ) 22 4222222 481292.2.92.2.92936 xxxxxx +=++−=+−
HƯỚNG DẪN
a, Ta có: 848444844 1121 xxxxxxxxx ++=+++−=++−
( ) ( ) ( ) ( ) 22 424242 111xxxxxx +−=++−+
b, Ta có: ( ) ( ) ( ) 75752275221()11 xxxxxxxxxxxxxx ++=++++−−=−+−+++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 623233232 1111111 xxxxxxxxxxxxx =−+−+++=+−+−+++
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32232 11111 xxxxxxxxx +−+++−+++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 25423222111 xxxxxxxxxxxx =++−+−+−+++++
= ( ) ( ) 25423211xxxxxxxx ++−+−+−+ ( ) ( ) 25432121xxxxxxx =++−+−−+
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, 721xx++ b, 51xx+− c, 81xx++
HƯỚNG DẪN
a, Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 7272621111 xxxxxxxxxx ++=−+++=−+++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 332232 1111111 xxxxxxxxxxxx =−++++=−++++++
( ) ( ) 254211xxxxxx ++−+−+
b, Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 55222321111 xxxxxxxxxx +−=++−+−=+−−+
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222232 11111 xxxxxxxxxx +−+−−+=−++−
c, Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 88222621111 xxxxxxxxxx ++=−+++=−+++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 232226532 111111 xxxxxxxxxxxxx =+−+++++=++−+−+
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, 6444 xy + b, 444 xy + c, 4324 x +
( ) ( ) ( ) ( ) 22
222 296269269 xxxxxx =+−=++−+
b, Ta có : ( ) ( ) ( ) 222 442222222222 6482.8.2.8.816 xyxyxyxyxyxy +=++−=+−
( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 848484 xyxyxxyyxxyy =+−=++−+
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
HƯỚNG DẪN
a, Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 22224422222222 6482.816.84 xyxyxyxyxyxy +=++−=+−
( ) ( ) 2222 8484 xyxyxyxy=+−++
b, Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 4422222222 4222.2.4 xyxyxyxyxy +=+=++−
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Website:
( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 222222 xyxyxyxyxyxy +−=+−++
c, Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 42222 32418182..1836 xxxxx +=+=++−
( ) ( ) ( ) ( ) 22 222 186186186 xxxxxx =+−=+++−
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, 464 x + b, 44814xy + c, 44 4 xy + HƯỚNG DẪN
a, Ta có: ( ) ( ) 22 4222222 64882..816 xxxxx +=+=++−
( ) ( ) ( ) ( ) 22 222 848484 xxxxxx =+−=+−++
b, Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 4422222222 81492922.9.236 xyxyxyxyxy +=+=++−
( ) ( ) ( ) ( ) 2222222 926926926 xyxyxyxyxyxy +−=+−++
c, Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 4422222222 4222..24 xyxyxyxyxy +=+=++−
( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 222222 xyxyxyxyxyxy =+−=+++−
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, 444xy +
b, 44 41 xy +
c, 4 481 x +
HƯỚNG DẪN
a, Ta có: ( ) ( ) 22
442222222222 4222..24. xyxyxyxyxy +=+=++−
( ) ( ) ( ) ( ) 22222222222222 xyxyxyxyxyxy +−=−+++
b, Ta có: ( ) ( ) 4422222222224121212.24 xyxyxyxyxy +=+=++−
( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 212212212 xyxyxyxyxyxy +−=+++−
c, Ta có: ( ) ( ) 22 4222222 48129292.2.936 xxxxx +=+=++−
( ) ( ) ( ) ( ) 22 222 296296296 xxxxxx +−=+++−
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, 6444 xy + b, 464 a + c, 42 4 ab +
HƯỚNG DẪN
a, Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 4422222222 64882.8.16 xyxyxyxyxy +=+=++−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 848484 xyxyxyxyxyxy +−=+++−
b, Ta có: ( ) ( ) 22 4222222 64882..816 aaaaa +=+=++−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 22 222 848484 aaaaaa +−=+++−
c, Ta có: ( ) ( ) 22 44222222 422..24. abababab +=++−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 222222 abababababab −−=−+−−
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, 44 x + b, 8 41 x + d, 44 x +
HƯỚNG DẪN
a, Ta có: ( ) ( ) ( ) 222422222 422..2422 xxxxxx +=++−=+−
= ( ) ( ) 222222 xxxx +−++
Website:
b, Ta có: ( ) ( ) ( ) 222 8424442 41212.2.14212 xxxxxx +=++−=+−
= ( ) ( ) 4242 212212 xxxx +−++
c, Ta có: ( ) ( ) ( ) 222422222 422..2422 xxxxxx +=++−=+−
( ) ( ) 222222 xxxx=+−++
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, 64321xx++ b, 1051aa++ d, 541xx
HƯỚNG DẪN
a, Ta có: ( ) 643264323232232 12.11 xxxxxxx ++=++−=+−
( ) ( ) 32163216 11 xxxx =+++−
b, Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 105105229232 11111 aaaaaaaaaaaaaa ++=−+−+++=−+−+++ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33232363232 ()11112111 aaaaaaaaaaaaaa −+−+++=−+++−+++ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 742222 211111 aaaaaaaaaaaa ++−+++−+++++
= ( ) ( ) ( ) ( ) 274321211aaaaaaaa ++++−+−+
c, Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 54543332211111 xxxxxxxxxxxx −−=−+−+=−+−+−+
( ) ( ) 2311xxxx−+−−
Website:
DẠNG 3: ĐA THỨC BẬC CAO
Phương pháp:
Đối với đa thức bậc cao có dạng 31321 mm xx++++ luôn luôn có nhân tử chung là bình phương thiếu của tổng hoặc hiệu, nên ta thêm bớt để làm cuất hiện bình phương thiếu cảu tổng hoặc hiệu:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 754321 xxxxx+++++
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 7534234242111xxxxxxxxxx +++++=+++++
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 423222111111 xxxxxxxxxx +++=++−++−+
= ( ) ( ) ( ) 2 22111xxxxx −++++
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 111092...1xxxxx ++++++
HƯỚNG DẪN
Ta có: 111092...1xxxxx ++++++ ( ) ( ) ( ) 111098762...1xxxxxxxx =+++++++++
( ) ( ) ( ) 9262211...1 xxxxxxxx =+++++++++
( ) ( ) 296311xxxxx+++++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24222 11111 xxxxxxxx =++−+−+++
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 84141xx++
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 844444424244 211211212.1.24418 xxxxxxxxxxxx +++=++=++++−++
= ( ) ( ) 224231222 xxxx ++−−
( ) ( ) 423423 12221222 xxxxxxxx =++−++++−
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: 84981xx++
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) 422424244 121.86416132 xxxxxxx ++++−++
= ( ) ( ) ( ) ( ) 22242242423 8116128144 xxxxxxxxx ++−+−=++−−
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 5432 23683 xxxx−+−+
HƯỚNG DẪN
Ta có: 54325443322 23683225533 xxxxxxxxxxx −+−+=−−++−−+
( ) ( ) ( ) ( ) 4322 2115131 xxxxxxx =−−−+−−−
= ( ) ( ) ( ) 22 1321xxx −++
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 543254451xxxxx −++−+
Website: DẠNG 4: ĐA THỨC ĐA ẨN
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 222221 xyzxyz +−+−−
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 22222 222 2212211 xyzxyzxxyyzzxyz +−+−−=++−++=+−+ ( ) ( )11xyzxyz =++++−−
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 222221 xyzxzy −+−+−
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 22222 222 2212211 xyzxzyxxzzyyxzy −+−+−=−+−−+=−−− ( ) ( )11xzyxzy −+−−−+
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 64333 22 xxxyxy −−+
HƯỚNG DẪN
Ta có: 64333 22 xxxyxy−−+= ( ) 53233 22 xxxxyy −−+
= ( ) ( ) ( ) ( ) 3232332222xxxyxxxyx
= ( ) ( ) ( ) 222 2 xxyxxxyy −−++
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6432 99 xxxx −−+
HƯỚNG DẪN
Ta có: 6432 99 xxxx −−+ = ( ) 24299 xxxx−−+
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222221911191 xxxxxxxxx
= ( ) ( ) 23219xxxx−+−
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) 222 4 abcabcb +++−+−
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) 2222222 2222224 abcabbccaabcabbcacb ++++++++−−+−
( ) ( ) ( ) 222222222224222 acbacaaccbacb =+−+=++−=+−
( ) ( ) 2 acbacb =+++−
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) 222222 abcbcacab −−−+−
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) 222222222 abacbcabacbcabcbaccab −−++−=++−−+
= ( ) ( ) ( ) ( ) 222 abcbabbccab +++−+−+
= ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 abcbabbbccab +++−+−+
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 bcababbcbcabababbcbc +−++−=+−+++−+
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) abbcabbcabbcac ++−+−=++−
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) 3 xyxyyzyzzxxzxyz ++++++
HƯỚNG DẪN
Ta có: = ( ) ( ) ( ) xyxyxyzyzyzxyzzxzxxyz ++++++++
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xyxyzyzxyzzxxyzxyzxyyzzx ++++++++=++++
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) xyxyyzyzzxzx +−+−−
Website:
HƯỚNG DẪN
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bcabababbcbc −−+−−−+
Website:
Ta có: = ( ) ( ) ( ) ( ) xyxyyzyzzxyzxy +−+−+−+
= ( ) ( ) ( ) ( ) xyxyyzyzzxyzzxxy +−+−+++
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxyyzzyzxyxyyzxz ++−++=++−
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) 444 xyzyzxzxy −+−+−
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 444 xyzyyzxyzxy −+−−−−+−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 4444 xyzyyzyxyzxy −−−−−+−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 4444 yzxyxyyz
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 yzxyxyxyxyyzyzyz −−++−−−++
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bcababbcabbcac −−+−−=−−−
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) 333333 xyzyzxzxy −+−+−
HƯỚNG DẪN
Ta có: 333333 xyxzyzxyxzyz −+−+−
= ( ) ( ) ( ) 333 xzyyxzzyx −+−+−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 333 xzyyzyyxzyx −+−−−−+−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 3333 xzyyzyyyxzyx −−−−−+−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 3333 zyxyyxzy −−+−−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 zyxyxxyyyxzyzyzy −−+++−−++
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 xyyzxyxyyzyz
−−++−++
= ( ) ( ) ( ) 32233223 xyyzxxyxyyyyzyzz −−+++−−−−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33222 xyyzxzyxzyxz −−−+−+−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 xyyzxzxxzzyxzyxzxz −−−+++−+−+
= ( ) ( ) ( ) ( ) 222 xyyzxzxxzzyxyyz −−−+++++
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) abcabbccaabc ++++−
HƯỚNG DẪN
Ta có: 222222 ababcacabbcabcabcbcacabc ++++++++−
= ( ) ( ) 222222 abababcbcbcabcacca +++++++
= ( ) ( ) ( ) ababcbcabcacac +++++++
= ( ) ( ) ( ) babcacacac +++++
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 acabbbcacacbcab ++++=+++
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) ( ) 3333 abcabcbcacab ++−+−−+−−+−
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3333 abcabcbcacab ++−+−++−++−
= ( ) ( ) ( ) 2222 zyxyxxyyzyzy −−++−−−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 zyxyxzxyyzzyxyxzxyz −−−+−=−−−++
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) 22222 xyzxyzxyyzzx +++++++
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2222222 2 xyzxyzxyyzzxxyyzzx
Đặt: 222 , xyzaxyyzzxb ++=++= khi đó đa thức:
( ) 22aabb ++
( ) ( ) 2222 2222 aabbabxyzxyyzzx =++=+=+++++
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22444422222222 xyzxyzxyzxyzxyz ++−++−+++++++
HƯỚNG DẪN
Đặt: 444222 ,, xyzaxyzbxyzc ++=++=++= ,
Khi đó ta có: ( ) ( ) 2242224222222222 abbccabbbccabbc −−+=−+−+=−+− ,
xabc
=+− =+−=>++=++ =+−
ybcaxyzabc zcab
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3333333333 3 xyzxyzxyzxyyzzxxyz ++−++=++++++−−−
= ( ) ( ) ( ) 33.2.2.224 xyyzzxabcabc +++==
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) 222 abcbcacab −+−+−
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 222 abcbbcabcab −+−−−−+−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 abcbbcbabcab −−−−−+−
Liên hệ tài liệu word môn
Lại có : ( ) 2222222 2 abxyyzzx −=−++ và ( ) 22 bcxyyzzx −=−++ , Thay vào ta được : ( ) ( ) ( ) 2222222 448 xyyzzxxyyzzxxyzxyz −+++++=++
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) 222 cabbacabc −−+−−−
HƯỚNG DẪN
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 222 cabbabbcabc −−+−+−−−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 cabbabbbcabc −−+−+−−−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) abbcbcbcbaba −−++−−+
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) abbcbcababbcca −−+−−=−−−
Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) 333 xyzyzxzxy −+−+−
HƯỚNG DẪN
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Website:
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 333 zxyxxyzxyzx −+−−−−+−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 3333 zxyxxyyzxxzx −−−+−−−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 3333 xyzxzxyx −−+−−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 xyzxzzxxzxyxyxyx −−+++−−++
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 xyzxzzxxyxyxxyzxzyzyx −−++−−−=−−−+−
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) ababbcbcacca +−+−−
HƯỚNG DẪN
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ababbcabcaacca +−++−−−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ababbcabbccaacca +−+−−−−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) babacccabaabbcac +−−−+=++−
Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) 3311 xyxyyx −−−+−
HƯỚNG DẪN
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 3311 xyxxyxyx −−−+−+−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 33311 xyxxyxxyx −−−−−+−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 33311 xyxxxy
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222111 xyxxxxxyxxyy −−++−−−++
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11222111 xyxxxxxyyxyxyxy −−++−−−=−−−++
Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) 222222 4242 ababbccbcaac ++−−+
HƯỚNG DẪN
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 222222 422242 ababbcacabcaac +++−+−+
= ( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 422242 ababbcacbcabcaac +++−+−+
= ( ) ( ) ( ) ( ) 222222 2424 babaccacba +−++−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 222222 babacaccacabab +−+−+−+
= ( ) ( ) ( ) 22222222 acababbcacbc ++−−+
= ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 acabbcabacbc ++−+−
Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) 333 xyzyzxzxy −+−+−
HƯỚNG DẪN
Website:
Ta có : ( ) ( ) ( ) bcabacbddcacabbcaddcabacbcadbd −+−−−+−+−+−
= ( ) ( ) ( ) ( ) bcabacbddcacabacbddcacbcadbdabacbcadbd −+−−−+−+−+−+−+−
= ( ) ( ) ( ) ( ) abacbddcbcacacbcadbdacab −+−−−−+−−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) adbccbacdabacb +−−−+−−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bcbaacdccaadbcbacad −−+−−=−−−
Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) 333 axyayxxya −−−+−
HƯỚNG DẪN
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 333 yaxxaxxyaxy −−−+−+−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 3333 yaxxaxxxyaxy −−−−−+−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 3333 axyxxyxa
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 xaxyxxyyxyxaxxaa −−++−−−++
= ( ) ( ) ( ) 2222 xaxyxxyyxxaa −−++−−−
= ( ) ( ) ( ) ( ) xaxyyayax −−−++
Bài 24: Phân tích đa thức thành nhân từ: ( ) ( ) ( ) 222 4 abcbaccababc +++++−
Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân từ: ( ) ( ) ( ) 222222 2 abcbcacababc ++++++
Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân từ: ( ) ( ) ( ) 333 abcbcacab −+−+−
Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân từ: ( ) ( )1 abcabbccaabc −+++++−
Bài 28 : Phân tích thành nhân tử: 222222 2 xyxyxzyzxzyzxyz ++++++ HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 xyxyzxyzxyxyxyzxzyz =+++++=++++ ( ) ( ) ( ) xyyzzx =+++
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 333 zxyxxyzxyzx −+−−−−+−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 3333 zxyxxyyzxxzx −−−+−−−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 3333 xyzxzxyx −−+−−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 xyzxzzxxzxyxyxyx −−+++−−++
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 xyzxzzxxyxyxxyzxzyzyx −−++−−−=−−−+−
Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bcadbcacbdacabcdab +−−+−++−
HƯỚNG DẪN
Website:
DẠNG 5: HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 432612143xxxx −+−+
HƯỚNG DẪN
Ta có : ( ) ( ) 43222 61214313 xxxxxaxxbx −+−+=++++
Hoặc : ( ) ( ) 43222 61214313 xxxxxaxxbx −+−+=+−+−
Giả sử ở TH1 ta có : ( ) ( ) ( ) 432432 612143433 xxxxxabxabxabx −+−+=+++++++
Đồng nhất hệ số ta có:
Website:
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) 8142222 xzyzy −−+
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) 814222242222 81 xzyzyxzyzy −−+=−−−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22422 8119191zyxzyzyxx −−=−+−+
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 313191zyzyxxx −++−+
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 642246 xxxyyy +++−
HƯỚNG DẪN
Ta có: 642246 xxxyyy +++−
6 4 412 2 314
ab a ab b ab
+=− =− +==> =− +=− , Vậy ( ) ( ) 43222 6121434123 xxxxxxxx −+−+=−+−+
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 432 23768 xxxx−−++
HƯỚNG DẪN
Ta có: 43243322 2376822552288 xxxxxxxxxxx −−++=+−−−−++
= ( ) ( ) ( ) ( ) 32 21512181 xxxxxxx +−+−+++
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 322 125281224 xxxxxxxx +−−+=+−−−
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 22 1251212103 xxyyxy +−+−−
HƯỚNG DẪN
Ta có: 22 1251212103 xxyyxy +−+−− = ( ) ( )31axbycxdy+++−
= ( ) ( ) ( ) 2222 1251212103333 xxyyxyacxadbcxybdycaxdby +−+−−=++++−+−− Đồ
= ( ) ( ) ( ) 222 66422422332222 2 xyxxyyxyxyxyxy −+++−=−++−
= ( ) ( ) ( ) ( ) 33332222 xyxyxyxyxyxy −+++−++
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 xyxxyyxyxxyyxyxyxyxy −+++−+++−++
= ( ) ( ) ( )2222221 xyxyxyxyxy +++−−+
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: 432 44521 xxxx++++
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) 43222 4452111 xxxxaxbxcxdx ++++=++++
Đồng nhất hết số ta có: ( ) 4322 2 4452121 xxxxxx ++++=++
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4863xx++
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) 422 863 xxxaxbxcxd ++=++++
Đồng nhất hệ số ta có:
4863xx++= ( ) ( ) 224749xxxx −+++
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( ) 42 2 11xxx++++
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2244 2 11111 xxxxxx ++++=++++
( ) ( ) 22 1251212103463321 xxyyxyxyxy +−+−−=−++−
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) 222222222 xyxyxyyzzx ++−−−
= ( ) ( ) ( ) 42 2 11211xxxxx ++++++
= ( ) ( ) ( ) 2222 11221 xxxxx ++++++
N ( ) 22222222244222233222222 222 xyxyxyyzzxxyxyxyxyxyxyyzzx ++−−−=+++++−−−
HƯỚNG D
= ( ) ( ) 442222222 22 xyxyxyxyzxy ++++−+
= ( ) ( ) ( ) 2 2222222 2 xyxyxyzxy +++−+
= ( ) ( ) ( ) ( ) 222222222 2 xyxyxyzxyxyz +++−=++−
= ( ) ( ) ( ) 22 xyxyzxyz ++++−
= ( ) ( ) 22 22111 xxx++++
= ( ) ( ) 2222221xxxx ++++
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( )555 xyxy +−−
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( )5 xy+= 5432234555 510105 xxyxyxyxyyxy +++++−−
( ) 3223522 xyxxyxyy =+++
= ( ) ( ) ( ) 22 52 xyxyxxyyxyxy +−+++
= ( ) ( ) 522 xyxyxyxy +++
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Website:
Bài 11: Tìm tổng hệ số của đa thức sau khi khai triển:
a, ( ) 434 x b, ( ) 525 x c, ( ) ( ) 10020172221 xxxx +−++−
HƯỚNG DẪN
Tổng hệ số của đa thức chính là giá trị của đa thức tại x = 1
Website:
CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC
DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BOWZU TÌM
SỐ DƯ
Định lý Bơ-zu: ”Dư của phép chia f(x) cho nhịn thức bậc nhất xa là 1 hằng số có giá trị là f(a)”
3641.123xxxxxx −+−−+−
Bài 12: Tìm hệ số của hạng tử bậc cao nhất và tổng các hệ số của đa thức: ( ) ( ) ( ) 2005 2004 2003 22 23
Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem, ( ) 32 3292fxxxx=−−+ có chia hết cho 2 x không, có chia hết cho x+2 không?
HƯỚNG DẪN
Theo định lý Bơ- zu thì dư của ( ) 32 3292fxxxx=−−+ khi chia cho nhị thức bậc nhất x-2 có giá trị là: ( ) 32 22.22.29.220 f =−−+= . Vậy ( ) ( ) 2 fxx
Tương tự:
Số dư của ( ) 32 3292fxxxx=−−+ khi chia cho x+2 có giá trị là: ( ) ( ) ( ) ( ) 32 22.22.29.224 f −=−−−−−+=−
Vậy ( ) ( ) 2 fxx / +
Bài 2: Tìm số a để 32 232 xxxax−+++
HƯỚNG DẪN
Theo định lý Bơ- zu thì dư của ( ) 3223 fxxxxa =−++ khi chia cho nhị thức bậc nhất x+2, có giá trị là: ( ) ( ) 22.83.4222 f aa −=−−−+=−
Để f(x) chia hết cho x+2 thì a-22=0 hay a=22
Bài 3: Tìm hế số a để: 2 463 xxax−+−
HƯỚNG DẪN
Theo định lý Bơ- zu thì dư của ( ) 2 46 fxxxa =−+ khi chia cho nhị thức bậc nhất x -
3, có giá trị là: ( ) 34.96.318 f aa =−+=+
Để f(x) chia hết cho x - 3 thì a+ 18 = 0 hay a = -18
Bài 4: Tìm hế số a để: 2 23 xxax+++
HƯỚNG DẪN
Theo định lý Bơ- zu thì dư của ( ) 22 fxxxa =++ khi chia cho nhị thức bậc nhất x +
3, có giá trị là: ( ) 32.9315 f aa −=−+=+
Để f(x) chia hết cho x + 3 thì a+ 15 = 0 hay a = -15
Bài 5: Tìm hế số a để: 2 10723 xxax−+−
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có: ( ) ( ) ( ) 2 107235412 xxaxxa −+=−+++
Để 2 1072312012 xxaxaa −+−=>+==>=−
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Website:
Bài 6: Tìm hế số a để: 2 21:3 xaxx++− dư 4
HƯỚNG DẪN
Theo định lý Bơ- Zu ta có :
Dư của ( ) 2 21fxxax=++ , khi chia cho x-3 là ( ) 32.931319faa =++=+
Để có số dư là 4 thì 31943155 aaa +==>=−=>=−
Bài 7: Tìm hế số a để: 54591axxx+−−
Theo định lý Bơ- Zu ta có :
HƯỚNG DẪN
Dư của ( ) 5459fxaxx=+− , khi chia cho x - 1 là ( ) 1594faa=+−=−
Để có phép chia hết thì 404aa−==>=
Bài 8: Tìm hế số a để: 2 82623 xxax−+−
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có: ( ) ( ) 2 826234721 xxaxxa −+=−−+−
Để 2 8262321021 xxaxaa −+−=>−==>=
Bài 9: Tìm hế số a để: 432265xxxxaxx −+−+−+
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia hoặc đồng nhất, ta có: ( ) ( ) 432226515 xxxxaxxxa −+−+=−+++−
Để phép chia là phép chia hết thì a - 5 = 0 hay a = 5
Bài 10: Tìm hế số a, b để: 322 xaxbxx+++−
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có: ( ) ( ) ( ) 322132 xaxbxxxaxb ++=+−−+++−
Để là phép chia hết thì a + 3=0 và b-2 =0 hay a=-3 và b=2
Bài 11: Tìm hế số a để: 322444xaxxx +−++
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có : ( ) ( ) ( ) 3224444124124xaxxxxa axa+−=+++−+−+−
Để được phép chia hết thì 12-4a=0 hay a=3
Bài 12: Tìm hế số a để: 424 xaxbx++−
Để 424 xaxbx++−
HƯỚNG DẪN
Website:
( ) ( ) 421620fxxaxbfab =++=>=++=
Và: ( ) 21620fab−=−+=
Giải hệ ta được a=0 và b=-16
Bài 13: Tìm hế số a để: 43211xaxbxx++−−
HƯỚNG DẪN
Để 43211xaxbxx++−− thì 43 43
11 11 xaxbxx xaxbxx ++−− ++−+
Áp dụng định Bơ- Zu ta có: ( ) ( ) 4311110fxxaxbxfab=++−=>=++−=
Và: ( ) 1110fab−=−+−=
Giải hệ ta được a tùy ý và b= - a
Bài 14: Tìm hế số a để: 3222 xaxbxx+++−
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có : ( ) ( ) ( ) 322224 xaxbxxxabxb ++=+−−+++−
Để phép chia là phép chia hết thì : a+b=0 và b-4=0=> b=4 và a=-4
Bài 15: Tìm hế số a để: 4221 xaxbxx++−+
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có : ( ) ( ) ( ) 422211 xaxbxxxxaaxab ++=−++++−+−
Để là phép chia hết thì a-1=0 và a-b=0=> a=b=1
Bài 16: Tìm hế số a để: 322550310axbxxxx ++++−
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 322550310335301050 axbxxxxaxababxab +++=+−+−++++−+
Để là phép chia hết thì a+3b+5=0 và 30a-10b+50=0
Bài 17: Tìm hế số a để: ( ) 432 11axbxx++−
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4322121.23285321 axbxxxaxabxababxab ++=−+++++++−+−
Để là phép chia hết thì :
8a+5b=0 và 3a+2b-1=0
Bài 18: Tìm hế số a để: ( ) 42 4 xxaxb +++
HƯỚNG DẪN
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Website:
Tách: ( ) ( ) 42242222xxxxx +=++−+
Vậy b=2 và a=2 hoặc a=-2
Bài 19: Tìm hế số m để: 432236721xxxxmxx −+−+−+
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) 43222 3672133 xxxxmxxxxm −+−+=−+−++−
Để là phép chia hết thì m- 3=0=> m=3
Bài 20: Tìm hế số a để: 2 10723 xxax−+−
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có:
( ) ( ) 2 107235412 xxaxxa −+=−+++
Để là phép chia hết thì a+12=0 hay a=-12
Bài 21: Tìm hế số a để: 2 244 xaxx+−+
HƯỚNG DẪN
Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của ( ) 2 2.4fxxax=+− khi chia cho x+4 là:
( ) 42.1644284 faa −=−−=−
Để là phép chia hết thì 28-4a=0=>a=7
Bài 22: Tìm hế số a để: 3225323xaxxxx −++++
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có:
( ) ( ) ( ) 322.532322633 xaxxxxxaaxa −++=++−+++−−
Để là phép chia hết thì -3a-3 =0=>a=-1
Bài 23: Tìm hế số a để: 22152 4 xaxaxa −−−+
HƯỚNG DẪN
Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của ( ) 221 .5 4 fxxaxa=−−− khi chia cho x+2a là:
( ) 222211 2425 44faaaaa −=+−−=−
Để là phép chia hết thì 211 0 42 aa−==>=±
Bài 24: Tìm số dư của 392781 xxxxx ++++ khi chia cho x-1
HƯỚNG DẪN
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 392781 111115Pxxxxxx=−+−+−+−+−+ nên số dư là 5
Bài 25: Tìm số dư của : 392781 xxxxx ++++ khi chia cho 21 x
HƯỚNG DẪN
Website:
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 39278115 Pxxxxxxxxx =−+−+−+−+ => Dư 5x
Bài 26: Xác định dư của: ( ) 19254981 Pxxxxxx =+++++ khi chia cho 3 xx
HƯỚNG DẪN
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 925498151 Pxxxxxxxxxx =−+−+−+−++
= ( ) ( ) ( ) ( ) 8244880 111151 xxxxxxxxx −+−+−+−+−
Vậy số dư là : 5x - 1
Bài 27: Tìm n nguyên để: 32 310531 nnn+−+
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có : ( ) ( ) 322 310531314 nnnnn +−=++−−
Để ( ) { } 32 3105314313141;2;4 nnnnnU +−+=>−=>−∈=±±±
Bài 28: Tìm n nguyên để 2 2221 nnn−++
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có : ( ) ( ) 2 222113 nnnn−+=+−+
Để : ( ) { } 2 22213212131;3 nnnnnU −++=>+=>+∈=±±
Bài 29: Tìm các số x nguyên để 32 46821 xxxx−+−
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có : ( ) ( ) 322 468212233 xxxxxx −+=−−++
Để ( ) { } 32 468213212131;3 xxxxxxU −+−=>−=>−∈=±±
Bài 30: Tìm các số x nguyên để: 32 432833 xxxx −+−−
HƯỚNG DẪN
Theo định Bơ zụ thì dư của ( ) 32 43283fxxxx=−+− , khi chia cho x-3 là : ( ) 34.273.92.3834 f =−+−=
Để ( ) { } 32 432833341;2;4 xxxxxU −+−−=>−∈=±±±
Bài 31: Tìm các số x nguyên để: 32 44421 nnnn−−++
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có : ( ) ( ) 322 444212313 nnnnnn −−+=+−++
Để ( ) { } 32 444213212131;3 nnnnnnU −−++=>+=>+∈=±±
Bài 32: Tìm các số x nguyên để: 2 84121 nnn−++
HƯỚNG DẪN
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Website:
Hạ phép chia ta có : ( ) ( ) 2 84121445 nnnn−+=+−+
Để ( ) { } 2 841215212151;5 nnnnnU −+−=>−=>−∈=±±
Bài 33: Tìm các số x nguyên để: 32 3815631 nnnn +−+−
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có : ( ) ( ) 322 3815631342 nnnnnn +−+=−+−+
Để ( ) { } 32 38156312313121;2 nnnnnnU +−+−=>−=>−∈=±±
Bài 34: Tìm các số x nguyên để: 32 426521 nnnn −−+−
HƯỚNG DẪN
Hạ phép chia ta có : ( ) ( ) 322 426521232 nnnnn −−+=−−+
Để ( ) { } 32 4265212212121;2 nnnnnnU −−+−=>−=>−∈=±±
Bài 35: Tìm phần dư của phép chia ( ) 201220111fxxx=++ cho đa thức :
a, 21 x
b, 21xx++
Bài 36: Cho đa thức: 432 ()6401979 Pxxxxxm =++−+−
a, Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x-2
b, Với m tìm được, hãy giải thích phương trình P(x)=0
Bài 37: Tìm số nguyên n sao cho: 32 3105 nn+− chia hết cho 31 n +
DẠNG 2: TÌM ĐA THỨC
Website:
Bài 1: Tìm a,b sao cho ( ) 3 fxxaxb =++ , chia cho x+1 dư 7, chia cho x-3 dư -5
HƯỚNG DẪN
Theo bài ra ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1.7 3.5 fxxAx fxxBx =++ =−− , Cho x=-1, x=3=> 8 332 ab ab −=− +=−
Bài 2: Tìm hằng số a,b,c sao cho: 32 axbxc ++ chia hết cho x+2, chia cho 21 x dư 5
HƯỚNG DẪN
Theo bài ra ta có: ( ) ( )2111 xxx−=−+
Khi dó ta có : ( ) ( ) ( ) 32 .2 fxaxbxcxAx =++=+ ( ) ( ) ( ) ( ) 115fxxxBx=−++
Cho x= - 2 khi đó ta có : - 8a + 4b + c = 0
Cho x=1=> a + b + c = 5
Cho x=-1 => - a + b + c = 5
Khi đó ta có hệ: 840 5 5
abc abc abc
−++= ++= −++=
Bài 3: Xác định a, b biết: 23xaxb ++ chia cho x+1 dư -6, chia cho x-2 dư 21
HƯỚNG DẪN
Theo bài ra ta có : ( ) ( ) ( ) 3 2.16fxxaxbxAx =++=+−
và ( ) ( ) ( ) 3 2..221fxxaxbxBx =++=−+
Cho 126xab =−=>−−+=−
Cho 216221xab ==>++=
Khi đó ta có hệ : 26 16221 ab ab −−+=− ++=
Bài 4: Tìm hệ số a,b sao cho: 432 3 xxxaxb −−++ chia cho 22xx được dư là 2x - 3 HƯỚNG DẪN
Theo bài ra ta có : ( ) ( )2221 xxxx −−=−+
Nên ta có : ( ) ( ) ( ) 4323.2123 fxxxxaxbxxx =−−++=−++−
Cho 21681221 x ab ==>−−++=
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Website:
Cho 11136 x ab =−=>+−−+=−
Khi đó ta có hệ 25 5 ab ab += −+=−
Bài 5: Cho ( ) ()4322,2PxxxxaxbQxxx =+−++=+− , Xác định a,b để ( ) ( ) PxQx
HƯỚNG DẪN
Đặt phép chia ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 4322.212 PxxxxaxbxxAxaxb =+−++=+−+−++
Để ( ) ( ) 101 202 aa PxQx bb
Bài 6: Xác định các số hữu tỉ a,b,c sao cho: 242xaxbxc +++ chia hết cho x-2, chia cho 21 x dư 2x
HƯỚNG DẪN
Theo bài ra ta có : ( ) ( ) ( ) 42 2.2 fxxaxbxcxAx =+++=−
Và ( ) ( ) ( ) ( ) 42 2.11.2 fxxaxbxcxxBxx =+++=−++
Cho 232420xabc ==>+++=
Cho 122xabc ==>+++=
Website:
Bài 10: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+4 dư là 9, còn f(x) chia cho x-3 dư là 2, và ( ) 2 :12fxxx+− có thương là 23 x + và còn dư
HƯỚNG DẪN
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 123343 fxxxxaxbxxxaxb =+−+++=−++++
Cho ( ) ( ) 49 4,3 32 fxab xx fxab =−+= =−==> =+= . Khi đó ta có hệ : 49 32 ab ab −+= +=
Bài 11: Xác định đa thức ( ) 32 Axaxbxc =++ , biết: A(x) chia hết cho x-2 và ( ) 2 :2Axxx+− dư là 3x+2
HƯỚNG DẪN
Ta có : ( ) ( ) 2212 xxxx +−=−+
Khi đó ta có : ( ) ( ) ( ) 32 .2 AxaxbxcxBx =++=−
Và ( ) ( ) ( ) ( ) 321232 AxaxbxcxxCxx =++=−+++
Cho 2840xabc ==>++= , Cho 15xabc==>++= , Cho 2844xabc =−=>−++=−
Khi đó ta có hệ : 840 844 5
++= −++=− ++=
abc abc abc
++=− ++= −+=−
Cho 122xabc =−=>+−+=− . Khi đó ta có hệ : 4232 0 4
abc abc abc
Bài 7: Xác định a,b sao cho: ( ) ( ) ( ) 432 11PxaxbxQxx =++=−
HƯỚNG DẪN
Đặt phép chia: ( ) ( ) ( ) ( ) 432 .11.43132 PxaxbxxAxabxab =++=−+++−−
Để ( ) ( ) 430 1320 ab PxQx ab += => −−=
Bài 8: Xác định a,b sao cho: 43226732 xxaxxxxb −+++−+
HƯỚNG DẪN
Đặt phép chia ( ) ( ) ( ) ( ) 43222 67.325262 xxaxxxxbAxabxbabb −+++=−++−++−++
Để là phép chia hết thì 2
520 620 ab babb −+= −++=
Bài 9: Tìm tổng các hệ số của đa thứ sau khi khai triển: ( ) 79 44xx−+
HƯỚNG DẪN
Tổng các hệ số cảu đa thức sau khi triển khai là giá trị cảu đa thức tại x=1
Thay x=1 vào ta được: ( )9 1441 −+=
Bài 12: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x-3 dư 2, f(x) chia cho x+4 dư 9, và ( ) 2 :12fxxx+− được thương là 23 x + và còn dư
HƯỚNG DẪN
Do f(x) chia cho ( ) ( ) 21234 xxxx +−=−+ được thương là 23 x + còn dư nên ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 433. fxxxxaxb =+−+++
Cho ( ) 449xfxab =−=>=−+=
Cho ( ) 332xfxab ==>=+=
Khi đó ta có hệ: 49 32 ab ab −+= +=
Bài 13: Tìm 1 đa thức bậc 3 P(x) biết, P(x) chia cho các đa thức (x-1), (x-2), (x-3) đều được dư là 6, và P(-1)= - 18
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) 6 fx chia hết cho 1,2,3xxx
Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(x) có dạng ( ) ( ) ( ) ( )6123fxmxxx −=−−− , m là hằng số
Lại có : ( ) ( ) ( ) ( ) 1181862341 fmm −=−=>−−=−−−<=>=
Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 6234 611 fxxxxfxxxx −=−−−=>=−+
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Website:
Bài 14: Tìm đa thức bậc 4 biết: ( ) ( ) ( ) ( )(1)0,1121 PPxPxxxx −=−−=++
HƯỚNG DẪN
Cho x=0=> ( ) ( ) 010PP−−= mà P(-1)=0=>P(0)=0
Lần lượt cho x=-2,1,2 ta có: P(-2)=0,P(1)=6, P(2)=36
Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22121211 Pxedxcxxbxxxaxxxx =+++++++++++−
Chọn x=-2=>e=0 x=-1=>d=0 x=0=>c=0 x=1=>b=1 x=2=>a=1/2
Vậy đa thức cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 21121 2 Pxxxxxxx =++−+++
Bài 15: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x+3 dư 1, P(x) chia cho x- 4 dư 8, chia cho (x+3)(x-4) được thương là 3x, còn dư
HƯỚNG DẪN
Vì P(x) chia cho (x+3)(x-4) được thwuong là 3x còn dư nên ta có:
( ) ( ) ( ) 343 Pxxxxaxb =++++
Và ( ) ( ) ( ) 31PxxAx=++
Và ( ) ( ) ( ) 48PxxBx=−+
Cho ( ) 313 xPxab =−=>==−+
Cho ( ) 488 xPxab ==>==+
Khi đó ta có hệ: 31 88 ab ab −+= +=
Bài 16: Tìm đa thức bậc hai P(x) biết: P(0) =19, P(1)=5, P(2)=1995
HƯỚNG DẪN
Đặt: ( ) ( ) ( ) ( )001Pxcbxaxx =+−+−−
Cho x=0=>c=19 x=1=>b=-14 x=2=>a=1002
Vậy đa thức cần tìm là: ( ) ( ) 100211419Pxxxx =−−+
Bài 17: Tìm đa thức bậc ba P(x) biết: P(0)=10, P(1)=12, P(2)=4, P(3)=1
HƯỚNG DẪN
Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 112Pxdcxbxxaxxx =++−+−−
Cho ( ) 0010 xPd ==>==
Cho ( ) 11122xPcdc ==>==+=>=
Cho ( ) 224225xPdcbb ==>==++=>=−
Cho ( ) 5 331366 2 xPdcbaa ==>==+++=>=
Website:
Vậy đa thức cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 1251210 2 Pxxxxxxx =−−−−++
Bài 18: Tìm đa thức bậc hai biết: P(0)=19, P(1)=85, P(2)=1985
HƯỚNG DẪN
Đặt ( ) ( ).1 Pxaxxbxc =−++
Cho ( ) 001919xPcc ==>===>=
Cho ( ) 118566xPbcb ==>==+=>=
Cho ( ) 22198522917 xPabca ==>==++=>=
Vậy đa thức bậc hai cần tìm là: ( ) ( ) 91716619Pxxxx =−++
Bài 19: Cho đa thức: ( ) 421Pxxax=++ và ( ) 31Qxxax=++ , xác định a để P(x) và Q(x) có
nghiệm chung
Giả sử nghiệm chung là c
HƯỚNG DẪN
=> ( ) ( ) ( ) ( ) 11PxxQxxPccQcc −=−=>−=−
vì x = c là nghiệm
Nên ( ) ( ) 0101PcQccc ===>−==>= ,
Khi c=1=>P(1)=Q(1)=a+2=0= >a= - 2
Vậy a= - 2 thì P(x) và Q(x) có nghiệm chung
Bài 20: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư 6 và chia cho 2710xx−+
được thương là 24 x + và còn dư
Bài 21: Xác định các số hữ tỉ a, b sao cho 3 xaxb ++ chia hết cho 223xx
Bài 22: Cho đa thức bậc hai : ( ) 2 Pxaxbxc =++ biết P(x) thỏa mãn cả hai điều kiện sau :
P(0)=-2, 4.P(x)-P(2x-1)=6x-6. CMR :a+b+c=0 và xác định đa thức P(x)
Bài 23: Cho đa thức: ( ) 2 fxaxbxc =++ , Xác định a,b,c biết f(0)=2, f(1)=7,f(-2)=-14
Bài 24: Cho đa thức bậc nhất f(x)=ax+b, Hãy tìm điều kiện của b để thỏa mãn hệ thức: ( ) ( ) ( ) 1212 fxxfxfx +=+ với mọi x
Bài 25: Cho đa thức: ( ) 2 fxaxbxc =++ , Xác định các hệ số ( ) 02 f = , ( ) ( ) 17,214ff=−=−
Bài 26: Cho đa thức: ( ) 8521fxxxxx=−+−+ , CMR ( ) fx luôn dương với mọi giá trị của x
Bài 27: Cho a và b là hai số tự nhiên. Số a chia 5 dư 1, số b chia 5 dư 2, CMR: ab chia 5 dư 2
Bài 28: Cho đa thức: ( ) 32243 fxxaxxb =++− . Tìm các hệ số a, b biết khi chia đa thức cho
x-3 ta được đa thức dư là -5 và khi chia đa thức cho x+1 thì được dư là -1
Bài 29: Xác định các hệ số của a, b để 42 . xaxb ++ chia hết cho 2 1 xx++
Bài 30: Cho đa thức: 43221Axxxm =−−+− và đa thức: 2 21Bxx=−− , Tìm m để đa thức
A chia cho đa thức B có dư là giá trị của ẩn làm cho đa thức B bằng 0
Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆUTOÁNH
Website:
DẠNG 3: TỔNG HỢP
Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n ta có : 221 526.5859 nnn ++ ++
HƯỚNG DẪN
Ta có: 221 526.5859 nnn ++ ++ = ( ) ( ) 51.58.64598.58.6459.58645 nnnnnnn +=−+=+−
Vì ( ) ( ) 2 645645 n nên ta có đpcm
Bài 2: CMR: 43222 nnnn −−+ chia hết cho 24 với mọi n Z ∈
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 43222222112 −−+=−−−=−+− nnnnnnnnnnnn
là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 và chia hết cho 3
Bài 3: Cho a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: 1 abab−−+ chia hết cho 48 ta có: ( ) ( )111ababab −−+=−− ,
HƯỚNG DẪN
Vì a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên: ( ) ( ) 2221;23anbn =+=+ với n Z ∈
Website:
Bài 6: CMR giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x: ( ) ( ) ( ) 4222 1641xxxxx −−+++
HƯỚNG DẪN
Biểu thức <=> 432423 46416441 xxxxxxxx −+−+−−++=
Bài 7: Tìm a để đa thức 343xxxa +++ chia hết cho đa thức 21 x +
HƯỚNG DẪN
Đem chia ta được dư là a+3
Bài 8: Tìm các số a và b sao cho 3 xaxb ++ chia hết cho x+1 dư 7 chia cho x-3 dư -5
HƯỚNG DẪN
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 31735 xaxbxPxxQx ++=++=−−
Thay x=-1 và x=3 vào biểu thức trên ta được : 10,2ab=−=−
Bài 9: CMR: Tổng các lũy thừa bậc ba của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9
HƯỚNG DẪN
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a-1, a, a+1
Bài 10: Cho a,b là hai số nguyên, CMR : Nếu 22 3114169 aabb +− thì 13 ab
Bài 11: Tìm phần dư của phép chia ( ) 201220111fxxx=++ cho đa thức :
a, 21 x
Bài 4:
Nên ( ) ( ) ( ) ( ) 222 1(1)(1)2112311612abababn n nnn
−−+=−−=+−+−=++
Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48
a, Tìm giá trị của a để ( ) ( ) 2342 2192 xxxxaxx −+++−−
b, Xác định các hệ số a, b để đa thức ()3 fxxaxb =++ chia hết cho đa thức 26xx+−
HƯỚNG DẪN
a, Thực hiện phép chia ta được thương là 2815xx−+ và dư là a+30
b, ( ) 26fxxx+− khi ( ) ( ) ( ) 32fxxx+− , Ta có: f(-3)=0 =>-3a+b=27 và f(2)=0=>2a+b=-
Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3333 113631199 Maaaaaaaaa =−+++=+=−++
Bài 5: Cho đa thức ()32 fxaxbxcxd =+++ , Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lượt cho nhị thức
(x-1), (x-2), (x-3) đều có số dư là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhận giá trị là -18 HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 61,2,3fxxxx vì f(x) là bậc 3 nên f(x) có dạng
( ) ( ) ( ) ( ) 6123fxmxxx −=−−− với m là hằng số:
lại có: (1)181 fm−=−=>= vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 612332611 fxxxxfxxxx −=−−−=>=−+
b, 21xx++
Bài 12: Tìm giá trị của a để ( ) ( ) 2342 2192 xxxxaxx −+++−−
HƯỚNG DẪN
Thực hiện phép chia ta được thương là 2815xx−+ và dư là a+30
Bài 13: Cho đa thức ()32 fxaxbxcxd =+++ , Tìm a,b,c,d biết rằng khi chia đa thức lần lượt cho nhị thức
(x-1), (x-2), (x-3) đều có số dư là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhận giá trị là -18
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 61,2,3fxxxx vì f(x) là bậc 3 nên f(x) có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) 6123fxmxxx −=−−− với m là hằng số: lại có: (1)181 fm−=−=>= vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 612332611 fxxxxfxxxx −=−−−=>=−+
Bài 14: CMR giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x: ( ) ( ) ( ) 4222 1641xxxxx −−+++
HƯỚNG DẪN
Biểu thức <=> 432423 46416441 xxxxxxxx −+−+−−++=
Bài 15: Tìm a để đa thức 343xxxa +++ chia hết cho đa thức 21 x +
Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆ
Website:
HƯỚNG DẪN
Website:
Bài 31: Cho đa thức: ( ) 2 . fxaxbxc =++ thỏa mãn: f(1)=f(-1)
Đem chia ta được dư là a+3
Bài 16: Cho đa thức: 432 ()6401979 Pxxxxxm =++−+−
a, Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x-2
b, Với m tìm được, hãy giải thích phương trình P(x)=0
Bài 17: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư 6 và chia cho 2710xx−+
được thương là 24 x + và còn dư
Bài 18: Xác định các số hữ tỉ a, b sao cho 3 xaxb ++ chia hết cho 223xx
Bài 19: Cho đa thức ( ) 100992 10099...21fxxxxx =+++++ , Gọi m là số dư của phép chia đa thức cho
3x-1, CMR : 7 4 m <
Bài 20: Có tốn tại hay không đa thức f(x) với hệ số nguyên thỏa mãn : (3)1931,(26)2012 ff = =
Bài 21: Tìm các số a và b sao cho 3 xaxb ++ chia hết cho x+1 dư 7 chia cho x-3 dư -5 HƯỚNG DẪN
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 31735 xaxbxPxxQx ++=++=−−
Thay x = -1 và x=3 vào biểu thức trên ta được : 10,2ab=−=−
Bài 22: CMR : 235pnn=++ , không chia hết cho 121 với mọi số tự nhiên n
Bài 23: CMR với mọi số nguyên n thì 2141 522 nnn +++ ++ chia hết cho 23
Bài 24: CMR với mọi n thì 3116nn + với n là số nguyên
Bài 25: Xác định các hệ số a, b để đa thức ()3 fxxaxb =++ chia hết cho đa thức 26xx+−
HƯỚNG DẪN
( ) 26fxxx+− khi ( ) ( ) ( ) 32fxxx+− , Ta có: f(-3)=0 =>-3a+b=27 và f(2)=0=>2a+b=-8
Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3333 113631199 Maaaaaaaaa =−+++=+=−++
Bài 26: Cho đa thức ( ) 100992 10099...21fxxxxx =+++++ , Gọi m là số dư của phép chia đa
thức cho 3x-1, CMR : 7 4 m <
Bài 27: Có tốn tại hay không đa thức f(x) với hệ số nguyên thỏa mãn : (3)1931,(26)2012 ff = =
Bài 28: CMR với mọi số nguyên n thì 2141 522 nnn +++ ++ chia hết cho 23
a, CMR: Tổng các lũy thừa bậc ba của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9 HƯỚNG DẪN
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a-1, a, a+1
Bài 29: CMR với mọi n thì 3116nn + với n là số nguyên
Bài 30: Cho đa thức: ()8521 Pxxxxx =−+−+ , CMR: P(x) luôn dương với mọi giá trị của x Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆUTOÁNHỌC
a, Tìm b
b, CMR: f(m)=f(-m) với m bất kỳ
Bài 32: Tính giá trị của đa thức sau biết: 20 xy+−= : 3222232006Mxxyxxyyyx =+−−−+++
HƯỚNG DẪN
Biến đổi đa thức theo hướng làm xuất hiện 20 xy+−=
Ta có: 322 (2)(2)(2)2008Mxxyxxyyyxy =+−−+−++−+ = 2 (2)(2)(2)2008 xxyyxyxy+−−+−++−+
Bài 33: Số a gồm 31 chữ số 1, só b gồm 38 chữ số 1, CMR: ab-2 chia hết cho 3
Bài 34: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:
a, ( ) ( ) 233122 nnnn+−+−+ chia hết cho 5
b, ( ) ( ) ( ) 532nnnn+−−+ chia hết cho 6
c, ( ) ( ) ( ) ( )1175nnnn −+−−− chia hết cho 12
Bài 35: Tìm giá trị của m để cho phương trình 6533 xmmx −=+ , có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 1123xxx+−−+=
HƯỚNG DẪN
Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 22 11231443482 xxxxxxxx +−−+=<=>−−−−=<=>−=<=>=−
Để phương trình 6533 xmmx −=+ có nghiệm gấp ba lần nghiệm của phương trình ( ) ( ) ( ) 2 1123xxx+−−+= hay 6 x =−
Thay vào ta có: ( ) ( ) 6.653363 mmm −−=+−<=>=
Website:
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT 20A ≥
Bài 1: Chứng minh rằng: với mọi x,y,z thì 222 xyzxyyzzx ++≥++
HƯỚNG DẪN:
Xét hiệu ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) 222222 200 xyzxyyzzxxyyzzx ++−−−≥<=>−+−+−≥
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Bài 2: Chứng minh rằng : với mọi x,y,z thì 222222 xyzxyyzzx ++≥+−
HƯỚNG DẪN:
Xét hiệu ta có:
( ) 222222200xyzxyyzzxxyz ++−−+≥<=>−+≥
Dấu bằng xảy ra khi x+z=y
Bài 3: Chứng minh rằng : với mọi x,y,z thì ( ) 22232 xyzxyz +++≥++
HƯỚNG DẪN:
Xét hiệu ta có:
( ) ( ) ( ) 222 1110xyz −+−+−≥
Dấu bằng khi x=y=z=1
Bài 4: Chứng minh rằng : với mọi a,b ta có :
Xét hiệu ta có :
2222 2 0 24 abaabb +++
222 22 abab++ ≥
HƯỚNG DẪN :
−≥ <=> ( ) 2222 2220 abaabb+−−+≥
( ) 222200aabbab <=>++≥<=>+≥
Dấu bằng khi a=b
Bài 5: Chứng minh rằng : với mọi a,b,c ta có :
Ta có:
2222 33 abcabc ++++ ≥
HƯỚNG DẪN:
222222222 39 abcabcabbcac +++++++ ≥
( ) 222222 3332220 abcabcabbcac <=>++−+++++≥
222 2222220 abcabbcac <=>++−−−≥
( ) ( ) ( ) 2220abbcca <=>−+−+−≥ , Dấu bằng khi a=b=c
222222 333222 abcabcabbcca ++≥+++++
222 2222220 abcabbcac <=>++−−−≥ ( ) ( ) ( ) 2220abbcca <=>−+−+−≥ , Dấu bằng khi a=b=c
Bài 7: Chứng minh rằng : ( ) 2 222 2 ab ab ab + +≥≥
HƯỚNG DẪN:
Ta chứng minh: ( ) 2 22 2 ab ab + +≥
2222222 abaabb <=>+≥++ ( ) 222200ababab <=>+−≥<=>−≥
Dấu bằng khi a=b
Ta chứng minh ( ) 2 2 2 ab ab + ≥ ( ) 222240aabbabab <=>++≥<=>−≥
Dấu bằng khi a=b
Bài 8: Cho a,b,c là các số thực, Chứng minh rằng: 2 2 4 b aab +≥
HƯỚNG DẪN:
Website:
Ta có: ( ) 222 4420 ababab+−<=>−≥
Dấu bằng khi b=2a
Bài 9: Cho a,b,c là các số thực, Chứng minh rằng : 221 ababab ++≥++
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 2210 ababab ++−−−≥
22 2222220 ababab <=>++−−−≥
( ) ( ) ( ) 2222 221210aabbaabb <=>−++−++−+≥
( ) ( ) ( ) 222110abab <=>−+−+−≥
Dấu bằng khi a=b=1
Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực : Chứng minh rằng : ( ) 22222 abcdeabcde ++++≥+++
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
222220 abcdeabacadae ++++−−−−≥
22222 4444444440 abcdeabacadae <=>++++−−−−≥
<=> ( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 444444440 aabbaaccaaddaaee −++−++−++−+≥
Bài 6: Chứng minh rằng : ( ) 2
Ta có:
222 3 abc abc ++ ++≥
HƯỚNG DẪN:
<=> ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 22220 abacadae −+−+−+−≥
Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e
Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 Chứng minh rằng: 11 119 ab
Website:
HƯỚNG DẪN:
ta có: VT 1122421 ababbaab ababba ++ =++=++=+++
5252.29 ab ba =++≥+=
Dấu bằng khi 221 2 ab abab ba ==>+<=>==
Bài 12: Cho 2 ,0,: 2 xy xyCMR xy +
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) 222 22 24200xyxyxyxxyyxy ++≥<=>−+≥<=>−≥ , Dấu bằng khi x=y
Bài 13: Cho a > 0, b > 0, Chứng minh rằng: 3322 ababab +≥+
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) 32322200aabbabaabbab −+−≥<=>−−−≥
<=> ( ) ( ) ( ) ( ) 22200abababab −−≥<=>−+≥
Dấu bằng khi a=b
Bài 14: Cho 1, ab≥≥ Chứng minh rằng: 22 112 111abab +≥ +++
HƯỚNG DẪN:
Xét hiệu: 22 1111 0 1111aabbab
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 0 1111 ababab aabbab <=> + ≥ ++++
<=> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22
1 0 11 baab ababa ≥ +++
Dấu bằng khi a=b hoặc a=b=1
Bài 15: Chứng minh rằng : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có : ( ) 2222 xyztxyzt +++≥++
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
22220 xyztxyxzxt +++−−−≥
<=> 2222 44444440 xyztxyxzxt +++−−−≥
<=> ( ) ( ) ( ) 2222222 4444440 xxyyxxzzxxttx −++−++−++≥
Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0
Bài 17: Chứng minh rằng : 2 222 4 a bcabacbc ++≥−+
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 222444480abcabacbc ++−+−≥ ( ) ( ) 2224420aabcbcbc <=>−−++−≥
<=> ( ) ( ) 22440aabcbc−−+−≥
<=> ( ) 2 220aac−+≥
Bài 19: Chứng minh rằng : 222222 xyzxyzxyz ++≥−+
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 2222220 xyzxyyzzx ++−−+≥
( ) 222220xxyzyyzz −−+−+≥
( ) ( ) ( ) 222 200xxyzyzxyz −−+−≥<=>−+≥
Bài 20: Chứng minh rằng : ( ) 4442121xyzxxyxz +++≥−−+
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 444222122220xyzxyxxzx +++−+−−≥
( ) ( ) ( ) 442222222210xyxyxxzzxx +−+−++−+≥
( ) ( ) ( ) 2222210 xyxzx−+−+−≥
Dấu bằng khi x=z=1, y= 1±
Bài 21: Chứng minh rằng : 222 abcabbcca ++≥++
HƯỚNG DẪN:
Website:
Ta có : 2220 abcabbcca ++−−−≥
222 2222220 abcabbcca <=>++−−−≥
( ) ( ) ( ) 2220abbcca <=>−+−+−≥
Bài 22: Chứng minh rằng : 22 abab +≥
ta có:
220abab+−≥
HƯỚNG DẪN:
2222 233 2.00 24424 bbbbb aa a <=>−++≥<=>−+≥
Bài 23: Chứng minh rằng : 220xxyy++≥
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
2222 233 2.00 24424 yyyyy xx x +++≥<=>++≥
Bài 24: Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) 220aabacabcbc+++++≥
HƯỚNG DẪN: ( ) ( ) ( ) 220aabcabacbc <=>+++++≥
<=> ( ) ( ) 22220 aabacaabacbcbc ++++++≥
Website:
Đặt 2 aabacx bcy ++= =
Khi đó ta có: ( ) 22200xxyyxxyy ++≥<=>++≥
Bài 25: Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) 2244332 ababab ++≥+
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
6244266336 2 aababbaabb +++≥++
<=> ( ) ( ) 423324330 abababab−+−≥
<=> ( ) ( ) 32230 abababba−+−≥
<=> ( ) ( ) ( ) 32232 22 00ababababab −−≥<=>−≥
Bài 26: Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) 3344 2 ababab ++≤+
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
433444 22 aababbab +++≤+ <=> 43430 aabbab−+−≥
<=> ( ) ( ) 330 aabbba−+−≥ <=> ( ) ( ) ( ) ( ) 3322200abababaabb −−≥<=>−++≥
Bài 27: Cho a,b > 0, Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) 23322 ababab +≥++
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 33322322abaababb +≥+++
<=> 32320 aabbab−+−≥
<=> ( ) ( ) 220 aabbba−+−≥
<=> ( ) ( ) 20abab−+≥
Bài 28: Cho a, b > 0, Chứng minh rằng: ( ) ( ) 4333 abab +≥+
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 3332234433 abaababb +≥+++
<=> 3232 33330 aabbab−+−≥
<=> ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 33030 aabbbaabab −+−≥<=>−−≥
<=> ( ) ( ) 2 30 abab−+≥
Bài 29: Cho a,b,c > 0, Chứng minh rằng: ( ) 33 ababcababc ++≥++
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 3322 ababcabababc ++≥++
<=> 32320 aabbab−+−≥
<=> ( ) ( ) 220 aabbba−+−≥
<=> ( ) ( ) 20abab−+≥
Bài 30: Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2222 ababab +≥+
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) 4224223223 222 aabbabaabbababab ++≥++=++
<=> ( ) ( ) 43430 aabbab−+−≥
<=> ( ) ( ) 330 aabbba−+−≥
<=> ( ) ( ) ( ) ( ) 3322200abababaabb −−≥<=>−++≥
Bài 31: Chứng minh rằng: ( ) 222 abcabc ++≥+
HƯỚNG DẪN:
Website:
ta có: 2220 abcabac ++−−≥
<=> 222 444440 abcabac ++−−≥
<=> ( ) ( ) 22222 444420aabbaacca −++−++≥
<=> ( ) ( ) 222 2220abaca −+−+≥
Bài 32: Chứng minh rằng: ( ) 2222 abcdabcd +++≥++
HƯỚNG DẪN: 22220 abcdabacad +++−−−≥
<=> 2222 44444440 abcdabacad +++−−−≥
<=> ( ) ( ) ( ) 2222222 4444440 aabbaaccaadda −++−++−++≥
<=> ( ) ( ) ( ) 2222 2220abacada −+−+−+≥
Bài 33: Chứng minh rằng: ( ) 2223 4 abcabc +++≥++
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
( ) ( ) ( ) 22230 4 aabbcc−+−+−+≥
<=> 222111 0 444 aabbcc
<=> 222111 0 222 abc
Bài 34: Chứng minh rằng: 4424 abab ++≥
HƯỚNG DẪN:
ta có: 44420abab+−+≥
<=> 44222222420abababab +−+−+≥
<=> ( ) ( ) 2 22222210ababab−+−+≥
<=> ( ) ( ) 2222210abab−+−≥
Bài 35: Chứng minh rằng: 4450xx−+>
ta có:
( ) ( ) 422444410xxxx−++−+>
Liên hệ tài liệu word môn toán:
HƯỚNG DẪN:
Website:
Website:
++=+++>∀
221310, 44 aaaaa
<=> ( ) ( ) ( ) 4422442222 266480abababababab ++++−+−≥
<=> ( ) ( ) ( ) 2 2222224422 446120abababababab +−++++−≥
221310, 44 aaaaa
−+=−++>∀
Nên VT > 0
Bài 48: Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) 2 4110 aabaabb+++++≥
HƯỚNG DẪN:
<=> ( ) ( ) 22244222620abababab +−++−≥
<=> ( ) ( ) 42 22 60abab−+−≥
Bài 53: Cho a+b+c=0, Chứng minh rằng : 0 abbcca++≤
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
( ) ( ) ( ) 2 4110 aabaabb+++++≥
<=> ( ) ( ) 222 40 aabaaababb ++++++≥ . đặt 2 aabax by ++= =
<=> ( ) 2 40 xxyy++≥
<=> 22 440 xxyy++≥
<=> ( ) 2 20 xy+≥ , Dấu bằng khi ( )2212222 21 aa xyaababb a + =−=>++=−=>=− +
Bài 49: Chứng minh rằng : ( ) 2 222 2 xy xy xy + +≥≥
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) 22220 abcabbcca+++++=
<=> ( ) ( ) 222 20 abbccaabc++=−++≤
Dấu bằng khi a=b=c=0
Bài 54: Cho x,y,z R ∈ , Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) ( ) 222222 3 xyyzzxxyz −+−+−≤++
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 222222 222222333 xyzxyyzzxxyz ++−−−≤++
<=> 2222220 xyzxyyzzx +++++≥
<=> ( ) 20 xyz++≥
Bài 55: Chứng minh rằng : Với mọi x,y khác 0, ta luôn có : 66 44 22 xy xy yx +≤+
2 222 2222
xy
2220
xyxyxyxy
222
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )
Bài 50: Chứng minh rằng : 114 abab +≥ + , Với a,b > 0
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) 224488 xyxyxy +≤+
<=> 8862260 xyxyxy+−−≥
<=> ( ) ( ) 6226220 xxyyxy−−−≥
<=> ( ) ( ) 66220 xyxy−−≥
Ta có:
( ) 4 ab abab + ≥ + <=> ( ) ( ) 2240ababab +≥<=>−≥
Bài 51: Chứng minh rằng : ( ) 4422 ababab +≥+
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 44330 ababab+−−≥
<=> ( ) ( ) 330 aabbab−+−≥
<=> ( ) ( ) 2220abaabb −++≥
Bài 52: Chứng minh rằng : 444 22 abab++ ≥
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
4444222233 884244 abababababab +≥+++++
<=> 44222233 7742440 ababababab +−−−−≥
HƯỚNG DẪN:
<=> ( ) ( ) ( ) 224224220 xyxxyyxy −++−≥
<=> ( ) ( ) 2 2242240 xyxxyy−++≥
Bài 56: Chứng minh rằng : ( ) 222 22 abcabc ++≥+
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 222 2220 abcabac ++−−≥
<=> ( ) ( ) 2222220aabbaacc −++−+≥
<=> ( ) ( ) 220abac−+−≥
Bài 57: Chứng minh rằng : 43340 aababb+++≥
HƯỚNG DẪN:
ta có: ( ) ( ) 330 aabbab+++≥
<=> ( ) ( ) 330 abab++≥
<=> ( ) ( ) 2220abaabb +−+≥
Bài 58: Chứng minh rằng : 4322342220aabababb−+−+≥
Liên hệ tài liệu word môn toán:
HƯỚNG DẪN:
Website:
Ta có:
( ) ( ) 42224222 2.2.0aaababbabbab −++−+≥
( ) ( ) 22 220 aabbab <=>−+−≥
Bài 59: Chứng minh rằng : ( ) 4422121abcaabac +++≥−++
HƯỚNG DẪN:
Website:
+−+++≥
≥+−++
−++−+≥
Ta có:
442222122220abcabaaca +++−+−−≥
<=> ( ) ( ) ( ) 442222222210ababaaccaa +−+−++−+≥
<=> ( ) ( ) ( ) 2222210 abaca−+−+−≥
Bài 60: Chứng minh rằng : ( ) ( ) 23 abbccaabcabc ++≥++
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
222222222222 2223330 abbccaabcabcabcabcabcabc +++++−−−≥
2222222220 abbccaabcabcabc <=>++−−−≥
=
=
=> 2220 xyzxyyzzx ++−−−≥
=
<=> ( ) ( ) ( ) 2220xyyzzx −+−+−≥
+++≤++ , Với 0 xyz<≤≤
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
( ) ( ) 2 0 yxzxz xz xzyxz ++ + +−≤
<=> ( ) 20 yxzyxz+−+≤
<=> 20 yxzxyyz+−−≥
( ) ( ) 0 yxzy <=>−−≥
Bài 62: Cho a,b dương có tổng 1, Chứng minh rằng : 114 113ab +≥ ++
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
Quy đồng <=> ( ) ( ) ( )32411 abab ++≥++
<=> ( ) ( ) 4191424 abab ababab+++≤<=>≥<=>+≥
<=> ( ) 20 ab−≥ ( đúng)
Bài 63: Chứng minh rằng : Với a,b,c > 0 thì 22 22 abab baba +≥+
Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆUTOÁNHỌC
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) ( ) ( ) 222888444444222222 abcabbccaabbcca ++≥++=++
242242422 VTabcbcaabc >++ ( ) ( ) 222222222 abcabcabcabbcca =++≥++
888888 222333 111 abc abc abbcca abc abcabc ++ ++ <=> ≥++<=> ≥++
Bài 65: Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) ( ) 1010228844 abababab ++≥++
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 121022101212844812 aababbaababb +++≥+++
( ) ( ) 10284210480 abababab <=>−+−≥
( ) ( ) 822228220 abababba <=>−+−≥
( ) ( ) 2222660 ababab <=>−−≥
<=> ( ) ( ) 2 222242240 ababaabb−++≥
Bài 66: Cho a,b,c dương có abc=1, và 111 abc abc ++>++ , Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( ) 1110abc−−−>
Ta có: abcabbcca ++>++ ,
HƯỚNG DẪN:
Xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1111 abcabcabbccaabc −−−=−+++++−
= ( ) ( ) 0 abcabbcca ++−++>
Bài 67: Cho a,b>0, thỏa mãn : 33 abab +=− , Chứng minh rằng : 221abab++<
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) ( ) 333322 abababaabb +>−=−++
( ) ( ) ( ) 22 abababab<=>−>−++ 221abab <=>++<
Bài 68: Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) 2883355 ababab +≥++
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 8883553822abaababb +≥+++
<=> ( ) ( ) 8538350 aabbab−+−≥
Liên hệ tài liệu
word môn toán: TÀILIỆUTOÁNHỌC
Website:
<=> ( ) ( ) 55330 abab−−≥ , Giả sử a > b => 3355 , abab >> => đpcm
Nếu a<b => 3355 , abab << => đpcm
Bài 79: Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) 3888333555 abcabcabc ++≥++++
HƯỚNG DẪN:
<=> ( ) ( ) 2220abaabb −++≥
Ta có:
( ) ( ) ( ) 2883355 ababab +≥++
( ) ( ) ( ) 2883355 bcbcbc +≥++
( ) ( ) ( ) 2883355 caacac +≥++
Cộng theo vế ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4888888355535553555 abcabcaabcbabccabc ++≥+++++++++++
( ) ( ) ( ) 3888333555 abcabcabc <=>++≥++++
Bài 70: Cho a+b=2, Chứng minh rằng : 8877 abab +≥+
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) ( ) ( ) 288778877 abababababab +≥++=+++
<=> ( ) ( ) 88777700ababababab +−−≥<=>−−≥
Bài 71: Chứng minh r
ng : ( ) 666555,,,0 abcabbccaabc ++≥++>
55555550 aabbbcccaababcacb −+−+−=−−+−−≥ Gi
Bài 72: Chứng minh r
222
ng : V
i mọi a,b,c > 0 thì
222222 abcabc bccaabbccaab ++≥++ ++++++
HƯỚNG DẪN:
Website:
Bài 74: Cho a,b là hai số dương, Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) ( )
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 54455233250 aababbaababb +++−−−−≥
<=> ( ) ( ) 4324230 abababab−+−≥
<=> ( ) ( ) 330 abababba−+−≥
442233 abababab ++≥++
<=> ( ) ( ) 330ababab−−≥ <=> ( ) ( ) 220ababab−−≥
Bài 75: Chứng minh rằng : ( ) 2242 ababab ++≥++
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
224220 ababab ++−−−≥
<=> 22 2282440 ababab ++−−−≥
<=> ( ) ( ) ( ) 2222 244440aabbaabb −++−++−+≥
Bài 76: Cho a,b là hai số có tổng bằng 2, Chứng minh rằng : 4433 abab +≥+
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) ( ) ( ) 24433 ababab +≥++
<=> 444334 220 abaababb+−−−−≥ <=> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 43433333 000aabbabaabbbaabab −+−≥<=>−+−≥<=>−−≥
Bài 77: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a + b + c = 3, Chứng minh rằng : 444333 abcabc ++≥++
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) ( ) ( ) 3444333 abcabcabc ++≥++++
<=> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2223222220 24 b ababbcbbcccacaca
Bài 78: Cho 0,,1 xyz ≤≤ , Chứng minh rằng : 01 xyzxyyzzx ≤++−−−≤
2222 222222
abcabc ababacac aa bcbc bcbcbcbc +−+ −+− −= = ++ ++++
Xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Giả sử abc ≥≥ => Các ngoặc đều dương => ĐPCM
Bài 73: Cho a, b là hai số dương, Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) 3344 2 ababab ++≤+
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 444334 220 abaababb+−−−−≥
<=> ( ) ( ) 43430 aabbab−+−≥
<=> ( ) ( ) 330 aabbab−−−≥
Liên hệ tài liệu word môn toán:
TÀILIỆUTOÁNHỌC
HƯỚNG DẪN:
Ta có: Xét tích ( ) ( ) ( ) ( ) 11110 xyzxyzxyyzzxxyz −−−=−−−−+++−≥
> >=>++−−−≤−
>
mà 0111 xyzxyz ≤≤<=>−≤
Bài 79: Cho 1,,2 xyz −≤≤ và x+y+z=0, Chứng minh rằng : 2226xyz++≤
HƯỚNG DẪN:
Liên h
ệ
, Cộng theo vế ta có:
222222606xyzxyz ++−≤<=>++≤
Bài 80: Cho x > 0, y > 0, z > 0, Chứng minh rằng : 1111 xyzxyz +−< , Với 2225 3 xyz++=
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
( ) 222202220 xyzxyzxyyzzx +−≥<=>+++−−≥
<=> ( ) 5 20 3 xyyzzx +−−≥
<=> ( ) 55 21 36xyyzzxyzzxxy −−≥<=>+−≤≤
<=> 1111 xyzxyz +−<
Bài 81: Cho 0 < a,b,c < 1, Chứng minh rằng : 3332222223 abcabbcca ++<+++
HƯỚNG DẪN:
Do 2 11,1aab<=><<
=> ( ) ( ) 222 11010 ababab −−><=>+−−> <=> 122abab+>+
Mặt khác: 0< a, b<1=> 233233 ,bb aaabab >>=>+>+
Vậy 1233 abab+<+ , Chứng minh tương tự => ĐPCM
Bài 82: Chứng minh rằng : ( ) 444 abcabcabc ++≥++
HƯỚNG DẪN:
Chuyển vế ta có: 4442220 abcabcabcabc ++−−−≥
<=> ( ) ( ) ( ) 222 222222222222222 2222220 ababbcbccaacabcbacabc −++−++−+−−−≥
<=> ( ) ( ) ( ) 222 222222 abbcca −+−+−
( ) ( ) ( ) ( ) 22222222222222222222 22220 ababcacababcbcababcbcacabcbc +−++−++−++−+≥
Bài 83: Cho a,b,c,d > 0 thỏa mãn: acd >+ , bcd >+ , Chứng minh rằng: abadbc >+
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) ( ) 0 0 acdacd acbdcd bcdbdc >+−>>
, Nhân vào ta được ĐPCM
Bài 84: Cho 0,,,1 abcd << , Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) ( ) 11111abcdabcd −−−−>−−−−
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) ( ) 1111abababab −−=−−+>−− ( do ab >0)
Do ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 110111111 ccabcabcabc <=>−>=>−−−>−−−>−−−
Chứng minh tương tự => ĐPCM
Bài 85: Cho a.b.c=1, 336 a > , Chứng minh rằng : 2 22 3 a bcabbcca ++>++
Website:
HƯỚNG DẪN:
Xét hiệu 22 220 412 aa bcabbcac +++−−−>
22 22230 412 aabcabacbcbc <=>++−−++−>
<=> 2336 212 aaabc bc a −−+ , Do 3 336360 12 aabc a a >=>> ĐPCM
Bài 86 : Chứng minh rằng : Nếu 4444 4 abcdabcd +++= và a,b,c,d là các số dương thì a= b= c= d
Bài 87: Cho hai số a, b thỏa mãn: 0, ab+≠ Chứng minh rằng: 2 22 1 2 ab ab ab + ++≥
+
HƯỚNG DẪN: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 222 22 22 1 2 12 ab ab abababab ab + ++≥<=>++++≥+ +
<=>++−−+++≥
( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 2210ababababab
( ) ( ) ( ) ( ) 4222 2210ababababab <=>+−+−+++≥
( ) ( ) ( ) ( ) 42 2 2110abababab <=>+−++++≥
( ) 2 2 10 abab <=>+−−≥
(ĐPCM)
Bài 88: Cho 0 xy>> hãy so sánh : xy A xy = + , và 22 22 xy B xy = +
HƯỚNG DẪN: Vì 0,00xyxy >>=>+≠
( ) ( ) ( ) 2 xyxy xy A xy xy
−+ == + + , lại có: 2222222,0 xyxyxyxy ++>+−>
2222 2222 2 xyxy AB xyxyxy =>=<= +++
Bài 89: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện: 2334 xyxy +≥+ , Chứng minh rằng: 33 2 xy+≤ , Dấu bằng xảy ra khi nào?
HƯỚNG DẪN: Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có:
32243 2,2 xxxyyy +≥+≥ , Do vậy ( ) ( ) 32423223233423 22 xxyyxyxyxyxyxyxy +++≥+=>+≥+++−−≥+ ,( 2334 xyxy +≥+ )
Mà: 242 12,12 xxyy +≥+≥ , nên 112222242232334 xyxyxyxyxy +++≥+≥+≥+++
Do vậy 33 2 xy+≤
Dấu bằng xảy ra khi: 1 xy==
Bài 90: Chứng minh BĐT sau: 22 1 xyxyxy+−≥+−
Liên hệ tài liệu word môn toán:
TÀILIỆUTOÁNHỌC
=>=>−−> >+−>>
Website:
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) ( ) 22 22 1221 xyxyxyxyxyxy +−≥+−<=>+−≥+−
22 222222 xyxyxy <=>+−≥+− ( ) ( ) ( ) 222 2 2 21210xxyyxxyy <=>−++−++−+≥
Bài 91: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: 3355 abab +=+ , Chứng minh rằng: 22 1 abab +≤+
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) ( ) 22 22 22 11 abababababababab +≤+<=>+−≤<=>++−≤+
Các BĐT phụ hay dùng : ( ) 2 22 2 ab ab + +≥ ( ) 24 xyxy +≥ 2 xy yx +≥
Bài 1: Cho a+b > 1, Chứng minh rằng : 441 8 ab+>
HƯỚNG DẪN:
33 3333 553355 2 ababababababababab <=>+≤+<=>++≤++<=>≤+
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2 4224 22 2 0 0,,0abaabbababab <=>−+≥<=>−≥∀>
Bài 92: Cho các số a, b, c 0;1 ∈ , chứng minh rằng: 23 1 abcabbcca ++−−−≤
HƯỚNG DẪN:
Do a, b,c 0;1 ∈ , nên: ( ) ( ) ( ) 11101 0 abcabcabbccaabc −−−≥=>−−−+++−≥
11abcabbccaabc =>++−−−≤−≤
Do ,,0;1,c23 abcbbc ∈=>≤≤ , từ đó ta có: 23 1 abcabbccaabcabbcca ++−−−≤++−−−≤
211 1 202 abab ab ab abab ++> +>=> <=>+> +−≥ => ( ) 4422 22244 4222
abab ab ab abab +−≥
++> +>=> =>+>
1 2 11 422 44 20
Vậy 441 8 ab+>
Bài 2: Cho a+b = 1, Chứng minh rằng : 221 2 ab+≥
HƯỚNG DẪN:
++= +==> =>+≥=>+≥
−+≥
Ta có: ( ) 22 22222 22
Bài 4: Cho 222ab+≤ , Chứng minh rằng: 2 ab+≤
2 222 ab abababab +≤ +≥=>≤+<
Cộng theo vế ta được: ( ) 2222442abababab ++≤<=>+≤=>+≤
Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, Chứng minh rằng: ( ) 2222 abcabbcca ++<++
HƯỚNG DẪN:
Ta có: Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên ta có: ( ) 2 2222 2 <+=><+=>++<++
2 aabac abc bacbabbcabcabbcac cab cacbc
<+ <+
Bài 6: Cho a,b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, Chứng minh rằng: 331 4 ab+≥
ệu
TÀILIỆUTOÁNHỌC
Website:
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) 33111 abbaba +==>=−=>=−
=> 333232133331abaaaaaa +=+−+−=−+
2
Bài 7: Cho ,,0xyz ≥ , Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) 8 xyyzzxxyz +++≥
HƯỚNG DẪN:
Website:
+++
+++
+
+≥
xyxy yzyz zxzx
Bài 8: Cho a,b,c > 0, Chứng minh rằng : 333333 1111 ababcbcabccaabcabc ++≤ ++++++
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) ( ) ( ) 3322 ababaabbabab +=+−+≥+ , Do 22 aabbab −+≥
Khi đó ( ) ( ) 33babcabababcababc ++≥++=++
Chứng minh tương tự ta có: ( ) 33 bcabcbcabc ++≥++ và ( ) 33 caabcacabc ++≥++
≤++= = ++ ++
Ta có: 3 3 abcabc ++≥ và 3 1111 3 abcabc ++≥
Nhân theo vế ta có: ( ) 111 9 abc abc ++++≥
HƯỚNG DẪN:
Ta có: Từ ( ) 111 9 xyz xyz ++++≥
=+ =+
<=> 9 2 abcabcabc abbcca ++++++ ++≥ +++ => 93 3 22 cab abbcca ++≥−= +++
Bài 11: Cho a,b > 0, Chứng minh rằng : 13 112 ab baab ++≥ +++
Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆUTOÁNHỌC
+ +++ =+++++− +++ 22 abcabc
1111
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 22 22 22
abab abc bcbcVT abbccabcaabc caca
Bài 14: Chứng minh rằng: với a,b,c > 0 thì : 222 abc abc bca ++≥++
HƯỚNG DẪN:
+++++−++
Ta có: ( ) 222 abcbcaabc bca
Bài 15: Chứng minh rằng : 2223 4 abcabc +++≥−−−
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 222111 0 444 aabbcc
++++++++≥
HƯỚNG DẪN:
Vì ( ) ( ) 111 19abcabc abc
++++++ HƯỚNG DẪN: Ta có: 2 2 222 2 12 3 12 1112222 12 aa abcabc bb abcaba cc +≥ +≥=>++≤++= +++ +≥ Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆUTOÁNHỌC
Website:
Website:
+= +==>++=+++≤
Đặt 1 136 1
+= => 1113 2 B xyz =++≥ ,
ax byxyzabc cz
Khi đó: ( ) 111111993 9 62 xyz xyzxyzxyz ++++≥=>++≥≥=
++
Bài 18: Cho x,y,z > 0, Chứng minh rằng : 4422 44222 xyxyxy yxyxyx +−−++≥
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 44 442xy yx +≥ , Tương tự 2 xy yx +≥ và 22 222xy yx −+≤−
Cộng theo vế ta có: 2222 VT ≥+−=
Bài 19: Cho a,b là các số dương thỏa mãn: a+b < ab, Chứng minh rằng : a+b > 4
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
( ) 24 4 ab abab abab + +≥=>≥ + Do 4 114 abab abab ab ababab + +<=><==>>=>+> +
Bài 20: Cho a,b,c > 0, Chứng minh rằng : 333 abc abbcca bca ++≥++
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) 333 222222 abcbcaabc bca
Mà: ( ) ( ) 33 2 abab ab aabaab bb + + ≥=+=+
Tương tự => 33 2222 , bccbbcacca ca +≥++≥+
Khi đó VT ( ) ( ) ( ) 222222 abcabbccaabcabbcca ≥+++++−++=++
Bài 21: Cho a,b,c thỏa mãn: 2223abc++= , Chứng minh rằng: 6 abbccaabc +++++≤
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 2 4422 4 1 1162.162.48 1168 x xxxx x +≥===>≤ + (1)
Tương tự: 22 42 1 11688 yy yy ≤= + (2)
Cộng theo vế ta được : 1 4 VT ≤
Bài 23: Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì bcacab abc abc ++≥++
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 2 bcacab cc abba +=+≥ , Tương tự ta có: 2,2 acababbcab bcca +≥+≥
Cộng theo vế ta được : 22VTVPVTVP ≥=>≥
Bài 24: Chứng minh rằng: với a,b > 0 và a > b > 0 thì 22 22 abab abab < ++
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 abab ab ab ab abab −+ = = + ++ , Mà 2222 2 aabbab ++≥+
Khi đó 22 22 ab VT ab < +
Bài 25: Cho 3 số a,b,c dương thoă mãn: a+b+c = 4, Chứng minh rằng : ababc +≥
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) ( ) ( ) 2244 abababcabc +≥=>++≥+ ( ) 164 abc=>≥+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 44424 abcababcababcabc =>≥+=>+≥+=>+≥=
=> ababc +≥
Bài 26: Cho 2 số x,y > 0 thỏa mãn: 33 xyxy +=− , Chứng minh rằng : 221xy+<
HƯỚNG DẪN:
+≥ => 3 abbcca++≤ (1)
2 2222.32 2
Ta có: ( ) ( ) ( ) 22 22222 22
abab bcbcabcabbcca abbcca caac
+≥ +≥=>++≥++=>≥++
Ta có: ( ) ( ) 33222233 001 xyxyxyxyxyxy +>=>−><=>+<<=>−+<+ 322333 xxyxyyxy <=>+−−<+ ( ) 32222 2020 yxyxyyyxxy <=>+−><=>+−>
Bài 27: Cho a+b = 1, Chứng minh rằng: 221 2 ab+≥
HƯỚNG DẪN:
Mặt khác: ( ) 2 2 2
aa bbabcabc cc
12 123323 12
+≥ +≥=>+≥++=>++≤ +≥ (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được ĐPCM
Bài 22: Chứng minh rằng: 22 44 1 1161164 xy xy +≤ ++ , với mọi x,y là số thực
211 1221 202 aabb ab abab aabb ++= +==> <=>+≥<=>+≥
−+≥
Bài 28: Cho a+b=1, Chứng minh rằng: 441 8 ab+≥
++=
HƯỚNG DẪN:
<=>+≥=>+≥
Website:
COSI VÀ SCHAWRZ
abab abab abab
++≥
+−≥
<=>+≥<=>+≥
Bài 29: Cho 3 số x,y,z >0, Chứng minh rằng: 3 xyz yzx ++≥
BĐT Cô Si: Với hai số a,b không âm ta có: 2 abab +≥ , Dấu = xảy ra khi a=b
Mở rộng ta có: 3 3 abcabc ++≥
Co si ngược dấu: ( ) 2 . 4 ab ab + ≤ và 3 3 abc abc ++ ≤
Bài 30: Cho a,b,c thỏa mãn: 2221,abc++= Chứng minh rằng: ( ) 210abcabcabbcca +++++++≥
=
===>==>==
2 2 2
BĐT Schwarz: 114 xyxy +≥ + với x, y > 0, Dấu = khi x = y
Bài 1: Cho x, y>0. Chứng minh BĐT : 114 xyxy +≥ +
HƯỚNG DẪN :
Khi đó: ( ) ( ) ( ) 111010abc abcabbccaabc +++≥<=>+++++++≥ (1)
mà ( ) ( ) ( ) 122210abcabcabc +++=++++++≥
( ) ( ) 2222210 abcabbccaabc <=>+++++++++≥
10 abbccaabc <=>++++++≥ (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: ( ) 210abcabbccaabc+++++++≥
Ta có: gt ( ) ( ) 42240 xy xyxyxy xyxy + <=>≥<=>+≥<=>−≥ +
Dấu ‘ = ‘ khi x=y
Bài 2: Chứng minh rằng: 1119 xyzxyz ++≥ ++
HƯỚNG DẪN :
Ta có : ( ) 111 9 xyz xyz <=>++++≥
HƯỚNG DẪN:
Ta có : 22 222. aba bcc +≥ , tương tự : 22 222. bcb caa +≥ , và 22 222. cac abb +≥
Cộng theo vế ta được : 2VT ≥ 2VP => VT> VP
Bài 4: Cho a,b,c là ba số dương, Chứng minh rằng: ( ) 111 9 abc abc ++++≥
HƯỚNG DẪN:
Nhân theo vế ta được : ( ) 111 9 abc abc ++++≥
Bài 5: Cho a,b,c là ba số dương, Chứng minh rằng: 3 2 abc bccaab ++≥ +++
HƯỚNG DẪN:
Ta có : Áp dụng bất đẳng thức : ( ) 111 9 xyz xyz ++++≥
Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆUTOÁNHỌC
Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆUTOÁNHỌC
Website:
Website:
=+
Đặt ( ) 111 29
=+=>++++≥ +++
xab ybcabc abbcca zca
=+ 9 2 abcabcabc abbcca ++++++ <=>++≥ +++ <=> 93 3 22 abc bccaab ++≥−= +++
Bài 6: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, Chứng minh rằng: 111111
abcbcacababc ++≥++ +−+−+−
HƯỚNG DẪN :
Vì a, b, c là ba cạnh của 1 tam giác nên các mẫu đều dương
Áp dụng BĐT schawzr ta có : 1142 2 abcbcabb +≥= +−+−
Tương tự ta cũng có : 112 bcacabc +≥ +−+− và 112 cababca +≥ +−+−
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh
Bài 7: Cho ,,0xyz ≥ , Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 8 xyyzzxxyz +++≥
HƯỚNG DẪN :
xyxy yzyz zxzx
, Nhân theo vế ta được : ( ) ( ) ( ) 8 xyyzzxxyz +++≥
Bài 8: Cho 0,0,1xyxy>>+≤ , Chứng minh rằng: 22 11 4 xxyyxy +≥ ++
HƯỚNG DẪN :
Áp dụng BĐT schawzr ta có : ( ) 222 114 4 xxyyxy xy +≥≥ ++ + , Vì ( ) ( ) 2 2 1 111xyxy xy +≤=>+≤=>≥ +
Bài 9: Cho a,b,c dương có tích bằng 1, Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 1118abc+++≥
HƯỚNG DẪN :
Ta có : ( ) 22 2222 22 +≥
=>+++++≥+≥=
+≥++
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 224 acbd acbd VT acbd ++ ++ =+≥=++
Bài 13: Chứng minh rằng: ( ) ( ) 8444 abab +≥+
HƯỚNG DẪN :
Ta có : ( ) ( ) 442244222 22 abababab +≥<=>+≥+ (1)
Mặt khác : ( ) ( ) ( ) 2 222222222 2 ab ababababab + +≥<=>+≥+<=>+≥
<=> ( ) ( ) 4 222 4 ab ab + +≥ , Thay vào (1) ta được : ( ) ( ) 4 244 4 ab ab + +≥
Bài 14: Chứng minh rằng: 44444 abcdabcd +++≥
HƯỚNG DẪN :
Vì 4444 ,,, abcd là 4 số dương => ( ) 44444 4 44 abcdabcdabcd +++≥=
Bài 15: Cho a,b > 0, Chứng minh rằng: 13 112 ab baab ++≥ +++
=+++++−=++++− +++ +++
+++
Bài 16: Chứng minh rằng: 222 222 abccba bcabac ++≥++
93 3 22 ≥−=
Ta có : ( ) ( ) ( ) 12 1211188 12
aa bbabcabc cc
+≥ +≥=>+++≥= +≥
Bài 10: Cho a,b không âm, Chứng minh rằng: ( ) ( ) 14 ababab ++≥
HƯỚNG DẪN :
Ta có : 22 22 2 , aba bcc +≥ Tương tự ta có : 22 22 2 bcb caa +≥ và 22 22 2 cac abb +≥
Cộng theo vế ta có : 22VTVP ≥
Bài 17: Cho a,b,c > 0, Chứng minh rằng: bccaab abc abc ++≥++
HƯỚNG DẪN :
+≥
Bài 11: Cho a,b,c,d dương có tích bằng 1, Chứng minh rằng: 22226 abcdabcd +++++≥
Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆUTOÁNHỌC
+=+≥ và
ệ
+=+≥
2 abbcacbb caca
Website:
Bài 18: Cho a,b,c>0, Chứng minh rằng: 222 111 abc bcaabc ++≥++
+≥
HƯỚNG DẪN :
+≥=>+++≥++
+≥
=> ĐPCM
+
Ta có : ( ) 222 111411 4 2222ababab abab ab
Khi đó 426 VT ≥+=
HƯỚNG DẪN :
Ta có : 222 22 ab abab ab ababab ab
+
++
+++
Bài 21: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: 4 abc++= , Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 333abbccaabc +++≥
Khi đó nhân theo vế ta được : ( ) ( ) ( ) ( )3 abbccaabcabcabcabc +++≥=
Bài 22: Chứng minh rằng: với a,b,c > 0 thì 2 abbccaabc abbcca ++ ++≤ +++
HƯỚNG DẪN : Áp dụng BĐT : ( ) ( ) ( ) 244 4 abab ababababab ab + +≥<=>++≥=>≤ +
Tương tự ta có : , 44 bcbccaca bcca ++ ≤≤ ++ , Cộng theo vế ta được ĐPCM
Bài 23: Cho a,b,c > 0, Chứng minh rằng: 222 2 abcabc bccaab ++ ++≥ +++
HƯỚNG DẪN : Ta
Cộng theo vế ta được : 22 abc abc
VT abcVT ++ ++ +≥++=>≥
HƯỚNG DẪN :
Ta có : ( ) ( ) 2 14 12 abab ababab abab +≥ =>++≥ +≥
Bài 25: Cho a,b,c > 0, Chứng minh rằng: 222 111 2 abc abcbaccababc ++ ++≤ +++
+≥=>≤=>≤+
++
≤+ +
≤++==>≤
Bài 26: Chứng minh rằng: Trong tam giác ABC ta có: 3 abc bcacababc ++≥ +−+−+−
Ta có : ( ) ( ) ( ) 3 3 abc VT bcacababc ≥ +−+−+−
( ) ( ) 22cbcacab =>≥+−+− , Tương tự ta có : ( ) ( ) acababc ≥+−+− và ( ) ( ) bbcaabc ≥+−+−
=> ( ) ( ) ( ) abcbcacababc ≥+−+−+− => ( ) ( ) ( ) 3 1313 abc VT bcacababc ≥=>≥= +−+−+−
Bài 27: Cho a, b là các số thực không nhỏ hơn 1, Chứng minh rằng: 4 21211 ab abab +≥ −−+ HƯỚNG DẪN :
Ta có : 22 2 1 2121 21 aa aaaa aaa ≤+=>−≤=>≥=
Chứng minh tương tự ta có : 1114 21 b VT ababab ≥=>≥+≥ −+ Vì ( ) ( ) ,1110 abab>=>−−≥
44 101 1 abababab abab =>−−+≥<=>+≤+=>≥ ++
có : 2 4 abc a bc + +≥ + , Tương tự ta có : 2 4 bca b ca + +≥ + và 2 4 cab c ab + +≥ + Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆUTOÁNHỌC Website:
Liên hệ tài liệu word môn toán:
TÀILIỆUTOÁNHỌC
Website:
Bài 28: Cho a,b,c dương thỏa mãn: abc = 1, Chứng minh rằng: ( )
22299 22 bca abcabc +++≥ ++
HƯỚNG DẪN :
Ta có : 2 2 a ca c +≥ , 22 2,2 bcabbc ab +≥+≥
Ki đó ( ) ( ) 999 22222 abcabc VTabc abc abc ++++ ≥+++=++≥
3 32.339 3 2222 abc VT ≥+=+=
Bài 29: Cho 111 4, abc ++= Chứng minh rằng: 111 1 222 abcabcabc ++≤ ++++++
HƯỚNG DẪN :
Website:
Từ: 333333333 0; abcbcaabc ++==>+=−+=−
Do đó :
( ) ( ) 3333333333333333333366 2322220 abbccaabcacabcabccabac ++=+++=+++=−−≤
Bài 37: Cho hai số a,b khác 0 và trái dấu nhau trong đó: 20082009ab = . xác định dấu của mỗi số
HƯỚNG DẪN:
Vì 0 a ≠ nên 20080 a > nên 20090 b > mà a ,b trái dấu nên a <0
Bài 38: Cho x>y>0 và 55 xyxy +=− , Chứng minh rằng: 441xy+<
HƯỚNG DẪN:
Vì x>y>0=>x - y>0, 555543223444 ; xyxyxxyxyxyyxy −<+++++>+
Do đó : ( ) ( ) ( ) ( ) 4443223455 xyxyxyxxyxyxyyxy −+<−++++=− 55 xyxy<+=−
Áp dụng BĐT : 114 xyay +≥ +
Dấu ’’=’’ xảy ra khi 3 2 4 abcabc ====>=+
Khi đó ta có : 14111111111211
424242416 abcabcabcabc
tương tự ta có : 14111111111211
424242416 abcbacbacbac
1 16 VT abc
Bài 30: Cho a,b,c là các số thực dương, Tìm GTNN của: 334 accab P abbcca ++ =++ +++
Bài 31: Cho a,b,c là các số thực dương, Tìm GTNN của : ( ) ( ) 312 43 2323 bc bc ac P abac +− + =++ +
Bài 32: Cho a,b,c là các số thực dương, Chứng minh rằng: ( ) 24 9 ab bcac abac + ++ ++≥ +
Bài 33: Cho a,b,c là các số thực dương, Tìm GTNN của : ( ) ( ) 916254166449 acab bc P abc ++ + =++
Bài 34: Chứng minh rằng với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1, thì: ( ) ( ) ( ) 333 1113 2 abcbcacab ++≥ +++
=> ( ) ( ) 44441xyxyxyxy −+<−=>+<
Bài 39: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn : 1 abc++= , Chứng minh rằng: 11 16 acbc +≥
HƯỚNG DẪN:
Cách 1:
Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 14abcabcabc
Vì ( ) ( ) 22 22 024 ababababab −≥⇔+≥⇔+≥
Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 14 4 abcababc≥+⇔+≥+ , Mà: ( ) 2 4 4.4. ababababc +≥=>+≥
11 16 16 16 ab ababc c c abab + +≥=>≥=>+≥ 11111 16 16 cabacbc
Cách 2:
Ta có: 2 1111114144 1 acbccabcabcc cc +=+≥== +− −+
Mặt khác ta lại có: 2 2 111 244 ccc −+=−−+≤ Nên 2 4 16 cc ≥ −+ ,
Dấu ‘’=’’ khi 11 , 24 cab===
Bài 40: Cho ,,0,1 abcabc>++≤ , Chứng minh rằng: 222 111 9 222 abcbaccab ++≥ +++ (1)
Bài 35: Giả sử có: 2015 số nguyên dương: 122015 ;;... aaa thỏa mãn: 122015
111 ...1008 aaa +++= , Chứng minh rằng có ít nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho bằng nhau
Bài 36: Cho 3330abc++= , Chứng minh rằng: 333333332230abbcbcac+++≤
HƯỚNG DẪN:
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
Website:
3 1111 3. xyzxyz
<=>++≥ , ĐT xảy ra khi 111 xyz ==
( ) 111 9 xyz xyz =>++++≥ , mà 111 19 xyz xyz ++≤=>++≥ , Đẳng thức xảy ra
khi : 1 3 xyz=== 1 3 abc =>===
Bài 41: Cho a, b,c là ba số dương và 112 acb += , Chứng minh rằng : 4 22 abcb abcb ++ +≥
HƯỚNG DẪN:
Ta có: 112 2 ab ab acbc +==>−= và 2 bc cb a −= 4 2 44 22 abcbabcbccaaac abbc abcb babc b ca
++++ =>+=+=+++≥≥ −+
Áp dụng BĐT co si cho ba số dương a, b, c , Dấu bằng xảy ra khi a= b= c
Website: DẠNG 4: SẮP SẾP CÁC
BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC:
Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, Chứng minh rằng: 2 abc bccaab ++< +++
HƯỚNG DẪN :
Ta có : 2 1 aaa bcbcabc <=>< ++++
Tương tự ta có: 22 1, bbbcc cacaabcababc <=>< < +++++++ , cộng theo vế
2()2 abc VT abc ++ <= ++
Bài 2: Cho a,b,c > 0, Chứng minh rằng: 12 abc abbcca <++< +++
HƯỚNG DẪN :
Ta có : aaac abcababc + << +++++ và bbba abcbcabc + << +++++ và cccb abccaabc + << +++++
Cộng theo vế ta được : abcabbcca M abcabcabcabcabcabc +++ ++<<++ ++++++++++++
( ) 2 12 abc abc MM abcabc ++ ++ <<<=><< ++++
Bài 3: Cho a,b,c,d > 0, Chứng minh rằng: 12 abcd abcbcdcdadab <+++< ++++++++
HƯỚNG DẪN :
Ta có : aaad abcdabcabcd + << ++++++++ và bbab abcdbcdabcd + << ++++++++ cccb abcdcdaabcd + << ++++++++ và dddc abcddababcd + << ++++++++
Cộng theo vế ta có : ( ) 2 12 abcd abcd MM abcdabcd +++ +++ << <=><< ++++++
Bài 4: Cho a,b,c,d > 0, Chứng minh rằng: 23 abbccdda abcbcdcdadab ++++ <+++< ++++++++
HƯỚNG DẪN :
Ta có : abababd abcdabcabcd ++++ << ++++++++
Chứng minh tương tự : bcbcbca abcdbcdabcd ++++ << ++++++++ , cdcdcdb abcdcdaabcd ++++ << ++++++++
Và dadadac abcddababcd ++++ << ++++++++
Cộng theo vế ta có : ( ) ( ) 23abcdabcd M abcdabcd +++ +++ << +++ +++
Website:
Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, Chứng minh rằng:
12 abc
bccaab <++< +++
HƯỚNG DẪN :
Ta có : aaaa abcbcabc + << +++++ và bbbb abccaabc + << +++++ và
Ta có : 1144 2 papbpabc +≥=
Tương tự ta có : 114 pbpca +≥ và 114 pcpab +≥
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh
cccc
abcababc + << +++++
Cộng theo vế ta được : ( ) 2 abc abc M abcabc ++ ++ << ++++
Bài 6: Chứng minh rằng nếu a,b,c > 0 thì 3 2 abc bccaab ++≥ +++
HƯỚNG DẪN :
Áp dung BĐT : ( ) 111 9 xyz xyz ++++≥
Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c chu vi là 2p, Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 8 abc papbpc ≥−−−
HƯỚNG DẪN : ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 papbpapbcpapb −+−≥−−=>≥−−
Chứng minh tương tự ta có : ( ) ( ) 2 apbpc ≥−− và ( ) ( ) 2 bpapc ≥−−
, Đặt ( ) 2 bcx cayxyzabc abz
+= +==>++=++ +=
Nhân theo vế ta được : ( ) ( ) ( ) 8 abcpapbpc ≥−−−
Bài 11: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác thì: ( ) 2222 abbccaabcabbcca ++≤++≤++
Khi đó ta có : ( ) 1119 29 2 abcabcabc abc abbccaabbcca ++++++
=> ĐPCM
++++≥<=>++≥
Bài 7: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, Chứng minh rằng: 3 abc
bcaacbabc ++≥ +−+−+−
bcaxxyc acbyyza abczzab
=+++++≥=>≥
, Khi đó : 2 yzxzxy A xyz +++ =++ 63 xyzxzy A yxxzyz
HƯỚNG DẪN : Áp dụng BĐT Schawzr : 1142 2 abcbcabb +≥= +−+−
Tương tự ta có : 112 bcacabc +≥ +−+− và 112 cababca +≥ +−+− , Cộng theo vế ta được : ĐPCM
HƯỚ
HƯỚNG DẪN :
Ta chứng minh : 222 abcabbcca ++≥++
Chuyển vế ta được : ( ) ( ) ( ) 22222200abcabbccaabbcca ++−−−≥<=>−+−+−≥
Ta chứng minh : ( ) 2222 abcabbcca ++≤++
Ta có :
aabac abc bacbbcba cab cacbc <+=><+
<+ <+
<+ <+ , Cộng theo vế ta được : ( ) 2222 abcabbcca ++≤++
Bài 12: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) abcabcbcacab ≥+−+−+−
HƯỚNG DẪN :
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 abcbcaabcbcababcbca +−++−≥+−+−=>≥+−+−
Tương tự ta có : ( ) ( ) 22cbcacab ≥+−+− và ( ) ( ) 22aabccab ≥+−+−
Nhân theo vế ta được ĐPCM
Bài 13: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, Chứng minh rằng: ( ) 444222222 2 abcabbcca ++<++
HƯỚNG DẪN :
Ta có : 44422222244422222222 222022240 abcabbccaabcabbccaab ++−−−<<=>+++−−−< <=> ( ) ( ) ( ) ( ) 2222222222220220 abcababcababcab +−−<<=>+−++−−< ( ) ( ) ( ) ( ) 0 abcabcabcabc <=>+++−−+−−< (Luôn đúng )
Bài 14: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, Chứng minh rằng: bcaabc abcbca ++≥++
với abc ≥≥
HƯỚNG DẪN :
TÀILI
UTOÁNH
Ọ
Website:
Nhân 2 vế với a,b,c ta có : 222222 bccaabacabbc ++≥++
( ) ( ) ( ) 2222220cbaacbbac <=>−+−+−≥ <=> ( ) ( ) ( ) 0 cabcba −−−≥ Đúng
Bài 15: Chứng minh rằng với a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác thì: ( ) 4222222 ababc >+−
HƯỚNG DẪN :
Xét hiệu : ( ) ( ) ( ) 4222222222220220ababcababcababc −+−><=>++−−−+>
<=> ( ) ( ) ( ) ( ) 0 abcabccabcab +++−+−−+> đúng
Bài 16: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 222333 abcbcacababc −+−++<++
HƯỚNG DẪN :
Ta xét : ( ) ( ) ( ) ( ) 22320 abcaabcaabcabca −−=−−=−−−+<
Chứng minh tương tự ta có : Tổng của 3 số âm là 1 số âm
Bài 17: Cho 1,:2221 3 abcCMRabc ++=++≥
HƯỚNG DẪN :
Cộng theo vế ta được :
( ) ( ) 22222221 33abcxyzxyz ++=++++++ (1)
Mà : 10abcxyzxyz ++=+++=>++= , Thay vào (1)
=> 22222211 33 abcxyz++=+++≥
Bài 18: Cho a,b,c là dộ dài ba cạnh của 1 tam giác, Chứng minh rằng: ( ) 2222 abcabbcca ++<++
HƯỚNG DẪN :
Website:
Tương tự ta cũng có : 111 bccaab +> +++ và 111 caabbc +> +++
Bài 20: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2, hãy so sánh a,b,c với 1, Chứng minh rằng: 22222 abcabc+++<
HƯỚNG DẪN :
Giải sử : 221,1 abcabcaabcabc ≥≥=><+=><++==><=><
Khi đó : ( ) ( ) ( ) 11101 abcabbccaabc −−−>=>++>+
lại có :
( ) ( ) ( ) 2222222221 abcabcabbccaabcabc ++=+++++>++++
<=> 42222222222abcabcabcabc >++++<=>+++<
Bài 21: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) abcabcbcacab >+−+−+−
HƯỚNG DẪN :
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 abcbcaabcbcababcbca +−++−≥+−+−=>≥+−+−
Tương tự ta có : ( ) ( ) 22cbcacab ≥+−+− và ( ) ( ) 22aabccab ≥+−+−
Nhân theo vế ta được đpcm
Bài 22: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, Chứng minh rằng : ( ) 2222 abbccaabcabbcca ++<++<++
HƯỚNG DẪN :
Ta chứng minh : 222 abcabbcca ++≥++
Chuyển vế ta được : ( ) ( ) ( ) 22222200abcabbccaabbcca ++−−−≥<=>−+−+−≥
Ta chứng minh : ( ) 2222 abcabbcca ++≤++
<+ <+
, Cộng theo vế ta được : ( ) 2222 abcabbcca ++≤++
Ta có :
aabac abc bcababbc cab cacbc
2 2 2
<+ <+ <+=><+ <+ <+ , Cộng theo vế ta được đpcm
Bài 19: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, Chứng minh rằng: 111 ,, abbcca +++ , cũng là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
HƯỚNG DẪN :
Ta cần chứng minh : ( ) ( ) 1111221 abbcabcabcabcacacac +>+=>= ++++++++++++
Website:
Bài 23: Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2,Chứng minh rằng: 22222 abcabc+++<
HƯỚNG DẪN :
Giải sử : 221,1 abcabcaabcabc ≥≥=><+=><++==><=><
Khi đó : ( ) ( ) ( ) 11101 abcabbccaabc −−−>=>++>+
lại có :
( ) ( ) ( ) 2222222221 abcabcabbccaabcabc ++=+++++>++++
<=> 42222222222abcabcabcabc >++++<=>+++<
Bài 24: Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng: 333 4 222 abbcca acbacb +++ ++≥ +++
HƯỚNG DẪN :
Ta có : 333 1111 222 abbcca VT acbacb +++
1 222 abcbcacab acbacb +−+−+− <=>++≥ +++ , Lại có :
<=> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 1 222 abcbcacab acabcbabcacbcab +− +− +− ++≥ ++−++−++−
<=> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 222 abc acabcbabcacbcab ++ = ++−+++−+++−
Bài 25: Cho a,b,c > 0 thỏa mãn: 111 abc abc ++≤++ ,
Tìm Max của: 222 111 222 T abc =++ +++
HƯỚNG DẪN :
Ta có : 222222 222222 211133 222222 abcabc TA abcabc
Schawzr ta có : ( ) ( ) 2222 222222 2 66 abcabcabbcca A abcabc +++++++ ≥= ++++++ (1)
Mà : ( ) ( ) ( ) 23 abcabcabbccaabbccaabcabc ++≥++=>++≥++ , Tự chứng minh
=> ( ) ( ) 233 abbccaabbccaabbcca ++≥++=>++≥ thay vào (1) ta được :
1221ATT ≥=>≤=>≤
Bài 26: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng : 201620162016 201520152015 abc abc bcacababc ++≥++
Website: ( ) ( ) 2015 babc b cab −+−
và ( ) ( ) 2015 cacb c abc −+−
Khi đó ( ) ( ) ( ) 201520152015201520152015 abbcac VTab bc ac bcacabcababcbcaabc =−−+−−+−− +−+− +−+− +−+−
Giả sử : abc≥≥=> Ngoặc 2, 3 0 ≥
ta có ngoặc 1= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20152015201520152015 2015 0 cababab ab bcacabbcacab −+−+ −= ≥ +−+− +−+− , ĐPCM
Bài 27: Cho 1,:2221 3 abcCMRabc ++=++≥
HƯỚNG DẪN : Đặt
axaxx bybyy czczz
121 339 121 339 121 339
22 22 22
22222221 33abcxyzxyz ++=++++++ (1)
Cộng theo vế ta được : ( ) ( )
mà : 10abcxyzxyz ++=+++=>++= , Thay vào (1)
=> 22222211 33 abcxyz++=+++≥
Bài 28: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, Chứng minh rằng: 3 abc bcaacbabc ++≥ +−+−+−
HƯỚNG DẪN :
+−=+=
+−==>+= +−=+=
bcaxxyc acbyyza abczzab
=++
Bài 29: Cho a,b,c,d > 0, Chứng minh rằng: 2 abcd bccddaab +++≥ ++++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆUTOÁNHỌC
Website:
Bài 31: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn : 0 abc bccaab ++= , Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) 222 0 abc bccaab ++=
Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng chu vi HƯỚNG DẪN:
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z ( x, y, z là các số nguyên dương)
Ta có: ( ) 2 xyxyz =++ (1) và 222 xyz += (2)
Từ (2) ( ) 2 2 2 zxyxy=>=+− , thay vào (1) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2222444 zxyxyzzzxyxy =+−++<=>+=+−+ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 444422 zzxyxyzxy ++=+−++<=>+=+−
224zxyzxy =>+=+−<=>=+− , thay vào (1) ta được : ( ) ( ) ( ) 2 44484481.82.4xyxyxyxyxyxy =+++−<=>−−=−<=>−−===
Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là : ( ) ( ) ( ) ( ) 5;12;13;12;5;13;6;8;10;8;6;10
DẠNG 5, TÌM ĐIỂM RƠI CỦA
Bài 1: Cho 15 2,: 2 aCMRa a ≥+≥
Website:
BĐT CO SI:
HƯỚNG DẪN :
Ta có : Dấu bằng khi a = 2 => 111 ..2 24 kakk a ====>=
Khi đó ta có : 133335 211 4444422 aaaaa VT aa =++≥+=+≥+=
Dấu bằng khi 1 4 2
a a a
= =
Bài 2: Cho a,b > 0, 11 1,:5abCMRab ab +≤+++≥
HƯỚNG DẪN :
Ta có : Dấu bằng khi 1111 2.4 22 ab ab kk ab a += =>===>===>= =
=+++=+++−+
Khi đó : ( ) 1111 443 VTababab abab
( ) 24243 ab≥+−+ , Mà ( ) 133abab +≤=>−+≥−
4435 VT =>≥+−=
Bài 3: Cho 20,xy>> Tìm GTNN của: 22 xy P xy + =
HƯỚNG DẪN :
Ta có : xy P yx =+ , đặt 1 2 x aaPa ya ==>≥=>=+
Dấu bằng khi 11113 2.2 2444 aa akkP aa ==>===>==>=++
23.235 1 4422 P ≥+=+=
Bài 4: Cho a ≥ 3, Tìm GTNN của: 1 Sa a =+
HƯỚNG DẪN :
Ta có : Dấu bằng khi 111 3.3 39 akk a ==>===>=
1828.32810 999333 9 aa S a =++≥+=+=
Vậy Min 10 3 S =
Bài 5: Cho x ≥ 1, Tìm Min của: 1 3 2 Ax x =+
HƯỚNG DẪN :
Website:
Ta có : Dấu bằng khi 111 1.3 226 xkk x ==>===>=
Khi đó : 13525.157 1 262222 4 xx A x
Bài 6: Cho x,y là các sớ thực dương thỏa mãn: x+y ≥ 6, Tìm Min của: 108 53 Pxy xy =+++
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi xy ≠ , Dự đoán sẽ có các cặp (x ; y) là (1 ;5),(2 ;4) , (5 ;1) và (4 ;2)
và nhận thấy cắp (2 ;4) thì P có giá trị nhỏ nhất
Khi đó ta có : 10181
25.5.2,,23.4. 246 x kk hh x ==>===>====>=
=> 10583555 2.52.2.629 26222 xyxy P xy
Bài 7: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : a+2b+3c ≥ 20, Tìm Min của: 394 2 Pabc abc =+++++
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi a=2, b=3, c=4
Khi đó : 33943 4224424 abcabc P abc
( ) 11 332238.20 44 Pabc ≥+++++≥+
Bài 8: Cho a ≥ 2, Tìm Min của: 2 1 Sa a =+
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi a=2=> 2 111 .2 48 hh a ===>= , Khi đó ta có : 3 2 1313.2369
3 884644444 aaa S a
Bài 9: Cho 1 0 2 a <≤ , Tìm Min của: 2 1 2 Sa a =+
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi 2 111 4.2.4 22 akk a ==>===>= , Khi đó ta có :
Website:
199299.10101 10010010010 100 aa B a =++≥+= , Tương tự với b và c
Bài 11: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: 1 abc++≤ , Tìm Min của: 111 Pabc abc =+++++
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi 1 3 abc=== , Khi đó ( ) 111 9998 Pabcabc abc =+++++−++
( ) 2929298 P abc≥++−++ Mà ( ) 188abcabc ++≤=>−++≥−
Vậy 666810 P ≥++−=
Bài 12: Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max của: 333 Pabbcca =++
HƯỚNG DẪN :
Ta có : Dấu bằng khi 1 3 abc=== 333 3
ab abab ++ =>=≤
1 133...3. 33
Tương tự ta có : 3333
bc ca bc ca ++ ++ ≤≤
11 333.,3. 33
Cộng theo vế ta được : 33 2221 33 33 abc P ++
Bài 13: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: 3 2 abc++≤ , Tìm Min của: 111 Pabc abc =+++++
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi ( ) 1111 4443 2 abcPabcabc abc
315 4443. 22 P ≥++−=
Bài 14: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: 1 abc++≤ , Tìm Min của: 111 2 Pabc abc =+++++
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi ( ) 1222 18181817 3 abcPabcabc abc
====>=+++++−++
3
2 1 881436414 Saaaa a =++−≥−
, mà 1 1473.475 2 aaS ≤=>−≥−=>≥−=
Bài 10: Cho a ≥ 10, b ≥ 100, c ≥ 1000, Tìm Min của: 111 Aabc abc =+++++
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi 111 10.10 10100 akk a ==>===>= , Tương tự với b và c, Khi đó ta có :
19 P =>≥
Bài 15: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: 1 abc++= , Tìm Min của: ( ) ( ) ( ) 333 222111 abc A c ab =++
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi 1 3 abc=== Khi đó :
Website:
( ) 3 2 113 1884 aaa a a ++≥ , Tương tự ta cũng có : ( ) 3 2 113 1884 bbb b b ++≥
( ) 3 2 113 1884 ccc c c ++≥
Cộng theo vế ta được : ( ) 31 44 Aabc≥++=
Bài 16: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn: 1 ab+≤ , Tìm min của: 1 Sab ab =+
HƯỚNG DẪN :
Ta có : Dấu bằng khi 11 416 2 ab ab ab ===>==
Khi đó ta có : 1 161521615 Sababab ab
mà 115 21215 44 ababababab +≥=>≥=>≤=>−≥
Vậy 151517 2.48 444 S ≥−=−=
Bài 17: Cho a,b là các số thực thỏa mãn: 1 ab+≤ , Tìm min của 22 11 Aab ab =+++
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi 1 2 ab== ( ) 22 11 888915 Aaabbab ab
3.43.415.19 S =>≥+−=
Bài 18: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: 3 2 abc++≤ , Tìm Min
222 111 Pabc abc =+++++ HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi 1 2 abc===
Khi đoa : ( ) 222 111 88888815 Paabbccabc abc
34527
3.43.43.415.36 222 P ≥++−=−=
Bài 19: Cho a,b,c là các sơ thực dương thỏa mãn: 3 2 abc++≤ , Tìm Min:
222111
Aabc abc =+++++
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi : 1 2 abc=== 2221111113111
8888884 Pabc aabbccabc
3333927
44444 P abc ≥+++= ++
Bài 20: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: 1 xy+≤
Tìm Min của: 22 11 11 A xy
Dấu bằng khi : 1 9 2 xyA===>= , Ta cần chứng minh 9 A ≥
Xét ( ) ( ) 2222 22 11 119119xyxy xy
222218xyxy=>≥++ , do ( ) 12 xy≥+ , Nên ta cần chứng minh : ( ) ( ) 2222282140xyxyxyxyxy +≥++<=>−≥
BĐT này đúng do: ( ) 2 1 0.9 44 xy xy MinA + <≤≤=>= khi 1 2 xy==
Bài 21: Cho a,b>0 Tìm Min của: abab P ab ab + =+ +
HƯỚNG DẪN :
+ = =>= + =
Dấu bằng khi : 4 abab m ab mab ab
Khi đó ta có :
313.23.25 .21 444244 ababab ab P ab ab ab ab ++ =++≥+=+= +
Bài 22: Cho 1 ab+≤ và a,b>0, Tìm min của: 22 11 P abab =+ +
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi 1 2 ab==
Khi đó : ( ) 222 11141 222 P ababab ab ab =++≥+ + +
( ) ( ) ( ) ( ) 2222 42426 6 4 P ab abababab ≥+≥+=≥ ++++
Bài 23: Cho a,b>0 và 1 ab+≤ , Tìm Min của: 22 11 12 P abab =+ ++
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi : 1 2 ab== . Khi đó : 22 11 13.2abab = ++
( ) 2222 11141 1633 61 P ababab ab abab
=> ( ) 2 41 413 P ab abab ≥+ +++
Website:
abababP +≥=>≤=>≥+= +
Mặt khác : 1418 2 1 4213 3. 4
Dấu bằng khi 22 16 1 2 1
++= ==>==
abab ab ab ab
Bài 24: Cho a,b>0, 1 ab+≤ , Tìm Min của: 22 11 4 P ab abab =++ +
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi 1 2 ab==
Khi đó : ( ) 222 111411 44 2244 P ab ab ababab abab ab
+=
2
Bài 27: Cho x,y,z>0 và 111 4 xyz ++= , Tìm Max của : 111 222 P xyzxyzxyz =++ ++++++
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng xảy ra khi 311111 2 42xyzxyz xyzxyzx ====>=+=>=+++ ++
Nên : 111111111111111 161616 P xxyzxyyzxyzz ≤+++++++++++
1444 1 16 xyz ≤++=
HƯỚNG DẪN :
ằ ==>== +=
ng khi
11 162 1
Bài 25: Cho a,b>0 và 1 ab+≤ , Tìm Min của: 3322 111 S ababab =++ +
Dấu bằng khi 1 2 ab== và ( ) 33223 33 abababab +++=+
Dấu bằng khi : 12 33 abcabbcca ====>+=+=+=
Khi đó ta có : ( ) ( ) ( ) 222 2 333 abbcca +++++≤ => ( ) 2 23 32
ab ab ++ +≤ ,
Tương tự ta có : 222 3332 222
abbcca VT ++++++ ≤++=
Bài 29: Cho a,b,c dương thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max của 333 Aabbcca =+++++
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi : 12 33 abcabbcca ====>+=+=+=
S ab ab ≥ + ++ , Vì ( ) ( ) 2 42 4 ab ababab + ≤+=>≤ => 20 S ≥ , Dấu bằng khi
Khi đó : 3322 111 22 ababab == + ( ) ( ) 3322223 1111125 2222 S ababababab ababab =++++≥ + +++ ( ) ( )3 3
25 4
1 2 ab==
Bài 26: Cho a,b,c>0 và 2221abc++= , Tìm Min của: 1 Pabc abc =+++
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi 1 3 abc=== , Khi đó : 11 33, 3 a abc ==
Tìm m sao cho : 11 3 abcm mabc ====>=
48
39 P
4 188 4 9999 abc
, Ta lại có : ( ) ( ) 22222222331 313 27 abcabc abcabc ++≥<=>≥=>≤
Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆUTOÁNHỌC
Nên : ( ) 3333
ab abab +++ +=+≤
22 922933 ... 43333
Tương tự ta có : 33
22 933 . 43
bc bc +++ +≤ và 33
ac ca +++ +≤
22 933 . 43
Cộng theo vế ta được : ( ) 33 924 18 43 abc P +++ ≤=
Bài 30: Cho x,y,z>0 và xyz=1, Chứng minh rằng: 2223 1112 xyz yzx ++≥ +++
HƯỚNG DẪN :
Ta có Dấu bằng khi 211 14 12 xy xyz y α α + ====>===>= +
Khi đó : 21 14 xy x y + +≥ + , tương tự ta có : 21 14 yz y z + +≥ + và 21 14 zx z x + +≥ +
Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆUTOÁNHỌC
Website:
Cộng theo vế ta được : ( ) ( ) ( ) 13336 44444Pxyzxyzxyz ≥++−++−=++−=
Bài 31: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : 5 xyyzzx++= , Tìm Min của :
22233 Pxyz =++
+≥
Ta có :
HƯỚNG DẪN :
Tương tự ta có : ( ) ( ) 22 2233 , 3232
bc ca bc ca ++ ++ +≤ +≤
Website:
Cộng theo vế ta được : ( ) 2 23 .1226 322 abc SS ++ ≤+==>≤=
Bài 36: Cho a,b > 1, Chứng minh rằng: 11 abbaab −+−≤
22 22 22
+≥ +≥
xyxy xzxz yzyz
2 1 22 2 1 22 2
Dấu bằng khi x=y=1, z=2
, Cộng theo vế ta được : ( ) 210Pxyyzzx≥++=
Bài 32: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn : 8 xyxy++= , Tìm Min của : 22Pxy =+
HƯỚNG DẪN :
Ta có : ( ) 22 888 44 xy t xyxyxy tt + =++≤++<=>+≥=>≤− hoặc 4 t ≥
Hay ( ) ( ) 2 222168 2 xy xyPxy + +≥=>=+≥=
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi : 1112baab −=−==>==
Co si ngược ta có : ( ) ( ) 11 1.1. 22 b ab aba −+ −≤= ( ) 11 1.1. 22 aab bab −+ −≤=
Cộng theo vế ta được : ( ) ( )11 22 abab abba ab −+−≤+=
Bài 37: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của: 222 xyz P yzxzxy =++ +++
HƯỚNG DẪN :
+= ==>== ++=
Dấu bằng khi 4 2 8
xy xyxy xyxy
Bài 33 : Cho a,b là các số thực thỏa mãn : 03,811 ab ≤≤≤≤ và a+b=11,
Tìm Max của : Pab = HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi 3,883 abab ===>=
Khi đó :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 8322335.31111 8.3..353.11524 24244969696 ab Pab aba a ++ =≤=++≤+≤=
Bài 34: Cho x,y > 0, ( ) ( ) 6,:1112xyCMRAxxyy +≥=−+−≥
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi 3 xy==
Khi đó : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22229918Axyxyxyxy =+−+=+++−+−
( ) 2.32.318Axyxy ≥+−+− => ( ) ( ) ( ) 618518301812Axyxyxy ≥+−+−=+−≥−=
Bài 35: Cho a,b,c > 0, Thỏa mãn : 1,:16abcCMRSabbcca ++==+++++≤
HƯỚNG DẪN :
Dấu bằng khi 12 33 abcabbcca ====>+=+=+=
ab ab ++ +≤ ,
Dáu bằng khi 2 3 xyz===
Khi đó : 21 4 3 xyz k yzk + ===>= +
Nên : 2 4 xyz x yz + +≥ + , Tương tự ta có : 1 22 xyz xyz PxyzP ++ ++ +≥++=>≥=
Bài 38: Cho x,y > 1, Chứng minh rằng : 22 8 11 xy yx +≥
HƯỚNG DẪN : Dấu bằng khi xy = , Thay vào ta được : 22 82 11 xx xy xx +==>==
Khi đó : ( ) 2 414 1 x yx y +−≥ và ( ) 2 414 1 y xy x +−≥ ( ) ( ) ( ) 441418VTxyyx≥+−−−−=
Bài 39: Cho a,b,c > 0, thỏa mãn: 2221abc++= , Chứng minh rằng:
222222 33 2 abc bcacab ++≥ +++
HƯỚNG DẪN :
Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆUTOÁNHỌC
Website:
== ≥=≥ +
aaaaaaa bc aaa a
Khi đó : ( ) ( ) ( ) 2222442 222222 2
.222733 111.2842 27
Tương tự ta có : ( ) 222222 3333333333 ... 22222 VTabcabc ≥++=++=
Website: BẤT ĐẲNG THỨC CHƯA SOẠN
Bài 1 : Cho 2222 , abxyabxy +=++=+ , Chứng minh rằng : 2010201020102010 abxy +=+
HƯỚNG DẪN:
Từ abxyaxyb +=+=>−=−
Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 abxyaxybaxaxybyb +=+=>−=−=>+−=+− ( ) ( ) ( ) ( ) 0,(1) ,(2) ax axaxybax axby −= =>+−=+−=> +=+
Với 2010201020102010 0 ax byabxy abxy −= =>==>+=+
+=+
Với 2010201020102010 abxy aybcabxy axby +=+ =>==>==>+=+
+=+
Bài 2 : Cho x+y=2, Chứng minh rằng: 2011201120122012 xyxy +≤+
HƯỚNG DẪN :
Xét ( ) ( ) ( ) ( ) 20122012201120112011201111xyxyxxyy +−+=−+− = ( ) ( ) 2011201111xyyy−+−
Do x-1=1-y
Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 201220122011201120112011 1 xyxyyxy +−+=−−
Giả sử : 20112011 xyxy ≥=>≥ và 11 xy ≥≥ do đó : ( ) ( ) ( ) 20112011 10yxydpcm−−≥
Tương tự nếu lấy 20112011 yxyx ≥=>≥ và 1 yx ≥≥ đo đó ( ) ( ) ( ) 20112011 10yxydpcm−−≥ dấu = khi x=y=1
Bài 3: Chứng minh rằng: 3 abc A bcaacbabc =++≥ +−+−+−
HƯỚNG DẪN: Đặt 0,0,0bcaxcabyabcz +−=>+−=>+−=> , từ đó: ,, 222 abcyzxzxy −++ === thay vào A ta được ( ) 11 2223 22222 yzxzxyyxxzyz A xyzxyzxzy
Bài 4: Chứng minh rằng: nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì A<0 HƯỚNG DẪN: Ta có: 0 bca+−> 0 bca++> 0 bca−−< 0 bca−+> Vậy A<0
Bài 5: Cho a,b,c,d > 0, Chứng tỏ rằng: abcd N abcbcdcdadab =+++ ++++++++ có giá trị
không nguyên
Bài 6: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: 222324 xyzxyyz ++≤++−
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Website:
HƯỚNG DẪN:
Ta có gt=> ( ) 22 2 3110 22 yy xz
=>
Bài 7: Cho ,,0abc > và 1 abc++≤ , Chứng minh rằng: 222 111 9 222 abcbaccab ++≥ +++
HƯỚNG DẪN:
Đặt 2222,2,2 xabcybaczcab =+=+=+
Khi đó x+y+z= ( ) 21 abc++≤ và 111 9 xyz ++≥ với 1 xyz++≤
Áp dụng Co si cho 3 số : 3 3 xyzxyz ++≥ ta được 3 1111 3 xyzxyz ++≥
=> ( ) 111 9 xyz xyz ++++≥ mà 1 xyz++≤ => 111 9 xyz ++≥ đảng thức xảy ra khi
x=y=z= 1 3
Bài 8: Cho a, b, c là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh
rằng: 2225abc++≤
Theo giả thiết ta có:
HƯỚNG DẪN:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22208240 xbc abbccaabcabc −−−≥<=>+++−++−≥
Cộng hai vế với 222 abc ++ sau đó thu gọn ta được:
( ) 222222245abcabcabcabcabc ++≥++++<=>+++≤ , Mà
222 05abcabc≥=>++≤
Đẳng thức xảy ra khi trong ba số a,b,c có 1 số bằng 0, một số bằng 2 và
1 số bằng 1
Bài 9: Cho x,y >0 thỏa mãn: 2334 xyxy +≥+ , Chứng minh rằng : 332xy+≤ , dấu bằng xảy ra khi nào ?
HƯỚNG DẪN: Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có:
324232233423 22 xxyyxyxyxyxyxy +++≤+=>+≥+−−≥+
32243 2,2 xxxyyy +≥+≥ do vậy ( )
Do 2334 xyxy +≥+ . Mà 242 12,12 xxyy +≥+≥ Nên
242232334112222 xyxyxyxyxy +++≥+≥+≥+++ do vậy 332xy+≤ dấu bằng khi x=y=1
Bài 10: Chứng minh rằng: 221 xyxyxy+−≥+−
HƯỚNG DẪN: ( ) ( ) 22221221 xyxyxyxyxyxy +−≥+−=>+−≥+− => 22 222222 xyxyxy +−≥+−
=> ( ) ( ) ( ) 222110xyxy −+−+−≥ luôn đúng, dấu bằng khi x=y=1
Bài 11: Chứng minh rằng không có giá trị nào của x thỏa mãn: 2 4 50 22xx −> −+
HƯỚNG DẪN:
Website:
Ta có: ( ) 2 4 5 11 x −+ mà ( ) 2 4 0,50 11 x <−< −+ => đpcm
Bài 12: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: 3355 abab +=+ , Chứng minh rằng: 221 abab +≤+
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) ( ) 22222233 11 abababababababababab +≤+=>+−≤=>++−≤+=>+≤+
=> ( ) ( ) ( ) ( ) 3333553355 2 ababababababab ++≤++=>≤+
=> ( ) ( ) 422422 200abaabbabab−+≥=>−≥ luôn đúng do a, b dương
Bài 13: Cho các số a, b, c [ ]0;1 ∈ , Chứng minh rằng: 231abcabbcca ++−−−≤
HƯỚNG DẪN:
Do a,b,c [ ]0;1 ∈ Nên ( ) ( ) ( ) 111010 abcabcabbccaabc −−−≥=>−−−+++−≥
=> 11abcabbccaabc ++−−−≤−≤ , Do a,b,c [ ]0;1 ∈ nên 23 , bbcc ≤≤ , từ đó ta có: 231 abcabbccaabcabbcca ++−−−≤++−−−≤
Bài 14: Cho a>0, b>0 và a+b=1, Chứng minh rằng: 114 113ab +≥ ++
HƯỚNG DẪN: ( ) ( ) ( ) 114 311411 113 abab ab +≥=>+++≥++ ++ => ( )941 abab ≥+++ do a+b=1
=> ( ) 9481424 abababab ≥+=>≥=>+≥ => ( ) 20 ab−≥ đúng với mọi a, b
Bài 15: Cho a, b, c là ba số dương và 112 acb += , Chứng minh rằng : 4 22 abcb abcb ++ +≥
HƯỚNG DẪN: 112 2 ab ab acbc +==>−= và 2 bc cb a −=
=> 4 2 44 22 abcbabcbccaaac abbc abcb babcb ca
++++ +=+=+++≥≥ −+
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số a, b, c dương , dấu bằng khi a=b=c
Bài 16: Cho a,b,c là các số thỏa mãn hai điều kiện sau: 2 0,0 abaxbxc <<++= vô nghiệm, Chứng minh rằng: 3 abc ba ++ =
HƯỚNG DẪN:
Do 0 ab<< nên ta có ( ) 3342 abc abxbaacb ba ++ >=>++>−=>+> (*)
Vì phương trình 20axbxc++= vô nghiệm nên 24 bac <
=> 222 44242 444 bbb cacaab aaa >=>+>+≥= từ đó suy ra: (*) đúng hay 3 abc ba ++ >
Bài 17: Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn : 33 abab +=− , Chứng minh rằng : 221abab++<
Bài 18: Cho x,y,z là ba cạnh của 1 tam giác: Chứng minh rằng: ( ) 22222 40Axyxyz =−++>
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Website:
Bài 19: Chứng minh rằng : 422012201120120xxx+−+> với mọi x
Bài 20: Cho a, b, c, d thỏa mãn: 2,,,5 abcd −≤≤ và 23510abcd+++= . Chứng minh rằng:
2222235140abcd+++≤
Bài 21 : Chứng minh rằng : 222 1111111 2 xyyzxz xyzyxzzxy
HƯỚNG DẪN :
Website:
Bài 35: C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 333 1113111 xyzxyz +++++=+++ ho a ,b thỏa mãn: 1,1ab≥≥ ,
Chứng minh rằng: 22 112 1 11 ab ab +≥ + ++
Bài 36: Cho a, b không âm thỏa mãn: 2018201820202020 abab +=+ , Tìm GTLN của: ( ) ( ) 22 11Pab=+++
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) ( ) 22 2242 Pababab =++++≤++ ,
Bài 37: Cho a, b, c là các số thỏa mãn hai điều kiện 2 0,.0 abaxbxc <<++= vô nghiệm,
Chứng minh rằng: 3 abc ba ++ >
222 1 11111 222
yzxzxy xyz VT xyz xyzyzzxxy
, Dấu ‘’=’’ khi x=y=z
Bài 22 : CHứng minh rằng nếu : 123 2341
1111 n xxxx xxxx +=+=+==+ , thì
123 n xxxx ==== hoặc : 123......1 n xxxx =
Bài 23 : Cho a, b, c, d >0, Chứng minh rằng : 23 abbccdda abcbcdcdadab ++++ <+++< ++++++++
Bài 24: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các sớ thực thỏa mãn: 111 2 abc ++= và
abcabc ++= , thì 222 111 2 abc ++=
Bài 25: Cho 2 abcp ++= , Chứng minh rằng: ( ) 222 24 bcbcappa ++−=−
Bài 26: Cho 2233 ,, xyaxybxyc +=+=+= , Chứng minh rằng: 3 320aabc−+=
Bài 27: Cho 222 0, 1 abcabc ++=++= , Tính giá trị của: 444 Mabc =++
Bài 28: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn: ( ) 2 222 abcabc ++=++ , Chứng minh rằnG:
222
222 1 222 abc abcbaccab ++= +++
Bài 29: Cho 111 0 abc ++= , tính giá trị của: bccaab M abc +++ =++
Bài 30: Cho 1 abc bccaab ++= +++ , Chứng minh rằng:
222 0 abc bccaab ++= +++
HƯỚNG DẪN:
Do 0 ab<< , nên bất đẳng thức: ( ) 3342 abc abcbaacb ba ++ >=>++>−=>+>
Vì phương trình: 2 0 axbxc++= vô nghiệm nên 2 4 bac <
2 22
4424.2
444 bbb cacaab aaa =>>=>+>+≥=
222 222 ... axbycz A
Bài 31: Cho ...0 axbycz++= , Rút gọn: ( ) ( ) ( )
bcyzacxzabxy ++ = −+−+−
Bài 32: Cho 0,0,0 abc abcxyz xyz ++=++=++= , Chứng minh rằng: 222 .0 axbycz++=
Bài 33: Cho 0 abc
bccaab ++= , Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )
222 0 abc bccaab ++=
Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆUTOÁNHỌC
Liên hệ tài liệu word môn toán: TÀILIỆUTOÁNHỌC
Website:
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Dạng 1: Sử dụng tính chất: ( ) 12+= aak
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 220xxy+−=
HƯỚNG DẪN
Website:
Dạng 2: Đưa về tổng các số chính phương
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 22 488480 xyxyy+++−=
HƯỚNG DẪN
( ) ( ) 2222 2221903 xyy+++==+
( ) 12xxy += => 0 10 x x
= +=
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2222 3 xyxyxy ++=
HƯỚNG DẪN
( ) ( )2221xyxyxyxyxy +=−=−
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2221 xyxy−−+=
HƯỚNG DẪN ( ) ( ) 2222111xxyyyxx −=−+=>−=−
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2222 xxyyxy ++=
HƯỚNG DẪN ( ) ( )2221xyxyxyxyxy +=+=+
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 228 xyxy+−−=
HƯỚNG DẪN
Nhân với 4 ta được: ( ) ( ) 22 44144134 xxyy−++−+=
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2245169xxyy−+= HƯỚNG DẪN
( ) 22 2169xyy−+=
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2252430xyyxy++−−= HƯỚNG DẪN
( ) ( ) 22 214xyy−++=
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 22136100xyxy+−= HƯỚNG DẪN
( ) 22 34100xyy−+=
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: 623 2264 xyxy+−=
HƯỚNG DẪN
( ) 2264 tty+−= nếu đặt 3 xt =
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: 11 4 xy xy +++=
HƯỚNG DẪN
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: ( ) ( ) 2222 14 xxyxy ++=
HƯỚNG DẪN
( ) ( ) 2242222222410xxyxyxyxyxy +++==>−+−=
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên:: 22 222650 xyxyyx+−+−+= HƯỚNG DẪN
( ) 22226250xxyyxyx −+−+++= => ( ) ( ) 222450xyxyxx −−−−++=
=> ( ) ( ) 22 120xyx−−+−=
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2242420xyxy+−−+= HƯỚNG DẪN
( ) ( ) 22214410xxyy−++−+=
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên: 222 422442610340 xyzxyxzyzyz ++−−+−−+= HƯỚNG DẪN Liên
Website:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22222 242610340 xxyzyyzzyyzz −+++++−+−+=
=> ( ) ( ) ( ) 22226910250xxyyyzz −−+−++−+=
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên: 228 xyxy+−−=
HƯỚNG DẪN ( ) ( ) 2222 1117 212134 442xxyy xy
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2291320mnmn+=+−
HƯỚNG DẪN
Nhân 4 ( ) ( ) 22 43681452169170 mmnn−++−+=
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: 22613100xxyy−+=
HƯỚNG DẪN
22 (3)4(25) xyy −=− , mà 22 25, yy ≤ là số chính phương nên =>y
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2245160xxyy−+−=
HƯỚNG DẪN
Ta có phương trình trở thành : 2245160xxyy−+−=
=> ( ) 22222 4416216xxyyyxyy −++==>−+= , Vì x,y là số nguyên nên ( ) 2 xyZ −∈
=> ( ) 22 216016160xyy−+==+=+
Bài 16: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 222256037 xyxyxy +++=
HƯỚNG DẪN
( ) ( ) ( ) ( ) 22223560534 xyxyxyxyxyxy −=−+−=>−=−−
Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn: VT 0 ≥ => ( ) ( ) 534034 xyxyxy −−≥=>≤≤
Do x,y nguyên nên xy=3 hoặc xy=4
Nếu xy=3 thì ( ) 20 xyxy −==>= và xy=3( vô lý)
Nếu xy=4 thì ( ) 202xyxy −==>==
Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: 22 102024824510 xyxyxy +++−+<
HƯỚNG DẪN
Biến đổi: ( ) ( ) ( ) 222 3442610 xyxy ++++−−< khi 340,40,260 xyxy +=+=−=
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 228318 xyxy+−+=−
Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên: 5293010 xxy+−=
Bài 20: Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn: ( ) 22 11567 yxx +=+
Bài 21: Tìm các số nguyên x, y biết: 23370 xxyxy+−−+=
Bài 22: Chứng minh rằng không có các số nguyên x,y,z thỏa mãn : 232 44824 xxyz+=−+
HƯỚNG DẪN
Ta có 2 242 zz => , Ta có : ( ) 32 41828 xxyz +−+ mà 4 không chia hết cho 8( nên
không tần tại x,y,z
Bài 23 : Tìm x, y thỏa mãn : 2262232460 xyxyxy+++++=
Bài 24: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: 222 324xyzxyyz ++≤++−
Website:
HƯỚNG DẪN
Vì x, y,z là các số nguyên nên: ( ) 22 2 222 324 3110 22 yy xyzxyyzx z ++≤++−<=>−+−+−≤
DẠNG 3 : ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2241xxy+−=
HƯỚNG DẪN
( ) 22445xxy++−=
Bài 2 :Giải phương trình nghiệm nguyên : 26xyxy−+=
HƯỚNG DẪN:
Ta có: ( ) ( ) 111 12612 22 xyyxyy <=>+−=<=>+−−=
( ) ( ) ( ) ( ) 2122111212111 xyyxy +−+=<=>−+=
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2311xxyy++=
HƯỚNG DẪN : 2222 223 2.3112 24422 yyyxyy xx y
( ) ( ) 22 238 xyy+−−= ( ) ( ) 23238 xyyxyy <=>++−+−+=
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên : ( ) 2256 xyy−=+
HƯỚNG DẪN : ( ) ( ) 22226256916xyyxyy −+==>−++= => (3)(3)16 xyxy++−−= mà
332 xyxyx −−+++= là 1 số chẵn nên 2 số đều chẵn
Bài 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên : ( ) ( ) ( ) 1232 xxxxy +++=
HƯỚNG DẪN : ( ) ( ) ( ) ( ) 222332111 xxxxyayay +++==>+++−= với 23 axx =+
Bài 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 221999xy−=
HƯỚNG DẪN
( ) ( ) 1999 xyxy−+=
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : 22 xyxy +=
HƯỚNG DẪN
22 22.2..244 2442 yyyy xx −+−++=− => ( ) ( ) 22216xyx−−+=−
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : 62 xyxy −=−
HƯỚNG DẪN :
( ) 111 2621 22 xyxyxyy +−=<=>+−−=
( ) ( ) ( ) ( ) 2212111212111 xyy xy +−+=<=>−+=
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2222 2 xyxy +=
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Website:
HƯỚNG DẪN
( ) 222222211 2021 22 xyxyxyy−−==>−−+=
=> ( ) ( ) ( ) ( ) 22222 2121121211 xyyxy−−−==>−−=
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : ( ) 4 xyxy =+
HƯỚNG DẪN : ( ) 440441616xyxyxyy −−=<=>−−+=
( ) ( ) ( ) ( ) 444164416xyy xy <=>−−−=<=>−−=
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : ( ) ( ) ( ) 1782 xxxxy −−−=
HƯỚNG DẪN: ( ) ( ) ( ) 2222 8877 xxxxyaay −−+=<=>+=
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : ( ) 2 8116xxy−=−
HƯỚNG DẪN ( ) 2222 8161104110xxyxy −+−=−=>−−=−
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên : 353xyxy+−=−
HƯỚNG DẪN
( ) ( ) ( ) 35151835318xyy xyy +−−=−=>+−+=−
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2323 63102 xyxy+−=
HƯỚNG DẪN
( ) 233 3211052 xyy+−−= => ( ) ( ) 233 3215212 xyy+−+=
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : 22 233220 xyxyxy+++++=
HƯỚNG DẪN
( ) ( ) ( ) 22 223232 2..322320
222 3289124128 0 24 xxxxx
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : 42 1 xy +=
HƯỚNG DẪN ( ) 42420 yxxyxyx +==>−−=
Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 111 3 xy +=
HƯỚNG DẪN: ( ) ( ) 3330 xyxyxyy ⇔+=⇔−−=
=> ( ) 22 2324 yxx++−=−
Website: ( ) ( ) ( ) 11101110xyy xy +++=<=>++=
Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 22 211 xxy −−=
HƯỚNG DẪN : ( ) ( ) 2222 2112112xxyxy <=>−+−=<=>−−= <=> ( ) ( ) 1112xyxy −−−+=
Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 338xyxy−=+
HƯỚNG DẪN :
Ta có : ( ) ( ) 338xyxyxyxy −+−=+
Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 xyxy−−=
HƯỚNG DẪN:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 113113113xyyxyyxy <=>−−+=<=>−−−=<=>−−=
Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 9 xxyy++=
HƯỚNG DẪN:
Liên
Đặt : ( ) 3 338 38831 31 xya a ftaabbabab xyb a
−= =><=>+=+<=>−=−−=>−= = ( ) ( ) 33 278312712153131215 aaaaaU −−=>−−−=>−∈
Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 1111 66xyxy ++=
HƯỚNG DẪN :
Ta có : ( ) ( ) 61661663637 xyxyxyxyxyy <=>++=<=>−−=<=>−−+= <=> ( ) ( ) ( ) ( ) 666376637xyy xy −−−=<=>−−=
Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 225190 xxyxy−−++=
HƯỚNG DẪN :
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 24190214217 xxyxyxxyxx <=>−−−−+=<=>−−−+=−
<=> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 212211721217xyxx xxy −−−−=−<=>−−−=−
Bài 24 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 222220xyxyy+++−=
HƯỚNG DẪN :
Ta có : 222220xyxyy <=>+++−=
Có ( ) 222 '222 yyyyy ∆=−+−=−−+ , Để phương trình có nghiệm thì : 2 19313 '021 24222 yyy ∆≥<=>+≤<=>−≤+≤<=>−≤≤
Bài 25 : Giải phương trình nghiệm nguyên : ( ) 22322320xyxyy+−+−+=
HƯỚNG DẪN : Có '142 y ∆=− , để phương trình có nghiệm thì
'02101,2 4 yyxx ∆≥<=>≤<=>==>=−=−
Bài 26 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 22 346340 xyxy+++−=
HƯỚNG DẪN : ( ) ( ) 22 36434 xxyy <=>+++=
Bài 27 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2254230xyxyy+−+−= HƯỚNG DẪN : ( ) ( ) ( ) ( ) 22222 44214214xxyyyy xyy <=>−++++=<=>−++=
Bài 28 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 22 344250 xyxyxy+++++= HƯỚNG DẪN : Xét : ( ) ( ) 240220 yy x xxx ∆=−=>∆≥<=>−+≥=>=±
Website:
Bài 29 : Giải phương trình nghiệm nguyên : ( ) 25520 xyxy−+++=
Website:
HƯỚNG DẪN : Ta có : 222 111 333521333 yyyyxyxxx =>=>==>−==>=>= ( ) 222 111 15711mod3 xyy =>−==>≡− => Vô nghiệm
5 5521.21.2 .52 xxy xx xxy +=+ =>−−===−− =+
HƯỚNG DẪN : Theo vi- ét ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 12 12 12
Bài 30 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 22 211 xxy −−=
HƯỚNG DẪN :
Đưa phương trình về dạng : ( ) ( ) ( ) 22 1121112 xyxyxy −−=<=>−+−−=
Bài 31 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 222330xyxyxy++−−+=
HƯỚNG DẪN : Chuyển phương trình thành bậc hai với x ( ) ( ) 223130xyxyy <=>+−+−+= , có : 2211yy ∆=−− , Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là ∆ là số
chính phương => ( ) 222115,3yykkZyy −−=∈=>==−
Bài 32 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2327xyxy−+=
HƯỚNG DẪN : Đưa phương trình về dạng : ( ) ( ) 3221xy+−=
Bài 33 : Giải phương trình nghiệm nguyên : ( ) 338xyy+−=
HƯỚNG DẪN :
Đưa phương trình về dạng : ( ) ( ) 1335xy−+=
Bài 34 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 317 xyxy++=
HƯỚNG DẪN :
Đưa phương trình về dạng : ( ) ( ) 313152 xy++=
Bài 35 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 21 xxxyy ++=−
HƯỚNG DẪN :
Đưa phương trình về dạng : ( ) ( ) 123xyx−−−=
Bài 36 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 222430xyxyyx+−+=
HƯỚNG DẪN : Đưa phương trình về dạng : ( ) ( ) ( ) 22 12431243xyyyU +==>+∈ => ( ) ( ) ( ) ;54;2;24;8xy =
Bài 37 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 22519 xxyxy−=−−
HƯỚNG DẪN : Đưa phương trình về : ( ) 2 22519251921 21 xx xxyxy x −+ −+=−=>=
Bài 38 : Giải phương trình nghiệm nguyên : ( ) 2 12yxx−=+
HƯỚNG DẪN : Đưa phương trình về dạng : 3 1 1 yx x =++
Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 22 1579 xy−= Liên
TÀILIỆUTOÁNHỌC
Bài 40 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 22 29282000 xy−=
HƯỚNG DẪN :
Đưa phương trình về thành : ( ) 25mod7 x ≡ , Vô nghiệm
Bài 41 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 22 199920002001 xy−=
HƯỚNG DẪN :
Đưa phương trình về dạng : ( ) 21mod4 x ≡− , Vô nghiệm
Bài 42 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 222282 xyxyxy −−=
HƯỚNG DẪN :
Đưa phương trình về dạng : ( ) ( ) 222 7 yxxy −=+
Phương trình có nghiệm 0 xy== , xét x, y # 0 => 27 x là 1 số chính phương
Đặt : ( ) ( ) 2277xaxaxa −==>−+==> Tìm x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0,4;1,4;2,4;1,4;2
Bài 43 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 9 xxyy++=
HƯỚNG DẪN :
Đưa phương trình vê dạng : ( ) ( ) 1110xy++=
Bài 44 : Giải phương trình nghiệm nguyên : ( ) ( ) ( ) 2178 yxxxx =+++
HƯỚNG DẪN :
Đưa phương trình thành : ( ) ( ) ( ) 2222 22 887742749yxxxxzzyz =+++=+=>=+−
=> ( ) ( ) 49227227 zyzy =−+++
Bài 45 : Giải phương trình nghiệm nguyên : ( ) ( ) 2 141xxxyy++=+
HƯỚNG DẪN :
Phương trình <=> ( ) ( ) ( ) 2322 2 14411121 xxxyyxxy +++=++=>++=+
Vì VP là 1 số lẻ => ( ) ( ) 2 1,1xx++ là số lẻ ,
Giả sử : ( ) 2 1;1 xxd ++= => d lẻ , Mà : 2 22
11 11 xd xd xd xd + => + +
( ) ( ) 112 xx=>++ là số chính phương => 2 110xxx +=+=>=
Bài 46 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2222 xxyyxy ++=
HƯỚNG DẪN :
Ta có : ( ) ( )22222221 xxyyxyxyxyxyxyxy ++==>+=+=+ 0 10 xy xy
= => +=
Bài 47 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 22 xyxyxy ++=+
HƯỚNG DẪN : Đưa phương trình về dạng :
Liên hệ tài liệu word môn toán:
Website:
( ) ( ) 2210xyxyy−++−= , Điều kiện để phương trình có nghiệm là : ( ) ( ) 222 0361031411 yyyy ∆≥<=>−−<<=>−≤=>−≤
Từ đó ta có : 0,1,2 y =
Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 222330xyxyxy++−−+=
HƯỚNG DẪN :
Đưa phương trình về dạng : ( ) ( ) 2231230xyxyy+−+−+=
Điều kiện để phương trình có nghiệm là 0 ∆≥
Làm giống bài trên
Bài 49 : Giải phương trình nghiệm nguyên : ( ) ( ) ( ) 223 xyxyxy ++=−
HƯỚNG DẪN :
Đưa phương trình về dạng : ( ) ( ) 222 2330 yyxxyxx +−++=
TH1 : y=0 => ...
TH2 : ( ) ( ) 222 02330yyxxyxx ≠=>+−++=
Điều kiện để phương trình có nghiệm là ( ) ( ) 2 018 xxx ∆≥=>+− phải là 1 số chính phương => ( ) ( ) ( ) ( ) 824416xxaaNxaxa −=∈=>−−−+= => Tìm x
Đáp án : (x ; y)= ( 9 ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m là số nguyên
Bài 50 : Giải phương trình nghiệm nguyên : ( ) ( ) 7322 xyxxyy +=−+
HƯỚNG DẪN : Đưa phương trình về dạng : ( ) 22 337370 xyxyy −++−=
Để phương trình có nghiệm thì ∆ phải là 1 số chính phương
Bài 51 : Giải phương trình nghiệm nguyên : ( ) 22 126328xxyyxy ++=+
HƯỚNG DẪN :
Website:
Điều kiện để phương trình có nghiệm là 0 ∆≥
Bài 55 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2251 xxyyy−+=+
HƯỚNG DẪN :
Đưa phương trình về dạng : 222510xyxyy−+−−=
Điều kiện để phương trình có nghiệm là 0 ∆≥
Bài 56 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2241xy−=
HƯỚNG DẪN :
Biến đổi phương trình thành : ( ) ( ) 221xyxy−+=
Bài 57 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2291xy−=
HƯỚNG DẪN :
Biến đổi phương trình thành : ( ) ( ) 91 xyxy−+=
Bài 58 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 3 27 xxy+=
HƯỚNG DẪN :
Biến đổi phương trình thành : ( ) 2 27xxy+=
Bài 59 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 3377 xyyx +=+
HƯỚNG DẪN
Biến đổi phương trình thành : ( ) ( ) ( ) ( ) 332277070 xyxyxyxxyyxy −−−=<=>−++−−= ( ) ( ) 2270xyxxyy <=>−++−=
TH1 : xy =
TH2 : ( ) 22212 7 773 321 xy xxyyxyxyxy xy ==>= ++==>−=−=><=> ==>=
Bài 60 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 22 310896 xxyy++=
HƯỚNG DẪN : Đưa phương trình về dạng : ( ) ( ) 23496xyxy ++=
93283 333xxyxyxy =−+++=−+−≤
Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x : ( ) ( ) ( ) 22 221414196
=> { } 2270;1;4xx≤=>∈
Cách 2 : Tính ∆
Bài 52 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 222 xxyyxy ++=+
HƯỚNG DẪN : Đưa phương trình về dạng : ( ) 2220xyxyy +−+−=
Điều kiện để phương trình có nghiệm là 0 ∆≥
Bài 53 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 22 xxyyxy ++=+
HƯỚNG DẪN :
Đưa phương trình về dạng : ( ) 2210xyxyy+−+−=
Điều kiện để phương trình có nghiệm là 0 ∆≥
Bài 54 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 22333 xxyyy −+=
HƯỚNG DẪN :
Đưa phương trình về dạng : 223330xyxyy−+−=
Chú ý : Vì ( ) ( ) ( ) 234223 xyxyxy +++=+ là 1 số chẵn nên có tính chất cùng chẵn
Bài 61 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 353xyxy+−=−
HƯỚNG DẪN : Đưa phương trình về dạng : ( ) ( ) ( ) 35151835318xyy xyy +−−=−=>+−+=− ( ) ( ) 5318xy <=>−+=−
Bài 62 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 1 xyxyz ++=
HƯỚNG DẪN :
Giả sử : xy ≤
TH1 : ( ) 212211,3 xyxxzxxzxyz ==>+==>−==>===
TH2 : 21221,2,2 xyxyzyxyzyxzxyz <=><+=>≤<=>≤=>=== hoặc
2,2,1xyz===
Bài 63 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 225519 xxyxy−−+=−
HƯỚNG DẪN : Đưa phương trình về dạng : ( ) ( ) ( ) ( ) 25192519 xxyxyxxy −−−=−<=>−−=−