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EsPCEx – Matemática 1
ÍNDICE Noções de Conjunto .......................................................................................................................................... 1 Conjuntos Numéricos ........................................................................................................................................ 5 Funções .............................................................................................................................................................. 6 Função do 1º Grau (função afim) .................................................................................................................... 11 Função do 2º Grau ........................................................................................................................................... 13 Função Modular ............................................................................................................................................... 16 Relembrando Potências e Raízes .................................................................................................................... 18 Função Exponencial ......................................................................................................................................... 19 Equação Exponencial ....................................................................................................................................... 19 Inequações Exponencias.................................................................................................................................. 20 Função Logarítimica ......................................................................................................................................... 20 Bibliografia ....................................................................................................................................................... 24
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Noções de Conjunto Conjunto, Elemento e Pertinência DEFINIÇÃO – Na realidade, há alguns conceitos matemáticos que não podemos definir. Entre eles estão os conceitos de conjunto, elemento e relação de pertinência, que, por serem os primeiros de uma cadeia de definições, são chamados de conceitos primitivos. Assim, na Matemática, supõe-se que todos entendem o que se quer dizer quando se empregam frases como: a) “A letra a é um elemento do conjunto das vogais” b) “A letra a pertence ao conjunto das vogais” c) “O número 3 não pertence ao conjunto dos números pares”
• REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMA Por fim, um conjunto pode ser representado por meio de uma figura plana fechada. O contorno da figura deve ser uma linha simples, isto é, que não se entrelaça. Qualquer ponto no interior da figura pode representar um elemento do conjunto, enquanto que pontos exteriores representam elementos que não pertencem ao conjunto. Tal representação é chamada de Diagrama de Venn. Exemplo: conjunto das letras da palavra estandarte.
Representação de Conjuntos Os conjuntos, em geral, são denominados por letras maiúsculas e podem ser expressos de três formas diferentes: • REPRESENTAÇÃO POR EXTENSÃO Um conjunto pode ser representado por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. Exemplo: conjunto das letras da palavra artesanato:
, , , , ,, , OBS: Quando um elemento se repete num conjunto, convém escrevê-lo uma só vez. A ordem dos elementos não altera os conjuntos. Assim, por exemplo, {a, b, c} e {a, c, b} representam o mesmo conjunto.
• REPRESENTAÇÃO POR PROPRIEDADE (OU COMPREENSÃO) Podemos representar o conjunto dos elementos que têm certa propriedade φ da seguinte maneira:
| possui a propriedade A propriedade φ é qualquer tipo de enunciado que se pode fazer a respeito dos elementos do conjunto, de modo que esses elementos fiquem completamente caracterizados. Exemplo: a) A = {x| x é fruta cujo nome começa com a letra m} b) B = {x| x é um utensílio doméstico}
OBS: dois ou mais conjuntos diferentes podem ser representados no mesmo espaço por diagramas completamente independentes. Porém deve-se desenhá-los de modo que possamos visualizar, através da figura, as possíveis conexões existentes. Tais diagramas são chamados conexos.
Relações de Pertinência São relações que não possuem definição. Servem para relacionar, exclusivamente, elementos e conjuntos. Para dizer que um elemento x pertence ou não a um determinado conjunto A escrevemos: x ∈ A (x pertence ao conjunto A) ou x ∉ A (x não pertence ao conjunto A) • CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO Embora a noção de conjunto esteja associada à ideia de pluralidade, existem conjuntos com um só elemento, chamados conjuntos unitários e também o conjunto sem qualquer elemento, chamado conjunto vazio.
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O conjunto vazio é denotado pelo símbolo ∅ ou simplesmente por { }. OBS: pode-se representar o número de elementos de um conjunto qualquer A da seguinte forma: n(A) = n ou #(A) = n. Assim se B é um conjunto unitário, então n(B) = 1 e n(∅) = 0
Relações de Inclusão DEFINIÇÃO – Servem para relacionar, exclusivamente, conjuntos com outros conjuntos. Dizemos que um conjunto A é subconjunto de B, ou que A está contido em B, se e somente se, todo elemento de A é também elemento de B. Exemplo: A = {1, 3, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• CONJUNTO DAS PARTES DEFINIÇÃO – Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, denotado por P(A), o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos da A. Exemplo: Se A = {1, 2, 3}, então: P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} IMPORTANTE: Observe que os elementos de P(A) são conjuntos. Logo, por exemplo: 1º) {1, 2} ∈ P(A), pois é um elemento de P(A) 2º) {{1, 2}} ⊂ P(A), pois é um subconjunto de P(A) 3º) O nº de subconjuntos de um conjunto com n n elementos é 2
Operações com Conjuntos • INTERSEÇÃO DEFINIÇÃO – Chama-se interseção de dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto formado pelos elementos comuns a estes conjuntos. A interseção de A e B é representada por A ∩ B. Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} A ∩ B = {2, 4, 6}
Se A está contido em B, também dizemos que B contém A e simbolicamente escrevemos que:
OBS: Dois conjuntos A e B são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos. Isto equivale a dizer que A ⊂ B e B ⊂ A. Isto é: A = B ⇔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A)
IMPORTANTE: Um conjunto A não está contido num conjunto B quando A possui pelo menos um elemento que não está em B. A partir disso, podemos enunciar dois casos particulares de inclusão: 1º) Todo conjunto é subconjunto de si próprio, isto é, (∀A) (A ⊂ A) 2º) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto: (∀A) (∅ ⊂ A)
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• UNIÃO DEFINIÇÃO – Chama-se união ou reunião de dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. A união de A e B é representada por A ∪ B. Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}
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DIFERENÇA DEFINIÇÃO – Chama-se diferença A – B de dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e que não pertencem a B. Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} A – B = {1, 3, 5}
• COMPLEMENTAR DEFINIÇÃO – Se B é um subconjunto de A, então o conjunto diferença A – B é chamado complementar de B em relação a A e é simbolizado por CAB. Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {2, 4, 6} A – B = CAB = {1, 3, 5}
OBS: CONJUTO UNIVERSO Na maioria dos problemas, trabalha-se com dois ou mais subconjuntos de um único conjunto. Este conjunto será chamado de conjunto universo. Exemplo: Foi feita uma pesquisa em uma escola para saber quantos estudantes contraíram sarampo e quantos contraíram catapora. Assim, o conjunto universo é constituído por todos os alunos. Os que contraíram sarampo e os que contraíram catapora são subconjuntos do conjunto universo.
Se A é um subconjunto qualquer de U, o complementar de A em relação a U é representado por , isto é: = U – A = CA Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Então:
n
∪
n
n
n
∩
Exercícios de Fixação 1. Dados os conjuntos A = {1, 2, 5}, B = {2, 4, 6, 8} e o conjunto universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, fazer um diagrama de Venn-Euler representando esses conjuntos. 2. Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3}, dizer se é verdadeiro (V) ou falso (F): a) 1 ∈ A b) 4 ∈ A c) 2 ∉ A d) 5 ∉ A e) 1 ⊂ A f) {1} ⊂ A g) {1, 3} ⊂ A h) ∅ ⊂ A i) A ⊄ A j) {1, 2, 3, 4} ⊂ A k) {2, 5, 6} ⊄ A
l) {0, 5} ⊂ A m) {4, 5} ⊄ A n) {0} ∈ A o) {0} ⊂ A p) {1} ∉ A q) {1} ⊄ A r) {0, 1, 2, 3} ⊂ A s) {1, 2} ⊂ A t) {1, 2} ∈ A 3. Sendo A, B e C conjuntos quaisquer não-vazios, represente em diagramas conexos a situação A ⊂ B e B ⊂ C. A seguir, classifique em verdadeira ou falsa a sentença:
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(A ⊂ B e B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C
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4. Faça uma relação de todos os subconjuntos do conjunto {a, b, c}. 5. Sendo A e B conjuntos quaisquer, identifique as sentenças verdadeiras: a) A ∩ A = A b) Ø ∩ A = Ø c) (A ⊂ B) ⇒ A ∩ B= B d) (A ⊂ B) ⇒ A ∩ B = A
13. Dentre 100 leitores dos jornais A e B, 40 lêem o jornal A e 70 lêem o jornal B. Qual o percentual desses leitores que lêem os dois jornais?
6. Dados os conjuntos A = {a, b, c} e B = {m, n, p, q}, determinar: a) A ∩ B b) A ∪ B c) A – B d) B – A e) CA B f) B ∪ A g) A ∩ Ø h) B ∪ Ø
14. Sendo P = {2, 4, 6}, I = {1, 3, 5, 7} e M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, verifique em quais das sentenças seguintes as relações de pertinência e de inclusão estão corretamente empregadas. a) P ∈ M b) P ⊂ M c) M ⊃ I d) 4 ∈ P e) 4 ⊂ P f) {4} ⊂ P g) P ⊂ I h) P ∉ I i) P ⊄ I j) {3, 5} ∉ P k) {3, 5} ⊂ I l) M ⊃ P
7. Num grupo de 29 pessoas, sabe-se que 10 são sócias de um clube A, 13 são sócias de um clube B e 6 são sócias de A e B. Pergunta-se: a) Quantas pessoas do grupo não são sócias de A e nem de B? b) Quantas são sócias somente de A? c) Quantas são sócias de A ou B?
15. Se A = {x| x é a letra da palavra ramo}, B = {x| x é a letra da palavra enfeite} e C = {x| x é a letra da palavra atemorizado} obtenha os conjuntos: a) A ∩ B b) B ∩ C c) A ∩ C d) (A ∩ B) ∩ C
8. Determinar P(A), n(A) e n[P(A)] nos seguintes casos: a) A = {2, 3} b) A = {5} c) A = {2, 4, 6} d) A = Ø e) A = {0, 1, 2, 3}
16. Se A é conjunto dos números pares compreendidos entre 3 e 11 , e B é conjunto dos números naturais compreendidos entre 7 e 13, obtenha os conjuntos: a) A ∪ B b) A ∩ B c) (A ∪ B) ∩ A d) (A ∪ B) ∩ B
9. Numa classe com 50 alunos sabe-se que: 26 falam francês, 31 falam inglês, 8 não falam francês nem inglês. Nessas condições pergunta-se: a) Quantos falam francês ou inglês? b) Quantos falam as duas línguas? 10. Dados os conjuntos A = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 8} e B = {x ∈ N | x < 40}, determinar o número de subconjuntos de A, de B e de B – A. 11. Dizer se é verdadeiro ou falso: a) Se A ⊂ B então A ∩ B = A b) Se A ⊂ B então A ∪ B = B c) Se A ⊂ B então A – B = A d) Se A ⊂ B então A – B = ∅ e) Se A ⊂ B então B – A = ∅ f) Se A ∩ B = ∅ então A – B = A g) A ∩ ∅ = A, ∀ A h) A ∪ ∅ = A, ∀ A i) Se A ∩ B = ∅ então n (A ∪ B) = n (A) + n (B) j) ∅ ⊂ A, ∀ A 12. Um conjunto A possui 1024 subconjuntos. Retirando-se 3 elementos A, forma-se um novo conjunto que terá m subconjuntos, o valor de m é ?
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17. Sendo A e B conjuntos quaisquer, identifique as sentenças verdadeiras: a) A ∪ A = A b) ∅ ∪ A = A c) (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B) d) (A ⊂ B) ⇒ A ∪ B = B 18. Determine os conjuntos K e L, sabendo-se que K – L = {1, 3}, L – K = {4, 6, 7} e L ∩ K = {2, 5}. 19. São dados os conjuntos E = {a, b, c, d, e} e F= {a, b, d}. Determine o conjunto X, sabendo que X ∪ F = E e X ∩ F = {b}. 20. Uma pesquisa realizada numa empresa de 500 funcionários, em que todos foram ouvidos, mostrou que 120 pessoas lêem jornal (1), 98 pessoas lêem o jornal (2) e 15 lêem ambos os jornais. a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal (1)? b) Quantas lêem apenas o jornal (2)? c) Quantas lêem apenas um dos jornais? d) Quantas não lêem nenhum dos dois jornais? 21. Dois conjuntos A e B possuem 18 elementos comuns. Se A possui 35 elementos e A ∪ B possui 54, calcule o número de elementos de B.
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Conjuntos Numéricos Classificação Numérica Observe os conjuntos numéricos e depois, a composição entre eles através do diagrama de VennEuler. Naturais: N = { 0; 1; 2; 3... } N* = { 1; 2; 3... }
c) 3 8 = ∈ Z d) π = 3,1415 ... ∈ I A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional. Exemplo:
1 + 3,14159265 ... ... = 4,14159265 1442443 1442443 1 424 3 Racional
Inteiros: Z = { ...-2; -1; 0; 1; 2...}; Z+ = { 0; 1; 2; 3... } Z- = { ...-3; -2; -1; 0 } Racionais: n Q = x | x = ; n ∈ Z e d ∈ Z ∗ d Irracionais: I = {x/x é dízima não periódica} I = conjunto dos irracionais, cujos elementos não podem ser colocados em forma de fração. Reais: R = {x/x é racional ou irracional} R = conjunto dos números reais, é tal que R = Q∪I
( π ) Irracional
Irracional
A diferença entre um número racional e um número irracional, em qualquer ordem, é um número irracional. Exemplo: 1 - 3,14159265 ... = -2,1415926 53 ... 144244 1 424 3 1442443 Racional
( π ) Irracional
Irracional
O produto de um número racional, nãonulo, por um número irracional é um número irracional. Exemplo:
3 1243 2 . = 142 424 3 1 424 3 1 Racional
Irracional
Irracional
O quociente de um número racional, nãonulo, por um número irracional é um número irracional. Exemplo:
64 12 : 1 42 3 = 1424 3 Racional
Irracional
12 6
=
12 6 = 6
2443 2 6 = 142 Irracional
Relação entre os conjuntos
Propriedades dos Números Reais Se o número n a , com n ∈N* e a ∈ N, não é inteiro, então é irracional. Exemplos: a)
2 =∈ I
b)
3 =∈ I
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Intervalos Reais Todo número real pode ser associado a um ponto numa reta, chamada agora de reta Real. Observe:
A representação gráfica será muito útil na resolução de equações e inequações, onde a união e a intersecção de intervalos são operações frequentes. Exemplo [-2; 4] ∩ ] -1; 5 [
y
0
x
R
x∈R; x> 0 y ∈ R; y < 0 Se x ∈ N, tal que 1 < x < 3 o único representante é x = 2. Mas se x∈R teremos infinitos valores de x. A representação na reta real é mais prática. Observe:
1 1 1
ou
[1; 3]
ou
]1; 3]
ou
]1; 3[
ou
[1; +∞ [
ou
]-∞ ; 3[
Exemplo: [-2; 3[ ∪ [1; 4]
3 3 3
1 3
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≡ [ 2; 3 [ ≡ [ 1; 4 ]
Funções Domínio e Imagem
Função Injetora
- Domínio ⇒ projeção do gráfico no eixo x - Imagem ⇒ projeção do gráfico no eixo y
Uma função é injetora quando todos os elementos do domínio possuem respectivamente imagens diferentes. Simbolicamente x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) Observe os diagramas e o gráfico:
domínio Domínio e imagem D(f) = [a: b] e Im(f) = [c, d]
Exercícios de Fixação Função injetora
01. Determine o domínio e o conjunto imagem da função f cujo gráfico é dado abaixo.
Função não injetora
02. Determine o domínio de cada uma das funções, representando-o no eixo real: 1 1 a) f(x) = + 2 + x −1 x x −4
x+3
b)
f(x) =
c)
f(x) =
d)
d) f(x) =
( x 2 − 5 x + 4) ( x 3 − 8)
2 4
x − 16
+
1
−
2
x −9
x2 + 1 +
1 x +1
1 2
+x
x +2 Função não injetora
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Função Sobrejetora
Função Bijetora
Uma função é sobrejetora quando o conjunto imagem é o próprio contradomínio (B) da função. Simbolicamente:
Uma função é bijetora quando for simultaneamente injetora e sobrejetora. Observe o diagrama:
Imf = CDf Observe o diagrama:
Função bijetora
Sobrejetora (Imf = B) Função sobrejetora
Exercícios de Fixação 01. O gráfico da função f : R → ]−∞, 2] é a parábola:
Classifique f como sobrejetora, injetora ou bijetora.
03. Tem-se a função f : R → R cujo gráfico é a seguinte reta:
Essa função é sobrejetora, injetora ou bijetora?
02. Analise o gráfico da função f : [-1, 5] → [-2, 4]:
Classifique-a como sobrejetora, injetora ou bijetora.
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Paridade das Funções
Exercício de Fixação
Função par Uma função é par quando elementos simétricos x e -x possuem a mesma imagem. Observe o gráfico:
Classifique quanto a paridade. a) f(x) =
1 + x + x2 3
1− x + x 2
2
b) f(x) = x + x - 2
Função par
Quanto ao crescimento das Funções
f(x) = f(-x)
Função ímpar
Função estritamente crescente
Uma função é ímpar quando elementos simétricos do domínio produzem imagens simétricas. Observe o gráfico a seguir:
Uma função é estritamente crescente se, e somente se, para valores crescentes de x(x1 > x2), teremos também valores crescentes de y(y1 > y2). Mais precisamente: ∀ x1 > x2 ∈ Df ⇒ f(x1) > f(x2), a função f é crescente. Observe o gráfico a seguir:
y
f(a) -a
a f(-a)
x
Função crescente
f(-x) = -f(x)
Exercício resolvido Classifique a função paridade. 1 x -1 f(x) = (a + a ) 2
quanto
a
sua
Resolução: De acordo com as definições de função par e impar, vamos determinar a imagem do simétrico de x, ou seja, f(-x). 1 -x 1 -x -(-x) a) f(-x) = (a + a ) = (a + a(x) ) = 2 2 144244 3
Função estritamente decrescente Uma função é estritamente decrescente se, e somente se para valores, crescentes de x(x2 < x1) teremos valores decrescentes de y(y2 > y1). Mais precisamente: a função ∀ x2 < x1 ∈ Df ⇒ f(x2) > f(x1) f é decrescente. Observe o gráfico:
própria função f
f(x) assim provamos que f(-x) = f(x), para qualquer x do domínio, logo a função é par. Função decrescente
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Composição de Funções
Exercício de Fixação 01. O gráfico de uma função f é:
A função composta
Exercício resolvido a) Em que intervalo(s) do domínio a função f é crescente? b) Em que intervalo(s) do domínio a função f é decrescente? c) Em que intervalo(s) do domínio a função f é constante?
x −1 , 2 teremos que g(f(x) ou gof é a função composta que leva todo elemento de A em C. Para obtermos a expressão da função composta iremos fazer o cálculo de g(f(x)). Observe: f ( x ) − 1 2x − 1 gof(x) = g(f(x)) = = 2 2 Tomando f(x) = 2x e = g(x) =
Função Inversa
Importante ⇒ (gof)-1 = f-1 o g-1
ATENÇÃO! → Uma função só é invertível se for Bijetora → Na prática, troca-se x por y e vice-versa.
Exemplo: Determine a função inversa de f: R → R tal que f(x) = 3x 2. Resolução: 1 f : R → R (troca de domínio e conjunto de imagem). y = 3x -2 → x = 3y – 2 ∴ 3y = x + 2 x+2 y= 3 (ocorre a troca do y pelo x e vice-versa). x+2 Logo: f−1 : R → R f−1(x) = 3
Exercícios de Fixação 01. Sejam as funções reais f e g, definidas por f(x) 2 = x – x – 2 e g(x) = 1 – 2x a) Calcule fog (-2) e (gof) (-2) b) Determine os valores do domínio de fog que produzem imagem 10. 02. Sejam as funções reais g(x) = 2x – 3 e 2 (fog) (x) = 2x – 4x + 1. Determine a lei da função f. 03. Se f : R → R é da forma f(x) = ax + b e verifica f(f(x)) = x + 1 para todo x real, calcule os valores de “a” e “b”.
Exercício de Fixação 01. Cada uma das funções abaixo é bijetora de domínio D e contradomínio CD. Determine a inversa de cada uma: a) y = 9 – 3x com D = R e CD = R; b) f(x) = 6x – 5 com D = R e CD = R; 6x − 1 c) y = com D = R – {3} e CD = R – {-6}; 3−x 4x − 1 5 com D = R - d) g(x) = 6x − 5 6
2 e CD = R - 3
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