Exercicis números complexos

EXERCICIS a)Simplifica:

b) Resol les següents operacions:

c) Quin ha de ser el valor de p perque el número complex 1/5 + (p-2)i sigui un número real?

Part imaginària: (p-2)i (p-2) = 0 p = 2 d)Resol, en el conjunt dels números complexos, les equacions següents: 1. x² + 49 = 0 Solució: x² = -49 x = √-49 x = +7i x = -7i 2. 16x² + 25 = 0 Solució: x² = -25/16 x = √-25/16 x = +5/4i x = -5/4i

3. -x² + x + 1 = 0 Solució: x² + 18 = 0 x = √-18 x = +√18 i x = -√18 i e) Donats els números complexos: z1 = 2-1 ; z2 = -3i i z3 = -4/3+3i Calcula: 1. z1 - 3z2 2- 1- 3(-3i) = 2-i+9i = 2+8i 2. 3 · z3 - z2 - z1 3(-4/3+3i) - (-3i) - (2-i) = -12/3+9i+3i-2+i = -4+9i+3i-2+i = -6+13i 3. z1 · z2 (2-i)-3i = -6i+3i² = -6i-3 f) Donats els números complexos: z1 = -3+4i; z2 = 5-2i i z3 = 3/2 Calcula: 1. z1 · z2 (-3 + 4i)(5-2i) = -15 + 6i + 20i – 8i2 = -7 + 21i 2. (z1 – z2) z3 (-3 + 4i – (5 – 2i)) 3/2 = (-3-5+(4+2)i) 3/2 = (-8 + 6i) 3/2 = -12 + 9i 3. (z1 + z2)-1 (z1 + z2) = -3+4i + 5-2i = -3+5+(4-2)i = 2+2i - conjugat: 2- 2i - (z1 + z2)-1 = 1/(2-2i) = 1(2+2i)/((2-2i)(2+2i)) = 2+2i/4-4i2 = 2+2i/8 =

¼+¼i g) Passa a forma binòmica. z1 = 2 90º Solució: sin90º = b/r sin90º = b/2 b = 2sin90º b = 2 cos90º = a/r cos90º = a/2 a = 2cos90º a = 0 z1 = 2 90º = 2i

z2 = 4√2 135º Solució: sin135º = b/r sin135º = b/4√2 b = 4√2sin135º = 4√2 · √2/2 = 8/2 = 4 cos135º = a/r cos135º = a/4√2 a = 4√2cos135º = 4√2 · (-√2/2) = -8/4 = -4 z2= a√2 135º = -4 + 4i h) Calcula:

1. z = i(1+i)² = i(1²+2i+i²) = i(1+2i-1) = i+2i²-i = -2 2. z = (√2+√3i)² - √6i) = √2²+2√6i+√3²i²-√6i = 2+2√6i+3(-1)-√6i = 2+√6i-3 = 1+√6i

SOLUCIONS a)

b)