Contoh Soal 2.24 Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan metode invers matriks 5x – 3y = 3 4x – 2y = 4 Jawab: Untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut dengan menggunakan metode invers matriks, terapkanlah langkah-langkah yang telah dibahas sebelumnya. Langkah 1: È5 3˘ È x ˘ È3˘ È 5 -3 ˘ È3˘ Èx ˘ Í ˙ Í ˙ = Í ˙ , misal A = Í ˙ , B = Í ˙ , dan X = Í ˙ Î4 2˚ Î y ˚ Î4˚ Î 4 -2 ˚ Î4˚ Î y˚ Langkah 2: È 5 -3 ˘ È 5 -3 ˘ A=Í ˙ , maka det A = Í ˙ = –10 – (–12) = 2 Î 4 -2 ˚ Î 4 -2 ˚ Langkah 3: 1 È -2 3 ˘ A–1 = Í ˙ 2 Î -4 5 ˚ Langkah 4: 1 È -2 3 ˘ È 3 ˘ 1 È6 ˘ X= Í ˙Í ˙ = Í ˙ 2 Î -4 5 ˚ Î 4 ˚ 2 Î8 ˚
Cobalah Perhatikan SPL berikut. a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 Jika D = a1b2 – a2b1 ≠ 0, gunakan matriks untuk menunjukkan bahwa penyelesaiannya adalah 1 x= c b -c b D
(
)
(
)
1 a c -a c D Tunjukkan pula SPL tidak punya penyelesaian jika a1c2 ≠ a2c1, dan punya banyak penyelesaian jika a1c2 = b1c2 dan b1c2 = b2c1 y=
Sumber: Ebtanas, 1998
È x ˘ È3˘ Í ˙=Í ˙ Î y ˚ Î4˚ x = 3 dan y = 4 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 4)}.
Contoh Soal 2.25 Imas dan Dewi pergi belanja ke pasar. Imas membeli 3 kg kentang dan 2 kg wortel, untuk itu Imas harus membayar Rp13.500,00. Adapun Dewi membeli 2 kg kentang dan 1 kg wortel. Dewi diharuskan membayar Rp8.500,00. Misalkan harga 1 kg kentang adalah a rupiah dan harga 1 kg wortel b rupiah. a. Buatlah model matematika dari masalah tersebut dalam bentuk sistem persamaan linear dua variabel dalam variabel a dan b. b. Tentukan penyelesaian dari model matematika pada soal a dengan menggunakan metode invers matriks. c. Berdasarkan jawaban pada soal b jika Rani membeli 4 kg kentang dan 5 kg wortel, berapakah besarnya uang yang harus dibayar oleh Rani? Jawab: a. Permasalahan tersebut dapat disusun dalam bentuk tabel berikut. Kentang
Wortel Harga yang Dibayar
Imas
3
2
13.500
Dewi
2
1
8.500
Misalkan harga 1 kg kentang = a rupiah Dan misalkan pula harga 1 kg wortel = b rupiah
Matriks
59