Precalculo una nueva vision by maria cortes

Guiomar Mora de Reyes Margarita M贸nica Rey Perdomo Bibiana Cristina Robles Rodr铆guez

Guiomar Mora de Reyes gmora@escuelaing.edu.co

Margarita Mónica Rey Perdomo mrey@escuelaing.edu.co

Bibiana Cristina Robles Rodríguez brobles@escuelaing.edu.co

CUARTA EDICIÓN PRELIMINAR

Bogotá, D.C., enero de 2003

Precálculo una nueva visión Cuarta Edición Preliminar © Guiomar Mora de Reyes, Margarita Mónica Rey Perdomo Bibiana Cristina Robles Rodríguez © Escuela Colombiana de Ingeniería Avenida 13 Nº 205-59 (Autopista Norte kilómetro 13, costado occidental) Fax 6762655 Bogotá www.escuelaing.edu.co ISBN 958-8060-26-5 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita de la Escuela Colombiana de Ingeniería

P PR RE ES SE EN NTTA AC CIIÓ ÓN N

Cuando hace algún tiempo, varios profesores de matemáticas de primer semestre tomamos la decisión de escribir una guía de precálculo, lo hicimos pensando en que tanto profesores como alumnos pudieran realizar un seguimiento ordenado de los temas, tal como se habían diseñado los cursos, sin necesidad de apegarse al libro adoptado como texto. La decisión no fue fácil. Como siempre, los arúspices de catástrofes nos decían que esa tarea era una pérdida de tiempo, ya que había numerosos libros, nacionales y extranjeros, que cubrían los mismos temas, aunque en diferente orden. Pero eso era precisamente lo que no nos dejaba tranquilos: que algunos profesores se dedicaran a seguir el texto escogido como guía, sin tener en cuenta el trabajo realizado por los coordinadores de la materia en el ordenamiento de los temas. Finalmente, este año se nos aprobó la idea de trabajar en la guía. El grupo se integró con la matemática de la Universidad de Los Andes Guiomar Mora de Reyes y las ingenieras de la Escuela Colombiana de Ingeniería Margarita Mónica Rey Perdomo y Bibiana Cristina Robles Rodríguez (Electricista la una e Industrial la otra), aparte del que escribe esta nota, Ingeniero Civil, pero también con el hobby de las matemáticas desde que era estudiante de la Universidad Nacional hace muchos años. Por cosas del destino, debí retirarme del grupo para atender otras responsabilidades dentro de la Escuela, pero estuve siempre cerca de ellas, apoyándolas en su trabajo intenso y continuo, para hoy, con gran satisfacción y algo de tristeza, apreciar el impresionante resultado de la dedicación y amor puestos en el desarrollo de este libro. Espero verlo impreso pronto en la misma forma como quedó el original, en la cual se destacan los puntos importantes que hay que recordar en cada tema y se hace hincapié sobre los errores que siempre cometen los estudiantes para que no reincidan en ellos. Sólo me queda felicitar a estas tres profesoras que, con ahínco y dedicación, acaban de terminar la primera edición de Precálculo, Una nueva visión, que será el texto para los estudiantes del primer semestre de la Escuela Colombiana de Ingeniería y guía para los profesores que dictan la materia. Ojalá les sirva de ejemplo a otros docentes, que todavía dudan si valdrá la pena escribir un libro de texto, a pesar de los muchos que ya existen en el mercado. RICARDO QUINTANA SIGHINOLFI Santafé de Bogotá, 25 de julio de 2000

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IIN NTTR RO OD DU UC CC CIIÓ ÓN N

INTRODUCCIÓN A LA PRIMERA VERSIÓN

PRECÁLCULO, UNA NUEVA VISIÓN es una propuesta para el estudio de Precálculo diseñado con el ánimo de cubrir los temas de la Aritmética y del Álgebra desde una perspectiva más moderna. Aunque la rigidez de los conceptos matemáticos podría absorber cualquier estructura innovadora, siempre es posible encontrar un camino que permita cumplir con el objetivo del aprendizaje a partir de los recursos que el entorno nos brinda a la luz de un nuevo milenio. Si bien los temas tratados en un libro de texto de matemáticas son los mismos que en su momento cientos de generaciones han tenido a su alcance, las condiciones de los últimos años exigen una presentación diferente, mucho más dinámica, con ayudas visuales contextualizadas que ofrezcan al estudiante un sentido de pertenencia a través del descubrimiento y la creación del conocimiento. Más que un fin, las matemáticas son un medio de aprendizaje de las diferentes disciplinas y profesiones. Este libro nace como inquietud de un grupo interdisciplinario en una escuela de ingeniería en donde más que transmisión de teoría debe imprimirse en el alumno una inmensa inconformidad que lleve a construir desde el análisis de una situación real. La vivencia como profesores y estudiantes; como padres e hijos, como profesionales en el campo laboral y académico nos ha formado con una capacidad de adaptación participativa aceptando los cambios impuestos por la sociedad, pero con la mayor objetividad, con la mente abierta y con una actitud de entrega que hace del día a día un nuevo reto de aprendizaje y de aporte permanente. No hubiéramos concebido un proyecto que ignorara el v

cambio de percepción en que nos hemos visto involucrados y por supuesto, la visión que del mundo tienen los jóvenes a quienes finalmente va dirigido el resultado de este gran esfuerzo. Cada tema en este libro ha sido desarrollado sacando el mayor provecho posible de los recursos que aunque limitados nos han permitido delinear una primera aproximación de lo que algún día esperamos cubra las necesidades de una importante población. Estas necesidades, más que una simple imposición académica, deben entenderse como una exigencia del mundo moderno que se alimenta de los grandes adelantos científicos y tecnológicos. Aunque la infraestructura a que se tiene acceso en una sociedad como la nuestra es bastante modesta, los medios de información nos saturan diariamente de contenidos que deben recibirse con una actitud analítica dando lugar a la sana discusión. La ambientación – gran innovación en este trabajo –, se ha concebido como ayuda visual para que el estudiante haga una interpretación correcta en cuanto a los conocimientos adquiridos que son necesarios para afrontar un nuevo tópico, la intención con que debe estudiarse y las recomendaciones pertinentes que deben tenerse en cuenta. Una llamada de atención como las utilizadas aquí no pretenden crear un “trauma psicológico” en el lector, sino hacer un alto en el camino para darle a ciertos temas la importancia formal que merece, así como recordar el cuidado con que deben manejarse los elementos teóricos en los que se basa el concepto matemático estudiado. Al estudiante le recomendamos leer entre líneas, sin perder detalle. La lectura ordenada traerá los mejores resultados, ya que el programa se ha estructurado de manera progresiva con un desarrollo en espiral. Cuando se plantee una pregunta, interróguese el por qué, el para qué, hable con su profesor y con sus compañeros, y siempre que estudie, utilice su cuaderno como si se tratara del diario de un viaje del cual es necesario tener los mejores recuerdos para contárselos “a los nietos”. Si usted como aprendiz cree que el libro merece una recomendación, una corrección, un nuevo aporte, no dude en hacérnoslo saber. Muchas ideas de este libro han nacido como resultado de una clase, de una conversación con otros profesores, con monitores, con amigos y con muchas otras personas a quienes la vida nos ha dado la dicha de conocer, y a quienes hoy hacemos público nuestro agradecimiento. El profesor que recomiende este libro a sus estudiantes como texto para su curso de Precálculo debe saber que no todos los temas que se encuentran en un libro tradicional son tratados en éste, ya que en la primera versión se cubren los requisitos mínimos que deben dominarse antes de enfrentarse a un ciclo de Cálculo. En una edición posterior, seguramente

se considerarán más ampliamente todos estos temas ausentes, por lo cual agradecemos los aportes que a bien el maestro nos haga llegar. El uso de la tecnología es un ingrediente definitivo para la realización de un curso moderno, y aunque el tiempo no nos lo ha permitido para esta primera entrega, sabemos que es posible alcanzar grandes logros con la ayuda de medios interactivos, puesto que ya hemos vivido la experiencia de dirigir el aprendizaje con calculadoras y con software especializado, lo que nos ha dado las herramientas para entregar un material que de ser utilizado con todas las facilidades requeridas, permitirían concluir este curso con un alcance verdaderamente actual. Esta primera etapa es un resultado importante, pero sabemos que falta casi todo por hacer. Queremos agradecer a nuestras familias por su paciencia, a los buenos amigos y compañeros por su permanente motivación y ayuda desinteresada. Por supuesto también agradecemos inmensamente a todas las personas que con sus palabras y actitudes hubieran querido vernos desistir de nuestra idea, porque con ello nos brindaron cada día un nuevo motivo para continuar.

II.

INTRODUCCIÓN A LA SEGUNDA VERSIÓN

La primera versión de PRECÁLCULO, UNA NUEVA VISIÓN marcó una etapa importante en el camino que venía recorriendo, desde hacía cinco semestres, la coordinación de Primer Semestre de la ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA, y en particular, la coordinación de Precálculo, a cargo de Guiomar Mora. Durante este tiempo, se recogió suficiente información para desarrollar un primer bosquejo de este enfoque que pretende ante todo dar solución a las necesidades encontradas en los estudiantes que comienzan su estudio profesional en esta institución. Esta segunda versión responde a las inquietudes generadas durante el segundo semestre de 2000, por parte de los estudiantes y de los profesores que han seguido el estudio de la asignatura con la ayuda de la primera presentación del texto. Si bien no incluye cambios sustanciales en el desarrollo de los temas, sí se han hecho las correcciones de errores tipográficos que se han encontrado y que son tan comunes en las primeras versiones. Igualmente, se han revisado todos los ejercicios propuestos, se han incluido nuevos y se han

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reordenado de acuerdo con el grado de dificultad. Hacia el final del texto se ofrece además, la respuesta para todos y cada uno de ellos. Para el semestre anterior, el libro se dividió en una primera parte que abarcaba los temas de Aritmética y de Álgebra y una segunda parte dedicada a Trigonometría. La segunda versión aparece en un solo tomo que inicia en el estudio de los Sistemas Numéricos, en el Capítulo I, y alcanza el Capítulo XXII, con las Funciones Inversas Trigonométricas. Una próxima versión muy seguramente tratará temas aún no estudiados o dará profundidad a algunos que por la limitación del tiempo, y por no ser prioridad para el pensum de la Escuela, no han sido considerados. Vale resaltar que el trabajo de las autoras no se ha limitado a la propuesta del estudio de los temas y de la estructuración del libro, sino que ellas también se han hecho cargo de la digitación, de la diagramación, y del diseño en general. Todo ello se logró con el uso de las herramientas ofrecidas por Windows 98 y Windows 2000, las cuales son compatibles con Winplot, programa ofrecido por R. Parris del Exeter College. Nuevamente, agradecemos la oportunidad de compartir esta propuesta cuya razón de ser radica en la discusión que alrededor de ella se genera, puesto que cada idea se convierte en el inicio de una nueva obra. A nuestras familias, a nuestros amigos, y aquellas personas de cuya compañía nos hemos privado para dedicarnos a sacar adelante esta producción, extendemos sentidas excusas y un inmenso gracias por su comprensión. Este logro también es suyo.

III.

INTRODUCCIÓN A LA TERCERA VERSIÓN

Algunos se preguntarán: Tercera Versión Preliminar?. Sí. Por mucho tiempo nosotras tampoco lo creímos. Nuestros amigos y familiares se negaban a creer que aún nos quedaran fuerzas para dejarlos a ellos y entregarnos de lleno a revisar, corregir y completar lo escrito en el período intermedio del año anterior y en el inicio de éste. Pero de cualquier forma, esto se convirtió en una necesidad cuando vimos que a lo largo del último año de trabajo, nuestros estudiantes iniciaron un proceso como nunca lo habíamos visto en otros grupos. Tal vez los impregnamos de todo lo que para nosotros ha sido producir un libro como el que hoy está en sus manos. viii

Ya en las horas de cierre de la edición, contábamos los meses que llevábamos en esta travesía que por mucho tiempo fue tan sólo una ilusión, pero que cada día vemos materializada, y por fortuna, para nosotras, en mejor forma. Detrás de estas páginas hay días enteros de trabajo dedicados exclusivamente a leer, a conversar, a discutir, a contemplar estudiantes en sus procesos de aprendizaje y aprendiendo con ellos nuevas formas de visualizar temas que desde siempre nos enseñaron a ver como recetas necesarias para lograr un plato no precisamente exquisito, pero sí suficiente para satisfacer el gusto de los profesores y de los padres. Entregada la Segunda Versión Preliminar, solicitamos atentamente a todos aquellos profesores que utilizaron el libro como texto en sus clases, que nos dieran a conocer las observaciones e inquietudes que a juicio de ellos eran útiles para el mejoramiento del libro. Por nuestra parte, con nuestros estudiantes, el trabajo diario buscando errores, encontrando nuevas formas de estudio, nuevas formas de exponer los temas fue definitivo para presentar hoy este resultado. Vale decir que en este año estuvimos especialmente atentas a todo aquello que en clase exponíamos cuando la inspiración nos visitaba, pero que antes no consignábamos con el mismo cuidado ni en el momento oportuno, permitiendo que grandes aportes se perdieran o que el esfuerzo para reconstruirlos fuera mayor. Debemos reconocer de manera muy especial todas aquellas observaciones, llamadas de atención e ideas que por parte del Doctor Álvaro Enrique Pachón nos esperaban diariamente cuando se escapaba de su Decanatura y nos visitaba en nuestra oficina. Gracias a él, descubrimos errores que pudimos corregir para esta versión y maduramos muchas de las ideas que necesitaban de un ambiente propicio o de un cómplice que nos hiciera saber que nuestro trabajo no era producto de un sueño o de una locura. Su apoyo permanente se convirtió en motivación para llegar hasta aquí, pues en no pocas ocasiones hubiéramos querido abandonar todo para recuperar nuestras familias y nuestros antiguos pasatiempos. Aún falta mucho por hacer, pero lo que nos propusimos con los capítulos iniciales, lo logramos. Claro, todo es susceptible de mejorar y desde ya estamos trabajando para que la Cuarta Versión así lo demuestre. Luego de un año de trabajo, que comprendió mucho más que la producción de esta edición, sentimos que hemos cumplido con el compromiso que siempre nos ha unido, que nos ha marcado y que nos ha enseñado que hay que pensar en futuro, que es un reto que se ix

construye día a día y que ese es nuestro verdadero deber: descubrir lo que la vida quiere de nosotras y hacer todo por hacerlo lo mejor posible, aunque mañana a la vida se le ocurra otra cosa. Quizá parezca falta de modestia, pero siempre hemos abrigado la esperanza de ver a muchos jóvenes que viven su aprendizaje con la misma alegría que les puede causar una serie de televisión o una carrera de Fórmula 1 con Juan Pablo Montoya arrancando en la Pole Position. Bueno, quizá seamos simples ilusas… pero ya hemos visto los primeros y aunque no sean muchos, ya constituyen razón suficiente para continuar. A la Escuela Colombiana de Ingeniería, en particular a su Decanatura de Ciencias Básicas, y a la Coordinación de Primer Semestre, y a todas aquellas personas que con su paciencia, compañía y apoyo nos han acompañado en este año, a aquellas personas que nos abrían la puerta para salir a altas horas de noche de la sede de la ECI, a todas aquellas personas que nos esperaban hasta tarde en casa, sólo nos resta decirles: MUCHAS GRACIAS.

Guiomar Mora de Reyes Margarita Mónica Rey Perdomo Bibiana Cristina Robles Rodríguez

C CO ON NV VE EN NC CIIO ON NE ES S Durante el estudio del Precálculo con este texto, el lector se encontrará con una serie de figuras y dibujos, que para que logren su objetivo, es necesario que entienda:

Antes de iniciar el estudio de un tema se requiere conocer el nivel de conocimientos, habilidades y destrezas de los estudiantes, para que tanto profesores como estudiantes, seamos conscientes de los puntos en los que se necesita un mayor énfasis.

j K

RECUERDE QUE… Antes de iniciar la sección, es importante revisar “la agenda” y recordar lo visto anteriormente, bien sea en capítulos anteriores o en el Colegio.

ALTO!!! No debe seguir la lectura sin antes asimilar una idea que si bien ya fue expuesta, es necesario reforzar. Es frecuente encontrar en este tipo de avisos, señales de aceptación o de rechazo: Lo que se cataloga como incorrecto se resalta con una “equis”: El procedimiento o la interpretación correcta se confirma con un:

)

Aparece cuando se hace una pregunta cuya respuesta no es inmediata. Generalmente luego de trabajar ejemplos con algunas características particulares, se plantea un ejercicio que aparenta ser de mayor nivel y merece un tiempo para solucionarlo. Después se comprueba que no es tan complicado como parecía.

Siempre está apuntando a un detalle en especial. Los anteojos reclaman especial atención hacia el detalle al que se está apuntando.

Ejemplo 1 Cuando se plantea un ejercicio como ejemplo, debe culminar con una solución. Para expresar que hemos llegado a “la meta”, se dibuja una bandera, así:

Con este símbolo hacemos referencia al ahorro de espacio que pretendemos hacer en el libro, como contribución a la conservación del medio ambiente. Esto, debido a que en ocasiones es preferible evitar el uso de papel escribiendo procedimientos que el estudiante puede desarrollar permitiendo con ellos que ejercite sus habilidades operativas.

Ejercicios 1.1 En una sección de ejercicios se encuentran varias convenciones:

Significa que los ejercicios que se encuentran a continuación, consisten en expresiones verbales. Más que un simple trabajo operativo, exige redactar ideas ya sea para explicar una situación o para expresar con palabras lo que se presenta en forma gráfica o algebraica.

2 ¹ 8 V

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La sección de ejercicios que inicia con este icono, requiere una mayor habilidad operativa. Los ejercicios de esta sección son de mayor nivel que los anteriores, pero las probabilidades de éxito están al alcance de la mayoría. Estos ejercicios requieren una mayor asimilación de los conocimientos y la habilidad adquirida por los ejercicios iniciales. La sección de ejercicios que inicia con este icono, generalmente se ubica en la parte final de una sección. Un ejercicio que esté antecedido por este símbolo, se deberá resolver con la ayuda de la calculadora.

ÍNDICE GENERAL CAPÍTULO I

SISTEMAS NUMÉRICOS 1.1 Introducción 1.2 Actividad de Diagnóstico Números Naturales 1.3 Conjunto de los Números Naturales 1.4 Sistema Numérico de los Naturales 1.5 Subconjuntos Especiales en los Naturales 1.6 Orden de las Operaciones 1.7 Conjunto de los Números Enteros 1.8 Sistema Numérico de los Enteros 1.9 Conjunto de los Números Racionales 1.10 Sistema Numérico de los Racionales. 1.11 Números Decimales 1.12 Razones y Proporciones 1.13 Regla de Tres 1.14 Porcentaje 1.15 Conjunto de los Números Irracionales 1.16 Conjunto de los Números Reales 1.17 Sistema Numérico de los Números Reales 1.18 Recta Numérica 1.19 Relaciones de Orden en los Reales 1.20 Notación de Intervalos 1.21 Otros Conjuntos Numéricos Ejercicios de Recapitulación

CAPÍTULO II

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

2.1 Actividad de Diagnóstico 2.2 Conceptos Básicos 2.3 Valor Numérico de una Expresión Algebraica 2.4 Simplificación de Expresiones Algebraicas 2.5 Productos Notables 2.6 Relaciones entre Expresiones Algebraicas. 2.7 Lenguaje Algebraico Ejercicios de Recapitulación

CAPÍTULO III 3.1 3.2 3.3

2 3 3 5 6 8 10 12 20 24 26 32 32 36 38 40 40 42 43 45 47 47

54 55 56 57 60 64 66 69

ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO Actividad Diagnóstica Ecuaciones de Primer Grado en una Variable Cómo Resolver una Ecuación.

74 74 75

3.4 3.5 3.6

Aplicaciones de Ecuaciones de Primer Grado Ecuaciones Lineales en Dos Variables Solución Algebraica de Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables por Sustitución 3.7 Solución Algebraica de Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables por Igualación 3.8 Solución Algebraica de Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables por Reducción 3.9 Inecuaciones de Primer Grado en Una Variable Ejercicios de Recapitulación

CAPÍTULO IV

Introducción Sistema de Coordenadas Cartesianas Simetrías en el Plano Cartesiano Representación en el Plano Cartesiano de Puntos a partir de las Características de sus Coordenadas 4.5. Representación Gráfica de Expresiones Algebraicas en el Plano Cartesiano Ejercicios de Recapitulación

Introducción Ecuaciones de las Forma y = mx Ecuaciones de las Forma y = mx + b Rectas Verticales Función Lineal Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables: Solución por el Método Gráfico 5.7 Aplicaciones 5.8 Solución de Inecuaciones Lineales por el Método Gráfico Ejercicios de Recapitulación

6.1 6.2

87 90 100

106 108 109 112 113 115

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

CAPÍTULO VI

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA

4.1 4.2 4.3 4.4.

CAPÍTULO V

80 85 86

120 121 130 136 137 144 145 148 150

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

Actividad Diagnóstica Valor Absoluto a partir de la Interpretación Geométrica 6.3 Ecuaciones Lineales con Valor Absoluto 6.4 Inecuaciones Lineales con Valor Absoluto 6.5 Función Valor Absoluto Ejercicios de Recapitulación

156 156 163 171 176 182

CAPÍTULO VII

FACTORIZACIÓN

7.1 Introducción 7.2 Factorización 7.3 Estrategias para Factorizar Ejercicios de Recapitulación

CAPÍTULO VIII

RELACIÓN DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

8.1 8.2 8.3

Introducción. Definición de Ecuación Cuadrática Solución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorización 8.4 Solución de Ecuaciones Cuadráticas Completando el Cuadrado 8.5 Solución de Ecuaciones Cuadráticas por las Fórmula Cuadrática 8.6 Tipos de Solución de una Ecuación Cuadrática 8.7 ¿Cómo Expresar una Ecuación Cuadrática como Producto de Factores Lineales? 8.8 Proceso de Reversibilidad Ejercicios de Recapitulación

CAPÍTULO IX

203 206 208 209 209 212

216 216 219 220

FUNCIÓN CUADRÁTICA

10.1 Introducción 10.2 Ecuaciones de las Forma y= x2 10.3 Ecuaciones de las Forma y= ax2 10.4 Ecuaciones de las Forma y = x2 + k 10.5 Ecuaciones de las Forma y = (x – h) 2 10.6 Ecuaciones de las Forma y = a(x – h) 2+ k Ejercicios de Recapitulación

CAPÍTULO XI

198 198 199

INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARIABLE

9.1 Introducción 9.2 Solución Algebraica 9.3 Inecuaciones con Valor Absoluto Ejercicios de Recapitulación

CAPÍTULO X

188 189 189 194

222 222 223 224 226 227 228

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS VARIABLES

11.1 Introducción 11.2 Solución Algebraica 11.3 Interpretación Gráfica Ejercicios de Recapitulación

236 236 238 240

CAPÍTULO XII

FRACCIONES ALGEBRAICAS

12.1 Introducción 12.2 Simplificación de Fracciones Algebraicas 12.3 Operaciones entre Fracciones Algebraicas 12.4 División de Polinomios Ejercicios de Recapitulación

CAPÍTULO XIII

RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE

13.1 Introducción 13.2 Solución Algebraica de Ecuaciones 13.3 Solución Algebraica de Inecuaciones 13.4 Tablas de Signos 13.5 Inecuaciones con Fracciones y Valor Absoluto 13.6 Solución de Sistemas de Ecuaciones Ejercicios de Recapitulación

CAPÍTULO XIV

16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7

266 267 269 271

EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS

15.1 Introducción 15.2 Ecuaciones Exponenciales 15.3 Logaritmos 15.4 Ecuaciones con Logaritmos Ejercicios de Recapitulación

CAPÍTULO XVI

252 252 255 257 259 260 262

EXPONENTES RACIONALES

14.1 Introducción 14.2 Exponentes Racionales 14.3 Ecuaciones Irracionales en una Variable Ejercicios de Recapitulación

CAPÍTULO XV

242 242 244 246 248

274 274 276 277 279

FUNCIÓN COORDENADA

Introducción Distancia entre dos Puntos en Plano Cartesiano Circunferencia Unitaria Longitudes de Arco Función Coordenada Función Coordenada par Arcos Especiales Función Coordenada para Múltiplos de Arcos Especiales 16.8 Arcos de Referencia Ejercicios de Recapitulación

282 283 283 284 285 288 291 295 296

CAPÍTULO XVII

FUNCIÓN CIRCULAR

17.1 Introducción 17.2 Función y = sen ( s ) 17.3 Función y = Asen ( x ) 17.4 Función y = sen ( x ) + D 17.5 Función y = sen ( x + C ) 17.6 Función y = sen ( Bx ) 17.7 Función y = Asen ( Bx + C ) + D 17.8 Función y = cos ( x ) 17.9 Función y = tan ( x ) 17.10 Función y = cot ( x ) 17.11 Función y = csc ( x ) 17.12 Función y = sec ( x ) Ejercicios de Recapitulación

CAPÍTULO XVIII

EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES

18.1 18.2 18.3 18.4

Introducción Relaciones de Igualdad en una Variable Relaciones de Igualdad en dos Variables Funciones Circulares para Arcos Dobles y Arcos Medios 18.5 Ecuaciones Trigonométricas. Ejercicios de Recapitulación

CAPÍTULO XIX

338 338 341 344 345 347

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

19.1 19.2 19.3

Introducción Definición de las razones Trigonométricas Razones Trigonométricas en el Contexto de un Sistema de Coordenadas 19.4 Aplicaciones en Triángulos Rectángulos 19.5 Ley de Senos y Ley de Cosenos 19.6 Problemas de Navegación Ejercicios de Recapitulación

CAPÍTULO XX

300 303 307 311 314 317 319 324 329 331 331 333 334

350 351 354 357 360 365 367

FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS

20.1 Introducción 20.2 Funciones Inversas: Definición Ejercicios de Recapitulación

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS

374 374 377 379

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“Uno debe aprender haciendo las cosas: Puesto que aunque uno cree que las sabe hacer, no está seguro hasta que trata” Sófocles

CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17

INTRODUCCIÓN ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO NÚMEROS NATURALES CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES SISTEMA NUMÉRICO DE LOS NATURALES SUBCONJUNTOS ESPECIALES EN LOS NATURALES ORDEN DE LAS OPERACIONES CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS SISTEMA NUMÉRICO DE LOS ENTEROS CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES SISTEMA NUMÉRICO DE LOS RACIONALES NÚMEROS DECIMALES RAZONES Y PROPORCIONES REGLA DE TRES PORCENTAJE CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES SISTEMA NUMÉRICO DE LOS NÚMEROS REALES

1.18 RECTA NUMÉRICA 1.19 RELACIONES DE ORDEN EN LOS REALES 1.20 NOTACIÓN DE INTERVALOS 1.21 OTROS CONJUNTOS NUMÉRICOS EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS 1.1

INTRODUCCIÓN

Para iniciar el curso de precálculo es necesario aclarar la diferencia entre conjuntos numéricos, sistemas numéricos y sistemas de numeración.1 Los conjuntos numéricos son colecciones, agrupaciones o grupos de números con características comunes que los definen como una clase. Entre los más comunes, están los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Los sistemas numéricos son conjuntos de números con unas operaciones y unas relaciones definidas sobre ellos. El sistema más conocido es el formado por el conjunto de los números naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones de orden entre sus elementos. Por su parte, los sistemas de numeración son listas de instrucciones o algoritmos para simbolizar los elementos de un conjunto numérico. Es la forma como se simboliza o como se escribe el conjunto numérico dependiendo de la cultura. Ejemplo de estos sistemas es el conjunto de números naturales, que toma diferente forma de acuerdo con la cultura: En la cultura Árabe, se simboliza como 1, 2, 3, 4… que conforma el llamado sistema de numeración decimal. En la cultura romana, se simboliza como I, II, III, IV… y conforma el sistema de numeración romana. Un buen desempeño en precálculo depende en gran parte del correcto uso de los sistemas numéricos, del vocabulario asociado a ellos, de sus operaciones y aplicaciones. Por esta razón, se iniciará este curso con una revisión de los sistemas numéricos.

GALLEGO GIRÓN, Gustavo. “Conjuntos numéricos y dificultades de aprendizaje en las matemáticas”.

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

1.2

ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO NÚMEROS NATURALES

Completar las siguientes proposiciones:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, son llamados Los números 3,6,9,12,… son Los números 1,2,3,4,6,12 son Los números 2,3,5,7,11,… son llamados Los números 2,4,6,8,10,… son números

números

Nuestro sistema de numeración es el Los números 1,3,5,7,9,11,… son números En 532, el dígito 5 se encuentra en la posición de las 169 es el 27 es el 64 es el El más pequeño de los números naturales es el

_________________ _________________ de 3. _________________ de 12. _________________ _________________ _________________ _________________ _________________ _________________ de 13. _________________ de 9 _________________ de 4 _________________

Encontrar los números naturales que cumplen las siguientes condiciones: 13.

Son divisores de 96.

14.

15. 17. 19. 21.

Los divisores comunes de 24, 36 y 18. La suma de los divisores de 36. El número de divisores de 68. Son números primos entre 100 y 120.

16. 18. 20.

Son múltiplos de 7, menores que 100 y mayores que 65. Cuatro múltiplos comunes de 9,18 y 36. Son factores primos del número 12.168. La diferencia entre $5 millones y $350.482.

23.

Máximo común divisor de 18, 48 y 72.

{(5 × 3 ) + 2 − 3} − (18 ÷ 6 ) × 3 [ 8 ÷ ( 2 + 6 ) ]× 3 − 1

Encontrar: 22.

Mínimo común múltiplo de 38, 120 y 45. Efectuar las siguientes operaciones:

24.

4 + 3×6 − 4 ÷2

25.

26.

5 + 2(3 + 4 × 6 )

27.

1.3

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

La historia de la humanidad muestra que las diferentes culturas han buscado relacionar su entorno a partir de símbolos que con el tiempo han dado lugar al conjunto de los números naturales. En el sistema decimal se simboliza: N = {1, 2, 3 , 4 , 5 ,...}

Se puede observar cómo en este conjunto no existe el cero (0), pues este elemento no es tan viejo como se cree, e incluso no es aceptado por algunas escuelas de matemáticos como

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

elemento de los números naturales y desde el punto de vista físico no existe, pues sería aceptar la existencia del vacío absoluto. Se dice que nuestro sistema es “decimal”, palabra que se deriva del latín décima, que significa diez o diezmo. En este sistema, el cero (0) sí existe no como elemento de los números naturales, sino como símbolo, por lo cual se recurre a él para representar por ejemplo el número diez (10). Los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, son llamados dígitos. La combinación de éstos permite representar cualquier elemento de los diferentes conjuntos numéricos en el sistema decimal. El sistema de numeración decimal es posicional, lo que significa que de acuerdo con la posición que ocupe el dígito tiene un significado diferente. En estricto orden, de derecha a izquierda, las posiciones se denominan: Unidades, Decenas, Centenas, Unidades de Mil… Además, 10 unidades conforman sucesivamente.

decena,

decenas forman una centena, y así

Ejemplo 1 El dígito 3 en el número 13, indica que se tienen 3 unidades y 1 decena. El número 236 indica que se tienen 6 unidades, 3 decenas y 2 centenas.

2.379 = 2 × 1000 + 3 × 100 + 7 × 10 + 9

ó 3

2.379 = 2 × 3 × 7 × 9

2.379 = 2 × 10 + 3 × 10 + 7 × 10 + 9

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características: A excepción del 1, todos tienen antecesor y sucesor. No existe un último número natural. Esta última característica implica que para todo número natural, siempre será posible encontrar un número mayor. Jamás se encontrará “el mayor de todos los números naturales”. Un conjunto del cual no se conoce el número exacto de elementos por no conocer dónde comienza o cuál es su fin, se dice que es “infinito”. Para simbolizar esta característica se utiliza el símbolo ∞ .

El conjunto de los números naturales tiene INFINITOS (∞ ) elementos.

INFINITO (∞ ) es el último elemento del conjunto de los números naturales.

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1.4

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

SISTEMA NUMÉRICO DE LOS NATURALES

En el conjunto de los números naturales están definidas las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación. SUMA: Se simboliza como a + b . Los términos a y b que intervienen en esta operación, son llamados sumandos, y el resultado que se obtiene, a + b , es llamado total, suma o resultado. RESTA: Se simboliza como a − b . El término a es llamado minuendo, y el término b, sustraendo. En los números naturales no siempre es posible realizar esta operación, ya que se requiere que el minuendo sea mayor que el sustraendo. El resultado de 5 − 9 no existe en los naturales, porque no hay un número natural que c + 9 sea igual a 5.

tal

MULTIPLICACIÓN: Se simboliza como a × b , que es equivalente a decir: b b( +* b +*... b '+*b*+* * *+* ) a veces

Como se puede observar la multiplicación es una suma abreviada en donde cumplen el papel de factores, y a × b es el producto.

DIVISIÓN Se simboliza como a ÷ b , donde a es el dividendo, b es el divisor y a ÷ b es el cociente. La división de dos números naturales “a entre b” equivale a encontrar un número c ∈ N tal que c × b = a . La división no siempre da como resultado un número natural. Así, 9 ÷ 4 no existe en los naturales, porque no existe un número natural c tal que 4 × c = 9 . POTENCIACION Se simboliza como a b , y es equivalente a: a ×* a( ×a a '×*a* *×*...*×) b veces

y se lee “a elevado a la b”, en donde

es la base y b es el exponente.

RADICACIÓN: Se simboliza n a . Donde n es el índice y a es la cantidad subradical. Esta es una de las operaciones inversas de la potenciación, ya que ésta permite determinar la base, conociendo el resultado y el exponente. Es decir, n a = b es equivalente a b n = a . La radicación es otra operación entre naturales cuyo resultado no siempre es un número natural. Por ejemplo, 5 no está definida en los naturales porque no existe un número natural a tal que a 2 = 5 . LOGARITMACIÓN: Se simboliza como log a b , donde a es la base y b es el argumento. Esta es otra operación inversa de la potenciación. En este caso, se determina el exponente al que está elevado un número si ya se conoce el resultado. Es decir, c log a b = c es equivalente a a = b .

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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

1.5

SUBCONJUNTOS ESPECIALES EN LOS NATURALES

Dentro del conjunto de los números naturales es posible encontrar elementos que por sus características particulares conforman subconjuntos especiales, como son: NÚMEROS PARES: Un número natural a es par si se cumple que a ÷ 2 = c con

c ∈N

P = { 2, 4 ,6 ,8 ,10 ,...} .

NÚMEROS IMPARES: Un número natural es impar si tiene un antecesor par y un sucesor par. I = {1, 3 , 5 ,7 ,9...}

MÚLTIPLO: Dado a × b = c , se dice que c es múltiplo de a y múltiplo de b. DIVISOR: Dados a, b, c ∈ N , si a × b = c , se dice que a es divisor de c y b es divisor de c. Puede decirse también que c es divisible por a y que c es divisible por b. Cuando se presenta un caso como 9 ÷ 4 , señalado anteriormente, en el que se decía que su resultado no correspondía a un número natural, puede definirse además del dividendo 9 y del divisor 4, un residuo igual a 1. La forma de definir este último término puede verse en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2 Determinar el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo de la siguiente división: 35 ÷ 4 Es claro que el resultado o cociente de la división es un número que no pertenece al conjunto de números naturales, porque no existe un número a ∈ N tal que a × 4 = 35 . Sin embargo, si se suma 4 + 4 + ... + 4 hasta encontrar el número que se acerque más 35, se llegaría a 32 luego de sumar 8 veces 4. Lo que falta para llegar a 35 es 3. Se dice entonces que 3 es el residuo de esta división. Esta operación se simboliza así. DIVIDENDO RESIDUO

35 3

4 8

DIVISOR COCIENTE

NÚMERO PRIMO: Se dice que un número natural a es primo si y sólo si tiene únicamente dos divisores distintos: el mismo número y el uno. Descomponer un número en sus factores primos es expresarlo en el mayor número de factores primos entre sí. Para descomponer un número en factores primos, es aconsejable seguir un orden: divisiones sucesivas por números primos de menor a mayor, empezando por el 2.

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Ejemplo 3 Descomponer 224 y 504 en factores primos. 224 112 56 28 14 7 1

504 252 126 63 21 7 1

2 2 2 2 2 7 5

224 = 2 × 7

2 2 2 3 3 7 2

504 = 2 × 3 × 7

El procedimiento utilizado para la descomposición en factores primos de un número natural, da lugar a dos conceptos cuya aplicación es de gran utilidad en los procesos de amplificación de expresiones aritméticas, y más adelante, de expresiones algebraicas.: MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO de dos o más números naturales es el múltiplo más pequeño y común a los números dados. Se simboliza como m.c.m. Para encontrar este número, se debe: Descomponer cada número en sus factores primos. Efectuar el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Ejemplo 4 Encontrar el m.c.m. de: 40, 15, 12, 4: 40 20 10 5 1

2 2 2 5

15 3 5 5 1

12 2 6 2 3 3 1

15 = 3 × 5

12 = 2 × 3

40 = 2 × 5

4 2 2 2 1

m.c.m. es igual a

4=2

2 × 3 × 5 = 120

MÁXIMO COMÚN DIVISOR de dos o más números naturales es el mayor divisor común a los números dados. Se simboliza como M.C.D. Para encontrar este número, se debe: Descomponer cada número en sus factores primos. Efectuar el producto de los factores comunes con su menor exponente.

Ejemplo 5 Encontrar el M.C.D. de: 24, 30, 18: 24 12 6 3 1

2 2 2 3

24 = 2 × 3

30 2 15 3 5 5 1

30 = 2 × 3 × 5

18 2 9 3 3 3 1 18 = 2 × 3

M.C.D. es igual a 2 × 3 = 6

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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

1.6

ORDEN DE LAS OPERACIONES

Con cierta frecuencia se deben efectuar operaciones entre números con signos de agrupación tales como: paréntesis (…), […] , llaves o corchetes {…} ó barras de fracción –, los cuales pueden presentarse independientes o anidados, es decir, cuando se presentan un par de paréntesis dentro de otros. En este caso, se establece un orden y se deben trabajar desde el paréntesis interno hasta el externo, como se ve en los ejemplos siguientes: Si la expresión no tiene signos de agrupación la prioridad de las operaciones es la siguiente, empezando siempre de izquierda a derecha: Exponentes y raíces Multiplicaciones y divisiones. Sumas y restas

Ejemplo 6 Efectuar la siguiente operación: 2 + ( 8 − 5 ) 2 − 3 [ 4 − 2 ] El ejercicio presenta dos tipos de paréntesis pero no están anidados. La forma de resolver la expresión es encontrar el valor de las operaciones involucrada en cada paréntesis y luego realizar las operaciones de izquierda a derecha de acuerdo con la prioridad establecida, así: 2 + ( 8 − 5 ) 2 − 3[ 4 − 2 ] = ' *(* ) ' *(* )

( 3 ) 2 − 3[

]

Ahora, dado que no hay exponentes ni raíces, se deben resolver los productos: 3 ) 2 − 3[ 2 ] = 2 + ('() '*(*)

2 + (6) − '* *(** )

8 − 6 '* *(** )

Ejemplo 7 Efectuar la siguiente operación:

2 + 3( 4 − ( 7 − 5 ) + 3 )

El ejercicio aquí propuesto sí presenta paréntesis anidados, por lo cual se procede resolviendo primero los más internos: ⎛

⎞

= 2 + 3⎜ 4 − ( 7 − 5 ) + 3 ⎟ ⎜ ⎝

' *(* )

⎟ ⎠

= 2 + 3( 4 − ( 2 ) + 3 ) = 2 + 3( 5 = 2 + 15

)

= 17 8

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 8 Efectuar la siguiente operación: 18 ÷ 3 ÷ 2 Como la expresión dada no presenta signos de agrupación, se debe resolver en estricto orden de izquierda a derecha, así: 18 ÷ 3 = 6

Y este resultado, debe dividirse entre 2: 6÷2 =3

Ejemplo 9 Efectuar la siguiente operación:

15 − 3 × 4 − 2 + 2

Si se realiza la operación en orden de lectura occidental, el resultado es: 3

15 − 3 × 4 − 2 + 2 = 54

Si se desarrolla la operación en orden de lectura oriental, el resultado es: 3

15 − 3 × 4 − 2 + 2 = 3

Si se efectúa la operación teniendo en cuenta las prioridades establecidas, el nuevo resultado es: 3

15 − 3 × 4 − 2 + 2 = 9

Como se observa, se presentan diferencias significativas. De ahí la necesidad de establecer un orden de prioridades, ya que la introducción de los paréntesis no soluciona del todo el problema.

Si se desea hacer uso de una calculadora, es necesario ante todo, establecer el orden en que trabaja: Orden de lectura occidental Orden de prioridades algebraica”.

llamado

“orden

algebraico”

“lógica

Ejercicios 1.1 Simplificar: 1.

250 + [(7 − 2 ) + (4 − 1) + (3 − 2 )]

[11 + (9 − 8 )] ÷ (7 − 5 ) + 1

250 [(6 + 4 ) − (3 − 1) + 2 ] + {16 − [(8 + 3 ) − (12 − 10 )]}

Hallar el M.C.D. de: 4.

18,12, 6

22, 33, 44

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30, 42, 54

54, 76,114, 234

425, 800, 950

CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

Hallar el m.c.m. de: 9.

10.

5, 10, 40, 80

11.

8, 10,15, 32

16, 54, 114

Completar la siguiente tabla con expresiones equivalentes: 12.

Potencia

Radical

Logaritmo

2 = 32 3

125 = 5 log 2 8 = 3

5 = 625 4

1=1

9 = 81

64 = 8 log10 1000 = 3

En la expresión 7 × 2 + 10 − 4 ÷ 2 colocar paréntesis de manera que su resultado sea: 13.

14.

15.

16.

17.

Decir si es verdadero o falso y justifique su respuesta: 18.

289

19.

El M.C.D. de 125 y 175 es 15

20.

21.

30 × 10 = 27 × 10

1.7

es cuadrado perfecto. × 3 × 7 es múltiplo de 5 × 3

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números naturales no permitió representar todas las situaciones de la humanidad como las temperaturas “bajo cero”, profundidades bajo el nivel del mar, pérdidas de dinero, entre otras, y fue necesario ampliar la cantidad de símbolos para representar situaciones cotidianas. Por esta razón aparece históricamente el conjunto de los enteros, el cual está formado por los números naturales negativos (opuestos de los números naturales), el cero y los naturales. Ζ = {..., − 3 , − 2 , − 1, 0 , 1, 2 , 3 ,...}

Los elementos de un conjunto numérico pueden ser representados sobre una recta en la que cada elemento tiene asociado un punto, y se le llama recta numérica. En ésta recta se ubica arbitrariamente un punto que corresponda al cero (0) que toma el nombre de punto de origen, y otro cualquiera a la derecha para representar el uno (1). La longitud del segmento entre 0 y 1 es la que determina la escala unidad. 10

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La escala unidad puede interpretarse como la distancia que hay entre dos enteros consecutivos cualesquiera. Al repetir dicha escala hacia la derecha permite ubicar los puntos correspondientes a los enteros positivos, y, repitiéndola hacia la izquierda del 0 se localizan los puntos correspondientes a los enteros negativos. ,******Negativos **-******** . AAA -2

Positivos ,******* *-******** . AAA 0

-1

'**(**) EscalaUnidad

El número entero 2, por ejemplo, se representa en la recta numérica a la derecha del cero exactamente a 2 unidades de distancia de él. 2 unidades a la derecha

-2

-1

'**(**)'**(**) EscalaUnid ad

EscalaUnid ad

El número entero –2, por ejemplo, se representa en la recta numérica a la izquierda del cero exactamente a 2 unidades de distancia de él. 2 unidades a la izquierda

-2

-1

'**(**)'**(**) EscalaUnid ad

EscalaUnid ad

En conclusión, un número entero positivo, se ubica en la recta numérica de los enteros desplazándose hacia la derecha a partir del cero tantas unidades como lo indique el número. De manera similar, un número entero negativo se ubica en la recta numérica de los enteros desplazándose hacia la izquierda a partir del cero tantas unidades como el número indique. Como para representar en la recta numérica el número 2 fue necesario avanzar 2 unidades a la derecha del cero y para llegar al –2 se retrocedieron 2 unidades desde el mismo punto, se dice que –2 es el opuesto de 2 y viceversa. Aquí cobra sentido lo dicho anteriormente acerca de incluir en los enteros: los naturales y sus opuestos. Lo que significa que el opuesto de un entero positivo es un entero negativo, y el opuesto de un entero negativo es un entero positivo. Sin embargo, surge una inquietud: Si el cero es el número que se toma como referencia, pero el cero es un entero, cuál es el opuesto del cero?

)

Dado que el cero es siempre el punto de partida para avanzar tantas unidades como sea necesario, si se parte de éste no es necesario desplazarse a la derecha para llegar a él. De la misma manera, no es necesario desplazarse hacia la izquierda para llegar al “opuesto”, puesto que jamás se hizo desplazamiento alguno para llegar a su correspondiente número positivo. Se puede establecer entonces que el opuesto del cero es él mismo.

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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

Ejemplo 10 El opuesto de 3 es

-5

−3

-4

-3

-2

-1

-3

-2

-1

El opuesto de -4 es 4

-5

-4

Antes de introducir el estudio del Sistema Numérico de los Enteros, vale la pena resumir las características de los enteros como conjunto numérico: No existe un último elemento. No existe un primer elemento. Todos tienen un antecesor. Todos tienen un sucesor. Todos los elementos tienen un opuesto. El opuesto del cero (0) es el mismo cero (0). Así como se estableció que el conjunto de los números naturales tiene un número infinito de elementos se puede decir lo mismo del conjunto de los números enteros, puesto que no se puede conocer el número exacto de elementos que lo conforma. En el conjunto de los números enteros también es posible diferenciar subconjuntos formados por elementos que comparten características particulares. Pueden considerarse por ejemplo, los números pares, los impares, los múltiplos y los divisores conservando la definición presentada para ellos dentro de los naturales, pero ampliando su acción sobre todos los elementos del conjunto de los números enteros. Sólo hay un subconjunto con aplicación exclusiva dentro de los enteros positivos y es el de los números primos.

1.8

SISTEMA NUMÉRICO DE LOS ENTEROS

Las operaciones definidas para los números naturales son válidas en el conjunto de los enteros, pero se presentan situaciones adicionales al incluir el cero y los negativos. La suma de dos números enteros está definida para cualquier par de elementos del conjunto y su resultado es un número entero.

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Ejemplo 11 Sumar 2 y 3: Se sabe que 2 + 3 = 5 . Para confirmar el resultado se puede usar la representación de la suma en la recta numérica así: Se toma el cero nuevamente como número referencia; como el primer termino de la suma es 2, se debe avanzar dos unidades a la derecha de él, y luego 3 unidades adicionales hacia la derecha, dado que el segundo término es 3 (positivo). unidades ,2* *-**. ,*3*unidades *-***.

-2

-1

0 1 2 4 5 3 '****** *(******* ) 2+3 = 5

El resultado 5 se puede ver en la recta numérica contando las unidades que hay entre el cero y el punto final después de los desplazamientos que representan la operación.

Ejemplo 12 Sumar 3 y –5: En este caso se suma un entero negativo a uno positivo, lo que en la recta numérica se representa desplazándose desde el cero 3 unidades hacia la derecha (avance) y luego desplazándose 5 unidades hacia la izquierda (retroceso) puesto que el segundo término, –5, es negativo. 5 unidades ,****** *-******* . ,*3*unidades *-***.

-4

-3

-2 -1 0 '**(** ) 3 + (− 5 ) = −2

El punto final se ubica 2 unidades a la izquierda del punto cero resultado de sumar 3+(–5) es –2.

(0),

lo que indica que el

Ejemplo 13 Sumar –7 y 4

unidades ,***4* *-*****. 7* unidades ,******** *-********** .

-8

-7

-6

-5

-4

-3 -2 -1 0 '*** *(**** ) − 7 + 4 = −3

El punto final después de los desplazamientos es –3, por lo tanto –7+4= –3

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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

La resta entre dos números enteros puede expresarse como la suma del primer entero con el opuesto del segundo. Su resultado es un número entero. a − b = a + (− b ) En la expresión 8–2 el signo “–“ representa la operación resta entre 8 y 2. En la expresión –5 el signo “–“ representa el opuesto de 5. En la expresión –2+8 el signo “–“ representa el opuesto de 2. Por lo tanto la operación indica que al opuesto de 2 se le debe sumar 8. Se debe tener especial cuidado con el uso de las calculadoras ya que hay algunas que diferencian el “–“ de el opuesto de un número (número negativo) y el “–“ de la operación resta; y, hay otras que no lo hacen. La multiplicación de dos enteros da como resultado otro número entero. En los siguientes ejemplos se retomará la suma abreviada, establecida en los números naturales, para concluir qué ocurre en diferentes casos.

Ejemplo 14 Multiplicar 3 por 4 se puede escribir 3 × 4 lo que es igual a decir Se puede representar en la recta numérica así:

-2

-1

veces 4, o sea

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 '**************** *(***************** ) 3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12

4+4+4.

Ejemplo 15 Ahora si se quiere multiplicar 3 por –4 es sumar 3 veces –4.

-14

-13

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 '**************** *(***************** ) 3 × (− 4 ) = (− 4 ) + (− 4 ) + (− 4 ) = −12

Ejemplo 16 ¿Qué pasa si lo que se quiere hacer es multiplicar −3 × 4 ? No tiene sentido hablar de “sumar opuesto de 3 × 4 .

–3

veces 4”. En este caso, el signo “–“ significa el

Ya se vio en el ejemplo 10, 3 × 4 = 12 , y como el opuesto de −3 × 4 es –12.

–12,

el resultado de

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Ejemplo 17 Y ahora, qué resultado se obtendrá al multiplicar −3 × −4 ?. Aplicando el mismo razonamiento del ejemplo 12 se tiene que −3 × −4 es el opuesto de 3 × −4 . Como el resultado de 3 × −4 es –12 y el opuesto de –12 es 12, entonces −3 × −4 = 12 .

La multiplicación en los enteros da lugar a la definición de las siguientes propiedades: El producto de dos números con signos iguales, es un número positivo. Ver ejemplos 10 y 13. El producto de dos números con signos diferentes, es un número negativo. Ver ejemplos 11 y 12. Propiedad multiplicativa del cero (0): Para cualquier entero a, se tiene que al sumar el resultado es 0 . Por lo tanto:

a veces 0

a×0 = 0

La división entre dos números enteros a ÷ b equivale a encontrar un número c×b=a .

Para resolver 6 ÷ 2 , debe encontrarse un número entero que multiplicado por resultado 6. Ese número es el 3.

de cómo

tal que

Si se quiere dividir el cero (0) entre un número entero a, debería hacerse el mismo razonamiento: ¿cuál es el número que multiplicado por a da como resultado cero (0)? Por supuesto, el único que cumple con esta condición es el cero (0). Por lo tanto, 0÷a =0

)

Puede seguirse el mismo procedimiento para resolver por ejemplo 3 ÷ 0 ? … Claro: basta encontrar un número entero que al ser multiplicado por cero (0) de 3, pero… cuál es ese número?. De acuerdo con la propiedad multiplicativa del cero, ese número no existe. Se dice entonces que la división por cero no está definida.

Ahora, existe un número entero que multiplicado por 0 de 0?. Sí: el 3, el 5, el –3, el 8.432, entre muchos otros. Como puede observarse, no es un único número el que cumple con la condición. Por lo tanto, la operación 0 ÷ 0 no está determinada. La potenciación, tal como se definió en los números naturales,

×* a( ×a a a = a '×*a* *×*...*×)

b veces

con el cero y los enteros negativos como nuevos elementos, puede presentar la siguientes situaciones, dependiendo de la posición que éstos ocupen: Un entero negativo elevado a una potencia par es positivo. Un entero negativo elevado a una potencia impar es negativo.

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− 2 = − (2 )3 = (− 2 ) = −8

− 2 = (− 2 )4 = 16 4

Un entero elevado a un número negativo es el recíproco de éste número elevado a la potencia dada positiva. Simbólicamente puede expresarse como: Si, a ≠ 0, a − 3 = 1 ÷ (a )3 = 13 a

Cabe anotar que este resultado no siempre pertenece al conjunto de los enteros.

Ejemplo 18 Con base en la definición, escribir 5

−3

−2

−3

−5

−2

sin exponentes negativos:

1 5

−5

=−

1 5

El signo negativo no está elevado a la potencia –2.

Cero elevado a un número entero positivo da como resultado cero. n

0 = 0,

n∈Z

Un entero diferente de cero elevado a la cero es uno, lo que simbólicamente, puede expresarse como: Si a ≠ 0 , entonces, a 0 = 1 Operaciones entre potencias: Algunas operaciones aplicadas a potencias tienen formas equivalentes, pero antes de enunciarlas es necesario llamar la atención sobre las situaciones arriba mencionadas, ya que puede ocurrir que la potencia no esté definida en el conjunto de los enteros. En el cuadro que se muestra a continuación se presentan las operaciones que se establecen para potencias, y las condiciones que deben cumplirse para que su forma equivalente esté definida en el conjunto de los enteros. Sean

a, b, m , n ∈ Z , Operación n

a ×

n+m

b = (a × b )n

a ×

a a

(a )

n −m

= ⎛⎜ a ⎞⎟ ⎝b⎠

n m

m×n

Condiciones n

están definidos.

están definidos. a≠0 b≠0 a≠0

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Cero elevado a la cero no está determinado. 0

0 =0

1−1

0 0

Como se vio, en la definición de la división, este cociente no está determinado.

Ejemplo 19 Encontrar el resultado de: 3

3+5

2 ×2 = 2

3 × 4 = (3 × 4 )2 = (12 )2 = 144

= 2 = 256

0 ×0

−3

5 = 5 3 − 2 = 51 = 5 2 5

6 = ⎛ 6 ⎞ = 3 3 = 27 ⎜ ⎟ 3 ⎝2⎠ 2 1 1 −3 no está 0 = 3 = 0 0

(3 ) = 29 = 512 2

−3

(2 )

3 2

= 2 = 64

definido

no está determinado.

= 13 = 1 8 2

(13 + 2 )0

−3

(2 − 3 )2

3+2

= −2 = − 8

(13 + 2 )0

= 15 = 1

(2 − 3 )2 = (− 1)2

2 +2 =2

2 + 2 = 8 + 4 = 12

3 = 36 − 4 = 32 = 9 4 3

= 13 + 2 = 1 + 1 2

= 2 −3 = 4−9

Ejemplo 20 Expresar en potencias de 2 y de 3 la siguiente expresión ( 6 )4 × (24 )3

(6 ) 4× (24 )3 = (2 × 3 )4 ×

(6) 4

2 3

(

× ( 24 ) = ( 2 × 3 ) × 2 × 3

( ) × (3)

= (2 )4 × 3 × 2

(2 × 3 × 2 )

3 3

)

= 2 ×3 ×2 ×3 = 2

×3

En la radicación se pueden presentar las siguientes situaciones: Si la cantidad subradical es cero y n

0 =0

n ∈ N, n > 1 ,

el resultado es cero.

×( 0 ×*... 0=0 porque 0'×*0* *×) n veces

Si la cantidad subradical es un entero negativo y el índice es impar, está definida la raíz, aunque su resultado no siempre está en el conjunto de los enteros.

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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

Si la cantidad subradical es un entero negativo y el índice es par, no está definida la raíz. n

con n ∈ Z − no está definida.

16 = 2

− 16

porque

= 16

− 4 = −2

no está definida porque no hay un entero que elevado a la 4 dé –16.

(− 2 ) 2

4 ≠ −4

Operaciones entre radicales: Operación n

a×b = n

a b

a× n

Restricciones n

Siempre y cuando esté definida la operación de raíz.

a b

Ejemplo 21 Encontrar el resultado de: 2×

8 =

2×8 =

16 = 4

12 3

16 +

22 × 22 +

32 − 2 4 =

22 ×

22 +

= 2×2 + 2×2×

22 ×

12 3

4 =2

22 × 22 × 2 − 2 22

2 − 2 22

2 − 2×2

=4+4 2 −4 =4 2

−8× −3

no está definida

9 + 16 = 25 = 5

− 8 × − 3 = (− 8 ) × (− 3 ) = 24 porque la raíz cuadrada de un número negativo NO está definida.

9 + 16 = 9 + 16 = 3 + 4 = 7

La logaritmación en los enteros se define de la misma forma como se presentó para el conjunto de los números naturales, como propiedad inversa de la potenciación.

Ejemplo 22 Encontrar el valor de: log 2 8 = 3

porque

log 2 8 = ?

2 =8

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

En el ejemplo anterior no se presenta problema alguno porque si bien involucraba números enteros, tanto el 8 como el 2 son enteros positivos. Sin embargo, si se trata de un argumento entero negativo o cero, el logaritmo no está definido. Tampoco se definen los logaritmos para bases negativas.

Ejemplo 23 Encontrar el valor de: 1.

log 5 − 125 = ? log 5 − 125

no está definido, porque no existe un entero n tal que

= − 125

log −3 27 = ? log − 3 27 no

está definido porque no existe un n tal que (− 3 )n

= 27

Ejercicios 1.2 Simplificar: 1.

( 2 − 3 )(4 − 1 ) + 6 (4 − 8 ) + ( 7 − 2 )(−7 − 5 )

−27 − (− (−30 ) − (−25 ) ) − (−30 )

(−4 × 2 )(−4 × 2 )(−4 × 2 )(−4 × 2 )(−4 × 2 ) (−7 )(−7 )(−7 )(−7 )

Escribir en forma de potencia: 3. 5.

(−2 )(−2 )(−2 )(−2 )(−2 )(−2 )(−2 ) ( 3 )( 3 )(−5 )(−5 )(−5 )

Bajo qué condiciones el producto de dos números es: 7.

Mayor que cero.

Igual a cero.

Menor que cero.

Responder justificando la respuesta: 10. 11. 12. 13. 14.

Cuál es el más pequeño de los enteros no negativos? Cuál es el entero positivo más pequeño? Cuál es el entero positivo más grande? Cuál es el entero negativo más pequeño? Cuál es el entero negativo más grande? Determinar si los siguientes números son positivos o negativos, sin efectuar cálculos:

15.

(− 5 ) 2

16.

− (− 5 ) 3

17.

− (− 5 ) 4

Escribir los siguientes dos términos de cada una de las secuencias dadas: 18.

− 5, − 11, − 17, − 23

19.

8, 5, 2, − 1

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20.

1, − 3, 9, − 27

21.

− 2, 8, − 32, 128

CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

1.9

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Se presenta otro conjunto numérico que al igual que los dos primeros, los naturales y los enteros, surgen por la necesidad de representar situaciones cotidianas: “Yo no puedo comer una torta entera… me como una porción de ella”; “no me quedo en un parqueadero durante 2 horas exactas para poder justificar el pago … el cobro se hace por hora o fracción”; en el automovilismo, las carreras se ganan por diferencias de tiempo de fracciones de segundo…. Todas estas expresiones, porción, fracción, fracciones, hacen referencia a algo más pequeño que una unidad.

)

Algo más pequeño que una unidad? Acaso se está volviendo atrás?… Si ya se vio que se pueden representar muchos números sobre una “recta numérica”, por qué conformarse con uno sólo?… o peor aún… con menos de uno??????

Sí. Como se ve, es una necesidad humana y por lo tanto, requiere una representación simbólica, con base en los elementos de los conjuntos ya conocidos.

Para representar las porciones de torta, por ejemplo, debe tomarse como base el número de partes en que se divide y las que se consumen. De esta forma, si se tiene una torta que viene dividida en 10 porciones y sólo hay 7 personas que consumen una porción cada una, se construye una expresión como:

Partes que se consumen

7 10

Partes en que se divide

En general, una representación de la forma

a , b

a, b ∈ Z

es llamada fracción. El número

que representa a se conoce como numerador y el representado por La notación a es equivalente a a ÷ b .

como denominador.

Pero sólo funciona con una torta dividida en 10 porciones? Porque la misma torta puede venir dividida en 20 porciones, lo que significa que para que las 7 personas consuman la misma cantidad y no se sientan “engañadas” deberían comerse cada una 2 porciones, consumiéndose 14 porciones en total. Es válido? Cómo puede justificarse este cambio? Cómo explicar que es correcto? Dado que las personas están consumiendo lo mismo cuando comen 7 porciones de las 10 en que se divide la torta inicialmente y cuando consumen 14 si se divide en 20, se dice que 7 10

14 20

son fracciones equivalentes

Y únicamente existen estas dos? Puedo construir otras a partir de la primera fracción? Y a partir de una fracción diferente a 7 también se pueden encontrar fracciones equivalentes? 10

Primero es interesante ver qué relación existe entre

7 10

multiplicar 7 (el numerador) por 2, mientras que

es el resultado de multiplicar

14 20

. Como se ve, 14 resulta de 10

(el

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

denominador) por 2. De la misma forma puede encontrarse fracciones equivalentes al multiplicar tanto el numerador como el denominador por un mismo número. Por ejemplo, si se multiplica 7 por 5 y 10 por 5 se encuentra otra fracción equivalente a la primera y estaría representando una situación eventual en la que la torta se divide en 50 partes de las cuales los 7 comensales consumen 35: 7 × 5 35 7 = ⇒ es equivalente a 10 × 5 50 5

35 50

Este proceso de multiplicar tanto el numerador como el denominador por un mismo número natural, se conoce con el nombre de amplificación de fracciones. Hasta ahora se ha trabajado con partes de una torta, pero no es posible hablar de partes de una hora, partes de una pulgada o simplemente partes de una unidad?. Sí. El siguiente ejemplo muestra el manejo de una fracción, cuando se quiere amplificar, independiente que se refiera a tortas o no.

Ejemplo 24 Encontrar expresiones equivalentes a 3 por amplificación: 5

3 = 3 × 4 = 12 5 5 × 4 20

3 = 3 × 6 = 18 5 5 × 6 30

3 = 3×3 = 9 5 5 × 3 15 12 = 18 = 9 = 30 20 30 15 50

, son expresiones equivalentes

3 = 3 × 10 = 30 5 5 × 10 50 para 3 aunque 5

no son las únicas, pues en la

medida en que se cambia el número por el que se multiplica se obtiene una nueva fracción equivalente.

Q Por otra parte, si no se multiplica sino que se divide tanto el numerador como el denominador por un mismo número natural, se dice que se está simplificando la fracción. Una fracción está en su forma más simple cuando el único factor común del numerador y del denominador es el uno (1), lo que significa que son primos entre sí. A éstas fracciones se les conoce como irreducibles. En este libro siempre que se hable de simplificar, se buscará la fracción equivalente que sea irreducible.

Ejemplo 25 Encontrar expresiones equivalentes a 16 16 ÷ 2 8 = = 32 32 ÷ 2 16

16 = 16 ÷ 8 = 2 32 32 ÷ 8 4

16 por simplificación: 32 16 = 16 ÷ 4 = 4 32 32 ÷ 4 8

16 = 16 ÷ 16 = 1 32 32 ÷ 16 2

Como se observa se tienen varias expresiones para

16 = 4 = 2 = 1 . 32 8 4 2

en donde 1 es 2

irreducible.

Q ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

Amplificar genera infinitas fracciones equivalentes. Simplificar genera finitas fracciones equivalentes.

Ahora, así como se utilizó la recta numérica para representar los números enteros, pueden representarse las fracciones sobre ella? No es tan difícil como parece. Primero es necesario dividir la escala unidad en tantas partes como lo indique el denominador y avanzar tantas partes como diga el numerador. Para el caso de

7 , 10

se divide la escala unidad en

partes y avanza desde el cero a la

derecha 7 partes. Finalmente se asocia la fracción con un punto sobre la recta numérica que se ubica a siete décimos de unidad desde el cero (0). El punto corresponde entonces al número 7 . 10

7 de la unidad 10 , ***-*** .

-1

'****(**** ) Escala unidad

Casos como este en que se representan partes de la unidad, es decir donde el denominador es mayor que el numerador son conocidas como fracciones propias. Por ser equivalentes

7 10

14 20

, puede decirse que ambas son fracciones propias?. En ese

caso cómo se visualiza su equivalencia? Efectivamente, son fracciones propias. Como se observa en el gráfico anterior, el punto asociado queda ubicado entre el 0 y el 1, y por ser equivalentes debe esperarse el mismo resultado para 14 : 20

7 de la unidad 10** ,**** *-******* .

0 '****** *(******* ) 14 de la unidad 20

Si se quiere representar una fracción cuyo numerador es mayor al denominador, por ejemplo, 8 , cómo utilizar la recta numérica?: 3

8 partes ,*** *-**** . -1

o 22

La escala unidad está dividida en tres partes.

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Como se ve, al punto final se ha llegado luego de avanzar 2 unidades completas y 2 partes de la unidad (que ya se ha dividido en tres) a la derecha del cero (0). Los fracciones que representan más de la unidad, es decir donde el numerador es mayor que el denominador son conocidas como fracciones impropias Cómo simbolizar esta nueva situación? Las fracciones impropias se pueden representar también como números mixtos que para el caso de 8 corresponde a 2 2 : 3

8 =22 3 3

23 4

2+ 3 4

23 4

Quiere decir que una fracción con denominador 1 como es

5 , 1

2× 3 4

es una fracción impropia? Y si

equivale a decir 5 ÷ 1 , no se está hablando de un entero? Correcto. Finalmente se trata de tomar un conjunto de unidades “divididas en una sola parte”. Por lo tanto, se entiende que todos los enteros están incluidos dentro del conjunto de las fracciones: 5=5 1

Retomando la definición de fracción, por qué se impone la condición de ser a y b enteros positivos? Puede ocurrir que uno de ellos sea negativo?… en ese caso, a qué corresponde? Qué representa? De la misma forma como en el conjunto numérico de los enteros se mostraba cada número negativo como el opuesto de un número positivo, y viceversa, puede encontrarse un opuesto sobre una recta numérica para cada fracción. El conjunto conformado por todas las fracciones y sus respectivos opuestos es llamado Conjunto de los números racionales.

Ejemplo 26 Ubicar sobre la recta numérica el opuesto de − 3

El opuesto de

-4

−7 2

−3 2

-3

−5 2

3 2

-2

−3 2

-1

−1 2

1 2

3 2

5 2

7 2

Un número racional es aquel que puede expresarse como el cociente entre dos números enteros, siendo el divisor diferente de cero. Escrito en notación de conjuntos se puede expresar como: Q = ⎧⎨ a ⎩b

a ∈ Z , b ∈ Z y b ≠ 0 ⎫⎬ ⎭

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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

Toda fracción lleva implícita una división, por lo tanto, de acuerdo con lo establecido en los enteros, es válido afirmar que: 3 0

NO está definido

0 0

0=0 3

NO está determinado

Para el conjunto de los racionales también se destacan características especiales, como son: Ü No existe un último elemento. Ü No existe un primer elemento. Ü Ninguno tiene un antecesor Ü Ninguno tiene un sucesor. Ü Entre dos racionales siempre existirá otro racional. Esta característica se conoce con el nombre de densidad.

1.10 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS RACIONALES Ü

La suma y la resta se define para dos situaciones: î

Para racionales con igual denominador, se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

Para racionales con diferente denominador, se debe buscar un común denominador (mínimo común múltiplo de los denominadores) y luego amplificar cada una de las fracciones y seguir el procedimiento seguido con racionales con igual denominador.

K Ü

1 + 2 = 1⎛3⎞ + 2⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 5 3 5 ⎝3⎠ 3⎝5⎠ 1 + 2 = 3 + 10 = 13 5 3 15 15 15

1+2 =3 5 3 8 1 + 2 = 3 + 10 = 13 5 3 8 8

La multiplicación se define como el producto de los numeradores para el nuevo numerador y el producto de los denominadores para el nuevo denominador. La multiplicación de dos fracciones debe interpretarse como una fracción de fracción, así: 1 × 5 = 1 × 5 = 1× 5 = 5 2 2 1 2 ×1 2

Por lo cual en este caso podría decirse que “ cinco medios ” equivale a tener “la mitad de 5” . 2 de 12, debe multiplicarse 2 × 12 3 3 2 × 12 = 2 × 12 = 24 = 8 = 8 3 3 1 3 1

De la misma manera, para encontrar los

Fracción recíproca es la que se obtiene al transponer numerador y denominador. Así, la fracción recíproca de 2 es 3 . 3

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

La división es el producto de la fracción que se va a dividir (dividendo) por la recíproca de la fracción por la que se divide (divisor). Debe resaltarse que en este sistema numérico, las operaciones ya mencionadas dan como resultado otro número racional.

La potenciación y la radicación conservan en los números racionales las propiedades definidas en el sistema numérico de los enteros. 1

que 1. El conjunto de todos los números de la

a = a n , con n entero positivo mayor forma 1 constituyen un subconjunto de n

Se define raíz n-ésima de un número “a” como: los racionales Q.

Aparece de esta forma una extensión de las potencias a exponentes racionales, donde las propiedades ya conocidas son válidas. ¿Tendrá sentido hablar en forma general de exponentes de la forma

p , q

)

con p y q enteros, q ≠ 0?

La respuesta es afirmativa puesto que algebraicamente puede interpretarse como: a

p q

( )

p× 1 q

= a

1 p q

(a )p

o Siempre que

Además: a

p q

1×p q

( ) a

1 q

q = ⎛⎜ a ⎞⎟ ⎝ ⎠

a y

(a )p

exista.

Sean −

p q

p, q ∈ Z

− p× 1 q

Sean

( )

1 −p a q

p, q ∈ Z

− q

= a

−p

p q

−q

Es incorrecto porque − q ∉ Z +

⇒ −q

no es > 1

Ejercicios 1.3 Resolver y simplificar:

[(9 − 4 ) ÷ 5 + (10 − 2) ÷ 4] + (9 × 6 ) ÷ (18 + 2) (36 ÷ 85 ) × (34 ÷ 27 ) ÷ (8 ÷ 15 )

(124 × 2 ) ÷ (4(−5 )) [(33 ÷ 38 ) ÷ (26 ÷ 57 )] ÷ (22 ÷ 13 )

(2 ÷ 3 ) × ((3 ÷ 4 ) − (5 ÷ 9 ) ) + (5 ÷ 6 )

3 − ⎛⎜ 11 + 1 − + 1 ⎞⎟ ⎝ 3 3 5 15 ⎠

6 − (14 − 5 ) 12 + 8

10.

10 − 15 − 8 4 12 24

11.

⎛⎜ 11 − 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 90 × 1 ⎞⎟ 14 ⎠ ⎝ 180 45 ⎠ ⎝

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3 5 − ⎛⎜ − + − 2 ⎞⎟ + 1 − 1 ⎝ 2 2 3⎠ 2 6

⎛⎜ − 1 ⎞⎟ + 3 + ⎛⎜ − 1 3 ⎞⎟ + (− 1) ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠

12.

⎛⎜ − 5 2 ⎞⎟⎛⎜ 10 6 ⎞⎟ 3 ⎠⎝ 13 ⎠ ⎝

CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

− 5 ) × ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ × 2 × (− 5 ) ⎝ 10 ⎠

13.

(− 2 )⎛⎜ − 10 ⎞⎟

14.

16.

5 × 4 × 3 12 20 30

17.

⎛ − 25 ⎞ ÷ ⎛ 8 ÷ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝5 5⎠

19.

⎝

8 ⎠

1 1 + 2 3 1 4

20.

22.

43 −32 +5

25.

28.

1× 5 + 1× 1

4 15

1× 6 − 4 × 5

18.

1 1 + 100 + 1000

21.

23.

⎛− 8 3⎞ ⎜ ⎟ 5⎠ ⎝

26.

⎛⎜ − 1 ⎞⎟ ⎝ 2⎠

29.

( )(4 ) 6 (− 5 ) (2 )

3 2+ 4 1 − 41

1 10

15.

−9 5 3

24.

1 2

3 2

4÷ 8 5 15

1 3

1 2 + − 1 2 2 3 3

1 × 1 1 − 51 1 − 61

× ⎛⎜ 1 + 2 − 62 ⎞⎟ ⎝ 7 49 343 ⎠

1 − 1 1 − 31 1 − 61

27.

30.

((− 7) ) × 7

5× 6 2 15 1+2

1 3 + 81

3 5

× (− 7 )4

1.11 NÚMEROS DECIMALES

El sistema de numeración decimal es posicional, lo que significa que de acuerdo con la posición que ocupe el dígito tiene un significado diferente. En estricto orden, de derecha a izquierda, las posiciones se denominan: Unidades, Decenas, Centenas, Unidades de Mil…

unidades conforman así sucesivamente.

decena,

decenas forman una centena, y

Cuando se estudiaron los naturales se estableció un significado para cada uno de los dígitos que componen un número, dependiendo de la posición que ocupe en él. En un número como 425, puede decirse que hay 425 unidades, o puede decirse que hay 5 unidades y 42 decenas o puede decirse que se tienen 5 unidades, 2 decenas y 4 centenas. Pero así como una decena está compuesta por 10 unidades, cómo expresar una unidad que se divide en 10 partes? Más aún, cómo expresar cada una de esas 10 partes de la unidad? Esta situación se asemeja a la presentada en la definición de fracción. Entonces no es más lógico utilizar esta simbología para representar las partes de la unidad? Sí. Esa simbología es aplicable, pero también es posible extender el concepto de posición para encontrar una forma equivalente a tales fracciones. Antes de continuar es importante presentar un concepto particular:

s 26

Fracción decimal es una fracción o un número racional cuyo denominador es una potencia de diez. Las siguientes son fracciones decimales: 4 ; 45 ; 122 ; 1 ; 235 ; 73 . 10 10 100 100 1000 10000

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Como se ve,

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4 10

es una fracción propia, lo que significa que es menor que la unidad.

Entonces para hablar en términos de “posición”, con base en unidades o decenas, por ejemplo, se utiliza una coma (,)1 que indica que a la izquierda de ella se muestran las partes enteras, mientras que a la derecha está la parte decimal. De esta forma,

4 10

se escribe en notación decimal, como:

0,4;

así mismo

1 100

se escribe

0,01.

Se entiende entonces que no hay partes enteras, pero que se tienen 4 partes de una unidad entera en el primer caso y 1 centésima parte de una unidad en el segundo. Cuando se tomó como ejemplo el número 425, se estaba expresando un número con unidades enteras. Pero cuando se tienen además partes de unidad, dado que son más pequeñas que la unidad, es necesario separarlas de la parte entera con una coma (,). Para decir entonces que además de las 5 unidades, 2 decenas y 4 centenas se tienen décimas partes de la unidad se escribe: 425,7. Esto puede interpretarse como: 425 enteros

7 10

de unidad

que recordando la notación de números mixtos se escribiría: 425 7 . 10

)

Bueno, pero si se hace tanto énfasis en la posición, por qué se llaman números decimales? Tiene algo que ver con lo dicho acerca de los árabes en la sección 1.1.? Acaso no se parece más a lo dicho del diezmo o del diez del que se habló en 1.3? Por qué el 10 es tan importante si hasta el momento sólo aparece cuando se habla de algo más pequeño que la unidad?

La verdad es que el 10 resultó ser más importante de lo que se pensaba, porque todo número es susceptible de expresarse “en términos de 10”. Iniciando con las unidades, las decenas y las centenas: Unidades de mil

1000 = 10 × 10 × 10 = 10

Centenas

100 = 10 × 10 = 10

Decenas

10 = 10

Unidades

1 = 10

Como es de suponerse, las cifras decimales pueden expresarse mediante el uso de exponentes negativos, así: −1

Décimas

0 ,1 = 10

Centésimas

0 ,01 = 10

Milésimas

0 ,001 = 10

−2 −3

Pero se justifica este uso de potencias? Es más: Puede soportarse de alguna forma? 1

La coma es utilizada para separar las cifras decimales en el sistema americano, que es el adoptado por los países latinos. En el sistema inglés, se utiliza para ello el punto.

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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

Por supuesto: Recordando las operaciones entre potencias se sabe que:

Si se tiene a = 10, n=3 y

m=5,

n −m

entonces: 1000

100000

10 10

3 5

= 10

3 −5

= 10

−2

= 1 100

Hasta aquí, se han expresado unos pocos números. Cómo expresar entonces todos los números? Primero, sería interesante retomar el número 425 del que se decía representaba 425 unidades, ó 5 unidades y 42 decenas ó 5 unidades, 2 decenas y 4 centenas. Con esta última interpretación podría decirse que una forma de expresar el número es la siguiente: 400 + 20 + 5 = 425

que escrito de otra forma puede ser: 4 × 100 + 2 × 10 + 5 × 1 = 425 .

Pero con la ayuda de las potencias de 10, esta última forma es equivalente a: 2

4 × 10 + 2 × 10 + 5 × 10

= 425 .

Ejemplo 27 Expresar en potencias de 10: 328,

0,86 y 25,03

328 = 3 × ( 10 ) + 2 × ( 10 ) + 8 × ( 10 )

0, 86 = 0 × ( 10 ) + 8 × ( 10 )

+ 6 × ( 10 )

−2

25, 03 = 2 × ( 10 ) + 5 × ( 10 ) + 0 × ( 10 )

−1

+ 3 × ( 10 )

−2

Q Aunque los decimales no constituyen un Sistema Numérico como los naturales, los enteros o los racionales, sí conforman un subconjunto de estos últimos Las operaciones definidas para los racionales son válidas para los decimales, pero requieren un tratamiento cuidadoso: Suma: Al sumar, debe tenerse especial cuidado con la posición que ocupa cada dígito, de manera que se sumen enteros con enteros y decimales con decimales:

Ejemplo 28 Sumar

3,23 y 5,6

3,23 + 5,6 = 8,83

⇔

3, 23 + 5,6 8, 83

Se suman 3 centésimas con 0 centésimas, 2 décimas con 6 décimas y 3 enteros con 5.

Para la resta también se tiene en cuenta la posición de cada dígito y se manejan los signos como se estableció en los enteros.

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Ejemplo 29 Restar

12,09 de 15

12 de 8,63

15 − 12,09 = 2,91

⇔

15 − 12,09 2, 91

8,63 − 12 = −3,37

⇔

8 , 63 − 12 − 3, 37

La multiplicación de decimales debe realizarse como si se tratara de enteros pero en el resultado se coloca la coma contando de derecha a izquierda tantos lugares como cifras decimales tengan el multiplicando y el multiplicador. En otras palabras, el número de cifras decimales del resultado o producto es igual a la suma de las cifras decimales de sus factores. El manejo de signos es igual que en los enteros.

Ejemplo 30 Multiplicar

−1,05 por 0,39

−1,05 × - 0,39 = -0,4095

− 1, 05 0,39 9 45 3 15 − 0,4095

⇔

El procedimiento para dividir decimales debe iniciarse igualando la cantidad de cifras decimales con ceros. Una vez iguales el número de decimales, se eliminan las comas y se divide como si fueran enteros. Si el residuo no es cero se dice que la división no es exacta y si se continúa dividiendo, se obtienen cifras decimales colocando una coma en el cociente y agregando un cero al residuo. Se divide nuevamente y el número obtenido corresponderá al dígito de las décimas. Si se quiere obtener más números decimales, se coloca un cero a la derecha del nuevo residuo y se procede a la división hasta alcanzar el número de decimales deseado o hasta que el residuo sea cero.

Ejemplo 31 Dividir 1,64 entre 0,5 1,64 ÷ 0,5

⇔

164 ÷ 50 164 −150 140 − 100 400 − 400 0

50 3,28

El cero de la derecha de 140 se agrega para encontrar las décimas y el de 400 para encontrar las centésimas del resultado.

Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de un número racional, se encuentra la expresión decimal del número dado, presentándose las siguientes situaciones:

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División exacta, cuando el residuo es cero después de un número finito de pasos: 1 = 0,25... 4

División no exacta con cifras repetitivas en el cociente. 8 = 1,142857142857... 7

El conjunto de cifras que se repiten se llama período y los decimales que tienen esta situación se llaman decimales periódicos. Para el caso del ejemplo anterior, el período se identifica con una barra horizontal, así: 8 = 1,142857142857... = 1, 142857 7

Ejercicios 1.4 Resolver y simplificar: 1. 4. 7.

(18,36 + 1,836 − 15,009 ) ÷ (0,03 )2 0 ,1 4 + 3 + 0 ,01 0 ,001 0 ,01

4 (0,01) + 3 (0,001) + 9,957

(−8 ,34 ) × (−2,5 )

0,86 − 0,8

−0,015 × 0,0025 × 2,5 0,05 × (− 0,03 )

(1,1 + 0,02)4

(0,25 × 3 ) ÷ (0,5 × 0,01) 3,18 + 16,2 − 4,38

Completar la siguiente tabla, dando la respuesta con aproximación a las milésimas:

3,42

8,95

0,63

9,08

3,18

78,01

2,94

10,43

7,5

3,14

9,03

66,5

31,02

30,01

49,3

a+b

a−b

a×b

a÷b

Expresar en forma decimal e identificar el período: 9.

3 4

10.

16 7

11.

233 99

12.

49 333

13.

10 6

14.

20 3

Teniendo en cuenta que manejar muchas cifras decimales no es conveniente dependiendo del contexto en el que se esté trabajando, existen métodos para manejar cifras que permiten expresar un número haciendo uso únicamente de aquellas cifras que son representativas. A dichas cifras se les conoce con el nombre de cifras significativas.

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

El primer método consiste en truncar las cifras hasta una determinada posición. En este caso, el número se escribe con las cifras decimales hasta la posición requerida. El segundo método es el de aproximación a determinada posición, caso en el cual la última cifra que se escribe no se encuentra de forma inmediata. Si se requiere expresar un número aproximándolo a una cierta posición, antes de escribirlo se debe analizar la cifra que le sigue a su derecha. Si este número es menor que 5, la última cifra es la que ocupa el lugar requerido, si la cifra siguiente es mayor o igual a 5, la última cifra del número será el dígito de la posición sumado en uno. Los computadores y demás herramientas tecnológicas utilizan siempre el método de aproximación.

Ejemplo 32 Expresar el racional 1.

3 7

de acuerdo con la condición dada:

Como un decimal: El resultado es un decimal periódico:

3 = 0, 428571 7

Como un decimal truncando a las centésimas: Como la cifra de las centésimas es 2, el decimal truncado es:

3 = 0, 42 7

Como un decimal con aproximación a las centésimas: Dado que 8, la cifra de la posición de las milésimas es un número mayor que 5, el 3 7

resultado aproximado del cociente es: = 0, 43 . Esto se entiende si se tiene en cuenta que 10 milésimas forman se aproxima a 3.

centésima. Por lo tanto, el 2 de la posición de las centésimas

Q Otra forma de manejar un número con muchas cifras decimales, cuando por razones del contexto en que se encuentra todas ellas son significativas, es utilizando la notación científica. Con ella, un número se expresa a partir del número diferente de cero que se encuentra más a la izquierda, escribiéndolo como una unidad, convirtiendo todas las demás cifras en decimales. En realidad el procedimiento que se ha llevado a cabo es correr la coma unas posiciones. Para que el número no pierda su significado, este número resultante se debe multiplicar por una potencia de 10 elevado a un exponente igual al número de posiciones que se ha “corrido” la coma. Este exponente debe ser negativo porque el número original es menor que la unidad. Vale decir que este procedimiento también se puede aplicar a números enteros con muchas cifras significativas caso en el cual se sigue el mismo procedimiento descrito en el párrafo anterior, pero el exponente del 10 debe llevar signo positivo por tratarse de un número mayor que la unidad.

Ejemplo 33 1.

Un electrón posee una carga de 0,00000000048 unidades electrostáticas. La carga representada en notación científica es de: 4, 8 × 10 −10 que es un número más fácil de manejar, ya que el manejo de los 9 ceros decimales puede generar errores operativos.

La distancia del Sol a Plutón es de como

5, 895 × 10 Km.

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5.895.000.000 Km.

Esta distancia puede escribirse

Q 31

CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

1.12 RAZONES Y PROPORCIONES Razón es el cociente entre dos números que se comparan. El numerador se llama antecedente y el denominador se llama consecuente.

Se representa: a b

ó a : b y se lee: “a es a b”

Ejemplo 34 Si se dice que Ana María hace por semana 30 ejercicios de Precálculo y Clara Eugenia hace 45, la razón de problemas es de: 30 = 2 3 45

Lo que significa que la razón de problemas es de 2 3

Proporción es la igualdad entre dos expresiones que tienen la misma razón.

Se representa como: a =c b d

y se lee: “a es a b como c es a d”

En esta proporción, a y d se denominan extremos, y b y c, medios.

1.13 REGLA DE TRES Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas aumenta la otra ó cuando al disminuir una, se disminuye la otra, manteniendo la misma razón. Se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas disminuye la otra. La regla de tres es un método para encontrar una cantidad desconocida a partir de magnitudes proporcionales, es decir encontrar el cuarto término de una proporción si se conocen los otros tres.

Se establecen dos tipos de regla de tres: Ü Regla de tres simple, cuando se busca una cantidad desconocida a partir de una proporción. Puede ser directa, si las magnitudes son directamente proporcionales o inversa, si las magnitudes son inversamente proporcionales. Ü Regla de tres compuesta cuando se busca una cantidad desconocida a partir de más de dos proporciones.

Ejemplo 35 Si Cristina gastó 2 horas resolviendo 10 problemas de precálculo, cuánto tiempo gastará en resolver 40 problemas que se encontró en un libro de la biblioteca?

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Se establece lo siguiente: Tiempo (horas)

Cantidad de problemas resueltos

2 ?

10 40

Al comparar las magnitudes se encuentra que a más problemas, Cristina gastará más tiempo. Por lo tanto, las magnitudes son directamente proporcionales. El razonamiento es: Ü Ü

Si gasta dos horas en hacer 10 problemas, para hacer un problema gastará: Para hacer 40 problemas gastará:

Lo anterior se puede resumir en:

2 ÷ 10 = 1 horas 5 1 × 40 = 8 horas 5

? = 40 × 2 = 8 horas 10

Ejemplo 36

Para arreglar un jardín, 2 personas gastan 10 días. Si hacemos el mismo trabajo con 6 personas, cuántos días gastarán?

Se establece lo siguiente: Personas

Tiempo (días)

2 6

10 ?

Al comparar las magnitudes se encuentra que a más personas trabajando, se requerirán menos días, por lo tanto las magnitudes son inversamente proporcionales. Se hace el siguiente razonamiento: Ü

Si 2 personas hacen la obra en 10 días, una persona gastará dos veces más de tiempo: 2 × 10 = 20

días

Ahora seis personas gastarán 6 veces menos: 20 ÷ 6 = 20 días = 3 2 días = 3 1 días 6 6 3

Lo anterior se puede resumir en:

? = 2 × 10 = 10 días = 3 1 días 6 3 3

Ejemplo 37

Carlos Daniel ha programado sus vacaciones de 45 días en la finca y para ello ha comprado 21 litros de aceite para el consumo de 15 lámparas. Al cabo de 20 días se hace necesario aumentar el número de lámparas en 6.Cuántos litros adicionales de aceite deberá comprar para mantener todas las lámparas funcionando durante las vacaciones?

Se establece lo siguiente: Lámparas

Tiempo (días)

Cantidad (litros)

15 6

45 45 – 20 =25

21 ?

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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

Esta situación nos permite ver que hay más de una proporción por lo tanto se trata de una regla de tres compuesta, el análisis se efectúa descomponiendo en reglas de tres simples así: Ü

Inicialmente se hará el análisis para dos magnitudes: las lámparas y el consumo de aceite, manteniendo constante el número de días. Lámparas

Tiempo (días)

Cantidad (litros)

15 6

45 45

21 ?

Más lámparas consumirán más cantidad, menos lámparas consumirán menos. Por lo tanto, es relación directa. Cantidad de aceite para 6 lámparas = 6 × 21 = 42 15

El siguiente análisis se hará para el número de días y la cantidad de aceite consumida por las 6 lámparas: Lámparas

Tiempo (días)

Cantidad (litros)

42 5

En más días se requerirá más aceite, en menos días se requerirá menos aceite, por lo tanto es una relación directa. Cantidad de aceite por día para 6 lámparas Lo anterior se puede resumir en:

25 × 42 5 = 14 45 3

? = 6 × 21 × 25 = 14 litros 15 × 45 3

Ejercicios 1.5

¹ Resolver los siguientes problemas: 1.

Industrias ACME tiene 120 empleados, incluyendo entre los supervisores y el resto de los empleados?

Leyendo 8 páginas diarias de un libro se gastan 60 días en leerlo completamente. Si leemos 12 páginas diarias, ¿cuántos días necesitamos para leerlo?

En un dibujo, un insecto mide 1/2 pulgada de largo y una etiqueta dice “aumentado veces". ¿Cuál es la longitud real del insecto?

Catorce camellos caminando catorce kilómetros diarios consumen ocho litros de agua. Cuánta agua consumirán veinte camellos caminando veintitrés kilómetros diarios?

Un depósito puede suministrar 12 litros diarios de agua para 25 familias durante ¿Cuántos litros diarios podrá suministrar a 40 familias durante 200 días?

supervisores. ¿Cuál es la razón

(

150 días.

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Con 15kg. pulgadas y

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de hierro se han hecho 420 puntillas de 4 pulgadas. ¿Cuántas puntillas de 3 del mismo diámetro se hubiesen podido hacer con la misma cantidad de

hierro? Dos recogedores de café se demoran 6 horas para recoger 5 cargas. Para recoger igual cantidad y trabajando al mismo ritmo. ¿Cuánto se demoran 5 trabajadores?. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a. b. c. d.

Entre más trabajadores más tiempo. Entre menos trabajadores menos tiempo. Entre menos trabajadores igual tiempo. Entre más trabajadores menos tiempo.

En un salón de clases hay 36 estudiantes, de los cuales 20 son hombres y 6 son zurdos.

a. b. c. d.

¿Cuál es la razón entre hombres y mujeres? ¿Qué porcentaje de estudiantes son zurdos? ¿Cuántos hombres más que mujeres hay en el salón? ¿Cuál es la razón entre zurdos y derechos?

Con un grifo que tiene un caudal de 14 litros por minuto, se han empleado 48 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tiempo se emplearía para llenar el mismo depósito sí su caudal fuera de 32 litros por minuto?

10.

Ocho obreros han tardado 24 horas para realizar cierto trabajo. ¿Cuánto tiempo hubiesen empleado para hacer el mismo trabajo 6 obreros?

11.

Para empapelar 6 habitaciones se emplearon 96 rollos de 7m. de largo por 45cm de ancho. ¿Cuántos rollos de papel de 8m. de largo y 50cm de ancho se necesitarán para empapelar 4 habitaciones de las mismas dimensiones que las anteriores?

12.

Para vaciar un estanque se hacen 54 viajes, utilizando un balde de viajes deberán hacerse utilizando dos baldes de 6 litros?

13.

Para preparar 1 litro de un farmacéutico especifico se precisa mezclar 250cm3 de A, 470cm3 de B y 280cm3 de C. ¿Qué cantidad debe tomarse de cada disolución para obtener 200cm3 del farmacéutico específico considerado respectivamente?

10 litros.

¿Cuántos

14.

4 15.

hombres se demoran 8 días para hacer 3/5 de un puente. Si se retiran 8 trabajadores. ¿Cuántos días emplearán los restantes para terminar la obra?

Con el dinero de la venta de 300 metros de tela a $7.500 cada uno, se pagaron los jornales de 24 obreros que trabajaron 9 horas durante 45 días. ¿Qué cantidad de dinero se necesitará para pagar a 30 obreros que han trabajado durante 8 horas diarias un numero de días igual a los 7/9 de 45?

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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

1.14 PORCENTAJE

)

En la vida cotidiana, hablar de “porcentaje” o de “por ciento” hace parte del lenguaje común. En los almacenes, en los periódicos, en las noticias, es fácil encontrarse frases como las siguientes: Ü “Hoy, descuentos del 50% por liquidación total” Ü “Por compras superiores a $50.000, reciba un 20% de descuento”. Ü “A partir del 1º de enero, el salario mínimo subirá un 12%”.

La palabra “porcentaje” significa “por ciento” y expresiones como las antes mencionadas pueden leerse e interpretarse como: Ejemplo

Lectura

Interpretación

… Hoy descuentos del 50% Hoy, descuentos del cincuenta por …por estar en proceso de liquidación total en por liquidación total… ciento por liquidación total el almacén, por cada $100 que usted compre, paga únicamente $50 Por compras superiores a Por compras superiores a 50.000 Si usted hace compras por las cuales deba $50.000, reciba un 20% de pesos, reciba un 20 por ciento de pagar más $50.000, por cada $100 que descuento. descuento. registre su cuenta, usted pagará $20 menos. A partir del 1º de enero, el A partir del 1º de enero, el salario Por cada $100 pagados en un salario mínimo, salario mínimo subirá un 12%. mínimo subirá un 12 por ciento. el año siguiente se pagarán $112.

Ejemplo 38 Si mi salario mensual en el presente año es de $2.222.400, cuál fue el porcentaje de aumento?

$1.852.000

y me hacen un aumento de éste a

La cantidad que me aumentaron fue de $2.222.400 − $1.852.000 = $370.400 Qué porcentaje de mi antiguo salario es $370.400? La idea es conocer “cuánto salario me aumentaron por cada $100 de mi antiguo salario”. De esta forma se establece una regla de tres como las vistas en la sección anterior. Dinero

Porcentaje

$1.852.000 $370.400

100% ?

Comparando las magnitudes se debe entender que a más dinero, corresponderá más porcentaje. lo que significa que las magnitudes son directamente proporcionales. El razonamiento es: Ü

Si mi salario anterior, $1.852.000, corresponde al 100%, a cuánto corresponderá un 1% $1.852.000 ÷ 100 =

$18.520 1

Ahora lo que se debe saber es cuántas veces está $18.520 en los $370.400: $370.400 ÷ 18.520 = 20%

Estos procedimientos pueden desarrollarse en una forma directa así: ?=

$370 .000 × 100 $1.852.000

= 20%

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 39 Si pagué $5.000 por concepto de intereses sobre una deuda por la que se cobra el interés, cuál es el valor de la deuda?

2.5%

En este caso, se puede establecer una regla de tres de la siguiente forma: Dinero

Porcentaje

$5.000 ?

2.5% 100%

El planteamiento se puede interpretar como: si $5.000 corresponde al 2.5%, a cuánto corresponderá el 100%?. Si se resuelve en forma resumida, se encuentra que:

$5.000 × 100 = $200 .000 2. 5

Ejercicios 1.6

Realizar los siguientes ejercicios:

Tenía $60 y gasté $55,20. ¿Qué porcentaje he ahorrado?

Si me rebajan el sueldo en un ganaba?

Mi finca tiene 480 hectáreas. El 35% de la mitad de mi finca la tengo sembrada de caña y el resto de la finca de frutas menores. ¿Cuántas hectáreas tengo sembradas con frutas menores?

Con los $80.000 que tenía compré un vestido de $40.000; zapatos por valor de camisas con el resto. ¿Qué porcentaje de mi dinero gasté en cada cosa?

Completar la siguiente tabla, teniendo en cuenta que el gobierno autorizó un alza del 15% en los pasajes aéreos.

20%,

quedo ganando

Ruta

Precio Actual

Bogotá-Medellín-Bogotá

$345.800

Bogotá-Sta. Marta-Bogotá

$423.352

Cali-San Andrés-Cali

$525.890

Cartagena-Montería-Cartagena

$285.165

$1.040.000

Aumento

mensual. ¿Cuánto

$30.000

Nuevo Precio

El mes pasado la administración de un almacén de ropa disminuyó los precios de sus existencias en un 10%. Este mes aumentó los precios en un 10%. ¿Cuánto pagaríamos este mes por un abrigo que tenía un costo de $75.000 antes de la disminución de precios del mes pasado? En examen de inglés tiene 120 preguntas. Se necesita una calificación del 70% para aprobar. ¿Si Diana obtuvo 80 puntos, aprobó el examen?

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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

Un vendedor de lotes recibe el 6% de comisión sobre los precios de venta. Si un lote es vendido en $ 38 millones, ¿cuál es la comisión?

Si una jarra tiene 100 ml. de agua y se encuentra al 20% de su capacidad, ¿Cuánta agua habrá en la jarra cuando esté con el 80% de su capacidad?

10.

Un ganadero vendió el 36% de sus reses y le quedaron 160. ¿Cuantas tenía?

11.

hhh

Es correcto decir que: x% x = % y% y

1.15 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Hasta el momento, todos los conjuntos numéricos estudiados han seguido una secuencia lógica: Los naturales hacen parte de los números enteros y constituyeron la base para su definición. De la misma manera, los números racionales se definieron con base en los números enteros y por supuesto, éstos últimos están contenidos en los primeros.

Sin embargo, el estudio de la geometría permitió encontrar situaciones en las que los números ya conocidos no permitían representar medidas reales. Tal es el caso de la medida de la diagonal de un cuadrado de lado igual a 1 ó el perímetro de una circunferencia, entre otras. Dado que era evidente su existencia, era necesario definir un nuevo conjunto de números que abarcara todos aquellos elementos cuyas características no permitían incluirlos en los conjuntos anteriores. Así como fue posible expresar todo racional como decimal periódico, como por ejemplo, 8 = 1,142857142857... = 1, 142857 , no podía negarse la existencia de 1,1438571428 571... que por la 7

simple variación de uno de los dígitos, se trataba de un número diferente al ya encontrado. Por su parte, dentro de los números negativos, era posible ubicar cualquier decimal no periódico como −2,4258899784 2356 . De esta forma se entendió que si hasta el momento se podía asociar un punto sobre la recta numérica a los ya conocidos, había muchos puntos sobre la recta a los cuales aún no se les asociaba número alguno. Todos estos nuevos elementos fueron agrupados en un gran conjunto de números llamados números irracionales que puede entenderse como el conjunto de todos aquellos números que no son racionales, es decir, los decimales no periódicos. Con estas condiciones, se logró encontrar valores aproximados para algunos números irracionales. Los números irracionales más conocidos son: 2 = 1,41421356 23731... π = 3,1415926535 8979323846 ...

e = 2.71828182845905 …

Otros ejemplos de números irracionales son: 3

3 ,− 5 , 7 ,−

π 3

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Sin embargo, lograr la ubicación precisa de estos números no es tan sencilla. En algunos casos, con ayuda de herramientas geométricas, es posible encontrar el punto sobre la recta numérica asociado a un racional. Este es el caso de 2 .

El teorema de Pitágoras relaciona la longitud de los catetos de un triángulo rectángulo con la de su hipotenusa, así: 2

1 1

Ejemplo 40 Ubicar

en la recta numérica.

Dado que al formar un triángulo rectángulo con catetos unitarios, el segmento que une los extremos de los catetos, corresponde a su hipotenusa, cuya longitud es igual a 2 . Con esta referencia, se ubica una unidad sobre la recta numérica, luego se levanta una perpendicular de longitud una unidad. Finalmente con un compás se toma la medida de la hipotenusa y se genera un segmento de circunferencia haciendo centro en O. En el punto donde el segmento de circunferencia corta la recta numérica, se encuentra 2 . 1 0

Aunque muchos números irracionales resultan de operaciones con radicales de números enteros, no todas las raíces de estos números son irracionales. Por ejemplo, 9 = 3

9 = −3

Como se puede ver, tanto números racionales.

como

-3

son números enteros y por lo tanto, son

Ejercicios 1.7 Ubicar en la recta numérica:

M= 3

N= 5

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4−

−3 5

CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

1.16 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Una vez estudiados los números racionales y los números irracionales, estableciendo que un racional no puede ser irracional y viceversa, puede introducirse un nuevo conjunto numérico que contiene tanto a los racionales como a los irracionales, que se conoce con el nombre de Conjunto de los Números Reales y que se representa como ℜ .

1.17 SISTEMA NUMÉRICO DE LOS NÚMEROS REALES Las operaciones de suma y multiplicación definidas para todos los conjuntos ya estudiados, cumplen en los Reales con las siguientes propiedades o axiomas. Para todo real a, b, c, se tiene: Propiedad

Suma

Clausurativa Conmutativa Asociativa Identidad Inverso

a×b∈ℜ

a+b =b+a

a×b = b×a

(a + b ) + c = a + (b + c )

(a × b ) × c

a+0 =0+a = a

a × 1 = 1× a = a

a + (− a ) = (− a ) + a = 0

a× 1 = 1×a =1 a a

= a × (b × c )

a (b + c ) = ab + ac

Distributiva

Multiplicación

a +b∈ℜ

Ü Ü Ü

La propiedad conmutativa cambia el orden de los elementos. La propiedad asociativa cambia la forma de agrupación. Las propiedades asociativa y distributiva requieren de tres elementos para su aplicación

Ü Ü

El elemento identidad es único en el conjunto de los Reales. Existe un inverso aditivo y un inverso multiplicativo para cada elemento del conjunto de los Reales.

Ü El único real que no tiene inverso multiplicativo es el cero ( 0 ). Ü El inverso multiplicativo se conoce con el nombre de recíproco. Toda esta teoría acerca de las propiedades que se cumplen en el Sistema de Números Reales, adquieren sentido más adelante, en el estudio del Álgebra, cuya estructura se establecerá con base en ellas.

Ejercicios 1.8 Completar la siguiente tabla: 1.

Número

Inverso Aditivo

Inverso Multiplicativo

0 1 − 4,3

22 −3 5

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Determinar, justifique su respuesta:

5. 6.

Cuál es el inverso multiplicativo de − 2 3 ? A qué sistema (s) numérico(s) pertenece el número 5 ,6 0 ,887 es un número racional? Cuál es el recíproco de 40%? Cuál es el inverso aditivo de π ?

Es π − 22 positivo, negativo o cero?

El número

2. 3. 4.

0 24

2 − 0,5

cuantas veces es el número

2 − 0,5 ?

Marque con una X los conjuntos a los que pertenecen cada uno de los números dados: 9.

Número

1,25 – 21 −

3 7 −4

π 3

−8 3+5

Para cada una de las siguientes afirmaciones, diga si es falsa o verdadera, justifique su respuesta: 10. 11. 12. 13.

Algunos racionales son decimales infinitos no periódicos. El cociente entre dos números reales es un número racional. Existen algunos números que no son ni enteros ni racionales. Si a, b y c son reales, entonces: 2a = a + a

b+c b c 14. 0,025 y − 40 son recíprocos. 15. Los números irracionales negativos no son números 16. El 0 es un número racional. 17.

(3 2 )(2 2 ) es un racional.

18.

42 56

19. 20.

reales.

está entre 6 y 7 7

3 3

son recíprocos.

Todo entero es número racional.

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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

1.18 RECTA NUMÉRICA La recta numérica mencionada como ayuda para representar los elementos de los conjuntos de números trabajados anteriormente, puede ser utilizada de la misma forma para representar los números reales. Si bien hasta ahora se asociaba a cada elemento de dichos conjuntos un punto sobre la recta, a partir de las características de los números reales, es posible asociar a cada punto sobre la recta un número real.

Ejemplo 41 La siguiente ilustración muestra la representación gráfica en una recta numérica del siguiente conjunto: 1 −4 10 3 2

{− π,− 34 , 21 , 10}

-4

-3

-2

-1

Ejemplo 42

Ubicar sobre la recta numérica el opuesto de cada uno de los elementos del conjunto del ejemplo anterior: El conjunto de los opuestos de los elementos del conjunto dado, expresado en el mismo orden en que se ha presentado el conjunto anterior, es: 4 −1 − 10 ⎧ π, 4 ,− 1 ,− 10 ⎫ 3 π 2 ⎨ ⎬ ⎩

⎭

-4

-3

-2

-1

Ejercicios 1.9 Localizar en una recta numérica los siguientes números: 1.

A=7; 2

F = 35%

B = 11 ; 5 G =− π 3

C =−3 4

D = −5 3

;

H =21

;

I = 2,8

E = − 13 6 J = −3, 33

Analizar y resolver el siguiente problema: 3.

Un saltamontes brinca a lo largo de una recta numérica como sigue: comienza en 0, salta hacia la derecha una unidad, luego hacia la izquierda dos unidades, luego hacia la derecha tres unidades, luego hacia la izquierda cuatro unidades, derecha cinco unidades y así sucesivamente. Dónde se encontrará después de: a. c. e.

15 saltos? 2.001 saltos?

En cuál salto tocará el número +100?

b. d. f.

2.000 saltos? n saltos?

Tocará alguna vez el saltamontes todos los enteros?

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1.19 RELACIONES DE ORDEN EN LOS REALES Vista la representación gráfica de los números reales en la recta numérica, y distinguiendo en ella dos grandes intervalos separados por el cero (0), en adelante será utilizada constantemente para representar situaciones en las que se involucran relaciones de orden entre expresiones. Conocidas las propiedades de la multiplicación y de la suma en el conjunto de los números enteros y racionales, es posible generalizarlos al conjunto de los reales, a saber: si

a∈ℜ

⇒ -a ∈ ℜ

a∈ℜ

y b∈ℜ

−

ó si

⇒

a∈ℜ

−

⇒

(a + b ) ∈ ℜ +

−a∈ℜ

y a×b∈ℜ

Para dos números reales a y b cualesquiera, se cumple una y sólo una de las siguientes situaciones. Esta característica se conoce como el Principio de la tricotomía: “a es igual a b”, “a es menor que b” ó “a es mayor que b” Cada una de estas situaciones puede interpretarse a partir de su ubicación en la recta numérica de la siguiente manera: Para dos números reales diferentes a, b, ubicados en la recta, se cumple que: Ü

ó a está a la izquierda de b, lo que significa que “a es menor que b”. a

ó a está a la derecha de b, lo que significa que “a es mayor que b”. b

En el conjunto de los números reales, se dice que “a es menor que b” si y sólo si b – positivo y se simboliza ∀a , b ∈ ℜ, a < b ⇔ (b − a ) > 0 ó si existe un real c ≠ 0 tal que a + c = b

Dado que en los reales puede identificarse un orden, se establecen las siguientes propiedades: Propiedad transitiva: Para todo cumple a < c.

a, b, c,

que pertenece a los reales, con

b a<b

a < b y b < c,

c b<c

a<c

Propiedad de orden en la adición: Para todo real a, b, c, Ü Si a < b,

entonces,

a + c < b + c. a

a+c

b+c

c c

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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

Propiedad de orden en la multiplicación: Para todo real a, b, c, Ü Si a < b, y

entonces,

c > 0,

ac < bc. c veces a a

axc

bxc

c veces b

Ü Si a < b, y c < 0 entonces ac > bc. Ü Si a < b, y b < c entonces a < b< c, es decir b está entre a y c.

2<5 –3 < 0

(2)(– 3) > (5)(–3)

(2)(–3) < (5)(–3)

Existen otras propiedades a las que no se les da un nombre especial, pero se usan frecuentemente y se cumplen si cambiamos el sentido de las desigualdades. Ü

Si a < b, y

Si 0 < a < b, y

Si a < b, y ab > 0, entonces

c < d,

entonces,

0 < c < d,

a + c < b + d.

entonces ac < bd. 1> 1. a b

A manera de ejercicio, se recomienda realizar la interpretación geométrica de las propiedades.

Ejemplo 43

2<5 (2)(5) > 0

1>1 2 5

1<1 2 5

Q Ü

Si 0 ≤ a < b , entonces

a <b

Ejemplo 44

−7 < −4 ≤ 0

0≤4<7 2

4 <7

(− 7 ) 2

16 < 49

< (− 4 ) 2

49 < 16

Q Ü

a > 0, b > 0

y a > b entonces

a< b

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejercicios 1.10 Utilizar los símbolos ”<,>,=” según convenga: 1.

–1

–5

−1 2

–1

8 3

1 3

48 24

− 18 2

10 4

– 10,5

– 3,02

2 +1 3

25 15

4+6 5 7

117 70

⎛⎜ 2 + 5 − 12 ⎞⎟ + 8 5 ⎝ ⎠ 4

5 × 3 + 1 − 10 4×3 2

1.20 NOTACIÓN DE INTERVALOS Así como se establece una relación de orden entre dos puntos, es posible definir un conjunto de puntos que por sus características conforman un segmento de recta sobre la recta numérica. Estas características pueden ser descritas en forma verbal, numérica, algebraica ó gráfica.1 La forma verbal consiste en una frase que describe las características de todos los puntos en cuestión, haciendo uso del lenguaje común. La forma numérica se relaciona con la llamada notación de intervalos. La forma algebraica se estudiará cuidadosamente en el siguiente capítulo y desde allí se construirán los conceptos del álgebra y de la trigonometría que nos ocuparán más adelante.

Ejemplo 45 En la siguiente tabla se presentan conjuntos de puntos, en notación de intervalos a partir de una expresión verbal. Expresión Verbal

Números reales entre –2 y 3 Números reales entre –2 y 3, inclusive Números reales entre –2 y 3 inclusive Números reales entre –2 inclusive y 3

Notación de Intervalos

(−2; 3 ) [−2; 3 ] (−2; 3] [−2; 3 )

STEWART, James. Cálculo, Conceptos y Contextos. “En época más reciente, se ha ampliado la regla de tres (interpretación numérica, geométrica y algebraica) para convertirse en la regla de cuatro al hacer hincapié también en el punto de vista verbal o descriptivo”. ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

Por convención, los paréntesis redondos ( ), indican que los puntos extremos no hacen parte del conjunto. Los paréntesis cuadrados [ ] indican que los extremos sí hacen parte del conjunto. Es importante recalcar que en la notación de un intervalo puede usarse combinación de paréntesis.

Cuando uno de los extremos de los intervalos es −∞ ó ∞ , se utiliza paréntesis redondo, ya que éste no es un número específico.

(−∞; −3 ]

En notación de intervalos el número menor se escribe siempre a la izquierda.

[−1; 5 ]

[−∞; −3 ]

[ 5; −1]

Ejemplo 46 Para ilustrar segmentos en la recta numérica existen las siguientes convenciones: Intervalo Representación Gráfica

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-4

-3

-2

-1

Notación

Tipo

(−1; 2 )

Abierto

( −3 ; ∞ )

Abierto

(−∞ : 2 )

Abierto

[−3; −1]

Cerrado

[1 : 4 )

Semiabierto

⎛⎜ 1 ; 9 ⎤ ⎝ 2 4 ⎥⎦

Semiabierto

(−1; 0 ) ∪ (0; 2 ]

Unión de Intervalos

Q Ejercicios 1.11 Representar sobre una recta numérica los siguientes intervalos: 1.

⎛⎜ − 1 ; 3 ⎞⎟ ⎝ 4 4⎠

[−2 ; 5 ]

⎛⎜ − ∞ ; − 5 ⎞⎟ 2⎠ ⎝

[3 ; 3]

(−3 : 1]

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Encontrar el intervalo que está representado en cada una de las siguientes rectas numéricas:

Representar sobre una recta numérica los siguientes conjuntos: 10. 13.

[1 ; 3 ] ∪ ( 2 ; 5 ]

[−3 ; 2] ∩ [3 ; 8 )

11.

[ 1 ; 3] ∩ ( 2 ; 5]

12.

( − ∞ ; 1] ∪ (1 ; 3 ]

14.

⎛⎜ 2 ; 3 ⎞⎟ ∪ ⎡ 3 ; 1⎞⎟ ⎝ 3 4 ⎠ ⎢⎣ 4 ⎠

15.

[−3 ; 2] ∩ { x 2 x = 1}

1.21 OTROS CONJUNTOS NUMÉRICOS Existen otros conjuntos numéricos que por el alcance que se ha definido para este libro de precálculo, no serán estudiados. Sin embargo se hace necesaria su mención, dado que pueden tener aplicación más adelante. Los conjuntos numéricos a los cuales se hace referencia se generan para dar solución a un número real que elevado al cuadrado sea igual a –1. y para resaltar su carácter de “no real” se conocen con el nombre de los números imaginarios. Estos, junto con los números reales dan lugar a los llamados números complejos,

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN Hallar el M.C.D. de: 1.

464, 812, 870

98, 284, 392, 1176

96, 102, 192, 306

36; 84; 120

Hallar el m.c.m. de: 4.

¹ 6. 7.

12, 24, 60

Con los números 38, 108 y 120 encontrar: Un divisor del primer número y un múltiplo del segundo. El máximo común divisor de los tres números.

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

8. 9. 10.

El mínimo común múltiplo Tres divisores comunes de los tres números. Dos múltiplos comunes de los números.

Decir si es verdadero o falso y justifique su respuesta: 3

11.

5 −5 = 5

12.

se puede expresar como 5 4 x 23 Al descomponer el número 54 en factores primos, se obtienen 2 factores. 200 tiene 12 divisores.

13. 14.

5.000

Simplificar: 15.

(4 ÷ 15 ) ÷ ((7 ÷ 30 ) + (1 ÷ 60 ) ) − (12 ÷ 25 )

16.

(23 ÷ 24 ) − (7 ÷ 12 ) ÷ ((35 ÷ 36 ) − (7 ÷ 9 ))

17.

32 + ⎛ − 10 ⎞ + ⎛ 14 ⎞ + ⎛ − 68 ⎞ + ⎛ − 10 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 27 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 27 ⎠ ⎝ 9 ⎠

18.

3+ 5 + 6 4 28 30

2+4 19.

(− 2 ) × ⎜⎛ − 1 ⎟⎞ × 2 ⎝

6⎠

20.

3 5

21.

23.

1 ÷ ⎧1 ÷ ⎡ ⎛ 1 + 1⎞ ÷ ⎛ 2 − 1⎞ ⎤ ⎫ ⎟ ⎬ ⎟ ⎜ ⎜ ⎨ 2 ⎩ 4 ⎢⎣ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ ⎥⎦ ⎭

24.

1 +2 +3

26.

(6 − 4 )4

27.

( 0 × 4 )3

29.

(− 2 )5 3 2

30.

5+ 1+

25. 28. 31. 33.

36.

39.

1 2

2− 6

1 4

×3 ×3

) ÷ (3

×3

)

( )+ 1 [− ( (− 5) + 2 ) ] ÷ [− ( (− 8) 3

5 2

)]

(− 2 )(− 9 )2 2⎤ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎥ ⎝3⎠ ⎥ ⎦

⎡

(36 ) − 1 ÷ ⎢6 ⎢ ⎣

1 3

32.

34.

125 + 20 − 500

1 4

1 2 1 4

1−1 1 5

22.

8 +2−

6 7

⎡ 4 0⎤ ⎢ (27 )3 − (27 ) ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 32 + 42 2 ⎥ ⎦ ⎣

40.

7 3 1024 ÷ 3 8 8

[

− (− 2 ) − (− 2 )

35.

3 4

]

( 12 )3 × (6 )2 × (2 )5 2 (3 )3 × ( (2)5 )

37. −1

(− 2 )

3 ÷ ⎛⎜ 5 × 6 ⎞⎟ ⎝3 5⎠

÷3

−1

) + 17

+ ( − 2 ) 4 − ( − 2 ) −2

10 20 2 4

38.

(2 + 7)

41.

⎤ ⎡ 1 ⎢ −1 −1 ⎥ ⎣3 + 5 ⎦

−2

⎡ 3 −1 + 5 −1 ⎤ ⎢ −1 ⎥ ⎣⎢ (3 + 5 ) ⎦⎥

−1

Simplificar y dar el resultado expresado en potencias:

[ (5

42.

− (− 8 )3 ÷

45.

⎛ ⎛ 2 ⎞ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞ 5 ⎜⎜ ⎜ − ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠

) ( (− 5 )

)]

43.

⎡⎛ 8 ⎞ −1 ⎛ 1 ⎞ 2 7 1⎤ ⎛ 4⎞ ⎢⎜⎝ 3 ⎟⎠ − ⎜⎝ 4 ⎟⎠ − 3 + 48 ⎥ ÷ ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ ⎣ ⎦

46.

8 ⎛⎜ 2 ⎞⎟ − 4 ⎛⎜ 2 ⎞⎟ + 2 ⎛⎜ 2 ⎞⎟ + 6 ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠

44.

(4 3 )(2 6 )

0⎞ ⎛ ⎛ 2 ⎞2 ⎞ ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ÷ ⎜⎜ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎟⎟ ⎝⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎝⎝ 3 ⎠ ⎠

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8 47.

Simplificar:

( 3)

3 3

¹ 48. 49. 50.

( )

− 3 3

⎛ + ⎜⎜ ⎝

( 3)

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Realizar los siguientes ejercicios: Encontrar el recíproco de 2 + 2 3 ¿Es posible que un número sea su propio recíproco? Por qué? Cuál es el decimal que representa 1 + 1 ? 7

8 51.

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Decir a que es igual cada una de las siguientes expresiones, a∈ℜ 0 0

52.

0 a

a 0

53.

54.

Decir si es verdadero o falso y justifique su respuesta:

56.

9 + 16 = 9 + 16

59. 62. 65.

(4 × 3 )2

60.

3 + 3 + 3 = 35 4 3

63.

(− 2 )4

12 × (4 + 3 ) = (12 × 4 ) + 3

6 +6 =6 −3 4 =− 1

57.

= 4 ×3 3

= −2

55.

58.

(5 + 2 )3

61.

3 =0

64.

(− 5 )0

= −1

=5 +2

Resolver los siguientes problemas:

66.

Cuál es el 45% de los 7 de 240?

67.

Con los números 2, 4, 5, 8 forme dos fracciones diferentes de tal forma que cada una de ellas sea menor que la unidad y la diferencia entre ellas sea máxima.

68.

Un almacén tiene el 20% de descuento en todas sus existencias. ¿Qué es lo más conveniente para un cliente, que se aplique 15% por IVA antes o después del descuento?

69.

En una calle de Bogotá, el periódico El Espectador descubrió un hueco de forma cúbica. El lado del cubo mide dos (2) metros. Si un centímetro cúbico de tierra pesa (2) gramos, ¿Cuánto pesa la tierra que hay en el hueco?

70.

Los empleados de una tienda de bicicletas establecieron como meta de ventas 200 bicicletas nuevas en un período de tres meses. Vendieron 75 el primer mes, 130 el segundo mes, y 125 el tercer mes. ¿Qué porcentaje de su meta alcanzaron?

71.

Una escalera tiene 21 escalones, cada escalón tiene 0,18 metros de altura. ¿Cuál es la altura de la escalera en centímetros?

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

72.

Si 5 personas pueden sostenerse durante 28 días con $1.540.000. ¿Cuántas pueden sostenerse en las mismas condiciones con $1.320.000 durante 60 días?

73.

74.

excursionistas llevan provisiones para 20 días a razón de 3 raciones diarias. Si las raciones se disminuyen a la tercera parte y se aumentan 10 hombres, ¿cuántos días durarán los víveres?

Una señora tenía en un recipiente 8 tazas de leche. Utilizó 2 2 para 3 un pastel y 3 1 tazas para hacer un flan. ¿Cuántas tazas de leche quedaron? 4

75.

En una casa el techo es de dos (2) aguas. Si la inclinación de un lado es de 60 grados y la otra es de 70 grados y un gallo que se encuentra en la unión de las dos aguas del tejado pone un huevo, hacia qué lado del tejado caerá el huevo?

76.

En una pequeña ciudad, con el "boom" del petróleo se presentó la siguiente situación al año pasado: El 25% de las mujeres de la ciudad se casaron con hombres de la ciudad, los cuales correspondían al 2,4% de los 1250 hombres que habitaban en la ciudad. Asumiendo que no hubo bigamia, cuántas mujeres vivían en la ciudad?

77.

Un pescador recogió 72 libras de pescado en 6 horas. Decidió cortar el pescado en filetes y venderlo a un restaurante a razón de $1.800 la libra. Si se desperdició un sexto del total del pescado y el pescador demoró 2 horas en cortarlo. ¿Cuánto dinero ganó por hora?

78.

Si al pagar una cuota de $15.000 se rebaja el 5% de su valor, cuánto se deberá pagar?

79.

Qué es mayor el 40% de 120 o el 30% de 150.

80.

Dos descuentos sucesivos del 10% y del 20% equivalen a una solo de cuánto?

81.

Una población de 1.500 habitantes ve aumentado su censo de población durante dos años consecutivos en un 8% y 4,94% respectivamente. Cuántos habitantes tiene al cabo de los dos años? Cuál es el porcentaje de aumento acumulado?

82.

Un comerciante compró 15 libros a $35.000 cada uno. Habiéndose deteriorado 9 de ellos, tuvo que venderlos a $24.200 cada uno. A cómo tiene que vender los restantes para no perder?

83.

En un despacho de 120 repuestos el 5% salieron defectuosos, en el segundo despacho de 80 repuestos el 10% salió defectuoso. En total que porcentaje salió defectuoso?

84.

Tengo 2 tíos paternos paternos?

85.

Para construir 180 m de un canal para aguas lluvias, 15 obreros han trabajado durante 12 días a razón de 10 horas por día; para construir 600m del mismo canal trabajando 8 horas diarias 32 obreros cuántos días se requerirán?

86.

Qué es más rentable: invertir $4'800.000 al 7,5% anual o comprar con el mismo dinero una casa de recreo que se puede alquilar por $20.000 mensuales?

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y tres tías paternas. ¿Cuántos hijos tuvieron mis abuelos

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

87.

3 aviones salen de una misma ciudad, el primero cada 8 días, el segundo cada 10 días y el tercero cada 20 días. Si salen juntos de ese aeropuerto el día 2 de Enero, ¿Cuáles serán las dos fechas más próximas en que volverán a salir juntos? (El año no es bisiesto).

l m

88.

Un árbol en un año pasa de x cm de altura a y cm de altura. Cuál es el porcentaje de crecimiento en centímetros?

89.

Una torre de 25,05m de longitud da una sombra de 33,40m. Cuál será la longitud de la sombra a la misma hora. de una persona cuya estatura es de 1,80m?

90.

Si la nota de Precálculo en el primer tercio (30%) es 3,5 y en el segundo tercio (30%) es de 4,0 y lleva 2,5 en el 80% del tercer tercio (40%), cuanto debe obtener en el próximo examen que vale el 20% para obtener en definitiva del semestre 3,3. Dar la respuesta con tres cifras decimales).

91.

En una calle hay 100 viviendas. Se llama a un fabricante de números para que ponga número a todas las viviendas (del 1 al 100). ¿Cuántos números 9 deberá fabricar para realizar su trabajo?

92.

Se desea dividir tres varillas de 36, 72, 96 cm en pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿De qué longitud debe ser cada pedazo?

93.

Treinta hombres se comprometen a hacer una obra en 15 días. Al cabo de 9 días solo han hecho

3 11

de la obra. Si el capataz refuerza la cuadrilla con 42 hombres, podrían

terminar la obra en el tiempo fijado? Si no es posible cuántos días más necesitarán? 94.

Un cubo de madera se pinta y luego se divide en 27 cubos iguales. De estos nuevos cubos, ¿cuántos tienen 4 caras pintadas?, ¿cuántos 3?, ¿cuántos 2?, ¿cuántos 1?, ¿Cuántos quedan sin pintar?

95.

Un auto recorre un día los

5 8

de la distancia entre dos ciudades y al día siguiente los

2 3

de lo que le falta por llegar. Si aún está a 160 km. de su destino, ¿cuál es la distancia entre las dos ciudades? ¿Cuántos kilómetros recorrió cada día? 96.

¿Cuántos animales tengo, si se sabe que todos menos dos son perros, todos menos dos son gatos y todos menos dos son loros?

97.

Se podrían dividir 3 varillas de 20, 24, 30 m en pedazos de 4 metros de longitud sin que sobre ni falte nada de cada varilla.

98.

Ernesto recibe una herencia de $60.000. Invierte la mitad al 8%, la tercera parte de lo que le queda al 1,5% y el resto al 10%. ¿Cuánto recibe al cabo de 2 años 5 meses por concepto de intereses? ( las tasas de intereses son mensuales y el interés es simple ).

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CAPÍTULO I SISTEMAS NUMÉRICOS

99.

100.

Para comprar un número exacto de docenas de pelotas de $80 la docena, o un número exacto de docenas de lápices de $60 la docena ¿Cuál es la menor suma de dinero necesaria? Para cancelar un crédito nos presentan tres opciones: a. b. c.

18 meses con cuotas de $15.200 cada una 2 años con cuotas de $14.850 mensuales. 1 año con cuotas trimestrales de $48.200.

Con cuál opción pagamos menos dinero? 101.

Alvaro el negociante, vende en $68’500.000 una casa que le había costado $57'100.000 ¿Cuál fue el porcentaje de ganancia? 102.

Un comerciante con el fin de atraer clientela, anuncia conceder en sus ventas un 20% de descuento; pero, poco escrupuloso, modifica previamente los precios en ellos marcados, aumentándolos en un 20%. ¿Qué descuento hace, en realidad, sobre los precios originales?

103.

La tabla de multiplicación del 9 proporciona un interesante estudio de patrones, para ello observémosla: 1×9= 9 2 × 9 = 18 3 × 9 = 27 4 × 9 = 36 5 × 9 = 45 6 × 9 = 54 7 × 9 = 63 8 × 9 = 72 9 × 9 = 81 a. b.

Qué patrones puede encontrar? Qué sucederá si se continúa la tabla en dos líneas más? Se encuentran nuevos patrones? Cuáles? Pruebe todos los anteriores patrones

104.

Tres cajas contienen 160 libras, 200 libras y 64 libras de jabón en bloques, respectivamente. Cada bloque de jabón tiene el mismo peso y el mayor posible. Cuánto pesa cada bloque?. Cuántos bloques hay en cada caja?

105.

Un proyecto tiene una duración de tres años. El primer año da una pérdida de $80.000, el segundo año la pérdida disminuyó en $50.000 y el tercer año da una utilidad de $120.000. Determine si el proyecto da pérdida o ganancia y de cuánto.

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“Todo debe simplificarse hasta donde sea posible, pero nada más”

CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO CONCEPTOS BÁSICOS VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS PRODUCTOS NOTABLES RELACIONES ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. LENGUAJE ALGEBRAICO

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA 2.1

ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO

En la siguiente tabla, marcar con una X en la(s) casilla(s) correspondiente(s) el tipo de expresión al que pertenece: Expresión

Aritmética

Algebraica

Polinomial

3 + 12 ÷ 4 2

x + 2x − 6 3

y − πy 5+w −w

1 − (2 + 3 ) × 5 3 3 1 z 3 − 16 z 2 6 2

x −2 x

log ( 2 ) + log ( 8 ) 5

2 ×2 3

x+ 1

×3

yz + y − 2 y 3

4 x y + x − 2y + 4

( x + 3 )2 x 3 2

x − 3 + 2x − 5x + x − 6x

¿Cuáles fueron los criterios tenidos en cuenta para la clasificación de las expresiones? Aritméticas

Algebraicas

Polinomiales

¿Por qué una expresión puede clasificarse en más de un tipo?

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Para las expresiones identificadas como polinomiales en la tabla, determinar: Expresión Polinomial

2.2

Número de Términos

Conjunto al que pertenecen los Coeficientes

Grado del Polinomio

Cantidad de Términos Semejantes

CONCEPTOS BÁSICOS

EXPRESIÓN ARITMÉTICA. Cualquier combinación de números y signos de agrupación u operación. VARIABLE. Símbolo, usualmente una letra, que representa cualquier elemento de un conjunto de referencia dado. En este texto, mientras no se especifique lo contrario, se asume que el conjunto de referencia es el de los números ℜ. EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Cualquier combinación de números reales y letras unidos por operadores aritméticos. Las expresiones separadas por los signos de suma o resta son llamadas términos. Cada término está conformado por un número real llamado coeficiente, y una parte literal, formada por una o más variables. La parte variable puede tener exponentes reales. En el término

y x

, el coeficiente es 1.

El exponente de la variable en el término El término 6 tiene como parte variable

es 1.

TÉRMINOS SEMEJANTES. Son aquellos que tienen la misma parte literal con igual exponente. EXPRESIONES ALGEBRAICAS ESPECIALES: POLINOMIO. Combinación de números, variables con exponentes enteros no negativos y signos de agrupación u operación. El grado del polinomio está determinado por el mayor exponente de la variable en que está dado. La forma general para un polinomio de grado n en una variable es: an x

+ a n −1x

n −1

an≠0, con n ∈ Z

+ an − 2 x +

n−2

+ ... + a1x + a0 ,

donde los coeficientes

son números reales,

∪ {0} .

A a0 se le da el nombre de término independiente.

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CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

Según el número de términos, un polinomio recibe nombres especiales, así: Monomio.

Es aquel que tiene un solo término.

Binomio.

Es aquel que tiene dos términos no semejantes.

Trinomio.

Es aquel que tiene tres términos no semejantes.

FRACCIÓN ALGEBRAICA. Cociente o razón entre dos polinomios, donde el polinomio del denominador es de grado > 0.También se conoce como expresión racional. El capítulo XIV cubre este tema con detalle.

Ejercicios 2.1 En los ejercicios 1 a 10, decir si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Justificar la respuesta. 1.

Los términos

ab xy

1 x

3 2

y b xa

son semejantes.

y x son términos semejantes.

Las expresiones

w + 3w

4. 5.

Toda expresión algebraica es un polinomio. 2 y + 3 y + 1 es un trinomio. La expresión 3 x ( x + 1) es un monomio.

−1

+5 3

3 x +2

7x + 3x − 2 x + 3 5

9. 10. 11.

2.3

_________________

es una expresión algebraica.

_________________

_________________ _________________ _________________ _________________

es un polinomio de grado 1. 2

_________________

es una fracción algebraica.

_________________

Un polinomio de grado 3 tiene cuatro términos. 3z + π es un polinomio. 4 5 5 4 3a b y 3a b son términos semejantes.

_________________ _________________ _________________

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

7 por 5 puede escribirse:

7 por x puede escribirse:

y por x puede escribirse:

7× 5

7x 7⋅x 7 (x )

yx y ⋅x

7⋅5

7 (5 ) (7 ) 5 (7 )(5 )

( 7 )x (7 )( x )

y (x ) (y ) x (y )( x )

El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que toma la expresión cuando se le asignan valores numéricos a las variables.

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 1 3 x + (3 x ) 0 + x 0

−1

+ 2x

x =1 2

cuando

Reemplazando x por el valor dado, se tiene: 0

3 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ + ⎛⎜ 3 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎞⎟ + ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠

−1

+ 2 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎝2⎠

Efectuando las operaciones indicadas, se tiene: 3 (1) + 1 + 2 + 1 = 7

Ejemplo 2 3

x y − x y + 3y + 2

cuando

x = − 1; y = −3 3

Reemplazando x y y por los valores dados, se tiene: 3

⎛⎜ − 1 ⎞⎟ (− 3 ) − ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ (− 3 )3 + 3(− 3 ) + 2 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

Efectuando las operaciones indicadas, se tiene: ⎛⎜ − 1 ⎞⎟(− 3 ) − ⎛⎜ 1 ⎞⎟(− 27 ) + 3(− 3 ) + 2 = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ + 3 − 9 + 2 ⎝ 9⎠ ⎝ 27 ⎠ ⎝ 9⎠ = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ − 4 = 1− 36 = − 35 9 ⎝ 9⎠ 9

Ejercicios 2.2 Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas: 1.

, cuando 3

−x +x x −1

+ 3x + 2

a −b

a=3

cuando si

b = −2 .

x = −1

2. 4.

x + 2x x

− ( x + 2) , 2

+ 3x + 2

cuando

x = −3

x =2

x =−2

Resolver los siguientes ejercicios: 6. 7.

2.4

¿Qué se puede concluir de los ejercicios 4 y 5?. ¿Por qué se llega a esa conclusión? Si x y y son enteros y xy 2 es entero impar, qué se puede decir de ( xy )2 ?

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Simplificar una expresión algebraica es convertirla en la expresión equivalente más simple. A partir de este punto y hasta el capítulo XIII, las expresiones algebraicas que se estudiarán serán polinomios. Al simplificar una expresión algebraica pueden presentarse situaciones que llevan a aplicar al menos uno de los siguientes procesos:

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CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

Agrupar términos semejantes.

Ejemplo 3 Simplificar

6x − 9x + 3 − 4x − 7

= 6x

− 9x − 4x + 3 − 7

= 6x

− x (9 + 4 )+ 3 −7

Propiedad Conmutativa: Propiedad Distributiva

= 6x

− 13 x − 4

Propiedad Clausurativa

Aplicar la propiedad distributiva en caso de encontrar signos de agrupación tales como ( ), [ ], { } ó ⎯. En caso de tener paréntesis anidados, un par de paréntesis entre otro, se debe aplicar la propiedad distributiva de adentro hacia fuera.

Ejemplo 4 Simplificar

m − { m − [m − (m − 1 ) ] }

= m − { m − [m − m + 1 ] } = m − {m − [ 0 + 1

]}

= m − { m − 1} = m − m +1

P. Distributiva. Inverso Aditivo. P. Modulativa de la adición y Distributiva P. Distributiva. Inverso Aditivo.

Ejercicios 2.3 Simplificar las siguientes expresiones dando el resultando en forma de polinomio: 1.

−[− x + 2( x − 3(−2 x + 3(−8 x − 6( x − 2 x + 3 ))))]

−[−[−(− z − 2 ) + (5 − x )] − (3 − y ) + (−2 x + 5 y )]

(5y

− 6y

) (

+ y − 7 − 5y

+ 6y

+y +2

)

−[−2 + x + (3 − z )] + [(y − 8 ) − (3 + x )] − 5( x + 6 )

(4 x

) (

)

+ 2x − x + 5 + x − 3x − 5x + 1

Encontrar el polinomio que resulta de: 6. 7. 8.

Sumar los siguientes polinomios: 2a − 3b − 3c ; a + 5b − 2c y 3a − 2b + 4c Restar el segundo polinomio del primero: 5a − 4b − 2d ; 2a − 4b − 2c Restar la suma de los dos últimos polinomios, de la suma de los dos primeros: 2 2 2 2 2 2 2 2 x − 4 xy + y ; 3 xy − y ; x − 2 xy − y ; x + 3 xy − 2 y Restar

3x − 5x + 2

de cero.

En la multiplicación de expresiones algebraicas pueden presentarse dos tipos de situaciones: la primera, en donde todos los factores son monomios, y la segunda cuando al menos uno de los factores es un polinomio.

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Para el primer caso, el resultado de la multiplicación se encuentra aplicando las propiedades de la multiplicación y las de la potenciación en números reales.

Ejemplo 5 3

−x y

Simplificar 3

−x y

(− 3

)

(− 3

)

( )( x x )( y y ) = 3 ( x x )( y y ) )( y ) =3 (x = − −3

3 +1

= 27 x y

3+5

P. Asociativa y Conmutativa P. Opuesto Aditivo P. Potencias

Cuando se presenta el segundo caso, es decir, cuando al menos uno de los factores es un polinomio, debe multiplicarse aplicando sucesivamente la propiedad distributiva de los reales, como se ve en los ejemplos siguientes:

Ejemplo 6 Simplificar:

2 y (4 y + 2 x ) 2 y (4 y + 2 x ) = 2 y (4 y ) + 2 y (2 x ) = 8y

P.Distributiva

+ 4 yx

P. de las Potencias

Ejemplo 7 Simplificar:

⎛ 1 + 3a + 9a 2 ⎞⎛⎜ 1 − 3a ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 16 4 ⎠⎝ 4

⎛ 1 + 3a + 9a 2 ⎞⎛⎜ 1 − 3a ⎞⎟ = ⎛ 1 + 3a + 9a 2 ⎞⎛⎜ 1 ⎞⎟ + ⎛ 1 + 3a + 9a 2 ⎞( − 3a ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 16 4 ⎝ 16 4 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 16 4 ⎠⎝ 4 ⎠

)

P.Distributiva

2 1 ⎞ 3a ⎛ 1 ⎞ 1 (− 3 a ) + 3 a ( − 3 a ) + 9 a 2 (− 3 a ) ⎞ = ⎛⎜ 1 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ + ⎜ ⎟ + 9a ⎛⎜ ⎞⎟ ⎟ + ⎛⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎠ ⎝ 16 4 ⎠ ⎝ 16 ⎝ 4 ⎠ 4 ⎝ 4 ⎠

P.Distributiva

2 3⎞ 3a 9 2 ⎞ ⎛⎜ 3a 9a − − 27a ⎟ = ⎛⎜ 1 + + a ⎟+ − ⎟ ⎜ 4 ⎠ ⎝ 16 ⎝ 64 16 4 ⎠

Operaciones

2 3 = 1 + 3a + 9 a − 3a − 9a − 27 a 64 16 4 16 4 3 = 1 − 27a 64

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P.Distributiva Agrupación de términos semejantes

CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

Ejercicios 2.4 Simplificar las siguientes expresiones:

(− 5 x y ) (− 4yz ) ( ab ) ( 2bc ) ( a c ) (2a − 3a + 5) + a (a + 3a − 4) 3a (a b ) + (− a )(a b ) (2m + n )(3m − mn + 2n ) 3

3 xy

2 2

10.

3 3

13.

2.5

( )( − 5 b ) ( 2 ab ) ( b c ) (3 x + 1) (2 x − x + 2 )(x + 4 ) (5 x y )(4 x y ) (x y + 6 xy + y )(x + y ) 3

3 2

2 4

2a b 3 a

2. 5.

11.

14.

( 2x ) ( − x ) (− y ) (− x y )

−x

2 3

2 x 2 y 4 ⎛ 3 xy 3 − 1 x 4 y + 2 xy 3 z 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝5 ⎠ 3 4

12.

⎛⎜ 1 a 5 ⎞⎟ − 3a 2 4a 7 ⎠ ⎝6

)( )

(

PRODUCTOS NOTABLES

Existen productos de binomios de uso tan frecuente, que se han creado esquemas de solución de fácil nemotecnia. Tales métodos de solución establecen una relación de igualdad tal que su aplicación es válida tanto para encontrar el resultado del producto, como para realizar el proceso inverso de encontrar los factores que dan lugar a una expresión polinomial. A este tipo de productos se les conoce con el nombre de productos notables. Cuadrado de un binomio: se presentan dos situaciones El cuadrado de una suma: expresado (a + b )2

(a + b )2

= a + 2ab + b

= (a + b )(a + b ) = a (a + b ) + b (a + b ) 2

= a + ab + ba + b = a + 2ab + b

El cuadrado de una diferencia: expresado como (a − b )2

(a − b )2

La suma por la 2 como (a + b )(a − b ) = a − b 2

a −b

diferencia

términos

(a + b )(a − b ) = a (a − b ) + b (a − b ) = a 2 − ab + ba − b 2

= a − 2ab + b

= (a − b )(a − b ) = a (a − b ) − b (a − b ) = a − ab − ba + b = a − 2ab + b

iguales:

= a −b

y b 2 representan las áreas de dos cuadrados de lado que representa?

representa

respectivamente

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Para interpretar la situación, se utiliza la siguiente gráfica: a

a-b

A a

B a-b

Como puede verse, a 2 − b 2 representa el área no sombreada, y corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos A y B: a − b = (a − b )a + b (a − b ) = (a − b )(a + b ) 2

Cubo de un binomio: se presentan dos situaciones El cubo de una suma: se expresa (a + b )3

(a + b )3

(

= (a + b )(a + b )2 = (a + b ) a + 2ab + b

(

= a a + 2ab + b 3

)+ b(a

+ 2ab + b

= a + 3a b + 3ab + b

)

= a + 2a b + ab + a b + 2ab + b 2

(

= a a − 2ab + b 3

)− b(a

(

− 2ab + b

= a − 2a b + ab − a b + 2ab − b 2

= a − 3a b + 3ab − b

)

(

= a a − ab + b 3

2 2

) + b(a 2

− ab + b 2

)= a

) 3

= a − a b + ab + ba − b a + b = a + b

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)

(

= a − 3a b + 3ab − b

La suma de cubos: expresado (a + b ) a 2 − ab + b 2

(a + b ) a 2 − ab + b 2

= (a − b )(a − b )2 = (a − b ) a − 2ab + b 2

)

El cubo de una diferencia: expresado (a − b )3

(a − b )3

= a + 3a b + 3ab + b

CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

(

La diferencia de cubos: expresado (a − b ) a 2 + ab + b 2

(

(a − b ) a 2 + ab + b 2

)

(

= a a + ab + b 3

) − b(a

+ ab + b 2

)= a

−b

)

= a + a b + ab − ba − b a − b = a − b

Ejemplo 8 Encontrar el polinomio equivalente a ( 2 a − 3 ) 2

(2 a − 3 )2 = (2 a )2 = 4a

− 2 ( 2 a )( 3 ) + ( 3 ) 2

− 12 a + 9

Ejemplo 9 Desarrollar el producto ⎛3 ⎜⎜ x − y ⎝2

⎛3 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎜⎜ x − y ⎟⎟ ⎜⎜ x + y ⎟⎟ 2 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2

⎞ ⎛3 ⎞ ⎞⎛ 3 ⎟⎟ ⎜⎜ x + y ⎟⎟ = ⎜⎜ x ⎟⎟ − ( y ) 2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎠⎝ 2 9 = x2 −y2 4

Ejemplo 10 Simplificar la expresión ( 2 x

− 1) 2 − ( 3 x + 2 )( 3 x − 2 )

( 2 x − 1) 2 − ( 3 x + 2 )( 3 x − 2 ) = ( 2 x ) 2 = 4x

[

− 2 ( 2 x )(1) + (1) 2 − ( 3 x ) 2 − ( 2 ) 2

(

− 4 x + 1− 9 x

−4

)

]

= 4 x 2 − 4 x + 1− 9 x 2 + 4 = −5 x 2 − 4 x + 5

(a ± b )2

= a ± 2ab + b

(a ± b )3

= a ± 3a b + 3ab ± b

(

(a ± b ) a 2 ∓ ab + b 2

)= a

±b

(a ± b )2

=a ±b

(a ± b )3

=a ±b

(

(a ± b ) a 2 ∓

2 ab + b ) = a 2

±b

Los productos notables no solamente facilitan las operaciones algebraicas sino que además son útiles para operaciones aritméticas. Para ilustrarlo se presentan los siguientes ejemplos.

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 11 Encontrar el valor de

⎛ ⎜ ⎝

8 − 2 ⎞⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

8 − 2 ⎞⎟ ⎠

= ⎛⎜ ⎝

8 ⎞⎟ ⎠

− 2 ⎛⎜ ⎝

8 ⎞⎟ ( 2 ) + ( 2 ) 2 ⎠

=8−4 8 +4 = 12 − 4 8

Ejemplo 12

Encontrar el valor de ( 325 ) 2

( 325 ) 2

= ( 300 + 25 ) 2 = ( 300 ) 2 + 2 ( 300 )( 25 ) + ( 25 ) 2 = 90.000 + 15.000 + 625 = 105.625

Ejercicios 2.5 Expresar en forma de polinomio: 1.

(2 x − 1)(2 x + 1)

[( x − 2 y ) − 3]

[y + (4 − 2 x )]2 ( x − 3 )3

[a + (b + 2 )][a − (b + 2 )]

[( x − 2) + 1]3

Encontrar el valor de: 7.

x −y

x−y = 1 ,m ≠0 y x +y =m m

, si

Mostrar que: 8.

2 ⎛⎜ x 2 + x + 1⎞⎟ − ( x − 3 )( x + 1) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 ⎝ 2 ⎠ 4

⎛⎜ x 2 + x + 1⎞⎟ − 5 x ⎝ ⎠ 2 4

10.

( x − y )(y − x ) = −( x − y )2

11.

12.

a −b

= x + x + x + x +1

a b = , b ≠ 0, c ≠ 0, b ≠ 1 ,entonces b c 3

(

= (a − b ) a + ab + b 2

ac − 1 = b +1 b −1

) Ayuda: Interpretarlo geométricamente

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CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

2.6

RELACIONES ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Dos expresiones algebraicas pueden relacionarse por medio de los símbolos: IGUAL MENOR MAYOR O IGUAL

DIFERENTE MAYOR MENOR O IGUAL

= < ≥

≠ > ≤

Una igualdad entre dos expresiones que es válida para algunos valores de las variables en el conjunto de referencia, se denomina ecuación. Cuando la relación de igualdad entre dos expresiones es válida para todos los valores de las variables en el conjunto de referencia, la ecuación toma el nombre de identidad. Resolver una ecuación es determinar los valores de las variables que hacen verdadera la igualdad. El objetivo de este capítulo no es encontrar la solución de una ecuación; tan sólo se pretende verificar si un valor asignado a las variables permite que se cumpla la relación de igualdad numérica o no. Los valores que hacen verdadera la ecuación se denominan solución de la ecuación o raíces. El conjunto de estos valores, se denomina conjunto solución.

Ejemplo 13 x=2

es una solución de la ecuación

2x − 1 = 5

Para saberlo, se reemplaza el valor de la variable en la expresión dada: 2( 2 ) −1 = 5 4 −1= 5 3=5

lo cual es falso

Como se llega a una proposición falsa, se concluye que dada. Ahora, qué sucede si

x = 3?

no es solución para la ecuación

2( 3 ) −1 = 5 6 −1= 5 5=5

lo cual es verdadero

Así se llega a una proposición verdadera, por lo tanto 3 si es solución de la ecuación.

Ejemplo 14 x =2

es una solución de

x (x + 4) = 4 x

− 3x − 3x

+ 7x

2 (2 + 4 ) = 4( 2 ) − 3( 2 ) − 3( 2 ) + 7( 2 ) 2

2(6 ) = 16 − 6 − 12 + 14 12 = 12

lo cual es verdadero

Por lo tanto 2 es solución de la ecuación. Se observa que la variable puede tomar valores que hacen que la relación de igualdad sea falsa y otros que la hacen verdadera.

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejercicios 2.6 Para cada una de las siguientes ecuaciones verifique si los valores que toma la variable son solución de la ecuación. 8 + 3x = −x

x −5 = 1 x +1 2

x =2

x = −2

5 x − 3 = 12

7(2 x − 1) = −3(1 − 2 x ) ; x = −1 ; x = 1 2

Explicar qué ocurre cuando x toma el valor de –1 en la ecuación del ejercicio 6. ¿Qué se puede concluir?

;

x =2;x =3

+ x − 2 = 0 ; x = 0 ; x = 1 ; x = −2

;

+ 16 = 8 x

;

x =2

;

x = −4 ; x = 4

x = 0 ; x = 11

Al considerar los signos de orden <, >, ≤, ≥ entre dos expresiones algebraicas, puede definirse una inecuación como una relación válida para algunos valores de las variables en el conjunto de referencia. Como en el caso de la relación de igualdad, el objetivo en este momento es saber si un valor asignado a las variables permite cumplir con la relación de orden o no. No se buscará aún solución para la inecuación.

Ejemplo 15 Verificar si

x =1 2

es solución de

x − 1 < 2( x − 3 )

Remplazando x por el valor dado

1 − 1 < 2⎛ 1 − 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝2 ⎠ 2 − 1 < 2⎛⎜ − 5 ⎞⎟ 2 ⎝ 2⎠ 1 − < −5 2

Por lo tanto, puede decirse que para la inecuación, Ahora si

x=6

lo cual es falso 1 2

no es solución.

tenemos: 6 − 1 < 2 (6 − 3 )

5<6 lo cual es verdadero. Lo anterior nos lleva a precisar que la expresión x − 1 < 2( x − 3 ) es una inecuación ya que hay

valores que hacen verdadera la relación de orden y otros que la hacen falsa. Una desigualdad es una relación válida para todos los valores de las variables en el conjunto de referencia.

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CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

Ejercicios 2.7 Para cada una de las siguientes inecuaciones verificar si los valores de la variable dados hacen verdadera o falsa la inecuación: 1.

2( x + 1) < x + 5; x = 1; x = −1

0,5 x + 3(2 − x ) ≤ 0,05 x ; x = 0; x = −0,2

x − x < −( x + 5 )2 ; x = 0,3; x = −0,02

2.7

− (3 x + 1) > 2 x + 1; x = − 1 ; x = 2 2 3 x − 3 + 3 > − 3 − x ; x = 0; x = − 3 x x 2

LENGUAJE ALGEBRAICO

Antes de pretender encontrar la solución de problemas, es necesario identificar los elementos que intervienen en ellos y el papel que juegan en el problema. En términos generales, un lenguaje es un conjunto de símbolos que, organizados de acuerdo con unas reglas previamente establecidas, permite la comunicación entre dos partes. El lenguaje algebraico es una de las herramientas que permite representar matemáticamente un problema planteado. El álgebra es un lenguaje eficaz que se utiliza para describir situaciones que se presentan en la aritmética, geometría, física, ciencias y en general el mundo a nuestro alrededor. Una simbolización algebraica correcta depende de: Un buen conocimiento del idioma en que está escrito el texto. La comprensión del entorno en que tiene lugar la situación planteada. Dar un uso adecuado a la aritmética. De ser posible representar con un dibujo, gráfica o esquema la situación planteada. Identificar en la situación planteada qué es conocido y qué es desconocido, para así lograr una asignación adecuada de las incognitas.

Ejemplo 16 Enunciado 8

Expresión algebraica

Sea x un número:

más un número ó

Un número sumado a 8 Un número más 8

Un número incrementado en 8

8+ x

x +8

sumado a un número

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 17 Enunciado 8

Expresión algebraica

Sea x un número:

veces un número

Ejemplo 18 Enunciado 3

veces un número menos 2

Expresión algebraica

Restar 2 del triple de un número

El triple de un número, menos 2

Sea x un número: 3x − 2

La diferencia entre el triple de un número y 2. El triple de: un número menos 2 ó Tres veces la diferencia entre un

3( x − 2 )

número y 2. El cubo de un número menos 2.

x −2

Ejemplo 19 Situación Planteada

Expresión Algebraica

Sea x un número entero:

Un número par.

Un número impar.

Sea x un número entero: 2x + 1

Ejemplo 20 Situación Planteada

Un número non aumentado en 15

Expresión Algebraica

(2 x + 1) + 15 donde x es un número entero.

Ejemplo 21 Situación Planteada

De las utilidades que produce un pozo petrolero Un pueblo recibe el 15% por regalías

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Expresión Algebraica

x total utilidades 15 x 100

CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

Ejemplo 22 Situación Planteada

Expresión Algebraica 10m + n

donde m y n son dígitos: (m = decenas; n = unidades)

A un número de dos cifras Se le invierten las cifras

10n + m

En los ejemplos anteriores se describieron situaciones mediante textos. Sin embargo, es posible encontrarse con situaciones descritas en forma gráfica. Para ilustrar algunas de ellas, se retomará el ejemplo 37 de la sección 1.19.

Ejemplo 23 Para ilustrar segmentos en la recta numérica existen las siguientes convenciones: Expresión Algebraica

Representación Gráfica

-4

-3

-2

-1

−1 < x < 2

-4

-3

-2

-1

x > −3

-4

-3

-2

-1

x<2

−3 ≤ x ≤ −1

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

1≤ x < 4

-4

-3

-2

-1

1<x≤9 2 4

-4

-3

-2

-1

−1 < x < 0 ó 0<x≤2

Ejercicios 2.8 Expresar algebraicamente, utilizando x para las cantidades desconocidas: 1.

disminuido en un número.

restado de un número.

El doble de un número más nueve.

El cuadrado de la suma de un número más 10 veces el mismo número.

El producto de un número por el mismo número disminuido en tres.

La diferencia entre el cuadrado de un número y el doble del mismo.

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

El producto entre número.

El producto de un número por 3 veces el mismo número.

La suma del menor y el mayor de tres impares consecutivos.

10.

La suma de los cuadrados de dos números enteros pares consecutivos.

menos que el doble de un número y

más que el doble del mismo

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas: p (1 − p ) n

(2 xy

p = 0,2

− 3 y ) − 2y

n = 100

mn + m n

x =3 2

y =2

−x

Si m es entero impar y n es entero par, a qué subconjunto de los enteros pertenece:

m+n

y = 0,3

2 x 3 y − 5 x + 3y 3 3

x = −1,5

m = −2

m−n

n = −3

m×m + m

Simplificar las siguientes expresiones: 6. 9. 12. 15.

)(− 5 x y ) ( ab c ) (− 2bc ) (3a bc ) (− 2 a )( − b ) + (− 3a ) ( − b ) 2

(

− x − 4 xy 2

3 3

2 3

⎛ 4 a 2 b ⎞⎛ 5 a 2 b ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 3 2 ⎟⎜ 4 ⎟ ⎝ a b ⎠⎝ 2 b ⎠

)

2 5

(ab ) (2a bc ) (ac ) (− 5 x ) (− y ) − (− 6y x ) 2 3

10.

3 2

(

− − 2 ab

2 2

3 2

13.

3 2

8. 11. 14.

(2 ab ) (3a b ) ( − 2ab ) ( 3a b )(− a c ) (− 4b )⎛⎜⎝ 61 b ⎞⎟⎠(− 9b ) 4 3

2 2

2 3

⎛⎜ 1 − 3a + 9a 2 ⎞⎟⎛⎜ 1 + 3a ⎞⎟ ⎠ ⎠⎝ 4 ⎝ 16 4

16.

Simplificar las siguientes expresiones 17.

(5 x

)(

− 6 x + 9x − 2x + 3 x − 8x + 4

)

18.

−(1 − z ) − [3 − [4 x − (2 + 2 x ) + z − (z − x )] − ( 5 + 2 x

19.

−[−[− (− y + 3 ) + (5 − z ) ] − (−2 − y ) + ( y − w ) ]

)]

20.

−(2 − w ) − [3 − [5 z − (−2 − 2w ) ] − w − (y − z )] + 3 − 2z

21.

−[ − 3 + 2 z − ( 5 − w

) ] + [ ( z − 1 ) − ( 1− w ) ] − 4 ( z − 3 )

En lugar de signos de interrogación escribir expresiones algebraicas que mantengan la igualdad:

(

)

22.

3 x − 3 x + 2 x − 2 = 3 x − 3 x + (? )

24.

6 x + 10 x − 3 x − 5 = 6 x + 10 x − (? )

(

)

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23.

(

)

3 x − 12 x − 2 x + 8 = 3 x − 12 x + (? ) 2

CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

Encontrar el polinomio que resulta de: 25.

3 x 2 − 5 xy + 2 y 2 5 6 9 17 + 22 xy − 3 y 2 − 1 45 9 2 2

Sumar

con

3 xy − 1 y 2 + 1 2 3 4

y restarla de la suma de

2 x 2 − 2 y 2 + 1 xy 9 3 9

con

Expresar algebraicamente, considerando x y y como las cantidades desconocidas: 26.

El producto de 9 por el doble de un número.

27.

La diferencia entre el cuadrado de un número y el cuadrado de otro número.

28.

Un tercio de la cuarta parte de un número.

29.

La suma de los cuadrados de dos impares consecutivos, menos el cuadrado del entero que está entre ellos.

30.

Un número disminuido en la mitad del cuadrado del mismo número.

31.

Tres veces la diferencia entre 30 y un número.

32.

Dos tercios de la suma de un número y tres séptimos de otro.

5973

Para cada uno de los siguientes enunciados, escriba una expresión algebraica usando p para designar un número. 33.

34.

Un número multiplicado por si mismo.

35.

El denominador de una fracción es 3 unidades mayor que el numerador.

36.

La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos pares, menos el cuadrado de la suma de los 2 enteros consecutivos.

superior al número.

Represente los números requeridos en términos de variables: 37.

La diferencia de dos números es 6, el número mayor es x. ¿Cuál es el número menor?

38.

Si a es un número entero par, ¿cuál es el siguiente entero consecutivo par?

39.

El recíproco de un número x.

40.

¿Qué número es dos unidades menos que la mitad del número a?

41.

5 veces un número x.

42.

El doble de a, aumentado en 5.

43.

El triple de a aumentado en

44.

El 6% de impuesto sobre x dólares.

2. 3

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Traducir los siguientes enunciados a expresiones algebraicas: 45.

El número de grados de una temperatura que es grados.

46.

El número de metros de una longitud que es 120 metros más corta que otra de d metros.

47.

El número de metros de una longitud que es 50 metros más pequeña que otra de metros.

48.

El número de metros por segundo otra de r m/s.

49.

El número de metros de una distancia que está otra de d metros.

50.

El número de pisos de un edificio que es 8 pisos más alto que otro de z pisos.

51.

Un precio en dólares que es 5 dólares más caro que la mitad de otro de p dólares.

52.

La diferencia cuando t se resta de 8.

53.

El cociente cuando la suma de 5 y a se divide por b.

54.

(m/s)

50 grados

más elevada que otra de t

de una velocidad que es 10 decámetros

20 m/s

más lenta que

más distante que

El número de segundos de un intervalo de tiempo que es

1 minuto

El número de metros cuadrados de una área que es que otra de a metros cuadrados.

56.

El número a supera en 6 al número b.

57.

El número a es 10 unidades menor que el numero b

58.

30 metros cuadrados

más corto que

segundos. 55.

mayor

es la mitad de y. Si n, m, r y s representan un número, expresar algebraicamente:

59.

Se multiplica un número por 3, se suma 8 al producto y se obtiene 23.

60.

Se multiplica un número por 9 y se obtiene 45.

61.

Se multiplica un número por 3, después se multiplica este producto por 2 y se obtiene 30.

62.

Se suma 7 a un número, después se resta 4 de la suma y se obtiene 5.

63.

El producto de m y n dividido entre 3 veces su diferencia.

64.

El cociente de 3 veces la diferencia de r y s entre el duplo de su suma.

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ghjk

CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

¿Qué expresión representa la siguiente situación? : 65.

El doble de la suma de dos enteros pares consecutivos es tercera parte del producto de los números.

66.

El triple de un número aumentado en 2, es lo mismo que el número aumentado en 8.

67.

Cuando un número se suma a sí mismo el resultado es igual a cuando el número se multiplica por sí mismo.

68.

La suma de un número y 3 al multiplicarla por 2 nos da 14.

69.

El producto de dos números pares consecutivos es siguiente número par.

70.

Si al doble de un número se le agrega 7, y el resultado se resta de faltan 7 para ser igual a 10 veces el número.

unidades menos que la

unidades menor que 60,

veces el

al resultado le

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“Educar no es dar carrera para vivir, sino templar el alma para las dificultades de la vida”

CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO 3.1 3.2 3.3 3.4

ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN. APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER

GRADO 3.5 ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES 3.6 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR SUSTITUCIÓN 3.7 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR IGUALACIÓN 3.8 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR REDUCCIÓN 3.9 INECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE. EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO En este capítulo se estudiará el procedimiento para resolver relaciones de igualdad y de orden de polinomios de primer grado en una variable. Teniendo como conjunto de referencia los reales.

3.1

ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA

Cómo estamos de conceptos?

1. 2. 3. 4.

3.2

Dar tres ejemplos de ecuaciones de primer grado en una variable. Qué es resolver una ecuación? Qué diferencia existe entre ecuación e identidad? Qué significa conjunto solución?

ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE

Una expresión de la forma ax + b con una variable ( x ) .

b∈ℜ

y a ≠ 0 es un polinomio de primer grado en

Una relación de igualdad de la forma ax + b = 0 es una ecuación de primer grado en una variable ó también conocida como ecuación lineal. Esta forma es conocida como la forma estándar.

4 x + 3( x − 2 ) − 5 x − 7

4 x + 3( x − 2 ) − 5 x − 7 = 0

Es una expresión algebraica ó un polinomio de primer grado

Es una relación de igualdad ó una ecuación de primer grado

Resolver una ecuación es encontrar los valores del conjunto de referencia que puede tomar la variable para que sea verdadera la relación de igualdad. Los valores que cumplen la relación de igualdad se llaman soluciones o raíces de la ecuación y el conjunto formado por éstas soluciones o raíces se llama conjunto solución.

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3.3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN.

Para resolver una ecuación se deben tener en cuenta las propiedades de los reales y las propiedades de las igualdades, que se enuncian a continuación: Propiedad de la suma: Si

a, b, c ∈ ℜ

y a = b , entonces, a + c = b + c

Propiedad de la multiplicación: Si

a, b, c ∈ ℜ

y a = b , entonces, a × c = b × c

Ejemplo 1 Encontrar el conjunto solución de 2 x + 4 = 0 2x + 4

Ecuación dada.

2 x + 4 + (−4 )

0 + (− 4 )

Propiedad de la suma en igualdades

2x + 0

−4

Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.

−4

Propiedad de la identidad de la suma.

⎛⎜ 1 ⎞⎟ (2 x ) ⎝2⎠

⎛⎜ 1 ⎞⎟(− 4 ) ⎝2⎠

Propiedad de la multiplicación en igualdades.

−4 2

Propiedad del inverso multiplicativo.

−2

Propiedad del elemento simplificación de fracciones

identidad

multiplicación

Como es posible cometer errores aritméticos o algebraicos al encontrar el valor de x, siempre se debe verificar la validez del valor encontrado por lo tanto: 2 ( −2 ) + 4

= 0

−4 + 4 = 0 0 = 0

Como x = − 2 hace verdadera la relación de igualdad, éste valor es la solución o raíz única de la ecuación y {−2} es el conjunto solución el cual se puede escribir

Toda ecuación de la forma

ax + b = 0

a≠0

C.S. = {−2} .

tiene una y sólo una solución

x = −b a

Ejemplo 2 Encontrar el conjunto solución de 4 x + 8 = 0 4x + 8

Ecuación dada.

4 x + 8 + ( −8 )

0 + ( −8 )

Propiedad de la suma en igualdades

4x + 0

−8

Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.

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CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

⎛⎜ 1 ⎞⎟ (4 x ) ⎝4⎠

⎛⎜ 1 ⎞⎟(− 8 ) ⎝4⎠

−

−2

8 4

Propiedad de la multiplicación en igualdades. Propiedad del inverso multiplicativo. Propiedad del elemento simplificación de fracciones

identidad

multiplicación

Verificando la validez del valor encontrado se tiene: 4 ( −2 ) + 8

= 0 −8 + 8 = 0 0 = 0

x=−2

hace verdadera la relación de igualdad dada, lo que significa que es la solución o raíz

única de la ecuación . Por lo tanto, C.S. = {−2} .

En los dos ejemplos anteriores se ha llegado a una misma respuesta por lo que se dice que 2 x + 4 = 0 y 4 x + 8 = 0 son ecuaciones equivalentes. En general, se tiene que dos o más ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución son llamadas ecuaciones equivalentes. Continuando con la solución de ecuaciones, vale llamar la atención con respecto a las situaciones presentadas hasta el momento. En la vida cotidiana, no siempre se presentan ecuaciones de la forma ax + b = 0 . Puede ocurrir que la relación se establece entre dos expresiones de grado 1, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 3 Encontrar el conjunto solución de 3x + 4

3 x + 4 + (−4 )

= 2x − 1 = 2 x − 1 + ( −4 )

3 x + 4 = 2x − 1

Ecuación dada. Propiedad de la suma en igualdades

3x + 0

= 2x − 5

Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.

= 2x − 5

Propiedad de la identidad de la suma.

= 2 x + ( −2 x ) − 5

Propiedad de la suma en igualdades

= −5

Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.

3 x + ( −2 x )

Encontrado un valor real para la variable, debe verificarse que hace verdadera la relación dada: 3x + 4

= 2x − 1

3 (−5 ) + 4

2(−5 ) − 1

−15 + 4

−10 − 1

−11

Ecuación dada. Se reemplaza x por el valor encontrado.

Al comprobar que x = -5 hace verdadera la relación de igualdad inicialmente dada, puede aceptarse que éste valor es la solución o raíz de la ecuación. Es decir que C.S.= {−5} .

Q 76

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 4 Encontrar el conjunto solución de

3 (x + 2) = 5 (x − 6)

3( x + 2 )

= 5( x − 6 )

Ecuación dada.

3x + 6

= 5 x − 30

Propiedad distributiva. Propiedad de la suma en igualdades

3 x + 6 + (−6 )

= 5 x − 30 + (−6 )

3x + 0

= 5 x − 36

Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.

= 5 x − 36

Propiedad de la identidad de la suma.

(− 5 x ) + 3 x −2 x

⎛⎜ − 1 ⎞⎟(− 2 x ) ⎝ 2⎠ 1x

(−5 x ) + 5 x − 36

= −36

Propiedad de la suma en igualdades Propiedad del inverso aditivo y agrupación de términos semejantes.

1 = ⎛⎜ − ⎞⎟ (− 36 ) ⎝ 2⎠ 36 = 2

Propiedad de la multiplicación en igualdades

= 18

Propiedad del elemento identidad en la multiplicación.

Propiedad de la multiplicación en igualdades

Se debe verificar que el valor encontrado hace verdadera la relación dada: 3( x + 2 )

5( x − 6 )

Ecuación dada.

3((18 ) + 2 )

5((18 ) − 6 )

Se reemplaza x por el valor encontrado.

3(20 )

5(12 )

Como x = 18 hace verdadera la relación de igualdad, éste valor es la solución o raíz de la ecuación y {18} es el conjunto solución.

Para resolver una ecuación, no es indispensable realizar todos los pasos que se han seguido en este ejemplo, pero por ahora sí aclaran el porqué de lo que se hace mecánicamente. Algunos pueden suprimirse ya que es posible hacerlos mentalmente. 3(x + 2 )

= 5(x − 6 )

Ecuación dada.

3x + 6

= 5 x − 30

Propiedad distributiva.

= 5 x − 30 + (−6 )

Propiedad de la suma en igualdades

= 5 x − 36

Propiedad de la suma en igualdades, inverso aditivo, agrupación de términos semejantes e identidad de la suma.

= 18

Propiedad de la multiplicación en igualdades, multiplicativo elemento identidad en la multiplicación.

3 x + 6 + (− 6 )

3x x

inverso

Q ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

Hasta el momento, los casos presentados han permitido llegar a un valor para la variable. Sin embargo, es posible encontrar otras situaciones cuyo resultado antes de causar sorpresa, debe llevar a un cuidadoso análisis para interpretarlas correctamente, como se verá en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 5 Encontrar el conjunto solución de 2( x + 2 )

= 4x + 1 − 2x

2( x + 2 )

= 2x + 1

2x + 4

= 2x + 1

2 x + 4 + ( −4 )

= 2 x + 1 + ( −4 )

2x + 0

= 2x − 3

2 x + ( −2 x )

= 2 x − 3 + (− 2 x )

= 0−3

= −3

2 (x + 2) = 4 x + 1 − 2 x

Ecuación dada Agrupación de términos semejantes. Propiedad distributiva. Propiedad de la suma en igualdades. Propiedad inverso aditivo y agrupación de términos semejantes. Propiedad del elemento identidad de la adición. Propiedad de la suma en igualdades. Propiedad del inverso aditivo.

Como se ha llegado a una expresión diferente de x = d que era lo que se buscaba, no es de sorprenderse ni de preocuparse si se han hecho todos los pasos sin cometer error, esta situación tiene una interpretación, la cual es: Como se partió de que hay solución es decir que existe un valor para x y se llegó a una contradicción, lo que sucede es que el supuesto de que existe solución es falso, por lo tanto no hay solución y el conjunto solución es ∅ .

Q Ejemplo 6 Encontrar el conjunto solución de 9(− y + 3 ) = −6 y + 15 − 3 y + 12 9 (− y + 3 )

−9 y

= 9(−y + 3 ) = −9 y + 27 = + 27 + (9 y ) = 27 =

−6 y + 15 − 3 y + 12 −9 y + 27 −9 y + 27 −9 y + 27 + (9 y ) 27

Ecuación dada Agrupación de términos semejantes. Propiedad distributiva. Propiedad de la suma en igualdades. Propiedad del inverso y elemento identidad de la suma.

Se ha llegado a una expresión diferente de y = d que era lo que se buscaba. No es tampoco de sorprenderse ni de preocuparse si se han hecho todos los pasos sin cometer error, esta situación tiene una interpretación: Puede observarse que las expresiones a cada lado de la igualdad son iguales, lo que nos lleva a decir que cualquier valor que tome y en el conjunto de referencia hará verdadera la igualdad, por lo tanto hay infinitas soluciones y el conjunto solución es ℜ .

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Cuando el conjunto solución es igual al conjunto de referencia, se dice que la relación de igualdad es una identidad. Siendo el conjunto de referencia los reales, se obtendrán infinitas soluciones.

Ejemplo 7

)

Encontrar el conjunto solución de

Método de Solución 1

28,8 = x − 0,10 x

Método de Solución 2

28,8 2880 100 288 ⎞ (100 )⎛⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠

x − 0,10 x

x − 10 x 100

(100 )⎛⎜ x −

28,8

x − 0,10 x

28,8

0,90 x

2880

100 x − 10 x

2880 288 32

= = =

90 x 9x

28 ,8 0 ,90 32

⎝

10 x ⎞ ⎟ 100 ⎠

C.S. = { 32}

Ejemplo 8 Encontrar el conjunto solución de 3 − 2 x − 1 = 5 − x 3

Método de Solución 1

3 − 2x − 1 3

3 − 2x + 1 3 3 2 x x − + 3 2 4 x 3 x − + 6 6 −x 6 x

= = = = = =

Método de Solución 2

5−x 2 5−x 2 2 5 − 10 2 3 15 − 20 6 6 −5 6 5

3 − 2x − 1 3 − 2 x 1⎞ ⎛ (6 )⎜ 3 − ⎟ 3 ⎠ ⎝

= =

5−x 2 (6 )⎛⎜ 5 − x ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

18 − 4 x + 2

= 15 − 3 x

20 − 4 x

= 15 − 3 x

20 − 15

= −3 x + 4 x

C.S. = { 5}

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CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

Una expresión de la forma ax + b toma un valor numérico diferente dependiendo del valor que se le dé a la variable.

Una expresión de la forma ax + b = 0 se hace verdadera para un único valor de la variable. Para cualquier otro valor de x, la expresión se hace falsa.

Ejercicios 3.1

Encontrar el conjunto solución:

12 − 6 x = 8 x − 5

5t − 1 = 1 − 5t

6a + 17 = 2a − 3

0,8b = 2,24b + 74 ,88

5 (3 y − 1) + 2 = − (−3 y + 6 )

2(a + 15 ) + 3 a = 180 + 2a

d + 7 = 4 − 2d 5 3

2x − 8 + 5 = 6 − 3 x − 5 3 4

1 (12 y − 3 ) − 2⎛ y − 7 ⎞ = 3 (6 y − 8 ) ⎜ ⎟ 2⎠ 2 3 ⎝

10.

(10 − 8c ) + 4(5c − 4 ) = − 2 ⎛⎜ 1 − 10c ⎞⎟

11.

4x + 3 = x + 6 4

12.

3 ,4 − 1,2( x − 6 ,8 ) = 9 ,6 − 1,3 x + 0 ,1x

13.

6( x − 1) = −3(2 − x ) + 3 x

14.

4 (2 − 3 x ) = −[6 x − (8 − 6 x )]

3.4

5⎝2

⎠

APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Todo lo anterior cobra sentido si se aplica a situaciones cotidianas o reales, ya que resolver una ecuación puede prestarse para mecanizar su manejo matemático y algebraico, lo cual no es el objetivo de este curso. Conocer métodos de solución no es suficiente si no se tiene un correcto planteamiento de la situación. Pero… Cómo lograr un correcto planteamiento de la situación? Existen muchos modelos, pero el más aceptado es el propuesto en 1945 por George Polya y presentado en su libro “How to solve it”, el cual ha sido traducido a quince idiomas. A continuación, se presenta el modelo general. Es necesario tener en cuenta que no siempre un problema genera el planteamiento de una ecuación. En ocasiones, puede llegarse a una inecuación, o a un sistema de ecuaciones, entre otros, temas concernientes a secciones posteriores. Aplicando nuevamente una analogía con el idioma español, las ecuaciones resultan de oraciones con el verbo ser. Antes de continuar, es importante recordar la sección 3.6.

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

MÉTODO DE POLYA PARA RESOLVER PROBLEMAS1 1. COMPRENDER EL PROBLEMA Ü Cuál es la incógnita? Cuáles son los datos? Ü Cuál es la condición? Es la condición suficiente para determinar la incógnita? Es suficiente? Redundante? Contradictoria? 2. CONCEBIR UN PLAN Ü Se conoce un problema semejante? Se ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? Ü Se conoce un problema relacionado con éste? Se conoce algún teorema que pueda ser útil? Mirar atentamente la incógnita y tratar de recordar un problema que sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar. Ü Encontrado un problema relacionado al que se presenta, puede utilizarse? Podría utilizarse su resultado? Podría emplearse su método? Haría falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo? Ü Podría enunciarse el problema de otra forma? Podría plantearse en forma diferente nuevamente? Referirse a las definiciones. Ü Si no se puede resolver el problema propuesto, tratar de resolver George Polya primero algún problema similar. Podría imaginarse un problema (1888 – 1985) análogo un tanto más accesible? Un problema más general? Un problema más particular? Un problema análogo? Puede resolverse una parte del problema? Considerar sólo una parte de la condición; descartar la otra parte; en qué medida la incógnita queda ahora determinada? En qué forma puede variar? Puede deducirse algún elemento útil de los datos? Puede pensarse en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? Puede cambiarse la incógnita? Puede cambiarse la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí? Ü Se han empleado todos los datos? Se han empleado todas las condiciones? Se han considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema? 3. EJECUCIÓN DEL PLAN Ü Al ejecutar el plan de la solución, comprobar cada uno de los pasos. Ü Puede verse claramente que el paso es correcto? Puede demostrarse? 4. VISIÓN RETROSPECTIVA Ü Puede verificarse el resultado? Puede verificarse el razonamiento? Ü Puede obtenerse el resultado en forma diferente? Puede verse de golpe? Puede emplearse el resultado o el método en algún otro problema?

POLYA, George. “How to solve it“.

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CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

Ejemplo 9 5 18

En el puente pasado, los

de los alumnos de primer semestre

trabajaron en el proyecto de análisis geométrico, los

9 13

del resto

estudiaron para el examen de Precálculo y 56 se fueron de rumba. ¿Cuántos alumnos son de primer semestre y cuántos se dedicaron a cada actividad?

Alumnos de primer semestre : Alumnos que trabajaron en el proyecto de A.G. :

x 5 x 18

Alumnos que quedaron

Alumnos que estudiaron Precálculo

x− 5 x 18 9 ⎛x − 5 x⎞ ⎜ ⎟ 13 ⎝ 18 ⎠

Alumnos que se fueron de rumba

Total alumnos Sem

52 x 234

Trabajan en el proyecto 5 x 18 5 x + 9 x − 5 x + 56 18 13 26

56 +

Estudian Precálculo 9 ⎛x − 5 x⎞ ⎜ ⎟ 13 ⎝ 18 ⎠

Se van de rumba

= 252

Como x representa el total de alumnos, se tiene ya la respuesta a la primera pregunta: el total de alumnos del primer semestre es de 252 Los alumnos que trabajaron en el proyecto de geométrico

5 x 18

5 (252) = 70 18

9 ⎛ 252 − 5 (252 ) ⎞ = 126 ⎟ ⎜ 13 ⎝ 18 ⎠

Los alumnos que estudiaron Precálculo Alumnos que se fueron de rumba

Ejemplo 10

Cecilia recibió $435.0000 por trabajar después de 40 horas su tarifa es de de una hora no extra? Horas trabajadas Total horas extras Valor hora normal (no extra) Valor hora extra Dinero recibido Dinero recibido 435.000

= = =

52 52 − 40 = 12 x 1,5 x

Dinero por trabajo de 40 horas Número de horas × Valor hora 40 x

52 horas en una sala de prematuros. Si 1,5 veces cada hora, ¿Cuál es el valor

+ + +

Dinero por 12 horas extras. Número de horas × Valor hora 12 (1,5 x )

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Por lo tanto

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

435.000 = 40 x + 12 (1,5 x ) 435.000 = 40 x + 18 x 435.000 = 58 x 7.500 = x

Siendo x el valor de la hora no extra, se tendrá que Cecilia gana por hora normal $7.500 Verificación del resultado: Valor hora extra de Cecilia: 7.500 + 7.500 = 11.250 2

Cecilia trabaja 40 horas cada una a $7.500, entonces recibe 12 horas extras cada una a $11.250 recibe Total recibido

40 × $7.500 = $300.000 12 × $11.250 = $135.000

$435.000

Q Ejemplo 11 Fernando va a un restaurante en el cual se debe pagar de impuesto el 16% de lo que se consuma y la propina que se incluye en la cuenta es del 10%. Si él tiene $315.000 de cupo disponible en su tarjeta, cuánto puede ser el valor del consumo?

o Valor del consumo: Pago por impuesto

x 16 x 100 10 x 100

Pago por propina

Dinero disponible = Valor consumo + Pago por impuesto + Pago por propina. $315.000 = x + 16 x + 10 x 100 100 $31`500.000 = 126 x $31`500.000 =x 126 $250.000 = x

El valor del consumo de Fernando en el restaurante puede ser de $250.000.

Ejercicios 3.2

Encontrar la ecuación que representa las siguientes situaciones:

La suma de dos números enteros consecutivos es –17.

La suma de tres números enteros consecutivos es 75.

El mayor de dos números enteros consecutivos impares es igual a del menor de ellos.

La suma de tres números enteros pares consecutivos es –98 mas el mayor de ellos.

Cuántos litros de agua deben agregarse a para producir una solución al 5% de sal?

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menos un tercio

litros de una solución de sal al

y agua

CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

Resolver los siguientes problemas:

En una Feria del Libro se vendieron 600 libros, algunos en ediciones de bolsillo a $3,50 cada uno y el resto empastados a $5,00 cada uno. El ingreso total fue equivalente al del año anterior cuando se vendió el mismo número de libros a un precio promedio de $4,00 por libro. ¿Cuántos libros se vendieron de cada precio?

3 4

Dividir $4.725 en tres partes, de tal manera que la segunda sea $150 más que la primera y la tercera $525 menos que la segunda.

El 30% de un fondo se invierte al 5% anual. El resto se invierte al 4% anual. ¿Cuánto está invertido en cada caso si el interés total es $860?

10.

La diferencia entre el 60% y el 40% de un número es 126. Hallar el número.

11.

Para el examen de historia, Pancho estudió dos horas mas que Luis. Juntos estudiaron una hora menos que cuatro veces las horas que estudió Luis. ¿Cuántas horas estudió cada uno?

12.

En el momento de escribir este problema, mi edad más el triple de la edad que tenía hace 14 años es igual al triple de mi edad menos tres. ¿Sabes cuántos años tengo?.

13.

Un tercio de la suma de tres números enteros múltiplos de 5 consecutivos es 90. Encuentre estos números.

de un número menos 2 de ese mismo número es igual a 7. ¿Cuál es el número? 5

14.

Juan compró un sombrero que le costó $40.000, el mismo día gastó 2/7 de lo que tenía inicialmente. Al otro día gastó 2/3 de lo que le quedaba. Si al final quedó con $125.000, ¿Cuánto tenía inicialmente?

15.

Un avión a reacción que vuela a una velocidad de 650 millas por hora va a alcanzar a otro que va adelante 4 horas y está volando a una velocidad de 400 millas. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar al segundo?

16.

La cantidad que un trabajador lleva a su casa es $492, después de haber deducido un total de 40% del pago bruto. ¿Cuál es su sueldo bruto?

17.

El costo de instalar material aislante en una casa es de $1080. Los costos actuales de calefacción son en promedio $60 mensuales. Se espera que el material aislante reduzca ese costo en un 10%. ¿Cuántos meses necesita para recuperar el costo de material?

18.

Un trasatlántico que tiene 800m de longitud excede en 744 a los 8/9 del ancho. ¿Cuánto mide el ancho?

Resolver los siguientes problemas:

19.

Cuál fracción representa a 3, 4545...?

20.

Una barra de peso despreciable se pone en equilibrio, cuando una carga de 400 lb se sitúa a 9 pies de un lado del punto de apoyo y dos cargas que difieren entre sí en 150 lb se colocan del otro lado de ese punto, de tal manera, que la carga mayor está a 12 pies del punto de apoyo y la menor a 8 pies del mismo. Encuentre los valores de las cargas.

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3.5

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES

Hasta el momento se han estudiado ecuaciones en una variable cuyo conjunto solución si existe, corresponde a un único valor. Sin embargo, es posible establecer ecuaciones en dos variables, cuya forma general es: ax + by + c = 0 ,

con a., b ,c ∈ ℜ, y a ≠ 0

Una ecuación de esta forma tiene infinitas soluciones, dependiendo del valor real que tome una de las variables, la otra tomará un valor real que permita cumplir con la ecuación.

Ejemplo 12 Encontrar soluciones para la ecuación 3 x − 2y − 1 = 0 Como puede verse, es necesario encontrar valores para x y para y para que se cumpla la ecuación. La manera más fácil de encontrar estas parejas de valores es dar un valor para cualquiera de las variables y encontrar el valor de la otra variable. Por ejemplo, si x = 0 , se tiene que 3(0 ) − 2 y

−1= 0 .

Esto significa que y debe tomara el valor de − 1 . 2

Ahora, si , si y = 0 , se tiene que

3 x − 2(0 ) − 1 = 0 .

Por lo que x debe tomara el valor de 1 . 3

Repitiendo el proceso para diferentes valores de x ó de y, se encontrarán parejas como las que se muestran en la siguiente tabla: X 0 1 2 -1 −1 3

1 3

y −1 2 1 5 2 -2 1

Podría encontrarse infinitas parejas de valores reales para las variables x ó y, de tal forma que el conjunto solución de la ecuación corresponde a las parejas de la forma {( x, y ) 3 x + 2y − 1 = 0} . Por lo tanto: C.S.= {( x, y ) 3 x + 2y − 1 = 0}

Q Cuando se tiene un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables es llamado sistema de ecuaciones y su forma general es: ⎧ax + by + c = 0 ⎨ ⎩dx + ey + f = 0

a, b, c, d, e, f ∈ ℜ

El conjunto solución para un sistema de estas características estará formado por aquellos valores de x y de y que satisfacen las dos ecuaciones, por lo tanto serán parejas de elementos de la forma ( x , y ) . En este capítulo se ilustrarán los métodos de solución algebraica de dos ecuaciones lineales en dos variables. Existen tres métodos de solución algebraica conocidos con los nombres de sustitución, igualación y reducción o de suma y resta.

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CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

3.6

SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR SUSTITUCIÓN

Este método como su nombre lo sugiere consiste en reemplazar el valor de una variable en una de las ecuaciones por el valor que la variable tiene en la otra ecuación. Este método es eficiente cuando en una de las ecuaciones dadas una de las variables tiene como coeficiente la unidad. El siguiente ejemplo ilustra este método:

Ejemplo 13 Encontrar el conjunto solución de

⎧⎪5 x + 3 y = 6 ⎨ ⎪⎩ x − y = −1

En la segunda ecuación la variable x tiene coeficiente 1, lo cual fácilmente permite establecer: x − y = −1

⇔

x = −1 + y

sustituyendo el valor de x en la primera ecuación, se tiene: 5 x + 3y = 6

⇒

5 (− 1 + y ) + 3 y = 6

La situación ahora es una ecuación lineal en una sola variable que puede resolverse así: 5 (− 1 + y ) + 3 y = 6 ⇒ − 5 + 5 y + 3 y = 6 ⇒ 8 y = 11 ⇒ y = 11 8

Teniendo el valor de y, puede encontrarse el valor de x tomando cualquiera de las ecuaciones y sustituyendo y por su valor x − y = −1

⇒

x − ⎛⎜ 11 ⎞⎟ = −1 ⎝8⎠

⇒

x = 11 − 1 8

⇒x =3 8

Por último, se verifica que realmente estos valores son solución del sistema: ⎧ 5⎛⎜ 3 ⎞⎟ + 3⎛⎜ 11 ⎞⎟ = 6 ⎧ 15 + 33 = 6 ⎧ 48 = 6 ⎪⎪ ⎝ 8 ⎠ ⎪⎪ 8 ⎪⎪ 8 ⎧⎪6 = 6 ⎧⎪5 x + 3 y = 6 ⎝8⎠ 8 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎪⎩ x − y = −1 ⎪ 3 − 11 = −1 ⎪− 8 = −1 ⎪ 3 − ⎛⎜ 11 ⎞⎟ = −1 ⎩⎪− 1 = −1 ⎩⎪ 8 8 ⎩⎪ 8 ⎩⎪ 8 ⎝ 8 ⎠

Como se observa, los valores encontrados hacen verdadera cada una de las ecuaciones, por lo tanto se puede concluir que el conjunto solución es

3.7

⎧ ⎛⎜ 3 , 11 ⎞⎟ ⎫ ⎬ ⎨ ⎩ ⎝8 8 ⎠ ⎭

SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES POR IGUALACIÓN

Este método consiste en despejar de cada ecuación la misma variable y utilizar el principio de transitividad: si a = b y b = c ⇒ a = c Nuevamente se ilustra el método con un ejemplo:

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 14 Encontrar el conjunto solución de

⎧⎪ x + 3 y = 7 ⎨ ⎪⎩ − x + 4 y = 7

Se procede de la siguiente forma: ⎧⎪ x = 7 − 3 y ⎧⎪ x + 3 y = 7 ⎧⎪ x = 7 − 3 y ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎪⎩− x = 7 − 4 y ⎪⎩ − x + 4 y = 7 ⎪⎩ x = −7 + 4 y

Por el principio de transitividad, se tiene que: 7 − 3 y = −7 + 4 y

Esto lleva a resolver una ecuación lineal en una variable: 7 − 3 y = −7 + 4 y

⇔

14 = 7 y

⇔

2=y

Conociendo el valor de y se encuentra el valor de x sustituyendo y en cualquiera de las ecuaciones: − x + 4y = 7 ⇔ − x + 4 ( 2 ) = 7 ⇔ − x = 7 − 8 ⇔ x = 1 Ahora se verifica la validez de los valores de x y y encontrados ⎧⎪1 + 3(2 ) = 7 ⎧⎪ x + 3 y = 7 ⎧⎪1 + 6 = 7 ⎧⎪7 = 7 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎪⎩ − x + 4 y = 7 ⎪⎩− 1 + 8 = 7 ⎪⎩7 = 7 ⎩⎪− (1) + 4(2 ) = 7

Los valores de las variables hacen verdadera cada una de las ecuaciones por lo tanto se puede concluir que el conjunto solución es { ( 1, 2 ) }

3.8

SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE SISTEMAS DE LINEALES EN DOS VARIABLES POR REDUCCIÓN

ECUACIONES

Este método se basa en la siguiente propiedad: Toda ecuación se puede sumar con otra ecuación sin modificar el conjunto solución. El método se estudiará con el siguiente ejemplo:

Ejemplo 15 Encontrar el conjunto solución de

⎧⎪4 x + y = 1 ⎨ ⎪⎩ x − 2 y = 16

En el sistema planteado, al multiplicar la primera ecuación por 2 y aplicar la mencionada propiedad, se elimina la variable y y el problema se convierte en una ecuación lineal en una variable. ⎧⎪ 4 x + y = 1 ⎨ ⎪⎩ x − 2 y = 16

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⎧⎪8 x + 2 y = 2 ⇔⎨ ⎪⎩ x − 2 y = 16

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Ahora: ⎧⎪ 8 x + 2 y = 2 ⎨ ⎪⎩ x − 2 y = 16 9x = 18 x

Teniendo ya el valor de x, se utiliza cualquiera de las ecuaciones para encontrar el valor de y: x − 2 y = 16 ⇔ ( 2 ) − 2 y = 16 ⇔ −2 y = 14 ⇔ y = −7 Finalmente, se verifica que los valores de x y y satisfagan las dos ecuaciones ⎧⎪4(2 ) + (−7 ) = 1 ⎧⎪ 4 x + y = 1 ⎧⎪8 − 7 = 1 ⎧⎪1 = 1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎪⎩(2 ) − 2(− 7 ) = 16 ⎪⎩ x − 2 y = 16 ⎪⎩2 + 14 = 16 ⎪⎩16 = 16 Los valores encontrados satisfacen las dos ecuaciones. Por lo tanto el conjunto solución es 2,−7 .

En la ilustración de los tres métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales en dos variables siempre se encontró que el conjunto solución tenía como único elemento una pareja del plano cartesiano. Esta situación lleva a plantear la siguiente pregunta: ¿Pueden presentarse las mismas alternativas que cuando se resolvieron sistemas lineales en una variable?. Es decir, ¿puede suceder que no exista solución o que haya infinitas soluciones? La respuesta es afirmativa para ambos interrogantes. Un ejemplo presentará cada una de las situaciones. Es importante resaltar que no importa el método escogido para resolver el sistema, la situación algebraica que nos lleva a establecer la cantidad de soluciones es la misma.

Ejemplo 16 Encontrar el conjunto solución de

⎧⎪ x − 3 y = 1 ⎨ ⎪⎩− 2 x + 6 y = 5

Utilizando el método de reducción o de suma y resta, se multiplica la primera ecuación por 2: ⎧⎪2 x − 6 y = 2 ⎧⎪ x − 3 y = 1 ⇔⎨ ⎨ ⎪⎩− 2 x + 6 y = 5 ⎪⎩− 2 x + 6 y = 5

2x − 6y = 2 − 2x + 6y = 5 0 x + 0y = 7 0=7

Como es falso que 0 = 7, se concluye como en el caso de las ecuaciones lineales que no hay solución. Por lo tanto el conjunto solución es ∅

Un sistema de ecuaciones que no tiene solución se dice que es un sistema inconsistente.

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Ejemplo 17 Encontrar el conjunto solución de

⎧⎪2 x − 2 y = 6 ⎨ ⎪⎩ x − 3 = y

Utilizando el método de sustitución, se obtiene: ⎧⎪2 x − 2 y = 6 ⎨ ⎪⎩ x − 3 = y ⇔

0=0

x = y +3

⇒ 2( y + 3 ) − 2 y = 6 ⇒ 2 y + 6 − 2 y = 6 ⇒ 0 = 0

es verdadero. Se concluye entonces que existen infinitas soluciones . Decir “infinitas soluciones” puede interpretarse como que cualquier pareja ( x, y) puede ser solución para el sistema. Pero la verdad es que sólo puede serlo mientras cumpla con la condición exigida por las ecuaciones dadas.

Si se toma la primera ecuación 2 x − 2y = 6 ⇒ 2 y = 2 x − 6 ⇒ y = x − 3 se entiende que las parejas son de la forma ( x , x − 3 ) . La condición de x como número real hace que infinitas parejas constituyan la solución final. C.S. = {( x , y ) y = x − 3} , ó C.S. = { ( x , x − 3 ) }

Un sistema como este, con infinitas soluciones se dice que es un sistema dependiente.

Ejercicios 3.3

Encontrar el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos: Igualación, Sustitución, Reducción.

⎪⎧10 x + 9 y = 14 ⎨ ⎪⎩ x + 7 y = 20

⎧⎪4 x + 2 y = 20 ⎨ ⎪⎩3 x − y = 30

⎧⎪8 x − y = −9 ⎨ ⎪⎩6 x − y = 4

⎧⎪−10w + 16 z = −38 ⎨ ⎪⎩5w − 8 z = 19

⎧⎪7 a + 4 b = −3 ⎨ ⎪⎩6 a − 4 b = 8

⎧⎪2 x + y = 3 ⎨ ⎪⎩4 x + 2 y = 12

⎧⎪ y = 2 x − 1 ⎨ ⎪⎩2 y = 4 x + 6

⎧⎪2 x − y = −4 ⎨ ⎪⎩2 y = 4 x − 6

⎧x − 1 y = 2 ⎪ 2 ⎨ ⎪y = 2 x − 4 ⎩

10.

⎧⎪2 x + 3 y = 6 ⎨ ⎪⎩ 4 x = −6 y + 12

11.

⎧⎪2 x + y = 3 ⎨ ⎪⎩2 x + y + 5 = 0

12.

⎧x + 2 y + 4 ⎪⎪ 2 − 3 = 4 ⎨ ⎪x + y 1 x − y ⎪⎩ 2 = 2 + 3

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Determinar si los siguientes sistemas tienen solución única, ninguna solución o infinitas soluciones: 13.

⎧⎪2 x − 3 y = 8 ⎨ ⎪⎩ − 8 x + 12 y = 33

14.

⎧4 x − 12 y = 3 ⎪ ⎨ 1 ⎪x + y = 3 3 ⎩

15.

⎧2 x + 5 y = −20 ⎪ ⎨ 5 ⎪ x = − y − 10 ⎩ 2

Si los siguientes sistemas tienen infinitas soluciones, encuentre 3 de ellas: 16.

⎧⎪9 x − 3 y = 15 ⎨ ⎪⎩6 x − 2 y = 10

17.

⎧⎪2 x + 3 y = 1 ⎨ ⎪⎩4 x + 6 y = 2

Resolver los siguientes problemas: 18.

El triple de la suma de dos números es 1.350 y el doble de su diferencia es 700. Hallar los números.

19.

La suma de dos números excede en 3 unidades a 97 y su diferencia excede en 7 a 53. Hallar los números.

20.

La edad de un padre con la de su hijo suma 90 años. Si el hijo nació cuando el padre tenía 36 años. ¿Cuáles son sus edades actuales?

21.

Dos números suman 245 . Si restamos 1 al mayor y sumamos 1 al menor, obtenemos 4

dos cantidades iguales. ¿Cuáles son dichos números? Analizar y resolver los siguientes problemas: 22.

Un saco y un pantalón valen $75; el pantalón y su chaleco $51; y el saco y el chaleco, $66. ¿Cuánto vale cada pieza?

23.

La edad de Pedro y la de Juan suma 9 años; la de Juan y la de Enrique, 13 años, y la de Pedro y la de Enrique 12 años. Hallar las tres edades.

24.

La suma de tres números es igual a 33; dos veces la suma del menor y el mediano es inferior en 9 unidades al triple del número mayor; y el triple del menor, mas el mediano sobrepasa en 4 unidades al duplo del mayor. ¿Cuáles son esos números?

3.9

INECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE.

En esta sección estudiaremos las expresiones que llevadas a su forma más simple se ax + b < 0 ó ax + b > 0 , y que se conocen con el presentan como: ax + b ≥ 0 , ax + b ≤ 0 , nombre de inecuaciones lineales en una variable. Tal como se estableció en el capítulo 2, el conjunto de referencia es el conjunto de los números reales. De esta forma, el conjunto solución de una inecuación es un conjunto de puntos que conforman un intervalo en ℜ .

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Para todo a ∈ ℜ, b ∈ ℜ se tiene: “a es menor que b “ si y solo si b – a es positivo. Dado que en los reales se puede identificar un orden, pueden establecerse las siguientes propiedades: Propiedad de la tricotomía Propiedad de orden de la adición. Propiedad de orden de la multiplicación

Aquellos puntos sobre la recta numérica que se encuentran a la derecha de cero (0), son positivos y los que se encuentran a su izquierda son negativos. Una inecuación es una relación de orden válida para algunos valores de la variables en el conjunto de referencia.

De la misma manera como el cero (0) divide la recta numérica en dos grandes subconjuntos, los números positivos y los negativos, cualquier otro número real define dos intervalos de puntos, pero los elementos de estos dos intervalos no son todos positivos o todos negativos. Por ejemplo: Si tomamos x = −5 , encontramos que se definen dos conjuntos de puntos:

…

-9

-8

-7

-6

-5

x <−5

Las expresiones x < − 5 y

-4

-3

-2

x >−5

-1

…

El intervalo (−5; ∞ ) contiene elementos tanto positivos como negativos.

son inecuaciones lineales en una variable.

Todos los puntos a la izquierda de –5, conforman el intervalo (−∞ ; −5 ) y por las propiedades de orden definidas para los reales, se cumple que x < − 5 ⇔ x + 5 < 0 . Por su parte, todos los puntos a la derecha de –5, conforman el intervalo (−5; ∞ ) y por las propiedades de orden definidas para los reales, se cumple que x > − 5 ⇔ x + 5 > 0 . La expresión final corresponde a una inecuación de la forma ax + b > 0 , en donde a = 1 y b = 5 . Como se vio, el punto que definió los dos intervalos en la recta numérica fue x = − 5 .

)

¿Por qué justamente x = − 5 y no cualquier otro real?

Se toma x = − 5 porque es en este punto en donde x + 5 = 0 y a la derecha de x = − 5 siempre se cumple que x + 5 > 0 , mientras que a la izquierda de este punto siempre x + 5 < 0 El método de analizar los intervalos sobre la recta numérica determinados por los puntos donde la inecuación se hace cero es conocido con el nombre de puntos divisorios. Para solucionar una inecuación lineal podemos realizar entonces un análisis sobre la recta numérica, o un desarrollo algebraico.

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Ejemplo 18 Encontrar el conjunto solución para x + 4 > 0 . Haciendo un análisis sobre la recta numérica: Para dar solución a esta inecuación se debe encontrar el punto donde x + 4 es igual a cero, que es en x = −4 . Como la condición es que x + 4 debe ser estrictamente mayor que cero, éste punto no debe incluirse en la solución. El punto que se acaba de encontrar define dos conjuntos de puntos: el intervalo (−∞ ; −4 ) y el intervalo (−4; ∞ ) . Cualquier punto sobre la recta numérica a la izquierda de −4 es decir los x ∈ (−∞ ,−4 ) cumple con la condición de ser menor que −4 , lo cual significa que si x ∈ (−∞ ,−4 ) ⇒ x < −4 ⇔ x + 4 < 0 . Dado que se busca los valores de x que hagan cierta la inecuación x + 4 > 0 , se concluye que ninguno de estos valores satisface la inecuación dada. Los puntos a la derecha de −4 , es decir, los correspondientes al intervalo (−4; ∞ ) , cumplen con la condición x > −4 ⇔ x + 4 > 0 , por lo tanto el conjunto de puntos de este intervalo corresponde a la solución de la inecuación que se quería resolver. La conclusión final es que el conjunto solución para la inecuación es el intervalo (−4; ∞ ) . Mediante análisis algebraico: Si queremos encontrar la solución de manera algebraicamente, tendremos que transformar la inecuación dada en expresiones equivalentes mediante la utilización de las propiedades de orden de los reales: > > x +0 > x >

Inecuación dada Propiedad de orden de la suma Propiedad del inverso aditivo Propiedad del elemento identidad de la suma

x+4 x + 4 + ( −4 )

0 + (−4 ) −4 −4

De esta forma, se ha llegado a la misma solución encontrada mediante el análisis gráfico. Para representar el conjunto solución puede utilizarse una de las siguientes notaciones: Notación de conjunto: {x x ∈ ℜ, x > −4} Notación de intervalo: (−4, ∞ ) Representación gráfica: -4

-3

-2

-1

Por último, debe comprobarse la solución de la inecuación. Como no es posible tomar todos y cada uno de los puntos del intervalo, puesto que se tendría que hacer infinidad de verificaciones, bastará tomar algunos puntos que no pertenezcan al intervalo solución, buscando llegar a una contradicción. Para este caso, podemos tomar x

= −5, x = 10 , x = −

9 2

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Si x = −5 ⇒ − 5 ∉ (−4; ∞ ) ⇒ (−5 ) + 4 > 0 solución para la inecuación dada.

−1> 0 ,

⇒

Si x = −10 ⇒ − 10 ∉ (−4; ∞ ) ⇒ (−10 ) + 4 > 0 es solución para la inecuación dada. Si −

9 2

x =−9 2

⇒

− 9 ∉ (− 4 ; ∞ ) 2

⇒

⎛− 9⎞ + 4 > 0 ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

⇒

lo cual es falso. Por lo tanto,

−6 > 0

− 1 > 0, 2

−5

, lo cual es falso. Por lo tanto,

no es

−10

lo cual también es falso. Por lo tanto,

no es solución para la inecuación dada.

Seguramente, si se reemplaza el valor de x por cualquier otro valor perteneciente a (−∞ ; −4 ) , llegamos a otra contradicción. De aquí se puede concluir que efectivamente este intervalo no es solución para la inecuación. Puede comprobarse también para uno o para varios puntos del intervalo del conjunto solución con lo que debe llegarse a una afirmación verdadera. Por ejemplo, x = 0 : Si x = 0 ⇒ 0 ∈ (−4; ∞ ) ⇒ (0 ) + 4 > 0 ⇒ 4 > 0 , resultado que sí es verdadero. Esto lleva a concluir que el intervalo (−4, ∞ ) sí es la solución buscada.

Ejemplo 19 Encontrar el conjunto solución de la siguiente inecuación: 3 − x ≥ 0 : Análisis sobre la recta numérica: De acuerdo con lo visto en el ejemplo anterior, si queremos recurrir al análisis gráfico, primero debemos hallar el punto en donde 3 − x = 0 que es en x = 3 :

…

x <3

…

x >3

Como buscamos los puntos que cumplen con ser 3 − x > 0 ó que cumplen con ser 3 − x = 0 , el punto divisorio x = 3 debemos incluirla en la solución. Los puntos a la izquierda de x = 3 forman el intervalo (−∞ ,3 ) y cumplen con la condición x < 3 que es equivalente a decir 3 > x , lo que a su vez es equivalente a decir 3 − x > 0 . Por lo tanto, este intervalo es la solución que buscamos. Aunque podemos hacer un análisis similar para los puntos que se ubican a la derecha de x = 3 , ya no es necesario, porque llegaremos a que estos puntos cumplen con 3 − x < 0 que no es lo que nos piden. Finalmente, la solución estará dada por: C.S. (−∞ ; 3 ]

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Análisis algebraico: 3−x 3 + ( −3 ) − x

≤ ≤

0−x

≤ ≤ ≥

−3 −3 3

−x x

Inecuación dada Propiedad de orden de la suma Propiedad del inverso aditivo e identidad de la suma Propiedad del elemento identidad de la suma Propiedad de orden de la multiplicación

0 + ( −3 )

Escribiendo este resultado en notación de intervalo se tiene

x ≥3

⇔

[3 ; ∞ )

Hemos llegado así a la misma solución encontrada mediante el análisis gráfico. Gráficamente la solución podemos representarla como sigue:

Ejemplo 20 Encontrar el conjunto solución de la siguiente inecuación: 3 − 2 x ≤ 0 , Análisis gráfico: El análisis sobre la recta numérica requiere inicialmente ubicar el punto en donde 3 − 2 x = 0 . A partir de dicho punto, puede hacerse un procedimiento similar al desarrollado en los ejemplos anteriores: 0

…

3 2

3 x ∈ ⎡ ; ∞ ⎞⎟ ⎢⎣ 2 ⎠

…

x<3 2

3 x > 2

entonces x puede ser igual a 2, verifiquemos en la inecuación dada 3 − 2 x ≤ 0 :

3 − 2(4 ) = 3 − 8 = −5 y como −5 ≤ 0 , podemos afirmar que este punto forma parte del conjunto solución.

x ∈ ⎛⎜ − ∞ ; 3 ⎤ ⎝ 2 ⎥⎦

entonces x puede ser igual a 0, verifiquemos en la inecuación dada 3 − 2 x ≤ 0

3 − 2(0 ) = 3 − 0 = 3

y como 3 ≤ 0 no es cierto, podemos afirmar que este punto no forma parte del conjunto solución De lo anterior podemos concluir que: C.S.

⎡3 ; ∞ ⎞ ⎟ ⎢⎣ 2 ⎠

Este procedimiento, aunque parte del análisis del punto divisorio, no implica un desarrollo algebraico para llegar a la solución, sino la verificación de la validez de la inecuación para puntos tomados de manera arbitraria de cualquiera de los intervalos candidatos a ser solución. De esta forma, si llegamos a una contradicción, se rechaza el intervalo evaluado, o por el contrario, si tomamos un elemento llegando a una afirmación válida, aceptamos el intervalo involucrado. 94

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La exactitud en el resultado depende en gran parte de la solución de la ecuación y del buen manejo en el cálculo del valor numérico de la inecuación en los puntos que se toman de prueba para la confirmación del intervalo solución.

Análisis algebraico: Si resolvemos la inecuación algebraicamente se tiene: 3 − 2x

3 + (−3 ) − 2 x

0 − 2x −2 x − 1 (− 2 x ) 2 x

≤ ≤

−3 −3 − 1 (− 3 ) 2 3 2

≥

Inecuación dada Propiedad de orden de la suma Propiedad del inverso aditivo e identidad de la suma Propiedad del elemento identidad de la suma Propiedad de orden de la multiplicación

0 + (−3 )

Propiedad del inverso multiplicativo

C.S. en notación de intervalo

⎡3 ; ∞ ⎞ ⎟ ⎢⎣ 2 ⎠

La representación gráfica de la solución será: -2

-1

3 2

Ejemplo 21 Encontrar el conjunto solución de x + 2 ≤ 3 analizando la recta numérica. Como la inecuación dada no está en la forma ax + b ≥ 0 , ax + b ≤ 0 , ax + b < 0 ó ax + b > 0 , debemos primero hacer la transformación a una de estas formas: x +2≤3

⇔

x +2−3 ≤ 0

⇔ x −1≤ 0

Ahora sí podemos hacer el análisis sobre la recta numérica. El punto donde se hace cero la expresión lineal es en x = 1 Por lo tanto se tiene gráficamente:

…

-2

-1

x <1 x −1< 0

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x =1

x =1 C.S. (−∞ ;1]

…

x >1 x −1 > 0

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Ejemplo 22 Encontrar algebraicamente el conjunto solución para 7 x − 8 < 4 x − 7 7x − 8

4x − 7

Inecuación dada

7 x − 8 − (4 x )

4 x − 7 − (4 x )

Propiedad de orden de la suma

3x − 8

0−7

Propiedad del inverso aditivo

3x − 8 + 8

0−7+8

Propiedad de orden de la suma

3x + 0

Propiedad del inverso aditivo

Propiedad del elemento identidad de la suma

⎛⎜ 1 ⎞⎟3 x ⎝3⎠

⎛⎜ 1 ⎞⎟1 ⎝3⎠

Propiedad de orden de la multiplicación

1 3

Propiedad del inverso multiplicativo y elemento identidad de la multiplicación

El conjunto solución puede ser expresado utilizando las diferentes notaciones: x ∈ ℜ, x < 1 ⎫⎬ 3⎭

Notación de conjunto:

⎧x ⎨ ⎩

Notación de intervalo:

⎛ − ∞, 1 ⎞ ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝

Se puede representar también gráficamente:

-4

-3

-2

-1

Para comprobar la solución de la inecuación tomaremos un punto que no pertenezcan al intervalo solución para llegar a una contradicción. Para este caso, puede tomarse: 1 ∉ ⎛⎜ − ∞ ; 1 ⎞⎟ ⇒ Si x = 1 ⇒ 7(1) − 8 < 4(1) − 7 ⇒ − 1 < −3 ⎝

3⎠

lo cual es falso. Por lo tanto, 1 no es solución para la inecuación, y

1 ∈ ⎡ 1 ; ∞ ⎞⎟ . ⎢⎣ 3 ⎠

Podemos comprobar también para un punto del conjunto solución con lo que debemos llegar a una afirmación verdadera: 0 ∈ ⎛⎜ − ∞ ; 1 ⎞⎟ 3⎠ ⎝

⇒

x =0

⇒ 7(0 ) − 8 < 4(0 ) − 7

⇒

− 8 < −7

De esta forma, podemos aceptar el conjunto solución encontrado.

Ejemplo 23 Hallar algebraicamente el conjunto solución de: 3−m 3−m 3−m+m

4(m − 3 )

> >

4 m − 12 4 m − 12 + m

5m − 12

3 + 12 15

> >

5m − 12 + 12 5m

3 − m > 4(m − 3 )

Inecuación dada Propiedad distributiva Propiedad de orden de la suma Agrupación de términos semejantes y elemento identidad de la suma Propiedad de orden de la suma Propiedad del inverso aditivo G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

⎛⎜ 1 ⎞⎟15 ⎝5⎠ 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

⎛⎜ 1 ⎞⎟5 m ⎝5⎠

Propiedad de orden de la multiplicación

> <

m 3

Propiedad del inverso multiplicativo

El conjunto solución es:

m ∈ ℜ, m < 3}

Gráficamente el conjunto solución es:

-1

La verificación del conjunto solución se deja como ejercicio al estudiante.

La solución de una inecuación lineal es un conjunto de puntos de la recta numérica que corresponde a un intervalo.

De la teoría de conjuntos, se sabe que si A y se definen las siguientes operaciones:

son conjuntos cualesquiera,

A ∪ B = {x x ∈ A ó x ∈ B}

A ∩ B = {x x ∈ A y x ∈ B}

Las inecuaciones compuestas son aquellas formadas por la combinación de dos inecuaciones mediante los conectores y ú o. Si dos inecuaciones están unidas con el conector o, el conjunto solución será la unión de las respectivas soluciones. Si las inecuaciones están unidas con el conector y, el conjunto solución será la intersección de los dos conjuntos soluciones.

Ejemplo 24 Encontrar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: −x + 3 < 0 ó 2 x − 5 ≥ 3 −x + 3 −x x

0 < −3 < 3 > (3, ∞ )

2x − 5

Ó Ó Ó

-1

-2

-1

≥ ≥ ≥ [4, ∞ )

∪ ∪

-2

2x x

-2

-1

3 8 4

C.S. = (3, ∞ )

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

Ejemplo 25 Encontrar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: 4x + 5

5 ≥ 0 ≥ 0 ≥ [0, ∞ )

4x x

-4 -3

-2 -1

3x − 4 3x

y y y

∩ ∩

-4 -3

4x + 5 ≥ 5

-2 -1

-3

-2 -1

y 3x − 4 ≤ 2

≤ 2 6 ≤ ≤ 2 (−∞ ,2]

C.S. = [ 0, 2 ] En algunos casos, una inecuación compuesta conectada con la palabra y puede ser resuelta de una forma más corta:

Ejemplo 26 Cuál es el conjunto solución de

y 5t + 6 ≤ 21 ?

−4 < 5t + 6

Las dos inecuaciones que se presentan pueden resumirse en una sola así: −4 < 5t + 6 ≤ 21 . La solución obviamente es equivalente. 5t + 6

−4 − 4 + ( −6 )

< <

5t + 6 + ( −6 )

5t 5t ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎝5⎠ t

−10

− 10⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎝5⎠

−2

-4 -3

-2 -1

≤ ≤

21 21 + (−6 )

≤

15 15⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎝5⎠ 3

≤ ≤

Inecuación dada Propiedad de orden en la suma Agrupación de términos semejantes Propiedad de orden en la multiplicación Propiedad del inverso multiplicativo

La solución expresada en notación de intervalo es: ( − 2, 3 ]

Ejemplo 27 Encontrar la solución para la siguiente inecuación: −3 < 7 − 2 x ≤ 7 < < −10 < −3

−3 + ( − 7 )

− 10⎛⎜ − 1 ⎞⎟ ⎝ 2⎠

> 5 >

≤

7 − 2x 7 − 2 x + ( −7 )

≤

−2 x

7 7 + (−7 )

≤

− 2 x ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ ⎝ 2⎠

≥

0⎛⎜ − 1 ⎞⎟ ⎝ 2⎠

≥

Inecuación dada Propiedad de orden de la suma Agrupación de términos semejantes Propiedad de orden de la multiplicación Propiedad del inverso multiplicativo

El sentido de las desigualdades cambia.

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Para representar gráficamente la solución 5 > x ≥ 0 Decir 5 > x representa -2 -1

Decir x ≥ 0 representa 3

-4 -3

-2 -1

Por lo tanto

-4 -3

-2 -1

El intervalo [ 0, 5 ) es la solución de la inecuación −3 < 7 − 2 x ≤ 7 La validez de la solución debe ser verificada. Para ello, puede tomarse un punto dentro del intervalo solución para llegar a una expresión verdadera, o un punto por fuera de este intervalo que lleve a una contradicción. 1 ∈ [0 ; 5 )

− 3 < 7 − 2(1) ≤ 7

⇒

⇔

−3 < 5 ≤ 7

Para establecer la contradicción, se recomienda tomar un punto a la izquierda y otro a la derecha del mismo intervalo: −1 ∉ [0; 5 )

5 ∉ [0 ; 5 )

− 3 < 7 − 2(−1) ≤ 7

⇒

− 3 < 7 − 2(5 ) ≤ 7

⇒

−3 < 9 ≤ 7

− 3 < −3 ≤ 7

Se presentan contradicciones.

Con puntos a la derecha y a la izquierda del intervalo solución, se llega a contradicciones, lo cual permite aceptar el conjunto encontrado.

Ejercicios 3.4 Expresar el enunciado en forma de desigualdad: es negativo.

y es

es menor ó igual que

está entre 4 y 2.

no es menor que 5.

El negativo de z no es mayor que 3.

El cociente de p y q es, cuando mucho, 7.

El recíproco de w es, cuando menos 9.

no negativo. π.

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

Encontrar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

2 + 3x < 5x + 8

10.

3x − 5 < 3 x + 1− x 4 3

11.

−2 − 3 x ≥ 2

12.

4 ( x − 3 ) < −3( x − 5 ) ó 7 x − 3 ⎜⎛ x − 5 ⎞⎟ < 6 4 2⎝ 3 ⎠ 3

3 (2 − x ) < 1 (2 + x ) 4 2 2,48 0,2 − (1,76 x − 3,4 ) ≤ 1,3(2 − 5,2 x ) y ≤ x +6 3 ,1

14.

−[4 − (3 x − 5 ) + 2 x ] ≥ −3( x − 2 ) ó 3 x − 2 < 6 + x 4 3

16.

4 < 2 − 3 x ≤ 10

13. 15.

2 x − 3 − 5( x + 6 ) > −3( x − 2 ) y

17.

13 ≥ 2 x − 3 > 5

18.

4 ≥ 3 x + 5 > −1

19.

1x +7≤ 1x −2 4 3

20.

3 ≤ 2x − 3 < 7 5

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

Encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

6 − w = 4 − 2w 10 5

− 14 a + 8 = 6 a − 20 5 5

6 (c + 0.5 ) + 7 (2c − 1) = 32 − 4 (3c − 7 )

7. 9.

x +1= 2 x − 4 3 3 5 a ( x − 2 ) − b ( x − 1) = b − a ,

con a, b, constantes.

5y − 6 = −y − 9 2 6 x + 7 − 3 x − 6 = 10 x − 8 5 15 30

(

)

5w + 4 32 − 4w = −4 31

4 (1,83 y − 5 ,6 ) − 7 ,4 = 73 ,61 − 4 ,17 y

10.

x + 4 − 5 = 2x − 2 2 6 3

Resolver los siguientes problemas: 11.

A las 6:00 a.m, una barredora de nieve sale de un pueblo, viajando a velocidad constante. A las 8:00 a.m, un automóvil comienza a viajar a una velocidad de 30 km/h y alcanza a la barredora 30 minutos después. Calcular la velocidad de la barredora.

12.

Un grupo de 14 amigos decidieron ir a un concierto. Dos de ellos no podían pagar el costo del boleto, así que los otros pagaron cada uno, su boleto y 4 pesos más. ¿Cuánto costaba cada boleto?

13.

La edad de David es 4 años menos que el triple de la de su hermanita Consuelo. La mitad de la edad de Consuelo es 3 años menos que el doble de la de David. Si ambos nacieron bajo el mismo signo zodiacal, se diría entonces que son gemelos?.

14.

La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.

100

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

15.

Una mujer de negocios desea invertir $30.000 en dos fondos diferentes que producen ganancias anuales del 13% y 15 1/2%, respectivamente. ¿Cuánto debe invertir en cada fondo para obtener una ganancia de $4.350 después de un año?

16.

Se desea construir un silo grande para grano que tenga la forma de un cilindro circular con una semiesfera unida a la parte superior. El diámetro del silo debe ser de 30 pies, pero la altura no se ha determinado aún. Encontrar la altura total que debe tener el silo para que su capacidad sea de 11.250π pies3.

17.

Un granjero desea cercar un terreno rectangular y planea usar 180 pies de material y parte de la orilla de un río en vez de cercar en uno de los lados del rectángulo. Encontrar el área del rectángulo formado si la longitud del lado paralelo a la orilla del río es: a. b. c.

El doble de la longitud de uno de los lados adyacentes. La mitad de la longitud de un lado adyacente. La misma longitud de un lado adyacente.

18.

Un muchacho puede remar en un bote a una velocidad de 5 millas/hora en agua tranquila. Si rema contra la corriente durante 15 minutos y luego rema corriente abajo y regresa al punto de partida en 12 minutos, encontrar:

La velocidad de la corriente.

La distancia total que recorrió.

19.

Una pecera con sus peces vale $260 y la pecera pecera y cuánto los peces?

20.

Cuando Rosa nació, María tenía 30 años. Ambas edades suman hoy 28 años más que la edad de Elsa, que tiene 50 años. Qué edad tiene Matilde, que nació cuando Rosa tenía 11 años?

21.

Si a un número le añado 2, le resto obtengo 132. ¿Cuál es el número?

22.

Tenía cierta cantidad de dinero. Pagué una deuda de $86; entonces recibí una cantidad igual a la que me quedaba y después presté $20 a un amigo. Si ahora tengo $232. ¿Cuánto tenía al principio?

23.

La edad actual de Ricardo es el doble de la de su hijo. Hace 15 años la edad de Ricardo era el triple de la del hijo. Encuentre la edad actual de Ricardo y la de su hijo.

24.

El largo de un rectángulo es tres veces su ancho. El perímetro tiene que el largo. Encontrar las dimensiones del rectángulo.

25.

A la presentación de la película Bichos II asistieron 600 personas. El costo de las boletas para adulto era de $5.000 mientras que los niños pagaron solo $2.000 Si la taquilla de cine recibió $2.400.000, ¿Cuántos niños asistieron a la premier?

26.

El mayor de dos números es Encontrar los números.

312,5.

27.

$20

más que los peces. ¿Cuánto vale la

de esta suma y la diferencia la multiplico por 2,

68 centímetros

más

veces el menor, la resta del mayor menos el menor es

Tres hermanos reciben una herencia repartida de la siguiente manera: el menor recibe cierta cantidad, el segundo recibe $6.746 más que el primero, el mayor recibe $5.200 más que el segundo. Si el monto total de la herencia fue de $431.000 y se entregaron $123.000 a un asilo, ¿cuánto recibe el hijo menor?

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

101

CAPÍTULO III ECUACIONES E INECUACIONES CON POLINOMIOS DE PRIMER GRADO

28.

Pensando en viajar en un año, queremos invertir un capital de $240.000 en un certificado de ahorro que produce el 9% anual y el resto en unos bonos que producen el 12% anual. ¿Cuánto debe invertirse en cada uno, para obtener una ganancia del 100% sobre todo el capital durante un año?

29.

Un corredor de bolsa realizó dos inversiones por un total de $10.000. En una obtuvo una utilidad del 10%, pero en la otro tuvo una pérdida del 12%. Si la pérdida neta fue de $540, ¿Qué cantidad tenía en cada inversión?

30.

Una persona desea invertir $20.000. Piensa depositar una parte en una cuenta de ahorros que produce 5% de interés simple y el resto en un fondo de inversión que produce el 8% de interés simple ¿De qué cantidad debe ser cada inversión para obtener una ganancia de 7% después de un año?

31.

Dos cubos son tales que el lado de uno de ellos es 6 unidades mayor que el otro. Si la diferencia de las áreas de una de las caras de cada cubo es igual a 432, ¿cuál es la diferencia de los volúmenes de los cubos? Solucionar los siguientes problemas:

32.

Si un rectángulo tiene de ancho 2 x − 5 y unidades y tiene un área de unidades cuadradas, ¿Cuál es el perímetro del rectángulo?

33.

a +b

, si ab = 2 y (a + b )2

− 11xy − 10 y

= 10

34.

zf 2

Pagué $325.000 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costó $80.000 más que el coche, y sus arreos $25.000 menos que el coche. ¿Cuánto pagué por cada uno?

Encontrar el conjunto solución de:

35.

2d + 2 ≤ 4d − 3

36.

−2 − 3 x ≥ 2

37.

x − 2 < 5x − 9 3 2

38.

2x +3≤7 3

39.

2x + π ≤ 1

40.

−2( x − 2 ) > 3 x − 3

41.

−3 ( x + 1) < 2 x + 2

42.

3x − 2 ≤ 2

43.

3x + 5 > 1

44.

−3 x +7≤0 5

ó − x +5>9 3

y 2+ x ≤5

y x −2< 1 2

Resolver los siguientes problemas: 45.

102

Pepe tiene en total 11 sobrinos, jugando con el número de niños y niñas, puede escribir una ecuación: Tres veces el número de niños, menos la diferencia del número de niñas menos el de niños más el doble del número de niños es igual a 3. ¿Cuántas sobrinas y sobrinos tiene Pepe?

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

46.

Una biblioteca alquila libros que tienen un cargo fijo para los primeros tres días y un cargo adicional por cada día extra. Tomas pagó 27 centavos por un libro que usó durante 7 días mientras que Rosa pagó 21 centavos por otro que uso 5 días. Hallar el cargo fijo y el cargo por cada día extra

47.

Un número consta de dos cifras cuya suma es 14. Si las decenas se aumentan en 4 y las unidades se disminuyen en 4, se obtiene el mismo número con las cifras en orden inverso. Hallar el número.

48.

Una tubería de 50,4m. de largo se compone de 19 tubos, de los cuales unos tienen 3,6m. de largo y los otros 1,8m. Cuántos tubos hay de cada clase?

49.

Los gastos de reparación de un taller fueron en un mes 3/16 de los gastos totales y éste fue 3/4 de los ingresos. La ganancia neta del mes fue de $256. Encontrar los gastos de reparación, el gasto total y los ingresos totales.

50.

Un campesino compró 10 vacas y 50 ovejas por $750. Vendió las vacas ganando 10% de lo que le costaron y las ovejas ganando el 30%, si recibió $875 por todos los animales, cuánto pagó inicialmente por cada una de ellas?

51.

Un hombre parte en una bicicleta tras un médico que va a caballo 6Km. adelante. El primero recorre 13,5Km/h y el segundo 9Km/h. Al cabo de cuánto tiempo alcanzará aquél a éste?

Resolver los siguientes problemas: 52.

Tres pescadores, preguntados qué han cogido, responden: "cogimos 19 pescados y uno de nosotros cogió 4 más que cada uno de sus dos compañeros″. Cuántos cogió cada uno?

53.

Tres aldeas A, B, C, están situadas formando un triángulo. La distancia de A a B pasando por C es 114Km., la de A a C pasando por B es 118,5Km. y la de B a C pasando por A es 121,5Km.. Encontrar las distancias en línea recta de A a B, de B a C y de C a A.

54.

El perímetro de un triángulo es 33m.. El lado mayor es 5/6 de la suma de los otros dos y a la diferencia de estos le falta 1m para ser 1/5 del menor. Encontrar la medida de los tres lados.

55.

La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°. La suma del mayor y el mediano es y la suma del mediano y el menor es 110°. Hallar los ángulos.

135°,

56.

Hallar un número entre 300 y 400 sabiendo que la suma de sus cifras es revés es 41 del número primitivo.

y que leído al

107

57.

La suma de las tres cifras de un número es 6. Si el número se divide por la suma de la cifra de las centenas y la cifra de las decenas, el cociente es 41, y si al número se le añade 198, las cifras se invierten. Hallar el número.

58.

Yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tu tienes. Cuando tú tengas la que yo tengo, nuestras edades sumarán 81 años. ¿Cuántos años tenemos actualmente?

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103

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“Uno encuentra a veces, lo que no está buscando”

CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA 4.1 4.2 4.3 4.4

INTRODUCCIÓN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS SIMETRÍAS EN EL PLANO CARTESIANO REPRESENTACIÓN EN EL PLANO CARTESIANO DE PUNTOS A PARTIR DE LAS CARACTERÍSTICAS DE SUS COORDENADAS 4.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EN EL PLANO CARTESIANO EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA

4.1

INTRODUCCIÓN

Las situaciones reales no siempre traen consigo la información necesaria para ser traducidas a una expresión algebraica que permita encontrar su solución. Con mucha frecuencia lo que se tiene son datos que representados gráficamente de manera conveniente llevan a establecer posibles formas de solución no necesariamente mediante expresiones algebraicas.

Ejemplo 1 La empresa Espectáculos y Cía S. en C. está programando su próximo concierto. Con el fin de escoger el lugar de presentación, el Departamento de Logística recogió la siguiente información acerca de la asistencia a los conciertos más recientes dirigidos a la población juvenil: Concierto No.

Artista

1 2 3 4 5 6

Gloria Steffan Ricky Martín Gilberto Santarosa Andrés Cepeda Megadeth Shakira

Para el análisis de los datos, cada uno de los miembros de departamento realizó una representación diferente, las cuales permitirían tomar decisiones en la junta.

Asistencia (No. personas) 60.000 35.000 45.000 20.000 50.000 80.000

80.000 70.000 60.000 50.000 40.000 30.000 20.000

106

Shakira

Megadeth

Andrés Cepeda

Gilberto Santarosa

Ricky Martin

Gloria Steffan

10.000

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

21%

27%

90.000 80.000 70.000 60.000 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 0

12% 17%

16%

7% Gloria Steffan

Ricky Martin

Gilberto Santarosa

Andrés Cepeda

Megadeth

Shakira

Ejemplo 2 Carlos Andrés y Daniel Felipe, estudian en la universidad y trabajan de martes a sábado en un bar en la Zona Rosa. A su trabajo deben llegar por tarde a las 8:00 p.m. El siguiente gráfico ilustra las horas de llegada de cada uno de ellos: 08:24 08:09 07:55 07:40 07:26 0

Día laboral

Carlos Andrés

Daniel Felipe

Observando la gráfica responder las siguientes preguntas: Ü

¿Alguno ha llegado tarde al trabajo? Si así ha sido, ¿quién?

¿Han llegado a la misma hora algún día? ¿En caso afirmativo, cuándo?

Quién ha sido el que más temprano ha llegado? ¿Qué día? ¿A qué hora?

Existen muchos sistemas de referencia en el área de las matemáticas y de la ingeniería, como son: sistema de coordenada cartesianas o rectangulares, sistema de información geográfica, sistema de coordenadas polares, sistema de aeronavegación, entre otros. Para esta primera parte del curso, se estudiará el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares.

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107

CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA

4.2

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Un par de rectas numéricas que se cortan perpendicularmente, como se muestran a continuación, forman un sistema de coordenadas cartesianas1. Cada una de estas rectas se representa como una flecha que apunta hacia el sentido positivo de los reales. Se dice además que es éste el sentido del eje. Ejemplos de sistemas de coordenadas cartesianas son:

Por convención, éste último es el que se utiliza para representaciones matemáticas, llamando al eje horizontal “eje x”, al eje vertical, “eje y”, al punto de corte de las dos rectas, “origen” y a cada una de las áreas delimitadas por dichos ejes, “cuadrantes”. El sentido del eje horizontal es hacia la derecha y el del eje vertical es hacia arriba. Por estándar, cada cuadrante tiene asignado un orden específico, así: y 4

Cuadrante II

3 2

Cuadrante I

-4

-3

-2

-1

-2

Cuadrante III

-3

Cuadrante IV

-4

La forma geométrica más simple que es posible representar en un plano cartesiano es un punto. Sin embargo, de acuerdo con el grosor del lápiz con que se dibuje o de acuerdo con la agudeza visual que se disponga, un punto puede convertirse a su vez en un conjunto de puntos. Para evitar confusiones, es necesario precisar su ubicación. En un plano cartesiano, un punto puede ser referenciado mediante una pareja o par ordenado, el cual a su vez tiene un orden: la primera componente corresponde a su relación con el eje horizontal y se conoce como abscisa, y la segunda componente a su relación con el eje vertical y se conoce como ordenada.

En honor a René Descartes, filósofo y matemático francés. (1.565 – 1.650)

108

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Para encontrar las coordenadas de un punto cualquiera en el plano, se trazan líneas paralelas a los ejes x e y que pasen por el punto en cuestión. El punto por el cual la línea vertical corta al eje horizontal, corresponderá a su abscisa x. El punto de corte del eje y con la línea horizontal, corresponderá el valor de la ordenada y. Su notación es: ( x, y ).

Ejemplo 3

4 3

Ubicar los siguientes A=

( 2 ,0 ) ,

⎛ 1 B = ⎜⎜ , 2 ⎝ 2

E = ( 0 , −3 ) , F = (1, −3

)

puntos ⎞ ⎟, ⎟ ⎠

en el plano cartesiano

C = ( −3 , −1 ) ,

⎛ 7 13 D = ⎜⎜ − , ⎝ 2 4

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

1 -4 -3 -2 -1 -1 C

-2 E

-3 -4

Q 4.3

SIMETRÍAS EN EL PLANO CARTESIANO

Cuando en un plano cartesiano se presentan varios puntos o conjuntos de puntos, puede establecerse entre ellos cierto tipo de relaciones: Una de estas relaciones y quizá por naturaleza la más fácil de establecer es la simetría. De manera intuitiva, cada persona tiene un sentido de la simetría por cuanto puede decirse que por el centro de nuestro cuerpo pasa un “eje imaginario” y que el hombro izquierdo está a la misma distancia del eje que el hombro derecho. Si se estiran los dos brazos a los lados, la uña del dedo medio del brazo derecho quedaría a una distancia de ese eje imaginario igual a la distancia que habría entre la uña del dedo medio izquierdo y el mismo eje. A menos que se descubriera una diferencia de longitud de los brazos, esta situación debe ser normal para todos. En términos formales, se diría entonces el hombro derecho es simétrico al hombro izquierdo con respecto al eje imaginario que pasa por el centro del cuerpo2. De la misma en un plano cartesiano pueden establecerse diferentes clases de simetrías con respecto a diferentes ejes o a diferentes puntos. Las que más se reconocen son entre otras: Ü

Simetría axial respecto al eje y. Para un punto de coordenadas (a,b) en el primer cuadrante, su simétrico con respecto al eje y es de la forma (– a,b).

La imagen fue tomada de www.geocities.com/gabilago/99/

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109

CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Simetría axial respecto al eje x. Para un punto de coordenadas (a,b) en el primer cuadrante, su simétrico con respecto al eje x es de la forma (a,– b).

Simetría central. Respecto al punto (0,0): Para un punto de coordenadas (a,b) en el primer cuadrante, su simétrico con respecto al origen es de la forma (– a,– b).

Simetría axial. Respecto a la recta y = x: Para un punto de coordenadas ( a, b ) en el primer cuadrante, su simétrico con respecto a la recta y = x es de la forma ( b, a ).

En general, es posible establecer simetrías teniendo como referencia cualquier punto o cualquier eje sobre ele plano cartesiano.

Ejemplo 4 Determinar los tipos de simetría para el punto A que se presentan en la siguiente gráfica y 4

2 1 -4

-3

-2

-1

-1 -2 -3

-4

Como se observa el punto B es el simétrico de A respecto al eje y Como se observa el punto C es el simétrico de A respecto al origen Como se observa el punto D es el simétrico de A respecto al eje x

Como se observa el punto E es el simétrico de A respecto a la recta y = x

Ejemplo 5 En cuáles de las siguientes gráficas puede establecerse simetría axial o central? Definir el eje o el punto de simetría. 1.

4 y 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -2 -3 -4

1 2 3 4

4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -2 -3 -4

1 x

x 1 2 3 4

-1 -1 -2

4 y 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

L x

1 2 3 4

Las gráficas 1 y 3 presentan una simetría axial con respecto al eje y y al eje x respectivamente. Por su parte, la gráfica 2 presenta una simetría central con respecto al origen. La gráfica 4 muestra una simetría con respecto a la recta L. 110

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejercicios 4.1 1.

Si el eje y es eje de simetría, cuáles son: a.

Las coordenadas del punto simétrico a (3,7 ) ?

Las coordenadas del punto simétrico al punto (a, b ) ?

Las coordenadas de los vértices del nuevo triángulo si se tiene el siguiente gráfico?

3 2 A

1 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1

1 2

3 4

5 6

-2 -3 -4

4 3 2

1 -4 -3 -2 -1

-1

Si el eje x es el eje de simetría encontrar gráficamente la figura simétrica a la dada en el siguiente sistema de coordenadas.

-2 -3 -4

5 4 3 2 1

Si se sabe que la siguiente representación gráfica tiene una simetría central respecto del punto (0,0 ) , completar la gráfica.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1 2 3 4 5 6 7

-2 -3 -4 -5 -6

Responder las siguientes preguntas: a.

Determinar las coordenadas del punto que resulta de aplicar a (−2,3 ) una reflexión respecto a la recta y = x .

Determine las coordenadas del punto que resulta de aplicar a (−1,1) una simetría respecto al punto (0,0 )

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111

CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA

4.4

REPRESENTACIÓN EN EL PLANO CARTESIANO DE PUNTOS A PARTIR DE LAS CARACTERÍSTICAS DE SUS COORDENADAS

En general, en el plano cartesiano se representan gráficamente puntos que cumplen con ciertas condiciones dadas. Así como se ha trabajado con anterioridad con la regla de cuatro, tales condiciones pueden ser expresadas además en forma verbal, numérica, o algebraica. El ejemplo siguiente permitirá ver la correspondencia entre estas cuatro formas: Forma Verbal

Forma Numérica

Un punto ( x , y ) cuya abscisa sea igual a 3 su ordenada tenga el mismo valor.

A = (3 , 3 )

El punto

(x , y )

ordenada valga

Forma Algebraica

Forma Gráfica

y = x , con x = 3

cuya −

5 2

sea la mitad de la abscisa.

5⎞ ⎛ B = ⎜⎜ − 5 , − ⎟⎟ 2⎠ ⎝

Un punto ( x , y ) cuya abscisa sea igual a 2 y cuya ordenada sea el doble del valor de la abscisa más cinco unidades.

C = ( 2 ,9 )

El punto ( x , y ) que cumpla con que su ordenada es igual a -8 y su abscisa es la raíz cúbica de la ordenada.

D = ( − 2 , −8 )

El punto ( x , y ) cuya abscisa tenga como valor el doble producto de la ordenada menos 2 unidades, y su ordenada sea 4.

E = (6 ,4 )

9 8 7 6 5 4 3 2 1

y = 1 x , con x = 5 2

y = 2 x + 5, con x = 2

x =

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 B -4 -5 -6 -7 D -8 -9

y , con y = −8

1 2 3 4 5 6 7

2 y − 2 = x , con y = 4

Ejercicios 4.2

2 1.

112

Resolver los siguientes ejercicios: Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos:

( 17 ; −1)

A = (−3; 0 )

E = (0; −2 + 8 )

F = (π ; −2 )

C = ⎛⎜ −3 ; 4 ⎞⎟ ⎝ 4 3⎠

D = ⎛⎜ 5 ; 3 ⎞⎟ ⎝2 ⎠

G = − 4; 2

H = ⎛⎜ − π ; − 2 ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

(

)

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Localizar en el plano cartesiano los puntos: a.

Con abscisa 4 y ordenada 2.

Con abscisa −2 y ordenada 0.

Con abscisa 5 y la misma ordenada del punto (3;−4).

Con la misma abscisa que el punto (–4;0) y ordenada –5.

Los puntos donde el valor absoluto de la componente x y de la componente y son iguales.

La coordenada x y la coordenada y, son el inverso aditivo uno del otro.

La abscisa es el cuadrado de la ordenada.

La diferencia entre la abscisa y la ordenada es 1.

{( x , y ) /

x ≤ 2 y y = 1}

Con los siguientes puntos representados en el sistema de coordenadas elabore la tabla de valores y encuentre la ecuación que los genera x

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 -4

-2

-4

4.5

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EN EL PLANO CARTESIANO

En la sección anterior se expresaron en diferentes formas las condiciones que permitían representar un punto específico. Sin embargo, en algunas ocasiones se pueden representar varios puntos a partir de la relación que se pueda establecer entre sus coordenadas. Estas relaciones pueden ser de orden o de igualdad. Finalmente, todos los puntos cuyas coordenadas cumplan con la relación darán origen a una gráfica con características especiales, deducibles generalmente a partir de la expresión algebraica de la relación. Dada una relación algebraica entre dos variables, deberá entenderse que las variables corresponden a las coordenadas de los puntos, por lo que para representar dichos puntos basta con darle valores arbitrarios a una de las variables y encontrar el valor de la otra. De esta forma se hallarán algunos puntos que permitirán fácilmente deducir todos los demás puntos de coordenadas reales que cumplen con la relación dada. ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

113

CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Ejemplo 6

Representar en el plano cartesiano los puntos cuyas coordenadas cumplen con: − x + y − 1 = 0

3 2 1

Los puntos que cumplen con esta relación satisfacen una relación equivalente como: −x + y −1= 0

⇔

-4 -3 -2 -1 -1

y = x +1

-2 -3

Esta nueva expresión permite encontrar las coordenadas de los puntos que conforman su representación, dando a x cualquier valor real y hallando el correspondiente valor para y, así: Sea x = 1 ⇒ y = − 3 + 1 ⇒ y = − 1 2

-4 -5

La gráfica muestra algunos puntos que cumplen con la relación.

Ejemplo 7 Representar en el plano cartesiano todos los puntos cuyas coordenadas cumplen con: y = 2x + 2

La expresión algebraica dice que el valor de y se encontrará dando valores reales a x multiplicándolos por 2 y al resultado sumarle 2 unidades. Dado que es imposible hacer el ejercicio para todos los reales, bastará con encontrar algunos valores. Por ejemplo: Ü Ü

Cuando x tiene un valor de 2, y valdrá 6. Si x toma el valor de 3, y tomará el valor de 8.

De esta forma, se puede realizar una tabla de valores que correspondería a la forma numérica de y = 2 x + 2 x 0 2 -2 -4 -3

y 2 6 -2 -6 -4

Al graficar los puntos y unirlos mediante una línea recta pueden encontrarse todos los puntos que cumplen con la relación inicialmente mostrada mediante la expresión algebraica y = 2 x + 2 .

6 4 2 -4 -3 -2 -1 -2

x 1

-4 -6 -8

Q Como se pudo observar, tanto en el ejemplo 6 como en el 7, expresiones de la forma Ax + By + C = 0 , con A , B , C ∈ ℜ , B ≠ 0 y y = ax + b ,con a , b ∈ ℜ , dan lugar a líneas rectas en el plano cartesiano. La primera forma es conocida como forma general, forma estándar ó forma canónica.

114

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 8 Representar en el plano cartesiano los puntos tales que

x + y ≥ 2y + 1

Para representar gráficamente la inecuación dada, primero se localizan los puntos que cumplen con la igualdad x + y = 2y + 1 . 4

3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1

4 x

-2 -3 -4

Estos puntos dividen el plano en dos semiplanos. Luego, se remplazan las coordenadas de un punto cualquiera en la expresión original, y si se encuentra una desigualdad en el mismo sentido, significa que todos los puntos del semiplano al que pertenece el punto de prueba satisfacen con la inecuación. Si la prueba arroja una contradicción, ningún punto de dicho semiplano hará verdadera la inecuación.

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN 1.

Representar en un plano cartesiano la información contenida en la siguiente tabla. x 5 8 9 11 15

y 2 5 6 8 12

Representar en un sistema de coordenadas los puntos ( x , y ) que cumplen con que la ordenada es el triple de la abscisa aumentada en una unidad.

Si se tiene que

y =x

−3

complete la siguiente tabla de valores: x 2 3 4 5 6 7

Representar gráficamente el conjunto de parejas cuyas componentes son enteros positivos menores de once y mayores que cero y cuya diferencia entre abscisa y ordenada es un número par.

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115

CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Encontrar las coordenadas del punto simétrico respecto al eje y, eje x y origen para cada uno de los siguientes puntos: a.

(−2; −1)

(1; −1)

(3; 0 )

(0; 0 )

⎛⎜ 0; 5 ⎞⎟ ⎝ 3⎠

Si el punto ( a ; b ) está en el tercer cuadrante, indique en que cuadrante se encuentran los siguientes puntos: a.

( a;−b )

( − a ;− b )

( −a;b )

(b;a )

( -b;a )

( −a;a )

Suponga que cada punto del plano se desplaza 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba determine: 6 5

a. b.

Donde queda ahora el punto (5.3 ) ?

Si se tiene el triángulo ABC que se observa en el siguiente sistema de coordenadas donde queda el nuevo triángulo?

2 1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 C -2

B 1 2

3 4

5 6

-3 -4

Representar en el plano cartesiano el siguiente conjunto “los puntos cuya abscisa es un número real entre –2 y 4 y la ordenada es la abscisa disminuida en 1”

Determine que tipo de movimientos realizó y en que cantidad de unidades para obtener: f

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1 -1

La gráfica g a partir de la f.

La gráfica h a partir de la g

-2 -3 -4

-5 -6

116

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10.

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

En el siguiente gráfico 4

Relacionar tres puntos que pertenecen a la gráfica

3 2

De las coordenadas de dos puntos que se encuentren en el interior de la gráfica

c. De las coordenadas de dos puntos que se encuentren en el exterior de la gráfica.

-4

-3

-2

-1

-2 -3 -4 3 2 1

11. -3

-2

-1

Determine las características de la abscisa y la ordenada de la parte sombreada en el siguiente sistema de coordenadas

-2 -3

12.

En el pasado festival de cometas, un grupo de estudiantes preparó como posible diseño de un afiche el esquema básico representado en un plano cartesiano como se ilustra. Deseando darle movilidad estudiaron dos tipos de simetría, realice el diseño si: a. Se usa una simetría respecto al eje y

-5

-4

-3

-2

-1

b. Se usa una simetría respecto al origen

-1

-5

-4

-3

-2

-1

-2

-3

-4

-5

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117

CAPÍTULO IV SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Llenar los espacios en blanco justificando su respuesta. 13.

14.

Si (a; b ) es un punto en el segundo cuadrante, entonces (a; −b ) es un punto del _______________________ . cuadrante. Si la gráfica de una ecuación contiene el punto (2; 3 ) y es simétrica con respecto al eje la gráfica también contiene el punto _______________________ .

x, 15.

Si el punto (4; 2 ) pertenece a una gráfica que es simétrica respecto al origen (impar), el punto _______________________ . también lo está.

16.

Si xy > 0 , el (los) punto(s) ( x ; y ) está(n) en el cuadrante _____________________.

17.

Qué diferencia hay entre (a ; b ) y {a ; b} _______________________ .

118

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“A partir de los griegos, quien habla de matemáticas habla de demostración”

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

INTRODUCCIÓN ECUACIONES DE LA FORMA y = mx ECUACIONES DE LA FORMA y = mx + b RECTAS VERTICALES FUNCIÓN LINEAL SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES: SOLUCIÓN POR MÉTODO GRÁFICO

APLICACIONES SOLUCIÓN DE INECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO GRÁFICO EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO 5.1

INTRODUCCIÓN

La representación gráfica más simple en el plano cartesiano es la de un punto.

Un punto en el plano se simboliza mediante sus coordenadas: ( x , y ) .

Dos puntos en un mismo plano determinan una recta.

Para representar expresiones algebraicas en el plano cartesiano, basta con darle valores arbitrarios a la variable x y así encontrar el valor de y. Este método es conocido como tabulación.

En relaciones de igualdad entre expresiones algebraicas en dos variables, x y y, la variable independiente es x y la variable dependiente es y.

Tres puntos sobre una misma recta, se dice que son colineales.

Una recta en el plano cartesiano puede presentar cualquiera de las siguientes formas: 4

1 -4 -3 -2 -1

120

-1

x 1

-4 -3 -2 -1

-1

-2

-3

-4

x 1

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

1 -4 -3 -2 -1

x 1

-1

-4 -3 -2 -1

-1

-2

-3

-4

x 1

A partir de lo estudiando en el capítulo anterior, puede decirse que éstas corresponden a representaciones gráficas de expresiones algebraicas, cuyas características aún no se conocen. Cabe la pregunta: ¿Tienen algo en común tales expresiones? ¿Qué las diferencia? Para dar respuesta a estas inquietudes, se debe estudiar con detenimiento cada una de las secciones que se presentan a continuación.

5.2

ECUACIONES DE LA FORMA y = mx

Las ecuaciones de la forma y = m x , m ∈ ℜ son expresiones algebraicas de primer grado o lineales, llamadas así porque en el plano cartesiano representan una línea recta. El análisis para este tipo de ecuaciones comienza con la forma más simple, haciendo m = 1 , con la cual se obtiene y = x , cuya gráfica se presenta a continuación: 4

x 0 2 -1 -4 3

3 2 1 -4 -3 -2 -1

-1 -2 -3 -4

x 1

y 0 2 -1 -4 3

En forma numérica, la tabla de valores correspondiente permite ver que todos estos puntos sobre la recta son de la forma ( x , x ) .

Como puede verse, la expresión da lugar a puntos en el plano cartesiano con igual valor para la abscisa y para la ordenada, y la unión de todos los puntos que presentan esta característica forman una línea recta como la que se muestra en la gráfica.

Si ahora se analiza la recta, qué conclusiones pueden sacarse? Ü

A todo valor de x ∈ ℜ , le corresponde uno y sólo un valor de y.

Siempre que aumenta el valor de la abscisa, el valor de la ordenada aumenta.

La recta bisecta el primero y el tercer cuadrante.

Se presenta una simetría central respecto del origen.

Q ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

121

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Continuando el análisis, se estudia ahora el comportamiento de las rectas cuando m toma valores positivos mayores a la unidad. Para ello se observan las gráficas de y = 2 x , y = 3 x y de

y =

3 2

.. y

Tomando como correspondiente a

referencia la recta , se observa que:

y =x

Todas las líneas tienen en común el punto (0,0 ) .

Cada recta diferente.

A mayor valor de más al eje y.

tiene m,

una

y=2x

y=3/2x

y=3x y=x

1 x

inclinación

-2

-1

la recta se acerca

-2

Q El paso siguiente es analizar las gráficas cuando m varía entre 0 y 1. Las gráficas de

y =2x 3

de y = 1 x permiten ver que: 3

y 2

y=x y=2/3x

1 y=1/3x -2

-1

1 -1

Cada recta diferente.

A menor valor de más el eje x.

Todas las líneas tienen en común el punto (0,0 ) .

tiene m,

una

inclinación

la recta se acerca

-2

Q En todas estas situaciones se encuentra que la gran diferencia radica en la inclinación de cada una de las rectas, concepto que se asocia con la palabra “pendiente”. Para hablar en términos cotidianos, la pendiente puede relacionarse con la inclinación de un puente, de una vía, de una montaña o de una rampa. En todos estos casos, se están

122

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

uniendo dos puntos separados por una distancia horizontal y por una altura. Se dice que una montaña por ejemplo es más pendiente con respecto a otra, si a partir de una misma distancia horizontal, los puntos que une están separados por una altura mayor.

La primera montaña es más inclinada y por lo tanto, su pendiente es mayor1. Al ver la situación sobre el plano cartesiano, puede interpretarse como la cantidad de unidades desplazadas en sentido vertical a partir de una misma distancia horizontal.

6 5

-1

1 1

1.0u

-1

1.3u

-1

De manera general, la pendiente entre dos puntos cualesquiera sobre una recta puede determinarse por la razón entre el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal. A partir de la gráfica de y = 2 x y tomando cuatro puntos sobre ella, puede comprobarse que: 1

Fotos extraídas de www.deporteweb.com/xtremos/alta.html.

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123

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

y = 2x

y 4

Para cualquier par de puntos sobre la recta, la razón entre los desplazamientos vertical y horizontal es siempre 2:1.

3 2

1 x

B -4

-3

-2

-1

-1 A

-2 -3

Pto. 1

Pto. 2

2 und. arrb 1 und.der.

4 und. abj

6 und. arrb 3 und.der.

2 und. abj

D.V.

D.V. D.H.

D.H.

2 und. izq.

1 und. izq.

2 1 4 2 6 3 2 1

=2 =2 =2 =2

-4

Los desplazamientos del punto 1 al punto 2 se hacen Ó ambos en el mismo sentido de los ejes así : Vertical (D.V) Horizontal (D.H)

arriba (arrb) derecha (der)

Ó los desplazamientos se hacen ambos en sentido contrario a los ejes, así: Vertical (D.V) Horizontal (D.H)

abajo (abj) izquierda(izq)

Comparada la razón con el coeficiente de

de la recta dibujada se encuentra que es

exactamente el mismo valor. Por lo tanto, la pendiente de la recta y = 2 x es 2.

4 y= –x

¿A qué conclusiones se llegará al comparar la recta y = x con la recta y = − x ? Con base en la gráfica de las rectas, puede decirse que:

y y=x

3 2 1

-4 -3 -2 -1

-1 -2 -3 -4

x 1

Ü La recta IV.

y = −x

bisecta los cuadrantes II y

Ü La recta y = − x es la simétrica con respecto al eje x de la recta y = x Ü La recta y = − x es también simétrica con respecto al eje y a la recta y = x Ü

Únicamente tienen en común el punto (0,0).

Ü Las rectas tienen diferente inclinación. Ü En la recta y = − x , se tiene que a mayor valor de x, menor valor de y.

Q 124

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

¿Qué se puede decir si se consideran diferentes rectas con

m<0?

y= –2x

Ü Ü Ü Ü

A menor valor de eje y.

y= –x

Todas las rectas tienen inclinación diferente.

2 y= –2/3x

se acercan más al

1 y= –1/3x

Todas tienen un punto común que es el (0,0).

-3

-2

-1

Los puntos de todas las gráficas se ubican en los cuadrantes II y en el IV.

-2 -3

Q Ahora, si se analiza el concepto de pendiente dado anteriormente en una recta con estas características, qué se puede generalizar? Es posible analizar estas rectas a partir de desplazamientos? Que diferencia hay? En la siguiente gráfica se estudiará la situación.

y y= –x

A B

2 C

1 x

-3

-2

-1

1 -1

-2 -3

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125

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Pto. Pto. 1 2

D.V.

D.V. D.H.

D.H. 1und. der 3und. der

1=1 1

1und abj.

3und abj.

2und arrb. 2und. izq

2 =1 2

2und arrb. 2und. izq

2 =1 2

3 =1 3

Para cualquier par de puntos sobre la recta, la razón entre los desplazamientos vertical y horizontal es siempre la misma: 1:1. Para desplazarse del punto 1 al punto 2 debe hacerse uno de los movimientos en el sentido del eje y el otro en sentido contrario, así: Ü Horizontal (D.H) Vertical (D.V)

derecha (der) abajo (abj)

Ü Horizontal (D.H) Vertical (D.V)

izquierda (izq) arriba (arr)

Cuando los desplazamientos son en sentido contrario uno del otro, se dice que la pendiente es negativa. Se observa ahora que si se toma el opuesto aditivo de la razón este valor coincide con el valor de m.

Q En términos generales puede decirse que las representaciones gráficas de expresiones de la forma y = mx son líneas rectas con pendiente igual al valor de m con las siguientes características: Ü

Todas son rectas que pasan por el origen (0,0 )

El valor de m corresponde al valor de la pendiente

Si m > 1 su pendiente es positiva y a mayor valor de del eje y.

Si −1 < m < 0 , la pendiente es negativa y al aumentar el valor de la pendiente y acercarse a 0, la recta se acerca al eje x.

Si m < −1 su pendiente es negativa y a menor valor de cerca del eje y.

0 < m < 1 , la

la recta se encuentra más cerca

pendiente es positiva y a menor valor de m, la recta se acerca más al eje x.

la recta se encuentra más

Ejemplo 1 Dibujar la recta correspondiente a y = −4 x . Antes de pretender hacer cualquier esbozo, debe hacerse el análisis de las características de la expresión: , por lo tanto es una recta.

Cumple con la forma

Debe pasar por el punto ( 0 , 0 ) .

El valor de m = −4 . Su pendiente por lo tanto es negativa, por lo cual debe estar más cerca del eje y que la recta y = − x

126

y = mx

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

La recta necesita dos puntos para ser representada gráficamente. El primer punto A es el conocido ( 0 , 0 ) . Para encontrar el segundo punto B que permita trazar la recta, debe hacerse dos desplazamientos: uno en sentido vertical y otro en sentido horizontal, uno de ellos en el sentido del eje y otro en sentido contrario, determinados a partir de la siguiente proporción: cantidad unidades de desplazami ento vertical cantidad unidades de desplazami ento horizontal

Por tratarse de proporciones, podría aceptarse igualmente: La gráfica es entonces:

= −4 = −

4 1

−8 = −24 = A 2 6

4 3

y=– 4x

2 1 -4 -3 -2 -1

-1

-2 -3 -4

Hasta el momento, el trabajo se ha limitado a valores de m enteros. Pero, de qué manera pueden variar las generalizaciones ya aceptadas si m toma un valor racional?

Ejemplo 2 Esbozar la gráfica de

y =3x 4

, por lo tanto la recta que pasa por ( 0 , 0 )

La recta es de la forma

La pendiente es positiva.

Ambos desplazamientos deben ir en sentido de los ejes o ambos en sentido contrario a los ejes.

y = mx

unidades de desplazamiento vertical. 4 unidades de desplazamiento horizontal. 6

y=3/4x

4 3 2 1 -2 -1

-1

x 1

-2

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127

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ejemplo 3

Es posible encontrar la ecuación de una recta de la forma y = mx que pase por los puntos A y B mostrados en el siguiente gráfico?

)

Conocidos dos puntos de la recta, se pueden establecer los desplazamientos vertical y horizontal que se deben realizar para ir de un punto a otro, y por supuesto, determinar la razón entre estos desplazamientos. De esta forma, puede afirmarse que la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B es:

m = D .V . = − 3 D .H . 2

7 A

6 5

2 1 x -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1

Vale decir que el signo negativo se debe a que uno de los desplazamientos debe hacerse en el sentido del eje y el otro en el sentido opuesto. La siguiente condición que debe cumplirse para que la recta sea de la forma y = mx es que pase por origen, entonces ahora se pregunta: ¿Pasa esta recta por el origen? Si es así, cómo comprobarlo?

Si la recta pasa por el origen, la razón de los desplazamientos vertical y horizontal desde A o desde B hasta el punto ( 0 , 0 ) debe ser la misma: m = − 3 2

Tomando el punto A como punto de partida, se debe hacer dos desplazamientos para llegar al origen: 4 unidades a la derecha (sentido de los ejes) y 6 unidades hacia abajo (sentido contrario al eje). Por lo tanto: m = −6 = −3 4 2

Esto significa que efectivamente la pendiente es de la forma y = mx , y su pendiente es: m = −3 . 2

Por lo tanto su forma algebraica es:

y= −3 x 2

Ejemplo 4 Qué características tendrá una recta de la forma y = mx cuando

m=0?

Ya que es de la forma y = mx , debe ser una recta que pasa por el punto (0,0).

¿Qué significa la pendiente

m=0?

De acuerdo con la definición de pendiente:

128

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

cantidad unidades de desplazamiento vertical = 0 = 0, cantidad unidades de desplazamiento horizontal c

c∈ℜ

Lo que significa que no importa cuántas unidades se desplace en dirección horizontal, ni el sentido de dicho desplazamiento, pues no habrá desplazamiento vertical. Entonces la recta coincidirá con el eje de las x.

Q En general, dados dos puntos cualesquiera A = ( x 1 , y 1 ) y B = ( x 2 , y 2 ) , la pendiente de la recta que pasa por ellos estará dada por la razón entre el número de unidades de desplazamiento vertical y de desplazamiento horizontal que se requiere para ir de uno de ellos al otro. Cómo establecer dichos desplazamientos? y

Del gráfico se puede observar que verticalmente, para ir de A a B se debe realizar un desplazamiento de ( y 2 − y 1 ) unidades hacia arriba, mientras que el desplazamiento horizontal debe ser de ( x 2 − x 1 ) unidades hacia la derecha. En forma algebraica, la pendiente se expresa como:

B=(x2,y2)

y2-y1 A=(x1,y1)

x2-x1 x

y2 − y1 x 2 − x1

La razón por la cual se relaciona la pendiente con la letra m, es por la palabra francesa “monter” que significa inclinación.

Ejercicios 5.1

2 1.

Encontrar la ecuación para cada caso: Las cuatro rectas que pasan por el origen y por los puntos Describir el proceso que se debe seguir para:

Determinar la pendiente de una recta a partir de su gráfica.

Determinar que una recta tiene pendiente negativa.

⎛ 1⎞ ⎜⎜ 1, ⎟⎟ , (1, 1) , (1, 2 ) , (1, 3 ) ⎝ 2⎠

En el plano cartesiano:

Señalar la región que contiene rectas que pasan por el origen y cuya pendiente es menor que 1.

Escoger una recta que se encuentre en la región del ejercicio anterior y a partir de ella encontrar la ecuación de la recta cuya pendiente es la mitad de la pendiente de la recta escogida.

Señalar la región que contiene rectas cuya pendiente es mayor a 3 y pasan por el origen.

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129

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

5.3

ECUACIONES DE LA FORMA y = mx + b

Las expresiones de la forma y = mx + b con m, b ∈ ℜ deben guardar similitud con las ecuaciones de la forma y = mx estudiadas en la sección anterior. Cabe preguntar: ¿Qué incidencia tiene el real b ? Con la ayuda visual que proporciona la representación gráfica, se iniciará el estudio con las ecuaciones de rectas que presentan la forma y = x + b .

y=x+5/2

y=x+1 -4

-3

-2

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

-1 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5 -3.0 -3.5 -4.0 -4.5

y=x –2

y=x 1

x 2

y=x –7/2

Todas tienen pendiente positiva.

La razón de los desplazamientos entre dos puntos que pertenecen a una misma recta es la misma para todas las rectas, lo que indica que tienen la misma pendiente y por lo tanto se dice que son paralelas.

Sólo y = x pasa por el origen.

Las rectas con

El corte con el eje y coincide con el valor de b.

Las rectas con b > 0 , cortan al eje y en su parte positiva. Cada recta es una traslación de b unidades hacia arriba de la recta y = x .

Las rectas con b < 0 , cortan al eje y en su parte negativa. Cada recta es una traslación de b unidades hacia abajo de la recta y = x .

b≠0

cortan al eje x y al eje y en puntos distintos.

Q De la misma forma, estudiando las ecuaciones de la forma y = − x + b puede extraerse la siguiente información: Ü

Todas tienen pendiente negativa.

130

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Sólo y = − x pasa por el origen.

Las rectas con b ≠ 0 cortan al eje x y al eje y en puntos distintos. El corte con el eje y coincide con el valor de b.

Las rectas con b > 0 , cortan al eje y en su parte positiva. Cada recta es una traslación de b unidades hacia arriba de la recta y = − x .

Las rectas con b < 0 , cortan al eje y en su parte negativa. Cada recta es una traslación de b unidades hacia abajo de la recta y = − x .

y= –x

-4

-3

-2

y= –x – 7/2

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 -1 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5 -3.0 -3.5 -4.0 -4.5

y= –x+5/2

x 1

y = –x+1

y= –x –2

En ambos casos, con m = 1 y con m = −1 , b indica el punto de corte de la recta con el eje y. Esta característica le da a b el nombre de intercepto-y u ordenada al origen, ya que la coordenada del punto es de la forma ( 0 , b ) . En cada uno de los grupos, las rectas tienen la misma pendiente, lo cual indica que son paralelas. Lo anterior se generaliza en el siguiente teorema: Teorema 1: Dos o más rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. En cuanto al corte con el eje x, vale decir que tiene un nombre generalizado: intercepto-x o abscisa al origen ya que su coordenada es de la forma ( x ,0 ) Los siguientes ejemplos, permitirá entender de qué manera se pueden generalizar los conceptos vistos hasta el momento en esta sección:

Ejemplo 5 Dadas las siguientes rectas, decir cuáles de ellas son paralelas. Si se observa cada una de las rectas, se han establecido desplazamientos entre cualesquier par 4 de puntos sobre ellas. J H

3 2 9

1 2

M 6

N L

4 2

De esta forma, se encuentra que para las rectas H,L, y J, la razón entre los desplazamientos verticales y horizontales es de 2:1, y mientras uno de los desplazamientos se hace en sentido de los ejes, el otro se hace en sentido opuesto. Por lo tanto, estas tres rectas son paralelas. Por su parte, la razón entre los desplazamientos vertical y horizontal entre dos puntos cualesquiera sobre las rectas M, y N, es de 3:1, ambos en el sentido de los ejes, por lo cual se puede afirmar que estas dos últimas rectas también son paralelas entre sí.

Q ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

131

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ejemplo 6 Graficar y = 2 x + 1 y encontrar las coordenadas del punto de corte con el eje x.

Qué se sabe?

La pendiente es m = 2 .

El intercepto y es en 1.

2 1 -4 -3 -2 -1 -1

Como la pendiente es positiva, ambos desplazamientos son en el mismo sentido. El valor de 2 indica que la razón entre los desplazamientos es entonces de 2 a 1.

x 1

-2 -3 -4

El intercepto y en 1 hace que la recta pase por el punto ( 0 ,1) . Si se quiere determinar las coordenadas del punto de corte con el eje x, puede seguirse dos métodos: 1. Por desplazamientos: Si se tiene en cuenta que la razón de los desplazamientos entre dos puntos cualesquiera es de 2 a 1, y se sabe que la recta pasa por el punto ( 0 ,1) , puede hacerse un desplazamiento de una unidad hacia abajo hasta encontrar el eje x, y de media unidad a la izquierda para encontrar el punto que coincide con el punto de corte, cuyas coordenadas son: ⎛⎜ − 1 , 0 ⎞⎟ . ⎝

⎠

2. Algebraicamente: En el punto de corte con el eje x, el valor de la ordenada es 0. La situación se reduce a resolver una ecuación lineal en una variable, así: 0 = 2x + 1

⇔

x =−1 2

Ejemplo 7 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos de coordenadas ( 2 ,1) y ( 0 , 3 ) . Ya se conoce el valor de b de la ecuación.

Intercepto y

Para calcular la pendiente m, se recurrirá a los desplazamientos desde un punto hasta el otro: D .V . = 2 = 1 D .H . 2

y 4 3

Sólo uno de los desplazamientos se realiza en el sentido del eje, por lo tanto, la pendiente será negativa.

2und 2und

La ecuación de la recta es de la forma

1 x -1

y = mx + b

Si m = −1 y b = 3, se tiene:

-1 y = –1x+3

132

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 8 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos: (1,1) y ( −3 , 2 ) . Pendiente m = D.V . = D .H .

1 4

negativa.

y 3

La ecuación debe ser de la forma: y = −1x +b 4

1 und.

Intercepto y:

4 und.

)

-3

-2

1 x

-1

Es claro que el método de los desplazamientos aunque es bastante práctico en muchas ocasiones, no siempre permiten llegar fácilmente a la solución. En ocasiones es necesario recurrir al uso de herramientas geométricas o al método algebraico para resolver este tipo de situaciones: Cómo proceder? Mediante el uso de herramientas de la Geometría, es muy útil establecer semejanza de triángulos, y hacer uso de las proporciones así: Si para llegar del punto : ( −3 , 2 ) al punto (1,1) se realiza un desplazamiento de 4 unidades hacia la derecha, para llegar del mismo punto ( −3 , 2 ) hasta el eje y se deben avanzar 3 unidades en el mismo sentido. Para conservar la misma proporción, cuántas unidades es necesario desplazar hacia abajo? m = − 1 = −? 4 3

Efectivamente: es necesario bajar punto

5 4

ya que

2−

3 4

5 4

3 4

de unidad, lo que significa que se cruza el eje y por el

. y

3 4 1

5 4 x

-4

-2

Conocido el valor del intercepto y la ecuación de la recta es

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y =−

x 4

5 4

133

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

El intercepto y también se puede obtener algebraicamente dado que se conocen dos puntos de la recta. Ambos deben cumplir con la ecuación, por lo cual cualquiera de ellos puede reemplazarse en la expresión: y = −1x +b 4 1 = − 1 (1) + b 4 5 =b 4

Ahora sí, puede concluirse que la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,1) y ( −3 , 2 ) es:

y =−1x+5 4 4

Ejemplo 9 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por ( 3 , 4 ) y por (1,1) .

4 3

Pendiente: m = D .V . = 3 positiva. D .H .

Conocida la pendiente, se establece la razón entre los desplazamientos vertical y horizontal desde un punto conocido hasta el punto que coincida con el eje y: 3

3= 2. 2 1

3 und.

2 1 -3

-2

-1

2 und.

-2

Esto significa que al desplazarse una unidad a la izquierda desde el punto (1,1) , se debe desplazar 3 de

-3

unidad para llegar al intercepto y. De esta forma, la ecuación determinada es:

y =3x−1 2 2

Ejemplo 10 Qué características tendrá una recta de la forma y = mx + b , con m = 0 y

b≠0?

En el ejemplo 4, se analizó la recta y = m x , con m = 0 , y se encontró que correspondía a una recta sobre el eje de las x. Si b hace que la recta se traslade verticalmente, para este caso, la recta horizontal, se trasladará b unidades hacia arriba si b es positivo, o b unidades hacia abajo, si b es negativo. Por lo tanto se puede concluir que la recta es paralela al eje x y con intercepto y en b. La expresión algebraica de la recta es y = b

134

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 11 Dada la representación gráfica del siguiente conjunto de rectas, encontrar la ecuación de cada una de ellas y resaltar sus características comunes: Para la recta y1: m = D.V . = 3 = 3 D.H . 1

y3 b = −2

⇒

y1 = 3x − 2

Para la recta y2: m = D .V . = − 1 D .H . 3

b = −2

⇒

y2 =−

1 3

x −2

-3

-2

-1

Para la recta y3: m = D .V . = − 5 = −5 D .H . 1

y b = −2

⇒

b = −2

-2

y 3 = −5 x − 2

y2 -3

Para la recta y4: m = D .V . = 1 D .H . 2

⇒

y4 =

1 2

-4

x −2

Si bien las rectas tienen diferentes pendientes, todas tienen el mismo intercepto y. Es decir, el punto (0,–2) es común para las cuatro rectas.

Q Hasta el momento se han estudiado rectas que comparten las mismas características como la de tener la misma pendiente o el mismo intercepto y. En general cualquier conjunto de rectas que tengan una característica en común se conoce con el nombre de familia de rectas.

Ejercicios 5.2

Sea D la recta con ecuación y = −3 x + 5 . Encontrar la ecuación de las siguientes rectas y graficarlas en un plano cartesiano.

La recta paralela a D que pasa por el punto (2,0 ) .

La traslación 2 unidades arriba de la recta D.

La traslación 3 unidades a la izquierda de la recta D.

2 4.

Encontrar la ecuación de las rectas para cada uno de los siguientes ejercicios: La recta pasa por el punto (1 , 2 ) y tiene pendiente

−3 4

. Cuáles son las coordenadas del

corte con el eje x? Cuáles son las coordenadas del punto de corte con el eje y? 5.

La recta pasa por el punto (−2,4 ) y por el punto al que se llega al desplazarse 3 unidades a la derecha y 5 unidades hacia abajo.

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135

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

La recta corta al eje x en –2 y al eje y en 3.

La recta tiene pendiente

La recta une los puntos

La recta que pasa por

2 10.

y que cruza al eje x en –5.

P (3 ,−5 )

P (3,−2 )

Q (4,7 )

y es paralela a la recta 2 x + 3 y = 5 .

Encontrar la pendiente de las rectas que cumplan con las condiciones dadas: La recta que pasa por los siguientes puntos: a.

11.

2 7

(1, 5 ), ( 4

( −2 , 3 ) ,

( 2 , 6 ), ( 3

( −4 , 5 ) ,

La ecuación de la recta es la siguiente: a.

4 x − 3y + 7 = 0

y = −x − 1

Realizar los siguientes ejercicios:

12.

Encontrar las coordenadas de tres puntos que se encuentre sobre la recta 3 x − 2y + 1 = 0

13.

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (−3,3 ) y que sea:

5.4

Paralela a la recta con ecuación y = 2 x + 5

Paralela a la recta que pasa por los puntos (−1,2 ) y (3,−1)

RECTAS VERTICALES

En la sección 6.1. se presentaron los diferentes tipos de recta que se pueden encontrar. Los dos primeros corresponden a expresiones de la forma y = mx + b . La tercera, es una recta de la forma y = b . La cuarta recta, qué expresión algebraica la representará? Si se pretende desplazarse desde un punto sobre la recta a otro cualquiera ubicado a d unidades sobre la recta, se tendrá: D .V . = d D .H . 0

, razón no definida. (Ver sección 1.8)

3 2 1 -4 -3 -2 -1

-1

x 1

-2 -3 -4

Puede decirse entonces que la pendiente no está definida para este tipo de rectas.

136

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Hay muchos otros autores que dicen que La pendiente de una recta vertical es la pendiente de una recta vertical es indefinida ó no esta definida indeterminada, por lo tanto se puede utilizar este término.

Sin embargo, la característica general de todos los puntos que se ubican sobre la recta son puntos cuya abscisa siempre es 2. Es decir, sus coordenadas son de la forma (2,y). Esto nos permite afirmar que x es igual a 2 para todo valor de y, que escrito en términos de ecuación, es: x=2

En general, toda recta paralela al eje y que corta al eje x en un punto c, es de la forma x =c

c =0

, la recta coincide con el eje y.

Ejercicios 5.3

Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 2 , 3 ) y que: Es paralela al eje de las x.

Es paralela al eje de las y.

Decir si es falso o verdadero.:

La recta

La ecuación y = 0 es la ecuación para el eje y.

El punto (2,3 ) está sobre la recta x = 2 .

El eje y se encuentra incluido en la región que contiene las rectas cuya pendiente es mayor a 3.

5.5

x =5

tiene un único corte con el eje y.

FUNCIÓN LINEAL

En las secciones 5.2 a 5.3 se estudiaron las características de las rectas que tienen la forma y = mx + b , y en todas ellas se observó que: Ü

Para todo valor de x existe uno y sólo un valor correspondiente en y. Se dice que una expresión que cumple con esta característica, es una función y en este caso, por tener como representación gráfica una recta, recibe el nombre de función lineal. Formalmente en matemáticas, el concepto de lineal tiene un significado mucho más amplio, pero no será tratado en este curso pues será objeto de estudio en cursos posteriores. La expresión y = mx + b , puede escribirse también de la forma f ( x ) = mx + b , dada la condición de función, en donde los valores de y dependen del valor de x.

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137

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

f (x ) =

se lee “f de x es igual a”

se lee “f, factor de x, es igual a”

A este concepto se encuentran asociados otros conceptos: Dominio: Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x para que la función esté definida. Codominio: Conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y. Imagen: Es el valor que toma la función f ( x ) para un valor x del dominio. Rango: Es el conjunto de imágenes de la función. También es conocido como recorrido. Ü

En una función de la forma f ( x ) = mx + b , puede suceder que a mayor valor de x el valor de y aumente, disminuya o se mantenga constante. Estas situaciones dan origen a los siguientes conceptos: Para cualquier par de puntos x1 y x2 que pertenecen al dominio de la función:

Si x1, < x2,, y f (x1) < f (x2), se dice que la función es creciente.

Si x1, < x2, y f (x1) > f (x2), se dice que la función es decreciente.

Si x1, ≠ x2, y f (x1) = f (x2), se dice que la función es constante.

Una función es uno a uno si a cada elemento del rango le corresponde uno y sólo un elemento del dominio, lo que formalmente se escribe: Para cualquier par de puntos x1 y x2 que pertenecen al dominio de la función, si x1, ≠ x2, y se dice que la función es uno a uno ó inyectiva.

(x1) ≠ f (x2),

Ejemplo 12 Sea f ( x ) = 2 x − 5 . Determinar: f (3 ) , 3

f ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎝3⎠

, f (−2,3 ) , f ( x

+ h) .

Dado que f ( x ) = 2 x − 5 ⇒ f( 3 ) = 2 (3 ) − 5 = 2 − 5 = −3 3

Para dar respuesta a

f ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎝3⎠

f ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = 2 ⎛⎜ 2 ⎞⎟ − 5 = 4 − 5 = − 41 9 9 ⎝3⎠ 3 ⎝3⎠

19 ,6 4,6 −5 = − Para, f (−2,3 ) , f (− 2,3 ) = 2 (− 2,3 ) − 5 = −

Por último f ( x + h ) =

2 3

(x + h) − 5 =

2 3

h−5

Q 138

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 13

6 y 5 4 3 2 1

La siguiente gráfica representa una función. Los puntos de la gráfica tienen coordenadas de la forma ( x , f ( x )) . A partir de ella, encontrar los valores de: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

f (2)

-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 -2 -3 -4 -5 -6

f (0)

f ( −2 ) f ( x ) = −5 f(x)=3 f(x)=0

1 2 3 4 5 6

Para los numerales 1, 2 y 3, se busca el punto sobre la recta dada cuyas abscisas coincidan con 2, 0 y –2 respectivamente, y a partir de ellos se lee el valor de su ordenada. Verbalmente equivale a preguntar: ¿Cuál es la imagen de la función en x = 2 , x respectivamente?

ó x = −2 ,

Por lo tanto f ( 2 ) = −4 , f ( 0 ) = −2 , f ( −2 ) = 0 El enunciado de los numerales 4, 5 y 6 es equivalente a preguntar: ¿Cuáles son los valores de x, cuyas imágenes son respectivamente: -5, 3 ó 0 ?. Para ello se deben ubicar sobre la recta los puntos cuya ordenada sea -5, 3 ó 0 y desde éstos se lee la abscisa correspondiente a cada uno de ellos.

De donde se obtiene f ( 3 ) = −5 , f ( −5 ) = 3 , f ( −2 ) = 0

Ejemplo 14 Dada g ( x ) = x − 3 , determinar si es función lineal. 2

Para saber si g ( x ) es función lineal, debe determinarse si cumple con ser de la forma g ( x ) = mx + b:

g (x ) =

x −3 3 3 ⇔ g (x ) = x − = 1 x − 2 2 2 2 2

De esta forma, g( x ) es una función lineal con

m= 1 2

y b = −3

Ejemplo 15 Determinar dominio y rango para la función h ( x ) = −3 x + 5 . Para determinar el dominio, es necesario encontrar los valores que puede tomar la variable x. Como se ha convenido, mientras no se diga lo contrario, x es un número real. En este caso, no se genera ningún tipo de indeterminación como las mencionadas en capítulo 1 para h (x). Por consiguiente, el dominio lo constituye el conjunto de los números reales. Sabiendo que para cualquier valor de

x ∈ ℜ, h ( x ) ∈ ℜ

, el rango es el conjunto de los reales.

Q ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

139

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ejemplo 16 Determinar dominio y rango para la función g ( x ) = 6 . La variable no tiene restricción alguna, lo que significa que puede tomar cualquier valor real. El dominio de la función es entonces el conjunto de los números reales. El rango de la función corresponde a aquellos valores que toma la variable y. En este caso, para cualquier valor que tome x, y siempre será 6. Por lo tanto, el rango de la función es: {6}

Q Ejemplo 17 Determinar si las funciones

g (x ) = 1 x + 1 2

h ( x ) = −4 x − 2 son

crecientes, decrecientes o

constantes. 2.75 2.50 2.25 2.00 1.75 1.50 1.25 1.00 0.75

Para la primera función dada,

1 x +1, 2

se pueden tomar dos puntos arbitrarios sobre la recta, por ejemplo, M = ⎛⎜ − 1, 1 ⎟⎞ , 2⎠

⎝

y A = ⎛⎜ 5 , 9 ⎞⎟ , ⎝2 4⎠ Como

0.25 -2.5-2.0-1.5-1.0 -0.5 -0.25

g (x ) =

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

-0.50 -0.75

y analizar:

−1< 5 2

, es g (− 1) < g ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ? ⎝2⎠

Viendo que efectivamente

S = (0,−2 )

, puede

asegurarse que la función es creciente.

Se continúa el mismo análisis para la segunda función: h ( x ) = −4 x − 2 Si los puntos P = (−1,2 ) y la recta, se pregunta:

1<9 2 4

pertenecen a

Dado que –1 < 0:

1 x -2

-1

Es h(−1) menor, mayor o igual a h (0 ) ?

-1

Como se puede ver, h (−1) > h (0 ) , por lo cual, la función es decreciente.

-2

Q 140

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 18 Sea la recta f ( x ) = 1 x + 1 :

1. ¿Para qué valores de x es f ( x ) = 0? 2. ¿Para qué valores de x es f ( x ) > 0?

3. ¿Para qué valores de x es f ( x ) > 1? 1

La primera pregunta lleva a encontrar el punto de corte con el eje x.

x -3

-2

-1

En la gráfica puede verse claramente que corresponde al punto x = –3. Pero si se requiere exactitud, se recurre al álgebra:

-1

0 = 1 x + 1 ⇔ x = −3 3

La segunda pregunta, puede responderse si se determina para qué valores de x, la recta está por encima del eje x. Observando la representación gráfica, se encuentra que corresponde al intervalo (− 3; ∞ ) . Existe un procedimiento algebraico que permita llegar a la misma respuesta? Efectivamente, como se vio en la sección 3.9, se establece una inecuación de primer grado en una variable: 1 x + 1 > 0 ⇔ x > −3 3

Finalmente queda una pregunta por responder: ¿Para qué valores de x, f ( x ) > 1?. Para resolverla, pude seguirse un procedimiento gráfico o un procedimiento algebraico: Así como para dar respuesta a la pregunta 2 se buscaron los valores de x, para los cuales la recta está por encima del eje x, dado que para cualquier punto de la recta sobre este eje su ordenada es mayor que 0, en este caso se deben buscar los valores de x, para los que se tiene que la ordenada es mayor que 1. A partir de la gráfica se puede concluir que los valores de x que satisfacen f ( x ) > 1 son x ∈ (0 , ∞ ) . El procedimiento algebraico que permite solucionar el problema es: 1 3

x + 1>1⇔

1 3

x >0⇔ x >0

Dada una función de la forma y = f ( x ) = mx + b , cuya representación es una recta, en términos generales puede presentar cambios si alguno de los elementos que la determinan – su pendiente o su intercepto– es modificado, como se muestra en el siguiente ejemplo: ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

141

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ejemplo 19 f (x ) = 2 x + 1.

Sea la función ocurrir cuando:

Determinar los cambios en el plano cartesiano que pueden

1. Se suma 2 a la función.

Algebraicamente, significa que:

f (x ) + 2

( 2 x + 1) + 2

2x + 3 y1=f(x)+2

Gráficamente, se traduce en una traslación vertical hacia arriba. Puede relacionarse el signo positivo del 2, con el sentido del eje. Si tuviera signo negativo, la traslación sería en el sentido contrario del mismo.

3 f(x)=2x+1

2 1

-1

x 1

-1

-2

y y2=2f(x)

6 5

2. La función se multiplica por 2 De manera algebraica se expresa como:

f(x)=2x+1

2f ( x )

2 ( 2 x + 1)

4x + 2

2 1 -1

-1

lo que en la gráfica representa una traslación del intercepto y hasta 2 y una rotación de la recta debida al cambio de pendiente.

-2

3. A la variable x se le suma 2 unidades. Aunque gráficamente puede entenderse como una traslación vertical de 4 unidades hacia arriba, es preciso notar que en realidad lo que ha ocurrido es un desplazamiento horizontal de dos unidades hacia la izquierda. Si se ubica el intercepto y, se aprecia inmediatamente dicho desplazamiento. El manejo algebraico permite encontrar la razón de esta nueva gráfica: f (x + 2)

2(x + 2) + 1

2x + 5

6 5 y3=f(x+2)

f(x)=2x+1

4 3 2 1

-3

-2

-1

x 1

-2

Q 142

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejercicios 5.4

Cuáles de las siguientes expresiones representan una función lineal?

y = −2 x + 3

y =4

x =5

y = x −2

y = x −3 2

y = x +2 x −5

y = 7 x − 2 , x = 3 , x = −2

10.

f (x ) =

1x −3 2 4

, x = −2 , x

=0,x = 1,x = 2 2 3

y = −3 x − 4 , x = 4 , x = − 2 5 3

11.

g ( x ) = −0,3 x + 2 , x = −0,05 , x = 0,03

Hacer la gráfica de las siguientes funciones y determinar: dominio, rango, comportamiento (creciente o decreciente), puntos de corte con el eje x y con el eje y, y determinar para qué valores es f ( x ) > 0 y en dónde es f ( x ) < 0 .

16.

3 x−2 5 7 x −3 g (x ) = 2 2 x + 3 y = 10

17.

Halle la función lineal f ( x ) tal que f (1) = −4 y f (0 ) = 2

12. 14.

h(x ) = −

13.

f (x ) = − 1 x + 1 2 3

15.

2x = 1y +2 3 4

Utilizando la siguiente gráfica2: y

y 1 = 3 f (x )

18.

Encontrar la gráfica de la función

19.

Dibujar la gráfica de la función

20.

Si para f ( x ) el punto de corte en y es 2 y el punto de corte en x es 5, dibujar la gráfica de y 3 = f ( x ) + 2

21.

Determinar los puntos ( x , y ) del plano que cumple y 4 = f ( x ) − 1

22.

Determinar los puntos ( x , y ) del plano que cumple y 5 = f ( x − 2)

23.

Determinar en la gráfica los valores de x para los cuales f ( x ) < 0

24.

Si −2 < x < 1 , qué valores toma f ( x ) . Señalar los puntos sobre la gráfica.

f(x)

y =x+1 2

Encontrar el valor de cada función dado el valor de x:

y 2 = − f (x )

Adaptado de GÓMEZ, Pedro, et, al. Situaciones problemáticas de precálculo. pag. 50

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143

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

5.6 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES: SOLUCIÓN POR MÉTODO GRÁFICO Una ecuación lineal en dos variables a1x + b1y = c1

a1 , b1 , c 1 ,∈ ℜ, b1 ≠ 0

a c y = − 1x + 1 b1 b1 m m

⇔

representa en el sistema de coordenadas cartesianas una recta. Por consiguiente, un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables representa dos rectas en el plano ⎧⎪a1x + b1y = c1 ⎨ ⎪⎩a 2 x + b 2 y = c 2

a1 , b1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ∈ ℜ,

Dos rectas en el plano pueden ser: Secantes: Si tienen únicamente un punto en común. Paralelas: No tienen ningún punto en común. Coincidentes: Todos sus puntos son comunes. En el capítulo 3 se estudiaron los métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales en dos variables llegando por ellos a determinar si existía una solución única; infinitas soluciones o ninguna solución. Si se recurre al análisis del tipo de recta que representa en el plano se puede llegar a las mismas conclusiones. Los métodos algebraicos son útiles para verificar la solución gráfica y determinar con exactitud el punto de corte de las rectas en el caso de ser secantes.

Ejemplo 20 ⎧ x − 2y = 6

Determinar el conjunto solución del sistema ⎪⎨ ⎧⎪ x − 2 y = 6 ⎨ ⎪⎩ y − 3 x = −14

⎪⎩ y − 3 x = −14 ⎧y = 1 x − 3 ⎪ 2 ⇔ ⎨ ⎪ y = 3 x − 14 ⎩

(1)

(2 ) Las rectas (1) y (2) tienen diferente pendiente, lo que significa que son secantes. Si tuvieran el mismo intercepto-y inmediatamente se conocería su punto de intersección. Pero como éste no es el caso, es necesario utilizar uno de los métodos algebraicos que ya se conocen. La situación se puede visualizar en la representación gráfica. 2

Si se requiere conocer las coordenadas del punto común, se recurre a uno de los tres métodos algebraicos vistos en el capítulo 3.

y Y–3x= –14

x -1

-1 X–2y=6 -2 -3

Utilizando el método de igualación: 1 x − 3 = 3 x − 14 ⇔ x = 22 5 2 4 22 y = 3⎜⎛ ⎟⎞ − 14 ⇔ y = − 5 ⎝ 5 ⎠

C.S.= ⎧⎨⎛⎜ 22 ,− 4 ⎞⎟ ⎫⎬ ⎩⎝ 5

5 ⎠⎭

-4

144

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 21 Encontrar el conjunto del sistema

⎧⎪2 x − 3 y = −2 ⎨ ⎪⎩10 x − 15 y = −3

⎪⎧2 x − 3 y = −2 ⎨ ⎪⎩10 x − 15 y = −3

⇔

⎧y = 2 x + 2 3 3 ⎪⎪ ⎨ 2 ⎪y = x + 1 ⎪⎩ 3 5

Ambas rectas tienen la misma pendiente, pero su intercepto-y es diferente. Por lo tanto, son paralelas no coincidentes. El conjunto solución es entonces: C.S.= ∅

Ejemplo 22 Resolver el sistema

⎧2 x + y = 3 ⎪ ⎨2 3−y ⎪ x = 3 ⎩3 ⎧2 x + y = 3 ⎪ ⎨2 3−y ⎪ x = ⎩3 3

⇔

⎧⎪2 x + y = 3 ⎨ ⎪⎩2 x = 3 − y

⇔

⎧⎪ y = −2 x + 3 ⎨ ⎪⎩ y = −2 x + 3

Las dos ecuaciones representan la misma recta, por lo tanto, son coincidentes. Es decir, existen infinitos puntos solución que en términos de conjunto solución se expresa: C.S. = {( x , y ) y = −2 x + 3, x ∈ ℜ} ⇔ {( x ,−2 x + 3 ) x ∈ ℜ} Cuando dos rectas son coincidentes, como en el caso del ejemplo anterior, su conjunto solución se expresa como: C.S. = {( x , y ) y = −2 x + 3, x ∈ ℜ} C.S. = {( x ,−2 x + 3 ) x ∈ ℜ}

5.7

C.S.= ∞

C.S.=

ℜ

APLICACIONES

Una situación puede expresarse algebraicamente mediante un sistema de ecuaciones.

Ejemplo 23 Se necesita alquilar un automóvil. Mi carrito Ltda. cobra un cargo fijo de $10.000,oo más $800,oo por kilómetro recorrido. Limousinas S.A. cobra $1.200,oo por kilómetro recorrido. Cuántos kilómetros deben recorrerse para que el costo de alquiler se el mismo en ambas compañías? En términos generales se define el costo de alquiler como: Costo de alquiler = Cargo fijo + Costo variable

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145

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Los costos variables dependen de la cantidad de kilómetros x recorridos por el cliente. El plan de cobro de Mi carrito Ltda. es:

)

))

Costo alquiler = $10.000 + $800x

Para Limousinas S.A. se define el plan de cobro como:

Costo alquiler = $1.200x

Es claro que no se trata de las mismas unidades en cada uno de los ejes. Mientras el eje de las x representa kilómetros recorridos, el eje y representa dinero en pesos ($). Apréciese que para elaborar la gráfica es conveniente trabajar con una escala adecuada, que permita ubicar suficientes puntos. 600 550 500 450

y Limousinas S.A.

400 350 300 250 200 150

Mi carrito Ltda.

100 50 -50

x 10

Aunque la representación gráfica de las funciones a las que se dio origen es la mostrada en la gráfica, vale decir que para efectos no se puede considerar la parte negativa del eje horizontal, puesto que se estaría hablando de recorrer “kilómetros negativos” lo cual no tiene sentido. Cuando se presenta un caso como éste, las divisiones en cada eje pueden llevar una escala propia y no necesariamente igual a la del otro eje.

Observando la gráfica, se encuentra que entre 20 y 30km. existe un kilometraje que hace que el costo de alquiler sea el mismo para ambas compañías. Para encontrar el número exacto de kilómetros, la única opción es acudir al álgebra para resolver el siguiente sistema: ⎧⎪C .Alquiler 1 = 10.000 + 800 x ⎨ ⎩⎪C .Alquiler 2 = 1.200 x

⇔

⎧⎪ y = 10.000 + 800 x ⎨ ⎪⎩ y = 1.200 x

El conjunto solución es x = 25km.

146

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejercicios 5.5

Representar los siguientes sistemas gráficamente y encontrar algebraicamente el conjunto solución:

⎧⎪3 y − 2 x = 1 ⎨ ⎪⎩ y + 4 x = 6

⎧⎪3 x + 22 y = 31 ⎨ ⎪⎩7 x − 11y = 30

⎧⎪9 x + 4 y = 15 ⎨ ⎪⎩13 x + 8 y = 5

⎧⎪19 x + 14 y = 95 ⎨ ⎪⎩3 x − y = −15

⎧⎪32 y + 12 x = −12 ⎨ ⎪⎩6 y + 5 x = 17

⎧⎪ −10 x + 11y = 2 ⎨ ⎪⎩5 x − 4 y = 2

⎧⎪18 y + 12 x = 0 ⎨ ⎪⎩ − 14 y + 16 x = 19

Una microempresa que fabrica sillas tiene gastos fijos anuales de $20 millones. El costo de fabricación de una silla es de $20.000 a.

Escribir la expresión para calcular el costo total p de manufactura de las sillas por año.

Si fabricara 10.000 sillas anuales. ¿Cuál es el costo por silla?

¿Cuántas debe fabricar para reducir el costo total de producción a $18.000 por silla?

John es dueño de un restaurante de comida rápida, llamado John’s. En su restaurante, él vende a sus clientes, por $1.200, un combo consistente en seis gaseosas y dos hamburguesas. En otro restaurante, Jairo’s, el dueño propone otro negocio similar: una gaseosa y una hamburguesa por $4003. a.

Explicar por qué la relación entre el precio posible de la gaseosa (llámelo x) y el precio posible de la hamburguesa (llámelo y) en el restaurante John’s es: y = −3 x + 600

700

600 500 400 300 200 100 X 100 200

300 400 500

600

Tomado de GÓMEZ, Pedro, et, al. Situaciones problemáticas de precálculo. pag.64.

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147

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Explicar por qué en el caso del restaurante Jairo’s la relación es: y = − x + 400

En la siguiente figura se encuentran las gráficas de la relación entre los precios de la gaseosa y de la hamburguesa tanto de John’s, como en Jairo’s. Identificar la gráfica de cada restaurante y justifique su elección.

Explicar por qué en el restaurante John’s no es posible que la gaseosa valga $200 y la hamburguesa $300. Proponer un precio de gaseosa y hamburguesa que sea posible en John’s, de acuerdo,al negocio que éste restaurante propone. Haga lo mismo con Jairo’s.

Dar un ejemplo de un precio de gaseosa y de hamburguesa que no sea posible en John’s y una pareja de precios que no funcione con el negocio de Jairo’s. Explicar.

Encontrar el único valor de la gaseosa y de la hamburguesa que son posibles al mismo tiempo en John’s y Jairo’s. Resolver esto (con las ecuaciones) y justificar la respuesta gráficamente.

5.8 SOLUCIÓN DE INECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO GRÁFICO En la sección 5.5 se estudiaron casos particulares de funciones y se determinaron en ellas características propias: su dominio y rango, el valor de la imagen para un valor específico x del dominio, si eran crecientes o decrecientes, y se insistió en el análisis gráfico de cada una de las situaciones. En el ejemplo 18, dada f ( x ) =

1 3

x +1

se preguntaba cuándo es f ( x ) > 0 y cuándo es f ( x ) > 1 .

Visto este caso de otra forma, puede considerarse una función g ( x ) = 0 y una función h ( x ) = 1 , y preguntar: ¿Cuándo es f ( x ) > g ( x ) ó f ( x ) > h ( x ) ?. La pregunta así formulada es equivalente a la presentada en el ejemplo mencionado y por lo tanto llevará a la misma respuesta. Ahora, qué pasa si se quiere comparar dos funciones lineales de la forma y = mx + b con m, b ≠ 0 ? En el capítulo 3 se describieron tres métodos algebraicos para encontrar respuesta a un sistema de ecuaciones lineales en dos variables. En la anterior sección 5.6 se amplió el tema visualizando las funciones en el plano cartesiano e iniciando allí su análisis. Esto servirá de base para resolver inecuaciones lineales mediante su representación gráfica.

Ejemplo 24 Dadas f ( x ) = −2 x + 3 que f ( x ) > g ( x )

g( x ) = x − 1 ,

encontrar los valores de

para los cuales se cumple

El primer paso para resolver una inecuación, es encontrar el punto en el cual se cumple que el lado izquierdo de la ecuación es igual al lado derecho, es decir, encontrar el punto para el cual las dos funciones f ( x ) = −2 x + 3 y g( x ) = x − 1 , son iguales:

148

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f(x)

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

6 5 4 3 2 1

y g(x)

Los métodos algebraicos permiten encontrar que x

-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 -2 -3 -4 -5 -6

f (x ) = g (x )

1 2 3 4 5 6

⇔

− 2x + 3 = x −1

En la gráfica se observa que efectivamente en el punto de coordenadas

⇔

x =

⎛4 1⎞ ⎜⎜ , ⎟⎟ ⎝3 3⎠

4 3

ocurre el

corte de las dos rectas. Ahora se debe establecer: si se avanza hacia la derecha sobre el eje x

luego del punto

3 g(x),

, cuál de las dos rectas está “por encima” de la otra?. Se ve entonces

ya que mientras más se avanza hacia la derecha, para un mismo valor que es la recta de x, el valor de la imagen g(x), es mayor que el valor de la imagen f(x). o en forma algebraica: g ( x ) > f ( x ) . Como lo que se pregunta es cuándo f ( x ) > g ( x ) , es necesario mirar en el intervalo

4 ⎛ ⎜⎜ − ∞ ; 3 ⎝

⎞ ⎟⎟ . ⎠

Así se puede observar que para cualquier valor de x en este

intervalo el valor de la imagen f(x), es mayor que el valor de la imagen escribir: f ( x ) > g ( x ) . Por lo tanto, el conjunto solución buscado es: C.S. =

4 ⎛ ⎜⎜ − ∞ ; 3 ⎝

g(x).

lo que equivale a

⎞ ⎟⎟ ⎠

Ejemplo 25 Encontrar los valores de x para los cuales se cumple que 2 x

+ 3 ≤ −3 x − 2

Al ver la expresión escrita en esta forma algebraica, puede establecerse una comparación de funciones haciendo por ejemplo: j ( x ) = 2 x + 3 y l ( x ) = −3 x − 2 , con lo cual se puede desarrollar un análisis similar al que se hizo en el ejemplo anterior:

l(x)

-4

-3

-2

j(x)

6 y 5 4 3 2 1 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6

Observando la gráfica, inmediatamente se encuentra el punto de corte de las dos rectas: ( −1,1) . A la izquierda del punto –1 sobre el eje x, se tiene que los valores de l(x) son mayores que los valores de j(x), mientras que a la derecha de –1, los valores de j(x) son mayores que los valores de l(x), lo que significa que: j (x ) < l (x )

⇔

x < −1

De esta forma, el conjunto solución es: C.S.= ( −∞ ; −1)

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149

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ejercicios 5.6

2 1.

Encontrar gráficamente el conjunto solución de: x + 2 > 2x − 1

3x − 1< 3x − 5

5x − 3 ≥ −x + 2

x − 1≤

x 2

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

Clasificar los siguientes pares de rectas en paralelas u oblicuas:

Recta L1 que pasa por (2,1) y (3,3 ) , recta L2 que pasa por (5,−2 ) y (7,2 )

Recta D1 que pasa por (2,7 ) y (5,1) , recta D2 que pasa por (4,3 ) y (0,5 )

Recta E1 que pasa por (4,6 ) y (6,4 ) , recta E2 que pasa por (−3,1) y (3,8 )

Recta F1 que pasa por (2,7 ) y (5,1) , recta F2 que pasa por (4,7 ) y (0,5 )

2 Encontrar la información requerida: 5.

La ecuación de la recta que pasa por (2,−3 ) y es paralela a la recta que une (4,1) y (−2,2 ) .

La pendiente del segmento de recta que une los puntos A y B

A = (−3,4 ) B = (1,−1)

A = (−1,3 ) B = (0,0 )

A = (2,3 ) B = (2,5 )

A = (2,6 ) B = (3,6 )

A = (3,5 ) B = (1,2 )

El valor de x, si la pendiente de la recta que une a (2,1) con ( x ,7 ) es 3 y 4 g(x)

h(x)

La ecuación de las rectas mostradas en la siguiente gráfica:

f(x)

2 1 x

-4

-3

-2

-1

-1 j(x) -2 -3

150

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Analizar y encontrar: 9.

Si (a, b ) es un punto que está sobre una recta con pendiente

(a + 4, b + 3 ) está sobre la misma recta? 1 2

10.

La ecuación de la recta que tiene pendiente

11.

El valor de p, si se sabe que la pendiente de una recta es

3 4

entonces, el punto

y corte con el eje y en –5 −6 5

y pasa por (6, p ) y ( p ,3 )

De acuerdo con la gráfica: 12.

Hallar las coordenadas del punto A.

y=x/2

y=x/4

13.

Decir si son falsas o verdaderas las siguientes afirmaciones:

y =3x /2

A P

y =x /2

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151

CAPÍTULO V REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

La ordenada de A es 3.

El punto (10,30 ) está en el segmento OA.

La pendiente de la recta OP es menor que

La pendiente de la recta OA es menor que la de OP.

La ordenada de P es mayor que 2.

La recta simétrica de OA respecto del eje x tiene pendiente kx + (k − 1)y − 18 = 0

14.

Hallar el valor de k, para que la recta 4 x + 3y + 7 = 0 .

15.

Encontrar los cortes con los ejes x y y de: a.

y =4

1. 2

y = 3x − 2

−3 2

sea paralela a la recta

y = 2 − 3x

2x − y + 6 = 0

Analizar y resolver: 16.

La pendiente de la recta que pasa por el origen y P(x,y) es 2 y la recta que pasa por (0 ,1) y P(x,y) es 1. Encontrar x y y.

17.

Dada la ecuación (m − 1)x + (2m − 1)y a.

Paralela al eje x.

=m−5

, encontrar para qué valores de m la recta es:

Paralela al eje y.

Pasa por el origen.

18.

El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (7 , − 2 ) . Calcular la abscisa del punto P.

19.

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A = (2,1) y B = (3,4 ) . Después hallar x, para que el punto P = ( x, − 8 ) también pertenezca a dicha recta.

Decir si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Justificar la respuesta: 20.

Si una recta está inclinada a la derecha, su pendiente es negativa.

21.

La recta y = −3 x pasa por el origen.

22.

La recta f ( x ) = −8 es paralela al eje y.

23.

La recta g ( x ) = − x + 4 tiene pendiente –1.

24.

Todas las funciones cuya gráfica es una recta son funciones lineales.

25.

Para trazar una recta no es suficiente ubicar dos puntos.

26.

Las rectas tienen longitud infinita.

27.

La recta que pasa por los puntos (4 ,1) y (−3 , 8 ) tiene pendiente

152

– 1.

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

De acuerdo con la gráfica presentada a continuación, decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

f(x2) G A

x3 F

28.

f ( x 1 ) es

30.

f ( x 2 ) − f ( x 1 ) es

32.

La pendiente es l BC .

la longitud de AD . la longitud de AB . AC

29.

f ( x 3 ) es

31.

La pendiente es la longitud de

33.

La pendiente es

la longitud de EF . GH

f (x 2 ) . x2

f (x 2 ) − f (x 1 )

34.

La pendiente es

35.

Una tienda de video ofrece dos planes de alquiler de películas. Si la persona paga $9.000 de afiliación al club de video, el alquiler por película le cuesta $800. Si la persona no quiere afiliarse al club, alquilar la película le cuesta $1.300.

x 2 − x1

Representar gráficamente la variación de costos de los dos planes con respecto al número de películas.

Cuántas películas puede alquilar una persona que llega por primera vez a la tienda con $15.000?. ¿Cuántas, otra que llega con $25.000?

¿Cuánto cuesta alquilar 10 películas en cada plan?

¿Es posible que haya un número de películas alquiladas para el cual en los dos planes se pague lo mismo?. ¿Por qué? Si lo hay, ¿cuál es ese valor y cuánto hay que pagar?

Hacer un comentario sobre cuál plan es mejor?

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153

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“El que pregunta es ignorante por unos minutos; el que no lo hace lo será toda la vida”

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO 6.1 6.2

ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO VALOR ABSOLUTO A PARTIR DE LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA 6.3 ECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO 6.4 INECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO. 6.5 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO 6.1

ACTIVIDAD DE DIAGNÓSTICO

Represente gráficamente:

Los puntos sobre la recta numérica que se ubican a más de 3 unidades del punto –1.

Los puntos sobre la recta numérica ubicados a menos de

Los puntos que se encuentren a una distancia de –3 unidades del punto –2.

Los puntos cuya distancia a –4 sea un número no negativo

Los puntos cuya distancia al origen sea mayor que cero.

1 5 de unidad del punto . 3 3

Resolver: 6.

Determine la distancia entre – 1,5 y – 4,5

Si el triple de la distancia de x a 2 es 6, x puede estar en

6.2 VALOR ABSOLUTO GEOMÉTRICA

PARTIR

8 .? 3

INTERPRETACIÓN

Este es un concepto al que se recurre con mucha frecuencia en la vida diaria en una forma muy intuitiva. Para formalizarlo, se analizará una situación real, a la que se le han adicionado ciertos rasgos convenientes:

156

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

En la ciudad de Bogotá hay un sistema de nomenclatura para calles y carreras. Existe una calle cero (0), a partir de la cual se enumeran todas las calles y se asume que las calles de la derecha son “las del norte”, y las de la izquierda, “las del sur” y que la numeración avanza de 1 en 1 (no existe por ejemplo la calle 68B). Alberto, Mauricio y Augusto son tres estudiantes de la Escuela Colombiana de Ingeniería que viven en la ciudad de Bogotá en la calle cero (0), en la Av. Caracas con calle 72 y en la Av. Caracas con calle 35 sur respectivamente. Surgen las siguientes preguntas: ¿Cuántas calles debe desplazarse cada uno de los estudiantes para llegar a la sede de su universidad ubicada en la calle 205 sobre la Autopista Norte? ¿Cuántas calles debe recorrer cada uno de ellos para regresar a su casa saliendo de la ECI? Cuál es la similitud entre la distancia recorrida desde la casa y la ECI, y la recorrida desde la ECI a la casa? Cuál es la diferencia? Cómo responder a la primera pregunta? Debe analizarse cada caso aisladamente: Teniendo en cuenta que la Caracas se convierte más adelante en la Autopista Norte, Alberto debe desplazarse hacia la derecha un total de 205 calles, que en este momento se convierten en “unidades de desplazamiento” para ir hasta la sede de su universidad. Mauricio seguramente no debe “regresar” hasta la calle cero (0) contando 72 calles en sentido Norte-Sur, para a partir de allí comenzar a contar 205 unidades de desplazamiento en sentido Sur-Norte. Mauricio hace el siguiente cálculo: 205 – 72 = 133, y concluye que debe recorrer 133 calles. Finalmente, Augusto dice: “Recorro 35 calles hacia el norte para llegar a la calle cero (0), y luego las 205 calles que faltan para llegar a la Escuela”, con los cual se desplazaría 35 + 205 =240 calles. Para responder las siguientes preguntas, Alberto, Mauricio y Augusto dan una única respuesta: “La distancia recorrida será la misma pero en sentido contrario” Con esta idea en mente, puede analizarse una situación similar a partir de una recta numérica ( Av. Caracas – Autopista ), y de unos puntos xi (calles), cuyos valores negativos representan las calles al sur, mientras que los valores positivos representan las calles al norte. La primera situación en la cual se daba el desplazamiento desde la calle cero puede asimilarse a la medida de la distancia entre el punto x 1 = 205 y el punto

(0) hasta x2 = 0 .

205

Gráficamente, puede entenderse como: 205

205

Cómo puede representarse gráficamente la distancia desde el punto x 2 = 0 .?

x 1 = −35

hasta el punto

− 35

Si Alberto decide invitar a sus compañeros a estudiar en su casa en la calle 72, cuál debe ser el desplazamiento que deben realizar Mauricio y Augusto desde sus respectivas casas?

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157

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

Podría decirse que el punto de referencia calle cero (0), es reemplazado por otro punto x 2 = 72 ≠ 0 . Qué representaría en términos de distancia? Cómo puede representarse gráficamente la distancia desde cualquier punto x1 hasta el punto x 2 = 72 ? Cómo cambia la situación cuando

x 1 = 72

y el punto de referencia es cualquier punto x2?

La inquietud final debe ser: “Existe un concepto matemático que permita representar todas estas situaciones analizadas?” La respuesta es afirmativa. Dicho concepto es el valor absoluto. Sin embargo, para definirlo, primero debe recordarse que: Todo número real tiene un opuesto aditivo que se encuentra ubicado a la misma distancia del real cero ( 0 ), el cual corresponde a su simétrico.

La distancia entre dos puntos es una longitud y por lo tanto es siempre positiva. La distancia entre los puntos A y B denotada d ( A, B ) , es la misma que hay entre B y A la cual se expresa d (B , A ) .

Ejemplo 1

5 − 2= 3

d (2,5 )

-5

-4

-3

-2

-1

d (2, 5 ) = 5 − 2 = 3

Ejemplo 2 d (−4 ,−1)

−1 − (−4) = 3

-5

-4

-3

-2

d (−4 ,−1 ) = −1 − (−4 ) = 3

Ejemplo 3

2 − (−3) = 5

d (−3,2 )

-5

-4

-3

-2

-1

d (−3 ,2 ) = 2 − (−3 ) = 5

3 − (−4 ) = 7

Ejemplo 4 d (3 ,−4 )

-5

-4

-3

-2

-1

d (3 ,−4 ) = 3 − (−4 ) = 7

158

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Es importante anotar que para encontrar la distancia entre dos puntos sobre la recta numérica se debe tomar el mayor valor y restar el menor para así garantizar que la operación dé como resultado un número positivo. Ahora sí, se define VALOR ABSOLUTO de un número real x como la distancia que hay en la recta numérica entre el punto x y el cero ( 0 ). Se representa x ó abs ( x ), ésta última notación utilizada en calculadoras o computadores. A partir de esta definición surgen varias inquietudes: Es posible definir la distancia desde un punto x1 a otro punto x2, con

x2 ≠ 0

Puede recurrirse al Valor Absoluto para lograr esa definición? Qué pasa si x1 ó x2 son números negativos? El valor absoluto de un número puede asimilarse a la situación del estudiante que vive en la calle 0, quien debe desplazarse 205 unidades hasta la ECI. Si quisiera desplazarse hasta la calle 205 sur, el desplazamiento sería idéntico en magnitud, pero en sentido contrario. En general, la distancia desde un punto cualquiera representa como:

hasta un punto de referencia

x1 − x 2

Por lo tanto, cuando x2 = 0, se tiene que: x 1 − 0 = x1 Para Augusto, quien vive en la calle 35 sur, y se desplaza hasta la 205, la distancia que recorre es: 205 − (−35 ) = 240

De forma general, la distancia desde cualquier punto x hasta el punto 72 se denota: x − 72 , mientras que la distancia hasta el punto –35 desde cualquier otro punto, se representaría como x − (−35) = x + 35 . Los siguientes ejemplos ilustran algunas de las posibles situaciones que se pueden presentar al trabajar con el valor absoluto.

Ejemplo 5 Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a una distancia de 4 unidades del origen. El punto de referencia es el punto 0: 4 unidades

-5

-4

-3

-2

-1

4 unidades

Por lo cual al hacer el análisis se encuentran dos puntos sobre la recta que cumplen con la condición requerida: −4 y 4.

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159

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

El ejemplo anterior, como se presenta, es la interpretación gráfica de una expresión verbal. Como ya se ha visto en secciones anteriores, debería existir una expresión algebraica correspondiente. Por tratarse de una distancia, la expresión algebraica incluirá el simbolo valor absoluto. Dicha expresión es: x − 0 = 4 la cual es equivalente a x = 4 . Dado que corresponde a una ecuación, puede concluirse que el conjunto solución de x = 4 es {−4,4}

Ejemplo 6 Encontrar el conjunto solución de

x ≤5

Como se vio en el ejemplo anterior, la inecuación es equivalente a x − 0 ≤ 5 , es decir, nuevamente el punto de referencia es el cero (0), y se puede expresar verbalmente como “El conjunto de todos los reales cuya distancia a cero es igual o menor que 5 unidades” . Siguiendo la misma metodología, para encontrar gráficamente la situación, se ubican los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a cero es igual a 5 unidades, y luego se ubican los puntos que están a menos de 5 unidades del cero. 5 unidades

-5

-4

-3

-2

5 unidades

-1

De la representación gráfica se puede concluir que los valores que satisfacen la situación son aquellos que cumplan simultáneamente con las inecuaciones x > −5 y x < 5 . Vale decir que tanto

x ≤5

, como

x > −5

x <5

son expresiones algebraicas equivalentes

cuya representación gráfica es la mostrada. Por lo tanto el conjunto solución de la inecuación x ≤ 5 es [−5 , ∞ ) ∩ (−∞ ,5 ] = [−5 ,5 ] . También puede afirmarse que el conjunto solución de x > −5 y x < 5 es [−5 , ∞ ) ∩ (−∞ ,5 ] = [−5 ,5 ]

Ejemplo 7 Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que estén a más de 4 unidades de 3. El punto de referencia en este caso es el 3 y desde él se contarán 4 unidades a la derecha y a la izquierda para encontrar los puntos cuya distancia a 3 es exactamente igual a 4 unidades, luego de lo cual será inmediato encontrar los puntos que se encuentran a más de 4 unidades de 3: …

A más de 4 unidades

-6

160

-5 -4

-3 -2

-1

A más de 4 unidades

…

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Si se quiere escribir en términos de una expresión algebraica, se tiene: x − 3 > 4 la cual es equivalente a x − 3 > 4 ó x − 3 < −4 ⇔ x > 7 ó x < −1 , y cuyo conjunto solución es: C.S. (−∞ ; −1) ∪ (7; ∞ )

Ejemplo 8 Interpretar verbalmente la situación mostrada en la siguiente gráfica, y encontrar la expresión algebraica correspondiente. -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Por ser sólidos los puntos –6 y 2 en los extremos, se entiende que se trata de un intervalo cerrado. El punto de referencia no está establecido. Sin embargo, si se quiere encontrar un punto cuya distancia a los extremos sea la misma, debe determinarse el punto medio del intervalo. En este caso es fácil contar las unidades entre los extremos: 8 unidades. El punto medio quedará

8 =4 2

unidades a la derecha de

–6

unidades a la izquierda de

Implícitamente se están realizando las operaciones aritméticas de suma y de resta de la forma como fueron estudiadas en el capítulo 1. Si el punto medio es el correcto, al sumar 4 unidades a –6 y al restar 4 unidades de 2 debe llegarse al mismo resultado que corresponderá al punto de referencia: −6 + 4 = −2

2 − 4 = −2

Por lo tanto, volviendo a la gráfica sobre la recta numérica se tiene: -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Si el punto de referencia es –2, la expresión verbal que representa la gráfica será: “Los puntos cuya distancia a –2 es menor o igual que 4 unidades”, lo que algebraicamente se representa como: En términos de valor absoluto:

x − (−2) ≤ 4

En términos de inecuación:

x ≥ −6

⇔

y x≤2

x +2 ≤ 4 ⇔

−6 ≤ x ≤ 2

Ejercicios 6.1 Resolver en estricto orden los siguientes ejercicios: 1.

Sobre la recta numérica indicar todos los puntos que están a una distancia de 3 unidades del origen.

Escribir una expresión con valor absoluto que describa la situación anterior.

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

161

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

Marcar sobre la recta numérica los puntos cuya distancia al origen es menor que 3.

Escribir el conjunto de puntos del punto anterior utilizando notación de: a.

Conjuntos

Intervalos

Inecuación

Valor Absoluto

Indicar sobre la recta numérica todos los puntos que están a una distancia de 3 unidades del punto 5.

Escribir una expresión con valor absoluto que describa la situación anterior.

Marcar sobre la recta numérica los puntos cuya distancia al punto 5 es menor que 3 unidades

Escribir el conjunto de puntos del punto anterior utilizando notación de: a.

Conjuntos

Intervalos

Inecuación

Valor Absoluto

Marcar sobre la recta numérica los puntos cuya distancia a –2 sea mayor que 4.

10.

Escribir una expresión con valor absoluto que describa la situación anterior.

11.

Marcar sobre la recta numérica todos los puntos cuya doble distancia a 5 es de 3 unidades.

12.

Escribir una expresión con valor absoluto que describa la situación anterior.

13.

Marcar sobre la recta numérica los puntos cuya doble distancia al punto 5 es menor que 3.

14.

Escribir el conjunto de puntos del punto anterior utilizando notación de: a.

Conjuntos

Intervalos

Inecuación

Valor Absoluto

Expresar verbalmente en términos de distancia el significado de: 15.

x +3 > 1 2

16.

5 x −1 < 2

17.

0< x <5

Encuentre la expresión con valor absoluto que corresponda a las siguientes representaciones gráficas: 18.

-1

19.

-1 20.

162

-10

0 0

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

21.

-2

22. -2

23.

-4

Marcar en cada caso sobre una recta numérica los puntos que satisfacen las siguientes condiciones: 24. 27.

25.

3−x < 4

{x la distancia de x a

−1 < x ≤ 2

es mayor o igual a 3}

26.

2x < 4

28.

2x + 1 > 3

Expresar en palabras : 29.

Qué significa x + 1 < 3

30.

Cuál es el mínimo valor que puede tomar x + 1 y por qué?

31.

Para qué valores de x, x + 1 < 3

6.3

ECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO

A partir de la interpretación geométrica de la distancia entre dos puntos sobre la recta numérica se puede generalizar la expresión algebraica del valor absoluto de acuerdo con el siguiente análisis. Para dos puntos

Caso 1. Que

sobre la recta numérica se presentan tres situaciones:

esté a la derecha de

x 1,

es decir,

x 2 > x1

⇔

x2 − x1 > 0

En cuyo caso la distancia en términos de valor absoluto se expresa Caso 2. Que

esté a la izquierda de

x 1,

es decir,

x 2 < x1

⇔

x 2 − x1 < 0

En este caso la distancia en términos de valor absoluto se expresa Sabiendo que

x1 − x 2 = −(x 2 − x1 ),

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

x 2 − x1 = x 2 − x1

se puede decir que

x 1 − x 2 = x 1 − x 2 ,.

x1 − x 2 = −(x 2 − x1 ) .

163

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

Caso 3. Que x 2 sea igual a x 1 , es decir, distancia entre los dos puntos es cero (0)

x 2 = x1

⇔

x 2 − x1 = 0

debido a que la

De lo anterior se puede concluir ⎧x 2 − x1 ⎪ x 2 − x 1 = ⎨0 ⎪− (x − x 2 1 ⎩

)

x 2 − x1 > 0

x 2 − x1 = 0

x 2 − x1 < 0

Ejemplo 9 Encontrar el conjunto solución para

La expresión

x +2 =4

es equivalente a

x − ( −2 ) = 4 ,

de donde se deduce que el punto de

referencia es −2. Aplicando lo estudiado en la sección anterior se tiene que se desea encontrar todos los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a −2 es de 4 unidades. 4

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

A partir de la gráfica se obtiene que los valores de x que satisfacen la ecuación son x = −6 ó x = 2 , por lo tanto el conjunto solución de x + 2 = 4 es {−6 , 2 }

Otro método que nos ayuda a simplificar ejercicios mas elaborados es el de la sustitución algebraica, el cual se utilizará a continuación: La ecuación

x + 2 = 4 es

equivalente a ( x

+ 2 ) − 0 = 4 por

lo tanto si se sustituye

x+2

por

otra variable, la cual en este caso será z , el nuevo punto de referencia será el origen y el problema se reduce a encontrar los valores de z que satisfacen la expresión, z − 0 = 4 , es decir, encontrar lo valores sobre la recta numérica cuya distancia al origen es 4. 4

−5

Los valores z

= −4

−4 ó

−3

−2

z = 4 son

−1

solución de

z = 4.

En este punto se hace necesario

reemplazar nuevamente z por x + 2 ya que debemos recordar que el objetivo es encontrar los valores de x , no los de z , para lo cual se tiene: Si

z = −4 x + 2 = −4 x = −4 − 2

x = −6

{−6 }

ó ó ó ó ∪

z=4 x+2=4 x = 4−2 x =2 {2 }

⇒

C.S.= {−6 , 2 }

164

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 10 Encontrar el conjunto solución para 2 x − 8 = 12 La expresión 2 x − 8 = 12 puede expresarse en forma verbal como: “Todos los números reales cuyo doble valor dista 12 unidades del punto 8” Pero también puede leerse “El conjunto de números reales x para los cuales 2 x − 8 está a 12 unidades del origen”. De esta forma, puede tomarse un v, tal que v = 2 x − 8 en 2 x − 8 = 12

⇒

v = 12

-12

-10

-8

-2

v = −12 2 x − 8 = −12

ó ó ó ó ∪

-6

-4

2 x = −4 x = −2

{−2 }

v = 12 2 x − 8 = 12 2 x = 20 x = 10

⇒

{10 } C.S.= {−2 ,10 }

Ejemplo 11 Encontrar el conjunto solución de La expresión

x − 3 = −2

se puede leer como “Todos los puntos sobre la recta numérica cuya

distancia a 3 es igual a −2 unidades”. Pero, ésto no tiene sentido ya que como se ha venido trabajando desde el inicio del capítulo se sabe que la distancia es una longitud, por lo tanto no puede ser negativa. En conclusión el conjunto solución de la expresión

x − 3 = −2

es ∅

En general, siempre que se busque la solución a una expresión de la forma ax + b = c , puede ocurrir que: Si c > 0, su solución debe encontrarse haciendo: ax + b = c ó ax + b = – c Si c < 0, no hay solución en los Reales por tratarse de una distancia.

Ejemplo 12

)

Encontrar el conjunto solución para x − 3 = 2 x − 1 En este caso, la relación de igualdad no se establece entre un valor absoluto y un número real. La expresión 2x – 1 puede tomar valores positivos o negativos dependiendo del valor de x, por lo cual no se

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165

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

puede aplicar la metodología utilizada en los ejemplos anteriores. Deben estudiarse las situaciones que establece la definición del valor absoluto:

⎧x − 3 ⎪ x − 3 = ⎨0 ⎪− (x − 3) ⎩

Si Si

x − 3> 0 x −3=0

x −3<0

Si x − 3 ≥ 0 , entonces: x − 3 = x − 3 . Por lo tanto, debe resolverse: x − 3 = 2 x − 1 , si x − 3 ≥ 0 Si x − 3 ≥ 0 debe ser x ≥ 3 . Caso 1 Ahora, resolviendo: x − 3 = 2x − 1 x = −2

PERO x = −2 no cumple con ser mayor o igual a 3, por lo tanto, el conjunto solución para este primer caso, es vacío: C.S. ∅ Si x − 3 < 0 , entonces: x − 3 = −( x − 3 ) . Por lo tanto, el problema es resolver: −( x − 3 ) = 2 x − 1 ,

si x − 3 < 0

Si x − 3 < 0 , entonces debe cumplirse que x < 3

Caso 2 Ahora se resuelve:

−( x − 3 ) = 2 x − 1

x=4 3 x=4 3

cumple con ser menor que 3. Por lo tanto, el conjunto solución para el caso 2,

{3}

es 4

{3 } {3 }

C.S. = ∅ ∪ 4 = 4

Ejemplo 13 Encontrar el conjunto solución de 3 x + 4 = x − 5 En este caso, el valor absoluto es igual a x – 5 y ésta expresión no es mayor que cero para todo valor de x. Entonces, es necesario usar la definición de valor absoluto para encontrar el conjunto solución:

166

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Si 3 x + 4 ≥ 0 , entonces: 3 x + 4 = 3 x + 4 . Por lo tanto, el problema es resolver: 3x + 4 = x − 5

La condición 3 x + 4 ≥ 0 implica que

Caso 1 Ahora sí se puede resolver x = −9 2

, si 3 x + 4 ≥ 0

x ≥ −4 3

3x + 4 = x − 5 x = −9 2

es solución siempre que cumpla con ser x ≥ − 4 . PERO como no se 3

cumple esta condición, el conjunto solución para este primer caso, es vacío. Si 3 x + 4 < 0 , entonces: 3 x + 4 = −(3 x + 4 ) . Ahora el problema es resolver: − (3 x + 4 ) = x − 5 ,

si 3 x + 4 < 0

Debe cumplirse que 3 x + 4 < 0 , por lo cual: x < − 4 3

Caso 2

− (3 x + 4 ) = x − 5

Ahora sí se puede resolver

x=1 4 x = 1 es 4

solución siempre que cumpla con ser x < − 4 . PERO para este segundo 3

caso, tampoco se cumple la condición, por lo que su solución es vacía. C.S. = ∅ ∪ ∅ = ∅

Ejemplo 14 Encontrar el conjunto solución de

x +2 = x −7

Si en el ejemplo anterior la relación de igualdad se estableció entre un valor absoluto y una expresión de la forma ax + b ,en este caso, la relación se establece entre dos valores absolutos. Por un momento se tendría la tentación de suponer que por tratarse de un valor absoluto, se puede considerar como un real positivo. Sin embargo, la expresión x − 7 no representa un único real positivo. Puede ser cualquiera, dependiendo del valor que tome la variable x. Por esta razón, el análisis debe hacerse teniendo en cuenta cada uno de los casos correspondientes a los dos valores absolutos: Retomando la interpretación geométrica que se realizó en el inicio del capítulo, esta expresión representa los puntos x que se encuentran a la misma distancia tanto del punto –2 como del punto 7, ó si se quiere, puede leerse como los puntos de la forma x + 2 cuya distancia hasta el origen es exactamente igual a la distancia que hay entre los puntos de la forma x − 7 y el punto cero (0). De acuerdo con esta última interpretación, se entiende que el punto x que hace que x + 2 = 0 es el punto –2 y que todos los puntos que se encuentren a su derecha, hacen de x + 2 una expresión positiva. Por su parte, el punto x que hace que x − 7 = 0 es el punto 7 y

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167

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

por supuesto, todos los puntos que se encuentren a la derecha de éste último, harán de x − 7 una expresión positiva. x +2<0 ⇒

…

x + 2 = −(x + 2)

-6 -5

-4 -3

x +2>0

-2 -1

…

x −7 < 0

⇒

x +2 = x +2

x − 7 = −(x − 7)

⇒

… 8

10 11

x −7 > 0

⇒

… x −7 = x −7

Analizando cada uno de los intervalos generados en la recta numérica, se encuentran tres situaciones : En

x < −2 ,

x + 2 = −(x + 2)

x − 7 = −(x − 7)

por lo tanto, en este intervalo, la

expresión original se convierte en: − ( x + 2 ) = − ( x − 7 ) ⇔ dice que en este intervalo la solución es vacía: C.S1 = ∅ En ( −2 , 7 )

x+2 = x +2

x + 2 = −(x − 7)

⇔

x − 7 = −(x − 7),

2x = 5

⇔

x =

analizando, se concluye que C.S2 = Para

x >7 x+2 = x +2

x +2 = x −7

⇔

2 = −7

5 2

. Como

2 = −7 ,

que como es falso, se

entonces, la solución corresponderá a: 5 2

se encuentra en el intervalo que se está

⎧5⎫ ⎨ ⎬ ⎩2⎭

x −7 = x −7,

por lo que se tiene que

, que es una contradicción. El conjunto solución nuevamente es

vacío: C.S3 = ∅ El conjunto solución de

x +2 = x −7

se obtiene uniendo las soluciones encontradas en

cada uno de los intervalos estudiados. C.S. = C.S1 ∪ C.S2 ∪ C.S3= ∅ ∪

4,5 unid. de distancia -6 -5

-4 -3 -2 -1

5 2

⎧5⎫ ⎧5⎫ ⎨ ⎬ ∪ ∅= ⎨ ⎬ ⎩2⎭ ⎩2⎭

4,5 unid. de distancia 3

10 11

Ejemplo 15 Encontrar el conjunto solución de 6 x = 3 x − 9

Utilizando la definición de valor absoluto se tienen que estudiar cuatro casos:

Caso 1

168

Si 6 x ≥ 0 y 3 x − 9 ≥ 0 ⇒ 6 x = 3 x − 9 Por lo tanto si x ≥ 3 ⇒ x = −3 ∴ El conjunto solución es ∅

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Caso 2

Si 6 x < 0 y 3 x − 9 < 0 ⇒ − 6 x = − (3 x − 9 ) ⇔ 6 x = 3 x − 9 Por lo tanto si x < 0 ⇒ x = −3 ∴ El conjunto solución es {−3}

Caso 3

Si 6 x ≥ 0 y 3 x − 9 < 0 ⇒ 6 x = − (3 x − 9 ) Por lo tanto si 0 ≤ x < 3 ⇒ x = 1∴ El conjunto solución es {1}

Caso 4

Si 6 x < 0 y 3 x − 9 ≥ 0 ⇒ − 6 x = 3 x − 9 ⇔ 6 x = − (3 x − 9 ) Por lo tanto si x < 0 y x ≥ 3 El conjunto solución es ∅

De donde se obtiene que el C.S. =

∅ ∪ {−3} ∪ {1} ∪ ∅ = {−3 ,1}

Si se hiciera el análisis gráfico como se desarrolló el ejemplo anterior, se llegaría a tres situaciones. Cuál es la que se obvia en este caso? Por qué? La intersección entre el intervalo x < 0 y el intervalo x ≥ 3 es vacía, porque los valores x que permiten cumplir con 6 x < 0 están a la izquierda del cero (0), mientras que los valores de x que hacen 3 x − 9 > 0 están a la derecha de 3. De esta forma, jamás habrá puntos en común.

Además del uso de la definición y del análisis gráfico, existen teoremas que ayudan a agilizar el proceso de solución, pero mientras no se tenga una capacidad de análisis lógico como la que se logra con los métodos anteriores, puede llevar a una mecanización que no beneficia el desarrollo de las habilidades que en este momento se pretende desarrollar en el estudiante. A continuación se enumeran los teoremas mencionados, pero se omite su demostración por las razones expuestas. Para todo par de números reales a y b, se cumplen los siguientes teoremas:

Teorema 1 Teorema 2 Teorema 3

Teorema 4 Teorema 5

a × b = a×b a

= a , si b ≠ 0 b

a + b ≤ a + b . Esta propiedad desigualdad del triángulo. a

= a

conoce

con

nombre

ax + b = cx + d , a, b, c y d ∈ ℜ ⇒ ax + b = cx + d ó ax + b = −(cx + d)

Ejemplo 16 Aplicando las propiedades del Valor Absoluto, encontrar el conjunto solución de Por el Teorema 1 se tiene que:

4 x − 8 = 10

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4(x − 2)

4 x −2

4 x − 8 = 10

4 x −2

169

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

Continuando el procedimiento algebraico, se tiene: 4 x − 2 = 10

⇔

x −2 =

5 2

La solución de esta última expresión equivale a: Si

x −2 =

5 2

⇒

−5

x −2=

2 5

x −2=

⇔

x =−

⇔

x =

2 ⎧ 1 9⎫ ⎨− , ⎬ ⎩ 2 2⎭

C.S. =

Ejemplo 17 Aplicando las propiedades del Valor Absoluto, encontrar el conjunto solución de: 3x − 2 = x −1 . Aplicando el Teorema 5, dado que en

3x − 2 = x −1

, los coeficientes de la variable y los

términos independientes, 3,2,1, son números reales, entonces se puede establecer que: Si

3x − 2 = x −1

⇒

ó 3x

− 2 = x −1

ó 3x

− 2 = − ( x − 1)

⇔

x = ⇔

C.S. =

1 2

x =

3 4

⎧1 3⎫ ⎨ , ⎬ ⎩2 4⎭

Interpretando la solución de manera gráfica, se confirma la solución: 3d1

d1 1 2

2 3

3 4

d2 3d2

Ejercicios 6.2

Encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 1.

3x + 2 = 5

7x = 4 − x

3x +2 =0

2x − 1 = 4x + 3

3 − 2x = 5 − 3x

3 x −1 = 2 x −1 2 3

0,5 x − 1,5 = 1,25 x + 2,25

170

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: −2− x −3 =5

x +2 + 3−x =3

Utilizando las propiedades del valor absoluto, demostrar: −x = x

10.

11.

Si 5 x − 15 < 2,5 ⇒ x − 3 < 0,5

Para todo a y b ∈ ℜ, a − b ≤ a − b

12.

6.4

INECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO.

A partir de la interpretación del Valor Absoluto en términos de una distancia, la expresión x − c < d representa geométricamente los puntos x sobre la recta numérica cuya distancia a c es menor que d, y su representación en la recta numérica corresponde a: d

c c-d c+d El conjunto de puntos que satisfacen la inecuación, escrita en términos de intervalo, es: (c − d ; c + d ) .

Ejemplo 18 Encontrar el conjunto solución de: x − 2 < 3

Habiendo estudiado este tipo de inecuaciones desde su interpretación geométrica, se observa que la solución corresponde a los puntos que se ubican a menos de 3 unidades del punto 2, es decir, los que se encuentran dentro del intervalo: ( 2 − 3 ; 2 + 3 ) = ( − 1; 5 ) .

Por definición de valor absoluto, debe llegarse a la misma solución: Si

Caso 1:

Caso 2: ó Si x − 2 < 0 ⇔ x < 2 −( x − 2 ) < 3 x <2 −x + 2 < 3 y ó −x < 1

x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2

x ≥2

[2, ∞ )

∩

x −2<3 x <5 (−∞ , 5 )

(−∞ ,2 )

C.S. Caso 1 = [2, 5 )

x > −1

∩

(−1, ∞ )

C.S. Caso 2 = (−1, 2 )

C.S. = [2, 5 ) ∪ (−1, 2 ) = (−1, 5 )

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

171

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

Para solucionar de forma algebraica un caso como el que aquí se presenta, se puede hacer uso de un teorema, que en realidad es la formalización de los procesos geométricos anteriores: Dado que el conjunto de puntos que satisfacen la inecuación x − c < d , escrita en términos de intervalo, es: ( c − d ; c + d ) , la inecuación que representa dicha solución es: c − d < x < c + d ⇔ − d < x − c < d , siempre que d > 0 Esto permite presentar el siguiente teorema, que permitirá llegar a la solución de inecuaciones mediante procesos algebraicos, donde el éxito depende del buen manejo operativo. Si c y d ∈ ℜ, d > 0 , y , x − c < d entonces, −d < x − c < d

Teorema 6

Ejemplo 19 Haciendo uso del Teorema 6, encontrar el conjunto solución de: x − 2 < 3 Dado que 3 > 0, puede aplicarse el anterior teorema: x −2 <3

⇒ −3<x−2<3

Inecuación dada

−3<x−2<3

Propiedad de orden de la suma

−3+2<x−2+2<3+2 −1 < x < 5

C.S. = ( −1, 5 )

Ejemplo 20 Hallar el conjunto solución para: −2x + 5 < 6 Puesto que 6 > 0, puede aplicarse el teorema 6: −2 x + 5 < 6 ⇒ −6 < −2 x + 5 < 6 −6 + (−5 ) < −2 x + 5 + (−5 ) < 6 + (−5 ) −11 < −2 x < 1 1 1 1 ⎛ ⎞ − 11⎜ − ⎟ > ⎛⎜ − ⎞⎟(− 2 x ) > 1 ⎛⎜ − ⎞⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

11 > x > − 1 2 2

C.S. =

172

Propiedad de orden de la suma Agrupación de términos Propiedad de orden de la multiplicación

El sentido de las desigualdades cambia.

⎛⎜ − 1 , 11 ⎞⎟ ⎝ 2 2 ⎠

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 21 Cuál es el conjunto solución de x − 5 < −2 ?

2 < x − 5 < −2

NO es mayor que cero, por lo cual el teorema NO se puede aplicar. Al no tener en cuenta esta condición, se estaría aceptando que 2 < −2 lo cual es FALSO. −2

Teniendo en cuenta que el valor absoluto es una distancia, siempre es positivo, o cero. Por consiguiente, ningún valor real que se le asigne a la variable x hace que x − 5 sea negativo. Por lo tanto: C.S. = ∅ Otra opción para llegar a la solución, es utilizar la definición de valor absoluto, según la cual se tendría:.

Caso 1: Si x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5

Caso 2: Si x − 5 < 0 ⇔ x < 5 y x <5 − ( x − 5 ) < −2 y x <5 (x − 5) > 2

x ≥5

x − 5 < −2

x ≥5

x <3

[5, ∞ )

∩

(−∞ , 3 )

C.S. Caso 1 = ∅

x <5

x >7

(−∞ ,5 )

∩

(7, ∞ )

C.S. Caso 2 = ∅

∪

C. S. = ∅ ∪ ∅ = ∅

La otra forma de inecuación que aún no se ha analizado, es aquella de la forma x − c > d . Como ya se vio en el inicio del capítulo, geométricamente corresponde a los puntos x cuya distancia a c es mayor a d. En la recta numérica, dicha situación puede visualizarse como: d

c-d

c+d

El conjunto solución para este caso, son los puntos que se ubican en los intervalos ( − ∞ ; c − d ] ∪ [c + d ; ∞ ) , lo que en términos de inecuación es equivalente a: x <c −d

x >c+d

⇔

x − c < −d

x −c >d

, siempre que d > 0

La forma general de esta solución la presenta el siguiente Teorema:

Teorema 7

Si c , d ∈ ℜ, d > 0 , x − c > d , entonces:

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x −c > d

x − c < −d

173

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplo 22 Encontrar el conjunto solución de

x+2 >3: 3

En términos de distancia, esta expresión corresponde a “los puntos x sobre la recta numérica que están a más de 3 unidades del punto

−

2 3

”. Su interpretación permite encontrar

geométricamente la solución:

-6

-5

-3 − 11

-2

-1 2

7 3

Como 3 > 0, puede aplicarse el Teorema 2, entonces: x + 2 > 3 ó x + 2 < −3 3

x >3−2 3 7 x> 3

C.S =

x < −3 − 2 3 11 x<− 3

⎛⎜ 7 , ∞ ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ − ∞ ,− 11 ⎞⎟ ⎝3 ⎠ ⎝ 3⎠

Ejemplo 23 Encontrar el conjunto solución de

1x −5 > −1 3 6

1x −5 > −1 6 3 −1 6

1x −5 < 1 6 3

NO es mayor que cero, por lo cual el teorema NO se puede aplicar.

Teniendo en cuenta que el valor absoluto es una distancia, siempre es positivo, o cero. Por consiguiente, cualquier valor real que se le asigne a la variable x hace que que

−1 6

1x −5 3

sea positivo y todo número positivo es mayor

. Por lo tanto: C.S. = ℜ

174

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Otra opción para llegar a la solución, es utilizar la definición de valor absoluto, según la cual se tendría:

Caso 1: Si 1 x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 15 3

x ≥ 15

1x −5 > −1 3 6

x ≥ 15

1 x > 29 3 6

x > 29 2

[ 15 , ∞ )

x < 15

− ⎛⎜ 1 x − 5 ⎞⎟ > − 1 ⎝3 ⎠ 6

x < 15

− 1x +5 > −1 3 6

− 1 x > − 31 6 3

⎛⎜ 29 , ∞ ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

∩

Caso 2: Si 1 x − 5 < 0 ⇔ x < 15

− x > − 31 2

x < 31 2

(−∞ ,15 )

C.S. Caso 1 =

[ 15 , ∞ )

⎛⎜ − ∞ , 31 ⎞⎟ 2 ⎠ ⎝

∩

C.S. Caso 2 = (−∞ ,15 )

C. S. = (−∞ ,15 ) ∪ [15 , ∞ ) = ℜ

Ejemplo 24 Existe diferencia entre el conjunto solución de: 0 < x + 4 < 5 y el de x + 4 < 5 Para determinar si existe diferencia o no, se recurrirá a la interpretación geométrica de las dos situaciones: x +4 <5

representa todos los valores de x cuya distancia al punto – 4 es menor a 5. -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

C.S. = ( –9, 1) 0< x+4 <5

representa los puntos sobre la recta real cuya distancia a – 4 es menor que 5 y

mayor que 0, por lo cual el punto x = – 4 no hace parte del conjunto solución. -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

C.S. = (−9 , − 4 ) ∪ (−4 ,1) Como se observa, efectivamente hay una diferencia entre las dos situaciones, ya que la primera incluye en su solución el punto – 4, mientras que en la segunda este punto no hace parte de la solución.

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175

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

Ejercicios 6.3 Encontrar el conjunto junto solución solución de las siguientes guientes inec inecuaciones: uaciones: 1.

3x − 2 < 3

5 − 8x < 2

3 + 2x < 4 − x

−x ≤ 0

6.5

6 − 2x ≥ 7 8−3 x 2

≥1

2 − 3x ≥ 2 5

8 − 3x ≥ 2x

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Hasta el momento, se ha estudiado el concepto de valor absoluto en una variable. Si una expresión con valor absoluto se iguala a otra variable, es posible representar esta relación en un plano cartesiano. La forma más simple de esta expresión es: y = x , que de acuerdo con las formas equivalentes ya conocidas, se tiene que es igual a: ⎧⎪ x , si x ≥ 0 y = x =⎨ ⎪⎩− x , si x < 0

4 –x

En su representación gráfica, se encuentran dos situaciones:

3 2

-4

-3

-2

-1

-1 -2

x ≥0

y = x , si

y = − x , si

x <0

x 1

Se trata entonces de dos segmentos de recta: una para los reales positivos y cero y otra para los reales negativos:

-3 -4 y

Observando las gráficas, se aprecia que para los x ≥ 0 , la representación gráfica es la misma de y = x . Para los x < 0 , la gráfica de y = x es la simétrica de y = x con respecto al eje x, que corresponde a la función y = − x , y que resulta de reflejar la parte de la gráfica de y = x que queda por debajo del eje y. El punto (0 ,0 ) coincide con el intercepto x de las funciones y = x y y = − x . Se observa que para cada valor de x en los reales, hay un único valor de y, lo que lleva a concluir que y = x es una función.

176

4 3 2 1 x -4

-3

-2

-1

-2 -3 -4

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Las definiciones establecidas para la función lineal, también son aplicables a esta función valor absoluto: Dominio: Son todos los x ∈ ℜ . Rango: [0 ; ∞ )

No es una función uno a uno, puesto que, a excepción del cero (0), a un mismo elemento del rango le corresponden dos elementos diferentes del dominio. Es creciente en el intervalo ( 0 ; ∞ ) y decreciente en ( −∞ ; 0 ) . Es simétrica respecto al eje y. Una función como esta, en la que para diferentes intervalos del dominio, se define de manera diferente, es llamada función a trozos. Ahora, de qué manera puede obtenerse la gráfica de y = mx + b ? Por medio de un ejemplo se entenderá:

Ejemplo 25 Esbozar la gráfica de y = 2 x + 1 El valor absoluto se le aplica a la función representación gráfica.

y = 2x + 1 ,

por lo cual debe ser ésta la base para la

Para aplicar el procedimiento anterior, se dibuja la recta correspondiente a y = 2 x + 1 y en el intercepto-x de la función se efectúa reflexión de la parte de la recta cuyos valores de y son negativos. y 3

–2x–1

2x+1

Obsérvese que en el punto

⎛⎜ − 1 ,0 ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

tiene lugar la

unión de las rectas y = 2 x + 1 y y = −2 x − 1 = −(2 x + 1) . Por lo tanto, la gráfica total puede definirse como:

⎧2 x + 1, si x ≥ − 1 ⎪⎪ 2 y = 2x + 1 = ⎨ ⎪− (2 x + 1), si x < − 1 ⎪⎩ 2

x -3

-2

-1

Algebraicamente el procedimiento equivalente puede entenderse como: 2x + 1 = 0

⇔

x =−1 2

Este punto determina tres situaciones:

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177

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

En el intervalo

⎛⎜ − 1 ; ∞ ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

y = 2x + 1

toma valores positivos, es decir,

y = 2x + 1 > 0 .

⎛⎜ − ∞ ; − 1 ⎞⎟ , y = 2 x + 1 toma valores negativos, es decir, y = 2 x + 1 < 0 . 2⎠ ⎝ 1 En x = − el valor de la función es exactamente igual a cero, lo que significa que el 2 punto de reflexión es en ⎛⎜ − 1 ,0 ⎞⎟ para los valores de x en el intervalo ⎛⎜ − ∞ ; − 1 ⎞⎟ . Se genera 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝

Entre

entonces una nueva recta correspondiente a la función

y = − (2 x + 1) .

Este análisis lleva a definir la función y = 2 x + 1 como: ⎧2 x + 1, si 2 x + 1 > 0 ⎪⎪ y = 2 x + 1 = ⎨2 x + 1 si 2 x + 1 = 0 ⇔ ⎪ ⎩⎪− (2 x + 1), si 2 x + 1 < 0

⎧⎪2 x + 1, si 2 x + 1 ≥ 0 ⎨ ⎪⎩− (2 x + 1), si 2 x + 1 < 0

Ejemplo 26 ¿Existe diferencia entre la función y = x + 1 y la función y = x + 1 ? La primera función puede representarse gráficamente siguiendo los pasos establecidos en el ejemplo anterior: La recta de y = x + 1 es una línea recta con pendiente positiva m = 1 e intercepto-y en 1 e intercepto-x en –1. La función es positiva en el intervalo (−1; ∞ ) . En (−∞; −1) , la función es negativa, por lo cual es en este intervalo donde se genera la simetría respecto al eje x, cambiando la función por y = − x − 1 . La gráfica resultante es: y

Para establecer si existen realmente diferencias entre las dos funciones, se debe graficar y = x + 1 y compararla con la primera:

y=x+1

y= – x –1

Se estudiará la función con detalle, para observar la incidencia de sumar una constante a la función valor absoluto, para lo cual se recurrirá a la definición:

2 1 x

-4

-3

-2

-1

⎧⎪ x , si x ≥ 0 y = x =⎨ ⎪⎩− x , si x < 0

Si se compara la nueva función con la definición dada para y = x , ⎧ x + 1, si x > 0 si x ≥ 0 ⎪⎪ ⎧⎪ x + 1, si x = 0 ⇔ ⎨ y = x + 1 = ⎨1 ⎪ ⎩⎪− x + 1, si x < 0 ⎩⎪− x + 1 si x < 0

178

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

se encuentra que para los x ≥ 0 , la recta y = x se trasladó 1 unidad hacia arriba, dando lugar a una nueva recta con ecuación y = x + 1 . Para los x negativos la función resultante es y = − x + 1 , que corresponde a la recta de la función y = –x trasladada 1 unidad hacia arriba. La gráfica que se establece es la que se presenta a continuación: y

En conclusión, la constante no incluida en el valor absoluto hace que la función se traslade verticalmente, que para el caso que se estudia corresponde a 1 unidad hacia arriba, valor que coincide con el valor de la constante.

y= – x +1

y=x+1

3 2 1

x -4 -3 -2 -1

4 y

y=|x|+1 4

Para dar respuesta a la pregunta, se dibujan las dos funciones sobrepuestas en el mismo plano cartesiano, y de esta forma puede asegurarse que representan gráficas diferentes. Además, se encuentra que el rango para y = x + 1 es [0, ∞ ) y para la función y = x + 1 es [1, ∞ ) .

3 2 y=|x+1| 1 x -4 -3 -2 -1

Ejemplo 27 Hacer un análisis detallado de la función

y = 1x −5 +3 2

, a partir de su representación gráfica.

Para comenzar se va a graficar la función paso a paso, utilizando dos métodos:

5 4 3 2 1 -10

-5

-1 -2 -3 -4 -5

Paso 1: x 5

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Graficar la función y = 1 x − 5 2

179

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

5 4 3 2 1 -10

-5

Paso 2:

Graficar la función x 5

-1 -2 -3 -4 -5

función

y = 1x −5 2

y = 1x −5 +3 2

refleja con respecto al eje x.

9 8 7 6 5 4 3 2 1

. Ahora se toma la

y se traslada 3 unidades hacia

arriba.

x 5

-1

5 4 3 2 1 -10

-5

Paso 2: Graficar la función

Paso 1:

x 5

Graficar la función y = 1 x 2

5 4 3 2 1 y = 1x 2

. El valor absoluto indica que

la y no toma valores negativos, por lo tanto se toma la parte negativa de función y = 1 x y se refleja con 2

180

-1 -2 -3 -4 -5

respecto al eje x.

. El valor

absoluto indica que la y no toma valores negativos, por lo tanto se toma la parte negativa de función y = 1 x − 5 y se

Paso 3:

Graficar la función

y = 1x −5 2

-10

-5

-1 -2 -3 -4 -5

x 5

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5 4 3 2 1 -10

-5

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Paso 3: Graficar la función x 5

-1 -2 -3 -4 -5

, para lo cual

es de gran utilidad expresarla de la forma y = 1 ( x − 10 ) . Lo anterior indica que la

función

y = 1x 2

se traslada hacia la derecha

10 unidades. 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Paso 4:

Graficar la función función

y = 1x −5 2

y = 1x −5 +3 2

. Ahora se toma la

y se traslada 3 unidades hacia

arriba.

-1

x 5

Los dos métodos llevan a la misma gráfica, en el segundo se trabaja la traslación horizontal utilizando una trasformación algebraica de la ecuación de la función. A partir de la gráfica se función y = 1 x − 5 + 3 :

puede hacer

el siguiente

análisis

detallado

9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1

Dominio ℜ Rango [3, ∞ ) La función es creciente en el intervalo (10 , ∞ ) La función es decreciente en el intervalo (−∞ ,10 ) El valor mínimo de la función es 3 y lo toma cuando x=10.

x 5

No se puede determinar un punto de coordenadas donde la función sea máxima.

La función es positiva es decir

y >0

para todo x ∈ ℜ

La función no toma valores negativos ni cero. No es una función uno a uno porque para dos valores distintos de x la ordenada toma el mismo valor

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181

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

Ejercicios 6.4 Esbozar las siguientes gráficas: 1.

y = 1 x +1 2

y = 2x − 1

Comparar las gráficas y establecer semejanzas y diferencias con y = x : 3.

y = −x

y =−x

y = −3,5 x + 1

Representar gráficamente: 5.

y = −2 x − 2

y = − −2.5 x

y = −3x +2 4

Encontrar el valor de la función para 10.

y = − 1x −2 3

x = 1, x = −1, x = 2 :

f (x ) = 3 x − 2

g ( x ) = −4 − x

11.

Determinar el rango de las siguientes funciones: 12.

y = x +2

y =−x +2

13.

Para cada una de las siguientes funciones indicar intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente: 14.

y = 3x − 2

y = − x +3

15.

Indicar los puntos donde cada una de la siguientes funciones es máxima y mínima: 16.

y = −3 x + 2

y =−1−2x 3 5

17.

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN Analizar y resolver: 1.

Considerar los segmentos de línea determinados por los puntos A, B, C, D, E, F, G. Encontrar cada uno de las siguientes medidas, si d (BC ) = 1 , d (DE ) = d (EF ) = 3 2

A -3

182

-2

B -1

C 1

E 2

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

d ( AB )

d (CE )

d (DB )

d (GE )

d (GA )

d (CD )

d ( AB )

Encontrar un valor para x tal que a.

A= 1 2

B=2

C=x

A= 3 4

d (BC )

tenga igual longitud que B=x

C=2

A=x

B =3

C=5

Calcular: 3.

3−2

(−5 ) ×

3−6

5 − 2

7 + −4

1−1 5 3

− 6 ÷ (−2)

−7 + 4

10.

4−π

13.

6−7

14.

1.7 − 3

11.

π−4

12.

−5 − 2

15.

−1 × 4

16.

5 2

Efectuar las operaciones, expresando la respuesta en números mixtos: 17.

8−3 + 8−2 5 2 3 9

18.

1+1 + −1−1 2 3 2 3

−

19.

52+42 3

+ −2 3

Decir cuáles enunciados son ciertos para todos los números enteros a, b y c, e ilustrar los que son falsos con un ejemplo que pruebe la falsedad: 20.

a+b =b+a

21.

a−b =b−a

23.

(a − b ) − c = a − (b − c )

24.

a−b = a − b

a+b = a + b

22.

Resolver cada uno de los siguientes ejercicios: 25.

Hallar la distancia sobre la recta entre los siguientes puntos: A B

26.

3 7

0 5

−2 4

4 −8

−5 −1

Hallar el conjunto de todos los números reales, cuya distancia del número A es la que se indica: A

d (A,B)

-9 -5 2 5 0 27.

d ( AB )

es igual a 2 es mayor o igual a 3 es menor o igual a 1 es menor que 7 es mayor que 3

Si es cierto que A + B = 25 , A + C + B = 85 , cuál será el valor de: a.

B+A

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A + (B + C )

(A + B ) + C

183

CAPÍTULO VI ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON VALOR ABSOLUTO

Resolver: 28.

Pedro se encuentra de visita en la ciudad de Medellín y se enferma. Como no conoce la ciudad entra a un supermercado que se encontró en su camino, y le pregunta a un empleado por la droguería más cercana. El empleado le responde: “la peluquería está a 300m. a la derecha de aquí, y la distancia entre la peluquería y la droguería es de 200m. Cuál es la distancia que tiene que recorrer Pedro para ir a la peluquería?

29.

Gregorio, Teresa, Eliana y Natalia viven en la calle Real. Teresa vive a una milla y media de donde vive Gregorio; Eliana vive a milla y media de donde vive Teresa. Natalia vive a medio camino entre Eliana y Teresa. ¿Qué tan lejos vive Natalia de Gregorio? ( Hay dos posibles soluciones)

Encontrar el conjunto solución de: 30.

2x + 1 = 5

31.

33.

z +3 ≥8

36.

7− x ≤1 3

39.

x +1 + x − 2 <1

x − 3 = 2x − 1

1x −2 =0 5

32.

34.

x −3 ≤1

35.

7 − 3x − x < 2

37.

a−1 <2 2 2

38.

1+ 2x ≥ 5 3

40.

2 2 x − 3 < x + 10

Representar gráficamente sin tabular las siguiente función: 41.

y = −3− x −2

A partir de la siguiente gráfica: 42.

Determinar las ecuaciones de las rectas y 1 , y 2 , y 3 .

43.

Determinar la función f ( x ) que asocia las rectas

44.

Encontrar los puntos de corte de f ( x ) con y 3 .

Y1 Y3

y2 .

3 2 1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

Y2 x 1

-2 -3 -4

184

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Encontrar la expresión de las funciones que representan representan las siguientes gráficas: gráficas: 45.

46.

1 x

x -4 -3 -2 -1

-1

47.

-3

-2

48.

-4

-1

-5

-1

x 1

-1 -2 -3 -4

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3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

x 1

-2 -3

185

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“Amas la vida? Entonces no malgastes el tiempo porque es el elemento del que esta hecha la vida”

CAPÍTULO VII FACTORIZACIÓN 7.1 INTRODUCCIÓN 7.2 FACTORIZACIÓN 7.3 ESTRATEGIAS PARA FACTORIZAR EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO VII FACTORIZACIÓN

CAPÍTULO VII FACTORIZACIÓN 7.1

INTRODUCCIÓN

La multiplicación de expresiones algebraicas se presentó en el Capítulo II como una aplicación de la propiedad distributiva.

Ejemplo 1 2 x ( x − 2) = 2 x − 4 x 2

Propiedad distributiva

Ejemplo 2 ( x − 2 )( x + 5 ) = x ( x + 5 ) − 2( x + 5 )

Propiedad distributiva

= x + 5 x − 2 x − 10 =x

Propiedad distributiva Agrupación de términos

+ 3 x − 10

Q En el Capítulo II, se presentaron los productos notables como productos de ciertos binomios de uso tan frecuente en matemáticas que es útil recordar las relaciones de igualdad en ambos sentidos.

PRODUCTOS NOTABLES

j 188

(a + b )3

= a + 3a b + 3ab + b

(a − b )3

= a − 3a b + 3ab − b

(a + b ) a 2 − ab + b 2

(a + b )2

= a + 2ab + b

(a − b )2

= a − 2ab + b

(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2

( (a − b )(a

)= a + ab + b ) = a 2

−b

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7.2

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

FACTORIZACIÓN

Factorizar es escribir una expresión como un producto de otras, es decir, es el proceso contrario de la multiplicación. La factorización implica encontrar el máximo número de factores primos dentro del conjunto de los enteros.

Ejemplo 3 Factorizar 24 El número 24 puede expresarse de diferentes formas: 3

24 = 2 × 12 ⇔ 24 = 4 × 6 ⇔ 24 = 2 × 3

Las dos primeras expresiones corresponden a una descomposición en factores. La tercera sí es una factorización, puesto que aquí 24 está representado en el producto de sus factores primos.

Q 7.3

ESTRATEGIAS PARA FACTORIZAR

El objetivo de esta sección es proponer estrategias para reforzar las habilidades en la técnica de factorización, herramienta de uso permanente en cualquier proceso matemático. Cuando se desea factorizar una expresión polinomial es recomendable seguir los siguientes pasos: Paso 1: Buscar el máximo factor común para todos los términos. Si lo hay, aplicar la propiedad distributiva. Paso 2: Verificar si uno de los factores obtenidos en el paso anterior es: Ü

Un binomio: Si cumple con las características para ser un producto notable, aplíquese la relación de igualdad. En ocasiones, este paso debe repetirse hasta que se llegue al máximo número de factores primos en los enteros. Si no es un producto notable, el polinomio dado ya ha sido factorizado.

Un trinomio: Determinar si es de la forma: 2 2 a ± 2ab + b Si cumple, aplíquese el producto notable correspondiente. Un trinomio que cumple con esta característica se le da el nombre de trinomio cuadrado perfecto. 2

ax + bx + c

. Aplíquese la técnica según sea a = 1 o a ≠1.

Si no cumple con ninguna de las dos formas, el polinomio ya ha quedado factorizado. Ü

De más de tres términos: Agruparlos convenientemente y analizar la posibilidad de repetir el proceso para cada uno de las nuevas agrupaciones.

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189

CAPÍTULO VII FACTORIZACIÓN

Una expresión de la forma x 2 + bx + c es factorizable en los enteros si existe d y e enteros que multiplicados den c y sumados den b. Si existen, x + bx + c = ( x + d)( x + e ) 2

Una expresión de la forma ax 2 + bx + c , se transforma en una expresión de la forma anterior multiplicando y dividiendo por a. 2

ax + bx + c =

((ax )

)

(ax + f )(ax + g) + b(ax ) + ca = a a

Para este caso, el producto de f y g es ca y su suma es b.

Ejemplo 4 2

Factorizar.

15 − 5 x

Paso 1:

Existe un factor común: 5. 2

(

15 − 5 x = 5 3 − x

Paso 2:

)

El segundo factor es un binomio pero no corresponde a ningún producto notable. Luego, la factorización en los enteros ha terminado.

Q Ejemplo 5 Factorizar: 25 − 16y 2 Paso 1:

No existe un factor común para los dos términos.

Paso 2:

Se trata de un binomio. Debe determinarse si es una diferencia de cuadrados o de cubos. En este caso se tiene una diferencia de cuadrados, por lo tanto: 25 − 16 y = 5 − (4 y )2 = (5 − 4 y )(5 + 4 y ) 2

Ninguno de los binomos resultantes es factorizable en los enteros, lo cual permite asegurar que el binomio presentado ha quedado completamente factorizado.

Q 190

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 6 Factorizar la siguiente expresión: 4 x 4 − 64 y 4 Paso 1:

es factor común de los dos términos. Entonces: 4

(

4 x − 64 y = 4 x − 16 y

Paso 2:

)

El binomio de esta primera factorización es una diferencia de cuadrados. Se tiene:

(

4 x − 16 y

) = 4⎡⎢⎣(x ) − (4 y ) ⎤⎥⎦ = 4[x 2 2

2 2

+ 4y

][x

− 4y

]

El tercer factor es nuevamente una diferencia de cuadrados factorizable en los enteros. Por lo tanto,

[

4 x

+ 4y

] [x

− 4y

] = 4 [x

+ 4y

] [x + 2y ][x − 2y ]

Ninguno de los factores de este último paso es factorizable en los enteros, por lo que se puede decir que el polinomio ha sido factorizado en su totalidad.

Q Ejemplo 7 Factorizar 64 x 6 − 729y 6 Paso 1:

Los términos no tienen un factor común.

Paso 2:

Asociando la expresión con los productos notables se tienen dos opciones: Opción 1: Diferencia de cuadrados: 64 x

− 729 y

( ) − (27 y ) = (8 x

= 8x

3 2

+ 27 y

)(8 x

− 27 y

)

Ambos factores son productos notables, una suma de cubos y una diferencia de cubos. Entonces:

(

= (2 x + 3 y ) 4 x − 6 xy + 9 y 2

)(2 x − 3 y )(4 x

+ 6 xy + 9 y

)

Aquí termina la factorización. Opción 2: Al trabajar el binomio como una diferencia de cubos, se tiene:

(4 x ) − (9 y ) = (4 x 2 3

2 3

− 9y

)(16 x

+ 36 x y

(

= (2 x − 3 y )(2 x + 3 y ) 16 x

+ 81 y 2

+ 36 x y

4 2

) + 81 y

)

Como puede verse, las dos opciones son alternativas de solución, pero en el rigor de la definición, la opción correcta es la primera porque da un mayor número de factores.

Q ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

191

CAPÍTULO VII FACTORIZACIÓN

Ejemplo 8 Factorizar:

−x

− 10 x − 25

(

− x − 10 x − 25 = − x + 10 x + 25

)

El polinomio entre paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto. Entonces puede factorizarse totalmente como:

(

)

− x + 10 x + 25 = −( x + 5 )2 2

Ejemplo 9 3

+ 8x

Factorizar:

Paso 1:

El mayor factor común del trinomio es 2x. Entonces: 2x

Paso 2:

+ 8x

(

+ 8x = 2x x

+ 4x + 4

)

El segundo factor es un trinomio cuadrado perfecto. Su factorización final será: 2x

+ 8x

+ 8 x = 2 x ( x + 2)2

Ejemplo 10 Factorizar: x 2

− 2 x − 15

Este es un trinomio de la forma x 2 factorización es: x

+ bx + c

y no es cuadrado perfecto. Por lo tanto, su

− 2 x − 15 = ( x − 5 )( x + 3 )

Ejemplo 11 Factorizar completamente:

9 a + 12 a + 4

Este trinomio no tiene factor común. Es de la forma 2

9 a + 12 a + 4 =

192

ax + bx + c

(9a )2 + 12(9a ) + 36 = (9a + 6 )(9a + 6 ) = (3a + 2 )(3a + 2 ) = (3a + 2 )2 9

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 12 Factorizar:

6ab − 20 − 15 a + 8b

Agrupando convenientemente, se tiene:

6 ab − 20 − 15 a + 8b = (6 ab − 15 a ) + (8 b − 20.) = 3a (2b − 5 ) + 4 (2b − 5 ) = (3a + 4 )(2b − 5 )

Ejemplo 13 Factorizar la siguiente expresión:

25 x + 10 x + 1

Luego de una rápida inspección, puede rescribirse la ecuación de manera que se llegue a una forma ya conocida, así:

(5 x )2 + 2(5 x ) + 1 Ahora puede hacerse uso de una variable auxiliar: Sea

u = 5x

, con la cual, la ecuación será equivalente a: 2

u + 2u + 1

(u + 1)2

Recuperando el valor inicial:

(u + 1)2

(5 x + 1)2

Queda factorizado completamente

Ejemplo 14 Factorizar la siguiente expresión: 9m 2 − 12mn + 4n 2 − 9 Si se agrupan los términos:

(9m

− 12mn + 4n

) − 9 = (3m − 2n )

− 9 = ((3m − 2n ) + 3 )((3m − 2n ) − 3 )

Queda totalmente factorizado.

Ejemplo 15 Factorizar la expresión

x 2 + x +1

Este trinomio no tiene factor común. Es de la forma x 2 + bx + c ., en donde

b =1

c =1

Por lo tanto se deben encontrar dos números que multiplicados den 1 y sumados den 1. Estas condiciones no se cumplen con dos números enteros. En conclusión, la expresión no es factorizable en los enteros.

Q ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

193

CAPÍTULO VII FACTORIZACIÓN

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

2 1.

Qué polinomio genera la siguiente factorización?

(4 x + 3 )( x − 1)

Factorizar en los enteros:

2 xa + 3a

9u v + 6uv

100 − x

xm − 4m

24 x + 18

− 49

4 x − 25 y

11.

10 x + 16 x + 48

13.

x − 11x + 24

15.

x − 16 x + 63

17.

x + 16 xy − 36 y

19.

x y − 16 xy + 48

21.

5 x + 15 x − 20

2 x + 16 x − 40

23.

x y − 18 xy + 72y

24.

3 x ( x + 2 ) + 5( x + 2 )

25.

x (x + y ) − y (x + y )

26.

x −1

27.

− 8m

28.

x y − 64 x y

29.

1 + 1000 x

30.

15 + 14 x − 8 x

31.

16 − (2a + b )2

32.

15 x − 15 x + 20 x

33.

m +n

34.

a −b +a −b

35.

36.

r + 7r + 12

37.

16 x +

8 xy y + 5 25

38.

4 a + 3 a b + 9b

39.

4 a m + 12a n − 5bm − 15 bn

40.

729 m − 64 n

41.

a − d + n − c − 2an − 2cd

42.

a − m − 9 n − 6 mn + 4 ab + 4 b

43.

7 x + 31x − 20

44.

16 a − 24 ab + 9 b

45.

125 x − 225 x + 135 x − 27

46.

x −y +x −y

47.

16 a − 1 − 10 m + 9 x − 24 ax − 25 m

48.

3 x + 2 axy + 2 ay

49.

1 − 126 a b + 169 a b

50.

49 x − 25 x − 9 y + 30 xy

51.

9( x − y )2 + 12( x − y )( x + y ) + 4( x + y )2

52.

2 x (5 x − 2 )(4 x + 1)2 − 2(5 x − 2 )2 (4 x + 1)

53.

− ax + 2ax + bx − 2b

54.

− 16 + 17 5 − y

55.

( x − 3 y )( x + 5 y )4 − 4( x − 3 y )( x + 5 y )2

56.

− 23 xy + 20 x y + 6

57.

42 ab + 27 a b + 8

58.

x + 6x − y + 9

59.

1 3 a 1 6 a 9b x + y z 16 2

16 x − 25

10.

9 x − 144

12.

x + 14 x + 40

14.

x − 14 x + 48

16.

x − 56 − x

18.

x − 6 xy − 40 y

20.

x y − 14 xy − 32

22.

194

2 2

6 2

(

− 3 xy

) − (5 − y )

2 2

− 2 ax − 3 x y

2 2

−

+ 4 x − 32 2

4 8

2 2

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

− 3x − 8

61.

x + 2 x − 24

63.

2 x + x − 10

65.

10 + 33 x − 7 x

67.

3a − 27 y

2 4

69.

x y − 9z

4 4

71.

54 x − 128 y

73.

75.

x + 12 x + 36

12 x + 23 x − 24

77.

30 ax + 85 ax − 140 a

78.

( x + y )2 − ( x + y ) − 12

79.

10 − 11 x − 1 + 3 x − 1

80.

4 x + xy + xz

81.

(y + a )2 − b 2

82.

x − 2abx + a b

83.

60.

62.

x − 5x − 6

64.

8x + 6x − 9

66.

a x +y

68.

a b −c

70.

a b −c d

72.

8(abc )3 − 1

74.

x −4

76.

2 2

84.

abc + bcd + abd + bd

86.

a x + 2 x + 1 + ( x + 1)

88.

8 x − 24 x y + 18 xy

90.

4 2

4 3

− 8y z

(

) (

+2 − y

2x + 8x + 6

87.

(a + b )c + 14 (a + b )

89.

25cx + 10cx + cx

a t + 2a bt + ab t

91.

ax + 4ax + 4a

92.

4( x + 2 ) + a ( x + 2 )

93.

3x + 8x + 5

94.

x −4 4 9

95.

x + x + 1 100 25 25

96.

0,09 x − 0,06 x + 0,01

98.

125 r − 64 s

(

)

99.

− 12 x y

2x − 6 2x + 9 2 2

x − 6x + 2 2

103. x − 2 x − 4 2

+ 6 xy

−y

105. x + 49 y + 14 xy + 6 x + 42y + 9

107. 125 y − 300 y + 240 y − 64

109. a

108. z + 9 z + 27 z + 27 z

101. x + y + 2 xy − 1

104. a + 4ab + 4 b − c − 4cd − 4d 106. 8 x

)

100. x − 6 x + 12 x − 8 102. x + x y + 25y

97.

85.

)

( x + 1)2 + 2a ( x + 1) + 1

Factorizar en los reales: 2

110. y − 2 3y + 3

111. x − 14

112. 8 x − 80

8 113. 6b

Factorizar las siguientes expresiones: 2 n +1

+ 5b

n +1

− 6b

114. 49 a

10 n

−b 81

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

115. x

n +3

+ 5x + x + 5

195

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“Aquel que ama la práctica sin la teoría es como el marinero que aborda un barco sin un timón y una brújula, y nunca sabe donde puede naufragar”

CAPÍTULO VIII RELACION DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

INTRODUCCIÓN DEFINICIÓN DE ECUACIÓN CUADRÁTICA SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETANDO EL CUADRADO

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR LA FÓRMULA CUADRÁTICA 8.6 TIPOS DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA 8.7 ¿CÓMO EXPRESAR UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA COMO PRODUCTO DE FACTORES LINEALES? 8.8 PROCESO DE REVERSIBILIDAD EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

CAPÍTULO VIII RELACION DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE 8.1

INTRODUCCIÓN

En este capítulo se trabajará con expresiones de la forma ax 2 llamadas polinomios de grado dos o polinomios cuadráticos.

+ bx + c

con a, b, c ∈ ℜ y

a≠0

Tal como en el caso lineal, con expresiones de estas características puede establecerse relaciones de igualdad (ecuaciones) ó de orden (inecuaciones). Éstas últimas se estudiarán en capítulos posteriores. Antes de iniciar el estudio detallado de solución para estas situaciones debe recordarse:

j 8.2

Factorizar una expresión es descomponerla en factores. En el capítulo anterior, se trabajaron los diferentes métodos para factorizar expresiones de la forma ax 2 + bx + c con a, b, c ∈ ℜ y a ≠ 0 .

Resolver una ecuación ó una inecuación es encontrar los valores que la variable puede tomar en el conjunto de referencia para hacer verdadera la relación dada.

Las soluciones de una ecuación reciben el nombre de raíces, y el conjunto de ellas, conjunto solución.

Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución

DEFINICIÓN DE ECUACIÓN CUADRÁTICA

Una ecuación es una relación de igualdad entre dos expresiones algebraicas. Si se tiene en su forma más simple una expresión de la forma ax 2 + bx + c con a, b, c ∈ ℜ y a ≠ 0 , se habla de una ecuación cuadrática.

198

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 1 ¿Cuáles de las siguientes expresiones son ecuaciones cuadráticas? ¿Por qué? a.

3 x + πx + 5 = 0

Es una ecuación cuadrática ya que es de la forma

ax + bx + c = 0 con a, b, c ∈ ℜ

a≠0

( x − 5 )⎛⎜ x − 3 ⎞⎟ = 0 ⎝

2⎠

Es una ecuación cuadrática ya que tiene dos factores lineales y el producto de ellas es un polinomio de grado 2

( x − 5 )⎛⎜ x − 3 ⎞⎟ = 0 ⎝

2⎠

2 ⇔ x ⎛⎜ x − 3 ⎞⎟ − 5⎛⎜ x − 3 ⎞⎟ = 0 ⇔ x − 3 x − 5 x + 15 = 0 ⎝ ⎝ 2 2 2⎠ 2⎠

⇔

2 x − 13 x + 15 = 0 2 2

( x + 1)( x + 3 )(2 x − 1) = 0 No es ecuación cuadrática ya que es el producto de tres factores lineales por lo tanto al efectuar el producto se obtiene un polinomio de grado tres.

1 x 2 = −3 x 2

Es ecuación cuadrática ya que es equivalente a

1 x 2 + 3x = 0 2

y tiene como mayor

exponente de la variable dos. El hecho de no tener término independiente no es razón para dejar de ser cuadrática. e.

2x − 5 = 0

No es ecuación cuadrática ya que no tiene término de la forma f.

con

a≠0

⎛⎜ 1 x − 5 ⎞⎟( x − 2 ) = 3 ⎠ ⎝2

Sí es ecuación cuadrática, ya que es el producto de dos factores lineales.

Q 8.3

SOLUCIÓN DE FACTORIZACIÓN

ECUACIONES

CUADRÁTICAS

POR

Para resolver ecuaciones cuadráticas es decir, ecuaciones de la forma ax 2 + bx + c = 0 , existen varios métodos, uno de los cuales es la factorización, cuando la expresión cuadrática es factorizable en los enteros.

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

199

CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

En el capítulo anterior se presentó la factorización como una herramienta para expresar polinomios equivalentes en el conjunto de los enteros cuyo resultado se presentaba como el producto de dos factores lineales. Para resolver la ecuación por este método, se hace uso de la siguiente propiedad: Propiedad del cero en los reales: Para todo a, b ∈ ℜ, a × b = 0 , sí y sólo si

a=0

b=0

Para ilustrar el método de la factorización para solución de ecuaciones cuadráticas, se recurrirá a un ejemplo:

Ejemplo 2 Encontrar el conjunto solución de

x −4=0

Existen dos métodos para resolver este tipo de ecuaciones:

Usando la factorización: 2

x −4=0

( x − 2)( x + 2) = 0

⇔

Por la propiedad del cero en los reales, se tiene que:

( x − 2 )( x + 2 ) = 0

⇒

(x − 2) = 0

( x + 2) = 0

⇔

x =2

ó x = -2

Verificando la validez de las soluciones: x =2

⇒

x = −2

⇒

(2 )2 − 4 = 0 (− 2 )2 − 4 = 0

⇔ ⇔

0=0 0=0

Se concluye que el conjunto solución es: {−2,2}

Q Por propiedad de la suma en igualdades: 2

)

x −4=0

⇔

x =4

De esta forma obtenemos el valor para x 2 . Pero el objetivo del ejemplo es encontrar los valores de x en los reales que satisfacen la ecuación cuadrática.

La situación en este momento es: ¿qué números reales elevados al cuadrado dan como resultado 4?

200

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

La respuesta es: “existen dos números: 2 y –2”. Por consiguiente: x

⇒

x = ±2

El conjunto solución por este método es el mismo que arrojó el método 1.

Q El razonamiento del método 2 permite generalizar: Una expresión de la forma x 2 = a y . a ≥ 0 ⇒ x = ± a y por las propiedades de la potenciación definidas en el Capítulo I, se puede afirmar que si a < 0 no hay solución. Las dos posibles respuestas para x permiten asociar la expresión x = ± a con un concepto ya estudiado en el capítulo 2: el valor absoluto. Efectivamente: x =± a

⇔

x = a

Ejemplo 3 2

Encontrar el conjunto solución de:

x − 8 x + 16 = 0 .

⇔

x − 8 x + 16 = 0

( x − 4 )2

La factorización está completa en los enteros, pero aún no se conocen los valores de x que dan solución a la ecuación. Cómo encontrarlos?

)

Ahora la situación consiste en encontrar los números reales que al ser elevados al cuadrado den como resultado cero “0”. De el Capítulo I, se recuerda que por las propiedades de la potenciación, cero “0” elevado a cualquier entero positivo, es cero “0”. Por consiguiente, ( x − 4 )2 = 0 ⇒ ( x − 4 ) = 0. ⇒ x = 4 .

Entonces, el conjunto solución es: C.S. = {4}

Ejemplo 4 Encontrar el conjunto solución de 2

x + x − 12 = 0

⇔

x + x − 12 = 0

( x + 4 )( x − 3 ) = 0

Factorización

x+4=0

x −3 =0

x = −4

x =3

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

Propiedad del cero en los reales

201

CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

Verificar si son o no soluciones Para x = −4 ,

x + x − 12 = 0

⇒

Para

16 − 4 − 12 = 0 2

x =3,

x + x − 12 = 0

⇒

9 + 3 − 12 = 0

⇒

(− 4 )2 + (− 4 ) − 12 = 0

⇔0=0

(3 )2 + (3 ) − 12 = 0

⇒

⇔0=0

La ecuación se cumple para los dos valores de la variable, por lo tanto se puede concluir que el conjunto solución es {−4,3}

Q Ejemplo 5 Encontrar el conjunto solución para: ( x − 3 )( x + 2 ) = −4

( x − 3 )( x + 2 ) = −4

( x − 3 ) = −4

⇔

( x + 2 ) = −4

El producto debe ser igual 0 para aplicar la propiedad del cero en los reales:. No existe la propiedad del –4.

( x − 3 )( x + 2) = −4 ⇔

⇔

x − x − 6 = −4

( x − 2 )( x + 1) = 0

⇔

x −2=0

x −x −2=0 ó

x +1= 0

C.S. = {−1,2}

Ejercicios 8.1 Encontrar por factorización el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 1.

x 2 + 6x + 9 = 0

w − 169 = 0

2 + y − 6y = 0

x + 7 x − 30 = 0

Encontrar por factorización el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 4

− 81 = 0

− 5x

+4=0

16 x

¿Qué se puede concluir respecto al grado del polinomio en los ejercicios anteriores?

202

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

8.4 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETANDO EL CUADRADO Completar el cuadrado es un método algebraico que permite convertir un trinomio en una expresión que contiene dentro de sus términos un trinomio cuadrado perfecto. Este proceso se lleva a cabo sobre trinomios de grado 2, es decir, sobre polinomios de la forma ax 2 + bx + c . Pueden presentarse dos situaciones: Caso 1: Cuando a = 1.

Ejemplo 6 Completar cuadrados en la siguiente expresión: x 2 + 6 x + 13 Puede apreciarse que la expresión no es un trinomio cuadrado perfecto, puesto que el coeficiente del segundo término, 6, no corresponde al doble de la raíz cuadrada del término independiente, 13. Recordando la propiedad del inverso aditivo definida en el Capítulo I, se puede sumar y restar un mismo término a una expresión algebraica sin alterarla. En particular, puede sumarse y restarse un término igual a la mitad del coeficiente de x, así: 2

x + 6 x + 13

⇔

2 x + 6 x + 13 + ⎛⎜ 6 ⎞⎟ − ⎛⎜ 6 ⎞⎟ ⎝'2* ⎠*(* ⎝ 2* ⎠ ) =0

Reordenando los términos de la nueva expresión, se tiene: 2

x + 6 x + ⎛⎜ 6 ⎞⎟ ⎠ 2* '** *(*⎝* ) 2

+ 13 − ⎛⎜ 6 ⎞⎟ ⎝2⎠

⇔

( x + 3 )2 + 4

trinomio cuadrado perfecto

Q Se dice que se ha completado el cuadrado ya que la expresión equivalente se compone de dos términos, uno de los cuales es trinomio cuadrado perfecto. Caso 2: Cuando a ≠ 1.

Ejemplo 7 Completar cuadrados en la siguiente expresión:

2x + 4x − 3

Como no es un trinomio cuadrado perfecto, el procedimiento más conveniente es agrupar los términos en x, para conformar con ellos el trinomio cuadrado perfecto. Para mayor facilidad, se factoriza el coeficiente del término x 2 de esta forma:

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

203

CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

2x + 4x − 3

(

⇔

)

2 x + 2x − 3

Ahora sí se procede a completar el cuadrado:

(

)

(

)

2 x + 2 x − 3 ⇔ 2 x + 2 x + 1 − 3 − 2(1)

El 1 que se sumó para completar el cuadrado, está afectado por el factor 2.

El término que debe sumarse y restarse al trinomio de la forma x 2 + bx + c para completar el cuadrado, resulta de encontrar el término independiente que junto con x 2 + bx conforme el trinomio cuadrado perfecto que sea equivalente a x 2 + bx + d2 = (1x + d)2 . Sabiendo que

b = 2(1)(d) ,

d=b 2

entonces,

Ya conocida la forma de completar cuadrados en un trinomio, de qué manera puede utilizarse esta herramienta para resolver una ecuación cuadrática?

Ejemplo 8 Encontrar el conjunto solución de:

x − 2x − 5 = 0

Para encontrar las soluciones, dado que la expresión no es un trinomio cuadrado perfecto, se procede a completar el cuadrado: 2

x − 2x − 5 = 0

(

⇔

)

⇔ x − 2x + 1 − 5 − 1 = 0

)

− 2x − 5 = 0 ⇔

⇔

( x − 1)2 − 6 = 0

)

− 2x − 5 = 0

⇔

( x − 1)2

Teniendo en cuenta lo estudiado en la sección 8.3,

( x − 1)2

⇔

x −1 = 6

⇒

x = 1+ 6

⇔

x −1= ± 6

x = 1− 6

Finalmente, se verifican las soluciones: Para x = 1+ 6 : x = 1+ 6 ⇒

204

⇒

(1 + 6 ) − 2(1 + 6 ) − 5 = 0 2

1+ 2 6 + 6 − 2 − 2 6 − 5 = 0

⇔0=0

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Para la segunda solución, x = 1− 6 : x = 1− 6 ⇒

⇒

(1 − 6 ) − 2(1 − 6 ) − 5 = 0 2

1− 2 6 + 6 − 2 + 2 6 − 5 = 0

⇔0=0

Como los dos valores de x hacen válida la ecuación, el conjunto solución es:

{1 +

6, 1− 6

Q Ejemplo 9 Completando el cuadrado, encontrar el conjunto solución de:

3x + 2x = 1

Nótese que el coeficiente de x 2 es diferente de 1, por lo tanto: 2

3x + 2x = 1

⇔

2 3⎛⎜ x + 2 x ⎞⎟ = 1 3 ⎠ ⎝

⎛⎜ x 2 + 2 x + 1 ⎞⎟ = 1 + 1 3 9⎠ 3 9 ⎝

x+1 = 3

4 9

⇔ x = 1 3

⎛⎜ x + 1 ⎞⎟ = 4 3⎠ 9 ⎝

⇔

x+ 1=±2 3 3

x =−1±2 3 3

⇔

x = −1

C.S. =

⎛⎜ x 2 + 2 x ⎞⎟ = 1 3 ⎠ 3 ⎝

⇔

{− 1, 31}

La verificación de las soluciones se deja como ejercicio para el lector.

Q Ejemplo 10 Encontrar el conjunto solución completando el cuadrado:

− 4x + 6x = 9

De la misma forma como se procedió en el ejemplo anterior: 2

− 4x + 6x = 9 ⇔

)

⇔

2 − 4⎛⎜ x − 3 x ⎞⎟ = 9 2 ⎠ ⎝

2 x −3x + 9 = −9 + 9 2 16 4 16

⇔

2 x −3x = −9 2 4 2

⎛⎜ x − 3 ⎞⎟ = − 27 4⎠ 16 ⎝

Dado que cualquier real elevado al cuadrado es un número positivo, no es posible encontrar valores de x en los reales que satisfagan la ecuación cuadrática dada. Luego, el conjunto solución es:

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

C.S. =

∅

Q 205

CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

Ejercicios 8.2 Completando cuadrados, encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 2

x − 8x + 5 = 0

3x + x − 2 = 0

1 x 2 + 2x − 5 = 0 3

4x − 5x + 6 = 0

− 2 x + 6 x + 10 = 0

8.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR LA FÓRMULA CUADRÁTICA Si bien la factorización y el método de completar cuadrados permite encontrar soluciones para ecuaciones cuadráticas, existe un tercer método que no requiere procedimientos algebraicos, puesto que se reduce a la aplicación de una fórmula general deducida luego de completar cuadrados en la forma canónica, ax 2 + bx + c = 0 , llegando a lo siguiente:

− b ± b − 4ac 2a

2a divide a los dos términos del numerador.

Ejemplo 11 ¿Cuál es el conjunto solución de

4x − 8x + 6 = 0 ?

Utilizar la fórmula cuadrática.

Para utilizar correctamente la fórmula cuadrática, es recomendable identificar los valores de cada constante: a = 4; b = −8; c = 6

De donde: x=

− (− 8 ) ±

(− 8 ) 2 2(4 )

− 4 (4 )(6 )

⇔

8 ± 64 − 96 8

⇔

8±

− 32 8

La raíz cuadrada de un número negativo no está definida en los reales, como se vio en el Capítulo I. Por lo tanto, se concluye que en los reales, el conjunto solución es: C.S. =

∅

Q 206

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 12 Utilizando la fórmula cuadrática, encontrar el conjunto solución de:

3x + 4x − 6 = 0

Se identifican las constantes: a = 3; b = 4; c = −6

Aplicando la fórmula cuadrática: x=

− (4 ) ±

(4 )2 − 4(3 )(− 6 ) 2(3 ) x =

⇔

− 4 ± 2 22 6

− 4 ± 16 + 72 6

⇔

x =

⇔

− 4 ± 88 6

− 2 ± 22 3

Si se verifican las soluciones se encontrará que efectivamente el conjunto solución es

⎧ − 2 − 22 − 2 + 22 ⎫ ⎪ ⎪ , ⎬. ⎨ 3 3 ⎪⎭ ⎪⎩

A partir de este ejemplo, las soluciones deben ser verificadas por el estudiante, con el fin de reforzar sus habilidades aritméticas. El ahorro de espacio en la edición de este libro es una contribución a la conservación del medio ambiente.

Ejemplo 13 Hallar el conjunto solución de

x + 6x + 9 = 0

utilizando para ello la fórmula cuadratica.

Valor de las constantes: a = 1; b = 6; c = 9

− (6 ) ±

(6 )2 − 4(1)(9 ) 2(1)

⇔

− 6 ± 36 − 36 2

⇔

−6± 0 2

x = −3

El conjunto solución es: {−3}

Ejercicios 8.3 Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula cuadrática: 1. 4.

9a − 27a = 3 3 x2 − 1 x − 3 = 0 4 2 20

8 x + 8 10 x − 16 = 0

(m + 5 )(m − 3 ) + (2m − 1)(m + 1) = − 55

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

10 x − 20 x + 8 = 0

(2w − 6 )(3w + 4 ) = −20

207

CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

8.6

TIPOS DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Al resolver ecuaciones cuadráticas se puede llegar a tener como conjunto solución, conjuntos con 2 elementos, con un único elemento o con ningún elemento. Los tres ejemplos de la sección anterior mostraron cómo la expresión subradical de la fórmula cuadrática, b 2 − 4ac , es la que determina la cantidad de soluciones. De este hecho, deriva su nombre: discriminante, cuyo símbolo es ∆ (letra griega delta) En general:

, se tienen dos soluciones reales distintas.

, no hay solución en los reales.

b − 4ac > 0

b − 4ac < 0

Si b 2 − 4ac = 0 , existen dos soluciones iguales. Se dice que la ecuación tiene una única solución real de multiplicidad 2.

Ejemplo 14 Sin resolver la ecuación determinar cuántas soluciones tiene la ecuación: p = 1 − 3 p 2 Para determinar la cantidad de soluciones en los reales se analizará el discriminante, para facilidad reescribamos la ecuación en su forma canónica. p = 1 − 3p

⇔

3p + p − 1 = 0

b − 4ac = (1)2 − 4(3 )(− 1) = 1 + 12 = 13

Como 13>0 se puede concluir que la ecuación tiene 2 raíces reales diferentes

Ejemplo 15 Determinar si

− 4x + 3 = 0 ,

tiene solución en los reales.

Para dar solución basta con analizar el discriminante: (− 4 )2 − 4(2 )(3 ) = 16 − 24 = −8 < 0 Siendo negativo el discriminante, puede afirmarse que la ecuación dada no tiene solución en los reales.

208

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

8.7

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

¿CÓMO EXPRESAR UNA ECUACIÓN PRODUCTO DE FACTORES LINEALES?

CUADRÁTICA

COMO

Si bien puede solucionarse una ecuación por fórmula cuadrática o completando cuadrados, la utilidad de estos métodos va mucho más allá, puesto que ambos permiten expresar una ecuación cuadrática como un producto de factores lineales (factorización). Para visualizarlo, se presenta el siguiente ejemplo.

Ejemplo 16 Expresar como un producto de factores lineales: x 2 + 6 x − 2 = 0 Puede seguirse cualquiera de los dos caminos: En este ejemplo se trabajará completando cuadrados: 2

x + 6x − 2 = 0 ⇔

( x + 3 )2

= 11

⇔

)

+ 6x + 9 − 2 = 9

x + 3 = 11

⇔

x + 3 = ± 11

Esta última expresión genera las siguientes situaciones: x + 3 = 11 ⇔

⇔

x = −3 + 11

x + 3 − 11 = 0

x + 3 = − 11 ⇔

⇔

x = −3 − 11

x + 3 + 11 = 0

La propiedad del cero ha sido trabajada hasta el momento en un solo sentido es decir: ∀ a, b ∈ ℜ, a × b = 0 , ⇒ a = 0 ó b = 0 Pero el recíproco de este teorema también es válido. Luego: ∀ a, b ∈ ℜ, si a = 0 ó b = 0 ⇒ a × b = 0

Retomando el ejemplo puede concluirse que: Como x + 3 − 11 = 0 ó x + 3 + 11 = 0 , por la propiedad anterior, se tiene que:

(x + 3 − 11)(x + 3 + 11) = 0 8.8

PROCESO DE REVERSIBILIDAD

Hasta el momento, el proceso algebraico ha sido estudiado partiendo de una ecuación dada hasta llegar a una solución. ¿Existirán métodos para encontrar la ecuación, conociendo las soluciones?. La respuesta es sí. El ejemplo siguiente mostrará uno ellos.

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

209

CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

Ejemplo 17 Encontrar la ecuación cuadrática cuyas raíces son 6 y – 4. Haciendo r1 = 6 y r2 = – 4, la ecuación cuadrática buscada debe ser equivalente a: a( x − 6 )( x − (−4 )) = 0

Desarrollando el producto: a( x − 6 )( x − (− 4 )) = 0

⇔

(

)

a x − 2 x − 24 = 0

Por definición, a ∈ ℜ y a ≠ 0 . Por lo tanto, el coeficiente del término x 2 podría tener infinidad de valores posibles, lo que llevaría a concluir que existe un número infinito de ecuaciones cuadráticas con las mismas raíces o soluciones.

Q De acuerdo con lo visto en la secciones 10.3 y 10.4, una ecuación de la forma siempre puede expresarse como: 2

ax + bx + c = 0

(

2 ⇔ a⎛⎜ x + b x + c ⎞⎟ = 0 a a⎠ ⎝

)

⇔ a x − xr2 − r1x + r1r2 = 0

⇔

(

a x + bx + c = 0

⇔ a( x − r1 )( x − r2 ) = 0

)

a x − (r1 + r2 )x + r1r2 = 0

donde r1 y r2 son las raíces o soluciones. Al comparar el coeficiente del término en x y el término independiente se tiene: r1 × r2 = c y r1 + r2 = − b . a

Ejemplo 18 Para ilustrar este método se utilizará la misma ecuación del ejemplo 17. Aplicando las conclusiones del nuevo método, se tiene: r1 × r2 = c ⇔ (6 )(− 4 ) = c ⇔ − 24 = c a

(1)

y r1 + r2 = 6 + (− 4 ) = − b a

⇔

2 = −b a

(2 )

Cómo interpretar los resultados de (1) y (2 ) ? Así: (1) debe entenderse como la razón que hay entre el término independiente de la cuadrática y el coeficiente del término en x 2 , lo que significa según el concepto de razones y proporciones que c = − 24 = − 48 = − 120 = − 81 . Es importante resaltar que éstas no son las a

únicas equivalencias.

210

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Por su parte, (2 ) , es la razón entre el opuesto del coeficiente en x y el coeficiente del término − b = 2 = 4 = 10 = a 1 2 5

en x 2 , lo que permite establecer entre otras proporciones:

Como se desea encontrar la ecuación en la forma canónica c = − 24 a 1

−b =2 a 1

⇒ a = 1 b = −2 c = −24

ax + bx + c = 0 ,

2 3 1 3

se debe escoger:

⇒

x − 2 x − 24 = 0

c = − 48 a 2

−b = 4 a 2

⇒ a = 2 b = −4 c = −48

⇒

2 x − 4 x − 48 = 0

c = −8 1 a

−b = a

2 3 1 3

⇒ a = 1 b = − 2 c = −8 3 3

⇒

1 x2 − 2 x − 8 = 0 3 3

Por éste método se llega a la misma conclusión del ejemplo 17: Existen infinitas ecuaciones que cumplen con las condiciones dadas, lo que confirma la definición de ecuaciones equivalentes propuesta en el Capítulo 3.

Ejercicios 8.4 Determinar la cantidad de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones sin resolverlas: 1.

3x 2 − 2x − 2 = 0

x 2 − 10 x + 25 = 0

x 2 + 15 = 2 − 6 x

Expresar como el producto de factores lineales: 4.

2d 2 − 4d + 1 = 0

3x2 − 5 = 0

2x +

3 2

= x2

Encontrar una ecuación cuadrática que tenga como soluciones: 7.

7 2

y −

1 3

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− 1±

211

CAPÍTULO VIII RELACIONES DE IGUALDAD ENTRE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN Resolver los siguientes ejercicios: 1.

Completando cuadrados, encontrar el conjunto solución de: x 2 − 3 x − 10 = 0

Determinar todos los valores de d de modo que las ecuaciones tengan dos raíces iguales: a.

x 2 + (d + 6 ) x + 8 d = 0

Determinar la otra raíz de: ( 3 − k ) x 2 soluciones es 2.

20 x 2 − 6 dx + ( d + 7 ) = 0

+ 9 x + (k − 3 ) = 0 ,

si se conoce que una de sus

Resolver los siguientes problemas:

Encontrar dos números enteros consecutivos cuyo producto es 156.

La suma del cuadrado de un número y el triple del mismo número es 10. Hallar el número.

Encontrar dos números consecutivos, enteros, positivos, sabiendo que la suma de sus cuadrados es 85.

La tapa de una caja es un rectángulo con dimensiones en centímetros de x y x + 2, si la altura de la caja es de 5cm y su área superficial es de 236cm cuadrados, calcule el valor de x.

Encontrar un número positivo tal que su cuadrado menos cinco veces el número, sea igual a 14.

Hallar los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que las longitudes de sus lados son tres números pares consecutivos.

10.

Si cada lado de un cuadrado se incrementa en 2 unidades, la superficie se multiplica por 4. Encontrar la longitud original de los lados.

11.

Hallar dos números enteros pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es unidades más grande que el cuadrado del entero que está entre ellos.

123 12.

La superficie de un terreno rectangular es 9,800m 2, y el largo excede en 70m el ancho. Encontrar las dimensiones del terreno.

13.

El largo de un rectángulo es 7cm mayor que el ancho, y la diagonal mide 13cm. Encontrar las dimensiones del rectángulo.

14.

Encontrar los catetos de un triángulo rectángulo, sabiendo que difieren entre sí en 7m y que el área es 30m2.

212

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

15.

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

El volumen comprendido entre dos esferas concéntricas es igual a

224 3

π cm 3 .

¿Cuál es

el volumen de la esfera más pequeña si se sabe que su radio es 2cm. menor que el radio de la grande? 16.

Las dimensiones de un cuadro son 11× 14 cm. El área del marco es

1 3

del área del

cuadro. ¿Cuál es el ancho del marco? 17.

Un grupo de 180 hombres, está colocado en filas. Si el número de hombres en cada fila es de 8 más que el número de filas. Cuántas filas hay? Cuántos hombres por fila?

18.

Un jardín rectangular de 40 metros por 30 metros tiene dos caminos que se cruzan entre sí ( ver gráfico) Si el ancho de cada camino es x metros y el área cubierta por los dos caminos es de 325 metros cuadrados, calcular el ancho de cada camino.

19.

Una caña de bambú tiene una altura de 10 pies. Se rompe y el extremo caído toca el suelo a 3 pies de la base del bambú. Qué altura tiene la parte del bambú que queda en pie?

20.

Un tronco recto sobresale 10cm de la superficie de un estanque. Si se inclina a la derecha desaparece a 21cm del punto en donde emergía. Calcular la profundidad del agua.

21.

Normalmente, el tamaño de la pantalla de un televisor corresponde a la longitud de su diagonal. Si la pantalla de un televisor tiene 3,4 pulgadas más de largo que de ancho, y el tamaño de la pantalla es de 19 pulgadas, ¿cuáles son las dimensiones de la pantalla?

22.

Un reloj tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo encima. Hallar las dimensiones del rectángulo si el perímetro y el área del reloj son

142 7

184 7

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

respectivamente. Usar π como

22 7

213

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO NA NUEVA VISIÓN

“La intuición de un instante vale a veces por la experiencia de toda una vida”

CAPÍTULO IX INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARIABLE 9.1 INTRODUCCIÓN 9.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA 9.3 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO IX INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARIABLE

CAPÍTULO IX INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARIABLE 9.1

INTRODUCCIÓN

En este capítulo se trabajará con expresiones de la forma ax 2 + bx < c a, b, c ∈ ℜ y a ≠ 0 , llamadas inecuaciones, es importante recordar que expresiones relacionadas con los símbolos < , >, ≥ , ≤ se manejan igual.

El producto de dos números reales con signos iguales es positivo El producto de dos números reales con signos diferentes es negativo

Relaciones de orden en los reales Capítulo I Resolver una inecuación es encontrar los valores de la variable que hacen verdadera la relación de orden dada. Las diferentes formas de escribir intervalos Capítulo I. Teoremas Capítulo VI

9.2

SOLUCIÓN ALGEBRAICA

Resolver inecuaciones de grado dos involucra la factorización como aspecto fundamental. No siempre las inecuaciones de grado dos vienen expresadas en su forma más simple, por lo tanto para resolverlas primero se deben simplificar

216

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 1 Encontrar el conjunto solución de 2

2x + 8x + 8 > 0

(

2x + 8x + 8 > 0

)

⇔

2 x + 4x + 4 > 0

Factorización

⇔

2( x + 2 )2 > 0

Producto notable

⇔

( x + 2 )2

Propiedad orden en la multiplicación

Teniendo en cuenta que todo real elevado al cuadrado es positivo, pero que la inecuación no incluye la posibilidad del cero, se puede concluir que el conjunto solución corresponde a: C.S. = ( −∞ ; −2 ) ∪ ( −2 ; ∞ )

ℜ − {−2 }

Ejemplo 2 Encontrar el conjunto solución de 2

x + 7 x + 10 < 0

⇔

x + 7 x + 10 < 0

( x + 5 )( x + 2) < 0

Factorización

Por propiedades de los reales, el producto de dos reales con signos diferentes es negativo , porlo tanto se presentan las siguientes dos situaciones: Caso 1

Caso 2

El primer factor positivo y el segundo El primer factor negativo y el segundo negativo positivo x +5 >0 x > −5

y y

x < −2

x +5 <0 x < −5

y y

x > −2

( −5 , ∞ )

∩

(−∞,−2 )

(−∞,−5 )

∩

( −2 , ∞ )

x+2<0

C.S. Caso 1 = (−5,−2 )

x+2>0

C.S Caso 2.=

C.S.= (−5,−2 )

∪

∅

(−5,−2 )

∅

Ejemplo 3 Encontrar el conjunto solución de ( x + 3 )2

< −5

Antes de iniciar cualquier proceso algebraico, nótese que el miembro de la izquierda para cualquier valor de x será siempre positivo ó cero. Por lo tanto, jamás será menor de –5. El conjunto solución para esta inecuación es entonces: ∅

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

217

CAPÍTULO IX INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARIABLE

Ejemplo 4 Cuál es el conjunto solución de ( x − 3 )( x + 4 ) > 3 Si bien se plantea una inecuación, nótese que el miembro de la derecha es diferente de cero.

( x − 3 )( x + 4 ) > 3

⎧⎪( x − 3 ) > 3 ⎨ ⎪⎩( x − 3 ) < 3

⇒

(x + 4) > 3 (x + 4) < 3

La propiedad del producto se define con respecto a cero.

( x − 3 )( x + 4 ) > 3

⇔

x + x − 12 > 3

⇔

x + x − 15 > 0

⇔

⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎜ x − − 1 + 61 ⎟⎜ x − − 1 − 61 ⎟ > 0 ⎟ ⎟⎜ ⎜ 2 2 ⎠ ⎠⎝ ⎝

Una vez se tiene el miembro de la derecha igual a cero, se puede aplicar la

mencionada propiedad del producto.

Caso 1

⎛ ⎞ ⎜ x − − 1 + 61 ⎟ > 0 ⇒ x > − 1 + 61 ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠

C.S. =

Caso 2

⎛ ⎞ ⎜ x − − 1 + 61 ⎟ < 0 ⇒ x < − 1 + 61 ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠

C.S. = C.S. =

⎞ ⎛ ⎜ x − − 1 − 61 ⎟ > 0 x > − 1 − 61 ⎟ ⎜ 2 2 ⎠ ⎝

⎛ − 1 + 61 ⎞ ⎜ ; ∞ ⎟⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝

⎛ ⎞ ⎜ x − − 1 − 61 ⎟ < 0 ⇒ x < − 1 − 61 ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠

⎞ ⎛ ⎜ − ∞ ; − 1 − 61 ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝

⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ − ∞ ; − 1 − 61 ⎟ ∪ ⎜ − 1 + 61 ; ∞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 2 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

Ejercicios 9.1 Encontrar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: 2

x + 4x + 4 > 0

25 x

x + 6x + 9 ≤ 0

8 13.

218

−9 < 0

− x −9 >0

x + 3x + 8 < 0

( x − 5 )( x + 3 ) < 3

12.

2x + 7x + 3 < 0

2x − x < 3

7. 11.

x − 2x − 3 < 0

x <9

10.

− x + 6 x > 10

> 7 x − 10

Encontrar el conjunto solución de: 2

4 x + 2x > x − 1

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Edición Preliminar Versión 3

9.3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

La solución de este tipo de inecuaciones se ilustra con un ejemplo.

Ejemplo 5 Encontrar el conjunto solución

x + 2x + 1 ≤ 4

El primer paso es aplicar la definición de valor absoluto, que da lugar a dos situaciones: Caso1 Si

x + 2x + 1 ≥ 0 ,

entonces x 2 + 2 x + 1 ≤ 4 2

x + 2x + 1 ≤ 4

x + 2x + 1 ≥ 0

( x + 1)2

≥0

x + 2x − 3 ≤ 0

(x + 3) ≤ 0

x ≤ −3

(−∞ ; −3 ]

x ∈ℜ

( x + 3 )( x − 1) ≤ 0 ( x − 1) ≥ 0 ( x + 3) ≥ 0 ó x ≥ −3

x ≥1

[1; ∞ )

∩ ∅

( x − 1) ≤ 0 x ≤1

(−∞ ;1]

∩

[−3;1]

∪

∩

ℜ

[−3; ∞ )

∪

[−3;1] C.S. Caso 1= [−3;1] Caso2 Si

x + 2x + 1 < 0 ,

x + 2x + 1 < 0

( x + 1)2

)

(

entonces: − x 2 + 2 x + 1 ≤ 4 + 2 x + 1 ≥ −4

No es necesario resolver esta inecuación, ya que cualquier solución que resulte, al ser interceptada con ∅ da como resultado nuevamente ∅ .

∅

C.S. Caso 2 =

∅

La solución final corresponde a la unión de las dos soluciones: C.S. = [−3;1] ∪ ∅ = [−3;1]

Ejercicios 9.2 Encontrar el conjunto solución de: 1.

x +3−x <0

x + 2x < 1

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

x −1 ≤ 3

x − x −5 ≥1

x − 4 x ≥ −4

219

CAPÍTULO IX INECUACIONES DE GRADO DOS EN UNA VARIABLE

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN Hallar el conjunto solución de: 2

x + 5x ≤ 0

x − 3x + 2 < 0

− 2( x − 4 )2 ≤ 0

2x > x − 5 5

x ≤ 8x

x ≤ 16

(2 y − 6 )2 − (y + 2)2

x ≥4

< 2 y − 4 y − 48

Realizar los siguientes ejercicios:

Se define f ( x ) = mx 2 − 3(m − 1)x + m .Hallar los valores de m para los cuales f ( x ) corte en dos puntos distintos el eje x y tal que el eje de simetría de la gráfica corte al semieje negativo de las x.

10.

Sea f ( x ) = mx 2 + (m + 2)x + (m + 2) Hallar el valor de m tal que: a.

La parábola no corte el eje x y abra hacia abajo.

La parábola sea tangente al eje x y abra hacia arriba.

La parábola corte al eje x en dos puntos.

11.

Para qué valores de x es x 2 < x ?

12.

Si x 2 ≥ 4 es necesariamente verdadero que x ≥ 2 ?

13.

Si x 2 ≤ 1 es necesariamente verdadero que x ≤ 1 ?

14.

De un ejemplo de una inecuación cuyo conjunto solución sea (−∞ ; 2 ) ∪ (5; ∞ )

15.

Encontrar el valor de b para que la función y = 2 x 2 + bx + 12 . tenga 2 cortes con el eje x.

220

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“No existe en el mundo nada más poderoso que una idea a la que le ha llegado su tiempo”

CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA 10.1 INTRODUCCIÓN 10.2 ECUACIONES DE LA FORMA y= x2 10.3 ECUACIONES DE LA FORMA y= ax2 10.4 ECUACIONES DE LA FORMA y = ax2 + k 10.5 ECUACIONES DE LA FORMA y = (x – h)2 10.6 ECUACIONES DE LA FORMA y = a(x – h)2+k EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA

CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA 10.1 INTRODUCCIÓN Una expresión de la forma y = ax 2 + bx + c es una relación de igualdad entre expresiones en dos variables. En el presente capítulo, se llevará a cabo un análisis similar al desarrollado en el Capítulo V para expresiones de la forma y = mx + b .

10.2 ECUACIONES DE LA FORMA y= x2 5

La gráfica representa la expresión

y=x

Un análisis detallado permite concluir:

3 2

1 -4 -3 -2 -1 -1

x 1

Es una línea curva. Se presenta una simetría axial con respecto al eje A cada valor de y, corresponden dos valores de por lo que se puede decir que no es uno a uno.

y. x,

-2 -3

y = x2.

La curva es tangente al eje x.

Para cada valor de x, existe uno y sólo un valor de y, por lo tanto puede afirmarse que se trata de una función, cuyo dominio y rango son, respectivamente, los reales y los reales positivos y el cero.

Para los valores de x > 0, la función es creciente. Para los valores de decreciente. Cuando x = 0, y = 0.

La función tiene en x = 0 un valor mínimo y = 0. El punto de la gráfica correspondiente a estos valores ( 0 , 0 ) , se le conoce con el nombre de vértice.

La curva abre hacia arriba, por lo que se dice que es cóncava hacia arriba.

El eje de simetría pasa por el vértice de la gráfica, y tiene como ecuación x = 0.

x < 0,

la función es

A una función que presenta estas características se le da el nombre de parábola.

222

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

10.3 ECUACIONES DE LA FORMA y= ax2 El coeficiente de x 2 debe ser un real diferente de cero para que tenga las características de una función cuadrática. Nótese que si a = 0, se obtiene la función constante y = 0. Para analizar la incidencia que tiene sobre la gráfica el cambio de este coeficiente, se hará una comparación de las nuevas parábolas con la función inicial y = x 2 . 2

y=2x y

Cuando el coeficiente de x 2 toma un valor mayor a 1, todas las características descritas para y = x 2 se conservan en cada una de las parábolas dibujadas. Ü

3 2

y=3x

Al aumentar el valor de la constante a, los brazos de la parábola se acercan más al eje de las y. A este cambio se le llama dilatación y para los casos analizados se dice que la dilatación disminuye.

1 x -2

-1

y=1/2x

y=1/3x

x -1

Si se comparan ahora la representación gráfica de y = x 2 y las gráficas de y = ax 2 con a ∈ ( 0 ; 1 ) , puede concluirse que:

y=x

-2

y=x

La dilatación aumenta en la medida en que disminuye el valor de la constante a.

Todas las demás características mencionadas hasta el momento, se mantienen.

Para corroborar lo presenta la correspondiente:

dicho, se gráfica

Q ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

223

CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA

Qué sucederá cuando el coeficiente a toma valores negativos? y

x -2

-1

2 2

y= –1/3x -1 2

y= – x

y= –2x -2

-3

Para este conjunto de parábolas, el vértice corresponde al punto máximo de la función. El rango por lo tanto es el intervalo ( −∞ , 0 ] . Se dice entonces que son cóncavas hacia abajo. Como puede observarse, para cualquier valor de a, se encuentra que la gráfica de es la simétrica de y = ax 2 con respecto al eje x.

y = − ax 2

10.4 ECUACIONES DE LA FORMA y = ax2 + k Las funciones de la forma y = ax 2 + k , pueden presentar dos situaciones: Ü Si a = 1 la ecuación de la función queda de la forma y = x 2 + k Para estudiar este caso se usará como referencia la gráfica de la función

y = x2

y 4 2

y=x +2

2 2

y=x +1/2 1 2

y=x -2

-1

y=x -1/3 -1

y=x -1

224

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Comparando las gráficas se observa que: î

Si k > 0, la parábola y = x 2 tiene una traslación de k unidades hacia arriba, alejándose del eje x, lo que significa que la nueva curva no tiene corte con el eje x.

Si k < 0, y = x 2 se traslada hacia abajo k unidades del eje x haciendo que la nueva parábola corte al eje x en dos puntos diferentes.

Por consiguiente, las características generales de la función y = x 2 de y = x 2 , pero cambia el rango y las coordenadas del vértice, así:

Rango: [k ; ∞ )

Coordenadas del vértice: ( 0 , k )

Si a ≠ 1 y a ≠ 0 la ecuación de la función queda de la forma comportamiento se estudiará con el siguiente ejemplo:

son las mismas

y = ax 2 + k

y su

Ejemplo 1 Representar gráficamente la función

y =

1 2

x2 −3

Se procede a analizar la ecuación que se pide graficar: Ü

Por tratarse de una expresión en dos variables de grado 2, para x, su representación gráfica es una parábola.

El coeficiente del término en x 2 es positivo, por lo tanto es cóncava hacia arriba. Además, por ser menor que uno, se dice que es más dilatada que la función y = x 2 .

El término independiente

– 3

hace que la parábola

y =

1 2

se desplace hacia abajo

unidades. Esta información es suficiente para esbozar la gráfica: 4 y 3 2 1 -3

-2

-1

x 1

-2 -3 -4

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

225

CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA

Para una mejor aproximación de la gráfica, es aconsejable encontrar los cortes con el eje x, para lo cual se resuelve la ecuación siguiente: 0=

1 2

x2 −3

⇒

x =± 6

Entonces, los puntos de corte con el eje x tienen coordenadas

⎛ ⎜ ⎝

6 , 0 ⎞⎟ y ⎛⎜ − ⎠ ⎝

6 , 0 ⎞⎟ ⎠

y por ello

son llamados ceros de la función, ya que para obtenerlos se hizo y = 0.

Q En conclusión para las funciones de la forma y = ax 2 + k se tiene que varia la dilatación, el rango y las coordenadas del vértice con respecto a la función y = x 2

10.5 ECUACIONES DE LA FORMA y = (x – h)2 Al comparar las gráficas de esta forma con la original

y=(x+1)

y = x2,

y=x

se encuentra que:

4 2

y=x

y=(x–2)

y=(x–7/2) 2

y=(x+5/2) -4

-3

-2

-1

1 -1

x -1

-1

El conjunto de gráficas de la izquierda, son de la forma y = ( x − h ) 2 con h, real negativo. Respecto de y = x 2 , las parábolas se han desplazado h unidades hacia la izquierda, cambiando su eje de simetría a la recta con ecuación x = h. Las coordenadas de su vértice son ahora (h , 0 ) .

El conjunto de gráficas de la derecha, tienen la forma y = ( x − h ) 2 con h, mayor que cero. Las parábolas se han desplazado h unidades hacia la derecha con respecto a y = x 2 Su eje de simetría es la recta con ecuación x = h y las coordenadas del vértice son (h , 0 ) .

226

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

10.6 ECUACIONES DE LA FORMA y = a(x – h)2+k Hasta el momento se ha estudiado la forma de graficar una función cuadrática a partir de las expresiones y = ax 2 + k y y = ( x − h ) 2 . Para el estudio de la representación gráfica de las parábolas de la forma y = a ( x − h ) 2 + k se tienen los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2 Esbozar la gráfica de

y = 2x 2 + 4x − 2

Para poder graficar la parábola, debe transformase su ecuación a la forma teniendo en cuenta para ello lo visto en el Capítulo VIII. y = 2x 2 + 4x − 2

⇔

)

(

y = 2 x2 + 2x − 2 ⇔

)

y = 2 x 2 + 2x +1 − 2 − 2

⇔

( x + 1) 2

y =2

(

y = a ( x − h )2 + k

−4 k

x −h

Esta expresión que es equivalente a la que se debe graficar, da la información necesaria para elaborar la gráfica correspondiente: Ü

a > 0,

entonces es cóncava hacia arriba.

a = 2:

más cerca al eje y que

h = –1,

k = – 4, traslada hacia abajo 4 unidades a la función

y = x2.

por lo tanto, la traslación horizontal de y

= 2x 2

es de 1 unidad hacia la izquierda. y = 2 ( x + 1) 2 .

La gráfica será: 4

3 2 1 -3

-2

-1

x 1

-2 -3 -4

Q 2

En forma general, una expresión de la forma y = ax + bx + c, a ≠ 0 , es equivalente a y = a ( x − h ) 2 + k . Esta forma es conveniente no sólo para definir las coordenadas del vértice (h , k ) y la ecuación del eje de simetría x = h, sino que permite también hacer un análisis del comportamiento de la gráfica sin necesidad de esbozar la gráfica. El siguiente ejemplo muestra el proceso:

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227

CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA

Ejemplo 3 Dada la ecuación

5⎞ ⎛ y = −2 ⎜⎜ x + ⎟⎟ 4⎠ ⎝

, analizar:

Análisis de la función

ℜ

Dominio Concavidad

Coeficiente del término en menor que cero.

Abajo

Coordenadas vértice

del

Rango Ecuación simetría

Por definición, no tiene restricciones.

eje

⎛ 5 1⎞ ⎜− , ⎟ ⎜ 4 3⎟ ⎠ ⎝

Porque h = −

1⎤ ⎛ ⎜ − ∞; ⎥ ⎜ 3⎦ ⎝

Por el tipo de concavidad, el vértice es el punto máximo de la función.

x =−

5 4

yk=

1 3

Determinado por el valor de la abscisa del vértice.

5 4

Intervalos donde es creciente

5⎞ ⎛ ⎜ − ∞;− ⎟ ⎜ 4 ⎟⎠ ⎝

Por la concavidad, es de la abscisa del vértice hacia la izquierda.

Intervalos donde es decreciente

⎞ ⎛ 5 ⎜ − ,∞ ⎟ ⎟ ⎜ 4 ⎠ ⎝

Por el tipo de concavidad, es desde la coordenada x del vértice hacia la derecha.

Corte con el eje y

y =−

Corte(s) con el eje x

x =

Valor de la función cuando x = 0.

Valores de x para los cuales la función es igual a cero.

− 15 ± 2 6 12

⎛ − 15 − 2 6 − 15 + 2 6 ⎞ ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎟ 12 12 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Intervalos donde y>0

Por ser cóncava hacia abajo y cortar el eje de las x.

⎛ − 15 − 2 6 ⎞⎟ ⎛⎜ − 15 + 2 6 ⎜ ; ⎜⎜ − ∞ ; ⎟⎟ ∪ ⎜⎜ 12 12 ⎝ ⎠ ⎝

Intervalos donde y<0

Por ser cóncava hacia abajo y cortar el eje de las x.

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

Realizar los siguientes ejercicios: f(x)= x2 −2,

encuentre: f ( 0 )

Graficar las siguientes funciones: a. b.

228

f ( −3 )

f (a )

f ( a − 1)

f ( x ) = ( 2 − x )( x − 2 )

f ( x ) = x ( x + 1)

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Sea f ( x ) una función cuadrática. Si se sabe que la suma de las raíces de la ecuación f ( x ) = 0 : es − 2 y el producto de las mismas es 5: a.

Encontrar la ecuación de la parábola, si se sabe que la ordenada al origen es – 5.

Exprese f ( x ) como producto de factores.

Hacer la gráfica.

Determinar la función cuadrática y dibuje la gráfica de: a.

La parábola que corta el eje de las x en los puntos x=1 y x = 4 y corta al eje y en y = 3.

Parábola con vértice en

Parábola con vértice en ( 2 , 3 ) y corta al eje y en y = 7

Sea la función f ( x ) =

x=–2

1 x 2 − 2x + 4 . 3

y corta al eje y en y = – 5.

Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones

es verdadera o falsa. Justifique su respuesta:

La función crece en el intervalo (0, ∞ ) .

La función decrece en el intervalo (−∞ ,3 )

La gráfica abre hacia arriba.

El valor mínimo de f ( x ) es 4.

No hay interseptos en el eje x

La gráfica pasa por el punto (−3,13 )

Una de las ecuaciones siguientes describe la gráfica. Cuál es? Por qué? y 2

y = x −x −2

y =2+ x − x

y = −2 + x − x

y = 2 − 3x − 2x

Determinar el valor de las constantes a, b, c, k, h según el caso si: 2

pasa por el punto (1,−2 ) .

La gráfica de

y = ax

La gráfica de

y = ax + c

La gráfica de

y = ( x − 2 )2 + k

pasa por el punto (5 ,−12 ) .

La gráfica de

y = ( x − h )2 + 5

pasa por el punto (3, 6 ) .

La gráfica de y = 8 x 2 − ax + 5 , tiene el vértice en

La función f ( x ) = ax 2 − 2 x + c , tiene como ordenada al origen tangente a la parábola.

tiene su vértice en (0,4 ) y pasa por el punto (3 ,−5 ) .

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⎛⎜ 1 ,2 ⎞⎟ . ⎝4 ⎠

y el eje

229

CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA

Encontrar la ecuación de las parábolas que se encuentran a continuación.

9. y

1 x

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

10.

11.

y 4

1 x

-4

-3

-2

-1

-1 x

-4

-3

-2

-1

-2

-1

-3

12.

13.

y x

1 -4

-3

-2

-1

-2

-3

-4 -5 -6

230

x -4

-3

-2

-1

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y = a(x–r1)(x-r2)

Ecuación de la forma

Ecuación de 2 y = ax +bx+c

y= a (x–h)2+k

Ecuación de la forma

Rango

Dominio

forma

Coordenadas punto mínimo

Coordenadas punto máximo

Coordenadas corte eje y

Coordenadas corte eje x

Gráfica 2

Gráfica 3

Gráfica 4

Gráfica 5

Gráfica 6

14.

Ecuación eje de simetría

Coordenadas del vértice

Gráfica 1

Edición Preliminar Versión 3 PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Para cada una de las anteriores gráficas, llene el siguiente cuadro.

231

CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA

15.

La siguiente es la gráfica de una función justificar: 2

y = f (x )

de grado 2. A partir de ella determinar y

1 x -4

-3

-2

-1

-2 -3 -4 -5 -6

f (− 2 )

Los valores de x tal que f ( x ) = 0

f (0 )

El vértice de la parábola

Graficar g ( x ) = f ( x ) + 4

Encontrar la ecuación de g( x ) y las

coordenadas del vértice?

Graficar h ( x ) = f ( x

Encontrar la ecuación de h(x) y las coordenadas del vértice?

Graficar y encontrar la ecuación de j ( x ) = f ( x

− 2) .

+ 1) + 2 .

Cuál será el nuevo vértice?

16.

Un crucero sale del puerto de Miami rumbo al este a una velocidad constante de 5 nudos. A las cinco de la tarde, el crucero se encuentra a 5 millas náuticas al sur de un yate que se mueve hacia el sur a una velocidad constante de 10 nudos. En qué momento están más cercanas las dos embarcaciones?

17.

El departamento de ventas de una empresa ha determinado que en promedio se venden 600 raquetas de tenis mensualmente a un precio unitario de $350.000,oo. También ha determinado que por cada reducción de $5.000,oo en el precio se venden 50 raquetas más al mes. Con qué precio se obtiene el ingreso mensual máximo?

18.

El Golden Gate enmarca la entrada de la bahía de San Francisco. Sus torres de 746 pies de altura. Están separadas por una distancia de 4200 pies. El puente está suspendido de dos enormes cables que miden 3 pies de diámetro; el ancho de la calzada es de 90 pies y ésta se encuentra aproximadamente a 220 pies del nivel del agua. Los cables forman una parábola y tocan la calzada en el centro del puente. Encontrar la altura de los cables a una distancia de 1000 pies del centro del puente.

232

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

19.

Un industrial requiere tornillos para efectos de ensamblar un producto que está fabricando. Tiene dos opciones:

Mandarlos a hacer en la fábrica “ Su Repuesto S.A.”,que le cobrará $4 por el cuadrado del número de piezas que encargue y le ofrece una rebaja de $100 por cada pieza.

Fabricarlos el mismo. En tal caso debe comprar la máquina de hacer tornillos la cual vale $1.000.000 y hacer la pieza. Esto requiere la contratación de personal y el pago de materiales de fabricación. Esto último implica que fabricar cada pieza le costará $30.

20.

x x

¿Qué le aconseja usted al industrial que haga? ¿Por qué?

Suponga que usted debe fijar los precios en “Su Repuesto S.A.“ ¿Cómo lo haría para que le compraran cantidades inferiores a 1.000 tornillos?

¿Cuál debería ser el descuento por pieza en “Su Repuesto S.A.” y cual el costo por pieza en la fábrica del interesado, para que fuera mejor ordenar a “Su Repuesto S.A” cantidades inferiores a 800 tornillos.?

¿Cuál debería ser el costo por el cuadrado de piezas en “Su Repuesto S.A.” y cuál el costo por pieza en la fábrica para que fuera mejor ordenar a “Su Repuesto S.A.”, cantidades inferiores a 800 tornillos?

Considere las dos nuevas fórmulas de precios de “Su Repuesto S.A.” obtenidas en c y d. ¿Cuál es más conveniente para “Su Repuesto S.A:”

Juan quiere comprarle un lote a Pedro. Pedro le vende a Juan el lote y el alambre de púas para cercarlo. El alambre de púas mide 20m.y, cualesquiera que sean las dimensiones del lote que Pedro escoja, el lote tiene que estar cercado por los 20m. de alambre. El lote tiene que tener una forma rectangular y Juan puede escoger las dimensiones del lote. A Juan le interesa que el lote tenga la mayor área posible y a Pedro la menor área. Suponer que un lado del lote se llama x, y el otro se llama y.

y y1

30 a.

Cuál de las gráficas comportamiento del lado lote con respecto al lado respuesta y explicar por comportamiento.

representa el llamado y del x? Justificar la qué tiene ese

20 y3 10

y2 x

-15 -10 -5

5 10 15 20 25 30 35

-10

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233

CAPÍTULO X FUNCIÓN CUADRÁTICA

8 21.

234

Cuál de las gráficas representa el comportamiento del área del lote con respecto al lado x ?. Justificar la respuesta.

y y4

Explicar por qué el área tiene ese comportamiento.

10 y6

Cuáles son las dimensiones posibles del lote?. Por qué?

Cuáles son las áreas posibles del lote? Por qué?

-10

Qué dimensiones le interesan a Juan?

-20

Qué dimensiones le interesan a Pedro?

-5

x 5

y5 -30

Efectuar el siguiente análisis: Cuál es la relación entre la gráfica de real.

y = x −4

en un plano y la de

x −4>0

en la recta

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“La cultura no consiste sólo en dictar las reglas, sino también en mejorar las costumbres”

CAPÍTULO XI SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS VARIABLES 11.1 INTRODUCCIÓN 11.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA 11.3 INTERPRETACIÓN GRÁFICA EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XI SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS VARIABLES

CAPÍTULO XI SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS VARIABLES 11.1 INTRODUCCIÓN Cuando se habla de un sistema de ecuaciones, se hace referencia a un conjunto de dos o más ecuaciones. En este capítulo se estudiarán sistemas de ecuaciones con dos variables en donde al menos una de ellas es de grado dos, así:

⎧a x 2 + b x + c = y 1 1 ⎪ 1 ⎨ 2 ⎪⎩a x + b x + c = y 2 2 2

a1, a 2 , b1, b 2 , c 1, c 1 ∈ ℜ

⎧⎪a x 2 + b x + c = y 1 1 1 ⎨ ⎪⎩a 2 x + b 2 = y

a1, a 2 , ≠ 0

a 2, b 2, ∈ ℜ

Aunque existen muchas ecuaciones de grado dos, no todas ellas son objeto de estudio para este curso, puesto que el enfoque que se maneja en este nivel es el del Álgebra de funciones.

11.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA En el Capítulo III se estudiaron tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: método de reducción, método de sustitución, y método de igualación. De estos tres se aconseja utilizar cualquiera de los dos últimos para encontrar la solución de los sistemas de este capítulo. La solución para un sistema de ecuaciones en dos variables consiste en parejas ( x , y ) que satisfacen las dos ecuaciones.

236

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 1 ⎧y = − x 2 − 4 x + 1

Encontrar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones: ⎪⎨

⎪⎩ y = 2 x + 10

Por el método de igualación:

− x − 4 x + 1 = 2 x + 10

⇔

− x − 6x − 9 = 0

( x + 3 )2

⇔

⇒

⇔

x + 6x + 9 = 0

x = −3

Ya se sabe que la solución para el sistema tiene un valor para x. ¿Cuál será el valor correspondiente para y? El valor de y puede encontrarse reemplazando el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones. Como se tiene en el sistema una ecuación lineal, es más práctico utilizarla: ⇒ y = 2(−3 ) + 10

x = −3

⇒

y =4

Como siempre, el proceso debe terminar con la verificación de la solución en las dos ecuaciones: C.S. = {(−3,4 )}

Ejemplo 2 Hallar el conjunto solución de:

Por igualación:

⎧2 x 2 − 4 x + 4 = y ⎪ ⎨ ⎪⎩ y = −3 x 2 + 6 x + 4 2

2 x − 4 x + 4 = −3 x + 6 x + 4 2

5 x − 10 x = 0 ⇒ ⇒

Si x = 0: sistema.

⇒

2(0 )2 − 4(0 ) + 4 = y

Si x = 2: ⇒ 2(2)2 − 4(2) + 4 = y solución para el sistema.

⇒

5x = 0 x =0

4=y

⇒

⇔

5 x (x − 2) = 0

( x − 2) = 0

x =2

. Lo que significa que la pareja (0,4 ) es solución del

4=y

. Lo que implica que la pareja (2,4 ) también es

C.S. = {(0,4 ), (2,4 )}

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237

CAPÍTULO XI SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS VARIABLES

Ejercicios 11.1 Encontrar el conjunto solución de los siguientes sistemas:

⎧x 2 + 7x + 1 = y ⎪ ⎨ ⎪⎩ x 2 + 6 x + 4 = y

⎧3 x 2 − 2 x − 5 = y ⎪ ⎨ ⎪⎩2 + x − 6 x 2 = y

⎧⎪ y = x − 3 ⎨ 2 ⎪⎩ y = 3 x − 7 x − 2

⎧2( x − 3 ) 2 + 5 = y ⎪ ⎨ ⎪⎩ − 4( x − 3 )2 + 5 = y

⎧x 2 − 2x + 5 = y ⎪ ⎨ 2 ⎪− x + 1 x − 1 = y 5 20 ⎩

11.3 INTERPRETACIÓN GRÁFICA En un sistema de la forma ⎧a x 2 + b x + c = y 1 1 ⎪ 1 ⎨ 2 ⎪⎩a x + b x + c = y 2 2 2

a1, a 2 , b1, b 2 , c 1, c 1 ∈ ℜ

a1, a 2 , ≠ 0

cada una de las ecuaciones representa una parábola en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas. ¿Qué situaciones pueden presentarse cuando se tienen dos parábolas en un mismo plano? Las dos parábolas pueden ser: Tangentes, cuando tienen un solo punto en común. Secantes: Las parábolas tienen dos puntos en común. Coincidentes: Todos los puntos de las parábolas coinciden. Disyuntas: No tienen puntos en común. La solución algebraica de un sistema de ecuaciones indica el número de intersecciones entre las dos gráficas. Por otra parte, un sistema de la forma ⎧⎪a x 2 + b x + c = y 1 1 1 ⎨ ⎪⎩a 2 x + b 2 = y

a 1 ,b 1 ,a 2 ,b 2 y c 1 ∈ ℜ ,

a1 ≠ 0

representa la intersección entre una parábola y una recta. ¿Qué situaciones pueden encontrarse? A excepción de la total coincidencia de puntos, las tres opciones restantes sí pueden tener lugar en un mismo plano cartesiano.

238

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 3 ¿Cuál es el conjunto solución para el siguiente sistema de ecuaciones? ⎧ y = − 1 ( x − 1)2 + 3 ⎪ 3 ⎨ ⎪y = x − 1 ⎩

La primera es la ecuación de una parábola cóncava hacia abajo, con vértice en (1,3 ) y con 1 . La segunda ecuación es una recta con pendiente 3 intercepto-y en –1. Por consiguiente, su representación gráfica es:

dilatación de

5 y 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Como puede observarse, las dos gráficas se cortan en dos puntos, por lo cual se dice que son secantes. Desafortunadamente, la representación no da con exactitud las coordenadas de los puntos. Pero, puede recurrirse al álgebra para encontrarlos.

x 1 2 3 4 5

y= –1/3( x–1 ) +3

y=x–1

− 1 ( x − 1)2 + 3 = x − 1 3

⇔

positiva igual a

x + x − 11 = 0

)

(

2 − 1 x − 2x + 1 = x − 4 3

⇔

⎛ − 1 ± 3 5 ⎞⎟ ⇔ ⎜⎜ x − ⎟=0 2 ⎝ ⎠

⇔

x =

− 1− 3 5 ⇒ 2

⎛ − 1− 3 5 ⎞ ⎟ −1 y = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝

⇔

y =

−3−3 5 2

x =

− 1+ 3 5 ⇒ 2

⎛ − 1+ 3 5 ⎞ ⎟ −1 y = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

⇔

y =

−3+3 5 2

⎧⎛

C.S. = ⎪⎨⎜⎜ - 1 - 3 ⎪⎩⎝

⇔

x − 2 x + 1 = −3 x + 12

− 1+ 3 5 2

− 1− 3 5 2

5 − 3 − 3 5 ⎞⎟ ⎛⎜ - 1 + 3 5 − 3 + 3 5 ⎞⎟ ⎫⎪ , , ⎟, ⎜ ⎟ ⎬⎪ 2 2 2 ⎠⎝ ⎠⎭

Ejercicios 11.2 Para el siguiente sistema de ecuaciones algebraica y gráficamente: ⎛y = x2 − 2 ⎜ ⎜ ⎜ y = −2 x 2 + 6 x + 7 ⎝ 1.

Encontrar el conjunto solución

Hacer la Representación gráfica

Para qué valores de x es la primera función menor que la segunda?

Para qué valores de x es la segunda función mayor que 0?

Para qué valores de x es la primera función menor que cero?

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

239

CAPÍTULO XI SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS VARIABLES

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN Encontrar las ecuaciones correspondientes a cada uno de los sistemas representados y determinar algebraicamente los puntos de corte: 1.

6 5

g(x)

-5

-4

-3

-2

11 y 10 9 8

4 3 2 1

f(x) -6

7 6 5

-1 -1 -2 -3 -4

k(x)

h(x)

4 3 2 1

-5 -6

-2

-1 -1

4. 7

7 6 5 4

6 5

m(x)

3 2 1

l(x)

3 2

-4 -3 -2 -1-1 -2

x -5

-4

-3

-2

-1

j(x) l(x) x 1

2 3 4 5 6

7 8

-3 -4 -5

-2

El área combinada de dos círculos tangentes exteriormente es 34πcm2. Hallar el radio de cada círculo si entre sus centros hay una separación de 8cm.

La suma de los cuadrados de las dos cifras de un número es 34. Hallar el número si la cifra de las unidades es dos unidades mayor que la de las decenas.

Dos aceras forman un ángulo recto en un punto R. En el extremo de una de las aceras, se ubica un puesto de flores y en el extremo de la otra el paradero. La longitud total de las aceras es de 700 m. Al caminar directamente del puesto de flores al paradero, en línea recta, la distancia se acorta en 20 m. ¿Qué longitud tienen las aceras?

240

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

EN CONSTRUCCIÓN

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“Azar es una palabra vacía de sentido; nada puede existir sin causa”

CAPÍTULO XII FRACCIONES ALGEBRAICAS 12.1 INTRODUCCIÓN 12.2 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 12.3 OPERACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS 12.4 DIVISIÓN DE POLINOMIOS EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XII FRACCIONES ALGEBRAICAS

CAPÍTULO XII FRACCIONES ALGEBRAICAS 12.1 INTRODUCCIÓN Una expresión de la forma

a b

donde

son polinomios y

b ≠ 0,

se llama

fracción algebraica o expresión racional en una variable. Como la variable representa números reales, en éstas expresiones las propiedades de los números racionales se deberán tener en cuenta para el trabajo que se realice con ellas. Fracción Irreductible: si factores comunes.

son primos entre sí, es decir, no tienen

12.2 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Simplificar una fracción es encontrar la expresión equivalente más simple. El camino que permite llegar a dicha expresión es la factorización.

Ejemplo 1 Simplificar

6 x −12 x + 18 x 6x

Cuando el denominador de una fracción es una expresión no constante, es indispensable encontrar aquellos valores de la variable para los cuales la expresión es cero, para evitar que la fracción no esté definida. ¿Cuándo el denominador de la fracción dada es cero? 6x

242

⇔

x =0

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

6 x −12 x + 18 x

Para x ≠ 0,

está definida.

Ahora, simplificando: 4

6 x −12 x + 18 x 6x

− 2x + 3

)= x

− 2x + 3

x ≠0

Ejemplo 2 Simplificar

2ac + bc − 6ad − 3bd 6ac + 2ad + 3bc + bd

Se analiza primero el denominador: 6ac + 2ad + 3bc + bd = 2a (3c + d ) + b (3c + d ) = (2a + b )(3c + d )

La fracción no está definida cuando: 2a + b = 0

3c + d = 0

⇔

a = −b 2

c = −d 3

Ahora, se factoriza para simplificar: 2ac + bc − 6 ad − 3 bd = c (2a + b ) − 3d (2a + b ) 6ac + 2ad + 3 bc + bd (2a + b )(3c + d )

(c − 3d )(2a + b ) c − 3d = (2a + b )(3c + d ) 3c + d

a ≠ −b, 2

c ≠ −d 3

Ejercicios 12.1 Simplificar: 2

2x y 3

8 x y − 10 x y

x y

+x y 3

x y

2 2

−x y

10 x y − 15 x − 5x

3. 2

− 36 x y − 24 x y 2

− 12 x y

14 x y − 21xy − 7 xy

Analizar: 6.

¿Qué valores de a no son válidos para:

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

2a − 4 a +1 a+2 a−2

243

CAPÍTULO XII FRACCIONES ALGEBRAICAS

12.3 OPERACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS Con las fracciones algebraicas se puede efectuar las mismas operaciones que se desarrollaban con las fracciones aritméticas, cumpliendo con las mismas reglas. Para sumar o restar se debe trabajar con fracciones que tengan el mismo denominador. De no ser así, se debe buscar el mínimo común denominador, producto de los factores comunes y no comunes tomados con su mayor exponente. Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Para dividir, se puede multiplicar por la fracción recíproca del divisor o multiplicar en cruz el dividendo y el divisor. Una fracción cuyo numerador o denominador son a su vez fracciones, se denominan fracciones complejas.

Ejemplo 3 Simplificar

3 − 6 w 2w + 1 5 + 8 w 2w + 1

Antes de iniciar, se puede encontrar una fracción equivalente y analizar los valores para los cuales puede darse lugar a una expresión indefinida:

3 − 6 w 2w + 1 5 + 8 w 2w + 1

Cuando

w (2w + 1) = 0

⇔

3(2w + 1) − 6w w (2w + 1) 5(2w + 1) + 8w w (2w + 1)

se tiene: w (2w + 1) = 0

⇔

w =0

(2w + 1) = 0

Por lo tanto, la expresión puede simplificarse teniendo en cuenta que: w ≠0

w ≠ −1 2

Retomando: 3(2w + 1) − 6w w (2w + 1) 3(2w + 1) − 6w 3 = = 5(2w + 1) + 8w 5(2w + 1) + 8w 18w + 5 w (2w + 1)

244

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Esta nueva fracción genera otra restricción para w: 18w + 5 ≠ 0

La expresión original,

3 − 6 3 w 2w + 1 = 5 + 8 18w + 5 w 2w + 1

w ≠− 5 18

⇔

∀w ≠ 0 ,− 1 ,− 5 2 18

Ejemplo 4 2

a − 3a × ab − 2ab ÷ a 2 2 ( b a + 3) b − 2b a −9

Simplificar:

Por definición de división de fracciones vista en la sección 1.10, b (a + 3 ) a − 3a × ab − 2ab ÷ a = a − 3a × ab − 2ab × 2 2 2 a b (a + 3 ) b 2 − 2b b − 2b a −9 a −9 2

2 2 a − 3a × ab − 2ab × b (a + 3 ) = a (a − 3 ) × ab (b − 2 ) × b (a + 3 ) 2 2 a b (b − 2 ) (a − 3 )(a + 3 ) a b − 2b a −9

Por factorización:

Se establecen las restricciones: b ≠ 0; b ≠ 2; a ≠ ±3 ; a ≠ 0

Simplificando:

a (a − 3 ) ab (b − 2 ) b (a + 3 ) × × = a × b × 1 = ab b (b − 2 ) (a − 3 )(a + 3 ) a 1 1 1

La fracción más simple equivalente es: ab, con

b ≠ 0; b ≠ 2; a ≠ ±3 ; a ≠ 0

Ejercicios 12.2 Simplificar: 1.

2a − 4a + a 2 (a − 1) 2 2a 3 2

9 xy z 0

14 x yz

18 x yz

21xy z

6x − 5x + 1 × x + 5x + 6 2 2 3 x − 10 x + 3 2 x + 3 x − 2

10.

1 1 + 3 x − 2y 2 x + 3y 2 x + 3y +1 3 x − 2y

18 a − 3a − 6a − 2a (3a − 2 ) 2 3a

a − a + 2a − (a − 1)(a + 2 ) 3 a

a − 2b × a + 3 b 2a + 6 b 3 a − 6 b

x − 9 ÷ 2x − 6 x +4

(a − 1)(a − 2 ) (a − 2 )a − 3 a + 1 × ÷ (a − 2 )a + 1 (a − 3 )a − 4 a − 1

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

(9 x

− 3y

−y

1 − 1 3 x − y 3 xy

245

CAPÍTULO XII FRACCIONES ALGEBRAICAS

12.4 DIVISIÓN DE POLINOMIOS

es divisible por b si y sólo si existe un número

Si a no es divisible por b, existe un número

c≠0

tal que c × b = a

y un número d tal que

a =c+d b b

La división de polinomios

p q

está definida cuando el grado del polinomio dividendo p es

mayor o igual al grado del polinomio divisor q. es divisible por q, existe un polinomio s tal que p = q × s + r , donde r es el residuo de la división.

p =q×s

. Si no lo es, entonces

La división puede presentarse en diferentes formas: p q

⇔

p ÷q

⇔

p q

⇔

q p

Para efectuar divisiones entre polinomios, los polinomios deben ordenarse de mayor a menor respecto de una variable. En el polinomio dividendo debe colocarse ceros en los términos que no aparezcan explícitos. El proceso de división termina cuando el residuo es de grado menor que el grado del divisor.

Ejemplo 5 2 Encontrar una expresión equivalente 2x + x − 10 por medio de la división:

2x + 5

Antes de comenzar, es necesario encontrar los valores de x para los cuales no es posible hacer la división. Se observa que la fracción no está definida para x = − 5 2

(

2 x + x − 10

− 2x

2 Por lo tanto, 2x + x − 10 = x − 2 , para

2x + 5

246

)

+ 5x − 4 x − 10 − (− 4 x − 10 ) 0

x ≠ −5 2

2x + 5

x −2

Q G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 6 3 Efectuar: 2x + 6 x − 4

x +4

La división no es posible para

x = −4 2

x+4

2 x − 8 x + 38

2x + 0x + 6x − 4 3

− 2x − 8x

− 8x + 6x 2

8 x + 32 x 38 x − 4 − 38 x

− 152 − 156

3 Por lo tanto, 2x + 6 x − 4 = 2x 2 − 8 x + 38 + − 156 , para

x +4

x ≠ −4

Si se calculara el valor numérico del polinomio del numerador para x = –4, qué se obtiene? ⇒

2x + 6 x − 4

⇒

2(− 4)3 + 6(− 4) − 4 = −128 − 24 − 4 = −156

El resultado coincide con el residuo de la división. Siempre ocurre lo mismo?

)

Se podría verificar con otras divisiones cuyo divisor sea de la forma x – a, y siempre se obtendrá que el residuo es el valor numérico del polinomio evaluado en a. Este hecho se formaliza con el siguiente teorema:

Teorema del Residuo: Si un polinomio se divide por evaluado en a.

x – a,

el residuo es igual al polinomio

Ejercicios 12.3 Encontrar el cociente y el residuo que resulta de dividir:

(9y + 9y − y + 2) ÷ ⎛⎜⎝ y + 32 ⎞⎟⎠ (x y + 6 xy + y ) ÷ (x + y )

2x − x − 8x − 2

por

2x + 3

)( ) + x + 8 ) ÷ (2 x + 3 )

(4 x (6 x

3x − 5x − 7x − 3

− x + x − 5 ÷ x − 3x + 1

+ 7x

por

x − 3x + 1

Responder: 2

3a + ab − b

Qué polinomio tiene como cociente 2 2a − b ?

Por qué polinomio se debe dividir el cociente de obtener x − 2 ?

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

, residuo 3

, cuando se divide por

x + 3 x − 4 x − 12

entre

x +3

para

247

CAPÍTULO XII FRACCIONES ALGEBRAICAS

2 2 x

− 4x − 2 x + 2x + 3

x− 2

Hallar el residuo de dividir

10.

Encuentre una expresión equivalente para la fracción algebraica

11.

Sea P(x) =

12.

Demostrar que P(x) es divisible por D(x) cuando P(x) =

13.

Cuando de n?

14.

Si P(x) =

9x − 6x

x + 5x − 2

− 8x + 5x + 2

se divide por

por

+ 3x x

− x + 16

+ 2x − 3

encuentre P(3)

x +n

− x + x + 3 Q(x) = x − x + 3 ,

x − 5 x + 7 x − 10

y D(x) = x − 2 .

el residuo es – 8. Cuáles son los valores posibles

hallar

P (– x)

y Q (–x).

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN Simplificar: 5

12 x + 18 x − 6 x

16 x

− 6x 4

+ 8x + x

6 a + 4 a − 2a 2a

+ (a − 1)(a + 3 )

6r − 4 r 3 r − 1 2r + 5

2 − 9 3 x + 1 (3 x + 1)2

6 + t + 5 + 1 − 2t 3 4 3t t t

1 2 + 7 + 5 + x x 2 2 x − 3 (2 x − 3 )2

5a + 12a + 4 ÷ 25a + 20a + 4

8 2x − +3 x + 2 x 2 + 2x x

10.

5 + 2x x +1 x + 3 x + 7 x +1 x + 3

11.

( x + 3a )2 − 2a ( x + 3a )2 ( x + 3a )

12.

( x + 2a )3 + ( x + 2a )2 ( x + 2a )

14.

3a − 4a − 3a (a − 2 ) 2 a

13.

15.

17.

248

4 x + 25 x + 6 x

a − 2a a

+ a (2 a + 5 )

a−b b a 1+ 1 a b

16.

18.

a − 2a

a − 16

a−

p + 3 p − 8 p − 24 p − 2 p − 9 p + 18

a a+b 1+ b a−b x − y 2 2 y x 1 − 1 y

1−

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19.

( x + 1)

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

−5

r +s s r

20.

− s2 s r r

1−x x

21.

a − 4a + 6a − (a − 2 )(a + 3 ) 3 a

22.

2a b − 4a b + 2a b − (a − b ) 2 2a b

23.

(3 x + a )2 − a (3 x + a ) (3 x + 2 )

24.

12a + 4a − 32a − (3a − 8 )(a + 1) 2 4a

25.

27.

(s − 2 )s − 3 2

s −9

s (s + 3 ) − 2(s + 3 ) s + 1 ÷ (s − 2)(s − 3 ) s −3

+ x + x −1− x − x −1 2 2 + x +1 x − x +1 x + x +1 1

26.

Determinar el valor de k, tal que: 3

+ kx

k x

− kx + 10

− 4kx − 3

sea divisible entre

x +3.

x − 1.

Analizar: 3

3x − 4x + 2x + 4

28.

Encontrar una expresión equivalente para

29.

Jairo, Javier y Julio, estudiantes de Matemáticas Básicas de la E.C.I. deben simplificar la siguiente expresión: 1−

8x 2

x −x

− 2x 1− x

x − 2x + 2

sabiendo que

x ≠ 0, x ≠ 1

Para realizar la operación sucedió lo siguiente: Jairo utilizó como denominador

x ( x − 1)(1 − x )

Javier utilizó como denominador

x ( x − 1)

Julio utilizó como denominador

( x − 1)

Sin efectuar la operación, decir si se obtiene el mismo resultado en los tres casos, justificar la respuesta.

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249

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“Nada tan peligroso como un un consejo seguido de un mal ejemplo”

CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

INTRODUCCIÓN SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE ECUACIONES SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE INECUACIONES TABLAS DE SIGNOS INECUACIONES CON FRACCIONES Y VALOR ABSOLUTO 13.6 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE

CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE 13.1 INTRODUCCIÓN Así como se ha trabajado con las expresiones lineales y cuadráticas, puede también establecerse relaciones de orden y de igualdad con fracciones algebraicas. Todas las propiedades de la suma y de la multiplicación presentadas en el Capítulo III para ecuaciones e inecuaciones, tienen validez en la solución de fracciones algebraicas. La única novedad presentada en este caso, es la restricción en los denominadores, cuyo valor debe ser diferente de cero.

13.2 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE ECUACIONES Ejemplo 1 Encontrar el conjunto solución de:

5 w

−

+2 =0

Analizando los denominadores, puede verse que las fracciones son válidas cuando w ≠ 0 . A continuación, se encuentra el mínimo común denominador de las fracciones, w 2 , y se convierten –o se amplifican– todas las fracciones al común denominador : 5 w

−

10 w

+2 =0

⇔

252

⇔

−

5 − 10w + 2w w

10w w

+ 2w = 0 2 w

⇔

5 − 10w + 2w w

− 10w + 5 = 0

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Resolviendo la ecuación cuadrática con ayuda de los métodos estudiados en el capítulo 10, se tiene:

2w − 10w + 5 = 0

⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎜ w − 5 + 15 ⎟⎜ w − 5 − 15 ⎟ = 0 ⎟ ⎟⎜ ⎜ 2 2 ⎠ ⎠⎝ ⎝

⇔

Por la propiedad del cero en los reales, puede concluirse que: w=

5 + 15 2

5 − 15 2

Como ninguno de los valores encontrados para w son restricciones para la fracción, el conjunto que forman estos dos valores es el conjunto solución.

Ejemplo 2 Hallar el conjunto solución de:

x −1 = 4 x −5 x −5

Las fracciones están definidas para: x ≠ 5 Ahora, se resuelve, teniendo en cuenta que dos fracciones son iguales, cuando tienen el mismo numerador y denominador: x −1 = 4 x −5 x −5

⇔

x −1= 4

⇔

x =5

Pero ésta solución de la ecuación coincide con la restricción inicial, por lo cual el conjunto solución es vacío.

Ejemplo 3 Encontrar el conjunto solución de la siguiente ecuación:

x x −8

6 x −2

x x

− 10 x + 16

Al factorizar el denominador de la derecha, pueden conocerse las restricciones para esta fracción: 2 x − 10 x + 16 = ( x − 8 )( x − 2 ) Las fracciones son indefinidas si: x = 8 ó está definida para ℜ − {8,2} .

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x = 2.

Por lo tanto, puede decirse que la ecuación

253

CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE

Resolviendo la ecuación:

x −8

6 x −2

− 10 x + 16

x ( x − 2 ) + 6( x − 8 ) = x

x ( x − 2 ) + 6( x − 8 )

⇔

( x − 8 )( x − 2 )

⇔

x − 2 x + 6 x − 48 = x

( x − 8 )( x − 2 )

⇔

4 x − 48 = 0

x = 12

La solución no coincide con ninguna de las restricciones, por lo tanto, C.S. = {12}

Ejemplo 4 ¿Cuál es el conjunto solución de

x 2

x +1

= 2x

Para la fracción no existen restricciones porque no existe un real que al ser elevado al cuadrado sea un número negativo. x 2

x +1

= 2x

⇔

0 = 2x + x

(

)

x = 2x x + 1

⇔

(

⇔

x = 2x + 2x

)

0 = x 2x + 1

⇒

x =0

⇔

0 = 2x + x

x = −1 2 2

Como no existen reales tales que x 2 = − 1 , y no hay restricciones, la solución es: 2

C.S. = {0}

Ejercicios 13.1

2 1.

Encontrar el conjunto solución de: 3 − 2 6 = x + 3 2 x − 5 3 x − 13

254

−4

−

4 y +2

y −2

12 + 12 = 1 s s − 18 2

( x − 1) 2

3 x −1

−2 = 0

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

13.3 SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE INECUACIONES

a b

puede expresarse como

a ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎝b⎠

para todo b ≠ 0

El producto de dos números de igual signo es positivo. El producto de dos números de signos diferentes es negativo.

Se dice que una inecuación con fracciones algebraicas se encuentra en su forma estándar cuando está relacionada con cero: p <0, q

donde p y q son polinomios

q≠0

Ejemplo 5 1 <0 x −3

Encontrar el conjunto solución de

Está en la forma estándar, por lo tanto, puede trabajarse inmediatamente: Se analizan las restricciones: x −3 =0

⇔

x =3

⇒

1 x −3

está definida

∀ x ∈ ℜ, x ≠ 3

El numerador es positivo, lo que implica que x − 3 < 0 para que la fracción sea negativa. Su solución será: x < 3 Expresada en forma de conjunto: (−∞ ; 3 )

Ejemplo 6 Hallar el conjunto solución de:

Restricciones:

x +1= 0

⇔

1 2

x +1 x

= −1 .

Lo que significa que no hay restricciones.

El numerador es un número positivo y el denominador es positivo para todo real x. Por consiguiente, la fracción nunca puede ser negativa. El conjunto solución será: ∅ .

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255

CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE

Ejemplo 1 x +3 >0 x −1

Encontrar el conjunto solución de

Primero, se analizan las restricciones para que la fracción esté definida. x −1= 0

⇔

x =1

Entonces, el conjunto solución no incluye el 1.

x +3 >0 x −1

⇔

x +3 > 0

⇔

x > −3

La primera relación de equivalencia es resultado de aplicar la propiedad de orden de la multiplicación con el término x − 1 . Sin embargo, x − 1 puede tomar valores positivos o negativos. Para x − 1 > 0 es válido, pero si x − 1 < 0 , por una de las propiedades de las desigualdades, se presentaría x + 3 < 0 . El cociente de dos reales es positivo cuando las dos expresiones son positivas o cuando ambas son

x +3 >0 x −1

negativas. x −1> 0 x >1

Caso 1

(1; ∞ )

x +3 >0 x > −3

∩

( −3 ; ∞ )

C.S. Caso 1 = (1; ∞ ) x −1< 0 x <1

Caso 2

(−∞ ;1)

x +3 <0 x < −3

∩

(−∞; −3 )

C.S. Caso 2 = (−∞; −3 ) C.S. = (−∞ ; −3 ) ∪ (1; ∞ )

Gráficamente la solución puede representarse como: -7

256

-6

-5

-4

-3

-2

-1

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 8 Hallar el conjunto solución de Restricciones:

p−4 =0

2p − 5 ≤1 p−4

2p − 5 −1≤ 0 p−4

⇔

2p − 5 ≤1 p−4

⇔

p=4 2 p − 5 − (p − 4 ) ≤0 p−4

⇔

2p − 5 − p + 4 ≤0 p−4

Propiedad distributiva: el signo de 4 cambia.

⇔

p −1 ≤0 p−4

Esta última inecuación merece un análisis similar al desarrollado para el caso anterior Caso 1: p −1≤ 0

p−4>0

⇒

(−∞ ;1] ∩ (4 ; ∞ ) = ∅

Caso 2: p −1≥ 0

p−4<0

⇒

[1; ∞ ) ∩ (−∞ ,4 ) = [1; 4 )

C.S. = ∅ ∪ [1; 4 ) = [1; 4 )

13.4 TABLAS DE SIGNOS Cuando se desea solucionar inecuaciones que involucran más de dos casos, puede recurrirse a la llamada tabla de signos, método abreviado del análisis. A continuación, se ilustrará el método mediante un ejemplo:

Ejemplo 9 Encontrar el conjunto solución de: La fracción está definida para estudio para la fracción: (−∞ ; 4 )

x + x −6 ≥0 x −4

x ≠ 4 , por ∪ (4 ; ∞ ) .

lo cual, desde ya se distinguen dos intervalos de

Para que la fracción sea mayor o igual a cero, debe cumplirse una de dos situaciones: Que el numerador sea igual a cero o positivo y el denominador sea positivo ó Que el numerador sea igual a cero o negativo y el denominador sea negativo ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

257

CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE

Caso 1: Cuando el numerador es igual a cero o positivo y el denominador es positivo: x

+ x −6 ≥0

x −4>0

La primera inecuación es equivalente a: ( x + 3 )( x − 2 ) ≥ 0 . Esto genera a su vez otras dos situaciones: Que los dos factores sean positivos o alguno de los dos sea cero ó Que los dos factores sean negativos o alguno de los dos sea cero x +3≥0

x −2≥0

x +3 ≤0

x −2≤0

Caso 2: Cuando el numerador es igual a cero o negativo y el denominador es negativo: x

+ x −6≤0

x −4<0

La primera inecuación es equivalente a ( x + 3 )( x − 2 ) ≤ 0 situaciones:

y genera nuevamente dos

Que el primer factor sea positivo ó cero y el segundo factor sea negativo ó Que el primer factor sea negativo ó cero el segundo factor sea positivo x +3≥0

x −2<0

x +3≤0

x −2>0

Todo esto puede sintetizarse sobre la recta real en la siguiente forma:

(x − 4) (x + 3) (x − 2)

-7

-6

-7

-6

-7

-6

-7

-6

-5

– -5

-5

–

-4

-3

-2

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

–

( x + 3 )( x − 2 ) x −4

–

– 3

+ -1

+ 4

+ 6

El resultado que muestra la última recta, debe interpretarse como que la fracción es mayor o igual a cero en los intervalos [−3; 2] ∪ (4; ∞ )

258

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejercicios 13.2

Encontrar el conjunto solución de: x −3 ≥ 0 x+7

( x + 2 )2

x +3 >0 x −8

x+10 < 2 x+ 8

2x − 1 ≥ − 1 x −3 x

x − 2x − 3 ≤ 0 2 x + x −2

x + 2x − 3 ≤ 0 2 x −4

(2 x

+ 1 )( x − 3 ) ≤0 (2 − x )

13.5 INECUACIONES CON FRACCIONES Y VALOR ABSOLUTO Ejemplo 10 Encontrar el conjunto solución de

2x − 5 x

Restricciones en la fracción: x = 0 Por la definición de valor absoluto se presentan dos casos: Caso 1:

2x − 5 ≥ 0 x

⇒

2x − 5 < 3 x

Con lo visto en secciones anteriores, puede encontrarse que: 2 x − 5 ≥ 0 en (− ∞ ;0 ) ∪ ⎡⎢ 5 ; ∞ ⎞⎟ y ⎣2

que

2x − 5 < 3 x

⎠

en (−∞ ; −5 ) ∪ (0; ∞ ) . C.S. Caso 1= ⎛⎜ (− ∞ ; 0 ) ∪ ⎡⎢ 5 ; ∞ ⎞⎟ ⎞⎟ ∩ ⎛⎜ (− ∞ ; −5 ) ∪ ⎡⎢ 5 ; ∞ ⎞⎟ ⎞⎟ = (− ∞ ; −5 ) ∪ ⎡⎢ 5 ; ∞ ⎞⎟ ⎣2

⎝

⎠⎠

⎝

⎣2

⎠⎠

⎣2

⎠

Caso 2:

Cuando 2 x − 5 < 0 ⇒ 2 x − 5 > −3 x

Entonces: 2 x − 5 < 0 en: x

⎛⎜ 0; 5 ⎞⎟ ⎝ 2⎠

2 x − 5 > −3 en (−∞ ; 0 ) ∪ (1; ∞ ) x

C.S. Caso 2 =

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

⎛⎜ 1; 5 ⎞⎟ ⎝ 2⎠

259

CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE

La solución final de la inecuación es: = ⎛⎜ (− ∞ ; −5 ) ∪ ⎡ 5 ; ∞ ⎞⎟ ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ 1; 5 ⎞⎟ ⎢⎣ 2 ⎠⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝

C.S.=

C.S.= (−∞ ; −5 ) ∪ (1; ∞ )

Ejemplo 11 Encontrar el conjunto solución de

x −2 ≥ 1 2− x 2

Restricción para la fracción x = 2 x −2 ≥ 1 2− x 2

⇔

x −2 ≥ 1 − ( x − 2) 2

⇔

−1 ≥ 1 2

⇔

1≥ 1 2

Como se ha llegado a una expresión verdadera, independiente del valor de la variable x se puede concluir que el C.S. = ℜ − {2}

Ejercicios 13.3

2 1.

Encontrar el conjunto solución de: 4 ≥1 3x + 2

−3 ≥ 2 3x + 1

1 −3 > 6 x

1 >0 x −3

13.6 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Resolver un sistema de ecuaciones en dos variables cuando por lo menos una de ellas es una fracción algebraica, consiste como en todos los casos anteriores, en encontrar los valores de las variables que hacen verdadera las dos ecuaciones. Los métodos de solución son los mismos aprendidos para resolver sistemas lineales.

Ejemplo 12 Encontrar el conjunto solución para el sistema

⎧1 + 1 = 5 ⎪⎪ x y ⎨ ⎪ 2 − 3 = −5 ⎪⎩ x y

Como en toda situación algebraica que involucra fracciones algebraicas se debe analizar los valores para los cuales no están definidas las fracciones. 260

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Para las dos ecuaciones se presentan las mismas restricciones

x =0

y =0

Ahora se resuelve el sistema por el método de reducción ⎧1 + 1 = 5 ⎪⎪ x y ⎨ ⎪ 2 − 3 = −5 ⎪⎩ x y

⎧ −2 − 2 = −10 ⎪⎪ x y ⇒ ⎨ ⎪ 2 − 3 = −5 ⎪⎩ x y

⇔

− 5 = −15 y

⇒ 5 =y 15

⇒

1=y 3

Para encontrar el valor de x, puede utilizarse cualquiera de las dos ecuaciones: 1+ 1 =5 x y

1+1=5 x 1

⇒

⇒ 1 +3 = 5 ⇒ x

De lo que se puede concluir que

1 =2 x

⎛⎜ 1 , 1 ⎞⎟ ⎝2 3⎠

1=x 2

⇒

es la solución del sistema, ya que ninguno de estos

valores hace indeterminadas las fracciones.

Para dar solución al sistema de ecuaciones puede también utilizarse dos variables auxiliares, así: Sean:

z = 1, x

⎧1 + 1 = 5 ⎪⎪ x y ⎨ ⎪ 2 − 3 = −5 ⎪⎩ x y

m= 1 y

⇔

, con lo cual se tendría el siguiente sistema equivalente:

⎧⎪z + m = 5 ⎨ ⎪⎩2 z − 3m = −5

Dado que el coeficiente de m es 1, fácilmente por sustitución se llega a la solución buscada: z = 2;

m=3

⇔

x = 1, 2

y=1 3

Debe verificarse la solución antes de dar la respuesta.

Ejercicios 13.4

2 1.

Encontrar el conjunto solución de los siguientes sistemas: ⎧ 3 + 4 =2 ⎪⎪ x − 1 y + 2 ⎨ ⎪ 6 − 7 = −3 ⎪⎩ x − 1 y + 2

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

⎧ 2 + 3 = −2 ⎪⎪ x y ⎨ ⎪4 − 5 =1 ⎪⎩ x y

261

CAPÍTULO XIII RELACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS EN UNA VARIABLE

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

Encontrar el conjunto solución de:

1 (12 x − 3 ) − 2⎛⎜ x − 7 ⎞⎟ ⎝ 3 2⎠ 3 = (6 x − 8 ) 2

x −5 2 + x − 8 + x = 3 x + 49 2 2 16 x +8 −8 2

10 x − 1 ⎛ 2 ⎞ x − 2 ⎛ 2x − 3 ⎞ + 3 = 3⎜ x + 2⎟ ⎜ ⎟ 2 3 ⎝ x − 1 ⎠ 2( x − 1) 2 ⎜⎝ 3 x − 2 ⎟⎠

x + a + x − a = x + b + 2 ( x − b ) , a, b, a−b a+b a+b a−b

x + x + x − 1 = abc − x (a + b + c ) , a, b, c, 6. ab bc ca

1 3(m + n )2

constantes. 7.

p x

Resolver sin quitar los paréntesis: 2

⎛⎜ x ⎞⎟ + 4 = 5⎛⎜ x ⎞⎟ ⎝ x − 1⎠ ⎝ x − 1⎠

11.

n−2 + 1 = 4 n + 2 n − 2 n2 − 4 2 1+ 2 y

10.

x −2 2

x + 8x + 7

constantes.

x −2 = 2x − 5 − 2 2 x − 49 x − 6 x − 7

Encontrar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

13.

2x − 5 < 0 3x

14.

16.

3x − 2 ≥ 0 x −1

17.

−

3 <0 2− x

18.

20.

− x + 5x − 6 < 0 2 4 x + 12 x + 9

21.

24.

1 <2 x −1

25.

262

p , m , n , p, 2(m + n )

2x + 3 ≤ 1 x −1

28.

5 x − x +1 = x + 1 x − 4 x 2 − 3x − 4

12.

−m+n p

constantes.

( x + 1)( x − 2 ) 3−x

−

2 >0 x +1

x + 2x + x ≤ 0 2 1− x 1

( x + 3 )2

15.

x −2 <1 −x

19.

1 ≥ 4 3c − 7 3 − 2c

3+ 1 <0 x

22.

4 − 3 >1 x +1 x + 2

23.

26.

x +8 < 6 x −3

27.

x +1 x −1

≥0

Encontrar por tabla de signos el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

( x − 2 )( x + 4 ) x + 10

29.

( x + 1)( x + 2 ) ≥0 ( x − 1)( x − 2)

30.

2 x + 1 (3 x + 5 ) ≤ 0 x +1

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Resolver los siguientes problemas 31.

La suma de un número y su inverso multiplicativo es 5. Hallar el número.

32.

Andrés y Carlos pueden hacer un trabajo juntos en 12 días. Cuánto requiere cada uno para hacer el trabajo separadamente sabiendo que Andrés necesita 1,5 veces más que Carlos?

33.

Paula necesita 45 minutos para repartir la propaganda de su nuevo supermercado. Sin embargo, si le ayuda su hermana Diana, sólo utilizarán 20 minutos. Cuánto tardaría Diana en entregar el pedido sola?

# $

34.

Una bomba puede vaciar una cisterna en 3 horas y media. Otra la vacía en cuánto tiempo vaciarán la cisterna trabajando juntas?

35.

Hallar tres números consecutivos tales que el cociente del mayor entre el menor equivale a los 3 del número intermedio

4 horas.

36.

La diferencia de dos números naturales es

y la de sus recíprocos es 2 . Cuáles son 77

los números?

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263

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“Los golpes de la adversidad son muy amargos pero nunca estériles”

CAPÍTULO XIV EXPONENTES RACIONALES 14.1 INTRODUCCIÓN 14.2 EXPONENTES RACIONALES 14.3 ECUACIONES IRRACIONALES EN UNA VARIABLE EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XIV EXPONENTES RACIONALES

CAPÍTULO XIV EXPONENTES RACIONALES 14.1 INTRODUCCIÓN En el Capítulo II, se estableció que la diferencia entre expresión algebraica y polinomio, está en el conjunto numérico al cual pertenecen los exponentes de la parte variable. A partir del Capítulo III hasta el XIII, se trabajó con álgebra en polinomios. En el presente capítulo se estudiará el álgebra en expresiones algebraicas.

∀a , b ∈ ℜ m

×b

a ×b

m, n ∈ Z

(b )

n m

m +n

= (ab )n

Si a ≠ 0 :

n −m

a = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝b⎠

−n

= 1 n a

a =1

Siempre que las raíces estén definidas, para mayor que 1, se tiene que: n

a n b = n ab

266

b = b

Si b ≠ 0 : n

, se cumple que:

a =n b b

reales,

entero positivo,

, b≠0 p

ap =aq

q∈Z +

p∈Z

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

14.2 EXPONENTES RACIONALES p

La definición a q = a p si a ∈ ℜ, q ∈ Z + y p ∈ Z es una herramienta importante que permite encontrar expresiones equivalentes que llevan a simplificar expresiones algebraicas.

Ejemplo 1 Encontrar una expresión equivalente para 36 x 2 y 7 × 2 x 4 y , y ≥ 0 2

36 x y

× 2 x y = 36 x y 2 x y

= 72 x y

3 2

Propiedades de las potencias.

= 2 3 x y

(

3 2

= 2 3 x y 3 2

=2 3

= (2 )

3 2

2 2

Propiedad de los radicales.

6 2

x y

Descomposición en factores primos. 1 2

)

Definición de raíz.

8 2

(3 )x 3 y 4

( )

= 2 2 (3 )x y 3

= 6 2x y

Propiedad de las potencias.

Simplificación de fracciones. Definición de raíz. Agrupación de términos.

¿Por qué y debe ser ≥ 0? En el Capítulo I se estableció que la raíz cuadrada está definida para números mayores o iguales a cero.

Ejemplo 2 Indicar las restricciones para x y y en

3 ⎛ ⎜ − 8x ⎜ y −6 ⎝

⎞3 ⎟ ⎟ ⎠

Involucra una raíz cúbica, que está definida para todo real, por lo cual no hay restricción. Hay una fracción cuyo denominador es una variable. Por lo tanto se requiere que −6 y ≠ 0 , lo que implica que y = 0 es la restricción.

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267

CAPÍTULO XIV EXPONENTES RACIONALES

Para que esté definida la expresión dada, la única restricción es para y, que debe ser diferente de cero.

Válida ya que x – 1≠ 0.

Ejemplo 3 2

x −1 ? x −1

¿En dónde está definida la expresión x −1≠ 0

Por definición de fracción,

⇔

x ≠ 1.

Por definición de raíz cuadrada: 2

x −1 ≥ 0 x −1

( x − 1)( x + 1) ≥ 0

⇔

x −1

( x + 1) ≥ 0

⇔

x ≥ −1

La expresión está definida en [−1;1) ∪ (1∞ ) .

Ejercicios 14.1

Indicar restricciones – si las hay – y simplificar:

3 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜−y2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ y 3 ⎟ ⎝ ⎠

1x 4

−2

(x − 1) (3) − (3 x )⎛⎜⎝ 31 ⎞⎟⎠(x + 4) [(x + 4) ] (x y ) (x y ) ⎞ ⎛ ⎜ ((xy ) ) ⎟ (x + y )(( x ⎠ ⎝ 1 3

(4 x

x+ 7 x 10

)

1 2

x+ 9 x 27

(xy

−1

−4

(3 x + 2) 11.

268

−x

−

(

)

−1 2

(8 x )

[(4 x + 9) ] )((x ) )

1 2 2

4 2 −3 5

3 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

((3 x + 2) )

1 2 2

⎛⎜ 1 ⎞⎟(2 x + 3 ) ⎝3⎠

10.

−2 3

(2 ) (2 x + 3 ) −

1 3

⎛⎜ 1 ⎞⎟(3 x + 2 ) ⎝2⎠

−1 2

1 3 −3

1 2 −2

3 3 −1 − 4 −2

(3 x

−2 3

(2 x )

1 2 3

⎝2⎠

⎛ 1 2 4 ⎜ 3 ⎛ xy −1 ⎞ ⎜ ⎟ ÷⎜x y ⎜ ⎟ ⎜ z ⎝ z ⎠ ⎜ ⎝ 1 2

(2 ) − (2 x + 3 )⎛⎜ 1 ⎞⎟ 4 x 2 2

)

−2 −2

−1

4 5

)

−3 −2

−5

)

−3 − 10 8 5

(3 )

((3 x + 2) )

1 2 2

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

14.3 ECUACIONES IRRACIONALES EN UNA VARIABLE Una ecuación irracional es una ecuación cuya variable se encuentra dentro de un radical. En esta sección se trabajará únicamente con raíces con índice 2 o raíces cuadradas.

a = a 2

x = a, x

= a,

∀a a≥0

⇒

x=± a

a<0

⇒

x ∉ℜ

x=2

. Es decir, no hay solución en los reales.

no es equivalente a

x =4

Si se eleva al cuadrado a ambos lados de la igualdad, se tiene: x

⇒

x =2

x = −2

Si bien se tiene que x = 2, aparece una nueva solución x = – 2, llamada “ solución extraña ”.

Ejemplo 4 Encontrar el conjunto solución de:

9 x − 5 − 3 x = −1

La expresión involucra una raíz cuadrada, primero es necesario establecer las restricciones para la variable x. 2

9x − 5 ≥ 0

2 x ≥5 9

⇔

x ≥

5 9

⇔

x ≥

5 3

Entonces, la ecuación está definida para x ≥ 5 3

x≤−

5 3

Se procede ahora a resolver la ecuación: 9x

− 5 − 3 x = −1

⇔

− 5 = −1 + 3 x

Propiedad de la suma en igualdades.

⇒

⎛ ⎞ 2 2 ⎜⎜ 9 x − 5 ⎟⎟ = (− 1 + 3 x ) ⎝ ⎠

⇒

9x − 5 = 9x − 6x + 1

Producto notable potencias.

⇒

− 6 = −6 x

Agrupación de términos.

⇒

1= x

Propiedad de la multiplicación en igualdades

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

Elevando al cuadrado. y

propiedades

las

269

CAPÍTULO XIV EXPONENTES RACIONALES

Por último, se verifica si la solución pertenece al conjunto en donde la ecuación está definida: 5 3

x≥

x≤−

5 3

Como 1≥ 5 , puede concluirse que: 3

C.S.= {1}

Ejemplo 5 Encontrar el conjunto solución de

4 x − 11 = 7 2 x − 9

Restricciones: 4 x − 11 < 0

x < 11 4

⇒

Por lo tanto,

2x − 9 < 0

⇒x<9 2

x ∉ ⎛⎜ − ∞ ; 9 ⎞⎟ . 2⎠ ⎝

Solucionando algebraicamente: ⎛ ⎜ ⎝

4 x − 11 ⎞⎟ ⎠

= ⎛⎜ 7 ⎝

2 x − 9 ⎞⎟ ⎠

4 x − 11 = 49 ( 2 x − 9 ) 94 x = 430

x =

215 > 9 47 2

215 47

{ 47 }

C.S. = 215

⇒

Ejercicios 14.2

2 1.

270

Encontrar el conjunto solución de: x + 4 − x −1 = x −2 x +4

x −1

x +1 x + 13

x + 7 + x −1− 2 x + 2 = 0

2. 4.

18 x - 8 − 2 x − 4 − 2 2 x + 1 = 0 2 x + 6 − 4x − 3 =

9 x + 10 − 2 x + 3 =

9 4x − 3

x −2

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Considerar la ecuación x 2 − 8 x + c = 0 . ¿Para qué valores de c las soluciones r1 y r2 de la ecuación cumplen 3r1 − 4r 2 = 3 ?

En un trapecio ABCD, las bases AB y CD son perpendiculares a AD; además DC es 8cm mayor que BC y 4cm menor que AB. Hallar las longitudes de los lados si el perímetro es 38cm.

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

Simplificar:

(a + b )−1

a+b

8 3

1 3

a 2

⎛ 5 10 3 3⎞ ⎜⎜ x y 125 z ⎟⎟ ⎝ ⎠

x +y

⎡ 1 ⎢ a 2 x −2 ⎢5 1 ⎢ 2 −2 ⎣⎢ x a

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

)

⎤ a x ⎥ ⎥ −1 a a⎥ ⎦⎥

⎞ ⎟ x⎟ x ⎠

2 −1

−4

x + x

Encontrar el conjunto solución de:

3x − 4 = 2 7

a + 3 = a − 2 +1

w +4 = w +7 w −4 w −3

10.

z − 5 + 3z − 2 = 6z − 5

11.

2 x − x −3 = 5+ x

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

271

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“Satúrate completamente de la materia… y espera”

CAPÍTULO XV EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS 15.1 INTRODUCCIÓN 15.2 ECUACIONES EXPONENCIALES 15.3 LOGARITMOS 15.4 ECUACIONES CON LOGARITMOS EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XV EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS

CAPÍTULO XV EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS 15.1 INTRODUCCIÓN Existe en matemáticas otro tipo de expresión relacionada con la potenciación pero no considerada algebraica porque la variable aparece en el exponente de la potencia. Su forma general es a c , siendo c una expresión algebraica en términos de la variable x con a ∈ ℜ,

a≠0

Puesto que x ∈ ℜ , una expresión algebraica en x representa un real, por lo tanto todas las propiedades de la potenciación son aplicables para este tipo de expresiones.

15.2 ECUACIONES EXPONENCIALES Una ecuación donde las variables se encuentren en el exponente, es llamada ecuación exponencial.

a = 1,

a≠0

no está determinado

En este tipo de ecuaciones se establece una propiedad adicional para las potencias, siempre y cuando ellas estén definidas: a

⇔

u =v

La solución de ecuaciones exponenciales se ilustrará con ayuda de un ejemplo:

274

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 1 Hallar el conjunto solución de:

= 125

5 5

⇔

= (5 )3

⇔

x =3

El conjunto solución para la ecuación será: {3}

En este punto, ya debe ser una costumbre verificar la solución de la ecuación antes de determinar el conjunto solución. Se espera que el estudiante haya adquirido una gran habilidad operativa.

Ejemplo 2 Determinar el conjunto solución de:

x +2 x

x −1 x

Como el exponente es una fracción, exige que el denominador no sea cero. Por lo tanto, la ecuación está definida para todo x ≠ 0.

Resolviendo: 2

x +2 x

x −1 x

⇔

x + 2 + x −1 x x

2x + 1 = 3 x

⇔

x + 2 + x −1 = 3 x

⇔

2x + 1 = 3x

⇔

x =1

Como la solución x = 1 no es una restricción, el conjunto solución es: {1}

=a +a

= 2a

a +a a +a

, si n

≠m

a +a

n+m

Ejercicios 15.1 Resolver las siguientes ecuaciones: 2

x −3

= 25

3 x −1

= 0 ,008

(1 + x )2 − x

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

= 0 ,25

− 5 (2 )− x = 0

3 x −1

=1 2

3 x −1

275

CAPÍTULO XV EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS

15.3 LOGARITMOS

log a b = c

Los logaritmos cuyo argumento b es un entero negativo o cero, no está definido.

Los logaritmos para bases negativas no están definidos.

⇔

a =b

a > 0 , a ≠ 1, b > 0

Dado que la logaritmación es una de las operaciones inversas de la potenciación, sus propiedades se deducen a partir de las definidas para los exponentes. Para todo m , n , a ∈ ℜ, m , n > 0; a > 0 , a ≠ 1 : Ü

Propiedad del producto: log a (mn) = log a m + log a n .

Propiedad del cociente:

Propiedad de la potencia:

⎛m⎞ ⎟ = log a m − log a n log a ⎜⎜ ⎟ ⎝ n ⎠

log a (m )n = n (log a m ) .

Con base en la definición, se establecen otras propiedades: Ü

log a (a ) x = x

log a x

= x,

. x >0

Los logaritmos más utilizados son: Ü

Logaritmos de base 10, conocidos como logaritmos comunes, decimales, vulgares o de Bringgs. Se acostumbra denotarlos como: log10 = log , sin hacer explícita la base.

Logaritmos en base e, número irracional de valor aproximado e ≈ 2.7183..., conocidos como logaritmos naturales. Se simboliza como: loge = ln .

Ejemplo 3 Utilizando las propiedades de los logaritmos, encontrar una expresión equivalente para: 2⎞ ⎛ log ⎜⎜ 49 x ⎟⎟ ⎝ 13 ⎠

Lo primero que se debe encontrar es el conjunto en el cual tiene sentido la expresión. Por lo tanto: 49 x 2 13

276

⇔

49 x 2 > 0

⇔

x2 >0

⇔

x ≠0

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

2⎞ ⎛ log ⎜⎜ 49 x ⎟⎟ 13 ⎠ ⎝

De lo anterior se concluye que la expresión Ü

tiene sentido

∀ x ∈ ℜ, x ≠ 0

A continuación se utilizan las propiedades de los logaritmos para encontrar un expresión equivalente a la dada: 2⎞ ⎛ ⎛ 2 2⎞ log ⎜⎜ 49 x ⎟⎟ = log ⎜⎜ 7 x ⎟⎟ = log (7 x )2 − log 13 = 2 log (7 x ) − log 13 ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠

= 2(log 7 + log x ) − log 13 = 2 log 7 + 2 log x − log 13

Ejemplo 4 Encontrar una expresión equivalente a Ü

[

ln ( ex ) 3

]

Restricciones:

( ex ) 3

⇔

e3 x 3 > 0

⇔

x3 >0

⇔

x >0

La expresión está definida para x > 0 Ü

ln ( ex ) 3 = 3 ln ( ex ) = 3 [ ln e + ln x ] = 3 (1 + ln x ) = 3 + 3 ln x

15.4 ECUACIONES CON LOGARITMOS La utilización de los logaritmos es una herramienta que ayuda a resolver ecuaciones con exponenciales y logaritmos, para cuya solución se hace uso de las propiedades de los logaritmos.

Ejemplo 5 Establecer el conjunto solución de: Ü

log 4 ( x + 1)3 = 3

Restricciones:

( x + 1)3

⇔

x +1> 0

⇔

x > −1

La ecuación está definida para todo Ü

log 4 ( x + 1)3 = 3

x ∈ (−1; ∞ ) .

⇔

3 log 4 ( x + 1) = 3

Propiedad de las potencias en logaritmos.

⇔

log 4 ( x + 1) = 1

Propiedad de la multiplicación en igualdades.

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277

CAPÍTULO XV EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS

x =3

⇔

4 = x +1

Definición de logaritmo.

⇔

3=x

Agrupación de términos. ∈ (−1; ∞ ) ,

es solución de la ecuación ya que 3

por lo que se puede concluir: C.S.= {3} .

Q Ejemplo 6 Encontrar el conjunto solución de log 7 x = 3 log 7 64 . 2

La ecuación está definida para todo x > 0

log 7 x =

3 log 7 64 2

⇔

log 7 x = log 7 64 2

⇔

x = 64 2

⇔

(64 )3

⇔

x = 512

Como 512 > 0, el conjunto solución es {512}

Ejemplo 7 Encontrar el conjunto solución para: (log ( x ))2

= log ( x )3 .

La ecuación está definida para todo x > 0.

(log ( x ))2

= log ( x )3

⇔

(log ( x ))2

⇔

(log x )((log x ) − 3 ) = 0

î Si

log x = 0

⇔

10 = x

î Si

log x = 3

⇔

10 = x

= 3 log ( x )

(log ( x ))2 − 3 log ( x ) = 0

⇔

x =1

⇔

x = 1.000

⇒

log x = 0

log x = 3

Las soluciones x = 1 y x = 1.000, son positivas, por lo cual el conjunto solución es: C.S. = {1,1.000}

K 278

log a (m + n ) no tiene expresión equivalente.

log a (m + n ) = log a m + log a n

log a (m − n )

log a (m − n ) = log a m − log a n

no tiene expresión equivalente. log a x log a x = log a y log a y

log a x x = log a y y

log a ( x )2 = 2 log a x

log a ( x )2 = (log a x )2

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejercicios 15.2 Simplificar las siguientes expresiones usando las propiedades de los logaritmos:

(

x +1

) − ln (2e ) x

log 4 32

ln 2e

3 98 99 log 1 + log 2 + log + ... + log + log 2 3 4 99 100

log x ⎛⎜ a + a ⎞⎟ − log x ⎛⎜ c + c ⎞⎟ b⎠ b⎠ ⎝ ⎝

Teniendo

log p A = 3.17 y

log p B = 2.86 ,

log p B

encontrar: 6.

⎛ 3 ⎞ log p ⎜⎜ B ⎟⎟ ⎝ A⎠

log 5 (3 x + 7 ) − log 5 ( x − 5 ) = 2

Resolver las siguientes ecuaciones: 7.

log 8 16 + log 8 ( x − 2 ) = 2

log 2 x − 3 x + 6 − log 2 ( x − 1) = 2

)

10.

log x

11.

log ( x − 2 ) + log ( x + 1) + 1 = log 40

12.

log 8 (log 4 (log 2 x )) = 0

13.

2 log ( x − 1) − log 2 x + 3 x − 5 = 0

14.

log 4 x = 3 log 4 x

(

)

= (log x )2

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN Encontrar el conjunto solución de: 2x +2

x +2

log 4 2 x + 2 − log 4 3 x − 1 = 1 2

10.

8 13.

x +ln x

= 3e

−5

)

ln x

2x +4

−

1− 2 x

= 31

2 −2 x

ln x = 0

11.

ln 7 + 2 ln 3 = ln x

−x

3 −3 5

ln x = (ln x )ln x

12.

⎧2 3 x − 2 y = 1 ⎪ ⎪ ⎨log 5 (3 y − 4 z ) = 2 ⎪ ⎪⎩− 5 x + z = −14

log10 x

=2 = 33

Encontrar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: 2

3 x −2

x +3

14.

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log 1 (2 x + 5 ) < −2 3

15.

log3 3 − 4 x > 2

279

CAPÍTULO XV EXPRESIONES NO ALGEBRAICAS

8 16.

8 18.

Demostrar: log b ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = − log b x ⎝x⎠

2 ⎛ ⎞ 2 log x + x − 1 = 2 log ⎜⎜ x + x − 1⎟⎟ 2 ⎝ ⎠ x − x −1

17.

Analizar: Encontrar el error en la siguiente demostración: 3>2 3 log 10 1 > 2 log 10 1 2 2 3

log10 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ > log10 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 3

⎛⎜ 1 ⎞⎟ > ⎜⎛ 1 ⎞⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠

1>1 8 4

280

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“La mayoría de las personas gastan más tiempo y energía en hablar de los problemas que en afrontarlos”

CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA 16.1 INTRODUCCIÓN 16.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO 16.3 CIRCUNFERENCIA UNITARIA 16.4 LONGITUDES DE ARCO 16.5 FUNCIÓN COORDENADA 16.6 FUNCIÓN COORDENADA PARA ARCOS ESPECIALES 16.7 FUNCIÓN COORDENADA PARA MÚLTIPLOS DE ARCOS ESPECIALES 16.8 ARCOS DE REFERENCIA EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA

16.1 INTRODUCCIÓN Antes de definir la función coordenada es preciso establecer las expresiones algebraicas correspondientes a dos conceptos geométricos: La distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano La circunferencia unitaria.

Un punto en el plano cartesiano se representa como una pareja ordenada ( x, y ). Dos puntos en un mismo plano determinan una recta. Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual la suma de los cuadrados de las magnitudes de los catetos.

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de un punto fijo llamado centro. El radio es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquier punto sobre ella. La cuerda es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera sobre la circunferencia. Si la cuerda contiene el centro de la circunferencia, se llama diámetro. Un arco es una parte continua de una circunferencia. La razón entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro es una constante llamada π ∈ I .La longitud de una circunferencia (perímetro) es igual a 2πr

282

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

16.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO

Dados dos puntos cualesquiera A = ( x 1 , y 1 ) y B = ( x 2 , y 2 ) , la distancia d entre ellos puede deducirse a partir de un análisis gráfico:

A=( x1, y1 ) d

B=( x2, y2 )

⎥ y1 – y2⎪

⎥ x1 – x2⎪

Si se traza una paralela al eje x que pase por el punto B, una paralela al eje y que pase por el punto A y si se unen los puntos A y B mediante un segmento de recta, se da lugar a un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa corresponde al segmento de magnitud d, y cuyos catetos son de magnitud y 1 − y 2 y de x1 − x 2 .

Por el teorema de Pitágoras y por las propiedades del valor absoluto estudiadas en el capitulo 4, se concluye que: d = (y 1 − y 2 )2 + ( x1 − x 2 )2 2

⇔

d =±

(y 1 − y 2 )2 + ( x1 − x 2 )2

Dado que d es una magnitud, se tiene que d =

(y 1 − y 2 )2 + ( x1 − x 2 )2

16.3 CIRCUNFERENCIA UNITARIA Considerando una circunferencia con centro en O = (0,0 ) y radio 1, un punto A = ( x , y ) del plano se encuentra sobre la circunferencia si d (O,A) = 1

y (0,1) A=( x, y )

d (O , A ) = 2

1 =x +y

( x − 0 )2 + (y − 0 )2

⇔

1= x + y

x +y

Por lo tanto la ecuación de la circunferencia de radio 1 y centro en el origen es x 2 + y 2 = 1 . Esta circunferencia es llamada circunferencia unitaria

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d x

(-1,0)

O=(0,0) (1,0)

(0,–1)

283

CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA

16.4 LONGITUDES DE ARCO y

La longitud de un arco, por ser longitud, es una cantidad positiva. Sin embargo, el signo más ( + ) y el signo menos ( – ) se utilizan para identificar el sentido en que se mide:

(0,1) P s x (1,0)

(-1,0)

-s (0,-1)

Signo ( + ): Cuando se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj. La longitud del arco entre el punto (1,0 ) y el punto P es s. Signo ( – ): Cuando se mide en el sentido de las manecillas del reloj. La longitud del arco entre el punto (1,0 ) y el punto Q es –s.

Si un arco se genera a partir del punto (1,0 ) en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, se dice que el arco está en su forma estándar. Si se recorre la circunferencia en el sentido contrario a las manecillas del reloj, partiendo del punto ( 1, 0 ), hasta completar una vuelta, la longitud del arco recorrido es 2π , ya que dicha magnitud corresponde al perímetro de la circunferencia de radio 1. Si se realiza el mismo recorrido pero en el sentido de las manecillas del reloj, la longitud del arco se representa como −2π .

Ejemplo 1 ¿Cuánto mide el arco del círculo unitario en un cuadrante? Si la longitud de arco al dar una vuelta completa es de 2π y se tienen 4 cuadrantes cada uno de los arcos medirá 2 π = 1 π = π 4

)

Puede existir un arco de longitud 3π ? La respuesta es afirmativa, puesto que 3π = 2π + π lo que significa que un arco de longitud 3π se obtiene al dar una vuelta completa (2 π ) y media vuelta más (π ) en el sentido contrario de las manecillas del reloj.

Ejemplo 2 ¿En qué cuadrante se encuentra el punto terminal de un arco de longitud 1233π ? 4

Tomando el arco dado y expresándolo en términos de vueltas completas: 1233 π = 308π + π = 154(2π ) + π 4 4 4

284

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Lo anterior indica que un arco de longitud 1233π corresponde a dar 154 vueltas completas 4

en sentido contrario a las manecillas del reloj y π de vuelta más, por lo tanto el punto final 4

del arco se encuentra en el primer cuadrante.

Ejemplo 3

)

¿En qué cuadrante se encuentra el punto terminal de un arco de longitud 5 ? Si una vuelta completa equivale a una longitud de arco de 2π y π ≈ 3,1416 se tiene:

Una vuelta completa (2 π ) equivale a un arco de longitud aproximada de 6,2832 Tres cuartos de vuelta

⎛⎜ 3 π ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

equivale a una longitud de arco aproximada de 4,7124

Como se tiene que 4,7124 < 5 < 6,2832 se puede concluir que el arco de longitud punto terminal en el cuarto cuadrante.

tiene

Puede observarse entonces que no es necesario expresar todo arco en términos de π , para ubicarlos sobre el círculo unitario. De la misma forma, cualquier número real tiene asociada una longitud de arco.

16.5 FUNCIÓN COORDENADA Si a cada longitud de arco medido en su forma estándar sobre la circunferencia unitaria se le asigna el punto de coordenadas ( x , y ) correspondiente al punto final del arco, se tiene una función que se conoce con el nombre de función coordenada y cuya representación simbólica es: coor (s ) = ( x , y )

De acuerdo con la conclusión de la sección anterior, a cualquier número real le corresponde una longitud de arco sobre la circunferencia unitaria, por lo tanto se puede establecer que el dominio de la función coordenada es el conjunto de los números reales ℜ . Como la función coordenada se define sobre la circunferencia unitaria, los puntos terminales del arco ( x , y ) , deben cumplir con la condición x 2 + y 2 = 1 . El rango de la función coordenada es por lo tanto,

{(x , y ) ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

x +y

}

285

CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA

A un punto sobre la circunferencia unitaria en una vuelta le corresponden dos longitudes de arco. y (0,1)

P x (1,0)

(-1,0) s2

Por ejemplo, en la figura se observa que P es el punto terminal del arco s 1 medido en el sentido contrario a las manecillas del reloj y del arco s 2 medido en el sentido de las manecillas. Dado que coor (s1 ) = coor (s 2 ) y s 1 ≠ s 2, se dice que la función coordenada no es uno a uno.

(0,-1)

En la gráfica que se muestra a continuación, puede verse que: y s2

coor (s1 ) = coor (s 2 ) = coor (s1 + 2 π ) ,

lo cual podría ser igual a: coor (s1 + 4 π ) = coor (s1 + 2(2 π )) = coor (s1 + 6 π ) = coor (s1 + 3 (2 π ))

Cada una de estas expresiones involucra un número natural que multiplica a 2π

Podría encontrarse un número entero negativo cumpliendo estas funciones? Si así fuera, cómo puede interpretarse? y

Con lo visto anteriormente, puede suponerse que por llevar un signo negativo, debe tratarse de un arco medido en el sentido de las manecillas del reloj.

s3 P

s1 x

El arco s 3 en la gráfica cumple que: coor (s3 ) = coor (s1 ) lo cual significa que en términos de s 1, s3 = −2π + s1

por lo tanto: coor (s 3 ) = coor (−(2π − s1 )) = coor (s1 − 2π )

286

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Así mismo, cada vez que se aumente una vuelta en el sentido de las manecillas, se obtendrá un número entero negativo multiplicando a 2π . Este análisis permite generalizar para cualquier arco s, y cualquier entero k: coor (s ) = coor (k (2 π ) + s )

En general, cualquier función que cumple con que f ( x ) = f ( x + k t ) , se dice que es una función periódica, y que tiene período t. La función coordenada tiene entonces un período de 2π .

Ejemplo 4 Determinar

coor (0 ) ,

coor ⎛⎜ π ⎞⎟ , ⎝2⎠

coor (π ) ,

coor ⎛⎜ 3 π ⎞⎟ , ⎝ 2 ⎠

coor (0 ) = ( 1 , 0 )

coor ⎛⎜ π ⎞⎟ = ( 0 , 1) ⎝2⎠

coor ⎛⎜ 3 π ⎞⎟ = ( 0 , − 1) ⎝ 2 ⎠

coor (2 π ) = ( 1 , 0 )

coor (2 π ) .

coor (π ) = ( − 1 , 0 )

Ejemplo 5 Encontrar el valor de

coor ⎛⎜ 11π ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

coor ⎛⎜ 11π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ 3 π + 4 π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ 3 π ⎞⎟ = (0 ,−1) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

Ejemplo 6 Hallar

coor ⎛⎜ − 51π ⎞⎟ ? ⎝ 2 ⎠

Se observa que : El arco dado es negativo lo que indica que éste se tomará a partir del punto (1 , 0 ) en sentido de las manecillas del reloj. El arco de

51π = 24 π + 3 π = 2π(12 ) + 3⎛ π ⎞ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝2⎠

, lo que significa que el arco − 51π se obtiene al dar

12 vueltas completas en el sentido de las manecillas del reloj más

3⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝2⎠

, por lo tanto el

arco tiene su punto final sobre el eje y en su parte positiva, lo que lleva a establecer que coor ⎛⎜ − 51π ⎞⎟ = (0 , 1) ⎝ 2 ⎠

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287

CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA

Ejercicios 16.1

Encontrar el valor de la longitud del arco sobre el círculo unitario para:

π + 4 21

3 π + 3 vueltas 2

vueltas

π +4 2

vueltas

en sentido contrario a las manecillas del reloj

Analizar: 4.

Cuál es el dominio y el rango de la función coordenada?

Qué relación hay entre coor(t) y coor(-t) si t ∈ R?

2 6.

Hallar: coor ⎛⎜ 5 π ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

coor (−5 π )

coor ⎛⎜ 1861π ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

En qué cuadrante está la imagen de 9.

coor (2 )

10.

coor (−3.7 )

11.

coor ⎜⎛ −16 ⎟⎞ ⎝ 3 ⎠

12.

coor ⎜⎛ 14 ⎞⎟ ⎝ 3 ⎠

13.

coor (−3 )

14.

coor (−7,1)

15.

coor (4 )

16.

coor ⎛⎜ 9 ⎞⎟ ⎝2⎠

16.6 FUNCIÓN COORDENADA PARA ARCOS ESPECIALES En una circunferencia, cualquier diámetro es eje de simetría. La ecuación de la circunferencia unitaria con r = 1 y centro en (0,0 ) es 2

x +y

⎛

⎞

⎝

⎠

Un punto sobre la circunferencia tiene coordenadas ⎜⎜ x , 1 − x 2 ⎟⎟ si está en el cuadrante I o en el cuadrante II, y

⎛ 2 ⎜⎜ x ,− 1 − x ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

si está en el

cuadrante III o en el cuadrante IV. Simetrías en el plano. Sección 5.3 Cuerda de una circunferencia es un segmento que tiene sus extremos en dos puntos de ella. Cuerdas que subtienden arcos congruentes son congruentes.

Encontrar las coordenadas de los arcos 2π,

π, π , y 3π 2 2

fue fácil. Pero, cómo encontrar las

coordenadas de arcos de longitud diferente? 288

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Los arcos de longitud π , π ó π se consideran arcos especiales gracias a que su ubicación 4 3

exacta en la circunferencia unitaria es relativamente fácil, ya que surgen cuando se inscribe un polígono de 4, 6 o 3 lados de forma conveniente, así: π

π 4

π 3

x −

Cuál es el valor de

π 6

coor ⎛⎜ π ⎞⎟ ? ⎝4⎠

En primer lugar, a partir de lo visto en la sección 18.5, se sabe que la longitud de un arco que cubre un cuadrante es π . Un arco de longitud π = 1 ⎛⎜ π ⎞⎟ por lo tanto el punto terminal P 2

del arco de longitud

π 4

2⎝2⎠

se encuentra en el punto medio del arco que cubre el primer

cuadrante. Puede entonces establecerse que: Por la simetría del círculo el punto P tiene como coordenadas ( x , y ) = ( x , x ) . Como P se encuentra sobre el circulo unitario se tiene que

x +y

=1:

Lo anterior lleva a: 2

x +y

2 2 2 2 2 = 1 ⇒ x + x = 1 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 1 ⇒ x = ± 1 ⇒ x = ± 2 2 2

Como el punto P se encuentra en el primer cuadrante el valor de x es positivo lo que implica que de las soluciones obtenidas anteriormente, se descarta el

y= x

valor de x = − 2 .

Luego, el valor de la abscisa del punto P es

2 2

4 x

Para encontrar el valor de la ordenada: Como x 2 + y 2 =1

⇒

⎛ 2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎠ ⎝

+ y 2 =1

⇒

2 4

+ y 2 =1

⇒

y =±

1 2

Nuevamente por estar P en el primer cuadrante se descarta el valor negativo de y,. obteniendo para la ordenada de P el valor de

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2 2

, concluyendo que

⎛ 2 2⎞ ⎟ coor ⎛⎜ π ⎞⎟ = ⎜⎜ , ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠

289

CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA

Ahora, cómo se podrá encontrar

Sea x

R = (1,0 ) ; Q = ( x , y ) ,

el punto terminal del arco π . P es 3

2π 3

el punto terminal del arco

coor ⎛⎜ π ⎞⎟ ? ⎝3⎠

. Entonces,

coor ⎛⎜ 2π ⎞⎟ = (− x , y ) ⎝ 3 ⎠

por la simetría del círculo respecto al eje y. El arco es igual al arco por lo cual RQ QP sus cuerdas son iguales. Por la fórmula de la distancia entre dos puntos, se tiene que: d (R,Q ) = d (Q,P )

(1 − x )2 + (0 − y )2 = ( x − (− x ))2 + (y − y )2

(1 − x )2 + y 2 = ( x + x )2 + (0 )2

⇔

1− 2x + x + y = 4x '*(* )

⇔

(

⇔

)

2 2x + x − 1 = 0

⇔

2(2 x − 1)(2 x + 1) = 0

x=1 2

⇒

4x + 2x − 2 = 0

Porque se está trabajando en el círculo unidad.

x = −1

Como el punto coor ⎛⎜ π ⎞⎟ = ( x , y ) se encuentra ubicado en el primer cuadrante el valor de x debe ⎝3⎠

ser positivo, por lo tanto se descarta el valor negativo obtenido como solución de la ecuación. Ahora para encontrar el valor de y puede usarse el hecho de que el punto se encuentra sobre la circunferencia unitaria por lo cual. y

Nuevamente como

= 1− x

⇒y

coor ⎛⎜ π ⎞⎟ = ( x , y ) ⎝3⎠

⇒

=3 4

⇒

2 = 1 −⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎝2⎠

y =± 3 4

⇒

y =±

= 1− 1 4

3 2

está en el primer cuadrante el valor de y debe ser positivo

por lo tanto se descarta la solución negativa. Lo anterior lleva a concluir que

290

⎛ 3 ⎞⎟ coor ⎛⎜ π ⎞⎟ = ⎜⎜ 1 , ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Cómo encontrar

coor ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝6⎠

con un procedimiento

similar al anterior?

De acuerdo con la gráfica, se debe encontrar el valor de la abscisa y la ordenada del punto Q, que es el punto terminal del arco ⎛⎜ π ⎞⎟ .

P Q

π S

⎝6⎠

−π

Sea Q = ( x , y ) y su simétrico con respecto al eje x, R = ( x ,− y ) . Como mQR = mQS + mSR entonces mQR es ⎛⎜ π ⎞⎟ y dado que mPQ es ⎛⎜ π ⎞⎟ puede

⎝3⎠

concluirse que

( x − x )2 + (y − (− y ))2 = (0 − x )2 + (1 − y )2

d (Q , R ) = d (P , Q ) .

(2 y ) 2 = ( − x ) 2 + 1 − 2 y + y 2

⇔

= x + 1 − 2y + y

)

(

2 2 2 2 2 ⇔ 4 y + 2 y − 1 = x + y ⇔ 4 y + 2 y − 2 = 0 ⇔ 2 2 y + y − 1 = 0 ⇔ ( y + 1)(2 y − 1) = 0 ⇒ y = −1 ó y = 1 '*(* ) 2 1

Como el punto Q se encuentra en el primer cuadrante, el valor de y es positivo. Por lo tanto, de las dos soluciones de la ecuación sólo es válido para la ordenada de Q el valor 1 . 2

Para encontrar el valor de la abscisa, se reemplaza en la ecuación de la circunferencia unitaria el valor de y:

x + ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1 ⎝2⎠ 2

⇔

= 1− 1 4

⇔

x=±

3 2

. Nuevamente, como Q está en

el primer cuadrante el valor de x buscado es 3 . Por lo tanto, podemos concluir que: 2

⎛ 3 1⎞ coor ⎛⎜ π ⎞⎟ = ⎜⎜ , ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠

16.7 FUNCIÓN ESPECIALES

COORDENADA

PARA

MÚLTIPLOS

ARCOS

Una vez hallados los valores de la función coordenada para arcos especiales en el primer cuadrante, es fácil encontrar la función coordenada para los múltiplos de dichos arcos aplicando las simetrías de la circunferencia. Si se divide el arco correspondiente a media circunferencia, en cuatro partes iguales, cada arco medirá π . Para el primer arco, se hallaron las coordenadas en la sección anterior y se 4

encontró que

⎛ ⎞ coor ⎛⎜ π ⎞⎟ = ⎜⎜ 2 , 2 ⎟⎟ ⎝4⎠ ⎝ 2 2 ⎠

. Con base en éste se determinarán las coordenadas de los

arcos múltiplos impares de π : 4

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291

CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA

⎛ 2 2 ⎞⎟ coor ⎛⎜ 3 π ⎞⎟ = ( x 1 , y 1 ) = ⎜⎜ − , 2 2 ⎟⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝

, puesto que el y

punto ( x 1 , y 1 ) es el simétrico del punto ⎛ 2 2⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 2 , 2 ⎟ ⎠ ⎝

respecto del eje y.

⎛ 2 2 ⎞⎟ ⎜ , ⎜ 2 2 ⎟ ⎝ ⎠

(x 1 ,y 1 )

⎛ 2 2 ⎞⎟ , coor ⎛⎜ 5 π ⎞⎟ = ( x 2 , y 2 ) = ⎜⎜ − ,− ⎟ 2 2 ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎠

es el punto simétrico de

ya que éste

⎛ 2 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 , 2 ⎟ ⎝ ⎠

con

respecto al punto (0,0 ) .

(x 3 ,y 3 )

(x 2 ,y 2 )

Puesto que el punto ( x 3 , y 3 ) es el simétrico del punto

⎛ 2 2⎞ ⎟ ⎜ , ⎟ ⎜ ⎝ 2 2 ⎠

respecto del eje x,

⎛ 2 2 ⎞⎟ coor ⎛⎜ 7 π ⎞⎟ = ( x 3 , y 3 ) = ⎜⎜ ,− ⎟ 2 2 ⎝ 4 ⎠ ⎠ ⎝

Las coordenadas de los arcos múltiplos pares de π , coinciden con las coordenadas de 4

los cortes de la circunferencia con los ejes x e y. De esta forma, se tiene que: coor ⎛⎜ 2 π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ π ⎟⎞ = (0,1) ; ⎝ 4 ⎠ ⎝2⎠

coor ⎛⎜ 4 π ⎞⎟ = coor (π ) = (− 1,0 ) ; ⎝ 4 ⎠

coor ⎛⎜ 6 π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ 3 π ⎞⎟ = (0,−1) ; ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠

coor ⎛⎜ 8 π ⎞⎟ = coor (2π ) = (1,0 ) ⎝ 4 ⎠

Ejemplo 7 Encontrar

coor ⎛⎜ 15 π ⎞⎟ ⎝ 4 ⎠

puede expresarse como

función coordenada. Por lo tanto,

coor ⎛⎜ 15 π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ 2π + 7 π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ 7 π ⎞⎟ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎝ 4 ⎠

por la periodicidad de la

⎛ 2 2 ⎞⎟ coor ⎛⎜ 15 π ⎞⎟ = ⎜⎜ ,− 2 ⎟⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2

Ejemplo 8 Determinar

coor ⎛⎜ − 5 π ⎞⎟ : ⎝ 4 ⎠

⎛ ⎞ coor ⎛⎜ − 5 π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ 3 π ⎞⎟ = ⎜⎜ − 2 , 2 ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠

292

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Los arcos múltiplos de π pueden determinarse con un procedimiento similar al desarrollado 6

para encontrar los arcos múltiplos de π . Gráficamente, se puede visualizar: 4

y R

π 6 x

U D

Al observar la gráfica anterior se tiene que la circunferencia unitaria se encuentra dividida en 2π π 12 arcos iguales por lo tanto la medida de cada arco tendrá una medida igual a = 12 6 ⎛ π ⎞ ⎛ 3 1 ⎞⎟ Conocido el valor coor P = coor ⎜ ⎟ = ⎜ , se analizan las simetrías sobre la , ⎝ 6 ⎠ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ circunferencia y se tiene: Simetría Punto de Referencia

Longitud del arco Punto d e análisis

Tipo

Arco

Longitud

Valor de la Función Coordenada

Axial: Con respecto al eje y.

5π 6

⎛ 3 1 ⎞⎟ coor ⎛⎜ 5 π ⎞⎟ = ⎜⎜ − , ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠

Central: Con respecto al punto (0,0 ) .

7π 6

⎛ 3 1 ⎞⎟ coor ⎛⎜ 7 π ⎞⎟ = ⎜⎜ − ,− ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 2⎠

Axial: con respecto al eje x.

11π 6

⎛ 3 1⎞ coor ⎛⎜ 11π ⎞⎟ = ⎜⎜ ,− ⎟⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 2⎠

Axial: Con respecto a la recta y = x .

2π = π 6 3

⎛ 3 ⎞⎟ coor ⎛⎜ π ⎞⎟ = ⎜⎜ 1 , ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠

Axial: Con respecto al eje y.

4 π = 2π 6 3

⎛ 3 ⎞⎟ coor ⎛⎜ 2π ⎞⎟ = ⎜⎜ − 1 , ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠

Central: Con respecto al punto (0,0 ) .

8π = 4π 6 3

⎛ 3 ⎞⎟ coor ⎛⎜ 4 π ⎞⎟ = ⎜⎜ − 1 ,− , ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠

Axial: Con respecto al eje x.

10π = 5π 6 3

⎛ 3 ⎞⎟ coor ⎛⎜ 5 π ⎞⎟ = ⎜⎜ 1 ,− , ⎝ 3 ⎠ ⎝2 2 ⎟⎠

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293

CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA

Para los puntos que se encuentran sobre los ejes se tiene: B: coor ⎛⎜ 3 π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ π ⎞⎟ = (0,1)

C: coor ⎛⎜ 6 π ⎞⎟ = coor (π ) = (− 1,0 )

D: coor ⎛⎜ 9 π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ 3 π ⎞⎟ = (0,−1) ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 ⎠

A: coor ⎛⎜ 12π ⎞⎟ = coor (2π ) = coor (0 ) = (1,0 )

⎝ 6 ⎠

⎝2⎠

⎝ 6 ⎠

Ejemplo 9 Calcular el valor de

coor ⎛⎜ 67 π ⎞⎟ . ⎝ 3 ⎠

Dado que la función coordenada tiene período 2 π , se establece: ⎛ 3 ⎞⎟ coor ⎛⎜ 67 π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ 22 π + π ⎟⎞ = coor ⎛⎜ 11(2π ) + π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ π ⎞⎟ = ⎜⎜ 1 , ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠ 3⎠ 3⎠

Ejemplo 10 Encontrar

coor ⎛⎜ 43 π ⎞⎟ . ⎝ 6 ⎠

Por la periodicidad de la función coordenada: coor ⎛⎜ 43 π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ 6 π + 7 π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ 7 π ⎞⎟ ⎝ 6 ⎠

⎝

6 ⎠

⎝ 6 ⎠

El arco 7π tiene su punto terminal en el tercer cuadrante y es el simétrico de π con respecto 6

al punto (0,0 ) . En consecuencia, las coordenadas de coordenadas del punto terminal del arco π , es decir 6

7π 6

serán los opuestos aditivos de las

⎛ 3 1 ⎞⎟ coor ⎛⎜ 43 π ⎞⎟ = ⎜⎜ − ,− ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 2⎠

Ejemplo 11 Determinar el arco de referencia para

coor ⎛⎜ 35 π ⎞⎟ ⎝ 4 ⎠

coor ⎛⎜ 35 π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ 4(2π ) + 3 π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ 3 π ⎞⎟ . ⎝ ⎝ 4 ⎠ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠

y para

Pero el arco

coor ⎛⎜ −39 π ⎞⎟ ⎝ 6 ⎠

3π 4

no se ubica en el primer cuadrante.

Es el simétrico con respecto al eje y del arco π . Lo que significa que para determinar las 4

coordenadas del arco 35π se toma como referencia el arco π . 4

coor ⎛⎜ − 39 π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ − 13 π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ − π ⎞⎟ 6 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 2⎠

. En este caso, no hay arco de referencia, puesto que

se trata de un arco con punto terminal sobre el eje y.

294

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 12 Encontrar el valor de

coor ⎛⎜ − 1861π ⎞⎟ 3 ⎠ ⎝

⎛ 3 ⎞⎟ coor ⎛⎜ − 1861π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ − 310 (2π ) − π ⎞⎟ = coor ⎛⎜ − π ⎞⎟ = ⎜⎜ 1 ,− ⎝ 3 ⎠ 3⎠ 2 ⎟⎠ ⎝ ⎝ 3⎠ ⎝2

Ejemplo 13 Determinar

coor ⎛⎜ − 9 π ⎞⎟ ⎝ 8 ⎠

, si se sabe que

El punto terminal del arco ⎛⎜ π ⎞⎟ . ⎝8⎠

En consecuencia,

⎛⎜ − 9 π ⎞⎟ ⎝ 8 ⎠

coor ⎛⎜ π ⎞⎟ = (0 ,92; 0 ,38 ) ⎝8⎠

se encuentra en el segundo cuadrante y es el simétrico de

coor ⎛⎜ − 9 π ⎞⎟ = (− 0,92; 0 ,38 ) . ⎝ 8 ⎠

16.8 ARCOS DE REFERENCIA Los arcos del primer cuadrante a los cuales se recurre para analizar los arcos de otros cuadrantes a partir de las simetrías, son llamados arcos de referencia. Para determinar el arco de referencia, se halla el arco en sentido positivo entre el punto terminal del arco y el punto más próximo de corte entre el círculo unitario y el eje horizontal. Los arcos de referencia se representarán como sr. s

s sr

Para arcos en el primer cuadrante, el arco de referencia es el mismo arco: Para arcos en el segundo cuadrante,

sr = π − s

Para arcos en el tercer cuadrante,

sr = s − π .

Para arcos en el cuarto cuadrante,

s r = 2π − s

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sr = s

295

CAPÍTULO XVI FUNCIÓN COORDENADA

Ejemplo 14 Determinar el arco de referencia de 7π . 6

El arco de 7π tiene su punto terminal en el tercer cuadrante, por lo cual el arco de referencia 6

será: s r = 7π − π = π 6 6

Ejemplo 15 Cual es el arco de referencia de un arco de longitud 5? Como se vio en el ejemplo 3 de la sección 18.4, un arco de longitud 5 termina en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, su arco de referencia se calcula como: s r = 2 π − 5 ≈ 6.28 − 5 ≈ 1.28

Ejercicios 16.2

En cada caso encuentre el par ordenado y represente el arco correspondiente en la circunferencia unitaria.

13 π ⎞ coor ⎛⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠

coor ⎛⎜ − π ⎞⎟ ⎝ 4 ⎠

9π coor ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 4 ⎠

7π coor ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 3 ⎠

27 π ⎞ coor ⎛⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠

coor ⎛⎜ ⎝

Sabiendo que 9.

coor

coor (s ) ≅ (−0 ,31;0 ,96 )

−13 π ⎞ ⎟ 6 ⎠

coor ⎛⎜ −5 π ⎞⎟ ⎝ 6 ⎠

coor ⎛⎜ 19 π ⎞⎟ ⎝ 3 ⎠

(25 ) ≅ (0,31;0,96 ) , determinar s si: 10.

coor

(s )

≅

(−0 ,31;−0 ,96 )

11.

coor

(s )

= (0 ,31;−0 ,96 )

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

Analizar: ⎛⎜ 1 , 2 ⎞⎟ ⎝3 3⎠

El punto

Cuál es el valor de α con −2π ≤ α < 0 tal que coor (α ) = coor ⎛⎜ 7 π ⎞⎟ .

296

pertenece al rango de la función coordenada? Justificar. ⎝ 6 ⎠

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Para qué valor de s con 0 ≤ s ≤ 2π se cumple: 3.

coor (s ) = ( x , x )

coor (s ) = ( x ,− x )

coor (s ) = (− x , x )

coor ⎛⎜ π − α ⎞⎟ = (y , x ) ⎝2 ⎠

Diga si es verdadero o falso y por qué: 6.

coor (2 π ) = (1 ; 0 )

coor (α + π ) = (− x ,− y )

coor (α − 200 π ) = ( x , y )

10.

coor ⎛⎜ 5 π ⎞⎟ = − coor ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝6⎠

11.

⎛ ⎞ Si coor (α ) = ⎛⎜ − 11 ; 5 ⎞⎟ , entonces , coor (α − π ) = ⎜⎜ 11 ; − 5 ⎟⎟ 13 13 ⎝ 13 13 ⎠

2 12.

⎝

representa la distancia entre los puntos coor (s )

coor ⎛⎜ π ⎞⎟ coor ⎛⎜ 5 π ⎞⎟ ⎝6⎠ ⎝3 ⎠

Si 15.

coor (s ) coor (t )

13.

coor (s ) = ⎛⎜ − 5 , 12 ⎞⎟ , ⎝ 13 13 ⎠

coor (π − s )

16.

⎠

coor (π ) coor (2π )

14.

coor (t ) ,

encuentre:

coor ⎛⎜ 27 π ⎞⎟ coor ⎛⎜ − 13 π ⎞⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠

determinar:

coor (π + s )

17.

coor (− s )

18.

coor (2π + s )

19.

coor (2π − s )

Encontrar el valor de a si: 20.

coor (s ) = (2a , a )

y s está en el III cuadrante.

21.

coor (s ) = ⎜⎛ 3 , 4 ⎟⎞ ⎝a a⎠

y s está en el I cuadrante.

Analizar: 22.

En una prueba se pidió determinar el cuadrante en que estaba ubicado un arco de longitud 5 y un estudiante escribió lo siguiente: Sea

π 2

aproximadamente 1,57

Ahora

5 1,57

es 3,18

Por lo tanto el arco de longitud 5 está en el tercer cuadrante. Qué nota le pondría usted y por qué?

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297

EN CONSTRUCCIÓN

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“Preciso es encontrar lo infinitamente grande en lo infinitamente pequeño, para sentir la presencia de Dios”

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR 17.1 INTRODUCCIÓN 17.2 FUNCIÓN y=sen ( s ) 17.3 FUNCIÓN Y = Asen(x) 17.4 FUNCIÓN y=sen(x)+D 17.5 FUNCIÓN y=sen( x + C ) 17.6 FUNCIÓN y=sen ( Bx ) 17.7 FUNCIÓN y= Asen( Bx + C) + D 17.8 FUNCIÓN y = cos (x) 17.9 FUNCIÓN y = tan (x) 17.10 FUNCIÓN y = cot (x) 17.11 FUNCIÓN y = csc ( x ) 17.12 FUNCIÓN y = sec ( x ) EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

17.1 INTRODUCCIÓN Una vez estudiada la función coordenada, es posible establecer relaciones entre un arco dado y una de las coordenadas de su punto terminal o entre el arco dado y relaciones aritméticas de dichas coordenadas. como se muestra a continuación: Ü

Seno: Si se relaciona un arco s sobre la circunferencia unitaria con el valor de la ordenada de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza: sen (s ) = b

coor (s ) = (a , b )

con

a≠0

coor (s ) = (a , b )

con

b≠0

Secante: Correspondencia entre un arco s sobre la circunferencia unitaria y el valor recíproco de la abscisa de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza: sec (s ) = 1 a

300

Cosecante: Relación entre un arco s sobre la circunferencia unitaria y el valor recíproco de la ordenada de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza: csc (s ) = 1 b

coor (s ) = (a , b )

Tangente: Asociando al valor de un arco s sobre la circunferencia unitaria, el valor de la razón entre la ordenada y la abscisa de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza: tan (s ) = b a

Coseno: Cuando se relaciona un arco s sobre la circunferencia unitaria con el valor de la abscisa de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza: cos (s ) = a

coor (s ) = (a , b )

con

a≠0

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Cotangente: Asocia a un arco s sobre la circunferencia unitaria, el valor de la razón entre la abscisa y la ordenada de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza: cot (s ) = a b

coor (s ) = (a , b )

b≠0

Tal como ocurrió en la Función Coordenada, donde a cada arco se le asocia una y sólo una pareja sobre la circunferencia unitaria, cada una de las seis relaciones anteriores, conserva la condición de un único valor asociado a un arco dado, lo cual permite concluir que todas ellas son funciones y que por estar definidas con relación a las longitudes de arco del círculo unitario – que son en realidad números reales –, son denominadas funciones circulares. Definidas estas funciones, puede decirse que un punto sobre la circunferencia unitaria, cuyas coordenadas son ( x , y ) , es posible expresarlo como (cos (s ), sen (s )) , y la correspondiente ecuación de la circunferencia se expresaría como: x

⇔

(cos (s ))2 + (sen (s ))2

⇔

cos

(s ) + sen 2 (s ) = 1

Es la función cos y la función sen las que están elevadas a la 2. No es el arco s.

La ecuación a la que se ha llegado, es conocida con el nombre de Identidad Pitagórica.

Ejemplo 1 Encontrar el valor de

sen (s ) ,

si cos (s ) = 4

sen (s ) < 0 .

Sabiendo que s es un arco sobre la circunferencia unitaria, es posible establecer: cos

(s ) + sen 2 (s ) = 1

sen (s ) = ± 1 − cos 2 (s )

⇔

sen (s ) = ± 1 − ⎛⎜ 4 ⎞⎟ ⎝5⎠

Como sen (s ) < 0 ⇒

⇔

sen (s ) = ± 3 5 3 sen (s ) = − 5 ⇔

Q Ejemplo 2 Si sen (s ) = − 4 5

cos (s ) < 0

Encontrar el valor de: las cinco relaciones

cos (s ) , tan (s ) , cot (s ) ,

sec (s ) , csc (s )

cos (s ) = ± 1 − sen 2 (s )

⇔

cos (s ) = ± 1 − ⎛⎜ 4 ⎞⎟ ⎝5⎠

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⇔

cos (s ) = ± 3 5

301

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

Como cos (s ) < 0 ⇒ cos (s ) = − 3 ; tan (s ) = 5

sec (s ) = 1 = − 5 3 − 35

− 54 −

3 5

=4 3

; cot (s ) =

− 35 −

4 5

=3 4

;

; csc (s ) = 14 = − 5 −

Ejercicios 17.1

Encontrar el valor de:

sen ⎛⎜ 3 π ⎞⎟ ⎝ 4 ⎠

cos ⎛⎜ − 7 π ⎞⎟ ⎝ 3 ⎠

cot ⎛⎜ 5 π ⎞⎟ ⎝ 6 ⎠

sec⎛⎜ 5 π ⎞⎟ ⎝ 3 ⎠

tan ⎛⎜ − 7 π ⎞⎟ ⎝ 6 ⎠

csc ⎛⎜ − 13 π ⎞⎟ 4 ⎠ ⎝

Simplificar las siguientes expresiones:

cot ⎛⎜ π ⎞⎟ + csc ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝6⎠ ⎝4⎠

2 csc ⎛⎜ π ⎞⎟ + cot ⎛⎜ π ⎟⎞ ⎝4⎠ ⎝6⎠ tan ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝6⎠

¹ 11.

sen (s ) < 0

tan (s ) > 0

14.

Si sen (s ) = − 3

cot (s ) < 0

12.

sen (s ) > 0 ,

cuál es el valor de

π < s < 3π , 2

csc (s ) > 0

tan (s ) ?

cuál es el valor de

sec (s ) ?

Encontrar el valor de las seis relaciones entre las coordenadas del punto terminal del arco s Se sabe que sen (s ) = 3 y 10

302

10.

2 2 2 sen ⎛⎜ π ⎞⎟ + cos ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝3⎠ ⎝4⎠ 2 sen ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝2⎠

Encontrar el valor de la función: Si cos (s ) = 3

15.

2 sec (0 ) − 3 cot ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝4⎠

Determinar el cuadrante en el cual está el punto terminal del arco que cumple con:

13.

cos (s ) < 0 .

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

17.2 FUNCIÓN y=sen ( s ) Un punto sobre la gráfica de la función y

= sen (s )

tiene la forma: (s , sen (s ))

Dado que la función seno se define a partir de la función coordenada, las características de esta nueva función se establecen a partir de las características de la ya conocida. Ü

Dominio: Son todos los números reales, ya que cualquier real puede representar una longitud de arco.

Rango: De acuerdo con la definición de la función seno, sen (s ) = b

coor (s ) = (a , b )

debe tomar valores que cumplan con

a + b = 1,

de lo cual se deduce que

b ∈ [−1;1] .

Comportamiento de la función seno en cada uno de los cuadrantes: Nuevamente, se analizará la función coordenada para deducir el comportamiento de la segunda componente, la ordenada, en cada uno de los cuadrantes:

Cuadrante

Longitud de arco entre…

Signo de la ordenada

Intervalo al que pertenece la ordena

Tipo de función

⎛⎜ 0, π ⎞⎟ ⎝ 2⎠

Positivo

(0,1)

Creciente

⎛⎜ π , π ⎞⎟ ⎝2 ⎠

Positivo

(0,1)

Decreciente

III

⎛⎜ π , 3 π ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

Negativo

(−1; 0 )

Decreciente

⎛⎜ 3 π ,2π ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

Negativo

(−1; 0 )

Creciente

Valor de la función seno para arcos con punto terminal sobre los ejes: Longitud de arco

Valor de la Función coordenada

Valor de la Función Seno

(1,0 )

π 2

(0,1)

(−1,0 )

3π 2

(0,−1)

−1

2π

(1,0 )

Para representar gráficamente en el plano cartesiano la información anterior, se debe considerar que sobre el eje horizontal se tomarán las longitudes de arco s y sobre el eje vertical se tomarán los valores de sen (s ) . Por lo tanto se debe escoger una escala en concordancia con los datos que se tienen: para el eje horizontal en múltiplos y submúltiplos de π , y, para el eje vertical en unidades.

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303

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

2 –7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

−

y 1

–1

–2

La información anterior es suficiente para esbozar la gráfica de la función seno en un sistema de coordenadas cartesianas?. No. La información que se tiene no es suficiente para hacer una aproximación de la función seno, ya que se sabe en qué intervalos la función es positiva y en qué intervalos es negativa, y cuándo crece o decrece la función, pero no se sabe con exactitud cuál es la trayectoria de la línea que une todos los puntos que pertenecen a la función.

sen ( s ) 1 Positiva y creciente

Positiva y decreciente

s π/2

3π/2 Negativa y decreciente

2π Negativa y creciente

-1

Se puede recurrir a la información de las coordenadas de los arcos especiales, para solucionar esta situación? Recordando los valores de la función coordenada para los arcos especiales, vistos en la sección 18.6, puede establecerse el valor de la función seno para los mismos, como se ve a continuación: Longitud de arco

Valor de la Función coordenada

Valor de la Función Seno

π 6

⎛ 3 1⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 2 ,2⎟ ⎠ ⎝

1 2

π 4

⎛ 2 2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ 2 2 ⎠

2 2

π 3

⎛1 3⎞ ⎟ ⎜ , ⎜2 2 ⎟ ⎠ ⎝

3 2

304

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Si se adicionan estos puntos a la información ya conocida en el intervalo

⎛ 0; π ⎞ , ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

se tendría

una mejor aproximación al comportamiento real de la función, pero aún no es suficiente para esbozarla completamente. La experiencia ha permitido establecer que una primera tendencia del estudiante es la de unir cada pareja de puntos conocidos mediante un segmento de recta, o con segmentos de recta, según el número de puntos con que se cuenta. Pero no es posible unirlos con una línea recta dado que la razón entre los desplazamientos verticales y los horizontales para tres puntos cualesquiera no es constante.

1.0 3 2 2 2 2 −1

π 12 ⎛

Si se prueba con una línea poligonal para unir los puntos conocidos, se estaría suponiendo que la función seno está definida con ecuaciones de rectas diferentes para cada subintervalo de su dominio, lo cual sería una función definida a trozos.

π/6

π /4

π /3

π /2

La única posibilidad es unir los puntos mediante una línea curva suave como la que se muestra en la gráfica. Para representar la función en el intervalo (0; 2π ) puede hacerse uso de las simetrías en la circunferencia, dando origen a la siguiente representación.

sen(s) 1

s π/2

3 π /2

-1

Esta gráfica de la función seno en el intervalo [0; 2π] , que corresponde a un período de la función, representa su ciclo fundamental. Entre 0 y π la función es cóncava hacia abajo o cóncava, y entre π y 2π la función es cóncava hacia arriba o convexa. El punto donde cambia la concavidad, π , se llama punto de inflexión.

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305

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

Sin embargo, como el dominio de la función son todos los reales y la función tiene período 2π , su representación gráfica es: sen(s) 1

s − 4π

− 2π

2π

6π

4π

Ciclo Fundamental

A una función que presenta un comportamiento como el aquí mostrado, se conoce con el nombre de curva sinusoidal u onda sinusoidal dado que se asemeja a una onda. Con esta gráfica se confirma otras características de la función seno: Ü

Periodicidad: Dado que la función seno es una de las componentes de una función periódica, se cumple que: sen (s ) = sen (s + k (2 π )), k ∈ Z .

Amplitud: Si se analizan las dos regiones del plano a las que da lugar el eje x, es decir, la región de los valores positivos y la de los valores negativos para la función, y se analizan de manera aislada, se encuentra que la máxima distancia posible entre el eje x y la función, es exactamente igual tanto en la región positiva como en la negativa. A esa máxima distancia se le conoce con el nombre de amplitud.

La función corta al eje horizontal en más de un punto es decir s ∈ {0,± π,± 2π,± 3 π,± 4 π,± 5π ± 6 π,...} = {x x ∈ ℜ y x = kπ, k ∈ Z }

La función corta el eje vertical en (0.0 ) .

La función no es uno a uno ya que para dos elementos diferentes del dominio existe un mismo valor de sen (s ) .Por ejemplo: sen

sen (s ) = 0

π −11π 1 5π = sen = sen = 6 6 6 2

La función es simétrica respecto al origen, lo cual se expresa matemáticamente como: sen (− s ) = − sen (s )

para todo s ∈ ℜ

Una función que presenta esta característica es llamada función impar.

La función tiene valores máximos en:

{

}{

s ∈ ... − 7 π ,− 3 π , π , 5π ,... = s s = π + 2kπ, k ∈ Z 2 2 2 2 2

si y solo si

}

La función tiene valores mínimos en:

{

}

s ∈ ... − 5 π ,− π , 3 π , 7 π , 11π ,... = ⎧⎨s s = 3 π + 2kπ, k ∈ Z ⎫⎬ 2 2 2 2 2 2 ⎭ ⎩

306

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

17.3 FUNCIÓN Y = Asen(x)

En las funciones de la forma recta del eje y.

En las funciones de la forma y = ax 2 + bx + c , la constante a acerca o aleja los brazos de la parábola del eje de simetría.

y = ax + b ,

la constante a acerca o aleja la

En su forma general la función seno se presenta como y = A sen (Bx + C ) + D , donde A, B, C, D, son números reales y A, B ≠ 0. A continuación se efectuará un análisis del efecto de las constantes en la gráfica a partir de y = sen ( x ) , tal como se trabajó con las funciones lineales y cuadráticas. Para comenzar al análisis, se estudiará la incidencia de la constante A en los siguientes casos: Ü

Cuando

A >1

Si se grafican en un mismo plano cartesiano funciones de la forma y = A sen ( x ) con A>1, y se comparan con la representación de y = sen ( x ) para el ciclo fundamental de la función, puede observarse que:

3 2 1

y y=3sen x y=2sen x y=sen x

x π

–1 –2 –3

Mantienen el mismo comportamiento de onda sinusoidal: crece y decrece en los mismos intervalos de y = sen x ,

Se conservan los cortes con el eje horizontal y vertical.

Para valores de x distintos a los de los cortes con el eje horizontal la ordenada cambia con respecto a la primera función, así: En la parte positiva, a mayor valor de A, mayor valor de y; mientras que en la parte negativa el valor de y disminuye a medida que aumenta el valor de A. Este cambio en el valor de las ordenadas genera en conjunto una dilatación vertical de la función. La dilatación vertical a la que se ha dado lugar, produce un cambio en el rango y en la amplitud de las nuevas funciones, así:

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307

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

Función y = sen x

Cuando

Amplitud

Rango

[−1;1] [−2; 2] [−3; 3]

y = 2 sen x

y = 3 sen x

0<A<1

Siguiendo la misma metodología, se compararán las funciones de la forma con la función y = sen ( x ) para establecer sus semejanzas y diferencias:

y 1

y = A sen ( x )

y=sen x y=½ sen x y=¼ sen x

x π

–1

Mantienen el mismo comportamiento de onda sinusoidal creciendo y decreciendo en los mismos intervalos en que crece y decrece, respectivamente, y = sen x

Se conservan los cortes con el eje horizontal y vertical.

Para valores de x distintos a los de los cortes con el eje horizontal, la ordenada cambia con respecto a la primera función, así: En la parte positiva, a mayor valor de A, el valor de y es menor que en y = sen x , mientras que en la parte negativa el valor de y es mayor que el valor de la función y = sen x cuando el valor de A es menor que 1. Este cambio en el valor de las ordenadas genera en conjunto una contracción vertical de y = sen x . El cambio vertical al que se ha dado lugar, produce un cambio en el rango y en la amplitud de las nuevas funciones, así:

Función y = sen x

308

Amplitud

Rango

[−1;1]

y = 1 sen x 2

1 2

⎡− 1 ; 1 ⎤ ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦

y = 1 sen x 4

1 4

⎡− 1 ; 1 ⎤ ⎢⎣ 4 4 ⎥⎦

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Cuando A = –1

y 1 y=sen(x) x 2

3π/2

2π

y= – sen(x) –1

Si A= –1, se obtiene una gráfica simétrica, con respecto al eje de las x, a y = sen x . Este cambio da lugar a que:

Los cortes con los ejes se mantienen.

El ciclo fundamental es igual.

La amplitud no cambia.

El rango de la función es el mismo.

En el valor de x para el cual se tenía un punto máximo en la primera función, se tiene ahora en la segunda, un punto mínimo, y viceversa.

Los intervalos en donde la función y = sen x crece, decrece la función y = − sen x , pero los intervalos de decrecimiento de la primera, coinciden con los intervalos de crecimiento de la segunda.

Cuando A < 0

y= – 2sen(x) 1

Y = – 1/2sen(x) π

y= – sen(x)

La gráfica permite ver que en general, la función de la forma y = A sen x , con A < 0 cambia los intervalos de crecimiento y decrecimiento con respecto a la función y = sen x .

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309

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

Las funciones con −1 < A < 0 , la función se contrae verticalmente.

Las funciones con

A < −1 ,

la función se dilata verticalmente.

Estudiados todos los posibles valores para la constante A ≠ 0 , puede concluirse que: Ü

Las funciones con A > 1 presentan una dilatación con respecto a la función y = sen x .

Las funciones con A < 1 presentan una contracción con respecto a la función original.

El rango de la función está definido en el intervalo [− A , A ] .

El valor máximo de la función es A .

El valor mínimo de la función es − A .

El ciclo fundamental es 2π.

Los cortes con el eje x están en 0, π y 2π, y corta al eje y en x = 0.

Ejercicios 17.2

Hacer la gráfica de las siguientes funciones:

y = 3 sen( x ) 2

y = 2 sen( x ) 3

y = −2 sen ( x )

y = 3 sen ( x )

2 6.

y = − 3 sen( x ) 2

Determinar rango, amplitud, coordenadas de los puntos máximos y mínimos, intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente, intervalos donde la función es mayor que cero, menor que cero e igual a cero para: y = 2 sen ( x )

y = − 5 sen( x ) 2

Para las siguientes gráficas encuentre la expresión algebraica:

3 2 1 -1 -2 -3

310

y x π/2

3π/2

2π

3 2 1 -1 -2 -3

y x π/2

3π/2

2π

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

17.4 FUNCIÓN y=sen(x)+D

En las funciones de la forma y = x + b , y una traslación vertical de la función así:

y = x +b

la constante b produce

Hacia arriba si b > 0 Hacia abajo si b < 0

Hasta el momento se ha realizado un estudio de la función y = sen ( x ) con la misma metodología con la que se analizaron las funciones lineal y cuadrática, y con la ayuda de su representación gráfica ha sido posible llegar a conclusiones generales similares. Es de esperarse entonces que tal como sucedió con las funciones anteriores, la función seno sufra una traslación vertical cuando a ella se suma una constante. El análisis gráfico permite establecer el comportamiento que presenta la función ante este nuevo cambio:

3.0 y 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5 -3.0

y=sen(x)+2 y=sen(x) y=sen(x)+1 π/2 y=sen(x)-2

x 3π /2

2π

y=sen(x)-1/2

Efectivamente, la suma de una constante positiva, permite que la función original y = sen ( x ) se traslade hacia arriba, mientras que una constante negativa sumada a la función hace que ella se traslade verticalmente hacia abajo. Esta traslación debe producir un cambio en las características de la función. En cuáles? De que forma? El análisis para el ciclo fundamental de la función arroja que: Por tratarse de una traslación vertical de todos los puntos de comportamiento de onda sinusoidal.

y = sen ( x ) ,

mantiene su

La nueva función crece y decrece en los mismos intervalos en que lo hacía la primera función. Los puntos de corte con el eje x necesariamente cambian por la traslación vertical a la que fueron sometidos. Igual sucede con el punto de corte con el eje y. Respecto de la función y = sen ( x ) , no se presenta ningún tipo de dilatación, lo que significa que la nueva función tiene la misma amplitud.

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311

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

Los puntos máximos y mínimos de la nueva función están a y mínimos de la función original.

unidades de los máximos

El último cambio que se debe resaltar es el que se presenta en el conjunto de imágenes de la nueva función. El nuevo rango está entre [−1 + D ; 1 + D ] .

Ejemplo 3 Determinar las características de la función y = sen ( x ) + 1 . 2

La constante D = 1 hace que la función 2

y = sen ( x )

se traslade media unidad hacia arriba. ⎛⎜ 0 ; π ⎞⎟ y en ⎛⎜ 3 π ; 2 π ⎞⎟ . ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2

Los intervalos de crecimiento de la función están en El intervalo de decrecimiento de la función está en

⎛⎜ π ; 3 π ⎞⎟ . ⎝2 2 ⎠

Dado que no se presenta dilatación alguna, la amplitud es igual a 1. Los puntos de corte con el eje x y con el eje y, así como los valores máximos y mínimos de la función merecen un cálculo más cuidadoso: La función corta el eje x cuando su valor es igual a 0: 0 = sen ( x ) + 1 ⇔ sen ( x ) = − 1 ⇔ x = 7 π + 2kπ, k ∈ Z ó x = 11π + 2kπ, k ∈ Z 2 2 6 6

Como se está trabajando en el intervalo [0 ; 2 π ] , x = 7π 6

x = 11π 6

los valores de x son

El corte con el eje y se tiene cuando x = 0: y = sen (0 ) + 1 ⇔ y = 0 + 1 2 2

⇔

y =1. 2

El valor máximo de la función y = sen ( x ) + 1 está en 2

y = sen ⎛⎜ π ⎞⎟ + 1 ⎝2⎠ 2

⇔

y = 1+ 1 2

y =3 2

⇔

y = −1 + 1 2

⇔

, lo que significa que:

x = 3π 2

, lo cual implica que:

El valor mínimo de la función y = sen ( x ) + 1 está en y = sen ⎛⎜ 3 π ⎞⎟ + 1 ⎝ 2 ⎠ 2

x=π 2

y =−1 2

Con los puntos máximos y mínimos es posible definir el rango de la función como ⎡− 1 ; 3 ⎤ . ⎥ ⎢ ⎣ 2 2⎦

El resultado de este análisis se plasma en la siguiente gráfica:

312

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1.5

y=sen(x)+1/2

1.0 0.5

x π/6

π/2

7π /6

11π /6

2π

-0.5 -1.0 -1.5

Ejemplo 4

Para qué valores de D la gráfica de la función el eje x ?

)

y = sen ( x ) + D

no toca

Para que la función no toque el eje x, es necesario que se cumpla: Si la traslación vertical es hacia arriba, el punto mínimo debe ser mayor que cero (0 ) Pero como se sabe que el punto mínimo debe estar en x = 3π , se tiene que: 2

sen ⎛⎜ 3 π ⎞⎟ + D > 0 ⎝ 2 ⎠

⇔

− 1+ D > 0

⇔

D >1

Si la traslación vertical es hacia abajo, el punto máximo debe ser menor que cero (0): Sabiendo que el punto máximo debe estar en x = π , se tiene que: 2

sen ⎛⎜ π ⎞⎟ + D` < 0 ⎝2⎠

⇔

1+ D < 0

⇔

D < −1

Ejercicios 17.3

Hacer la gráfica de las siguientes funciones:

y = sen ( x ) − 3

y = sen ( x ) + 2

y = 3 sen ( x ) − 2,5 2

y = −1,5 sen ( x ) + 2

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313

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

Dibujar la gráfica y determinar rango, amplitud, coordenadas de los puntos máximos y mínimos, intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente, intervalos donde la función es mayor que cero, menor que cero e igual a cero para: y = − 3 sen( x ) + 3 2

Para la siguiente gráfica encuentre la expresión algebraica: 6.

y 2.5

0.5

π /2

3π /2

2π

Determinar algebraicamente los puntos de corte con el eje x y con el eje y, y establecer rango, amplitud, coordenadas de los puntos máximos y mínimos, intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente, intervalos donde la función es mayor que cero, menor que cero para dos ciclos de la función: y = 0.5 sen ( x ) + 2.5

17.5 FUNCIÓN y=sen( x + C )

La representación gráfica de una función de la forma resulta de una traslación horizontal de la gráfica de h unidades a la derecha, si h > 0 h unidades a la izquierda, si h < 0

y = ( x − h )2

y=x

Hasta el momento se ha presentado una similitud en el efecto geométrico que sobre la representación gráfica de una función lineal, cuadrática o seno causa la adición de una constante que se suma o se multiplica a la función base. El nuevo efecto que se estudiará es el que se presenta cuando una constante es sumada a la variable independiente, antes de aplicar la función base. Para apreciar con detalle el efecto de tal constante, se presenta a continuación la representación gráfica de funciones de la forma y = sen ( x + C ) , con C > 0.

314

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y y=sen(x+π /3) y=sen(x+π /4) y=sen(x+π /12) y=sen(x)

π 12

En cada una de las funciones mostradas se muestra un corrimiento horizontal de la función y = sen ( x ) de C unidades hacia la izquierda. Los puntos de corte con el eje x y la abscisa de los puntos máximos y mínimos de la función se encuentran ahora C unidades a la izquierda de los puntos correspondientes a la función y = sen ( x ) . El corte con el eje y ocurre en el punto correspondiente al valor de La amplitud, el rango y el período de la función funciones y = sen ( x + C ) .

y = sen ( x )

sen (C ) .

se conservan en las nuevas

Cuando la constante C es negativa, se espera que el corrimiento horizontal tenga lugar hacia la derecha, y que se mantengan todas las características de la función original excepto sus puntos de corte con los ejes x e y, y las abscisas de sus puntos máximos y mínimos. La siguiente gráfica, en la cual se ha utilizado sobre el eje horizontal una escala de π , 12

confirma las anteriores apreciaciones: y

y=sen(x)

y=sen(x–π /12) y=sen(x–π /4) y=sen(x–π /3)

En funciones circulares, este corrimiento horizontal es llamado desfase.

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315

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

Ejemplo 5 Graficar la función y = 2 sen ( x − π ) + 2 correspondiente al ciclo fundamental, determine con exactitud los cortes con el eje x La función dada está de la forma y = A sen ( x − C ) + D . Como se vio anteriormente, la constante A que multiplica la función seno produce una modificación de la amplitud de la curva, la constante D produce una traslación de 2 unidades hacia arriba y la constante C hace que se presente una traslación horizontal de π unidades a la derecha. Por lo tanto la representación gráfica del ciclo fundamental es:

4 3 2

y=2sen(x- π )+2

y=sen(x)

x π

2π

3π

Cortes con los ejes: Para determinar con exactitud los puntos de corte con el eje x se debe recurrir al álgebra teniendo en cuenta que estos cortes tienen lugar cuando y = 0 , por lo tanto: 0 = 2 sen ( x − π ) + 2

⇔

− 2 = sen( x − π ) 2

− 1 = sen( x − π )

La expresión algebraica a la que se llegó, debe interpretarse como: ¿Para qué arcos la función seno tiene como valor –1?

)

Los arcos para los cuales el seno es igual a –1 son todos aquellos iguales a 3π + 2kπ , k ∈ Z , lo que puede escribirse como: 2

x − π = 3π + 2kπ 2

⇔

x = 5π + 2kπ 2

Pero como sólo se requieren los valores de corte con el eje x es

316

⇔

5π 2

⇒ x

{

}

C.S = ...,− 3 π . π , 5 π , 9π , 13 π ,... 2 2 2 2 2

en el intervalo [π, π + 2π] el único valor para el

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejercicios 17.4

Hacer la gráfica del ciclo fundamental de las siguientes funciones:

y = sen ⎛⎜ x − π ⎞⎟ 2⎠ ⎝

y = 2 sen ⎛⎜ x + π ⎞⎟ − 1 3⎠ ⎝

y = 1 sen ⎛⎜ x − π ⎞⎟ + 2.5 2 6⎠ ⎝

y = −0.5 sen ( x + π ) − 2

Hacer la gráfica y determinar rango, amplitud, coordenadas de los puntos máximos y mínimos, intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente, intervalos donde la función es mayor que cero, menor que cero e igual a cero para: y = 2(3 + sen ( x ))

y = (sen ( x ) − 1) + 1 2

y = 3 sen ⎛⎜ x + 3 ⎞⎟ − 1 ⎝ 4 2⎠ 2

Para la siguiente gráfica encuentre la expresión algebraica: 8.

y 1 x –π/6 -1 -2

17.6 FUNCIÓN y=sen ( Bx ) Una última constante y su efecto sobre la función base y = sen ( x ) es el objeto de estudio de esta sección. La constante B afecta el valor que toma la variable, generando una nueva función que depende del valor de B, así: Cuando 0 < B < 1, En general, respecto de la función y = sen ( x ) , una función de la forma y = sen (Bx ) , con B ≠ 1 , conserva su misma amplitud y su mismo rango, variando el período. Este cambio conlleva un cambio en las abscisas de sus puntos de corte con el eje x y de sus puntos máximos y mínimos. Por supuesto, cambia también su ciclo fundamental. 1 y

1 y y=sen(1/2x)

y=sen(1/3x) x

2π -1

y=sen(x)

Ciclo fundamental ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

4π

2π -1

4π

6π

y=sen(x)

Ciclo fundamental

317

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

Las gráficas permiten ver que siendo B<1, el ciclo fundamental se alarga, y a medida que disminuye el valor de B, el ciclo fundamental se hace más largo. Comparando la función

y = sen ⎛⎜ 1 x ⎞⎟ ⎝2 ⎠

con la función original,

y = sen ( x )

se encuentra que la

nueva función hace 1 ciclo, mientras que la función base hace todo su ciclo fundamental. La 2

función

y = sen ⎛⎜ 1 x ⎞⎟ ⎝2 ⎠

hace su ciclo completo en el intervalo [0; 4 π )

Por su parte la función

y = sen ⎛⎜ 1 x ⎞⎟ ⎝3 ⎠

recorre en el intervalo [0; 2π ) tan sólo 1 de su ciclo 3

fundamental, necesitando el intervalo [0; 6 π ) para completar su ciclo. Cuando B > 1

y=sen(x)

1 y

y=sen(x) y=sen(3x)

y=sen(2x) π/2

3π/2

π/2

2π

-1

3π/2

-1

Ciclo fundamental

En las gráficas se observa, que para un valor de B > 1, la longitud del intervalo donde la función hace su ciclo fundamental se acorta con respecto a la longitud del ciclo de y = sen ( x ) , y a mayor valor de B, menor es la longitud del intervalo. Dicho de otra forma, en el intervalo [0; 2π ) las funciones de la forma y = sen (Bx ) hacen tantos ciclos como lo indique la constante B. De lo anterior, puede deducirse que hay una relación inversa entre el valor de la constante B y la longitud del intervalo del ciclo fundamental de la función base y = sen ( x ) , lo que matemáticamente se simboliza como: El período de la función

y = sen (Bx )

es 2π , B > 0 B

Puede ocurrir que B tome valores no positivos?

)

Si B tomara el valor de cero, se obtendría la función y = sen (0 ) = 0 , la cual coincidiría con el eje x y no correspondería a una función de tipo sinusoidal, sino a una función lineal constante. Es esta la razón por la que en la sección 19.3 se restringe el estudio de y = A sen (Bx ) para funciones con B ≠ 0.

Si B < 0, se tiene una situación diferente que conviene analizar a partir de un ejemplo:

318

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 6 Analizar la función

y = sen (− x ) .

En este caso, B = –1. Como se sabe, la función seno es impar, se cumple que: sen (− x ) = − sen ( x ) Por lo tanto, la gráfica de la función tendrá las características de las funciones y = A sen ( x ) , con A < 0 , que fueron estudiadas en la sección 19.3 y que para este caso particular dio como resultado una gráfica simétrica respecto al eje x de la función y = sen ( x ) .

Ejemplo 7 Representar gráficamente la función 1

y = sen (−2 x )

y y=sen(-2x)

Obsérvese que entre 0 y 2π la función hace dos ciclos que y = sen (−2 x ) corresponden a los ciclos que haría la función y = sen (2 x ) pero que se presentan reflejados con respecto al eje x.

x π

2π y=sen(x)

-1

Ejercicios 17.5

Hacer la gráfica del ciclo fundamental de las siguientes funciones:

y = sen (3 x )

y = sen (πx )

y = sen ⎛⎜ 1 x ⎞⎟ ⎝4 ⎠ y = sen (0,15 x )

17.7 FUNCIÓN y= Asen( Bx + C) + D Para graficar una función de la forma y = A sen (Bx + C ) + D debe tenerse en cuenta que cada una de las constantes estudiadas causaba un efecto geométrico sobre la gráfica de la función y = sen ( x ) . Pero cuando se presentan en una misma función la influencia de todas ellas, es necesario transformar la expresión inicial en una equivalente en la cual la incidencia de cada constante sea sobre la función sen ( x ). Con la ayuda del álgebra, la expresión debe transformarse en: y = A sen (Bx + C ) + D

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⇔

y = A sen ⎛⎜ B ⎛⎜ x + C ⎞⎟ ⎞⎟ + D B ⎠⎠ ⎝ ⎝

319

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

Ejemplo 8 Graficar en el intervalo [0; 2π ) : y = 1 sen (3 x − π ) + 1 2

La expresión equivalente que permite graficar la función a partir de y = 1 sen (3 x − π ) + 1 2

⇔

y = sen ( x )

es:

y = 1 sen ⎛⎜ 3⎛⎜ x − π ⎞⎟ ⎞⎟ + 1 2 3 ⎠⎠ ⎝ ⎝

Detallando la expresión, se encuentra que: La amplitud es igual a 1 . 2

El desfase es de π a la derecha. 3

Hay 3 ciclos en un intervalo 2π, lo que equivale a decir que el período es igual a 2π . 3

Tiene una traslación vertical de 1 unidad en el sentido del eje y.

y 2.0 y=1/2sen(3x–π )+1

1.5 1.0 0.5

x π/3

2π/3

4π/3

5π/3

2π

Ciclo fundamental

Ejemplo 9 Hacer la gráfica de la función

y = sen (πx + 2 )

Al transformar la ecuación a su forma equivalente, se obtiene: y = sen (πx + 2 )

) 320

⇔

y = sen ⎛⎜ π⎛⎜ x + 2 ⎞⎟ ⎞⎟ π ⎠⎠ ⎝ ⎝

No hay que sorprenderse: las constantes B y C pueden tomar cualquier valor real, y tanto π como 2 lo son. Para efectuar la representación π

gráfica, es recomendable modificar la escala sobre el eje x.

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y=sen(π x+2)

-0.6

0.6

1.3

1.9

2.5

3.2

–1

Ciclo fundamental

Ejemplo 10 Hacer la gráfica de y

= −2 sen ⎛⎜ x + π ⎞⎟ − 1 , ⎝ 2 3⎠

y un análisis detallado en el ciclo fundamental.

Para hacer una aproximación de la gráfica de la función es necesario expresar la función en una forma equivalente que permita establecer la incidencia directa de cada una de las constantes: y = −2 sen ⎛⎜ x + π ⎞⎟ − 1 ⎝ 2 3⎠

⇔

y = −2 sen ⎛⎜ 1 ⎛⎜ x + 2 π ⎞⎟ ⎞⎟ − 1 3 ⎠⎠ ⎝2⎝

Por ser una función seno presenta una forma sinusoidal y se encuentra definida para todo número real. El coeficiente A que multiplica la función seno produce una dilatación vertical en la función modificando la amplitud a dos unidades, y el valor negativo de A, indica que se presenta una simetría de la función base respecto del eje x . La constante función.

indica que hay una traslación vertical de una unidad hacia abajo de la

La constante B = 1 indica una variación en el período de la función 2

y = sen ( x )

consistente

en efectuar 1 ciclo en un intervalo de longitud 2π 2

La constante C = 2π indica que la función tiene un corrimiento horizontal de 2π a la 3

izquierda. Esta información ya es suficiente para realizar la siguiente gráfica: y y= - 2sen(1/2x+π /3)-1

x -π

π/3

-2π/3

5π/3

7π/3

3π

10π/3

4π

-1 -2 -3

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321

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

Una vez dibujada la función puede realizarse un análisis más detallado: El rango de la función es [−3;1] El ciclo fundamental se encuentra en el intervalo

⎡ − 2 π ; 10 π ⎤ . ⎢⎣ 3 3 ⎥⎦

El corte con el eje y cambia. Para encontrar el valor exacto debe recurrirse al álgebra así: π y = −2 sen ⎛⎜ x + ⎞⎟ − 1 ⎝ 2 3⎠

⎛ 3⎞ ⎟ −1 ⇒ y = −2⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

⇒

y = − 3 −1

Debido al corrimiento horizontal, los cortes con el eje ayuda del álgebra se encontrarán los valores exactos: y = −2 sen ⎛⎜ x + π ⎞⎟ − 1 ⎝ 2 3⎠

⇒

π y = −2 sen ⎛⎜ ⎞⎟ − 1 ⎝3⎠

0 π y = −2 sen ⎛⎜ + ⎞⎟ − 1 ⇒ ⎝2 3⎠

⇒

0 = −2 sen ⎛⎜ x + π ⎞⎟ − 1 ⎝ 2 3⎠

⇒

también han cambiado. Con − 1 = sen ⎛⎜ x + π ⎞⎟ 2 ⎝ 2 3⎠

Aquí debe preguntarse: ¿Para qué arcos es la función seno igual a − 1 ? 2

Lo aprendido en el capítulo anterior, permite responder inmediatamente: para arcos en el tercero y en el cuarto cuadrante así: En el tercero será cuando el arco es igual a 7π + 2kπ k ∈ Z por lo tanto se tiene: 6

x + π = 7π + 2kπ ⇔ x = − π + 7π + 2kπ ⇔ x = −2π + 7 π + 12kπ ⇔ x = 5π + 12kπ 2 3 6 2 6 2 6 3 6 2 ⇔

x = 5π + 12kπ , 3

k ∈Z

{

}

x ∈ ...,− 19 π,− 7 π, 5 π, 17 π, 29 π,... 3 3 3 3 3

⇒

En el cuarto cuadrante el arco será 11π + 2kπ k ∈ Z por lo tanto se tiene: 6

x + π = 11π + 2kπ ⇔ x = − π + 11π + 2kπ ⇔ x = −2π + 11π + 12kπ ⇔ x = 9 π + 12kπ 2 3 6 2 3 6 2 6 2 6

⇔

x = 3 π + 4kπ

k∈Z

x ∈ {...,−5 π,− π,3 π,7 π,11π,...}

⇒

Si se quiere determinar los puntos de corte con el eje x, en el ciclo fundamental, se deben tomar de los dos conjuntos anteriores, aquellos valores que se encuentran en el intervalo del ciclo fundamental, que para nuestro caso son: 5π ;3π .

{3 }

Las coordenadas de algebraicamente así:

los

puntos

máximos

mínimos

pueden

determinarse

El valor máximo de la función es 1, por lo que se debe cumplir que: π 1 = −2 sen ⎛⎜ x + ⎞⎟ − 1 ⎝ 2 3⎠

322

⇒

π − 1 = sen ⎛⎜ x + ⎞⎟ ⎝ 2 3⎠

⇒

x + π = 3 π + 2kπ, 2 3 2

k∈Z

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

}. Lo que significa que en el ciclo fundamental, el valor de x para el punto máximo es {7π } . 3 ⇒ x = − π + 3π + 2kπ 2 3 2

x = 7π + 12kπ 3

⇒

{

x ∈ ...,− 5π , 7π , 19π ,... 3 3 3

El valor del punto mínimo de la función, que como ya se sabe es –1, puede ubicarse en: π π π π − 3 = −2 sen ⎜⎛ x + ⎟⎞ − 1 ⇒ 1 = sen ⎜⎛ x + ⎟⎞ ⇒ x + = + 2kπ, k ∈ Z ⎝ 2 3⎠ ⎝ 2 3⎠ 2 3 2 ⇒ x = − π + π + 2kπ ⇒ x = π + 12kπ ⇒ x ∈ ...,− 11π , π , 13π ,... 2 3 2 3 3 3 3

{

}

Pero como se necesita el valor del punto mínimo en el ciclo fundamental, dicho valor corresponde a: π

{3}

En el ciclo fundamental puede diferenciarse la concavidad en dos intervalos: La gráfica es cóncava hacia arriba en el intervalo ⎡⎢ − 2π ; 4 π ⎞⎟ . ⎣

En el intervalo

⎡ 4 π ; 10 π ⎞⎟ ⎢⎣ 3 3 ⎠

3 ⎠

la gráfica es cóncava hacia abajo.

Ejercicios 17.6

Hacer la gráfica de las siguientes funciones

π y = sen ⎜⎛ x − ⎟⎞ ⎝ 2 3⎠

y = sen (2 x − π ) + 1

π y = 2 sen ⎛⎜ 2 x − ⎞⎟ ⎝ 2⎠

y = −2 sen ( x + π )

y = − sen ⎛⎜ 3 x + π ⎞⎟ ⎝ 5⎠

y = 2 sen (2πx + π )

π y = 1 sen ⎛⎜ − − x ⎞⎟ ⎝ 3 ⎠ 2

Escribir una ecuación de una función seno que tenga las siguientes características: 8.

Período 2π

2π 3

Período

Amplitud

Desfase

Amplitud

Desfase π a la izquierda. 3

Encontrar la ecuación que representa la siguiente gráfica 10.

π/12

–1

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323

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

Sea

y = 2 3 sen ⎛⎜ x − π ⎞⎟ + 3 : 6⎠ ⎝

y = −2 sen ⎛⎜ 2 x − π ⎞⎟ − 1 : 3⎠ ⎝

para cada una de ellas

11.

Determinar amplitud, período, desfase, traslación vertical

12.

Hacer la gráfica para

13.

Determinar el intervalo del ciclo fundamental

⎡ − 11π , 13 π ⎤ ⎣⎢ 6 6 ⎥⎦

Encontrar algebraicamente 14.

Los puntos de corte con los ejes

15.

Las coordenadas de los máximos y mínimos

16.

Los valores donde la función es mayor que cero

17.8 FUNCIÓN y = cos (x) ⎛ ⎞ coor ⎜⎛ π ⎟⎞ = ⎜⎜ 2 , 2 ⎟⎟ ⎝4⎠ ⎝ 2 2 ⎠

;

⎛ 3 ⎞⎟ coor ⎛⎜ π ⎞⎟ = ⎜⎜ 1 , ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠

⎛ 3 1⎞ coor ⎜⎛ π ⎟⎞ = ⎜⎜ , ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠ coor ⎛⎜ π ⎞⎟ = (0 ,1) ⎝2⎠

coor (0 ) = (1,0 )

Dominio de la función coordenada es ℜ

{

}

El rango de la función coordenada es ( x , y ) x 2 + y 2 = 1 La función coordenada presenta simetrías con respecto a los ejes y, al origen y a la recta y = x La función coordenada tiene período 2π.

En la sección 19.1, se definió coseno como: cos (s ) = a si coor (s ) = (a , b ) . El conjunto de puntos tales que {( x , y ) y = cos( x )} representa una función, ya que para cada arco x, existe uno y sólo un valor de y. cos(x) 1

Conocidos los valores del coseno para los arcos especiales en el primer cuadrante, y con base en las simetrías a que se tiene lugar, es posible representar algunos puntos en el plano cartesiano:

π /2

3π /2

-1

Tal como se trabajó en la función seno, todos estos puntos deben unirse mediante una línea curva suave dando lugar a una curva de forma sinusoidal.

324

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Efectuando un análisis detallado de estos puntos, se determinan las siguientes características para la función coseno.

Cuadrante

Longitud de arco entre…

Signo de la abscisa

Intervalo al que pertenece la abscisa

Tipo de función

⎛⎜ 0, π ⎞⎟ ⎝ 2⎠

Positivo

(0,1)

Decreciente

⎛⎜ π , π ⎟⎞ ⎝2 ⎠

Negativo

(−1,0 )

Decreciente

III

⎛⎜ π , 3 π ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

Negativo

(−1; 0 )

Creciente

⎛⎜ 3 π ,2π ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

Positivo

(0;1)

Creciente

Por tratarse de una función con período igual a 2π, puede extenderse su representación para cualquier valor de x en los reales.

cos(x) 1

x -4π

-2π

2π

4π

6π

-1

Ciclo fundamental

Al observar la gráfica anterior puede concluirse lo siguiente: La función coseno presenta una simetría respecto del eje y, lo que significa que es esta una función par, y se simboliza: cos ( x ) = cos (− x )

Tiene una amplitud igual a 1. El rango es el mismo que la función seno es decir el intervalo [−1,1 ] .

Tiene período 2π .

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325

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

Estas tres últimas características las presenta la función seno, por lo que podría preguntarse: ¿qué ocurriría si se comparan las gráficas de las dos funciones? y 1 y=sen(x) π

–1

horizontal o desfase de

y=cos(x)

La gráfica permite apreciar que la nueva función π 2

y + cos ( x )

corresponde a una traslación

unidades a la izquierda de la función

y = sen ( x ) .

Es decir, que

y = cos ( x ) = sen ⎛⎜ x + π ⎞⎟ . 2⎠ ⎝

Se dice entonces que

y = sen ⎛⎜ x + π ⎞⎟ ⎝ 2⎠

es cofunción de

y = cos ( x ) .

Ahora, con las similitudes que presentan ambas funciones, podría pensarse que una constante que se multiplique o se adicione a la nueva función tendrá la misma incidencia en la función base como ocurrió en la función y = sen ( x ) ? Luego de haber estudiado funciones de diversa índole, y haber encontrado efectos similares con la adición de constantes, no habría razón para dudarlo. Sin embargo, un ejemplo ilustrará la situación: 2

2cos(x)

y cos(x)

1 x π/2 -1

3π/2

2π

π/2

3π/2

2π

1/2cos(x)

cos(x)

-2

-1

y 1

– cos(x)

2 x

π/2

π cos(x)

-1

326

3π/2

cos(x)+3/2

2π

π/2 -1

3π/2

2π

cos(x)

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

y 1

cos(x+π /3) cos(x)

x π/2 -1

3π/2

cos(x)

2π/3

-π/3

2π

5π/3

2π

-1

cos(x–π /3)

y cos(1/2x)

cos(x)

cos(2x)

x π

2π

3π

π/2

4π -1

-1

3π/2

2π

cos(x)

Todas las representaciones anteriores permiten constatar que el efecto geométrico de las constantes en la función coseno es el mismo que se produce en la función seno que fueron estudiadas detalladamente en las secciones 19.3 a 19.6.

Ejemplo 11 Trazar la gráfica de

y =

5 2π ⎞ cos ⎛⎜ 1 x + ⎟ +1 2 ⎝2 3 ⎠

correspondiente al ciclo fundamental.

Una expresión equivalente para la función dada es: y = 5 ⎛⎜ cos ⎛⎜ 1 x + 2π ⎞⎟ ⎞⎟ + 1 2⎝ 3 ⎠⎠ ⎝2

⇔

y = 5 ⎛⎜ cos ⎛⎜ 1 ⎛⎜ x + 4 π ⎞⎟ ⎞⎟ ⎞⎟ + 1 3 ⎠⎠⎠ 2⎝ ⎝2⎝

Esta nueva expresión permite desarrollar un análisis completo de la función que permita hacer una primera aproximación a la gráfica: La amplitud es de 5

Se presenta un corrimiento vertical de 1 unidad hacia arriba. La amplitud y el corrimiento vertical determinan el rango de la función que corresponde a: ⎡ − 5 + 1; 5 + 1⎤ = ⎡ −3 ; 7 ⎤ . ⎢⎣ 2 2 ⎦⎥ ⎢⎣ 2 2 ⎦⎥

El ciclo fundamental se inicia en − 4π . 3

La longitud del intervalo para trazar el ciclo fundamental es de 4π . Esta información es suficiente para esbozar la gráfica:

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327

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

y 3.5

1.0 x -4π/3

-π/3

2π/3

5π/3

8π/3

-1.5

Ejemplo 12 Para la función del ejemplo anterior, determinar: dominio, coordenadas de los cortes con el eje x y con el eje y, intervalos donde la función es creciente y decreciente. Dominio: Por tratarse de la gráfica del ciclo fundamental, el dominio es:

⎡− 4π ; 8π ⎤ ⎢⎣ 3 3 ⎥⎦

Cortes con el eje x: Para determinarlos, deben encontrarse los puntos en los cuales y = 0:

Esto lleva

0 = 5 ⎜⎛ cos ⎛⎜ 1 x + 2π ⎞⎟ ⎟⎞ + 1 ⇔ 5 ⎜⎛ cos ⎛⎜ 1 x + 2 π ⎞⎟ ⎞⎟ = −1 ⇔ cos ⎛⎜ 1 x + 2π ⎞⎟ = − 2 2⎝ 3 ⎠⎠ 2⎝ 3 ⎠⎠ 3 ⎠ 5 ⎝2 ⎝2 ⎝2 2 a buscar los arcos para los cuales el coseno es igual a − . Sin 5

embargo, no

hay múltiplo de arcos especiales cuyo coseno sea este valor. Por lo tanto, para encontrar el valor exacto se debe recurrir a tablas de funciones trigonométricas o a calculadoras. Corte con el eje y: Para determinarlo, se busca el valor de la función para x = 0: y = 5 ⎜⎛ cos ⎛⎜ 1 (0 ) + 2 π ⎞⎟ ⎞⎟ + 1 ⇔ y = 5 ⎛⎜ cos ⎛⎜ 2 π ⎞⎟ ⎞⎟ + 1 ⇔ y = 5 ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ + 1 y = − 1 2⎝

⎝2

3 ⎠⎠

2⎝

Intervalo donde la función es creciente: En

⎝ 3 ⎠⎠

⎛⎜ 2 π ; 8 π ⎞⎟ ⎝ 3 3 ⎠

Intervalo donde la función es decreciente: En

2⎝ 2⎠

⎛⎜ − 4 π ; 2 π ⎞⎟ . ⎝ 3 3 ⎠

Ejercicios 17.7

Hacer la gráfica de las siguientes funciones para

y = 2 cos ( x ) + 1

y = 1 cos (− x ) + 1 2

y = 1 cos (2πx ) 3

y = −0,5 cos ⎛⎜ 2 x − π ⎞⎟ + 1 3⎠ ⎝

328

x ∈ [−2 π,2 π ]

y = −3 cos ⎛⎜ x ⎞⎟ ⎝2⎠

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Escribir una ecuación de una función coseno que tenga las siguientes características: 6.

Período 2π

Desfase − π

Amplitud 7

Encontrar la ecuación que representa la siguiente gráfica: 7.

y x

Sea

y = −2 cos ⎛⎜ 2 x − π ⎞⎟ − 1 : 3⎠ ⎝

para cada una de ellas

Determinar amplitud, período, desfase, traslación vertical

Hacer la gráfica para [− π,2π]

10.

Determinar el intervalo del ciclo fundamental Encuentre algebraicamente

11.

Los puntos de corte con los ejes

12.

Las coordenadas de los máximos y mínimos

13.

Los valores donde la función es mayor que cero en el ciclo fundamental.

17.9 FUNCIÓN y = tan (x)

Tangente: Asocia al valor de un arco s sobre la circunferencia unitaria, el valor de la razón entre la ordenada y la abscisa de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza: tan (s ) = b a

coor (s ) = (a , b )

a≠0

Para representar gráficamente ésta relación se utilizará el mismo método de las relaciones anteriores, ubicando en un sistema de coordenadas cartesianas los valores correspondientes al conjunto: ( x , y ) y = tan( x ) x ≠ π + kπ k ∈ Z . Es importante resaltar que

{

}

la restricción para x se debe a que la función para arcos sobre la circunferencia unitaria cuyo

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329

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

valor sea igual a π + kπ con 2

k∈Z

, corresponde a un cociente con denominador igual a cero,

lo que significa que la tangente no está definida para esos valores de x. Efectuando un análisis de los valores de la función para arcos cercanos a π , pero menores 2

que él, se tiene que el valor de b se acerca a 1 y el valor de a se acerca a cero, lo que implica que el valor del cociente toma valores positivos cada vez más grandes, sin que sea posible determinar un valor máximo para la función. Por otro lado, el valor del cociente b para los a

arcos mayores a

π, 2

pero cercanos a él, es cada vez menor y negativo, sin que se pueda

determinar un valor mínimo para la función. La representación gráfica de la función y = tan ( x ) puede iniciarse tomando el valor de los arcos especiales en el primer cuadrante, y sus simétricos. Para visualizar los arcos en los cuales no está definida la función, se utiliza una línea discontinua paralela al eje y denominada asíntota. y 3

y=tan(x)

2 1 x -3π/2

-π

π/2

-π/2

3π/2

2π

-1 -2 -3

Al unir mediante una curva suave los puntos, se observa que: La gráfica no es de tipo sinusoidal, El período es

π.

{

El dominio de la función es x x ∈ ℜ ∧

x ≠ π + kπ, 2

k∈Z

}

El rango de la función son todos los reales. La función siempre es creciente. Los puntos de corte con el eje x se dan para valores de

x = kπ k ∈ Z

La función no tiene máximos ni mínimos. Presenta una simetría respecto al punto ( 0, 0 ), que como se dijo para la función seno, significa que la tangente es una función impar, y se simboliza como: tan (− x ) = − tan ( x ) , para todo x que pertenece al dominio de la función.

330

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

17.10 FUNCIÓN y = cot (x)

Cotangente: Asocia a un arco s sobre la circunferencia unitaria, el valor de la razón entre la abscisa y la ordenada de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza: cot (s ) = a b

coor (s ) = (a , b )

b≠0

Para representar gráficamente y = cot ( x ) pueden tomarse los valores de la función para los arcos especiales del primer cuadrante y sus simétricos. Es necesario además determinar los valores de x para los cuales la función cotangente no está definida. Para ello, se busca b que cumpla con: b=0

⇔

x = kπ

k∈Z

con lo que se determinarán las rectas asíntotas de la función. La representación gráfica es: 6 5 4 3 2 1 -3π/2

-π

-π/2

-1 -2 -3 -4 -5 -6

y y=cot(x) x π/2

3π/2

2π

17.11 FUNCIÓN y = csc ( x )

Cosecante: Relación entre un arco s sobre la circunferencia unitaria y el valor recíproco de la ordenada de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza: csc (s ) = 1 , si coor (s ) = (a , b ) con b ≠ 0 b

Para hacer la gráfica de esta función debe determinarse el comportamiento general de y = csc ( x ) y los arcos para los cuales no está definida la función: ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

331

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

Los arcos para los cuales b es cero determinan las rectas asíntotas: b=0

⇔

s = kπ , k ∈ Z

Comportamiento de la función en cada cuadrante: Primer cuadrante: s ∈ ⎜⎛ 0, π ⎥⎤ : Para los valores de s en este intervalo, b toma un valor

⎝

2⎦

muy cercano a cero y aumenta hasta uno. Por lo tanto, para el cociente 1 no hay un b

valor máximo mientras que el mínimo valor es uno, lo que implica que todos los valores son positivos. î

Segundo cuadrante: Cuando

s ∈ ⎛⎜ π , π ⎞⎟ ,: b ⎝2 ⎠

toma un valor muy cercano a uno y

disminuye aproximándose a cero, por lo tanto el cociente 1 toma valores cercanos a b

uno y aumenta indefinidamente. î

Tercer cuadrante: En este intervalo, s ∈ ⎛⎜ π, 3 π ⎤⎥ , y b toma un valor muy cercano a ⎝

2⎦

cero y disminuye hasta menos uno, por lo tanto para el cociente 1 , los valores son b

negativos y a mayor valor de s, la función cosecante aumenta hasta llegar a – 1. î

Cuarto cuadrante:

s ∈ ⎛⎜ 3 π ,2 π ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

y b toma un valor muy cercano a -1 aumentando hasta

cero, por lo tanto para el cociente 1 , los valores son negativos y a mayor valor de s b

la cosecante disminuye. y 4 3

y=csc(x)

2 1

y=sen(x) -2π

-3π/2

-π

-π/2

-1

x π/2

3π/2

2π

-2 -3 -4

De acuerdo con la gráfica puede establecerse que el dominio de la función es: ℜ − {x x = kπ, k ∈ Z } , y que el rango es (−∞ ; −1] ∪ [1; ∞ ) . Al igual que la función y = sen ( x ) para esta nueva función se cumple que lo que se dice que es también una función impar.

332

csc (− x ) = − csc ( x ) ,

por

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

17.12 FUNCIÓN y = sec ( x )

Secante: Correspondencia entre un arco s sobre la circunferencia unitaria y el valor recíproco de la abscisa de la función coordenada para el mismo arco. Se simboliza: sec (s ) = 1 a

coor (s ) = (a , b )

con a ≠ 0

La gráfica de la función y = sec ( x ) se obtiene haciendo uso del valor de coordenada, ubicando las asíntotas en los arcos para los cuales a = 0: a=0

⇔

en la función

s = π + kπ , k ∈ Z 2

Mediante un procedimiento similar al que se ha llevado a cabo para graficar las funciones anteriores, se llega a la siguiente gráfica.

y=sec(x)

3 2 1

y=cos(x) -2π

-3π/2

-π

-π/2

x π/2

-1

3π/2

2π

-2 -3 -4

{

}

Puede observarse que el dominio de la función es ℜ − x x = π + kπ , mientras que el rango es (−∞ ; −1] ∪ [1; ∞ ) .

Si se analiza el comportamiento de la función, se aprecia que para y = sec ( x ) hay una simetría axial con respecto al eje y, lo que indica que esta función es par y cumple con: sec (− x ) = sec ( x )

Tal como sucedió con las funciones y = sen ( x ) e y = cos ( x ) , esta nueva función y la función y = csc ( x ) cofunciones ya que la gráfica de la función secante es un corrimiento horizontal de π 2

a la izquierda de la función cosecante, lo que simboliza como: sec ( x ) = csc ⎛⎜ x + π ⎞⎟ 2⎠ ⎝

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333

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

Completar la siguiente tabla según la función sea creciente o decreciente, en los intervalos dados y determinar la variación del valor de la función:

1. Intervalo

Función

Comportamiento

Desde

Hasta

sen θ cos θ ⎛⎜ 0, π ⎞⎟ ⎝ 2⎠

tan θ sec θ csc θ cot θ sen θ cos θ

⎛⎜ π , π ⎞⎟ ⎝2 ⎠

tan θ sec θ csc θ cot θ sen θ cos θ

⎛⎜ π , 3 π ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

tan θ sec θ csc θ cot θ sen θ cos θ

⎛⎜ 3 π ,2π ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

tan θ sec θ csc θ cot θ

Completar la siguiente tabla según la función sea par o impar, y encontrar el rango de la función y los valores máximos y mínimos para cada una de ellas.

2. Función sen θ

Par / Impar

Rango

Período

Valor máximo

Valor mínimo

cos θ tan θ sec θ csc θ cot θ 3.

334

Encontrar el valor positivo más pequeño de s, que cumple con sen s = − 3 . 2

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Encontrar el valor de:

1 + tan ⎛⎜ 4 π ⎞⎟ ⎝ 3 ⎠ 1 − tan ⎜⎛ − π ⎟⎞ ⎝ 3⎠

sen π cos π − cos π sen π 4 3 4 3

⎛ csc ⎛⎜ π ⎞⎟ − tan ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎞ cot ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝6⎠ ⎝ 4 ⎠⎠ ⎝

sen 7 π + cos ⎛⎜ − π ⎞⎟ + tan π 2 ⎝ 2⎠ cos 2π

⎛⎜ 1 − tan 4 π ⎞⎟ 3 ⎠ ⎝ 2

Dibujar a partir de cos x ó de sen x y determine el rango:

y = − 1 cos x 3

10.

y = 3 cos ⎛⎜ 1 x − π ⎞⎟ 4⎠ ⎝2

11.

y = 5 cos (2 x + 2 π ) + 2

12.

y = 2 cos ⎛⎜ x + π ⎞⎟ 2⎠ ⎝

13.

y = 1 cos ⎛⎜ 2 x + π ⎞⎟ 2 4⎠ ⎝

14.

y = 2 − cos x

15.

y = −2 cos x

16.

y = 2 + 2 sen ⎛⎜ x − π ⎟⎞ 2⎠ ⎝

Indicar amplitud, período, desfase, y dibujar:

17.

y = 3 sen ⎛⎜ x − π ⎞⎟ 2⎠ ⎝

18.

y = cos ⎛⎜ x + π ⎞⎟ 4⎠ ⎝

19.

y = sen (3 x )

20.

y = −2 sen (3 x + π )

21.

y = 2 cos (2 x + 8 π )

22.

y = − sen ⎛⎜ 3 x + π ⎞⎟ 5⎠ ⎝

23.

y = 6 sen (πx )

24.

y = 1 cos ⎛⎜ π x ⎞⎟ 4 ⎝2 ⎠

Determinar el período, la amplitud, el desfase, el punto de corte con los ejes x y y de las siguientes funciones:

25.

y = sen ⎡2⎛⎜ x − 1 ⎞⎟ ⎤ ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦

26.

y = 1 ⎡ 4 + cos ⎛⎜ 1 x ⎞⎟ ⎤ ⎝ 4 ⎠ ⎥⎦ 4 ⎢⎣

27.

y = 2 + cos ⎡ 1 ( x − π )⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

28.

y = 1 sen( x ) 2

29.

y = 2 cos ⎛⎜ x ⎞⎟ − 3 ⎝2⎠

30.

y = 3 sen ⎛⎜ 2 x − π ⎞⎟ ⎝ 2⎠

31.

y = 5 cos ⎛⎜ 2 x + π ⎞⎟ ⎝ 4⎠

32.

y = 2 sen (3 x )

33.

y = sen ⎛⎜ x + π ⎞⎟ ⎝ 4⎠

34.

y = 2 cos ⎛⎜ 3 x − π ⎞⎟ ⎝ 2⎠

35.

y = 3 sen ⎛⎜ x + π ⎞⎟ ⎝ 3⎠

36.

y = 2 sen ⎛⎜ 3 x − π ⎞⎟ 2⎠ ⎝

37.

y = 3 cos ( x + π )

38.

y = 1 cos ⎛⎜ 1 x − π ⎞⎟ ⎝2 2 3⎠

39.

y = cos ⎡ 1 ( x − π )⎤ − 1 ⎥⎦ 2 ⎢⎣ 2

¹ 40.

¹ 42.

2 43.

Mostrar gráficamente sen x = cos ⎛⎜ x − π ⎞⎟ = − cos ⎛⎜ x + π ⎞⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

41.

cos x = − sen ⎛⎜ x − π ⎞⎟ = sen ⎛⎜ x + π ⎞⎟ ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠

Escribir una ecuación de una sinusoide que tenga las siguientes características: Período = π ; Amplitud = 1 ; Desfase = π. 2

Encontrar todos los cortes con el eje x de las siguientes funciones: g ( x ) = sen x − 1 2

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44.

r ( x ) = sen ( x + 2 )

335

CAPÍTULO XVII FUNCIÓN CIRCULAR

Encontrar el corte con el eje y de las siguientes funciones: f ( x ) = 3 sen ⎛⎜ x + π ⎞⎟ 4⎠ ⎝

45.

46.

g (x ) =

cos( x − π ) 2

Definir la función trigonométrica correspondiente a las siguientes gráficas: 48.

47.

0.5 x

x π/6

π/3

π/2

-π/3

2π/3

π/6

-π/6

π/3

π/2

2π/3 5π/6

-0.5 -1

49.

50. y

1.0

1 x 1

0.5

2 1

-1

-0.5

Analizar las siguientes preguntas y justificar cada respuesta:

51. 52.

Cuáles funciones trigonométricas son cofunciones? Para qué valores de x en el ciclo fundamental, la función función y = sen ( x ) ?

53.

Cuál es el dominio y el período de la función tangente?

y = cos ( x )

es mayor que la

Realizar los siguientes ejercicios:

54.

Esbozar la gráfica de la función y = −3 cos (πx + 2π ) .

55.

Sea f ( x ) = senx cos x . Es ésta una función par, impar o ninguna de ellas?

336

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“La experiencia del mundo no consiste en el número de cosas que se han visto, sino en el número de cosas sobre las que se ha reflexionado con fruto”

CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES 18.1 18.2 18.3 18.4

INTRODUCCIÓN RELACIONES DE IGUALDAD EN UNA VARIABLE RELACIONES DE IGUALDAD EN DOS VARIABLES FUNCIONES CIRCULARES PARA ARCOS DOBLES Y ARCOS MEDIOS 18.5 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES

CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES 18.1 INTRODUCCIÓN El objetivo de este capítulo será el estudio de las relaciones de igualdad entre expresiones algebraicas que involucran funciones circulares en una y dos variables.

Ecuación: Una relación de igualdad entre dos expresiones que es válida para algunos valores de las variables en el conjunto de referencia.

Identidad: Cuando la relación de igualdad entre dos expresiones es válida para todos los valores de las variables en el conjunto de referencia. Si

coor (s ) = (a , b )

⇒

Identidad Pitagórica:

cos (s ) = a

sen (s ) = b

cos x + sen x = 1

18.2 RELACIONES DE IGUALDAD EN UNA VARIABLE En el Capítulo XVII, se definieron seis funciones circulares a partir de la abscisa y la ordenada de un punto sobre la circunferencia unitaria, siendo seno y coseno las funciones básicas, puesto que las otras cuatro pueden definirse a partir de ellas así:

338

sen ( x ) tan ( x ) = b = , a cos ( x )

cos ( x ) ≠ 0

cos ( x ) cot ( x ) = a = , b sen ( x )

sen ( x ) ≠ 0

1 , csc ( x ) = 1 = b sen ( x )

sen ( x ) ≠ 0

1 , sec ( x ) = 1 = a cos ( x )

cos ( x ) ≠ 0

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

De la identidad pitagórica básica se deducen otras dos identidades haciendo uso de estas nuevas definiciones para las funciones circulares, como se muestra a continuación: cos

x + sen

x =1

⇔

cos cos

cos

x + sen

x =1

⇔

cos sen

sen

x + sen x = 1 2 2 x sen x sen x

cos

si cos

x ≠0

⇔

1 + tan x = sec

(x )

si sen x ≠ 0

⇔

cot

x + 1 = csc

Con estas dos identidades, se completan las identidades trigonométricas básicas en una variable necesarias para la verificación de identidades, la solución de ecuaciones y la transformación a expresiones trigonométricas equivalentes útiles para el estudio de niveles de cálculo más avanzados.

Ejemplo 1 Verificar la siguiente identidad:

sen (α ) =

tan (α ) cot (α ) csc (α )

Antes de pretender verificar una identidad, deben establecerse los valores para los cuales no está definida. En este caso, la identidad no es válida para α si: csc (α ) = 0 ⇔ α = π ó α = 3π y sen (α ) = 0 ⇔ α = 0 ó α = π 2

Por lo tanto, la identidad dada es válida para todo α ≠ k π , k ∈ Z . 2

Para comprobar la identidad, se parte de uno de sus dos lados, y utilizando las identidades básicas y las herramientas del álgebra puede llegarse a expresiones equivalentes hasta encontrar la expresión que coincida con el lado no trabajado. Para este caso se tiene: tan (α ) cot (α ) csc (α )

⇒

tan (α ) cot (α ) = csc (α )

tan (α )

1 tan (α ) 1 = = sen (α ) 1 1 sen (α ) sen (α )

Ejemplo 2 Comprobar la siguiente identidad: (1 − cos ( x ))(1 + cos ( x )) = sen 2 ( x ) Dado que tanto el seno como el coseno son funciones definidas para todos los reales, no hay ninguna restricción, lo que significa que la identidad es válida para todos los Reales. Identificando el producto notable en el lado izquierdo de la identidad, se tiene: (1 − cos ( x ))(1 + cos ( x )) = 1 − cos 2 ( x ) = sen 2 ( x )

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339

CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES

Ejemplo 3 Para qué valores de x en el intervalo [0; 2π ] se cumple que: 1 − cos 2 ( x ) = sen( x ) Para hallar la solución, primero es necesario estudiar las restricciones para los valores de x a que se tiene lugar por la presencia de la raíz cuadrada: 1 − cos

(x ) ≥ 0

⇒

1 − cos ( x ) ≥ 0

⇒

(ℜ

ℜ)

∩

(1 − cos ( x ))(1 + cos ( x )) ≥ 0

⇔

1 + cos ( x ) ≥ 0

y ∪

(∅

∅)

∩

1 − cos ( x ) ≤ 0

1 + cos ( x ) ≤ 0

ℜ

Lo que lleva a concluir que por esta primera razón, no existe ningún tipo de restricción para x. En cuanto a la verificación de la identidad: 1 − cos

(x )

sen

En consecuencia,

(x )

sen ( x )

sen ( x ) ≥ 0

⇔

⎧⎪sen ( x ), si sen ( x ) ≥ 0 =⎨ ⎪⎩ − sen ( x ), si sen ( x ) < 0

x ∈ [0 ; π ] .

De acuerdo con lo anterior, se tiene que en el intervalo [0; 2π ] ,

1 − cos

( x ) = sen( x ) es una

x ∈ [0 ; π ]

identidad para

Ejercicios 18.1

Demostrar las siguientes identidades:

sec A − csc A = tan A − 1 sec A + csc A tan A + 1

cos

x − sen

x = 1 − 2 sen

tan x − sec x = 1 − 2 sec x

10.

(sen

x + cos x

)

tan x + cos x = sec x + cot x sen x

1 + cos x = 2 csc 2 x − 1 2 sen x

cot x − 1 = 1 − tan x cot x + 1 1 + tan x

1 + sec x = csc x sen x + tan x

sec x − sec x = tan x + tan x 9.

(sec t + tan t )2

11.

sen t = csc t + cot t 1 − cos t

1 + csc x = sec x cot x + cos x

12.

= 1 + sen t 1 − sen t

Mostrar que las siguientes ecuaciones no son identidades. Encontrar un contraejemplo. 13.

340

sen 2 x + 2 cos x − cos 2 x = 1 14.

tan x − 2 tan x = 0

15.

cos B cot B = cot B + cos B cot B − sen B cos B cot B

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

18.3 RELACIONES DE IGUALDAD EN DOS VARIABLES En esta sección se trabajará con funciones circulares que involucran dos variables, entendiéndose por esto la suma o la diferencia de dos longitudes de arco. Se empezará este análisis con la función coseno para la suma de dos arcos. Con ayuda de una construcción geométrica, se visualizará la suma de dos arcos consecutivos s1 y s2 cuyos puntos terminales tienen como coordenadas respectivamente y P1 = (cos (s1 ), sen (s1 )) P2 = (cos (s1 + s 2 ), sen (s1 + s 2 )) .

y s2 P2

P1 s1 P0

Con un arco auxiliar s3 = –s2 con punto inicial P0 = (1,0 ) en y punto terminal en

( (

)

(

)) ( ( )

s3= - s2

( ))

P3 = cos − s 2 , sen − s 2 = cos s 2 , − sen s 2

puede establecerse, distancia, que: d (P0 , P2 ) = d (P3 , P1 ) ,

(

) (

(

por

fórmula

lo que es equivalente a decir que:

))

(

))

d P0 , P2 = 1 − cos s1 + s 2 2 + 0 − sen s1 + s 2 2

d (P0 , P2 ) = 1 − 2 cos (s1 + s 2 ) + cos (s1 + s 2 ) + sen (s1 + s 2 ) 2

d (P0 , P2 ) = 2 − 2 cos (s1 + s2 )

Identidad Pitagórica.

d (P3 , P1 ) = (cos (s2 ) − cos (s1 ))2 + (− sen(s2 ) − sen(s1 ))2 = cos (s 2 ) − 2 cos (s 2 ) cos (s1 ) + cos (s1 ) + sen (s 2 ) + 2 sen(s 2 ) sen(s1 ) + sen (s1 ) 2

d (P3 , P1 ) = 2 − 2 cos (s 2 ) cos (s1 ) + 2 sen(s 2 ) sen(s1 )

Por lo que: 2 − 2 cos (s1 + s 2 )

cos (s 2 + s1 )

2 − 2 cos (s 2 ) cos (s1 ) + 2 sen (s 2 ) sen (s1 ) cos (s 2 ) cos (s1 ) − sen (s 2 ) sen (s1 )

El valor de la función coseno para la diferencia de dos arcos, puede encontrarse reemplazando el valor de s1 por –s1en la expresión anterior, así: cos (s 2 − s1 ) = cos (s 2 + (− s1 )) = cos (s 2 ) cos (s1 ) − sen (s 2 ) sen (− s1 ) cos (s 2 − s1 ) = cos (s 2 ) cos (s1 ) + sen (s 2 ) sen (s1 )

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341

CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES

Ejemplo 4 Encontrar una expresión para

cos ⎛⎜ π − s ⎞⎟ ⎝2 ⎠

cos ⎛⎜ π − s ⎞⎟ = cos π cos (s ) + sen π sen (s ) = 0 + sen (s ) = sen (s ) ⎝2 ⎠ 2 2

Ejemplo 5 Encontrar una expresión equivalente para Por el ejemplo anterior,

sen ⎛⎜ π − s ⎞⎟ ⎝2 ⎠

cos ⎛⎜ π − s ⎞⎟ = sen (s ) . ⎝2 ⎠

sen ⎛⎜ π − s ⎞⎟ = cos ⎛⎜ π − ⎛⎜ π − s ⎞⎟ ⎞⎟ = cos ⎛⎜ π − π + s ⎞⎟ = cos s ⎝2 ⎠ ⎠⎠ ⎝2 2 ⎠ ⎝2 ⎝2

Esta identidad es útil para encontrar el valor de la función seno para la suma de dos arcos: cos ⎛⎜ π − s 2 ⎞⎟ cos s1 + sen ⎛⎜ π − s 2 ⎞⎟ sen s1 = sen s 2 cos s1 + cos s 2 sen s1 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

El seno de la diferencia de dos arcos puede encontrarse haciendo nuevamente s 2 + s 1 = s 2 − (− s 1 ) : sen (s 2 + s1 ) = sen (s 2 − (− s1 )) = sen s 2 cos s1 − cos s 2 sen s1

Las seis identidades encontradas son utilizadas con mucha frecuencia para encontrar el valor de las funciones circulares para arcos que sin ser especiales pueden expresarse como la suma o la diferencia de otros arcos cuyo valor en la función sí es conocido.

Ejemplo 6 Hallar cos π

⎛ ⎞ ⎛ 3 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎟⎜ ⎟ cos π = cos ⎛⎜ π − π ⎞⎟ = cos ⎛⎜ π ⎞⎟ cos ⎛⎜ π ⎞⎟ + sen ⎛⎜ π ⎞⎟ sen ⎛⎜ π ⎞⎟ = ⎛⎜ 1 ⎞⎟⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎝3 4⎠ 12 ⎝4⎠ ⎝3⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎝3⎠

6 2+ 6 cos π = 2 + = 12 4 4 4

cos (s 2 ± s1 ) cos (s 2 ± s1 )

342

cos (s 2 ) ± cos (s1 )

cos (s 2 ) cos (s1 ) ∓ sen (s 2 ) sen (s1 )

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 7 Hallar el valor de

sen ⎛⎜ 13 π ⎞⎟ ⎝ 12 ⎠

sen ⎛⎜ 13 π ⎞⎟ = sen ⎛⎜ 4 π − π ⎞⎟ = sen ⎛⎜ 4 π ⎞⎟ cos ⎛⎜ π ⎞⎟ − sen ⎛⎜ π ⎞⎟ cos ⎛⎜ 4 π ⎞⎟ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 3 4⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝4⎠ ⎝4⎠ ⎝ 3 ⎠

⎛ 3 ⎞⎟⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 2 ⎞⎟⎛ 1 ⎞ 6 2 − 6+ 2 = ⎜⎜ − ⎟−⎜ ⎟⎜ − ⎟ = − 4 + 4 = ⎟⎜ 4 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

sen (s 2 ± s1 ) sen (s 2 ± s1 )

sen (s 2 ) ± sen (s1 )

sen (s 2 ) cos (s1 ) ± cos (s 2 ) sen (s1 )

Ejemplo 8 Encontrar una expresión equivalente para tan (s1 + s 2 ) =

tan (s1 + s 2 )

sen (s1 + s 2 ) sen (s1 ) cos (s 2 ) + sen (s 2 ) cos (s1 ) = cos (s1 + s 2 ) cos (s1 ) cos (s 2 ) − sen (s1 ) sen (s 2 )

sen (s 2 ) sen (s1 ) cos (s 2 ) + sen (s 2 ) cos (s1 ) sen (s1 ) 1+ 1 cos (s1 ) cos (s 2 ) tan (s1 ) + tan (s 2 ) cos (s1 ) cos (s 2 ) = = = sen (s1 ) sen (s 2 ) 1 − tan (s1 ) tan (s 2 ) cos (s1 ) cos (s 2 ) − sen (s1 ) sen (s 2 ) 1− cos (s1 ) cos (s 2 ) cos (s1 ) cos (s 2 )

Ejemplo 9 Encontrar una expresión equivalente para tan (s1 − s 2 ) = tan (s1 + (− s 2 )) =

tan (s1 − s 2 )

tan (s1 ) + tan (− s 2 ) tan (s1 ) − tan (s 2 ) = 1 − tan (s1 ) tan (− s 2 ) 1 + tan (s1 ) tan (s 2 )

La tangente es una función impar .

Ejercicios 18.2

Probar las siguientes identidades:

sen A cos B + cos A sen B = tan A + tan B cos A cos B − sen A sen B 1 − tan A tan B

1 − 8 sen x + 8 sen x = cos (4 x ) 2

tan v − tan x = cot x − cot v 1 + tan x tan v 1 + cot x cot v

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343

CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES

Decir si son falsas o verdaderas las siguientes expresiones. Justificar la respuesta: 4.

Si x – y = π, entonces: ( cos x − cos y ) 2

+ ( sen x − sen y ) 2 = 4

⎛ 2π ⎞ + x ⎟⎟ + cos 2 cos 2 x + cos 2 ⎜⎜ 3 ⎝ ⎠

es independiente del valor de x.

⎛ 2π ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3 −x⎟ ⎝ ⎠

Encontrar el valor de 6.

2 8.

⎛ 7π sen ⎜⎜ ⎝ 12

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ 7π tan ⎜⎜ ⎝ 12

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Encontrar el valor de las funciones seno, coseno y tangente, cuando el arco es: π − s1

2π − s1

10.

π + s1

18.4 FUNCIONES CIRCULARES PARA ARCOS DOBLES Y ARCOS MEDIOS En esta sección se estudiarán identidades en las que se presenta como única variable un arco, para cuyo doble valor o para cuyo valor medio se hallarán las funciones circulares. Se observará que éstas son el resultado de aplicar las identidades estudiadas en la sección anterior, en donde se involucraban dos variables. sen ( 2 x )

sen ( 2 x ) = sen ( x + x ) = sen x cos x + cos x sen x = 2 sen x cos x cos ( 2 x )

cos ( 2 x ) = cos ( x + x ) = cos 2 ( x ) − sen 2 ( x )

[

]

cos ( 2 x ) = cos ( x + x ) = cos 2 ( x ) − sen 2 ( x ) = 1 − sen 2 ( x ) − sen 2 ( x ) = 1 − 2 sen 2 x

[

]

cos ( 2 x ) = cos ( x + x ) = cos 2 ( x ) − sen 2 ( x ) = cos 2 ( x ) − 1 − cos 2 ( x ) = 2 cos 2 x − 1

: :

sen ( 2 x ) = 2 sen ( x ) cos ( 2 x ) = 2 cos ( x )

sen ( 2 x ) = sen ( x + x ) cos ( 2 x ) = cos ( x + x )

6 6

⎛1 ⎞ sen ⎜⎜ x ⎟⎟ ⎝2 ⎠

cos ( 2 x ) = 1 − 2 sen 2 ( x )

o 344

x es la mitad de 2x.

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

La identidad podría expresarse como: ⎛s⎞ cos ( s ) = 1 − 2 sen 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⇔ sen 2 ⎝2⎠

⎛s ⎛ s ⎞ 1 − cos ( s ) ⎜⎜ ⎟⎟ = ⇔ sen ⎜⎜ 2 ⎝2 ⎝2⎠

1 − cos ( s ) ⎞ ⎟⎟ = ± 2 ⎠

⎛1 ⎞ cos ⎜⎜ x ⎟⎟ ⎝2 ⎠

⎛s⎞ cos ( s ) = 2 cos 2 ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 ⇔ cos 2 ⎝2⎠

sen ( s )

sen ( 2 s )

s ⎛ s ⎞ cos ( s ) + 1 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⇔ cos = 2 2 ⎝2⎠

⎛1 ⎞ = sen ⎜⎜ s ⎟⎟ ⎝2 ⎠

sen ( s )

sen ( 2 s )

cos ( s ) + 1

sen s 2 sen s cos s

1 2 cos s

Ejercicios 18.3 Encontrar una expresión equivalente para: 1.

tan ( 2 x )

⎛1 ⎞ tan ⎜⎜ x ⎟⎟ ⎝2 ⎠

Decir si son verdaderas o falsas las siguientes expresiones: Justificar la respuesta. 3. 5.

sen 3 a sen a

−

cos 3 a cos a

es un número real ∀a .

tan 3 x + tan x = tan 4 x

4. 6.

csc ( 2 x ) = sen 5 A cos 5 A

1 csc x sec x 2 sen A cos A

π⎞ ⎛ + sen ⎜⎜ 2 x + ⎟⎟ 2 6 ⎠ ⎝

⎛ α ⎞ sen α sen ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 ⎝ 2⎠

π ⎛ sen ⎜⎜ x + 6 ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

= 2 cos x

18.5 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS El propósito de esta sección es encontrar los valores de la variable para los cuales se cumple una relación de igualdad que involucra funciones circulares. Es necesario tener en cuenta que la solución de una ecuación está sujeta al intervalo en el cual se presenta la ecuación, dada la periodicidad de las funciones. En términos generales, para resolver una ecuación trigonométrica se utilizan las herramientas del álgebra y las identidades trigonométricas estudiadas en la sección anterior.

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345

CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES

Ejemplo 10 Encontrar el conjunto solución en el intervalo [0 ; 2 π ] de 2 sen x + 1 = 0 . Esta ecuación es equivalente a decir: “encontrar los puntos de corte con el eje x de la función y = 2 sen x + 1 ”.De la misma forma como en el Capítulo 17,: se buscan los valores de x tales que: 2 sen x + 1 = 0

⇔

sen x = −

⇔

⎧ 7 π 11π ⎫ x ∈⎨ , ⎬ 6 ⎭ ⎩ 6

Una forma equivalente que sirve para simbolizar los valores de x que cumplen con la condición dada es: sen x = −

sen −1 x =

1 2

⇔

⎛ 1⎞ x = sen −1 ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ 2⎠

sen −1 x = arcsen x

1 sen x

⎛ 1⎞ x = arcsen ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ 2⎠

⇔

1 sen x

= csc ( x )

6 6

Ejemplo 11 Encontrar el conjunto solución de 2 cos 2 x + 3 sen x = 0 . Restricciones para x: x puede tomar cualquier valor, ya que tanto el coseno y el seno están definidos para todos los reales. 2 cos 2 x + 3 sen x = 0 ⇔ 2 − 2 sen 2 x + 3 sen x = 0

( 2 sen x + 1)( 2 sen x − 4 ) 2

⇔

sen x = −

1 2

2 sen 2 x − 3 sen x − 2 = 0

⇔

sen x = 2

Usando la nueva notación, puede escribirse como: sen x = −

1 2

⎛ 1⎞ ⎧ ⇔ x = arcsen ⎜⎜ − ⎟⎟ ⇒ x ∈ ⎨ x 2 ⎝ ⎠ ⎩

x =

7π 6

+ 2 kπ ó x =

11π 6

⎫ + 2 kπ , k ∈ Z ⎬ ⎭

sen x = 4 ⇔ C.S. = ∅

El conjunto solución es entonces: C.S. =

346

⎧ x ∈ ⎨x ⎩

x =

7π 6

+ 2 kπ ó x =

11π 6

⎫ + 2 kπ , k ∈ Z ⎬ ⎭

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejercicios 18.4

Encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

2 sen 3 x + sen 2 x − 2 sen x − 1 = 0

2 sen 2 α = 1 − sen α

2 sen α ⋅ csc α − csc α = 4 sen α − 2 ,

2 5. 7.

3 sen α ⎛⎜ 2 + ⎝

, para 0 ≤ x < 2π

, para 0 ≤ α < 2π

2 sen α ⎞⎟ + ⎠

2 ⎛⎜ ⎝

para 0 ≤ α < 2π

3 + 2 2 ⎞⎟ cos 2 α − 2 2 ⎛⎜ sen α + ⎠ ⎝

2 ⎞⎟ = 0 ⎠

Representar en el círculo trigonométrico las soluciones entre 0 y 2π cos t − sen 2 t − cos 3 t = 0 cos 2 x + cos

x =1

3 cos x ⋅ sen x + 3 sen x = 0

sen 2 θ − cos θ = 1

⎛ sen 2 x ⎜ ⎜ 4 ⎝ tan x

sen 6 x + cos 6 x = 1 − 3 sen 2 x cos 2 x

( csc x − cot x ) 4 ( csc x + cot x ) 4

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

2 1.

3. 5.

Verificar las siguientes identidades: sen x tan x tan x − sen x

11.

13.

tan x + sen x sen x tan x

cos 3 x − sen 3 x

= 1 + sen x cos x

cos x − sen x sen x + cos x tan 2 x − 1

1 + cos t sen t

cos 2 x sen x − cos x

sen t

1 + cos t

1 − sen x 1 + sen x

= 2 csc t

cos x 1 + sen x

1 − 8 sen 2 x + 8 sen 4 x = cos ( 4 x ) tan v − tan x

1 + tan x tan v

cot x − cot v

1 + cot x cot v

10.

12. 14.

1 − cos x 1 + cos x

sen x

1 + cos x

⎛ csc 3 x ⎜ ⎜ 6 ⎝ cot x

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1 − cos x sen x

1 + cos x sen x

= 2 csc x

2 cos 2 x = sen 2 x ⋅ cot x − 2 sen 2 x sen A cos B + cos A sen B cos A cos B − sen A sen B

15.

( a cos x − b sen x ) 2 + ( a sen x + b cos x ) 2

16.

( csc α ) (cos 4 α - 2 cos 2 α + cos α + 1) + ( sen α ) (cos 2 α − 1) = cot α

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⎞ ⎟ ⎟ ⎠

tan A + tan B

1 − tan A tan B

= a2 + b2

347

CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES

2 17.

Simplificar: ⎞ ⎛π 2 cos 2 ⎜⎜ − x ⎟⎟ − 1 4 ⎠ ⎝

Diga si es Verdadero o Falso. Justifique su respuesta.

18.

Si A + B + C = π , entonces: tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C

19.

Si cos x = cos y , entonces, x = y.

20.

sec 2 t + tan 2 t = 1

21.

( sen x + cos x ) 2

22.

sen α + cos α = 2

para cualquier ángulo

α.

Resolver la ecuación: 24.

2 ( 2 + sen x ) −

2 cos 2 x sen 2 x − cos x sen x = 0

26.

sec x − tan x − csc x + cot x = 0

tan 2 x = 3 tan x

28.

π ⎛ 3 tan ⎜⎜ x − 12 ⎝

23.

2 − sen x = 2 cos

25. 27. 29.

2 30.

2 33.

348

2 (1 + 2 sen x ) = 4 cos 2 x

π ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ = tan ⎜ x + 2 ⎝ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

sen x = −1

Encontrar el valor de:

(25 − x )

2 5

si x = 5 sen u

31. x

si x = 3 sec u −9

32.

⎛ ⎛ 2n + 1 ⎞ ⎞ ⎟π ⎟ sen ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎝ 2 ⎠ ⎠

si n ∈ Z

Encontrar los factores que se obtienen al resolver la ecuación: 6 sen 2 θ − sen θ = 1 .

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“La deseperanza está fundada en lo que sabemos, que es nada, y la esperanza sobre lo que ignoramos, que es todo”

CAPÍTULO XIX RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 19.1 INTRODUCCIÓN 19.2 DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 19.3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL CONTEXTO DE UN SISTEMA DE COORDENADAS 19.4 APLICACIONES EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 19.5 LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS 19.6 PROBLEMAS DE NAVEGACIÓN EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

CAPÍTULO XIX RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 19.1 INTRODUCCIÓN

Ángulo es la región comprendida entre dos semirectas que tienen el mismo punto inicial llamado vértice. Un ángulo se identifica: Utilizando una letra del alfabeto griego. α Mediante tres puntos.

R Un ángulo es positivo si el giro se realiza en sentido contrario a las manecillas del reloj. Un ángulo es negativo si el giro se realiza en sentido de las manecillas del reloj. La unidad de medida de un ángulo puede expresarse en grados sexagesimales o en radianes. • Un grado es la medida de un ángulo cuyo vértice está en el centro de una circunferencia y cuyos lados determinan un arco de longitud 1 360

•

350

de la circunferencia.

Un radián es la medida de un ángulo cuyo vértice está en el centro de una circunferencia y cuyos lados determinan un arco de circunferencia igual al radio de ella.

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

En una circunferencia unitaria: P 1

Si s = 2π

θ 360 o

θ=

s r

θ = 360o :

y s 2π

, la medida en radianes de un ángulo θ es un número real que no

tiene unidades y resulta de la razón entre misma unidad de medida.

y r, que debe estar en la

19.2 DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Como se vio en los capítulos anteriores, las funciones circulares se definen a partir de las medidas de los arcos sobre la circunferencia unitaria. Las razones trigonométricas surgen por la relación entre las medidas de los lados y de los ángulos en un triángulo. rectángulo. En el presente capítulo se estudiarán las razones trigonométricas a partir de su relación con las funciones circulares y su aplicación en situaciones que involucran triángulos. Teniendo en cuenta que existe una relación entre la longitud del arco sobre la circunferencia unitaria y el ángulo central, y que a partir de ello se definieron relaciones entre las coordenadas de su punto terminal, es posible establecer una relación entre las funciones y las razones trigonométricas encontrando la semejanza que existe entre las funciones circulares y los lados de un triángulo, como se explica a continuación. Representando en un plano cartesiano una circunferencia de radio 1 y una de radio r, centradas en el origen, se establece que:

El punto B, que se ubica sobre la circunferencia unitaria, tiene coordenadas B = ( x 1 , y 1 ) = ( cos ( s 1 ) , sen ( s 1 ) ) y punto Q, ubicado sobre la circunferencia de radio r, tiene coordenadas Q = ( x 2 , y 2 ) = ( r cos ( s 2 ) , r sen ( s 2 ) ) .

Q r s2 B s1

El ángulo central θ para el arco con punto final B sobre la circunferencia unitaria es el mismo que para el arco Q sobre la con punto final circunferencia de radio r

x O

Los triángulos OBA y OQP Por semejanza de triángulos se tiene: x1 1

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y2 x2

351

CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

De acuerdo con las relaciones establecidas, pueden definirse las razones trigonométricas en circunferencias de radio r, teniendo como base la circunferencia unitaria y el valor del radio r. Vale decir que dado que r representa una distancia, su valor es positivo, por lo que la razón no sufre otra modificación diferente a la causada por el nuevo radio.

Circunferencia unitaria sen ( θ ) =

cos ( θ ) =

tan ( θ ) =

cot ( θ ) =

y 1

sec ( θ ) =

csc ( θ ) =

1 y

1 1

Circunferencia de radio r

=y =x

sen ( θ ) =

cos ( θ ) =

x ≠0

tan (θ ) =

y r x r

y ≠0

cot (θ ) =

x r y r

x ≠0

sec ( θ ) =

y ≠0

csc ( θ ) =

r r

y x

x ≠0

=x y

y ≠0

x ≠0

y ≠0

Para establecer las relaciones trigonométricas para ángulos mayores a 90 o puede recurrirse al ángulo de referencia de la misma forma como se trabajaron los arcos mayores a

π 2

en la sección 18.8. El

o 90 es el ángulo positivo ángulo de referencia para un ángulo menor que 90 o formado por el lado final del ángulo y el eje x.

El valor de las razones para está determinado por el valor de las razones del ángulo de referencia y por el cuadrante donde se ubica el lado terminal del ángulo, ya que de su posición dependerá el signo de la relación analizada.

Ejemplo 1 Encontrar el valor del coseno para un ángulo de 120 o. o

120 >90

El ángulo de referencia es igual a: 180 o − 120 o = 60 o Dado que

(

)

cos 60 o =

cuadrante, entonces

352

1 2

, y que el lado final del ángulo de

(

)

cos 120 o = −

1 2

120

se ubica en el segundo

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 2 Encontrar las seis razones trigonométricas para el ángulo de 315o. Ángulo de referencia: 360 o − 315 o = 45 o

)

(

)

(

cos 315 o = cos 45 o =

( ) ( ) 1 2 tan (315 ) = − tan (45 ) = −1 1 1 = − csc (315 ) = sen (315 ) − sen (45 ) sen 315 o = − sen 45 o = − o

)

(

sec 315 o =

(

)

cot 315 o =

(

)

cos 315 o

(

tan 315

)

(

cos 45 o 1

(

− tan 45 o

=− 2

)

= −1

Ejemplo 3

(

θ = − 240 0

Encontrar el valor del coseno de

)

Ángulo de referencia:

cos ( −240 ) = − cos ( 60 ) =

1 2

Ejercicios 19.1

Relacionar con el ángulo de referencia:

cos 144 o

(

)

cos 126 o

(

)

sen 210 o

⎛ 12 π sen ⎜⎜ ⎝ 10

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

sen 288 o

(

)

⎛ 7π cos ⎜⎜ ⎝ 18

(

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

)

⎛ 11π sen ⎜⎜ ⎝ 8

⎛ 4π tan ⎜⎜ ⎝ 5

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(

)

(

)

cos 120 o

10.

tan 126 o

Explicar: 11.

2 12.

Existe un número real tal que 7 sen t = 9 ? Encuentre las seis razones trigonométricas si se tiene que: cos x = −

1 2

13.

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csc x = 3

14.

tan x =

1 4

353

CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Completar cada una de las siguientes expresiones: π

= cos (

sen

18.

cos ( − θ ) = cos (

21.

cos (

15.

)

= sen (

16.

cos

19.

π sen ⎛⎜ + θ ⎞⎟ = cos ( ⎝2 ⎠

2 2

)

17.

sen ( π + θ ) = sen (

20.

⎛ 3π sen ⎜⎜ ⎝ 4

⎞ ⎟⎟ + cos ( ⎠

)

)=0

⎛ 2π ⎞ ⎟=0 ⎟ ⎝ 3 ⎠

) + cos ⎜⎜

19.3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL CONTEXTO DE UN SISTEMA DE COORDENADAS Cuando se busca representar un ángulo en un sistema cartesiano, se hace coincidir su vértice con el origen del sistema y su lado inicial con el eje x. Un ángulo así dispuesto, se dice que se encuentra en posición canónica. P=(x,y)

Si el ángulo θ está en su posición canónica, su lado inicial corresponde al segmento OQ y el segmento OP es su lado final.

Al descomponer el punto P en sus coordenadas, puede construirse un triángulo rectángulo de hipotenusa r y cuyos catetos tienen como longitud el valor de las coordenadas del punto P.

θ x

Esta situación permite definir las razones trigonométricas para un ángulo θ como la razón entre las longitudes de los lados adyacente y opuesto, y la hipotenusa, la cual puede calcularse mediante la aplicación del Teorema de Pitágoras.

Ejemplo 4 Encontrar las seis razones para coordenadas ( 2 , 3 ) y (2,3)

3 2

θ si

un punto

P = (2 ,3 )

Por lo tanto: r 3

sen ( θ ) =

θ -1

x 2

cos ( θ ) =

-1 tan ( θ ) =

354

⇒

3 2

x =2

ubicado sobre su lado terminal tiene

y =3

4+9 =

csc ( θ ) =

3 13

sec ( θ ) = cot ( θ ) =

2 2 3

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Ejemplo 5 Si el lado terminal del ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, sobre la recta y = −4 x , encontrar las seis razones trigonométricas para θ . Se ubica un punto P sobre el lado terminal de Dado que θ está en el cuadrante II, la abscisa de P es negativa, y su ordenada debe satisfacer la condición: y = −4 x .

Sea x = –1: Si A x = −1

⇒

y = −4 ( −1 )

⇒

r =

16 + 1 =

⇒y =4 17

El valor de las seis razones será: sen ( θ ) = sen ( α ) =

csc ( θ ) = csc ( α ) =

cos ( θ ) = − cos ( α ) =

−1

17 4

sec ( θ ) = − sec ( α ) = − 17

17 cot ( θ ) = − cot ( α ) = −

tan ( θ ) = − tan ( α ) = −4

1 4

Ejemplo 6 Si cos θ = 2 , encontrar sen θ y tan θ . 3

El coseno de θ es positivo, lo que indica que el lado terminal del ángulo está en el cuadrante I o en el IV. x =2

r =3

⇒

3 =2 +y

⇒

y =± 5

Si el lado terminal de se encuentra en el cuadrante I, el valor del seno del ángulo es positivo. Es decir, sen θ = 5 y tan θ = 5 . 3

Si el lado terminal de se encuentra en el cuadrante IV, el valor del seno del ángulo es negativo, y el seno y la tangente del ángulo serán respectivamente: sen θ = − 5 y 3

tan θ = −

5 2

Ejemplo 7 Encontrar las seis razones trigonométricas de un ángulo θ , si su lado terminal está en el cuadrante III, y sobre una recta paralela a la recta 2 y − 7 x + 2 = 0 .

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355

CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Si el lado terminal de θ está sobre una recta paralela a 2 y − 7 x + 2 = 0 , un punto P sobre su lado terminal debe pertenecer a la recta que pasa por el origen y cuya pendiente es 7 . Es decir, la ecuación

de la recta que contiene el lado terminal de θ es y = 7x 2

Por estar en el cuadrante III, la abscisa y la ordenada de P deben ser negativas. Cuando x = – 2 en y = 7 x ,

y =

7 x 2

el valor de la ordenada corresponde a y = −7 . Con estas coordenadas, el valor de r será: r = 4 + 49 = 53 . sen (θ ) = − sen (α ) = −7 53

csc (θ ) = csc (α ) = −

53 7

cos (θ ) = − cos (α ) = −2 53

sec (θ ) = − sec (α ) = −

tan (θ ) = tan (α ) = 7 2

cot (θ ) = cot (α ) = 2 7

53 2

Ejercicios 19.2

Encontrar el cuadrante en que se encuentra el ángulo si se cumplen las condiciones dadas:

tan β < 0 y cos β > 0

sec β > 0 y tan β < 0

sen β < 0 y sec β > 0

sen φ > 0

2 5.

cot φ < 0

Encontrar las seis razones trigonométricas si se sabe que el punto P esta sobre el lado terminal del ángulo. P (3 ,−2 )

P (7 ,1)

P (−3 ,3 )

P (−15 ,−8 )

Encontrar las seis razones trigonométricas si el lado terminal cumple con las condiciones dadas: 9.

2 11.

356

Esta sobre la recta y = 3 x 4

10.

Es paralela a la recta

−2 x − 5 y = 1

Encontrar el valor de la siguiente expresión: sen α − cos α sen α + cos α

sí tan α = 2 y α esta en el tercer cuadrante. 5

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

19.4 APLICACIONES EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Hay dos tipos de triángulos rectángulos especiales: Isósceles: Tiene catetos de igual longitud y sus ángulos agudos son de 45º.

Si la longitud de sus catetos es l, su hipotenusa es

El triángulo rectángulo de ángulos 30º, 60º, 90º que resulta de dividir un triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos iguales. Si la longitud de la hipotenusa es l, la longitud del cateto opuesto al ángulo de 60º es

3 l 2

, y la del cateto adyacente es l

Hasta el momento se ha construido la teoría de la trigonometría a partir de un sistema de coordenadas rectangulares. Sin embargo, una vez se establecen las razones trigonométricas para cualquier tipo de triángulo, es posible analizar situaciones cotidianas que involucran distancias y alturas desconocidas o ángulos entre las proyecciones de un punto sobre ejes imaginarios.

Ejemplo 8 Una escalera de 3,5m.de largo está recostada contra un muro vertical, con su extremo superior en el muro a una distancia de 2,5m. del suelo. Una señora de 1,80m. de estatura, camina por la acera donde está la escalera, manteniendo una distancia de 1,5m. del muro. ¿Podrá pasar por debajo de la escalera sin golpearse con ésta?

3,5m. 2,5m.

1,8m

1,5m. d

El ángulo α es fijo, por lo tanto: sen α =

2,5 5 = 3 ,5 7

Como este valor no corresponde a uno conocido, se recurre a la calculadora para encontrar que el valor del ángulo = 45.58o. La distancia entre el muro y el pie de la escalera será: tan α =

2,5m d

⇒

d =

2,5m 2,5m = = 2,45m. tan α 1,02

La distancia del pie de a escalera al sitio por donde pasa la señora será: d − 1,5 = 2,45m. − 1,5 = 0,95

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357

CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

El espacio entre la escalera y el piso por donde pasa la señora: h tan α = ⇒ h = (tan α )(d − 1.5 ) = 1,02 * 0,95 = 0,97m. d − 1.5

Como la señora mide 1,80m., se concluye que no puede pasar por una altura de 0,97m.

Ejemplo 9 Para definir un partido de fútbol en la eliminatoria mundialista, se dio lugar al cobro de tiros desde el punto de pena máxima. En la quinta oportunidad para el equipo local, y estando la serie empatada, el cobrador disparó, enviando el balón justo al palo horizontal del arco. Cómo puede expresarse la dirección que llevaba el balón en el momento del disparo? Dado que el balón tomó una trayectoria desde el pie del jugador y hacia el arco que se encuentra al frente, y desde el piso tomando altura hasta el horizontal, la situación se traduce en una elevación del objeto, el cual puede esquematizarse como:

Al ángulo θ se le conoce como ángulo de elevación. Si el locutor permanece en la cabina de transmisión atento a la jugada para narrar con emoción el resultado, debe fijar su mirada con un ángulo fijo. A éste ángulo α formado por la línea de la visual con respecto al horizontal, se le conoce con el nombre de ángulo de depresión.

Ejemplo 10 Desde la ventana de su apartamento, a 80m. de altura desde el piso, una madre observa a su hijo jugar en el parque. Unos minutos más tarde, se asoma y lo ve caminando hacia el edificio. En la primera ocasión, el ángulo de observación fue de 30º, y en la segunda, fue de 60º. Qué distancia ha recorrido el niño durante ese tiempo?

358

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

B 30o

80m

60o

d La primera vez que la mamá observa el niño, éste se encuentra a una distancia d del edificio y por ángulos alternos internos, se deduce que el ángulo que involucra la distancia d con el edificio es de 30º. Por lo tanto, se tiene: o tan 30 = 80 d

⇒

d =

80 tan 30

⇒

d = 80 1

⇒

d = 80 3m.

La segunda vez que la mamá observa al niño, el ángulo es de 60º. Por lo tanto: o tan 60 = 80 x

⇒

80 tan 60

⇒

d = 80 3

⇒

80 3 m. 3

La distancia recorrida es: d1 = d − x

⇒

d1 = 80 3 −

80 3 3

⇒

d1 =

160 3 m. 3

Ejemplo 11 Un hombre parado en la azotea de un edificio de 120m. de altura, observa el sol con un ángulo de 45º. Cuál será la sombra que proyecta el edificio? El ángulo A es de 45º. La longitud de la sombra x es: tan 45

120 x

⇒

120 tan 45

⇒

120 1

x = 120m

Ejercicios 19.3 Resolver los siguientes problemas, aproximar las respuestas a las décimas: 1.

Una escalera de 25 metros de largo está reclinada en un edificio. Si la escalera forma un ángulo de 37° con el suelo, ¿A qué altura del edificio llega la escalera?

Desde lo alto de una montaña de 3.000 metros de altura se observan dos pueblos (A y B), situados en el llano, con ángulos de depresión de 60º y 45º respectivamente. A qué distancia está un pueblo de otro? (Los pueblos están alineados con el pie de la montaña).

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359

CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Un globo de aire caliente se mantiene a una altura de 800 metros y pasa directamente por encima de un observador. Después de dos minutos, el observador ve el globo con un ángulo de elevación de 70°. Calcular la velocidad del globo en km/h, considerando despreciable la altura del observador.

Una rampa de 30 metros tiene que ser construida de tal manera que suba 5m sobre el nivel del suelo ¿Qué ángulo debe tener la rampa con el suelo?

Dos cables tensores que mantienen en equilibrio una estructura, parten del mismo punto de apoyo. El tensor que se encuentra a la izquierda del punto de apoyo mide 75 metros y forma un ángulo de 26° con el piso. El tensor de la derecha del punto de apoyo mide 60 metros y forma un ángulo de 20° con el piso. ¿Cuál es la distancia que hay entre los extremos superiores de los tensores?

Un salvavidas se encuentra en una torre que tiene 20m de altura, y desde allí observa con un ángulo de 35° a un turista que necesita ayuda. ¿Qué distancia tiene que recorrer desde la base de la torre para auxiliarlo?

Una fotógrafa desea tomarle una foto a una vasija que mide 4 pies de altura y que se encuentra en un pedestal de 3 pies de altura. Ella desea colocar la cámara en un punto sobre el piso, de manera que los ángulos subtendidos por la vasija y el pedestal sean idénticos. A qué distancia desde la base del pedestal se debe colocar la cámara?

Un topógrafo desea medir la altura de una torre de energía situada al otro lado de un río. Para ello, coloca su teodolito en un punto P, de manera que la horizontal coincide con el pie de la torre y el ángulo al extremo superior de la torre es de 20°. Camina 50m. en línea recta hacia el pie de la torre, desde donde mide un segundo ángulo de 28° hacia el mismo punto de observación. ¿Cuál es la distancia desde el primer punto de observación hasta el pie de la torre? ¿Cuál es la altura de la torre de energía?

Un hombre de pie, situado a 5 metros de la pared de un galería de arte, observa la parte superior de uno de los cuadros con un ángulo de elevación de 30° y la parte inferior con un ángulo de depresión de 15°. ¿Cuáles son las dimensiones del cuadro si se sabe que el ancho del cuadro es la mitad de su longitud?

10.

Dos hombres a una distancia de 600 metros observan un globo en el cielo, situado entre ambos, los respectivos ángulos de elevación del globo son 75° y 48° respectivamente. Encontrar la altura del globo, asumir que la altura de los observadores es despreciable.

19.5 LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS

j 360

Se sabe que dos triángulos son congruentes cuando tienen iguales: Sus tres lados: LLL Dos lados y el ángulo entre ellos: LAL Dos ángulos y el lado entre ellos: ALA Si sólo se conocen los tres ángulos de un triángulo, es imposible determinar las longitudes de los lados. Podría encontrarse un triángulo semejante, que tenga la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. En todo triángulo, el lado de mayor longitud se opone al ángulo de mayor medida. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

En las situaciones analizadas en la sección anterior, se construyeron triángulos rectángulos cuya solución mediante el análisis de sus ángulos y sus catetos, llevaron a la definición total del problema. En casos en los cuales se involucran triángulos no rectángulos, es necesario apelar a procedimientos en los cuales se relacionen los lados y los ángulos de los triángulos, como lo hacen las llamadas ley de senos y ley de cosenos. La ley de senos permite afirmar que la razón entre el seno de cualquier ángulo y la longitud del lado opuesto es siempre constante. Para el triángulo ABC: Sea h su altura desde A. En el triángulo ACD puede observarse que:

y A

sen γ = h b

α b

En el triángulo ABD:

sen β = h c

⇒ h = b sen γ

⇒ h = c sen β

Igualando las dos expresiones: b sen γ = c sen β

⇔

sen γ sen β = c b

Para el ángulo α en el centro del sistema de coordenadas: Si se traza la altura h desde C y se hace el razonamiento anterior, se llega a que:

y C b

α c

sen α = sen β a b

a x B

En general, puede afirmarse que: sen α = sen β = sen γ a b c

Ejemplo 12 Un árbol tiene una inclinación de 25º y está siendo sujetado por un cable desde un punto a de la base del árbol a su parte más alta. Si el ángulo de elevación del cable es de 20º, ¿Cuál es el tamaño del árbol y cuál es la mínima distancia desde el piso hasta su punto más alto? 12m.

20º

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C C

361

CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para calcular el tamaño del árbol CB: E B

EC: Posición original del árbol. BD: Perpendicular al piso.

20º

En el triángulo ABC: Ángulo C: C = 90 o + 25 o = 115 o Ángulo B: B = 180 o − 115 o − 20 o sen 20 l

sen 45 12

⇒

(

= 45

12 sen 20 sen 45

)

⇒

l = 5.80m.

Para calcular la distancia mínima del piso hasta el punto más alto del árbol BD: En el triángulo CBD Ángulo C: C = 90 o − 25 o = 65 o sen 65

BD 5 ,80m.

⇒

BD = 5 ,80m. sen 65

⇒

BD = 5 ,25m.

La ley de cosenos es aplicable cuando: Se conocen los tres lados del triángulo Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. La demostración se deja como ejercicio para el estudiante, recordando que se deben estudiar dos casos: Si el triángulo tiene ángulo obtuso. Si el triángulo dado tiene sus 3 ángulos agudos:

C b A

γ h D

Algebraicamente, expresarse como:

la 2

ley

cosenos

puede

a = b + c − 2 b c cos α

β n

Ejemplo 13 Un investigador debe viajar a dos pueblos desde la ciudad en la que se encuentra. Al preguntar sobre la ruta que debe seguir, le dicen que puede dirigirse al pueblo A recorriendo 7km., y desde allí pasar al pueblo B, o recorrer 4km. hacia B y desde allí tomar la ruta que lo

362

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

lleva al pueblo A. Si las carreteras que llevan a A y a B forman entre sí un ángulo de 137º, a qué distancia en línea recta se encuentran los dos pueblos? Como se conoce la longitud de dos lados y el ángulo ente ellos, puede aplicarse la ley de cosenos:

7km.

Ciudad 4km. B

c = a + b − 2 ab cos γ

(

c = (7 )2 + (4 )2 − 2 (7 ) (4 ) cos 137

) o

El coseno del ángulo es negativo.

c ≅ 10.29 km .

Ejercicios 19.4

Encontrar las medidas de los ángulos y los lados desconocidos con aproximación a las centésimas: o

b = 17 ,9; c = 12,1; α = 161,9

b = 86 ,3 ; β = 39 ,3 ; γ = 96 ,7

b = 14 ,7; c = 12 ,4; γ = 93 ,9

α = 45 ; b = 3; c = 4

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a = 35 ,8; α = 54 ,3 ; γ = 68 ,2

a = 5; b = 3; c = 6

363

CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Resolver los siguientes problemas aproximando las respuestas a las centésimas: 7.

Un aeroplano vuela de la ciudad de Bogotá, a la ciudad de Medellín. Cuando el aeroplano llega al aeropuerto de Medellín, se desvía a causa de la espesa niebla hacia Cali. Determínese el ángulo α que el piloto tiene que girar para seguir su curso desde Medellín. La distancia entre Bogotá y Medellín es 195km; entre Medellín y Cali es 112km, y entre Cali y Bogotá es 106km.

Dos fotógrafos que están a 300 pies de distancia entre sí, ven un león a lo lejos. Las líneas de visión de los fotógrafos hacia el león y entre sí forman un triángulo. Calcular la distancia que hay entre el león y cada uno de los fotógrafos. León

60o

75o

Fotógrafo 1

Fotógrafo 2

Un paralelogramo tiene ángulos agudos de 34°. La diagonal opuesta a esos ángulos mide D pulgadas. Un lado del paralelogramo adyacente al ángulo de 34° mide 20 pulgadas y el otro lado adyacente mide 39 pulgadas. Hallar D, la diagonal del paralelogramo.

10.

Un paralelogramo tiene ángulos agudos de 50°. Los lados que forman el ángulo agudo miden 30cm y 20cm. Calcular las longitudes de las diagonales del paralelogramo.

11.

Los lados de un paralelogramo miden 5cm y 12cm y forman entre sí un ángulo de 36°. Hallar la medida de las diagonales.

12.

Se desea medir la distancia entre dos colinas A y B ; desde una tercera colina C situada a 12km de A, se pueden medir los ángulos A y C, que son 46° y 38°. B

46 13.

14.

364

38o

12 Km A Una valla forma un ángulo de 80° con el piso y está sostenida por una viga de 15 metros de longitud. La viga va desde el borde de la valla hasta el piso formando un ángulo de 53° con éste. Calcular la distancia que hay entre la base de la valla y la base de la viga. Un hombre de 5 pies y 9 pulgadas de alto, se para en un andén inclinado. Un poste de luz situado sobre el mismo andén más arriba que el hombre, hace que el hombre proyecte una sombra de 18 pies de largo. El ángulo de depresión desde la cabeza del hombre hasta la punta de su sombra es de 31°. Encontrar la pendiente del andén. (AYUDA: Una pulgada equivale a 2,54cm. y un pie equivale a 30,48cm. G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

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15.

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Un helicóptero vuela a una altura de 1500m. sobre la cima de una montaña de 2800m. de altura. La cima de otra montaña cercana y más alta que la primera es vista con un ángulo de depresión de 60° desde el helicóptero, y con un ángulo de elevación de 15° desde la cima de la primera montaña. Determinar la distancia entre las cimas de las montañas, y la altura de la segunda montaña.

19.6 PROBLEMAS DE NAVEGACIÓN Es común encontrar problemas de navegación aérea o marítima donde es muy útil el uso de herramientas trigonométricas, pero en donde el sistema de referencia no es el plano cartesiano sino un sistema de coordenadas similares generado por la línea Norte. N

En estas situaciones, la dirección de la nave se denomina azimut y se indica respecto de la dirección norte o sur así: N θ ο E,

lo que significa que su desplazamiento se realiza a lo largo de un rayo que forma un ángulo θ en el sentido de las manecillas del reloj, con respecto a la línea norte. Su representación gráfica será en este caso:

Ejemplo 14 Representar gráficamente: N 40 E, o

S 30ο W,

30o S

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S 60ο E,

60o S

365

CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ejemplo 15 Un barco navega 400km. entre las ciudades A y B con rumbo N 65º O. Desde la ciudad B se dirige a otra ciudad C con rumbo N 30º E distante 250km. Calcular la distancia entre A y C, y el rumbo que debe tomar el barco si el regreso lo hace directo entre las dos ciudades. Antes de hacer cualquier aplicación de algún concepto trigonométrico, es necesario hacer una abstracción de la situación, que permita visualizar la información conocida y la que se quiere encontrar:

C θ2 θ1 250km.

N30 E

C β

b α

400km.

N65 O

La gráfica, muestra un triángulo no rectángulo, del cual se conocen dos lados. Con la información dada es posible encontrar el valor del ángulo comprendido entre dichos lados. β = 65

Por alternos internos. o

α = 180 − 65 − 30 α = 85

Con el valor de α, y conocidos los dos lados que lo comprenden, se procede a aplicar la ley de cosenos:

( )

b = (250 )2 + (400 )2 − 2(250 )(400 ) cos 85

b = 452,84km.

Para hallar el ángulo CBA puede aplicarse la ley de senos: 250km = 452 ,82km o sen α sen 85

α = 33

⇔

sen α =

(

250km sen 85 452 ,82

)

⇔

sen α = 0,5499674

El ángulo C puede expresarse como:

366

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

Edición Preliminar Versión 3

C = θ1 + θ 2

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

y como :

Por alternos internos, Por lo tanto,

θ 2 = 32

C = 180 − 33 − 85 o

θ1 = 30

⇔

C = 62

y el ángulo de rumbo será:

180 − 32 = 148

El rumbo entonces será: o

S 58 E

Ejercicios 19.5 Resolver los siguientes problemas aproximando a las unidades: 1.

Un estudiante para ir a su casa que queda a 200km al este de la escuela tiene la oportunidad de escoger entre dos modos de viajar: Puede salir de inmediato en un bus que va a razón de 45km por hora y que pasa por un pueblo vecino, o puede esperar una hora e ir directamente en automóvil a razón de 60km por hora. Si el pueblo vecino queda en la dirección N 55° E de la escuela y N 72° W de su casa, de qué modo gastará menos tiempo y cuál es la diferencia con el tiempo que hubiera necesitado del otro modo?

Un buque de la guardia costera se encuentra a 6 millas náuticas al este de un trasatlántico, en el momento en que reciben una llamada de auxilio de un yate. Para socorrerlo, el buque navega con rumbo N 50° W a 10 nudos y el trasatlántico navega con dirección N 40°E a 7 nudos. Cuál de ellos llegará primero al yate y en qué tiempo?

Dos barcos tienen equipos de radio cuyo alcance es de 322km. Uno de los barcos se encuentra a 250km y N 42°40’ E de una estación costera, y el otro se encuentra a 265km y N 45°10’ W de la misma estación. ¿Pueden los dos barcos comunicarse entre sí directamente por radio?

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

Hallar el valor de

csc, sec, cot, ,

para los siguientes ángulos:

0°

45°

90°

150°

225°

240°

270°

300°

315°

10.

360°

2 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

Encontrar los valores de las seis razones trigonométricas de θ si θ está en la posición: El punto P (4,−3) está en el lado terminal de θ El punto P (−8, −15) está en el lado terminal de θ El punto P (−1,2) está en el lado terminal de θ El punto P (2,3) está en el lado terminal de θ El punto P (−4,5) está en el lado terminal de θ El punto P (2, −1) está en el lado terminal de θ El punto P (−2, −5) está en el lado terminal de θ

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367

CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

18. 19. 20. 21. 22. 23.

El lado terminal de θ está en el cuadrante II y es paralelo a la línea que pasa por los puntos A(1,4) y B(3, −2) El lado terminal de θ está en el cuadrante I y cae sobre una recta con pendiente 4 3

El lado terminal biseca al III cuadrante. El lado terminal de θ pasa por el punto (−3,5) El lado final de θ está en el segundo cuadrante y pasa por el punto donde se intersectan las dos funciones y = 9 − x 2 y y = 2 x 2 El lado final de θ está en el primer cuadrante y pasa por la intersección de y = 1 y y = 4x . x

Si el lado final de un ángulo α pasa por el punto ( x 0 , y 0 ) donde x 0 y y 0 son reales positivos, es verdadero o falso y0

24.

sen α = −

26.

El lado final del ángulo complementario de α pasa por ( x 0 , y 0 ) . El ángulo α está en el cuarto cuadrante.

28.

x0 + y0

25.

tan α = 1

27.

cot α = cot (α − π )

Calcular: 29. 31.

sen α,

si cos α = 1 –m2. 30. El valor de cos α, si tan α = m, b Si sen ϑ = , con a2 + b2 ≠0, cuáles serán los valores de las otras razones 2

a +b

trigonométricas? Por qué se requiere que

36.

sec ⎛⎜ 23 π ⎞⎟ ⎝ 12 ⎠

40.

tan 285

(

( ) cos (15 ) cos (165 )

33.

cos 75

44.

Sin usar calculadora y utilizando ángulos conocidos hallar: (La respuesta no puede ser con decimales)

32.

a + b ≠0?

csc 15

37.

)

35.

5 sen ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝4 ⎠

cot ⎛⎜ 7 π ⎞⎟ ⎝4 ⎠

39.

tan 60

cos ⎛⎜ π ⎟⎞ ⎝ 12 ⎠

43.

34.

cos 135

38. 42.

41.

(

( ) + tan (225 ) sec (− 120 ) o

Expresar en términos del ángulo de referencia:

(

tan − 35

)

45.

(

sec − 80

)

46.

(

tan − 45

)

(

)

(

)

cot − 75

52.

La cot x en función del sen x

48.

csc − 50

47.

49.

(

sec − 60

)

Demostrar sin usar calculadora: 50.

cos 13 tan 13 tan 77 csc 77 = 1

Expresar 51.

368

El cos x en función de la cot x

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Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Encontrar las otras razones trigonométricas si: 53.

cos ϑ =

55.

g (x ) =

(m + n )

(

2m +n 2

2m +n

)

54.

17 ,x ∈ℜ . 2 5 − 3 sen x a. Encontr ar g ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎝6⎠

cos θ = m 2 − n 2 m +n

Encontrar el mayor valor y el menor valor de g ( x ) .

Resolver los siguientes ejercicios: 56.

Encontrar el rango de f (x) si f ( x ) = sen 2

x ∈ℜ .

57.

La función f (t ) = sen t + cos t es par, impar o ninguna de las dos?. tan t

sen α = 4 5

58.

59.

Para que valores de

60.

sen z =

61.

sen α = a

, qué diferencia hay entre

2 2

2 sen α y sen

se cumple sec β = 1 + tan 2 β

sen x =

0 < α ≤ 45

3 5

, encuentre el valor de

cos ( x − z )

, encuentre tan 2α

Encontrar las medidas que faltan de los ángulos y de los lados del triángulo haciendo aproximación a las décimas: o

62.

α = 120 ; a = 10 ; b = 5

65.

α = 30 ; a = 8; b = 4

csc t

63.

α = 30 ; β = 80 ; a = 5

66.

α = 60 ; b = 5; c = 9

64.

α = 40 ; β = 60 ; b = 6

Resolver los siguientes problemas. Dar la respuesta con aproximación a las centésimas:

67.

Un paralelogramo tiene ángulos agudos de 50°. Los lados que forman el ángulo agudo miden 30cm y 20cm. Calcular las longitudes de las diagonales del paralelogramo.

68.

Un topógrafo encuentra que el ángulo de elevación al extremo superior del asta de una bandera es de 61,7°. La observación se hace desde una altura 1,5 metros sobre el nivel del piso y a una distancia de 10 metros del asta. En estas condiciones determínese la altura del asta.

69.

Un punto en el suelo se encuentra a 135 pies de la base de una torre. El ángulo de elevación de dicho punto a la cúspide de la estructura es 50°20’. Calcule la altura de la torre.

70.

Desde la azotea de un edificio que ve hacia el mar, una persona observa un bote que navega directamente hacia ella. Si la persona se encuentra a 100 pies sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión al bote cambia de 25° a 40° durante el período de observación, hallar la distancia aproximada que ha recorrido el bote durante ese tiempo.

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369

CAPÍTULO XIX FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

71.

Desde un punto P sobre un terreno horizontal, el ángulo de elevación a la punta de una torre es de 26°50’. Desde un punto ubicado 25 metros más cerca de la torre, en la misma línea que P y la base de la torre, el ángulo de elevación es 53°30’. Calcule la altura aproximada de la torre.

72.

Una escalera de 20 pies de longitud está apoyada contra el muro de una construcción, y el ángulo que forma con el piso es de 22°. Calcule la distancia aproximada del pie de la escalera al muro. Si la distancia del pie de la escalera a la pared aumenta 3 pies ¿Qué altura aproximada baja el extremo superior de la escalera en el muro?

73.

Cuando un globo aerostático sube verticalmente, su ángulo de elevación desde un punto P, sobre el terreno horizontal a 110km de distancia al punto Q, directamente abajo del globo, cambia de 19°20’ a 31°50’ ¿Qué ascenso aproximado alcanza el globo durante esas observaciones?.

74.

Desde un punto A, que está a 8,2 metros sobre el piso, el ángulo de elevación a la parte superior de un edificio es 31°20’, y el ángulo de depresión a la base de construcción es 12°50’. Calcule la altura aproximada del edificio.

75.

Alberto, Bernardo y Carlos están considerando la compra de un equipo de comunicaciones con un alcance de 200 metros. Bernardo vive al otro lado de la carrilera que pasa entre su casa y las de Alberto y Carlos. Los muchachos encuentran que la distancia entre la casa de Alberto y Carlos es de 175 metros; el ángulo opuesto a la línea que une la casa de Carlos y Bernardo es de 76° y el opuesto a la línea que une la casa de Bernardo con la de Alberto es de 55°. Puede con el equipo cada uno de los muchachos comunicarse con los otros dos?

76.

Al instalar una antena de 155 metros sobre un terreno inclinado (la inclinación es de 20°, los cables que la sostienen forman cada uno 40° con el mástil. Halle la longitud de los cables, teniendo en cuenta que la antena es vertical.

77.

Un viejo mapa señala un tesoro enterrado en un punto C, ubicado al N 70° 18’ W, de cierto árbol T. Para evitar una barranca entre T y C, el mapa dice que hay que caminar 315,3 metros hacia el N 10° 24' W y después 260 metros hacia el lugar del tesoro. Si el descubridor del mapa ha estudiado trigonometría, iría a buscar el tesoro? Por qué?

78.

Dos aviones parten desde el mismo punto, el uno hacia el oeste y el otro a 20° al este del norte, el primero con una velocidad de 280 km/h y el segundo a 350 km/h. ¿A qué distancia se encuentran el uno del otro al cabo de dos horas de vuelo.

79.

Un poste vertical de 10m. de altura se encuentra en la ladera de una colina que forma un ángulo de 30° con la horizontal. Determinar la longitud mínima del cable de retensión necesario para unir la parte superior del poste con un punto situado 20m. abajo del poste sobre la colina.

80.

Calcular los lados de un paralelogramo, si se conoce que una diagonal mide 96cm y los ángulos que forma con los lados son: 40° y 35°.

81.

Dos barcos que disponen de un radioteléfono con un alcance máximo de 194km, parten del mismo puerto; el primero en dirección 50° al oeste del norte con una velocidad de 140km/h y el segundo viaja en dirección N 18° E con una velocidad de 176km/h. ¿Podrán los barcos comunicarse directamente al cabo de una hora?

370

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82.

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

Cuando se ve la cima de una montaña desde un punto P en el suelo, el ángulo de elevación es de α. Desde un punto Q que está d unidades más cerca de la montaña, el ángulo de elevación aumenta a β unidades. Muestre que la altura h de la montaña es: h=

d sen α sen β sen (y − x )

T y

h a α P

β d

83.

Un lado de una casa de planta cuadrada mide 54,7m y su frente esta hacia el oriente. Una tubería de agua va por debajo de la casa desde un punto que esta a 13m al sur de la esquina noroccidental hasta un punto que está a 12m del norte de la esquina suroccidental. Hallar la longitud de la tubería y al ángulo que forma con el lado oriental de la casa.

84.

Una avioneta pequeña se ha extraviado después de abandonar el aeropuerto Bonilla Aragón. De acuerdo con los controles de tránsito aéreo, la avioneta recorrió una distancia de 72km con un curso de 118°, después tomó un curso de 150° durante 58km, cuando perdió contacto con la torre de control del aeropuerto. En qué dirección y a qué distancia del aeropuerto debería iniciarse la búsqueda?

85.

Dos aviones salen del mismo aeropuerto, el uno hacia el norte y el otro a 40° al este del norte; el primero a una velocidad de 240 km/h. ¿A qué distancia se encuentran después de 2 horas de vuelo.

86.

Halla el ángulo entre las direcciones de dos aeroplanos que parten del mismo punto y que al cabo de tres horas se encuentran a una distancia de 520 km, si sus velocidades son 380 km/h y 420 km/h, respectivamente.

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

371

Edición Preliminar Versión 3

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

“Para desembarcar en la isla de la sabiduría hay que navegar por un océano de aflicciones”

CAPÍTULO XX FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS 20.1 INTRODUCCIÓN 20.2 FUNCIONES INVERSAS: DEFINICIÓN EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

CAPÍTULO XX FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS

CAPÍTULO XX FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS 20.1 INTRODUCCIÓN Ü Ü

Todas las funciones circulares son periódicas. Seno y Coseno tienen período 2π, para todo x real. î sen ( x + 2kπ ) = sen ( x ), k ∈ Z î cos ( x + 2kπ ) = cos ( x ) k ∈ Z Ü Las funciones Secante y Cosecante tienen período 2π. π î sec ( x + 2kπ ) = sec ( x ), k ∈ Z x ≠ + kπ î

csc ( x + 2kπ ) = csc ( x ),

2 x ≠ kπ

k∈Z

Las funciones Tangente y Cotangente tienen período π. π î tan ( x + kπ ) = tan ( x ), k ∈ Z x ≠ + kπ î

cot ( x + kπ ) = cot ( x ),

2 x ≠ kπ

k∈Z

20.2 FUNCIONES INVERSAS: DEFINICIÓN En los capítulos anteriores, los análisis llevaban casi siempre a encontrar el valor de una función, dado un arco o un ángulo conocido. En algunas ocasiones, en la solución de ecuaciones trigonométricas o el análisis gráfico de funciones, era necesario encontrar el valor del arco o del ángulo para el cual se conocía el valor de una función. El concepto que se maneja cuando se sigue este camino contrario, es el de la relación inversa o simplemente inversa. El que las funciones circulares sean periódicas, implica que ninguna de estas funciones sea 1 a 1. Por lo tanto, la inversa de ellas no es función. Por

ejemplo

π , 5 π , 9 π , 13 π ,...ó 2 2 2 2

sabe,

− 3 π ,− 7 π ,− 11π ,... . 2 2 2

que

sen (θ ) = 1 ,

ángulo

puede

ser

Matemáticamente, como se vio en la sección 20.5, se

expresa así: sen θ = 1

⇔

θ = π + 2kπ 2 θ donde sen θ = 1 .

arcsen(1) = θ

Lo que significa que no hay un único valor de

⇒

k∈Z

Ahora, surge la pregunta: ¿existe algún procedimiento que permita establecer una “función inversa”? Si se restringe el dominio para el valor de los arcos o de los ángulos, de manera

374

G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES

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PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

que para dos valores del dominio no sea posible encontrar un mismo valor de la función, ¿se lograría la esperada función inversa, en donde el arco x esté en función del valor y? Para ello, es conveniente observar la gráfica de y = sen x . y

Si se observa la función seno en el intervalo − π ≤ x ≤ π , se aprecia que sí es 1 a

-3π/2

-π

π/2

-π/2

1, por lo que su inversa sería función, y aunque existen muchos otros intervalos en los cuales sucede lo mismo, por costumbre se ha determinado este intervalo para definir la función inversa del seno.

x 3π /2

-1

Dada la situación anterior, es conveniente establecer para el trabajo matemático una diferenciación estándar en la escritura con el fin de distinguir la inversa de la función inversa: Ü

Arcsen y = x

intervalo: − π ≤ x ≤ π . 2 2 arcsen y = x es la relación

es la función inversa, lo que implica que debe trabajarse con dominio en el inversa, cuyo dominio son todos los reales.

Tal como se trabajó en la sección 20.5, otra forma de expresar la inversa es usar el superíndice –1 en la función, así: Ü Ü

Función inversa:

Sen

Relación inversa:

−1

sen

y =x

−1

y =x

. .

El –1 no tiene el mismo sentido con que se venía trabajando desde álgebra. Es decir: −1 Sen x ≠ 1 Sen x

Un análisis similar permite establecer las restricciones de dominio para las funciones inversas de las demás funciones circulares. y

1 cos(x)

Para el coseno:

Se define: Arc cos y = x

-3π/2

3π/2

-1

tan(x)

Para la tangente:

1 x π/2

-π/2

π/2

-π/2

para 0 ≤ x ≤ π

-π

-1

Arc tan y = x

se define para

−

π π ≤x ≤ 2 2

-2 ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

375

CAPÍTULO XX FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS

Ejemplo 1 Encontrar Ü

⎞ ⎛ Arc cos ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠

⎛ ⎞ Arc cos ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = x ⎝ 2 ⎠

Como Ü

Tan

−1

Tan

−1

(− 1)

0≤x ≤π

⇒x =

π 4

(− 1) = x .

Como

−π π <x< 2 2

⇒x=−

π 4

Ejemplo 2 ⎛ 3 ⎞⎟ sen ⎜⎜ Arc cos 2 ⎟⎠ ⎝

Encontrar el valor de Ü

⎛ ⎞ ⎜ Arc cos 3 ⎟ = x ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

⇒

x =π 6

⇒

ya que 0 ≤ x ≤ π

sen π = 1 6 2

Ejemplo 3 Calcular Ü

sen ⎛⎜ Arc cos 5 − Arcsen 8 ⎞⎟ 13 17 ⎠ ⎝

presenta la forma de:

sen (α − β ) = sen α cos β − cos α sen β

en donde Arc cos 5 = α y

Arc sen

8 =β 17

Esta expresión puede desarrollarse de dos formas diferentes:

Por Pitágoras, se tiene que: î De Arc cos 5 = α :

(13 )2 − (5 )2

c =c

⇒ c = 144

⇒

c = 12

5 î

Y, de

Arc sen

8 =β 17

: 17

(17 )

− (8 )

⇒ b = 225

⇒

b = 15

β b

376

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Edición Preliminar Versión 3

cos x + sen x = 1 ,

Dado que

entonces:

cos α + sen α = 1

⇒

⎛⎜ 5 ⎞⎟ + sen 2 α = 1 ⎝ 13 ⎠

Por otro lado,

⇒

PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN

sen α = 144 ⇒ 169 2

cos β + sen β = 1

2 cos β = 225 ⇒ 289

sen α = 12 13

⇒

⎛⎜ 8 ⎞⎟ + cos 2 β = 1 ⎝ 17 ⎠

⇒

cos β = 15 17

Por último, se desarrolla el seno de la diferencia de los ángulos α y β: sen ⎛⎜ Arc cos 5 − Arcsen 8 ⎞⎟ = sen α cos β − cos α sen β 13 17 ⎠ ⎝ = 12 * 15 − 5 * 8 13 17 13 17

= 180 − 40 221 221

140 221

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

Determinar el valor exacto de las funciones, referidas a un ángulo en posición normal:

(

)

−1 cos ⎛⎜ Tan 4 ⎞⎟ 3⎠ ⎝

sen Cot

−1 sec ⎛⎜ Cot 10 ⎞⎟ 7 ⎠ ⎝

−1 5 sen ⎛⎜Tan − ⎞⎟ 3⎠ ⎝

¹ 6.

−1

−1 tan ⎛⎜ Sen 2 ⎞⎟ 3⎠ ⎝

Verificar las siguientes identidades: Tan

−1

(− x ) = − Tan −1 ( x )

Sen

−1

(− x ) = − Sen −1 ( x )

Determinar si las ecuaciones dadas pueden ser identidades por sustitución de x = 1 2

y de x = 0,9 8. 10.

Sen Cos

−1 −1

(− x ) = − Sen −1 ( x )

−1

( x ) = Cos (− x )

11.

Cos Sen

−1

( x ) = ⎛⎜ π ⎞⎟ − Sen −1 ( x ) ⎝2⎠

−1

(2 x ) = 2 Sen −1 ( x ) Cos −1 ( x )

Evaluar la expresión dada. Obtener los valores exactos cuando sea posible. −1

⎛⎜ − 1 ⎞⎟ ⎝ 2⎠

12.

Cos

15.

sen (Arctan 2 )

(

−1

)

13.

cos Cos

16.

tan ⎛⎜ Arcsen ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎝ 4 ⎠⎠ ⎝

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

5π ⎞ ⎜ cos ⎟ ⎝ 3 ⎠

−1 ⎛

14.

Cos

17.

cos ⎛⎜ Cos ⎝

1 ⎞⎞ ⎟⎟ ⎜− ⎝ 13 ⎠ ⎠

−1 ⎛

377

CAPÍTULO XX FUNCIONES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS

−1 ⎛

1 ⎜ − ⎞⎟ ⎝ 2⎠

19.

Sen

(0 )

22.

Cos

25.

28.

18.

Sen

21.

Sen

24.

cos ⎛⎜ Cos ⎝

27.

tan ⎛⎜ Tan ⎝

30.

cos ⎛⎜ Arctan x + π ⎞⎟ 3⎠ ⎝

8 31.

¹ 32.

378

−1

−1 ⎛ 1 ⎞ ⎞

−1

⎜ ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠⎠

(2 ) + Sen −1 ⎛⎜ 4 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎝ 5 ⎠⎠

−1

(1)

−1 ⎛

⎞ ⎜− 3 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

20.

Sen

23.

sen ( Arccot 2 )

⎞ ⎛ −1 ⎛ 3 ⎞ ⎟ + π⎟ tan ⎜ Sen ⎜⎜ ⎟ 4⎟ ⎜ 2 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝

26.

⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ −1 ⎜ ⎟⎟ x Sen ⎜ Sen ⎜ ⎟⎟ 2 ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎝ x + 4 ⎠⎠ ⎝

cos ⎛⎜ Sen ⎝

29.

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ cos ⎜ Arcsen ⎜⎜ 1 ⎟⎟ − Arccos ⎛⎜ 3 ⎞⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 5 ⎝ ⎠ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−1 ⎛

⎞ ⎜− 3 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

−1 3 ⎞ ⎜ ⎟ + Tan ⎛⎜ ⎞⎟ ⎟ ⎝ 4 ⎠⎠ ⎝5⎠

−1 ⎛ 4 ⎞

Realizar la siguiente demostración: Mostrar que

Sen

−1

x = Cos

−1

1− x ,

∀x ∈ [0 ,1]

Resolver las siguientes ecuaciones 3 Sen

−1

x=π 2

33.

(

Arcsen 2 x − x

) = Arcsen 21

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