Cálculo diferencial e integral en una variable real. Tomo I. 1a. Ed. Alba Gregoret by Cengage

Tomo I

Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez

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La dificultad que encuentran en general los profesores al momento de recomendar bibliografía para un primer curso de Análisis Matemático, o bien para fijar un texto básico para guiar el desarrollo de la asignatura, es que no existe el libro apropiado para todos los estudiantes, pues éstos llegan a la universidad con diferente formación matemática y, en general, escasa experiencia en la resolución de situaciones problemáticas que le exijan algo más que una simple ejecución de mecanismos de cálculo. Los autores del presente libro de Cálculo Diferencial e Integral en una variable real pretendemos facilitar y organizar el estudio de los estudiantes de Cálculo Diferencial e Integral en las diferentes carreras de Ingeniería, Ciencias Exactas y Economía, habiendo podido recoger en sus páginas la base de toda nuestra gran experiencia acumulada al frente de numerosos cursos de Análisis Matemático I en distintas universidades públicas y privadas nacionales e internacionales. Para facilitar el estudio estamos convencidos de que una manera posible de lograrlo es a través de una presentación accesible de los tópicos teóricos y numerosa ejercitación, bajo la forma de ejemplos, ejercicios resueltos y problemas de aplicación acompañados de su respuesta. Asimismo, en cada problema propuesto se contempla especialmente las dificultades de aprendizaje y comprensión más relevantes observados hasta ahora en la mayoría de los estudiantes, incluyendo sugerencias y observaciones que facilitan el abordaje de la comprensión matemática y la resolución de problemas. Es por ello, que el texto se constituye un material tendiente a resaltar un modelo pedagógico, además de una propuesta científica rigurosa y responsable de los temas tratados. En cuanto a la organización del estudio, se han incorporado a lo largo del texto sugerencias en lo relativo a cómo enfocar el estudio de determinados temas, cuáles conocimientos previos es imprescindible revisar en caso de que estén olvidados, cuál es la diferencia entre un ejemplo y un ejercicio resuelto, de modo que ambos resulten de utilidad para la comprensión de la teoría correspondiente. En los aspectos teóricos se tratan las definiciones, propiedades y teoremas. Al final de cada tema se propone una serie de preguntas teórico-prácticas que le darían al estudiante una idea del nivel de los conocimientos adquiridos y marcarían los inconvenientes todavía no superados. Se incorporan modelos de evaluaciones tipo con su resolución, contemplando diferentes grados de dificultad, para ser utilizados como material adicional de repaso una vez completado un tema o grupo de temas. A este respecto es importante que el estudiante tenga en cuenta que el estudio de una asignatura y la práctica correspondiente nunca debe encararse a través de la resolución de exámenes, éstos deben quedar para el repaso final antes de las evaluaciones. Debe tenerse presente también, y se lo señala reiteradamente a lo largo del texto, que de poco sirve intentar resolver los ejercicios sin haber antes estudiado la teoría y tampoco deja saldo positivo mirar los ejercicios resueltos sin haber intentado previamente su resolución.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL Tomo I

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL

Tomo I

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL Tomo I

Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez

Cálculo diferencial e integral en una variable real Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez

Alba Gregoret, Miguel Albione, Armando Núñez Cálculo diferencial e integral en una variable real

Director General Susana de Luque

Buenos Aires, Cengage Learning Argentina, 2013. 1a ed. 288 p.; 21x27 cm.

Gerente de proyectos especiales Luciana Rabuffetti

ISBN 978-987-1954-02-5

Editora María Fernanda Crespo

1. Análisis Matemático. I. Albione, Miguel II. Núñez, Armando III. Gregoret, Alba IV. Título.

Revisora Técnica Liliana Milevicich

CDD 515

Diseñadores Sebastián Escandell Verónica N. De Luca

Fecha de catalogación: 17/09/2012

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Rojas 2128. (C1416CPX) Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. Tel: 54 (11) 4582-0601 Para mayor información, contáctenos en www.cengage.com o vía e-mail a: clientes.conosur@cengage.com Impreso en Argentina.

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del texto de la presente obra bajo cualesquiera de las formas, electrónica o mecánica, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en algún sistema de recuperación, digitalización, sin el permiso previo y escrito del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL Tomo I

Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez

ÍNDICE GENERAL

CAPÍTULO 1 NÚMEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. AXIOMÁTICA DE LOS NÚMEROS REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.1. AXIOMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2. Algunas definiciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3. Raíz n-ésima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4. EL CONCEPTO DE FUNCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6. OPERACIONES CON FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.1. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.2. Una clasificación de funciones y la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 7.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7.1. Tabulación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7.2. Otra clasificación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 9. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 9.1. Gráfico de la función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 9.2 Un poco de historia de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 9.3 Un poco de historia acerca de la Trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 10. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 11. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 12. LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 13. ECUACIONES PARAMÉTRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 13.1. Un bello problema de Física - Perspectiva histórica - Curva del tiempo mínimo . 72 14. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Cálculo diferencial e integral en una variable real

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CAPÍTULO 2 LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.1. Un poco de historia (s. XVI – XVII) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2. ¿QUÉ ES EL CÁLCULO? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.1. Límite finito de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.2. Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.3. Condición necesaria y suficiente para la existencia del límite de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3. PROPIEDADES DE LÍMITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.1. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2. Infinitésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.3. Propiedades de los infinitésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.4. Comparación de infinitésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1. Límites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5. OTROS LÍMITES INDETERMINADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.

UN CASO PARTICULAR DE FUNCIONES: LAS SUCESIONES DE NÚMEROS REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.1. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.2. Representación gráfica de sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.3. Aspecto práctico de la definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.4. Sucesión de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 9. LÍMITE FUNDAMENTAL ALGEBRAICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9.1. Más Ejemplos y Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 10.1. Asíntota horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.2. Asíntota oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 10.3. Asíntota vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 11. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

vii

PRELIMINARES

CAPÍTULO 3 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 1.

167

CLASIFICACIÓN DE DISCONTINUIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 1.1. Continuidad lateral en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN UN PUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN INTERVALOS CERRADOS . . 172 3.1. Enunciado intuitivo del teorema de los ceros de Bolzano (1781-1848) . . . . . . . . . . . . . . . 174 3.2. Método de la bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 3.3. Teorema de los valores intermedios de Darboux (1842-1917) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3.4. Propiedades interesantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3.5. Máximo y mínimo absolutos o globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3.6. Teorema del máximo y del mínimo absolutos de Weierstrass (1815-1897) . . . . . . . . . 178 4. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

CAPÍTULO 4 LA DERIVADA 1.

195

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA A LA DERIVADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

2. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE DERIVADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 2.1. El concepto físico de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3. EL CONCEPTO GEOMÉTRICO DE LA DERIVADA ¿CÓMO DEFINIR LA RECTA TANGENTE? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5. SIGNIFICADO DE LA DERIVADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.1. Continuidad de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6. SIGNIFICADO GRÁFICO DE LA DERIVADA: SUAVIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 7.

LA ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8. FUNCIÓN DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 9. CÁLCULO DE DERIVADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.1. Derivación de funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.2. Derivabilidad de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.3. Cálculo de algunas derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 9.4. Funciones de clase C

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

212

9.5. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.6. Aplicaciones físicas de las derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.7. Razones de cambio afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

viii

Cálculo diferencial e integral en una variable real

Gregoret | Albione | Núñez

9.8. Derivación de funciones definidas implícitamente por una ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . 218 9.9. Derivación logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 10. DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 10.1. Derivada de funciones definidas en forma paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11. DIFERENCIABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 11.1. Aproximación lineal. Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 12. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN . . . . . . . . . . 229 13. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DIFERENCIABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 14. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

PRELIMINARES

ÍNDICE DE FIGURAS Y TABLAS

FIGURAS Figura 1. Función parte entera de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Figura 2. Función mantisa o parte decimal de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Figura 3. Figura del ejercicio 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Figura 4. Diagrama de composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Figura 5. Función logarítmica (base >1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Figura 6. Función logarítmica (0<base<1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Figura 7. Función logarítmica (base = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Figura 8. Función logarítmica (base = 1/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Figura 9. Funciones exponencial y logarítmica con base 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Figura 10. Función exponencial (base >1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Figura 11. Función exponencial (0<base<1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Figura 12. Función exponencial (bases e y 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Figura 13. Función exponencial (bases e-1 y 2-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Figura 14. Circunferencia trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Figura 15. Función cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Figura 16. Función sen x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Figura 17. Función tg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Figura 18. Función sec x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Figura 19. Función cot x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Figura 20. Función cosec x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Figura 21. Función sen x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Figura 22. Función arc sen x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Figura 23. Función cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Figura 24. Función arc cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Figura 25. Función tg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Figura 26. Función arc tg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Figura 27. Funciones sh x y ch x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Figura 28. Función th x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Figura 29. Funciones arg senh x y arg cosh x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Figura 30. Función arg th x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Figura 31. Gráfica de la relación de la tabla 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Figura 32. Camino del tiempo mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Figura 33. Braquistócrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Figura 34. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Figura 35. Circunferencia generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Figura 36. Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Figura 37. Cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Figura 38. Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Figura 39. Límite de una función en un punto con imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Figura 40. Límite de una función en un punto sin imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

37.Límite Cardioide 40. dede una función en un punto sin imagen 42. intercalación 35.Teorema Circunferencia generatriz 37. 37. Cardioide Cardioide 41. Definición de límite según Weierstrass 38. Astroide 43. 36. Astroide Catenaria 38. 38. Astroide 39.Teorema Límite dedeuna función en un punto con imagen 42. intercalación 37.Función Cardioide en 44. 39. 39. Límite de una una función en en un un punto con con imagen 40.Límite Límitede de unafunción función envariable unpunto puntoreal sin imagen imagen Cálculo43. diferencial e integral en una Gregoret | Albione | Núñez 38. Astroide 40. 40. Límite Límite de de una una función función en en un un punto punto sin sin imagen imagen 45. 41. Definición de límite según Weierstrass en 44. 39.Función Límite de una función en un punto con imagen 41. 41. Definición Definición de deintercalación límite límite según según Weierstrass Weierstrass 42.Función Teorema de en 46. 40. Teorema Límite dede una función en un punto sin imagen 45. 42. 42. Teorema de intercalación Figura 41. deintercalación límite según Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 43.Definición 47. 41. Definición de límite Weierstrass en según . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46. Función de intercalación 43. 43.Teorema Figura 42. 92 en 44.Límite Función 48. infinito 42. Teorema de intercalación 47. en 44. 44.Función Función Función Figura 43. en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 49. 43. 45. 48. Límite infinito 45. 45.Función 50. en 44. Función en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Figura 44. en 46.Función Función 49. en en 46. 46. Función Función 51. Figura 45. 45. 47.Límite 50. Funcióninfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 47. 47. 48. Límite infinito en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. en otra escala Figura 46.Función 97 46.Función Función 51. 48. 48. Límite Límite infinito infinito 49. 53. 47.Función en 52. Función en otra otraescala escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Figura 47. 49. 49. 50.Límite Función 54. en más infinito 48. Límite infinito Figura 48. en más infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 53. 50. 50.Límite Función Función 55. en menos infinito 49. 51.Límite Figura 49. Límite en más menos infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 54. Límite en infinito 51. 51.Límite infinito 56. y en el infinito 50. Función 52.Límite Función otra escala Figura 50. infinito y infinito en en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 55. Límite en menos 57. Asíntotas 52. 52.Asíntotas Función Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . en en otra otra escala escala Figura 51. 158 51. 53.Límite 56. infinito y eny el infinito 58. Asíntotas vertical horizontal Figura 52. Asíntotas vertical y horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 53. 53. 54.Asíntota Límite en más infinito 57. Asíntotas 52. Función en otra escala 59. oblicua Figura 53. Asíntota oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 54. 54. Límite Límite en en más más infinito infinito 55. Límite en menos infinito 58. Asíntotas vertical y horizontal 60. Función con discontinuidad evitable en en x =xa= a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 53.Función Figura 54. con discontinuidad evitable 55. 55. Límite Límite en menos menos infinito 59. Asíntota oblicua 56.Función Límiteen infinito y infinito en el infinito 61. con discontinuidad no evitable con salto finito en xen= xa = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 54.Función Límite infinito en más infinito Figura 55. discontinuidad no evitable con salto finito 56. 56. Límite Límite infinito yy en en el el infinito infinito 57. Asíntotas 60. Función con discontinuidad evitable en x = a 62. Función con discontinuidad concon salto infinito en xen = xa = a . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Figura 56. con discontinuidad evitable salto infinito 55.Función Límite en menos infinito nonoevitable 57. 57. Asíntotas Asíntotas 58.Función Asíntotas y horizontal 61. Función convertical discontinuidad nonoevitable evitable conesencial salto finito en x = a Figura 57. con discontinuidad evitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 63. Función discontinuidad no esencial 56. Límite infinito y en el infinito 58. 58. Asíntotas Asíntotas vertical vertical yy horizontal horizontal evitable con salto infinito en x = a 59.Función Asíntota oblicua 62. Función con discontinuidad Figura 58. con discontinuidadno evitablexen 64. Función con discontinuidad evitable = 2x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 57. Asíntotas 59. 59. Asíntota Asíntota oblicua oblicua 63. Función con discontinuidad no evitable 60.Razón Función con discontinuidad evitable enesencial x=a Figura 59. de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 65. Razón de cambio 58. Función Asíntotas vertical y horizontal 60. 60. Función con con discontinuidad discontinuidad evitable evitable en en x x = = aasalto finito en x = a 61. Función con discontinuidad no evitable con 64. Función con discontinuidad evitable x = 2 Figura 60. Recta tangente que no corta a la curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 66. tangente que no corta a la curva 59.Recta Asíntota oblicua 61. 61. Función Función con con discontinuidad discontinuidad no no evitable evitable con con salto salto finito finito en enen xx ==xaa= a 62. Función con discontinuidad no evitable con salto infinito 65. Razón de cambio Figura 61. Recta tangente que corta a la curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 67. tangente que corta a la evitable curva en x = a 60.Recta Función con discontinuidad discontinuidad 62. 62. Función Función con con discontinuidad no no evitable evitable con con salto salto infinito infinito en en xx == aa 63. Función con discontinuidad no evitable esencial 66. Recta tangente que no corta a la curva Figura 62. Recta tangente que atraviesa a la curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 68. tangente que atraviesa no a laevitable curva con salto finito en x = a 61.Recta Función con discontinuidad discontinuidad 63. 63. Función Función con con discontinuidad no no evitable evitable esencial esencial Figura 63. Recta que “roza” acorta una curva en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 67. Recta tangente que a la curva 64. Función con discontinuidad evitable x = 2 69. quecon “roza” a una curvano en evitable un puntocon salto infinito en x = a 62.Recta Función discontinuidad 64. 64. Función Función con con discontinuidad discontinuidad evitable Figura 64. Recta secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 65.Recta Razónsecante de cambio 68. Recta tangente que atraviesa aevitable la curvaxx == 22 70. 63.Pendiente Función con discontinuidad no evitable esencial Figura 65. de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 65. 65. Razón Razón de de cambio cambio 66. Recta tangente que no corta a la curva 69. Pendiente Recta que de “roza” a una curva en un punto 71. recta tangente 64.Recta Función con la discontinuidad evitable Figura 66. tangente vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 66. 66. Recta Recta tangente tangente que no no corta corta la curva curva x = 2 67.Recta Rectasecante tangenteque que corta a laaa la curva 70. 65. Razón de cambio Figura 67. Punto cuspidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 67. 67. Recta Recta tangente tangente que que corta corta a a la la curva curva 71. de la recta tangente a la curva 68.Pendiente Recta tangente que atraviesa 66.Funciones Recta tangente tangente que atraviesa no ycorta a la Figura 68. derivables no derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 68. 68. Recta que que la lacurva curva curva 69.Recta Recta tangente que “roza” a atraviesa una curvaaaen un punto 67. Recta tangente que corta a la curva Figura 69. Recta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 69. 69. Recta que “roza” “roza” aa una una curva curva en en un un punto punto 70.Recta Rectaque secante 68. Recta tangente que atraviesa a la curva Figura 70. Razones de cambio afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 70. 70. Recta secante secante 71.Recta Pendiente de la recta tangente 3 Figura 71. Gráfica de la ecuación xcurva – y3 en – 7un = punto 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 69. Recta que “roza” a una 71. 71. Pendiente Pendiente de de la la recta recta tangente tangente Figura 72. 70.Aproximación Recta secante lineal de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Figura 73. diferencial de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 71.Incremento Pendiente deyla recta tangente Figura 74. Gráfico del ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Figura 75. Gráfica del ejercicio resuelto 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Figura 76. Gráfica del ejercicio resuelto 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Figura 77. Gráfica del ejercicio resuelto 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Figura 78. Vector velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

TABLAS Tabla 1. Valores para ecuaciones paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Tabla 2. Valores para f (x) = x2 – 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Tabla 3. Noción intuitiva de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Tabla 4. Límite infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Tabla 5. Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Tabla 6. Derivadas de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Tabla 7. Signo de las derivadas sucesivas de y = ln (1+x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

AUTORES

MIGUEL ALBIONE – ALBA GREGORET – ARMANDO NÚÑEZ

Los autores son profesores del departamento de Ciencias Básicas de la Facultad Regional Buenos Aires de la Universidad Tecnológica Nacional.

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PRÓLOGO

Los fundamentos del Análisis Matemático suministraron las bases para el desarrollo de las formas actuales de la metodología matemática. Por ello, nuestra idea central desde que surgió la inquietud de escribir el libro fue la presentación del Cálculo como el primer contacto real del estudiante con las Matemáticas, a quienes además de fomentarles la intuición acerca de los hermosos conceptos del Análisis es, desde luego, igualmente importante convencerlos de que la precisión y el rigor no constituyen ni obstáculos para la intuición ni tampoco fines en si mismos, sino simplemente el medio natural para formular y tratar las cuestiones matemáticas.1 En toda carrera universitaria es importante la consulta de libros. La dificultad asociada a la bibliografía para un primer curso de Análisis Matemático es que no existe “el libro apropiado” a todos los estudiantes, pues éstos llegan a la universidad con muy diferente formación matemática. Aunque existe una gran variedad de libros que tratan el tema del Cálculo Diferencial e Integral de funciones de una variable real, en este texto los autores pretendemos algo más que la presentación de los tópicos teóricos, sus demostraciones y algunos ejemplos; nuestra idea es facilitar y organizar el estudio de quienes se enfrentan al tema por primera vez, todo ello sobre la base de la experiencia acumulada al frente de numerosos cursos dictados sobre el mismo. Estamos convencidos de que una de las formas posibles de lograrlo es a través de una presentación resumida de la teoría donde se tratan las definiciones, propiedades y teoremas, con algunas demostraciones que consideramos formativas, numerosos problemas resueltos y una apreciable cantidad de ejercicios propuestos2 con sus respuestas, que contemplen especialmente las dificultades más frecuentes observadas hasta ahora en la mayoría de los estudiantes. A ello le agregamos, a lo largo de los dos tomos en que se presenta la obra, una serie de sugerencias con el objetivo de que actúen como guía y ayuden a orientar al estudiante para lograr la incorporación de los conocimientos en forma significativa. Se debe tener presente que de poco sirve intentar resolver ejercicios de aplicación sin haber antes estudiado la teoría y tampoco deja saldo positivo “mirar” los ejercicios resueltos sin haber intentado previamente su resolución, de la misma 1 M. Spivak, en el prólogo de su libro Calculus. 2 Se pueden encontrar en la página de la editorial: latinoamerica.cengage.com.

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Cálculo diferencial e integral en una variable real

Gregoret | Albione | Núñez

manera en que nadie aprende a andar en bicicleta viendo cómo otros lo hacen. Por ello es importante que el lector tenga claro que en el estudio de una asignatura la realización de la práctica correspondiente nunca debe encararse sin antes haber realizado una lectura comprensiva de la teoría y el análisis de los ejemplos propuestos, de modo de poder distinguir la forma en que se utilizan definiciones y propiedades para la resolución de situaciones problemáticas, pero teniendo siempre presente que todo problema, en general, se puede encarar de más de una forma y la que presentamos en el texto es, a lo mejor, una de varias. Con todo esto esperamos poder contribuir a una mejor formación de quienes aspiran llegar a ser profesionales, por aquello que alguna vez escribiera Francis Bacon3 y que nos parece importante tanto para estudiantes como para docentes: Considero a cada hombre como un deudor a su profesión, y ya que de ella recibe sustento y provecho, así debe procurar mediante el estudio servirle de ayuda y ornato. Los autores

3 F. Bacon (1561-1626) filósofo inglés y uno de los creadores del método experimental.

OBJETIVO Y METODOLOGÍA DEL TEXTO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL La dificultad que encuentran en general los profesores al momento de recomendar bibliografía para un primer curso de Análisis Matemático, o bien para fijar un texto básico para guiar el desarrollo de la asignatura, es que no existe el libro apropiado para todos los estudiantes, pues éstos llegan a la universidad con diferente formación matemática y, en general, escasa experiencia en la resolución de situaciones problemáticas que le exijan algo más que una simple ejecución de mecanismos de cálculo. Los autores del presente libro de Cálculo Diferencial e Integral en una variable real pretendemos facilitar y organizar el estudio de los estudiantes de Cálculo Diferencial e Integral en las diferentes carreras de Ingeniería, Ciencias Exactas y Economía habiendo podido recoger en sus páginas la base de toda nuestra gran experiencia acumulada al frente de numerosos cursos de Análisis Matemático I en distintas universidades públicas y privadas nacionales e internacionales. Para facilitar el estudio estamos convencidos de que una manera posible de lograrlo es a través de una presentación accesible de los tópicos teóricos y numerosa ejercitación, bajo la forma de ejemplos, ejercicios resueltos y problemas de aplicación acompañados de su respuesta. Asimismo, en cada problema propuesto se contempla especialmente las dificultades de aprendizaje y comprensión más relevantes observados hasta ahora en la mayoría de los estudiantes, incluyendo sugerencias y observaciones que facilitan el abordaje de la comprensión matemática y la resolución de problemas. Es por ello, que el texto se constituye un material tendiente a resaltar un modelo pedagógico, además de una propuesta científica rigurosa y responsable de los temas tratados. En cuanto a la organización del estudio, ésta no es una cuestión menor ya que muchas horas de estudio no garantizan que el aprendizaje sea significativo, en particular cuando no se ha generado durante la escuela media una conducta sistemática y ordenada de estudio, con hábitos de lectura reflexiva y espíritu crítico en el análisis de los resultados obtenidos al resolver situaciones problemáticas. En este sentido se han incorporado a lo largo del texto sugerencias en lo relativo a cómo enfocar el estudio de determinados temas, cuáles conocimientos previos es imprescindible revisar en caso de que estén olvidados, cuál es la diferencia

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Cálculo diferencial e integral en una variable real

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entre un ejemplo y un ejercicio resuelto, de modo que ambos resulten de utilidad para la comprensión de la teoría correspondiente. Se insiste en que los ejemplos se deben leer cuidadosamente observando en detalle la forma en que se aplica la teoría precedente, mientras que los ejercicios resueltos sólo deben ser leídos una vez intentada su resolución por parte del estudiante. En los aspectos teóricos se tratan las definiciones, propiedades y teoremas. La mayoría de estos últimos figuran sin sus demostraciones, algunas de las cuales se dan en los apéndices, excepto aquellas que hemos considerado significativas en cuanto a su valor formativo y la conveniencia de que aparezcan en el texto sin que se pierda continuidad en el tema tratado. Al final de cada tema se propone una serie de preguntas teórico – prácticas que le darían al estudiante una idea del nivel de los conocimientos adquiridos y marcarían los inconvenientes todavía no superados. Se incorporan modelos de evaluaciones tipo con su resolución, contemplando diferentes grados de dificultad, para ser utilizados como material adicional de repaso una vez completado un tema o grupo de temas. Estos ejercicios y problemas adicionales no serán necesariamente iguales a los ejercicios y problemas propuestos en el texto, sin embargo podrán ser similares tanto en su contenido como en su complejidad. A este respecto es importante que el estudiante tenga en cuenta que el estudio de una asignatura y la práctica correspondiente nunca debe encararse a través de la resolución de exámenes, éstos deben quedar para el repaso final antes de las evaluaciones. Debe tenerse presente también, y se lo señala reiteradamente a lo largo del texto, que de poco sirve intentar resolver los ejercicios sin haber antes estudiado la teoría y tampoco deja saldo positivo mirar los ejercicios resueltos sin haber intentado previamente su resolución.

C APÍTULO

NÚMEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 1. INTRODUCCIÓN Un primer curso de Análisis Matemático trata del cálculo diferencial e integral de funciones de una variable real, esto es, de relaciones funcionales entre variables que toman valores del conjunto de los números reales. Por ello resulta de interés recordar propiedades de este conjunto numérico, la mayoría de las cuales venimos utilizando desde la escuela primaria en forma explícita para la realización de cálculos; pero otras, aunque puedan resultar intuitivas, no nos fueron mencionadas. También es interesante tener en cuenta que toda herramienta matemática surge ante la necesidad de resolver alguna situación problemática que el hombre se plantea, y a ello no escapan los conjuntos numéricos. Al hablar de números conviene distinguir distintas clases de ellos. Los más sencillos o, si queremos, los primeros que inventa el hombre, surgen ante la necesidad de contar; estos son los llamados números naturales (N). La propiedad fundamental de N, entre otras que recordaremos enseguida, es el llamado principio de inducción completa o matemática. Indiquemos con p(x) una determinada propiedad que se cumple para el número natural x; el principio de LQGXFFLyQ FRPSOHWD D¿UPD TXH p(x) es verdad para todos los números naturales x VLHPSUH TXH VH YHUL¿TXH TXH p(1) es verdad. Si p(k) es verdad, también lo es p(k+1). /D ~OWLPD FRQGLFLyQ VH OLPLWD D D¿UPDU OD YHUGDG GH p(k+1) bajo el supuesto de que p(k) es verdad. Esto basta para asegurar la verdad de p(x) para todo x si también se cumple la primera condición. En efecto, si p(1) es verdad, se deduce que p(2) también lo es (aplicando la segunda condición al caso particular k = 1). Repitiendo este razonamiento para k = 2, k = 3,... resulta evidente que todo número natural será alcanzado alguna vez, por lo que la propiedad p(k) será verdad para todos los números k. En el texto haremos uso de este principio en varias oportunidades pero, por razones de sencillez, aceptaremos los resultados sin demostración. La resta o sustracción no tiene solución dentro del conjunto de los números naturales cuando el minuendo es menor o igual que el sustraendo, por lo que para dar respuesta a esta situación es necesario introducir los números negativos

CĂĄlculo diferencial e integral en una variable real

AxiomĂĄtica de los nĂşmeros reales

y el cero, que junto con los naturales forman el conjunto de los nĂşmeros enteros (Z, del alemĂĄn zahl: nĂşmero). /D VLJXLHQWH GLÂżFXOWDG DSDUHFH DO LQWHQWDU UHDOL]DU HO FRFLHQWH p/q entre nĂşmeros p c si p = q.c. Surgen enteros si p no es mĂşltiplo de q (con T Â? ), ya que q entonces los nĂşmeros fraccionarios que, junto con los enteros, dan lugar a los llamados nĂşmeros racionales (Q, del inglĂŠs quotient: cociente, razĂłn). 1XHYDV GLÂżFXOWDGHV VH SUHVHQWDQ FXDQGR SRU HMHPSOR VH GHVHD GHWHUPLQDU OD longitud de la hipotenusa de un triĂĄngulo rectĂĄngulo cuyos catetos miden 1 (unidades de longitud) o hacer el cociente entre la longitud de una circunferencia de radio r y su diĂĄmetro. Estos resultados, 2 y S respectivamente, no los encontramos en Q 6RQ Q~PHURV FRQ LQÂżQLWDV FLIUDV GHFLPDOHV no periĂłdicas que no pueden ser expresados como cociente o razĂłn de nĂşmeros enteros, a los que se denomina nĂşmeros irracionales, que junto con los racionales forman el conjunto de los nĂşmeros reales (R).

2. AxiomĂĄtica de los nĂşmeros reales La presentaciĂłn de las propiedades de los nĂşmeros reales la haremos en forma D[LRPiWLFD Â˘4Xp VLJQLÂżFD HVWR" 3DUD UHVSRQGHU HVWD SUHJXQWD UHFRUGHPRV HO VLJQLÂżFDGR GH axioma. Un axioma es un principio fundamental cuya verdad se admite sin pruebas y que sirve como base para razonamientos sobre los cuales se construye una teorĂa. Es asĂ que postulamos la existencia de un conjunto numĂŠrico que indicaremos con R y llamaremos nĂşmeros reales HQ HO TXH VH GHÂżQHQ GRV RSHUDFLRQHV la suma y el producto, y una relaciĂłn de orden [ Â&#x201D; \ (que se lee x es menor o igual que y, tambiĂŠn escrita \ Â&#x2022; [ y se lee y es mayor o igual que x). Si x, y Ă&#x17D; R, indicaremos la suma con x + y y el producto con x . y (estas operaciones son cerradas, es decir, el resultado de las mismas pertenece a R). 2.1. AXIOMAS

(I) De campo 1. Asociativa para la suma: x + (y + z) = (x + y) + z , " x, y, z Ă&#x17D; R 2. Conmutativa en la suma: x + y = y + x , " x, y Ă&#x17D; R 3. Existencia del neutro para la suma: ([LVWH XQ HOHPHQWR Ă&#x17D; R WDO TXH x =x,"xĂ&#x17D;R 4. Existencia del opuesto para la suma: Para cada elemento x Ă&#x17D; R existe un elemento ( x) Ă&#x17D; R tal que x + (â&#x20AC;&#x201C;x) 5. Asociativa para el producto: x . (y . z) = (x . y) . z , " x, y, z Ă&#x17D; R 6. Conmutativa del producto: x . y = y . x , " x, y Ă&#x17D; R 7. Existencia del neutro para el producto: Existe un elemento 1 Â? 0 de R, tal que 1. x = x , " x Ă&#x17D; R

CAPĂ?TULO 1

NĂ&#x161;MEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

8. Existencia del recĂproco para el producto: 3DUD FDGD HOHPHQWR [ Â? 0 de R, existe un elemento x -1 Ă&#x17D; R tal que x . x -1 = 1 9. Distributiva del producto respecto de la suma: x . (y + z) = x . y + x . z , "x, y, z Ă&#x17D; R 1. Nota: Recordemos que se lee â&#x20AC;&#x153;para todoâ&#x20AC;? se lee â&#x20AC;&#x153;existe por lo menos unâ&#x20AC;? Â&#x161; se lee â&#x20AC;&#x153;yâ&#x20AC;? Â&#x203A; es la â&#x20AC;&#x153;o inclusivaâ&#x20AC;? /

se lee â&#x20AC;&#x153;tal queâ&#x20AC;?

Â? se lee â&#x20AC;&#x153;pertenece aâ&#x20AC;? p Â&#x; q se puede leer â&#x20AC;&#x153;p implica qâ&#x20AC;? o bien â&#x20AC;&#x153;si p entonces qâ&#x20AC;? p Â&#x153; q se lee â&#x20AC;&#x153;p si sĂłlo si qâ&#x20AC;?

(II) De orden 10. x Â&#x201D; y e y Â&#x201D; z implica x Â&#x201D; z, cualesquiera sean x, y, z Ă&#x17D; R 11. x Â&#x201D; y e y Â&#x201D; x equivale a decir x = y, cualesquiera sean x, y Ă&#x17D; R 12. Cualesquiera sean x , y Ă&#x17D; R, x Â&#x201D; y Ăł es y Â&#x201D; x 13. Si es x Â&#x201D; y entonces x + z Â&#x201D; y + z , " x, y, z Ă&#x17D; R 14. Si x Â&#x2022; H \ Â&#x2022; HQWRQFHV [ \ Â&#x2022; FXDOHVTXLHUD VHDQ [ \ Ă&#x17D; R (III) Arquimedianidad o Propiedad de ArquĂmedes Cualesquiera sean x, y Ă&#x17D; R WDOHV TXH [ ! \ Â&#x2022; H[LVWH XQ Q~PHUR Q Ă&#x17D; N tal que y Â&#x201D; n . x NĂłtese que esta propiedad tambiĂŠn puede ser formulada como sigue: Para cada nĂşmero x existe un Ăşnico nĂşmero entero a, tal que a d x a 1 . Â˘3RU TXp" 3LpQVHOR \ VL QR SXHGH GDU UHVSXHVWD DKRUD VHJXUDPHQWH SRGUi KDFHUOR luego de incorporar algunos otros conceptos). 2. Nota: El nĂşmero entero a de la aďŹ rmaciĂłn precedente se llama la parte entera del nĂşmero x y se representa por el sĂmbolo >x @ o simplemente ENT(x). De modo que >x @ d x >x @ 1 (IV) Propiedad de densidad Entre dos nĂşmeros reales existe siempre un racional, lo que se expresa diciendo que Q es denso en R. (V) Propiedad del extremo inferior y del extremo superior 3UHYLDPHQWH GHEHPRV LQWURGXFLU DOJXQDV GHÂżQLFLRQHV

CĂĄlculo diferencial e integral en una variable real

AxiomĂĄtica de los nĂşmeros reales

i) Sea A un subconjunto no vacĂo de R y k un nĂşmero real que puede o no pertenecer a A. Decimos que k es una cota superior de A si y sĂłlo si " x Ă&#x17D; A es [ Â&#x201D; N. Un conjunto que admite cota superior se dice acotado superiormente. Por ejemplo, el conjunto R- de los reales negativos estĂĄ acotado superiormente pero el de los R+ QR OR HVWi Â˘SRU TXp" 8Q FRQMXQWR TXH WLHQH XQD FRWD VXSHULRU WLHQH LQÂżQLWDV GH HOODV $ OD PHQRU de las cotas superiores se la denomina extremo superior o supremo de A; si pertenece al conjunto A recibe el nombre de mĂĄximo del conjunto. Por ejemplo, 0 es el supremo de los Râ&#x20AC;&#x201C; y el mĂĄximo del conjunto Râ&#x20AC;&#x201C; Â&#x2030; {0}. ii) Sea A un subconjunto no vacĂo de R y h un nĂşmero real que puede o no pertenecer a A. Decimos que h es una cota inferior de A si y sĂłlo si " x Ă&#x17D; A es x Â&#x2022; h. Un conjunto que admite cota inferior se dice acotado inferiormente. Por ejemplo, el conjunto R+ de los reales positivos estĂĄ acotado inferiormente pero el de los Râ&#x20AC;&#x201C; QR OR HVWi Â˘SRU TXp" 8Q FRQMXQWR TXH WLHQH XQD FRWD LQIHULRU WLHQH LQÂżQLWDV GH HOODV $ OD PD\RU de las cotas inferiores se la denomina extremo inferior o tQÂżPR de A; si pertenece al conjunto A recibe el nombre de mĂnimo del conjunto. Por ejemplo, HV HO tQÂżPR GH ORV R+ y el mĂnimo del conjunto R+ Â&#x2030; {0}. Ahora sĂ pasaremos a enunciar la propiedad del extremo superior y del extremo inferior, tambiĂŠn denominado Axioma de completitud: Todo subconjunto A no vacĂo de R, acotado superiormente, posee extremo superior o supremo. Todo subconjunto A no vacĂo de R, acotado inferiormente, posee extremo LQIHULRU R tQÂżPR Con este axioma se completa la lista de propiedades fundamentales de los nĂşmeros reales. 2.2. Algunas deďŹ niciones importantes

Intervalos limitados La relaciĂłn [ Â&#x201D; \ y [ Â? \ se indica por x < y Ăł y > x. Para cada dos elementos a, b de R, tales que a < b, el conjunto de nĂşmeros reales x tales que a < x < b se denomina intervalo abierto de extremos a y b, y se indica: (a, b) = {x Ă&#x17D; R / a < x < b}. El conjunto de nĂşmeros reales x tales que a Â&#x201D; x Â&#x201D; b se denomina intervalo cerrado de extremos a y b y se indica: [a, b] = {x Ă&#x17D; R / a Â&#x201D; x Â&#x201D; b}. Si ponemos en correspondencia los nĂşmeros reales con los puntos de una recta, el intervalo [a, b] estarĂa representado por el segmento con extremos en x = a

CAPĂ?TULO 1

NĂ&#x161;MEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

y x = b. En el caso de (a, b) estĂĄn excluidos ambos extremos. Naturalmente pueden presentarse los intervalos (a, b] o [a, b HQ ORV TXH GHEHUHPRV HVSHFLÂżFDU que son semiabiertos (o semicerrados) a izquierda o a derecha, segĂşn sea el caso. Intervalos no limitados Sea a Â? R. El conjunto de todos los nĂşmeros reales tales que x ! a se denomina intervalo no limitado y lo designaremos (a, f) ^ x Â? R / x ! a` Sea a Â? R. El conjunto de todos los nĂşmeros reales tales que x t a se denomina intervalo no limitado y lo designaremos [a, f) ^ x Â? R / x t a` Sea a Â? R. El conjunto de todos los nĂşmeros reales tales que x a`se denomina intervalo no limitado y lo designaremos ( f, a ) ^ x Â? R / x a` Sea a Â? R. El conjunto de todos los nĂşmeros reales tales que x d a`se denomina intervalo no limitado y lo designaremos ( f, a ] ^ x Â?R / x d a` Estos conjuntos estĂĄn en correspondencia con semirrectas, en las que el punto a puede o no pertenecer a ellas, segĂşn corresponda en las designaciones realizadas. En este punto es preciso hacer una advertencia: los sĂmbolos f y f que KDELWXDOPHQWH VH OHHQ ÂłLQÂżQLWR QHJDWLYRÂ´ H ÂłLQÂżQLWR SRVLWLYRÂ´ VRQ VLPSOHPHQWH sugestivos, NO son nĂşmeros reales. A menudo hablaremos de intervalo de centro a y radio G o entorno de a para indicar los x que se encuentran a una distancia de a menor que G, o sea el intervalo (a â&#x20AC;&#x201C; G , a + G) y de entorno reducido de a o vecinal de a cuando se desee excluir el punto a del intervalo, es decir, cuando se trate de la uniĂłn de dos intervalos (a â&#x20AC;&#x201C; G , a) Â&#x2030; (a, a + G). Recordando que el mĂłdulo o valor absoluto de un nĂşmero real x es siempre positivo o nulo, posibilidad esta Ăşltima que sĂłlo se da cuando el nĂşmero es cero, resulta

Â x si x t 0 o bien x ÂŽ ÂŻ x sisix xdd0 0

Â x si x t 0 o tambiĂŠn x ÂŽ ÂŻ x sisix x 0 0

Â x si x ! 0 ÂŽ ÂŻ x sisix xdd0 0

ÂĄCuidado! De acuerdo con lo que aquĂ se dice, se puede concluir que 1. DeďŹ niciĂłn Se llama distancia entre los reales x e y al nĂşmero real no negativo d ( x y )

x y

CĂĄlculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

Podemos entonces expresar el entorno del punto a como x a G y el entorno reducido como 0 x a G . En sĂmbolos: E (a, G ) ^x Â? R / x a G ` E* ( a, G ) V ( a, G ) ^ x Â? R / 0 x a G ` Nos resultarĂĄ Ăştil tambiĂŠn recordar algunas propiedades del mĂłdulo de un nĂşmero real: Âˇ x a Â&#x153; a x a a ! 0 Âˇ

x ! a Â&#x153; x ! a Â&#x203A; x a

Âˇ

x y d x y

Âˇ

x. y

Âˇ

x y d x y

Âˇ

x y t x y

a ! 0

x. y

Algunas demostraciones podrĂĄn encontrarlas en los ejercicios resueltos 2.3. RaĂz n-ĂŠsima

Se demuestra que dado x Â? R; x t 0 y n Â? N, existe un Ăşnico nĂşmero real D t 0 tal que D n x ; asĂ tal nĂşmero real D se denomina raĂz n-ĂŠsima de x y se denota por n x . Si n es par y x > 0, existen dos nĂşmeros reales D ! 0 Â&#x203A; E 0 tales que elevados a la potencia n dan como resultado x 6LQ HPEDUJR QyWHVH TXH SRU GHÂżQLFLyQ E no es n x sino que E = - n x . Recuerde tambiĂŠn que si x Â&#x2022; \ p, q y c Ă&#x17D; N, entonces cq c p q x xp En particular, n

x 2 = x si x Â&#x2022; pero, ÂżcuĂĄnto vale

( x)p y

( 2) 2 " &XDQGR n es par

x Â?R.

3. EJERCICIOS RESUELTOS Los ejercicios siguientes estĂĄn resueltos; algunos de ellos estĂĄn seĂąalados con la palabra Ejemplo y son para que lea atentamente su resoluciĂłn y analice cuidadosamente la forma en que fueron utilizados los conceptos teĂłricos presentados previamente. Con los ejercicios restantes es importante que el lector NO mire la resoluciĂłn sino que trate de encararla por su cuenta, y sĂłlo compare con lo hecho cuando se le presente alguna diďŹ cultad o bien, quiera veriďŹ car si lo que hizo coincide con lo resuelto en el texto.

CAPĂ?TULO 1

NĂ&#x161;MEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

(SUGERENCIA: oculte la resoluciĂłn con un papel para no caer en la tentaciĂłn de mirar lo que estĂĄ hecho antes de haberlo intentado usted previamente). Si a pesar de todo le quedaran dudas, revise los conceptos teĂłricos y los ejemplos. Recuerde que sĂłlo se aprende haciendo y no mirando lo que hizo otro.

EJEMPLO

Determine si son verdaderas o falsas la siguientes proposiciones. Si son verdaderas, pruĂŠbelo; caso contrario halle un contraejemplo. a) a x = a Ă&#x17E; x = 1 FALSO, si a = 0 queda 0.x = 0 que se cumple cualquiera que sea el valor de x b) x2 = y2 Ă&#x17E; x = y FALSO, porque por ejemplo, ( 3) 2 x2

3 2 pero -3 z 3. Esto ocurre porque

c) x, y : x3 - y3 = (x - y) (x2 +x y + y2) VERDADERO, se puede probar aplicando la propiedad distributiva en el segundo miembro, o bien, dividiendo el polinomio del primer miembro por (x-y) Ejercicio 1. Determine si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Si son verdaderas, pruĂŠbelo; caso contrario halle un contraejemplo. a) x3 + y3 = (x + y) (x2 + x y +y2) b)

ab =

a b

c) a ! 0 : ĂŞx ĂŞ< a Â&#x153; a < x < a d) a Â? R : ÂŤx ÂŤ> a Â&#x153; -a>x>a e) a, b Â? R {0}: a b Â&#x;

1 1 ! a b

f) a < b Ă&#x17E; a2 < b2 g)

1 1 1 Â&#x161; x z 0 Â&#x; 1 1 Â&#x; 1 ! x ! 1 x x

h) a < b Â&#x161; c ! 1 Ă&#x17E; c â&#x20AC;&#x201C; a > c â&#x20AC;&#x201C; b

CĂĄlculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

i) 0 < a < b Ă&#x2122; c > 1 Ă&#x17E; logc a < logc b j) 0 < a < b Ă&#x2122; 0 < c < 1 Ă&#x17E; logc a < logc b k) a : a 0 1

1 an

l) a z 0 : a n x2

( x )2

n) a b Â&#x161; sga z sgb Â&#x;

1 1 ! a b

o) a b Â&#x161; sga

1 1 ! a b

a b

sgb Â&#x;

ac bc

q) a b Â&#x161; a b Â&#x; a 2 b 2 r) a b Â&#x161; a ! b Â&#x; a 2 ! b 2 s) a b Â&#x161; a

b Â&#x; a2

t) 0 a b Â&#x; a ab

b2 a b b 2

SoluciĂłn

a) FALSO, si hacemos x = y = 1 nos queda 2 = 2.3, lo que es absurdo. Otra PDQHUD GH YHULÂżFDUOR HV GLVWULEX\HQGR HO SURGXFWR x + y) (x2 + x y +y2). b) FALSO, si tomamos a = â&#x20AC;&#x201C;4 y b = â&#x20AC;&#x201C;1 nos quedaa ( 4)( 1) 4 1 , el primer miembro existe en el campo de los reales, no asĂ el segundo. c) VERDADERO, Â x a si x t 0 Â x a si x t 0 Â0 d x a Â° Â° Â° como |x| ÂŽÂ&#x203A; Â&#x; ÂŽÂ&#x203A; Â&#x; ÂŽÂ&#x203A; Â° x a si x 0 Â° x ! a si x 0 Â° a x 0 ÂŻ ÂŻ ÂŻ por tanto uniendo (por la â&#x20AC;&#x153;oâ&#x20AC;?) ambos intervalos nos queda â&#x20AC;&#x201C;a < x < a.

CAPĂ?TULO 1

NĂ&#x161;MEROS REALES Y FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

d) FALSO, la manera mĂĄs rĂĄpida de advertirlo es dĂĄndole a a un valor, por ejemplo, a = 3 quedando â&#x20AC;&#x201C;3 > x > 3 de donde, por carĂĄcter transitivo, â&#x20AC;&#x201C;3 > (O HUURU VXUJH DO FDPELDU OD Âłâ&#x20AC;Ť Â´Ţ&#x2022;â&#x20AC;ŹTXH DSDUHFH HQ OD GHÂżQLFLyQ GH PyGXOR SRU OD Âłâ&#x20AC;Ť Â´Ţ&#x201D;â&#x20AC;Ź e) FALSO, hagamos a = â&#x20AC;&#x201C;2 y b = 1, se cumple â&#x20AC;&#x201C;2 < 1 pero no es cierto que 1 >1 2 f) FALSO, porque, por ejemplo: â&#x20AC;&#x201C;2 < 1 y al elevar al cuadrado nos queda 4 > 1 g) FALSO, como es obvio â&#x20AC;&#x201C;1 > 1 es un absurdo. Pero si tuviese que 1 UHVROYHUOR Â˘FyPR KDFHUOR" &RPR FRQ x z 0 se cumple que 1Â&#x; x !1 x DTXt XVDQGR OD GHÂżQLFLyQ QRV TXHGD x > 1 Â&#x203A; x < â&#x20AC;&#x201C;1 h) VERDADERO, y se puede probar asĂ: a<b Â&#x; a ! b como c > 1, por propiedades de la potenciaciĂłn se cumple c a ! c b i) VERDADERO SRU GHÂżQLFLyQ GH ORJDULWPR WHQHPRV TXH log c a p Â&#x153; a c p y anĂĄlogamente, log c b q Â&#x153; b c q y como 0 < a < b con c > 1 se tiene que c p c q si las bases son iguales debe ocurrir que p < q donde p y q son los logaritmos.

1 j) FALSO, tomemos a = 1, b = 2 y c = , 1 < 2 pero log 1 1 ! log 1 2 2 2 2 porque 0 > â&#x20AC;&#x201C;1 an 1 siempre que an a QR VHD FHUR SRUTXH QR VH SXHGH GLYLGLU SRU FHUR &RQ OR TXH DÂżUPDPRV que si a = 0 no se cumple.

k) a : a 0 1 es FALSO. Veamos por quĂŠ: a 0

l) a z 0 : a n

a n n

1 es VERDADERO porque a n n a

a 0 n

a0 an

1 dado an

que a z 0 m)

( x ) 2 es FALSO dado que

x 2 existe para cualquier x real, en

cambio ( x ) 2 existe sĂłlo si x > 0, por lo tanto campo de los reales

2 y como en el

2 no existe, tampoco se podrĂĄ elevar al cuadrado.

n) a b Â&#x161; sga z sgb Â&#x;

1 1 2 3

( 2) 2

1 1 ! es FALSO porque, por ejemplo, â&#x20AC;&#x201C;2 < 3 y a b

CĂĄlculo diferencial e integral en una variable real

Ejemplos y ejercicios resueltos

1 1 es VERDADERO. Para probarlo ! a b consideremos sĂłlo el caso en que a y b son positivos, dejando el otro caso para que lo resuelva el lector una vez comprendido el procedimiento. Como 0 a b si dividimos por b, como es positivo, conserva el sentido de la a desigualdad, y obtenemos: 1 , si ahora dividimos por a que tambiĂŠn es b 1 1 1 1 positivo nos queda Â&#x153; ! b a a b o)

a b Â&#x161; sga

sgb Â&#x;

a ac es FALSO porque si c = 0 estarĂamos dividiendo por cero, que b bc YD FRQWUD OD GHÂżQLFLyQ GH GLYLVLyQ

ÂÂ°a 2 q) a b Â&#x161; a b Â&#x; a b es VERDADERO. Sabemos que ÂŽ 2 Â°ÂŻb 2 2 2 2 como a b Â&#x; a . a b . a b . b Â&#x; a b Â&#x; a b 2

ÂÂ°a 2 r) a b Â&#x161; a ! b Â&#x; a ! b es VERDADERO. Sabemos que ÂŽ 2 Â°ÂŻb 2 2 2 2 como a ! b Â&#x; a a ! b a ! b b Â&#x; a ! b Â&#x; a ! b 2

s) a b Â&#x161; a

b Â&#x; a2

b Â&#x161;a bÂ&#x;a

a b

2 2

b 2 es VERDADERO porque si

b Â&#x; a 2

t) 0 a b Â&#x; a ab

( b) 2

b 2 con lo que estĂĄ demostrado.

a b b es VERDADERO. Para demostrarlo 2

veamos que (a b) 2 ! 0 Â&#x; a 2 2ab b 2 ! 0 Â&#x; a 2 b 2 ! 2ab Â&#x; a 2 2ab b 2 ! 4ab Â&#x;

(a b) 2 ! 4ab Â&#x; a b ! 4ab

2 ab Â&#x;

a b ! ab 2

(1)

Por otra parte, tenemos que 0 a b Â&#x; a 2 ab Â&#x; a ab

Y por Ăşltimo, a b Â&#x; a b 2b Â&#x;

a b b 2

De (1), (2) y (3) se cumple que 0 a b Â&#x; a ab

(2)

(3)

a b b 2

3 167

C APÍTULO

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

La continuidad de una función en un punto surge de la unión de los conceptos fundamentales de función y de límite tratados en los capítulos precedentes y es el paso siguiente para el desarrollo de las herramientas matemáticas básicas del cálculo diferencial e integral. Consideremos una ley física de la forma P f (V ) , que relaciona los valores de una variable independiente V (por ejemplo, el volumen de un gas) con una variable dependiente P (por ejemplo, la presión). Al emplear dicha ley para medir un valor V0 , inevitablemente se comete un error que incide en el valor de P correspondiente, que desde ya no es P0 f (V0 ) en forma exacta. ¿De qué manera el valor medido de P se ve afectado por la medida de V? Si para valores de V muy próximos a V0 se obtienen valores muy diferentes de P, de esta forma la ley f que relaciona V con P no tiene utilidad práctica alguna. Dado que los errores de medición son inevitables y afectan completamente el valor real de P0 , es posible establecer una cota de error para P (dependerá de cada situación en particular) a la que se la puede designar con H (H ! 0 ) y con la que podrá obtenerse una cota de error G (G ! 0). Así, siempre que se mida V0 con un error menor que G , el valor obtenido de P distará del valor real P0 en menos que H , es decir: f (V ) f (V0 ) H siempre que V V0 G . Cuando esta situación puede efectivizarse para cualquier cota de error H > 0, se dice que la ley “f ” es continua en V0 . Naturalmente la cota de error G dependerá del H ! SUH¿MDGR HQ cada caso, y también de V0 . (VWH IHQyPHQR FRQGXFH D XQD GH¿QLFLyQ PDWHPiWLFD GH OD FRQWLQXLGDG GH XQD función en un punto. 6H FRQVLGHUD XQD IXQFLyQ GH¿QLGD DVt f : A R o R ( A z 0 ) A no tiene por qué coincidir con el dominio natural de la función f, ya que, usualmente, se estudian las propiedades de la misma en un subconjunto de su dominio natural. Por otra parte, la continuidad de una función no depende sólo de OD OH\ TXH OD GH¿QH sino también del conjunto de valores de la variable independiente que se considera.

168

CĂĄlculo diferencial e integral en una variable real

FunciĂłn continua en un punto

1. DeďŹ niciĂłn Se dice que una funciĂłn f : A Â&#x17D; R o R es continua en un punto a Â? A si y sĂłlo si para cada nĂşmero H ! 0 es posible encontrar un nĂşmero G ! 0 (que, en general, depende de H y de a) tal que para todo x Â? A con x a G se veriďŹ ca que f ( x ) f ( a ) H . En forma equivalente, la funciĂłn f es continua en x = a Â? Domf si y sĂłlo si lim f ( x) f (a ) . xoa

Cabe destacar el enorme protagonismo que tiene el conjunto A HQ HVWD GHÂżQLciĂłn. SĂłlo serĂĄn considerados los valores de x que estĂĄn en A, no interesa lo que sucede con la â&#x20AC;&#x153;leyâ&#x20AC;? fuera de A. 7DPELpQ HV UHOHYDQWH UHVDOWDU OD VLPLOLWXG HQWUH OD GHÂżQLFLyQ GH OtPLWH GH XQD IXQFLyQ HQ XQ SXQWR DQDOL]DGD FRQ DQWHULRULGDG \ OD GHÂżQLFLyQ UHFLHQWHPHQWH expuesta. La Ăşnica diferencia consiste en que para que una funciĂłn f tenga posibilidades de ser continua en a HV QHFHVDULR TXH HVWp GHÂżQLGD HQ a. 'H OD GHÂżQLFLyQ GH FRQWLQXLGDG \ GH ODV SURSLHGDGHV FRQRFLGDV GH OtPLWH VXUJH lo siguiente: Si lim f ( x) f (a ) Â&#x; f ( x) f (a ) D ( x), con lim D ( x) 0 . Por lo tanto, xoa

xoa

f ( x) f (a ) D (x). Si tenemos en cuenta que 'f f ( x) f (a ) D ( x) y 'x x a, SRGHPRV UHHVFULELU OD GHÂżQLFLyQ GLFLHQGR TXH f es continua en x = a Â? Domf si y sĂłlo si lim 'f 0 , esto es, si una funciĂłn es continua en un punto, incrementos 'x o0

LQÂżQLWpVLPRV HQ OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH SURGXFHQ LQFUHPHQWRV LQÂżQLWpVLPRV HQ OD IXQFLyQ (V GHFLU HQ HVH SXQWR OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ QR SUHVHQWDUi VDOWRV interrupciones ni cambios bruscos. Que una funciĂłn sea continua en un punto implica la existencia de la imagen de la funciĂłn en x = a, la existencia del lĂmite de la funciĂłn cuando x tiende a a y la igualdad de ambos valores. Si al menos una de estas tres condiciones no se cumpliera, la funciĂłn no serĂa continua en el punto y se introduce la siguiente GHÂżQLFLyQ

2. DeďŹ niciĂłn Si una funciĂłn no es continua en un punto a se dice que es discontinua en dicho punto.

Las discontinuidades pueden originarse por diferentes causas, las que permiten HVWDEOHFHU XQD FODVLÂżFDFLyQ GH GLVFRQWLQXLGDGHV TXH SURSRUFLRQD LQIRUPDFLyQ valiosa sobre las caracterĂsticas de la relaciĂłn funcional en estudio.

CAPĂ?TULO 3

169

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIĂ&#x201C;N EN UN PUNTO

1. CLASIFICACIĂ&#x201C;N DE DISCONTINUIDADES Existen dos tipos fundamentales de discontinuidad: 1. Discontinuidad evitable o removible Esta discontinuidad tiene lugar si existe el lĂmite lim f ( x) L pero la x oa IXQFLyQ QR HVWi GHÂżQLGD HQ x = a ( f (a ) R ELHQ HVWDQGR GHÂżQLGD HQ x = a, su imagen no coincide con el lĂmite L ( f ( a ) z L ) y

Ć&#x2019;(x)

a l

Â&#x2021;

Figura 54. FunciĂłn con discontinuidad evitable en x = a 6H OODPD HYLWDEOH R UHPRYLEOH SRUTXH HV SRVLEOH UHGHÂżQLU OD IXQFLyQ f de forma tal que f ( a ) L . ÂżCĂłmo hacerlo? Construyendo una nueva funciĂłn f *, denominada prolongaciĂłn o extensiĂłn continua de f, como sigue: f * ( x)

Â f ( x) ÂŽ ÂŻL

si x z a si x

1. Nota

Es importante recalcar que si f (a ), la funciĂłn es automĂĄticamente discontinua. Por otra parte, se ha dicho que no interesa saber quĂŠ ocurre con la funciĂłn fuera de su dominio natural, y en ese caso a Â? Domf . Pero sucede que el estudio del lĂmite de f en a Â? Domf ayuda a recolectar mĂĄs informaciĂłn valiosa sobre la grĂĄďŹ ca de la funciĂłn. Por ejemplo, si f ( x)

Â 1x x 2 1 si x ! 0 Â°e la funciĂłn tiene x 1 ÂŽ Â°2 si x 0 ÂŻ

dominio R0 ^1` Âżpara quĂŠ valores de a serĂĄ adecuado analizar continuidad y discontinuidad? Carece de sentido pensar en x = â&#x20AC;&#x201C;1, porque no hay imĂĄgenes de f alrededor de ĂŠl, con lo que no tendrĂĄ sentido hablar del lĂmite. ÂżY en x = 0? Ă&#x2030;ste estĂĄ en el dominio, con lo que es importante analizarlo. ÂżY en x = 1? No pertenece al dominio, pero a su alrededor es posible encontrar imĂĄgenes de la funciĂłn, de modo que nos aportarĂĄ informaciĂłn importante sobre la misma.

170

CĂĄlculo diferencial e integral en una variable real

ClasiďŹ caciĂłn de discontinuidades

2. Discontinuidad no evitable Esta discontinuidad surge a partir de la no existencia del lĂmite de la funciĂłn en el punto a, es decir, lim f ( x ) , tenga o no imagen en ese xoa

punto. Ahora bien, la no existencia del lĂmite puede estar ocasionada por diferentes causas, las que permiten a su vez establecer una VXEFODVLÂżFDFLyQ GHQWUR GH HVWH JUXSR GH GLVFRQWLQXLGDGHV a.

'LVFRQWLQXLGDG QR HYLWDEOH FRQ VDOWR ÂżQLWR

Esta discontinuidad tiene lugar si los lĂmites laterales lim f ( x) x oa

lim f ( x)

x oa

L y

L existen pero son diferentes. Por tanto, no existe el lĂmite

de f en x = a

(Q HVWH FDVR HV LPSRVLEOH UHGHÂżQLU OD IXQFLyQ f de tal forma que L

Ć&#x2019;(x)

a l

Figura 55. FunciĂłn con discontinuidad no evitable con salto ďŹ nito en x = a

'LVFRQWLQXLGDG QR HYLWDEOH FRQ VDOWR LQÂżQLWR

Esta discontinuidad tiene lugar si alguno de los lĂmites laterales es r f , o sea, si lim f ( x) x oa

rf o lim f ( x) x oa

rf tenga o no imagen en ese

SXQWR 3RU WDQWR QR H[LVWH HO OtPLWH ÂżQLWR GH f en x = a En este caso tambiĂŠn HV LPSRVLEOH UHGHÂżQLU la funciĂłn f.

CAPĂ?TULO 3

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIĂ&#x201C;N EN UN PUNTO

Ć&#x2019;(x)

Figura 56. FunciĂłn con discontinuidad no evitable con salto inďŹ nito en x = a c. Discontinuidad no evitable esencial

(VWH FDVR FRUUHVSRQGH FXDQGR OD IXQFLyQ HVWi GHÂżQLGD HQ WRGR HO HQWRUno reducido de a pero no existen los lĂmites laterales. Por ejemplo, la Â§1Âˇ funciĂłn f ( x ) sen Â¨ Â¸ en a = 0 presenta una discontinuidad esencial. ÂŠ xÂš 5HFXHUGH VX JUiÂżFR y Ć&#x2019;

-0,1

-0,05

0,05

0,1

Figura 57. FunciĂłn con discontinuidad no evitable esencial 1.1. Continuidad lateral en un punto

3XHGH RFXUULU TXH XQD IXQFLyQ HVWp GHÂżQLGD HQ XQ LQWHUYDOR FHUUDGR SRU HMHPplo en el [c, a] y nos interese analizar quĂŠ ocurre en a. En este caso, es posible hablar de continuidad lateral. En efecto, f (x) se dice continua por izquierda en a si y sĂłlo si lim f ( x) f ( a ) ; x oa

DQiORJDPHQWH VL OD IXQFLyQ HVWXYLHVH GHÂżQLGD HQ HO >a, b], f(x) se dice continua por derecha en a si y sĂłlo si lim f ( x) f ( a ). x oa

171

172

CĂĄlculo diferencial e integral

Propiedades de las funciones continuas en un punto

EJEMPLO

x HVWi GHÂżQLGD SDUD x t 0 . De esta forma no es posible La funciĂłn f ( x ) mencionar la continuidad de f (x) por izquierda en a = 0, pero como lim x 0 , x o0 se concluye que f (x) es continua por derecha en 0.

2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN UN PUNTO 1- Suma, producto y cociente Sean f y g dos funciones continuas en a, y D y E dos nĂşmeros reales arbitrarios. Entonces: La funciĂłn (Df Eg )( x) es continua en a. La funciĂłn ( f . g )( x) es continua en a. Â§f Âˇ Si g (a ) z 0 entonces la funciĂłn Â¨Â¨ Â¸Â¸(x ) es continua en a. ÂŠgÂš 2- Continuidad de la funciĂłn compuesta Si f (x) es continua en a, y g(x) es continua en f (a), entonces ( g $ f )( x) es continua en a.

3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN INTERVALOS CERRADOS Por su utilidad resulta muy interesante el estudio de algunas propiedades de carĂĄcter global de las funciones continuas, es decir, propiedades que dependen de la continuidad de una funciĂłn en un intervalo. La caracterĂstica fundamental de ĂŠstas es su sencilla interpretaciĂłn geomĂŠtrica, lo que hace que parezcan evidentes, aunque el lector podrĂĄ comprobar que sus demostraciones no son triviales. Algunas demostraciones las podrĂĄ encontrar entre los ejercicios resueltos. Previo al inicio del estudio de las propiedades es necesario dar las siguientes GHÂżQLFLRQHV 3. DeďŹ niciĂłn. Se dice que una funciĂłn f (x) es continua en un intervalo abierto (a, b), si f (x) es continua en cada uno de los puntos de este intervalo. 4. DeďŹ niciĂłn. Se dice que una funciĂłn f (x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], si f (x) es continua en (a, b), y ademĂĄs lim f ( x) f (a ) y lim f ( x) f (b) xoa

x ob

De las propiedades enunciadas hasta aquĂ se concluye que las funciones polinĂłmicas, las exponenciales y las trigonomĂŠtricas sen x y cos x son continuas en todo el eje real. Las funciones racionales son continuas en sus dominios naturales.

CAPĂ?TULO 3

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIĂ&#x201C;N EN UN PUNTO

EJEMPLOS

1. Se considera la funciĂłn f ( x)

Â x3 2 Â° ÂŽ5 Â° x2 6 ÂŻ

si x 2 si x

si x ! 2

y 20

f(x)

-1

Figura 58. FunciĂłn con discontinuidad evitable en x = 2 Como cada tramo de la funciĂłn corresponde a una funciĂłn polinĂłmica que es continua en todo nĂşmero real a, sĂłlo es necesario analizar la continuidad de f en x = 2, en el que se produce el cambio de â&#x20AC;&#x153;fĂłrmulaâ&#x20AC;? de la funciĂłn.

lim ( x3 2) 10 Â˝ Â° xo2 f ( x) 10 z f (2) 5 , Âž Â&#x; lim xo2 lim ( x 2 6) 10 Â° xo2 Âż por lo tanto, f es discontinua evitable en a = 2 2. Encontrar el valor de A para el cual la funciĂłn f ( x) es continua en todo su dominio.

Â x 2 2 si x 1 ÂŽ ÂŻ Ax 4 si x t 1

Del mismo modo que en el ejemplo precedente, sĂłlo se analizarĂĄ la continuidad en a = 1 y por los mismos motivos fundamentados. Para que f admita lĂmite en a = 1, es preciso que existan los lĂmites laterales y que coincidan. lim ( x 2 2)

x o1

lim ( Ax 4)

x o1

1 A 4

Â˝ Â° Âž para que exista el lĂmite en1 debe ser A 4 1, A 3 f (1) Â° Âż

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CĂĄlculo diferencial e integral

Propiedades de las funciones continuas en intervalos

Propiedades 1. ConservaciĂłn del signo Sea f : [a, b] o R una funciĂłn continua en ( a , b ) y x0 Â? ( a , b ) . Si f (x0 ) z 0 , existe G ! 0 tal que en el entorno E ( x0 , G ) las imĂĄgenes de la funciĂłn f tienen el mismo signo que f ( x0 ) 2. AcotaciĂłn Sea f : [a, b] o R una funciĂłn continua en [a, b] y x0 Â? ( a , b ) , entonces existe G ! 0 tal que f estĂĄ acotada en el entorno E ( x0 , G )

Un momento mĂĄs para pensar Si una persona mide 168 cm y hace 13 aĂąos medĂa 135 cm, seguramente que en algĂşn momento intermedio medĂa con exactitud 147 cm. Ahora bien, si una entrada en un boliche cuesta $ 20 y hace 6 aĂąos costaba $ 15, ÂżEs seguro que en algĂşn momento ir al boliche costaba exactamente $ 17,99? No, a ningĂşn empresario le viene bien cobrar $ 17,99 por la entrada. La diferencia estĂĄ centrada en que la altura de una persona es una funciĂłn continua del tiempo y para pasar de 135 cm a 168 cm tiene que pasar por todos los valores intermedios, pero el precio de las entradas a los boliches no varĂa de forma continua con el tiempo y puede aumentar â&#x20AC;&#x153;de golpeâ&#x20AC;? de $ 15 a $ 20. ÂżLe parece extraĂąo este hecho?

(O JUiÂżFR GH XQD IXQFLyQ FRQWLQXD HQ XQ LQWHUYDOR f : [a, b] o R puede ser imaginado como una curva continua, es decir, sin cortes, sin interrupciones ni saltos; ademĂĄs, si el signo de f (a ) es distinto del signo de f (b) HO JUiÂżFR GH f debe atravesar el eje x para pasar de un punto situado debajo de ĂŠl a otro que se encuentra por encima y, por tanto, f debe anularse en algĂşn punto entre a y b. (VWR HV SUHFLVDPHQWH OR TXH DÂżUPD HO FRQRFLGR WHRUHPD TXH VLJXH 3.1. Enunciado intuitivo del teorema de los ceros de Bolzano (1781-1848)

Toda funciĂłn continua en un intervalo que toma valores positivos y negativos se anula en algĂşn punto del intervalo. Lo primero que llama la atenciĂłn en este teorema es su evidencia. No estĂĄ de mĂĄs, con referencia a este tema, recordar que, como decĂa Bertrand Russell 1, â&#x20AC;&#x153;en matemĂĄticas la evidencia es enemiga de la correcciĂłnâ&#x20AC;?. AsĂ, el mĂŠrito de Bolzano es haber llamado la atenciĂłn sobre la necesidad de demostrar muchas proposiciones, aparentemente evidentes TXH VH UHÂżHUHQ D ODV IXQFLRQHV FRQWLQXDV 1 )LOyVRIR PDWHPiWLFR SDFLÂżVWD \ UHIRUPLVWD VRFLDO LQJOpV 3UHPLR 1yEHO GH /LWHUDWXUD HQ 1950.

CAPĂ?TULO 3

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIĂ&#x201C;N EN UN PUNTO

Suele ser particularmente difĂcil demostrar matemĂĄticamente lo que la intuiciĂłn presenta como evidente. Existen consecuencias de este teorema que estĂĄn lejos de ser evidentes. Por ejemplo: es posible probar, con la ayuda del teorema de Bolzano, que si se tienen tres sĂłlidos en el espacio (puede imaginarse tres cuerpos de diferentes tamaĂąos), es siempre posible encontrar un plano que los divida simultĂĄneamente en partes iguales (puede cortar los tres cuerpos exactamente por la mitad de un solo tajo).

Teorema de Bolzano Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y f (a). f (b) 0 , entonces existe algĂşn x0 Â? ( a , b ) / f ( x0 ) 0

(VWH WHRUHPD RWRUJD FRQGLFLRQHV VXÂżFLHQWHV SDUD OD H[LVWHQFLD GH VROXFLRQHV de la ecuaciĂłn f (x ) 0. De hecho, si se elimina alguna de las hipĂłtesis, no se puede predecir la existencia de soluciones de la ecuaciĂłn anterior, tal como se muestra a continuaciĂłn: EJEMPLOS

Â x 1 si x ! 0 no es continua en cero, aunque ÂŽ ÂŻ x 1 si x d 0 f (-1) = â&#x20AC;&#x201C;2 < 0 y f (1) = 2 > 0, no existe x en el intervalo (â&#x20AC;&#x201C;1, 1) en que f (x) = 0.

1. La funciĂłn f ( x)

2. La funciĂłn f ( x )

x 2 2 no YHULÂżFD f ( 2). f (2) 0 y sin embargo

existen dos raĂces 2 y

2 pertenecientes al intervalo (â&#x20AC;&#x201C;2, 2).

El teorema de Bolzano es la base de distintos mĂŠtodos del cĂĄlculo numĂŠrico para la resoluciĂłn aproximada de ecuaciones no lineales, de los que el mĂĄs simple es el conocido como MĂŠtodo de DicotomĂa o BisecciĂłn, que se describe a continuaciĂłn: 3.2. MĂŠtodo de la bisecciĂłn

El teorema de Bolzano tiene una interesante aplicaciĂłn en la localizaciĂłn de las raĂces de una ecuaciĂłn o ceros de una funciĂłn continua. Consiste en lo siguiente: mediante un barrido de intervalos se busca dos valores â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;? y â&#x20AC;&#x153;bâ&#x20AC;? para los que las imĂĄgenes de la funciĂłn tengan signos opuestos. Si se consigue encontrar dos valores que cumplan la condiciĂłn anterior, por ejemplo f(a) < 0 y f(b) > 0, y, ademĂĄs, la funciĂłn es continua en I = [a, b], queda garantizada, por el teorema de Bolzano, la existencia en el intervalo (a, b) de al menos una raĂz.

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CĂĄlculo diferencial e integral

Propiedades de las funciones continuas en intervalos

a b la funciĂłn en ese 2 punto puede tomar el valor 0, en cuyo caso ya tendrĂamos localizada una raĂz,

Si ahora se considera el punto medio del intervalo x

Âˇ Âˇ o bien en (a + b) toma un valor positivo o negativo. Si f Â¸(a + b)Â¸ < 0, se observa 2 Âš 2 Âš (a + b) ahora en el intervalo I1 = , b en el que la funciĂłn es continua y en cuyos 2 extremos toma valores de signos opuestos. El teorema de Bolzano garantiza asĂ la existencia de al menos una raĂz en ese intervalo I1 de longitud la mitad de la longitud del intervalo inicial. Âˇ Âˇ Si hubiese sido f Â¸(a + b)Â¸ > 0 se hubiese considerado el intervalo I1= a, (a + b) 2 Âš 2 Âš Se repite el mismo proceso con el intervalo I1, con lo que se van obteniendo intervalos cada vez mĂĄs pequeĂąos, dentro de los cuales se sabe que existe una raĂz. Es posible asĂ hallar el valor de esa raĂz con la aproximaciĂłn deseada. Se puede demostrar que si D es la raĂz real de f (x ) 0 y x n es un valor aproximado de la raĂz mediante el mĂŠtodo de la bisecciĂłn en la iteraciĂłn enĂŠsima, entonces b a D xn d n 2 El segundo miembro de esta desigualdad constituye una cota del error de truncamiento local del algoritmo; por lo tanto, si se desea lograr una aproximaciĂłn de la raĂz con error menor que H ! 0 EDVWDUi LGHQWLÂżFDU FXiO HV HO PtQLPR n que b a YHULÂżFD n H y de esta forma conocer el nĂşmero de iteraciones necesarias 2 para lograr la precisiĂłn solicitada.

3.3. Teorema de los valores intermedios de Darboux (1842-1917)

ÂĄRecuerde la reďŹ&#x201A;exiĂłn sobre la medida de su estatura!

Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b] y f ( a ) z f (b ) . Si O es un valor comprendido entre f (a) y f (b), entonces existe algĂşn x0 Â? ( a , b ) / f ( x0 ) O . 7HQJD HQ FXHQWD TXH WDPELpQ HVWH WHRUHPD RWRUJD FRQGLFLRQHV VXÂżFLHQWHV SHUR QR necesarias; de hecho existen funciones discontinuas que satisfacen la propiedad. Â§1Âˇ Por ejemplo, la funciĂłn f ( x ) sen Â¨ Â¸, en todo intervalo que contenga al origen, ÂŠ xÂš toma todos los valores entre -1 y 1 aunque no es continua en cero. Del teorema de los valores intermedios de Darboux se deduce el siguiente resultado: 3.4. Propiedades interesantes

a) Si f(x) es una funciĂłn continua en el intervalo I, la imagen f(I) es tambiĂŠn un intervalo.

CAPĂ?TULO 3

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIĂ&#x201C;N EN UN PUNTO

Esta propiedad engloba los teoremas de Bolzano y de Darboux como casos particulares. (ÂżPor quĂŠ?) Los tres son equivalentes entre sĂ. Como consecuencia de estos tres, surge el teorema de la continuidad de la funciĂłn inversa. b) Si f(x) es una funciĂłn continua y biyectiva en un intervalo, la funciĂłn inversa f

(x ) es tambiĂŠn continua.

Se sabe que la imagen, f (I), de un intervalo I por una funciĂłn continua es un intervalo. Cabe preguntarse ahora, Âżes f (I) un intervalo del mismo tipo que I? La respuesta estĂĄ en estos ejemplos: 1. f ( x )

x 2 ; f ( 1,1]

f [ 1,1) [0,1]

2. f ( x )

1 ; f (0,1] [1, f) ; f [1, f) (0,1] x

3. f ( x)

sen x ; f

S , S > 1;1@

Por lo tanto, la imagen por una funciĂłn continua de un intervalo abierto, o semiabierto, o de una semirrecta, puede ser un intervalo de distinto tipo. FaltarĂa considerar quĂŠ sucede con los intervalos cerrados (y acotados), es decir, de la forma [a,b]. Observe que si f : > a, b @ o R es continua, para probar que f ([a,b]) es un intervalo cerrado y acotado bastarĂĄ probar que el conjunto f ([a,b]) tiene mĂnimo y mĂĄximo, es decir que existirĂĄn x1 y x 2 Â? >[a, b] tales que para todo x Â? [a,b] es f ( x1 ) d f ( x ) d f ( x 2 ) , y entonces serĂĄ f (> a, b @ > f ( x1 ), f ( x2 ) @ 3.5. MĂĄximo y mĂnimo absolutos o globales

Sea f : A Â&#x17D; R o R 5.

DeďŹ niciones a. Se dice que f alcanza en x 0 un mĂĄximo global o absoluto si x Â? Domf se cumple que f ( x0 ) t f ( x) b. Se dice que f alcanza en x 0 un mĂnimo global o absoluto si x Â? Domf se cumple que f ( x0 ) d f ( x)

6L UHFRUGDPRV ODV GHÂżQLFLRQHV GH H[WUHPRV VXSHULRU H LQIHULRU GH XQ FRQMXQWR GH Q~PHURV UHDOHV GDGDV HQ HO FDStWXOR YHPRV TXH FRQ HVWDV GRV QXHYDV GHÂżniciones estamos haciendo referencia, respectivamente, a los extremos superior e inferior del conjunto imagen de f en un cierto intervalo.

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Tomo I

Alba Gregoret | Miguel Albione | Armando Núñez

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL Tomo I

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