Tusenmillioner 6 lb blabok

A nn e R asch-Halv or s en • Tor il Es keland Rangnes • Odd v a r A a s e n

n rere s b

6

ok

Et matematikkverk fra Cappelen Damm Trykk-o-TusenMillioner-6-LB.indd 1

Læ

Tusen millioner

29.06.15 10:59

A nn e R asch-H alvors en • Tor il Es keland Rangnes • Oddv ar A a s e n I llus t r at ør : Bjør n Eids v ik

LaererensBok-TusenMill-6.indb 1

n rere s b

6

ok

Læ

Tusen millioner

29.06.15 10:55

Til læreren Ny utgave fra og med 2013 Den nye utgaven av Tusen millioner gir elever og lærere de verktøyene de trenger for å nå kompetansemålene i Kunnskapsløftet etter revidert læreplan av 2013.

Kompetansemålene er brutt ned til konkrete delmål for hvert kapittel. Læreverket byr på rike differensieringsmuligheter gjennom stor bredde i komponentløsningen.

tusenmillioner.cdu.no Nettstedet inneholder øvingsoppgaver og et spill til hvert kapittel. Elevene øver hoderegning, matematiske sammenhenger og omgjøring av måleenheter. Alle opp­ gavesett er i tre vanskelighetsgrader. For læreren fins tallinje og stillbar klokke til bruk på interaktiv tavle, kopieringsoriginaler, problemløsningsoppgaver og prøve­ materiell.

Kartlegging Det er utviklet digitale kartleggingsprøver til hvert kapittel, hvert halvår og helår.

Halvårs- og helårsprøvene har full integrasjon mot Vokal.

Grunnbøker på interaktiv tavle Alle grunnbøker tilbys i digitale versjoner (tavlebøker) for visning på interaktiv tavle. Her er det lagt inn lyd – og læreren kan også selv legge til kommentarer og lenker etter eget ønske. Ved å bruke forstørringsfunksjonen får læreren et flott verktøy for muntlig aktivitet og oppmerksomhet rundt problemstillingene og opp­ gavene i bøkene.

Tusen millioner 5-7 består for hvert trinn av: Grunnbok A og B Alternativ grunnbok A og B (engangsbøker for tilpasset undervisning) Oppgavebok Lærerens bok Fasit til grunnbøkene og oppgaveboka Fasit til de alternative grunnbøkene Nettsted: tusenmillioner.cdu.no

2

LaererensBok-TusenMill-6.indb 2

29.06.15 10:55

Innhold Metodisk bakgrunn Verkets oppbygning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 tusenmillioner.cdu.no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Grunnleggende ferdigheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Faglig innhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Matematisk kompetanse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Diagnostisk undervisning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Matematikk på elevenes språk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Veiledning til kapitlene Kapittel 1

God Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Kapittel 2 Brøk og desimaltall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kapittel 3 Prosent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kapittel 4 Multiplikasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Kapittel 5 Divisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Kapittel 6 Geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Kapittel 7 Statistikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Kapittel 8 Tid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Kapittel 9 Areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Kapittel 10 Volum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Kapittel 11 Målestokk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Kapittel 12 Rutenett og koordinatsystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Kapittel 13 Hoderegning og avrunding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Kapittel 14 Sannsynlighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Fasiter Kapittelprøver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Alternative kapittelprøver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Halvårsprøver høst og vår . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Alternative halvårsprøver høst og vår . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Felles problemløsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Det lurer jeg på . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Målark

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 3

side 3

29.06.15 10:55

Verkets oppbygning Tusen millioner bygger på Kunnskapsløftet, revidert læreplan av 2013, og består av følgende trykte komponenter: A nne Rasch-Hal vorsen • Tori l E sk e la n d R a n g n e s • O d d va r Aa se n

An n e R a sc h - H a lvo r se n • To r il Esk e la n d R a n g n e s • O d d va r Aa se n

A n n e Ras ch - Halv or s en • Tor i l Es k e l a nd R a ng ne s • O ddv a r Aa s e n

Tusen millioner

Tusen millioner

Tusen millioner

Tusen millioner 5–7

•

Grunnbok A og B Alternativ grunnbok A og B (engangsbøker) Oppgavebok Fasit Lærerens bok Nettsted: http://tusenmillioner.cdu.no

gavebo pp

k

6B

Læreverket består av:

Oppgavebok 6

Grunnbok 6B

Grunnbok 6A

•

•

Et matematikkverk fra Cappelen Damm

•

Grunnbok A og B Alternativ grunnbok A og B (engangsbøker) Oppgavebok Fasit Lærerens bok Nettsted: http://tusenmillioner.cdu.no

G

Tusen millioner

6A

Læreverket består av:

lar elevene øve grunnleggende ferdigheter og øke sin matematiske forståelse gjennom refleksjon, samarbeid og varierte oppgavetyper. Den trygge progresjonen og tydelige differensieringen gjør at alle kan arbeide på sitt eget nivå, og i ulik hastighet innenfor hvert enkelt kapittel. Læreverket egner seg godt for veiledet matematikkundervisning. runnbok

Et matematikkverk fra Cappelen Damm

•

Grunnbok A og B Alternativ grunnbok A og B (engangsbøker) Oppgavebok Fasit Lærerens bok Nettsted: http://tusenmillioner.cdu.no

G

Tusen millioner

Læreverket består av:

lar elevene øve grunnleggende ferdigheter og øke sin matematiske forståelse gjennom refleksjon, samarbeid og varierte oppgavetyper. Den trygge progresjonen og tydelige differensieringen gjør at alle kan arbeide på sitt eget nivå, og i ulik hastighet innenfor hvert enkelt kapittel. Læreverket egner seg godt for veiledet matematikkundervisning. runnbok

Et matematikkverk fra Cappelen Damm

Tusen millioner

lar elevene øve grunnleggende ferdigheter og øke sin matematiske forståelse gjennom refleksjon, samarbeid og varierte oppgavetyper. Den trygge progresjonen og tydelige differensieringen gjør at alle kan arbeide på sitt eget nivå, og i ulik hastighet innenfor hvert enkelt kapittel. Læreverket egner seg godt for veiledet matematikkundervisning.

Tusen millioner 5–7

O

Tusen millioner 5–7

6

•

ISBN 978-82-02-41326-2

www.cdu.no

www.cdu.no

Grunnbok A

Grunnbok B

A nne Rasch-Hal vorsen • Tori l E sk e la n d R a n g n e s • O d d va r Aa se n

An n e R a sc h - H a lvo r se n • To r il Esk e la n d R a n g n e s • O d d va r Aa se n

Tusen millioner

Tusen millioner

Tusen millioner 5–7

•

Alter

Grunnbok A og B Alternativ grunnbok A og B (engangsbøker) Oppgavebok Fasit Lærerens bok Nettsted: http://tusenmillioner.cdu.no

Alternativ grunnbok 6B

Alternativ grunnbok 6A

6B

Bokmål

Bokmål ISBN 978-82-02-41328-6

www.cdu.no

Bokmål

Bokmål

www.cdu.no

tiv grun na

•

•

ISBN 978-82-02-41327-9

9 788202 413279

Oppgavebok

k nbo

6A

Læreverket består av:

Et matematikkverk fra Cappelen Damm

na

Tusen millioner

•

Grunnbok A og B Alternativ grunnbok A og B (engangsbøker) Oppgavebok Fasit Lærerens bok Nettsted: http://tusenmillioner.cdu.no

k nbo

Læreverket består av:

lar elevene øve grunnleggende ferdigheter og øke sin matematiske forståelse gjennom refleksjon, samarbeid og varierte oppgavetyper. Den trygge progresjonen og tydelige differensieringen gjør at alle kan arbeide på sitt eget nivå, og i ulik hastighet innenfor hvert enkelt kapittel. Læreverket egner seg godt for veiledet matematikkundervisning. tiv grun

Et matematikkverk fra Cappelen Damm

Tusen millioner

lar elevene øve grunnleggende ferdigheter og øke sin matematiske forståelse gjennom refleksjon, samarbeid og varierte oppgavetyper. Den trygge progresjonen og tydelige differensieringen gjør at alle kan arbeide på sitt eget nivå, og i ulik hastighet innenfor hvert enkelt kapittel. Læreverket egner seg godt for veiledet matematikkundervisning.

Alter

Tusen millioner 5–7

Bokm ål

9 7 8 82 0 2 4 1 3 2 6 2

Bokm ål

Bokm ål

ISBN 978-82-02-41329-3

9 788202 413293

www.cdu.no

Bokm ål

Bokm ål

Bokm ål

ISBN 978-82-02-41317-0

9 788202 413170

Alternativ grunnbok A

Alternativ grunnbok B

An n e R as ch - Halv or s en • Tor il E s k e l a nd R a ng ne s • O ddv a r A a s e n

Læ

Tusen millioner

Tusen millioner

Læreverket består av:

Fasit

ISBN 978-82-02-41323-1

ISBN 978-82-02-41324-8

9 788202 413231

9 788202 413248

Fasi t

na

r

Grunnbok A og B Alternativ grunnbok A og B (engangsbøker) Oppgavebok Fasit Lærerens bok Nettsted: http://tusenmillioner.cdu.no

Alte

6

6

tiv grun

www.cdu.no

www.cdu.no

Lærerens bok

Et matematikkverk fra Cappelen Damm

•

Grunnbok A og B Alternativ grunnbok A og B (engangsbøker) Oppgavebok Fasit Lærerens bok Nettsted: http://tusenmillioner.cdu.no

Et matematikkverk fra Cappelen Damm

Tusen millioner

Læreverket består av:

lar elevene øve grunnleggende ferdigheter og øke sin matematiske forståelse gjennom refleksjon, samarbeid og varierte oppgavetyper. Den trygge progresjonen og tydelige differensieringen gjør at alle kan arbeide på sitt eget nivå, og i ulik hastighet innenfor hvert enkelt kapittel. Læreverket egner seg godt for veiledet it Fasmatematikkundervisning.

ok

rens

ok

Et matematikkverk fra Cappelen Damm

Anne Ra s c h- Halvorsen • O d d var A asen

Tusen millioner 5–7

larreelevenebøve grunnleggende ferdigheter og øke sin matematiske forståelse gjennom refleksjon, samarbeid og varierte oppgavetyper. Den trygge progresjonen og tydelige differensieringen gjør at alle kan arbeide på sitt eget nivå, og i ulik hastighet innenfor hvert enkelt kapittel. Læreverket egner seg godt for veiledet matematikkundervisning.

6

A n n e R asch -H alvorsen • Toril E skelan d R an gn es • O d d var A asen

nb

Tusen millioner Tusen millioner 5–7

Fasit til grunnbøkene og oppgaveboka

Fasit til de alternative grunnbøkene

4

LaererensBok-TusenMill-6.indb 4

29.06.15 10:55

Grunnbøkene Kapitlene er bygd opp av delemner. Hvert delemne starter med en problemstilling som er merket med et spørsmålstegn. Problemstillingen kan brukes til refleksjon omkring emnet som følger, og der det er naturlig, til samtale om matematiske begreper. Gjennom muntlig aktivitet lar vi elevene argumentere for egne løsnings­ metoder slik at disse kan deles med andre.

Teori Her gis en forklaring til emnet som behandles ved hjelp av sentrale begreper, defi­ nisjoner og løsningsforslag. Teoristoffet er merket med et blått felt for at det skal være enkelt å kjenne igjen og finne fram til. Vi anbefaler læreren å gå gjennom forklaringene sammen med elevene.

Oppgaver Oppgaver som er merket med symbolet til venstre, egner seg spesielt for diskusjon og samarbeid i grupper på to eller flere. Vi anbefaler imidlertid at elevene også får samarbeide så mye som mulig om de andre oppgavene. På denne måten stimuleres elevene til å bruke det matematiske språket og til å forbedre og utvikle strategiene sine i fellesskap.

x.x

Hvis det hører et arbeidsark til en oppgave, er oppgaven merket med nummeret til arbeidsarket. Før «Kan jeg?», i hvert kapittel er det lagt inn problemløsingsopp­ gaver som løses i grupper. Oppgavene kalles «Felles problemløsing» og klippes ut fra arbeidsark til fordeling mellom elevene. Arbeidsarkene skrives ut fra nettstedet til Tusen Millioner.

Læreren må selv vurdere hvor mye – og når elevene skal bruke kalkulatoren.

I mange tilfeller vil det være hensiktsmessig for noen å bruke den, mens andre vil ha mer nytte av øving med tallregning på papir. Det er et mål at elevene blir sikre i tallregning med oppstilling og trygge i hoderegning. Vi anbefaler at de fleste opp­ gavene løses uten kalkulator, men at den kan benyttes som hjelpemiddel i løsnings­ prosessene og til å kontrollere om svar er riktige. Oppgaver som er merket med en kalkulator, er imidlertid ment å skulle løses ved hjelp av dette verktøyet.

Til noen av oppgavene er det hensiktsmessig å benytte regneark på pc. Disse opp­ gavene er merket med et pc-symbol.

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 5

side 5

29.06.15 10:55

Kan jeg?

Etter hvert kapittel løser elevene en liten test som viser om de har nådd læringsmålene til kapitlet. Testen brukes som utgangspunkt for å velge hvilke oppgaver de skal arbeide videre med. Noen av oppgavene vil kunne avsløre misoppfatninger som det er viktig at elevene får hjelp til å korrigere før de arbeider videre. Dette er oppgaver av diagnostisk karakter.

Jeg regner mer Etter at elevene har tatt testen «Kan jeg?», arbeider de videre med oppgaver i to nye vanskelighetsgrader, merket med én eller to stjerner.

Oppgavene som er merket med én stjerne, repeterer det grunnleggende lærestoffet i kapitlet – med vekt på enkel anvendelse og begrenset tekstmengde.

Oppgavene som er merket med to stjerner, byr på større utfordringer og lar elevene anvende lærestoffet i praktiske sammenhenger. Noen av oppgavene vektlegger at elevene skal se bruken av matematisk kunnskap i sammensatte situasjoner.

Oppsummering Hvert kapittel avsluttes med en kort oppsummering. Oppmuntre elevene til å slå opp på disse sidene når de trenger å repetere matematiske begreper, definisjoner eller løsningsmetoder.

De alternative grunnbøkene De alternative grunnbøkene er utviklet for elever som trenger særskilt tilrettelagt undervisning. Bøkene følger den samme progresjonen som de ordinære grunn­ bøkene, men i en forenklet form og med enklere oppgaver. Elevene skriver svarene direkte inn i bøkene. For at alle elever skal kunne delta i de muntlige aktivitetene, er de innledende problemstillingene til hvert emne også tatt med i de alternative grunnbøkene.

I hvert kapittel er det en liten test, «Kan jeg?». Her testes om det helt grunnleg­ gende lærestoffet er på plass. Deretter følger repetisjonsoppgaver som gir elevene fortløp­ende mulighet til å repetere og vedlikeholde grunnleggende lærestoff og ferdigheter.

De alternative grunnbøkene utgjør et fullstendig læremiddel for den aktuelle elevgruppen. Elever som er modne for vanskeligere oppgaver, eller som ønsker å ­arbeide med oppgaver i kladdeboka, kan arbeide videre med det enkleste nivået i oppgaveboka.

6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 6

29.06.15 10:55

Oppgaveboka Oppgavene følger kapittelinndelingen i grunnbøkene og er ordnet i tre vanskelig­ hetsgrader: De første, og letteste, oppgavene egner seg for elever som trenger å repetere og arbeide mer med det grunnleggende lærestoffet i kapitlet.

Oppgavene som er merket med én stjerne, har samme vanskelighetsgrad som tilsvarende oppgaver i grunnbøkene. Det betyr repetisjon av det grunnleggende ­lærestoffet med vekt på enkel anvendelse og med begrenset tekstmengde.

På samme måte har også oppgavene som er merket med to stjerner samme van­ skelighetsgrad som tilsvarende oppgaver i grunnbøkene. Oppgavene byr på større utfordringer og lar elevene anvende lærestoffet i praktiske sammenhenger.

Til slutt i hvert kapittel fins et sett med repetisjonsoppgaver. Oppgavene dekker alt lærestoffet som er gjennomgått fram til og med hvert kapittel, og egner seg for repetisjon og vedlikehold av den matematiske kunnskapen.

Fasit til grunnbøkene og oppgaveboka Fasiten inneholder svar på oppgavene i de ordinære grunnbøkene og oppgaveboka.

Bruk fasiten til å sjekke svarene på oppgavene og la også elevene selv få kontrollere om de har løst oppgavene riktig. Det er viktig å sjekke om svarene er riktige for at elevene ikke skal trekke med seg eventuelle misoppfatninger videre. Vær opp­ merksom på at noen oppgaver kan ha flere løsninger enn den som er vist i fasiten.

Fasit til de alternative grunnbøkene Det hører en egen fasit til de alternative grunnbøkene. Fasiten er bygd opp på samme måte som fasiten til de ordinære grunnbøkene og oppgaveboka.

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 7

side 7

29.06.15 10:55

tusenmillioner.cdu.no Regneplaneten På Regneplaneten velger elevene grunnboka de arbeider med:

Til hvert kapittel fins øvingsoppgaver, en kapittelkartlegger og Matellittspillet for trening av matematiske sammenhenger:

Elevene ser hele tiden hvor langt de har kommet med øvingsoppgavene.

Regn med meg! inneholder øvingsoppgaver som er ordnet i tre oppgavesett med stigende vanskelighetsgrad. Hvert oppgavesett består av 10 oppgaver. Elevene må klare alle oppgavene i et oppgavesett for å komme videre til neste oppgavesett:

Elevene ser også hele tiden hvor lang de har kommet i oppgavesettet.

8

LaererensBok-TusenMill-6.indb 8

29.06.15 10:55

Når elevene har løst oppgavene i kapittelkartleggeren Kan jeg?, får de en rapport over måloppnåelsen med forslag til videre arbeid:

Alle oppgaver i kapittelkartleggeren er støttet av visuelle konkreter.

Rapporten viser elevens måloppnåelse og gir forslag til videre arbeid.

I Matellittspillet øver elevene på matematiske sammenhenger:

Hver oppgave har tre svaralternativ.

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 9

side 9

29.06.15 10:55

Maxfri I Maxfri velger elevene emner selv og arbeider så langt de klarer i forhold til egne ferdigheter. Når en økt avsluttes, kan eleven skrive ut en rapport over arbeidet som er gjort. Programmet egner seg godt for trening av grunnleggende ferdigheter i matematikk.

Maxfri inneholder oppgaver til alle sentrale emner i læreplanen.

Kartlegging Vokal Når læreren har tildelt halvårs- eller helårsprøven på Vokal til elevene sine, kan elevene åpne prøven fra nettstedet til Tusen millioner. Prøvene gir læreren oversikt over elevenes mestringsnivå før eller etter hvert halvår, og resultatene er knyttet til konkrete delmål. Læreren trenger ikke rette prøvene, men får umiddelbart oversikt over resultatene for hver enkelt elev – og klassen samlet. De tilgjengelige rapport­ ene i Vokal egner seg godt som grunnlag for underveis-samtaler med elevene og deres foresatte.

10

LaererensBok-TusenMill-6.indb 10

29.06.15 10:55

Lærerrommet Hvert kapittel har et eget lærerrom med ressurser for digital tavle, blant annet stillbar analog/digital klokke, tallinje og samarbeidsoppgaver:

Velg mellom analog eller digital klokke – eller vis begge.

Tallinja kan stilles fra -100 til 100.

Til hvert kapittel er det utviklet samarbeidsoppgaver, Det lurer jeg på, som egner seg for drøfting og problemløsing:

Samarbeidsoppgavene egner seg for problemløsing i full klasse.

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 11

side 11

29.06.15 10:55

Lærerrommet inneholder også kopieringsoriginaler, kapittel- og halvårsprøver til grunnbøkene og de alternative grunnbøkene:

Felles problemløsing

Kapittelprøve

Tavlebøker Med tavlebøkene er det enkelt å bla fra side til side på interaktiv tavle eller stor skjerm i klasserommet. Nå kan hele klassen samles om tekstoppgavene og drøfte ulike løsningsmetoder. All dialog mellom barna i bøkene er spilt inn med lyd. ­Læreren kan også legge til egne lenker på sidene for å berike eller utdype lære­ stoffet. Tavlebøkene gir læreren mulighet til variert, morsom og opplevelsesrik undervisning!

Alle grunnbøkene fins som tavlebøker på nettstedet.

12

LaererensBok-TusenMill-6.indb 12

29.06.15 10:55

Grunnleggende ferdigheter Å kunne uttrykke seg muntlig

Vi har e­ gentlig bare ni tall.

Mener du siffer eller tall?

9 er i alle fall det største.

Nei, 11 er større.

Er 29 siffer eller tall?

Gjennom de innledende problemstillingene får elevene anledning til å snakke sammen om et problem og komme med sine forkunnskaper i møte med nytt lære­ stoff. Dette har flere hensikter. Det gir blant annet trening i argumentasjon og muligheten til å vurdere egne strategier opp mot andres.

I den daglige aktiviteten med matematikk, vil det ofte være elever som oppdager ulike sammenhenger og ønsker å kommentere dette. For eksempel kan en elev oppdage at han/hun hele tiden får et partall til svar når to oddetall legges sammen og kan lure på om det alltid er slik. Bruk slike anledninger til å være nysgjerrig sammen med elevene og send spørsmålene tilbake igjen med små ledesnorer. Gi elevene mulighet til selv å trekke slutningene.

Varier mellom å løse oppgavene i bøkene muntlig eller skriftlig. Elevene trenger erfaring i begge deler, og ofte er en kombinasjon det ideelle. Vektlegg i undervis­ ningen at muntlige og skriftlige løsningsmetoder er likeverdige.

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 13

side 13

29.06.15 10:55

Å kunne uttrykke seg skriftlig 8! Det vil jeg ha på ener­ plassen.

Jeg setter det på tierplassen.

Å kunne uttrykke seg skriftlig i matematikk kan både ha en formell og en uformell karakter. For eksempel, når vi skriver eller tegner for å klargjøre egne tanker og ideer, får skrivingen en uformell karakter fordi den ikke er ment for andre enn oss selv. Når vi skriver i den hensikt å formidle noe til andre, er det viktig med mot­ takerbevissthet. Kan andre forstå det jeg skriver nå? Har jeg forklart godt nok?

Er det nødvendig å lage en tydelig oversikt, eller kanskje en tegning, for å få fram det jeg mener?

Det formelle matematikkspråket må læres. Å kjenne formelle symboler og struktu­ rer er en viktig del av matematikken. Ved å arbeide med matematikk fra tidligere tider, vil elevene se at symboler og strukturer er noe som endres. Enda bedre er det om elever med ulik kulturbakgrunn kan fortelle om matematiske symboler som er anner­ledes enn de vi bruker i Norge. På denne måten erfarer elevene at enkelte matematiske symboler er bundet til ulike kulturer og tidsepoker. Dermed kan det være lettere å akseptere at formelle notasjoner er slik de er, fordi noen har blitt enige om at dette er en grei måte å skrive på.

Vi ønsker at elevene gjennom skriftlig aktivitet skal komme fram til effektive strate­ gier og algoritmer. For at de skal kunne utnytte disse på en god måte, er det nød­ vendig å forstå hvordan de fungerer. Dette fordrer at elevene får presentere sine skriftlige framgangsmåter for hverandre og at forskjellige løsningsmetoder blir veid mot hverandre.

14

LaererensBok-TusenMill-6.indb 14

29.06.15 10:55

Å kunne lese i matematikk Forklaringene i teorifeltene, oppgavene og opp­ summeringene gir trening i å lese matematikk.

Teorien bør leses i fellesskap og drøftes slik at tek­ sten blir meningsbærende for elevene. Det er denne kunnskapen de skal benytte når de løser oppgavene som følger etterpå. Under oppgaveløsingen må de analysere teksten og finne ut hva slags metoder de vil bruke for å løse oppgavene.

Tekstoppgavene setter matematikken inn i en kontekst. Det å kunne forstå ordene, hva som er viktige opplysninger i teksten og kunne bruke disse riktig i problem­ løsingen, er en viktig ferdighet.

Bruk også aktivt matematiske tekster som for eksempel tabeller og diagrammer fra aviser, Internett og andre kilder. La elevene forklare hva tekstene forteller.

På denne måten kan elevene lære seg å bli kritiske i forhold til informasjonen de benytter.

Å kunne regne i matematikk

Det overordnede målet er at elevene skal kunne løse matematiske problemer og bruke matematikk til utforsking og løsing av dagligdagse situasjoner. For å kunne ta del i kunnskapssamfunnet, og oppleve personlig utvikling, er det nødvendig både med spesifikke matematiske ferdigheter og ferdigheter knyttet til praktiske situasjoner.

Spesifikke matematiske ferdigheter kan være å forstå plassverdisystemet og kunne beherske ulike regneoperasjoner. Det er derfor viet god plass til trening av slike ferdigheter i Tusen millioner, blant annet gjennom repetisjonskapitlene.

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 15

side 15

29.06.15 10:55

Til det «å kunne regne i matematikk» hører også forståelse av regneoperasjonene.

Hvis vi for eksempel skal male veggene i et rom, hvordan kan vi finne ut hvor mye maling vi trenger? Da holder det ikke bare å vite hvordan vi kan utføre selve regne­ operasjonen, vi må først vite hvilken regneoperasjon vi skal bruke. Kanskje må vi bruke flere regneoperasjoner for å komme fram til en endelig løsning. Hvor skal vi begynne, og hva slags strategi skal vi bruke? Jo flere erfaringer elevene bygger på, jo bedre er de rustet til å løse nye utfordringer. Derfor legger vi opp til opp­ gaver der elevene får trening i bruk av ulike strategier. Elever som kun behersker få strategier, vil oppleve matematikk som vanskelig, og det får negative konsekvenser for selvfølelsen i faget. For eksempel kan det noen ganger i addisjon være lurest å fylle opp til nærmeste tier, mens det andre ganger er lurere å gå veien om dobbelt så mye. Det er tallene i regnestykket som bestemmer hvilken strategi det lønner seg å bruke: 29 + 4 = (29 + 1) + 3 = 33 12 + 14 = (12 + 12) + 2 = 26 For å kunne utnytte matematikk på en god måte i praktiske situasjoner, er det nødvendig å beherske overslagsregning og hoderegning. Vi anbefaler at disse ferdig­hetene øves kontinuerlig gjennom øvelser og oppgaver – for eksempel noen minutter i starten av hver time.

16

LaererensBok-TusenMill-6.indb 16

29.06.15 10:55

Å kunne bruke digitale verktøy i matematikk Vi lager en tabell på pc-en!

Nå har vi samlet inn opp­ lysninger om alle i gruppa vår!

Det er det samme som en database!

Kalkulatoren I Tusen millioner bruker vi kalkulatoren Texas TI 106 som eksempel. Vær opp­ merksom på at ikke alle kalkulatorer fungerer likt. Tren elevene i bruk av kalku­ lator. Kalkulatoren egner seg både til nøyaktig utregning og til å kontrollere om svaret på en utregning er rimelig ved overslag. Det kan være mer hensiktsmessig å lære elevene hvordan de kan bruke kalkulatoren til sammensatte regneoperasjoner enn å bruke uforholdsmessig mye tid på å mestre algoritmer med store tall. Her må læreren gjøre en avveining i forhold til elevenes evner, motivasjon og vilje til å lære. Vær oppmerksom på at de fleste enkle kalkulator ikke prioriterer rekkefølgen på regneoperasjonene. Det betyr at elevene enten må bruke minnet i kalkulatoren eller løse regneoperasjonene hver for seg i sammensatte uttrykk.

Regneark Regneark blir gjennomgått gjennom arbeid med tabeller, sortering av data og teg­ ning av diagram. I forbindelse med budsjett, og i arbeid med formler, bruker vi regnearket til å gjøre beregninger.

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 17

side 17

29.06.15 10:55

Faglig innhold I Kunnskapsløftet for barnetrinnet er det formulert kompetansemål etter 7. trinn i følgende fire hovedområder: • Tall og algebra • Geometri • Måling • Statistikk og sannsynlighet I Tusen millioner er kompetansemålene for 7. trinn brutt ned til delmål fordelt på 5., 6. og 7. trinn. Delmålene er ordnet i målark til hvert kapittel. Målarkene opp­ fyller til sammen kompetansemålene i Kunnskapsløftet etter endt 7. trinn.

Tall og algebra Arbeid med plassverdisystemet blir vektlagt for oppnåelse av god tallforståelse.

Elevene skal kunne plassere naturlige tall, negative tall, desimaltall og brøk på tal­ linja og kunne utføre addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon med heltall og desimaltall. De skal kunne velge hensiktsmessige strategier i hoderegning, gjøre overslag og utføre utregninger ved hjelp av kalkulatoren. Brøkregning skal kunne utføres knyttet til addisjon, subtraksjon og multiplikasjon. Elevene skal kunne stille opp og løse enkle likninger og regne med parenteser. Regneark utnyttes til å utføre enkle beregninger og elevene gjøres kjent med notasjonene som nyttes.

Gjennom utforsking av tallfølger og hoderegningsstrategier, legges det til rette for prealgebra og begynnende generalisering.

Vektlagte emner på 6. trinn • • • • • •

arbeid med brøk og desimaltallforsåelse regning med brøk og desimaltall arbeid med prosentbegrepet videre arbeid med multiplikasjon og divisjon arbeid med hoderegning arbeid med avrunding

Geometri Her legges det vekt på analyse av egenskaper for to- og tredimensjonale figurer.

Dette settes i sammenheng med teknologi og design som er et tverrfaglig emne mellom naturfag, kunst- og håndverk og matematikk. Elevene gjøres kjent med bygging og tegning av tredimensjonale modeller og perspektivtegning med ett forsvinningspunkt. I speiling, parallellforskyving og rotasjon legges det vekt på beskrivelse og gjennomføring knyttet til estetisk dimensjon. Elevene skal kunne bruke koordinater til å beskrive plassering og bevegelse i et koordinatsystem – på papir og digitalt.

Vektlagte emner på 5. trinn • • • •

Analyse av egenskaper til to- og tredimensjonale figurer Beskrivelse av fysiske gjenstander fra dagliglivet ved hjelp av geometriske figurer Bygging av tredimensjonale modeller og perspektivtegning ved hjelp av prikkark Arbeid med speiling og forberedelse til begrepet parallellforskyving

18

LaererensBok-TusenMill-6.indb 18

29.06.15 10:55

Måling Elevene møter måling som en aktivitet der de bruker både standardiserte og ikkestandardiserte måleenheter. Måling som idé vises ved gjentakelse av en enhet for utfylling av det vi skal måle. Elevene skal fortsatt arbeide med lengde, areal, volum, masse, vinkelbegrep og tid. Inn under måling hører også arbeid med målestokk og regning med fart og valuta. Elevene skal bygge opp forståelse av hva en enhet er.

Dette gjøres ved å lage egne måleenheter og anvende standardiserte måleenheter.

Med i denne prosessen er også benevning.

Vektlagte emner på 6. trinn • anvendelse av de mest brukte målenhetene • arbeid med målestokk, arbeidstegninger og kart • utregning av tid, areal og volum

Statistikk og sannsynlighet Elevene skal samle inn og ordne data ved hjelp av tabeller og enkle diagrammer manuelt. Det vektlegges å kunne behandle tabeller og diagrammer digitalt. Elevene skal framstille, lese, tolke og vurdere nytten av de ulike representasjonsformene, finne sentralmål som median, typetall og gjennomsnitt og vurdere disse i forhold til hverandre. Sjanse og sannsynlighet blir knyttet til dagligdagse og enkle situasjoner.

Vektlagte emner på 6. trinn • presentasjon av data ved bruk av tabeller og diagrammer • behandle data digitalt • vurdere sentralmålene i forhold til hverandre

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 19

side 19

29.06.15 10:55

Matematisk kompetanse I Tusen millioner er følgende momenter spesielt vektlagt i forhold til å utvikle matematisk kompetanse: • faktakunnskaper • ferdigheter • solide begreper • holdninger

Faktakunnskaper Under faktakunnskaper kommer definisjoner som er funnet hensiktsmessige i mate­ matikk. Et eksempel er at 10 000 m er definert som 1 mil.

De mange notasjonene vi har i matematikk, er faktakunnskap. Det er skrivemåter vi har blitt enige om, og som ikke er selvsagte. Noen av disse er ofte problematiske for elever å få tak på.

Eksempel 6

1 1 betyr 6 + 3 3

mens

6a betyr 6 · a

Dette er faktakunnskap som på ingen måte er lett å lære for elevene. Det må huskes og er ikke logisk. For læreren derimot, er faktakunnskap relativt enkelt å undervise om. Det handler om å overlevere formell kunnskap.

Ferdigheter Ferdigheter i matematikk er prosedyrer elevene skal lære seg. Det er viktig med gode ferdigheter for å kunne anvende matematikk i praktiske og dagligdagse situa­ sjoner. For eksempel er det viktig å beherske algoritmeregning.

Solide begreper Det karakteristiske ved matematiske begreper er at de aldri eksisterer isolert, men i et «nettverk». Vi kaller dette for begrepsstrukturer. Hvis for eksempel eleven kan regne ut arealet av en trekant, kan kunnskapen overføres til en uregelmessig figur ved å dele denne i trekanter.

Strategier Strategier er evnen til å velge hensiktsmessige ferdigheter når et matematisk prob­ lem skal løses. En framgangsmåte kan være: 1. Beskrive problemet 2. Forstå problemet – har jeg møtt lignende problem før?

3. Legge en plan 4. Gjennomføre planen 5. Vurdere løsningen og eventuelt legge en ny plan Elevene bør oppmuntres til å finne egne strategier. Tegning er ofte et godt hjelpe­ middel. Gjennom diskusjon og samtaler utvikler elevene begrepsapparatet sitt, og lærer nye strategier av hverandre.

20

LaererensBok-TusenMill-6.indb 20

29.06.15 10:55

Holdninger Lærerens syn på hva matematikk er vil være med å bestemme hvordan det under­ vises i faget. På samme måte vil elevens syn på hva matematikk er være med på å bestemme hvordan eleven møter lærestoffet.

En forklarende undervisning der vekten legges på eksempler, regler og metoder fører til at læreren blir en formidler av fakta og ferdigheter. Eleven blir lett en pas­ siv mottaker og dette kan vanskeliggjøre god begrepsdannelse.

Lærerens primære oppgave blir å legge til rette for praktisk arbeid, refleksjon og diskusjon. Dette har vi lagt vekt på i Tusen millioner gjennom innledende pro­ blemstillinger til hvert nye emne, oppgaver til felles problemløsing og samarbeids­ oppgaver.

Elevene må få problemstillinger knyttet til egne interesser slik at de opplever reell nytte av matematikken, ellers vil de kunne miste interessen for faget tidlig. Med tanke på videre læring, er det å bygge opp en positiv holdning til matematikk på dette nivået viktigere enn at alt blir formelt riktig.

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 21

side 21

29.06.15 10:55

Diagnostisk undervisning Misoppfatninger I matematikken ser vi fra tid til annen at elever har dannet misoppfatninger, og at de støtter seg til delvise begreper. Misoppfatning er feil tenkning knyttet til et begrep. Et eksempel er at elevene ofte først møter desimaltenkningen i forbindelse med måling. De kan for eksempel ha hele antall meter på den ene siden av desi­ maltegnet og hele antall centimeter på den andre siden. De oppfatter derfor lett desimaltall som to adskilte hele tall med komma mellom. Når elever så kommer til oppgaver som for eksempel 24,12 : 3 fungerer ikke denne tenkningen lenger.

Mange vil da si at svaret er 8,4 fordi 24 : 3 = 8 og 12 : 3 = 4.

Den samme misoppfatningen ser vi hos elever i forbindelse med penger. De tenker helt antall kroner på den ene siden av komma og helt antall øre på den andre siden.

Delvise begreper Hvis elevene for eksempel bare opplever multiplikasjon som gjentatt addisjon med like store addender, vil de utvikle en snever tankemodell for hva multiplikasjon er.

De har da et delvis begrep om multiplikasjon, og får blant annet problemer med oppgaver av typen 0,3 · 0,7. De vil lett svare 2,1 fordi erfaringene med like store addender tilsier at svaret alltid blir større ved multiplikasjon.

Tilsvarende ser vi at mange får problemer med delvise begreper i divisjon. Tradisjo­ nelt har delingsdivisjon vært mest vektlagt i skolen, noe som har ført til problemer med å forstå målingsdivisjon. Dette viser seg ved at elevene ikke klarer å knytte praktiske situasjoner til regneuttrykk av typen: 9 : 0,6 Eksempel En planke på 9 meter skal deles i lengder på 0,6 meter. Hvor mange lengder på 0,6 meter blir det?

Hvis elevene tenker på deling som «noe som skal deles likt eller rettferdig», blir regnestykket 9 : 0,6 uten mening.

I Tusen millioner vil elevene møte oppgaver og problemstillinger som skaper ­bevisstgjøring omkring misoppfatningene.

22

LaererensBok-TusenMill-6.indb 22

29.06.15 10:55

Matematikk på elevenes språk For å kunne kommunisere matematikk er vi nødt til å beherske matematikkens egen terminologi. Utgangspunktet bør likevel være elevenes dagligspråk. Først når elevene opplever at det er mer rasjonelt og viktig for forståelsen å bruke nye og andre begreper, er de modne for å overta det formelle matematiske språket.

Vi kan kommunisere matematikk muntlig, skriftlig eller visuelt. Å kommunisere matematikk omfatter også det å forklare matematikk ved bruk av hverdagsspråk.

Det er dette språket elevene kjenner som sitt eget, ­– det erfaringsnære språket de kan bruke uten å være avhengig av oversettelse for å forstå hva det snakkes om.

I mange tilfelle er det hensiktsmessig å la elevene forklare hva de mener ved hjelp av konkreter eller ved at de tegner på papir eller tavla. Å tegne oppgaver vi ikke umiddelbart ser løsningen på, er en nyttig løsningstrategi . Ofte gir dette god for­ ståelse av problemet og kan være til hjelp også i selve problemløsingen.

Språket i Tusen millioner Det matematiske språket er presist og entydig. For tidlig bruk av mange og vanske­ lige faguttrykk kan skape barrierer for innlæring og forståelse i matematikk. Vi har derfor i Tusen millioner lagt vekt på å bruke et språk som er matematisk presist, men som også skal være lett tilgjengelig for elevene. Gjennom mange illustrasjoner av barn og snakkebobler med deres utsagn, ønsker vi at elevene skal oppleve større nærhet til lærestoffet og at dialogene skal fremme diskusjon og samtale omkring matematiske problemstillinger.

Arbeidsmåter I Kunnskapsløftet blir det framhevet at matematikkinnlæringen må veksle mellom utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening, og at eleven må få arbeide både praktisk og teoretisk med faget. Derfor legger vi i Tusen millioner vekt på: • å arbeide praktisk og få konkrete erfaringer • å undersøke og utforske sammenhenger • å samtale om matematikk og formulere resultater og løsninger skriftlig og muntlig • å arbeide med faktakunnskaper og ferdigheter • å resonnere, begrunne og trekke slutninger

Felles problemløsing Oppgavene fins på nettstedet som kopieringsoriginaler. Det er fem til seks kort på hvert ark. Elevene deles inn i grupper på fire til fem elever og alle i gruppa får hvert sitt kort (en elev kan gjerne ha to kort). Hver elev holder sitt kort foran seg og skal gi opplysningen på kortet muntlig til de andre. På hvert av kortene står spørsmålet som skal løses, samt en opplysning til løsning av oppgaven. For å løse oppgaven må alle opplysningene fram. Det er som regel nødvendig at en av elevene skriver eller tegner underveis i oppgaveløsingen for at alle skal kunne ha oversikt. Dette bør understrekes for elevene før de begynner. Gjennom denne aktiviteten blir alle elevene aktivisert på en jevnbyrdig måte, uavhengig av kompetansenivå.

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 23

side 23

29.06.15 10:55

Det lurer jeg på På nettstedet er det samlet en rekke oppgaver som er knyttet til undring og problem­ løsing. Det kan for eksempel gis én oppgave per uke, og oppgavene kan skrives ut og henges opp på veggen. Elevene kan løse oppgavene på egen hånd, eller sam­ arbeide med andre og gjerne engasjere slekt og venner. Drøft forslag til løsninger høyt i klassen, og la elevene komme fram og presentere løsningsforslagene sine muntlig eller skriftlig.

Vurdering Den fortløpende vurderingen bør skje i nær kontakt med elevene gjennom dialog, oppgaveløsing og aktiviteter. På denne måten får læreren best innsikt om hvordan elevene lærer. Ved bevisst bruk av språk og samtale i matematikkundervisningen, vil læreren bli i stand til å forstå og kunne hjelpe den enkelte elev på best mulig måte. All vurdering må gjennomføres med varsomhet og være oppbyggende i for­ men. Hensikten med vurderingen er å kunne avdekke og hjelpe elevene med det de ikke har forstått.

Ta vare på de gode svarene!

Gode svar kan være at elevene viser forståelse i måten de løser problemer på, det kan være løsningsmåter og oppstillinger som de har funnet fram til på egen hånd, eller at de plutselig får til noe som de ikke har fått til tidligere. Kanskje har de teg­ net oppgavene, på ulike måter konkretisert problemstillingene eller kommet med refleksjoner underveis som viser at de tenker selv og er aktive i løsningsprosessene.

For læreren handler det om å gi positive tilbakemeldinger i slike situasjoner, slik at elevene kjenner glede ved å få noe til. Å rette alle feilene i en kladdebok har begrenset effekt for at elevene skal bli bedre i matematikk. En bedre løsning kan være å samle inn kladdebøkene og lete etter et godt svar eller en god løsning fra hver elev og kopiere disse på et ark. Samtal om de enkelte løsningene og la elevene fundere over hvorfor akkurat disse løsningene ble valgt. Etterhvert kan elevene selv være med å velge ut stykker de er ekstra fornøyd med, som de vil ha med på arket. Dette trekker elevene mer aktivt inn i vurderingsprosessen, og vil gjøre dem mer bevisst på hva de gjør bra i stedet for kun å fokusere på feil og det de ikke kan. Samtidig er det viktig å følge opp elev­ enes arbeid både på skolen og hjemme – og gi kontinuerlig respons på arbeidet de gjør.

24

LaererensBok-TusenMill-6.indb 24

29.06.15 10:55

Bruk de gale svarene Når elever skal snakke om matematiske begreper og sammenlikne løsninger og strategier, er det ofte at de gale svarene gir gode diskusjoner og fører til ny læring.

Hvis en elev som har kommet fram til feil løsning på et problem, får mulighet til å begrunne svaret sitt i stedet for å bli avvist med at svaret er feil, vil det bli lettere å finne ut hvor feiltenkningen har oppstått. Ofte vil elevene selv oppdage feilen under­ veis i forklaringen sin, og dermed få ny innsikt. Vanligvis er det flere elever i en klasse som har samme feiltype, og en gjennomgang av problemet på denne måten vil kunne hjelpe flere elever samtidig.

Logg Å skrive logg kan være et godt hjelpemiddel til vurdering av prosesser og forståelse.

Elevene kan skrive hva som er lett forståelig, hva som er vanskelig, hva de tenker rundt et matematisk problem, hvordan gruppa fungerer i et prosjektarbeid osv.

Målark Det er utarbeidet målark til hvert kapittel i grunnbøkene. Målarkene beskriver delmål på vei til Kunnskapsløftets kompetansemål for 7. trinn. Læreren kan bruke målarkene som støtte til samtaler og som hjelp til å tydeliggjøre målene elevene arbeider etter. Målarkene er også lagt ut på nettstedet til Tusen millioner slik at læreren kan tilpasse dem til lokale læreplaner og ta utskrift.

Det kan være vanskelig å finne ut om et mål er nådd fordi det ofte avhenger av flere kriterier og forståelse på flere plan. En rettesnor kan være å tenke i tre faser: 1. Eleven skal ha hørt om emnet/ferdigheten 2. Eleven skal kunne forklare hva emnet/ferdigheten handler om eller brukes til 3. Eleven skal kunne utnytte kunnskapen om emnet eller utøve ferdigheten i en gitt situasjon

Skriftlig vurdering I Tusen millioner er det lagt opp til skriftlig vurdering etter hvert kapittel (kapittel­ prøver) og etter hver grunnbok (halvårsprøve og helårsprøve). Alle prøvene fins på nettstedet som pdf-filer for utskrift. Her fins også enklere prøver for utfylling, som føl­ ger de alternative grunnbøkene. I grunnbøkene er det i tillegg en liten test, «Kan jeg?» etter hvert kapittel. Denne testen kan brukes som utgangspunkt for differensiering.

Kapittelkartlegging De digitale kapittelprøvene følger delmålene på målarkene. Når elevene har gjen­ nomført prøven, får de en rapport som forteller om mestringsnivået i forhold til hvert delmål. De får også forslag til videre arbeid på grunnlag av besvarelsen.

Kartlegging Vokal Når læreren har tildelt halvårs- eller helårsprøven på Vokal til elevene sine, kan elev­ ene åpne prøven fra nettstedet til Tusen millioner. Prøvene er knyttet til konkrete delmål og gir læreren oversikt over elevenes mestringsnivå før eller etter hvert halvår.

Læreren trenger ikke rette prøvene, men får umiddelbart oversikt over ­resultatet til hver enkelt elev – og klassen samlet. De tilgjengelige rapportene i Vokal egner seg godt som grunnlag for underveissamtaler med elevene og deres foresatte.

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 25

side 25

29.06.15 10:55

1 God start Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 4. trinn kunne • beskrive og bruke plassverdisystemet for de hele tallene, bruke positive og negative hele tall, enkle brøker og desimaltall i praktiske sammenhenger og uttrykke tallstørrelser på varierte måter • utvikle, bruke og samtale om ulike regnemetoder for addisjon og subtraksjon av flersifrete tall både i hodet og på papiret • utvikle og bruke varierte metoder for multiplikasjon og divisjon, bruke dem i praktiske situasjoner og bruke den lille multiplikasjonstabellen i hoderegning og oppgaveløsing Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne • beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltall, regne med positive og negative heltall, desimaltall, brøker og prosent og plassere dem på tallinja • utvikle, bruke og diskutere metoder for hoderegning, overslagsregning og skriftlig ­regning og bruke digitale verktøy i beregninger Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet • vite forskjellen mellom tall og siffer • kunne plassere desimaltall på tallinje • kunne plassere desimaltall i rekkefølge etter størrelse • kunne vise kunnskap om plassverdisystemet for hele tall og desimaltall • kunne bruke de fire regningsartene Kapittel 1 gir en repetisjon av viktige begreper fra 4. og 5. trinn.

Kopieringsoriginaler på tusenmillioner.cdu.no Arbeidsark 1.1 Multiplikasjonstabellen

26

LaererensBok-TusenMill-6.indb 26

29.06.15 10:55

Veiledning til kapittel 1 Innledende aktivitet Arbeid med kortstokk Pass på å skille mellom begrepene tall og siffer. Gjennom dette spillet får ­elevene tydeliggjort forskjellen mellom tall og siffer samtidig som de får trening i å ­vurdere og sammenlikne tallverdien til forskjellige desimaltall.

Del elevene inn i grupper på to til fire. Hver gruppe får en kortstokk. Et ess ­representerer sifferet 1, og en joker representerer sifferet 0 (skriv gjerne 0 på ­kortet ved siden av jokeren). Før spillet starter, tas alle 10-erne, kongene, damene og knektene ut av kortstokken. Kortene legges i en bunke med baksiden opp.

Alternativ 1 Hver elev har et ark foran seg der det er satt av plass til enere og to desimaler etter desimaltegnet:

,

I første runde trekker elevene ett kort hver. De må da bestemme seg for hvor de velger å plassere kortet. De får ikke ombestemme seg. Slik fortsetter andre og ­tredje runde til de tre plassene er fylt ut. Hvem får det høyeste tallet?

Det går an å utvide spillet ved å spørre etter differansen mellom det høyeste og det laveste tallet og ved å se hvem som fikk den høyeste differansen i løpet av for eksempel fem omganger.

Alternativ 2 Øk til tre siffer etter desimaltegnet. Elevene skriver nå en 0 på enerplassen.

Målet er å få et så lavt tall som mulig. Trekk kort i tre omganger til alle plassene er fylt ut.

Alternativ 3 Nå skal også enerplassen stå åpen. Målet er å komme nærmest 50 etter flere omganger­. Legg sammen tallene etter hver omgang. Hver spiller velger selv når det er best å stoppe å legge til flere tall. La elevene bruke kalkulator etter behov.

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 27

side 27

29.06.15 10:55

Side 6

Oppgave 1 Mange elever blander sammen begrepene siffer og tall. I hverdagsspråket bruker vi ofte tall om både tall og siffer. I matematikken har vi behov for et mer eksakt språk, og det vil derfor lette kommunikasjonen (vi trenger færre ord for å forklare) ­dersom vi lærer å bruke disse begrepene riktig.

Bevisstgjør elevene på at vi har ti enkeltsifre, og at det er posisjonen sifrene står i, som bestemmer hvor stort tallet er.

Sammenhengen mellom hvordan vi sier store tall og hvordan vi skriver tallene, kan være vanskelig å forstå for enkelte elever. I oppgave 1 vil noen kunne skrive 901000400302 i stedet for 90432. Da er det viktig å arbeide med plassverdi­ systemet slik at elevene forstår hvordan sifrene får verdi etter hvilken plass de står på i tallet.

Oppgave 2 Elevene trenger trening i å beskrive plassverdisystemet. Gjør dem oppmerksom på at det ikke alltid har vært selvsagt med plassverdisystem. Blant annet hadde ­egypterne egne symboler for 1, 10, 100, 1000 osv., slik at plassen sifferet sto på, ikke hadde betydning for hvordan tallet ble uttalt.

323 ville sett slik ut:

Tre streker, to hæljern og tre tauruller blir 323 uansett i hvilken rekkefølge ­sym­bolene plasseres. Det kan være lett å forstå tall som er skrevet slik, men det er en tungvinn måte å skrive tallene på.

I det romerske tallsystemet hadde derimot symbolene faste plasser, men på en helt annen måte enn i plassverdisystemet vi bruker i dag. Vi kjenner fremdeles romer­ tallene fra for eksempel klokker og inskripsjoner på byggverk. Å trekke inn andre tallsystemer kan gjøre det lettere for elevene å forstå hva som er spesielt med plassverdisystemet, og dermed også å kunne beskrive dette.

Oppgave 3 Tall har mange bruksområder, blant annet identifikasjon. Vi bruker tall til å identi­ fisere hvor vi bor, når vi er født, og i personnummer. Drøft gjerne betydningen av personnummer og at dette er hver enkelts egen eiendom. Nummeret kan ikke overføres til andre personer da det kan medføre misbruk.

Oppgave 4 Her tydeliggjøres forskjellen mellom tall, og siffer og vi ser hvilken betydning plasseringen av sifrene har for verdien av tallet.

28

28 LaererensBok-TusenMill-6.indb 28

29.06.15 10:55

Side 7

Oppgave 5 Vi arbeider videre med tall og siffer. Gjør elevene oppmerksom på når vi bruker ­desimaltegn (komma), og når vi bruker punktum (dato og klokkeslett).

Oppgave 6–9 Øvingsoppgaver der elevene arbeider med hele tall og plassverdisystemet. Hvor mange hundrere står det for eksempel på hundrerplassen i tallet 243?

Side 8

Oppgave 10 Vi repeterer desimaltall og plassverdi. Vis elevene at 1 er en tidel av 10, og at én tidel er en tidel av 1.

Dette kan vises ved hjelp av en snor der hele snoren er 10. Når vi deler snoren i 10, får vi ti enere. Deler vi så en av enerne i ti, får vi ti tideler. Hvis vi for eksempel skal vise 4,8, må vi passe på at tidelene kommer etter desimaltegnet når vi skriver tallet.

Oppgave 11 Dette er en diagnostisk oppgave som viser om elevene forstår at det ikke er antall desimaler som bestemmer verdien til et tall. Forstår elevene at de må se på den ­plassen som har størst verdi, her tidelsplassen?

Oppgave 12 Øving i å finne tidelsplassen i desimaltall med ulikt antall desimaler

Oppgave 13–14 Videre arbeid med plassverdisystemet og desimaltall

Side 9

Oppgave 15–18 Oppgavene gir elevene trening i å plassere desimaltall på tallinja.

Oppgave 19 Det kan være vanskelig å forstå forskjellen på tideler og hundredeler. Bruk gjerne et målebånd (1 m) som viser en hundrer som er delt opp i hundre deler. Vis at én tidel av en meter er det samme som ti hundredeler, og at for eksempel 0,12 består av én tidel og to hundredeler.

En vanlig feiloppfatning er å tro at et desimaltall består av to tall, ett foran og ett bak desimaltegnet. Talespråket vårt støtter også opp om en slik feiltenking. For eksempel er det lett å tenke at 4,82 er større enn 4,9 fordi vi gjerne sier fire komma åttito og fire komma ni.

Oppgave 20 Elever som tenker at desimaltall er sammensatt av to hele tall, vil kunne oppleve 0,60 som større enn 0,6. La gjerne elevene skrive tallene i rekkefølge fra minst til størst slik at de lettere kan oppdage at 0,60 er lik 0,6.

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 29

side 29

29.06.15 10:55

Side 10

Oppgave 21 Vær oppmerksom på vekslingen vi får når vi legger 4 hele eller 6 tideler til tallet på tavla.

Oppgave 22 Hvor mange hundredeler er det på hundredelsplassen?

Oppgave 23–26 Vi plasserer desimaltall med hundredeler på tallinja.

Side 11

Oppgave 27–28 I oppgave 28 kan mange svar være riktige, men for de fleste vil det være mest ­aktuelt å bruke svar med to desimaler.

Oppgave 29 Når vi har tre desimaler bak desimaltegnet, får vi tusendeler. Vis gjerne en tusen­ kloss, og la denne representere 1. Tusenklossen består av 10 · 10 · 10 mindre klosser.

Vi kan også konkretisere tusendeler ved bruk av vekt og kilogram, for eksempel 1,255 kg. Også når det gjelder tusendeler, er det viktig at elevene ikke oppfatter ­desimaltallene som par av to andre tall (her kilogram og gram). La det komme klart fram at et gram er en tusendel av et kilogram.

Oppgave 30 Bevisstgjør elevene på forskjellen mellom siffer og desimaler.

Side 12

Oppgave 31 Hvordan kan vi avgjøre om ett desimaltall er større enn et annet? Er det antall ­desimaler som betyr noe, eller hvilket siffer som står på plassen med høyest verdi (her tidelsplassen)?

Oppgave 32 Hvilket siffer står på tusendelsplassen?

Oppgave 33–35 Vi arbeider videre med tusendeler.

Oppgave 36 Ved å dele opp desimaltall i hele, tideler og hundredeler blir elevene kjent med hvordan desimaltall er bygd opp. Hvordan skriver vi for eksempel seks hundre­ deler med desimaler?

30

30 LaererensBok-TusenMill-6.indb 30

29.06.15 10:55

Oppgave 37 Trening i å skrive desimaltall med siffer

Side 13

Oppgave 38–39 Elevene skal lære å se sammenhengen mellom desimaltall og brøk.

Oppgave 40 Vi arbeider med desimaltall på tallinja.

Oppgave 41 Repeter addisjon med hele tall før dere begynner å arbeide med addisjon med ­desimaltall.

Side 14

Oppgave 42–46 Oppgavene gir trening i ulike regneoperasjoner med hele tall og desimaltall. I tekststykkene må elevene vurdere hvilke regneoperasjoner de skal bruke. Oppgave 45 og 46 kan by på utfordringer selv om det er relativt greie tall å regne med.

Side 15

Oppgave 47–50 Oppgavene gir øving i subtraksjon med både hele tall og desimaltall. Når vi ­arbeider med oppstilling i subtraksjon, er det viktig at elevene er oppmerksom på de ulike plassverdiene.

Oppgave 51 Oppgavene gir trening i veksling når vi regner med desimaltall. Elevene må selv velge riktig regneoperasjon.

Side 16

Oppgave 52–58 Vi repeterer multiplikasjon, men bruker også flere regneoperasjoner. I oppgave 55 lager elevene regnefortellinger.

Side 17

Oppgave 59–60 Trening i å velge riktig regneoperasjon

Oppgave 61–65 Repetisjon av multiplikasjon og enkel divisjon

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 31

side 31

29.06.15 10:55

Videre arbeid på tusenmillioner.cdu.no Regneplaneten Til hvert kapittel velger elevene om de vil arbeide med øvingsoppgaver i Regn med meg! eller Matellittspillet. Når de gjennomfører kapittelkartleggeren Kan jeg? får de en rapport som viser måloppnåelsen til kapitlet. Kapittelkartleggeren kan gjennom­føres så mange ganger elevene selv ønsker.

Maxfri I Maxfri velger elevene emner selv og arbeider så langt de klarer i forhold til egne ferdigheter. Disse emnene passer til kapittel 1: • Naturlige tall • Desimaltall • Addisjon • Subtraksjon • Multiplikasjon • Divisjon

32

32 LaererensBok-TusenMill-6.indb 32

29.06.15 10:55

2

2 110= 1,2

Brøk og desimaltall Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 4. trinn kunne • beskrive og bruke plassverdisystemet for de hele tallene, bruke positive og negative hele tall, enkle brøker og desimaltall i praktiske sammenhenger og uttrykke tallstørrelser på varierte måter Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne • beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltall, regne med positive og negative hele tall, brøk og prosent og plassere de ulike størrelsene på tallinja • finne fellesnevner og utføre addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av brøker Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet • • • • • •

kjenne begrepet likeverdige brøker kunne utføre addisjon og subtraksjon av brøker med like nevnere kjenne begrepene uekte og blandet tall kunne utvide en brøk kunne addere og subtrahere brøker med ulike nevnere kunne se sammenhengen mellom brøk og desimaltall

Kopieringsoriginaler på tusenmillioner.cdu.no Arbeidsark 2.1 Domino (likeverdige brøker) Arbeidsark 2.2 Fire på rad (brøk) Arbeidsark 2.3 Felles problemløsing Arbeidsark 2.4 Hundrenett Målark kapittel 2 Kapittelprøve 2

33

LaererensBok-TusenMill-6.indb 33

TUSEN MILLIONER 6

side 33

29.06.15 10:55

Veiledning til kapittel 2 Innledende aktivitet Vi lager brøkdeler La elevene arbeide i grupper. Skjær ut seks lengder som hver er 60 cm i papp.

Del så opp lengdene slik som vist nedenfor. Bruk gjerne ulike farger på de ulike brøkdelene. Materiellet kan brukes som støtte til oppgavene i kapitlet.

1 – 1

1 1 – – 2 2

1 1 1 – – – 3 3 3

1 1 1 1

– – – –

4 4 4 4

1 1 1 1 1

– – – – –

5 5 5 5 5

1 1 1 1 1 1 – – – – – – 6 6 6 6 6 6 Ved å bruke tabellfunksjonen i Word, er det enkelt å lage en tilsvarende fram­ stilling. Velg én kolonne og seks rader. Merk så hver enkelt rad, og del inn i fra én til seks deler.

?

Side 20

Likeverdige brøker Julies pizza er delt i åtte deler, og Jons pizza i seks deler. Julie har spist fire biter, og Jon har spist tre biter, men begge har spist like mye. La elevene forklare

4 3 hvordan – kan være det samme som – .

8 6

Teori Ved å tegne opp to sirkler på tavla og dele dem i henholdsvis åtte og seks deler,

ser elevene tydelig at 8 – er det samme som 6 – . Hvis vi nå fargelegger halvparten

8 6

4 er det samme som 3 av hver s­ irkel, ser vi at – – . Når vi skal sammenlikne brøker,

8 6 må vi altså vite både hvor mange deler vi har for hver brøk, og hvor mange deler helheten er delt inn.

Side 21

Oppgave 1–3 Elevene teller brøkdeler og finner ut hvor stor brøkdel de har av en helhet.

Side 22

Oppgave 4–7 Vi arbeider med likeverdige brøker. Oppfordre elevene til å tegne figurer for å kunne sammenlikne brøkene.

34

34 LaererensBok-TusenMill-6.indb 34

29.06.15 10:55

?

Side 23

Addisjon og subtraksjon av brøker med like nevnere Drøft med elevene hvordan vi kan addere to brøker med like nevnere.

Teori

1 4 – + – = – .

Gjør elevene oppmerksom på at nevneren blir Figuren viser tydelig at 3

5 5 5 stående når vi adderer eller subtraherer to brøker med like nevnere.

Side 24

Oppgave 8–10 Vi øver på addisjon med brøk med støtte i figurer.

Side 25

Oppgave 11–14 Vi øver på addisjon og subtraksjon av brøker med like nevnere.

Oppgave 15 La elevene oppdage at en brøk som har samme tall i teller og nevner, er det samme som en hel.

1 2 3 4 – = – = – = – og så videre = 1 1 2 3 4

?

Side 26

Uekte brøk og blandet tall Hvis vi fyller 5 av bøtta med vann, vil vannet renne over fordi 5 er mer enn 4 4 en hel. Men både 4 og 5 vil si å fylle bøtta akkurat full. Tegn gjerne opp to 4 4 sirkler på tavla, og del begge inn i fire deler. Fargelegg så fem av disse delene.

Nå ser elevene at 5 er mer enn en hel.

4

Teori Oppstillingen viser forskjellen på ekte brøk, uekte brøk og blandet tall. I en ekte brøk er telleren mindre enn nevneren, og i en uekte brøk er telleren større enn nevneren. Et blandet tall består av et helt tall og en brøk. En brøk som er større enn 1, kan skrives både som en uekte brøk og som et blandet tall.

Vi kan gjøre om en uekte brøk til blandet tall ved å se hvor mange hele vi har i tillegg til antall brøkdeler.

8=3+3+2=22 3 3 3 3 3

3 3

3 3

2 3

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 35

side 35

29.06.15 10:55

Side 27

Oppgave 16–17 Elevene avgjør om brøkene er ekte eller uekte.

Side 28

Oppgave 18–24 Vi gjør om fra uekte brøk til blandet tall og motsatt.

?

Side 29

Utviding av brøker Når Simen og Kaja skal finne ut hvilken flaske som rommer mest, er det lurt å gjøre om brøkene slik at de får lik nevner. Vi sier at vi utvider brøkene til lik ­nevner.

1 1 · 3 3 – = –––– = – 2 2 · 3 6 1 1 · 2 2 – = –––– = – 3 3 · 2 6 3 2 1 1 – er større enn – . Da er – større enn – .

6 6 2 3

Teori Det er viktig å tegne opp figurer på tavla eller bruke konkreter når elevene skal lære å utvide brøker. Da ser de lettere hvordan en helhet kan beskrives med ulike brøker.

Side 30

1 – 3

1 – 2

2 – 6

3 – 6

Oppgave 25–29 Oppgavene gir trening i å utvide brøker, både ved tegning og ved regning. Vær oppmerksom på elever som ikke behersker multiplikasjonstabellen, og la dem få ­anvende hjelpemidler.

36

36 LaererensBok-TusenMill-6.indb 36

29.06.15 10:55

?

Side 31

Addisjon og subtraksjon av brøker med ulike nevnere Hvis vi skal addere eller subtrahere brøker med ulike nevnere, må vi først utvide brøkene slik at de får lik nevner. Drøft med elevene hva som er den minste felles

1 1 nevneren for brøkene – og – .

2 3

Teori

1 1 6. Da må vi utvide begge brøkene Den minste felles nevneren for – og – er

2 3 til seksdeler: 1 1 1 · 3 1 · 2 3 2 5 – + – = –––– + –––– = – + – = – 2 3 2 · 3 3 · 2 6 6 6

Side 32

Oppgave 30–33 Oppgavene gir trening i addisjon av brøker med ulike nevnere.

Oppgave 34 Drøft med elevene hvorfor det noen ganger er tilstrekkelig å utvide bare én av ­brøkene, når vi adderer eller subtraherer brøker med ulike nevnere.

Oppgave 35 Bevisstgjør elevene på at helheten her er 12 kr. For å kunne utvikle god forståelse for brøk, er det nødvendig å kunne definere fra situasjon til situasjon hva som er helheten.

Side 33

Oppgave 36–37 Tekstoppgaver med addisjon og subtraksjon av brøker med ulike nevnere.

Oppgave 38–40 Vi arbeider videre med addisjon og subtraksjon av brøker med ulike nevnere.

?

Side 34

Sammenhengen mellom brøk og desimaltall For å kunne sammenlikne en brøk og et desimaltall, må vi kunne gjøre om ­mellom de to måtene å skrive et tall på. I neste kapittel skal vi også innføre begrepet prosent, og da er det viktig å forstå denne sammenhengen. Drøft med elevene hvordan vi kan sammenlikne tallene i eksempelet.

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 37

side 37

29.06.15 10:55

Teori Å gjøre om fra desimaltall til brøk

Når vi skal gjøre om fra brøk til desimaltall, skriver vi tallet som en brøk med tideler, hundredeler, tusendeler osv. Så forkorter vi brøken hvis det er mulig.

Eksempel

2 0,2 = –– 10

To tideler

Å gjøre om fra brøk til desimaltall

Når vi skal gjøre om fra desimaltall til brøk, dividerer vi telleren med nevneren.

Eksempel 1 – = 1 : 2 = 0,5 2

Side 35

Oppgave 41 Vi arbeider med desimaltall og plassering på tallinja.

Side 36

Oppgave 42–45 Vi bruker liter/desiliter og desimeter/centimeter som støtte ved omgjøring mellom desimaltall og brøk.

Oppgave 46 Addisjon med desimaltall på tallinja

Side 37

Oppgave 47–48 Elevene tegner addisjonstykker med desimaltall på tallinja.

Oppgave 49–51 Vi bruker rutenett (henholdsvis 10 og 100 ruter) til å belyse sammenhengen ­mellom brøk og desimaltall.

Side 38

Oppgave 52 Felles problemløsing

Side 39

Kan jeg?

Oppgave 1–2 Oppgavene handler det om å finne riktig antall brøkdeler.

38

38 LaererensBok-TusenMill-6.indb 38

29.06.15 10:55

Oppgave 3 Her handler det om å kunne tegne riktig antall brøkdeler av en helhet.

Oppgave 4 Elevene skal regne ut riktig brøkdel av en kronesum.

Oppgave 5 Elevene trener på å addere eller subtrahere brøker med like nevnere.

Side 40

Oppgave 6 Elevene får øve seg på utviding av brøker.

Oppgave 7 Her ser vi på sammenhengen mellom uekte brøk og blandet tall.

Oppgave 8 Her handler det om å kunne sammenlikne brøker ved å gjøre om til like nevnere.

Oppgave 9 Elevene skal gjøre om fra brøk til desimaltall.

Oppgave 10 Dette er en diagnostisk oppgave der vi sjekker om elevene har fått gode begreper om brøk og desimaltall.

Side 41

Jeg regner mer Oppgave 53–55 Oppgavene gir øving i å skrive brøkdeler i praktiske sammenhenger.

Side 42

Oppgave 56 Rutenettet er delt i 18. Elevene kan enten fargelegge riktig antall ruter direkte eller gjøre brøkene om til 18-deler.

Oppgave 57 Det er 100 ruter i rutenettet. Hvor mange ruter tilsvarer en femdel av rutenettet?

Oppgave 58 Elevene må dividere 48 kr med henholdsvis 6, 3 og 4 for å løse oppgaven.

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 39

side 39

29.06.15 10:55

Side 43

Oppgave 59 Øving i addisjon og subtraksjon av brøker med like nevnere.

Oppgave 60 Elevene regner med likeverdige brøker.

Oppgave 61–65 Oppgavene handler om utviding av brøker og addisjon og subtraksjon av brøker med ulike nevnere.

Side 44

Oppgave 66–67 Elevene får øving i å regne med blandete tall og uekte brøker.

Oppgave 68 Her får elevene erfaring med forkorting av brøker, selv om ordet ikke blir brukt.

Oppgave 69 Her vises sammenhengen mellom desimaltall og brøk. Elevene må gjøre om b ­ røkene til tideler eller hundredeler.

Oppgave 70 La elevene drøfte løsningsmetodene sine med hverandre.

Oppgave 71–73 Oppgavene gir trening i utviding av brøker og addisjon og subtraksjon av brøker med ulike nevnere.

Side 45

Oppgave 74 Trening i addisjon og subtraksjon av brøker med ulike nevnere.

Oppgave 75–76 Elevene øver på sammenhengen mellom blandete tall og uekte brøker.

Oppgave 77 Elevene øver på sammenhengen mellom blandete tall og desimaltall.

Oppgave 78 Elevene øver på addisjon av blandete tall og brøker med ulike nevnere.

40

40 LaererensBok-TusenMill-6.indb 40

29.06.15 10:55

Oppgave 79 Her handler det om plassering av desimaltall på tallinja. La elevene oppdage at 1 1 – er halvparten av – .

8 4

Side 46

Oppgave 80–82 Dette er tekstoppgaver som byr på litt større utfordringer. I oppgave 82c er det ­meningen at utgiftene skal fordeles etter eierandel i huset.

Videre arbeid på tusenmillioner.cdu.no Regneplaneten Til hvert kapittel velger elevene om de vil arbeide med øvingsoppgaver i Regn med meg! eller Matellittspillet. Når de gjennomfører kapittelkartleggeren Kan jeg? får de en rapport som viser måloppnåelsen til kapitlet. Kapittelkartleggeren kan gjennom­føres så mange ganger elevene selv ønsker.

Maxfri I Maxfri velger elevene emner selv og arbeider så langt de klarer i forhold til egne ferdigheter. Disse emnene passer til kapittel 2: • Brøk • Desimaltall

TUSEN MILLIONER 6

LaererensBok-TusenMill-6.indb 41

side 41

29.06.15 10:55