For de yrkesfaglige utdanningsprogrammene i matematikk på Vg1 fins disse bøkene:
S inus 1YP (de kke r alle program m ene inklude r t natur br uk) S inus f or he ls e - og s os ialf ag S inus f or re s taurant- og m atf ag S inus f or s e r vice og s am f e r ds e l S inus f or de s ign og håndve r k/ m e die r og kom m unikas jon
Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus Sinus
for bygg og anleggst eknikk P for elekt rofag P for teknikk og indust riell produksjon P for bygg og anleggst eknikk (T) for elekt rofag (T) for teknikk og indust riell produksjon (T) Engangsboka 1YP
M AT E M AT I K K 1YP
1YP Bokmål
Bokmål
ISBN 978-82-02-30317-4
Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch
www.cappelendamm.no
Tore Oldervoll • Odd Orskaug • Audhild Vaaje • Finn Hanisch
Sinus 1YP Matematikk for Vg1 Yrkesfaglige utdanningsprogrammer
Bokmål
Kapittelstart: Gjennomgangsfoto: Svein Erik Dahl / Samfoto Bakgrunnsfoto: Kapittel 1: G. Schuster / Zefa / Scanpix Kapittel 3: W. Flamisch / Zefa / Scanpix. Bildet er litt manipulert i fargene. Kapittel 4: Andrew Douglas / Masterfile / Scanpix Kapittel 5: Livets muligheter © Kim Hart / Samfoto. Bildet er manipulert i fargene. Kapittel 6: Arne Strømme / Samfoto Kapittel 8: Birger Areklett / NN / Samfoto Kapitlene 2, 7: PDCTangen Fotografier og grafikk: Aftenposten / Adresseavisen s. 62 Adresseavisen s. 65 VGDesign s. 66 Kilde: Statens kartverk, tillatelsesnummer Ugland it Group MAD11005-514804A, s. 99 Terje Sundby / Expressklubben Norge s. 102 Berit Keilen / Scanpix s. 136 © O. Væring Eftf. AS s. 138 Statistisk sentralbyrå, http://www.ssb.no/korn/ s. 225 Kilde: Statens kartverk, tillatelsesnummer Ugland it Group MAD11005-514804A, s. 237, 238 Biologisk Institutt s. 245 venstre © Rommel / Masterfile / Scanpix s. 245 høyre BSIP/GV-Press s. 255 øverst Peter Green / Imitor og Gyldendal Norsk Forlag A/S s. 255 nederst
© Cappelen Damm AS, Oslo 2009 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Grafisk formgiver: Kristine Steen Omslagsdesign: Sean Brewer Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby Skjermdumper: Tore Oldervoll Forlagsredaktører: Grete Maus og Helge Flakstad Sats: 07 Gruppen AS, 2009 Trykk og innbinding: Livonia print, SIA, 2011 Utgave nr. 2 Opplag nr. 4 ISBN 978-82-02-30317-4 www.cappelendamm.no www.sinus.cappelendamm.no
Forord Sinus er et matematikkverk for den videregående skolen. Verket er utviklet etter læreplanene fra 2005. Sinus 1YP er skrevet etter læreplanen for kurset 1P innen de yrkesfaglige utdanningsprogrammene. Boka legger vekt på den praktiske matematikken. Den henter eksempler og oppgaver fra dagligliv og yrkesliv og passer for alle yrkesfagene. Noen eksempler og oppgaver er spesielt tilpasset utdanningsprogrammet naturbruk. Boka inneholder svært lite bokstavregning. Der elevene får bruk for bokstavregning, gir boka en repetisjon fra ungdomsskolen. I boka er det med en del lommeregnerstoff som i detalj forklarer hvordan elevene skal bruke lommeregneren. Dette stoffet er skrevet for de to lommeregnerne Casio fx-82ES og Texas TI-30X IIB. I verket er det brukt en del symboler i margen. Symbolet regler. Symbolet symbolet
ON
står symbolet
!
viser til viktige
viser til nyttige tips. Lommeregnerstoffet begynner med
og slutter med
OFF
. Når framstillingen i boka krever bruk av PC,
i margen. Oppgavestoffet er markert med symbolet ? .
Den første delen av boka inneholder lærestoffet. Kapitlene er ordnet slik at det vanskeligste stoffet som oftest kommer til slutt. Stort sett er alle delkapitlene også ordnet på denne måten. Elever som sliter med faget, kan mange steder bare lese begynnelsen av et delkapittel og likevel få et bra utbytte av boka. I teoridelen er det plassert en del oppgaver inne i delkapitlene slik at elevene lett kan finne ut hvilke oppgaver som passer til det som er lest. Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder i kapittelet.
Bak i boka er det en nivådifferensiert oppgavesamling. Oppgavestoffet er delt i tre deler. Kategori 1 inneholder oppgaver for elever som sliter med faget. Oppgavene i kategori 2 er tiltenkt den jevne matematikkeleven. Oppgavene i disse to kategoriene er ordnet etter delkapitler som i læreboka. Den tredje delen inneholder blandede oppgaver. Disse er ikke ordnet etter delkapitler. Her får eleven bruk for å finne fram til riktig stoff på egen hånd. Eleven må ofte kombinere stoff fra flere delkapitler og kapitler. Vanskegraden er omtrent som for oppgavene i kategori 2. Helt til slutt i boka finner vi fasit og et stikkordregister. Det er viktig at elevene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de støter på ord og uttrykk som de ikke har klart for seg betydningen av. Til verket hører det også et nettsted som har adressen www.sinus.cappelen.no. Her finner vi mye tilleggsstoff. Blant annet inneholder nettstedet mange interaktive oppgaver som er ordnet etter delkapitlene i boka. Nettstedet er fritt tilgjengelig for alle. I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldinger om feil eller ønsker om forandringer. Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget.
Tore Oldervoll
4
4
Sinus 1YP
Odd Orskaug
Audhild Vaaje
Finn Hanisch
Innhold 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
Tall og enheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regnerekkefølge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hoderegning og overslagsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Enheter for mengde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summering av mengder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Desimaltall og brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brøkregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brøkdelen av et tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 10 13 17 21 23 25 29 31
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
Forhold og prosent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forholdet mellom tall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blandingsforhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosentfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosentregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosentvis økning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosentvis nedgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosentpoeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Merverdiavgift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33 34 36 38 40 43 45 48 49 54
3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
Formler og likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praktisk bruk av likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Omforming av formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proporsjonale størrelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Omvendt proporsjonale størrelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57 58 62 66 69 73 76 80 83
5
6
6
4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
Lengder og vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Enheter for lengde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Måling av lengde og avstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Vinkler i formlike figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Lengder i formlike figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Målestokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Pytagorassetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
Flater og rom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Enheter for areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Sirkelen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Volum og tetthet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Prisme og sylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Pyramide, kjegle og kule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6 6.1 6.2 6.3 6.4
Geometri i yrke og kunst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Perspektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Regulære mangekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Flislegging med regulære mangekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Flislegging med ulike fliser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8
Økonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Lønn og feriepenger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Skatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Budsjett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Regnskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Sparing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Sparekalkulatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Serielån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Annuitetslån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8 8.1 8.2 8.3 8.4
Indeksregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Indekser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Konsumprisindeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Reallønn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Kroneverdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Sinus 1YP
Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 1
Tall og enheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Kategori 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Kategori 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Blandede oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
2
Forhold og prosent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Kategori 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Kategori 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Blandede oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
3
Formler og likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Kategori 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Kategori 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Blandede oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4
Lengder og vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Kategori 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Kategori 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Blandede oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5
Flater og rom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Kategori 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Kategori 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Blandede oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6
Geometri i yrke og kunst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Kategori 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Kategori 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Blandede oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7
Ă˜konomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Kategori 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Kategori 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Blandede oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8
Indeksregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Kategori 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Kategori 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Blandede oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Stikkord
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
7
1
8
Tall og enheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne •
anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene
1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen har du lært mange regneregler for regning med tall. Vi repeterer noen regler:
Positivt tall · positivt tall = positivt tall Positivt tall · negativt tall = negativt tall Negativt tall · positivt tall = negativt tall Negativt tall · negativt tall = positivt tall
+·+=+ +·–=– –·+=– –·–=+
Når vi ganger to tall, blir svaret et positivt tall hvis fortegnene er like. Svaret blir et negativt tall hvis fortegnene er forskjellige.
EKSEMPEL Regn ut. a) 3 · 4
b) 4 · (–2)
Løsning: a) 3 · 4 = 12 c) (–3) · 12 = –36
ON
c) (–3) · 12
d) (–5) · (–3)
b) 4 · (–2) = –8 d) (–5) · (–3) = 15
Regnestykkene ovenfor kan vi regne ut på lommeregneren. Da er det viktig å vite at det på mange lommeregnere er to ulike minustegn. Slike lommeregnere har både et differansetegn og et fortegn. Differansetegnet bruker vi når vi for eksempel skal regne ut 45 – 12. Fortegnet bruker vi hvis vi skal legge inn et negativt tall, f.eks. –2. Differansetasten – står på høyre side av lommeregneren. Fortegnstasten (–) finner du enten på den venstre siden eller i den nederste rekken. Fortegnstast: (–)
Differansetast:
–
I uttrykket 4 · (–2) er minustegnet et fortegn. Da må vi bruke fortegnstasten (–) . Vi taster slik: 4
⫻
(–)
2
=
Svaret blir –8.
OFF
10
Hvis du bruker Casio, får du som oftest rett svar når du bruker differansetasten der du skulle brukt fortegnstasten. Sinus 1YP > Tall og enheter
Når vi for eksempel skal regne ut 4 + 3 · 2, er det viktig å vite hvordan vi skal gjøre det. Vi må regne ut 3 · 2 før vi legger sammen. Da får vi 4 + 6 = 10. I regnestykket 4 + 3 · 2 må vi ikke legge sammen 4 og 3 først. Da får vi svaret 7 · 2 = 14. Det blir feil. Utregninger gjør vi alltid i denne rekkefølgen:
1 Først multiplikasjon ( · ) og divisjon ( : ) 2 Deretter addisjon (+) og subtraksjon (–)
EKSEMPEL Regn ut. a) 5 + 2 · 4
b) 3 · 5 – 4 · 3
Løsning: a) 5 + 2 · 4 = 5 + 8 = 13
Multiplikasjon før addisjon
b) 3 · 5 – 4 · 3 = 15 – 12 = 3
Multiplikasjon før subtraksjon
c) (–3) · 2 + 2 · 5 = –6 + 10 = 4
ON OFF
?
c) (–3) · 2 + 2 · 5
Multiplikasjon før addisjon
Gode lommeregnere regner slik vi lærte ovenfor. Når vi skal regne ut 5 + 2 · 4, taster vi 5
+
2
⫻
4
=
Det gir svaret 13. Hvis du får 28, bør du kjøpe deg en bedre lommeregner.
Oppgave 1.10 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 5 · 6 b) 5 · (–4) c) (–6) · 3
d) (–4) · (–6)
Oppgave 1.11 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 6 + 2 · 3 b) 3 · 7 + 5 · (–4) – – – c) ( 6) · 3 + ( 4) · ( 5) d) 6 – (–5) · 2 + (–3) · 5
11
Når du skal regne ut et uttrykk som også inneholder potenser eller parenteser, må du alltid gjøre det i denne rekkefølgen:
1 2 3 4
Regn først ut parentesuttrykkene. Regn deretter ut potensene. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene.
EKSEMPEL Regn ut. a) –2 · (3 + 1) + 4 · 23
b) –32 + (2 – 5)2
Løsning: a) –2 · (3 + 1) + 4 · 23 = –2 · 4 + 4 · 23 = –2 · 4 + 4 · 8 = –8 + 32 = 24
1 2 3 4
b)
!
–32 + (2 – 5)2 = –32 + (–3)2 = –9 + 9 = 0
Regn først ut uttrykket i parentesen. Regn ut potensen. Gjør multiplikasjonene. Gjør til slutt addisjonen.
1 Regn først ut uttrykket i parentesen. 2 Regn ut potensene. 3 Gjør til slutt addisjonen.
Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut 4 · 23. Det er ikke det samme som 83. Når vi skriver 4 · 23, er det bare 2-tallet som skal opphøyes i tredje potens. Vi får 4 · 23 = 4 · 8 = 32 Hvis vi vil at 4-tallet også skal opphøyes i tredje potens, må vi sette en parentes og skrive (4 · 2)3 = 83 = 512
!
Når vi skriver –32, er det bare tallet 3 som skal opphøyes i andre potens, ikke tallet –3. Dermed er –32 = –9 Hvis vi vil opphøye tallet –3 i andre potens, må vi skrive (–3)2. (–3)2 = 9 La oss nå regne oppgave a i eksempelet ovenfor på lommeregneren.
12
Sinus 1YP > Tall og enheter
Vi skal regne ut –2 · (3 + 1) + 4 · 23.
ON
OFF
?
CASIO
TEXAS
Vi taster
Vi taster
(–) 2 ⫻ ( 3 + 1 ) + 4 ⫻ 2 X3 =
(–) 2 ⫻ ( 3 + 1 ) + 4 ⫻ 2 ^ 3 =
Vi får svaret 24.
Vi får svaret 24.
Legg merke til at vi bruker tasten X3 når vi skal opphøye et tall i tredje potens.
Legg merke til at vi bruker tasten ^ når vi skal regne ut 23. Vi taster 2 ^ 3 .
Hvis vi skal regne ut 24, bruker vi tasten x og taster 2 x 4 .
Hvis vi skal regne ut 24, taster vi 2 ^ 4 .
Oppgave 1.12 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 4 · 22 b) 4 · (–2)2 c) 5 – 32
d) (5 – 3)2
Oppgave 1.13 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 2 · (7 – 5) + 2 b) –3 · (4 – 12) + 2 · 32 2 c) –(8 – 4) – (–3) d) –24 + 3 · (17 – 32) + (3 · 42 – 2 · 52)
1.2 Hoderegning og overslagsregning I yrkeslivet og i dagliglivet er det ikke så ofte vi gjør utregninger ved hjelp av blyant og papir. Enten bruker vi lommeregner, eller så regner vi i hodet. Når vi regner i hodet, kan vi ikke bruke de samme metodene som når vi regner ved hjelp av blyant og papir. Når vi regner i hodet, klarer vi ikke å huske mange mentetall. Vi skal nå se på en metode som vi kan bruke når vi legger sammen og trekker fra (addisjon og subtraksjon). Denne metoden går ut på å dele tallene i tiere og enere. Deretter trekker vi sammen de hele tierne først. Tenk gjerne på penger når du regner!
13
EKSEMPEL Regn ut i hodet. a) 68 + 54 b) 64,50 + 78 c) 228 – 73 d) 152,00 – 83,50
Løsning: a) 68 + 54 = ? 60 + 50 = 110 8 + 4 = 12 110 + 12 = 122
Tierne først Deretter enerne
c) 228 – 73 = ? 220 – 70 = 150 8–3=5 150 + 5 = 155
?
b) 64,50 + 78 = ? 60 + 70 = 130 4,50 + 8 = 12,50 130 + 12,50 = 142,50 d) 152,00 – 83,50 = ? 150 – 80 = 70 2 – 3,50 = –1,50 70 – 1,50 = 68,50
Oppgave 1.20 Regn ut i hodet. a) 74 + 52 d) 127 + 113
b) 36 + 51 e) 195 + 26,50
c) 274 + 52 f) 456 + 378
Oppgave 1.21 Regn ut i hodet. a) 74 – 52 d) 127,50 – 102,50
b) 136 – 51 e) 495,50 – 124
c) 274 – 152 f) 478 – 356
Mange regnestykker klarer vi ikke å få til i hodet. Da kan vi i stedet bruke overslagsregning og finne omtrent hvor stort svaret er. Et slikt omtrentlig svar vil ofte være godt nok for oss. I overslagsregning bruker vi disse reglene:
Ved addisjon og multiplikasjon runder vi ett tall opp og ett ned. Ved subtraksjon og divisjon runder vi enten begge tallene opp eller begge tallene ned.
14
Sinus 1YP > Tall og enheter
EKSEMPEL Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er. a) 184,75 + 257,20 b) 657,50 – 379,45 c) 18,5 · 26,3 d) 122 : 3,12
Løsning: a) Ved addisjon runder vi ett tall opp og ett ned. 184,75 + 257,20 ≈ 180 + 260 = 440 b) Ved subtraksjon runder vi enten begge tallene opp eller begge tallene ned. 657,50 – 379,45 ≈ 660 – 380 = 280 c) Ved multiplikasjon runder vi ett tall opp og ett ned. 18,5 · 26,3 ≈ 20 · 25 = 500 d) Ved divisjon runder vi enten begge tallene opp eller begge tallene ned. 122 : 3,12 ≈ 120 : 3 = 40
EKSEMPEL Mona har en moped som hun bruker mye. Bruk overslagsregning når du løser denne oppgaven. a) En dag fyller hun 5,8 liter bensin som koster 9,18 kr per liter. Omtrent hvor mye koster bensinen? b) Mopeden bruker 0,23 liter bensin per mil. Omtrent hvor mye bensin trenger hun til en tur på 18 mil? c) Omtrent hvor lang tid bruker hun på 18 mil når hun kjører 47 km/h?
Løsning: a) Prisen for 5,8 liter bensin blir 9,18 kr · 5,8 ≈ 9 kr · 6 = 54 kr Her har vi rundet det ene tallet opp og det andre ned fordi vi multipliserer.
15
b) Antallet liter bensin er 0,23 l · 18 ≈ 0,2 l · 20 = 4 l Også her har vi rundet det ene tallet opp og det andre ned. c) Ettersom 18 mil = 180 km, blir timetallet 180 : 47 ≈ 200 : 50 = 4 Hun bruker omtrent 4 timer. Her rundet vi begge tallene opp fordi vi dividerer.
?
Oppgave 1.22 Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er. a) 232,5 + 488,3 b) 488,3 – 232,5 c) 42,8 · 18,7
d) 362 : 7,3
Oppgave 1.23 Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er. a) 788,3 + 615,2 b) 788,3 – 615,2 c) 123,2 · 2,13
d) 582 : 20,3
Oppgave 1.24 Håkon og Gustav er ivrige langrennsløpere. De går runder i lysløypa. Hver runde er 2,6 km. a) Håkon gikk en dag 12 runder. Omtrent hvor langt gikk han? b) Håkon brukte i gjennomsnitt 9 min 10 s per runde. Omtrent hvor lang tid brukte han på de 12 rundene? c) Gustav gikk 2 runder på 15 min 20 s. Hvor lang tid brukte Gustav per kilometer? Oppgave 1.25 Marie er i butikken og har med seg 200 kr. Hun kjøper et brød til 17,50 kr en pakke kjøttdeig til 46,50 kr 2 liter jus til 11,50 kr per liter 5 kg poteter til 24 kr en pose epler til 19,50 kr 4 flasker brus til 9,90 kr per flaske og ei avis til 10 kr Bruk overslagsregning og finn ut om Marie har med seg nok penger.
16
Sinus 1YP > Tall og enheter
1.3 Enheter for mengde Når vi lager mat, måler vi mengden av hvetemel, sukker og smør i gram eller kilogram. Fast stoff måler vi gjerne i disse to enhetene. Større mengder måler vi ofte i tonn. Mindre mengder kan vi måle i milligram. Vi har denne sammenhengen mellom milligram (mg), gram (g), kilogram (kg) og tonn: 1 tonn = 1000 kg 1 kg = 1000 g 1 g = 1000 mg
1 kg = 0,001 tonn 1 g = 0,001 kg 1 mg = 0,001 g
Legg merke til at kilo betyr tusen, og at milli betyr tusendel.
EKSEMPEL a) Hvor mange kilogram er 3,2 tonn? b) Hvor mange gram er 1,7 kg? c) Hvor mange gram er 2500 mg?
Løsning: a) Vi utnytter at 1 tonn er 1000 kg. Det gir
400 300
3,2 tonn = 3,2 · 1000 kg = 3200 kg
500 1/2
600
kg
800
200 GRAM
100
b) Ettersom 1 kg er 1000 g, får vi
0
1,7 kg = 1,7 · 1000 g = 1700 g
700
900
1000 1 kg
c) Vi kan gå fram på denne måten: 2500 mg = 2,5 · 1000 mg = 2,5 g
?
Oppgave 1.30 a) Hvor mange gram er 0,67 kg? b) Hvor mange kilogram er 3700 g? c) Hvor mange gram er 250 mg? d) Hvor mange tonn er 4500 kg?
Vi kan også bruke en tabell når vi skal regne om mellom disse enhetene. Tabellen ser slik ut: tonn
kg
g
mg
17
Når vi skal finne ut hvor mange gram 1,7 kg svarer til, skriver vi tallet i tabellen på denne måten: tonn
kg 1
g 7
0
mg
0
Vi fyller ut med nuller til vi kommer til ruta med gram (g). Nå ser vi at 1,7 kg er 1700 g. Hvis vi skal regne om 23 400 g til kilogram, skriver vi tallet slik at det siste sifferet står i ruta med gram (g). tonn
kg 2
3
g 4
0
mg
0
Vi ser at 23 400 g er lik 23,4 kg.
EKSEMPEL a) Hvor mange kilogram er 17,1 tonn? b) Hvor mange gram er 781 mg?
Løsning: a) Vi tegner den delen av tabellen der vi har tonn og kilogram. Vi plasserer tallet 17,1 slik at 7-tallet kommer i ruta med tonn. Til slutt fyller vi ut med nuller helt fram til ruta med kilogram (kg). tonn 1
7
kg 1
0
0
Vi trenger bare å tegne den delen av tabellen som vi har bruk for.
17,1 tonn er 17 100 kg. b) Vi lager en tabell med gram og milligram og skriver tallet 781 slik at tallet 1 står i ruta under milligram (mg). g 0
mg 7
8
1
Tallet når ikke fram til ruta med gram. Vi fyller inn tallet 0. 781 mg er 0,781 g.
18
Sinus 1YP > Tall og enheter
?
Oppgave 1.31 Løs oppgaven ved hjelp av en tabell. a) Hvor mange gram er 0,67 kg? c) Hvor mange kilogram er 3700 g?
b) Hvor mange milligram er 0,2 g? d) Hvor mange tonn er 4500 kg?
Oppgave 1.32 Regn om til gram. a) 2,5 kg b) 0,7 kg
c) 0,025 tonn
På kjøkkenet bruker vi ofte hektogram (hg) når vi for eksempel veier kjøtt eller smør. Hekto betyr 100, slik at 1 hg = 100 g 1 kg = 10 hg
1 g = 0,01 hg 1 hg = 0,1 kg
Vi plasserer hektogram i tabellen på denne måten: kg
hg
g
EKSEMPEL Regn om til hektogram. a) 2,4 kg b) 1250 g
Løsning: a) kg hg 2
g
4
2,4 kg er 24 hg.
?
b)
kg
hg
1
2
5
0
1250 g er 12,5 hg.
Oppgave 1.33 Gjør om til hektogram. a) 5,25 kg b) 0,35 kg
c) 250 g
Oppgave 1.34 Gjør om til gram. a) 4,5 hg
c) 0,75 kg
b) 0,7 hg
g
19
Væske måler vi ofte i liter (l), desiliter (dl), centiliter (cl) eller milliliter (ml). Her er 1 l = 10 dl 1 dl = 10 cl 1 l = 100 cl 1 cl = 10 ml 1 l = 1000 ml
1 dl = 0,1 l 1 cl = 0,1 dl 1 cl = 0,01 l 1 ml = 0,1 cl 1 ml = 0,001 l
Vi kan bruke denne tabellen: l
dl
cl
1 dl
ml
1 dl
1 cl
EKSEMPEL Regn om til centiliter. a) 7,25 l b) 145 ml
Løsning: a)
l
dl
cl
ml
7
2
5
l
dl
cl
ml
1
4
5
7,25 l = 725 cl b)
145 ml = 14,5 cl
?
Oppgave 1.35 Regn om til liter. a) 75 dl
b) 320 cl
Oppgave 1.36 Regn om til centiliter. a) 2,5 l b) 0,25 l
20
Sinus 1YP > Tall og enheter
c) 45 cl
c) 2,5 ml
1 cl
1.4 Summering av mengder I en oppskrift blander vi 1,5 kg hvetemel, 275 g smør og 0,8 l vann. Hvor mye veier deigen til sammen? Vi må gjøre alle mengdene om til samme enhet. Vi regner i kilogram. 275 g er det samme som 0,275 kg. Når vi skal finne ut hvor mye 0,8 l vann veier, må vi huske på at 1 l vann veier 1 kg.
1 l vann veier 1 kg.
0,8 l vann veier dermed 0,8 kg. Deigen veier 1,5 kg + 0,275 kg + 0,8 kg = 2,575 kg = 2,6 kg Vi har rundet av svaret til 2,6 kg. Grunnen er at det bare er én desimal i 1,5 kg og i 0,8 kg. Da tar vi med bare én desimal i svaret. Denne regelen bruker vi bare der tallene er målte verdier.
Når vi summerer tall som er målt med vekt eller andre måleredskaper, bruker vi vanligvis så mange desimaler i svaret som det er i det tallet som har færrest desimaler.
Vi kan bruke tabeller når vi summerer tall med forskjellig enhet.
EKSEMPEL Legg sammen. a) 5,4 hg + 2,2 kg + 620 g b) 5,2 dl + 1,3 l + 45 cl
Løsning: a)
kg
6
2
0
Til sammen blir det 3,360 kg. I kolonnen over 6-tallet mangler det et tall. Den desimalen bør vi dermed ikke ta med i svaret. Vi runder av svaret oppover.
3
6
0
Det blir 3,4 kg til sammen.
hg 5
2 3
g 4
2
21
b)
l 1 2
dl
cl
5
2
3 4
5
2
7
Kolonnen over 7-tallet mangler et tall. Vi tar derfor ikke med sifferet 7 i svaret og runder av 2,27 til 2,3. Det blir 2,3 l til sammen.
?
Oppgave 1.40 Trekk sammen. a) 1,2 kg + 1,54 kg + 2,1 kg c) 0,25 hg + 12,4 g + 0,0024 kg Oppgave 1.41 Trekk sammen. a) 2,4 l + 0,6 l + 20 dl c) 0,62 l + 1,7 dl + 5 cl
b) 0,7 kg + 4,7 hg + 500 g
b) 0,4 l + 2,1 dl + 12 cl
Oppgave 1.42 En oppskrift på formloff er slik: 2,4 kg hvetemel 1,5 hg gjær 100 g farin
50 g smør 2 ts salt 1,5 l vann eller melk
Hvor mye veier deigen?
Oppgave 1.43 En oppskrift på grovt formbrød er slik: 1,5 kg sammalt rugmel 7 hg hvetemel 4 ts salt 100 g gjær 14 dl vann Hvor mye veier deigen?
22
Sinus 1YP > Tall og enheter
1.5 Desimaltall og brøker Et tall som ikke er et helt tall, skriver vi til vanlig som et desimaltall eller 3 som en brøk. Tallet 0,6 er et desimaltall, og tallet __ er en brøk. Tallet over 5 brøkstreken kaller vi telleren, og tallet under brøkstreken kalles nevneren.
3 ← telleren __ 5 ← nevneren Det husker du lett ved hjelp av denne regelen: T elleren er på t oppen, og n evneren er n ede. En brøk kan vi alltid skrive som et desimaltall. Vi dividerer da telleren med nevneren. Denne divisjonen gjør vi enklest på lommeregneren.
EKSEMPEL 3 21 Skriv brøkene __ og ___ som desimaltall. 4 8
Løsning: Vi bruker lommeregneren og får 3 __ = 3 : 4 = 0,75 4
21 ___ = 21 : 8 = 2,625 8
Noen ganger går ikke divisjonen opp. Da blir det uendelig mange desimaler i desimaltallet. Lommeregneren viser i slike tilfeller bare noen av desimalene.
EKSEMPEL 5 17 Skriv brøkene __ og ___ som desimaltall. 6 13
Løsning: 5 __ = 5 : 6 = 0,833333… = 0,833
6 17 ___ = 17 : 13 = 1,3076923… = 1,308 13
23
?
Oppgave 1.50 Skriv tallene som desimaltall. 1 1 2 a) __ b) __ c) __ 5 2 4
3 d) __ 8
3 e) ___ 20
3 f) ___ 16
Oppgave 1.51 Skriv tallene som desimaltall. 3 1 1 a) __ b) __ c) __ 7 3 6
2 d) __ 9
2 e) ___ 11
7 f) ___ 17
Når vi skal sammenlikne to brøker, gjør vi først om brøkene til desimaltall. Da er det enklere å se hvilket tall som er størst eller minst.
EKSEMPEL Hvilken brøk er størst? 7 9 5 4 a) __ og __ b) __ og __ 5 7 3 8
Løsning: a) Vi bruker lommeregneren og gjør brøkene om til desimaltall. 7 __ = 7 : 3 = 2,333 3
9 __ = 9 : 5 = 1,8 5
7 __ er størst. 3
=
b) Vi regner om til desimaltall og får 4 __ = 0,571 7
5 __ = 0,625 8
5 __ er størst. 8
=
?
24
Oppgave 1.52 Hvilken brøk er størst? 3 13 4 12 a) __ og __ b) ___ og ___ 5 5 4 6
23 25 c) ___ og ___ 11 13
18 19 d) ___ og ___ 29 30
Oppgave 1.53 Hvilken brøk er størst? 19 1 1 2 a) __ og __ b) __ og ___ 3 4 3 29
3 9 c) __ og ___ 4 12
7 42 d) __ og ___ 9 54
Sinus 1YP > Tall og enheter
1.6 Brøkregning 1 2 Brøkene __ og __ kan vi skrive som desimaltall på denne måten: 4 8
1 __ = 1 : 4 = 0,25 4
2 __ = 2 : 8 = 0,25 8
1 2 og __ må derfor være like. Begge tallene er lik 0,25. Brøkene __ 4 8
Det kan vi også finne ut ved å se på en pizza. Pizzaen til venstre nedenfor er delt i fire like store deler. Hege spiser ett stykke av denne pizzaen. Hun spiser 1 dermed __ pizza. 4 1/8 1/4
1/8
1
Pizzaen til høyre ovenfor er delt i 8 like deler, og hver del er altså __ pizza. 8 2 __ Thomas spiser to slike stykker. Han spiser dermed 8 pizza. Figurene viser at Hege og Thomas spiser like mye. Dermed er 2 __ 1 __ = 8
4
Dette kan vi få fram ved å dividere telleren og nevneren med 2. 2 : 2 __ 2 _____ 1 __ = = 8
8:2
4
Vi har forkortet brøken.
Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer da ikke verdi.
25
EKSEMPEL Forkort brøkene. 6 a) __ 8
27 b) ___ 21
Løsning: 6 6:2 3 a) __ = _____ = __ 8 8:2 4
=
27 27 : 3 9 b) ___ = ______ = __ 21 21 : 3 7
=
Til vanlig fører vi forkortingene på denne måten: 9
3
6 3 a) __ = __ 8
!
27 9 b) ___ = __
4
7
21
=
4
7
=
Når du regner med brøk, må du passe på å forkorte alle svar. 9
I brøken __ er telleren større enn nevneren. Vi har da en uekte brøk. En uekte 7 9 brøk kan vi skrive som et blandet tall. Brøken __ er det samme som det 7 2 blandede tallet 1__ . I den videregående skolen trenger du vanligvis ikke å 7 gjøre uekte brøker om til blandede tall. Vi kan bruke lommeregneren til å forkorte brøker og til å gjøre uekte brøker om til blandede tall. Vi løser nå oppgaven i eksempelet foran på lommeregneren.
ON
CASIO
6 Når vi skal legge inn brøken __ , 8 taster vi __
6
Vi får svaret nedenfor:
3 __ 4
=
som vist på figuren
+ T -
26
8
Sinus 1YP > Tall og enheter
TEXAS
6 Når vi skal legge inn brøken __ , 8 taster vi
6
A b/c
Vi får svaret nedenfor:
8
3 __ 4
=
som vist på figuren
+ ( T )
Vi går fram på tilsvarende måte når 27 vi skal forkorte brøken ___ . Men nå 21 viser lommeregneren dette svaret:
', TT '&
Vi går fram på tilsvarende måte når 27 vi skal forkorte brøken ___ . Men nå 21 viser lommeregneren dette svaret:
', '&
. T ,
Lommeregneren skriver svaret som 9 en uekte brøk. Svaret er __ . Hvis vi 7 vil ha svaret som blandet tall, trykker vi på tasten SHIFT og deretter på
Lommeregneren skriver svaret som 2 et blandet tall. Svaret er 1__ . Legg 7 merke til hvordan lommeregneren skriver blandede tall.
2
som tasten S ⇔ D . Svaret blir 1__ 7 vist på denne figuren:
', TT '&
Hvis vi vil ha svaret som en uekte brøk, trykker vi nå på tasten 2nd og deretter på tasten A b/c . Svaret 9 blir __ når vi trykker på 7
&' ,
6ch 6
OFF
?
= .
Oppgave 1.60 Forkort brøkene både uten og med lommeregner. 9 18 4 42 a) __ b) ___ c) ___ d) ___ 6 15 21 54 Oppgave 1.61 Bruk lommeregneren til å forkorte brøkene. 72 126 132 153 a) ____ b) ____ c) ____ d) ____ 120 294 198 51
117 e) ____ 78
308 f) ____ 231
All tallregning med brøker kan vi gjøre på lommeregneren.
EKSEMPEL Regn ut på lommeregneren. 5 4 a) ___ + __ 12 3
3 9 b) __ : ___ 4 10
27
Løsning: ON
CASIO
TEXAS
a) Vi taster
a) Vi taster
__ __ 5 1 2 → + 4 3 =
5 A b/c 1 2 + 4 A b/c 3 =
7 Svaret blir __ som vist her: 4
Svaret blir 1__ som vist her: 4
* &'
3
* &' ) (
) (
, )
Hvis vi vil ha svaret som blandet tall, trykker vi på tasten SHIFT og deretter på tasten
Hvis vi vil ha svaret som en uekte brøk, trykker vi nå på tasten 2nd og deretter på 7 tasten A b/c . Svaret blir __ . 4
3 S ⇔ D . Svaret blir 1__ . 4
* &'
) (
6ch 6
__ __ 3 4 → ÷ 9 1 0
3 A b/c 4 ÷ 9 A b/c 1 0
5 Det gir svaret __ når vi 6
5 Det gir svaret __ når vi 6
trykker på
trykker på
= .
Oppgave 1.62 Bruk lommeregneren og regn ut. 1 4 1 4 a) __ + __ b) __ · __ 3 9 3 9 5 5 e) 3 : ___ d) 3 · ___ 12 12 Oppgave 1.63 Bruk lommeregneren og regn ut. 3 1 a) 2 · __ + __ 8 4 5 2 1 c) ___ + ___ : __ 36 12 9
28
* +
OFF
(
= .
( )$. &%
( . ) &%
(
b) Vi taster
b) Vi taster
?
&( )
)
)
Sinus 1YP > Tall og enheter
1 4 c) __ : __ 3 9 5 f) 3 + ___ 12
( (
) )(
5 2 3 b) __ – __ · __ 6 9 5 7 2 1 1 d) __ – __ · __ + __ 5 4 6 9
)
1.7 Brøkdelen av et tall 1 Anne skal kjøpe et dataspill som koster 540 kr. Anne skal betale __ selv, og 3 2 far betaler __ . Hvor mye skal hver av dem betale? 3
Anne skal betale tredjedelen av prisen. Det er 540 kr : 3 = 180 kr Dette kan vi også regne ut slik:
Å dividere med 3 er det samme 1 som å multiplisere med __ . 3
1 __ · 540 kr = 180 kr 3
2 Når far skal betale __ , skal han betale dobbelt så mye som Anne. Det er 3
2 · 180 kr = 360 kr Vi kan også regne slik: 2 __ · 540 kr = 360 kr 3
2 2 av 540 kr er det samme som å multiplisere __ med 540 kr. Vi går Å finne __ 3 3 fram på tilsvarende måte for alle brøkdeler og alle tall.
Brøkdelen av et tall finner vi ved å multiplisere brøken med tallet.
EKSEMPEL 3 Regn ut __ av 320 kr. 8
Løsning: 3 3 __ av 320 kr = __ · 320 kr = 120 kr 8
?
8
Oppgave 1.70 5 Regn ut __ av tallene. 8 a) 40 b) 56
c) 12
Oppgave 1.71 2 a) Hvor mye er __ av 48 kr? 3
4 b) Hvor mye er __ av 49 kr? 7
3 c) Hvor mye er __ av 72 kr? 8
3 d) Hvor mye er __ av 72 kr? 4
29
EKSEMPEL Arne og Gro deler en jobb. Ei uke arbeider Arne fem dager og Gro to dager. Til sammen får de 2800 kr i lønn. Hvor mye skal Arne ha i lønn?
Løsning: Arne og Gro arbeider sju dager til sammen. Ettersom Arne arbeider fem av de sju dagene, skal han ha 5 5 __ av 2800 kr = __ · 2800 kr = 2000 kr 7 7
EKSEMPEL Martin og Sondre skal dele 720 kr. Martin får 420 kr. Hvor stor del av pengene får Martin, og hvor stor del får Sondre?
Løsning: Den brøkdelen Martin får, er 7
42
7 420 kr ____ 420 ____ 420 ___ 42 ___ 42 ___ ______ = = = = = 720 kr
720
720
72
72
72
12
12
=
Sondre får 720 kr – 420 kr = 300 kr. Den brøkdelen Sondre får, er 5
30
5 300 kr ____ 300 ____ 300 ___ 30 ___ 30 ___ ______ = = = = = 720 kr
?
720
720
72
72
72
12
12
=
Oppgave 1.72 5 1 En blanding av saft og vann inneholder __ saft og __ vann. 6 6 a) Hvor mye saft og hvor mye vann er det i 3 liter blanding? b) Hvor mye saft og hvor mye vann er det i 3,6 liter blanding? c) Hvor mye vann er det når det er 2 liter rein saft?
3l
Oppgave 1.73 2 1 Per, Anne og Jan skal dele 9600 kr. Jan skal ha __ , Anne skal ha __ , og Per 5 6 skal ha resten. a) Hvor mange kroner skal Anne og Jan ha hver? b) Hvor mange kroner skal Per ha? c) Hvor stor brøkdel skal Per ha?
30
Sinus 1YP > Tall og enheter
SAMMENDRAG Fortegnsregler Positivt tall · positivt tall = positivt tall Positivt tall · negativt tall = negativt tall Negativt tall · positivt tall = negativt tall Negativt tall · negativt tall = positivt tall
+·+=+ +·–=– –·+=– –·–=+
Regnerekkefølge 1 Regn først ut parentesuttrykkene. 2 Regn deretter ut potensene. 3 Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4 Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Avrundingsregler ved overslagsregning Ved addisjon og multiplikasjon runder vi ett tall opp og ett ned. Ved subtraksjon og divisjon runder vi enten begge tallene opp eller begge tallene ned. Forkorting av brøker Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer ikke verdi. Noen størrelser kilo k hekto h desi
d
1000 100 1 ___ = 0,1 10
centi c milli m
1 ____ = 0,01
100 1 _____ = 0,001 1000
Sammenhengen mellom noen enheter 1000 kg = 1 tonn 1000 g = 1 kg 1000 mg = 1 g
1 kg = 0,001 tonn 1 g = 0,001 kg 1 mg = 0,001 g
10 dl = 1 l 10 cl = 1 dl 10 ml = 1 cl
1 dl = 0,1 l 1 cl = 0,1 dl 1 ml = 0,1 cl
Brøkdelen av et tall Brøkdelen av et tall finner vi ved å multiplisere brøken med tallet.
31
2
32
Forhold og prosent MÅL for opplÌringen er at eleven skal kunne •
regne med forholdstall, prosent, prosentpoeng og vekstfaktor
2.1 Forholdet mellom tall I en klasse er det 9 jenter og 6 gutter. Forholdet mellom tallet på jenter og tallet på gutter er 3
9 __ 9 3 __ = = __ 6
62 2
I dagliglivet sier vi at forholdet er 3 : 2 ('tre til to'). Vi finner altså forholdet ved å lage en brøk som vi forkorter.
Vi finner forholdet mellom to tall ved å lage en brøk der det første tallet står i telleren og det andre står i nevneren.
EKSEMPEL Vi blander 30 dl vann og 9 dl saft. Finn forholdet mellom vann og saft.
Løsning: Forholdet mellom vann og saft er 10
vann ___ 30 ___ 10 _____ = = saft
9
3
3
Forholdet er 10 : 3.
?
Oppgave 2.10 Finn forholdet mellom tallene. a) 12 og 4 b) 4 og 12
c) 18 og 12
Oppgave 2.11 Vi blander 15 liter hvit maling med 9 liter svart maling. Finn forholdet mellom hvit og svart maling.
Vi skal blande vann og saft i forholdet 10 : 3. Hvor mye vann skal vi bruke til 6 dl saft?
34
Sinus 1YP > Forhold og prosent
Det skal være 3 deler saft. Ettersom vi har 6 dl saft, er da 3 deler det samme som 6 dl. Da er 1 del lik 6 dl : 3 = 2 dl. Det skal være 10 deler vann. Det er 10 · 2 dl = 20 dl = 2 l Vi må bruke 2 l vann til 6 dl saft. Her fant vi vannmengden ved å regne ut hvor mye 1 del er. Vi gikk veien om 1.
EKSEMPEL På en skole er forholdet mellom tallet på jenter og tallet på gutter 4 : 3. Det er 132 gutter på skolen. Hvor mange jenter er det?
Løsning: Det er 132 gutter som svarer til 3 deler. Da er 1 del det samme som 132 : 3 = 44 Det er 4 deler jenter. Ettersom 1 del er 44, blir det 44 · 4 = 176 Det er 176 jenter på skolen.
?
Oppgave 2.12 På en skole er forholdet mellom tallet på jenter og tallet på gutter 4 : 3. Hvor mange jenter er det når tallet på gutter er 96? Oppgave 2.13 På ei saftflaske står det at forholdet mellom saft og vann skal være 1 : 5. a) Hvor mye saft må vi da bruke til 7,5 l vann? b) Hvor mye saftogvann får vi? Oppgave 2.14 Vi blander 0,6 liter gul maling med 3 liter rød maling. a) Finn forholdet mellom gult og rødt. b) Hvor mye gul maling må vi bruke til 10 liter rød maling for å få den samme fargen? Oppgave 2.15 I en kiosk selger de to typer cola: C-cola og P-cola. De selger noe mer C-cola enn P-cola. Forholdet er 7 : 5. Hvor mange flasker P-cola selger de når de selger 504 flasker C-cola?
35
2.2 Blandingsforhold Når vi blander væsker i et bestemt forhold, er det noen ganger vi trenger en bestemt mengde blanding. Vi skal nå se på hvordan vi regner på det.
EKSEMPEL Malermester Rosa Rød skal blande rød og gul maling slik at det til sammen blir 3 liter. Forholdet mellom rød og gul skal være 5 : 1. Hvor mye rød og hvor mye gul maling må hun bruke?
Løsning: Hun skal bruke 5 deler rød og 1 del gul maling. Til sammen er det 6 deler. Ettersom hun skal ha 3 liter blanding, må hver del være 3 liter ______ = 0,5 liter 6
Rosa skal bruke 1 del gul maling. Det er 0,5 liter. Hun skal bruke 5 deler rød. Det blir 0,5 liter · 5 = 2,5 liter Rosa må bruke 2,5 liter rød og 0,5 liter gul maling.
?
Oppgave 2.20 I en klasse er det 30 elever. Forholdet mellom jenter og gutter er 3 : 2. Hvor mange jenter og hvor mange gutter er det i klassen? Oppgave 2.21 Bendik skal male et hus og trenger 60 liter maling. Malingen skal være en blanding av gul og rød maling i forholdet 1 : 7. Hvor mye gul og hvor mye rød maling trenger han? Oppgave 2.22 Bendik Bonde skal levere 3 tonn naturgjødsel til Grete Gartner. Det skal være en blanding av hønsegjødsel og kugjødsel i forholdet 1 : 4. Hvor mye hønsegjødsel og hvor mye kugjødsel må Bendik bruke?
36
Sinus 1YP > Forhold og prosent
Noen ganger har vi en blanding av to væsker og ønsker å endre forholdet mellom væskene ved å tilsette mer av den ene. Vi kan da regne ut hvor mye væske vi må tilsette for å få et bestemt forhold.
EKSEMPEL Malermester Rosa Rød har 10 liter av en blanding av rød og gul maling i forholdet 7 : 1. Hun må tilsette mer gul maling slik at forholdet blir 5 : 1. Hvor mye gul maling må hun tilsette?
Løsning: I den blandingen hun har, er det 7 deler rød og 1 del gul maling. Til sammen er det 8 deler. Hver del er da 10 liter _______ = 1,25 liter 8
Det er dermed 1,25 liter gul maling. Blandingen inneholder 7 deler rød maling. Det er 1,25 liter · 7 = 8,75 liter Den nye blandingen skal inneholde 5 deler rød maling. Rosa Rød har 8,75 liter. Hver del blir da 8,75 liter _________ = 1,75 liter 5 Ettersom Rosa skal ha 1 del gul maling, blir det 1,75 liter. Blandingen inneholder 1,25 liter gul maling fra før. Mengden hun må tilsette, er da 1,75 liter – 1,25 liter = 0,5 liter
?
Oppgave 2.23 I en klasse er det 15 elever. Forholdet mellom gutter og jenter er 4 : 1. a) Hvor mange gutter og hvor mange jenter er det i klassen? b) Til en klassefest ble det invitert noen flere jenter slik at forholdet mellom gutter og jenter ble 3 : 2. Hvor mange jenter ble invitert?
37
?
Oppgave 2.24 Bendik har 45 liter ferdigblandet maling. Forholdet mellom gul og rød maling er 1 : 8. a) Hvor mye gul og hvor mye rød maling er det i denne blandingen? b) Bendik syns at fargen er feil. Han vil tilsette ekstra rød maling slik at forholdet blir 1 : 10. Hvor mye rød maling må han tilsette? Oppgave 2.25 Petter Mekker har 14 liter oljeblandet bensin på ei kanne. Forholdet mellom olje og bensin er 1 : 20. Hvor mye olje må Petter tilsette blandingen for at forholdet skal bli 1 : 15?
2.3 Prosentfaktor Ordet prosent kommer fra latin og betyr hundredel. 15 15 % = ____ = 0,15 100 Her har vi fargelagt 15 % av et rektangel.
Rektangelet er delt i 20 like ruter. Hver rute er da 5 1 ___ = ____ = 5 % 20
100
Tre ruter er da 3 · 5 % = 15 % av hele rektangelet. Prosent regner vi alltid som hundredeler av noe. Mads er med i et tippelag som har vunnet 20 000 kr. Mads skal ha 15 % av 15 denne gevinsten. Det er det samme som ___ av 20 000 kr. 100 15 15 % av 20 000 kr = ____ av 20 000 kr 100 15 = ____ · 20 000 kr = 0,15 · 20 000 kr = 3000 kr 100 Vi finner 15 % av et tall ved å multiplisere tallet med 0,15. Tallet 0,15 kaller vi prosentfaktoren til 15 %. På tilsvarende måte er 0,25 prosentfaktoren til 25 % og 0,08 prosentfaktoren til 8 %.
38
Sinus 1YP > Forhold og prosent
p Prosentfaktoren til p % er ____ . 100
EKSEMPEL Finn prosentfaktorene til 8 %, 17 % og 2,5 %.
Løsning: Prosentfaktorene er 8 ____ = 0,08 100
?
17 ____ = 0,17 100
Oppgave 2.30 Finn prosentfaktoren til a) 6 % b) 19 % c) 12 %
d) 45 %
2,5 ____ = 0,025 100
e) 5 %
Oppgave 2.31 Finn prosentfaktoren til a) 5,5 % b) 1,9 % c) 12,5 % d) 45,3 % e) 0,5 %
f) 2 %
f) 0,25 %
Når vi kjenner prosentfaktoren, er prosenten = prosentfaktoren · 100 %
EKSEMPEL Finn prosenten når prosentfaktoren er 0,09, 0,23 og 0,125.
Løsning: Prosentene er 0,09 · 100 % = 9 % 0,23 · 100 % = 23 % 0,125 · 100 % = 12,5 %
39
?
Oppgave 2.32 Finn prosenten når prosentfaktoren er a) 0,04 b) 0,25 c) 0,13 d) 0,01
e) 0,34
f) 0,07
Oppgave 2.33 Finn prosenten når prosentfaktoren er a) 0,045 b) 0,375 c) 0,012 d) 0,002
e) 1,24
f) 0,0012
2.4 Prosentregning Prosentfaktoren til 15 % er 0,15. I kapittel 2.3 så vi at 15 % av 20 000 kr er 0,15 · 20 000 kr = 3000 kr Vi ser at
prosentfaktoren · hele tallet = delen av tallet
EKSEMPEL a) Finn prosentfaktoren til 12 %. b) Bruk prosentfaktoren til å regne ut 12 % av beløpene 23 500 kr og 95 000 kr.
Løsning: a) Prosentfaktoren til 12 % er 12 ____ = 0,12 100
b) Her kjenner vi prosentfaktoren og hele tallet. 12 % av 23 500 kr = 0,12 · 23 500 kr = 2820 kr 12 % av 95 000 kr = 0,12 · 95 000 kr = 11 400 kr
? 40
Oppgave 2.40 Finn 12 % av beløpene. a) 300 kr b) 3200 kr Sinus 1YP > Forhold og prosent
c) 12 400 kr
?
Oppgave 2.41 Fullgjødsel 17–5–13 inneholder 17 % nitrogen, 5 % fosfor og 13 % kalium. Hvor mange kilogram nitrogen, fosfor og kalium er det i en sekk med 40 kg fullgjødsel 17–5–13?
Vi vet at prosentfaktoren · hele tallet = delen av tallet Dermed er delen av tallet prosentfaktoren = ____________ hele tallet
Vi finner prosentfaktoren ved å dividere delen av tallet med hele tallet.
EKSEMPEL a) Hvor mange prosent er 240 kr av 500 kr? b) En mann satte 4500 kr i banken og fikk 90 kr i rente på ett år. Hvor mange prosent rente fikk han?
Løsning: a) Prosentfaktoren er delen av tallet ______ 240 kr ____ 240 ____________ = = = 0,48 hele tallet
500 kr
500
Når prosentfaktoren er 0,48, er prosenten 0,48 · 100 % = 48 % b) Prosentfaktoren er delen av tallet _______ 90 kr 90 ____________ = = _____ = 0,02 hele tallet
4500 kr
4500
Når prosentfaktoren er 0,02, er prosenten 0,02 · 100 % = 2 % Mannen fikk 2 % rente.
41
?
Oppgave 2.42 Martin setter 2400 kr i banken og får 84 kr i rente på ett år. Hvor mange prosent rente svarer det til? Oppgave 2.43 Line kjøper en sofa som koster 4800 kr. Hun får 720 kr i avslag. Hvor mange prosent avslag får hun?
Vi vet at prosentfaktoren · hele tallet = delen av tallet Dermed er delen av tallet hele tallet = ______________ prosentfaktoren
EKSEMPEL a) Lønna til Mads er 15 % av det han selger for. Ei uke fikk han 4200 kr i lønn. Hvor mye solgte han for? b) Mads satte penger i banken og fikk 6 % rente per år. Han fikk 492 kr i rente. Hvor mye penger satte Mads i banken?
Løsning: a) Prosentfaktoren til 15 % er 0,15. Salgssummen er dermed 4200 kr _______ = 28 000 kr 0,15
b) Prosentfaktoren til 6 % er 0,06. Beløpet han satte i banken, var 492 kr ______ = 8200 kr 0,06
42
Sinus 1YP > Forhold og prosent
?
Oppgave 2.44 a) Hanne skal kjøpe bil og ser på en bil som koster 240 000 kr. Hun kan få 10 800 kr i avslag i prisen. Hvor mange prosent avslag kan hun få? b) Hanne ser på en annen bil. Her kan hun få 6 % avslag i prisen. Det svarer til 16 500 kr. Hvor mye koster denne bilen uten avslag? Oppgave 2.45 Fullgjødsel 17–5–13 inneholder 17 % nitrogen, 5 % fosfor og 13 % kalium. a) Hvor mange kilogram fullgjødsel 17–5–13 må vi ha for at den skal inneholde 30 kg nitrogen? b) Hvor mange kilogram fullgjødsel må vi ha for å få 25 kg kalium?
2.5 Prosentvis økning Alle prisene i en kiosk skal settes opp med 20 %. Den opprinnelige prisen er 100 %. Den nye prisen blir da 100 % + 20 % = 120 % av den opprinnelige prisen. Prosentfaktoren til 120 % er 120 ____ = 1,20 100
En hamburger koster 50 kr. Den nye prisen blir 120 % av 50 kr = 1,20 · 50 kr = 60 kr Tallet 1,20 kaller vi vekstfaktoren ved 20 % økning. Legg merke til at vekstfaktoren 1,20 er 1 + 0,20 = 1 + prosentfaktoren.
Ved prosentvis økning er vekstfaktoren = 1 + prosentfaktoren og prosentfaktoren = vekstfaktoren – 1
EKSEMPEL Finn vekstfaktoren til 40 % økning.
Løsning: 40 Prosentfaktoren til 40 % er ____ = 0,40. Vekstfaktoren er 100 1 + 0,40 = 1,40
43
EKSEMPEL Finn prosenten når vekstfaktoren er 1,12.
Løsning: Når vekstfaktoren er 1,12, er prosentfaktoren = vekstfaktoren – 1 = 1,12 – 1 = 0,12 Prosenten er 0,12 · 100 % = 12 %
?
Oppgave 2.50 Finn vekstfaktoren når en pris blir satt opp med a) 23 % b) 8 % c) 4 % d) 2,3 % e) 0,8 % f) 14,4 % Oppgave 2.51 Finn prosenten når vekstfaktoren er a) 1,30 b) 1,05 d) 1,074 e) 1,005
c) 1,02 f) 1,236
Da vi skulle øke prisene med 20 %, regnet vi slik: 1,20 · 50 kr = 60 kr Vi legger merke til at utregningen passer med denne formelen:
vekstfaktoren · den opprinnelige verdien = den nye verdien
EKSEMPEL I en kiosk koster en liten pizza 80 kr og en stor pizza 120 kr. Prisene skal settes opp med 15 %. Finn de nye prisene.
44
Sinus 1YP > Forhold og prosent
Løsning: Prosentfaktoren til 15 % er 0,15. Vekstfaktoren er da 1,15. Prisen på en liten pizza blir 1,15 · 80 kr = 92 kr Prisen på en stor pizza blir 1,15 · 120 kr = 138 kr
?
Oppgave 2.52 Alle prisene i en kiosk skal settes opp med 5 %. a) Finn vekstfaktoren. b) Finn de nye prisene når prisene før var 60 kr, 80 kr og 120 kr. Oppgave 2.53 En moped koster 12 000 kr. Prisen blir først satt opp med 7 % og deretter med 12 %. a) Finn prisen etter disse to økningene. b) Hvor mange prosent ble prisen satt opp til sammen?
2.6 Prosentvis nedgang I en kiosk selger de 60 små pizzaer og 40 store pizzaer per dag. Så setter de opp prisene, og salget går da ned med 10 %. Det nye salget er altså 100 % – 10 % = 90 % av det opprinnelige. Salget av de små pizzaene er nå 90 % av 60 = 0,90 · 60 = 54 Tallet på store pizzaer er tilsvarende 90 % av 40 = 0,90 · 40 = 36 Tallet 0,90 kaller vi vekstfaktoren ved 10 % nedgang. Legg merke til at vekstfaktoren 0,90 er 1 – 0,10 = 1 – prosentfaktoren
45
Ved prosentvis nedgang er vekstfaktoren = 1 – prosentfaktoren og prosentfaktoren = 1 – vekstfaktoren
EKSEMPEL Finn vekstfaktoren ved 6 % nedgang.
Løsning: Vekstfaktoren ved 6 % nedgang er 6 1 – prosentfaktoren = 1 – ____ = 1 – 0,06 = 0,94 100
EKSEMPEL Finn prosenten når vekstfaktoren er 0,88.
Løsning: Når vekstfaktoren er 0,88, er prosentfaktoren = 1 – vekstfaktoren = 1 – 0,88 = 0,12 Prosenten er 0,12 · 100 % = 12 %
?
46
Oppgave 2.60 Finn vekstfaktoren når prisen minker med a) 23 % b) 8 % c) 4 % d) 12,5 % e) 0,8 %
f) 46,4 %
Oppgave 2.61 Finn prosenten når vekstfaktoren er a) 0,70 b) 0,95 c) 0,87
f) 0,9975
Sinus 1YP > Forhold og prosent
d) 0,975
e) 0,825
Også ved prosentvis nedgang er vekstfaktoren · den opprinnelige verdien = den nye verdien
EKSEMPEL En liten pizza koster 80 kr og en stor pizza 120 kr. Prisene skal settes ned med 5 %. Finn de nye prisene.
Løsning: Prosentfaktoren til 5 % er 0,05. Vekstfaktoren ved 5 % nedgang blir da 1 – 0,05 = 0,95 Prisen på en liten pizza blir 0,95 · 80 kr = 76 kr Prisen på en stor pizza blir 0,95 · 120 kr = 114 kr
?
Oppgave 2.62 I en kiosk har de tre hamburgere som veier 50 g, 100 g og 150 g før de er steikt. Hamburgerne koster 30 kr, 40 kr og 50 kr. a) En dag blir prisen satt ned med 20 %. Hva koster hver av hamburgerne nå? b) Ved steiking minker vekten av hamburgerne med 15 %. Hvor mye veier hver av hamburgerne etter steikingen? Oppgave 2.63 Forretningen «Steikje fin» selger jakker som koster 600 kr. Prisen blir satt ned to ganger, først med 30 % og deretter med 40 %. a) Hva koster jakkene nå? b) Hvor mange prosent ble prisen i alt satt ned?
47
2.7 Prosentpoeng På en skole er det 1000 elever. En dag er 8 % av elevene borte. Dagen etter er 10 % borte. Vi sier da at fraværet har økt med 2 prosentpoeng. Vi kan ikke si at økningen er på 2 %. Her er grunnen til det: Når fraværet er 8 %, er tallet på elever som er borte, lik 8 % av 1000 = 0,08 · 1000 = 80 Når fraværet er 10 %, er tallet på elever som er borte 10 % av 1000 = 0,10 · 1000 = 100 Økningen er 100 – 80 = 20. Prosentfaktoren til økningen er økningen 20 _____________________ = ___ = 0,25 det opprinnelige fraværet 80 Prosenten er 0,25 · 100 % = 25 % Når fraværet øker fra 8 % til 10 %, er økningen på 25 % og ikke på 2 %.
Når vi regner ut differansen mellom to prosenttall, finner vi endringen i prosentpoeng.
EKSEMPEL a) Oppslutningen om Arbeiderpartiet øker en måned fra 29,2 % til 30,4 %. Hvor mange prosentpoeng er økningen på? b) Høyre hadde en oppslutning på 18,4 % og fikk så en økning på 0,7 prosentpoeng. Finn oppslutningen om Høyre nå.
Løsning: a) Økningen i prosentpoeng er 30,4 – 29,2 = 1,2 Økningen er på 1,2 prosentpoeng. b) Den nye oppslutningen i prosent er 18,4 + 0,7 = 19,1 Oppslutningen om Høyre er nå 19,1 %.
48
Sinus 1YP > Forhold og prosent
?
Oppgave 2.70 a) Et år øker fraværet på en arbeidsplass fra 7,4 % til 8,7 %. Hvor mange prosentpoeng er økningen på? b) Året etter var fraværet 0,8 prosentpoeng lavere. Hvor mange prosent var fraværet nå? Oppgave 2.71 På en skole er det 400 elever. På mandag var 6,5 % av elevene borte, og på tirsdag var fraværet 5,25 %. a) Hvor mange prosentpoeng gikk fraværet ned? b) Hvor mange elever var borte hver av dagene? c) Hvor mange prosent gikk fraværet ned?
2.8 Merverdiavgift Ved kjøp av nesten alle varer og tjenester må vi betale en avgift til staten. Den heter merverdiavgift, ofte forkortet til mva. På folkemunne blir den gjerne kalt moms. I 2009 var merverdiavgiften 8 % på persontransport og kinobilletter, 14 % på matvarer og 25 % på andre varer og tjenester. Disse prosentsatsene blir endret fra tid til annen. Merverdiavgiften regner vi alltid i prosent av prisen uten merverdiavgift. For persontransport og kinobilletter er avgiften 8 %, og da er prosentfaktoren 0,08. For matvarer er prosentfaktoren 0,14, og for andre varer og tjenester er prosentfaktoren 0,25.
For persontransport og kinobilletter er merverdiavgiften = 0,08 · prisen uten merverdiavgift For matvarer er merverdiavgiften = 0,14 · prisen uten merverdiavgift For andre varer og tjenester er merverdiavgiften = 0,25 · prisen uten merverdiavgift
I annonser kan det stå at prisen er eksklusiv merverdiavgift (ekskl. mva.). Da er merverdiavgiften ikke tatt med, og vi må legge til merverdiavgiften for å finne ut hva vi må betale for varen. Hvis prisen er inklusiv merverdiavgift (inkl. mva.), er merverdiavgiften allerede tatt med i beløpet.
49
EKSEMPEL En kafé kjøper inn matvarer for 1800 kr. Denne prisen er uten merverdiavgift. Finn merverdiavgiften og prisen med merverdiavgift.
Løsning: Merverdiavgiften er 0,14 · 1800 kr = 252 kr Prisen med merverdiavgift er 1800 kr + 252 kr = 2052 kr
EKSEMPEL En sykkel koster 2900 kr uten merverdiavgift. Regn ut merverdiavgiften og prisen med merverdiavgift.
Løsning: Merverdiavgiften er 0,25 · 2900 kr = 725 kr Prisen med merverdiavgift er 2900 kr + 725 kr = 3625 kr
Da vi skulle finne prisen med merverdiavgift, regnet vi ovenfor først ut merverdiavgiften og la den til prisen uten merverdiavgift. Hvis vi bruker vekstfaktorer, finner vi prisen med merverdiavgift med en gang. Det er den metoden som blir mest brukt i praksis. For persontransport betaler vi 8 % merverdiavgift. Prosentfaktoren er 0,08, og vekstfaktoren er da 1 + 0,08 = 1,08 For matvarer betaler vi 14 % merverdiavgift. Vekstfaktoren er 1,14. For andre varer og tjenester betaler vi 25 % merverdiavgift. Vekstfaktoren er 1,25.
50
Sinus 1YP > Forhold og prosent
For sykkelen i eksempelet foran er prisen med merverdiavgift 1,25 · 2900 kr = 3625 kr
For persontransport og kinobilletter er prisen med merverdiavgift = prisen uten merverdiavgift · 1,08 For matvarer er prisen med merverdiavgift = prisen uten merverdiavgift · 1,14 For andre varer og tjenester er prisen med merverdiavgift = prisen uten merverdiavgift · 1,25
EKSEMPEL Marius handler på stormarkedet. Han kjøper matvarer for 740 kr og andre varer for 360 kr. Prisene er uten merverdiavgift. Hvor mye må Marius betale til sammen?
Løsning: For matvarene er prisen med merverdiavgift 740 kr · 1,14 = 843,60 kr For de andre varene er prisen med merverdiavgift 360 kr · 1,25 = 450 kr Til sammen må Marius betale 843,60 kr + 450 kr = 1293,60 kr
?
Oppgave 2.80 Et gatekjøkken kjøper inn hamburgere for 1500 kr uten merverdiavgift. a) Finn merverdiavgiften. b) Finn prisen med merverdiavgift. Oppgave 2.81 Hanna Huse har fått reparert taket på eneboligen sin for 7800 kr uten merverdiavgift. a) Finn merverdiavgiften. b) Finn prisen med merverdiavgift.
51
?
Oppgave 2.82 Sigrid Sola kjøper en flybillett til Stavanger for 550 kr uten merverdiavgift. Finn prisen med merverdiavgift.
Oppgave 2.83 Hans Hage får satt opp et gjerde i hagen for 12 400 kr uten merverdiavgift. Finn prisen han må betale.
!
Når vi skal finne merverdiavgiften, må vi passe på at vi regner i prosent av prisen uten merverdiavgift. Vi kan for eksempel ikke regne i prosent av prisen medregnet merverdiavgift. Hvis vi kjenner prisen med merverdiavgift, må vi først finne prisen uten merverdiavgift før vi kan finne merverdiavgiften. For persontransport og kinobilletter er prisen med merverdiavgift = 1,08 · prisen uten merverdiavgift Dermed er prisen med merverdiavgift prisen uten merverdiavgift = ______________________ 1,08 Vi har tilsvarende formler for de andre merverdisatsene.
For persontransport og kinobilletter er prisen med merverdiavgift prisen uten merverdiavgift = ______________________ 1,08 For matvarer er prisen med merverdiavgift prisen uten merverdiavgift = ______________________ 1,14 For andre varer og tjenester er prisen med merverdiavgift prisen uten merverdiavgift = ______________________ 1,25
52
Sinus 1YP > Forhold og prosent
EKSEMPEL Mor kjøper matvarer for 1300 kr inkl. mva. a) Hva er prisen uten merverdiavgift? b) Hvor stor er merverdiavgiften?
Løsning: a) Prisen uten merverdiavgift er 1300 kr _______ = 1140,35 kr 1,14
b) Merverdiavgiften er differansen mellom prisen med og uten merverdiavgift. For matvarene er merverdiavgiften 1300 kr – 1140,35 kr = 159,65 kr
?
Oppgave 2.84 En hamburger koster 50 kr inkl. mva. a) Finn prisen ekskl. mva. b) Finn merverdiavgiften. Oppgave 2.85 Et kvartal er strømregningen på 6300 kr inkl. mva. Finn merverdiavgiften. Oppgave 2.86 Hvor mange prosent vil prisene på matvarer øke hvis merverdiavgiften blir satt opp fra 14 % til 25 %?
53
SAMMENDRAG Forhold Forholdet mellom to tall finner vi ved å dividere det første tallet med det andre. Prosentfaktor p 4 Prosentfaktoren til p % er ____. Prosentfaktoren til 4 % er ____ = 0,04. 100 100 Noen prosentformler prosenten = prosentfaktoren · 100 % prosentfaktoren · hele tallet = delen av tallet delen av tallet prosentfaktoren = ____________ hele tallet delen av tallet hele tallet = ______________ prosentfaktoren
Vekstfaktor Ved prosentvis økning er vekstfaktoren = 1 + prosentfaktoren og prosentfaktoren = vekstfaktoren – 1 Ved prosentvis nedgang er vekstfaktoren = 1 – prosentfaktoren og prosentfaktoren = 1 – vekstfaktoren
Prosentvis endring Ved prosentvis økning eller nedgang er vekstfaktoren · den opprinnelige verdien = den nye verdien
Prosentpoeng Når vi regner ut differansen mellom to prosenttall, finner vi endringen i prosentpoeng.
54
Sinus 1YP > Forhold og prosent
Merverdiavgift For persontransport og kinobilletter er merverdiavgiften = 0,08 · prisen uten merverdiavgift For matvarer er merverdiavgiften = 0,14 · prisen uten merverdiavgift For andre varer og tjenester er merverdiavgiften = 0,25 · prisen uten merverdiavgift
Pris med merverdiavgift For persontransport og kinobilletter er prisen med merverdiavgift = prisen uten merverdiavgift · 1,08 For matvarer er prisen med merverdiavgift = prisen uten merverdiavgift · 1,14 For andre varer og tjenester er prisen med merverdiavgift = prisen uten merverdiavgift · 1,25
Pris uten merverdiavgift For persontransport og kinobilletter er prisen med merverdiavgift prisen uten merverdiavgift = ______________________ 1,08 For matvarer er prisen med merverdiavgift prisen uten merverdiavgift = ______________________ 1,14 For andre varer og tjenester er prisen med merverdiavgift prisen uten merverdiavgift = ______________________ 1,25
55
Oppgaver
1 Tall og enheter KATEGORI 1 1.1 Regnerekkefølge Oppgave 1.110 Regn uten og med digitalt hjelpemiddel. a) 7 · 8 b) 9 · 6 c) (–5) · 6 d) 7 · (–9) Oppgave 1.111 Regn uten og med digitalt hjelpemiddel. a) 2 · 3 – 5 b) 8 – 3 · 2 c) (–2) · 3 + 8 d) (–3) · (–4) + 2 Oppgave 1.112 Regn uten og med digitalt hjelpemiddel. a) 5 – 5 · 3 b) –6 + 2 · 3 c) 5 · 6 + 2 · 4 d) 7 · 8 – 5 · 6 e) –4 · 3 + 5 · 3 f) –3 · 6 – 4 · 5 Oppgave 1.113 Regn uten og med digitalt hjelpemiddel. a) 2 · (4 + 2) b) –2 · (3 – 1) c) 3 · (2 · 5 – 7) d) –4 · (9 – 2 · 8) e) –3 · (5 – 2 · 2) f) –4 · (8 – 2 · 4)
198
Sinus 1YP > Tall og enheter
Oppgave 1.114 Regn uten og med digitalt hjelpemiddel. a) 2 · 3 + 3 · 4 b) 5 · (7 + 32) c) 4 · 5 – 2 · 4 d) 4 · (23 – 9) Oppgave 1.115 Regn ut med digitalt hjelpemiddel. a) 5 · 3 – 4 · 4 b) 4 + 3 · 24 + 2 · (42 – 3) c) 2 · 6 – 5 · 3 d) 4 · 6 – 8 · 9 e) 32 · (4 + 2) – 4 · (4 + 22)
1.2 Hoderegning og overslagsregning Oppgave 1.120 Regn ut i hodet. a) 270 + 80 b) 355 + 25 c) 430 + 120 d) 1250 + 250 Oppgave 1.121 Regn ut i hodet. a) 123 + 37 b) 164 + 26 c) 125 – 35 d) 170 – 90
Oppgave 1.122 Regn ut i hodet. Du skal reise med bil fra Oslo til hytta på Gol. Avstanden er 210 km. a) Du regner med å kjøre i 70 km/h. Hvor mange timer tar det til hytta? b) 1) Hvor mange mil er det fra Oslo til hytta? 2) Du regner med at bilen bruker 0,8 l bensin per mil. Omtrent hvor mange liter bensin må du minst ha på tanken for at du skal slippe å fylle bensin på turen? Oppgave 1.123 Regn ut i hodet. Du skal reise med bil fra Oslo til Trondheim. Avstanden er 540 km. a) Du regner med å holde en gjennomsnittsfart på 60 km/h og vil ha en pause på en time. Du starter kl. 10.00. Når kan du regne med å være i Trondheim? b) Hvor mange mil er det fra Oslo til Trondheim? c) Bilen din bruker 0,8 liter bensin per mil. Hvor mye bensin går det med på turen? d) En liter bensin koster 10 kr. Hvor store er bensinutgiftene? Oppgave 1.124 Du er i butikken og har disse varene i handlekurven din: 1,5 liter melk Smør Pålegg Frukt Avis
15 kr 19 kr 31 kr 15 kr 10 kr
Du har bare 100 kr. Legg sammen i hodet og finn ut om du kan kjøpe alle varene.
Oppgave 1.125 Du har 5000 kr igjen på kontoen din, og disse regningene skal betales før du får lønn neste gang: Forsikring Tv-lisens Bensin
1200 kr 1000 kr 800 kr
I tillegg må du sette av 1500 kr til husholdningsutgifter. Finn ved hoderegning om du har råd til å betale disse regningene før neste lønning.
1.3 Enheter for mengde Oppgave 1.130 Bruk tabell og gjør om til gram (g). a) 0,200 kg b) 1,325 kg c) 0,800 kg d) 0,056 kg Oppgave 1.131 Bruk tabell og gjør om til kilogram (kg). a) 280 g b) 75 g c) 3 g d) 1,2 tonn Oppgave 1.132 Bruk tabell og gjør om til liter (l). a) 12 dl b) 180 cl c) 2500 ml
199
Oppgave 1.133 Bruk tabell og gjør om til desiliter (dl). a) 1,9 l b) 26 cl c) 650 ml Oppgave 1.134 Bruk tabell og gjør om til milliliter (ml). a) 0,4 cl b) 0,12 dl c) 0,05 l
1.4 Summering av mengder Oppgave 1.140 Trekk sammen. a) 1,8 kg + 0,2 kg + 1,2 kg b) 0,6 kg + 8 hg + 2,6 kg c) 20 g + 60 g + 0,08 kg d) 42 g + 218 g + 0,350 kg Oppgave 1.141 Trekk sammen. a) 1,2 l + 4 dl + 2,3 l + 6 dl b) 3,5 dl + 0,25 l + 1,4 dl + 0,80 l c) 20 cl + 2 dl + 30 cl + 3 dl d) 9 dl + 80 cl + 5 dl + 40 cl
1.5 Desimaltall og brøker Oppgave 1.150 Skriv disse tallene som desimaltall. 1 1 1 a) ___ b) ____ c) _____ 10 100 1000 3 3 1 d) __ e) __ f) __ 5 5 4 Oppgave 1.151 Finn hvilken brøk som er størst, ved å skrive tallene som desimaltall. 3 1 2 4 a) __ og __ b) __ og __ 5 5 4 4 8 3 9 19 __ __ __ ___ c) og d) og 5 5 2 10
200
Sinus 1YP > Tall og enheter
1.6 Brøkregning Oppgave 1.160 Forkort brøkene uten digitalt hjelpemiddel. 5 6 4 a) ___ b) __ c) ___ 10 9 16
10 d) ___ 80
Oppgave 1.161 Forkort brøkene uten og med digitalt hjelpemiddel. 8 18 15 14 a) ___ b) ___ c) ___ d) ___ 21 20 24 25 Oppgave 1.162 Bruk et digitalt hjelpemiddel og regn ut. 5 1 2 8 a) __ · __ b) __ : __ 6 5 9 3 3 3 2 c) __ · 3 d) __ + ___ 5 5 10 Oppgave 1.163 Bruk et digitalt hjelpemiddel og regn ut. 3 1 5 2 a) __ – __ b) ___ + __ 4 2 21 7 1 1 d) 3 : __ c) 2 · __ 2 3
1.7 Brøkdelen av et tall Oppgave 1.170 Regn ut. 1 2 a) __ av 3 b) __ av 20 5 3 1 2 c) __ av 24 d) __ av 35 7 6 Oppgave 1.171 3 I en klasse med 30 elever er __ av elevene 5 gutter. a) Hvor mange gutter er det i klassen? b) Hvor mange jenter er det i klassen? c) Hvor stor brøkdel av klassen er jenter?
Oppgave 1.172 I en klasse er det 8 jenter og 18 gutter. a) Hvor stor brøkdel av elevene er jenter? b) Hvor stor brøkdel av elevene er gutter? Oppgave 1.173 Ei kanne saftogvann inneholder 7 dl saft og 2,8 l vann. a) Hvor mye saftogvann er det på kanna? b) Hvor stor brøkdel av innholdet er saft? Oppgave 1.174 På Stortinget er det 169 representanter. Ved forslag om endringer i Grunnloven må minst 2/3 av representantene stemme «ja» for at forslaget skal bli vedtatt. Hvor mange stemmer trengs for å få vedtatt et slikt forslag?
KATEGORI 2 1.1 Regnerekkefølge Oppgave 1.210 Regn uten og med digitalt hjelpemiddel. a) 5 · 7 – 4 · 4 b) 2 · 6 – 5 · 3 c) 2 · (3 – 2) – 3 · (4 + 2) + (–2) · (–3) d) –3 · (2 – 5) + 5 · (2 – 1) – 2 · (4 – 5)
Oppgave 1.212 Regn uten og med digitalt hjelpemiddel. a) 6 · 22 b) –32 + 2 · 32 2 c) 3 · (2 · 3) + 2 · 5 d) 2 · 32 + 3 · 23
1.2 Hoderegning og overslagsregning Oppgave 1.220 Regn ut i hodet. a) 145 + 30 + 15 b) 134 + 76 c) 208 + 112 d) 354 + 465 Oppgave 1.221 Regn ut i hodet. a) 1235 + 235 b) 281 – 73 c) 939 + 232 d) 479 – 267 Oppgave 1.222 Bruk overslagsregning og finn ut omtrent hvor stort svaret er. a) 98,7 · 20,3 b) 9,8 · 5,2 c) 21 · 19 d) 73 · 4,8 Oppgave 1.223 Du skal legge nye lister rundt golvet i stua. Stua er rektangulær. Du vet at stua er 7,80 m lang og 6,10 m bred. Videre regner du med at det går bort 60 cm for hver av tre dører. Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor mange meter list du bør kjøpe.
Oppgave 1.211 1 Tenk på et tall mellom 1 og 9. 2 Legg til 5. 3 Multipliser svaret i punkt 2 med 2. 4 Trekk fra det tallet du tenkte på. 5 Stryk det første sifferet i tallet. 6 Gjør alt fra punkt 1 til punkt 5 en gang til, nå med et nytt tall. Klarer du å forklare sammenhengen?
201
1.3 Enheter for mengde Oppgave 1.230 a) Hvor mange gram er 1,2 kg? b) Hvor mange gram er 2000 mg? c) Hvor mange kilogram er 2300 g? d) Hvor mange kilogram er 1,5 tonn? Oppgave 1.231 a) Hvor mange milligram er 5 g? b) Hvor mange milligram er 0,008 g? c) Hvor mange tonn er 4000 kg? d) Hvor mange tonn er 12 500 kg? Oppgave 1.232 a) Hvor mange milligram er 1,7 g? b) Hvor mange gram er 2 hg? c) Hvor mange kilogram er 2600 g? d) Hvor mange tonn er 230 000 kg? Oppgave 1.233 a) Hvor mange centiliter er 23 dl? b) Hvor mange desiliter er 250 ml? c) Hvor mange liter er 460 cl? d) Hvor mange liter er 8000 ml?
1.4 Summering av mengder Oppgave 1.240 Trekk sammen. a) 2,75 kg + 3,5 hg + 170 g b) 50 g + 0,72 hg + 2,30 hg + 0,820 kg c) 15 dl + 1,70 l + 250 cl + 0,40 l d) 5 cl + 7,5 dl + 0,3 dl + 0,60 l Oppgave 1.241 Dag spiste 0,225 kg kjøtt, 60 g poteter, 40 g grønnsaker og 5 ml (= 5 g) saus. I tillegg drakk Dag 0,5 l vann. Hvor mye mer veide Dag etter middagen?
202
Sinus 1YP > Tall og enheter
Oppgave 1.242 Her er en oppskrift på åtte grove horn: 0,5 l (= 0,5 kg) melk 50 g gjær 20 g salt 2,3 hg sammalt grovt hvetemel 4,5 hg hvetemel Hvor mye veier deigen til sammen? Oppgave 1.243 En oppskrift på 30 hveteboller er slik: 1 kg hvetemel 1 ts kardemomme 100 g smør 100 g farin 2 pakker à 50 g gjær 3 dl (= 0,3 kg) melk 3 dl vann Hvor mye veier deigen til sammen?
1.5 Desimaltall og brøker Oppgave 1.250 Skriv disse tallene som desimaltall. 7 8 9 8 a) ___ b) __ c) ___ d) ___ 5 10 20 50 Oppgave 1.251 Skriv disse tallene som desimaltall. 1 1 1 1 a) __ b) __ c) __ d) ___ 3 6 9 11 Er det noe system i desimalene? Oppgave 1.252 Hvilken brøk er størst? 7 15 25 12 a) __ og ___ b) ___ og ___ 8 17 11 23
1.6 Brøkregning
1.7 Brøkdelen av et tall
Oppgave 1.260 Forkort brøkene uten digitalt hjelpemiddel. 10 12 a) ___ b) ___ c) 16 25 9 14 d) ___ e) ___ f) 42 81
Oppgave 1.270 7
a) Hvor mye er __ av 448 kr? 8 18 ___ 12 175 ____ 200
Oppgave 1.261 Forkort brøkene med digitalt hjelpemiddel. 52 84 68 a) ___ b) ____ c) ____ 65 108 119 Oppgave 1.262 Bruk et digitalt hjelpemiddel og regn ut. 25 12 9 a) ___ · ___ b) 5 : ___ 21 48 6 3 7 1 2 22 1 c) ___ + ___ – ___ d) __ + __ : ___ 5 10 25 50 3 5
(
)
Oppgave 1.263 Bruk et digitalt hjelpemiddel og regn ut. 100 5 a) ____ : ___ 13 39 2 1 b) ___ + 2 – ___ 25 10 4 6 1 2 c) __ – __ : __ + __ 3 5 2 5
(
)(
)
5
b) Hvor mye er __ av 672 kg? 7 12
c) Hvor mye er ___ av 3380 m? 13 1
d) Hvor mye er ___ av 2,5 m? 250 Oppgave 1.271 Regn uten bruk av digitalt hjelpemiddel. 2
Finn __ av 5 5 b) __ 2 15 d) ___ 8
a) 0,125 c) 0,0865
Oppgave 1.272 Alf, Berit og Kristian skal dele 24 000 kr. 1
2
Alf skal ha __ , Berit __ og Kristian resten. 5 3 a) Hvor stor del skal Kristian ha av de 24 000 kr? b) Hvor mange kroner skal Kristian ha? Oppgave 1.273 Jon, Ellen og Tora skal kjøre bil sammen til hytta. De skal dele på å kjøre den 320 km lange veien. Jon kjører 80 km, mens Ellen og Tora kjører like lange strekninger. a) Hvor stor del av veien kjører Jon? b) Hvor stor del av veien kjører hver av de to andre?
203
BLANDEDE OPPGAVER Oppgave 1.300 a) Trekk sammen. 1) 4 – 2 · 3 + 4 · 5 – 8 2) –2 · 6 + (–3) · (–4) b) Bruk et digitalt hjelpemiddel og regn ut. 3 9 12 30 1) ___ · ___ 2) __ : __ 15 8 2 8 Oppgave 1.301 Du skal på bilferie og har sett at du må kjøre disse strekningene: 23,8 mil, 57,3 mil, 48,5 mil og 51,6 mil a) Gjør overslag og finn omtrent hvor langt du må kjøre. b) Bilen bruker omtrent 0,75 liter bensin på en mil. Du regner med at prisen på en liter er omtrent 10 kr. Gjør overslag og finn omtrent bensinutgiftene i bilferien. Oppgave 1.302 a) Trekk sammen. 1) 2 · 7 + (–3) · 6 2) (–5) · 4 – 7 · (–3) b) Bruk et digitalt hjelpemiddel og regn ut. 8 2 3 1) __ · __ 2) __ : 2 5 3 4 Oppgave 1.303 Bruk et digitalt hjelpemiddel og regn ut. 5 36 4 a) __ · ___ b) __ : 6 7 6 15 7 5 1 2 c) 1 + ___ – ___ d) 2 + __ · __ 12 18 2 5
(
)
Oppgave 1.304 Regn ut i hodet. a) 384 – 190 b) 767 + 338 c) 866 – 370 d) 265 + 35 + 85
204
Sinus 1YP > Tall og enheter
Oppgave 1.305 Bruk et digitalt hjelpemiddel og regn ut. a) 3 + 2 · 5 – 2(4 – 3) b) 32 + (4 – 2)2 2 4 1 c) __ + __ – __ 5 5 5 1 2 1 d) __ – __ + __ 2 3 6 Oppgave 1.306 Elisabeth tenkte på et tall. Hun multipliserte tallet med 5 og la til 4. Da fikk hun 19. Hvilket tall tenkte Elisabeth på? Oppgave 1.307 a) Hvor mange gram er 25 hg? b) Hvor mange kilogram er 1,7 tonn? c) Hvor mange milligram er 2,6 g? d) Hvor mange kilogram er 3500 g? Oppgave 1.308 a) 1 Tenk på et tall. 2 Gjør tallet tre ganger så stort. 3 Trekk fra 6 i svaret fra punkt 2. 4 Del det tallet du kommer fram til, på 3 og legg til 2. Hvilket tall har du nå? b) Prøv å forklare hvorfor det må være slik. Oppgave 1.309 a) Regn uten digitalt hjelpemiddel. 1) 2 + 3 · 5 2) 2 + 4 : 2 – 4 b) Regn ut med digitalt hjelpemiddel. 1) 2 · 9 + 3(23 – 32) 1 1 5 2) __ – 2 · (__ – __) 6 2 4 Oppgave 1.310 Bruk et digitalt hjelpemiddel og forkort brøkene. 7 13 25 11 a) ____ b) ____ c) ___ d) ____ 121 140 91 625
Oppgave 1.311 Vi skal blande mel og sukker. Blandingen 3 skal inneholde __ mel og resten sukker. 5 a) Hvor mye mel og hvor mye sukker må vi bruke til en blanding på 1,5 kg? b) Hvor mye mel og hvor mye sukker må vi bruke til 2,5 kg blanding? c) Hvor mye sukker må vi bruke til 2,1 kg mel? Oppgave 1.312 En oppskrift på kneippbrød er slik: 15 kg vann 620 g gjær 3 hg salt 7,4 kg rugmel 9 kg hvetemel 6 hg sirup 1,2 kg bakefett a) Hvor mye veier denne deigen? b) Hvor mange kneippbrød får vi av denne deigen når deigen til ett kneippbrød veier 920 g? Oppgave 1.313 a) Hvor mange desiliter er 250 ml? b) Hvor mange centiliter er 2,7 l? c) Hvor mange liter er 12 000 ml? d) Hvor mange milliliter er 5 dl? Oppgave 1.314 Bruk et digitalt hjelpemiddel og regn ut. a) 5 – 2 · (3 – 5) b) 52 – 3 · 23 3 9 1 1 22 c) __ – ___ + __ d) ___ · ___ 5 10 2 11 27 21 e) ___ : 7 5 Oppgave 1.315 Bruk gangetegn og plusstegn eller minustegn og sett sammen tallene 3, 4 og 5 slik at du får 17 som svar. Det er to måter å gjøre det på.
Oppgave 1.316 På et stort fat ligger det frukt. Det er i 1
av fruktene er epler, alt 30 frukter. __ 3 2 __ appelsiner, og resten er bananer. 5 a) Hvor mange av hver fruktsort ligger det på fatet? b) Ola tar vekk ett eple og tre appelsiner og legger en ny banan på fatet. Hvor stor brøkdel er det nå av hver av de tre fruktsortene på fatet?
Oppgave 1.317 Du er ute og handler og vil raskt kontrollere hvor mye du skal betale. Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor mye det blir. a) 29,90 kr + 12,90 kr + 20,20 kr + 19,60 kr + 9,80 kr b) 8,80 kr + 11,40 kr + 18,50 kr + 32 kr + 4 · 9,90 kr + 3 · 14,90 kr Oppgave 1.318 Bruk et digitalt hjelpemiddel og regn ut. a) –32 · (2 – 3) – (–2) · (32 – 2) b) (4 – 3) · 52 + (3 – 5) · (–1) c) (23 – 4) · (3 – 2) · (1 – 2) d) (2 + 1) · (1 – 3) + 24 Oppgave 1.319 Her er en oppskrift på fiskekaker: 10 hg renset fisk 2 spiseskjeer (25 g) salt 30 g potetmel 75 g margarin 1,0 l (= l kg) melk litt muskatblomme Hvor mye veier farsen?
205
2 Forhold og prosent KATEGORI 1 2.1 Forholdet mellom tall Oppgave 2.110 I en klasse er det 18 jenter og 12 gutter. Finn forholdet mellom tallet på jenter og tallet på gutter i klassen. Oppgave 2.111 Du sover 8 timer et bestemt døgn. Hva er da forholdet mellom antallet timer du sover, og antallet timer du er våken?
Oppgave 2.112 I en sirkel er diameteren 12 cm og omkretsen 37,7 cm. a) Finn forholdet mellom omkretsen og diameteren. b) Kunne du ha funnet dette tallet uten å regne? Oppgave 2.113 Til en saus bruker du 3,2 dl vann og 2,4 dl melk. Hva er forholdet mellom vann og melk i sausen? Oppgave 2.114 I en klasse er forholdet mellom gutter og jenter 8 : 7. Det er 14 jenter i klassen. a) Fyll ut tabellen. Elever Gutter Jenter
Deler
x 7
b) Hvor mange gutter er det i klassen?
206
Sinus 1YP > Forhold og prosent