Санкт-Петербургский государственный университет by Сartography Book

Санкт-Петербургский государственный университет _________________________ Факультет географии и геоэкологии

Уравнивание геодезических сетей коррелатным способом Методические указания к лабораторной работе по курсу «Геодезические основы карт»

Санкт-Петербург 2001

Санкт-Петербургский государственный университет Факультет географии и геоэкологии _______________________

Уравнивание геодезических сетей коррелатным способом Методические указания

Общие сведения При коррелатном способе уравнивания каждое избыточное измерение приводит к образованию точной математической зависимости между истинными значениями измеренных величин, называемой условным уравнением. Математические соотношения, определяющие условные уравнения, будут зависеть от вида сети − является она свободной или несвободной. Уравнивание может проводиться по направлениям или по углам. В свободных сетях триангуляции могут возникать условия: фигур, горизонтов, полюсов. Условное уравнение фигур выражает требование, чтобы сумма углов любого многоугольника равнялась 180 ⋅ ( n − 2 ) , где n − число вершин многоугольника. Для основной фигуры триангуляции − треугольника (рис. 1, а) условное уравнение фигуры запишется так: 1 + (1) + 2 + ( 2) + 3 + ( 3) −180 = 0 , или (1) +( 2) +(3) + 11 + 2 +3 −180  = 0 , или, в окончательном виде, (1) + ( 2) + ( 3) + W = 0 , где арабские цифры в скобках обозначают искомые поправки к соответствующим измеренным углам; 1+2+3 −180 =W называется свободным членом условного уравнения, или невязкой, и вычисляется по измеренным углам, приведенным к центрам пунктов и редуцированным на плоскость. В сущности, невязка представляет собой истинную погрешность функции, выражающей условное уравнение. Аналогично составляются условные уравнения для более сложных замкнутых фигур.

{

}

б B

B 4

6 5

Рис. 1. Треугольник с измеренными в нем углами (а) и направлениями (б).

При уравнивании триангуляции по направлениям, принимая во внимание, что каждый угол получается как разность двух направлений, условное уравнение фигур для треугольника (рис. 1, б) имеет вид: − (1) + ( 2) − ( 3) + ( 4) − ( 5) + ( 6) + W = 0 , где W= {2 −1} +{4 −3} +{6 −5} −180 . Обычно направления на каждом пункте нумеруют по ходу часовой стрелки. Условное уравнение горизонта возникает при уравнивании по углам, если на пункте (например, при полюсе центральной системы) измерены все углы между смежными направлениями, и выражается в требовании равенства суммы уравненных значений углов 360 (рис. 2): (1) + ( 2) + ( 3) + ( 4) + ( 5) + W = 0 ,  где W=1+2+3+4+5− 360 . При уравнивании направлений условия горизонта не возникают, так как в этом случае данное условие выполняется по определению. 1 5

2 4

Рис. 2. Пункт с измеренными на нем углами между всеми направлениями.

Полюсное условное уравнение возникает в фигуре с избыточным диагональным направлением, четырехугольнике и центральной системе (рис. 3), в которой должно удовлетвориться требование, чтобы длина любой стороны при полюсе О, например ОА, принятая условно в качестве исходной и вторично вычисленная по уравненным углам (направлениям) в результате последовательного решения треугольников, имела одно и то же значение. C 6 5

а B

3 4

8 7

3 4

2 1 4 B 3

10 9 E 1 2

1 A

8 D

7 8 D

Рис. 3. Фигуры, в которых возникают полюсные условия. а − центральная система; б − четырехугольник; в − цепочка треугольников, пересекаемая диагональю.

На практике полюсное условное уравнение в виде тождества начинают составлять с отношения сторон, исходящих из одной точки (полюса), начиная и заканчивая одной и той же стороной, (см. рис. 3, а): OA ×OB ×OC ×OD ×OE OB ×OC ×OD ×OE ×OA

=1 .

(1)

Затем заменяют отношения сторон отношениями синусов противолежащих углов в треугольниках и вместо равенства (1) получают выражение sin{ 4 + ( 4 )} ⋅ sin{ 6 + ( 6 )} ⋅ sin{8 + ( 8 )} ⋅ sin{10 + (10 )} ⋅ sin{ 2 + ( 2 )} sin{1 + (1)} ⋅ sin{ 3 + ( 3)} ⋅ sin{ 5 + ( 5 )} ⋅ sin{ 7 + ( 7 )} ⋅ sin{ 9 + ( 9 )}

(2)

Уравнение (2) имеет нелинейный вид и неудобно для вычислений. Поэтому, используя ряд Тейлора, но ограничиваясь малыми первого порядка и выполняя некоторые преобразования, условное уравнение центральной системы приводят к линейному виду:

– ctg1(1) + ctg 2( 2 ) − ctg 3( 3) + ctg 4( 4) − ctg 5( 5) + ctg 6( 6 ) − − ctg 7( 7 ) + ctg 8( 8) − ctg 9( 9) + ctg 10(10 ) + W = 0, П   sin 4 ⋅ sin 6 ⋅ sin 8 ⋅ sin 10 ⋅ sin 2   1  ′′  П1 − П 2  ′′ ′ ′ W = − 1 ρ = − 1   ρ ; где   ρ =  П  П2  sin 1 ⋅ sin 3 ⋅ sin 5 ⋅ sin 7 ⋅ sin 9  2    

П1 и П 2 − произведения синусов углов числителя и знаменателя

соответственно; ρ′′ = 206265′′ . При уравнивании направлений поправки в углы заменяются разностями поправок в направления. В геодезическом четырехугольнике в качестве полюса может быть выбрана фиктивная точка на пересечении диагоналей или любая из его вершин. Например, для вершины А (см. рис. 3, б) уравнение, называемое иногда боковым, по аналогии с уравнением (1) для центральной системы будет иметь вид AB × AC × AD AC × AD × AB

=1 .

Для несвободных сетей составляются все условные уравнения, присущие свободным сетям, и могут добавляться, в зависимости от типа избыточных исходных данных, условные уравнения, называемые иногда полигональными: сторон (базисные), дирекционных углов, координат (абсцисс и ординат). При составлении полигонального условия в сети триангуляции выделяют цепочку треугольников, соединяющую исходные данные по кратчайшему пути. Для цепочки треугольников (рис. 4), у которой b1 и b2 − исходные стороны (непосредственно измеренные или вычисленные по координатам исходных пунктов), Ai , Bi , C i − измеренные углы и ( Ai ) , ( B i ) , ( C i ) − поправки к ним, базисное условное уравнение (или уравнение сторон) имеет вид

b1 sin{ A1 + ( A1 ) } ⋅ sin{ A2 + ( A2 ) } ⋅ sin{ A3 + ( A3 ) } − b2 = 0 . sin{ B1 + ( B1 ) } ⋅ sin{ B 2 + ( B 2 ) } ⋅ sin{ B3 + ( B3 ) } (3)

b C

2 2

Рис. 4. Цепочка треугольников между четырьмя исходными пунктами.

После приведения к линейному виду и некоторых преобразований уравнение (3) запишется так:

ctg A1 ( A1 ) + ctg A2 ( A2 ) + ctg A3 ( A3 ) − ctg B1 ( B1 ) − − ctg B2 ( B2 ) − ctg B3 ( B3 ) + W = 0,

где W =

( b′ − b ) ρ ′′ 2

b′2 =

b1 sin A1 sin A 2 sin A3 sin B1 sin B 2 sin B 3

(4)

Если в процессе уравнивания сети триангуляции в измеренные стороны b1 и b2 нужно получить поправки, то в базисное условное уравнение (4) вводят эти поправки с соответствующими коэффициентами и получают следующее условное уравнение:

ctg A1 ( A1 ) + ctg A2 ( A2 ) + ctg A3 ( A3 ) − ctg B1 ( B1 ) − ctg B2 ( B2 ) − ρ ′′( b1 ) ρ ′′( b2 ) − ctg B3 ( B3 ) − − + W = 0. b1′ b2′ При составлении условия дирекционных углов (непосредственно измеренных или вычисленных по координатам исходных пунктов) в выделенной цепочке треугольников намечают ходовую линию, обычно по вершинам промежуточных углов Ci , участвующих в передаче дирекционных углов ( см. рис. 3). В том случае, когда дирекционные углы α1 и α2 определяются по координатам исходных пунктов и не подлежат изменению, то для уравненной сети должно соблюдаться следующее равенство:

α2 = α1 − C1 − ( C1 ) + C2 + ( C2 ) − C3 − ( C3 ) + ( n − 1) ⋅180 ,

где Ci − измеренные промежуточные углы, ( Ci ) − поправки к ним, n − число промежуточных углов, участвующих в передаче дирекционного угла. В окончательном виде условное уравнение дирекционных углов записывается так: − ( C1 ) + ( C2 ) − ( C3 ) + W = 0 , где W = α 2′ − α 2 и α2′ =α1 −C1 +C2 −C3 +( n −1) ⋅180 . Если углы α1 и α2 непосредственно измерены и в процессе уравнивания требуется определить их поправки (α1 ) и условное уравнение будет следующим: − ( C1 ) + ( C2 ) − ( C3 ) + (α 1 ) − ( α 2 ) + W = 0 .

(α2 ) ,

то

Условия координат возникают, если в сети триангуляции имеются группы исходных пунктов, удаленные одна от другой не менее чем на две определяемые стороны. Причем отдельная группа может состоять как из одного, так и из нескольких смежных исходных пунктов. Для уравнивания в выделенной в сети триангуляции цепочке треугольников намечают ходовую линию, проходящую через вершины промежуточных углов треугольников. Условия координат заключаются в том, чтобы координаты конечного исходного пункта (рис. 5, пункт G), вычисленные по уравненным элементам сети, равнялись заданным. Тогда в уравненной сети будут соблюдаться следующие соотношения: условие абсцисс: X G = X B + ∆xBC + ∆xCD + ∆xDF + ∆xFG , (5) Y = Y + ∆ y + ∆ y + ∆ y + ∆ y условие ординат: G B BC CD DF FG .

C C

b A

C 3

C B4

C E Рис. 5. Цепочка треугольников между тремя исходными пунктами.

Для получения условия координат в окончательном виде нужно в (5) уравненные значения приращений координат ∆ x и ∆ y сначала представить как суммы приращений координат ∆x ′ и ∆y ′ , вычисленные с использованием измеренных углов Ai , Bi , Ci , и поправок к ним ( ∆ x) и ( ∆ y), получаемых из уравнивания сети, а затем выразить ( ∆ x) и ( ∆y) через поправки ( Ai ) , ( Bi ) , ( C i ) в измеренные углы треугольников. При выполнении преобразований используются известные функциональные зависимости: ( ∆x = ∆x ′ + ( ∆x ) , ∆y = ∆y ′ + ( ∆y ) ; ∆xi = Si cos α , ∆yi = Si sin α , S BC = b sin A1 / sin B1 , α BC = α AB − C1 + 180 и т. д., где Si − длина i-й стороны). После выполнения преобразований условные уравнения примут следующий вид: условие абсцисс:

∑ ( X G − X i ) ctg Ai ( Ai ) − ∑( X G − X i ) ctg Bi ( Bi ) − − ∑(YG − Yi ) ⋅ ( ± Ci ) + Wx = 0,

условие ординат:

∑ ( YG − Yi ) ctg Ai ( Ai ) − ∑ (YG − Yi ) ctg B i ( B i ) − − ∑ ( X G − X i ) ⋅ ( ± C i ) + W y = 0.

X G′ Здесь Wx = ( X G′ − X G ) ρ ′′, Wy = ( YG′ − YG ) ρ ′′; и YG′ − координаты пункта G, вычисленные по измеренным углам. При этом значения ( X G′ − X G ) и (YG′ − YG ) выражены в километрах; поправка ( Ci ) имеет знак плюс ( +Ci ) , если угол С находится слева от ходовой

линии, и минус ( −Ci ) , если справа от нее (по направлению от начального пункта В этой линии к конечному пункту G). При проведении уравнительных вычислений важной задачей является выбор необходимых и, в то же время, независимых условных уравнений. Общее число их равняется числу избыточных измерений в сети. Для подсчета общего числа уравнений и числа по их видам существует много формул, правильность подсчета по которым обычно рекомендуется проверять графическим способом, основываясь на том, что: − число условий фигур треугольников равняется числу неперекрывающихся треугольников со всеми измеренными в них углами, сложенному с числом сплошных диагоналей; − число условий горизонта равно числу центральных систем;

− число условий дирекционных углов равно числу исходных дирекционных углов без одного; − число условий полюсов равняется числу центральных систем, сложенному с числом диагоналей; − число условий базисов в триангуляции, не замкнутой исходными сторонами, равняется числу исходных сторон (базисов) без одной. Перед уравниванием геодезической сети вычисляют свободные члены всех без исключения условных уравнений (зависимых и независимых) и сравнивают их значения с установленными допусками. Общая формула для расчета допустимой величины свободных членов условных уравнений имеет вид Wдоп = tµ [aa ] , где t − параметр, зависящий от доверительной вероятности (в современных инструкциях по построению государственной геодезической сети принят в среднем равным 2,5); под [ aa ] понимается сумма квадратов коэффициентов рассматриваемого условного уравнения; µ − средняя квадратическая погрешность единицы веса (устанавливается действующими инструкциями для каждого вида измерений и в зависимости от класса геодезической сети). Значение µ может вычисляться по результатам геодезических измерений, например по невязкам W треугольников по формуле µ = [W 2 ] / 3n , где n − число треугольников. В процессе уравнивания µ вычисляется по формуле µ = [ pV ] / r , где V − поправки к измеренным величинам с весом p из уравнивания, r − число условных уравнений. Для вычисления предельных свободных членов конкретных условных уравнений применяются следующие формулы: 1) условия фигур и горизонта Wдоп = 2,5µ n ; 2) полюсные условия W доп = 2,5µ [ ctg 2 β ] ; 3) базисные условия 2

Wдоп

 mb′′ = 2,5 mb + mb +  2 1 2  ρ ′′ 2

  ;  

4) условия дирекционных углов Wдоп =

2 mα21 + mα + nm 2 . 2

Здесь использованы следующие обозначения: µ − средняя квадратическая погрешность измерения углов; n − число углов в условном уравнении; [ctg 2 β ] − сумма квадратов котангенсов связующих углов в условном уравнении; b1 и b2 − длины исходных (базисных) сторон в условном уравнении, а mb1 и квадратические погрешности;

mα1

mα 2

mb2

− их средние

− средние квадратические

погрешности дирекционных углов α1 и α2 в условном уравнении. В сетях трилатерации условные уравнения можно составить на основании сравнения сумм углов или площадей треугольников, длин или координат исходных пунктов, полученных по результатам измерения сторон треугольников, с теоретическим значением. В зависимости от этого различают угловую, площадную, линейную и координатную формы условных уравнений. Например, в геодезическом четырехугольнике или центральной системе возникает только одно условное уравнение. Поправки (1), (2), (3) и т.д. в углы, выраженные через поправки ((a), (b), (c),…) в длины сторон для четырехугольника (рис. 6) и для центральной системы (рис. 7), имеют соответственно следующий вид: (1) + (2) − (3) + W1 = 0, (3) + (6) + (9) + (12) + (15) + W2 = 0, где для четырехугольника (1) = ρ ′′ [(a) – cos8⋅(b) – cos6×(c)]/h1 , (2) = ρ ′′ [(a1) – cos12×(c1) – cos7×(b)]/h2 , (3) = ρ ′′ [(s) – cos10×(c1) – cos5×(c)]/h3 ,

hi − высота треугольника, опущенная из вершины угла, поправка которого определяется.

B h1

6 1 h3 2 3

2 4

4 9 s

b 12

11 h2

a1 D

5 7

6 9 12

8 10

Рис. 6. Геодезический четырехугольник.

Рис. 7. Центральная система.

Окончательный вид условного уравнения для четырехугольника (см. рис. 6) будет: h2h3(a) − (h2h3cos8 + h1h3cos7)(b) + (h1h2cos5 − h2h3cos6)(c) + h1h3(a1) + (h1h2cos10 − h1h3cos12)(c1) − h1h2(s) + Wh1h2h3/ ρ ′′ =0,

b2 + c2 − a2 c 2 + b 2 − a12 c2 + c2 − s2 + arccos 1 − arccos 1 . 2bc 2bc1 2cc1 Условное уравнение для центральной системы будет иметь аналогичный вид. Для полигонометрического хода, опирающегося на исходные пункты и направления, имеем три условных уравнения: дирекционных углов и два координатных (абсцисс и ординат). Для нивелирных ходов геометрические условия выражаются в равенстве нулю суммы превышений в замкнутом полигоне или равенстве нулю разности между суммой превышений по ходу и превышением между известными высотами конечной и начальной точек в разомкнутом ходе. Например, для сети, приведенной на рис. 8, условные уравнения имеют следующий вид: − V1 + V5 + W1 = 0, V3 − V4 + W2 = 0, V2 + V4 − V5 + W3 = 0, где W1 = − Σh1 + Σh5 – (HB − HA), W2 = − Σh4 + Σh3 – (HC − HB), W3 = Σh2 + Σh4 − Σh5., Hi − высота исходного репера. где W = arccos

2 1

3 4

B а

Рис. 8. Сеть нивелирных ходов. а – исходные реперы, б – определяемые реперы, в – направление и номер хода.

При уравнивании геодезических сетей, полученных из спутниковых данных, в качестве измеренных величин принимают приращения координат, т.е. составляющие Dx, Dy, Dz векторов D. Рассмотрим фрагмент геодезической сети, состоящий из трех точек. В случае измерения между точками двух векторов А и В (рис. 9, а), избыточные данные отсутствуют. Определяя избыточный вектор С (рис. 9, б), можно координаты пункта 3 найти по вектору В и проконтролировать по векторам А + С. Вид условных уравнений зависит от того, как проложен векторный ход. Если векторный ход образует замкнутый контур, то векторное условие будет следующим: ΣDij = 0, где вектор Dij соединяет пункты i и j. Это означает, что суммы приращений координат по каждой координатной оси в замкнутой фигуре равны нулю. Когда ход проложен между векторами R1 и R2 двух опорных пунктов, координаты которых не подлежат исправлению, условное уравнение принимает вид ΣDij − (R2 − R1) = 0. Каждое из записанных векторных уравнений может быть разложено по трем координатным осям и представлено тремя скалярными формулами. Подстановка в уравнения условий составляющих векторов Dx, Dy, Dz, полученных из измерений, приведет к появлению невязок. Например, для двух векторных ходов, рассмотренных выше, по оси x для невязок получим: Wx = ΣDxij и Wx = ΣDxij − (X2 − X1). Аналогично получим невязки Wy и Wz . Количество невязок r равно утроенному числу избыточно измеренных векторов.

б B

A 3

Рис. 9. Фрагмент спутниковой сети.

Чтобы невязки устранить, следует измеренные величины Dx, Dy, Dz исправить соответственно внесением поправок Vx, Vy, Vz. Так, для векторного треугольника на рис. 9, б условное уравнение по оси X будет иметь вид Vx12 −Vx 23 −Vx 31 +Wx123 = 0.

Аналогичные условные уравнения будут по осям Y и Z. В зависимости от того, подлежит или не подлежит вектор изменению, а также в зависимости от направления вектора, коэффициенты, стоящие перед поправками в условных уравнениях, будут равны +1, 0 или −1. Все составленные независимые условные уравнения, возникающие в геодезической сети, можно записать в матричной форме: BV+W=0, (6) где

 b11b12 b1n   V1   W1        b 21b22 b2n  V 2  W2   B(r × n) =   ; V = ; W =             b b b   Wr   Vn   r1 r2 rn  .

Здесь B − прямоугольная матрица коэффициентов условных уравнений; V − вектор-столбец поправок в измеренные с весами р величины, число которых равно n; W − вектор-столбец свободных членов условных уравнений; r − число условных уравнений. Реализация принципа Гаусса при решении уравнений (6) с отысканием относительного минимума функции ∑ PV 2 = min по способу Лагранжа приводит к системе нормальных уравнений коррелат: NK + W = 0 , (7) где матрица

 qaaqab qag     q q q  − 1 T ab bb bg N = BP B =   ,    q q q   ag bg gg 

(8)

− обратная весовая матрица измеренных величин; BT − транспонированная матрица В коэффициентов условных уравнений; K – вектор-столбец коррелат нормальных уравнений. Следует сказать, что матрица P −1 в случае независимых измерений будет диагональной (например, при уравнивании направлений или углов, измеренных во всех комбинациях). Если же уравнивание выполняют по углам и они были измерены по способу круговых приемов, то при составлении матрицы P −1 необходимо учитывать их корреляцию. Из решения уравнений (7) находят вектор коррелат: K = −Q к W , (9) P

−1

где

 Q11Q12Q1r    Q Q Q − 1  21 22 2r  Qк = N =       Q Q Q   r1 r 2 r 

(10)

Матрицу Qк называют матрицей весовых коэффициентов коррелат, при этом ее определитель не играет такой важной роли, как определитель аналогичной матрицы при параметрическом способе уравнивания, поскольку он непосредственно не характеризует точность неизвестных. Вектор искомых поправок к измеренным величинам определяется по формуле V = P −1 B T K . (11) Для контроля вычислений используют соотношение V T PV = −K T W , (12) которое контролирует следующие операции: вычисление коэффициентов матрицы нормальных уравнений N (8), решение нормальных уравнений, т. е. определение составляющих вектора коррелат K (9); вычисление абсолютных значений составляющих вектора поправок V (11); образование произведения векторов V T PV (12), используемого при оценке точности результатов уравнительных вычислений и качества выполненных измерений. Полный заключительный контроль уравнительных вычислений коррелатным способом состоит в подстановке уравненных значений измеряемых величин в условные уравнения. Если после этой подстановки левые части уравнений обращаются в ноль (в пределах точности вычислений), то составление уравнений, вычисление коэффициентов условных уравнений поправок, определение невязок Wi и все дальнейшие преобразования выполнены правильно. Это надежный заключительный контроль уравнительных вычислений

коррелатным способом. При параметрическом уравнивании такого контроля нет. После нахождения уравненных значений измеренных величин производят окончательное решение треугольников, вычисляют координаты определяемых пунктов и оценивают точность уравненных величин. Для полной оценки точности всех уравненных элементов сети необходимо вычисление их корреляционной матрицы, которую получают в соответствии с выражением Q = P −1 − P −1B T Q к BP −1 . (13) Следует отметить, что для оценки точности неизвестных нужны лишь диагональные элементы. Среднюю квадратическую погрешность единицы веса находят по одному из следующих выражений:

µ2 =

W TQк W V T PV WTK , µ2 = , µ2 = − . r r r

(14)

Среднюю квадратическую погрешность измерения с номером i можно получить по формуле mi = µ Qii , (15) где Qii − диагональный элемент корреляционной матрицы, соответствующий i-му измерению. Ниже приведен пример уравнивания направлений в сети триангуляции с применением математической системы MathCAD, используя операторы которой можно выполнить работу с векторами и матрицами в формулах (6)−(14). Уравнительные вычисления выполняют в следующей последовательности: 1. Составляют рабочую схему сети (рис. 10). 2. Определяют общее число независимых условных уравнений и по видам. 3. Составляют условные уравнения, вычисляют в них коэффициенты при искомых поправках и свободные члены (см. табл. 3−6). 4. Формируют элементы матрицы B и вектора W системы условных уравнений (6). 5. Создают массивы элементов матрицы B и вектора W в текстовом редакторе (именам файлов элементов массивов матрицы и вектора присваивается расширение prn). 6. В системе MathCAD создают матрицу B и вектор W путем считывания созданных ранее файлов данных с помощью операции READPRN.

7. 8. 9.

Вычисляют искомые поправки по формуле (11). Производят контроль вычислений по соотношению (12). Выполняют оценку точности уравненных элементов сети по формулам (14)−(16). 10. По табл. 2 вычисляют уравненные направления. Рис. 11 демонстрирует операции создания матриц и действий с ними, которые производятся после выполнения п. 5 для решения условных уравнений и производства оценки точности результатов. После рисунка приводится текстовой комментарий к нему с соблюдением последовательности производимых операций.

Пример уравнивания сети триангуляции 4-го класса

Петровка (П)

16 15

1 Амосово (А)

Романовка (Р) 7

13 Бор (Б) 14

2 3

5 4

Колбино (К)

Рис. 10. Схема сети триангуляции.

Таблица 1. Координаты исходных пунктов Пункт Петровка Амосово Колбино

Координаты x 6314357,05 6297986,56 6299186,95

Дирекционный угол

Длина стороны, м

191о13'44"32

16689,993

85о33'55"03

15550,206

7374262,20 7371012,15 7386515,80

Таблица 2. Измеренные и уравненные направления

Номер направления

Станция

Наблюд. пункт

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

П Б К А Б Р К Б П Р Б А Р К А П

К Р

П Б

Измеренные и редуцированные на плоскость направления 0 38о36'19"98 74о20'09"77 0 39о00'29"92 87о49'42"18 0 50о39'53"46 113о13'16"14 0 48о45'54"95 84о36'49"79 0 80о30'58"08 185о46'36"79 291о19'21"74

Поправки Vki

Приведенные поправки

Приведенные направления

−0,61 +0,28 +0,33 +0,45 +0,59 −1,04 −0,10 −0,24 +0,34 −1,28 +0,33 +0,95 +1,14 −0,88 +0,51 −0,77

0 +0,89 +0,94 0 +0,14 −1,49 0 −0,14 +0,44 0 +1,61 +2,23 0 −2,02 −0,63 −1,91

0 38о36'20"87 74о20'10"71 0 39о00'30"06 87о49'40"69 0 50о39'53"32 113о13'16"58 0 48о45'56"56 84о36'52"02 0 80о30'56"06 185о46'36"16 291о19'19"83

Таблица 3. Вычисление свободных членов условных уравнений фигур Номер тр-ка

Пункт

П Б

Разность направ. 2−1 12−11 16−15

А К Б

3−2 5−4 15−14

35о43'49"79 39о00'29"92 105о15'38"71 179о59'58"42

−(2)+(3)−(4)+(5)− − (14)+(15)−1,58=0

К Р Б

6−5 8−7 14−13

48о49'12"26 50о39'53"46 80о30'58"08 180о00'03"80

−(5)+(6)−(7)+(8)− − (13)+(14)+3,80=0

Р П Б

9−8 11−10 13−16

62о33'22"68 48о45'54"95 68о40'38"26 179о59'55"89

−(8)+(9)−(10)+(11)+ +(13)−(16)−4,11=0

А 1

Измеренные углы

Условия фигур в развернутом виде

38о36'19"98 35о50'54"84 105о32'44"95 179о59'59"77

−(1)+(2)−(11)+(12)− − (15)+(16)−0,23=0

Таблица 4. Вычисление свободного члена W5 в условии угла, не подлежащего изменению

Не подлежащие изменению углы, направления ТАК ТАП

85о33'55"03 11о13'44"32

3−1 ТАК − ТАП W5

74о20'09"77 74о20'10"71 −0,94

Значения углов

Развернутый вид условного уравнения не подлежащего изменению угла, направления −(1)+(3)−0,94=0

Полюсное условное уравнение: П sin( 2 −1) sin(11 −10) sin(8 − 7) sin(5 − 4) = 1 =1 ; sin(12 −11) sin(9 − 8) sin(6 − 5) sin(3 − 2) П2

W5 =

П1 − П2 " . ρ П1

Таблица 5. Вычисление коэффициентов и свободного члена W6 полюсного условия

Номер угла 19

2−1 11−10 8−7 5−4

Угол

Числитель sin угла

38о36'19"98 0,6239553 48о45'54"95 0,7520154 50о39'53"46 0,7734515 39о00'29"92 0,6294331 П1 = 0,2284350,

ctg угла 1,252 0,877 0,820 1,235

Номер угла 12−11 9−8 6−5 3−2

Угол 35о50'54"84 62о33'22"68 48о49'12"26 35о43'49"79 П2 =

0,2284381, W6 = −2",785, Wпол. доп.=2,5 µ [ctg βi ] =2,5.2" 2

9,417

=15,34",

−1,252(1)+2,642(2) −1,390(3) −1,235(4)+2,110(3) −0,875(6) − −0,820(7)+1,339(8) −0,519(9) −0,877(10)+2,261(11) −1,384(12) −2,785=0.

Знаменатель sin угла 0,5856449 0,8874641 0,7526456 0,5839733

ctg угла 1,384 0,519 0,875 1,390

Условие сторон, не подлежащих изменению: sin(12 −11) ⋅ sin(15 −14) S АП − S АК = 0 . sin(16 −15) ⋅ sin(5 − 4) Обозначим sin(12 − 11) ⋅ sin(15 − 14) = П3 , П 1 , S АП 3 П = S АК . 4 Тогда получим

W7 =( S

1 АК

sin(16 − 15) ⋅ sin(5 − 4) = П 4

−S АК

" ρ )

S 1АК

. Таблица 6. Вычисление коэффициентов и свободного члена W7 условного уравнения сторон, не подлежащих изменению Числитель Номер Номер угла Угол sin угла ctg угла угла

Знаменатель Угол sin угла SАК=15550,206

S =16689,993 АП

35о50'54"84 0,5856449 105о15'38"71 0,9647379 П3 = 0,5649938,

12−11 15−14

1,384 −0,273

105о32'44"95 39о00'29"92 П4 =

16−15 5−4

0,6064061, S 1АК = 15550,210,

W7 = +0,053";

Wст. доп. = 2,5 2m s2 + µ2 [ctg 2 βi ] , ms/S = 1/300 000,

m s"

= ρ"/300

000 = 0"688, Wст. доп. = 2,5

2(0,688) 2 +2 2 ⋅ 3,592

= 2,5

15,315

= 9,78";

+1,235(4) − 1,235(5) − 1,384(11)+1,384(12)+0,273(14) − 0,551(15)+0,278(16)+0,053=0. Далее формируются массивы элементов матрицы коэффициентов и вектора свободных членов системы составленных выше условных уравнений и производятся вычисления в системе MathCAD, которая делает

0,7526456 0,6294331

ctg угла −0,278 1,235

работу с векторами и матрицами столь же простой, как с обычными числами и переменными. На рис. 11−13 приведены результаты вычислений. Порядок формирования матриц и векторов и операций с ними изложен ниже. 1. Создание текстового файла данных KOF.prn (элементы матрицы В) на диске С в каталоге DOCUMENT, подкаталоге GEO:

−1 1 0 0 0 0 1 0 0 −1 1 0 −1 1 −1 1 0 0 0 –1 1 0 0 0 0 0 −1 1 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1.252 2.642 −1.39 −1.235 2.11 −0.875 −1.384 0 0 0 0 0 0 0 1.235 −1.235 0 1.384 0 0.273 −0.551 0.278

−1

−0.82 1.339 −0.519 −0.877 2.261 0

−1.384

2. Создание текстового файла данных НЕВ.prn (элементы вектора W) на диске С в каталоге DOCUMENT, подкаталоге GEO: -0.23 -1.58 +3.80 -4.11 -0.94 -2.785 +0.053

3. Считывание файла данных KOF.prn и создание матрицы В: B

READPRN( "C:\DOCUMENT\GEO\KOF.prn")

4. Считывание файла данных NEV.prn и создание вектора W: W

READPRN( "C:\DOCUMENT\GEO\NEV.prn") T N B. B 5. Умножение матрицы В на транспонированную матрицу ВТ. Получение матрицы N коэффициентов нормальных уравнений коррелат: W READPRN( "C:\DOCUMENT\GEO\NEV.prn") N

T B. B

6. Умножение со знаком минус обращенной матрицы N-1 на вектор W и получение вектора K (неизвестных коррелат системы нормальных уравнений (7)): K

1 N . W

7. Умножение транспонированной матрицы ВТ на вектор K и получение вектора поправок V (рис. 11): V

T B . K

T. 8. Контроль Должно соблюдаться равенство C=F, где: V B вычислений. K C F

T V . V C= 7.968 T. W K F= 7.968

9. Оценка точности: вычисление квадратической погрешности

средней

единицы веса μ, определение корреляционной матрицы (матрицы весовых коэффициентов) Q (рис. 12), вычисление средних квадратических погрешностей уравненных направлений mi по формулам (рис. 13):

µ=

VTV , r

Q = 1 − BT ⋅ N −1 ⋅ B ,

mi = µ Qii .

READPRN W

"C:\DOCUMENT\GEO\KOF.prn"

READPRN

"C:\DOCUMENT\GEO\NEV.prn"

T B. B

N K

1. W

T B . K

T V . V C= 7.968

T W . K F= 7.968

T 1 B . N . B

0 0 -0.612 1 0.283 2 0.328 3 0.449 4 0.59 5 -1.04 6 -0.098 V= 7 -0.244

Вывод вектора поправок V

8 0.342 9 -1.279 10 0.329 11 0.95 12 1.143 13 -0.881 14 0.512 15 -0.774

Рис.11. Решение уравнений в системе MathCAD.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0.378 1.243 1.378 1.011 1.044 0.945 0.973 1.045 0.982 0.949 1.045 1.006 1.02 1.047 0.879 1.053 1 1.243 0.513 1.243 0.978 0.911 1.111 1.055 0.91 1.035 1.101 0.911 0.988 0.959 0.905 1.241 0.894 2 1.378 1.243 0.378 1.011 1.044 0.945 0.973 1.045 0.982 0.949 1.045 1.006 1.02 1.047 0.879 1.053 3 1.011 0.978 1.011 0.441 1.303 1.257 0.901 0.961 1.139 0.99 1.073 0.936 0.915 0.902 1.006 1.177 4 1.044 0.911 1.044 1.303 0.545 1.152 0.948 0.992 1.06 1.023 0.916 1.061 0.929 1.278 0.903 0.89 5 0.945 1.111 0.945 1.257 1.152 0.591 1.151 1.047 0.801 0.987 1.011 1.002 1.156 0.82 1.091 0.933 6 0.973 1.055 0.973 0.901 0.948 1.151 0.67 1.267 1.063 0.79 1.064 1.146 0.874 1.074 1.109 0.944 24

Q= 7 1.045 0.91 1.045 0.961 0.992 1.047 1.267 0.498 1.235 1.024 1.008 0.968 1.254

0.968 0.801 0.977

8 0.982 1.035 0.982 1.139 1.06 0.801 1.063 1.235 0.702 1.186 0.928 0.886 0.872 0.958 1.09 1.08 9 0.949 1.101 0.949 0.99 1.023 0.987 0.79 1.024 1.186 0.63 1.133 1.237 1.153 0.955 1.074 0.819 10 1.045 0.911 1.045 1.073 0.916 1.011 1.064 1.008 0.928 1.133 0.535 1.332 0.933 0.894 0.918 1.255 11 1.006 0.988 1.006 0.936 1.061 1.002 1.146 0.968 0.886 1.237 1.332 0.431 0.914 1.151 1.008 0.927 12 1.02 0.959 1.02 0.915 0.929 1.156 0.874 1.254 0.872 1.153 0.933 0.914 0.722 1.116 1.041 1.121 13 1.047 0.905 1.047 0.902 1.278 0.82 1.074 0.968 0.958 0.955 0.894 1.151 1.116 0.679 1.16 1.046 14 0.879 1.241 0.879 1.006 0.903 1.091 1.109 0.801 1.09 1.074 0.918 1.008 1.041 1.16 0.626 1.173 15 1.053 0.894 1.053 1.177 0.89 0.933 0.944 0.977 1.08 0.819 1.255 0.927 1.121 1.046 1.173 0.66 Рис. 12. Вывод матрицы Q весовых коэффициентов.

7.968 µ µ = 1.067 7

Q0 , = 0.378 m0 1.067. 0.378 m0 = 0.656 0

Q12 , = 0.722 m12 1.067 0.722 m12 = 0.907 12 Рис.13. Оценка точности неизвестных в системе MathCAD.

Наибольшая погрешность будет в направлении Бор−Романовка, которому

соответствует

наибольшее

значение

Q12,12 = 0,722

(обратный вес) диагонального элемента матрицы Q, (см. рис. 12). Для этого направления: 7,968 =1,067, 7

µ=

m12 = 1,067 ⋅ 0,722 = 0,907 .

Лабораторная работа 1. 2.

Исходными данными для работы являются результаты, полученные в лабораторной работе «Предварительные вычисления в триангуляции»*. Анализ полученных результатов выполняется при очной встрече со студентом-заочником в период экзаменационной сессии.

См.: Предварительные вычисления в триангуляции / Сост. Г.Д. Курошев. СПб., 1985.

7.968 µ µ = 1.067 7

Q0 , = 0.378 m0 1.067. 0.378 m0 = 0.656 0

Q12 , = 0.722 m12 1.067 0.722 m12 = 0.907 12 Рис.13. Оценка точности неизвестных в системе MathCAD.

Наибольшая погрешность будет в направлении Бор−Романовка, которому

соответствует

наибольшее

значение

Q12,12 = 0,722

(обратный вес) диагонального элемента матрицы Q, (см. рис. 12). Для этого направления: 7,968 =1,067, 7

µ=

m12 = 1,067 ⋅ 0,722 = 0,907 .

Лабораторная работа 3. 4.

См.: Предварительные вычисления в триангуляции / Сост. Г.Д. Курошев. СПб., 1985.

Контрольные вопросы Чем отличается коррелатный способ от параметрического? Какие должны существовать соотношения между числом необходимых величин, числом всех измеренных величин и числом условных уравнений? Назовите этапы уравнивания коррелатным способом. Как подсчитать число условных уравнений и каким требованиям они должны удовлетворять?

Напишите в буквенных обозначениях возможные варианты полюсного условного уравнения для четырехугольника. Напишите формулу для вычисления средней квадратической погрешности единицы веса. Напишите формулу для вычисления средней квадратической погрешности измеренных величин.

Как производится заключительный контроль уравнивания в коррелатном способе? Как решается вопрос о выборе способа уравнивания? Каким способом лучше уравнивать полигонометрический ход?

Литература Гудков В.М., Хлебников А.В. Математическая обработка маркшейдерскогеодезических измерений. М.: Недра, 1990. 335 с. Курошев Г.Д. Геодезия и география. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1999. 372 с. Машимов М.М. Уравнивание геодезических сетей. М.: Недра, 1979. 368 с. Яковлев Н.В. Высшая геодезия. М.: Недра, 1989. 445 с.

СОДЕРЖАНИЕ Общие сведения Пример уравнивания сети триангуляции 4-го класса Лабораторная работа Контрольные вопросы Литература

1 16 25 26 −

Лицензия ЛР № 040050 от 15.08.96 Подписано в печать с оригинала-макета 29.05.2001. Ф-т 60х84/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,63. Уч.-изд. л. 1,69. Тираж 100 экз. Заказ № РОПИ Издательства С._Петербургского университета. 199034, С.-Петербург, Университетская наб., 7/9. ЦОП типографии Издательства СПбГУ, 199034, С.-Петербург, наб. Макарова, 6.

Утверждено на заседании кафедры картографии

Составитель

докт. геогр. наук Г.Д. Курошев

Р е ц е н з е н т ы:

докт. техн. наук С.А. Коробков (С.-Петерб. горный ин-т им. Г.В. Плеханова), канд. геогр. наук О.А. Павлова (С.-Петерб. гос. ун-т)

Рассмотрены виды условных уравнений, возникающих в геодезических сетях триангуляции, трилатерации, полигонометрии, нивелирования и спутниковых построениях. Процесс уравнительных вычислений и оценки точности дан в матричном изложении. Приведен пример уравнивания сети триангуляции на персональном компьютере с применением системы MathCAD. Методические указания к лабораторной работе по курсу «Геодезические основы карт» предназначены для студентов заочного и вечернего отделений кафедры картографии, могут быть использованы также студентами дневного отделения и специалистами, занимающимися математической обработкой геодезических измерений.