LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Y SUS APLICACIONES 1
Competencias: . Definir la derivada de una función.
. Interpretar geométricamente la derivada de una función. . Determinar los puntos críticos de una función. . Determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado. . Describir el concepto de punto de inflexión de una gráfica. . Analizar la concavidad de una función a través de su segunda derivada. . Resolver problemas de máximos y mínimos de 2 una función en una variable.
La Pendiente de una Curva
ÂżUna curva tiene pendiente? Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que mas se asemeja (ajusta) a la curva. Âży cuĂĄl es esta recta? 3
y
f ( x0 + h)
f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
4
y
f ( x0 + h)
f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
5
y
f ( x0 + h)
f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
6
y
f ( x0 + h)
f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
7
y
f ( x0 + h)
f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
8
y
f ( x0 + h)
f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
9
y
f ( x0 + h)
f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
10
y
f ( x0 + h)
f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
11
y
f ( x0 + h)
f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
12
y
f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
13
y
f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
14
y
f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
15
y
f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
16
y
f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
17
y
f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
18
y
f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 h
x0 + h
x
19
y
f ( x0 + h) f ( x0 ) x0
x0 + h
x
h
20
y
f ( x0 + h) f ( x0 ) x0
x0 + h
x
h
21
y
f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 x + h 0
x
h
22
y
f ( x0 + h) f ( x0 ) x0 x + h 0
x
h
23
y
f ( x0f+( xh)) 0
x0x + h 0
x
h
24
y
f ( x0f+( xh)) 0
xx0 + h 0
x
h
25
y
f ( x0f+( xh0)) xx00 + h
x
h
26
y
f ( x0f+( xh0)) 0 h x0x+
x
h
27
y
Tangente!!!
f ( x0f+( xh0)) x0 x+0h
x
28
y
f ( x0f+( xh0)) x0 +xh0
x
29
y
f ( x0f+( xh0)) x0 + hx0
x
30
y
f ( x0f+( xh0)) x0 + h x0
x
31
La Pendiente de una Curva y
f ( x0 + h)
∆y f ( x0 ) x0
∆x
x0 + h
x 32
La Pendiente de una Curva
f(x 0 + h) − f(x 0 ) m t = lim h →0 h Si h = ∆x
f(x 0 + ∆x) − f(x 0 ) m t = lim ∆x → 0 ∆x Es el límite de un cociente de incrementos
33
Ejemplo Determina la ecuación de la recta tangente a la curva que tiene por ecuación, y = 4 − x 2 en el punto de abscisa x = 1 y
x
34
Definición de Derivada
La derivada de una función f con respecto a la variable x es la función cuyo valor en x es:
f(x + h) − f(x) f ´(x) = lim h →0 h siempre que el límite exista Nota 1: f es una función definida en un intervalo abierto que incluye a35 x.
Observación La derivada de una función es un límite. Nota 2: Para calcular ese límite se requiere que la función esté definida en el punto.
f(x + h) − f(x) f(x) − f(a) lim ⇔ lim h→ 0 x →a h x-a 36
REGLAS DE DERIVACIÓN
1. Sea f(x) = k, k ∈ ℜ entonces:
f ′( x ) = 0
2. Sea f(x) = x, entonces:
f ′( x ) = 1
D x (c) = 0
3. Sea f(x) = xn , n ∈ ℜ entonces: n −1
f ′( x ) = nx
4. Si f es derivable y c constante, se tiene: ′
( cf ( x ) )
= cf ′( x )
37
Reglas de Derivación 5. Si f y g son funciones derivables y a y b son constantes se tiene que:
(αf ( x ) + βg ( x ) )
′
= α f ′( x ) + β g ′( x )
6. Si f y g son funciones derivables, entonces la derivada del producto es:
( f ( x) * g ( x) )
′
= f ′( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′( x ) 38
Reglas de Derivación 7. Si f y g son funciones derivables y g (x) no es cero, entonces la derivada del cociente es:
′
f ( x ) f ′( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′( x ) = 2 g ( x) g ( x) 8. Si f ( x) = [ g ( x)] yn ∈ ℜ , entonces la regla de la cadena se define por: n
f ′( x) = n[ g ( x)]
n −1
g ′( x ) 39
Observación Sea y = f(u) donde u = g(x)
y →u → x Si todas las derivadas involucradas existen, entonces otra forma de definir la REGLA DE LA CADENA es:
dy dy du = ∗ dx du dx
40
La funci贸n exponecial y=ex y la funci贸n logaritmo natural y= ln x
y
y = ex
e
y = ln x 1 1
e
x 41
Definición: Si x es cualquier número real, entonces ln y = x si y sólo si ex = y
Teorema Si p y q son números reales, entonces p i)
e ∗e = e p
q
p + q ii)
e p− q =e q e
iii)
(e )
p q
=e
pq
42
Derivadas de funciones EXP y LOG Derivada de funciones exponenciales f ′( x) = e x
i) f ( x) = e x ; ii) f ( x ) = e
g( x)
;
f ′( x) = e g ( x ) g ′( x )
Derivada de funciones logarítmicas i) f ( x) = ln x; ii) f ( x) = ln [ g ( x ) ];
1 x 1 f ′( x) = g ′( x) g ( x)
f ′( x) =
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LA DERIVADA EN EL ANALISIS DE FUNCIONES 44
TEOREMA Si c es un punto de extremo local de f, entonces f ’(c) = 0
45
PUNTOS CRITICOS Definición:
Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0.
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Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b]
1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b] 2. Hallar f(c) para cada punto crítico c Calcular f(a) y f(b) 3.
4. El mayor de los números hallados en 2 y 3 es el máximo absoluto de f en[a,b] y el menor el mínimo. 47
TEOREMA
Sea f continua en [a, b] y derivab en (a, b), entonces: Si f ’(x)> 0 en (a, b) entonces f es estrictamente CRECIENTE en [a,b] 48
Criterio de la primera derivada
c es un punto crítico de f y f es erivable alrededor de c, entonces:
Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c ntonces c es un punto de MÁXIMO local de f
Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c ntonces c es un punto de MÍNIMO local de f 49
TEOREMA Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:
Si f ’’(c) > +
0
la gráfica de f es cóncava hacia arriba en x = c 50
TEOREMA Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:
< Si f ’’(c) -
0
la gráfica de f es cóncava hacia abajo en x = c 51
Criterio de la segunda derivada Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0, entonces, Si f ’’(c) > 0,
c es un punto de mínimo local
Si f ’’(c) < 0,
c es un punto de máximo local
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Punto de inflexi贸n La gr谩fica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexi贸n si: 1 f es continua en c 2 La gr谩fica tiene tangente en el punto 3 La concavidad cambia de sentido en c 53
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR Los PUNTOS DE INFLEXION
i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es: • Si f es •continua Si la derivada existe o tiene límite infinito (tang. • vertical) Si f ’’ cambia de signo
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Referencias
LA DERIVADA DE UNA FUNCIĂ&#x201C;N Y SUS APLICACIONES (2004). [Diapositiva de PowerPoint]. Recuperado de: http://beta.upc.edu.pe/matematica/Topesc/Unidad%20
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