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FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS
Resolver gráficamente cada uno de los siguientes sistemas CON DOS VARIABLES para que verifiquen
A) 2 x – 3 y = 2
SISTEMA DE ECUACIONES O ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON 2 Y 3 VARIABLES
B) 4 x + 6 y = 12
C) 2 x – 3 y = - 6 - x + 3/2 y = 3
x +2y=8 2x+3y=-6 A) Las líneas se cortan en un solo punto por consiguiente hay UNA solución (única) X = 4 Y = 2 B) Las líneas son paralelas (tienen la misma pendiente - 2 / 3 ) por consiguiente NO hay solución C) La líneas coinciden por consiguiente hay INFINITAS soluciones
ECUACIONES SIMULTÁNEAS: IGUAL VALOR LAS RAICES
K+R=5 K–R=1
ECUACIONES EQUIVALENTES INFINITAS RAICES
M+ T=4 2M+2T=8
ECUACIONES INDEPENDIENTES NO SE OBTIENE UNA DE OTRA TIENEN UNA SOLUCION
ECUACION INCOMPATIBLE SON INDEPENDIENTES K + 2 R = 10 2K+4R= 5
QUE NO TIENEN SOLUCION COMUN
SISTEMA DE ECUACIONES Reuniรณn de dos o mรกs ecuaciones con dos o mรกs variables SOLUCION GRUPO DE VALORES QUE SATISFACE TODAS LAS ECUACIONES DEL SISTEMA a) POSIBLE O COMPATIBLE
TIENEN SOLUCION
b) IMPOSIBLE O INCOMPATIBLE
NO ES
TIENEN SOLUCION
DETERMINADO UNA SOLUCION
c) SISTEMA COMPATIBLE
ES INDETERMINADO INFINITAS SOLUCIONES
RESOLUCION: OBTENER DE DOS ECUACIONES: UNA SOLA ECUACION CON UNA INCOGNITA MEDIANTE UNA ELIMINACION METODOS DE ELIMINACION
IGUALACION COMPARACION O SUSTITUCION REDUCCION ( SUMA O RESTA )
METODO DE ELIMINACION POR IGUALACION
7 K + 4 R = 13 5 K – 2 R = 19
Despejo K ó R UNA DE LAS DOS
13 − 4 R 19 + 4 R = 7 5
Despejo K en cada ecuación y las igualo
K= 3 R=-2
METODO DE ELIMINACION POR COMPARACION – SUSTITUCION Despejo K en la primera y la sustituyo en la segunda
2 K + 5 R = - 24 8 K – 3 R = 19
− 24 − 5 R 8 − 3 R = 19 2
R= - 5 K=1/2
METODO DE ELIMINACION POR REDUCCION (SUMA O RESTA) 5 K + 6 R = 20 4 K – 3 R = - 23
La multiplico por (2)
8 K – 6 R = - 46
5 K + 6 R = 20 8 K – 6 R = - 46 al sumarlas
13 K
= - 26
elimino las R
K=-2 R= 5
PROBLEMAS Hallar tres números consecutivos tales que si el menor se divide entre 20, el mediano ó intermedio entre 27 y el mayor entre 41 la suma de los cocientes es 9
x x +1 x + 2 + + =9 20 27 41 X = 80,
X = 81,
X = 82
Un CADETE (k) tenía cierta cantidad de dinero. Gasto $ 1200 en gaseosa y hojaldra y los 2 / 3 de lo que le queda en pagar un saldo del celular. Si aún le queda $ 5000 Cuanto tenía al principio k = La plata que tenia al principio el cadete Después de gastar $ 1200 le queda
( k – 1200)
Saldo celular :gasto 2 / 3 de lo que le quedaba ( k – $ 1200) - 2/3 ( k – $ 1200) = $ 5000 k = $ 16200 lo que tenia al principio
2/3 ( k – 1200)
EJERCICIO Resolver el sistema literal con dos incógnitas KX + RY
= K2 +
RX + KY
=
(* R ) ( * −K )
R2
2KR
R K X + R 2 Y = K2R + R3 - R K X − K2 Y = - 2 K2R R 2 Y − K2 Y = K2R + R3 - 2 K2R
Reduzco términos semejantes R2Y-
K2Y
= R3- K2R
Saco factor común en cada miembro RX + KY
=
2KR
(R 2 − K 2 ) = R ( R 2 - K 2 ) R ( R2 - K2 ) Y= (R 2 − K 2 ) Y
Y=R
X=K
EJERCICIO Compramos 27 refrigerios entre tortas y pasteles en la cafetería de la ESMIC para I SEMESTRE F.C.M. Cada torta costo $ 500 y cada pastel costo $ 400 .Si el costo total ha sido $ 11800. Cuántas tortas y pasteles compro el primer SEMESTRE MILITAR
SISTEMA DE ECUACIONES O ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON 2 Y 3 VARIABLES
T
= numero de tortas
27 – T
= NUMERO DE PASTELES
Cada torta 500 T
$ 500 ,
todas las tortas
Cada pastel
$ 400 ,
400( 27 – T ) todos los pasteles 500 T + 400 ( 27 – T ) = 11800 500 T + 10800 – 400 T = 11800 100 T = 1000 27 – T = 27 – 10 =
T = 10 17
TORTAS PASTELES
EJERCICIO
2 X +1 = 3 5
3 X −6 4 3
X = 14
RESULTAN SISTEMAS DE ECUACIONES EQUIVALENTES SI: Se intercambian dos ecuaciones Se multiplica una ecuación por una constante no nula Se suma a una ecuación dada un múltiplo constante de otra ecuación
Para encontrar el conjunto solución en un sistema de ecuaciones con tres variables se debe tener en cuenta los siguientes pasos:
PASOS 1) Se escogen dos ecuaciones del sistema y se elimina una de las tres variables con el método de eliminación. Por lo regular el resultado es una ecuación con dos incógnitas 2) Se elimina ahora la variable de la ecuación que no se uso en el paso uno y una de las empleadas en el paso uno. Se obtiene por lo general otra ecuación con dos variables
3) Las dos ecuaciones de los pasos 1 y 2 forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y se resuelven utilizando cualquier método de eliminación
4) Se sustituye la solución del paso 3 en cualquiera de las tres ecuaciones originales y se despeja la tercera variable para terminar de resolver el sistema original
RESOLVE R 3X–2Y+4Z=
6
EC 1
2X+3Y- 5Z=-8
EC 2
5X–4Y+3Z=
EC 3
7
- 6 X + 4 Y - 8 Z = - 12 5X–4Y+3Z= - X
9 X – 6 Y + 12 Z = 18
EC 1
* 3
4 X + 6 Y - 10 Z = - 16
EC 2
* 2
13 X
+ 2Z =
2
EC 5
7
-5Z=-5
EC 1 EC 3 EC 4
* - 2
- 13 X 13 X
- 65 Z = - 65 + 2Z =
* 13 EC 4
2
SISTEMA EQUIVALENTE AL ORIGINAL
EC 5 Z = 1
- 63 Z = - 63
- X - 5 (1) = - 5
EC 4
SUSTITUYO
X=0
3 (0) – 2 Y + 4 (1) =
6
EC 1
SUSTITUYO
Y=-1 RESPUESTA
La solución del sistema original es: ( 0, - 1, 1 ) o sea X=0
Y= -1
Z=1
COMO AYUDA DIDACTICA RESUELVO EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES ( tres ecuaciones con tres variables)
(1) C + 4 F − K = 6
(2)2C + 5 F − 7 K = −9 (3)3C − 2 F + K = 2 SOLUCION
Despejo 1
C + 4F − K = 6
( 4)C = 6 − 4 F + K
reemplazo( 4 ) en( 2 ). 2( 6 − 4 F + K ) + 5 F − 7 K = −9 12 − 8 F + 2 K + 5 F − 7 K = −9 12 − 5 K − 3F = −9
( − 1) − 5K − 3F = ( −1) − 9 − 12
( 5) 5K + 3F = 21
Reemplazo (4) en (3)
3( 6 − 4 F + K ) − 2 F + K = 2 18 − 12 F + 3K − 2 F + K = 2 18 − 14 F + 4 K = 2
( 6) 4 K − 14 F = −16 Despejo (5)
3F = 21 − 5 K
( 7)
21 − 5 K F= 3
Reemplazo 7 en 6
4 K − 14 F = −16
5K 4 K − 14 7 − = −16 3
70 K 4 K − 98 + = −16 3
70 K 4K + = −16 + 98 3
82 K = 82 3 82 K = 3( 82 )
K = 3 Soluciones.
5( 3) f =7− 3
f =2 c = 6 − 4( 2 ) + 3
c =1
EJERCICIO Mi general quiere saber cuántos capitanes, tenientes y sargentos tiene en su base militar en forma explícita, pero su dificultad radica que sabe el dato en ecuaciones: Le da la orden a mi cadete para que le ayude a resolverlas porque son tres ecuaciones con tres variables y ya no se acuerda del procedimiento
C +
4T
–
S =
2C +
5T
- 7S = - 9
3C -
2T
+
S =
6
2
C=1
T = 2
K = 3