КАНДИДАТСТУДЕНТСКИ КОНКУРС ПО МАТЕМАТИКА АКАДЕМИЯ М В Р, 2008 г.
ТЕМА 2 Задача 1. Дадени са функциите f ( x ) = x 2 − x − 6 и g ( x ) = x − p , където p е реален параметър. а) Да се намерят стойностите на параметъра p , за които е изпълнено неравенството x12 x2 + x1 x2 2 < 2 , където x1 и x2 са корени на уравнението f ( x ) = g ( x ) . б) Да се реши неравенството
f ( x) ≥ g ( x) , ако параметърът p = 2 . в) Да се намери границата lim
x→ − 2
g ( x) f ( x) + g ( x)
,
ако параметърът p = −2 . Задача 2. Да се решат уравненията: а) log 2 ( 2 x + 22 − x − 5 ) + log 1 (1 − 2 − x ) = 2 . 2
б) 2.cos 2
x x = sin 2 x.cotg . 2 2
Задача 3. В равнобедрен триъгълник ABC дължините на бедрата AC и BC са равни на 40, а радиусът на описаната около него окръжност е 25. а) Да се намери лицето на триъгълника ABC . б) Да се намери радиусът на вписаната в триъгълника ABC окръжност. в) Да се намери дължината на отсечката BD , ако CD е диаметър на описаната около триъгълника ABC окръжност. Задача 4. В пирамида ABCD основата ABC е равностранен триъгълник с дължина на страната a . Околният ръб AD е перпендикулярен на равнината на основата, а θ e големината на ъгъл ABD . а) Да се намери лицето на пълната повърхнина на пирамидата ABCD . б) Да се намери разстоянието от върха A до равнината α , минаваща през точките M , N и D , където M и N са среди съответно на основните ръбове AB и AC .